Рубрика: Школьная жизнь

Таблица измерений . Сантиметр и миллиметр и другие единицы длины — Сегодня на уроке. — Каталог статей

Сантиметр и миллиметр

Но сначала рассмотрим основной инструмент, которым пользуются школьники – линейку.

Посмотрите на рисунок. Минимальная цена деления линейки  – миллиметр. Обозначается: мм. Большими делениями обозначен сантиметр. В одном сантиметре 10 миллиметров.

Сантиметр разделен пополам, по пять миллиметров, делением поменьше. Сантиметр обозначают как: см.

Для измерения отрезка линейку приставляют нулевым делением к началу измеряемого отрезка, как показано на рисунке. Деление, на котором заканчивается отрезок и есть длина этого отрезка. Длина отрезка на рисунке 5 см или 50 мм.

На следующем рисунке показан отрезок длиной 5 см 6 мм, или 56 мм.

Давайте рассмотрим несколько примеров перевода разных единиц длины:

Например, нам надо перевести 1 м 30 см в сантиметры. Мы знаем, что в 1 метре – 100 сантиметров. Получается:

100см + 30см = 130 см

Для обратного перевода отделяем сотню сантиметров – это 1м и остается еще 30 см. Ответ: 1м 30см.

Если мы хотим выразить сантиметры в миллиметрах, вспоминаем, что в 1 сантиметре – 10 миллиметров.

Например, переведем 28 см в миллиметры: 28 × 10 = 280

Значит в 28 см – 280 мм.

Метр

Основной единицей длины является метр. Остальные единицы измерения образованы от метра с помощью латинских приставок. Например, в слове сантиметр латинская приставка санти означает сто, значит в одном метре сто сантиметров. В слове миллиметр – приставка милли – тысяча,  это значит, что в одном метре тысяча миллиметров.

Дециметр

Десять сантиметров – это 1 дециметр. Обозначается: дм. В 1 метре – 10 дециметров

Выразим в сантиметрах:

1 дм = 10 см

4 дм = 40 см

3 дм 4 см = 30 см + 4 см = 34 см

1 м 2 дм 5 см = 100 см + 20 см + 5 см = 125 см

А теперь выразим в дециметрах:

1 м = 10 дм

4 м 8 дм = 48 дм

20 см = 2 дм

Столько разных видов измерений и как же сравнить длину разных отрезков, если первый отрезок длиной в 5 см 10 мм, а второй 10 дм. В нашей проблеме поможет разобраться главное правило сравнения величин:

Чтобы сравнить результаты измерений, нужно выразить их в одинаковых единицах измерений.

Итак, переведем длину наших отрезков в сантиметры:

5 см 10 мм = 51 см

10 дм = 100 см

51 см < 100 см

Значит второй отрезок длиннее первого.

Километр

Длинные расстояния измеряют в километрах. В 1 километре – 1000 метров. Слово километр образовано с помощью греческой приставки кило – 1000.

Выразим километры в метрах:

3 км = 3000 м

23 км = 23000 м

И обратно:

2400 м = 2 км 400 м

7650 м = 7 км 650 м

Итак, сведем все единицы измерений в одну таблицу:

Таблица измерений .

Таблица перевода единиц измерения.

ludmilasorokina.3dn.ru

Конвертировать Сантиметров в Миллиметров (cm → mm)

convertlive.com

Конвертировать Сантиметров в Километров (cm → km)

convertlive.com

Конвертировать Сантиметров в Метров (cm → m)

convertlive.com

Единицы длины | интернет проект BeginnerSchool.ru

Сегодня мы разберем, какие единицы длины используются при измерениях.

Сантиметр и миллиметр

Но сначала рассмотрим основной инструмент, которым пользуются школьники – линейку.

Посмотрите на рисунок. Минимальная цена деления линейки  – миллиметр. Обозначается: мм. Большими делениями обозначен сантиметр. В одном сантиметре 10 миллиметров.

Сантиметр разделен пополам, по пять миллиметров, делением поменьше. Сантиметр обозначают как: см.

Для измерения отрезка линейку приставляют нулевым делением к началу измеряемого отрезка, как показано на рисунке. Деление, на котором заканчивается отрезок и есть длина этого отрезка. Длина отрезка на рисунке 5 см или 50 мм.

На следующем рисунке показан отрезок длиной 5 см 6 мм, или 56 мм.

Давайте рассмотрим несколько примеров перевода разных единиц длины:

Например, нам надо перевести 1 м 30 см в сантиметры. Мы знаем, что в 1 метре – 100 сантиметров. Получается:

100см + 30см = 130 см

Для обратного перевода отделяем сотню сантиметров – это 1м и остается еще 30 см. Ответ: 1м 30см.

Если мы хотим выразить сантиметры в миллиметрах, вспоминаем, что в 1 сантиметре – 10 миллиметров.

Например, переведем 28 см в миллиметры: 28 × 10 = 280

Значит в 28 см – 280 мм.

Метр

Основной единицей длины является метр. Остальные единицы измерения образованы от метра с помощью латинских приставок. Например, в слове сантиметр латинская приставка санти означает сто, значит в одном метре сто сантиметров. В слове миллиметр – приставка милли – тысяча,  это значит, что в одном метре тысяча миллиметров.

Дециметр

Десять сантиметров – это 1 дециметр. Обозначается: дм. В 1 метре – 10 дециметров

Выразим в сантиметрах:

1 дм = 10 см

4 дм = 40 см

3 дм 4 см = 30 см + 4 см = 34 см

1 м 2 дм 5 см = 100 см + 20 см + 5 см = 125 см

А теперь выразим в дециметрах:

1 м = 10 дм

4 м 8 дм = 48 дм

20 см = 2 дм

Столько разных видов измерений и как же сравнить длину разных отрезков, если первый отрезок длиной в 5 см 10 мм, а второй 10 дм. В нашей проблеме поможет разобраться главное правило сравнения величин:

Чтобы сравнить результаты измерений, нужно выразить их в одинаковых единицах измерений.

Итак, переведем длину наших отрезков в сантиметры:

5 см 10 мм = 51 см

10 дм = 100 см

51 см < 100 см

Значит второй отрезок длиннее первого.

Километр

Длинные расстояния измеряют в километрах. В 1 километре – 1000 метров. Слово километр образовано с помощью греческой приставки кило – 1000.

Выразим километры в метрах:

3 км = 3000 м

23 км = 23000 м

И обратно:

2400 м = 2 км 400 м

7650 м = 7 км 650 м

Итак, сведем все единицы измерений в одну таблицу:

Спасибо, что Вы с нами.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Подпишитесь на новости сайта:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

beginnerschool.ru

Конвертировать Миллиметров в Сантиметров (mm → cm)

convertlive.com

сколько в 1 км см

Сколько в 1 км см? Меры длины: 1 сантиметр ( см. ) = 10 миллиметров ( мм. ) 1 дециметр ( дм. ) = 10 см. = 100 мм. 1 метр ( м. ) = 10 дм. = 100 см. = 1 000 мм. 1 километр ( км. ) = 1 000 м = 10 000 дм, = 100 000 см. = 1 000 000 мм.

примерно 100000 В 1км — 1000м, в 1м — 100см 1000*100 = 100000

ходи школа… учи помножению

Вроде сурьёзная деушка а такие детские вопросы )))

в 1 км — 1000 метров. в 1 м — 100 см. значит в 1 км — 100 умножить на 1000=100000см

touch.otvet.mail.ru

ВЫСОТА (в геометрии) — это… Что такое ВЫСОТА (в геометрии)?

ВЫСОТА (в геометрии)

ВЫСОТА (в геометрии)

ВЫСОТА́, в геометрии — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а также усеченных параллельно основанию пирамиды и конуса — расстояние между верхними и нижними основаниями.

Энциклопедический словарь. 2009.

• ВЫСОТА (в астрономии)
• ВЫСОЦКИЙ Михаил Иосифович

Смотреть что такое «ВЫСОТА (в геометрии)» в других словарях:

• ВЫСОТА — в геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а также… …   Большой Энциклопедический словарь

• Высота (геометрич.) — Высота в геометрии, отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или продолжение основания, а также длина этого отрезка. В. призмы, цилиндра, шарового слоя,… …   Большая советская энциклопедия

• Высота — I Высота         небесного светила, угол между направлением на светило и плоскостью истинного горизонта; см. Небесные координаты. II Высота         в геометрии, отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например,… …   Большая советская энциклопедия

• ВЫСОТА — 1) ВЫСОТА в астрономии см. Небесные координаты. 2) ВЫСОТА в геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геом. фигуры (напр., треугольника, трапеции, пирамиды, конуса) на её основание (или продолжение основания), а также длина этого… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

• Высота (значения) — Высота  размер или расстояние в вертикальном направлении. Другие значения: В астрономии: Высота светила  угол между плоскостью математического горизонта и направлением на светило. В военном деле: Высота  возвышенность рельефа. В… …   Википедия

• ВЫСОТА — (1) в геометрии а) плоской фигуры наибольший из перпендикуляров, опущенных из точек контура фигуры на её основание или его продолжение; б) пространственной фигуры наибольший из перпендикуляров, опущенных из граничных точек этой фигуры на… …   Большая политехническая энциклопедия

• высота — 3.4 высота (height): Размер самой короткой кромки карты. Источник: ГОСТ Р ИСО/МЭК 15457 1 2006: Карты идентификационные. Карты тонкие гибкие. Часть 1. Физические характеристики …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• высота здания — 3.1 высота здания : Высота здания определяется высотой расположения верхнего этажа, не считая верхнего технического этажа, а высота расположения этажа определяется разностью отметок поверхности проезда для пожарных машин и нижней границы… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Высота (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Высота (значения). Высота в элементарной геометрии  отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на… …   Википедия

• ВЫСОТА — в диофантовой геометрии некоторая численная функция на множестве решений диофантова уравнения. В простейшем случае целочисленного решения диофантова уравнения высота есть функция решения, равная В таком виде она встречается уже в методе спуска… …   Математическая энциклопедия

dic.academic.ru

Высота (геометрия) — это… Что такое Высота (геометрия)?

Высота в элементарной геометрии — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на продолжение основания. Под высотой также подразумевается длина этого отрезка.

Высота трапеции, призмы, цилиндра, шарового слоя, усеченных параллельно основанию — расстояние между верхним и нижним основаниями.

Высота треугольника

Высота треугольника — отрезок, опущенный из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Все высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром этого треугольника. — Эту теорему легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

(Для доказательства следует взять в качестве точки E пересечение двух высот треугольника.)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на соответствующее основание. Кроме формулы, удобной для расчёта площади, из этого также следует, что длины высот треугольника обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон.

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

1. Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямую, лежащую в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

2. Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

3. При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, если они встречаются хотя бы дважды, тогда максимальное расстояние между точками во время их движения не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

dic.academic.ru

Свойства высоты для всех фигур, с примерами

Рассмотрим высоты треугольника и четырехугольника. У треугольника из каждой вершины можно опустить одну высоту (рис. 1). У четырехугольника из каждой вершины можно опустить две высоты на стороны, не смежные с данной вершиной (или на их продолжение) (рис. 2).

Свойства высоты геометрических фигур

1. В треугольнике высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – в вершине прямого угла.
2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
3. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
4. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
5. В равностороннем треугольнике все высоты являются медианами и биссектрисами.
6. Площадь треугольника вычисляется с помощью высоты и стороны, на которую она опущена:

      

7. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

      

   где – сторона параллелограмма, – высота, опущенная на сторону .

8. Площадь трапеции

      

   где – основания трапеции, – высота трапеции.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Высота (геометрия) — Википедия. Что такое Высота (геометрия)

Высота в элементарной геометрии — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на продолжение основания. Под высотой также подразумевается длина этого отрезка.

Высота трапеции, призмы, цилиндра, шарового слоя, усеченных параллельно основанию — расстояние между верхним и нижним основаниями.

Высота треугольника

Высота треугольника — отрезок, опущенный из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Все высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром этого треугольника. — Эту теорему легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

EA→⋅BC→+EB→⋅CA→+EC→⋅AB→=0{\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Для доказательства следует взять в качестве точки E пересечение двух высот треугольника.)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на соответствующее основание. Кроме формулы, удобной для расчёта площади, из этого также следует, что длины высот треугольника обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон.

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

1. Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямую, лежащую в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

2. Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

3. При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, если они встречаются хотя бы дважды, тогда максимальное расстояние между точками во время их движения не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

wiki.sc

Высота (геометрия) Википедия

Высота в элементарной геометрии — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на продолжение основания. Под высотой также подразумевается длина этого отрезка.

Высота трапеции, призмы, цилиндра, шарового слоя, усеченных параллельно основанию — расстояние между верхним и нижним основаниями.

Высота треугольника[ | ]

Высота треугольника — отрезок, опущенный из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Все высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром этого треугольника. — Эту теорему легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

EA→⋅BC→+EB→⋅CA→+EC→⋅AB→=0{\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Для доказательства следует взять в качестве точки E пересечение двух высот треугольника.)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на соответствующее основание. Кроме формулы, удобной для расчёта площади, из этого также следует, что длины высот треугольника обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон.

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

1. Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямую, лежащую в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

2. Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

3. При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, если они встречаются хотя бы дважды, тогда максимальное расстояние между точками во время их движения не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

ru-wiki.ru

Высота (геометрия)

Высота трапеции, призмы, цилиндра, шарового слоя, усеченных параллельно основанию — расстояние между верхним и нижним основаниями.

Высота треугольника

Высота треугольника — отрезок, опущенный из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Все высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром этого треугольника. — Эту теорему легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

(Для доказательства следует взять в качестве точки E пересечение двух высот треугольника.)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на соответствующее основание. Кроме формулы, удобной для расчёта площади, из этого также следует, что длины высот треугольника обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон.

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

1. Минимальная ] проекция треугольника на прямую, лежащую в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

2. Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

3. При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, если они встречаются хотя бы дважды, тогда максимальное расстояние между точками во время их движения не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

См. также

• Чевиа́на — отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной ей стороне или на её продолжении.
• Высота
• Высота треугольника
• Ортоцентр
• Треугольник

Высота (геометрия) Информацию О

Высота (геометрия) Комментарии

Высота (геометрия)
Высота (геометрия)
Высота (геометрия) Вы просматриваете субъект

Высота (геометрия) что, Высота (геометрия) кто, Высота (геометрия) описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Высота (геометрич.) — это… Что такое Высота (геометрич.)?

Высота (геометрич.)

Высота в геометрии, отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или продолжение основания, а также длина этого отрезка. В. призмы, цилиндра, шарового слоя, усечённых параллельно основанию пирамиды и конуса — расстояние между верхним и нижним основаниями. На рис. изображены В. (h) треугольников, трапеции и усечённого конуса.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

• Высокоэластическое состояние
• Высота апогея (перигея)

Смотреть что такое «Высота (геометрич.)» в других словарях:

• Цилиндр (геометрич.) — Цилиндр (от греч. kýlindros ‒ валик, каток), тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя секущими её параллельными плоскостями ‒ основаниями Ц. (рис.). Если основания перпендикулярны образующей, то Ц. называется прямым; в… …   Большая советская энциклопедия

• ПИФАГОРЕИЗМ — совокупность др. греч. филос. и научных концепций, восходящих к Пифагору (6 в. до н.э.) и основанному им замкнутому элитарному духовному обществу в «Великой Греции» (греч. города гос ва на юге Аппенинского полуострова и на востоке Сицилии). Почти …   Философская энциклопедия

• МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — геометрия пространств размерности, большей трех; термин применяется к тем пространствам, геометрия к рых была первоначально развита для случая трех измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, прежде всего евклидово пространство,… …   Математическая энциклопедия

• Математика —         (от греч. mathema значение, наука). В эпоху античности уровень развития М. был очень высок. Греки использовали накопл. в Вавилонии и Египте арифметич. и геометрич. знания, но достоверных данных, позволяющих точно определить их воздействие …   Словарь античности

• ОСВЕЩЕНИЕ — ОСВЕЩЕНИЕ. Различают естественное и искусственное О. Естественным называют О. от природных источников, гл.обр. от солнца, причем солнечные лучи могут освещать непосредственно, или отражаясь от луны, рассеиваясь в атмосфере, на облаках, на… …   Большая медицинская энциклопедия

• КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ — образование кристаллов из паров, р ров, расплавов, из в ва в тв. состоянии (аморфном или другом кристаллическом), из электролитов в процессе электролиза (электрокристаллизация), а также при хим. реакциях. Для К. необходимо нарушение термодинамич …   Физическая энциклопедия

• Мелодия —         (греч. melodia, от melos напев, песня и odn песня, пение) одноголосно выраженная музыкальная мысль (по И. В. Способину). В гомофонной музыке функция мелодии присуща обычно верхнему, ведущему голосу, тогда как второстепенные средние голоса …   Музыкальная энциклопедия

• ДИОФАНТОВА ГЕОМЕТРИЯ — диофантов анализ, область математики, посвященная изучению целочисленных и рациональных решений систем алгебраич. уравнений, или, иначе, изучению диофантовых уравнений, методами алгебраич. геометрии. Появление во 2 й пол. 19 в. теории алгебраич.… …   Математическая энциклопедия

• ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.… …   Математическая энциклопедия

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТА СУДНА — установление фактич. места судна по наблюдениям береговых ориентиров визуально или с помощью радиолокаторов, по небесным светилам, по пеленгам радиомаяков, с помощью наземных радионавиг. систем или по спутниковым радионавиг. системам (РНС) с… …   Морской энциклопедический справочник

dic.academic.ru

627327 прописью -> шестьсот двадцать семь тысяч триста двадцать семь

627 327

six hundred and twenty-seven thousand three hundred and twenty-seven

six hundred twenty-seven thousand three hundred twenty-seven

sechshundert siebenundzwanzig tausend dreihundert siebenundzwanzig

six cent vingt-sept mille trois cent vingt-sept

шiстсот двадцять сім тисяч триста двадцять сім

sześćset dwadzieścia siedem tysięcy trzysta dwadzieścia siedem

šest set dvacet sedm tisíc tři sta dvacet sedm

Посмотрите как пишутся числа: 27673, 160213, 273233, 326248, 427755, 547060, 623486, 767402, 824608, 907003.

numword.ru

627322 прописью -> шестьсот двадцать семь тысяч триста двадцать два

627 322

six hundred and twenty-seven thousand three hundred and twenty-two

six hundred twenty-seven thousand three hundred twenty-two

sechshundert siebenundzwanzig tausend dreihundert zweiundzwanzig

six cent vingt-sept mille trois cent vingt-deux

шiстсот двадцять сім тисяч триста двадцять два

sześćset dwadzieścia siedem tysięcy trzysta dwadzieścia dwa

šest set dvacet sedm tisíc tři sta dvacet dva

Посмотрите как пишутся числа: 2630, 165960, 202308, 373224, 439021, 590378, 641124, 750457, 872347, 911012.

numword.ru

627325 прописью -> шестьсот двадцать семь тысяч триста двадцать пять

627 325

six hundred and twenty-seven thousand three hundred and twenty-five

six hundred twenty-seven thousand three hundred twenty-five

sechshundert siebenundzwanzig tausend dreihundert fünfundzwanzig

six cent vingt-sept mille trois cent vingt-cinq

шiстсот двадцять сім тисяч триста двадцять п’ять

sześćset dwadzieścia siedem tysięcy trzysta dwadzieścia pięć

šest set dvacet sedm tisíc tři sta dvacet pět

Посмотрите как пишутся числа: 23658, 157236, 251348, 332073, 455588, 565633, 694768, 723931, 846670, 950263.

numword.ru

627354 прописью -> шестьсот двадцать семь тысяч триста пятьдесят четыре

627 354

six hundred and twenty-seven thousand three hundred and fifty-four

six hundred twenty-seven thousand three hundred fifty-four

sechshundert siebenundzwanzig tausend dreihundert vierundfünfzig

six cent vingt-sept mille trois cent cinquante-quatre

шiстсот двадцять сім тисяч триста п’ятдесят чотири

sześćset dwadzieścia siedem tysięcy trzysta pięćdziesiąt cztery

šest set dvacet sedm tisíc tři sta padesát čtyři

Посмотрите как пишутся числа: 86059, 108235, 296041, 396009, 408634, 547693, 639523, 754105, 835263, 918973.

numword.ru

314627 прописью -> триста четырнадцать тысяч шестьсот двадцать семь

314 627

three hundred and fourteen thousand six hundred and twenty-seven

three hundred fourteen thousand six hundred twenty-seven

dreihundert vierzehn tausend sechshundert siebenundzwanzig

trois cent quatorze mille six cent vingt-sept

триста чотирнадцять тисяч шiстсот двадцять сім

trzysta czternaście tysięcy sześćset dwadzieścia siedem

tři sta čtrnáct tisíc šest set dvacet sedm

Посмотрите как пишутся числа: 72444, 149545, 266054, 342242, 476426, 522571, 608740, 799190, 886307, 912676.

numword.ru

627397 прописью -> шестьсот двадцать семь тысяч триста девяносто семь

627 397

six hundred and twenty-seven thousand three hundred and ninety-seven

six hundred twenty-seven thousand three hundred ninety-seven

sechshundert siebenundzwanzig tausend dreihundert siebenundneunzig

six cent vingt-sept mille trois cent quatre-vingt-dix-sept

шiстсот двадцять сім тисяч триста дев’яносто сім

sześćset dwadzieścia siedem tysięcy trzysta dziewięćdziesiąt siedem

šest set dvacet sedm tisíc tři sta devadesát sedm

Посмотрите как пишутся числа: 31974, 151743, 261347, 376232, 489983, 580058, 618435, 739485, 821929, 985436.

numword.ru

627387 прописью -> шестьсот двадцать семь тысяч триста восемьдесят семь

627 387

six hundred and twenty-seven thousand three hundred and eighty-seven

six hundred twenty-seven thousand three hundred eighty-seven

sechshundert siebenundzwanzig tausend dreihundert siebenundachtzig

six cent vingt-sept mille trois cent quatre-vingt-sept

шiстсот двадцять сім тисяч триста вісімдесят сім

sześćset dwadzieścia siedem tysięcy trzysta osiemdziesiąt siedem

šest set dvacet sedm tisíc tři sta osmdesát sedm

Посмотрите как пишутся числа: 51299, 119165, 289193, 358541, 470763, 581965, 625637, 762721, 889908, 956113.

numword.ru

12 — двенадцать. натуральное четное число. регулярное число (число хемминга). в ряду натуральных чисел находится между числами 11 и 13. Все о числе двенадцать.

1. Главная
2. О числе 12

12 — двенадцать. Натуральное четное число. Регулярное число (Число Хемминга). В ряду натуральных чисел находится между числами 11 и 13.

Like если 12 твое любимое число!

Распространенные значения и факты

12 регион — Республика Марий Эл

Столица

Йошкар-Ола

Автомобильный код

12

Федеральный округ

Приволжский

Экономический район

Волго-Вятский

Дата образования

4 ноября 1920 г.

Территория

23, 2 тыс. кв. км 0,14 % от Рф 77 место в РФ

Население

Общая численность 728 тыс. чел. 0,50 % от Рф 66 место в РФ

Изображения числа 12

Склонение числа «12» по падежам

Перевод «двенадцать» на другие языки

Азербайджанский

on iki

Албанский

dymbëdhjetë

Английский

twelve

Арабский

اثنا عشر

Армянский

տասներկու

Белорусский

дванаццаць

Болгарский

дванадесет

Вьетнамский

mười hai

Голландский

twaalf

Греческий

δώδεκα

Грузинский

თორმეტი

Иврит

שנים עשר

Идиш

צוועלף

Ирландский

dhá cheann déag de

Исландский

tólf

Испанский

doce

Итальянский

dodici

Китайский

十二

Корейский

열두

Латынь

duodecim,

Латышский

divpadsmit

Литовский

dvylika

Монгольский

арван хоёр

Немецкий

zwölf

Норвежский

tolv

Персидский

دوازده

Польский

dwanaście

Португальский

doze

Румынский

doisprezece

Сербский

дванаест

Словацкий

dvanásť

Словенский

dvanajst

Тайский

สิบสอง

Турецкий

oniki

Украинский

дванадцять

Финский

kaksitoista

Французский

douze

Хорватский

dvanaest

Чешский

dvanáct

Шведский

tolv

Эсперанто

dekdu

Эстонский

kaksteist

Японский

12

Перевод «12» на другие языки и системы

Римскими цифрами

Римскими цифрами

XII

Сервис перевода арабских чисел в римские

Арабско-индийскими цифрами

Арабскими цифрами

١٢

Восточно-арабскими цифрами

۱۲

Деванагари

१२

Бенгальскими цифрами

১২

Гурмукхи

੧੨

Гуджарати

૧૨

Ория

୧୨

Тамильскими цифрами

௧௨

Телугу

౧౨

Каннада

೧೨

Малаялам

൧൨

Тайскими цифрами

๑๒

Лаосскими цифрами

໑໒

Тибетскими цифрами

༡༢

Бирманскими цифрами

၁၂

Кхемерскими цифрами

១២

Монгольскими цифрами

᠑᠒

В других системах счисления

12 в двоичной системе

1100

12 в троичной системе

110

12 в восьмеричной системе

14

12 в десятичной системе

12

12 в двенадцатеричной системе

10

12 в тринадцатеричной системе

C

12 в шестнадцатеричной системе

C

QR-код, MD5, SHA-1 числа 12

http://pro-chislo.ruhttp://pro-chislo.ru//data/moduleImages/QRCodes/12/1c2f3b313bc207fd525d3c465120abe0.png

MD2 от 12

d818fdda9b607de69729f9e602ed56ef

MD4 от 12

114c5a33b8d4127fbe492bd6583aeb4d

MD5 от 12

c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710

SHA1 от 12

7b52009b64fd0a2a49e6d8a939753077792b0554

SHA256 от 12

6b51d431df5d7f141cbececcf79edf3dd861c3b4069f0b11661a3eefacbba918

SHA384 от 12

1e237288d39d815abc653befcab0eb70966558a5bbc10a24739c116ed2f615be31e81670f02af48fe3cf5112f0fa03e8

SHA512 от 12

5aadb45520dcd8726b2822a7a78bb53d794f557199d5d4abdedd2c55a4bd6ca73607605c558de3db80c8e86c3196484566163ed1327e82e8b6757d1932113cb8

GOST от 12

7b7218b78010faebef72a3445a95e354ee3767fbacc940f6bfce41a73bf3581a

Base64 от 12

MTI=

12й день в году

12й день в не високосном году — 12 января

День работников Прокуратуры России

12й день в високосном году — 12 января

Математические свойства числа 12

Простые множители

2 * 2 * 3

Делители

1, 2, 3, 4, 6, 12

Количество делителей

6

Сумма делителей

28

Простое число

Нет

Предыдущее простое

11

Следующее простое

13

12е простое число

37

Число Фибоначчи

Нет

Число Белла

Нет

Число Каталана

Нет

Факториал

Нет

Регулярное число (Число Хемминга)

Да

Совершенное число

Нет

Полигональное число

пятиугольник(3)

Квадрат

144

Квадратный корень

3.4641016151378

Натуральный логарифм (ln)

2.484906649788

Десятичный логарифм (lg)

1.0791812460476

Синус (sin)

-0.53657291800043

Косинус (cos)

0.84385395873249

Тангенс (tg)

0.63585992866158

Фильмы про 12

12 Рождественских желаний (12 Wishes of Christmas (2011)), 2011 год

В преддверии Рождества жизнь Лоры Линдси распадается на части, словно карточный домик. Когда ситуация достигает пика критичности, женщина, находясь в…

12 метров без головы (12 Meter ohne Kopf), 2009 год

В самом начале 15 века, на территории Восточной Фризии, когда страх перед морскими пиратами постепенно сходил на нет, бравый капитан…

12 раундов (12 Rounds), 2009 год

Полицейский из Нового Орлеана по имени Дэнни Фишер арестовывает одного из самых разыскиваемых и опасных преступников во всем мире –…

Комментарии о числе 12

pro-chislo.ru

Четные и нечетные числа | Народные приметы

— Четные числа символизируют материальный мир и планомерную работу, утверждает нумерология.

—    Нечетные указывают на духовные искания и попытки творческого преобразования материального мира.

Все числа содержат в себе конфликт: только преодолевая что-либо в себе и в окружении, человек может развиваться. Четные числа — это конфликты людей, а нечетные — конфликты идей.

Четные числа показывают, что человек будет пытаться решать свои проблемы внутри себя, в собственной семье, среди своего ок ружения, в знакомой и привычной обстановке; это всегда закреп ление нового,.превращение нового в привычное путем материаль ных и физических усилий.

Нечетные числа указывают на решение проблем в первую оче редь в окружающем мире и с его помощью. Они говорят о конф ликте личности с миром. Человек разрешает его, расширяя созна ние, овладевая миром вещей и чувств и познавая законы природы. Это познание нового путем духовных усилий.

Четные числа связаны с разрешением человеческих конфликтов:

2 — внутренних на уровне эмоций;

4 — в семье и в небольших коллективах;

6 и 8 — между большими группами людей, народами, культу рами. Это конфликты, имеющие отношение к управлению обществом и потоками информации.

Нечетные числа означают конфликт человека с миром на уровне: 1 — желаний и возможностей;

3 — открытия мира и выбора своего места в нем;

5 — завоевания мира;

7 — познания мира и законов творчества; 9 — постижения смысла жизни.

Те и другие конфликты с нарастанием значения числа все больше превращаются из личных в общественные, подчиняясь социаль ным задачам. Числа определяют эволюцию конфликтов. Все чис ла порождают агрессию, но чем больше число, тем она разумнее. Четные числа содержат в себе внутреннюю агрессию, которая час то внутри же и реализуется.

Нечетное число старается открыть человека для мира, а четное, наоборот, пытается его от мира спрятать. А смысл любого числового конфликта заключается в его устранении посредством физи ческих или духовных усилий.

Числа от 1 до 9 являются основными и образуют все другие, например: 10 = 1 +0 = 1, а значит, первая ступень. Многозначные 13 = 7 + 6 — гибель в неравной борьбе;

13 = 8 + 5 — самоубийство;

13 = 9+4 — преждевременная смерть от неподходящих условий жизни;

13 = 10+3 — смерть в родах;

13 =11 + 2 — смерть от сознания трагичности двойственного положения;

13      = 12+1 — переход адепта в другой план как следствие завер шения его задачи на Земле.

В нумерологии подчеркивает искушения (от Князя тьмы), кар му страха и лени.

14 — это число, составленное из двух семерок, у древних каббалистов считалось счастливым и обозначало число превращений, метаморфоз. Символ умеренности (при нарушении формируется карма неумеренности).

15 — ч исло духовных вознесений; пятнадцатое число седьмого месяца было уважаемо и освящено. Оно таинственно связано с проблемами добра и зла, незаметно может сделать человека рабом пентаграмм (5). Для каббалистов оно представляло Гения зла.

16 — п ифагорейцами почиталось как счастливое, так как пред ставляло собой совершенный четырехугольник. Предупреждает о возможной гордыне (при нарушении формирует карму гордыни и неумение решать любовные вопросы).

17 — число Божьей Матери, покровительницы христиан.

18 — из-за недостаточной духовности — число зелья и рока, суеверия и ошибок, несчастливое.

19 — в Каббале считается благоприятным числом, так как со стоит из двух счастливых чисел: 1 и 9, которые, будучи сложенны ми, дают 10 — совершенное число, число закона. Это также число солнца, золота и философского камня. Предостерегает от зацик-ленности на своих мелких проблемах (при нарушениях формиру ет карму зацикленности ).

20 — ч исло истины, веры, здоровья. Но теологи считают его не счастным, особенно в партнёрстве: это — или качественный скачок на высшую ступень отношений, или быстрое падение. (Не стремитесь утирать нос другим!)

21 — Корона магии, связь с Высшим разумом. Число прорицаний, состоящее из трех семерок или семи троек. Оба сочетания обладают очень сильными магическими свойствами, обеспечива ют помощь Высших сил просящему человеку.

22 — Господствующее (Главное), число Высшего разума. У это го числа достаточно сил для воплощения крупных замыслов. Для направления духовных и физических сил в нужное русло требуются мудрость, разум и терпение, иначе многое может быть растрачено в хвастовстве, прикрывающем комплекс неполноценности.

28 — число Бога, Творца Вселенной. Число дней лунного меся ца, поэтому предвещает благосклонность Луны.

30 — Число 30 замечательно по многим тайнам. Разум, не зна ющий предела и преград. Предупреждает о возможном получении крупной суммы и о ее возможной потере (при явном корыстолюбии).

31 — число подчёркивает добродетель или указывает на корень зла (духовное растление).

32 — у пифагорейцев — число правосудия, так как оно может последовательно делиться на равные части, не отдавая ни одной предпочтения. Еврейские ученые приписывали ему мудрость, вер ность, владение магией заклинаний.

33 — Господствующее (Главное) число в нумерологии. Это со четание чисел придает больше действенности содержащейся в них шестёрке и выражает прозрение, озарение, осознанное служение людям, самоотдачу, доверие, которые, однако, не должны перехо дить в самоотречение и мученичество, граничащее с безответственностью.

40 — число абсолютной законченности. По словам Святого Августина, оно отражает наше путешествие к истине, наш путь на небо. Мы отмечаем 40 дней после смерти близких. Сорок дней и ночей лил дождь при потопе, 40 дней провел Иисус в пустыне… Число 40 символизирует здоровье. Может, отсюда берет истоки вера людей, что для нормального внутриутробного разви тия ребенка нужно носить его 7 х 40 = 280 дней — десять (полное ?и сло ) лунных месяцев. Слово карантин в буквальном переводе означает сорокадневный период. Мы можем вспомнить также и русское выражение сорок сороков, и многие другое. В негативе указывает на беспредельную власть (деспота) в стра не или семье.

50 — означает освобождение от рабства и полную свободу.

60 — как и 3,7,12, издревле считалось священным числом. Хал дейские маги, умевшие производить сложнейшие астрономические вычисления, наряду с десятиричной системой пользовались шестидесятиричной . Осколки этих знаний дошли и до нас: круг делится на 60 градусов, в каждом градусе 60 минут по 60 секунд в каждой, час длится 60 минут и т. д.

72 — имеет большое сходство с 12.

100 — выражает полное совершенство.

1000 (куб десяти) — отражает абсолютное совершенство.

По словам многих каббалистов , простые числа представляют божественные вещи , десятки — небесные, тысячи — сущность бу дущих веков.

Господствующими числами в нумерологии считаются 11,22 и 33.

Освежим в памяти понятия Универсального и Персонального годов. Они в следующей теме нам понадобятся (см. тему Экс курсии).

Число Универсального года (УГ) определяет качества событий и явлений мира и нужно для нахождения числа Персональ ного года. Такие вибрации влияют на человека, места и другие предметы. Универсальный год определяется сложением цифр лю бого рассматриваемого года и последующим преобразованием в однозначное число (кроме Господствующих чисел).

Вибрации Персонального года (ПГ) влияют непосредственно на человека. Мы все имеем свои персональные вибрации. В один и тот же Универсальный год человек с определенным Персональным числом принимает вибрации, отличные от тех, которые при нимает человек с другим Персональным числом. Многие имеют одинаковые Персональные числа, вибрирующие для них в одно и то же время, но каждый может использовать или интерпрети ровать их по-разному. Находится Персональный год суммой дня, месяца рождения и номера Универсального года.

А теперь давайте посмотрим, что пишут наши читатели в комментариях ниже. Если у вас есть вопрос или вы хотите поделиться мнением по этой теме, то пишите свои комментарии используя форму ниже. Также не забывайте поделиться этой статьей с другими. Уже поделились 298 человек.

Смотрите также:

www.gadanie-i-goroskop.ru

Чётные и нечётные числа — Википедия

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

• Деление:
  • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
  • Нечётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётности[править]

В десятичной системе счисления[править]

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисления[править]

Для всех систем счисления с чётным основанием (например, для шестнадцатеричной), действует тот же признак чётности: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2. Для систем счисления с нечётным основанием существует другой признак чётности: число чётно тогда и только тогда, когда чётна сумма его цифр^[1][2]. Например, число, обозначаемое записью «136», чётно в любой системе счисления, начиная с семеричной^[1].

История и культура[править]

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян»^[3].

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки по аудиториям, учебным корпусам и для ритмичности занятий по дисциплинам с малой аудиторной нагрузкой (1 раз в 2 недели)

В графиках движения поездов применяются чётные и нечётные номера поездов, зависящие от направления движения (прямое или обратное). Соответственно чётностью/нечётностью обозначается направление, в котором проходит поезд через каждую станцию.

С чётными и нечётными числами месяца иногда увязаны графики движения поездов, которые организованы через день.

Согласно Правилам дорожного движения, в зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками 3.29, 3.30.

• Последовательность A005408 в OEIS: нечётные числа
• Последовательность A005843 в OEIS: чётные числа
• Последовательность A179082 в OEIS: чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи

www.wiki-wiki.ru

Четное число Википедия

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

Определения[ | ]

Если m чётно, то оно представимо в виде m=2k{\displaystyle m=2k}, а если нечётно, то в виде m=2k+1{\displaystyle m=2k+1}, где k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Арифметика[ | ]

• Деление:
  • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
  • Нечётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётности[ | ]

В десятичной системе счисления[ | ]

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисления[

ru-wiki.ru

Чётные числа Википедия

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

Определения[ | ]

Если m чётно, то оно представимо в виде m=2k{\displaystyle m=2k}, а если нечётно, то в виде m=2k+1{\displaystyle m=2k+1}, где k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Арифметика[ | ]

• Деление:
  • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
  • Нечётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётности[ | ]

В десятичной системе счисления[ | ]

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисления[

ru-wiki.ru

нужна помощь. сумма некоторых двух чисел-нечетное число.четно или нечетно их произведение?

До пустим это числа 4 и 3, т. к. сумма может быть нечетным числом лишь тогда, когда одно число является четным, а другое — нечетным. произведение 3 и 4 равно 12, 12 — четное число, значит ЕСЛИ СУММА ДВУХ НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО, ТО ИХ ПРОИЗВЕДЕНИ — ЧЕТНОЕ ЧИСЛО.

Произведение четное.

чтобы сумма получилась нечетной, надо чтобы оба числа были разной четности четное + четное = четное нечетное + нечетное = четное если перемножить четное и нечетное, то мы получим четное число т. к. мы будем брать нечетное количество раз четное число

Сумма нечетная, поэтому x + y = 2a + 1 —-&gt; y = (2a+1) — x Теперь найдем произведение xy = x((2a+1)-x) = 2ax + x — x^2 Теперь возможны 2 случая: 1) x — четное xy = 2a*2b + 2b + 4b^2 = 2(2ab + b + 2b^2) — четное, т. к. есть множитель 2 2) x — нечетное xy = 2a(2b+1) + 2b+1 + (2b+1)^2 = 4ab + 2a + 2b + 1 + 4b^2 + 4b + 1 = 4b^2 + 2a + 6b + 4ab + 2 = 2(2b^2 + 2 + 3b + 2ab +1) — четное, т. к есть множитель 2 Таким образом, мы СТРОГО доказали, что произведение двух чисел, сумма которых нечетная — четно.

touch.otvet.mail.ru

Чётные и нечётные числа — Википедия

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

• Деление:
  • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
  • Нечётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётности[править]

В десятичной системе счисления[править]

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисления[править]

Для всех систем счисления с чётным основанием (например, для шестнадцатеричной), действует тот же признак чётности: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2. Для систем счисления с нечётным основанием существует другой признак чётности: число чётно тогда и только тогда, когда чётна сумма его цифр^[1][2]. Например, число, обозначаемое записью «136», чётно в любой системе счисления, начиная с семеричной^[1].

История и культура[править]

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян»^[3].

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки по аудиториям, учебным корпусам и для ритмичности занятий по дисциплинам с малой аудиторной нагрузкой (1 раз в 2 недели)

В графиках движения поездов применяются чётные и нечётные номера поездов, зависящие от направления движения (прямое или обратное). Соответственно чётностью/нечётностью обозначается направление, в котором проходит поезд через каждую станцию.

С чётными и нечётными числами месяца иногда увязаны графики движения поездов, которые организованы через день.

Согласно Правилам дорожного движения, в зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками 3.29, 3.30.

• Последовательность A005408 в OEIS: нечётные числа
• Последовательность A005843 в OEIS: чётные числа
• Последовательность A179082 в OEIS: чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи

www.wikiznanie.ru

Решением дифференциального уравнения — Решение

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную искомой функции.

Символически дифференциальное уравнение можно написать так

или

.

Неизвестной здесь является функция y, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция y(x) есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. В этой главе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение есть уравнение первого порядка,

а уравнение — уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y(x), которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество. Решение еще называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример

Рассмотрим уравнение .

Функция является решением этого уравнения.

Действительно,

и уравнение обращается в тождество:
.
Решением рассматриваемого уравнения будут и функции

и вообще функции
, где и — произвольные постоянные.
В самом деле

и уравнение обращается в тождество
.

Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет бесчисленное множество решений вида: .

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y(x) и производную первого порядка искомой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид .

Общее и частное решение

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение , зависящее от одной произвольной постоянной C, придавая конкретное значение которой , можно получить решение , удовлетворяющее любому заданному начальному условию .

Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Заметим, что в практике чаще всего бывает нужным не общее решение, а так называемое частное решение,отвечающее определенным начальным условиям, вытекающим из условия данной конкретной задачи.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения ,если в последнем произвольной постоянной C придать определенное значение . Соотношение называется в этом случае частным интегралом.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения y ^I = f(x,y) , удовлетворяющего заданным начальным условиям y(x_o ) = y_o, называется задачей Коши.

Теорема Коши
Если функция f(x,y) — правая часть дифференциального уравнения y ^I = f(x,y) — непрерывна в некоторой замкнутой области D плоскости xOy и имеет в этой области ограниченную частную производную f ^I_y (x,y), то каждой внутренней точке области D соответствует, и притом единственное, решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Пример

Рассмотрим уравнение
.

Общим решением этого уравнения является семейство функций
.

Действительно, при любом значении C эта функция удовлетворяет уравнению: .
Кроме того, всегда можно найти такое значение C, что соответствующее частное решение будет удовлетворять заданному начальному условию.

Найдем, например, частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=-2. Подставляя эти значения в уравнение
,
получим
.
Решая это уравнение относительно C получим C = — 3.
Следовательно, искомым частным решением будет функция: Y = X² — 3.

Это решение можно получить, используя нижеприведенный апплет для построения поля направлений и интегральных кривых для уравнения первого порядка.

Интегральные кривые

С геометрической точки зрения общее решение уравнения первого порядка представляет собой семейство кривых на плоскости xOy, зависящее от одной произвольной постоянной C. Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения.
Частному решению соответствует одна интегральная кривая, проходящая через некоторую заданную точку. Так, в последнем примере общее решение геометрически изобразится семейством парабол, причем каждому значению параметра C будет соответствовать вполне определенная кривая. Частное решение изобразится параболой (рис. 1. ) проходящей через точку Заметим, что задать начальное условие для уравнения первого порядка с геометрической точки зрения означает задать точку , через которую должна пройти соответствующая интегральная кривая.

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение это значит:

а) найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия,

или

б) найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

gigabaza.ru

Примеры решения дифференциальных уравнений

Методы решения дифференциальных уравнений здесь.

Пример. Частное решение дифференциального уравнения (ДУ)

Дано: ДУ y′′ + y = 0.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Так как (sinx)′′ = −sinx, (cosx)′′ = −cosx, функция вида будет удовлетворять уравнению.

Если c₁ = 1, c₂ = 3, то

если c₁ = 0, c₂ = -2, то

Пример. Решение ДУ с разделяющимися переменными.

Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.

Решение:
Данное в задаче уравнение удобно записать в виде:

Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента:

Умножим правую и левую часть уравнения на .

Получим: .

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу. Тогда общий интеграл этого ДУ имеет вид:
ln|y| = ln|x| + ln|c|, где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме.

Отсюда следует: ln|y| = ln|с×x|, |y| = |с×x|, x ≠ 0.

Пример. Решение однородного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.

Решение:
Правая часть уравнения есть функция только отношения значит ДУ однородное.

Принимаем: . Значит .

Наше уравнение приобретает вид:

ln|lnu| = ln|x| + ln|c|, lnu=c×x, отсюда .

В итоге, получаем:

Пример. Решение линейного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ x ≠ −1.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Принимаем: .

Получаем: ,

,

.

Определяем v из ДУ:

ln|v| = 2×ln|x+1|, отсюда .

Находим u из ДУ:
.

Запишем общее решение ДУ: .

Пример. Уравнение Бернулли.

Дано: ДУ .
Найти: решение ДУ.

Решение:
Уравнение Бернулли — это ДУ вида где P(x), Q(x) – непрерывные функции или постоянные.
При n = 0 оно линейное, при n = 1 с разделяющимися переменными.

В нашем случае

Умножаем обе части, данного в условии задачи, уравнения на .

Получаем:

Заменим:

Получим:

Принимаем:

Получаем линейное ДУ для v:
Отсюда ln|v| = x², .

Запишем уравнение для u:

Тогда

Сразу заменив , можно было решить уравнение Бернулли как линейное.

matematika.electrichelp.ru

Контрольная работа № 4

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Сначала определим вид дифференциального уравнения. Данное уравнение не является уравнением с разделенными переменными, так как коэффициенты при и зависят каждый от двух переменных. Но, разделив обе части уравнения на произведение (считая, что ), приведем его к виду

Это уравнение с разделенными переменными.

Находим общее решение

Или

.

Умножив обе части на (-1), включим знак “-“ в постоянную С. Решение примет вид

.

Таким образом, нами получено общее решение заданного уравнения.

3. Однородные уравнения первого порядка

[2, гл. ХIII, § 5, упр. 39-46].

Пример 2. Найти общее решение уравнения

. (1)

Решение. Определим вид этого уравнения. Это – однородное уравнение, поскольку его правая часть есть .

Поделив почленно правую часть на , получим

Делаем подстановку или . Тогда и уравнение примет вид

. (2)

Разделяем переменные

И интегрируем

Или после потенцирования

.

Нами получено общее решение уравнения (2).

Чтобы найти общее решение уравнения (1), вернемся к старой переменной Y. Подставим , тогда будем иметь

или .

4. Линейные уравнения первого порядка

[2, гл. ХIII, § 7, упр. 57-65].

Пример 3. Найти общее решение уравнения первого порядка

Решение. Определим вид этого уравнения. Уравнение вида Называется линейным. Полагаем ; и подставляем это в данное уравнение

Группируем члены

И полагаем

(3)

Остается

. (4)

Находим сначала V из (3)

Заметим, что V не содержит никаких произвольных постоянных.

Подставляем V в (4) и получаем

Окончательно получаем искомое общее решение

.

5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия.

[2, гл. ХIII, § 16, 17, упр. 118-124].

6.Линейные однородные уравнения второго порядка

Пример 4. Найти общее решение уравнения .

Решение. Ищем решение уравнения в виде тогда и, подставляя в исходное уравнение получим Так как то на него можно сократить и мы получим

Находим его корни

Корни характеристического уравнения вещественные, различные, значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Или

Пример 5. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение (см. пример 9)

Решаем его

Корни характеристического уравнения вещественные равные. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Или

Пример 6. Найти общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение (см. пример 9)

Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Или

7. Линейные, неоднородные уравнения второго порядка

Пример 7. Найти общее решение уравнения

Решение. Находим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение Его корни

Общее решение однородного уравнения

Теперь следует найти частное решение неоднородного уравнения. Правая часть значит ищем в форме , т. к. не является корнем характеристического уравнения.

Требуется найти неизвестные коэффициенты А и В. Для определения А и В дифференцируем дважды

И подставляем это в данное неоднородное уравнение:

Так как то сократив , получим тождественное равенство двух полиномов

Значения А и В найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях

При Х :

При Х0:

Подставляем найденные А и В в

Общее решение неоднородного уравнения

Пример 8. Найти общее решение уравнения

Решение. Соответствующее однородное уравнение

Решаем его

Правая часть данного неоднородного уравнения

Следовательно, частное решение разыскиваем в виде

,

Т. к. не является решением характеристического уравнения.

Дифференцируем и подставляем это решение в неоднородное уравнение

Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях тождества

При

При

Из этой системы находим А и В

Общее решение

Пример 9. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, необходимо получить сначала общее решение данного неоднородного уравнения. Находим его (см. пример 8)

Подставляем в уравнение

Искомое частное решение будем находить из общего. Общее решение неоднородного уравнения

Подставляем начальные условия. При имеем

Найденные постоянные подставляем в общее решение неоднородного уравнения

•  искомое частное решение.

matica.org.ua

Решение типового варианта контрольной работы. Дифференциальные уравнения.

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

А) .

Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:, разнесем слагаемые: ; выражая из полученного уравнения убедимся в том, что и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные. .

Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: .

Получим , .

Таким образом, мы убедились в том, что — общий интеграл заданного уравнения.

Ответ: .

Б).

Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на X.

— Убедимся в том, что производная в представленном уравнении зависит только от отношения , то есть и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.

Введем новую переменную .

;

;

; проинтегрируем выражение

;

;

;

;

— общее решение уравнения.

Ответ: .

В).

Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

— общее решение уравнения.

Ответ: .

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. — неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения , которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания .

Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, общее решение однородного уравнения: .

будем искать в виде . — частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А. .

. Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:

; ;

;

Ответ: .

Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по T:

и заменим воспользовавшись для этого вторым уравнением системы:

. Окончательно .

— однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, решение: . Из первого уравнения , поэтому ;

.

Ответ: ; .

Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение. Пусть искомое уравнение кривой. Проведем касательную MN в произвольной точке M(X;Y) кривой до пересечения с осью Оу В точке N. Согласно условию, должно выполняться равенство, но , а найдем из уравнения , полагая X=0, то есть.

Итак, приходим к однородному уравнению .

Полагая Y=Tx (Y’=T’X+T), получим или , откуда – данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу.

Определим значение константы С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим ; из двух значений С=0 И С=2 Нас устраивает лишь второе, так как при С=0 Парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение , или .

Ответ: .

Задание 5.

А) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной X, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

Ответ. .

Б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: .

Ответ. .

В) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ. ; .

Задание 6. Решить уравнение .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения являются числа , то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид . Правая часть исходного уравнения не позволяет найти частное решение неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение в виде: , предполагая, что здесь и (мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а и Решения следующей системы дифференциальных уравнений:

таким образом .

Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим (постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции : . Вновь интегрируя, запишем: .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Ответ. .

matica.org.ua

Решением дифференциального уравнения — Решение

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение

и установим некоторые свойства его решений.

Свойство 1
Если является решением линейного однородного уравнения, то C, где C — произвольная постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство.
Подставляя в левую часть рассматриваемого уравнения C, получим: ,
но , т.к. является решением исходного уравнения.
Следовательно,

и справедливость указанного свойства доказана.

Свойство 2
Сумма двух решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть и являются решениями рассматриваемого уравнения, тогда
и .
Подставляя теперь + в рассматриваемое уравнение будем иметь:
, т.е. + есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что, зная два частных решения и линейного однородного уравнения второго порядка, мы можем получить решение , зависящее от двух произвольных постоянных, т.е. от такого количества постоянных, какое должно содержать общее решение уравнение второго порядка. Но будет ли это решение общим, т.е. можно ли путем выбора произвольных постоянных и удовлетворить произвольно заданным начальным условиям?
При ответе на этот вопрос будет использовано понятие линейной независимости функций, которую можно определить следующим образом.

Две функции и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным, т.е. если
.
В противном случае функции называются линейно зависимыми .
Иными словами, две функции и называются линейно зависимыми на некотором интервале, если на всем интервале.

Примеры

1. Функции y₁ = e ^x и y₂ = e ^{— x} линейно независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y₁ = e ^x и y₂ = 5 e ^x линейно зависимы, т.к.
.

Теорема 1.

Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.

Доказательство.

Если
,
где , то и .
Следовательно,
.
Теорема доказана.

Замечание.
Определитель Вронского, фигурирующий в рассмотренной теореме, обычно обозначается буквой W или символами .
Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедлива следующая обратная и притом более сильная теорема.

Теорема 2.

Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Доказательство.

Пусть определитель Вронского обращается в ноль в точке , т.е. =0,
и пусть и .
Рассмотрим линейную однородную систему

относительно неизвестных и .
Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского при
x= , т.е. совпадает с , и, следовательно, равен нулю. Поэтому система имеет ненулевое решение и ( и не равны нулю). Используя эти значения и , рассмотрим функцию . Эта функция является решением того же уравнения, что и функции и . Кроме того, эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям: , т.к. и .
С другой стороны, очевидно, что решением уравнения , удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция y =0.
В силу единственности решения, имеем: . Откуда следует, что
,
т.е. функции и линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствия.

1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x=, то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.

2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.

Теорема 3.

Если и — два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и — произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство.

Как известно, функция является решением рассматриваемого уравнения при любых значениях и . Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия
и ,
можно так подобрать значения произвольных постоянных и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенства, получим систему уравнений
.
Из этой системы можно определить и , т.к. определитель этой системы

есть определитель Вронского при x= и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений и ).

; .

Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Примеры

Пример 1.

Общим решением уравнения является решение .
Действительно,
.

Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:

.

Пример 2.

Решение y = C₁ e ^x + C₂ e ^{— x} уравнения является общим, т.к. .

Пример 3.

Уравнение , коэффициенты которого и
непрерывны на любом интервале, не содержащем точки x = 0, допускает частные решения

(легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение имеет вид:
.

Замечание

Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.

gigabaza.ru

§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет общее решение, гдеилинейно-независимые частные решения этого уравнения.

Общий вид решений однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , зависит от корней характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

1)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни ,действительные и различные. Следовательно, общее решение имеет вид:.

2)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни действительные и одинаковые. Следовательно, общее решение имеет вид:.

3)

Решение: Составим характеристическое уравнение: .

Решив его, найдем корни комплексные. Следовательно, общее решение имеет вид:.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, где . (1)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид, где– частное решение этого уравнения,– общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения.

Вид частного решения неоднородного уравнения (1) в зависимости от правой части:

Рассмотрим различные виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения :

1. Пусть правая часть имеет вид , где– многочлен степени. Тогда частное решениеможно искать в виде, где– многочлен той же степени, что и, а– число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение. Найдем корни последнего уравнения. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид.

Б) Так как правая часть уравнения является многочленом первой степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (), то частное решение ищем в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дваждыи подставляя,ив исходное уравнение, находим.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства,, находим,. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид, а его общее решение.

2. Пусть правая часть имеет вид , где– многочлен степени. Тогда частное решениеможно искать в виде, где– многочлен той же степени, что и, а– число, показывающее, сколько разявляется корнем характеристического уравнения.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение. Найдем корни последнего уравнения. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид.

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения, оно не совпадает с корнямихарактеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде, где– неизвестный коэффициент. Дифференцируя дваждыи подставляя,ив исходное уравнение, находим. Откуда, то естьили.

Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а его общее решение.

3. Пусть правая часть имеет вид , гдеи– данные числа. Тогда частное решениеможно искать в виде, гдеи– неизвестные коэффициенты, а– число, равное числу корней характеристического уравнения, совпадающих с. Если в выражение функциивходит хотя бы одна из функцийили, то внадо всегда вводитьобе функции.

Пример

Найти общее решение .

Решение:

А) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Для этого запишем характеристическое уравнение. Найдем корни последнего уравнения. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид.

Б) Так как правая часть уравнения есть функция , то контрольное число данного уравнения, оно не совпадает с корнямихарактеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде

, где и– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды, получими. Подставляя,ив исходное уравнение, находим

.

Приводя подобные слагаемые, получим

.

Приравниваем коэффициенты при ив правой и левой частях уравнения соответственно. Получаем систему. Решая ее, находим,.

Итак, частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .

studfiles.net

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Общее, частное и особое решения дифференциального уравнения

Свойства общего решения.

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀).

Определение. Решение вида у = j(х, С₀) называется частным решениемдифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши(Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Определение. Интеграломдифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

— это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Определение. Интегральной кривойназывается график y = j(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

Определение. Особым решениемдифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

Если такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

— это так называемая дифференциальная формауравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

23.Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка (без доказательства).
Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

24.Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:

Если такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

— это так называемая дифференциальная формауравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Уравнения вида y’ = f(x).

Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале

a < x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как . Если заданы начальные условия х₀ и у₀, то можно определить постоянную С.

megaobuchalka.ru

Ответы к тесту методы оптимальных решений

Базисным решением системы m линейных уравнений с n переменными называется решение, в котором.

• 1) все m неосновных переменных равны нулю
• 2) все n-m неосновных переменных равны нулю
• 3) все m неосновных переменных не равны нулю
• 4) все n-m неосновных переменных не равны нулю

При решении задачи линейного программирования геометрическим методом оптимальным решением может быть.

• 1) одна точка
• 2) две точки
• 3) отрезок
• 4) интервал

Общая задача линейного программирования может включать в себя.

• 1) систему ограничений в виде неравенств
• 2) систему ограничений в виде равенств
• 3) требования оптимизации нелинейной целевой функции
• 4) требования оптимизации линейной целевой функции

Критерий оптимальности решения задачи линейного программирования при отыскании максимума линейной функции с выражением линейной функции через неосновные переменные …, то решение задачи оптимально.

• 1) отсутствуют отрицательные коэффициенты при неосновных переменных
• 2) отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных
• 3) отсутствуют положительные коэффициенты при основных переменных
• 4) присутствуют положительные коэффициенты при основных переменных

Оценочные ограничения строки i разрешающего столбца s  для симплекс — таблицы задача линейного программирования в следующие правила.

• 1) ¥, если b_i =0 и a_is<0
• 2) ¥, если b_i =0 и a_is>0
• 3) 0, если b_i =0 и a_is>0
• 4) 0, если b_i =0 и a_is<0

Для взаимно-двойственных задач линейного программирования.

• 1)  в общих задачах ищется максимум или в обоих — минимум
• 2) в одной задаче ищется максимум в другой — минимум
• 3) матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач совпадают
• 4) матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг другу

Метод северо-западного угла: «поставщик» — «потребитель» так, чтобы:

• 1) переменной x₁₁ дается минимально возможное значение
• 2) переменной x₁₁ дается максимально возможное значение
• 3) после вычеркивания первого столбца северо-западным элементом будет является элемент x₁₂
• 4) после вычеркивания первого столбца северо-западным элементом будет является элемент x₁₁
• 5) после вычеркивания первого столбца северо-западным элементом будет является элемент x₂₁

 Согласно первой теореме двойственности:

•  1) если одна задача имеет оптимальное решение, то двойственная задача оптимального решения не имеет
• 2) если одна задача имеет оптимальное решение, то двойственная задача тоже имеет оптимальное решение
• 3) если линейная функция одной из задач не ограничена, то условия двойственной задачи противоречивы
• 4) если линейная функция одной из задач не ограничена, то линейная функция двойственной задачи тоже не ограничена

 Распределенный метод решения транспортной задачи

• 1) поставка, передаваемая по циклу определяется как минимум среди поставок в клетках цикла со знаком «+»
• 2) поставка, передаваемая по циклу определяется как минимум среди поставок в клетках цикла со знаком «-«
• 3) поставка, передаваемая по циклу не может быть ни меньше, ни больше минимума поставок клеток цикла со знаком «-«
• 4) поставка, передаваемая по циклу не может быть ни меньше, ни больше минимума поставок клеток цикла со знаком «+»

Задачи конечномерной оптимизации делятся на …

• 1) точные
• 2) приближенные
• 3) аналитические
• 4) эвристические

Пусть решается задача определенного экстремума. Составим функцию Лагранжа: L(x₁,…,x_n)=f(x₁,…,x_n)+Sl_ij_i(x₁,…,x_n). Для определения стационарных точек необходимо.

• 1) приравнять к нулю производные L по переменным x₁,…,x_n       
• 2) приравнять к нулю производные L по переменным l₁,…,l_m
• 3) приравнять к нулю производные L по переменным x₁,…,x_n и производные L по переменным l₁,…,l_m
• 4) приравнять к нулю производные L по переменным x₁,…,x_n и приравнять к нулю функции j₁,…,j_m

Математическая постановка задачи оптимального уравнения включает следующие элементы

• 1) математическое описание объекта управления
• 2) описание состояния внешней среды
• 3) предмодельный анализ экономической сущности
• 4) описание управляющего воздействия
• 5) математическое описание критерия качества управления
• 6) описание изменения (движения) объекта управления

Транспортная задача. Найти объемы перевозок для каждой пары «поставщик» — «потребитель» так, чтобы:

• 1) мощности всех поставщиков были реализованы
• 2) мощности всех поставщиков были минимальны
• 3) спросы всех потребителей были минимальны
• 4) спросы всех потребителей были удовлетворены
• 5) суммарные затраты на перевозку были минимальны
• 6) суммарные затраты на перевозку были бы удовлетворены

Методы отсечения:

• 1) мощности всех поставщиков были реализованы
• 2) сначала задача решается без условия целочисленности
• 3) сначала задается в задаче условие целочисленности
• 4) вводится дополнительное ограничение правильности отсечения
• 5) дополнительное ограничение правильности отсечения выполняются автоматически

В задаче многокритериальной оптимизации для оценки качества найденных решений используют эталонные точки:

• 1) идеальная точка
• 2) утопическая точка
• 3) оптимальная точка
• 4) надир

Задачи теории массового обслуживания:

• 1) определения максимальной длинны очереди
• 2) определение необходимой скорости обслуживания
• 3) рациональное построение очереди
• 4) определение количества приборов обслуживания, которые работают параллельно

 Для Марковского процесса в физической системе характерно:

• 1) для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент
• 2) для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит от состояния системы в прошлые моменты времени
• 3) для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем не зависит от того, каким образом система пришла  в это состояние
• 4) для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние

Общая задача целочисленного программирования: Найти такое решение X=(x₁,…,x_n), при котором линейная функция Z=Sc_jx_j принимает минимальное или максимальное значение при ограничениях:

• 1) Z=Sc_jx_j , c_j и x_j — целые
• 2) Z=Sa_ijx_j=b_i  , a_ij, x_j и b_i — целые
• 3) Z=Sa_ijx_j=b_i  , a_ij и b_i — целые
• 4) x_j ³ 0, x_j — целые

 Особенности модели динамического моделирования:

• 1) задача оптимизации интерпретируется как многошаговый процесс управления
• 2) целевая функция равна сумме целевых функций каждого шага
• 3) количество управляющих переменных может быть бесконечно
• 4) количество управляющих переменных — конечно

testyiotvety.blogspot.com

Методы оптимальных решений Тесты с ответами ИММиФ Тема 4-5

Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы)

Тема 4

Если число ресурсов, которые распределяются по работам равно числу работ и один ресурс назначаются только на одну работу, то задача линейного программирования, к которой сводится задача имеет основные ограничения…

+Все ограничения равенства

Все ограничения неравенства вида ≤

Все ограничения неравенства вида ≥

Ограничения могут быть как равенства, так и неравенства

Матрица эффективности задачи о назначениях при максимизации критерия имеет вид:

Какую матрицу нужно взять за исходную при решении задачи Венгерским методом?

 +

Задача о назначениях с минимизацией критерия имеет матрицу затрат вида:

                D             E             F

А             6             3             4

В             2             8             5

С             1             7             9

Ее решение будет:

+A-E, B-F, C-D

A-D, B-F, C-E

A-F, B-D, C-E

A-F, B-E, C-D

Суммарные затраты для предыдущей задачи равны…

Выберите один ответ.

7

6

+9

0

Какие компьютерные программы предназначены для помощи ЛПР в решении многокритериальных задач о назначении?

Системы управления базами данных

+Интеллектуальные информационные системы

Коммуникационные системы

Системы программирования

Тема 5

В выборах участвуют 3 кандидата: А, В и С. Предпочтения 30 избирателей распределились следующим образом:

Предпочтения    Число голосов    Предпочтение    Число голосов

   А→В→С              6                             В→С→А             4

   А→С→В              5                             С→А→В             4

   В→А→С              6                             С→В→А             5

Кто победил по методу голосования Кондорсе?

Победил А

Победил В

Победил С

+Однозначно выявить победителя нельзя

Исходные данные о выборах приведены в задании 1. Кто победил по методу голосования Борда?

+Победил А

Победил В

Победил С

Однозначно выявить победителя нельзя

Исходные данные о выборах приведены в задании 1. Кто победил по методу большинства первых мест в одном туре?

+Победил А

Победил В

Победил С

Однозначно выявить победителя нельзя

Как называется принцип голосования «коллективный выбор в системе голосования должен повторять в точности единогласное мнение всех голосующих»?

Аксиома универсальности

+Аксиома единогласия

Аксиома полноты

Аксиома транзитивности

Из двух кандидатов каждый избиратель выбирает лучшего. Побеждает тот, который будет большее число раз выбран лучшим. Какая аксиома Эрроу не может быть проверена в данной системе голосования?

Аксиома универсальности

Аксиома единогласия

Аксиома полноты

Аксиома транзитивности                             

Несколько конкурентов, выпускающих аналогичный товар, пытаются договориться о объемах выпускаемого товара. Каждый производитель хочет увеличить свой объем выпуска за счет уменьшения выпуска у конкурентов. Какую математическую модель принятия решений целесообразно здесь использовать.

Организацию работы ГПР с помощью посредника

+Теорию игр

Принятие решений в условиях определенности

Метод голосования

Какой этап организации работы ГПР нужно выполнить в первую очередь?

Сбор информации

Разработка шкал оценки по критериям

+Определение списка критериев

Анализ информации

test-for-you.ru

Тест с ответами по теме Оптимизация

1. Оптимизация – это…

а) Получение оптимальных результатов в определенных пределов;

+ б) Целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях;

в) Ответы а и б – правильные;

г) Правильного ответа нет.

2. На основании выбранного критерия оптимальности составляют…

а) Оптимальную функцию;

б) Функцию критерия оптимальности;

+ в) Целевую функцию;

г) Правильного ответа нет.

3. В САПР основными методами оптимизации являются –…

а) Программные методы.

б) Векторные методы.

+ в) Поисковые методы.

г) Правильного ответа нет.

4. Необходимость оптимизации в проектировании уже появляется на этапе…

а) Эскизного проектировании;

б) Структурного синтеза;

в) Инженерного моделирования;

+ г) Ответы а и в – правильные.

5. Для решения задачи оптимизации первым необходимо сделать…

а) Выбрать критерий оптимальности;

+ б) Составить математическую модель;

в) Выбрать метод оптимизации;

г) Правильного ответа нет.

6. При записи математических задач оптимизации в общем виде обычно используют символы?

+ а) f(x), U;

б) l(x), U;

в) j(x), U;

г) Правильного ответа нет.

7. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости называется …

а) Областью САПР;

б) Областью Парето;

+ в) Областью работоспособности;

г) Все ответы правильные.

8. Первый этап построения математической модели – …

а) Формализация;

+ б) Исследование объекта;

в) Исследование рынка;

г) Правильного ответа нет.

9. В задачах оптимизации различают критерии оптимизации…

а) Простые;

б) Сложные;

+ в) Ответы а и б – правильные;

г) Правильного ответа нет.

10. Анализ полученного решения бывает …

а) Формальным;

б) Содержательным;

в) Примитивным;

+ г) Ответы а и б – правильные.

11. В математическом программировании отделяют виды решения?

а) Программное;

б) Допустимое;

в) Собственное;

+ г) Ответы б и в – правильные.

12. Синтез проектных решений – это …

а) Сущность проектирования;

б) Необходимая составная часть проектирования;

+ в) Основа проектирования;

г) Правильного ответа нет.

13. Анализ – это…

а) Сущность проектирования;

+ б) Необходимая составная часть проектирования;

в) Основа проектирования;

г) Правильного ответа нет.

14. Синтез подразделяется на:

а) Анализирующий;

б) Параметрический;

в) Структурный;

+ г) Ответы б и в – правильные.

15. В САПР процедуры процедуры параметрического синтеза выполняются в:

а) Интерактивном режиме;

б) Автоматический режиме;

в) Ручном режиме;

+ г) Ответы а и б – правильные.

16. Каким этапом в общем процессе проектирования имеет место инженерное моделирование?

а) 1;

+ б) 2;

в) 3;

г) Правильного ответа нет.

17. Множество точек пространства выходных параметров, из которых невозможно перемещения, приводит к улучшению всех выходных параметров называют …

а) Областью САПР;

б) Областью работоспособности;

+ в) Областью Парето;

г) Другое.

18. Сепарабельное программирования…

а) Представляет собой Сепарабельное функцию;

б) Представляет собой нелинейную функцию;

+ в) Представляет собой сумму функций;

г) Правильного ответа нет.

19. Задача оптимизации сводится к нахождению?

а) Рост целевой функции;

+ б) Экстремума целевой функции;

в) Спада целевой функции;

г) Правильного ответа нет.

20. Любой критерий оптимальности имеет…

+ а) Экономическую природу;

б) Природу управления параметров;

в) Торговую природу;

г) Правильного ответа нет.

21. Каково назначение редактора Р-CAD Symbol Editor?

а) создание схемы Э3;

б) создание схемы Э2;

+ в) создание УГО элементов схемы Э3;

г) автотрасировщик.

22. С помощью которого редактора возможно создание посадочных мест элементов на печатную плату?

а) Р-CAD Symbol Editor;

+ б) Р-CAD Pattern Editor;

в) Р-CAD Schematic;

г) Р-CAD PCB.

23. С помощью какой команды, в программе Р-CAD Schematic, возможно генерирования списка электрических связей схемы для их дальнейшей обработки в Р-CAD PCB?

а) ERC;

+ б) Generate Netlist;

в) Load Netlist;

г) Правильного ответа нет.

24. Создание схем Э3 возможно с помощью программы?

а) Р-CAD Symbol Editor;

б) Р-CAD Pattern Editor;

+ в) Р-CAD Schematic;

г) Р-CAD PCB.

25. В каком слое вводится контур ПП?

а) Top;

б) Bottom;

+ в) Board;

г) Top Silk.

26. В чем заключается суть ручного проведения трасс?

+ а) Прокладка трасс проводиться полностью ручным способом в строгом соответствии с замыслом разработчика;

б) Разработчик только указывает направление фрагмента трассы, а система формирует ее сама с учетом принятых правил трассировки;

в) Ответы а и б – правильные;

г) Правильного ответа нет.

27. При котором алгоритме построения трасс ПП каждое соединение проводится по кратчайшему пути, обходя препятствия,которые встречаются?

а) Ортогональный;

б) Волновой;

+ в) Эврестический;

г) Правильного ответа нет.

28. Который с автотрассировщиков основан на безсеточной технологии и реализует принципы оптимизации нейронных сетей?

а) Quick-Route;

+ б) Shape—Based Router;

в) Ответы а и б – правильные;

г) Правильного ответа нет.

29. В чем заключается суть интерактивного проведения трасс?

а) Прокладка трасс проводиться полностью ручным способом в строгом соответствии с замыслом разработчика;

+ б) Разработчик только указывает направление фрагмента трассы, а система формирует ее сама с учетом принятых правил трассировки;

в) Ответы а и б – правильные;

г) Правильного ответа нет.

30. Имеет ли возможность P-CAD проверять схемы Э3 на работоспособность?

а) Да;

б) Нет;

+ в) Да, но с помощью специальных утилит.

testdoc.ru

Тест с ответами Линейное программирование

Модель – это
аналог (образ) оригинала, но построенный средствами и методами отличными от оригинала +
подобие оригинала
копия оригинала

Экономико-математическая модель – это
математическое представление экономической системы (объектов, задачи, явлений, процессов и т. п.) +
качественный анализ и интуитивное представление объектов, задач, явлений, процессов экономической системы и ее параметров
эвристические описание экономической системы (объектов, задачи, явлений, процессов и т. п.)

Метод – это
подходы, пути и способы постановки и решения той или иной задачи в различных областях человеческой деятельности +
описание особенностей задачи (проблемы) и условий ее решения
требования к условиям решения той или иной задачи

Выберите неверное утверждение
ЭММ позволяют сделать вывод о поведении объекта в будущем
ЭММ позволяют управлять объектом +
ЭММ позволяют выявить оптимальный способ действия
ЭММ позволяют выявить и формально описать связи между переменными, которые характеризуют исследования

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса – это
макроэкономическая, детерминированная, имитационная, матричная модель
микроэкономическая, детерминированная, балансовая, регрессионная модель
макроэкономическая, детерминированная, балансовая, матричная + модель
макроэкономическая, вероятностная, имитационная, матричная модель

Найти экстремум функции f(x) при выполнении ограничений Ri(x) = ai, φ (x) ≤ bj, наложенных на параметры функции – это задача
условной оптимизации +
линейного программирования
безусловной оптимизации
нелинейного программирования
динамического программирования

Задача, включающая целевую функцию f и функции Ф, входящие в ограничения, является задачей линейного программирования, если
все Ф и f являются линейными функциями относительно своих аргументов +
все Ф являются линейными функциями относительно своих аргументов, а функция f – нелинейна
функция f является линейной относительно своих аргументов, а функции Ф – нелинейны
только часть функций Ф и функция f являются линейными относительно своих аргументов

Множество всех допустимых решений системы задачи линейного программирования
является
выпуклым +
вогнутым
одновременно выпуклым и вогнутым

Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то целевая функция достигает нужного экстремального значения в одной из
вершин многоугольника (многогранника) допустимых решений +
внутренних точек многоугольника (многогранника) допустимых решений
точек многоугольника (многогранника) допустимых решений

В задачах линейного программирования решаемых симплекс-методом искомые переменные должны быть
Неотрицательными +
положительными
свободными от ограничений
любыми

Симплексный метод решения задач линейного программирования включает
определение одного из допустимых базисных решений поставленной задачи (опорного плана)
определение правила перехода к не худшему решению
проверку оптимальности найденного решения
определение одного из допустимых базисных решений поставленной задачи (опорного плана), определение правила перехода к не худшему решению, проверка оптимальности найденного решения +

Графический способ решения задачи линейного программирования – это
построение прямых, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств
нахождение полуплоскости, определяемой каждым из ограничений задачи +
нахождение многоугольника допустимых решений
построение прямой F = h = const >= 0, проходящей через многоугольник решений
построение вектора C, перпендикулярного прямой F = h = const
передвижение прямой F = h = const в направлении вектора C (в сторону увеличения h), в результате чего находят либо точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве допустимых решений
определение координат точки максимума функции и вычисление значения целевой функции в этой точке
все перечисленные ответы в этом задании +

Задача линейного программирования не имеет конечного оптимума, если
в точке А области допустимых значений достигается максимум целевой функции F
в точке А области допустимых значений достигается минимум целевой функции F
система ограничений задачи несовместна
целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений +

При приведении задачи линейного программирования (ЛП) к виду основной задачи ЛП ограничения вида «< или =» преобразуются в ограничения равенства добавлением к его левой части дополнительной неотрицательной переменной. Вводимые дополнительные неизвестные имеют вполне определенный смысл. Так, если в ограничениях исходной задачи ЛП отражается расход и наличие производственных ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в решении задачи, записанной в виде основной имеет смысл
двойственной оценки ресурса
остатка ресурса +
нехватки ресурса
стоимости ресурса

Если ресурс образует «узкое место производства», то это означает
ресурс избыточен
ресурс использован полностью +
двойственная оценка ресурса равна нулю

Критерием остановки вычислений в алгоритме поиска оптимального решения методами одномерной оптимизации является условие
отношение длины текущего интервала неопределенности к длине первоначального интервала меньше заданной величины ε
значение целевой функции (ЦФ), вычисленное в текущей точке, меньше значения ЦФ, вычисленного в последующей точке
отношение длины текущего интервала неопределенности к длине первоначального интервала больше заданной величины ε
значение ЦФ, вычисленное в текущей точке, меньше значения ЦФ, вычисленного в предыдущей точке +

Если целевая функция и все ограничения выражаются с помощью линейных уравнений, то рассматриваемая задача является задачей
динамического программирования
линейного программирования +
целочисленного программирования
нелинейного программирования

Модель задачи линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум и система ограничений задачи является системой уравнений, называется
стандартной
канонической +
общей
основной
нормальной

Модель задачи линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум и система ограничений задачи является системой неравенств, называется
стандартной
канонической
общей +
основной
нормальной

В линейных оптимизационных моделях, решаемых с помощью геометрических построений число переменных должно быть
не больше двух +
равно двум
не меньше двух
не больше числа ограничений +2
сколько угодно

Задача линейного программирования может достигать максимального значения
только в одной точке
в двух точках
во множестве точек +
в одной или двух точках
в одной или во множестве точек

Если в прямой задаче, какое либо ограничение является неравенством, то в двойственной задаче соответствующая переменная
Неотрицательна +
положительна
свободна от ограничений
отрицательная

Транспортная задача является задачей …. Программирования
динамического
нелинейного
линейного +
целочисленного
параметрического

Если в транспортной задаче объем спроса равен объему предложения, то такая задача называется
замкнутой
закрытой +
сбалансированной
открытой
незамкнутой

Если в транспортной задаче объем запасов превышает объем потребностей, в рассмотрение вводят
фиктивный пункт производства
фиктивный пункт потребления +
изменения структуры не требуются

Методы теории игр предназначены для решения задач
с конфликтными ситуациями в условиях неопределенности +
с полностью детерминированными условиями
статистического моделирования

Стратегия игрока – это совокупность правил, определяющих выбор его действий при
каждом ходе в зависимости от сложившейся ситуации в одном сеансе игры +
одном ходе игры
всех сеансах игры

Нижняя цена игры – это
максимин, т.е. максимальный выигрыш по всем стратегиям одного из игроков среди минимальных значений выигрышей каждой его стратегии +
гарантированный выигрыш одного из игроков при любой стратегии другого игрока
минимакс, т.е. минимальный проигрыш по всем стратегиям одного из игроков среди максимальных значений проигрышей каждой его стратегии

Верхняя цена игры – это
минимакс, т.е. минимальный проигрыш по всем стратегиям одного из игроков среди максимальных значений проигрышей каждой его стратегии +
гарантированный проигрыш одного из игроков при любой стратегии другого игрока
максимин, т.е. максимальный выигрыш по всем стратегиям одного из игроков среди минимальных значений выигрышей каждой его стратегии
Решение игры в чистых стратегиях определяется

ценой игры, равной нижней цене игры
ценой игры, равной верхней цене игры
наличием седловой точки
всем перечисленным в ответах на это задание +

Решение игры в смешанных стратегиях определяется
вероятностью выбора каждой из активных (полезных) стратегий, совокупный выигрыш которых представляет случайную величину с математическим ожиданием равным цене игры +
ценой игры, равной нижней цене игры
ценой игры, равной верхней цене игры
наличием седловой точки

Задача, процесс нахождения решения которой является многоэтапным, относится к задачам
линейного программирования
теории игр
динамического программирования +
нелинейного программирования
параметрического программирования

liketest.ru

Онлайн-тест МФПУ «Методы оптимальных решений» |

xn--4-7sbqf2d.com

Методы оптимальных решений тесты

1. Вероятностным решениям …

соответствует условие неопределенности

соответствует условие риска

соответствуют условия риска и неопределенности +

соответствует условие определенности

2. Дерево решений – это …

философское видение процесса управления

суть процесса принятия решений

графическое представление процесса принятия решений

3. Для более эффективной реализации управленческого решения …

необходимо сформулировать имеющиеся ограничения

необходима оперативная система управления

необходима система контроля

4. К группе методов исследования операций относится …

метод теории игр

метод Дельфи

метод линейного программирования

метод разработки сценария

метод управления запасами

5. Критерий – это …

способ выражения различий в оценке альтернативных вариантов с точки зрения участников процесса выбора +

вероятностный показатель оценки альтернатив

один из возможных способов достижения цели или один из конечных вариантов решений

6. Критерий Вальда – это критерий …

недостаточного основания

пессимизма-оптимизма

наименьших возможных потерь

средневзвешенного выигрыша

максимального гарантированного результата

7. Критерий Гурвица – это критерий …

пессимизма-оптимизма

наименьших возможных потерь

максимального гарантированного результата

средневзвешенного выигрыша

недостаточного основания

8. Критерий Сэвиджа – это критерий …

пессимизма-оптимизма

наименьших возможных потерь

средневзвешенного выигрыша

недостаточного основания

максимального гарантированного результата

9. ЛПР (лицо, принимающее решения) – это …

человек, который лично работает в рассматриваемой области деятельности, является признанным специалистом по решаемой проблеме, может и имеет возможность высказать суждения по ней

группа людей, имеющая общие интересы и старающаяся оказать влияние на процесс выбора и его результат

субъект, который всерьез намерен устранить стоящую перед ним проблему, выделить на ее разрешение и реально задействовать имеющиеся у него активные ресурсы, суверенно воспользоваться положительными результатами от решения проблемы или взять на себя всю ответственность за неуспех, неудачу, за напрасные расходы +

10. Максиминные и минимаксные критерии относятся к принятию решений в условиях …

риска

неопределенности

определенности

11. Метод «Дельфи» относится к … методам

количественным

формализованным

эвристическим

12. Метод анализа иерархий предполагает …

разработку оптимальной структуры управления

декомпозицию проблемы на простые составляющие части

иерархическое представление задачи

13. Метод букета проблем относится к … методам

формализованным +

эвристическим

количественным

14. Метод математического программирования …

не применяется для проведения расчетов управленческих решений

применяется для подсчета вариантов принятия управленческих решений

применяется для расчета лучшего варианта решения по критерию оптимальности принятия управленческих решений

15. Метод мозгового штурма относится к … методам

формализованным

количественным

эвристическим

16. Метод равномерной оптимизации применяется, если …

глобальное качество альтернативы представляет собой сумму локальных (частных) качеств

необходимо провести анализ критериев

отсутствуют исходные данные

необходимо провести детализированный анализ проблемы

17. Метод синектики относится к … методам

формализованным

количественным

эвристическим

18. Метод справедливого компромисса применяется, потому что …

необходимо провести анализ критериев

имеется тесная связь с решением в некооперативных играх +

глобальное качество альтернативы представляет собой сумму локальных (частных) качеств

необходимо провести детализированный анализ проблемы

19. Метод фокальных объектов относится к … методам

формализованным

количественным

эвристическим

20. Методы психологической активизации и методы подключения новых интеллектуальных источников относятся …

к эвристическим методам

к методам сценариев

к активизирующим методам

21. Модель принятия решений Врума – Йеттона …

помогает руководителю найти возможные альтернативы решения возникшей проблемы

позволяет выбрать метод разработки решения

дает возможность определить роль подчиненных в процессе принятия решения

помогает руководителю обосновать принятое решение

kursar.ru

Тест с ответами на тему: Методы синтеза и оптимизации

86. На какие группы разделяются методы оптимизации в зависимости от существования или отсутствия ограничений?

A. Полной и безусловной оптимизации.

B. Полной и неполной оптимизации.

C. условного и безусловной оптимизации. +

D. условного и частичной оптимизации.

87. Как называют методы оптимизации первого порядка?

A. Методами прямого поиска.

B. градиентных методов. +

C. Методами условного поиска.

D. Методами быстрого спуска.

88. Как называется проектировочная процедура, суть которой заключается в разработке [или выборе] структуры объекта?

A. Структурным синтезом. +

B. Задачей принятия решений.

C. параметрического синтеза.

D. объектной синтезом.

89. Какой принцип лежит в основе методов исключения интервалов?

A. Постепенное сужение области допустимых значений целевой функции.

B. Последовательное уменьшение интервала поиска. +

C. Последовательное превращение интервалов неопределенности в зону поиска оптимума целевой функции.

D. Последовательное увеличение интервала поиска.

90. Какие из ниже перечисленных методов относятся к методам одномерной оптимизации?

A. Методы Розенброка, Хука-Дживса, Нелдера-Мида, случайного поиска.

B. Методы быстрого спуска, сопряженных градиентов, переменной метрики.

C. Методы быстрого спуска, Розенброка, Хука-Дживса, метод золотого сечения.

D. Метод дихотомического деления, метод золотого сечения, метод чисел Фибоначчи, метод полиномиальной аппроксимации. +

91. Заданные условия работоспособности на выходные параметры и необходимо найти номинальные значения проектных параметров, к которым относятся все или доли элементов объекта, проектирующих. Это приведены формулировки. . .

A. базовой задачи структурного синтеза.

B. задачи прийняттякаркаснийишень. [Каркасный]

C. базовой задачи оптимизации. +

D. задачи принятия пт минимального решения.

97. Что называют параметрическим синтезом?

A. Задачу оптимизации на базе многовариантного анализа.

B. проектировочные процедуру, суть которой заключается в разработке [или выборе] структуры объекта.

C. Задачу оптимизации на базе двовариантного анализа.

D. проектировочные процедуру, суть которой заключается в расчете [или выборе] значений параметров элементов объекта. +

98. Что такое градиент функции многих переменных?

A. Матрица перестановок.

B. Матрица Якоби

C. Матрица множества альтернатив.

D. Матрица Гессе. +

99. В зависимости от количества управляемых параметров методы оптимизации делятся на методы …

A. одномерной и многомерной оптимизации. +

B. двумерной и многомерной оптимизации.

C. одномерной и n + к-мерной оптимизации.

D. одномерной, двумерной и трехмерной.

100. Какое из перечисленных определений касается понятия «параметрический синтез»?

A. Определение цели, множества возможных решений и ограничительных условий.

B. Проектировочная процедура, суть которой заключается в разработке или выборе структуры объекта.

C. Расчет или выбор значений внутренних параметров элементов объекта. +

D. Расчет или выбор значений внешних атрибутов объекта.

testdoc.ru

Таблицы сложения и умножения

Таблицы сложения и умножения в различных системах счисления

Двоичная система счисления

Троичная система счисления

Таблица сложения		Таблица умножения
1+1=2		1*1=1
1+2=10	2+2=11	1*2=2	2*2=11

Восьмеричная система счисления

Таблица сложения
1+1=2
1+2=3	2+2=4
1+3=4	2+3=5	3+3=6
1+4=5	2+4=6	3+4=7	4+4=10
1+5=6	2+5=7	3+5=10	4+5=11	5+5=12
1+6=7	2+6=10	3+6=11	4+6=12	5+6=13	6+6=14
1+7=10	2+7=11	3+7=12	4+7=13	5+7=14	6+7=15	7+7=16

Таблица умножения
1*1=2
1*2=2	2*2=4
1*3=3	2*3=6	3*3=11
1*4=4	2*4=10	3*4=14	4*4=20
1*5=5	2*5=12	3*5=17	4*5=24	5*5=31
1*6=6	2*6=14	3*6=22	4*6=30	5*6=36	6*6=44
1*7=7	2*7=16	3*7=25	4*7=34	5*7=43	6*7=52	7*7=61

Шестнадцатеричная система счисления

Таблица сложения

1+1=2

1+2=3

2+2=4

1+3=4

2+3=5

3+3=6

1+4=5

2+4=6

3+4=7

4+4=8

1+5=6

2+5=7

3+5=8

4+5=9

5+5=A

1+6=7

2+6=8

3+6=9

4+6=A

5+6=B

6+6=C

1+7=8

2+7=9

3+7=A

4+7=B

5+7=C

6+7=D

7+7=E

1+8=9

2+8=A

3+8=B

4+8=C

5+8=D

6+8=E

7+8=F

8+8=10

1+9=A

2+9=B

3+9=C

4+9=D

5+9=E

6+9=F

7+9=10

8+9=11

9+9=12

1+A=B

2+A=C

3+A=D

4+A=E

5+A=F

6+A=10

7+A=11

8+A=12

9+A=13

A+A=14

1+B=C

2+B=D

3+B=E

4+B=F

5+B=10

6+B=11

7+B=12

8+B=13

9+B=14

A+B=15

B+B=16

1+C=D

2+C=E

3+C=F

4+C=10

5+C=11

6+C=12

7+C=13

8+C=14

9+C=15

A+C=16

B+C=17

C+C=18

1+D=E

2+D=F

3+D=10

4+D=11

5+D=12

6+D=13

7+D=14

8+D=15

9+D=16

A+D=17

B+D=18

C+D=19

D+D=1A

1+E=F

2+E=10

3+E=11

4+E=12

5+E=13

6+E=14

7+E=15

8+E=16

9+E=17

A+E=18

B+E=19

C+E=1A

D+E=1B

E+E=1C

1+F=10

2+F=11

3+F=12

4+F=13

5+F=14

6+F=15

7+F=16

8+F=17

9+F=18

A+F=19

B+F=1A

C+F=1B

D+F=1C

E+F=1D

F+F=1E

Таблица умножения

1*1=1

1*2=2

2*2=4

1*3=3

2*3=6

3*3=9

1*4=4

2*4=8

3*4=C

4*4=10

1*5=5

2*5=A

3*5=F

4*5=14

5*5=19

1*6=6

2*6=C

3*6=12

4*6=18

5*6=1E

6*6=24

1*7=7

2*7=E

3*7=15

4*7=1C

5*7=23

6*7=2A

7*7=31

1*8=8

2*8=10

3*8=18

4*8=20

5*8=28

6*8=30

7*8=38

8*8=40

1*9=9

2*9=12

3*9=1B

4*9=24

5*9=2D

6*9=36

7*9=3F

8*9=48

9*9=51

1*A=A

2*A=14

3*A=1E

4*A=28

5*A=32

6*A=3C

7*A=46

8*A=50

9*A=5A

A*A=64

1*B=B

2*B=16

3*B=21

4*B=2C

5*B=37

6*B=42

7*B=4D

8*B=58

9*B=63

A*B=6E

B*B=79

1*C=C

2*C=18

3*C=24

4*C=30

5*C=3C

6*C=48

7*C=54

8*C=60

9*C=6C

A*C=78

B*C=84

C*C=90

1*D=D

2*D=1A

3*D=27

4*D=34

5*D=41

6*D=4E

7*D=5B

8*D=68

9*D=75

A*D=82

B*D=8F

C*D=9C

D*D=A9

1*E=E

2*E=1C

3*E=2A

4*E=38

5*E=46

6*E=54

7*E=62

8*E=70

9*E=7E

A*E=8C

B*E=9A

C*E=A8

D*E=B6

E*E=C4

1*F=F

2*F=1E

3*F=2D

4*F=3C

5*F=4B

6*F=5A

7*F=69

8*F=78

9*F=87

A*F=96

B*F=A5

C*F=B4

D*F=C3

E*F=D2

F*F=E1

Задачи
Контрольная работа
К оглавлению

slbazhenova.narod.ru

Таблица умножения. Система подсказок поможет выучить таблицу умножение быстрее.

calcs.su

Таблицы умножения и сложения — КиберПедия

Запишем таблицы умножения и сложения для двоичной системы (табл. 5 и 6). Отметим, что таблица сложения сложнее таблицы умножения.

Таблица сложения двоичных чисел

Таблица умножения двоичных чисел

Натуральные двоичные числа

Выпишем первые натуральные двоичные числа от 0 до 16. Цифровую запись следующего числа можно получить, используя основное свойство натуральных чисел: следующее число больше предыдущего на 1.

Поэтому для получения следующего двоичного числа после 1₂ прибавим к 1₂ число 1₂, получим 1₂ + 1₂ = 10₂, т. е. «десять». Отсюда имеем: 2₁₀ = 1₂ + 1₂ = 10₂.

Столбиком посчитаем следующие по порядку двоичные числа, т. е. прибавим 1₂ к 10₂ , затем к 11₂ и т. д.

Перевод числа из двоичной системы в десятичную

Перевести любое двоичное число в десятичное можно по формуле

Примеры.

1. 1101₂=1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰ = 13₁₀.

2. 101010₂ =1∙2⁵ + 1∙2³ + 1∙2¹= 42₁₀.

3. 1011000₂ = 1∙2⁶+1∙2⁴+1∙2³ = 88₁₀.

4. 11,01=1∙2¹+1∙2⁰+0∙2^-1+1∙2^-2 = 3,25₁₀.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную

1. Делим число на основание системы счисления. Запоминаем остаток.

2. Снова делим частное на основание системы. Запоминаем остаток.

3. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока в частном не получится 1.

4. Записываем последовательно последнее частное (1) и все остатки в обратном порядке.

Пример. Переведем число 36₁₀ в двоичную систему.

36 : 2 = 18. Остаток 0.

18 : 2 = 9. Остаток 0.

9 : 2=4. Остаток 1.

4 : 2=2. Остаток 0.

2 : 2=1. Остаток 0.

36₁₀= 100100₂.

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

При записи числа в шестнадцатеричной системе для записи цифр обозначающих числа 10, 11, 12. 13, 14. 15 используются соответственно буквы А, В, С, D, E, F.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную

Перевести любое шестнадцатеричное число в десятичное можно по уже известной формуле

Примеры.

1. АЕ07₁₆=10∙16³ +14∙16² +0∙16¹ +7∙16⁰=44551₁₀.

2. 100₁₆=1∙16² +0∙16¹ +0∙16⁰ =256₁₀.

3. 58₁₆=5∙16¹+8∙16⁰=.88₁₀.

4. 2А₁₆=2∙16¹+10∙16⁰=42₁₀.

5. D₁₆ = 13₁₀.

Перевод числа из десятичной системы в шестнадцатеричную осуществляется также, как в двоичную.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно

Перевести любое шестнадцатеричное число в двоичное можно следующим образом. Каждая цифра шестнадцатеричной записи числа записывается четырехзначным двоичным числом — тетрадой. После этого нули, стоящие слева, можно отбросить.

И наоборот, перевести любое двоичное число в шестнадцатеричное можно аналогичным образом. Каждые четыре двоичные цифры, считая справа налево, записываются одной шестнадцатеричной цифрой. Эти цифры располагаются также справа налево.

Примеры.

1. 1101₂ = D.

2. 101010₂ = 10 1010₂ = 2A.

3. 1011000₂ = 101 1000₂ = 58₁₆.

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Восьмеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 8 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно осуществляется по аналогии с переводом в двоичную / из двоичной.

Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно

Каждая цифра восьмеричной записи числа записывается трехзначным двоичным числом — триадой.

Примеры.

2563₈ = 010 101 110 011₂ =10101110011₂.

1001101₂ = 001 001 101₂ = 115₈.

cyberpedia.su

Фальшивая и правильная таблица умножения | Интересное | Лазарев Сергей Николаевич. Человек будущего

Фальшивая и правильная таблица умножения

Многие из нас задумывались, а почему в школе мы заучивали (зубрили) таблицу умножения, не проверяя её правильность, и не находили ответа. У большинства учащихся этот вопрос не стоял, нас с «пелёнок» приучали жить на «веру» и вот к чему это привело. При самостоятельном заполнении таблицы умножения построчно сразу становится очевидным что умножение — это всего лишь многоКРАТНОЕ сложение, и соответственно деление — это многоКРАТНОЕ вычитание, поэтому легко приходит понимание принципиальной разницы выражений “на сколько больше/меньше” и “во сколько раз больше/меньше”.

В продолжениии тем:

Зомбирование — это форсированная обработка подсознания человека, благодаря которой он программируется на безоговорочное подчинение приказам своего хозяина. Само зомбирование начинается с детского сада и продолжается на протяжении всей вашей жизни.

Практические методы зомбирования:  нам вдалбливают в голову множество информации.

Все получаемые там знания делятся на:

• бессмысленные
• бесполезные
• вредные
• ошибочные
• устаревшие

Мы должны четко знать, что все слова русов выражаются предложениями. Есть понятие «грамматика русского языка» и понятие «корень слова». Корень слова несет смысл данного выражения и переносит его на функционалы, т.е. на глагол.

Вводим два понятия:

1) сложение;

2) умножение.

Сложение. Чтобы получить результат сложения, что нужно сделать? Сложить. С ЛОЖЬЮ ЖИТЬ.

Умножение. Чтобы получить результат умножения, что нужно сделать? Умножить. УМНО ЖИТЬ.

Для многих математика в школе была непонятным и нелюбимым предметом. В большинстве случаев ученики не виноваты, просто их изначально неправильно учили и чем дальше, тем хуже учат. Рассмотрим ситуацию на примере всем известной «таблицы умножения». Есть такой старый анекдот:»Женщина возмущается что очень удобно 5х5=25, 6х6=36 , а вот почему 7х7=49, неужели было трудно 47 сделать?» Очень практичный подход — сделать как ей удобно, а не как правильно. В начальной школе у всех нас «учительница первая моя», которая крайне редко идет против стандарта, действует «как учили», «по учебнику» и в соответствии с «методическими планами».

Творчество и новаторство в этой области выражается в «женских» подходах  — с со стихами и песнями, танцами и бубнами, зверушками и финтифлюшками от всей души с наивным желанием сделать привлекательнее  и «красивше», с твердой уверенностью в том что «дэти, эта нелза понят, эта нужьна проста запомнит»:

Ни о каком абстрактном мышлении здесь не может быть и речи — отвлекает всё, надо напрягаться даже чтобы просто прочитать. Но не будем сурово осуждать всех творцов, они хотели как лучше, а получилось как всегда.

Вместо злобствования попробуем немного поколдовать над всем известным, казалось бы простейшим предметом и последовательно очистить зерна истины от плевел маразма улучшательства.

Для начала убираем лишние краски, картинки, искажения и получаем обычные колонки примеров умножения:

Затем по принципу соблюдения необходимых и достаточных условий, отсекаем лишнее как скульпторы: все примеры умножения на 1 и 10 как элементарные и все повторы. Последнее очень важно, ведь при механическом запоминании следует бойкий ответ 6х8=48, а вот 8х6= уже вызывает заминку либо ошибку. При исключении повторов такое нереально, поскольку уже сама система подачи материала заставляет понять что это одно и то же. Кроме того, психологически облегчает учёбу не только снижение числа примеров со 100 до 36, но и последовательное уменьшение их количества в колонках:

Именно такой, сокращенный вариант (правда с колонкой 1 х …= ) можно было увидеть на обложках школьных тетрадей до 1970-х гг. Несомненно, можно остановиться на этом для удобства механического запоминания, но понимания математики оно не добавит. Поэтому двигаемся дальше.

Внимательный читатель наверное заметил, что до сих пор мы говорили о ПРИМЕРАХ умножения, а не о ТАБЛИЦЕ умножения.

Смотрим как выглядит настоящая, легкая, удобная для запоминания таблица умножения с полным и правильным названием: таблица умножения И ДЕЛЕНИЯ, поскольку множители одновременно являются и делителями. Хорошо заметна симметрия таблицы из-за выделения идущих по диагонали квадратов чисел:

историческое название «таблица Пифагора»

а так выглядела в древности таблица умножения у шумеров:

Делаем последнюю концептуальную трансформацию — начинаем таблицу умножения не сверху, а снизу. Почему? Во-первых, это интуитивно понятнее: ниже — меньше, выше — больше, а направление слева направо сохраняется как совпадающее с направлением письма слева — меньше, затем направо — больше.

Во-вторых … расскажем чуть позднее.

Правильную таблицу умножения можно дать ученику и в готовом виде, но лучше всего если он сам её составит. Да-да. Это вполне доступно даже первокласснику!

Рисуем сетку и нумеруем ряды и столбцы с 1 до 9 — это соответствует примерам умножения на 1, они же будут выполнять функции сомножителя/кратности/во сколько раз.

Затем учеником заполняются ряд и столбец с 2 путем прибавления числа 2 для каждой последующей клеточки, затем ряд и столбец с 3 и так далее, получается простая таблица умножения:

Что это даёт?

Уже с начальной школы ученик привыкает к табличной форме, с которой ему потом придется часто встречаться, интуитивно понимает, что таблицы создаются как удобный и концентрированный справочный материал, часть из которого надо знать наизусть для удобства применения.

Поначалу для удобства пользования таблицей лучше пользоваться «уголком» для выделения строк и столбцов — вырезаем квадрат с одного угла чистого тетрадного листа. Привычка координатного поиска образуется достаточно быстро.

При таком подходе не нужно тупо механически запоминать колонки примеров умножения, а сразу можно дать пользоваться всей таблицей. Пусть она лежит перед глазами в помощь решению примеров и через некоторое время тренировок запоминание придет само, в неё ученик будет заглядывать все реже и реже.

Таблица должна стать тем же, чем она была изначально — помощью в работе. Упор всегда и везде должен быть не на запоминание, а на понимание и знание где можно найти справочный материал и как им пользоваться.

При самостоятельном заполнении таблицы умножения построчно сразу становится очевидным что умножение — это всего лишь многоКРАТНОЕ сложение, и соответственно деление — это многоКРАТНОЕ вычитание, поэтому легко приходит понимание принципиальной разницы выражений «на сколько больше/меньше» и во сколько раз больше/меньше». Это очень важно для последующего составления уравнений по условиям задач.

Выделение штриховкой или цветом диагонали (квадратов чисел) ясно показывает симметричность таблицы, т.е. равнозначность последовательности сомножителей и здесь избыточность материала играет в сторону закрепления его (повторение — мать учения) и самостоятельного выявления такой закономерности.

Уже потом, когда потребуется в процессе обучения, дети узнАют сколько полезного и интересного связано со знакомой с первого класса простенькой табличкой.  Подобно  Журдену из «Мещанина во дворянстве» Ж.Б. Мольера, который с удивлением узнал что он говорит прозой, детям надо будет только добавить новую терминологию и новые выводы. 

Например, им будут говорить уже не просто о втором сомножителе или кратности сложения, а назовут его коэффициентом.

Каждая строка и столбец таблицы представляют из себя арифметическую прогрессию, от которой легко переходим уже к геометрической прогрессии, факториалам и прочим будто бы сложностям.

Если выделить любой прямоугольник на такой таблице, то в правом верхнем углу его будет указана площадь (чудо!), т.е. таким образом демонстрируется что алгебра и геометрия — это всего лишь разные способы отображения общих закономерностей единой науки математики. Другими словами, наглядно показывается что произведение чисел соответствует площади прямоугольника, а квадрат числа — это действительно квадрат (соответственно для куба надо рисовать третью координату). А отсюда легко переходим к решению геометрических задач алгебраическими способами и наоборот — смотря что удобнее.

Понимание графиков с осями Х и Y, названиями «абсцисса» и «ордината» уже не вызовет затруднений — это будет привычная с начальных классов форма представления материала, надо только дорисовать стрелочки. И… объяснить чем отличаются кардинальные числа от ординальных (они же количественные и порядковые соответственно).

В конце-концов и понимание интеграла как суммы бесконечно малых величин исходит именно из понимания сути умножения натуральных чисел (и опять геометрические аналоги — площадь на криволинейной трапеции на графике функции), иначе интегрирование будет тупо восприниматься как заученные механические действия при обнаружении хитрой закорючки в виде длинной буквы S.

Так что большинство проблем из-за НЕПОНИМАНИЯ ОСНОВ.

Разместил(а): Администратор 09/06/2014 в 11:58

Комментарии

Чтобы размещать комментарии, вам нужно зарегистрироваться

lazarev.org

Материал по математике (2 класс) по теме: Таблица сложения и умножения

Учимся считать!

Самое увлекательное занятие – это учить таблицу умножения! Не поверили? Вот и мои ученики не верили, пока я не написал программу CalcTraining (вычислительный тренажер).  Сама жизнь заставила сделать это. Ведь я учу детей математике. И теперь они сами просят: «Давайте мы таблицу умножения поучим!».

И учителя начальных классов довольны. Всего одна неделя тренировок  – и все поголовно  твердо знают таблицу умножения! А теперь этой программой с удовольствием пользуются учителя и других школ нашего района.

Программа позволяет также быстро выучить таблицу деления, потренироваться в сложении и вычитании чисел с переходом через десяток, в действиях с положительными и отрицательными числами. Интерфейс ее очень прост. После запуска появляется такое окно.

В меню выбираем объект тренировки. Например, Таблица умножения. Если хотим выучить таблицу умножения на 2, то щелкаем по кнопке с изображением этой цифры. В пустое поле вводим ответ и нажимаем Enter и т.д. (это единственная управляющая клавиша).  Аналогично обстоит дело и с другими пунктами меню.

Когда вся таблица умножения более или менее выучена, то можно провести тестирование. Нажимаем кнопку Тестирование. Из предлагаемого списка выбираем нужного ученика и нажимаем кнопку Начать.

Этот список учителю нужно создать заранее в файле Список.txt (прилагается к программе, только фамилии нужно заменить своими. Не обязательно строго следовать этому образцу. Главное, чтобы на одного учащегося приходилась только одна строчка). В процессе тестирования (30 примеров) правильные ответы отмечаются зеленым цветом, неправильные – красным (см. рис.). Когда тест пройден, появляется информация о результатах. А сами результаты записываются в соответствующие файлы СтатистикаТУ.txt (таблица умножения), СтатистикаТД.txt (таблица деления), СтатистикаСВ.txt (сложение и вычитание). Они создаются автоматически.

В компьютерном классе с локальной сетью удобно эту программу разместить на главном компьютере, а на ученических – создать ярлыки. Тогда вся статистика будет храниться на одном компьютере, что очень удобно для последующей ее обработки и анализа, да и дети не будут иметь к ней доступа.

Володин Евгений Юрьевич,

учитель Приволжской основной школы

Спасского района Республики Татарстан

nsportal.ru

Таблицы сложения умножения — Справочник химика 21

    Конгруэнция (III. 104) определяет поле. В этом поле содержится пять различных элементов О, 1, 2, 3, 4. Составим таблицу сложения и таблицу умножения в этом поле  [c.104]

    Сложение, вычитание, умножение и деление производятся с помощью шестнадцатеричных таблиц сложения, вычитания и умножения по правилам, которые нам известны в десятичной системе счисления. [c.22]

    Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в /)-ичной позиционной системе, выполняются весьма просто с использованием таблиц сложения, вычитания и умножения, подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления. Умножение числа на основание системы р, как это следует из формулы (1.2), сводится к переносу запятой на один разряд вправо, а деление на р — к переносу запятой на один разряд влево. [c.18]

    Двоичные таблицы сложения (табл. 1.1), вычитания (табл. 1.2) и умножения (табл. 1.3) весьма просты. [c.19]

    С помощью этих таблиц сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел выполняются по тем же правилам, по которым мы привыкли складывать, вычитать, умножать и делить десятичные числа. [c.19]

    Шестнадцатеричные таблицы сложения и умножения значительно больше десятичных. Их нетрудно составить по образцу таблиц 1.4 и 1.5. Таблица сложения, как и для восьмеричной системы счисления, может быть использована как таблица вычитания. [c.22]

    Выражение для М справедливо и для члена с п=—2. Коэффициенты /Ио…. in уравнения (IX, На) зависят только от температуры, они могут быть заранее вычислены при различных значениях Т и табулированы. Используя таблицу величин /И ,. .., М , можно для любого конкретного случая с известными Аа. АЬ, Ае заменить интегрирование уравнения (а) действиями умножения и сложения. [c.312]

    Для более сложных вычислений, в частности, при необходимости совмещения умножения и деления со сложением и вычитанием и т. д., пользуются различными номограммами или готовыми таблицами для различных возможных результатов наблюдений, [c.482]

    Пример 1-2. Операции умножения и сложения одноразрядных двоичных чисел представляются в виде следующих таблиц  [c.23]

    Приведенная таблица включений соответствует реализации некоторой логической зависимости общего вида у — i х , х , ж,), которую можно раскрыть при помощи элементарных функций алгебры логики. При этом принимается, что любая как угодно сложная функция алгебры логики выражается в виде формулы через три элементарные операции логического сложения, логического умножения и отрицания. Трем указанным элементарным функциям соответствуют следующие таблицы включения и обозначения в символах алгебры логики  [c.51]

    Степень а носит название десятичного логарифма числа Л, т. е. 1 Л = а. Например, число 100 может быть изображено как десять во второй степени, так как 100 = 102 следовательно, десятичным логарифмом 100 будет число 2. Таким же образом десятичным логарифмом 1 ООО окажется число 3, так как 1 ООО = 10 , и т. д. Понятно, что для подавляющего большинства чисел их десятичный логарифм окажется длинной десятичной дробью. Так, логарифмом двойки будет число 0,30103. логарифмом пяти будет число 0,69897 или приблизительно 0,7. логарифмом 101 будет число 2,00432 и т. д. Система десятичных логарифмов широко используется для быстрых подсчетов и издается в виде специальных таблиц. Она позволяет вместо длительных операций умножения и деления свести подсчеты к сложению или вычитанию логарифмов. На этой основе построены и счетные логарифмические линейки. [c.210]

    Вместо умножения многозначных цифр при подсчете относительной плотности по формуле можно пользоваться таблицей, составленной в соответствии с этой формулой, и заменить умножение менее сложными действиями сложением и вычитанием. [c.4]

    По тем же правилам, которые применяются в десятичной системе счисления, с помощью таблиц умножения, сложения и вычитания производят умножение и деление восьмеричных чисел. [c.20]

    Приведенная таблица включения соответствует реализации некоторой логической зависимости общего вида у=Цхи Х2, Хз), которую можно представить, воспользовавшись элементарными функциями алгебры логики. При этом принимается, что любая, сколь угодно сложная функция алгебры логики аналитически выражается через три элементарные операции логическое сложение, логическое умножение и отрицание. Трем указанным элементарным функциям соответствуют следующие таблицы включения, в которых использованы обозначения в символах алгебры логики  [c.167]

    Векторные пространства при сравнении их с привычным трехмерным пространством, которое будем обозначать через обнаруживают много общих черт как в 31з, так и в iR определены операции сложения векторов и их умножения на число существуют базисные системы векторов, по которым может быть разложен любой вектор пространства определены различные преобразования векторов, представляемые таблицами коэффициентов таких преобразований, т. е. матрицами. Однако существуют и отличия в обычном пространстве 91з мы можем говорить о длине векторов, об углах между ними, сравнивать изменения векторов по длине и по направлению при различных преобразованиях и т. п. В векторном пространстве такие понятия, как длина вектора, пока не определены. Аналогия же с обычным трехмерным пространством 31з подсказывает, что если их определить, то у пространства появится множество новых интересных сторон. Каждый объект, будь то вектор или матрица преобразования, станет характеризоваться полнее и разностороннее, чем в исходном пространстве [c.61]

    Техника вычислений. Вычисления можно выполнять пятью способами 1) устным 2) устно-письменным 3) письменным 4) с помощью таблиц, графиков, номограмм, логарифмической линейки 5) с помощью счетных машин. Вычисления малой степени точности следует выполнять устно, устно-письменно или при помощи логарифмической линейки. Умножение и деление многозначных чисел с высокой степенью точности выполняют при помощи таблиц логарифмов или счетных машин. Обычный письменный способ вычисления можно употреблять только 1) для сложения и вычитания многозначных чисел  [c.7]

    Технология функционирования НСС перекрывает проблемы распараллеливания алгоритмов для многопроцессорных ЭВМ [154]. В силу автономности функционирования N-элементов НСС, начиная с некоторого момента своего существования, каждый информационный процесс в НСС имеет несколько параллельных взаимопе-рекрывающихся траекторий (см. выше, Естественный язык). Например, последовательные участки итерационного вычисления циклического участка могут отображаться м

www.chem21.info

Конвертировать Часы в Дней

convertlive.com

Калькулятор Дни в Секунды | Сколько секунд в днях

Сколько секунд в днях — дни равно секунд

1 День (д)
=
86400 Секунд (с)

14 — четырнадцать. натуральное четное число. число каталана c4. в ряду натуральных чисел находится между числами 13 и 15. Все о числе четырнадцать.

1. Главная
2. О числе 14

14 — четырнадцать. Натуральное четное число. Число Каталана C₄. В ряду натуральных чисел находится между числами 13 и 15.

Like если 14 твое любимое число!

Распространенные значения и факты

14 регион — Республика Саха (Якутия)

Столица

Якутск

Автомобильный код

14

Федеральный округ

Дальневосточный

Экономический район

Дальневосточный

Дата образования

27 апреля 1922 г.

Территория

3 103, 20 тыс. кв. км 18,17 % от РФ 1 место в РФ

Население

Изображения числа 14

Склонение числа «14» по падежам

Перевод «четырнадцать» на другие языки

Азербайджанский

on dörd

Албанский

katërmbëdhjetë

Английский

fourteen

Арабский

أربعة عشرة

Армянский

տասնչորս

Белорусский

чатырнаццаць

Болгарский

четиринадесет

Вьетнамский

mười bốn

Голландский

veertien

Греческий

δεκατέσσερα

Грузинский

თოთხმეტი

Иврит

ארבעה עשר

Идиш

פערצן

Ирландский

ceathair déag

Исландский

fjórtán

Испанский

catorce

Итальянский

quattordici

Китайский

十四

Корейский

십사

Латынь

quatuordecim

Латышский

četrpadsmit

Литовский

keturiolika

Монгольский

арван дөрөв

Немецкий

vierzehn

Норвежский

fjorten

Персидский

چهارده

Польский

czternaście

Португальский

catorze

Румынский

paisprezece

Сербский

четрнаест

Словацкий

štrnásť

Словенский

štirinajst

Тайский

สิบสี่

Турецкий

on dört

Украинский

чотирнадцять

Финский

neljätoista

Французский

quatorze

Хорватский

četrnaest

Чешский

čtrnáct

Шведский

fjorton

Эсперанто

dek kvar

Эстонский

neliteist

Японский

14

Перевод «14» на другие языки и системы

Римскими цифрами

Римскими цифрами

XIV

Сервис перевода арабских чисел в римские

Арабско-индийскими цифрами

Арабскими цифрами

١٤

Восточно-арабскими цифрами

۱۴

Деванагари

१४

Бенгальскими цифрами

১৪

Гурмукхи

੧੪

Гуджарати

૧૪

Ория

୧୪

Тамильскими цифрами

௧௪

Телугу

౧౪

Каннада

೧೪

Малаялам

൧൪

Тайскими цифрами

๑๔

Лаосскими цифрами

໑໔

Тибетскими цифрами

༡༤

Бирманскими цифрами

၁၄

Кхемерскими цифрами

១៤

Монгольскими цифрами

᠑᠔

В других системах счисления

14 в двоичной системе

1110

14 в троичной системе

112

14 в восьмеричной системе

16

14 в десятичной системе

14

14 в двенадцатеричной системе

12

14 в тринадцатеричной системе

11

14 в шестнадцатеричной системе

E

Известные люди умершие в 14 лет

• Фейсал ибн Хамад аль-Халифа Младший сын короля Бахрейна Хамада, почётный президент федерации спортсменов-инвалидов королевства; автокатастрофа. Смерть наступила в 2006 году в 14 лет.
• Савичева, Татьяна Николаевна Ленинградская школьница, которая с начала блокады Ленинграда начала вести дневник, ставший впоследствии одним из символов Великой Отечественной войны. Смерть наступила в 1944 году в 14 лет.
• Казей, Марат Иванович Пионер-герой, юный партизан-разведчик, Герой Советского Союза (посмертно). Смерть наступила в 1944 году в 14 лет.
• Бондаровская, Юта Пионер-герой, партизанка 6-й Ленинградской партизанской бригады. Смерть наступила в 1944 году в 14 лет.
• Котик, Валентин Александрович Пионер-герой, юный партизан-разведчик, самый молодой Герой Советского Союза. Смерть наступила в 1944 году в 14 лет.

QR-код, MD5, SHA-1 числа 14

http://pro-chislo.ruhttp://pro-chislo.ru//data/moduleImages/QRCodes/14/0f3544a7d2b7cd291604f0407b86e9eb.png

MD2 от 14

22ef826989c1d8be42ecad47689975d4

MD4 от 14

88919c67f4c6fe7289a3ebb9e3b863a0

MD5 от 14

aab3238922bcc25a6f606eb525ffdc56

SHA1 от 14

fa35e192121eabf3dabf9f5ea6abdbcbc107ac3b

SHA256 от 14

8527a891e224136950ff32ca212b45bc93f69fbb801c3b1ebedac52775f99e61

SHA384 от 14

09ee1a81249288b3f4db15eb47a53147d9700e93e0e26ac73c28e7d4ee2dbe3f996b401ac3dd238b6f06b8e0cae2fc9e

SHA512 от 14

5f3a799ba20c20a225f75d4fe2acab79912dfcd2f2b333bf062b37acbb6463388c344430d5ba1e9fd318d3ed8263074e999e2b2e811bc51c5e2dfea4e2f32e58

GOST от 14

50b528dddf51669edbf0ae3cb6555af9818bbdfd3e20a39ad3e70ad301e4781e

Base64 от 14

MTQ=

14й день в году

14й день в не високосном году — 14 января

Обрезaние Господне

День трубопроводных войск России

Старый Новый Год

14й день в високосном году — 14 января

Математические свойства числа 14

Простые множители

2 * 7

Делители

1, 2, 7, 14

Количество делителей

4

Сумма делителей

24

Простое число

Нет

Предыдущее простое

13

Следующее простое

17

14е простое число

43

Число Фибоначчи

Нет

Число Белла

Нет

Число Каталана

Да C₄

Факториал

Нет

Регулярное число (Число Хемминга)

Нет

Совершенное число

Нет

Полигональное число

Нет

Квадрат

196

Квадратный корень

3.7416573867739

Натуральный логарифм (ln)

2.6390573296153

Десятичный логарифм (lg)

1.1461280356782

Синус (sin)

0.99060735569487

Косинус (cos)

0.13673721820783

Тангенс (tg)

7.2446066160948

Фильмы про 14

14 дней с Виктором (14 Days with Victor), 2010 год

Виктор молод и застенчив, он борется за выживание в Лондоне, где его жизнь пересекается с судьбами художников Мартина и Анны.…

14 клинков (Jin yi wei), 2010 год

Во времена средневековья, в Китае, при власти принадлежавшей династии Мин, находившийся в то время на престоле правитель, решил создать особую…

14 километров (14 kilometros), 2007 год

Два брата из Нигера, Буба и Мукела, и маленькая Виолета из Мали отправляются в опасное путешествие в поисках лучшей жизни.…

Комментарии о числе 14

pro-chislo.ru

14 четное или нечетное — число 14 четное или нет — 22 ответа



чет или нечет

В разделе Техника на вопрос число 14 четное или нет заданный автором Евровидение лучший ответ это нет

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: число 14 четное или нет

Ответ от Простецкий[новичек]
Раз делится на 2, значит четное 🙂 14/2=7

Ответ от Дикий.[гуру]
Да. 142=7

Ответ от Лена Авдеева[новичек]
четное

Ответ от Особенность[активный]
На 2 делится, значит да ))

Ответ от Александр Лебедев[гуру]
Раз делится на два, значит четное — в первом классе еще проходили, помню.

Ответ от Someone’s dream[гуру]
если делится на 2 без остатка — значит четное

Ответ от Влад Гринкевич[активный]
Если делится на два без остатка. Остатка нет, значит четное.

Ответ от Васим алсолипи[активный]
Да!

Ответ от Александр сауленко[гуру]
Если на 2 не делится, то не чётное. А вобще, вопрос супер….

Ответ от Бабай[гуру]
Черный рынок кусал залихватской но красной ценою.
Мне совали по нос антикварный поднос,
Предлагали примерить пальто.
.
Кто-то вплачь умолял, кто-то злобно шипел, увязавшись за мною,
Кто-то нервно запихивал царский червонец в сопливый платок.
Че-черный рынок, чет или нечет
Че-черный рынок, врачует калечит.
Че-черный рынок, чет или нечет.
.
Пусть мечты улетят далеко, словно серые гуси.
Пусть живут не в тебе, так во мне, если чем-то нужны
….
Черный рынок, купи меня дешево — я не торгуюсь.
И продай в три цены, в три большие, как счастье …как счастье, цены.
….
В. Малежик

Ответ от Li pu hin[гуру]
Относительно- слева направо иль наоборот?

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Чётные и нечётные числа на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Чётные и нечётные числа

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Ответы@Mail.Ru: Четное ли число 28?

Совсем туго с математикой?

да, на 2 делится, значит чётное

28 / 2 = 14, следовательно — чётное

Странный вопрос.. . а число 3 нечетное?

Четными называются те числа, которые при делении на 2 дают остаток 0. Те, которые можно разделить на 2 равных числа. 28 / 2 =14 делится с остатком 0. Значит четное

Делится на 2, значит, чётное!!!!

touch.otvet.mail.ru

А число «Пи» чётное или нечётное ???

Это постоянная бесконечная. Невозможно определить. &#960; &#8776; 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502… и т. д.

число 3,14 Четное ! Плиз 5 балов за ответ !!! СПС!!! !

бесконечное, ващето

Товарищи! Посмотрим википедию! Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2 А число «пи» — НЕ ЦЕЛОЕ, и без остатка не делится!

число это абстракция, но я ещё знаю умные слова, натуральные целые рациональные иррациональные действительные комплексные фабиначчи и ещё множество других. так вот прикол число пи может входить во все эти. а само оно не является целым чтоб отнести его к категории нечетных. ( а да есть ещё числа с периодом) учите арифметику, может дорастете и до математики

Можно подумать, что местные вопрошатели соревнуются в тупости своих вопросов.

touch.otvet.mail.ru

Чётные и нечётные числа Википедия

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

Определения[ | ]

Если m чётно, то оно представимо в виде m=2k{\displaystyle m=2k}, а если нечётно, то в виде m=2k+1{\displaystyle m=2k+1}, где k∈Z{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Арифметика[ | ]

• Деление:
  • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
  • Нечётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётности[ | ]

В десятичной системе счисления[ | ]

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисления

ru-wiki.ru

Методы решения комбинаторных задач

При решении многих практических задач приходится использовать комбинации элементов,  выбирать из данной совокупности те, которые имеют определенные свойства, и размещать их в определенном порядке. Такие задачи называются комбинаторными. Раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями, называется комбинаторикой. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский язык означает – «сочетать», «соединять».

Выбранные группы элементов называют соединениями. Если все элементы соединения разные, то получаем соединения без повторений, которые и рассмотрим ниже.

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Задача 1.

В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение.

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).

Ответ: 24.

Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема.

Рассмотрим решение нескольких задач на разные виды соединений без повторений.

Задача 2.

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.

Решение.

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A₇³ = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Ответ: 210.

Задача 3.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?

Решение.

На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:

A₁₀⁷ – A₉⁶ = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Ответ: 544 320.

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

Решение.

Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит  это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р₈. Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р₅ способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р₈ · Р₅ = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.

Ответ: 8! · 5!

Задача 5. 

В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?

Решение.

Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:

С₁₆⁴ · С₁₂³ = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Ответ: 400 400.

Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать комбинаторные задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Комбинаторные задачи 6 класс — ТолВИКИ

Автор урока

Астапова Александра Анатольевна

Место работы: МБУ «Школа № 32 г.о. Тольятти

сайт МБУ «Школа №32»

Название урока

Решение комбинаторных задач

Предмет, класс

математика, 6 класс

Цели урока

Ввести понятие комбинаторики; сформировать представление о комбинаторных задачах; научить строить дерево возможных вариантов; повторить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями; развитие логического мышления.

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель объясняет тему урока и цель.

2. Новый материал объяснить в ходе решения трех задач.

Презентация «Комбинаторика» (Приложение 1).

Задача№1

Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов. Сколько существует различных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета – белого, красного и синего?

Решение:

Пусть верхняя полоса флага – белая (Б). Тогда нижняя полоса может быть красной (К) или синей (С). Получили две комбинации – два варианта флага. Если верхняя полоса флага – красная, то нижняя может быть белой или синей. Получим ещё два варианта флага. Пусть, наконец, верхняя полоса – синяя, тогда нижняя может быть белой или красной. Это ещё два варианта флага. Всего получили 3 • 2 = 6 комбинаций – шесть вариантов флагов.

Задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций, получили названиекомбинаторных .

Раздел математики, в котором рассматривают такие задачи, называют комбинаторикой. Комбинаторика (от латинского combinare) означает “соединять, сочетать”.

Задача 2

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7? Используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение:

Чтобы ответить на этот вопрос, выпишем все такие числа. Пусть на первом месте стоит цифра 1. На втором месте может быть записана любая из цифр 3, 5, 7. Запишем, например, на втором месте цифру 3. Тогда в качестве третьей цифры можно взять 5 или 7. Получим два числа 135 и 137. Если на втором месте записать цифру 5, то в качестве третьей цифры можно взять цифру 3или 7. В этом случае получим числа 153 и 157. Если же, наконец, на втором месте записать цифру 7, то получим числа 173 и 175. Итак, мы составили все числа, которые начинаются с цифры 1. Таких чисел шесть: 135, 137, 153, 157, 173, 175. Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры 2,с цифры 5, с цифры 7.

Полученные результаты запишем в четыре строки, в каждой из которых шесть чисел:

135, 137, 153, 157, 173, 175, 315, 317, 351, 357, 371, 375, 513, 517, 531, 537, 571, 573, 713, 715, 731, 735, 751, 753,

Таким образом, из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр) можно составить 24 трехзначных числа.

Проведенный перебор вариантов проиллюстрирован на так называемом дереве возможных вариантов. Ответ на вопрос, поставленный в задаче, можно получить, не выписывая сами числа. Рассуждая так. Первую цифру можно выбрать 4 способами. Так как после выбора первой цифры останутся 3, то вторую цифру можно выбрать уже 3 способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) 2 способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4 • 3 • 2, т.е. 24. Ответ на поставленный в задаче вопрос мы нашли, используя комбинаторное правило умножения. Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов n2 способами, затем третий элемент n3 способами и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1 • n2 • n3 • …• nk.

Задача 3 Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?

Решение: Путь из А в В туристы могут выбрать двумя способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит, имеются 2 • 3 вариантов маршрута из А в С. Так как из города С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2 • 3 • 2, т.е. 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани. 3. Тренировочные упражнения (Задания в виде презентации «Комбинаторика» или карточек.).

Задание 1 Сколько существует флагов составленных из трёх горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов –белого, зелёного, красного и синего? Есть ли среди них флаг Российской Федерации. (Ребята самостоятельно решают задачу. Решив задачу, проверяют ответ, вставив пропущенные числа. Ответ в задаче и в примере одинаковый.)

Решение: Таким образом, 4 • 3 • 2 = 24 флага. Ответ: 24 флага, да.

Задание 2

Сколько различных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из нечётных цифр, которые являются кратными 5. Прежде чем решать эту задачу, давайте повторим, какие цифры нечётные? Какие числа являются кратными 5.

Решение: Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. В данном случае, чтобы число было кратным 5, оно должно оканчиваться на 5. Составим дерево возможных вариантов.

Таким образом, 4 • 3 • 1 = 12 чисел.

Задание 3 В школьной столовой предлагают 2 первых блюда: борщ, лапша – и 4 вторых блюда: пельмени, котлеты, гуляш, рыба. Сколько обедов из двух блюд может заказать посетитель. Перечислите их.

Решение: 1 блюдо: Б Л 2 возможности 2 блюдо: П К Г Р П К Г Р по 4 Таким образом, 2 • 4 = 8 различных обедов: Борщ, пельмени; Лапша, пельмени; Борщ, котлеты; Лапша, котлеты; Борщ, гуляш; Лапша, гуляш; Борщ, рыба; Лапша, рыба.

Задание 4 Учащиеся 6 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 11 учащихся. Решение: 11 человек по 10 фотографий. 11 • 10 = 110 (фотографий). Ответ: 110 фотографий.

Задание 5 Из села Ташла в село Пискалы ведут три дороги, а из села Пискалы в город Тольятти – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из села Тащла в город Тольятти через село Пискалы?

Решение: 3 дороги по 4 варианта, т.е. 3 • 4 = 12 (способов). Ответ: 12 способов.

Задание 6 В кафе имеются четыре первых блюда, пять вторых и два третьих. Сколькими способами посетители кафе могут выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

Решение: 4 • 5 • 2 = 40 (способов) Ответ: 40 способов.

Итог урока

– Какие задачи называются комбинаторными?

– Что означает слово «комбинаторика»?

– Как формулируется комбинаторное правило умножения?–

Домашние задание

Придумать и решить три комбинаторных задачи

Презентация

Презентация к уроку «Решение комбинаторных задач

Фото отчет

Материалы по формирующему и итоговому оцениванию

Итоговое оценивание с помощью смайликов

Материалы по сопровождению урока

Литература:

1. Учебник «Математика 6» Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др. Москва: «Мнемозина», 2006.

2. Учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович Москва: «Мнемозина», 2005

3. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие под редакцией С.А.Теляковского. Москва: «Просвещение», 2005.

wiki.tgl.net.ru

Урок математики в 6 классе «Решение комбинаторных задач»

Математика 6 класс

Тема: «Решение комбинаторных задач».

Составила Арзуманова К. В. – учитель физики, математики

Цели:

• Образовательная – ознакомить учащихся с методами решения комбинаторных задач; научить применять методы полного перебора всех возможных вариантов и умножения.

• Развивающая – развивать логическое мышление, интерес к изучению математики. грамотную математическую речь.

• Воспитательная – воспитывать внимание и аккуратность в оформлении заданий.

Тип урока: изучение нового материала

Оборудование: доска, учебники, компьютер, проектор, презентация к уроку (образец в приложении)

План урока:

1. Организационный момент. Приветствие.
2. Изучение нового материала.
3. Рефлексия. Закрепление.
4. Итоги урока.

ХОД УРОКА

1. Приветствие.

2. Устный счёт. Угадай тему урока.

1) ¹/₈ + ¹/₄; 2) ²/₁₅ ∙ 0; 3) 7 – ³/₈; 4) 5⁷/₉ – 2¹/₆; 5) 1¹/₂ ∙ ²/₉; 6) 6¹/₂ + 3¹/₄; 7) ⁴/₅ ∙ ^¾; 8) 4 + 2²/₅;

9) ³/₈ ∙ ⁷/₁₂; 10) ³/₄ – ¹/₃; 11) ³/₈ ∙ 1; 12) ²/₁₅ ∙ 4; 13) 3 ∙ 1¹/₂.

к

о

м

б

и

н

а

т

о

р

и

к

а

А) Введение понятия комбинаторика. (Слайд)

Учитель. Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Б) Что значит решить комбинаторную задачу. (Слайд)

Учитель. Решить комбинаторную задачу – это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.
В разделе представлены комбинаторные задачи на размещение, сочетание, перестановки с повторением и без повторения элементов. Используется естественный, доступный детям всех возрастов метод решения комбинаторных задач с помощью непосредственного перебора возможных вариантов (комбинаций).

В) Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов. (Слайд)

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?

Решение: Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
11; 14; 17; (начали с 1)
41; 44; 47; (начали с 4)
71; 74; 77; (начали с 7)

Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9 чисел.

3. Решение задач методом полного перебора на доске и в тетрадях. (Слайд)

Учащиеся. Сколько существует флагов составленных из трёх горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов – белого, зелёного, красного и синего?

Вопрос:

Есть ли среди них флаг Российской Федерации?

Что означают цвета Российского флага? (Слайд)

(Белый цвет символизирует благородство и откровенность;

Синий цвет — верность, честность, безупречность и целомудрие;

Красный цвет — мужество, смелость, великодушие и любовь).

4. Решение задач с помощью дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Слайд)

Учитель. Существует общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название – дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

5. Задача. (Слайд)

Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1; 4; 7. Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов, которое наглядно показывает решение задачи.

6. Решение задач с использованием дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Слайд)

Учащиеся. Мама на рынке купила фрукты: груши, бананы, яблоки, виноград, мандарины, абрикосы. Сколькими способами мама может разложить эти фрукты по вазам?

Сообщение о фруктах. Американский психолог И. Канн утверждает в своей книге «1001 способ раскрытия своей личности», что привязанность к тем или иным фруктам или ягодам обнаруживает черты вашего характера. Итак, познаем себя через плоды.

Виноград – эти люди умеют хранить тайны не только свои, но и чужие; энергичные, весёлые.

Бананы – любители бананов волевые, мужественные, легкоранимые личности; мечтатели.

Мандарины – это покладистые личности, у них лёгкий характер, они очень коммуникабельны.

Абрикосы – это внимательные и чуткие люди, умеющие дружить; не любят посягательства на свою свободу.

Груши – это оптимисты, преданные друзья, прекрасно поддерживают разговоры на любую тему; душа компании.

Яблоки – это трудолюбивые, усердные в работе люди; по характеру устойчивы и стабильны, всегда добиваются своей цели и их трудно свернуть с пути, который они выбрали. (Слайд).

7. Правило умножения в комбинаторных задачах. (Слайд )

Учитель. Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче.
Рассмотрим этот метод на примере одной задачи:

На обед в школьной столовой предлагается 2 супа,3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?

Суп 2 Вторые блюда 3 Сок 4

Решение: 2 x 3 x 4 = 24

Ответ: Можно составить 24 варианта различных обедов.

8. Решение задач с использованием дерева возможных вариантов на доске и в тетрадях. (Слайд)

Учащиеся. Сколькими способами можно посадить деревья: берёзу, клён, осину, липу, рябину так, чтобы деревья не повторялись?

Сообщение о деревьях биодонорах.

Деревья обладают огромными запасами биоэнергии и способностью её восстанавливать. Издавна известно, что человеку, родившемуся под определенным знаком Зодиака, соответствует свое дерево.

Знак Зодиака

Дерево-донор

Овен

слива

Телец

мирт

Близнецы

лавр

Рак

ива

Лев

дуб

Дева

яблоня

Весы

бук

Скорпион

рябина

Стрелец

пальма

Козерог

сосна

Водолей

инжир

Рыбы

вяз

9. Перестановки в комбинаторных задачах. (Слайд)

Учитель. В комбинаторике часто приходиться решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений называют перестановкой.

Задача. Андрей, Борис и Василий входят в комнату по одному. Сколько у них есть способов это сделать?

Решение. Пусть первым войдёт Андрей, но тогда вторым может войти Борис или Василий, то есть имеются две возможности. Аналогично есть две возможности, если первым войдёт Борис и если первым войдёт Василий. Таким образом, 6 возможностей.

Ответ: 6 способов.

10. Решите задачу на перестановки. (Слайд)

Учащиеся. Меню ученика должно включать в себя витамины группы А, В1, С, Р. Сколько существует вариантов меню так, чтобы витамины не повторялись.

Сообщения о витаминах.

Если у человека не хватает какого-то витамина, то он чувствует себя дискомфортно. Например, если у человека недостаточно витамина:

С – частые простуды, нарушение сна, кровоточащие десны;
А – шероховатость кожи, слезотечение, светобоязнь;
В1 – головные боли, снижение памяти, плаксивость, одышка, сердцебиение;
В2 – бессонница, апатия, плохой запах изо рта, шелушение губ;
В12 – желтый цвет лица, ранняя седина, выпадение волос, головокружение, онемение и покалывание в руках и ногах;
Р – слабость, извращение вкуса,  болезненность языка;
Е – нарастающая мышечная усталость;
D – боль в области костей, в мышцах, часто потеет голова.

Чтобы мы были здоровы, бодры, веселы нужно соблюдать здоровый образ жизни. Есть много фруктов, заниматься спортом, делать утреннюю зарядку.

11. Итог урока

12 Спасибо за урок.

www.metod-kopilka.ru

Урок по математике на тему: «Комбинаторные задачи», 6 класс

Тема урока «Комбинаторные задачи», 6 класс

Цели урока:

— обобщить и систематизировать знания о комбинаторных задачах;

— повторить способы решения комбинаторных задач;

— совершенствовать навыки решения данных задач;

— развивать умение дискуссионной и групповой работы;

— развитие коммуникативных компетенций;

— формирование умений мыслить системно, находить творческий подход в своей работе;

— умение создать и защитить минипроект по теме «Комбинаторные задачи».

Выставка творческих работ по теме «Комбинаторные задачи»

Презентация. Приложение №1.

Класс разбит на 5 групп.

Ход занятия

1. Организационный момент.

Учитель. В вашем, 6 а классе, много ребят творческих, участвующих во всевозможных олимпиадах, конкурсах, проектах. Недавно были подведены результаты заочной российской олимпиады «Авангард», где участвовали ребята. Сегодня они получают дипломы призёров данной олимпиады. ( 5 человек).

Мы закончили изучать интересную тему, учились решать задачи по данной теме, выполняли творческое задание. Как эта тема называлась и чему мы научились, изучая данную тему?

2. Актуализация знаний.

Кто вспомнит, что это за раздел математики, комбинаторные задачи?

(ответы учащихся)

Сообщение ученицы. Слайд №3.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям можно составить из данных объёктов. Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходиться заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности. Например, конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, учёному-агроному, планирующему сельхозкультуры на нескольких полях, химику, изучающему строение молекул.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. В Китае увлекались составлением магических квадратов, в Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов стихотворных размеров. Комбинаторные задачи возникли в связи с такими играми, как шашки, шахматы, карты, кости и др.Чтобы их решить, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям.

Кто напомнит, какими способами мы научились решать комбинаторные задачи? Слайд №4.

• Перебор возможных вариантов.

• Таблицей.

• Дерево возможных вариантов.

• Правило умножения.

• Правило треугольника.

• С помощью графов.

3. Презентация способов решения задач. (Выступает с презентацией ученица, слайды с №5 по №10). Учащиеся работают в группах.

А сейчас мы вспомним отдельно каждый способ. Я вам буду предлагать задачу, вы в группах решите ёё и скажете правильный ответ. Затем проверим решение с помощью презентации.

1.Перебор возможных вариантов.

Сколько существует двухзначных чисел, составленных из цифр: 0, 5, 8 ?

Решение. 58, 50, 80, 85.

Ответ: 4 числа.

2. Таблицей.

Алла, Бэла, Валентина и Галина во время майского праздника подарили друг другу по одному цветку. Причём каждая девочка подарила каждой по одному цветку. Сколько всего цветков было подарено?

Решение.

Ответ: 12 цветков.

А

Б

В

Г

А

——

+

+

+

Б

+

___

+

+

В

+

+

—-

+

Г

+

+

+

—-

3.Дерево возможных вариантов.

Никита, Борис, Виктор, и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл по 1 партии. Сколько сыграно партий?

Решение.

Никита

Борис Виктор Григорий

Виктор Григорий Григорий

Ответ. 6 партий.

4. Правило умножения.

В меню в столовой предложены на выбор 3 первых блюда, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из 1 первого, 1 второго и 1 третьего блюда, можно составить из предложенного меню?

Решение. 3*5*4=60

Ответ: 60 блюд.

5.Правило треугольника.

Встретились 5 приятелей и обменялись рукопожатиями. Сколько всего сделано рукопожатий?

Решение.

1 2 3 4 5

1 — + + + +

2 — — + + +

3 — — — + +

4 — — — — +

5. — — — — — Ответ: 10 рукопожатий.

6.С помощью графа.

По окончанию деловой встречи 4 специалиста обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько визитных карточек было роздано?

Решение.

Ответ. 12 визиток

4.Работа в группах. Слайд №11.

Сейчас я предлагаю каждой группе решить задачу одну и ту же, но разными способами. Каждая группа оформляет своё решение на листе фломастерами.

Задача. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили друг другу на память свои фотографии. Причём каждый мальчик подарил каждому по 1 фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Решение задач вывешивается на доске. Выполняется анализ решения задач каждой группы.

5. Защита минипроектов. Слайд № 12.

Каждый из вас дома выполнил творческую работу. Кто–то сам составил и решил задачи несколькими способами, другие нашли задачи в интернете и тоже их представили. Послушаем наиболее удачные и интересные работы.

(Выступление 5 учащихся)

6. Итог урока. Домашнее задание.

Слайд № 13. Знаешь ли ты?

Как прочитать и решить такой пример?

10!

6!

8!

Поищите в справочной литературе, в интернете ответ на этот вопрос.

Учитель. Рефлексия. Итак, мы закончили изучать тему из раздела Комбинаторики. Интересно ли было решать комбинаторные задачи? Понравился ли урок? (Учащиеся показывают рисунки рожицы с улыбкой или грустные).

Нам ещё предстоит познакомиться с другим разделом математики: теорией вероятности. Это тоже интересная тема. Но о ней мы поговорим позже.

infourok.ru

Урок по математики «Решение комбинаторных задач»

Урок-путешествие
по теме

«Решение комбинаторных задач»

Класс: 6

Предмет: математика

Тип урока: объяснение нового материала

Цели:

Образовательные:

— создать представление о комбинаторике как разделе математики;

— формировать умение решать комбинаторные задачи путем перебора возможных вариантов с помощью дерева вариантов или путем перестановки закодированных элементов;

— познакомить учащихся с решением комбинаторных задач и с использованием правила умножения;

— показать применение знаний, полученных на уроках математики, на практике.

Развивающие:

— развивать логическое мышление, устную математическую речь, внимание, память и воображение через интеллектуальные задания;

— развивать умение решать комбинаторные задачи по правилу умножения;

— развивать творческий потенциал и самооценку через творческие задания.

Воспитательные:

— продолжить воспитание познавательного интереса к предмету и повышение мотивации к учению по средствам ИКТ;

— способствовать воспитанию самостоятельности и умению работать в парах.

Учебники и дидактические материалы:

— Мордкович А.Г. и др. «События. Вероятности. Статистическая обработка данных. 7-9 кл.» — М.: Мнемозина, 2003

— Виленкин Н.Я. и др. «Математика 6 класс» — М.: Мнемозина, 2008

— Дорофеев и др. «Математика 6 кл.» — М.: Просвещение, 1996

— Макарычев Ю.Н. и др. «Элементы статистики и теории вероятностей. Алгебра 7-9 классы» — М.: Просвещение, 2008

— Ткачева М.В., Федорова Н.Е. «Элементы статистики и вероятность. 7-9 кл.» — М.: Просвещение, 2006

ХОД УРОКА:

Организационный момент.

Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроки мы с вами научимся решать задачи , а из какого они раздела вы узнаете когда разгадаете кроссворд. Наш сегодняшний урок-путешествие в страну Знаний начинается.

Станция «Любознайкино»

Ну вот, ребята , вы узнали, отгадав ребус (Комбинаторика). Мы вспомним из математики 5 класса решение комбинаторных задач путем перебора вариантов и построения дерева возможных вариантов и познакомимся с новым способом – правилом умножения.

Нам часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов как это действие осуществить. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации.

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач на перебор различных вариантов, удовлетворяющих каким-либо условиям. Здесь изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Латинское слово combinare означает «соединять, сочетать».

В комбинаторных задачах обычный вопрос: сколькими способами, сколько вариантов… Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков XVII века Блеза Паскаля и Пьера Ферма.

Существует очень много задач, в которых рассматриваются различные ситуации выбора. Однако, несмотря на все разнообразие комбинаторных задач, можно выделить среди них группы однотипных. В этих задачах речь идет о разных предметах, приводятся разные ситуации, но ход их решения одинаков, и именно поэтому такие задачи можно объединить в отдельные группы. С такими задачами мы встречались с вами в 5 классе.

Например: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, если цифры в записи числа не повторяются?

Составим схему рассуждений.

Первая цифра 2 4

Вторая цифра 0 4 0 2

Третья цифра 4 0 2 0

Решение: 204, 240, 402,420 – 4 числа.

Способы решения таких задач перебором возможных вариантов используются при наличии нескольких решений. При записи возможных вариантов, их схемы изображаются, как дерево с разветвленными ветвями, которое так и называется «дерево возможных вариантов».

Решим эту задачу другим способом.

На первом месте может быть только две цифры (2 или 4), на втором – две из оставшихся, а на третьем – одна. Таким образом, 2 ∙ 2 ∙ 1 = 4

Станция» Решайкино.»

Рассмотрим другие задачи.

Задача 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 7?

2

4

1

10

12

14

2

20

22

24

4

40

42

44

5

50

52

54

7

70

72

74

Решение.

Первые цифры искомых чисел: 1, 2, 4, 5, 7, так как в двузначном числе на первом месте может стоять любая цифра, кроме 0. Так как нужно составить четные двузначные числа, то второй цифрой искомых чисел могут быть: 0, 2, 4.

Составим таблицу: 5 строк (цифры 1, 2, 4, 5, 7) и 3 столбца (цифры 0, 2, 4) соответственно.

Заполняем клетки: первая цифра числа равна метке строки, а вторая цифра – метке столбца. По строкам и столбцам мы перечисляем все возможные варианты, значим, искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, то есть 3 ∙ 5 = 15.

Ответ: из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 7 можно составить 15 четных двузначных чисел.

Учитель: В этой задаче мы осуществили полный перебор всех возможных вариантов (комбинаций). Поэтому подобные задачи называются комбинаторными.

Задача 2. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс или сочник, а запить их он может соком, чаем или компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в школьной столовой?

Решение. Собираем все варианты в таблицу.

Ватрушка (В)

Пирожок (П)

Сок (С)

С Б

С В

С П

Чай (Ч)

Ч Б

Ч В

Ч П

В таблице 2 строки и 3 столбца, которые образуют 6 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоит один из возможных вариантов завтрака. Значит, всего вариантов столько, сколько клеток в таблице, то есть 6. Напиток можно выбрать двумя способами (сок или чай), а еду тремя способам.

Ответ: 2 ∙ 3 = 6 столовая предлагает 6 вариантов завтрака.

Задача 3. У Розы есть розовая, желтая, красная кофта и черная, зеленая, синяя юбки. Сколько различных нарядов можно составить из них?

Решение: Составим дерево возможных вариантов.

При этом возможные варианты, объекты в нем записываются

кодом. При записи объектов кодом используются буквы или

цифры. Сколько ветвей у дерева в схеме, столько решений

у задачи.

РЧ, РЗ, РС; ЖЧ, ЖЗ, ЖС; КЧ, КЗ, КС.

Кофту можно выбрать тремя способами и юбку тремя способам.

3 · 3 = 9 (нарядов)

Учитель: Что вы заметили при решении этих задач?

(Задачи разные, но решения совершенно одинаковые).

— Совершенно верно. А основаны они на общем правиле умножения

Задача 4. Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько существует различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосой?

Запомни:

Если объект a можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k

способами, то выбор пары (a, b) можно осуществить m · k способами.

Станция «Закрепляйкино.»

Примеры задач:

1. Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать? (12 стульев и 3 цвета, значит 12 ∙ 3 = 36)

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «правило»?

(3 гласных и 4 согласных, значит 3 ∙ 4 = 12)

3. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй? (5 ∙ 10 = 50)

4. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя – как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z любые цифры, а X – не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9 ∙ 10 ∙ 10 = 900 вариантов.

Станция»Сумейка.»

Самостоятельная работа.

1 вариант.

№ 53 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 способов; 2 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 240 способов

№ 410 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 1540 номеров

2 вариант.

№ 517 25 ∙ 24 = 600 способов

№ 915 27; 57; 87; 387; 357; 537; 837

Вопросы ученикам:

• Какие задачи называют комбинаторными?

• Какие задачи называют задачами на перестановки?

• В чем состоит правило умножения при решении комбинаторных задач?

Продолжите предложение по нашей теме

— Мы знаем … (как решать комбинаторные задачи по правилу умножения)

— Мы умеем … (проводить анализировать и делать выводы)

— Мы можем применить … (правило умножения при решении комбинаторных задач)

Рефлексия: Оцените результаты своей деятельности на уроке.

Выберите смайлик и приклейте в свою тетрадь.

Какое впечатление у вас об уроке? Что вам понравилось, а что нет?

Что было интересного и что еще нужно изменить? Что у вас получилось, и что нет?

Над чем еще вам нужно поработать и что повторить?

Домашнее задание: № 24, № 262, № 355, придумать одну задачу по теме.

Спасибо всем за урок.

infourok.ru

элективный курс по математике в 6 классе «Решение комбинаторных задач».

В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьёзное место в науке и прикладной деятельности. Её идеи, методы и результаты не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далёкие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и археологию.
Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях, невозможно полноценно работать в физике, химии, биологии, управлять производственными процесса.
Расчёт вероятностей во многих случаях приводит к комбинаторным задачам. Поэтому в последние годы необычайно возросла роль комбинаторных методов не только в самой математике, но и в её многочисленных приложениях: ф физике, химии, биологии, лингвистике, технике, экономике.
Важнейшим направлением модернизации школьного курса математики на современном этапе является включение в него элементов статистики, комбинаторики и теории вероятностей.
Понятие множества является также одним из основных понятий современной математики. В настоящее время большинство разделов математики построено на теоретико- множественной базе.
Понимание основных идей теории множеств помогает внести ясность и в вопросы школьной математики. Основные понятия теории множеств настолько просты, что ввести их в обучение математике можно в 6 классе. Данная тема помогает увлечь ребят, разбудить их фантазию, научить рассуждать.
Роль комбинаторики коренным образом изменилась с появлением компьютеров: она превратилась в область , находящуюся на магистральном пути развития науки. Поэтому важно как можно раньше начать знакомить учащихся с комбинаторными методами и комбинаторным подходом.
Введение элементов комбинаторики в 5, 6 классах- важнейшая учебно- мотодическая задача.
Изучение этой темы способствует развитию у учащихся « комбинаторного» мышления, расширению их математического кругозора, облегчает усвоение в дальнейшем элементов теории вероятностей.
Предложенный курс является продолжением ознакомления школьников с теоретико- вероятностным и статистическим мышлением.

Цель курса: формирование у учащихся элементарных стохастических знаний,
развитие комбинаторного и вероятностно- статистического
мышления.
Задачи курса:
Учить решать разнообразные задачи, способствующие формированию комбинаторного мышления:
Познакомить учащихся с элементами теории множеств;
Дать представление учащимся о том, как математика количественно оценивает возможность появления того или иного события;
Учит в

educontest.net

Урок для 6 класса по теме: «Комбинаторика в нашей жизни»

Разработка урока по математике в 6 классе.

Учитель: Седлина Лариса Михайловна.

Место работы: ГБОУ СОШ с. Новодевичье м/р Шигонский Самарской области.

Должность: учитель математики.

Тема урока: «Комбинаторика в нашей жизни.» 2 учебных часа.

Базовый учебник: Математика 6. /Н.Я.Виленкин,В.И. Жохов, А.С.Чесноков,С.И. Шварцбурд. М.:Мнемозина, 2009.

Тип урока: повторение и систематизация знаний.

Методы: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый

Цели урока:

повторить и систематизировать знания и умения учащихся решать комбинаторные задачи различными методами.

Задачи:

Образовательные (формирование познавательных и логических УУД):

1. Совершенствовать навыки нахождения возможных комбинаций, составленных из чисел, слов, предметов.

2. Учить отбирать метод решения комбинаторной задачи по её содержанию.

Развивающие (формирование регулятивных УУД):

— развивать умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, формировать умения сравнивать, классифицировать, обобщать факты и понятия, развивать у учащихся познавательный интерес, совершенствовать операции умственной деятельности: анализ, синтез, классификация, способность наблюдать и делать вывод, выделять существенные признаки.

Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД): — — умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Оборудование:

1. Компьютер.

2. Мультимедиапроектор.

3. Презентация Microsoft PowerPoint « Кобинаторика»

4. Раздаточный материал (карта ученика).

Используемые ресурсы:

1. Н.Я.Виленкин ,В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд . Математика. Учебник для 6 кл. образовательных учреждений. Москва. Мнемозина.2007.

2. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение» 2007.

3. http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/dbc98e7c-ca42-4aff-a6f6-ac5e74194058/%5BM56_6-30%5D_%5BMP%2BMA_03%5D.swf

4. hhttp://fcior.edu.ru/catalog/meta/3/mc/class/mi/5/p/page.html

5. h ttp://www.matematika—na.ru/5class/mat_5_30.php

Пояснения:

Элементы комбинаторики в учебниках Виленкина Н.Я. и др. изучаются в 5 классе разрозненно. Авторы предлагают учащимся комбинаторные задачи с разбором решения и с пояснениями, тут же вводятся необходимые математические понятия. Данный урок направлен на повторение и систематизацию всего материала по комбинаторике за 5 класс, который вписывается в рамки двух уроков.

Технологическая карта урока.

Этапы урока

doc4web.ru