Рубрика: Школьная жизнь

Как решать задачи на проценты в 6 классе

Предлагаю вашему вниманию легкий способ разобраться, как решать задачи на проценты в 6 классе.

При решении задачи на проценты первым делом нужно определить вид задачи. Задачи на проценты в 6 классе можно подразделить на  три вида:

1) Нахождение процентов от числа.

2) Нахождение числа по его процентам.

3) Нахождение процентного отношения двух чисел.

Определить вид задачи на проценты можно по записи ее условия. Если напротив 100% стоит число, то это — задача на нахождение процентов от числа. Если число напротив 100% неизвестно, то это — задача на нахождение числа по его процентам. Если же неизвестное значение стоит в колонке процентов, то это — задача на нахождение процентного отношения двух чисел.

Рассмотрим на примерах, как научиться определять вид задачи на проценты.

1. Из картофеля выходит 20% крахмала. Сколько крахмала выйдет из 45 т картофеля?

Это задача на нахождение процентов от числа (так как напротив 100% стоит число).

2. Руда содержит 67% железа. Сколько нужно руды для получения 13,4 т железа?

Это задача на нахождение числа по его процентам (так как напротив 100% стоит ?)

3. Из 400 зерен пшеницы взошло 360. Определить процент всхожести семян.

Это задача на процентное отношение (так как в колонке процентов стоит ?). 

www.for6cl.uznateshe.ru

Решение задач на проценты. Видеоурок. Математика 5 Класс

На этом уроке мы научимся решать разные задачи с использованием процентов. А также узнаем возможные виды задач, применяя общую схему для их решения.

Есть три типа задач на проценты. На этом уроке мы научимся решать задачи всех этих типов.

Во всех таких задачах есть:

• исходное количество, обозначим его буквой ;
• некое количество процентов, обозначим буквой ;
• и результат, обозначим его буквой .

Найти несколько процентов от числа – это то же самое, что найти дробь от числа, ведь проценты – это тоже дробь. Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь. Например, чтобы найти  от , нужно  умножить на эту дробь: .

Точно так же, чтобы найти несколько процентов от числа , мы можем проценты записать в более привычном для нас виде, десятичной дробью, и получить эквивалентную задачу – найти дробь от числа . Для этого нужно число  умножить на эту дробь: .

Пример: найдем  от . Перепишем проценты в виде десятичной дроби  и найдем  от : . То есть задачу «найти  от » мы сформулировали в эквивалентном виде «найти  от » и решили ее.

Задача появляется, когда одно из этих трех значений неизвестно.

• Известны  и . То есть исходное количество и проценты. Не известен результат: .
• Неизвестно исходное количество, зато известно, чему равно некоторое количество процентов от него:

interneturok.ru

Как решать задачи с процентами

Процент является видом десятичных дробей, сотая доля целого числа, которая принимается за единицу. Процент обозначается в математике знаком «%», тот, что случился от слова cento-сто. Также есть версия, что знак процента случился в итоге опечатки и позднее крепко закрепился в математике. Задачи на проценты и использование процента в разных подсчетах дюже актуально, потому что сфера применения процентных соотношений и вычисление процента широкая. Математические действия с процентами применяются в экономике, при вычислении инфляции, роста цен на акции и определении покупательской способности. Но и обыденной жизни процент крайне распространен и применяется при расчетах семейного бюджета, вычислении банковского процента и процента по кредитованию.

Инструкция

1. Решать задачи на проценты довольно примитивно, но есть определенные правила. Один процент определяется как сотая часть числа. Скажем, 1% -это 0,01 числа, а 5%=0,05 и т.д.При фактическом решении задач на проценты нужно определить процент от числа, примером может быть вычисление 20% от числа 450. Для решения данной задачи существует два метода: 20% *0,45=90 либо 450*20/100=90

2. Для решения задач на проценты дозволено выделить несколько методов:1. процент от числа вычисляется умножением на число, на процент, записанный десятичной дробью;2. процент одного числа от иного вычисляется делением первого числа на второе, и дробь записывается в виде процентов;3. процентное соотношение 2-х чисел определяется по формуле: a/b*100%.

Видео по теме

Обратите внимание!
Как решать задачи на проценты? Эти вопросы всплывают, увы, неожиданно Когда выпускник читает задание ЕГЭ.  Единственно, что надобно запомнить железно – что такое один процент. Это представление – и есть основной ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще. Один процент – это одна сотая часть какого-то числа.

Полезный совет
Основные типы решения задач на проценты. I. нахождение части от целого. Дабы обнаружить часть (%) от целого, нужно число умножить на часть (проценты, переведенные в десятичную дробь). ПРИМЕР: В классе 32 ученика. Во время контрольной работы отсутствовало 12,5% учащихся. Обнаружь, сколько учеников отсутствовало? РЕШЕНИЕ : Целое в этой задаче – всеобщее число учащихся (32).

jprosto.ru

Площадь квадрата — математика, уроки

Тема урока: « Площадь квадрата» 3 класс.

Цель: совершенствовать умение решать задачи на нахождение

периметра и площади прямоугольников, используя формулы: P = (a + b)* 2, P

= a * 4, S = a * b, S = a * a; продолжать формирование вычислительных навыков

развивать интеллектуальные способности детей; формировать интерес к математике.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В мир математики отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

Прочитайте хором девиз нашего урока : Сл. №1

Думать – коллективно!

Решать – оперативно!

Отвечать – доказательно!

Работать – старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

Открываем рабочие тетради. Записываем число, классная работа.

— Вспомним правила при письме по ключевым словам:

стул, спина, ноги, тетрадь Сл. №2

Индивид. работа.

Задание на карточках «Расшифруй слово». 2 чел. на индивид. доске работают в паре.

30 + 25 = П 4 · 6 = Ь 10 : 5 = О 100 – 1 = Д

40 – 11 = Щ 5 · 3 = Л 15 : 3 = А

Остальные в это время: считают устно. Светофоры

1. если 7 увеличить в 3 раза, то получится 21

2. если 35 разделить на 5, то получится 7

3. верно ли утверждение, что периметр — это сумма длин сторон

многоугольника

4. если 56 уменьшить в 7 раз, то получится 8

6. делимое 18, делитель 6, значение частного 4

7. частное чисел 36 и 4 равно 9

8. разность чисел 48 и 8 равна 42

9. в уравнении 32 : Х = 8, неизвестен делитель

10. 6 умножить на 7 получится 43

11. в уравнении Х – 3 = 20 неизвестно делимое

12. 28 разделить на 4 получится 7

13. 6 умножить на 5 получится 30

14. произведение чисел 3 и 9 равно 27

15. частное чисел 30 и 10 равно 3

Проверка.

— Какие знания мы повторили? ( таблицу умножения)

— Знания таблицы умножения нам сегодня снова пригодятся на уроке.

Сообщение темы и цели. Отправляемся в мир геометрии.

— Отгадайте загадку:

Он давно знакомый мой,

Каждый угол в нем прямой.

Все четыре стороны

Одинаковой длины.

Вам его представить рад,

А зовут его….. (Квадрат). Сл. №3 На парте модели квадратов.

Предположите, почему я загадала вам загадку именно о квадрате? (Тема урока)- это главный герой нашего урока.

— Давайте вспомним всё, что мы о нём знаем. Задайте вопросы соседу по парте по теме «Квадрат»)

(Геометрическая фигура. У квадрата 4 угла, 4 вершины, 4 стороны. Все углы прямые, все стороны равны.)

Помни!

В квадрате в нашем мире

Есть прямых угла четыре.

И четыре стороны – меж собой всегда равны.

— Смотрите, сколько вы знаете о квадрате! Так почему сегодня мы снова позвали на урок эту геом. Фигуру? ( будем закреплять знания )

А вот какие знания будем закреплять, скажут ваши товарищи, которые расшифровывали слово – тему нашего урока. (Площадь)

— Кто догадался, какая тема нашего урока? Сл. №4

Какую цель поставим?

1. Изучение нового материала.

1. Подготовка.

— Что вы представляете себе, когда слышите слово площадь?

— Названия каких площадей вы знаете?

— Как выглядит Красная площадь? (Слайд №5)

— Красная площадь — это центральная площадь Москвы. Она расположена перед восточной стеной Кремля и с трех сторон ограничена зданием Государственного Исторического музея, зданием ГУМа и собором Василия Блаженного. Возникновение Красной площади относится к концу 15 века, когда по приказу царя Ивана III были снесены деревянные постройки вокруг Кремля, угрожавшие царской резиденции постоянными пожарами. На их месте была организована площадь для мелкой торговли. Первоначально она так и называлась – Торговая. Красной площадь стали называть только в 17 веке.

Так выглядела Красная площадь до Великой Отечественной войны (1926 год). (Слайд №6)

— Кто знает, откуда произошло слово «площадь?»

— Слово «площадь» произошло от слова «плоский» (Слайд №7)

— Давайте прочитаем первое значение этого слова.

— А если площадь маленькая, как ее называют? (Площадка)

— Прочитаем второе значение. Площадка бывает детская, строительная, спортивная и т.д.

2. Изучение нового материала.

Итак, слово «площадь» — многозначное. Как вы думаете, КАКОЕ значение слова «площадь» нас интересует СЕГОДНЯ на уроке математики?

— Для этого обратимся к толковому словарю Владимира Даля Сл. № 8

— Как вы думаете, что мы сегодня должны узнать, чему научиться?

Но сначала дадим отдых нашим глазкам.

Физминутка «Гимнастика для глаз»

Чтобы нам не уставать, надо плюс нарисовать.

Забот у нас немало – идем по красному овалу.

Зоркость чтоб развить немножко, идем по синей мы дорожке.

Мы на месте не стоим – по восьмерке побежим!

— С понятием площадь, мы знакомились с вами с 1 класса. Давайте повторим, как мы находили площади фигур.

Проблемная ситуация.Слайд №9.

— Золушка и Незнайка – соседи. У Золушки – участок розового цвета, у Незнайки – синего. Ваша задача – определить, у кого из них участок больше.

— Можно ли определить «на глаз» — площадь какой фигуры больше?

— Давайте попробуем наложить одну фигуру на другую. Получается?

— С какой проблемой мы столкнулись?

— Для этого существует еще один способ. Какой? (Разбить на квадраты)

— Разобьем наши участки на одинаковые квадраты.

Как измерить площадь?

Нет задачи проще!

Поглядите-ка сюда –

Встали мерки в три ряда.

Будто бы солдатики –

Ровные квадратики!

Чтобы площадь нам узнать,

Надо их пересчитать!

Сколько квадратов вмещает участок Золушки? (9) Участок Незнайки? (9)

— К какому выводу мы пришли? (Площади этих фигур одинаковые)

— Посмотрите, что получается. Площадь фигуры – это величина, значит ее можно измерить. Одинаковые квадраты – это единицы измерения (мерки).Полученные числа – меры величины. Их можно сравнивать.

Возникает проблема: как  найти площадь, не расчерчивая каждый раз на квадратные сантиметры? Какую цель вы поставите на уроке?

(научиться находить площадь квадрата не расчерчивая на кв.см, и др.мерки)

-Площадь какой фигуры мы уже умеем находить? (прямоугольника)

— Как найти площадь прямоугольника? S=a х b

— Может ли это правило помочь нам в нахождении площади квадрата? Докажите.

— Что можете сказать, о прямоугольнике и квадрате? Что у них общего?

Попробуйте сформулировать правило нахождения площади квадрата.

Проверим, стр. 38- правило. Как понимаете, сторону квадрата умножить на саму себя?

Запишем это правило с помощью формулы. Кто попробует? S=a х a

-б) Работа по учебнику. с.38 №1

— Сколько цветных квадратов на рисунке? 3 ( жёлтый – прямоугольник) — веера

— Найдите площади квадратов. Сторона клетки равна 1 см.

1∙1=1 см² 4∙4=16 см² 5∙5=25 см²

в) с.38 №3 а)— Постройте фигуры. Найдите их площади. (формулы)

S1=7∙9=63 см² S2=7∙7=49 см² S3=9∙9=81 см²

Физкульминутка. ( Азис- на экране)

г) Произведение двух одинаковых множителей называют квадратом числа.

С. 39 № 4.

— Найдите произведения с помощью таблицы на форзаце учебника.

10∙10=10² = 100

д) е) Работа в парах. Найти площадь квадратов, которые лежат у вас на столах.

Проверка. S= 8х8=64кв.см

Д/З: продожите работу с этими квадратами.Стр. 38, №3(б, в)

5. Итог урока.

Рефлексия.

Урок подходит к завершению. — Какую цель ставили перед собой? — Как вы думаете, нам удалось достичь её?

 -Чему равна площадь прямоугольника?

-Как найти площадь квадрата?

-Если наш урок был познавательным и интересным ,вы узнали что-то новое ,заботились о своём здоровье ,поднимите правую руку.

-Если в вашей тетради работа выполнена аккуратно, нет исправлений ,поднимите левую руку, хлопните и скажите молодец!

-Поднимите руку,,те у кого были ошибки и вы смогли их увидеть и исправить –погладьте себя. Значит нам есть над чем поработать на следующем уроке!

(Слайд №10)

— Вы сегодня все были… молодцы!

Оценивание учащихся.

4

kopilkaurokov.ru

«Площадь прямоугольника и квадрата»3 класс

Конспект урока по математике в 3 классе

«Площадь прямоугольника и квадрата»

подготовила

учитель начальных классов:

Вожжова Ольга Николаевна

Донецк

2016

Математика.

Тема: Площадь прямоугольника и квадрата. 
Цель: совершенствовать умение решать задачи на нахождение периметра и площади прямоугольников, используя формулы: P = (a + b)* 2, P = a * 4, S = a * b, S = a * a; продолжать формирование вычислительных навыков; дать представление о ландшафте и профессии ландшафтный дизайнер. 
Образовательная: в процессе реальной ситуации использовать определения следующих понятий: «площадь и периметр прямоугольника», «площадь и периметр квадрата», вычислять площадь и периметр этих фигур. 
Воспитательная: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность. 
Развивающая: развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; осуществлять рефлексию собственных действий и умение взаимодействовать в группе; контролировать и оценивать процесс и результат деятельности. 
Тип урока: обобщение и систематизация знаний, с использованием компетентностно – ориентированных заданий (информационная (работают со словарями), исследовательская компетенция, рассматриваем все возможные варианты, и выбирают наиболее удачный). 
Методы: 
по источникам знаний: словесные, наглядные; 
по степени взаимодействия учитель-ученик, ученик – ученик, исследовательская беседа; 
по характеру познавательной деятельности: репродуктивный, исследовательский. 
Формы работы учащихся: Фронтальная, индивидуальная, парная, групповая. 
Организация деятельности учащихся на уроке: 
-самостоятельно определять тему, цели урока; 
-самостоятельно определять проблему и решать её; 
-работать со справочной литературой; 
-отвечают на вопросы; 
-самостоятельно решать задачи; 
-оценивать себя и друг друга; 
-рефлексировать. 

Необходимое техническое оборудование: Компьютер, проектор, раздаточный материал (карточки с дополнительным заданием), электронная презентация, выполненная в программе Power Point, флипчарт, выполненный в программе IQBoard. 
Планируемые результаты: учащиеся научатся находить площадь и периметр прямоугольника и квадрата по формулам: S = a • b, S = a * а, P = (a + b)* 2, P = a * 4; рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог; работать в паре и группе; излагать и аргументировать свою точку зрения; оценивать себя и товарищей. 

Ход урока 

I. Организационный момент. 

Чтобы спорилось нужное дело, 
Чтобы в жизни не знать неудач, 
В мир математики отправимся смело, 
В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова: 

Думать – коллективно! 
Решать – оперативно! 
Отвечать – доказательно! 
Работать – старательно! 
И открытия нас ждут обязательно! 

II. Определение темы, целей и задач урока. 

Этот урок я хочу начать с таких загадок:

 Он давно знакомый мой, 
Каждый угол в нем прямой. 
Все четыре стороны 
Одинаковой длины. 
Вам его представить рад, 
А зовут его….. (Квадрат). 

Хоть углы мои прямые, 
Я, ребята, не квадрат. 
Если вы меня узнали, 
Буду очень – очень рад. 
(Прямоугольник). 

III. Запись в тетрадях. ( Число, классная работа,» минутка » чистописания )

Почему я начала урок с загадок о прямоугольнике и квадрате? (тема урока площадь прямоугольника и квадрата) 
Есть ещё одна причина, определяющая тему урока. Есть какие-то предположения? Мы вернёмся к этому вопросу в конце урока, обязательно найдём ответ
Чему хотите научиться? 
Что для этого необходимо? (знать формулы, таблицы умножения и деления) 

III. Актуализация знаний. 
Вы сказали, что для успешной работы необходимо вспомнить формулы. С этого и начнём. 
Завершите запись (на парте карточки с таблицей), на стикере записать свои варианты нахождения периметра, работа в группе
= (a + b)* 2 = a * 4

(выполняют самостоятельно с последующей проверкой и оцениванием) 
Взаимопроверка (по кругу) (на слайде завершённая запись) 
Критерии оценивания: 
5 – нет ошибок 
4 – 1 ошибка 
3 – 2 ошибки 
2 – 3 и более ошибок 

Повторим таблицу умножения, работа в рабочих тетрадях. 

Математический диктант: игра «Крестики — нолики» 
1. если 7 увеличить в 3 раза, то получится 21 
2. если 35 разделить на 5, то получится 7 
3. верно ли утверждение, что периметр это сумма длин сторон многоугольника
4. если 56 уменьшить в 7 раз, то получится 8 
5. числа 16 и 32 кратные 5. 
6. делимое 18, делитель 6, значение частного 4 
7. частное чисел 36 и 4 равно 9 
8. разность чисел 48 и 8 равна 42 
9. в уравнении 32 : Х = 8, неизвестен делитель 
10. 6 умножить на 7 получится 43 
11. в уравнении Х – 3 = 20 неизвестно делимое 
12. 28 разделить на 4 получится 7 
13. 6 умножить на 5 получится 30 
14. произведение чисел 3 и 9 равно 27 
15. частное чисел 30 и 10 равно 3 

Взаимопроверка
Х 1 Х2 Х3 
Х4 О5 О6 
Х7 08 Х9 
О10 О11 Х12 
Х13 Х14 Х15 
Критерии оценивания: 
«5» – нет ошибок 
«4» – 1 – 2 ошибки 
«3» – 3 – 4 ошибки 
«2» – 5 и более 
(взаимопроверка по слайду ) 

IV. Основная часть. Объяснение нового материала учителем.

— Мы повторили всё необходимое, можно переходить к дальнейшей работе. 

— Итак, что же такое площадь? Определение из толкового словаря.

Площадь — это величина, которая указывает сколько места занимает фигура на плоскости. ( Владимир Даль ). В.И.Даль — писатель, врач, лексикограф, создатель толкового словаря. Условное обозначение площади S см2 ( м2, дм2, км2 )

— Сегодня на уроке вы познакомитесь с правилом нахождения S и потренируетесь решать задачи на нахождение площади.

— Вы уже умеете находить S фигур, которые разделены на квадратные см. обратите внимание на первую фигуру ( показ на слайде ) Чему равна S данной фигуры? Аналогично находим площадь второй фигуры. ( Ответы детей ).

Значит S первой фигуры > S второй фигуры.

А теперь попробуем найти площадь прямоугольника, длины сторон которого 3 см и 4 см. Для решения задачи разобьём на 4 полоски, по3 см2каждый. ( показ слайда ), по 3 мы брали 4 раза, 3*4 =12, значит

площадь = 12см2. Этот же прямоугольник можно разбить и по другому

на 3 полоски. по 4 см2, тогда 4*3=12, площадь =12см2.

В обоих случаях для нахождения площади прямоугольника переумножаются числа выражающие длины сторон прямоугольника.

Отсюда вывод: чтобы найти площадь не надо каждый раз разбивать фигуру на см2, чтобы вычислить площадь нужно длину умножить на ширину, длины сторон прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения. Аналогично находится площадь квадрата.

Так, у квадрата со сторонами 4см, для нахождения площади умножим длину на ширину, 4см * 4см = 16 см2. Итак, познакомьтесь с формулами

нахождения площади : S = а *б, S = а*а или S = а2

Физминутка.

Работа по учебнику, стр.98, № 3, 4.( запись на стикерах )

Теперь вы умеете находить площадь многоугольников.
Для дальнейшей работы у вас на партах есть карточка с подробной инструкцией. Внимательно прочитайте. Какие слова незнакомы? Что они могут обозначать? 
( Словарная работа : Ландшафтный дизайн) Показ слайда.
Работа в группе. 
Вы ландшафтный дизайнер. К вам офис поступил заказ разработать план уголка отдыха, а именно удобную беседку, на приусадебном участке. На плане участка вы видите место, отведённое для беседки. Периметр беседки равен 12 м. 
Задание: самостоятельно рассмотрите все возможные варианты, сделайте чертёж (используйте масштаб) запишите решение в тетрадь, выберите самый удобный вариант, обсудите его в группе. Объясните свой выбор. (спикеры представляют результат работы группы.) Оценивание: самостоятельно нашёл все варианты – 5, два варианта – 4, один вариант – 3. 
Выбрали подходящий вариант. (могут выбрать 3м и 3м, 2м и 4м, ) 
Вокруг беседки проложить асфальтированную дорожку шириной 1м. 
(задание для любознательных) Найти площадь асфальтированной площадки.* 
(задание для группы) По краю дорожки проложить бордюр. Сколько м бордюра потребуется? (работают в группе) 

Проверка результат напишут на листочке и прикрепят к доске. Выслушать одну группу. 
Подумайте, какие формулы помогут узнать длину бордюра? 
Узнайте площадь асфальтированной дорожки вокруг беседки. 
Спикер оценивает работу каждого, учитывая его вклад в результат, и озвучивают вслух оценки. Итоговое оценивание. 

V. Рефлексия. 

Вернёмся к вопросу: «Почему я начала урок с загадок о прямоугольнике и квадрате?» 
Приём «Рюкзак пожеланий» 
Я научился ________________. 
Я запомнил _______________. 
Мне очень понравилось_____. 
Я хочу сказать «спасибо»___. 
Я хочу посоветовать

Литература

1.Перова М.Н. Методика преподавания математики в коррекционной школе: Учебник для ВУЗов. М., 1999г.

2.Трутнева В. Внеклассная работа по математике в начальной школе.

3.Балх М.Б., Балх Г.Д. «Математика после уроков»

4.Шустеф Ф.М. «Материал для внеклассной работы по математике»

5.Мартин Гартнер «Математические досуги»

6.Игнатьев Е.А. «В царстве смекалки»

infourok.ru

Урок математики «Площадь прямоугольника, квадрата» (3-й класс)

Разделы: Начальная школа

Цели:

• Знать: признаки прямоугольника и квадрата.
• Уметь: находить периметр фигур, измерять площадь произвольными мерками; «открыть» формулу нахождения площади прямоугольника и квадрата.

Оборудование: видеофильм «Работа НИИ», таблицы «Площадь», «Периметр», раздаточный материал, палетки.

Ход урока

1. Организация класса.

Учащиеся рассаживаются в группы по 6 человек.

2. Постановка учебной задачи.

— Класс на 40 минут «превращается» в НИИ «Умка». В нём работают 4 лаборатории. В каждой лаборатории работают младшие научные сотрудники, среди них зав. лабораторией: Удянский В., Ушаков Н., Кузнецова М., Прокопова О. Посмотрите видеофрагмент о работе НИИ.(фильм)

— Нам предстоит в отведённое время «открыть» формулу нахождения площади прямоугольника и квадрата.

3. Проверка уровня готовности учащихся к уроку.

Игра «Да-нет»

— Через точку можно провести только одну прямую (нет).

— Прямоугольник — это замкнутая ломаная линия (да).

— Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все стороны равны (нет).

— Треугольник, у которого две стороны имеют равную длину, называется равнобедренным (да).

— Треугольник, у которого один угол острый, называется тупоугольным (нет).

— Площадь — это сумма длин сторон прямоугольника (нет).

4. Актуализация знаний.

— Что такое периметр фигуры? (это сумма длин сторон)

— Как найти периметр многоугольников? (сложить длины всех сторон, у разных многоугольников разными способами)

— Можно найти периметр данной фигуры? Как?

— А площадь? (наложением, зрительно, при помощи палетки)

Вычислить площадь фигур (Карточка №1)

Найти лишнюю фигуру (Карточка№2)

Логическая задача (Карточка № 3)

Длина стороны квадрата равна 5см. Этот квадрат разрезали на квадратики со стороной 1см. Из маленьких квадратиков сложили полоску. Какой длины получилась полоска? (25см)

-Можно ли сказать, что площадь квадрата и площадь полоски равны? (да)

5. «Открытие» детьми нового знания.

— Не каждую фигуру можно «разбить» на равные квадраты. Данные фигуры удалось «разбить» (прямоугольники, квадраты)

— Вычислите площади данных фигур (Карточка №4)

— Как это сделать быстрее? (умножить длину на ширину)

Вывод: Sпр. = a x b

Sкв. = a x a

6. Первичная проверка понимания.

Задание получает каждая лаборатория ( на доске)

а) Дано:а=120см б)Дано:а=80см в) Дано:а=210см г)Дано: а=60см

в=4см в=60см в=3см S — ?

S-? S -? S — ?

(Ответы: а) S =480см, б) S =4800см, в) S =630см, г) S =3600см)

7. Творческое применение добытых знаний.

— Даны прямоугольники, они имеют одну и ту же площадь, равную 24см, а стороны прямоугольников разные. Нужно найти стороны прямоугольников.

— Как вам это удалось сделать? (24см и 1см, 12см и 2см, 8см и 3см, 6см и 4см)

0 1 в минус 1

Вы искали 0 1 в минус 1? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 0 1 в минус 3 степени, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «0 1 в минус 1».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 0 1 в минус 1,0 1 в минус 3 степени,0 4 в степени,0 6 в минус 1 степени,1 5 в минус 1 степени,1 в 3 степени равно,1 в степени х,12 в степени 1,16 в минус 1 степени,2 в степени 1 равно,3 в степени 1 равно,6 в степени 1 равно,минус 1 в степени минус 3,х в минус 1 2 степени. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 0 1 в минус 1. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 0 4 в степени).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 0 1 в минус 1 Онлайн?

Решить задачу 0 1 в минус 1 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Ответы@Mail.Ru: Сколько будет 10 в минус второй степени? + вопрос: 10 в минус 1

1/100 и на второй вопрос да

10 в минус первой = 1/10 10 в минус второй = 1/100

10 в минус второй степени=0,01 или одна сотая 10 в минус 1 — это 1/10 да

10 в минус 2=0.1 10 в минус 1 = 1

десять в минус второй — это 1/100 в минус 1 — 1/10

touch.otvet.mail.ru

нужны ли очки или специальное лечение?

Благодаря зрению, человек получает около 80% информации об окружающем мире.  Если вы чувствуете, что острота зрения начала снижаться, нужно незамедлительно обратиться к офтальмологу и пройти обследование.  В этой статье попробуем разобраться, что значит зрение минус 1. Можно ли восстановить его и как это сделать правильно?

Что значит зрение минус 1?

Что значит зрение минус 1?

Диагноз офтальмолога – зрение минус 1 многих может испугать и расстроить. Однако паниковать ни в коем случае не нужно.  В первую очередь, нужно разобраться с этим нарушением, понять его опасность и подобрать подходящее лечение.

Наверняка, каждый знает, как проверяется острота зрения в кабинете офтальмолога. На специальной таблице в 1- рядов написаны буквы или символы разного размера. Доктор размещает пациента на определенном удалении от проверочного щита,  просит закрыть один глаз, и прочитать  символы. Таблица Сивцева очень долго считалась лучшим инструментом для определения остроты зрения.  Она дополнительно подсвечивается лампой, с заранее установленным уровнем освещения. У взрослого здорового человека острота зрения должна равняться 1.  При помощи таблицы Сивцева можно определить остроту зрения в довольно большом интервале – от 0,1 до 5,0. Во время проверки пациент должен сидеть прямо на стуле, удаленном от плаката на 5 метров.

Чтобы офтальмолог смог поставить более точный диагноз, на таблице есть дополнительные строчки, которые также должен прочитать пациент. Степень близорукости и острота зрения – это разные понятия.  К примеру, офтальмолог поставил вам диагноз «Зрение минус  1».  Значит острота равняется 0,1.  Такой пациент может  прочитать только  первые строчки таблицы Сивцева.

Зрение минус – диагноз миопия

Очки улучшают остроту зрения

Итак, у ребенка зрение минус 1 – что делать? В первую очередь постарайтесь разобраться с диагнозом более детально. Медики утверждают, что у детей не бывает зрения равного 1. Нарушения остроты зрении принято разделять на две основные категории – «плюс» и «минус». При близорукости зрение минусовое.  Такое заболевание носит название миопия.   При легкой степени близорукости  показатели диагностики равны  от -0,75 до -1.  Это означает, что человек видит 80-90%, однако при этом четкость и острота зрения нарушена. Пациент хорошо разливает форму удаленного предмета, его цвет и размер, но не может рассмотреть мелкие детали.

Зрение минус 1, нужны ли очки? Ответ на этот вопрос волнует каждого пациента, который столкнулся с таким диагнозом.  Если снижение остроты зрения доставляет вам дискомфорт, вы можете попросить офтальмолога подобрать для вас очки. Однако специалисты не рекомендуют носить такие приборы постоянно. Все дело в том, что глаз может привыкнуть к тому, что ему помогают извне, а значит зрение может ухудшиться еще больше.  Чаще всего медики выписывают  очки при зрении -1 для работы за компьютером,  просмотра телевизора, а также ношения в период повышенной нагрузки на глаза.

Почему снижается острота зрения?

Незначительное ухудшение зрения до  минус 1 может  возникать у пациента по разным причинам. Провоцирующие факторы такого нарушения можно разделить на две основные категории.

Зрение при близорукости

• Анатомические. Глаз пациента имеет необычную вытянутую продолговатую форму в переднем и заднем направлении. При этом перед сетчаткой фокусировка может незначительно снижаться. Если близорукость у таких людей прогрессирует, медик может назначить  операцию для  укрепления склеры.
• Аккомодационные. Глазные мышцы у пациента слабо развиты. Исправить нарушения поможет простая, но эффективная гимнастика для глаз. Особенно важны такие упражнения, если нарушения зрения обнаружены у ребенка.  Также в современной офтальмологии применяются аппаратные методы восстановления остроты зрения.

Максимально точно определить  степень близорукости и ее причину позволит УЗИ.  Медик оценит степень вытянутости глаза,  сможет понять, нужны ли пациенту очки для постоянного ношения.  Пациенты с нарушениями остроты зрения, особенно дети, должны регулярно обследоваться у офтальмолога. Все дело в том, что при повышенных нагрузках на глаза близорукость может стремительно прогрессировать.

Методы профилактики

Близорукость можно  предупредить, особенно в молодом возрасте.  Сегодня существует множество методик безопасного  восстановления зрения без операции или приема каких-либо медикаментов.  Также офтальмологи советуют всем строго придерживаться следующих рекомендаций:

Таблица Сивцева

• Уделяйте должное внимание гигиене глаз. В эту категорию входит не только регулярное умывание, но также правила работы за компьютером, правила чтения и письма.  Очень важно в точности следовать рекомендациям докторов. Так вы сохраните отличное зрение до глубокой старости.
• Регулярно делайте перерывы в работе, и выполняйте простые упражнения для глаз. Эффективных методик существует очень много – от простых расслабляющих, до укрепляющих и восстанавливающих остроту зрения.
• Следите за тем, чтобы глаза всегда были достаточно увлажнены, не перенапрягайте их.
• Следите за своим рационом питания. Обязательно включайте в меню продукты,  с большим содержанием витамина А,  полезных для глаз минералов. Также можно дополнительно принимать комплекс витаминов в капсулах.

Если у вас зрение минус 1, строго соблюдайте рекомендации врача, берегите свои глаза, и регулярно проходите профилактический осмотр. Снизив нагрузку на глаза, вы сможете быстро восстановить остроту зрения без какого-либо дополнительного лечения.

bolezniglaz.ru

Как включить поиск решений в Excel 🚩 Программное обеспечение

Вам понадобится

• Табличный редактор Microsoft Office Excel 2007 или 2010.

Инструкция

Запустите табличный редактор и раскройте главное меню. В версии Excel 2007 для этого надо кликнуть мышкой большую круглую кнопку Office в левом верхнем углу окна, а в Excel 2010 — синюю кнопку с надписью «Файл», размещенную примерно в том же месте. Можно раскрыть его и без мышки — нажмите сначала клавишу Alt (один или два раза), а затем введите «Ф».

Откройте список настроек редактора. В версии 2007 года для этого предназначена кнопка «Параметры Excel» у правого нижнего края главного меню, а в Excel 2010 пункт «Параметры» добавлен в список команд в левой колонке — он второй снизу.

Окно с установками табличного редактора обеих версий разбито на два вертикальных фрейма: в левый помещен список разделов, а в правый — относящиеся к разделу настройки. В списке найдите и кликните строку «Надстройки».

В правом фрейме, в списке «Неактивные надстройки приложений», выберите строку, которая начинается с текста «Поиск решения». Нажмите кнопку OK и надстройка будет активирована, но в меню Excel пока еще не появится.

Перейдите на вкладку «Разработчик» в меню табличного редактора. Если ее нет, сначала кликните правой кнопкой свободное от кнопок пространство в любом разделе меню и выберите пункт «Настройка ленты». Затем в списке «Основные вкладки» найдите строку «Разработчик», поставьте рядом с ней отметку и нажмите кнопку OK — вкладка добавится на «ленту» меню.

Щелкните по пиктограмме «Надстройки» и в списке «Доступные надстройки» выставьте метку в поле «Поиск решения». Нажмите кнопку OK и на вкладке «Данные» появится дополнительная группа команд с названием «Анализ». В нее и будет помещена кнопка «Поиск решения».

Вкладка «Разработчик» не нужна для работы этой надстройки, поэтому ее можно убрать из меню — отключите ее отображение тем же способом, которым и включали (см. пятый шаг).

www.kakprosto.ru

Надстройка Microsoft Excel «Поиск решения»

Надстройка Microsoft Excel «Поиск решения» является  мощным средством поиска решений и применяется при решении задач оптимизации. Процедура поиска решения позволяет находить оптимальное значение формулы содержащейся в ячейке, которую называют целевой. Процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. 

Краткое описание надстройки

Для получения заданного результата по формуле, процедура изменяет значения во влияющих ячейках. Для уменьшения интервала значений, используемых в модели, используются ограничения значений. Надстройка поиск решений является стандартной надстройкой Microsoft Office Excel и доступна сразу при установке Microsoft Office в целом или Microsoft Excel в частности.

Как установить надстройку?

Надстройку «Поиск решения» можно установить двумя способами. Стандартные надстройки, такие как «Поиск решения» и «Пакет анализа» устанавливаются вместе с MS Office или MS Excel. Если при первоначальной установке стандартная надстройка не была установлена, то следует запустить процесс установки повторно. Рассмотрим установку надстройки «Поиск решения» на примере Microsoft Office 2010. В версиях 2003 и 2007 все делается аналогично.

Итак, запускаем установочный диск с пакетом приложений MS Office 2010 и выбираем опцию «Добавить или удалить компоненты».

Далее, нажимаем кнопку «Продолжить», в параметрах установки находим приложение Microsoft Excel, в компонентах этого приложения находим раздел «Надстройки», выбираем надстройку «Поиск решения» и устанавливаем параметр «Запускать с моего компьютера».

Опять жмем кнопку «Продолжить» и ожидаем пока надстройка установится.

Как подключить надстройку?

Перед использованием необходимо предварительно включить надстройку, поставив галочку перед ее названием в списке доступных надстроек диалогового окна «Надстройки».

Вызов этого окна несколько различается в зависимости от версии приложения. Подробно об этом написано в отдельной статье «Как установить надстройку для Excel 2003/2007/2010?» со скриншотами для каждой из трех версий приложения Excel,  поэтому не буду повторяться. Да, добавлю лишь несколько слов о втором способе установки этой надстройки. Можно отыскать на просторах Интернета файл с названием Solver.xla (это и есть надстройка «Поиск решения») и произвести установку в соответствии с описанием по ссылке выше.

Где найти надстройку «Поиск решения» в Excel 2003/2007/2010?

После установки и подключения надстройки в Excel 2007/2010 на вкладке «Данные» появляется группа «Анализ» с новой командой «Поиск Решения». В Excel 2003 — появляется новый пункт меню «Сервис» с одноименным названием. Поиск решения — стандартная надстройка, существуют также и другие надстройки для Excel, служащие для добавления в MS Excel различных специальных возможностей.

macros-vba.ru

Оптимизация бизнес-модели

Постановка задачи

Предположим, что компания, где вы работаете, имеет два складских помещения, откуда товар поступает в пять ваших магазинов, разбросанных по всей Москве.

Каждый магазин в состоянии реализовать определенное, известное нам количество товара. Каждый из складов имеет ограниченную вместимость. Задача состоит в том, чтобы рационально выбрать – с какого склада в какие магазины нужно доставлять товар, чтобы минимизировать общие транспортные расходы.

Перед началом оптимизации необходимо будет составить несложную таблицу на листе Excel – нашу математическую модель, описывающую ситуацию:

Подразумевается, что:

• Серая таблица (B3:G5) описывает стоимость доставки единицы от каждого склада до каждого магазина.
• Лиловые ячейки (C14:G14) описывают необходимое для каждого магазина количество товаров на реализацию.
• Красные ячейки (J10:J11) отображают емкость каждого склада – предельное количество товара, которое склад может вместить.
• Желтые (C12:G12) и синие (h20:h21) ячейки – соответственно, суммы по строке и столбцу для зеленых ячеек.
• Общая стоимость доставки (E17) вычисляется как сумма произведений количества товаров на соответствующие им стоимости доставки.

Таким образом, наша задача сводится к подбору оптимальных значений зеленых ячеек. Причем так, чтобы общая сумма по строке (синие ячейки) не превышала вместимости склада (красные ячейки), и при этом каждый магазин получил необходимое ему количество товаров на реализацию (сумма по каждому магазину в желтых ячейках должна быть как можно ближе к требованиям – лиловым ячейкам).

Решение

В математике подобные задачи выбора оптимального распределения ресурсов сформулированы и описаны уже давно. И, конечно же, давно разработаны способы их решения. Excel предоставляет пользователю один из них – с помощью мощной надстройки Поиск решения (Solver) , доступной в Excel 2003 через в меню Сервис (Tools) или с вкладки Данные (Data) в новых версиях Excel.

Если в меню Сервис или на вкладке Данные вашего Excel такой команды нет – ничего страшного — значит надстройка просто еще не подключена. Для ее подключения:

• в Excel 2003 и старше — откройте меню Сервис – Надстройки (Tools – Add—Ins), в появившемся окне установите флажок Поиск решения (Solver) и нажмите ОК. Excel активирует выбранную надстройку и в меню Сервис (Tools) появится новая команда – Поиск решения (Solver).
• в Excel 2007 и новее — нажать кнопку Офис, далее выбрать Параметры Excel – Надстройки – Перейти (Excel Options — Add-Ins — Go To). 

Запустим надстройку. Откроется вот такое окно:

В этом окне нужно задать следующие настройки:

• Целевая ячейка (Target cell) – тут необходимо указать конечную главную цель нашей оптимизации, т.е. розовую ячейку с общей стоимостью доставки (E17). Целевую ячейку можно минимизировать (если это расходы, как в нашем случае), максимизировать (если это, например, прибыль) или попытаться привести к заданной константе.
• Изменяемые ячейки (By changing cells) – здесь укажем зеленые ячейки (C10:G11), варьируя значения которых мы хотим добиться нашего результата – минимальных затрат на доставку.
• Ограничения (Subject to the Constraints) – список ограничений, которые надо учитывать при проведении оптимизации. В нашем случае это ограничения на вместимость складов и потребности магазинов. Для добавления ограничений в список нужно нажать кнопку Добавить (Add) и ввести условие в появившееся окно:

  
  

Кроме очевидных ограничений, связанных с физическими факторами (вместимость складов и средств перевозки, ограничения бюджета и сроков и т.д.) иногда приходится добавлять ограничения «специально для Excel». В нашем случае, например, нужно будет добавить вот такое ограничение:

Оно дополнительно уточнит, что объем перевозимого товара (зеленые ячейки) не может быть отрицательным – для человека такое само собой очевидно, но для компьютера это надо прописать явно. 

После настройки всех необходимых параметров окно должно выглядеть следующим образом:

Теперь, когда данные для расчета введены, нажмем кнопку Выполнить (Solve), чтобы начать оптимизацию. В тяжелых случаях с большим количеством изменяемых ячеек и ограничений нахождение решения может занять продолжительное время, но наша задача для Excel проблемы не составит – через пару мгновений мы получим следующие результаты:

Обратите внимание на то, как интересно распределились объемы поставок по магазинам, не превысив при этом емкости наших складов и удовлетворив все запросы по требуемому количеству товаров для каждого магазина.

Если найденное решение нам подходит, то можно его сохранить, либо откатиться назад к исходным значениям и попробовать еще раз с другими параметрами. Также можно сохранить подобранную комбинацию параметров как Сценарий. По желанию пользователя Excel может построить три типа Отчетов по решаемой задаче на отдельных листах: отчет по результатам, отчет по математической устойчивости решения и отчет по пределам (ограничениям) решения, однако они, в большинстве случаев, интересны только специалистам.

Бывают, однако, ситуации, когда Excel не может найти подходящего решения. Имитировать такой случай можно, если указать в нашем примере требования магазинов в сумме большие, чем общая вместимость складов. Тогда при выполнении оптимизации Excel попытается приблизиться к решению, насколько это возможно, а затем выдаст сообщение о невозможности найти решение. Тем не менее, даже в этом случае мы имеем массу полезной информации – в частности можем видеть «слабые звенья» наших бизнес-процессов и понять направления совершенствования.

Рассмотренный пример, конечно, является относительно простым, но легко масштабируется под решение гораздо более сложных нелинейных задач. Например:

• Оптимизация распределения финансовых средств по статьям расходов в бизнес-плане или бюджете проекта. Ограничениями, в данном случае, будут являться объемы финансирования и сроки выполнения проекта, а целью оптимизирования – максимизация прибыли и минимизация расходов на проект.
• Оптимизация расписания сотрудников с целью минимизации фонда заработной платы предприятия. Ограничениями, в этом случае, будут пожелания каждого сотрудника по графику занятости и требования штатного расписания.
• Оптимизация инвестиционных вложений – необходимость грамотно распределить средства между несколькими банками, ценными бумагами или акциями предприятий с целью, опять же, максимизации прибыли или (если это более важно) минимизации рисков.

В любом случае, надстройка Поиск решения (Solver) является весьма мощным и красивым инструментом Excel и достойна того, чтобы вы обратили на нее свое внимание, поскольку может выручить во многих сложных ситуациях, с которыми приходится сталкиваться в современном бизнесе.

www.planetaexcel.ru

Excel 2007. Поиск решений в Excel 2007

Надстройка Поиск решений в Excel 2007 не является стандартной. Она предназначается для сложных вычислений, когда имеется больше одной неизвестной. Поэтому она не включается в обычный набор параметров программы. Но если в ней есть необходимость, то она способна предложить пользователю эффективную работу и высокую продуктивность.

Что такое Поиск решений?

Поиск решений в Excel 2007 является надстройкой программы. Это означает, что в обычной конфигурации, выпускаемой производителем, этот пакет не устанавливается. Его нужно загружать и настраивать отдельно. Дело в том, что чаще всего пользователи обходятся без него. Также надстройку нередко называют «Решатель», поскольку она способна вести точные и быстрые вычисления, зачастую независимо от того, насколько сложная задача ей представлена.

Если версия Microsoft Office является оригинальной, тогда проблем с установкой не возникнет. Пользователю нужно сделать несколько переходов:

Параметры→Сервис→Надстройки→Управление→Надстройки Excel.

Откроется окно, в котором есть кнопка перехода. После клика на нее на экране появится список всех предлагаемых надстроек, как установленных, так и неиспользуемых. Теперь нужно найти Поиск решений, затем поставить галочку. Инструмент активизирован, можно пользоваться им в любое время.

Зачем нужен Решатель?

Для чего можно использовать Поиск решений в Excel 2007, и стоит ли вообще его устанавливать? Когда у пользователя присутствует целевая функция, зависящая от нескольких параметров, надстройка будет подбирать решения задачи в соответствии с исходными данными. Таковыми может оказаться переменная, неизвестная или, например, итоговое значение. То есть, пользователь может иметь начальные характеристики и ответ, а программа подберет ход решения, предоставит формулу.

Таким образом, посредством надстройки можно найти:

• Удачное распределение рабочих ресурсов, чтобы достичь максимальной прибыли в ходе деятельности компании или отдельного отдела, филиала.
• Распределение вложений при минимизированных рисках.
• Решение задач, где есть больше одной неизвестной (будет предложено несколько вариантов ответов, из которых пользователь сам подберет наиболее подходящий).
• Сохранение и загрузка модели решения. Оптимальный вариант для сотрудников, которые вынуждены постоянно менять компьютер или ноутбук.
• Решение сразу нескольких задач с разными переменными, неизвестными, формулами и интегралами.

Программа открывает большие возможности, но ею нужно научиться правильно пользоваться.

Как работает Решатель?

Помимо решателя, в Excel есть такая функция, как подбор параметра. Она рекомендована к использованию в случаях, когда имеется только одно неизвестное значение. Эта возможность программы требует намного меньше ресурсных компьютерных затрат, поэтому быстрее выдаст результат.

Поиск решений в Excel 2007 применяется для самых сложных задач, где имеется несколько неизвестных, часто встречаются переменные. В общей постановке их можно сформулировать следующим образом:

1. Найти неизвестные→несколько «x».
2. При условии, что→формула или функция.
3. При ограничениях→здесь обычно указывается неравенство, либо минимальные/максимальные значения.

Также нужно указать на ячейки, с которыми следует проводить вычисления. Есть возможность решать несколько разных задач, если задать программе соответствующие параметры.

Настройка параметров Поиска решений

Чтобы функция Поиска решений в Excel 2007 работала так, как необходимо пользователю, нужно ввести правильные параметры. Обычно они ограничиваются 1-3 характеристиками, но с более сложными задачами потребуется глобальная настройка.

Параметры в Поиске решений программы Office Excel 2007 могут быть следующими:

• Максимальное время – количество секунд, которые пользователь выделяет программе на решение. Оно зависит от сложности задачи.
• Максимальное число интеграций. Это количество ходов, которые делает программа на пути к решению задачи. Если оно увеличивается, то ответ не будет получен.
• Погрешность или точность, чаще всего применяется при решении десятичных дробей (к примеру, до 0,0001).
• Допустимое отклонение. Используется при работе с процентами.
• Неотрицательные значения. Применяется тогда, когда решается функция с двумя правильными ответами (например, +/-X).
• Показ результатов интеграций. Такая настройка указывается в случае, если важен не только результат решений, но и их ход.
• Способ поиска – выбор оптимизационного алгоритма. Обычно применяется «метод Ньютона».

После того как все настройки выбраны, обязательно нужно нажать кнопку сохранения.

Параметры задачи в функции Поиска решений

Работа такой надстройки, как Поиск решения в Excel, осуществляется в соответствии с заданными характеристиками вычисления. Наиболее важной из них является метод. Есть два их варианта. «Метод Ньютона» является настройкой по умолчанию. Он способен работать с большей памятью, но меньшими интеграциями. Поэтому для стандартных и не особо сложных уравнений он вполне подойдет.

Также есть «метод сопряженных градиентов». Здесь запрашивается меньше памяти, но требуется больше интеграций. Следовательно, при его использовании можно решать самые сложные уравнения, использовать масштабные формулы и функции.

Формула в Excel

Есть обязательный элемент, без которого не сможет функционировать надстройка Поиска решений в программе Excel 2007 – формулы. Они представляют собой такое выражение, которое выполняет то или иное вычисление. Без равенства формул не существует. Поэтому программа не начнет распознавать таковую, когда отсутствует соответствующий знак.

Формула может включать в себя следующее:

1. Функция. Это стандартная формула, где присутствует определенный и конкретный порядок действий, поменять который не удастся.
2. Ссылка. Она указывает на количество клеток, которые нужно решить. При этом ячейки могут располагаться хаотично или в определенном порядке.
3. Оператор. Это символ, который задает тип вычисления (+ – сложение, * – умножение и т.д.).
4. Константа. Постоянное значение, которое никогда не меняется. Также для его получения не нужно производить вычисления.

Решение формул осуществляется слева направо при соблюдении всех математических правил.

Создание формулы

Формулы являются уравнениями, которые способствуют выполнению вычислений программы. Если таковые не вводить, то не будет работать Поиск решения в Excel. Задачи, соответственно, тоже не станут решаться. Поэтому для удачного выполнения поставленного задания необходимо правильно ввести формулу.

Вычисление начинается со знака равенства. К примеру, если в ячейке указывается «=КОРЕНЬ(номер клетки)», то будет использована соответствующая функция.

После того как была напечатана основная формула со знаком «=», нужно указать на данные, с которыми она будет взаимодействовать. Это может быть одна или несколько ячеек. Если формула подходит для 2-3 клеток, то объединить их можно, используя знак «+».

Чтобы найти нужную информацию, можно воспользоваться функцией поиска. Например, если нужна формула с буквой «A», то ее и надо указывать. Тогда пользователю будут предложены все данные, ее в себя включающие.

Заключение

В заключении в программе Excel 2007 нужно сохранить заданные параметры решения задач. Сделать это можно несколькими способами. Стандартный вариант с кликом на соответствующую кнопку подойдет в том случае, если для всех данных используется один метод вычислений.

Когда нужно решить сразу несколько уравнений, к примеру, найти минимум и максимум функций, то нужно сохранять не все вычисление, а его модели. Затем пользователь сможет применить их к тому или иному решению.

fb.ru

Поиск решения в Excel

ПОИСК РЕШЕНИЯ В EXCEL

Программа Microsoft Office Excel предназначена и широко используется для вычислений, предполагающих представление данных в табличном виде.

На уроках алгебры часто приходится решать квадратные, кубические уравнения, системы уравнений.

Цель — решать уравнения n-ой степени и системы уравнений с помощью Excel.

Для достижения данной цели поставим следующие задачи:

• изучить возможности инструмента «Поиск решения»;

• создать в Excel шаблоны для решения различных типов задач;

• разработать инструкции нахождения решений;

Программа «Поиск решения» позволяет получить результат на основе изменения значения нескольких ячеек. Кроме того, при выполнении поиска решения можно задать условия – ввести ограничения. Эти возможности позволяют использовать программу Excel для решения системы уравнений и уравнений, при решении которых необходимо учитывать область допустимых значений, для нахождения точек, в которых достигается максимум или минимум значения целевой функции нескольких переменных, определенных на множестве с линейными и нелинейными ограничениями. Другими словами – находить оптимальное решение задачи с ограничениями.

Модели всех задач на оптимизацию состоят из следующих элементов:

1. Переменные — неизвестные величины, которые нужно найти при решении задачи.

2. Целевая функция — величина, которая зависит от переменных и является целью, ключевым показателем эффективности или оптимальности модели.

3. Ограничения — условия, которым должны удовлетворять переменные.

Поиск решения рассмотрим на примерах.

Пример 1. (1; -9)

Найти минимальное значение функции .

В данном случае минимальное значение функции также очень быстро можно найти с помощью инструмента Поиск решения, заполнив поля, как показано на рис. 2.

Рис. 2

Рис. 1

Получен результат: минимальное значение функции y = -9 при x = 1. Так как исследована квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, тогда точка (1, -9) является вершиной параболы. Значит, с помощью инструмента Поиск решения также можно найти и координаты вершины параболы, что в свою очередь сокращает время в их нахождении.

Пример 2. (-1; -1)

Найти максимальное значение функции .

Пример 3. x= — 0,5 и y = 2,5

Решить уравнение

Рис. 3 Рис.4

Рис. 5

Таким образом, с помощью Excel можно решать квадратные уравнения, допускающие два решения. Рассмотрена задача поиска значения параметра, позволяющего достичь конкретной цели. Но решаемые задачи могут быть более сложными. Например, поиск нескольких параметров, обеспечивающих некоторый, наперед заданный результат.

Пример 4. x= 12, y = 6 и z =3

Решить систему уравнений

Рис. 6

Рис.7

Пример 5. , ,

Решить кубическое уравнение .

Воспользовавшись инструментом

Поиск решения, получены корни.

.

Рис. 8

Пример 6. x = 0,5

5x – 8 lnx = 8

Самостоятельная работа

Пример 7. x = — 1, y = — 1, z = — 1

Решить систему уравнений

x + 5y + z = — 7,

2x – y – z = 0,

x – 2y – z = 0.

Пример 8. x = 2, y = 3

Решить уравнение x² + 5x + 6 = 0

Пример 9. x = 2, y = 28

Решить уравнение x² + 30x + 56 = 0

Решение разнообразных задач позволяет расширить представление о возможностях электронных таблиц, продемонстрировать практическое применение программы Excel на уроках математики.

3

videouroki.net

Проекция вектора на вектор | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Проекция вектора на вектор представляет собой отрезок на векторе , полученный перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора либо на сам вектор , либо на его продолжение.

Как найти процент от процента 🚩 найти процент от числа задачи 🚩 Математика

12 мая 2011

Автор КакПросто!

Математическое определение процента, как сотой части целого от заданного числа — несложная задача. Однако, в жизни часто приходится находить решение и в нестандартных ситуациях. Например, когда в виде исходных данных имеется не число, а также процент от числа. Для данной задачи уже требуется определить процент от процента.

Статьи по теме:

Инструкция

Запишите исходные данные. Дано число и процент от него. Необходимо найти процент от процента. Заданное вычисление процента проводят с использованием его упрощенного представления. Так 1% в десятичном выражении равен 0,01 от целого числа.

Исходные проценты представьте в виде десятичной дроби. Для этого нужно разделить процент на 100.

По аналогии вычисления процента от числа, для вычисления процента от процента помножьте их десятичные значения. В итоге вы получите десятичную дробь выражения процента от процента для заданного числа.

Переведите дробь в процентное выражение. Для этого умножьте результат на 100. Полученное число будет являться процентом от заданного процента.

Видео по теме

Обратите внимание

Находим процент от числа. Допустим, нужно найти 36% от числа 283. Формула: X=N/100%×A, где Х — это неизвестная величина; N — известное число, A — исходный процент.

Полезный совет

Например, 7 процентов можно записать как 7/100, как 0,07 или как 7%. Примером самого распространенного типа задач на проценты может служить следующая: «Найти 17% от 82». Чтобы решить эту задачу, нужно вычислить произведение 0,17•82 = 13,94. 

Источники:

• Задачи на проценты на Сёзнайке

www.kakprosto.ru

Срочно! Как найти процент от какого-либо числа??

число умножить на кол-во процентов, разделить на сто

поделить на 100 и умножить на нужное количество процентов.

Способ не один))))) ) 3000 : 100 * 30)) 3000 * 30%

чтобы найти один процент от числа нужн о это число разделить на сто, результат умножить на кол-во процентов

Число разделить на сто и умножить на нужный процент. Пример: 3000/100*30=900. Так что 30% от трех тысяч будет 900, а не 1000.

Обалдеть …полнейшая деградация молодежи! Одна не умеет делить в столбик . <a rel=»nofollow» href=»http://otvet.mail.ru/question/23279899/» target=»_blank» >Одна не умеет делить в столбик</a> Другая — не знает что такое процент ! Чтобы решать такие «сложные» задачи — надо хотя бы знать таблицу умножения.. .

Вообщето 30% от 3000 это 900. Находишь 1% 3000/100 и умножаешь на 30%

touch.otvet.mail.ru

Примеры расчета процентов

 

Слово «процент» производная от латинских слов «pro cento», что означает «со ста». Выражение частей целого постоянно в аналогичных долях, исходя из практических соображений, было актуально еще в древности. В настоящем времени задачи связанные с использованием процентов остаются также востребованными, так как сфера их практического приложения весьма значительная.

К примеру, 1% от общей суммы означает 0,01 суммы.

Работа, выполненная полностью, означает 100% выполнение.

Выполнение на 150%, от задуманного, означает выполнение на 1,5 и т.д.

1% = 0,01

27% = 0,27

100% = 1

150% = 1,5

Чтобы узнать процент от заданного числа, к примеру, по вкладу в банке, нужно умножить это число на процент и разделить на 100.

10000 × 5 : 100 = 500 руб.

10000 – сумма вклада в рублях

5 – процентная ставка по вкладам в %

 

Если требуется вычислить число по заданному другому числу в процентах от искомого числа, нужно это число разделить на процент и умножить на 100.

Вес продукта в результате переработки составляет 8% от общего объёма.

Сколько сырья понадобится для изготовления 20кг продукта?

20 : 8 × 100 = 250кг

Чтобы узнать процентное выражение одного числа от другого, необходимо разделить первое число на второе, а затем умножить на 100.

 

Предприятие изготовило за месяц 2000 условных единиц товара. В связи с внедрением новых технологий в следующем месяце было произведено 4000 изделий. Какой процент по отношению к предыдущему месяцу?

4000 : 2000 × 100 = 200%

simple-math.ru

Как найти процент от числа и число от процента

КАК НАЙТИ ПРОЦЕНТ ОТ ЧИСЛА Перед тем как высчитать процент от суммы, необходимо рассчитать размер этого самого процента. Для этого достаточно взять общую сумму и разделить ее на 100 — результат будет составлять как раз 1%. После этого есть два варианта: 1) Если нужно узнать, сколько процентов составляет другая сумма от первоначальной, нужно просто разделить ее на размер 1%, полученный ранее. 2) Если же нужен размер суммы, которая составляет, скажем, 27,5% от первоначальной, нужно размер 1% умножить на требуемое количество процентов. КАК НАЙТИ ЧИСЛО ОТ ПРОЦЕНТА Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на 100.

<a href=»/» rel=»nofollow» title=»50112935:##:predmet/page/52863.php» target=»_blank» >[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Процент от числа — берешь число, делишь на 100 и умножаешь на количество процентов. Число от процента найти невозможно.

обратись в сбербанк

Умножить число на количество процентов, предварительно поделённое на 100…

Процент от числа: 1) Перевести процент в десятичную дробь 2) Умножить это число на полученную десятичную дробь Число по значению процента: 1) Перевести процент в десятичную дробь 2) Разделить число на полученную десятичную дробь

очень просто нужно число разделить на 100 и умножить на данное колл во процентов

Одним процентом от числа называют сотую долю этого числа и обозначают 1%. Поэтому 100% этого числа равно самому числу, также как 20% числа равны двадцати сотым долям этого числа. Подробнее: <a rel=»nofollow» href=»http://www.kakprosto.ru/kak-5619-kak-nayti-procent-ot-chisla#ixzz4gmhhYajk» target=»_blank»>http://www.kakprosto.ru/kak-5619-kak-nayti-procent-ot-chisla#ixzz4gmhhYajk</a>

touch.otvet.mail.ru

Задачи на подобие треугольников

Рассмотрим некоторые задачи на подобие треугольников.

I. В треугольнике проведен отрезок, параллельный стороне. Концы отрезка лежат на других сторонах треугольника.

Рассмотрим треугольники ABC и A1BC1.

Решать задачи на подобие треугольников удобнее, используя цветовую визуализацию, поэтому выделим данные треугольники разными цветами:

1) ∠B — общий;

2)∠ BAC=∠BA1C1 (как соответственные углы при AC∥A1C1 и секущей AB).

Следовательно, треугольники ABC и A1BC1 подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Задача

Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А1, а сторону ВС — в точке В1. Найти длину отрезка А1С1, если АС=35,  АА1: А1В=2:5.

Решение:

Доказываем подобие треугольников ABC и A1BC1. 

Ответ: 25.

II. В треугольник вписан ромб.

Рассмотрим треугольники  AFK и BFC.

Выделим данные треугольники в цвете.

1) ∠F — общий;

2)∠ FAK=∠FBC (как соответственные углы при AD∥BC и секущей AB).

Следовательно, треугольники AFK и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Задача.

В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, в вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если AF=21 см, AK=24 см.

Решение.

Доказываем подобие треугольников AFK и BFC. Из трех соотношений выбираем те, в которых нам что-либо известно:

Примем сторону ромба за x:

Тогда BF=AF-AB=21-x см. Отсюда

Разделив обе части уравнения на 3, получаем:

Ответ: 11,2 см.

В следующий раз рассмотрим задачи на подобные треугольники в трапеции.

www.uznateshe.ru

Повторение темы «Подобные треугольники». Решение задач

На этом уроке мы займемся повторением темы «Подобные треугольники. Решение задач». Занятие начнем с повторения понятия «подобные треугольники», вспомним все три признака подобия этих фигур. После решим несколько задач на эту тему, используя полученные ранее знания.

Тема: Подобные треугольники

Урок: Повторение темы «Подобные треугольники». Решение задач

На этом уроке мы повторим тему «Подобные треугольники».

Для начала вспомним определение подобных треугольников.

Определение

Треугольники  и  называются подобными треугольниками (), если у них все углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны (см. Рис. 1).

Рис. 1

; .

При этом коэффициент  называется коэффициентом подобия.

Если обозначить: , можно получить следующие соотношения между сторонами подобных треугольников: .

Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .

Для того чтобы определить, являются ли треугольники подобными, не прибегая к определению, существуют признаки подобия треугольников.

Всего существует три признака подобия. Перечислим их:

1.      По равенству двух углов: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны:.

2.      По пропорциональности двух сторон и равенству угла между ними: если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны: .

3.      По пропорциональности трёх сторон: если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны: .

С помощью подобия треугольников доказывается свойство средней линии треугольника. Напомним определение средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

С подобием связано доказательство ещё одного важного факта – свойства медиан треугольника (которое иногда ещё называют теоремой Архимеда): медианы треугольника пересекаются в одной точке, причём точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины треугольника (см. Рис. 3).

Рис. 3

;

Полезными свойства подобия оказываются и в прямоугольных треугольниках. Мы выяснили, что высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, которые подобны также исходному треугольнику. Из этого следует сразу несколько важных фактов, связывающих пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (см. Рис. 4).

Рис. 4

.

1.       (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

2.       (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

3.       (высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).

Рассмотрим задачу, в которой используются полученные в теме «Подобные треугольники» знания.

Задача

Дан прямоугольный треугольник . В нём проведена высота . . Найти высоту треугольника, катеты, а также синус угла  и тангенс угла .

Дано: ,  – высота, .

Найти:  – ?

Решение

Рис. 5

Воспользуемся соотношениями между пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике:

.

.

.

Найдём синус угла , воспользовавшись определением синуса острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе:

.

Найдём тангенс угла , воспользовавшись определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему: .

Ответ: .

На этом уроке мы повторили тему «Подобные треугольники». На следующем уроке мы начнём изучение новой темы: «Окружность».

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
2. 6yket.ru (Источник).

Домашнее задание

1. № 144(б-г), 145(б-з), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. В прямоугольном треугольнике : , . Найти расстояние от середины катета  до гипотенузы.
3. Докажите, что отношение соответствующих медиан подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 
4. Высота дерева равна , а длина тени человека, рост которого , равна . Найдите длину тени дерева.
5. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону в отношении . В каком отношении эта высота делит диагональ параллелограмма?

interneturok.ru

Решение задач по теме «Подобие треугольников»

Просмотр содержимого документа
«Решение задач по теме «Подобие треугольников»»

1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4, АС = 9.

2. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

4. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 6, перпендикулярна основаниям AD=3 и DC=12. Найдите сумму тупых углов B и D.

5. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

___________________________________________________________________

1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4, АС = 9.

2. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

4. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 6, перпендикулярна основаниям AD=3 и DC=12. Найдите сумму тупых углов B и D.

5. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

Задачи для изучения (с решением):

ТЕСТ

multiurok.ru

При подготовке к ЕГЭ по математике наиболее сложными являются задачи по геометрии – C4. Причем это задачи по планиметрии. Для успешного их решения надо, чтобы у абитуриента была очень хорошая база по простым задачам. Но чтобы уметь быстро и хорошо решать, надо много решать. Я уже ранее приводил список простых задач по использованию подобных треугольников.

Приведу условия подобия двух треугольников. Два треугольника подобны, если…

1.  равны их углы.

2. пропорциональны все стороны.

3. две стороны пропорциональны, а углы между ними равны.

При формулировке 3-го условия всегда возникает вопрос “А подобны ли треугольники, если пропорциональны две стороны и равен один из углов?”. Приведите пример, когда данное условие не выполняется.

Теперь привожу подборку чуть более сложных задач.

В скобках указаны ответы к задачам и иногда решения задач.

1. В прямоугольном ΔABC к гипотенузе AC проведена высота BD, BC = 2 см, AD = 3 см. Найдите DC, BD, AB. [DC = 1см, BD = 3 см, AB= 2 3 см. Для решения можно воспользоваться подобием ΔCDB и ΔBDA, а также теоремой Пифагора]

2. Треугольники ABC и MNK подобны. Их сходственные стороны относятся как 8:5. Площадь ΔABC больше площади ΔMNK на 25 см². Найдите площади треугольников. [Указание. Учесть, что если стороны относятся ка 8:5, то квадраты относятся как 64:25. Ответ: 16 см² и 41 см² ]

3. Основания трапеции равны 8 см и 12 см. Боковые стороны, равные 4,5 см и 5,2 см, продолжены до пересечения в точке M. Найдите расстояния от точки M до концов меньшего основания.
Решение. Пусть x, y – неизвестные расстояния, тогда находим из пропорций x:(x+4,5)=8:12 и y:(y+5,2)=8:12. [9 см и 10,4 см]

4. В прямоугольном треугольнике с углом 30°и меньшим катетом 6 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.
Решение. Используя тангенсы, найти второй катет. Далее учесть, что площадь неизвестного треугольника в 4 раза меньше площади исходного. [9 + 3 см]

5. На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4 см, BE = 8 см, DE = 12 см.
а) Найдите отношение площадей ΔDBE и ΔADP. [4]
б) Докажите, что DE и AC параллельны.

6. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O так, что OC = 5 см, OB = 6 см, OA = 15 см, OD = 18 см.
а) Найдите отношение площадей ΔAOD и ΔBOC.[9]
б) Докажите, что четырехугольник ABCD – трапеция.

7. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, относятся как 2 : 4. Чему равна меньшая сторона параллелограмма, если периметр равен 90 см? [15 см]

8. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 5 см и 6 см. Разность площадей этих треугольников составляет 22 см2. Чему равна площадь меньшего треугольника? Указание. Учесть решение задачи 2. [50 см2]

9. Катеты прямоугольного ΔABC равны 5 см и 12 см. К гипотенузе в ее середине восставлен перпендикуляр OD, пересекающий продолжение меньшего катета в точке D. Чему равна длина отрезка CD?[11,9 см]

10. В прямоугольном ΔABC с прямым углом C проведен перпендикуляр CD. Чему равна гипотенуза треугольника ABC, если CD = 6 см, AD = 4,5 см? [12,5 см]

Задачи взяты из журнала 1 сентября. Хотя многие из этих задач уже имеются на различных сайтах.

Связанные статьи

mathi.ru

Комплекс задач по теме «Подобие треугольников»

Комплекс задач по теме «Подобие треугольников»

Какие задачи из элементарной математики считаются самыми трудными? Геометрические. ЕГЭ по математике предъявляет требования определенного уровня к «геометрической» культуре и подготовке выпускников, к умению логически мыслить, к знаниям методов решения задачи. В алгебре, началах математического анализа разработана целая серия алгоритмов решения типовых задач. В геометрии, как правило, алгоритмов нет. Тем не менее можно использовать некоторые общие положения и рекомендации, которые полезно соблюдать любому решающему геометрическую задачу (тем более при подготовке к ЕГЭ). К таким положениям можно отнести следующие:

1. Обучать учащихся технологии решения задачи, т.е. самостоятельному выполнению каждого из этапов процесса решения задачи.

2. Обучать решению геометрических задач через выделение ключевых задач.

3. Устанавливать связи между задачами, разрабатывать (составлять) комплекс задач.

Комплекс задач — это набор задач, который:

— имеет одинаковую основу;

— имеет последовательность, при которой каждая следующая задача обогащала бы опыт предыдущей;

— сформулирован таким образом, чтобы осуществлялся переход от одной задачи к другой.

Основой комплекса может быть:

— единая геометрическая конструкция;

— метод решения;

— единая тематика;

— теорема;

— ключевая задача;

— дополнительное построение и др.

Большую трудность у учащихся всегда вызывают задачи на применение подобия, поэтому предлагаю комплекс задач по теме «Подобие треугольников» (по материалам спецкурса для 10—11 классов).

Ключевые задачи.

1.

∆DCF∆BCA

DF || АВ

2.

1) ∆ADC∆ACB, ()

2) ∆BDC∆BCA, ()

3) ∆ADC∆CDB, ()

Следствия

AC²=AB∙BD

BC²=AB∙BD

CD²=AD∙BD

3.

∆BAO∆COD

4.

∆BOC∆DOA

Наиболее подробно представлю задачу №5 и комплекс задач, основой которого является данная задача (данная задача была представлена в 2004 г. на пробном ЕГЭ).

В остроугольном треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот, отсекает треугольник, подобный данному.

Доказательство:

1. ∆BA₁A∆BC₁C по двум углам ()

Значит, ; ; по свойству пропорции

2. Рассмотрим: ∆A₁ВС₁ и ∆ABC

— общий, стороны, заключающие общий угол, пропорциональны.

Вывод: ∆BA₁A∆BC₁C по || признаку подобия.

Следствие:

Из подобия треугольников следует: ;

В комплекс входят задачи:

I уровень:

1. На отработку определения подобия в данной конструкции.

2. На отработку , — общий угол треугольников

3. , (взаимосвязь)

II уровень:

тот же тип задач, но конструкция завуалирована.

III уровень:

привлечение других фактов или теорий к заданной конструкции.

VI уровень:

контрпример (конструкция сходна, но теорема «не работает»)

I уровень:

1. В остроугольном — ∆АВС AA₁ и CC₁ высоты. АВ=15 см, ВС=12 см, АС=18 см, Л,С,=0,6 дм.

a) Найти ВА, и ВС,

b) Найти угол В.

2. В остроугольном ∆АВС AA₁ и CC₁ — высоты, .

а) Найти периметр ∆А₁В₁С₁, если периметр равен 52 см

b) Найти площадь ∆АВС, если площадь ∆А₁В₁С₁ 17 см².

II уровень:

1. В ∆MNK на стороне МК как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны MN и NK в точках Е и F соответственно, .

Найти угол FEN.

Анализ ситуации и поиск решения.

1. Как связаны элементы фигур, данных в условии?

* сторона треугольника МК — диаметр окружности

* Е и F — общие точки сторон треугольника и окружности

* угол MKN треугольника — вписанный в окружность.

2. Какие дополнительные построения обычно выполняют для получения дополнительной информации?

* соединяем центр окружности с точками окружности или соединяем точки окружности (возможные предложения ОЕ и OF; MF, КЕ)

* какие при этом образовались фигуры, что о них известно? Как связаны элементы фигур с данными в условии?

3. Остановимся (в результате обсуждения) на ∆MFK

* — вписанный в окружность

* — вписанный в окружность, опирается на диаметр, значит, тогда в ∆MFK MF — высота.

4. Аналогично КЕ — высота ∆MFK.

Вывод: получили известную конструкцию: в остроугольном ∆MFK проведены две высоты, значит, по ключевой задаче, FE отсекает треугольник, подобный данному, т.е. ∆MFK∆FNE.

значит соответственные углы равны, т.е. Искомый угол 40°.

Ответ: 40°.

Задача 5.

Отрезок АВ — диаметр круга, а точка Р — вне его так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и В соответственно

1) Найти расстояние между С и В, если радиус окружности .

2) Найти площадь ∆ABP, если площадь ∆CDP равна

Решение:

1. Ситуация аналогична предыдущей задаче; в результате анализа приходим к выводу, что ∆ABP∆DPC. .

Пары сходственных элементов подобных треугольников неизвестны, но известен общий угол, поэтому

; ; ; .

; ; ; .

Ответ:

Задача 6.

АВ — диаметр круга, а точка Р вне его выбрана так, что АР и РВ пересекают окружность в точках С и D соответственно, причем CD делит ∆ABP на части, площади которых относятся как 1:3. Найти угол между АР и ВР (или угол, под которым виден диаметр круга из точки Р).

Решение:

Ситуация аналогична.

В результате анализа приходим к выводу, что ∆APB∆DPC. Т.к. отношение площадей и четырехугольника ACDB равно , то отношение площадей подобных треугольников равно . Задача сводится к нахождению общего угла подобных треугольников, значит ; ; , где — величина общего угла — АРВ. , искомый угол 60°.

Ответ: 60°.

III уровень.

Задача 7.

В остроугольном треугольнике ABC CF и AD высоты. АС=1. Угол ACF равен . Найти площадь круга, описанного около ∆FBD.

Решение:

1. По ключевой задаче ∆ABD∆DBF. (из прямоугольного ∆FBC)

2. По следствию из теоремы синусов , где R — радиус окружности, описанной около ∆ABC.

; .

3. , где r — радиус окружности, описанной около ∆FBD

; ; .

4. .

Ответ:

Задача 8.

В остроугольном треугольнике ABC CF и AD высоты. Периметры треугольников ABC и FBD соответственно равны 15 см и 9 см. Радиус окружности, описанной около AFBD, равен 1,8 см. Найти АС.

Задача 9.

В равнобедренном ∆ABС с основанием АС высота AF делит высоту BD на отрезки 40 см и 5 см. Найти площадь треугольника АОВ, где О — точка пересечения высот.

Конструкция сходна с ключевой задачей — в треугольнике проведены две высоты, однако в этой задаче данный «ключ» не работает.

infourok.ru

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Практические приложения подобия треугольников. — Повторение темы «Подобные треугольники». Решение задач.

Комментарии преподавателя

По­вто­ре­ние темы «По­доб­ные тре­уголь­ни­ки». Ре­ше­ние задач

На этом уроке мы по­вто­рим тему «По­доб­ные тре­уголь­ни­ки».

Для на­ча­ла вспом­ним опре­де­ле­ние по­доб­ных тре­уголь­ни­ков.

Опре­де­ле­ние

Тре­уголь­ни­ки  и  на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми (), если у них все углы равны, а со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны (см. Рис. 1).

Рис. 1

; .

При этом ко­эф­фи­ци­ент  на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия.

Если обо­зна­чить: , можно по­лу­чить сле­ду­ю­щие со­от­но­ше­ния между сто­ро­на­ми по­доб­ных тре­уголь­ни­ков: .

Кроме того, пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия: .

Для того чтобы опре­де­лить, яв­ля­ют­ся ли тре­уголь­ни­ки по­доб­ны­ми, не при­бе­гая к опре­де­ле­нию, су­ще­ству­ют при­зна­ки по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Всего су­ще­ству­ет три при­зна­ка по­до­бия. Пе­ре­чис­лим их:

1.      По ра­вен­ству двух углов: если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны:.

2.      По про­пор­ци­о­наль­но­сти двух сто­рон и ра­вен­ству угла между ними: если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, а углы, за­клю­чён­ные между этими сто­ро­на­ми, равны, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны: .

3.      По про­пор­ци­о­наль­но­сти трёх сто­рон: если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны со­от­вет­ствен­но трём сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны: .

С по­мо­щью по­до­бия тре­уголь­ни­ков до­ка­зы­ва­ет­ся свой­ство сред­ней линии тре­уголь­ни­ка. На­пом­ним опре­де­ле­ние сред­ней линии тре­уголь­ни­ка.

Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка – от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны двух сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Свой­ство сред­ней линии тре­уголь­ни­ка: сред­няя линия тре­уголь­ни­ка па­рал­лель­на сто­роне тре­уголь­ни­ка и равна её по­ло­вине (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

С по­до­би­ем свя­за­но до­ка­за­тель­ство ещё од­но­го

www.kursoteka.ru

Подобные треугольники, формулы и примеры

Определение и формулы подобных треугольников

Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h.

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h. Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d₁и d₂, которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d₁d₂ *sinα.

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c² – ( ( 1/2(b – a)) * ((b – a)² + c² – d²) )².

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r²/sinα. Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30⁰: S = 8r².

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d₁ и d₂, а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h².

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка [a; b] на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок [a; b]), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫^b_af(x)dx = F(x)│^b_a = F(b) – F(a). В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке [a; b]. И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ² = АР² + РХ²). И высчитать его площадь: S_APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см².

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S_AMPC = S_APX = 54 см².

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение:  Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h₁ для треугольника ТМЕ и высоту h₂ для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h₁ = 1/5(b + х) * h₂. Преобразуем и получим: h₁/ h₂ = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h₁/ h₂ = (х – а)/( b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х² – а²) = (b² – х²) ↔ 6х² = b² + 5а² ↔ х = √(5а² + b²)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а² + b²)/6.

Также советуем посмотреть вам наше новое видео по теме нахождения площади фигур, в том числе и трапеции:

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Найти онлайн площадь трапеции abcd

• ГЛАВНАЯ
  • расчеты
  • мониторинг
  • консалтинг
• ОБЪЕКТЫ
  • сосуды и аппараты
  • здания и сооружения
  • трубопроводы
  • прочие
• ОНЛАЙН
  • сосуды и аппараты
  • трубопроводы
  • прочие
  • математика
• МАТЕРИАЛЫ
  • статьи
  • презентации
  • отчеты
  • log-files
  • прочие
• ЛИТЕРАТУРА

cae-cube.ru

Площадь трапеции по сторонам | Треугольники

Как найти площадь трапеции по 4 сторонам?

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать её основания и высоту. Основания известны, следовательно, задача сводится к нахождению высоты трапеции.

I способ.

Из вершины тупого угла провести прямую, параллельную боковой стороне.

Найти площадь полученного треугольника по формуле Герона. Зная площадь, найти высоту треугольника, которая является также высотой трапеции.

Задача 1.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 11 см и 28 см, а боковые стороны — 25 см и 26 см.

Дано: ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=25 см, BC=11 см,

CD=26 см, AD=28 см

Найти:

Решение:

1) Проведем через вершину C прямую CL,  CL∥AB.

Четырехугольник ABCL — параллелограмм (по определению, так как BC∥AL — по условию, CL∥AB — по построению).

По свойству параллелограмма, AL=BC=11 см, CL=AB=25 см. Следовательно, LD=AD-AL=28-11=17 см.

2) Рассмотрим треугольник CDL. Его площадь найдём по формуле Герона

С другой стороны, 

3) По формуле

найдём площадь трапеции ABCD:

Ответ: 468 см².

II способ.

Провести из тупых углов трапеции две высоты.

В результате получим прямоугольник и два прямоугольных треугольника.

Один из катетов этих треугольников — высота трапеции. Её можно выразить через другие стороны в каждом из треугольников, затем приравнять полученные равенства.

Задача 2.

Найти площадь трапеции, основания которой равны 10см  и 14 см, а боковые стороны — 13 см и 14 см.

рисунок 1

Дано:ABCD — трапеция,

AD∥BC, AB=13 см, BC=10 см,

CD=15 см, AD=14 см

Найти:

Решение:

Проведём высоты трапеции BK и CF.

Четырёхугольник BCFK — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Поэтому, KF=BC=10 см.

Пусть FD=x см, тогда AK=AD-KF-FD=14-10-x=4-x см.

Рассмотрим треугольник CDF — прямоугольный. По теореме Пифагора

Аналогично, из треугольника ABK

Приравниваем правые части:

Ответ: 144 см².

рисунок 2

Традиционно трапецию изображают именно в таком виде, как на рисунке 1 — с двумя тупыми углами при меньшем основании.

Но в трапеции также могут быть тупыми противоположные углы — как на рисунке 2.

Для  трапеции с противоположными тупыми углами верны все рассуждения, приведенные выше, за одним исключением —  в этом случае BC=AF=AK+AF.

В разных вариантах трапеции отрезки FD и AK имеют разную длину, но величина высоты, а значит, и площади, одинакова.

www.treugolniki.ru

Площадь трапеции — формулы, примеры расчета,

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:

Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции

Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

Далее рассмотрим еще один пример расчета площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула через стороны и прилегающие к основанию углы позволит легко найти площадь фигуры.

То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Отдельный случай – это криволинейная трапеция. Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками:
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

2mb.ru

Площадь трапеции: как вычислить, формула

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Трапеция

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

S = h * m

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Равнобедренная трапеция

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

• Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

• Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

•  Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

• Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

• Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Круг в трапеции

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

S = D2 / sin α

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Трапеция в круге

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

S = r * (a + b)

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Прямоугольная трапеция

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

• Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

• Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

S = m * h

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

S = m * c

• Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Прямоугольная трапеция с перпендикулярными диагоналями

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

• Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

S = (a + b) * r

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

• Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

S = 2m * r

где m — длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке [a;b], осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.

Криволинейная трапеция

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

24smi.org

Как рассчитать площадь трапеции

У трапеции две противоположные стороны параллельны. Они называются основаниями. Принято изображать трапецию так, чтобы большее основание находилось внизу. Остальные две стороны называют боковыми сторонами
Самой распространенной формулой для вычисления площади трапеции является формула через основания трапеции и ее высоту.

Выглядит формула площади так:

   

Еще проще найти площадь трапеции, если известна величина средней линии трапеции и ее высота.

Тогда формула будет выглядеть так:

   

Несложно заметить, чем отличаются последние две формулы. Так как средняя линия как раз и равна половине суммы оснований трапеции, то формулы запомнить совсем легко.
Рассмотрим как рассчитать площадь трапеции, если известны длины всех ее сторон.

Обозначим основания трапеции через osn1 и osn2, а боковые ее стороны — через bok.st1 и bok.st2.
Запишем формулу площади трапеции:

   

В этой формуле также прослеживается присутствие средней линии, поэтому ее можно переписать так:

   

Если из все величин трапеции известны только длины ее диагоналей и угол между ними (причем любой), то ее площадь также можно найти:

   

Для равнобедренной трапеции, вокруг которой описана окружность, площадь можно найти по радиусу этой окружности и углу при большем основании:

   

Мы рассмотрели наиболее распространенный формулы для вычисления площади трапеции.

ru.solverbook.com

формулы и методика вычислений :: SYL.ru

Для того чтобы чувствовать себя на уроках геометрии уверенно и успешно решать задачи, недостаточно выучить формулы. Их нужно в первую очередь понимать. Бояться, а тем более ненавидеть формулы — непродуктивно. В этой статье доступным языком будут проанализированы различные способы поиска площади трапеции. Для лучшего усвоения соответствующих правил и теорем уделим некоторое внимание ее свойствам. Это поможет разобраться в том, как работают правила и в каких случаях следует применять те или иные формулы.

Определяем трапецию

Что это за фигура в целом? Трапецией называют многоугольник из четырех углов с двумя параллельными сторонами. Две другие стороны трапеции могут быть наклонены под различными углами. Ее параллельные стороны называют основаниями, а для непараллельных сторон применяют наименование «боковые стороны» или «бедра». Такие фигуры довольно часто встречаются в обыденной жизни. Контуры трапеции можно увидеть в силуэтах одежды, предметах интерьера, мебели, посуды и многих других. Трапеция бывает разных видов: разносторонняя, равнобокая и прямоугольная. Более детально их типы и свойства разберем далее в статье.

Свойства трапеции

Остановимся коротко на свойствах этой фигуры. Сумма углов, прилегающих к любой боковой стороне, всегда равняется 180°. Надо заметить, что все углы трапеции в сумме составляют 360°. У трапеции существует понятие средней линии. Если соединить середины боковых сторон отрезком – это и будет средняя линия. Ее обозначают m. У средней линии есть важные свойства: она всегда параллельна основаниям (мы помним, что основания также параллельны между собой) и равна их полусумме:

m = (a+b)/2.

Это определение обязательно надо выучить и понять, ведь это ключ к решению множества задач!

У трапеции всегда можно опустить высоту на основание. Высота – это перпендикуляр, часто обозначаемый символом h, который проведен из любой точки одного основания на другое основание или его продолжение. Средняя линия и высота помогут найти площадь трапеции. Подобные задачи являются самыми распространенными в школьном курсе геометрии и регулярно появляются среди контрольных и экзаменационных работ.

Самые простые формулы площади трапеции

Разберем две самые популярные и простые формулы, с помощью которых находят площадь трапеции. Достаточно умножить высоту на полусумму оснований, чтобы легко найти искомое:

S = h*(a + b)/2.

В этой формуле a, b обозначают основания трапеции, h — высоту. Для удобства восприятия в этой статье знаки умножения отмечены символом (*) в формулах, хотя в официальных справочниках знак умножения обычно опускают.

Рассмотрим пример.

Дано: трапеция с двумя основаниями, равными 10 и 14 см, высота составляет 7 см. Чему равна площадь трапеции?

Разберем решение этой задачи. По этой формуле сначала нужно найти полусумму оснований: (10+14)/2 = 12. Итак, полусумма равняется 12 см. Теперь полусумму умножаем на высоту: 12*7 = 84. Искомое найдено. Ответ: площадь трапеции равна 84 кв. см.

Вторая известная формула гласит: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции. То есть фактически вытекает из предшествующего понятия средней линии: S=m*h.

Использование диагоналей для вычислений

Другой способ нахождения площади трапеции на самом деле не так уж сложен. Он связан с ее диагоналями. По этой формуле для нахождения площади требуется умножить полупроизведение ее диагоналей (d₁ d₂) на синус угла между ними:

S = ½ d₁ d₂ sina.

Рассмотрим задачу, которая показывает применение этого способа. Дано: трапеция с длиной диагоналей равной соответственно 8 и 13 см. Угол a между диагоналями равняется 30°. Найти площадь трапеции.

Решение. Используя вышеприведенную формулу, легко вычислить требуемое. Как известно, sin 30° составляет 0,5. Следовательно, S = 8*13*0,5=52. Ответ: площадь равна 52 кв. см.

Ищем площадь равнобокой трапеции

Трапеция может быть равнобокой (равнобедренной). Ее боковые стороны одинаковы И углы при основаниях равны, что хорошо иллюстрирует рисунок. Равнобедренная трапеция имеет такие же свойства, что и обычная, плюс ряд особых. Вокруг равнобокой трапеции может быть описана окружность, и в нее может быть вписана окружность.

Какие же есть методики вычисления площади такой фигуры? Нижеприведенный способ потребует больших вычислений. Для его применения нужно знать значения синуса (sin) и косинуса (cos) угла при основании трапеции. Для их расчетов требуются либо таблицы Брадиса либо инженерный калькулятор. Вот эта формула:

S = c*sin a*(a – c*cos a),

где с — боковое бедро, a – угол при нижнем основании.

Равнобокая трапеция обладает диагоналями одинаковой длины. Верно и обратное утверждение: если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной. Отсюда следующая формула, помогающая найти площадь трапеции – полупроизведение квадрата диагоналей на синус угла между ними: S = ½ d² sina.

Находим площадь прямоугольной трапеции

Известен частный случай прямоугольной трапеции. Это трапеция, у которой одна боковая сторона (ее бедро) примыкает к основаниям под прямым углом. Она имеет свойства обычной трапеции. Помимо этого, она обладает очень интересной особенностью. Разность квадратов диагоналей такой трапеции равняется разности квадратов ее оснований. Для нее используют все ранее приведенные методики вычисления площади.

Применяем смекалку

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывчивости специфических формул. Рассмотрим внимательнее, что представляет собой трапеция. Если мысленно разделить ее на части, то мы получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два). Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, после чего сложить все полученные величины.

Проиллюстрируем это следующим примером. Дана прямоугольная трапеция. Угол C = 45°, углы A, D составляют 90°. Верхнее основание трапеции равно 20 см, высота равна 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Решение

Данная фигура очевидным образом состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника. Так как трапеция прямоугольная, следовательно, ее высота равна ее боковой стороне, то есть 16 см. Имеем прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона составляет 16 см. Так как эта сторона является одновременно высотой трапеции (а нам известно, что высота опускается на основание под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Отсюда оставшийся угол треугольника составляет 45°. Следствием этого мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две стороны одинаковы. Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площадь треугольника и прямоугольника и сложить полученные величины.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равняется произведению его ширины на длину: S = 20*16 = 320. Мы нашли требуемое: площадь трапеции S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можно легко себя перепроверить, воспользовавшись вышеприведенными формулами, ответ будет идентичен.

Используем формулу Пика

Напоследок приведем еще одну оригинальную формулу, помогающую искать площадь трапеции. Она называется формулой Пика. Ею удобно пользоваться, когда трапеция нарисована на клетчатой бумаге. Подобные задачи часто встречаются в материалах ГИА. Выглядит она следующим образом:

S = M/2 + N – 1,

в этой формуле M – количество узлов, т.е. пересечений линий фигуры с линиями клетки на границах трапеции (оранжевые точки на рисунке), N – количество узлов внутри фигуры (синие точки). Удобнее всего пользоваться ею при нахождении площади неправильного многоугольника. Тем не менее, чем больше арсенал используемых методик, тем меньше ошибок и лучше результаты.

Разумеется, приведенными сведениями далеко не исчерпываются типы и свойства трапеции, а также способы поиска ее площади. В этой статье дан обзор наиболее важных ее характеристик. В решении геометрических задач важно действовать постепенно, начинать с легких формул и задач, последовательно закреплять понимание, переходить на другой уровень сложности.

Собранные воедино самые распространенные формулы помогут ученикам сориентироваться в разнообразных способах вычисления площади трапеции и более качественно подготовиться к тестам и контрольным работам по этой теме.

www.syl.ru

Рациональные числа — Циклопедия

Рациональные числа // Доступная математика

Рациональные числа — это всевозможные числа, которые представляются как частное целого и натурального числа, то есть в виде дроби (отношения) p/q, где p — целое число, q — натуральное число. Две такие дроби p₁/q₁ и p₂/q₂ считаются равными, если p₁q₂ − p₂q₁ = 0 (иными словами, дроби можно «сокращать», то есть mp/mq = p/q для ненулевого m).

[править] Основные свойства

Сложение рациональных чисел дробей осуществляется путем «приведения к общему знаменателю»:

p₁/q₁ + p₂/q₂ = (p₁q₂ + p₂q₁)/q₁q₂

Аналогичным образом определяется вычитание рациональных чисел: p₁/q₁ − p₂/q₂ = (p₁q₂ − p₂q₁)/q₁q₂

Противоположным числом к дроби p/q является дробь −p/q:

p/q + (−p/q) = 0.

Произведение рациональных чисел p₁/q₁ и p₂/q₂ — это число p₁p₂/q₁q₂.

Целые числа вкладываются в рациональные, так как любое целое число n можно представить как дробь n/1. Таким образом, рациональные числа являются расширением целых чисел (которые, в свою очередь — расширение натуральных чисел). Если при расширении натуральных чисел до целых становится возможным вычитать любые числа, то при расширении целых чисел до рациональных становится возможным делить на любое число, не равное нулю.

Для рациональных чисел p₁/q₁ и p₂/q₂, второе из которых не равно 0 (то есть p₂ ≠ 0), определено частное этих чисел:

p₁/q₁ : p₂/q₂ = p₁q₂ / q₁p₂.

Для любого ненулевого рационального числа p/q существует обратное к нему по умножению — число q/p. Действительно, p/q · q/p = pq/pq = 1.

Для сложения и умножения рациональных чисел, как и для целых, выполняются свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, а существование обратного элемента по умножению у всех ненулевых рациональных чисел доказывает, что это коммутативное и ассоциативное кольцо является полем.

В математической и учебной литературе поле рациональных чисел обозначается [math]\mathbb Q[/math]. Поле рациональных чисел вкладывается в поле действительных (вещественных) чисел [math]\mathbb R[/math], которое можно представлять, например, как множество бесконечных десятичных дробей (так оно часто определяется в школьном курсе математики). При этом рациональным числам соответствуют периодические десятичные дроби (то есть такие, в которых есть бесконечное повторение одной и той же последовательности, начиная с некоторой позиции). Например, 1,0333333… = 31/30 — рациональное число.

Любое рациональное число с помощью алгоритма Евклида может быть единственным образом представлено в виде (конечной) цепной дроби:
[math]\frac{m}{n} = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_k} }}}[/math]
(a₀ — целое число, a_i — натуральные при 1 ≤ i ≤ k, и обычно полагается, что последний элемент a_k > 1, если рациональное число m/n — не целое).

В алгебре определяется операция расширения коммутативного ассоциативного целостного (в котором произведение ненулевых элементов не равно нулю) кольца до поля, которое называется полем частных, и это вложение аналогично вложению кольца целых чисел в поле рациональных чисел. Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем K, обозначаемое K[x], вкладывается в поле рациональных функций одной переменной, обозначаемое K(x).

Уже в Древней Греции стало известно, что [math]\sqrt{2}[/math] (длина диагонали квадрата со стороной 1, равная «квадратному корню из 2») не выражается рациональным числом. Такие числа называются иррациональными. Позднее стало известно что число Пи иррационально (длина окружности с диаметром 1), аналогично и многие другие фундаментальные математические константы иррациональны. Иррациональным числам соответствуют непериодические бесконечные десятичные дроби, также любое иррациональное число раскладывается в бесконечную цепную дробь.

Пример, показывающий возможность нумерации положительных рациональных чисел

Рациональных чисел бесконечно много. При этом это множество счетно, то есть существует взаимно однозначное соответствие между множеством рациональных чисел и множеством натуральных чисел. В то же время, множество всех действительных чисел не является счетным.

• Ван дер Варден Б. Л. Современная алгебра. т.т.1-2, М-Л: ОНТИ НКТП, 1937.

cyclowiki.org

Рациональные числа

От латинского слова ratio — отношение, деление, дробь происходит математический термин рациональное число или рациональная дробь.

---

Суммирование дробей

Рациональное число есть число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где m — целое число, а n — натуральное. В рациональной дроби число m называется числителем, а число n — знаменателем. Таким образом, рациональная дробь представляет собой результат деления m на n. В действительности дроби часто используются при подсчете частей целого, но неделимого объекта, а также для приблизительной оценки пространственно-временных отношений протяженных объектов.

Множество рациональных чисел принято обозначать Q. Наиболее точная графическая запись рациональных чисел такова: .

---

Нумерация рациональных чисел

Кстати сказать, что дроби типа 3/4 и 9/12 и входят в множество рациональных чисел как одна дробь. Из этого можно сделать вывод, что множество рациональных чисел — это множество несократимых дробей с целым числителем и натуральным знаменателем: , где GCD (m, n)— наибольший общий делитель чисел m и n. Если он равен единице, то это гарантирует взаимную простоту«числителя и знаменателя, что в свою очередь обуславливает несократимость дроби m/n.

Дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя называется правильной. Дробь, не являющаяся правильной относится к неправильным.

Приведем пример, дроби 3/5, 7/8, и 1/2 — правильные дроби, а дроби 8/3, 9/5 и 2/1 — неправильные дроби.

Кстати сказать, что всякое целое число можно записать в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Целое число и правильная дробь называется смешанной дробью, представляющая собой сумму числа и дроби. К примеру, 2 3/7 = 2 + 3/7 = 14/7 + 3/7 = 17/7.

Интересно узнать, что в математической литературе такая запись практически не используется в связи с тем, что вид такой дроби очень схож с обозначением произведения целого числа на дробь.

---

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

К основным свойствам рациональных чисел относятся следующие:

• Упорядоченность. Для любых рациональных чисел a и b существует правило упорядочения, дающее возможность однозначно идентифицировать между ними одно из трёх отношений:» < », « > «или» = «. Точная формулировка этого правила такова: два неотрицательных числа a = m_a/n_aи b = m_b/n_bсвязаны тем же отношением, что и два целых числа m_an_b и m_bn_a; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа |b|и |a|; если же вдруг a неотрицательно, а b — отрицательно, то a > b.
• Операция сложения. Любые рациональные числа a и b подчиняются правилу суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c, которое называется суммой чисел a и b и обозначается (a + b). Процесс поиска числа с называется суммированием.
  Правило суммирования выглядит следующим образом: m_a/n_am_b/n_b = (m_an_b + m_bn_a) / n_an_b.
• Операция умножения. Для любых рациональных чисел a и b существует справедливо правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c. Здесь число c называется произведением чисел a и b и обозначается (ab). Процесс отыскания числа с называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: m_a/n_am_b/n_b = (m_am_b)/(n_an_b).
• Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a, b и c в случае, если a меньше b, а b меньше c, то a меньше c. Когда a равно b, а b равно c, то a равно c. Т.е. (a < b & b < c => a < c) & (a = b & b = c => a = c)
• Коммутативность сложения. Всем известное правило: от перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется. Т.е. a + b = b + a.
• Ассоциативность сложения. На результат сложения не влияет порядок сложения трех рациональных чисел. Т.е. (a + b) + c = a + (b + c).
• Наличие нуля. При суммировании любых рациональных чисел рациональное число 0 сохраняет их. a + 0 = a.
• Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0. a + (-a) = 0.
• Коммутативность умножения. Произведение рациональных чисел от перемены мест рациональных множителей не меняется. ab = ba.
• Ассоциативность умножения. На результат перемножения трех рациональных чисел порядок не влияет. (ab)c = a(bc).
• Наличие единицы. Наличие рационального числа 1 при умножении сохраняет любое другое рациональное число. a1 = a.
• Наличие обратных чисел. Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1. aa^-1 = 1.
• Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласуется с операцией сложения на основе распределительного закона: (a + b)c = ac + bc.
• Связь отношения порядка с операцией сложения. Одно и то же рациональное число можно прибавить и к левой и правой частям рационального неравенства. a < b => a + c < b + c.
• Связь отношения порядка с операцией умножения. Одно и то же положительное рациональное число можно умножать на левую и правую части рационального неравенства. c > 0 & a < b => ac < bc.
• Аксиома Архимеда гласит, что каково бы ни было рациональное число a, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a.

Кроме основных шестнадцати свойств, присущих рациональным числам существуют и другие, которые могут быть выведены из приведенных свойств. Дополнительных свойств рациональных чисел очень много.

Поделиться ссылкой

sitekid.ru

Рациональное число Википедия

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, которое можно представить обыкновенной дробью mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}, числитель m{\displaystyle m} — целое число, а знаменатель n{\displaystyle n} — натуральное число, к примеру 2/3. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

Множество рациональных чисел[ | ]

Множество рациональных чисел обозначается Q{\displaystyle \mathbb {Q} } (от лат. quotient, «частное») и может быть записано в таком виде:

Q={mn∣m∈Z, n∈N}.{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N} \right\}.}

Другими словами, числитель (m) может иметь знак, а знаменатель (n) должен быть положительным целым числом.

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, 34{\displaystyle {\frac {3}{4}}} и 912{\displaystyle {\frac {9}{12}}}, (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно пол

ru-wiki.ru

Число рациональных мыслей и способ мышления человека

Число рациональных мыслей наилучшим образом опишет ваш способ мышления. Как вы мыслите? Вы руководствуетесь здоровой логикой, практичны или же полностью доверяете голосу интуиции? Оригинальны или предпочитаете стандартные решения? Число рациональных мыслей расскажет об этом.

Но стоит помнить, что число рациональных мыслей ярче проявляется, когда перед человеком стоит интеллектуальная задача. Но если решаемый вопрос эмоционально окрашен — это число не оказывает на человека практически никакого влияния.

Как рассчитать число рациональных мыслей

Для расчета числа рациональных мыслей необходимо знать полное имя человека и число его рождения. Первое, что мы сделаем — это переведем имя в числовой код и суммируем все цифры.

Складываем все числа имени: 2+1+2+3+6+6+1 = 21 и сводим ее к однозначному числу 21=3.

Теперь суммируем полученное число с числом рождения. Я родилась 31 числа — оно сокращается до 4. Складываем:

3 (имя) + 4 (число) = 7 (число рациональных мыслей).

При вычислении числа рациональных мыслей управляющие числа (11 и 22) до однозначных не сокращаются.

Теперь вкратце рассмотрим значение каждого из чисел:

Число 1

Вы независимы, упрямы, смелы и решительны.Без колебаний вступаете в дискуссию и умело отстаиваете свою точку зрения.Ваши мысли ярки и оригинальны.

Число 2

Вы открыты для идей окружающих. Мягки и ненавязчивы. Мыслите, по большей части, опираясь на интуицию.

Число 3

Вы, однозначно, натура творческая. Но ваши мысли несколько рассеянны. Для вас свойственно перескакивать с одной мысли на другую. В стремлении охватить все — можете упустить из виду значимые детали. Пусть и не всегда действуете логично, но, практически всегда, принимаете верные решения.

Число 4

Вы практичны и рациональны. Привыкли четко планировать свои действия, шаг за шагом. Однако, новые идеи вас несколько озадачивают и выводят из привычной колеи.

Число 5

Вы гибкий, адаптивный человек и довольно хитрый человек. Способны выиграть спор, даже если и не правы.

Число 6

Справедливость является основой ваших решений. Замечаете то, что многие не способны разглядеть. Концентрируясь на деталях, вы забываете о глобальных задачах.

Число 7

Вы — один из тех, кто всегда докапываются до истины. Никогда не удовлетворяетесь простым ответом. Стремитесь рассмотреть вопрос со всех сторон, пока проблема не станет полностью ясна. И только тогда, без замедлений и колебаний, приступите к решению текущей проблемы.

Число 8

Вы находите баланс между рациональным и иррациональным. Обладаете масштабным зрением. Обожаете интеллектуальные «войны».

Число 9

Вас не тревожит точка зрения окружающих. Не смотря на это, вы не спешите высказывать свое мнение, пока другие не выскажутся. Лишь после этого вы укажете на недостатки, которые ускользали от чужих взглядов. Решаете проблемы скорее посредством озарений, чем путем выстраивания логических цепочек.

Число 11

Данное число является наиболее магическим среди остальных. Вы можете быть духовным учителем или изобретателем. Ваши ответы и озарения просто невероятны!

Число 22

Вы — человек с высокими идеалами. Число 22 создает фундамент, помогает фантазии воплощать в реальность. В целом, вибрация этого числа способствует достижению успеха. Человек способен объективно оценивать ситуацию, но и в то же время, не упускать из виду деталей.

---

Возможно, вас заинтересует:

Уровень развития души по дате рождения

Число моста или как связать основные числа в нумерологической карте

Число зрелости — золотая цель человека

Опубликовано 27 Июл 2017 16:14

Чтобы сообщить об ошибке — выделите фрагмент текста с ошибкой и воспользуйтесь комбинацией клавиш Ctrl+Enter

Оцените, пожалуйста, запись! Я старалась)

Загрузка…

tvkoh.com

Что такое рациональные числа 🚩 что значит рациональное число 🚩 Наука 🚩 Популярное

По определению рациональным числом называется такое число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Числителем такой дроби должно быть целое число, а знаменателем — натуральное. В свою очередь натуральные числа — это те, которые используются при счете предметов, а целые — это все натуральные, противоположные им и ноль.Множеством рациональных чисел называют множество представлений этих дробей. Дробь следует понимать как результат деления, например, дроби 1/2 и 2/4 следует понимать как аналогичное рациональное число. Поэтому дроби, которые можно сократить, несут один математический смысл с этой точки зрения. Множество всех целых чисел является подмножеством рациональных. Рассмотрим основные свойства. Рациональные числа обладают четырьмя основными свойствами арифметики, а именно — умножением, сложением, вычитанием и делением (кроме ноля), а также возможностью упорядочить эти числа. Для каждого элемента из множества рациональных чисел доказано наличие обратного и противоположного элемента, наличие нуля и единицы. Множество этих чисел ассоциативно и коммутативно как по сложению, так и по умножению. Среди свойств есть известная теорема Архимеда, которая гласит, что какое бы ни взяли рациональное число, можно взять столько единиц, что сумма этих единиц превзойдет данное рациональное число. Заметим, что множество рациональных чисел является полем. Область применения рациональных чисел очень широка. Это те числа, которые применяются в физике, экономике, химии и других науках. Большое значение рациональные числа играют в финансовых и банковских системах. При всей мощности множества рациональных чисел, ее не хватает для решения задач планиметрии. Если взять небезизвестную теорему Пифагора, там возникает пример нерационального числа. Поэтому возникла необходимость расширить это множество до множества так называемых вещественных чисел. Изначально понятия «рациональный», «иррациональный» относились не к числам, а к соизмеримым и несоизмеримым величинам, которые иногда называли выразимыми и невыразимыми.

www.kakprosto.ru

Рациональные числа — это периодические дроби — Науколандия

Как известно, множество рациональных чисел (Q) включает в себя множества целых чисел (Z), которое в свою очередь включает множество натуральных чисел (N). Помимо целых чисел в рациональные числа входят дроби.

Почему же тогда все множество рациональных чисел рассматривают иногда как бесконечные десятичные периодические дроби? Ведь кроме дробей, они включают и целые числа, а также непериодические дроби.

Дело в том, что все целые числа, а также любую дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. То есть для всех рациональных чисел можно использовать одинаковый способ записи.

Как представляется бесконечная периодическая десятичная дробь? В ней повторяющуюся группу цифр после запятой берут в скобки. Например, 1,56(12) — это дробь, у которой повторяется группа цифр 12, т. е. дробь имеет значение 1,561212121212… и так без конца. Повторяющаяся группа цифр называется периодом.

Однако в подобном виде мы можем представить любое число, если будем считать его периодом цифру 0, которая также повторяется без конца. Например, число 2 — это то же самое, что 2,00000…. Следовательно, его можно записать в виде бесконечной периодической дроби, т. е. 2,(0).

То же самое можно сделать и с любой конечной дробью. Например:

0,125 = 0,1250000… = 0,125(0)

Однако на практике не используют преобразование конечной дроби в бесконечную периодическую. Поэтому разделяют конечные дроби и бесконечные периодические. Таким образом, правильнее говорить, что к рациональным числам принадлежат

• все целые числа,
• конечные дроби,
• бесконечные периодические дроби.

При этом просто помнят, что целые числа и конечные дроби представимы в теории в виде бесконечных периодических дробей.

С другой стороны, понятия конечной и бесконечной дроби употребимы к десятичным дробям. Если говорить об обыкновенных дробях, то как конечную, так и бесконечную десятичную дробь можно однозначно представить в виде обыкновенной дроби. Значит, с точки зрения обыкновенных дробей, периодические и конечные дроби — это одно и то же. Кроме того, целые числа также могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, если представить, что мы делим это число на 1.

Как представить десятичную бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной? Чаще используют примерно такой алгоритм:

1. Приводят дробь к виду, чтобы после запятой оказался только период.
2. Умножают бесконечную периодическую дробь на 10 или 100 или … так, чтобы запятая передвинулась вправо на один период (т. е. один период оказался в целой части).
3. Приравнивают исходную дробь (a) переменной x, а полученную путем умножения на число N дробь (b) — к Nx.
4. Из Nx вычитают x. Из b вычитаю a. Т. е. составляют уравнение Nx – x = b – a.
5. При решении уравнения получается обыкновенная дробь.

Пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь:
x = 1,13333…
10x = 11,3333…
10x * 10 = 11,33333… * 10
100x = 113,3333…
100x – 10x = 113,3333… – 11,3333…
90x = 102
x =

scienceland.info

Определение рациональных чисел. Примеры.

Определение рациональных чисел:

рациональным числом называют число, которое может быть представлено в виде дроби. Числитель такой дроби принадлежит множеству целых чисел, а знаменатель принадлежит множеству натуральных чисел.

Почему числа называют рациональными?

По латински «рацио» (ratio) означает отношение. Рациональные числа могут быть представлены в виде отношения, т.е. другими словами в виде дроби.

Пример рационального числа

Число 2/3 есть рациональное число. Почему? Это число представлено в виде дроби, числитель которой принадлежит множеству целых чисел, а знаменатель – множеству натуральных чисел.

Больше примеров рациональных чисел см. в статье Рациональные числа примеры.

Равные рациональные числа

Разные дроби могут представлять одно рациональное число.

Рассмотрим рациональное число 3/5. Этому рациональному числу равны

3	=	6	=	9	=	12
5		10		15		20

и ещё бесконечное количество дробей.

Таким образом имеем, что каждое рациональное число может быть представлено в виде бесонечного количества других рациональных чисел.

А почему, например, число 6/10 равно числу 3/5?

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе дроби:

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель 2:

6	=	2 * 3	=	3
10		2 * 5		5

Мы получили дробь 3/5, а это значит, что

Отсюда видно, как рациональное число представить в виде других рациональных чисел.

Нужно числитель и знаменатель рационального числа умножить на одно и то же число.

Пример:

3	=	3 * 100	=	300
5		5 * 100		500

www.sbp-program.ru

Перевод градусов минут и секунд в десятичные градусы и обратно

По запросу пользователя Перевод градусов из десятичной дроби в часы, минуты, секунды и обратно создаем калькулятор, который переводит значение угла, выраженное в градусах с десятичной дробью в градусы минуты и секунды.
В качестве значения угла по умолчанию будем использовать текущий угол наклона Пизанской башни (3.97°).

Перевод дробного значения градусов в градусы минуты и секунды

Градусы, заданные десятичной дробью

Показывать доли секунд

Градусы, минуты и секунды

 

Градусы, минуты и секунды

 

Сохранить share extension

Следующий калькулятор производит обратную операцию, т. е. из градусов минут и секунд в десятичные градусы:

Перевод градусов минут и секунд в дробные градусы

Значение в градусах

Значение в градусах минутах и секундах

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Дробное значение градусов

 

Сохранить share extension

Далее идет калькулятор для пакетного перевода градусов из одного представления в другое. В каждой строчке большого поля ввода можно задавать значение градусов либо в виде десятичной дроби либо в виде градусов, минут и секунд, разделенных пробелами.

Пакетный перевод градусов из десятичной дроби в градусы, минуты, секунды и обратно.

3.97 3 58 12.333

Угол, заданный в различных форматах

Здесь можно задавать угол в виде десятичной дроби или градусов, минут и секунд разделенных пробелом.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Сохранить share extension

planetcalc.ru

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(60)
4	Найти точное значение	sin(30 град. )
5	Найти точное значение	sin(60 град. )
6	Найти точное значение	tan(30 град. )
7	Найти точное значение	arcsin(-1)
8	Найти точное значение	sin(pi/6)
9	Найти точное значение	cos(pi/4)
10	Найти точное значение	sin(45 град. )
11	Найти точное значение	sin(pi/3)
12	Найти точное значение	arctan(-1)
13	Найти точное значение	cos(45 град. )
14	Найти точное значение	cos(30 град. )
15	Найти точное значение	tan(60)
16	Найти точное значение	csc(45 град. )
17	Найти точное значение	tan(60 град. )
18	Найти точное значение	sec(30 град. )
19	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
20	График	y=sin(x)
21	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
22	Найти точное значение	cos(60 град. )
23	Найти точное значение	cos(150)
24	Найти точное значение	tan(45)
25	Найти точное значение	sin(30)
26	Найти точное значение	sin(60)
27	Найти точное значение	cos(pi/2)
28	Найти точное значение	tan(45 град. )
29	График	y=sin(x)
30	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
31	Найти точное значение	csc(60 град. )
32	Найти точное значение	sec(45 град. )
33	Найти точное значение	csc(30 град. )
34	Найти точное значение	sin(0)
35	Найти точное значение	sin(120)
36	Найти точное значение	cos(90)
37	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
38	Найти точное значение	sin(45)
39	Найти точное значение	tan(30)
40	Преобразовать из градусов в радианы	45
41	Найти точное значение	tan(60)
42	Упростить	квадратный корень x^2
43	Найти точное значение	cos(45)
44	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
45	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
46	Найти точное значение	cot(30 град. )
47	Найти точное значение	arccos(-1)
48	Найти точное значение	arctan(0)
49	График	y=cos(x)
50	Найти точное значение	cot(60 град. )
51	Преобразовать из градусов в радианы	30
52	Упростить	( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
53	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
54	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
55	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
56	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
57	Найти точное значение	tan(pi/2)
58	Найти угол А	tri{}{90}{}{}{}{}	
59	Найти точное значение	sin(300)
60	Найти точное значение	cos(30)
61	Найти точное значение	cos(60)
62	Найти точное значение	cos(0)
63	Найти точное значение	arctan( квадратный корень 3)
64	Найти точное значение	cos(135)
65	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
66	Найти точное значение	cos(210)
67	Найти точное значение	sec(60 град. )
68	Найти точное значение	sin(300 град. )
69	Преобразовать из градусов в радианы	135
70	Преобразовать из градусов в радианы	150
71	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
72	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
73	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
74	Преобразовать из градусов в радианы	60
75	Найти точное значение	sin(135 град. )
76	Найти точное значение	sin(150)
77	Найти точное значение	sin(240 град. )
78	Найти точное значение	cot(45 град. )
79	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
80	Упростить	1/( кубический корень от x^8)
81	Найти точное значение	sin(225)
82	Найти точное значение	sin(240)
83	Найти точное значение	cos(150 град. )
84	Найти точное значение	tan(45)
85	Вычислить	sin(30 град. )
86	Найти точное значение	sec(0)
87	Упростить	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
88	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
89	Найти точное значение	csc(30)
90	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
91	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
92	Найти точное значение	tan(0)
93	Вычислить	sin(60 град. )
94	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
95	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
96	Вычислить	arcsin(-1)
97	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
98	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
99	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
100	Найти точное значение	csc(45)

www.mathway.com

Калькулятор географических координат

Вы ввели следующее выражение

Окончательный результат выражения (в долях градуса)

Результат выражения (в градусах, минутах, секундах)

Описание

 Как со спутника определяют местонахождение какого-нибудь объекта? Неужели все это возможно благодаря всего лишь школьным географическим координатам? Для начала уточним, что такое географические координаты.

Географические  коордианты — это координаты, позволяющие установить местонахождение объекта на поверхности Земли. Они определяются географическими широтой и долготой и измеряются в градусах.

Значения широты располагаются в пределах от 90° до +90°, а долготы от 180° до +180°.

Есть интересная школьная загадка про географические координаты: Где находится точка,  имеющая координаты 0 градусов  широты и 0 градусов долготы?

Часть  людей утверждают что на полюсе, одни на Северном, другие на Южном. 

На самом деле все очень просто. Нулевой меридиан, то есть 0 градусов долготы, проходит от Северного полюса к Южному, в том числе и через Лондон, а вот 0 градусов широты будет на экваторе и таким образом  ответ на задачу будет такой:  Где то в Атлантическом океане, у западных берегов Африки.

Также просто отвечать на вопрос «есть ли на земле точка с географическими координатами 180 градусов широты и 180 градусов долготы»

Если вы прочитали абзац  до этого, то поймете что широта не может быть равна 180 градусов. Так как широты начинаются с числа 0 (это экватор) и заканчивая -90 градусов ( это Южный полюс) или +90 ( это Северный полюс)

Сами координаты могут быть записаны в нескольких форматах :

• 17.755831° — градусы (и дробная часть градуса)

• 55°45.35′ — градусы и минуты

• 55°45’20.9916″ — градусы, минуты и секунды 

Иногда в градусах появляются  буквы которые «отвечают» за широту (N-северная, S-южная) или/и  долготу (W-западная, E-восточная).

Иногда букв нет, и вместо этого пишут отрицательные широты и долготы (южные и западные соответственно). 

Сервис помогает конвертировать градусы, минуты и секунды в дробные части градуса, а также выполнять обратную задачу, из дробной части градуса вычленять минуты и секунды.

Кроме этого бот умеет считать произвольные выражения в которых фигурируют градусы.

Хотелось бы напомнить что градус это одна из мер, которыми измеряют углы.

Один полный оборот чего бы то ни было вокруг своей оси составляет ровно 360 градусов, а полоборота соответственно 180 градусов.

Градус может выражаться в виде градуса и дробной части, а также в виде минут и секунд

Соответствие такое же как и в обычных часах, то есть 1 градус содержит 60 минут, а 1 минута содержит 60 секунд.

Заметьте: 1 градус на экваторе  составляет порядка 111 километров, 1 градус за Полярным кругом в километрах намного меньше. Более точно можно узнать здесь

Итак, переведем координату из градусов в минуты и наоборот:44.525000° = 44°31.50 (0.525000* 60= 31.50) — То есть, всего лишь — десятые доли градуса нужно умножить на 60 минут.44°31.50 = 44.525000° (31.50/60= 0.525000) – Совершаем обратную операцию: минуты делим на 60. Целая часть координаты(градус) и там, и там остается неизменной.

 

Таким же образом пересчитываются минуты в минуты с секундами и обратно.

Для тех, кто ищет по заданным географическим координатам место на карте Земли, стоит посетить вот этот ресурс Поиск объекта по географическим координатам

Интересные факты:

Какую часть градуса составляет одна минута?  1 минута это 1/60 часть градуса

Какую часть градуса составляет одна секунда? 1 секунда это 1/60 часть минуты или 1/3600 часть градуса

Синтаксис

Если используем XMPP клиент:  geo_calc <выражение>

Если используем этот сайт:  <выражение>

Выражение — арифметическое выражение. Если в выражении фигурурует не только градусы выраженные в в виде дробной части, но и через минуты и секунды, то такое значение пишется через двоеточие(:) то есть 15 градусов 12 минут и 45 секунд пишется  как 15:12:45

Еще для инофрмации, несмотря на то что выражение может быть любым, то есть включать в себя все математические функции языка PHP, учитывайте что практического применения нет если вы градусы делите на градусы или берете квадратный корень от суммы градусов.. Вы теряете размерность и в конечно итоге Вы получите какие фантастические а оттого неправильные результаты.

Рекомендуется использовать сложение и вычитание

Деление и умножение можно использовать если одно из сомножителей безразмерная величина.

Как практический пример такого примеимения является ответ на вопрос как правильно выразить градусы,минуты,секунды в часах,минутах,секундах

Видимо, речь идет о том что за 24 часа, наша планета Земля, делает полный поворот вокруг своей оси.

Там образом у нас есть уже часть пропорции 360 градусов=24 часа

Таким образом  что бы перевести градусы (доли градуса)  в часы и минуты, надо градусы разделить на 15, а если наоборот, нам надо часы(доли часа) перевести в градусы, надо умножить часы на 15.

Из этого следует простейший и очень познавательный  вывод: Если между двумя населенными пунктами, разница географических широт составляет 15 градусов, то восход Солнца например будет происходить ровно на 1 час  раньше, чем во втором.

Примеры

Сложить 12.45 градусов и 45 градусов  34 минут и 100 секунд

Сразу видим что 100 секунд это 1 минута и 40 секунд (60+40), тогда исходное выражение можно сказать так

Сложить 12.45 градусов и 45 градусов  35 минут и 40 секунд

Считаем 

geo_calc 12.45+45:35:40

ответ:

Результат арифметического выражения 

В долях градуса 58.044444444444

В градусах минутах и секундах 58 градусов 2 минут 40 секунд

 

Если  мы напишем выраженеи как было первоначально было заданно, то есть с 100 секундами, то получим тот же самый результат

 

geo_calc 12.45+45:34:100

 

ответ

 

Результат арифметического выражения 12.45+45:34:100

В долях градуса 58.044444444444

В градусах минутах и секундах 58 градусов 2 минут 40 секунд

 

---

 

Преобразовать  24 минуты 300 минут и 10 секунд в градусы с дробной частью

 

Пишем

geo_calc 24:300:10

 

ответ

 

Результат арифметического выражения 24:300:10

В долях градуса 29.002777777778

В градусах минутах и секундах 29 градусов 0 минут 10 секунд

Как Вы видите система преобразовала в нормальный вид заданное значение, ну и естественно выдала  правильный результат 29.002777777778

• Кратчайшее расстояние между городами >>

abakbot.ru