Рубрика: Школьная жизнь

Таблица квадратов

Таблица квадратов или таблица возведения чисел во вторую степень. Интерактивная таблица квадратов и изображения таблицы в высоком качестве.

Таблица квадратов

Теория

Квадрат числа – это результат умножения числа само на себя. Операция вычисления квадрата числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае во вторую:

62 = 6 × 6 = 36

Данное выражение читается: «возвести в квадрат число 6» или «6 в квадрате».

Скачать таблицу квадратов

• Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
• Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.

doza.pro

Таблица квадратов чисел от 1 до 210

Пояснение к таблице:

2209 — квадрат числа [47] — само число

Определение

Квадрат числа — результат умножения числа на самого себя. Также квадратом числа называется результат его возведение в степень 2 (во вторую степень)

Пример:

97² = 97×97 = 9409

Дополнительно:

Таблица квадратов двузначных чисел

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

scolaire.ru

Таблицы квадратов чисел от 1 до 300

Квадрат чисел — это число умноженное на само себя или возведение его во вторую степень.

На данной странице можно познакомиться или вспомнить квадраты натуральных чисел от 1 до 300. Так же под каждой таблицей есть возможность сохранения таблицы на компьютер простым перетаскиванием.
На калькуляторе можно вычислить квадрат любого натурального числа.

Аналогичным образом можно найти и более сложные квадраты, таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 10000.

Таблица квадратов натуральных чисел 1 до 100

Таблица квадратов натуральных чисел 100 до 200

Таблица квадратов натуральных чисел 200 до 300

formula-xyz.ru

Таблица квадратов

Возведение в степень — бинарная операция, происходящая из сокращения для множественного умножения числа на самого себя. Обозначение: ab называется степенью с основанием a и показателем b. Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100

Другие заметки по алгебре и геометрии

edu.glavsprav.ru

Площадь квадрата 64 см в квадрате. чему равна его сторона? Чему равна его сторона Ответ я знаю, а как решить нет!

извлечь из 64 квадратный корень

корень из 64 — это 8. 8см сторона квадрата

извлечь корень

Площадь квадрата=сторона*сторона Значит ответ-квадратный корень из площади корень (64)=8=тру Во

touch.otvet.mail.ru

Помогите разобраться с задачкой… S(квадрата)= 0.64 дм2 P(квадрата) =?

Это же элементарно, Макс. . S(квадрата) = 0.64 дм2 или S(квадрата) =а*а — отсюда вычисляем а — сторону квадрата. P(квадрата) = а+а+а+а =4а :-))

находим сторону квадрата из 0,64 извлекаем квадрат получается 0,8 и находим периметр 0,8*4 и получается 0,32. А можно и проще решить периметр квадрата всегда в 2 раза меньше его площади))

Если площадь 0,64 кв. дм — то сторона квадрата = 0,8 дм, периметр квадрата соответственно 1,8+0,8+0,8+0,8=3,2 дм.

Стороны квадрата равны. значит его площадь = сторона квадрата (А) в квадрате)) ) сторона квадрата из площади А= корень квадратный из 0,64. периметр = сумма сторон квадрата, т. е. =4 А. если ответ нужен в дм — он получен. если в др. единицах — умножаешь (до см или мм) или делишь (до м) . надеюсь, с этим проблем не возникнет?

Сторона квадрата а=(0,64)^(1/2)=0.8[дм] , отсюда — Р=4*а=3,2[дм]

touch.otvet.mail.ru

Метод Гаусса

Метод Гаусса: описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

• во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

• во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

• в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Краткий обзор статьи.

Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.

Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров.

В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.

Навигация по странице.

• Основные определения и обозначения.

• Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.

• Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.

Основные определения и обозначения.

Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n): где- неизвестные переменные,- числа (действительные или комплексные),- свободные члены.

Если , то система линейных алгебраических уравнений называетсяоднородной, в противном случае – неоднородной.

Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называетсярешением СЛАУ.

Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной.

Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид .

Эта система в матричной форме записи имеет вид , где- основная матрица СЛАУ,- матрица столбец неизвестных переменных,- матрица свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если , то матрицаА называется невырожденной.

Следует оговорить следующий момент.

Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия

• поменять местами два уравнения,

• умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,

• к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,

то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).

Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:

• перестановку двух строк местами,

• умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k,

• прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k.

Теперь можно переходить к описанию метода Гаусса.

К началу страницы

Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.

Как бы мы поступили в школе, если бы получили задание найти решение системы уравнений .

Некоторые сделали бы так.

Заметим, что прибавив к левой части второго уравнения левую часть первого, а к правой части — правую, можно избавиться от неизвестных переменных x₂ и x₃ и сразу найти x₁:

Подставляем найденное значение x₁=1 в первое и третье уравнение системы:

Если умножить обе части третьего уравнения системы на -1 и прибавить их к соответствующим частям первого уравнения, то мы избавимся от неизвестной переменной x₃ и сможем найти x₂:

Подставляем полученное значение x₂=2 в третье уравнение и находим оставшуюся неизвестную переменную x₃:

Другие поступили бы иначе.

Разрешим первое уравнение системы относительно неизвестной переменной x₁ и подставим полученное выражение во второе и третье уравнение системы, чтобы исключить из них эту переменную:

Теперь разрешим второе уравнение системы относительно x₂ и подставим полученный результат в третье уравнение, чтобы исключить из него неизвестную переменную x₂:

Из третьего уравнения системы видно, что x₃=3. Из второго уравнения находим , а из первого уравнения получаем.

Знакомые способы решения, не правда ли?

Самое интересное здесь то, что второй способ решения по сути и есть метод последовательного исключения неизвестных, то есть, метод Гаусса. Когда мы выражали неизвестные переменные (сначала x₁, на следующем этапе x₂) и подставляли их в остальные уравнения системы, мы тем самым исключали их. Исключение мы проводили до того момента, пока в последнем уравнении не осталась одна единственная неизвестная переменная. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода у нас появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Следует заметить, что когда мы выражаем x₁ через x₂ и x₃ в первом уравнении, а затем подставляем полученное выражение во второе и третье уравнения, то к такому же результату приводят следующие действия:

• к левой и правой частям второго уравнения прибавляем соответствующие части первого уравнения, умноженные на ,

• к левой и правой частям третьего уравнения прибавляем соответствующие части первого уравнения, умноженные на .

Действительно, такая процедура также позволяет исключить неизвестную переменную x₁ из второго и третьего уравнений системы:

Нюансы с исключением неизвестных переменных по методу Гаусса возникают тогда, когда уравнения системы не содержат некоторых переменных.

Например, в СЛАУ в первом уравнении отсутствует неизвестная переменнаяx₁ (иными словами, коэффициент перед ней равен нулю). Поэтому мы не можем разрешить первое уравнение системы относительно x₁, чтобы исключить эту неизвестную переменную из остальных уравнений. Выходом из этой ситуации является перестановка местами уравнений системы. Так как мы рассматриваем системы линейных уравнений, определители основных матриц которых отличны от нуля, то всегда существует уравнение, в котором присутствует нужная нам переменная, и мы это уравнение можем переставить на нужную нам позицию. Для нашего примера достаточно поменять местами первое и второе уравнения системы , дальше можно разрешить первое уравнение относительноx₁ и исключить ее из остальных уравнений системы (хотя во втором уравнении x₁ уже отсутствует).

Надеемся, что суть Вы уловили.

Опишем алгоритм метода Гаусса.

Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с nнеизвестными переменными вида , и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменнуюx₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на, и так далее, кn-омууравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет видгде, а.

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x₁ через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x₁ исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку сk-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменнойx₂ из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на, и так далее, кn-омууравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет видгде, а. Таким образом, переменнаяx₂ исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x₃, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x_n из последнего уравнения как , с помощью полученного значенияx_n находим x_n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x₁ из первого уравнения.

Разберем алгоритм на примере.

Пример.

Найдите решение системы уравнений методом Гаусса.

Решение.

Коэффициент a₁₁ отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x₁ из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на ,и:

Неизвестную переменную x₁ исключили, переходим к исключению x₂. К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго уравнения, умноженные соответственно на и:

Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x₃ из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на :

Можно начинать обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения имеем , из третьего уравнения получаем, из второго, из первого.

Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно.

Ответ:

.

А сейчас приведем решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи.

Пример.

Найдите решение системы уравнений методом Гаусса.

Решение.

Расширенная матрица системы имеет вид . Сверху над каждым столбцом записаны неизвестные переменные, которым соответствуют элементы матрицы.

Прямой ход метода Гаусса здесь предполагает приведение расширенной матрицы системы к трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований. Этот процесс схож с исключением неизвестных переменных, которое мы проводили с системой в координатной форме. Сейчас Вы в этом убедитесь.

Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы в первом столбце, начиная со второго, стали нулевыми. Для этого к элементам второй, третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки умноженные на ,и насоответственно:

Далее полученную матрицу преобразуем так, чтобы во втором столбце все элементы, начиная с третьего стали нулевыми. Это будет соответствовать исключению неизвестной переменной x₂. Для этого к элементам третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки матрицы, умноженные соответственно на и:

Осталось исключить неизвестную переменную x₃ из последнего уравнения системы. Для этого к элементам последней строки полученной матрицы прибавим соответствующие элементы предпоследней строки, умноженные на :

Следует отметить, что эта матрица соответствует системе линейных уравнений которая была получена ранее после прямого хода.

Пришло время обратного хода. В матричной форме записи обратный ход метода Гаусса предполагает такое преобразование полученной матрицы, чтобы матрица, отмеченная на рисунке  стала диагональной, то есть, приняла видгде- некоторые числа.

Эти преобразования аналогичны преобразованиям прямого хода метода Гаусса, но выполняются не от первой строки к последней, а от последней к первой.

Прибавим к элементам третьей, второй и первой строк соответствующие элементы последней строки, умноженные на , наи насоответственно:

Теперь прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и насоответственно:

На последнем шаге обратного хода метода Гаусса к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на :

Полученная матрица соответствует системе уравнений , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ:

.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ.

При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам. Рекомендуем не округлять десятичные дроби. Лучше от десятичных дробей переходить к обыкновенным дробям.

Пример.

Решите систему из трех уравнений методом Гаусса .

Решение.

Отметим, что в этом примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (неx₁, x₂, x₃, а x, y, z). Перейдем к обыкновенным дробям:

Исключим неизвестную x из второго и третьего уравнений системы:

В полученной системе во втором уравнении отсутствует неизвестная переменная y, а в третьем уравнении y присутствует, поэтому, переставим местами второе и третье уравнения:

На этом прямой ход метода Гаусса закончен (из третьего уравнения не нужно исключать y, так как этой неизвестной переменной уже нет).

Приступаем к обратному ходу.

Из последнего уравнения находим ,  из предпоследнегоиз первого уравнения имеем

Ответ:

x = 10, y = 5, z = -20.

К началу страницы

Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.

Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений.

Сейчас мы разберемся, как метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение).

В принципе процесс исключения неизвестных переменных в случае таких СЛАУ остается таким же. Однако следует подробно остановиться на некоторых ситуациях, которые могут возникнуть.

1. На определенном этапе исключения неизвестных переменных некоторые уравнения системы могут обратиться в тождества . Это говорит о том, что такие уравнения излишни, то есть, их можно смело убрать из системы уравнений и продолжить прямой ход метода Гаусса.

К примеру, при исключении x₁ из второго и третьего уравнений системы мы имеем такую ситуацию:

Следовательно, второе уравнение можно удалить из системы и продолжить решение.

2. При проведении прямого хода метода Гаусса одно (или несколько) уравнений системы могут принять вид , где- некоторое число, отличное от нуля. Это говорит о том, что уравнение, которое обратилось в равенство, не может обратиться в тождество ни при каких значениях неизвестных переменных. Другими словами, система линейных алгебраических уравнений в этом случае несовместна (не имеет решения). Наиболее часто такие ситуации встречаются, когда число уравнений в системе больше числа неизвестных переменных.

Пример.

Найдите решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого прибавим к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на (-1), (-2) и (-3) соответственно:

Равенство 0=-2, которое получилось в третьем уравнении системы, не достижимо ни для каких значений неизвестных переменных x₁, x₂ и x₃, поэтому, исходная система уравнений решений не имеет.

Ответ:

система несовместна.

3. Предположим, что мы выполняем прямой ход метода Гаусса, и мы подошли к моменту исключения неизвестной переменной x_k, а на каком-то предыдущем i-омшаге (i < k) эта переменная уже исключилась вместе с x_i. Как поступать в данном случае? В этом случае следует перейти к исключению неизвестной переменнойx_k+1. Если x_k+1 также уже исключилась, то переходим к x_k+2 и так далее.

К примеру, после исключения неизвестной переменной x₁ система уравнений принимает вид.

Вместе с x₁ исключились x₂ и x₃. Так что прямой ход метода Гаусса продолжаем исключением переменной x₄ из всех уравнений, начиная с третьего:

studfiles.net

описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

• во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

• во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

• в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Краткий обзор статьи.

Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения.

Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров.

В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах.

Навигация по странице.

• Основные определения и обозначения.

• Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.

• Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.

Основные определения и обозначения.

Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n): где  — неизвестные переменные,  — числа (действительные или комплексные),  — свободные члены.

Если , то система линейных алгебраических уравнений называетсяоднородной, в противном случае – неоднородной.

Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ.

Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной.

Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид .

Эта система в матричной форме записи имеет вид , где — основная матрица СЛАУ,  — матрица столбец неизвестных переменных,  — матрица свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной.

Следует оговорить следующий момент.

Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия

• поменять местами два уравнения,

• умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,

• к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число k,

то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).

Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:

• перестановку двух строк местами,

• умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k,

• прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k.

Теперь можно переходить к описанию метода Гаусса.

К началу страницы

studfiles.net

Решение СЛАУ 3-его порядка методом Гаусса, пример № 4

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Поменяем местами строку № 1 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 3 (Строка 2 — 3 × строка 1)
• К строке № 3 прибавим строку № 1 (Строка 3 + строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 2 поделим на 5 (Строка 2 = строка 2 / 5)
• Строку № 3 поделим на -2 (Строка 3 = строка 3 / -2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 2 прибавим строку № 3 (Строка 2 + строка 3)
• Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 1 прибавим строку № 2 (Строка 1 + строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 1
х₂ = 2
х₃ = 3

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

www.webmath.ru

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса — ПриМат

Метод Гаусса

Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных, он состоит в приведении данной системы, применяя элементарные преобразования, к ступенчатому виду.

Удобнее всего это делать путем приведения (с помощью элементарных преобразований строк) расширенной матрицы $B$ данной системы к ступенчатой
матрице $B_1$.

Конечная система будет равносильна исходной, так как между элементарными преобразованиями системы и элементарными преобразованиями строк ее расширенной матрицы имеет место быть взаимно однозначное соответствие, а при элементарных преобразованиях системы она переходит в равносильную.

Пример:

Пусть дана система уравнений

$\begin{equation*}
\begin{cases}
2x_1 + x_2 + x_3 = 2\\
x_1 — x_2 = -2\\
3x_1 — x_2 + 2x_3 = 2
\end{cases}
\end{equation*}$

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем эту матрицу к ступенчатому виду, а затем далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Первым делом поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся $1$ (это делается для упрощения вычислений):

$A = \left(\begin{matrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
3 & -1 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
2 \\ -2 \\ 2
\end{matrix}\right)\right.\
\sim~\
\left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & -1 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 2 \\ 2
\end{matrix}\right)\right.\
$

Затем получаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:
$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 2 & 2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 8
\end{matrix}\right)\right.\ $

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $1/2$):

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 6 \\ 4
\end{matrix}\right)\right.\ $

Затем получаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений меняем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся $1$:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 3 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ 6
\end{matrix}\right)\right.\ $

От третьей строки отнимем вторую, умноженную на $3$:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -2
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ -6
\end{matrix}\right)\right.\ $

После умножения третей строки на $(-1/2)$ , получаем:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 4 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Выполним теперь обратный ход метода Гаусса, то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Обнуляем элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Следующим действием обнулим недиагональные элементы второго столбца, прибавив к первой строке вторую:

$A = \left(\begin{matrix}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\left|
\begin{matrix}
-2 \\ 1 \\ 3
\end{matrix}\right)\right.\ $

Полученной матрице соответствует система

$\begin{equation*}
\begin{cases}
x_1 = -1\\
x_2 = 1\\
x_3 = 2
\end{cases}
\end{equation*}$

Литература:

• Конспект лекций Г.С. Белозерова
• Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
• Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

Лимит времени: 0

Информация

Решите систему уравнений методом Гаусса

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 1

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Решение СЛАУ 4-ого порядка методом Гаусса, пример № 7

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4 × 5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 2 — 4 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 3 — 2 × строка 1)
• Из строки № 4 вычтем строку № 1 (Строка 4 — строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 4 прибавим строку № 2 (Строка 4 + строка 2)
• Строку № 3 поделим на -2 (Строка 3 = строка 3 / -2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 4 прибавим строку № 3 умноженную на 5 (Строка 4 + 5 × строка 3)
• Строку № 4 умножим на 2 (Строка 4 = строка 4 * 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 3 вычтем строку № 4 умноженную на 0.5 (Строка 3 — 0.5 × строка 4)
• Из строки № 1 вычтем строку № 4 (Строка 1 — строка 4)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 2 прибавим строку № 3 умноженную на 7 (Строка 2 + 7 × строка 3)
• Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 2 поделим на 3 (Строка 2 = строка 2 / 3)
• К строке № 1 прибавим строку № 2 (Строка 1 + строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 9
х₂ = 18
х₃ = 10
х₄ = -16

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

www.webmath.ru

Решение СЛАУ 4-ого порядка методом Гаусса, пример № 2

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по геометрии и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4 × 5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Строку № 1 поделим на 3 (Строка 1 = строка 1 / 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 3 (Строка 2 — 3 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 3 — 2 × строка 1)
• Из строки № 4 вычтем строку № 1 (Строка 4 — строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 поделим на -1 (Строка 3 = строка 3 / -1)
• Поменяем местами строку № 2 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 2 (Строка 3 + 2 × строка 2)
• Из строки № 4 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 4 — 2 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 4 прибавим строку № 3 (Строка 4 + строка 3)
• Строку № 4 умножим на -1 (Строка 4 = строка 4 * -1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 3 прибавим строку № 4 умноженную на 2 (Строка 3 + 2 × строка 4)
• Из строки № 1 вычтем строку № 4 (Строка 1 — строка 4)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 1 прибавим строку № 3 умноженную на 2 (Строка 1 + 2 × строка 3)
• Из строки № 1 вычтем строку № 2 (Строка 1 — строка 2)
• Строку № 3 умножим на -1 (Строка 3 = строка 3 * -1)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 3
х₂ = 3
х₃ = -2
х₄ = 0

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

www.webmath.ru

Решение СЛАУ 4-ого порядка методом Гаусса, пример № 6

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по теории вероятности и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4 × 5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Поменяем местами строку № 1 и строку № 4

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 3 — 2 × строка 1)
• Из строки № 4 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 4 — 2 × строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 2 поделим на -5 (Строка 2 = строка 2 / -5)

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 5 (Строка 3 + 5 × строка 2)
• К строке № 4 прибавим строку № 2 умноженную на 5 (Строка 4 + 5 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 4 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 4 — 2 × строка 3)
• Строку № 3 умножим на -1 (Строка 3 = строка 3 * -1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 3 вычтем строку № 4 (Строка 3 — строка 4)
• К строке № 2 прибавим строку № 4 умноженную на 0.6 (Строка 2 + 0.6 × строка 4)
• К строке № 1 прибавим строку № 4 умноженную на 2 (Строка 1 + 2 × строка 4)
• Строку № 4 умножим на -1 (Строка 4 = строка 4 * -1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 0.2 (Строка 2 — 0.2 × строка 3)
• Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = -2.4
х₂ = 1.8
х₃ = 1
х₄ = 0

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

www.webmath.ru

Композиция функций

Сопряжение движений
Функция наоборот;
Композиция позиций
Словоблудный рифмоплет.

Состояние души утром 1 января

«Композиция» — (от лат. compositio — составление — связывание) объединение, составление, сопоставление, расположение, сложение, соединение частей в единое целое в определенном порядке.

Толковый словарь здравого смысла

В математике композиция функций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пусть даны числовые функции f(x) и g(x), такие, что E(f) ⊂ UD(g). Их композицией называется новая числовая функция F , заданная на D(f), которая каждому x ∈ D(f) ставит в соответствие число g[f(x)]. Функцию F обозначают также: g ○ f :

(g ○ f) (x) = g(f(x))

Если функции f(x) и  g(x) заданы своими выражениями, то для получения выражения композиции этих функций надо подставить в выражение  функции g(x) вместо x выражение функции f(x).

Определение композиции функций из школьного учебника

      Давай те же разберемся, что такое композиция функций в переводе на нормальный, человеческий язык. Исходя из первого определения, мы видим, что композицией функций можно назвать их объединение, сопоставление, соединение частей двух функций в единое целое в определенном порядке. Как же происходит это соединение? Обратимся к определению из учебника: … для получения выражения композиции  функций надо подставить в выражение  функции g(x) вместо x выражение функции f(x).

Для понимания смысла этой фразы рассмотрим пример:

Пусть даны две функции f(x)=x²+1 и g(x)= 1/x,

для  нахождения их композиции заменим в выражении 1/x переменную x на x²+1. В результате мы получаем, что

(g ○ f)(x)= 1/(x²+1)

Следует заметить, что композиции g ○ f  и  f ○ g — это совершенно разные вещи, и при решении ЕГЭ не стоит их путать.

Таким образом на примере мы убедились, что в определении композиции функций нет ничего сложного, и теперь вы с легкостью можете совершать любые операции над функциями.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

df-dt.com

Сложная функция (композиция функций)

Термин сложная функция в действительности в математическом языке является «чисто рабочим»: так называют функцию, если она задана в виде у=f(g(x)) с внешней функцией f и внутренней функцией g. Из самого задания этой функции ясно, что для вычисления значения у сложной функции к значению аргумента х сначала применяется функция g, а затем к полученному значению g(x) применяется функция f — тогда и получается значение f(g(x)).

Владение этим термином, умение видеть сложную функцию для начал математического анализа исключительно — чтобы найти производную, функцию часто следует представить в виде сложной функции, причем функция может быть еще более «сложной», когда ее «история» более длинная, т.е., например, если функция задается формулой у=f(g(h(р(х))).

Для того чтобы подчеркнуть, что термин «сложная функция» относится не к самой функции, а к способу ее задания, приведем пример: функции $y=\sqrt[3]{x^3}$ и $y=x$ — это, очевидно, одна и та же функция, однако первую из них можно назвать сложной, а вторую — нет. Заметим также, что сложная функция может оказаться нигде не определенной, например,$y=\sqrt{-x^2-1}$ — под знаком радикала тут всегда стоит отрицательное выражение.

При желании заняться алгеброй функций, т.е. рассматривать операции, действия, которые можно осуществлять с функциями, изучать свойства этих операций, а иногда лишь для терминологического удобства сложную функцию у=f(g(x)) называют композицией функций f и g и обозначают обычно символом $f\circ g$ или, в обратном порядке, $g\circ f$ — математики, как ни странно, не могут, да и не пытаются, прийти к общему соглашению относительно этого обозначения. Далее мы применяем первый порядок f и g, т.е. $(f \circ g)(x)=f(g(x))$.

А между тем композиция двух функций зависит от их порядка: если, например, $f(x)=x^2$, $g(x)=\sqrt {x}$, то $f(g(x))=(\sqrt{x})^2=x, (x\geq 0)$ тогда как $g(f(x))=\sqrt{x^2}=|x|$, а значит, это две различные функции — они имеют даже разные области определения. Иными словами, равенство $f\circ g=g\circ f$ выполняется не для всех функций, так что в алгебре функций перестановочный (в математике, в отличие от школы, называют его коммутативным) закон для композиции не имеет места.

Интересно, что сочетательный (в математике говорят ассоциативный) закон остается в силе:

$[(f\circ g)\circ h](x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x)))$,

$[f\circ(g\circ h)](x)=f[(g\circ h)(x)]=f(g(h(x)))$

(мы здесь не стали рассматривать детали, связанные с областью определения рассматриваемых функций), а распределительный закон (в математике говорят дистрибутивный) распадается на два — из-за отсутствия перестановочного закона:

$f\circ(g+h)=(f\circ g)+ (f\circ h)$ и $(g+h)\circ f=(g\circ f)+(h\circ f)$

и, что удивительно, один из них выполняется в алгебре функций, а второй — нет.

Интересующиеся этими вопросами легко могут узнать, какой из них именно выполняется, рассмотрев какой-нибудь простой пример, и почти со стопроцентной вероятностью вы найдете ответ с первой попытки, если, конечно, вам не повезет попасть как раз на те функции, для которых выполняются оба закона. А доказать верный закон тоже будет небесполезным — с точки зрения будущего изучения высшей алгебры в вузе: для студентов она вовсе не проще, чем математический анализ, однако с его идеями вы более или менее знакомитесь в школе, а основные идеи алгебры, связанные со свойствами операций, полностью остаются в стороне.

Ну, а если вы хотели бы подтянуть разговорный английский язык, или вам нужна курсовая по английскому, обращайтесь. Так как этот язык уже стал международным и его знания будут полезны любому современному человеку.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com

Сложная функция

Пример 1. Дана функция f(x) = 3x² – 4. Найти:

28. Замена переменных в двойном интеграле. Пример: случай полярных координат.

Вычислим интеграл , используя замену переменных . Рассмотрим интеграл как предел интегральных сумм. Область (D) сеткой кривых разделяется на частичные области D_i, внутри каждой частичной области берём произвольные точки (x_i, y_i). Составляем интегральную сумму: , где D_i – площадь i-ой частичной области. Устремим максимальный диаметр к нулю: . По определению, . Совершим замену переменных (*). При замене (*) площадь .

Если , то и , следовательно,

– якобиан преобразования (*).

Пример с полярными координатами.

29. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.

Замена переменных в тройном интеграле в общем случае.

Пусть имеется тело (V) с границей (S).

Пусть , тогда .

Замена:

Преобразование (*) будем считать взаимно-однозначным, то есть всё можно выразить друг через друга, а именно:

Пусть поверхность (Λ) задаётся параметрически, то есть:

Получаем параметрическое задание поверхности (S) (см. рис. ниже).

Два последних двойных интеграла равны, так как:

Применим к последнему выражению формулу Гаусса-Остроградского, то есть эту формулу: .

Пусть ,,, тогда:

Выражение в скобках равно нулю. Оставшееся выражение запишем так:

Это якобиан преобразования. Окончательно получаем:

А для общего случая:

Цилиндрические координаты:

Переходим от координаты M(x,y,z) к M(ρ,φ,z). Это цилиндрические координаты, где:

Получаем, что .

Сферические координаты:

Получаем элемент объёма сферических координат: .

30. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.

Рассмотрим кусок поверхностиS, заданной уравнением F=(x,y,z)=0. Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность S сеткой гладких кривых на элементарные области (разбиение Z). Пусть   – наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения Z существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть S однозначно проектируется на плоскость xy и  G – это проекция. Элементу площади dxdy области G на плоскости xy соответствует элемент площади поверхности S, равный , где – угол между нормалью к поверхности S и осью Z. Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла  по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , , а нормаль представляет собой градиент функции, то есть: , то    и площадь поверхности вычисляется по формуле:

, здесь G – проекция поверхности S на плоскость xy.

Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.

Если кривая задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и и отрезком [a,b] оси Ox, выражается формулой где определяются из уравнений

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами  находится по формуле .

31. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

Определение криволинейного интеграла первого рода, его основные свойства и вычисление.

Кривая должна быть простой кривой, то есть .

Пусть кривая будет разбита точками разбиения. Составим интегральную сумму.

Полученный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода.

На словах можно сказать так. Если существует предел интегральной суммы (см. выше) при стремлении к нулю наибольшей из длин Δlk (то есть ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f(x,y) по кривой L и обозначается символом или .

Если кривая задана не параметрически, а, к примеру, так: , тогда .

Основные свойства:

Линейность:

Аддитивность (если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB):

Монотонность: если f<=g на L, то:

Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак:

Оценка модуля интеграла:

Вычисление. Пусть L – кривая, как на рисунке, заданная параметрически. Пусть функция f(x,y) определена и интегрируема вдоль кривой l как криволинейный интеграл первого рода. Тогда: .

Таким образом, для вычисления по длине дуги АВ надо, используя параметрическое уравнение кривой, выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить dl дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.

Определение криволинейного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.

Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями. L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции, непрерывны на и различным значениям параметра t из сегмента соответствуют различные точки,. Если точка совпадает с точкой , а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел (длинa кривой L) длин ломаных, вписанных в кривую, при Δt → 0.

Пусть на кривой AB заданы две функции, P(x, y) и Q(x, y). Разобьем сегмент на n частей точками . Кривая АВ разобьется на n частей точками в направлении от A к B. Пусть – координаты точки ,,, – длина дуги . На каждой дуге возьмем некоторую точку (координаты ) и составим две интегральные су­ммы: , . Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшей из длин , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода . Сумма называется общим криволинейным интегралом второго рода.

Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой AB изменяется и знак интеграла . Аналогично вводится для пространственной кривой, заданной параметрически

Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные: Линейность . Аддитивность: . Монотонность: если f≤g, то .

Кривая L кусочно-гладкая, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.

Если AB – кусочно-гладкая кривая, а функции Р=Р(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то справедливо равенство: =.

Если кривая AB задана уравнением y = у(x), a≤x≤b, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции P(x,y) и Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB, то имеет место равенство:=.

Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

Пусть AB− кусочно гладкая кривая, функции Р=P(x,y) и Q=Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой AB и − единичный касательный вектор к кривой AB в точке M(x,y), причем направление соответствует направлению движения от А к В (α − угол между векторомв точке M(x, y) и осью Oх).. Для пространственной кривой справедлива аналогичная теорема:.

Из лекций:

Это и есть криволинейный интеграл второго рода.

– то же самое, только по y.

Каждый интеграл второго рода может быть сведён к первому роду.

или

32+нет доказательства!. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина: Если C – замкнутая граница области D и функции P(x,y) и Q(x,y) вместе со своими частными производными первого порядка непрерывны в замкнутой области D (включая границу C), то справедлива формула Грина: , причем обход вокруг контура C выбирается так, что область D остается слева.

Из лекций (не МВД2015): Пусть заданы функции P(x,y) и Q(x,y), которые непрерывны в области D вместе с частными производными первого порядка. Интеграл по границе (L), целиком лежащий в области D и содержащий все точки в области D: . Положительное направление контура такое, когда ограниченная часть контура находится слева.

Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл первого рода, соединяющий точкиM₁ и M₂, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек, является равенство: .

.

.

.

studfiles.net

Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов — ПриМат

При вычислении кратных интегралов часто возникает необходимость перейти к более простой области интегрирования для упрощения их вычисления, возможно даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.

Из курса аналитической геометрии известны следующие соотношения между декартовыми и полярными координатами: $x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi\quad(*)$.
При этом, $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi$. Рассмотрим вспомогательную плоскость $RO\Phi$, где $r$ и $\phi$ являются декартовыми координатами, и определим на ней множество точек $G$, такое, что: $G = \{(r, \phi)| r > 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}$.

Тогда формулы $(*)$ определяют непрерывно дифференцируемое отображение $F : G \to \widetilde{XOY}$, где $\widetilde{XOY} = XOY \setminus\{(0, 0)\}$.

По определению полярных координат, в декартовой системе координат $XOY$ $r$ задает радиус окружности с центром в начале координат, а $\phi$ определяет луч, исходящий из центра координат, такой что угол между лучом и положительным направлением оси $OX$ равен $\phi$. С геометрической точки зрения очевидно, что они пересекаются в единственной точке.

Таким образом, любую точку $P = (x_0, y_0)$ из $\widetilde{XOY}$ можно однозначно определить пересечением луча, направленного под углом $\phi_0$ и окружности радиусом $r_0$, и тогда точка $P’ = (r_0, \phi_0)$ будет единственным прообразом $P$ в $G$. Очевидно, что любой элемент из $G$ служит прообразом, и что двум различным точкам из $G$ будут соответствовать 2 различные точки из $\widetilde{XOY}$. Таким образом, отображение $F$ между точками плоскостей $G$ и $\widetilde{XOY}$ взаимно однозначное:

Якобиан полученного отображения будет равен:
$J_F = \begin{array}{|cc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} \end{array} = \begin{array}{|cc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} \\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} \end{array} = r$

Теперь рассмотрим множество точек $G’$, полученное добавлением к множеству $G$ отрезка $r = 0$, т.е. $G’ = \{(r, \phi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi\}.$ $G’$ уже является прообразом всей плоскости $XOY$, но на отрезке $r = 0, 0 \leq \phi < 2\pi$ не достигается взаимная однозначность, а $\left|J_F\right| = 0$. Обратим внимание, что его Жорданова мера равна нулю.

Наконец, пусть дана область $\Omega \subset XOY$ и функция $f$, непрерывная на измеримом множестве $\overline{\Omega}$. Ее прообразом при отображении $F$, заданного формулами $(*)$, будет некоторая область $\Omega’ \subset G’$. Если область $\Omega$ не содержит точки O — начала координат, то выполнены все условия теоремы о замене переменной в кратных интегралах, и справедлива формула:
$$\iint\limits_{\Omega} f(x, y)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi})r\,drd\phi$$
Если же точка $O \in \Omega$, то взаимная однозначность и не обращение якобиана в нуль не выполняются на множестве $r = 0$, что не влияет на справедливость данной формулы (следует из замечания к указанной теореме).

Пример №1

Вычислить интеграл:
$\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy, \Omega = \{(x, y)| y \geq 0, x^2 + y^2 \leq a^2\}.$
Заметим, что в полярных координатах полукруг будет представлять из себя более простую область интегрирования:

Поэтому, воспользуемся формулой замены переменной и перейдем к полярным координатам:
$\iint\limits_{\Omega}(x^2 + y^2)\,dxdy = \iint\limits_{\Omega’}r^2r\,drd\phi = \int\limits_0\limits^{\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^ar^3\,dr = $ $ \int\limits_0\limits^{\pi}\frac{a^4}{4}\,d\phi = \frac{\phi a^4}{4}|_0^{\pi} = \frac{\pi a^4}{4}$.

[свернуть]

Рассмотрим теперь пространство $\mathbb{R}^3$, в котором задана декартова система координат $OXYZ$. Цилиндрические координаты связанны с декартовыми следующим образом:
$x = r\cos\phi,\quad y = r\sin\phi,\quad z = t\quad(**),$
где $r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}$ (величины $r$ и $\phi$ для любой точки $A = (x, y, z)$ определяются таким же образом, как и в полярных координатах для ее проекции $P’ = (x, y, 0)$ на $XOY$). Теперь, аналогично случаю с полярными координатами, рассмотрим вспомогательное пространство $OR\Phi T$, где $r, \phi, t$ — декартовы координаты, а в нем — множество точек $G = \{(r, \phi, t)| r \geq 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$.

Отображение $F : G \to OXYZ$, определяемое формулами $(**)$, является непрерывно дифференцируемым.
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial t} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}& -r\sin{\phi} & 0 \,\\ \sin{\phi} & r\cos{\phi} & 0 \,\\ 0 & 0 & 1\,\end{array} = r$

Очевидно, что как и в случае с полярными координатами, отображение $F$ — взаимно однозначное, и его якобиан не равен нулю. Данные условия не выполняются только при $r = 0$, т.е. на множестве $L = \{(r, \phi, t)| r = 0, 0 \leq \phi <2\pi, t \in \mathbb{R}\}$. Пересечение такого множества с любым другим ограниченным множеством есть ограниченное линейное множество, и жорданова мера этого пересечения равна нулю.

Тогда, если дана область $\Omega \subset OXYZ$, и функция $f$ непрерывна на измеримом множестве $\overline{\Omega}$, а $\Omega’ \subset G$ — прообраз данной области при отображении $F$, то выполнены все условия теоремы о замене, и справедлива следующая формула:
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = \iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}, r\sin{\phi}, t)r\,drd\phi dt$$

Наконец, рассмотрим сферические координаты, связанные с декартовыми следующими соотношениями: $x = r\cos{\phi} \cos{\psi},\quad y = r\sin{\phi} \cos{\psi},\quad z = r\sin{\psi}\quad (***),$
где $r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi, -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}$. Введем вспомогательное пространство $OR\Phi\Psi$, где $r, \phi, \psi$ — декартовы координаты, а в нем рассмотрим множество точек $G = \{(r, \phi, \psi)| r \geq 0, 0 \leq \phi < 2\pi -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2}\}$.

Отображение $F : G \to OXYZ$, определяемое формулами $(***)$, непрерывно дифференцируемо.
$J_F = \begin{array}{|ccc|} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial x}{\partial \psi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \psi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \phi} & \frac{\partial z}{\partial \psi} \end{array} = \begin{array}{|ccc|} \cos{\phi}\cos{\psi}& -r\sin{\phi}\cos{\psi} & -r\cos{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\phi}\cos{\psi} & r\cos{\phi}\cos{\psi} & -r\sin{\phi}\sin{\psi} \,\\ \sin{\psi} & 0 & r\cos{\psi}\,\end{array} = $ $ r^2\cos{\psi}$.

Взаимная однозначность данного отображения устанавливается по тем же рассуждениям, что и в предыдущих двух случаях, и не выполняется только при $r = 0, \psi = -\frac{\pi}{2}, \psi = \frac{\pi}{2}$, когда и якобиан равен нулю. Однако любое подмножество множества, задаваемого такими равенствами, будет представлять собой ограниченную часть плоскости с жордановой мерой нуль в пространстве $OXYZ$, что не помешает совершить замену.

Тогда, при соответствующих условиях, справедлива формула замены переменной ($\Omega \subset OXYZ, \Omega’ \subset G$):
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z)\,dxdydz = $$ $$\iiint\limits_{\Omega’} f(r\cos{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\phi}\cos{\psi}, r\sin{\psi})r^2\cos{\psi}\,drd\phi d\psi$$

Пример №2

Вычислить интеграл $\iiint\limits_{\Omega} e^{{(x^2 + y^2 + z^2)}^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz$, где граница области $\Omega$ задается уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Область интегрирования представляет собой шар радиуса с центром в начале координат. Следовательно, будет удобно воспользоваться переходом к цилиндрической системе координат. В ней новая область интегрирования будет определятся следующими неравенствами: $0 \leq \phi \leq 2\pi,\quad -\frac{\pi}{2} \leq \psi \leq \frac{\pi}{2},\quad 0 \leq r \leq 1$. Воспользуемся формулой замены переменной для сферических координат:
$\iiint\limits_\Omega e^{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}}\,dxdydz = $ $\iiint\limits_{\Omega’} e^{r^{2^{\frac{3}{2}}}}r^2\cos{\psi} \,drd\phi d\psi = \int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}\limits^{\frac{\pi}{2}}\cos{\psi}\,d\psi = $ $\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1e^{r^3}r^2\,dr \cdot (\sin{\psi})|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 2\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi\int\limits_0\limits^1\frac{1}{3}e^{r^3}\,d(r^3) = $ $\frac{2}{3}\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi \cdot e^{r^3}|_0^1 = \frac{2}{3}(e — 1)\int\limits_0\limits^{2\pi}\,d\phi = \frac{2}{3}(e — 1) \cdot \phi|_0^{2\pi} = \frac{4\pi}{3}(e — 1)$

[свернуть]

Лимит времени: 0

Информация

Тест: Использование полярных, цилиндрических и сферических координат для вычисления кратных интегралов

Для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Производная логарифма по основанию a — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная логарифма базы а равна единице, деленной на суб логарифмическую функцию, умноженную на логарифм естественной базы.

Эта формула действительна для любых .

Заметим, что если основание логарифма a = e, то мы получаем натуральный логарифм и его производная равна

Примеры решения проблем на тему «Производные логарифма»

ПРИМЕР 1

Найдите производную функции

Требуемое производное

Производные продукты мы находим формулу:

Тогда в нашем случае для у нас есть:

Производная независимой переменной x равна единице:

производная от логарифма:

Итак, у нас есть:

Ответ

ПРИМЕР 2

Найдите производную функции

Производная этой функции

Задан десятичный логарифм, то есть его основание а = 10. И поскольку аргумент логарифма отличается от просто х, мы также умножаем на производную от аргумента. У меня будет:

Найти производную от сублогарифмической функции. Константа берется из знака производной:

Производная независимой переменной x равна единице:

Таким образом, мы, наконец, имеем:

Ответ

sciterm.ru

Логарифмическая производная — примеры вычисления

Пусть
(1)  
есть дифференцируемая функция от переменной x. В начале мы рассмотрим ее на множестве значений x, для которых y принимает положительные значения:  . В дальнейшем мы покажем, что все полученные результаты применимы и для отрицательных значений  .

В некоторых случаях, чтобы найти производную функции (1), ее удобно предварительно прологарифмировать
,
а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции,
.
Отсюда
(2)   .

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:
.

Логарифмическая производная функции   y = f(x) – это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x) )′.

Случай отрицательных значений y

Теперь рассмотрим случай, когда переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля и найдем его производную:
.
Отсюда
(3)   .
То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции .

Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
.
То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция .

Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x, отрицательна: . Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:
.
То есть функции и отличаются на комплексную постоянную :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
.

Свойство логарифмической производной

Из подобного рассмотрения следует, что логарифмическая производная не изменится, если умножить функцию на произвольную постоянную :
.
Действительно, применяя свойства логарифма, формулы производной суммы и производной постоянной, имеем:

.

Применение логарифмической производной

Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.

Далее мы приводим примеры вычисления производных для следующих функций:
;   ;   .

Пример 1

Найти производную функции:
.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
.

Дифференцируем по переменной x.
В таблице производных находим:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
;
;
;
;
(П1.1)   .
Умножим на :

.

Итак, мы нашли логарифмическую производную:
.
Отсюда находим производную исходной функции:
.

Примечание

Если мы хотим использовать только действительные числа, то следует брать логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда
;
.
И мы получили формулу (П1.1). Поэтому результат не изменился.

Ответ

Пример 2

С помощью логарифмической производной, найдите производную функции
.

Решение

Логарифмируем:
(П2.1)   .
Дифференцируем по переменной x:
;
;

;
;
;
.

Умножим на :
.
Отсюда мы получаем логарифмическую производную:
.

Производная исходной функции:
.

Примечание

Здесь исходная функция неотрицательная: . Она определена при . Если не предполагать, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента, то формулу (П2.1) следует записать так:
.
Поскольку

и
,
то это не повлияет на окончательный результат.

Ответ

.

Пример 3

Найдите производную
.

Решение

Дифференцирование выполняем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем, учитывая что   :
(П3.1)   .

Дифференцируя, получаем логарифмическую производную.
;
;
;
(П3.2)   .

Поскольку   , то

.

Примечание

Проделаем вычисления без предположения, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента. Для этого возьмем логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда вместо (П3.1) имеем:
;

.
Сравнивая с (П3.2) мы видим, что результат не изменился.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 25-11-2016   Изменено: 29-01-2017

1cov-edu.ru

Производная натурального логарифма, формула и примеры

Стальной круг 120 40ХН с размерами от 6 мм до 950 мм на складе Харьков Запорожье Одесса круги

Стальной круг 120  40ХН с размерами от 6 мм до 950 мм на складе Харьков Запорожье Одесса круги

Уточнить наличие и стоимость позиции можно по телефону:
т.: (099) 512 65 05
т.: (098) 015 08 42
т.: (063) 598 26 42
е-mail: [email protected]

С ув. менеджер Инна
ТОВ «Артик Сталь»

В современном производстве стальной круг широко применяется во многих отраслях строительства и производства.

Стальной круг представляет собой вид металлопроката с круглым поперечным сечением без полого пространства. Характеристики круга стального регламентирует ГОСТ 2590-88. В соответствии с ним круг стальной имеет диаметр от 5 до 270 мм. При калибре 9 мм круг стальной выпускается в мотках, свыше 9 мм — в прутках.

Для производства стального круга в основном используются:

• Высоколегированная сталь;
• Качественная углеродистая сталь;
• Легированная сталь;
• Углеродистая сталь;
• Низколегированная сталь.

Для улучшения качеств круга, в том числе и от влияния окружающей среды, стальной круг покрывают цинковым покрытием. Оцинкованный слой помогает обеспечить барьерную и электрохимическую защиту от ржавчины. А также оцинкованное покрытие придает кругу привлекательный вид, особенно если его используют для создания украшающих элементов и архитектурного оформления.

Почему стоит остановить свой выбор на стальном круге?

Стальной круг удобен в транспортировке, так как плотно улаживается в пакеты и скрепляется минимальным количеством проволоки. Такой пакет может весить от нескольких килограмм до нескольких тонн. Транспортировка осуществляется, как автомобильным, так и железнодорожным способами.

Существует большой ассортимент сталей, которые подходят для изготовления круглого металлопроката:

• Нержавеющие и инструментальные стали 12ХН3А, 20ХН3А, 40ХН2МА, 38Х2МЮА, 38ХС, 60С2А, 60С2ХФА, 4Х5МФС;
• Конструкционные стали: сталь Ст20, сталь 35, сталь 45, ШХ15, Р6М5;
• Низколегированные стали: сталь Ст3, 09Г2С;
• Легированные стали: 18ХГТ, 25ХГТ, 30ХГСА.

При использовании выходит довольно максимальное количество отходов, особенно если рассматривать изготовление деталей на револьверных станках. Заготовка идеально подбирается по диаметру к диаметру детали, а также при укорочении заготовки нужен минимальный припуск.

Не менее важно то, что отходы от стального круга при изготовлении деталей не содержат вредных примесей.

Стальной круг устойчив к коррозиям, к температурным перепадам, имеет широкую область применения, высокую прочность и относительно низкую стоимость. Именно поэтому стальной круг так востребован на рынке металлопроката.

Стальной круг и его классификация

Общепринятое обозначение, используемое в документации и каталогах — «металлопрокат круговой стальной».

Различают круг стальной его по способу изготовления:

• Стальной круг горячекатаный;
• Стальной круг холоднокатаный;
• Круг, произведенный методом ковки.

Поверхность стального круга часто обработана — отшлифована. Каждый из видов стального круга имеет ряд своих преимуществ. Холоднокатаный более точный по диаметру и подходит для изготовления оцинкованного стального круга.

Если диаметр круга до 9 мм, его поставки производятся в мотках, больше 9 мм — в прутьях.

У кругового металлопроката, диаметр которого более 9 мм, исходя из назначения круга, длина бывает:

• Мерная;
• Немерная;
• Кратная мерная.

Стальные круги мерной и кратной мерной длины производятся из стали:

• Длина 2-6 м — из легированной и качественной углеродистой;
• Длина 2-12 м — из низколегированной и углеродистой обычного качества;
• Длина 1-6 м — из высоколегированной стали.

По диаметру сечения стального круга существуют три ГОСТ-стандарта:

• Обычной точности — максимальные допустимые отклонения составляют от −4 мм до +0,8 мм, маркируется — «В»;
• Повышенной точности — максимальные допустимые отклонения составляют от −2 мм до +0,6 мм, маркируется — «Б»;
• Высокой точности — максимальные допустимые отклонения в диаметре составляют от −0,9 мм до +0,3 мм, маркируется — «А».

Отличие стального круга от катанки и арматуры

Часто эти три вида металлопроката пересекаются между собой в использовании. Иногда стоит вопрос, какой вид металлопроката лучше выбрать, для этого нужно понимать преимущества и недостатки стального круга над остальными двумя видами:

• Круг стальной более идеален и точен в своем сечении;
• Высокая прочность и ровная поверхность;
• Высокий уровень гибкости, способен восстанавливать свою форму после сгибания;
• Стальной круг изготовляют диаметром до 40 см;
• Стоимость стального круга выше стоимости катанки и арматуры, так как свойства круга имеют более высокий уровень.

Круг стальной и его применение

Данный вид металлопроката широко используется, как в машиностроении, так и в изготовлении металлоконструкций и т.д.

Основной отраслью применения стального круга является строительство. Их них делают ограды, колонные арматуры и металлические конструкции, так же их используют для армирования.

В промышленностях, их используют для машиностроения или станкостроения. Они являются очень удобными, благодаря своей пластичности, а также легко поддаются ручной сварки. Благодаря этому, можно в самое короткое время, собрать разные металлические конструкции, в которых стальные круги, стают основными связываемыми звеньями. Данные круги, достаточно часто используют для создания кованых оград, и многих других бытовых конструкций, такие как вешалки или подставки.

Также мы отправляем в Николаев Запорожье Константиновка Комсомольск Вознесенск Бердянск Краматорск Мерефа Луч Мелитополь Красноармейск Лозовая Первомайск Токмак Макеевка Купянск Южноукраинск Волочиськ Мариуполь Чугуев Одесса Каменец-Подольский Славянск Херсон Белгород-Днестровский Нетешин Житомир Геническ Измаил Черкассы Бердичев Новая Каховка Ильичевск Коростень Хмельницкий.

Доставка осуществляется: Киев Полтава Энергодар Смела Винница Кременчуг Васильевка Умань Ладыжин Лубны Ивано-Франковск Чернигов Луцк Ровно Бурштын Козелець Владимир-Волынский Сарны Калуш Нежин Ковель Кузнецовск Коломыя Новгород-Северский Нововолынск Сумы Белая Церковь Прилуки Днепр Ахтырка Борисполь Черновцы Днепродзержинск Конотоп Бровары Новоград-Волынский Жёлтые Воды Ромны Вышгород Ужгород Кривой Рог Шостка Кировоград Виноградов Марганец Глухов Александрия Мукачево Никополь Тернополь Львов Рахов Новомосковск Лозовая Дрогобыч Свалява Павлоград Харьков Стрый Тячев Змиёв Червоноград Хуст Артёмовск Изюм.

Краткое описание характеристик и области применения стального круга:

• Круг 65Г — имеет высокую износостойкость, хорошие режущие свойства. Но боится ударной нагрузки, поэтому имеет ограниченное применение;
• Круг ШХ15 — обладает высокой прочностью, из него изготавливают детали машин, которые используют в условиях повышенного износа;
• Круг 5ХНМ — обладает высокой твердостью и теплостойкостью, применяется для изготовления матриц штампов;
• Круг сталь У8А — применяется для изготовления инструмента для обработки дерева;
• Круг 14Х17Н2 — изготовляют из нержавеющей сталь, применяется в агрессивных средах и низких температурах;
• Круг 40ХН2МА — очень высокого качества, умеет высокую устойчивость к коррозии и жаропрочность;
• Круг 4Х5В2ФС — для инструментов высокоскоростной машинной штамповки, формы для литья;
• Круг 18ХГЕ — изготовляют разрезные кольца, фрикционные диски, цанги, пружинные шайбы, шестерни;
• Круг 60С2А — из него тяжело нагруженные пружины, торсионные валы.

В современном производстве стальной круг занимает особое место, множество деталей начинают свое существование с круглого сортамента металлопроката.

Уточнить наличие и стоимость позиции можно по телефону:
т.: (099) 512 65 05
т.: (098) 015 08 42
т.: (063) 598 26 42
е-mail: [email protected]

С ув. менеджер Инна
ТОВ «Артик Сталь»

prom.ua

Ананас

определение, примеры, какое число больше положительное или отрицательное

В этом материале мы объясним, что такое положительные и отрицательные числа. После того, как будут сформулированы определения, мы покажем на примерах, что это такое, и раскроем основной смысл этих понятий.

Тесты по уголовному процессу с ответами

Тесты по Уголовному процессу (УПП, УП) с ответами

Правильный вариант ответа отмечен знаком +

1. Адвокат в уголовном процессе участвует в качестве:

+ защитника;