Рубрика: Школьная жизнь

2/3 часа это сколько минут??

40 минут. Вопрос из 1 класса. Учите арифметику, УЧЕНИК!

40 минут, конечно, же.

1) 60 : 3 = 20 (мин. ) -1/3 2) 20 x 2 = 40 (мин. ) Ответ: 40 минут

60 минут умножь на 2 и раздели на 3, получится 40 минут

40 мин, ведь если мы 2/3 и 60 разделим на 3 и умножим на 2 получим 40

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: Сколько это часов 18:00

Это 18 часов 0 минут.

хз. на ноль делить нельзя.

Ну вот и олигофрены с вопросами подтягиваться стали…

Часы одни. А время на них 18 часов 00 минут. Или в 12-ти часовом формате 6 часов после полудня.

6 вечера, ё-моё

touch.otvet.mail.ru

сколько будет 4 часа времени например 12:20

16:00:00 Вот сколько

шестнадцать ноль ноль

4 часа это вроде 16:00

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: Часы Несколько часов — это сколько ?

мне кажется от 4до 6.. потому что обычно говорят часа 2 ..3 часа.. 12 часов.. сутки.. а когда это время между прямыми углами циферблата, то вот как-то расплывчато))).. это не так много, но и не конкретно))))….» сколько должно сохнуть? — точно не знаю. но пару часов нужно точно» ))

это Оль обычно до 7

Смотря для кого. Это может быть и 8 миллиардов часов.

Что бы определить сколько времени, вам надо часы купить и думаю такая проблема уйдет. На <a rel=»nofollow» href=»http://titan-watch.ru\» target=»_blank»>http://titan-watch.ru\</a> недавно покупала часы своему ребенку, теперь разбирается с этим нелегким для детей делом.

touch.otvet.mail.ru

720626 прописью -> семьсот двадцать тысяч шестьсот двадцать шесть

720 626

seven hundred and twenty thousand six hundred and twenty-six

seven hundred twenty thousand six hundred twenty-six

siebenhundert zwanzig tausend sechshundert sechsundzwanzig

sept cent vingt mille six cent vingt-six

сiмсот двадцять тисяч шiстсот двадцять шість

siedemset dwadzieścia tysięcy sześćset dwadzieścia sześć

sedm set dvacet tisíc šest set dvacet šest

Посмотрите как пишутся числа: 14581, 104990, 203192, 347498, 447803, 592872, 667721, 740268, 873727, 942743.

numword.ru

226654 прописью -> двести двадцать шесть тысяч шестьсот пятьдесят четыре

226 654

two hundred and twenty-six thousand six hundred and fifty-four

two hundred twenty-six thousand six hundred fifty-four

zweihundert sechsundzwanzig tausend sechshundert vierundfünfzig

deux cent vingt-six mille six cent cinquante-quatre

двісті двадцять шість тисяч шiстсот п’ятдесят чотири

dwieście dwadzieścia sześć tysięcy sześćset pięćdziesiąt cztery

dvě stě dvacet šest tisíc šest set padesát čtyři

Посмотрите как пишутся числа: 36636, 109786, 274093, 308399, 417144, 582134, 648606, 792625, 831391, 905944.

numword.ru

320626 прописью -> триста двадцать тысяч шестьсот двадцать шесть

320 626

three hundred and twenty thousand six hundred and twenty-six

three hundred twenty thousand six hundred twenty-six

dreihundert zwanzig tausend sechshundert sechsundzwanzig

trois cent vingt mille six cent vingt-six

триста двадцять тисяч шiстсот двадцять шість

trzysta dwadzieścia tysięcy sześćset dwadzieścia sześć

tři sta dvacet tisíc šest set dvacet šest

Посмотрите как пишутся числа: 97714, 167289, 259311, 385764, 426868, 536308, 615403, 745270, 895686, 903797.

numword.ru

520626 прописью -> пятьсот двадцать тысяч шестьсот двадцать шесть

520 626

five hundred and twenty thousand six hundred and twenty-six

five hundred twenty thousand six hundred twenty-six

fünfhundert zwanzig tausend sechshundert sechsundzwanzig

cinq cent vingt mille six cent vingt-six

п’ятсот двадцять тисяч шiстсот двадцять шість

pięćset dwadzieścia tysięcy sześćset dwadzieścia sześć

pět set dvacet tisíc šest set dvacet šest

Посмотрите как пишутся числа: 38322, 178355, 279255, 315304, 413518, 576068, 664561, 798945, 894605, 927531.

numword.ru

626254 прописью -> шестьсот двадцать шесть тысяч двести пятьдесят четыре

626 254

six hundred and twenty-six thousand two hundred and fifty-four

six hundred twenty-six thousand two hundred fifty-four

sechshundert sechsundzwanzig tausend zweihundert vierundfünfzig

six cent vingt-six mille deux cent cinquante-quatre

шiстсот двадцять шість тисяч двісті п’ятдесят чотири

sześćset dwadzieścia sześć tysięcy dwieście pięćdziesiąt cztery

šest set dvacet šest tisíc dvě stě padesát čtyři

Посмотрите как пишутся числа: 5886, 180698, 256313, 362228, 420908, 524059, 656642, 780150, 833040, 909314.

numword.ru

620226 прописью -> шестьсот двадцать тысяч двести двадцать шесть

620 226

six hundred and twenty thousand two hundred and twenty-six

six hundred twenty thousand two hundred twenty-six

sechshundert zwanzig tausend zweihundert sechsundzwanzig

six cent vingt mille deux cent vingt-six

шiстсот двадцять тисяч двісті двадцять шість

sześćset dwadzieścia tysięcy dwieście dwadzieścia sześć

šest set dvacet tisíc dvě stě dvacet šest

Посмотрите как пишутся числа: 73278, 194502, 277222, 312588, 474074, 515491, 650327, 714405, 876768, 984511.

numword.ru

620266 прописью -> шестьсот двадцать тысяч двести шестьдесят шесть

620 266

six hundred and twenty thousand two hundred and sixty-six

six hundred twenty thousand two hundred sixty-six

sechshundert zwanzig tausend zweihundert sechsundsechzig

six cent vingt mille deux cent soixante-six

шiстсот двадцять тисяч двісті шістдесят шість

sześćset dwadzieścia tysięcy dwieście sześćdziesiąt sześć

šest set dvacet tisíc dvě stě šedesát šest

Посмотрите как пишутся числа: 31496, 147793, 253599, 312282, 489909, 577514, 670962, 749475, 866507, 920609.

numword.ru

Вычисление тройных интегралов: теория и примеры

Тройные интегралы – это аналог двойного интеграла для функции трёх переменных, заданной как f(M) = f(x, y, z).

Записывается тройной интеграл так:

.

Здесь V – пространственная (трёхмерная) фигура, ограниченная плоскостями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления тройного интеграла. V называют также замкнутой ограниченной областью трёхмерного пространства.

Вычислить тройной интеграл — значит найти число, равное объёму тела V или, что то же самое — области V.

Практически каждый может понять смысл вычисления тройного интеграла «на своей шкуре». Точнее — «под шкурой», а ещё точнее — по своим органам дыхания — лёгким. Вне зависимости от того, знаете ли вы об этом или не знаете, в лёгких человека свыше 700 миллионов альвеол — пузырьковых образований, оплетённых сетью капилляров. Через стенки альвеол происходит газообмен. Поэтому можно рассуждать так: объём газа в лёкгих, можно представить в виде некоторой компактной области. А состоит этот объём из маленьких объёмов, сосредоточенных в альвеолах. Ключевую роль в этом сравнении играет именно огромное количество альвеол в лёгких: как мы увидим в следующем абзаце, через такое «огромное количество малостей» математически как раз и формулируется понятие тройного интеграла.

Почему именно тройной интеграл служит для нахождения объёма тела V? Пусть область V разбита на n произвольных областей Δvi, причём под этим обозначением подразумевается не только каждая маленькая область, но и её объём. В каждой такой маленькой области выбрана произвольная точка Mi, а f(Mi) — значение функции f(M) в этой точке. Теперь будем максимально увеличивать число таких маленьких областей, а наибольший диаметр Δvi — наоборот, уменьшать. Можем составить интегральную сумму вида

.

Если функция f(M) = f(x, y, z) непрерывна, то будет существовать предел интегральных сумм вида, указанного выше. Этот предел и называется тройным интегралом.

В этом случае функция f(M) = f(x, y, z) называется интегрируемой в области V; V — областью интегрирования; x, y, z — переменными интегрирования, dv (или dx dy dz) — элементом объёма.

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.

Рассмотрим трёхмерную область V. Снизу и сверху (то есть по высоте) эта область ограничена поверхностями z = z1(x, y) и z = z2(x, y). С боковых сторон (то есть по ширине) область ограничена поверхностями y = y1(x) и y = y2(x). И, наконец, по глубине (если Вы смотрите на область в направлении оси Ox) — поверхностями x = a и x = b

Чтобы применять переход к интегралам меньшей кратности, требуется, чтобы трёхмерная область V была правильной. Она правильна тогда, когда прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области V не более чем в двух точках. Правильными трёхмерными областями являются, например, прямоугольный параллелепипед, эллипсоид, тетраэдр. На рисунке ниже — прямоугольный параллелепипед, который встретится нам в первом примере на решение задач.

Чтобы наглядно представить отличие правильности от неправильности, добавим, что поверхности области по высоте у правильной области не должны быть вогнуты вовнутрь. На рисунке ниже — пример неправильной области V — однополостный гиперболоид, поверхность которого прямая, параллельная оси Oz (красного цвета), пересекает более чем в двух точках.

Мы будем рассматривать только правильные области.

Итак, область V — правильная. Тогда для любой функции f(x, y, z), непрерывной в области V, справедлива формула

Эта формула позволяет свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определённого интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по двумерной области D.

Переходя от двойного интеграла к повторному, получаем следующую формулу для вычисления тройного интеграла:

Таким образом, для вычисления тройного интеграла требуется последовательно вычислить три определённых интеграла.

Вычисляются эти интегралы от самого внутреннего (по переменной z) к самому внешнему (по переменной x). Для удобства восприятия последовательности вычислений три «вложенных» интеграла можно записать так:

.

Из этой записи уже однозначно видно, что:

• сначала нужно интегрировать функцию f(x, y, z) по переменной z, а в качестве пределов интегрирования взять уравнения z = z1(x, y) и z = z2(x, y) поверхностей ограничивающих область V снизу и сверху;
• получившийся на предыдущем шаге результат интегрировать по переменной y, а в качестве пределов интегрирования взять уравнения y = y1(x) и y = y2(x) поверхностей, ограничивающих область V с боковых сторон;
• получившийся на предыдущем шаге результат интегрировать по переменной x, а в качестве пределов интегрирования взять уравнения x = a и x = b поверхностей, ограничивающих область V по глубине.

Пример 1. Пусть от тройного интеграла можно перейти к повторному интегралу

—

последовательности трёх определённых интегралов. Вычислить этот повторный интеграл.

Решение. Вычисление повторного интеграла всегда начинается с последнего интеграла:

.

Вычислим второй интеграл — по переменной y:

.

Теперь вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x:

.

Ответ: данный повторный интеграл и соответствующий ему тройной интеграл равен 10.

Пример 2. Вычислить тройной интеграл

,

где V — параллелепипед, ограниченный плоскостями x = − 1, x = + 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 2.

Решение. Пределы интегрирования для всех трёх определённых интегралов однозначно заданы уравнениями поверхностей, ограничивающих параллелепипед. Поэтому сразу сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

.

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

.

Вычисляем интеграл «в серединке» — по переменной y. Получаем;

.

Теперь вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x:

Ответ: данный тройной интеграл равен -2.

Пример 3. Вычислить тройной интеграл

,

где V — пирамида, ограниченная плоскостью x + y + z = 1 и координатными плоскостями x = 0, y = 0, z = 0. Область V проецируется на плоскость xOy в треугольник D, как показано на рисунке ниже.

Решение. Расставим сначала пределы интегрирования. Для интеграла по переменной z нижний предел интегрирования задан однозначно: z = 0. Чтобы получить верхний предел, выразим z из x + y + z = 1. Получаем 1 − x − y. Для интеграла по переменной y нижний предел интегрирования задан однозначно: y = 0. Для получения верхнего предела выразим y из x + y + z = 1, считая при этом, что z = 0 (так как линия расположена в плоскости xOy). Получаем: 1 − x.

Сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

.

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

.

Вычисляем средний интеграл — по переменной y. Получаем:

Наконец, вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x:

Ответ: данный тройной интеграл равен 1/8.

Вычислить тройной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Бывает, что студенты, у которых не вызывает особых трудностей непосредственное вычисление интегралов, не могут освоиться в расстановке пределов интегрирования при переходе от тройного интеграла к последовательности трёх определённых интегралов. В этом деле действительно требуется некоторая натренированность. В первом примере область интегрирования V представляла собой параллелепипед, с которым всё понятно: со всех сторон его ограничивают плоскости, а значит, пределы интегрирования однозначно заданы уравнениями плоскостей. Во втором примере — пирамида: здесь уже требовалось чуть больше подумать и выразить один из пределов из уравнения. А если область V ограничивают не плоские поверхности? Нужно, конечно, определённым образом осмотреть область V.

Начнём с примера «пострашнее», чтобы почувствовать «обстановку, приближенную к боевой».

Пример 5. Расставить пределы интегрирования при переходе от тройного интеграла, в котором область V — эллипсоид

.

Решение. Пусть центр эллипсоида — начало координат, как показано на рисунке выше. Посмотрим на эллипсоид снизу. Снизу его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена ниже плоскости xOy. Следовательно, нужно выразить из уравнения эллипсоида z и полученное выражение со знаком минус будет нижним пределом интегрирования по переменной z:

.

Теперь посмотрим на эллипсоид сверху. Здесь его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена выше оси xOy. Следовательно, нужно выразить из уравнения эллипсоида z и полученное выражение будет верхним пределом интегрирования по переменной z:

.

Проекцией эллипсоида на плоскость xOy является эллипсоид. Его уравнение:

.

Чтобы получить нижний предел интегрирования по переменной y, нужно выразить y из уравнения эллипсоида и взять полученное выражение со знаком минус:

.

Для верхнего предела интегрирования по переменной y то же выражение со знаком плюс:

.

Что касается интегрирования по переменной x, то область V ограничена по глубине плоскостями. Следовательно, пределы интегрирования по переменной x можно представить как координаты задней и передней границ области. В случае эллипсоида ими будут взятые с отрицательным и положительным знаками величины длин полуоси a: x1 = − a и x2 = a.

Таким образом, последовательность интегралов для вычисления объёма эллипсоида следующая:

,

где «игрек первое», «игрек второе», «зет первое» и «зет второе» — полученные выше выражения. Если у Вас есть желание и отвага вычислить этот интеграл и, таким образом, объём эллипсоида, то вот ответ: 4πabc/3.

Следующие примеры — не такие страшные, как только что рассмотренный. При этом они предполагают не только расстановку пределов интегрирования, но и вычисление самого тройного интеграла. Проверьте, чему вы научились, следя за решением «страшного» примера. Думать при расстановке пределов всё равно придётся.

Пример 6. Вычислить тройной интеграл

,

если область интегрирования ограничена плоскостями x + y = 1, x + 2y = 4, y = 0, y = 1, z = 1, z = 5.

Решение. «Курортный» пример по сравнению с примером 5, так как пределы интегрирования по «игрек» и «зет» определены однозначно. Но придётся разобраться с пределами интегрирования по «иксу». Проекцией области интегрирования на плоскость xOy является трапеция ABCD.

В этом примере выгоднее проецировать трапецию на ось Oy, иначе, чтобы вычислить тройной интеграл, на придётся разделить фигуру на три части. В примере 4 мы начинали осмотр области интегрирования снизу, и это обычный порядок. Но в этом примере мы начинаем осмотр сбоку или, если так проще, положили фигуру набок и считаем, что смотрим на неё снизу. Можем найти пределы интегирования по «иксу» чисто алгебраически. Для этого выразим «икс» из первого и второго уравнений, данных в условии примера. Из первого уравения получаем нижний предел 1 − y, из второго — верхний 4 − 2y. Сведём данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

.

Внимание! В этом примере самый внешний интеграл — не по переменной «икс», а по переменной «игрек», а «средний» — по переменной «икс»! Здесь мы применили смену порядка интегрирования, с которой ознакомились при изучении двойного интеграла. Это связано с тем, что, как уже говорилось, мы начали осмотр области интегрирования не снизу, а сбоку, то есть спроецировали её не на ось Ox, на на ось Oy.

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

.

Вычисляем средний интеграл — по переменной x. Получаем:

.

Наконец, вычисляем самый внешний интеграл — по переменной y:

Ответ: данный тройной интеграл равен 43.

Пример 7. Вычислить тройной интеграл

,

если область интегрирования ограничена поверхностями x = 0, y = 0, z = 2, x + y + z = 4.

Решение. Область V (пирамида MNRP) является правильной. Проекцией области V на плоскость xOy является треугольник AOB.

Нижние пределы интегрирования по всем переменным заданы в условии примера. Найдём верхний предел интегирования по «иксу». Для этого выразим «икс» из четвёртого уравнения, считая «игрек» равным нулю, а «зет» равным двум. Получаем x = 2. Найдём верхний предел интегирования по «игреку». Для этого выразим «игрек» из того же четвёртого уравнения, считая «зет» равным двум, а «икс» — переменной величиной. Получаем y = 2 − x. И, наконец, найдём верхний предел интегрирования по переменной «зет». Для этого выразим «зет» из того же четвёртого уравнения, считая «игрек» и «зет» переменными величинами. Получаем z = 4 − x − y.

Сведём данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

.

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

.

Вычисляем средний интеграл — по переменной y. Получаем:

.

Вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x и окончательно находим данный тройной интеграл:

Ответ: данный тройной интеграл равен 2.

Если проекцией области интегрирования на какую-либо из координатных плоскостей является круг или часть круга, то тройной интеграл проще вычислисть, перейдя к цилиндрическим координатам. Цилиндрическая система координат является обобщением полярной системы координат на пространство. В системе цилиндрических координат точка M характеризуется тремя величинами (r, φ, z), где r — расстояние от начала координат до проекции N точки M на плоскость xOy, φ — угол между вектором ON и положительным направлением оси Ox, z — аппликата точки M (рисунок ниже).

Прямоугольные координаты x, y, z с цилиндрическими координатами r, φ, z связывают формулы

x = rcosφ,

y = rsinφ,

z = z.

Для того, чтобы в тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам, нужно подынтегральную функцию выразить в виде функции переменных r, φ, z:

.

То есть переход от прямогольных координат к цилиндрическим осуществляется следующим образом:

.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется так же как и в декартовых прямоугольных координатах, путём преобразования в последовательность трёх определённых интегралов:

Если область интегрирования в тройном интеграле представляет собой шар или часть шара, то проще вычислить тройной интеграл в сферических координатах. В сферических координатах точку M характеризуют три величины (ρ, φ, θ), где ρ — расстояние от точки M до начала координат 0, φ — угол между вектором ON и положительным направлением оси Ox (N — проекция точки M на плоскость xOy), θ — угол между вектором OM и положительным направлением оси Oz.

Сферические координаты связаны с прямоугольными декартовыми координатами соотношениями

x = ρsinθcosφ,

y = ρsinθsinφ,

z = ρcosθ.

Элемент объёма в сферических координатах выражается следующим образом:

.

Таким образом, переход от прямоугольных декартовых координат в тройном интеграле к сферическим координатам осуществляется по формуле:

Чтобы вычислить тройной интеграл в сферических координатах, нужно поступить так же, как при вычислениях в прямоугольных декартовых и цилиндрических координатах — перейти к повторным интегралам (последовательности трёх определённых интегралов):

Пример 9. Вычислить тройной интеграл

переходом к сферическим координатам, где V — область, ограниченная неравенствами и .

Решение. Снизу область интегрирования ограничена конической поверхностью , а сверху — сферой . Так как область интегирования представляет собой часть шара, перейдём к сферическим координатам. Перепишем подынтегральную функцию:

Учитывая, что , получаем

Расставим пределы интегрирования и перепишем последний полученный интеграл в виде трёх повторных интегралов. По рисунку видно, что , , . Поэтому

Итак, тройной интеграл вычислен. Так как все три интеграла — независисмые друг от друга, мы смогли интегрировать каждый отдельно и результаты перемножить.

Вычисление объёма тела. Объём области V равен тройному интегралу по этой области, если подынтегральная функция равна 1:

.

Вычисление массы неоднородного тела. Массу неоднородного тела с плотностью ρ = ρ(x, y, z) можно вычислить по формуле:

.

Статические моменты материального тела. Статические моменты относительно плоскостей xOy, xOz, yOz материального тела с плотностью ρ = ρ(x, y, z) можно вычислить по формулам:

Моменты инерции материального тела. Моменты инерции относительно плоскостей xOy, xOz, yOz материального тела с плотностью ρ = ρ(x, y, z) можно вычислить по формулам:

Моменты инерции относительно осей Ox, Oy, Oz определяются по формулам:

Центр тяжести материального тела. Координаты центра массы C(xc, yc, zc) материального тела с плотностью ρ = ρ(x, y, z) определяются по формулам:

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями

function-x.ru

5.3. Примеры

Пример 5.1. Вычислить интеграл в цилиндрических координатах:

.

Решение. Восстановим область интегрирования по известным пределам интегрирования:

Область (проекция областина плоскость) расположена в первой четверти и ограничена прямойи линией.

Преобразуем последнее выражение. После возведения в квадрат получим

, (5.3)

а после простых преобразований будем иметь

.

Это  уравнение окружности радиусом , центр которой смещён в положительную сторону по осина радиус. Границей областиявляется правая половина этой окружности.

Рис. 5.9

Уравнение окружности в цилиндрических координатах получим, подставив в (5.3) соотношения:

; ;

или .

Точка пробегает правую половину окружности при изменении угла от 0 до; подынтегральное выражение в цилиндрических координатах имеет вид:

.

Тело изображено на рис. 5.9.

Интеграл вычисляем в цилиндрических координатах:

.

Пример 5.2. Вычислить интеграл:

,

если область интегрирования ограничена сферой

.

Уравнение сферы простыми преобразованиями приводится к виду

.

Это – сфера радиусом , смещенная вверх по осина радиус (рис. 5.10).

Рис. 5.10

Решение. Вычисления проведём в сферических координатах. Уравнение границы области преобразуем, подставив в уравнение сферы соотношения

.

, или .

Подставив те же соотношения в подынтегральное выражение, получим

.

Области изменения переменных:

.

Интеграл в сферических координатах легко вычислить:

.

Объём тела удобно вычислять тройным интегралом:

.

В цилиндрических координатах интеграл принимает вид:

.

В сферических координатах:

.

Пример 5.3. Вычислить объём тела, ограниченного сферой

и конусом (рис. 5.11).

Решение. Уравнение сферы простыми преобразованиями приводится к виду:

.

В сферических координатах уравнение сферы 

.

Уравнение конуса 

.

Области изменения переменных 

.

Рис. 5.11

Искомый объём вычислим в сферических координатах:

.

Вычисление интеграла в данной задаче можно произвести в цилиндрических координатах.

Преобразуем уравнения сферы и конуса, подставив в них соотношения

.

Уравнение верхней половины сферы 

.

Уравнение верхней половины конуса 

.

Проекция объёма на плоскость круг радиусом . Области изменения переменных 

.

Эти данные позволяют расставить пределы в повторных интегралах и вычислить искомый объём:

.

Пример 5.4. Вычислить объём тела Вивиани, образованного пересечением сферы

и цилиндра с вертикальными образующими

.

(На рис. 5.12 приведено изображение только верхней половины тела Вивиани.)

Рис. 5.12

Решение. Вычислим интеграл в цилиндрических координатах. Преобразуем уравнения сферы и цилиндра, подставив в них соотношения

.

Уравнение сферы 

.

Уравнение цилиндра 

.

Вычислим объём четверти тела Вивиани, лежащей в первом октанте, и результат умножим на 4, что возможно, так как тело симметрично.

Области изменения переменных 

.

Вычисление тройного интеграла сведется к вычислению трех повторных интегралов, пределы интегрирования в которых соответствуют данным, приведенным выше:

.

Решить самостоятельно: [1] № 3590, 3592, 3593.

studfiles.net

Примеры применения цилиндрических и сферических координат / Тройной интеграл / 3dstroyproekt.ru

Как и в случае перехода к полярным координатам в двойном интеграле, дать однозначный рецепт того, когда следует применять цилиндрические или сферические координаты, нельзя, это дело опыта. Можно попробовать применить цилиндрические координаты, если подынтегральная функция и/или уравнения поверхностей, ограничивающих объём $\mathbf { \textit { V } } $, зависят от комбинации $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } =\mathbf { \textit { r } } ^ { 2 } $; сферические — если эти уравнения зависят от $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { z } } ^ { 2 } =\mathbf { \textit { r } } ^ { 2 } $. Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1

Найти объём $\mathbf { \textit { V } } $ общей части двух шаров, ограниченных сферами

$\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { z } } ^ { 2 } =\mathbf { \textit { R } } ^ { 2 } $, $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { z } } ^ { 2 } $ = 2$\mathbf { \textit { Rz } } ^ { } $.

Решение:

Пересечение сфер находится на уровне $2Rz=R^2\Rightarrow z=R/2$ и представляет собой круг радиуса $R\frac { \sqrt 3 } { 2 } $. Объём $\mathbf { \textit { V } } $ограничен сверху поверхностью $z=\sqrt { R^2-x^2-y^2 } $, снизу — поверхностью $z=R-\sqrt { R^2-x^2-y^2 } $. Вычисления в декартовых координатах дают $V=\iiint\limits_V { dv } =\iiint\limits_V { dxdydz } =\int\limits_ { -R\frac { \sqrt 3 } { 2 } } ^ { R\frac { \sqrt 3 } { 2 } } { dx\int\limits_ { -\sqrt { \frac { 3 } { 4 } R^2-x^2 } } ^ { \sqrt { \frac { 3 } { 4 } R^2-x^2 } } { dy\int\limits_ { R-\sqrt { R^2-x^2-y^2 } } ^ { \sqrt { R^2-x^2-y^2 } } { dz } } } $ — достаточно громоздкие выкладки.

В цилиндрических координатах объём $\mathbf { \textit { V } } $ ограничен сверху поверхностью $z=\sqrt { R^2-r^2 } $, снизу — поверхностью $z=R-\sqrt { R^2-r^2 } $, поэтому

$V=\iiint\limits_V { dv } =\iiint\limits_V { rdrd\varphi dz } =\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi \int\limits_0^ { R\frac { \sqrt 3 } { 2 } } { rdr\int\limits_ { R-\sqrt { R^2-r^2 } } ^ { \sqrt { R^2-r^2 } } { dz } } } =2\pi \int\limits_0^ { R\frac { \sqrt 3 } { 2 } } { \left[ { 2\sqrt { R^2-r^2 } -R }\right]rdr } =$ $ =2\pi \left. { \left[ { -\frac { 2 } { 3 } \sqrt { \left( { R^2-r^2 }\right)^3 } -R\frac { r^2 } { 2 } }\right] }\right|_0^ { R\frac { \sqrt 3 } { 2 } } =2\pi \left[ { \frac { 2 } { 3 } R^3-\frac { 2 } { 3 } \sqrt { \left( { R^2/4 }\right)^3 } -\frac { 3R^3 } { 8 } }\right]=2\pi R^3\left( { \frac { 2 } { 3 } -\frac { 2 } { 24 } -\frac { 3 } { 8 } }\right)=\frac { 5 } { 12 } \pi R^3. $

В сферических координатах уравнение нижней сферы принимает вид $r=R$, верхней — $r^2=2Rr\cos \theta \Rightarrow r=2R\cos \theta $, их пересечение соответствует значению $\cos \theta =1/2\Rightarrow \theta =\pi /3$. В интервале $0\leqslant \theta \leqslant \pi /3 \quad \mathbf { \textit { r } } $ меняется от $0$ до $\mathbf { \textit { R } } $, в интервале $\pi /3\leqslant \theta \leqslant \pi /2 \quad \mathbf { \textit { r } } $ меняется от $0$ до $2R\cos \theta $, поэтому

$V=\iiint\limits_V { dv } =\iiint\limits_V { r^ { 2 } \sin\theta drd\varphi d\theta } = \int_0^ { 2\pi } d \phi \int_0^ { \pi/3 } \sin \theta d\theta \int_0^R r^2 dr + \int_0^ { 2\pi } d \phi \int_ { \pi/3 } ^ { \pi/2 } \sin \theta d\theta \int_0^ { 2R\cos \theta } r^2 dr = 2\pi \frac { R^3 } { 3 } (-\cos\theta) =\\ =2\pi \frac { R^3 } { 3 } \left. { \left( { -\cos \theta }\right) }\right|_0^ { \frac { \pi } { 3 } } +2\pi \frac { 8R^3 } { 3 } \int\limits_ { \frac { \pi } { 3 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \cos ^3\theta \sin \theta d\theta } =\frac { \pi R^3 } { 3 } -\frac { 16\pi R^3 } { 3 } \cdot \left. { \frac { \cos ^4\theta } { 4 } }\right|_ { \frac { \pi } { 3 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } = $ $ =\frac { \pi R^3 } { 3 } +\frac { \pi R^3 } { 3\cdot 4 } =\frac { 5\pi R^3 } { 12 } . $

В этом примере трудоёмкость вычислений в цилиндрических и сферических координатах примерно одинакова.

Пример 2

$I=\iiint\limits_V { (x+y+z)dxdydz } ;\quad V:\left[{ \begin{array} { l } x=2-y^2-z^2, \\ x^2=y^2+z^2,\;x\geqslant 0. \\ \end{array} }\right.$

Решение:

Параболоид и конус пересекаются в плоскости $x=2-x^2\Rightarrow x=1$ по кругу радиуса 1. Осью симметрии объёма $\mathbf { \textit { V } } $ служит ось $\mathbf { \textit { Ох } } $, поэтому цилиндрические координаты вводим формулами $x=x,\quad y=r\cos \varphi ,\quad z=r\sin \varphi ; \quad I=\iiint\limits_V { (x+y+z)dxdydz } =\iiint\limits_V { (x+r\cos \varphi +r\sin \varphi )rdxdrd\varphi } =\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi \int\limits_0^1 { rdr\int\limits_r^ { 2-r^2 } { (x+r\cos \varphi +r\sin \varphi )dx } } } =$ $ =\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi \int\limits_0^1 { \left. { \frac { x^2 } { 2 } }\right|_r^ { 2-r^2 } rdr } } +\int\limits_0^ { 2\pi } { (\cos \varphi +\sin \varphi )d\varphi \int\limits_0^1 { \left. x \right|_r^ { 2-r^2 } r^2dr } } =\pi \int\limits_0^1 { \left( { 4-5r^2+r^4 }\right)dr } =\frac { 38\pi } { 15 } . $ Применение сферических координат в этом примере нецелесообразно { громоздкое уравнение для параболоида } .

Пример 3

$I=\iiint\limits_V { \sqrt { x^2+y^2+z^2 } dxdydz } ;\quad V:\left[{ x^2+y^2+z^2=z. }\right.$

Решение:

Здесь область интегрирования — шар радиуса 1/2, сдвинутый по оси $\mathbf { \textit { Оz } } $ на 1/2 единицы, подынтегральная функция зависит от выражения $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { z } } ^ { 2 } $, поэтому применим сферические координаты. Уравнение сферы $x^2+y^2+z^2=z\Rightarrow r^2=r\cos \theta \Rightarrow r=\cos \theta \left( { \Rightarrow 0\leqslant \theta \leqslant \pi /2 }\right)$ , поэтому $I=\iiint\limits_V { \sqrt { x^2+y^2+z^2 } dxdydz } =\iiint\limits_V { r\cdot r^2\sin \theta drd\varphi d\theta } =\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi \int\limits_0^ { \pi /2 } { \sin \theta d\theta } \int\limits_0^ { \cos \theta } { r^3dr } } =\frac { 2\pi } { 4 } \int\limits_0^ { \pi /2 } { \left. { r^4 }\right|_0^ { \cos \theta } \sin \theta d\theta } = \\ =\frac { 2\pi } { 4 } \int\limits_0^ { \pi /2 } { \cos ^4\theta \sin \theta d\theta } =-\frac { 2\pi } { 4\cdot 5 } \left. { \cos ^5\theta }\right|_0^ { \pi /2 } =\frac { \pi } { 10 } $.

Пример 4

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью $\left( { x^2+y^2+z^2 }\right)^ { \,2 } =a^3z,\;a=const>0$

Решение:

Здесь тоже для того, чтобы понять, как устроено тело, и найти его объём, надо перейти к сферическим координатам { на это указывает комбинация $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { z } } ^ { 2 } =\mathbf { \textit { r } } ^ { 2 } )$. Уравнение поверхности $\left( { x^2+y^2+z^2 }\right)^ { \,2 } =a^3z\Rightarrow r^4=a^3r\cos \vartheta \Rightarrow r=a\sqrt[3] { \cos \vartheta } \;\left( { \Rightarrow 0\leqslant \theta \leqslant \pi /2 }\right)$. По этому уравнению поверхность построить уже можно; отсутствие координаты $\varphi $ в уравнении показывает, что это — тело вращения вокруг оси $\mathbf { \textit { Oz } } $. Находим объём: $ V=\iiint\limits_V { r^2\sin \theta drd\varphi d\theta } =\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi \int\limits_0^ { \pi /2 } { \sin } } \theta d\theta \int\limits_0^ { a\sqrt[3] { \cos \theta } } { r^2dr } =\frac { 2\pi } { 3 } \int\limits_0^ { \pi /2 } { \left. { r^3 }\right|_0^ { a\sqrt[3] { \cos \theta } } \sin \theta d\theta = } $ $ =\frac { 2\pi a^3 } { 3 } \int\limits_0^ { \pi /2 } { \cos \theta \sin \theta d\theta = } \frac { \pi a^3 } { 3 } . $

Пример 5

Вычислить интеграл $\iiint\limits_U { \left( { { x^4 } + 2 { x^2 } { y^2 } + { y^4 } }\right)dxdydz } ,$ где область (U) ограничена поверхностью ( { x^2 } + { y^2 } \le 1) и плоскостями (z = 0,) (z = 1).

Решение:

Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( { x^2 } + { y^2 } \le 1) или (0 \le \rho \le 1).

Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде $ { \left( { { x^4 } + 2 { x^2 } { y^2 } + { y^4 } }\right) } = { { \left( { { x^2 } + { y^2 } }\right)^2 } } = { { \left( { { \rho ^2 } }\right)^2 } = { \rho ^4 } } $

Тогда интеграл будет равен $I = \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^4 } \rho d\rho } \int\limits_0^1 { dz } .$

Здесь во втором интеграле добавлен множитель (\rho) якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга.

В результате тройной интеграл легко вычисляется: $ { I = \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^4 } \rho d\rho } \int\limits_0^1 { dz } } = { 2\pi \int\limits_0^1 { { \rho ^5 } d\rho } \int\limits_0^1 { dz } } = { 2\pi \cdot 1 \cdot \int\limits_0^1 { { \rho ^5 } d\rho } } = { 2\pi \left. { \left( { \frac { { { \rho ^6 } } } { 6 } }\right) }\right|_0^1 } = { 2\pi \cdot \frac { 1 } { 6 } = \frac { \pi } { 3 } . } $

Пример 6

Вычислить интеграл $\iiint\limits_U { \left( { { x^2 } + { y^2 } }\right)dxdydz } ,$ где область (U) ограничена поверхностями ( { x^2 } + { y^2 } = 3z,) (z = 3)

Решение:

Область интегрирования изображена на рисунке

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: $ { x = \rho \cos \varphi , } \;\; { y = \rho \sin \varphi , } \;\; { z = z. } $ Дифференциал при этом равен $dxdydz = \rho d\rho d\varphi dz\;\;\left( { \rho — \text { якобиан } }\right).$

Уравнение параболической поверхности принимает вид: $ { \rho ^2 } { \cos ^2 } \varphi + { \rho ^2 } { \sin^2 } \varphi = 3z\;\;\text { или } \;\; { \rho ^2 } = 3z.$ Проекция области интегрирования (U) на плоскость (Oxy) представляет собой окружность ( { x^2 } + { y^2 } \le 9) радиусом (\rho = 3).

Координата (\rho) изменяется в пределах от (0) до (3,) угол (\varphi) от (0) до (2\pi) и координата (z) от (\large\frac { { { \rho ^2 } } } { 3 } \normalsize) до (3.)

В результате интеграл будет равен $ { I = \iiint\limits_U { \left( { { x^2 } + { y^2 } }\right)dxdydz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { { \rho ^2 } \cdot \rho d\rho d\varphi dz } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^3 { { \rho ^3 } d\rho } \int\limits_ { \frac { { { \rho ^2 } } } { 3 } } ^3 { dz } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^3 { { \rho ^3 } d\rho } \cdot \left[ { \left. z \right|_ { \frac { { { \rho ^2 } } } { 3 } } ^3 }\right] } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^3 { { \rho ^3 } \left( { 3 — \frac { { { \rho ^2 } } } { 3 } }\right)d\rho } } = \\ = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^3 { \left( { 3 { \rho ^3 } — \frac { { { \rho ^5 } } } { 3 } }\right)d\rho } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \cdot \left[ { \left. { \left( { \frac { { 3 { \rho ^4 } } } { 4 } — \frac { { { \rho ^6 } } } { { 18 } } }\right) }\right|_0^3 }\right] } = { \left( { \frac { { 3 \cdot 81 } } { 4 } — \frac { { 729 } } { { 18 } } }\right)\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } } = { \frac { { 81 } } { 4 } \cdot 2\pi = \frac { { 81\pi } } { 2 } . } $

Пример 7

Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла $ I = \int\limits_ { — 2 } ^2 { dx } \int\limits_ { — \sqrt { 4 — { x^2 } } } ^ { \sqrt { 4 — { x^2 } } } { dy } \int\limits_0^ { 4 — { x^2 } — { y^2 } } { { y^2 } dz } $

Решение:

Область интегрирования (U) изображена на рисунке:

Ее проекция на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( { x^2 } + { y^2 } = { 2^2 } ):

Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах $ { 0 \le \rho \le 2, } \;\; { 0 \le \varphi \le 2\pi , } \;\; { 0 \le z \le 4 — { \rho ^2 } . } $

Подставляя (x = \rho \cos \varphi ) и (x = \rho \sin \varphi,) найдем значение интеграла: $ { I = \int\limits_ { — 2 } ^2 { dx } \int\limits_ { — \sqrt { 4 — { x^2 } } } ^ { \sqrt { 4 — { x^2 } } } { dy } \int\limits_0^ { 4 — { x^2 } — { y^2 } } { { y^2 } dz } } = { \iiint\limits_U { { y^2 } dxdydz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { { { \left( { \rho \sin \varphi }\right) } ^2 } \rho d\rho d\varphi dz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { { \rho ^3 } { { \sin } ^2 } \varphi d\rho d\varphi dz } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { { { \sin } ^2 } \varphi d\varphi } \int\limits_0^2 { { \rho ^3 } \left( { 4 — { \rho ^2 } }\right)d\rho } } = \\ = { \int\limits_0^ { 2\pi } { { { \sin } ^2 } \varphi d\varphi } \int\limits_0^2 { \left( { 4 { \rho ^3 } — { \rho ^5 } }\right)d\rho } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { { { \sin } ^2 } \varphi d\varphi } \cdot \left[ { \left. { \left( { \frac { { 4 { \rho ^4 } } } { 4 } — \frac { { { \rho ^6 } } } { 6 } }\right) }\right|_0^2 }\right] } = { \left( { { 2^4 } — \frac { { { 2^6 } } } { 6 } }\right)\int\limits_0^ { 2\pi } { { { \sin } ^2 } \varphi d\varphi } } = { \frac { { 16 } } { 3 } \int\limits_0^ { 2\pi } { { { \sin } ^2 } \varphi d\varphi } } = { \frac { { 16 } } { 3 } \int\limits_0^ { 2\pi } { \frac { { 1 — \cos 2\varphi } } { 2 } d\varphi } } = \\ = { \frac { 8 } { 3 } \int\limits_0^ { 2\pi } { \left( { 1 — \cos 2\varphi }\right)d\varphi } } = { \frac { 8 } { 3 } \left[ { \left. { \left( { \varphi — \frac { { \sin 2\varphi } } { 2 } }\right) }\right|_0^ { 2\pi } }\right] } = { \frac { 8 } { 3 } \cdot 2\pi = \frac { { 16\pi } } { 3 } . } $

Пример 8

Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты: $\iiint\limits_U { \sqrt { { x^2 } + { y^2 } } dxdydz } .$ Область (U) ограничена параболоидом (z = 4 — { x^2 } — { y^2 } ,) цилиндром ( { x^2 } + { y^2 } = 4) и плоскостями (y = 0,) (z = 0)

Решение:

Изобразив схематически область интегрирования (U,) находим, что ее проекция на плоскость (Oxy) { область (D) } представляет собой полукруг радиусом (\rho = 2).

Перейдем к цилиндрическим координатам, применяя подстановки $ { x = \rho \cos \varphi , } \;\; { y = \rho \sin \varphi , } \;\; { z = z, } \;\; { dxdydz = \rho d\rho d\varphi dz. } $

Новые переменные будут изменяться в пределах $ { 0 \le \rho \le 2, } \;\; { 0 \le \varphi \le \pi , } \;\; { 0 \le z \le 4 — { \rho ^2 } . } $

Теперь вычисляем интеграл: $ { I = \iiint\limits_U { \sqrt { { x^2 } + { y^2 } } dxdydz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { \rho \cdot \rho d\rho d\varphi dz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { { \rho ^2 } d\rho d\varphi dz } } = { \int\limits_0^\pi { d\varphi } \int\limits_0^2 { { \rho ^2 } d\rho } \int\limits_0^ { 4 — { \rho ^2 } } { dz } } = { \int\limits_0^\pi { d\varphi } \int\limits_0^2 { { \rho ^2 } d\rho } \cdot \left[ { \left. z \right|_0^ { 4 — { \rho ^2 } } }\right] } = { \int\limits_0^\pi { d\varphi } \int\limits_0^2 { { \rho ^2 } \left( { 4 — { \rho ^2 } }\right)d\rho } } = \\ = { \int\limits_0^\pi { d\varphi } \int\limits_0^2 { \left( { 4 { \rho ^2 } — { \rho ^4 } }\right)d\rho } } = { \int\limits_0^\pi { d\varphi } \left[ { \left. { \left( { \frac { { 4 { \rho ^3 } } } { 3 } — \frac { { { \rho ^5 } } } { 5 } }\right) }\right|_0^2 }\right] } = { \left( { \frac { 4 } { 3 } \cdot { 2^3 } — \frac { { { 2^5 } } } { 5 } }\right)\int\limits_0^\pi { d\varphi } } = { \frac { { 64 } } { { 15 } } \int\limits_0^\pi { d\varphi } } = { \frac { { 64 } } { { 15 } } \cdot \left[ { \left. \varphi \right|_0^\pi }\right] = \frac { { 64\pi } } { { 15 } } . } $

Пример 9

Найти интеграл $\iiint\limits_U { ydxdydz } ,$ где область (U) ограничена плоскостями (z = x + 1,) (z = 0) и цилиндрическими поверхностями ( { x^2 } + { y^2 } = 1,) ( { x^2 } + { y^2 } = 4)

Решение:

Вычислим данный интеграл в цилиндрических координатах. Из условия $0 \le z \le x + 1$ следует, что $0 \le z \le \rho \cos \varphi + 1.$ Область интегрирования в плоскости (Oxy) представляет собой кольцо, ограниченное окружностями ( { x^2 } + { y^2 } = 1) и ( { x^2 } + { y^2 } = 4)

Следовательно, переменные (\rho) и (\varphi) изменяются в интервале $1 \le \rho \le 2,\;\;0 \le \varphi \le 2\pi .$

Находим интеграл: $ { I = \iiint\limits_U { ydxdydz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { \rho \sin \varphi \cdot \rho d\rho d\varphi dz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { { \rho ^2 } \sin \varphi d\rho d\varphi dz } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \sin \varphi d\varphi } \int\limits_0^2 { { \rho ^2 } d\rho } \int\limits_0^ { \rho \cos \varphi + 1 } { dz } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \sin \varphi d\varphi } \int\limits_0^2 { { \rho ^2 } d\rho } \cdot \left[ { \left. z \right|_0^ { \rho \cos \varphi + 1 } }\right] } = \\ = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \sin \varphi d\varphi } \int\limits_0^2 { { \rho ^2 } \left( { \rho \cos \varphi + 1 }\right)d\rho } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \sin \varphi d\varphi } \int\limits_0^2 { \left( { { \rho ^3 } \cos \varphi + { \rho ^2 } }\right)d\rho } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \sin \varphi d\varphi } \cdot \left[ { \left. { \left( { \frac { { { \rho ^4 } } } { 4 } \cos \varphi + \frac { { { \rho ^3 } } } { 3 } }\right) }\right|_ { \rho = 1 } ^ { \rho = 2 } }\right] } = \\ = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \sin \varphi \left[ { \left( { 4\cos \varphi + \frac { 8 } { 3 } }\right) — \left( { \frac { { \cos \varphi } } { 4 } + \frac { 1 } { 3 } }\right) }\right]d\varphi } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \sin \varphi \left( { \frac { { 15 } } { 4 } \cos \varphi + \frac { 7 } { 3 } }\right)d\varphi } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \left( { \frac { { 15 } } { 4 } \sin \varphi \cos \varphi + \frac { 7 } { 3 } \sin \varphi }\right)d\varphi } } = \\ = { \int\limits_0^ { 2\pi } { \left( { \frac { { 15 } } { 8 } \sin 2\varphi + \frac { 7 } { 3 } \sin \varphi }\right)d\varphi } } = { \left. { \left( { — \frac { { 15 } } { { 16 } } \cos 2\varphi — \frac { 7 } { 3 } \cos \varphi }\right) }\right|_0^ { 2\pi } = 0. } $

Этот результат закономерен, поскольку область (U) симметрична относительно плоскости (Oxz,) а подынтегральная функция является четной.

Пример 10

Найти интеграл (\iiint\limits_U { \sqrt { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } } dxdydz } ,) где область интегрирования (U) шар, заданный уравнением ( { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } } = 25.)

Решение:

Поскольку область (U) представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от $f\left( { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } }\right),$ то перейдем к сферическим координатам.

Сделаем замену: $ { x = \rho \cos \varphi \sin \theta , } \;\; { y = \rho \sin \varphi \sin \theta , } \;\; { z = \rho \cos \theta , } $ Новые переменные изменяются в пределах: $ { 0 \le \rho \le 5, } \;\; { 0 \le \varphi \le 2\pi , } \;\; { 0 \le \theta \le \pi . } $

Учитывая якобиан ( { \rho ^2 } \sin \theta,) записываем интеграл в виде: $ { I = \iiint\limits_U { \sqrt { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } } dxdydz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { \rho \cdot { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^5 { { \rho ^3 } d\rho } \int\limits_0^\pi { \sin \theta d\theta } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^5 { { \rho ^3 } d\rho } \left[ { \left. { \left( { — \cos \theta }\right) }\right|_0^\pi }\right] } = \\ = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^5 { { \rho ^3 } d\rho } \left( { — \cos \pi + \cos 0 }\right) } = { 2\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^5 { { \rho ^3 } d\rho } } = { 2\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \cdot \left[ { \left. { \left( { \frac { { { \rho ^4 } } } { 4 } }\right) }\right|_0^5 }\right] } = \\ = { 2\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \cdot \frac { { { 5^4 } } } { 4 } } = { \frac { { 625 } } { 2 } \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } } = { \frac { { 625 } } { 2 } \cdot 2\pi = 625\pi . } $

Пример 11

Вычислить интеграл $\iiint\limits_U { { e^ { { { \left( { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } }\right) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } dxdydz } ,$ где область (U) представляет собой единичный шар ( { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } } \le 1.)

Решение:

Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования (U) описывается неравенствами $ { 0 \le \rho \le 1, } \;\; { 0 \le \varphi \le 2\pi , } \;\; { 0 \le \theta \le \pi . } $

Записывая интеграл в сферических координатах, получаем $ { I = \iiint\limits_U { { e^ { { { \left( { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } }\right) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } dxdydz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { { e^ { { { \left( { { \rho ^2 } }\right) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } } { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } } = { \iiint\limits_ { U’ } { { e^ { { \rho ^3 } } } { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } } = { \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { e^ { { \rho ^3 } } } { \rho ^2 } d\rho } \int\limits_0^\pi { \sin \theta d\theta } . } $

Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим $ { I = \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { e^ { { \rho ^3 } } } { \rho ^2 } d\rho } \int\limits_0^\pi { \sin \theta d\theta } } = { \left[ { \left. \varphi \right|_0^ { 2\pi } }\right] \cdot \int\limits_0^1 { \left( { { e^ { { \rho ^3 } } } \cdot \frac { 1 } { 3 } d { \rho ^3 } }\right) } \cdot \left[ { \left. { \left( { — \cos \theta }\right) }\right|_0^\pi }\right] } = { 2\pi \cdot \frac { 1 } { 3 } \left[ { \left. { \left( { { e^ { { \rho ^3 } } } }\right) }\right|_ { { \rho ^3 } = 0 } ^ { { \rho ^3 } = 1 } }\right] \cdot \left( { — \cos \pi + \cos 0 }\right) } = { \frac { { 2\pi } } { 3 } \cdot \left( { e — 1 }\right) \cdot 2 } = { \frac { { 4\pi } } { 3 } \left( { e — 1 }\right). } $

Пример 12

Вычислить интеграл (\iiint\limits_U { xyzdxdydz } ,) где область (U) представляет собой часть шара ( { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } \le { R^2 } ,) расположенную в первом октанте (x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0.)

Решение:

Перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену переменных: $ { x = \rho \cos \varphi \sin \theta , } \;\; { y = \rho \sin \varphi \sin \theta , } \;\; { z = \rho \cos \theta , } \;\; { dxdydz = { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta . } $ Новые переменные будут изменяться в пределах: $ { 0 \le \rho \le R, } \;\; { 0 \le \varphi \le \frac { \pi } { 2 } , } \;\;0 { \le \theta \le \frac { \pi } { 2 } . } $ Тогда интеграл в сферических координатах равен $ { I = \iiint\limits_U { xyzdxdydz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { \left[ { \rho \cos \varphi \sin \theta \cdot \rho \sin \varphi \sin \theta \cdot \rho \cos \theta \cdot { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta }\right] } } = { \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \cos \varphi \sin \varphi d\varphi } \int\limits_0^R { { \rho ^5 } d\rho } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \sin } ^3 } \theta \cos \theta d\theta } } = \\ = { \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \left( { \frac { 1 } { 2 } \sin 2\varphi d\varphi }\right) } \int\limits_0^R { { \rho ^5 } d\rho } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \sin } ^3 } \theta \cos \theta d\theta } } = \\ = { \frac { 1 } { 2 } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \sin 2\varphi d\varphi } \int\limits_0^R { { \rho ^5 } d\rho } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { { { \sin } ^3 } \theta d\left( { \sin \theta }\right) } } = { \frac { 1 } { 2 } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \sin 2\varphi d\varphi } \int\limits_0^R { { \rho ^5 } d\rho } \cdot \left[ { \left. { \left( { \frac { { { { \sin } ^4 } \theta } } { 4 } }\right) }\right|_ { \theta = \\ = 0 } ^ { \theta = \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } }\right] } = { \frac { 1 } { 8 } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \sin 2\varphi d\varphi } \int\limits_0^R { { \rho ^5 } d\rho } \cdot \left( { { { \sin } ^4 } \frac { \pi } { 2 } — { { \sin } ^4 } 0 }\right) } = \\ = { \frac { 1 } { 8 } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \sin 2\varphi d\varphi } \int\limits_0^R { { \rho ^5 } d\rho } \cdot 1 } = { \frac { 1 } { 8 } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \sin 2\varphi d\varphi } \cdot \left[ { \left. { \left( { \frac { { { \rho ^6 } } } { 6 } }\right) }\right|_0^R }\right] } = { \frac { { { R^6 } } } { { 48 } } \left[ { \left. { \left( { — \frac { { \cos 2\varphi } } { 2 } }\right) }\right|_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } }\right] } = { \frac { { { R^6 } } } { { 96 } } \left( { — \cos \pi + \cos 0 }\right) } = { \frac { { { R^6 } } } { { 96 } } \cdot 2 } = { \frac { { { R^6 } } } { { 48 } } . } $

Пример 13

Найти тройной интеграл $\iiint\limits_U { \left( { \frac { { { x^2 } } } { { { a^2 } } } + \frac { { { y^2 } } } { { { b^2 } } } + \frac { { { z^2 } } } { { { c^2 } } } }\right)dxdydz } ,$ где область (U) ограничена эллипсоидом $ { \frac { { { x^2 } } } { { { a^2 } } } + \frac { { { y^2 } } } { { { b^2 } } } + \frac { { { z^2 } } } { { { c^2 } } } } = 1.$

Решение:

Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: $ { x = a\rho \cos \varphi \sin \theta , } \;\; { y = b\rho \sin \varphi \sin \theta , } \;\; { z = c\rho \cos \theta . } $ Модуль якобиана данного преобразования равен (\left| I \right| = abc { \rho ^2 } \sin \theta .) Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение $dxdydz = abc { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta .$ В новых координатах интеграл принимает вид: $ { I = \iiint\limits_U { \left( { \frac { { { x^2 } } } { { { a^2 } } } + \frac { { { y^2 } } } { { { b^2 } } } + \frac { { { z^2 } } } { { { c^2 } } } }\right)dxdydz } } = { \iiint\limits_ { U’ } { \left[ { \frac { { { { \left( { a\rho \cos \varphi \sin \theta }\right) } ^2 } } } { { { a^2 } } } + \frac { { { { \left( { b\rho \sin \varphi \sin \theta }\right) } ^2 } } } { { { b^2 } } } + \frac { { { { \left( { c\rho \cos \theta }\right) } ^2 } } } { { { c^2 } } } }\right]abc { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } } = \\ = { \iiint\limits_ { U’ } { \left[ { { \rho ^2 } { { \cos } ^2 } \varphi \, { { \sin } ^2 } \theta + { \rho ^2 } { \sin^2 } \varphi \, { { \sin } ^2 } \theta + { \rho ^2 } { { \cos } ^2 } \theta }\right]abc { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } } = \\ = { \iiint\limits_ { U’ } { \left[ { { \rho ^2 } { { \sin } ^2 } \theta \underbrace { \left( { { { \cos } ^2 } \varphi + { \sin^2 } \varphi }\right) } _1 + { \rho ^2 } { { \cos } ^2 } \theta }\right]abc { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } } = \\ = { \iiint\limits_ { U’ } { { \rho ^2 } \underbrace { \left( { { \sin^2 } \theta + { { \cos } ^2 } \theta }\right) } _1abc { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } } = { abc\iiint\limits_ { U’ } { { \rho ^4 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } . } $

Область интегрирования (U’) в сферических координатах представляет собой параллелепипед и определяется неравенствами $ { 0 \le \rho \le 1, } \;\; { 0 \le \varphi \le 2\pi , } \;\; { 0 \le \theta \le \pi . } $ Тогда тройной интеграл становится равным $ { I = abc\iiint\limits_ { U’ } { { \rho ^4 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta } } = { abc\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^4 } d\rho } \int\limits_0^\pi { \sin \theta d\theta } } = { abc\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^4 } d\rho } \cdot \left[ { \left. { \left( { — \cos \theta }\right) }\right|_0^\pi }\right] } = \\ = { abc\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^4 } d\rho } \cdot \left( { — \cos \pi + \cos 0 }\right) } = { 2abc\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^4 } d\rho } } = { 2abc\int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } \cdot \left[ { \left. { \left( { \frac { { { \rho ^5 } } } { 5 } }\right) }\right|_0^1 }\right] } = \\ = { \frac { { 2abc } } { 5 } \int\limits_0^ { 2\pi } { d\varphi } } = { \frac { { 2abc } } { 5 } \cdot \left[ { \left. \varphi \right|_0^ { 2\pi } }\right] } = { \frac { { 2abc } } { 5 } \cdot 2\pi = \frac { { 4abc\pi } } { 5 } . } $

Пример 14

Вычислить интеграл $\int\limits_0^1 { dx } \int\limits_0^ { \sqrt { 1 — { x^2 } } } { dy } \int\limits_0^ { \sqrt { 1 — { x^2 } — { y^2 } } } { { { \left( { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } }\right) } ^2 } dz } ,$ используя сферические координаты.

Решение:

Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте и, следовательно, ограничена неравенствами $ { 0 \le \rho \le 1, } \;\; { 0 \le \varphi \le \frac { \pi } { 2 } , } \;\; { 0 \le \theta \le \frac { \pi } { 2 } . } $

Учитывая, что подынтегральное выражение равно $ { { \left( { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } }\right)^2 } } = { { \left[ { { { \left( { \rho \cos \varphi \sin \theta }\right) } ^2 } + { { \left( { \rho \sin \varphi \sin \theta }\right) } ^2 } + { { \left( { \rho \cos \theta }\right) } ^2 } }\right]^2 } } = \\ = { { \left[ { { \rho ^2 } { { \cos } ^2 } \varphi \, { { \sin } ^2 } \theta + { \rho ^2 } { \sin^2 } \varphi \, { { \sin } ^2 } \theta + { \rho ^2 } { { \cos } ^2 } \theta }\right]^2 } } = { { \left[ { { \rho ^2 } { { \sin } ^2 } \theta \underbrace { \left( { { { \cos } ^2 } \varphi + { \sin^2 } \varphi }\right) } _1 + { \rho ^2 } { { \cos } ^2 } \theta }\right]^2 } } = { { \left[ { { \rho ^2 } { { \sin } ^2 } \theta + { \rho ^2 } { { \cos } ^2 } \theta }\right]^2 } } = \\ = { { \left[ { { \rho ^2 } \underbrace { \left( { { { \sin } ^2 } \theta + { { \cos } ^2 } \theta }\right) } _1 }\right]^2 } } = { { \rho ^4 } , } $

а дифференциалы связаны соотношениями $dxdydz = { \rho ^2 } \sin \theta d\rho d\varphi d\theta ,$ получаем $ { I = \int\limits_0^1 { dx } \int\limits_0^ { \sqrt { 1 — { x^2 } } } { dy } \int\limits_0^ { \sqrt { 1 — { x^2 } — { y^2 } } } { { { \left( { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } }\right) } ^2 } dz } } = { \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { d\varphi } \int\limits_0^1 { \left( { { \rho ^4 } \cdot { \rho ^2 } d\rho }\right) } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { \sin \theta d\theta } } = \\ = { \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^6 } d\rho } \cdot \left[ { \left. { \left( { — \cos \theta }\right) }\right|_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } }\right] } = \\ = { \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^6 } d\rho } \cdot \left( { — \cos \frac { \pi } { 2 } + \cos 0 }\right) } = { \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { d\varphi } \int\limits_0^1 { { \rho ^6 } d\rho } \cdot 1 } = { \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { d\varphi } \cdot \left[ { \left. { \left( { \frac { { { \rho ^7 } } } { 7 } }\right) }\right|_0^1 }\right] } = \\ = { \frac { 1 } { 7 } \int\limits_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } { d\varphi } } = { \frac { 1 } { 7 } \cdot \left[ { \left. \varphi \right|_0^ { \large\frac { \pi } { 2 } \normalsize } }\right] } = { \frac { 1 } { 7 } \cdot \frac { \pi } { 2 } } = { \frac { \pi } { { 14 } } . } $

3dstroyproekt.ru

Тройной интеграл, вычисление объема тела. Примеры решения задач

Тройной интеграл, вычисление объема тела

Поверхности, ограничивающие область интегрирования, являются плоскостями, а область  является тетраэдром, который определяется системой неравенств
Изобразим область .

Проекцией области  на плоскость  является прямоугольный треугольник,

определяемый системой неравенств

Задача2
С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью . Изобразить данное тело и его проекцию на плоскость.

Решение
Если , то  где V — объём области интегрирования.
Изобразим данное тело и его проекцию на плоскости.

www.matem96.ru

Лекции Тройной интеграл

    Скачать с Depositfiles 

Тройной интеграл.

Контрольные вопросы.

1. Тройной интеграл, его свойства.

2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

4. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

Пусть функция u = f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой области V пространства R₃. Разобьём область V произвольным образом наn элементарных замкнутых областей V₁, … , V_n, имеющих объемы V₁, …, V_n соответственно. Обозначим d – наибольший из диаметров областей V₁, … , V_n. В каждой области V_k выберем произвольную точку P_k (x_k , y_k , z_k) и составим интегральную сумму функции f(x, y, z)

S = 

Определение. Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется предел интегральной суммы , если он существует.

Таким образом,

(1)

Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области V и выбора точек P_k (k=1, …, n). Однако, если существует предел, то он не зависит от способа разбиения области V и выбора точек P_k . Если сравнить определения двойного и тройного интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.

Достаточное условие существования тройного интеграла. Тройной интеграл (13) существует, если функция f(x, y, z) ограничена в V и непрерывна в V, за исключением конечного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в V .

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые тройные интегралы существуют.

Некоторые свойства тройного интеграла.

1) Если С – числовая константа, то

3) Аддитивность по области. Если область V разбита на области V₁ и V₂, то

.

4) Объем тела V равен

(2)

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Пусть D  проекция тела V на плоскость xOy, поверхности z=φ₁(x, y), z=φ₂(x, y) ограничивают тело V снизу и сверху соответственно. Это значит, что

V = {(x, y, z): (x, y)D, φ₁(x, y) ≤ z ≤ φ₂(x, y)} .

Такое тело назовем z-цилиндрическим. Тройной интеграл (1) по z-цилиндрическому телу V вычисляется переходом к повторному интегралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:

(3)

В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z, при этом x, y считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции по области D.

Если V  x-цилиндрическое или y-цилиндрическое тело, то верны соответственно формулы

В первой формуле D  проекция тела V на координатную плоскость yOz, а во второй  на плоскость xOz

Примеры. 1) Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями z = 0, x² + y² = 4, z = x² + y² .

Решение. Вычислим объём при помощи тройного интеграла по формуле (2) 

Перейдем к повторному интегралу по формуле (3).

Пусть D  круг x² + y² ≤ 4, φ₁(x, y) = 0, φ₂(x, y)= x² + y² . Тогда по формуле (3) получим

Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг D преобразуется во множество

D_r ={ (r, φ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }.

2) Тело V ограничено поверхностями z=y, z= –y, x=0 , x=2, y=1. Вычислить 

Плоскости z = y, z = –y ограничивают тело соответственно снизу и сверху, плоскости x=0 , x=2 ограничивают тело соответственно сзади и спереди, а плоскость y=1 ограничивает справа. V – z-цилиндрическое тело, его проекцией D на плоскость хОу является прямоугольник ОАВС. Положим φ₁(x, y) = –y, φ₂(x, y)= y и применим формулу (3):

greleon.ru

ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ρ ≥ 0, ϕ [0,2π] z — любое. Цилиндрические координаты связаны с

x , y, z к цилиндрическим координатамϕ, ρ, z осуществляется по

следующей формуле перехода

∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz=∫∫∫ f(ρ cosϕ, ρsin ϕ, z)ρdρdϕdz,

V V

где dv = ρdρdϕdz — элемент объема в цилиндрических координатах.

Выразим уравнения нижней и верхней частей поверхности S , ограничивающей данную областьV , в цилиндрических координатах —

z = z1(ρ,ϕ) иz = z2 (ρ,ϕ) соответственно и запишем формулу для вычисления интеграла в цилиндрических координатах, аналогичную (2.3)

αρ1 (ϕ)z1 (ρ,ϕ)

Формулу (2.8) удобно использовать, если область V проектируется в круг или часть круга.

Пример 2.3. Вычислить∫∫∫(x2 + y2 )dxdydz по области, ограни-

V

ченной плоскостью z = 2 и параболоидомx2 + y2 = 2z.

Решение. ОбластьV (рис. 2.4) снизу ограничена параболоидомx2 + y2 = 2z , сверху

плоскостью z = 2 . Эта область проектируется на плоскостьxOy в облстьD , ограниченную

studfiles.net

Тройные интегралы. Вычисление объема тела

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать её на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: [email protected]

Мы в социальных сетях

Социальные сети давно стали неотъемлемой частью нашей жизни. Мы узнаем из них новости, общаемся с друзьями, участвуем в интерактивных клубах по интересам

ВКонтакте >

Что такое Myslide.ru?

Myslide.ru — это сайт презентаций, докладов, проектов в формате PowerPoint. Мы помогаем учителям, школьникам, студентам, преподавателям хранить и обмениваться своими учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей >

myslide.ru

Производные простых тригонометрических функций

Для нахождения производной тригонометрической функции нужно пользоваться таблицей производных, а именно производными 6-13.

При нахождении производных простых тригонометрических функций во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

• в выражении функции часто одно из слагаемых представляет собой синус, косинус или другую тригонометрическую функцию не от аргумента функции, а от числа (константы), поэтому производная этого слагаемого равна нулю;
• почти всегда нужно упростить выражение, полученное в результате дифференцирования, а для этого нужно уверенно пользоваться знаниями по действиям с дробями;
• для упрощения выражения почти всегда нужно знать тригонометрические тождества, например, формулу двойного угла и формулу единицы как сумму квадратов синуса и косинуса.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Допустим, с производной косинуса всё понятно, скажут многие, начинающие изучать производные. А как быть с производной синуса двенадцати, делённых на пи? Ответ: считать равной нулю! Здесь синус (функция всё-таки!) — ловушка, потому что аргумент — не переменная икс или любая другая переменная, а просто число. То есть, синус этого числа — тоже число. А производная числа (константы), как мы знаем из таблицы производных, равна нулю. Итак, оставляем только минус синус икса и находим его производную, не забывая про знак:

.

Ответ:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Второе слагаемое — тот же случай, что и первое слагаемое в предыдущем примере. То есть, число, а производная числа равна нулю. Находим производную второго слагаемого как производную частного:

Ответ:

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Это уже другая задача: здесь в первом слагаемом нет ни арксинуса, ни другой тригонометической функции, но есть икс, а значит, это функция от икса. Следовательно, дифференцируем её как слагаемое в сумме функций:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями, а именно — в ликвидации трёхэтажности дроби.

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Здесь буква «фи» играет ту же роль, что «икс» в предыдущих случаях (и в большинстве других, но не во всех) — независимой переменной. Поэтому, когда будем искать производную произведения функций, не будем спешить объявлять равной нулю производную корня от «фи». Итак:

Но на этом решение не заканчивается. Так как в двух скобках собраны подобные члены, от нас ещё требуется преобразовать (упростить) выражение. Поэтому умножаем скобки на вынесенные за них множители, а далее приводим слагаемые к общему знаменателю и выполняем другие элементарные преобразования:

Пример 5. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется знание того факта, что существует такая тригонометрическая функция — секанс — и её формулы через косинус. Дифференцируем:

Пример 6. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется помнить из школьного курса формулу двойного угла. Но сначала дифференцируем:

Далее применяем следующие тригонометрические тождества:

,

(это и есть формула двойного угла)

и получаем:

.

Пример 7. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется всего-то лишь умение сокращать дроби. И внимание — не забыть, что дробь нужно сократить. Это сделано на последнем шаге решения:

В решении применено тригонометрическое тождество:

.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Вычисление производных первого порядка.

Определение: Производной первого порядка функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется предел 

$$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

Основные формулы для вычисления производных.

$c’=0,\quad c=const;$

$(x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1},$      $x\in\mathbb{R}, \alpha\neq 0;$ 

$(a^x)’=a^x\ln a,\quad a>0, a\neq 1, x\in \mathbb{R};$

$(e^x)’=e^x;$

$(\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a}, \quad x>0;$

$(\log_a|x|)’=\frac{1}{x\ln a},\quad x\neq 0;$

$(\ln x)’=\frac{1}{x},\quad x>0;$

$(\sin x)’=\cos x, \quad x\in \mathbb{R};$

$(\cos x)’=-\sin x\quad x\in \mathbb{R};$

$(tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x},$     $x\neq\frac{\pi}{2}(2n+1),\,\, n\in\mathbb{Z};$ 

$(ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x},$  $x\neq\pi n,\,\, n\in\mathbb{Z};$ 

$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad |x|<1;$

$(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad |x|<1;$

$(arctg x)’=\frac{1}{1+x^2},\quad x\in\mathbb{R};$

$(arcctg x)’=-\frac{1}{1+x^2},\quad x\in\mathbb{R};$

Правила вычисления производных.

1) Пусть $f=c_1 f_1+c_2f_2+…+c_nf_n.$ Тогда $f’=c_1f’_1+c_2f’_2+…+c_nf’_n.$

2) Пусть $f=f_1\cdot f_2.$ Тогда $f’=f’_1f_2+f_1f’_2.$

3) Если $f=f_1/f_2,$ то $f’=\frac{f’_1f_2-f’_2f_1}{f_2^2}.$

4) Если функция $y=f(x)$ имеет производную в точке $x_0,$ а функция $z=g(y) $ — в точке $y_0=f(x_0),$ то сложная функция $z=\varphi(x)=g(f(x)),$ также имеет производную в точке $x_0,$ причем $\varphi'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0).$

Примеры.

Найти производную функции $y(x)$

1) ${ y=x^3+x^2+x+1}$

Решение.

$y’=3x^2+2x+1.$

2) ${ y=7x^{13}+13x^{-7}}$

Решение.

$y’=7\cdot 13x^{12}+13({-7})x^{-8}=91x^{12}-91x^{-8}=91(x^{12}-x^{-8}).$

3) ${y=\frac{x^2-5x+6}{x^2+x+7}}$

Решение.

$$y’=\frac{(x^2-5x+6)'(x^2+x+7)-(x^2+x+7)'(x^2-5x+6)}{(x^2+x+7)^2}=$$ $$=\frac{(2x-5)(x^2+x+7)-(2x+1)(x^2-5x+6)}{(x^2+x+7)^2}=$$ $$\frac{2x^3+2x^2+14x-5x^2-5x-35-2x^3+10x^2-12x-x^2+5x-6}{(x^2+x+7)^2}=$$ $$=\frac{6x^2+2x-41}{(x^2+x+7)^2}.$$

 {jumi[*4]}

4) ${y=(x+1)tg x;}$

Решение.

$y’=(x+1)’tg x+(x+1)(tg x)’=tg x+\frac{x+1}{\cos^2 x};$

5) ${ y=(a+bx)^\alpha}$

Решение.

$y’=\alpha(a+bx)^{\alpha-1}(a+bx)’=$ $\alpha(a+bx)^{\alpha-1}b;$

6) ${y=\sqrt[3]{\frac{1-x^3}{1+x^3}}.}$

Решение.

$$y’=\frac{1}{3}\left(\frac{1-x^3}{1+x^3}\right)^{-\frac{2}{3}}\frac{(-3x^2)(1+x^3)-3x^2(1-x^3)}{(1+x^3)^2}$$

7) ${y=\ln\ln(x/2)}$

Решение.

$$y’=\frac{1}{\ln(x/2)}\cdot(\ln(x/2))’=\frac{1}{\ln(x/2)}\cdot\frac{2}{x}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{x\log(x/2)}.$$

8) $y=\ln\frac{x^2+a}{\sqrt{x^4+b^2}}+\frac{a}{b}arctg\frac{x^2}{b}$ 

Решение.

$$y’=\frac{\sqrt{x^4+b^2}}{x^2+a}\cdot\left(\frac{x^2+a}{\sqrt{x^4+b^2}}\right)’+\frac{a}{b}\frac{1}{1+\frac{x^4}{b^2}}\cdot\left(\frac{x^2}{b}\right)’=$$

$$\frac{\sqrt{x^4+b^2}}{x^2+a}\cdot\frac{2x\sqrt{x^4+b^2}-1/2(x^4+b^2)^{-1/2}\cdot4x^3(x^2+a)}{x^4+b^2}+\frac{a}{b}\frac{1}{1+\frac{x^4}{b^2}}\cdot\frac{2x}{b}=$$

$$=\frac{2x(x^4+b^2)-2x^3(x^2+a)+2xa(x^2+a)}{(x^2+a)(x^4+b^2)}=\frac{2x(a^2+b^2)}{(x^2+a)(x^4+b^2)}.$$

9) ${y=x^x}$

Решение.

$y’=(x^x)’=(e^{\ln x^x})’=(e^{x\ln x})’=e^{x\ln x}(x\ln x)’=e^{x\ln x}(\ln x+x\cdot\frac{1}{x})=$ $=x^x(\ln x+1).$

10) ${y=\log_x 7}$

Решение.

$$y’=(\log_x 7)’=\left(\frac{1}{\log_7 x}\right)’=(\log_7^{-1} x)’=-\log_7^{-2}x\cdot\frac{1}{x\ln 7}=$$

$$-\frac{1}{(\frac{\ln x}{\ln 7})^2}\cdot\frac{1}{x\ln 7}=-\frac{1}{x\ln x\cdot\frac{\ln x}{\ln 7}}=-\frac{1}{x\ln x\log_7 x}.$$

Производная функции заданной параметрически.

Пусть функции $x=x(t)$ и $y=y(t)$ определены в некоторой окрестности точки $t_0$ и параметрически задают в окрестности точки $x_0=x(t_0) $ функцию $y=f(x).$ Тогда, если $x(t)$ и $y(t)$ имеют в точке $t_0$ производные и если $\frac{dx(t_0)}{dt}\neq 0,$ то функция $y=f(x)$ в точке $x_0$ также имеет производную, которая может быть задана по формуле 

$\frac{df(x_0)}{dx}=\frac{\frac{dy(t_0)}{dt}}{\frac{dx(t_0)}{dt}},$  $y’_x(x_0)=\frac{y’_t(t_0)}{x’_t(t_0)}.$   

Примеры.

1) ${ x=\sin^2 t,\,\, y=\cos^2 t,\quad t\in(0,\pi/2). }$

Решение.

$x’_t=2\sin t\cdot(\sin t)’=2\sin t\cdot\cos t;$

$y’_t=2\cos t\cdot(\cos t)’=2\cos t\cdot(-\sin t).$

$$y’_x=\frac{2\cos t\cdot(-\sin t)}{2\sin t\cdot\cos t}=-1.$$

2) ${ x=e^{-t}; \,\, y=t^3 \quad t\in (-\infty;\, +\infty) .}$

Решение.

$$y’_x=\frac{3t^2}{-e^{-t}}=-3t^2e^t.$$

3) ${ x=a\cos t;\,\, y=b\sin t,\quad t\in(0,\pi). }$

Решение.

$$y’_x=\frac{b\cos t}{-a\sin t}-\frac{b}{a}ctg t.$$

4) ${ x=(t^3-2t^2+3t-4)e^t,\,\, y=(t^3-2t^2+4t-4)e^t. }$

Решение.

$$y’_x=\frac{(3t^2-4t+4)e^t+e^t(t^3-2t^2+4t-4)}{(3t^2-4t+3)e^t+e^t(t^3-2t^2+3t-4)}=$$ $$\frac{t^3+t^2}{t^3+t^2-t-1}=\frac{t^2(t+1)}{t^2(t+1)-(t+1)}=\frac{t^2}{t^2-1}.$$

5) $x=ctg 2t,\,\, y=\frac{2\cos 2t-1}{2\cos t}\quad t\in (0, \pi/2).$ $x’_y -?$ 

Решение.

$$x’_y=-\frac{2}{\sin^2 2t}\cdot\frac{4\cos^2 t}{-4\sin 2t\cdot2\cos t+2\sin t(2\cos 2t-1))}=$$ $$\frac{-1}{\sin^2 t(-8\sin t\cos^2 t+\sin t(2(1-2\sin^2 t)-1))}=$$

$$\frac{-1}{-8\sin^3 t\cos^2 t-4\sin^5 t+2\sin^3 t-\sin^3 t}=$$
$$\frac{1}{\sin^3 t(8\cos^2 t+4\sin^2t-2+1)}=\frac{1}{\sin^3 t(4\cos^2 t+3)}.$$

Производная функции заданной неявно.

Если дифференцируемая на некотором интервале функция $y=y(x)$ задана неявно уравнением $F(x,y)=0,$ то ее производную $y'(x)$ можно найти из уравнения $\frac{d}{dx}F(x,y)=0.$

 Примеры.

Найти производную функции $y'(x).$

1) ${ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }$

Решение. 
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)=0$$
$$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}y’=0, \Rightarrow\quad y’=-\frac{b^2 x}{a^2 y}.$$

2) ${ y^5+y^3+y-x=0 }$

Решение.
$$\frac{d}{dx}(y^5+y^3+y-x)=0 \Rightarrow 5y^4y’+3y^2y’+y’-1=0\,\,\Rightarrow\,\,$$ $$\Rightarrow y’=\frac{1}{5y^4+3y^2+1}.$$

3) $ y-x=\varepsilon\sin y $

Решение.

$$\frac{d}{dx}(y-x-\varepsilon\sin y)=0\Rightarrow\,\, y’-1-\varepsilon\cos y\cdot y’=0 \Rightarrow y’=\,\frac{1}{1-\varepsilon\cos y}.$$

mathportal.net

таблица производных | математика-повторение

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x⁷+x⁵-x⁴+x³-x²+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

y’=7x⁶+5x⁴-4x³+3x²-2x+1.

2. y=3x⁶-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x⁵-2=18x⁵-2.

Применяем правило I,  формулы 3, 5 и 6 и 1.

 Применяем правило IV, формулы 5 и 1.

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных,  а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные  2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну  формулу.

Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х₀; f (x₀)). Придадим абсциссе х₀ приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х₀+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х₀+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

Δy=f (х₀+Δх) — f (x₀).  Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x², если начальное значение аргумента было равно 4, а новое  —4,01.

Решение.

Новое значение аргумента х=х₀+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х₀+Δх) — f (x₀).  Так как у нас функция y=x²,  то Δу=(х₀+Δx)²— (х₀)²=(х₀)²+2x₀ · Δx+(Δx)²— (х₀)²=2x₀ · Δx+(Δx)²=

=2 · 4 · 0,01+(0,01)²=0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х₀+Δx) -y (х₀)=у(4,01) -у(4)=4,01²-4²=16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х₀, если f ‘(х₀) = 1.

Решение.

Значение производной в точке касания х₀ и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f ‘(х₀) = tgα = 1  → α = 45°,   так как  tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.

3. Вывести формулу производной функции y=xⁿ.

Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же,  как мы вывели формулу производной степени: (xⁿ)’ = nx^n-1.

Вот эти формулы.     

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

www.mathematics-repetition.com

задание практическое — это… Что такое задание практическое?



задание практическое

— содержит упражнения и задачи, кои испытуемый должен выполнить наглядно-действенно — то есть практически манипулируя реальными предметами или заменителями.

Словарь практического психолога. — М.: АСТ, Харвест. С. Ю. Головин. 1998.

• задание открытое
• задание теоретическое

Смотреть что такое «задание практическое» в других словарях:

• Проблемное задание — практическое или теоретичес­кое задание, вызывающее познавательную потребность в новом неизвестном знании, служащем для правильного выполнения действия, приводящего к достижению цели (А.М. Матюшкин) …   Современный образовательный процесс: основные понятия и термины

• ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ЗАДАНИЕ БРИГАДЕ — годовой план работы колхозной постоянной бригады. Годовое П. з. б. имеет большое практическое значение при его помощи правление колхоза осуществляет непосредственное руководство бригадой и мобилизует колхозников на своевременное проведение с. х.… …   Сельскохозяйственный словарь-справочник

• АУДИТОРНОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ — АУДИТОРНОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Организационная форма проведения занятий по практике языка в школе и вузе. Цель А. п. з. определяется либо по виду речевой деятельности (формирование и развитие умений аудирования, говорения, чтения, письма), либо …   Новый словарь методических терминов и понятий (теория и практика обучения языкам)

• Состав и содержание основных функций застройщика, заказчика (технического заказчика), государственного заказчика. Практическое пособие — Терминология Состав и содержание основных функций застройщика, заказчика (технического заказчика), государственного заказчика. Практическое пособие: 3.16 авторский надзор : Контроль лица, осуществившего подготовку проектной документации, за… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Состав и содержание основных функций заказчика. Практическое пособие — Терминология Состав и содержание основных функций заказчика. Практическое пособие: авторский надзор один из видов услуг по надзору автора проекта и других разработчиков проектной документации (физических и юридических лиц) за строительством,… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Состав и содержание основных функций подрядчика по строительству. Практическое пособие — Терминология Состав и содержание основных функций подрядчика по строительству. Практическое пособие: авторский надзор один из видов услуг по надзору автора проекта и других разработчиков проектной документации (физических и юридических лиц) за… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Состав и содержание основных функций подрядчика по проектированию объектов капитального строительства. Практическое пособие — Терминология Состав и содержание основных функций подрядчика по проектированию объектов капитального строительства. Практическое пособие: авторский надзор один из видов услуг по надзору автора проекта и других разработчиков проектной документации …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Исходно-разрешительная документация — комплект документов, оформляющий результаты предпроектной подготовки и являющийся основанием для оформления разрешения на осуществление градостроительной деятельности. Источник: СТО 00043363 01 2008: Реконструкция и модернизация жилищного фонда 3 …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• техническое — 3.1.5 техническое диагностирование (диагностирование): Процесс определения технического состояния объекта технического диагностирования с определенной точностью. Результатом диагностирования является заключение о техническом состоянии объекта… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Учение через обучение — Школьница приводит пример нового лексикона. Учение через обучение (нем. Lernen durch Lehren) методика обучения, разработанная и впервые применённая на практике профессором Айхштеттского универс …   Википедия

Книги

• Сложные переговоры с подчиненными. Практическое пособие для руководителей, Павел Сивожелезов, В данном практическом пособии представлены возможные сценарии проведения переговоров с подчиненными в острых и сложных ситуациях, с которыми руководители встречаются наиболее часто. Книгу… Издатель: Синергия, Подробнее  Купить за 549 руб
• Как заказать сайт. Практическое руководство для непрофессионалов + образец технического задания на создание сайта, А. П. Воронин, Р. Г. Прокди, М. В. Финков, 192 стр. Эта книга предназначена тем, кому нужен сайт и кто хочет заказать его изготовление. С помощью данной книги вы сможете создать грамотное техническое задание наразработку сайта. В… Серия: Компьютерная литература. Самоучитель Издатель: Наука и Техника, Производитель: Наука и Техника, Подробнее  Купить за 137 грн (только Украина)
• Как заказать сайт. Практическое руководство для непрофессионалов (+образец тех. хадания), Воронин А. П., Прокди Р. Г., Финков М. В., Эта книга предназначена тем, кому нужен сайт и кто хочет заказать его изготовление. С помощью данной книги вы сможете создать грамотное техническое задание на разработку сайта. В результате… Серия: Просто о сложном Издатель: Наука и Техника, Подробнее  Купить за 129 руб

Другие книги по запросу «задание практическое» >>

psychology.academic.ru

Практическое задание

1. Ответьте на следующие вопросы:

1). Что такое учебная деятельность? В чем ее особенность?

2). Какова структура учебной деятельности?

3). Охарактеризуйте и поясните примерами из уроков технологии каждый компонент в структуре учебной деятельности

4). Какие этапы формирования умственных действий предлагает П.Я.Гальперин?

5). Что такое ориентировочная основа действий? Какой тип ориентировки используется для формирования обобщенных способов действий? Почему?

2. Выберите из рабочей программы по технологии тему одного из уроков. Определите по выбранной теме урока конкретную учебную задачу практической направленности и разработайте к ней ориентировочную основу действий 3 типа. Примерные варианты учебных задач: 1. Изучить способы закрепления заготовки при выполнении операции «…»; 2. Выполнить разбор чертежа изготавливаемого изделия «….»; 3. Определить необходимые инструменты для изготовления изделия «…»; 4. Изучить способы подготовки заготовки для выполнения операции (приема) «…» и др.).

Список литературы: [ 8, 10, 25, 37, 38, 44, доп. литер.]

Занятие 3

Психолого-физиологические закономерности формирования у учащихся трудовых умений и навыков.

Цель: ознакомиться с основными понятиями и закономерностями формирования у учащихся трудовых умений и навыков

Теоретические сведения

Чтобы учитель мог целенаправленно проектировать методики обучения учащихся трудовым умениям и навыкам на уроках технологии, он должен знать сущность этих понятий, этапы и закономерности формирования.

В психологии умения и навыки определяются как качественные характеристики выполнения действия. Особенностью умений является способность правильно действовать при меняющихся условиях деятельности. Например, умение закрепления заготовок различной формы и размеров, с использованием различных приспособлений.

Навык – автоматизированный компонент деятельности. Действия выполняются как бы механически (без их осмысления). В действительности же даже самый высокосовершенный навык контролируется нашим сознанием. Стоит, например, человеку при ходьбе (ходьба — классический пример навыка, когда человек идет и при этом не задумывается, как нужно переставлять ноги) оступиться как ноги и руки «начнут сами» перемещаться в нужные стороны, чтобы человек не упал.

На уроках технологии при изготовлении учащимися различных изделий, или при выполнении работ другого характера у учащихся формируются специальные трудовые (сенсорные, моторные) и общетрудовые умения (навыки).

Рассмотрим особенности каждой группы умений и навыков.

1. Сенсорные умения и навыки. В них главная роль отводиться органам чувств. Например, опытный слесарь-ремонтник на слух может определить неисправности работающего станка, или плотник со стажем «на глаз» – точность обработки поверхности бруска.

2. Двигательные (моторные) умения и навыки. Они связаны с выполнением рабочих движений, например — балансирование напильником, ручная подача суппорта токарного станка. Часто указанные действия могут выполняться без зрительного контроля.

3. Общетрудовые (умственные) умения и навыки. Их особенностью является выполнение учащимся умственных действий, связанных, например, с осмысливанием цели, результата, порядка выполнения работы, организации ее контроля.

Исходя из процесса труда как единства умственных и физических действий человека Е.А. Милерян выделяет три вида общетрудовых умений: конструктивно-технические, операционно-технологические и операционно-контрольные . Так на первом этапе изготовления изделия, например, нужно понять трудовое задание, прочитать чертеж, представить конструкцию изделия, его размеры, форму и др. Поэтому эти умения определяются как конструктивно-технические. На втором этапе важно продумать план работы, последовательность операций, приемов, действий, движений; подобрать необходимые инструменты и др. (операционно-технологические умения). Умения (навыки) по регулированию и контролю трудовой деятельности учащихся, которые, как правило, используются на заключительном этапе работы, получили название операционно-контрольных. Например, осуществление контроля размеров детали с помощью измерительных инструментов [22 ].

В трудовой деятельности иногда бывает сложно выделить преимущественную роль какой-то одной группы умений (навыков). В этом случае имеет место более широкое образование — сочетание навыков разных групп. В этой связи Ительсон Л.Б. выделяет сенсорно-двигательные, умственно-двигательные и комплексные навыки [ 15 ].

Обучение учащихся трудовым навыкам (умениям) требует рассмотрения закономерностей их формирования. Как уже отмечалось, навык – автоматизированный компонент деятельности Он формируется при выполнении однообразных заданий, многократном повторение одних и тех же приемов, действий, движений. В этом случае действия начинают автоматизироваться.

В основе любого умения лежит знание способов выполнения действий. В постоянно меняющихся условиях производства рабочему часто приходиться осмысливать целесообразность тех или иных действий, их последовательность и т.п. В этом случае, когда полной автоматизации деятельности не происходит, говорят об умениях. Таким образом, особенностью формирования умений является создание в процессе обучения меняющихся условий деятельности: изготовление разных по конструкции деталей, использование различных способов закрепления, обработки заготовок и др.

Из сказанного следует очень важный вывод: осознание учащимися способов выполнения действий, их практическая отработка являются необходимыми условиями для формирования трудовых умений и навыков.

Физиологическую основу умения (навыка) составляет образование динамического стереотипа, т.е. устойчивой системы условных рефлексов. Благодаря этому каждый отдельный рефлекс связывается с другим, исполнение его становится сигналом для запуска следующего рефлекса. Эта связь рефлексов не является мертвой, неподвижной. Она непрерывно контролируется получаемыми результатами, способна изменяться, варьироваться в зависимости от условий (т.е. различных сигналов, определяющих нужный вариант связи). Поэтому и стереотип именуется динамическим.

Указанные выше физиологические изменения имеют и внешние проявления. По ним учитель может судить о динамике процесса формирования умения и навыка (См. таблица 2).

Таблица 2

Общие закономерности формирования трудового умения и навыка

Этапы формирования умения и навыка *	Цель учебной деятельности	Характер проявления умения и навыка	Особенности выполнения действий	Методические указания
1.Предварительный (ознакомительный)	Создание ориентировочной основы действий (предварительного представления о выполняемых действиях)	Осмысление действий	Понимание цели, но смутное представление о способах ее достижения; наличие грубых ошибок при выполнении действий	Активизация умственной деятельности учащихся; направленность вводного инструктажа на понимание цели, содержания и последовательности действий
2. Первичное умение	Усвоение способа выполнения трудового действия, овладение отдельными элементами действия	Сознательное, но не умелое выполнение действия	Понимание способов выполнения действия; неточное и неустойчивое выполнение действия; много лишних движений; очень напряжено внимание; сосредоточенность на своих действиях; слабый контроль за процессом выполнения действия	Выполнение пробных действий; тщательный контроль правильности действий в процессе текущего инструктажа
3. Умение	Усвоение трудового действия в целом	Умелое выполнение действия в соответствии с алгоритмом в учебной ситуации	Повышение качества действия; устранение скованных, излишних движений; перенос внимания на результат; переход от зрительного к мышечному контролю	Вариативность выполнения трудовых действий в процессе практической деятельности
4. Навык	Усвоение навыка для решения типовых задач	Автоматизированное выполнение действия	Точное, быстрое, целесообразное выполнение действий; чувственный и интуитивный контроль за процессом и результатами труда.	Систематичность упражнений, однообразие условий деятельности
5. Совершенствование умения (навыка)	Перенос умения (навыка) в новые условия, для решения нестандартных задач	Выполнение не типичных действий	То же	Выполнение трудовых действий в процессе творческой практической деятельности

*Указанные этапы формирования у учащихся трудовых умений и навыков могут быть использованы учителем технологии в качестве уровней овладения учебными действиями.

Рассмотрим психолого-физиологические факторы, способствующие формированию у учащихся специальных трудовых умений и навыков. Прежде чем практически выпол­нить любое трудовое действие, чело­век осуществляет его мысленно, поэтому и формирова­ние умения начинается с усвоения знаний о способе и последовательности выполнения дей­ствия (рабочая стойка, хватка инструмента, характер рабочих движений, распределение усилий, условия безопасной работы и др.). Из системы указанных знаний создается представление о содержа­нии и способе вы­полнения: трудового действия — так называемый образ действия, ориентируясь на кото­рый учащийся будет выполнять практичес­кие действия. Это придает образу действия одно из решающих значений в формировании умений. От его полноты и точности во многом завис эффективность практического выполнения действия, а, следовательно, и фор­мирование умения. Учитель формирует у учащихся образ действия с помощью методов беседы, объ­яснения и показа.

Практика показывает, что создать полный образ действия не удается потому, что не все подда­ется объяснению и показу. Внутреннюю картину выполнения действия учитель не в состоя­нии ни по­казать, ни объяснить. Например, прикладываемые к рабочему инстру­менту усилия меньше всего удается проиллюстрировать, хотя они и являются важными для правильного выполнения действия. В каждый момент времени, в каж­дой точке траектории движения направление и величина прикладываемых усилий меняются и зависят от усло­вий протекания трудового процесса. Следовательно, образ действия, формирующийся с помощью объяснения и показа, не может быть полным и точным, а поэтому и трудовое действие, также не может быть точ­ным. Этим и объ­ясняется необходимос­ть применения тренажеров, использования учителем метода «кондуктирования», выполнения длительных упражнений по отра­ботке действия.

Усложняют управление движениями рабочих органов и инструмента и такие факторы, как их инертность, сила тяжести, реактивные силы (сила отдачи), сопротивление обраба­тываемого материала и другие факторы. Эти факторы сбивают движение с запланиро­ван­ного пути и поэтому получили название — сбивающих факторов.

Чтобы научиться противодействовать сбивающим факторам, быстро и точно обнаруживать ошибки в трудовых действиях и своевременно исправлять их, необходимо выполнить корре­гирование трудовых действий – сли­чение (сопоставление) процесса или результата действия с замыслом, представленном в виде образа действия. С этой целью учитель определяет для учащихся ведущий параметр слежения. Ведущий параметр слежения должен быть максимально доступным для наблюдения отклонений. Как правило, это пространственные параметры: горизонтальное, вертикальное или под определенным углом направления. Например, демонстрируя прием опиливания плоской поверхности, учитель говорит о необходимости движения напильника в горизонтальной плоскости. При обучении сверлению заготовки учитель обращает внимание учащихся на вертикальное положение сверла. На определенных этапах изготовления изделия факторами слежения, безусловно, являются контролируемые размеры, качество обработанных поверхностей и др.

Существенное отста­вание исправления отклонений от их обнаружения вынуждает прибегать к так называе­мой антиципации, т.е. к опережению исправления отклонений путем заблаговременного противодействия им. С этой целью учитель предупреждает учащихся заблаговременно о возможных ошибках и способах их предупреждения.

Значительное влияние на овладение трудовыми умениями и навыками оказывают ра­нее усво­енные трудовые действия, эти действия могут ускорять или задерживать усвое­ние нового умения и переход его в навык. Положительное влияние приобретенного опыта (усвоенных действий) на овладение новыми умениями принято называть перено­сом, а отрицательное — интерференцией. Перенос возникает, когда в ранее усвоенных действи­ях и тех действиях, которые усваиваются, есть сходные элементы или общие приемы выполнения действий. Усвоив резание металла ножов­кой, учащиеся легче и бы­стрее овладевают опиливанием металла напильником. Объясняется это тем, что рабочая поза, хватка инструмента, возвратно-поступательное движение инструмента при работе ножовкой, входят состав­ными эле­ментами и в операцию «опиливание». Наличие переноса в усвоении трудовых действий вызывает не­обходимость располагать их при организации учебного процесса в такой последова­тель­ности, чтобы усваиваемые действия опирались на ранее приобретенные. Проявление интерференции может иметь место, когда учащихся приходиться переучивать после неправильно сформированных умений, например, наносить плечевые удары, вместо необходимых локтевых или кистевых. Это вызывает дополнительные сложности в работе учителя.

Успех в усвоении трудовых действии в значительной мере зависит от возрастных осо­бенностей учащихся. В подростковом возрасте проис­ходит наиболее интенсивное физиче­ское и психическое развитие школь­ников. Развитие костной системы происходит быстрее мышечной. Отстает и сер­дечно-сосудистая система, что и приводит относительно быст­рому утомлению подростков. Поэтому при интенсивной работе по выполнению трудовых операций необходимо своевременно делать перерывы, проветривать помещение мастерских и др.

Наблюдается также усиление деятельности щитовидной железы, в связи с чем повы­шается воз­будимость и раздражительность. Чтобы уменьшить отрицательное влияние этих особенностей, нудно всемерно стремиться обеспечить хотя бы небольшой успех уча­щихся в деятельности.

Кроме того, в подростковом возрасте проявляется потребность у учащихся в осознании практи­ческих знаний и действий. Возникают вопросы типа «Почему данный трудовой прием или операцию необходимо выполнять именно так как показывает учитель?» Появляется стремление к независимости, самоутверждению. Они нуждаются в обосновании учителем выставляемых отметок и др. Очень важно в этом возрасте обсуждать с учащимися критерии качества выполнения заданий их выставления отметок

studfiles.net

Практическая работа — это вид учебной деятельности и выполнение разноплановых заданий. Цели и задачи практических работ

В статье поговорим о задачах практической работы, а также что это за вид деятельности, какую он эффективность имеет при работе с детьми и студентами. Рассмотрим ключевые идеи ведущих преподавателей, которые считают практические работы важным составным элементом качественного обучения.

Основная цель обучения

На сегодняшний день требования законодательства таковы, что ученик или студент должен на выходе из учебного заведения получить максимальные практические знания, которые он легко сможет применить на практике. Уже давно на первом месте не стоит теория, которая мало применима в деле. Гораздо важнее то, как человек умеет обращаться с информацией, как может ее применять и анализировать. Современный человек должен быть мобильным для того, чтобы быстро получать новые знания, подстраивать их под уже имеющуюся картину мира и выбирать наиболее рациональные способы решения той или иной проблемы.

Зачем практика?

Дело в том, что практическая работа — это отличное оттачивание навыков, которое позволяет закрепить все полученные теоретические знания. Мобильность, о которой говорилось выше, может быть достигнута путем того, что ребенок или студент сам справляется с рядом задач, находя решение, анализируя и делая выводы.

Подвидом практического занятия является занятие лабораторное. Это такая форма обучения, когда ученики под руководством преподавателя выполняют определенные работы. Основная их цель в том, чтобы можно было на практике закрепить теорию. Например, практическая работа по химии будет заключаться в том, что необходимо смешать определенные элементы, добиться химической реакции или, наоборот, показать ее отсутствие. То есть все, что дети усвоили из учебника, они увидят своими глазами, и результаты этих знаний закрепятся.

Что включает в себя понятие?

Практическое задание подразумевает под собой несколько видов работы. Чаще всего это лабораторные занятия, конкретные упражнения и различные семинары. Большую роль также играют аудиторные занятия, которые необходимы детям для выработки навыков взаимной работы.

Если практические занятия проводятся систематически, то они позволяют закреплять полученные знания. Наилучший график таков, чтобы после 2-3 лекционных занятий следовала практика. Именно такого способа обучения придерживаются высшие учебные заведения. Все это позволяет логически усваивать материал и правильно его интерпретировать. Но при этом если лекция дает более обобщенную информацию, которую довольно трудно усвоить, то практика все это подтверждает визуально, что позволяет понять саму суть сложной информации. Кроме того, ученики понимают, что им не поможет зубрежка материала, а необходимо будет доказать свой уровень знаний на практике.

Какие преимущества?

Итак, теперь совершенно понятно, что практическая работа – это отличный способ развития у детей и студентов навыков самостоятельности и независимой работы. Но помимо этого есть еще некоторые преимущества. Лабораторные и практические работы позволяют научиться мыслить критически, делать собственные выводы, не опираясь на мнение учителя или своего коллеги. Это говорит о том, что ученик пытается мыслить независимо от авторитетов, которые его окружают. Это очень полезный навык, которым владеют даже не все взрослые люди.

Кроме того, работа подобного типа позволяет детям научиться управляться с разными приборами и аппаратурой. Это очень важно для тех, кто захочет связать свою профессиональную деятельность с выбранной сферой. Они будут иметь четкое представление о том, что их ждет и как будет строиться работа. Глобальное преимущество практических работ заключается в том, что ученики и студенты получают новый опыт, который могут использовать при решении задач в будущем и сопоставлять результаты.

Содержание работ

Практические работы по информатике, как и по любой другой дисциплине, определяются своим содержанием.

А вот некоторые цели, которые преследует такая методология работы:

• Наблюдение за процессами и одновременное их изучение.
• Поиск логических связей и взаимозависимостей.
• Нахождение ключевых характеристик.
• Проведение расчетов и их экспериментальное подтверждение.
• Получение в ходе экспериментов новых веществ и материалов, а также их исследование.
• Изучение ключевых свойств исследуемого объекта или процесса.
• Установление свойств, характеристик и зависимостей.

Определение и цель

Итак, практическая работа – это такая форма обучения, которая предполагает непосредственное участие ученика в исследовании того или иного объекта. Цель заключается в том, чтобы сформировать у студентов или учеников практические навыки.

Так, практическая работа по химии научит студентов не бояться работать с реактивами и химическими веществами. При этом она заставляет их быть осторожными и аккуратными. Тщательно думать над тем, что и с чем они смешивают и какие последствия у этого могут быть. Это очень ценный навык, который объяснить на словах и донести до ребенка довольно трудно.

Методы

Практическая работа для 7 класса предполагает, что ребенок должен осознать всю ответственность, которая лежит на нем в ходе выполнения экспериментов. Для привития студенту этих навыков используются разные методы практического обучения. Наиболее широкое распространение приобрели анализ, деловые игры и ситуационные задачи.

Это методы, которые задействуют не только интеллектуальные способности человека, но также заставляют его смотреть на ситуацию с разных точек зрения, примерять на себя разные роли и правильно строить логические выводы.

Структура

Практическая работа для 8 класса предполагает четкую структуру, которая есть у практических занятий на любом этапе обучения. Но чем старше становится ученик, тем более сложной и разнонаправленной становится структура урока. Рассмотрим основные элементы:

• Озвучивание темы и цели урока.
• Проверка учителем теоретической базы, которая необходима для нормальной работы учеников с оборудованием и для проведения экспериментов.
• Составление схемы и последовательности действий.
• По необходимости проведение полного инструктажа по выполнению работы.
• Техника безопасности.
• Информирование учеников о способах фиксирования новой информации.
• Проведение эксперимента.
• Оформление, систематизация и анализ полученных результатов.
• Итоги урока.

Отметим, что эффективность практических работ зависит не только от учеников, но во многом и от преподавателя. От того, насколько точно он изложит цели работы, насколько доступным и простым языком объяснит смысл всех действий и сможет заинтересовать учащихся.

Карты-инструкции

Практическая работа по географии, как и занятия по другому предмету, предполагает определенный инструктаж, который чаще всего представляется в виде карты. Она состоит из следующих элементов:

• Тема.
• Цель.
• Оборудование и инструменты.
• Ключевые вопросы.
• Суть работы.
• Методические рекомендации.

Ценность таких карт в том, что они позволяют студентам работать самостоятельно, но опираться на определенную схему.

Практическая работа в 9 классе подразумевает, что ученик уже достаточно взрослый для того, чтобы догнать пропущенный материал, если он по какой-либо причине отсутствовал на уроке. Именно благодаря подобным инструкциям ученик сможет легко сориентироваться в теме и провести необходимые эксперименты, опираясь на карту инструкций.

Педагогическое руководство

Практическая работа – это взаимодействие ученика и учителя в таких ролях, чтобы ученик максимально себя проявил. Руководство педагога при выполнении практических работ очень важно, так как оно позволяет студенту сориентироваться, почувствовать ответственность и приступить к работе. От педагога в первую очередь требуется четкое и понятное изложение сути работы, а также качественно проведенный инструктаж. Все это позволяет студентам не бояться действовать самостоятельно, а понять смысл работы и четко осмыслить последовательность всех действий. При этом они должны чувствовать, что в любой непонятной ситуации педагог придет на помощь и сориентирует их в том или ином сложном вопросе.

При этом сам преподаватель тоже должен четко исследовать последовательность действий при проведении практических занятий. Например, практическая работа 10 класса предполагает много самостоятельных экспериментов, которые требуют от ученика максимальной сосредоточенности, так как неправильная последовательность действий может привести к неожиданному результату. Именно поэтому педагог обязан четко проверить подготовленность учеников к самостоятельной работе. Он должен убедиться в том, что они обладают достаточной теоретической и практической базой знаний, иначе в следующий раз студенты будут опасаться самостоятельной работы, и эффективность снизится. Также необходимо воспитать в учениках чувство самоконтроля, чтобы они понимали, что результаты зависят от них, и действовали осознанно и последовательно.

Личностный подход

Практическая работа – это взаимодействие, которое происходит на личностном уровне. Когда преподаватель объясняет что-то всему классу или группе, то он общается сразу со всеми, но когда он подходит к конкретному человеку, то между ними устанавливается личностный контакт. Очень важно, чтобы педагог умел находить общий язык с разными учениками и каждому доносил информацию с различных точек зрения. При этом надо учитывать, что каждый студент имеет свою скорость усвоения и переработки информации. Это не должно злить или выводить из себя учителя, так как он как профессионал должен понимать, что это вполне нормально и у всех разные интеллектуальные способности. Сложность заключается в том, чтобы совершенно разным детям качественно донести одну и ту же информацию.

Оценка

Очень часто современные студенты пользуются ГДЗ. Практическая работа в таком случае выполняется идеально, потому что она копируется с готовых источников. Именно поэтому преподаватель должен всегда добавлять некий уникальный элемент в практическую работу, который будет индикатором того, сам человек делал работу или нет. Опытные преподаватели всегда знают, когда работа была просто переписана откуда-то. Часто такие задания приносят ученики, которые не блещут знаниями, тем не менее их работы идеальны.

Профессиональный педагог всегда внедряет одно или два творческих задания, которые придуманы им же, либо делает проверочный тест, которого нет в самой работе. Это покажет студенту, что ему придется разобраться в теме, и исключительно хорошую оценку он может получить только в том случае, если задействует все свои знания.

Критерии

Существует три основных критерия оценки. Это наличие основных показателей, правильность выполнения работы и аккуратность. После выставления оценок по всем трем критериям выводится итог. Самым важным критерием считается правильность выполнения работы. Другими словами, человек может не очень аккуратно вести тетрадь или забыть написать один показатель, но если он все рассчитал правильно, логически изложил свои мысли, то он заслуживает хорошей оценки. Но не стоит в таком случае ставить ему наивысший бал, чтобы он понимал свои недочеты и знал, к чему стремиться.

Подводя итоги статьи, стоит отметить, что практические занятия – это отличный способ взаимодействия студентов друг с другом и преподавателем. Педагог, который умело использует такой метод работы, всегда добивается поставленных результатов и выводит учеников на новый уровень. Очень важно понимать, что 80% успеха зависит именно от педагога. То, как он преподносит информацию, как умеет заинтересовать своим материалом, как находит личный контакт с каждым – все это влияет на конечный результат. Именно поэтому стоит больше внимания уделять выбору преподавателей, а также оценке их уровня квалификации.

fb.ru

Практическое задание 8 Пример таблицы

1. Создайте новый документ и используя функцию Автотекст введите данные о себе (Факультет, № группы, фамилия) и текущую дату.

2. Используя навыки, полученные при выполнении предыдущего задания, и теоретический материал, создайте таблицу следующего вида:

№ п/п	Ф.И.О. студента	№ зач. кн.	1 семестр										2 семестр
			зачеты					Экзамены					Зачеты					Экзамены
			1	2	3	4	5	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5

2. Сохраните полученную таблицу под именем Задание 8.

3. Закройте текстовый процессор MS Word.

Занятие 5. Сборка и оформление документа

1. Сборка документа

1.1. Понятие составного документа

Текстовый процессор MS Word позволяет вставлять в редактируемый документ тексты и рисунки, хранящиеся в отдельных файлах. Причем эти файлы могут быть созданы в других программных средах и иметь иной тип данных. Например, в текст можно включить растровый рисунок (типа .bmp), созданный в графическом редакторе Paint, а также таблицы, графики, диаграммы из документа, созданного в среде Excel, и прочее. В результате получается интегрированный (составной) документ, в котором связанные между собой фрагменты имеют разные типы и создавались в разных приложениях или программах. Составной документ можно хранить, печатать и производить с ним любые другие действия, как с обычным документом, содержащим однотипные данные.

1.2. Вставка текстовых документов и рисунков

Вставляемые в документ фрагменты могут быть внедрены «как есть». В этом случае редактирование фрагмента будет выполняться в текущем документе.

При редактировании больших документов или при включении файла в текущий документ многократно удобно устанавливать связь с файлами-источниками. Тогда для внесения корректив в эти фрагменты следует изменить содержание файла-источника, а содержание основного документа обновится автоматически.

Для добавления текстового файла в редактируемый документ необходимо установить курсор в позицию вставки и выполнить команду меню Вставка|Файл. В окне Вставка файла (рис. 22) в списке Тип файлов: следует указать тип вставляемого файла или найти сам вставляемый файл в списке папок и файлов.

Рис. 22. Диалоговое окно Вставка файла

Для того, чтобы редактировать вставляемый фрагмент в файле источнике, а не в основном документе, требуется выбрать из списка на кнопке Вставить пункт Вставить как ссылку. По окончании выполнения всех операций нужно щелкнуть на кнопке ОК.

Вставка графических файлов осуществляется командой Вставка|Рисунок|Из файла (рис. 23). В диалоговом окне Добавить рисунок следует выбрать из списка на кнопке Вставка пункт Вставка.

Рис.23. Диалоговое окно Добавить рисунок

В состав MS Office XP входит большая коллекция различных графических изображений, картинок, звуковых и видеоклипов. Если доступ к этой коллекции возможен, то для импорта изображения следует выполнить команду меню Вставка|Рисунок|Картинки и в области задач Вставка картинки выбрать пункт Коллекция картинок. В открывшемся диалоговом окне Коллекция картинок (рис. 24) на левой панели нужно выбрать коллекцию, а на правой панели выделить рисунок, открыть список и в открывшемся меню выбрать команду Копировать (в буфер обмена).

Рис.24. Диалоговое окно Коллекция картинок

Из буфера обмена рисунок можно вставить в позицию курсора командой Вставить. Вставленный рисунок можно поместить поверх текста, внутри него или под ним. Для этого, в контекстном меню, вызванном в поле рисунка, следует открыть окно Формат рисунка, выбрать вкладку Положение и отметить нужное положение изображения.

Чтобы вставить в один документ фрагмент из другого документа можно воспользоваться операциями перетаскивания (специального перетаскивания) или копирования (перемещения) через буфер обмена.

Копирование (перемещение) методом специального перетаскивания производится следующим образом:

1. Откройте окна приложений приемника и источника данных, расположите их рядом, отрегулировав размеры.

2. Выделите нужный объект в окне источника и при нажатой правой кнопке мыши перетащите объект в место назначения. Отпустите кнопку мыши и выберите в появившемся окне нужную операцию (Переместить или Копировать).

Копирование (перемещение) через буфер обмена выполняется так:

1. Откройте (активизируйте) окно документа-источника, выделите нужный фрагмент и щелкните на нем правой кнопкой мыши;

2. В появившемся контекстном меню выберите команду (Вырезать или Копировать), т.е. переместите выделенный фрагмент в буфер обмена.

3. Откройте (активизируйте) окно документа-приемника, установите курсор в место вставки и выберите в контекстном меню команду Вставить.

studfiles.net

Практическое задание. Самое главное в PR

Практическое задание

Компьютерная корпорация Prism, производитель персональных компьютеров, разработала новую модель лазерного принтера, который дешевле и эффективнее аналогичной продукции их конкурентов. Несмотря на то что были созданы модели-прототипы, реальное производство было отложено на три месяца вследствие производственных проблем.

Несмотря на все эти трудности, высшее руководство корпорации полагает, что исходя из рыночной конъюнктуры было бы крайне полезно объявить, что новая модель принтера доступна уже сейчас. Следовательно, в задачу, которая ставится перед вами, входит создание и распространение пресс-релиза, посвященного новому виду продукции, в котором содержалось бы описание технических достоинств нового принтера.

Вас просят не упоминать в пресс-релизе о том, что продукт не сможет поступить в продажу в течение ближайших трех месяцев. Что вы станете делать в этой ситуации? Нарушает ли эта ситуация профессиональную этику? Если да, то почему? Если нет, то почему?

Вопросы для повторения и обсуждения

1. Вопросы этики являются ключевыми вопросами в практике специалиста по связям с общественностью. Что при этом подразумевается под этикой и каким образом два специалиста могут прийти к различным точкам зрения по вопросам этических стандартов своей профессии?

2. Что, по вашему мнению, составляет принципиальные положения кодексов этики PRSA и IABC? Каким образом положения этих кодексов служат интересам: (1) членов данных организаций; (2) обществу? Можете ли вы найти какие-либо пробелы в этих документах, могущие помешать их эффективному дисциплинарному воздействию?

3. Какие основные проблемы имеются в деле практической реализации положений данных кодексов?

4. Что говорит Кодекс PRSA о подарках и организации представительских поездок для работников СМИ? Можно ли покупать выпивку и оплачивать обед в ресторане для газетного журналиста?

5. При каких обстоятельствах специалист по связям с общественностью может: (1) критиковать своих коллег или же (2) не критиковать своих коллег?

6. Каких четырех правил должен придерживаться специалист по связям с общественностью для выполнения своей работы на высоком профессиональном уровне?

7. Должны ли руководители телевизионных программ новостей указывать источники своих видеорелизов, которые они использовали для создания своих программ? Почему?

8. Следует ли ввести лицензирование специалистов по связям с общественностью? Какие доводы можно привести за и против этой практики?

9. Главной целью кодекса PRSA является поддержание профессиональной дисциплины или профессиональное образование?

10. Как вы считаете, должен ли член PRSA принимать на себя ответственность за нарушения этики своим подчиненным, специалистом по связям с общественностью, не являющимся членом PRSA?

11. Является ли использование «групп прикрытия» неэтичным?

12. Какая часть Кодекса PRSA была (если была) нарушена фирмой Hill and Knowlton при подписании контракта о работе на католический епископат по вопросу организации кампании против абортов?

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

econ.wikireading.ru

Практическое задание.

Возвращаемся к практической части – борьбе со страхами. Мы уже составили список – «рейтинг» наших страхов, что называется, от мала до велика. Но теперь нам известно, что любой невротический страх – это просто привычка, и потому важен даже не страх, а то, чем мы его подкрепляем. Подкрепляются же наши страхи фактом бегства, попытками избежать того, что, нам кажется, произойдет, т. е. мы стараемся спрятаться, предохранить себя от возможных неприятностей, которыми пугает нас наше воображение.

Естественно, что третьим этапом практической работы по борьбе со страхами становится выявление тех способов, которыми мы себя защищаем от возможных, как нам кажется, «напастей». Иными словами, мы должны прояснить то, что можно было бы назвать «путями отступления», «траекториями бегства», «планами побега», которые мы «разрабатываем». Есть страх, а есть то, что мы предпринимаем, дабы с грезящейся нам «угрозой» не встретиться. И сам факт этих попыток закрепляет и тренирует нашу привычку бояться.

Любой рефлекс, если его не подкреплять, угасает, a потому, чтобы справиться с рефлексом нашего страха, нужно выявить все способы, которые мы используем, желая «обезопасить» себя.

Третий этап практической работы.

Мы с вами уговорились, что вы составите список своих страхов. Надеюсь, он составлен и ранжирован от меньшего к большему. Теперь добавляем к двум имеющимся у нас колонкам таблицы (второй этап практической работы) третью: «Планы побега». Заполнение этой колонки – дело непростое, но если вы будете внимательны и станете фиксировать свои «планы отступления» во время их разработки, то проблем не возникнет.

Большинство людей упускают благоприятную возможность потому, что она одета в рабочий халат и похожа на работу.

Томас Алва Эдисон

Пример выполнения третьего этапа практической работы по борьбе со страхами:

№ – Страх – «Планы побега»

1 – Страх случайности – стать жертвой давки – Подумал, что не нужно туда идти, что можно подождать, пока все пройдут, или поехать наземным транспортом. Если бы не боялся опоздать, то так бы и сделал.

2 – Страх заболеть тяжелой болезнью – Подумал, что нужно одеться теплее. Но мои теплые вещи некрасивые, я выгляжу в них нелепо и старомодно, поэтому отказался от этой затеи и потом всю дорогу переживал.

3 – Боюсь оказаться несостоятельным в сексуальном плане – Решил, что не буду проявлять инициативы. Если девушка сама покажет, что хочет, тогда, наверное, решусь. Подумал, что нужно на всякий случай купить «Виагру».

4 – Устыдился своей фантазии – Почувствовал себя дискомфортно, появилась краснота, которую не знал, как скрыть. Пошел в туалет, намочил лицо холодной водой, надеясь, что оно побелеет. Думал, нет ли такой таблетки, которая может снижать красноту лица.

5 – Страх выглядеть неисполнительным – Подскочил в постели, стал быстро собираться. Переживал, что опоздаю, нервничал. Не стал бриться, чтобы сэкономить время. По дороге вспомнил, что в спешке забыл дома некоторые бумаги к отчету, но не стал возвращаться.

6 – Страх, что растеряюсь, не справлюсь со своим волнением во время доклада перед руководством – Когда вызвали к начальству, растерялся и хотел сказаться больным, чтобы уйти с работы под этим предлогом. Но начальник отдела застал меня в коридоре и сказал, что представит мой отчет сам. Я не смог сказать ему, что забыл часть бумаг дома, и очень переживал, что он будет на меня кричать. Долго придумывал потом, как объяснить их отсутствие, но объяснений не понадобилось – он не спросил.

После того как вы заполните графу «Планы побега», у вас будет полный перечень тех положительных подкреплений, которые, собственно, и делают ваши страхи. И бороться со страхами, не устранив эти мысли, невозможно, поэтому четко уясните для себя, где вы сами себя предаете, ища «спасения», вместо того чтобы искать свободу от своего страха. Мы вернемся к обсуждению положительных подкреплений страха в пятой главе.

studfiles.net

Практическое задание Определение способности разделять внимание

Практическое задание Определение способности разделять внимание

Подготовка. Выберите время, когда вы находитесь дома одни и никуда не спешите. Включите спокойную музыку (можно классическую, например: Моцарт, Вивальди, Бах). Настройте уровень громкости звука так, чтобы музыка звучала тихо. Возьмите часы с секундной стрелкой или секундомер и сядьте в удобную позу.

Следите за передвижением секундной стрелки. Направьте часть внимания на музыку. Старайтесь при этом осознавать себя – «я есть», «я существую», и не позволяйте приходящим мыслям отвлекать ваше внимание от наблюдения за стрелкой, прослушивания музыки и отслеживания положения тела и телесных ощущений. Делайте это настолько долго, насколько возможно. Если вы заметили, что поток мыслей отвлек вас и вы пропустили какой-то отрывок музыки, перестали наблюдать за секундной стрелкой или же поняли, что не осознавали свое тело, то завершите упражнение и определите, сколько времени вы смогли помнить себя.

Повторите упражнение второй раз.

Повторите упражнение в третий раз.

Полученный результат показывает вашу природную способность быть внимательным и помнить себя во времени. По истечении трех месяцев снова выполните задание и сравните результаты.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

psy.wikireading.ru

Умножение вектора на число [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ .

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами.

Свойства. Для любых чисел k, l и любых векторов $\overrightarrow{a}\,, \overrightarrow{b}$ справедливы следующие равенства:

1. $(kl)\overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a})$ {сочетательный закон).

2. $(k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}$ {первыйраспределительный закон).

3. $k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$ {второй распределительный закон).

Рисунок 1 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3.

Рис.1

Рисунок 2 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 3, l = 2.

Рис.2

Примечание. Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение $$ \overrightarrow{р} = 2(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) — 3(\overrightarrow{b} — \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) $$ можно преобразовать так: $$ \overrightarrow{р} = 2\overrightarrow{a} — 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} — 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} — 3\overrightarrow{a} = — 5\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} $$

---

---

Пример 1. Коллинеарны ли векторы $2\overrightarrow{a} \,и\, -\overrightarrow{a}$ ?

Решение. Имеем $2\overrightarrow{a} = -2(-\overrightarrow{a})$ . Значит, данные векторы коллинеарны.

---

Пример 2. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{АС}$ следующие векторы: $а)\, \overrightarrow{ВА}\text{ ; б) }\overrightarrow{СВ}\text{ ; в) }\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА}$ .

Решение

а) Векторы $\overrightarrow{ВА} \,и\, \overrightarrow{АВ}$ — противоположные, поэтому $\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{АВ}\text{ , или }\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{a}$ .

б) По правилу треугольника $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{СА} + \overrightarrow{АВ}$ . Но $\overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС}$ , поэтому $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{АВ} + (-\overrightarrow{АС}) = \overrightarrow{АВ} -\overrightarrow{АС} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ .

в) $\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС} = -\overrightarrow{b}$.

---

---

www.wiki.eduvdom.com

Лекция по математике на тему «Умножение вектора на число»

Лекция по теме «Умножение вектора на число»

Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна модуль |k| умноженный на модуль |а|, причем векторы а и b сонаправлены, если k положительно и противоположно направлены, если k отрицательно.

Произведение вектора а на число k обозначается так: ka.

Текст

Умножение вектора на число

Рисунок векторов

Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Текст

Умножение вектора на число

││k для любого k.

Рассмотрим основные свойства умножения вектора на число. Для любых векторов а,b и любых чисел k и l справедливы равенства:

Первое. Произведение k и l, умноженное на вектор а, равно произведению k на вектор lа. Это свойство известно как сочетательный закон. На рисунке, на примере показано это свойство.

Текст

Свойства умножения вектора на число

1. Сочетательный закон

Рисунок векторов

Текст

Второе свойство, первый распределительный закон. Произведение числа k на сумму векторов а и b равно сумме произведений этого числа на векторы а и b.

На рисунке, на примере показано это свойство.

Текст

Свойства умножения вектора на число

2. Первый распределительный закон

Рисунок векторов

Текст

Третье свойство, второй распределительный закон. Произведение суммы чисел k и l на вектор равно сумме произведений чисел k и l на вектор а.

На рисунке, на примере показано это свойство.

Текст

Свойства умножения вектора на число

3. Второй распределительный закон

Рисунок векторов

Текст

Стоит отметить, что произведение числа -1 на любой вектор дает вектор противоположный данному.

Согласно определению произведения вектора на число, их длины равны, а направления противоположны. При условии, что вектор а ненулевой.

Текст

(-1), так как

и

Для векторов в пространстве, как и в планиметрии, выполняется следующее условие:

Если векторы a и b коллинеарны (то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и вектор а ненулевой, то существует число k такое что вектор b равен произведению числа k на вектор а.

Текст

Если ││ , то существует

число k, что

Решим задачу №347 (а)

Необходимо упростить выражение.

Текст

Задача №347(а)

Упростить выражение:

Решение. Первый распределительный закон позволяет нам раскрыть скобки. А переместительное свойство сложения векторов – привести подобные.

Текст

Задача №347(а)

Решение:

.

infourok.ru

Умножение — вектор — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3

Умножение — вектор

Cтраница 3

При умножении вектора на число А, все его координаты умножаются на это число.  [31]

При умножении вектора А на У положительный скаляр k получаем новый вектор & А, направление которого совпадает с направлением вектора А, а числовое значение отличается в k раз.  [32]

При умножении вектора А на отрицательный скаляр k получаем новый вектор & А, направление которого противоположно вектору А, а числовое значение отличается в k раз.  [33]

При умножении вектора на положительное число получается вектор с тем же направлением, но с другим модулем; при умножении вектора на отрицательное число направление его изменится па противоположной; модуль вектора также изменится.  [35]

При умножении векторов различают два случая: 1) Если перемножаемые векторы параллельны между собою, то умножение их производите. В этом случае величина произведения не зависит от порядка множителей. Если перемножаемые векторы О А и ОВ взаимно перпендикулярны ( черт.  [36]

При умножении вектора А на положительный скаляр k получаем новый вектор k, направление которого совпадает с направлением вектора А, а числовое значение отличается в k раз.  [37]

При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число.  [38]

При умножении вектора на скалярную положительную величину получается вектор с тем же направлением, но с другим модулем; при умножении вектора на отрицательную скалярную величину направление его изменится на противоположное.  [40]

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.  [41]

При умножении векторов модули их перемножаются, а аргументы складываются.  [42]

При умножении векторов различают скалярное и векторное произведения.  [44]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (ОПРЕДЕЛЕНИЕ). — КиберПедия

Стр 1 из 5Следующая ⇒ БИЛЕТ № 1. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).   Произведением вектора (а1, а2) на число К называется вектор (kа1, kа2), т. е. (а1, а2) k = { ka1; kа2). По определению (а1, а2) k = k(а1, а2). Из определения операции умножения вектора на число следует, что Абсолютная величина вектора равна |. Направление вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если . Абсолютная величина вектора равна:   ПРИЗНАК ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО). Теорема: Если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.   Дано: АВСD-четырехугольник. АС∩BD=т.О АО=ОС,DО=ОВ Док-ть: АВСD-параллелограмм Доказательство   БИЛЕТ№2. СВОЙСТВА ДИАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. Теорема: Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам   Дано: АВСD-параллелограмм Док-ть АС∩BD=т.О АО=ОС,DО=ОВ Доказательство   БИЛЕТ №3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС. Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Определение Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F. Формулы параллельного переноса Если при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1) то параллельный перенос задаётся формулами: Свойства параллельного переноса 1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние). 2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние. 3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя). 4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1. В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.     СВОЙСТВО ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН И УГЛОВ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. Теорема: У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны     Дано: АВСD-параллелограмм Док-ть: ВС=АD, АВ=СD, ∟А=∟В=∟С=∟D Доказательство     БИЛЕТ№4. ПОВОРОТ. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Угол на который поворачивается фигура, относительно точки, называется углом поворота.     ПРИЗНАК ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ СТОРОН ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. Теорема: Если у четырехугольника две противолежащие стороны параллельны и равны, то он является паралелограммом   Дано: АВСD- четырехугольник ВС=АD, АВ=СD, ВС║АD, АВ║СD Док-ть АВСD-. параллелограмм Доказательство       БИЛЕТ№5. БИЛЕТ №6 БИЛЕТ№7. 1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОСИНУСА ДЛЯ ЛЮБОГО УГЛА ОТ 0° ДО 180°. Возьмем окружность на плоскости ху с центром в начале координат и радиусом R (рис. 180). Отложим от положительной полуоси X в верхнюю полуплоскость (полуплоскость, где y>0) угол а. Пусть х и у — координаты точки А. Значения sin а, cos а и tg а для острого угла а выражаются через координаты точки А, а именно: Определим теперь значения sin а, cos а и tg а этими формулами для любого угла а. (Для tg а угол а = 90° исключается.) При таком определении sin 90° = 1, cos 90° = О, sin 180° = О, cos 180° = — 1, tg 180° = 0. Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0°, будем иметь: sinO° = 0, cosO° = l, tgO° = 0. Докажем, что для любого угла а, 0°<:а<:180°, sin (180° — а)=sin а, cos (180° — а) = — cos а. Для угла а ^ 90° tg (180° — а) = — tg а. Действительно, треугольники ОАВ и ОА\В\ равны по гипотенузе и острому углу (рис. 181). Из равенства треугольников следует, что АВ=А1В1, т. е. у = у1; ОВ=ОВ1 следовательно, x= —x1. Поэтому разделив почленно равенство sin (180° —а) = sin а на равенство cos (180° — а)=—cos а, получаем: Что и требовалось доказать. СВОЙСТВА ДИАГОНАЛЕЙ РОМБА. Теорема: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов     Дано: АВСD-ромб Док-ть: АС┴BD, АС-биссектриса ∟А и∟С, BD -биссектриса ∟B и∟D Доказательство     БИЛЕТ№8. БИЛЕТ№9. 1.ЗНАЧЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ (45°, 30°,60°). 2.ДОКАЖИТЕ, ЧТО ЕСЛИ ДИАГОНАЛИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПОД ПРЯМЫМ УГЛОМ, ТО ОН ЯВЛЯЕТСЯ КВАДРАТОМ.   Дано: АВСD-прямоугольник АС┴BD Док-ть АВСD-квадрат Доказательство     БИЛЕТ№10. 1.ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА.   ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. Теорема: Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.   Дано: ∟COD A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3, A1, A2, A3 ∈ OC, B1, B2, B3 ∈ OD, A1A2=A2A3. Док-ть B1B2=B2B3. Доказательство 1) Через точку B2 проведем прямую EF, EF ∥ A1A3. 2) Рассмотрим четырехугольник A1FB2A2. — A1F ∥ A2B2 (по условию), — A1A2 ∥ FB2 (по построению).Следовательно, A1FB2A2 — параллелограмм (по определению). По свойству противолежащих сторон параллелограмма, A1A2=FB2. 3) Аналогично доказываем, что A2B2EA3 — параллелограмм и A2A3=B2E. 4) Так как A1A2=A2A3 (по условию), то FB2=B2E. 5) Рассмотрим треугольники B2B1F и B2B3E. — FB2=B2E (по доказанному), — ∠B1B2F=∠B2EB3 (как вертикальные), — ∠B2FB1=∠B2EB3 (как внутренние накрест лежащие при A1B1 ∥ A3B3 и секущей EF). Следовательно, треугольники B2B1F и B2B3E равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: B1B2=B2B3. Что и требовалось доказать. Билет№11. 1.СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).   2.ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРАПЕЦИИ. Теорема:   Дано: ΔАВСД-данная трапеция QP-средняя линия Док-ть QP║ BC, QP║AD QP =1/2 (BC+ AD) Доказательство         Билет№12. 1.ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).   2. ДОКАЖИТЕ,ЧТО СЕРЕДИНЫ СТОРОН ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ЯВЛЯЮТСЯ ВЕРШИНАМИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.   Дано: ΔАВС-треугольник ЕД-средняя линия Док-ть ЕД║АВ,ЕД=1/2АВ Доказательство: Проведем диагональ АС в четырехугольнике АВСД.АС разбивает четырехугольник на 2 треугольника АВС и АДС. Проведем средние линии в треугольниках КМ и ОN. КМ — средняя линия ΔАВС(по определению), тогда КМ = АС/2 и КМ ║ АС. ON- средняя линия ΔADC, значит ON = AC/2 и ON ║АС Получаем, что KM=ON и KM параллельна ON(это признак!) Если две стороны четырехуг. равны и параллельны, то четырехуг. — параллелограмм. Значит KMNO параллелограм.       Билет№13. 1.СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).     2.ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА. Теорема:   Дано: ΔАВС-треугольник ЕД-средняя линия Док-ть ЕД║АВ,ЕД=1/2АВ Доказательство Билет№14. Билет№15. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАПЕЦИИ. ВИДЫ ТРАПЕЦИИ.   Все трапеции можно разделить на три вида: — равнобедренные трапеции; — прямоугольные трапеции; — произвольные трапеции. Равнобедренные трапеции — это трапеции, у которых боковые стороны равны. Прямоугольные трапеции — это трапеции, у которых одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Произвольные трапеции — все остальные трапеции, которые не являются ни равнобедренными, ни прямоугольными. Схематически виды трапеций можно изобразить так:   Билет№16. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА. СВОЙСТВА КВАДРАТА.   2.ТЕОРЕМА ПИФАГОРА (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).   Билет№17. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РОМБА. СВОЙСТВА РОМБА.   2.НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА (ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ).   Билет№18. Билет№19. 1 .ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА.   2.СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ (ДОКАЗАТЕЛЬСТВО).ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА (РАССМОТРЕТЬ СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ). Билет№20. 1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.   2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ). ДОКАЗАТЬ ТЕОРЕМУ О СКАЛЯРНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ВЕКТОРОВ. БИЛЕТ № 1. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (ОПРЕДЕЛЕНИЕ).   Произведением вектора (а1, а2) на число К называется вектор (kа1, kа2), т. е. (а1, а2) k = { ka1; kа2). По определению (а1, а2) k = k(а1, а2). Из определения операции умножения вектора на число следует, что Абсолютная величина вектора равна |. Направление вектора при совпадает с направлением вектора , если , и противоположно направлению вектора , если . Абсолютная величина вектора равна:   

cyberpedia.su

Умножение вектора на число

Материал урока.

Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и  по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего. Причём полученный многоугольник может быть не только плоским, но и пространственным.

Также вы владеете двумя способами построения вектора разности.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора  и вектора, противоположного вектору  .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равный вектору , а от точки А — вектор , равный вектору «- », по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Как и на плоскости в пространстве вектор можно умножать на число. На этом-то уроке мы и поговорим об умножении вектора на число в пространстве.

Рассмотрим пример, который поможет нам вспомнить, что представляет собой произведение вектора на число.

Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер.

Если изобразить скорость парусника вектором , то скорость первого лайнера, движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость  умножением на 5.

Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор  умножением на -5.

Определение. Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k, и противоположно направлены, если k<0.

Произведение числа k на вектор  в пространстве обозначают так же как и на плоскости.

Имеют место такие следствия из определения.

Действительно, по определению длина этого вектора равна произведению длины вектора  на 0, то есть равна 0. Значит, получаем нулевой вектор.

Вторым следствием из определения является то, что ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k.

Ведь, если k≥0, то полученный вектор сонаправлен вектору , а если k<0, то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.

Свойства умножения вектора на число, известные нам из планиметрии, имеют место и для векторов в пространстве. Напомним их.

Чтобы умножить вектор  на произведение чисел k и l, можно вектор  сначала умножить на число l, а затем на число k. Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.

Вторым свойством запишем, что произведение вектора  на сумму чисел k и l равно сумме произведений «вектора  на число k» и «вектора  на число l». Это первый распределительный закон.

Запишем второй распределительный закон.

Произведение суммы векторов  и  на число k равно сумме произведений «вектора  на число k» и «вектора  на число k».

Стоит также напомнить, что эти свойства позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Упростим следующие выражения.

Выполним задание, где рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁, диагонали которого пересекаются в точке О. Для каждого из равенств нужно найти такое число k, чтобы равенства были верными.

Рассмотрим первое равенство, .

Для наглядности, изобразим каждый из данных векторов.

Рассмотрим грань ABCD, которая является квадратом, так как перед нами куб.

Это значит, что стороны AB и CD параллельны и равны.

Рассмотрим следующее равенство . Изобразим векторы  и .

Понятно, что диагонали куба точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим последнее равенство .

Изобразим векторы  и .

Так мы с вами нашли значение числа k для каждого из равенств.

Выполним ещё одно задание.

Задача.  параллелограмм. Точки  и  середины сторон  и  соответственно.

 произвольная точка пространства. Выразить:

а)  через                                              б)  через

Решение.

Обратимся к пункту А.

Обратим своё внимание на пункт Б.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы сформулировали определение произведения вектора на число в пространстве, которое ничем не отличается от аналогичного определения для векторов на плоскости.

Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k≥0, и противоположно направлены, если k<0.

Мы вспомнили свойства умножения вектора на число, известные нам из планиметрии, которые имеют место и для векторов в пространстве.

А также отметили, что, как и на плоскости, в пространстве любой ненулевой вектор пространства можно представить в виде произведения коллинеарного ему вектора на некоторое число k.

Все эти знания мы применили при выполнении заданий уже не на плоскости, а в пределах пространства.

videouroki.net

Умножение вектора на число — Мегаобучалка

Свойства

Ортогональность

Векторы являются ортогональными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Часто вместо этого термина употребляют термин «перпендикулярность», однако следует учитывать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору, но понятие перпендикулярности для него не определено, поскольку не определён угол между нулевым и другим вектором.

Пример:
Даны два вектора и , с координатами в ортонормированном базисе. Эти векторы будут ортогональными, если выражение x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Коллинеарность

Два не нулевых вектора называются коллиниарными, если , где

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Часто вместо этого термина употребляют термин «параллельность», однако следует учитывать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору, но понятие параллельности для него не определено, поскольку не определён угол между нулевым и другим вектором.

Сложение геометрических векторов

 

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

А модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов где — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула теперь — угол между векторами выходящими из одной точки.

 

Умножение вектора на число

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение — нулевой вектор.

• Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

megaobuchalka.ru

Умножение вектора на число » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.9. Умножение вектора на число.

Определение. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор , удовлетворяющий следующим двум условиям:

1) ;

2) , если  и , если ;

и обозначается .

Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

1. Свойство ассоциативности:  верно

    равенство .

2. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения чисел:  верно равенство

                           .

3. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения векторов:  верно равенство

                           .

4.  верно равенство .

Доказательство. Свойство 4 вытекает из определения умножения вектора на число. Докажем свойство 1.

   Умножение вектора  на число  можно интерпретировать как гомотетию какой-нибудь плоскости Р, в которой лежит данный вектор, с центром гомотетии в начале вектора и коэффициентом .

   Такая гомотетия плоскости Р оставляет точку А на месте, , а конец вектора – точку В переводит (отображает) в точку С, , причем

и точка С лежит на луче АВ, если  и на

противоположном луче, если . См. рис. 10 и 11.

                      А                  В                            С 

                 

                                      рис. 10.

                С                            А                      В

                                         

                                       рис.11.

Теперь свойство 1 следует из того что композиция гомотетий (т.е. последовательное их выполнение) есть гомотетия, причем  и  верно равенство: .

Пусть .

        D           А                  В                            С 

                     |

                                                       

                                      рис. 12.

Тогда ,  и , т.е. .

   Таким образом,  и ,

следовательно, , ч.т.д.

   Доказательство свойства 2 оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Заметим, что если оба числа  и  имеют одинаковый знак, то свойство 2 очевидно. Осталось рассмотреть случай разных знаков чисел  и .

   И, наконец, свойство 3 очевидно из следующего

рисунка, построенного для случая :

                                      рис. 13.

Заметим, что такая картинка возникает, если мы применим к плоскости, в которой лежат оба вектора, отложенные от одной точки О, преобразование гомотетии с центром гомотетии в точке О и коэффициентом .

Теорема доказана.

Теорема. Множество всех векторов  как направленных отрезков в пространстве точек S является векторным пространством над полем действительных чисел.

   Доказательство следует из свойств сложения векторов и их умножения на действительные числа.

Определение. Векторное пространство над полем действительных чисел называется вещественным векторным пространством.

   Пусть L произвольная прямая в пространстве S. Тогда ясно, что , т.е. множество векторов коллинеарных прямой L является подмножеством всех векторов .

  Далее, сумма любых двух векторов коллинеарных прямой L также является вектором коллинеарным прямой L:

 . В этом случае говорят, что множество векторов  замкнуто относительно сложения векторов. Аналогично, , т.е. множество  замкнуто относительно операции умножения вектора на действительное число. Отсюда сразу же следует, что для векторов из множества  справедливы все свойства сложения и умножения на действительные числа, т.е. справедливы все аксиомы вещественного векторного пространства.

   Таким образом, множество  также является вещественным векторным пространством.

   Говорят, что векторное пространство  является векторным подпространством векторного пространства .

   Аналогично и для множества  всех векторов лежащих на некоторой плоскости Р или на параллельной ей плоскости. Множества  также является векторным пространством и векторным подпространством векторного пространства .

   Если прямая L лежит в плоскости Р или параллельна ей, то  и  – подпространство векторного пространства  и одновременно векторного пространства .

   Векторное пространство  мы будем называть пространством векторов на прямой L, а  –пространством векторов на плоскости Р.

п.10. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Определение. Пусть  и  два произвольных вектора. Если верно равенство , где , то говорят, что вектор  линейно выражается через вектор .

Теорема. (О коллинеарности двух векторов.)

Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы либо один из них был нулевым, либо один из них линейно выражался через другой.

   Другими словами, .

   Доказательство. Если , то  по определению. Пусть  и . Тогда из определения умножения вектора на число следует, что либо , либо , в зависимости от знака числа , т.е. , ч.т.д.

   Пусть теперь  и  и . (Если  или , то доказывать нечего.) Рассмотрим два возможных случая.

а) Пусть . Т.к. , то .

   Обозначим буквой  отношение длин этих векторов: . Отсюда следует равенство  и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

б) Пусть . Положим по определению . Отсюда следует равенство  и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

cos x = корень из 3 / 2

Задание.
Решить уравнение:

Решение.
Это уравнение относится к самым простым видам тригонометрических уравнений и их очень легко научиться решать.
Во-первых, необходимо определить — при каких аргументах косинус равен . Одним из способов может быть использование таблицы значений тригонометрических функций от основных углов. По таблице можно вычислить, что косинус равен при аргументах, равных Пи/6, 11Пи/6 и т.д. Достаточно этих двух значений для того, чтобы записать общее решение заданного уравнения.
Сначала запишем аргумент нашей функции — это х. Затем запишем первое значение из таблицы — это Пи/6. Поскольку косинус — функция периодическая с периодом 2Пи, то следующими значениями будут числа Пи/6 + 2Пиh. Обратим внимание на значение 11Пи/6, при котором косинус также равен . Заметим, что 11Пи/6 = 2Пи — Пи/6. Следовательно, получаем общее решение заданного уравнения:
, переменная h может быть любым из целых чисел, и положительным, и отрицательным.

Ответ. , h —целое.

Во-вторых, корни уравнения можно определить из графика функции косинус или при помощи тригонометрического круга.
Какой из способов будет удобнее использовать зависит от Вас.

ru.solverbook.com

cos x равняется корень из 3 делённый на 2

Добрый вечер!
Уравнения вида, которое вы предоставили, не такое трудное, как Вам могло показаться на первый взгляд. Давайте попробуем решить Ваше уравнение cos х равняется корень из 3 делённый на 2. Но первым делом нам следует подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

, то есть Ваш вариант — правильный.
Чтоб решать такие уравнения, надо использовать известное правило, которое выглядит так (думаю, что Вы его просто-напросто забыли, по-этому и возникла трудность): 

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получим, что 
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

Ответ:

ru.solverbook.com

cos 2 корень из 3 на 2

Вы искали cos 2 корень из 3 на 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и cos 2x корень из 3 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «cos 2 корень из 3 на 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как cos 2 корень из 3 на 2,cos 2x корень из 3 2,cos корень из 3 на 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos 2 корень из 3 на 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, cos корень из 3 на 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos 2 корень из 3 на 2 Онлайн?

Решить задачу cos 2 корень из 3 на 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

График фьючерсов в режиме реального времени

© 2007-2019 Fusion Media Limited. Все права зарегистрированы. 18+

Предупреждение о риске: Торговля финансовыми инструментами и (или) криптовалютами сопряжена с высокими рисками, включая риск потери части или всей суммы инвестиций, поэтому подходит не всем инвесторам. Цены на криптовалюты чрезвычайно волатильны и могут изменяться под действием внешних факторов, таких как финансовые новости, законодательные решения или политические события. Маржинальная торговля приводит к повышению финансовых рисков.
Прежде чем принимать решение о совершении сделки с финансовым инструментом или криптовалютами, вы должны получить полную информацию о рисках и затратах, связанных с торговлей на финансовых рынках, правильно оценить цели инвестирования, свой опыт и допустимый уровень риска, а при необходимости обратиться за профессиональной консультацией.
Fusion Media напоминает, что информация, представленная на этом веб-сайте, не всегда актуальна или точна. Данные и цены на веб-сайте могут быть указаны не официальными представителями рынка или биржи, а рядовыми участниками. Это означает, что цены бывают неточны и могут отличаться от фактических цен на соответствующем рынке, а следовательно, носят ориентировочный характер и не подходят для использования в целях торговли. Fusion Media и любой поставщик данных, содержащихся на этом веб-сайте, отказываются от ответственности за любые потери или убытки, понесенные в результате осуществления торговых сделок, совершенных с оглядкой на указанную информацию.
При отсутствии явно выраженного предварительного письменного согласия компании Fusion Media и (или) поставщика данных запрещено использовать, хранить, воспроизводить, отображать, изменять, передавать или распространять данные, содержащиеся на этом веб-сайте. Все права на интеллектуальную собственность сохраняются за поставщиками и (или) биржей, которые предоставили указанные данные.
Fusion Media может получать вознаграждение от рекламодателей, упоминаемых на веб-сайте, в случае, если вы перейдете на сайт рекламодателя, свяжитесь с ним или иным образом отреагируете на рекламное объявление.

ru.investing.com

Фьючерс на USD/RUB | Технический анализ

Резюме:Активно продавать

Скол. средние:ПродаватьПокупать (2)Продавать (10)

Тех. индикаторы:Активно продаватьПокупать (0)Продавать (8)

Точки разворота27.06.2019 21:45 GMT

Технические индикаторы27.06.2019 21:45 GMT

Скол. средние27.06.2019 21:45 GMT

ru.investing.com

Фьючерсы онлайн графики без установки доп программ

На данной странице представлен график, позволяющий отслеживать фьючерсы онлайн. Установка специальных программ не требуется, графики отображаются в браузере и обновляются автоматически. Обычно графики фьючерсов в свободном доступе предоставляются с задержкой данных от 10 минут и более. Чтобы обойти это ограничение и посмотреть фьючерсы онлайн можно использовать соответствующие CFD, динамика которых совпадает с фьючерсами, а данные предоставляются без какой-либо задержки и ограничений. Разница в абсолютных значениях между базовым фьючерсом и производным от него CFD есть, но она сохраняется на одном и том же уровне при идентичной динамике активов. Такой способ позволяет отслеживать фьючерсы онлайн, получая представление о динамике инструмента без задержек.

С помощью данного графика можно отслеживать как фьючерсы (с небольшой задержкой), так и соответствующие CFD на основные контракты (в режиме реального времени). Чтобы посмотреть интересующие Вас фьючерсы онлайн, нужно начать вводить название инструмента в соответствующем поле над графиком. Внимание! Тикеры могут отличаться от привычного обозначения, список тикеров на фьючерсы и CFD наиболее популярных инструментов приведен в таблице под графиком.

• Agriculture
• Energy
• Equity Index
• FX
• Interest Rate
• Metals

*В графе «фьючерс» приведен универсальный тикер для отображения графика инструмента: 1! в конце покажет ближайший контракт, 2! — следующий за ближайшим контракт. Если Вы хотите выбрать контракт на конкретный месяц, то стоит ввести название инструмента и из раскрывающегося списка выбрать нужный.

В таблице указана только часть доступных фьючерсов. Если необходимый инструмент не указан, то Вы можете найти его введя название в соответствующем поле в верхней части графика.

При вводе символов в графе поиска можно выбирать тип инструмента

При поиске по названию инструмента рекомендуем печатать полное наименование. Например, чтобы посмотреть график фьючерса на AUD/USD нужно вводить Australian Dollar. При вводе названия также становится доступным меню разбитое по категориям, что может упростить поиск.

Данный график позволяет не только просматривать фьючерсы онлайн, но и проводить полноценный технический анализ инструмента. Об использовании настроек и аналитических элементов графика можно подробнее почитать в нижней части страницы с графиками на акции США — американские акции.

tradoman.ru

Функции для работы с текстом и графикой

Стандарт ANSI С не определяет функции для работы с текстом или графикой в первую очередь потому, что имеется широкое разнообразие аппаратных средств, чем затрудняется стандартиза­ция. Тем не менее Borland С++ обеспечивает широкую поддержку работы с экраном и графикой для 16-разрядной среды DOS. Если используется DOS и нет необходимости переносить код на другой компилятор, то можно свободно использовать эти функции. Однако следует иметь в виду, что ни одна из описанных в этой главе функций не может быть использована для Windows пpoграммирования. Графический вывод в Windows осуществляется с использованием интерфейса при­кладного программирования (Application Program Interface — API). Описанные в этом разделе фун­кции относятся только к DOS. Прототипы и заголовочная информация для функций работы с текстом содержатся в файле conio.h. Прототипы и соответствующая информация для графичес­кой системы содержатся в файле graphics.h. Ни одна из описанных в этом разделе функций не определена стандартом ANSI С или С++.

Для использования графической системы необходимо скомпоновать библиотеку graphics.lib с программой. При использовании компилятора командной строки необходимо включить имя этой библиотеки в командную строку. Например, если программа называется test и используется ком­пилятор командной строки, командная строка должна выглядеть следующим образом:
bcc test graphics.lib

При использовании интегрированной среды разработки надо не забывать добавлять файл graphics.lib к проекту.

Центральной концепцией для функций работы с текстом и графикой служит концепция окна, то есть активной области экрана, в пределах которой осуществляется вывод данных. Окно может быть размером с целый экран, что и задается по умолчанию, либо же иметь такие размеры, какие необходимы. Borland С++ использует слегка различную терминологию для текстовой и графичес­кой систем с целью сохранять эти системы раздельно друг от друга. Текстовые функции работают с окнами, в то время как графическая система использует область просмотра (viewport). Однако концепция в обоих случаях одна и та же. Вся выводимая информация содержится в активном окне. Это означает, что часть изображения, расположенная за пределами окна или области про­смотра, автоматически отсекается.

При использовании графики программа должна в первую очередь инициализировать графи­ческую систему с помощью вызова функции initgraph(). По окончании использования графики необходимо вызвать функцию closegraph() или restorecrtmode().

Важно понимать, что большинство текстовых и графических функций относится к окну или области просмотра. Например, функция gotoxy() устанавливает курсор в заданную точку с коор­динатами х,у по отношению к окну, а не к экрану.

И последнее замечание. Когда экран функционирует в текстовом режиме, его левый верхний угол расположен в точке с координатами 1,1. В графическом режиме левый верхний угол пред­ставляет собой точку с координатами 0,0.

www.c-cpp.ru

Часть 2 Графика Си модуль graphics.H

Монитор ПК может работать в двух режимах текстовый и графический. В этих режимах по разному представляется видео память. Переход из режима в режим очищает экран.

Все выше перечисленные функции ввода вывода работали с текстовым режимом. В графики они не доступны. В графическом режиме необходимо пользоваться функциями из графической библиотеки.

Типы видео мониторов и их режимы

Существует много типов мониторов, на каждом из которых доступны кроме своего режима, и все более низкие режимы. Под режимом понимается разрешающая способность количество цветов.

Кроме того мониторы делятся по аппаратной реализации: ЦИФРОВЫЕ и АНАЛОГОВЫЕ.

Остальные стандартные типы являются мало употребительными или повторяют более слабые режимы.

Режимы SVGA не являются стандартными, хотя драйвера для них иногда и встречаются, но не входят в комплект Borland Си. Положение ухудшает и большое разнообразие особенностей SVGA карт выпускаемыми разными фирмами, не придерживающихся одинакового формата.

Инициализация графики

Функции:

initgraph(int *GrDr,int *GrMod,char *Path) ;

i=graphresult() ;

closegraph() ;

Функция initgraph(…) инициализирует графический режим. В пара­метрах ей передается:

GrDr — Тип графического монитора, или DETECT — Определить макси­мально возможный. Тип установленного оборудования возвращается в этих же переменных (поэтому они и передаются указателем).

GrMod — Режим.

Path — Путь до файлов *.bgi — драйверов графических режимов. Если указанно » » — то в текущем каталоге.

Значения и имена можно взять из предыдущей таблицы.

Функция graphresult() — возвращает код ошибки инициализации гра­фики (недопустимый графический режим, не найден файл *.bgi и т.п.). Если все в порядке функция возвращает значение grOk. Проверку правильного выполнения функции initgraph(…) обязательно надо производить, так как, если графический режим не установлен, выполнение любой графи­ческой команды приведет к аварийному останову программы.

Функция closegraph() обеспечивает корректное возвращение в текс­товый режим. Ее выполнение, как говорилось раньше, очищает экран. При необходимости вставляйте задержку до нажатия клавиши: getch().

Внимание !

Работа с графикой возможна только в моделях памяти >= medium, это устанавливается в опциях компилятора.

Для работы с библиотекой графики ее необходимо подключить. В опциях Си: Option\Linker\Libriry\Graphics: X

#include <graphics.h>

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

int main(void)

{

int GrDr,GrMod,rez ;

GrDr=DETECT ;

initgraph(&GrDr,&GrMod,» «) ;

rez=graphresult() ;

if(rez != grOk)

{

printf(«\n Ошибка инициализации графики») ; return(0) ;

} /* Кон. if */

line(0,0,100,100) ;

getch() ;

closegraph() ;

return(1) ;

} /* Кон. main() */

Система координат

Система координат в графическом режиме начинается с точки 0,0. Размеры экрана зависят от установленного графического режима.

0,0 639,0 VGA,VGAHI 0,479

studfiles.net

Форма графика поверки средств измерений (СИ)

ВНИМАНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛИ И ЮРИДИЧЕСКИЕ ЛИЦА, ОСУЩЕСТВЛЯЮЩИЕ СВОЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ НА ТЕРРИТОРИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА «ШИЛКИНСКИЙ РАЙОН» И ИСПОЛЬЗУЮЩИХ ВЕСОВОЕ ОБОРУДОВАНИЕ!

Представляем Вам форму графика поверки средств измерений и образец его заполнения.

Для уменьшения транспортных расходов по поверке (СИ)  на месте эксплуатации необходимо, чтобы заявки вместе с графиками поверки СИ были поданы, а счета на поверку СИ оплачены одновременно всеми владельцами СИ.

Контактная информация:

8(3022)31-06-83 Клементьева Вера Петровна (ФБУ «Забайкальский ЦСМ»)

Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.

ОБРАЗЕЦ

Наименование владельца средств измерений:

ОАО «СКИФ»                                                                                                                                                                                                                                     СОГЛАСОВАНО

Адрес: 672030,г. Чита, ул.Космонавтов,1,строение 3                                                                                                                                               Руководитель ЦСМ ФБУ «Забайкальский ЦСМ»                        

Тел. 25-04-08                                                                                                                                                                                                                 ______________________Н.Г.Никифорова

ГРАФИК

ПОВЕРКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ НА 2014 Г

Вид измерений: механических величин, расхода

Директор ОАО «СКИФ»                                      ______________              В.В.Иванов

                            М.П

Ответственный по метрологии

Сергеев Иван Иванович                        тел. 25-02-53; 8-914-890-12-34

                                                                                                                                                                                                                                                                       УТВЕРЖДАЮ

Адрес: ______________________________________                                                                                                                                              Руководитель ЦСМ ФБУ «Забайкальский ЦСМ»                        

Тел. ____________                                                                                                                                                                                                                 ______________________Н.Г.Никифорова

ГРАФИК

ПОВЕРКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ НА 2014 Г

Вид измерений: механических величин, расхода

Руководитель

__________________________                                                            _____________________                                ________________________

  Наименование юридического лица                                                            подпись                                                   инициалы, фамилия

Индивидуальный предприниматель

М.П

СКАЧАТЬ ДОКУМЕНТ

xn--h1aaaecbes0b2d.xn--p1ai

Производная x^(3)*sin(2*x)