Рубрика: Школьная жизнь

таблица значений при различной температуре

thermalinfo.ru

Плотность жидкости

Любая жидкость обладает собственными неповторимыми свойствами и характеристиками. В физике принято рассматривать ряд явлений, которые связаны с этим специфическими характеристиками.

Рисунок 1. Плотность жидкостей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Жидкости обычно разделяют на две основные категории:

• капельные или малосжимаемые;
• газообразные или сжимаемые.

Рисунок 2. Вычисление плотности жидкости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Эти классы жидкостей имеют принципиальные различия между собой. Так капельные жидкости существенно отличаются от газообразных. Они обладают определенным объемом. Его величина не будет изменяться под действием каких-либо внешних сил. В газообразном состоянии жидкости могут занимать весь объем, который у них имеется. Также подобный класс жидкости может в значительной степени изменять свой собственный объем, если на него влияют определенные внешние силы.

У жидкостей любого типа есть три свойства, с которыми они не могут расстаться:

• плотность;
• вязкость;
• сила поверхностного натяжения.

Эти свойства способны влиять на многочисленные законы их движения, поэтому они имеют главное значение в процессе изучения и применения знаний на практике.

Понятие плотности жидкости

Масса, которая заключена в единицу объема, называется плотностью жидкости. Если поступательно повышать единицу давления, то объем воды будет стремиться к уменьшению от первоначальной его величины. Разница значений составляет примерно 1 к 20000. Такой же порядок чисел будет иметь коэффициент объемного сжатия для иных капельных жидкостей. Как правило, на практике установлено, что серьезных изменений давления не происходит, поэтому принято не использовать на практике сжимаемость воды при расчете удельного веса и плотности в зависимости от давления.

Рисунок 3. Плотности различных жидкостей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для расчетов плотности жидкости вводится понятие температурного расширения для капельных жидкостей. Оно характеризуется коэффициентом температурного расширения, которое выражает увеличение объема жидкости при увеличении температурного режима на 10 градусов по шкале Цельсия.

Таким образом, формируется показатель плотности для определенной жидкости. Ее принято учитывать при различном атмосферном давлении, температурных показателях. Выше представлена таблица, которая показывает плотности основных видов жидкостей.

Плотность воды

Самой распространенной и привычной человеку жидкостью является вода. Рассмотрим основные характеристики по плотности и вязкости этого вещества. Плотность воды в естественных условиях будет равна 1000 кг/м3. Этот показатель применяется для дистиллированной воды. Для морской воды значение по плотности чуть выше — 1030 кг/м3. Подобная величина не является конечной и плотно связана с температурой. Идеальные показатели можно зафиксировать при температуре около 4 градусов Цельсия. Если производить вычисления над кипящей водой при температуре 100 градусов, то плотность довольно сильно сократится и составит примерно 958 кг/м3. Установлено, что обычно в процессе нагревания любых жидкостей их плотность уходит в сторону уменьшения.

Плотность воды также довольно близка к ряду распространенных продуктов питания. Ее можно сравнить с вином, раствором уксуса, обезжиренным молоком, сливками, сметаной. Некоторые виды продуктов имеют более высокие показатели по плотности. Однако немало среди продуктов питания и напитков таких, которые существенно могут уступить классической воде. Среди них обычно выделяют спирты, а также нефтепродукты, включая мазут, керосин и бензин.

Если необходимо рассчитать плотность некоторых газов, тогда используется уравнения состояния идеальных газов. Это необходимо в тех случаях, когда поведение реальных газов существенно отличается от поведения идеальных газов и процесса сжижения не происходит.

Объем газа обычно зависит значений давления и температуры. Разности давлений, которые вызывают существенные изменения плотности газов, возникают при движении на больших скоростях. Обычно несжимаемый газ проявляется на скоростях, которые превышаю сто метров в секунду. Рассчитывается соотношение скорости движения жидкости со скоростью звука. Это позволяет соотносить многие показатели при подтверждении плотности того или иного вещества.

Вязкость жидкостей

Еще одним свойством любой жидкости является вязкость. Это такое состояние жидкости, которое способно оказывать сопротивление сдвига или иной внешней силы. Известно, что реальные жидкости обладают подобными свойствами. Она определяется в виде внутреннего трения при относительном перемещении частиц жидкости, находящихся рядом.

Существуют не только легко подвижные жидкости, но и более вязкие вещества. К первой группе обычно относят воздух и воду. У тяжелых масел сопротивление происходит на ином уровне. Вязкость может охарактеризовать степенью текучести жидкости. Также такой процесс называют подвижностью ее частиц, и он зависит от плотности вещества. Вязкость жидкостей в лабораторных условиях определяют вискозиметрами. Если вязкость жидкости в большей степени зависит только от прилагаемой температуры, то принято различать несколько основных параметров веществ. При увеличении температуры вязкости капельной жидкости стремится к уменьшению. Вязкость газообразной жидкости при схожих условиях только возрастает.

Сила внутреннего трения в жидкостях возникает при пропорциональности скорости градиента к площади слоев, которые осуществляют трение. При этом трение в жидкостях принято различать от процесса трения в иных телах твердого типа. В твердых телах сила трения будет зависеть от нормального давления, а не от площади трущихся поверхностей.

Аномальные и идеальные жидкости

Различают два вида жидкостей, исходя из их внутренних характеристик:

• аномальные жидкости;
• идеальные жидкости.

Определение 1

Аномальными жидкостями называют такие жидкости, которые не подчиняются закону вязкости Ньютона. Подобные жидкости способны начинать движение после момента касательного напряжения при прохождении предельного порога по минимуму. Такой процесс также называют начальным напряжением сдвига. Эти жидкости не могут двигаться при небольших напряжениях и испытывают упругие деформации.

К идеальным жидкостям относят воображаемую жидкость, которая не подвержена любым сжатиям и деформациям, то есть она лишена свойства вязкости. Для ее расчета необходимо вводить определенные поправочные коэффициенты.

spravochnick.ru

Таблица плотности жидкостей — 2mb.ru

Таблица плотности жидкостей позволяет узнать, какую плотность имеют различные вещества при определенной температуре.
Эта таблица широко применяется в физике при решении задач различной сложности.  Единицы измерения плотности (ρ) – (1 г/л = 10³ кг/м³).  Плотность – это отношение массы вещества к занимаемому им объему.

2mb.ru

Плотность жидкостей — Zygar

zygar.ru

Плотность металлов. Плотность пара. Плотность жидкостей.

www.kilomol.ru

Энциклопедия сантехника Физические свойства жидкостей

Жидкости. В природе различают четыре вида состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное и плазменное. Основное отличие жидкостей от твердых тел заключается в их текучести, т.е. способности легко принимать форму сосуда, в который жидкость поместили, при этом объем жидкости не изменяется. Газ тоже обладает текучестью, но при этом занимает любой предоставленный ему объем. В сосудах жидкость образует свободную поверхность, а газ аналогичной поверхностью не обладает. Однако с точки зрения механики и жидкость, и газ подчиняются одним и тем же закономерностям в случае, если сжимаемостью газа можно пренебречь. Поэтому в гидравлике под термином «жидкость» понимаются и собственно жидкости (которые часто называют капельными жидкостями), и газы (газообразные жидкости).

Основные свойства жидкости (при рассмотрении задач механики жидкости) — это плотность, способность изменять свой объем при нагревании (охлаждении) и изменениях давления, вязкость жидкости. Рассмотрим каждое из свойств жидкости подробнее.

Плотность жидкости. Плотностью жидкости ρ называется ее масса, заключенная в единице объема:

где m — масса жидкости; W — объем жидкости.

Единица измерения плотности — кг/м³.

Так как вода является наиболее распространенной в природе жидкостью, в качестве примера количественного значения параметра, определяющего то или иное свойство жидкости, будем приводить значение рассматриваемого параметра для воды.

Плотность воды при 4 °С ρ_в = 1000 кг/м³. Плотность жидкости уменьшается при увеличении температуры. Однако для воды эта закономерность справедлива только с 4 °С, в чем проявляется одно из аномальных свойств воды.

Удельный вес. Удельный вес γ — это вес жидкости, приходящийся на единицу объема:

где G — вес жидкости в объеме W.

Единица измерения удельного веса — Н/м³.

Удельный вес воды при температуре 4 °С γ_в= 9810 Н/м³.

Плотность и удельный вес связаны между собой соотношением

где g — ускорение свободного падения (g=9,81 м/с²).

Вообще плотность и удельный вес отичаются лиш тем, что у плотности сила веса измеряется в килограммах, а у удельного веса в ньютонах. Килограммы легко переводятся в ньютоны и обратно. Вообще эти параметры нам помогут вычислять массу в любых объемах.

Температурное расширение. Это свойство жидкости характеризуется изменением объема при изменении температуры, которое определяется температурным коэффициентом объемного расширения жидкости β_t:

где W — начальный объем жидкости; ΔW — Изменение объема после уменьшения или увеличения температуры; Δt — изменение температуры.

Единица измерения β_t; — град^-1,

для воды,при t=20 °С β_t = 0,00015 [1/°С].

Получается, что этот параметр β_t показывает изменение величины объема на единицу температуры. То есть, если температура изменилась на 10 градусов, то объем увеличится в 10раз от величины β_t.

Сжимаемость. Это свойство жидкости менять свой объем при изменении давления, которое характеризуется коэффициентом объемного сжатия β_p :

где W — начальный объем жидкости; ΔW — изменение объема после изменения давления; ΔP — изменение давления.

Единица измерения β_p — Па^-1 Коэффициент объемного сжатия капельных жидкостей мало меняется в зависимости от давления и температуры.

Для воды β_p = 5×10^-10 Па^-1

Вы только не путайте давление с плотностью. Так как буквы похожи, я и сам сначало об этом подумал. О давлении будет рассказано в следующих статьях. Вообще я сейчас не рекомендую вникать в понятие сжимаемость, так как вы возможно незнакомы с понятием давления и поэтому возможно несможите понять связь.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости жидкости Е и определяется по формуле:

для воды E=2×10⁹ Па.

Вязкость жидкости — свойство жидкостей оказывать сопротивление сдвигу. Это свойство проявляется только при движении жидкостей. Вязкость характеризует степень текучести жидкости. Наряду с легко подвижными жидкостями (вода, спирт, воздух и др.) существуют очень вязкие жидкости (глицерин, машинные масла и др.).

Я предлогаю понять вязкость следующем образом: Представте жидкое вещество ввиде находящихся в ней большого количество мелких шариков, атомов, малекул, кому как угодно. И представте, что их начинает ктото толкать. И во время толкания шарики начинают терется друг об друга сопротивляясь перемещению. Дык вот, а теперь представим ситуацию когда эти шарики стали липкими и тогда эти шарики будут еще сильнее сопротивлятся сдвигу. И вот чем сильнее они буду сопротивлятся сдвигу об друг друга, тем сильнее будет вязкость.

Вязкость жидкости характеризуется динамической вязкостью μ.

И. Ньютон выдвинул гипотезу о силе трения F, возникающей между двумя слоями жидкости на поверхности их раздела площадью ω, согласно которой сила внутреннего трения в жидкости не зависит от давления, прямо пропорциональна площади соприкосновения слоев ω и быстроте изменения скорости в направлении, перпендикулярном направлению движения слоев, и зависит от рода жидкости.

Пусть жидкость течет по плоскому дну параллельными ему слоями

Вследствие тормозящего влияния дна слои жидкости будут двигаться с разными скоростями. Скорости слоев Показаны стрелками. Рассмотрим два слоя жидкости, середины которых расположены на расстоянии Δу друг от друга. Слой А движется со скоростью u, а слой В со скоростью u + Δu.

На площадке ω вследствие вязкости возникает сила сопротивления F. Согласно гипотезе Ньютона эта сила

коэффициент пропорциональности μ, в этой формуле и является динамической вязкостью, отношение Δu/Δy называется градиентом скорости.

Таким образом, динамическая вязкость является силой трения, приходящейся на единицу площади соприкосновения слоев жидкости при градиенте скорости, равном единице.

Размерность μ — Па • с.

Гипотеза И. Ньютона, представленная в формуле, экспериментально подтверждена и математически оформлена в дифференциальном виде

основоположником гидравлической теории смазки Н.П. Петровым и в настоящее время носит название закона внутреннего трения Ньютона.

В гидравлических расчетах часто удобнее пользоваться другой величиной, характеризующей вязкость жидкости, — ν:

Эта величина называется кинематической вязкостью. Размерность v — м²/с

Название «кинематическая вязкость» не несет особого физического смысла, так как название было предложено потому, что размерность v похожа на размерность скорости.

Вязкость жидкости зависит как от температуры, так и от давления. Кинематическая вязкость капельных жидкостей уменьшается с увеличением температуры, а вот вязкость газов, наоборот, возрастает с увеличением температуры. Кинематическая вязкость жидкостей при давлениях, встречающихся в большинстве случаев на практике, мало зависит от давления, а вязкость газов с возрастанием давления уменьшается.

Вязкость жидкости измеряют с помощью вискозиметров различных конструкций.

Жидкости, для которых справедлив закон внутреннего тяготения Ньютона, называют ньютоновскими. Существуют жидкости, которые не подчиняются закономерности формулам, к ним относятся растворы полимеров, гидросмеси из цемента, глины, мела и др. Такие жидкости относятся к неньютоновским.

детали расчетов сопротивления в трубопроводе.

Я кстати уже нашел формулы которые нужны сантехникам и инженерам, опишу их в других статьях. Пишите коментарии, я обязательно отвечу на ваши вопросы и постараюсь подкорректировать статьи под вашы нужды.

Следующий раздел: Гидростатическое давление

infobos.ru

4. Основные свойства жидкости Плотность

Плотность жидкости , так же как любых других тел, представляет собой массу единицы объёма, и для бесконечно малого объёма жидкости dV массой dM может быть определена по формуле:

Для однородных жидкостей можно считать, что

где M – масса жидкости,

V – объём жидкости.

Единицы измерения:

[кг/м³], [кг/дм³], [кг/л], [г/см³].

Плотность жидкости зависит от температуры и давления. Все жидкости, кроме воды, характеризуются уменьшением плотности с ростом температуры. Плотность воды имеет максимум приt = 4 ^оC и уменьшается при любых других температурах. В этом проявляется одно из аномальных свойств воды. Температура, при которой плотность воды максимальная, с увеличением давления уменьшается. Так, при давлении 14 МПа вода имеет максимальную плотность при 0,6 ^оC.

Плотность пресной воды равна 1000 кг/м³, солёной морской воды — 1020 ÷ 1030, нефти и нефтепродуктов – 650 ÷ 900 кг/м³, ртути – 13596 кг/м³.

При изменении давления плотность жидкостей изменяется незначительно. В большинстве случаев плотность жидкости в расчётах можно принимать постоянной. Однако встречаются случаи, когда изменением плотности пренебрегать нельзя, т.к. это может привести к значительным ошибкам.

Удельный вес

Удельным весом жидкости — называется вес единицы её объёма. Эта величина выражается формулой для бесконечно малого объёма жидкости dV с весом dG:

Для однородных жидкостей можно считать:

,

где G – вес жидкости.

Удельный вес жидкости и плотность связаны соотношением:

,

где g – ускорение свободного падения.

Единицы измерения: [Н/м³], [Н/дм³], [Н/л], [Н/см³], 1Н=1кг•м/с².

Значение ускорения свободного падения g на земле изменяется от 9,831 м/с² на полюсах до 9,781 м/с² на экваторе.

Относительный удельный вес

Иногда удобно использовать такую характеристику жидкости, которая называется «относительный удельный вес». Это отношение удельного веса жидкости к удельному весу пресной воды

Единицы измерения: Относительный удельный вес — величина безразмерная.

Сжимаемость жидкости

Сжимаемость жидкости это свойство жидкостей изменять свой объём при изменении давления. 

Сжимаемость характеризуетсякоэффициентом объёмного сжатия (сжимаемости) β_P, представляющим собой относительное изменение объёма жидкости V при изменении давления P на единицу.

Знак минус в формуле указывает, что при увеличении давления объём жидкости уменьшается.

Единицы измерения: Па^-1 (Паскаль. 1Па=1Н/м²).

Отсутствие знака минус в этом выражении означает, что увеличение давления приводит к увеличению плотности.

Величина, обратная коэффициенту сжимаемости, или, по-другому, коэффициенту объёмного сжатия , обозначается

и называется объёмным модулем упругости жидкости.

Тогда предыдущая формула примет вид

.

Это выражение называется законом Гука для жидкости.

Единицы измерения: [Па], [МПа], [кГс/ см²].

Модуль упругостиЕ_ж зависит от температуры и давления. Поэтому различают два модуля упругости: адиабатический и изотермический. Первый имеет место при быстротекущих процессах без теплообмена. Процессы, происходящие в большинстве гидросистем, происходят с теплообменом, поэтому чаще используется изотермический модуль упругости. Примерная форма зависимостей E_ж от P и t⁰ представлена на графиках. Всё это говорит о том, что жидкости не вполне точно следуют закону Гука.

Приведём несколько примеров значений модулей упругости.

Минеральные масла, используемые в технологических машинах с гидравлическим приводом, при t⁰ = 20 ^оC имеют объёмные модули упругости 1,35·10³ ÷ 1,75·10³ МПа (меньшее значение относится к более легкому маслу), бензин и керосин – приблизительно 1,3·10³ МПа, глицерин — 4,4·10³ МПа, ртуть – в среднем 3,2·10³ МПа.

В практике эксплуатации гидравлических систем имеются случаи, когда вследствие действия того или иного возмущения в жидкости может значительно изменяться давление. В таких случаях пренебрежение сжимаемостью приводит к существенным погрешностям.

studfiles.net

Заказ решений задач по линейной алгебре

Линейная алгебра – сложная математическая наука, при изучении которой студенту следует проявить максимум смекалки и способности к логическому мышлению. Прослушав дисциплину, студент должен овладеть инструментами, которые помогут решать любые задачи и системы уравнений.

Вариантов заданий, как и их решений, великое множество. Просто запоминая алгоритмы решений, выполнить все примеры подчас невозможно. Преподаватели специально строят задание так, чтобы проверить насколько студент глубоко понял предмет, а не просто запомнил ход решений.

Где найти помощь в решении задач по линейной алгебре

Если вы планируете заниматься линейным программированием или квантовой механикой, то мы советуем сосредоточиться на линейной алгебре, уделить ей достаточно много времени и внимания, а также постараться выполнить максимально количество заданий самостоятельно.

В любом другом случае, вы всегда можете найти помощь, если возникли проблемы с написанием решений. Осталось разобраться, к кому идти за помощью, если это нужно.

Во-первых, наверняка в вашей группе есть учащиеся, которые за невысокую плату помогут, и решат ваши задания. Кроме того, процесс заказа займет у вас немного времени, ведь вы вместе учитесь и находитесь в одних и тех же аудиториях.

Но тут есть и свои минусы. Первая опасность, преподаватель может узнать стиль решения вашего одногруппника, и заподозрить, что вы несамостоятельно выполняли задание. Вторая опасность кроется в том, что ваш одногруппник и сам может не справиться с заданием. Хорошо, если это выяснится заранее, и вы успеете найти другого помощника, но так бывает не всегда.

Во-вторых, помощь можно найти в Интернете. Тысячи объявлений на различных сайтах, предлагают недорогие услуги по подготовке работ школьникам и студентам. Увы, сегодня вы нашли объявление, сделали заказ и заплатили деньги, а завтра «помощник» не выходит на связь и его телефон отключен.

Если вы считаете, что нет оптимального варианта, и любая помощь с учебой – это риск, то вы, все же, ошибаетесь. Есть еще третий вариант помощников.

В-третьих, вы можете обратиться к специалистам. Наша компания собрала штат настоящих профессионалов. Мы 8 лет отбирали лучших сотрудников, которые могут выполнить качественно даже самые срочные заказы. Мы годами нарабатывали репутацию, ответственно относясь к своему делу.

Чтобы заказать работу у нас, ознакомьтесь с прайс-листом и оформите заказ.

Сколько стоят услуги по написанию работ по линейной алгебре

Цена услуги зависит от вида работы, объема, и сложности выполнения, а также от отведенного на работу срока. Учитывая, что клиенты компании – простые студенты, стоимость работ доступная для всех, чтобы каждый смог позволить себе оплатить услуги.

Чтобы точно узнать стоимость на конкретный вид работы, особенно если у вас нестандартный заказ, то вы можете связаться по указанному телефону с нами, и менеджер сориентирует вас по цене.

Заказ решения задач по алгебре: как правильно оформить

Заказать работу можно как онлайн, так и в офисе компании. Если вы решили не тратить время на дорогу и заказать услуги через Интернет, то при оформлении заявки внимательно укажите условия задач.

Напишите свои контактные данные, такие, как номера телефонов, адрес электронной почты. Все это необходимо, чтобы наш менеджер связался с вами, уточнил детали и принял заказ.

Как только мы принимаем заявку, наши сотрудники приступают к выполнению задания, подходя к нему со всей ответственностью. Уже скоро у вас будут готовые решения, за которые вы получите отличную оценку. Всегда рады вам помочь.

matematiku5.ru

3.2. Решение типовых задач по линейной алгебре

вводим матрицу второго порядка, используя кнопку , после чего нажимаем клавишу =.

Вычислим теперь алгебраическое дополнение A31. Для этого используем функцию submatrix.

A31:= (−1)1+3 |submatrix(A,1,2,2,3) |.

При помощи функции submatrix, из матрицы A порядка 3, извлекаем матрицу второго порядка, получающуюся вычеркиванием первого столбца и третьей строки. Вычисляем определитель из этой матрицы и умножаем его на знак алгебраического дополнения. Для вывода результата вычисления вводим имя переменнойA31, в которой хранится результат, и нажимаем клавишу =. Получаем,A31=–3.

b) Теперь найдем те же величины для матрицы B.

Вводим переменную B1 и присваиваем ей значение, соответствующее квадратной матрицеB, состоящей из четырех строк

Вычисляем определитель |B|=900.

Теперь вычислим минор элемента B22. Для этого получим матрицуB22, исключив из матрицыB вторую строку и второй столбец. Проще набрать вручную эту матрицу. С целью демонстрации использования матричных функций получим матрицу

B22 при помощи функцийaugment, stack иsubmatrix. Чтобы фор-

мула была понятнее, используем две вспомогательные матрицы B1 иB2.B1 – это первая строка без второго столбца.B2 – третья и четвертая строки без второго столбца.

B1:= augment(submatrix(B,1,1,1,1), submatrix(B,1,1,3,4)). B2 := augment(submatrix(B,3,4,1,1), submatrix(B,3,4,3,4)).

Затем, используя функцию stack, соединяем эти две матрицы в одну матрицу B22.B22 := stack(B1,B2).

studfiles.net

Решение задач по линейной алгебре

2. Методом  Гаусса исследовать системы линейных алгебраических уравнений  на  совмесность, найти их общее и часное решение, определить фундаментальную систему решений соответствующих однородных систем,  сделать   проверки.
Составим расширенную матрицу системы.
Теперь исходную систему можно записать как:
x₂ = [4 — (2x₃ + 5x₄)]/3
x₁ = [1 — ( — x₂ + x₃ — x₄)]/1
 x₃,x₄  будут свободные переменные, так как через них выразить можно выразить все остальные переменные.
Приравняем переменные x₃,x₄  к 0
3 . Методом  Гаусса исследовать системы линейных алгебраических уравнений  на  совмесность, найти их общее и часное решение, определить фундаментальную систему решений соответствующих однородных систем,  сделать   проверки.
Составим расширенную матрицу системы.
Теперь исходную систему можно записать как:
x₃ = [32 — (120x₄)]/(-96)
x₂ = [4 — ( — 63x₃ + 66x₄)]/34
x₁ = [1 — (11x₂ + 23x₃ — 16x₄)]/10
Свободная  переменная  x₄  и через нее можно выразить остальные переменные.
4. . Для матрицы А найти: собственные значения  
         Составим характеристическое уравнение:
 (1 — l)((2 — l)(3 — l)+4)  — 2(-6 + 4l) = 0
(1 — l)((6-3l-2l + l²)+4)  — 2(-6 + 4l) = 0
(1 — l)((6- 5l + l²)+4)  +12 — 8l = 0
-l³ +6l²— 3 l-10 = 0
l₁ = -1;   l₂ = 2;    l₃ = 5;
5. Для матрицы А   найти  собственные векторы.
         Для l₁ = -1: 
Если принять х₃ = 1, получаем     х₁ = 2,  х₂ = 2
Собственные векторы        ×t,  где t – параметр.
Для l₂ = 2: 
Если принять х₃ = 1, получаем     х₁ = -1,  х₂ =
Собственные векторы        ×t,  где t – параметр.
Для l₃ = 5: 
Если принять х₃ = 1, получаем     х₁ = ,  х₂ =
Собственные векторы        ×t,  где t – параметр.
6. На векторах    = (1,1, 3),  = (1, 2, 2), = (0, 2, 1) построен параллелепипед. Используя произведение векторов: а) скалярное, б) векторное и в) смешанное  вычислить

• пеоекцию  вектора   на направление вектора 
• площадь грани,  образованную  векторами  и 
• высоту параллелепипеда, опущенную на грань,  образованную  векторами  и 

kursar.ru

3. Задачи линейной алгебры

3.Задачи линейной алгебры

3.1.Основные сведения о матричных операциях

Для решения инженерных задач часто приходится выполнять различные матричные операции: решать систему линейных алгебраических уравнений, вычислять нормы матриц, вычислять определитель, находить обратную матрицу, умножать матрицы, вычислять ранг матрицы, определять собственные числа и вектора и т.д. Задачи, использующие матричные операция, являются достаточно трудоемкими. Например, Для того чтобы выполнить простейшую матричную операцию, умножить две квадратные матрицы порядка N, необходимо выполнить2N3 арифметических операций. Поэтому, в пакете Mathcad, большое внимание уделено всевозможным матричным операциям.

Номера столбцов и строк матриц, по умолчанию, начинается с нуля. Так, квадратная матрица A второго порядка, по умолчанию, имеет следующие четыре элемента:A0,0, A0,1, A1,0, A1,1. В математике чаще принято нумеровать элементы массивов при помощи натурального ряда чисел. Для того чтобы определить нумерацию элементов массивов с единицы, применяется команда

ORIGIN :=1.

Теория на данную тему приведена в работе [1] глава V, поэтому все определения, теоремы и теоретические алгоритмы решения задач линейной алгебры мы не приводим. В данной работе познакомимся с основными функциями, предназначенными для решения задач линейной алгебры. При решении задач линейной алгебры используется панель операций с матрицами и векторами.

Рассмотрим инструменты, находящиеся в этой панели.

, «Ctrl+m» – создание объекта матрица с определением количества строк и столбцов.

, [ – вывести один элемент матрицы.

Например A1,3 .

– вычисление обратной матрицы. НапримерB−1 .

, | – вычисление определителя матрицы|A| =det A; вычисление длины вектора|x| .

, «Ctrl+» – поэлементные операции с матрицами. Напри-

мер: A B ─ умножить все соответствующие элементы двух матриц.

, «Ctrl+6» – получить столбец матрицы. Например,C 0 – задает нулевой столбец матрицы.

Чтобы выполнить любую операцию над матрицами при помощи панели инструментов, необходимо нажать на соответствующую кнопку и ввести в помеченной позиции имя матрицы и, возможно, параметры команды. На этапе ввода матрицы для перехода к следующему элементу можно использовать клавишу Tab

или “Shift+Tab”.

Для выполнения различных матричных преобразований в Mathcad встроено более сорока матричных функций. Все эти функции можно разделить на три группы.

1. Функции определения матриц и операции с блоками матриц.

38

2.Функции вычисления числовых характеристик матриц.

3.Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Чтобы вызвать список всех матричных и векторных функций,

необходимо войти в пункт меню Insert/Function. В списке из тридцати типов функций выбрать предпоследний пунктVector and Matrix и перейти в правое поле, в котором расположен список матричных и векторных функций. Рассмотрим только наиболее часто используемые функции.

1. Функции определения матриц и операции с блоками матриц.

matrix(N, M, fun) ─ создает и заполняет матрицу, состоящую изN строк иM столбцов. Третий параметрfun определяет имя функции двух переменныхfun(i, j), задающую формулу для заполнения элемента, стоящего на пересеченииi-йстроки иj-го

diag(V) – на базе вектораV создает диагональную матрицу, диагональные элементы которой равны компонентам заранее определенного вектораV.

identity(N) ─ создает единичную матрицу порядкаN.

augment(A, B, C, …) – на базе нескольких, заранее определенных матрицA, B, C и т.д., имеющих одинаковое количество строк, формирует матрицу, в первых столбцах которой расположен массивA, а в последующих ─ массивыB, C и т.д.

stack(A, B, C, …) – на базе нескольких, заранее определенных матрицA, B, C и т.д., имеющих одинаковое количество столбцов, формирует матрицу, в первых строках которой расположен массивA, а в последующих – массивыB, C и т.д.

Пример. Используем матрицы предыдущего примера.

submatrix( A, RowBeg, RowEnd, ColumnBeg, ColumnEnd) – вы-

водит блок матрицы A, расположенный в строках сRowBeg по

RowEnd и в столбцах с ColumnBegпо ColumnEnd.

Пример. Используем матрицы предыдущего примера.

40 submatrix(D,3,4,1,1)=50 .

2. Функции вычисления числовых характеристик матриц.

studfiles.net

Решение линейной алгебры, решение задач по линейной алгебре. Решение линейной алгебры онлайн

• Нужна помощь при решении контрольной работы по линейной алгебре?
• Скоро зачет или экзамен, но не получается разобраться с материалом?
• Требуется поддержка на самостоятельной работе?

Вы нашли решение проблем! Мы вам поможем!

О нас

Агентство Neudoff.net на протяжении многих лет работает на рынке образовательных услуг. Мы занимаемся решением задач и контрольных работ по линейной алгебре (и иным физмат дисциплинам) на заказ.

У нас работают только лучшие специалисты. У каждого сотрудника нашей компании есть высшее физико-математическое образование и большой опыт работы в данной сфере. Мы поможем вам справиться с любыми проблемами, касающимися вашей учебы.

Наши возможности

Линейная алгебра довольно популярный предмет. Его изучают во всех высших учебных заведениях, в независимости от специальности. Он может проходиться как отдельная дисциплина, а может входить неявно в состав высшей математики.

За время работы сервиса наши сотрудники успешно выполнили далеко не один десяток контрольных работ по линейной алгебре. Специалисты сервиса с радостью возьмут на себя часть вашей учебной нагрузки.

К тому же, мы предлагаем услуги по онлайн помощи при решении задач по линейной алгебре, например на зачете.

Как сделать заказ?

Воспользуйтесь специальной «Формой отправки заказа» — так сделать нам заказ проще всего. С ее помощью вы отправляете нам информацию о правилах оформления, методические указания, сроки выполнения и, конечно, сами задания.

Есть и другой способ. Просто свяжитесь с нами и перешлите нам задания любым удобным для вас способом. Таких способов достаточно много:

Присылайте свои заказы в любое время. Агентство Neudoff.net остается на связи круглые сутки!

Наши гарантии

Neudoff.net — серьезная организация, которая очень дорожит своей репутацией. Мы хотим, чтобы каждый клиент оставался доволен, чтобы каждый получал правильное решение точно в срок.

Если вы заказываете у нас решение задач по линейной алгебре первый раз, то вы можете нас для начала проверить. Закажите решение не целой контрольной, а только нескольких задач. Ну и после получения решения можете смело заказать остаток.

Мы практикуем индивидуальный подход. Уверены, что вы останетесь довольны нашей работой!

Наши бонусы

Друзья, наши клиенты, сделав у нас заказ всего один раз, потом неоднократно приходили к нам снова и снова. Они много раз заказывали у нас решение контрольных работ не только по линейной алгебре, но и по другим предметам. Так же многие из них советовали нас друзьям и это очень лестно для нас!

Для своих постоянных клиентов мы предусмотрели ряд бонусов — скидок на заказы.

Чем больше заказываете работ, тем больше скидка на следующий заказ. Вплоть до 100%!

Если вам вдруг что-то стало не понятно, то не стоит тянуть — сразу напишите нам, и мы ответим на все вопросы! Способов связи достаточно! Мы всегда онлайн!

neudoff.net

Примеры решения задач типового расчёта по линейной алгебре и аналитической геометрии

Примеры решения задач типового расчёта

по линейной алгебре и аналитической геометрии.

Задача 1.1. Вычислить, представить ответ в алгебраической, тригонометрической, показательной формах.

Решение.  Представим комплексное число в тригонометрической форме. Для этого находится его модуль: , далее вычисляется аргумент комплексного числа: , либо , наконец,

, где , если комплексное число находится в первой или четвертой четверти, , если комплексное число находится во второй или третьей четверти. В данном случае аргумент комплексного числа равен: .

Поэтому тригонометрическая форма имеет вид: .

По формуле Муавра , где — аргумент комплексного числа , получаем:

,

окончательно: =.

В алгебраической форме: =,

в показательной форме:    =.

Задача 1.2. Вычислить .

Решение. Представим комплексное число  в тригонометрической форме:

=. Воспользуемся следующей формулой извлечения корня из комплексного числа : ), где=0,1,2,…,.

Т.е. корень -ой степени из комплексного числа принимает ровно  значений. Точки комплексной плоскости, соответствующие значениям , являются вершинами правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

В данном примере получаем: =, где . Тогда корни принимают значения:

=(+),                         =(+),

=(+),                     =(+).

Для построения этих комплексных чисел на комплексной плоскости  проведем окружность радиуса . На окружности отметим точку =(+), далее, разбивая окружность на четыре равные части , изобразим остальные точки ,, . Заметим, что радиан соответствуют примерно.

Задача 2. Найти произведение матриц , где и .

Решение. ===

Задача 3. Найти матрицу, обратную данной. Сделать проверку. .

Решение. Находим определитель матрицы .

=, т.е. данная матрица является неособенной, обратная матрица существует. Вычислим соответствующие алгебраические дополнения :

==;           ==;          ;

;       ;          ;

;          ;        .

Находим обратную матрицу :

=. Проверка заключается в перемножении матриц

 (единичная матрица). Последнюю операцию выполнять аналогично примеру 2.

Задача 4. Решить систему линейных алгебраических уравнений  (СЛАУ) с помощью обратной матрицы: .

Решение. Найдем обратную матрицу к матрице системы .

Аналогично примеру 3 получаем =

Вектор – столбец решений находится по формуле:

=, или  Проверка осуществляется непосредственной подстановкой найденных значений неизвестных в исходную СЛАУ.

Задача 5. Найти ранг матрицы .

Решение. Последовательно осуществляем линейные преобразования строк данной матрицы для приведения ее к ступенчатому виду.

Шаг 1. Переставим в данной матрице первую и вторую строки.

Шаг 2. Умножим первый столбец на 1/2, четвертый столбец умножим на 1/5. В результате получим: .

Шаг 3. Умножим на 2 первую строку и прибавим её к третьей («заработаем» нуль на месте «3-1»,т.е. вместо (–2) получим (0)). В результате получим: .

Шаг 4. Умножим на –3 вторую строку и прибавим её к третьей («заработаем» нуль на месте «3-2»,т.е. вместо (–3) получим (0)). Получим:

Таким образом, получили ступенчатую матрицу эквивалентную данной, в которой две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2: .

Задача 6. Решить систему методом Гаусса: .

Решение. Запишем расширенную матрицу  СЛАУ:

.

С помощью эквивалентных преобразований приведём матрицу к верхнетреугольному виду (прямой ход метода Гаусса).

Шаг1. Вычтем из второй строки первую, результат умножим на (–1/2):

Шаг 2. Вычитаем из третьей строки первую, умноженную на 2:

Шаг 3. Вычитаем из четвёртой строки первую, умноженную на 3:

Шаг 4. Прибавляем к третьей строке вторую, умноженную на 5, результат делим на 2:

Шаг 5. Вычитаем из четвёртой строки вторую:

Шаг 6. Прибавляем к четвёртой строке третью, умноженную на 6, результат делим на 17:

Теперь с помощью эквивалентных преобразований приведём матрицу к диагональному виду (обратный ход метода Гаусса).

Шаги 7, 8, 9. От третьей строки отнимаем четвёртую, умноженную на 2; от второй строки отнимаем четвёртую; от первой строки отнимаем четвёртую.

Шаги 10, 11. От первой строки отнимаем третью; от первой строки отнимаем вторую.

Теперь в последнем столбце получились искомые значения переменных, т.е.

Задача 7. Найти размерность и базис подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений (ОСЛАУ). .

Решение. Применим прямой ход метода Гаусса (приведем систему уравнений к верхнетреугольному виду).  Поступая аналогично примеру 6 вычтем из второй строки первую, умноженную на 3; вычтем из третьей строки первую, умноженную на 2; прибавим первую строку к четвёртой; получим:

,

последние три строки оказались одинаковыми, значит, матрицу можно привести к следующему виду:

.

В качестве базисных переменных можно взять , свободные – .

Ранг матрицы равен  2, т.е. , следовательно, размерность подпространства решений тоже равна 2.

Формируем фундаментальную систему решений (ФСР). Пусть переменные  принимают значения 1, 0 соответственно. Тогда из второго уравнения  находим значение  из первого уравнения находим значение  Тогда .

Пусть теперь переменные  принимают значения 0, 1 соответственно. Тогда, поступая аналогично, получим   Откуда .  — образуют ФСР, общее решение данной однородной СЛАУ имеет вид .

Задача 8. Доказать, что векторы  образуют базис и разложить вектор  по этому базису.

Решение. Ненулевые векторы образуют базис тогда и только тогда, когда они некомпланарны  (т.е. не лежат в одной плоскости), значит их смешанное произведение не должно быть равно 0:

, 121 + 333 + 221 – 223 – 231 – 131 = 12 ≠ 0. Векторы образуют базис.

vunivere.ru

Практикум по линейной алгебре

39

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Хабаровская государственная академия экономики и права

Кафедра математики и математических методов в экономике

МАТЕМАТИКА

Линейная алгебра

Варианты контрольных заданий

для студентов 1-го курса дневного отделения

Хабаровск 2008

ББК

Х 12

Математика. Линейная алгебра : варианты контрольных заданий для студентов 1-го курса дневного отделения / сост. Е. О. Старкова, М. Ф. Тиунчик, С. В. Тонконог. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2008. – 32 с.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент, начальник отделения подготовки научно-педагогических кадров ХПИ ФСБ России Ивлева А.И.

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний

Тиунчик Михаил Филиппович

Старкова Елена Олеговна

Тонконог Светлана Владимировна

МАТЕМАТИКА

Линейная алгебра

Варианты контрольных заданий

для студентов 1-го курса дневного отделения

Редактор Г.С. Одинцова

680042, Хабаровск, ул.Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2008

Предисловие

В методической разработке приведены 30 вариантов контрольных упражнений по линейной алгебре. Каждый вариант состоит из 15 типовых заданий.

В вариантах предусмотрены задания на темы: действия над матрицами, вычисление определителей, методы исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений, приведение систем к системе с базисом и нахождение базисных решений, нахождение опорных решений канонических систем уравнений методом однократного замещения, нахождение собственных векторов и собственных значений линейных преобразований, исследование квадратичных форм.

Материал соответствует государственным образовательным стандартам по математическим дисциплинам для студентов экономических специальностей.

Для студентов специальностей «Экономическая теория» и «Математически методы в экономике», изучающих линейную алгебру отдельной дисциплиной, вариант выдаётся в полном объёме как индивидуальное задание на семестр. По темам аналитической геометрии, изучение которых отнесено к этой дисциплине, выполняется отдельное индивидуальное задание или аудиторная контрольная работа.

Для остальных специальностей вариант выдаётся не в полном объёме, а только по материалу, изучение которого предусмотрено соответствующим стандартом.

Линейная алгебра

Контрольное задание для студентов 1-го

курса

1. Для данных матриц А и В и заданных чисел α, β требуется найти:

1) АВ;

2) αА · В;

3) βА – Е, где Е – единичная матрица;

4) транспонированные матрицы А^Т и В^Т.

2. По данной матрице вычислить её определитель следующими способами:

   1. разложением по элементам какой-нибудь строки;

   2. разложением по элементам какого-либо столбца;

   3. методом Гаусса.

3. По заданной матрице А найти её обратную А^-1 и проверить равенства

А · А^-1 = А^-1 · А = Е.

4. При заданных матрицах А и В найти неизвестную матрицу Х, удовлетворяющую матричному уравнению АХ = В.

5. Найти общее решение данной однородной системы линейных алгебраических уравнений с помощью её фундаментальной системы решений.

6. При заданных А и В найти общее решение неоднородной системы АХ = В, используя фундаментальную систему решений соответствующей приведённой однородной системы уравнений.

7. Найти общее решение данной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

8. Вычислить ранг заданной матрицы.

9. Заданную систему линейных уравнений исследовать на совместность по критерию совместности (по теореме Кронекера – Капелли) и на определённость.

10. Решить систему линейных алгебраических уравнений следующими способами:

    1. по формулам Крамера;

    2. матричным методом;

    3. методом Гаусса.

11. Данную систему линейных уравнений привести к системе с базисом методом Жордана – Гаусса и найти одно базисное решение.

12. Найти три опорных решения данной канонической системы линейных уравнений методом преобразования однократного замещения.

13. Найти собственные векторы и собственные значения линейного преобразования переменных, заданного матрицей А.

14. Привести данную квадратичную форму к каноническому виду методом ортогональных преобразований. Выяснить, является ли она положительно определённой.

15. Выяснить с помощью критерия Сильвестра, является ли квадратичная форма положительно определённой.

Вариант 1

1. α = 6, β = 3.

2. 3.

4. 5.

6.7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 2

1. α = 2, β = 4.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 3

1. α = – 2, β = 5.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 4

1. α = 4, β =

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 5

1. α = 3, β = 5.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 6

1. α = – 2, β = 3.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 7

1. α= – 5,β = 3.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 8

1. α= 10,β = – 3.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 9

1. α= – 3,β = 10.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 10

1. α= – 6,β = 4.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 11

1. α= – 2,β = 3.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 12

1. α= 9,β = – 3.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 13

1. α = – 10, β = – 2.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 14

1. α = – 2, β = 4.

2. 3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

Вариант 15

1. α = – 9, β = 5.

2. 3.

studfiles.net

Вычисление двойных интегралов: теория и примеры

Записывается двойной интеграл так:

.

Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x, а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y. Это место и далее – одно из важнейших для понимания техники вычисления двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл — значит найти число, равное площади упомянутой фигуры D.

Пока мы не касаемся определения двойного интеграла, а будем учиться его вычислять. Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока. Чуть забегая вперёд, можно лишь отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D.

В случае если фигура D представляет собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура D — криволинейна, то слева и справа она ограничена прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании. Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.

Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования. Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении двойного интеграла к повторному интегралу – методе вычисления двойного интеграла.

Случай прямоугольной области:

Случай криволинейной области:

А это уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D, будут пределами интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.

Случай прямоугольной области

Пусть дана функция двух переменных f(x, y) и ограничения для D: D = {(x; y) | a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d}, означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают прямые x = a и x = b, а снизу и сверху — прямые y = c и y = d. Здесь a, b, c, d — числа.

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d — числа, о которых только что упоминалось.

Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем — внешний (левый) определённый интеграл.

Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем — внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть снова дана функция двух переменных f(x, y), а ограничения для D: уже несколько другого вида:

.

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают, как и в случае прямолинейной области — прямые x = a и x = b, но снизу и сверху — кривые, которые заданы уравнениями и . Иными словами, и — функции.

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a и b — числа, а и — функции. В случае треугольной области одна из функций или — это уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.

Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем — левый определённый интеграл.

Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем — внешний (левый).

Пример 5. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

.

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем второе слагаемое:

Вычисляем третье слагаемое:

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

.

Пример 6. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;

2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной

Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.

До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Смена порядка интегрирования образно может быть описана следующими словами О’Генри: «Так ведёт себя обитатель джунглей — зверь, попав в клетку, и так ведёт себя обитатель клетки — человек, заблудившись в джунглях сомнений». Результат, так же по О’Генри один и тот же: «Чалмерс разорвал письмо на тысячу мельчайших клочков и принялся терзать свой дорогой ковёр, расхаживая по нему взад и вперёд». (О’Генри. Шехерезада с Мэдисон-сквера.)

Тогда, если левый интеграл у нас по переменной x, а правый — по y, то после смены порядка интегрирования всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для «нового» игрека нужно «позаимствовать» у «старого» икса, а пределы интегрирования для «нового» икса получить в виде обратной функции, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.

Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет левым, а интеграл по иксу — правым. Пределы интегрирования для «нового» игрека позаимствуем у «старого» икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний — единице. Пределы интегрирования для «старого» игрека заданы уравнениями и . Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:

(нижний) и (верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:

.

После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.

Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.

Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования данного повторного интеграла ограничена прямыми y = 1, y = 3, x = 0, x = 2y.

При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых: AB и BC, которые заданы уравнениями y = 1 и y = x/2, что видно на рисунке ниже.

Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования на две части. Делить область интегрирования будет прямая BМ. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме двух интегралов:

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования повторного интеграла ограничена прямыми x = 0, x = 2 и кривыми и .

Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x, будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для :

Для :

Для :

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

И всё же обстоятельства непреодолимой силы нередко мешают студентам уже на предыдущем шаге — расстановке пределов интегрирования. Тревога и смятение не лишены некоторого основания: если для разбиения области интегрирования на части обычно достаточно приглядеться к чертежу, а для решения повторного интеграла — таблицы интегралов, то в расстановке пределов интегрирования нужен некоторый опыт тренировок. Пробежим пример, в котором остановимся только на расстановке пределов интегрирования и — почти на автомате — на разбиении области и опустим само решение.

Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:

y — 2x ≤ 0;
2y — x ≥ 0;
xy ≤ 2.

Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:

y ≤ 2x;
y ≥ x/2;
y ≤ 2/x.

Строим полученные линии на чертёже. Пределами интегрирования по иксу действительно служат линии x = 0 и x = 2. Но область интегрирования оказалась y-неправильной, так как её верхнюю границу нельзя задать одной линией y = y(x).

Поэтому разобьём область интегрирования на две части при помощи прямой x = 1 (на чертеже — чёрного цвета).

Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:

.

В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь области интегрирования равна самому двойному интегралу. А если двойной интеграл — отрицательное число, то площадь равна его модулю.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.

Пример 12. Вычислить площадь области, ограниченной линиями y² = x + 1 и x + y = 1.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой y² = x + 1, а справа прямой y = 1 — x. (рисунок ниже).

Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения: . Ординаты этих точек — — 2 и 1 будут соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по игреку. Итак, площадь фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как видим, решение двойного интеграла — отрицательное число. За площадь данной плоской фигуры принимается модуль этого числа, то есть 4/9.

Объём криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси 0z, а направляющей служит контур области, вычисляется также по формуле двойного интеграла. То есть, с помощью двойного интеграла можно вычислять объёмы тел.

Пример 13. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями x = 0, y = 0, z = 0 и x + y + z = 1 (рисунок ниже).

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Вновь видим, что решение двойного интеграла — отрицательное число. За объём данного тела принимается модуль этого числа, то есть 1/6.

Мы уже знаем, что представляет собой область D. Пусть z = f(x, y) — некоторая функция двух переменных, определённая и ограниченная в этой области. Разобъём область D произвольно на n частей, не имеющих общих точек, с площадями . В каждой из этих частей выберем произвольную точку и составим сумму

,

которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Двойные интегралы, примеры решений

Теория по двойным интегралам

Двойной интеграл от функции двух переменных по области G обозначается

Для вычисления двойного интеграла, его нужно свести к повторному интегралу. Возможны два случая. Пусть область интегрирования – элементарна относительно оси (рис. 1). Тогда двойной интеграл по области выражается через повторные по формуле:

Если же область интегрирования – элементарна относительно оси (рис. 2), то двойной интеграл по области выражается через повторные следующим образом:

При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Примеры

Задание	С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение	Сделаем рисунок (рис. 4). Площадь с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле     Перейдем от двойного интеграла к повторному:     Вычислим этот интеграл, начиная с внутреннего:     (кв. ед.)
Ответ

ru.solverbook.com

Калькулятор двойных интегралов в Wolfram|Alpha

Однако, все же самый простой способ найти двойной интеграл в Wolfram|Alpha — это калькулятор двойных интегралов, который выводится по запросу double integral. При этом, в качестве примера, в калькулятор интегралов автоматически подставляется функция x^2+y^2:

Решение неопределенных двойных интегралов в Wolfram|Alpha

Калькулятор двойных интегралов в Wolfram|Alpha позволяет получить решение любого другого неопределенного двойного интеграла. Для этого достаточно (1) — ввести новую подынтегральную функцию в поле с подписью function to integrate, (2), (3) — изменить наименования переменных интегрирования variable 1 и variable 2 (если они обозначены не x и y, как обычно, а какими-нибудь другими буквами), а затем (4) — нажать «=«:

Вычисление двойных интегралов в Wolfram|Alpha

Чтобы вычислить определенный двойной интеграл при помощи калькулятора двойных интегралов Wolfram|Alpha, нужно явно указать пределы интегрирования.

Чтобы в калькуляторе двойных интегралов Wolfram|Alpha задать пределы интегрирования для определенного двойного интеграла, нужно последовательно клацнуть ссылки domain of integration for 1st variable (область интегрирования 1-й переменной) и domain of integration for 2nd variable ( область интегрирования 2-й переменной ) в нижней части калькулятора:

Сразу после этого Вы сможете явно указать пределы интегрирования для каждой переменной. При этом, для первой переменной интегрирования (variable 1) следует задавать постоянные пределы, а для второй (variable 2) можно задать как постоянные, так и переменные пределы, которые зависят от первой переменной:

Задавая пределы интегрирования учитывайте, что подынтегральная функция должна быть непрерывна в заданной области интегрирования. Если это условие будет нарушено, то Wolfram|Alpha, естественно, не сможет вычислить двойной интеграл.

В заключение хочу особо отметить, что с Wolfram|Alpha иногда бывает чрезвычайно интересно и поучительно наблюдать, как незначительное, на первый взгляд, изменение пределов интегрирования приводит к существенному изменению результата (сравните это с предыдущим примером):

P. S.

Нажмите слово «коммент.» внизу этого сообщения и оставьте свой комментарий!

www.wolframalpha-ru.com

Вычисление двойных интегралов.

Литература: Б.П. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу 624 стр. М.: «ЧеРо», 1997

Определение: Двойным интегралом от непрерывной функции $f(x, y)$ распространенным на ограниченную замкнутую квадрируемую область $\Omega$, называется число $$\iint\limits_{\Omega}f(x,y)dxdy=\lim\limits_{max|\Delta x_i|\rightarrow 0\quad max|\Delta y_i|\rightarrow 0}\sum\limits_i\sum\limits_j f(x_i, y_j)\Delta x_i\Delta y_j ,$$ где $\Delta x_i=x_{i+i}-x_i,$ $\Delta y_j=y_{j+1}-y_j$ и сумма распространяется на те значения $i$ и $j$ для которых $(x_i, y_j)\in\Omega.$

Непосредственное вычисление двойного интеграла.

Если область $\Omega$ задана неравенствами $$a\leq x\leq b,\qquad y_1(x)\leq y\leq y_2 (x),$$  где $y_1(x)$ и $y_2(x) -$ непрерывные функции на сегменте $[a, b],$ то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле $$\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy=\int\limits_a^bdx\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x, y)dy.$$

Замена переменных в двойном интеграле.

Если непрерывно дифференцируемые функции $$x=x(u, v),\quad y=y(u, v)$$ осуществляют взаимно однозначное отображение ограниченной и замкнутой области $\Omega$ в плоскости $Oxy$ на область $\Omega’$ в плоскости $Ouv$ и якобиан $$I=\frac{D(x, y)}{D(u, v)}$$ сохраняет постоянный знак в $\Omega$ за исключением, быть может, множества меры ноль, то справедлива формула $$\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy=\iint\limits_{\Omega’}f(x(u, v), y(u, v))|I|dudv.$$

В частности, для случая перехода к полярным $r$ и $\varphi$ координатам и по формулам имеем  $$\iint\limits_{\Omega}f(x, y)dxdy=\iint\limits_{\Omega’}f(r\cos\varphi,\, r\sin\varphi)r drd\varphi.$$

Примеры:

Вычислить интегралы.

3906. $\int\limits_0^1dx\int\limits_0^1(x+y)dy.$

Решение.

$$\int\limits_0^1dx\int\limits_0^1(x+y)dy=\int\limits_0^1\left(\left.\left(xy+\frac{y^2}{2}\right)\right|_0^1\right)dx=\int\limits_0^1\left(x+\frac{1}{2}-0\right)dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}+ \frac{1}{2}x\right)\right|_0^1= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-0=1.$$

Ответ: 1.

3908. $\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^ar^2\sin^2\varphi\,dr.$

Решение.

$$\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^ar^2\sin^2\varphi\,dr=\int\limits_0^{2\pi}\left(\int\limits_0^a r^2\sin^2\varphi\,dr\right)d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\left(\sin^2\varphi\left.\frac{r^3}{3}\right|_0^a\right)d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\sin^2\varphi\left(\frac{a^3}{3}-0\right)d\varphi=$$ 

$$=\frac{a^3}{3}\int\limits_0^{2\pi}\frac{1-cos2\varphi}{2}d\varphi=\frac{a^3}{3}\left.\left(\frac{1}{2}\varphi-\frac{1}{4}\sin2\varphi\right)\right|_0^{2\pi}=\frac{a^3}{3}\left(\frac{1}{2}2\pi-\frac{1}{4}\sin4\varphi-0\right)=\frac{a^3\pi}{3}.$$

Ответ: $\frac{a^3\pi}{3}.$

3912 а) Какой знак имеет интеграл $\iint\limits_{|x|+|y|\leq 1}\ln(x^2+y^2)\,dxdy;$

Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах: 

3924. $\int\limits_0^2dx\int\limits_x^{2x}f(x, y)dy.$

Решение.

Сделаем рисунок интегрируемой области:

Область интегрирования ограничена прямыми $y=x, y=2x$ и $x=2.$ Заметим, что в этой области если $y$ меняется от $0$ до $2,$ то координата $x$ меняется от прямой $y=2x$ (или $x=\frac{y}{2}$) до $y=x.$ Если же $y$ меняется от $2$ до $4,$ то координата $x$ меняется от прямой $y=2x$ ($x=\frac{y}{2}$) до $x=2.$ Таким образом,

$$\int\limits_0^2dx\int\limits_x^{2x}f(x, y)dy=\int\limits_0^2dy\int\limits_{\frac{y}{2}}^xdx+\int\limits_2^4dy\int\limits_{\frac{y}{2}}^{2}dx.$$

Ответ: $\int\limits_0^2dx\int\limits_x^{2x}f(x, y)dy=\int\limits_0^2dy\int\limits_{\frac{y}{2}}^xdx+\int\limits_2^4dy\int\limits_{\frac{y}{2}}^{2}dx.$

3928. $\int\limits_1^2dx\int\limits_{2-x}^{\sqrt{2x-x^2}}f(x, y)dy.$

3932. Вычислить интеграл $\iint\limits_{\Omega}xy^2dxdy,$ если область $\Omega$ ограничена параболой $y^2=2px$ и прямой $x=p/2\quad (p>0).$

3939. В двойном интеграле $\iint\limits_{\Omega}f(x,y)dxdy$ перейти к полярным координатам $r$ и $\varphi,$ полагая $x=r\cos\varphi$ и $y=r\sin\varphi,$ расставить пределы интегрирования, если $\Omega -$ кольцо $a^2\leq x^ 2+y^2\leq b^2.$

3944. Перейти к полярным координатам, $r$ и $\varphi,$ полагая $x=r\cos\varphi$ и $y=r\sin\varphi,$ и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в следующем интеграле: $\int\limits_0^1dx\int\limits_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x, y)dy.$

3948. Предполагая, что $r$ и $\varphi,$ — полярные координаты, изменить порядок интегрирования в следующих интегралах: $\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{a\cos\varphi}f(\varphi,r)dt\quad (a>0).$

3954. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл $\iint\limits_{x^2+y^2\leq a^2}\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$

3958. Вместо $x$ и $y$ ввести новые переменные $u$ и $v$ определить пределы интегрирования в следующих двойных интегралах $\int\limits_0^2dx\int\limits_{1-x}^{2-x}f(x, y)dy,$ если $u=x+y,\,\, v=x-y.$

3964. Произведя соответствующие замены переменных, свести двойные интегралы к однократным: $\iint\limits_{\Omega}f(xy)dxdy,$ где область $\Omega$ ограничена кривыми $xy=1,\,\, xy=2,\,\, y=x,\,\, y=4x\,\, (x>0, y>0).$ 

mathportal.net

WolframAlpha по-русски: Двойной интеграл в Wolfram|Alpha

Важное замечание: обязательно нужно явно указывать переменные интегрирования, добавляя dxdy в конце подынтегрального выражения. Иначе Wolfram|Alpha неправильно интерпретирует запрос на нахождение двойного интеграла.

Для вычисления определенных двойных интегралов нужно просто указать пределы интегрирования. В простейшем случае, вычисление двойного интеграла в Wolfram|Alpha выполняется по запросу следующего вида:

Если двойной интеграл имеет переменные пределы, то форма запроса сохраняется. Однако, нужно быть внимательным и явно указывать порядок интегрирования. Так, если переменная x имеет постоянные пределы интегрирования, а переменная y — переменные пределы, то подынтегральное выражение должно заканчиваться символами dydx (сначала dy, а потом dx) (это поможет Wolfram|Alpha правильно определить последовательность повторного интегрирования при вычислении двойного интеграла). То есть корректный запрос на вычисление двойного интеграла в Wolfram|Alpha выглядит так:

Двойные интегралы с бесконечными пределами вычисляются в Wolfram|Alpha аналогично. Вот известный пример:

Однако, самый простой способ найти двойной интеграл в Wolfram|Alpha — это воспользоваться калькулятором двойных интегралов.

Калькулятор двойных интегралов в Wolfram|Alpha выводится по запросу

Для нахождения неопределенных двойных интегралов с помощью этого калькулятора здесь нужно сначала ввести свою подынтегральную функцию, затем указать первую и вторую переменную интегрирования, а после этого клацнуть знак «=».

Чтобы вычислить определенный двойной интеграл при помощи калькулятора, нужно указать пределы интегрирования для каждой переменной. Для этого следует последовательно клацнуть ссылки domain of integration for 1st variable и domain of integration for 2nd variable, которые подчеркнуты на этом рисунке:

После этого появится возможность ввести пределы интегрирования, и можно будет вычислить двойной интеграл, нажав кнопку «=»:

Нужно сказать, что Wolfram|Alpha вычисляет двойные интегралы не безупречно. Некоторые интегралы система не вычисляет, а лишь выводит условие примера. Возможно, это объясняется особенностями интернет-подключения, которое использую я.

www.wolframalpha-ru.com

Определенный интеграл онлайн. Несобственный интеграл онлайн.

Определенные интегралы онлайн на math34.su для закрепления студентами и школьниками пройденного материала.                                                     И тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса. Пошаговое вычисление определенных интегралов онлайн на сайте math34.su. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Определенные интегралы онлайн на math34.su для полноценного закрепления студентами и школьниками пройденного материала и тренировки своих практических навыков. Полноценное решение определенных интегралов онлайн для вас в считанные мгновения поможет определить все этапы процесса. Пошаговое вычисление определенных интегралов онлайн на сайте math34.su. Интегралы онлайн — определенный интеграл онлайн. Для нас определенный интеграл онлайн взять не представляется чем-то сверх естественным, изучив данную тему по книге выдающихся авторов. Огромное им спасибо и выражаем респект этим личностям. Поможет определить определенный интеграл онлайн сервис по вычислению таких задач в два счета. Только укажите правильные данные и все будет Good! Всякий определенный интеграл как решение задачи повысит грамотность студентов. Об этом мечтает каждый ленивец, и мы не исключение, признаем это честно. Если все-таки получится вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно, то, пожалуйста, напишите адрес math34.su всем желающим им воспользоваться. Как говорится, поделишься полезной ссылкой — и тебя отблагодарят добрые люди за даром. Очень интересным будет вопрос разбора задачки, в которой определенный интеграл будет калькулятор решать самостоятельно, а не за счет траты вашего драгоценного времени. На то они и машины, чтобы пахать на людей. Однако решение определенных интегралов онлайн не всякому сайту по зубам, и это легко проверить, а именно, достаточно взять сложный пример и попытаться решить его с помощью каждого такого сервиса. Вы почувствуете разницу на собственной шкуре. Зачастую найти определенный интеграл онлайн без прилагаемых усилий станет достаточно сложно и нелепо будет выглядеть ваш ответ на фоне общей картины представления результата. Лучше бы сначала пройти курс молодого бойца. Всякое решение несобственных интегралов онлайн сводится сначала к вычислению неопределенного, а затем через теорию пределов вычислить как правило односторонние пределы от полученных выражений с подставленными границами A и B. Рассмотрев указанный вами определенный интеграл онлайн с подробным решением, мы сделали заключение, что вы ошиблись на пятом шаге, а именно при использовании формулы замены переменной Чебышева. Будьте очень внимательны в дальнейшем решении. Если ваш определенный интеграл онлайн калькулятор не смог взять с первого раза, то в первую очередь стоит перепроверить написанные данные в соответствующие формы на сайте. Убедитесь, что все в порядке и вперёд, Go-Go! Для каждого студента препятствием является вычисление несобственных интегралов онлайн при самом преподе, так как это либо экзамен, либо коллоквиум, или просто контрольная работа на паре. Непросто будет списать ответ вживую, но вы не унывайте, ведь с вами мы — math34.su. Как только заданный несобственный интеграл онлайн калькулятор будет в вашем распоряжении, то сразу вбивайте заданную функцию, подставляйте заданные пределы интегрирования и нажимайте на кнопку Решение, после этого вам будет доступен полноценный развернутый ответ. И все-таки хорошо, когда есть такой замечательный сайт как math34.su, потому что он и бесплатный, и простой в пользовании, также содержит очень много разделов. которыми студенты пользуются повседневно, один из них как раз есть определенный интеграл онлайн с решением в полном виде. В этом же разделе можно вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением для дальнейших применений ответа как в институте, так и в инженерных работах. Казалось бы, всем определить определенный интеграл онлайн дело нехитрое, если заранее решить такой пример без верхней и нижней границы, то есть не интеграл Лейбница, а неопределенный интеграл. Но тут мы с вами не согласны категорически, так как на первый взгляд это может показаться именно так, однако есть существенная разница, давайте разберем все по полочкам. Такой определенный интеграл решение дает не в явном виде, а в следствие преобразования выражения в предельное значение. Другими словами, нужно сначала решить интеграл с подстановкой символьных значений границ, а затем вычислить предел либо на бесконечности, либо в определенной точке. Отсюда вычислить определенный интеграл онлайн с решением бесплатно означает ни что иное как представление точного решения по формуле Ньютона-Лейбница. Если же рассматривать наш определенный интеграл калькулятор поможет его подсчитать за несколько секунд прямо на ваших глазах. Такая спешка нужна всем желающим как можно быстрее справиться с заданием и освободиться для личных дел. Не стоит искать в интернете сайты, на которых попросят вас регистрироваться, затем пополнить деньги на баланс и все ради того, чтобы какой-нибудь умник подготавливал решение определенных интегралов якобы онлайн. Запомните адрес math34 — это бесплатный сервис для решения множества математических задач, в том же числе мы поможем найти определенный интеграл онлайн, и чтобы в этом убедиться, просим проверить наше утверждение на конкретных примерах. Введите подынтегральную функцию в соответствующее поле, затем укажите либо бесконечные предельные значения (в это случае будет вычислен и получено решение несобственных интегралов онлайн), либо задайте свои числовые или символьные границы и определенный интеграл онлайн с подробным решением выведется на странице после нажатия на кнопку «Решение». Неправда ли — это очень просто, не требует от вас лишних действий, бесплатно, что самое главное, и в то же время результативно. Вы можете самостоятельно воспользоваться сервисом, чтобы определенный интеграл онлайн калькулятор принес вам максимум пользы, и вы бы получили комфортное состояние, не напрягаясь на сложность всех вычислительных процессов, позвольте нам сделать все за вас и продемонстрировать всю мощь компьютерных технологий современного мира. Если погружаться в дебри сложнейших формул и вычисление несобственных интегралов онлайн изучить самостоятельно, то это похвально, и вы можете претендовать на возможность написания кандидатской работы, однако вернемся к реалиям студенческой жизни. А кто такой студент? В первую очередь — это молодой человек, энергичный и жизнерадостный, желающий успеть отдохнуть и сделать домашку! Поэтому мы позаботились об учениках, которые стараются отыскать на просторах глобальной сети несобственный интеграл онлайн калькулятор, и вот он к вашему вниманию — math34.su — самая полезная для молодежи решалка в режиме онлайн. Кстати наш сервис хоть и преподносится как помощник студентам и школьникам, но он в полной мере подойдет любому инженеру, потому что нам под силу любые типы задач и их решение представляется в профессиональном формате. Например, определенный интеграл онлайн с решением в полном виде мы предлагаем по этапам, то есть каждому логическому блоку (подзадачи) отводится отдельная запись со всеми выкладками по ходу процесса общего решения. Это конечно же упрощает восприятие многоэтапных последовательных раскладок, и тем самым является преимуществом проекта math34.su перед аналогичными сервисами по нахождению несобственный интеграл онлайн с подробным решением.

math24.su

Двойной интеграл по заданной области. Примеры решения задач

Решения типовых задач — Математический анализ

Двойной интеграл по заданной области

Решение
Уравнение  определяет параболу, уравнение  – верхнюю часть окружности
 или . Область  заключена между параболой и полуокружностью.
Изобразим область интегрирования на рисунке.

Очевидно, что область интегрирования является правильной областью в направлении обеих осей координат. Поэтому возможны два варианта выбора порядка интегрирования: вначале по , затем по  или наоборот.
При первом варианте выбора порядка интегрирования область  придется разбивать на две области  и , так как в этом случае левая и правая границы области определяются двумя различными функциями.
При втором варианте выбора порядка интегрирования нет необходимости разбивать область  на части, так как верхняя и нижняя границы области определяются одной функцией.
Выберем второй вариант.
Очевидно, что область  определяется системой неравенств
Следовательно,

www.matem96.ru

Точная и приблизительная таблицы факториалов (1!-255!)

dpva.ru

Duplocoll 200 | ООО «Факториал»

Duplocoll 200 — двухсторонняя клеящая лента ( двухсторонняя самоклеящаяся лента).
 

Клей

Клеевой слой представляет собой модифицированный полимер акриламида и акриловой кислоты.
 

Структура

Многослойный материал.
 

Физическая форма поставки

Рулоны длиной 50 м, шириной 6, 9, 12, 15, 19, 25, 30, 38, 50, 60, 75, 100, 1020 мм.
 

Ключевые особенности

• Стандартизирована в соответствии с UL 969 (Система стандартов для этикетки и маркировки).
• Клеящая лента с превосходной начальной адгезией (липкостью) и когезией (сцеплением).
• Хорошая устойчивость к старению и УФ-излучению.
• Замечательная вязкоупругая структура клея дает возможность применять данную клеящую ленту для склеивания материалов с крупнопористой структурой.

 
★★★ — идеально применимо
★★☆ — применимо
★☆☆ — ограниченно применимо
☆☆☆ — не применимо

Типичные изделия

• Применяется для склеивания: пластиков, металлов, бумаги, стекла, керамики, тканей, войлока, вспененных материалов, при производстве ламината.
• Применяется при нанесении ковровых покрытий.

Технические характеристики

Специфические технические характеристики

factorial.ua

Таблица факториалов — 2mb.ru

Таблица факториалов от 1 до 40

2mb.ru

Ответы@Mail.Ru: что такое факториал.»!». «!»

сумма числа т.е. 5!=1*2*3*4*5=120

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: Например: . По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом: Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так [1]: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе. Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ). Свойства Рекуррентная формула Комбинаторная интерпретация В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки: ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом. Связь с гамма-функцией [править | править вики-текст] Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента. Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением: Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при . Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом. Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как . Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению Формула Стирлинга Основная статья: Формула Стирлинга Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала: см. O-большое [2]. Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга: При этом можно утверждать, что Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что •100! ≈ 9,33×10157; •1000! ≈ 4,02×102567; •10 000! ≈ 2,85×1035 659. Разложение на простые числа Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени Таким образом, где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n. Связь с производной от степенной функции Для целого неотрицательного числа n: Например: Другие свойства •Для натурального числа n: Обобщения Двойной факториал Запрос «‼» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Двойной факториал числа n о

touch.otvet.mail.ru

Факториал — Википедия

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

.

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией[править]

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

.

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга[править]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[2].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа[править]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править]

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства[править]

• Для натурального числа n:

Двойной факториал[править]

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

• Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

• Для нечётного n:

Выведение формул

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где  — целое неотрицательное число, получим:

• для чётного числа:

• для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

</div></div>

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[3]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал[править]

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда^[4]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[5]:

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Убывающим факториалом называется выражение

.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

3^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

.

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[6]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы[править]

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[7]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так^[8]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000 …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

где для и

Субфакториал[править]

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

www.wiki-wiki.ru

Как решать арифметические прогрессии 🚩 Найти разность арифметической прогрессии 🚩 Математика

12 июля 2011

Автор КакПросто!

Арифметическая прогрессия — это такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом или разностью арифметической прогрессии). Чаще всего в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Рассмотрим каждый из этих вопросов более подробно.

Статьи по теме:

Вам понадобится

• Умение выполнять основные математические действия.

Инструкция

Чтобы найти разность (шаг) арифметической прогрессии, необходимо знать первый и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1). Например, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия называется возрастающей, если d<0 — убывающей.

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по следующей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn — сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An — 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.

Если же n-ый член арифметической прогрессии неизвестен, но зато известен шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, чтобы найти сумму арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2. Например, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

Видео по теме

Обратите внимание

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии: An=(An-1+An+1)/2.

Источники:

• как решать задачи арифметической прогрессии

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Арифметическая прогрессия. Задачи на прогрессии.

Всем привет! Сегодня вспоминаем прогрессии. Задачи на прогрессии встречаются как в блоке текстовых задач ЕГЭ (задачи типа В14), так и среди задач ГИА (В4).

Сначала вспомним арифметическую прогрессию и порешаем задачи, связанные с ней. Кому нужна геометрическая – смотри тут.

В любой последовательности каждый элемент должен иметь “адрес”, по которому можно было бы этот элемент отыскать. Этот “адрес” – это порядковый номер элемента. Например, понятно, что элемент  – первый, а  – “живет” в сотой “квартире”.

Также между номером элемента и его значением есть зависимость. Если последовательность возрастающая, то, чем больше номер “квартиры”, тем “толще” жилец, а если убывающая, то наоборот (все это – непостоянные последовательности). Существуют также последовательности, у которых все члены – одинаковы. Такие последовательности называются постоянными последовательностями (например: 5, 5, 5, …).

Задать последовательность можно по-разному.

Часто встречается такой способ задания: “Дана последовательность 30; 28; 26;…” – по сути, это табличный способ задания. Интуитивно понятно, что 30 здесь – первый член последовательности, и можно сразу “увидеть” разность такой прогрессии – это “расстояние между соседями”.

Также задают последовательности формулой n-ного члена, например: . Чтобы найти элемент такой последовательности, нужно подставить нужное n в формулу.

В случае же, когда член последовательности задан с помощью одного или нескольких предыдущих членов, то, чтобы найти этот член последовательности,  необходимо знать и эти предыдущие члены также, то есть нужно как бы  позвонить им в квартиры и спросить адрес их соседа. Такое задание называется рекуррентным от итальянского слова recurro (спешить обратно).Пример: .

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину, которая называется разностью прогрессии и обозначается

Разность может быть положительной, отрицательной и нулевой. Так как она постоянна, то между соседями “расстояние” будет , а “расстояние” между членами, которые стоят “через одного” – . Отсюда свойство прогрессии:

Понятно, что это свойство относится и к другим членам, отстоящим от “центра” на одинаковое количество номеров:

Найти n-ный член прогрессии просто, если знаешь первый и разность прогрессии. Ведь если вы знаете, где первая квартира в доме, вы легко отыщете сотую, верно?

Еще нужно знать формулу суммы прогрессии. Когда это может понадобиться? Например, население города увеличивается каждый месяц на 1000 жителей. Сколько новых жителей появится в городе через год или два, сколько строить новых школ или поликлиник?

Сумму прогрессии можно найти по формулам:

Ну вот, теперь мы вооружены, можем и задачи порешать попробовать.

1. Дана арифметическая прогрессия: -30;  -24; -18;… Найти сумму первых десяти членов.

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий). (Или из  – ):

.

Теперь воспользуемся формулой для суммы – берем вторую формулу:

Ответ: -30

2. Дана арифметическая прогрессия: 35; 28;21;… Найти сумму членов с 12 по 18 включительно.

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий). (Или из  – ):

.

Теперь найдем сумму 18 первых членов, и вычтем из нее сумму 11 первых членов – тогда останется то, что нам и надо::

Вторая сумма равна 0, поэтому ответ: -441.

3. Арифметическая прогрессия задана условиями: , . Найти  .

Так как между предыдущим и последующим членами (из условия) – 3, то это и есть разность прогрессии. По формуле для нахождения n-ного члена определяем  :

Ответ: 38

4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них – арифметическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;…              б) 1; 2; 4; 8;…                 в) 1; 3; 5; 7;…             г).

Надо выбрать такую последовательность, где разность между соседними членами была бы одинаковой. Первая не подойдет: четвертый член выбивается из общего ряда. Вторая тоже, очевидно, не подойдет: здесь соседние члены отличаются не “на”, а “в” – каждый следующий вдвое больше. Третья годится: разность равна 2. Четвертая тоже не подойдет: разность между соседними дробями не одинакова.

Ответ: в)

5. Выписаны несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

а) 85              б) 73                 в) 117             г) 254.

Конечно, задан первый член и можно определить разность – она равна 3 – но неужели предстоит просчитать каждое число по формуле n-ного  члена, чтобы определить нужное? НЕТ! Все гораздо проще! Заметим, что все члены прогрессии делятся на 3. И разность прогрессии 3, значит, если число входит в прогрессию, то оно тоже должно делиться на три! Вы помните признак делимости на три? Правильно: если сумма чисел делится на три, то и все число делится. Считаем: 8+5=13 – на три не делится; 7+3=10 – не делится; 1+1+7=9 – число 117 делится на три, и является членом прогрессии. 2+5+4=11 – не подходит.

Ответ: в)

6. Арифметические прогрессии заданы формулами n-ного члена:, , . Укажите те из них, у которых разность равна 3.

Просто подставив в каждую формулу 1 и 2 вместо n, посмотрим, какая разность получится между членами прогрессий:

Первая прогрессия отвечает требованию.

Вторая:

Вторая также подойдет.

Третья:

– очевидно, что такая разность нам не подходит.

Ответ: 

7. Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго. Найдите разность и первый член данной прогрессии.

Составим уравнения по условиям:

Перепишем второе уравнение:

Теперь можем определить разность:

Перепишем первое уравнение:

Ответ:  

8. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; 10; x; –14; –26; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

По свойству прогрессии неизвестный член равен полусумме своих соседей: . Также можно было найти разность прогрессии и прибавить ее к числу “до” х, или отнять от числа “после”.

9. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 50 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

Если число мест в каждом ряду выписать в ряд, получим арифметическую прогрессию. Арифметическую – потому что число мест все время увеличивается на одно и то же число. Понятно, что разность этой прогрессии  2. И вот здесь-то и хочется сказать, что в ряду n число мест , но это неверно! Ведь тогда в первом ряду получается 52 места! Поэтому правильно .

10. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 35; 27; 19; … . Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

Можно, конечно, найти, на сколько последующий член меньше предыдущего (прогрессия убывающая), то есть разность прогрессии, и затем вычитать последовательно это число до тех пор, пока результат не станет отрицательным.

11. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия 13, 8, 3, … Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 81-м месте?

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий):

.

Находим 81 член прогрессии:

Ответ: -387

12. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

“Начиная с 1” – значит, . Натуральные числа – ряд последовательных чисел, отличающихся на 1 – значит, .

Формула суммы прогрессии:   – здесь нам неизвестно число членов прогрессии – n.

Подставим 528 и попробуем определить n:

Получили квадратное уравнение:

Второй корень – отрицательный, его можно даже не считать.

Получается, что сумма 32 членов дает 528, а нам нужно, чтобы сумма была бы меньше – тогда берем 31 член прогрессии.

Ответ: 31.

13. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –17; –16; -15; …

Первый член прогрессии . Разность прогрессии .

Формула n-ного члена: . Найдем, сколько таких отрицательных членов у нас получится:

Тогда отрицательных членов 17. Находим их сумму:

Ответ: -153.

14. Руслану надо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач Руслан решил в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.

Сначала разберемся, какие сведения содержит в себе условие. Похоже, фраза “на одно и то же количество задач больше” говорит о том, что мы имеем дело с прогрессией. Общий объем работы, предстоящий Руслану – это сумма прогрессии. 13 задач, решенных в первый день – это первый член нашей прогрессии. Ну и 12 дней, отведенных на это сложное дело – это количество членов прогрессии.

Найти надо количество задач, решенных в последний день – то есть 12 член прогрессии.

– в формуле n-ного члена нам неизвестна разность этой прогрессии. Поэтому воспользуемся суммой:

Находим 12 член прогрессии:

Ответ: 57

15. Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

Сумма прогрессии равна 150. Сумма первого и последнего членов – 10. Зная это, можем найти, какое количество дней улитка затратила на свой путь (количество членов прогрессии):

Откуда 

Ответ: 30

easy-physic.ru

Как решать арифметические прогрессии | Сделай все сам

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность, у которой всякий ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом либо разностью арифметической прогрессии). Почаще каждого в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Разглядим весь из этих вопросов больше детально.

Вам понадобится

• Умение исполнять основные математические действия.

Инструкция

1. Из определения арифметической прогрессии следует дальнейшая связь соседних членов арифметической прогрессии – An+1=An+d, скажем, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8.

2. Если вестим 1-й член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то дозволено обнаружить всякий ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1). Скажем, пускай A1=2, d=5. Обнаружим, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47.

3. Применяя предыдущую формулу дозволено обнаружить 1-й член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1), то есть если предположить, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12.

4. Дабы обнаружить разность (шаг) арифметической прогрессии, нужно знать 1-й и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1). Скажем, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия именуется нарастающей, если d<0 – убывающей.

5. Сумму первых n членов арифметической прогрессии дозволено обнаружить по дальнейшей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn – сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An – 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.

6. Если же n-ый член арифметической прогрессии неведом, но но знаменит шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, дабы обнаружить сумму арифметической прогрессии, дозволено воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2. Скажем, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный комплект чисел, весь член которого, помимо первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта непрерывная величина именуется разностью прогрессии либо ее шагом и может быть рассчитана по вестимым членам арифметической прогрессии.

Инструкция

1. Если из условий задачи знамениты значения первого и второго либо всякий иной пары соседних членов арифметической прогрессии, для вычисления разности (d) примитивно отнимите от дальнейшего члена предшествующий. Получившаяся величина может быть как правильным, так и негативным числом – это зависит от того, является ли прогрессия нарастающей либо убывающей. В всеобщей форме решение для произвольно взятой пары (a? и a???) соседних членов прогрессии запишите так: d = a??? – a?.

2. Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a?), а иной – любым иным произвольно выбранным, тоже дозволено составить формулу нахождения разности (d). Впрочем в этом случае непременно должен быть знаменит порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный итог поделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В всеобщем виде эту формулу запишите так: d = (a?+ a?)/(i-1).

3. Если помимо произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i знаменит иной ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих 2-х членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (a?+a?)/(i-v).

4. Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a?) и сумма (S?) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для приобретения желанного значения поделите сумму на число составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а итог удвойте. Получившуюся величину поделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В всеобщем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(S?/i-a?)/(i-1).

Видео по теме

Обратите внимание!
Всякий член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и дальнейшего члена прогрессии: An=(An-1+An+1)/2.

jprosto.ru

Арифметическая прогрессия

Вопросы занятия:

·  повторить определение арифметической прогрессии;

·  вспомнить свойство арифметической прогрессии;

·  вывести формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Материал урока

Давайте вспомним определение арифметической прогрессии.

Определение.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Давайте попробуем среди предложенных последовательностей определить, какие являются арифметической прогрессией, а какие нет.

Пример.

Как и числовые последовательности, арифметические прогрессии бывают возрастающие и убывающие.

Определение.

Возрастающие – это прогрессии, в которых каждый последующий член больше предыдущего.

Например, примерами возрастающих прогрессий будут прогрессии

Определить возрастающую арифметическую прогрессию нетрудно, достаточно определить разность прогрессии. Если разность арифметической прогрессии больше нуля, то, значит, арифметическая прогрессия возрастающая.

Определение.

Убывающие арифметические прогрессии – это прогрессии, в которых каждое последующий член меньше предыдущего.

Примерами убывающих прогрессий будут прогрессии

У убывающих арифметических прогрессий – разность арифметической прогрессии меньше нуля.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Теперь давайте рассмотрим задачу.

А давайте теперь найдём х, если арифметическая прогрессия такая: 4024; х; 6072?

Вроде тоже ничего сложного, но здесь при вычислении есть шанс сделать вычислительную ошибку.

Давайте решим это задание в общем виде.

Мы с вами сформулировали основное свойство арифметической прогрессии.

Найдём теперь х из предыдущей задачи с помощью только что доказанной формулы.

Теперь давайте выполним задание.

Пример.

Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, состоящей из чётных чисел, записанных в порядке возрастания.

Решение.

Восстановить девять членов этой последовательности нетрудно.

Это будут числа: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18.

Их сумма равна: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90.

Ответ: 90.

А если нам надо найти, например, сумму тысячи первых членов? Как быть? Выписывать тысячу членов прогрессии и все их складывать? Это долго и большая вероятность того, что при нахождении всех чисел, мы допустим ошибку, которая повлечёт за собой ошибку при нахождении суммы.

Давайте выведем формулу, которая поможет нам быстро подсчитать сумму сколько угодно членов арифметической прогрессии.

Эта формула, позволяет находить сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии, не вычисляя отдельно их значения.

Теперь давайте вернёмся к нашему примеру и посчитаем сумму девяти членов прогрессии по формуле, которую вывели.

Мы получили такой же результат, только нам не пришлось находить все девять членов прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Есть второй способ решения такой задачи.

В этом случае, нам не пришлось отдельно вычислять значение тридцать четвёртого члена.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке, мы вспомнили определение арифметической прогрессии, повторили свойство арифметической прогрессии, вывели сумму эн первых членов арифметической прогрессии.

videouroki.net

Как решать арифметические прогрессии — Полезное о компьютерах и программах

Введение

Арифметическая прогрессия — это такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом или разностью арифметической прогрессии).

Чаще всего в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Рассмотрим каждый из этих вопросов более подробно.

Для этого потребуется умение выполнять основные математические действия.

Инструкция

Из определения арифметической прогрессии следует следующая связь соседних членов арифметической прогрессии:

An+1=An+d, например, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8.

Если известен первый член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то можно найти любой ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1).

Например: пусть A1=2, d=5. Найдем, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47.

Используя предыдущую формулу можно найти первый член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1).

Предположим, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12.

Чтобы найти разность (шаг) арифметической прогрессии, необходимо знать первый и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1).

Например, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия называется возрастающей, если d

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по следующей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn — сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An — 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.

Если же n-ый член арифметической прогрессии неизвестен, но зато известен шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, чтобы найти сумму арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2.

Например, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

sd-company.su

Решение арифметической прогрессии

Результат вычислений

Для решения задач на арифметическую прогрессию используют две основные формулы

— формула для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

— формула для нахождения n элемента арифетической прогрессии

Чаще всего, при решениях задач на арифметическую прогрессию вызывает затруднение расчет разницы прогрессии и значение первого элемента.

И это логично, так как используя стандартные формулы расчета N-элемента прогрессии и суммы N-ых элементов прогресии, при вышеуказанных данных не вызывает абсолютно никаких затруднений.

Интересный факт (вернее сказать легенда) с арифметической прогрессией.  Математик Муавр  (тот, в честь которого назвали формулу корней и степеней комплексных чисел) точно предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, он вычислил, когда она достигнет 24 часов, и именно эту дату назначил днем своей смерти. По легенде — он не ошибся, и умер именно в тот день, который был вычислен.

Синтаксис

Для тех кто использует XMPP клиент:  ap  <переменные>

Переменные  — строка, содержащая известные значения разделенные точкой с запятой.

Переменные могут быть следующие

a1 — первый элемент арифметической прогрессии. Например a1=13

a[n] — n-ый элемент прогресии. Например a[32]=67

d — разница арифметической прогресии

S[n] — сумма первых элементов арифметической прогресии.

Если  результаты Вам нужны не в виде длинной дробной части, такой как 7.2408, а в виде правильной дроби, то стоит обратить внимание на конвертер Непрерывные, цепные дроби онлайн

Он Вам поможет рассчитать что

Примеры

Дана арифметическая прогрессия  где первый элемент равен 5, а разница прогрессии равна 3. Найти сумму первых 100 элементов арифметической прогрессии

Запрос будет следующим 

ap a1=5;d=3;n=100

и получаем следующее

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=3

Сумма арифметической прогресии c 1 по 100 член S=15350

Первый элемент прогрессии a1=5

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=2+3*N

Известна сумма 10 элементов прогресии и равна она 100, и сумма первых 23 элементов = 305

Определить первый элемент прогресси и разницу прогресии.

Запрос будет таким

ap S[10]=100;S[23]=305

Получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=0.5017

Сумма арифметической прогресии c 1 по 10 член S=100

Первый элемент прогрессии a1=7.7425

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=7.2408+0.5017*N

В арифметической прогрессии второй член равен 4, а двадцать восьмой равен 56. Найдем разность этой прогрессии и сумму 28 первых ее членов.

Запрос будет такой

ap a[2]=4;a[28]=56

и получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=2.0000

Сумма арифметической прогресии c 1 по 2 член S=6

Первый элемент прогрессии a1=2.0000

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N

Нам надо было определить сумму ?

не вопрос

С учетом полученного ответа ответа  запросим точный ответ на поставленную задачу

ap n=28;a1=2;d=2

и получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=2

Сумма арифметической прогресии c 1 по 28 член S=812

Первый элемент прогрессии a1=2

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N

Уважаемый пользователь,  задал вопрос  — а как решать арифметическую прогрессию  когда  задана задача в таком виде:

Сумма первых 20 элементов арифметической прогрессии равна 30, а 8 элемент прогрессии больше в два раза чем значения пятого элемента.

К сожалению бот такие задачи не умеет решать. Вернее так, автор бота не может пока найти универсальное решение,  когда два элемента прогрессии связаны между собой произвольным выражением через неизвестную переменную.

Но не все так плохо. Мы готовы дать методику  как решать подобные задачи. Итак выразим связь пятого и восьмого элемента прогрессии через переменную x 

Получили следующие исходные данные

S[20]=30;a[8]=2*x;a[5]=x

Запишем формулы для каждой из заданных значений

Преобразуем  и перенесем все в одну сторону неизвестные величины, а в другую известные значения.

получаем три уравнения

Пишем этому боту  запрос linur_i 20 190 0 30 1 7 -2 0 1 4 -1 0

и получаем ответ

a1=-0.176470588

d=0.176470588

x=0.529411765

Проверка подтверждает наши  вычисления

Запишем, что же нам известно

S[90]=x;a[7]+a[11]=x-50

Преобразуем и получаем

Так как первый элемент равен двум то  наши уравнения  превращаются в  очень простую систему

• Решение уравнений методом Ньютона онлайн >>

abakbot.ru

Решение арифметической прогрессии

Результат вычислений

Для решения задач на арифметическую прогрессию используют две основные формулы

— формула для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

— формула для нахождения n элемента арифетической прогрессии

Чаще всего, при решениях задач на арифметическую прогрессию вызывает затруднение расчет разницы прогрессии и значение первого элемента.

И это логично, так как используя стандартные формулы расчета N-элемента прогрессии и суммы N-ых элементов прогресии, при вышеуказанных данных не вызывает абсолютно никаких затруднений.

Интересный факт (вернее сказать легенда) с арифметической прогрессией.  Математик Муавр  (тот, в честь которого назвали формулу корней и степеней комплексных чисел) точно предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, он вычислил, когда она достигнет 24 часов, и именно эту дату назначил днем своей смерти. По легенде — он не ошибся, и умер именно в тот день, который был вычислен.

Синтаксис

Для тех кто использует XMPP клиент:  ap  <переменные>

Переменные  — строка, содержащая известные значения разделенные точкой с запятой.

Переменные могут быть следующие

a1 — первый элемент арифметической прогрессии. Например a1=13

a[n] — n-ый элемент прогресии. Например a[32]=67

d — разница арифметической прогресии

S[n] — сумма первых элементов арифметической прогресии.

Если  результаты Вам нужны не в виде длинной дробной части, такой как 7.2408, а в виде правильной дроби, то стоит обратить внимание на конвертер Непрерывные, цепные дроби онлайн

Он Вам поможет рассчитать что

Примеры

Дана арифметическая прогрессия  где первый элемент равен 5, а разница прогрессии равна 3. Найти сумму первых 100 элементов арифметической прогрессии

Запрос будет следующим 

ap a1=5;d=3;n=100

и получаем следующее

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=3

Сумма арифметической прогресии c 1 по 100 член S=15350

Первый элемент прогрессии a1=5

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=2+3*N

Известна сумма 10 элементов прогресии и равна она 100, и сумма первых 23 элементов = 305

Определить первый элемент прогресси и разницу прогресии.

Запрос будет таким

ap S[10]=100;S[23]=305

Получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=0.5017

Сумма арифметической прогресии c 1 по 10 член S=100

Первый элемент прогрессии a1=7.7425

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=7.2408+0.5017*N

В арифметической прогрессии второй член равен 4, а двадцать восьмой равен 56. Найдем разность этой прогрессии и сумму 28 первых ее членов.

Запрос будет такой

ap a[2]=4;a[28]=56

и получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=2.0000

Сумма арифметической прогресии c 1 по 2 член S=6

Первый элемент прогрессии a1=2.0000

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N

Нам надо было определить сумму ?

не вопрос

С учетом полученного ответа ответа  запросим точный ответ на поставленную задачу

ap n=28;a1=2;d=2

и получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=2

Сумма арифметической прогресии c 1 по 28 член S=812

Первый элемент прогрессии a1=2

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N

Уважаемый пользователь,  задал вопрос  — а как решать арифметическую прогрессию  когда  задана задача в таком виде:

Сумма первых 20 элементов арифметической прогрессии равна 30, а 8 элемент прогрессии больше в два раза чем значения пятого элемента.

К сожалению бот такие задачи не умеет решать. Вернее так, автор бота не может пока найти универсальное решение,  когда два элемента прогрессии связаны между собой произвольным выражением через неизвестную переменную.

Но не все так плохо. Мы готовы дать методику  как решать подобные задачи. Итак выразим связь пятого и восьмого элемента прогрессии через переменную x 

Получили следующие исходные данные

S[20]=30;a[8]=2*x;a[5]=x

Запишем формулы для каждой из заданных значений

Преобразуем  и перенесем все в одну сторону неизвестные величины, а в другую известные значения.

получаем три уравнения

Пишем этому боту  запрос linur_i 20 190 0 30 1 7 -2 0 1 4 -1 0

и получаем ответ

a1=-0.176470588

d=0.176470588

x=0.529411765

Проверка подтверждает наши  вычисления

Запишем, что же нам известно

S[90]=x;a[7]+a[11]=x-50

Преобразуем и получаем

Так как первый элемент равен двум то  наши уравнения  превращаются в  очень простую систему

abakbot.ru

Система тестирования

Развитая технология тестирования является эффективным средством контроля знаний на любых стадиях учебного процесса. Программный комплекс «Студия визуального тестирования» позволяет автоматизировать контроль знаний студентов, включая создание набора тестовых заданий, проведение тестирования студентов и анализ результатов.

Комплекс состоит из модулей:

— Редактор тестов – для создания тестовых заданий;
— Редактор сценариев – для задания параметров тестирования студентов;
— Тестовая оболочка – для проведения тестирования в образовательном учреждении;
— Результаты тестирования – для анализа и просмотра результатов тестирования;
— Списки студентов – для управления списками групп и студентов;
— Администрирование – для управления безопасностью программного комплекса.

Редактор тестов позволяет создавать тестовые задания 7 различных видов: Да/Нет, выбор одного или нескольких правильных ответов, ввод числа или слова, установление последовательности и соответствия. При создании текста можно использовать формулы, рисунки и сложное форматирование.
В редакторе сценариев можно выбрать, какие задания использовать в тестировании из одного или нескольких тестов, задать время и количество заданий, определить режим тестирования.

На основе созданного теста можно провести тестирование как на компьютерах, так и на бумажных бланках, автоматически сформированных программой.

Для определения оценки могут использоваться два алгоритма, один из которых учитывает статистическую погрешность угадывания правильного варианта ответа. Единая база данных хранит задания и накапливаемую статистику тестирования, которую можно использовать для оценки качества тестовых заданий и совершенствования теста.
Для обеспечения безопасности используется многоуровневая система управления доступом, шифрование, парольная или Windows-аутентификация и аудит событий.
Система тестирования может использоваться как отдельная система, так и в связке с другими системами автоматизации. В этом случае автоматически загружаются списки студентов из ИС «Деканат» и результаты тестирования могут экспортироваться в ИС «Электронные ведомости».

Итогом проведения тестирования является отчет с результатами контроля. При необходимости можно просмотреть, на какие вопросы был дан неправильный ответ.
Система поддерживает функции полнотекстового поиска, централизованного задания стиля оформления, поиска дублирующихся заданий, а также экспорта и импорта тестов из файлов.

В результате использования автоматизированной системы тестирования:
1) Производительность труда преподавателя во время контрольных мероприятий возрастает в 8-10 раз.
2) Исключается субъективность при оценке знаний.
3) Возможно использование тестирования как входного контроля перед экзаменом.
4) Созданный банк тестовых заданий можно использоваться повторно.
5) Результаты тестирования могут быть использованы при анализе успеваемости и качества тестовых заданий.

www.mmis.ru

INDIGO — Документация к программе для создания тестов и тестирования

1.1. Установка сервера тестирования

Установка INDIGO выполняется с помощью инсталляционного пакета на компьютер под управлением Windows XP / Vista / Server (2003, 2008, 2012, 2016) / 7 / 8 / 10. Путь к каталогу для установки не должен содержать национальные символы (например, русские). По умолчанию INDIGO устанавливается в следующие каталоги:

• [C:\Program Files\INDIGO] – для 32-разрядной ОС;
• [C:\Program Files (x86)\INDIGO] – для 64-разрядной ОС.

Сам процесс установки является тривиальным. После завершения работы инсталляционного пакета на рабочем столе появится два ярлыка:

• INDIGO – интерфейс администратора;
• Web-интерфейс – интерфейс пользователя.

При запуске интерфейса администратора появится окно авторизации:

По умолчанию логин администратора: admin, пароль: 12345.

При запуске интерфейса пользователя откроется браузер, установленный в системе по умолчанию, который откроет страницу по адресу http://127.0.0.1:85/

По умолчанию в системе уже имеется один зарегистрированный пользователь, Логин/ФИО: Иванов Иван Иванович (ivan), пароль: 12345.

Для ввода в поле «Логин/ФИО» доступны следующие варианты:

• Логин
• Фамилия
• Фамилия Имя
• Фамилия Логин
• Фамилия Имя Отчество
• Фамилия Имя Логин
• Фамилия Имя Отчество Логин

Ввод можно производить в любом регистре. Если введенных данных окажется недостаточно (например, имеются два пользователя с фамилией Иванов), то программа запросит более полный ввод.

1.2. Работа в локальной сети

Каждый компьютер, который работает в сети, имеет свой IP-адрес, который необходим для идентификации этого компьютера и обмена с ним данными. Администратор и пользователи могут работать с сервером тестирования INDIGO в локальной сети и/или Интернете. Для удаленного подключения необходимо знать IP-адрес или имя хоста (псевдоним IP-адреса) компьютера-сервера, на котором установлена система INDIGO. Есть специальное значение IP-адреса, которое означает тот же самый компьютер на котором Вы работаете. Его значение 127.0.0.1 (псевдоним «localhost»). Поэтому Вы всегда сможете зайти в INDIGO по этому адресу непосредственно с самого компьютера-сервера, а для удаленного подключения нужно знать IP-адрес сервера в сети, в которой Вы работаете.

Для любой версии ОС Windows узнать IP-адрес сервера можно следующим образом. Необходимо зайти в [Пуск > Все программы > Стандартные > Командная строка]. В появившееся окно необходимо ввести команду «ipconfig» и нажать Enter. В результате будет выдан список сетевых адаптеров компьютера и их IP-адресов. Адаптер может быть не один, их может быть много (включая виртуальные, которые создают различные программы для своих нужд). Если Вы затрудняетесь с выбором нужного IP-адреса, то Вы можете просто перепробовать их все путем попыток подключения к INDIGO с другого компьютера.

Интересующими строками являются строки вида:

IPv4-адрес ………………………. xxx.xxx.xxx.xxx

xxx.xxx.xxx.xxx – это и есть IP-адрес.

Чтобы подключиться к серверу тестирования нужно в браузере на удаленном компьютере ввести: http://xxx.xxx.xxx.xxx:85/

Через двоеточие указывается порт, к которому выполняется подключение. Всего таких портов существует 65536. Система INDIGO по умолчанию использует порт 85. Если в строке подключения порт не указан, то по умолчанию браузер полагает, что он равен 80. Однако в INDIGO порт 80 не задан по умолчанию, т.к. многие другие приложения его используют в своих нуждах (например, Skype), что может привести к тому, что web-сервер INDIGO не сможет воспользоваться занятым портом и не запустится.

Если у Вас на компьютере-сервере 80 порт свободен, то Вы можете задать его в настройках INDIGO, чтобы для удаленного подключения нужно было указывать только IP-адрес http://xxx.xxx.xxx.xxx/. Для настройки 80 порта по умолчанию необходимо зайти в интерфейс администратора [INDIGO > вкладка «Сервер» > кнопка «Сетевые интерфейсы»]. В появившемся окне необходимо заменить порт 85 на 80 следующим образом и нажать «ОК»:

Если после этого web-сервер не сможет перезапуститься, то будет выдано сообщение об ошибке. В этом случае необходимо обратно установить 85 порт. Если web-сервер успешно перезапустится, то следует отредактировать адрес подключения для url-ярлыка [INDIGO\Web-интерфейс.url], чтобы ярлык на рабочем столе открывал Web-интерфейс по новому адресу http://127.0.0.1/ (или http://localhost/).

Для того чтобы удаленно администрировать INDIGO необходимо использовать программу клиент. Её можно достать двумя способами:

1. Скачать с сайта https://indigotech.ru/download
2. Вытащить папку winapp из каталога, в который установлена INDIGO [INDIGO\winapp].

После запуска программы [winapp\INDIGO.exe] на удаленном компьютере появится окно авторизации, в которое необходимо вместо «localhost» в поле «IP/Хост» ввести тот же IP-адрес сервера, который использовался для удаленного подключения через браузер:

Порт для подключения через программу администратора задавать не нужно, подключение всегда производится на порт 5436.

Если Вы установили «боевой» сервер тестирования, то очень важно изменить пароль администратора, чтобы никто несанкционированно не смог удаленно подключиться к интерфейсу администратора по стандартному логину и паролю. Для смены пароля необходимо зайти в интерфейс администратора [INDIGO > вкладка «Сервер» > кнопка «Администраторы и пароли» > (подтвердить вход текущим паролем) > кнопка «Редактировать» > кнопка «Изменить»]:

Следует иметь в виду, что подключение через клиент администратора будет работать даже если сервер тестирования будет выключен [INDIGO > вкладка «Сервер» > кнопка «Остановить»], т.е. кнопки управления сервером на вкладке «Сервер» отвечают только за web-сервер, но не за систему управления базой данных.

1.3. Работа в Интернете

Нет никакой принципиальной разницы в организации работы системы INDIGO в Интернете от организации её работы в локальной сети. Во всех случаях (даже при работе на изолированном компьютере) используются сетевые подключения по стеку протоколов TCP/IP. Однако есть один нюанс. Для того чтобы Ваш компьютер мог выступать в роли Интернет-сервера тестирования, то необходимо, чтобы компьютер имел постоянный уникальный (статический) IP-адрес. В настоящее время множество Интернет-провайдеров имеют свои подсети, в которых организуются компьютеры их клиентов, при этом трафик маршрутизируется через серверы провайдера. Получается, что внутри подсети провайдера Ваш IP-адрес может быть уникальным (внутренний IP-адрес), а в Интернете будет виден IP-адрес одного из серверов провайдера (внешний IP-адрес), который может меняться при каждом подключении к Интернету (узнать свой IP-адрес можно зайдя на сайт http://2ip.ru/). Это же относится и к организациям, в которых компьютеры организованы в подсеть и не имеют непосредственного доступа в Интернет (напрямую). При этом внешний IP-адрес является общим для нескольких пользователей, следовательно, по этому IP-адресу подключиться к Вашему компьютеру извне не получится. Из этой ситуации есть несколько выходов:

1. Многие провайдеры предоставляют выделенный IP-адрес за дополнительную абонентскую плану. Вам необходимо узнать у Вашего провайдера о такой возможности.
2. Можно организовать виртуальную частную сеть (VPN-сеть), которая будет выглядеть как обычная локальная сеть, но на самом деле будет работать через Интернет. Для реализации этой возможности требуется использование специального программного обеспечения. Примером такой программы является Hamachi (https://indigotech.ru/downloads/files/Hamachi.msi), которая должна быть установлена на каждый компьютер, т.е. на сервер и на компьютеры пользователей, которые собираются удаленно тестироваться. Принцип работы этой программы заключается в маршрутизации трафика, через сервер разработчиков программы. Этот сервер имеет статический IP-адрес и к нему можно подключиться с любого компьютера, который имеет доступ в Интернет. Для работы программы необходимо её установить и создать учетную запись сети, которая будет иметь свое название и пароль для подключения. После создания виртуальной сети необходимо дать название сети и пароль остальным участникам, которые установив Hamachi смогут подключиться к этой сети, а затем и к системе тестирования INDIGO через браузер по виртуальному IP-адресу сервера-тестирования, который будет отображаться в этой программе.
3. Вы можете разместить сервер тестирования INDIGO в облаке на наших Интернет-серверах и больше не беспокоиться о канале связи, оборудовании и техническом сопровождении (подробнее https://indigotech.ru/price).

Если у Вас есть выделенный интернет канал, но подключение производится не напрямую к компьютеру, а через роутер, к которому уже подключен компьютер-сервер тестирования, то подключение из Интернета на IP-адрес роутера не увенчается успехом. В этом случае необходимо внутри роутера настроить виртуальный сервер. Название этой функции и способ её установки зависит от конкретного роутера и его прошивки. Суть заключается в том, что Вы задаете, чтобы роутер входящий трафик на порт X переадресовывал на IP компьютера сервера на порт Y. В результате пользователи будут подключаться на IP-адрес роутера, а данные будут перенаправляться на конкретный компьютер внутри Вашей локальной сети.

1.4. Решение проблем

Не работает подключение через браузер:

1. Убедитесь, что web-сервер запущен. На вкладке «Сервер» должны быть доступны кнопки «Остановить» и «Перезапустить». Если доступна только кнопка «Запустить», то сервер выключен.
2. Убедитесь, что Вы используете правильные IP-адрес и порт. Если Вы пытаетесь подключиться через Интернет, то убедитесь, что сервер тестирования имеет выделенный IP-адрес. В случае подключения через Интернет на роутер убедитесь, что в роутере правильно настроен виртуальный сервер.

3. Если удаленное подключение не работает, то проверьте работает ли локальное подключение непосредственно с самого компьютера сервера (http://127.0.0.1:порт). Если подключение не работает, то нужно в первую очередь разобраться с проблемой локального подключения. Если локальное подключение работает, а удаленное нет, то проверьте сетевое подключение между компьютерами с помощью эхо-пакетов. Для этого необходимо на удаленном компьютере зайти в [Пуск > Все программы > Стандартные > Командная строка]. В появившееся окно необходимо ввести команду «ping xxx.xxx.xxx.xxx» (xxx.xxx.xxx.xxx – IP-адрес сервера) и нажать Enter.

   

   Если потеряны все отправленные пакеты, то сетевое подключение отсутствует или блокируется. Чаще всего эта проблема связана не с физическим отсутствием подключения или неверными сетевыми настройками, а со средствами защиты. В первую очередь виновником этой проблемы является брандмауэр Windows. Проверьте, включен ли он на компьютере сервере. Если включен, то попробуйте его отключить, и повторите пинг. Если на сервере используются какие-либо другие фаерволы или антивирусы, то попробуйте их тоже отключить и повторите пинг. Если виновник проблемы установлен и им является антивирус или фаервол, то не спешите от него избавляться, Вы можете попробовать добавить систему INDIGO в исключения. Для этого нужно зайти в настройки (у каждой программы они свои), затем добавить в список исключений и разрешить полную сетевую активность для программы web-сервера [INDIGO\server\bin\IndigoServer.exe].

Не работает подключение через клиент администратора:

1. Если не работает локальное подключение с самого сервера (по 127.0.0.1 или localhost), то на компьютере не удалось запустить систему управления базами данных. В этом случае обратитесь в службу технической поддержки.
2. Если не работает удаленное подключение, то проверьте работает ли подключение через браузер к интерфейсу пользователя. Если подключение через браузер не работает, то попробуйте разобраться в первую очередь с этой проблемой. Если подключение через браузер работает, то попробуйте в средствах защиты добавить в список исключений и разрешить полную сетевую активность для программы [INDIGO\server\bin\postgres.exe]. В случае подключения через Интернет на роутер убедитесь, что в роутере правильно настроен второй виртуальный сервер для порта 5436.

Как перенести программу вместе с базой данных на другой компьютер:

1. Остановите работу сервера тестирования [INDIGO\server\uninstall.bat].
2. Перенесите всю папку с программой [INDIGO] на другой компьютер.
3. Запустите работу сервера тестирования [INDIGO\server\install.bat].

Как создать резервную копию базы данных:

1. Остановите работу сервера тестирования [INDIGO\server\uninstall.bat].
2. Сделайте резервную копию папки с базой данных [INDIGO\database].
3. Запустите работу сервера тестирования [INDIGO\server\install.bat].

Делать резервное копирование базы данных [INDIGO\database] «на горячую» (во время работы сервера тестирования) нельзя. Это может привести к повреждению базы данных!

Администрирование системы выполняется через интуитивно понятный интерфейс программы клиента администратора, поэтому мы не будем заострять внимание на каждой функции и каждой кнопке, а опишем общие принципы администрирования системы и некоторые важные неочевидные вещи.

2.1. Тесты, пользователи, правила

Тесты и пользователи организуются в многоуровневых иерархиях произвольной структуры. Вы можете сами задавать эту структуру в зависимости от того, где и для каких целей используется INDIGO. Тесты можно экспортировать в файлы. Если Вы, например, создали тесты на своем домашнем компьютере, то можете их сохранить себе на флешку, чтобы на работе на «боевой» сервер их импортировать.

Пользователей может добавлять администратор или они могут сами регистрироваться через web-интерфейс. Самостоятельную регистрацию пользователей можно запретить [вкладка «Сервер» > кнопка «Настройки web-интерфейса»]. Если администратору требуется добавить много пользователей, то для этого лучше всего использовать импорт пользователей из файлов TXT/Excel. Справка по формату импорта встроена в саму программу [вкладка «Пользователи» > кнопка «Импорт пользователей» > нижняя вкладка «Справка»].

Правила тестирования (вкладка «Правила») задают, каким пользователям или группам пользователей, какие тесты или группы тестов будут доступными для прохождения. По умолчанию имеется одно правило, которое разрешает всем пользователям проходить все тесты без каких-либо ограничений. Если требуется назначить определенным группам пользователей определенные тесты, а другим пользователям запретить их, то следует удалить правило по умолчанию и создать новые правила. Для каждого правила может быть задано расписание и ограничение на количество попыток тестирования. Если для одного пользователя действует несколько правил, то они накладываются друг на друга объединяя все доступные тесты в одно общее множество.

2.2. Редактор тестов

2.2.1. Структура теста

В INDIGO тест имеет иерархическую структуру, которая состоит из вопросов и групп вопросов. Группы вопросов могут содержать подгруппы. Размер и глубина такой иерархии является неограниченной. По умолчанию в тесте имеется одна группа («Корневая группа») и один вопрос.

Целесообразность использования групп вопросов обусловлена рядом следующих преимуществ:

1. Удобство группировки вопросов в редакторе тестов по заданиям, темам и т.д. Если вопросы теста отображаются в одном линейном списке, то возникают сложности с навигацией и пониманием того, какой вопрос к чему относится.
2. Возможность задания для каждой группы индивидуальных настроек (перемешивания вложенных элементов или их случайной выборки).
3. Использование баллов за группы вопросов при задании функций шкал оценивания (например, можно легко поставить отдельные оценки за группы «Задание 1», «Задание 2» и т.д.).
4. При просмотре результата или отчета по результату администратор может видеть наглядную информацию о том, сколько баллов было набрано за каждую группу в отдельности, и делать соответствующие выводы (например, “студент плохо выполнил задания на тему «Логарифмы»”).
5. Анализ статистики по выборке результатов (например, “большинство студентов данной группы плохо выполнили задания на тему «Интегралы»”).

Благодаря возможности задания для каждой группы вопросов индивидуальных настроек (порядка выдачи вложенных элементов и их случайной выборки) можно очень гибко задавать автоматическую генерацию вариантов тестов.

Пример использования автоматической генерации вариантов из реальной жизни:

Имеется экзаменационный тест по иностранному языку, который содержит группы заданий «Лексика», «Грамматика» и «Работа с текстом». Внутри каждой из этих групп имеются подгруппы – сами задания. Каждое задание содержит банк однотипных вопросов. Необходимо сделать так, чтобы:

1. Группы вопросов «Лексика», «Грамматика», «Работа с текстом» всегда должны следовать по порядку.
2. Задания внутри групп «Лексика» и «Грамматика» должны перемешиваться в случайном порядке.
3. Из каждой группы заданий случайным образом должно выбираться определенное число вопросов (для каждого задания это свое число вопросов).
4. Из группы «Работа с текстом» случайным образом должен выбираться один из текстов и задания к нему.

Для реализации такой настройки для каждой группы вопросов необходимо установить параметры перемешивания и выборки:

В результате при каждом запуске тестирования по заданным правилам будет генерироваться уникальный вариант теста.

2.2.2. Вычисление результатов

INDIGO пре

indigotech.ru

Отдел тестового контроля знаний студентов

Начальник отдела —  Муслимов Магомед Омарович

Отдел тестового контроля знаний студентов (далее — Отдел; ОТКЗС), был переименован с отдела контроля качества образования приказом ректора ФГБОУ ВО ДГМУ № 4 — УК от 12.01.2013 г., является учебно-организационным структурным подразделением ФГБОУ ВО «Дагестанский государственный медицинский университет» Министерства здравоохранения Российской федерации (далее – Университет; ДГМУ) и подчиняется непосредственно ректору Университета.

Цель деятельности отдела – комплексное обеспечение контроля учебного процесса, направленное на повышение эффективности образовательного процесса.

Задачи отдела

Для достижения поставленной цели перед Отделом ставятся следующие задачи:

4.1. Координация деятельности структурных подразделений Академии в установленном порядке в интересах совершенствования  и обеспечения учебного процесса в области разработки оценочных материалов, технологий и процедуры аттестации обучающихся.

4.2. Проведение мероприятий направленных на повышение успеваемости и дисциплинированности обучающихся.

4.3. Формирование электронной базы тестовых заданий по всем направлениям подготовки обеспечиваемых ФПК и ППС, их постоянное обновление и сопровождение.

4.4. Организация текущих и итоговых проверок знаний обучающихся в форме компьютерного тестирования.

4.5. Информирование руководство Университета о результатах проводимого контроля знаний обучающихся и представление предложений по совершенствованию порядка проведения тестового контроля.

Сотрудники отдела:

Начальник отдел —  Муслимов Магомед Омарович

Зам.нач.отдела —  Курбанова Наида Шабановна

Специалист по учебно – методической работе отдела –  Абдуллаев Надир Абдулатипович

Положение ОТК

Тесты для интернов и ординаторов 2018 г.

Тесты для студентов 

Экзамен по допуску

Адрес: г. Махачкала, пл. В.И. Ленина 1, этаж 4, каб.56

Телефон/Факс:  8 (989) 879-75-75 / 367000

Е-mail: [email protected]

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

dgmu.ru

Расчет дисперсии в Excel

Среди множества показателей, которые применяются в статистике, нужно выделить расчет дисперсии. Следует отметить, что выполнение вручную данного вычисления – довольно утомительное занятие. К счастью, в приложении Excel имеются функции, позволяющие автоматизировать процедуру расчета. Выясним алгоритм работы с этими инструментами.

Вычисление дисперсии

Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания. Таким образом, он выражает разброс чисел относительно среднего значения. Вычисление дисперсии может проводиться как по генеральной совокупности, так и по выборочной.

Способ 1: расчет по генеральной совокупности

Для расчета данного показателя в Excel по генеральной совокупности применяется функция ДИСП.Г. Синтаксис этого выражения имеет следующий вид:

=ДИСП.Г(Число1;Число2;…)

Всего может быть применено от 1 до 255 аргументов. В качестве аргументов могут выступать, как числовые значения, так и ссылки на ячейки, в которых они содержатся.

Посмотрим, как вычислить это значение для диапазона с числовыми данными.

1. Производим выделение ячейки на листе, в которую будут выводиться итоги вычисления дисперсии. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», размещенную слева от строки формул.



2. Запускается Мастер функций. В категории «Статистические» или «Полный алфавитный перечень» выполняем поиск аргумента с наименованием «ДИСП.Г». После того, как нашли, выделяем его и щелкаем по кнопке «OK».



3. Выполняется запуск окна аргументов функции ДИСП.Г. Устанавливаем курсор в поле «Число1». Выделяем на листе диапазон ячеек, в котором содержится числовой ряд. Если таких диапазонов несколько, то можно также использовать для занесения их координат в окно аргументов поля «Число2», «Число3» и т.д. После того, как все данные внесены, жмем на кнопку «OK».



4. Как видим, после этих действий производится расчет. Итог вычисления величины дисперсии по генеральной совокупности выводится в предварительно указанную ячейку. Это именно та ячейка, в которой непосредственно находится формула ДИСП.Г.

Урок: Мастер функций в Эксель

Способ 2: расчет по выборке

В отличие от вычисления значения по генеральной совокупности, в расчете по выборке в знаменателе указывается не общее количество чисел, а на одно меньше. Это делается в целях коррекции погрешности. Эксель учитывает данный нюанс в специальной функции, которая предназначена для данного вида вычисления – ДИСП.В. Её синтаксис представлен следующей формулой:

=ДИСП.В(Число1;Число2;…)

Количество аргументов, как и в предыдущей функции, тоже может колебаться от 1 до 255.

1. Выделяем ячейку и таким же способом, как и в предыдущий раз, запускаем Мастер функций.



2. В категории «Полный алфавитный перечень» или «Статистические» ищем наименование «ДИСП.В». После того, как формула найдена, выделяем её и делаем клик по кнопке «OK».



3. Производится запуск окна аргументов функции. Далее поступаем полностью аналогичным образом, как и при использовании предыдущего оператора: устанавливаем курсор в поле аргумента «Число1» и выделяем область, содержащую числовой ряд, на листе. Затем щелкаем по кнопке «OK».



4. Результат вычисления будет выведен в отдельную ячейку.

Урок: Другие статистические функции в Эксель

Как видим, программа Эксель способна в значительной мере облегчить расчет дисперсии. Эта статистическая величина может быть рассчитана приложением, как по генеральной совокупности, так и по выборке. При этом все действия пользователя фактически сводятся только к указанию диапазона обрабатываемых чисел, а основную работу Excel делает сам. Безусловно, это сэкономит значительное количество времени пользователей.

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

Как расчитать дисперсию в Excel с помощью функции ДИСП.В

Дисперсия — это мера рассеяния, описывающая сравнительное отклонение между значениями данных и средней величиной. Является наиболее используемой мерой рассеяния в статистике, вычисляемая путем суммирования, возведенного в квадрат, отклонения каждого значения данных от средней величины. Формула для вычисления дисперсии представлена ниже:

где:

s² – дисперсия выборки;

x_ср — среднее значение выборки;

n — размер выборки (количество значений данных),

(x_i – x_ср) — отклонение от средней величины для каждого значения набора данных.

Для лучшего понимания формулы, разберем пример. Я не очень люблю готовку, поэтому занятием этим занимаюсь крайне редко. Тем не менее, чтобы не умереть с голоду, время от времени мне приходится подходить к плите  для реализации замысла по насыщению моего организма белками, жирами и углеводами. Набор данных, редставленный ниже, показывает, сколько раз Ренат готовит пищу каждый месяц:

Первым шагом при вычислении дисперсии является определение среднего значения выборки, которое в нашем примере равняется 7,8 раза в месяц. Остальные вычисления можно облегчить с помощью следующей таблицы.

Финальная фаза вычисления дисперсии выглядит так:

Для тех, кто любит производить все вычисления за один раз, уравнение будет выглядеть следующим образом:

Использование метода «сырого счета» (пример с готовкой)

Существует более эффективный способ вычисления дисперсии, известный как метод «сырого счета». Хотя с первого взгляда уравнение может показаться весьма громоздким, на самом деле оно не такое уж страшное. Можете в этом удостовериться, а потом и решите, какой метод вам больше нравится.

где:

— сумма каждого значения данных после возведения в квадрат,

 — квадрат суммы всех значений данных.

Не теряйте рассудок прямо сейчас. Позвольте представить все это в виде таблицы, и тогда вы увидите, что вычислений здесь меньше, чем в предыдущем примере.

Как видите, результат получился тот же, что и при использовании предыдущего метода. Достоинства данного метода становятся очевидными по мере роста размера выборки (n).

Расчет дисперсии в Excel

Как вы уже, наверное, догадались, в Excel присутствует формула, позволяющая рассчитать дисперсию. Причем, начиная с Excel 2010 можно найти 4 разновидности формулы дисперсии:

1)      ДИСП.В – Возвращает дисперсию по выборке. Логические значения и текст игнорируются.

2)      ДИСП.Г — Возвращает дисперсию по генеральной совокупности. Логические значения и текст игнорируются.

3)      ДИСПА — Возвращает дисперсию по выборке с учетом логических и текстовых значений.

4)      ДИСПРА — Возвращает дисперсию по генеральной совокупности с учетом логических и текстовых значений.

Для начала разберемся в разнице между выборкой и генеральной совокупностью. Назначение описательной статистики состоит в том, чтобы суммировать или отображать данные так, чтобы оперативно получать общую картину, так сказать, обзор. Статистический вывод позволяет делать умозаключения о какой-либо совокупности на основе выборки данных из этой совокупности. Совокупность представляет собой все возможные исходы или измерения, представляющие для нас интерес. Выборка — это подмножество совокупности.

Например, нас интересует совокупность группы студентов одного из Российских ВУЗов и нам необходимо определить средний бал группы. Мы можем посчитать среднюю успеваемость студентов, и тогда полученная цифра будет параметром, поскольку в наших расчетах будет задействована целая совокупность. Однако, если мы хотим рассчитать средний бал всех студентов нашей страны, тогда эта группа будет нашей выборкой.

Разница в формуле расчета дисперсии между выборкой и совокупностью заключается в знаменателе. Где для выборки он будет равняться (n-1), а для генеральной совокупности только n.

Теперь разберемся с функциями расчета дисперсии с окончаниями А, в описании которых сказано, что при расчете учитываются текстовые и логические значения. В данном случае при расчете дисперсии определенного массива данных, где встречаются не числовые значения, Excel будет интерпретировать текстовые и ложные логические значения как равными 0, а истинные логические значения как равными 1.

Итак, если у вас есть массив данных, рассчитать его дисперсию ни составит никакого труда, воспользовавшись одной из перечисленных выше функций Excel.

Вам также могут быть интересны следующие статьи

exceltip.ru

Дисперсия в excel

Расчет дисперсии в Microsoft Excel

​Смотрите также​ интервал переменной 1​ про F-тест). Однако,​ пр.), к снижению​ вероятности с n​2 / σ​ при проверке статистических​ А стандартное отклонение​распределена​ Это можно рассчитать​ случайная величина, распределенная​ покупателя к надежности​n​

Вычисление дисперсии

​«Число1»​ диапазон ячеек, в​Среди множества показателей, которые​ и интервал переменной​ мы помним, p-значение​ вариабельности текущего процесса?​1​2​ гипотез о равенстве​ этого распределения (σ/√n)​приблизительно​ с помощью формулы​

Способ 1: расчет по генеральной совокупности

​ по нормальному закону,​ электрической лампочки.​. Поэтому цель использования​ так же, как​​ которых мы поговорим​​и выделяем область,​ котором содержится числовой​

​ применяются в статистике,​

​ 2 указаны ссылки​ сравнивается с уровнем​СОВЕТ​-1 и n​2. Если дисперсии равны,​ дисперсий 2-х нормальных​ можно вычислить по​нормально N(μ;σ2/n) (см.​ =НОРМ.СТ.ОБР((1+0,95)/2), см. файл​

​ попадет в интервал​Примечание: ​ доверительных интервалов состоит​

1. ​ и в первом​ ниже.​ содержащую числовой ряд,​ ряд. Если таких​ нужно выделить расчет​​ вместе с заголовками​​ значимости 0,05, а​: Перед проверкой гипотез​
   
2. ​2​​ то их отношение​​ распределений. Вычислим значение​​ формуле =8/КОРЕНЬ(25).​​ статью про ЦПТ).​​ примера Лист Интервал.​​ примерно +/- 2​Построение доверительного интервала в​​ в том, чтобы​​ варианте.​Выделяем на листе ячейку,​ на листе. Затем​ диапазонов несколько, то​​ дисперсии. Следует отметить,​​ столбцов, то эту​
   
3. ​ не 0,05/2=0,025. Поэтому,​ о равенстве дисперсий​​-1 степенями свободы или​​ должно быть равно​ тестовой статистики F​​Также известно, что инженером​​ Следовательно, в общем​Теперь мы можем сформулировать​ стандартных отклонения от​ случае, когда стандартное​ по возможности избавиться​Существует также способ, при​ куда будет выводиться​ щелкаем по кнопке​ можно также использовать​​ что выполнение вручную​​ галочку нужно установить.​​ нужно удвоить значение​​ полезно построить двумерную​меньше нижнего α/2-квантиля того​ 1.​0​​ была получена точечная​​ случае, вышеуказанное выражение​
   
4. ​ вероятностное утверждение, которое​ среднего значения (см.​ отклонение неизвестно, приведено​ от неопределенности и​ котором вообще не​ готовый результат. Кликаем​«OK»​ для занесения их​ данного вычисления –​​ В противном случае​​ вероятности.​

​ гистограмму, чтобы визуально​​ же распределения.​

Способ 2: расчет по выборке

​Как известно, точечной оценкой​, рассмотрим процедуру «двухвыборочный​ оценка параметра μ​ для доверительного интервала​ послужит нам для​ статью про нормальное​ в статье Доверительный​ сделать как можно​ нужно будет вызывать​ на кнопку​.​ координат в окно​ довольно утомительное занятие.​ надстройка не позволит​Примечание​ определить разброс данных​

​Примечание​

​ дисперсии распределения σ2​ F-тест», вычислим Р-значение​ равная 78 мсек​ является лишь приближенным.​ формирования доверительного интервала:​

1. ​ распределение). Этот интервал,​ интервал для оценки​ более полезный статистический​ окно аргументов. Для​​«Вставить функцию»​​Результат вычисления будет выведен​
   
2. ​ аргументов поля​​ К счастью, в​​ провести вычисления и​​: Про p-значение можно​​ в обеих выборок.​​: Верхний α/2-квантиль -​​  может служить значение​ (Р-value), построим доверительный​ (Х​ Если величина х​​«Вероятность того, что​​ послужит нам прототипом​
   
3. ​ среднего (дисперсия неизвестна)​ вывод.​ этого следует ввести​, расположенную слева от​ в отдельную ячейку.​«Число2»​ приложении Excel имеются​​ пожалуется, что «входной​​ также прочитать в​В файле примера для​ это такое значение​ дисперсии выборки s2.​​ интервал. С помощью​​ср​
   
4. ​ распределена по нормальному​ среднее генеральной совокупности​

​ для доверительного интервала.​​ в MS EXCEL. О​Примечание​

​ формулу вручную.​ строки функций.​Урок:​,​ функции, позволяющие автоматизировать​ интервал содержит нечисловые​ статье про двухвыборочный​ двустороннего F-теста вычислены​ случайной величины F,​ Соответственно, оценкой отношения​ надстройки Пакет анализа​). Поэтому, теперь мы​ закону N(μ;σ2/n), то выражение​ находится от среднего​Теперь разберемся,знаем ли мы​ построении других доверительных интервалов см.​: Процесс обобщения данных​

​Выделяем ячейку для вывода​

lumpics.ru>

Расчет среднего квадратичного отклонения в Microsoft Excel

​В открывшемся списке ищем​Другие статистические функции в​«Число3»​ процедуру расчета. Выясним​ данные»;​ z-тест.​ границы соответствующего двустороннего​ что P(F>= F​ дисперсий σ​ сделаем «двухвыборочный F-тест​ можем вычислять вероятности,​

Определение среднего квадратичного отклонения

​ распределение, чтобы вычислить​ стат

my-excel.ru

Расчет дисперсии, среднеквадратичного (стандартного) отклонения, коэффициента вариации в Excel

Проведение любого статистического анализа немыслимо без расчетов. В это статье рассмотрим, как рассчитать дисперсию, среднеквадратичное отклонение, коэффиент вариации и другие статистические показатели в Excel.

Максимальное и минимальное значение

Начнем с формул максимума и минимума. Максимум – самое большое значение из анализируемого набора данных, минимум – самое маленькое. Это крайние значения в совокупности данных, обозначающие границы их вариации. Например, минимальные/максимальные цены на что-нибудь, выбор наилучшего или наихудшего решения задачи и т.д.

Для расчета этих показателей есть специальные функции — МАКС и МИН соответственно. Доступ есть прямо из ленты, в выпадающем списке авосумммы.

Если использовать вставку функций, то следует обратиться к категории «Статистические».

В общем, для вызова функции максимума или минимума действий потребуется не больше, чем для расчета средней арифметической.

Среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение представляет собой среднее из абсолютных (по модулю) отклонений от средней арифметической в анализируемой совокупности данных. Математическая формула имеет вид:

где

a – среднее линейное отклонение,

X – анализируемый показатель,

X̅ – среднее значение показателя,

n – количество значений в анализируемой совокупности данных.

В Эксель эта функция называется СРОТКЛ.

После выбора функции СРОТКЛ указываем диапазон данных, по которому должен произойти расчет. Нажимаем «ОК».

Дисперсия

{module 111}

Возможно, не все знают, что такое дисперсия случайной величины, поэтому поясню, — это мера, характеризующая разброс данных вокруг математического ожидания. Однако в распоряжении обычно есть только выборка, поэтому используют следующую формулу дисперсии:

где

s² – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

X̅– среднее арифметическое по выборке,

n – количество значений в анализируемой совокупности данных.

Соответствующая функция Excel — ДИСП.Г. При анализе относительно небольших выборок (примерно до 30-ти наблюдений) следует использовать несмещенную выборочную дисперсию, которая рассчитывается по следующей формуле.

Отличие, как видно, только в знаменателе. В Excel для расчета выборочной несмещенной дисперсии есть функция ДИСП.В.

Выбираем нужный вариант (генеральную или выборочную), указываем диапазон, жмем кнопку «ОК». Полученное значение может оказаться очень большим из-за предварительного возведения отклонений в квадрат. Дисперсия в статистике очень важный показатель, но ее обычно используют не в чистом виде, а для дальнейших расчетов.

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение (СКО) – это корень из дисперсии. Этот показатель также называют стандартным отклонением и рассчитывают по формуле:

по генеральной совокупности

по выборке

Можно просто извлечь корень из дисперсии, но в Excel для среднеквадратичного отклонения есть готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Стандартное и среднеквадратичное отклонение, повторюсь, — синонимы.

Далее, как обычно, указываем нужный диапазон и нажимаем на «ОК». Среднеквадратическое отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными. Об этом ниже.

Коэффициент вариации

Все показатели, рассмотренные выше, имеют привязку к масштабу исходных данных и не позволяют получить образное представление о вариации анализируемой совокупности. Для получения относительной меры разброса данных используют коэффициент вариации, который рассчитывается путем деления среднеквадратичного отклонения на среднее арифметическое. Формула коэффициента вариации проста:

Для расчета коэффициента вариации в Excel нет готовой функции, что не есть большая проблема. Расчет можно произвести простым делением стандартного отклонения на среднее значение. Для этого в строке формул пишем:

=СТАНДОТКЛОН.Г()/СРЗНАЧ()

В скобках указывается диапазон данных. При необходимости используют среднее квадратичное отклонение по выборке (СТАНДОТКЛОН.В).

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейку с формулой можно обрамить процентным форматом. Нужная кнопка находится на ленте на вкладке «Главная»:

Изменить формат также можно, выбрав «Формат ячеек» из контекстного меню после выделения нужной ячейки и нажатия правой кнопкой мышки.

Коэффициент вариации, в отличие от других показателей разброса значений, используется как самостоятельный и весьма информативный индикатор вариации данных. В статистике принято считать, что если коэффициент вариации менее 33%, то совокупность данных является однородной, если более 33%, то – неоднородной. Эта информация может быть полезна для предварительного описания данных и определения возможностей проведения дальнейшего анализа. Кроме того, коэффициент вариации, измеряемый в процентах, позволяет сравнивать степень разброса различных данных независимо от их масштаба и единиц измерений. Полезное свойство.

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня — коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

В целом, с помощью Excel многие статистические показатели рассчитываются очень просто. Если что-то непонятно, всегда можно воспользоваться окошком для поиска во вставке функций. Ну, и Гугл в помощь.

А сейчас предлагаю посмотреть видеоурок.

Легкой работы в Excel и до встречи на блоге statanaliz.info.

Поделиться в социальных сетях:

statanaliz.info

Расчет дисперсии в excel

Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL

​Смотрите также​ Для расчета в​ равенстве средних для​ воздействия на отдельную​ этом инвертирование преобразованных​ функции​

​ удобрений (для первого​Надстройки для Excel​

Дисперсия выборки

​B20:B79​ уровне доверия 95%.​ср ​ распределения (μ, математическое​

​ точечной оценки параметра​ ожидания случайной величины​

​ по ним. Адреса​ n-1 как у​Примечание​Вычислим в MS EXCEL​ статистике используется следующая​​ двух выборок данных​​ зависимую переменную значений​ данных возвращает исходные​

​КОВАРИАЦИЯ.Г​ пункта в списке)​.​, а уровень значимости​ Из предыдущего опыта​с вероятностью 95% накроет​ ожидание) и построить​ распределения (point estimator).​ (см. ниже), т.е.​ сразу отразятся в​ СТАНДОТКЛОН.В(), у СТАНДОТКЛОН.Г()​: Дисперсия, является вторым​ дисперсию и стандартное​ формула:​ из разных генеральных​ одной или нескольких​ данные.​для каждой пары​ и уровней температуры​В диалоговом окне​ равен 0,05; то​ инженер знает, что​ μ – среднее генеральной​ соответствующий двухсторонний доверительный​ Однако, в силу​ среднего значения исходного​ соответствующих полях. После​ в знаменателе просто​ центральным моментом, обозначается​

​ отклонение выборки. Также​CV = σ / ǩ,​ совокупностей. Эта форма​ независимых переменных. Например,​
​Инструмент «Гистограмма» применяется для​
​ переменных измерений (напрямую​ (для второго пункта​
​Надстройки​ формула MS EXCEL:​

​ стандартное отклонение время​ совокупности, из которого​ интервал.​ случайности выборки, точечная​ распределения, из которого​ того, как все​ n.​ D[X], VAR(х), V(x).​ вычислим дисперсию случайной​CV – коэффициент вариации;​

​ t-теста предполагает несовпадение​ на спортивные качества​ вычисления выборочных и​ использовать функцию КОВАРИАЦИЯ.Г​ в списке), из​установите флажок​=СРЗНАЧ(B20:B79)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;σ; СЧЁТ(B20:B79))​ отклика составляет 8​ взята выборка. Эти​Как известно из Центральной​

Дисперсия случайной величины

​ оценка не совпадает​ взята выборка.​ числа совокупности занесены,​

​Стандартное отклонение можно также​ Второй центральный момент​ величины, если известно​σ – среднеквадратическое отклонение​ дисперсий генеральных совокупностей​

​ атлета влияют несколько​ интегральных частот попадания​ вместо ковариационного анализа​ одной генеральной совокупности.​

​Пакет анализа​_{​вернет левую границу​}​ мсек. Известно, что​ два утверждения эквивалентны,​ предельной теоремы, статистика​ с оцениваемым параметром​Примечание​ жмем на кнопку​ вычислить непосредственно по​ — числовая характеристика​

​ ее распределение.​ по выборке;​ и обычно называется​

​ факторов, включая возраст,​ данных в указанные​

​ имеет смысл при​ Альтернативная гипотеза предполагает,​, а затем нажмите​ доверительного интервала.​ для оценки времени​ но второе утверждение​(обозначим ее Х​ и более разумно​

​: О вычислении доверительных​​«OK»​ нижеуказанным формулам (см.​ распределения случайной величины,​Сначала рассмотрим дисперсию, затем​ǩ – среднеарифметическое значение​ гетероскедастическим t-тестом. Если​ рост и вес.​ интервалы значений. При​ наличии только двух​

​ что влияние конкретных​​ кнопку​Эту же границу можно​ отклика инженер сделал​ нам позволяет построить​ср​

​ было бы указывать​ интервалов при оценке​.​ файл примера)​ которая является мерой​ стандартное отклонение.​ разброса значений.​ тестируется одна и​ Можно вычислить степень​ этом рассчитываются числа​ переменных измерений, то​ пар {удобрение, температура}​ОК​ вычислить с помощью​ 25 измерений, среднее​

​ доверительный интервал.​

​) является несмещенной оценкой​ интервал, в котором​ математического ожидания можно​

​Результат расчета будет выведен​

​=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1))​

​ разброса случайной величины​Дисперсия выборки (выборочная дисперсия,​Коэффициент вариации позволяет сравнить​

​ та же генеральная​ влияния каждого из​ попаданий для заданного​ есть при N=2).​ превышает влияние отдельно​.​

​ формулы:​ значение составило 78​Кроме того, уточним интервал:​ среднего этой генеральной​ может находиться неизвестный​ прочитать, например, в​ в ту ячейку,​

​=КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))​ относительно математического ожидания.​ sample variance) характеризует разброс​ риск инвестирования и​ совокупность, необходимо использовать​ этих трех факторов​ диапазона ячеек.​ Элемент по диагонали​

Стандартное отклонение выборки

​ удобрения и отдельно​Если​=СРЗНАЧ(B20:B79)-НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)*σ/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B20:B79))​ мсек.​ случайная величина, распределенная​

​ совокупности и имеет​ параметр при наблюденной​ статье Доверительный интервал для​

​ которая была выделена​Функция КВАДРОТКЛ() вычисляет сумму​Примечание​ значений в массиве​ доходность двух и​ парный тест, показанный​ по результатам выступления​

​Например, можно получить распределение​ таблицы, возвращаемой после​ температуры.​Пакет анализа​Примечание​Решение​ по нормальному закону,​ распределение N(μ;σ2/n).​ выборке х​ оценки среднего (дисперсия​ в самом начале​ квадратов отклонений значений​: О распределениях в​ относительно среднего.​ более портфелей активов.​ в следующем примере.​

​ спортсмена, а затем​ успеваемости по шкале​ проведения ковариационного анализа,​Двухфакторный дисперсионный анализ без​отсутствует в списке​: Функция ДОВЕРИТ.НОРМ() появилась​: Инженер хочет знать​ с вероятностью 95%​Примечание:​1​ известна) в MS​ процедуры поиска среднего​ от их среднего.​

​ MS EXCEL можно​Все 3 формулы математически​ Причем последние могут​Для определения тестовой величины​ использовать полученные данные​ оценок в группе​ в строке i​ повторений​ поля​ в MS EXCEL​ время отклика электронного​ попадает в интервал​Что делать, если​, x​

​ EXCEL.​ квадратичного отклонения.​ Эта функция вернет​ прочитать в статье Распределения​
​ эквивалентны.​
​ существенно отличаться. То​

Другие меры разброса

​t​ для предсказания выступления​ из 20 студентов.​ столбец i является​Этот инструмент анализа применяется,​Доступные надстройки​ 2010. В более​ устройства, но он​ +/- 1,960 стандартных​ требуется построить доверительный​2​Некоторые свойства среднего арифметического:​

​Также рассч

my-excel.ru

Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL. Примеры и методы

Вычислим в MS EXCEL дисперсию и стандартное отклонение выборки. Также вычислим дисперсию случайной величины, если известно ее распределение.

Сначала рассмотрим дисперсию, затем стандартное отклонение.

Дисперсия выборки

Дисперсия выборки (выборочная дисперсия, sample variance) характеризует разброс значений в массиве относительно среднего.

Все 3 формулы математически эквивалентны.

Из первой формулы видно, что дисперсия выборки это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве от среднего, деленная на размер выборки минус 1.

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления дисперсии выборки используется функция ДИСП(), англ. название VAR, т.е. VARiance. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог ДИСП.В(), англ. название VARS, т.е. Sample VARiance. Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция ДИСП.Г(), англ. название VARP, т.е. Population VARiance, которая вычисляет дисперсию для генеральной совокупности. Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у ДИСП.В(), у ДИСП.Г() в знаменателе просто n. До MS EXCEL 2010 для вычисления дисперсии генеральной совокупности использовалась функция ДИСПР().

Дисперсию выборки можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера)
=КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)
=(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1) – обычная формула
=СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1) – формула массива

Дисперсия выборки равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны среднему значению. Обычно, чем больше величина дисперсии, тем больше разброс значений в массиве.

Дисперсия выборки является точечной оценкой дисперсии распределения случайной величины, из которой была сделана выборка. О построении доверительных интервалов при оценке дисперсии можно прочитать в статье Доверительный интервал для оценки дисперсии в MS EXCEL.

Дисперсия случайной величины

Чтобы вычислить дисперсию случайной величины, необходимо знать ее функцию распределения.

Для дисперсии случайной величины Х часто используют обозначение Var(Х). Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения от среднего E(X): Var(Х)=E[(X-E(X))²]

Если случайная величина имеет дискретное распределение, то дисперсия вычисляется по формуле:

где x_i – значение, которое может принимать случайная величина, а μ – среднее значение (математическое ожидание случайной величины), р(x) – вероятность, что случайная величина примет значение х.

Если случайная величина имеет непрерывное распределение, то дисперсия вычисляется по формуле:

где р(x) – плотность вероятности.

Для распределений, представленных в MS EXCEL, дисперсию можно вычислить аналитически, как функцию от параметров распределения. Например, для Биномиального распределения дисперсия равна произведению его параметров: n*p*q.

Примечание: Дисперсия, является вторым центральным моментом, обозначается D[X], VAR(х), V(x). Второй центральный момент — числовая характеристика распределения случайной величины, которая является мерой разброса случайной величины относительно математического ожидания.

Примечание: О распределениях в MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

Размерность дисперсии соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность дисперсии будет кг². Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из дисперсии – стандартное отклонение.

Некоторые свойства дисперсии:

 Var(Х+a)=Var(Х), где Х — случайная величина, а — константа.

 Var(aХ)=a² Var(X)

 Var(Х)=E[(X-E(X))²]=E[X²-2*X*E(X)+(E(X))²]=E(X²)-E(2*X*E(X))+(E(X))²=E(X²)-2*E(X)*E(X)+(E(X))²=E(X²)-(E(X))²

Это свойство дисперсии используется в статье про линейную регрессию.

 Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) + 2*Cov(Х;Y), где Х и Y — случайные величины, Cov(Х;Y) — ковариация этих случайных величин.

Если случайные величины независимы (independent), то их ковариация равна 0, и, следовательно, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Это свойство дисперсии используется при выводе стандартной ошибки среднего.

Покажем, что для независимых величин Var(Х-Y)=Var(Х+Y). Действительно, Var(Х-Y)= Var(Х-Y)= Var(Х+(-Y))= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+(-1)²Var(Y)= Var(Х)+Var(Y)= Var(Х+Y). Это свойство дисперсии используется для построения доверительного интервала для разницы 2х средних.

Стандартное отклонение выборки

Стандартное отклонение выборки — это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке относительно их среднего.

По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

Стандартное отклонение не учитывает величину значений в выборке, а только степень рассеивания значений вокруг их среднего. Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.

Вычислим стандартное отклонение для 2-х выборок: (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у выборок существенно отличается. Для таких случаев используется Коэффициент вариации (Coefficient of Variation, CV) — отношение Стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженного в процентах.

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления Стандартного отклонения выборки используется функция =СТАНДОТКЛОН(), англ. название STDEV, т.е. STandard DEViation. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог =СТАНДОТКЛОН.В(), англ. название STDEV.S, т.е. Sample STandard DEViation.

Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция СТАНДОТКЛОН.Г(), англ. название STDEV.P, т.е. Population STandard DEViation, которая вычисляет стандартное отклонение для генеральной совокупности. Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у СТАНДОТКЛОН.В(), у СТАНДОТКЛОН.Г() в знаменателе просто n.

Стандартное отклонение можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера)
=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
=КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))

Другие меры разброса

Функция КВАДРОТКЛ() вычисляет сумму квадратов отклонений значений от их среднего. Эта функция вернет тот же результат, что и формула =ДИСП.Г(Выборка)*СЧЁТ(Выборка), где Выборка — ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки (именованный диапазон). Вычисления в функции КВАДРОТКЛ() производятся по формуле:

Функция СРОТКЛ() является также мерой разброса множества данных. Функция СРОТКЛ() вычисляет среднее абсолютных значений отклонений значений от среднего.  Эта функция вернет тот же результат, что и формула =СУММПРОИЗВ(ABS(Выборка-СРЗНАЧ(Выборка)))/СЧЁТ(Выборка), где Выборка — ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки.

Вычисления в функции СРОТКЛ() производятся по формуле:

excel2.ru

Дисперсия в Excel 🚩 Как посчитать

В статистике используется огромное количество показателей, и один из них — расчет дисперсии в Excel. Если это делать самому вручную, уйдет очень много времени, можно допустить уйму ошибок. Сегодня мы рассмотрим, как разложить математические формулы на простые функции. Давайте разберем несколько самых простых, быстрых и удобных способов расчёта, которые позволят все сделать в считанные минуты.

Вычисляем дисперсию

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Рассчитываем по генеральной совокупности

Чтобы вычислить мат. ожидание в программе будет применяться функция ДИСП.Г, а ее синтаксис выглядит следующим образом «=ДИСП.Г(Число1;Число2;…)».

Возможно применить максимум 255 аргументов, не более. Аргументами могут быть простые числа или ссылки на ячейки, в которых они указаны. Давайте рассмотрим, как посчитать дисперсию в Microsoft Excel:

1. Первым делом следует выделить ячейку, где будет отображаться итог вычислений, а далее кликнуть по кнопке «Вставить функцию».

2. Откроется оболочка управления функциями. Там нужно искать функцию «ДИСП.Г», которая может быть в категории «Статистические» или «Полный алфавитный перечень». Когда она будет найдена, следует выделить ее и кликнуть «ОК».

3. Запустится окно с аргументами функции. В нем нужно выделить строку «Число 1» и на листе выделить диапазон ячеек с числовым рядом.

4. После этого в ячейке, куда была введена функция будут выведены результаты расчетов.

Вот так несложно можно найти дисперсию в Excel.

Производим расчет по выборке

В данном случае выборочная дисперсия в Excel высчитывается с указанием в знаменателе не общего количества чисел, а на одно меньше. Это делается для более меньшей погрешности при помощи специальной функции ДИСП.В, синтаксис которой =ДИСП.В(Число1;Число2;…). Алгоритм действий:

• Как и в предыдущем методе нужно выделить ячейку для результата.
• В мастере функции следует найти «ДИСП.В» в категории «Полный алфавитный перечень» или «Статистические».

• Далее появится окно, и действовать следует также, как и в предыдущем методе.

Видео: Расчет дисперсии в Excel

Заключение

Дисперсия в Excel вычисляется очень просто, намного быстрее и удобнее, чем делать это вручную, ведь функция математическое ожидание довольно сложная и на ее вычисление может уйти много времени и сил.

Mathway | Популярные задачи