Рубрика: Школьная жизнь

Разность пятой степени | Формулы с примерами

1. 3⁵ — 2⁵ = (3 — 2) • (3⁴ + 3³ • 2 + 3² • 2² + 3 • 2³ + 2⁴) =
(3 — 2) • (81 + 27 • 2 + 9 • 4 + 3 • 8 + 16) =
1 • (81 + 54 + 36 + 24 + 16) =
1 • 211 = 211 ;
a = 3⁵ ;
b = 2⁵ ;

2. 4⁵ — 3⁵ = (4 — 3) • (4⁴ + 4³ • 3 + 4² • 3² + 4 • 3³ + 3⁴) =
(4 — 3) • (256 + 64 • 3 + 16 • 9 + 4 • 27 + 81) =
1 • (256 + 192 + 144 + 108 + 81) =
1 • 781 = 781 ;
a = 4⁵ ;
b = 3⁵ ;

3. 5⁵ — 2⁵ = (5 — 2) • (5⁴ + 5³ • 2 + 5² • 2² + 5 • 2³ + 2⁴) =
(5 — 2) • (625 + 125 • 2 + 25 • 4 + 5 • 8 + 16) =
3 • (625 + 250 + 100 + 40 + 16) =
3 • 1 031 = 3 093 ;
a = 5⁵ ;
b = 2⁵ ;

formula-xyz.ru

Многочлены | Формулы с примерами

Многочлен это?

Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов.

Члены многочлена — это одночлены, составляющие многочлен.

Двучлен — многочлен, состоящий из двух членов.

Трехчлен — многочлен, состоящий из трех членов и т.д.

! Одночлен является частным случаем многочлена.

Стандартный вид многочлена

1. Приведены подобные.

2. Все члены записаны в стандартном виде.

Степень многочлена

Степень многочлена — наибольшая степень одночлена, входящего в многочлен.

Многочлен второй степени.

Многочлен третьей степени.

formula-xyz.ru

Формулы разности и суммы степеней

В программу углубленного изучения математики входят две формулы, обобщающие общеизвестные, хрестоматийные формулы разности квадратов и кубов, а также суммы кубов.

Для любого натурального числа n:

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}\times b+ a^{n-3}\times b^2+\ldots+ a^{2}\times b^{n-3}+ a\times b^{n-2}+b^{n-1}$

$a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}\times b+ a^{2k-2}\times b^2-\ldots -a^{2}\times b^{2k-2}- a\times b^{2k-1}+b^{2k}$

Они также входят в программу профильного курса математики. И мы уже видели, насколько полезными являются эти формулы для решения задач на делимость и остатки для натуральных и целых чисел.

Доказательство этих формул несложно, хотя и связано с техническими, достаточно простыми выкладками. Для формулы разности степеней оно получается на основе обязательной для всех формулы суммы геометрической прогрессии: достаточно лишь заметить, что в формуле разности степеней второй множитель в правой части является суммой n членов геометрической прогрессии с первым членом $b_{1}=a^{n-1}$ и знаменателем $q=\frac b a$. Поэтому он равен:

так что $(b-a)S=b^n-a^n$, а это и есть доказываемая формула.

А для доказательства формулы суммы нечетных степеней можно в доказанную формулу подставить -b вместо b и взять n=2к+1.

Применения этих формул к делимости целых и натуральных чисел основываются на их следствиях:

разность степеней двух натуральных или целых чисел с одинаковыми показателями делится на разность оснований;

сумма степеней двух натуральных или целых чисел с одинаковыми нечетными показателями делится на сумму оснований.

Помимо практических приложений, эти формулы полезны и для теории. С их помощью можно доказать в общем виде признаки делимости на 3 и на 9, которые в младших классах были «доказаны» на примерах, т.е., строго говоря, оставлены без доказательства.

В самом деле, натуральное число с с цифрами $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{k-1},a_k$ в виде суммы разрядных слагаемых представляется как

$c=a_0\times10^k+a_1\times10^{k-1}+ a_2\times10^{k-2}+\ldots+ a_{k-1}\times10+a_k$

и, вычитая из с сумму его цифр

$s=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k-1}+a_k$ получаем число

$c-s= a_0(10^k-1)+a_1(10^{k-1}-1)+ a_2(10^{k-2}-1)+\ldots+a_{k-1}(10-1)$

а поскольку всякое число вида $10^n-1$ записывается с помощью одних девяток, то c-s делится на 9, так что число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки, и в частности, делятся или не делятся на 9 одновременно. То же самое рассуждение годится и для числа 3.

Заметим, что с использованием сравнений доказательство проводится в одну строчку: так как $10\equiv1 (\mod {9})$, то

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Одночлены | Формулы с примерами

Одночлен это?

Одночленом — называется произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Стандартный вид одночлена

Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных.

Числовой множитель называется коэффициентом одночлена, его записывают перед буквенными сомножителями.

! Коэффициент равный 1 не записывается.

! При коэффициенте равному -1, записывается только «-» перед буквенными множителями.

Степень одночлена

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней его буквенных множителей (переменных).

! Если одночлен является нулевым числом, то его степень считается равной нулю.

! Одночлены, отличающиеся только числовыми коэффициентами, называются подобными.

formula-xyz.ru

§5.2. Конечные разности. Обобщенная степень.

Пусть задана функция . Обозначим черезфиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение

(5.3)

называется первой конечной разностью функции . Аналогично определяются конечные разности высших порядков

Например:

(5.4)

Символ (дельта) можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функциифункцию.

Легко проверить основные свойства оператора :

1) ;

2) ;

3) , где(целые неотрицательные числа), причем.

Из формулы (5.3) имеем:

.

Отсюда, рассматривая как символический множитель, получим:

. (5.5)

Из формулы (5.4):

; (5.6)

и т.д. Окончательно получим:

. (5.7)

В дальнейшем нам понадобится понятие обобщенной степени.

Определение.

Обобщенной -степенью числаназывается произведениесомножителей, первый из которых равен, а каждый следующий наменьше предыдущего:

, (5.8)

где . Полагают, что. Приобобщенная степень совпадает с обычной:.

Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая . Для первой конечной разности имеем:

то есть

. (5.9)

Для второй конечной разности:

,

то есть

. (5.10)

Аналогично,

,

и так далее.

Окончательно будем иметь:

, (5.11)

, если . (5.12)

§5.3. Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции заданы значениядля равноотстоящих значений независимой переменной, где— шаг интерполяции. Требуется подобрать полиномстепени не выше, принимающий в точкахзначения

. (5.13)

Условия (5.13) эквивалентны тому, что

. (5.14)

Будем искать полином в виде

. (5.15)

Используя понятие обобщенной степени, запишем выражение (5.15) в виде:

. (5.16)

Чтобы полином был определен, нужно найти коэффициенты . Полагаяв выражении (5.16), получим

. (5.17)

Чтобы найти коэффициент , составим первую конечную разность:

.

Полагая , получим:

,

откуда

. (5.18)

Для определения коэффициента составим вторую конечную разность:

.

Положив , получим:

,

откуда

. (5.19)

Продолжая процесс, получим:

, (5.20)

причем .

Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (5.16), получим интерполяционный полином Ньютона:

. (5.21)

Этот полином полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, степень полинома не выше;;

Для практического использования первую интерполяционную формулу Ньютона записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную

. (5.22)

Тогда

(5.23)

Подставляя (5.23) в (5.21), получим окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона:

. (5.24)

Если в формуле (5.24) положить , то получим формулу линейного интерполирования:

. (5.25)

При получим формулу параболического или квадратичного интерполирования:

. (5.26)

Первую интерполяционную формулу Ньютона используют для интерполирования функции в окрестности начальной точки , гдемало по абсолютной величине и представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки, исходя из точки.

Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона:

, (5.27)

где — некоторое промежуточное значение между узлами интерполированияи рассматриваемой точкой.

Учитывая, что , приближенно можно положить:

.

В этом случае соотношение (5.27) примет вид:

. (5.28)

studfiles.net

Степень с натуральным показателем | Формулы с примерами

Определение степени с натуральным показателем

Определение
где a — действительное число,
n — натурально число.

Читается как: «a в степени n» или
«n-ная степень a»

Калькулятор степени с натуральным показателем

Примеры и свойства

a¹ = a

Пример 1¹ = 1;     10¹ = 1;      125¹ = 125.

0ⁿ = 0

Пример 1⁰ = 0;      10⁰ = 0;      432⁰ = 0.

Если a > 0, то aⁿ > 0

Пример 1²> 0;      12⁴ > 0;      33² > 0.

Если a и n — четное, то aⁿ > 0

Пример (- 2)⁴ > 0;      (- 33)⁶ > 0;      (- 1,3)⁴⁴ > 0.

Если a и n — нечетное, то aⁿ

Формулы по алфавиту:

formula-xyz.ru

Вероятность возникновения некоторого числа событий при проведении нескольких испытаний. Испытания Бернулли.

Предположим у нас есть ящик с 5-ю шарами четыре белых и один черный. Каждый раз мы берем один шар из ящика и возвращаем его обратно. Как определить какова вероятность того, что за 10 повторений мы 2 раза достанем черный шар?
Подобные задачи легко решаются, при помощи формулы Бернулли, определяющей вероятность того, что в n независимых испытаниях будет ровно k раз наблюдаться событие, вероятность которого = p.
Формула имеет вид:

где p — вероятность возникновения события, — количество сочетаний n по k.
Подробности — сразу за калькулятором.

Вероятность возникновения k событий в n испытаниях

Вероятность возникновения события

Количество независимых испытаний

Количество событий в проведенных испытаниях

Знаков после запятой: 5

Сохранить share extension

Вероятность получения черного шара только в первых k испытаниях из n возможных равна:
это всего лишь одна из возможных комбинаций. Согласно формулам комбинаторики всего возможно сочетаний n по к см. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

Количество возникновения событий получения черного шара k это случайная величина, определяемая биноминальным законом распределения см: Биномиальное распределение. Функция плотности вероятности, кумулятивная функция распределения, математическое ожидание и дисперсия

planetcalc.ru

Формулы для вычисления вероятностей

Пусть пространство элементарных событий состоит из элементарных событий Е₁,Е₂,…,Е_n.

Ω= Е₁+Е₂+…+Е_n

Р(Е₁)+P(Е₂)+… +P(Е_n)=1

Рассмотрим некоторое событие А= Е_k1+Е_k2+…+Е_km

По теореме сложения получаем:

Р(А)= Р(Е_k1)+P(Е_k2)+… +P(Е_km)

Р(Е₁)=P(Е₂)=… =P(Е_n)=

(классическая формула для определения вероятности)

Формула полной вероятности

Событие А может наступить лишь при одном из условий Н₁,Н₂,…,Н_n, тогда:

(1)

Доказательство:

А= АН₁+АН₂+…+АН_n

Используя аксиому сложения получаем формулу (1)

Формула Байеса (формула гипотез)

Пусть событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий Н₁,Н₂,…,Н_n, причем эти события образуют полную систему. Так как заранее неизвестно какое из этих событий наступит, эти события называютгипотезами.

P(AH_k)=P(A)P(H_k/A)

P(H_kA)=P(H_k)P(A/ H_k)

P(A)P(H_k/A)=P(H_k)P(A/ H_k)

P(H_k/A)=αP(H_k)k=1,2,…,n

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, а именно умножая априорную вероятностьP(H_k) на α получаем уточненную апостериорную вероятность того, что событие А произошло.

Формула Бернулли.

Пусть произошло nнезависимых опытов в каждом из которых может наступить некоторое событие А, причем оно наступит с вероятностью Р(А)=р и не наступит с вероятностью Р()=q, причемp+q=1.

Мы хотим узнать вероятность, что это событие произошло kраз.

Так как из nиспытаний вkэто событие наступило, то в (n-k) испытаний – нет.

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получаем:

Случайные величины.

Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий для данного опыта, случайные величины задаются каким либо законом распределения ее вероятности.

Опыт состоит в подбрасывании монеты три раза: (1-герб, 0-цифра)

Е₁=[0,0,0] Е₂=[0,0,1] Е₃=[0,1,0] Е₄=[0,1,1]

Е₅=[1,0,0] Е₆=[1,0,1] Е₇=[1,1,0] Е₈=[1,1,1]

Х=Х(Е_к) – число выпадающих гербов

Х=Х(A_i)

А₁=Е₁А₂= Е₂+ Е₃+ Е₅А₃= Е₄+ Е₆+ Е₇А₄=Е₉

По теореме о сложении вероятностей несовместных событий:

Р(Х=0)=Р(А₁)=1/8

Р(Х=1)=Р(А₂)=3/8

Р(Х=2)=Р(А₃)=3/8

Р(Х=3)=Р(А₄)=1/8

Общий случай:

Пусть х₁,х₂,…,х_m– совокупность всех возможных значений некоторой величины Х, тогда закон распределения этой случайной величины записывается следующим образом:

(X=x₁), (X=x₂)… (X=x_m) –эти события образуют полную систему

(2) —условие нормировкидля дискретной случайной величины

Функция распределения

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), заданная на -∞≤х≤∞ и равная вероятности того, что случайная величина Х в результате опыта примет какое-либо значение меньшее чем х.

F(x)=P(X<x) (3)

Свойства функции распределения:

1. 0≤F(x)≤1, -∞≤х≤∞ так какF(x)=P

2. F(-∞)=0, так как{X<-∞}=θ

3. F(∞)=1, так как{X<∞}=Ω

4. F(x`)≤ F(x«), x`≤x«

Доказательство:

{X<x«}={X<x`}{ x`≤X<x«}

P(X<x«)=P(X<x`)+P( x`≤X<x«)

F(x«)-F(x`)=P( x`≤X<x«)≥0

F(x«)-F(x`)≥0 (4) (неубывающая функция)

x`=a x«=b

P(a≤X<b)= F(b)-F(a) (5)

Вероятность того, что в результате опыта Х примет какое-либо значение из промежутка [a,b) равна приращению функции распределения на концах этого промежутка.

(6)

Функция распределения для дискретной случайной величины является кусочно-постоянной (ступенчатой) со скачками в точках х₁,х₂,…,х_mи эти скачки равны Р₁,Р₂,…,Р_m

В точке разрыва функция принимает значения слева

F(x_i)=F(x_i-0)

Случайная величина называется непрерывной, если функция распределения есть непрерывная функция.

(7)

studfiles.net

Формулы для вычисления вероятности событий

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой, если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q=1—p.

Определение. Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

1. последовательность n испытаний взаимно независима,

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие — “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в n испытаниях произошло ровно m “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p() = , m = 1, 2, …, n , (1.6)

где — число сочетаний из n элементов по m :

= =.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение. “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” — p=, а вероятность “неудачи” — q= 1 — =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А= ,

где В₃⁰ – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В₃¹ — событие, когда интересующая грань появится один раз,

В₃² — событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p(А) = р () = p()=++=

=.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p(B)>0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p(AB). Тогда по определению

p (A  B) = . (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна . Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C.

3. Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A₁ A₂ A_n определяется формулой

p(A₁ A₂ A_n) = p(A₁) p(A₂  A₁))p(A_n  A₁A₂A_n-1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p(AB) = p(A B) p{B) = p(B A) p{A). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A₁ = {первое изделие бракованное},

A₂ = {второе изделие бракованное},

A₃ = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A₁ A₂ A₃ .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p(A) = р( A₁ A₂ A₃ ) =p(A₁) p(A₂  A₁))p(A₃  A₁A₂).

Классическое определение вероятности позволяет найти p(A₁) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p(A₁)=;

p(A₂) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p(A₂  A₁))=;

p(A₃ ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p(A₃  A₁A₂)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) ==.

studfiles.net

Вычисление вероятности

1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров — белый, а другой — черный.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров — белый, а другой — черный.

Вероятность события А найдем используя условную вероятность.

Ответ: 0,278.

2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение.

Пусть событие

где

Т.к. события

Ответ: 0,994.

3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% — вторым и 45% — третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором — 0,988 и на третьем — 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы Н₁ , Н₂ , Н₃ .

Гипотезы Н_i образуют полную группу событий.

Воспользуемся формулой полной вероятности:

Тогда

Ответ: 0,0,015.

4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

Решение.

Найдем

Наивероятнейшее число

Так как

Ответ: 2.

5. Задача 5. Дискретная случайная величина

Решение.

Таблица 1.

Найдем числовые характеристики данного распределения.

Математическое ожидание

Дисперсию определим по формуле:

Тогда

Найдем функцию распределения случайной величины.

Построим график этой функции

6. Задача 6. Случайная величина

Определить константу

Решение.

Коэффициент

Вычислим определенный интеграл:

Следовательно,

Математическое ожидание

mirznanii.com

Формулы для вычисления вероятности событий

1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)

Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.

Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой, если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.

Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q=1—p.

Определение. Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:

1. последовательность n испытаний взаимно независима;

2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.

Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие — “неудачей”. Рассмотрим событие

={ в n испытаниях произошло ровно m “успехов”}.

Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли

p() = , m = 1, 2, …, n , (1.6)

где — число сочетаний из n элементов по m :

= =.

Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:

а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;

б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.

Решение. “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.

а) Общее число испытаний – n =3, число “успехов” – m = 2. Вероятность “успеха” — p=, а вероятность “неудачи” — q= 1 — =. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что результате трехразового бросания кубика два раза выпадет сторона с шестью очками, будет равна

.

б) Обозначим через А событие, которое заключается в том, что грань с числом очков 6 появится не более двух раз. Тогда событие можно представить в виде суммы трех несовместных событий А= ,

где В₃⁰ – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,

В₃¹ — событие, когда интересующая грань появится один раз,

В₃² — событие, когда интересующая грань появится два раза.

По формуле Бернулли (1.6) найдем

p(А) = р () = p()=++=

=.

1.3.2. Условная вероятность события

Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет

на вероятность появления интересующего события.

Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p(B)>0.

Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p(AB). Тогда по определению

p (A  B) = . (1.7)

Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение

.

Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

При этом событию C могут соответствовать только два из них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность события C будет равна . Таким образом, информация о наступлении событияA оказала влияние на вероятность события C.

3. Вероятность произведения событий

Теорема умножения

Вероятность произведения событий A₁ A₂ A_n определяется формулой

p(A₁ A₂ A_n) = p(A₁) p(A₂  A₁))p(A_n  A₁A₂A_n-1). (1.8)

Для произведения двух событий отсюда следует, что

p(AB) = p(A B) p{B) = p(B A) p{A). (1.9)

Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.

Решение. Обозначим события:

A₁ = {первое изделие бракованное},

A₂ = {второе изделие бракованное},

A₃ = {третье изделие бракованное},

A = {все изделия бракованные}.

Событие А есть произведение трех событий A = A₁ A₂ A₃ .

Из теоремы умножения (1.6) получим

p(A) = р( A₁ A₂ A₃ ) =p(A₁) p(A₂  A₁))p(A₃  A₁A₂).

Классическое определение вероятности позволяет найти p(A₁) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:

p(A₁)=;

p(A₂) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:

p(A₂  A₁))=;

p(A₃ ) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:

p(A₃  A₁A₂)=.

Тогда вероятность события A будет равна

p(A) ==.

studfiles.net

Как рассчитать вероятность события в ставках?

Выбор правильной ставки зависит не только от интуиции, спортивных знаний, букмекерских коэффициентов, но и от коэффициента вероятности события. Возможность рассчитать подобный показатель в беттинге является залогом успеха в прогнозировании предстоящего события, на который предполагается осуществление ставки.
В букмекерских конторах существует три вида коэффициентов (подробней в статье «Что такое коэффициент в ставках на спорт»), от разновидности которых зависит, как рассчитать вероятность события игроку.

Десятичные коэффициенты

Расчет вероятности события в таком случае происходит по формуле: 1/коэф.соб. = в.и, где коэф.соб. – коэффициент события, а в.и – вероятность исхода. Например, берем коэффициент события 1,80 при ставке в один доллар, совершая математическое действие по формуле, игрок получает, что вероятность исхода события по версии букмекера 0,55 процента.

Дробные коэффициенты

При использовании дробных коэффициентов формула расчета вероятности будет другая. Так при коэффициенте 7/2, где первая цифра означает возможный размер чистой прибыли, а вторая размер необходимой ставки, для получения этой прибыли, уравнение будет выглядеть следующим образом: зн.коэф/ на сумму зн.коэф и чс.коэф = в.и. Здесь зн.коэф – знаменатель коэффициента, чс.коэф – числитель коэффициента, в.и – вероятность исхода. Таким образом, для дробного коэффициента 7/2 уравнение выглядит как 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0.22, следовательно, 0,22 процента вероятность исхода события по версии букмекерской конторы.

Американские коэффициенты

Американские коэффициенты мало популярны у игроков и, как правило, используются исключительно в США, обладая сложной и запутанной структурой. Для ответа на вопрос: «Как посчитать вероятность события таким способом?», нужно знать, что подобные коэффициенты могут быть отрицательными и положительными.

Коэффициент со знаком «-», например -150, показывает, что игроку для получения чистой прибыли в 100 долларов необходимо совершить ставку в 150 долларов. Вероятность события рассчитывается исходя из формулы, где нужно разделить отрицательный коэффициент на сумму отрицательного коэффициента и 100. Выглядит это на примере ставки -150, так (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0.6, где 0,6 умножается на 100 и исход вероятности события составляет 60 процентов. Эта же формула подходит и для положительных американских коэффициентов.

betrating.ru

Что такое условная вероятность и как ее правильно рассчитывать?

Нередко в жизни мы сталкиваемся с тем, что нужно оценить шансы наступления какого-либо события. Стоит ли покупать лотерейный билет или нет, каков будет пол третьего ребенка в семье, будет ли завтра ясная погода или снова пойдет дождь – таких примеров можно привести бесчисленное множество. В самом простом случае следует разделить число благоприятных исходов на общее число событий. Если в лотерее 10 билетов выигрышных, а всего их 50, то шансы получить приз равны 10/50 = 0,2, то есть 20 против 100. А как поступать в том случае, если есть несколько событий, и они тесно связаны между собой? В этом случае нас будет интересовать уже не простая, а условная вероятность. Что это за величина и как ее можно посчитать – об этом как раз и будет рассказано в нашей статье.

Понятие

Условная вероятность – это шансы наступления определенного события при условии, что другое связанное с ним событие уже произошло. Рассмотрим простой пример с бросанием монетки. Если жеребьевки еще не было, то шансы выпадения орла или решки будут одинаковыми. Но если раз пять подряд монетка ложилась гербом вверх, то согласитесь ожидать 6-го, 7-го, а тем более 10-го повторения такого исхода будет нелогично. С каждым повторным разом выпадения орла, шансы появления решки растут и рано или поздно она-таки выпадет.

Формула условной вероятности

Давайте теперь разберемся с тем, как эта величина рассчитывается. Обозначим первое событие через В, а второе через А. Если шансы наступления В отличны от нуля, то тогда будет справедливым следующее равенство:

Р (А|В) = Р (АВ) / Р (В), где:

• Р (А|В) – условная вероятность итога А;
• Р (АВ) – вероятность совместного появления событий А и В;
• Р (В) – вероятность события В.

Слегка преобразовав данное соотношение получим Р (АВ) = Р(А|В) * Р (В). А если применить метод индукции, то можно вывести формулу произведения и использовать ее при произвольном числе событий:

Р (А₁, А₂, А₃,…А_п) = Р (А₁|А₂…А_п)*Р(А₂|А₃…А_п) * Р (А₃|А₄…А_п)… Р (А_п-1|А_п) * Р (А_п).

Практика

Чтобы было легче разобраться с тем, как рассчитывается условная вероятность события, рассмотрим парочку примеров. Предположим имеется ваза, в которой находятся 8 шоколадных конфет и 7 мятных. По размерам они одинаковы и наугад последовательно вытаскиваются две из них. Какие будут шансы того, что обе из них окажутся шоколадными? Введем обозначения. Пусть итог А означает, что первая конфета шоколадная, итог В – вторая конфета шоколадная. Тогда получится следующее:

Р (А) = Р (В) = 8 / 15,

Р (А|В) = Р (В|А) = 7 / 14 = 1/2,

Р (АВ) = 8 /15 х 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Рассмотрим еще один случай. Предположим, есть двухдетная семья и нам известно, что, по крайней мере, один ребенок является девочкой.

Р (А|В) = 1/4 : 3/4 = 1/3.

Интерпретировать результат можно так: если бы нам не было б известно о поле одного из детей, то шансы двух девочек были бы 25 против 100. Но поскольку мы знаем, что один ребенок девочка, вероятность того, что в семье мальчиков нет, возрастает до одной третьей.

fb.ru

Нормальный закон распределения вероятностей. Пример решения задачи на Викиматик

На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.

Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид

$$f\left(x\right)={{1}\over {\sigma \sqrt{2\pi }}}e^{-{{{\left(x-a\right)}^2}\over {2{\sigma }^2}}}$$ 

Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.

Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ {\sigma }^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре ${\sigma }^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.

Параметр ${\sigma }^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$ 

Здесь функция $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ — функция Лапласа. Значения этой функции берутся из специальной таблицы. Можно отметить следующие свойства функции $\Phi \left(x\right)$.

1. $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, то есть функция $\Phi \left(x\right)$ является нечетной.

2. $\Phi \left(x\right)$ — монотонно возрастающая функция.

3. ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } \Phi \left(x\right)\ }=0,5$, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } \Phi \left(x\right)\ }=-0,5$.

Для вычисления значений функции $\Phi \left(x\right)$ можно также воспользоваться мастером функция $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Например, вычислим значений функции $\Phi \left(x\right)$ при $x=2$.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X\in N\left(a;\ {\sigma }^2\right)$ в интервал, симметричный относительно математического ожидания $a$, может быть вычислена по формуле

$$P\left(\left|X-a\right| < \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$ 

Правило трех сигм. Практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина $X$ попадет в интервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Пример 1. Случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей с параметрами $a=2,\ \sigma =3$. Найти вероятность попадания $X$ в интервал $\left(0,5;1\right)$ и вероятность выполнения неравенства $\left|X-a\right| < 0,2$.

Используя формулу 

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$ 

находим $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left({{1-2}\over {3}}\right)-\Phi \left({{0,5-2}\over {3}}\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \left(0,33\right)=0,191-0,129=0,062$.

$$P\left(\left|X-a\right| < 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$ 

Пример 2. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:

а) более 70 условных денежных единиц?

б) ниже 50 за акцию?

в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?

Пусть случайная величина $X$ — цена на акции некоторой компании. По условию $X$ подчинена нормальному закону распределению с параметрами $a=50$ — математическое ожидание, $\sigma =10$ — стандартное отклонение. Вероятность $P\left(\alpha < X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$ 

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left({{\infty -50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{70-50}\over {10}}\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$ 

$$б)\ P\left(X < 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$ 

$$в)\ P\left(45 < X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$ 

$$=0,2881+0,1915=0,4796.$$ 

wikimatik.ru

8.8. Нормальный закон распределения | Решение задач по математике и дру

Непрерывная случайная величина Х имеет Нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами А и , если ее плотность вероятности имеет вид

.

Кривую нормального закона распределения называют Нормальной или Гауссовой кривой.

На рис. 8.14 приведены нормальная кривая Р(Х) с параметрами А и , т. е. , и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон

Рис. 8.14

Нормальная кривая симметрична относительно прямой Х = а, имеет максимум в точке Х = а, равный , и две точки перегиба с ординатой .

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, , .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(Х) по формуле

,

Где .

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал Определяется формулой

.

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания А не превысит величину (по абсолютной величине), равна

.

«Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами А и т. е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

.

Асимметрия нормального распределения А = 0; эксцесс нормального распределения Е = 0.

Пример 8.23. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

.

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Решение. Сравнивая данную функцию Р(Х) с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами А = 1 и .

Тогда , , .

Функция распределения случайной величины Х имеет вид

.

Пример 8.24. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.

Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. С помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

Решение. Так как А = 15 и , то

По «правилу трех сигм» и, следовательно, . Окончательно .

Пример 8.25. Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонение Х от контрольного размера по модулю не превышает 0,8 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 150, если случайная величина Х распределена нормально с Мм?

Решение. Найдем вероятность отклонения при и

Считая приближенно Р = 0,95 и в соответствии с формулой

Где  — наивероятнейшее число, находим при

Откуда

Пример 8.26. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием А = 2,5 см и средним квадратическим отклонением См.
В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?

Решение. По «правилу трех сигм» . Отсюда , т. е. .

Пример 8.27. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение — 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.

Решение. Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу :

Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу (170; 180) Q = 1 — 0,6 = 0,4.

Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от
170 до 180 см равна

.

Пример 8.28. Браковка шариков для подшипников производится следу­ющим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром , но проходит через отверстие диаметром , то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика есть случайная величина с характеристиками и . Определить вероятность того, что шарик будет забракован.

Решение.

Так как , то

matica.org.ua

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

www.ekonomika-st.ru

Нормальное распределение

Тема «Нормальное распределение»

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое задается плотностью
.
Нормальное распределение задается двумя параметрами: – математическим ожиданием, – средним квадратическим отклонением.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Нормированным называют нормальное распределение с параметрами .
Плотность нормированного распределения задается формулой
.

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Как уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах:
.
Для нормально распределенной случайной величины соответственно получим:
.
Преобразуем последнее выражение, введя новую переменную . Следовательно, показатель степени выражения, стоящего под интегралом преобразуется в:
.
Для замены переменной в определенном интеграле еще необходимо заменить дифференциал и пределы интегрирования, предварительно выразив переменную из формулы замены:
;
;
– нижний предел интегрирования;
– верхний предел интегрирования;
(для нахождения пределов интегрирования по новой переменной в формулу замены переменной были подставлены и – пределы интегрирования по старой переменной ).
Подставим все в последнюю из формул для нахождения вероятности:

где – функция Лапласа.
Вывод: вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

Примеры решения задач

Пример 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение.

Известно, что вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.
По условию . Следовательно,

Ответ: .

Вычисление вероятности заданного отклонения

Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит , то есть вероятность осуществления неравенства .
Заменим неравенство с модулем равносильным ему двойным неравенством:

Теперь мы можем воспользоваться формулой для нахождения вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины, где границами интервала являются
:

(в последних преобразованиях использовано свойство нечетности функции Лапласа: ).
Вывод: вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.

Примеры решения задач

Пример 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше, чем на .

Решение.

Известно, что вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит , равна:
,
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.
По условию . Следовательно,
.

Ответ: .

Правило трех сигм

Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит .
Воспользуемся формулой для нахождения вероятности заданного отклонения, в которую в качестве подставим :
.
Таким образом, вероятность того, что отклонение случайной величины по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит , составляет всего 0,0027. Такое событие, исходя их принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможным.
Вывод (правило трех сигм): если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Понятие о теореме Ляпунова

Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распределены на практике. Объяснение этому было дано А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

pgsksaa07.narod.ru

Нормальный закон распределения — 18 Декабря 2012 — Примеры решений задач

2. Нормальный закон  распределения.

2.1.Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал.

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.

Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно нормальному закону распределения и тем точнее, чем большее количество величин суммируется.

Ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т. е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.

Для примера рассмотрим изготовление некоторой детали на станке-автомате. Размеры изготовленных деталей несколько отличаются от требуемых. Это отклонение размеров от стандарта вызывается различными причинами, которые более или менее независимы друг от друга. К ним могут относиться: неравномерный режим обработки детали; неоднородность обрабатываемого материала; неточность установки заготовки в станке; износ режущего инструмента и деталей станков; упругие деформаций узлов станка; состояние микроклимата в цехе; колебание напряжения в электросети и т. д. Каждая из перечисленных и подобных им причин влияет на отклонение размера изготовляемой детали от стандарта. Таким образом, общее отклонение размера, фиксируемое измерительным прибором, является суммой большего числа отклонений, обусловленных различными причинами. Если ни одна из этих причин не является доминирующей, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения.

Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности.

Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид

где а и σ—некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид

Параметр а— есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, σ — среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна

 Выясним геометрический смысл параметров распределения а и σ . Для этого исследуем поведение функции f(x). График функции f(x) называется нормальной кривой.

Рассмотрим свойства функции f(x):

1°. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось.

2°. Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0.

3°. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

      4°. Функция f{x) имеет в точке х = a  максимум, равный

5°. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

6°. Нормальная кривая в точках х = а +σ  имеет перегиб,

На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).

Как видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса.

При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо .

Использование формул  f(x) и F(x) для практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим  формулам  можно упростить, если от нормального распределения с произвольными параметрами а и s перейти  к нормальному распределению с параметрами а=0, σ = 1.

Функция плотности нормального распределения f(x) с параметрами а=0, σ =1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины и ее график имеет вид:

Функция плотности и интегральная функция стандартной нормальной СВ будут иметь вид:

Для вычисления вероятности попадания СВ в интервал (a, b) воспользуемся функцией    Лапласа:

Перейдем к стандартной нормальной случайной величине

Тогда

Значения функции Ф(u) необходимо взять из таблицы приложений «Таблица значений функции Ф(х)» .

Решение:

 По условию:a  =10, b=50, а=30, σ =10, следовательно,

По таблице  находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Р(10 < Х < 50) =2×0,4772=0,9544.

Решение контрольных работ в авторском исполнении

www.reshim.su

Определение 2. Общим нормальным распределением вероят­ностей непрерывной случайной величины Х называется рас­пределение с плотностью

Нормальное распределение задается двумя параметрами: А и σ. Согласно определениям математического ожидания и дисперсии (формулы (18.36) и (18.38)), после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нор­мального распределения справедливы формулы

Определение 3. Нормальное распределение с параметрами А = 0 и σ = 1 называется Нормированным; его плотность равна

Рассмотрим функцию нормального распределения как пер­вообразную плотности распределения вероятностей. Для слу­чая нормированного нормального распределения (18.41) она, согласно формуле (18.34), имеет вид

Поскольку функция (18.41) является четной, то неопределен­ный интеграл от нее является нечетной функцией, и потому вместо функции распределения (18.42) используется функция Лапласа (см. п. 17.5)

Функции (18.41) и (18.43) табулированы (см. Приложение).

График плотности нормального распределения (18.40) для разных значений А показан на рис. 18.6.

Определение 4. Модой Мо(Х) называется возможное значе­ние случайной величины X, при котором плотность распреде­ления имеет максимум.

Определение 5. Медианой Ме(Х) называется такое возмож­ное значение случайной величины X, что вертикальная пря­мая Х = Me(X) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.

Нетрудно видеть, что график плотности нормального рас­пределения симметричен относительно прямой Х = а, и потому и мода и медиана в данном случае совпадают с математичес­ким ожиданием:

Пусть случайная величина Х задана плотностью нормаль­ного распределения (18.40), тогда вероятность того, что Х при­мет значение на интервале (α, β), согласно формуле (18.33), равна

Преобразование этой формулы путем введения новой перемен­ной интегрирования Z = (х — А)/σ приводит к удобной вычис­лительной формуле:

Где Ф — функция Лапласа, определенная по формуле (18.43).

Пример 3. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 10 и 5. Найти ве­роятность того, что Х примет значение на интервале (20, 30).

Решение. Воспользуемся формулой (18.44). По условию А = 10, σ = 5, α = 20 и β = 30. Следовательно,

По табл. 2 Приложения находим соответствующие значения функции Лапласа и окончательно получаем

Пример 4. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Опре­делить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).

Решение. По условию задачи А = 48, σ = 2, α = 49, β = 51. Используя формулу (18.44), получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна

Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

matica.org.ua

Нормальное распределение

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

где и–параметры распределения, причем =M(X), =(X).

График дифференциальной функции распределения называют нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис.1).

Рис.1

Если (X) = 0, (X) = 1, то нормально распределенная случайная величина называется нормированной, ее дифференциальная функция распределения табулирована.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (,) находим по формуле:

Данный интеграл выражается через функцию Лапласа, которую еще называют интегралом вероятностей и обозначают Ф(t):

Ф(t) .

Функция Лапласа – это вероятность попадания нормированной нормально распределенной случайной величины в интервал ( 0, t).

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Ф(0) = 0.

2. Ф(–t) = –Ф(t), то есть она нечетная.

3. Ф() = 0,5 (практически уже при t  4).

Функция Ф(t) табулирована (см. прил. 2).

Применяя функцию Лапласа, получим:

При решении задач часто возникает необходимость определения вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания:

Пример 1. Средний процент выполнения плана некоторыми предприятиями составляет 105 %, среднее квадратическое отклонение – 5 % . Полагая, что выполнение плана предприятиями подчинено закону нормального распределения, вычислить долю предприятий, выполняющих план от 110 до 130 %, то есть определить вероятность попадания рассматриваемой величины в интервал ( 110, 130).

Решение. Случайная величина X – выполнение плана предприятиями; она имеет нормальное распределение с параметрами:

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой:

Пример 2. Длина изготовляемой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя длина детали равна 50 мм, а дисперсия – 0,25 мм². Какое поле допуска длины изготовляемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,99?

Решение. Длина изготовляемой детали – случайная величина X, имеющая нормальный закон распределения с параметрами:

= (X) = 50 мм, =(X) = = 0,5.

Известна вероятность, гарантирующая некоторое поле допуска, то есть Р( X ) = 0,99. Чтобы найти это поле допуска, воспользуемся формулой:

Неравенство X–  эквивалентно неравенству ,следовательно, и равновероятно, то есть

Исходя из условия задачи, можем записать:

= 0,99; = 0,495.

По таблице значений функции Лапласа (см. прил. 2) находим = 2,58.

Отсюда  = 2,58  = 1,29, тогда 50 – 1,29 X  50 + 1,2 или 48,71  X  51,29.

studfiles.net

Тренажер «ДРОБИ» | тренажер дробей онлайн | дроби для 5 и 6 класса | Клуб любителей математики

Данный тренажер является третьим в линейке тренажеров по математике для развития навыков устного счета с удобным, интуитивно-понятным интерфейсом.

Работа тренажера также основана на генерации примеров по математике с различными видами дробей, изучаемых в средних классах школы. Решение примеров способствует развитию скорости и качества устного счёта.

Приложение благоприятно влияет на умственную деятельность как детей, так и взрослых.

Режимы счёта

На странице настроек режима можно задавать необходимые параметры генерации примеров с дробями для любого класса.

Онлайн тренажер «Дроби» позволяет генерировать примеры с любыми видами дробей, с любым из четырёх арифметических действий.

Кнопки на панели настроек работают по принципу «Вкл/Выкл». Если цвет кнопки зелёный — значит в примерах будут использоваться дроби того типа, который описывает кнопка. Если же цвет серый — этот тип дробей использоваться не будет.

В приложении отсутствуют режимы «Уравнение» и «Сравнение» из-за их избыточной сложности. Работа проходит только в режиме «Пример» с возможным использованием следующих типов дробей:

Разные знаменатели — в примере будут появляться обыкновенные дроби с разными знаменателями.

Неправильные дроби — в примере будут появляться обыкновенные неправильные дроби (числитель больше знаменателя).

Смешанные числа — в примере будут появляться смешанные числа (числа, состоящие из целой и дробной частей).

Десятичные дроби — в примере будут появляться дроби в десятичной записи.

Также имеется возможность включить обязательную проверку ответа на сокращение дробной части числа и выделение целой части числа (если имеется). Понять, нужно ли сокращать ответ можно по красному индикатору * на странице настроек и странице ввода ответа.

Все изменения настроек сразу применяются и Вы тут же можете увидеть как будет выглядеть новый пример в графе «Например». Когда подбор нужных характеристик окончен, нажмите на кнопку ПОЕХАЛИ.

Процесс счёта

Вверху представлены 4 кнопки быстрого доступа: к главной странице сайта, профилю пользователя. Также есть возможность включить/отключить звуковые уведомления или перейти к Подробному решению текущего примера.

Вы решаете заданый пример, вводите ответ по частям (целое, числитель, знаменатель) в соответствующие поля с помощью экранной клавиатуры, нажимаете на кнопку ПРОВЕРИТЬ. Если затрудняетесь дать ответ, воспользуйтесь подсказкой. После проверки ответа Вы увидите сообщение либо о правильно введенном ответе, либо об ошибке.

Количество правильных, неправильных ответов и число подсказок можно увидеть в соответствующих индикаторах.

Прогресс и достижения

Приложение также предусматривает небольшой соревновательный момент через получение медалей за безошибочность — правильное решение N примеров подряд.

Если во время решения была использована подсказка, то верный ответ не идет в зачет прогресса. Ошибка же сразу обнуляется весь прогресс. Поэтому будьте максимально осторожны, если хотите получить медаль — один неверный шаг и придется начинать все с начала.

Узнать, получили ли Вы уже медаль за конкретный режим можно на странице «Статистика» в профиле или в самом приложении.

Такой интерфейс делает процесс решения математических примеров более интересным, являясь также простой мотивацией для детей.

Подробное решение примеров

В любой момент работы с тренажером вы можете перейти в разделу «Подробного решения примера», если обычной подсказки в виде верного ответа вам не достаточно. Для этого кликните на соответствующую иконку сверху, либо перелестнув страницу вниз.

Здесь вы сможете посмотреть подробное решение примера с дробями со всеми преобразованиями, сокращениями и упрощениями.

Дополнительная информация

Хотим также обратить внимание, что ссылка на какой-либо режим имеет довольно простой вид:

домен сайта + раздел приложения + кодировка данного режима

например: matematika.club/drobi/#60101

Таким образом Вы легко можете пригласить любого человека посоревноваться в решении арифметических примеров по математике, просто передав ему ссылку на текущий режим.

matematika.club

Преобразования дробей. Тест-тренажер № 1 — Kid-mama

Преобразования дробей. Тест 1

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

Информация

Тренируемся переводить неправильную дробь в смешанную дробь. Для этого из дроби нужно выделить целую часть.
Вставьте нужные числа в «окошки» и нажмите кнопку «Проверить». Зеленым цветом будет выделен правильный ответ, красным — неправильный. В скобках — правильные значения.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Если вы забыли, как переводить неправильную дробь в смешанную, читайте статью:

kid-mama.ru

Умножение и деление десятичных дробей. Онлайн тренажер. — Kid-mama

Проверьте себя, как вы умеете умножать и делить десятичные дроби. Вспомните, как нужно умножать и делить дроби, а затем поработайте на нашем тренажёре. В нём всего 21 пример, но будьте внимательны!

Задания в тренажёре включают умножение и деление на 0,1;  0,01;  0,001;  0,0001 и т.д, а также умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д. То есть мы учимся правильно переносить запятую.

Как умножать десятичные дроби на 10, 100, 1000, 10 000 и т. д.?

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Например:

8,963 · 10 = 89,63

0,062 · 1000 = 0062 = 62  (нули перед числом не пишутся)

2,9 · 10000 = 2,9000 · 10000 = 29000

Как умножать десятичные дроби на 0,1;  0,01;  0,001 и т.д.?

Умножить число на 0,1;  0,01;  0,001 и т.д. — это то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000 и т.д. Для этого нужно перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей стоит перед единицей в множителе (нуль перед запятой тоже считаем).

Например:

54,3 · 0,1 = 54,3 : 10 = 5,43

0,1 · 0,01 = 0,1 : 100 = 000,1 : 100 = 0,001

Как делить десятичные дроби на 0,1;  0,01;  0,001 и т.д.?

Разделить число на 0,1;  0,01;  0,001 и т.д. — это то же самое, что умножить его на 10, 100, 1000 и т.д. Для этого нужно перенести запятую в делимом на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (ноль перед запятой тоже считаем).

Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби  несколько нулей.

Например:

54,87 : 0,1 = 548,7

34,56 : 0,0001 = 34,5600 : 0,0001 = 345600

24 : 0,001 = 24,000 : 0,001 = 24000

Как делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д.?

Для того, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, надо перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

При этом иногда приходится сначала написать перед целой частью нуль или несколько нулей.

Например:

374,5 : 100 = 3,745

5,021 : 1000 = 0005,021 : 1000 = 0,005021

0,1 : 100 = 000,1 : 100 = 0,001

В этом онлайн тренажере необходимо выбрать правильный ответ и нажать на него. В случае правильного ответа он загорится зеленым цветом, если ответ неверный — красным. В этом случае попробуйте найти правильный ответ, а затем нажмите кнопку «Дальше».

Онлайн тренажер по математике «Умножение и деление десятичных дробей.»

kid-mama.ru

Тренажеры по математике 5-8 класс

Тренажер № 27. Перевод обыкновенной дроби в десятичную и десятичной в обыкновенную. 6 класс.

1. Перевод обыкновенной дроби в десятичную.

а) Первый способ-умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же, не равное нулю число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т. д.

Например: 1) ; 2) ; 3) .

б) Второй способ — разделить числитель на знаменатель, т. к. дробная черта – это знак деления.

Например: 1) , т. к. 2:5=0,4; 2) т. к. 1:4=0,25.

Памятка: В десятичную дробь можно перевести только ту обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5.

2. Перевод десятичной дроби в обыкновенную.

Например: а) 1) 0,4=; 2) 0,35=; 3) 0,125=.

Если нужно перевести в десятичную дробь смешанную дробь, то можно поступать по-разному:

1. Если с этим числом будем выполнять сложение или вычитание, то

записываем так: 5,8=; 7,25=.

2. Если со смешанным числом будем выполнять умножение или деление,

то записываем так: 5,8=; 1,25=; 1,4=.

Тренировочные задания.

1) Переведите десятичные дроби в обыкновенные:

1) 0,2; 2) 2,4; 3) 1,6; 4) 3,8; 5) 2,1; 6) 3,6; 7) 2,25; 8) 0,16; 9) 3,5; 10) 0,06; 11) 2,14; 12) 0,15; 13) 0,12; 14) 3,12; 15) 0,28; 16) 2,24; 17) 0,36; 18) 0,125; 19) 1,8; 20) 6,75.

2) Переведите обыкновенные дроби в десятичные:

1); 2); 3); 4) 3; 5) 2; 6) ; 7); 8) 7; 9) ; 10); 11) ; 12) .

Ответы к тренировочным заданиям.

1. 1) ; 2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) 2; 6) 3; 7) 2; 8) ; 9) 3; 10) ; 11) 2; 12) ; 13) ; 14) 3; 15) ; 16) 2; 17) ; 18) ; 19) 1; 20) 6.

2. 1) 0,2; 2) 0,4; 3) 0,6; 4) 3,25; 5) 2,375; 6) 0,5; 7) 0,15; 8) 7,24; 9) 0,75; 10) 0,8; 11) 0,056; 12) 0,1875.

infourok.ru

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Тренажер. — Kid-mama

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

Информация

Тест поможет проверить, как вы умеете складывать  дроби с разными знаменателями. Перед тем, как сложить дроби, необходимо привести их к одинаковому знаменателю. Записывая результат, соблюдаем два правила:

• Если в результате сложения получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
• Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

kid-mama.ru

Сайт учителя математики и информатики: Тренажеры

На этой странице вы найдете самые различные тренажеры. Вы сможете, играя, усвоить и закрепить знания на самые разные темы.

Программа-тренажёр «Обыкновенные дроби»

Эта программа — тренажер для работы с обыкновенными дробями:сравнение, сокращение, сложение, вычитание, умножение и деление.

Программа-тренажёр «Десятичные дроби»

Тренировка выполнения математических действий с дробями

Программа-тренажёр  «Сложение десятичных дробей»

Программа случайным образом задаёт две десятичные дроби, требуется найти их сумму. Наибольшее количество заданных вопросов 20. Программа подсчитывает количество заданных вопросов и количество правильных ответов и выставляет оценку за ответ. Вместо запятой, в качестве разделителя между целой и дробной частью, нужно вводить точку.

Программа-тренажер «Смешанные числа»

Представленная программа-тренажер поможет детям закрепить материал по теме “Дроби”. Программа разбита на несколько уроков, в которых нужно будет произвести вычисления на сложение, вычитание, умножение, деление и комбинированные действия.

Тренажер «Тир»

Программа позволяющая отработать навык сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел, в том числе и десятичных дробей.

Тренажер «Колобок»

Программа позволяющая определить местоположение числа на координатной прямой.

Тренажер «Положительные и отрицательные числа»

Проверка правильности вычислений при работе с положительными и отрицательными числами.

Тренажер «Координатная плоскость»

Программа позволяет научиться рисовать на координатной плоскости любое изображение. Есть возможность загрузить файлы по названиям закодированного рисунка, и по значениям координат, соединить точки.

Программа-тренажер «Baby Type»

У Вас появится возможность играя — научиться быстрому слепому методу набора текста на клавиатуре. Очень простой интерфейс тренажера, пошаговое усложнение и увеличение скорости. Полезен и для ученика с 7 лет и для взрослого пользователя, желающего обрести навыки «скоропечати».

Программа «Наглядная геометрия»

Тренажер позволяет выполнять геометрические построения, используя точки, прямые, лучи, окружность. Возможно выполнение огромного количества разнообразных задач.

Тренажер по информатике «Задачи о переправах»

В форме игры учащийся учится составлять план действий, и искать наиболее короткое, правильное решение.

xn--b1agajub0bic4b.xn--p1ai

Переведи смешанное число в неправильную дробь. Тренажёр — Kid-mama

Любую смешанную дробь можно перевести в неправильную. Для этого целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель дробной части. Полученную сумму берут числителем, а знаменатель оставляют тот же, например:

Тренажёр и тест помогут вам закрепить эту тему.

В  тренажёре 40 заданий. Введите числа при помощи клавиатуры и нажмите кнопку «Проверить».

Играть на отдельном экране

Проверьте себя, пройдите тест. 

Преобразования дробей.

Преобразования дробей. Тест 2

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

Информация

Тренируемся переводить смешанное число в неправильную дробь.
Вставьте нужные числа в «окошки» и нажмите кнопку «Проверить». Зеленым цветом будет выделен правильный ответ, красным — неправильный. В скобках — правильные значения.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

kid-mama.ru

Задачи на пересечение и объединение множеств (Круги Эйлера)

Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

«Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:

Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».

Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

«Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Решение

Изобразим эти множества на кругах Эйлера.

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение

Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.

Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

«Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

«Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

infourok.ru

Задачи на пересечение и объединение двух множеств — Решение

Муниципальное общеобразовательное учреждение

лицей № 8 «Олимпия»

Дзержинского района г. Волгограда

Телефоны (8442) 58-80-83, 51-81-31 адрес электронной почты lyceum8@mail.ru

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

Выполнил:

Назаретян Сюзана Горовна,

ученица 5 Б класса

Учитель:

Кокиева Лилия Диляверовна, учитель

математики высшей категории

Волгоград, 2011

Введение.

Сколько гостей Вам встречать, если собираются друзья с 15 угощениями и 20 украшениями? Может ли хватить всем места за столом, вмещающем 22 человека? Первое, что приходит на ум, это 35 человек. А причём здесь 22 человека? Есть подвох? Конечно! Ведь надо рассмотреть несколько вариантов.

Как узнать количество учащихся класса, посещающих одновременно две или три секции, если известны количества участников каждой секции отдельно? Можно ли научиться решать такие задачи, планируя результат? Хочется ответить положительно.

А как решить такую задачу: «Министерство послало в один из лицеев инспектора для проверки, как в нём ведётся преподавание иностранных языков. Сотрудник министерства в отчёте записал, что в лицее учатся 100 детей. Каждый изучает по крайней мере один из трёх языков: французский, немецкий и испанский. Причём все три языка изучают 5 человек; немецкий и испанский 10;французский и испанский 8; немецкий и французский 20; испанский 30, немецкий 23, французский 50. Инспектор, представивший отчёт, был уволен. Почему?»? Такое длинное условие: пока дочитали до конца – забыли начало. Что делать?

Оказывается, такие задачи решаются с помощью кругов Эйлера. Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению.

Актуальность нашей работы заключается в том, чтобы такие задачи не ставили нас «в тупик» и мы могли их решать.

С учетом этого и была выбрана темаиссле­дования: «Решение логических задач с помощью кругов Эйлера».

Объект исследования — логические задачи.

Предмет исследования —использование кругов Эйлера для решения логических задач .

Гипотеза исследования. Можно решать логические задачи определённого вида специальными способами и в 5 – 6 классах.

Целью нашего исследования является исследование механизма решения определённых логических задач при помощи кругов Эйлера.

Для достижения цели исследования и обоснования гипотезы нам необходимо решить ряд задач:

1. Найти необходимые сведения о пересечении и объединении множеств, о кругах Эйлера.

2. Рассмотреть способы решения логических задач на пересечение и объединение двух и трёх множеств.

3. Вывести в общем виде способ решения логических задач определённого вида с помощью кругов Эйлера.

4. Научиться решать конкретные логические задачи с помощью кругов Эйлера.

5. Создать модели «Круги Эйлера» для решения задач с двумя и тремя множествами в помощь учащимся.

Методы исследования:

1. Поиск, анализ и синтез различных источников информации.

2. Интервьюирование, беседы.

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения логических задач. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике. Применение кругов Эйлера придает задачам наглядность и простоту.

Теоретическая значимость заключается в разработке способа действий при решении логических задач с помощью кругов Эйлера в общем виде.

Здесь будет выводиться история переписки.

Глава I. Логические задачи и круги Эйлера

1.1. Трудно решать логические задачи?

Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.

Решение логических задач – одно из важнейших средств развития мыслительных способностей.

Логические задачи обладают рядом достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы. Логические задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. С другой стороны, такие задачи труднее, для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку.

Вдоль овражка
Шла фуражка,
Две косынки,
Три корзинки
И от них не отставала
Белоснежная панама.
Посчитай поскорей
Сколько было детей?

Задача предполагает несколько решений. Потому что мы точно не знаем, носил ли кто — нибудь и головной убор, и корзинку.
1 Решение. Предполагается, что каждый ребёнок носил 1 предмет. Значит, детей было 7.
2 Решение. Предполагается, что 1 из детей нёс корзинку и головной убор. Следовательно, детей было 6.
3 Решение. Предполагается, что 2 из детей носили и корзинку, и головной убор. Следовательно, детей было 5 .
4 Решение. Предполагается, что 3 из детей носили и корзинку, и головной убор. Следовательно, детей было 4.

1.2. Немного о множествах

Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается словами: совокупность, собрание, класс, набор, команда и т.д. Этот смысл поясняется многочисленными примерами. Так, можно говорить о множестве всех учащихся 5-го класса, о множестве всех жителей Волгограда, о множестве всех натуральных чисел, о множестве корней данного уравнения. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) так определил множество – «многое, мыслимое как единое, целое».

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В, С, …

О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству или являются его элементами. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Множество может быть задано перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Такое множество называют конечным. Мы будем рассматривать только конечные множества.

Множество, в котором нуль элементов, называют пустым.

Над множествами, как и над числами, производят операции. Рассмотрим некоторые из них: пересече­ние, объединение и разность.

Пересечение множеств

Возьмем множество X, состоящее из букв а, б, в, г, д, и множество Y, состоящее из букв г, д, е, ж:

X = {а, б, в, г, д}, Y= {г, д, е, ж}.

Эти множества имеют общие элементы гид. Множества X и Y называются пересекающимися множествами. Множество общих элементов X и Y на­зывают пересечением множеств X и Y и обозначают с помощью знака :Х Y={г, д} (рис. 1).

Пусть множество А = {1, 3, 5}. Множества А и X не имеют ни одного общего элемента. В таком случае множества А и X называются непересекающимися множествами. Пересечением множеств А и X являет­ся пустое множество: А  Х=  (рис. 2).

Пересечением множеств называется новое множество, состоящее
из элементов, принадлежащих одновременно нескольким множествам

Рис. 1

Рис. 2

Объединение множеств

Если из элементов множеств X и Y составить новое множество, состоящее из всех элементов этих мно­жеств и не содержащее других элементов, то полу­чится объединение множеств Х и Y, которое обозна­чают с помощью знака :

X и Y= {а, б, в, г, д, е, ж) (рис. 4).

Объединение множеств А и X не является пустым:

А X = {1, 3, 5, а, б, в, г, д) (рис. 5).

Объединением множеств называется новое множество, состоящее
из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

Рис. 3

Рис. 4

Разность

Разность множеств X и Y — это множество всех элементов из X, не являющихся элементами из Y.Разность обозначают Х\Y = {а, б, в} (рис. 5).

Рис. 5

1.3. Из истории кругов Эйлера

Часто множество изображают кругами, эти круги обычно называют «кругами Эйлера» по имени величайшего математика Леонарда Эйлера.

Леонард Эйлер (Euler) (1707 – 1783 г.г.) – математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец, а работал в основном в Росси и в Германии. В 1726 году был приглашен в Петербургскую АН и в 1727 году переехал в Россию. В 1741 – 1766 годах работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер – ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки.

Одним из первых, кто разрабатывал метод решения задач с помощью кругов Эйлера, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые «Письма к немецкой принцессе», написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих «Писем…» Эйлер как раз и рассказывает о кругах, которые «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848).

Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в книге «Алгебра логики». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

Глава II. Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

uchebana5.ru

Пересечение и объединение множеств

Вы знаете, ученик третьего класса Максим очень хотел объяснить вам эту тему, но немного приболел и прийти сегодня не смог. Но, благодаря Интернету, мы можем с ним связаться.

̶ Здравствуй Максим!

̶ Здравствуйте! Проверьте, чтобы ваши соседи по парте были готовы к уроку. И мы начинаем.

Прослушайте название пар множеств и попытайтесь заметить, что повторяется в каждой паре.

Животные и герои мультфильмов;

Рыбы и птицы;

Материки и части света;

Звёзды и планеты.

Ну, что заметили? Конечно, повторялся слово «и».

Если в названии множества есть союз «И», то каждый его элемент должен находиться на пересечении двух множеств, т.е. находиться одновременно в двух множествах. Другими словами мы можем сказать, что пересечение множеств – это их общая часть.

А теперь задание.

Необходимо разместить элементы по своим множествам.

Давайте посмотрим, что за элементы. Так это имена мальчиков и девочек: Коля, Ваня, Даша, Игорь, Катя, Саша, Дима, Юля, Ира, Женя. Будем размещать имена мальчиков в синий прямоугольник, а девочек – в розовый. Ага! Так ведь Сашей и Женей могут звать как мальчиков, так и девочек. Значит, эти два имени будут находиться сразу в двух множествах, т.е. на пересечении двух множеств.

Итак, Коля, Ваня – это мальчики, помещаем эти элементы во множество имён мальчиков. Даша – имя девочки, помещаем в розовый прямоугольник, где находятся имена девочек. Игорь – имя мальчика, Катя – имя девочки. Саша, так могут звать и мальчика, и девочку, значит, этот элемент будет находиться на пересечении двух множеств. Дима – элемент из множества имён мальчиков. Юля, Ира, конечно элементы из множества имён девочек. И последнее имя, Женя, это имя могут иметь как девочки, так и мальчики. Значит, этот элемент будет находиться на пересечении двух множеств.

Теперь все имена находятся в своих множествах.

А сейчас я прочитаю названия ещё нескольких пар множеств, а вы попытайтесь заметить, что повторяется в этих парах.

Яблоки или груши;

Полевые или садовые цветы;

Попугаи или морские свинки;

Рабочие или выходные дни.

Заметили, что повторялось в парах множеств? Конечно, это слово «или».

Посмотрите ещё раз на названия множеств.

Например, яблоки или груши. А ведь эти множества можно объединить в одно с общим названием «фрукты» и все элементы будут располагаться в одном новом множестве.

 Попугаи или морские свинки. Их можно объединить во множество с названием

«домашние животные» и все попугаи, и все морские свинки будут находиться в новом множестве.

Значит, если в названии множества есть слово «или», то его элемент может находиться в любом множестве и тогда происходит объединение множеств, т.е. эти множества объединяются.

Давайте рассмотрим два множества: домашние животные, дикие животные.

Множество домашние животные содержат следующие элементы: собака, кошка, морская свинка, попугай.

Множество дикие животные состоит из следующих элементов: бегемот, леопард, волк, лев.

Какой общий признак у элементов этих двух множеств? Элементы каждого из них относятся с животному миру. Значит, можно, объединив эти множества, создать новое множество под названием животные. Теперь все элементы находятся в одном множестве.

А теперь, конечно, задание.

Распределить элементы по множествам, объединить их и придумать название для нового множества.

Итак, смотрим на элементы. Ага, у нас два множества: множество стульев и множество столов. Распределяем элементы по множествам. Все элементы стулья во множество стульев, а все элементы столы во множество столов.

Объединяем множества. Какое название будет у нашего нового множества? Множество мебели.

Давайте ещё раз определим разницу между пересечением и объединением множеств.

Если в названии множества есть слово «И», то это пересечение, и каждый элемент должен находиться на пересечении двух множеств.

Если в названии множества есть слово «или», то его элемент может находиться в любо области объединённых множеств.

Я надеюсь, что вы поняли разницу между пересечением и объединением множеств. А давайте проверим?

Итак, перед вами рисунок с тремя множествами.

Множество учеников, которые любят математику, множество учеников, которые любят информатику и множество всех учеников. Но, среди учеников есть и такие, которые любят и математику и информатику. Значит, эти два множества пересекаются и одновременно они являются подмножеством множества всех учеников. А теперь появляются элементы во множествах.

Используя полученные знания сегодня на уроке, будем отвечать на вопросы. А все ответы хранятся на этом рисунке, главное внимательно слушать вопросы и внимательно смотреть на рисунок.

Первый вопрос:

Сколько учеников любят математику? Считаем их во множестве учеников, которые любят математику, и не забываем посчитать тех учеников, которые находятся на пересечении двух множеств учеников, которые любят и математику, и информатику. Считаем. Их шесть.

Сколько учеников любят информатику? Считаем их во множестве учеников, которые любят информатику и опять считаем тех учеников, которые находятся на пересечении двух множеств. Считаем. Их пять.

Сколько учеников любят и математику, и информатику? Будем считать тех учеников, которые находятся на пересечении двух множеств. Их три.

Сколько учеников любят или математику или информатику? Если используется слово «или», значит элементы находятся в любом месте множеств за исключением любителей двух предметов сразу. Значит, считаем учеников и в первом множестве и во втором, но не включаем тех, кто находится в пересечении. Их пять.

Сколько учеников любят только математику? Любят математику только те, которые находятся во множестве учеников, которые любят математику. Ученики, которые находятся на пересечении двух множеств, сюда относится не будут, т.к. они любят и математику, и информатику. Итак, считаем и получается, что 3 ученика любят только математику.

Сколько учеников любят только информатику? Опять, учеников, которые находятся на пересечении двух множеств, считать не будем. Любителей информатики двое.

Сколько учеников не любят математику? Надо посчитать их во множестве учеников, которые любят информатику, кроме тех, которые находятся на пересечении множеств, т.к. эти ученики любят информатику и математику. А так же надо посчитать тех учеников, которые находятся во множестве всех учеников, т.к. они не любят математику. Их всего 5.

Всем спасибо за отличную работу. Теперь я точно понял, что хочу быть учителем!

Тебе спасибо, Максим. Тему объяснил хорошо. До свидания! А мы ещё сделаем выводы.

Итак.

Множество – это объединение некоторых объектов (элементов) в группу по определённым признакам.

Множество может быть подмножеством другого множества. Например: множество собак является подмножеством множества домашние животные.

Множества могут пересекаться. Например: множество чисел, которые делятся на 2, и множество чисел, которые делятся на 3, пересекаются, т.к. числа, например, 6 и 12 делится и на 2, и на 3.

Множества могут и не пересекаться. Например: множество телефонов и множество цветов.

И множества могут объединяться. Например: множество рабочих дней недели и множество выходных можно объединить в одно множество дней недели.

Выводы сделаны, и я желаю вам успехов при выполнении заданий!

videouroki.net

Знаем на 5! — Задачи на пересечение или объединение множеств

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

1. «Обитаемый остров» и «Стиляги»
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение: Чертим два множества таким образом:
 
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств. 15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».Получаем:
 
Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».

2. Любимые мультфильмы
Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
 
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:

 
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

 3. «Мир музыки»
В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
Решение: Изобразим эти множества на кругах Эйлера.

Теперь посчитаем. Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

4. Гарри Поттер, Рон и Гермиона
На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение: Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.

Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

5. Пионерский лагерь
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение: Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.

Ответ. 5 человек заняты только спортом.

6. Экстрим
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение: Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

7. Из 100 кубиков 80иимеют красную грань, 85 – синюю, 75 – зелёную. Сколько кубиков имеют грани всех трёх цветов?

Решение: Подсчитаем максимальное число кубиков с гранями всех цветов. Очевидно, оно равно 75.
Подсчитаем минимальное число кубиков с гранями всех цветов.
100 – 80 = 20 кубиков не имеют красной грани.
100 – 85 = 15 кубиков не имеют синей грани.
100 – 75 = 25 кубиков не имеют зелёной грани.
Если все три множества попарно не имеют общих элементов, то число кубиков, не имеющих грани всех трёх цветов равно 20 + 15 + 25 = 60, то есть минимальное число кубиков , имеющих грани всех цветов рано 100 – 60 = 40 кубиков. Значит, от 40 по 65 кубиков имеют грани всех трёх цветов. Это метод подсчета по крайнему.

znaemna5.ucoz.ru

Задачи на пересечение и объединение двух множеств — Решение

2.1. Задачи на пересечение и объединение двух множеств

К Лене на День Рождения пришли гости с подарками. Получилось так, что подарили только букеты цветов и воздушные шарики. Шесть гостей подарили букеты цветов, четыре — воздушные шарики. Сколько было гостей?
Задача предполагает несколько решений. Потому что мы точно не знаем, брал ли кто — нибудь из гостей два подарка.

1 Решение. Предполагается, что каждый гость с одним подарком. Следовательно, гостей 10.

2 Решение. Предполагается, что 1 из гостей пришел и с шариком, и с букетом цветов. Следовательно, 6 + 3 = 9 гостей.

3 Решение. Предполагается, что 2 из гостей пришли с двумя подарками. Следовательно, гостей 8.

4 Решение. Предполагается, что 3 из гостей пришли и с шариком, и с букетом цветов. Следовательно, 6 + 1 = 7.

5 Решение. Предполагается, 4 из гостей пришли с 2 подарками. Следовательно, 4 + 2 = 6 гостей.

1

Ц

Ш

Ш

4

5

1

3

Ш

Ц

Ш

Ц

4

2

2

3

3

Ш

Ц

Закон распределения дискретной случайной величины

Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

Пример 14 . По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник распределения.



Вероятности пяти попаданий из пяти возможных, четырех из пяти и трех из пяти были найдены выше по формуле Бернулли и равны соответственно:

, ,

Аналогично найдем:

. 

Представим графически зависимость числа попаданий от их вероятностей.

При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности.

Биноминальное распределение

Если производится независимых испытаний, в каждом из которых событиеможет появиться с одинаковой вероятностьюв каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна.

Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину .

Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.

Значения найти достаточно просто. Очевидно, что в результате испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. дораз.

Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.

Эта формула аналитически выражает искомый закон распределения. Этот закон распределения называется биноминальным.

Пример 15. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.



Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1.

Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей:

1) Вообще нет нестандартных.

2) Одна нестандартная.

3) Две нестандартные детали.

4) Три нестандартные детали.

5) Четыре нестандартных детали.

Построим многоугольник распределения.

Пример 16 . Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины – числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.



Каждая игральная кость имеет три варианта четных очков – 2, 4 и 6 из шести возможных, таким образом, вероятность выпадения четного числа очков на одной кости равна 0,5.

Вероятность одновременного выпадения четных очков на двух костях равна 0,25.

Вероятность того, что при двух испытаниях оба раза выпали четные очки на обеих костях, равна:

Вероятность того, что при двух испытаниях один раз выпали четные очки на обеих костях:

Вероятность того, что при двух испытаниях ни одного раза не выпаде четного числа очков на обеих костях:

. 

studfiles.net

Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) представляет собой соответствие между значениями х₁, х₂,…,х_n этой величины  и их вероятностями p₁, p₂,…,p_n

 Может быть задан аналитически, графически или таблично.

Самый простой способ представления закона распределения дискретной случайной величины — в виде таблицы ряда распределения, то есть

х₁, х₂,…,х_n — значения дискретной случайной  величины;

p₁, p₂,…,p_n — вероятности значений X дискретной случайной  величина.

Также должно выполняться условия, что сумма вероятностей равна 1, то есть

∑p=p₁+p₂+ … +p_n=1

Рассмотрим примеры

Пример 1

Из корзины извлечено 4 белых шара, 6 черных, 8 синих и 2 красных шара. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.

Решение

Объем выборки равен

n=4+6+8+2=20

X принимает следующие значения:

x₁=4; x₂=6; x₃=8; x₁=2

Найдем их вероятности:

  p₁(4)=4/20=0,2;

p₂(6)=6/20=0,3;

  p₃(8)=8/20=0,4;

p₄(2)=2/20=0,1

Получаем таблицу закона распределения дискретной случайной величины

Пример 2
Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распределения числа стандартных изделий среди отобранных.
Решение
Для составления закона распределения воспользуемся формулой комбинаторики сочетание без повторений, то есть всего 8 изделия, а отобрать необходимо 3 изделия получаем:

при P(X=0) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий не окажется ни одного стандартного;
при P(X=1) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется одно стандартное и два нестандартных изделия;
при P(X=2) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется два стандартных и одно нестандартное изделие;
при P(X=3) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий все три изделия стандартные.

Составим таблицу распределения

Пример 3
По контрольной работе по математике школьники получили оценки:
удовлетворительно — 5 человек;
хорошо — 13 человек;
отлично — 7 человек.
Составьте таблицу закона распределения ДСВ
Решение

n=5+13+7=26

Вычислим вероятности:

  p₁(5)=5/25=0,2;

p₂(13)=13/25=0,52;

  p₃(7)=7/25=0,28

Таблица имеет вид:

Пример 4
Монета подбрасывается 10 раз, герб выпал 6 раз, а орел — 4 раза. Составить закон распределения дискретной случайной величины.
Решение

Вероятности равны:

p₁(6)=6/10=0,6;

p₂(4)=4/10=0,4

www.matematicus.ru

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Закон распределения двумерной случайной величины задан следующей таблицей:

Рисунок 2.

Найти законы распределения случайных величин $X,\ Y$, $X+Y$ и проверить в каждом случае выполнение равенства полной суммы вероятностей единице.

1. Найдем сначала распределение случайной величины $X$. Случайная величина $X$ может принимать значения $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Для нахождения распределения будем пользоваться теоремой 1.

Найдем вначале сумму вероятностей $x_1$ следующим образом:

Рисунок 3.

C/N — это… Что такое C/N?

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАзербайджанскийАймараАйнский языкАканАлбанскийАлтайскийАнглийскийАрабскийАрагонскийАрмянскийАрумынскийАстурийскийАфрикаансБагобоБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийБурятскийВаллийскийВарайскийВенгерскийВепсскийВерхнелужицкийВьетнамскийГаитянскийГреческийГрузинскийГуараниГэльскийДатскийДолганскийДревнерусский языкИвритИдишИнгушскийИндонезийскийИнупиакИрландскийИсландскийИспанскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКиргизскийКитайскийКлингонскийКомиКорейскийКриКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛюксембургскийМайяМакедонскийМалайскийМаньчжурскийМаориМарийскийМикенскийМокшанскийМонгольскийНауатльНемецкийНидерландскийНогайскийНорвежскийОрокскийОсетинскийОсманскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийРумынский, МолдавскийРусскийСанскритСеверносаамскийСербскийСефардскийСилезскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТатарскийТвиТибетскийТофаларскийТувинскийТурецкийТуркменскийУдмурдскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧеркесскийЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШайенскогоШведскийШорскийШумерскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЮпийскийЯкутскийЯпонский

 

Все языкиАбхазскийАварскийАдыгейскийАзербайджанскийАймараАйнский языкАлбанскийАлтайскийАнглийскийАрабскийАрмянскийАфрикаансБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийВенгерскийВепсскийВодскийВьетнамскийГаитянскийГалисийскийГреческийГрузинскийДатскийДревнерусский языкИвритИдишИжорскийИнгушскийИндонезийскийИрландскийИсландскийИспанскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКитайскийКлингонскийКорейскийКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛожбанМайяМакедонскийМалайскийМальтийскийМаориМарийскийМокшанскийМонгольскийНемецкийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийПуштуРумынский, МолдавскийРусскийСербскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТамильскийТатарскийТурецкийТуркменскийУдмурдскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧаморроЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШведскийШорскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЯкутскийЯпонский

dic.academic.ru

Системы заземления TN-S, TN-C, TNC-S, TT, IT

При проектировании, монтаже и эксплуатации электроустановок, промышленного и бытового электрооборудования, а также электрических сетей освещения, одним из основополагающих факторов обеспечения их функциональности и электробезопасности является точно спроектированное и правильно выполненное заземление. Основные требования к системам заземления содержатся в пункте 1.7 Правил устройства электроустановок (ПУЭ). В зависимости от того, каким образом, и с каким заземляющими конструкциями, устройствами или предметами соединены соответствующие провода, приборы, корпуса устройств, оборудование или определенные точки сети, различают естественное и искусственное заземление.

Естественными заземлителями являются любые металлические предметы, постоянно находящиеся в земле: сваи, трубы, арматура и другие токопроводящие изделия. Однако, ввиду того, что электрическое сопротивление растеканию в земле электротока и электрических зарядов от таких предметов плохо поддается контролю и прогнозированию, использовать естественное заземление при эксплуатации электрооборудования запрещается. В нормативной документации предусмотрено использование только искусственного заземления, при котором все подключения производятся к специально созданным для этого заземляющим устройствам.

Основным нормируемым показателем, характеризующим, насколько качественно выполнено заземление, является его сопротивление. Здесь контролируется противодействие растеканию тока, поступающего в землю через данное устройство — заземлитель. Величина сопротивления заземления зависит от типа и состояния грунта, а также особенностей конструкции и материалов, из которых изготовлено заземляющее устройство. Определяющим фактором, влияющих на величину сопротивления заземлителя, является площадь непосредственного контакта с землей составляющих его пластин, штырей, труб и других электродов.

Виды систем искусственного заземления

Основным документом, регламентирующим использование различных систем заземления в России, является ПУЭ (пункт 1.7), разработанный в соответствии с принципами, классификацией и способами устройства заземляющих систем, утвержденных специальным протоколом Международной электротехнической комиссии (МЭК). Сокращенные названия систем заземления принято обозначать сочетанием первых букв французских слов: «Terre» — земля, «Neuter» — нейтраль, «Isole» — изолировать, а также английских: «combined» и «separated» — комбинированный и раздельный.

• T — заземление.
• N — подключение к нейтрали.
• I — изолирование.
• C — объединение функций, соединение функционального и защитного нулевых проводов.
• S — раздельное использование во всей сети функционального и защитного нулевых проводов.

В приведенных ниже названиях систем искусственного заземления по первой букве можно судить о способе заземления источника электрической энергии (генератора или трансформатора), по второй – потребителя. Принято различать TN, TT и IT системы заземления. Первая из которых, в свою очередь, используется в трех различных вариантах: TN-C, TN-S, TN-C-S. Для понимания различий и способов устройства перечисленных систем заземления следует рассмотреть каждую из них более детально.

1. Системы с глухозаземлённой нейтралью (системы заземления TN)

Это обозначение систем, в которых для подключения нулевых функциональных и защитных проводников используется общая глухозаземленная нейтраль генератора или понижающего трансформатора. При этом все корпусные электропроводящие детали и экраны потребителей следует подключить к общему нулевому проводнику, соединенному с данной нейтралью. В соответствии с ГОСТ Р50571.2-94 нулевые проводники различного типа также обозначают латинскими буквами:

• N — функциональный «ноль»;
• PE — защитный «ноль»;
• PEN — совмещение функционального и защитного нулевых проводников.

Построенная с использованием глухозаземленной нейтрали, система заземления TN характеризуется подключением функционального «ноля» — проводника N (нейтрали) к контуру заземления, оборудованному рядом с трансформаторной подстанцией. Очевидно, что в данной системе заземление нейтрали посредством специального компенсаторного устройства — дугогасящего реактора не используется. На практике применяются три подвида системы TN: TN-C, TN-S, TN-C-S, которые отличаются друг от друга различными способами подключения нулевых проводников «N» и «PE».

Система заземления TN-C

Как следует из буквенного обозначения, для системы TN-C характерно объединение функционального и защитного нулевых проводников. Классической TN-C системой является традиционная четырехпроводная схема электроснабжения с тремя фазными и одним нулевым проводом. Основная шина заземления в данном случае – глухозаземленная нейтраль, с которой дополнительными нулевыми проводами необходимо соединить все открытые детали, корпуса и металлические части приборов, способные проводить электрический ток..

Данная система имеет несколько существенных недостатков, главный из которых – утеря защитных функций в случае обрыва или отгорания нулевого провода. При этом на неизолированных поверхностях корпусов приборов и оборудования появится опасное для жизни напряжение. Так как отдельный защитный заземляющий проводник PE в данной системе не используется, все подключенные розетки земли не имеют. Поэтому используемое электрооборудование приходится занулять – соединять корпусные детали с нулевым проводом. .

Если при таком подключении фазный провод коснется корпуса, из-за короткого замыкания сработает автоматический предохранитель, и опасность поражения электрическим током людей или возгорания искрящего оборудования будет устранена быстрым аварийным отключением. Важным ограничением при вынужденном занулении бытовых приборов, о чем следует знать всем проживающим в помещениях, запитанных по системе TN-C, является запрет использования дополнительных контуров уравнивания потенциалов в ванных комнатах.

В настоящее время данная система заземления сохранилась в домах, относящихся к старому жилому фонду, а также применяется в сетях уличного освещения, где степень риска минимальна.

Система TN-S

Более прогрессивная и безопасная по сравнению с TN-C система с разделенными рабочим и защитным нолями TN-S была разработана и внедрена в 30-е годы прошлого века. При высоком уровне электробезопасности людей и оборудования это решение имеет один, но достаточно очень существенный недостаток — высокую стоимость. Так как разделение рабочего (N) и защитного (PE) ноля реализовано сразу на подстанции, подача трехфазного напряжения производится по пяти проводам, однофазного — по трем. Для подключения обоих нулевых проводников на стороне источника используется глухозаземленная нейтраль генератора или трансформатора.

В ГОСТ Р50571 и обновленной редакции ПУЭ содержится предписание об устройстве на всем ответственных объектах, а также строящихся и капитально ремонтируемых зданиях энергоснабжения на основе системы TN-S, обеспечивающей высокий уровень электробезопасности. К сожалению, широкому распространению и внедрению системы TN-S препятствует высокий уровень затрат и ориентированность российской энергетики на четырехпроводные схемы трехфазного электроснабжения.

Система TN-C-S

С целью удешевления оптимальной по безопасности, но финансово емкой системы TN-S с разделенными нулевыми проводниками N и PE, было создано решение, позволяющее использовать ее преимущества с меньшим бюджетом, незначительно превышающим расходы на энергоснабжение по системе TN-C. Суть данного способа подключения состоит в том, что с подстанции осуществляется подача электричества с использованием комбинированного нуля «PEN», подключенного к глухозаземленной нейтрали. Который при входе в здание разветвляется на «PE» — ноль защитный, и еще один проводник, исполняющий на стороне потребителя функцию рабочего ноля «N».

Данная система имеет существенный недостаток — в случае повреждения или отгорания провода PEN на участке подстанция — здание, на проводнике PE, а, следовательно, и всех связанных с ним корпусных деталях электроприборов, появится опасное напряжение. Поэтому при использовании системы TN-C-S, которая достаточно распространена, нормативные документы требуют обеспечения специальных мер защиты проводника PEN от повреждения.

Система заземления TT

При подаче электроэнергии по традиционной для сельской и загородной местности воздушной линии, в случае использования здесь небезопасной системы TN-C-S трудно обеспечить надлежащую защиту проводника комбинированной земли PEN. Здесь все чаще используется система TT, которая предполагает «глухое» заземление нейтрали источника, и передачу трехфазного напряжения по четырем проводам. Четвертый является функциональным нолем «N». На стороне потребителя выполняется местный, как правило, модульно-штыревой заземлитель, к которому подключаются все проводники защитной земли PE, связанные с корпусными деталями.

Совсем недавно разрешенная к использованию на территории РФ, данная система быстро распространилась в российской глубинке для энергоснабжения частных домовладений. В городской местности TT часто используется при электрификации точек временной торговли и оказания услуг. При таком способе устройства заземления обязательным условием является наличие приборов защитного отключения, а также осуществление технических мер грозозащиты.

2. Системы с изолированной нейтралью

Во всех описанных выше системах нейтраль связана с землей, что делает их достаточно надежными, но не лишенными ряда существенных недостатков. Намного более совершенными и безопасными являются системы, в которых используется абсолютно не связанная с землей изолированная нейтраль, либо заземленная при помощи специальных приборов и устройств с большим сопротивлением. Например, как в системе IT. Такие способы подключения часто используются в медицинских учреждениях для электропитания оборудования жизнеобеспечения, на предприятиях нефтепереработки и энергетики, научных лабораториях с особо чувствительными приборами, и других ответственных объектах.

Система IT

Классическая система, основным признаком которой является изолированная нейтраль источника – «I», а также наличие на стороне потребителя контура защитного заземления – «Т». Напряжение от источника к потребителю передается по минимально возможному количеству проводов, а все токопроводящие детали корпусов оборудования потребителя должны быть надежно подключены к заземлителю. Нулевой функциональный проводник N на участке источник – потребитель в архитектуре системы IT отсутствует.

Надежное заземление — гарантия безопасности

Все существующие системы устройства заземления предназначены для обеспечения надежного и безопасного функционирования электрических приборов и оборудования, подключенных на стороне потребителя, а также исключения случаев поражения электрическим током людей, использующих это оборудование. При проектировании и устройстве систем энергоснабжения, необъемлемыми элементами которых является как функциональное, так и защитное заземление, должна быть уменьшена до минимума возможность появления на токопроводящих корпусах бытовых приборов и промышленного оборудования напряжения, опасного для жизни и здоровья людей.

Система заземления должна либо снять опасный потенциал с поверхности предмета, либо обеспечить срабатывание соответствующих защитных устройств с минимальным запаздыванием. В каждом таком случае ценой технического совершенства, или наоборот, недостаточного совершенства используемой системы заземления, может быть самое ценное — жизнь человека.

---

Смотрите также:

zandz.com

n.s. — это… Что такое n.s.?

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАзербайджанскийАймараАйнский языкАканАлбанскийАлтайскийАнглийскийАрабскийАрагонскийАрмянскийАрумынскийАстурийскийАфрикаансБагобоБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийБурятскийВаллийскийВарайскийВенгерскийВепсскийВерхнелужицкийВьетнамскийГаитянскийГреческийГрузинскийГуараниГэльскийДатскийДолганскийДревнерусский языкИвритИдишИнгушскийИндонезийскийИнупиакИрландскийИсландскийИспанскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКиргизскийКитайскийКлингонскийКомиКорейскийКриКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛюксембургскийМайяМакедонскийМалайскийМаньчжурскийМаориМарийскийМикенскийМокшанскийМонгольскийНауатльНемецкийНидерландскийНогайскийНорвежскийОрокскийОсетинскийОсманскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийРумынский, МолдавскийРусскийСанскритСеверносаамскийСербскийСефардскийСилезскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТатарскийТвиТибетскийТофаларскийТувинскийТурецкийТуркменскийУдмурдскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧеркесскийЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШайенскогоШведскийШорскийШумерскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЮпийскийЯкутскийЯпонский

 

Все языкиАбхазскийАварскийАдыгейскийАзербайджанскийАймараАйнский языкАлбанскийАлтайскийАнглийскийАрабскийАрмянскийАфрикаансБаскскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийВенгерскийВепсскийВодскийВьетнамскийГаитянскийГалисийскийГреческийГрузинскийДатскийДревнерусский языкИвритИдишИжорскийИнгушскийИндонезийскийИрландскийИсландскийИспанскийИтальянскийЙорубаКазахскийКарачаевскийКаталанскийКвеньяКечуаКитайскийКлингонскийКорейскийКрымскотатарскийКумыкскийКурдскийКхмерскийЛатинскийЛатышскийЛингалаЛитовскийЛожбанМайяМакедонскийМалайскийМальтийскийМаориМарийскийМокшанскийМонгольскийНемецкийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПалиПапьяментоПенджабскийПерсидскийПольскийПортугальскийПуштуРумынский, МолдавскийРусскийСербскийСловацкийСловенскийСуахилиТагальскийТаджикскийТайскийТамильскийТатарскийТурецкийТуркменскийУдмурдскийУзбекскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийФарерскийФинскийФранцузскийХиндиХорватскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧаморроЧерокиЧеченскийЧешскийЧувашскийШведскийШорскийЭвенкийскийЭльзасскийЭрзянскийЭсперантоЭстонскийЯкутскийЯпонский

dic.academic.ru

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство – «ОТ и ДО». В этой статье мы с вами рассмотрим решение квадратных неравенств что называется до тонкостей. Изучать материал статьи рекомендую внимательно ничего не пропуская. Осилить статью сразу не получится, рекомендую сделать это за несколько подходов, информации много.

Содержание:

Вступление. Важно!
Алгоритм решения квадратного неравенства. Метод интервалов. Примеры.
Использование графика квадратичной функции. Рекомендую!
Решение квадратного неравенства. Все случаи…

Вступление. Важно!

Рекомендую повторить формулы для решения квадратного уравнения и научиться быстро его решать. Без этого о решении квадратных неравенств речи быть не может.

Квадратное неравенство – это неравенство вида:

Если взять квадратное уравнение и заменить знак равенства на любой из указанных выше, то получится квадратное неравенство. Решить неравенство — это значит ответить на вопрос, при каких значениях х данное неравенство будет верно. Примеры:

10x²– 6x+12 ≤ 0

2x²+ 5x –500 > 0

– 15x²– 2x+13 > 0

8x²– 15x+45≠ 0

Квадратное неравенство может быть задано в неявном виде, например:

10x²– 6x+14x² –5x +2≤ 56

2x² > 36

8x²<–15x²– 2x+13

0> – 15x²– 2x+13

В этом случае необходимо выполнить алгебраические преобразования и привести его к стандартному виду (1).

*Коэффициенты могут быть и дробными и иррациональными, но в школьной программе такие примеры редкость, а в заданиях ЕГЭ не встречаются вообще. Но вы не пугайтесь, если, например, встретите:

Это тоже квадратное неравенство.

Сначала рассмотрим простой алгоритм решения, не требующий понимания того, что такое квадратичная функция и как её график выглядит на координатной плоскости относительно осей координат. Если вы способны запоминать информацию крепко и надолго, при этом регулярно подкрепляете её практикой, то алгоритм вам поможет. Так же если вам, как говорится, нужно решить такое неравенство «наразок», то алгоритм вам в помощь. Следуя ему вы без труда осуществите решение.

Если же вы учитесь в школе, то настоятельно рекомендую вам начать изучение статьи со второй части, где рассказывается весь смысл решения (смотрите ниже с пункта – использование графика квадратичной функции). Если будет понимание сути, то не учить, не запоминать указанный алгоритм будет не нужно, вы без труда быстро решите любое квадратное неравенство.

Конечно, следовало бы сразу начать разъяснение именно с графика квадратичной функции и oбъяснения самого смысла, но решил «построить» статью именно так.

Ещё один теоретический момент! Посмотрите формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:

где х₁ и х₂  — корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0

*Для того, чтобы решить квадратное неравенство, необходимо будет квадратный трёхчлен разложить на множители.

Представленный ниже алгоритм называют ещё методом интервалов. Он подходит для решения неравенств вида  f(x)>0,  f(x)<0,  f(x)≥0 и f(x)≤0. Обратите внимание, что множителей может более двух, например:

(х–10)(х+5)(х–1)(х+104)(х+6)(х–1)<0

Алгоритм решения. Метод интервалов. Примеры.

Дано неравенство ax² + bx + с > 0 (знак любой).

1. Записываем квадратное уравнение ax² + bx + с = 0  и решаем его. Получаем х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения. 

2. Подставляем в формулу (2) коэффициент a  и корни. Записываем неравенство в виде:

a (x – x₁)(x – x₂)>0

3. Определяем интервалы на числовой прямой (корни уравнения делят числовую ось на интервалы):

4. Определяем «знаки» на  интервалах (+ или –) путём подстановки произвольного значения «х» из каждого полученного интервала в выражение:

a (x – x₁)(x – x₂)

и отмечаем их.

5. Остаётся лишь выписать интересующие нас интервалы, они отмечены:

— знаком «+», если в неравенстве стояло «>0» или «≥0».

— знаком «–», если в неравенстве было «<0» или «≤0».

Далее записываем ответ.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!!! Сами знаки в неравенстве могут быть:

строгими – это  «>», «<»  и  нестрогими – это «≥», «≤».

Как это влияет на результат решения?

При строгих знаках неравенства границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде (x₁;x₂) – скобки круглые.

При нестрогих знаках неравенства границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде [x₁;x₂] – скобки квадратные.

*Это касается не только квадратных неравенств. Квадратная скобка означает, что сама граница интервала включена в решение.

На примерах вы это увидите. Давайте разберём несколько, чтобы снять все вопросы по этому поводу. В теории алгоритм может показаться несколько сложным, на самом деле всё просто.

ПРИМЕР 1:   Решить x²– 60x+500 ≤ 0

Решаем квадратное уравнение x²–60x+500=0

D = b²–4ac = (–60)²–4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Находим корни:

Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:   

x²–60x+500 = (х–50)(х–10)

Записываем неравенство в виде  (х–50)(х–10) ≤ 0

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Покажем их на числовой прямой:

Мы получили три интервала (–∞;10), (10;50) и (50;+∞).

Определяем «знаки» на  интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–50)(х–10) произвольных значений их каждого полученного интервала и смотрим соответствие полученного «знака»  знаку в неравенстве (х–50)(х–10) ≤ 0:

при    х=2        (х–50)(х–10) = 384 > 0   неверно

при    х=20      (х–50)(х–10) = –300 < 0   верно

при    х=60      (х–50)(х–10) = 500 > 0   неверно

Решением будет являться интервал [10;50].  

При всех значениях х из этого интервала неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что мы поставили квадратные скобки.

При х = 10 и х = 50 неравенство также будет верно, то есть границы входят в решение.

Ответ: x∊[10;50]

Ещё раз:

— Границы интервала ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак ≤ или ≥  (нестрогое неравенство). При этом на эскизе принято полученные корни отображать ЗАШТРИШОВАННЫМ кружком.

— Границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак < или  > (строгое неравенство). При этом на эскизе принято корень отображать НЕЗАШТРИХОВАННЫМ кружком.

ПРИМЕР 2:   Решить x²+ 4x–21 > 0

Решаем квадратное уравнение x²+ 4x–21  = 0

D = b²–4ac = 4²–4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Находим корни:

Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:   

x²+ 4x–21 = (х–3)(х+7)

Записываем неравенство в виде  (х–3)(х+7) > 0.

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим их на числовой прямой:

*Неравенство нестрогое, поэтому обозначения корней НЕзаштрихованы. Получили  три интервала  (–∞;–7), (–7;3) и (3;+∞).

Определяем «знаки» на  интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–3)(х+7) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие  неравенству (х–3)(х+7)> 0:    

при   х= –10       (–10–3)( –10 +7) = 39 > 0    верно

при    х= 0          (0–3)(0 +7) = –21  < 0          неверно

при    х=10         (10–3)(10 +7) = 119 > 0       верно

Решением будут являться два интервала (–∞;–7) и (3;+∞).  При всех значениях х из этих интервалов неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что мы поставили круглые скобки. При х = 3 и х = –7  неравенство будет неверным – границы не входят в решение.

Ответ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞) 

ПРИМЕР 3:   Решить –x²–9x–20 > 0

Решаем квадратное уравнение –x²–9x–20 = 0.

a = –1  b = –9   c = –20 

D = b²–4ac = (–9)²–4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Находим корни:

Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:   

–x²–9x–20  =–(х–(–5))(х–(–4))= –(х+5)(х+4)

Записываем неравенство в виде  –(х+5)(х+4) > 0.

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим на числовой прямой:

*Неравенство строгое, поэтому обозначения корней незаштрихованы. Получили  три интервала  (–∞;–5), (–5; –4) и (–4;+∞).

Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение  –(х+5)(х+4) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству  –(х+5)(х+4)>0:    

при   х= –10      – (–10+5)( –10 +4) = –30 < 0       неверно

при    х= –4,5    – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0      верно

при    х= 0         – (0+5)(0 +4) = –20 < 0                неверно

Решением будут являться интервал (–5;–4).  При всех значениях «х» принадлежащих ему неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что границы не входят в решение. При х = –5 и х = –4  неравенство будет неверным.

ЗАМЕЧАНИЕ!

При решении квадратного уравнения у нас может получится один корень или корней не будет вовсе, тогда при  использовании данного метода вслепую могут возникнуть затруднения в определении решения.

Небольшой итог! Метод хорош и использовать его удобно, особенно если вы знакомы с квадратичной функцией и знаете свойства её графика. Если нет, то прошу ознакомиться, приступим к следующему разделу.

Использование графика квадратичной функции. Рекомендую!

Квадратичная это функция вида:

Её графиком является парабола, ветви параболы направлены вверх, либо вниз:

График может быть расположен следующим образом: может пересекать ось х в двух точках, может касаться её в одной точке (вершиной), может не пересекать. Об этом подробнее в дальнейшем.

Теперь рассмотрим этот подход на примере. Весь процесс решения состоит из трёх этапов. Решим неравенство x²+2x –8 >0.

Первый этап

Решаем уравнение x²+2x–8=0.

D = b²–4ac = 2²–4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Находим корни:

Получили   х₁=2 и х₂ = – 4.

Второй этап

Строим параболу у= x²+2x–8  по точкам:

Точки – 4 и 2  это точки пересечения параболы и оси ох. Всё просто! Что сделали? Мы решили квадратное уравнение x²+2x–8=0. Посмотрите его запись в таком виде:

0 = x²+2x – 8

Ноль у нас это значение «у». При у = 0, мы получаем абсциссы точек пересечения параболы с осью ох. Можно сказать, что нулевое значение «у» это есть ось ох.

Теперь посмотрите при каких значениях х выражение x²+2x – 8  больше (или меньше) нуля? По графику параболы это определить несложно, как говорится, всё на виду:

1. При х < – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x²+2x –8  будет положительным.

2. При –4 < х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x²+2x –8 будет отрицательным.

3. При х > 2 ветвь параболы лежит выше оси ох. При указанных х трёхчлен x²+2x –8 будет положительным.

Третий этап

По параболе нам сразу видно, при каких х выражение x²+2x–8  больше нуля, равно нулю, меньше нуля. В этом заключается суть третьего этапа решения, а именно увидеть и определить положительные и отрицательные области на рисунке. Сопоставляем полученный результат с исходным неравенством и записываем ответ. В нашем примере необходимо определить все значения х при которых выражение x²+2x–8 больше нуля. Мы это сделали во втором этапе.

Остаётся записать ответ.

Ответ:  x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Подведём итог: вычислив в первом шаге корни уравнения, мы можем отметить полученные точки на оси ох (это точки пересечения параболы с осью ох). Далее схематично строим параболу и уже можем увидеть решение. Почему схематично? Математически точный график нам не нужен. Да и представьте, например, если корни получатся 10 и 1500, попробуй-ка построй точный график на листе в клетку с таким разбегом значений. Возникает вопрос! Ну получили мы корни, ну отметили их на оси ох, а зарисовать расположение самой парабола – ветвями вверх или вниз? Тут всё просто! Коэффициент при х² вам подскажет:

— если он больше нуля, то ветви параболы направлены вверх.

— если меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.

В нашем примере он равен единице, то есть положителен.

*Примечание! Если в неравенстве будет стоять знак нестрогий, то есть ≤ или ≥, то корни на числовой прямой следует заштриховать, этим условно обозначается, что сама граница интервала входит в решение неравенства. В данном случае корни не заштрихованы (выколоты), так как неравенство у нас строгое (стоит знак «>»). При чем в ответе, в данном случае, ставятся круглые скобки, а не квадратные (границы не входят в решение).

Написано много, кого-то запутал, наверное. Но если вы решите минимум 5 неравенств с использованием парабол, то восхищению вашему предела не будет. Всё просто!

Итак, кратко:

1. Записываем неравенство, приводим к стандартному.

2. Записываем квадратное уравнение и решаем его.

3. Рисуем ось ох, отмечаем полученные корни, схематично рисуем параболу, ветвями вверх, если коэффициент при х² положителен, или ветвями вниз, если он отрицателен.

4. Определяем  визуально положительные или отрицательные области и записываем ответ по исходному неравенству.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1:  Решить x²–15x+50 > 0

Первый этап.

Решаем квадратное уравнение x²–15x+50=0

D = b²–4ac = (–15)²–4∙1∙50 = 225–200 = 25

Находим корни:

Второй этап.

Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас строгое, то заштриховывать их не будем. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вверх, так как коэффициент при х² положительный:

Третий этап.

Определяем визуально положительные и отрицательные области, здесь мы их отметили разными цветами для наглядности, можно этого и не делать.

Записываем ответ.

Ответ: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Знак U обозначает объёдинение решение. Образно можно выразиться так, решением является «этот» И « ещё этот» интервал.

ПРИМЕР 2:   Решить –x²+x+20 ≤ 0

Первый этап.

Решаем квадратное уравнение –x²+x+20=0

D = b²–4ac = 1²–4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Находим корни:

Второй этап.

Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас нестрогое, то заштрихуем обозначения корней. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вниз, так как коэффициент при х² отрицательный (он равен –1):

Третий этап.

Определяем визуально положительные и отрицательные области. Сопоставляем с исходным неравенством (знак у нас ≤ 0). Неравенство будет верно при х ≤ – 4 и х ≥ 5.

Записываем ответ.

Ответ: x∊(–∞;–4] U [5;∞).

*Указаны квадратные скобки – это обозначает, что границы интервала входят в решение. Ось оу мы на эскизах не указали, так как она в данной ситуации не играет никакой роли, то есть при построении эскиза ось оу строить необязательно.

Теперь ещё один важный момент! Мы рассмотрели примеры, в которых при решении квадратного уравнения получается два корня, то есть парабола пересекает ось ох в двух точках. Процесс решения понятен. Но возникают вопросы: а если при решении квадратного уравнения получится один корень или вообще не будет корней (дискриминант отрицательный), то как это осмыслить и как определить есть ли решение?

Некоторые ответы очевидны:

— Если получится один корень (дискриминант равен нулю), то парабола будет касаться оси ох в одной точке, а именно своей вершиной.

— Если решения квадратного уравнения нет (дискриминант отрицательный), то парабола вообще не будет касаться оси ох.

Тогда возникает вопрос, что делать в этих ситуациях и как определять ответ?

И вот тут прошу вас обратить внимание на один ключевой момент, который уже оговаривался в этой статье! В неравенстве при х² у нас может стоять положительный или отрицательный коэффициент. При положительном коэффициенте ветви параболы направлены вверх, при отрицательном вниз. А теперь переходим к следующему разделу статьи.

Решение квадратного неравенства. Все случаи!

Ниже для вас представлены все варианты расположения парабол, которые могут иметь место при решении квадратных неравенств:

Первая группа графиков

(коэффициент а > 0, то есть ветви параболы направлены вверх)

Вторая группа графиков

(коэффициент а < 0, то есть ветви параболы направлены вниз)

Что касается оговоренных выше вопросов по поводу случая, когда квадратное уравнение не имеет решения, обратите внимание на рисунки 9,10,11,12, 21,22,23,24 и всё поймёте. Подробнее:

Например, при решении квадратного уравнения вы обнаружили, что дискриминант отрицательный, то есть коней нет. Что это означает? А то, что ветви параболы не пересекают ось ох, то есть она расположена либо выше оси ох и её ветви направлены вверх, либо ниже оси и её ветви направлены вниз. И тут нам необходимо разобраться куда в вашем случае направлены ветви. Смотрим на коэффициент при х²:

— если он положительный, то схематично рисуем параболу выше оси ох с ветвями направленными вверх.

— если он отрицательный, то схематично рисуем параболу ниже оси ох с ветвями направленными вниз.

Далее только остаётся сопоставить наш рисунок с данным неравенством и учитывая знак в нём просто записать ответ. Всё!!!

Пример: х² +2х+16 < 0

Решаем квадратное уравнение x²+2x+16=0

D = b²–4ac = 2²–4∙2∙16 = 4–128 = –124

Дискриминант отрицательный, коней нет. Значит парабола не пересекает ось ох.

Коэффициент при х² положительный (равен 1), значит парабола расположена следующим образом – её ветви направлены вверх и расположена она выше оси ох (как на рис. 12).

Нам необходимо записать значения х, при которых х² +2х+16 отрицательно. Таких «х» нет, это видно по графику (рис 12).