Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Видеоурок. Алгебра 7 Класс
На данном уроке мы рассмотрим уравнение с двумя переменными, дадим его определение и построим график.
Тема: Линейная функция
Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе – ордината.
Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.
Уравнение вида:
, где a, b, с – числа, причем
Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.
Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.
У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.
Рассмотрим пример:
Пример 1:
; ; ;
Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:
Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:
,
То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)
Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)
Занесем пары чисел в таблицу:
Построим на графике точки и проведем прямую:
Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим – возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке
interneturok.ru
Система линейных уравнений с двумя переменными. Методы решения систем уравнений.
Решением системы линейных уравнений двух переменных является любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям.
Как можно решить систему уравнений с двумя переменными?
Системы уравнений с двумя переменными можно решить методом подстановки:
Пример 1. Решить систему уравнений методом подстановки \(\begin{equation*} \begin{cases} 2x+y=15 \\ 3x-y=5 \end{cases} \end{equation*}\)
Решим систему методом подстановки: выразим y из второго уравнения и подставим в первое уравнение. Подставим x в первое уравнение и найдем y:
Системы уравнений с двумя переменными можно решить методом сложения:
Пример 2. Решить систему методом сложения: \(\begin{equation*} \begin{cases} x-y-4=0 \\ 3x+y-8=0 \end{cases} \end{equation*}\).
Решение:
Система уравнений состоящее из двух переменных должно удовлетворять всем решениям одновременно. Система линейных уравнений из двух переменных рассматривается одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти численное значение для каждой переменной в системе, которая будет удовлетворять всем уравнениям системы одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, и это будет их решением, другие системы могут иметь бесконечное число решений. Для того чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальное решение.
Выводы:
Система линейных уравнений из двух переменных решается совместно методом подстановки или методом сложения.
Чтобы найти решение системы линейных уравнений, мы должны найти численное значение для каждой переменной в системе, которая будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.
Для того чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть не меньше уравнений, чем переменных.
Решить систему уравнений это значит найти численное значение для каждой переменной в системе либо доказать что решений нет.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
myalfaschool.ru
Линейное уравнение с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными
Что такое линейное уравнение с двумя переменными?
С линейными уравнениями с двумя переменными мы имеем дело в 7, 8 классах и в более старших.
Линейное уравнение с двумя переменными определение
Определение линейного уравнения с двумя переменными
Уравнение вида ax + by = c называется линейными уравнениями с двумя переменными.
Здесь a, b и c – числа, x и y – переменные.
Линейное уравнение с двумя переменными пример
Пример линейного уравнения с двумя переменными
8x + 4y = 5
В этом уравнении две переменные x и y, a = 8, b = 4, c = 5.
Линейное уравнение с двумя переменными
Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара значений переменных, при подстановке которых в уравнение оно обращается в истинное равенство.
Решите линейное уравнение с двумя переменными
Как решать линейные уравнения с двумя переменными?
Пример. Решите уравнение
8x + 4y = 5
Выразим переменную игрек через переменную икс.
Для этого перенесем 8x в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный
4y = -8x + 5
Разделим обе части уравнения на четыре
y = -2x + 1,25
Выбираем произвольное значение икса, пусть это будет 7.
Подставляем 7 вместо икса и находим значение игрека
y = -2 * 7 + 1,25 = −12,75
Теперь у нас есть пара значений переменных x = 7 и y = −12,75, обычно эту пару чисел записывают в скобках (7; −12,75), при подстановке которых в уравнение оно обращается в верное равенство.
Таким образом решением нашего уравнения является пара чисел (7; −12,75).
Есть ли другие решения уравнения?
Есть и их бесконечно много. Выбирая произвольно значения икса мы расчитываем соответствующее значение игрека и получаем очередное решение уравнения.
Например, если взять x = 2, то
y = -2 * 2 + 1,25 = −2,75
Мы получили новую пару чисел (2; −2,75), которая является решенеием уравнения.
www.sbp-program.ru
Конспект урока на тему «Линейные уравнения с двумя переменными
КОНСПЕКТ УРОКА
Линейные уравнения с двумя переменными
Класс: 7
УМК: Алгебра 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.]; под ред. С.А. Теляковского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014
Тема: Линейные уравнения с двумя переменными
Цели: Познакомить учащихся с понятиями линейного уравнения с двумя переменными и его решения, научить выражать из уравнения х через у или у через х.
Формируемые УУД:
Познавательные: выдвигать и обосновывать гипотезы, предлагать способы их проверки
Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона; составлять план и последовательность действий.
Коммуникативные: устанавливать рабочие отношения; эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной кооперации.
Личностные: формирование навыков организации анализа своей деятельности
— Послушайте сказку про Деда-Равняло и догадайтесь, о чем мы сегодня будем говорить
Сказка «Дед-Равняло»
Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.
— Итак, о чем идет речь в этой сказке? (об уравнениях)
II. Давайте вспомним всё, что мы знаем о линейных уравнениях и попробуем провести параллель между известным нам материалом и новым материалом.
Какой тип уравнения нам известен? (линейное уравнение с одной переменной)
Вспомним определение линейного уравнения с одной переменной.
Что называется корнем линейного уравнения с одной переменной?
Сформулируем все свойства линейного уравнения с одной переменной.
Заполняется 1 часть таблицы
ах=в, где х – переменная, а,в- числа.
Пример: 3х = 6
Значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство
1) перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменив их знак на противоположный.
2) обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже, не равное нулю число.
Линейное уравнение с двумя переменной.
ах + ву = с, где х,у – переменные, а,в.с – числа.
Пример:
х – у = 5
х + у = 56
2х + 6у =68
Значения х, у, обращающие уравнение в верное равенство.
х=8; у=3 (8;3)
х=60; у = — 4 (60;-4)
Верны свойства 1,2.
3) равносильные уравнения:
х-у=5 и у=х-5
(8;3) (8;3)
После того, как заполнили первую часть таблицы, опираясь на аналогию, начинаем заполнять вторую строку таблицы, тем самым узнавать новый материал.
III. Обратимся к теме: линейное уравнение с двумя переменными. Само название темы наталкивает на мысль, что нужно вводить новую переменную, например у.
Существует два числа х и у, одно больше другого на 5. Как записать соотношение между ними? (х – у = 5) это и есть линейное уравнение с двумя переменными. Сформулируем по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной определение линейного уравнения с двумя переменными (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, гдеa,bиc– некоторые числа, аxиy–переменные).
Уравнение x – y = 5 при x = 8, y = 3 обращается в верное равенство 8 – 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных x = 8, y = 3 является решением этого уравнения.
— Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)
Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;3). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором — y.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:
Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.
Пример 1.Рассмотрим уравнение 10x + 5y = 15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую.
Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y = 15 — 10x.
Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение
у = 3 — 2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y.
Если x = 2, то y = 3 — 2· 2 = -1.
Если x = -2, то y = 3 — 2· (-2) = 7. Пары чисел (2; -1), (-2; 7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.
Из истории.Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.
Пример 2.Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?
Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x + 2y = 20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:
2y = 20 — 3x
у =
Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения y являются натуральными числами.
Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2 и 7, либо 4 и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.
IV. Работа по учебнику (устно) № 1025, № 1027(а)
Самостоятельная работа с проверкой в классе.
1. Выпишите линейно уравнение с двумя переменными.
а ) 3х + 6у = 5 в) ху = 11 б) х – 2у = 5
2. Является ли пара чисел решением уравнения?
2х + у = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).
3. Выразите из линейного уравнения
4х – 3у = 12 а) х через у б) у через х
4. Найдите три, каких либо решения уравнения.
х + у = 27
V. Итак, подведем итог:
Дать определение линейного уравнения с двумя переменными.
Что называется решением (корнем) линейного уравнения с двумя переменными.
Сформулировать свойства линейного уравнения с двумя переменными.
Выставление оценок.
Домашнее задание: п. 40, № 1028, №1032
infourok.ru
«Линейные уравнения с двумя переменными».
7 класс.
Тема урока: «Линейные уравнения с двумя переменными».
Тип урока: урок изучения нового.
Цели урока:
Образовательные: ввести понятия линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения.
Развивающие: Сформировать умение осознанно проводить обобщение и анализ.
Воспитательные:воспитывать интерес к математике.
Структура урока:
Актуализация знаний.
Мобилизующее начало урока, сообщение учителя о планируемой работе на уроке. (1 мин)
Устный опрос с целью проверки домашней работы, и актуализации опорных знаний. (4 мин)
Обсуждение задачи с практическим содержанием с целью построения модели, и создания проблемной ситуации. (5 мин)
Подведение итогов, постановка проблемы и учебной задачи. (1 мин)
Формирование новых знаний и способов действий.
Беседа, с целью подготовки и введения определения линейного уравнения с двумя переменными.(6 мин)
Устное решение задач с целью усвоения определения (5 мин)
Эвристическая беседа, с целью подготовки и введения определения решения линейного уравнения с двумя переменными. (4 мин)
Устное решение задач с целью усвоения понятия «решение уравнения с двумя переменными».(2 мин.)
Эвристическая беседа, с целью получения алгоритма решения линейного уравнения с двумя переменными. (6 мин)
Беседе, с целью введения понятия графика линейного уравнения с двумя переменными и отыскания способа построения графика этого уравнения. (5 мин)
Применение знаний, формирование умений и навыков.
Решение задач, с целью усвоения материала. (если останется время)
Сегодняшний урок мы построим следующим образом, сначала проверим домашнее задание, затем приступим к изучению новой темы, а если останется время, то порешаем задачи по новой теме.
Проверка домашнего задания с целью актуализации опорных знаний,
Учитель: Домой вам было задано 3 задачи. Есть ли какие-то вопросы по домашнему заданию? Все ли справились с домашним заданием?
Проверим №695, как выполняли и какой ответ? (спрашиваю 1 ученика). У кого не так?
Проверим №698, как выполняли и какой ответ? (спрашиваю 1 ученика). У кого не так?
Проверим №799, какая фигура получилась? (спрашиваю 1 ученика) У кого не так?
Обсуждение задачи с практическим содержанием и построение модели, с дальнейшим созданием проблемной ситуации.
Учитель: Ребята, в математике существует много видов уравнений. Уравнения помогают нам решать задачи. И с некоторыми вы уже знакомы, например, уравнения 5х-2=0 или 0,3х + 9=0 Умеете ли вы решать такие уравнения?
Ученики: Да, умеем.
Учитель: В математике для того, чтобы дать определение какому-либо виду уравнения его записывают в общем виде.
Чтобы это сделать уравнения нужно сравнить, т.е. выявить их сходство и различия. Посмотрим на эти уравнения у каждого из них первое слагаемое в левой части – число, умноженное на х, второе слагаемое – просто число, а в правой части – 0. Это их общие свойства. А различия в том, что числа эти разные. Если теперь эти числа мы обозначим буквами а и в, то получим уравнение вида ах+в=0. Чем в данном уравнение являются а,в, чем х?
Ученики: а и в — это числа, х- неизвестное (переменная).
Учитель: Верно! Такое уравнение, т.е. уравнение вида ах+b=0 называется линейным уравнением с одной переменной.
Мы с вами знаем, что линейные уравнения могут являться математической моделью реальной ситуации. Сегодня мы убедимся в том, что математической моделью могут быть не только линейные уравнения с одной переменной.
Решим такую задачу: Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли 2 поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?
Составим математическую модель задачи. Пусть х км/ч- скорость 1-го поезда, у км/ч – скорость 2-го поезда. Первый был в пути 5ч и, значит прошел путь 5х км. Второй поезд был в пути 3ч т.е. прошел путь 3у км. Их встреча произошла в пункте С. (можно изобразить рисунок). На алгебраическом языке эту задачу можно записать в виде следующего уравнения: 5х+3у=500
Можем ли мы его решить?
Ученики: Нет.
Учитель: Почему не можем решить, что в нем нового?
Ученики: в этом уравнение уже 2 переменные, а мы умеем решать только уравнения с одной переменной.
Учитель: верно.
Подведение итогов, постановка учебной задачи.
Учитель: Так вот задача нашего урока – изучить этот новый вид уравнений, дать ему определение и научиться его решать.
Формирование новых знаний и способов действий.
Беседа, с целью подготовки и введения определения линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: вернемся к полученному уравнению, 5х+3у-500=0.
Назовите неизвестные этого уравнения.
Ученики: неизвестные х,у.
Учитель: Какие известные числа имеются в этом уравнении?
Назовите их.
Ученики: Три. 5, 3, 500.
Как связаны эти числа с неизвестными?
— 5 и 3 это коэффициенты при неизвестных.
Учитель: Посмотрите на такое уравнение 3х+7у+18=0
И сравните его с предыдущим. Что у них общего? Чем они отличаются?
Ученики: В этом уравнении тоже 2 неизвестных х и у, и тоже 3 числа, два из которых коэффициенты (т.е. множители) при неизвестных, только числа другие.
Учитель: Можем ли мы обобщить вид таких уравнений, т.е. записать их в общем виде? Что для этого нужно сделать?
Ученики: Обозначить числа в этом уравнении буквами.
Учитель: Если мы обозначим множитель перед х – через а, множитель перед у – в, и оставшееся число через с. Какое уравнение получим?
Ученики: Получим уравнение ах+ву+с=0
Учитель: Мы получили новый вид уравнения, такой вид уравнения называется линейным уравнением с двумя переменными. Давайте попробуем дать определение такому уравнению. Какое уравнение будем называть линейным уравнением с двумя переменными?
Ученики: Уравнение вида ах+ву+с=0 где а,в,с,- числа и а,в не равны 0 называется линейным уравнением с двумя переменными.(1 ученик повторяет)
Устное решение задач.
Учитель: Теперь нам нужно научиться узнавать такие уравнения.
Задачи: на распознавание. №803-804
Задачи: а= 5, в= 7, с=6, (а=-2, в= 1, с= -9) составить лин.ур. с двумя переменными.
Эвристическая беседа, с целью подготовки и введения определения решения линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: вспомним, что значит решить линейное уравнение с одной переменной?
Ученики: Это значит, что нам нужно найти такое х, при подстановке которого в наше уравнение получится верное равенство.
Учитель: Как мы решали например уравнение 3х-15=0
Ученики: …..
Учитель: Хорошо. Можно ли таким же способом найти решение линейного уравнение с двумя переменными?
Ученики: нет, у нас ведь ещё есть одно неизвестное.
Учитель: верно ребята, тут нам нужно найти уже 2 значения и х, и у. Если мы подберем такие х,у что наше равенство будет верно, можно ли сказать что мы нашли решение линейного уравнения с двумя неизвестными?
Ученики: Да.
Учитель: Давайте проверим и подберем решения уравнения
3х+4у=24 Какой х и у нужно взять чтобы получилось верное равенство?
Ученики: х=4 и у=3
Учитель: А ещё можно подобрать?
Ученики: да, (0,6) или( 8,0)
Учитель: Из этого мы видим что решение данного уравнения будет не единственное. Давайте же сделаем вывод и дадим определение решению линейного уравнения с 2 переменными.
Ученики: Решением уравнения вида ах+ву+с=0 называется пара чисел, при подстановке которых в уравнение мы получаем верное равенство, и эта пара будет не единственная.
Учитель: Проверим, является ли пара (1;4) решением уравнения 7х+5у=23?
Ученики: …..
Учитель: Как найти решение уравнения 2х+3у=24? Можно заметить, что угадывать решения линейного уравнения с двумя неизвестными совсем не просто. Поэтому нам нужно научиться находить их решения.
Эвристическая беседа, с целью поиска решения линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: Вспомните, что нужно сделать, чтобы решить уравнение с одной переменной. Ну, например, уравнение 10х+4=14
Какие шаги надо выполнить, чтобы получить х?
Ученики: Надо 1)4 перенести в левую часть с противоположным знаком.
2)затем из 14 вычесть 4
3)обе части уравнения поделить на 10
Получается х=1
Учитель: Верно! Можно ли таким алгоритмом пользоваться и при решении уравнения вида ах+ву+с=0?
Ученики: нет т.к. у нас 2 неизвестных.
Учитель: верно. Для того чтобы решить уравнение вида ах+ву+с=0 нам необходимо знать значение одной переменной, это значение мы можем брать произвольно (т.е. как хотим), а затем, подставив выбранное значение этой переменной в уравнение мы сможем найти вторую переменную.
Учитель: Рассмотрим такой пример: Решите уравнение 8х+6у-11=0
Значение какой либо переменной нам не дано, поэтому сами произвольно его выбираем. Пусть х=2.
Тогда мы в наше уравнение вместо х подставляем 2 , что получили?
Ученики: 16+6у-11=0
6у+5=0 т.е. мы получили линейное уравнение с одной переменной.
Учитель: такой вид уравнения вы уже умеете решать, что получилось? Чему равен у?
Ученики: у=-5/6
Учитель: Правильно. А если бы мы взяли значение у. Что тогда надо было бы сделать?
Ученики: Надо было вместо у поставить это значение, посчитать и найти х.
Учитель: хорошо. Проделайте это самостоятельно возьмите у=3 Что получилось?
Построение графика линейного уравнения с двумя переменными.
Учитель: Мы с вами выяснили. Что решением линейного уравнения с двумя переменными является множество пар чисел (х;у).
Давайте вспомним, что можно задать с помощью пары чисел?
Ученики: Можно задать точку в координатной плоскости.
Учитель: Следовательно, любое решение уравнения с двумя переменными можно изобразить в виде соответствующей точки в координатной плоскости. Т.е. решения уравнения задают координаты точек координатной плоскости. Это обстоятельство позволяет получить график такого уравнения.
Учитель:. Вернемся к заданию где вы находили решения уравнения 2х+3у=24 вы получили пары (3,6), (6,4), (0,8), (-3,10). Построим координатную плоскость и отметим на ней эти точки.
Посмотрите внимательно, как расположены эти точки друг относительно друга?
Соединим отмеченные точки. Что получилось?
Ученики: Прямая.
Учитель: Нам нужно выяснить, будут ли координаты всех точек полученной прямой удовлетворять данному уравнению. Возьмём какую-то другую точку на полученной прямой, будет эта точка являться решением нашего уравнения. Проверьте. Например точку (4,5; 5)
Ученики: Да и эта точка является решением нашего уравнения.
Учитель: Тогда можно предположить, что какую бы точку мы не взяли на этой прямой ее координаты будут решением уравнения 2х+3у=24. Это действительно так.
Итак, множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости в виде прямой линии.
Полученную таким образом прямую называют графиком линейного уравнения с двумя переменными.
Подумаем, что нужно сделать, чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными?
Но надо ли нам строить много точек для того чтобы построить прямую на плоскости? Сколько достаточно иметь точек, чтобы можно было построить прямую?
Ученики: Для того чтобы построить прямую на плоскости нам достаточно 2 точек.
Учитель: Верно.
Выполним такое задание: Изобразить график линейного уравнения х+у-3=0 на координатной плоскости.
Надо найти решения этого уравнения. Мы сегодня выяснили, что решением такого вида уравнения является пара чисел, и при том, она не единственная. Но мы уже знаем что графиком линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая и поэтому нам надо найти только 2 решения. Найдём их. Как мы будем это делать?
Ученики: Дадим конкретное значение х, например х=3, затем выразим у. Получим пару чисел (3,0)
Дадим второе конкретное значение х, например х=6, выразим у. Получим (6,3)
Учитель: верно, так мы с вами получили координаты двух точек.
Теперь нам эти точки нужно изобразить на координатной плоскости.
Провести прямую, через полученные точки.
Итак, мы получили прямую, которая является графиком линейного уравнения с двумя неизвестными х+у-3=0
Сделаем вывод. Чтобы построить график линейного уравнения с двумя переменными нужно:
Ученики:
Дать конкретное значение х и выразить у через х. Так мы получили координаты первой точки.
2. Аналогично найти координаты второй точки.
3. Провести через эти точки прямую.
Итак подведем итог нашего сегодняшнего урока, вспомним что нового мы сегодня изучили, а для этого вам предстоит ответит на следующие вопросы:
1.Какое уравнение называется линейное уравнение с 1 переменной?
2. Какое уравнение называется линейное уравнение с 2 переменными?
3. Что является решением линейного уравнения с 2 переменными?
4.Что является графиком линейного уравнения с 2 переменными?
5. Повторим алгоритм построения графика линейного уравнения с 2 переменными.
3. Применение знаний, формирование умений и навыков.
3.1. Решение задач, с целью усвоения материала. (если останется время) №816, №820(б,в)
2010-2011уч. год., № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений.
Впервом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной пе-
ременной. Например, уравнения 2x +5 = 0, 3x +(8x −1)+9 = 0 являются линейными уравнениями с переменнойx. Уравнение, содер-
жащее переменные x и
y, называется уравнением с двумя перемен-
ными. Например, уравнения 2x −3y =5,
x2 + xy− y2
= 7 являются
уравнениями с двумя переменными.
Уравнение вида ax +by = c называется
линейным
уравнением с
двумя переменными, где
x и y −переменные,
a, b, c −некоторые чис-
ла.
2x+ y=3, x− y= 0
Например, уравнения
являются линейными
уравнениями с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, x =3, y = 4 является решением уравнения2x +3y =18, будем эту пару чисел записывать так(3; 4). Очевидно, что пара чисел
(4;3) не является решением уравнения, т.к.2 4 +3 3 =17 ≠18. При
нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной x, а на втором месте – значение
переменной y.
Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений 2x + y =3 и4x +2 y =6 совпада-
ют, следовательно, эти уравнения равносильные.
Справедливы следующие правила при решении уравнений с двумя переменными:
1)если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2)если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
·
повторить что такое линейное уравнение с одной
переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;
·
ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с
двумя переменными», «равносильные уравнения».
Материал
урока
Ранее
мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.
Вспомним,
что:
Сегодня
на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.
Давайте
рассмотрим ситуацию
Полученное
равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют уравнениями
с двумя переменными (или с двумя неизвестными).
Посмотрите
на примеры уравнений с двумя переменными
Сформулируем
определение:
Определение.
Линейным
уравнением с двумя переменными называется уравнение
вида:
Вернёмся
к задаче
То
есть пара значений переменных (x = 60, y = 110)
является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом
подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему
уравнению.
Определение.
Решением
уравнения с двумя переменными называется пара
значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.
Вспомним,
что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных
уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.
Аналогично
можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения,
называются равносильными.
Причем
уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными.
Равносильные
уравнения обладают следующими свойствами:
Свойство
1.
Если
в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то
получится уравнения, равносильное данному;
Свойство
2.
Если
обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля
число, то получится уравнение, равносильное данному.
Снова
вернёмся к нашему уравнению
Но
здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой
– на втором. Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.
При
этом пара чисел (150; — 25) являясь решением уравнения, не удовлетворяет
условию задачи, так как скорость автомобиля не может быть отрицательной.
И
давайте рассмотрим ещё одну задачу.
Пример.
Решение
уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения
переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.
Поэтому
уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах,
называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в
предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только
натуральные решения.
И
давайте рассмотрим примеры.
Пример.
И
ещё пример.
Пример.
Итоги
урока
Итак,
на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из
способов решения таких уравнений.
Модуль в математике, 1) Модуль (в математике) (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число (корень берётся со знаком плюс) . При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно Модуль (в математике) числа z. Модуль (в математике) допускает следующее геометрическое истолкование: комплексное число z = х + iy можно изобразить вектором, исходящим из начала прямоугольной системы координат и имеющим конец в точке с координатами (х, у) ; длина этого вектора и есть Модуль (в математике) комплексного числа z.
2) Модуль (в математике) перехода от системы логарифмов при основании а к системе логарифмов при основании b есть число М = 1/logab; для получения логарифмов чисел х при основании b, если известны логарифмы этих чисел при основании а, надо последние умножить на Модуль (в математике) перехода:
logbx = М logax.
Модуль (от лат. modulus — «маленькая мера» ) — составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь в целом.
Модуль (электроника) — функционально завершённый узел радиоэлектронной аппаратуры, оформленный конструктивно как самостоятельный продукт. См. также: унификация.
Термальный модуль — комплект системы охлаждения компьютера.
Автономно управляемая часть космического корабля, например, модули МКС: Юнити, Коламбус, стыковочно-грузовой модуль и другие (см. таблицу: {{Модули МКС}}).
Модуль (программирование) — функционально законченный фрагмент программы.
Модульное обучение (педагогика) — законченный блок учебного материала.
Модуль (архитектура) — предварительно заданная велична, размер, кратным которому принимаются остальные размеры при разработке проекта здания или при оценке существующего.
Модуль (полиграфия) — предварительно заданная велична, основа модульной системы вёрстки.
Модуль (судостроение) — произведение длины между перпендикулярами, ширины и высоты борта.
Модуль (реклама) — размеры графики для печатной рекламы.
+1+2+3+4+5
По определению модуль — это функция аргумента x, равная самому x, если x больше либо равно 0, и равная -x, если x меньше нуля. Обозначается так: |x|. В алгебре очень часто встречаются ситуации, приводящие к необходимости ввести подобную функцию. Одной из таких ситуаций является измерение отрезков на координатной прямой. Длина отрезка — это разность между координатой его конца b и координатой его начала a, т. е. это b-a, где b>a. Но иногда заведомо неизвестно, какое из этих чисел больше. И вот тут-то приходит на помощь модуль. Он позволяет не обращать внимания на порядок написания координат точек, т. е. |b-a| = |a-b|. Иными словами, длина отрезка в этом случае выразится формулой L = |a-b|, где a и b — какие угодно числа, либо числовые или буквенные выражения.
Другой пример, известна формула log (a^p) = p*log a (показатель степени аргумента логарифма можно вынести за знак логарифма в качестве множителя) , где основанием логарифма может быть какое угодно допустимое число. Из этой формулы будто бы следует, что log (a^2) = 2*log a. Но это неверно, потому что левая часть равенства при a < 0 имеет смысл, а правая — нет. На самом деле, справедливо равенство log (a^2) = 2*log |a|, где под a может пониматься любое допустимое (т. е. не равное нулю) число или выражение.
touch.otvet.mail.ru
Поясните мне пожалуйста человеческим языком, что такое модуль в математике, и, главное, зачем он нужен?
не вижу примера а так да число всегда положительное
Не парься так) ЛЮБОЕ число в модуле=тому же числу, и обязательно, положительному. Зачем он нужен? Может, чтобы в каких-то конкретных случаях запутать человека или проверить на внимательность, но этого я точно не могу тебе сказать, зачем он нужен)
Модуль числа это и есть само число. НО . Если число отрицательное, то модуль то же число, но с плюсом, за место минуса
|x| это одна из полезных функций:
|x|=x если x >=0, |x|=-x если x < 0.
Примеры: |26|=26, |-26|=26
|x| всегда больше или равен 0.
Польза понятна тому, кто занимался математикой.
Пример в студию
Модуль для целого числа — это операция «убирания минуса», и действительно, непонятно, где человек может ее применить. А для формальных алгоритмов ЭВМ она удобна, особенно, если под знаком модуля стоит не конкретное число, а промежуточный результат, выражение (с иксами и игреками). Или если в пространстве нужно вычислить длину отрезка между двумя точками с любыми (отрицательными) координатами — длина отрезка не может быть отрицательна — и дальше оперировать этой величиной. Также модуль нужен при операциях с логарифмами. Есть еще модуль комплексного числа, но это совсем другое понятие. При составлении многошаговых и циклических алгоритмов скорость и точность выполнения единичной операции приобретает значение, и в ряде случаев, чтобы сравнить два числа, проще применить операцию взятия модуля, а в других случаях нет.
модулем числа называется расстояние от начала координат, или нуля до этого числа
модуль числа нужен для определения расстояние от нуля до этого числа
Получается в обычной жизни он не нужу
touch.otvet.mail.ru
Модуль числа. Алгебра
Степень
Степенью называется выражение вида: , где:
— основание степени;
— показатель степени.
Степень с натуральным показателем {1, 2, 3,…}
Определем понятие степени, показатель кᴏᴛᴏᴩой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
По определению: .
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза: .
Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}
В случае если показателем степени будет целое положительное число:
, n > 0
Возведение в нулевую степень:
, a ≠ 0
В случае если показателем степени будет целое отрицательное число:
, a ≠ 0
Прим: выражение не определено, в случае n ≤ 0. В случае если n > 0, то
Пример 1.
Степень с рациональным показателем
В случае если:
a > 0;
n — натуральное число;
m — целое число;
Тогда:
Пример 2.
Свойства степеней
Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень
Пример 3.
Корень
Арифметический квадратный корень
Уравнение имеет два решения: x=2 и x=-2. Это числа, квадрат кᴏᴛᴏᴩых равен 4.
Изучим уравнение . Нарисуем график функции и увидим, что и у ϶ᴛᴏго уравнения два решения, одно положительное, другое отрицательное.
Но в данному случае решения не будут целыми числами. Более того, они не будут рациональными. Стоит сказать, для того, ɥᴛᴏбы записать данные иррациональные решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень — ϶ᴛᴏ неотрицательное число, квадрат кᴏᴛᴏᴩого равен , a ≥ 0. При a < 0 — выражение не определено, т.к. нет такого действительного числа, квадрат кᴏᴛᴏᴩого равен отрицательному числу .
Корень из квадрата
К примеру, . А решения уравнения ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙенно и
Кубический корень
Кубический корень из числа — ϶ᴛᴏ число, куб кᴏᴛᴏᴩого равен . Кубический корень определен для всех . Его можно извлечь из любого числа: .
Корень n-ой степени
Корень -й степени из числа — ϶ᴛᴏ число, -я степень кᴏᴛᴏᴩого равна .
В случае если — чётно.
Тогда, если a < 0 корень n-ой степени из a не определен.
Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается
В случае если — нечётно.
Тогда уравнение имеет единственный корень при любом .
Пример 4.
Таблица корней
Корень третьей степени (3)
Корень седьмой степени (7)
Корень четвертой степени (4)
Корень восьмой степени (8)
Корень пятой степени (5)
Корень девятой степени (9)
Корень шестой степени (6)
Корень десятой степени (10)
xn--80aatn3b3a4e.xn--p1ai
МОДУЛЬ — это… Что такое МОДУЛЬ?
— абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек-рым кольцом.
Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А- модулем, если определено отображение значение к-рого на паре для записывается как am, причем выполняются аксиомы:
Если кольцо Аобладает единицей, то обычно требуют дополнительно, чтобы для любого выполнялось равенство . М. с этим свойством наз. унитарным, или унитальным.
Аналогично определяются правые A-модули; при этом аксиома 3) заменяется условием Любой правый А-модуль можно рассматривать как левый -модуль над кольцом , антиизоморфным кольцу А, поэтому любому утверждению о правых A-модулях соответствует нек-рое утверждение о левых -модулях и наоборот.
В случае, когда кольцо Акоммутативно, любой левый A-модулъ можно рассматривать как правый A-модуль, и различие между левыми и правыми М. исчезает. Ниже будут рассматриваться только левые A-модули.
Простейшие примеры М. (конечные абелевы группы, т. -модули) появляются уже у К. Гаусса (C.Gauss) как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие М. встречается впервые в 60-80-х гг. 19 в. в работах Р. Дедекинда (R. Dedekind) и Л. Кронекера (L. Kronecker), посвященных арифметике полей алгебраич. чисел и алгебраич. функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, В. Peirce, Ф. Фробениус, F. Frobenius), привело к изучению идеалов нек-рых некоммутативных колец. Первоначально теория М. развивалась преимущественно как теория идеалов нек-рого кольца. Лишь позднее в работах Э. Нётер (Е. Noether) и В. Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных М., а не только идеалов. Последующее развитие теории М. связано с применением методов и идей теории категорий, в частности методов гомологич. алгебры.
Примеры модулей. 1) Любая абелева группа Мявляется М. над кольцом целых чисел . Для и произведение am определяется как результат сложения т а раз.
2) В случае, когда А- поле, понятие унитарного A-модуля в точности эквивалентно понятию линейного векторного пространства над А.
3) Координатное n-мерное векторное пространство V над полем Кможно рассматривать как М. над кольцом всех -матриц с коэффициентами из К. Для и произведение определяется как умножение матрицы Xна столбец координат вектора .
4) Ассоциативное кольцо Аявляется левым Л-мо-дулем. Умножение элементов кольца на элементы М. совпадает с обычным умножением в Л.
5) Дифференциальные формы на гладком многообразии Xснабжены естественной структурой М. над кольцом всех гладких функций на X.
6) С любой абелевой труппой Мсвязано ассоциативное кольцо с единицей End (M)всех эндоморфизмов группы М. Группа Мснабжена естественной структурой End (M)-модуля.
Если на Мзадана структура A-модуля для нек-рого кольца A. то отображение является эндоморфизмом Мдля любого . Сопоставляя элементу порождаемый им эндоморфизм М, получают гомоморфизм кольца в . Наоборот, любой гомоморфизм определяет на Мструктуру A-модуля. Таким образом, задание структуры A-модуля на абелевой группе Мравносильно заданию гомоморфизма . Такой гомоморфизм наз. также представлением кольца A, а Мназ. модулем представления. С любым представлением связан двусторонний идеал , состоящий из элементов таких, что am=0 для всех . Этот идеал наз. аннулятором модуля М. В случае, когда представление наз. точным,- точным модулем.
Очевидно, что модуль Мможно рассматривать также как М. над факторкольцом . В частности, хотя определение М. и не предполагает ассоциативности кольца A, кольцо всегда ассоциативно. Поэтому в большинстве случаев достаточно ограничиться рассмотрением М. над ассоциативными кольцами. Ниже, везде, где не оговорено противное, кольцо A будет предполагаться ассоциативным.
G-модули. Пусть G- нек-рая группа. Аддитивная абелева группа Мназ. левым G-модулем, если задано отображение , значение к-рого на паре , где , записывается как gm, причем для любого отображение является эндоморфизмом группы М, для любых , , и для всех где 1 — единица группы G. Для любого отображение является автоморфизмом группы М.
Аналогично можно определить правые G-модули. При любой правый G-модуль будет левым G-модулем.
Примеры G — модулей. 1) Пусть К- расширение Галуа нек-рого поля кс группой Галуа G. Тогда аддитивная и мультипликативная группы поля Кснабжены естественной структурой G-модуля. Если к- поле алгебраич. чисел, то G-модулями также являются аддитивная группа кольца целых чисел поля K, группа единиц поля К, группа дивизоров и группа классов дивизоров поля К, и т. д. М. над группой Галуа наз. также модулями Галуа.
2) Пусть задано нек-рое расширение абелевой группы М, т. е. точная последовательность групп
где М- абелев нормальный делитель группы Fи G — произвольная группа. Тогда группу Мможно снабдить естественной структурой G-модуля, положив для где — нек-рый прообраз элемента gв группе F.
В тех случаях, когда групповая операция в абелевой группе Мзаписывается мультипликативно (напр., М- мультипликативная группа нек-рого поля), вместо записи gm используют также запись mg, т. е. операторы из группы G записывают как показатели.
Пусть задан G-модуль М. Сопоставляя элементу автоморфизм группы М, получают гомоморфизм группы в группу обратимых элементов кольца . Наоборот, любой гомоморфизм группы G в группу обратимых элементов кольца End (М) задает на Мструктуру G-модуля.
Понятия М. над кольцом и G-модуля тесно связаны. Именно, любой G-модуль Мможно рассматривать как М. над групповым кольцом , если распространить действие группы на по линейности, т. е. положить
где Наоборот, если на Мзадана структура унитарного G-модуля, то Мможно рассматривать как G-модуль.
В случае, когда Мявляется K-модулем над нек-рым коммутативным кольцом Ки одновременно G-модулем, причем действие элементов группы G на Мперестановочно с действием элементов К, М можно снабдить структурой KG -модуля, распространяя действие с Gна KG по линейности. Напр., если V- линейное векторное пространство над полем К, то задание структуры KG -модуля на Vэквивалентно заданию представления Gв пространстве V.
Используя стандартную инволюцию в группе G, любой левый G-модуль Мможно превратить в правый G-модуль, положив Аналогично, любой правый G-модуль можно превратить в левый G-модуль.
Модуль над алгеброй Ли. Пусть — алгебра Ли над коммутативным кольцом Ки М- нек-рый K-мо-дуль. Задание структуры -модуля на Мсостоит в задании K-эндоморфизма группы Мдля каждого , причем требуется выполнение аксиомы
для любых . Это определение отличается от данного ранее определения A-модуля. Задание на Мструктуры -модуля равносильно заданию K-гомоморфизма в алгебру Ли кольца End (М). Модуль Мнад алгеброй Ли можно рассматривать также как М. в обычном смысле над универсальной обертывающей алгеброй алгебры
Конструкции в теории модулей. Исходя из заданных A-модулей, можно получать новые А-модули при помощи ряда стандартных построений. Так, с любым модулем Мсвязана решетка всех его подмодулей. Напр., если кольцо A рассматривать как левый М. над собой, то его левые подмодули — это в точности левые идеалы кольца А. Ряд важных типов М. определяется в терминах решетки подмодулей. Напр., условие обрыва убывающих (возрастающих) цепей подмодулей определяет артиновы модули( нётеровы модули). Условие отсутствия нетривиальных подмодулей, т. е. подмодулей, отличных от 0 и всего М., выделяет неприводимые модули.
Для модуля Ми любого его подмодуля Nфакторгруппу M/N можно снабдить структурой A-модуля. Этот модуль наз. фактормодулем Мпо N.
Гомоморфизм A-модулей определяется как гомоморфизм абелевых групп , перестановочный с умножением на элементы кольца А, т. для всех Если заданы два гомоморфизма , то их сумма, определяемая формулой , снова будет гомоморфизмом А-модулей. Это сложение задает на множестве всех гомоморфизмов модуля Мв Nстроение абелевой группы. Для любого гомоморфизма определены подмодули и , а также фактормодули (коядро f) и (кообраз f). М. Imf и Coim f канонически изоморфны, поэтому их обычно отождествляют. Напр., для любого левого идеала f кольца Аопределен фактормодуль A/J. М. A/J неприводим тогда и только тогда, когда J — максимальный левый идеал. Если М- иек-рый неприводимый A-модуль, не аннулируемый кольцом А, то Мизоморфен М. A/J для нек-рого максимального левого идеала J.
Для любого семейства , где пробегает нек-рое множество индексов J, в категории A-модулей существуют прямая сумма и прямое произведение семейства . При этом элементы прямого произведения можно интерпретировать как векторы , компоненты к-рых заиндексированы множеством J, причем для каждого индекса . Сложение таких векторов и умножение их на элементы кольца определяются покомпонентно. Прямую сумму семейства можно интерпретировать как подмодуль прямого произведения, состоящий из векторов, у к-рых все компоненты, кроме конечного числа, равны нулю.
Для проективной (индуктивной) системы A-модулей проективный (индуктивный) предел этой системы можно естественным образом снабдить структурой A-модуля. Прямое произведение и прямая сумма М. могут рассматриваться как частные случаи понятий проективного и индуктивного пределов.
Образующие и соотношения. Пусть X — нек-рое подмножество A-модуля М. Подмодулем, по рожденным множеством X, наз. пересечение всех подмодулей модуля М, содержащих X. Если этот подмодуль совпадает с М, то Xназ. семейством (или системой) образующих модуля М. М., допускающий конечное семейство образующих, наз. конечно порожденным модулем. Напр., в нётеровом кольце любой идеал является конечно порожденным М., прямая сумма конечного числа конечно порожденных М. снова конечно порождена. Любой фактормодуль конечно порожденного М. также конечно порожден. Для построения системы образующих модуля Мчасто оказывается полезной лемма Накаямы: для любого идеала , содержащегося в радикале кольца А, из условия следует М=0. В частности, в условиях леммы Накаямы элементы являются системой образующих для М, если их образы порождают модуль Это соображение особенно часто используется в случае, когда A — локальное кольцо и — максимальный идеал в A.
Пусть М- модуль с системой образующих Тогда отображение определяет эпиморфизм свободного A-модуля Fс образующими на М(М. Fможно определить как множество формальных конечных сумм отображение распространяется с образующих на элементы М. Fпо линейности). Элементы М. наз. соотношениями между образующими модуля М. Если модуль Мможно представить как фактормодуль конечно порожденного свободного М. Fтак, чтобы М. соотношений Rтакже был конечно порожден, что Мназ. конечно представимым модулем. Напр., над нётеровым кольцом A любой конечно порожденный М. конечно представим. В общем случае конечная представимость не следует из конечной порожденности.
Замена кольца. Существуют стандартные конструкции, позволяющие рассматривать A-модуль Мкак М. над нек-рым другим кольцом. Напр., пусть задан гомоморфизм колец . Тогда, полагая , можно рассматривать Мкак В-модуль.
Если модуль М- унитарный A-модуль, и гомоморфизм j переводит единицу в единицу, то Мстанет унитарным B-модулем.
Пусть задан нек-рый гомоморфизм колец и A-модуль М. Тогда Вможно снабдить структурой ( В, A )-модуля, полагая для и можно рассмотреть левый B-модуль . Говорят, что этот М. получен из M расширением скаляров.
Категория модулей. Класс всех М. над заданным кольцом Ас гомоморфизмами М. в качестве морфиз-мов образует абелеву категорию, обозначаемую Из функторов, определенных на этой категории, наиболее важны функторы Нот (гомоморфизмы) и (тензорное произведение). Функтор Ноm принимает значения в категории абелевых групп и сопоставляет паре A-модулей М, N, группу . Для очевидным образом определяются отображения
и
т. е. функтор Ноm контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. В случае, когда Мили N несет структуру бимодуля, группа обладает дополнительной модульной структурой. Если Nесть (А, B)-модуль, то — правый B-модуль, а если Месть ( А, В )-бимодуль, то — левый В-модуль.
Функтор ставит в соответствие паре М, N, где М — правый A-модуль, a N — левый A-модуль, тензорное произведение модулей Ми Nнад кольцом А. Этот функтор принимает значения в категории абелевых групп и ковариантен как по М, так и по N. В случае, когда Мили N- бимодули, группу можно снабдить дополнительной структурой. Именно, если Месть (В, A)-модуль, то есть В-модуль, а если Nесть ( А, В )-бимодуль, то — правый В-модуль. Изучение функторов Ноm и , а также их производных функторов является одной из основных задач гомологич. алгебры.
Многие важные типы М. характеризуются в терминах функторов Ноm и . Так, проективный модуль М определяется требованием, чтобы функтор (от X)был точным. Аналогично, инъективный модуль N определяется требованием точности (от X). Плоский модуль М определяется требованием точности функтора
М. над данным кольцом Аможно рассматривать с двух точек зрения.
1) Можно изучать М. с точки зрения их внутренней структуры. Основной задачей здесь является полная классификация М., т. е. построение для каждого М. системы инвариантов, характеризующей этот М. с точностью до изоморфизма, и умение по заданному набору инвариантов строить М. с этими инвариантами. Для нек-рых типов колец такое описание возможно. Напр., если М- конечно порожденный М. над групповым кольцом KG конечной группы G, где К- нек-рое поле, характеристика к-рого взаимно проста с порядком G, то Мпредставим в виде конечной прямой суммы неприводимых подмодулей (модуль Мвполне приводим). Это представление определено однозначно с точностью до изоморфизма (сами неприводимые подмодули в общем случае не определяются однозначно). Все неприводимые подмодули также допускают простое описание: все они содержатся в регулярном представлении группы Gи находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми характерами этой группы. Также простое описание допускают М. над кольцом главных идеалов и над дедекиндовым кольцом. Именно, любой конечно порожденный модуль Мнад кольцом главных идеалов Аизоморфен конечной прямой сумме М. вида , где — нек-рые идеалы кольца А(возможно, нулевые), причем и идеалы однозначно определяются последним условием. Таким образом, набор инвариантов полностью определяет модуль М. Если М- конечно порожденный М. над дедекиндовым кольцом А, то где — периодич. М., а М 2— М. без кручения (выбор модуля не однозначен). Модуль аннулируется нек-рым идеалом кольца Аи, следовательно, является М. над кольцом главных идеалов и допускает описание, указанное выше, а модуль представим в виде — нек-рый идеал А, а — прямая сумма праз. Модуль М 1 с точностью до изоморфизма однозначно определяется двумя инвариантами: числом пи классом идеала в группе классов идеалов.
2) Другой подход к изучению М. состоит в изучении категории A = mod и данного модуля Мкак объекта этой категории. Такое изучение является предметом гомологич. алгебры и алгебраич. K-теории. На этом пути было получено много важных и глубоких результатов.
Часто рассматривают М., несущие нек-рую дополнительную структуру. Так рассматриваются градуированные модули, фильтрованные модули, топологические модули, модули с полуторалинейной формой и т. д.
Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] его же, Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3] его же, Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [4] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] Ван дер Варден Б. Л-, Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [6] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [7] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [8] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [9] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79; [10] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [11] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [12] Басе X., Алгебраическая K-теория, пер. с англ., М., 1973; [13] Милнор Дж., Введение в алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974.
Л. В. Кузьмин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
правила, примеры, решения, арифметические действия с рациональными числами
Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Действие сложения рациональных чисел
Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5+1 4возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.
Сформулируем правила сложения рациональных чисел:
Сложение нуля с отличным от него рациональным числом
Определение 1
Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства:a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a.
Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равно 2,1 и: 645+0 = 645.
Сложение противоположных рациональных чисел
Определение 2
Сумма противоположных чисел равна нулю.
Данное правило можно записать в виде: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).
К примеру, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13+(-45,13) = 0.
Сложение положительных рациональных чисел
В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.
Пример 1
Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0,6 и 59.
Решение
Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.
Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:
610+59= 5490+ 5090= 10490=1745
Ответ: 0,6 + 59= 1745.
Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.
Сложение рациональных чисел с разными знаками
Определение 3
Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо
zaochnik.com
Свойства действий с рациональными числами. Правила
Перечислим основные свойства действий с рациональными числами (a, b и c – произвольные рациональные числа):
• Переместительное свойство сложения a + b = b + a.
• Сочетательное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c).
• Существование нейтрального элемента по сложению – нуля, сложение которого с любым числом не изменяет это число, то есть, a + 0 = a.
• Для каждого рационального числа a существует противоположное число −a такое, что a+(−a) = 0.
• Переместительное свойство умножения рациональных чисел a•b = b•a.
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:
а + 0 = а , а + (– а) = 0 .
Например:
1/4+ 0 = 1/4
Умножение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Если, а , b и c рациональные числа, то:
ab = ba , a(bc) = (ab)c .
Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1 . Значит, для любого рационального числа а имеем:
а • 1 = а ;
7/23*1 = 7/23
а • 1/a = 1 , если а ≠ 0 ;
7/23*23/7 = 1
Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а • 0 = 0 ;
8/9*0=0
Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
если а • b = 0 , то либо а = 0 , либо b = 0
(может случиться, что и а = 0 , и b = 0 ) .
Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а , b и c имеем:
(а + b)с = ас + bс.
spishy-u-antoshki.ru
Основные свойства действий с рациональными числами
Данная статья посвящена обзору свойств действий с рациональными числами. Сначала рассмотрены основные свойства, а затем — те свойства, которые базируются на основных свойствах.
Действия с рациональными числами. Основные свойства
Все свойства действий с рациональными числами базируются на основе свойств действий с целыми числами. Пусть a, b, c, d — некоторые произвольные рациональные числа. Перечисли оcновные свойства действий с ними.
Коммутативное свойство сложения. Оно еще называется коммутативным или переместительным законом. a+b=b+a.
Сочетательное свойство, или сочетательный закон сложения. a+(b+c)=(a+b)+c.
Ноль — нейтральный элемент по сложению. Сложение нуля с любым числом не изменяет это число. a+0=a.
Для любого рационального числа a существует такое противоположное число -a, что a+(-a)=0.
Коммутативный (переместительный) закон умножения рациональных чисел. a·b=b·a.
Сочетательный закон умножения.a·b·c=a·(b·c).
Единица — нейтральный элемент по умножению. Умножение любого числа на единицу не изменяет этого числа. a·1=a.
Для любого рационального числа a, отличного от ноля, существует такое обратное число a-1, что a·a-1=1.
Распределительное свойство умножения относительно сложения. a·(b+c)=a·b+a·c.
Перечисленные выше свойства — основные свойства действий с рациональными числами. Остальные свойства являются следствием основных свойств.
Другие свойства рациональных чисел
Кратко рассмотрим иные, наиболее часто используемые свойства действий с рациональными числами.
Умножение рациональных чисел с разными знаками. a·(-b)=-(a·b) или (-a)·b=-(a·b).
Умножение произвольного числа на ноль. a·0=0. Остановимся на доказательстве этого свойства. Пусть d — любое рациональное число. Справедливым будет равенство 0=d+(-d), которое можно переписать так: a·0=a·(d+(-d)). Теперь перепишем равенство с учетом распределительного свойства:
zaochnik.com
Основные свойства действий с рациональными числами (методическая разработка)
Свойства действий с рациональными числами являются расширением свойств действий с целыми числами.
Перечислим основные свойства действий с рациональными числами (a, b и c – произвольные рациональные числа):
Переместительное свойство сложения a+b=b+a.
Сочетательное свойство сложения (a+b)+c=a+(b+c).
Существование нейтрального элемента по сложению – нуля, сложение которого с любым числом не изменяет это число, то есть, a+0=a.
Для каждого рационального числа a существует противоположное число −a такое, что a+(−a)=0.
Переместительное свойство умножения рациональных чисел a·b=b·a.
Сочетательное свойство умножения (a·b)·c=a·(b·c).
Существование нейтрального элемента по умножению – единицы, умножение на которую любого числа не изменяет это число, то есть, a·1=a.
Для каждого отличного от нуля рационального числа a существует обратное число a−1 такое, что a·a−1=1.
Наконец, сложение и умножение рациональных чисел связаны распределительным свойством умножения относительно сложения: a·(b+c)=a·b+a·c.
Перечисленные свойства действий с рациональными числами являются основными, так как все остальные свойства могут быть получены из них.
Помимо девяти перечисленных основных свойств действий с рациональными числами существует еще ряд очень широко используемых свойств. Дадим их краткий обзор.
Начнем со свойства, которое с помощью букв записывается как a·(−b)=−(a·b) или в силу переместительного свойства умножения как (−a)·b=−(a·b).
Из этого свойства напрямую следует правило умножения рациональных чисел с разными знаками, в указанной статье приведено и его доказательство. Указанное свойство объясняет правило «плюс умножить на минус есть минус, и минус умножить на плюс есть минус».
Вот следующее свойство: (−a)·(−b)=a·b. Из него следует правило умножения отрицательных рациональных чисел, в этой статье Вы найдете и доказательство приведенного равенства. Этому свойству отвечает правило умножения «минус умножить на минус есть плюс».
Несомненно, стоит остановиться на умножении произвольного рационального числа a на нуль: a·0=0 или 0·a=0. Докажем это свойство. Мы знаем, что 0=d+(−d) для любого рационального d, тогда a·0=a·(d+(−d)).
Распределительное свойство позволяет полученное выражение переписать как a·d+a·(−d), а так как a·(−d)=−(a·d), то a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Так мы пришли к сумме двух противоположных чисел, равных a·d и −(a·d), их сумма дает нуль, что и доказывает равенство a·0=0.
Легко заметить, что выше мы перечислили только свойства сложения и умножения, при этом ни слова не сказали о свойствах вычитания и деления.
Это связано с тем, что на множестве рациональных чисел действия вычитание и деление задаются как обратные к сложению и умножению соответственно.
То есть, разность a−b – это есть сумма a+(−b), а частное a:b – это есть произведение a·b−1 (b≠0).
Учитывая эти определения вычитания и деления, а также основные свойства сложения и умножения, можно доказать любые свойства действий с рациональными числами.
Для примера докажем распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c. Имеет место следующая цепочка равенств a·(b−c)=a·(b+(−c))=a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, которая и является доказательством.
videouroki.net
«Свойства действий с рациональными числами». 6-й класс
Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (1,5 МБ)
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: урок обобщения и
систематизации знаний с применением
компьютерных технологий.
Цели урока:
Образовательные:
совершенствовать навыки решения примеров и
уравнений по теме «Свойства действий с
рациональными числами»;
закрепить умения выполнять арифметические
действия над рациональными числами;
проверить умение использовать свойства
арифметических действий для упрощения выражений
с рациональными числами;
обобщить и систематизировать теоретический
материал.
Развивающие:
развивать навыки устного счёта;
развивать логическое мышление;
формировать умения чётко и ясно излагать свои
мысли;
развивать математическую речь учащихся в
процессе выполнения устной работы по
воспроизведению теоретического материала;
расширить кругозор учащихся.
Воспитательные:
воспитывать умение работать с имеющейся
информацией;
воспитывать уважение к предмету;
воспитывать умение слушать своего товарища,
чувство взаимопомощи и взаимоподдержки;
способствовать воспитанию самоконтроля и
взаимоконтроля учащихся.
Оборудование и наглядность: компьютер,
мультимедийный проектор, экран, интерактивная
презентация, сигнальные карточки для устного
счета, цветные мелки.
Структура урока:
Вид деятельности
№ слайдов
мин.
1. Организационный момент.
1
1
2. Сообщение темы и целей урока.
2-4
2
3. Актуализация опорных знаний.
5-6
6
4. Закрепление пройденного материала.
7-9
11
5. Физкультминутка.
10-13
3
6. Подготовка к ГИА.
14-
4
7. Задание на дом: в рубрике газеты «А знаете ли
вы…?»
13
2
8. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
14
1
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Сообщение темы и целей урока
Проверка готовности учащихся к уроку.
Сообщение учащимся целей и плана урока.
– Тема нашего урока: «Свойства действий с
рациональными числами», а девиз урока я прошу вас
прочитать хором:
Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!
И сегодня мы с вами на уроке дружно и активно
создадим математическую газету. Я – буду главным
редактором, а вы – корректорами. Как вы
понимаете значение этого слова?
Чтобы проверить других, нам необходимо
систематизировать свои знания по теме «Свойства
действий с рациональными числами».
А газета наша называется «Рациональные
числа». А в переводе на татарский язык?
Я слышала, что вы хорошо знаете и английский
язык, а как англичане назовут эту газету?
Представляю вам макет газеты, которая состоит
из следующих рубрик: чтение хором: «Спрашивают
– отвечаем», «Новости дня», «Аукцион
проектов», «Актуальный репортаж»,
«А знаете ли вы…?».
III. Актуализация опорных знаний
Устная работа:
В первой рубрике «Спрашивают – отвечаем»
нам нужно проверить правильность информации,
которую нам прислали в письмах наши
корреспонденты. Посмотрите внимательно и
скажите, какие правила нам нужно вспомнить, чтобы
проверить эту информацию.
1.Правило сложения отрицательных
чисел:
«Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1)
сложить их модули, 2) поставить перед полученным
числом знак минус».
2. Правило деления чисел с разными знаками:
«При делении чисел с разными знаками, надо: 1)
разделить модуль делимого на модуль делителя, 2)
поставить перед полученным числом знак минус».
3. Правило умножения двух отрицательных чисел:
«Чтобы перемножить два отрицательных числа,
надо перемножить их модули».
4. Правило умножения чисел с разными знаками:
«Чтобы перемножить два числа с разными знаками,
надо перемножить модули этих чисел и поставить
перед полученным числом знак минус».
5. Правило деления отрицательного числа на
отрицательное число:
«Чтобы разделить отрицательное число на
отрицательное число, надо разделить модуль
делимого на модуль делителя».
6. Правило сложения чисел с разными знаками:
«Чтобы сложить два числа с разными знаками,
надо 1) из большего модуля слагаемых вычесть
меньший, 2) поставить перед полученным числом
знак того слагаемого, модуль которого больше.
– А сейчас мы переходим к рубрике «Новости
дня». Чтобы заполнить эту рубрику, нам
необходимо систематизировать знания о
числах.
– Какие вы знаете числа? (Натуральные, дробные,
рациональные)
– А какие числа относятся к рациональным? (Положительные,
отрицательные и 0)
– А какие свойства рациональных чисел вы
знаете? (Переместительное, сочетательное и
распределительное, умножение на 1, умножение на 0)
– А теперь перейдем к письменной работе. Открыли
тетради, записали число, классная работа, тема
«Свойства действий с рациональными числами».
Используя эти свойства, упростим
выражения:
А) х + 32 – 16 = х + 16
Б) – х – 18 – 23 = – х – 41
В) – 1,5 + х – 20 = – 21,5 + х
Г) 12 – 26 + х = х – 14
Д) 1,7 + 3,6 – х = 5,3 – х
Е) – х + а + 6,1 – а + 2,8 – 8,8 = – х + 0,1
– А следующие примеры требуют от нас еще
более рационального решения с объяснением.
12.04.1961 – Вам о чем-нибудь говорят полученные
ответы?
50 лет назад 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин полетел
в космос. Город Заинск тоже имеет свою
космическую историю: 9 марта 1961 года спускаемый
аппарат №1 космического корабля «ВОСТОК-4»
совершил мягкую посадку в районе села Старый
Токмак Заинского района с манекеном человека,
собакой и другими мелкими животными на борту. И в
честь этого события в нашем районе поставят
памятник. Сейчас в городе работает конкурсная
комиссия. В конкурсе участвуют 3 проекта,
они перед вами на экране. А сейчас мы с вами
проведем аукцион проектов.
Я прошу проголосовать за понравившийся вам
проект. Ваш голос может оказаться решающим.
V. Физкультминутка
– Свое мнение вы выражаете аплодисментами и
топаньем. Давайте прорепетируем! Три хлопка и
три притопа.
– Еще раз попробуем. Итак, голосование
начинается:
– Отдаем свои голоса за Макет №1
– Отдаем свои голоса за Макет №2
– Отдаем свои голоса за Макет №3
– А теперь за все макеты вместе.
– Победу одержал Макет № … Спасибо, я записала
ваши голоса (поднимает сотовый телефон и
показывает детям) и передам в счетную комиссию.
– Молодцы, спасибо. А впереди не менее важный – Актуальный
репортаж.
VI. Подготовка к ГИА
В рубрику «Актуальный репортаж»
пришло письмо, где ученик просит помочь ему в
решении заданий к итоговому экзамену в 9 классе.
Нам нужно каждому самостоятельно прорешать
задания, тесты <Приложение 1>
у вас на столах:
1. Решить уравнения:
а) (х + 3)(х – 6) = 0
1) х = 3, х = – 6
2) х = – 3, х = – 6 3) х = – 3, х = 6
б) – 7(3,5 – х) = 0
1) х = 3,5 2) х = – 7
3) х = – 3,5
2. Округлить число 253,355 до десятых:
1) 253,4
2) 253,3
3) 253,35
3. Выберите наименьшее число:
1) – 13,5
2) – 32,8 3) – 40,2
4. Выбери наибольшее число:
1) – 12,4
2) – 43,5 3) – 12,2
5. Расположите в порядке возрастания:
1)
2)
3)
– Прошу вас проверить правильность решения
своего соседа. Поменяйтесь тестами. Один
доказывает решение, все сверяют свои ответы с
ответами на слайде.
VII. Задание на дом
– Домашнее задание вы возьмете в последней
рубрике нашей газеты «А знаете ли вы…?»
Решив задания этой рубрики, вы отгадаете имя
одного из участников космических экспедиций.
1. Соотнести значения второго столбца с
решениями первого.
– – 2
1,75 А
– 5,6.
Ш
– 15,96. 0 – 23
– 24 Н
– 5 . (– 1,2).
(– 4)
– 2
Ч
– 12,5. (– 3).
2,4
– 23 Р
*3,7– *2,7
– Е
– 3,4 – 7,7 + 3,4 + 7,7 + 2,5
90 У
2 – .
4
2,5 К
2. Задача.
Скорость космического корабля равна 28 271 км/ч.
Полет длился 108 минут. Какое расстояние он
пролетел?
VIII. Подведение итогов урока. Выставление
оценок
Вот и получилась у нас вами замечательная
математическая газета <Приложение
2>. Где мы систематизировали свои
знания по теме «Свойства действий с
рациональными числами». И я вам дарю первый
выпуск нашей газеты и небольшой подарок от меня,
который будет вам необходим на уроках математики
<Приложение 3>. А
для тех, кто сегодня на уроке справился
отлично со всеми заданиями, тот получает
газету красного цвета. И для них дополнительно в
газете дана задача.
Оценки получают …
Обратим внимание на следующие слова:
Что быстрее всего? – Ум.
Что мудрее всего? – Время.
Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
– Я думаю, мы с вами достигли желаемого. Спасибо
вам большое за урок!
14.03.2013
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Все действия с рациональными числами, 6 класс
Цели урока:
Образовательные:
— повторить понятие рационального числа;
— повторить правила сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел;
— повторить порядок действий в выражениях с целыми числами
— формировать умение выполнять действия в выражениях с рациональными числами
— Запишите в тетрадях тему сегодняшнего урока: «Все действия с рациональными числами»
— Сейчас вы разобьётесь на пять группы: четыре группы будут теоретиками, а одна практиками.
Теоретикам необходимо заполнить пропуски, используя знания теории, а практикам применить теоретические знания при решении задач. (На самостоятельную работу групп выделить 2–2,5 минуты. На проверку по 1 минуте на группу).
Iгруппа (теоретики):Закончите предложения
— Для сложения двух чисел одного знака нужно … (сложить их модули и поставить перед найденной суммой общий знак слагаемых)
— Для сложения двух чисел разного знака, имеющих разные модули, нужно …(вычесть из большего модуля меньший и поставить перед найденной разностью знак того слагаемого, чей модуль больше)
— Сумма двух противоположных чисел равна …(нулю) — Сумма рационального числа х и нуля равна … (х)
IIгруппа (теоретики):Закончите предложения
— Для нахождения разности рациональных чисел нужно … (к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому)
— Если в алгебраической сумме перед скобками стоит знак «плюс», то … (скобки можно убрать, оставив все знаки внутри без изменения)
— Если в алгебраической сумме перед скобками стоит знак «минус», то … (скобки можно убрать, изменив все знаки внутри на противоположные)
IIIгруппа (теоретики):Закончите предложения
— Какой знак имеет произведение двух рациональных чисел одинаковых знаков?
— Какой знак имеет произведение двух рациональных чисел разных знаков?
— Чему равно произведение любого рационального числа и нуля? (х 0 = 0)
— Чему равно произведение любого рационального числа на -1? (х (-1) = — х)
IVгруппа (теоретики):Закончите предложения
— Частным двух отличных от нуля рациональных чисел одного знака является …(положительное число)
— Частным двух отличных от нуля рациональных чисел разных знаков является …(отрицательное число)
— На нуль делить … (нельзя)
Vгруппа (практики): Письменно на листочках:
1) 1)-2,5 + (-6,4) =
2) 2)6,5 + (-8,8) =
3) 3)-7,1 + 7,1 =
4) 4)- 9,8–4,9 =
5) 5) =
6) 11 =
7) -1,1 (-1,1) =
8) =
9) 1: ( =
10) 0: ( =
Проверить и подвести итоги (подсчитать количество плюсов и записать на полях)
3) Постановка проблемы: Чем мы с вами занимались? Что мы с вами повторили?
Вы обладаете достаточными знаниями, чтобы разобраться в одной проблемной ситуации:
Найдите значение выражения записанного на доске: (- 25–10): 5 +6 *(-3) =
— Чему равно значение выражения? (-25)
— Как узнали? (Выполнили действия)
— Я тоже решила это выражение, но у меня получился другой ответ (3).
— Как вы думаете почему? (Изменился порядок действий, т. е. действия выполнены в другой последовательности).
Какой вывод можно сделать из обсуждения нашей проблемной ситуации?
(Надо знать алгоритм для выполнения порядка действий)
На слайде записаны правила для выполнения порядка действий. Внимательно прочитайте их и пронумеруйте эти правила так, чтобы получился алгоритм для выполнения порядка действий.
Алгоритм
1. В выражения без скобок сначала выполняются умножение или деление, вычитание или сложение по порядку слева направо.
2. В выражениях со скобками — сначала выполняются действия в скобках, учитывая правило 1.
3. Если в числовом выражение есть степень числа, то сначала нужно записать её в виде числа и после этого приступить к выполнению остальных действий по уже сформулированным правилам.
— Как вы думаете, справедлив ли этот алгоритм для рациональных чисел?
(-2 * 0,5–1): (-0,4) + (-7,2). (Да) (на доске)
— Найдите значение этого выражения (1 ученик комментирует с места, остальные записывают в тетрадь)
Ответ -2,2
4) Физкультминутка
5) Закрепление
Задание 1. Правильно ли расставлен порядок действий в выражениях?
Почему вы так считаете. А как рациональнее?
1) ; 2) ; 3)
2) Рациональный способ:
Задание 2. Выберите из данных числовых выражений те, порядок действий в которых таков: 1) сложение; 2) сложение; 3) умножение; 4) сложение; 5) деление; 6) вычитание.
а) ;
б) ;
в) .
г) ;
Найдите значение этих выражений.
(выполнить взаимопроверку по слайду)
6) Подведение итогов (подсчитать количество плюсов)
— Самооценка (оценку, поставленную себе учеником, выставить в журнал)
— Рефлексия
1. На уроке я работал
2. Своей работой на уроке я
3. Урок для меня показался
4. За урок я
5. Мое настроение
6. Материал урока мне был
7. Домашнее задание мне кажется
активно / пассивно
доволен / не доволен
коротким / длинным
не устал / устал
стало лучше / стало хуже
понятен / не понятен
полезен / бесполезен
интересен / скучен
легким / трудным
интересным / неинтересным
Литература:
1. Математика 6 класс.: учебник для общеобразоват. учреждений: в 2-х частях. Ч.1/С. А. Козлова, А. Г. Рубин.-2-е изд. — М.: Баласс, 2013 (Образовательная система «Школа 2100»
2. Математика 6 класс.: учебник для общеобразоват. учреждений: в 2-х частях. Ч.2/С. А. Козлова, А. Г. Рубин.-2-е изд. — М.: Баласс, 2013 (Образовательная система «Школа 2100»
3. http://festival.1september.ru
moluch.ru
Опорный конспект по математике «Действия с рациональными числами»
Действия с рациональными числами
Сложение нуля с другим рациональным числом
Сформулируем правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для любого рационального a, а в силу переместительного свойства сложения рациональных чисел также справедливо равенство 0+a=a.
Приведем пару примеров. Сумма рационального числа 0,5 и числа 0 равна 0,5. Еще пример: .
Сложение противоположных рациональных чисел
Теперь установим, как проводится сложение противоположных рациональных чисел: сумма противоположных чисел равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0, для любого рационального a.
Например, рациональные числа 4,(35) и −4,(35) – противоположные, значит, их сумма равна нулю, то есть, 4,(35)+(−4,(35))=0. Другой пример: .
Сложение положительных рациональных чисел
Любое положительное рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби. Таким образом, для сложения положительных рациональных чисел нужно знать, как рациональные числа приводятся к виду обыкновенных дробей, и как выполняется сложение обыкновенных дробей.
Пример.
Сложите рациональные числа 0,7 и 7/8.
Решение.
Выполнив перевод десятичной дроби в обыкновенную, от суммы 0,7+7/8 приходим к сумме 7/10+7/8. Осталось провести сложение обыкновенных дробей с разнымизнаменателями: .
Ответ:
.
Если складываемые рациональные числа можно записать как конечные десятичные дроби,либо как смешанные числа, то можно выполнить сложение десятичных дробей и сложение смешанных чисел соответственно.
Сложение рациональных чисел с разными знаками
Для сложения рациональных чисел с разными знаками используется правило сложения чисел с разными знаками: из большего модуля слагаемых надо вычесть меньший, и перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Пример.
Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками 7,2 и .
Решение.
Нам нужно сложить положительное число с отрицательным. По правилу сложения чисел с разными знаками нам сначала нужно найти модули слагаемых: .
Сравнение рациональных чисел 7,2 и дает , значит, остается от 7,2 отнять , и перед полученным числом поставить знак плюс. Заменив десятичную дробь 7,2 смешанным числом , приходим к вычитанию смешанных чисел: .
Перед полученным числом нет смысла ставить знак плюс, так как запись отвечает числу .
Ответ:
.
Сложение отрицательных рациональных чисел
Сложение отрицательных рациональных чисел проводится по правилу сложения отрицательных чисел: складываются модули слагаемых и перед полученным числом ставится знак минус.
Приведем пример сложения отрицательных рациональных чисел.
Пример.
Сложите отрицательное число −4,0203 с отрицательным числом −12,193.
Решение.
Модули складываемых чисел равны 4,0203 и 12,193 соответственно. Сложим десятичные дроби столбиком:
Осталось перед полученным числом поставить знак минус, имеем −16,2133.
Ответ:
(−4,0203)+(−12,193)=−16,2133.
Вычитание рациональных чисел
Переходим к рассмотрению следующего действия над рациональными числами – вычитания. Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, вычитание – это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b = a следует, что a−b = с и a−c = b, и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b = a. Вычитание из большего положительного рационального числа меньшего числа сводится либо к вычитанию обыкновенных дробей, либо, если это удобно, к вычитанию десятичных дробей или вычитанию смешанных чисел.
Пример.
Вычислите разность рациональных чисел вида .
Решение.
Для начала будем действовать как при переводе периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь: . Так мы приходим к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа: .
Ответ:
.
В остальных случаях вычитание рациональных чисел заменяется сложением: к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому. То есть,
а − b = a + (−b).
Это равенство доказывается на основании свойств действий с рациональными числами. Они позволяют записать такую цепочку равенств:
(a+(−b))+b = a+((−b)+b)= a+0= a, откуда в силу смысла вычитания следует, что сумма вида a + (−b) является разностью чисел a и b.
Пример.
Выполните вычитание из рационального числа 2/7 рационального числа .
Решение.
Число, противоположное вычитаемому, есть . Тогда . Так мы пришли к сложению рациональных чисел с разными знаками, имеем .
Ответ:
.
Умножение рациональных чисел
Понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, а от целых чисел к рациональным. Это объясняет тот факт, что действия с целыми числами обладают всеми свойствами действий с натуральными числами. Следовательно, действия с рациональными числами должны обладать всеми свойствами действий с целыми числами. Однако для умножения рациональных чисел характерно еще одно свойство — свойство умножения взаимно обратных чисел.
С указанным принципом согласуются все перечисленные ниже правила умножения рациональных чисел.
Умножение на нуль
Произведение любого числа a на нуль есть нуль. Запишем это утверждение в буквенном виде: a·0=0 для любого рационального числа a, а в силу переместительного свойства умножения это равенство можно переписать как 0·a=0. Приведем примеры. Умножение рационального числа 5/12 на 0 дает 0, произведение нуля и отрицательного рационального числа также равно нулю. В частности произведение нуля на нуль есть нуль, то есть, 0·0=0.
Умножение на единицу
Теперь озвучим правило умножения рационального числа на единицу: умножение любого рационального числа a на 1 в результате дает число a. То есть, a·1=a или 1·a=a, для любого рационального a. Таким образом, единица является нейтральным числом по умножению.
Например, умножение рационального числа 4,73 на 1 в результате дает 4,73. Другой пример: произведение равно .
Произведение взаимно обратных чисел
Если множители являются взаимно обратными числами, то их произведение равно единице. То есть, a·a−1=1.
Так произведение взаимно обратных чисел 7/8 и 8/7 равно единице. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате дает 1, так как −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3, а −3/2 и −2/3 – взаимно обратные числа.
Умножение положительных рациональных чисел
В общем случае умножение положительных рациональных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого множители нужно представить в виде обыкновенных дробей, если они сразу не являются таковыми.
Пример.
Вычислите произведение положительных рациональных чисел 0,4 и 5/28.
Решение.
Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: 0,4=4/10=2/5. Таким образом, . Осталось выполнить умножение обыкновенных дробей: . На этом умножение исходных рациональных чисел завершено.
Вот все решение: .
Ответ:
.
Иногда удобно работать с конечными десятичными дробями, не выполняя переход к обыкновенным дробям.
Пример.Вычислите произведение рациональных чисел вида 2,121·3,4. Решение.Здесь мы можем выполнить умножение десятичных дробей столбиком: (−3,146)·(−56)=176,176.
Ответ:
2,121·3,4=7,2114.
В частном случае умножение положительных рациональных чисел может собой представлять умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную дробь или умножение натурального числа на десятичную дробь.
Пример.
Проведите умножение рациональных чисел 0,(1) и 3.
Решение.
Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, от умножения исходных рациональных чисел 0,(1) и 3 ми переходим к умножению обыкновенной дроби 1/9 на 3. В итоге имеем .
Ответ:
.
Умножение рациональных чисел с разными знаками
Для умножения рациональных чисел с разными знаками применяется правило умножения чисел с разными знаками: надо умножить модули множителей и перед полученным числом поставить знак минус. Это правило позволяет от умножения рациональных чисел с разными знаками перейти к умножению положительных рациональных чисел, с которым мы разобрались в предыдущем пункте.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Выполните умножение отрицательного рационального числа на положительное рациональное число.
Решение.
По правилу умножения чисел с разными знаками имеем . Заменив смешанные числа соответствующими неправильными дробями, завершаем вычисления .
Ответ:
.
Умножение отрицательных рациональных чисел
Умножение отрицательных рациональных чисел сводится к умножению положительных чисел. При этом применяется следующее правило умножения отрицательных чисел: нужно перемножить модули множителей.
Рассмотрим применение этого правила при решении примера.
Пример.
Выполните умножение отрицательных рациональных чисел −3,146 и −56. Решение. Модули множителей равны соответственно 3,146 и 56. Вычислим их произведение, для этого выполним умножение столбиком:
Таким образом, произведение исходных отрицательных рациональных чисел равно 176,176.
Ответ:
(−3,146)·(−56)=176,176.
Деление рациональных чисел
Деление представляет собой действие, обратное умножению. Иными словами, деление – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому множителю. То есть, смысл деления таков: из равенства b·c=a следует, что a:b=c и a:c=b, и, наоборот, из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.
На множестве рациональных чисел деление сложно считать самостоятельным действием, так как оно выполняется посредством умножения. Об этом свидетельствует следующее правило деления рациональных чисел: разделить число a на отличное от нуля число b – это все равно, что умножить делимое a на число, обратное делителю. То есть, на множестве рациональных чисел a:b=a·b−1.
Доказать это равенство не составляет труда. Действительно, в силу свойств действий с рациональными числами справедливы равенства (a·b−1)·b=a·(b−1·b)=a·1=a, которые доказывают равенство a:b=a·b−1.
Итак, деление рационального числа на отличное от нуля рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.
Осталось лишь рассмотреть пример деления рациональных чисел по озвученному правилу.
Пример.
Выполните деление .
Решение.Найдем число, обратное делителю . Запишем это число в виде неправильной дроби: . Тогда число, обратное этой дроби есть .
Теперь мы можем по правилу деления перейти от деления рациональных чисел к умножению, что позволит нам закончить вычисления: .
Калькулятор расчета объема жидкости в прямоугольной емкости: аквариум, бассейн
Инструкция для онлайн калькулятора по расчету объема в прямоугольных емкостях (типа аквариума)
Все величины указываем в мм
H — Уровень жидкости.
Y — Резервуар в высоту.
L — Длина емкости.
X — Резервуар в ширину.
Данная программа выполняет вычисления объема жидкости в различных по размеру емкостях прямоугольной формы, также поможет рассчитать площадь поверхности резервуара, свободный и общий объем.
По итогам вычисления Вы узнаете:
Полную площадь резервуара;
Площадь боковой поверхности;
Площадь дна;
Свободный объем;
Количество жидкости;
Объем емкости.
Технология расчета количества жидкости в резервуарах разной формы
Когда емкость неправильной геометрической формы (к примеру, в виде пирамиды, параллелепипеда, прямоугольника и т.д.) необходимо в первую очередь выполнить измерения внутренних линейных размеров и только после этого произвести вычисления.
Расчет объема жидкости в прямоугольной емкости небольших размеров, вручную можно выполнить следующим образом. Необходимо залить жидкостью весь резервуар до краев. Тогда объем воды в данном случае станет равен объему резервуара. Далее следует слить аккуратно всю воду в отдельные емкости. К примеру, в специальный резервуар правильной геометрической формы или измеряющий цилиндр. По измерительной шкале Вы сможете визуально определить объем Вашего резервуара. Для расчета количества жидкости в прямоугольной емкости Вам лучше всего воспользоваться нашей онлайн программой, которая быстро и точно выполнить все вычисления.
Если резервуар большого размера, и в ручную невозможно измерить количество жидкости, то можно использовать формулу массы газа с молярной известной массой. К примеру, масса азота М=0,028 кг/моль. Данные вычисления возможны, когда резервуар можно плотно закрыть (герметически). Теперь при помощи термометра измеряем температуру внутри резервуара, и манометром внутреннее давление. Температура должна быть выражена в Кельвинах, а давление в Паскалях. Вычислить объем внутреннего газа можно следующей формуле (V=(m∙R∙T)/( M∙P)). То есть массу газа (m) умножаем на температуру его (Т) и газовую константу (R). Далее полученный результат следует разделить на давление газа (Р) и молярную массу (М). Объем будет выражен в м³.
Как вычислить и узнать объем аквариума по размерам самостоятельно
Аквариумы – стеклянные сосуды, которые заполняют чистой водой до определенного уровня. Многие собственники аквариума неоднократно задумывались, какого объема их резервуар, как можно выполнить вычисления. Самый простой и надежный метод, это воспользоваться рулеткой и замерять все необходимые параметры, которые следует вбить в соответствующие ячейки нашего калькулятора, и Вы сразу же получите готовый результат.
Однако существует и другой способ определения объема аквариума, который заключается в более долгом процессе, использования литровой банки, постепенно заполняя всю емкость до соответствующего уровня.
Третий метод вычисления объема аквариума, это специальная формула. Замеряем глубину резервуара, высоту и ширину в сантиметрах. К примеру, у нас получились следующие параметры: глубина – 50 см, высота – 60 см и ширина – 100 см. Согласно этим размерами, объем аквариума рассчитывается по формуле (V=X*Y*H) или 100х50х60=3000000 см³. Далее нам необходимо полученный результат перевести в литры. Для этого готовое значение умножаем на 0,001. Отсюда следует — 0,001х3000000 сантиметров, и получаем, объем нашего резервуара составит 300 литров. Это мы вычислили полную вместительность емкости, далее необходимо вычислить реальный уровень воды.
Каждый аквариум наполняют значительно ниже, чем его реальная высота, дабы избежать перелива воды, чтобы закрыть крышкой с учетом стяжки. К примеру, когда наш аквариум высотой 60 сантиметров, тогда вклеенные стяжки будут располагаться на 3-5 сантиметров ниже. При нашем размере в 60 сантиметров, чуть менее 10% объема емкости припадает на 5-сантиметровые стяжки. Отсюда мы можем вычислить реальный объем 300 л – 10%=270 л.
Важно! Следует отнять несколько процентов учитывая объем стекол, размеры аквариума или любой другой емкости снимаем с наружной стороны (без учета толщины стекол).
Отсюда объем нашего резервуара будет равен 260 литров.
o-builder.ru
Чему равен объем рыбы, плавающей в морской воде, если на нее действует выталкивающая сила 10,3 Н?
Из формулы архимедовой силы
Fa=pж*g*vт. ( Fa — архимедова (выталкивающая ) сила, рж- плотность жидкости (морской воды) =1030 кг/м^3, g=10м/c^2, vт — объем погруженной части тела.) выразим vт.
vт=Fa / pж*g.
vт=10,3 / 1030*10=0,001 м^3. ( ответ 4 ).
а чему равна выталкивающая сила, действующая на тело погружённое в жидкость?
Это шутки Архимеда?
10 Н — это килограммовая рыба, а килограмм воды — это 1 дм³, т. е тысячная часть кубометра
touch.otvet.mail.ru
Что значит «Объём воды численно равен массе воды»????
точнее так: объем воды в литрах численно равен ее массе в килограммах. Это значит, что 1 литр воды весит 1 кг, 2 литра — 2 кг, и т. д.
значит что литр воды это килограм
Это значит, что 1000мл (объём) = 1000гр (масса)
это значит что если у вас 20 листов воды, значит и килограмм тоже 20..
И происходит это потому, что это эталонный вес, если ты, зая, знаешь что такое эталон.
Объём воды в литрах численно равен массее воды в килограммах. Но это только для воды!
Это значит, что плотность воды равна 1 кг/дм^3
1литр-1кг. (только для чистой дистилированной воды, а на глубине Марианской впадины вода сожмется на20% и 1литр будет весить1,2 кг.)
Это значит примерно следующее: 2 слона равны 2 ежам 🙂 (шутка). А на самом деле это пример массовой безграмотности. НЕЛЬЗЯ сравнивать (тем более приравнивать) физические величины, имеющие разные рамерности.
touch.otvet.mail.ru
объём воды — это… Что такое объём воды?
отношение обёма газа к равному объёму воды — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN gravity/volumeg/v … Справочник технического переводчика
Объёмный модуль упругости — (K) характеризует способность вещества сопротивляться всестороннему сжатию. Эта величина определяет, какое нужно приложить внешнее давление для уменьшения объёма в 2 раза. Например, у воды объёмный модуль упругости составляет около 2000 МПа … Википедия
объём — сущ., м., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? объёма, чему? объёму, (вижу) что? объём, чем? объёмом, о чём? об объёме; мн. что? объёмы, (нет) чего? объёмов, чему? объёмам, (вижу) что? объёмы, чем? объёмами, о чём? об объёмах 1. В… … Толковый словарь Дмитриева
Объёмный фактор — Объёмный коэффициент (Formation Volume Factor, коэффициент объёмного расширения) газа/нефти/воды отношение объёма газа/нефти/воды в пластовых условиях (в м³) к объёму газа/нефти/воды, приведённого к атмосферному давлению и температуре 20 °C … Википедия
Объёмный коэффициент — (Formation Volume Factor) нефти/воды отношение объёма нефти/воды в пластовых условиях (в м³) к объёму нефти/воды, приведённого к атмосферному давлению и температуре 20 °C, единица измерения – м³/м³. Объёмный коэффициент нефти Когда нефть попадает … Википедия
объём поровой воды — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN volume of pore water … Справочник технического переводчика
объёмный расход воды — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN volumetric water discharge … Справочник технического переводчика
ВОДЫ СУШИ — воды рек, озёр, водохранилищ, болот, ледников, а также подземные воды (общий объём ок. 35,8 млн. км3). В осн. пресные … Естествознание. Энциклопедический словарь
Объёмное водоизмещение — Водоизмещение корабля (судна) количество воды, вытесненной подводной частью плавающего корабля (судна). Масса этого количества воды равна массе всего корабля, независимо от его размера, материала и формы. Различают объемное и массовое… … Википедия
Воды — Вода Общие Систематическое наименование Оксид водорода Традиционные названия вода Химическая формула Н2O … Википедия
воды суши — воды рек, озёр, водохранилищ, болот, ледников, а также подземные воды (общий объём около 35,8 млн. км3). В основном пресные. * * * ВОДЫ СУШИ ВОДЫ СУШИ, воды рек (см. РЕКИ), озер (см. ОЗЕРА), водохранилищ (см. ВОДОХРАНИЛИЩЕ), болот (см. БОЛОТО (в… … Энциклопедический словарь
Специальность программиста уже на протяжении многих лет остается одной из самых востребованных. У нас она ассоциируется прежде всего со стабильным и высоким заработком, поэтому многие жалеют: «Эх, надо было учиться на программиста!» И при этом многие забывают, что учиться никогда не поздно, и если интерес к программированию появился у нас уже после окончания университета по совсем другой специальности, это не значит, что мы уже ничему не научимся.
Да, второе высшее образование стоит дорого. Но, к счастью, у нас есть интернет. А в интернете есть множество отличных порталов с онлайн-курсами, в том числе по программированию. О некоторых из них мы расскажем вам сегодня.
Конечно, здесь упомянуты далеко не все онлайн-платформы. Если вы пользуетесь другими обучающими порталами, не стесняйтесь рассказать о них в комментариях. А пока представим наш список.
Итак, поехали:
CodeAcademy
Уровень: начинающий
Язык курса: английский
Чему учат: JavaScript, Python, PHP, jQuery, JavaScript, HTML и т.д.
https://www.codecademy.com
На портале, который открылся в 2011 году, зарегистрировалось уже больше 24 миллионов пользователей. Сайт будет полезен тем, кто хочет получить базовые навыки по программированию. На портале можно бесплатно пройти курсы по языкам Python, PHP, jQuery, JavaScript, CSS, HTML и другим. Здесь можно научиться писать простые программы и создавать собственные веб-сайты. Сайт имеет удобный интерфейс, а зарегистрироваться здесь можно буквально в два клика. Каждый курс состоит из нескольких разделов, поделенных на упражнения, слева находятся объяснения, а справа — поле, куда вы должны вводить код. Система запоминает ваш прогресс, поэтому вы можете продолжить выполнение упражнений в любое удобное время. Кроме того, вы можете посмотреть, сколько процентов курса вы уже прошли. Одновременно можно проходить неограниченное количество курсов. Проблема только в том, что как-то придется это все запомнить — поэтому мы рекомендуем вам проходить курсы по очереди, а не все сразу.
Плюсы: наглядность, возможность сразу увидеть результат, минимум скучной теории
Минусы: не выявлены
CodeCombat
Профиль: программирование
Уровень: начинающий
Язык курса: английский, русский, французский, испанский и др.
Чему учат: JavaScript
https://codecombat.com
Кто сказал, что программирование — это скучные коды и больше ничего? Авторы проекта CodeCombat опровергают этот стереотип и предлагают всем желающим бесплатно изучить язык JavaScript, играя. Вам надо будет выбрать себе персонажа, которому предстоит пройти занимательный квест, и написать набор команд, чтобы он смог передвигаться по лабиринту. В правой части экрана будут отображаться подсказки, так что вы одновременно будете играть и учиться создавать код. Для того чтобы начать игру, регистрироваться не обязательно, но желательно. Кстати, участники сами могут внести свой вклад в развитие проекта: например, помочь с переводом сайта или предложить свои задания для квеста.
Плюсы: интерактивность, наглядность, простота
Минусы: только один язык программирования
MIT (Massachusetts Institute of Technology)
Уровень: начинающий, продолжающий и продвинутый
Язык курса: английский
Чему учат: Python, C, C++, Java
https://ocw.mit.edu
Один из самых престижных технических вузов мира — Массачусетский технологический институт — предлагает всем желающим бесплатно ознакомить с материалами своих курсов, в том числе по программированию. Здесь есть как базовые курсы языков Python, C, C++ и Java, так и программы для более продвинутых пользователей. Вы можете скачать тексты лекций, задания, а иногда и видеоматериалы. Кстати, сайт изначально создавался для преподавателей, но неожиданно приглянулся студентам по всему миру, так что теперь его материалами пользуются десятки миллионов человек по всему миру.
Плюсы: подробные объяснения, высокий уровень материалов
Минусы: отсутствие возможности проверить задания и выполнять их в режиме «онлайн»
Дистанционная подготовка по информатике
Уровень: начинающий
Язык курса: русский
Чему учат: Python
http://informatics.mccme.ru
Преподаватели лучших московских вузов и школ создали этот сайт для учеников, которые хотели бы принимать участие в олимпиадах по программированию. На сайте собраны самые лучшие материалы по подготовке к олимпиаде, в том числе — авторский курс учителя информатики Д.П. Кириенко по основам популярного языка программирования Python. Python считается одним из самых понятных и вместе с тем полезных языков программирования, поэтому именно его специалисты советуют изучать в первую очередь. Курс состоит из 16 уроков, большинство из которых содержат видеолекции, теоретический материал и задачи. Материалы будут полезны не только школьникам, но и всем тем, кто хочет серьезно начать учиться программированию.
Плюсы: очень подробный курс с максимумом объяснений на русском языке
Минусы: кому-то курс может показаться недостаточно интерактивным
Stepik
Уровень: начинающий
Язык курса: русский, английский
Чему учат: Python, C++, но могут появиться новые курсы
https://stepik.org/
Stepic — отечественная платформа, созданная по типу Coursera, где собраны курсы по самым разным дисциплинам, включая программирование. На данный момент на сайте есть обучающие материалы по языкам Python и C++, однако учитывая, что добавить свой курс может любой желающий, можно ожидать, что скоро курсов станет больше. Все курсы делятся на несколько уроков, каждый из которых состоит из нескольких подразделов. Участники заранее получают план занятий и информацию о том, сколько будет длиться курс. Каждый курс содержит видеоурок с объяснением материала и задания. Stepic идеально подойдет тем, кто предпочитает учиться самостоятельно, но при этом все же хочет иметь иллюзию настоящих занятий.
Плюсы: видеоуроки, понятный интерфейс
Минусы: небольшой выбор
HTML Academy
Уровень: начинающий, продвинутый
Язык курса: русский
Чему учат: HTML, HTML5, CSS
https://htmlacademy.ru
Портал напоминает CodeAcademy, но специализируется на обучении HTML и CSS. Здесь собрано множество курсов как для полных новичков, так и для продвинутых пользователей, которые уже обладают основным набором знаний по HTML. Как и на CodeAcademy, на HTML Academy вы можете писать коды и сразу же видеть результат. В правой части экрана находятся короткие теоретические объяснения. Чтобы сохранять прогресс, в системе необходимо зарегистрироваться. Это занимает буквально две минуты, особенно если учесть, что учётную запись на HTML Academy можно связать со своими аккаунтами ВКонтакте или на фейсбуке.
Плюсы: наглядность, простой интерфейс, возможность сохранять прогресс
Минусы: не замечены
«Век живи — век учись», кто не согласен? 🙂
www.picodi.com
Как самостоятельно изучить веб-программирование
Почему так важен план обучения
Многие люди, желающие изучать веб-программирование, совершают одну и ту же ошибку. Рассмотрим типичный пример.
Человек для себя твердо решил, что хочет сменить свою текущую профессию и окунуться в увлекательный мир программирования, тем более, что обладателям данной профессии платят достаточно высокую заработную плату.
И вот новичок делает запрос в гугл “Курсы программирования” и перед ним открывается несколько десятков тысяч результатов с курсами.
Курсов программирования по созданию сайтов существует огромное количество: Курсы PHP, курсы HTML и CSS, курсы по Javascript, курсы по Yii2, курсы по MySQL и многие другие.
И новичок, желая постигнуть все курсы, бросается делать новые запросы в гугл:
Скачать бесплатно курсы программирования на торрентах, бесплатно курс по PHP и другие запросы. И в итоге собирает у себя на жестком диске, несколько терабайт курсов по программированию и несколько десятков мегабайт книг по созданию веб-сайтов.
Начинает смотреть сначала один курс по программированию, не досмотрев первый, когда перестает получаться, переключается на другой курс программирования или на другую технологию. И так, прыгая от курса к курсу, в голове у новичка в программировании образуется “каша” в голове.
Кто-то не зная основ объектно-ориентированного программирования, сразу скачивает курсы по Паттернам проектирования или не зная основы Javascript, пытается изучать курсы по Angular JS.
А иногда, не понимая что, Javascript и Java — это совсем разные языки и имеют разные предназначения, начинает смотреть курсы онлайн по Java.
И на этом этапе у них совсем руки опускаются и они оставляют идею стать программистом или откладывают ее в “долгий” ящик, думая что научиться создавать веб-сайты для них слишком сложно.
Именно по этой причине так важен план обучения. Не совершайте похожие ошибки и вы пойдете кратчайшим путем к новой востребованной профессии веб-программист.
Шесть шагов как стать веб-программистом
Итак, если вы всерьез решили самостоятельно научиться программировать, выполните всего шесть шагов.
Шаг первый. Научитесь верстать.
Начните с верстки сайтов. За верстку сайтов отвечает технология HTML и для придания красивого внешнего вида каскадная таблица стилей или по другому ее называют CSS.
С помощью этой технологии, вы научитесь из обычной картинки формата JPEG или PSD макета Photoshop программировать внешний вид сайта, чтобы верстка сайта корректно открывалась в браузере.
Верстка сайта — это процесс создания визуальной части сайта, без функциональной составляющей сайта. Сверстанную страницу можно будет открыть в браузере, она будет выглядеть как сайт, но если вы нажмете например на кнопку, то ничего не произойдет.
Обязательно нужно тренироваться. С помощью HTML и CSS попробуйте создать 10 — 20 страниц вашего будущего веб-сайта.
Найдите сайт в интернете, но не слишком сложный, который вам понравится и попробуйте создать похожий. Сначала у вас не будет получаться, но этот этап пройдет, если вы будете пробовать снова и снова.
Вы можете скачать курс по технологиям HTML и CSS в интернете или вы можете посмотреть наш курс бесплатно онлайн в личном кабинете
Шаг второй. Фреймворк Bootstrap.
Пускай вас не пугает страшное слово фреймворк. Вскоре вы поймете, что это ваш самый близкий друг, который будет выручать вас при создании многих сайтов.
Изучайте Bootstrap только после того, как в полной мере освоили предыдущий шаг HTML и CSS.
С помощью фреймворка Bootstrap вы сможете создавать ту же самую верстку сайта, но намного быстрее. И одно из самых важных преимуществ Bootstrap, в том, что верстка ваших сайтов, будет адаптивной.
То есть ваш сайт будет хорошо выглядеть как на больших мониторах, так и на смартфонах и планшетах. Верстка сайта будет автоматически подстраиваться под устройство и вам для этого практически ничего не нужно будет делать, за вас позаботится Bootstrap.
Официальную документацию для самостоятельного изучения Bootstrap вы можете найти по адресу http://getbootstrap.com/ или можете смотреть наш курс по данному фреймворку в FructCode.
На фреймворке Bootstrap пробуйте также создавать верстку сайтов, чтобы немного освоиться.
Шаг третий. Программирование.
После того, как вы поймете основы верстки и создадите несколько своих сайтов-прототипов, переходите к программированию. Можете начать с языка PHP. Он невероятно простой и понятный.
Простота языка программирования с одной стороны хорошо, что на нем можно очень быстро научиться создавать скрипты на PHP, но с другой стороны плохо, что если вы упустите теоретическую часть, ваш код будет очень сложным для понимания, а программы написанные на нем, ограничены.
Изучение PHP начните с процедурного процедурного подхода в программировании. Изучите основные понятия любого высокоуровневого языка программирования: Переменные, Типы переменных, Массивы, Циклы, Функции и другое. Именно в такой последовательности.
Напишите с помощью процедурного подхода несколько простых программ, например, калькулятор или светофор.
Когда разберетесь более-менее с процедурным программированием на PHP, изучайте Объектно-ориентированное программирование (ООП).
ООП очень популярная парадигма программирования. Ее используют как минимум 90% всех софтверных компаний по всему миру, начиная от разработки простых сайтов, заканчивая разработкой огромных социальных сетей, например Facebook или VK и даже игр.
Системы написанные с помощью объектно-ориентированного программирования можно масштабировать и расширять до гигантских систем.
Когда изучите основы ООП на языке PHP, перепишите созданные ваши скрипты на процедурном подходе к программированию, в объектно-ориентированном стиле.
Шаг четвертый. База данных MySQL и CRUD.
Когда изучите предыдущие шаги, переходите к изучению взаимодействия языка программирования PHP с базой данных, с помощью языка запросов SQL.
Дело в том, что большая часть информации и даже текст который вы сейчас читаете, хранится не статично в HTML странице, а в таблице базы данных. Эта технология позволяет эффективно хранить и обрабатывать информацию.
С помощью языка запросов SQL, вы сможете “создавать”, “получать”, “обновлять”, “удалять” информацию из базы данных. Так вы перейдете к CRUD. Эти четыре буквы с английского языка расшифровываются как CREATE(создавать) — READ(читать) — UPDATE(обновлять) — DELETE(удалять).
Основы по языку запросов и администрированию MYSQL вы можете прочитать здесь
На этом шаге вам нужно будет попробовать создать CRUD приложение, которое сможет, к примеру, создавать на сайте новости, удалять на сайте новости, обновлять на сайте новости и просматривать новости.
Когда вы напишите несколько CRUD приложений, можно двигаться дальше к пятому и самому интересному шагу.
Полный и интерактивный курс по PHP и MySQL вы можете пройти здесь
Шаг пятый. MVC фреймворк.
Изучите простой php фреймворк, например Codeigniter. На этом шаге вам нужно будет перенести верстку вашего сайта, созданную на предыдущих этапах, в фреймворк. Основная задача — это понять паттерн MVC. Расшифровывается MVC как MODEL(модель) — VIEW(вид) — CONTROLLER(контроллер).
Благодаря этому паттерну, вы сможете создавать удобную структуру кода вашего веб-приложения и сможете, имея правильную структуру, быстро дописывать новый функционал для вашего сайта.
Создайте на простом PHP фреймворке и на паттерне MVC, сначала CRUD приложение, а затем и ваш первый веб-сайт.
Курс по фреймворку CodeIgniter доступен на сайте FructCode
После этого, создайте еще 3 — 5 веб-сайтов для себя, друзей, коллег, родственников. Это прибавит вам опыта и эти сайты пригодятся вам в качестве портфолио, когда вы решите, что готовы попробовать создавать сайты за деньги.
Шаг шестой. Изучение других технологий.
После того, как вы получили начальный опыт в программировании и возможно стали уже получать первые деньги за создание веб-сайтов, изучайте Composer, GIT, основы Linux, Javascript.
Затем переходите к более сложные фреймворки, такие как Yii2 или Laravel.
Не стоит сразу начинать с данных фреймворков или более сложных фреймворков на предыдущих шагах, не создавайте себе сложности.
И не пытайтесь пройти все шаги за месяц. Это невозможно. Информация должна усваиваться естественным образом.
Рассчитывайте прохождение данных шагов минимум на 6 — 12 месяцев.
По всем технологиям вы можете гуглить, например: Что такое MVC php.
Заключение
Если вы будете следовать простым шагам, вы научитесь создавать профессиональные веб-сайты самостоятельно и получите шанс обрести новую высокооплачиваемую профессию, востребованную во всем мире.
И еще один очень важный совет: Если вы чувствуйте, на одном из шагов, что перестало получаться или что вам никогда это не освоить — не сдавайтесь.
Наоборот, в такие моменты вам нужно взять себя в руки и преодолеть эти трудности! Но одному постоянно мотивировать себя учиться достаточно тяжело.
И здесь вам поможет наставник.
Записывайтесь на наш пятимесячный курс Профессия веб-программист и вы сможете пройти все вышеперечисленные шаги вместе с опытным преподавателем.
Вы разберетесь в терминологиях ООП, такие как объекты, классы, инкапсуляция, полиморфизм, создадите профессиональный веб-сайт КИНОМОНСТЕР и в момент, когда вы захотите все бросить, получите “волшебный мотивационный пинок” 🙂
И если вы будете выполнять все домашние задания и проходить тестирования, результат вас точно не разочарует!
Читайте также
Все материалы с сайта wh-db.com и ru.wh-db.com защищены авторским правом. Копирование, публикация, продажа и распространение материала строго запрещены.
ru.wh-db.com
15 отличных сайтов для изучения программирования
14.08.15
28.7K
Если вы хотите стать профессиональным программистом, то должны учиться и развиваться в этой сфере, чтобы уметь разрабатывать интерактивные веб-приложения.
В этом обзоре мы собрали список сайтов, которые помогают изучать основы программирования.
Веб-сайт GeekTyper был разработан под влиянием различных средств массовой информации, в которых деятельность хакеров обычно отображали неверно. Просто нажимайте случайные клавиши на клавиатуре, и на вашем экране появится код.
Нажмите клавишу Tab, чтобы отобразить горячие клавиши, активирующие различные эффекты. «Взлом» не является реальным, и все, что вы делаете, ни на что не влияет. Ваши настройки хранятся в кэше браузера.
Code Pad — это место, где разработчики могут сохранять и обмениваться фрагментами кода (сниппетами). Теперь вы можете сохранять сниппеты онлайн на Code Pad, что делает их легкодоступными и позволяет хранить все в одном месте.
При сохранении сниппета нужно настроить режим доступа: публичный, частично приватный или полностью приватный. «Лайк» сниппета будет хранить ссылку в вашей панели, что облегчит поиск в будущем. Также доступна различная статистика: количество просмотров сниппета, лайки, скачивания, комментарии и другое.
С сайтом Code Avengers изучать программирование – весело и легко. Неважно, являетесь ли вы новичком или у вас уже есть опыт – эти курсы помогут вам на каждом шаге вашего пути. Составленные педагогами, они позволяют получить практические навыки программирования, чтобы вы могли обучаться в своем собственном темпе. Можно начать с малого, всего с 30 минут в день, или решиться и пройти весь курс за выходные. Этот ресурс признан одним из 50 самых лучших сайтов по версии в 2013 году. Интерактивные уроки, расположенные на сайте, помогут любому изучать программирование на позитивной волне. На сайте обучающиеся могут изучить программирование через многопользовательскую игру-стратегию. С ее помощью ученики весело проводят время и одновременно изучают программирование на языках Python и JavaScript. Изучайте веб-дизайн и веб-разработку с помощью этого интерактивного сайта. На нем есть видео уроки для студентов, помогающие изучать HTML и Ruby. Codeschool учит различным веб-технологиям с помощью скринкастов, задач по программированию и видео уроков таких языков, как JavaScript, Ruby, HTML/CSS и C.
8. Wibit.net
Этот веб-сайт с видео уроками предоставляет собой бесплатные курсы по программированию на таких языках, как C++, C и Obj-C. Очень скоро появятся уроки и для Java. Это бесплатный интерактивный обучающий сайт по Java. Цель этого веб-сайта заключается в том, чтобы предоставить возможность изучать язык Java всем желающим. На сайте представлены уроки базового и продвинутого уровня.
10. SQLZoo
SQLZoo предлагает пошаговые уроки с использованием интерактивных интерпретаторов. С помощью этого сайта желающие могут изучить SQL Server, Oracle, MySQL, DB2 и PostgreSQL. Этот сайт позволит вам узнать все самое главное о Git за 15 минут. Интерактивный сайт имеет окно для ввода кода, что позволяет обучающимся запускать свой код в Octobox и сразу наблюдать результаты его работы. Информационный сайт для веб-разработчиков, который содержит ссылки и уроки по CSS, HTML, JQuery, PHP, Java Script и SQL. Ресурс получил свое название от World Wide Web. Он имеет онлайн-редактор, работающий на основе веб-технологий. Coderbyte – сайт задач и соревнований по программированию. На нем есть форум для обсуждения тем, связанных с программированием, где можно задать вопрос для решения возникшей проблемы. Сайт содержит видео, интерактивные задачи в форме консоли, а также позволяет пользователям практиковаться в программировании в самом браузере. Вам потребуется всего три часа, чтобы пройти весь курс. В настоящее время для реализации всех функций сайта используется jQuery 2.0. Сайт позволяет пользователям изучать Ruby on Rails, создавая приложение прямо в браузере. Он предлагает простой в использовании виртуальный сервер и уроки, которые облегчат изучение Rails. Эти уроки рассчитаны на новичков.
Данная публикация представляет собой перевод статьи «15 Excellent Sites to Learn Programming» , подготовленной дружной командой проекта Интернет-технологии.ру
Еще не голосовали
рейтинг из
ХорошоПлохо
Ваш голос принят
www.internet-technologies.ru
Программирование бесплатно, для начинающих
Программирование бесплатно и при том в /online/ режиме.
Кто бы не хотел научится создавать сайты и всякие программы для души и может бить и для профессионального роста.
Да каждый!
И я в том числе не прочь подучится таких новшеств о которых слышал но полностью не владею. Поступать в учебное заведение уже как то неохота… и работа хорошая имеется. Так как быть?
Думаю что обучение через интернет самое то !
В сети существует достаточно бесплатных курсов, которые помогут сделать это достаточно легко и быстро. Все представленные ниже ресурсы предоставляют простые, понятные интерактивные уроки по HTML, CSS, PHP, Ruby, в течение которых вы будете получать не только теоритические знания, но и выполнять практические задания.
Начну с русскоязычных ресурсов:
И так программирование бесплатно…
http://htmlacademy.ru/ Вы научитесь создавать современные веб-интерфейсы, работать с живым кодом, использовать новейшие технологии. Минимум скучной теории и максимум практических упражнений, решение реальных задач и настоящие испытания.
Интересные, наглядные и затягивающие курсы, интерактивные интерфейсы, достижения — все для обучения с удовольствием.
**
http://hexlet.org/
Хекслет – свободный онлайн-университет. Мы проводим бесплатные курсы по программированию и смежным дисциплинам.
Видео-лекции (их можно смотреть на сайте или через iTunes), тесты, упражнения, домашние задания и активное сообщество студентов – все это наш с вами Хекслет.
Особенности Хекслета: активное участие преподавателей, живое общение со студентами и концентрация на практических занятиях.
Представленные ниже ресурсы на английском, для информации…. в программирование без английского не как !
ФАКТ !
И так:
Codecademy
http://www.codecademy.com
Codecademy, бесспорно, самый известный сайт для изучения программирования.
Обучение начинается буквально с главной страницы сайта, где в интерактивной консоли вы можете узнать принцип обучения на этих курсах. Затем можно выбрать один из языков, в котором вы хотите преуспеть и начать его освоение.
Code Avengers
http://www.codeavengers.com/
Code Avengers создан для тех людей, которые боятся программирования, думая, что это бесконечно скучное и сложное занятие.
Здесь вы можете изучать HTML5, CSS3 и JavaScript и каждый из курсов тщательно разработан, чтобы по-настоящему увлечь вас и заинтересовать.
В конце каждого урока вам предлагается небольшая мини-игра, которая позволяет применить свои знания на практике.
Code School
http://www.codeschool.com/
Если вы закончили курсы Codecademy или Code Avengers и готовы к дальнейшему расширению своих знаний, то вам непременно надо обратить внимание на Code School.
В отличие от большинства интерактивных обучающих сайтов, Code School предлагает более углубленные курсы по подготовке и превратит вас из зеленого новичка в эксперта в выбранной области.
В отличие от других сайтов в этой подборке, которые полностью бесплатны, здесь доступ к некоторым разделам придется оплачивать из расчета 25$ в месяц.
Treehouse
http://teamtreehouse.com/
Эти курсы являются значительно более практически ориентированными, чем другие, обучающие просто одному из языков программирования.
Это значит, что перед вами ставится конкретная задача, например создание простого сайта или интерактивного веб-приложения, или даже WordPress темы и даются все необходимые знания, которые вам могут понадобиться.
Поэтому этот ресурс отлично подходит для начинающих программистов, перед которыми стоит какая-то конкретная практическая задача.
LearnStreet
Начать обучение на этом сайте можно нажатием всего одной кнопки, а вот закончить так быстро не получится — ведь учебных материалов по JavaScript, Python и Ruby здесь огромное количество.
Есть и лекции для самых начинающих, и практические задачи, и примеры решения реальных проектов.
Сравнительная таблица
Сайт
Курсы
Функции
Цена
Сложность
Codecademy
HTML, CSS, JavaScript, jQuery, PHP, Ruby, Python, API
Code Interpreter, Progress Saver, Project, Forum
бесплатно
легкий-средний
Code Avengers
HTML5, CSS3, JavaScript
Code Interpreter, Progress Saver, Project, Note
бесплатно
легкий
Code School
HTML5, CSS, CSS3, jQuery, Ruby, Ruby on Rails, iOS
Code Interpreter, Screencast, Progress Saver, Forum
Code Interpreter, Screencast, Progress Saver, Project, Forum
бесплатно, $25/месяц, $49/месяц
легкий, средний, тяжелый
LearnStreet
HTML, CSS, JavaScript, Python, Ruby
Code Interpreter, Progress Saver, Project, Forum
бесплатно
легкий
И в заключение замечательный ролик, в котором лучшие люди нашего времени расскажут вам о необходимости изучения программирования. Надеюсь, он придаст вам сил, уверенности и смелости прямо сейчас приступить к делу.
Удачи вам и много самостоятельно написанных программ !
задачи с двумя переменными, задача с двумя неизвестнами, axmara.narod.ru о математике.
Мой племянник опять не может решить задачу!
Давайте вместе попробуем решить несколько задач с двумя неизвестными!
Уясните для себя самое главное! Не бойтесь математику! Полюбите её! И вы будете щелкать эти задачи как семечки! Ведь математика – это самая главная наука!
И неважно, что эта задача не похожа на вашу, если вы не научитесь решать их самостоятельно, то любое изменение условия задачи, будет всегда для вас проблемой!
Условие задачи с двумя неизвестными :
Миша сказал, что одна лента в 2 раза длиннее, чем вторая.
А Оля сказала, что одна лента длиннее другой на 3см.
Решение задачи с двумя неизвестными:
Правильное решение задачи с двумя переменными зависит от правильности составления уравнений!
Большую ленту выразим через – х.
Маленькую выразим через – у.
Слова Миши можно записать как х = 2у.
Слова Оли можно записать как х – у = 3.
У нас получилось 2 уравнения с двумя неизвестными.
Заменим во втором уравнении х на 2у, ведь х = 2у.
И получим 2у – у = 3, у = 3.
Подставим у = 3, в первое уравнение х = 2*х=6.
Ответ к задаче с двумя неизвестными:
Первая лента равна 6см, а вторая 3см.
Написать что-нибудь…
задачи с двумя переменными ,
решить задачу два велосипедиста .
задачи с двумя неизвестными ,
задача два автомобиля выехали одновременно ,
задача два пешехода вышли одновременно ,
задача две трубы ,
axmara.narod.ru
Графическое решение задач с двумя неизвестными, заданных линейными неравенствами ограничений.
Для представления задачи линейного программирования в геометрической форме для каждого i-го ограничения в n-мерном пространстве задается полуплоскость (или гиперплоскость) решений. В результате пересечения всех полуплоскостей, определяемых ограничениями, образуется выпуклый многогранник допустимых решений.
Целевую функцию в n-мерном пространстве геометрически можно интерпретировать как семейство параллельных полуплоскостей, положение каждой из которых определяется значением параметра F.
Задача состоит в том, чтобы найти такую точку многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное или минимальное значение.
На рис. 1 показано геометрическое представление некоторой задачи линейного программирования в двумерном пространстве с четырьмя ограничениями и целевой функцией вида . Выпуклым многогранником допустимых решений является многогранник ABCDE. Координаты любой его точки удовлетворяют как систему ограничений, так и условие неотрицательности переменных, поскольку он находится в первой координатной полуплоскости.
В том случае, если в системе ограничений будет не две, а три переменных, то каждое ограничение геометрически будет определяться гиперполуплоскостью трехмерного пространства. Если же в системе ограничений количество переменных больше, чем три (х1, х2,… хn), то каждое ограничение определяет гиперполуплоскость n-мерного пространства.
Заметим что, если область допустимых решений неограниченна, то минимум или максимум линейной функции может и не достигаться.
Рис. 1. Геометрическая форма представления задачи линейного программирования
Графический метод решения задач линейного программирования базируется на ее геометрической интерпретации и применяется, как правило, при количестве переменных n = 2 и в отдельных случаях при n = 3 (трехмерное пространство) . Ограниченное использование графического метода обусловлено сложностью построения многогранника решений в трехмерном пространстве (для задач с тремя переменными), а графическое изображение задачи с количеством переменных больше трех вообще невозможно. Однако графический метод позволяет выработать у студентов наглядные представления о линейном программирование и подтвердить справедливость некоторых его теорем. В дальнейшем мы будем рассматривать и решать задачи линейного программирования графическим методом только в двумерном пространстве.
Согласно геометрической интерпретацией задачи линейного программирования каждое i-е ограничение-неравенство определяет полуплоскость с граничной прямой (і = 1, 2, …, т). Если графически изобразить общую часть, или пересечение всех указанных полуплоскостей, то мы получим множество точек, координаты которых удовлетворяют одновременно все ограничения задачи, это множество точек называют многогранником допустимых решений. Условие неотрицательности переменных означает, что область допустимых решений задачи принадлежит первому квадранту системы координат двумерного пространства. Целевая функция геометрически интерпретируется как семья параллельных прямых .
Проиллюстрируем решение задачи линейного программирования графическим методом на примере системы ограничений с двумя переменными.
Пример. Решить графически следующую задачу линейного программирования: найти максимум и минимум целевой функции при ограничениях
Решение: Сначала нам необходимо получить область допустимых решений. Неравенство определяет полуплоскость с граничной прямой . Строим эту прямую (рис. 3.2 , прямая (1)) и определяем полуплоскость допустимых решений. С этой целью в неравенство подставляем координаты какой-то характерной точки, например . Убеждаемся, что эта точка принадлежит выбранной полуплоскости и иллюстрируем этот факт соответствующими направленными стрелками. Аналогичным образом строим полуплоскости для остальных неравенств из системы ограничений задачи. В результате пересечения этих полуплоскостей получаем область допустимых решений – многогранник ОABCD.
Вектор нормали (иногда его называют также как радиус-вектор) задает направление роста значений целевой функции F. Целевая функция определяет семейство параллельных прямых с1х1 + с2х2 = const, которые называются линиями уровня и каждая из которых соответствует определенному значению целевой функции F. Первая линия уровня проходит через начало координат, при этом F = 0. При увеличении F линии уровня смещаются в направлении вектора, а при уменьшении – в направлении, противоположном вектору . На рис.2 построена прямая F = 0, которая располагается перпендикулярно вектору нормали .
Рис. 2. Графическое представление задачи
Допустимыми базисными решениями данной задачи являются угловые точки многогранника ОABCD, а одна (в отдельных случаях – две) из этих точек придает максимального значения целевой функции. В этом примере максимального значения целевая функция достигнет в точке B, т.е. в вершине многогранника области допустимых решений, которая является наиболее отдаленной от начала координат, если двигаться в направлении вектора .
Координаты точки B находим, решив систему из уравнений прямых № 1 и № 2, на пересечении которых эта точка находится:
Имеем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить методами Крамера, Гаусса и некоторыми другими.
По методу Крамера решениями этой системы будут значения:
; .
Таким образом оптимальным планом задачи линейного программирования, который обеспечивает максимум целевой функции является точка B (1,54 ; 7,68).
Значение целевой функции в этой точке: .
Минимального значения целевая функция достигает в точке D. Если мы движемся в направлении противоположном вектору нормали , то данная точка является последней вершиной многогранника ОABCD через которую проходит линия уровня F. Прямая (3) пересекает ось 0х1 при х1 = 2 , следовательно координаты точки D (2 , 0) .
Оптимальным планом задачи линейного программирования, который обеспечивает минимум целевой функции является точка D ( 2 , 0) .
Значение целевой функции в этой точке: .
Рекомендуемые страницы:
lektsia.com
Уравнения с четырьмя и более неизвестными
68. Уравнения с четырьмя и более неизвестными. Теперь ясны следующие соображения: одно уравнение с четырьмя неизвестными имеет бесконечно много решений, причем можно давать произвольные значения трем неизвестным, два уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать двум неизвестным, три уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать одному неизвестному, четыре уравнения с 4 неизвестными имеют лишь одно решение (конечно, если ни одно из этих уравнений не есть следствие остальных и не противоречит остальным).
Такие соображения можно продолжить и дальше. Например, 5 уравнений с 8-ю неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать трем неизвестным и т. п.
Решать системы уравнений с большим числом неизвестных приходится редко. Следует при этом решении пользоваться по возможности всеми особенностями уравнений, чтобы упростить решение.
Рассмотрим 2 примера. Пример 1:
x + y + 2z – t = 9 x + y – 2z + t = 7 x – y + z + 2t = –9 x – y – z – 2t = 5
Сложив 1-е и 2-е уравнения по частям, мы получим очень простое уравнение только с двумя неизвестными, а именно
2x + 2y = 16 или x + y = 8.
Сложив по частям 3-е и 4-е уравнения, получим:
2x – 2y = –4 или x – y = –2.
Теперь легко решить 2 полученных уравнения (x + y = 8 и x – y = –2), и тогда найдем x = 3 и y = 5.
Подставляя эти значения в 1-е и в 3-е уравнения, получим:
3 + 5 + 2z – t = 9 или 2z – t = 1 3 – 5 + z + 2t = –9 или z + 2t = –7
Подстановка этих значений во 2-е и 4-е уравнения приведет к таким же точно уравнениям.
Теперь остается решить 2 уравнения с 2 неизвестными:
maths-public.ru
Решение задач с помощью систем уравнений
Вопросы
занятия:
·
показать основные этапы решения задач с помощью систем.
Материал
урока
На
предыдущих уроках мы с вами говорили о системах линейных уравнений с двумя
неизвестными и научились решать такие системы тремя способами. А именно,
графическим способом, способом подстановки и способом сложения. На практике
обычно используют способ подстановки и способ сложения, так как графический
способ чаще всего позволяет найти решения лишь приближенно.
На
этом уроке мы научимся с помощью систем уравнений решать задачи.
Давайте,
рассмотрим задачу.
В
корзине лежат бананы и яблоки. Известно, что бананов на 5 больше, чем яблок.
Сколько бананов и сколько яблок в корзине, если всего в ней 17 фруктов?
Пусть
х – количество бананов в корзине, а игрек – количество яблок.
Так
как по условию задачи бананов на 5 больше, чем яблок, то можем составить
уравнение:
Также
из условия задачи известно, что всего в корзине 17 фруктов, а тогда можем
записать следующее уравнение:
Объединим
уравнения в систему, так как эти условия должны выполняться одновременно.
Теперь,
чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо решить эту систему.
Таким
образом, чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, надо:
1.
выделить
две неизвестные величины и обозначить их буквами;
2.
используя
условие задачи, составить систему уравнений;
3.
решить
систему уравнений удобным способом;
4.
истолковать
результат в соответствии с условием задачи.
Решим
следующую задачу.
Пример.
И
решим ещё одну задачу.
Пример.
videouroki.net
Решение задач с помощью систем линейных уравнений. 7-й класс
Разделы: Математика
Аннотация: Урок объяснения нового материала.
На уроке рассматриваются три разных способа
решения одной задачи. Тем самым школьники
приучаются анализировать условие задачи и
выбирать более простой способ решения. Первый
опыт применения уравнений для решения текстовых
задач у учащихся уже имеется. Различные способы
решения систем линейных уравнений уже изучены. И
одна из целей урока — показать использование
системы уравнений как математической модели
реальной ситуации. Использование на уроке
технических средств позволяет сделать урок
ярким, насыщенным, полным и дает возможность
мгновенно осуществить проверку решаемых на
уроке заданий. Это очень важно, так как
экономится время, а учащиеся, работающие
самостоятельно, получают возможность проверить
себя и вернуться назад, чтобы устранить свои
ошибки. Тем самым осуществляется самоконтроль,
внутренняя обратная связь — важнейший фактор
самоуправления процесса обучения.<Приложение1>
Цели
Показать использование системы линейных
уравнений как математической модели реальной
ситуации
Применение знаний по теме «Системы линейных
уравнений» для решения текстовых задач.
Учить анализировать условие задачи и выбирать
более простой способ решения.
Ход урока
Устная работа:
Решите задачу, составив числовое выражение:
Купили 7 тетрадей по 2р. и 2 ручки по 4р. Сколько
денег заплатили?
Турист ехал 2ч на поезде со скоростью 60км/ч и 3ч
шел пешком со скоростью 5км/ч. Какое расстояние он
преодолел?
Решите задачу, составив буквенное выражение:
Купили 10 тетрадей по Х р и 3 ручки по У р. Сколько
заплатили за всю покупку?
Турист ехал 3ч на автобусе со скоростью Х км/ч и
2ч шел пешком со скоростью 4км/ч
Перейдите от словесной модели к
математической:
Числа В и С равны
Число А на 18 больше числа В
Число Х в 6 раз меньше числа У
Разность Р и Н на 17 больше их частного
Создайте реальную ситуацию по модели:
a=2b
a+7=b
a-b=3
3a=b
I Этап. Объяснение нового материала.
Задача На турбазе имеются палатки и домики.
Всего их 25. В каждом домике размещается по 4
человека, в каждой палатке — по 2 человека.
Сколько палаток и сколько домиков на турбазе,
если на ней отдыхает всего 70 человек?
Решим задачу арифметически.
25*2=50(чел) разместилось бы, если селить по 2
70-50=20(чел) не расселили
20:2=10(домиков), т.к. подселяют еще по 2
25-10=15(палаток)
Ответ: 10 домиков, 15 палаток.
Решим эту задачу с помощью уравнения.
(Вспомним этапы математического моделирования)
II этап. Составление математической модели.
Пусть на турбазе Х палаток, тогда домиков 25-Х. Т.
к. в каждой палатке по 2 человека, то 2Х чел живут в
палатках. Т. к. в каждом домике по 4 человека, то
4(25-Х) чел. живут в домиках. Зная, что всего на
турбазе 70 чел, составим уравнение:
2Х+4(25-Х)=70
III этап. Работа с моделью.
2Х+100-4Х=70
-2Х= — 30
Х=15
IV. этап. Ответ на вопрос задачи: 15
палаток и 10 домиков.
Самый трудный этап в решении задач -
составление математической модели. Ученик
всегда затрудняется, что удобнее обозначить за Х.
Всегда возникает желание обозначить за Х то, о
чем спрашивается в задаче. Но в данной задаче два
вопроса. Две искомые величины. Можно ли решить
эту задачу, введя два неизвестных? Попробуем.
Пусть Х — палаток, а У — домиков. Т. к их всего 25,
то Х+У=25. 2Х чел живут в палатках, а 4У чел — в
домиках. 2Х+4У=70 Получили два уравнения и оба с
двумя незвестными.
Как же их решить? Составить систему двух
уравнений с двумя неизвестными и решить ее.
Х+У=25
2Х+4У=70
Вспоминаем способы решения систем линейных
уравнений.
Решив систему, получаем тот же ответ: 10 домиков,
15 палаток.
Делаем вывод: Система линейных уравнений
тоже может быть использована как математическая
модель реальной ситуации. Чтобы решить задачу с
помощью системы надо ввести два неизвестных и
составить два уравнения с ними. Способ решения
системы надо выбирать тот, который
представляется более уместным, или тот, который
больше нравиться. Этапы математического
моделирования те же, что и при решении задач с
помощью уравнения.
Закрепление изученного материала.
Решите с помощью системы уравнений:
1. У причала находилось 6 лодок, часть из
которых была двухместными, а часть -
трехместными. Всего в эти лодки может
поместиться 14 человек. Сколько двухместных и
сколько трехместных лодок было у причала?
2. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех
и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?
Подведение итогов урока.
Домашнее задание: параграф 14 , №14.7, 14.14.
26.02.2011
Поделиться страницей:
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Решение систем уравнений с двумя неизвестными как математические модели реальных ситуаций 9 класс
Долхонова В.В. МБОУ «Еланцынская СОШ»
Урок по алгебре
Класс: 9
Тема: «Решение систем уравнений как математические модели реальных ситуаций»
Цели урока:
Обучающие:
Продолжать работу по формированию навыков решения задач с помощью систем уравнений второй степени.
Закрепить знания решения систем уравнений второй степени аналитическим способом (способ подстановки)в ходе решения задач.
решать задания, которые наиболее часто встречаются на «ГИА».
Развивающие:
использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
умение обосновывать свои рассуждения;
Воспитательные:
выработка желания и потребности обобщать полученные факты;
воспитание настойчивости и терпения при выполнении заданий.
Побуждать учеников к самоконтролю, воспитывать интерес к математике.
Оборудование: проектор, ПК
Прогнозируемый результат:
Знать способы и методы решения систем уравнений второй степени.
Уметь правильно отбирать способы решения систем уравнений второй степени для решения задач с помощью систем уравнений.
Эпиграф:
1.Китайская мудрость: « Я слышу – я забываю, я вижу – запоминаю,
я делаю – я усваиваю».
2. «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»
Д. Пойа
План урока:
Организационный момент.
Математический диктант.
Объяснение материала
Закрепление материала
Подведение итога урока.
Домашняя работа
Ход занятия
Организационный момент
Проверка подготовленности учащихся к занятию.
Приветствие учителя и учащихся.
3. Постановка целей и задач занятия.
Прочитайте высказывание математика Д. Пойа. Какой совет дает ученый нам? Мудрость высказывания математика Д.Пойа объедините с предыдущей темой и сформулируйте тему урока.
Сегодня мы познакомимся с задачами, решение которых сводится к
системам уравнений. Запишем тему урока. Назовите цель урока.
Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности.
— Работать сегодня мы будем коллективно, в парах и индивидуально.
Вспомните правила работы в парах. (Прислушиваться к мнению соседа, работать дружно, помогать друг другу). В конце урока каждый из вас оценит свою работу и работу партнёра.
2.Математический диктант
Перед вами лежат задания математического диктанта, выполните его.
1вариант.
Составьте уравнение с двумя переменными, если:
Сумма двух натуральных чисел равна 16.
Периметр прямоугольника равен 12 см.
Одна сторона прямоугольника на 8 см больше другой.
Произведение двух натуральных чисел равно 28.
Диагональ прямоугольника равна 5 см.
2 вариант
Составьте уравнение с двумя переменными, если:
Разность двух натуральных чисел равна 14.
Площадь прямоугольника равна 26 см².
Катет прямоугольного треугольника на 5 см больше другого.
Сумма квадратов двух натуральных чисел равна 30.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см.
На экране проецируются ответы и критерии оценивания.
Ребятам в парах предлагается проверить и оценить работу друг друга.
Объяснение материала
При решении задач с помощью системы уравнений придерживаемся следующего алгоритма: (слайд)
I. Составление математической модели:
Внимательно изучить условие задачи:
Какой процесс описывается в задаче?
Какими величинами характеризуется этот процесс?
Как связаны между собой эти величины?
Значения, каких величин требуется найти?
Обозначить буквами искомые величины;
Выразить искомые величины через данные;
Составить уравнения и из них соответствующую систему;
II. Работа с математической моделью:
Найти решение системы;
III. Ответ на вопрос задачи:
Проверить, какие из решений системы удовлетворяют условиям задачи.
Алгоритм решения задачи дать каждому ученику.
Задача 1. Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которого 40 м. Площадь газона 96 . Найдите длины сторон газона.
I этап:
Составим выражения по данным задачи, пусть a и b –длины сторон, тогда 2(a+b)=40 будет периметр газона, площадь газона выразим как . По данным выражениям составим систему уравнений и найдем решения данной системы.
II этап:
III этап: обе пары чисел удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 12 м и 8м
После решения задачи необходимо ещё раз объяснить ход решения и поинтересоваться у учащихся, понятно ли им данное решение. Так же необходимо заметить, что в некоторых случаях целесообразно создавать геометрические модели для лучшего восприятия условия задачи. Чаще всего такие модели составляются к задачам на движение, которые нам еще предстоит решать.
Закрепление материала
Выполнение заданий на карточках:
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Один из катетов на 7 см больше другого. Найдите катеты прямоугольного треугольника.
I этап:
Пусть катеты равны x и y, составляем 1 уравнение. По теореме Пифагора составляем 2 уравнение. Методом подстановки:
II этап:
III этап : По смыслу задачи пара чисел -5 и -12 не могут быть решением системы
Ответ: 12 см и 5 см.
Взаимопроверка решения задачи в парах. После этого решение проецируется на экран.
Задача 3. Произведение двух положительных чисел равно 96. Одно из них на 4 больше другого. Найдите эти числа.
I этап:
Пусть 1 число – x, 2 число – у.
x>0 и y>0
II этап:
III этап: По смыслу задачи исключаем числа – 8 и — 12
Ответ: 12 и 8.
Также взаимопроверка в парах.
Теперь решим задачу №7.2 коллективно.
Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Вспоминаем движение по течению и против течения реки. Составим математическую модель.
Составим таблицу:.
S, км
V, км/ч
T, ч
По течению
14
Против течения
14
II этап:
Решим полученную систему.
III этап:
Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.
Подведение итогов занятия
1.Обсуждение успешности достижения целей занятия.
2.Оценивание работы учащихся
Разъяснение дом. задания — №№ 7.6 и 7.12
infourok.ru
Решение задач составлением систем линейных уравнений с двумя неизвестными
Розробка
уроку з алгебри для 7 класу з теми:
«Розв’язування задач за допомогою систем
лінійних рівнянь з двома невідомими»
з застосуванням елементів здоров’єзберігаючих
технологій, мета уроку – формування
навичок розв’язування задач за допомогою
систем рівнянь, розвиток критичного
мислення, ділової активності та
зацікавленості учнів у збереженні
свого здоров’я.
Разработка урока алгебры для
7-го класса по теме:
«Решение
задач составлением систем линейных
уравнений»
Тема
урока. Решение задач составлением систем
линейных уравнений с двумя неизвестными.
Задачи
урока. Ознакомить учащихся с решением
задач составлением систем линейных
уравнений с двумя неизвестными;
формировать навыки решения задач
составлением систем уравнений; развивать
критическое мышление; активизировать
деятельность учащихся; развивать интерес
к своему организму и способам сохранения
здоровья, пропагандировать здоровый
образ жизни.
Оборудование.
Компьютер, проектор, плакаты с формулами.
Тип
урока. Урок усвоения новых знаний.
Эпиграф
к уроку. «Здоровье – не все,
но и
все без здоровья – ничто»
Сократ
Ход урока.
Организационный
момент.
Разминка:
1)
Упражнение «Белая ворона» (что лишнее?)
Текст на экране:
«Собери формулы».Установите соответствие
между выражениями. (Учащиеся объединены
в три группы)
По команде
учителя ученики из каждой
группы по одному подходят к соответствующей
доске и составляют формулу (какая
команда быстрее…).
На трех досках в две колонки
записаны на цветных листах выражения:
(а + в)2
а3 + в3
(а +
в)(а2 – а в + в2)
(а –
в)2
(а +
в)3
(а —
в)(а2 + а в + в2)
а3—
3а2в + 3ав2 — в3
(а —
в) (а + в)
а2 – 2ав +в2
(а —
в)3
а3 — в3
а2 + 2ав + в2.
а2 — в2
а3 +3а2в + 3ав2 +в3
3)
Найдите пары тождественно равных
выражений: (на экране цветные прямоугольники
с выражениями — таблица)
1) а2 +
10а + 25
5)
(1 – а)2
9) 49 а2
2) (а + 7) (7–
а)
6) (а 3)(
3а)
10) (а 3)
(а+3)
3) а2 2а + 1
7) (5 + а)2
11) 8 – а3
4) а2 9
8) (2–а)(4+2а+а2 )
12) а2 6а + 9
На уроках применяю
элементы хромотерапии.
С этой целью на уроке использую
карточки, таблицы, изображение фигур
на компьютере определенных цветов (в
зависимости от этапа урока), что влияет
на физическое и психическое состояние:
синий
цвет снимает головную боль,
(расслабляющий)
красный – повышает
работоспособность,
(стимулирующий)
желтый – улучшает настроение,
(укрепляющий)
зеленый
цвет используют для коррекции зрения
(тонизирующий)
Следующее упражнение учащиеся
выполняют стоя. (Режим динамических поз
на уроке – по необходимости ученик и
самостоятельно может, не мешая, изменит
позу…)
4)
Является ли пара чисел: (3; -2), (8; 6), (3,5;
1,5), (7; -2)
решением
системы двух уравнений
х + у = 5;
х – у = 2? (условие на
цветном экране)
(если
«да» учащиеся поднимают руки и тянутся
вверх на носочках, если «нет» — опускают
руки вниз, расслабляются)
5)
Ученик, который заботится о своем
здоровье, должен правильно питаться.
На
экране красочная таблица: «Разговор о
правильном питании» и условие следующей
задачи:
В
день можно съедать не более 1/10кг сладостей
и сахара, дневная норма потребления
хлеба составляет 1/5кг, масла (сливочного
и растительного) – 1/8кг. Сколько граммов
сладостей, хлеба, масла может съедать
в день ученик? (каждая группа отвечает
на один вопрос).
II.
Актуализация опорных знаний (этап
вызова)
1) Какие способы решения систем двух
линейных уравнений вам известны?
2)
Решить задачу: В поясничном, крестцовом
и копчиковом отделах позвоночника
позвонков поровну. В грудном отделе их
на семь больше, чем в поясничном, а шейном
отделе – на пять меньше, чем в грудном.
Сколько позвонков в каждом отделе
позвоночника, если всего их 34?
«Минутка
здоровья» Напомнить учащимся о правильной осанке:
“Что такое осанка? Осанка – это привычная
поза спокойно стоящего или сидящего
человека. Плохая, неправильная осанка
приносит вред здоровью: нарушает работу
внутренних органов. А как некрасиво
выглядит человек, у которого плохая
осанка. Правильная осанка не только
делает фигуру стройной, но и придает
человеку уверенность в себе, бодрость,
жизнерадостность”. Поэтому
необходимо вырабатывать правильную
осанку: опустить плечи, соединить
лопатки, поднять подбородок, втянуть
живот, и следить за своей осанкой в
течение урока. (На экране цветные плакаты
с изображением позы стоящего и сидящего
человека).
НЕПРАВИЛЬНО
ПРАВИЛЬНО
А
теперь вернемся к задаче. Учащиеся
предлагают решить задачу с помощью
составления уравнения, так как легко
все неизвестные выразить через одну
переменную, решают коллективно с записью
на доске.
III.
Мотивация учебной деятельности.
Продолжим
разговор о правильном питании. Рассмотрим
следующую задачу: Одно из чисел,
соответствующее суточной потребности
витамина В1,
на 0,3 больше другого, соответствующего
суточной потребности – В2.
60º/0
большего
числа на
0,03 больше, чем 700/0 меньшего числа. Найдите эти
числа
и
узнайте, какова суточная потребность
организма в витаминах В1 и В2 в
миллиграммах.
Дефицит
витамина В1 может привести к нарушению обмена
углеводов, и как следствие к болезням.
Витамин В2 отвечает за состояние зрения. На экране
условие задачи, цветная таблица о
витаминах и продуктах, в которых они
содержатся.
Прочитаем
еще раз условие задачи и подумаем, как
ее решить. Очевидно, что довольно трудно
решить задачу уравнением, выражая
неизвестные, через одну переменную, так
как же решить эту задачу рациональным
способом? Это вы сможете сделать, изучив
новую тему.
IV.
Сообщение темы и задач урока.
V.
Изучение нового материала. (Этап
осмысления)
1.
Работа с учебником. Прочитать п. 29 стр.
249, выделить главное. Ответьте на вопросы
(предварительно, обсудив в группах,
прием — «вертушка» учащиеся могут
переходить из одной группы в другую):
Приведите
пример линейного уравнения с двумя
переменными.
Что
такое решение уравнения с двумя
переменными?
Сколько
решений может иметь система двух
линейных уравнений с двумя переменными?
Сколько
решений может иметь система двух
уравнений первой степени с двумя
переменными?
Составьте
несколько разных моделей задачи: найдите
два числа, если
их сумма равна 5, а разность равна
3.
2.
Решение упражнений № 1158, 1159 (устно).
3.
Решение задачи (образец записи решения)
№ 1185(коллективно).
VI.
Физкультминутка (в зависимости от номера
урока по расписанию)
VII.
Закрепление новых знаний и умений.
1.
№ 1178 (комментированное решение, образец
записи решения задачи)
2.
Вернемся теперь к задаче о витаминах и
решим ее с помощью составления системы
уравнений с записью на доске и в тетрадях.
3.
Работа в группах. Каждая группа получает
задание – решить задачу.
Для
1-й группы: Дефицит железа сказывается
на росте и устойчивости к инфекциям. От
железа зависит содержание гемоглобина
– переносчика кислорода ко всем органам.
Медь также синтезирует гемоглобин и
определяет антиоксидантный потенциал
сыворотки крови.
Задача.
Сумма двух чисел равна 11. 600/0 большего числа на 2,7 больше,
чем 700/0 меньшего числа. Найдите эти числа и
узнайте, какова суточная потребность
организма в железе и меди в миллиграммах.
Для
2-й группы:
Таблица:
«Курение – одна из вреднейших привычек»
Задача.
Сумма двух чисел равна 18. Если большее
из этих чисел
умножить
на два, а меньшее умножить на четыре, то
их сумма будет равна 48. Найдите эти
числа. Меньшее число покажет вам, сколько
минут жизни
забирает
одна сигарета.
Для
3-й группы:
Задача.
Сумма двух чисел равна 82. Если первое
число увеличить в 4,5 раза, а ко второму
прибавить 28, то их сумма будет равна
180. Найдите эти числа, и вы узнаете,
сколько лет полноценной жизни забирает
табак у курильщиков и сколько лет в
среднем живут курящие мужчины.
(Представитель
каждой группы знакомит весь класс с
условием и записывает решение задачи
на доске)
VIII.
Этап рефлексии.
Поставьте
в тетрадях буквы, соответствующие вашему
восприятию материала урока.
На
светло- синем экране:
А)
все понятно, интересно;
Б)
все понятно, но не интересно;
В)
не все понятно;
Г)
почти ничего не понятно;
Д)
ничего не понятно;
Ж)
кроме, математических знаний получил
полезную информацию;
З)
ничего полезного.
IX.
Подведение итогов. Мотивация выставления
оценок.
X.
Комментированное домашнее задание: п.
29(читать, ответить на вопросы к пункту)
I
и II
уровень №1164, 1165, 1174;
III
уровень №1184, 1187, 1189;
IV
уровень 1191, 1195, (творческое задания, по
данным на карточках составить задачу).
Карточка
№ 1. (Для первой группы) На карточке
плакат: «Никотин — яд!» — убедите в этом
своих близких, если они курят.
«Никотин
– один из самых опасных ядов растительного
происхождения. Птицы (воробьи, голуби)
погибают, если к их клюву всего, лишь
поднести стеклянную палочку, смоченную
никотином. Кролик погибает от 1/4 капли
никотина, собака – от 1/2 капли. Для
человека смертельная доза никотина
составляет от 50 до 100 мг, или 2-3 капли.
Именно такая доза поступает ежедневно
в кровь после выкуривания 20-25 сигарет
(в одной сигарете содержится примерно
6-8 мг никотина, из которых 3-4 мг попадает
в кровь). Курильщик не погибает потому,
что доза вводится постепенно, не в один
прием. К тому же, часть никотина
нейтрализует формальдегид – другой
яд, содержащийся в табаке. В течение 30
лет такой курильщик выкуривает примерно
20000 сигарет, или 160кг табака, поглощая в
среднем 800г никотина».
Карточка
№2.(Для второй группы) На карточке
плакат: «Никотин яд!» «Сломай сигарету,
пока сигарета не сломала тебя!»
«Врачи также выяснили, что рост
числа курящих параллельно увеличивает
количество опасных болезней. Начиная
с начала 1960 годов, стали публиковать в
газетах и журналах результаты научных
исследований. И люди ужаснулись!
Оказывается, если человек курит в день
от 1 до 9 сигарет, то сокращает свою жизнь
(в среднем) на 4, 6 года по сравнению с
некурящими. Если курит от 10 до 19 сигарет,
то на 5, 5 года; если выкуренных 20 до 39
сигарет – более 7 лет».
Карточка
№ 3.(Для третьей группы) На карточке
плакат: «Если человек курит…» —
статистические данные о болезнях
курильщиков.
«Длительно и много курящие в 13
раз чаще заболевают стенокардией, в 12
— инфарктом миокарда, в 10 раз — язвой
желудка и в 30 раз от тяжелейшего
заболевания легких».
Правило сложения чисел с противоположными знаками:
Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:
вычислить модули чисел;
выполнить сравнение полученных чисел:
если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;
из большего модуля вычесть меньший;
перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.
Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.
Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.
Пример 3
Сложить числа $4$ и $−8$.
Решение.
Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.
Найдем модули данных чисел:
$|4|=4$;
$|-8|=8$.
Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.
Далее от большего модуля отнимем меньший модуль, получим:
$8−4=4$.
Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$
Краткая запись решения:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Ответ: $4+(−8)=−4$.
Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.
Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками
Правило вычитания отрицательных чисел:
Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.
Согласно правилу вычитания можно записать:
$a−b=a+(−b)$.
Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.
Пример 4
Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.
Решение.
Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.
Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Выполним сложение чисел с противоположными знаками:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ответ: $(−28)−(−5)=−23$.
При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.
Сложение и вычитание чисел с разными знаками
Правило вычитания чисел с противоположными знаками совпадает с правилом вычитания отрицательных чисел.
Пример 5
Вычесть положительное число $7$ из отрицательного числа $−11$.
Решение.
Противоположное число для числа $7$ – это число $–7$.
Согласно правилу вычитания чисел с противоположными знаками получим:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Выполним сложение отрицательных чисел:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Краткая запись решения: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Ответ: $(−11)−7=−18$.
При вычитании дробных чисел с разными знаками необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных или десятичных дробей.
spravochnick.ru
правило, примеры, выполните сложение отрицательных чисел по правилу
В рамках этого материала мы затронем такую важную тему, как сложение отрицательных чисел. В первом параграфе мы расскажем основное правило для этого действия, а во втором – разберем конкретные примеры решения подобных задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основное правило сложения натуральных чисел
Перед тем, как вывести правило, вспомним, что мы вообще знаем о положительных и отрицательных числах. Ранее мы условились, что отрицательные числа нужно воспринимать как долг, убыток. Модуль отрицательного числа выражает точные размеры этого убытка. Тогда сложение отрицательных чисел можно представить как сложение двух убытков.
Воспользовавшись этим рассуждением, сформулируем основное правило сложения отрицательных чисел.
Определение 1
Для того чтобы выполнить сложение отрицательных чисел, нужно сложить значения их модулей и поставить минус перед полученным результатом. В буквенном виде формула выглядит как (−a)+(−b)=−(a+b).
Исходя из этого правила, можно сделать вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей надо ставить знак минус.
Какие можно привести доказательства этого правила? Для этого нам потребуется вспомнить основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел). Для доказательства нам нужно всего лишь продемонстрировать, что разность левой и правой части равенства (−a)+(−b)=−(a+b) будет равна 0.
Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0, то (−a+a)+(−b+b)=0+0, а 0+0=0.Наше равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.
Задачи на сложение отрицательных чисел
Во втором параграфе мы возьмем конкретные задачи, где нужно складывать отрицательные числа,
zaochnik.com
Отрицательные числа
Владение отрицательными числами — необязательный навык, если Вы собираетесь поступать в 5 класс физико-математической школы. Однако это намного упростит решение уравнений, что дальше отразится на общем результате вступительной олимпиады.
Итак, приступим.
Сперва надо понять, что существуют числа меньше нуля, которые и называются отрицательными: например на единицу меньше, чем это , ещё на единицу меньше 1, далее , а потом и т. д. У любого натурального числа есть свой «отрицательный брат», число , которое в сумме с исходным числом даёт .
Все натуральные, «минус натуральные» числа и «0» вместе составляют множество целых чисел.
Сложение и вычитание
Если представить себе числовую прямую, то можно легко овладеть правилами сложения и вычитания отрицательных чисел:
Сперва находите на прямой то число, к которому или из которого вы будете вычитать/прибавлять. Дальше, если Вам нужно:
Прибавить отрицательное число, то необходимо сместиться влево
Прибавить положительное число — сместиться вправо
Вычесть отрицательное — сместиться вправо
Вычесть положительное — сместиться влево
на то число единиц, которое вы прибавляете/вычитаете. Новое место, где Вы окажетесь, и будет результатом операции.
Разумеется, задачи для для поступления в 5 класс можно будет решить и без использования отрицательных чисел, но это улучшит Ваш математический уровень в общем. Со временем Вы не будете рисовать или представлять числовую прямую, а будете делать это «на автомате», но для этого стоит потренироваться: придумайте любые числа (отрицательных или положительных) и попробуйте их сперва сложить, потом вычесть. Повторяя такое упражнение по раз в день уже через дня Вы почувствуете, что полностью научились складывать и вычитать любые целые числа.
Умножение и деление
Здесь ситуация ещё проще: необходимо лишь запомнить как меняются знаки при умножении или делении:
на
на
на
на
Вместо слова «на» может стоять как умножение, так и деление. Со знаком мы определимся, а само число — это результат соответственно умножения или деления исходных чисел без знаков.
Примеры сложения, вычитания, умножения и деления отрицательных чисел
Смещается вправо на
Смещается влево на
Смещаемся вправо на : разобьём на два шага — до «» и «сколько осталось»
Смещаемся влево на
Зак будет , затем просто перемножаем
Зак будет , затем просто перемножаем
Зак будет , затем просто делим
Зак будет , затем просто делим
geniusmath.ru
6 класс. Математика. Вычитание положительных и отрицательных чисел — Вычитание
Комментарии преподавателя
Этим уроком мы заканчиваем изучение раздела «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел». Полученные при изучении этого раздела знания позволят нам посмотреть на хорошо знакомое арифметическое действие вычитание другим глазами.
Вычитание – это действие, обратное сложению.
Если нас просят, например, вычесть 8 из 11, то нам надо найти число, которое нужно прибавить к 8, чтобы получить 11. Ясно, что это число 3. С другой стороны, если к 11 прибавить , мы тоже получим 3.
Таким образом, вычесть 8 и прибавить – это одно и то же действие.
Сформулируем правило.
Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Пример1.
Для того чтобы из вычесть , заменим вычитание сложением, а число 14 – ему противоположным. Выполним сложение отрицательных чисел.
Пример 2.
Для того чтобы из вычесть , заменим вычитание сложением. Затем сложим числа с разными знаками.
Пример 3.
Вычтем из числа 10 число . Заменим вычитание сложением, а число – ему противоположным. Получим число 13. Заметим, что в данном примере два знака минус, которые следовали друг за другом, мы заменили знаком плюс. Это удобный технический прием.
Заметим, что в подобных случаях его применяют всегда. При этом промежуточные рассуждения опускают.
Пример 1.
В этом примере два знака минус идут подряд. Их можно заменить знаком плюс.
Пример 2.
Заменим два знака минус, идущих подряд, знаком плюс.
Пример 3.
Воспользуемся правилом, заменим два знака минус, которые следуют друг за другом, знаком плюс.
Сформулируем замечание.
Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно рассматривать как сумму.
Упражнение. Рассмотрите данные выражения и укажите каждое слагаемое в сумме.
Это сумма числа .
www.kursoteka.ru
Памятка «Алгоритм сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел»
1.Уменьшаемое записываем без изменения;
2.Знак вычитания заменяем знаком сложения;
3.Вычитаемое заменяем противоположным числом;
4. Применяем правило сложения.
Примеры:
-8 – (- 2)= -8 + 2 = -6;
6 – 9 = 6 +( — 9) = — 3.
1.Выделяем число, модуль которого больше;
2.В ответе ставим знак того числа, модуль которого больше;
3.Модули вычитаем.
Примеры:
-7 + 5= — 2;
9+ (- 4) = +5 = 5.
1.В ответе ставим знак минус;
2.Модули складываем.
Пример:
-9 + ( — 5) = — 14
В ответе всегда получается 0.
Примеры:
-7 + 7 = 0;
3 + (- 3)= 0.
чисел с разными знаками
отрицательных
чисел
вычитание
противоположных
чисел
сложение
действие
Алгоритм сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел.
infourok.ru
Сложение положительных и отрицательных чисел
Технологическая карта
Класс 6 «В»
Тема урока: «Сложение положительных и отрицательных чисел»
Место урока в теме: 1
Тип урока: изучение нового материал с первичным закреплением
Цель урока:
образовательная: сформирование представление о сложении рациональных чисел; организовать деятельность учащихся для нахождения правила (алгоритма) сложения чисел с одинаковыми и разными знаками; применить полученные знания при решении заданий и задач; проверить уровень усвоения знаний;
-воспитательная: воспитывать интерес к математике, применяя интересные задания, используя различные формы работы.
-развивающая: развивать умение учащихся работать как индивидуально (самостоятельно), так и коллективно; развивать умение оценить свои силы, используя задания разного уровня сложности.
Прогнозируемый результат:
Умение складывать положительные числа.
Умение складывать отрицательные числа.
Умение складывать положительные и отрицательные числа.
Умение формулировать правила, алгоритмы сложения положительных и отрицательных чисел.
сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел
Слайд 1
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Островская Таисия Алексеевна Учитель математики МБОУ лицея № 15 у ченица Репина Ксения
Слайд 2
О бщее правило при сложении и вычитании рациональных чисел.
Слайд 3
ЗНАЕШЬ ЛИ ТЫ? 1. Что такое положительное и что такое отрицательное число? 2. Как они располагаются на числовом луче? 3. Как сравнить положительные и отрицательные числа?
Слайд 4
ПРОВЕРЬ СЕБЯ ! Выпиши все положительные и все отрицательные числа : — 7; 9 ,2; — 10,5; 73 ; — 55 ,99; — 0,056; 123; 41,9; — 0,4 Расположи их в порядке возрастания. Расположи их в порядке убывания .
Правила. 1. Числа, меньше нуля, называют отрицательными. И ставят знак (-). Числа, больше нуля, называют положительными. И ставят знак (+). Число 0 (нуль) не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. │0│= 0; 2. Расстояние от точки, изображающей число, до 0 называется МОДУЛЕМ числа и всегда положительно, как любое расстояние. Модуль обозначают двумя черточками: │5│= 5; │-5│= 5; Модули противоположных чисел РАВНЫ: │-6│=│6 │Модуль положительного числа равен самому числу. │5│ = │5│
Слайд 7
Правила . 3. Чем число больше, тем правее оно лежит на числовой оси. 4. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. 5. Числа, имеющие одинаковые модули, но отличающиеся знаком, называются противоположными.
Слайд 8
СЛОЖЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 1. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно: а). Поставить известный сразу знак результата – «минус»; б). Сложить модули чисел: ( — 3,5 ) + ( — 4,8 ) = — (3,5 + 4,8) = — 8,3 Реши самостоятельно: (- 6,7 ) + ( — 23,3 ) = ? ( — 75,6 ) + (- 5,7) = ? ( — 46,2 ) + ( — 55 ) = ? 2. А что происходит если складывать числа с разными знаками? 6 + (- 2 ) = … ; 1 + ( — 3 ) = … ?
Слайд 9
Задачка Во вpемя сильного дождя на остановке автобуса стояли 12 человек. Подкатил автобус и забpызгал гpязью пятеpых . Остальные успели попpыгать в колючие кусты. Сколько исцаpапанных пассажиpов поедет в автобусе, если известно, что тpое так и не смогли выбpаться из колючих кустов ?
Слайд 10
При сложении чисел с разными знаками знак результата совпадает со знаком того числа, модуль которого больше, а сам ответ определяется действием вычитания . Объясни, как были решены примеры: ( — 17 ) + 7 = — (17 – 7) = — 10 12 + ( — 20 ) = — (20 -12) = — 8 А теперь сам, пользуясь правилом, подробно запиши решения следующих примеров: 1). (-3) + 5 =… ; 2). 7 + (- 4 ) = … ; 3). (-10) + 3 = … ; 4). (-22) + 33 = … ; 5). ( 5 ) + ( -9 ) = … ; 6). (1,7) + ( — 3,9 ) = … ; 7). 17 + ( — 40 ) = …?
ЗАДАЧКА Во вpемя игpы в пpятки 5 мальчиков спpятались в бочку из под известки, 7 — в бочку из-под зеленой кpаски , 4 — в бочку из-под кpасной и девять — в ящик из-под угля. Мальчик, котоpый пошел их искать, нечаянно упал в бочку из-под желтой кpаски . Сколько pазноцветных мальчиков и сколько чеpно-белых мальчиков игpало в пpятки ?
Слайд 13
АЛГОРИТМ СЛОЖЕНИЯ. НУЖНО СООБРАЗИТЬ: ЧИСЛА «дружат» ? (ЗНАКИ ОДИНАКОВЫЕ) Числа «ссорятся» ? (ЗНАКИ РАЗНЫЕ) Поставить у результата тот же знак и сложить модули чисел. 4 + 5=9 — 4 +(-5) = — 9 Реши примеры: 5 + 8 = …; (- 5) + ( — 11 ) = … ( — 8,1 ) + (- 0,7) = … (-2) + (-8) = … (-49) + (-13) = … Поставить у результата знак «победителя» и из большего модуля вычесть меньший. 3 +(-8 ) = — (8 -3)= -5 6 + (-4) = + ( 6-4) = 2 Реши примеры: (-2) + (8) = …; 3,5 +(-10) =… 18 + (-5,7) = … (-11) + 5 = …
Слайд 14
ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. Вычитание можно заменить сложением с Числом, противоположным вычитаемому: 9 – (-3) = 9 + (+3) = 9 +3=12 Мы заменили вычитание сложением с числом противоположным. Кратко можно записать так : 9 – ( — 3 ) = 9 + 3 = 12; Два минуса перед числом превратились в плюс: -( — 3 ) = + 3 Потренируемся : 2 – ( — 7 ) =… — 10 – ( — 15 = — 10 + 15 = 15 – 10 = 5;- — 25 – ( -4 ) = — 25 + 4 = — 21
Слайд 15
Если перед числом стоят два одинаковых знака ( — — ) или ( + + ), то они меняются на ( + ). 3 – (-7) = 3 +7 = 10 12 – ( + 8 ) = 12 – 8 = … (-9) – (-5) =…. 6 + ( — 10 ) = 6 – 10 = … 15 + (+10)=…. Видно, что если перед числом стоят 2 разных знака ( + — ) или ( — + ), то они заменяются на минус ( — ) !
ЗАДАЧКА Один дедушка охотился в кухне на таpаканов и убил пятеpых , а pанил в тpи pаза больше. Тpех таpаканов дедушка pанил смеpтельно , и они погибли от pан , а остальные pаненые таpаканы выздоpовели , но обиделись на дедушку и навсегда ушли к соседям. Сколько таpаканов ушли к соседям навсегда?
пока задача не представляется сложной
по таблицам
или calc.exe
при малых углах можно считать, что синус икс равен икс
edit: а кол вы мне и остальным совершенно зря поставили.
если вы знаете только угол, то формула двойного угла вам ничем не поможет — в какой-то момент вам все равно нужно будет из угла сделать синус или косинус этого угла.
и, если вы не балуетесь в свободное от занятий время подсчетом суммы рядов, в которые можно синус разложить, то рано или поздно придется обращаться к таблицам или иным читерским способам.
альфа на два умножить и искать синус этого произведения)
Банально подставить и вычислить
Если Вы говорите про синус квадрат альфа (sin^2(a)), то это sin(a)*sin(a). Альфа Вы знаете, затем найдите синус альфа, затем это значение возведите в квадрат.
touch.otvet.mail.ru
синус альфа умножить на косинус альфа ровно 1?
Ни ровно, ни равно.
Вообще никогда.
Хотя.. . хотя никогда на множестве действительных чисел.
sin(a)*cos(a) = 1/2 * 2*sin(a)*cos(a) = 1/2 * sin(2a)
При a из Re это принимает значения от -1/2 до +1/2.
Но если взять комплексные значения а, то можно получить любое значение. В т. ч. и 1.
В общем случае (т. е. как тождество) — конечно же нет!
>^.^<
разумеется да
нет. синус квадрат альфа на косин квадрат альфа=1
Нет решений.
sin(a)cos(a) = 1/2 · sin(2a) => sin(2a)=2, но синус не может быть больше 1.
И синус, и косинус меньше 1, за исключением тех редких случаев, когда другой равен нулю. Умножением 1 никак не получить.
sin(a)cos(a)=1\2sin(2a)
sin^2a+cos^2a=1
touch.otvet.mail.ru
Ответы@Mail.Ru: Почему sin(альфа — пи) равно «-sin(альфа) «?
Нарисуйте тригонометрическую окружность. Отложите вектор из начала координат к окружности, под углом альфа от оси х. А потом нарисуйте такой же вектор на угол альфа-пи
построй график функции и смотри
Потому что синус функция нечетная и sin(альфа — пи) = -sin(пи — альфа) и по формулам приведения равно «-sin(альфа) «
Здесь достаточно знать формулы приведения. Если к аргументы прибавляется или вычитается ПИ или 2ПИ, то функция НЕ меняется, если 3ПИ\2 или ПИ\2 — то функция меняется на сходную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот) , НО! нужно смотреть по тригонометрической окржности, какой знак принимает функция в той или иной четверти.
touch.otvet.mail.ru
решите тригонометрическое уравнение синус альфа равно 1/2
альфа + 30 градусаов
альфа=arcsin 0.5=30 град
синус альфа равно 1/2. соответственно альфа равно 30 градусов. простое уравнение, потому что синус от 30 градусов будет равен 1/2 !!!желаю удачи …
альфа = (-1) в степени (k) * arcsin1\2 + pi*k
альфа = (-1)в степени (k) * п\6(30 градусов) + pi*k
если без общей формулы (по-простому) , то АЛЬФА=30градусов (а также 390, 750, 1110 и так далее до бесконечности). Второе значение :АЛЬФА=150 градусов (510, 870, 1230 и так далее ).И помнить, что 30 градусов=-330 градусов, а 150 градусов=-210 градусов.
touch.otvet.mail.ru
Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов
Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов
Тригонометрические формулы сложения и вычитания углов представляют собой тригонометрические уравнения, в которых в качестве аргумента тригонометрической функции выступает сумма или разность двух углов альфа и бета. Таблицы значений тригонометрических функций и формулы приведения тригонометрических функций можно посмотреть на других страницах.
Синус суммы углов альфа и бета равен сумме произведений синус альфа на косинус бета и косинус альфа на синус бета. Синус разности углов альфа и бета равняется синус альфа умножить на косинус бета минус косинус альфа умножить на синус бета.
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
sin (α — β) = sin α · cos β — cos α · sin β
Косинус угла альфа плюс бета равен косинус альфа умножить на косинус бета минус синус альфа умножить на синус бета. Косинус угла альфа минус бета равняется произведению косинус альфа на косинус бета плюс произведение синус альфа на синус бета.
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Тангенс угла альфа прибавить бета равен сумме тангенс угла альфа плюс тангенс угла бета в числителе, в знаменателе единица минус тангенс альфа умножить на тангенс бета. Тангенс угла альфа отнять бета равняется числителю, в котором от тангенса угла альфа отнимается тангенс угла бета, в знаменателе к единице прибавляется произведение тангенс альфа на тангенс бета.
tg (α + β) = (tg α + tg β) : (1 — tg α · tg β)
tg (α — β) = (tg α — tg β) : (1 + tg α · tg β)
Котангенс суммы углов альфа и бета равен дроби, в числителе которой от произведения котангенс альфа на котангенс бета отнимается единица, в знаменателе сумма котангенс бета плюс котангенс альфа. Котангенс разности углов альфа и бета равняется: в числителе котангенс альфа умножить на котангенс бета плюс единица, в знаменателе от котангенса бета отнять котангенс альфа.
