Рубрика: Школьная жизнь

Карточка-тест «Доли» математика 3 класс

infourok.ru

Проверочная работа по математике тема «Дроби» (3 класс)

Проверочная работа по теме «Дроби» 3 класс

а) б)

в) г)

д)

1. Запишите, где возможно, соответствующие рисункам дроби:

а) б)

в) г)

д)

2. а) Запишите дроби, у которых:

числитель 5, знаменатель 8; —

знаменатель 4, числитель 1; —

знаменатель 7, числитель 11; —

числитель 7, знаменатель 12. —

б) Запишите цифрами дроби:

семь тринадцатых;

восемь одиннадцатых;

шесть девятых;

девять десятых;

двадцать шестых.

2. а) Запишите дроби, у которых:

числитель 9, знаменатель 9;

знаменатель 6, числитель 1;

знаменатель 5, числитель 9;

числитель 5, знаменатель 11.

б) Запишите цифрами дроби:

четыре четвертых;

девять шестых;

тридцать седьмых;

восемь одиннадцатых;

девять третьих.

3. Сравните дроби и поставьте знаки сравнения.

…

…

…

…

…

3. Сравните дроби и поставьте знаки сравнения:

…

…

…

…

…

4. Запишите данные дроби в порядке увеличения.

4. Запишите данные дроби в порядке убывания.

4. а) Решите задачу.

Шестая часть пути от дачи до реки 70 м. Найдите расстояние между дачей и рекой.

5. а) Решите задачу.

Пятая часть пути от дома до школы 80 м. Найдите расстояние между домом и школой.

infourok.ru

Урок математики в 3 классе. Сравнение дробей с одинаковым знаменателем.

Современный урок математики с учетом требований ФГОС 10.04.18г.

Урок математики в 3 классе УМК Л.В. Занкова.

Тема: Сравнение дробей с одинаковым знаменателем.

Цель: познакомить учащихся с правилом сравнения дробей с одинаковым знаменателем, научить учащихся применять данное правило при выполнении практических заданий.

Задачи урока:

Образовательные (формирование познавательных УУД):

Совершенствовать умения:

• Применять правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями в процессе разрешения проблемной ситуации

• Анализировать полученные результаты

• Моделировать с помощью координатной прямой геометрическую интерпретацию отношения «больше-меньше»

Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УДД):

Воспитывать:

• Познавательный интерес и навыки взаимоконтроля, взаимопроверки

• Коммуникативные способности во время работы в парах

• Понимание ответственности за индивидуальную деятельность и деятельность работы в паре

• Положительный эффект настойчивости для достижения цели

Развивающие (формирование регулятивных УУД:

Развивать умения:

• Анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы

• Участвовать во взаимоконтроле, самоконтроле, вносить предложения.

• Осуществлять рефлексию своей деятельности

Главная проблема урока: Как сравнить обыкновенные дроби.

Оборудование:

• Учебник «Математика — 3 класс», автор И.И.Аргинская.

• Рабочая тетрадь «Математика — 3 класс, 3 часть», автор Е.П.Бененсон.

• Индивидуальный и групповой раздаточный материал

Ход урока

1.Организационный этап:

— Посмотрите на эти механические часы (висят в классе). Что будет, если мы уберем 1 деталь? Так же и знания человека состоят из маленьких «деталей». И только, когда эти «детали» собраны вместе и не упущена ни одна, тогда знания начинают действовать и их можно применить в жизни. То, что мы узнаем на уроке сегодня и являются такими «деталями» наших знаний. Девиз нашего урока ( слайд 1)

«Мудрым никто не родился, а научился»

— Как понимаете эти слова?

— Сегодня продолжим путь к мудрости

2. Актуализация знаний и умений

Математический диктант.

1) Запишите дроби: семь восьмых

2) Запишите дробь, девять одиннадцатых

3) Запишите дробь, у которой числитель 4, а знаменатель 5

4) Запишите дробь, у которой знаменатель 7, а числитель 2

5) Запишите дробь, у которой числитель 6, а знаменатель на 3 больше

6) четверть

7) Запишите дробь, у которой числитель 7, а знаменатель в 3 раза больше

8) Запишите дробь, у которой знаменатель в 18 а числитель в 2 раза меньше

10) четыре семнадцатых

Проверка (парами, соседи меняются тетрадями).

Критерии оценки:

«5» — без ошибок

«4» — 1 ошибки

«3» — 2-3 ошибки

Молодцы!

3.Постановка учебной проблемы, формулирование темы урока: Приложение1

1) На сколько равных квадратов разделен большой квадрат?

2) Какую часть большого квадрата составляет один маленький? Запишите ответ дробью.

3) Какие еще дроби можно составить по этому рисунку? Запиши их.

4) Закрасьте ту часть большого квадрата, которая соответствует дроби.

Найдите рисунок с наименьшей и наибольшей закрашенной площадью. Каким дробям они соответствуют?

5) Расположи все записанные дроби в порядке возрастания соответствующим им площадей.

6) Сравните дроби. Что у них не изменяется? Что изменяется? Как изменяются числители дробей?

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 9/9

— Как сравнивают дроби?

— Тогда формулируем тему урока: «Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями»

Поставьте каждый для себя цель урока.

Целеполагание: Научиться сравнивать дроби с одинаковым знаменателем.

4. Открытие нового знания

— Вернёмся к вопросу: как сравнить дроби;

Запишите в тетради примеры сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

1/9 ‹ 5/9, 7/9 ›4/9 и т. д.

Физкультминутка.

Дети делятся на группы и получают конверты с заданием: встать в порядке возрастания дробей.

5. Первичное закрепление. Учебник с. 80 № 422

Проверьте себя: насколько хорошо вы поняли материал; выполните следующее задание самостоятельно в паре. Оцените задание друг друга, укажите друг другу, что он сделал не так, опираясь на правило или алгоритм.

Самостоятельная работа (№422 (2)).

Проверка:

— Какие дроби вы записали?

— Как вы их расположили в порядке увеличения?

Парная работа (№422 (2))

Проверка:

— Какой отрезок у вас получился?

— Какие дроби вы записали?

— Как вы их расположили в порядке уменьшения?

Критерии оценки:

«5» — без ошибок

«4» — 1-2 ошибки

«3» — 3-4 ошибки

Молодцы!

6.Самостоятельная работа (карточка) дополнительное задание печ. т с. 35№64

7. Повторение пройденного. Слайд.

Бабушка наказала внучке Оле за час полить 3 грядки: со свёклой, огурцами и горохом. Треть этого времени Оля ловила бабочек, четверть часа – поливала свёклу, шестую часть часа – потратила на полив грядки с огурцами. Сколько времени осталось у Оли, чтобы полить грядку с горохом?

Решение задачи

1. 60 : 3 = 20 (мин.) ловила бабочек

2. 60 : 4 = 15 (мин.) поливала свёклу

3. 60 : 6 = 10 (мин.) поливала огурцы

4. 20 + 15 + 10 = 45 (мин.) потратила Оля

5. 60 – 45 = 15 (мин.) осталось на полив гороха

8.Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог урока).

-Какова тема нашего урока?

— Какую цель ставили перед собой?

— Какую работу мы выполняли для достижения цели?

— Давайте оценим нашу работу на уроке: продолжите предложения

• Я понял (а) тему урока и могу помочь товарищу…..

• Я понял(а) тему урока, но немного сомневаюсь …..

• Я не понял тему урока…

Девиз нашего урока.

9.Домашнее задание

infourok.ru

«Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями»

Разделы: Начальная школа

Задачи урока:

• Уточнить представление детей о дробных числах.
• Подвести детей к осознанию того, что из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
• Продолжить развитие наблюдательности, умения сравнивать, анализировать, способности к преобразованию в соответствии заданным условиям.

Оборудование:

• Учебник «Математика — 3 класс», автор И.И.Аргинская.
• Рабочая тетрадь «Математика — 3 класс, 3 часть», автор Е.П.Бененсон.
• Индивидуальный и групповой раздаточный материал

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

2.1. На доске:

— Кто может прочитать эти записи? Что вы можете о них сказать?

2.2. На партах индивидуальный раздаточный материал.

Приготовьте цветные карандаши, послушайте внимательно задание и выполните его.

Итак, проверяем. От каждого ряда выходит ученик к доске. Дети оценивают, сравнивают.

2.3. Три человека работают у доски

— Кто сможет записать дробью?

— Кто может прочитать дроби?

2.4. Фронтальный опрос.

— Как называется число под чертой? Над чертой?

— Сколько натуральных чисел использовано в записи каждой дроби?

— Какой знак показывает, что записано дробное число?

Итак, что обозначает в записи дроби каждое число?

3. Изучение нового материала.

3.1. Постановка проблемы.

На доске записаны дроби в общем виде.

> ? <

— Как вы думаете, верны ли эти записи?

— Докажите.

3.2. Новая тема.

На доске

— Какая из дробей больше, какая меньше?

— Почему мы не можем ответить на эти вопросы?

— А мы умеем сравнивать дроби?

— Чему сегодня будем учиться на уроке?

На доске учитель записывает тему:

Сравнение дробей.

3.3. Выдвижение гипотез.

— Как вы предлагаете сравнить данные дроби?

3.4. Физ. минутка.

3.5. Решение проблемы.

Класс делится на пять групп. Выдаётся групповой раздаточный материал.

Ученики записывают дроби, показывают на рисунке, сравнивают и записывают вывод.

Дети рассказывают у доски о проделанной работе.

Итак:

— Сравните дроби. Что не изменяется?

— Что изменяется?

— Как изменяются числители дробей?

Вывод: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

3.6. Реализация продукта.

— Сформулируем правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

3.7. Физминутка.

4. Закрепление нового материала.

Ученики выполняют задание в рабочей тетради — стр.20 №42

— Раскрасьте часть торта Карлсона — жёлтым карандашом, а часть торта, которая досталась Малышу — коричневым.

— Какая дробь больше?

На доске:

>

5. Решение задачи.

Ученики читают текст задачи, записанный на доске:

В магазине в отделе фруктов было 80 кг яблок. Утром продали часть всех яблок. Вечером продали всех яблок. Когда продали яблок больше и на сколько килограммов?

Ученики решают задачу с пояснением.

Итак, не вычисляя можно было сравнить эти дроби?

6. Итог урока.

— Что узнали о сравнении дробей с одинаковыми знаменателями?

Приложения.

21.07.2009

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Опорная карточка к уроку математики. Тема «Сравнение дробей ».

Опорная карточка к уроку математики в 6 классе по теме «Сравнение дробей».Опорные карточки удобно использовать по системе Класс -комплект.

Просмотр содержимого документа
«Опорная карточка к уроку математики. Тема «Сравнение дробей ».»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Сидоровская школа» структурное подразделение «Лежская школа» Грязовецкого муниципального района Вологодской области

Опорная карточка к уроку математики.

Тема «Сравнение дробей ».

Работу выполнил учитель физики и математики
Смирнов Александр Николаевич.

д.Спасское

2018г

Урок 3 Сравнение дробей 6 кл

Пример: Сравнить дроби . Приведем дроби к общему знаменателю 6. Первую дробь домножим на 3.
.

Задания в классе: № 9(а,в,д), 10, 12, 14(а)
Домашнее задание: № 9(б,г,е), 11, 14(б)

Урок 3 Сравнение дробей 6 кл

Пример: Сравнить дроби . Приведем дроби к общему знаменателю 6. Первую дробь домножим на 3.
.

Задания в классе: № 9(а,в,д), 10, 12, 14(а)
Домашнее задание: № 9(б,г,е), 11, 14(б)

kopilkaurokov.ru

Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Открытый урок по теме: Сравнение обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями

Цели урока:

Дидактическая цель:  создать условия для формирования новой учебной информации.

Цели по содержанию:

 — обучающие:

1.  Познакомить учащихся с правилами сравнения  обыкновенных дробей.

2. Научить учащихся формулировать данные правила и применять их на практике.

3. Моделировать  с помощью координатной прямой геометрическую интерпретацию отношения   «больше — меньше»

— развивающие: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание;

— воспитательные: развивать познавательный интерес, навыки взаимопроверки, развивать коммуникативные способности во время работы в парах, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, положительного эффекта настойчивости для достижения цели.

Тип урока: изучение нового материала.

Образовательные технологии: технология критического мышления (на этапе открытия новых знаний), обучение в сотрудничестве (работа в парах), здоровье сберегающая технология (применена на этапе физкультминутка, а также на подготовительном этапе).

Ход урока:

I.Организационный момент – 3 минуты.

Девиз урока:”Добывай знания сам!” Отправляемся в экспедицию, а для этого проверим готовность. Ведь чтобы новых знаний набраться, надо на старые опираться!

II.Устные упражнения (5 минут):

А) Прочтите дроби:1/8,1/4,3/8,4/6,1/2,2/8,1/3,2/100,5/60(Слайд 3)

Б) Дробь 2/5.Назовите числитель и знаменатель этой дроби.(Слайд 2)

В) Какая часть фигуры заштрихована? (Слайд 4)

Г) Укажите координату мигающей точки. (Слайд 5)

III. Этап подготовки к активному и сознательному усвоению нового материала (5 минут)

Посмотрим, ребята, какой багаж знаний возьмет в дорогу каждый из вас?

1.У вас на столах лежат путевые листы с заданиями. На слайде (№6) изображены две фигуры. Нужно определить, какая часть каждой фигуры закрашена красным, какая зеленым, какая часть красным и зеленым вместе, а какая желтым. Заполнить таблицу.

Вопросы: Где в жизни мы встречаемся сразу с тремя названными цветами? Что означает каждый цвет?

Класс выполняет самостоятельную работу на листочках. Тем временем двое у доски выполняют индивидуальные задания по карточке.

Приложение 1.

Вариант 1.

—

2.Индивидуальные задания.

1 ученик: На доске начерчены 4 равных прямоугольника. Закрасить половину первого, две четверти второго, три шестых третьего и шесть двенадцатых четвертого, начиная с левого края. Записать дроби рядом с прямоугольниками.

2 ученик: Начертить на доске координатный луч. Отметить точки с координатами А(3), О(0), В(7), Е(1), С(10). Отметьте точки , которые удалены от точки В на два единичных отрезка, обозначьте и найдите их координаты. Запишите на доске, какие точки лежат:

а) левее точки В:
б) правее точки В:

Сформулируйте правило сравнения натуральных чисел с помощью координатного луча.

IV. Открытие детьми нового знания (18 минут).

И так, проверим, что каждый из вас возьмет в путь? Не забыли девиз нашей экспедиции?

Открываем тетради и записываем дату и тему.

1. Проверим, как класс справился с заполнением путевых листов.

Беседа с классом (учитель задаёт вопросы и записывает ответы на доске, учащиеся ведут такие же записи в тетрадях).

. (Слайд 6)

1) Как называется фигура А?

На сколько равных долей разбит прямоугольник?

Какая его часть закрашена красным цветом, зеленым цветом, желтым цветом?

Какая часть фигуры больше: та, что закрашена красным цветом или та, что зеленым?

Что можно сказать о дробях  и ? Запишите это неравенство в тетрадь.

Какая из дробей больше  или ? Запишите. >.

Посмотрите на рисунок и скажите “Какая же из дробей с одинаковыми знаменателями больше?” Та дробь, которая показывает большую долю фигуры.

Посмотрим, как работает наше правило в других случаях?

2) Как называется фигура В?

На сколько долей разбит круг?

Какие дроби вы получили, выполняя задание?

Можно ли сказать, что дроби  и  равны? Запишите равенство.

А дробь  больше дроби ? Почему? Взято больше долей. Запишите неравенство.

Вопрос учителя классу: есть ли ещё равные дроби? Запишите в тетрадь самостоятельно.

2. Что взял с собой в дорогу 1 ученик?

Ученик выходит к доске и объясняет, как он выполнил задание, какие дроби он записал.

Ученики должны заметить, что все заштрихованные части занимают половины прямоугольников. Так как прямоугольники равны, то и дроби равны. Записываем в тетрадь : задача №1.

Учитель на доске, а ученики в тетради записывают: 2/4=1/2, 3/6=1/2, 6/12=1/2, 3/6=6/12.

3. Что взял с собой в дорогу 2 ученик?

К доске выходит любой ученик из класса и проверяет задание с координатным лучом по карточке-заданию. Учитель стирает 0 у точки С (1), ученик записывает новые координаты точек.

Ученик, который выполнял задание на доске, устно формулирует правило сравнения натуральных чисел с помощью координатного луча.

Задание учащимся класса: записать в тетрадь точки с новыми координатами, которые лежат
а) левее точки В:
б) правее точки В:

Какая точка имеет координату равную 1/2? Изобразите ее на нашем луче.

Сформулируйте сами правило сравнения дробей с помощью координатного луча.

V. Физкультминутка (3 минуты)

1. Упражнение для глаз (влево смотрим, вправо, вверх, вниз — 3 раза)

2. “Кулачки”

Руки на коленях, 
Кулачки сжаты, 
Крепко с напряжением
Пальчики прижаты.
Пальчики сжимаем, сжимаем,
Отпускаем, разжимаем.
Знайте, девочки и мальчики,
Отдыхали ваши пальчики.

3. Учитель показывает выражения на слайдах №№10,11,12,13,14,15. Быстро и громко читает их. Если выражение “верно”, то дети поднимают руки вверх, если нет, то вытягивают перед собой:

а) 6/10 > 3/10, 
б) 3/10 > 1, 
в) 8/14 > 0,
г) 5/10 < 1/2, 
д) А(2/12) лежит левее В (7/12), 
е) С(2/5) правее Д(4/10)

VI. Закрепление нового материала (5 минут).

Откройте учебники на стр. 146 учебника, прочитайте оба правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Вопрос: совпадают ли правила в учебнике с нашими открытиями?

Резерв. Продолжаем дальше получать новые знания, теперь уже по учебнику: №940(устно),№ 945 (в тетради).

VII. Проверка полученных знаний (5 минут)

Наша математическая экспедиция подходит к концу. Мы стоим у подножия высокой горы, название которой “Дроби”. Нам предстоит трудное восхождение. Для того чтобы проверить, как мы научились сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями, проведем мини-тестирование. Тесты на столах

Правильность выполнения проверяется с помощью таблиц (слайд 12).

Результаты заносим в таблицу на путевых листах. Взаимопроверка: каждый проверяет работу соседа и подчеркивает ошибки. Без ошибок — оценка “5”одна ошибка- “4”, две ошибки-“3”, три и больше-“2”.

I вариант

——————————————линия разреза———————————————————-

II Вариант

VIII. Итог урока(2 минуты).

1. Повторить ещё раз, чем занимались на уроке.

2. Выставить отметки за работу в экспедиции.

IX. Домашнее задание: № 965,№966,№969

/data/files/w1474742316.ppt

xn--j1ahfl.xn--p1ai

«Дроби. Получение и обозначение дробей. Сравнение дробей».

МБОУ Чымнайская средняя общеобразовательная школа имени Г.Д.Бястинова

Варламова Татьяна Спиридоновна учитель начальных классов

Урок математики в 3-м классе.

Тема: «Дроби. Получение и обозначение дробей. Сравнение дробей».

Цели:

1. Образовательные:

познакомить с тем, как образуются, называются и записываются дроби;

учить сравнивать дроби (доли).

2. Развивающие:

дать представление о том, как можно найти долю по числу и число по доле.

3. Воспитательные:

учить работать дружно, аккуратно;

учить отвечать полными предложениями.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сегодня у нас необычный урок. Это будет урок-исследование. А мы с вами будем юными математиками, которым предстоит сделать открытие. Итак, начинаем работу.

2, 5, 12, 128

1/2 3/4 5/8 (Запись на доске.)

0,25 1,5 2,35

Посмотрите на ряд чисел…

— Что вы можете сказать о них?

Молодцы! Вы всё верно рассказали. Хотя мы и не о всех числах поговорили.

Устное решение задач.

— У бабушки было 8 яблок. Она разделила их поровну между 4 внуками. По сколько яблок досталось каждому? (По 2 яблока.)

— Как вы узнали? (8 / 4 =2)

— Что это за число? (Целое.)

Молодцы. Справились легко и быстро. Но на то мы и исследователи, чтобы от простого идти к сложному. Решите теперь такую задачу.

— У бабушки было 2 яблока. Она разделила их поровну между 4 внуками. По сколько яблок досталось каждому? (По половинке.)

— А как это записать?

II. Новое!

Цель. Вот сегодня на уроке мы и познакомимся с новыми числами. А вот как они называются?! Давайте попробуем придумать им названия.

1. Работа на предметном столике.

— У меня в руках яблоко. Какое оно? ( Целое.)

Правильно, одно целое. Разрезаю пополам (показываю).

— Сколько половин получилось? (2)

— На сколько равных частей делили? (На 2.)

Я взяла одну часть, одну из двух, одну вторую (показываю).

Посмотрите как это записать: — эта черта обозначаетделение.

1 пишу в числитель (показываю на доске).

2 пишу знаменатель (показываю на доске).

— На сколько частей делили? (На 2.)

— Сколько частей взяла?

— Как прочитать это число? (Одна вторая.)

— Но как же мы назовём это число? Что мы делали с яблоком? (Разделили на доли, раздробили, дробили.)

— Как же назовём такие числа? (Дроби. Доли.)

— Что такое 1/2? (Дробь.)

2. Работа на предметном столике.

У меня в руках яблоко. Разделим его на 4 части (показываю.)

— На сколько частей я разделила? (На 4.)

— Сколько частей я взяла? (Показ 1/2, 2/4, 3/4.)

— Покажите, где записаны эти дроби?

Запись на доске: 1/4, 2/4, 3/4.

— Как вы думаете, что больше1/2 или 1/4? (Показ долек яблока.)

www.prodlenka.org

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

x arcsin x интеграл

Вы искали x arcsin x интеграл? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и интеграл x arccos x, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «x arcsin x интеграл».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как x arcsin x интеграл,интеграл x arccos x,интеграл x arcsin x,интеграл арккосинуса,интеграл арксинуса,интеграл от арккосинуса,интеграл от арксинуса. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и x arcsin x интеграл. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, интеграл x arcsin x).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же x arcsin x интеграл Онлайн?

Решить задачу x arcsin x интеграл вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

С++ программная реализация метода Гаусса

Вычислительная схема метода Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап заключается в приведении системы к трапециевидной. Этот этап называется прямым ходом. Второй этап — определение неизвестных — называется обратным ходом.

Прямой ход метода Гаусса состоит в последовательном исключении коэффициентов при неизвестных начиная с первого столбца.

Прямой ход реализуется по следующим формулам (индекс k в круглых скобках означает номер цикла — номер столбца).

Умножение k-й строки на число

.  (1)

Вычитание k-й строки из j-й строки

.  (2)

.  (3)

Обратный ход — вычисление неизвестных — реализуется по следующим формулам, начиная с последнего уравнения системы

.  (4)

Код C++

#include <iostream>

using namespace std;

int n, i, j, k;

double d, s;

int main()

{

cout «Poryadok: »

cin >> n;

double **a = new double *[n];

for (i = 0; i

a[i] = new double [n];

double **a1 = new double *[n];

for (i = 0; i

a1[i] = new double [n];

double *b = new double [n];

double *x = new double [n];

cout «Vvedite koefficienty i svobodnye chleny »

for (i = 1; i

{

for (j = 1; j

{

cout «a[ » «,» «]= «;

cin >> a[i][j];

a1[i][j] = a[i][j];

}

cout «b,[ » «]= «;

cin >> b[i];

}

for (k = 1; k // прямой ход

{

for (j = k + 1; j

{

d = a[j][k] / a[k][k]; // формула (1)

for (i = k; i

{

a[j][i] = a[j][i] — d * a[k][i]; // формула (2)

}

b[j] = b[j] — d * b[k]; // формула (3)

}

}

for (k = n; k >= 1; k—) // обратный ход

{

d = 0;

for (j = k + 1; j

{

s = a[k][j] * x[j]; // формула (4)

d = d + s; // формула (4)

}

x[k] = (b[k] — d) / a[k][k]; // формула (4)

}

cout «Korni sistemy: »

for( i = 1; i

cout «x[» «]=» » »

return 0;

}

function-x.ru

метод Гаусса | C++ для приматов

Задача А50. Даны действительные числа [latex]a_{1}[/latex], [latex]b_{1}[/latex], [latex]c_{1}[/latex], [latex]a_{2}[/latex], [latex]b_{2}[/latex], [latex]c_{2}[/latex]. Выяснить, верно ли что [latex]\left|a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} \right|\geq 0.0001[/latex], и если верно, то найти решение системы линейных уравнений

[latex]a_{1} x+b_{1} y+c_{1} =0[/latex],

[latex]a_{2} x+b_{2} y+c_{2} =0[/latex]

(при выполнении выписанного неравенства система заведомо совместна и имеет единственное решение).

Код программы (C++):

Java:

По условию задачи необходимо решить систему линейных уравнений и вывести на экран [latex]x[/latex], [latex]y[/latex].

Программа решает это уравнение по методу Гаусса.

Изначально она делает проверку на наличие ненулевого аргумента [latex]a_{1}[/latex]. Если таковой имеется, то программа решает задачу, исходя из первого уравнения системы, в противном случае — решение начинается со второго уравнения.

Далее я ввела в программу переменные [latex]b_{0}[/latex], [latex]c_{0}[/latex], чтобы не перегружать формулы большим количеством данных. Алгоритм действий таков:

1) Перенести  [latex]c_{1}[/latex] и  [latex]c_{2}[/latex] в правую часть уравнения, что автоматически меняет их знак на противоположный.

2) Если в программе присутствует ненулевой аргумент [latex]a_{1}[/latex], то она вычитает из второго уравнения первое, предварительно домножив второе на [latex]\frac{b_{1} a_{2} }{a_{1} }[/latex].

3) Из преобразованного второго уравнения находится [latex]y[/latex], который впоследствии подставляется в первое уравнение системы для нахождения [latex]x[/latex] .

Для выполнения программы и проверки тестов можно воспользоваться следующим объектом (C++) и этим (Java).

cpp.mazurok.com

Программа решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Глава 3 Более сложные элементы языка

____________________________________________________________________

лизовать этот алгоритм для вас не составит труда. И лишь после этого сопос-

тавьте свою программу с приведенной в книге. Думайте, анализируйте, сравни-

вайте коды, ищите лучшие решения, нещадно критикуйте меня! Вполне воз-

можно, что вы напишете программу лучше. Лучше не в смысле получаемых ре-

зультатов (они должны совпадать!), а с точки зрения реализации. Может быть,

вы напишете более эффективную программу или реализуете отдельные фраг-

менты алгоритма более просто, ну и т.д. И имейте в виду, что и сами алгорит-

мы, решающие одну и ту же задачу, можно составлять по-разному!Так что по-

пробуйте и алгоритм придумать свой.

Для сравнения я приведу три варианта программы, написанных тремя моими студентами. Первый, назовем его «плохим программистом», реализовал алгоритм, как говорится в «лоб». Как записано в блок-схеме,так и реализовано в программе. На защите своей программы он признался мне, что так и не смог написать эту программу без оператораgoto. Кроме того, его программа не умела определять существует решение или нет, а также не был организован ввод коэффициентов расширенной матрицы. Его программа умела решать только систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Второй студент, назовем его «средним программистом», сумел написать программу без goto, но также действовал в «лоб». Правда его программа уже

«умела» вводить коэффициенты расширенной матрицы.

И, наконец, третий студент, назовем его «хорошим программистом», сумел написать очень изящную по реализации программу. Его программа оказалась намного короче по количеству операторов в тексте программы. В программе он использовал динамические массивы, что позволило реализовать алгоритм ме-

тода Гаусса для любого числа уравнений. Кроме того, часть кода, где непосред-

ственно реализуется алгоритм метода Гаусса, организовал в виде процедуры.

В качестве модельного примера выбрана система:

studfiles.net

Gauss 1.3 Rus — Программа для решения систем уравнений методом Гаусса [ARCHIVE EXE IMAGE]

Программа Mat JV предназначена для решения задач линейной алгебры. Основной особеннстью Mat JV является пошаговое решение задач. — Решение системы алгебраических уравнений методом Гаусса. — Решение системы алгебраических уравнений по правилу Крамера. — Нахождение определителя матрицы. — Вычисление математических выражений. Решение может быть получено как численно…

• 248,51 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 28.10.2008 14:30

Прога для решения МАТРИЦ до 7-го ранга. Полезна по ТОЭ и Вышке.

• 266,27 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 03.01.2008 16:01

Программа — решатель. Решает примеры из векторной алгебры, системы уравнений, операции с матрицами. Кряк прилагается. Я так понял, что автор программы забросил свой проект, думаю, что публикация такой полезной программы не будет нарушением авторских прав.

• 264,92 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 06.01.2009 01:45

Задачник Кузнецова Л. А. по высшей математике Здесь представлен задачник Кузнецова Л. А. (Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) — СПб.: Лань, 2005) в электронном виде. Данный сборник является одним из основных пособий, используемых в обучении студентов технических ВУЗов. Задачник разбит на соответствующие подразделы и содержит задания по всем основным темам…

• 3,24 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 10.02.2016 22:10

Программа для решения задач по линейной алгебре: сложение, вычитание, перемножение матриц, нахождение определителя и другие действия над матрицами, нахождение решения системы алгебраических уравнений с выводом подробного ответа

• 466,78 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 19.10.2008 23:56

Уфа, УГАТУ. — 19 с. Преподаватель: Савенко О.В. Тематика задач: Группировка и ее виды. Графическое построение рядов распределений Обобщающие статистические показатели Структурные средние величины Показатели вариации Выборочное наблюдение Корреляционно-регрессионный анализ Ряды динамики и их статистический анализ Экономические индексы Полностью решенный один вариант задач….

• 119,04 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 22.10.2017 10:02

www.twirpx.com

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Теоретическая часть

Метод Гаусса представляет собой обобщение способа подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.

При этом матрица СЛАУ приводится  треугольному виду, где ниже главной диагонали располагаются только нули.

Приведение матрицы к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход начинается с решения последнего уравнения и заканчивается определением первого неизвестного.

Имеем Ax=b, где A=[a_ij] — матрица размерности n?n, det A>0, b=(a_{1, n+1}, …, a_{n, n+1})^T.

В предположении, что a₁₁>0, первое уравнение системы (1):

делим на коэффициент a₁₁, в результате получаем уравнение

Затем из каждого из остальных уравнений вычитается первое уравнение, умноженное на соответствующий коэффициент a_i1. В результате эти уравнения преобразуются к виду

Первое неизвестное оказалось исключенным из всех уравнений, кроме первого. Далее предполагаем, что и исключаем неизвестное x₂ из всех уравнений, начиная со второго, и т.д. В результате последовательного исключения неизвестных система уравнений преобразуется в систему уравнений с треугольной матрицей (2):

Совокупность проведенных действий называется прямым ходом метода Гаусса.

Из n—го уравнения системы (2) определяем x_n, из (n-1)-го — x_n-1и т.д. до x₁. Совокупность таких действий называется обратным ходом метода Гаусса.

Реализация прямого хода требует арифметических операций, а обратного — арифметических операций.

Алгоритм

Описание входной информации: Str (Stlb) — количество строк (столбцов) в расширенной матрице, Ab [i, j] — матрица A (i — строки, j — столбцы).

Описание выходной информации: Ans — матрица-ответ.

Ссылки для скачивания:
Метод Гаусса на MatLab7
Метод Гаусса на Pascal ABC

Вернуться назад

pcfu.ru

2.1 Программа решения СЛАУ по методу Гаусса. Паскаль. Метод Гаусса

Похожие главы из других работ:

Задача линейного программирования

§ 4 Построение начального опорного решения методом Гаусса

Приводим задачу к каноническому виду…

Использование метода ветвей и границ при адаптации рабочей нагрузки к параметрам вычислительного процесса

4.3 Модификация последовательности решения задач в пакете по методу ветвей и границ

Описанная выше структура пакета рабочей нагрузки позволяет выделить следующие возможные случаи количества типов заданий. 1. Все задания пакета рабочей нагрузки имеют один и тот же тип (i=1). 2…

Метод Жордана-Гаусса рішення системи лінійних рівнянь

2.6 Приклад використовування методу Жордана-Гаусса

Вирішити систему лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса: Решение СЛАУ методом Жордано-Гаусса. Запишемо систему у вигляді: Послідовно будемо вибирати дозволяє елемент РЕ, який лежить на головній діаго-налі матриці…

Особенности вычисления определителя матрицы

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель. Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений. Дана система: a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 … an1 x1 + an2 x2 + …..

Программа для решения линейных уравнений

2.2 РЕШЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО МЕТОДУ ГАУССА

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: , x1, x2, …,xn…

Программирование системы уравнений

4 Разработка блок схемы решения системы уравнения методом Гаусса

…

Разработка прикладной программы для решения систем линейных алгебраических уравнений

1.2 Обзор программных средств для решения СЛАУ

Во все времена инженерам, исследователям (т.е. специалистам в своих областях) был необходим удобный и достаточно эффективный (для своего времени) инструмент для решения своих задач…

Разработка прикладной программы для решения систем линейных алгебраических уравнений

2.1 Описание алгоритма решения СЛАУ

Системы уравнений появляются почти в каждой области прикладной математики. В некоторых случаях эти системы уравнений непосредственно составляют ту задачу, которую необходимо решать, в других случаях задача сводится к такой системе. Например…

Разработка прикладной программы для решения систем линейных алгебраических уравнений

2.2 Компьютерная реализация алгоритма решения СЛАУ

программа листинг алгебраический уравнение Компьютерная реализация метода Гаусса часто осуществляется с использованием LU-разложения матриц…

Разработка системы для оценки перспективности производственных направлений на предприятии

1.4 Метод Гаусса для решения систем уравнений

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Состоит в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестных. Пусть исходная система выглядит следующим образом (1.4…

Реализация иерархии классов для решения системы линейных алгебраических уравнений

1.2 Метод Гаусса решения СЛУ

На практике чаще всего используют метод Гаусса построения решений СЛУ…

Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена

1.3 Метод исключения Гаусса для решения СЛАУ

Суть всех методов исключения состоит в приведении исходной системы уравнений к системе более простого вида, для которой легко найти решение. К этим методам можно отнести метод исключения Гаусса, который имеет много вычислительных схем и…

Способ решения системы линейных уравнений на ЭВМ методом Гаусса

1. Решение СЛАУ методом Гаусса

Прямой ход состоит из n ( 1 шагов исключения. 1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i = 2, 3, …, n. Предположим, что коэффициент a11 ( 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага…

Сравнение эффективности различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера и метод простой итерации

1.2 Метод простой итерации решения СЛАУ

Для использования этого метода систему, имеющую вид: нужно привести к следующему виду (называемому нормальным): (*) Затем в полученную систему подставляют начальное приближение решения, т.е…

Сравнительный анализ численных методов

3.5 Программная реализация итерационных методов решения СЛАУ

Рисунок 17 — Решение системы уравнений методом простых итераций…

prog.bobrodobro.ru

Решения задач на Теорему Фалеса стр 1

egeprof.ru

Применение теоремы Фалеса. Задача 1

ПЛАНИМЕТРИЯ.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ФАЛЕСА.

ЗАДАЧА 1.

Дано:

Решение:

то по теореме Фалеса  

А по условию задачи 

Составим уравнение:

Значит

  Ответ: 5 см.

 Все задачи по планиметрии

www.1variant.ru

«Теорема Фалеса» 8 класс. Урок №9 по геометрии

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: [email protected]

Мы в социальных сетях

Социальные сети давно стали неотъемлемой частью нашей жизни. Мы узнаем из них новости, общаемся с друзьями, участвуем в интерактивных клубах по интересам

ВКонтакте >

Что такое Myslide.ru?

Myslide.ru — это сайт презентаций, докладов, проектов в формате PowerPoint. Мы помогаем учителям, школьникам, студентам, преподавателям хранить и обмениваться своими учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей >

myslide.ru

Задачи на применение теоремы Фалеса. 18 Список литературы. 21

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Управление образования Советского района г. Красноярска

Использование теоремы Фалеса в современном мире

(Исследовательско – реферативная работа)

Работу выполнили:

Ученик 9 класса

Баландин Александр

Ученик 9 класса

Кузьмин Александр

Научные руководители:

Учитель математики Мальцева Т.Г

Учитель информатики Заболотникова Е.Ю.

Красноярск 2011

Содержание:

Цели и задачи проекта. 3

Аннотация 4

Введение 4

Теоретическая часть. 5

1. Исторические и биографические факты из жизни Фалеса.

2. Чем знаменит Фалес?

Практическая часть

1. Доказательство теоремы Фалеса. 17

2. Задачи на применение теоремы Фалеса. 18

Список литературы. 21

Цели и задачи проекта

Методические задачи:

• Научиться работать в паре,

• Научиться обрабатывать и обобщать полученную информацию,

• Научиться быстро и эффективно работать в сети Интернет,

• Научиться создавать законченные информационные продукты.

Дидактические цели проекта:

• С помощью дополнительной литературы, основанной на исторических фактах, познакомиться с открытиями и жизнью Фалеса и его последователей с точки зрения истории развития математики и других наук;

• Рассмотреть теорему Фалеса, как источник замечательных математических открытий;

• Изучение возможностей программы Power Point.

Аннотация.

Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук- геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Он был то же для Греции, что Ломоносов для России.

Введение.

Наиболее знаменитым из семи мудрецов был Фалес из Милета, ионийского города, греческой колонии в Малой Азии(ок.627-ок.547г. до н.э.).Фалеса также считают и первым философом, основателем Ионийской школы. Поскольку Фалес жил в Ионии, школа его была названа Ионийской.

Он умер в 546 году до н.э., и ему наследовал Анаксимандр, а вслед за ним шли Анаксимен, Анаксагор; Архелай, на ком И. ш. и закончилась.

Сочинения представителей Ионийской школы написаны на ионическом диалекте, в отличие от аттического диалекта произведений Платона и Аристотеля.

Ионийская школа – стихийно-материалистическое направление древнегреческой философии, возникшее и развившееся в ионийских колониях Греции в 6-4вв. до н.э.. Зародилась в г. Милет; её представители – Фалес, Анаксимандр и Анаксимен (милетская школа), Гераклит Эфесский. И. ш. принято противопоставлять пифагорейской, элейской и аттийской школам. Одна из основных идей, впервые выдвинутых философами И. ш. – мысль о единстве всего сущего, о происхождении всех вещей из некоторого единого первоначала, которое понималось при этом как та или иная вещественная стихия или как «беспредельное», из которого выделились основные противоположности тёплого и холодного.

Теоретическая часть.

Вода, по Фалесу, является первичным принципом или элементом, и на ней плавает Земля подобно кораблю, и землетрясение происходят из-за волнений этого вселенского моря.

В дерзновении своём он как бы сдвигает целые плиты и меняет демаркационные линии между реальным и мнимым, действительностью и грезой, ведь вопрошая обо всём мыслитель как бы выносит себя за пределы «всего», рассматривает его со стороны и ставит его под вопрос, выделяя себя, мыслящую в себе инстанцию из «всего», само «всё» как предмет уже в чём-то единиться, как бы округляется в «извне» взгляде философа. Ахиллес и Агамемнон – литература, как бы говорит Фалес, а я – Гомер, как автор я вижу нить сюжета, скрытую до поры от читателя и отдающую непрояснённостью судьбы героев. Так и Фалес, отстраняясь от всего, старается разглядеть сюжетную нить и драматургию, лицо, «физиономию» «всего», вставая на беспрецедентную точку «вне всего». Встав «по ту сторону» только и можно сказать о мире «всё». Фалес отверг всякую мысль о мнимости мира, его неподлинности, а значит и непознаваемости, сказав «есть» «всему», Фалес утвердил и свою позицию как наличествующую, сущую. Э.Р.Ф. как математик и астроном. В своё время Фалес был едва ли не единственным во всей Греции человеком, отдавшимся чистой науки и абстрактному мышлению без преследования каких-нибудь практических целей. Важнейшей заслугой Фалеса в области математики должно быть считаемо перенесение им из Египта в Грецию первых начал теоретической элементарной геометрии. Эвдем, по свидетельству Прокла, приписывает Фалес открытие следующих предложений. Вертикальные углы равны. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Треугольник определяется стороною и прилежащими к ней двумя углами. Диаметр делит круг на две равные части. Диоген Лаерний, в основании слов Памфилия, прибавляет к этому списку предложений ещё вписывание в круг прямоугольного треугольника. Что бы дать полный очерк геометрических знаний Фалеса, необходимо присоединить ещё ряд таких предложений, без которых приобретение первых делается невозможным, а именно предложений о параллельных линиях, о равносторонних, равнобедренных и разносторонних треугольниках, о параллелограммах и прочих сверх перечисленных «открытий» Фалеса в области теоретической геометрии, ему приписывается греческими писателями ещё решение двух геометрических задач практического характера, из которых одна состояла в определении расстояния корабля на море от Милетской гавани, а другая – в определении высоты пирамиды по длине её тени, а именно измеряя тень в тот час, когда она бывает равна своему телу. Поставив палку на конце тени, образуемой пирамидою, так что от солнечного света образовалось два треугольника, он показал, что отношение между величиною пирамиды и палки такое же, какое было между тенью пирамиды и тенью палки. В настоящее время в истории математики уже не существует никаких сомнений относительно того, что всё приписываемое Фалесу его соотечественниками геометрические «открытия» были в действительности простыми заимствованиями из египетской науки.

С именем Фалеса связывают многие остроумные и часто парадоксальные высказывания и ответы, которые так ценились греками. Так рассказывают, что он оставался неженатым: когда его мать в молодости побуждала его жениться, он отвечал « Слишком рано!», в зрелом возрасте «Слишком поздно!». А когда у него спрашивали, почему у него нет детей, он отвечал «Потому что люблю их». Фалес так же утверждал, что между жизнью и смертью нет разницы, а когда его спрашивали: «Почему ты в таком случае не умрёшь?», он отвечал «Именно поэтому».

Фалес был младше Солона лет на 10-15, но они были очень дружны, что видно, в частности, из письма, отправленного Фалесом Ферекиду. Этого письма, приведённого Диогеном Лаэрцким, могло и не быть, но описанные в нём события и отношения между людьми вполне правдоподобны. Фалес пишет: «После того как мы с Соломоном Афинским плавали на Крит ради наших там изысканий и плавали в Египет ради бесед с египетскими жрецами и звездочётами, право, мы были бы безумцами, если бы не поплыли и к тебе; говорю «мы», ибо и Солон приедет, если ты на то согласишься. Ты ведь домосед, в Ионии бываешь редко, новых людей видеть не будешь, и одна у тебя, как я полагаю, забота – о том, что ты пишешь. Мы же не пишем ничего, но зато странствуем по всей Элладе и Азии». О дружбе между Фалесом и Солоном свидетельствует и сам Плутарх, который, который рассказал о любопытном розыгрыше. «Когда Солон прибыл к Фалесу в Милет,- пишет Плутарх, — он удивлялся полному его равнодушию к браку и рождению детей. Фалес на этот раз промолчал, а спустя несколько дней подговорил одного приезжего рассказать, будто он недавно, десять дней назад, приехал из Афин. Солон спросил его, нет ли чего нового в Афинах. Приезжий, подученный Фалесом, сказал: «Ничего, только клянусь Зевсом, были похороны одного молодого человека, и провожал его весь город. Это был, как говорили, сын человека известного, первого в городе по своим нравственным качествам. Его самого не было; говорили, что он уже давно находится за границей».- «Какой несчастный!.. – воскликнул Солон. – А как его называли?» «Я слышал его имя, — отвечал тот, — да не помню; только много было разговоров об его уме и справедливости». Так при каждом ответе у Солона всё возрастал. Наконец, уже в полной тревоге он подсказал приезжему имя и спросил, не называли ли умершего Сыном Солона. Тот ответил утвердительно. Тогда Солон стал бить себя по голове, делать и говорить всё сказал: «Вот это, и удерживает меня от брака и рождения детей, что валит с ног и тебя, такого сильного человека. Что же касается этого рассказа, не бойся: это неправда». Отсюда, между прочим, следует, что семьи у Фалеса не было. Как сообщил Плутарх, Фалес усыновил ребёнка своей сестры, по имени Кабиста. Фалеса, же всегда считали естествоиспытателем, астрономом и математиком, изображали с циркулем в руке.

Народ говорил о семи мудрецах, к коим причислил Фалеса, Солона, Бианта, Питтака, Периандра, Клеобула и Хилона. В отношении первых трёх ни у кого сомнений не было, но с причислением остальных к лику мудрых велись ожесточённые споры. Одни называли либо Ферекида Сиросского, либо тирана Писистрата или какое-либо другое лицо, выдвигавшееся на соискание этого звания скорее из лести, чем по истинным достоинствам. Платон в «Протагоре» из названного списка убрал тирана Периандра, добавив Мисона, которому он, очевидно симпатизировал. Писал Фалес или нет, этого мы уже никогда не узнаем, но заслуги его перед наукой огромны, хотя и не всё время он ей посвятил. Находясь на службе у тирана Трасибула , Фалес плавал по Средиземному морю с торговой, а возможно, и государственно-дипламатической миссией. Сам он, скорее всего, в торговых сделках не участвовал, так как у него, похоже, не было устойчивого интереса к коммерческим делам. В древности говорили: «Ну, сущий Фалес», т.е. не от мира сего, отрешённый от повседневной суеты, думающий только о научных проблемах. Однако Аристотель рассказал один забавный случай, произошедший с Фалесом, который, будучи увлечённым и занятым учёным, тем не менее, мог провести успешную коммерческую сделку. «Этот рассказ о некоем, предвидении, — пишет Аристотель в «Политике», — использованном для того, чтобы нажить состояние, и его приписывают Фалесу, имея в виду его мудрость, но её можно рассматривать и с общей точки зрения. Когда его попрекали бедностью, утверждая, будто занятия философией никакой выгоды не приносят.

То, рассказывают, он, предвидя на основании астрономических данных богатый урожай оливок, ещё до истечения зимы роздал в задаток имевшуюся у него небольшую сумму денег всем владельцам маслобоен в Милете и на Хиосе, законтрактован их дёшево, так как никто с ним не конкурировал. Когда наступило время сбора оливок и сразу многим одновременно потребовались маслобойни, он, отдавая маслобойни на откуп на желательных ему условиях и собрав много денег, доказал, что философам при желании легко разбогатеть, но не это является предметом их стремлений. Так, говорят, Фалес дал доказательство своей мудрости. Этот случай, произошедший с Фалесом, вероятно, ещё в молодости, скорее подчёркивает его непрактичность, поскольку выставляется как исключение из правила, которому была подчинена его натура.

Платон, Аристотель и Плутарх, кивая на Фалеса, в унисон говорили, что мудрость надо отличать от рассудительности: первое касается знания природы, второе — выгоды для себя; Фалес был мудрым, но не рассудительным, (сейчас бы сказали, не расчётливым). Его жизнь в чём-то напоминает жизнь Галилея, который тоже по молодости торговал циркулями и подзорными трубами. Это занятие его увлекало так, что трудно было сказать, чем больше занята его голова — коммерцией или наукой. Но постепенно итальянского Фалеса – Галилея нередко сравнивают с античным мудрецом – захватила наука: все ночи напролёт он смотрел на звёзды, пока не ослеп.

Естественно, рано или поздно, знатному и мудрому Фалесу, на голову возвышающемуся над всеми остальными, чтобы не потерять её, пришлось «удалиться от государственных дел» и заняться науками. Знания качеств личности Писистрата и Трасибула помогает понять сложную политическую обстановку, в которой жил Фалес. Слава учёного пришла к Фалесу после предсказанного им солнечного затмения, которое описал Геродот: «Так как Алиатт, несмотря на требования Киаксара, не захотел выдать скифов, то у лидийцев с мидянами началась война. Пять лет длилась эта война, причём верх одерживали то мидяне, то побеждали лидийцы и однажды – даже в какой-то ночной битве. Так с переменным успехом продолжалась эта затяжная война, и на шестой год во время одной битвы внезапно день превратился в ночь. Это солнечное затмение предсказал ионянам Фалес Милетский и даже точно определил заранее год, в котором оно и наступило. Когда лидийцы и мидяне увидели, что день обратился в ночь, то прекратили битву и поспешно заключили мир». Нечего говорить о том, что занятия Фалеса в Египте также трактуются очень серьёзно. Это – крайне пессимистический взгляд на успехи Фалеса и, вообще, достижения всей античной науки.

Как показывает история исследования некоторых математических алгоритмов решения задач, которыми пользовались древние вавилоняне и египтяне, современные учёные не могут взять в толк, каким образом они могли быть найдены. Нашим современникам кажется, что для решения задач по нахождению площадей геометрических фигур, объёмов тел и прочих параметров требуются знания высших разделов математики – алгебры интегрально-дифферециального исчисления. Однако вполне работоспособные алгоритмы были найдены, причём некоторые из них три-четыре тысячи лет назад – мы просто не умеем их реконструировать. Может быть, не Фалес первый разделил год на365 дней, дал определение числа, как совокупности единиц и понял, что вписанный в круг треугольник, опирающийся на диаметр, всегда будет прямым, как об этом упоминается в различных древних источниках, но, по крайней мере, в его время об этом уже знали. Они говорят об уровне развития знаний той эпохи, в которой жил самый выдающийся учёный. Следовательно, мы смело можем говорить: Фалес или кто-то из его современников вполне понимал, что во всяком равнобедренном треугольников углы при основании равны, при пересечении двух прямых вертикальные углы равны, два треугольника равны, если два угла и одна сторона одного из них равны углам и одной стороне другого. Последняя теорема, как предполагается, использовалась Фалесом для нахождения расстояния до кораблей, находящихся в море. Нахождение Фалесом определенных отношений между элементами равнобедренного треугольника, ничем принципиальным не отличается от нахождений законов физики: и математические(стороны, углы, площади), и физические(сила, ускорение, масса) величины измеряются эмпирически, т.е. пришли к нам из опыта и используются нами в практической жизни. Интеллектуальные и чувственные образы тесно взаимосвязаны, так что разъединять их какой-либо преградой ненужно. Таким образом, математические объекты вполне можно отнести к естественнонаучным и рассматривать математику и естествознание, как одну рациональную науку, в которой используется один и тот же конструктивный подход. Нейгебауэр критиковал Фалеса за неудачное предположение, что причиной разлива Нила являются ветер, дующий с моря против его течения. Да, конечно, эта гипотеза ошибочна, но важно, что он над этим явлением размышлял и предложил рациональное объяснение, а не сводил дело к божественному гневу или милости, как это делали до него. Начиная с Фалеса люди повсеместно стали задаваться вопросами: почему сверкает молния, как возникает гром, что такое огонь, как связан он с теплом, откуда берётся ветер, что такое снег и лёд, как связаны они с холодом, из чего земля, животные и растительные ткани, какие причины приводят к землетрясению, наступлению холодов, образованию облаков и т.д. и т. д. Наука начинается там, где религии говорят «Нет!», где ищут решения, не прибегая к силам какого-либо Высшего Существа. И вот в этом Фалес был Первым! «Он первый нашёл путь Солнца от солнцестояния до солнцестояния; он первый ( по мнению некоторых) объявил, что размер Солнца составляет 1/720 часть [солнечного пути, а размеры Луны – такую же часть] лунного пути [ т.е. оба светила видны под углом 0,5 гр.]. Он первый назвал последний день месяца «тридесятым», [т.е. разделил год на 12 месяцев, в каждом из них было по 30 дней]. Он первый, как говорят иные, стал вести беседы о природе». Главное геометрическое достижение Фалеса состояла в том, что ему удалось открыть пропорциональность сторон подобных треугольников. Теперь на основе пропорции a/b=c/d, он мог производить измерение неизвестной величины по трём известным. Именно с помощью этой пропорции он нашёл высоту египетских пирамид.

Измерение расстояния до корабля, находящегося далеко в море, производилось тоже на основе этой пропорции. Выбрав на берегу базиса и вымерив с крайних его точек углы до корабля, геометр затем вычерчивал подобный треугольник небольших размеров и измерял у него две стороны, скажем, c и d; после этого ничего не стоило найти неизвестное расстояние до корабля – сторону b. Такого рода задачи и даже более сложного( нахождение площади круга, объём усечённой пирамиды и т.д.) умели решать в Египте. Это стало известно из найденных Московского и Риндовского папирусов, написанных около 2000 году до н.э. Однако этими знаниями овладел мудрый человек, живущий в ответственный для науки период. Далее можно пронаблюдать, как пропорция a/b = c/d через Пифагора, Демокрита и Архимеда легла в основу науки эпохи Зарождения и Итальянского Возрождения. Простота и универсальность пропорции позволило сделать множество математических и естественнонаучных открытий. Всё это говорит о том, что Фалес был не столько первым философом, сколько первым учёным, т.е. тем первым профессионалом, который все явления природы пытался Объяснить рациональными средствами. Но было в его объяснениях физического мира и такое, что отнести к рациональным соображениям можно лишь с изрядной натяжкой. Время жизни Фалеса, по Дильсу, 624 – 547 г. до н.э., расцвет сил (акме) 585г., дата славы 585г., предсказанное им солнечное затмение 28 мая 585г. По Таннери, время жизни Фалеса 637-558г. акме 597г., дата славы 586г., предсказанное им солнечное затмение 30 сентября 610г. Заслуги, которые приписывали Фалесу историки в новое время, можно резюмировать так: Фалес – родоначальник европейской науки, он перенёс с Востока в Грецию богатый запас эмпирических наблюдений и на основании этого обширного собрания фактов создал первые в истории мысли научно-теоритические построения. В частности, он – первый математик и создатель научной геометрии (преобразовал египетское искусство измерения в дедуктивную геометрию, покоящуюся на общих основаниях), астроном (предсказал полное затмение; открыл, что из созвездий наиболее точно север определяется Малой Медведицей, и т. д.), метеоролог (удачное предсказание урожая оливок), физик (ряд объяснений физических явлений). Как философов, он глава милетской школы и отец греческой философии. Точность его научных открытий, его деятельность не ограничивалась научно-теоретической областью, он также практически деятель с обширной сферой интересов: он – путешественник, купец (торгует солью), инженер, политик и государственный деятель. Наконец, известны его краткие изречения – практические советы морального характера. Основное положение Фалеса: вода есть начало всего. Нам неизвестно в точности, какой смысл заключён в этом положении. Прежде всего, идёт ли здесь речь о возникновении во времени или в вечной основе всего существующего? Говорит ли Фалес, что всё возникло из воды (учение, которое в 16 веке повторил Парацельс), или он указывает в воде постоянное начало, неизменно лежащее в основе изменчивых разнообразных форм природы? Далее, эта первая стихия есть ли вода, как одно из веществ природы, или под водой здесь разумеется всякая жидкость (т.е. первичным признаётся известное состояние матери), или, наконец, вода здесь есть объектированное качеств: влажность? Так расходятся взгляды учёных в истолковании положения Фалеса «вода есть начало всего», в котором, таким образом, и субъект и предикат двусмысленны для нас. Как говорит Дмитрий Фалерский в «Списке архонтов», Фалес был назван первым мудрецом в тот год, когда в Афинах был архонтом Дамасия, при котором были названы мудрецами известные семь. Принят же в число граждан Фалес был в Милете, куда он прибыл с Нейлеем, изгнанным из Финикии. Впрочем, по свидетельству большинства, он был природный милетец и знатного рода. Почти все философы древней Греции тщательно занимались математикой, в частности геометрией. Фалесу Мелецкому Прокл приписывает открытие или доказательство теорем о том, что диаметр делит круг пополам, что угол, вписанный в полуокружность, прямой, о равенстве вертикальных углов, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника и др. Эти положения были частично известны ещё вавилонянам и египтянам. Однако в отличии от вавилонской и египетской геометрии, имевшей преимущественно практический и прикладной характер, греческая геометрия характеризуется стремлением установить, что геометрические факты верны не только для отдельных частных случаев, а справедливы в любом случае. При помощи общих доказательств, с постепенным переходим от одной истины к другой, греческие математики создали геометрию как науку.

Направление строгой логической последовательности в геометрии первыми заложили геометры греческой ионийской школы, основателем которой был Фалес. Фалес был знаком и с вавилонской астрономией. Платон, знаменитый греческий философ четвёртого века до нашей эры, рассказывает, что Фалес, наблюдая звёзды, упал в колодец, а стоявшая рядом женщина посмеялась над ним, сказав: «Хочет знать, что делается на небе, а что у него под ногами, не видит…». Фалес сделал ряд открытий в области астрономии: установил время равноденствий и солнцестояний, определил продолжительность года, впервые наблюдал Малую Медведицу и т.п. Особенную славу ему принесло предсказание солнечного затмения, произошедшего в 585 году до н.э. Фалес был не только философом и учёным, но также государственным и общественным деятелем. Вот почему он был причислен к группе «семи мудрецов» древности.

Существуют разные версии смерти Фалеса.

1. Диоген Лаэрцкий в своём известном сочинении «О жизни, учёниях и изречениях знаменитых философов», появившемся где-то во 2-3вв., привёл письмо Анаксимена, посланное Пифагору, где сообщает о смерти своего учителя и друга. «Фалес, сын Эксамия, достигнув преклонных лет, несчастным образом скончался. Ночью он по своему обыкновению вышел со служанкой из дома, чтобы посмотреть на звёзды, и, созерцая их, свалился в канаву, о котором совсем запамятовал. Вот каков, по словам милетских жителей, был конец этого небоведца. Мы же, его собеседники, и сами, и дети наши, и коллеги наши по занятиям, сохранили память об этом муже и блюдем его заветы. Пусть же всякая наша речь начинается именем Фалеса». Во втором письме к Пифагору, который бежал от тирана Поликрата с острова Самос, расположенного недалеко от Милета, в италийский город Кратон, Анаксимен, жалуясь на тяжёлую жизнь, обронил такую фразу: «Как же помышлять Анаксимену о делах небесных, когда приходится страшиться гибели или рабства [на земле]. Возможно, в людской памяти как-то соединилась эта фраза с личностью Фалеса, но не с его гибелью.

2. В античности была распространена легенда, будто мудрец скончался от зноя, жажды и давки, когда смотрел на солнцепёке, как состязаются молодые и сильные гимнасты. Старик слишком приблизился к соревнующимся, пишет Диоген Лаэрцкий, и возбужденная толпа задавила его насмерть. Однако такой печальный финиш жизни этого выдающегося человека кажется маловероятным. Вряд ли могло так случиться, чтобы известного всей Элладе мыслителя задавила толпа болельщиков? Так что малопочётная гибель в канаве здесь кажется более предпочтительной, если только она действительно была вызвана желанием смотреть на звёзды.

3..Мудрец Фалес скончался в то время, когда смотрел гимнастическое состязание, от жары, жажды и бессилия, будучи уже престарелым. И на памятнике его написано: «Взирай на эту действительно малую могилу весьма мудрого Фалеса (слава же его достигает небес)». Имеется и у нас в первой из «Надписей», или в «Написанной в различных размерах», следующая надпись, относящаяся к нему: «Некогда смотревшего гимнастическое состязание мудреца Фалеса ты, о солнце Зевс, похитил из ристалища. Я восхваляю тебя за то, что увёл его поближе к небу, ибо, в самом деле, старик уже не мог более с земли видеть звёзды. Фалесу принадлежит изречение: «Познай самого себя», о котором Антисфен в «Диадохах» говорит, что оно принадлежит Фемоною и что его присвоил себе Хилон..

Сочинения Фалеса до нашего времени не сохранились.

Практическая часть.

Теорема

Докажем теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение:

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, …и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, … (рис.1). Требуется доказать, что отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄, … равны друг другу. Докажем, например, что В₁В₂ = В₂В₃.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны (рис. 1, а). тогда А₁А₂ = В₁В₂ и А₂А₃ = В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов А₁В₁В₂А₂ и А₂В₂В₃А₃. так как А₁А₂ = А₂А₃, то и В₁В₂ = В₂В₃ если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку

В₁ проведем прямую l, параллельную прямой l₁ (рис.1, б). Она пересечет прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по доказанному В₁С = СD. Отсюда получаем В₁В₂ = В₂В₃. Аналогично можно доказать, что В₂В₃ = В₃В₄ и т.д.

Задача

Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.

Решение:

Через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 2). Так как AM = МВ по условию, а MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то АМ = DC. Треугольники АМN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (АМ=CD,

Задача

Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.

Решение:

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно n равных отрезков АА₁, А₁А₂, …, А_n-1А_n (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рис. 3 n=5). Проведем прямую А_nВ (точка А_n – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А₁ , А₂ , …, А_n-1 и параллельные прямой А_nВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В₁ , В₂ , …, В_n-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на n равных частей.

Задача

Разделите данный отрезок АВ на 8 равных частей.

Решение:

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно 8 равных отрезков АА₁, А₁А₂, …, А₇А₈ (рис.3), т.е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (рис. 4). Проведем прямую А₈В (точка А₈ – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А₁ , А₂ , …, А₇ и параллельные прямой А₈В. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В₁ , В₂ , …, В₇, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на 8 равных частей.

Литература

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 7—9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.],М. : Просвещение, 1999.

2. Глейзер Г.И. История в математики в школе. Москва: Просвещение, 1983.

3. Малыгин К.Л. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. М: Учпедгиз 1963г.

4. Погорелов А.В. Геометрия 7 – 11 класс. Москва.: «Просвещение», 1995

5. Рыбников Л.А. История математики. Издательство МГУ, 1974 г.

6. Интернет ресурсы.

   1. Планиметрия /wiki/

   2. Милетская школа /wiki/

   3. Теорема Фалеса /wiki/

gigabaza.ru

Книга по геометрии на тему: Геометрия 7-9 задачи на готовых чертежах

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Сборник УСТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ Параллельные прямые.

Сборника УСТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ «Параллельные прямые» содержит 58 задач по теме. Задания пособия предназначены, прежде всего, для обучения школьников решению задач по только  что изученному…

Сборник УСТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ Смежные и вертикальные углы

Задания по теме «Смежные и вертикальные углы» предназначены, прежде всего, для обучения школьников решению задач по только что изученному материалу, а также при повторении  курса геометрии 7 класс, пр…

Тренажёр по геометрии. Задачи на готовых чертежах. 7 класс.Сумма углов треугольника

Тренажёр по геометрии, который помогает закрепить пройденный материал….

Презентация к уроку геометрии в 7 классе «Параллельные прямые» (задачи на готовых чертежах)

Презентация к уроку геометрии в 7 классе «Параллельные прямые» (задачи на готовых чертежах)….

Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ.

Задачи на готовых чертежах позволяют подготовиться к ГИА и ЕГЭ, так как задчи подобраны по всем темам геометрии 7-9 классов….

Задачи на готовых чертежах 10 класс геометрия.

Презентация содержит задачи по теме :Расстояние между прямыми в пространстве….

Большой сборник задач на готовых чертежах 8 класс Геометрия

Хорошо известно, как много времени, особенно на начальном этапе изучения геометрии, занимает выполнение чертежей. Ученику зачастую легче решить задачу, чем сделать к ней рисунок. Именно поэтому для от…

nsportal.ru

Теорема Фалеса и обобщенная теорема, формула

ТЕОРЕМА

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

На рисунке 1, по теореме Фалеса, если прямые , а отрезки , то .

Обобщение теоремы Фалеса (Теорема о пропорциональных отрезках)

ТЕОРЕМА

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

На рисунке 2, согласно обобщенной теореме Фалеса, если , то

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Теорема Фалеса и ее применение для решения задач

Из элементарной геометрии — из вестна теорема Фалеса: если на одной стороне угла отложить -равные или пропорциональные отрезки и через засечки провести — па раллельные прямые, то и другая сторона угла разделится на равные или пропорциональные отрезки.

Задача: разделить проекции прямой АВ в отношении 2:4, предварительно построив недостающую профильную проекцию.

Используя свойства эпюра Монжа, строим профильную проекцию прямой, для чего откладываем от оси OZ ординаты, замеренные на горизонтальной проекции прямой. Далее на любой проекции прямой, например на горизонтальной, проводим произвольную вспомогательную прямуюm.

Откладываем на вспомогательной
прямой 6 равных отрезков произ-
вольной длины. Конец последнего
отрезка	соединяем с точкойВ/.
На вспомогательной прямой -бе
рем точку F0 и из нее параллельно
отрезку	В0В/ проводим линию
связи, которая делит А/В/, а затем
и другие проекции в заданном
отношении.

Определение видимости скрещивающихся прямых

При рассмотрении		пространствен-
ного	чертежа	двух	скрещиваю-
щихся	прямых	можно	сделать
вывод:	на горизонтальной		проек-
ции будет видна та прямая, кото-
рая имеет бóльшую аппликату в
конкурирующем месте. На фрон-
тальной проекции будет видна та
прямая,	которая имеет бóльшую
ординату. На профильной проекции
будет видна прямая, имеющая бóль-
шую абсциссу.
Для определения видимости пря-
мых на проекциях необходимо:

-отметить конкурирующее место;

-провести через него линию связи;

-вдоль линии связи сравнить -аппликаты скрещивающихся прямых, если определяется видимость на горизонтальной проекции;

-на рассматриваемой проекции будет видна та прямая, у которой больше аппликата (АВ).

На фронтальной проекции будет видна также прямая АВ, так как в конкурирующем месте у нее больше ордината. Метод определения видимости скрещивающихся прямых получил название метод конкурирующих точек, или метод конкурирующих прямых.

Теорема прямого угла

Прямой угол может быть спро-
ецирован	в натуральную		вели-
чину, если его плоскость будет
параллельна	плоскости		проек-
ций. Однако в соответствии с
теоремой	прямой	угол	также
проецируется без искажения, ес-
ли один из его катетов парал-
лелен плоскости проекций. Эта
теорема получила название тео-
ремы прямого угла и широко ис-
пользуется в геометрических -за
дачах.

На эпюре	показано использова-
ние теоремы прямого угла для
построения проекций двух пере-
секающихся	перпендикулярных
прямых, одна из которых явля-
ется фронталью.

Теорема прямого угла распространяется не только на пересекающиеся перпендикулярные прямые, но и на скрещивающиеся перпендикулярные прямые.

Плоскости общего и частного положения

Плоскость общего положения – это плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. Признак плоскости общего положения на эпюре – ни одна проекция плоскости (ни один след) не параллельна, не перпендикулярна осям проекций и ни на одной проекции плоскость не «выродилась» в прямую.

Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются плоскостями частного положения. Горизонтальная плоскость параллельна плоскости H. Главный признак плоскости на эпюре – фронтальная проекция «вырождается» в линию, параллельную осиОХ.

Фронтальная	плоскость	парал-
лельна плоскости V. На эпюре		ее
горизонтальная	проекция «вы-
рождается» в	линию, параллель-
ную ОХ. Следы горизонтальной и
фронтальной	плоскостей	парал-
лельны оси ОХ.

Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. По аналогии с прямой различают горизонтально-,фронтально- ипрофильно-проецирую-щие плоскости. Главный признак проецирующих плоскостей на эпюре – на одной из проекций плоскость «вырождается» в линию. Проецирующие следы перпендикулярны соответствующим осям.

studfiles.net

Создание математических формул онлайн

Полученная формула

Создание математических формул

Бот позволяет отображать математически формулы и графики записанные в формате LaTEX.

Хотелось бы  заметить что в поле можно писать достаточно много формул одновременно. Для того что бы каждая формула была расположена на новой строки Вам следует использовать «разделитель» \\

Синтаксис

Синтаксис очень прост

WEB:  <Формула в формате Latex>

Примеры

запрос: \begin{pmatrix} 1-i & 12+2i \\ 3-1.5i & -2.5i \end{pmatrix}

Ответ: 

Запрос:  \int_0^1 f(x)dx

Ответ: 

Запрос: \usepackage{color} \color{blue} x^2+y^2

Ответ: 

Запрос: f(x)=\int_{-\infty}^xe^{-t^2/m}dt

Ответ: 

 \usepackage{color}\color{red}\Large      e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

 \large f^\prime(x)\ =         \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

 \parstyle\begin{eqnarray*}    x+y+z&=&3\\2y&=&x+z\\2x+y&=&z\end{eqnarray*}

• Создание QR кодов онлайн >>

abakbot.ru

Площадь треугольника онлайн расчет

Данная страница посвящена достаточно распространенному информационному ресурсу  — описанию и расчету площади произвольного треугольника. Отличие от других ресурсов, это расчет площади онлайн, непосредственно в процессе прочтения статьи

Площадь через высоту и основание

 

Это самая простая для запоминания формула. Словами эта формула звучит так — площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту.

В случае прямоугольного треугольника это выражение приобретает еще более простой смысл: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов 

площадь через стороны треугольника

 

 

Площадь треугольника выраженная через стороны известна очень давно —  она фигурирует в книгах, датированных 1 веком до нашей эры. 

Эту формулу можно выразить по разному, благо формул расчета параметров треугольника достаточно.

Но если попытаться мыслить категориями времен до нашей эры, когда не было формул в современном преставлении, не было переменных и знаков корня, то единственной аксимомой, на базе которого, Герон, создал свою формулу, была теорема Пифагора. А так как в те времена, еще не знали иррациональных чисел, да к отрицательным  у ученых было достаточно скептическое видение, то для размышлений использовались целые числа. 

Самого доказательства здесь не будет, предположив только что Герон, дополнял произвольный пифагоровый треугольник до прямоугольника высчитывал его площадь, и делил на два. 

Площадь через координаты вершин

Когда известны координаты вершин треугольника, формула площади может быть выражена вот такой формулой

Определитель третьего порядка  легко раскладывается, и поэтому  расчет площади даже в ручном режиме не вызовет никаких затруднений.

Площадь через две стороны и угол между ними

 

Площадь через сторону и два угла

Редко встречающаяся задача,  но и для таких исходных данных  высчитали формулу. Внимательный читатаель сразу видит «ошибку». Заголовок гласит, что площадь узнается через сторону и два угла, то есть через три переменных, а в формуле присутствут все четыре. Как же так?

На самом деле ошибки никакой нет, зная одну из основных аксиом треугольника, гласящая, что сумма внутренних углов  треугольника всегда(!!) равна 180 градусов

Поэтому нет ничего сложного, зная два угла треугольника, узнать третий.

Площадь через медианы треугольника

Заменив квадраты сторон на дополнительные переменные,  система превращается в систему линейных уравнений, которые легко решить.

А узнав все стороны, легко определить площадь по сторонам треугольника

Как её выводили  неизвестно, то что что она по своему элеганта, это не подвергается сомнению.

abakbot.ru

Создание математических формул онлайн

Полученная формула

Создание математических формул

Бот позволяет отображать математически формулы и графики записанные в формате LaTEX.

Хотелось бы  заметить что в поле можно писать достаточно много формул одновременно. Для того что бы каждая формула была расположена на новой строки Вам следует использовать «разделитель» \\

 

Синтаксис

Синтаксис очень прост

WEB:  <Формула в формате Latex>

Примеры

запрос: \begin{pmatrix} 1-i & 12+2i \\ 3-1.5i & -2.5i \end{pmatrix}

Ответ: 

---

Запрос:  \int_0^1 f(x)dx

Ответ: 

---

Запрос: \usepackage{color} \color{blue} x^2+y^2

Ответ: 

---

Запрос: f(x)=\int_{-\infty}^xe^{-t^2/m}dt

Ответ: 

---

 \usepackage{color}\color{red}\Large      e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

---

 \large f^\prime(x)\ =         \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

 

---

 \parstyle\begin{eqnarray*}    x+y+z&=&3\\2y&=&x+z\\2x+y&=&z\end{eqnarray*}

 

abakbot.ru

Вращательное движение (движение тела по окружности) | Формулы и расчеты онлайн

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) φ,
скорость u — угловая скорость ω,
ускорение a — угловое ускорение α

Вращательное движение, характеристики

Вращательное движение	Угловая скорость	Угловое ускорение
Равномерное	Постоянная	Равно нулю
Равномерно ускоренное	Изменяется равномерно	Постоянно
Неравномерно ускоренное	Изменяется неравномерно	Переменное

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Если
φ — угловое перемещение в радианах,
s — длина дуги, заключенной
между сторонами угла поворота,
r — радиус,
то по определению радиана

\[ φ = \frac{s}{r} \]

Соотношение между единицами угла

\[ \frac[-1.35]{φ_{рад}}{φ_{°}} = \frac[-1.2]{π}{180°} \]

$ 1 рад = 57.3° $

$ 1° = 17.45 мрад $

$ 1´ = 291 мкрад $

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ω от t). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость φ от t) и график углового ускорения (зависимость α от t).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

\[ [n] = [f] = \frac{Обороты}{Секунда} = \frac{(об)}{с} = \frac{1}{c} = Герц \]

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если
n — число оборотов,
f — частота,
T — продолжительность одного оборота, период,
φ — угловое перемещение,
N — полное число оборотов,
t — время, продолжительность вращения,
ω — угловая частота,
то

Период

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{n} \]

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2π:

\[ φ = 2 π N \]

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

\[ ω = 2 π f = \frac{2π}{T} \]

Обратите внимание:
• формулы (1)—(6) справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.

В помощь студенту

Вращательное движение (движение тела по окружности)	стр. 421

www.fxyz.ru

MegaCampus — Главная

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

helpyoumegacampus.ru

вход в ЛК студента Синергия, регистрация, официальный сайт

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Степени окисления элементов — урок. Химия, 8–9 класс.

Степень окисления — условный заряд атома в соединении, если считать, что связь в нём ионная.

Степень окисления равна числу электронов, смещённых от атома или к атому.

Если электроны смещаются от атома, то его степень окисления положительная. Положительную степень окисления в соединениях имеет атом менее электроотрицательного элемента.

Если смещение электронов происходит к атому, то его степень окисления отрицательная.

Обрати внимание!

В простых веществах сдвига электронов нет, и степень окисления атомов равна \(0\).

Значение степени окисления указывают над знаком химического элемента:

Ca+2O−2,  N02.

Обрати внимание!

В сложных веществах степень окисления атомов металла всегда положительная.

Максимальное значение степени окисления металла можно определить по номеру группы, в которой элемент находится в Периодической таблице. Оно равно числу валентных электронов в атоме.

Металлы главных подгрупп в соединениях, как правило, проявляют постоянную степень окисления. У металлов \(IA\) группы она равна \(+1\):

Na+1Cl−1,  Li+12O−2.

У металлов \(IIA\) группы степень окисления всегда равна \(+2\):

Mg+2F−12,  Ba+2O−2.

Степень окисления алюминия — \(+3\):

Al+32S−23.

Металлы побочных подгрупп проявляют переменные степени окисления:

Fe+2O−2,  Fe+32O−23.

Обрати внимание!

Атомы неметаллов имеют как положительные, так и отрицательные степени окисления. 

У самого электроотрицательного из неметаллов фтора степень окисления постоянная и равна \(–1\):

H+1F−1,  K+1F−1.

Кислород почти всегда имеет степень окисления \(–2\):

Na&plus;12O−2,  C&plus;4O2−2.

Исключения — фторид кислорода и пероксиды:

O+2F−12,  H+12O−12.

В большинстве соединений степень окисления водорода \(+1\), но в соединениях с металлами она равна \(–1\):

H+1Br−1,  N−3H+13,  Na+1H−1,  Ca&plus;2h3−1.

У атомов остальных неметаллов максимальное значение степени окисления тоже равно номеру группы:

C+4,  N+5,  S+6.

Минимальное значение степени окисления можно определить, если от номера группы отнять \(8\). Оно определяется числом электронов, которые необходимы атому до завершения внешнего электронного слоя:

C−4,  N−3,  S−2.

www.yaklass.ru

Ca3(PO4)2, степень окисления фосфора и др элементов

Общие сведения о фосфате кальция и степени окисления в Ca3(PO4)2

Брутто-формула – Ca₃(PO₄)₂. Молярная масса фосфата кальция равна 310,17 г/моль.

Рис. 1. Фосфат кальция – внешний вид.

Не растворяется в воде, кристаллогидратов не образует. Разлагается кислотами. Восстанавливается углеродом при спекании.

Ca3(PO4)2, степени окисления элементов в нем

Чтобы определить степени окисления элементов, входящих в состав фосфата кальция, сначала необходимо разобраться с тем, для каких элементов эта величина точно известна.

Степень окисления кальция постоянна и равна номеру группы Периодической системы Д.И. Менделеева, в которой он расположен со знаком плюс (кальций – металл), т.е. (+2).

Степень окисления кислотного остатка определяется числом атомов водорода, входящих в состав образующей его кислоты, указанных со знаком минус. Фосфат-ион – это кислотный остаток фосфорной кислоты, формула которой H₃PO₄. В её составе имеется три атома водорода, следовательно, степень окисления фосфат-иона равна (-3). Степень окисления кислорода в составе кислот, а, следовательно, и их остатков равна (-2). Для нахождения степени окисления фосфора в составе фосфат-иона примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:

x + 4× (-2) = -3;

x — 8 = -3;

x = +5.

Степень окисления фосфора в фосфате кальция равна (+5):

Ca⁺²₃(P⁺⁵O^-2₄)₂.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Валентность и степень окисления — Подготовка к ЕГЭ по химии

Валентность —

— это способность атома образовывать определенное количество связей с другими атомами.

 

Правила определения валентности

1. В молекулах простых веществ: H₂, F₂, Cl₂, Br₂, I₂ равна единице.

2. В молекулах простых веществ: O₂, S₈ равна двум.

3. В молекулах простых веществ: N₂, P₄ и CO — оксиде углерода (II) — равна трем.

4. В молекулах простых веществ, которые образует углерод (алмаз, графит), а также в органических соединениях, которые он образует, валентность углерода равна четырем.

5. В составе сложных веществ водород одновалентен, кислород, в основном, двухвалентен. Для определения валентности атомов других элементов в составе сложных веществ надо знать строение этих веществ.

 

Степень окисления

– это условный заряд атомов химического элемента в соединении, вычисленный на основе предположения, что все соединения (с ионной и ковалентной полярной связью) состоят только из ионов.

 

Высшая степень окисления элемента равна номеру группы.

Исключения:

фтор высшая степень окисления ноль в простом веществе F₂⁰

кислород высшая степень окисления +2 во фториде кислорода О⁺²F₂

Низшая степень окисления элемента равна восемь минус номер группы (по числу электронов, которые атом элемента может принять до завершенного восьми электронного уровня)

 

Правила определения степени окисления (далее обозначим: ст.ок.)

Общее правило: Сумма всех степеней окисления элементов в молекуле с учетом количества атомов равна нулю (Молекула электронейтральна.), в ионе  — равна заряду иона.

 

I. Степень окисления простых веществ равна нулю: Са⁰, O₂⁰, Cl₂⁰ 

 

II. ст.ок. в бинарных cоединениях:

Менее электроотрицательный элемент ставится на первое место. (Исключения: С^-4Н₄⁺ метан и N^-3H₃⁺аммиак)

Нужно помнить, что

— ст.ок. металла всегда положительна

— ст.ок. металлов I, II, III групп главных подгрупп постоянна и равна номеру группы

Для остальных ст.ок. вычисляется по общему правилу.

 

Более электроотрицательный элемент ставится на второе место, его ст.ок. равна восемь минус номер группы (по числу электронов, которые он принимает до завершенного восьми электронного уровня).

Исключения: пероксиды, например, Н₂⁺¹О₂^-1, Ba⁺²O₂^-1 и др. ; карбиды металлов I и II групп Ag₂⁺¹C₂^-1, Ca⁺²C₂^-1 и др. (В школьном курсе встречается соединение FeS₂ — пирит. Это дисульфид железа. Степень окисления серы в нем (-1) Fe⁺²S₂^-1). Это происходит потому, что в этих соединениях есть связи между одинаковыми атомами -О-О-, -S-S-, тройная связь в карбидах между атомами углерода. Степень окисления и валентность элементов в этих соединениях не совпадают: у углерода валентность IV, у кислорода и серы II.

 

III. Степень окисления в основаниях Ме⁺ⁿ(ОН)_nравна количеству гидроксогрупп.

1. в гидроксогруппе ст.ок. кислорода -2, водорода +1, заряд гидроксогруппы 1-

2. ст.ок. металла равна количеству гидроксогрупп

 

IV. Степень окисления в кислотах:

1. ст.ок. водорода +1,  кислорода -2

2. ст.ок. центрального атома вычисляется по общему правилу путем решения простого уравнения

Например, Н₃⁺¹Р^хО₄^-2

3∙(+1) + х + 4∙(-2) = 0

3 + х – 8 = 0

х = +5 (не забудьте знак +)

 

Можно запомнить, что у кислот с высшей ст.ок. центрального элемента, соответствующего номеру группы, название будет заканчиваться на  –ная:

Н₂СО₃угольная Н₂С⁺⁴О₃

Н₂SiО₃ кремниевая (искл.) Н₂Si⁺⁴О₃

НNО₃ азотная НN⁺⁵О₃

Н₃PО₄ фосфорная Н₃P⁺⁵О₄

Н₂SО₄ серная Н₂S⁺⁶О₄

НСlО₄ хлорная НCl⁺⁷О₄

НMnО₄ марганцовая НMn⁺⁷О₄

Останется запомнить:

НNО₂ азотистая НN⁺³О₂

Н₂SО₃ сернистая Н₂S⁺⁴О₃

НСlО₃ хлорноватая НCl⁺⁵О₃

НСlО₂ хлористая НCl⁺³О₂

НСlОхлорноватистая НCl⁺¹О

 

V. Степень окисления в солях

у центрального атома такая же, как в кислотном остатке. Достаточно помнить или определить ст.ок. элемента в кислоте.

 

VI. Степень окисления элемента в сложном ионе равна заряду иона.

Например, NH₄⁺Cl^— : записываем ион N^хН₄⁺¹

х + 4∙(+1) = +1

х= — 3;

ст.ок. азота -3

 

Например, определить ст.ок. элементов в гексацианоферрате(III) калия К₃[Fe(CN)₆]

— у калия +1 : К₃⁺¹[Fe(CN)₆], отсюда заряд иона [Fe(CN)₆] ^3-

— у железа +3 (указано в названии) [Fe⁺³(CN)₆] ^3-, отсюда (CN)₆^6-

— у одной группы (CN)^—

— более электроотрицательный азот: у него -3, отсюда (C^хN^-3)^—

х – 3 = — 1

х = +2

ст.ок. углерода +2

 

VII. Степень окисления углерода в органических соединениях разнообразна и вычисляется, исходя из учета того, что ст.ок. водорода равна +1, кислорода -2

Например, С₃Н₆

3∙х + 6∙1 = 0

3х = -6

х = -2

ст.ок. углерода -2 (при этом валентность углерода равна IV)

Задание. Определить степень окисления и валентность фосфора в фосфорноватистой кислоте H3PO2.

Вычислим степень окисления фосфора.

Обозначим её за х. Подставим степень окисления водорода +1, а кислорода -2, умножив на соответствующее количество атомов: (+1) ∙ 3 + х + (-2) ∙ 2 = 0, отсюда х = +1.

school4eg.jimdo.com

Валентность химических элементов. Степень окисления химических элементов – HIMI4KA

Валентность является сложным понятием. Этот термин претерпел значительную трансформацию одновременно с развитием теории химической связи. Первоначально валентностью называли способность атома присоединять или замещать определённое число других атомов или атомных групп с образованием химической связи.

Количественной мерой валентности атома элемента считали число атомов водорода или кислорода (данные элементы считали соответственно одно- и двухвалентными), которые элемент присоединяет, образуя гидрид формулы ЭH_x или оксид формулы Э_nO_m.

Так, валентность атома азота в молекуле аммиака NH₃ равна трём, а атома серы в молекуле H₂S равна двум, поскольку валентность атома водорода равна одному.

В соединениях Na₂O, BaO, Al₂O₃, SiO₂ валентности натрия, бария и кремния соответственно равны 1, 2, 3 и 4.

Понятие о валентности было введено в химию до того, как стало известно строение атома, а именно в 1853 году английским химиком Франклендом. В настоящее время установлено, что валентность элемента тесно связана с числом внешних электронов атомов, поскольку электроны внутренних оболочек атомов не участвуют в образовании химических связей.

В электронной теории ковалентной связи считают, что валентность атома определяется числом его неспаренных электронов в основном или возбуждённом состоянии, участвующих в образовании общих электронных пар с электронами других атомов.

Для некоторых элементов валентность является величиной постоянной. Так, натрий или калий во всех соединениях одновалентны, кальций, магний и цинк — двухвалентны, алюминий — трёхвалентен и т. д. Но большинство химических элементов проявляют переменную валентность, которая зависит от природы элемента — партнёра и условий протекания процесса. Так, железо может образовывать с хлором два соединения — FeCl₂ и FeCl₃, в которых валентность железа равна соответственно 2 и 3.

Степень окисления — понятие, характеризующее состояние элемента в химическом соединении и его поведение в окислительно-восстановительных реакциях; численно степень окисления равна формальному заряду, который можно приписать элементу, исходя из предположения, что все электроны каждой его связи перешли к более электроотрицательному атому.

Электроотрицательность — мера способности атома к приобретению отрицательного заряда при образовании химической связи или способность атома в молекуле притягивать к себе валентные электроны, участвующие в образовании химической связи. Электроотрицательность не является абсолютной величиной и рассчитывается различными методами. Поэтому приводимые в разных учебниках и справочниках значения электроотрицательности могут отличаться.

В таблице 2 приведена электроотрицательность некоторых химических элементов по шкале Сандерсона, а в таблице 3 — электроотрицательность элементов по шкале Полинга.

Значение электроотрицательности приведено под символом соответствующего элемента. Чем больше численное значение электроотрицательности атома, тем более электроотрицательным является элемент. Наиболее электроотрицательным является атом фтора, наименее электроотрицательным — атом рубидия. В молекуле, образованной атомами двух разных химических элементов, формальный отрицательный заряд будет у атома, численное значение электроотрицательности у которого будет выше. Так, в молекуле диоксида серы SO₂ электроотрицательность атома серы равна 2,5, а значение электроотрицательности атома кислорода больше — 3,5. Следовательно, отрицательный заряд будет на атоме кислорода, а положительный — на атоме серы.

В молекуле аммиака NH₃ значение электроотрицательности атома азота равно 3,0, а водорода — 2,1. Поэтому отрицательный заряд будет у атома азота, а положительный — у атома водорода.

Следует чётко знать общие тенденции изменения электроотрицательности. Поскольку атом любого химического элемента стремится приобрести устойчивую конфигурацию внешнего электронного слоя — октетную оболочку инертного газа, то электроотрицательность элементов в периоде увеличивается, а в группе электроотрицательность в общем случае уменьшается с увеличением атомного номера элемента. Поэтому, например, сера более электроотрицательна по сравнению с фосфором и кремнием, а углерод более электроотрицателен по сравнению с кремнием.

При составлении формул соединений, состоящих из двух неметаллов, более электроотрицательный из них всегда ставят правее: PCl₃, NO₂. Из этого правила есть некоторые исторически сложившиеся исключения, например NH₃, PH₃ и т.д.

Степень окисления обычно обозначают арабской цифрой (со знаком перед цифрой), расположенной над символом элемента, например:

Для определения степени окисления атомов в химических соединениях руководствуются следующими правилами:

1. Степень окисления элементов в простых веществах равна нулю.
2. Алгебраическая сумма степеней окисления атомов в молекуле равна нулю.
3. Кислород в соединениях проявляет главным образом степень окисления, равную –2 (во фториде кислорода OF₂ + 2, в пероксидах металлов типа M₂O₂ –1).
4. Водород в соединениях проявляет степень окисления + 1, за исключением гидридов активных металлов, например, щелочных или щёлочноземельных, в которых степень окисления водорода равна – 1.
5. У одноатомных ионов степень окисления равна заряду иона, например: K⁺ — +1, Ba²⁺ — +2, Br^– — –1, S^2– — –2 и т. д.
6. В соединениях с ковалентной полярной связью степень окисления более электроотрицательного атома имеет знак минус, а менее электроотрицательного — знак плюс.
7. В органических соединениях степень окисления водорода равна +1.

Проиллюстрируем вышеприведённые правила несколькими примерами.

Пример 1. Определить степень окисления элементов в оксидах калия K₂O, селена SeO₃ и железа Fe₃O₄.

Оксид калия K₂O. Алгебраическая сумма степеней окисления атомов в молекуле равна нулю. Степень окисления кислорода в оксидах равна –2. Обозначим степень окисления калия в его оксиде за n, тогда 2n + (–2) = 0 или 2n = 2, отсюда n = +1, т. е. степень окисления калия равна +1.

Оксид селена SeO₃. Молекула SeO₃ электронейтральна. Суммарный отрицательный заряд трёх атомов кислорода составляет –2 × 3 = –6. Следовательно, чтобы уравнять этот отрицательный заряд до ноля, степень окисления селена должна быть равна +6.

Молекула Fe₃O₄ электронейтральна. Суммарный отрицательный заряд четырёх атомов кислорода составляет –2 × 4 = –8. Чтобы уравнять этот отрицательный заряд, суммарный положительный заряд на трёх атомах железа должен быть равен +8. Следовательно, на одном атоме железа должен быть заряд 8/3 = +8/3.

Следует подчеркнуть, что степень окисления элемента в соединении может быть дробным числом. Такие дробные степени окисления не имеют смысла при объяснении связи в химическом соединении, но могут быть использованы для составления уравнений окислительно-восстановительных реакций.

Пример 2. Определить степень окисления элементов в соединениях NaClO₃, K₂Cr₂O₇.

Молекула NaClO₃ электронейтральна. Степень окисления натрия равна +1, степень окисления кислорода равна –2. Обозначим степень окисления хлора за n, тогда +1 + n + 3 × (–2) = 0, или +1 + n – 6 = 0, или n – 5 = 0, отсюда n = +5. Таким образом, степень окисления хлора равна +5.

Молекула K₂Cr₂O₇ электронейтральна. Степень окисления калия равна +1, степень окисления кислорода равна –2. Обозначим степень окисления хрома за n, тогда 2 × 1 + 2n + 7 × (–2) = 0, или +2 + 2n – 14 = 0, или 2n – 12 = 0, 2n = 12, отсюда n = +6. Таким образом, степень окисления хрома равна +6.

Пример 3. Определим степени окисления серы в сульфат-ионе SO₄^2–. Ион SO₄^2– имеет заряд –2. Степень окисления кислорода равна –2. Обозначим степень окисления серы за n, тогда n + 4 × (–2) = –2, или n – 8 = –2, или n = –2 – (–8), отсюда n = +6. Таким образом, степень окисления серы равна +6.

Следует помнить, что степень окисления иногда не равна валентности данного элемента.

Например, степени окисления атома азота в молекуле аммиака NH₃ или в молекуле гидразина N₂H₄ равны –3 и –2 соответственно, тогда как валентность азота в этих соединениях равна трём.

Максимальная положительная степень окисления для элементов главных подгрупп, как правило, равна номеру группы (исключения: кислород, фтор и некоторые другие элементы).

Максимальная отрицательная степень окисления равна 8 — номер группы.

Тренировочные задания

1. В каком соединении степень окисления фосфора равна +5?

1) HPO₃
2) H₃PO₃
3) Li₃P
4) AlP

2. В каком соединении степень окисления фосфора равна –3?

1) HPO₃
2) H₃PO₃
3) Li₃PO₄
4) AlP

3. В каком соединении степень окисления азота равна +4?

1) HNO₂
2) N₂O₄
3) N₂O
4) HNO₃

4. В каком соединении степень окисления азота равна –2?

1) NH₃
2) N₂H₄
3) N₂O₅
4) HNO₂

5. В каком соединении степень окисления серы равна +2?

1) Na₂SO₃
2) SO₂
3) SCl₂
4) H₂SO₄

6. В каком соединении степень окисления серы равна +6?

1) Na₂SO₃
2) SO₃
3) SCl₂
4) H₂SO₃

7. В веществах, формулы которых CrBr₂, K₂Cr₂O₇, Na₂CrO₄, степень окисления хрома соответственно равна

1) +2, +3, +6
2) +3, +6, +6
3) +2, +6, +5
4) +2, +6, +6

8. Минимальная отрицательная степень окисления химического элемента, как правило, равна

1) номеру периода
2) порядковому номеру химического элемента
3) числу электронов, недостающих до завершения внешнего электронного слоя
4) общему числу электронов в элементе

9. Максимальная положительная степень окисления химических элементов, расположенных в главных подгруппах, как правило, равна

1) номеру периода
2) порядковому номеру химического элемента
3) номеру группы
4) общему числу электронов в элементе

10. Фосфор проявляет максимальную положительную степень окисления в соединении

1) HPO₃
2) H₃PO₃
3) Na₃P
4) Ca₃P₂

11. Фосфор проявляет минимальную степень окисления в соединении

1) HPO₃
2) H₃PO₃
3) Na₃PO₄
4) Ca₃P₂

12. Атомы азота в нитрите аммония, находящиеся в составе катиона и аниона, проявляют степени окисления соответственно

1) –3, +3
2) –3, +5
3) +3, –3
4) +3, +5

13. Валентность и степень окисления кислорода в перекиси водорода соответственно равны

1) II, –2
2) II, –1
3) I, +4
4) III, –2

14. Валентность и степень окисления серы в пирите FeS2 соответственно равны

1) IV, +5
2) II, –1
3) II, +6
4) III, +4

15. Валентность и степень окисления атома азота в бромиде аммония соответственно равны

1) IV, –3
2) III, +3
3) IV, –2
4) III, +4

16. Атом углерода проявляет отрицательную степень окисления в соединении с

1) кислородом
2) натрием
3) фтором
4) хлором

17. Постоянную степень окисления в своих соединениях проявляет

1) стронций
2) железо
3) сера
4) хлор

18. Степень окисления +3 в своих соединениях могут проявлять

1) хлор и фтор
2) фосфор и хлор
3) углерод и сера
4) кислород и водород

19. Степень окисления +4 в своих соединениях могут проявлять

1) углерод и водород
2) углерод и фосфор
3) углерод и кальций
4) азот и сера

20. Степень окисления, равную номеру группы, в своих соединениях проявляет

1) хлор
2) железо
3) кислород
4) фтор

Ответы

himi4ka.ru

Приложение к уроку по теме «Степень окисления» (8 класс)

Правила определения степени окисления (с.о.)

1. Простые вещества имеют с.о. 0 К⁰, Mg⁰, N₂⁰, О₂⁰, Р⁰, Н₂⁰

2. Всегда отрицательную с.о. имеет фтор F^-1

3. Кислород имеет с.о. -2 (кроме фторида кислорода, но он вам не встретится и перекиси водорода Н₂⁺О₂^—) О^-2

4. В большинстве соединений водород имеет с.о. + (кроме соединений с металлами Н^—) Н⁺

5. Металлы всегда имеют положительную с.о.

I группа +1

II группа +2

III группа +3

6. Высшая с.о. всегда положительная (кроме фтора) и равна номеру группы

Низшая с.о. всегда отрицательная (кроме металлов) и равна номер группы -8

7. В соединениях суммарная с.о. всегда равна 0

Правила определения степени окисления (с.о.)

1. Простые вещества имеют с.о. 0 К⁰, Mg⁰, N₂⁰, О₂⁰, Р⁰, Н₂⁰

2. Всегда отрицательную с.о. имеет фтор F^-1

3. Кислород имеет с.о. -2 (кроме фторида кислорода, но он вам не встретится и перекиси водорода Н₂⁺О₂^—) О^-2

4. В большинстве соединений водород имеет с.о. + (кроме соединений с металлами Н^—) Н⁺

5. Металлы всегда имеют положительную с.о.

I группа +1

II группа +2

III группа +3

6. Высшая с.о. всегда положительная (кроме фтора) и равна номеру группы

Низшая с.о. всегда отрицательная (кроме металлов) и равна номер группы -8

7. В соединениях суммарная с.о. всегда равна 0

Алгоритм определения степеней окисления по формуле:

1. Определение степеней окисления (Р₂О₅) начинают с того элемента, у которого с.о. постоянная или известна в соответствии с правилами, в данном случае кислород

2. Умножить с.о. на индекс атома (или группы) (– 2 * 5 = – 10)

3. Полученное число разделить на индекс второго элемента (– 10 / 2 = – 5)

4. Записать полученную с.о. с противоположным знаком (Р₂⁺⁵О₅^-2).

Алгоритм составления формул по названиям:

1. Записать знаки элементов (частиц) в порядке: на первом месте – положительно заряженную, на втором – отрицательно заряженную ( Al O )

2. Расставить степени окисления ( Al⁺³ O^-2)

3. Найти наименьшее общее кратное (НОК) между значениями степеней окисления

4. Разделить НОК на значение степеней окисления, полученные результаты записать как индексы (6/3=2; 6/3=3 Al₂O₃)

Алгоритм определения степеней окисления по формуле:

1. Определение степеней окисления (Р₂О₅) начинают с того элемента, у которого с.о. постоянная или известна в соответствии с правилами, в данном случае кислород

2. Умножить с.о. на индекс атома (или группы) (– 2 * 5 = – 10)

3. Полученное число разделить на индекс второго элемента (– 10 / 2 = – 5)

4. Записать полученную с.о. с противоположным знаком (Р₂⁺⁵О₅^-2).

Алгоритм составления формул по названиям:

1. Записать знаки элементов (частиц) в порядке: на первом месте – положительно заряженную, на втором – отрицательно заряженную ( Al O )

2. Расставить степени окисления ( Al⁺³ O^-2)

3. Найти наименьшее общее кратное (НОК) между значениями степеней окисления

4. Разделить НОК на значение степеней окисления, полученные результаты записать как индексы (6/3=2; 6/3=3 Al₂O₃)

1) Определите с.о. элементов в соедининиях

А) Cl₂O₇, MnO₂, P₂O₅, CaO, Na₂O

Б) HCl, NH₃, CH₄, LiH , PH₃, NaH

В) CaS, Al₂S₃, K₂S , MgS, Li₂S

Г) NaCl , AlCl₃, ZnCl₂, KCl

2) Составьте формулы соединений элементов K Mg AL с

— кислородом

— хлором

— серой (II)

3)Определите степени окисления:

1. фосфора в: PH₃, P₂O₃, H₃PO₄, Mg₃P₂;

2. брома: NaBr, HBrO, KBrO₃, Br₂O₅;

3. хрома: Cr₂O₃, K₂CrO₄, H₂Cr₂O₇, Cr(OH)₃;

4. марганца: MnO, KMnO₄, MnCl₂, H₂MnO₄;

5. серы: CaS, SO₃, H₂SO₃, BaSO₄;

6. хлора: HClO, HClO₂, BaCl₂, Cl₂O₇;

7. железа: Fe₂O₃, Fe₂S₃, FeSO₄, H₂FeO₄.

1) Определите с.о. элементов в соедининиях

А) Cl₂O₇, MnO₂, P₂O₅, CaO, Na₂O

Б) HCl, NH₃, CH₄, LiH , PH₃, NaH

В) CaS, Al₂S₃, K₂S , MgS, Li₂S

Г) NaCl , AlCl₃, ZnCl₂, KCl

2) Составьте формулы соединений элементов K Mg AL с

— кислородом

— хлором

— серой (II)

3)Определите степени окисления:

1. фосфора в: PH₃, P₂O₃, H₃PO₄, Mg₃P₂;

2. брома: NaBr, HBrO, KBrO₃, Br₂O₅;

3. хрома: Cr₂O₃, K₂CrO₄, H₂Cr₂O₇, Cr(OH)₃;

4. марганца: MnO, KMnO₄, MnCl₂, H₂MnO₄;

5. серы: CaS, SO₃, H₂SO₃, BaSO₄;

6. хлора: HClO, HClO₂, BaCl₂, Cl₂O₇;

7. железа: Fe₂O₃, Fe₂S₃, FeSO₄, H₂FeO₄.

infourok.ru

Ph4, степень окисления фосфора и водорода в нем

Общие сведения о фосфине и степени окисления в Ph4

Брутто-формула – PH₃ (строение молекулы показано на рис. 1). Молярная масса фосфина равна 34,00 г/моль.

Рис. 1. Строение молекулы фосфина с указанием валентного угла и длины химической связи.

При низких температурах образует твердый кларат 8PH₃×46H₂O. Плотность – 1,5294 г/л. Температура кипения – (-87,42^oC), плавления – (-133,8^oC).

В ОВР является сильным восстановителем, окисляется концентрированной серной и азотной кислотами, йодом, кислородом, пероксидом водорода, гипохлоритом натрия. Донорные свойства выражены значительно слабее, чем у аммиака.

Ph4, степени окисления элементов в нем

Чтобы определить степени окисления элементов, входящих в состав фосфина, сначала необходимо разобраться с тем, для каких элементов эта величина точно известна.

Фосфин – это тривиальное название гидрида фосфора, а, как известно, степень окисления водорода в гидридах равна (+1). Для нахождения степени окисления фосфора примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:

x + 3×(+1) = 0;

x + 3 = 0;

x = -3.

Значит степень окисления фосфора в фосфине равна (-3):

P^-3H⁺¹₃.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Квадратный корень из комплексного числа » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.6. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Формула квадратных корней из комплексного числа.

   В дальнейшем нам понадобится одна числовая функция:

            обозначим .

Эту функцию называют знаком числа х и читается она так: «сигнум икс».

Теорема. Пусть . Тогда

(7)      , где квадратные корни в скобках являются арифметическими квадратными корнями из положительных чисел.

   Доказательство. Как мы уже выяснили существует ровно два квадратных корня из комплексного числа, причем они являются противоположными числами. Пусть , где . Тогда  или . Возведем в квадрат левую часть этого равенства и воспользуемся условиями равенства двух комплексных чисел. Получаем:

(8)                                .

   Возведем в квадрат каждое уравнение этой системы: . Прибавим второе уравнение к первому:

 .

Здесь  – обычный арифметический квадратный корень из положительного действительного числа. Далее, если полученная система имеет решение, то по обратной теореме Виета  и  являются корнями квадратного уравнения . Находим дискриминант . Отсюда . Оба корня квадратного уравнения оказываются положительными, т.к., очевидно, . При выборе корней учитываем равенства (8), а именно . Отсюда следует, что  и

. Осталось правильно выбрать знаки перед знаками радикалов. Из равенств (8) следует, что . Положим , тогда , откуда и следует доказываемая формула. Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Используем только что доказанную формулу корней. Здесь . Подставляем в формулу и получаем:

.

Ответ: .

   Замечание. Можно не запоминать формулу (7) ввиду ее громоздкости, а при решении использовать алгоритм доказательства теоремы. Решим таком образом предыдущий пример.

Пусть . Тогда . Это возможно лишь тогда равны вещественные и мнимые части обоих комплексных чисел: . Возводим оба уравнения системы в квадрат: . Прибавляем второе уравнение к первому: . Применяем обратную теорему Виета:

. Решаем квадратное уравнение: . Так как , то . Принимаем . Так как , то . Получили один из двух корней: . Второй корень противоположен первому.

Ответ: .

   Конечно, этот способ, в отличие от первого, занимает у нас некоторое время, но зато алгоритмы запоминаются лучше, нежели формулы.

   Нам будет интересен частный случай формулы (7), когда мнимая часть числа z равна нулю.

Следствие. Пусть – произвольное действительное число. Тогда имеет место следующая формула:

(9)         .

Доказательство очевидно, достаточно подставить в формулу (7)  и вспомнить, что арифметический квадратный корень из квадрата действительного числа равен его модулю: .

   Теперь, если , то формула (9) дает оба корня из положительного действительного числа а: .

   Не будем забывать, что квадратный корень в левой части формулы (9) обозначает все множество корней из комплексного числа , а квадратные корни в правой части формулы (9) обозначают арифметические квадратные корни из неотрицательных действительных чисел. Обозначение одно и то же, с помощью знака радикала, а смысл различный.

   Пусть теперь . Тогда  и формула (9) дает равенство: . Здесь – арифметический квадратный корень из положительного числа .

   Случай  очевиден: .

Интерес представляет случай корня квадратного из отрицательного числа. Сформулируем этот случай отдельно в виде следствия.

Следствие. Пусть  и . Тогда оба квадратных корня из числа z могут быть найдены по формуле:

(10)                 .

Примеры: , , .

Замечание. Обратите внимание на последнее равенство:

                                        .

Это верное равенство, т.е.  по определению есть множество всех корней из числа  –1, в то время как равенство  неверное, с этой точки зрения! Именно поэтому нельзя переносить свойства корней из действительных чисел на корни из комплексных чисел, как показывает следующий простой пример.

Пример. Найдите ошибку в следующих преобразованиях:

.

   С другой стороны, легко доказать следующую теорему.

Теорема. (О вынесении действительного множителя из под знака корня.) Пусть, n – произвольное натуральное число. Тогда

(11)                        ,

 где  есть обычный арифметический корень из положительного числа.

Доказательство. Равенство (11) здесь нужно понимать как равенство двух множеств: – множество всех корней n-й степени из комплексного числа , – множество всех корней n-й степени из комплексного числа z,

 .

Отсюда вытекает и способ доказательства. Мы докажем, что оба множества состоят из одних и тех же элементов.

Пусть . Тогда . Отсюда следует, что . Обратно, Пусть . Тогда . Следовательно, , ч.т.д. Теорема доказана.

Замечание. Предыдущее следствие можно вывести и из только что доказанной теоремы.

Следствие. Пусть  и  Тогда .

   Доказательство. Рассматриваем отрицательное число а как комплексное число . Тогда доказываемое равенство сразу же следует из только что доказанной теоремы: .

Пример. Вычислить .

Решение. Применим только что доказанную теорему: .

Ответ: .

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

1.12. Извлечение квадратного корня из комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа можно осуществить, не обращаясь к тригонометрической форме. Выведем алгебраическую формулу для выполнения этого действия.

Пусть . Интересен случай, поэтому рассмотрим только его. Тогда. Это равносильно системе уравнений:

(1.12)

Эта задача имеет вещественные решения, так как всегда существует квадратный корень из комплексного числа. Из второго уравнения системы , подставляя которое в первое уравнение системы (1.12), получаем биквадратное уравнение относительно неизвестного. Его решениями являются, поэтому. Для любого вещественного числаtсуществует функция, которая задается следующим образом:

(1.13)

С учетом введенной функции получаем формулу для нахождения квадратного корня из комплексного числа:

. (1.14)

П р и м е р. Найти корни уравнения.

Решение.Корни уравненияравны. Пусть=. Относительно неизвестныхиимеем систему уравнений

Из второго уравнения этой системы , поэтому относительно неизвестногополучаем уравнение, или. Учитывая, чтовещественное число, находим, т. е.. Следовательно,. Таким образом,.

1.13. Показательная форма комплексного числа

В различных разделах современной математики, а также ее приложениях применяется показательная форма комплексного числа. В основе показательной формы лежит формула Эйлера, устанавливающая связь между тригонометрическими функциями действительного аргумента и показательной функцией мнимого аргумента.

Первая формула Эйлера (без вывода):

, (1.15) где е – иррациональное число, принятое за основание натуральных логарифмов (е 2,718).

Если в формуле произвести замену по формуле (1.15), то получим. Это и есть показательная форма комплексного числа. В этой записи− модуль комплексного числа,− его аргумент. Заменим в формуле (1.15)на —, получим вторую формулу Эйлера:

. (1.16)

Из формул (1.15) и (1.16) следует, что

, . (1.17)

Равенства (1.17) также называются формулами Эйлера и выражают тригонометрические функции действительного переменного через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (1.17) справедливы и тогда, когдазаменяется любым комплексным числом, т. е.,. Эти равенства принимают за определение косинуса и синуса комплексного аргумента.

Тригонометрические функции комплексного переменного также периодичны, причем период . Покажем это для функции. Действительно,====, так как по формулам Эйлера,. Примечательно, что все формулы обычной тригонометрии сохраняют свою силу в комплексной плоскости, например,. Однако в отличие от действительных чисел могут иметь место неравенстваи. Например,

.

2. Многочлены

0. Многочлен от одной переменной. Действия

Над многочленами. Корни многочленов. Теорема Безу

Определение.Одночленом от переменнойс коэффициентом из множестваАназывается выражение вида, где,− целое неотрицательное число.

Считается, что , поэтому все элементы множестваАявляются одночленами частного вида.

Определение.Одночлены называются подобными, если показатели степениодинаковы.