Рубрика: Школьная жизнь

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы

Над матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием.

        Определение 14.5Пусть— матрица размеров. Тогда транспонированной матрицейназывается такая матрицаразмеров, что,,.

Транспонированная матрица обозначаетсяили. Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом — вторая строка исходной матрицы и т.д. Например,

Читатель легко проверит, что

где — число.

Предложение 14.5Если произведение определено, то

        Доказательство.     Пусть— матрица размеров,— матрица размеров. Тогдаимеет размеры,— размеры. Число столбцов всовпадает с числом строк в, поэтому произведениенаопределено. Размеры этого произведения. Матрицаимеет размеры, поэтому— матрица размеров. Итак, матрицы в правой и левой части равенства (14.8) существуют и имеют одинаковые размеры.

Пусть ,,,,. Нам нужно показать, что,,.

По определению транспонирования . По определению умножения матриц

С другой стороны,

Поэтому

Сравнивая полученный результат с (14.9), получаем.

studfiles.net

Транспонирование матрицы

Транспонированием матриц называется замена строк матрицы на её столбцы с сохранением порядка. Тогда транспонированная матрица:

Например:

Справедливы следующие свойства операции транспонирования:

При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций.

Задача. Вычислить матрицу:

Решение. Используя определение транспонированной матрицы и операцию произведения матриц, получим:

Найдем матрицу С², используя операцию возведения в степень:

Найдем матрицу D, используя операцию сложения матриц:

Отсюда:

Работу с матричной функцией ТРАНСП в MS Excel следует выполнять в следующем порядке:

• Задать исходную матрицу.
• Отметить место для матрицы-результата.
• Обратиться к мастеру функций, найти функцию ТРАНСП и выполнить постановку задачи.

Завершить выполнение работы одновременным нажатием клавиш Shift/Ctrl/Enter

Смотри также по теме:

helpstat.ru

Транспонированная матрица — Википедия. Что такое Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица AT{\displaystyle A^{T}}, полученная из исходной матрицы A{\displaystyle A} заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы A{\displaystyle A} размеров m×n{\displaystyle m\times n} — матрица AT{\displaystyle A^{T}} размеров n×m{\displaystyle n\times m}, определённая как AijT=Aji{\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}.

Например,

[1234]T=[1324]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}} и [123456]T=[135246]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

• (AT)T=A{\displaystyle (A^{T})^{T}=A}

Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

• (A+B)T=AT+BT{\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

• (AB)T=BTAT{\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

• (λA)T=λAT{\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}

При транспонировании можно выносить скаляр.

• detA=detAT{\displaystyle \det A=\det A^{T}}

Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению ST=S{\displaystyle S^{T}=S}.

Для того чтобы матрица S{\displaystyle S} была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению AT=−A{\displaystyle A^{T}=-A}.

Для того чтобы матрица A{\displaystyle A} была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица A{\displaystyle A} была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть Aij=−Aji{\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}.

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: Aii=0{\displaystyle A_{ii}=0}.

Для любой квадратной матрицы M{\displaystyle M} имеется представление M=S+A{\displaystyle M=S+A},

где S=M+MT2{\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}} — симметричная часть, A=M−MT2{\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}} — антисимметричная часть.

См. также

wiki.sc

Транспонирование матриц — Мегаобучалка

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

1. Действия над матрицами.

Матрицей называется прямоугольная таблица элементов, например

Размерность матрицы обозначают , где — число строк, а — число столбцов матрицы. Например, размерность матрицы А — , матрицы В — ,

матрицы — . В общем случае элемент матрицы обозначают , где — номер строки, а — номер столбца матрицы, на пересечении которых находится этот элемент. Например, для матрицы А , для матрицы В .

Определим действия над матрицами.

Умножение матрицы на число и сложение покажем на примерах.

Умножение матрицы на число.

Пример.

или

Сложение (вычитание) матриц.

Пример.

3.Умножение матриц.

Если матрица А имеет размерность , а матрица В имеет размерность , то их можно умножать. В результате получается матрица , размерность которой будет . Например, размерности , В размерности , то будет размерности .

Пример.

Первую строку А умножаем на первый столбец В: .

Первую строку А умножаем на второй столбец В: .

Вторую строку А умножаем на первый столбец В: .

Вторую строку А умножаем на второй столбец В: .

Пример.

Пример.

Транспонирование матриц.

Чтобы транспонировать матрицу, надо строки матрицы записать в столбцы.

Пример.

Если , то транспонированная матрица

Если , то

Задание 1.Найти

Решение.

1. Определители квадратных матриц.

Для квадратных матриц вводится число, которое называется определителем.

Для матриц второго порядка ( размерность ) определитель задается формулой:

Например, для матрицы ее определитель

Пример.Вычислить определители матриц.

Для квадратных матриц третьего порядка (размерность ) существует правило «треугольника»: на рисунке пунктирная линия означает – умножить числа, через которые проходит пунктирная линия. Первые три числа надо сложить, следующие три числа надо вычитать.

Пример. Вычислить определитель.

Чтобы дать общее определение определителя, надо ввести понятие минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента матрицы называется определитель, полученный вычеркиванием — той строки и — того столбца.

Пример. Найдем некоторые миноры матрицы А.

Алгебраическим дополнением элемента называется число .

Значит, если сумма индексов и четная, то и ничем не отличаются. Если же сумма индексов и нечетная, то и отличаются только знаком.

Для предыдущего примера .

Определителем матрицыназывается сумма произведений элементов некоторой строки

( столбца) на их алгебраические дополнения. Рассмотрим это определение на матрице третьего порядка.

Первая запись называется разложением определителя по первой строке, вторая — разложение по второму столбцу, последняя – разложение по третьей строке. Всего таких разложений можно записать шесть раз.

Пример. Вычислить определитель по правилу «треугольника» и разложив его по первой строке, затем по третьему столбцу, затем по второй строке.

Разложим определитель по первой строке:

Разложим определитель по третьему столбцу:

Разложим определитель по второй строке:

Заметим, что чем больше нулей, тем проще вычисления. Например, раскладывая по первому столбцу, получим

Среди свойств определителей есть свойство, позволяющее получать нули, а именно:

Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на ненулевое число, то определитель не изменится.

.

Возьмем этот же определитель и получим нули, например, в первой строке.

=

Определители более высоких порядков вычисляются таким же образом.

Задание 2.Вычислить определитель четвертого порядка:

1) разложив по любой строке или любому столбцу

2) получив предварительно нули

Получим дополнительный ноль, например, во втором столбце. Для этого элементы второй строки умножим на -1 и прибавим к четвертой строке:

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Покажем решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Задание 2. Решить систему уравнений.

Надо вычислить четыре определителя. Первый называется основным и состоит из коэффициентов при неизвестных:

Заметим, что если , систему методом Крамера решить нельзя.

Три остальных определителя обозначаются , , и получаются заменой соответствующего столбца на столбец правых частей.

Находим . Для этого первый столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Находим . Для этого второй столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Находим . Для этого третий столбец в основном определителе меняем на столбец правых частей:

Решение системы находим по формулам Крамера: , ,

, ,

Таким образом решение системы , ,

Сделаем проверку, для этого найденное решение подставим во все уравнения системы.

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Если у квадратной матрицы определитель не равен нулю, существует обратная матрица , такая что . Матрица называется единичной и имеет вид

Обратная матрица находится по формуле:

Пример. Найти обратную матрицу к матрице

Сначала вычисляем определитель.

Находим алгебраические дополнения:

Записываем обратную матрицу:

Чтобы проверить вычисления, надо убедиться, что .

Пусть дана система линейных уравнений:

Обозначим

Тогда система уравнений может быть записана в матричной форме как , а отсюда . Полученная формула называется матричным способом решения системы.

Задание 3.Решить систему матричным способом.

Надо выписать матрицу системы, найти к ней обратную и затем умножить на столбец правых частей.

Обратная матрица у нас уже найдена в предыдущем примере, значит можно находить решение:

Ответ:

1. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Крамера и матричный метод применяется только для квадратных систем (число уравнений равно числу неизвестных), причем определитель должен быть не равен нулю. Если число уравнений не равно числу неизвестных, или определитель системы равен нулю, применяется метод Гаусса. Метод Гаусса можно применять для решения любых систем.

Мы рассмотрим решение системы четвертого порядка. Если применять метод Крамера, придется находить пять определителей четвертого порядка. Если решиться обращать матрицу четвертого порядка, то придется находить 16 определителей третьего порядка.

Метод Гаусса состоит в приведении матрицы системы к треугольной или трапециевидной форме.

Пример. Решить систему третьего порядка методом Гаусса.

Выписываем матрицу системы, в которую включаем и правые части:

Матрица приведена к треугольной форме (столбец правых частей не считается). По матрице восстановим систему:

Из последнего уравнения находим . Подставим во второе уравнение:

. Найденные и подставим в первое уравнение:

Ответ:

Задание 5.Решить систему уравнений методом Гаусса.

По полученной матрице восстанавливаем систему:

Находим решение:

Ответ:

megaobuchalka.ru

Как выглядит транспонированная матрица? Ее свойства и определение

В высшей математике изучается такое понятие, как транспонированная матрица. Следует заметить: многим кажется, что это довольно сложная тема, которую невозможно освоить. Однако это не так. Для того чтобы понимать, как именно осуществляется настолько легкая операция, необходимо лишь немного ознакомиться с основным понятием — матрицей. Тему сможет понять любой студент, если уделит время на ее изучение.

Что же такое матрица?

Матрицы в математике довольно распространены. Следует заметить, что они также встречаются в информатике. Благодаря им и с их помощью легко программировать и создавать программное обеспечение.

Что же такое матрица? Это таблица, в которую помещены элементы. Она обязательно имеет прямоугольный вид. Если говорить простейшим языком, то матрица является таблицей чисел. Обозначается она при помощи каких-либо заглавных латинских букв. Она может быть прямоугольной или квадратной. Есть также отдельно строки и столбцы, которые названы векторами. Такие матрицы получают лишь одну линию чисел. Для того чтобы понять, какой размер имеет таблица, необходимо обратить внимание на количество строк и столбцов. Первое обозначаются буквой m, а второе — n.

Следует обязательно понимать, что такое диагональ матрицы. Есть побочная и главная. Второй является та полоса чисел, которая идет слева направо от первого к последнему элементу. В таком случае побочной будет линия справа налево.

С матрицами можно делать практически все простейшие арифметические действия, то есть складывать, вычитать, умножать между собой и отдельно на число. Также их можно транспонировать.

Процесс транспонирования

Транспонированная матрица — это матрица, в которой строки и столбцы поменяны местами. Делается это максимально легко. Обозначается как А с верхним индексом Т (A^T). В принципе, следует сказать, что в высшей математике это одна из самых простых операций над матрицами. Размер таблицы сохраняется. Такую матрицу называют транспонированной.

Свойства транспонированных матриц

Для того чтобы правильно делать процесс транспонирования, необходимо понимать, какие свойства этой операции существуют.

• Обязательно существует исходная матрица к любой транспонированной таблице. Их определители должны быть равны между собой.
• Если имеется скалярная единица, то при совершении данной операции ее можно вынести.
• При двойном транспонировании матрицы она будет равна первоначальной.
• Если сравнить две сложенные таблицы с поменянными столбцами и строками, с суммой элементов, над которыми была произведена данная операция, то они будут одинаковы.
• Последнее свойство заключается в том, что если транспонировать умноженные между собой таблицы, то значение должно быть равно результатам, полученным в ходе умножения между собой транспонированных матриц в обратном порядке.

Для чего транспонировать?

Матрица в математике необходима для того, чтобы решать с ней определенные задачи. В некоторых из них требуется вычислить обратную таблицу. Для этого следует найти определитель. Далее рассчитываются элементы будущей матрицы, затем они транспонируются. Осталось найти лишь непосредственно обратную таблицу. Можно сказать, что в таких задачах требуется найти Х, и сделать это довольно легко при помощи базовых знаний теории уравнений.

Итоги

В данной статье было рассмотрено, что представляет собой транспонированная матрица. Эта тема пригодится будущим инженерам, которым нужно уметь правильно рассчитывать сложные конструкции. Иногда матрицу не так уж и просто решить, придется поломать голову. Однако в курсе студенческой математики данная операция осуществляется максимально легко и без каких-либо усилий.

fb.ru

Транспонирование матриц — Мегаобучалка

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А:

Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А’ имеет вид

Сокращенная форма записи операции транспонирования мат­рицы:

Пример 3. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид

Нетрудно заметить две закономерности операции транспо­нирования матриц.

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Умножение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, со­ставляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы мат­риц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-стол­бцы соответствующих размерностей: иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.

Пусть даны матрица А размером т х п и матрица В разме­ром п х k. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк _i размерности п каждый, а матрицу В — как совокупность k векторов-столбцов _j, каждый из которых содержит по п координат:

Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (13.3). Длина строки матри­цы А равна высоте столбца матрицы В, и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.

Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой c_ij равны скалярным произве­дениям векторов-строк _i матрицы А на векторы-столбцы _jматрицы В:

Произведение матриц А и В — матрица С — имеет размер т х k, поскольку длина п векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих век­торов в их скалярных произведениях, как показано в формулах (13.4). Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скаляр­ные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В; вторая строка матрицы С получается как ска­лярные произведения второй вектор-строки матрицы А на все векторы-столбцы матрицы В и так далее. Для удобства за­поминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей: , т.е. размер матрицы С равен произведению оставшихся в отношении чисел: т х k.

В операции умножения матриц есть характерная особен­ность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда если А и В — прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формиру­ющих элементы соответствующей матрицы, должны участво­вать векторы с одинаковым числом координат.

Если матрицы А и В квадратные размером n х n, то име­ет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц BA, причем размер этих матриц такой же, как и у ис­ходных сомножителей. При этом в общем случае перемноже­ния матриц правило перестановочности не соблюдается, т.е. АВ ≠ ВА.

Рассмотрим примеры на умножение матриц.

Решение. Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (13.4) получаем в произведении матрицу размером 3 х 2:

Произведение ВА не имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.

Решение. Здесь мы найдем произведения данных матриц АВ и ВА:

Как видно из результата, матрица произведения зависит от по­рядка расположения матриц в произведении. В обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2 х 2.

Решение. В данном случае матрица В представляет собой вектор-столбец, т.е. матрицу, у которой три строки и один столбец. Вообще, векторы — это частные случаи матриц: век­тор-строка длины п представляет собой матрицу с одной стро­кой и п столбцами, а вектор-столбец высоты n — матрицу с n строками и одним столбцом. Размеры данных матриц соот­ветственно 2 х 3 и 3 х 1, так что произведение этих матриц определено. Имеем

В произведении получена матрица размером 2 х 1 или вектор-столбец высоты 2.

Решение. Путем последовательного умножения матриц находим

2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С — мат­рицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а α — действительное число. Тогда следу­ющие свойства произведения матриц имеют место:

1) (АВ)С = А(ВС),

2) (А + В)С = AC + ВС,

3) А(В + С) = АВ + АС,

4) α(АВ) = (αА)В = А(αВ).

В п. 1 этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанные с умножением на эту матрицу слева и справа в случае квадрат­ных матриц:

5) АЕ = А,

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единич­ную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную мат­рицу.

Обратная матрица

Ранг матрицы

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Для прямоугольной матрицы максимальный ранг r = min (m, n). Для квадратной матрицы размером п х n ее максимальный ранг не может превышать п: r ≤ п.

megaobuchalka.ru

Транспонирование матрицы — это… Что такое Транспонирование матрицы?

Транспонирование матрицы

Wikimedia Foundation. 2010.

• Транспонирование
• Транспорт (скульптурные композиции, Тольятти)

Смотреть что такое «Транспонирование матрицы» в других словарях:

• Произведение матрицы на число — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

• Примеры программ на языке Python — Содержание 1 Примеры программ на языке программирования Python. 1.1 …   Википедия

• Квадратная матрица — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

• Матрица линейного оператора — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

• Перемножение матриц — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

• Произведение матриц — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

• Разница матриц — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

• Векторное произведение — в трёхмерном пространстве. Векторное произведение  это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум …   Википедия

• Векторное произведение векторов — Содержание 1 Правые и левые тройки векторов 2 Определение 3 Свойства …   Википедия

• Векторное умножение — Содержание 1 Правые и левые тройки векторов 2 Определение 3 Свойства …   Википедия

dal.academic.ru

MCMLXXXI — это… Что такое MCMLXXXI?

designations_en_ru.academic.ru

Напишите римскими цифрами цифры от 1 до 20 ну тость I, II, III V IV

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX и вопще это так легко не такли!!!!

<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/212926145_1cd744ff182e0c0e987dcdcdac1328a7_800.png» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/212926145_1cd744ff182e0c0e987dcdcdac1328a7_120x120.png» data-big=»1″>

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX и вопще это так легко не такли!!!!

Римские цифры Арабские цифры Римские цифры Арабские цифры I 1 XI 11 II 2 XII 12 III 3 XIII 13 IV 4 XIV 14 V 5 XV 15 VI 6 XVI 16 VII 7 XVII 17 VIII 8 XVIII 18 IX 9 XIX 19 X 10 XX 20

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

а ещё у Тиффани есть украшения с римскими цифрами, можно посмотреть, например, здесь: <a rel=»nofollow» href=»http://hitbrands.ru/» target=»_blank»>http://hitbrands.ru/</a>

Вам всем так легко… Взяли скопировали 1-ый ответ… И все теперь шлете…

Римские цыфры от 1 до 20: I 1 XI 11 II 2 XII 12 III 3 XIII 13 IV 4 XIV 14 V 5 XV 15 VI 6 XVI 16 VII 7 XVII 17 VIII 8 XVIII 18 IX 9 XIX 19 X 10 XX 20

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

Цифра 1 в римских числах обозначается так: I Цифра 2 в римских числах обозначается так: II Цифра 3 в римских числах обозначается так: III Цифра 4 в римских числах обозначается так: IV Цифра 5 в римских числах обозначается так: V Цифра 6 в римских числах обозначается так: VI Цифра 7 в римских числах обозначается так: VII Цифра 8 в римских числах обозначается так: VIII Цифра 9 в римских числах обозначается так: IX Число 10 в римских числах обозначается так: X Число 11 в римских числах обозначается так: XI Число 12 в римских числах обозначается так: XII Число 13 в римских числах обозначается так: XIII Число 14 в римских числах обозначается так: XIV Число 15 в римских числах обозначается так: XV Число 16 в римских числах обозначается так: XVI Число 17 в римских числах обозначается так: XVII Число 18 в римских числах обозначается так: XVIII Число 19 в римских числах обозначается так: XIX Число 20 в римских числах обозначается так: XX

touch.otvet.mail.ru

как пишется 1755 век римскими цифрами

1755 год — это 18-й век, римскимми будет так: XVIII А если год перевести в римские, то так: MDCCLV Михаил (см. ответ ниже) ошибся. Его год получился 1555 !

точно не момню…. но вроде 1000 это M

если век, то XIX

если век то XVIII, если год то MDLV

touch.otvet.mail.ru

Римские цыфры Ребят, кто знает римскую нумерологию? Как будет римскими цифрами число 1970?

Мне кажется то, посмотри этот документ <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:document789234789234-pdf»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Спроси тут <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:cnpocuTyt»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Мне кажется то, посмотри этот документ <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:document789234789234-pdf»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Спроси тут <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:cnpocuTyt»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

<a rel=»nofollow» href=»https://ru.wikipedia.org/wiki/Римские_цифры» target=»_blank»>https://ru.wikipedia.org/wiki/Римские_цифры</a> <a rel=»nofollow» href=»http://latinpro.info/latin_cifrae_years.php» target=»_blank»>http://latinpro.info/latin_cifrae_years.php</a>

touch.otvet.mail.ru

Помогите написать 2000 год римскими цифрами?

Это просто: ММ. Вот 1999 — это круче: MCMXCIX.

Римские цифры Римские цифры, цифры древних римлян. Система Р. ц. основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов I = 1, Х =10, С = 100, М = 1000 и их половин V = 5, L = 50, D = 500. Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения) , если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания) . Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Например, I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400. Например, VI = 5+1 = 6,IV = 5 — 1 = 4 (вместо IIII). XIX = 10 + 10 — 1 = 19 (вместо XVIIII), XL = 50 — 10 =40 (вместо XXXX), XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т. д. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи весьма неудобно. Система Р. ц. в настоящее время не применяется, за исключением, в отдельных случаях, обозначения веков (XV век и т. д.) , годов н. э. (MCMLXXVII т. д. ) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975), порядковых числительных, а также иногда производных небольших порядков, больших трёх: yIV, yV и т. д. I 1 VIII 8 LXXV 75 D 500 II 2 IX 9 XCII 92 DCXCV 695 III 3 X 10 IC 99 DCCIL 749 IV 4 XVIII 18 C 100 M 1000 V 5 XXXI 31 CCCII 302 MCMIX 1909 VI 6 XLVI 46 CDXLI 441 MCMLXXXIV 1984 VII 7 L 50 ID 499 MIM 1999

touch.otvet.mail.ru

Правила римские цифры | Юристика

Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос «Правила римские цифры». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.

Здесь цифра, изображающая сотню, два повторена раза, а цифры, изображающие соответственно единицу и десяток, повторены по три раза.

С учётом этого обстоятельства было бы разумно реализовать в виде процедуры (назовём её toRomanHelper ) преобразование десятичной цифры в римскую нотацию. Процедура будет принимать два параметра — десятичную цифру и номер десятичного разряда. Возвращаемое значение — римская запись десятичной цифры, соответствующая её разряду.

Есть также правило для запоминания — правило мнемоники: Мы Дарим Сочные Лимоны, Хватит Всем Их: это значит M, D, C, L, X, V, I (согласно загвлавным буквам каждого слова).

Как пишутся римские цифры, как написать римскими цифрами число больше 1000

Лицензия на осуществление образовательной деятельности: № 5201 от 02.04.2018. Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Современная наука отдает предпочтение гипотезе о том, что этруски на рубеже 6−5 веков до н.э. изобрели римские цифры, система нумерации которых сохраняется и поныне: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.
Но её достоверное происхождение не определено и по сей день. Одни историки утверждают, что знак символизирует раскрытую ладонь с прижатыми четырьмя пальцами и оттопыренным большим пальцем.

Пример: 1988 число. Одна тысяча M, девять сотен CM, десятков восемь LXXX, восемь единиц VIII. вместе их Запишем: MCMLXXXVIII.

Римские цифры мы используем не часто. И вроде бы все знают, что у нас традиционно римскими цифрами обозначают века, а годы и точные даты — арабскими цифрами. Вот на днях пришлось объяснять арабским :-)) и китайским студентам, что такое, например, XCIV или CCLXXVIII :-)). Много интересного для себя узнала, когда материал искала.

Обратное преобразование будет осуществляться в обратном порядке. Строку, представляющую собой римскую запись числа, прежде всего нужно разделить по десятичным разрядам, а затем найдём десятичные цифры, соответствующие этим разрядам.

У современных ученых существует много предположений об арабских цифрах, когда и как появился позиционный ряд чисел от 0 до 9, а вот откуда взялись римские цифры — вопрос пока остается открытым.

Правила написания римских цифр

Римская нотация использует семь цифр — I , V , X , L , L , D , M . Для представления числа n в римской нотации возьмём количества его единиц n 0 , десятков n 1 , сотен n 2 и тысяч n 3 . Сначала запишем в римской нотации количество единиц. При 0 ⩽ n 0 ⩽ 3 просто запишем подряд цифру I (единица) n 0 раз. При 4 ⩽ n 0 ⩽ 8 запишем цифру V (она обозначает пять), и припишем к ней столько цифр I , на сколько n 0 больше или меньше пяти, причём если больше, то справа, а если меньше, то слева.

Существует мнение о том, что до XIX века цифра IV писалась как IIII, а цифра IX как VIIII, но говорят, есть свидетельства, что в документах XIV века указаны цифры IV. На это можно дать ответ: промежуточные числа, которые образовывались путем прибавления дополнительных букв (цифр) справа или слева, появились по мере необходимости записи получаемых расчетов. Например, число 24 изображалось как XXIV. Правила записи чисел римскими цифрами были утверждены так, что сначала писались тысячи и сотни, затем десятки и единицы.

До сих пор не установлен источник возникновения римских цифровых знаков. Но были замечены заимствования элементов символов из других народов. Например, римские цифры сто и тысяча похожи на некоторые древнегреческие буквы. Известно также, что римляне не были склонны и заинтересованы в глубоких познаниях математики.

Следует отметить, что выполнение даже арифметических действий над многозначными числами в этой записи весьма неудобно. Вероятно, сложность вычислений в римской системе нумерации, основанной на использовании латинских букв, стала одной из веских причин замены ее на более удобную в этом плане десятичную систему цифр.

Меньшая цифра быть может записана и слева от большей, тогда её вычесть следует из большей. В этом случае повторения цифры меньшей не допускаются.
У Светония в «Жизни 12 цезарей» встретил упоминание о 150.000.000 сестерциях. То есть, используя их нумерацию, это число можно записать как? Один миллион — М с чертой сверху, два миллиона — ММ с чертой…
Для правильной записи больших чисел цифрами римскими необходимо сначала записать число затем, тысяч сотен, затем десятков и, наконец, При.
Среди множества иероглифических систем счисления, которые существовали в разные времена у разных народов, только одна используется до сих пор. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных и современных зданий, памятниках, страницах книг.

Где можно встретить римские цифры

Для ввода римских цифр с клавиатуры необходимо находиться в английской раскладке клавиатуры. Желательно включить режим заглавных букв(CapsLock), конечно можно удерживать Shift, но так не очень удобно. Всего используется 6 букв I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Цифры складываются, когда меньшая стоит после большей. Меньшая отнимается от большей, если перед большей стоит меньшая цифра(чтобы не было четырехкратного повторения цифры).

При чисел записи в римской системе счисления меньшая может цифра стоять справа от большей; в этом она случае прибавляется к ней.

Интересным является тот факт, что эти необычные цифры дошли до наших времен не из-за каких-либо оригинальных или полезных свойств. А именно из-за большого влияния римлян и Римской империи в прошлом. Даже когда в 7 веке до нашей эры этруски завоевали Рим, им пришлось почувствовать влияние средиземноморских культур на себе. Об этом можно судить исходя из того, что в их культуре сразу же произошли изменения, которые касаются в первую очередь представлением цифр в письме. После этих событий обе системы имели множество схожих элементов в числах. Анализ правил перевода чисел в римскую нотацию показывает, что достаточно записать римскими цифрами каждую из десятичных цифр заданного числа, учитывая номер её разряда, а затем составить вместе полученные записи. Правила записи десятичной цифры с помощью римских цифр примерно одни и те же — меняется в зависимости от разряда только лишь набор римских цифр, используемых для записи. Для единиц это I , V , X , для десятков — X , L , C , для сотен — C , D , M , для тысяч — только M (поскольку цифр для пяти и десяти тысяч не предусмотрено).

Её происхождение также связывают с человеческими конечностями — руками. Римская «десятка» символизирует скрещенные руки. Таким образом, во многих отраслях производства (например, в строительстве) римляне могли показать друг другу числовые значения, используя руки.

Это говорит о том, что римские цифры совершенствовались в процессе развития математики и дополнялись на разных этапах эволюции от этрусков до наших дней по мере необходимости.

Далее действует принцип сложения. Например, возьмем число 3175, пишется по-римски оно так: MMMCLXXV. 1000 будет M, нам нужно три таких, значит три раза пишем эту букву. Сто будет С, значит используем эту цифру. Далее нужно 70, 70 — это 50 и 20. Ищем 50 в табличке, а 20 будет выглядеть как две «десятки». И в конце пятерка из простой таблицы. У многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ — вертикальная чёрточка. Это самое древнее число в истории человечества.

Но, как правило, такие записи римскими цифрами не встречаются. По крайней мере мне не встречались. Самое большое число, кажется XXI век. Хотя, в этом году были ХХХ Олимпийские игры.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Римская система нумерации, господствовавшая в Европе в течение двух тысяч лет, в настоящее время находит весьма ограниченное применение. Римские цифры используются для обозначения веков (XII век), месяцев при указании даты на монументах (21.V.1987), времени на циферблатах часов, порядковых числительных, производных небольших порядков. Многих пользователей интересуют цифры римского происхождения из-за их необычного представления и непозиционной системы счисления. Привычные нам арабские знаки являются довольно простыми. Необходимо только знать их последовательность, чтобы сосчитать. Но иначе происходит счет в римских цифрах в диапазоне от 1 до 10. О них в этой статье и пойдет речь.

Преобразованием числа в римскую запись будет заниматься процедура toRoman . Она разберёт число по десятичным цифрам. Для каждой десятичной цифры найдёт запись римскими цифрами в соответствии с разрядом, в котором она находится (для этого будет вызвана процедура toRomanHelper ). Римские записи для десятичных цифр будут соединены вместе и получившаяся строка будет возвращена из процедуры.

Второе правило применяется для того, чтобы избежать четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Так, римские цифры I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.

По одной из версий, предки хеттов обосновались в Малой Азии в XIII-X тысячелетиях до нашей эры, и без всяких сомнений, там была какая-то письменность в форме идеограммы, иероглифов или пиктограмм, а до этого в хеттском царстве существовала иная форма письменности — клинопись. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

Похожие записи:

big-hobby.ru

как будет 2002 римской цифрой!!! ЛЮДИ, ПОМОГИТЕ!! СРОЧНО) заранее спс ^_^

Нужно для этого два килограмма давления

если я не ошибаюсь, то — ММII

это выглядит так: ММII

как будет 2002 римской цифрой!!! ЛЮДИ, ПОМОГИТЕ!! СРОЧНО) заранее спс ^_^ &#8594; Политика 5 ответов6 минут назад как будет 148 римской цифроййййййй срочно!! ЛЮДИ!! ПОМОГИТЕ! ! &#8594; Политика 4 ответа10 минут назад как будет по римскими цифрами 45?41?48?2002?220?170?это всё)заранее спасибо!!!! &#8594; Естественные науки

Римскими MMII — 2002

touch.otvet.mail.ru

Как посчитать объем трубы 🚩 Объем трубопровода 🚩 Математика

25 мая 2011

Автор КакПросто!

Расчет объемов тел является одним из классических типов задач инженерной деятельности и прикладной науки. В общем случае данная задача нетривиальна. Аналитические формулы для расчета объемов сложных тел могут оказаться весьма громоздкими. Однако объемы ряда тел рассчитываются весьма просто. Просты в вычислении объемы многих тел вращения. Например, посчитать объем трубы можно, произведя ряд нехитрых математических действий.

Статьи по теме:

Вам понадобится

Инструкция

Найдите радиуса в квадрат и помножьте его на число Пи. Так, S=Пи*R*R, где R — радиус трубы. Площадь сечения будет найдена в той же системе единиц, в которой было взято значение радиуса. Например, если значение радиуса представлено в сантиметрах, то площадь сечения будет вычислена в квадратных сантиметрах.

Вычислите объем трубы. Помножьте площадь сечения трубы на ее длину. Объем трубы V=S*L, где S — площадь сечения, а L — длина трубы.

Обратите внимание

Убедитесь, что используете значения радиуса и длины трубы, выраженные в одинаковых единицах измерения.

Полезный совет

При вычислениях на калькуляторе занесите в его память число 2*Пи. Так можно будет быстро вычислить несколько значений объемов труб с разными радиусами.

Источники:

• формула объема трубы

www.kakprosto.ru

Внутренний объем погонного метра трубы в литрах

dpva.ru

Объем воды в трубопроводе калькулятор. Внутренний объем трубы. Расчет объема теплоносителя в радиаторах отопления

Расчёт объема жидкости в трубе – трудное и ответственное дело, которое у многих вызывает массу вопросов и проблем. Чаще всего таких расчётов требуют сложные системы отопления, где теплоносителем выступает жидкость, например, вам необходимо знать объём воды, чтобы правильно подобрать расширительный бачок, от подходящих параметров которого зависит прежде всего надёжность конструкции, поэтому в данной статье мы расскажем вам, как правильно рассчитать объем трубы и воды в ней.

Вентилятор помогает перемещать стоячий воздух и предотвращать плесень. Кроме того, температура никогда не должна превышать критическое значение. Это гарантирует крепкие, здоровые растения и увеличивает урожай. Не учитываются неустойчивые процессы, хранение или тепловое излучение. В невентилируемых слоях воздуха образуется конвекция, которая вызывает равновесие между теплом и холодом.

Чем шире воздушный слой, тем больше компенсирующий поток. В большинстве случаев ожидается средняя теплопроводность. Определяет, какие исследования гидростатики и гидродинамики. Что касается каждого из них. Гидростатический: исследует жидкости в состоянии покоя и основывается на законах, характеристиках, вязкости, поверхностном натяжении. Он применяется в таких разнообразных областях, как аэронавтика, химическая, гражданская и промышленная техника, метеорология, морские сооружения и океанография.

Определяем объём трубы

Чтобы посчитать объем трубы, необходимо получить её параметры. Предлагаем начать с радиуса, который можно высчитать, разделив диаметр трубы пополам. Обычно диаметр указывается в характеристиках трубы, но вы также можете измерить его самостоятельно на срезе. Помните, что вам необходим внутренний диаметр, а не наружный.

Определение площади поверхности трубы

Гидродинамика: исследование жидкостей в движении, применяется при проектировании каналов, портов, плотин и корпусов лодок. Определите понятие удельного веса, давления, плотности и объема. Удельный вес: вещества определяется делением его веса на объем, который он занимает.

Давление: указывает соотношение между приложенной силой и площадью, на которой действует в любом случае давление, сила будет действовать перпендикулярно на поверхности. Плотность: масса, содержащаяся в единице объема, измеряется с помощью денситометра, который на одном конце имеет определенное количество свинца, а в другом — масштаб, с которым указывает плотность.

Если диаметра вы не знаете, а измерить на срезе возможности нет, то можно воспользоваться другим методом, однако здесь вам потребуется толщина стенок трубы, узнать которую также бывает проблематично. Итак, возьмите гибкий метр и измерьте им длину окружности, после чего, разделите её на 2 Пи, что примерно равняется 6,28. Из полученного результата вычтите толщину стенки, умноженную на два. Так вы получите внутренний диаметр трубы.

Расчет объема теплоносителя в трубах отопления

Объем: объем, занимаемый одним молем любого газа при нормальных условиях давления и температуры. Определить характеристики жидкостей. Вязкость: может быть определена как мера сопротивления, которая противостоит вытекающей жидкости. Поверхностное натяжение: это явление происходит из-за притяжения, которое существует между молекулами жидкости, которые притягивают друг друга во всех направлениях равными силами.

Сплоченность: это сила, которая удерживает молекулы одного и того же вещества. Приверженность: это сила притяжения, которая удерживает молекулы одного и того же вещества при контакте с другими веществами, она прилипает к твердым телом, в общем, когда происходит явление адгезии.

Последним пунктом является длина трубы, с измерением которой не должно возникнуть проблем. Получив все необходимы данные, используйте формулу объёма трубы, умножив длину на площадь сечения. Помните, что при подсчёте и замере необходимо использовать одинаковые единицы измерения, например, миллиметры.

Капиллярность: возникает, когда есть контакт между жидкостью и твердой стенкой, особенно если они представляют собой тонкие трубки, почти диаметр волос, называемые капиллярами, при введении в контейнер трубки очень малого диаметра. Определяет принципы Паскаля, Торричелли и Бернулли.

Принцип Паскаля: любое давление, оказываемое на жидкость, заключенную в сосуд, передаетс

hheating.ru

Внутренний объем погонного метра трубы в литрах — таблица. Внутренний диаметр трубы 4-1000 мм. Масса воды в трубе. Сколько нужно воды или антифриза или теплоносителя или, там, вазелина;) … для наполнения

dpva.ru

Объем воды (теплоносителя) в трубах и радиаторах: порядок расчета

Объем воды или теплоносителя в различных трубопроводах, таких как полиэтилен низкого давления (ПНД труба) полипропиленовые трубы, металлопластиковые трубы, стальные трубы, необходимо знать при подборе какого либо оборудования, в частности расширительного бака.

Содержание статьи

К примеру в металлопластиковой трубе диаметр 16 в метре трубы 0,115 гр. теплоносителя.

Вы знали? Скорее всего нет. Да и вам собственно зачем это знать, пока вы не столкнулись с подбором, к примеру расширительного бака. Знать объем теплоносителя в системе отопления необходимо не только для подбора расширительного бака, но и для покупки антифриза. Антифриз продается в неразбавленном до -65 градусов и разбавленном до -30 градусов виде. Узнав объем теплоносителя в системе отопления вы сможете купить ровное количество антифриза. К примеру, неразбавленный антифриз необходимо разбавлять 50*50 (вода*антифриз), а значит при объеме теплоносителя равном 50 литров, вам необходимо будет купить всего 25 литров антифриза.

Предлагаем вашему вниманию форма расчета объёма воды (теплоносителя) в трубопроводе и радиаторах отопления. Введите длину трубы определенного диаметра и моментально узнаете сколько в этом участке теплоносителя.

Объем воды в трубах различного диаметра: выполнение расчета

[wpcc id=»1″]

После того как вы рассчитали объем теплоносителя в водопроводе, но для создания полной картины, а именно для того чтобы узнать весь объем теплоносителя в системе, еще вам понадобится рассчитать  объем теплоносителя в радиаторах отопления.

Расчет объема воды в трубах

Расчет объема воды в радиатора отопления

[wpcc id=»8″]

Объем воды в некоторых алюминиевых радиаторах

Уж теперь то вам точно не составит труда подсчитать объем теплоносителя в системе отопления.

Расчет объема теплоносителя в радиаторах отопления

Для того чтобы подсчитать весь объем теплоносителя в системе отопления нам необходимо еще прибавить объем воды в котле. Его можно узнать в паспорте котла или же взять примерные цифры:

• напольный котел — 40 литров воды;

• настенный котел — 3 литра воды.

Помог ли вам калькулятор? Смогли ли вы рассчитать сколько в вашей системе отопления или в трубе теплоносителя? Отпишитесь пожалуйста в комментариях.

Краткое руководство по использованию калькулятора «Расчет объема воды в различных трубопроводах»:

1. в первом списке выберите материал трубы и его диаметр (это может быть пластик, полипропилен, металлопластик, сталь и диаметры от 15 — …)
2. во втором списке пишем метраж выбранной трубы из первого списка.
3. Жмем «Рассчитать».

«Рассчитать количество воды в радиаторах отопления»

1. в первом списке выбираем меж осевое расстояние и из какого материала радиатор.
2. вводим количество секций.
3. Жмем «Рассчитать».

Как рассчитать объем расширительного мембранного бака

[wpcc id=»14″]

Задавайте вопросы в комментариях, делитесь своим опытом, так же принимается любая конструктивная критика, готов обсуждать. Не забывайте делиться полученной информацией с друзьями.

www.allremont59.ru

как вычислить и какие формулы лучше подобрать

Как рассчитать объем трубы в литрах жидкости, проходящей через трубу, волнует каждого, кто сталкивается с такой необходимостью. Потребность возникает в случае проектирования новой системы отопления, а сами показатели помогают определиться с выбором оборудования, габаритами расширительного бачка. Этот показатель имеет немаловажное значение и при использовании такого вещества как антифриз, продающегося в нескольких формах:

• разбавленной;
• концентрированной.

В первом случае жидкость выдерживает до -65^оС, второй вид замерзает уже при -30^оС. Чтобы определиться с объемом канистры или бутыли с веществом, важно знать объем теплоносителя. Так, при 70 литрах объема трубы потребуется 35 литров неразбавленного антифриза, который достаточно развести в пропорции 1:1, что в итоге равно 70 л.

В строках таблицы, представленной выше, приведены реальные вычисления распространенных вариантов диаметров труб, на которые можно опираться.

Формула для расчета показателей

Точные данные возможно получить путем измерений и вычислений, для этого понадобятся некоторые инструменты:

• калькулятор;
• штангенциркуль;
• линейка.

Этого короткого списка инструментов будет достаточно для получения необходимых параметров.

Для расчета объема трубы в литрах измерьте радиус трубы (R). Он бывает внутренним или наружным. Первый позволяет определить количество жидкости, помещающееся внутри цилиндра, то есть внутренний объем трубы, ее кубатуру. Второй – размер места, занимаемого конструкцией.

Кроме этого, потребуются данные диаметра труб (D), для расчета которого применяют формулу: rx2.

Понадобится и определение длины окружности (L).

Как посчитать объем трубы в литрах

Этот показатель измеряется в кубических метрах (м³), а чтобы получить желаемую цифру, придется предварительно рассчитать площадь трубы. Точное значение возможно получить только после расчета площади сечения. Для этого используется формула S=Rxπ, где S – искомая площадь, R – радиус трубы, π – 3,14159265. Полученное значение перемножают с длиной трубопровода.

Объем трубы в литрах находят, пользуясь формулой, а искомое получают из одноуровневого действия и всего лишь двух значений. Сама формула выглядит следующим образом: V=SxL, где V – объем трубы, S – площадь сечения, L – показатель длины.

Пример вычисления объема трубы

Возьмем металлическую трубу с внутренним диаметром 50 и внешним 54 мм и длиной 220 мм. Для проведения вычислений потребуется вставить в формулу расчета площади круга размер внешней поперечины металла, в данном случае трубная площадь будет равна: V=D₁xD₂xLxp=4,319 литра. При этом объем 1 м трубы составит 1,963 л, а площадь поверхности – 0,373 м².

Эта формула применяется для расчета объема трубы любого диаметра независимо от того, какой материал использовался в ходе производства. Для определения показателей объема трубопровода, состоящего из нескольких конструктивных частей, формулу рассчитывают по отдельности, выписывая объем каждого участка.

Особенности вычислений

При вычислениях следите, чтобы единицы измерений выражались одинаково. Иначе получить правильную цифру не получится. К примеру, нужно перемножить диаметр, выраженный в метрах, а длину — в сантиметрах. Лучше переведите все значения в см². Иначе рискуете при использовании разных единиц измерения получить в результате сомнительные данные, не соответствующие реальности и достаточно отдаленные от настоящих значений.

Если вы работаете инженером и подобные действия выполняете ежедневно, калькулятор можно запрограммировать, установив постоянные значения. Например, число П, умноженное на 2.

Это способствует более быстрому произведению работ по поиску необходимого значения.

Современные технологические возможности представляют реальным использование специальных инженерных и архитектурных программ, где заранее уже прописаны отдельные параметры и стандартные значения. Все, что потребуется со стороны пользователя, – подставить дополнительные индивидуальные показатели, измеренные в квартире или доме.

Обратите внимание! При обустройстве систем водного типа не обязательно проводить точный расчет, он больше нужен для того, чтобы определиться с точным количеством материалов и не тратиться попусту. Достаточно приблизительного подбора объема.

Теперь вы знаете, как найти объем воды в трубе в литрах, благодаря простым формулам, приведенным в статье.

fb.ru

вычисление по формуле, подробное описание

Расчет

Во время стройки и ремонта нет деталей, которые могут оказаться не важными. А уж тем более важными считаются расчеты, связанные с трубопроводом. Особенностью их служит необходимость расчета не только длины, но и 2-х вариантов объема — внешнего и внутреннего. Внутренний объем маркируется как полезный, а внешний — фактический. Для получения точного объема воды в трубе используется исключительно внутренний вариант.

Разновидности трубопроводов.

Для расчетов используются обычные школьные уравнения из тригонометрии, с той лишь разницей, что в данном случае их использование граничит с практикой в физике-механике.

Если, в свою очередь, пренебречь данными расчетами или произвести их неточно, то при стандартной подаче воды в трубопровод можно получить слишком высокое давление, которое ускорит износ. Либо слишком низкое давление, которое сделает невозможным полноценное использование трубопровода.

Подсчет объема

На практике расчеты производятся гораздо проще, чем в теории, но для этого потребуется некоторый опыт (не стоит надеяться одолеть с разбегу, но процесс не затянется).

Формула расчета объема цилиндра.

1. Первоначально нужно произвести расчеты диаметра сечения трубы. Именно на данном этапе происходит разделение на внутреннюю окружность и внешнюю, а потом все способы расчетов будут идентичными. В накладных на товар производитель (поставщик) чаще всего указывают именно внешний объем, т.к. специфика их работы заставляет обращать на это первостепенное внимание.При расчетах диаметра удобнее всего воспользоваться измерительными приборами, а потом из одного диаметра получить другой, что существенно упрощает жизнь. Для получения внутреннего диаметра нужно от внешнего отнять 2 толщины стенки. Если же прямые замеры невозможны, то придется использовать мягкую рулетку, а полученный результат делится на число Пи с 8 знаками после запятой, дабы добиться максимальной точности (3.14159265).
2. Вычисляется радиус трубы. Для его получения потребуется просто диаметр поделить на 2.
3. При поисках площади сечения трубы нужно учитывать тот момент, что все единицы вычисления должны быть переведены в нужные, ибо полученный результат будет в них же (см перейдут в см², а м в м²). Формула используется из тригонометрии — S=Пи*R² (площадь = Пи*радиус в квадрате).
4. И только сейчас уже можно вычислить объем. Для вычисления объема трубы нужно площадь сечения перемножить на ее длину V=S*L, где L — это протяженность трубы. Замеряется он только на участках с равным сечением.

Если идет переход, то объем просчитывается отдельно до перехода, во время него и после такового. Переходы никогда не делаются сложными, поэтому их просчитать не составит труда — сечение на входе + сечение на выходе, а полученный результат поделить на 2. В итоге получается средний объем на длине, который и принимается за постоянный.

Вычисления объема

Формула расчета веса трубы

Для примера, по комнате проходит труба с диаметром 30 см, которая ровно посередине комнаты за 1 м уменьшается в объеме в 2 раза. Для вычислений требуется внутренний объем именно самого перехода.

Все вышеупомянутые формулы можно соединить воедино, из чего получится V=3,14*((0,3/2+0.15/2)/2)2*1=0.0397 м³. В словесном варианте вычисления можно прочитать, как объем равен: число Пи*((входящий радиус + радиус на выходе)/2) в квадрате*продолжительность (в м).

При использовании инженерного калькулятора можно избежать целого ряда процедур. А специальные калькуляторы и вовсе довольствуются минимальной базой данных, чтобы выдать сразу все ответы.

Не все новички понимают, зачем нужно измерять объем трубы, т.к. с давлением работают исключительно люди с профессиональным образованием. Но при ремонтах может быть всякое, а также столкнуться с данной проблемой можно и в весьма спокойной обстановке, где труба служит для какого-либо развлечения, а с одной стороны и вовсе запаяна, а вот на этот раз расчет объема воды нужен будет даже последнему любителю. Если же рассчитать объем неверно, то итог будет сильно отличным от ожидаемого.

Способ, как рассчитать объем воды в трубе, достаточно универсален, чтобы использовать его на всех ныне известных видах труб и окружностей, а результат всегда 100%.

masterseptika.ru

Свойства функции тангенса

Перед изучением функции тангенса и её свойств, вспомним понятие самого тангенса. Определение тангенса можно ввести двумя способами: с помощью прямоугольного треугольника и с помощью понятий синуса и косинуса.

Определение 1

Тангенсом острого угла называется отношение длины противолежащего катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника (рис 1):

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник.

Определение 2

Тангенсом угла называется отношение значения синуса этого угла к значению косинуса этого угла.

Введем таблицу некоторых значений тангенса (таблица 1).

Рисунок 2. Значения тангенса.

Геометрический смысл

Рассмотрим тригонометрическую единичную окружность и прямую $x=1$. Ордината точки $B$ на прямой $x=1$ является тангенсом угла $\alpha $ (рис. 2).

Рисунок 3. Значение тангенса с помощью единичной окружности.

Поэтому, когда точка $B$ опишет вертикальную прямую $x=1$ её ордината примет все значения множества действительных чисел, откуда $tg\alpha $ — вся числовая прямая. Поэтому прямая $x=1$ называется линией тангенсов.

Свойства функции $f(x)=tgx$

Рассмотрим теперь свойства функции $f\left(x\right)=tgx$.

1. По определению 2, получим, что область определения$x\in {\mathbb R}{\rm ,}{\rm \ }x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$.
2. Из геометрического смысла следует, что область значения — все числа.
3. $f\left(-x\right)={tg \left(-x\right)\ }=-tgx=-f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=tgx$ нечетна.
4. $f\left(x+\pi \right)={tg \left(x+\pi \right)\ }=tgx=f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=tgx$ периодическая с минимальным периодом $\pi $.
5. Пересечение с осями координат:

При $x=0$, $f\left(0\right)=tg0=0$.

При $y=0$, $x=\pi n,n\in Z$.

1. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in Z$.
2. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in Z$.
3. $f’\left(x\right)={\left(tgx\right)}’=\frac{1}{{cos}^2x}$.

Функция $f\left(x\right)=tgx$ возрастает, при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n\right)$.

1. Функция имеет точку разрыва второго рода при $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$.

2. ${\mathop{lim}_{x\to \frac{\pi }{2}+\pi n-0} tgx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to \frac{\pi }{2}+\pi n+0} tgx\ }=+\infty $,

График функции $y=tgx$

Графиком функции $y=tgx$ является тангенсоида (рис. 3).

Рисунок 4. Тангенсоида.

Задача на построение тангенсоиды

Пример 1

Построить график функции $y=tg(x-2\pi )$.

Так как $tgx$ периодическая с минимальным периодом $\pi $, то получим, что $y=tg\left(x-2\pi \right)=tg\left(x-\pi \right)=tgx$. Получаем график:

Рисунок 5.

spravochnick.ru

Тангенс и его свойства

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

Описание курса Аксиомы планиметрии Точки, отрезки и прямые Угол. Углы на плоскости Площадь геометрической фигуры Окружность. Уравнение окружности Треугольник (Трикутник) Четырехугольник Тригонометрия Тангенс и его свойства Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике Тригонометрический круг Радианы и градусы. Радiани i градуси Таблица значений тригонометрических функций Синус, ко синус, тангенс угла 15 градусов (sin 15 cos 15 tg 15) Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) — таблица значений Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45) Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60) Синус, косинус, тангенс угла 105 градусов (sin 105 cos 105 tg 105) Синус, ко синус, тангенс угла 120 градусов (sin 120 cos 120 tg 120) Тригонометрические тождества и преобразования Многоугольники

Тригонометрическая функция тангенс угла, обозначается как tg. «Тангенс» дословно переводится с латинского как «касающийся». Тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение катета, лежащего против этого угла, ко второму катету. Для визуального запоминания: На рисунке внизу нужные стороны треугольника обозначены двусторонней стрелкой. «Синий» катет нужно разделить на «красный». Тригонометрична функція тангенс кута, позначається як tg. «Тангенс» дослівно перекладається з латинської як «що торкається». Тангенс гострого кута прямокутного трикутника є відношення катета, що лежить проти цього кута, до другого катету. Для візуального запам’ятовування: На малюнку внизу потрібні сторони трикутника позначені двосторонньою стрілкою. «Синій» катет потрібно розділити на «червоний». Простыми словами, чтобы вычислить тангенс угла в прямоугольном треугольнике мы действуем следующим образом: Берем длину катета, противоположного острому углу (α) — это катет BC, обозначенный на рисунке синим цветом Делим ее на длину второго катета (это катет AC, который обозначен на рисунке красным цветом) Полученное значение будет верным и одинаковым для данной величины угла в любом прямоугольном треугольнике и не будет зависеть от размеров треугольника Из этого следует, что: Зная длины катетов в прямоугольном треугольнике, можно определить значение тангенса угла, а потом, с помощью функции arctg() можно определить величину этого угла Поскольку tg α всегда равен tg α = BC / AC, то при известной величине угла α и одного из катетов, всегда можно вычислить величину второго катета Простими словами, щоб обчислити тангенс кута в прямокутному трикутнику ми діємо наступним чином: Беремо довжину катета, протилежного гострого кута (α) — це катет BC, позначений синім кольором на малюнку Ділимо її на довжину другого катета (це катет AC, який позначений на малюнку червоним кольором) Отримане значення буде правильним і однаковим для заданої величини кута у будь-якому прямокутному трикутнику і не буде залежати від розмірів трикутника З цього випливає, що: Знаючи довжини катетів в прямокутному трикутнику, можна визначити значення тангенса кута, а потім, за допомогою функції arctg() можна визначити величину цього кута Оскільки tg α завжди дорівнює tg α = BC / AC, то при відомій величині кута α і одного з катетів, завжди можна обчислити величину другого катета Описанные выше соотношения часто используются при решении задач. При этом подразумевается, что, используя базовое свойство функции тангенса tg α = BC / AC (см. выше рисунок с обозначениями сторон), можно легко найти размеры треугольника или иной геометрической фигуры. Однако, на практике, именно это простейшее свойство тангенса и вызывает трудности при решении. Описані вище співвідношення часто використовуються при вирішенні завдань. При цьому мається на увазі, що, використовуючи базове властивість функції тангенса tg α = BC / AC (див. вище малюнок з позначеннями сторін), можливо легко знайти розміри трикутника або іншої геометричної фігури. Однак, на практиці, саме це просте властивість тангенса і викликає труднощі при рішенні. Тригонометрический круг тангенса. Тригонометричне коло тангенса Линия тангенсов – это касательная l к единичной окружности в точке А (1;0). За положительное направление линии тангенсов берут направление снизу вверх. По определению тангенса угла (tg α = sin α / cos α)  tg α = BA1 / OA1 = CA / OA = CA, так как ОА=1. Т.е. тангенс угла α – это величина отрезка АС на линии тангенсов. Иначе говоря, тангенс угла – это величина отрезка касательной, проведенной через точку А (конец неподвижного радиуса), от точки касания А до пересечения с продолжением подвижного радиуса ОВ. Рассмотрим изменение величины (отрезка АС) при движении подвижного радиуса ОВ по окружности и увеличении угла. Заметим, что значение совпадают I и III квадрантах, во II и IV квадрантах: Лінія тангенсів — це дотична l до одиничного кола в точці А (1;0). За позитивний напрямок лінії тангенсів беруть напрямок знизу вгору. З визначення тангенса кута (tg α = sin α / cos α) tg α = BA1 / OA1 = CA / OA = CA,так як ОА=1. Тобто, тангенс кута α — це величина відрізка АС на лінії тангенсів. Інакше кажучи, тангенс кута — це величина відрізка дотичної, проведеної через точку А (кінець нерухомого радіуса), від точки дотику А до перетину з продовженням рухомого радіуса ОВ. Розглянемо зміна величини (відрізка АС) при русі рухомого радіуса OВ по колу і збільшенні кута. Зауважимо, що значення збігаються у I і III квадрантах, у II і IV квадрантах: Значения функции тангенса угла (tg α) В таблице ниже, приведены сведения о том, каково значение функции тангенса (является ли оно положительным или отрицательным) для всех от 0 до 360 градусов (что соответствует значениям от 0 до 2π радиан). Для более простого визуального запоминания, там где функция тангенса принимает положительные значения, tg α обозначен красным цветом, а там, где отрицательные — синим. У таблиці нижче наведено відомості про те, яке значення функції тангенса (є воно позитивним чи негативним) для всіх від 0 до 360 градусів (що відповідає значенням від 0 до 2π радіан). Для більш простого візуального запам’ятовування, там де функція тангенса приймає позитивні значення, tg α позначено червоним кольором, а там, де негативні — синім. Угол α / Кут α 0 0° < α < 90° 90 90°<а<180° 180 180° < a < 270° 270 270°< а <360° 360 Значение функции tg α / Значення функцiї tg α 0 0° < tg α < +∞ — -∞ <  tg α < 0 0 0° < tg α < +∞ — -∞ <  tg α < 0 0 Смотрите также:   Теорема косинусов. Пример решения задачи | Описание курса | Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

profmeter.com.ua

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Глава 1. Тригонометрические функции

Тема 1. Тригонометрические формулы

Тема 2. Тригонометрические функции и их графики.

Тема 3. Решение тригонометрических уравнений.

Содержание обучения

Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения.

Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс; область определения и множество значений тригонометрических функций. Их свойства: возрастание и убывание, экстремумы, сохранение знака, периодичность, ограниченность. Графики синуса, косинуса. Простейшие тригонометрические уравнения.

Основная цель – ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента; сформировать умения находить значения тригонометрических выражений на основе определений, с помощью калькулятора или таблиц, и выполнять несложные преобразования тригонометрических выражений; сформировать умения студентов строить графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, связывать свойства синуса и косинуса с их графиками; познакомить студентов со способами решения тригонометрических уравнений, формировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

Тема 1. Тригонометрические формулы.

Цель: Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, понятие радианной меры угла; познакомить со свойствами перечисленных тригонометрических функций, с основными формулами тригонометрии.

Оборудование: модель единичной окружности, справочная литература.

План

1. Тригонометрия и геометрия.

2. Радианная мера угла.

3. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента.

4. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

5. Формулы приведения.

6. Основные тригонометрические формулы.

1. 1. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

При нахождении значений чисел , , и любого угла иногда удобно использовать следующие свойства:

1. Знаки чисел , , и .

Пусть при повороте на угол точка переходит в точку .

а) . в I и II четвертях, в III и IV четвертях. Значит

, если точка окажется в I или II четвертях

, если точка окажется в III или IV четвертях (рис. 5а)

б) . в I и IV четвертях, во II и III четвертях. Значит

, если точка окажется в I или IV четвертях

, если точка окажется во II или III четвертях (рис. 5б)

в) , . и имеют одинаковые знаки в I и III четвертях и разные во II и IV четвертях. Значит

и , если точка расположена в I или III четвертях

и , если точка расположена во II или IV четвертях (рис. 5б)

Рис. 5а

знаки синуса

Рис. 5б

знаки косинуса

Рис. 5в

знаки тангенса и котангенса

Пример.

Определите знаки синуса, косинуса, тангенса углов:

а) ; б) ; в)

Решение:

а) Углу соответствует точка единичной окружности, расположенная во II четверти. Поэтому , , .

б) Так как , то повороту точки на угол соответствует точка, расположенная в I четверти, Поэтому , , .

в) Так как , то при повороте точки на угол получается точка III четверти. Поэтому , , .

Задание 1. Выполните самостоятельно!

Определите знак выражения:

Решение:

а) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в III четверти, поэтому .

б) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в IV четверти, поэтому .

в) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в I четверти, поэтому .

Ответ: ; ; .

2. Синус, косинус, тангенс и котангенс углов и .

Пусть точки и единичной окружности получены поворотом точки на углы и (рис.6).

Рис. 6

— равнобедренный ()

луч — биссектриса , тогда отрезок — медиана и высота . Тогда точки и симметричны относительно оси абсцисс. Если координаты точки , тогда координаты точки , отсюда

Полученные формулы позволяют сводить вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов. Например,

Задание 2. Решить самостоятельно:

Вычислите .

Решение:

Ответ: .

3. Периодичность синуса и косинуса.

Если угол поворота равен , то при повороте на каждый из углов , , , , , и т.д. точка придет из в . Абсцисса и ордината точки — это косинус и синус не только числа (угла) , но и чисел (углов) , , , , , и т.д.

Значит, для любого числа выполняются равенства

, ,

, .

Понятно, что аналогичные преобразования верны для и .

Из сказанного можно сделать вывод: при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Пример.

Вычислить:

1) 2)

Решение:

1)

2)

Задание 3. Вычислить самостоятельно

Вычислить:

Решение:

а) .

б)

.

в) с.

Домашнее задание:

Упражнение 5.

Определите знак чисел:

Упражнение 6

Найдите значение выражения:

Упражнение 7

Вычислите:

infourok.ru

тангенсоида — это… Что такое тангенсоида?

dic.academic.ru

Произведение тангенса на котангенс

Произведение этих функций равно 1, если катеты имеют конечную длину. Чтобы понять почему так получается, нужно вспомнить что такое тангенс и котангенс.

В тригонометрии понятие тангенса и котангенса появляется при рассмотрении прямоугольного треугольника.

Сначала вводят понятия синус угла Sin α и косинус угла Cos α.

Синусом угла альфа называется отношение противолежащего катета a к гипотенузе c. Косинусом угла альфа называется отношение прилежащего катета b к гипотенузе c:

Sin α = a/c, Cos α = b/c

Отношение Sin α / Cos α, что эквивалентно a/b называют тангенсом, а обратное отношение называют котангенсом :

tg α = Sin α / Cos α, сtg α = Cos α / Sin α, 

Очевидно, что произведение этих функции равно единице.

tg α · сtg α = 1

Данная запись опубликована в 24.12.2016 22:17 и размещена в Кто хочет стать миллионером. Вы можете перейти в конец страницы и оставить ваш комментарий.

Мало букафф? Читайте есчо !

Когда был запущен корабль аполлон 13

Февраль 26, 2010 г.

11 апреля 1970 года был запущен Аполлон-13. 14 апреля на расстоянии 330 000 километров от Земли произошёл взрыв кислородного баллона и выход из строя двух из трёх имеющихся батарей топливных элементов, которые обеспечивали электроснабжение отсека экипажа …

Кого из футболистов прозвали божья рука

Февраль 26, 2010 г.

В 18 лет Марадона впервые вышел на поле защищать цвета аргентинского флага. Это был первый, хоть и товарищеский, матч за сборную страны. В столь раннем возрасте такой чести удостаивались немногие. Ну а затем были славные матчи на чемпионатах мира в Испании …

shra.ru

График тригонометрических функций. Тангенс. Котангенс

График функции y=tgx

Если вы умеете работать с тригонометрическим кругом, то вам не составит труда построить график функции .

Надеюсь, вы помните, где располагается ось тангенсов…

Глядя на картинку, хорошо видно, что значения тангенса в I и III четвертях совпадают с соответствующими значениями тангенса II и IV  четвертей. (Например, и т.д.)

Переносим  основные значения углов, представленные на круге, например, из I и IV четвертей и соответствующие им значения тангенса на координатную плоскость.

По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат — значения тангенса угла.

Нанесенные на координатную плоскость точки подсказывают нам плавную кривую.  Это и есть график функции на .

Обратите внимание! Тангенс в точках не существует. Мы лишь можем сколь угодно близко «подбираться» к этим значениям.

Указанный выше фрагмент графика тангенса будет для нас являться как бы штампом. Тиражируя этот фрагмент, мы и получим вот такой график функции :

График функции является симметричным относительно начала координат.

 График функции y=ctgx

Точно также, как мы строили график при помощи тригонометрического круга, мы могли бы построить и .

Поступим несколько иначе.

Согласно формулам приведения  или, что тоже самое, что .

Из чего мы делаем вывод, что график функции будет получен смещением графика функции на   единиц влево и при этом график «опрокидывается» относительно оси (ox) за счет коэффициента -1.

График функции является симметричным относительно начала координат.

egemaximum.ru

Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?

Откуда появилась тригонометрия?

        Знакомство наше начнём с глубокой древности. С древнего Египта, Вавилона и Китая. Не переживайте, все 20 веков тригонометрии мы с вами освоим всего за 20 минут. Можете засекать время.)

        Итак, откуда же и как появилась тригонометрия?

        Первоначально, на заре своего становления, тригонометрия не являлась самостоятельным разделом математики. Она, скорее, была частью астрономии. Дело всё в том, что древним астрономам, которые интересовались нашими главными небесными телами (Луной и Солнцем) и вовсю изучали их поведение, постоянно приходилось просчитывать и расстояния до них. С достаточной точностью для того далёкого времени, между прочим.) Скажем, чтобы предсказывать затмения. Или приливы/отливы. Просчитывать эти самые расстояния древним людям приходилось с помощью обыкновенного… треугольника.) Да-да! Просчитывать – значит, искать какие-то неизвестные элементы треугольника по известным другим. Это могут быть стороны (т.е. расстояния), а могут быть и какие-то углы. Всё зависело от того, какую именно задачу решали древние люди. И тот факт, что между сторонами и углами треугольника существует взаимосвязь, уже тогда у древних людей не вызывал сомнений.

        Чуть позже, по мере развития цивилизации, большинство учёных стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика, навигация в дальних морских походах, геодезия и картография… Слово «триангуляция» (разбиение местности на треугольники) вам знакомо? Нет? А тригонометрическая вышка или тригонометрический знак? Тоже нет? Что ж, если попутешествуете по нашей необъятной Родине, то на открытых местах (на вершинах холмов, в полях и т.п.) вы можете заметить небольшие пирамидки или башенки. Эти пирамидки — и есть тригонометрические знаки. Или геодезические пункты. Они служили верой и правдой геодезистам и картографам тех далёких времён для составления карт местности.) Этих знаков сохранилось по России очень много.) 

        Короче, в любых областях, где приходилось сталкиваться с обычным треугольником и вычислением его элементов (сторон и углов) через другие его элементы, людям неизбежно приходилось сталкиваться с тригонометрией.

        А дальше – теория колебаний, электричество, акустика, радиосвязь… И в основе всего этого богатства – тоже тригонометрия, да…)

        И не было бы у нас сегодня ни мобильников, ни телевизоров, ни микроволновок, ни спутниковых навигаторов, ни многих других современных атрибутов комфортной жизни, кажущихся нам обыденностью…

        Итак, в основе всей тригонометрии лежит обыкновенный треугольник! Да-да! Именно так.

        Почему именно треугольник и откуда собственно взялось это красивое слово «тригонометрия» — об этом далее.)

Синус, косинус, тангенс и котангенс… Что за звери?

        Для начала нарисуем в тетрадке самый обычный прямоугольный треугольник. Стороны его обозначим как a, b и c, а один из острых углов обозначим буквой α. Это греческая буква «альфа», при написании очень похожая на «двойку без головы». Самая распространённая буква в тригонометрии для обозначения углов. Привыкаем.)

        Вот такая картинка у нас получится:

        На всякий случай, напомню, что стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b – катеты), а третья сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (c – гипотенуза).

        Казалось бы, треугольник и треугольник, эка невидаль! Что с ним делать-то? Спокойствие. Сейчас всё узнаете.)

        Сейчас, как и древние люди, мы будем наш треугольник измерять. Да-да! Кстати, страшное слово «тригонометрия» с древнегреческого языка на русский так и переводится – измерение треугольников. Намёк понятен?)

        Вот и измеряем. На рисунке специально клеточки нарисованы, как и в заданиях ЕГЭ или ОГЭ бывает. Чему равен катет a? Трём клеточкам (a = 3). А катет b? Не вопрос! Четырём клеточкам он равен (b = 4). А гипотенуза? Гипотенузу, конечно, по клеточкам не посчитаешь, но, воспользовавшись великой и могучей теоремой Пифагора, легко можно получить, что гипотенуза равна пяти (c = 5).

        Кстати сказать, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 – весьма интересная фигура! Он известен ещё с античных времён и называется египетским треугольником. Ибо активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами. В том числе и при построении пирамид, между прочим.)

        А вообще, целые числа a, b, c, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, т.е. для которых выполняется теорема Пифагора

        a² + b² = c²,

        в математике так и называются – пифагоровыми тройками. Тройка (3; 4; 5) – самая известная. Ещё распространена тройка чисел (5; 12; 13). Или (8; 15; 17). Таких троек известно очень и очень много. Кому интересно, прогуляйтесь по ссылке и почитайте. Для самообразования.)

        А мы продолжим. Теперь сделаем следующее. Поделим длину катета a на длину катета b. Или, как принято говорить в математике, возьмём отношение a к b.

        Получим:

        a/b = 3/4

        Можно наоборот, поделить b на a. Получим 4/3. Или, скажем, поделить a на c. Получим 3/5. Иными словами, можно брать любые стороны прямоугольного треугольника, делить их длины друг на друга и получать какие-то числа. Безразмерные.

        И что из этого? Согласен, пока ничего особенного. Бессмысленное занятие, одним словом.)

        А теперь я поступлю следующим образом. Увеличу треугольник, продлив стороны b и c, но не как попало, а так, чтобы наш треугольник остался прямоугольным. Это важно. На картинке я для удобства увеличил все стороны треугольника в два раза.

        Вот так:

        Угол α, как видно, остался прежним. Старые стороны a, b и с превратились в новые стороны x, y, z. Их длины, естественно, изменились, увеличившись вдвое:

        x = 6

        y = 8

        z = 10

        А вот отношения новых длин сторон – не изменились!

        Смотрите сами.

        Было: a/b = 3/4.

        Стало: x/y = 6/8 = 3/4.

        И для других соответствующих сторон их отношения также не изменятся. Можно что угодно делать с треугольником – увеличивать, уменьшать, сохраняя при этом угол α, а отношения соответствующих сторон всё равно останутся прежними. Кому интересно, можете попробовать и проверить. Это полезно.)

        А вот это уже крайне важно! Соотношения сторон в прямоугольном треугольнике никак не зависят от длин этих самых сторон при одном и том же угле α. Этот факт настолько важен, что указанные отношения сторон даже заслужили свои специальные названия. Ну что, знакомимся? 🙂

        Синус угла α  — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

        sin α = a/c

        Косинус угла α  — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

        cos α = b/c

        Тангенс угла α  — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

        tg α  = a/b

        Котангенс угла α  — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

        ctg α  = b/a

        Вот такая вот весёлая семейка. Возможно, особо внимательные и любознательные ученики заметили, что я ничего не сказал здесь про отношения гипотенузы к катетам c/a и с/b. Они имеют какие-то свои специальные названия? Конечно! Секанс и косеканс.)

        sec α  = c/b

        cosec α  = c/a

        Но эти соотношения никакого практического смысла не имеют и в школе не рассматриваются. И мы тоже не будем.)

        Вся эта великолепная четвёрка (синус, косинус, тангенс и котангенс) называется тригонометрическими функциями.

        Зачем я всё это так занудно повторяю и некоторые слова выделяю жирным шрифтом? Да затем, что это надо запомнить! Причём запомнить железно. Улавливаете?

        Процесс запоминания можно существенно облегчить, если для начала запомнить, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а в синусе и косинусе гипотенуза появляется. Кроме того, ещё могут нахлынуть сомнения, какой из катетов, противолежащий или прилежащий, сидит соответственно у синуса/косинуса. Да и у тангенса/котангенса тоже. Здесь работает принцип под условным названием «дальше/ближе».

        Например: синус угла – это отношения дальнего от угла (т.е. противолежащего) катета к гипотенузе, а косинус – отношение ближнего (т.е. прилежащего) катета к гипотенузе.

        Тангенс – отношение дальнего от угла катета к ближнему. А котангенс – наоборот.

        Подведём предварительный итог. Как вы видите, всё просто. Синус, косинус, тангенс и котангенс – это просто какие-то числа. Безразмерные. Ни больше ни меньше. Для каждого конкретного угла – свои персональные.

        А теперь давайте поразмышляем вот над чем. Как вы думаете, почему мы всегда говорим синус, косинус, тангенс и котангенс угла? Вроде бы мы отношения сторон считаем. Угол-то тут при чём? Догадались? Если нет, то тогда смотрим на следующую картинку:

        Что здесь нового? Я изменил (увеличил) угол с α до β («бета»). При этом все отношения сторон стали другими!

        Скажем, было a/b = 3/4, а стало m/b = 5/4. И все остальные отношения сторон также поменялись. Какой вывод можно сделать? Да! При одном и том же угле α отношения длин сторон никак не зависят от их длин. Но при этом колоссально зависят от этого самого угла! И только от него. Именно поэтому тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к углу. И говорить, скажем, о тангенсе, без конкретного угла – бессмысленно. Угол – ключевая действующая фигура в тригонометрии.

        Отсюда можно сделать важный вывод: если нам известен некий угол, то мы автоматически знаем и все его тригонометрические функции. Это неразрывная связь, которую надо уяснить железно.

        Стало быть, если нам дан угол, то считается, что все его тригонометрические функции нам тоже известны. Полностью весь комплект, от синуса до котангенса. И наоборот, если нам дана какая-то из тригонометрических функций угла (скажем, косинус), то автоматически нам известен и сам угол.

        Запоминаем: если нам известен угол, то нам автоматически известны и ВСЕ его тригонометрические функции. И наоборот – известна какая-то из тригонометрических функций (хотя бы одна), то известен и сам угол.

        У каждого угла есть свои персональные синус и косинус. И почти у каждого – свои тангенс и котангенс.

        Слово «почти» для тангенса и котангенса стоит не случайно. Об этом узнаете дальше.)

        Сейчас, в век калькуляторов и компьютеров, найти тригонометрическую функцию какого-либо угла – не проблема. И наоборот, по функции найти угол. Нажал нужную кнопочку и – ответ готов.) А вот раньше, во времена отсутствия вычислительной техники, для тригонометрических функций углов существовали свои специальные таблицы. Таблицы Брадиса назывались. Они, конечно же, существуют и поныне, но, благодаря техническому прогрессу, давно отошли на задний план и пылятся на полках. Но знать об их существовании и уметь ими пользоваться – очень и очень полезно.

        Конечно же, запомнить все-все значения тригонометрических функций всех-всех углов нереально. И не нужно.) Но среди всего многообразия углов есть некоторые углы, про которые вы обязаны знать всё. Об этом в следующих уроках будет. Но общий принцип «знаю угол – знаю его тригонометрические функции» срабатывает всегда! Безотказно.)

        А зачем нам вообще нужны все эти синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы – спросите вы? Вопрос резонный.

        Пожалуйста! Вот вам типичная задачка из ЕГЭ:

        Всё. Никаких данных, кроме тех, что на картинке, больше нет. Нужно найти длину катета AB.

        Что делать будем? Клеточки не спасают: треугольник как-то неправильно ориентирован. Специально, похоже.) Известна длина гипотенузы (6 клеток). Зачем-то дан ещё и угол…

        Вот тут самое время вспомнить про тригонометрию. Раз нам дан угол, то вспоминаем заклинание: «знаю угол – знаю и его тригонометрические функции!» И какую же из функций в дело пускать? А что нам дано в задачке? Нам дана гипотенуза AB, дан угол А, а найти просят прилежащий к этому углу катет.

        Понятное дело, что надо косинус в дело пускать. Вот и действуем. Прямо по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе) пишем:

        cos A = AB/AC

        Гипотенуза AC равна 6 клеток, угол А у нас 60 градусов. Про этот угол известно, что его косинус равен 1/2. Это одно из тех значений, которое ученик знать обязан. Безо всяких таблиц и безо всяких калькуляторов!

        Подставляем наши данные и получаем:

        1/2 = АВ/6

        Простенькое линейное уравнение с величиной АВ в качестве неизвестного. Решаем и получаем:

        АВ = 3

        Что и является верным ответом.

        В этой задачке нам, конечно, пришлось вспомнить, чему равен косинус угла в 60 градусов. Для знающих учеников никаких проблем. А вот у новичков, ещё не знакомых с тригонометрическими функциями популярных углов, пока остаются вопросы… Откуда и почему именно 1/2? А не 1? Или, может быть, 2/3…

        Ответы на эти вопросы будут позже. В соответствующем уроке.)

        Ещё из той же оперы, ближе к нашей теме. Уже чисто на определение и понимание смысла тригонометрических функций. Никаких конкретных табличных значений знать не требуется.

        На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

        Внушает? Вспоминаем определение тангенса – отношение противолежащего катета к прилежащему. Но… где здесь катеты? Дан просто угол, а для тангенса нам позарез нужен прямоугольный треугольник. Где его взять?!

        Не беда! Раз надо, значит… сделаем!) Привяжем наш угол к некоторому прямоугольному треугольнику, про который мы точно знаем всё что нам нужно. А именно – катеты. Первое что напрашивается – опустить перпендикуляр из точки А на сторону ОВ.

        Вот так:

        Ну и как? Осеняет? Вот вам и прямоугольный треугольник и катеты! Противолежащий катет AH = 2, а прилежащий OH = 4.

        Прямо по определению тангенса записываем и считаем:

        И все дела.) Это правильный ответ.

        А теперь задачка для самостоятельного решения.

        На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён угол. Найдите все тригонометрические функции этого угла.

        Что, круто, да? Да-да, надо найти полный набор функций – от синуса до котангенса включительно. Тренироваться так тренироваться.)

        Но где здесь прямоугольный треугольник? Нету его! Да и угол как-то совсем уж скверно расположен. Ни одну из сторон напрямую по клеточкам не посчитать, да…

        Что ж, подскажу немного, что именно надо дополнительно построить, чтобы не надорваться. Снова, как и в предыдущей задаче, опускаем перпендикуляр из точки А на сторону OB. Получим прямоугольный треугольник AHO.

        Смотрим картинку:

        А теперь внимание! Клеточки, конечно, дело хорошее, удобное и красивое. Но… Кто гарантировал, что основание перпендикуляра (точка Н) уляжется ровно на середину отрезка OB (т.е. строго в один из узлов сетки)? Интуиция? Интуиция в математике – штука опасная. Особенно при рисовании картинок, да…

        Поэтому, прежде чем что-то решать, что-то считать, делаем задание по элементарной геометрии. На доказательство. А именно – докажите, что отрезок AH, проведённый так, как показано на картинке, действительно будет перпендикулярен отрезку OB. Или, что то же самое, треугольник AHO – действительно прямоугольный. И да помогут вам вспомогательные синие пунктирные линии и теорема Пифагора (это подсказка)! Ну и клеточки спасут, само собой.:)

        Без доказательства этого важного факта и без прямоугольного треугольника говорить о каких-либо тригонометрических функциях бессмысленно. Пока что… Придёт время – и мы с вами научимся считать любые тригонометрические функции любых углов без прямоугольного треугольника. Вообще. Как? Совсем скоро узнаете. Всему своё время.)

        А пока – доказываем перпендикулярность отрезков, а затем считаем синус, косинус, тангенс и котангенс угла. После доказательства все необходимые данные для расчёта тригонометрических функций у вас уже будут. Обязательно.)

        Ответы (в беспорядке):

        А где какая функция – это уж вы сами как-нибудь.)

        Итак, вот мы с вами и освоили синус, косинус, тангенс и котангенс на самом примитивном уровне. С помощью обычного прямоугольного треугольника. Но это пока только первый шаг.

        Когда древние люди поняли, что у каждого угла имеется свой набор тригонометрических функций, они озадачились вполне логичным вопросом – а не связаны ли как-нибудь синус, косинус, тангенс и котангенс между собой? Чтобы, зная какую-то одну из функций, можно было бы отыскать и все остальные? Не вычисляя сам угол.

        Обо всём об этом – в следующем уроке.)

abudnikov.ru

Тангенс и котангенс

Тангенс и котангенс:

Тангенс — это отношение синуса к косинусу (tg α = ), поэтому его всегда легко вывести, если вспомните значения синуса и косинуса. Например, tg 0° = 0, а tg 90° не существует, так как cos 90° = 0, а делить на 0 запрещено.

Котангенс — это отношение косинуса к синусу (ctg α = ) (тоже легко запомнить, так как, как и косинус начинает с «ко»). Например, ctg 90° = 0, а ctg 0° и ctg 180° не существуют, так как снова получается деление на 0.

Для некоторых углов полезно помнить (или выводить по ходу дела из формул прямоугольного треугольника) значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:

sin 30° = cos 60° = 1/2

(посмотрите сами, как это связано с утверждением, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы)

sin 45° = cos 45° = /2

(посмотрите сами, как это связано с утверждением, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

sin 60° = cos 30° = /2

Исходя из этого, легко посчитать тангенсы:

tg 45° = 1

tg 60° = 

tg 30° = ​​​​​​​/3

Или в табличном варианте:

​​​​​​​

Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянно

Добавить новость и получить деньги

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

uchilegko.info

Котангенс. Что это такое?

В тригонометрии выделяется четыре основных функции, которые помогают математикам в вычислениях: синус и косинус, тангенс и котангенс.

Определение понятия котангенс.

Котангенс угла (в тригонометрии) – это соотношение прилежащего катета к противолежащему. Напомним, что термин используется только для определения угла в прямоугольном треугольнике – на что указывает использование понятия «катет».

Чтобы наглядно разобраться, что такое котангенс, нам необходимо начертить треугольник с прямым углом, стороны которого будут соответствовать: «a», «b» «c», где «a» и «b» – катеты, «с» – гипотенуза. Острый угол, прилегающий к стороне «b», обозначится буквой «х».

При таком раскладе, котангенс угла (ctgx) будет равен соотношению «b» к «а».

Вычисление котангенса .

В тригонометрии существует правило: как бы ни изменялась длина сторон в прямоугольном треугольнике, при сохранении значения острого угла, соотношения между сторонами этого треугольника сохраняется. Эта закономерность была выведена еще задолго до появления вычислительной техники и сразу стала помощником математиков в решении многих задач.

Значения соотношений между сторонами прямоугольного треугольника стали называться:

• синус – sinx = а/с
• косинус – сosx= b/с
• тангенс – tgx = а/ b
• котангенс – ctgx = b/а.

Примечательно, что, зная острый угол в треугольнике, Вы всегда сможете найти величину соотношения его сторон – то есть тригонометрическую функцию данного угла. И наоборот, если в задаче дано значение функции, то можно вычислить значение угла.

Как?

В помощь математику приходят специально составленные «таблицы Брадиса». В них указываются значения всех возможных углов в прямоугольном треугольнике.

Связь между функциями одного угла.

Интересно, что тригонометрические функции не существуют сами по себе, но имеют взаимосвязь друг с другом. Так, например, если Вам известны значения синуса и косинуса, то Вы легко вычислите тангенс и котангенс.

Как?

Очень просто – делением одного значения на другое. Так, тангенс угла «х» равен частному от деления синуса на косинус. Котангенс – это частное от деления косинуса на синус.

В формулах это выглядит так:

• tgx = sinx/сosx;
• ctgx = сosx/sinx.

Есть ещё одна интересная формула: произведение тангенса и котангенса всегда равно единице:

На заданиях госэкзамена чаще всего попадается задача – найти значение функции угла, зная другую.

Похожие статьи

infoogle.ru

«Тангенс и котангенс» — видео урок по алгебре.

«Тангенс и котангенс«

Видео урок по алгебре  для 10 класса.

Основные цели и задачи данного видео урока:

— Обеспечить усвоение знаний по теме “Тангенс и котангенс”.

— Сформировать умения и навыки в применении свойств тангенса и котангенса к упрощению тригонометрических выражений.

В ходе видео урока даны определения тангенса и котангенса:

• Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют  тангенсом числа t и обозначают  tg.

• Отношение косинуса числа t к синусу того же числа  называют котангенсом числа t и обозначают ctg.

Дан ответ на вопрос: Какие знаки имеет тангенс и котангенс по координатным четвертям? А именно: что tg и ctg  положительны в первой и третьей четвертях, а отрицательны во второй и четвертой.

Определены значения тангенса и котангенса по координатным четвертям. Результаты оформлены в виде таблицы. Таблицу со значениями tg и ctg можно найти в архиве с видео уроком.

Рассмотрены и доказаны основные равенства:

tg (пи — t) = -tg t,

ctg (пи — t) = — ctg t;

tg (t + пи) = tg t,

ctg (t + пи) = ctg t;

tg (t + пи R) = tg t,

ctg (t + пи R) = ctg t.

В видео уроке приведены подробные решения таких примеров:

•  tg пи /4
•  tg 5 пи /3
•  ctg пи /2
•  ctg 5 пи /6
•  tg (-7 пи /3)
•  ctg (5 пи /4)

 

Информация о видео уроке:

название:  Тригонометрические функции. Тангенс и котангенс. формат: flash в exeразмер:  16.5 МБ

Для большего понимания темы советуем ознакомиться с видео уроками:

Скачать видеоурок по математике на тему «Тангенс и котангенс» — видео урок по алгебре.

Скачать (показать ссылки)

mirurokov.ru

Дифференцирование под знаком интеграла

В этой главе мы познакомимся с необычным методом вычисления интегралов. Его упоминает в своей автобиографии Ричард Фейнман. Хотя применять этот метод для взятия более-менее простых интегралов не стоит (это как палить из пушки по воробьям), он может помочь при вычислении сложных (или вообще не берущихся другими методами) интегралов. Особенно, если подынтегральная функция содержит экспоненту, логарифм, арккосинус и прочие «неудобные» функции.

Фейнман рассказывает, что данный метод практически не упоминался в MIT, когда он учился там (и вообще, университеты мало акцентировали внимание на нем). Сам Фейнман прочел о нем в какой-то книге. Тут стоит отметить, что он настолько наловчился пользоваться этим методом, что зачастую и не прибегал к другим, несмотря на то, что это требует определенного мастерства и опыта.

Теория

Дифференцирование под знаком интеграла применимо только для вычисления определенных и несобственных интегралов. Метод опирается на две следующие теоремы, которые здесь приводятся без доказательства.

Теорема (*). Пусть функция ( , ) определена и непрерывна на прямоугольнике [ , ]×[ , ], на котором также определена и непрерывна первая частная производная ′( , ). Тогда справедливо равенство

Для случая несобственных интегралов нужно ввести вспомогательное определение. Пусть( , ) непрерывна по на [0, +∞). Тогда если

+∞

∫

( ) R[0, +∞), ( ) →: [ , ], > 0 | ( , )| 6 ( ),

0

+∞

∫

то интеграл ( , ) равномерно сходится на [ , ], а функция ( ) называется домини-

0

рующей на [ , ].

studfiles.net

Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства — ПриМат

$\Box$ Рассмотрим производную заданной функции по определению
$${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }.$$

Тогда для доказательства теоремы нам необходимо убедиться в равенстве
$$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\quad \left( 1 \right).$$

Для дальнейшей работы проанализируем отношение
$${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }.$$

Так как функция $f$ и ее производная – дифференцируемые на заданном прямоугольнике функции, то мы имеем право воспользоваться теоремой Лагранжа о среднем значении^*
$${ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } }=\intop _{ a }^{ b }{ \frac { f\left( x,y+\Delta y \right) -f\left( x,y \right) }{ \Delta y } dx }=$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx },\quad { \theta }_{ x }\in \left( 0,1 \right).$$

Вернемся к отношению находящемуся под знаком предела формулы $(1)$:
$$\frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } =$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) dx }-\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx }=$$ $$ =\intop_{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x }\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx }.$$

Аналогично доказательству предыдущего свойства, так как $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывна на заданном прямоугольнике, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на нем же. Тогда запишем условие равномерной непрерывности, что поможет оценить нам выражение под знаком предела формулы $(1)$:
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists { \delta }_{ \varepsilon }>0:\forall x\in \left[ a,b \right] ; \forall y,y+\Delta y\in \left[ c,d \right]:\left| y+\Delta y-y \right|=$$ $$=\left| \Delta y \right| <{ \delta }_{ \varepsilon }\Rightarrow \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+\Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$

Принимая во внимание тот факт, что ${ \theta }_{ x } \in \left( 0,1 \right)$, автоматически при тех же условиях будет выполняться неравенство
$$\left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| <\frac { \varepsilon }{ b-a }.$$
Тогда можем записать
$$\left| \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right| =$$ $$=\left| \intop _{ a }^{ b }{ \left( \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right) dx } \right| \le$$ $$\le \intop _{ a }^{ b }{ \left| \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y+{ \theta }_{ x } \Delta y \right) -\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) \right| dx } \le \left( b-a \right) \frac { \varepsilon }{ b-a } =\varepsilon.$$

Отсюда следуя определению предела функции по Коши
$$\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \left( \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } -\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } \right) } =0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim _{ \Delta y\rightarrow 0 }{ \frac { J\left( y+\Delta y \right) -J\left( y \right) }{ \Delta y } } =\intop _{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } ={ J }^{ \prime }\left( y \right). \blacksquare$$

[свернуть]

ib.mazurok.com

ИНТЕГРАЛЫ С ПАРАМЕТРОМ | sibac.info

Корнеев  Антон  Александрович

студент  3  курса,  факультет  точных  наук  и  инновационных  технологий  МГГУ  им.  Шолохова,  г.  Москва

E—mail:  predsedatel_2012@mail.ru

Дорошкевич  Ольга  Александровна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  МГГУ  им.  Шолохова,  г.  Москва

Вводные  замечания

Пусть    —  функция  двух  переменных,  заданная  в  некоторой  замкнутой  области  ,  где  .

Теорема  9.  Если  для  функции    существует  двойной  предел  равный  константе

и  повторный  предел  равный  константе

то  допустим  предельный  переход

Данная  теорема,  является  следствием  теоремы  [3,  с.  361],  справедливость  которой  доказана  лишь  для  конечных    и  .  В  этой  теореме  из  равенства  двойного  и  повторного  предела  константам  следует,  что  .  В  дальнейшем  мы  убедимся,  что  теорема  9  неверна  для  бесконечных  и  . 

Предельный  переход  и  дифференцирование  под  знаком  интеграла

Следующие  теоремы  решают  вопросы,  связанные  с  допустимостью  предельного  перехода  и  дифференцирования  в  точке  под  знаком  собственных  и  несобственных  интегралов  второго  рода.  Пусть    —  функция  двух  переменных,  заданная  в  некоторой  области  ,  где  .

Теорема  10.  Если  функция    интегрируема  по    на  конечном  промежутке    и  для  её  первообразной    существуют  повторный  и  двойной  пределы  при    и    ,  где  ,  равные  константам

то  имеет  место  формула

Справедливость  этой  теоремы  следует  из  справедливости  теоремы  9.

1)Проверим  допустимость  предельного  перехода  под  знаком  следующего  интеграла

В  силу  того,  что  условия  теоремы  10  не  выполнены,  а  именно

предельный  переход  под  знаком  интеграла  при    недопустим.

Теорема  11.  Если  функция    интегрируема  по    на  конечном  промежутке    и  имеет  частную  производную  по  ,  и  для  производной  её  первообразной    существуют  повторный  и  двойной  пределы  при    и    ,  где  ,  равные  константам

то  имеет  место  формула

Справедливость  этой  теоремы  следует  из  справедливости  теоремы  10.

2)Проверим  допустимость  дифференцирования  под  знаком  интеграла  при 

В  силу  того,  что  условия  теоремы  11  не  выполнены,  а  именно

Предел

не  существует,  дифференцирование  под  знаком  интеграла  при    недопустимо.

Теорема  12.  Если  функция    интегрируема  по    на  конечном  промежутке    и  для  её  первообразной    существуют  простой  и  двойной  пределы  при    и    ,  где  ,  равные  нулю

то  имеет  место  формула

Справедливость  этой  теоремы  следует  из  справедливости  теоремы  2  [1].

3)Проверим  допустимость  предельного  перехода  при    под  знаком  следующего  интеграла

В  силу  того,  что  условия  теоремы  12  выполнены,  а  именно

предельный  переход  под  знаком  интеграла  при    допустим.

4)Проверим  допустимость  предельного  перехода  при    под  знаком  следующего  интеграла

В  силу  того,  что  условия  теоремы  12  не  выполнены,  а  именно

предельный  переход  под  знаком  интеграла  при    недопустим.

Теорема  13.  Если  функция    интегрируема  по    на  конечном  промежутке    и  имеет  частную  производную  по    и  для  производной  её  первообразной    существуют  простой  и  двойной  пределы  при    и    ,  где  ,  равные  нулю

то  имеет  место  формула

Справедливость  этой  теоремы  следует  из  справедливости  теоремы  12.

Теорема  14.  Если  функция    интегрируема  по    на  бесконечном  промежутке    и  для  её  первообразной    существуют  простой  и  двойной  пределы  при    и    ,  где  ,  равные  константам

и  первообразная  как  предельная  функция  поточечно  равномерно  непрерывна  в  точке 

то  имеет  место  формула

Справедливость  этой  теоремы  следует  из  справедливости  теоремы  2  [1]  и  теоремы  9.

5)Проверим  допустимость  предельного  перехода  под  знаком  интеграла  при 

В  силу  того,  что  условия  теоремы  14  не  выполнены,  а  именно

Предел

не  существует,  предельный  переход  под  знаком  интеграла  при    не  допустим.

Теорема  15.  Если  функция    интегрируема  по    на  бесконечном  промежутке    и  имеет  частную  производную  по    и  для  производной  её  первообразной    существуют  простой  и  двойной  пределы  при    и    ,  где  ,  равные  константам

и  производная  первообразной  как  предельная  функция  равномерно  непрерывна  при 

то  имеет  место  формула

Справедливость  этой  теоремы  следует  из  справедливости  теоремы  14.

Теорема  16.  Если  функция    интегрируема  по    на  бесконечном  промежутке    и  её  первообразная    как  предельная  функция  поточечно  равномерно  непрерывна  на  этом  промежутке

то  имеет  место  формула

Справедливость  этой  теоремы  следует  из  справедливости  теоремы  2  [1].

6)Проверим  допустимость  предельного  перехода  под  знаком  интеграла  при 

В  силу  того,  что  условия  теоремы  16  не  выполнены

предельный  переход  под  знаком  интеграла  при    недопустим.

Теорема  17.  Если  функция    интегрируема  по    на  промежутке    и  имеет  частную  производную  по    и  производная  её  первообразной    как  предельная  функция  поточечно  равномерно  непрерывна  на  этом  промежутке

то  имеет  место  формула

Справедливость  этой  теоремы  следует  из  справедливости  теоремы  16.

Список  литературы:

1.Корнеев  А.А.,  Дорошкевич  О.А.  Теория  предельных  функций  //  Вопросы  естественных  и  математических  наук:  мат-лы  междунар.  науч.-практ.  конф. 

2.Фихтенгольц  Г.М.  Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления:  учебник:  в  3  т.  Т.  1.  —  9-е  изд.,  стер.  —  СПб.:  Лань,  2009.  —  608  с.:  ил.  —  (Учебники  для  вузов.  Специальная  книга).

sibac.info

§3 Интегрирование по параметру под знаком интеграла

Теорема. Пусть функция непрерывна в области

1. сходится равномерно относительно у на .

Тогда справедливо равенство:

, (1)

причем несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (1) сходится.

Доказательство. Возьмем произвольное e > 0. По условию теоремы сходится равномерно относительноу на , поэтому для выбранного e > 0 найдется число М>0, зависящее только от e, такое, что как только возьмем число А>M, то сразу для всех будет выполняться неравенство

.

Зафиксируем некоторое число А, удовлетворяющее неравенству А>M. Вводя как и раньше обозначения , сразу для всех неравенство можно записать в виде

Так как функции инепрерывны на отрезке , то они и интегрируемы на нем. В силу свойств интегралов

тогда

Мы получили, для любого e > 0 существует число М, что при любом А>M, выполняется неравенство

.

Это означает что

, (2)

но — собственный интеграл, зависящий от параметрау. По теореме об интегрировании по параметру собственного интеграла можем записать

.

Тогда равенство (2) можно записать в виде

Ранее мы доказали существование предела, следовательно можно его записать иначе

Следовательно доказана сходимость интеграла, из правой части равенства (1) и справедливость самого равенства.

Теорема доказана.

§ 4 Дифференцирование по параметру под знаком интеграла

Теорема.

1. Пусть функция непрерывна в областии имеет в ней непрерывную частную производную;

2. сходится при каждом ;

3. сходится равномерно относительно у на ;

Тогда:

1. существует при каждом ;

2. , т.е. ;

3. непрерывна на .

Доказательство:

Так как непрерывна в областиисходится равномерно относительноу на то по теореме из §2 и существует. В частности существует интегралдля любого, удовлетворяющего условиюПо теореме из §3 имеем

.

Но . Поэтому

,

следовательно

В правой части последнего равенства стоит интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции, тогда по теореме Барроу

.

Последнее равенство справедливо для любого . Таким образом доказано

1. существует при каждом ;

2. , ;

3.непрерывна на т.к. непрерывна на .

§5 Признак равномерной сходимости несобственных интегралов

Теорема.

1. Пусть функция непрерывна в области

2. Функция определена и непрерывна на;

3. при всех значениях и .

Тогда, если несобственный интеграл сходится, то несобственный интегралсходится равномерно относительноу на .

Утверждение примем без доказательства.

Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра имеют место теоремы, аналогичные вышеизложенным.

studfiles.net

Дифференцирование интеграла по параметру под знаком интеграла

,

и вспомнить, что интеграл есть предел интегральных сумм, то из формулы будет следовать, что функция f(z) может быть представлена как предел линейных комбинаций простейших функций . Оба эти качества формулы Коши широко используются.

Заметим, что если точка a лежит вне контура Г, то есть ,то внутри Г функция будет голоморфна. По теореме Коши-Гурса интеграл от нее по Г равен 0. Таким образом, если заменить a на z, то получаем:

 (6.2)

 Дифференцирование интеграла по параметру под знаком интеграла.

Лемма. Пусть G и Г такие же, как и выше, функция непрерывна по совокупности переменных , и при каждом фиксированном голоморфна по . Пусть, кроме того непрерывна по совокупности переменных и .

Тогда функция

 (6.3)

голоморфна в G и

 (6.4)

Доказательство можно провести, сведя интеграл по комплексной переменной к интегралу по вещественной переменной, и к дифференцированию по x и y и к теореме Коши—Римана.

 Интегральные формулы для производных голоморфной функции.

Вернемся к интегральной формуле Коши

 (6.5)

Если это равенство формально продифференцировать по z, то получим серию формул

;   (6.6)

Чтобы обосновать дифференцирование под знаком интеграла, достаточно сослаться на лемму, если положить

и отметить, что

Очевидно, что все эти функции непрерывны по совокупности переменных поскольку в числителе и знаменателе стоят непрерывные функции и знаменатель не обращается в нуль при внутри и . Таким образом, формулы (6.6) для производных обоснованы. В частности, нами доказано, что голоморфная в области функция имеет производные всех порядков.

 Интеграл типа Коши. При проверке выполнения условия леммы о дифференцировании по параметру под знаком интеграла не использовалось то, что функция голоморфна. Достаточно было только, чтобы функция была непрерывной по .

Поэтому, если -непрерывная на Г функция, то интеграл

  (6.7)

можно дифференцировать по z под знаком интеграла.

Следовательно, этот интеграл будет определять голоморфную функцию внутри области G ограниченной кривой Г. Более того, так же проверяется, что функция (6.7) будет голоморфной и вне контура Г. Интеграл (6.7) называется интегралом типа Коши. Он порождает две голоморфные функции: одну внутри Г и одну вне Г. Если — голоморфная в G функция, то, как это следует из (6.2), внешняя функция тождественно равна нулю. Поэтому при переходе через Г функция терпит скачок. Аналогичное явление происходит и с интегралом типа Коши в общем случае.

7. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

 Пусть функция голоморфна в точке . Тогда она голоморфна и в некоторой окрестности точки . Окружим эту точку контуром Г, лежащим в указанной окрестности.

Внутреннюю область, ограниченную Г, обозначим через U.

Запишем интегральную формулу Коши

при .

Преобразуем

Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии

.

Отсюда

.

Применим последнюю формулу, полагая . Тогда

.

Воспользуемся формулами (6.6) из §6 для производных, тогда получим формулу Тейлора

matematiku5.ru

Интегрирование по параметру — МегаЛекции

Глава 7

Собственные интегралы (Римана), зависящие от параметра

Пусть f(x,y) – функция двух переменных, определённая на прямоугольнике

Если для любого существует интеграл , то этот интеграл является функцией от переменной y (которая и называется здесь параметром):

Таким образом, мы получаем новый способ задания функции – в виде интеграла, зависящего от параметра, т.е. определяемые т.о. функции часто используют в математических рассуждениях и приложениях.

Следует иметь ввиду, что

 

 

 

Пример 1. Рассмотрим функцию

 

В этом примере интеграл легко вычислить:

Значит, можно задать и обычным способом:

Однако часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. Тогда приходится работать с функцией, заданной в виде интеграла с параметром. Значит, нужно научиться работать с такими функциями – в частности, знать правила их дифференцирования и интегрирования.

Возможна и более сложная ситуация, когда от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования:

Основные теоремы

Предельный переход под знаком интеграла

Теорема 1 (о непрерывности интеграла с параметром).

Если функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике то

функция непрерывна на отрезке

Доказательство. По теореме Кантора, непрерывная на компактном множестве ∆ функция является равномерно непрерывной, т.е.

 

 

Возьмём Тогда из равномерной непрерывности следует:

 

Оценим теперь приращение функции I(y):

 

Итак, что и означает непрерывность функции I(y).

 

Замечание. В теореме 1 требуется, чтобы f(x,y) была непрерывной по обеим переменным в совокупности, т.е. чтобы

 

Недостаточно, чтобы f(x,y) была непрерывной по каждой из переменных. Например, функция

 

 

непрерывна по x (при любом фиксированном y), и непрерывна по y (при любом фиксированном x). Однако она не является непрерывной в точке (0,0) функцией (по совокупности переменных): предел не

существует. В данном случае не справедлив и вывод теоремы 1; например, функция

разрывна в точке y = 0.

Так как непрерывность в точке I(y) означает, по определению, что

в любой точке y₀, то непосредственно из теоремы 1

вытекает

Теорема 2 (о предельном переходе под знаком интеграла).

Если f(x,y) непрерывна на то для любого

 

Если – непрерывные функции , а f(x,y) непрерывна на множестве

то можно доказать, что

 

Это утверждение усиливает теоремы 1 и 2.

Ещё одно усиление теорем 1,2 связано с заменой требования непрерывности f(x,y) более слабым условием.

Теорема 3. Если f(x,y) непрерывна по x (при любом фиксированном y) и f(x,y) равномерно сходится к функции g(x) при y→y₀, то

 

 

Равномерная сходимость: означает:

 

Доказательство. просто – оно проводится с помощью той же оценки, что и доказательство теоремы 1.

Теорема 3 справедлива также в случае y → ∞, лишь определение равномерной сходимости имеет другой вид:

 

 

Пример 2. Вычислить .

Решение. Так как функция непрерывны при любых

x,y, то возможен предельный переход под знаком интеграла:

 

 

Пример 3. Вычислить .

 

Решение. Подынтегральная функция непрерывна при любых x, y и y→∞ стремится к g(x)=x:

 

 

Эта система равномерная, так как

,

 

если только . Значит, возможен переход к пределу под

знаком интеграла:

.

 

Дифференцирование по параметру

Дифференцируемость интеграла зависящего от параметра (Правило Лейбница)

Пусть для интеграла , в котором подынтегральная функция зависит от некоторого параметра «у» будет меняться, то будет меняться и значение определенного интеграла.

Т.о. определенный интеграл есть функция от «у» поэтому мы его можем обозначить через

Теорема 4. Предположим, что и ,

Доказательство

Найдем производную интеграла по параметру «у». Для и приращение таких, что

. Тогда производная

Заметим, что

Поделим обе части последнего равенства на « »

Применяя теорему Лагранжа к подынтегральной функции, будем иметь:

, где

Т.к.

Осталось доказать, что можно перейти к пределу под знаком интеграла. Чтобы воспользоваться теоремой 3, докажем, что ( — замкнутая область)

, где зависит от стремится к нулю при

Т.о.

Переходя к пределу при получаем:

Или

Эта формула называется формулой Лейбница.

(Замечание: Подынтегральная функция в интеграле стремится к нулю при . Из того, что подынтегральная функция в каждой (.) стремится к нулю, не всегда следует, что интеграл также стремится к нулю. Однако в данном случае при . Этот факт мы принимаем без доказательства.)

Пример 4. Найти производную функции в точке y = 2.

Решение. Можно, вычислив интеграл, найти явное выражение для функции I(y), а затем продифференцировать. Проще, однако, применить теорему 4:

 

 

При и значениях y, близких к 2, функция и её частная

производная , очевидно, непрерывны.

 

Пример 5. Вычислить

Решение. Найдём производную интеграла по параметру . Легко проверить, что требования теоремы 4 соблюдены, поэтому

Применим подстановку t = tg x. Тогда

 

 

 

Теперь, вычисляя интеграл, получим:

 

 

Константу C найти легко, так как

 

.

.

 

Научимся теперь вычислять производные в случае, если от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования.

 

Теорема 5.

 

 

 

Доказательство. Возьмём произвольную точку и воспользуемся аддитивностью интеграла:

 

Найдём производную 3-го слагаемого по определению:

 

 

 

Мы воспользовались теоремой о среднем для определённого интеграла, а затем – непрерывностью f(x,y) и дифференцируемостью β(y). В точности так же вычисляется и производная 1-го слагаемого:

 

.

 

Производная 2-го слагаемого вычисляется по теореме 4:

 

.

 

Складывая все 3 слагаемые, получим требуемую формулу.

Пример 6. Найти производную функции .

 

Решение. Здесь требуется дифференцировать интеграл по параметру x. Действуем по формуле теоремы 5:

 

 

.

 

Интегрирование по параметру

Теорема 7. Пусть функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике

 

Рассмотрим . Тогда

 

.

 

Или, что то же самое,

.

 

Доказательство. Докажем более общее соотношение. Пусть t – произвольная точка отрезка [c, d]. Докажем, что

. (*)

 

Найдем производную по t от каждой части этого равенства. Применяя теорему 5 (иди давно известную нам теорему об интеграле с переменным верхним пределом), получим:

 

В правой части равенства (*) – интеграл, зависящий от параметра t. Дифференцируем его, применяя теорему 4:

 

Одинаковые результаты говорят о том, что функции в левой и правой частях равенства (*) отличаются лишь на константу:

.

 

Это верно. В частности, при t = c получим: 0 = 0 + C, т.е.

С = 0, и равенство доказано. Если применить его при t = d, получим утверждение теоремы.

Теорема 7’. Пусть

Тогда

Доказательство

Заметим, что если , тогда интеграл в скобках – непрерывная функция на . Поэтому все интегралы в утверждении теоремы определены.

Для каждого положим , .

Поскольку то , . Функция ,

при непрерывна по «х» на , согласно теоремы 3 (о непрерывности I(y))

Для любой точки и . Поэтому согласно теоремы 4, для . Т.о. , . Причем . Следовательно .

Доказываемое равенство получим при .

 

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение. Интегрирование в указанном порядке затруднительно:

 

 

Пользуясь теоремой 6, изменим порядок интегрирования.

.

 

 

Интеграл вычислен. Попутно получено соотношение:

.

 

Приведём пример, показывающий, что при нарушении непрерывности подинтегральной функции изменение порядка интегрирования может привести к другому результату.

 

 

Пример 8. Вычислим интеграл:

 

.

 

 

При вычислении в другом порядке можно заметить, что если сменить знак подинтегральной функции, то получится уже рассмотренный интеграл:

 

 

---

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Пермский государственный педагогический университет

Кафедра математиче ского анализа

Курсовая работа

Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Пермь 2010

Оглавление

Введение

1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра

2. Интеграл коши на кривой

3. Интеграл коши на области

3.1 Аналитическая зависимость от параметра

3.2 Существование производных всех порядков у аналитической функции

3.3 Вывод формулы Коши

3.2 Следствия из формулы Коши

Заключение

Список литературы

Понятие «интеграл» непосредственно связано с интегральным исчислением − разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления. Вместе с дифференциальным исчислением интегральное исчисление составляет основу математического анализа.

Так как целью моей прошлой курсовой работы являлось изучение некоторых аспектов темы, таких как интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра.

Цель данной курсовой работы является изучение новых аспектов по теме «интегралы, зависящие от параметров» и накопление материалов для следующих работ по данной тематике.

В данной курсовой работе я рассмотрел интегралы Коши по кривой

и интегралы Коши по плоскости , также была рассмотрена аналитическая функция, аналитическая зависимость от параметра.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

· Найти и изучить литературу по данной теме

· Накопить и систематизировать полученную информацию по теме

· Изучить основные понятия.

Объектом исследования являются различные виды интегралов зависящих от параметра в курсе ВУЗов.

В работе использованы следующие методы исследования:

1. Анализ научной литературы по теме «интегралы, зависящие от параметров»

2. Синтез полученных знаний

3. Обобщение полученных знаний

Работа насчитывает 26 страницы, состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка используемой литературы и содержащего 10 наименований, вспомогательные указатели, а также содержит 2 иллюстрации.

Рассмотрим интеграл

.(1)

Теорема 1. [7, c. 111] Пусть выполнены условия:

1)

— конечная кусочно-гладкая кривая;

2) функция

непрерывна по при , где — область в комплексной плоскости;

3) при каждом фиксированном

функция регулярна по в области .

Тогда интеграл (1) есть регулярная в области

функция.

Доказательство. В силу условий 1, 2 функция

mirznanii.com

Дисперсия света

      Одним из результатов взаимодействия света с веществом является его дисперсия.

Молярная масса некоторых газов значения (Таблица)

Молярная масса газа (или вещества) — это отношение массы газа к количеству молей этого газа, то есть масса одного моля газа (вещества).

В системе СИ молярная масса выражается в кг/моль (или г/моль), обозначают обычно буквой M.

пределы на бесконечность на бесконечность

Рассмотрим  пределы на раскрытие неопределенности вида бесконечность на бесконечность.

Сначала учтем следующее:

— если при вычислении предела в числителе дроби  стоит число, то

— или

Выражение вида 

— это предел на неопределенность вида бесконечность, деленная на бесконечность (или просто бесконечность на бесконечность).

Чтобы найти предел,  надо раскрыть неопределенность вида бесконечность на бесконечность. Для этого и в числителе, и в знаменателе выносим за скобки степень с наибольшим показателем. Затем сокращаем на нее.

1)

В дальнейшем просто делим почленно числитель и знаменатель (то есть каждое слагаемое) на старшую степень икса.
2)

3)

4)

А теперь сделаем выводы. Пределы на неопределенность бесконечность на бесконечность сводятся к одному из трех вариантов:

Примеры для самопроверки: 

Показать решение

adminПредел функции

www.matematika.uznateshe.ru

Определение предела функции на бесконечности

Конечный предел функции на бесконечности

Предел функции на бесконечности:
|f(x) – a| < ε  при  |x| > N

Определение предела по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K, где K – положительное число. Число a называется пределом функции f(x) при x стремящемся к бесконечности (), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε > 0, существует такое число N_ε> K, зависящее от ε, что для всех x, |x| > N_ε, значения функции принадлежат ε — окрестности точки a:
|f(x) – a| < ε.
Предел функции на бесконечности обозначается так:
.
Или     при   .

Также часто используется следующее обозначение:
.

Запишем это определение, используя логические символы существования и всеобщности:
.
Здесь подразумевается, что значения принадлежат области определения функции.

Односторонние пределы

Левый предел функции на бесконечности:
|f(x) – a| < ε  при  x < –N

Часто встречаются случаи, когда функция определена только для положительных или отрицательных значений переменной x (точнее в окрестности точки или ). Также пределы на бесконечности для положительных и отрицательных значений x могут иметь различные значения. Тогда используют односторонние пределы.

Левый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к минус бесконечности () определяется так:
.
Правый предел в бесконечно удаленной точке или предел при x стремящемся к плюс бесконечности ():
.
Односторонние пределы на бесконечности часто обозначают так:
;   .

Бесконечный предел функции на бесконечности

Бесконечный предел функции на бесконечности:
|f(x)| > M  при  |x| > N

Определение бесконечного предела по Коши
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, при |x| > K, где K – положительное число. Предел функции  f(x)  при x стремящемся к бесконечности (), равен бесконечности, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0, существует такое число N_M> K, зависящее от M, что для всех x, |x| > N_M, значения функции принадлежат окрестности бесконечно удаленной точки:
|f(x)| > M.
Бесконечный предел при x стремящемся к бесконечности обозначают так:
.
Или   при  .

С помощью логических символов существования и всеобщности, определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Аналогично вводятся определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Определения односторонних пределов на бесконечности.
Левые пределы.
.
.
.
Правые пределы.
.
.
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция f(x) определена на некоторой окрестности бесконечно удаленной точки x₀, где или или .
Число a (конечное или бесконечно удаленное) называется пределом функции f(x) в точке x₀:
,
если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к x₀: ,
элементы которой принадлежат окрестности , последовательность {f(x_n)} сходится к a:
.

Если в качестве окрестности взять окрестность бесконечно удаленной точки без знака: , то получим определение предела функции при x стремящемся к бесконечности, . Если взять левостороннюю или правостороннюю окрестность бесконечно удаленной точки x₀: или , то получим определение предела при x стремящемся к минус бесконечности и плюс бесконечности, соответственно.

Определения предела по Гейне и Коши эквивалентны.

Примеры

Пример 1

Используя определение Коши показать, что
.

Решение

Введем обозначения:
.
Найдем область определения функции . Поскольку числитель и знаменатель дроби являются многочленами, то функция определена для всех x кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Найдем эти точки. Решаем квадратное уравнение. ;
.
Корни уравнения:
;   .
Поскольку , то и .
Поэтому функция определена при . Это мы будем использовать в дальнейшем.

Выпишем определение конечного предела функции на бесконечности по Коши:
.
Преобразуем разность:
.
Разделим числитель и знаменатель на и умножим на –1:
.

Пусть .
Тогда
;
;
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при ,    и  .

Поскольку всегда можно увеличить, то возьмем . Тогда для любого ,
  при  .
Это означает, что .

Пример 2

Пусть .
Используя определение предела по Коши показать, что:
1) ;
2) .

1) Решение при x стремящемся к минус бесконечности

Поскольку , то функция определена для всех x.
Выпишем определение предела функции при , равного минус бесконечности:
.

Пусть  . Тогда
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что для любого положительного числа M, имеется число , так что при ,
.

Это означает, что .

2) Решение при x стремящемся к плюс бесконечности

Преобразуем исходную функцию. Умножим числитель и знаменатель дроби на и применим формулу разности квадратов:
.
Имеем:

.
Выпишем определение правого предела функции при :
.

Введем обозначение: .
Преобразуем разность:
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Пусть
.
Тогда
;
.

Итак, мы нашли, что при ,
.
Вводим положительные числа и :
.
Отсюда следует, что
  при   и  .

Поскольку это выполняется для любого положительного числа , то
.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 17-05-2018

1cov-edu.ru

Ответы@Mail.Ru: А когда считаешь предел и получается ноль умножить на бесконечность

Мистер Бонд, прочтите первый том «Курса дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца. Ноль * Бесконечность — это неопределенность. Она сводится к неопределенности типа 0 / 0 или Бесконечность / Бесконечность, которые дальше можно раскрыть, например, применяя правила Лопиталя. Не хотите открывать Фихтенгольца — суньтесь в Яндекс. Вот ссылочка первая же по запросу «Неопределенность, Правило Лопиталя» <a rel=»nofollow» href=»http://www.mathelp.spb.ru/book1/lopital.htm» target=»_blank»>http://www.mathelp.spb.ru/book1/lopital.htm</a> Успехов в решении! И не забывайте о том, что Джеймс Бонд всегда находил решения самых трудных задач.

ноль… т.к. если любое число из этого бесконечного ряда чисел умножать на ноль, все равно будет 0…

к сожалению только ноль…

А что у нас «ноль»? Ноль величина абстрактная и в природе не имеющая места быть вообще.

А это смотря как умножать…

нуль. Нуль деленная на беск-ть=неопред-ть.

не слушай троечников — неопределенность, разумеется! И может получиться любое число в результате.

Иногда так хочется,чтоб ноль стал бесконечностью…

Это вы предел не доразложили. Непонятно какой ноль и какая бесконечность. Например: 1. Lnx/x при x стремящемся к бесконечности — 0 2. e^x/x при x стремящемся к бесконечности — бесконечность 3. sin2x/x при x стремящемся к 0 равно 2 Поэтому, прежде чем считать предел типа f(x)/g(x) при x стремящемся к x0 надо провести разложение в окрестности x0 обоих функций и после сокращения в числителе или знаменателе у вас останется константа — а далее все просто.

Это неопределенность.

Это неопределенность. Одна сорокомиллионная — это практически ноль, а сорок миллионов — почти бесконечность,их перемножить, что получится?Если мы не знаем точно о сорока миллионах или о восьмидесяти идет речь? Неопределенность.

Это неопределенность типа ноль умножить на бесконечность.

Сколько раз ни складывай ноль с нулем, ноль никогда не сдвинется с места, даже если бесконечное число раз. Это очевидно, поэтому результат всегда равен нулю. Другие числа могут получиться, если считать предел произведения функций, одна из которых стремится к нулю, а другая к бесконечности, в этом случае все зависит от их скоростей стремления к нулю или к бесконечности.

0 на бесконечность умножать нельзя т. к возьмем 0 0/0=бесконечность А 1/0= тоже бесконечность любое число даже 0 деленное на 0 будет бесконечность и число умножая на бесконечность будет неопределимость бесконечностью не имеет значения поэтому 0 * бесконечность нельзя а 0 на себя можно

touch.otvet.mail.ru

7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00

Правило Лопиталя-пусть функция f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки х_о тогда: 1)если lim f(x)= lim g(x)=бесконечность, то limf(x)/g(x)=(бесконечность/бесконечность)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний предел существует. 2)если lim f(x)=lim g(x)=0, то lim f(x)/g(x)= (0/0)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний существует.

Следовательно если мы имеем неопределённости бесконечность/бесконечность, 0/0, воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример lim sin4x/x=(0/0)=lim(sin4x)’/x= lim4cos4x/1=4*cos0=4*1=4

3)0*бесконечность, пусть f стремиться к 0, g стремиться к бесконечности, тогда fg=f/ (1/g)= (0/0)=g/(1/f)= (бесконечность/бесконечность), т.е. мы свели данную неопределённость к 0/0 или бесконечность/бесконечность, после чего можно применять правило Лопиталя

4)бесконечность-бесконечность . Пусть f стремиться к бесконечности, g стремиться к бесконечности, тогда f-g=1/(1/f)- 1/(1/g)=(1/g)-(1/f)/(1/f)*(1/g)=(0/0)

5)1^{бесконечность},0⁰, бесконечность⁰. Данные неопределённости также сводятся к неопределённостям бесконечность/бесконечность или 0/0 . для этого можно воспользоваться формулой f^g=e^infg=eglnf, f>0. Так, если f стремиться к 1, g стремиться к бесконечности, то получаем неопределённость 0*бесконечность (так как ln1=0), после чего можно получить бесконечность/бесконечность или 0/0

8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде дельта y=f(x₀+дельтаx)-f(x₀)=A*дельтаx+a(дельтаx)

Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовала произвлдная f’(x)=A.

F(x₀+дельтаx)-f(х₀)=f’(x₀)*дельтаx+a(дельтах)

Функция f’(x₀)*дельтаx есть главная линейная часть приращения функции f(x) в точке х₀.Эту главную линейную часть приращения функции f(x) и называется дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначают df(x₀)=f’(x₀)*дельтаХ, в частности для f(x)=x имеем df=dx=1*дельтаХ=дельтаХ, следовательно df(x₀)=f’(x₀)dx

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1)d(f+g)=df+dg

2)d(f*g)=g*df+f*dg

3)d(f/g)=(gdf-fdg)/g²

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для ч, близких к x₀, Так как отбросив бесконечно малую функцию в формуле 2, получаем: f(x₀+дельтаХ)=f(x₀)+f’(x₀)дельтаХ

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Пусть задана функция y=f(x) на множестве Х и х₀-внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(x₀) окрестность точки х₀.В точке х₀ функция f(x) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(x₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(x)<=f(x₀).

Точки локальных максимума и минимума называются точки локальных экстремумов, а значения функции в них-локальными экстремумами функции.Пусть функция f(x) определена на отрезке[a,b] и имеет локальный экстремум на каком0то из концов этого отрезка.Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b полуокрестностью.

Критическими точками , т.е. точки подозрительные на экстремум функции на интервале [a,b] , являются точки,в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности.

Первое достаточное условие экстремума-пусть непрерывная функция диффиринцируема в некоторой проколотой окрестности U(x₀) точки х₀, тогда: 1)если f’(x)>0 при х<x_0, х принадлежит U(х₀) и f’(x)<0 при х>x₀, x принадлежит U(x₀), то в точке х₀-локальный максимум

2)если f’(x)<0 при x<x₀ х принадлежит U(x₀) и f’(x)>0при x>x₀ x принадлежит U(x₀), то в точке х₀ локальный минимум.

Функция называется n раз непрерывно-дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n=0,1,2,….)

Второе достаточное условие экстремума- пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀-стационарная точка (f’(x₀)=0) в которой f’’(x₀)>0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f’’(x₀)< 0 то в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

studfiles.net

один в степени бесконечность | Математика

Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль.

Второй замечательный предел иначе можно записать так:  

   

а если α=f(x), при условии f(x)→0, при x→0, имеем:

   

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

Найти пределы:

   

  Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку 

   

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

   

   

(не забываем о требовании  f(x)→0, при x→0).

   

   

   

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

   

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

   

   

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

   

 

 

www.matematika.uznateshe.ru

Раскрытие неопределенностей — Мегаобучалка

При определении пределов часто возникают ситуации, называемые неопределенностями. Мы рассмотрим неопределенности следующих видов

1) – неопределенность “ноль делить на ноль”.

2) – неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”.

 

3) –неопределенность “ноль умножить на бесконечность”.

Нахождение пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенностей.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия каждой неопределенности в отдельности.

Неопределенность появляется при нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций .

Пример 1.4

.

Здесь = 4 – 10 + 6 = 0 и = 0. Числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми при , т.е. имеет место неопределенность . Для раскрытия неопределенности в рассматриваемом случае числитель и знаменатель дроби разложим на множители и сократим на величину , дающую 0 в числителе и знаменателе:

= = = = = – .

Пример 1.5

Найти предел: .

Решение

Здесь также имеем дело с неопределенностью . Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение , которое называется сопряженным выражению , тогда

 

= = = =

= = = .

Для раскрытия неопределенности в некоторых случаях могут быть полезны следующие определения и теоремы.

Определение 1.1. Пусть и две БМ при . Если

,

(1.1)

 

то БМ и называются эквивалентными. Эквивалентность БМ и обозначается .

 

Теорема 1.1. (Первый замечательный предел). Можно показать

[ ], что

 

,

(1.2)

 

Предел (1.2) называется первым замечательным пределом. Из теоремы 1.1 и определения 1.1 следует, что . Приведем еще некоторые примеры эквивалентных БМ при a® 0:

Таблица 1.1

Теорема 1.2.

 

Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения бесконечно малых, эквивалентных данным.

Поясним, что утверждает теорема. Пусть и две бесконечно малые функции. Известны еще две БМ и , причем и . Тогда .

Доказательство:

= , что и требовалось. доказать.

Каждый из пределов в рамках равен единице, т.к. это пределы отношений эквивалентных бесконечно малых.

Пример 1.6

Найти .

 

Решение

Здесь имеет место неопределенность , которая раскрывается

переходом к эквивалентным величинам: sin5x~5x, sin3x~3x, по теореме 1.2 получаем:

= = = .

 

Неопределенность появляется при нахождении предела отношения двух бесконечно больших .

 

Пример 1.7

Найти .

 

Решение

Здесь имеет место неопределенность . Отметим, что самая большая степень, в которой переменная входит в числитель и знаменатель дроби. Для раскрытия неопределенности вынесем за скобки и в числителе и в знаменателе и сократим. Получим

= =

= .

Отметим, что в данном примере высшая степень в числителе равна высшей степени в знаменателе. Предел равен отношению коэффициентов при высших степенях в числителе и знаменателе.

Пример 1.8

= = = = 0.

Отметим, что в данном примере высшая степень в числителе меньше высшей степени в знаменателе. Предел равен нулю.

Пример 1.9

= = =

= = .

В данном примере высшая степень в числителе больше высшей степени в знаменателе. Предел равен бесконечности. В результате рассмотрения примеров 1.7, 1.8 и 1.9 сформулируем общее правило нахождения предела вида

=

=

 

Пример 1.10

.

 

Решение

Здесь , , , поэтому предел равен :

.

 

megaobuchalka.ru

Тема 20 раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль». Раскрытие неопределенности «бесконечность на бесконечность»

КОНСПЕКТ 20

20.1 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА  

Пример 1

Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь:В данном случае получена так называемая неопределенность.

Общее правило:если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида, то для ее раскрытиянужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

Разложим числитель на множители.

Пример 2

Вычислить предел

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: Знаменатель:,

 

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 3

Найти предел

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

20.2 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА  

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример 4

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель на  в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 5

Найти предел Снова в числителе и знаменателе находимв старшей степени:Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираемнаибольшеезначение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенностиделим числитель и знаменатель на. Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 6

Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (можно записать как) Для раскрытия неопределенностинеобходимо разделить числитель и знаменатель на. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

 

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получитьсяконечное число, ноль или бесконечность.

 

ПРАКТИКУМ 20

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль»

Решение:Если вместо переменнойпоставить значение 7, к которому она стремится, то получим неопределенность видатогда

 ЗАДАНИЕ N 2Тема: Раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль»

Решение:Если вместо переменнойпоставить значение 0, к которому она стремится, то получим неопределенность видатогда

ЗАДАНИЕ N 3Тема: Раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль»

Решение:Если вместо переменнойпоставить значение 6, к которому она стремится, то получим неопределенность видатогда

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Раскрытие неопределенности вида «бесконечность на бесконечность»

Решение:Так какито имеет место неопределенность видаДля ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на. Тогда, зная, чтополучим:

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Раскрытие неопределенности вида «бесконечность на бесконечность»

Решение:Так какито имеет место неопределенность видаДля ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на. Тогда, зная, чтополучим:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 20

ЗАДАНИЕ N 1Тема: Раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль»

 ЗАДАНИЕ N 2Тема: Раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль»

 ЗАДАНИЕ N 3Тема: Раскрытие неопределенности вида «ноль на ноль»

ЗАДАНИЕ N 4Тема: Раскрытие неопределенности вида «бесконечность на бесконечность»

ЗАДАНИЕ N 5Тема: Раскрытие неопределенности вида «бесконечность на бесконечность»Предел функцииравен …

ЗАДАНИЕ N 6Тема: Раскрытие неопределенности вида «бесконечность на бесконечность»

studfiles.net

Ответы@Mail.Ru: Что такое разность чисел?

Большой толковый словарь: ·РАЗНОСТЬ — результат вычитания ( разность двух чисел. Разность чисел 5 и 2 равна 3: · ·5 – уменьшаемое, 2 – вычитаемое, 3 – разность) . Разность — это расстояние на числовой оси между числами, а модуль — это же расстояние измеренное в «правильную» сторону, то есть расстояние от большего до меньшего.

Это когда числа разные

Третье число — разница между первым числом и вторым.

это результат вычетания двух чисел

этотретье число

это результат вычитания

найдите букву р ппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппккккккккккккккккуцкцуекеееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееруцкцукцукцеееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееееее

разность это минус. вот пример: 1822-1800=22

Тоесть это минус*)

самый внятный ответ это ответ в отнимании одного числа от другого

запиши разность чисел 60 и 26. сумму чисел 60 и 26. увеличь разность на 56. уменьши на 46.найди значения каждого выражения

Разность это МИНУС. Уменьшаемое-вычитаемое=РАЗНОСТЬ

вичитание например 2-1=1 и так с разными числами 1000-500=500

Разность — результат вычитания.

это минус а не плюс

touch.otvet.mail.ru

Плюс-минус (значения) — это… Что такое Плюс-минус (значения)?