Рубрика: Школьная жизнь

Доказательство

Начнем с того случая, когда a = 1/n, где n является целым числом.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n² равных квадратов так, как показано на рисунке 1.

Так как площадь большого квадрата равна единице, то площадь каждого маленького квадрата равна 1/n². Сторона каждого маленького квадрата равна 1/n, т. е. равна a. Итак,

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна

a/m = a / (a · 10ⁿ) = 1/10ⁿ.

По формуле (1) площадь маленького квадрата равна (1/10ⁿ)². Следовательно, площадь S данного квадрата равна

m² · (1/10ⁿ)² = (m/10ⁿ)² = ((a · 10ⁿ)/10ⁿ)² = a².

Наконец, пусть число a представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число a_n, получаемое из a отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n + 1)-го. Так как число a отличается от a_n не более чем на 1/10ⁿ, то a_n ≤ a ≤ a_n + 1/10ⁿ, откуда

a_n² ≤ a² ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (2)

Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной a_n и площадью квадрата со стороной a_n + 1/10ⁿ:

т. е. между a_n² и (a_n + 1/10ⁿ)²:

a_n² ≤ S ≤ (a_n + 1/10ⁿ)².   (3)

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10ⁿ будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (a_n + 1/10ⁿ)² будет сколь угодно мало отличаться от числа a_n². Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа a². Следовательно, эти числа равны: S = a², что и требовалось доказать.

Так же площадь квадрата можно найти с помощью следующих формул:

S = 4r²,
S = 2R²,

где r — радиус вписанной в квадрат окружности,
R — радиус описанной вокруг квадрата окружности.

Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru

что такое площадь квадрата и как её найти?

я это знал уже в 3-4 классе

одна сторона, умноженная на другую, равна площади квадрата. Например 10 х 10 = 100 кв. м

площадь это то сколько места занимает этот квадрат и это размер квадрата умнажаешь две стороны друг на друга Например, сторона квадрата равна 3 сантиметра значит площадь равна 3 см умножено на 3 см равно девять Формула: S=a*a=3см*3см=9см2 Или если проходили степени то площадь равна сторона в квадрате (во второй степени) S=a2=(3см) 2=9см2

Площадь-это размер пространства до границ фигуры внутри. площадь квадрата, если обозначить сторону за А равна А^2 (А в квадрате)

площадь это сторона + сторона

что это? Это член в жопу (секс)

touch.otvet.mail.ru

Формула площади квадрата

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Что такое Квадрат? Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны, а все углы прямые (равны 90°).

На рисунке изображен квадрат ABCD

у него:

AB=BC=CD=DA

\( \angle A \) = \( \angle B \) = \( \angle C \) = \( \angle D \) = \( 90^{o} \)

1. Площадь квадрата со стороной a равна квадрату стороны, то есть:

\( \LARGE S = a^{2} \)

2. Если известна диагональ квадрата d, то его площадь равна:

\( \LARGE S = \frac{ d^{2} }{2} \)

Свойства квадрата

Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом: AC = BD, \( \angle O \) = \( 90^{o} \)

В любой квадрат можно вписать окружность и вокруг любого квадрата можно описать окружность. Центром вписанной и описанной окружностей есть точка пересечения диагоналей квадрата. При этом радиусы и вписанной rи описанной R окружностей связаны с длиной его стороны aследующими соотношениями:

\[ r = \frac{ a }{2} \]

\[ R = \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot a \]

Свойства и признаки квадрата (необходимые и достаточные условия того, что четырехугольник — квадрат)

1. Если четырехугольник — квадрат, то для него справедливы все следующие утверждения.
2. Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно из следующих утверждений, то он — квадрат.
   

Утверждения.

• Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
• Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.
• Четырехугольник имеет 4 оси симметрии: прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины; прямые, содержащие диагонали.
• Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90°

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

[LaTeX]

1. дифференцируем почленно:

   1. Заменим .

   2. В силу правила, применим: получим

2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Производная косинус есть минус синус:

   В результате последовательности правил:

3. Заменим .

4. Производная синуса есть косинус:

5. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. В силу правила, применим: получим

   В результате последовательности правил:

В результате:

Ответ:

[LaTeX]

       2                2    / 3\
- 3*cos (x)*sin(x) + 3*x *cos\x /

$$3 x^{2} \cos{\left (x^{3} \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}$$

[LaTeX]

  /     3         4    / 3\          / 3\        2          \
3*\- cos (x) - 3*x *sin\x / + 2*x*cos\x / + 2*sin (x)*cos(x)/

$$3 \left(- 3 x^{4} \sin{\left (x^{3} \right )} + 2 x \cos{\left (x^{3} \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — \cos^{3}{\left (x \right )}\right)$$

[LaTeX]

  /       3           / 3\       3    / 3\      6    / 3\        2          \
3*\- 2*sin (x) + 2*cos\x / - 18*x *sin\x / - 9*x *cos\x / + 7*cos (x)*sin(x)/

$$3 \left(- 9 x^{6} \cos{\left (x^{3} \right )} — 18 x^{3} \sin{\left (x^{3} \right )} — 2 \sin^{3}{\left (x \right )} + 7 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x^{3} \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin(x)^3+cos(x)^3 (синус от (х) в кубе плюс косинус от (х) в кубе)

Решение

$$\sin^{3}{\left (x \right )} + \cos^{3}{\left (x \right )}$$

[LaTeX]

1. дифференцируем почленно:

   1. Заменим .

   2. В силу правила, применим: получим

2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Производная синуса есть косинус:

   В результате последовательности правил:

3. Заменим .

4. В силу правила, применим: получим

5. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Производная косинус есть минус синус:

   В результате последовательности правил:

В результате:

Ответ:

[LaTeX]

       2                  2          
- 3*cos (x)*sin(x) + 3*sin (x)*cos(x)

$$3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}$$

[LaTeX]

  /     3         3           2                  2          \
3*\- cos (x) - sin (x) + 2*cos (x)*sin(x) + 2*sin (x)*cos(x)/

$$3 \left(- \sin^{3}{\left (x \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} — \cos^{3}{\left (x \right )}\right)$$

[LaTeX]

  /       3           3           2                  2          \
3*\- 2*sin (x) + 2*cos (x) - 7*sin (x)*cos(x) + 7*cos (x)*sin(x)/

$$3 \left(- 2 \sin^{3}{\left (x \right )} — 7 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + 7 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{3}{\left (x \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin((x^3)/(x+1)) (синус от ((х в кубе) делить на (х плюс 1)))

Решение

   /   3 \
   |  x  |
sin|-----|
   \x + 1/

$$\sin{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )}$$

[LaTeX]

1. Заменим .

2. Производная синуса есть косинус:

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. В силу правила, применим: получим

      Чтобы найти :

      1. дифференцируем почленно:

         1. Производная постоянной равна нулю.

         2. В силу правила, применим: получим

         В результате:

      Теперь применим правило производной деления:

   В результате последовательности правил:

4. Теперь упростим:

Ответ:

[LaTeX]

/      3          2\    /   3 \
|     x        3*x |    |  x  |
|- -------- + -----|*cos|-----|
|         2   x + 1|    \x + 1/
\  (x + 1)         /           

$$\left(- \frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x + 1}\right) \cos{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )}$$

[LaTeX]

  /                                                     2    /   3 \\
  |                                       3 /       x  \     |  x  ||
  |  /        2           \    /   3 \   x *|-3 + -----| *sin|-----||
  |  |       x        3*x |    |  x  |      \     1 + x/     \1 + x/|
x*|2*|3 + -------- - -----|*cos|-----| - ---------------------------|
  |  |           2   1 + x|    \1 + x/              1 + x           |
  \  \    (1 + x)         /                                         /
---------------------------------------------------------------------
                                1 + x                                

$$\frac{x}{x + 1} \left(- \frac{x^{3} \left(\frac{x}{x + 1} — 3\right)^{2}}{x + 1} \sin{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )} + 2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} — \frac{3 x}{x + 1} + 3\right) \cos{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )}\right)$$

[LaTeX]

                                                                                                    /        2           \    /   3 \
                                                                   3    /   3 \      3 /       x  \ |       x        3*x |    |  x  |
                                                     6 /       x  \     |  x  |   6*x *|-3 + -----|*|3 + -------- - -----|*sin|-----|
    /         3           2          \    /   3 \   x *|-3 + -----| *cos|-----|        \     1 + x/ |           2   1 + x|    \1 + x/
    |        x         3*x       3*x |    |  x  |      \     1 + x/     \1 + x/                     \    (1 + x)         /           
- 6*|-1 + -------- - -------- + -----|*cos|-----| + --------------------------- + ---------------------------------------------------
    |            3          2   1 + x|    \1 + x/                    2                                   1 + x                       
    \     (1 + x)    (1 + x)         /                        (1 + x)                                                                
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                1 + x                                                                

$$\frac{1}{x + 1} \left(\frac{x^{6} \left(\frac{x}{x + 1} — 3\right)^{3}}{\left(x + 1\right)^{2}} \cos{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )} + \frac{6 x^{3}}{x + 1} \left(\frac{x}{x + 1} — 3\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} — \frac{3 x}{x + 1} + 3\right) \sin{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )} — 6 \left(\frac{x^{3}}{\left(x + 1\right)^{3}} — \frac{3 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{3 x}{x + 1} — 1\right) \cos{\left (\frac{x^{3}}{x + 1} \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = (x^3/sin(x)) ((х в кубе делить на синус от (х)))

Решение

$$\frac{x^{3}}{\sin{\left (x \right )}}$$

[LaTeX]

1. Применим правило производной частного:

   и .

   Чтобы найти :

   1. В силу правила, применим: получим

   Чтобы найти :

   1. Производная синуса есть косинус:

   Теперь применим правило производной деления:

2. Теперь упростим:

Ответ:

[LaTeX]

    2     3       
 3*x     x *cos(x)
------ - ---------
sin(x)       2    
          sin (x) 

$$- \frac{x^{3} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 x^{2}}{\sin{\left (x \right )}}$$

[LaTeX]

  /                         2    2   \
  |     2   6*x*cos(x)   2*x *cos (x)|
x*|6 + x  - ---------- + ------------|
  |           sin(x)          2      |
  \                        sin (x)   /
--------------------------------------
                sin(x)                

$$\frac{x}{\sin{\left (x \right )}} \left(x^{2} + \frac{2 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} — \frac{6 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 6\right)$$

[LaTeX]

                            3    3         3              2    2   
       2   18*x*cos(x)   6*x *cos (x)   5*x *cos(x)   18*x *cos (x)
6 + 9*x  - ----------- - ------------ - ----------- + -------------
              sin(x)          3            sin(x)           2      
                           sin (x)                       sin (x)   
-------------------------------------------------------------------
                               sin(x)                              

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 x^{3} \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} — \frac{6 x^{3} \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} + 9 x^{2} + \frac{18 x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} — \frac{18 x \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + 6\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin(x)^3*cos(1/x) (синус от (х) в кубе умножить на косинус от (1 делить на х))

Решение

$$\sin^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

[LaTeX]

1. Применяем правило производной умножения:

   ; найдём :

   1. Заменим .

   2. В силу правила, применим: получим

2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Производная синуса есть косинус:

   В результате последовательности правил:

; найдём :

1. Заменим .

2. Производная косинус есть минус синус:

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. В силу правила, применим: получим

   В результате последовательности правил:

В результате:

Ответ:

[LaTeX]

   3       /1\                          
sin (x)*sin|-|                          
           \x/        2              /1\
-------------- + 3*sin (x)*cos(x)*cos|-|
       2                             \x/
      x                                 

$$3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{3}{\left (x \right )}$$

[LaTeX]

/                                           2       /1\        2       /1\                      /1\\       
|                                        sin (x)*cos|-|   2*sin (x)*sin|-|   6*cos(x)*sin(x)*sin|-||       
|       2       /1\        2       /1\              \x/                \x/                      \x/|       
|- 3*sin (x)*cos|-| + 6*cos (x)*cos|-| - -------------- - ---------------- + ----------------------|*sin(x)
|               \x/                \x/          4                 3                     2          |       
\                                              x                 x                     x           /       

$$\left(- 3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + 6 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} — \frac{2}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{x^{4}} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) \sin{\left (x \right )}$$

[LaTeX]

                      3       /1\                                   3       /1\        3       /1\        3       /1\         2              /1\        2              /1\         2              /1\
                   sin (x)*sin|-|                              9*sin (x)*sin|-|   6*sin (x)*cos|-|   6*sin (x)*sin|-|   18*sin (x)*cos(x)*sin|-|   9*sin (x)*cos(x)*cos|-|   18*cos (x)*sin(x)*sin|-|
     3       /1\              \x/         2              /1\                \x/                \x/                \x/                        \x/                       \x/                        \x/
6*cos (x)*cos|-| - -------------- - 21*sin (x)*cos(x)*cos|-| - ---------------- + ---------------- + ---------------- - ------------------------ - ----------------------- + ------------------------
             \x/          6                              \x/           2                  5                  4                      3                          4                         2           
                         x                                            x                  x                  x                      x                          x                         x            

$$- 21 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (x \right )} + 6 \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} — \frac{9}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{3}{\left (x \right )} + \frac{18}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} — \frac{18}{x^{3}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{4}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{3}{\left (x \right )} — \frac{9}{x^{4}} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{5}} \sin^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} — \frac{1}{x^{6}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \sin^{3}{\left (x \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin(x^3)^(3) (синус от (х в кубе) в степени (3))

Решение

$$\sin^{3}{\left (x^{3} \right )}$$

[LaTeX]

1. Заменим .

2. В силу правила, применим: получим

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Заменим .

   2. Производная синуса есть косинус:

4. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. В силу правила, применим: получим

   В результате последовательности правил:

В результате последовательности правил:

Ответ:

[LaTeX]

   2    2/ 3\    / 3\
9*x *sin \x /*cos\x /

$$9 x^{2} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}$$

[LaTeX]

    /     3    2/ 3\        / 3\    / 3\      3    2/ 3\\    / 3\
9*x*\- 3*x *sin \x / + 2*cos\x /*sin\x / + 6*x *cos \x //*sin\x /

$$9 x \left(- 3 x^{3} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} + 6 x^{3} \cos^{2}{\left (x^{3} \right )} + 2 \sin{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}\right) \sin{\left (x^{3} \right )}$$

[LaTeX]

  /      3    3/ 3\        2/ 3\    / 3\       6    3/ 3\       6    2/ 3\    / 3\       3    2/ 3\    / 3\\
9*\- 18*x *sin \x / + 2*sin \x /*cos\x / + 18*x *cos \x / - 63*x *sin \x /*cos\x / + 36*x *cos \x /*sin\x //

$$9 \left(- 63 x^{6} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )} + 18 x^{6} \cos^{3}{\left (x^{3} \right )} — 18 x^{3} \sin^{3}{\left (x^{3} \right )} + 36 x^{3} \sin{\left (x^{3} \right )} \cos^{2}{\left (x^{3} \right )} + 2 \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sin(x^3)^(4) (синус от (х в кубе) в степени (4))

Решение

$$\sin^{4}{\left (x^{3} \right )}$$

[LaTeX]

1. Заменим .

2. В силу правила, применим: получим

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. Заменим .

   2. Производная синуса есть косинус:

4. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

   1. В силу правила, применим: получим

   В результате последовательности правил:

В результате последовательности правил:

Ответ:

[LaTeX]

    2    3/ 3\    / 3\
12*x *sin \x /*cos\x /

$$12 x^{2} \sin^{3}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}$$

[LaTeX]

        2/ 3\ /     3    2/ 3\        / 3\    / 3\      3    2/ 3\\
12*x*sin \x /*\- 3*x *sin \x / + 2*cos\x /*sin\x / + 9*x *cos \x //

$$12 x \left(- 3 x^{3} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} + 9 x^{3} \cos^{2}{\left (x^{3} \right )} + 2 \sin{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}\right) \sin^{2}{\left (x^{3} \right )}$$

[LaTeX]

   /   2/ 3\    / 3\      3    3/ 3\       6    3/ 3\       6    2/ 3\    / 3\       3    2/ 3\    / 3\\    / 3\
24*\sin \x /*cos\x / - 9*x *sin \x / + 27*x *cos \x / - 45*x *sin \x /*cos\x / + 27*x *cos \x /*sin\x //*sin\x /

$$24 \left(- 45 x^{6} \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )} + 27 x^{6} \cos^{3}{\left (x^{3} \right )} — 9 x^{3} \sin^{3}{\left (x^{3} \right )} + 27 x^{3} \sin{\left (x^{3} \right )} \cos^{2}{\left (x^{3} \right )} + \sin^{2}{\left (x^{3} \right )} \cos{\left (x^{3} \right )}\right) \sin{\left (x^{3} \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} есть решение уравнения 10x=b.{\displaystyle 10^{x}=b.}

Вещественный десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} существует, если b>0{\displaystyle b>0} (комплексный десятичный логарифм существует для всех b≠0{\displaystyle b\neq 0}). Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его lgb{\displaystyle \lg \,b}. Примеры:

lg1=0;lg10=1;lg100=2{\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}

lg1000000=6;lg0,1=−1;lg0,001=−3{\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log,Log,Log10{\displaystyle \operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10} }, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

lg⁡|xy|=lg⁡(|x|)+lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}

lg|xy|=lg⁡(|x|)−lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

lg⁡(x1x2…xn)=lg⁡(x1)+lg⁡(x2)+⋯+lg⁡(xn){\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x,y{\displaystyle x,y} с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел x,y{\displaystyle x,y}.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения x⋅y{\displaystyle x\cdot y}.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

ln⁡x≈2,30259 lg⁡x;lg⁡x≈0,43429 ln⁡x{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

lg0,012=lg(10−2×1,2)=−2+lg1,2≈−2+0,079181=−1,920819{\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

lg0,012≈−2+0,079181=2¯,079181{\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: y=lgx.{\displaystyle y=\lg \,x.} Она определена при всех x>0.{\displaystyle x>0.} Область значений: E(y)=(−∞;+∞){\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}. График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

ddxlgx=lgex{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}

Ось ординат (x=0){\displaystyle (x=0)} является вертикальной асимптотой, поскольку:

limx→0+0lgx=−∞{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа x{\displaystyle x} (характеристику логарифма) [lg⁡x]{\displaystyle [\lg x]} легко определить.

• Если x⩾1{\displaystyle x\geqslant 1}, то [lg⁡x]{\displaystyle [\lg x]} на 1 меньше числа цифр в целой части числа x{\displaystyle x}. Например, сразу очевидно, что lg⁡345{\displaystyle \lg 345} находится в промежутке (2,3){\displaystyle (2,3)}.
• Если 0<x<1{\displaystyle 0<x<1}, то ближайшее к lg⁡x{\displaystyle \lg x} целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в x{\displaystyle x} перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, lg⁡0,0014{\displaystyle \lg 0{,}0014} находится в интервале (−3,−2){\displaystyle (-3,-2)}.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на n{\displaystyle n} разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n.{\displaystyle n.} Например:

lg⁡8314,63=lg⁡8,31463+3{\displaystyle \lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3}

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от 1{\displaystyle 1} до 10{\displaystyle 10}^[4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.^{[прояснить]}

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)^[6].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[8]:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

История логарифмов

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Ссылки

Примечания

1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
3. ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
4. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
5. ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
6. ↑ История математики, том II, 1970, с. 62..
7. ↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е.. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
8. ↑ Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.

wiki.sc

Десятичный логарифм Википедия

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} есть решение уравнения 10x=b.{\displaystyle 10^{x}=b.}

Вещественный десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} существует, если b>0{\displaystyle b>0} (комплексный десятичный логарифм существует для всех b≠0{\displaystyle b\neq 0}). Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его lgb{\displaystyle \lg \,b}. Примеры:

lg1=0;lg10=1;lg100=2{\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}

lg1000000=6;lg0,1=−1;lg0,001=−3{\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log,Log,Log10{\displaystyle \operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10} }, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

lg⁡|xy|=lg⁡(|x|)+lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}

lg|xy|=lg⁡(|x|)−lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

lg⁡(x1x2…xn)=lg⁡(x1)+lg⁡(x2)+⋯+lg⁡(xn){\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x,y{\displaystyle x,y} с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел x,y{\displaystyle x,y}.
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения x⋅y{\displaystyle x\cdot y}.
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

ln⁡x≈2,30259 lg⁡x;lg⁡x≈0,43429 ln⁡x{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

lg0,012=lg(10−2×1,2)=−2+lg1,2≈−2+0,079181=−1,920819{\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

lg0,012≈−2+0,079181=2¯,079181{\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: y=lgx.{\displaystyle y=\lg \,x.} Она определена при всех x>0.{\displaystyle x>0.} Область значений: E(y)=(−∞;+∞){\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}. График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

ddxlgx=lgex{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}

Ось ординат (x=0){\displaystyle (x=0)} является вертикальной асимптотой, поскольку:

limx→0+0lgx=−∞{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа x{\displaystyle x} (характеристику логарифма) [lg⁡x]{\displaystyle [\lg x]} легко определить.

• Если x⩾1{\displaystyle x\geqslant 1}, то [lg⁡x]{\displaystyle [\lg x]} на 1 меньше числа цифр в целой части числа x{\displaystyle x}. Например, сразу очевидно, что lg⁡345{\displaystyle \lg 345} находится в промежутке (2,3){\displaystyle (2,3)}.
• Если 0<x<1{\displaystyle 0<x<1}, то ближайшее к lg⁡x{\displaystyle \lg x} целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в x{\displaystyle x} перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, lg⁡0,0014{\displaystyle \lg 0{,}0014} находится в интервале (−3,−2){\displaystyle (-3,-2)}.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на n{\displaystyle n} разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n.{\displaystyle n.} Например:

lg⁡8314,63=lg⁡8,31463+3{\displaystyle \lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3}

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от 1{\displaystyle 1} до 10{\displaystyle 10}^[4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел n{\displaystyle n} одна и та же мантисса M{\displaystyle M}, поскольку:

lg⁡(n)=lg⁡(x×10C)=lg⁡(x)+lg⁡(10C)=lg⁡(x)+C{\displaystyle \lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x)+C},

где 1<x<10{\displaystyle 1<x<10} — значащая часть числа n{\displaystyle n}.

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)^[6].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[8]:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

История логарифмов

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Ссылки

Примечания

1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
3. ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
4. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
5. ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
6. ↑ История математики, том II, 1970, с. 62..
7. ↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е.. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
8. ↑ Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.

wikiredia.ru

Десятичный логарифм Википедия

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} есть решение уравнения 10x=b.{\displaystyle 10^{x}=b.}

Вещественный десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} существует, если b>0{\displaystyle b>0} (комплексный десятичный логарифм существует для всех b≠0{\displaystyle b\neq 0}). Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его lgb{\displaystyle \lg \,b}. Примеры:

lg1=0;lg10=1;lg100=2{\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}

lg1000000=6;lg0,1=−1;lg0,001=−3{\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log,Log,Log10{\displaystyle \operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10} }, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства[ | ]

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

ru-wiki.ru

Десятичный логарифм Википедия

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} есть решение уравнения 10x=b.{\displaystyle 10^{x}=b.}

Вещественный десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} существует, если b>0{\displaystyle b>0} (комплексный десятичный логарифм существует для всех b≠0{\displaystyle b\neq 0}). Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его lgb{\displaystyle \lg \,b}. Примеры:

lg1=0;lg10=1;lg100=2{\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}

lg1000000=6;lg0,1=−1;lg0,001=−3{\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log,Log,Log10{\displaystyle \operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10} }, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

ruwikiorg.ru

Десятичный логарифм — это… Что такое Десятичный логарифм?

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения

Десятичный логарифм числа существует, если Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его . Примеры:

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел .
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения .
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: . Она определена при всех . Область значений: . График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа (характеристику логарифма) легко определить.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на Например:

Отсюда следует, что достаточно составить таблицу мантисс (дробных частей) десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[4]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)^[5].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[6]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[7]:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

История логарифмов

Ссылки

Примечания

1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189.
3. ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
4. ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406.
5. ↑ История математики, том II, 1970, с. 62.
6. ↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е.. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4
7. ↑ Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.

veter.academic.ru

Десятичный логарифм — Википедия

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения

Десятичный логарифм числа существует, если Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его . Примеры:

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства[править]

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел .
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения .
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма[править]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: Она определена при всех Область значений: . График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа (характеристику логарифма) легко определить.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на Например:

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от до ^[4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)^[6].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[8]:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Теория логарифмов

История логарифмов

1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189.
3. ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
4. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок ZAY94 не указан текст
5. ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406.
6. ↑ История математики, том II, 1970, с. 62.
7. ↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е.. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
8. ↑ Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.

www.wikiznanie.ru

Десятичный логарифм — это… Что такое Десятичный логарифм?

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа есть решение уравнения

Десятичный логарифм числа существует, если Принято (спецификация ISO 31-11) обозначать его . Примеры:

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: , причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

1. Найти в таблицах логарифмы чисел .
2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения .
3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: . Она определена при всех . Область значений: . График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

Ось ординат является левой вертикальной асимптотой, поскольку:

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа (характеристику логарифма) легко определить.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на Например:

Отсюда следует, что достаточно составить таблицу мантисс (дробных частей) десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[4]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел одна и та же мантисса.

История

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера, Carl Bremiker)^[5].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[6]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[7]:

1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

История логарифмов

Ссылки

Примечания

1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189.
3. ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
4. ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406.
5. ↑ История математики, том II, 1970, с. 62.
6. ↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е.. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4
7. ↑ Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.

dis.academic.ru

Оборудование: маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор.

Тип урока: урок-лекция.

Цели урока: образовательные: систематизировать имеющиеся знания, научиться исследовать графики функций по их свойствам.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

Ход урока

Изучение новой темы

Сегодня на уроке мы вспомним определения основных свойств функции, их геометрическую интерпретацию, символическую запись и посмотрим, как эти знания использовать при выполнении заданий.

Пусть дан график некоторой функции .

Рассмотрим следующие свойства:

Область определения функции (слайд 2)

Определение: 1. Область определения функции - это множество значений аргумента, при которых функция определена.

Или: это те значения, которые принимает независимая переменная.

На графике: Проекция графика функции на ось ОХ.

Проецируем крайние точки графика на ось ОХ. Заключённый между проекциями числовой промежуток и будет являться областью определения.

Задание (устно): Укажите область определения данной функции

Ответ запишем в виде:

Область значений функции (слайд 3)

Определение: Область значений функции – это множество чисел, состоящее из всех значений функции

Или: это те значения, которые принимает зависимая переменная

На графике: Проекция графика функции на ось ОУ

Задание (устно): Укажите область значений данной функции

Ответ запишем в виде:

Промежутки монотонности, или промежутки возрастания и убывания функции (слайд 4)

Определение: Функцию f называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента x₁и x₂ из этого промежутка таких, что x₂ > x₁, выполняется неравенство f (x₂) > f (x₁).

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента x₁ и x₂ из этого промежутка таких, что x₂ > x₁, выполняется неравенство f (x₂)< f (x₁).

Определение можно сформулировать и так: Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

На графике: это интервалы оси ох, на которых график функции идёт вверх или вниз

Рассмотрим части графика, где он идёт вверх. Спроецируем начало и конец каждой такой части на ось ОХ. Заключённый между проекциями числовой промежуток и будет являться промежутком возрастания.

Задание (устно): Укажите промежутки возрастания и убывания данной функции

Ответ запишем в виде:

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (слайд5)

Определение: Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке — это ординаты точек, в которых функция на данном промежутке принимает наибольшее и наименьшее значения

На графике: Ординаты самой высокой и самой низкой точек графика функции.

Задание (устно): Посмотрите на график. Укажите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках:.

Сравним результаты и сделаем вывод: при выполнении этого задания необходимо указать промежуток, на котором рассматривается наибольшее и наименьшее значения функции. Если в условии отрезок не указывается, то наибольшее и наименьшее значения функции рассматриваются на всей области определения. Записывается так:

 

Нули функции (слайд 6)

Определение: Нули функции — это точки пересечения графика с осью ОХ

На графике: Абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ

Задание (устно): Укажите нули данной функции

Ответ запишем в виде:

Точки экстремума (слайд 7)

Определение: Точка х₀ называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполнено неравенство:

Точка х₀ называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполнено неравенство:

Точки минимума и максимума называются точками экстремума

На графике: Точки, около которых график функции выгибается выпуклостью вверх или вниз

Задание (устно): укажите на графике точку минимума и точку максимума

Ответ запишем в виде:

точки экстремума: х = — 2 и х = 2,2

Промежутки постоянного знака функции (слайд 8)

Определение: Промежутки постоянного знака функции — это промежутки, на которых функция принимает положительные (отрицательные) значения

На графике: Интервалы оси ОХ, соответствующие точкам графика, лежащим выше (ниже) этой оси.

Рассмотрим части графика, расположенные выше оси ОХ. На оси абсцисс им соответствуют числовые промежутки, на которых функция принимает положительные значения.

Задание (устно): Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

Ответ запишем в виде:

 

Значения х на заданном интервале функции (слайд 9)

Укажите значения х, при которых -3< f(x) < 2

Нам нужно указать такие значения х, при которых части графика заключены между прямыми у = -3 и у = 2. Проведём эти прямые. Между ними заключены три части графика. Проецируем каждую на ось ОХ и записываем ответ:

Закрепление:

Укажите значения х, при которых f(x) 1,5

Ответ проверяем по слайду (слайд 10)

Домашнее задание:

Дан график функции .(слайд11)

Перерисуйте его и укажите следующие свойства:

1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Промежутки монотонности, или промежутки возрастания и убывания функции
4. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке
5. Нули функции
6. Точки экстремума
7. Промежутки постоянного знака функции

Список литературы

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и среднего профессионального. Образования/ М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2010
2. Дорофеев Г.В. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике/ Г.В. Дорофеев. — М.: Дрофа, 2010. – 160 с.
3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для общеобразовательных учреждений для 10-11 классов/ А.Н. Колмогоров. — М.: Просвещение, 2010. – 383 с.
4. Островский C.Л. Как сделать презентацию к уроку?/ С.Л. Островский: Первое сентября, 2010.

1.04.2014

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Исследование графика функции. Минимум и максимум

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

• область определения функции
• область значений функции
• нули функции
• промежутки возрастания и убывания
• точки максимума и минимума
• наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат — вертикальная ось, или ось .

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

11 кл урок 1 алгебра

Учитель Толчева Оксана Николаевна

Предмет Алгебра

Класс 11-Б

Тема №1 Повторение и систематизация учебного материала.

Урок 1

Числовые функции их свойства и графики..

Цель: Обобщить и систематизировать знания учащимися числовых функций, их свойства(область определения, область значений, нули функции, промежутки постоянства знака и монотонности, четности) и графиков.

I. Повторение и анализ фактов

1. Определение числовой функции

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при которой каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное число у, которая обозначается y=f(x), х-аргумент (независимая переменная), у-функция (зависимая переменная).

2.Свойства числовых функций

Свойства функции	Определение	Геометрическая интерпретация
Область определения Обозначение:D, D(y).	Множество тех действительных значений аргумента , при которых выражениене теряет смысла и приобретает действительные значения	Проекция графика функции на ось абсцисс()
Множество значений Обозначение: Е, Е(у).	Множество всех значений, которые приобретает функция, при всех значениях аргумента с области определения функции	Проекция графика функции на ось ординат()
Нули функции	Значение аргумента, при котором функция равна нулю, т.е. корни уравнения	абсциссы точек пересечения графика функции с осью.
Промежутки знакопостоянства	Промежутки, на которых функция положительна или отрицательна, т.е. решения неравенства и	Отрезки оси , которые соответствуют точкам графика функции, расположенных выше(ниже) оси
Промежутки монотонности (промежутки, на которых функция возрастает или убывает)	Функция называется возрастающей на множестве, если для любых точекиэтого множества – таких, что, -; убывающей, если	Отрезки оси , где график «идет вверх» (вниз)
Наибольшее и наименьшее значения функции		Ординаты «самой высокой» и «самой низкой» точек графика
Четность и нечетность функции	Если область определения функции симметрична относительно нуля и, то функция четная, если , то функция нечетная.	График симметричен относительно оси ординат График симметричен относительно начала координат

3. Как найти область определения функции

№	Вид функции	Ограничения	Формулировка
1			Знаменатель дроби не равен нулю.
2			Под знаком квадратного корня может находиться только неотрицательное число.

4. График функции

Графиком функции у=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами , где первая координата «пробегает» всю область определения функцииf, а другая– соответственное значение функции в точке х.

5.Основные виды элементарных функций и их графики

Линейная функция	Обратная пропорциональность	Квадратичная функция
,
Квадратный корень	Кубическая функция
,	,	,

II. Усовершенствование умений

Алгоритм исследования функции на четность и нечетность

1. Найти область определения функции и проверить будет ли она симметричной относительно нуля.

2. Если область определения симметрична относительно нуля, то найти :

1. если , то функция четная;

1. если , то функция нечетная.

Примеры:

1. Доказать, что функция четная.

Решение.1) — симметрична относительно нуля;

2) ,,.

Вывод: функция четная.

2. Доказать, что функция нечетная.

Решение.1) — симметрична относительно нуля;

2) ,,

, .

Вывод: функция нечетная

3. Исследуйте функцию ина четность и нечетность.

Решение.1) ,не симметрична относительно нуля, значит функция ни четная, ни нечетная.

2) ,,,,,

, , значит функция ни четная, ни нечетная.

III. Самостоятельное выполнение практических заданий

№1 Найдите значения функции в заданной точке x₀.

1),; 2),; 3),.

№2 Найдите область определения функции:

1); 2); 3); 4); 5);

№3 Найдите область значения функции:

1); 2);

№4 Исследуйте на четность или нечетность функции, которые заданы формулой:

1); 2);

№5 Какая из приведенных функций есть убывающей на множестве действительных чисел?

1) ; 2); 3); 4).

№6 Какая из линейных функций возрастает?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3

studfiles.net

Асимптоты графика функции

	k = lim	f (x)		, b= lim(f(x)− kx).
		x
	x→∞			x→∞

Но если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая y =f (x) наклонных асимптот не имеет.

Отметим, что следует отдельно рассмотреть случаи х→ +∞ их → − ∞. Частным случаем

наклонной асимптоты при k = 0 иb = limf (x) будет горизонтальная асимптота. Поэтомуy = b –

x→∞

уравнение горизонтальной асимптоты.

Рассмотрим график функции на рис. 15. Точки х = х2,х = х4 – точки экстремумов функции, точках = х1 – это точка перегиба. Точках = х3 является особенной точкой для функции, в нейf (x) терпит разрыв, а прямаях = х3 является вертикальной асимптотой

графика функции. Прямая y = kx + b тоже будет асимптотой графика, только наклонной, прямаяу = 0 – горизонтальная асимптота графика.

Если точка М (х, у) лежит на графике и неограниченно удаляется от начала координат, то она приближается к одной из этих прямых; расстояние от точкиМ (х, у) до асимптот стремится к нулю.

Общая схема исследования функции и построения графика

Для общего исследования функции и построения графика полезно придерживаться следующего плана.

Найти область определения функции, точки разрыва функции и интервалы непрерывности Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями координат.

Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f (x) > 0 илиf (x) < 0). Решить вопрос о чётности, нечётности, симметрии, периодичности функции.

Если есть точки разрыва 2-города, найти вертикальные асимптоты. Найти, если они есть, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Спомощью 1-ойпроизводной найти точки экстремума и области возрастания и убывания данной функции. Найти экстремальные значения функции.

Спомощью 2-ойпроизводной найти точки перегиба, области выпуклости и вогнутости. Построить график.

	Пример: Исследовать функцию y =	(3− x)2	и построить её график.
		1−x

Функция определена на всей числовой оси за исключением точки х = 1, где знаменатель дроби обращается в нуль. Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то не имеет смысла говорить о чётности (нечётности) функции.

Точка х = 1 является точкой разрыва функции. Найдём пределыy = f (x) прих → 1 (слева и справа) (рис. 16).

		(3− x)2	Рис. 16.	(3− x)2
	lim		= −∞ lim		= +∞
		1−x		1−x
	x→1+0		, x→1−0

studfiles.net

Функции Область определения и значения Четность и нечетность Периодичность Возрастание, убывание функции Преобразования графиков функций — СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ, ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Функции

Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x.

Обозначение: y = f(x)

Независимая переменная x – аргумент функции f.
Число y, соответствующее x – значение функции f в точке x.

График функции

График функции f – множество всех точек (x; y) координатной плоскости, где y=f(x), а x «пробегает» всю область определения функции f.

Графики элементарных функций

Область определения функции

Область определения функции – множество значений x, для которых выполнимы действия, указанные в правиле f.
Обозначается: ООФ или D(f).
С геометрической точки зрения ООФ есть проекция графика этой функции на ось ОХ.

Область значения функции

Область значений функции – множество значений функции f(x), которые она принимает при изменении x на ООФ.
Обозначается: ОЗФ или E(f).
С геометрической точки зрения ОЗФ – проекция графика на ось OY.

Четность и нечетность функций

Функция f называется четной, если для любых x из ООФ
f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси OY.

Функция f называется нечетной, если для любых x из ООФ f(-x) = — f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Алгоритм определения четности функции одной переменной

Периодичность функций

Функция называется периодической с периодом Т ≠ 0, если для любого x из ООФ
f(x + T) = f(x) = f(x — T).

Для построения графика периодичностью функции с периодом T достаточно провести построение на отрезке длиной T и полученный график параллельно перенести на расстояние nT вправо и влево вдоль оси OX (n – любое натуральное число).

Возрастание, убывание функций

Функция f возрастает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1).

Функция f убывает на множестве P, если для любых x1 и x2 из множества P, таких, что x2 > x1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1).

Преобразования графиков функций

Пусть дан график функции y = f(x)

Тогда:

1 . График функции y = f(–x) получается симметричным отображением графика y = f(x) относительно оси OY:

2 . График функции y = –f(x) получается симметричным отображением графика y = f(x) относительно оси OX:

3 . График функции y = |f(x)| получается следующим образом: обводим ту часть графика функции y = f(x), которая лежит выше оси OX, а часть лежащую ниже отобразить симметрично оси OX:

4 . График функции y =f(|x|) получается следующим образом: отбрасываем часть графика функции y = f(x), лежащую левее оси OY, обводим ту часть графика функции y = f(x), которая лежит правее оси OY и отображаем ее симметрично оси OY:

5 .График функции y =f(x–a) + b получается построением графика функции y = f(x) в новой системе координат X`0`Y`, где 0`(a, b), 0`X` || 0X, 0`Y` || 0Y:

6 . График функции y =f(m*x), m > 0, получается из данного растяжением в 1/m раз (если m < 0) от оси OY (вдоль оси OX) и сжатием в m раз (m > 1) к оси OY:

7 . График функции y =k* f(x), k > 0, получается из данного растяжением в k раз (k > 1) относительно оси OX (вдоль оси OY) и сжатием в 1/k раз (при k < 1) к оси OX:

intellect.icu

параллельный перенос (сдвиг), отображение, растяжение, сжатие, отражение. Курсы по математике

Тестирование онлайн

• Преобразование графиков

Параллельный перенос

График функции y=f(x)+B получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оу на расстояние В, если В>0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оу, если B.

График функции y=f(x+b) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оx на расстояние b, если b и в отрицательном направлении вдоль оси Оx, если b>0.

Отображение

График функции y=-f(x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Ох.

График функции y=f(-x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Оу.

Деформация (растяжение и сжатие) графика

График функции y=Af(x), получается растяжением графика y=f(x) вдоль оси Оу от оси Ох в A раз при A>1 или сжатием вдоль оси Оу к оси Ох в раз при A.

График функции y=f(ax), получается сжатием графика y=f(x) вдоль оси Ох к оси Оу в а раз при а>1 или растяжением вдоль оси Ох к оси Оу в раз при а.

Отражение

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), лежащая над осью Ох и на оси, остается без изменений, а часть графика, лежащая под осью Ох, отражается симметрично относительно оси Ох на верхнюю полуплоскость.

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), соответствующая неотрицательным значениям аргумента , остается без изменений, а отрицательным значениям аргумента будет соответствовать график, полученный путем симметричного относительно оси Оy отображения части графика, оставленной без изменений.

Примеры

fizmat.by