Автор: alexxlab

Math finec: Homepage — MathFinance

alexxlab / / Разное
Программа получения степени

MSMFT | Школа бизнеса Questrom

ПРОДОЛЖАЕТСЯ ПОСТОЯННЫЙ ПРИЕМ: ЗАЯВКИ БУДУТ РАССМАТРИВАТЬСЯ ПОСЛЕ ПОДАЧИ

Если вы увлечены количественными финансами, финансовыми технологиями, статистикой, анализом данных и программированием, и у вас есть решимость пройти сложную учебную программу, магистр наук в области математических финансов и финансовых технологий (MSMFT) предназначен для вас.

Загрузить информационный бюллетень

Преподаватели, всемирно известные авторитеты в предметных областях, входящих в учебную программу, помогут вам развить набор навыков, который выделит вас на высококонкурентных рынках количественных финансов и финансовых технологий. Независимо от того, нацелены ли вы на работу в области финансовых технологий, анализа финансовых данных, финансового инжиниринга, управления рисками, управления активами или количественной аналитики, у вас будет все необходимое для успеха.

MS в области математических финансов и финансовых технологий

Краткий обзор

Программа, рассчитанная на три семестра, позволит вам освоить передовые финансовые технологии. Учебная программа начинается с таких инструментов, как стохастическое исчисление, производные или вычислительные методы, необходимые в большинстве аспектов наших областей. Затем он позволяет вам изучить ваши особые интересы, будь то количественный портфель или управление рисками, фиксированный доход или капитал. Вы познакомитесь с новейшими методами, используемыми в финансовых технологиях и статистическом анализе данных. Вы можете исследовать новые захватывающие области, такие как машинное обучение и алгоритмическая торговля.

Узнайте больше об учебной программе

Магистр математических финансов и финансовых технологий

Карьерная поддержка

ВАША КАРЬЕРА — НАШ ГЛАВНЫЙ ПРИОРИТЕТ

Мы вас прикроем.

Все посещают обязательный курс MF 610: Mathematical Finance Career Management. Еженедельная пятничная сессия включает в себя резюме, интервью и обучение кодированию, презентации лидеров количественного финансирования, многие из которых регулярно нанимают наших студентов. Кроме того, Команда; исполнительный директор, заместитель директора по связям с промышленностью, наш тренер по количественному интервью и наши тренеры по социальным навыкам сопровождают вас на каждом этапе процесса собеседования. Доступны советы по выбору курса, сравнению нескольких предложений работы и т. д.

Магистр математических финансов и финансовых технологий

Наши студенты

В Questrom сообщество лежит в основе. Мы сотрудничаем, а не головорез. Мы честны, вдумчивы и стремимся к успеху друг друга. Все извлекают выгоду из успеха других. Преподаватели, сотрудники, студенты или выпускники образуют мотивированное и амбициозное, но также гостеприимное и инклюзивное сообщество.

Студенты MSMFT со всего мира, но их объединяет одно — драйв! Все они прилежные ученики, стремящиеся учиться, расти и менять мир. Познакомьтесь с некоторыми из наших студентов.

Готовы заселиться? Все, что вам нужно знать о жилье на территории кампуса, вы найдете на веб-сайте Жилища BU. Или ознакомьтесь с этим руководством с советами по поиску поблизости жилья за пределами кампуса.

Магистр математических финансов и финансовых технологий

В центре внимания факультета

Юджин Сорец имеет степень бакалавра искусств Корнелльского университета и докторскую степень Института Куранта Нью-Йоркского университета по математике. Сорец работал математиком-исследователем в Калифорнийском университете в Ирвине, Институте перспективных исследований в Принстоне и Йельском университете.

Он имеет 20-летний опыт работы в финансовой отрасли, начиная от стартапов в сфере финансовых технологий и заканчивая созданием хедж-фондов. В настоящее время он является директором по исследованиям в Bracebridge Capital, арбитражном фонде с фиксированным доходом, базирующемся в Бостоне.

Стивен Коу — профессор Аллена Квестрома в области менеджмента и профессор финансов в Школе бизнеса Квестром Бостонского университета. Ранее он был профессором кафедры математики проректора Национального университета Сингапура и профессором Колумбийского университета (2008-2014).

Профессор Коу читает курсы по курсу «Экономика финансовых технологий» в программе MSMFT. В NUS Коу был директором Института управления рисками. В настоящее время он является соредактором Operations Research, соредактором Digital Finance и младшим редактором Mathematical Finance, а также работал в редакционных коллегиях нескольких других журналов, таких как Management Science, Mathematics of Operations. . Он является научным сотрудником Института математической статистики, лауреатом исследовательской премии факультета Шададпури 2021 года и лауреатом премии Эрланга 2002 года от INFORMS. Коу получил докторскую степень по статистике в Колумбии.

Филип Сан — предприниматель в сфере финансовых технологий, инвестиционный менеджер и руководитель группы количественных исследований и инвестиций с более чем 25-летним профессиональным опытом. В настоящее время Филип является генеральным директором и соучредителем финтех-стартапа Adaptive Investment Solutions, LLC. и профессор финансов и предпринимательства в Международной бизнес-школе Халта.

Филип преподает алгоритмы и высокочастотные технологии, где он работает над перестройкой класса, чтобы объединить математическую строгость и всестороннее знакомство с реальными данными и торговыми приложениями.

Филип имеет степень магистра делового администрирования Уортонской школы, докторскую степень по физике Университета Карнеги-Меллона и две степени бакалавра по физике и математике Университета Стоуни-Брук. Филип является сертифицированным финансовым аналитиком.

MS в области математических финансов и финансовых технологий

профиль класса

788

87

66% | 34%

23

Полученные заявки Зачисленные студенты Мужской | Соотношение женщин* Возраст (средний)

168

167 – 170

155

150-158

GRE Количественный (средний) GRE Количественный
(межквартильный диапазон) 		Вербальный экзамен GRE
(среднее) 		GRE Verbal
(Межквартильный диапазон)

3,53

3,39 – 3,71

103

10

Средний балл бакалавриата
(средний по шкале 4. 0) 		Средний балл бакалавриата
(Межквартильный размах по шкале 4,0) 		TOEFL
(среднее) 		Представлено 9 стран0135

*Хотя мы понимаем, что пол и гендер не могут быть бинарными, эта информация основана на требованиях к отчетности федеральному правительству США

представленных стран

Представлено

национальностей

  • Канада
  • Китай
  • Гана
  • Индия
  • Непал
  • Перу
  • Швеция
  • Тайвань
  • США
  • Вьетнам

Сделайте следующий шаг

Убедитесь сами, как опыт Questrom может изменить ваш мир. Посетите приемное мероприятие лично или через Интернет, выпейте чашечку кофе со студентом и многое другое.

Подать заявку на MSMFT

Готовы подать заявку? После того, как вы отправите свои материалы, мы начнем процесс проверки. Мы будем рады ответить на ваши вопросы по пути.

НАЧАТЬ ПРОЦЕСС ПОДАЧИ ЗАЯВКИ

Текущий набор – Ожидается наличие мест

Заявки будут рассмотрены после подачи

Узнайте больше о программах BU Questrom, процессе приема и мероприятиях.

Свяжитесь с нами

Математика финансов и управления рисками

Программа «Математика финансов и управления рисками» (или сокращенно «Математика финансов») предназначена для обеспечения широкого образования в области количественных аспектов управления рисками и финансов. Современные финансовые инструменты требуют сложных математических методов для их оценки. Эти методы пришли из области вероятности, статистики и дифференциальных уравнений.

МАТЕМАТИКА ОБСЛУЖИВАНИЯ ИСПРАВЛЕНИЯ ФИНАНСКОГО И УПРАВЛЕНИЯ РИСКА
I. Предварительные условия

Предварительное условие для концентрации в математике финансов — это одна из пары курсов 215 и 217, 285 и 217 или 295 и 296. Студент должен пройти два вводных курса по экономике (Econ 101 и 102) и получить практические знания компьютерного языка высокого уровня (, например, Fortran, C или C++) на уровне, эквивалентном прохождению EECS 183.

Программа концентрации должна включать не менее десяти курсов: 4 основных курса (II.), 4 специальных курса по финансовой математике (III.) и 2 смежных курса (IV.), как описано ниже.

II. Базовые курсы

Базовые курсы состоят из одного предмета из каждой из следующих групп , завершенных с оценкой не ниже C-:

  • Дифференциальные уравнения: Математика 286 или 316
  • Вероятность:  Математика 525
  • Статистика: Статистика 426
  • Анализ: Math 351 или 451

Более продвинутые учащиеся, например те, кто завершил курс Math 396, могут заменить курсы более высокого уровня с одобрения старшего консультанта.

III. Специальные курсы 

Специальные курсы по математике финансов должны включать математику 423, 474, 472 и 526.

Cos п 2 равен: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / / Разное
2

математика — Python | Почему тангенс π/2 = 1.633123935319537e+16?

Почему тангенс π/2 = 1.633123935319537e+16?

Код:

import math
print(math.tan(math.pi /  2))

Результат: 1.633123935319537e+16

  • python
  • математика

7

потому что pi — это 180 градусов, pi / 2 — это 90 градусов, а тангенс стремится к бесконечности при стремлении к 90 градусам

кроме того тангенс — это синус делить на косинус, а точность float значений все таки не абсолютная, поэтому деление на 0 может и не происходить, поэтому могут получаться какие-то конечные значения

ну и в третьих синус, косинус, тангенс и т.д. можно вычислять (а возможно так и вычисляются) как ряд тейлора

а значит учитывая точность float будет лишь приближенное значение и в вашем случае это 1. 633123935319537e+16

кстати из-за алгоритма вычисления тригонометрических функций и cos(math.pi / 2) равен не 0, а 6.123233995736766e-17

P.S.

попробовал подсчитать cos(pi / 2) через ряд Тейлора:

import math
value = math.pi / 2
res = 0
for i in range(50):
    res += (-1)**i * (value**(2*i + 1) / math.factorial(2 * i))
print(res)

Вместо 0 получил 1.2246167519384833e-16 как и ожидалось

Вот график значений lg(|cos(x)|) (для удобства взял логарифмическую шкалу, чтобы лучше показать) от кол-ва шагов вычисления — видно, что после 10 шага точность не меняется (достигли предела точности чисел с плавающей запятой):

1

Можно использовать более точные библиотеки, например:

from sympy import pi, tan
print(tan(pi / 2))

Вывод:

zoo (complex infinity)

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

тригонометрия — Нахождение значений $\cos \frac{n\pi}{2}$ и $\sin \frac{n\pi}{2}$.

{n}$ и $\sin n\pi=0$. Теперь я хочу знать, каковы общие выражения $\cos \frac{n\pi}{2}$ и $\sin \frac{n\pi}{2}$. 9п{2} \справа) $$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Есть два случая:

  1. $n$ четно, запишите его как $2k$ и тогда у вас есть $\cos(k\pi)$ и $\sin(k\pi)$, которые вы уже знаете.
  2. $n$ нечетно, запишите его как $2k+1$ и тогда у вас есть $\cos(k\pi+\frac\pi2)$ и $\sin(k\pi+\frac\pi2)$. Вспомним, что $\sin(x)=\cos(x+\frac\pi2)$, и выведем из предыдущего случая, каковы значения.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

$\displaystyle \cos\frac{n\pi}{2}=\{1,0,-1,0\}=2\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor+2 \left\lfloor\frac{n+1}{4}\right\rfloor+1-n$

$\displaystyle \sin\frac{n\pi}{2}=\{0,1,0,- 1\}=n-2\left\lfloor\frac{n+1}{4}\right\rfloor-2\left\lfloor\frac{n+2}{4}\right\rfloor$

$\endgroup$

реальный анализ — Найти предел последовательности $n^2 \cos(1/n) — n^2$

Задавать вопрос

спросил

Изменено 1 год, 11 месяцев назад

Просмотрено 219 раз

$\begingroup$

Во-первых, это вопрос для домашнего задания, поэтому я бы предпочел не объяснять каждую деталь.

Окружности картинка: Картинка радиус окружности — 71 фото

alexxlab / / Разное

Окружность | matematicus.ru

Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки этой же плоскости на заданное расстояние (рисунок 1).

Круг — часть плоскости, которая ограниченна окружностью (рисунок 1).

Другое понятие круга.

Круг — это часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью (рисунок 1).

Рисунок 1

Радиус r — это любой отрезок, соединяющий центр окружности и точку окружности. На рисунке 2 это отрезок OC.

Также радиус от лат. называли спицу в колесе.

Рисунок 2

Хорда — это отрезок AB, соединяющий две точки окружности (рисунок 2).
Диаметр — это хорда BE, проходящая через цент окружности (рисунок 2).
Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части (рисунок 2). Каждая из этих кривых называется дугой окружности, а точки A и D — концы этих дуг.

Дуга обозначается как ∪ AD (рисунок 2).

Длина дуги окружности  ∪AB (рисунок 3) находится по формуле:


Рисунок 3

Сектор круга — это часть плоскости, ограниченная двумя радиусами и его дугой (рисунок 3).

Площадь сектора, формула:

Сегмент круга — это часть плоскости, ограниченная хордой и дугой (рисунок 3).

Площадь сектора окружности, формула:

Касательной называется прямая a, имеющая с окружностью только одну общую точку A (рисунок 5).

Формула для расчета длины окружности через радиус:

L=2πr

Формула для расчета длины окружности через диаметр:

L=2πd

Формула для определения площади круга через радиус:

S=πR2

Формула для определения площади круга через диаметр:

Рисунок 4

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Формула для определения длины хорды ∪ AB через радиус и центральный угол ∠BOA:

AB=2rsin α/2

Формула для определения длины хорды через радиус и вписанный угол ∠CED:

CD=2rsinα

Свойства касательной к окружности

Одно из свойств касательной к окружности (рисунок 5) заключается в том, что касательная a к окружности перпендикулярна ее радиусу OA. Из этого вытекает аналогичное свойство, т.е. касательная , проходящая через точку касания с окружностью, перпендикулярна диаметру.

OA⊥a

Рисунок 5

Рисунок 6

CA, CB – касательные
A, B – точки касания
CA = CB
В соответствии с рисунком 6, получаем свойство

∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Свойства секущей окружности

Секущая окружности — это прямая BE, имеющая с окружностью две общие точки (рисунок 7).

В соответствии с рисунком 7, получаем свойство

BA2=BF⋅BD

BA2=BE⋅BC

где AB — касательная

BE, BF — секущие

Из этого свойства вытекает следующее свойство, произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки равны:

BF⋅BD=BE⋅BC

Рисунок 7

Свойства окружности

  1. Диаметр окружности равен сумме двух радиусов, то есть

d =r+r=2·r

  1. Через три точки, не лежащих на одной прямой, можно построить только единственную окружность.
  2. Если взять все замкнутые кривые с одинаковой длиной, то окружность имеет максимальную величину площади.

  3. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей или хорде всегда меньше величины радиуса.

  4. Если две окружности соприкасаются внешне или внутренне в одной точке, то точка касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой.

Свойства углов окружности

На рисунке 8
∪ CB — дуга окружности
∠COB — центральный угол
∠CAB — вписанный угол
Получаем следующее тождество:

∠CAB = ∠COB/2

при этом длина  дуги окружности ∪ CB должна быть меньше длины полуокружности.

Рисунок 8

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рисунок 9).

Рисунок 9

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой (рисунок 10).

Рисунок 10

Свойство хорд окружности

Рисунок 11

AB; CD – хорды

E — точка пересечения хорд

AE · EB = CE · ED

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды AB равно произведению отрезков другой хорды CD

Рисунок 12

Если хорда AB равна хорде DC, то их дуги тоже равны, т. е.

AB=DC ⇒ ∪AB=∪DC

Рисунок 13

Если хорда AB параллельна хорде DC, то их дуги равны, т.е.

AB//DC ⇒ ∪AB=∪DC

Рисунок 14

Если радиус окружности OD перпендикулярен хорде AB, то он делит хорду пополам в точке их пересечения С, т.е.

OD⊥AB ⇒ ∪AC=∪BC

Рисунок 15

Сумма двух вписанных углов, опирающих на одну хорду и находящихся по разные стороны от нее, равна 180°, т.е.

α + β = 180°

Рисунок 16

Задача 1

Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите ED, если AE = 5, BE = 2, CE = 2,5.

Решение

По свойствам хорды имеем

АЕ·ЕВ=СЕ·ЕD
5·2=2,5·ЕD
10=2,5·ЕD

Отсюда

ED=4

Задача 2

Хорда AB стягивает дугу, равную 119°, а хорда AC – дугу, равную 43°. Найдите угол BAC.

Решение

∠ВАС равен половине дуги на которую опирается
Дуга равна 3600-1190-430=1980

Угол BAC равен:

$\angle{BAC}=\frac{198}{2}=96$

Урок 3. Окружность в перспективе. Как нарисовать кружку и вазу

В этом уроке мы разберемся, как изображать объекты, в основе которых лежат окружности: чайник, вазу, бокал, кувшин, колонну, маяк.

Содержание:

  • Принципы рисования эллипсов
  • Рисуем эллипсы
  • Рисуем кружку
  • Рисуем вазу
  • Тест на рисование эллипсов

Ненадолго вернемся к коробкам из прошлого урока. Только теперь рассмотрим кубическую форму. Обратите внимание, как квадраты плоскостей, уходящих вдаль, сплющиваются. Верхние и нижние грани превращаются в трапеции. И тем сильнее они сужаются по вертикальной оси, чем ближе находятся к уровню глаз (к линии горизонта).

То же самое происходит и с окружностями. Чем дальше от линии горизонта они находятся, тем больше они открываются (обратите внимание на верхние и нижние плоскости этих спилов). А на уровне глаз окружность сужается до линии. Мы видим лишь переднюю грань предмета.

Принципы рисования эллипсов:

Принцип 1. У эллипса есть две оси симметрии: большая и малая. Они перпендикулярны. Здесь будем работать с наиболее частым случаем – когда предмет расположен прямо, то есть вертикальная ось (малая) находится под углом в 90°, а горизонтальная (большая) – под углом в 180°.

Принцип 2. У эллипса 4 вершины (они лежат на пересечении с осями). Эти точки в наибольшей степени удалены от центра. Форма эллипса выглядит искаженной, если соседние с вершинами точки смещены на тот же уровень (на эллипсе справа показано красным цветом).

Принцип 3. Другая крайность – это заострение боков эллипсов. Они должны быть скругленными. В бока можно вписать окружности. И чем больше раскрыт эллипс, тем больше диаметр этой окружности относительно высоты эллипса (на примере ниже это сравнение показано бледно-голубым цветом).

Принцип 4. Центр эллипса смещен вдаль (вверх) относительно геометрического центра из-за перспективного искажения. То есть ближняя половина эллипса больше дальней. Однако обратите внимание, что это смещение очень незначительно. Разберем, почему. Начнем с квадратов, поскольку круг вписывается в эту форму. Ниже показаны кубы, справа их верхние квадратные грани в перспективе. Проведены оси красным. Сравните, насколько их ближние половины больше дальних. Разница очень небольшая. То же самое будет и для эллипсов, вписанных в них. Ошибочно преувеличивать в рисунках эту разницу между ближней и дальней половинками эллипсов.

Рисуем эллипсы

Шаг 1. Для начала проведем две перпендикулярных оси.

Шаг 2. Отметим границы произвольного эллипса симметрично по горизонтальной оси. А для вертикальной верхнюю половину (дальнюю) сделаем чуть-чуть меньше нижней. 

Шаг 3. Нарисуем по этим отметкам прямоугольник, в который будем вписывать эллипс.

Шаг 4. Наметим легкие дуги в местах пересечения осей и прямоугольника.

Шаг 5. Соединим легкими линиями эти дуги, стараясь изобразить эллипс более симметрично.

Шаг 6. По обозначенному пути проведем более четкую линию. Смягчим ластиком лишнее. 

Более правильно было бы при рисовании эллипса вписывать его в квадратную плоскость в перспективе, то есть в трапецию. Однако, во-первых, сложно точно построить такую трапецию, зная лишь вершины эллипса. А во-вторых, овал, вписанный в квадрат в перспективе, мало отличается от вписанного в прямоугольник по тем же самым вершинам.

Рисуем кружку

Шаг 1. Начинаем с общих пропорций предмета. Измеряем, сколько раз ширина кружки (ее верха) умещается в высоте. Можно пока не учитывать ручку, однако надо оставить для нее достаточно места на листе. Намечаем общие габариты. Находим середину предмета по ширине и проводим через нее вертикальную ось. Чтобы нарисовать ее ровно, удобно сделать 2-3 вспомогательные отметки по высоте предмета на том же расстоянии от ближнего края листа, что и первая отметка середины предмета.

Шаг 2. Найдем высоту верхнего эллипса. Для этого измерим, сколько раз она умещается в его ширине (которую мы нашли ранее). Отметим нижнюю границу эллипса от верхнего края кружки. Легкими линиями нарисуем прямоугольник по намеченным крайним точкам.

Шаг 3. Проведем горизонтальную ось и впишем эллипс в прямоугольник. Затем найдем ширину нижней части кружки, сравнив ее с шириной верха. Высоту нижнего эллипса мы найдем, измерив расстояние по вертикали от самой нижней отметки кружки до нижней отметки ее бока (до точки, через которую пройдет горизонтальная ось этого эллипса). Найденное расстояние – это половина искомой высоты. Удвоим его и отложим от самой нижней точки кружки. Здесь важно не запутаться: в данном случае ось надо провести через нижнюю точку бока кружки, а не через низ самой кружки. Иначе пропорции нарушатся. Зная высоту нижнего эллипса, проверим, соблюдается ли принцип их постепенного раскрытия по мере удаления от уровня глаз. Верхний эллипс расположен ближе к уровню наших глаз, чем нижний, поэтому должен быть уже. Найдем, сколько раз высота нижнего овала помещается в его ширине – около четырех раз. Для верхнего овала было соотношение примерно 5 к 1. Таким образом нижний овал шире, то есть раскрыт в большей степени. Принцип соблюдается.

Шаг 4. Рисуем стенки кружки, соединяя боковые вершины верхнего и нижнего эллипсов. Для большей объемности покажем толщину стенки. Нарисуем второй овал внутри верхнего. При этом учитываем, что из-за перспективного искажения толщина стенок выглядит не одинаковой. Передняя и дальняя стенки визуально сужаются сильнее боковых примерно в два раза. Отметим вершины внутреннего овала на некотором расстоянии от вершин первого овала. Делаем этот отступ чуть больше для боковых вершин. Ставим отметки симметрично относительно вертикальной и горизонтальной осей. Нарисуем новый эллипс через эти вершины. 

Шаг 5. Найдем расположение ручки и ее общие пропорции, а затем схематично наметим основные отрезки, формирующие ее контур. Их наклоны определяем методом визирования (а где-то — на глаз).

Шаг 6. Уточним контур ручки, сделаем его более плавным. По необходимости подправим очертания кружки. Смягчим немного ластиком линии построения. Выделим более сильным нажимом на карандаш контуры, расположенные ближе к нам. Кружка готова!

Рисуем вазу

В этом упражнении поработаем с воображением. Придумаем свою вазу и потренируемся рисовать эллипсы.

В прошлом задании для построения кружки было достаточно нарисовать два эллипса. Две ключевые окружности (верхняя и нижняя) определяли ее форму. Диаметр кружки равномерно уменьшался от верха к низу. А, например, форма вазы из рисунка ниже зависит от четырех окружностей (причем верхняя находится на уровне глаз, поэтому превратилась в линию).

Перейдем к рисованию. И помним важный принцип: чем дальше эллипс от уровня глаз, тем более он раскрыт.

Шаг 1. Проведем вертикальную ось. От нее симметрично отложим горизонтальные оси будущих эллипсов. Длину вертикальной и горизонтальных осей, а также количество эллипсов и расстояние между ними выбирайте сами.

Шаг 2. Обозначим боковые вершины эллипсов симметрично относительно вертикальной оси. Теперь перейдем к обозначению верхних и нижних вершин. И здесь пользуемся принципом постепенного раскрытия эллипсов по мере удаления от линии горизонта. Например, здесь мы рисовали вазу, расположенную в целом ниже уровня глаз. Для первого эллипса взяли высоту, примерно в пять раз меньше ширины. Измеряли это карандашом. Для последующих эллипсов постепенно увеличивали степень раскрытия. Так высота среднего эллипса укладывается в ширине примерно четыре раза, а для самого нижнего – примерно три раза. Чем ближе друг к другу эллипсы, тем ближе они по степени раскрытия. Чем дальше – тем больше разница. Намечая вершины, нижнюю половинку (ближнюю) делаем чуть-чуть больше верхней (дальней).

Шаг 3. Через вершины легкими линиями рисуем прямоугольники. А затем вписываем в них эллипсы.

Шаг 4. Теперь самое интересное: надо соединить боковые вершины эллипсов линиями. Вам решать, какими они будут, прямыми или округлыми, вогнутыми или выпуклыми. Можно сделать пару вариантов. Постарайтесь наиболее симметрично повторить форму внешнего контура для двух половинок вазы. Чтобы проверить симметрию, пробуйте перевернуть работу вверх ногами. Взглянув на предмет по-новому, проще увидеть расхождения.

Шаг 5. Так же, как мы делали для кружки, здесь можно показать толщину стенки. Нарисуем внутри верхнего эллипса еще один поменьше, предварительно наметив его вершины. Смягчим ластиком оси и дальние половинки эллипсов. Можно чуть высветлить те эллипсы, в которых изменение формы вазы более плавное. Рисунок готов!

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

Положительные коэффициенты 180

Парные коэффициенты 180

\[1\text{ }\times \text{ }180\]

\[ \left( 1,\text{ }180 \right)\]

\[2\text{ }\times \text{ }90\]

\[\left( 2,\text { }90 \right)\]

\[3\text{ }\times \text{ }60\]

\[\left( 3,\text{ }60 \right)\ ]

\[4\text{ }\times \text{ }45\]

\[\left( 4,\text{ }45 \right)\]

\ [5\text{ }\times \text{ }36\]

\[\left( 5,\text{ }36 \right)\]

\[6\text{ }\ раз \text{ }30\]

\[\left( 6,\text{ }30 \right)\]

\[9\text{ }\times \text{ }20\ ]

\[\слева( 9,\text{ }20 \right)\]

\[10\text{ }\times \text{ }18\]

\[\left( 10,\text{ }18 \ справа)\]

\[12\text{ }\times \text{ }15\]

\[\left( 12,\text{ }15 \right)\]

Отрицательные множители 180

Парные множители 180

\[-1\текст{ }\раз \текст{ }-180\]

\[\left(-1,\text{ }-180 \right)\]

\[-2\text{ }\times \text{ }-90\]

\[\ влево(-2,\текст{}-90\вправо)\]

\[-3\text{ }\times \text{ }-60\]

\[\left(-3,\text{ }-60 \right)\]

\[-4\text{ }\times \text{ }-45\]

\[\left(-4,\text{ }-45 \right)\]

\[-5\text{ }\times \text{ }-36\]

\[\left(-5,\text{ }-36 \right)\]

\[- 6\text{ }\times \text{ }-30\]

\[\left(-6,\text{ }-30 \right)\]

\[-9\text{ }\times \text{ }-20\]

\[\left(-9,\text{ }-20 \right)\]

\[-10\text{ }\times \text{ }-18\]

\[\left(-10,\text{ }-18 \right)\]

9000 2 \[-12\text{ }\times \text{ }-15\]

\[\left(-12,\text{ }-15 \right)\]