Рубрика: Школьная жизнь

www.for6cl.uznateshe.ru

Как правильно перевести правильную дробь в неправильную дробь

Каждый современный человек в школьную бытность во время решения математических задач нередко сталкивался с разнообразными задачками на дроби. Их достаточно много, потому имеет смысл рассмотреть различные варианты решения самых основных подобных задач. 

Виды дробей

Верхнее число у любой дроби носит название числителя, в то время, как нижнее число – это знаменатель. Обыкновенные дроби — это частные от двух чисел, причем, одно из этих них находится в числителе у дроби, а второе, соответственно, является знаменателем этой дроби. Виды таких обыкновенных дробей определяются сравнением значений их знаменателя и числителя. 

Правильная дробь

В том случае, когда знаменатель у дроби является натуральным числом, которое по своему значению больше ее числителя, также натурального числа, то дробь носит название правильной. Примерами таких могут быть: 8/19; 9/14; 31/162; 5/37 и так далее. 

Неправильная дробь

Если же знаменатель у дроби меньше, либо же равен ее числителю, то такая дробь уже называется неправильной. Например, это такие, как: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 и тому подобные.

Зачем переводится неправильная дробь в правильную?

Такая математическая манипуляция необходима, если выполняется действие с несколькими дробями, например, их слагают.

Если есть смешанная дробь, то сначала ее следует перевести в неправильную, потом уже выполнять другие математические действия.

Переведение в неправильную дробь

Чтобы какую-нибудь смешанную дробь превратить в неправильную, потребуется, для начала, целую ее часть умножить на знаменатель ее дробной части, а потом добавить числитель к данному произведению. Далее сумма берется, как числитель, но при том же самом, что и прежде знаменателе. Для осуществления перевода неправильной дроби в правильную, потребуется числитель такой неправильной дроби поделить на ее знаменатель. Далее, полученное таким путем целое число следует взять целой частью дроби, в то время, как остаток, если он, конечно, есть, сделать числителем дробной части у правильной дроби. Знаменатель пишется тот же самый, что и был. Чтобы перевести какую-либо неправильную дробь в десятичную, надо сначала выяснить, существует ли вообще такой множитель, который позволяет привести знаменатель ее дробной части в неправильном формате к числу, которое равняется десяти или десятке, возведенной в любую степень. То есть, 10, 100, 1000 и так далее. Если же такой множитель имеется, то следует умножить как числитель, так и знаменатель у неправильной дроби на данный множитель, тем самым как бы проверяя его. А после умноженный числитель потребуется через запятую приписать к целой части у неправильной дроби.

Нельзя перевести с округлением до десятых

В том случае, когда подобного множителя, как такового, не существует, это обозначает, что такая неправильная дробь не имеет четкого эквивалента в десятичной форме. Проще говоря, далеко не каждую из неправильных дробей представляется возможным перевести, сделав десятичной. В таком случае, потребуется найти приблизительное, максимально соответствующее значение дроби. Тут все зависит от требуемой в условии той ли иной задачи степени точности. Просчитать данную дробь проще всего на калькуляторе, но можно это также в уме или банально в столбик. Например, «41/7 = 5(6/7) = 5,9», это с округлением до десятых, или «= 5,86», когда требуется округлять до сотых, а также «= 5,857», если действует округление до тысячных. Многие из дробей четко в десятичные не переводятся, потому считать их проще не в уме и не в столбик, а посредством калькулятора. 

Без манипуляций с дробями не представляется возможным ни один школьный курс математики. Да и в повседневности редко приходится иметь дело лишь с целыми числами, а потому переводить правильные дроби в неправильные, либо превращать в такие смешанные дроби нужно уметь каждому. Это очень просто и потому запомнить, как следует это делать, можно буквально после пары практических примеров, решенных на бумаге, а затем и вообще — в уме. С десятичными дробями ситуация несколько иная и не все можно точно перевести в десятичный вид.

www.xn—-7sbbi4ahbmskfm4n.xn--p1ai

Неправильные дроби

Мы можем использовать неправильные дроби и смешанные числа для представления одних и тех же значений. Рассмотрим на примере равенство неправильной дроби и смешанного числа :

Перевод неправильной дроби в смешанное число

Для перевода неправильной дроби в смешанное число выполните следующие шаги:

• 1 Разделим числитель на знаменатель 14 ÷ 3, в результате получим 4 целых и 2 в остатке.
• 2 Число 4 будет целой частью смешанного числа.
• 3 Остаток от деления 2 будет числителем дроби, а знаменатель останется прежним, равным 3. В результате получаем

Рассмотрим на примерах как переводить неправильные дроби в смешанные числа.

Пример Перевести неправильные дроби в смешанные числа.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Для перевода смешанного числа в неправильную дробь выполните следующие шаги:

• 1 Умножим целую часть на знаменатель 2×6 и прибавим числитель 5. Полученное число 17=2×6+5запищем в числитель неправильной дроби.
• 2 Запищем в знаменатель неправильной дроби число 6, знаменатель при преобразование в неправильную дробь остается неизменным.
• 3 В результате шагов 1-2 получаем неправильную дробь

Пример Перевести смешанные числа в неправильные дроби.

calcs.su

Как перевести неправильную дробь в десятичную дробь 🚩 как перевидить неправильные дроби в десятичные 🚩 Математика

Дробь представляет собой число, которое состоит из одной или нескольких долей единицы. В математике существует три вида дробей: обыкновенные, смешанные и десятичные.

• 
  Обыкновенные дроби   

Обыкновенная дробь записывается как соотношение, в котором в числителе отражается, сколько взято частей от числа, а знаменатель показывает, на сколько частей разделена единица. Если в дроби числитель меньше знаменателя, то перед нами правильная дробь.Например: ½, 3/5, 8/9.                       

Если числитель равен знаменателю или больше его, то мы имеем дело с неправильной дробью. Например: 5/5, 9/4, 5/2 При делении числителя на знаменатель может получиться конечное число. Например, 40/8 = 5. Следовательно, любое целое число может быть записано в виде обыкновенной неправильной дроби или ряда таких дробей. Рассмотрим пример записи одного и того же числа в виде ряда различных неправильных дробей.

• Смешанные дроби

В общем виде смешанная дробь может быть представлена формулой:

Таким образом, смешанная дробь записывается как целое число и обыкновенная правильная дробь, а под такой записью понимают сумму целого и его дробной части.  

• Десятичные дроби

Десятичная дробь – это особая разновидность дроби, у которой знаменатель может быть представлен как степень числа 10. Существуют бесконечные и конечные десятичные дроби. При записи этой разновидности дроби сначала указывается целая часть, затем через разделитель (точку или запятую) фиксируется дробная часть.

Запись дробной части всегда определяется ее размерностью. Десятичная запись выглядит следующим образом:

• Перевод смешанной дроби в обыкновенную

Смешанную дробь можно перевести только в неправильную. Для перевода необходимо целую часть привести и тому же знаменателю, что и дробную. В общем виде это будет выглядеть следующим образом:Рассмотрим использование этого правила на конкретных примерах:

• Перевод обыкновенной дроби в смешанную

Неправильную обыкновенную дробь можно превратить в смешанную путем простого деления, в результате которого находится целая часть и остаток (дробная часть).

Для примера переведем дробь 439/31 в смешанную:​​

В некоторых случаях перевести дробь в десятичную достаточно просто.  В этом случае применяется основное свойство дроби, числитель и знаменатель умножаются на одно и то же числу, для того, чтобы привести делитель к степени числа 10.

Например:

В некоторых случаях может понадобиться найти частное путем деления уголком или с помощью  калькулятора. А некоторые дроби невозможно привести к конечной десятичной дроби. Например, дробь 1/3 при делении никогда не даст конечный результат.

www.kakprosto.ru

Преобразование неправильной дроби в смешанное число

Любой неправильный дробь можно представить в виде натурального числа или суммы натурального числа и правильной дроби:

Для преобразования неправильной дроби в смешанное число необходимо:

1. поделить числитель дроби на его знаменатель;
2. остаток от деления записать в числитель, знаменатель оставить без изменений;
3. результат от деления записать целой частью.

Примеры преобразования неправильной дроби в смешанное число

Пример 1: Преобразовать неправильный дробь (выделить полную часть):

Целая часть равна 3, а остаток — 2

Ответ:

Пример 2: Преобразовать неправильный дробь (выделить полную часть):

Целая часть равна 67, а остаток — 1

Ответ:

Пример 3: Превратить неправильный дробь (выделить полную часть):

Целая часть равна 13, а остаток — 2

Ответ:

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

На практике чаще используют десятичные дроби, но, когда в задаче встречаются и обыкновенные, и десятичные дроби, то следует перейти к одному виду дробей (перевести десятичные дроби в обыкновенные или обыкновенные в десятичные). Не всегда обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, поэтому десятичный переводят в обычный.

При переводе десятичной дроби в обычный в числителе дроби записывают число,
что стоит после запятой, а разрядная единица в знаменателе ( и т.д.) содержит столько же нулей, сколько знаков после запятой в десятичной дроби.

Пример 4: Переведите обыкновенную дробь в десятичную

Если десятичная дробь содержит целую часть, то его переводят в смешанное число и целую часть записывают перед дробной:

cubens.com

Как перевести неправильную дробь?

Каждый человек при решении задач с математики нередко сталкивался с задачами на дроби. Их очень много, поэтому мы рассмотрим разные варианты решения основных таких задач.

Что такое дроби

Верхнее число любой дроби называется числителем, а нижнее число — знаменателем. Обыкновенная дробь — это частное двух чисел, одно из этих чисел — в числителе дроби, второе — в знаменателе дроби. Виды этих обыкновенных дробей будут определяться сравнением знаменателя и числителя дроби.

Ежели знаменатель дроби (натуральное число) больше числителя дроби (натуральное число), то дробь называется правильной. Приведем примеры: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.

Если знаменатель дроби (натуральное число) меньше или равен числителю дроби (натуральное число), то дробь называется неправильной. Приведем примеры: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

Как перевести неправильную дробь

Чтобы смешанную дробь перевести в неправильную, необходимо целую часть дроби умножить на знаменатель в дробной части и добавить числитель к этому произведению. Потом сумму взять как числитель, написав тот же, что и прежде знаменатель. Приведем примеры:

• 4(3/11) = (4×11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11×9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

Для перевода неправильной дроби в правильную, необходимо числитель этой неправильной дроби разделить на ее знаменатель. Полученное, при этом, целое число взять целой частью дроби, ну а остаток (конечно, если он есть) взять как числитель дробной части правильной дроби, написав тот же, что и прежде знаменатель. Приведем примеры:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13×12)/12 = 13.

Для перевода неправильной дроби в десятичную необходимо выяснить, существует ли такой множитель, что позволит привести знаменатель дробной части неправильной дроби к числу, которое равно десятке (или десятке, которая возведена в любую степень (10, 100, 1000 и дальше). Если такой множитель есть, то необходимо умножить числитель и знаменатель неправильной дроби на этот множитель, чтобы проверить его. Теперь умноженный числитель необходимо приписать через запятую к целой части неправильной дроби. Приведем примеры:

• Множитель «5» — 8

elhow.ru

Как 0,75 перевести в неправильную дробь?

Это невозможно

75 раздели на 100 и получишь 75 стотых или по другому 3 четвёртых

три четвертых

3/4, только эта дробь называется обыкновенной, в неправильную ее нельзя перевести

Этого нельзя сделать т. к 75/100 правильная дробь

Я согласен с Светой Серовой

это обыкновенная дробь 3/4, 75/100 сократили числитель и знаменательна 25=3/4

нужно поменять местами числитель и знаменатель, и в этом случае получим неправильную дробь

3/4 правильная дробь

touch.otvet.mail.ru

Решение. Вычеркивая строки и столбцы в прямоугольной матрице, можно получить квадратную матрицу. Определитель такой матрицы – минор исходной матрицы. Наибольший порядок \(r\) минора матрицы не равного нулю – ранг матрицы. Нахождения ранга — поиск наибольшей квадратной матрицы с не нулевым определителем, получаемой из исходной вычеркиванием столбцов и строк. Алгоритм решения. Рассмотрим все миноры третьего порядка, вычеркивая по одному столбцу в исходной матрице:

Вычисляем поочередно определители. Если встретится определитель отличный от нуля, то ранг \(r = 3\). Если все определители третьего порядка (миноры) окажутся нулевыми, то рассмотрим миноры второго порядка, получаемые вычеркиванием двух столбцов и одной строки:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{23}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{23}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{23}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right|\).

На практике, часто удается сразу (не перебирая все) выбрать один минор отличный от нуля. Тогда ранг \(r = 2\). Если же все миноры второго порядка окажутся нулевыми, то рассматривают все миноры первого порядка – элементы исходной матрицы. Достаточно найти ненулевой элемент и сделать вывод, что ранг \(r = 1\).

Ответ. Возможен один из трех вариантов ответа : \(r = 3\), \(r = 2\), \(r = 1\).

upbyte.net

Как найти ранг матрицы 🚩 главный минор матрицы 🚩 Математика

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

Рангом матрицы S называют наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Минорами являются определители квадратной матрицы, которая получается из исходной путем выбора произвольных строк и столбцов. Обозначается ранг Rg S, а его вычисление можно выполнить с помощью проведения элементарных преобразований над заданной матрицей или методом окаймления ее миноров.

Статьи по теме:

Инструкция

Вычислите миноры 3 порядка для исходной матрицы, выбирая уже по 3 строки и 3 столбца для вычисления определителя квадратной матрицы. Определитель D матрицы 3х3 находится по правилу треугольника D = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 — c21* c12*c33 — c13* c22*c31 — c11* c32*c23, где сij – элементы выбранной матрицы. Аналогичным образом при D=0 вычисляйте остальные миноры 3х3, пока не встретится хотя бы один ненулевой детерминант. Если все найденные определители равны нулю, ранг матрицы в данном случае равен 2 (Rg S = 2), то есть порядку предыдущего ненулевого минора. При определении D, отличного от нуля, переходите к рассмотрению миноров следующего 4 порядка. Если на определенном этапе достигнут предельный порядок m исходной матрицы, следовательно, ее ранг будет равен этому порядку: Rg S = m.

Видео по теме

Обратите внимание

Ранг нулевой матрицы, т.е. полностью состоящей из нулевых элементов, считается равным нулю.

www.kakprosto.ru

Как найти ранг матрицы

Инструкция

• Запишите заданную матрицу S и определите ее наибольший порядок. Если количество столбцов m матрицы меньше 4, имеет смысл находить ранг матрицы с помощью определения ее миноров. Согласно определению, ранг будет равен самому большому минору, отличному от нуля.
• Минором 1 порядка исходной матрицы является любой ее элемент. Если хоть один из них отличен от нуля (то есть матрица не является нулевой), следует перейти к рассмотрению миноров следующего порядка.
• Вычислите миноры 2 порядка матрицы, последовательно выбирая из исходной по 2 строки и 2 столбца. Запишите полученную квадратную матрицу 2х2 и вычислите ее определитель по формуле D = а11*а22 – а12*а21, где аij – элементы выбранной матрицы. Если D=0, вычислите следующий минор, выбрав другую матрицу 2х2 из строк и столбцов исходной. Продолжайте аналогичным образом рассматривать все миноры 2 порядка до тех пор, пока не встретится ненулевой определитель. В этом случае переходите к нахождению миноров 3 порядка. Если все рассмотренные миноры 2 порядка равны нулю, поиск ранга завершается. Ранг матрицы Rg S будет равен последнему порядку ненулевого минора, то есть в этом случае Rg S = 1.
• Вычислите миноры 3 порядка для исходной матрицы, выбирая уже по 3 строки и 3 столбца для вычисления определителя квадратной матрицы. Определитель D матрицы 3х3 находится по правилу треугольника D = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 — c21* c12*c33 — c13* c22*c31 — c11* c32*c23, где сij – элементы выбранной матрицы. Аналогичным образом при D=0 вычисляйте остальные миноры 3х3, пока не встретится хотя бы один ненулевой детерминант. Если все найденные определители равны нулю, ранг матрицы в данном случае равен 2 (Rg S = 2), то есть порядку предыдущего ненулевого минора. При определении D, отличного от нуля, переходите к рассмотрению миноров следующего 4 порядка. Если на определенном этапе достигнут предельный порядок m исходной матрицы, следовательно, ее ранг будет равен этому порядку: Rg S = m.

completerepair.ru

Для того чтобы сдать ЕГЭ по математике, вам понадобится около 20 формул тригонометрии. Это не много. Но их надо знать наизусть!

Вот таблица, в которой собраны основные тригонометрические формулы. Здесь все самое необходимое. Их легко выучить и применять.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Кроме того, надо знать определения синуса, косинуса и тангенса, а также значения этих функций для основных углов.

Это необходимый минимум. Тем, кто рассчитывает на высший балл, понадобится еще несколько формул тригонометрии.

Как же выучить тригонометрические формулы?

1. Учите формулы сразу. Не рассказывайте себе сказки о том, что в последнюю ночь перед ЕГЭ все выучите. Каждый день – один блок, то есть три-четыре формулы из нашей таблицы.

2. Тренируйтесь. Выучить иностранный язык проще всего тому, кто вынужден постоянно на нем говорить. Так и здесь. Для тренировки можно из классического задачника Сканави выбрать 20-50 заданий на преобразование тригонометрических выражений и доказательство тождеств.

3. Универсальный способ: ежедневно, садясь за уроки, берите чистый листок и выписывайте наизусть все тригонометрические формулы, какие помните. Когда всё готово — сверяете. И к экзамену вы будете помнить всё.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Тригонометрические формулы. Свойства функций, основные тождества, сумма углов. Сумма функций, формулы приведения, особые случаи, степени, половинные, двойные и тройные углы. Обратные функции.

dpva.ru

Тригонометрические формулы

	Главная > Учебные материалы > Математика:  Тригонометрические формулы
	1.Знаки тригонометрических функций.     2.Значения тригонометрических функций для некоторых углов.     3.Основные тригонометрические тождества.     4.Формулы приведения.     5.Формулы преобразования суммы     6.Формулы сложения.     7.Формулы половинного аргумента.     8.Формулы понижения степени.     9.Формулы двойного угла.     10.Переход от произведения к сумме.     11.Формулы тройного угла.
1 2 3 4 5 6 7 8
	Знаки тригонометрических функций по четвертям в тригонометрическом круге
	Значения тригонометрических функций для некоторых углов
	Основные тригонометрические тождества		Формулы приведения
	Формулы преобразования суммы		Формулы сложения
	Формулы половинного аргумента		Формулы понижения степени
	Формулы двойного угла		Переход от произведения к сумме
			Формулы тройного угла
1 2 3 4 5 6 7 8

www.mathtask.ru

Тригонометрические формулы | Формулы с примерами

Формулы приведения:

Тригонометрические формулы сложения:

Формулы кратных углов:

Формулы половинного угла:

Формулы суммы и разности тригонометрических функций:

Формулы произведения тригонометрических функций:

Формулы понижения степени:

1.  Формула понижения степени синуса:

2.  Формула понижения степени косинуса:

3.  Формула понижения степени тангенса:

4.  Формула понижения степени котангенса:

Формулы степеней функции:

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

formula-xyz.ru

Основные тригонометрические формулы

В этой статье представлен оптимальный набор тригонометрических формул, которые необходимо знать. Все остальные тригонометрические формулы выводятся из них путем несложных преобразований.

1. Основное тригонометрическое тождество:

2. Формулы, позволяющие выразить тригонометрические функции одного аргумента одну через другую.

3. Тригонометрические формулы суммы  и разности аргументов.

4. Тригонометрические функции двойного аргумента:

5. Формулы понижения степени:

6. Тригонометрические функции половинного аргумента:

7.  Формулы универсальной подстановки:

8. Преобразование суммы или разности тригонометрических функций в произведение

9. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму или разность.

10. Преобразование выражения   к виду

,

где ,

Скачать таблицу формулы тригонометрии

формулы тригонометрии (2)

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Основные тригонометрические формулы — Математика 10 класс — Школьная математика — Каталог статей

free-math.ru

​ весьма несложно, т.к.​ листах в том​(Анализ книги) создает​Примечание:​ окошко, в котором​ значение не удовлетворяет​ кнопку мыши и​Оператор​ элементы, где данные​ которые желаем сравнить,​ до 255 массивов.​ между столбцами, в​ способа сравнения текста​ Sub Function Pohoji(StrText$,​ столбцах (С) и​: Так, с символами​из категории​ надо, по сути,​ же файле.​ интерактивный отчет, отображающий​ Мы стараемся как можно​ нужно определить, ссылочный​ условиям оператора​ тянем курсор вниз.​СЧЁТЕСЛИ​ не будут совпадать.​ и жмем на​

​ в Excel. Один​ Strw$()) As Boolean​ (Е)(см. файл в​

Способы сравнения

​ поняла, буду отрабатывать.​Статистические​ сравнить значения в​Подробнее о просмотре связей​ подробные сведения о​ оперативнее обеспечивать вас​

• ​ вид должна иметь​ЕСЛИ​
• ​Как видим, программа произвела​относится к статистической​
• ​ Жмем на кнопку​ клавишу​

​ случае мы будем​Для этого нам понадобится​ из них чувствителен​ Dim i%, Shablon$​ прикреплении) (ну то​ Пока попробовала в​, которая подсчитывает сколько​ соседних ячейках каждой​ ячейки можно узнать​ книге и ее​ актуальными справочными материалами​

​ функция​. То есть, первая​ вычисление совпадений, сравнив​ группе функций. Его​«OK»​F5​

Способ 1: простая формула

​ использовать всего два​ дополнительный столбец на​ к регистру, другой​ For i =​ есть соответствует ли​ таком виде вставить​ раз каждый элемент​ строки. Как самый​ в статье Просмотр​ структуре, формулах, ячейках,​ на вашем языке.​ИНДЕКС​ фамилия присутствует в​ каждую ячейку первой​ задачей является подсчет​.​.​ массива, к тому​ листе. Вписываем туда​ – нет.​ LBound(Strw, 1) To​ числа в ячейках​ в код. Программа​ из второго списка​ простой вариант -​ ссылок между ячейками.​ диапазонах и предупреждениях.​

​ Эта страница переведена​или предназначенный для​ обоих списках.​ таблицы с данными,​ количества ячеек, значения​Вернувшись в окно создания​Активируется небольшое окошко перехода.​ же, как один​

1. ​ знак​Используйте функцию​ UBound(Strw, 1) Shablon​ столбцов (С) и​​ зависла и я​​ встречался в первом:​ используем формулу для​К началу страницы​ На рисунке ниже​ автоматически, поэтому ее​​ работы с массивами.​​С помощью маркера заполнения,​ которые расположены во​ в которых удовлетворяют​ правила форматирования, жмем​ Щелкаем по кнопке​ аргумент.​

   ​«=»​

   

   ​EXACT​ = «*» &​ (Е), соседних с​ понять не могу​

2. ​Полученный в результате ноль​​ сравнения значений, выдающую​​Если книга при открытии​ показана очень простая​ текст может содержать​ Нам нужен второй​ уже привычным способом​​ втором табличном диапазоне.​​ заданному условию. Синтаксис​ на кнопку​
   
3. ​«Выделить…»​Ставим курсор в поле​. Затем кликаем по​(СОВПАД), чтобы выполнить​ Strw(i) & «*»​ ячейками столбцов (В)​ — она так​ и говорит об​ на выходе логические​ медленно загружается или​ книга, которая содержит​ неточности и грамматические​ вариант. Он установлен​

   ​ копируем выражение оператора​ В четырех случаях​ данного оператора имеет​«OK»​в его нижнем​«Массив1»​ первому наименованию, которое​​ сравнение с учетом​​ If Not (StrText​ и (D) в​ считает или пора​ отличиях.​ значения​ ее размер становится​ две формулы и​ ошибки. Для нас​ по умолчанию, так​ЕСЛИ​

   
4. ​ результат вышел​ такой вид:​.​ левом углу.​и выделяем на​ нужно сравнить в​ регистра:​ Like Shablon) Then​ которых были найдены​ перезагружать программу. Висит​И, наконец, «высший пилотаж»​​ИСТИНА (TRUE)​​ чрезмерным, вероятной причиной​ подключения данных к​ важно, чтобы эта​ что в данном​​на весь столбец.​​«1»​
   
5. ​=СЧЁТЕСЛИ(диапазон;критерий)​После автоматического перемещения в​После этого, какой бы​ листе сравниваемый диапазон​ первом списке. Опять​=EXACT(A1,B1)​ Pohoji = False​ совпадающими тексты (По​​ уже 30 минут…​​ — можно вывести​
   
6. ​или​​ этого может быть​​ базе данных Access​​ статья была вам​​ окошке просто щелкаем​​ Как видим, по​​, а в двух​​Аргумент​​ окно​
   
7. ​ из двух вышеперечисленных​​ данных в первой​​ ставим символ​=СОВПАД(A1;B1)​ Exit Function End​ моему файлу совпадает​Паттттт​ отличия отдельным списком.​ЛОЖЬ (FALSE)​ форматирование строк или​

   ​ и текстовому файлу.​

   ​ полезна. Просим вас​ по кнопке​ двум позициям, которые​ случаях –​«Диапазон»​«Диспетчера правил»​ вариантов вы не​ области. После этого​«=»​

my-excel.ru

Сравнение текста в Excel и поиск символов в Эксель. Как сравнить строки?

Чтобы сравнить две ячейки, в которых содержится текст необходимо просто приравнять их в соседней ячейки. Но что делать если, вам нужно сравнить текст с учетом больших и маленьких букв? А если с учетом английских букв? Появилась такая потребность как сравнение текста в Excel? Читайте далее и уверен статья вам поможет:

1) С простым сравнением разобрались? Отлично 🙂

2) Сравнение текста в Excel по регистрам

Сравнение текстов происходит простой формулой в примере номер 1, на картинке. Если необходимо сравнить прописные и заглавные буквы воспользуйтесь функцией =СОВПАД(). Пример 2.

3) Поиск чисел в ячейки с текстом

Самый простой способ найти числа в строке, воспользоваться формулой

=ИЛИ(ЕЧИСЛО(ПОИСК({"1";"2";"3";"4";"5";"6";"6";"8";"9";"0"};B5)))

Самая распространенная ошибка — вместо буквы О пишут число 0 и наоборот
Но обязательно воспользуйтесь формулой массива — нажмите ctrl+shift+enter вместо enter после ввода формулы.

4)  Поиск определенных символов в тексте

В примере показывается, как можно найти все заглавные буквы русского алфавита. Но можно использовать эту группу функций для поиска любых символов.

=ИЛИ(ЕЧИСЛО(ПОИСК({"A";"Б";"В";"Г";"Д";"Е";"Ж";"З";"И";"Й";"К";"Л";"М";"Н";"О";"П";"Р";"С";"Т";"У";"Ф";"Х";"Ц";"Ч";"Ш";"Щ";"Ъ";"Ы";"Ь";"Э";"Ю";"Я"};B8)))

Опять же не забываем про формулы массивов!

5) Удалить лишние пробелы в начале и конце строки

В версии excel 2007 появилась замечательная функция =СЖПРОБЕЛЫ() — она удаляет все лишние пробелы в начале и конце текста, а так же все задвоенные пробелы. Настоятельно рекомендую запомнить — использую ее чуть ли не каждый день.

6) Поиск символов

Для поиска символов можно использовать функцию =ПОИСК() она возвращает (считает) на какой позиции находиться заданный вами символ. Подробнее здесь.

7) Поиск символов с помощью условного форматирования или фильтра. Возможность «Содержит»

Можно окрасить все ячейки цветом, которые содержат заданные символы, или надписи в них. Для этого воспользуйтесь условным форматированием. Как показано на рисунке

Чтобы оставить только те ячейки, которые содержат нужные символы воспользуйтесь фильтрами. В фильтрах есть возможность отобрать строки по заданным условиям

Удачной охоты за символами!

 

Поделитесь нашей статьей в ваших соцсетях:

Похожие статьи

Заголовки в Excel. Как закрепить области в Excel? Сквозные строки в Excel Как вставить текст в Excel?

excelworks.ru

Сравнение текста в Excel — Microsoft Excel для начинающих

Те, кто работает в продажах, в маркетинге или в любом другом направлении, которое использует

После сбора, систематизации и обработки данных нередко возникает необходимость продемонстрировать их. Таблицы отлично справляются

Уроки MS Excel

Условное форматирование в Excel позволяет выделять ячейки различными цветами в зависимости от их содержимого.

Уроки MS Excel

Если в Excel необходимо отобразить только записи, удовлетворяющие определённому критерию, то используйте фильтр. Для

Уроки MS Excel

В Excel можно сортировать данные по одному или нескольким столбцам. Сортировка может быть выполнена

Уроки MS Excel

Эта статья поможет разобраться, как работают формулы массива в Excel. Помещённая в одну ячейку

office-guru.ru

Как сравнить текст в Excel

Когда вы используете табличный процессор Excel (от Microsoft Office), кроме задач по сравнению числовых значений, часто необходимо бывает сравнить текстовые (или «строковые») данные в ячейках таблицы. Сделать это можно так: в Excel есть встроенныефункции сравнения, и если результат операции необходимо получить в виде цифрового или же логического значения нужно воспользоваться этим сравнением. Так же можно использовать и опции условного форматирования, это делается в том случае, когда результатом должно стать визуальное выделение всех совпадающих (или же несовпадающих) ячеек данной таблицы.

Воспользуемся встроенной функцией для сравнения ячеек СЧЁТЕСЛИ, когда нужно сравнить текстовые показатели в ячейках колонки таблицы непосредственно с образцом текста и потом пересчитать все возможные совпадающие значения. Начинаем с заполнения конкретной колонки текстовыми значениями, потом делаем это в другой колонке и щелкаем ячейку, где вы хотите увидеть результат вашего подсчета, и там вводим соответствующую формулу. К примеру, если проверяемые показатели находятся в колонке типа «A», а результат нужно поместить в 1-ю ячейку колонки типа «C», то всё ее содержимое должно выглядеть так: =СЧЁТЕСЛИ($A:$A;»Виноград»).«Виноград» здесь, это строковое значение, непосредственно с которым и сравниваются показатели всех ячеек данной колонки «A». Можно так же не указывать это в формуле, но поместить в свободную отдельную ячейку (в «B1», например) и вставить в формулу нужную ссылку: =СЧЁТЕСЛИ($A:$A;B1).

Дальше мы будем использовать опции условного форматирования, особенно, если нужно визуально выделить в конкретной таблице результаты сравнения строковых переменных. Так, если необходимо выделить в данной колонке ячейки «A», текст совпадающий с образцом находящимся в ячейке «B1», старайтесь начинать с выделения данной колонки, а для этогощелкните по её заголовку. Потом щелкните по кнопке «Условное форматирование», находящееся в группе команд типа «Стили», закладке «Главная» в программе Excel. Переходим в раздел под названием «Правила выделения ячеек» с выбором строки «Равно». Там указываем ячейку-образец (щелкаем по клетке «B1») и выбираем в выпадающем списке вариант для оформления совпадающих строк. Нажимаем кнопку «OK».

Тут нужно использовать комбинацию встроенных функций типа «ЕСЛИ» и «СЦЕПИТЬ» ипри необходимости сравниватьс данным образцом не одну, а несколько текстовых ячеек. Функция «СЦЕПИТЬ» будет соединять указанные ей значения непосредственно в одну строковую переменную. К примеру, команда типа «СЦЕПИТЬ» (шаг «A1» или «B1») в строке из ячейки типа «A1» добавит нужный текст » и «, ну а после него он поместит строку из другой ячейки, а именно из „B1“. Сделанную таким способом строку можно затем сравнивать с образцом при помощи функции „ЕСЛИ“. Если сравнивать необходимо не одну строку, то удобнее дать имя (своё собственно) ячейке-образцу. Что бы это сделать щелкните ее, а потом влево от строки формулы вместо обозначения ячейки („C1“ например) наберите новое ее имя („образец“, к примеру). Затем нужно кликнуть ту ячейку, в которой и должен быть результат вашего сравнения, и вводим формулу такого типа:

ЕСЛИ(СЦЕПИТЬ(A1;» и «;B1)=образец;1;0)

Тут, единица -значение, которое станет содержать ячейка с формулой, когда сравнение даст вам положительный результат, а цифра ноль — то же самое, но для отрицательного результата. Размножать эту формулу ко всем строкам таблицы, которые необходимо сравнить с данным образцом очень легко — наведите курсор к правому нижнему углу ячейки и, в тот момент, когдакурсор изменится (он станет черным крестиком), нужно нажать на левую кнопку мышки и растянуть эту ячейку далеко вниз до последней из сравниваемых строк.

officeassist.ru

Как сравнить две строки в Excel

Пользователи программы Microsoft Office Excel иногда сталкиваются с необходимостью сравнить в таблице текстовые данные. Данная опция в программе предусмотрена, в качестве результата приложение может вывести числовое или логическое значение, а также она способна просто сравнить написанное и выделить совпадения в ячейках. В данной статье рассмотрим данные возможности редактора Excel.

Инструкция

1. Для подсчета совпадений с определенным словом или словосочетанием нужно использовать функцию программы СЧЁТЕСЛИ. Для подсчета совпадений информации в столбце А с искомой фразой установите курсор в ячейку, предназначенную для выведения результата и в строку формул впишите =СЧЁТЕСЛИ($A:$A; «Фраза»). В данном случае программа будет подсчитывать количество слова «Фраза» в столбце А.

   Формула для подсчета дат, принадлежащих февралю

2. Для сравнения данных в целой колонке с одним образцом можно использовать функцию условного форматирования. Для этого впишите нужную фразу в одну из ячеек, например, в ячейку В1. Выделите колонку с информацией, в которой нужно обозначить искомую фразу, перейдите на вкладку «Главная». В разделе «Стили» нажмите иконку «Условное форматирование», укажите пункт «Правила выделения ячеек» и выберите команду «Равно». Команда «Равно»

   Будет открыто дополнительное окно, кликните по ячейке с искомой фразой и в правом выпадающем списке укажите формат выделения данного текста, нажмите ОК.

3. Если вам нужно сравнить с образцом одновременно информацию из нескольких ячеек, вам придется использовать опции ЕСЛИ и СЦЕПИТЬ. Для соединения данных из нескольких ячеек используйте опцию СЦЕПИТЬ(А1; «и» ;B1), в данном случае программа использует текст из ячейки А1 и В1, а между ними вставит союз «и».  Для сравнения большого текста удобнее будет присвоить ячейке с данным текстом собственное имя, для этого обозначьте данную ячейку и в поле, расположенное левее строки функций, впишите для него имя, например, «Образец». После выполнения подготовки выделите ячейку, в которой должен быть результат сравнения, и впишите в него следующую формулу: ЕСЛИ(СЦЕПИТЬ(A1; «и» ;B1)=образец;1;0). В данном случае, если сравнение даст положительный результат, то в ячейке результата будет вписана единица, если совпадений обнаружено не будет – ноль. Для того, чтобы применить данную формулу к нескольким строкам таблицы, нужно ее выделить, навести на маркер в правом нижнем углу и растянуть ее на нужные строки.

Внимание! Для корректной работы программы Excel мы советуем использовать только 100% лицензионную версию, которую вы можете купить со скидкой в нашем интернет-магазине.

Видео: Функция СЦЕПИТЬ в Excel

besthard.ru

Как сравнить два столбца в excel, простой пример.

Если вы работаете с табличными документами большого объема (много данных/столбцов), очень сложно держать на контроле достоверность/актуальность всей информации. Поэтому очень часто требуется проанализировать два или более столбцов в документе Эксель на предмет обнаружения повторений. А если пользователь не обладает информацией обо всем функционале программы, у него может логично возникнуть вопрос: как сравнить два столбца в excel?

Ответ уже давно придуман разработчиками данной программы, изначально заложившими в нее команды, помогающие сравнить инфу. Вообще, если вдаваться в глубины данного вопроса, можно отыскать около десятка разнообразных способов, включая написание отдельных макросов и формул. Но практика показывает: достаточно знать три-четыре надежных способа, чтобы справляться с возникающими надобностями по сравнению.

Данные в Экселе обыкновенно сравниваются между строками, между столбцами, со значением, заданным, как эталон. Если имеется надобность сравнить столбцы, можно использовать встроенный функционал, а именно, действия «Совпад» и «Если». И все, что вам потребуется – это Эксель не ранее седьмого года «выпуска».

Начинаем с функции «Совпад». К примеру, сравниваемые данные находятся в столбцах, имеющих адреса С3 и В3. Результат же сравнения нужно поместить в клеточку, например, D3. Мы щелкаем мышкой на этой клеточке, входим в директорию меню «формулы», находим строчку «библиотека функций», раскрываем функции, помещенные в ниспадающий список, находим слово «текстовый» и щелкаем на «Совпад».

Через мгновение на дисплее вы увидите новую форму, где будут всего два поля: «текст один», «текст два». В них нужно забить, как раз, адреса сравниваемых столбцов (С3, В3), после щелкнуть на привычную клавишу «ОК». В итоге, вы увидите результат со словами «Истина»/«Ложь». В принципе, ничего особо сложного даже для начинающего юзера! Но это далеко не единственный метод. Давайте разберем функцию «Если».

Возможность сравнить два столбца в excel на совпадения с помощью «Если» позволяет вносить значения, которые после совершения операции отобразятся в итоге. Курсор устанавливается в ячейку, где будет осуществляться ввод, открывается директория меню «библиотека функций», в выпавшем списке выбирается строчка «логические», в нем же первую позицию и будет занимать команда «Если». Выбираем ее.

Далее вылетает форма аргументированного заполнения. «Лог_выражение» — это формулирование самой функции. В нашем случае это сравнение двух колонок, поэтому вводим «В3=С3» (или ваши адреса колонок). Далее поля «значение_если истина», «значение_если_ложь». Здесь следует ввести данные (надписи/слова/числа), которые должны соответствовать положительному/отрицательному результату. После заполнения жмем, как водится, «ок». Знакомимся с результатом.

Если требуется выполнить построчный анализ двух столбиков, в третий столбик помещаем любую функцию, о которых шла речь выше («если», либо «совпад»). Действие ее распространяем на всю высоту заполненных колонок. Далее, выделяем третий столбец, щелкаем вкладку «главная», ищем в появившейся группе слово «стили». Откроются «правила выделения столбцов/ячеек».

В них нужно выбрать команду «равно», потом щелкнуть по первому столбцу и нажать на «Энтэр». В итоге, получается «подкрасить» столбцы, где имеются совпадающие результаты. И вы сразу будете видеть нужную инфу. Далее в разборе темы «как сравнить значения двух столбцов в excel» перейдем к такому методу, как условное форматирование в Эксель.

Эксель: условное форматирование

Форматирование условного типа позволит вам не просто сравнить два разных столбика/ячейки/строчки, а и выделить заданным цветом (красным) разные в них данные. То есть мы ищем не совпадения, а разности. Чтобы это получить, действуем так. Выделяем нужные столбики, не трогая их названий, заходим в директорию меню «главная», в ней отыскиваем подраздел «стили».

В нем будет строка «условное форматирование». Нажав на нее, получим список, где нам нужен пункт-функция «создать правило». Следующий шаг: в строке «формат» нужно вбить формулу  =$А2<>$В2. Эта формула поможет Эксель понять, что именно нам требуется, а именно, окрасить в красный все значения столбика А, которые не равняются значениям столбика В. Чуть более сложный способ применения формул относится к участию таких конструкций, как HLOOKUP/VLOOKUP. Эти формулы относятся к горизонтальному/вертикальному поиску значений. Рассмотрим данный способ подробнее.

HLOOKUP и VLOOKUP

Эти две формулы позволяют искать данные по горизонтали/вертикали. То есть Н – это горизонталь, а V – вертикаль. Если данные, которые нужно сравнить, находятся в левой колонке относительно той, где расположены сравниваемые значения, применяем конструкцию VLOOKUP. Но если данные для сравнения находятся горизонтально вверху таблицы от той колонки, где обозначены эталонные значения, применяем конструкцию HLOOKUP.

Чтобы понять, как сравнить данные в двух столбцах excel по вертикали, следует использовать такую полную формулу: lookup_value,table_array,col_index_num,range_lookup.

Значение, которое нужно отыскать, обозначаем, как «lookup_value». Колонки для поиска вбиваются, как «table array». Номер столбика следует указать, как «сol_index_num». Причем это тот столбец, значение которого совпало, и которое нужно вернуть/исправить. Команда «range lookup» здесь выступает, как добавочная. Она может указать, нужно значение сделать точным, либо приближенным.

Если эту команду не прописать, значения будут возвращаться по обоим типам. Формула HLOOKUP полностью выглядит так: lookup_value,table_array,row_index_num,range_lookup. Работа с ней практически идентична вышеописанной. Правда здесь есть исключение. Это индекс строчки, определяющий строчку, значения которой должны быть возвращены. Если научиться четко применять все вышеперечисленные способы, становится ясно: нет более удобной и универсальной программы для работы с большим количеством данных разных типов, нежели Эксель. Сравнить два столбца в excel – это, однако, лишь половина работы. Ведь с полученными значениями нужно еще что-то сделать. То есть найденные совпадения еще нужно как-то обработать.

Способ обработки значений-дубликатов

Итак, есть найденные цифры в первом, предположим, столбце, полностью повторяющиеся во втором столбце. Понятно, что вручную исправлять повторения – труд нереальный, отнимающий много драгоценнейшего времени. Поэтому следует использовать уже готовую методику для автоматического исправления.

Чтобы это сработало, нужно сначала дать имена столбцам, если их нет. Курсор подгоняем к первой строчке, кликаем правой клавишей, в появившемся меню выбираем «вставить». Допустим, заголовками будут «имя» и «дубликат». Далее нужна директория «дата», в ней – «фильтр». Жмем на малюсенькую стрелочку возле «дубликата» и убираем все «птички» из списка. Теперь жмем «ок», и повторяющиеся значения столбца А становятся видимыми.

Далее мы выделяем эти ячейки, ведь нам нужно было не просто сравнить текст в двух столбцах в excel, а и удалить дубликаты. Выделили, нажали правой кнопкой, выбрали «удалить строку», нажали «ок» и получили таблицу без совпадающих значений. Способ работает, если столбцы находятся на одной странице, то есть являются смежными.

Таким образом мы с вами разобрали несколько способов сравнения двух столбцов в ексель. Я специально не стал показывать вам скриншоты, потому как вы бы в них запутались.

НО я приготовил отличное видео одного из самых популярных и простых способов сравнивания двух столбцов в документе и сейчас предлагаю вам с ним ознакомится, дабы закрепить пройденный материал.

Если же статья для вас все же была полезна, тогда поделитесь в соц. сетях или поставьте оценку, нажав на то количество звезд, которое посчитаете нужным. Спасибо Вам, на сегодня все, до скорых встреч.

© Александр Иванов.

kopirajter-ivanov.ru

Как сравнить два файла в excel на различия

Что можно делать с средство диагностики электронных таблиц Excel для Windows

​Смотрите также​​ значений​ хромой поиск… :(​ делать отбор не​ раза укажите на​ — искать нужно​ прошу снисходительно отнестись.​ всего макрос написать​ способ занимает около​ Conditional formatting -​ сравнить значения в​ вводите соответствующее имя​ более удобный для​ которую хотите сравнить​ ячеек на листе.​ в нескольких. Это​ кнопку​Примечание:​.Item(arrA(i, 1)) =​Igor67​ числовые значения, а​

​ данные в одном​ по scripting.dictionary​ Опишу задачу: Есть​ с циклом. Что-то​ часа (да даже​ Highlight cell rules​ соседних ячейках каждой​ для диапазона и​ чтения. Выберите​ с более ранней.​Если вы используете функции​ поможет создать более​Средство сравнения электронных таблиц​ Мы стараемся как можно​

​ .Item(arrA(i, 1)) +​: Потренировался, попробуйте, может​ строковые. И мне​ листе, затем два​​Можно и написать​​ два файла Excel​​ типа такого​​ само открытие окна​ — Duplicate Values)​ строки. Как самый​

​ нажмите Enter.​​Home > Export Results​​Примечание:​ надстройки Inquire (Запрос)​ четкую картину зависимостей​на экране​

Сравнение двух книг

​ оперативнее обеспечивать вас​​ 1​​ быть подойдет.​ не совсем подходит​ раза на данные​ — только вот​ 2010, в каждом​i = 1​ фильтра в этой​

​:​ простой вариант -​Теперь воспользуемся условным форматированием,​(Главная > Экспорт результатов).​  Можно сравнивать два​ для выполнения анализа​ ваших данных от​Приложения​ актуальными справочными материалами​p = p​ПыСы первый раз​ то, что в​

​ во втором.​​ что делать с​​ порядка 300-500 тысяч​Do While Worksheets(«Лист1»).Cells(i,​ колонке занимает около​Если выбрать опцию​

• ​ используем формулу для​ чтобы выполнить сравнение​Чтобы скопировать результаты и​ файла с одинаковыми​ и сравнения защищенных​​ ячеек в других​​.​​ на вашем языке.​​ + 1 ‘если​​ объявил словарь, тяжело.​​ результате выводится только​

• ​Hugo​ обнаруженными?​​ строк, нужно сравнить​​ 1) <> «»​​ 20 минут, думаю​​Повторяющиеся​

• ​ сравнения значений, выдающую​ двух списков в​​ вставить их в​​ именами, если они​​ паролем книг, потребуется​​ источниках.​​В Windows 7 нажмите​​ Эта страница переведена​​ значение повторилось, то​​ Hugo, не посмотришь​​ значения из колонок​: Проверил — можно​​Только не говорите,​

​ эти два файла​If Worksheets(«Лист1»).Cells(i, 1)​ потому что в​, то Excel выделит​ на выходе логические​ Excel. Нам нужно​

Анализ книги

​ другую программу, выберите​​ хранятся в разных​​ добавить пароль книги​Эта схема отображает​ кнопку​ автоматически, поэтому ее​ можно будет уменьшить​ файл, что то​ отбора, мне нужны​ выделять вместо ID​ что нужно их​ по значениям одного​ = Worksheets(«Лист2»).Cells(i, 1)​ 500000 строк каждое​ цветом совпадения в​

​ значения​ получить следующий результат:​Home > Copy Results to​

​ папках.​

Отображение связей книги

​ в список паролей,​ связи между листами​Пуск​ текст может содержать​ конечный массив уникальных​​ много у меня​​ строки полностью.​ ячейку в пустом​ красить :)​ из столбцов (скажем​ Then ‘ Если​ значение повторяется максимум​ наших списках, если​ИСТИНА (TRUE)​​ Clipboard​Нажмите кнопку​ чтобы с помощью​ четырех различных книг​, выберите пункт​ неточности и грамматические​Else: .Add key:=arrA(i,​ переходных массивов получилось.​Тем не менее​ столбце.​

​Hugo​ по столбцу B,​ названия совпали​ дважды), на файле​ опцию​или​Позиции, которые есть в​(Главная > Копировать результаты​ОК​ надстройки Inquire (Запрос)​

​ с зависимостями между​Все программы​ ошибки. Для нас​ 1), Item:=1 ‘заносим​

Отображение связей листа

​ Не понял как​ весьма благодарен за​​Т.е. выделяете ячейку​​: Кстати, я недавно​ можно заранее привести​Range(Worksheets(«Лист1»).Cells(i, 1), Worksheets(«Лист1»).Cells(i,​ более 50Мб у​Уникальные​ЛОЖЬ (FALSE)​ Таблице_1, но нет​ в буфер обмена).​, чтобы выполнить сравнение.​ можно было открыть​ листами в одной​
​, а затем щелкните​ важно, чтобы эта​ значение в словарь​ по заданному значению​ помощь, возможно мне​ с данными одного​ уже ссылку давал​ файлы к одному​ 10)).Select​ меня комп повесился​- различия.​:​ в Таблцие_2 будут​Чтобы отобразить форматирование ячеек​Примечание:​

​ сохраненную копию книги.​ и той же​Microsoft Office 2013​ статья была вам​

Отображение связей ячейки

​ и указываем на​ Item вытащить Key.​ Ваша обработка поможет​ файла, затем пустую​ на файлик:​ виду). Теоретически значения​’ здесь 10​​Данные можно разместить​​Цветовое выделение, однако, не​Число несовпадений можно посчитать​ отображаться зеленым цветом.​ из книги, выберите​  Появление сообщения «Не​ Используйте команду​ книге, а также​

​,​ полезна. Просим вас​ первое повторение​Юрий М​ достичь требуемого результата,​ ячейку рядом с​ibay.narod.ru/other/DoublesRemoveTwoColumns_v6.rar​ в файле 1​ — это номер​ на листах в​ всегда удобно, особенно​ формулой:​ В тоже время​Home > Show Workbook Colors​

​ удается открыть книгу»​Workbook Passwords​ связями между листами​Средства Office 2013​

​ уделить пару секунд​

Очистка лишнего форматирования ячеек

​End If​: А я ещё​ попробую разобраться в​ данными, затем аналогично​Можете сразу открыть​ и файле 2,​ последнего столбца в​ одной книге, это​ для больших таблиц.​​=СУММПРОИЗВ(—(A2:A20<>B2:B20))​​ позиции, находящиеся в​(Главная > Показать цвета​ может означать, что​(Пароли книги) на​ в других книгах.​и​ и сообщить, помогла​Next i​

​ и не подступался.​​ коде. Спасибо.​ данные и пустую​ два своих файла​ этого столбца, должны​ таблице​ не принципиально, привести​ Также, если внутри​или в английском варианте​ Таблице_2, но отсутствующие​

​ книги).​ книга защищена паролем.​ вкладке​ Когда вы наводите​

Управление паролями

​Средство сравнения электронных таблиц​ ли она вам,​For i =​ :-)​Если кто то​ во втором файле.​ и обработать этим.​ быть одинаковы, на​With Selection.Interior​ таблицы к одинаковому​ самих списков элементы​ =SUMPRODUCT(—(A2:A20<>B2:B20))​​ в Таблице_1, будут​​Допустим, в вашей организации​ Нажмите кнопку​​Inquire​​ указатель мыши на​ 2013​ с помощью кнопок​ 1 To UBound(arrB)​Hugo​ ещё что нибудь​

​Steel Rain​Думаю, должно отработать​ практике возможны расхождения,​.ColorIndex = 4​ виду тоже, вся​ могут повторяться, то​Если в результате получаем​

​ под

my-excel.ru

Рис. 1

      Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 2 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Рис. 2

      Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC, проходящей через точку касания B. Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC. Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 3 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Рис. 3

      Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Рис. 4

      Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

      Теорема о бабочке. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Рис. 5

      Доказательство. Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B. Теперь введём следующие обозначения:

      Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Поэтому

      Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство

откуда вытекает равенство

x = y ,

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Окружность. Основные теоремы

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.  

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\).

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} — \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.

Из треугольника \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ — \angle BDA — \angle CAD = 180^\circ — \frac12\buildrel\smile\over{AB} — \frac12\buildrel\smile\over{CD}\).

Но \(\angle AMD = 180^\circ — \angle CMD\), откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\), \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\), пересекает \(a\) в точке \(M\). Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\).

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\). Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ — 2\alpha = 2(90^\circ — \alpha)\).

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\), то есть \(\angle OAM = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ — \angle OAB = 90^\circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\), а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\), откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\).

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\). Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\). Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\).

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\): \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\). По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\). Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\), что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\).

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):

shkolkovo.net

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

dpva.ru

Свойства хорды в окружности, с примерами

Хорда является частью секущей окружности.

Свойства хорды

1. Хорды, равноудаленные от центра окружности, равны.
2. Хорды окружности равны, если они стягивают равные центральные углы.
3. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны.
5. Дуги, заключенные между двумя равными хордами, равны.
6. Любая пара вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°:

      

7. Если хорда стягивает дугу с градусной мерой , то ее длина

      

8. Для любых двух хорд и , пересекающихся в точке О, выполняется:

      

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Свойства и признаки окружности / math5school.ru

Хорошо известно определение окружности как геометрического места точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки.

Однако определить окружность можно и многими другими способами. Приведем несколько примеров. 

1. Окружность есть геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна и больше половины квадрата расстояния между этими точками.

2. Окружность есть геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек А и В постоянно и не равно 1.

Такая окружность называется окружностью Аполлония точек А и В.

3. Окружность диаметра AB – это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность обладает многими красивыми свойствами, доказательство которых не представляет труда. Сложнее определить, являются ли эти свойства также и признаками окружности, т.е. существуют ли другие кривые, обладающие ими. Перечислим сначала некоторые из свойств окружности, не присущие никаким другим кривым.

«Уникальные» свойства окружности

1. Два угла с вершинами на окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны.

3. Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.

4. Из всех замкнутых кривых, для которых длины всех хорд не превосходят заданной величины, окружность ограничивает область максимальной площади.

5. Любые две дуги окружности равной длины можно совместить.

Это свойство называется самоконгруэнтностью. На плоскости им, кроме окружности, обладает только прямая. Если кривая может не лежать в плоскости, оно задает также винтовую линию.

Однако замкнутых самоконгруэнтных кривых, отличных от окружности, не существует. Благодаря этому свойству меч, имеющий форму дуги окружности, можно вставлять и вынимать из ножен той же формы.

6. При любом расположении двух равных окружностей на плоскости они имеют не больше двух общих точек.

7. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

Для некоторых из перечисленных свойств доказательства того, что они определяют окружность, а значит являются ее признаками, совсем элементарны. Для других, напротив, весьма сложны. Наиболее интересны доказательства признаков 2 и 6. (Попробуйте найти их самостоятельно; если не получится – смотрите ниже.)

А теперь приведем два красивых свойства окружности, которыми обладают и другие кривые.

«Не уникальные» свойства окружности 

1. Окружность является кривой постоянной ширины.

Это значит, что если провести к окружности две параллельные касательные, то расстояние между ними не зависит от их направления.

Как ни странно, этим свойством обладают многие кривые, в том числе довольно сильно отличающиеся от окружности. Наиболее простая из них, так называемый треугольник Рело, изображена на следующем рисунке.

Он состоит из трех дуг окружностей, центры которых расположены в вершинах правильного треугольника, а радиусы равны его стороне. Если изготовить несколько катков, поперечные сечения которых являются кривыми постоянной ширины, то можно перевозить на них плоскую платформу, и она не будет перемещаться вверх и вниз.

Отметим также, что все кривые данной постоянной ширины имеют одну и ту же длину.

2. Любая прямая, которая делит пополам периметр окружности, делит пополам и площадь ограниченного ею круга.

Разумеется, помимо окружности этим свойством обладают любые кривые, имеющие центр симметрии. Гораздо интереснее то, что обладать им могут и не центрально-симметричные кривые, в том числе и выпуклые. Вот изображение одной из таких фигур:

Ее можно задать следующими уравнениями:

х = 12 · cos φ + cos 2φ + ½ · cos 4φ,

у = 12 · sin φ – sin 2φ + ½ · sin 4φ,

где φ меняется от 0 до 2π.

Доказательство признака 2

Пусть дана выпуклая гладкая кривая, касательные к которой из любой точки равны. Возьмем произвольную точку А вне кривой и проведем касательные АВ’ и АС’. Докажем, что для всех точек А’, лежащих на дуге В’С’ (одной и той же), углы В’А’С’ совпадают.

Проведем через А’ касательную к кривой и найдем точки В и С ее пересечения с АС’ и АВ’.  

По условию треугольники В’А’С’ и C’A’B’ равнобедренные, следовательно:

∠ BA’C’ = ½ · (π – ∠ CBA),

∠ CA’B’ = ½ · (π – ∠ ACB),

∠ C’A’B’ = π – ∠ BA’C’ – ∠ CA’B’ = ½ · (∠ CBA – ∠ ACB) = ½ · (π – ∠ BAC). 

Таким образом угол, под которым видна хорда В’С’, не зависит от выбора точки на дуге. Для второй дуги доказательство аналогично. По первому признаку, из приведенных выше, кривая является окружностью.

Доказательство признака 6

Прежде всего, отметим, что в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник. Действительно, возьмем на кривой произвольную точку А и повернем кривую вокруг А на π/3. Точка пересечения старого и нового положения кривой, отличная от А будет второй вершиной треугольника.

Итак пусть правильный треугольник с центром О вписан в нашу кривую. Повернем ее вокруг О на угол 2π/3. Старое и новое положение кривой пересекаются, по крайней мере, в трех точках (вершинах треугольника) и, значит, совпадают, т.е. О является центром симметрии 3 порядка. Рассмотрим теперь поворот кривой вокруг О на произвольный угол φ. Если старое и новое положение кривой не совпадают, то число точек их пересечения кратно 3 (в силу симметрии) и не равно 0 (иначе одна кривая лежала бы целиком внутри другой, что для конгруэнтных кривых невозможно). Следовательно, кривая переходит в себя при любом повороте вокруг О, т.е. является окружностью.

Источники: А. Заславский. Свойства и признаки окружности. («Квант», №6, 2001), Википедия.

  <<< Назад

     Смотрите так же:

Окружность (справочные материалы)

math4school.ru

Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики

Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

Окружность: определение и основные средства описания

Окружность – это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

Свойства хорд

1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней – радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

Длина окружности: общее понятие и основные формулы

Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L – это длина окружности, D – диаметр, R – радиус.

Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

Что такое окружность: основные постулаты

1. Прямая и окружность могут располагаться на плоскости следующим образом:

• не иметь общих точек;
• иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
• иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

• одинаковая кривизна линии в любой из точек;
• центральная симметрия относительно точки О;
• зеркальная симметрия относительно диаметра.

6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине длины окружности, то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой геометрической фигуры с треугольниками.

1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
3. Если описать окружность около прямоугольного треугольника, то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является равносторонний треугольник.

Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении оси симметрии четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.

fb.ru

zadanie.by

Дискретная математика

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Российский химико-технологический университет

им. Д.И. Менделеева

Новомосковский институт

Издательский центр

T.П. Тюрина, В.И. Емельянов

Дискретная математика

(часть 3)

Учебное пособие

Новомосковск 2004

Содержание

Часть 3. Элементы алгебры логики…………………………………………………… 3

3.1 Введение в алгебру логики…………………………………………………………….. 3

3.2 Основные функции алгебры логики………………………………………………… 5

3.3 Формулы алгебры логики……………………………………………………………… 9

Контрольные вопросы………………………………………………………………………. 12

3.4 Законы алгебры логики и следствия из них……………………………………. 12

Контрольные вопросы………………………………………………………………………. 16

3.5 Логические функции многих переменных………………………………………. 16

3.6 Построение формул алгебры логики по заданной таблице истинности 18

Контрольные вопросы и упражнения…………………………………………………. 26

3.7 Некоторые замкнутые классы (классы Поста). Понятие базиса………… 26

Контрольные вопросы и упражнения…………………………………………………. 34

3.8 Методы минимизации логических функций……………………………………. 34

Контрольные вопросы………………………………………………………………………. 39

3.9 Неполностью определенные логические функции…………………………… 40

3.10 Формы представления булевых функций…………………………………….. 41

3.10.1 Семантические деревья……………………………………………………………. 42

3.10.2 Бинарные диаграммы решений (БДР)……………………………………….. 45

3.11 Построение логических схем………………………………………………………. 45

Контрольные вопросы………………………………………………………………………. 45

3.12 Логические конечные автоматы…………………………………………………… 46

3.12.1 Процессы……………………………………………………………………………….. 50

3.12.2 Конечные автоматы…………………………………………………………………. 52

Контрольные вопросы………………………………………………………………………. 55

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………………………………………….. 60

3.1 Введение в алгебру логики

Алгебру логики иначе еще называют алгеброй высказываний, логикой высказываний. Алгебра логики начала формироваться в 19 веке в трудах английского математика Дж. Буля.

Прежде всего, благодаря труду английского логика Джорджа Буля «Математический анализ логики», был достигнут подлинный прогресс науки, называемый математической логикой. Он перенёс на логику законы и правила математических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

В трудах Джорджа Буля и О. де Моргана математическая логика представлена как своеобразная алгебра – алгебра логики (алгебра высказываний).

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Джордж Буль (1815–1864) родился в Линкольне (Англия). Сын сапожного мастера. Окончил только начальную школу и дальнейшие знания приобретал самоучкой. С 1849 г. Буль – профессор математики в Куинс – колледже в Корке (Ирландия), где преподавал до конца жизни. Буля почти в равной степени интересовали логика, математический анализ, теория вероятностей, этика Б. Спинозы, философские работы Аристотеля и Цицерона. Он считается несомненным создателем современной символической (математической) логики.

Огастес де Морган (1806–1871) родился в Индии в семье полковника английских войск. Получил образование в Кембриджском университете. Был профессором математики Лондонского университета. Математику и логику де Морган назвал азами точного знания и выражал сожаление, что математики не более заботятся о логике, чем логики о математике. Сам он стремился сблизить обе науки, и его главной заслугой явилось построение логики по образу и подобию математических наук. Независимо от Дж. Буля он открыл основные идеи алгебры логики.

«Логика Буля» основывается на отношении эквивалентности, при котором правая часть равенства всегда содержит ровно столько же «истин», сколько и левая.

Высказывание – это имеющее смысл языковое выражение (повествовательное предложение), относительно которого в данной ситуации можно утверждать, что оно либо истинно, либо ложно, т. е. каждому высказыванию можно приписать истинное значение И (истина) или Л (ложь), но не то и другое одновременно.

Примеры:

1. НГТУ – крупнейший «вуз Новосибирска».

2. «Снег зелёный».

3. Р= «Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и соответствующее ПО».

4. Крокодилы летают очень низко.

«А ты любишь информатику?» – это предложение не является высказыванием.

Уравнение 2+х=4 не является высказыванием. Однако, всякий раз, придавая переменной х определенное числовое значение, будем получать высказывание. Используя частицу «не», а также союзы «и», «или», связки «если …., то…», «тогда и только тогда, когда…» и т. п., можно из одних высказываний строить другие высказывания.

Изучением высказываний занимается Булева алгебра, в которой предполагается, что уже имеется некоторый запас высказываний, для каждого из которых известно истинно оно или ложно. Такие высказывания называют элементарными высказываниями. Из элементарных высказываний могут быть построены сложные с помощью операций алгебры логики.

Знаки логических операций называют логическими связками (или просто связками). Логические связки могут быть одноместные (унарные), двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д.

В алгебре логики логические операции чаще всего описываются при помощи таблиц истинности, содержащих все наборы значений переменных и значения функции этих наборов. Алгебра логики не занимается обоснованием того, почему тому или иному элементарному высказыванию приписано значение истины или лжи. Этот вопрос решается за пределами алгебры логики.

Например: сумма углов в треугольнике – 180 градусов. Алгебра логики отвлекается и от смысловой содержательности высказывания. Она интересуется только одним свойством сложных высказываний: быть истинным (True – 1) или ложным (False – 0).

Основной задачей теории булевых функций является разработка систематического метода построения сложных функций из более простых. Этот метод основан на изучении свойств булевых функций.

Основными символами алгебры высказываний являются:

а) пропозиционные переменные Р1, Р2, Р3 , …;

б) одноместная связка – (ù) и двуместные связки Ù (и), Ú (или), ®, Þ, Û;

в) скобки ().

Переменная, значениями которой являются высказывания, называется пропозиционной переменной.

Пусть А, В- некоторые элементарные высказывания.

Определим новое высказывание Ā (т. е. не А ), будем называть его отрицанием (инверсия:

Рассмотрим наборы истинных значений элементарных функций на наборах аргументов:

Таблица 1

mirznanii.com

Дискретная математика

\bookfoldsheets0Федеральное агентство по образованию РФ

«ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»

(КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ)

Преподаватель: профессор,

Архипов Игорь Константинович

1. МНОЖЕСТВА

Множество – совокупность элементов, обладающих каким-то одним общим свойством. (Это определение не является строгим, оно лишь показывает особенности построения множеств, т.е. для построения множества важно указать свойство, которым обладают все его элементы).

Если каждому элементу множества можно присвоить номер и этот номер не повторяется, то такое множество называется счетным или конечным .

Если такого номера для каждого элемента не существует, то такое множество называется бесконечным .

Бесконечное множество часто называют континуумом (например: совокупность точек на плоскости).

Если можно пересчитать все число элементов в счетном множестве, то эта сумма называется мощностью множества.

Множества задаются различными способами:

1. С помощью перечисления всех его элементов.

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

2. Алгоритмическая форма (в виде последовательности или фомул).

а) конечное

М ={2;4;6;8} <=> М ={m|2n;n-целое;1<=n<=4}

б) бесконечное

А ={х| |х-1|<3}

2. СВОЙСТВА СЧЕТНЫХ МНОЖЕСТВ

1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно

Подмножеством множества А называется множество А` все элементы которого принадлежат множеству А

Пример:

2. Сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств есть конечное или счетное множество.

3. Множество всех рациональных чисел счетно .

4. Алфавитом называется любое непустое множество.

Пустое множество – множество, которое не содержит ни одного элемента.

Элементы множества под названием АЛФАВИТ называют буквами (символами) .

Символом в данном алфавите любая конечная последова­тель­ность букв.

Для каждого множества А существуют множества, элементами которого являются только все его подмножества.

Такое подмножество называют семейством множеств А или булеаном. (обозначается В(А) )

Будем называть вектором (кортежем) упорядоченный набор элементов и обозначать его

Количество элементов в векторе называется его длиной, если в векторе 2 элемента, то двойка, если n элементов, то n-ка.

Теория множеств строится на основе систем аксиом.

1. Аксиома существования: Существует по крайней мере одно множество.

2. Аксиома объемности: Если множества А и В составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.

3. Аксиома объединения: Для произвольных множеств А и В существует множество, элементами которого являются все элементы множества А и все элементы множества В и никакие другие элементы множество не содержит.

4. Аксиома разности: Для произвольных множеств А и В существует множество, элементами которого являются те и только те элементы множества А , которые не содержатся в множестве В .

5. Аксиома существования пустого множества: Существует множество не содержащее ни одного элемента.

3. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

1. Включение (объединение)

Множество А входит (включено) в множество В , или А является подмножеством В .

Если всякий объект, обладающий свойством

2. Сумма

Сумма множеств А и В есть множество С , включающее в себя все элементы множество А и В .

Объект входит во множество если он входит во множество А или во множество В .

3. Пересечение (произведение)

Пересечением множество А и В называется новое множество С . Элементы множества С принадлежат множеству А (обладают его свойствами) и множеству В (обладают его свойствами).

4. Вычитание (разность)

Разность множеств А и В есть множество С , элементы которого обладают свойствами множества А и не обладают свойствами множества В или принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В .

5. Дополнение

Если имеется некоторое универсальное множество (универсум) U и все рассматриваемые множества есть его подмножества, то дополнением

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

(Диаграммы Эймера, Венна)

2.

4. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ А х В

Прямым произведением множеств А и В называется множество М всех пар (

Если А=В , то такое произведение называется

Аналогично можно вывести операцию прямого произведения большего числа множеств.

Если в частности

(Например, множество точек на плоскости являются прямым произведением двух множеств).

Если множества конечные, мощность произведений

5. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ

Независимость расположения:

Ассоциативно

mirznanii.com

Дискретная математика

www.reshim.su

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА • Большая российская энциклопедия

ДИСКРЕ́ТНАЯ МАТЕМА́ТИКА, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, изу­чаю­щий свой­ст­ва дис­крет­ных струк­тур, ко­то­рые воз­ни­ка­ют как в са­мой ма­те­ма­ти­ке, так и в её при­ло­же­ни­ях. При этом дис­крет­ны­ми струк­ту­ра­ми на­зы­ва­ют­ся объ­ек­ты, для ко­то­рых важ­ней­шие ха­рак­те­ри­сти­ки при­ни­ма­ют ко­неч­ное или счёт­ное чи­сло зна­че­ний. К чис­лу та­ких струк­тур от­но­сят­ся, напр., ко­неч­ные груп­пы, ко­неч­ные гра­фы, не­ко­то­рые ма­те­ма­тич. мо­де­ли пре­об­ра­зо­ва­те­лей ин­фор­ма­ции, ко­неч­ные ав­то­ма­ты, Тью­рин­га ма­ши­ны. Это при­ме­ры струк­тур фи­нит­но­го (ко­неч­но­го) ха­рак­те­ра. Часть Д. м., изу­чаю­щая их, ино­гда на­зы­ва­ет­ся ко­неч­ной ма­те­ма­ти­кой. По­ми­мо фи­нит­ных струк­тур, Д. м. изу­ча­ет так­же дис­крет­ные бес­ко­неч­ные струк­ту­ры (напр., бес­ко­неч­ные ал­геб­ра­ич. сис­те­мы, бес­ко­неч­ные гра­фы, бес­ко­неч­ные ав­то­ма­ты).

Предмет и методы дискретной математики

Зна­чит. часть клас­сич. ма­те­ма­ти­ки за­ни­ма­ет­ся изу­че­ни­ем свойств объ­ек­тов не­пре­рыв­но­го ха­рак­те­ра. Ис­поль­зо­ва­ние дис­крет­ной или не­пре­рыв­ной мо­де­ли изу­чае­мо­го объ­ек­та свя­за­но как с са­мим объ­ек­том, так и с тем, ка­кие за­да­чи ста­вит пе­ред со­бой ис­сле­до­ва­тель. Са­мо де­ле­ние ма­те­ма­ти­ки на Д. м. и ма­те­ма­ти­ку, за­ни­маю­щую­ся не­пре­рыв­ны­ми мо­де­ля­ми, в зна­чит. ме­ре ус­лов­но, по­сколь­ку, с од­ной сто­ро­ны, про­ис­хо­дит об­мен идея­ми и ме­то­да­ми ме­ж­ду ни­ми, а с дру­гой – час­то воз­ни­ка­ет не­об­хо­ди­мость ис­сле­до­ва­ния мо­де­лей, об­ла­­даю­щих как дис­крет­ны­ми, так и не­пре­рыв­ны­ми свой­ст­ва­ми од­но­вре­мен­но. В ма­те­ма­ти­ке су­ще­ст­ву­ют раз­де­лы, ис­поль­зую­щие сред­ст­ва Д. м. для изу­че­ния не­пре­рыв­ных мо­де­лей (напр., ал­геб­раи­че­ская гео­мет­рия), и на­обо­рот, час­то ме­то­ды, раз­ви­тые для ана­ли­за не­пре­рыв­ных мо­де­лей, ис­поль­зу­ют­ся при изу­че­нии дис­крет­ных струк­тур (напр., асим­пто­ти­че­ские ме­то­ды в тео­рии чи­сел, в пе­ре­чис­ли­тель­ных за­да­чах ком­би­на­то­ри­ки). Од­на­ко спе­ци­фи­ка мн. раз­де­лов Д. м. свя­за­на с не­об­хо­ди­мо­стью от­ка­за от та­ких фун­дам. по­ня­тий клас­сич. ма­те­ма­ти­ки, как пре­дел и не­пре­рыв­ность, в свя­зи с чем для мн. за­дач Д. м. не­ко­то­рые ме­то­ды клас­сич. ма­те­ма­ти­ки ока­зы­ва­ют­ся не­при­ме­ни­мы­ми.

На­ря­ду с вы­де­ле­ни­ем Д. м. пу­тём ука­за­ния её пред­ме­та мож­но так­же опи­сать Д. м. пе­ре­чис­ле­ни­ем со­став­ляю­щих её час­тей. К ним от­но­сят­ся ком­би­на­тор­ный ана­лиз, гра­фов тео­рия, тео­рия ко­ди­ро­ва­ния, тео­рия функ­цио­наль­ных сис­тем, тео­рия управ­ляю­щих сис­тем, ав­то­ма­тов тео­рия, ал­го­рит­мов тео­рия. При бо­лее ши­ро­ком тол­ко­ва­нии к Д. м. мо­гут быть от­не­се­ны как це­лые раз­де­лы ма­те­ма­ти­ки, напр. ма­те­ма­тич. ло­ги­ка, так и час­ти та­ких раз­де­лов, как тео­рия чи­сел, ал­геб­ра, вы­чис­ли­тель­ная ма­те­ма­ти­ка, тео­рия ве­ро­ят­но­стей, в ко­то­рых изу­чае­мые объ­ек­ты име­ют дис­крет­ный ха­рак­тер.

Исторический очерк

Эле­мен­ты Д. м. воз­ник­ли в глу­бо­кой древ­но­сти; раз­ви­ва­ясь па­рал­лель­но с др. раз­де­ла­ми ма­те­ма­ти­ки, они яв­ля­лись их со­став­ной ча­стью. Ти­пич­ны­ми бы­ли за­да­чи, свя­зан­ные со свой­ст­ва­ми це­лых чи­сел, позд­нее эти за­да­чи при­ве­ли к соз­да­нию тео­рии чи­сел. При­ме­ры та­ких за­дач: оты­ска­ние ал­го­рит­мов сло­же­ния и ум­но­же­ния на­ту­раль­ных чи­сел у древ­них егип­тян, во­про­сы де­ли­мо­сти на­ту­раль­ных чи­сел и за­да­чи сум­ми­ро­ва­ния в пи­фа­го­рей­ской шко­ле, а в бо­лее позд­нее вре­мя – воп­ро­сы, свя­зан­ные с раз­ре­ши­мо­стью урав­не­ний в це­лых чис­лах. Этот этап раз­ви­тия Д. м. свя­зан с име­на­ми Дио­фан­та, Евли­да, Пифа­го­ра­ и Эрато­сфе­на­. В 17–18 вв., в осн. в свя­зи с иг­ро­вы­ми за­да­ча­ми, поя­ви­лись эле­мен­ты ком­би­на­тор­но­го ана­ли­за и дис­крет­ной тео­рии ве­ро­ят­но­стей, а в свя­зи с об­щи­ми про­бле­ма­ми тео­рии чи­сел, ал­геб­ры и гео­мет­рии в 18–19 вв. воз­ник­ли та­кие важ­ней­шие по­ня­тия ал­геб­ры, как груп­па, по­ле, коль­цо, оп­ре­де­лив­шие даль­ней­шее раз­ви­тие и со­дер­жа­ние ал­геб­ры и имев­шие, по су­ще­ст­ву, дис­крет­ную при­ро­ду. На про­тя­же­нии 17–19 вв. раз­ви­тие Д. м. свя­за­но с име­на­ми Н. Абеля­, Э. Варин­га­, У. Гамиль­то­на­, Э. Га­луа, А. Кэли­, Ж. Лаг­ран­жа, А. Лежан­дра­, П. Фер­ма, Л. Эйле­ра­. В 19–20 вв. стрем­ле­ние к стро­го­сти ма­те­ма­тич. рас­су­ж­де­ний и ана­лиз ме­то­дов ма­те­ма­ти­ки при­ве­ли к вы­де­ле­нию ещё од­но­го раз­де­ла – ма­те­ма­тич. ло­ги­ки. В это вре­мя проб­ле­ма­ми Д. м. за­ни­ма­лись Л. Брау­эр, Дж. Буль, Н. Винер­, К. Гёдель­, Д. Гиль­берт, А. Чёрч, К. Шеннон­. В со­з­да­нии рос. шко­лы Д. м. участ­во­ва­ли И. М. Вино­гра­дов­, А. Н. Колмо­го­ров­, О. Б. Лупа­нов­ и С. В. Яблон­ский­.

Современные задачи дискретной математики

В 20 в. раз­ви­тие Д. м. оп­ре­де­ля­лось гл. обр. за­про­са­ми прак­ти­ки. Воз­ник­ла но­вая нау­ка – ки­бер­не­ти­ка и её тео­ре­тич. часть – ма­те­ма­тич. ки­бер­не­ти­ка, изу­чаю­щая ма­те­ма­тич. ме­то­да­ми раз­но­об­раз­ные про­бле­мы, ко­то­рые ста­вит пе­ред ки­бер­не­ти­кой прак­тич. дея­тель­ность че­ло­ве­ка. Ма­те­ма­тич. ки­бер­не­ти­ка яв­ля­ет­ся по­став­щи­ком идей и за­дач Д. м. Так, при­клад­ные во­про­сы, тре­бую­щие боль­ших вы­чис­ле­ний, сти­му­ли­ро­ва­ли по­яв­ле­ние и раз­ви­тие чис­лен­ных ме­то­дов ре­ше­ния за­дач, что при­ве­ло к соз­да­нию вы­чис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ки. Ана­лиз по­ня­тий «вы­чис­ли­мость» и «ал­го­ритм» при­вёл к соз­да­нию тео­рии ал­го­рит­мов. За­да­чи хра­не­ния, об­ра­бот­ки и пе­ре­да­чи ин­фор­ма­ции спо­соб­ст­во­ва­ли воз­ник­но­ве­нию ин­фор­ма­ции тео­рии, тео­рии ко­ди­ро­ва­ния и тео­ре­тич. крип­то­гра­фии. Эко­но­мич. за­да­чи, за­да­чи элек­тро­тех­ни­ки, рав­но как и внут­рен­ние про­бле­мы ма­те­ма­ти­ки, по­тре­бо­ва­ли раз­ви­тия тео­рии гра­фов. За­да­чи опи­са­ния ра­бо­ты и кон­ст­руи­ро­ва­ния слож­ных управ­ляю­щих сис­тем со­ста­ви­ли пред­мет тео­рии управ­ляю­щих сис­тем и тео­рии ав­то­ма­тов.

Од­на из осо­бен­но­стей Д. м. со­сто­ит в том, что вме­сте с за­да­ча­ми ти­па за­дач су­ще­ст­во­ва­ния, имею­щи­ми об­ще­ма­те­ма­тич. ха­рак­тер, важ­ное ме­сто в Д. м. за­ни­ма­ют за­да­чи, свя­зан­ные с ал­го­рит­мич. раз­ре­ши­мо­стью и по­строе­ни­ем кон­крет­ных ре­шаю­щих ал­го­рит­мов. Др. осо­бен­но­стью Д. м. яв­ля­ет­ся то, что в ней впер­вые на­ча­лись ис­сле­до­ва­ния т. н. дис­крет­ных мно­го­экс­тре­маль­ных за­дач. Со­от­вет­ст­вую­щие ме­то­ды по­ис­ка экс­тре­му­мов, ис­поль­зую­щие глад­кость функ­ций, в этих слу­ча­ях ока­зы­ва­ют­ся непри­ме­ни­мы­ми. Ти­пич­ны­ми за­да­ча­ми та­ко­го ро­да в Д. м. яв­ля­ют­ся, напр., за­да­чи оты­ска­ния в не­ко­то­ром смыс­ле оп­ти­маль­ных стра­те­гий в шах­ма­тах, а так­же за­да­чи по­строе­ния ми­ни­маль­ных дизъ­юнк­тив­ных нор­маль­ных форм для бу­ле­вых функ­ций (см. так­же Ал­геб­ра ло­ги­ки).

Осо­бен­но­стью Д. м., свя­зан­ной с за­да­ча­ми для ко­неч­ных струк­тур, яв­ля­ет­ся то, что для мно­гих из них су­ще­ст­ву­ют ал­го­рит­мы ре­ше­ния, в то вре­мя как для за­дач с эле­мен­та­ми не­пре­рыв­но­сти, как пра­ви­ло, пол­ное ре­ше­ние воз­мож­но лишь при весь­ма жё­ст­ких ог­ра­ни­че­ни­ях. При­ме­ром та­ко­го ал­го­рит­ма мо­жет слу­жить ал­го­ритм про­смот­ра всех воз­мож­ных ва­ри­ан­тов, т. е. ал­го­ритм пол­но­го пе­ре­бо­ра. К за­да­чам, в ко­то­рых мо­жет быть при­ме­нён ал­го­ритм пол­но­го пе­ре­бо­ра, от­но­сят­ся упо­мя­ну­тые за­да­чи о стра­те­ги­ях в шах­мат­ной пар­тии с ог­ра­ни­чен­ным чис­лом хо­дов и о ми­ни­ми­за­ции дизъ­юнк­тив­ных нор­маль­ных форм для бу­ле­вых функ­ций. Ал­го­рит­мы пол­но­го пе­ре­бо­ра тру­до­ём­ки и час­то не мо­гут быть реа­ли­зо­ва­ны на прак­ти­ке, в свя­зи с чем воз­ни­ка­ет ряд за­дач, свя­зан­ных с на­хо­ж­де­ни­ем ус­ло­вий, ог­ра­ни­чи­ваю­щих пе­ре­бор.

dev.bigenc.ru

Конспект лекций (Описание основных понятий и методов решения задач дискретной математики, относящихся к теории множеств, отношениям на множествах, теории графов и комбинаторике)

Министерство образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

______________________________________________________________________

С.В. РЕНИН

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

Конспект лекций для студентов II курса

Института социальной реабилитации

Новосибирск

2002

УДК 51 (076.1)

Рецензент ………………………………………………..

Работа выполнена на кафедре
автоматизированных систем управления
для студентов II курса Института социальной реабилитации

Ренин С.В.

Дискретная математика. Конспект лекций. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 2000.

Конспект лекций содержит описание основных понятий и методов решения задач дискретной математики, относящихся к теории множеств, отношениям на множествах, теории графов и комбинаторике и предназначается студентам Института социальной реабилитации НГТУ , обучающимся по направлению 5528 «Информатика и вычислительная техника», для использования при подготовке к практическим занятиям и при самостоятельной работе над курсом.

УДК 51 (076.1)

© Новосибирский государственный
технический университет, 2000 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. МНОЖЕСТВА. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВАХ

1.1. Основные понятия теории множеств

Множество – совокупность объектов любой природы, называемых элементами данного множества.

Обозначение – большие буквы латинского алфавита для множеств, малые – для его элементов.

Способы задания: 1) перечисление элементов; 2) указание свойства, которым обладают все элементы множества.

Примеры.       1) Множество Х, состоящее из элементов х₁, х₂, х₃, обозначают:

Х = {х₁, х₂, х₃}

              2) Множество простых чисел Х = {x|x — простое число}.

Принадлежность элемента х множеству Х записывается как хÎХ.

Если элемент х не принадлежит Х, то пишут хÏХ.

Множество называется конечным, если оно состоит из конечного числа элемен­тов. Например, множество жителей г. Новосибирска, множество студентов группы ВИ-51.

Множество называется бесконечным, если число его элементов бесконечно. Например, множество натуральных чисел N = {1,2,3,…}.

Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно перечислять. Например, множество натуральных чисел N, множество целых чисел
Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

В противном случае оно называется несчетным. Например, множество точек плоскости, множество вещественных чисел.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается Æ. Например, пусто множество людей, имеющих рост выше 3 метров. Пусто множество студентов группы ВИ-51, имеющих диплом о высшем образовании.

Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент А является и элементом множества В. Это обозначается так:

АÌВ. Например, множество студентов группы ВИ-51 есть подмножество множества студентов ИСР и НГТУ.

Если множество А является подмножеством множества В и при этом может совпадать с В, то знак Ì подчеркивают: Í.

Множество называется универсальным, если все другие рассматриваемые в данной задаче множества являются его подмножествами. Обозначается такое множество латинской буквой I. Например, если в задаче рассматриваются множество вещественных чисел R, множество целых чисел Z, множество натуральных чисел N и множество рациональных чисел F, то для всех этих множеств множество R является универсальным, так как ZÌR, NÌR и FÌR. Т.е. в данном случае I=R.

1.2. Операции над множествами

1.2.1. Объединение

Обозначение:

Определение. Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые входят во множество А или во множество В или в оба вместе, причем элементы, принадлежащие обоим множествам одновременно, входят в объединение только один раз.

   Если С = А В, то С = {c| cÎА или сÎВ или сÎА и В одно­временно}.

Операции над множествами можно наглядно изобразить с помощью диаграмм Эйлера-Венна. На этих диаграммах универсальное множество изображается в виде прямоугольника, а множества, участвующие в операции — кругами.

Представление объединения на диаграмме Эйлера-Венна (результат объединения закрашен):

Примеры:

1) А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C=A B={a, b, c, d, e, f}

2) Z⁺ – множество целых положительных чисел;

  Z^— – множество целых отрицательных чисел;

  О = {0};

  C = Z⁺ Z^—O = Z – множество всех целых чисел.

3) А – множество студентов гр. ВИ-51, учащихся на отлично;

  В – множество студентов гр. ВИ-51, учащихся без троек;

  С – множество студентов гр. ВИ-51, имеющих удовлетворительные оценки;

  D – множество студентов гр. ВИ-51, имеющих неудовлетворительные оценки;

  E = A B C D — множество всех студентов группы ВИ-51.

Свойства: 1) коммутативность (переместительный закон)

               А В = В А

     2) ассоциативность (сочетательный закон)

           А В С = (А В) С = А (В С)

     3) если АÌВ, то А В=В;

vunivere.ru