alexxlab — Страница 215 — Таловская средняя школа

Уравнения с дробями 4 класс: 4 класс, уравнение, решение уравнений, примеры и задачи

alexxlab / 25.06.202322.04.2023 / Разное

Урок математики по теме «Деление дробей в уравнениях»

Форма урока: объяснение нового материала.

Цели урока:

Обучающая: выработать навыки учащихся умножать и делить обыкновенные дроби, решать и оформлять задачи на уравнения.
Воспитательная: воспитывать самостоятельность, аккуратность
Развивающая: развивать внимание, математическую речь, вычислительные навыки учащихся, интерес к математике.

Ожидаемые результаты: дети научаться решать задачи и уравнения на дроби.

Этапы урока	Время (мин)	Слайды
Организационный момент.	2	Слайд 1
Устная работа и повторение ранее изученного	8	Слайды 2, 3, 4, 5,6
Формирование новых знаний и умений	10	Слайды 7, 8
Физкультминутка	2	Слайды 9, 10
Закрепление нового материала	5	Слайд 11
Проверка знаний (с/р)	10	Слайд 12
Постановка домашнего задания	1	Слайд 13
Подведение итогов урока	2

ХОД УРОКА

I. Организационный этап

– Здравствуйте, мы проведем сегодня урок по теме «Деление дробей в уравнених». Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.
Целью нашего урока является закрепление и проверка умений умножать и делить обыкновенные дроби, а также повторить навыки решения задач и уравнений.

II. Устный опрос учащихся

Чтобы умным в жизни стать
Надо дроби изучать

1) Переведите смешанную дробь в неправильную (Приложение 1, слайд 3)

2) Выделите целую часть (Приложение 1, слайд 4)

3) Умножьте дроби (Приложение 1, слайд 5)

– Повторим правило умножения двух дробей: Чтобы умножить дробь на дробь нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем.

4) Выполните деление (в тетрадях с последующей взаимопроверкой, сосед у соседа) (Приложение 1, слайд 6)

– Повторим правило деления двух дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

III. Формирование новых знаний и умений

– При изучении темы деление большое значение имеет умение решать уравнения. Рассмотрим пример и запишем его в тетрадь. (Приложение 1, слайд 7)

– Чтобы решить уравнение необходимо определить какой компонент в уравнении является неизвестным.
– Какой?
– 1 множитель
– Правильно! Чтобы найти неизвестный множитель, что нужно сделать?
– Чтобы найти неизвестный множитель необходимо произведение разделить на известный множитель.
– Находим корень уравнения, выполняя деление. Выполним проверку и запишем ответ.

– А теперь давайте проверим ваше умение решать задачи.

№ 597 (Приложение 1, слайд 7)

– Сколько всего прошел лыжник ? (26 км)
– Сколько километров прошел в первый день? (неизвестно)
– Сколько километров прошел во второй день? (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что возьмем за х?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько километров прошел за два дня?
– Как найти?
– Составим уравнение.

– 14 км лыжник прошел во второй день

26 – 14 = 12 км лыжник прошел в первый день.

№ 598 (Приложение 1, слайд 8)

– Вспомним что такое 1% (одна сотая)
– Какой дробью запишем 75% (75/100 = 3/4)
– Сколько грибов собрала белка? (неизвестно)
– Сколько грибов собрал бельчонок? (неизвестно)
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе белка и бельчонок?
– Составим уравнение.

200 грибов собрала белка
350 – 200 = 150 грибов собрал бельчонок

IV. Физкультминутка

– Встаем и выполняем несколько упражнений.

А теперь, ребята, встали,
Быстро руки вверх подняли,
В стороны, вперёд, назад
Повернулись вправо, влево,
Тихо сели, вновь за дело.

V. Закрепление нового материала

№ 594

– Сколько собрал Митя?
– Сколько собрал Коля?
– Какую величину, с какой сравнивают?
– Что обозначим за икс?
– Как найти дробь от числа?
– Сколько собрали вместе мальчики?

28 грибов собрал Митя

64 – 28 = 36 грибов собрал Коля

VI. «Математический выбор»

Уравнения, оцениваемые в 3 балла: Уравнения, оцениваемые в 5 баллов:

1)                                                                      1)

2)                                                                       2)

3)                                                                    3)

4)                                                                  4)

Уравнения, оцениваемые в 6 баллов:

1)

2)

3)

4)

Оценки: 5 – 12 баллов; 4 – 9 баллов; 3 – 6 баллов.

Каждый выбирает себе уравнения по «плечу».
Учитель во время работы оценивает учеников.

VII. Итог урока

– С каким настроением вы сегодня работали на уроке?
– Какая задача для вас была самой интересной?
– Ребята чему мы научились на сегодняшнем уроке?
– Как найти часть от числа?
– Как найти неизвестный множитель?

Оценки за урок.

VIII. Домашнее задание

– С листов решить любые три уравнения, из тех которые не решали в классе.

«Дроби». Математика 4 класс — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

«Дроби».
Математика
4 класс
Ц ЕЛИ :
закрепить знание понятий «дроби»правильные и неправильные; смешанные
числа;
повторить свойства сложения и
вычитания дробей
формирование умений решать
составные задачи на нахождение третьей
части;
развивать речь, внимание, память;
навыки устных и письменных вычислений,
самоанализа.
ДЕВИЗ УРОКА.
«
Начнешь в учении
с малого,
постигнешь и
большее».
А КТУАЛИЗАЦИЯ
ЗНАНИЙ .
1 7 5 2 16 7 13 4 9
6 9 6 9 9 6
6 9
Тема: «Дроби»
Т ЕМА «Д РОБИ »
План.
1. Виды дробей.
2. Сложение и вычитание
дробей.
3. Решение задач.
Д РОБИ .
1 числитель
знаменатель
6
Сколько частей
взяли.
На сколько
частей
разделили.
К ЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБЕЙ .
правильные
неправильные
1
5
2
4
7
9
16
7
6
6
9
6
9
9
9
6
Числитель
меньше
знаменателя
Числитель
больше
знаменателя
К ЛАССИФИКАЦИЯ
ДРОБЕЙ
Дроби
со знаменателем 6
со знаменателем 9
*
РАБОТА
ПО ВАРИАНТАМ .
Вариант1: расположить дроби со
знаменателем 6 в порядке возрастания;
Вариант2: расположить дроби со
знаменателем 9 в порядке убывания.
Проверка:
1в. 1; 4;
6
6
5; 7
6
6
2в. 16;
9
9;
7; 2
9
9
9
Д РОБИ .
правильные
неправильные
смешанные
Уровень А – составить выражение с дробями на сложение
и вычитание по схеме:
а
n
в
n
а
n
в
n
Уровень В – составить выражение в несколько действий с
дробями по схеме
а
n
в
n
с
n
а
n
Уровень С – составить уравнение с дробями.
а х в
n
n
а х в
n
n
в
n
с
n
с
n
При сложении дробей с одинаковыми
знаменателями, числители
складываются, а знаменатели остаются
без изменения.
При вычитании дробей с одинаковыми
знаменателями, из числителя первой
дроби вычесть числитель второй дроби,
знаменатель остается без изменения.
С ЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ДРОБЕЙ .
а + в = а+в
n n
n
а–в =а-в
n n
n
Р ЕШЕНИЕ
ЗАДАЧ .
Длина трех рек России Волги,
Дуная и Днепра составляет 8100км.
Длина реки Волги составляет -4\9всей
длины, длина Дуная составляет 1\3
всей длины. Какова длина Днепра?
1 СПОСОБ :
План решения задачи:
1) : х
2) : х
3) — :
Проверка
1) 8100: 9х4
2) 8100:3 х1
3)8100- 3600 -2700
2
СПОСОБ :
8100 – (8100:9х4 + 8100:3х1)= 1800(км)
Вывод: При решении задачи на
нахождение третьей части, нужно из целого
вычесть первую часть, а потом – вторую. Или
из целого вычесть сумму двух частей.
.
Г ЕНИЙ СОСТОИТ ИЗ
1% ВДОХНОВЕНИЯ И 99% ПОТЕНИЯ .
Словарная работа:
Гений – высшая творческая
способность. (Человек,
обладающий такой
способностью).
Вдохновение – творческий
подъем, прилив творческих сил.
И ТОГ
УРОКА .
— Назовите тему урока.
-Что мы повторили?
— Что понравилось ? Что нового для себя открыли?
Д\З : по выбору:
1)тренажер
2) по учебнику
3) Составить и решить задачу с дробями

English Русский Правила

Рабочие листы для дробей

Половины, трети и четверти

Откройте дверь к пониманию дробей для младших школьников до 3-го класса с помощью наших листов для половин, третей и четвертей! Удобные для детей иллюстрации, увлекательные упражнения и практические занятия позволяют детям впитывать все, что касается половинок, третей и четвертей.

Визуальные модели дробей

Помогите учащимся 3-х и 4-х классов понять дроби как равные части целого, используя фигуры, реальные объекты, кусочки пиццы и множество визуальных моделей дробей! Они определяют правильные дроби, единичные дроби, смешанные числа и многое другое.

Определение дробей

Хотите, чтобы ребенок научился определять дроби в один миг? Приложите все усилия, чтобы найти числители и знаменатели, заполнить таблицу, составив дроби, и многое другое с помощью этих динамических рабочих листов в формате PDF.

Типы дробей

Какой дробью является 1/4? Да, это единичная дробь. Определите правильную дробь, неправильную дробь, смешанное число, единичную дробь, например дроби, в отличие от дробей, как профессионал, с этими печатными листами дробей.

Упрощение дроби

Сократите правильную дробь, неправильную дробь и смешанные числа до наименьшего члена.

Преобразование неправильных дробей в смешанные числа

Что легче интерпретировать, 1 1/4 или 5/4? Некоторым учащимся может быть сложнее работать со смешанными числами, чем с неправильными дробями, для других неправильные дроби могут показаться более легкими. Подготовьтесь к преобразованию между ними с помощью этих рабочих листов в формате PDF!

Эквивалентная дробь

Интерактивные рабочие листы, в которых используются полосы дробей, круговая модель, визуальная графика и многое другое.

Дроби на числовой прямой

Эти рабочие листы с дробями на числовой прямой помогают детям визуально понимать дроби.

Сложение дробей

Сложение одинаковых, непохожих, правильных, неправильных и смешанных дробей. Включены специальные дроби, такие как единица и обратная дробь.

Вычитание дробей

Бесплатные рабочие листы по вычитанию включают в себя все типы дробей, построенные с различными уровнями навыков.

Умножение дробей

Распознавание умножения дробей на целые числа с использованием повторного сложения, массивов, моделей числовых рядов, равных групп и моделей площадей; выполнять умножение двух и трех дробей, умножение дробей на смешанные числа и т. д.; решить ряд задач на умножение дробей.

Деление дробей

Подключитесь к нашим печатным листам деления дробей и попрактикуйтесь в делении дробей на целые числа, дроби на дроби, смешанного числа на дроби и т. д.!

Проблемы со словами на дроби

Узнайте, как дроби применяются и используются в реальной жизни, выполняя эти задачи со словами.

Сравнение дробей

Изучите наши листы сравнения дробей, чтобы без труда сравнить две дроби с одинаковыми и разными знаменателями. Благодаря большому количеству моделей и упражнений, эти PDF-файлы являются отличным учебным пособием для детей.

Сравнение смешанных чисел

Что больше, 1 2/5 или 2 5/6? Сравните такие смешанные числа мгновенно и безошибочно с помощью наших рабочих таблиц сравнения смешанных чисел!

Упорядочивание дробей

Расположите дроби в возрастающем или убывающем порядке.

Округление дробей

Округление дробей до ближайшего целого числа или до ближайшей половины. Числовые строки также включены.

Оценка дробей

Оценить сумму, разность, произведение и частное с дробями.

Рабочие листы «Преобразование дробей в десятичные числа»

Поддержите знания ребенка, связанные с преобразованием дробей в десятичные числа, включив множество увлекательных упражнений и стремительно повышая их силу!

Преобразование между дробями, десятичными знаками и процентами Рабочие листы

Помогите учащимся сделать большой прорыв в выполнении преобразования между процентами, десятичными знаками и дробями. Обширный набор упражнений направлен на улучшение при проверке их понимания темы.

Иллюстративная математика

класс 4

4 класс

4.ОА. 4 класс — Операции и алгебраическое мышление

4.ОА.А. Используйте четыре операции с целыми числами для решения задач.

Сравнение роста, вариант 1
Сравнение роста, вариант 2

4.ОА.А.1. Интерпретируйте уравнение умножения как сравнение, например, интерпретируйте $35 = 5 \times 7$ как утверждение, что 35 в 5 раз больше, чем 7, и в 7 раз больше, чем 5. Представьте вербальные утверждения мультипликативных сравнений в виде уравнений умножения.

Тысячи и миллионы четвероклассников
Находящиеся под угрозой исчезновения

4.ОА.А.2. Умножьте или разделите, чтобы решить текстовые задачи, включающие мультипликативное сравнение, например, используя рисунки и уравнения с символом неизвестного числа для представления проблемы, отличая мультипликативное сравнение от аддитивного сравнения.

Сравнение привлеченных денег

4.ОА.А.3. Решите многошаговые словесные задачи, поставленные с целыми числами и имеющие ответы с целыми числами, используя четыре операции, включая задачи, в которых необходимо интерпретировать остатки. Представьте эти проблемы, используя уравнения с буквой, обозначающей неизвестную величину. Оцените обоснованность ответов, используя вычисления в уме и стратегии оценки, включая округление.

Билеты на карнавал
Сад Карла

4.ОА.Б. Знакомство с множителями и множителями.

Идентификация множественных
Кратные числа 3, 6 и 7
Числа в таблице умножения

4.ОА.Б.4. Найдите все пары множителей для целого числа в диапазоне от 1 до 100. Признать, что целое число является кратным каждого из его делителей. Определить, является ли заданное целое число в диапазоне от 1 до 100 кратным заданному однозначному числу.

Игра в шкафчик

4.ОА.С. Создавайте и анализируйте шаблоны.

Кратные числа 3, 6 и 7

4.ОА.С.5. Создайте шаблон числа или формы, который следует заданному правилу. Определите очевидные особенности шаблона, которые не были явными в самом правиле. Например, учитывая правило «Добавить 3» и начальный номер 1, создайте термины в результирующей последовательности и обратите внимание, что термины чередуются между нечетными и четными числами. Неформально объясните, почему числа будут продолжать чередоваться таким образом.

Двойной плюс один
Кратность девяти

4.НБТ. 4 класс — Числа и операции с основанием десять

4.НБТ.А. Обобщить понимание разряда для многозначных целых чисел.

Какой у меня номер?

4.

Тысячи и миллионы четвероклассников
Находящиеся под угрозой исчезновения

4.НБТ.А.2. Читать и писать многозначные целые числа, используя числа с основанием десять, имена чисел и расширенную форму. Сравните два многозначных числа на основе значений цифр в каждом разряде, используя символы $>$, = и $

Заказ 4-значных номеров

4.НБТ.А.3. Используйте понимание разрядности для округления многозначных целых чисел до любого места.

Округление в числовой строке
Округление до ближайшей 1000
Округление до ближайших 100 и 1000

4.НБТ.Б. Используйте понимание позиционного значения и свойства операций для выполнения многоразрядной арифметики.

Перегруппировывать или не перегруппировывать

4.НБТ.Б.5. Умножьте целое число до четырех цифр на однозначное целое число и умножьте два двузначных числа, используя стратегии, основанные на разрядности и свойствах операций. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.

Тысячи и миллионы четвероклассников

4.НБТ.Б.6. Находите целые числа в частных и остатках с до четырехзначными делителями и однозначными делителями, используя стратегии, основанные на разрядном значении, свойствах операций и/или взаимосвязи между умножением и делением. Проиллюстрируйте и объясните расчет, используя уравнения, прямоугольные массивы и/или модели площадей.

Стратегия ментального подразделения

4.НФ. 4 класс — Числа и операции — Дроби

4.НФ.А. Расширьте понимание дробной эквивалентности и порядка.

Деньги в копилку
Забеги

4.НФ.А.1. Объясните, почему дробь $a/b$ эквивалентна дроби $(n \times a)/(n \times b)$, используя визуальные модели дробей, обращая внимание на то, как количество и размер частей различаются, несмотря на то, что сами две фракции имеют одинаковый размер. Используйте этот принцип для распознавания и создания эквивалентных дробей.

Объяснение эквивалентности дробей с помощью изображений
Дроби и прямоугольники

4.НФ.А.2. Сравните две дроби с разными числителями и разными знаменателями, например, создав общие знаменатели или числители, или сравнив с эталонной дробью, такой как 1/2. Признайте, что сравнения допустимы только тогда, когда две дроби относятся к одному и тому же целому. Запишите результаты сравнений символами $>$, = или $

Сравнение дробей с использованием игры эталонов
Удвоение числителей и знаменателей
Список дробей в возрастающем размере
Использование контрольных показателей для сравнения дробей

4.

Сравнение двух разных пицц

4.NF.B.3. Под дробью $a/b$, где $a > 1$, понимается сумма дробей $1/b$.

Запись смешанного числа в виде эквивалентной дроби

4.NF.B.3.а. Понимать сложение и вычитание дробей как соединение и разделение частей, относящихся к одному и тому же целому.

Сравнение сумм единичных дробей

4.NF.B.3.б. Разложите дробь на сумму дробей с одинаковым знаменателем более чем одним способом, записывая каждое разложение уравнением. Обоснуйте разложения, например, с помощью визуальной дробной модели. Примеры: $\frac38 = \frac18 + \frac18 + \frac18$; $\frac38 = \frac18 + \frac28$; $2 \frac18 = 1 + 1 + \frac18 = \frac88 + \frac88 + \frac18.$

Делаем 22 семнадцатых разными способами

4.NF.B.3.c. Складывать и вычитать смешанные числа с одинаковыми знаменателями, например, заменяя каждое смешанное число эквивалентной дробью и/или используя свойства операций и отношения между сложением и вычитанием.

Идеальный удар Синтии
Персики
Пластиковые строительные блоки
Запись смешанного числа в виде эквивалентной дроби

4.NF.B.3.d. Решайте текстовые задачи, включающие сложение и вычитание дробей, относящихся к одному и тому же целому и имеющих одинаковые знаменатели, например, используя визуальные модели дробей и уравнения для представления задачи.

Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.

4.NF.B.4. Применяйте и расширяйте прежнее понимание умножения, чтобы умножить дробь на целое число.

Расширение умножения целых чисел на дроби

4.NF.B.4.а. Под дробью $a/b$ следует понимать кратное $1/b$. Например, используйте модель визуальной дроби, чтобы представить $5/4$ как произведение $5 \times (1/4)$, записав вывод уравнением $5/4 = 5 \times (1/4).$

Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.

4.NF.B.4.b. Понимайте кратное $a/b$ как кратное $1/b$ и используйте это понимание, чтобы умножить дробь на целое число. Например, используйте модель визуальной дроби, чтобы выразить $3 \times (2/5)$ как $6 \times (1/5)$, распознав этот продукт как $6/5$. (Вообще, $n \times (a/b) = (n \times a)/b.$)

Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.

4.NF.B.4.c. Решайте текстовые задачи, связанные с умножением дроби на целое число, например, используя визуальные модели дробей и уравнения для представления задачи. Например, если каждый человек на вечеринке съест 3/8 фунта ростбифа, а на вечеринке будет 5 человек, сколько фунтов ростбифа потребуется? Между какими двумя целыми числами лежит ваш ответ?

Сахар в шести банках газировки

4.Н.Ф.К. Понимать десятичную запись дробей и сравнивать десятичные дроби.

4.NF.C.5. Выразите дробь со знаменателем 10 в виде эквивалентной дроби со знаменателем 100 и используйте эту технику, чтобы сложить две дроби со знаменателями 10 и 100 соответственно.

Добавление десятых и сотых
Даймс и Пенни
Расширенные дроби и десятичные дроби
Эквивалентность дроби
Сколько десятых и сотых?

4.NF.C.6. Используйте десятичную запись для дробей со знаменателем 10 или 100. Например, перепишите $0,62$ как $62/100$; описать длину как $0,62$ метра; найдите $0,62$ на диаграмме с числовыми линиями.

Даймс и Пенни
Расширенные дроби и десятичные дроби
Сколько десятых и сотых?

4.NF.C.7. Сравните два десятичных знака с сотыми, рассуждая об их размере. Признайте, что сравнения действительны только тогда, когда два десятичных знака относятся к одному и тому же целому. Запишите результаты сравнений символами $>$, = или $

Использование значения места

4.МД. 4 класс — Измерения и данные

4.МД.А. Решайте задачи, связанные с измерением и преобразованием измерений из большей единицы в меньшую.

4.МД.А.1. Знать относительные размеры единиц измерения в пределах одной системы единиц, в том числе км, м, см; кг, г; фунт, унция; л, мл; ч, мин, сек. В рамках единой системы измерения выражайте измерения в большей единице через меньшую. Запишите эквиваленты измерений в таблицу из двух столбцов. Например, известно, что 1 фут в 12 раз длиннее 1 дюйма. Выразите длину змеи длиной 4 фута как 48 дюймов. Создайте таблицу преобразования для футов и дюймов, перечислив пары чисел $(1, 12)$, $( 2, 24)$, $(3, 36)$, …

Кто самый высокий?

4.МД.А.2. Используйте четыре операции для решения текстовых задач, связанных с расстояниями, интервалами времени, объемами жидкостей, массами объектов и деньгами, включая задачи с простыми дробями или десятичными знаками, а также задачи, требующие выражения измерений, выраженных в более крупной единице, через меньшую единицу.

Марджи покупает яблоки

4.МД.А.3. Применяйте формулы площади и периметра для прямоугольников в реальных и математических задачах. Например, найдите ширину прямоугольной комнаты, зная площадь пола и длину, рассматривая формулу площади как уравнение умножения с неизвестным коэффициентом.

Сад Карла

4.МД.Б. Представлять и интерпретировать данные.

4.МД.Б.4. Создайте линейный график для отображения набора данных измерений в долях единицы $(1/2, 1/4, 1/8)$. Решайте задачи на сложение и вычитание дробей, используя информацию, представленную в виде линейных графиков. Например, по линейному графику найдите и интерпретируйте разницу в длине между самым длинным и самым коротким экземпляром в коллекции насекомых.

Диаметр кнопки

4.

4.МД.С.5. Распознавать углы как геометрические фигуры, которые образуются там, где два луча имеют общую конечную точку, и понимать принципы измерения углов:

Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.

4.MD.C.5.а. Угол измеряется по отношению к окружности с центром в общей конечной точке лучей, принимая во внимание долю дуги окружности между точками, где два луча пересекают окружность. Угол, который проходит через 1/360 окружности, называется «углом в один градус» и может использоваться для измерения углов.

Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.

4.MD.C.5.b. Угол, который проходит через $n$ углов в один градус, называется угловой мерой, равной $n$ градусам.

Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.

4.МД.

Измерение углов

4.МД.С.7. Признать угловую меру аддитивной. Когда угол разлагается на непересекающиеся части, угловая мера целого равна сумме угловых мер частей. Решите задачи на сложение и вычитание, чтобы найти неизвестные углы на диаграмме в реальном мире, и математические задачи, например, используя уравнение с символом для неизвестной меры угла.

Нахождение неизвестного угла
Измерение углов

4.Г. 4 класс — Геометрия

4.Г.А. Рисуйте и идентифицируйте линии и углы, а также классифицируйте фигуры по свойствам их линий и углов.

4.Г.А.1. Рисовать точки, прямые, отрезки, лучи, углы (прямые, острые, тупые), перпендикулярные и параллельные прямые. Определите их на двумерных фигурах.

Измерение углов
Геометрия букв
В чем смысл?

4.

Плюс на плюс при умножении: Правила знаков

alexxlab / 25.06.202306.04.2023 / Разное

Конкретный смысл действия умножение. Название чисел при умножении

Та-ак, надо хорошенечко всё подсчитать. Вот малыш обрадуется!

Ой, здравствуйте, ребята! Вы знаете, ко мне должен приехать в гости мой маленький двоюродный брат. Вот он на фотографии. Братец очень любит играть с кубиками. И вот к его приезду я решил соорудить стенку из кубиков. Но, так как братец тоже является математическим знаком, он не терпит никакого беспорядка. Поэтому стеночка должна быть идеальная во всех отношениях. Вот я и пытаюсь подсчитать, сколько кубиков мне необходимо для построения такой стенки.

Пусть в основании стенки будет находиться 5 красных кубиков. Чтобы стеночка была идеально ровная и красивая, на красные поставлю 5 зелёных кубиков, потом ещё 5 жёлтых кубиков, а сверху — 5 синих кубиков. Ах, какая симпатичная стеночка получилась - ровненькая, просто идеальная.

Я думаю, малыш захочет построить ещё одну такую же, но у меня кубики закончились. Надо будет купить ещё столько же кубиков. Так, а сколько же? Надо подсчитать.

Здесь использовали сочетательное свойство сложения. Получили, что нужно купить 20 кубиков. Хотя, вы обратили внимание, что действие какое-то длинноватое получилось. Но, самое интересное, слагаемые-то все одинаковые. А, вспомнил! Для таких случаев есть специальное действие. Его-то и выполняет мой маленький братец. Ведь его имя — Умножение. И действие, которым можно заменить сумму одинаковых слагаемых тоже называется умножением.

Итак, посмотрите на стеночку и на записанное числовое выражение. В каждом ярусе стенки по 5 кубиков — 5 красных, 5 зелёных, 5 жёлтых, 5 синих. Таких ярусов — 4.

То есть, можно сказать, в этой стенке по пять кубиков четыре раза. И сейчас между числами 5 и 4 мы поставим точку. Но не внизу, как в конце предложения, а точно в центре клеточки, которая пропущена между числами 5 и 4. Эта точка и есть знак умножения.

Правда, знак очень похож на моего двоюродного братца? Хотя, мой братик очень любит переодеваться, и иногда надевает вот такой костюмчик * или вот такой ´. Но пока он носит только костюмчик-точку.

Но вернёмся к нашему действию умножения. Что же мы сделали? Мы сумму одинаковых слагаемых заменили действием умножения. То есть, вместо трёх действий у нас получилось только одно, вместо четырёх чисел в числовом выражении только два. Первое число показывает, какие должны были быть слагаемые, а второе — сколько таких слагаемых. Ну, как вам экономия времени и бумаги?

А вот посмотрите на это числовое выражение:

Ну, ничего себе, выраженьице! Целых 6 одинаковых слагаемых. Ну, понятно, получается 18. Все слагаемые одинаковые, значит, эту сумму можно заменить умножением. Получаем: все слагаемые — тройки. Поэтому первое число — 3. А теперь посчитаем, сколько троек — их 6, поэтому второе число — 6. Между ними ставлю знак умножения — точку. Получилось новое числовое выражение:

Его можно прочитать так: По три берём шесть раз. Или так: Шесть умножить на три. А иногда даже так: Шестью три.

Кстати, а знаете, как называются числа в действии умножения?

Вот когда числа складываются, мы их называем так: слагаемое + слагаемое = сумма. Действие сложение, а числа в нём — слагаемые. А вот в действии умножения числа называются множители! Первый множитель × второй множитель. Действие умножения, и числа в нём — множители. А вот результат действия умножения называется длинным и очень важным словом — произведение.

А теперь посмотрите вот на такую запись:

Давайте попробуем сделать наоборот — умножение заменим сложением. В этом выражении первый множитель — 6. Он показывает, какие числа складываются. Второй множитель — 2. Он показывает, сколько таких слагаемых. Это значит, по шесть надо взять два раза. Поэтому действие умножения мы можем заменить вот таким действием сложения:

А если заменить вот такое выражение:

Это значит, что по два надо взять пять раз. Первый множитель — 2. Это число показывает, какие будут слагаемые. Второй множитель — 5, показывает, сколько таких слагаемых. Получается вот такая запись:

Вот сравните, как выглядит сложение пяти одинаковых чисел, и как выглядит умножение. А результат один и тот же.

А как вы думаете, вот такое выражение можно заменить умножением? 7 + 6 + 3 + 4.

Я думаю, вы догадались, что нельзя. Ведь здесь нет одинаковых слагаемых. Все слагаемые разные. Так что, не всегда вместо сложения можно использовать действие умножения, а только в тех случаях, когда слагаемые одинаковые. Значит, и я вам ещё очень даже пригожусь.

Ну как, ребята, вы запомнили?

· сумму одинаковых слагаемых можно заменить умножением;

· знак умножения — точка;

Запись действия умножения можно прочитать так:

· 2 умножить на 7;

· по два взять семь раз;

А иногда можно услышать и такое:

· дважды семь;

· семью два;

· числа в действии умножения называются множителями, а результат умножения - произведением;

Действие умножение тесно связано со сложением. При этом:

· первый множитель показывает, какие числа складываются;

· второй множитель показывает, сколько одинаковых чисел складывается.

Ну, вроде бы все готово, надо только сходить за вторым комплектом кубиков. Я поскорее пойду за кубиками для маленького брата. До свидания, ребята!

Что такое «асимметричная криптография» — Разработка на vc.ru

Привет! Это команда Eppie. Подробнее о нашем проекте бессерверной электронной почты можно почитать в этой статье. А здесь поговорим подробнее о криптографии.

155 просмотров

Асимметричная криптография сейчас у всех на слуху благодаря бурному развитию Web3. Но мало кто понимает, как она на самом деле работает. Попробуем это исправить. Если вы давно хотели составить себе хотя бы поверхностное представление о современной криптографии, но Википедия не помогла — это статья для вас.

Будет немного формул, но текст рассчитан на читателей, владеющих математикой на уровне общеобразовательной школы, не сложнее.

Наш криптограф считает необходимым добавить, что в статье допущены упрощения, и даже некоторые неточности. Более формальное описание было бы длиннее и сложнее для восприятия.

Самый простой шифр

Чтобы объяснить, что такое асимметричная криптография, начнем с симметричной.

Договоримся, что все виды данных в компьютере — текст, цвет, звук и все содержимое вашего профиля в Google — представлены числами. Шифрование в компьютере — это преобразование одного числа в другое с помощью математической операции. Например:

9 + 4 = 13

Можно сказать, что мы зашифровали число 9, прибавив к нему число 4 (оно в криптографии называется ключом) . Теперь можно произвести над шифром (13) обратную операцию, и мы получим исходный текст (9):

13 – 4 = 9

Самая примитивная схема шифрования — «шифр Цезаря» — устроена похожим образом: каждая буква в тексте смещаются на k позиций в алфавите. Так, если ключ k = 4, то «а» преобразуется в «д», «б» — в «е», и далее по кругу. Последние буквы в алфавите сдвигаются в начало, поэтому «я» с ключом 4 превратится в «г». Один участник переписки прибавляет k к каждой букве в сообщении, чтобы его зашифровать. Второй — расшифровывает его, отнимая от каждой буквы то же число. Таким образом слово «яблоко», зашифрованное методом Цезаря с ключом 4 превратится в «гептот».

«Шифр Цезаря»

Чтобы понимать друг друга, обе стороны должны владеть одним и тем же ключом. Поэтому такой способ шифрования называется симметричным. Момент передачи ключа — его самое слабое звено. В конце концов шифрование придумано для обмена секретной информацией по незащищенному каналу. Представьте: вы Цезарь, и вам нужно послать гонца с секретным сообщением к вашему генералу у стен Карфагена. Если вы уверены в преданности гонца, и в том, что по дороге его не перехватят враги — может быть, вам и не нужно шифрование. Если же у вас нет безопасного способа доставить сообщение, значит сообщение нужно зашифровать. Но встает вопрос: как передать ключ? Этот вопрос не потерял своей актуальности с появлением телеграфа, телефона и интернета. С античности и до изобретения асимметричной криптографии в 70-х годах XX века хорошего решения у нас не было. Передача ключей шифрования была дорогим и сложным в организации мероприятием.

В асимметричных криптографических алгоритмах для шифрования и расшифровки используют разные ключи. У каждого участника свой секретный ключ, известный только ему. Их не нужно (и нельзя) передавать. Это исключает возможность перехвата.

Криптограф уточняет, что симметричное шифрование используют и сейчас. Не только когда бухгалтерия присылает вам по почте архив вместе с паролем в теме письма. Но в том числе и в сочетании с асимметричными протоколами. Например, можно создать совместный ключ асимметричным способом, и использовать его потом для симметричного шифрования. Ниже мы как раз подробно разберем такой протокол.

Еще немного арифметики

Вернемся к нашему уравнению.

9 + 4 = 13

Если мы знаем результат (13), одну из переменных (4) и операцию (+) , мы можем вычислить вторую, неизвестную, переменную с помощью обратной операции.

x + 4 = 13

x = 13 – 4

x = 9

Чтобы асимметричная криптография работала, нам нужно «защитить» x. То есть использовать такую математическую операцию, для которой не существует эффективного алгоритма вычисления неизвестной переменной, даже когда остальные значения известны. Для этого мы можем использовать, например, модульную арифметику.

Будем складывать по модулю N. Если сумма превышает N, результат будет равен разнице суммы и модуля. Допустим, модуль равен 12.

(9 + 4) mod 12 = 13 – 12 = 1

Наглядный пример такой операции — движение стрелки по циферблату. Когда стрелка доходит до последнего элемента (11 часов) , счет продолжается с нуля.

Циферблат как пример сложения по модулю

Несколько примечаний от криптографа:
— В криптографии используются не любые операции по модулю, а «вычисления в конечной группе». По определению конечной группы оба слагаемых и результат всегда принадлежат группе.
— Не любое множество может считаться конечной группой — должны выполняться некоторые обязательные условия, но мы не будем их разбирать, чтобы не усложнять объяснение.
— В примере с часами нужно допустить, что стрелка всегда указывает на целое значение и никогда не оказывается между. В данном случае группа состоит из 12 элементов от 0 до 11 и N = 12.
— Строго говоря, сумма по модулю равна не разнице суммы и модуля, а остатку от деления суммы на значение модуля. Ниже, когда перейдем к умножению, это будет иметь значение.

Теперь, чтобы найти (расшифровать) неизвестное слагаемое, нужно знать сумму по модулю, одно из слагаемых и значение модуля. Зная эти три параметра, мы все еще можем вычислить неизвестное слагаемое.

(9 + x) mod 12 = 1

(9 + x) — 12n = 1

где n показывает, сколько раз стрелка пересекла нулевую отметку. Если сумма двух чисел меньше 12, то стрелка не успела сделать полный круг, и n = 0. В нашем случае сумма равна 13, и n = 1. Поскольку оба слагаемых в конечной группе меньше модуля, n может принять всего два значения.

В первом случае x = -8, и это не может быть правильным ответом по условию (-8 нет на циферблате) , во втором x = 4, и это правильный ответ. Проверить два значения n несложно.

Теперь попробуем умножение. В конечной группе с умножением N должно быть простым числом. Поэтому пусть N = 11, а в качестве множителей возьмем 6 и 9.

(6 ⋅ 9) mod 11 = 54 mod 11 = 10

(11 помещается в 54 целиком 4 раза, а остаток — 10)

Пусть 9 — неизвестная величина. Чтобы ее вычислить, нужно решить уравнение:

(6 x) mod 11 = 10

Выше мы упомянули, что 10 — остаток от деления произведения на модуль. Это можно выразить вот так:

6x — 11n = 10

x = (10 + 11n) /6

В группе с умножением n может принимать значения от 0 до N-2. Будем подставлять все варианты n по очереди, пока x не окажется положительным целым числом, принадлежащим группе. 1024, подбор такого ключа на самом мощном современном компьютере займет миллиарды лет, и считается на практике невозможным.

Возведение в степень в конечной группе — это такое математическое преобразование, которое нельзя «провернуть обратно», чтобы получить исходные значения.

Еще одна важная особенность конечных групп, которая нам понадобится — ассоциативность, или, как учат в школе, «результат не зависит от расстановки скобок»:

((a b) c) mod N = (a (b c)) mod N

Давайте посмотрим, как это работает на реальном примере — в протоколе генерации совместного ключа Диффи-Хеллмана.

Обмен ключами по протоколу Diffie-Hellman

Итак, Алиса и Боб (традиционные имена в описании криптографических алгоритмов) хотят создать совместный (симметричный) ключ шифрования с таким условием, чтобы Ева (злоумышленник) могла полностью подслушать их разговор, но не могла воспроизвести ключ.

Боб звонит Алисе, и они договариваются о конечной группе с модулем N. ba mod N

Схема генерации совместного ключа по протоколу Диффи-Хеллмана

Теперь у Алисы и Боба есть совместный секретный ключ K. Это ключ для симметричного шифрования, но он был создан «асимметричным способом». При его генерации каждый использовал свой приватный ключ и публичный ключ собеседника. И Ева, владея всей публичной информацией, не может воспроизвести совместный секретный ключ шифрования.

Где используется асимметричная криптография?

Асимметричная криптография защищает вас прямо сейчас. Посмотрите на адресную строку браузера: префикс https (в отличие от устаревшего http) значит, что данные, передаваемые между вашим компьютером и сервером VC.ru, зашифрованы, а ключ шифрования был получен по протоколу Диффи-Хеллмана, о котором мы только что рассказали.

Технология цифровой подписи, которой вы пользуетесь при подаче налоговой декларации в электронном виде, тоже основана на приемах асимметричной криптографии.

Эти приемы можно использовать и в качестве альтернативы парольной аутентификации. Это распространено в криптовалютах и других Web3 сервисах. Например, механизм шифрования в децентрализованной почте или мессенджере упрощенно мог бы выглядеть так: публичный ключ пользователя — и есть его почтовый адрес в децентрализованной сети. Каждое письмо шифруются с помощью пары ключей — приватного ключа отправителя и публичного ключа (адреса) получателя. Получатель в свою очередь расшифровывает письмо с помощью публичного ключа отправителя и своего приватного.

Пример шифрования почты в децентрализованной сети

Криптограф подчеркивает, что это упрощенная схема. Она не устойчива к некоторым видам атак, например, к атаке типа Man In The Middle, когда Ева вклинивается между Алисой и Бобом, и обращается к Алисе от имени Боба, а к Бобу — от имени Алисы. Чтобы защититься от атак такого типа, Алиса и Боб должны подписывать свои сообщения — но это тема для отдельной статьи.

В такой схеме, в отличие от парольной аутентификации, вам не нужно доказывать системе, что почтовый адрес принадлежит вам. В системе нет элемента, который принимает решение об аутентификации пользователя. Право доступа к почтовому ящику дает вам не сервер (которого не существует) а приватный ключ, который хранится только у вас. Он дает вам, единственному в мире, возможность расшифровать отправленные вам письма. Ваши ключи — ваши письма.

Если вас заинтересовал этот материал, подписывайтесь на наш блог и задавайте вопросы в комментариях. И, конечно, записывайтесь на бета-тест Eppie.

Видео-урок

: свойства сложения и умножения

На примерах узнайте о коммутативных, ассоциативных и тождественных свойствах и о том, как они применяются к операциям сложения и умножения. Также посмотрите, как свойство дистрибутива применяется к добавлениям в скобках в продукте.

Стенограмма видео

Каковы свойства сложения и умножения? Свойства — это утверждения, которые верны для всех чисел. Во-первых, коммутативные свойства. Начнем с коммутативного свойства сложения. Коммутативное свойство сложения гласит, что порядок сложения двух чисел не меняет их суммы. Переменное представление этого 𝑎 плюс 𝑏 — это то же самое, что сказать 𝑏 плюс 𝑎. Или четыре плюс три — это то же самое, что три плюс четыре. Порядок здесь не имеет значения. Свойство коммутативности можно применить и к умножению.

Посмотрите на изменения, которые произошли на экране. Коммутативное свойство умножения гласит, что порядок умножения двух чисел не меняет их произведения. В этом случае 𝑎 умножить на 𝑏 равно 𝑏 умножить на 𝑎. Например, пять раз четыре равно четыре раза пять. Один из способов запомнить свойство коммутативности — подумать о слове «коммутировать». Слово коммутировать и слово коммутативное относится к обмену, замещению и обмену. Здесь с коммутативным свойством мы конкретно говорим о том, когда мы меняем порядок, в котором мы складываем или умножаем. И в этом случае не меняет значение в зависимости от заказа.

Далее, ассоциативное свойство. И снова начнем с сложения. Ассоциативное свойство сложения гласит, что способ группировки трех чисел при их сложении не меняет их суммы. Вот как это выглядит с переменными. 𝑎 плюс 𝑏 плюс 𝑐 равно 𝑎 плюс 𝑏 плюс 𝑐. Это означает, что если мы сначала сложим 𝑏 и 𝑐 вместе, а затем добавим 𝑎, эта сумма будет такой же, как если бы мы сначала сложили 𝑎 и 𝑏, а затем добавили 𝑐. В этом случае один плюс два плюс три равно один плюс два плюс три. Один плюс пять равно три плюс три. Это свойство можно применить и к умножению. Обратите внимание на изменения здесь. Ассоциативное свойство умножения гласит, что то, как сгруппированы три числа при их умножении, не меняет их произведения. Если мы сначала умножим 𝑏 и 𝑐, а затем возьмем это значение и умножим его на 𝑎, мы получим тот же продукт, как если бы мы умножили 𝑎 и 𝑏, а затем это значение на 𝑐.

Мы можем вспомнить ассоциативное свойство слова «ассоциировать». Ассоциация имеет дело с группировками. То, как группируются три числа при их сложении или умножении, не меняет ни их суммы, ни их произведения. И третье в нашем списке — свойства идентичности. Начиная со свойства идентичности сложения, это свойство утверждает, что сумма слагаемого и нуля является слагаемым. 𝑎 плюс ноль равно 𝑎. Семь плюс ноль будет семь. Переходя к тождественному свойству умножения, давайте внимательно посмотрим на все изменения. Свойство идентичности умножения говорит, что произведение фактора и один является этим фактором. В нашем примере 𝑎 умножить на один равно 𝑎. Обратите внимание, что тождественное свойство умножения умножает множитель на единицу.

Давайте рассмотрим эти свойства рядом. Когда мы добавляем ноль к любому значению, мы собираемся получить то же самое значение обратно. И когда мы умножаем на единицу, происходит то же самое. Вы можете вспомнить свойство идентичности, подумав о том, что смотрите в зеркало. 𝑎 выглядит так же после добавления нуля. 𝑎 также выглядит одинаково после умножения на единицу. Наше последнее свойство немного отличается. Распределительное свойство показывает нам, как мы сочетаем сложение и умножение. Распределительное свойство говорит об этом. Чтобы умножить сумму на число, умножьте каждое слагаемое суммы на число за скобками. Это много слов. Давайте посмотрим, как это выглядит. Начнем с примера, в котором используются числа.

Свойство говорит нам умножить сумму на число. Вот наша сумма, а вот число. Нам нужно умножить каждое слагаемое суммы. Четыре и шесть являются слагаемыми суммы. И мы умножаем это на число за скобками, в данном случае на три. Если вы решите обе части уравнения, вы получите тридцать равно тридцати. Свойство распределения помогает нам взять эту тройку и распределить ее между четырьмя и шестью, двумя слагаемыми суммы. Алгебраическое представление дистрибутивного свойства или представление с переменными будет выглядеть так. 𝑎 умножить на 𝑏 плюс 𝑐 равно 𝑎 умножить на 𝑏 плюс 𝑎 умножить на 𝑐. Здесь мы берем 𝑎 и распределяем его между слагаемым 𝑏 и слагаемым 𝑐. Это верно и в обратном порядке. Это верно и в обратном порядке.

В этом примере мы хотим убрать 𝑎, поместить его за скобки и сначала добавить 𝑏 и 𝑐. Вот этот пример с цифрами. Пять раз два плюс пять раз три — это то же самое, что сказать пять раз пять или пять раз два плюс три. Вот диаграмма, которая поможет вам обобщить все различные свойства. Эти свойства лягут в основу решения всевозможных уравнений.

математика — Исторические корни обоснования правила умножения отрицательных чисел

В качестве дополнительного вопроса по поводу : Кто записал минус, умноженный на минус, равно плюсу? и к: Исторически, как люди определяли умножение для отрицательных чисел?, может быть интересно проследить первое «современное» обоснование для правила:

« минус , умноженное на минус , дает плюс ».

Если интуитивно понятно, что «если у вас есть долг в размере 3 долларов США на людей по 3 доллара, то у вас есть долг в размере 9 долларов$» (мы можем оправдать это сокращением умножения на повторение суммы ) не так просто представить долг в 3$ «минус» 3$ людям.

Для (отрицательной) ссылки см.

Исаак Ньютон, Универсальная арифметика: или Трактат об арифметической композиции и разрешении, к которому добавлен метод доктора Галлея арифметического нахождения корней уравнений (латинская рукопись: Arithmetica Universalis (отредактировано и опубликовано Уильямом Уистоном, преемником Ньютона) Лукасовским профессором математики в Кембриджском университете в 1707 г. на основе конспектов лекций Ньютона) 9.0047

См. стр. 3:

Количество либо утвердительно, либо больше нуля; или отрицательный, или меньше, чем ничего. Таким образом, в гуманитарных делах Имущество или Запасы можно назвать утвердительными Товарами, а Долги отрицательными . […] Отрицательное количество обозначается знаком $-$ ; Знак $+$ ставится перед утвердительным […].
В совокупности количеств примечание $+$ означает, что количество, к которому оно предшествует, должно быть добавлено, а примечание $-$ — что оно должно быть вычтено. И мы обычно выражаем эти Заметки словами Плюс (или больше ) и Минус (или меньше ). Таким образом, $2+3$, или на $2$ больше $3$, обозначает сумму чисел $2$ и $3$, то есть $5$. А $5-3$ или $5$ меньше $3$ обозначают разницу, которая возникает при вычитании $3$ из $5$, то есть $2$. [ Обратите внимание на четкое различие между двумя употреблениями знаков $+$ и $-$ .]

См. стр. 16:

Простые алгебраические термины умножаются путем умножения чисел на числа и видов на виды, а произведение становится утвердительным, если оба множителя утвердительные, или оба отрицательными: и отрицательными, если иначе. Таким образом, $2a$ в $3b$ или $-2a$ в $-3b$ дают $6ab$ или $6ba$; ибо неважно, в каком порядке они расположены. Таким образом, также $2a$ на $- 3b$ или $- 2a$ на $3b$ дают $- 6ab$.

Полезные «постньютоновские» ссылки:

Уильям Джейкоб с’Гравесанде, Элементы универсальной математики или алгебры (1728 г. — латинский оригинал: 1727 г.), стр. 9:

, если знаки множимого и множителя знакомы (или совпадают), произведение будет утвердительным, но отрицательным, если они разные.

Объяснение случая минус умножить на дается с точки зрения «симметрии», за которой следует интуитивно понятный пример:

В этом Случае отнимается отрицательное Количество, благодаря которому исчезает Отрицание. Таким образом, забрать Долг — значит заплатить по нему [курсив наш].

Полезно сравнить с полностью «алгебраическим» объяснением одного из самых блестящих последователей Ньютона:

Колин МакЛорин, «Трактат об алгебре» (посмертно: 1748 — 3-е изд. 1771), стр. 13:

По определению $+a-a=0$; следовательно, если мы умножим $+a-a$ на $n$, произведение должно быть равно нулю или равно $0$, потому что множитель $a-a$ равен $0$. […] Следовательно, $-a$, умноженное на $+n$, дает $-na$.

6 корней из 8: а) АВ = = 6√8 см, АС=4 см, ∠А=60°; б) ВС=3 см, АВ = = 18√2 см, ∠B=45°; в) АС=14 см, СВ=7 см, ∠C=48°.

alexxlab / 25.06.202309.05.2023 / Разное

Сколько корней у коренного зуба

Главная Статьи Сколько корней у коренного зуба

Зубы предназначаются для пережевывания пищи, что улучшает работу пищеварительной системы. Зуб состоит из нескольких частей: коронки, корня и шейки, которая соединяет внешнюю и внутреннюю часть зубов.

Количество корней у зубов человека

Зубная коронка может быть только одна, а вот количество корней у зуба зависит от места его расположения и предназначения. На число корней влияет и наследственный фактор. Определить сколько корней у зуба можно только с помощью рентгеновского снимка. Внутренняя часть зуба (корень) составляет около 70% от всего зуба.

Факторы, влияющие на число корней:

Месторасположение зуба.
Предназначение зуба, его функциональность (жевательная или фронтальная).
Генетическая предрасположенность.
Возраст и раса пациента. У европейской расы количество зубных корней сильно отличается от негроидной и монголоидной расы.

Система нумерации зубов

Стоматологи разработали систему, по которой все зубы имеют свой порядковый номер. Система нумерации зубов нижнего и верхнего ряда не позволят «запутаться» в зубах.

Под первым номером идут резцы — фронтальные зубы верхнего и нижнего ряда. Их по два зуба с каждой стороны (слева и справа) №1 – центральные, №2 — боковые, за которыми находятся клыки, пронумерованные №3. Малые коренные зубы имеют №4 и №5.

Все перечисленные зубы имеют по одному корню конусообразной формы.

Зубы №6, 7, 8 — большие коренные зубы (моляры) имею по три корня, а зуб №6 нижнего ряда с одним корнем, исключение составляет зуб №8, который может иметь 3, а то и 4 корня.

Сколько каналов в зубах

Количество каналов зуба не всегда совпадает с числом корней. Определить количество каналов можно только с помощью рентгена. Верхние резцы обычно имеют два или три канала. Некоторые зубы имеют всего один канал, который разветвляется на две части.

Количество каналов у зубов:

Верхняя Нижняя четверка – 1, реже 2 канала;
Верхний второй – 1, реже 2 и даже 3 канала;
Нижняя пятерка – один канал;
Верхний первый моляр 3, 4 канала;
Нижний первый моляр – 3, реже 2 канала;
Верхняя и нижняя семерка – 3, 4 канала.

Сколько каналов имеет зуб мудрости

Зуб №8 или третий моляр имеет некоторые отличие между верхним и нижним зубом. Во-первых, восьмерка может быть не у всех людей, что объясняется генетическим фактором. Во-вторых, зуб мудрости может стать причиной некоторых стоматологических заболеваний, поэтому восьмерку часто удаляют.

Что делать, чтобы избежать проблем с зубом №8?

Тут все очень просто – нужно всего лишь использовать специальную зубную щетку и посещать стоматолога 2 раза в год. Опытные специалисты всегда будут готовы оказать помощь и провести полноценный уход за зубами.

Для чего зубам нерв

Особенностью строения зуба является присутствие в нем нервных окончаний. Количество нервных окончаний зависит от числа корней и каналов.

Предназначение зубного нерва

Нерв влияет на развитие и рост зуба.
Благодаря нерву, зуб чувствителен к воздействию внешних раздражителей.
Зубной нерв превращает зуб из органа для жевания в самостоятельный живой организм полости рта.

Профилактика зубных заболеваний

Чтобы предотвратить развитие зубных заболеваний, следует соблюдать гигиену полости рта:

чистить зубы утром и вечером
полоскать зубы после каждого приема пищи;
обязательно посещать стоматолога 1 раз в год для профилактического осмотра состояния зубов.

Профессиональная стоматологическая клиника всегда будет готова оказать помощь каждому клиенту, который придет со своей проблемой.

2021-02-12

Вернуться к списку

Пересадка верхнего зуба мудрости на место нижнего шестого зуба в ТОП1 клинике Москвы – Немецкий имплантологический центр

Пациенту 30 лет. Давно не был у стоматолога. Ему провели диагностику, сделали терапевтическую санацию. Определили, что нижнюю шестерку слева (зуб 3.6) спасти нельзя:

Шестерка сильно разрушена из-за кариеса, присутствовала деструкция костной ткани зуба с трещинами в коронковой и корневой части. До этого у этого пациента мы уже удаляли один зуб мудрости с фолликулярной кистой.

В данном клиническом случае мы проводили аутоимплантацию зуба – на место удаленного зуба 3.6 пересадили другой, собственный зуб пациента.

Сегодня поговорим о пересадке зуба мудрости на место зуба 6. То есть на место удаленного зуба мы поставим не классический титановый имплант, а произведем установку живого зуба – спрятанной в десне пациента собственной восьмерки 1.8. Вставить новый зуб нам поможет стереолитография, задача которой помочь зубу мудрости точно встать на место удаленного зуба, повторяя все его конфигурации при соединении с тканями.

Начинаем описание этого клинического случая с показа стереолитографической модели зуба. Это модель верхнего зуба мудрости 1.8. Выполненная на 3d принтере из специальной пластмассы модель полностью повторяет корень восьмого зуба, который будет являться донором при имплантации восьмерки на место шестого зуба.

Почему выбор импланта пал на верхнюю восьмерку?

Правая верхняя восьмерка более-менее подходила пациенту по размерам его нижней левой шестерки. Вообще в большинстве случаев аутоимплантации речь идет именно о пересадке зубов мудрости на место проблемных зубов жевательной группы – семерок, шестерок, иногда — пятерок.

При операции мы смотрим не на то, чтобы зуб-донор вставал идеально – главное, чтобы он подходил по размерам. Важно чтобы у него не были сильно кривые корни, так как если зуб мудрости будет с кривыми корнями, его не получится аккуратно удалить, кривой зуб мудрости придется распиливать. А распиленный зуб нам, соответственно, уже не нужен. Например, вот такой зуб мудрости не подойдет для аутоимплантации:

Если краешек зуба отколется – ничего страшного, мы только немного осложним жизнь терапевту, так как ему будет немного сложнее потом пломбировать канал, но в целом небольшой скол зуба это не критично. Но лучше сохранить зуб мудрости в целости и сохранности.

Приступаем к атравматичному удалению нижней шестерки

Проблемная шестерка покрыта временной пломбой: до того, как мы собрались его удалять, было проведено диагностическое препарирование, после которого стало понятно, что эту шестерку спасти нельзя. Закрыв его временной пломбой, на некоторое время обеспечили, чтобы в него не попадала еда. А сами начали готовить пациента к операции.

Кстати, у пациента именно из-за налета на зубах и отсутствия регулярной профгигиены началось обострение в зоне зуба 3.6.

Мы распилили зуб на 2 части:

И аккуратно извлекли зуб-шестерку из его лунки:

Удаление шестерки заняло около 5 минут. На следующей фотографии представлены два корня зуба, которые были извлечены по-отдельности:

Начинаем имплантацию живого зуба

Теперь пришло время установки в лунку удаленного зуба нашей модели – припасовки, которая повторяет форму корня восьмого зуба, о чем мы говорили ранее. А форма этого корня не соответствует пока лункам зуба, в которых находились корни шестерки. Поэтому лунки в месте удаления зуба корректируются бором до получения нами необходимого размера и конфигурации под стереолитографическую модель, которая, в свою очередь, обеспечивает сохранение места для нового зуба в целости.

На фото вы видите, что модель зуба припасована. Время от подготовки до припасовки занимает от 5 до 10 минут.

Когда мы используем стереолитографический зуб, то, как только мы удалили проблемный зуб, сразу через 10 секунд начинаем подготовку и установку модели. И только после этого приступаем к удалению восьмерки с последующей имплантацией зуба мудрости на место, которое сейчас занимает стереолитографическая модель.

Встанет ли коренной зуб на место удаленного?

Также важно при имплантации собственного зуба, что как только мы извлечем зуб-донор с корнем и с периодонтальной связкой, то нужно сразу приступать к его установке на место имплантируемого зуба. Так как в текущий момент это место занимает стериолитографическая модель, то пока ее мой помощник извлекает, у меня было несколько секунд сфотографировать восьмерку, наш зуб-донор:

Обратите внимание, вокруг зуба имеется периодонтальная связка, о которой мы говорили ранее. Теперь у имплантолога начинается жесткий лимит времени, не более 20 минут. Так как если оперативно не вставить новый зуб на место удаленного, то в течение 20 минут эта связка полностью умирает. В периодонтальной связке содержатся кровеносные сосуды, которые потом помогают зубу остеоинтегрироваться, прирастать на новом месте. От этой связки зуб питается.

Поэтому каждую операцию по пересадке удаленного зуба предваряет тщательнейшая подготовка, которая включает в себя:

компьютерную томографию,
подготовку к удалению зуба донора,
изготовление на 3D принтере точной модели зуба -донора.

Как атравматично извлекали верхнюю восьмерку, зуб-донор

Нужный нам зуб – ретинированная верхняя восьмерка 1. 8, пока скрыт, находится под десной. Как можно видеть на фотографии, пока в месте размещения восьмерки сделан аккуратный разрез. Вот так этот зуб выглядит на томографии:

На следующей фотографии видно, как мы немного оголили зуб для последующего извлечения:

После атравматичного удаления восьмерки рана была аккуратно зашита:

А сейчас мы хотим вам показать, как точно модель зуба повторяет корень имплантируемого нами зуба-восьмерки:

Смотрите какая точность изготовления. Практически идентичная конфигурация и размер модели! Технология пересадки зубов, имплантации живых зубов во многом стала возможна именно благодаря цифровой стоматологии, с использованием:

компьютерной томографии,
технологии стереолитографии,
цифрового 3D сканирования,
печати моделей на 3D принтере.

В результате трансплантации зубов мудрости мы получаем на месте удаленного проблемного зуба т. н. «зуб нового поколения». Польза зубов-восьмерок в век цифровых технологий становится очевидной и востребованной.

Имплантация живого зуба на место нижней шестерки

Вы видите, что искусственный зуб вынут, а на его место пересажен живой ретинированный зуб-восьмерка, который всю свою жизнь находился скрытый в десне. Образно говоря, «ребенок родился на свет и сразу начал свою жизнь на новом месте». В любом другом случае эта восьмерка была бы когда-нибудь удалена и не принесла бы пользы. Но в данном случае ее роль в восстановлении зубного ряда пациента – основная, и благодаря наличию зуба мудрости в хорошем состоянии стала возможна такая ювелирная операция.

Пересаженный зуб ушит и зафиксирован герметично в десне, чтобы не было каких-либо пустых пространств вокруг его корня.

Установленный зуб пока немного по прикусу не достает до нормы, но в дальнейшем этот зуб планируется покрыть керамической коронкой.

Через 2 недели врачом-терапевтом НИЦ под микроскопом было проведено удаление нервов в имплантированном зубе, а каналы были тщательно герметично запломбированы. Вообще, прижиться нерв в пересаженном зубе-восьмерке может, только если пациенту меньше 20 лет. Это тот возраст, когда корни зуба мудрости еще не сформированы до конца. А если корень сформировался, то нет уже ростковой зоны и, соответственно, у него отсутствует потенциал роста.

Результат имплантации зуба мудрости на место шестерки

Шанс прижиться у такого зуба при аутотрансплантации – практически 100 процентов. Почему? Потому что у пересаживаемого зуба большое количество своих живых тканей, которые полностью соответствуют тканям организма пациента. Это не чужеродное тело как, например, титановый имплант. А абсолютно своя частичка организма, которая, при соблюдении технологии пересадки, не будет отторгаться в последующем.

Результаты компьютерной томографии показывают отличную приживаемость пересаженного зуба.

Все 4 канала в пересаженном зубе мудрости пролечены и герметично запломбированы.

По результатам наблюдения через 6 месяцев видно, что костная ткань полностью сформирована, в ней нет каких-либо пустых пространств. Кость вокруг зуба идентична кости вокруг соседних зубов.

Пациент очень был рад такой возможности имплантации, которая прошла успешно и будет радовать его долгие годы. Пациент узнал о пользе зубов мудрости. По отзыву пациента, пересадка зуба мудрости была изначально для него неожиданная, и очень удивила своими перспективами и возможностями, которые предоставили врачи Немецкого Имплантологического Центра.

Направление: Лечение зубов с использованием микроскопа, Имплантация зубов, Удаление зубов, Удаление зубов мудрости, Аутотрансплантация. Пересадка зуба

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Корни с более высоким индексом | Purplemath

IntroSimplify / MultiplyAdd / Subtract Conjugates / DividingRationalizingEt cetera

Purplemath

Операции с кубическими корнями, корнями четвертой степени и другими корнями с более высоким индексом работают аналогично квадратным корням, хотя в некоторых местах нам нужно расширить наше мышление. немного. Я объясню, как мы идем.

Упрощение терминов с более высоким индексом

На предыдущих страницах мы упростили квадратные корни, убрав из радикала все множители, встречающиеся в наборах из двух. Для второго корня нам нужна была вторая копия.

Для корней с более высоким индексом мышление такое же. Если у нас есть кубический корень, мы можем убрать любой множитель, который встречается в наборах по три; в четвертом корне мы убираем любой множитель, который встречается в наборах из четырех; в пятом корне мы убираем любой множитель, который встречается в наборах из пяти; и так далее. Например:

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Квадратные и кубические корни

Раньше я мог извлечь из квадратного корня все, что у меня было в двух экземплярах. Точно так же теперь я могу извлечь из четвертого корня все, что у меня есть в четырех экземплярах. Так как 16 = 2 ⁴ , затем:

Я извлекаю кубический корень. Затем я могу вытащить из радикала любой фактор, который встречается три раза. Так как 8 = 2 ³ , то этот радикал полностью упростится.

Мой первый шаг — полностью разложить это на множители:

54 = 2 · 27 = 2 · (3 · 3 · 3)

кубический корень, оставив 2 внутри.

Опять же, я начинаю с факторинга:

48 = 3 · 16 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2

У меня есть четыре копии фактора 2, но это кубический корень, поэтому я могу только извлечь из 2 для трех из этих копий. 3 и четвертая 2 останутся внутри корня.

Я знаю, что 27 = 3 ³ , поэтому кубический корень упростится до целого числа. Тогда я закончу умножением.

Упростить:

Внутри этого радикала мне дали переменные, но процесс работает так же, как и всегда. Я беру корень пятой степени, поэтому я могу вытащить из корня все, для чего у меня есть пять копий.

32 равно 2 ⁵ , так что это выйдет из радикала. x ¹⁰ = ( x ²) ⁵, поэтому x ² выйдет. y ⁶ = ( y ⁵ )( y ¹ ), поэтому я смогу вытащить y , оставив последний и внутри радикала. И z ⁷ = ( z ⁵ )( z ² ), поэтому я смогу вытащить z , оставив 9 0913 z ² внутри.

Моя работа выглядит следующим образом:

Примечание. Когда вы упрощаете подкоренные выражения с переменными, если подкоренным является корень с четным индексом (например, квадратный корень или корень из четвертой степени), они, вероятно, укажут, что вы следует «предполагать, что все переменные неотрицательны» (или «положительны»). Это делается для того, чтобы не принимать во внимание, нужны ли в вашем ответе столбцы абсолютных значений. Если вы не уверены, о чем я говорю, проверьте здесь.

Умножение корней с более высоким индексом

Упростить выражение кубического корня:

Это умножение работает так же, как умножение квадратных корней, в том смысле, что произведение двух одинаковых корней с более высоким индексом может быть преобразовано в корень с более высоким индексом произведения. Затем упрощаю обычным образом.

Упростите продукт:

В данном случае мне дали произведение корней четвертой степени. Я могу превратить произведение радикалов в радикал произведения. Тогда я могу упростить.

Добавление корней с более высоким индексом

Упростить:

Оба члена в этом выражении являются кубическими корнями, но я могу объединить их, только если они являются кубическими корнями одного и того же значения. Сейчас это не так. Так что я сначала упрощу радикалы, а потом посмотрю, смогу ли я пойти дальше.

Замечу, что 8 = 2 ³ и 64 = 4 ³ , поэтому я действительно смогу полностью упростить радикалы.

Упростить:

Я никак не могу упростить второй корень. Но я могу упростить первый радикал, потому что 81 = 3 ⁴ = (3 ³ )(3). Таким образом, я получу сумму двух третьих корней из трех, которые я могу объединить.

Деление корней с более высоким индексом

Знаменатель представляет собой куб, т.е. знаменатель:

Это похоже на предыдущее упражнение, но здесь куб (то есть 27) стоит в числителе. Я не могу правильно упростить это выражение, потому что я не могу упростить радикал в знаменателе до целых чисел:

Чтобы рационализировать знаменатель, содержащий квадратный корень, мне понадобились две копии любых множителей внутри радикала. Для кубического корня мне понадобится три копии. Вот что я умножу на эту дробь.

У меня один экземпляр с делителем 5 в знаменателе. Я умножу сверху и снизу на кубический корень из 25, что даст две дополнительные копии 5, которые мне нужны, чтобы рационализировать знаменатель.

Возможно, это окончательное выражение ненамного «проще» исходного выражения. В этом контексте «упростить» означает «рационализировать знаменатель». Часто «правильный» ответ будет ненамного, если вообще «проще», чем то, с чего вы начали.

Поскольку 72 = 8 × 9 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3), у меня есть только три двойки и две тройки. Другими словами, при нынешнем состоянии дроби мне не хватит ни одного из множителей знаменателя, чтобы избавиться от радикала.

Чтобы вычесть что-нибудь из корня четвертой степени, мне понадобилось бы четыре копии каждого множителя. Для радикала этого знаменателя мне понадобятся еще две тройки и еще одна двойка.

Возведение степени в степень: Возведение степени в степень — урок. Алгебра, 7 класс.

alexxlab / 25.06.202310.05.2023 / Разное

Возведение в степень | это… Что такое Возведение в степень?

Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называется степенью с основанием и показателем .

Содержание

1 Натуральная степень
2 Целая степень
3 Рациональная степень
4 Вещественная степень
- 4.1 Потенцирование
5 Комплексная степень
6 Степень как функция
7 Значок степени
8 См. также
9 Ссылки

Число называется n-й степенью числа , если

Свойства:

запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством.
возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

не определён

По определению,

(результат не определен при и )

См. корень степени q

Пусть .

В школе вещественную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда , где , , где — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между и принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество , где Ln — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция

Поскольку в выражении принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.
функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.
функцию двух переменных.

Значок степени

Исторически степень, начиная с Декарта, обозначали «двухэтажной» записью вида . Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень.

Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: (о такой стрелке см. Стрелки Кну́та). Язык BASIC предложил символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность. f)))).

См. также

e (математическая константа)
Логарифм — обратная к возведению в степень функция.
Корень n-й степени — обратная к возведению в степень функция.
Квадрат — возведение во вторую степень.
Куб — возведение в третью степень.
Тетрация — обобщение возведения в степень.
Гипероператор
Экспоненциальная запись
Экспонента

Ссылки

А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ

«Возведение в степень произведения и степени» (7 класс)

Тема урока. «Возведение в степень произведения и степени».

Тип урока: урок изучение нового материала

Цели урока

-общеобразовательные: создание условий для усвоения учащимися свойств степени, включение их в процесс поиска формулировок и доказательств, формирование навыка возведения в степень произведения и степени; обеспечение повторения, обобщения и систематизации знаний по теме; создание условий контроля (взаимоконтроля) усвоения знаний и умений;

-развивающие: формирование умений применения приемов обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию.

-воспитательные: воспитание активности, организованности, умению взаимоконтроля и самоконтроля своей деятельности, формирование положительной мотивации учения.

Планируемые результаты:

Предметные УУД:

Применять свойства степени для преобразования выражений (возведение в степень произведения и степени)

Метапредметные УУД:

Регулятивные: формирование целевых установок учебной деятельности, выстраивание последовательности необходимых операций (алгоритм действий)

Познавательные: умение воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения математической задачи

Коммуникативные: умение работать как самостоятельно, так и в группе.

Личностные УУД:

Понимать смысл поставленной задачи, находчивость, активность при решении задач.

Оборудование: доска, карточки с заданиями, учебник «Алгебра 7 класс «Ю.Н.Макарычев и др.

План урока

1.Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

3.Актуализация знаний. Устная работа.

4.Этап усвоение новых знаний

5.Этап первичного закрепления. Решение заданий по учебнику.

6.Физкультминутка

7.Этап проверки усвоение нового материала. Самостоятельная работа

8.Домашнее задание

9. Рефлексия.

10. Подведение итогов урока, выставление отметок.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте дети, садитесь. Все приготовились к уроку.

На предыдущих уроках мы открыли для себя мир степеней. Многие ученые во все времена занимались вопросами их изучения. Это Пифагор, Рене Декарт (который, кстати, первым ввел обозначение степени). Но я хочу обратить ваше внимание на слова М.В. Ломоносова: «Пусть кто – ни будь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, то без них далеко не уедешь». И в верности этих слов вы сможете убедиться при изучении алгебры.

Что мы знаем о степени? (определение, научились находить значение выражения, содержащего степень, свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями)

2.Проверка домашнего задания. На местах дети проверяют друг у друга

3.Актуализация знаний.

· Назовите степени 4⁵; а¹⁵; c³c²; (-7у)², (ab)⁶.

· Какое выражение надо поставить вместо *, что бы получилось верное равенство
х²( *) = х⁶; а¹⁵ : ( * ) = а ⁵;

· Сравнить (- 15)¹⁸ и (- 18)¹⁵

· В чем ошибка -7 (-7) (-7) (-7) = -7⁴

· 7¹= 1;

· . 4 ⁰ = 4;

· 3 5 • 5 • 5 • 5 = 4 ⁵;

· 42 ³ • 2 ⁷ = 4 ¹⁰;

· 2 ³⁰ : 2 ¹⁰ = 2³;

· -1³ +(-2)³ =-1 +6=5

· -6²-(-1)⁴ =-12+1=-11

Имея у себя в багаже знания о степенях, давайте приступим к изучению новой темы. Название, которой узнаем, ответив на вопросы.

Как называется действие нахождения значения степени? (возведение в степень)

В результате какого действия показатели степени складываются? (произведение)

Как называется произведение одинаковых множителей?

Прочитайте тему урока. «Возведение в степень произведения и степени»

Зная тему урока, сформулируем цели урока. (установить правило и научиться его применять)

4.Этап усвоения новых знаний.

2. Запишите, чему равно это произведение, используя определение степени.

3. (2а*2а*2а=2*2*2*а*а*а)

4. Сколько раз повторяется множитель 2? Как это кратко записать? Запишите. А множитель, а? Как это кратко записать? Запишите.

5. Сравните правую и левую части записи. Какое выражение возводится в степень в левой части?

6. Какой вывод мы можем сделать?

7. — Давайте вместе выведем новое свойство:

8. Чтобы возвести в степень произведение, надо возвести каждый множитель в степень, а результаты перемножают.

9. (а*b)ⁿ=aⁿ*bⁿ

10. Проверьте свой вывод, сверившись с учебником. (стр. 103) Найдите соответствующее свойство в учебнике и прочитайте его.

11. Примеры:

12. (xy)¹²=

13. (2a)³=

14. Теперь запишите третью степень выражения х². (х²)³ (Чему равно основание? — х²Показатель – 3. Сколько раз х² повториться в качестве множителя? Запишите. Х²• х²• х²

15. А каждая четвертая степень в соответствии с определением сколько множителей х содержит? х• х• х•х• х•х

16. В итоге сколько всего раз х повториться как множитель? (6)

17. Как это кратко записать? Запишите. (х⁶)

18. Сравните правую и левую части записи. Как связаны числа 2, 3 и 6?

19. Какое выражение возводится в степень в левой части?

20. Какой вывод мы можем сделать?

21. Значит, при возведении степени в степень что происходит с показателями степени? (они перемножаются).

22. Как это свойство можно записать в виде формулы?

23. (a^m)ⁿ=a^mn

24. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

25. Проверьте свой вывод, сверившись с учебником. Найдите соответствующее свойство в учебнике и прочитайте его. (стр. 104) Итак, тема записана, правила получены.

26. Так какова же сегодня ваша цель? Цель урока: ввести правила возведения в степень произведения и степени, закрепить полученные знания в ходе выполнения упражнений

27. Примеры:

28. (y⁷)²=

29. (2x²)³=

(2а) ⁵(ху) ³(ав) ⁿ

А теперь докажем, что это равенство верно для любых, а и b и произвольного n.

(ав) ^{n =}

Что возводим? Как возводим? Сформулировать правило.

Страница 97 учебника, сравним с нашим правилом.

Верно ли это правило будет не только для двух множителей?

Пример (2ху)⁵

Устно. Представьте в виде степени (а²) ⁵(у⁴) ³(а^х) ⁵(а²) ⁵(аⁿ) ^m

А теперь проверим, верно ли это равенство верно для любых, а и произвольного n и m.

(аⁿ) ^{m = …}

Что возводим? Как возводим? Сформулировать правило.

Страница 97 учебника, сравним с нашим правилом. Прочитать Сравнить. Выучить и рассказать соседу

5.Этап первичного закрепления.

№ 428 (б,г,е) 438 ( б,г,е)

· Представить в виде степени х¹²= ( )^{3 ;}

9а⁸= ( )²

с⁵а⁵=( )⁵

36а²с²= ( )²

· Найдите примерыв которых допущена ошибка.

(a)³ = a³b³с

(-2bc)² = -4b²

(2 • 5)⁴ = 10000

(-3³)² = 3⁶е

(-3²)³ =3⁶в

(с⁴)²с³ = с⁹о

(((-a)³)²)⁴ = a²⁴

((2a)³b⁷)² = 2⁶a⁶b¹⁴

6. Физкультминутка

7.Этап проверки учащимися нового материала

Самостоятельная работа с проверкой.

1 вариант 2 вариант

1 а) (ab)⁹ = a⁹b⁹1 а) (ху)⁴ = х⁴у⁴

б) (3а)³ = 3³а³= 27а³б) (2с)⁴ = 2⁴с⁴= 16с⁴

в) (-2mn)^{4 3} = (-2)⁴m⁴n⁴= 16m⁴n⁴ в) (-3ав)³ = (-3)³а³n³= -27а³в³

2. а) (с⁴)⁵= с⁴^·⁵= с²⁰2. а) (х²)⁷= х^2·7= х¹⁴

б) ( -х⁷)³= -х^3·7= -х²¹ б) ( -х⁴)⁶= х^4·6= х²⁴

3.с¹⁰(с⁵)²= с¹⁰с¹⁰= с²⁰ 3. а⁷(а⁶)²= с⁷с¹²= с¹⁹

Проверяем ответы. Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют ответы, которые записаны на доске. Оценивают и говорят оценки.

8.Домашнее задание. Инструктаж выполнения домашнего задания.

п 20. стр 103 выучить свойства степеней № 428 2,3 ст, №429 2,3 ст № 436 2 стр.

9Рефлексия учебной деятельности на уроке

Давайте вспомним какие цели мы ставили вначале урока. С чем же мы подошли к концу урока? Что узнали нового? Чему научились? Давайте оценим свою работу на уроке.

10. Подведение итогов урока

Выставление оценок за урок

1 вариант 2 вариант

1 а) (ab)⁹ = 1 а) (ху)⁴ =

б) (3а)³ = б) (2с)⁴ =

в)(-2mn)^{4 3} = в)(-3ав)³ =

2. а) (с⁴)⁵= 2. а) (х²)⁷=

б) ( -х⁷)³= б) ( -х⁴)⁶

3.с¹⁰(с⁵)²= 3. а⁷(а⁶)²=

1 вариант 2 вариант

1 а) (ab)⁹ = 1 а) (ху)⁴ =

б) (3а)³ = б) (2с)⁴ =

в)(-2mn)^{4 3} = в)(-3ав)³ =

2. а) (с⁴)⁵= 2. а) (х²)⁷=

б) ( -х⁷)³= б) ( -х⁴)⁶

3.с¹⁰(с⁵)²= 3. а⁷(а⁶)²=

1 вариант 2 вариант

1 а) (ab)⁹ = 1 а) (ху)⁴ =

б) (3а)³ = б) (2с)⁴ =

в)(-2mn)^{4 3} = в)(-3ав)³ =

2. а) (с⁴)⁵= 2. а) (х²)⁷=

б) ( -х⁷)³= б) ( -х⁴)⁶

3.с¹⁰(с⁵)²= 3. а⁷(а⁶)²=

Возведение в степень Определение и значение — Merriam-Webster

выставка ˌek-spə-ˌnen(t)-shē-ˈā-shən

: математическая операция возведения количества в степень

звонили также инволюция

Примеры предложений

Недавние примеры в Интернете Хотя ему не хватает мощности возведения в степень , подобное устройство может использовать другие особенности квантовой физики. — Журнал Кванта , 29 января 2018 г.

Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «возведение в степень». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

История слов

Первое известное использование

1903, в значении, определенном выше

Путешественник во времени

Первое известное использование возведения в степень было в 1903 году

Посмотреть другие слова того же года экспоненциальный ряд

возведение в степень

объяснимый

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись «Экспоненциация».

Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/exponentiation. Доступ 9 мая. 2023.

Копировать цитирование

Дети Определение

Возведение в степень

существительное

выставка ˌek-spə-ˌnen-chē-ˈā-shən

: математическая операция возведения количества в степень

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster без сокращений

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

елейный

См. Определения и примеры »

Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!

Комплексное возведение в степень | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

Комплексные числа
Сложный самолет
Формула Эйлера — вывод
Комплексное возведение в степень — за пределами формулы Эйлера
Возведение комплексного числа в комплексное число
Сложные корни — распространенные ошибки
Применение цепи переменного тока
Смотрите также

Эта вики предполагает некоторое знакомство с комплексными числами $z = x +iy,$, где $x$ и $y$ — действительные числа, а $i$ — мнимое число, $i = \sqrt{-1}. 2}$ и $\theta$ — это угол между вектором в комплексной плоскости и осью $x$, как определено на этом рисунке: 92}.\)

Аргумент (или фаза ) комплексного числа $z = x + iy$ задается $\theta$ таким образом, что $x = \left |z \right | \cos \theta\ ) и \(y = \left |z \right | \sin \theta.$

Отсюда мы можем преобразовать в полярные координаты

$x = r \cos \theta$
$y = r \sin\theta$.

Или для единичного круга имеем

$x = \cos \theta$
$y = \sin\theta$. 9{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta.\]
Этот знаменитый результат известен как формула Эйлера в честь математика Леонарда Эйлера, открывшего ее в 1748 году. для нахождения свойств, связанных с комплексными числами.
Покажите, что выполняются следующие тождества:
\[\начать {выравнивание} \cos(x+y) &= \cos x \cos y — \sin x \sin y\\ \sin(x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y, \конец{выравнивание}\]
по формуле Эйлера. 9{i\theta}.\]
Это делает умножение двух комплексных чисел интуитивно понятным и легким для визуализации.
Покажите, что умножение двух комплексных чисел равносильно сложению их углов и умножению их абсолютных значений.
Предположим, у вас есть два комплексных числа:
.
- $z_1 = x_1 + i y_1$
- $z_2 = x_2 + i y_2.$
Вы можете преобразовать их в полярные координаты, используя формулы: 9{10}\)?
Это можно сделать двумя способами:
- умножение $(3+3i)(3+3i) \cdots (3+3i)$ длинный путь;
- первое преобразование в полярные координаты.
Первый способ немного утомительный и подвержен ошибкам. Однако преобразование в полярные координаты может значительно упростить задачу. В данном случае
\[z = 3 + 3i.\]
Его полярные координаты дают нам
- $г = 3\кв2$
- $\тета = \dfrac{\pi}{4}.$ 9n = r\), то мы будем иметь $n$ равномерно распределенных точек на окружности радиуса $\sqrt[n]{r}$, с аргументом $\frac{2m\pi}{n} $, где $m$ идет от $0$ до $n-1$.
  Многозначность комплексных корней может привести к некоторым очевидным парадоксам и ошибочным результатам.
  Например, можно утверждать (ошибочно), что
  \[-1 = i\cdot i = \sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt {(-1)\cdot (-1) } = 1.\]
  Проблема здесь, конечно, в том, что у вас есть несколько значений как для $\sqrt{-1}$, так и для $\sqrt{1},$, поэтому приведенное выше сильно зависит на какой ветке вы выберете. 9{i\omega t}\) и его результирующие свойства — могут использоваться для решения реальных задач, даже если они связаны с мнимыми числами.
  Рассмотрим, например, следующую электрическую цепь:
  Мы хотели бы понять, почему синусоидальная волна, создаваемая источником напряжения в цепи слева, создает формы волны справа.
  Чтобы проанализировать эту схему, мы сначала рассмотрим дифференциальные уравнения указанной выше схемы. В этом разделе мы предполагаем некоторое понимание фундаментального поведения схемы RLC. 9{i\omega t},\]
  где $\omega$ — частота входного напряжения, которая будет синусоидальной.
  Примечание : инженеры-электрики часто используют $j$ для обозначения мнимого числа $i = \sqrt{-1}$, чтобы не путать его с переменной $I$, используемой для текущий. Однако ради преемственности мы будем продолжать использовать $i$.
  Теперь рассмотрим поведение каждого элемента.
  Напряжение на резисторе будет
  \[V_R = IR,\]
  , где $I$ — сила тока $($ в амперах, $\text{A})$ и $R$ — сопротивление $($ в омах, $\Omega ).$
  Напряжение на индукторе будет равно
  \[V_L = L\frac{dI}{dt},\]
  , где $L$ — индуктивность индуктора $($ в генри, $\text{H}),$ и $\frac{dI}{dt}$ — производная тока по времени.
  Напряжение на конденсаторе будет равно
  \[V_C = \frac{Q}{C},\]
  где $Q$ — заряд конденсатора, а $C$ — его емкость $($в фарадах, $\text{F}).$ 9{i\omega t}\) по существу умножается на $i\omega$, а интегрирование по существу делится на $i\omega$. Таким образом, приведенное выше интегро-дифференциальное уравнение может быть гораздо проще записано как
  \[V_0 = IR + i\omega L + \frac{1}{i\omega C}.\]
  Обратите внимание, что $Z_L = i\omega L$ называется импедансом $L$, а $Z_C = \frac{1}{i\omega C}$ импедансом $C$.
  Переписывание,
  \[V_0 = IR + i\left(\omega L — \frac{1}{\omega C}\right).\]
  В этот момент вы можете сказать: «Эй, подождите, это ерунда, у нас все еще есть мнимые числа…» Однако теперь мы можем рассматривать это напряжение как вектор в комплексной плоскости, который будет иметь величину и фазу. .
  Наконец, импеданс каждого элемента теперь рассматривается как «комплексное сопротивление», как если бы у нас было последовательно три резистора.
  Итак, решение для напряжения можно получить из следующих комплексных величин:
  - $V_R = \frac{Z_RV_0}{Z_R + Z_L + Z_C}$ 9{i(\omega — \omega _n)t},\]
    где \(Z_{tot} = Z_R + Z_L + Z_C.

Интегралы и дифференциалы: Производная и интеграл — проще некуда / Хабр

alexxlab / 24.06.202320.04.2023 / Разное

Производная и интеграл — проще некуда / Хабр

19 декабря 2020 г. на Хабре вышла статья «Интуитивное объяснение интеграла».

В комментариях к ней некоторые пользователи указали, что объяснение получилось не очень интуитивным, например:

“Тема сама по себе интересная, недавно снова повторял курс, но должен сказать, что на мой взгляд, в материале нет изюминки. Автор прав, что в современных изданиях часто даются темы без описания их прикладного применения, из-за чего непонятен смысл их изучения.

Но конкретно интегралы это такая тема, которую надо описать или короче, чем у вас, или намного дольше.
Иначе и школьник не поймет, и те, кто знает, ничего нового не откроют.»

Я попробую изложить материал максимально коротко и просто. Так, чтобы школьники, наконец, поняли, пусть и с помощью родителей. Итак:

Я живу на плоскости, и мой мир выглядит так:

Все мои перемещения ограничиваются прямой линией, которую я называю «ось абсцисс» и обозначаю ее латинской буквой х. Таким образом, я могу гулять от точки, обозначенной цифрой ноль (там находится мой дом), вправо до бесконечности и назад, до нуля. Цифры на оси абсцисс позволяют мне понять, как далеко я от дома. Сейчас я нахожусь в 10 делениях от него.

Да, я слышал, что есть миры, в которых можно перемещаться и влево от нуля, и там расстояния обозначаются отрицательными числами: -1, -2 и т. д., до бесконечности. Кроме того, в тех мирах можно опуститься ниже оси абсцисс, но мой мир максимально прост.

Как-то раз, летящие птицы навели меня на мысль, что по нашему миру можно перемещаться не только влево или вправо, но и «вверх». Потом я узнал, что есть некие люди, умеющие строить дороги, ведущие в наши плоские небеса. Было бы неплохо бы с ними переговорить. И вот я общаюсь со специалистом (С), по строительству таких дорог:

Я: Здравствуйте, вы занимаетесь строительством дорог в небо?

С: Добрый день, да.

Я: А какие дороги вы умеете строить?

С: Самые простые варианты — прямые дороги различной крутизны.

Я: А что такое «крутизна»? Я всегда жил на горизонтальной прямой, и понятия не имею, что это слово может значить.

С: «Крутизна» показывает то, насколько трудно будет вам подниматься (или опускаться) по данной дороге. Чем круче дорога, тем тяжелее подъем или спуск. Давайте нарисуем на нашей плоскости еще одну ось — вертикальную. Мы назовем ее осью ординат, и обозначим латинской буквой у. На этой оси есть цифры, обозначающие «высоту» — расстояние до оси х.

Чтобы нам было проще ориентироваться в нашем двухмерном мире, нанесем на его плоскость линии, идущие от цифр, расположенных на осях х и у:

Теперь любое место (точку) на плоскости мы можем обозначить двумя цифрами. Первая цифра будет обозначать расстояние от нуля до проекции этой точки на ось х…

Я: Простите, а что такое «проекция»?

С: Видите внизу, на оси абсцисс, тень от летящей птицы? Она находится в точке, обозначенной цифрой 6 на оси х. Эта тень и есть проекция тела птицы на ось х. А если бы Солнце находилось справа от птицы, мы бы увидели ее тень на оси у, в районе цифры 8. Это есть проекция тела птицы на ось ординат. Она показывает, на какой высоте летит птица. То есть, расстояние от «земли» (от оси х) до нее.

Мы можем обозначить положение птицы двумя цифрами (6, 8). Первая цифра — проекция на ось х, вторая — проекция на ось у. Эти две цифры мы называем координатами птицы.

Вместо запятой между целой и дробной частями чисел, я буду ставить точку (т.е., не 13,5 а 13.5) для того, чтобы не путать с запятыми между соседними числами.

Я: Отлично, что дальше?

С: Дальше мы отгоним птицу и нарисуем дорогу:

Вы можете заметить, что эта дорога поднимается на одну клеточку вверх, при перемещении проекции на ось х на одну клеточку вправо.

Когда человек перемещается из точки с координатами (4, 4) в точку с координатами (10, 10), его проекция на ось х меняется на 6 цифр. То есть, его тень перемещается вправо на 6 единиц (клеточек). Такое же изменение проекции происходит по оси у. То есть, он одновременно поднимается вверх также на 6 единиц.

Изменение какого-либо параметра (например, проекции на ось х или у), мы обозначаем буквой d (дельта). Изменение высоты мы запишем как dy, а изменение проекции на ось х — как dx. То есть, в данном случае, dу = 6, и dx также = 6.

Разделив изменение высоты на изменение положение тени человека при его перемещении (dy/dx), мы узнаём крутизну данного участка дороги: 6 / 6 = 1.

В нашей проектной документации мы используем очень краткое описание маршрута прокладываемой дороги. В данном случае оно будет выглядеть как математическая формула у = 1*х.

Это значит, что у всегда равен х, и это справедливо для любой точки дороги. Если человек будет находиться, например, в точке, тень от которой падает на ось х в точке 15, он будет находиться на высоте 15. Два параметра — положение тени человека на оси абсцисс и высота, на которой он находится, жестко связаны между собой вышеуказанной формулой.

Разумеется, можно было просто указать крутизну дороги одно цифрой, в данном случае, единицей, но проблема в том, что во-первых, дороги не всегда начинаются у вашего дома — в точке с координатами (0, 0). Во-вторых, существуют дороги, крутизна которых не постоянна. Но о них позже. А пока давайте нарисуем еще пару прямых дорог:

Мы видим, что верхняя дорога поднимается круче, чем та, которую мы рассмотрели ранее. А нижняя дорога — наоборот, более пологая. Высота (проекция на ось у), на которой находится человек, идущий по верхней дороге, равна 10. То есть, перемещаясь от начала координат до точки, в которой он находится сейчас, он изменил свою проекцию на ось у на 10 единиц. В то же самое время, его тень (проекция на ось х) переместилась вправо всего на 5 единиц. Разделив 10 на 5, мы получаем цифру 2. Эта цифра — соотношение высоты и удаленности от нуля по оси х — есть показатель крутизны дороги. Понятно?

Я: Да, я понял это еще на первом примере. А если мы разделим проекцию перемещения человека, идущего по нижней дороге на ось у, на перемещение его тени по оси х, (5/10), мы получим цифру 0.5, или 1/2. Это и есть показатель крутизны нижней дороги?

С: Совершенно верно! Между каждой из дорог и осью х (горизонталью) есть некоторый угол. Чем больше этот угол, тем круче поднимается дорога. Соотношение координаты любой точки дороги (если дорога прямая) по оси у и координаты этой же точки по оси х, называют тангенсом этого угла. Для каждого угла — свой тангенс. Тангенс угла верхней дороги равен 2, тангенс угла нижней, более пологой дороги, равен 0. 5. Соответственно, формулы, которыми мы опишем две последние дороги будут выглядеть как у = 2х и у = 0.5х.

Эти формулы мы называем функциями. Мы говорим, что у — функция от х, где х независимая переменная (мы ее задаём), а у — зависимая переменная, так как мы ее вычисляем, исходя из заданного значения х. И она жестко зависит от значения х. Например, задав х = 12 для дороги, описываемой формулой у = 0.5х, мы, подставляя цифру 12 вместо х, узнаём, что у в этой точке равен 6.

В математике функции обозначают, например, так: f(x) = x. Эта функция справедлива для дороги, рассмотренной нами в самом первом примере. Для второй и третьей дорог, функции будут выглядеть соответственно, как f(x) = 2x и f(x) = 0. 5x. Не очень сложно, да?

Я: Не очень. Что еще мне нужно знать о дорогах?

С: Мы делаем не только прямые дороги. Например, мы можем построить дорогу, которая описывается формулой (функцией) у = x², или f(x) = x². Крутизна этой дороги будет увеличиваться, по мере ее удаления от оси у.

Чтобы построить рисунок этой дороги, мы найдем (вычислим) координаты нескольких ее точек. Для этого мы подставим в формулу у = x² вместо х сначала 1, потом 2, затем 3 и т.д. И рассчитаем значение у для всех этих точек. Сначала подставим 1:

y = х² = 1² = 1.

Это значит, что для точки, с координатой по х равной 1, ее координата по у также равна 1. Нанесем эту точку на график:

Теперь рассчитаем координату по у для точки, с координатой по х равной 2:

y = x² = 2² = 4.

Таким образом, наша вторая точка будет иметь координаты (2, 4). Рассчитав у для точек с координатами по х 3 и 4, получим их полные координаты (3, 9) и (4, 16) соответственно. Нанесем эти точки на график:

Теперь соединим все точки линией, обозначающей дорогу:

Для любой точки этой дороги справедлива формула y = x². Например, для точки, с координатой по х = 1,5, мы получим ее координату по у, возведя 1,5 в квадрат. То есть, ее координаты (1.5, 2.25). Таким образом, мы можем узнать высоту любой точки дороги, задавая ее абсциссу (положение ее тени на оси х).

Но возникает проблема: мы не можем посчитать крутизну какой-либо точки дороги, так как она меняется постоянно. Не получится просто взять две точки дороги сверху и снизу от исследуемой и посмотреть, насколько изменится высота при прохождении пути между ними, разделив перемещение проекции на ось у на перемещение тени по оси х. Точнее, мы можем это сделать, но полученная цифра не будет соответствовать крутизне в средней точке между ними. Смотрите:

Допустим, мы хотим узнать крутизну нашей кривой дороги на участке от начала координат (точки с координатами (0, 0)), до точки с координатами (3, 9). На этом участке дорога поднимается на 9 единиц, в то время, как удаление от начала координат по х составляет 3 единицы. Считаем крутизну так же, как мы считали ее для прямой дороги: 9 / 3 = 3. То есть, крутизна на этому участке, вроде бы, равна 3. Но если мы проведем прямую с крутизной, равной 3, то увидим, что на самом деле дорога в самом низу идет гораздо более полого, чем прямая, а в точке пересечения прямой и дороги, крутизна дороги уже больше крутизны прямой! Крутизна кривой в центре между этими точками также не совпадает с крутизной прямой. Засада. Что же делать? Как нам узнать крутизну каждой точки в ситуации, когда первая постоянно меняется, и нет ни единого прямого участка? Вот для таких случаев господин Ньютон и придумал дифференцирование.

Дифференцирование преобразует нашу функцию в другую функцию, которая как раз-таки позволяет точно вычислить крутизну дороги в данной точке. Мы не будем вдаваться в то, как он пришел к своему решению, а просто воспользуемся результатом его работы — таблицей дифференциалов. Я не буду ее приводить, в Сети такого добра навалом. Можно просто ввести в строку поиска формулу, которую нужно дифференцировать.

Для нашей функции f(x) = x² дифференцирование будет выглядеть таким образом: нам нужно перенести двойку из показателя степени влево, перед х, и уменьшить степень х на единицу. То есть, в данном случае степень х станет равна 1: f ‘(x) = 2x.

Обратите внимание на штрих после буквы f: f ‘(x) — так обозначается функция, которая произошла от нашей оригинальной функции. Поэтому ее называют производной функцией.

Но что нам теперь делать с этой производной? Как с ее помощью найти крутизну какой-либо точки оригинальной функции f(x) = x²? Очень просто. Мы подставляем в производную значение проекции на ось х, точки дороги, крутизна которой нас интересует. Допустим, мы хотим узнать, насколько круто поднимается дорога в точке, находящейся над цифрой 1 по оси х. Мы подставляем эту единицу в производную, и вычисляем значение:

f ‘(x) = 2x = 2*1 = 2.

Эта двойка и показывает нам крутизну дороги над точкой 1 по оси х.

А какова крутизна дороги в точке с абсциссой 4 (проекцией на ось х = 4)? Подставляем эту четверку в производную функцию f ‘(x) = 2x = 2*4 и получаем цифру 8.

Эта восьмерка означает, что крутизна дороги в точке с абсциссой 4 равна 8. То есть, в этой точке дорога поднимается так же круто, как верхняя прямая на правом графике. Вот и весь смысл дифференцирования (нахождения производной).

Слева — график самой дороги, а справа — прямые, крутизна которых соответствует крутизне дороги в указанных точках. То есть, в указанных точках дороги подниматься так же тяжело, как по соответствующим этим точкам прямым. «Здесь так же круто, как там».

Давайте найдем производную нашей самой первой функции f (x) = x.

Мы проделаем такой же трюк: перенесем степень переменной вперед, перед х (это ничего не изменит, так как степень х была равна 1). Кроме того, мы уменьшим степень х на единицу. При этом степень станет равна нулю, и х превратится в единицу (потому, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1).

Мы получили производную функции f(x) = x. Она выглядит так: f ‘(x) = 1. Что это значит? Это значит, что крутизна данной дороги на любом ее участке равна 1. То есть, при изменении абсциссы на dx, dy изменится ровно на такую же величину. В принципе, мы это знали и раньше, но теперь мы вычислили крутизну дороги через производную.

В учебниках пишут, что производная постоянной (некоторого числа) равна нулю. Почему это так?

Давайте построим дорогу, которая описывается функцией f(x) = 5. Это означает, что высота (проекция на ось у) любой точки данной дороги всегда равна 5, следовательно, dy (изменение высоты) равно нулю.

Поэтому эта дорога идет параллельно оси абсцисс, то есть, никакого изменения высоты не будет, на сколько бы мы не перемещались вправо. А раз крутизна дороги равна нулю, то и производная данной функции равна нулю (dy/dx = 0/dx = 0).

Повторим: производная отображает крутизну функции (графика, дороги), а в данном случае никакой крутизны нет. Что и имеется ввиду, когда говорят, что производная постоянной равна нулю.

Я: Хорошо, я все понял: по оригинальной функции я могу вычислить высоту дороги в любой ее точке, а по производной — крутизну в любой ее точке. Но дорога не может висеть в воздухе, она же должна опираться на ось х?

С: Совершенно правильный вопрос. Под дорогой нам придется сделать насыпь. И чем больше материала (клеточек) мы потратим на данный участок дороги, тем больше вам придется заплатить.

Я: А как вы посчитаете, сколько клеточек вам понадобится? Для участка прямой дороги, параллельной оси абсцисс f(x) = 5, все просто:

У нас получается прямоугольник, высота которого равна постоянной 5, а длину мы можем посчитать, вычитая координату по х левой стороны прямоугольника из координаты его правой стороны: 10 — 3 = 7. То есть, ширина прямоугольника равна 7, соответственно, его площадь равна 5 * 7 = 35 клеточек. Я буду вам должен за 35 клеточек.

Нет проблем и с дорогой, которая поднимается (или опускается) по прямой.

Как и в предыдущем случае, ширину основания мы узнаём, вычитая координаты границ по оси х друг из друга: 9 — 3 = 6.

Высоту найти немного сложнее: нам придется вычислить ее среднее значение. Для этого мы берем высоту (проекцию на ось у) левой верхней точки закрашенной фигуры, прибавляем к ней высоту правой верхней точки и делим пополам:

(1.5 + 4.5) : 2 = 3. Эта тройка — средняя высота фигуры. Мы умножаем ее на ширину фигуры и получаем цифру 18. То есть, на данный участок дороги потрачено 18 клеток, верно? Но как узнать, сколько клеток потребует участок дороги типа y = x²?

С протяженностью участка дороги слева направо разобраться легко, она равна 4 — 1 = 3 клетки, но как быть с высотой? Ведь мы не можем в данном случае сложить 1 и 16, затем разделить пополам и получить среднюю высоту фигуры? Как нам посчитать площадь этой насыпи?

С: Господин Ньютон предусмотрел и это. Метод подсчета площади криволинейных фигур называется «интегрирование». Нам придется вспомнить то, как мы находили производную функции f (x) = x²Она выглядит так: f ‘(x) = 2x.

Эту, как и многие другие математические операции, можно производить и в обратную сторону. Если нам известна производная функции, мы можем восстановить эту изначальную функцию, называемую первообразной. То есть, имея функцию, показывающую изменение крутизны дороги, мы можем восстановить функцию, показывающую саму дорогу — высоту любой ее точки.

Если для нахождения производной мы переносили вперед показатель степени переменной (двойку), и уменьшали степень переменной х на единицу

f(x) = x²^{=> f ‘(x) = 2x,}

то теперь нам следует поступить ровно наоборот: двойку, стоящую перед х следует перенести наверх, в степень: f ‘(x) = 2x => f(x) = x²^{.Так мы получаем первообразную функцию. То есть, ту функцию, от которой производная произошла.}

Но не все так просто, давайте рассмотрим дорогу, описываемую функцией

f (x) = x²^{+ 4:}

Она выглядит точно так же, как дорога f (x) = x²^{, но располагается выше. Если мы найдем производную этой функции, то обнаружим, что она выглядит точно так же, как производная от функции f (x) = x²^{! То есть, как f ‘(x) = 2x. Ибо при нахождении производной четверка (постоянная) будет отброшена.}}

Я: Почему?

С: Потому, что она не влияет на крутизну графика. Вы же помните, что производная описывает крутизну оригинального (первообразного) графика на каждом его участке? А теперь посмотрите на точки обоих графиков, расположенные, к примеру над цифрой 3 на оси х. Крутизна верхнего и нижнего графиков в этих точках одинакова! То же самое касается любых двух точек этих графиков, расположенных друг под другом. Эти две дороги идут параллельно друг другу, поэтому, их крутизна везде совпадает. Отличается только высота.

Но производная — это не про высоту, а про крутизну дороги. Потому и получается, что обе функции f (x) = x²^{и f (x) = x²^{+ 4 приводят к одной и той же производной f ‘(x) = 2x.}}

Я: Погодите, но тогда получается, что функции, к примеру, f (x) = x²+ 5 или f (x) = x²+ 1.3 и даже f (x) = x²^{— 2 также приводят к одной и той же производной? Ведь они все параллельны друг другу, и их крутизна в точках, расположенных друг под другом, совпадает?}

С: Да, наша производная имеет бесконечный набор первообразных. Поэтому первообразную функции f (x) = 2x записывают как F (x) = x² + C, где буква С может быть любым числом. От этого числа зависит только высота, на которой проходит дорога. Точнее, разница высот между данной дорогой, и дорогой, у которой С = 0. Если Вы снова посмотрите на графики выше, то увидите, что любая точка верхнего графика ровно на 4 клетки выше аналогичной точки нижнего графика.

Обратите внимание также на то, что буква F в первообразной — заглавная (большая), Первообразная является «матерью» производной, поэтому мы относимся к ней с уважением, и пишем ее имя заглавной буквой.

Все множество функций, описываемых формулой F (x) = x² + C, называется неопределенным интегралом. Самая распространенная формула для нахождения неопределенного интеграла выглядит так:

По этой формуле мы можем найти неопределенный интеграл нашей функции f (x) = x². Для этого мы увеличиваем степень переменной на единицу, а в знаменатель просто ставим получившуюся степень переменной. Степень нашей переменной была 2, увеличив ее на единицу, получаем x³. Эту же тройку мы ставим в знаменатель (под дробную черту). Получается выражение F (x) = x³/3 + С.

Теперь вернемся к нашей криволинейной фигуре.

Чтобы узнать ее площадь, в полученный нами неопределенный интеграл нужно подставить абсциссу ее правой границы — цифру 4 (при этом постоянная С отбрасывается):

F (x) = x³/3 = 4³/3 = 21 1/3 (двадцать одна целая и одна треть)

То же самое проделаем с левой границей фигуры:

F (x) = x³/3 = 1³/3 = 1/3 (одна треть)

Теперь нам остается вычесть из первого числа второе: 21 1/3 — 1/3 = 21

Искомая площадь равна 21 клетке. Для проверки вы можете примерно посчитать закрашенные клетки на картинке.

Давайте подытожим все вышесказанное. Итак, у нас есть некоторая формула (функция) f(x), описывающая некую линию на графике.

Чтобы найти крутизну этой линии (функции) в какой-либо ее точке, мы находим производную данной функции f ‘(x), затем подставляем в полученную производную проекцию на ось х интересующей нас точки оригинальной функции, и вычисляем искомый параметр. Полученная цифра будет показывать тангенс угла наклона прямой, которая поднимается (или опускается) так же круто, как исходный график в исследуемой точке.

А чтобы найти площадь под участком графика исходной функции, следует найти ее первообразную F, затем, в эту первообразную по очереди подставить координаты по х правой и левой границы фигуры, площадь которой мы хотим найти, а затем вычесть два полученных числа друг из друга. Результат вычитания и есть искомая площадь.

Я: А почему вы отбросили постоянную С? Разве это не приведет к тому, что площадь под участками кривых f (x) = x²^{и f (x) = x²^{+ 4, находящимися друг под другом, будут одинаковыми?}}

С: Не беспокойтесь, при нахождении интеграла второй функции, постоянная 4 в ее первообразной превратится в 4х, поэтому, к площади под ней добавится прямоугольник высотой 4 клеточки и ошибки не будет. Ну так что, какую дорогу Вы выбираете?

Для чего был изобретен интеграл и дифференциал, какое математическое действие лежит в их основе и их значение для естественных и технических наук?

Математика и математики

Интегральное исчисление | математика | Британика

Развлечения и поп-культура
География и путешествия
Здоровье и медицина
Образ жизни и социальные вопросы
Литература
Философия и религия
Политика, право и правительство
Наука
Спорт и отдых
Технология
Изобразительное искусство
Всемирная история

Этот день в истории
Викторины
Подкасты
Словарь
Биографии
Резюме
Популярные вопросы
Инфографика
Демистификация
Списки
#WTFact
Товарищи
Галереи изображений
Прожектор
Форум
Один хороший факт

Развлечения и поп-культура
География и путешествия
Здоровье и медицина
Образ жизни и социальные вопросы
Литература
Философия и религия
Политика, право и правительство
Наука
Спорт и отдых
Технология
Изобразительное искусство
Всемирная история

Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
#WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

Студенческий портал
Britannica — лучший ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
Спасение Земли
Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
SpaceNext50
Britannica представляет SpaceNext50. От полета на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые питают наше любопытство к космосу!

Содержание

Введение

Краткие факты

Связанный контент

Исчисление

Слово исчисление происходит от латинского слова, означающего «маленький камень»,
Потому что это похоже на понимание чего-то, глядя на маленькие кусочки.

Дифференциальное исчисление разрезает что-то на мелкие кусочки, чтобы узнать, как оно меняется.

Интегральное исчисление соединяет (интегрирует) маленькие кусочки вместе, чтобы определить их количество.

Прочитать введение в исчисление или «как быстро прямо сейчас ?»

Ограничения

Пределы приближаются. Иногда вы не можете решить что-то напрямую, но вы можете увидеть, что должно быть, по мере того, как вы подходите все ближе и ближе!

Знакомство с ограничениями
Пределы и бесконечность
Оценка пределов
Пределы (формальное определение)
Правило Лопиталя

Непрерывные функции

Производные (дифференциальное исчисление)

Производная — это «скорость изменения» или наклон функции.

Введение в деривативы
Наклон функции в точке (интерактивный)
Производные как dy/dx
Производный плоттер (интерактивный)
Производные правила
Силовое правило
Правило продукта
Вторая производная и вторая производная анимация
Частные производные
Дифференцируемый
Нахождение максимума и минимума с использованием производных
Вогнутость вверх и вниз и точки перегиба
Неявное дифференцирование
Серия Тейлора (используются производные)
(Дополнительно) Доказательство производных грех, кос и загар

Интеграция (интегральное исчисление)

Интеграцию можно использовать для поиска площадей, объемов, центральных точек и многих других полезных вещей.

Введение в интеграцию
Графическое введение в производные и интегралы
Правила интеграции
Интеграция по частям
Интеграция путем замены
Определенные интегралы
Длина дуги
Интегральные приближения
Калькулятор интегральных приближений и график
Тела вращения дисков и шайб
Solids of Revolution от Shells
Ряд Фурье и графическое устройство ряда Фурье

Дифференциальные уравнения

В нашем мире все меняется, и , описывающий, как они изменяются , часто заканчивается как дифференциальное уравнение: уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными :

Введение в дифференциальные уравнения
Руководство по решению дифференциальных уравнений
Разделение переменных
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Однородные дифференциальные уравнения (однородные функции)
Дифференциальное уравнение Бернулли
Точные уравнения и интегрирующие коэффициенты

Дифференциальные уравнения второго порядка:

Дифференциальные уравнения второго порядка
Метод неопределенных коэффициентов
Метод вариации параметров

Если вы хотите осветить больше тем по исчислению, дайте мне знать, какие именно.

Сколько будет 1 в степени 10: Единица в десятой степени — решение и ответ!

alexxlab / 24.06.202302.06.2023 / Разное

Алгебра Решение заданий вариант 1. Степени, основания

Угу, так посмотрим, что у нас здесь варианта 16 степень 8 Некрона 216 так, так что не делать, вот тебе в смысле просто полностью все рассказывать или какие-то то сделался, нет все в принципе, угу, ну, здесь такой смысл. То, что слева у нас есть какое-то число в степени, где содержится, а справа просто число, и нам надо сделать, чтоб основание этих степени одинаковые были. То есть слева 6 с какой-то степенью, справа тоже 6 сделаем в какой-то степени на 2 1 6 Это что, 216? Если мы поделим на на 6 делится Давай попробуем 6 это 3-18, 46 так не делится, да, слева тогда можно что-то другое придумать. Например, 6 степени, 8 минсек 6, Эгнес, отдельно выделить так давай так сделаем, нет, подожди 3 на 6:18 а нет, я здесь надо было тройку поставить, вот тогда тогда получается, что можно представить 6 3-й, 200-16-63 вот, то есть ты пишешь 6 степени 8 равно 6 в 3-й степени это 1-й пример. Тогда степени приравниваются 8 минут сексановый так 11 из 8. Что-то надо поднять, чтобы получилось 35 да экстренная суперномер дальше 2-й 5 степень 12 и справа сразу тоже делаем дать в какой-то степени 1 лет на 125. Ну вот, если я напишу 5 минус 3-й сразу так понятно будет показада не не угу, ну вот получается пятерка. Угу, так, посмотрим что у нас здесь варианта 16 степень 8 некрона 216 так так что не делать Вот тебе в смысле просто полностью все рассказывать или какие то то-сделался нет все в принципе Угу, ну здесь такой, смысл, то что. Слева у нас есть какое то число, в степени где содержится а справа просто число и нам надо сделать чтоб основание этих степени одинаковые были то? Есть? Слева, 6 с, какой, то степенью справа тоже 6 сделаем в какой то степени на 216 это что 216 если мы поделим на на 6 делится давай попробуем 6 это 31846 так не делится да слева тогда можно что то другое придумать например 6 степени 8 минсек 6 эгнес отдельно выделить. Так давай так сделаем нет подожди 3 на 6:18, а нет я здесь надо было тройку поставить вот, тогда, тогда получается что можно представить 6 3-й 200-16-63 вот то, есть ты пишешь. 6 степени 8 равно, 6 в, 3-й, степени это 1-й пример тогда степени. Приравниваются, 8 минут сексановый так 11 из, 8 что то надо поднять чтобы получилось 35 да экстренная суперномер дальше 2-й 5. Степень 12 и справа сразу тоже делаем дать в какой то степени 1 лет на 1 0 0 Угу так посмотрим что у нас Здесь варианта 16 степень 8 некрона 200 Да 4,5, почти 3,5 да 3,5, так, дальше 81 справа тройка. Ну, тоже вспоминаю, что 81 это 9 в квадрате, а 9 и 3 тоже связаны между собой. А тариф в квадрате это 9. Поэтому записываю вот так 1 делить на 81 это значит 3 4-й на Иксмен 6 равно 3. Тогда это можно вот так приписать 3 в минус, 4-й на минус 6. Кстати, вам там оформление важно. Ну, то есть то, что ты сейчас пишешь или только ответы? Так, главное, чтобы подробно было расписано все так просто. В каждом из этих примеров можно все проверки делать-то нет, если не требуется. Ладно так минус 4 на минеть 3 в 1-й степени все теперь можем всего не приравнять. Из скобочки раскрыть минус 4 х + 24 равна одному. Так получается 4 угу так минус 4 х равна 1 минус 24 минус 23 на минус умножаем левой правой части. Вот здесь плюс здесь прос равна 23 4-е это 5 целых 3 4-й 5-75 нужно записать. Ну вроде так так, 7-е пример 7 степени, 2 плюс оставим пока, а с правой части 3 4 0 3 3 4 3 Если поделим на 7428 и 63 остается 949-77-71, то 73-й 72 так теснопер все встречи вот так приравниваем 2 плюс экстра. Да 4,5 почти 3,5 да 3,5 так дальше 81 справа тройка, ну тоже вспоминаю что 81 это 9 в квадрате, а 9 и 3 тоже связаны между собой. А тариф в квадрате, это 9 поэтому записываю вот. Так 1 делить на 81 это значит 3 4-й на иксмен 6 равно 3 тогда это Можно вот так. Приписать 3 в минус, 4-й на минус, 6 кстати вам там оформление важно, ну то есть то что ты сейчас пишешь или только. Ответы, так, главное, чтобы подробно, было расписано все. Так, просто в каждом из этих. Примеров можно все проверки делать то. Нет если не, требуется ладно так минус 4 на минеть 3 в 1-й степени все теперь можем всего не приравнять из скобочки раскрыть минус 4 х + 24 равна одному так, получается, 4 угу так минус 4 х равна, 1 минус 24 минус 23. На минус умножаем левой правой, части вот здесь +. Здесь, прос равна 23 4-е это 5 целых 3 4-й 5-75 нужно записать ну вроде, так. Так, 6 равна а там же 8 икс. То есть там и два-два в 3-й. Умножить на вик да, то есть, получается, будет 23 икс да угу в степени перемножаются 3 0 0 Ну, слева то, что будет здесь 1/2 это 2 минус, 1-й минус 1-е и * х мин 6. Ну а справа, как ты сказал, 2 степени 3 икс угу. Так что же это будет? Нината нет, получается, выписатся просто икс + 6 минус + 6 минус 1 икс это минусик Угу Мензиес, страна транексам, а не травматина. Как же это сделать можно? А как решить икс собираем вместе либо слева, либо справа на коровна, куда тебе нравится спать будет минус 4 икс рано с 6 а минус 6 да ну и получается, что икс равен 24 почти то есть от минусов уничтожаем вот так плюс плюс делаем слева и справа, потому что мы можем на минус 1 * обе части 6 поделить надо на 4 поделить. Пасть. Ну, это 1,5, так дальше был 9-й, что 9 здесь 81 тоже что можно делать, на это будет получается справа 9 во 2-й да я Огу немножк на 2 икс угу, вот я с его только не вижу, что там 9 в какой степени 6 на 1 что-то лохтората сейчас? Так 6 равна а там же 8 икс то есть там и 22 в 3-й * вик да, то-есть получается будет 23 икс да угу в степени. Перемножаются 300 ну слева то, что будет здесь-одна 2-я это 2 минус, 1-й минус 1-е и *, х мин 6 ну а, справа как, ты сказал 2 степени 3 икс угу так что, же это будет нината нет получается выписатся просто. Икс + 6 минус + 6 минус 1 икс это минусик угу мензиес страна, транексам а не травматина как же. Это сделать, можно а как, решить икс, собираем вместе, либо слева-либо справа на, коровна? Куда тебе, нравится спать будет минус 4 икс, рано с 6 а минус. 6 да ну и, получается что икс равен 24 почти то есть от минусов уничтожаем вот. Ну давай лучше, 10 сек, не 3 на 10 степени мин секс-десятку можно сократить. Но что нам это дает, тоже не очень красиво, так сейчас посмотрим. 6 степени 3 минус секс 6 на 10 в квадрате. Ну, я сейчас моносекс, шестерки. Если сократим все равно разные основания, получается, то страх какой-то странный. Например, сейчас надо подумать на 6:10, 3 минусес ага, ну давай тогда дальше, прости здесь шей степени 3 на 6 Ганимеде 6 на 10 в квадрате на 10 минус. Вот эту шестерку можно с этой слева сократитесь, будет 6 во 2-й, так, значит, так, двойка теперь все, что связано с, наверное, в 1 сторону перемещаемом на 10 в степени умножим на 10 в степени х слева и справа. Тогда здесь будет слева 10 степени икс длитесь степени икс так напишем, потому что 6 степени минус. Как бы делим на шесте? А справа будет 10 в квадрате, поделить на 6 в квадрате? Вот что-то получается и смотри слева 106 в степени икс 10 шестых степеней справа, 10 шестых в квадрате основания получились одинаковыми. 10 шестых, следовательно, Экс равно двум брать, так нет, попросив пока что нет, давай 12-й так и оставляем КСПпт 7-й, а 128100 дозачислили. Если разложить или так, может, знаешь, 128 завтра да, да, да. Ну-давай, лучше 10 сек не 3 на 1 0 Степени, мин секс десятку можно сократить но. Что нам это дает тоже не очень красиво так сейчас посмотрим 6 степени 3 минус, секс 6 на 10 в квадрате ну я сейчас. Моносекс шестерки Если сократим все, равно, разные основания получается то страх. Какой то странный например сейчас Надо подумать на. 6103 минусес, ага ну. Давай, тогда Дальше прости здесь шей степени 3 на 6 ганимеде 6 на 10 в квадрате, на 10? Минус, вот эту шестерку можно с. Этой слева сократитесь будет 6 во, 2-й, так значит так, двойка теперь все что связано с наверное в 1 сторону перемещаемом на 10 в степени умножим на 10 в степени х слева. И, справа тогда здесь будет слева 10 степени икс длитесь степени, икс так, напишем потому, что 6 степени. Минус как бы делим. На, шесте а справа будет 10 в квадрате поделить на 6 в квадрате вот. Что то получается и смотри слева 106 в степени икс 10 шестых степеней справа 10 шестых в квадрате, основания, получились одинаковыми 10 шестых следовательно экс равно. Угу, Иксина 4 справа приходит плюсом, да, минус 3 а ничего, ничотак 14-й. Ну там справа 4 в квадрате да записываем слева логарифма опять с непонятными основаниями логарифм, что 88125 эксентри справа 2 в квадрате основания равны приравниваем степени логарифм Посоне 85 икс минус 3 равно 2 отсюда 5 минус 3 равно 8 в квадрате определение логарифма то есть о логарифме основание возводится в степень, которая справа однокомнат 5 равно 8 квадрате 64 и + 3-67. Что-то как тут раньше не делится? Ну ладно, их равно да, написать засчитай 67 делить на 5065, делим на 5 это 13-13, еще 25134 что ли? Донократия, проверим 6 7 Делейна 5-13 целых 4 пятнарик взятьесли так это 14-й номер. Дальше все записал угу, если что, это пересмотрю. Просто, конечно, да так. Вариант 2-й. Тут номеров нет, не удобно так ну смотри 7 степени семьи справа тоже надо какой-то сделать степень 3403343. На что делится Анриале + 4 + 31010 неделитило слева семерка у нас в основании давай попробуем на 7 поделить 343 поделить на 77 на 4 2 0 Угу иксина, 4 справа приходит плюсом да минус 3 а ничего ничотак 14-й, ну, там справа 4 В квадрате да, записываем слева логарифма опять с непонятными основаниями логарифм что 88125 эксентри справа 2 в Квадрате основания равны приравниваем, степени логарифм посоне 8 пять-икс минус 3 равно 2 отсюда 5 минус 3. Равно 8 в квадрате Определение Логарифма то есть о логарифме основание возводится в Степень которая справа однокомнат 5 равно 8 квадрате 64 и + 3-67 что то как тут раньше не делится ну ладно их равно да, написать засчитай 67. Делить на 5065 делим на 5 это 13-13 еще 25134 что ли донократия проверим 67 делейна 5-13 целых 4 пятнарик взятьесли так это 14-й номер Дальше, все, записал угу если что это пересмотрю просто конечно да так вариант 2-й тут номеров нет. Дальше 1/4 сеген 2 экс мес 19 а здесь 1 делит на 6 4 Ну, в принципе, можно в степень основание оставить 1/4. То есть здесь, как есть в степени 2 ксидент ой удобно, так, а справа 1 делить на 64-64 это 4 в какой степени 4 в квадрате это 1643 это как раз-таки 64 поэтому 14 в кубе есть еще сколько. Желательно добавить и есть скобки, да так, так, все степени приравнивай мне писать не удобно. 2 икс на 12 равнородства Икс Тимуровна 19 + 3 2 0 2 2 2 2 Да ну, их все равно 11 конечно, да, но агентство так дальше слева 16936. Возможно, на самом деле по-разному сделать либо либо основание 6 выбрали, либо основание 1/6 давай на что сделаем. Значит, слева 16 так остается в степени 15 минус икс, то есть от 15 минус никс так, а справа 36 это 6 в квадрате. Но если 16 берем, то 1 штаев минус 2-я получится не старай, приравниваем степени 15 минут Иксанова отсюда минус равно 15 справа, хоть с минусом минус 15 минус 2 минус 172012 посмотри 15 пришла вправо, станет с минусом минус 15 минус 2 станена отсюда х равно 17-17. Да так, сейчас нашестаие теперь вот этот пример. Дальше 1/4. Сеген, 2 экс мес 19 а здесь? 1 делит на, 64 ну в принципе, можно в степень основание оставить 1 четвертую-то, есть, здесь как есть в степени 2 ксидент ой удобно так а справа 1 делить на 64-64 это 4 в какой степени 4 в квадрате это 1643 это как раз таки 64 поэтому 14 в кубе есть еще сколько, желательно добавить и есть скобки да так так. Все степени приравнивай мне писать не удобно 2 икс На 12 равнородства икс тимуровна девятнадцать-плюс 320-22-22 да ну их все равно 11 конечно да но, агентство, так, дальше слева 16936 возможно-на самом. Деле по разному, сделать, либо либо основание. 6 Выбрали либо основание 1 6-я давай на что сделаем значит. Слева 16 так остается в, степени 15 минус икс то есть от 15 минус, никс так а справа. 36 это, 6 в Квадрате но, если, 16 берем то 1 штаев минус 2-я получится не старай приравниваем степени 15 минут иксанова отсюда минус-равно, 15 справа хоть с минусом минус 15 минус 2 минус 172012 посмотри. Минус 2 * минус 3 минус на минус дает плюс плюс 6 равно единице отсюда минус 2 к чему равна 5 минус + 6 справа переходит будет минус 6 то есть и + 1955 на минус 1 умножим и слева справа здесь будет плюс здесь будет плюс равно здесь * так чему равно господи, да, да, свали 5 делят на 2. Так, ну это Адатомы делали с 1/9 дальше вот так пример, так что здесь 5 целых 1 что ли, написано, что это сложно. 5 минус. Ну, в общем, справа 8 1-й степени, и надо вот это степени приравнять. Найти, икспя, что написано может тебя понять. Тем 10-м угу, поставил пропустим, угу дальше. А вот здесь 1/6 это Шасина 1-й 6 в минус 1-й и на пожимать. Что такое как-то не допишет 3 минус 1 делянки минус ну, если 1 на икс это просто исравно 6 1-й заравниваем степени минус 1 на 3. Это 3 минус 1 * минус, минус на минус дает плюс плюс равна единице сюда Икс рано, минус 2 минус 2 да так дальше сейчас 5 пример с 1/2 1/2 это 2 минус 1-й 2 Вминус 1-й, так и на Эксминстера 32 степница 2 это 2 в какой 6-й почти 5-й? Минус, 2 * минус 3 минус. На. Минус дает плюс плюс 6 равно Единице отсюда минус 2 к чему. Равна 5 минус + 6 справа переходит будет минус 6 то есть и + 1-95, 5 на минус 1 умножим и слева справа здесь, будет плюс здесь будет плюс равно здесь. Умножить на так чему равно господи да да. Свали, 5 делят на 2 так, ну, это адатомы, делали с 1/9 дальше вот, так пример так что здесь, 5 целых 1 что ли. Написано что Это сложно 5 минус-ну в общем, справа 8 1-й степени, и, надо вот это степени приравнять.

Как вылечить сколиоз 1 степени – признаки сколиоза у взрослых

22.10.2021
Сколиоз 1 степени – как лечится
1 степень сколиоза – это начало позвоночной деформации, с которой легче всего справиться, особенно в детском возрасте. Основной задачей на данном этапе является своевременное обнаружение проблемы, от которого зависит результат лечения.
Общие сведения
«Сколиоз» в переводе с греческого означает «искривление» и представляет собой боковое отклонение позвоночного столба от вертикальной оси. Деформирование происходит сразу в трех плоскостях и бывает врожденным, приобретенным и посттравматическим.
Впервые заболевание диагностируется преимущественно у детей и со временем только прогрессирует. Быстрее всего ситуация ухудшается в пубертатном периоде, то есть сколиоз является болезнью роста.
Факт! Искривлением позвоночника страдает каждый третий школьник.
У маленьких детей позвоночник состоит в основном из хрящевых структур. По мере взросления они окостеневают, и позвонки становятся прочнее. Именно этот процесс делает «ось жизни» ребенка уязвимой к различным деформациям. Он проходит в 3 стадии:
0–8 лет – костенеют тела позвонков;

8–14 лет – в кости превращаются хрящи дужек, остистых отростков и фасеточных суставов;

15–17 лет – полное окостенение позвонков, которые окончательно срастаются в цельную кость.

Первая степень сколиоза – градусы
Начальная фаза искривления характеризуется углом сколиотической дуги не более 10°. Его определяют с помощью сколиозометра или рентгенологического метода.
Причины
Поиски причин сколиотической болезни ведутся до сих пор и пока безуспешно. Порядка 90% случаев искривления относятся к идиопатическим, то есть их происхождение остается неясным.
Остальные 10% (по другим источникам – 20%) приходятся на врожденный сколиоз и обусловленный различными травмами, системными патологиями. Провоцировать деформацию могут метаболические, неврологические, соединительнотканные болезни.
Сколиотические изменения нередко появляются после ампутации конечностей и укорочении одной из ног.
Признаки сколиоза 1 степени
Даже при минимальном угле отклонения позвоночной оси меняется вся биомеханика движений, что проявляется быстрой утомляемостью спинных мышц. После интенсивных тренировок или долгого пребывания в статичной и неудобной позе мышцы затекают и начинают побаливать.
На 1-й стадии боль выражена слабо, и на нее многие не обращают внимания, списывая на переутомление. Но есть и внешние симптомы, указывающие на проблемы с позвоночным столбом:
когда пациент стоит, его плечи находятся на разной высоте;

при взгляде на спину видно, что одна лопатка сильнее торчит и отстоит дальше от позвоночника;

в наклоне можно заметить изгиб там, где его в норме быть не должно;

человек слегка сутулится, но осанка почти не портится.

Диагностика
Врач осматривает ребенка, фиксирует нарушение осанки и наличие сколиотической дуги. В ходе осмотра устанавливается асимметричность:
плеч;

углов лопаток;

треугольников талии – между левой и правой руками, вытянутыми вдоль тела, и талией разное расстояние;

подвздошных костей (тазовых гребней).

При кривизне 1-й степени лабораторные анализы не назначаются. Рентген проводится при угле дуги, превышающем 5–7°. Диагностику и лечение проводит ортопед, искривлениями травматической природы занимаются травматологи.
МРТ выполняется для того, чтобы исключить заболевания и аномалии строения спинного мозга, кисты на почве сирингомиелии, наличие недоразвитых позвонков. Компьютерная томография покажет имеющиеся сращения и наличие дополнительных позвонков.
Работа внутренних органов при небольших искривлениях нарушается редко, в противном случае может назначаться УЗИ органов брюшной полости и другие исследования.
Сколиоз 1 степени у детей: лечение
Самый тяжелый сколиоз может начаться с одного градуса. Поэтому очень важно находиться под наблюдением врача, чтобы не допустить ухудшения ситуации, и регулярно проходить рекомендованные процедуры.
Современный подход к проблеме заключается в комплексности. Основными методами коррекции искривления являются:
лечебные упражнения, которые подбираются в индивидуальном порядке;

массаж с использованием щадящих мануальных приемов;

физиопроцедуры – электромиостимуляция, электрофорез;

плавание в бассейне, занятия с инструктором.

При недостаточной эффективности указанных методик терапия дополняется ношением корсета. Самыми действенными врачи называют модели Шено.
В ходе сеансов мануального массажа специалист воздействует не только на спину. Массируется также передняя часть тела – грудная клетка и живот.
Сколиоз 1 степени – как лечить у подростка
Если диагноз поставлен в подростковом возрасте, то в лечебный процесс включаются физиотерапевты, массажисты, инструкторы ЛФК и мануальщики. После курса коррекции оценивается его эффективность, индикаторами которой служат:
устранение болезненности и дискомфорта в спине;

повышение устойчивости к физическим нагрузкам;

увеличение двигательной амплитуды позвоночника;

выпрямление кривизны и возвращение баланса, симметрии туловища;

укрепление мышечного каркаса спины, брюшного пресса, груди;

способность удерживать правильную осанку.

Как исправить сколиоз 1 степени
Основные условия успешного лечения – своевременность его начала и регулярность выполнения процедур. Прогноз в большинстве случаев благоприятный, исключение может составлять ранний сколиоз, выявленный в возрасте до 6 лет.
Вопрос профилактики ведущие ортопеды называют «темной зоной». Ребенок рождается со здоровым позвоночником, который растет и развивается нормально (если нет врожденных дефектов). Но по достижении 8-10 лет он начинает искривляться, и родители ведут ребенка к врачу.
Остается неясным, а как же происходит переход нормального позвоночника в деформированный? Ведь подобный переход требует времени, и должны быть какие-то признаки, предвестники!
Вот это и есть главная загадка. Если ее разгадать, то у нас появятся группы риска по сколиозу, и можно будет предугадывать его развитие. А пока профилактические меры заключаются в грамотной организации режима дня, контроле над удержанием правильной осанки, занятиях физической культурой и плаванием.
Лечить искривление позвоночника 1 степени вы можете у нас, если вам или вашему ребенку поставили такой диагноз. Опытный врач проведет осмотр и составит оптимальный график процедур, который будет эффективным при вашем состоянии. Консультации и лечебные сеансы проходят в максимально комфортной обстановке.
Записаться на прием вы можете по телефону +375 29 628 85 82 или оставить свои контакты в форме обратной связи .

Записаться на прием
Наши услуги
Лечебный массаж при сколиозе Мануальная терапия позвоночника Иглоукалывание при межпозвоночной грыже
Возврат к списку

Сила десяти | Optics for Kids
Этот веб-сайт использует файлы cookie для предоставления некоторых наших продуктов и услуг, а также для аналитики и предоставления вам более персонализированного опыта. Посетите наше Уведомление об использовании файлов cookie, чтобы узнать больше.
Продолжая использовать этот сайт, вы соглашаетесь на использование нами файлов cookie. Мы также обновили наше Уведомление о конфиденциальности. Посетите нашу Политику конфиденциальности, чтобы узнать, что нового.
Это контролируется полем изображения на странице.
Сила десяти

Людям неудобно говорить о таких единицах измерения, как «одна десятитысячная миллиардной» дюйма или даже «десять с минус тринадцатой» (10–13) дюймов; поэтому они придумывают разные имена. Расстояние между городами в дюймах никто не дает; мы используем мили. Для роста людей мы используем футы и дюймы. Но в футе 12 дюймов, в миле 5280 футов и так далее. Это становится грязным, если мы хотим преобразовать мили в дюймы. Легче использовать метрическую систему, где все идет по степеням 10:9.0003
1 метр = 1 м = 1 ярд
1 км = 1 км = 10 ³ м ~ 5/8 мили
1 сантиметр = 1 см = 10 ^-2 м ~ 2/5 дюйма (ширина пера)
1 миллиметр = 1 мм = 10 ^-3 м ~ 1/25 дюйма (ширина грифеля карандаша)
Это нормально для повседневных длин, но для света нам приходится использовать еще меньшие единицы длины, потому что его длина волны очень мала. К сожалению, используется много разных имен. Длину волны желтого света в вакууме можно назвать 5750 Å, или 575 мкм, или 575 нм, или 0,575 мкм. Используемые здесь единицы:
1 Å = 1 Ангстрём = 10 ^-10 м
(Эта единица часто используется, потому что размер типичного атома составляет несколько ангстрем.)
1 нм = 1 нанометр = 10 ^-9 м (ранее писалось как 1 мкм)
1 мкм = 1 микрометр = 1 микрон = 10 ^-6 м
(Это удобный блок для мощных микроскопов, с помощью которого можно рассматривать объекты размером от нескольких микрометров. µ — греческая буква «мю»)
Существует метод для префиксов санти-, милли- и т. д. Они умножают единицу на некоторую степень 10. Например, милли- всегда означает одну тысячную. Важные префиксы:
n = нано- (греч. «карлик») = 10 ^-9 (тысячно-миллионная)
µ = микро- (греч. «маленький») = 10 ^-6 (миллионная)
м = милли- (латинское «тысяча») = 10 ^-3 (тысячная)
к = кило- (греч. «тысяча») = 10 ³ (тысячи)
М = мега- (греч. «большой») = 10 ⁶ (миллионов)
Таким образом, теперь мы можем с гордостью заявить, что 1 нм = 10 ^-3 м.
Астрономия является предметом очень большого количества людей. Микроскопия является предметом изучения очень небольшого числа людей. Следовательно, для работы с такими величинами была введена научная нотация. Например, расстояние от Земли до Солнца обозначается как астрономических единиц (а.е.) 9.0227 и является:
1 AU = 150 000 000 км = 1,5x 10 ⁸ км = 9,2 x 10 ⁷ миль
Другим измерением, иллюстрирующим такое обозначение, является масса Солнца, выраженная в килограммах (кг):
Масса Солнца = 1 Солнечная масса = 2,0 x 10 ³⁰ кг
Обратите внимание, что 2.0 — это коэффициент, а 30 — показатель степени. Для выражения больших чисел можно использовать не только научные обозначения, но и очень маленькие числа. Например, размер атома порядка (или около) нескольких ангстрем (Å), что определяется как:
1 Ангстрём = 1 Å = 1,0 x 10 ^-10 м = 0,0000000001 метр
Обратите внимание, что отрицательный знак в показателе степени означает, что значение меньше единицы.
Вот несколько альтернативных форм записи тех же числовых значений:
3,2 x 10 ⁸ = 32 x 10 ⁷ = 320 x 10 ⁶ = 320 000 000 = 320 миллионов
0,0002 = 2 x 10 ^-4 м = 20 x 10 ^-5 м = 200 x 10 ^-6 м
С помощью карманного калькулятора с ключом экспоненты, обычно помеченным EX или EE или EX, число: 4,3 x 10 ⁵ вводится как 4,3 EX 5.
Примеры научной записи, метрических префиксов и символов
Ворд науч. Обозначение Метрический префикс Символ
одна миллиардная 1 x 10 ^-9 нано п
одна миллионная 1 x 10 ^-6 микро µ
тысячная 1 x 10 ^-3 милли м
один 1
одна тысяча 1 x 10 ³ кг к
один миллион 1 x 10 ⁶ Мега М
один миллиард 1 x 10 ⁹ Гига Г
один триллион* 1 x 10 ¹² Тера Т
* в американском английском, 1 x 10 ¹² = одна тысяча миллионов в британском английском.
Примеры простой математики с экспоненциальной записью
Дополнение 3,2 x 10 ⁸ + 0,40 x 10 ⁸ = 3,6 x 10 ⁸
Вычитание 4,52 x 10 ⁵ — 3,32 x 10 ⁵ = 1,20 x 10 ⁵
Умножение (3,2 x 10 ^-8) x (2 x 10 ⁴) = 6,4 х 10 ^-4
Отдел (3,2x 10 ⁸ ) / (2 x 10 ^-4 ) = 1,6 x 10 ¹²
* в американском английском, 1 x 10 ¹² = одна тысяча миллионов в британском английском.
Научное обозначение | Учебник для начинающих
Некоторые люди сильно сопротивляются использованию научной записи ^{The format contains a decimal fraction multiplied by ten raised to a power»> *} . Почти каждый раз, когда я провожу вводное занятие по естествознанию, у меня есть один или два ученика с сильными математическими способностями, которые настаивают на том, чтобы выполнять все свои расчеты в стандартной системе счисления. Это неизменно приводит к ошибкам, которые приводят к потере баллов на экзаменах и домашнем задании.

Чтобы разобраться в научных обозначениях, требуется немного усилий, но после того, как вы их выучите, это станет эффективным способом сэкономить время и избежать ошибок при работе с очень большими и маленькими числами. Это особенно полезно при использовании калькуляторов или компьютеров для прикладной работы. При написании 4.6×10 ^-14 избежать ошибок гораздо проще, чем при написании 0. 000000000000046.
Числа, записанные в экспоненциальном представлении, легче читать и с ними легче работать.

Преобразование числа из стандартной записи в экспоненциальную включает перемещение десятичного знака до тех пор, пока слева от десятичной дроби не останется одна цифра, а затем умножение этого значения на десять, возведенное в ту же степень, что и число перемещенных разрядов. 300, записанное в экспоненциальном представлении, равно 3×10 ² ; говорил как «Трижды десять к двум». Десять, возведенные в степень двойки, указывают на то, что для преобразования значения обратно в стандартную запись десятичная запятая должна переместиться на два разряда. Знак показателя ^{Negative exponents indicate that a number should be multiplied by one over itself which is the same as dividing.»> *} зависит от направления движения десятичной дроби.
Переместите ползунок, чтобы сравнить значения в стандартной и экспоненциальной записи

Все значения, записанные в экспоненциальном представлении, имеют одинаковую структуру: само число, за которым следует символ умножения, затем число 10, возведенное в степень.
Число называется коэффициентом. Степень 10, в которую возводят, называется показателем степени. Коэффициент может быть любым действительным числом. Показатель степени должен быть целым числом, хотя он может быть и отрицательным.
Части структуры обозначений имеют имена

Положительная экспонента означает, что число больше единицы, а десятичная дробь перемещается вправо для преобразования научной записи в стандартную. 3,0 x 10 ² становится 300.
Отрицательная экспонента означает, что число меньше единицы, а десятичная дробь перемещается влево для преобразования научной записи в стандартную. 3,0 x 10 ^-2 становится 0,03.
Перемещение десятичной дроби на то же количество разрядов 10 работает, потому что перемещение десятичной дроби на одно место эквивалентно делению или умножению числа на 10:
Шаг 1 — разделить 300 на 10: 300 ÷ 10 = 30
Шаг 2 — результат шага 1 снова разделите на 10: 30 x 10 ¹ ÷ 10 = 3
Поскольку нам пришлось два раза разделить на 10, чтобы получить от 300 до 3, показатель степени научной записи равен 2. Это показывает, что исходное число можно воссоздать, умножив 3 на 10 два раза.
Следовательно, 3,0 x 10 ² , 3,0 x 10 x 10 и 300 представляют одно и то же значение.
Один и тот же шаблон работает независимо от размера числа. 2 300 000 000 000 можно записать как 2,3 x 10 ¹², который говорит, что это 2,3, умноженное на 10 12 раз.
Паттерн работает и для больших чисел

Значения меньше единицы работают так же. Разница в том, что преобразование из стандартной записи в экспоненциальную предполагает умножение на 10, а не деление. Умножение на 10 сдвигает десятичную дробь вправо. Чтобы записать число 0,0003 в экспоненциальном представлении, 0,0003 многократно умножается на 10, пока первое ненулевое число (в данном случае 3) не окажется слева от десятичного знака:
Шаг 1 — умножить на 10: 0,0003 x 10 = 0,003
Шаг 2 — снова умножьте на 10: 0,003 x 10-1 x 10 = 0,03
Шаг 3 — снова умножьте на 10: 0,03 x 10-2 x 10 = 0,3
Шаг 4 — снова умножьте на 10: 0,3 x 10-3 x 10 = 3
Это преобразование заняло 4 шага, поэтому число умножается на 10, возведенное в минус числа, поэтому шаги указывают, что для возврата к исходному числу требуется деление на 10 4 раза. Показатель степени отрицательный, потому что исходное число меньше единицы.
В дополнение к упрощению выражения больших и малых чисел экспоненциальная запись упрощает сравнение значений.

Примеры научной записи, метрических префиксов и символов
Ворд	науч. Обозначение	Метрический префикс	Символ
одна миллиардная	1 x 10 ^-9	нано	п
одна миллионная	1 x 10 ^-6	микро	µ
тысячная	1 x 10 ^-3	милли	м
один	1
одна тысяча	1 x 10 ³	кг	к
один миллион	1 x 10 ⁶	Мега	М
один миллиард	1 x 10 ⁹	Гига	Г
один триллион*	1 x 10 ¹²	Тера	Т
* в американском английском, 1 x 10 ¹² = одна тысяча миллионов в британском английском.

Примеры простой математики с экспоненциальной записью
Дополнение	3,2 x 10 ⁸ + 0,40 x 10 ⁸	=	3,6 x 10 ⁸
Вычитание	4,52 x 10 ⁵ — 3,32 x 10 ⁵	=	1,20 x 10 ⁵
Умножение	(3,2 x 10 ^-8) x (2 x 10 ⁴)	=	6,4 х 10 ^-4
Отдел	(3,2x 10 ⁸ ) / (2 x 10 ^-4 )	=	1,6 x 10 ¹²
* в американском английском, 1 x 10 ¹² = одна тысяча миллионов в британском английском.

Исследовать функцию: Исследование функции и построение графика функции

alexxlab / 24.06.202328.05.2023 / Разное

Исследовать функцию и построить график.

Пример 1:

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции х – любое.
2) Четность или нечетность функции.

y(-x) = y(x), четная функция
3) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y

Пересечение с осью 0X
y=0

x₁ = 1, x₂ = -1
4) Исследование на экстремум.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x = 0
Откуда:
x₁ = 0

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f'(x) > 0	f'(x)
функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 0 — точка максимума. Y_max=1
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

или

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Откуда точки перегиба:


f»(x) > 0	f»(x)	f»(x) > 0
функция вогнута	функция выпукла	функция вогнута

5) Асимптоты кривой.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. 2+20
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3x²+6x
или
f'(x)=3x(x+2)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x(x+2) = 0
Откуда:
x₁ = 0
x₂ = -2

(-∞ ;-2)	(-2; 0)	(0; +∞)
f'(x) > 0	f'(x)	f'(x) > 0
функция возрастает	функция убывает	функция возрастает

В окрестности точки x = -2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2 — точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 — точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f»(x) = 6x+6
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
6x+6 = 0
Откуда точки перегиба:
x₁ = -1

(-∞ ;-1)	(-1; +∞)
f»(x)	f»(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

6) Асимптоты кривой.
y = x³+3x²+20
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

Пример 3:

Исследовать функцию и построить график:

Решение от преподавателя:

1. Находим область определения D(x) функции: определена на всей числовой оси.

2.Асимптоты:

Вертикальных асимптот нет.

Находим наклонную асимптоту:

следовательно график функции не имеет наклонных асимптот.

Горизонтальная асимптота y=0.

3. Функция обладает свойствами четности, а, следовательно, график функции симметричен относительно оси OX.

4.Точек пересечения с осями координат: x=0, y=2.

5.Находим точки экстремума и интервалы монотонности, точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.

Первая производная функции:

Вторая производная функции:

Точек перегиба график функции не имеет.

На интервале – функция возрастает.

На интервале – функция убывает.

Точка максимума:

Функция выпуклая вверх на интервале:

Функция вогнута вниз на интервалах:

6. Изображаем график функции:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Исследовать функцию у = 15х² – 2х³ – 36х и построить ее график.

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции

2) Четность или нечетность функции.
y(-x)=2x³+15x²+36x y(x)
Функция общего вида
3) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y            x=0, y=0
Пересечение с осью 0X            y=0
15x²-2x³-36x=0, x = 0
5) Исследование на экстремум.
y = -2x³+15x²— 36x
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = -6x²+30x-36
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
-6x²+30x-36 = 0    или    x²+5x-6 = 0
Откуда:
x₁ = 2
x₂ = 3

(-∞ ;2)	(2; 3)	(3; +∞)
f'(x)	f'(x) > 0	f'(x)
функция убывает	функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 — точка минимума.

В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 3 — точка максимума.

Y_min=y(2)=-28, Y_max=y(3)=-27

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Вторая производная f»(x) = -12x+30
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
-12x+30 = 0
Откуда точки перегиба:
x₁ = 5/2 y(5/2)=-27,5

(-∞ ;5/2)	(5/2; +∞)
f»(x) > 0	f»(x)
функция вогнута	функция выпукла
6) Асимптоты кривой. y = 15x²-2x³-36x Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. Находим коэффициент k: Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

Пример 6:

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию y = f(x). Построить график этой функции, используя результаты исследования.

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции. Точки разрыва функции.

Все действительные числа кроме х = 2
2) Четность или нечетность функции.

Функция общего вида
3) Периодичность функции.
4) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y
x=0, y=0
Пересечение с осью 0X
y=0

x = 0, x = 0
5) Исследование на экстремум. 2)/(x-2)
Найдем точки разрыва функции.
x₁ = 2
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

или

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
-2x²+8x-6 = 0
Откуда:
x₁ = 1
x₂ = 3

(-∞ ;1)	(1; 2)	(2; 3)	(3; +∞)
f'(x)	f'(x) > 0	f'(x) > 0	f'(x)
функция убывает	функция возрастает	функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 — точка минимума. В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 3 — точка максимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

или

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Для данного уравнения корней нет.

(-∞ ;2)	(2; +∞)
f»(x) > 0	f»(x)
функция вогнута	функция выпукла

6) Асимптоты кривой.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Находим коэффициент b:

Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = -2x-1
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x₁ = 2
Находим переделы в точке x=2

x₁ = 2 — точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

Пример 7:

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Исследовать функцию и построить её схематический график.

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Исследовать заданную функцию и начертить ее график.

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Провести полное исследование функции и построить график.

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции.
2) Четность или нечетность функции.

y(-x) = -y(x), нечетная функция
3) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y
Нет пересечений.
Пересечение с осью 0X
y=0

4) Исследование на экстремум.
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x²+3 = 0
Для данного уравнения корней нет.

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f'(x) > 0	f'(x) > 0
функция возрастает	функция возрастает

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Для данного уравнения корней нет.

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f»(x) > 0	f»(x)
функция вогнута	функция выпукла

6) Асимптоты кривой.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Находим коэффициент b:

Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = x
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x₁ = 0
Находим переделы в точке x=0

x₁ = 0 — точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

Пример 11:

Провести полное исследование и построить график функции .

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение от преподавателя:

График:

Пример 12:

Провести полное исследование функции

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Провести полное исследование и построить график функции .

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Исследовать функцию и построить график:

Решение от преподавателя:

Пример 15:

Провести полное исследование и построить график функции. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Провести полное исследование и построить график функции.

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Исследовать данную функцию и построить график:

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел: .

2) Чётность и нечётность функции:

Функция не обладает свойствами чётности или нечётности. Следовательно, график функции не будет симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

3) Периодичности функции.

Функция непериодическая, так как является многочленом.

4) Непрерывность функции.

На всей области определения функция непрерывна как многочлен.

5) Интервалы монотонности и точки экстремума.

Вычислим производную функции и найдём критические точки.

Точки — критические.

Они делят область определения функции на интервалы:

Определим знак производной на каждом из интервалов:

Следовательно, на интервале функция возрастает;

Следовательно, на интервале функция убывает;

Следовательно, на интервале функция возрастает;

При переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, — точка максимума функции. При переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, — точка минимума функции.

6) Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдём производную второго порядка от функции

7) Точки пересечения графика с осями координат.

8) График функции.

Пример 19:

Исследовать функцию и построить график:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Для данной функции требуется:

а) найти точки разрыва;

б) найти скачок функции в каждой точке разрыва;

в) сделать чертеж.

Решение от преподавателя:

При х=0

Разрыва нет

При х=2

Разрыв есть

Определяем пределы слева и справа от данной точки

Т. к. оба пределы конечны, но равны между собой, то получили точку разрыва 1-го рода – точку скачка

Скачок функции составляет 8-3=5 единиц

Пример 21:

Исследовать функцию и построить график

y = 2x·lnx

Решение от преподавателя:

1. Область определения — точек разрыва нет.

2. Область значений — .

3. функция общего вида, пересекает оси координат в точке (1, 0).

4. интервалы монотонности:

Корень х=1\е, это минимум. Функция убывает на участке (0, 1\е) и возрастает на остальной области определения.

5. интервалы выпуклости, вогнутости.

Корней нет – нет и точек перегиба.

Вторая производная положительна на всей области определения (x>0) – функция вогнутая.

6. Асимптоты.

Вертикальных –нет.

Поскольку

, горизонтальной асимптоты нет.

Проверим, есть ли наклонная асимптота вида y=kx+b.

Найдем , наклонной также нет.

7. строим график:

Пример 22:

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Исследовать функция и построить её график.

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Исследовать функцию и построить график:

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции x€(-∞,-4)Ù(-4,+∞)

2) Четность или нечетность функции.

y(-x)≠y(x), y(-x)≠ — y(x),
Функция общего вида

3) Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y

Пересечение с осью 0X: y=0

4) Исследование на экстремум.
Найдем точки разрыва функции.
x₁ = -4
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

x²+8x+15 = 0

Откуда:

x₁ = -5 x₂ = -3

(-∞ ;-5)	(-5; -4)	(-4; -3)	(-3; +∞)
f'(x) > 0	f'(x)	f'(x)	f'(x) > 0
функция возрастает	функция убывает	функция убывает	функция возрастает

В окрестности точки x = -5 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -5 — точка максимума.

Y_max = y(-5) = -10

В окрестности точки x = -3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -3 — точка минимума.

Y_min = y(-3) = -6
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Вторая производная.

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Для данного уравнения корней нет.

(-∞ ;-4)	(-4; +∞)
f»(x)	f»(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

5) Асимптоты кривой.

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Находим коэффициент b:

Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = x-4
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x₁ = -4
Находим переделы в точке x=-4

x₁ = -4 — точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

№ 31.3 ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович. Помогите исследовать функцию и построить ее график – Рамблер/класс

№ 31.3 ГДЗ Алгебра 10-11 класс Мордкович. Помогите исследовать функцию и построить ее график – Рамблер/класс
Интересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = 3х² — 4х + 5;
б) у = 3 + 2х — х²;
в) у = 7 — х — 2х²;
г) у = 5х² — 15х — 4.

ответы
Держи все решения:
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
Юмор
Олимпиады
ЕГЭ
9 класс
похожие вопросы 5
Домашняя контрольная работа № 3 Вариант 2 10. При каких значениях р уравнение… Мордкович 8 класс алгебра
10. При каких значениях р уравнение -х 2 + 6х — 2 = р:
а) не имеет корней;
б) имеет один корень; (Подробнее…)
ГДЗМордкович А.Г.Алгебра8 класс
Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308
Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра
Почему сейчас школьники такие агрессивные ?
Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь
Новости10 классБезопасность
ГДЗ Тема 21 Физика 7-9 класс А. В.Перышкин Задание №476 Изобразите силы, действующие на тело.
Привет всем! Нужен ваш совет, как отвечать…
Изобразите силы, действующие на тело, когда оно плавает на поверхности жидкости. (Подробнее…)
ГДЗФизикаПерышкин А.В.Школа7 класс
Какой был проходной балл в вузы в 2017 году?
Какой был средний балл ЕГЭ поступивших в российские вузы на бюджет в этом году? (Подробнее…)
Поступление11 классЕГЭНовости
исследовать
исследовать
Роланд Крассер
14.01.2023
Пакет Explore упрощает исследовательский анализ данных (EDA). Получать более быстрое понимание с меньшим количеством кода!
Пакет можно использовать тремя способами:
Интерактивное исследование данных (одновариантный, бивариат, мультивариат)
Создание автоматического отчета с одной строкой код. Цель может быть бинарной, категориальной или числовой.
Исследование вручную с помощью легко запоминающегося набора аккуратных функций. Вводит четыре основных глагола. explore() для графического исследования переменной или таблицы, описать() для описания переменной или таблицы, объясните_дерево() для создания простого дерева решений, которое объясняет цель. report() для создания автоматизированного отчет обо всех переменных.
исследовать пакет на Github: https://github.com/rolkra/explore
Поскольку функции исследования хорошо вписываются в tidyverse, мы загружаем dplyr-пакет.
библиотека
(dplyr) библиотека (исследовать)
Интерактивное исследование данных
Исследуйте свой набор данных (в данном случае набор данных радужной оболочки глаза) в одной строке код:
explore(iris)
Запускается блестящее приложение, вы можете проверить отдельные переменные, исследовать их отношение к цели (бинарное / категориальное / числовое), расти дерево решений или создать полностью автоматизированный отчет обо всех переменных с несколько «щелчков мыши».
Вы можете выбрать каждую переменную, содержащуюся в качестве цели, которая является двоичной. (0/1, FALSE/TRUE или «нет»/«да»), категориальный или числовой.
Переменные отчета
Создайте отчет в формате HTML обо всех переменных с помощью одной строки кода:
# отчет обо всех переменных iris %>% report(output_file = "report.html", output_dir = tempdir())
Или вы можете просто добавить цель и создать отчет. В этом случае мы используйте бинарную цель, но категориальная или числовая цель будет работать как хорошо.
# отчет обо всех переменных и их связи с бинарной целью iris$is_versicolor <- ifelse(iris$Species == "разноцветный", 1, 0) ирис %>% отчет (выходной_файл = "отчет.html", выходной_каталог = временный_каталог(), target = is_versicolor)
Если вы используете бинарную цель, параметр split = FALSE (или targetpct = TRUE) даст вам другое представление на данные.
Вырастить дерево решений
Вырастите дерево решений с помощью одной строки кода:
iris %>%объяснение_дерева(цель = виды)
Вы также можете вырастить дерево решений с помощью бинарной цели.
iris$is_versicolor <- ifelse(iris$Species == "versicolor", 1, 0) ирис %>% select(-Species) %>%объяснение_дерева(цель = is_versicolor)
Или с использованием числового целевого значения. Синтаксис остается прежним.
ирис %>% объясните_дерево (цель = чашелистик.Длина)
Вы можете управлять ростом дерева с помощью параметров maxdepth , minsplit и cp .
Исследуйте набор данных
Исследуйте свою таблицу с помощью одной строки кода, чтобы узнать, какой тип содержащиеся в нем переменные.
iris %>% explore_tbl()
Вы также можете использовать описать_tbl(), если вам нужны только основные факты без визуализации.
ирис %>% description_tbl() #> 150 наблюдений с 6 переменными #> 0 наблюдений, содержащих пропущенные значения (NA) #> 0 переменных, содержащих пропущенные значения (NA) #> 0 переменных без дисперсии
Исследование переменных
Исследование переменной с помощью одной строки кода. Вам не нужно заботиться о том, переменная является числовой или категориальной.
Ирис %>% исследовать(Виды)
Ирис %>% исследовать(Длина чашелистиков)
Исследуйте переменные с целью
Исследуйте переменную и ее связь с бинарной целью с помощью одного строка кода. Вам не нужно заботиться о том, является ли переменная числовой или категоричный.
радужная оболочка %>% explore(Sepal.Length, target = is_versicolor)
Использование split = FALSE изменит график на %target:
радужная оболочка %>% explore(Sepal.Length, target = is_versicolor, split = FALSE)
Цель может иметь более двух уровней:
радужная оболочка %>% explore(Sepal. Length, target = Species)
Или цель может быть даже числовой:
радужная оболочка %> % исследовать (Длина чашелистика, цель = Длина лепестка)
Исследуйте несколько переменных
диафрагма %>% select(Sepal.Length, Sepal.Width) %>% explore_all()
ирис %>% select(Sepal.Length, Sepal.Width, is_versicolor) %>% explore_all(target = is_versicolor)
радужная оболочка %>% select(Sepal.Length, Sepal.Width, is_versicolor) %>% explore_all(target = is_versicolor, split = FALSE)
радужная оболочка %>% select(Sepal.Length, Sepal.Width, Species) %>% explore_all (цель = виды)
ирис %>% select(Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length) %>% explore_all(target = Petal.Length)
data(iris)
Чтобы использовать большое количество переменных с explore_all() в RMarkdown-File, необходимо установить осмысленную рис. ширину и рис.высота в утиль. Функция total_fig_height() помогает автоматически установить fig.height: fig.height=total_fig_height(радужная оболочка)
диафрагма %>% исследовать_все()
Если вы используете цель: fig.height=total_fig_height(iris, var_name_target = "Species")
iris %>% explore_all(target = Species)
Вы можете управлять total_fig_height() параметрами ncols (количество столбцы участков) и размер (высота 1 участка)
Исследование корреляции между двумя переменными
Исследование корреляции между двумя переменными с помощью одной строки кода:
радужная оболочка %>% explore(Sepal.Length, Petal.Length)
Вы также можете добавить цель:
Радужная оболочка %>% исследовать (Длина чашелистиков, Длина лепестков, цель = Виды)
Другие параметры
Если вы используете Исследовать для изучения переменной и хотите установить более низкое и верхние пределы значений, вы можете использовать min_val и max_val параметров. Все значения ниже min_val будут установлены на мин_знач. Все значения выше max_val будут установлены на max_val.
диафрагма %>% исследовать (Sepal.Length, min_val = 4,5, max_val = 7)
исследовать по умолчанию использует автомасштабирование. Чтобы деактивировать его, используйте параметр auto_scale = FALSE
диафрагма %>% explore(Sepal.Length, auto_scale = FALSE)
Описание данных
Опишите свои данные одной строкой кода:
радужная оболочка %>% описать() #> # Буквы: 5 × 8 #> тип переменной na na_pct уникальный минимум средний максимум #> #> 1 Чашелистик.Длина dbl 0 0 35 4,3 5,84 7,9#> 2 Сепал.Ширина dbl 0 0 23 2 3.06 4.4 #> 3 Лепесток.Длина dbl 0 0 43 1 3,76 6,9 #> 4 Лепесток.Ширина dbl 0 0 22 0.1 1.2 2.5 #> 5 Species fct 0 0 3 NA NA NA
Результатом является кадр данных, где каждая строка является переменной вашего данные. Вы можете использовать фильтр от dplyr для быстрой проверки:
# показать все переменные, которые содержат менее 5 уникальных значений ирис %>% описать() %>% фильтр(уникальный < 5) #> # Блокнот: 1 × 8 #> тип переменной na na_pct уникальный минимум средний максимум #> #> 1 Виды fct 0 0 3 NA NA NA
# показать все переменные, содержащие значения NA ирис %>% описать() %>% фильтр(нет > 0) #> # Буквы: 0 × 8 #> # … с 8 переменными: переменная , тип , na , na_pct , #> # unique , min , mean , max
Вы также можете использовать описать для описания переменных. Ты не нужно заботиться о том, является ли переменная числовой или категориальной. Выход это текст.
# описать числовую переменную ирис %>% описать (виды) #> переменная = виды #> тип = фактор #> нет данных = 0 из 150 (0%) #> уникальный = 3 #> сетоса = 50 (33,3%) #> лишай = 50 (33,3%) #> virginica = 50 (33,3%)
# описать категориальную переменную ирис %>% описать (Sepal. Length) #> переменная = Sepal.Length #> тип = двойной #> нет данных = 0 из 150 (0%) #> уникальный = 35 #> мин|макс = 4,3 | 7,9#> q05|q95 = 4,6 | 7,255 #> q25|q75 = 5,1 | 6.4 #> медиана = 5,8 #> среднее значение = 5,843333
Создать данные
Используйте один из подготовленных наборов данных для изучения:
create_data_app()
create_data_buy()
Create_data_churn()
create_data_person()
create_data_unfair()
create_data_random()
# создать набор данных и описать его данные <- create_data_app(obs = 100) описать (данные) #> # Таблица: 7 × 8 #> тип переменной na na_pct уникальный минимум средний максимум #> #> 1 os chr 0 0 3 NA NA NA #> 2 бесплатно int 0 0 2 0 0.62 1 #> 3 загрузки int 0 0 99 255 6704. 18386 #> 4 рейтинг dbl 0 0 5 1 3,44 5 #> 5 тип chr 0 0 10 NA NA NA #> 6 обновлений dbl 0 0 72 1 45,6 99 #> 7 screen_sizes dbl 0 0 5 1 2. 61 5
# создать набор данных и описать его данные <- create_data_random (obs = 100, vars = 5) описать (данные) #> # Таблица: 7 × 8 #> тип переменной na na_pct уникальный минимум средний максимум #> #> 1 идентификатор int 0 0 100 1 50,5 100 #> 2 target_ind int 0 0 2 0 0,53 1 #> 3 var_1 int 0 0 61 1 51.4 99 #> 4 var_2 целое 0 0 63 1 48,6 98 #> 5 var_3 int 0 0 62 1 49,2 100 #> 6 var_4 int 0 0 68 0 48,6 100 #> 7 var_5 int 0 0 64 2 51.9 99
Вы можете создать свой собственный набор случайных данных, используя create_data_empty() и add_var_randm_*() functions:
# создать набор данных и описать его данные <- create_data_empty(obs = 1000) %>% add_var_random_01 ("цель") %>% add_var_random_dbl("возраст", min_val = 18, max_val = 80) %>% add_var_random_cat ("пол", кошка = с ("мужчина", "женщина", "другое"), вероятность = c(0,4, 0,4, 0,2)) %>% add_var_random_starsign() %>% add_var_random_moon() описать (данные) #> # Буквы: 5 × 8 #> тип переменной na na_pct уникальный минимум средний максимум #> #> 1 цель int 0 0 2 0 0. 51 1 #> 2 возраст дбл 0 0 1000 18,1 48,980,0 #> 3 пол chr 0 0 3 NA NA NA #> 4 random_starsign chr 0 0 12 NA NA NA #> 5 random_moon chr 0 0 4 NA NA NA
data %>% select(random_starsign, random_moon) %>% explore_all()
Словарь данных
Создать словарь данных набора данных (файл Markdown data_dict.md)
диафрагма %>% data_dict_md(output_dir = tempdir())
Добавить заголовок, подробные описания и изменить имя файла по умолчанию
описание <- data.frame( переменная = с ("Виды"), description = c("Виды цветка ириса")) data_dict_md (радужная оболочка, title = "набор данных цветов ириса", описание = описание, output_file = "data_dict_iris.md", выходной_каталог = временный_каталог())
Базовая очистка данных
Для очистки переменной можно использовать чистая_вар . С одной линией кода вы можете переименовать переменную, заменить NA-значения и установить минимум и максимальное значение.
ирис %>% clean_var(Sepal.Длина, мин_знач = 4,5, макс_значение = 7,0, п = 5,8, имя = "sepal_length") %>% описывать() #> # Буквы: 5 × 8 #> тип переменной na na_pct уникальный минимум средний максимум #> #> 1 sepal_length dbl 0 0 26 4,5 5,81 7 #> 2 Сепал.Ширина dbl 0 0 23 2 3.06 4.4 #> 3 Лепесток.Длина dbl 0 0 43 1 3,76 6,9#> 4 Лепесток.Ширина dbl 0 0 22 0.1 1.2 2.5 #> 5 Виды fct 0 0 3 NA NA NA
Создать блокнот
Создайте шаблон RMarkdown для изучения собственных данных. Установить output_dir (существующий файл может быть перезаписан)
create_notebook_explore( выходной_каталог = временный_каталог(), output_file = "notebook-explore.Rmd")
Четыре полезные функции для изучения данных в Python | Садрак Пьер, доктор философии.
Садрак Пьер, доктор философии.
·
Подписаться
Опубликовано в
·
5 мин чтения
·
9 января 2020 г.
В процессе исследования data Я часто ловлю себя на том, что повторно определяю подобную логику Python для выполнения простых аналитические задачи. Например, я часто рассчитываю среднее значение и стандартное отклонение числового столбца для определенных категорий данных. Я также часто анализирую частоту категориальных значений в данных. Чтобы сэкономить время, я написал несколько функций, которые позволяют мне выполнять этот тип анализа, не переписывая много кода.
В этом посте я расскажу о четырех полезных функциях, которые я часто использую на этапе исследовательского анализа данных при построении модели. Затем я покажу, как мы можем использовать эти функции для изучения набора данных Wine Reviews . Набор данных можно найти здесь. Папка содержит три файла .csv. Я буду использовать файл под названием «winemag-data_first150k.csv».
Начнем!
СЧЕТЧИК
Первая функция, которую я буду обсуждать, позволяет нам посмотреть, как часто категориальные значения появляются в наборе данных. Он принимает в качестве входных данных фрейм данных, имя столбца и лимит. При вызове он выводит словарь категориальных значений и частоту их появления:
def return_counter(data_frame, column_name, limit):
from collections import Counter print(dict(Counter(data_frame[column_name].values).most_common(limit)))
Давайте напечатаем первые пять строк набора данных:
import pandas as pd
df = pd.read_csv('winemag-data_first150k.csv')
print(df.head())
Мы видим, что есть несколько категориальных столбцов. Давайте применим нашу функцию к столбцу «страна» и ограничим наши результаты пятью наиболее распространенными странами:
return_counter(df, 'country', 5)
Мы видим, что большинство записей о винах соответствуют винам, произведенным в США.
Давайте применим нашу функцию к столбцу «разнообразие»:
return_counter(df, 'разнообразие', 5)
Большинство вин — Шардоне и Пино Нуар. Это полезно в качестве быстрого теста, чтобы увидеть, есть ли какой-либо значительный дисбаланс в данных, что часто является важным моментом, когда дело доходит до построения модели.
2. ОБЩАЯ СТАТИСТИКА
Следующая функция представляет собой сводную статистическую функцию (немного похожую на df.describe()). Эта функция принимает фрейм данных, категориальный столбец и числовой столбец. Среднее значение и стандартное отклонение числового столбца для каждой категории хранятся во фрейме данных, а фрейм данных сортируется в порядке убывания в соответствии со средним значением. Это полезно, если вы хотите быстро увидеть, имеют ли определенные категории более высокие или более низкие значения среднего и/или стандартного отклонения для определенного числового столбца.
def return_statistics(data_frame, categorical_column, numeric_column):
mean = []
std = []
field = []
for i in set(list(data_frame[categorical_column].values)):
new_data = data_frame[data_frame [categorical_column] == i]
field.append(i)
mean.append(new_data[numerical_column].mean())
std.append(new_data[numerical_column]. std())
df = pd.DataFrame({ '{}'.format(categorical_column): field, 'mean {}'.format(numerical_column): mean, 'std in {}'.format(numerical_column): std})
df.sort_values('mean {}'.format(numerical_column), inplace = True, восходящий = False)
df.dropna(inplace = True)
return df
Мы можем просмотреть сводную статистику для «разновидностей» и 'prices':
stats = return_statistics(df, 'разновидности', 'цены')
print(stats.head())
Самая высокая средняя цена сорта Muscadel.
То же самое можно сделать для стран:
stats = return_statistics(df, ‘countries’, ‘prices’)
print(stats.head())
В Англии самая высокая средняя цена.
3. КОРОБОЧНАЯ ДИАГРАММА
Следующая функция — это функция блочной диаграммы. Мы используем ящичные диаграммы для визуализации распределения числовых значений на основе минимума, максимума, медианы, первого квартиля и третьего квартиля. Если вы не знакомы с ними, взгляните на статью Понимание Boxplots.
Подобно функции сводной статистики, эта функция берет фрейм данных, столбец категорий и числовой столбец и отображает диаграммы для наиболее распространенных категорий на основе ограничения:
def get_boxplot_of_categories(data_frame, categorical_column, numeric_column, limit):
импортировать seaborn как sns
импортировать matplotlib.pyplot как plt
keys = []
for i in dict(Counter(df[categorical_column].values).most_common(limit )):
keys.append(i)
print(keys)
df_new = df[df[categorical_column].isin(keys)]
sns.boxplot(x = df_new[categorical_column], y = df_new[numerical_column])

Давайте создадим диаграммы для цен на вино в 5 наиболее часто встречающихся странах:
get_boxplot_of_categories(df, 'country', 'price', 5)
Как мы видим, во всех пяти категориях стран цены на вина имеют значительные отклонения. Мы можем сделать то же самое для «разнообразия». Я ограничил значения категорий тремя странами для лучшей визуализации:
get_boxplot_of_categories(df, 'разнообразие', 'цена', 3)
4. SCATTERPLOT
Последняя функция — это функция диаграммы рассеяния. Эта функция принимает фрейм данных, категориальный столбец, категориальное значение и два числовых столбца в качестве входных данных и отображает диаграмму рассеяния:
def get_scatter_plot_category (data_frame, categorical_column, categorical_value, числовой_column_one, числовой_column_two):
импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать seaborn как snsdf_new = data_frame[data_frame[categorical_column] == categorical_value]
sns.set()
plt.scatter( x= df_new[numerical_column_one], y = df_new[numerical_column_two])
plt.xlabel(numerical_column_one)
plt.ylabel(numerical_column_two)
Let's generate a scatterplot of points vs price for wines in the US:
get_scatter_plot_category(df, 'country', 'US', 'points', 'price')
Кажется, существует небольшая положительная связь между ценой и начисленными баллами. Я остановлюсь здесь, но, пожалуйста, не стесняйтесь экспериментировать с данными и программировать самостоятельно.

2 в 8 степени это: Два в восьмой степени — решение и ответ!

alexxlab / 24.06.202323.04.2023 / Разное

2
Сколько будет 2 в 10 степени?

Сколько будет 2 в 10 степени?
2 в 10 степени Возведение в степень это операция перемножения числа на само себя заданное количество раз. Два в десятой степени равно 1024. Быстро вычислить любое число в любой степени можно с помощью калькулятора возведения в степень. Введите исходное значение числа и степени и нажмите кнопку рассчитать.
Что означает 10 в минус 3 степени?
Нет, 0001. 10 в 3 степени — 1000, а в минус 3 степени. Ваш ответ, это одна сотая = минус 2 степени..
Как найти число в минусовой степени?
Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:
«перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
заменить отрицательную степень на положительную;
возвести число в положительную степень.
Что означает 10 в минус 6 степени?
10 в 6 степени = 1000000 10 в минус 9 степени = 0, 6 * 10 в 18 степени = 6 и ещё 18 нулей.
Сколько будет 10 в минус девятой степени?
Нано — 9Е-10 (10 в минус 9-той степени), приставка для обозначения порядка. Нано — приставка в СИ, одна миллиардная, 10 в минус 9 степени, 1 нм=0.м.
Сколько будет 10 в минус второй степени?
Ответ: 0,01.
Сколько будет 10 в 8 степени?
10 в 8 степени это сколько? Решение: Возведение в степень это операция перемножения числа на само себя заданное количество раз. Десять в восьмой степени равно
Сколько будет 10 в минус первой степени?
Все просто. Например, десять в минус первой степени 101 – это одна десятая часть: 1/10 = 0,1.
Сколько будет 10 в первой степени?
10 в первой степени будет 10.
Сколько будет два в минус первой степени?
Степень с отрицательным показателем К примеру, 4 в минус 2 степени — это 1/42, 2 в минус 3 степени — это 1/23, 3 в минус 1 степени — это 1/3, 10 в минус первой степени — это 1/10 (0,1).
Как умножать в отрицательной степени?
1. Степень с отрицательным показателем
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: a s ⋅ a t = a s + t . …
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого надо вычесть показатель делителя a s : a t = a s − t .
Сколько будет 10 в минус 12 степени?
Приставки для дольных единиц
Десятичный множитель Приставка Обозначение
русская русское
10−9 нано н
10−12 пико п
10−15 фемто ф
Сколько будет 5 2 степени?
Ответ: 25. hendikeps2 и 17 других пользователей посчитали ответ полезным!
Сколько будет 3 в минус второй степени?
3 в минус 2 степени +4 в минус 1 степени= Ответы: это будет одна третья во.
Сколько будет 1 в 100 степени?
1001 = 100, -251 = -25.
Сколько будет два в седьмой степени?
2 в 7 степени Решение: Возведение в степень это операция перемножения числа на само себя заданное количество раз. Два в седьмой степени равно 128.
Сколько будет два в кубе?
Таблица кубов
0 5
1 1000 3375
2 8000 15625
3 27000 42875
4 64000 91125
Сколько будет 2 в 64 степени?
Это около 1000 в шестой степени или 1018, также известное как квинтиллион. Осталось только умножить его на 24 (16), чтобы получить искомое 264. Таким образом, очень приблизительный, но быстрый ответ будет 16 квинтиллионов.
Сколько будет 2 в 8 степени?
2 в 8 степени Возведение в степень это операция перемножения числа на само себя заданное количество раз. Два в восьмой степени равно 256.
Сколько будет 2 в 8-й степени?
Итак, вы хотите знать, сколько будет 2 в 8-й степени, не так ли? В этой статье мы объясним, как именно выполнить математическую операцию под названием «возведение числа 2 в степень 8». Это может показаться фантастическим, но мы объясним это без жаргона! Давай сделаем это.
Что такое возведение в степень?
Давайте сначала зафиксируем наши термины, а затем посмотрим, как вычислить, сколько будет 2 в 8-й степени.
Когда мы говорим об возведении в степень, все, что мы на самом деле имеем в виду, это то, что мы умножаем число, которое мы называем 9) для обозначения показателя степени. Знак вставки полезен в ситуациях, когда вы не хотите или не нуждаетесь в использовании надстрочного индекса.
Итак, мы упомянули, что возведение в степень означает умножение базового числа само на себя для получения показателя степени число раз. Давайте посмотрим на это более наглядно:
2 в 8-й степени = 2 x … x 2 (8 раз)
Итак, каков ответ?
Теперь, когда мы объяснили теорию, лежащую в основе этого, давайте посчитаем числа и выясним, чему равно 2 в 8-й степени:
2 в степени 8 = 2 ⁸ = 256
Почему мы вообще используем возведение в степень, такое как 2 ⁸? Что ж, нам намного проще писать умножения и выполнять математические операции как с большими, так и с маленькими числами, когда вы работаете с числами с большим количеством конечных нулей или большим количеством десятичных знаков.
Надеюсь, эта статья помогла вам понять, как и почему мы используем возведение в степень, и дала вам ответ, который вы изначально искали. Теперь, когда вы знаете, сколько будет 2 в 8-й степени, вы можете продолжить свой веселый путь.
Не стесняйтесь поделиться этой статьей с другом, если вы считаете, что она поможет ему, или перейдите вниз, чтобы найти еще несколько примеров.
Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу
Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!
Сколько будет 2 в 8-й степени?
«Сколько будет 2 в 8-й степени?». VisualFractions.com . По состоянию на 23 апреля 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/exponent/what-is-2-to-the-8th-power/.
«Сколько будет 2 в 8-й степени?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/exponent/what-is-2-to-the-8th-power/. По состоянию на 23 апреля 2023 г.
Сколько будет 2 в 8-й степени?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/exponent/what-is-2-to-the-8th-power/.
Калькулятор возведения в степень
Хотите найти решение еще одной задачи? Введите число и мощность ниже и нажмите «Рассчитать».
Вычисление возведения в степень
Случайный список примеров возведения в степень
Если вы добрались до этого места, вам должно быть ДЕЙСТВИТЕЛЬНО нравится возведение в степень! Вот несколько случайных вычислений:
Сколько будет 41 в 69-й степени?
Сколько будет 45 в 53-й степени?
Сколько будет 56 в 17-й степени?
Сколько будет 76 в 7-й степени?
Сколько будет 13 в 64-й степени?
Сколько будет 37 в 28-й степени?
Сколько будет 14 в 7-й степени?
Сколько будет 79 в 79-й степени?
Сколько будет 3 в 20-й степени?
Сколько будет 36 в 10-й степени?
Сколько будет 33 в 89-й степени?
Сколько будет 70 в 60-й степени?
Сколько будет 67 в 9-й степени?
Сколько будет 21 в 18-й степени?
Сколько будет 7 в 62-й степени?
Сколько будет 52 в 33-й степени?
Сколько будет 54 в 61-й степени?
Сколько будет 65 в 23-й степени?
Сколько будет 93 в 54-й степени?
Сколько будет 50 в 84-й степени?
Сколько будет 92 в 30-й степени?
Сколько будет 44 в 55-й степени?
Сколько будет 90 в 10-й степени?
Сколько будет 72 в 35-й степени?
Сколько будет 50 в 76-й степени?
Сколько будет 45 в 65-й степени?
Сколько будет 29 в 41-й степени?
Сколько будет 79 в 90-й степени?
Сколько будет 23 в 40-й степени?
Сколько будет 11 в 43-й степени?
Сколько будет 50 в 64-й степени?
Сколько будет 92 в 22-й степени?
Сколько будет 90 в 6-й степени?
Сколько будет 46 в 81-й степени?
Сколько будет 57 в 26-й степени?
Сколько будет 9 в 14-й степени?
Сколько будет 32 в 73-й степени?
Сколько будет 75 в 9-й степени?
Сколько будет 31 в 82-й степени?
Сколько будет 75 в 61-й степени?
Сколько будет 61 в 69-й степени?
Сколько будет 28 в 28-й степени?
Сколько будет 3 в 8-й степени?
Сколько будет 41 в 99-й степени?
Сколько будет 47 в 48-й степени?
Сколько будет 25 в 93-й степени?
Сколько будет 67 в 60-й степени?
Сколько будет 56 в 11-й степени?
Сколько будет 88 в 75-й степени?
Сколько будет 87 в 57-й степени?
Сколько будет 98 в 21-й степени?
Сколько будет 4994 во второй степени?
Сколько будет 65 в 71-й степени?
Сколько будет 27 в 24-й степени?
Сколько будет 97 в сотой степени?
Сколько будет 37 в 15-й степени?
Сколько будет 51 в 88-й степени?
Сколько будет 12 в 21-й степени?
Сколько будет 71 в 99-й степени?
Сколько будет 67 в 29-й степени?
Сколько будет 90 в 37-й степени?
Сколько будет 33 в 82-й степени?
Сколько будет 52 в 55-й степени?
Сколько будет 10 в 78-й степени?
Сколько будет 20 в 28-й степени?
Сколько будет 19 в 33-й степени?
Сколько будет 92 в 5-й степени?
Сколько будет 33 в 66-й степени?
Сколько будет 3 в 69-й степени?
Сколько будет 59 в 89-й степени?
Сколько будет 76 в 46-й степени?
Сколько будет 5 в 62-й степени?
Сколько будет 3 в 72-й степени?
Сколько будет 89 в 99-й степени?
Сколько будет 83 в 45-й степени?
Сколько будет 75 в 40-й степени?
Сколько будет 34 в 70-й степени?
Сколько будет 26 в 68-й степени?
Сколько будет 30 в 23-й степени?
Сколько будет 62 в 66-й степени?
Сколько будет 35 в 54-й степени?
Сколько будет 22 в 93-й степени?
Сколько будет 42 в 53-й степени?
Сколько будет 18 в 40-й степени?
Сколько будет 52 в 64-й степени?
Сколько будет 96 в 61-й степени?
Сколько 24 к 29сила?
Сколько будет 100 в 91-й степени?
Сколько будет 83 в 76-й степени?
Сколько будет 83 в 81-й степени?
Сколько будет 72 в 96-й степени?
Сколько будет 29 в 92-й степени?
Сколько будет 317 в 3-й степени?
Сколько будет 54 в 5-й степени?
Сколько будет 72 в 21-й степени?
Сколько будет 25 в 9-й степени?
Сколько будет 16 в 89-й степени?
Сколько будет 55 в 65-й степени?
Сколько будет 58 в шестой степени?
Сколько будет 93 в 79-й степени?
Сколько будет 53 в 79-й степени?
Экспресс 8-2 в виде степени с основанием 2
Показатель степени и степени используются для упрощенного представления очень больших или очень малых чисел. Например, если нам нужно показать 2 × 2 × 2 × 2 простым способом, то мы можем записать это как 2 ⁴ , где 2 — основание, а 4 — показатель степени. Все выражение 24 называется мощностью.
Степень — это значение или выражение, представляющее повторное умножение одного и того же числа или коэффициента. Количество раз, когда основание умножается на себя, является значением показателя степени.
Например:
3 ² = 3 в степени 2 = 3 × 3 = 9
4 ³ = 4 в степени 3 = 40 × 2 4 × 90 показатель степени 3 = 40 × 2 4 × 90 3 = 0 64 числа представляет собой количество раз, которое число умножается само на себя. Например, 2 умножается само на себя n раз:
2 × 2 × 2 × 2 × …..n раз = 2 ⁿ
Приведенное выше выражение 2 ⁿ записывается как 2 возведено в степень n. Поэтому показатели степени также называют степенью или иногда индексами.
Общая форма экспоненты
Экспонента показывает, сколько раз нужно умножить число само на себя, чтобы получить результат. Таким образом, любое число «b», возведенное в степень «p», может быть выражено как:
b ^p = {b × b × b × b × …. × b} p раз
Здесь b — любое число, а p — натуральное число.
b ^p также называется p-й степенью b.
«b» — основание, а «p» — показатель степени, индекс или степень.
«b» умножается «p» раз, и, таким образом, возведение в степень является сокращенным методом повторного умножения.
Законы экспонент
Пусть «b» — любое число или целое число (положительное или отрицательное), а «p1», «p2» — положительные целые числа, обозначающие степень оснований.
Закон умножения
Он гласит, что произведение двух показателей степени с одинаковым основанием и разными степенями равно основанию, возведенному в сумму двух степеней или целых чисел.
b ^p1 × b ^p2 = b ^(p1+p2)
Закон деления
гласит, что две степени равны, затем результаты будут основаны на разнице между обеими степенями.
b ^p1 ÷ b ^p2 = b ^p1 / b ^p2 = b ^(p1-p2) 9097
5 Экспонента Закон
Если основание имеет отрицательную степень, то его можно преобразовать в обратное, но с положительной степенью или целым числом к основанию.
b ^-p = 1/b ^p
Основные правила экспонент например, если есть произведение двух показателей степени, его можно упростить, чтобы упростить вычисления, и оно известно как правило произведения, давайте рассмотрим некоторые из основных правил показателей степени,
Правило произведения ⇢ a ⁿ × a ^m = a ^{n + m}
Частное правило ⇢ a ⁿ / a ^{m 90 – ^m = a} 003
Силовое правило ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m} или ^m √a ⁿ = a ^n/m
Правило отрицательного показателя степени = 10/2 a — 909021 020 м
Нулевое правило ⇢ a ⁰ = 1
Одно правило ⇢ a ¹ = a
Выразите 8
^-2 в виде степени с основанием 2
Решение:
Согласно правилу мощности ⇢ (a ⁿ ) ^m = a ^{n × m}
8 ^-2 = (1/8) ²
= (1/2 ³ ) ²
1 2 0 9 (0
1 2) 2 9 1
= 2 ^-6
Похожие вопросы
Вопрос 1: Экспресс 9 ² как степень с основанием 3.

Десятичный множитель	Приставка	Обозначение
русская	русское
10−9	нано	н
10−12	пико	п
10−15	фемто	ф

	0	5
1	1000	3375
2	8000	15625
3	27000	42875
4	64000	91125

Онлайн калькулятор найти область сходимости ряда: Интервал сходимости степенного ряда

alexxlab / 24.06.202306.05.2023 / Разное

Калькулятор разложения в ряд лорана. Разложение функций в степенные ряды

Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) — это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением — многочленом — является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.

Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α — R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:

Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:

Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:

Определить производные первого, второго, третьего… порядков.
Высчитать, чему равны производные в х=0.
Записать ряд Маклорена для данной функции, после чего определить интервал его сходимости.
Определить интервал (-R;R), где остаточная часть формулы Маклорена

R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.

Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.

1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2… Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:

2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f » (х) = cos х = sin(х+п/2), f «» (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)…, f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:

3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|

Итак, мы перечислили важнейшие функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, однако их дополняют ряды Тейлора для некоторых функций. Сейчас мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются важной частью практикума решения рядов в высшей математике. Итак, ряды Тейлора.

1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в предыдущих примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя общий вид ряда Маклорена. однако для этой функции ряд Маклорена можно получить значительно проще. Проинтегрировав некий геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такого образца:

2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение:

На этом все. В данной статье были рассмотрены наиболее употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей математике, в частности, в экономических и технических вузах.

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x , а c 0 , c 1 , c 2 , c n — постоянные величины. Числа c 1 , c 2 , c n — коэффициенты членов ряда, c 0 — свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

Ознакомимся с понятием области сходимости степенного ряда. Это множество значений переменной x , для которых ряд сходится. Степенные ряды имеют довольно простую область сходимости. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox .

При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд

c 0 +0+0+…+0+… ,

который сходится.

Следовательно, при x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы.

Теорема 1 (теорема Абеля) . Если степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях |x | x 0 | . Обратите внимание: и отправное значение «икс нулевое» и любое значение «икса», которое сравнивается с отправным, взяты по модулю — без учёта знака.

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то он расходится и при всех значениях |x | > |x 1 | .

Как мы уже выяснили ранее, любой степенной ряд сходится при значении x = 0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x = 0 и расходятся при остальных значениях х . Исключая из рассмотрения этот случай, предположим, что степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля. Тогда, по теореме Абеля, он сходится во всех точках интервала ]-|x 0 |, |x 0 |[ (интервала, левой и правой границами которого являются значения икса, при котором степенной ряд сходится, взятые соответственно со знаком минус и со знаком плюс), симметричного относительно начала координат.

Если же степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то на основании следствия из теоремы Абеля он расходится и во всех точках вне отрезка [-|x 1 |, |x 1 |] . Отсюда следует, что для любого степенного ряда имеется интервал , симметричный относительно начала координат, называемый интервалом сходимости , в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться, при чем не обязательно одновременно, а вне отрезка ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x = 0 и считается, что R = 0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что ).

Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).

Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, т. е..

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости . В примере 13 показано, что данный ряд сходится при x = 1 и расходится при x = -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Коэффициенты ряда положительны, причём

Найдём предел этого отношения, т.е. радиус сходимости степенного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала . Подстановка значений x = -1/5 и x = 1/5 в данный ряд даёт:

Первый из этих рядов сходится (см. пример 5). Но тогда в силу теоремы параграфа «Абсолютная сходимость» сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

По формуле (28) находим радиус сходимости ряда:

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд, соответственно получим

Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал .

Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Находимо отношение , где , а :

Согласно формуле (28) радиус сходимости данного ряда

то есть ряд сходится только при x = 0 и расходится при остальных значениях х .

Примеры показывают, что на концах интервала сходимости ряды ведут себя различно. В примере 1 на одном конце интервала сходимости ряд сходится, а на другом – расходится, в примере 2 – на обоих концах сходится, в примере 3 – на обоих концах расходится.

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Поэтому применение формулы (28) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать с помощью признака Даламбера , или же, сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.

Пример 6. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд не содержит членов с нечётными степенями х . Поэтому преобразуем ряд, полагая . Тогда получим ряд

для нахождения радиуса сходимости которого можно применить формулу (28). Так как , а , то радиус сходимости этого ряда

Из равенства получаем , следовательно, данный ряд сходится на интервале .

Сумма степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пусть для степенного ряда

радиус сходимости R > 0, т.е. этот ряд сходится на интервале .

Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая её через f (x ), можем записать равенство

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции f (x ) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что степенной ряд (29) сходится к функции f (x ) на интервале сходимости.

Вне интервала сходимости равенство (30) не имеет смысла.

Пример 7. Найти сумму сумму степенного ряда

Решение. Это геометрический ряд, у которого a = 1, а q = x . Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если , а — его интервал сходимости. Поэтому равенство

справедливо лишь для значений , хотя функция определена для всех значений х , кроме х = 1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда f (x ) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке внутри интервала сходимости, в частности в любой точке интервала сходимости ряда.

Приведем теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

Теорема 1. Степенной ряд (30) в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что исходный ряд, а суммы их соответственно равны .

Теорема 2. Степенной ряд (30) можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х , если , причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

Разложение функций в степенные ряды

Пусть дана функция f (x ), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде (30):

Задача состоит в определении коэффициентов ряда (30). Для этого, дифференцируя равенство (30) почленно, последовательно найдём:

……………………………………………….. (31)

Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим

Подставляя найденные выражения в равенство (30), получим

(32)

Найдём разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

Пример 8. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Производные этой функции совпадают с самой функцией:

Поэтому при х = 0 имеем

Подставляя эти значения в формулу (32), получим искомое разложение:

(33)

Этот ряд сходится на всей числовой прямой (его радиус сходимости ).

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а .

Если для некоторого значения х r n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:

1) она имеет производные всех порядков;

2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :

Пример 1 f(x)= 2 x .

Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0

f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2 x ln2, f¢(0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥x

Пример 2 х +4) для функции f(x)= e x .

Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.

f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;

f¢(x) = е x , f¢(-4) = е -4 ;

f¢¢(x) = е x , f¢¢(-4) = е -4 ;

f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -¥x

Пример 3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),

(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).

Решение . Находим производные данной функции.

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

½х- 1½

Ряд сходится, если ½х- 1½x х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х =0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х =0) для некоторых элементарных функций:

(2) ,

(3) ,

(последнее разложение называют биномиальным рядом)

Пример 4 . Разложить в степенной ряд функцию

Решение . В разложении (1) заменяем х на –х 2 , получаем:

Пример 5 . Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение . Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х , получим:

Отсюда находим:

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

Этот ряд сходится в интервале

(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример 6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.

Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3x- 3x

Пример 7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции .

Решение .

Ряд сходится при , или -2 x £ 5.

Числовые ряды, ряды фурье и преобразование Фурье

Задание 1

Исследовать на сходимость числовые ряды.

А)

Б)

Решение

А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:

При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

— следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится абсолютно.

Б) Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Следовательно, исходный ряд расходится, так как расходится соответствующий несобственный интеграл.

Задание 2

Исследовать знакочередующийся ряд На абсолютную и условную сходимость.

Решение

1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

;

Используем 2й признак сравнения:

Так как ряд расходится как обобщённый гармонический. Следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.

Исследуем ряд на условную сходимость.

Так как ряд сходится по признаку Лейбница (,) , то сходится условно по 2му признаку сравнения и ряд

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Задание 3

Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

Решение

Найдём интервал сходимости ряда ,

Тогда или , .

Ряд сходится абсолютно на интервале (-8;-2)

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:

При x=-8 исходный ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:

Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле

Расходится при р<1), то ряд не сходится абсолютно.

Данный ряд сходится условно по признаку Лейбница: И .

При х=-2 исходный ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд расходится.

Значит степенной ряд имеет интервал абсолютной сходимости: . В т. х=-8 ряд сходится условно.

Задание 4

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти , если Варианта.

А)

Б)

Решение

А) Преобразуем исходное выражение:

Тогда используем стандартное разложение:

, тогда

Используем стандартное разложение:

, тогда

Подставим:

Б) Преобразуем исходную функцию к виду:

Воспользуемся стандартным разложением:

Имеем окончательно:

Задание 5

Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.

Решение

Исходя из неравенств

на

Максимум числителя при n=2, то есть , 3/2<2

Минимум знаменателя на при ,

Имеем: — мажорирующий ряд.

Если мажорирующий ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно.

Ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.

Следовательно, мажорирующий ряд сходится.

А значит сходится и функциональный ряд на промежутке .

Задание 6

А) Разложить функцию , заданную па полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?

Б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

В) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее па полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

Решение

а) Доопределим функцию на промежутке чётным образом и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. — чётная функция. Тригонометрический ряд Фурье содержит только косинусы. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

, следовательно

Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .

При Имеем и

Равенство Парсеваля:

, так как , то

Б) Доопределим функцию на промежутке нечётным образом, а значение в т : и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. Согласно теореме Дирихле тригонометрический ряд Фурье такой функции будет сходиться к этой функции во всех точках непрерывности. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.

Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .

Так как функция кусочно-дифференцируема на то ряд Фурье сходится в среднем на

В) Разложим в ряд Фурье функцию

Т=2

Вычислим коэффициенты Фурье этой функции

, следовательно

Ряд Фурье имеет вид:

Ряд Фурье сходится в среднем (аналогично пункту б)

Задание 7

Методом Фурье найти решение уравнения колебания струны длины , закреплённой на концах и удовлетворяющей следующим

Начальным условиям: ,

Решение

Решение ищем в виде ряда

, где l=2 по условию.

Так как , а По условию, то решение имеет вид:

, где

Окончательно:

Задание 8

Найти приближённое решение задачи Коши ; ;

Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой , содержащей N + 1 член рада, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получающиеся степенные ряды знакочередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила 0,001 при .

Решение

Ищем решение в виде: , тогда

Используя начальные условия, найдём значения двух коэффициентов ; .

Подставим ряды в заданное уравнение и приводим подобные члены. Получаем:

Приравнивая все коэффициенты ряда, стоящего в первой части, к нулю (только при таком условии ряд будет тождественно равен нулю), получим систему:

,, , , тогда из которой определяем следующие значения всех остальных коэффициенов

, ,,…,,…

Таким образом искомый частный интеграл данного уравнения есть степенной ряд

, который сходится при любом значении x (согласно признаку Даламбера )

Оценим погрешность. Она не должна превосходить 0,001 при

Так как , то достаточно взять первые 2 члена ряда

Задание 9

Приближенно вычислить определенный интеграл

Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближения не должна превышать 0.0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.

Решение

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена

, при

Тогда

Имеем

Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.0001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью

Задание 10

А) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).

Б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0,Т] (или [-Т/2,Т/2], см. рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.

Решение

а) Найдём функцию, по рисунку. Прямая проходит через 2 точки: И . Запишем уравнение искомой прямой: . Имеем:

Следовательно, исходный сигнал описывается следующей формулой:

Спектральную плотность S(u) найдем с помощью прямого преобразования Фурье:

Первый интеграл берем по частям: U=t dU=dt dV=e-jutdt V=-(e-jut)/(ju),

Б) Продолжим функцию нечётным образом, тогда

Ряд Фурье имеет вид:

Графики частичных сумм:

< Предыдущая		Следующая >

Калькуляторы численных методов

Главная > Калькуляторы численных методов

Уровень образования	Средняя школа, гимназия и колледж
Назначение программы	Предоставляйте пошаговые решения ваших задач с помощью онлайн-калькуляторов (онлайн-решателей)
Источник проблемы	Ваш учебник и т. д.

1. Найдите корень уравнения с помощью
1. Метод деления пополам
2. Метод ложного позиционирования
3. Итерационный метод с фиксированной точкой
4. Метод Ньютона Рафсона
5. Метод секущих
6. Метод Мюллера
7. Метод Галлея 9полиномиальное уравнение (й) степени)
11. Метод Бэрстоу

2. Найдите корни нелинейных уравнений, используя
Модифицированный метод Ньютона-Рафсона (Многомерный метод Ньютона-Рафсона)

3. Числовая интерполяция с использованием
0. Наиболее подходящая формула (от 2 до 10)
1. Формула прямой разности Ньютона
2. Формула обратной разности Ньютона
3. Формула интерполяции разделенной разности Ньютона
4. Интерполяционная формула Лагранжа
5. Обратная интерполяционная формула Лагранжа
6. Формула Гаусса вперед
7. Обратная формула Гаусса
8. Формула Стирлинга
9. Формула Бесселя
10. Формула Эверетта
11. Формула Эрмита
12. Отсутствующие члены в интерполяционной таблице

4.1 Численное дифференцирование с использованием
1. Наиболее подходящая формула (от 2 до 7)
2. Формула прямой разности Ньютона
3. Формула обратной разности Ньютона
4. Формула разделенной разности Ньютона
5. Формула Лагранжа
6. Формула Стирлинга
7. Формула Бесселя

4.2 Численное дифференцирование первого и второго порядка с использованием
1. 2 точки Вперед, Назад, Формула центральной разности
2. 3 точки Вперед, Назад, Формула центральной разности
3. 4 точки Вперед, Назад, Формула центральной разности
4. 5 баллов вперед, формула центральной разницы

4.3 Экстраполяционная формула Ричардсона для дифференцирования

5. Численное интегрирование с использованием
1. Трапециевидная линейка
2. Правило 1/3 Симпсона
3. Правило 3/8 Симпсона
4. Правило Буля
5. Правило Уэдла

6.1 Решить числовое дифференциальное уравнение (1-го порядка) с помощью
1. Метод Эйлера
2. Метод Рунге-Кутта 2
3. Метод Рунге-Кутта 3
4. Метод Рунге-Кутта 4
5. Усовершенствованный метод Эйлера
6. Модифицированный метод Эйлера
7. Метод ряда Тейлора
8. Метод предиктора Адамса Башфорта
9. Метод корректора предиктора Симпсона Милна

6. 2 Решите числовое дифференциальное уравнение (2-го порядка), используя
1. Метод Эйлера
2. Метод Рунге-Кутта 2
3. Метод Рунге-Кутта 3
4. Метод Рунге-Кутта 4

7. Интерполяция кубическим сплайном

2. Численное дифференцирование 92)` для х = 2,2.

х	1,0	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	2,2
у	2,7183	3.3201	4.0552	4,9530	6.0496	7.3891	9.0250

3. Численная интеграция

Численное интегрирование с использованием правил трапеций, Симпсона 1/3, Симпсона 3/8

1. Из следующей таблицы найдите площадь, ограниченную кривой и осью x из от x = 7,47 до x = 7,52 с использованием правил трапеций, Симплсона 1/3, Симплсона 3/8.

х	7,47	7,48	7.49	7,50	7.51	7,52
ф(х)	1,93	1,92+y)`, y(0) = 1, с шагом 0,1 5. Найти y(0,2) для `y’=-y`, y(0) = 1, с шагом 0,1

4. Численная интерполяция

Числовая интерполяция с использованием прямого и обратного метода

1. Население города при десятичной переписи было таким, как указано ниже. Расчет населения на 1895 год.

Год	1891	1901	1911	1921	1931
Население (в тысячах)	46	66	81	93	101

2. Пусть y(0) = 1, y(1) = 0, y(2) = 1 и y(3) = 10. Найдите y(4), используя формулу прямой разности Ньютона.

3. В приведенной ниже таблице значения y являются последовательными членами ряда, в котором число 21,6 является 6-м членом. Найдите 1-й и 10-й члены ряда.

Х	3	4	5	6	7	8	9
Д	2,7	6,4	12,5	21,6	34,3	51,2	72,9

4. Население города при десятичной переписи было таким, как указано ниже. Расчет населения на 1895 год.

Х	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30
желто-коричневый(X)	0,1003	0,1511	0,2027	0,2553	0,3073

Найти (1) тангенс 0,12 (2) тангенс 0,26

5. Некоторыми значениями x и log10x являются (300,2,4771), (304,2,4829), (305,2,4843) и (307,2,4871). Найдите лог10 301.

6. Найдите интерполяционный многочлен Лагранжа степени 2, аппроксимирующий функцию y = ln x, определенную следующей таблицей значений. Отсюда находим пер. 2.7

Х	2	2,5	3
пер(Х)	0,69315	0,91629	1.09861

7. Используя следующую таблицу, найдите f(x) как многочлен от x

х	-1	0	3	6	7
ф(х)	3	-6	39	822	1611

Поделитесь этим решением или страницей с друзьями.

калькулятор дивергенции или конвергенции — Google

AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping

suchoptionen

Series Calculator — Symbolab

www. symbolab.com › Step-by-Step › Calculus

Бесплатный калькулятор сходимости рядов — проверка бесконечного ряда для сходимость шаг за шагом.

Калькулятор сходимости серии

· Абсолютная сходимость · Power Series

Калькулятор сходимости рядов

mathforyou.net › онлайн › исчисление › сходимости

Онлайн калькулятор проверки сходимости различных рядов.

Калькулятор теста сходимости + онлайн-решатель с бесплатными шагами

www. storyofmathematics.com › math-calculators › c… Калькулятор тестов вергенции — это онлайн-инструмент предназначен для определения того, является ли ряд сходящимся или расходящимся. Тест конвергенции очень особенный в этом …

конвергентный ряд — Wolfram|Alpha

www.wolframalpha.com › input

Вычисляйте ответы, используя революционную технологию и базу знаний Wolfram, на которые полагаются миллионы студентов и профессионалов. Для математики, естественных наук, питания, …

Калькулятор серий и сумм с шагами — eMathHelp

www.emathhelp.net › калькуляторы › исчисление-2 › серия…

Этот калькулятор попытается найти бесконечность сумма арифметического, геометрического, степенного и биномиального рядов, а также частичная сумма с указанием шагов (если.

Калькулятор неправильных интегралов — сходящиеся/расходящиеся интегралы

calculate-online.net › калькулятор неправильных интегралов

Но если пределы не являются числом, то данный интеграл расходится. Теперь обсудим случай, когда наш несобственный интеграл имеет два бесконечных предела. В …

Калькулятор сходимости рядов — Обмен файлами — MATLAB Central

fr.mathworks.com › matlabcentral › 72141-series-co…

Этот скрипт находит сходимость или расхождение бесконечных рядов, вычисляет сумма, обеспечивает график частичной суммы и вычисляет радиус и интервал …

Серия тестов для калькулятора сходимости или расхождения

ugq.spremberger-kulturbund.de › blog › test-series-…

Калькулятор сходимости или расхождения с шагами Бесплатный калькулятор теста дивергенции серии — Проверка …

Divergence Divergence Online Calculator App

1T9NP.BEZECZNEZBIORY.EU ›Convergence -Divergen …

Неточный калькулятор — Convergent/Divergent. Поскольку значение интеграла не является конечным числом, то интеграл расходится.

Калькулятор сходимости или расхождения последовательности

yifp.

Калькулятор степенные корни: Онлайн калькулятор: Корень и степень

alexxlab / 24.06.202325.05.2023 / Разное

Реферат «Извлечение квадратных корней без микрокалькулятора»

Научно-практическая конференция «Секция математики»

Извлечение квадратных корней без калькулятора

Выполнила:

Мыздрикова Анна

Ученица 8 класса Г

МБОУ «Гимназия № 22»

(Алтайский край, г.Барнаул)

Руководитель:

Нежибецкая Елена Викторовна

Учитель математики

Барнаул — 2017

Оглавление

Введение ….…………………………………………….………………………………………………….. 4

Глава 1. Способ разложения на простые множители ………………………………. 5

Глава 2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел …. 6

Глава 3. Формула Древнего Вавилона ………………………………………………………… 7

Глава 4. Через решение уравнения ……………….…………………………………………… 8

Глава 5 Способ отбрасывания полного квадрата ……….…………………………..….. 9

Глава 6. Метод Ньютона……………………………………………………………………………… 10

Глава 7. Геометрический метод …………….……………………………………..……………. 11

Глава 8. Графический метод ………………………………………………………..……………. 12

Глава 9. Метод вещественного анализа функции у=√х ……………………… 13

Глава 10. Канадский метод …………………………………………………………………………. 10

Глава 11. Метод вычетов нечётного числа ……………………………………………….. 14

Заключение …………………………………………………………………..……………………… 19 — 20

Список литературы …………………………….……………………………………………………….. 21

Приложения ……………………………………………………………………………………………. 22 — 27

Актуальность исследования : распространение алгоритмов извлечения корней среди учащихся, что особенно актуально при сдаче экзаменов, где запрещён калькулятор , а также использовать эти знания при работе с квадратным корнем.

Цель работы: изучить все известные способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.

Задачи:

1. Проанализировать путём соцопроса умение учащихся, преподавателей и родителей извлекать квадратные корни без калькулятора.

2. Изучить всю найденную литературу по данному вопросу

3. Рассмотреть особенности каждого найденного способа и описать его алгоритм.

4. Оценить все найденные способы, и выбрать самый лучший.

5. Познакомить с результатами полученных исследований одноклассников и создать буклет – памятку по самым интересным алгоритмам.

Гипотеза: Существует не менее двух-трёх способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Объект исследования: Квадратный корень.

Предмет исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы исследования:

1. Анализ опроса по изучаемой теме.

2. Поиск способов и алгоритмов.

3. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков.

4. Подтверждение правильности разных способов на практике.

Введение

При изучении темы квадратных корней по алгебре, которая в одно и то же время «переплеталась» с изучением теоремы Пифагора по геометрии, на уроках и дома приходилось часто пользоваться калькулятором и таблицей квадратов. Но не всегда эти предметы были под рукой. И уже тогда возник вопрос, как же быть в этих случаях, когда на экзаменах пользование калькулятором запрещено. Таблица квадратов целых чисел не всегда поможет(к примеру корень из 5,7,3).

Все знают, что извлечь квадратный корень без калькулятора – это очень сложно. В том случае если калькулятора нет под рукой, прибегают к методу подбора или стараются вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда помогает. И в эту ситуацию попадали многие из нас. Я решила что выучить всю таблицу квадратов двузначных чисел у меня не получится, да и калькулятор пронести на экзамен тоже не получится. Но а найти какие-нибудь простые способы вычисления квадратного корня у меня точно получится.

Глава 1. Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84

Многие ребята принимают его почти успешно. Извлечение корня таким способом очень трудоемкая задача и не все с этой задачей справляются. К примеру, попробуем извлечь корень из числа 567890, при разложении на простые множители получается вот такая запись : 567890 | 2

283945 | 5

56789 | ? (56789)

И как же быть с этим примером? Ведь считать в уме столь большие числа не получится. А ответ мы так и не получили. Поэтому способ не сильно нам поможет. И без помощи калькулятора нам не обойтись.

Глава 2. Способ использования таблицы квадратов

двузначных чисел

Этот способ очень прост, и даёт очень точный ответ (до десятых). Но для этого метода понадобится таблица квадратов. (Таблицу можно найти в интернете и во всех учебниках за 8 класс также таблица прилагается на экзамене в качестве справочного материала. )

Всё очень просто: закройте две последние цифры числа, в таблице и найдите нужное вам, не превосходящее подкоренное число, и далее действуйте по правилам этой таблицы.

Рассмотрим на примере. Найдём значение √74.

Закрываем две последние цифры у всех чисел в таблице и находим близкие для 74 – таких только два 7396 и 7569. Но 75 – это уже много.

Значит, остаётся только одно – 7396.

Левый столбик даёт ответ 8 (это целых), а верхняя строчка 6 (это десятых). Значит √74≈ 8.6. Проверим на МК √74 ≈ 8.60232526704.

Быстро, удобно, а главное очень просто. И этот способ точно пригодиться на экзамене, но корень больше 100 этим способом уже не получиться извлеч.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа х.

Число х они представляли в виде суммы а²+ b, где а²_{ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а и пользовались формулой:}

Глава 3. Формула Древнего Вавилона

Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа 28:

Ответ с помощью МК = 5.29150262212. Как уже видно ответ совпал. Этот способ хорош и прост, но также как и все методы имеет несколько минусов:

Нужно запомнить формулу , и без знания полных квадратов вычислить будет очень сложно.

Глава 4. Через решение уравнения

Способ этот дает возможность вычислить значение корня с точностью до одного — двух знаков после запятой, а, при желании, достичь и большей точности. В чем его суть рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение корня 17.Сначала определим границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа 16 = 4² и 25 = 5², поэтому √16 < √17 < √25 и 4 < √17 < 5.

Пусть х – это та разница, на которую отличны друг от друга √16 и √17,

следовательно √17 = 4 + х. Возведем в квадрат обе части полученного уравнения (√17) ² = (4 + х)² и раскроем скобки при помощи формулы суммы квадрата:

17 = (4 + х)² = 16 + 8х + х².

Так как мы рассчитываем получить результат с точностью до десятых или до сотых, а х² явно достаточно малая дробь, то ей вполне можно пренебречь.

В результате приходим к простому линейному уравнению 17 = 16 + 8х.

Решив его, получаем значение: х = 0,125. Значит √ 17 ≈ 4 + 0,125 ≈ 4,125 .

На самом деле, при расчете на калькуляторе, значение этого корня равно 4,1231056, то есть погрешность при нашем расчете составила 0,0018944 – это менее двух тысячных. Не правда ли, вполне приличная точность!

Но если все же решение задач по математике требует еще большей точности, то можно достичь ее тем же способом, просто продолжив вычисления с уже полученным значением корня.

Глава 6. Способ отбрасывания полного квадрата

( только у четырехзначных чисел)

Сразу стоит уточнить, что этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа.

1) Извлечение корней до числа 75² = 5625

Например: √¯3844 = √¯ 3700 + 144 = 37 + 25 = 62.

Число 3844 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 144, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (37) прибавляем всегда 25. Получим ответ 62.

Так можно извлекать только квадратные корни до числа 75² =5625!

2) Извлечение корней после числа 75² = 5625

Как же устно извлечь квадратные корни из чисел больше 75² =5625?

Например: √7225 = √7000 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Поясним,7225 представим в виде суммы 7000 и выделенного квадрата 225. Затем к числу сотен прибавить квадратный корень из 225, равный 15.

Получим ответ 85.

Возможно,этот способ мало изучен или имеет какие – то исключения.

Он достаточно сложен в запоминании из – за двойственности алгоритма и применим только для четырёхзначных чисел точных корней, но я проработала множество примеров и убедилась в его правильности. Кроме всего этот способ доступен тем, кто уже запомнил наизусть квадраты чисел от11 до 29, ведь без их знания он будет бесполезен.

Глава 7. Метод Ньютона

Этот приближенный метод извлечения квадратного корня без использования калькулятора разработал Исаак Ньютон, но открыл его ещё раньше (около 100 г. н.э.) один из математиков древнего мира Герон Александрийский. Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем:

Пусть а₁ — первое приближение числа √ х (в качестве а₁ можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата,

не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а₂ числа √ х найдется по формуле.

Третье, еще более точное приближение

и так далее до любой точности

(n+1) — е приближение √ х найдется по формуле

Нахождение приближенного значения числа√2 методом Ньютона дает следующие результаты: а₁= 1,4; а₂= 1,41; а₃= 1,415.

Указанный способ Герона позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

Глава 8. Геометрический метод

(с использованием циркуля и измерительной линейки с прямым углом или угольника)

Прежде всего стоит заметить, что использование этого метода обещает значительные погрешности, которые могут зависеть и от чистоты построения чертежей, и от точности измерительных инструментов.

Этот метод предполагает знание двух теорем геометрии:

а) Нахождение высоты прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла ( h = √ a∙b)

, но если

, то

[9],[7]

б) Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности ĿАВС= 90º

А подробнее это можно описать так: Положите перед собой чистый лист, циркуль и карандаш с линейкой. Попробуем геометрическим способом извлечь квадратный корень числа 7. Работаем в сантиметрах.

Начертим отрезок АС = АН + НС, то есть АС = 1+ 7 = 8(см)

Найдём середину АС – точку О (АО = ОС) и при помощи циркуля построим окружность с центром О и радиусом ОС и отметим точку Н на отрезке АС так, что АН = 1 см. и построим перпендикуляр НВ в точке Н к отрезку АС.

Измерим длину полученного отрезка ВН. Получили 2 см и 6 мм.

Этот результат и будет примерно равен √7.

Вывод: геометрическим способом нашли результат √7 ≈ 2,6

Минусы этого способа сразу понятны: неточность в измерениях и построении, однако его можно применять в ситуациях недоступности калькулятора и отсутствия клеточной бумаги, что тоже иногда может спасти ситуацию.

Глава 8. Графический метод.

Он полностью основан на графическом решении уравнения b= х², полученном из √ b= х путём возведения в квадрат первого. С алгоритмом решения этого уравнения знаком каждый школьник: Построим на клеточной бумаге в одной системе координат два графика функций у = b и у = х². Найдём точку пересечения в первой четверти системы координат. Абсцисса этой точки и будет соответствовать значению квадратного корня из числа b.

Например, поработаем с √11

Решим графически уравнение 11= х².

у =11 – прямая, параллельная оси абсцисс, а у = х² — классическая парабола.

При построении на клеточной бумаге х = 3,3, а точное вычисление МК = 3,3166.

Какие же неудобства и трудности испытывают при применении такого способа решения данной проблемы:

Предварительная подготовка — построение графика параболы.

Ограничение размером тетрадного листа (о чём сразу предупреждали), поэтому невозможно извлечение чисел, больших 40, так как длина тетрадного листа 40 клеток. Неточность в построении кривых линий и получение больших погрешностей, в отличие от других методов.

Глава 9. Метод вещественного анализа

элементарной функции у = √х

Полностью такой же, как и предыдущий, но только рассматривается другой график. Все плюсы и минусы этих методов очень схожи.

Глава 10. Канадский метод

Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх знаков после запятой. Вот их формула:

√ X = √ S + (X — S) / (2 √ S), гдеX — число, из которого необходимо извлечь квадратный корень, а S — число ближайшего точного квадрата.

Давайте попробуем извлечь квадратный корень из 75

X = 75, S = 81. Это означает, что √ S = 9.

Просчитаем по этой формуле √75: √ 75 = 9 + (75 — 81) / (2∙ 9)
√ 75 = 9 + ( — 6/18 ) = 9 — 0,333 = 8,667

Метод несложный и удобный.

Глава 11. Метод вычетов нечётного числа

Он заключается в том, чтобы последовательно вычитать нечётные числа 1,3,5,7 и т.д. пока не дойдете до нуля, а затем подсчитать число вычитаний. Это и будет ответ.
Например, чтобы получить квадратный корень из 36 и 121 это:

36 — 1 = 35 — 3 = 32 — 5 = 27 — 7 = 20 — 9 = 11 — 11 = 0 [7]

Общее количество вычитаний = 6, поэтому квадратный корень из 36 = 6.

121 — 1 = 120 — 3 = 117- 5 = 112 — 7 = 105 — 9 = 96 —11 = 85 – 13 = 72 — 15 = 57 – 17 = 40 —19 = 21 — 21 = 0

Общее количество вычитаний = 11, поэтому √121 = 11.

Российские учёные называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня, а за глаза «методом черепахи» из-за его медлительности.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа, например, 5963364 этим способом и вы поймёте, что он «работает», безусловно, без погрешностей для точных корней, но очень — очень длинный в решёнии.

Заключение

Приложение 1

Литература и сайты Интернета:

1. Мордкович А.Г. Алгебра, 8 класс, учебник — Москва, Мнемозина, 2005г

2. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7- 9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990 г.

3. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.

4. http://festival.1september.ru

5. http://translate.google.ru/translate

6. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm

7. http://www.life123.com/question/Square-Root-without-a-Calculator

8. http://www.megabotan.ru/pages/

9. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

Представим, что 29 = 25 + 4 =5²+ 4 = 5²(1+ 4/25) = 5²(1+ 0,16), тогда

√29 = √5²( 1 + 0,16) и отсюда 0,16 = х.

Осталось применить формулу степенного ряда:

√1 + х =1 + (1/2)х — (1/2) (1/4) х² + (1/2) (1/4) (3/6) х³ — (1/2) (1/4) (3/6) (5/8)х4 +

Для начала мы договоримся, число из которого нужно извлечь корень это площадь квадрата.   Первое, что нужно сделать — составить таблицу:
x | x² | x²- (x-1)² |
1 | 1² = 1 | 1- 0 = 1 |
2 | 2² = 4 | 4 -1= 3 |
3 | 3² = 9 | 9 – 4 = 5 |
4 | 4² = 16 | 16 — 9 =7 |
5 | 5² = 25 | 25 -16 = 9 |
6 | 6² = 36 | 36 – 25 = 11 |
7 | 7² = 49 | 49 -36 =13 |
8 | 8² = 64 | 64 – 49 = 15 |
9 | 9² = 81 | 81- 64 =17 |
10 | 10²=100 | 100 — 81=19 | .
Обратите внимание на правую часть таблицы, например, 25-16=9. Если к результату прибавить 1 и разделить на 2, то получим квадрат из 25 (9+1):2=5.      А если отнять 1 и снова разделить на 2, то получим квадрат из 16 (9-1):2= 4!!!
Теперь напишем формулу. Пусть a — площадь малого квадрата, b — площадь большого квадрата, c — разность сторон, x — сторона большого квадрата,           x=(b-a-c²):2c
Пример: a=9, b=2809, c=50, x=(2809-9+50²):2∙50, x=(2800+2500):100, x=5300:100, корень из 2809 это 53!
Снова обратимся к правой части таблицы. Числа постоянно увеличиваются на два — 1; 3; 5… Очевидно, что это арифметическая прогрессия. К тому же, если складывать эти числа, то рано или поздно получим число, из которого нужно извлечь корень. Тогда к последнему слагаемому прибавить 1 и разделить на 2, корень будет найден!

Пример №1: Нужно извлечь корень из 16. 1+3+5+7=16 16=16! Последнее слагаемое было 7, пишем (7+1):2=4. Корень из 16 равен 4. А можно просто сосчитать, сколько чисел мы сложили, это и будет ответом! 1 — первое число, 3 — второе число, 5 — третье число, 7 — четвертое число, значит ответ 4! Но если сумма чисел окажется больше, чем число, из которого извлекаете корень, тогда последнее слагаемое считать не надо, вам останется, лишь подобрать десятые, сотые доли. [8]

Приложение 7

Схема подбора целочисленных значений катетов для ряда от √2 до √98 при использовании логического метода с использованием теоремы Пифагора:

(Результаты моих исследований)

Для √50 – два варианта решения: катеты 7 и 1; катеты 5 и 5.

Библиотека Sympy: символьные вычисления в Python

Что такое SymPy? Это библиотека символьной математики языка Python. Она является реальной альтернативой таким математическим пакетам как Mathematica или Maple и обладает очень простым и легко расширяемым кодом. SymPy написана исключительно на языке Python и не требует никаких сторонних библиотек.

Документацию и исходный код этой библиотеки можно найти на ее официальной странице.

Первые шаги с SymPy

Используем SymPy как обычный калькулятор

В библиотеке SymPy есть три встроенных численных типа данных: Real, Rational и Integer. С Real и Integer все понятно, а класс Rational представляет рациональное число как пару чисел: числитель и знаменатель рациональной дроби. Таким образом, Rational(1, 2) представляет собой 1/2, а, например, Rational(5, 2) — соответственно 5/2.

import sympy as sym
a = sym.Rational(1, 2) # дает 1/2
a * 2 # дает 1

Библиотека SymPy использует библиотеку mpmath, что позволяет производить вычисления с произвольной точностью. Таким образом, ряд констант (например, пи, e), которые в данной библиотеке рассматриваются как символы, могут быть вычислены с любой точностью.

sym.pi**2 # результат pi**2
sym.pi.evalf() # результат 3.14159265358979
(sym.pi + sym.exp(1)).evalf() # результат 5.85987448204884

Как можно заметить, функция evalf() дает на выходе число с плавающей точкой.

В SymPy есть также класс, представляющий такое понятие в математике, как бесконечность. Он обозначается следующим образом: oo.

sym.oo > 99999 # результат True
sym.oo + 1 # результат oo

Символы

В отличие от ряда других систем компьютерной алгебры, в SymPy можно в явном виде задавать символьные переменные. Это происходит следующим образом:

x = sym.Symbol('x')
y = sym.Symbol('y')

После их задания, с ними можно производить различные манипуляции.

x + y + x - y # результат 2*x
(x + y) ** 2 # результат (x + y)**2

С символами можно производить преобразования с использованием некоторых операторов языка Python. А именно, арифметических (+, -`, ``*, **) и логических (&, |, ~) .

Библиотека SymPy позволяет задавать форму вывода результатов на экран. Обычно мы используем формат такого вида:

sym.init_printing(use_unicode=False, wrap_line=True)

Алгебраические преобразования

SymPy способна на сложные алгебраические преобразования. Здесь мы рассмотрим наиболее востребованные из них, а именно раскрытие скобок и упрощение выражений.

Раскрытие скобок

Чтобы раскрыть скобки в алгебраических выражениях, используйте следующий синтаксис:

sym. expand((x + y) ** 3)

?³+3?²?+3??²+?³

3 * x * y ** 2 + 3 * y * x ** 2 + x ** 3 + y ** 3

?³+3?²?+3??²+?³

При помощи ключевого слова можно добавить поддержку работы с комплексными переменными, а также раскрытие скобок в тригонометрических функциях.

sym.expand(x + y, complex=True)#результат re(?)+re(?)+?im(?)+?im(?)
sym.expand(sym.cos(x + y), trig=True)
# результат −sin(?)sin(?)+cos(?)cos(?)

Упрощение выражений

Если вы хотите привести выражение к более простому виду (возможно, сократить какие-то члены), то используйте функцию simplify.

sym.simplify((x + x * y) / x) # результат y + 1

Также надо сказать, что для определенных видов математических функций существуют альтернативные, более конкретные функции для упрощения выражений. Так, для упрощения степенных функций есть функция powsimp, для тригонометрических —trigsimp, а для логарифмических — logcombine, radsimp.

Вычисления

Вычисления пределов

Для вычисления пределов в SymPy предусмотрен очень простой синтаксис, а именно limit(function, variable, point). Например, если вы хотите вычислить предел функции f(x), где x -> 0, то надо написать limit(f(x), x, 0).

sym. limit(sym.sin(x) / x, x, 0) # результат 1

Также можно вычислять пределы, которые стремятся к бесконечности.

sym.limit(x, x, sym.oo) # результат oo
sym.limit(1 / x, x, sym.oo) # результат 0
sym.limit(x ** x, x, 0) # результат 1

Дифференцирование

Для дифференцирования выражений в SymPy есть функция diff(func, var). Ниже даны примеры ее работы.

sym.diff(sym.sin(x), x) # результат cos(?)
sym.diff(sym.sin(2 * x), x) # результат 2cos(2?)
sym.diff(sym.tan(x), x)

tan²(?)+1

Проверим результат последней функции при помощи определения производной через предел.

sym.limit((sym.tan(x + y) - sym.tan(x)) / y, y, 0)

tan²(?)+1 Результат тот же.

Также при помощи этой же функции могут быть вычислены производные более высоких порядков. Синтаксис функции будет следующим: diff(func, var, n). Ниже приведено несколько примеров.

sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 1) # результат 2cos(2?)
sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 2) # результат −4sin(2?)
sym.diff(sym.sin(2 * x), x, 3) # результат −8cos(2?)

Разложение в ряд

Для разложения выражения в ряд Тейлора используется следующий синтаксис: series(expr, var).

sym.series(sym.cos(x), x)

1−?²/2+?⁴/24+?(?⁶)

sym.series(1/sym.cos(x), x)

1+?²/2+5?⁴/24+?(?⁶)

Интегрирование

В SymPy реализована поддержка определенных и неопределенных интегралов при помощи функции integrate(). Интегрировать можно элементарные, трансцендентные и специальные функции. Интегрирование осуществляется с помощью расширенного алгоритма Риша-Нормана. Также используются различные эвристики и шаблоны. Вот примеры интегрирования элементарных функций:

sym. integrate(sym.sin(x), x) # результат −cos(?)
sym.integrate(sym.log(x), x) # результат ?log(?)−?

Также несложно посчитать интеграл и от специальных функций. Возьмем, например, функцию Гаусса:

sym.integrate(sym.exp(-x ** 2) * sym.erf(x), x)

Результат вычисления можете посмотреть сами. Вот примеры вычисления определенных интегралов.

sym.integrate(x**3, (x, -1, 1)) # результат 0
sym.integrate(sym.sin(x), (x, 0, sym.pi / 2)) # результат 1
sym.integrate(sym.cos(x), (x, -sym.pi / 2, sym.pi / 2)) 
# результат 2

Также можно вычислять определенные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы).

sym.integrate(sym.exp(-x), (x, 0, sym.oo)) # результат 1

Решение уравнений

При помощи SymPy можно решать алгебраические уравнения с одной или несколькими переменными. Для этого используется функция solveset().

sym.solveset(x ** 4 - 1, x) # результат {−1,1,−?,?}

Как можно заметить, первое выражение функции solveset() приравнивается к 0 и решается относительно х. Также возможно решать некоторые уравнения с трансцендентными функциями.

sym. solveset(sym.exp(x) + 1, x) # результат {?(2??+?)|?∈ℤ}

Системы линейных уравнений

SymPy способна решать широкий класс полиномиальных уравнений. Также при помощи данной библиотеки можно решать и системы уравнений. При этом переменные, относительно которых должна быть разрешена система, передаются в виде кортежа во втором аргументе функции solve(), которая используется для таких задач.

solution = sym.solve((x + 5 * y - 2, -3 * x + 6 * y - 15), (x, y))
solution[x], solution[y] # результат (-3, 1)

Факторизация

Другим мощным методом исследования полиномиальных уравнений является факторизация многочленов (то есть представление многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней). Для этого в SymPy предусмотрена функция factor(), которая способна производить факторизацию очень широкого класса полиномов.

f = x ** 4 - 3 * x ** 2 + 1
sym.factor(f)

(?²−?−1)(?²+?−1)

sym.factor(f, modulus=5)

(?−2)²(?+2)²

Булевы уравнения

Также в SymPy реализована возможность решения булевых уравнений, что по сути означает проверку булевого выражения на истинность. Для этого используется функция satisfiable().

sym. satisfiable(x & y) # результат {x: True, y: True}

Данный результат говорит нам о том, что выражение (x & y) будет истинным тогда и только тогда, когда x и y истинны. Если выражение не может быть истинным ни при каких значениях переменных, то функция вернет результат False.

sym.satisfiable(x & ~x) # результат False

Линейная алгебра

Матрицы

Матрицы в SymPy создаются как экземпляры класса Matrix:

sym.Matrix([[1, 0], [0, 1]])

[10] [01]

В отличие от NumPy, мы можем использовать в матрицах символьные переменные:

x, y = sym. symbols('x, y')
A = sym.Matrix([[1, x], [y, 1]])
A

[1 ?] [? 1]

И производить с ними разные манипуляции:

A**2

[??+1 2?] [2? ??+1]

Дифференциальные уравнения

При помощи библиотеки SymPy можно решать некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения. Для этого используется функция dsolve(). Для начала нам надо задать неопределенную функцию. Это можно сделать, передав параметр cls=Function в функцию symbols().

f, g = sym.symbols('f g', cls=sym.Function)

Теперь f и g заданы как неопределенные функции. мы можем в этом убедиться, просто вызвав f(x).

f(x) # результат ?(?)
f(x).diff(x, x) + f(x)

?(?)+?²/??²?(?)

Теперь решим следующее дифференциальное уравнение:

sym.dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))
# результат ?(?)=?1sin(?)+?2cos(?)

Чтобы улучшить решаемость и помочь этой функции в поиске решения, можно передавать в нее определенные ключевые аргументы. Например, если мы видим, что это уравнение с разделяемыми переменными, то мы можем передать в функцию аргумент hint='separable'.

sym. dsolve(sym.sin(x) * sym.cos(f(x)) + sym.cos(x) * sym.sin(f(x)) * f(x).diff(x), f(x), hint='separable') 
# результат [Eq(f(x), -acos(C1/cos(x)) + 2*pi), Eq(f(x), 
#            acos(C1/cos(x)))]

Калькулятор степеней и корней степеней

Этот калькулятор требует использования браузеров с поддержкой Javascript и поддержкой . Этот калькулятор предназначен для вычисления степеней (также известных как экспоненты или индексы) и корней степени любого числа. В некоторых случаях, как в случае с мэйнфреймами и мини-компьютерами, наши расчеты корней мощностей являются очень близкими приближениями. Введите целевое число и нажмите «Рассчитать». И степени, и значения степенных корней вычисляются до 18 цифр.

Вы можете нажать «Очистить значения», чтобы сделать другое.

Отрицательная мощность обратна множеству. Например, если набор равен 5 в степени 2 (или 5 в квадрате, или 5², или 5 * 5), обратная величина равна 1 / (5 * 5).

Силы и корни власти
Требуемый ввод данных
Введите значение
Введите значение мощности
Результаты расчетов
Расчетный корень мощности
Расчетная мощность

Версия 1.

1.9

Оставьте нам вопрос или комментарий на Facebook
	Поиск или просмотр нашего сайта

Калькулятор корня — определение | Решение шаг за шагом

Здесь вы можете использовать наш калькулятор корня для вычисления n-го корня любого числа. Корень n-й степени любого числа также называют корневой степенью, и CalCon позволяет вычислить его с помощью интерактивного калькулятора на этой странице или путем загрузки приложений из магазина Play и App. Это довольно просто, потому что все, что вам нужно ввести, это мощность корня и число, чей корень вы ищете.

Ниже мы дадим краткий теоретический обзор того, что такое корень в математике, как он оценивается и вычисляется, затем, как оценить квадратный корень, краткий обзор того, что такое кубический корень, и многое другое. Кроме того, проверьте некоторые из наших связанных калькуляторов по этой теме, чтобы помочь вам с кубическим корнем или квадратным корнем. Проверьте также другие калькуляторы, такие как «Процент», «Разница в процентах» или какой-нибудь калькулятор, связанный с геометрией. 9{1/n}

 x = \sqrt [1/n] {y}

И в конце, в виде логарифмов

 \log_y(x) = n

В выражении \sqrt[n]{ a} , натуральное число n называется показателем степени, степенью корня или индексом, а a называется подкоренным числом. Чаще всего используются квадратные и кубические корни, и о них мы кое-что скажем позже.

На множестве действительных чисел корни с четным показателем степени (второй, четвертый, шестой и т. д.) действительны только для нуля и положительного числа. Для отрицаний определение четного корня требует введения мнимой единицы (комплексных чисел).

В алгебре определение корней распространяется на нецелые показатели степени и комплексные числа. Однако корень комплексного числа нельзя однозначно определить как его логарифм.

Как найти рут?

Поиск корней в математике — это обратная задача возведения в степень. Существуют разные корни: корни второй степени, корни третьей степени, корни четвертой степени и т. д. Это зависит от того, в какой степени число изначально было усилено. Корень обозначается символом: √ — квадратный корень, т. е. корень второй степени; если корень имеет степень больше второй, то соответствующая степень присваивается над знаком корня. Число под знаком корня является подкоренным выражением.

Основные правила

При нахождении корня есть несколько правил, которые помогут вам не ошибиться:

Четный корень (если степень 2, 4, 6, 8 и т. д.) отрицательного числа НЕ существует. Если подкоренное выражение отрицательное, но требуется нечетный корень (3, 5, 7 и т. д.), результат будет отрицательным.

Корень любой степени единицы всегда равен единице: \sqrt{1} = 1 .

Корень из нуля равен нулю: \sqrt{0} = 0 .

Оценка корня

Один из самых простых способов найти квадратный корень — использовать специальную таблицу. С помощью таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 9.9. При этом в строках таблицы указаны значения десятков, в столбцах – значения единиц. Ячейка, которая находится на пересечении столбца и строки, содержит двузначный квадрат. Например, чтобы возвести в квадрат 63, нужно найти строку 6 и столбец 3. На пересечении находим ячейку 3969.

Так как извлечение корня противоположно возведению в квадрат, то для выполнения этого действия нужно сделать обратное: сначала , найдите ячейку с числом, радикал которого вы хотите вычислить, а затем определите ответ по значениям столбца и строки. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня из 169..

Аналогично можно найти кубические корни и -й степени с помощью соответствующих таблиц.

Удобство этого метода заключается в его простоте и отсутствии дополнительных расчетов. Однако недостатки очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона значений (число должно быть в диапазоне от 100 до 9801). Кроме того, это не сработает, если указанного номера нет в таблице.

Оценка квадратного корня

Наиболее распространенными корнями являются квадратные, где n = 2, и кубическое, где n = 3. Вычисление квадратных корней и n ^th корней довольно интенсивно. Это требует оценки, проб и ошибок. Существуют более точные способы оценки квадратных корней, но мы упростим и представим метод, который не требует значительного понимания сложных математических понятий. Оценить √a:

Оценить b
Разделить по б . Остановитесь, если c возвращено с точностью до нужного десятичного разряда.
Среднее b и c и результатом будет новое предположение
Повторите второй шаг

Например, найдите 3 знака после запятой

Сначала нам нужно угадать: 5,125, тогда:

27 \дел 5,125 = 5,268
\ гидроразрыв {5 125 + 5 268} {2} = 5 197
27 \дел 5,197 = 5,195
\фракция {5,195+5,197}{2} = 5,196
27 \дел 5 196 = \mathbf{5 196}
Таким образом, результат, округленный до трех знаков после запятой, равен 5196.
Оценка n-го корня
Вычисление n ^th корней может быть выполнено с использованием аналогичного метода, с некоторыми изменениями относительно n . Оценить более высокие корни n ^th сложно, даже если использовать калькулятор для промежуточных шагов. Простой метод приведен ниже с примером. Оценить ⁿ √a следуйте следующей форме:
Оцените b
Разделите a на б ^н-1 . Остановиться, если возвращенное число c точно соответствует требуемому десятичному разряду.
Среднее значение уравнения: [b × (n-1) + c] / n
Повторите второй шаг
Найдите ⁸ √15 до 3 знаков после запятой 900 24
Время угадывать: 1.432 97 = 1403
\фракция {1403 \cdot 7+1388}{8} = 1402
Тогда должно быть ясно, что дальнейшее продолжение приведет к числу, которое будет округлено до 1,403, что делает 1,403 окончательной оценкой с точностью до 3 знаков после запятой. В заключение, это итеративный процесс.
Квадрат, Куб, Четвертый, n-й корень
Что касается квадратного корня, то существует несколько других методов, с помощью которых можно вычислить корни, и некоторые из известных:
Метод догадки и проверки (объяснение выше)
Метод усреднения
Метод повторного вычитания
Метод простой факторизации (подробнее см.

« Предыдущая 1 … 213 214 215 216 217 … 3 230 Следующая »

Урок математики по теме «Деление дробей в уравнениях»

«Дроби». Математика 4 класс — презентация онлайн

Рабочие листы для дробей

Иллюстративная математика

4 класс

4.ОА. 4 класс — Операции и алгебраическое мышление

4.ОА.А. Используйте четыре операции с целыми числами для решения задач.

4.ОА.Б. Знакомство с множителями и множителями.

4.ОА.С. Создавайте и анализируйте шаблоны.

4.НБТ. 4 класс — Числа и операции с основанием десять

4.НБТ.А. Обобщить понимание разряда для многозначных целых чисел.

4.

4.НБТ.А.3. Используйте понимание разрядности для округления многозначных целых чисел до любого места.

4.НБТ.Б. Используйте понимание позиционного значения и свойства операций для выполнения многоразрядной арифметики.

4.НФ. 4 класс — Числа и операции — Дроби

4.НФ.А. Расширьте понимание дробной эквивалентности и порядка.

4.

4.NF.B.3. Под дробью $a/b$, где $a > 1$, понимается сумма дробей $1/b$.

4.NF.B.3.а. Понимать сложение и вычитание дробей как соединение и разделение частей, относящихся к одному и тому же целому.

4.NF.B.4. Применяйте и расширяйте прежнее понимание умножения, чтобы умножить дробь на целое число.

4.Н.Ф.К. Понимать десятичную запись дробей и сравнивать десятичные дроби.

4.МД. 4 класс — Измерения и данные

4.МД.А. Решайте задачи, связанные с измерением и преобразованием измерений из большей единицы в меньшую.

4.МД.Б. Представлять и интерпретировать данные.

4.

4.МД.С.5. Распознавать углы как геометрические фигуры, которые образуются там, где два луча имеют общую конечную точку, и понимать принципы измерения углов:

4.MD.C.5.b. Угол, который проходит через $n$ углов в один градус, называется угловой мерой, равной $n$ градусам.

4.МД.

4.Г. 4 класс — Геометрия

4.Г.А. Рисуйте и идентифицируйте линии и углы, а также классифицируйте фигуры по свойствам их линий и углов.

4.Г.А.1. Рисовать точки, прямые, отрезки, лучи, углы (прямые, острые, тупые), перпендикулярные и параллельные прямые. Определите их на двумерных фигурах.

4.

Конкретный смысл действия умножение. Название чисел при умножении

Что такое «асимметричная криптография» — Разработка на vc.ru

: свойства сложения и умножения

Стенограмма видео

математика — Исторические корни обоснования правила умножения отрицательных чисел

Сколько корней у коренного зуба

Количество корней у зубов человека

Система нумерации зубов

Сколько каналов в зубах

Сколько каналов имеет зуб мудрости

Что делать, чтобы избежать проблем с зубом №8?

Для чего зубам нерв

Предназначение зубного нерва

Профилактика зубных заболеваний

Пересадка верхнего зуба мудрости на место нижнего шестого зуба в ТОП1 клинике Москвы – Немецкий имплантологический центр

Почему выбор импланта пал на верхнюю восьмерку?

Мы распилили зуб на 2 части:

И аккуратно извлекли зуб-шестерку из его лунки:

Начинаем имплантацию живого зуба

Встанет ли коренной зуб на место удаленного?

Как атравматично извлекали верхнюю восьмерку, зуб-донор

Имплантация живого зуба на место нижней шестерки

Результат имплантации зуба мудрости на место шестерки

Корни с более высоким индексом | Purplemath

Purplemath

MathHelp.com

Упростить:

Упростить выражение кубического корня:

Упростите продукт:

Упростить:

Упростить:

Возведение в степень | это… Что такое Возведение в степень?

Содержание

Потенцирование

Степень как функция

Значок степени

См. также

Ссылки

«Возведение в степень произведения и степени» (7 класс)

Возведение в степень Определение и значение — Merriam-Webster

Примеры предложений

История слов

Процитировать эту запись «Экспоненциация».

Дети Определение

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

елейный

Комплексное возведение в степень | Brilliant Math & Science Wiki