Рубрика: Школьная жизнь

Центр размещения студентов | Университет СИНЕРГИЯ

УДОБНОЕ
РАСПОЛОЖЕНИЕ

КОМФОРТНОЕ
РАЗМЕЩЕНИЕ

ОБЩЕЖИТИЕ ТОЛЬКО
ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Центр размещения Университета «Синергия» предлагает недорогие студенческие общежития, расположенные недалеко от станций метро.

В каждом корпусе — двух-, трех- и четырехместные комнаты, душевые, столовая и спортзал. Учитесь, общайтесь и получите все преимущества настоящей студенческой жизни без лишних затрат!

Бульвар Рокоссовского

Погонный проезд, д. 5, стр. 1

Соколиная Гора

ул.Буракова 6A стр.1

Университет Синергия

Университет Университет Синергия

г. Москва, просп. Ленинградский, д. 80 корп.Е, Ж, Г

+7 (495) 800 10 018 800 100 00 11

Общая: [email protected]

Приёмная комиссия ежедневно с 11:00 до 19:00

Подобрать программу ?

synergy.ru

Образование по формам обучения | Университет СИНЕРГИЯ

Совмещайте учебу с работой или полностью погружайтесь в учебный процесс

Срок обучения
1 год 10 месяцев –
2 года 10 месяцев

Очная, заочная,
очно-заочная, вечерняя, выходного дня

Трудоустройство
с 1-го курса

государственный диплом

Образовательные программы в Университете «Синергия» разрабатывают опытные профессионалы, при участии топ-менеджеров, а также владельцев современных крупнейших компаний.

Выбрав удобную для себя фому обучения, вы сможете совмещать студенческую жизнь с работой или погрузитесь в учебный процесс полностью.

Программы Университета «Синергия» «Стратегический менеджмент» и «Управление человеческими ресурсами» — первые в России программы магистратуры, получившие престижную международную аккредитацию Association of MBAs (АМВА). Это подтверждает соответствие образования высоким стандартам лучших мировых бизнес-школ.
По окончании обучения вы получаете не только государственный диплом с общеевропейским приложением, но и персональное свидетельство об аккредитации AMBA, что повысит вашу конкурентоспособность за рубежом.

95 000 обучающихся по всем образовательным программам 200 образовательных программ по всем уровням образования 1988 год основания университета

Фундаментальное академическое образование, максимум практики и погружение в профессию с самого начала обучения — главные принципы Университета.

Выбирайте более чем из сотни образовательных программ, и вы обязательно найдете ту, которая вам действительно интересна.

Университет Синергия

Университет Университет Синергия

г. Москва, просп. Ленинградский, д. 80 корп.Е, Ж, Г

+7 (495) 800 10 018 800 100 00 11

Общая: [email protected]

Приёмная комиссия ежедневно с 11:00 до 19:00

Подобрать программу ?

synergy.ru

Материально-техническая база | Университет СИНЕРГИЯ

Экстерьер

В корпусе на м. Семеновская располагаются учебные аудитории факультетов Управления, Гостиничного и ресторанного бизнеса, Лингвистики, Информационных технологий, Психологии. Также в здании находятся Школа Бизнеса и Языковой центр.

В корпусе на м. Сокол учатся студенты факультетов Экономики, Банковского дела, Дизайна, Рекламы и Юридического факультета.

В обоих зданиях есть Приемные комиссии и отделения Центра трудоустройства.

Корпус на Семеновской

Адрес: ул. Измайловский Вал, д. 2

---

Корпус на Соколе

Адрес: ст. м. «Сокол», Ленинградский пр-т, д. 80, корпуса Г, Е, Ж

Внутренние помещения

Все учебные аудитории в корпусах — светлые, просторные, хорошо проветриваемые, оснащенные комфортной современной мебелью и техникой.В распоряжении наших студентов — компьютерные классы, аудитории-трансформеры с интерактивными досками, залы для проведения мастер-классов и многое другое.

В корпусе на Семеновской, на этажах, занимаемых Школой Бизнеса, оборудованы аудитории для проведения обучающих мероприятий с видеотрансляцией (вебинары, семинары, мастер-классы). В корпусе на Соколе в подвальном помещении организована телестудия, откуда ведется вещание «Синергия ТВ».

Крупные мероприятия проводятся в большом конференц-зале в корпусе на Семеновской, где может свободно разместиться около 150 человек.

Для выполнения практических заданий и более глубокого погружения в профессию на факультетах оборудованы специализированные аудитории. Так, на факультете Дизайна студенты работают за современными моноблоками Apple, а для студентов Юридического факультета в одной из аудиторий воссоздан настоящий зал судебных заседаний.

Администрация и коммерческий блок Университета располагаются в офисных помещениях. В Университете работают 2 колл-центра по консультированию студентов и абитуриентов, для проведения деловых встреч предусмотрены переговорные комнаты с необходимой техникой (мониторы, проекторы).

Зоны общего пользования

При обустройстве коридоров, рекреаций, холлов и других общих зон мы уделяем особое внимание не только функциональности и комфорту, но и дизайну помещения. В интерьерах общих зон используются экологичные, естественные материалы: дерево, металл, текстиль.

Организация питания

Питание студентов и сотрудников Университета организовано в кафе-столовой с широким ассортиментом блюд: закуски, супы, вторые блюда, десерты и напитки. В корпусах также оборудованы кофе-точки, в холлах расположены вендинговые аппараты с напитками и снеками.

Спортивный клуб

В корпусе Университета на Соколе находится Спортивный клуб «Синергия», где оборудован тренажерный зал и проводятся занятия по тайскому и классическому боксу, ММА, йоге, сайклу. На базе клуба работает Танцевальная лаборатория Synergy Dance Lab, в которой преподаются множество современных направлений: hip-hop, stretch, contemp, dancehall, popping, house pro.

synergy.ru

Льготы для студентов университета СИНЕРГИЯ

п.п	Лица, претендующие на скидку	Размер скидки	Период действия скидки	Документы-основания для скидки
I. Скидки социально незащищенным лицам
1.	Инвалиды I и II групп, не имеющие противопоказаний для обучения в ВУЗе и дальнейшего занятия профессиональной деятельностью	15%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Заключение от органов здравоохранения. Заключение подлежит ежегодному подтверждению.
2.	Круглые сироты и дети, оставшиеся без попечения родителей и не достигшие 21 года	20%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Справка от органов социального обеспечения
3.	Получившие или перенесшие лучевую болезнь и другие заболевания, связанные с лучевой болезнью, эвакуированные из зоны отчуждения и переселенцы из зон отчуждения вследствие катастрофы на Чернобыльской АЭС	15%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Справка от органов социального обеспечения
4.	Дети из многодетных семей, находящиеся на попечении родителей и не достигшие 21 года	15%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Справка от органов социального обеспечения
5.	Дети до 21 года, потерявшие отца или мать, при условии, что последний кормилец является пенсионером и не работает	15%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Справка от органов социального обеспечения
6.	Участники войн и локальных военных конфликтов	15%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Справка от военкомата по месту постановки на учет
II Скидки для сотрудников организаций, входящих в Университетский холдинг, имеющие затруднительное материальное положение, в зависимости от опыта и стажа работы и их ближайшие родственники
7.	Первый год работы второе полугодие	25%	Полгода	Характеристика от руководителя сотрудника
8.	Второй год работы	50%	Год с ежесеместровым переоформлением скидки
9.	Третий год работы	75%	Год с ежесеместровым переоформлением скидки
10.	Четвертый и более год работы	100%	Год с ежесеместровым переоформлением скидки
III Скидки для государственных служащих
11.	Военнослужащие и их близкие родственники	20%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Выписка от отдела кадров о состоянии на военной службе, или предоставление воинского билета дл тех. кто бал уволен не позднее 1 года, или документ, подтверждающий родственные связи с военнослужащим
12	Абитуриенты, являющиеся сотрудниками или государственными служащими ФСБ России, ФСО России, судов, органов прокуратуры, СК России, МВД России, ФСКН России, ФТС России, ФНС России. ФСИН России, ФССП России или членами их семей, а также членами семей погибших сотрудников МВД при исполнении служебных обязанностей, поступающими на программы бакалавриата и магистратуры ЗО с ДОТ и ПЗО по проекту «Полиция»	20%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Заявление на скидку, документы, подтверждающие соответствие абитуриента данной категории лиц и Листовка по проекту «Полиция» или визитная карточка руководителя отдела по работе с госструктурами
IV Маркетинговые скидки
13.	Сотрудники партнерских ОУ (школы/колледжи) и их близкие родственники	20%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Анкета и основание для скидки, заверенные руководителем Департамента и Исполнительным директором Университета.
14.	Если колледж направляет на обучение более 20 человек, то администрации ОУ в течение текущего учебного года предоставляется одно бесплатное место	100%	Весь период обучения	Служебная записка от руководителя коммерческого подразделения. согласованная с Исполнительным директором Документы, подтверждающие. что обучающийся является сотрудником ОУ Документ, подтверждающий родственные связи с сотрудников ОУ
15.	Если школа направляет на обучение более 10 человек, то администрации ОУ в течение текущего учебного года предоставляется одно бесплатное место	100%	Весь период обучения	Служебная записка от руководителя коммерческого подразделения. согласованная с Исполнительным директором Документы, подтверждающие. что обучающийся является сотрудником ОУ Документ, подтверждающий родственные связи с сотрудников ОУ
16.	Студенты, привлекшие переводников из других ВУЗов, на которых распространяются правила акции «Друг за друга»	10%	1 семестр за каждого привлеченного студента	Заявление на скидку, завизированное деканом соответствующего факультета
17.	Абитуриенты, привлекшие абитуриентов из числа выпускников 2014 или 2015 года, на которых распространяются правила акции «Друг за друга»	10%	1 семестр за каждого привлеченного студента	Заявление на скидку, копия квитанции об оплате обучения
18.	Абитуриент, поступающий одновременно на 2 программы бакалавриата, вторая из которых ЗО с ДОТ	50% на вторую программу ЗО с ДОТ	Весь период обучения	Заявление на скидку, с визой ПК о зачислении на первую программу
19	Студенты и выпускники МФПУ Синергия, поступающие на программы ЗО с ДОТ, оформившие договор на обучение с 1 июня2015	20%	Весь период обучения	Заявление на скидку, документы, подтверждающие соответствие абитуриента данной категории лиц: справка об обучении в Университете или копия диплома Университета
20	Абитуриенты, -победители заключительного этапа всероссийской олимпиады школьников, члены сборных команд Российской Федерации, участвовавших в международных олимпиадах по общеобразовательным предметам и сформированных в порядке, установленном федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере образования; -победители IV этапа всеукраинских ученических олимпиад из числа лиц, признанных гражданами Российской Федерации в соответствии с Федеральным конституционным законом от 21 марта 2014 г. N 6-ФКЗ «О принятии в Российскую Федерацию Республики Крым и образовании в составе Российской Федерации новых субъектов — Республики Крым и города федерального значения Севастополя», члены сборных команд Украины, участвовавших в международных олимпиадах по общеобразовательным предметам, из числа лиц, признанных гражданами. — чемпионы и призеры Олимпийских игр, Паралимпийских игр и Сурдлимпийских игр, чемпионы мира, чемпионы Европы, лица, занявшие первое место на первенстве мира, первенстве Европы по видам спорта, включенным в программы Олимпийских игр, Паралимпийских игр и Сурдлимпийских игр	100%	Весь период обучения	Заявление на скидку, Документы, подтверждающие достижения абитуриента. Соглашение об обязательном участии в Молодежной политике Университета.
21	Абитуриенты, выпускники школ 2015 года, получивших «золотую» медаль	100%	Весь период обучения	Заявление на скидку. Протокол собеседования с деканом факультета
22	Абитуриенты целевого набора,  обучающие  за  счет средств Университета, включая обучающихся по программе «Кадровый резерв»	100%	Весь период обучения при наличии оснований с ежесеместровым переоформлением скидки	Заявление на скидку, служебная записка за подписью Исполнительного директора
23	Абитуриенты, поступающие на программы магистратуры и имеющие красный диплом о высшем образовании.	50%	Весь период обучения	Заявление на скидку, копия диплома
24	Абитуриенты 2015 года выпуска, набравшие 240 и более баллов по ЕГЭ	100% на весь период обучения	Весь период обучения	Заявление на скидку. Протокол собеседования с деканом факультета
25	Абитуриенты 2015 года, поступающие на все формы и программы обучения за исключением ЗОсДОТ, в том числе в порядке перевода и восстановления, при единовременной оплате двух и более семестров, оплатившие до 01.07.2015	10%	Каждый оплаченный семестр	Заявление на скидку, копия квитанции об оплате за весь период обучения
26	Абитуриенты 2015 года, поступающие на все формы и программы обучения за исключением ЗОсДОТ, в том числе в порядке перевода и восстановления, при единовременной оплате всего периода обучения, оплатившие до 01.07.2015	20%	Весь период обучения	Заявление на скидку, копия квитанции об оплате за весь период обучения
27	Абитуриенты 2015 года, поступающие на программу обучения ЗОсДОТ, в том числе в порядке перевода и восстановления, при единовременной оплате до 01.07.2015 двух и более семестров,	20% от внесенной суммы	Каждый оплаченный семестр	Заявление на скидку, копия квитанции об оплате за весь период обучения
28	Абитуриенты, являющиеся представителями администрации образовательных учреждений, компаний-работодателей, родителями или близкими родственники поступающих, зачисляющиеся на все формы и программы обучения при предъявлении скидочной или подарочной карты(сертификата)	Размер скидки и перечень программ, на которые она распространяется, указан на карте (сертификате)	Заявление на скидку, карта (сертификат)
29	Абитуриенты, выпускники колледжей, получивших «красный» диплом о СПО	50%	Весь период обучения	Заявление на скидку. Протокол собеседования с деканом факультета

www.distantinfo.ru

Стипендии и иные виды материальной поддержки

Название предприятия (с указанием места нахождения)	Количество трудоустроенных выпускников
	Год	Год	год
	2014	2015	2016
Первый БИТ (офисы по всей Москве)	1	1	2
МКБ (отделения по всей Москве)	35	42	45
Пронто (кафе по всей Москве и МО)	10
Спортмастер (магазины по всей Москве)	2	3	16
Рестснабторг (Москва г, наб. Фрунзенская, д. 16, к.1, пом.4)	15
Банк Русский стандарт (отделения по всей Москве)	5
Кафе Шоколад (кафе по всей Москве)	8
Чайхона № 1 (кафе по всей Москве)	3		18
Якитория (отделения по всей Москве)	4		2
Юридическая фирма Прайд г. Москва, Рязанский проспект, дом 34	2	2	2
М-видео (магазины по всей Москве)	2	3	2
Отель Золотое кольцо (Москва, ул. Смоленская, д.5)	1		3
Major-auto (несколько автосалонов в Москве)	2	1
Банк Home credit (несколько отделений в Москве)	3	2	6
Курьерская компания Bringo	9	2
Кредит Европа Банк	3	2	10
Московский нефтехимический банк г. Москва, ул. Б. Никитская, д.49	1
Сбербанк (отделения по всей Москве)	3	12	52
Шоколадница (кафе по всей Москве)	4	4	15
Банк Тинькофф (сеть по Москве)	2	8	5
Adidas (магазины по всей Москве)		5	3
KFC (сеть по всей Москве)		3	7
H&M (сеть по всей Москве)		2	5
World class (сеть по Москве)		2
Акадо (1-я Дубровская д.1а)		2	3
Альба (сеть магазинов по Москве)		15	10
Альфа банк (офисы по всей Москве)		5	4
Zara (сеть магазинов по Москве)		2	8
Елки-палки (сеть по Москве)		2	14
Кофехаус (сеть по Москве)		3	16
Летуаль (сеть магазинов по Москве)		2	20
Русфинансбанк (отделения по Москве)		8	10
Система Главбух (ул. Новодмитровская, д. 5А, стр. 8)		3	9
Эльдорадо (сеть по Москве)		4	24

synergy.ru

Лекция на тему «Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля»

Лекция № 6 (3 ч.)

Раздел 1. Комбинаторика.

Тема: Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля.

Цели занятия:

• дать понятие «Бином Ньютона»;

• вывести формулу бинома Ньютона, рассмотреть свойства его разложения;

• ввести общую формулу вычисления биномиальных коэффициентов, проследить закономерность их появления в треугольнике Паскаля.

Литература:

1. Халамайзер А.Я. Комбинаторика и бином Ньютона. — М: Просвещение. 1980

2. Прикладная комбинаторная математика

3. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.

План:

1. Бином Ньютона.

2. Биномиальные коэффициенты.

3. Треугольник Паскаля.

1. Бином Ньютона — название формулы, выра­жающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена

(а + b)² = = а² + 2ab + b²

знали, еще ма­тематики Древнего Вавилона, а древнегрече­ские математики знали ее геометрическое ис­толкование.

Если умножить обе части этой формулы на (а + b) и раскрыть скобки, то получим:

(а + b)³ = (а² + 2ab + b²)(а + b) = а³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³,

т. е. (а + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Аналогичный шаг может привести к следующей формуле:

(а + b)⁴ = а⁴ + 4а³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴ .

Легко заметить закон образования коэффи­циентов: коэффициент 4 при a³b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a²b и а³. Аналогич­но, коэффициент 6 при a²b² является суммой (3 + 3) коэффициентов при ab² и a²b. По то­му же закону получаем и коэффициент 4 при ab³.

Таким образом, коэффициент С ^k_n при а^n—k b^k в разложении (а + b)ⁿ равен сумме коэффи­циентов C^k-1 _n-1 и C^k _n-1 при а^n—k b^k-1 и при а^n—k-1 b^k разложении

(а + b)^n-1, а коэффи­циенты при аⁿ и при bⁿ равны единице.

Отсюда следует, что коэффициенты С ^k_n в равенстве:

(а + b)ⁿ = аⁿ + С¹_n а^n-1b + … + С^k_n а^n-kb^k + … + bⁿ (1)

являются членами (n+1)-й строки треуголь­ника Паскаля.

Это утверждение было известно задолго до Па­скаля — его знал живший в XI-XII вв. средне­азиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло).

2. Биномиальные коэффициенты.

Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в по­явившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел С^k_n (биномиальных коэффициентов) до п = 12 включительно.

Европейские ученые познакомились с фор­мулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов про­вел французский математик и философ Блез Па­скаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k.

В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай про­извольных (дробных и отрицательных) пока­зателей, но при этом получается сумма из бе­сконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при | х | < 1

(2)

При п = — 1 формула (2) превращается в из­вестную формулу для суммы бесконечной гео­метрической прогрессии:

4. Треугольник Паскаля.

На рис. 1 изображено несколько первых строк числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чи­сел предыдущей строки.

По этому правилу легко выписывать одну за другой новые стро­ки этого треугольника. Именно в такой фор­ме он приведен в «Трактате об арифметиче­ском треугольнике» французского математика Б. Паскаля (1623-1662), опубликованном в 1665 г., уже после смерти автора.

Популярность чисел, составляющих треу­гольник Паскаля, не удивительна: они возни­кают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, матема­тического анализа, теории чисел.

Сколько различных k-элементных множеств (сочетаний) можно образовать из данных п элементов?

Каковы коэффициенты многочлена (1 +х)ⁿ?

Сколько существует строчек из п единиц и нулей, в которых ровно k единиц?

Сколькими разными путями можно спу­ститься из верхней точки А на рис 2. в k-й перекресток n-го ряда?

Рис 2

На все эти вопросы ответ дают числа С^k_n , треугольника Паскаля. Обозначение С^k_n пред­полагает, что верхняя строка треугольника Паскаля состоит из одного числа С ⁰₀ = 1, сле­дующая (первая)-из двух чисел С ⁰₁ = С¹₁ =1, и вообще п-я строка состоит из п+1 чисел:

Числа С ^k_n называют обычно числами соче­таний из п элементов по k, или биноми­альными коэффициентами в некоторых книгах для них используют обозначение . Оно удобно для запоминания простой формулы, позволяющей по заданным номерам n и k сразу вычислить, какое число стоит на к-м месте в n-й строке тре­угольника Паскаля:

Используя обозначение факториала т! = = 1 • 2 •… • m, эту формулу можно записать еще короче:

В «равнобедренной» форме треугольника Паскаля на рис. 1 очевидно свойство симмет­рии каждой строки С ^k_n = С ^n—k_n ; при этом посе­редине строки стоит самое большое число (если п четно) или два самых больших числа (если п нечетно), а к краям числа монотонно убывают.

Если записать тот же треугольник в «пря­моугольной» форме (рис.3), то целый ряд свойств треугольника Паскаля, связанный с суммами его чисел, будет удобнее наблю­дать. В частности, сумма нескольких первых чисел каждого столбца равна идущему за ни­ми числу следующего столбца:

Рис.3

Числа называются треу­гольными числами, а числа
— пирамидальными;

а при т> к,

Суммы чисел по «восходящим» (зеленым) диагоналям на рисунке 3 равны последова­тельным числам Фибоначчи.

Для применений в теории вероятностей особенно важны асимптотические формулы для чисел треугольника Паскаля, т.е. прибли­женные оценки этих чисел при больших п.

infourok.ru

2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие Свойства Сочетаний (биномиальных коэффициентов)

Сочетания — при, т.е. числа…,используются в формуле бинома Ньютона. Их достаточно часто называют биномиальными коэффициентами, поскольку они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона. В школе каждый заучивал формулы квадрата, куба и других степеней суммы двух чисел:

(a + b)² = a² + 2ab + b²,

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Определение. Формула для произвольной степени суммы двух слагаемых выглядит так:

Эту формулу обычно называют формулой бинома Ньютона. Слово «бином» означает «двучлен», а коэффициенты в разложении называются, как мы уже знаем, биномиальными коэффициентами.

Треугольник Паскаля

Для чисел имеется красивый и удобный способ из записи в виде треугольной таблицы. Эту таблицу называюттреугольником Паскаля.

С

…

…

…

…

…

…

Получается бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

1

				1		1
			1		2		1
		1		3		3		1
	1		4		6		4		1
1		5		10		10		5		1
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами.

1). Все они целые положительные числа.

2). Крайние коэффициенты равны единице.

3). Коэффициенты возрастают от краев к середине.

4). Сумма всех коэффициентов равна 2ⁿ. Это следует из формулы бинома, если в ней положить, что a = b = 1.

5). Сумма биномиальных коэффициентов на четных местах равна сумме коэффициентов на нечетных местах.

6). Если a заменить на -a, то знаки перед биномиальными коэффициентами будут чередоваться.

7). В разложении бинома содержится на один член больше, чем его степень.

8). Разложение есть однородный многочлен, то есть все члены имеют одну и ту же степень относительно a и b;

9). Правило симметрии: для всех m = 0, 1, …, n (записывается: )

Правило симметрии удобно использовать в расчетах количества сочетаний , еслиm превышает половину объема исходного множества, т.е. m >

10). Из свойств (7) и (9) следует, что если показатель бинома четный, то в разложении средний член имеет наибольший коэффициент, а если показатель бинома нечетный, то в разложении имеется два средних члена с одинаковым наибольшим коэффициентом.

Особенно важное значение имеет следующее свойство.

11). Правило Паскаля или рекуррентное свойство числа сочетаний:

Основная закономерность образования строк состоит в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке (5 = 1 + 4; 10 = 4 + 6; 6 = 3 = 3 и т.д.). Или то же в строгой формулировке: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b)ⁿ равна определённому коэффициенту в разложении

(а + b)ⁿ⁺¹.

studfiles.net

Доклад на тему «Бином Ньютона и треугольник Паскаля»

Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где — биноминальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.

Это формула, представляющая выражение ( a + b ) ⁿ при положительном целом n в виде многочлена:

          

Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.

Числа   называются биномиальными коэффициентами.

Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1;  вторая — для n = 2;  третья — для   n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:

( a + b )⁷ ,

мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

Свойства биномиальных коэффициентов.                                                                                               

1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) ⁿ равна  2 ⁿ .

Для доказательства достаточно положить  a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения:

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна

Для доказательства воспользуемся биномом: Здесь чётные члены имеют знак  « + » , а нечётные — « — ». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому каждая из них равна: что и требовалось доказать.

3a1ka.livejournal.com

Биномиальные коэффициенты — это… Что такое Биномиальные коэффициенты?

Биномиальные коэффициенты — коэффициенты в разложении (1 + x)ⁿ по степеням x (т. н. бином Ньютона):

Иначе говоря, (1 + x)ⁿ является производящей функцией для биномиальных коэффициентов.

Значение биномиального коэффициента определено для всех целых чисел n и k. Явные формулы для вычисления биномиальных коэффициентов:

для ;

для k < 0 или ;

для ,

где n! и k! — факториалы чисел n и k.

Биномиальный коэффициент является обобщением числа сочетаний , которое определено только для неотрицательных целых чисел n, k.

Биномиальные коэффициенты часто возникают в комбинаторных задачах и теории вероятностей.

Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.

Треугольник Паскаля

Тождество

позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих:

Треугольная таблица, предложенная Паскалем в «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), отличается от выписанной здесь поворотом на 45°. Таблицы для изображения биномиальных коэффициентов были известны и ранее (Тарталье, О. Хайяму и др.).

Свойства

Интересно, что если рассмотреть ряды в треугольнике Паскаля, состоящие из биномиальных коэффициентов, то в пределе получим функцию нормального распределения — распределение Гаусса.

Из теоремы Люка следует, что:

• нечётен в двоичной записи числа k единицы не стоят в тех разрядах, где в числе n стоят нули,
• некратен простому p в p-ичной записи числа k все разряды не превосходят соотв. разрядов числа n,
• В ряду биномиальных коэффициентов :
  • все числа не кратны заданному простому p n = mp^k − 1, где натуральное m < p,
  • все числа, кроме первого и последнего, кратны заданному простому p n = p^k, где натуральное m < p,
  • количество нечётных чисел равно степени двойки,
  • не может быть поровну чётных и нечётных чисел,
  • количество не кратных простому p чисел равно , где числа — разряды p-ичной записи числа n; а число m = [log_pn] + 1

Тождества

Асимптотика и оценки

Алгоритмы вычисления биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы , если на каждом шаге хранить значения при . Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения при фиксированном n. Алгоритм требует O(n) памяти (O(n²) при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и O(n²) времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).

Второй способ основан на тождестве . Он позволяет вычислить значения при фиксированном k. Алгоритм требует O(1) памяти (O(l) если нужно посчитать l последовательных коэффициентов с фиксированным k) и O(k) времени.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

6.1.2 Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона

Видеоурок 1: Сочетания

Видеоурок 2: Перестановки

Видеоурок 3: Бином Ньютона

Лекция: Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона

Формулы числа сочетаний и перестановок

Существует основные формулы для сочетаний и перестановок:

В данной таблице важно внимательно смотреть на условие задачи: по горизонтали происходит разделение формул в зависимости от возможности повторения элементов. По вертикали сверху описаны случаи задач, в которых важен или не важен порядок элементов. А снизу Вы можете наблюдать задания, которые следует выполнить над элементами.

Бином Ньютона

С частным случаем Бинома Ньютона мы уже сталкивались при использовании формул сокращенного умножения, а именно при возведении суммы или разности чисел во вторую и в третью степень. Сейчас же мы рассмотрим формулу, которая позволит возвести сумму некоторых двух чисел в любую степень.

Формула Бинома Ньютона:

Чтобы найти коэффициенты, следует воспользоваться сочетательным законом комбинаторики без повторений:

Давайте для начала рассмотрим знакомую нам формулу и как она получилась:

Коэффициенты Бинома Ньютона

Для более простого подсчета коэффициентов Бинома Ньютона для невысоких степеней удобно пользоваться треугольником Паскаля:

Данный треугольник несложно вычислить и самостоятельно. По бокам в каждой строчке имеется коэффициент, равный единице. Все средние коэффициенты считаются, как сумма верхних, которые находятся над ними.

Существует очень важное свойство коэффициентов для Бинома Ньютона, которое позволит проверить правильность их расставления. Для этого необходимо сложить все коэффициенты на четных местах, затем сложить коэффициенты на нечетных местах, после чего сравнить полученные значения. Они должны получиться равными.

cknow.ru

Бином Ньютона — ПриМат

Бином Ньютона — формула, представляющая выражение при  в виде:

,

где — число сочетаний из элементов по элементов.

.

Докажем верность данного утверждения:

Доказательство методом математической индукции.

Для :

Для  утверждение выполняется.

Предположим, что утверждение выполняется для .

Докажем верность формулы для .

Докажем, что .

Вынесем слагаемое при из первой суммы:

Вынесем слагаемое при из последней суммы:

Прибавим данные суммы:

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

Примеры:

       

Список литературы:

Тест «Бином Ньютона»

Лимит времени: 0

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Таблица лучших: Тест «Бином Ньютона»

максимум из 3 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Урок на тему: «Бином Ньютона»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРАВОВОЙ КОЛЛЕДЖ ИМ. ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА БОРИСА ПАВЛОВИЧА ТРИФОНОВА»

МАТЕМАТИКА

Методическая разработка

На тему «Бином Ньютона и треугольник Паскаля»

на примере открытого урока

2014

Рассмотрено на заседании

методической комиссии

естественнонаучных и

математических дисциплин

Протокол №______от_____

Председатель МК

__________________Н.Н. Борышнева

Автор: Боброва Н.П., преподаватель ГБОУ СПО «НЭПК»

Рецензент: Кордюкова Н.П., преподаватель «ГБОУ СПО НЭПК»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данное учебно­-методическое пособие составлено в соответствии с рабочей программой и относится к разделу «Комбинаторика», занятие № 95. Оно предназначено для подготовки студентов первого курса дневного отделения.

Учебный материал пособия состоит из методических указаний и упражнений, которые необходимы для усвоения и закрепления изученного материала.

В результате изучения студент должен:

иметь представление о:

знать:

уметь:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Тема: « Бином Ньютона. Треугольник Паскаля»

“Тысячи неразгаданных тайн таит в себе наука,

и без вас, без вашей молодости, смелости, энтузиазма,

они не будут разгаданы. Наука ждёт вас, друзья».

Академик А.С. Несмеянов.

Цели урока – изучение и первичное осознание нового учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения.  Познакомиться с биномом Ньютона, показать его связь с треугольником Паскаля.

Познавательные задачи — сформировать навыки в применении бинома

Ньютона.

Развивающие задачи

• Расширять кругозор учащихся.

• Развивать познавательную активность, интерес к математике и истории.

• Развивать индивидуальные способности учащихся, потребность к самообразованию.

• Учить анализировать и строить аналогии.

Воспитательные задачи

• Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

• Воспитание внимательности, аккуратности.

• Прививать интерес к предмету.

Оборудование занятия: мультимедиа, презентация, учебник, приложение.

№

п/п

Этап и содержание урока

Методические замечания

1

Организационный момент

— Здравствуйте, ребята. Садитесь. Отметим отсутствующих и проверим готовность аудитории к занятию.

Проверка готовности

группы к занятию

2

Сообщение темы, целей и задач урока

Тема нашего урока “Бином Ньютона. Треугольник Паскаля”.

Сегодня на уроке мы должны обобщить и повторить пройденный материал. Полученные знания и навыки в применении биноминальных формул, закрепим на решении математических задач. В течение урока работать будем по группам, затем подведём итог урока, и вы получите домашнее задание.

На экране слайд

3

Актуализация знаний: проверка домашнего задания,

устная работа

Группа №1 и №2 представляют свою работу у доски.

1. Разгадайте кроссворд.

1. Свойство умножения, используемое при умножении одночлена на многочлен. 2. Способ разложения многочлена на множители. 3. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 4.Равенство, верное при любых значениях переменных. 5. Выражение, представляющее собой сумму одночленов. 6. Слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть. 7. Числовой множитель у одночленов.

Ответы:

1. Распределительное

2. Группировки

3. Корень

4. Тождество

5. Многочлен

6. Подобные

7. Коэффициент

2.

— Какими формулами вы пользовались в данном задании?

Давайте назовём их и сформулируем.

1. Формулы квадрата суммы и разности двух выражений 

2. Формула разности квадратов 

3. Формулы суммы и разности кубов 

4. Свойство степени.

Презентации с домашними заданиями по группам

Листы с заданиями на столах, работа №1 и №2 в группах

3

Объяснение нового материала

Формулы сокращённого умножения являются частным случаем бинома Ньютона. Сегодня на уроке мы обобщим полученные знания и познакомимся с данными формулами.

Формула бинома Ньютона. Как возвести в степень n сумму двух слагаемых?

Исаак Ньютон был поистине Великим физиком своего времени, а может быть и величайшим физиком всех времен и народов. Но мы не будем судить об этом. Однако следует заметить, что Ньютон был еще и прекрасным математиком. Кстати формула бинома Ньютона была выгравирована на надгробии его могилы, как самое великое открытие современности того времени! 

Кроме формулы бинома Ньютона, со школьной скамьи всем известна формула Ньютона-Лейбница. Таким образом, великий Ньютон вместе с Лейбницем заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. Основы теории пределов и строгий подход в математическом анализе был начат и развивался в трудах таких гениев как Огюстен Коши, Георг Кантор, Карл Вейерштрасс. Нельзя, конечно, обойти стороной имя Леонарда Эйлера.

Но мы отвлеклись здесь от основной линии рассуждений. Ведь Формула бинома Ньютона относится к алгебре, а также к ветви математики, называемой комбинаторикой! 
Вы спросите: а почему, собственно, формула бинома, и что такое бином вообще. Здесь употребляется алгебраическая терминология: в алгебре есть понятие многочлена. Многочлен это Полином — другими словами — сумма произвольного числа слагаемых называется полином. 
Например — это полином! 
А сумма двух слагаемых называется Бином! То есть — это бином, или например x+y — тоже бином. Здесь x и y предполагаются неизвестными переменными величинами! Но формула бинома Ньютона на самом деле это не просто формула бинома (иначе, что это за формула такая, которая состоит из суммы двух произвольных слагаемых?). Ничего, собственно, примечательного и ничего содержательного! Ньютон был гораздо умнее, чем изобретатель простой суммы двух слагаемых! Что же он тогда изобрел?

Ньютон изобрел формулу, которая позволяет возвести сумму двух слагаемых в степень с любым показателем, а не только с показателем равным 2! Невозможно переоценить значение формулы бинома Ньютона при решении пределов функций. Поэтому правильно формула, о которой идет здесь речь, называется Формулой Ньютона для степени бинома. Мы не будем сразу писать эту формулу в общем виде, а вначале обратимся к школьной алгебре!
Вспомним из школьного курса что:

Это и есть формула квадрата суммы или формула квадрата двучлена, или формула второй степени бинома! А теперь возведем в третью степень сумму двух слагаемых или раскроем бином третьей степени.

Скобки раскрываем аналогично, как всегда использую распределительный или дистрибутивный закон алгебры:

Здесь мы имеем уже шесть слагаемых, а если быть точным, не шесть, а 8=2³ слагаемых, поскольку два слагаемых имеют коэффициенты 2.

Мы доказали формулу суммы кубов. Она должна быть вам хорошо известна из школьного курса алгебры.
Однако не будем останавливаться на достигнутом, и пойдем дальше, возведем бином в четвертую степень! Но возводить мы будем по — хитрому! Не с нуля, а воспользовавшись предыдущей формулой для третьей степени бинома:

Здесь мы не стали делать подробных раскрытий скобок, а сразу записали результат раскрытия, поскольку вычисления аналогичны тому, как мы это уже проделали дважды.
Хорошо, мы уже добрались до четвертой степени бинома! Но не будем на этом останавливаться и снова возведем в бином, но уже в пятую степень! Что нам стоит дом построить – нарисуем, будем жить! 
Ведь сложного то ничего нет, ведь всего лишь для возведения бинома в пятую степень надо умножить результат возведения бинома в четвертую степень на известный нам бином! Вот в чем заключалась гениальная идея Ньютона!

То есть вместо четвертой степени бинома мы подставляем уже вычисленное ранее его выражение и снова раскрываем скобки, опуская подробные вычисления, поскольку они уже не однократно выполнялись выше при вычислении третьей и второй степени бинома.

 

Вы спросите: а сколько же можно так продолжать увеличивать порядок степени возведения бинома? Ответ: до бесконечности можно! Точно также, например при n=100 умножим результат возведения в степень 99 на x+y, тогда получим результат возведения в степень 100.

Но мы не будем расписывать все это выражение, поскольку после приведения подобных членов оно имеет 101 слагаемое и не уместится в одну строчку, а в десять строчек прочтение будет очень затруднительно!
Но гениальность Ньютона в том и заключалось, что он смог записать эту формулу в общем виде в одну строчку для любого n, то есть формулу для

Здесь мы делаем простой и гениальный вывод: чтобы получить формулу для n, надо знать эту формулу для (n-1). Чтобы знать формулу для (n-1) надо получить ее (n-1) раз так, как мы это делали для 2,3,4, и 5-й степени, то есть умножали уже известный результат для степени на единицу меньшей заданной степени на степень равную единице!

А теперь напрашивается второй гениальный вывод! А что если все эти действия, которые приводят к формуле бинома для степени n-1 можно записать одним махом?! Тогда можно будет не переписывать (n-1) раз фактически одни и те же вычисления для 2, 3, 4, 5, 6,…,n-1 степени бинома, а записать их одной формулой, умножить эту формулу еще раз на первую степень бинома и полностью доказать искомую формулу! Вот вам и алгоритм рассуждений Ньютона!

Здесь мы выделили последние предложения жирным шрифтом, поскольку они являются основой доказательства формулы бинома Ньютона и наиболее серьезным и сложным шагом во всех наших рассуждениях. Кстати этот шаг, называется индуктивным, а метод, основанный на индуктивном шаге — методом математической индукции. Таким образом, мы здесь познакомились с одним из наиболее фундаментальных и важных методов математики. Но теперь возникает следующая трудность: как же записать общую формулу для степени бинома, равной n-1? В этом нам помогут уже доказанные формулы степени бинома, равные 3,4,и 5.

Очевидно, что коэффициенты крайних слогаемых равны 1, показатели степени — наивысшие (n). Показатели степени переменных изменяются в обратной зависимости, а вот определить коэффициенты достаточно сложно. Имеет смысл вернуться к определению сочетания из n элементов по m, где

n – степень бинома, а m является номером слогаемого, начиная с 0. Тогда для 3 степени бинома мы получим следующие коэффициенты:

Можно, конечно, привести вывод формулы бинома, но это достаточно сложно и не входит в нашу программу, так что запишем эту формулу и начнем ею пользоваться:

где — сигма, знак суммы слогаемых от 0 до n.

Если мы имеем бином (х — у) ⁿ, то знаки слогаемых чередуются.

Согласитесь, что возводя в степень бином, вычислять коэффициенты через сочетания достаточно трудоемко. Чтобы облегчить эти вычисления, используют:

№

Треугольник Паскаля

0

1

1

1     1

2

1     2     1

3

1     3     3     1

4

1     4     6     4     1

5

1     5     10     10     5     1

6

1     6     15     20     15     6     1

…

…

№

Треугольник Паскаля

0

1

2

3

4

5

6

…

…

 

    Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

Слайды презентации на экране

4

Первичное закрепление

Продолжите формулу, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля.

1. (1/3а+2/5в)³ =(1/3а)³+3(1/3a)²∙2/5b+3(1/3a)(2/5b)²+(2/5b)³=

1/27a³+1/3a²∙2/5b+a∙4/25b²+8/125b³

Ответ: 1/27a³+2a²b/15+4ab²/25+8b³/125

2. (0.2а-0,3b)⁴ =0,0016a⁴— 4∙(0,2a)³∙0,3b+6(0,2a)²(0,3b)²-4∙0,2a(0,3b)³+(0,3b)⁴= 0,0016(a⁴)-0,032a∙³∙0,3b+0,24a²∙0,09b²-

0,8a∙0,027b³+0,0081b⁴

Ответ: 0,0016а⁴-0,0096а³b+0,0216a²b²-0,0216ab³+0,0081b⁴

3. (1/2a-3/4b)³=(1/2a)³-3(1/2a)²∙3/4b+3(1/2a)(3/4b)²-(3/4b)³=

=a³/8-3/8a²∙3/4b+3/2a∙9/16b²-27/64b³= a³/8-9a²b/32+27ab²/32-27b³/64

Ответ: a³/8-9a²b/32+27ab²/32-27b³/64

Решается у доски преподавателем с помощью студентов.

5

Самостоятельная работа в группах

1 группа

1. Найти значение:

а) 1!

б) 7!

в)

г) 9!/6!

2. Вычислить значение бинома:

1)

2)

3)

4)

3. Как иначе называется многочлен __

4. Как располагаются биноминальные коэффициенты (монотонность)__

2 группа

1. Найти значение:

а) 0!

б) 6!

в)

г) 10!/5!

2. Вычислить значение бинома:

1)

2)

3)

4)

3. Как иначе называется двучлен__

4. Как располагаются знаки биноминальных коэффициентов (а-в)ⁿ __

3 группа

1. Найти значение:

а) 8!

б) 5! – 3!

в)

г) 12!/7!

2. Вычислить значение бинома:

1)

2)

3)

4)

3. Как составляется строка в треугольнике Паскаля относительно предыдущей строки__

4. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 человек, можно образовать из 10 преподавателей__

4 группа

1. Найти значение:

а) 7!

б) 9! – 5!

в)

г) 15!/11!

2. Вычислить значение бинома:

1)

2)

3)

4)

3. Сколько строк можно составить в треугольнике Паскаля

4. Студенту дали на лето задание – прочитать 10 книг. Сколькими способами он может выбрать их них 6 книг__

Критерии оценивания работы:

1. (а — г) – 1 балл, всего 4 балла

2. – по 4 балла, всего 16 баллов

3. — 1 балл

4. — 1 балл Ʃ = 22 балла

Баллы снижаются:

1) плохая дисциплина (шум, некорректность в поведении)

2) небрежность в оформлении работы

За проверку работы соседней группы и анализ ее выполнения 6 баллов.

max Ʃ = 28 баллов

ОТВЕТЫ НА РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ:

1)

2)

3) 4)

Работа в 4-х группах.

Каждая группа имеет задания:

а) теория (тестовые вопросы разные для каждой группы)

б) практика (решение примеров)- задания общие

Затем группы попарно обмениваются своими заданиями и проверяют их, тем самым команды проверяют работы друг друга и дают им свою оценку по определенным критериям.

В первую очередь оценивается взаимодействие и слаженность работы, дисциплина в команде. Качество работы (скорость и точность).

6, 7

Подведение итогов, рефлексия

По итогам работы: группа №1 – «5»

группа №2 – «3»

группа №3 – «5»

группа №4 – «4»

Используем метод незаконченных предложений.

• Сегодня на уроке я узнал(а) …

• Мне оказались непонятны следующие моменты …

• Мне понравилось на уроке …

• Я понял(а), что надо еще раз посмотреть тему …

• Покажите на графике свое эмоциональное состояние на занятии

Группы обмениваются выполненными заданиями и проверяют работы друг друга.

Оценивают работы по критериям:

«5» — 24-28 б.

«4» — 18-23 б.

«3» — 12-17 б.

8

Домашнее задание

• Составить 2 задачи на сочетания и 2 примера на Бином Ньютона с решением. Весьма желательно подготовить образец выполнения в печатном варианте.

• Автор Ю.М. Колягин. Учебник 11 класса. Стр. 138 §31 — теоретический материал знать.

• Вычислите степени бинома:

Заключение

Наш урок мне хочется закончить словами известного мудреца.

Когда-то давно жил выдающийся арабский поэт – математик Омар Хайям:

…Мне мудрость не чужда была земная,

Разгадки тайн ища, не ведал сна я

За 70 перевалило мне,

Что ж я узнал! –

Что ничего не знаю.

Как вы думаете, что он этим хотел сказать?

Спасибо за урок.

Заключение.

Современный специалист, независимо от профессиональной области должен владеть суммой знаний как гуманитарных, так и естественнонаучных дисциплин.

Чтобы быть конкурентоспособным специалистом, прежде всего, необходимо владеть навыками самостоятельной работы и работы в команде.

Целью учебно-методического пособия является ознакомление и получение навыков в разложении бинома, возведения в любую степень двучлена.

В пособии предложен теоретический и практический материал. В теоретической части даны достаточно подробные сведения, необходимые для получения основных сведений об изучаемой теме, в практической части – задания, в которых приведены подробные инструкции по их выполнению.

Методика, которая положена в основу пособия, позволя­ет существенно ускорить процесс закрепления знаний, полученных при изучении дисциплины, освоить новый материал, необходимый для осуществления профессиональной деятельности, а также приобрести опыт работы в команде.

Пособие может быть рекомендовано в помощь преподавателям естественнонаучных дисциплин.

• Цель урока достигнута, учащиеся справились с заданием и затруднений не возникло.

• Структура урока соответствует его типу и цели. Материал дан последовательно, этапы урока взаимосвязаны:

— проверка домашнего задания;

— устные упражнения;

— объяснение нового материала;

— закрепление;

— самостоятельная групповая работа;

— рефлексия и т.д.

• Использование мультимедиа оправдано. План урока в основном выполнен.

• Студенты группы 11Б имеют достаточно высокий уровень школьной подготовки. Они показали самый высокий балл при входном тестировании и по результатам 1 семестра. Ребята активные, любознательные и подвижные. В подавляющем большинстве имеют высокую мотивацию к учебе. Вследствие этого не возникло проблем в усвоении нового материала.

04.03.14г. Н.П. Боброва/_________________

infourok.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

      При решении задач по комбинаторике используют следующие важные понятия

Факториалы

      Для произвольного натурального числа   n   формула

определяет факториал числа   n   ( n !   читается, как   n   – факториал).

      Например,

      Считается, что

0 ! = 1 ,     1 ! = 1.

Перестановки

      Рассмотрим следующую задачу.

      Задача.   6   карточек пронумерованы числами   1, 2, 3, 4, 5, 6.   Карточки наугад выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных шестизначных чисел?

      Решение. Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое, пятое, шестое. На первое место можно положить одну из 6 карточек. Для этого есть   6   способов. В каждом из этих 6 способов на второе место можно положить одну из оставшихся   5   карточек. Таким образом, существует

способов, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих   30   способов на третье место можно положить одну из оставшихся   4   карточек. Следовательно, существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих   120   способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся   3   карточек. Отсюда вытекает, что существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье и четвертое места. В каждом из этих   360   способов на пятое место можно положить одну из оставшихся   2   карточек. Следовательно, существует

способов, чтобы положить карточки на первое, второе, третье, четвертое и пятое места. После этого у нас остается одна единственная карточка, которую мы и кладем на шестое место. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить   720   различных шестизначных чисел.

      Ответ: 720.

      Замечание 1. В задаче мы рассмотрели   6   пронумерованных карточек и установили, что количество способов выкладывания этих карточек в ряд равно   6!

      Если бы у нас было n пронумерованных карточек, то количество способов выкладывания их в ряд равнялось бы   n ! .

      Замечание 2. Каждое расположение   n   пронумерованных карточек в ряд является перестановкой из n элементов, к изучению которых мы сейчас и переходим.

      Определение 1. Пусть   n   – натуральное число. Рассмотрим произвольное множество, содержащее n элементов. Говорят, что на этом множестве задано упорядочение (отношение порядка), если его элементы пронумерованы числами   1, 2, 3, … , n.

      Множество с заданным упорядочением называют упорядоченным множеством.

      Определение 2. Рассмотрим множество, содержащее n элементов. Перестановкой из n элементов называют любое упорядочение этого множества.

      Число перестановок из   n   элементов обозначают символом   P_n.

      В соответствии с Замечанием 1, справедлива формула:

P_n = n !

      В частности,

P₆ = 6! = 720 .

      Замечание 3. Введенные в данном разделе перестановки называют также перестановками без повторений.

   С понятиями размещений из   n   элементов по   m   элементов и сочетаний из   n   элементов по   m   элементов можно познакомиться в разделе «Комбинаторика: размещения и сочетания» нашего справочника.

 

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Комбинаторные задачи. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Для начала рассмотрим простой пример. Пусть в некотором регионе решили ввести формат номера автомобиля в виде числа. Вопрос: какое количество автомобилей мы сможем снабдить различными номерами? Внимательный учащийся сразу заметит неполноту формулировки задачи, не правда ли? И действительно, во-первых, не указано, какое количество знаков должно находиться в номере автомобиля, во-вторых, какие значения могут принимать отдельные цифры такого номера. Ну и конечно, как принято при решении подобных задач, начнем мы решение с рассмотрения самых простых случаев.

Пусть приняты только трехзначные номера, причем формируются они только цифрами 1, 2 и 3. Также вводится несколько нестандартное требование: пусть одна и та же цифра в номере будет встречаться не более одного раза. Это нужно для упрощения решения. В этом случае ответить на вопрос задачи совсем просто. Нужно перечислить все возможные комбинации из трех цифр. Вот они: , , , , , .

Всего 6 штук. Согласитесь, маловато для автомобильных номеров. Давайте теперь будем нумеровать машины четырехзначными числами. Причем каждая цифра числа будет меняться в диапазоне от одного до четырех. Также сохраним требование к однократному присутствию каждой цифры в номере. Здесь перебирать номера вручную уже заметно тяжелее, если не верите, убедитесь самостоятельно. А пока воспользуемся следующим приемом:

первая цифра номера – 4 значения;

вторая – 3 значения;

третья – 2 значения.

У последней цифры остается только одна возможность. Тогда общее количество вариантов равно произведению . Этот перебор можно проиллюстрировать при помощи так называемого дерева возможных вариантов (Рис. 1.). Номера машин можно получить, если прочитать каждую ветку данной схемы сверху вниз.

Рис. 1. Дерево вариантов автомобильных номеров

24 – это уже значительно лучше, чем 6, однако все равно нам этого мало. В предыдущем примере мы воспользовались так называемым правилом умножения.

Если, независимо друг от друга, элемент  можно выбрать  способами, элемент  –  способами и так далее, то комбинацию  можно выбрать  способами.

В случае, когда мы выбираем цифры из четверки цифр, каждая последующая цифра имеет количество способов выбора на единицу меньше предыдущей цифры. Тогда умножение этих количеств способов приводит нас к понятию факториала.

Факториал (обозначается ) – произведение подряд идущих первых  натуральных чисел.

Заметьте: при этом полагается, что факториал нуля равен единице:  и факториал единицы также равен единице .

Приведем несколько первых значений для n-факториала:

Следует обратить внимание на еще одно важное свойство факториала: значение факториала очень быстро возрастает с увеличением . Так, значение  уже больше чем , а  превышает  триллиона.

Для дальнейшего будет полезно знать еще одно важное свойство факториала:

Доказательство:

По определению, факториал равен:

.

Сгруппировав все сомножители, кроме последнего, получим:

При этом в скобках, снова, по определению факториала, имеем  

На рассмотренных примерах мы смогли убедиться, что число способов, которыми можно составить, например, четырехзначный номер из четырех цифр, равно . Очевидно, что здесь есть общая закономерность, когда количество распределяемых элементов, то есть цифр, совпадает с количествами элементов, по которым надо распределить, то есть количеством разрядов в числе. В этом случае мы имеем дело с примером так называемой «перестановки».

Перестановка из  элементов – каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

На основании предыдущих рассуждений можно сформулировать такое утверждение:  различных элементов можно расставить по одному на  различных мест ровно  способами.

 – число перестановок.

Вновь вернемся к нашему примеру. Будем обсуждать случай, когда число знаков в автомобильном номере, то есть количество распределяемых элементов, меньше количества элементов, по которым нужно распределить, то есть количества цифр, из которых состоит номер. Здесь мы имеем дело уже не с перестановками, а с так называемыми «размещениями».

Размещение из  элементов по , где  меньше, либо равно , – любое множество, состоящее из  элементов, взятых в определенном порядке из данных  элементов. Таким образом, два размещения из  элементов по  считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком из расположения.

 – число размещений.

Опираясь на правило умножения, можно найти выражение для .

Пусть у нас есть 5 цифр, из которых нужно составить трехзначное число. Применим уже известный нам способ подсчета количества возможных вариантов:

первая цифра может принимать 5 возможных значений;

вторая – 4 значения;

третья – 3.

Общее число вариантов .

Вам предлагается самостоятельно разобрать ситуацию, когда необходимо сформировать, например, двузначный номер, а я приведу лишь здесь ответ:

Если рассмотреть подобные примеры при различных  и , то можно убедиться, что все они описываются одной формулой:

В такой форме выражение очень тяжело запомнить, поэтому немного его преобразуем, ведь в нашем распоряжении есть факториал.

Умножим и разделим правую часть этого равенства на факториал числа :

Заменив  произведением :

И, расположив сомножители в порядке возрастания, получим:

В числителе дроби записано произведение всех натуральных чисел . Это произведение по определению равно . Следовательно, число размещений  равно:

Мы получили формулу для вычисления числа размещений из  элементов по , при . 

Формула для числа размещений остается справедливой и в случае, когда . В этом случае мы имеем формулу для числа размещений из  элементов по : .

Но давайте обратим внимание: когда мы говорим «число размещений из  элементов по », то такие размещения отличаются друг от друга лишь порядком элементов, ведь состав элементов у них один и тот же. И там по  элементов. А мы помним, что те перечисления, которые отличаются друг от друга лишь порядком элементов, называются перестановками. То же самое получим при помощи формулы: итак, при  мы получаем:

Мы пришли к уже известной формуле числа перестановок. 

Будем снова считать, что каждая цифра номера лежит в диапазоне . Для простоты снова рассмотрим трехзначные номера без повторения цифр. Представим себе такую ситуацию: нам необходимо разделить автомобили на группы по профессиональной принадлежности владельца. Например, врачам будем выдавать лишь номера, состоящие из цифр 1, 2 и 3. Учителям – только номера, состоящие из цифр 1, 2 и 4, и т. д. Вопрос: сколько различных профессий мы сможем идентифицировать таким способом?

В чем отличие такой задачи от той, где мы подсчитывали число размещений? А разница в том, что здесь для нас не имеет значения порядок следования цифр. Т. е., к примеру, если мы видим автомобиль с номером , или автомобиль с номером , или автомобиль с номером , то мы однозначно утверждаем, что за рулем этой машины сидит врач. Если мы видим автомобиль с номерами ,  или  то мы говорим: «Это едет учитель».
Теперь, как же ответить на вопрос задачи? 

Для этого нам просто необходимо перебрать все варианты группировок из 4 цифр по 3 (Рис. 2).

Рис. 2. Автомобильные номера

После чего, объединить в группы номера, отличающиеся только порядком цифр (Рис. 3).

Рис. 3. Автомобильные номера, объединенные в группы

Нужно подсчитать количество групп, которое вы видите на Рис. 3. Это количество мы будем называть «сочетанием».

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Общее число семизначных комбинаций определяется по формуле перестановок. Всего цифр – , из них выбираем по . Получаем .

Вычислим количество комбинаций, в которых на первом месте 0. Остается  цифр, и из них можем варьировать . Количество комбинаций с нулем получается равным .

Количество номеров, в которых первая цифра не равна нулю, равно:

Сочетанием из  элементов по  называется любое множество, составленное из  элементов, выбранных из данных  элементов.

В отличие от размещений, в сочетаниях для нас совершенно не важен порядок следования элементов. Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, то есть составом.

 – число сочетаний

В рассмотренном примере число вариантов равно  (число различных профессий, которые мы сможем идентифицировать при помощи автомобильных номеров).

Выражение для числа сочетаний.

Докажем, что

Допустим, имеется множество, содержащее  элементов, из его элементов составлены все возможные сочетания по  элементов. Число таких сочетаний равно . В каждом таком сочетании можно выполнить ровно  перестановок. В результате получим все размещения, которые можно составить из  элементов по . Их число равно .

Получаем . 

Пользуясь формулой для числа размещений, где , находим, что число сочетаний из  по  равно:

Вычислим количество сочетаний из 4 по 3, полученное в предыдущей задаче:

interneturok.ru

Онлайн калькулятор: Факториал

Факториал числа n (обозначается n!) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Поскольку в вычислениях иногда бывает довольно трудно перемножать все числа входящие в факториал, используется так называемая формула Стирлинга:

приближенная формула для вычисления факториала.

Во многих случаях для упрощения рассматривают только главный член формулы

При этом утверждается, что

Калькулятор рассчитывает «честный» факториал, факториал по формуле Стирлинга, а также нижнюю и верхнюю границу (из неравенства). К сожалению, из-за ограниченных вычислительных способностей Javascript максимально возможный факториал для калькулятора — 170!

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Граница снизу

 

Формула Стирлинга

 

Граница сверху

 

Сохранить share extension

planetcalc.ru

Факториал. Объясните, пожалуйста! n! — n факториал можно…

потому, что перед факториалом указывается последний множитель (натуральное число). А (n+1) — уже больше  n  и  в  n! не входит .
Далее в формуле расписали  n!  и (n+2)! через факториалы, которые стоят в знаменателях, чтобы потом произвести сокращение.

Ну, и конечно, в конце сократили на  .

Оцени ответ

shkolniku.com

Как найти периметр, если известна площадь и ширина

1 апреля 2012

Автор КакПросто!

Периметр — это сумма всех сторон многоугольника. Если несколько сторон многоугольника имеют одинаковый размер, суммирование при вычислении периметра можно сочетать с умножением для ускорения расчета. Для правильных многоугольников применяются готовые формулы нахождения периметра.

Статьи по теме:

Инструкция

Чтобы вычислить периметр при заданных площади и ширине многоугольника, нужно знать знать тип многоугольника. Параметры «длина» и «ширина» обычно применяются для характеристики прямоугольника. Прямоугольником называется четырехугольник с прямыми углами и попарно равными сторонами.

Определите длину прямоугольника. Для этого разделите заданную в условии площадь на ширину.

Периметр прямоугольника вычислите по формуле Р=2L+2S,где Р — искомый периметр; S — заданная в условии ширина; L — длина, вычисленная в п.2.

Частный случай прямоугольника — квадрат. Все четыре стороны квадрата равны. Поэтому для вычисления периметра достаточно знать размер одной стороны. Вычислите периметр квадрата по формуле Р=4S,где Р — искомый периметр; S — заданная в условии ширина.

Параллелограмм — тоже правильный многоугольник. Стороны в нем попарно равны и параллельны. Вычислить размер стороны параллелограмма по известной площади и другой стороне нельзя. Необходимо знать угол между сторонами параллелограмма. Заданных условий недостаточно для вычисления периметра параллелограмма.

Начертите произвольный параллелограмм. На сторону с известным по условию размером опустите высоту из вершины параллелограмма. При заданных ширине и площади высота параллелограмма — величина неизменная и равна частному от деления площади на ширину. Угол между сторонами параллелограмма по условию не задан. При изменении угла будет меняться размер неизвестной стороны параллелограмма. Таким образом задача имеет множество решений.

www.kakprosto.ru

Если известна площадь как вычислить периметр

Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет. Задание 6. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет. Решение. Пусть катет BC=x, тогда катет AC = x+2. Площадь.

Как найти периметр если известна площадь

Площадь и периметр — основные числовые характеристики любых геометрических фигур. Нахождение этих величин упрощается благодаря общепринятым формулам, согласно которым можно также вычислить одно через другое с минимумом или полным отсутствием дополнительных начальных данных.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти периметр если известна площадь» Как найти площадь треугольника Как найти площади треугольника и прямоугольника Как определить площадь трапеции

Задача: найдите периметр прямоугольника, если известно, что площадь равна 18, а длина прямоугольника в 2 раза больше ширины.

Решение: запишите формулу площади для прямоугольника – S = a*b. По условию задачи b = 2*a, отсюда 18 = a*2*a, a = v9 = 3. Очевидно, что b = 6. По формуле периметр равен сумме всех сторон прямоугольника – P = 2*a + 2*b = 2*3 + 2*6 = 6 + 12 = 18. В данной задаче периметр совпал по значению с площадью фигуры.

Задача: найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение: по формуле площади квадрата S = a^2, отсюда найдите длину стороны a = 3. Периметр равен сумме длин всех сторон, следовательно, P = 4*a = 4*3 = 12.

Задача: дан произвольный треугольник ABC, площадь которого равна 14. Найдите периметр треугольника, если проведенная из вершины B высота делит основание треугольника на отрезки длиной 3 и 4 см.

Решение: по формуле площадь треугольника – это половина произведения основания на высоту, т. е. S = ?*AC*BE. Периметр равен сумме длин всех сторон. Длину стороны AC найдите, сложив длины AE и EC, AC = 3 + 4 = 7. Найдите высоту треугольника BE = S*2/AC = 14*2/7 = 4.

Рассмотрите прямоугольный треугольник ABE. Зная катеты AE и BE, можно найти гипотенузу по формуле Пифагора AB^2 = AE^2 + BE^2, AB = v(3^2 + 4^2) = v25 = 5.

Рассмотрите прямоугольный треугольник BEC. По формуле Пифагора BC^2 = BE^2 + EC^2, BC = v(4^2 + 4^2) = 4*v2.

Теперь известны длины всех сторон треугольника. Найдите периметр из их суммы P = AB + BC + AC = 5 + 4*v2 + 7 = 12 + 4*v2 = 4*(3+v2).

Задача: известно, что площадь окружности равна 16*?, найдите ее периметр.

Решение: запишите формулу площади окружности S = ?*r^2. Найдите радиус окружности r = v(S/?) = v16 = 4. По формуле периметр P = 2*?*r = 2*?*4 = 8*?. Если принять, что? = 3.14, то P = 8*3.14 = 25.12.

Другие новости по теме:

Задачи на нахождение длины сторон являются одними из самых распространенных в курсе геометрии. Алгоритм их решения зависит от исходных данных, особенностей рассматриваемой фигуры. Вам понадобится — тетрадь; — линейка; — карандаш; — ручка; — калькулятор. Спонсор размещения P&G Статьи по теме

Периметр любой геометрической фигуры, в том числе треугольника, равен совокупной длине границ этой фигуры. Он обозначается заглавной латинской буквой P и легко находится методом сложения длин всех сторон данной фигуры. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как вычислить периметр треугольника»

Площадь прямоугольника находится по формуле S = ab, где a и b – смежные стороны данной фигуры. Поэтому если известна длина только одной из этих сторон, то первое, что вам нужно сделать, – вычислить длину второй. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти площадь прямоугольника, если известна

Треугольник — это многоугольник, имеющий три стороны и три угла. Как же вычислить его периметр? Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как находить периметр треугольника» Как найти периметр треугольника, заданного координатами своих вершин Как найти площадь треугольника Как найти длину и ширину

Геометрия изучает свойства и характеристики двумерных и пространственных фигур. Числовыми величинами, характеризующими такие конструкции, являются площадь и периметр, вычисление которых производится по известным формулам или выражается одно через другое. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как

Казалось бы, что может быть проще, чем вычисление площади и периметра треугольника – измерил стороны, поставил цифры в формулу – и все. Если вы так считаете, значит, забыли, что для этих целей существует не две простенькие формулы, а гораздо больше – для каждого вида треугольника – своя. Вам

Квадрат — правильный четырехугольник, у которого все стороны равны, и все углы прямые. Периметром квадрата называется сумма длин всех его сторон, а площадью – произведение двух сторон или квадрат одной стороны. Исходя из известных соотношений, через один параметр можно вычислить другой. Спонсор

Формулы для нахождения площади и периметра прямоугольника кажутся так же крепко засевшими в памяти, как и таблица умножения. Впрочем, иногда заветные символы оказываются совсем уж глубоко в дебрях памяти, так что не лишним будет повторить их. Вам понадобится Линейка, карандаш Спонсор размещения P&G

С задачей найти периметр или площадь многоугольника сталкиваются не только ученики на уроках геометрии. Порой ее случается решать и взрослому человеку. Приходилось ли вам рассчитывать необходимое количество обоев для комнаты? Или, может быть, вы измеряли протяженность дачного участка, чтобы

Периметром плоской фигуры называют сумму длин всех ее сторон. Но найти стороны фигуры, зная только периметр — не всегда выполнимая задача. Часто требуются дополнительные данные. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как найти стороны, если известен периметр» Как найти периметр

Если известна площадь как вычислить периметр

Как найти периметр если известна площадь

Площадь и периметр — основные числовые характеристики любых геометрических фигур. Нахождение этих величин у

poiskvstavropole.ru

Как рассчитать площадь, зная периметр

Судя по формулировке вопроса, длины сторон непосредственно измерены Вами, т. е имеется либо чертеж четырехугольника, либо сам четырехугольник в натуральном виде. Тогда ничего не стоит измерить длины диагоналей, достаточно даже одной. Диагональ разбивает Ваш четырехугольник на два треугольника, длины сторон каждого из которых известны (измерены) . Тогда площадь каждого треугольника вычисляется по формуле Герона S=&#8730;(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), где p — полупериметр треугольника: p=(a+b+c)/2, a, b, c — длины сторон треугольника. Ну, и сложить площади двух треугольников.

никак он неправильный можно в AutoСade Вычертить полилинией. В Свойствах покажет площадь.

Представьте себе, что фигура сделана из стержней, шарнирно соединенных в вершинах. Форму такой фигуры можно изменять в довольно широких пределах — при этом периметр не изменяется. Вывод: по периметру площадь однозначно найти нельзя.

Ещё должна быть известна длина одной из диагоналей.

мне кажется что периметр нужно поделить на 4 и потом помножить на 2 получится площадь

touch.otvet.mail.ru

Как найти периметр зная площадь

Затеяв ремонт, необходимо в первую очередь иметь план действий и рассчитать свой бюджет. Только при грамотной планировке можно добиться качественной работы в короткие сроки. Если вы собираетесь сделать ремонт своего потолка, то необходимо сделать необходимые замеры. Зная площадь потолка можно примерно рассчитать, сколько материалов нужно будет купить и сколько будет стоимость услуги мастеров, если собираетесь обратиться к ним. Но площадь прямоугольника – это еще не все. Иногда бывает так, что нужно знать периметр прямоугольника . встает вопрос можно ли узнать периметр, зная при этом площадь? Рассмотрим этот вопрос повнимательнее, и постараемся найти периметр прямоугольника.

Данные необходимые для того чтобы найти периметр

Сумма всех сторон прямоугольника называется периметром – это еще мы уяснили из курса арифметики начальных классов. Как видно из условия необходимо знать длину сторон. Площадь же – результат умножения двух сторон, в этом случае так же необходимо знать длину сторон. И в первом и во втором случае обязательным условием является знание длин сторон А и В.

Как же через показатель площади найти у прямоугольника периметр? Тут может быть два варианта: первый, если наш прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат, а второй, если длина сторон разная.

При условии, что потолок квадратный то найти периметр очень просто. Зная формулу нахождения площади квадрата, можно выяснить найти длину всех сторон, ведь они у квадрата одинаковые.

1. Площадь = длина стороны во второй степени. Чтобы найти длину стороны нам нужно переделать данную формулу следующим образом:
2. Длина стороны =  корень квадратный от площади
3. Так длина стороны при площади 4 квадратных метров, будет 2 метра, а при 16 квадратных метров 4 метра.
4. Периметр = длина квадрата умноженная на 4. При длине стороны 2 метра, то периметр будет 8 метров. Тут все просто.

Довольно простой способ, который позволит посчитать периметр квадратного потолка. Квадратный потолок будет отличаться тем что, при большом показателе периметра будет относительно не большие площади. Однако квадратные потолки – это довольно редкий случай. Как правило, такие помещения не очень смотрятся, поэтому наиболее распространенные являются прямоугольные потолки.

Можно ли также найти периметр не квадратного прямоугольника?

Данный способ для прямоугольника с разными сторонами не подходит. Ведь вариантов разности сторон может быть до бесконечности много. И тут для определения периметра обязательным условием является знание хотя бы одной из сторон и площади.

Площадь = длина первой стороны умножается на длину второй стороны

Исходя из этой формулы, зная площадь найти две неизвестные стороны прямоугольника невозможно, но возможно выяснить длину одной стороны, если есть длина первой. Так если площадь прямоугольника 10 квадратных метров, а длина одной из сторон 2 метра, то можно посчитать

10 = 2 умножить на длину неизвестной стороны, следовательно, неизвестная сторона = 10 разделить на 2. Получаем ответ 5 метров.

Периметр = ( 5 + 2 ) * 2. Периметр такого прямоугольника будет 14 метров.

Таким образом, с подсчетом не возникнет проблем, если вы хорошо учили арифметику. Однако для того чтобы упростить себе жизнь, можно обратиться в фирмы по ремонту квартир. Мастера подобных организаций берут на себя весь процесс расчетов и монтажных работ, вам только необходимо будет подписать с ними соответствующие документы и все. Использование подобных услуг – это очень простой способ решения нудной проблемы ремонта потолков. Вы получаете компетентную помощь от высококвалифицированной бригады мастеров, которые имеют большой опыт работы. А подписывая с ними контракт, вы страхуете себя от ненужных проблем, которые порою бывают из-за недопонимания. Договоры о сотрудничестве содержат все нюансы работы, и выполняются в соответствии с законом.

При планировании бюджета на ремонт потолка, после проведенных расчетов необходимо закупить расходные материалы. Рекомендуется покупать немного больше требуемого объема материалов, так как бывают случаи с неожиданным результатом. Так хорошо будет брать запас в 15 процентов – это оптимальный объем. Но еще более приемлемым будет заказать ремонт потолков под ключ, ведь в этом случае нет надобности беспокоиться о закупках. Мастера сами предложат выбрать материалы для ремонта, после того как выбор был сделан они привезут и сделают ремонт. Как правило, у них налажена система логистики, поэтому с доставкой не возникает проблем. Если вы цените свое время и нервы, рекомендуется обратиться к подобным компаниям по ремонту потолков под ключ. Вы получите качественный сервис в короткие сроки, и ваш потолок будет радовать вас как никогда прежде. В любом случае решение остается за вами!

opotolkax.com

Как вычислить площадь по периметру

Содержание Инструкция Геометрия изучает свойства и характеристики двумерных и пространственных фигур. Числовыми величинами, характеризующими такие конструкции, являются площадь и периметр, вычисление которых производится по известным формулам или выражается одно через другое. Инструкция Прямоугольник.Задача: вычислите площадь прямоугольника, если известно, что его периметр равен 40, а длина b в 1,5 раза больше ширины a. Решение.Используйте известную формулу периметра, он равен сумме всех сторон фигуры. В данном случае P = 2•a + 2•b. Из начальных данных задачи вы знаете, что b = 1,5•a, следовательно, P = 2•a + 2•1,5•a = 5•a, откуда a = 8. Найдите длину b = 1,5•8 = 12. Запишите формулу для площади прямоугольника:S = a•b,Подставьте известные величины:S = 8•*12 = 96. Квадрат.Задача: найдите площадь квадрата, если периметр равен 36. Решение.Квадрат – частный случай прямоугольника, где все стороны равны, следовательно, его периметр равен 4•a, откуда a = 8. Площадь квадрата определите по формуле S = a² = 64. Треугольник.Задача: пусть дан произвольный треугольник ABC, периметр которого равен 29. Узнайте величину его площади, если известно, что высота BH, опущенная на сторону AC, делит ее на отрезки с длинами 3 и 4 см. Решение.Для начала вспомните формулу площади для треугольника:S = 1/2•c•h, где c – основание и h – высота фигуры. В нашем случае основанием будет сторона AC, которая известна по условию задачи: AC = 3+4 = 7, осталось найти высоту BH. Высота является перпендикуляром, проведенным к стороне из противоположной вершины, следовательно, она делить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника. Зная это свойство, рассмотрите треугольник ABH. Вспомните формулу Пифагора, согласно которой:AB² = BH² + AH² = BH² + 9 → AB = √(h² + 9).В треугольнике BHC по тому же принципу запишите:BC² = BH² + HC² = BH² + 16 → BC = √(h² + 16). Примените формулу периметра:P = AB + BC + ACПодставьте величины, выраженные через высоту:P = 29 = √(h² + 9) + √(h² + 16) + 7. Решите уравнение:√(h² + 9) + √(h² + 16) = 22 → [замена t² = h² + 9]:√(t² + 7) = 22 — t, возведите обе стороны равенства в квадрат:t² + 7 = 484 – 44•t + t² → t≈10,84h² + 9 = 117,5 → h ≈ 10,42 Найдите площадь треугольника ABC:S = 1/2•7•10,42 = 36,47.

completerepair.ru

Площадь по периметру калькулятор. Рассчитываем площадь и периметр помещения

Как рассчитать площадь и периметр помещения и в каких случаях следует ее знать?

Главная / Монтаж, ремонт, уход / Рассчитываем площадь и периметр помещения

Любое важное начинание надо просчитывать заранее, ремонт не исключение. Поскольку затраты предстоят большие, надо их оптимизировать и уменьшить по максимуму, особенно, если хочется сделать что-то дорогостоящее, например натяжные потолки с несколькими уровнями. Если покупать материалы «на глазок», легко можно ошибиться – купить или слишком много или придется идти в магазин и докупать недостающие стройматериалы. Для того, чтобы не купить лишнего дорогого стройматериала и сэкономить семейный бюджет, надо знать, как рассчитать площадь помещения. Вот с этого то и начнем.

В каких случаях нужны расчеты?

Расчет квадратных метров обязателен, если в проекте установить подвесные потолки. Для наглядности посмотрим, что нужно для гипсокартонных конструкций. Площадь комнаты рассчитывается, чтобы закупить гипсокартон в нужном количестве, а периметр надо знать для покупки пристенного профиля для установки обрешетки. Гипсокартон и профиля берем с запасом примерно 15-20% на обрезку, ведь не всегда можно изобразить на бумаге точный эскиз расположения на потолке гипсокартона или декоративных панелей.

Для заказа натяжного потолка делать расчет квадратуры комнаты требуется, что запланировать будущие траты и проконтролировать фирму-установщика в правильности их расчетов. Фирма, изготавливающая натяжные потолки обычно указывает цену за квадратный метр и плюсует работу по установке. Зная площадь и стоимость квадрата, можно легко определить конечную цену.

Вычислить площадь требуется даже для банальной покраски пола или потолка, чтобы знать, сколько закупать краски. Важно купить нужное количество краски, иначе если не хватит, а краску в магазине колорировали, то можно не угадать с цветом. Примерный расход краски на метр квадратный поверхности указывается на банке.

Пример расчета потребности в краске:

Квадратура пола составляет 30 м2

расход краски согласно данным на упаковке – 0,20 кг/м2

30 х 0,2 = 6 кг

Полагается брать краску свыше расчетного количества на 10%.

Поэтому получаем 6 + 10% = 6,6 кг. Это подойдет ведро 7 кг или приближенная расфасовка в зависимости от вида краски.

Как посчитать площадь комнаты

Если вы владелец небольшой прямоугольной комнаты, то большого труда вычислить квадратуру комнаты это не составит. Достаточно вспомнить школьный курс геометрии. А что делать, если на месте потолка сложный многоугольник или имеются всевозможные ниши или выступы?

Прямоугольная комната

Приступаем к расчетам. Повторение – мать учения, поэтому для тех, кто забыл, как считать площадь комнаты и ее периметр, напомним курс пятого класса. К примеру, имеем типовую прямоугольную комнату с шириной равной 2,5м и длиной, равной 4 м. Тогда, площадь равна длине, умноженной на ширину, или 2,5 х 4 =10 м2 . Периметр в нашем примере равен сумме длин всех сторон или 2,5 + 4 + 2,5 + 4 = 13м. Значит для натяжного потолка вам надо заказать пленку размером 10 м2 и приобрести профилей суммарной длины 18 + 20% (на обрезку) = 15,6 м. Естественно, при покупке багетов надо округлить суммарную длину до значения, кратного длине одной планки. Если в магазине имеется двухметровый профиль, то потребуется купить 16 м или 8 планок.

Комната сложной формы

Очень часто в домах старой постройки встречаются комнаты с нишами, выступами, встроенными кладовками. Нам предстоит решить задачку посложнее, но оказывается все просто. Потребуется лист в клетку или простой, на котором мы нарисуем эскиз комнаты с приблизительным сохранением пропорций. Далее измеряем метраж прямых стен и записываем на эскизе рядом с соответствующими линиями, обозначающими стены.

А вот теперь порисуем. Эскиз надо разбить на прямоугольники при помощи угольника и линейки, соблюдая прямые углы. Причем, одной из сторон прямоугольника должна быть измеренная полная стена. Теперь надо вычислить квадратные метры каждого из нарисованных прямоугольников и суммировать их. Периметр вычислить в любом случае проще – просто складываем длины всех стен и закоулочков.

 

Расчет площади многогранной комнаты

Что д

ep2nnov.ru

Площадь через периметр — Как вычислить площадь фигуры зная ее периметр? — 22 ответа



Площадь по периметру

В разделе Естественные науки на вопрос Как вычислить площадь фигуры зная ее периметр? заданный автором Невролог лучший ответ это В Компас 3D нанести план и автоматически посчитать площадь. По периметру площадь произвольного многоугольника не посчитать. Все равно придется разбивать на отдельные фигуры.
Будут вопросы — пиши в агент.

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Как вычислить площадь фигуры зная ее периметр?

Ответ от Ѐамис Ш[новичек]
..

Ответ от силосовать[гуру]
1.выбрать центр
2.измерить расстояние от центра до углов
3.измерить стороны вашего многоугольника
4.вычислить периметры получившихся N треугольников
5.вычислить площади всех треугольников, используя формулу Герона-через полупериметр.
6.суммировать все площади
7.выбрать мой ответ лучшим.
8.все

Ответ от Взрослить[гуру]
попробуй разделить периметр на 4 и потом перемножить полученное друг на друга

Ответ от ScrAll[гуру]
Вырезаешь из бумаги и взвешиваешь.
Или разбиваешь на треугольники.
Половина основания на высоту…

Ответ от Алексей Зайцев[гуру]
Проще и безошибочнее начертить эскизик — вид сверху с размерами. Затем по этому эскизику площадь разделить на прямоугольники, посчитать и просуммировать их площади

Ответ от Мария Кемпель[активный]
нереально

Ответ от Nemo[гуру]
Нереально. По периметру вычисляется площадь только ПРАВИЛЬНЫХ фигур. Советую кусочным способом

Ответ от Djon[гуру]
лучше всего разбить сложную фигуру на несколько простых, и посчитать площадь отдельно, затем сложить

Ответ от Lavavoth[гуру]
Нереально.. . Лучше выложи план зала, есть другие способы подсчета, но нужно видеть план.

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Периметр на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Периметр

Полупериметр на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Полупериметр

Формула площади Гаусса на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Формула площади Гаусса

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

«Двоичное кодирование. Двоичный алфавит. Двоичный код. Разрядность двоичного кода. Связь длины двоичного кода и количества кодовых комбинаций. Практическая работа №1. Кодирование информации»

Тема урока: «Двоичное кодирование. Двоичный алфавит. Двоичный код. Разрядность двоичного кода. Связь длины двоичного кода и количества кодовых комбинаций.

Практическая работа №1. Кодирование информации»

Цели: сформировать у учащихся понимание процесса обмена информа­цией; показать различные виды кодирования информации; выявить пре­имущества двоичного кодирования различных видов информации.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• что такое «код», «кодирование», «двоичное кодирование», бит;

• почему в вычислительной технике используется двоичное кодирова­ние информации;

• как кодируются различные виды информации в вычислительной тех­нике.

Учащиеся должны уметь:

— кодировать информацию;

— восстанавливать информацию по ее кодовому представлению.

Ход урока

1. Орг. Момент

2. Актуализация

Визуальная проверка выполнения домашнего задания.

Опрос по теме знаковая система

Заполнить таблицы

		Естественные языки (носят национальный характер): речь и письменность		Формальные языки (ин­тернациональны, понятны всем)
	Примеры	-русский язык; — английский язык; -и т.д.		— язык математики; — язык химии; — языки программирова­ния ния; — командные языки опера­ ционных систем; — и т.д.
	Алфавит — набор основных символов, различимых по их начертанию	— кириллица — 33 буквы; — латиница — 26 букв; — иероглифы и др		Алфавит жестко зафикси­рован. — арабские цифры; — ноты; — дорожные знаки; — точки и тире; — изображения элементов различных схем и др.
	Синтаксис — правила для образования пред­ложений языка	Формируется из большого числа правил, из которых существуют исключения		Наличие строгих правил
	Грамматика — правила правописания
	Физическая природа знаков	Изображения на бумаге, звуки (фонемы), электрические импульсы и т.д.
Информация			Естественный язык		Формальный язык
Нахождение площади прямоугольника
Правило дорожного движения
Призыв о помощи

3. Изложение нового материала

1. Кодирование информации

Когда человек или какой-либо другой живой организм или какое-то уст­ройство участвуют в информационном процессе, то все они представляют информацию в той или иной форме. При выполнении домашнего задания вы также представляли информацию в различных формах.

Когда мы представляем информацию в разных формах или преоб­разуем ее из одной формы в другую, мы информацию кодируем.

Код — это система условных знаков для представления информации.

Кодирование — это операция преобразования символов или группы сим­волов одного кода в символы или группы символов другого кода.

Человек кодирует информацию с помощью языка.

Язык — это знаковая форма представления информации.

В процессе обмена информацией кроме кодирования информации про­исходит и ее декодирование.

Теоретически и экспериментально было показано, что с технической точки зрения самым удобным и эффективным является использование двоичного кода, то есть набора символов, алфавита, состоящего из пары чисел {0,1}. Поскольку двоичный код используется для хранения информации в вычислительных машинах, его еще называют машинным кодом.

Цифры 0 и 1, образующие набор {0,1}, обычно называют двоичными цифрами, потому что они используются как алфавит в так называемой двоичной системе счисления. Система счисления представляет собой совокупность правил и приемов наименования и записи чисел, а так же получения значения чисел из изображающих их символов. Количество знаков в алфавите системе счисления обычно отражается в ее исчислении: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная и т.д.

Элементарное устройство памяти компьютера, которое применяется для изображения одной двоичной цифры, называется двоичным разрядом или битом.

Слово «бит» произошло от английского термина bit, представляющего собой сокращение словосочетания Binary digit – двоичная цифра.

1 бит кодирует 2 понятия или сообщения (0 или 1).

2 бита — 4 разных сообщения (11 или 00 или 01 или 10).

3 бита — 8 разных сообщений.

4 бита — 16 сообщений и т.д.

Почему именно двоичное кодирование используется в вычислительной технике? Оказывается такой способ кодирования легко реализовать техни­чески: 1 — есть сигнал, 0 — нет сигнала. Для человека такой способ кодиро­вания неудобен тем, что двоичные последовательности получаются доста­точно длинными. Но технике легче иметь дело с большим числом однотип­ных элементов, чем с небольшим числом сложных.

Как разные виды информации кодируются в компьютере?

2. Кодирование чисел

В двоичной системе счисления для записи чисел используется всего две цифры — 1 и 0. С их помощью можно записать любое число. Во всем осталь­ном эта система счисления не отличается от привычной для вас десятичной системы. Она обладает всеми теми же свойствами, в ней соблюдаются все основные законы выполнения арифметических операций.

3. Кодирование текстовой информации

Для кодирования текстовой информации в компьютере также применя­ется двоичное кодирование, т.е. представление текста в виде последователь­ности 0 и 1. Каждому символу алфавита сопоставили определенное целое число, которое и принято считать кодом этого символа.

Бит – это очень маленькая порция информации. Поэтому, так же как и при записи десятичных чисел, используется несколько десятичных разрядов – разряд единиц, разряд десятков, сотен и т.д., так и для записи двоичных чисел используется несколько двоичных разрядов, несколько битов.

Для хранения двоичных чисел в компьютере используется устройство, которое принято называть ячейкой памяти. / Память компьютера можно образно представить себе как автоматическую камеру хранения, состоящую из отдельных ячеек, в каждую из которых можно положить некоторое число./

Ячейки образуются из нескольких битов, так же как двоичные числа образуются из двоичных разрядов. В общем случае ячейки различных компьютеров могут состоять из различного количества битов. Поэтому, начиная с машин третьего поколения, стандартными являются те ячейки, которые состоят из восьми битов.

Элемент памяти компьютера, состоящий из восьми битов, называется байтом.

а) б)

Сколько же бит необходимо для кодирования символов?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно определить их количество. Огра­ничений на количество символов теоретически не существует. Однако есть количество, которое можно назвать достаточным.

Запись двоичного кода легко спутать с аналогичным по записи десятичным числом. В таких случаях справа от двоичного числа записывают индекс 2, а около десятичного числа указывают индекс 10. Например: 101100112 – двоичное число, 1011001110 – десятичное.

Так как байт состоит из восьми двоичных разрядов, то количество различных кодов, различных комбинаций из восьми нулей и единиц, записываемых в один байт, равно 28=256. (00000001, 00000010,…, 11111111).

С помощью 1 байта можно закодировать 256 различных символов.

Система счисления — способ записи чисел с помощью набора специальных знаков, называемых цифрами.

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека. Наиболее распространённая система счисления в мире. Для записи чисел используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами.

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1. Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой.

Двоичная система счисления обладает такими же свойствами, что и десятичная, только для представления чисел используются не 10 цифр, а всего две. Соответственно и разряд числа называют не десятичным, а двоичным.

Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке.

Переведем десятичное число 20 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2).

В итоге получили 20₁₀ = 10100₂.

Обратный перевод осуществляется операцией умножение. Умножаем на p в n-1 степени

1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+0*2⁰=20

4. Закрепление пройденного

1. Каким образом информация добирается от источника информации до приемника

2. Как информация кодируется в компьютере. Почему?

Практическая работа №1. Кодирование информации

Перевести

ИЗ 10-ной в 2-ную

27, 48, 64, 115, 57

ИЗ 2-ной в 10-ную

1011, 11011,1111, 10000

5. Итоги урока

Выставление оценок.

Беседа: что понятно, что – нет, что нового…

Домашнее задание

Уровень знания: выучить, что такое код, кодирование, бит, байт и формулу, связывающую количество разных сообщений и количество бит.

§ 1.5 чит.

Уровень понимания:

Перевести

ИЗ 10-ной в 2-ную

47, 28, 92, 18, 103

ИЗ 2-ной в 10-ную

1001, 111,1100, 1110

multiurok.ru

Бинарная азбука Морзе онлайн

Простое кодирование и декодирование азбуки Морзе, используя двоичный код

Здесь можно легко и просто закодировать текст в Азбуку Морзе, да не просто в обычные точки и тире, а ещё и в бинарный код!

Правила кодирования

Кодирование азбуки Морзе в бинарный код — это просто замена точек и тире на единицы и нули, но по определённым правилам:

• «Точка» кодируется цифрой 1
• «Тире» кодируется тремя единицами (ведь тире по длительности равно трём точкам)
• Между точкой и тире используется разделитель: цифра 0
• Между каждым символом используется два нуля, так можно будет отличить, что начался следующий символ

Как пользоваться

Исходный текст нужно набрать или вставить в верхнем поле, затем нажать кнопку «Закодировать», чтобы получить в нижнем поле закодированный текст. Режим кодирования (бинарный или обычный) можно выбрать в выпадающем списке.
Чтобы раскодировать, нужно опять же, вставить или набрать текст в верхнем поле и нажать «Раскодировать». Тогда внизу появится раскодированный текст.
Для удобства существует кнопка «Поменять местами», которая меняет содержимое полей местами, что избавляет от ручного копирования и вставки текста, если вдруг для проверки захочется раскодировать то, что было только что закодировано или если захочется ещё раз закодировать уже закодированное сообщение (а это возможно, да!).
Также имеются некоторые настройки, а именно:

• Выбор режима кодирования и декодирования. Можно и в обычную азбуку Морзе, и в бинарную
• Выбор алфавита: кириллические символы или латинские. Если при расшифровки послания получился какой-то дикий транслит, возможно, стоит поменять алфавит
• Выбор регистра букв. Имеет смысл, как и предыдущий пункт, только при расшифровке. Выбор между БОЛЬШИМИ СТРАШНЫМИ И ВЫЗЫВАЮЩИМИ ПАНИКУ или тихими и спокойными строчными буквами

Выбор определённого алфавита не отключает полностью другой. Поэтому, если попадутся символы, которых нет в указанном алфавите, то они поищутся ещё и в другом. Знаки препинания, цифры и другие символы находятся отдельно, поэтому выбор алфавита на них никак не влияет.
Примечание. Если попытаться раскодировать в бинарном режиме обычную азбуку Морзе, то, скорее всего, ничего не получится.
Символы, которые не удалось закодировать или раскодировать, будут помечены вопросительным знаком.

Полностью бесплатно

Данный сервис можно использовать совершенно бесплатно. Не нужно скачивать никакого дополнительного программного обеспечения для пользования этим сервисом.

Используемые алфавиты для кодирования и декодирования

Таблицы взяты из wikipedia, они же и используются для кодирования, но некоторые символы изменены

Буквы

Кириллица	Латиница	Код Морзе
А	A	.-
Б	B	-…
В	W	.—
Г	G	—.
Д	D	-..
Е, Ё	E	.
Ж	V	…-
З	Z	—..
И	I	..
Й	J	.—
К	K	-.-
Л	L	.-..
М	M	—
Н	N	-.
О	O	—
П	P	.—.
Р	R	.-.
С	S	…
Т	T	—
У	U	..-
Ф	F	..-.
Х	H	….
Ц	C	-.-.
Ч	CH	—.
Ш	SH	—-
Щ	Q	—.-
Ъ	Ñ	—.—
Ы	Y	-.—
Ь, Ъ	X	-..-
Э	É	..-..
Ю	Ü	..—
Я	Ä	.-.-

Цифры и символы

Символ	Код
1	.—-
2	..—
3	…—
4	….-
5	…..
6	-….
7	—…
8	—..
9	—-.
0	——
. (точка)	……
, (запятая)	.-.-.-
: (двоеточие)	—…
; (точка с запятой)	-.-.-.
(	-.—.-
)	-.—..
‘ (Апостроф)	.—-.
» (кавычки)	.-..-.
— (тире)	-….-
/ (слеш)	-..-.
? (знак вопроса)	..—..
! (восклицательный знак)	—..—
(знак раздела, пробел)	-…-
@	.—.-.
\n (перевод строки)	-.-..
\r (перевод каретки)	-.-..-
[END] (конец связи)	..-.-

Примечание. Дизайн сайта был честно подсмотрен на аналогичном сервисе, который кодирует base64.

Анектод в тему:
Немцы копали на глубине, соответствующей 18 веку и нашли медные провода. Значит, в Германии уже была телефонная связь.
Американцы копали на глубине 15 века и обнаружили стеклянные фрагменты. Значит, в Америке уже была оптоволоконная связь.
Русские копнули на глубине 11 века и ничего не нашли. Значит, уже в те времена в России пользовались беспроводной связью.

Время выполнения: 0.0018 сек.

morsebin.karamush.ru

Разбор задачи A13 (демо ЕГЭ 2006)

Решение:

Построим графы для быстрого поиска в двоичной строке букв:

На графе розовым цветом выделены коды иcпользуемых букв.

Начнем с варианта 1:

Анализ строки 110100000100110011 происходит так:

1) берем первый символ. Он равен «1», поэтому смотрим граф с вершиной, равной «1»:

Видно, что в этом графе есть коды: 10 и 11.

2) берем второй символ. Он равен «1», поэтому идем по правой ветке: 1→11. кодом «11» закодирована буква К.

После того как нашли символ, анализ снова начинаем с вершины графа.

3) берем следующий третий символ. Он равен «0», поэтому смотрим граф с вершиной, равной «0»:

Видно, что в этом графе есть коды: 01, 000 и 001.

5)берем четвертый символ. Он равен «1», поэтому идем по правой ветке: 0→01. кодом «01» закодирована буква A.

и т.д. для остальных символов закодированной строки.

В таблицах ниже описан полный анализ всех строк:

Вариант1

Двоичная строка	11 01 000 001 001 10 01 1
Путь в графе до кода буквы	1→11	0→01	0→00→000	0→00→001	0→00→001	1→10	0→01	1
Двоичная строка, разбитая на коды букв	11	01	000	001	001	10	01	1
Буква	К	А	В	Р	Р	Д	А	—

Вариант2

Двоичная строка	11 10 10 000 01 001 001 1
Путь в графе до кода буквы	1→11	1→10	1→10	0→00→000	0→01	0→00→001	0→00→001	1
Двоичная строка, разбитая на коды букв	11	10	10	000	01	001	001	1
Буква	К	Д	Д	В	А	Р	Р	—

Вариант3

Двоичная строка	11 01 000 01 001 10 01 11
Путь в графе до кода буквы	1→11	0→01	0→00→000	0→01	0→00→001	1→10	0→01	1→11
Двоичная строка, разбитая на коды букв	11	01	000	01	001	10	01	11
Буква	К	А	В	А	Р	Д	А	К

 Вариант4

Двоичная строка	11 01 10 000 10 01 10 01 0
Путь в графе до кода буквы	1→11	0→01	1→10	0→00→000	1→10	0→01	1→10	0→01	0
Двоичная строка, разбитая на коды букв	11	01	10	000	10	01	10	01	0
Буква	К	А	Д	В	Д	А	Д	А	—

Сообщения вариантов 1, 2, 4 оканчиваются кодом, которым не закодирована ни одна буква:

вариант 1 — «1»,

вариант 2 — «0»,

вариант 4 — «1».

Сообщение варианта 3 может быть корректно декодировано.

Получили: 110100001001100111.

infoegehelp.ru

2. Символизация (кодирование) информации.

Как мы выяснили из первой главы информация – это нематериальная составляющая окружающего нас мира. Для ее материализации (однозначного отображения и передачи) используется символизация информации, то есть определение количества и качества (значения) информации. Для символизации информации люди используют различные языки. Различают естественные и искусственные(формальные) языки.Естественные языкиразвивались веками и используются для общения людей между собой.Формальные языкиразрабатываются для специального применения. Примером формальных языков могу служить языки программирования, языки кодирования информации для ее передачи, хранения и т.п.

Каждый язык имеет свой алфавит. Под алфавитом языка понимают набор символов. То есть символизация информации – это описание объектов или явлений с помощью символов того или иного алфавита. Подмощностью алфавитапонимают количество символов, составляющий данный алфавит, что в свою очередь определяет количество возможных комбинаций (слов) которые можно составить из символов данного алфавита в соответствии с определенными правилами.

Кодомназывают совокупность знаков (символов), предназначенных для представления той или иной информации в соответствии с определенными правилами. Символизацию информации (представление в виде символов) называюткодированием. Кодируют информацию с целью ее передачи или хранения.

Для примера кодирования возьмем предмет мебели стол. Для кодирования информации об этом предмете на русском языке нам понадобиться записать последовательность символов «СТОЛ», а кодирования информации об этом предмете на английском «TABLE».

Естественные языки очень часто имеют одинаковый код для определения различных объектов. Так например слово «коса» может означать девичью косу, речную отмель и инструмент для скашивания травы. В формальных языках такое кодирование недопустимо. Это определяется тем, что естественные языки оперируют контекстом (набором слов) при анализе и классификации информации, а формальные непосредственно словами.

Количество и графическое отображение символов в алфавитах естественных языков сложилось исторически и характеризуется особенностями языка (произносимыми звуками). Например русский алфавит имеет 33 символа, латинский – 26, китайский несколько тысяч.

Минимальное количество знаков алфавита равно единице. Допустим, что алфавит имеет один знак и пусть это будет * (звездочка). Тогда цвета радуги будут кодироваться как: * — красный, ** — оранжевый, *** — желтый, **** — зеленый, ***** — голубой, ****** — синий, ******* — фиолетовый.

2.1. Двоичный алфавит.

В информатике и вычислительной технике широко используется алфавит, имеющий два знака, например «1» и «0». Этими символами в логике и технике приводят в соответствие понятия «да» и «нет», «есть сигнал» и «нет сигнала», «истина» и «ложь». Такой алфавит называют двоичнымилибинарным(binary) в соответствии с этим вводится наименьшая единица информациибит (bit).

Одного бита информации достаточно для кодирования текущего состояния объекта, имеющего два статических состояния, например лампочки «0» — выключено, «1» — включено. То есть одноклавишный выключатель является носителем одного бита информации, которого нам достаточно для определения состояния лампочки.

В реальной жизни крайне редко встречаются объекты состояние которых можно закодировать одним битом информации и нет объектов, которые можно описать одним битом. Для кодирования от трех до четырех состояний или признаков объекта требуется уже два бита информации. Для кодирования от четырех до девяти состояний объекта уже требуется три бита. 9-16 состояний 4 бита, 17-32 состояний 5 бит. В общем случае количество бит, необходимых для кодирования Nсостояний или диапазона значений свойств объектов или явлений определяется по формуле 1:

(1)

где

N– количество состояний или диапазон значений свойств объектов,

q– количество бит информации необходимых для кодирования требуемого количества состояний или диапазона свойств объектов.

Было принято, что следующей базовой единицей информации будет являться байт– это последовательность бит длина которой равна 8 битам. Одним байтом можно закодировать от 1 до 256 различных объектов, например символов.

На практике используются более объемные единицы измерения информации, приведенные в таблице 1.

Таблица 1.

1 байт	=8 бит
1 слово	=2 байта = 16бит
1 двойное с слово	=2 слова = 4байта=32бита
1 килобайт (Кб)	=1024 байт
1 мегабайт (Мб)	=1024 килобайт =
1 гигабайт (Гб)	=1024 мегабайт=
1 терабайт (Тб)	=1024 гигабайт=

Пример 1.

Подсчитаем объем памяти, требуемый для хранения книги объемом 100 страниц, при учете, что в среднем на каждой странице по 40 строк, а в каждой строке в среднем по 60 символов.

studfiles.net

Урок №2. Тексты. Кодирование

Май 10 2013

Как решать некоторые задачи разделов A и B экзамена по информатике

Урок №2. Тексты. Кодирование

В основе каждого текста лежит алфавит – конечное множество символов. В основе текстов на русском языке лежит алфавит, называемый кириллицей, состоящий из 33 строчных и 33 заглавных букв алфавита. Тексты английского языка построены на основе латиницы – алфавита, содержащего 26 строчных и 26 заглавных букв. Конечно алфавит, на основе которого строятся тексты на естественных языках, содержит не только буквы, но и цифры, знаки операций и множество других специальных символов.

Пусть задан алфавит T, содержащий m символов:

T = { t₁, t₂, …t_m}

Словом S в алфавите T называют любую последовательность символов алфавита:

S  = s₁s₂…s_k,

где s_i – это символы алфавита. Число символов в слове – k называют длиной слова.

Справедливо утверждение:

    Число различных слов длины k, которые можно построить в алфавите из m символов, равно: N = m^k

Справедливость утверждения легко доказывается по индукции.

Базис индукции: при k = 1, утверждение справедливо, поскольку словами длины 1 являются m символов алфавита.

Шаг индукции: Пусть утверждение справедливо при некотором k. Это означает, что построено  m^k слов длины k. Из каждого слова можно построить m новых слов длины k +1, приписывая к слову поочерёдно m символов алфавита. Таким образом, слов длины k + 1 будет:

N = m^k * m = m^k+1

Это простое, но важное утверждение, которое в том или ином виде используется при решении различных задач.

Алфавит компьютера

Тексты, которые хранятся в памяти компьютера, используют один из самых примитивных алфавитов, состоящий всего из двух символов:

T₂  = {0, 1}

С другой стороны мы знаем, что в памяти компьютера можно хранить не только тексты на различных естественных языках, но и графику, музыку и другую информацию различного вида. Как такое возможно? Разберемся с текстами. Пусть есть два алфавита – T, состоящий из m символов и алфавит T₂. Представление текстов в алфавите T текстами в алфавите T₂ называется кодированием. Простейший способ кодирования состоит в том, чтобы символы алфавита T кодировать словами конечной длины алфавита T₂. Умея кодировать каждый символ, можно кодировать любой текст символ за символом.

Какова должна быть минимальная длина слов в алфавите T₂, чтобы было возможно этими словами закодировать алфавит из m символов? Очевидно, что длина может быть определена из условия:

2^k >= m

Если, например, m = 30, то наименьшее возможное значение k равно 5.

Долгое время при работе с текстами, сохраняемыми в компьютере, использовался код ASCII, в котором каждый символ алфавита кодировался словом из 8 бит (одним байтом). Такой алфавит, содержащий  256 различных символов, мог включать латиницу и кириллицу, цифры, знаки операций, знаки препинания, скобки и другие символы. Но все-таки этого алфавита явно недостаточно, чтобы можно было хранить в памяти компьютера тексты на любых естественных языках. Чтобы такое было возможно, необходимо, чтобы алфавит включал алфавиты всех известных естественных языков, в том числе алфавит украинского языка, готику, греческий алфавит, алфавит языка иврит, арабского языка, китайские и японские иероглифы.

В сегодняшних компьютерах для хранения текстов используется кодировка из двух байтов, называемая UNICODE кодировкой, позволяющая словами из 16 битов кодировать алфавит, содержащий 2¹⁶ — 65536 символов. Для большинства существующих естественных языков такого алфавита хватает для представления текстов, записанных на этих языках.

    Задача 9:

     Автомобильный номер состоит из 7 символов. В качестве символов используются 30 букв и 10 цифр. Символ кодируется минимально возможным набором битов. Номер представляется целым числом байтов. Какую память требуется иметь для хранения 1000 номеров.

    Ответ: Примерно 6 Кб.

Решение: Алфавит для записи текстов, представляющих номера автомобилей, содержит 40 символов (30 букв и 10 цифр). Для кодировки такого алфавита потребуются двоичные слова длины 6 (2⁶ > 40). Для кодировки всего номера потребуется 6*7 = 42 бита. Округляя в большую сторону до целого числа байтов, получим, что для хранения одного номера потребуется 6 байтов. Для хранения 1000 номеров достаточно 6 Кб.

    Задача 10:

    В командной олимпиаде по информатике участвуют ученики из школ, номера которых заданы двузначными цифрами. В команде может быть не более 7 учеников. Какой минимальный объем памяти потребуется для хранения 500 номеров  участников олимпиады, если каждый номер представляется целым числом байтов?

    Ответ: Достаточно 1 Кб.

Решение:  Номер участника может состоять из номера школы и номера участника в данной школе. Для 100 номеров школ достаточно 7-и битов (2⁷ > 100). Для номера участника в школе достаточно 3-х битов (2³ > 7). Поэтому для хранения номера участника достаточно 10 битов. Округляя в большую сторону до целого числа байтов, получим, что 2-х байтов достаточно для хранения номера. Для хранения 500 номеров достаточно одного килобайта.

    Задача 11:

    Алфавит состоит из 4-х букв {М, У, Х, А} Слова длины 5 перечисляются в лексикографическом порядке. Нумерация слов начинается с единицы. Какое слово в этом перечислении стоит под номером 1016, под номером 365?

Ответ: ХХХМХ; ММУХА

Решение: Число различных слов длины 5 в 4-х буквенном алфавите равно 4⁵ = 2¹⁰ = 1024. При перечислении их в алфавитном (лексикографическом) порядке под номером 1 стоит слово ААААА, под номером 1024 – слово ХХХХХ. В задачах экзамена ЕГЭ обычно требуется указать слово, стоящее близко к концу перечисления, что имеет место в нашей задаче, в которой требуется назвать слово под номером 1016, стоящее в первом десятке с конца перечисления. Поэтому для решения задачи достаточно выписать десять слов в обратном лексикографическом порядке, что и дает слово ХХХМХ.

Для ответа на второй вопрос, где требуется найти слово, стоящее в середине перечисления,  такой явный способ выписывания слов не подходит. В этом случае следует применять более общий подход, применимый для всех случаев. Для его понимания нужно вспомнить системы счисления.

Поставим в соответствие буквам алфавита цифры (А – 0, М – 1, У – 2, Х -3). При задании этого соответствия учитывается принятый порядок следования букв в алфавите. Число букв задает число используемых цифр, а тем самым задает основание системы счисления. Введенное соответствие букв и цифр порождает соответствие между словами в алфавите и числами в соответствующей системе счисления, в нашем случае – четверичной системе счисления. При лексикографическом перечислении слов длины k слову, стоящему под номером N, соответствует число N-1 в четверичной системе счисления, содержащее k цифр, включая незначащие нули. Так, слову под номером 1, состоящему из 5 букв, соответствует число 0, записанное как 00000, или, после замены цифр буквами, — ААААА. Поэтому для решения задачи, зная N, достаточно получить запись числа N-1 в четверичной системе, а затем заменить цифры буквами.

Получим решение задачи этим способом для N = 1016 и N = 365.

N — 1 = 1015 = 3* 4⁴ + 3* 4³ +3* 4² + 1* 4¹ + 3 = 33313₄ = ХХХМХ

N -1 = 364 = 1* 4⁴ + 1* 4³ +2* 4² +3* 4¹ + 0 = 11230₄ = ММУХА

    Задача 12:

    Алфавит состоит из 3-х букв {А,М, П} Слова длины 4 перечисляются в лексикографическом порядке. Нумерация слов начинается с единицы. Под каким номером стоит слово МАМА, слово — ПАПА?

Ответ: 31; 61

Решение: В троичной системе слову МАМА соответствует число 1010₃ = 3³ + 3 = 30. В перечислении, где нумерация начинается с 1, номер этого слова равен 31.

Слову ПАПА соответствует число 2020₃ = 60.

    Кодирование словами переменной длины

Кодировка символов алфавита T словами алфавита Т₂ фиксированной длины k имеет то преимущество, что закодированный текст легко поддается расшифровке – декодированию. Действительно, достаточно закодированный текст разбить на группы длины k, и каждой группе поставить в соответствие символ алфавита. Недостатком такого способа является некоторая неэффективность процедуры кодирования, — каждому символу алфавита всегда соответствует k битов алфавита Т₂. Память компьютера достаточно дешевая, поэтому жертвуют неэффективностью использования памяти ради удобства декодирования.

В других ситуациях эффективность важнее удобства декодирования. Примерами являются азбука Брайля, азбука Морзе. В азбуке Морзе, где для передачи информации используется алфавит из двух символов – точки и тире, для однозначного декодирования вводится третий символ – пауза. При передаче данных по телеграфу, использующему азбуку Морзе, точке, тире и паузе соответствуют сигналы разной длительности.

Рассмотрим пример неоднозначного кодирования. Пусть у нас есть алфавит из 3-х символов – А, М, П. Введем следующую кодировку: А – 0, М – 1, П – 10. Рассмотрим закодированный текст: 1010. Этому тексту соответствуют два слова – МАМА и ПП. Как видите, введенная кодировка не обеспечивает однозначное декодирование.

Можно ли при использования кодировки словами переменной длины  наложить ограничения на способ кодирования, чтобы декодирование было однозначным? Ответ положителен. Если при кодировании выполняется условие Фано, то декодирование однозначно. Кодирование называется префиксным, если при кодировании существует пара символов, такая, что код одного символа является префиксом кода другого символа. В нашем примере кодирование является префиксным, поскольку для символов М и П код символа М является префиксом (началом) кода символа П. Условие Фано выполняется, если кодирование не является префиксным. Условие Фано является достаточным условием для однозначного декодирования. Оно не является необходимым условием.

Рассмотрим несколько задач, решение которых предполагает использование условия Фано.

    Задача 13:  

   Для трехбуквенного алфавита {А, М, П} используется кодировка А – 01, М – 10, П – 001. Какой код минимальной длины следует задать для кодировки буквы Т, добавляемой в алфавит?

Ответ: Т – 11.

Решение: Используемая кодировка удовлетворяет условию Фано, — ни один код не является префиксом другого кода, что гарантирует однозначность декодирования. Для нового символа, добавляемого в алфавит, нельзя использовать код, состоящий из одного символа, поскольку будет нарушено условие Фано. Для кода, состоящего из двух символов, возможен только один вариант, удовлетворяющий условию Фано, — Т – 11.  

    Задача 14:  

    Для четырехбуквенного алфавита {А, М, П, Т} используется кодировка А – 01, М – 10, П – 001, Т — 11. Можно ли уменьшить длину кода одного из символов, сохраняя однозначность декодирования?

Ответ: Можно. П – 00.

Решение: Используемая кодировка удовлетворяет условию Фано, — ни один код не является префиксом другого кода, что гарантирует однозначность декодирования. Не нарушая условия Фано, для кодирования буквы П можно использовать код 00. Заметьте, в этом случае все символы кодируются словами постоянной длины. Для такой кодировки условие Фано выполняется автоматически, поскольку все слова различны и имеют одинаковую длину, так что ни одно из них не может быть префиксом другого слова.

10 задач для самостоятельной работы

1. Представьте в кодировке Unicode следующий текст: «Иван да Марья».
   Напомню правила кодировки:

1. За исключением буквы «ё» кодировка алфавита кириллицы плотная. Это означает, что код буквы, следующей в алфавите, на единицу больше кода предшествующей буквы.
2. Кодировка больших букв предшествует кодировке малых букв.
3. Кодировка ASCII (первые 128 символов) является подмножеством кодировки Unicode. В обеих кодировках код пробела равен 20 в шестнадцатеричной системе (32 в десятичной системе).
4. Код первой буквы алфавита кириллицы в кодировке Unicode равен 410 в шестнадцатеричной системе.

• Определите способ шифрования и декодируйте следующий текст: «молымушамалымамам».
• Декодируйте текст, зашифрованный кодом Цезаря:
  «цщччропеднареоуъфцтёшорёетёшктёшорё».
  Исходный текст содержал пробелы и символы алфавита кириллицы. При шифровании заглавные и строчные буквы не различались. Символ «пробела» считался предшествующим символам алфавита.
• Кодом Грея называется код, в котором коды каждых двух соседних символов отличаются только в одном разряде. Первый и последний символы считаются соседними. Предложите код Грея для кодирования цифр шестнадцатеричной системы счисления.
•  В алфавите из четырех букв {А, У, М, П} частоты вхождения символов алфавита в тексты различны и составляют соответственно {0,5; 0,25; 0,125; 0,125}. Постройте неравномерный двоичный код, соблюдая условие Фано.
• В биоинформатике генетический код рассматривается как последовательность слов, называемых кодонами или триплетами. Каждый триплет представляет слово длины 3 в алфавите из четырех букв { А, Ц, Г, Т}. Содержательно, каждый символ алфавита соответствует одному из четырех нуклеотидов {аденин, цитозин, гуанин, тимин}. Содержательно, каждый триплет однозначно задает одну из двадцати стандартных аминокислот, из которых синтезируются белки. Поскольку различных аминокислот 20, а триплетов 64, то возникает избыточность, — разные триплеты могут задавать одну и ту же аминокислоту. Какая кислота имеет максимальную степень избыточности и сколько триплетов задают эту кислоту? Найдите эту информацию в интернете.
• Для идентификации автомобилей использовались семизначные цифровые номера. Две последние цифры задавали номер региона, пять первых цифр задавали номер автомобиля в данном регионе. В связи с ростом автомобильного парка номеров стало не хватать, и было принято решение изменить нумерацию, добавив буквенные символы. Все старые номера автомобилей сохранялись. Два последних символа по-прежнему задавали номер региона. Пять первых символов могли быть буквенными. Для благозвучности номера и его лучшего запоминания нечетные символы номера составлялись из 20 согласных букв, четные символы номера – второй и четвертый – могли быть одной из 7 гласных букв. Во сколько раз такая реформа увеличивала число номеров?
• Все старые номера автомобилей (смотри задачу 7) хранились в памяти компьютера. Сколько памяти требуется отвести для хранения новых номеров, если для каждого номера отводится целое число байтов, а каждый символ номера с учетом его специфики кодируется минимально возможным числом битов?
• В алфавите из пяти символов {Д, Е, И, Л, Р} слова выписаны в лексикографическом порядке. Какие слова стоят под номерами 334 и 2134?
• Память фотоаппарата составляет 512 Мб. Вы хотите хранить в памяти 1000 снимков. Какое возможное разрешение следует установить для снимков (1024 * 1024, 1024 * 512, 512 * 512, 512 * 256, 256 * 256, 128* 128)? Для хранения цвета одной точки используется схема RGB, где каждый оттенок красного, зеленого и голубого цвета задается числом в пределах от 0 до 255.

  Ответы к задачам

1. 41843243043D204344302041C43044044C44F
2. Текст: «Мама мыла Машу мылом». При кодировании пробелы игнорируются. Порядок слов меняется на обратный. Заглавные и строчные буквы не различаются. Порядок букв в каждом слове меняется на обратный.
3. Текст: «Русский язык информатика математика». Константа кода Цезаря, определяющая сдвиг по алфавиту, равна 6.
4. 0 → 0000; 1 → 0001; 2 → 0011; 3 → 0010; 4 → 0110; 5 → 0111; 6 → 0101;                7 → 0100; 8 → 1100; 9 → 1101; A → 1111; B → 1110; C → 1010; D → 1011;
   E → 1001; F → 1000;
5. Чаще встречаемые символы кодируются короткими кодовыми словами. Код, удовлетворяющий условию Фано, может быть следующим:
   А → 0; У → 10; М → 110; П → 111;
6. Такой кислотой является, например, серин, задаваемый 6-ю различными кодонами.
7. Почти в пять раз, k = (20³ *7² +10⁵) /10⁵.
8. Примерно 160 Мб. (4 байта на номер).
9. ДИЛЕР и ЛИДЕР
10. 512 * 256

Скачать урок №2 можно здесь.

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор: bivant • Информатика, ЕГЭ. • 0

edu.cps.tver.ru

Информатика — Кодирование

1. Основные понятия

Закодировать текст – значит сопоставить ему другой текст. Кодирование применяется при передаче данных – для того, чтобы зашифровать текст от посторонних, чтобы сделать передачу данных более надежной, потому что канал передачи данных может передавать только ограниченный набор символов (например, — только два символа, 0 и 1) и по другим причинам.

При кодировании заранее определяют алфавит, в котором записаны исходные тексты (исходный алфавит) и алфавит, в котором записаны закодированные тексты (коды), этот алфавит называется кодовым алфавитом. В качестве кодового алфавита часто используют двоичный алфавит, состоящий из двух символов (битов) 0 и 1. Слова в двоичном алфавите иногда называют битовыми последовательностями.

 2. Побуквенное кодирование

Наиболее простой способ кодирования – побуквенный. При побуквенном кодировании каждому символу из исходного алфавита сопоставляется кодовое слово – слово в кодовом алфавите. Иногда вместо «кодовое слово буквы» говорят просто «код буквы». При побуквенном кодировании текста коды всех символов записываются подряд, без разделителей.

Пример 1. Исходный алфавит – алфавит русских букв, строчные и прописные буквы не различаются. Размер алфавита – 33 символа.

Кодовый алфавит – алфавит десятичных цифр. Размер алфавита  — 10 символов.

Применяется побуквенное кодирование по следующему правилу: буква кодируется ее номером в алфавите: код буквы А – 1; буквы Я – 33 и т.д.

Тогда код слова АББА – это 1221.

Внимание: Последовательность 1221 может означать не только АББА, но и КУ (К – 12-я буква в алфавите, а У – 21-я буква). Про такой код говорят, что он НЕ допускает однозначного декодирования

Пример 2.  Исходный и кодовый алфавиты – те же, что в примере 1. Каждая буква также кодируется своим номером в алфавите, НО номер всегда записывается двумя цифрами: к записи однозначных чисел слева добавляется 0. Например, код А – 01, код Б – 02 и т.д.

В этом случае кодом текста АББА будет 01020201. И расшифровать этот код можно только одним способом. Для расшифровки достаточно разбить кодовый текст 01020201 на двойки:  01 02 02 01 и для каждой двойки определить соответствующую ей букву.

Такой способ кодирования называется равномерным. Равномерное кодирование всегда допускает однозначное декодирование.

 Далее рассматривается только побуквенное кодирование

 3. Неравномерное кодирование

Равномерное кодирование удобно для декодирования. Однако часто применяют и неравномерные коды, т.е. коды с различной длиной кодовых слов. Это полезно, когда в исходном тексте разные буквы встречаются с разной частотой. Тогда часто встречающиеся символы стоит кодировать более короткими словами, а редкие – более длинными. Из примера 1 видно, что (в отличие от равномерных кодов!) не все неравномерные коды допускают однозначное декодирование.

Есть простое условие, при выполнении которого неравномерный код допускает однозначное декодирование.

Код называется префиксным,  если в нем нет ни одного кодового слова, которое было бы началом (по-научному, — префиксом) другого кодового слова.

Код из примера 1 – НЕ префиксный, так как, например, код буквы А (т.е. кодовое слово 1) – префикс кода буквы К (т.е. кодового слова 12, префикс выделен жирным шрифтом).

Код из примера 2 (и любой другой равномерный код) – префиксный: никакое слово не может быть началом слова той же длины.

Пример 3. Пусть исходный алфавит включает 9 символов: А, Л, М, О, П, Р, У, Ы, -.  Кодовый алфавит – двоичный. Кодовые слова:

А: 00

М: 01

-: 100

Л: 101

У: 1100

Ы: 1101

Р: 1110

О: 11110

П: 11111

Кодовые слова выписаны в алфавитном порядке. Видно, что ни одно из них не является началом другого. Это можно проиллюстрировать рисунком

На рисунке изображено бинарное дерево. Его корень расположен слева. Из каждого внутреннего узла выходит два ребра. Верхнее ребро имеет пометку 0, нижнее – пометку 1. Таким образом, каждому узлу соответствует слово в двоичном алфавите. Если слово X является началом (префиксом) слова Y, то узел, соответствующий слову X, находится на пути из корня в узел, соответствующий слову Y. Наши кодовые слова находятся в листьях дерева. Поэтому ни одно из них не является началом другого.

Теорема (условие Фано). Любой префиксный код (а не только равномерный) допускает однозначное декодирование.

Разбор примера (вместо доказательства). Рассмотрим закодированный текст, полученный с помощью кода из примера 3:

0100010010001110110100100111000011100

    Будем его декодировать таким способом. Двигаемся слева направо, пока не обнаружим код какой-то буквы. 0 – не кодовое слово, а 01 – код буквы М.

0100010010001110110100100111000011100

            Значит, исходный текст начинается с буквы М: код никакой другой буквы не начинается с 01! «Отложим» начальные 01 в сторону и продолжим.                         

                                                                        01 00010010001110110100100111000011100

                                                                         М

Далее таким же образом находим следующее кодовое слово 00 – код буквы А.

            01 00010010001110110100100111000011100

            М  А

Доведите расшифровку текста до конца самостоятельно.  Убедитесь, что он расшифровывается (декодируется) однозначно.

Замечание. В расшифрованном тексте 14 букв. Т.к. в алфавите 9 букв, то при равномерном двоичном кодировании пришлось бы использовать кодовые слова длины 4. Таким образом, при равномерном кодировании закодированный текст имел бы длину 56 символов – в полтора раза больше, чем в нашем примере (у нас 37 символов).

4. Как все это повторять. Задачи на понимание

Знание приведенного выше материала достаточно для решения задачи 5 из демо-варианта и близких к ней (см. здесь). Повторять (учить) этот материал стоит в том порядке, в котором он изложен. При этом нужно решать простые задачи – до тех пор, пока не будет достигнуто полное понимание. Ниже приведены возможные типы таких задач. Опытные учителя легко придумают (или подберут) конкретные задачи таких типов. Если будут вопросы – пишите.

1) Понятие побуквенного кодирования.

Дан алфавит Ф и кодовые слова для всех слов в алфавите Ф. Закодировать заданный текст в алфавите Ф. Коды могут быть с использованием разных кодовых алфавитов, равномерные и неравномерные.

2) Префиксные неравномерные коды.

2.1) Дан алфавит Ф и двоичный префиксный код для этого алфавита. Построить дерево кода (см. рис.1) и убедиться, что код – префиксный.

2.2) Дан алфавит Ф и двоичный префиксный код для этого алфавита. Декодировать (анализом слева направо) данный текст в кодовом алфавите.

2.3) Дан алфавит Ф и кодовые слова для всех слов в алфавите Ф. Определить, является ли данный код префиксным, или нет. В качестве примеров полезно приводить:

                        — Равномерный код.

                        — Неравномерный префиксный код (полезно нарисовать депево этого кода как на рис.1).

                        — Различные пополнения данного неравномерного префиксного кода с помощью кода еще одной буквы так, чтобы полученный код либо оставался префиксным, либо переставал им быть. При анализе дополнительной буквы полезно использовать дерево исходного кода. Полезно рассмотреть различные варианты «потери префиксности»: (а) новый код – начало одного из старых; (б) один из старых кодов – начало нового.

            2.4) Решать задачи для самостоятельного решения, например, отсюда

 

 

 

 

ege-go.ru

двоичное слово

Если в обычном (естественном) языке, на котором люди общаются, слова сосоят из букв, то в формальных языках слова состоят из символов и если символы принимают значения «0» или «1», то это и есть буквы двоичного слова. Последовательность  символов ( нулей и единиц) называют двоичным словом. Двоичные слова являются словами формального языка, который разрабатывается для специальных применений. Примером формальных языков могут служить языки программирования, языки кодирования информации для ее передачи, хранения и т.п. Каждый язык имеет свой алфавит. Под алфавитом языка понимают набор используемых символов. Под мощностью алфавита понимают количество составляющих алфавит символов. Кодом называют совокупность знаков (символов) предназначенных для представления информации в соответствии с определенными правилами. Такое представление называют кодированием. Кодируют информацию с целью ее передачи, хранения, преобразования. Одно и то же понятие на различных языках может кодироваться различными способами. Например, слово шкаф— это код в русском алфавите всем известного предмета мебели. В других языках, в других алфавитах этот предмет кодируется иначе. Наименьший по числу знаков алфавит имеет только один знак. Пусть этот знак 1 (единица). Тогда три цвета светофора можно закодировать, например, так: красный — 1, желтый — 11, зеленый — 111. Такой алфавит самый неэкономичный по записи кодов. В этом легко убедиться, если попытаться записать в этом алфавите, например, число десять: 1111111111.   Двоичный алфавит. В информатике и вычислительной технике широко используется алфавит, имеющий два знака — 1 и 0. Этим знакам в логике и технике приводят в соответствие понятия — да и нет, истина и ложь, включено и выключено. Такой алфавит называют двоичным или бинарным. В соответствии с этим введена и наименьшая единица информации — бит (англ. bit, от binary — двоичный и digit — знак).Одного бита информации достаточно, чтобы передать слово да или нет, закодировать, например, состояние электролампочки. Кстати, на некоторых выключателях пишут 1 — включено и 0 — выключено. Взгляд на выключатель снимает для нас неопределенность в его состоянии. При этом мы получаем количество информации равное одному биту. Если требуется закодировать в двоичном алфавите красный, желтый и зеленый цвет светофора, то требуется уже два бита. Закодировать три цвета можно, например, так: 00, 01 и 10. Сообщение о том, что включен, например, красный цвет светофора, содержит информации больше одного бита. Для кодирования четырех сторон света (север, восток, юг и запад) требуется также два бита: 00, 01, 10, 11. Поэтому сообщение о том, какая выбрана сторона света, содержит ровно два бита информации. При кодировании восьми углов куба потребуется три бита: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. При кодировании от 9 до 16 объектов потребуется уже четыре бита, от 17 до 31 — 5 бит, от 32 до 63 — 6 бит, от 64 до 127 — 7 бит. Последовательность символов называют словом. Можно сделать вывод: чем больше требуется закодировать объектов, тем длиннее требуется двоичное слово. Восьмибитовое двоичное слово называется байтом. С помощью байта можно закодировать 256 различных объектов. До недавнего времени байта было достаточно, чтобы закодировать все символы текста в русском и латинском алфавите: буквы, цифры, знаки препинания, управляющие сигналы — все то, что передавалось компьютеру с клавиатуры. Для этого использовался код ASCII (American Standard Coding for Information Interchange — Американский Стандартный Код для Обмена Информацией). С развитием информатики байт начал сдерживать возможность увеличения количества используемых символов. В настоящее время завершается переход на двухбайтовое кодирование символов с использованием кода Unicode. 16-битовое двоичное слово позволяет закодировать 65536 символов и команд.

www.reshim.su

Формулы площади трапеции

Задачи на площадь трапеции решают в школьном курсе планиметрии. Расчеты не слишком сложны в изучении этой темы, однако с течением времени забывается и теоретический материал и формулы для вычисления площади трапеции. Из данного материала Вы научитесь находить площадь трапеции и ознакомитесь с распространенными для вычислений формулами.

Формулы площади трапеции

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы основ на высоту:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, таким образом предыдущую формулу площади можно записать в виде

Ниже на рисунке приведены соответствующие формулы и обозначения

2. Если задано диагонали трапеции и угол между ними (смотрите рисунок )

то площадь трапеции находят по формуле

Данная формула, как и предыдущая, достаточно проста в вычислениях.

Следующая формула требует большего количества расчетов.

3. Бывают сложные примеры на трапецию когда задано все четыре ее стороны. В таких случаях используют первую формулу площади трапеции

или вторую

При применении формулы следует помнит, что между сторонами должны выполняться условия b>a и c>d.

4. Если в задании известно что трапеция равнобедренная (боковые стороны равны ) то для того, чтобы найти площадь трапеции кроме выше приведенных формул используют следующие:

• если задано основу, боковую сторону и угол между ними
  
  
• если известен радиус вписанной окружности и угол при основании
  

Здесь r – радиус окружности, alpha – угол при основании, c – боковая сторона равнобокой трапеции.

Если радиус вписанной окружности и нужен угол не известны в условии задания — пользуйтесь выше приведенным формулам площади трапеции.

Теперь Вы знаете как найти площадь трапеции – используйте приведенные формулы на практике и не питайте проблем в обучении.

Посмотреть материалы:

yukhym.com

формулы площади, доказательства. Трапеция на занятиях с репетитоом по математике — Колпаков Александр Николаевич

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то  — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

ankolpakov.ru

Как найти площадь трапеции | Треугольники

Как найти площадь трапеции? Для этого в зависимости от данных условия можно использовать несколько формул.

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Для трапеции ABCD, AD ∥ BC, с высотой BF площадь равна

   

Если AD=a, BC=b, BF=h, формула для нахождения площади трапеции

   

2. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

   

Если MN=m, BF=h, формула для нахождения площади трапеции через среднюю линию и высоту

   

3. Площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.

   

или, так как sin∠BOC=sin(180º-∠COD)=sin∠COD,

   

Если AC=d1, BD=d2, ∠COD=φ, то формула для нахождения площади трапеции через диагонали —

   

Если диагонали трапеции перпендикулярны,

так как sin 90º=1,

то формула площади трапеции

   

4. Площадь трапеции равна произведению её полупериметра на радиус вписанной окружности.

   

Так как в трапецию можно вписать окружность, если суммы ее противолежащих сторон равны, то AB+CD=AD+BC. Следовательно, полупериметр трапеции равен сумме её оснований: p=AD+BC или p=a+b.

Таким образом, получаем еще одну формулу для нахождения площади трапеции через радиус вписанной окружности:

   

(Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции:

   

то эта формула может быть получена непосредственно из формулы из пункта 1).

www.treugolniki.ru

Нахождение площади трапеции

С такими геометрическими фигурами, как трапеции, все мы очень часто встречаемся в жизни. Чаще других с ними приходится иметь дело инженерам-проектировщикам, разрабатывающим различные детали. При этом им практически всегда нужно определять площадь трапеции, форму которой будет иметь то или иное изделие.

На мебельных предприятиях часто изготавливаются столы с трапецеидальными столешницами, которые отличаются не только оригинальным дизайном, но еще и очень удобны в небольших и стесненных помещениях. Для того чтобы точно рассчитать расход материала, требуемого для изготовления этих изделий, их разработчики всегда используют формулу, по которой производится нахождение площади трапеции.

Вычисление площади трапеции

 

 

a – нижнее основание

b – верхнее основание

h – высота трапеции

S – площадь

Многие современные здания (причем как в городах, так и за их пределами) проектируются таким образом, чтобы их окна имели нестандартную и запоминающуюся форму, в том числе и трапецеидальную. Само собой разумеется, что при их разработке для тех, кто будет их, в конечном итоге, изготавливать, нужно точно определить не только длину нижнего и верхнего основания, а также размеры всех углов, и площадь самой сборки. При этом также применяется формула, на основании которой происходит нахождение площади трапеции. Она, помимо общего расхода материала, необходимого для застекления таких окон, позволяет определить, соответствие в каждом конкретном случае действующим нормам относительно освещенности тех помещений, где их планируется смонтировать.

Детали трапецеидальной формы наличествуют практически в каждом современном автомобиле. К ним, к примеру, относятся почти все стекла, устанавливаемые в дверях. Поэтому при конструировании машин специалистам приходится пользоваться формулами, по которым происходит вычисление площади трапеции.

В последние годы многие наши соотечественники обзаводятся загородными домами, коттеджами и дачами, причем многие из этих строений имеют так называемые вальмовые крыши. Они представляют собой кровельные конструкции, состоящие из четырех скатов, два из которых, являющиеся торцевыми, имеют фору треугольников, а два других – трапеций. На таких крышах практически никогда не задерживается снег, что очень важно в российских условиях. Перед тем, как производить кровельные работы, необходимо определить, какое количество материала для этого потребуется, а это значит, что нужно производить вычисление площади трапеции.

Отправляясь на какой-нибудь морской курорт, где отдыхающие не только проводят время на пляжах, но еще и активно занимаются водными видами спорта, то неподалеку о берега можно увидеть небольшие яхты, некоторые паруса которых изготовлены в форме трапеций.

simple-math.ru

Площадь трапеции

Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз ))

Теперь подробно и по порядку.

Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.

В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:

Следующее важное понятие.

Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?

Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l, и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:

*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.

Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).

Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника)  равный средней линии трапеции.

Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:

Посмотреть ещё одно объяснение

Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:

Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник:

*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.

Известно, что средняя линия треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:

Всё!

Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.

Площадь трапеции формула:

Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:

То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf 

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

Делитесь информацией в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Как найти площадь трапеции формула

Трапеция – это одна из фигур, которая часто используется в геометрии. Трапеция – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Те стороны, что параллельны, называются основаниями, а те, что не параллельны — боковыми сторонами.

Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Все эти термины служат помощниками в определении площади трапеции. Для её нахождения существует несколько формул.

Первая формула

Первая формула использует основания и высоту трапеции. Для того, чтобы найти площадь (S) по такому принципу, вам необходимо пройти следующие этапы:

Шаг 1

Найти длину первого основания, которую мы обозначим как а.

Шаг 2

Найти длину второго основания, которую мы обозначим, как b.

Шаг 3

Провести высоту.

Шаг 4

Измерить высоту и обозначить её как h.

Шаг 5

Сложить длины оснований (а+ b).

Шаг 6

Разделить полученную сумму на 2 ((а+ b):2).

Шаг 7

Умножить полученный результат на длину высоты (½ (a+b) * h).

Формула для нахождения площади выглядит следующим образом: S = ½ (a+b) * h. Или другими словами полусумма оснований, умноженная на высоту.

Вторая формула

Вторая формула заключает в себе величину средней линии и высоты. Для того, чтобы найти площадь (S) по такому принципу, вам необходимо пройти следующие этапы:

Шаг 1

Найти величину высоты (h).

Шаг 2

Провести среднюю линию, соединив середины боковых сторон между собой (m).

Шаг 3

Умножить высоту на среднюю линию (h* m).

Формула для нахождения площади выглядит следующим образом: S = h * m. Или другими словами высота, умноженная на среднюю линию.

Существуют и другие варианты того, как найти площадь трапеции, но они являются более сложными, а следовательно и не такими частыми в использовании.

Приведенные выше формулы просты и удобны в использовании. Неотступно выполняя один пункт инструкции за другим, вы сможете безошибочно определить площадь трапеции.

kakumno.ru

Формула площади трапеции

В статье понятно и доступно разберем формулу площади трапеции, но для начала отработаем основные понятия!
Трапеция это геометрическая четырехугольная фигура, состоящая из двух параллельных линий называющихся основанием и двух боковых линии не являющиеся параллельными, называющиеся боковые стороны. Линия которая соединяет стороны как основные так и боковые посередине, называется — средней линией, высота выводится под углом 90⁰.
Площадью трапеции называется участок на плоскости, который ограничен данной фигурой, обозначается в единицах квадратных.

В случае если мы знаем величину средней линии k, формула меняется на более легкую, она приравнивается к половине суммы длины основных линий

В случае когда мы знаем длину всех сторон, можно рассчитать площадь используя данную формулу

Если разобрать данную формулу на примере, то мы получим следующее:
Рассмотрим для ясности: трапеция с длиной боковых линий х = 5 см, g = 4 см, основные линии y = 3 см, z = 7 см. Требуется найти S = ?.
Трапеция бывает однобокой, ещё ее называют равнобедренной — так как диагонали равны между собой. Для нее формула может складываться через радиус вписанной в нее окружности, диагонали и углы прилегающие к основанию.
В случае когда мы знаем длину диагоналей и угол находящийся между ними:

В том случае когда выводим формулу с помощью боковых сторон и углов прилегающих к основанию. Формула будет выглядеть так:

S = x * sin ?(y — x * cos ?)
S = x * sin ?(z + x * cos ?)

Вывод: Если нам известно одно основание из двух и величины углов принадлежащие этому основанию, мы без труда сможем узнать площадь трапеции.

Трапеция бывает криволинейной — это тогда, когда трапеция находится на оси координат, ограничена графиком продолжительной функции.
В случае когда основание трапеции находится на оси х и ограничено точками x1 = z, x2 = y. Вычислить площадь трапеции помогут интегралы

где F (z) — значение в точке z
F (y) — значение в точке y

Разберем для наглядности: Криволинейная трапеция, ограниченная функцией y = f(x). Функция F(x) = — x3 — 27×2 — 240x — 8. Нужно найти S = ?. Фигура ограничивается: графиком сверху y = f(x)., снизу ОХ осью, слева х = (-10), справа х = (-8).
Пользуемся данной формулой, получаем:

В условиях задачи дана функция. С помощью нее найдем значения точек.
1) F(-8) = -(-8)3 — 27 х (-8)2 — 240 х (-8) — 8 = 24-1728+1920 — 8 = 696
2) F(-10) = -(-10)3 — 27 х (-10)2 — 240 х (-10) — 8 = 1000-2700+240 — 8 = 692
3) F(-8) — F (-10) = 696 — 692 = 4
Ответ: S = 4

Вот собственно и всё по формулам площади для разных видов трапеций. Если у вас появились какие то вопросы, обязательно пишите их в комментариях. Успехов в учебе.
vamsochinenie.ru — база сочинений на самые разные темы.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

методы умножения, примеры с объяснением

Известно, что знак корня  является квадратным корнем из некоторого числа. Однако знак корня означает не только алгебраическое действие, но и применяется в деревообрабатывающем производстве — в расчете относительных размеров.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Если вы хотите узнать, как умножить корни «с» или «без» множителей, то эта статья для вас. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

• без множителей;
• с множителями;
• с разными показателями.

Метод умножения корней без множителей

Алгоритм действий:

Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени). Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2.

Пример

Пример 1: 18×2=?

Пример 2: 10×5=?

Пример 3: 33×93=?

Далее необходимо перемножить числа под корнем. 

Пример

Пример 1: 18×2=36

Пример 2: 10×5=50

Пример 3: 33×93=273

Упростить подкоренные выражения. Когда мы умножаем корни друг на друга, мы можем упростить полученное подкоренное выражение до произведения числа (или выражения) на полный квадрат или куб:

Пример

Пример 1: 36=6. 36 — квадратный корень из шести (6×6=36).

Пример 2: 50=(25×2)=(5×5)×2=52. Число 50 раскладываем на произведение 25 и 2. Корень из 25 — 5, поэтому выносим 5 из-под знака корня и упрощаем выражение.

Пример 3: 273=3. Кубический корень из 27 равен 3: 3×3×3=27.

Метод умножения показателей с множителями

Алгоритм действий:

Умножить множители. Множитель — число, которое стоит перед знаком корня. В случае отсутствия множителя, он, по умолчанию, считается единицей. Далее необходимо перемножить множители:

Пример

Пример 1: 32×10=3?3×

zaochnik.com

правила, методы, примеры как делить квадратные корни

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Yandex.RTB R-A-339285-1

 

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

Пример 1

144÷36, это выражение следует переписать так: 14436

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Пример 2

14436. Это выражение следует записать так: 14436

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

Пример 3

14436=4, запишем это выражение так: 14436=4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Пример 4

4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует:

4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 

Пример 5

8÷36, переписываем так 836

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Пример 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Пример 7

2266×62×2×2, из этого следует: 836=226

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существую

zaochnik.com

Умножение корней

19 января 2017

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

Примеры.

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{20}\cdot \sqrt[4]{\frac{125}{4}}=\sqrt[4]{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt[4]{625}=5; \\ & \sqrt[3]{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt[3]{0,16}=\sqrt[3]{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt[3]{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt[3]{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt[3]{{{\left( \frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

\[\begin{align} & \sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt[7]{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Правило умножения корней. Чтобы умножить $\sqrt[n]{a}$ на $\sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[3\cdot 4]{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt[12]{81\cdot 8}=\sqrt[12]{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt[5]{7}=\sqrt[2\cdot 5]{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt[10]{32\cdot 49}=\sqrt[10]{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[8]{625\cdot 9}=\sqrt[8]{5625}. \\ \end{align}\]

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Умножать корни несложно

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}\]

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt[p\cdot n]{{{b}^{n}}}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

\[\sqrt[3]{-5}\]

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3\cdot 2]{{{\left( -5 \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{{{5}^{2}}}\]

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

\[\begin{align} & \sqrt[n]{a}=\sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}; \\ & \sqrt[n\cdot k]{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\Rightarrow \sqrt[6]{{{5}^{2}}}=\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=\sqrt[3]{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\[\sqrt[3]{-5}=\sqrt[3]{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt[3]{-5} \lt 0$, а $\sqrt[3]{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $\sqrt[3]{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[6]{25}=-\sqrt[3\cdot 2]{{{5}^{2}}}=-\sqrt[3]{5} \lt 0 \\ \end{align}\]

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

1. Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
2. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt[n\cdot p]{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
3. 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{-\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{48}\cdot \left( -\sqrt[3]{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt[3]{48}\cdot \sqrt[3]{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt[3]{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt[3]{64}=-4; \end{align}\]

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[4]{32}\cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[4]{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt[3]{{{2}^{2}}}=\sqrt[4\cdot 3]{{{\left( {{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt[12]{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt[12]{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6\cdot 3]{{{a}^{3}}\cdot {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt[18]{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt[18]{{{a}^{27}}}=\sqrt[2\cdot 9]{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

\[\begin{align} & \sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3]{{{a}^{4}}}=\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[3\cdot 2]{{{\left( {{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt[6]{a}\cdot \sqrt[6]{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt[6]{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt[6]{{{a}^{9}}}=\sqrt[2\cdot 3]{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:

\[\begin{align} & \sqrt{5}\cdot \sqrt[4]{3}=\sqrt[2\cdot 4]{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt[2\cdot 4]{{{\left( {{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt[4\cdot 2]{{{\left( 75 \right)}^{2}}}=\sqrt[4]{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Смотрите также:

1. Что такое корень натуральной степени $n$
2. Сложные иррациональные уравнения — что с ними делать и как их решать?
3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
4. Что такое ЕГЭ по математике 2012
5. Наибольшее и наименьшее значение
6. Задача 7: касательная к графику функции — 2

www.berdov.com

Счет, степени, корни — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к проведению алгебраических вычислений, преобразований и упрощений

К оглавлению…

При выполнении численных вычислений с большим количеством операций и дробей желательно выполнять следующие рекомендации:

• Переводите десятичные дроби в обыкновенные, т.е. такие у которых есть числитель и знаменатель.
• Не старайтесь посчитать сразу все выражение. Выполняйте вычисления по одному действию, пошагово. При этом учтите, что:
  • сначала выполняют операции в скобках;
  • затем считают произведения и/или деления;
  • потом суммируют или вычитают;
  • и в последнюю очередь, если это была многоэтажная дробь, делят уже полностью упрощенный числитель на тоже полностью упрощенный знаменатель;
  • причем выполняя в первую очередь операции в скобках также соблюдают ту же последовательность, сначала произведения или деления внутри скобок, потом суммирование или вычитание в скобках, а если внутри скобки есть другая скобка то действия в ней выполняются прежде всего.
• Не спешите умножать и делить «страшные числа». Скорее всего, в одном из следующих действий что-то сократится. Чтобы проще было сократить можно числа раскладывать на простые множители.
• При сложении и вычитании выделяйте в дробях целую часть (если это возможно). При умножении и делении, наоборот, приводите дробь к виду без целой части.

От корней в знаменателе принято избавляться. Для избавления от корня над всем знаменателем умножают числитель и знаменатель на выражение, равное знаменателю. Для избавления от корня над частью знаменателя умножают числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. В этом случае образуется разность квадратов (сопряжённым для (a — b) является выражение (a + b) и наоборот).

При преобразовании или упрощении алгебраических выражений последовательность действий такова:

• Разложить на множители все, что можно разложить на множители.
• Сократить все, что можно сократить.
• И только потом приводить к общему знаменателю. Ни в коем случае не пытайтесь сразу сломя голову приводить к общему знаменателю. Пример будет становиться чем дальше, тем страшнее.
• Снова разложить на множители и сократить.

Для того чтобы перевести десятичную периодическую дробь в обыкновенную (с числителем и знаменателем) необходимо:

• Из числа, стоящего до второго периода в исходной периодической дроби вычесть число, стоящее до первого периода в этой же дроби и записать полученную разность в числитель будущей обыкновенной дроби.
• В знаменателе же записать столько девяток, сколько цифр в периоде исходной дроби, и столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
• Не забыть про целую часть, если она есть.

При решении задач из данной темы также необходимо помнить много сведений из предыдущих тем. Приведём далее основные из них.

 

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

 

Квадратный трехчлен и теорема Виета

К оглавлению…

В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения согласно теореме Виета может быть вычислено по формуле:

Итак, еще раз о теореме Виета:

• Если D < 0 (дискриминант отрицателен), то уравнение корней не имеет и теорему Виета применять нельзя.
• Если D > 0 (дискриминант положителен), то уравнение имеет два корня и теорема Виета прекрасно работает.
• Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень, для которого бессмысленно вводить понятие суммы или произведения корней, поэтому теорему Виета тоже не применяем.

 

Основные свойства степеней

К оглавлению…

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

 

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение. Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

 

Основные свойства квадратного корня

К оглавлению…

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

educon.by

Извлечение корня из большого числа

А у вас есть зависимость от калькулятора? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, .

Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже 0,7 на 0,5 умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет  экзамен… тогда и напрягусь…

Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…

Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.

Извлекаем квадратный корень из большого числа

Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.

Случай 1.

Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например,  при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из 86436.

Мы будем раскладывать число 86436 на простые множители. Делим на 2, – получаем 43218; снова делим на 2, – получаем 21609. На 2 больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3 (вообще говоря, видно, что оно и на 9 делится). . Еще раз делим на 3, – получаем  2401. 2401 на 3 нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой 0 или 5).

Подозреваем делимость на 7. Действительно,  а ,

Итак, Полный порядок!

Поэтому

Случай 2.

Пусть нам нужно вычислить . Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…

На 2 число 1849 нацело не делится (не является четным)…

На 3 нацело не делится (сумма цифр не кратна 3)…

На 5 нацело не делится (последняя цифра – не 5 и не 0)…

На 7 нацело не делится, на 11 не делится, на 13 не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?

Будем рассуждать несколько иначе.

Мы понимаем, что

,

то есть

или

Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от 41 до 49. Причем ясно, что раз последняя цифра числа – 9, то останавливаться стоит на вариантах 43 или 47, – только эти  числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру 9.

Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на 43. Действительно,

P.S. А как, ксатати, мы умножаем 0,7 на 0,5?

Следует умножить 5 на 7, не обращая внимание на нули и знаки, а потом отделить, идя справа налево, два знака запятой. Получаем 0,35.

Смотрите также «Отдельные случаи вычисления дискриминанта».

egemaximum.ru

Свойства квадратных корней. Решение задач. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

На этом уроке мы систематизируем те знания о квадратных корнях, которые мы получили на предыдущих уроках. Вначале мы вспомним определение квадратного корня, основные свойства корней, а затем закрепим знание теории на решении практических задач с корнями.

Вначале повторим основную теорию.

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

.

Из определения следует тождество  при .

Пример 1. Вычислить значения корней:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Основные свойства квадратного корня:

а)

б)  (аналогично верно и для любого количества множителей)

в)

г)

Пример 2. Вычислите а) ; б) .

Решение. а) Преобразуем десятичную дробь к виду обыкновенной дроби .

б) Внесем частное корней под один корень и выполним сокращение: .

Ответ. 1,5; 30.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Для вычисления корней из больших чисел удобно использовать их разложение на простые множители, что можно сделать согласно основной теореме арифметики.

. Из полученного разложения можно записать: .

Ответ. 28.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Для выполнения умножения дробей и извлечения из них квадратного корня необходимо привести их к виду неправильных дробей.

 и . Подставим полученные дроби под знак корня:

.

Ответ..

Пример 5. Вычислить .

Решение. Этот пример демонстрирует, что в некоторых случаях для преобразования численных выражений удобно пользоваться формулами сокращенного умножения, в данном случае это формула разности квадратов.

.

Ответ..

Пример 6. Дано: . Доказать: .

Доказательство. Отметим, что указанная функция имеет область определения  из определения квадратного корня. Выпишем, чему равны левая и правая часть доказываемого тождества:

, что и требовалось доказать.

Доказано.

На следующем уроке мы начнем рассмотрение преобразований выражений с корнями.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал для всей семьи (Источник).

2. Подготовка к единому государственному экзамену по математике (Источник).

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

 

Домашнее задание

1. №323, 326, 334, 346. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Вычислите: а) , б) , в) , г) .

3. Используя свойства квадратных корней, найдите значение числового выражения: а) , б) , в) .

4. Вычислите: а) , б) .

interneturok.ru

Как складывать квадратные корни

Квадратным корнем из числа X называется число A, которое в процессе умножения самого на себя (A * A) может дать число X. 
Т.е. A * A = A² = X, и √X = A.

Над квадратными корнями (√x), как и над другими числами, можно выполнять такие арифметические операции, как вычитание и сложение. Для вычитания и сложения корней их нужно соединить посредством знаков, соответствующих этим действиям (например √x — √y).
А потом привести корни к их простейшей форме — если между ними окажутся подобные, необходимо сделать приведение. Оно заключается в том, что берутся коэффициенты подобных членов со знаками соответствующих членов, далее заключаются в скобки и выводится общий корень за скобками множителя. Коэффициент, который мы получили, упрощается по обычным правилам.

Шаг 1. Извлечение квадратных корней

Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь. Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами. Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9. Первое число 4 является квадратом числа 2. Второе число 9 является квадратом числа 3. Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5. 
Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда.

Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня

Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня. Для примера возьмём выражение √24 + √54.

Раскладываем числа на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3,
54 = 2 * 3 * 3 * 3.

В числе 24 мы имеем множитель 4, его можно вынести из-под знака квадратного корня. В числе 54 мы имеем множитель 9.

Получаем равенство:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6.

Рассматривая данный пример, мы получаем вынос множителя из-под знака корня, тем самым упрощая заданное выражение.

Шаг 3. Сокращение знаменателя

Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней – это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b).
Теперь перед нами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе».
Воспользуемся следующим способом: умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b.

Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе:
(√a + √b) * (√a — √b) = a – b.

Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a — √b, числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b.

Возьмём для примера дробь:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ( (√3 + √5) * (√3 — √5) ) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3).

Пример сложного сокращения знаменателя

Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе.

Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5).
Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 — √5.

Получаем:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Если вам требуется только приблизительное значение, это можно сделать на калькуляторе путём подсчёта значения квадратных корней. Отдельно для каждого числа вычисляется значение и записывается с необходимой точностью, которая определяется количеством знаков после запятой. Далее совершаются все требуемые операции, как с обычными числами.

Пример вычисления приблизительного значения

Необходимо вычислить приблизительное значение данного выражения √7 + √5.

В итоге получаем:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Обратите внимание: ни при каких условиях не следует производить сложение квадратных корней, как простых чисел, это совершенно недопустимо. То есть, если сложить квадратный корень из пяти и из трёх, у нас не может получиться квадратный корень из восьми.

Полезный совет: если вы решили разложить число на множители, для того, чтобы вывести квадрат из-под знака корня, вам необходимо сделать обратную проверку, то есть перемножить все множители, которые получились в результате вычислений, и в конечном результате этого математического расчёта должно получиться число, которое нам было задано первоначально.

imdiv.com

Mathway | Популярные задачи

1	Вычислить	2+2
2	Вычислить	2^3
3	Вычислить	4^2
4	Разложить на простые множители	73
5	Вычислить	6/2(1+2)
6	Найти объем	сфера (5)	
7	Найти площадь	окружность (5)	
8	Вычислить	корень четвертой степени -625
9	Вычислить	-5^2
10	Вычислить	2^4
11	Найти площадь поверхности	сфера (5)	
12	Вычислить	-3^2
13	Вычислить	2^5
14	Вычислить	6÷2(1+2)
15	Вычислить	3^2
16	Преобразовать в десятичную форму	1/4
17	Вычислить	(-3)^3
18	Вычислить	-2^2
19	Вычислить	2^2
20	Вычислить	6^2
21	Вычислить	квадратный корень 3* квадратный корень 12
22	Вычислить	(-4)^2
23	Вычислить	-7^2
24	Преобразовать в десятичную форму	3/4
25	Преобразовать в десятичную форму	7/8
26	Вычислить	квадратный корень 28+ квадратный корень 63
27	Преобразовать в десятичную форму	2/3
28	Найти площадь	окружность (7)	
29	Найти площадь	окружность (2)	
30	Вычислить	8^2
31	Разложить на простые множители	6
32	Преобразовать в обыкновенную дробь	0.75
33	Вычислить	— корень четвертой степени 625
34	Найти площадь	окружность (4)	
35	Преобразовать в десятичную форму	3/8
36	Вычислить	4^3
37	Разложить на простые множители	8
38	Вычислить	5^3
39	Преобразовать в десятичную форму	3/8
40	Найти площадь	окружность (6)	
41	Преобразовать в десятичную форму	3/4
42	Вычислить	(-4)^3
43	Вычислить	3^3
44	Разложить на простые множители	4
45	Найти объем	сфера (4)	
46	Перевести в процентное соотношение	1/8
47	Найти площадь	окружность (3)	
48	Преобразовать в десятичную форму	2/5
49	Вычислить	(5/4(424333-10220^2))^(1/2)
50	Вычислить	5^2
51	Вычислить	(-2)^4
52	Разложить на простые множители	2
53	Вычислить	корень четвертой степени 256
54	Вычислить	квадратный корень 81
55	Преобразовать в десятичную форму	1/2
56	Вычислить	-4^2
57	Вычислить	-9^2
58	Вычислить	(-5)^2
59	Вычислить	(-8)^2
60	Разложить на простые множители	741
61	Разложить на простые множители	9
62	Найти объем	сфера (3)	
63	Вычислить	3 квадратный корень 8*3 квадратный корень 10
64	Найти площадь	окружность (10)	
65	Найти площадь	окружность (8)	
66	Вычислить	-8^2
67	Вычислить	(-5)^3
68	Вычислить	(-2)^3
69	Вычислить	10^6
70	Вычислить	10^2
71	Вычислить	-6^2
72	Преобразовать в десятичную форму	1/5
73	Преобразовать в десятичную форму	4/5
74	Преобразовать в десятичную форму	10%
75	Найти площадь поверхности	сфера (6)	
76	Перевести в процентное соотношение	3/5
77	Вычислить	(-2)^2
78	Разложить на простые множители	12
79	Разложить на простые множители	1162
80	Вычислить	6^3
81	Вычислить	-3^4
82	Вычислить	2^2
83	Вычислить	(-6)^2
84	Вычислить	(-7)^2
85	Найти площадь	окружность (1)	
86	Преобразовать в десятичную форму	2/5
87	Вычислить	квадратный корень 2+ квадратный корень 2
88	Вычислить	2^1
89	Вычислить	2^6
90	Разложить на простые множители	what is the prime factoriztion of 40 use exponents to show any repeated prime factors	what is the prime factoriztion of use exponents to show any repeated prime factors
91	Вычислить	-2^3
92	Вычислить	3^5
93	Вычислить	(-9)^2
94	Вычислить	4^1
95	Вычислить	квадратный корень 100
96	Преобразовать в десятичную форму	25%
97	Найти длину окружности	окружность (5)	
98	Найти площадь поверхности	сфера (6)	
99	Найти объем	сфера (2)	
100	Найти объем	сфера (6)	

www.mathway.com

Как можно легко найти корень n-ой степени? Например, как можно быстро найти корень 5 степени числа 2,931 ?

Корень 5-й степени из 2.931 равен 1.2399471185114 Корнем n-й степени из числа b называется такое число a, что a^n=b. Соответственно, корень 5-й степени из числа b – это число a, дающее при возведении в пятую степень b. Например, 2 – корень пятой степени из 32, т. к. 2^5=32. тобы извлечь корень пятой степени, представьте подкоренное число или выражение в виде пятой степени другого числа или выражения. Оно и будет являться искомой величиной. В некоторых случаях такое число видно сразу, в других его придется подбирать. 2 Знак для корня пятой степени сохраняется. К примеру, если под корнем стоит отрицательное число, то и результатом будет отрицательное. Извлечение корня 5 степени из положительного числа дает положительное число. Таким образом, знак «минус» можно вынести из-под знака корня. 3 Иногда для того, чтобы извлечь корень 5 степени, нужно преобразовать выражение. Казалось бы, из полинома x^5-10x^4 +40x^3-80x^2+80x-32 корень извлечь нельзя. Однако при внимательном рассмотрении можно убедиться, что это выражение сворачивается в (x-2)^5 (вспомните формулу для возведения бинома в пятую степень). Очевидно, что корень 5 степени из (x-2)^5 равен (x-2). 4 В программировании для нахождения корня используют рекуррентное соотношение. Принцип основан на начальном предположении и дальнейшем повышении точности. 5 Пусть требуется написать программу для извлечения корня пятой степени из числа A. Задайте начальное предположение x0. Далее задайте рекуррентную формулу x(i+1)=1/5[4x(i)+A/x(i)^4]. Повторяйте этот шаг до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. Повторение реализуется за счет прибавления единицы к индексу i.

touch.otvet.mail.ru

Как извлечь корень 5 степени 🚩 как вычислить корень пятой степени 🚩 Математика

7 февраля 2012

Автор КакПросто!

Корнем n-й степени из числа b называется такое число a, что a^n=b. Соответственно, корень 5-й степени из числа b – это число a, дающее при возведении в пятую степень b. Например, 2 – корень пятой степени из 32, т.к. 2^5=32.

Статьи по теме:

Инструкция

Чтобы извлечь корень пятой степени, представьте подкоренное число или выражение в виде пятой степени другого числа или выражения. Оно и будет являться искомой величиной. В некоторых случаях такое число видно сразу, в других его придется подбирать. Знак для корня пятой степени сохраняется. К примеру, если под корнем стоит отрицательное число, то и результатом будет отрицательное. Извлечение корня 5 степени из положительного числа дает положительное число. Таким образом, знак «минус» можно вынести из-под знака корня.

Иногда для того, чтобы извлечь корень 5 степени, нужно преобразовать выражение. Казалось бы, из полинома x^5-10x^4 +40x^3-80x^2+80x-32 корень извлечь нельзя. Однако при внимательном рассмотрении можно убедиться, что это выражение сворачивается в (x-2)^5 (вспомните формулу для возведения бинома в пятую степень). Очевидно, что корень 5 степени из (x-2)^5 равен (x-2).

В программировании для нахождения корня используют рекуррентное соотношение. Принцип основан на начальном предположении и дальнейшем повышении точности.

Пусть требуется написать программу для извлечения корня пятой степени из числа A. Задайте начальное предположение x0. Далее задайте рекуррентную формулу x(i+1)=1/5[4x(i)+A/x(i)^4]. Повторяйте этот шаг до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. Повторение реализуется за счет прибавления единицы к индексу i.

Обратите внимание

Обратите внимание, что при извлечении корня четной степени результат должен быть строго положительным. А из отрицательного числа корень извлечь нельзя. Это необходимо обязательно учитывать при решении уравнений и неравенств.

Полезный совет

При помощи рекуррентного соотношения можно извлечь корень не только пятой, но и любой другой степени. Общая формула x(i+1)=1/n[(n-1)x(i)+A/x(i)^(n-1)]. Вместо n подставьте в нее ту степень, которая вам нужна.

Источники:

• как извлечь корень пятой степени
• квадратный корень из 0,

www.kakprosto.ru

Тест по алгебре (8 класс) на тему: карточки-задания по теме» Сложение и вычитание алгебраических дробей»

По теме «Сложение и вычитание алгебраических дробей» Каждой группе выдаются тестовые задания, выполнив которое получается слово – фамилия  известного математика.

Задание группе №1

№	Задание	Вариант ответа	Буква
1			О
			Г
			К
2			Л
			Е
			А
3			Б
		х + 10	Л
			В
4			У
			М
			Р
5			А
			Н
			Ь

           Задание группе № 2

№	Задание	Вариант ответа	Буква
1			Г
			Б
			В
2			З
			А
			Д
3			У
			Щ
			О
4			С
			Е
			М
5			И
			С
			Л

nsportal.ru

Тест: Сложение и вычитание дробей

Выбери верный ответ

Математика 6 класс | ID: 242 | Дата: 24.10.2013

«;} else {document.getElementById(«torf1″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(1)==»1″) {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(2)==»1″) {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(3)==»1″) {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(4)==»1″) {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(5)==»1″) {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(6)==»1″) {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf7″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(7)==»1″) {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf8″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(8)==»1″) {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf9″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(9)==»1″) {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf10″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(10)==»1″) {document.getElementById(«torf11″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf11″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(11)==»1″) {document.getElementById(«torf12″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf12″).innerHTML=»»;}; } }

Получение сертификата
о прохождении теста

testedu.ru

ГДЗ самостоятельные работы по алгебре 8 класс Александрова

С-1. Основные понятия:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-2. Основное свойство алгебраической дроби:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-3. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-4. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-5. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-6. Умножение и деление алгебраических дробей:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-7. Умножение и деление алгебраических дробей:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-8. Преобразование рациональных выражений:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-9. Первые представления о рациональных уравнениях:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-10. Степень с отрицательным целым показателем:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-11. Множество рациональных чисел:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-12. Понятие квадратного корня из неотрицательного числа:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-13. Иррациональные числа:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-14. Множество действительных чисел:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-15. Функция у=√х ее свойства и график:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-16. Свойства квадратных корней:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-17. Преобразование выражений содержащих операцию извлечения квадратного корня:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-18. Преобразование выражений содержащих операцию извлечения квадратного корня:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-19. Преобразование выражений содержащих операцию извлечения квадратного корня:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-20. Преобразование выражений содержащих операцию извлечения квадратного корня:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-21. Модуль действительного числа:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-22. Модуль действительного числа:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-23. Функция y=kx² ее свойства и график:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-24. Функция y=kx² ее свойства и график:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-25. Функция y=k:x ее свойства и график:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-26. Функция y=k:x ее свойства и график:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-27. Как построить график функции y=f(x+l):

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-28. Как построить график функции y=f(x)+m:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-29. Как построить график функции y=f(x+l)+m:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-32. Графическое решение квадратных уравнений:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-30. Функция y=ax2+bx+c ее свойства и график :

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-31. Функция y=ax2+bx+c ее свойства и график :

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-33. Основные понятия:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-34. Формулы корней квадратного уравнения:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-35. Рациональные уравнения:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-36. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-37. Еще одна формула корней квадратного уравнения:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-38. Теорема Виета:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-39. Теорема Виета:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-40. Иррациональные уравнения:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-41. Свойства числовых неравенств:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-42. Исследование функций на монотонность:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-43. Решение линейных неравенств:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-44. Решение квадратных неравенств:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-45. Решение квадратных неравенств:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-46. Приближенные значения действительных чисел:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-47. Стандартный вид числа:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

С-48. Итоговое повторение:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4

lovegdz.com

III Вычисление объёмов тел вращения

Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.

Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.

Теорема 2. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , осьюи отрезками прямыхивращается вокруг оси. Тогда объём получающегося тела вращения можно вычислить по формуле

(2)

Доказательство. Для такого тела сечение с абсциссой – это круг радиуса, значити формула (1) даёт требуемый результат.

Если фигура ограничена графиками двух непрерывных функций и, и отрезками прямыхи, причёми, то при вращении вокруг оси абсцисс получим тело, объём которого

Пример 3. Вычислить объём тора, полученного вращением круга, ограниченного окружностью ,вокруг оси абсцисс.

Решение. Указанный круг снизу ограничен графиком функции , а сверху –. Разность квадратов этих функций:

Искомый объём

(графиком подынтегральной функции является верхняя полуокружность, поэтому написанный выше интеграл – это площадь полукруга).

Пример 4. Параболический сегмент с основанием и высотой, вращается вокруг основания. Вычислить объём получающегося тела («лимон» Кавальери).

Решение. Параболу расположим как показано на рисунке. Тогда её уравнение , причем. Найдём значение параметра:. Итак, искомый объём:

Теорема 3. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , осьюи отрезками прямыхи, причём, вращается вокруг оси. Тогда объём получающегося тела вращения может быть найден по формуле

(3)

Идея доказательства. Разбиваем отрезок точками, на части и проводим прямые. Вся трапеция разложится на полоски, которые можно считать приближенно прямоугольниками с основаниеми высотой.

Получающийся при вращении такого прямоугольника цилиндр разрежем по образующей и развернём. Получим «почти» параллелепипед с размерами: ,и. Его объём. Итак, для объёма тела вращения будем иметь приближенноё равенство

Для получения точного равенства надо перейти к пределу при . Написанная выше сумма есть интегральная сумма для функции , следовательно, в пределе получим интеграл из формулы (3). Теорема доказана.

Замечание 1. В теоремах 2 и 3 условие можно опустить: формула (2) вообще нечувствительна к знаку, а в формуле (3) достаточнозаменить на.

Пример 5. Параболический сегмент (основание , высота) вращается вокруг высоты. Найти объём получающегося тела.

Решение. Расположим параболу как показано на рисунке. И хотя ось вращения пересекает фигуру, она – ось – является осью симметрии. Поэтому надо рассматривать лишь правую половину сегмента. Уравнение параболы , причем, значит. Имеем для объёма:

Замечание 2. Если криволинейная граница криволинейной трапеции задана параметрическими уравнениями ,,и,то можно использовать формулы (2) и (3) с заменойнаинапри измененииt от до.

Пример 6. Фигура ограничена первой аркой циклоиды ,,, и осью абсцисс. Найти объём тела, полученного вращением этой фигуры вокруг: 1) оси; 2) оси.

Решение. 1) Общая формула В нашем случае:

2) Общая формула Для нашей фигуры:

Предлагаем студентам самостоятельно провести все вычисления.

Замечание 3. Пусть криволинейный сектор, ограниченный непре-рывной линией и лучами,, вращается вокруг полярной оси. Объём получающегося тела можно вычислить по формуле.

Пример 7. Часть фигуры, ограниченной кардиоидой , лежащая вне окружности, вращается вокруг полярной оси. Найти объём тела, которое при этом получается.

Решение. Обе линии, а значит и фигура, которую они ограничивают, симметричны относительно полярной оси. Поэтому необходимо рассматривать лишь ту часть, для которой . Кривые пересекаются прии

при . Далее, фигуру можно рассматривать как разность двух секторов, а значит и объём вычислять как разность двух интегралов. Имеем:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Круговой сегмент, основание которого , высота , вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти объём параболоида вращения, площадь основания которого равна , а высота равна.

3. Фигура, ограниченная астроидой ,вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое получается при этом.

4. Фигура, ограниченная линиями ивращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела вращения.

studfiles.net

объем тела вращения — ПриМат

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана непрерывная неотрицательная функция $f$. Рассмотрим криволинейную трапецию, или подграфик функции $f$. Будем вращать эту трапецию вокруг оси $Ox$. Полученное тело вращения обозначим через $E$. Выведем формулу для его объема. Разобьем отрезок $\left[a,b\right]$ точками $a= x_0 < x_1 <\ldots < x_n = b$ и обозначим $m_i = \inf f(x), M_i = \sup f(x)$. В результате вращения получаем два прямых круговых цилиндра и один “цилиндр” с криволинейной образующей. Объемы меньшего и большего круговых цилиндров равны соответственно $\pi m_i^2\Delta x_i$ и $\pi M_i^2\Delta x_i$. Из круговых прямых цилиндров составим две области: одна из них имеет объем V=$\pi\sum\limits_{i=1}^{n-1}m_i^2\Delta x_i$ ,а другая $\overline{V}=\pi\sum\limits_{i=1}^{n-1}M_i^2\Delta x_i$ (Если у Вас возникли проблемы, то просмотрите этот материал Суммы Дарбу). Ясно, что наше тело вращения $E$ содержит в себе меньшее из этих кусочно цилиндрических тел и содержится в большем кусочно цилиндрическом теле. Таким образом, объем $V$ тела $E$ удовлетворяет неравенству V $\leq$ V $\leq$ $\overline{V}$. Понятно, что суммы V и $\overline{V}$ соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу для интеграла $\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx.$, так что они обе стремятся к этому интегралу при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Итак, мы получаем следующую формулу для нахождения объема тела вращения:

$$V=\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx$$

Примеры решения задач

• Пример 1.Найти объем тела вращения вокруг оси абсцисс ограниченного функциями $y=2x-x^2, o<x<2;$
  Решение

  Выполним чертеж:

  Объем тела вращения:

  $V=\pi\int\limits^a_b f(x)^2\,dx = \pi\int\limits^2_0 (2x-x^2)^2\,dx$ =
  =$\pi\int\limits^2_0 4x^2-4x^3+x^4\,dx = \pi (\frac{32}{3}-16 +\frac{32}{5}) =\frac{ 16\pi}{15}$

• Пример 2.Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры ограниченной линиями $y=2x+1$, $y=x+4$, $x=0$, $x=1$.
  Решение

  $$V=V_1 — V_2$$

  Найдем фигуру ограниченную сверху прямой $y=x+4$ :

  $$ V_1 = \pi\int\limits^1_0 (x+4)^2\,dx = \pi (\frac{x^3}{3}+4x^2 +16x)|_0^1 =\frac{61\pi}{3}$$

  Найдем фигуру ограниченную сверху прямой $y=2x+1$ :

  $$ V_2 = \pi\int\limits^1_0 (2x+1)^2\,dx = \pi (\frac{4x^3}{3}+2x^2 +x)|_0^1 =\frac{61\pi}{3} =\frac{13\pi}{3}$$
  $$ V = \frac{61\pi}{3} — \frac{13\pi}{3} = 16\pi$$

Объем тела вращения

Лимит времени: 0

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

См. также

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривойy = f (x) , непрерывной на[a;b], прямымиx = a ,x = b и осьюOx (рис. 4.4.16).

у
		y=f (x)
0	a	b	х

z

	Рис. 4.4.16.
Тогда объем тела вращения равен	V = πb∫(f(x))2 dx.
	a

ЗАМЕЧАНИЕ 1

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, построенной на отрезке[c; d ] оси ординат и ограниченной кривойx = f ( y) , вычисляется по формуле

V = πd∫(f( y))2 dy.

с

ЗАМЕЧАНИЕ 2

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями

	х = ϕ(t)	, где α ≤ t ≤β и	ϕ(α) =a; ϕ(β) =b ,
y = ψ(t)

тогда объем тела вращения вокруг оси Ох определяется формулой

V = π β∫(ψ(t))2 ϕt′ dx

α

Пример 4.4.7

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной дугой параболыу = х2 − 4 , заключенной между точкой(0; − 4) и осьюОх.

Решение

Изобразим тело вращения (рис. 4.4.17).

4

Рис. 4.4.17.

Из уравнения у = х2 − 4 найдемx2 = y + 4 , т.е.(f ( y))2 = y + 4 . Вычислим объем:

30

studfiles.net

4.4. Объемы и поверхности тел вращения

I. Объемы тел вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п°п° 197, 198* Разберите подробно примеры, приведенные в п° 198.

508. Вычислить объем тела, образуемого вращением эллипсаВокруг оси Ох.

Решение. При вращении эллипса вокруг оси Ox образуется тело, называемое эллипсоидом вращении. Как известно, объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f{x), ординатами х = а, х = Ь и осью Ох, вычисляется по формуле:

Из уравнения эллипса видно, что большая его полуось равна 2, следовательно,. Разрешив уравнение

эллипса относительно, получимОбъем

эллипсоида вращения равен:

509. Найти объем тора, образованного вращением круга

Вокруг оси Ox (рис. 18). Решение. Искомый объем тора равен разности объемов, полученных от вращения верхнего и нижнего полукругов. Так как для верхнего полукруга

, а для нижнего, то

(см. задачу 388).

Б10. Вычислить объем прямого конуса, высота которого h и радиус основания г, рассматривая конус как тело вращения прямоугольного треугольника около одного из катетов.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпала с высотой h (рис. 19), а вершину конуса

примем за начало координат. Тогда уравнение прямой OA

Следовательно, объем конуса

запишется так: будет равен:

511. Вычислить объемы тел, образованных вращением около осей Ox и Oy сегмента AOB параболы, от

секаемого хордой AFB, проходящей через фокус параболы перпендикулярно к оси Ox (рис. 20, а, б).

Решение I. Вычислим объем тела, получаемого при вращении сегмента AOB вокруг оси Ох, пользуясь формулой:

Найдем пределы интегрирования. Прямая AB параллельна оси Oy. Ее уравнение. Для того чтобы

найти точки пересечения этой прямой с параболой, решим совместно систему уравнений:

мя я AB проходит через фокус параболы, то координаты точки F будутСледовательно,

Получим точки. Так Kaw пря

2. Вычислим объем тела, получаемого при вращении сегмента AOB вокруг оси Oy. Учитывая симметрию сегмента относительно оси Oxi найдем сначала половину искомого объема. Она равна разности объемов тел, получаемых от вращения вокруг оси Oy прямоугольника OFBD и криволинейного тоеугольника OBD. Так как объем цилиндра равен, а объемТела, полученного от вращения криволинейного треугольника OBD вокруг оси Oy, будет:

512. Фигура, ограниченная гиперболойИ

то половина искомого объема равна:

Следовательно, весь искомый объем

прямыми, вращается вокруг оси

Ох. Найти объем тела вращения.

Решение. В результате вращения данной фигуры вокруг оси Ox образуются два тела вращения, имеющие равные объемыТогда

Найдем объем V1 тела (рис. 21), сбразованного вращением площади, ограниченной правей ветвью гиперболы И прямейПределы интегрирова

ния найдем из геометрических соображений:

. Таким образом,

513. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox одной полуволны синусоиды у = sin х.

514. Найти объем конуса, производимого вращением вокруг оси Ox части прямой _, содержащейся между осями координат.

515. Криволинейная трапеция, ограниченная срерху параболой,с боков—ординатами х = — I и х—\, снизу — осью Ох, вращается вокруг оси Ох. Найти объем полученного тела вращения.

516. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox площади, ограниченной цепной линией

, ординатами X = — а, х = а и осью Ох.

517. Прямой параболический сегмент, основание которого а, а высота R, вращается вокруг основания. Определить объем полученного тела вращения.

518. Найти объем цирка, осевое сечение которого — парабола. Высота цирка 30 м. Диаметр основания 50 м.

519. Найти объем тела, образованного вращением кривойВокруг оси абсцисс.

520. Вычислить объем тела, полученного вращением

астроидыВокруг оси Oy.

521. На кривойВзяты две точки А и В, абсциссы которых соответственно а = I и Ь = 2. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции аАВЬ вокруг оси Ох.

522. Найти объем тела, производимого вращением площади, ограниченной дугой циклоиды,

И осью Ox вокруг ее основания.

523. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ординат дуги OM циклоиды,

, ограниченной точками О (0, 0) и M (та*, 2а).

524. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении линии

вокруг оси абсцисс.

2. Площадь поверхности тела вращения. Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 205. В теоретическом курсе показано, что площадь поверхности тела вращения определяется по формуле:

52$. Определить площадь поверхности параболоида, образованного вращением дуги параболы у2 = 2х вокруг оси Ox от х = 0 до х = 2.

Решение. В нашем случае . Поэтому

526. Найти площадь поверхности шара радиуса R. Решение. Поместим начало координат в центре шара. Будем рассматривать поверхность шара как поверхность, полученную в результате вращения полуокружностиВокруг оси Ох. Тогда площадь поверхности шара найдется по формуле:

T ак как

И, следовательно,

527. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипсаВокруг оси Ох.

Решение. Из уравнения эллипса имеем:

. Найдем производную:

Тогда. Так как полуось эллипса

И, следовательно,

Если кривая задана параметрически, то, заменяя переменную под знаком определенного интеграла, получим для площади поверхности следующую формулу:

528 Вычислить площадь поверхности, сбразованной вращением одной арки циклоиды

Вокруг оси Ox (см. рис. 13).

Решение. Найдем:

Тогда. Искомая по

верхность равна:

Решение. Построим данную кривую. Найдем точки пересечения ее с осями координат.

нием петли кривой х = /2, у

(/2— 3) вокруг оси Ох.

При у — 0 находим t = 0 и t = ±}/ 3 . Следовательно, X1 = 0 и X2 -= 3* т. е. кривая пересекает ось Ox в двух точках О (0, 0) и А (3, 0).

При х = 0 находим / = 0, следовательно, у = 0. Мы получили ту же точку О (0, 0).

При люб dx вещественных значениях параметра / будут вещественны х и у Так как х — четная функция параметра /, у — нечетная функция параметра /, то график расположен симметрично относительно оси Ох.

Исследуем данную функцию на экстремум. Находим производную:

dy = /2-dx 21

Легко видеть, что у = 0 при / = + I и, следовательно^

У

у — + —; когда X= I; у’-* оо, когда / —> 0, следовательно,

когда х -> 0, то и у 0. Это значит, что в начале координат касательная к данной кривой вертикальна. В точке

А (3; 0) будет у’ = — J=, это значит, что касательная У з

к данной кривой в этой точке образует с положительным направлением оси Ox угол в 30°.

Полученных данных достаточно для построения графика данной функции (рис. 22).

Найдем площадь данной поверхности. Имеем: х’ = 21, y’ = f — I; х’% -(-y’z = (I +12 )а.

З о

Таким образом,

Р=2* Jyj/T^T |±(<*_3)(1+/«)Л =

0 KT

IrF ^ з

3 Ik 2 2 2 /

530. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги синусоиды у = sin х от точки X = 0 до точки X = It.

531. Вычислить площадь поверхности конуса с высотой h и радиусом г.

532. Вычислить площадь поверхности, образованной

2_ 2_ 2_

вращением астроиды х3 -)- у* — а3 вокруг оси Ох.

533. Вычислить площадь поверхности, образованной цращением петли кривой 18 уг — х (6 — х)г вокруг оси Ох.

534. Найти поверхность тора, производимого вращением круга X2 — j — (у—З)2 = 4 вокруг оси Ох.

535. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением окружности X = a cost, y = asint вокруг оси Ох.

536. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = 9t2, у = St — 9t3 вокруг оси Ох.

537. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой х = е*sint, у = el cost вокруг оси Ox

от t = 0 до t = —.

2

538. Показать, что поверхность, производимая вращением дуги циклоиды х = a (q> —sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Oy, равна 16 и2 о2.

539. Найти поверхность, полученную вращением кардиоидыВокруг полярной оси.

540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискатыВокруг полярной оси.

Дополнительные задачи к главе IV

Площади плоских фигур

541. Найтивсю площадь области, ограниченной кривойИ осью Ох.

542. Найти площадь области, ограниченной кривой

И осью Ох.

543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой

л осями координат.

544. Найти площадь области, содержащейся внутри

петли:

545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:

546. Найти площадь области, содержащейся внутри петли:

547. Найти площадь области, ограниченной кривой

И осью Ох.

548. Найти площадь области, ограниченной кривой

И осью Ох.

549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr

прямойИ кривой

550. Найти площадь области, ограниченной кривыми.

И осью Oy.

Вычисление длины дуги

551. Найти длину дуги кривойОт точки А(0: до точки В (I: 6).

552. Найти длину дуги CD кривой, где

Дать геометрическую иллюстрацию.

553. Найти длину дуги OA кривойГде

554. Найти длину дуги AB кривой у = еху где А (0; I), В (I; 2)

555. Нгйти длину дуги AB кривой, где

556. Нгйти длину дуги кривой, отсеченной прямей X = — I.

557. Нгйти длину дуги кривойОт

До

Объем тела вращения

558. Нгйти объем тела, полученного вращением вокруг юси Ox п/ощоди, сграниченной крквой

559. Нййти объем тела, полученного от вращения рокруг сси Ox площади, ограниченной кривой

560. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади, ограниченной кривой

ц прямыми

561. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy площади, ограниченней эллипсом

562. Нгйти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy плещади, ограниченной кривой

И отрезком оси Oy.

563. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox площади, ограниченной кривой

564. Круг радиуса 2 с центром в точке (7; 0) вращается вокруг оси Oy. Определить объем полученного тела вращения.

565. Нлйти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox площади, расположенной в первом квадранте и

ограниченной кривой(эволюта

эллипса).

Площадь поверхности вращения

566. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой, отсеченной прямой

567. Найти площадь поверхности шаоовой чаши, полученной при вращении кругаВокруг оси Ox в пределах от 0 до h.

568. Найти площадь поверхности катеноида, образованного вращением вокруг оси абсцисс цепной линии

От точкиДо точки

569. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипсаВокруг оси Oy.

570. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox петли кривой

571. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривой

572. Найти площадь поверхности, образованной вращениемВокруг полярной оси.

ПРИЛОЖЕНИЯ К ВОПРОСАМ ФИЗИКИ

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

07.5.2. Объем тела вращения | Решение задач по математике и другим предме

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении во­круг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [А, b] функцией F(X) (рис. 7.5). Объем этого тела вращения определяется формулой

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Оу, то, выражая Х через У как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объ­ема тела вращения:

Где [C, D] — область изменения функции У = F(X).

Рассмотрим примеры вычисления объемов тел, образован­ных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.

Пример 3. У = х2, у = вокруг оси Ох.

Решение. Искомый объем вращения равен разности объ­емов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно У = и У = Х2. Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых: А = 0 и B = 1. По формуле (7.15) получаем

Пример 4. У = eх, х = 0, Х = 1, У = 0 вокруг оси Оу.

Ррешение. Выражаем Х через У: х = ln У; промежуток ин­тегрирования [1, Е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.6) равен разности объемов соответствен­но цилиндра радиуса 1 и высоты Е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой Х = ln У. Согласно формуле (7.15) получаем

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Шпаргалка математика — Стр 2

Если же вокруг оси Оу вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на [c,d] функцией, то объём такого тела вращения:

Этот же объём может быть вычислен по формуле: . Если линия задана параметрическими уравнениями :

_{Делая замену переменной получим:}

Если линия задана параметрическими уравнениями :

_{y(α)=c, y(β)=d. Делая замену y=y(t) получим:}

Вычислить тела вращения вокруг оси ОУ параболы,.

1способ:

2способ:

2)Вычислить Vтела вращения вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямой у=0, дугой( с центом в точке(1;0), и радиусом=1), при.

Площадь поверхности тела вращения

Пусть заданна поверхность образованная вращением кривой у =f(х)вокруг оси Ох. Необходимо определитьSэтой поверхности при.

Пусть функция у =f(х) определенна и непрерывна, имеет неприр.и неотрицательна во всех точках отрезка [а;в]

Проведем хорды длины которых обозначим соответственно (n-хорд)

по теореме Лагранжа:

Тогда:

Площадь поверхности всей описанной ломанной будет равна

Определение: предел этой суммы, если он и конечен, когда наибольшее звено ломанойmax,называется площадью рассматриваемой поверхности вращения.

Можно доказать, сто предел суммы равен приделу интегрированной суммы для р-ий

формула дляSповерхности тела вращения =

Sповерхности образованной Вращением дуги кривой х=g(x) вокруг оси Оу при

Непрерывна со своей производной

Если кривая заданна параметрически ур-ми x=x(t) , y=t(t) ф-ии x’(t), y’(t),x(t),y(t) определенны на отрезке [a;b],x(a)=a, x(b)=b то сделав замену переменой x=x(t)

Если кривая заданна параметрически сделав замену в формуле получим:

Если уравнение кривой заданно в полярной системе координат

S поверхности вращения вокруг оси будет равно

studfiles.net

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Поиск Лекций

---

Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми выражается интегралом

Объем тела, образованный вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми определяется формулой

.

5.2(1). , ,

Решение.

На рис. 2 изображена область, ограниченная параболой и прямой , на рис. 3 — тело, полученное вращением вокруг оси фигуры, изображенной на рис.2.

Рис. 2. Рис. 3.

Объем тела вращения вокруг оси состоит из двух частей – тела, полученного вращением вокруг оси параболы (параболоида вращения) и конуса — тела, полученного вращением вокруг оси ОХ прямой . Следовательно,

Ответ: (куб. ед.).

5.2(2).

Решение.

На рис. 4 изображена область, ограниченная параболой и прямыми линиями: и На рис. 5 изображено тело вращения вокруг оси

Рис. 4 Рис. 5.

Согласно правилу вычисления объемов вращения вокруг оси , получим

Ответ: (куб. ед.).

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ.

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является двойной интеграл [2]:

.

Область интегрирования называется правильной, если прямые, проведенные через любую внутреннюю точку области параллельно осям и пересекают границу области не более чем в двух точках. Двойной интеграл от непрерывной в правильной области функции сводится к повторному интегралу [2], т.е. к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Задание 6. 6.1 .Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле; 6.2. Найти среднее значение функции в области: .

6.1.а. ,

6.1.b. .

6.1.а. ,

Решение.

Опишем область интегрирования .

Уравнение нижней границы: если и , т.е. , если . Уравнение верхней границы области :

если и , т.е. , если .

Область изображена на рис.6. Область правильная, ее можно

Рис. 6 Рис. 7

 

описать и так (рис. 7):

Согласно правилу расстановки пределов в повторных интегралах, получим

.

Ответ: .

6.1.b. .

Решение. Область интегрирования определяется соотношениями:

Кривая левая ветвь параболы (рис. 9).

Рис. 8 Рис. 9

Уравнение прямой : или

Точки — это точки пересечения параболы с прямыми и

Область состоит из двух областей: : и .

На рис. 8 указаны уравнения границ области, которые надо использовать для области, правильной в направлении оси .

Следуя правилам составления повторного интеграла, получим

Ответ:

Средним значением функции в области называется выражение

.

Здесь площадь области .

6.2. Найти среднее значение функции в области: .

Решение. Область интегрирования — прямоугольник, изображена на рис. 10. Очевидно,

Рис. 10 Рис. 11

Сведением к повторному интегралу, вычислим двойной интеграл

=

Внутренний интеграл вычисляем при фиксированных значениях « ».

Тогда

Отсюда по формуле Ньютона — Лейбница получим

Следовательно, среднее значение функции

Ответ: 1.

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ.

Тройной интеграл — обобщение определенного интеграла на трехмерную область . Как и в двойном интеграле, он сводится к повторному (трехкратному) интегралу от непрерывной функции по правильной области Область называется правильной, если прямые, проведенные через любую внутреннюю точку области параллельно координатным осям, пересекают границу области не более, чем в двух точках.

Объем области выражается тройным интегралом

.

Задание 7. Изобразить проекцию области на координатную плоскость и область интегрирования . Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

Решение.

На рис. 11, 12, 13 изображены проекции области на координатные плоскости , на рис. 14 — область .

Рис. 12 Рис. 13

Рис. 14

Объем тела вычисляем по формуле: .

Перейдем к повторному интегралу:

.

Вычисляем внутренний интеграл при постоянных значениях и :

Переходим к повторному интегралу по области :

Вычисляем внутренний интеграл по переменной

Ответ: 4 (куб. ед.).

 

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru