Автор: alexxlab

Рисунок jpeg jpg перевести в ворд: Конвертировать JPG в DOC (WORD) онлайн — Convertio

alexxlab / / Разное

Конвертировать JPG В WORD Python

Конвертировать JPG в Word на Python

Вам требуется конвертировать изображения JPG в Word документ программно? Используя мощную библиотеку Aspose.Words для Python via .NET, вы можете конвертировать JPG в Word всего несколькими строками Python кода.

Наш Python API позволяет создать Word документ из JPG изображений с профессиональным качеством. Python API конверсии позволит легко преобразовать изображения JPG практически во все форматы Word.

Сохранить JPG как Word документ на Python

Пример кода ниже показывает, как конвертировать JPG в Word формат документа на Python.

Выполните следующие действия, чтобы конвертировать JPG изображение в Word формат документа. Прочитайте JPG файл с локального диска, затем сохраните его в формате Word документа, задав формат с помощью расширения файла. Как для чтения JPG, так и для записи Word документа, вы можете использовать полностью специфицированные имена файлов.

Входной файл

Загрузить файл

Загрузите файл, который хотите конвертировать

Выполнить код

Формат вывода

DOCXPDFMDHTMLTXTDOCDOTDOCMDOTXDOTMRTFEPUBPSPCLMHTMLXHTMLODTOTTXPSPNGBMPEMFGIFSVGTIFFJPG

Выберите целевой формат из списка 

import aspose.words as aw

doc = aw.Document()
builder = aw.DocumentBuilder(doc)

builder.insert_image("Input.jpg")

doc.save("Output.docx")

import aspose.words as aw doc = aw.Document("Input.jpg") doc.save("Output.docx") import aspose.words as aw doc = aw.Document(Input.jpg) for page in range(0, doc.page_count): extractedPage = doc.extract_pages(page, 1) extractedPage.save(f"Output_{page + 1}.docx") import aspose. words as aw doc = aw.Document() builder = aw.DocumentBuilder(doc) builder.insert_image("Input.jpg") doc.save("Output.docx") import aspose.words as aw doc = aw.Document() builder = aw.DocumentBuilder(doc) shape = builder.insert_image("Input.jpg") shape.image_data.save("Output.docx")

Выполнить код

Как конвертировать JPG в Word

  1. Установите ‘Aspose.Words for Python via .NET’.
  2. Добавьте ссылку на библиотеку (импортируйте библиотеку) в свой Python проект.
  3. Откройте исходный JPG файл на Python.
  4. Вызовите метод ‘save()’, передав имя выходного файла с расширением ‘Word’.
  5. Получите результат преобразования из JPG в Word.

Python библиотека чтобы конвертировать JPG в Word

Мы размещаем наши пакеты Python в репозиториях PyPi. Следуйте пошаговым инструкциям по установке «Aspose. Words for Python via .NET» в среду разработчика.

Системные Требования

Этот пакет совместим с Python 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 и 3.9. Если вы разрабатываете программное обеспечение для Linux, ознакомьтесь с дополнительными требованиями для gcc и libpython в документации по продукту.

Вы можете конвертировать JPG во многие другие форматы:

Распознать текст (OCR) онлайн — IMG online

Главное нужно указать изображение с текстом на вашем компьютере или телефоне, обязательно выбрать основной язык текста и нажать кнопку OK внизу страницы. Остальные настройки уже выставлены по умолчанию.

Пример сфотографированного текста из книги и скриншот распознанного текста на этой фотографии:

В зависимости от размера исходного изображения и количества текста обработка может продлиться около 1 минуты.
Для достижения лучшего результата распознания текста желательно обратить внимание на подсказки возле настроек. Перед обработкой изображение нужно повернуть на нормальный угол, чтобы текст шёл в правильном направлении и небыл перевёрнут вверх ногами, а также желательно обрезать лишние однотонные края без текста, если они есть.
Обе OCR-программы для распознования текста отличаются друг от друга и могут давать разные результаты, что позволяет выбрать наиболее приемлемый вариант из двух.

Исходное изображение никак не изменяется, вам будет предоставлен распознанный текст в обычном текстовом документе в формате .txt с кодировкой utf-8 и после обработки его можно будет открыть прямо в окне браузера или же после скачивания – в любом текстовом редакторе.

1) Укажите изображение в формате BMP, GIF, JPEG, PNG, TIFF:

2) Настройки для распознавания текста

Основной язык текста №1: Азербайджанский (Azerbaijani)Албанский (Albanian)Английский (English)Английский средний (Middle English 1100-1500)Арабский (Arabic)Африкаанс (Afrikaans)Баскский (Basque)Белорусский (Belarusian)Бенгальский (Bengali)Болгарский (Bulgarian)Венгерский (Hungarian)Вьетнамский (Vietnamese)Галисийский (Galician)Голландский (Dutch)Греческий (Greek)Греческий древний (Ancient Greek)Датский (Danish)Иврит (Hebrew)Индонезийский (Indonesian)Исландский (Icelandic)Испанский (Spanish)Испанский (старый) (Spanish old)Итальянский (Italian)Итальянский (старый) (Italian old)Каннада (Kannada)Каталанский (Catalan)Китайский традиционный (Chinese Traditional)Китайский упрощенный (Chinese Simplified)Корейский (Korean)Латышский (Latvian)Литовский (Lithuanian)Македонский (Macedonian)Малайский (Malay)Малаялам (Malayalam)Мальтийский (Maltese)Немецкий (German)Норвежский (Norwegian)Польский (Polish)Португальский (Portuguese)Румынский (Romanian)Русский (Russian)Сербский (латинский) (Serbian latin)Словацкий (Slovakian)Словенский (Slovenian)Суахили (Swahili)Тагальский (Tagalog)Тайский (Thai)Тамильский (Tamil)Телугу (Telugu)Турецкий (Turkish)Украинский (Ukrainian)Финский (Finnish)Франкский (Frankish)Французский (cредний) (Middle French)Французский (French)Хинди (Hindi)Хорватский (Croatian)Чероки (Cherokee)Чешский (Czech)Шведский (Swedish)Эсперанто (Esperanto)Эсперанто альтернативный (Esperanto alternative)Эстонский (Estonian)Японский (Japanese) ← нужно выбрать существующий

Дополнительные языки, которые нужно распознать:

№2: Не распознаватьАзербайджанский (Azerbaijani)Албанский (Albanian)Английский (English)Английский средний (Middle English 1100-1500)Арабский (Arabic)Африкаанс (Afrikaans)Баскский (Basque)Белорусский (Belarusian)Бенгальский (Bengali)Болгарский (Bulgarian)Венгерский (Hungarian)Вьетнамский (Vietnamese)Галисийский (Galician)Голландский (Dutch)Греческий (Greek)Греческий древний (Ancient Greek)Датский (Danish)Иврит (Hebrew)Индонезийский (Indonesian)Исландский (Icelandic)Испанский (Spanish)Испанский (старый) (Spanish old)Итальянский (Italian)Итальянский (старый) (Italian old)Каннада (Kannada)Каталанский (Catalan)Китайский традиционный (Chinese Traditional)Китайский упрощенный (Chinese Simplified)Корейский (Korean)Латышский (Latvian)Литовский (Lithuanian)Македонский (Macedonian)Малайский (Malay)Малаялам (Malayalam)Мальтийский (Maltese)Немецкий (German)Норвежский (Norwegian)Польский (Polish)Португальский (Portuguese)Румынский (Romanian)Русский (Russian)Сербский (латинский) (Serbian latin)Словацкий (Slovakian)Словенский (Slovenian)Суахили (Swahili)Тагальский (Tagalog)Тайский (Thai)Тамильский (Tamil)Телугу (Telugu)Турецкий (Turkish)Украинский (Ukrainian)Финский (Finnish)Франкский (Frankish)Французский (cредний) (Middle French)Французский (French)Хинди (Hindi)Хорватский (Croatian)Чероки (Cherokee)Чешский (Czech)Шведский (Swedish)Эсперанто (Esperanto)Эсперанто альтернативный (Esperanto alternative)Эстонский (Estonian)Японский (Japanese)№3: Не распознаватьАзербайджанский (Azerbaijani)Албанский (Albanian)Английский (English)Английский средний (Middle English 1100-1500)Арабский (Arabic)Африкаанс (Afrikaans)Баскский (Basque)Белорусский (Belarusian)Бенгальский (Bengali)Болгарский (Bulgarian)Венгерский (Hungarian)Вьетнамский (Vietnamese)Галисийский (Galician)Голландский (Dutch)Греческий (Greek)Греческий древний (Ancient Greek)Датский (Danish)Иврит (Hebrew)Индонезийский (Indonesian)Исландский (Icelandic)Испанский (Spanish)Испанский (старый) (Spanish old)Итальянский (Italian)Итальянский (старый) (Italian old)Каннада (Kannada)Каталанский (Catalan)Китайский традиционный (Chinese Traditional)Китайский упрощенный (Chinese Simplified)Корейский (Korean)Латышский (Latvian)Литовский (Lithuanian)Македонский (Macedonian)Малайский (Malay)Малаялам (Malayalam)Мальтийский (Maltese)Немецкий (German)Норвежский (Norwegian)Польский (Polish)Португальский (Portuguese)Румынский (Romanian)Русский (Russian)Сербский (латинский) (Serbian latin)Словацкий (Slovakian)Словенский (Slovenian)Суахили (Swahili)Тагальский (Tagalog)Тайский (Thai)Тамильский (Tamil)Телугу (Telugu)Турецкий (Turkish)Украинский (Ukrainian)Финский (Finnish)Франкский (Frankish)Французский (cредний) (Middle French)Французский (French)Хинди (Hindi)Хорватский (Croatian)Чероки (Cherokee)Чешский (Czech)Шведский (Swedish)Эсперанто (Esperanto)Эсперанто альтернативный (Esperanto alternative)Эстонский (Estonian)Японский (Japanese)№4: Не распознаватьАзербайджанский (Azerbaijani)Албанский (Albanian)Английский (English)Английский средний (Middle English 1100-1500)Арабский (Arabic)Африкаанс (Afrikaans)Баскский (Basque)Белорусский (Belarusian)Бенгальский (Bengali)Болгарский (Bulgarian)Венгерский (Hungarian)Вьетнамский (Vietnamese)Галисийский (Galician)Голландский (Dutch)Греческий (Greek)Греческий древний (Ancient Greek)Датский (Danish)Иврит (Hebrew)Индонезийский (Indonesian)Исландский (Icelandic)Испанский (Spanish)Испанский (старый) (Spanish old)Итальянский (Italian)Итальянский (старый) (Italian old)Каннада (Kannada)Каталанский (Catalan)Китайский традиционный (Chinese Traditional)Китайский упрощенный (Chinese Simplified)Корейский (Korean)Латышский (Latvian)Литовский (Lithuanian)Македонский (Macedonian)Малайский (Malay)Малаялам (Malayalam)Мальтийский (Maltese)Немецкий (German)Норвежский (Norwegian)Польский (Polish)Португальский (Portuguese)Румынский (Romanian)Русский (Russian)Сербский (латинский) (Serbian latin)Словацкий (Slovakian)Словенский (Slovenian)Суахили (Swahili)Тагальский (Tagalog)Тайский (Thai)Тамильский (Tamil)Телугу (Telugu)Турецкий (Turkish)Украинский (Ukrainian)Финский (Finnish)Франкский (Frankish)Французский (cредний) (Middle French)Французский (French)Хинди (Hindi)Хорватский (Croatian)Чероки (Cherokee)Чешский (Czech)Шведский (Swedish)Эсперанто (Esperanto)Эсперанто альтернативный (Esperanto alternative)Эстонский (Estonian)Японский (Japanese)№5: Не распознаватьАзербайджанский (Azerbaijani)Албанский (Albanian)Английский (English)Английский средний (Middle English 1100-1500)Арабский (Arabic)Африкаанс (Afrikaans)Баскский (Basque)Белорусский (Belarusian)Бенгальский (Bengali)Болгарский (Bulgarian)Венгерский (Hungarian)Вьетнамский (Vietnamese)Галисийский (Galician)Голландский (Dutch)Греческий (Greek)Греческий древний (Ancient Greek)Датский (Danish)Иврит (Hebrew)Индонезийский (Indonesian)Исландский (Icelandic)Испанский (Spanish)Испанский (старый) (Spanish old)Итальянский (Italian)Итальянский (старый) (Italian old)Каннада (Kannada)Каталанский (Catalan)Китайский традиционный (Chinese Traditional)Китайский упрощенный (Chinese Simplified)Корейский (Korean)Латышский (Latvian)Литовский (Lithuanian)Македонский (Macedonian)Малайский (Malay)Малаялам (Malayalam)Мальтийский (Maltese)Немецкий (German)Норвежский (Norwegian)Польский (Polish)Португальский (Portuguese)Румынский (Romanian)Русский (Russian)Сербский (латинский) (Serbian latin)Словацкий (Slovakian)Словенский (Slovenian)Суахили (Swahili)Тагальский (Tagalog)Тайский (Thai)Тамильский (Tamil)Телугу (Telugu)Турецкий (Turkish)Украинский (Ukrainian)Финский (Finnish)Франкский (Frankish)Французский (cредний) (Middle French)Французский (French)Хинди (Hindi)Хорватский (Croatian)Чероки (Cherokee)Чешский (Czech)Шведский (Swedish)Эсперанто (Esperanto)Эсперанто альтернативный (Esperanto alternative)Эстонский (Estonian)Японский (Japanese)

Если есть не только русские, но и английские буквы, которые также нужно распознать, то для дополнительного языка №2 нужно выбрать английский язык. Порядок указания языков значения не имеет. Если на изображении есть только символы основного языка №1, то дополнительные языки от №2 до №5 лучше «не распознавать» для более точной обработки.

Предварительная оптимизация изображения
Предварительное улучшение отсканированного текста

Если отсканированный текст качественный, то для эксперимента можно сначала отключить улучшение отсканированного текста, а потом и оптимизацию изображения. Иногда это может помочь даже тогда, когда текст вообще не распознается.

Программа OCR для распознавания текста на изображении: 1  2

Если не будет получаться нормально распознать текст первой программой, то можно попробовать переключиться на вторую (работает быстрее) или же проще говоря – выбрать лучший результат из двух.


  Обработка обычно длится 20-60 секунд.

pdf — MS Word — экспортировать изображение с наложенными текстовыми полями как изображение

спросил

Изменено 3 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 37 тысяч раз

Я пытаюсь экспортировать изображение с наложенными текстовыми блоками, стрелками и фигурами как единое изображение с разрешением >300 точек на дюйм.

В данный момент я экспортирую в pdf и копирую изображение в Paint.NET. Однако при этом снижается качество изображения.

Я думал, что могу использовать «выбрать объект» и «группировать», чтобы сделать это, но фоновое изображение не выбирается, когда я пытаюсь это сделать.

Кто-нибудь знает, как это сделать?

Это не дубликат:

Могу ли я экспортировать изображение PNG из Word?

или

Скопировать изображение из Microsoft Word

  • microsoft-word
  • pdf
  • изображения
  • microsoft-word-2007

4

Вот простое решение, которое работает в Office 2013. Вам придется попробовать его, чтобы увидеть, работает ли оно в 2007.

  1. Выберите все нужные элементы, удерживая Ctrl и щелкая каждый элемент
  2. Скопируйте все это и вставьте обратно в документ Word
  3. В селекторе параметров вставки выберите Изображение

(Обратите внимание, что для всех элементов необходимо установить для параметра Обтекание текста (в разделе Формат) значение Перед текстом или За текстом)

Сделав это, вы можете либо скопировать изображение и вставить его в Paint. net, либо еще лучше щелкните его правой кнопкой мыши и выберите «Сохранить как изображение», что позволит вам сохранить его как правильное изображение в нескольких форматах и ​​не означает потери качества (при условии, что вы выбираете PNG)

Вот один, который я сделал .. ну, только что:

ОБНОВЛЕНИЕ
Я обнаружил, что если вы вставите изображение и добавите текстовое поле, и попытаетесь выбрать их оба, это не позволит этого сделать. Убедитесь, что для всех элементов для параметра «Перенос текста» (на вкладке «Формат») установлено значение «Перед текстом» или «За текстом». Я обновил свой ответ соответственно.

7

У меня была такая же проблема. Я решил это на

  1. Не группировать текст и изображение
  2. Нажмите Выберите в главном меню и нажмите Выбрать все
  3. Щелкните Вставить в главном меню, а затем щелкните Специальная вставка
  4. В раскрывающемся меню «Специальная вставка» щелкните Изображение (Расширенный метафайл)
  5. Щелкните OK , после чего у вас должно появиться изображение с текстовыми полями, вставленными в один файл изображения в слове, который затем можно копировать и вставлять в другие приложения.

Чтобы этот метод работал, все объекты должны быть настроены так, чтобы они отображались либо позади, либо перед текстом на странице.

Удерживая нажатой клавишу Ctrl, щелкните, чтобы выбрать все объекты одновременно. При выборе текстовых полей обязательно щелкайте по краю/границе, чтобы выделить весь объект. Как только все будет выделено, щелкните правой кнопкой мыши и выберите «Группа» в контекстном меню (скриншот ниже).

После того, как вы нажмете группу, теперь вокруг всех объектов должна быть одна большая рамка. Этот единственный объект теперь можно копировать и вставлять в разные приложения. Если вы вставите его в другое приложение MS Office, вы все равно сможете выбрать отдельные объекты и сгруппировать их, если хотите. Если вставить его в PowerPoint и щелкнуть правой кнопкой мыши один сгруппированный объект, в контекстном меню будет опция «Сохранить как изображение…». Я не уверен, почему контекстное меню в Word не имеет этой опции, но я уверен есть способ сделать это без PowerPoint. %$#!), элементы прыгают, и чтобы понять, как все это вернуть на место, о брат!

Решение: Откройте новый документ, возьмите фотографии, сгруппированные элементы и скопируйте их в новый документ. Расставил все как надо, увеличил размер изображения до максимального по объему документов… и….PrntScr! Вернулся к исходному документу, Ctrl V, обрезал то, что не нужно (части экрана), и увеличил изображение, как нужно! Вуаля! Удивительно, но потери качества было гораздо меньше, чем я ожидал. Это как быстрое решение, если вам не нужно высокое разрешение. Ваше здоровье!

Я думаю, мне просто повезло найти способ сделать это, так как у меня есть очень базовые навыки работы с компьютером! Я разрабатывал открытку, и у меня было много слоев текстовых полей и фотографий. Я просто щелкнул правой кнопкой мыши внешнее текстовое поле и выбрал «сделать текстовое поле по умолчанию». Затем вы можете скопировать и вставить его, не теряя позиционирования слоев, но по-прежнему делать коробку и содержимое меньше / больше и т. д. как единое целое.

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Какие типы изображений наиболее совместимы с MS Word на всех принтерах?

  • Поделиться на Facebook

Microsoft Office поддерживает большинство распространенных форматов изображений, что означает, что вы можете импортировать практически любые фотографии или рисунки в документ Word для печати. Пока Word может открыть изображение, вы можете распечатать изображение из Word. Некоторые типы файлов изображений печатаются лучше, чем другие, хотя размер и разрешение изображения влияют на качество печати больше, чем тип файла.

Совместимость

Microsoft Word поддерживает изображения в большинстве распространенных типов файлов: EMG, GIF, JPG, PNG, BMP, WMF и TIFF. Дополнительно с помощью фильтров можно добавить в Word поддержку изображений в формате CDR, CGM, EPS и PCT. После того как вы импортировали изображение в Word, вы сможете распечатать его так, как оно появляется на экране. Но некоторые форматы изображений сохраняют качество лучше, чем другие, поэтому при печати больших изображений — полной страницы размером 8,5 на 11 дюймов или больше — тип используемого файла начинает иметь значение.

Сжатие и глубина цвета

Не все типы файлов изображений одинаковы. Файлы растровых изображений Windows (BMP) и файлы в формате графического обмена (GIF), например, имеют ограниченное разрешение и глубину цвета. Файлы GIF могут хранить не более 256 цветов, а ваш принтер может воспроизводить миллионы цветов. Хотя Word поддерживает файлы GIF, у вас не будет такой же глубины изображения, как у файлов JPG или TIFF, которые могут поддерживать фотографии и изображения с очень высоким разрешением без сжатия. Для экономии места на жестком диске программы сжимают изображения BMP и GIF, что может существенно снизить качество печати. Эти форматы изображений часто предназначены для использования в Интернете.

Разрешение

Разрешение изображения больше всего влияет на способ его печати. Если фотография имеет ширину всего 300 пикселей, при увеличении в Word она станет зернистой, а при печати будет выглядеть пиксельной. В Word вы можете изменить его размер, чтобы он был больше или меньше, но сжатые фотографии с маленьким разрешением не будут хорошо печататься на любом принтере после увеличения в Word. Выбор фотографий с высоким разрешением гарантирует, что фотографии будут напечатаны четко.

JPG и TIFF

При загрузке фотографий из Интернета или сохранении фотографий в другой программе для импорта в Word используйте форматы JPG или TIFF. Если вы создаете свои собственные файлы изображений, сохраняйте файлы JPG с максимальным качеством и без сжатия для достижения наилучших результатов печати. Файлы TIFF почти никогда не сжимаются, поэтому все изображения TIFF сохранят свои детали при растяжении в Word. Если ваши фотографии выглядят пикселизированными после печати, сохраните фотографию с более высоким разрешением и снова импортируйте ее в Word.

Ссылки

  • Служба поддержки Microsoft: Типы графических файлов, которые может использовать Word
  • Служба поддержки Microsoft: Описание рекомендаций по выбору подходящего формата изображения в программе Office

Writer Bio

Эндрю Ааронс, проживающий в Канаде, профессионально пишет с 2003 года.

Как методом гаусса решить систему уравнений: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

alexxlab / / Разное

Лекция № 4. Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Рассмотрим систему m—линейных уравнений c n-неизвестными

(1)

Теорема: Если какое-либо уравнение системы умножить на произвольное число и прибавить это произведение к другому уравнению системы, оставив при этом неизменными все остальные уравнения системы, включая то, которое умножалось на число, то получим систему, равносильную исходной.

Составим расширенную матрицу системы (1) .

Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим, эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работа с уравнениями заменяется работой со строками матрицы.

Этапы решения:

I Этап: прямой ход заключается в том, что система (1) приводится к ступенчатому виду: , (2)

в частности, к треугольному виду: . (3)

Следует запомнить.

Другими словами, если данная система уравнений (1) после выполнения ряда элементарных преобразований приводится к треугольному виду, то это означает, что система (1) является совместной и определенной.

Замечание.

Если в процессе приведения системы (1) к ступенчатому виду появляется уравнение вида , то система несовместна.

II этап: обратный ход заключается в решении ступенчатой (треугольной) системы.

Двигаясь снизу вверх по уравнениям системы (3) находим ; затем, подставляя значение в предыдущее уравнение, находим и т. д..

Если система (1) после элементарных преобразований приводится к ступенчатой системе (2), то, перенеся члены с неизвестными , в правую часть, получим систему вида (4).

. (4)

Придаем неизвестным , произвольные значения и получаем треугольную систему.

(5)

Если система (1) после элементарных преобразований приводится к ступенчатой системе (2), то, перенеся члены с неизвестными , в правую часть, получим систему вида (4).

Замечание.

— свободные неизвестные.

— базисные неизвестные.

Из системы (5), поднимаясь снизу вверх, найдем последовательно все остальные неизвестные .

Замечание.

Так как числа могут иметь различные значения, то исходная система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Однородная система m линейных уравнений с n – неизвестными.

— однородная СЛАУ. (6)

Однородная система всегда совместна, т. к. , , …, образуют решение системы. Это решение называется нулевым.

Нулевое решение будет единственным решением системы (6). Либо помимо нулевого решения должно существовать бесчисленное множество ненулевых решений.

Задачи

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~

Система несовместна.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~ ~

Система совместна и определена. Двигаясь снизу вверх по уравнениям системы , находим , ; , .

Таким образом, получаем единственное решение системы .

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду.

~ ~ ~

Так как после преобразований число уравнений меньше числа неизвестных, то система неопределена.

Для решения необходимо определить базисные и свободные неизвестные.

Таким образом, и — базисные неизвестные, а и — свободные неизвестные системы.

.

. Отсюда .

Общее решение системы . Положив, например, , , получаем одно из частных решений: , , , .

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, найдем различные решения системы.

Вычислительные методы для инженеров

Вычислительные методы для инженеров
  

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с.

В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений, проблема собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций.

Для студентов и аспирантов технических вузов, а также для инженеров и научных работников, применяющих вычислительные методы.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ
§ 1.2. Основные этапы решения инженерной задачи с применением ЭВМ
§ 1. 3. Вычислительный эксперимент
§ 1.4. Дополнительные замечания
Глава 2. ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ТЕОРИЮ ПОГРЕШНОСТЕЙ
§ 2.1. Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи
§ 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности
2. Правила записи приближенных чисел.
3. Округление.
§ 2.3. Погрешности арифметических операций над приближенными числами
§ 2.4. Погрешность функции
§ 2.5. Особенности машинной арифметики
2. Представление целых чисел.
3. Представление вещественных чисел.
4. Арифметические операции над числами с плавающей точкой.
5. Удвоенная точность.
6. Вычисление машинного эпсилон.
§ 2.6. Дополнительные замечания
Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 3.2. Обусловленность вычислительной задачи
2. Примеры плохо обусловленных задач.
3. Обусловленность задачи вычисления значения функции одной переменной.
4. Обусловленность задачи вычисления интеграла …
5. Обусловленность задачи вычисления суммы ряда.
§ 3.3. Вычислительные методы
§ 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов
§ 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления
§ 3.6. Различные подходы к анализу ошибок
§ 3.7. Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам
§ 3.8. Дополнительные замечания
Глава 4. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 4.2. Обусловленность задачи вычисления корня
§ 4.3. Метод бисекции
§ 4.4. Метод простой итерации
§ 4.5. Обусловленность метода простой итерации
§ 4.6. Метод Ньютона
§ 4.7. Модификации метода Ньютона
§ 4.8. Дополнительные замечания
Глава 5. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 5.2. Нормы вектора и матрицы
§ 5.3. Типы используемых матриц
§ 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений
§ 5.5 Метод Гаусса
§ 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми частями, обращение матриц, вычисление определителей
§ 5. 7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители. LU-разложение
§ 5.8. Метод Холецкого (метод квадратных корней)
§ 5.9. Метод прогонки
§ 5.10. QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений
§ 5.11. Итерационное уточнение
§ 5.12. Дополнительные замечания
Глава 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 6.1. Метод простой итерации
§ 6.2. Метод Зейделя
§ 6.3. Метод релаксации
§ 6.4. Дополнительные замечания
Глава 7. МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 7.2. Метод простой итерации
§ 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений
7.4. Модификации метода Ньютона
§ 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания решений систем нелинейных уравнений
§ 7.6. Дополнительные замечания
Глава 8. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 8.2. Степенной метод
§ 8.3. Метод обратных итераций
§ 8.4. QR-алгоритм
§ 8.5. Дополнительные замечания
Глава 9. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
§ 9.2. Обусловленность задачи минимизации
§ 9.3. Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения
§ 9.4. Метод Ньютона и другие методы минимизация гладких функций
§ 9.5. Дополнительные замечания
Глава 10. МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
§ 10.1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных
§ 10.2. Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск
§ 10.3. Градиентный метод
§ 10.4. Метод Ньютона
§ 10.5. Метод сопряженных градиентов
§ 10.6. Метода минимизации без вычисления производных
§ 10.7. Дополнительные замечания
Глава 11. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами
§ 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
§ 11.4. Погрешность интерполяции
§ 11.5. Интерполяция с кратными узлами
§ 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева
§ 11. 7. Конечные разности
§ 11.8. Разделенные разности
§ 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена
§ 11.10. Обсуждение глобальной полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиальной интерполяции
§ 11.11. Интерполяция сплайнами
§ 11.12. Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции
§ 11.13. Метод наименьших квадратов
§ 11.14. Равномерное приближение функций
§ 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций
§ 11.16. Дополнительные замечания
Глава 12. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования
§ 12.2. О выводе формул численного дифференцирования
§ 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования
§ 12.4. Дополнительные замечания
Глава 13. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа
§ 13.3. Квадратурные формулы Гаусса
§ 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных процедурах численного интегрирования
§ 13. 5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях
§ 13.6. Дополнительные замечания
Глава 14. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
§ 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения
§ 14.3. Использование формулы Тейлора
§ 14.4. Метод Эйлера
§ 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности
§ 14.6. Методы Рунге-Кутты
§ 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса
§ 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши
§ 14.9. Неявный метод Эйлера
§ 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка
§ 14.11. Жесткие задачи
§ 14.12. Дополнительные замечания
Глава 15. РЕШЕНИЕ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§ 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности
§ 15.2. Метод конечных разностей: основные понятия
§ 15. 3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида
§ 15.4. Понятие о проекционных и проекционно-разностных методах. Методы Ритца и Гадеркина. Метод конечных элементов
§ 15.5. Метод пристрелки
§ 15.6. Дополнительные замечания

Как решить систему линейных уравнений n переменных с использованием метода устранения Гаусса

Теперь для программы FORTRAN,

!Для использования массивов в программе
    модульные массивы
        реальные, размещаемые :: a(:,:) (b, x(:)
    end module arrays

!Для решения системы уравнений с n переменными методом исключения Гаусса
запрограммируйте gausepivot
    используйте  массивы
    неявно нет
    целое число i,j,n,m,sing,flag ::able alloc
realocable LHS(:),RHS(:), check(:,:) !Эти массивы необязательны. Только для проверки результатов
   
    write(*,*) «Укажите размер матрицы коэффициентов, т.е. количество переменных в системе линейных уравнений»
    read (*,*) n

   
    write(*,*) «Размер матрицы коэффициентов «,n
   
    open(unit=1, file=’gause.in’)
    m=n+1
    allocate (a(n,m ),x(n),b(n))
    write(*,*) «Создание расширенной матрицы:»
   
    do i=1,n
      read(unit=1,fmt=*) (a(i, j),j=1,m)
      write(*,*) (a(i,j),j=1,m)
    end do
   
    !Чтобы проверить результаты позже. Необязательно
    allocate(check(n,m)) !Чтобы сохранить значения массива a(n,m) перед их изменением
DO I = 1, N
DO J = 1, M
CHECK (I, J) = A (I, J)
END DO
END DO

CALL GAUSS (M, Sing) ! который вычисляет результаты
        if (sing==1) then
               write(*,*) «матрица коэффициентов сингулярна»
               else ! Чтобы отобразить результаты только в том случае, если матрица невырожденная
               write(*,*) «Заданное уравнение имеет множество решений в следующем порядке»
               write(*,*) (x(i),i=1,n)
        end if

    allocate (LHS(n),RHS(n)) !Чтобы проверить значения в массиве x(n), подставив их в линейное уравнение. Необязательный
    do i=1,n
        LHS(i)=0
        do j=1,m-1
            LHS(i)=x(j)*check(i,j)+LHS(i)
        end do
       
        write(*,20) «LHS строки #»,i,»=»,LHS(i)
          20 формат (a,i3,a,f20.8)
          RHS(i)=check(i,m )
          write(*,10) «Правая сторона строки #»,i,»=»,RHS(i)
          10 формат (a,i3,a,f20.8)
    end do
      
    flag=0 !Чтобы установить флаг=1, если L.H.S. не равно R.H.S.
do i = 1, n
if (abs (lhs (i) -rhs (i)). Gt.00001). Затем
флаг = 1
Выход
Конец, если
End Do

if (flag == 1) then !Чтобы написать, совпадают результаты или нет
        write(*,*) «Результаты неверны»
          else
          write(*,*) «Программа работает»

:: temp (m), eps, flag, большой, аа, det, sumax, c

eps = 1,0e-5
!
               флаг=0
             large=abs(a(i,i)) !Чтобы определить диагональный элемент каждой строки как «большой»
             do j=i+1,n
                   aa=abs(a(j,i)) ! Чтобы проверить последующие элементы в том же столбце под строкой
if (aa> большой), затем ! Чтобы проверить, является ли диагональный элемент самым большим в столбце
большой = AA
Flag = 1
IMAX = J
END END если
            end do
             !Перестановка строк
            if (flag==1) then !Поменять местами строки так, чтобы диагональный элемент каждой строки был больше, чем все элементы в том же столбце в строках ниже
         🙂
a (i, 🙂 = a (imax, 🙂
A (imax, 🙂 = Temp
End, если
do k = i+1, n ! Чтобы исключить переменную из всех последующих строк
c =а(к,я)/а(я,я) !Обратите внимание, что это значение фиксировано для данного k. (Элементарная операция)
                a(k,:)=a(k,:)-c*a(i,:) !Это значение станет равным нулю, когда a(k,i)= a(k,i) из Ряд A (K, 🙂
END DO
END DO

! Проверка на сингулярность матрицы коэффициента
! Найдите DET (A)
DET = 1,0 ! В этот момент определитель рассчитывается, просто умножая все диагональные элементы a(i,i)
DO I = 1, N
DET = DET*A (I, I)
END DO

IF (ABS (DET) ! Расчет определителя помогает нам узнать, является ли матрица единственной

. Sing = 1 !0030         do i=n,1,-1 !На этот раз мы идем от нижней строки к верхней
            sumax=0.0
            do j=i+1,n !Мы смотрим на все элементы в строке справа Диагонального
Sumax = sumax+a (i, j)*x (j)
end do
x (i) = (b (i) -sumax)/a (i, i)
end do

конец подпрограмма gauss
                       

Обмена строк объясняется еще
Обратно для рассчитания x1 Назад

Исключение Гаусса для решения системы уравнений: +x4=3 .

.. Цитата страницы Начать эссе значок-вопрос Спросите репетитора

Начать бесплатную пробную версию

Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой Делиться

Укажите эту страницу следующим образом:

«Используйте исключение Гаусса, чтобы решить систему уравнений: x1+x2-x3-2×4=-4 , 2×1-x2+3×3+3×4=5 , x2+7×3+3×4=2 , 2×1+4×2+2×3+x4=3 eNotes Editorial , 8 февраля 2013 г., https://www.enotes.com/homework-help/gaussian-elimination-x1-x2-x3-2×4-4-2×1-x2-3×3-3×4-383287. По состоянию на 22 марта 2023 г.

Ответы экспертов

Система линейных уравнений

x1+x2-x3-2×4=-4
2×1-x2+3×3+3×4=5
x2+7×3+3×4=2
2×1+4×2+2×3+x4=3

нужно решить.

Создать расширенную матричную форму

 

`[[1,1,-1,-2|-4],[2,-1,3,3|5],[0,1,7,3| 2],[2,4,2,1|3]] `

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[2,-1,3,3|5],[0,1,7,3|2],[2,4, 2,1|3]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,-1,19,13|17],[0,1,7,3 |2],[2,4,2,1|3]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,1,-19,-13|- 17],[0,1,7,3|2],[0,4,18,11|15]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[ 0,1,-19,-13|-17],[0,0,26,16|19],[0,4,18,11|15]]`

=> `[[1,0, -8,-5|-6],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13|19/26],[0,4,18,11| 15]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13 |19/26],[0,0,94,63|83]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13|19/26] ,[0,0,0,67/13|186/13]]`

=> `[[1,0,-8,-5|-6],[0,1,-19,-13| -17],[0,0,1,8/13|19/26],[0,0,0,1|186/67]]`

=> `[[1,0,0,-1 /13|-2/13],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13|19/26],[0,0,0,1|186 /67]]`

=> `[[1,0,0,0|4/67],[0,1,-19,-13|-17],[0,0,1,8/13 |19/26],[0,0,0,1|186/67]]`

=> `[[1,0,0,0|4/67],[0,1,0,-17 /13|-81/26],[0,0,1,8/13|19/26],[0,0,0,1|186/67]]`

=> `[[1,0 ,0,0|4/67],[0,1,0,0|69/134],[0,0,1,8/13|19/26],[0,0,0,1|186/67]]`

=> `[[1,0,0,0| 4/67],[0,1,0,0|69/134],[0,0,1,0|-131/134],[0,0,0,1|186/67]]`

Это дает решение системы уравнений в виде x1 = 4/67, x2 = 69/134, x3 = -131/134 и x4 = 186/67.

См. eNotes без рекламы

Запустите 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые наши эксперты ответили.

Получите 48 часов бесплатного доступа

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 Ответы учителя

Математика

Последний ответ опубликован 07 октября 2013 г. в 20:13:27.

Как определить, является ли это уравнение линейной или нелинейной функцией?

84 Ответы педагога

Математика

Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г.

Cos x cos2x: Решите уравнение cos^2x=cosx (косинус от в квадрате х равно косинус от х)

alexxlab / / Разное

Мэтуэй | Популярные задачи

92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4 
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан(квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов

Cos(x) Cos(2x) Cos(4x)

Кос(х) Кос(2х) Кос(4х) Дата: Сб, 20 сентября 1997 г. , 10:02:27 -06:00 (CST)
Тема: математика

Имя: Тан

Кто спрашивает: Студент
Уровень: средний

Вопрос:
Сколько существует различных острых углов x, для которых cosx cos2x cos4x=1/8?

Привет Тан,
У нас есть два решения для вас. В первом решении мы расширяем ваше уравнение, чтобы получить полином седьмой степени от cos(x), и используем правило знаков Декарта, чтобы доказать, что существует три положительных решения. Второе решение использует только тригонометрию и не только показывает, что существует ровно три решения, но и находит их явно. 93 -т -1/8.

Поскольку cos(x) неотрицательна для острых углов, мы ищем положительные нули g(t)

Теперь используйте Правило знаков Декарта , которое гласит:

Пусть P(x) — многочлен с действительными коэффициентами, записанными в убывающих степенях x. Подсчитайте количество перемен знаков в знаках коэффициентов.

  1. Количество положительных действительных нулей равно количеству перемен знака или равно этому числу, уменьшенному на четное число.
  2. Количество отрицательных вещественных нулей равно количеству перемен знака в P(-x) или равно этому числу, уменьшенному на четное число.
Число изменений знака в g(t) равно трем, поэтому g(t) имеет либо три положительных действительных нуля, либо один положительный действительный нуль.
  • g(1/2)=f(Pi/3)=0 дает один ноль.
  • g(1)=f(0)>0 и g(sqrt(3)/2)=f(Pi/6) Таким образом, поскольку g(t) имеет по крайней мере два положительных действительных нуля, их должно быть три. Следовательно, существуют три острых угла x, для которых cos(x)cos(2x)cos(4x)=1/8.

    Крис и Харли.

    Решение 2.

    Сначала мы покажем, что cos(x) cos(2x) cos(4x) = 1/8 тогда и только тогда, когда sin(8x) = sin(x) и sin(x) # 0. (Здесь я использую # для обозначения не равного .)

    Доказательство:

    Предположим, что cos(x) cos(2x) cos(4x) =1/8, тогда очевидно sin(x) # 0. Умножьте обе части cos(x) cos(2x) cos(4x) =1/8 на 8sin( x), чтобы получить 8sin(x)cos(x) cos(2x) cos(4x) =sin(x).

    Сейчас
    8sin(x)cos(x) cos(2x) cos(4x) =sin(x)
    тогда и только тогда, когда
    4sin(2x)cos(2x)cos(4x)=sin(x)
    тогда и только тогда, когда
    2sin(4x)cos(4x)=sin(x)
    тогда и только тогда, когда
    грех (8х) = грех (х).

    Наоборот, если sin(8x) = sin(x) и sin(x) # 0, то 8sin(x)cos(x) cos(2x) cos(4x) =sin(x) и деление на 8sin(x) дает cos( х) cos(2x) cos(4x) =1/8.

    Используя тригонометрическое тождество
    sin(p)-sin(q) = 2 sin((p-q)/2)cos((p+q)/2),
    sin(8x) — sin(x)=0 тогда и только тогда, когда
    2cos(9x/2)sin(7x/2)=0

    cos(9x/2)=0 дает 9x/2=Pi/2, 3Pi/2, 5Pi/2,…

    что для острых углов дает x=Pi/9 и x=Pi/3.

    sin(7x/2)=0 дает 7x/2=0, Pi, 2Pi,…

    что для острых углов дает x=0 и x=2Pi/7.

    Но sin(x)#0, поэтому решения равны x=Pi/9, Pi/3 и 2Pi/7.

    Харагаури.

    Перейти в центр математики

    Чтобы вернуться на предыдущую страницу, используйте кнопку «Назад» вашего браузера.

Cos2X sinx cos 2x: cos2x+sinx=cos^2x [0;п] Помогите пожалуйста! Помогите решить!) — Спрашивалка

alexxlab / / Разное

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Мэтуэй | Популярные задачи

92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4 
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан(квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов

Мэтуэй | Популярные задачи

1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение соз(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32 Преобразование градусов в радианы 92
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктан(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт.

Синус половинного угла через тангенс: Тангенс половинного угла, формула и примеры

alexxlab / / Разное
{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} \]

Формулы, применяемые как для синуса, так и косинуса половинного угла не зависит от заданного значения угла α.  Для тангенса в независимости от угла α определяется следующим видом \[\tan \frac{\alpha}{2}\], где значение  угла a≠π+2π•z, а значение z равняется любому целому числу. Значение выражения 1+cosα не должно быть равно нулю. Формула котангенса угла будет считаться верной, если любой угол α, где имеет место быть половинный угол α в тригонометрии, принимает следующий вид α ≠2π•z.

Самыми важными тригонометрическими формулами половинного угла являются тригонометрических функций с квадратами, которые могут быть выведены и через положительные, и отрицательное значение арифметического квадратного корня. Получаются следующие формулы половинного угла:

\[ \frac{\sin \sin \alpha}{2}=\pm \frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{\sqrt{2}}, \frac{\cos \cos \alpha}{2}=\pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}, \quad \tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{1-\cos \alpha}}{\sqrt{1+\cos \alpha}}, \cot \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{1-\cos \alpha}} \]

Знак «-» свидетельствуют о том, что тригонометрическая функция определяется четвертью угла \[\frac{\alpha}{2}\]

Доказательство тригонометрических функций половинного угла

Доказательство тригонометрических формул половинного угла строится на основании формулы косинуса двойного угла \[\cos \alpha=1-2 \times \frac{\alpha}{2}\] и \[\cos \alpha=2 \times \frac{\alpha}{2}-1\]. {\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Рассмотрим ещё одно задание.

Необходимо вычислить значение указанного выражения \[\frac{4 \cos \alpha}{2}+2 \cos \alpha+5\], где \[\cos \alpha=\frac{1}{8}\].

Решение:

Нужно использовать  ту же самую формулу, которую применяли в первом примере \[\frac{\cos \alpha}{2}=\pm \frac{\sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}\]. Подставим значение косинуса, упростим данное выражение:

\[ \frac{4 \sqrt{1+\cos \alpha}}{\sqrt{2}}+2 \cos \alpha+5=\frac{4 \sqrt{1+\frac{1}{8}}}{\sqrt{2}}+2 \times \frac{1}{8}+5=\frac{4 \sqrt{9}}{\sqrt{16}}+\frac{1}{4}+5=8 \frac{1}{4} \]

Ответ: \[\frac{4 \cos \alpha}{2}+2 \cos \alpha+5=8 \frac{1}{4}\].

Применяя формулы тригонометрического половинного угла, нужно учитывать, что угол может быть и нестандартного вида a2 и a, а его нужно будет привести к такому стандартному виду. Главным пунктом является то, что аргумент в правой части должен быть в два раза больше, чем в левой. В противном случае применить формулу не получится.

Если тождество записано в таком виде \[7 \alpha=\frac{1-\cos 14 \alpha}{2}\] или \[\frac{5 a}{17}=\frac{1-\frac{\cos \cos 10 \alpha}{17}}{2}\], то формулу применять можно.

Для того чтобы научиться правильно преобразовать и применять описанные выше формулы, нужна пристально изучить тему функции тригонометрических выражений. Не каждое выражение поддается преобразованию. И особое внимание нужно обратить на то, что значение углов тригонометрических функций зависит от их нахождения в разных четвертях для определения положительного и отрицательного знака выражения.

Синус, косинус и тангенс половинного угла»

Дата проведения: Тема урока: «Синус, косинус и тангенс половинного угла»

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Цели урока:  1) образовательная: Показать как с помощью основного тригонометрического тождества и формул двойного угла выводится формулы для половинного угла; сформировать умения применять полученные формулы при упрощении и вычислении тригонометрических выражений.

2) развивающая: Развивать алгоритмическое мышление, память, умение излагать мысли, делать выводы, обобщения; содействовать рациональной организации труда.

3)воспитательная: Воспитать внимательность, наблюдательность, трудолюбие и заинтересованность учащихся новым материалом

Оборудование: компьютер, учебники, тетради

Литература: А.Ш.Алиев, А.Н.Колмогов

Ход урока:

  1. Организационный момент: приветствие, проверка готовности к уроку. (1 мин

Эпиграф к уроку.

Нельзя математику изучить,

наблюдая, как это делает другой.

2)Повторение

-какие формулы мы вчера прошли?

-для каких функций?

3)Новая тема

 

3)Закрепление 

Зная, что  ,.

Решение. Формула половинного угла для косинуса имеет вид  , тогда  . Итак, значение квадрата косинуса 15 градусов найдено, осталось по нему найти значение самого косинуса.   Так как угол 15 градусов является углом первой координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, так как  , то  .

Ответ: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Итог урока

Оценивание. Д/задание

Просмотр содержимого документа
«Синус, косинус и тангенс половинного угла»»

Дата проведения:
Тема урока: «Синус, косинус и тангенс половинного угла»

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Цели урока:  1) образовательная: Показать как с помощью основного тригонометрического тождества и формул двойного угла выводится формулы для половинного угла; сформировать умения применять полученные формулы при упрощении и вычислении тригонометрических выражений.

2) развивающая: Развивать алгоритмическое мышление, память, умение излагать мысли, делать выводы, обобщения; содействовать рациональной организации труда.

3)воспитательная: Воспитать внимательность, наблюдательность, трудолюбие и заинтересованность учащихся новым материалом

Оборудование: компьютер, учебники, тетради

Литература: А.Ш.Алиев, А.Н.Колмогов

Ход урока:

  1. Организационный момент: приветствие, проверка готовности к уроку. (1 мин

Эпиграф к уроку.

Нельзя математику изучить,

наблюдая, как это делает другой.

2)Повторение

-какие формулы мы вчера прошли?

-для каких функций?

3)Новая тема

3)Закрепление

Зная, что  ,.

Решение. Формула половинного угла для косинуса имеет вид  , тогда  . Итак, значение квадрата косинуса 15 градусов найдено, осталось по нему найти значение самого косинуса. Так как угол 15 градусов является углом первой координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, так как  , то  .

Ответ: .

4.Итог урока

Оценивание. Д/задание

тригонометрия — Формула тангенса половины угла

спросил

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 902 раза

$\begingroup$

Итак, мы начнем со следующей формулы тангенса половины угла: $$ \tan\left(\frac \theta2\right) = \pm\sqrt{\frac {1 — \cos \theta}{1 + \cos \theta}} $$

Если я произведу некоторые алгебраические манипуляции, я получу следующее: $$ \tan \left(\frac \theta2\right)= \pm\frac {1 — \cos \theta} {\sin \theta}$$

Согласно тригонометрии Майкла Коррала знак минус невозможен, поэтому Я получаю только:

$$ \tan \left(\frac \theta2\right)= \frac {1 — \cos \theta} {\sin \theta} $$

Не могли бы вы объяснить, почему это так? истинный?

  • тригонометрия

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Суетливость по поводу $\pm$ возникает из-за того, что $\tan \frac\theta2$ может быть как положительным, так и отрицательным, тогда как квадратный корень всегда считается положительным. Ваши алгебраические манипуляции с $\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$ в порядке, за исключением последнего шага: результат должен быть $\left|\frac{1-\ cos\theta}{\sin\theta}\right|$, как в выводе @haqnatural, что приводит к $$ \tan\frac\theta2 = \pm\left|\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\right|.\tag1 $$ Уравнение (1) верно, но не приближает нас к решению вопроса о том, какой знак выбрать! Один из способов решить это — рассмотреть разные диапазоны $\theta$, как в ответе @imranfat. 92т $$ и $$\sin2t = 2\sin t\cos t.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Один из способов решить эту проблему — посмотреть на знаковый результат $tan\theta/2$. Это происходит, если $\theta$ находится на интервале $(\pi,2\pi)$. Другими словами, когда $\theta$ (не $\theta/2$!!) находится в квадранте 3 или 4, $tan\theta/2<0$. Теперь в $\frac{1-cos\theta}{sin\theta}$ числитель положителен, поэтому рассмотрим знаменатель. Синусоидальный график дает отрицательные значения, когда $\theta$ находится в Q3 или Q4, поэтому результат отрицательный. Аналогично для углов, заданных в квадрантах 1 и 2, результат синуса положительный. Теперь для выражения, содержащего квадратный корень, автор ставит плюс/минус впереди, но читателю необходимо определить рассматриваемый квадрант, а затем выбрать правильный знак. В противном случае правильным тождеством является $tan\theta/2=\frac{1-cos\theta}{sin\theta}$ без абсолютных значений.

$\endgroup$

Вывод для Sin, Cos и Tan с доказательством

Стороны треугольников, а также сами углы изучаются в тригонометрии. Он специально использует прямоугольные треугольники. Чтобы определить углы и стороны треугольника, примените тригонометрические отношения. Одной из составляющих математики являются тригонометрические соотношения. И треугольник, и полуугол можно рассчитать по множеству формул.

Что такое формула половинного угла?

Формула половинного угла в выражениях половинной ширины обычно выражается как \(\frac{\theta}{2}, \frac{x}{2}, \frac{A}{2}\) и т. д., где полуширины являются частичными углами. Формулы половинного угла используются для нахождения точного значения тригонометрических соотношений для таких углов, как 22,5° (половина стандартного угла в 45°), 15° (половина стандартного угла в 30°) и так далее.

Из таблицы тригонометрических функций знать значения тригонометрических функций (sin, cos, tan, cot, sec, cosec) для таких углов, как 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Однако, чтобы узнать точные значения sin 22,5°, tan 15° и т. д., очень полезны формулы половинного угла. Это также полезно для доказательства множественных тригонометрических тождеств. Существуют формулы полуширины, полученные из формулы двойной ширины, выраженной в полуширине \(\ frac{\theta}{2}, \frac{x}{2}, \frac{A}{2}\) , и так далее.

Тождества половинных углов

Здесь представлены тождества половинных углов всех тригонометрических функций.

Формула половинного угла для синуса

\(sin\frac{\theta}{2}=+\sqrt{\frac{1-cos\theta}{2}}\) ………. . for \(\ frac{\theta}{2}\) в квадранте I или квадранте II

\(sin\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1-cos\theta}{2}}\) ……….. for \(\frac{\theta}{2 }\) в квадранте III или квадранте IV

Формула половинного угла для косинуса

\(cos\frac{\theta}{2}=+\sqrt{\frac{1+cos\theta}{2}}\) ……….. для \(\frac{\theta}{2}\) в квадранте I или квадранте IV

\(cos\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1+cos \theta}{2}}\) ……….. для \(\frac{\theta}{2}\) в квадранте II или квадранте III

Формула половинного угла для касательной

\(tan\frac{\ theta}{2}=+\sqrt{\frac{1-cos\theta}{1+cos\theta}}\) ……….. for \(\frac{\theta}{2}\) в квадранте I или квадрант III

\(tan\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1-cos\theta}{1+cos\theta}}\) ……….. for \(\frac{\ theta}{2}\) в квадранте II или квадранте IV

Формула половинного угла для гиперболического синуса

\(sin\frac{x}{2}=+\sqrt{\frac{1-coshx}{2}} \) …………… для \(x\geq0\)

\(sin\frac{x}{2}=-\sqrt{\frac{1-coshx}{2}}\) ………… … for \(x\leq0\)

Формула половинного угла для гиперболического косинуса

\(cosh\frac{x}{2}=+\sqrt{\frac{1+coshx}{2}}\)

Формула половинного угла для гиперболического тангенса

\(tanh\frac{x}{2}=+\sqrt{\frac{1-coshx}{1+coshx}}\) …………… для \(x\geq0\)

\( tanh\frac{x}{2}=-\sqrt{\frac{1-coshx}{1+coshx}}\) …………… for \(x\leq0\)

Вывод формул половинного угла с использованием Double Формулы углов

Формулы двойных углов используются для получения формул половинных углов. Формулы двойного угла представляют двойные углы, такие как \(2\theta\), 2A и 2x. Формулы двойного угла известны как sin, cos и tan.

\(sin2x = 2sinxcosx\)

92(\frac{A}{2}) = \frac{1 + cosA}{2}\)

\(cos\frac{A}{2}=+\sqrt{\frac{1+cosA}{ 2}}\) ……….. для \(\frac{A}{2}\) в квадранте I или квадранте IV

\(cos\frac{A}{2}=-\sqrt{\frac{ 1+cosA}{2}}\) ……….. для \(\frac{A}{2}\) в квадранте II или квадранте III

Формула половинного угла Tan Proof

Мы используем формулу половинного угла sin и cos, чтобы узнать формулу половинного угла tan. Мы знаем, что

\(tan\frac{A}{2}=\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}\)

\(sin\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}\)

\(cos\frac{A}{2}=\pm\sqrt{ \frac{1+cos\theta}{2}}\)

\(tan\frac{A}{2}=\frac{\pm\sqrt{\frac{1-cosA}{2}}}{ \pm\sqrt{\frac{1+cosA}{2}}}\)

\(tan\frac{A}{2}=\frac{\sqrt{\frac{1-cosA}{2}} }{\sqrt{\frac{1+cosA}{2}}}\)

Таким образом,

\(tan\frac{A}{2}=+\sqrt{\frac{1-cosA}{1 +cosA}}\) ………. 2(\frac{A}{2}) – 1\) 92)}{2bc}\)

\(= (\frac{1}{2})\frac{(a + b − c)(a + c − b)}{2bc}\)

\( = (\frac{1}{2})\frac{[(a + b + c) — 2c][(a + b + c) — 2b]}{2bc}\)

\(= (\ frac {1}{2})\frac{(2s − 2c)(2s − 2b)}{2bc}\)

\(= \frac{(s − b)(s − c)}{bc}\)

\({\implies}sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{[\frac{(s − b)(s − c)}{bc}]}\)

Важные моменты для Помните

Вот ключевые моменты, которые вы должны помнить.

Вы можете использовать формулы половинного угла, чтобы узнать значения половинных значений тригонометрических величин. Три формулы:

\(sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1-cos\theta}{2}}\)

\(cos\frac{\theta}{2}=\sqrt {\ frac {1 + cos \ theta} {2}} \)

\ (tan \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ frac {1-cos \ theta} {1 + cos \ theta} }\)

Решенный пример формулы половины угла

Вот несколько решенных примеров формулы половины угла тригонометрии.

Решено Пример 1: Найдите точное значение следующего выражения: sin(22,5°)

Решение:

\(sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1- cos\тета}{2}}\) 9{2}+ \cos{{x}}\)

\(\displaystyle={2}{\left(\frac{{{1}- \cos{{x}}}}{{2}}\ справа)}+ \cos{{x}}\)

\(\displaystyle={1}- \cos{{x}}+ \cos{{x}}\)

\(\displaystyle={1 }\)

\(\displaystyle=\text{RHS}\)

Следовательно, доказано.

Надеюсь, что эта статья о формулах половинного угла была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!

Часто задаваемые вопросы о формулах половинного угла

В.1 Как найти половинный угол в тригонометрии?

Ans.1 Формулы двойного угла используются для получения формул половинного угла. Формулы двойного угла представляют двойные углы, такие как \(2\theta\), 2A и 2x. Заменяя x на \(\frac{A}{2}\) в обеих частях каждого уравнения в формуле двойного угла, мы находим половинный угол в тригонометрии.

В.2 Для чего используется формула половинного угла?

Ans.2 Формулы половинного угла используются для нахождения точного значения тригонометрических соотношений для таких углов, как 22,5° (половина стандартного угла 45°), 15° (половина стандартного угла 30°), и так далее.

В.3 Как выводится формула половинного угла?

Ответ 3 Заменив x на \(\frac{A}{2}\) в обеих частях каждого уравнения в формуле двойного угла, мы найдем половину угла в тригонометрии.

Конвертер скан в пдф онлайн: Конвертер PDF — быстрый, онлайн, бесплатный

alexxlab / / Разное

OCR PDF — Лучший сканер PDF и конвертер PDF в Интернете

Главная страница > Оптическое распознавание символов в файлах PDF

Используйте наш онлайн-инструмент оптического распознавания символов для распознавания текста в изображениях.

Выберите файл

Выберите файл

  • С устройства

  • Из Google Drive

  • Из Dropbox

или переместите файл сюда

Оцените этот инструмент

()

Использование функции OCR

1В режиме онлайн или офлайн

Создавайте текст из файлов изображений с помощью бесплатного онлайнового программного обеспечения для оптического распознавания символов Soda PDF. Вы можете использовать функцию оптического распознавания символов из любого приложения, в любое время и в любом месте! Работайте в режиме онлайн с помощью Soda PDF Online или офлайн, загрузив Soda PDF Desktop на свой компьютер. Используйте наши простые и удобные инструменты для работы с файлами PDF, включая функцию оптического распознавания символов и другие наши онлайновые и офлайновые приложения для редактирования файлов PDF!

2Запустите функцию OCR

Выполняйте больше операций с вашими документами PDF! Загрузите необходимые файлы и используйте функцию оптического распознавания символов для конвертирования отсканированных изображений, содержащих текст в документе PDF, в простой текст, который можно копировать, вставлять и редактировать так же, как в редакторе Microsoft Word.

3Отправьте по почте

После создания файла PDF загрузите на свой компьютер распознанный документ PDF и просмотрите его непосредственно в своем веб-браузере. После создания нового редактируемого файла PDF в нашем программном обеспечении вы сможете отправить распознанный документ и поделиться им с другими пользователями по электронной почте.

Что представляет собой функция оптического распознавания символов?

Функция оптического распознавания символов помогает своевременно и быстро оцифровывать документы. Вместо набора текста в файлах или изображениях вручную вы можете использовать функцию оптического распознавания символов для автоматического сканирования и распознавания текста в изображениях и отсканированных документах.

Пример: отсканируйте распечатанный документ, откройте приложение Soda PDF на компьютере или в Интернете и используйте нашу функцию оптического распознавания символов для сканирования текста в изображении и конвертирования изображения в редактируемый файл! Функция оптического распознавания символов используется для экономии времени и быстрой оцифровки файлов для более эффективной работы или документооборота. Наведите порядок на столе и используйте цифровой формат благодаря функции оптического распознавания символов в приложении Soda PDF!

Дополнительная информация о функции OCR

Что представляет собой функция оптического распознавания символов и как выполняется распознавание текста в изображении?

Нужно оцифровать бумажные документы? Наше онлайновое ПО для оптического распознавания символов выполнит эту задачу за вас! Наш инструмент для оптического распознавания символов автоматически просканирует ваш документ на наличие распознаваемого текста в изображениях.

Вы даже можете использовать камеру своего телефона, чтобы сделать снимок документа или страницы, затем обработать полученный файл в нашем программном обеспечении для оптического распознавания символов, распознать текст в файле изображения и конвертировать файл в формат переносимого документа (PDF). Затем вы можете менять шрифты и редактировать тексты в этом файле и видоизменять новый документ PDF в соответствии с вашими потребностями.

Сканируйте и распознавайте текст в изображениях

У Вас много файлов для распознавания и конвертирования с помощью функции OCR? Не беспокойтесь! Soda PDF позволяет выполнять пакетное распознавание текста из нескольких файлов одновременно! Конвертируйте изображения в текстовый формат или документы PDF для распознавания текста для удобного редактирования отсканированных документов вместо набора текста вручную в редакторе Microsoft Word или другом приложении.

Наше программное обеспечение для оптического распознавания символов распознает не только текст на английском языке. Наш инструмент оптического распознавания символов также может распознавать текст в изображениях на языках, поддерживаемых нашим приложением: французском, испанском, португальском и итальянском. Наша технология оптического распознавания символов также может обнаруживать символы следующих языков: датский, греческий, итальянский, польский, японский, китайский, голландский и турецкий. Если у вас есть файлы изображений с текстом на этих языках, которые вы хотите распознать, вы можете легко конвертировать эти типы файлов в редактируемые документы PDF с помощью нашей функции оптического распознавания символов!

Создавайте файлы PDF с помощью нашего ПО для оптического распознавания символов или в новом документе

Наше ПО для оптического распознавания символов – это только один из многих способов форматирования документов в соответствии с вашими потребностями. Используйте наш удобный инструмент PDF Creator для быстрого создания новых файлов PDF на основе изображений, документов или даже таблиц Excel! Сэкономьте время и создайте исходный файл или страницы для своего документа PDF, выполнив одно простое действие. Хотите редактировать, создавать, конвертировать, объединять, разделять или подписывать документы PDF? Наш другой онлайн-сервис также можно использовать для онлайновой и офлайновой работы с документами.

Используйте веб-версии и настольные приложения наших других инструментов. Наше программное обеспечение для оптического распознавания символов – один из многих сервисов для работы с файлами PDF, предлагаемых Soda PDF. Выберите подходящую для вас настольную версию или воспользуйтесь нашими онлайн-инструментами для удаленной обработки документов. Сохраняйте файлы PDF и получайте к ним доступ из облачного хранилища, включая Google Drive, Dropbox, Box, Sharepoint, или Evernote. Наше программное обеспечение работает в онлайновом и офлайновом режимах!

How to OCR a PDF

Use OCR in PDF to quickly recognize or edit the text within any scanned document or image file. Learn how to use OCR software in PDF with Soda PDF.

Article link

Organize printed documents with ease using OCR software. With Soda PDF’s easy-to-use OCR tool, you can easily store files or search and edit the text.

Article link

Save time, money, and the enviornment by going paperless in 2021 using Soda PDF, an efficient document management software with easy-to-use tools.

Article link

*Могут применяться ограничения в отношении размера и ежедневного использования. Avanquest 2023, все права защищены.

Как конвертировать отсканированный документ в PDF-файл

Любой отсканированный документ может быть преобразован в различные форматы файлов, включая PDF. PDF – это отличный формат для создания и отправки электронных документов с заданным макетом, благодаря их одинаковому отображению на различных устройствах. Преобразовав отсканированный документ в PDF, вы можете повысить удобство работы с отсканированными документами. Данная статья поможет вам научиться конвертировать отсканированные документы в PDF с помощью PDFelement. Это упрощает процесс внесения изменений в отсканированные документы и их сохранение в различных выходных форматах, включая PDF, Word, Excel, PPT, EPUB и другие. С помощью функции оптического распознавания символов вы можете преобразовывать отсканированные документы в редактируемые файлы.

Скачать бесплатно

Как конвертировать отсканированный документ в PDF

Узнайте, как сохранять отсканированные документы в виде PDF-файлов и редактировать их. Загрузите и установите OCR, а затем следуйте приведенным ниже инструкциям.

Шаг 1. Импорт отсканированного документа в PDFelement

Запустите PDFelement на своем компьютере. Файл можно открыть напрямую в PDFelement, нажав кнопку «Открыть файл».

Шаг 2. Конвертирование отсканированных документов в PDF

После установки OCR программа будет автоматически обнаруживать отсканированные документы и предлагать выполнить распознавание символов (OCR). Нажмите кнопку «Выполнить OCR» в верхней информационной панели и выберите язык документа. Затем нажмите «ОК». Не пытайтесь выполнять какие-либо другие действия во время выполнения распознавания текста (OCR).

Шаг 3. Редактирование содержимого PDF-файла (необязательно)

После завершения распознавания текста вы можете при необходимости продолжить редактирование документа. PDFelement содержит множество инструментов для редактирования и аннотирования. Чтобы изменить текст вашего документа, перейдите во вкладку «Редактировать» и нажмите «Редактировать». Затем дважды щелкните по фрагменту текста, который вы собираетесь редактировать, и внесите необходимые изменения.

Шаг 4. Сохранение файла в формате PDF

После внесения всех необходимых изменений вы можете сохранить документ в формате PDF. Используйте значок «Сохранить» в верхней строке меню или нажмите «Файл > Сохранить как». Вы сможете выбрать место сохранения и имя файла.

PDFelement обеспечивает быстрое распознавание текста, изображений и чисел с четким сохранением макета документа. В программе предусмотрен большой выбор языков распознавания, что позволяет вам получить редактируемый файл с высокой точностью передачи.

Видео о том, как как конвертировать отсканированный документ в PDF с помощью PDFelement

Скачать бесплатно

Советы по конвертированию отсканированного документа в PDF с помощью функции распознавания текста

  • Вы можете выбрать один из более чем двадцати языков. Это означает, что у вас не будет проблем с распознаванием специальных символов в вашем документе.
  • Если вы работаете с крупным файлом объемом более чем в сотню страниц, вы можете настроить диапазон страниц по своему усмотрению.
  • После получения доступа к функции оптического распознавания текста вы можете выбрать несколько параметров, например, способ отображения и масштаб документа, а а также шрифт текстового поля по умолчанию.
  • Вы можете конвертировать файлы различных форматов, включая изображения, Word, Excel, PowerPoint, EPUB, HTML, в PDF, и наоборот, из PDF в большое количество форматов.

Конвертировать в PDF — Конвертируйте ваши файлы в PDF онлайн

Этот онлайн-конвертер PDF позволяет конвертировать, например, изображения или документ Word в PDF. Преобразуйте все виды документов, электронных книг, электронных таблиц, презентаций или изображений в PDF.

Перетащите файлы сюда

Преобразовать
Отсканированные страницы будут изображениями.

Премиум

Преобразовать с помощью OCR
Отсканированные страницы будут преобразованы в текст, который можно редактировать.

Исходный язык вашего файла

Чтобы получить наилучшие результаты, выберите все языки, содержащиеся в вашем файле.

Применить фильтр: Применить фильтр Без фильтраСерый фильтр

Устранение перекоса:

Исправление кривых изображений.

Включить компенсацию перекоса

Версия PDF без изменений 1.41.51.61.72.0

Информация: Пожалуйста, включите JavaScript для корректной работы сайта.

Реклама

Как конвертировать в PDF онлайн?

  1. Загрузите изображение или документ.
  2. Выберите «Использовать OCR», если хотите извлечь текст из изображения (необязательно).
  3. Выберите язык (необязательно).
  4. Нажмите «Пуск».

PDF-конвертер онлайн


бесплатно и куда угодно

Логарифмическая функция, её свойства и график

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Логарифмическая функция, её свойства и график

остроумная алгебраическая головоломка,
которой развлекались участники
одного съезда физиков в Одессе.
Некоторым
учащимся на дом предлагалось
творческое
задание: число 3, целое и положительное,
изобразить с помощью трех двоек и
математических символов.
3 log 2 log 2
2
То есть любое целое положительное число
можно изобразить с помощью трех двоек и
2
2
математических символов.
5 log log
2

3. Устная работа

Вычисли
log981=
log416=
log0.25=
log91=
log99=
log 0.30.0081=
log981=
2
log 25
3
log2 18
9
8 log
16
0.5
log2 5
1
4
Определение.
Логарифмом положительно числа b по
положительному и отличному от 1
основанию а называют показатель
степени, в которую нужно возвести
число а, чтобы получить число b.
Log b c , a 0, b 0 a 1
a
ac b
log a a c
c
a
loga c
c
log a 1 0

5. Теорема об обратных функциях

Если функция f(x) определена и
монотонна на некотором промежутке X,
причем D(f)=X,
E(f)=Y, то
существует обратная ей функция g(x),
определенная на Y, т.е. D(g)=Y
E(g)=X,
причем, монотонность сохраняется.
Графики взаимнообратных функций
симметричны относительно прямой y=x
Построим график функции y=2x
Опр1.
Логарифмическая
функция — функция,
обратная показательной
функции.
y
y x
y log x
2
y 2x
1
x
D(y) ( ; )
D(y) (0 ; )
E(y) (0 ; )
E(y) (- ; )
Построим график функции y=(0.5)x
y
y x
1 x
y ( )
2
1
x
y log0.5 x
D(y) ( ; )
D(y) (0 ; )
E(y) (0 ; )
E(y) (- ; )
Опр.2
Функция вида y = loga х
(где а > 0, а ≠ 1) называется логарифмической.
1) D(y):(0;+∞)
Это следует из определения логарифма, так как
выражение logax имеет смысл только при x > 0.
Устная работа
Найти D(y), если известно, что
а > 0, а ≠ 1
а) y = loga х +1
б) y = loga (х+1)
в) y = loga (1-x)

9. Построим график функции y=log2x y=log0.5x

x
1/4 1/2
1 2
4
8
y
-2
y
0 1
2
3
-1
x
1/4 1/2 1
2
4
8
y
2
-1
-2
-3
1
0
y=log2x
3
2
1
4
8
1
x
-2
-3
4
8
x
y=log0. 5x

10. Свойства функции

y
y
x
x
y=logax
a>1
Свойства функции y=loga x, при a>1
1) D(F):(0;+∞)
2) не является ни четной, ни нечетной
3) возрастает на своей области
определения
4) не ограничена ни сверху, ни снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего значений
6) непрерывна
7) E(F):(- ∞;+ ∞)
8) выпукла вверх
y=logax 0<a<1
Свойства функции y=loga x, при 0<a<1
1) D(F):(0;+∞)
2) не является ни четной, ни нечетной
3) убывает на своей области определения
4) не ограничена ни сверху, ни снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего значений
6) непрерывна
7) E(F):(- ∞;+ ∞)
8) выпукла вниз
№1Найдите наибольшее и
наименьшее значение функции на
заданном промежутке y=lgx
x€ [1;1000]
№2 Решите уравнение и неравенства
а) lоg4x=0; б) lоg4x>0 в) lоg4x<0
№3 Решите уравнение lоg4x=5-x
№4 Постройте графики функций
а)y=logxx б) y=2log2x в) y=xlogx2

12.

Найти наименьшее и набольшее значении функции на заданном промежуткеy=lgx x€ [1;1000]
• Решение: функция y=lgx непрерывная и
возрастающая.
• Следовательно своего наименьшего и
наибольшего значения достигает на
y
концах отрезка
yнаим=lg1=0
yнаиб=lg1000=3
x

13. Решить уравнения и неравенства а) lоg4x=0; б) lоg4x>0 в) lоg4x<0

Решить уравнения и неравенства
а) lоg4x=0; б) lоg4x>0 в) lоg4x<0
• Решаем графически.
В одной системе координат строим график
функции y= lоg4x и y=0
y
у = log4x
1
y=0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
lоg4x=0
Ответ:1
lоg4x>0
lоg4x<0
Ответ : x>1 Ответ : 0<x<1
x
Решить уравнение
lоg4x=5-x
Построим график функции
y= lоg4x
и график y =5-x
y
Функция y= lоg4x возрастает,
а y= 5-x убывает. То есть
точка единственная.
Проверка lоg44= 5-4
1
4
x
Ответ: x=4

16. Построить графики функции функции

y=logxx
D(y)=(0;1) (1;+∞)
учитывая, что logaa=1, строим график y=1
y
1
x

17.

Построить графики функции функцииy=2log2x
D(y)= (0;+∞)
logac
учитывая, что a =c, строим график y=x
y
1
x

18. Построить графики функции функции

y=xlogx2
D(y)=(0;1) (1;+∞)
logac
учитывая, что a =c , строим график y=2
y
y=2
2
1
x

19. Преобразование графиков функции

y
y=log2x+2
D(y):(0;+∞)
E(y):(- ∞;+ ∞)
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x

20. Преобразование графиков функции

y
y=log2(x+2)
D(y):(-2;+∞)
E(y):(- ∞;+ ∞)
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x

21. Преобразование графиков функции

y
y=log0.5(x+3)
D(y):(-3;+∞)
E(y):(- ∞;+ ∞)
y=-log0.5(x+3)
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
D(y):(-3;+∞)
E(y):(- ∞;+ ∞)

English     Русский Правила

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

График f(x)=1+log base2 x Чтобы построить график функции, нанесите на график не менее двух точек, нарисуйте все асимптоты

  • Нажмите здесь, чтобы просмотреть ВСЕ задачи на логарифм
    Чтобы построить график функции, нанесите на график не менее двух точек, начертите все асимптоты
    Ответ от Тео(12664)    (Показать источник):

    Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ сайте!
    Проще всего сделать это за вас с помощью программного обеспечения.

    если вы хотите сделать это вручную, вам нужно настроить некоторые параметры.
    для одного, x не может быть 0 и не может быть отрицательным, поскольку число, которое вы берете в журнал, должно быть положительным числом.

    логарифмическая функция может быть построена напрямую, или вы можете преобразовать ее в эквивалентную экспоненциальную функцию и построить ее график.
    , чтобы построить его напрямую, вам потребуется доступ к калькулятору, который даст вам log2(x).
    большинство калькуляторов не могут сделать это напрямую, но могут сделать это, используя следующую формулу преобразования логарифмической базы.
    log2(x) = log10(x)/log10(2).
    , поскольку log10 является клавишей LOG на калькуляторе, вы должны ввести в свой калькулятор следующее:
    LOG(x)/LOG(2).
    Например, чтобы найти log2(1), вы должны ввести LOG(1)/LOG(2) в своем калькуляторе.
    В другом примере, чтобы найти log2(5), вы должны ввести LOG(5)/LOG(2) в своем калькуляторе.
    основное определение журналов:
    logb(x) = y тогда и только тогда, когда b^y = x

    см. эту ссылку для основного определения журналов и 4 основных свойства этих журналов:

    http://www.andrews.edu/~calkins/math/webtexts/numb17.htm

    Если у вас нет под рукой калькулятора и вы хотите сделать это вручную, то преобразование логарифмического уравнения в его эквивалентную экспоненциальную форму будет хорошим способом.

    ваше уравнение:
    f(x) = 1 + log2(x)
    замените f(x) на y и уравнение станет таким:
    y = 1 + log2(x)
    вычтите 1 из обеих частей уравнения и ваше уравнение становится: 9(y-1), а не y = 1 + log2 (x)

    Графики будут идентичными, как вы можете видеть ниже:

    верхний и средний график показывают каждое уравнение отдельно.
    нижний график показывает оба уравнения одновременно.
    этот нижний график убедительно доказывает, что вы смотрите на графики уравнений, которые эквивалентны друг другу.

    обратите внимание, что log2(x) отображается как log(x) / log(2).
    это формула преобразования, которую я показывал вам ранее, позволяя графическому программному обеспечению моделировать log2, хотя оно может моделировать только log10.

    Как построить квадратичную функцию: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс.

    alexxlab / / Разное

    Тема консультации для учителей математики 8 класса по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина. на январь: «КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ»

    Тема консультации для учителей математики 8 класса

    по учебнику Л. Г. Петерсон, Н. Х. Агаханова, А. Ю. Петровича, О. К. Подлипского, М. В. Рогатовой, Б. В. Трушина.

    на январь:

    «КвадраТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ»

    1. Дидактической основой непрерывного курса математики «Учусь учиться» является дидактическая система деятельностного метода обучения «Школа 2000…». Ее главной особенностью является то, что знания не даются учащимся в готовом виде, а организуется их самостоятельное открытие детьми. Такой подход обеспечивает высокий уровень математической подготовки, развивает мышление учащихся, их способности, повышает интерес к изучению математики, обеспечивают личностные и метапредметные результаты образования, соответствующие ФГОС.

    2. В соответствии с планированием учебного материала по курсу математики «Учусь учиться» для 8 класса в январе заканчивается изучение первого параграфа главы «Квадратичная функция» (см. консультацию на декабрь) и начинается изучение ее второго параграфа.

    3. Тематическое планирование

    В соответствии с принципом минимакса дидактической системы деятельностного метода «Школа 2000…» организовать работу по данному учебнику возможно в условиях различных учебных планов образовательных учреждений.

    Программа 8 – 9 класса строится так, что она может быть использована для изучения школьного курса алгебры на основном и предпрофильном (углубленном) уровнях. Заметим, что предложенное учебное содержание обеспечивает возможность работы по курсу алгебры «Учусь учиться» для 8–9 классов учащихся разного уровня подготовки. Благодаря увлекающей форме подачи материала и нарастающей сложности задач, предлагаемых как для разбора в классе, так и для самостоятельной проработки дома, каждый учитель или сам ученик может выбрать тот уровень, который необходим и достаточен для достижения поставленных индивидуальных целей. Это может быть как довольно поверхностное понимание изучаемых вопросов математики, которое обеспечит лишь успешную сдачу государственной итоговой аттестации, так и более глубокая проработка, позволяющая заложить прочный фундамент для более глубокого понимания сложных разделов не только основной, но и старшей школы.

    Тематическое планирование по изучению курса 8 класса разработано в двух вариантах на 102 ч и на 170 ч. Вы можете скачать тематическое планирование на 3 ч в неделю и на 5 ч в неделю, обратившись к содержанию консультации на сентябрь.

    Отметим, что на сегодняшний момент этот учебник может стать дополнительным в работе учителя.

    4. Методические рекомендации к организации учебного процесса

    Глава 4. Квадратичная функция

    §2. Квадратичная функция

    Четвертая глава посвящена изучению ключевой для школьного курса функции – квадратичной. Эта функция рассматривается в неразрывной взаимосвязи следующих вопросов: квадратное уравнение – квадратичная функция – квадратное неравенство. Это позволяет получить учащимся целостную картину: они понимают, как решение квадратных уравнений связано с графиком квадратичной функции, видят, как свойства квадратичной функции помогают при решении квадратных неравенств.

    Во втором параграфе четвертой главы учащиеся изучают квадратичную функцию. Учащиеся уже знакомы с функцией y = x2, теперь они изучают функции вида y = ax2; y = ax2 + h; y = a (x– d)2 , после чего знакомятся с квадратичной функцией y = ax2 + bx + c. Учащиеся выявляют два способа построения графика квадратичной функции: с помощью выделения полного квадрата и с помощью вычисления координат вершины параболы. В соответствии с принципом вариативности при построении графика квадратичной функции учащиеся могут использовать любой из выявленных ими способов. При углубленном изучении курса восьмиклассники учатся находить наибольшее и наименьшее значения квадратных трехчленов на заданном отрезке. При этом они опираются на изученные ими свойства графика квадратичной функции.

    5. Основные содержательные цели. Организация самостоятельной деятельности учащихся по открытию новых знаний.

    §2. Квадратичная функция

    4.2.1. Функции y = ax2; y = ax2 + h; y = a (x– d)2 их графики.

    Основные содержательные цели:

    1) Познакомить учащихся с функциями y = ax2, y = ax2 + h и y = a (x– d)2; выявить свойства этих функций.

    2) Сформировать умение строить график функций y = ax2 + h, y = a (x– d)2 и y = a(x – d)2 + h путем сдвига вдоль координатных осей графика функции y = ax2.

    3) Тренировать умение решать текстовые задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям и закрепить умение выполнять преобразование выражений с корнями, строить кусочно-заданные функции.

    Для актуализации понятия параболы и свойств функции y = x2 можно использовать №444. Для самостоятельного открытия функции y = ax2 и выявления ее свойств рекомендуется использовать № 445. Для самостоятельного открытия способа построения графика функции y = ax2 + h рекомендуется использовать № 447, а функции y = a (x– d)2 – №448.

    П. 4.2.2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c.

    Основные содержательные цели:

    1) Сформировать понятие квадратичной функции y = ax2 + bx + c.

    2) Выявить свойства квадратичной функции и сформировать умение строить график функции.

    3) Познакомить учащихся со способом вычисления координат вершины параболы.

    4) Сформировать опыт применения понятий: промежутки возрастания и убывания функции, четность функции.

    5) Подготовить изучение способа решения квадратных неравенств.

    6) Повторить способ построения графиков функций y = ax2 + h, y = a (x– d)2 и y = a(x – d)2 + h и закрепить умение решать системы линейных неравенств с одним и двумя неизвестными.

    Для введения понятия квадратичной функции можно использовать №462 – №463. Для самостоятельного открытия способа построения графика квадратичной функции путем выделения полного квадрата рекомендуется выполнить № 464 – №465.

    П.4.2.3.* Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена

    Основные содержательные цели:

    1) Построить алгоритм нахождения наименьшего (наибольшего) значения квадратного трехчлена на отрезке [А; В] и сформировать умение его применять

    2) Подготовить изучение способа решения квадратных неравенств.

    3) Тренировать умение вычислять координаты вершины параболы. Закрепить умение выполнять преобразования выражений с корнями.

    Для самостоятельного открытия учащимися способа нахождения наименьшего (наибольшего) значения квадратного трехчлена на отрезке рекомендуется выполнить №482 – №484.

    Мы предлагаем скачать примеры решения заданий второго параграфа данной главы.

    6. Методические рекомендации по планированию уроков

    При изучении второго параграфа четвертой главы планированием предусмотрены уроки ОНЗ, структура которых обеспечивает выполнение учащимися целого комплекса универсальных учебных действий. Рассмотрим способ организации урока ОНЗ на примере содержания пункта 4.2.1. «Функция у=аx² , у=аx² + h, у=k(x – d)² и их графики».

    В этом пункте учащиеся знакомятся с функциями у = ax2, y = ax2 + h и y = a (x– d)2; выявляют свойства этих функций. Они учатся строить график функций y = ax2 + h, y = a (x– d)2 и y = a(x – d)2 + h путем сдвига вдоль координатных осей графика функции y = ax2.

    Урок открытия новых знаний выстраивается в соответствии с требованиями технологии деятельностного метода Л.Г. Петерсон. На этапе мотивации учитель может предложить пояснить смысл высказывания Галилея, из всех возможных ответов учеников следует остановиться на понятии функции. Далее учитель может попросить учащихся сделать предположения о тематических рамках урока.

    После чего учитель организует актуализацию нужных для открытия знаний с помощью выполнения задания №444. Далее учащихся следует познакомить с функцией у = ax2 (для организации побуждающего диалога можно использовать задания № 445 (1, 2)) и ее свойствами (используется текст учебника на стр.114 – 115).

    Для самостоятельного открытия способа построения графиков функций y = a(x – d)2 и у = ax2 + h рекомендуется использовать систему заданий №№ 447 – 448. При этом на этапе реализации проекта можно разбить учащихся на группы и поставить перед ними различные задачи: часть класса составляет способ построения графика y = ax2 + h, а другая часть – способ построения y = a (x– d)2. После чего на этапе защиты полученных ими результатов способы, составленные учащимися, объединяются в единый эталон. В менее подготовленном классе можно поступить иначе: учащиеся будут открывать самостоятельно только способ построения графика y = ax2 + h, а со способом построения графика функции y = a (x– d)2 учитель познакомит учащихся в подводящем диалоге (можно использовать текст учебника).

    Рассмотрим пример структуры открытия нового знания:

    1. Новое знание: способ построения графиков функций y = a(x – d)2 и у = ax2 + h путем сдвига графика у = ax2.

    2. Актуализация.

    Повторить: понятие функции y = x2.

    Ввести: понятие функции y = аx2 ; свойства функции у = ax2 и ее графика.

    3. Задание на пробное действие:

    Укажите способ построения графика функции у = 2(х – 1)2 и y = 2x2 + 5 без использования таблицы.

    4. Фиксация затруднения:

    Я не могу указать способ построения графика функции у = 2(х – 1)2 и y = 2x2 + 5 без использования таблицы.

    Я не могу обосновать, что указанный мною способ верный.

    5. Фиксация причины затруднения:

    Не известен способ построения графиков функций y = a(x – d)2 и у = ax2 + h без использования таблицы.

    6. Цель учебной деятельности:

    Выявить еще один способ построения графиков функций y = a(x – d)2 и у = ax2 + h.

    7. Фиксация нового знания:

    Учащиеся должны выявить способ построения графиков функций y = a(x – d)2 и у = ax2 + h путем сдвига вдоль координатных осей графика функции y = ax2.

    Открыть новое знание учащиеся могут, анализируя частные примеры формул y = ax2 + h, y = a (x– d)2 с формулой y = ax2 и сравнивая графики этих функций, построенные по точкам. Организовать это открытие можно с использованием текста заданий №№ 447 – 448. Сначала учащиеся используют №447 (способ построения графика y = ax2 + h), затем №446 (способ построения y = a (x– d)2).

    На этапе первичного закрепления рекомендуется выполнить задание №450 (а, б), 451 (а), для самостоятельной работы учащимся можно предложить №450 (в), 451 (б).

    На этапе включения в систему знаний учитель предлагает учащимся № 451 (в), после чего формулируется алгоритм построения графика y = a(x – d)2 + h . Затем можно выполнить № 452(а), а в более подготовленном классе можно выполнить № 452 (б).

    На этапе рефлексии можно вернуться к эпиграфу и предложить учащимся прокомментировать его с точки зрения содержания сегодняшнего урока. После чего учащимся предлагается оценить процесс и результат своей работы на уроке.

    При наличии времени рекомендуется разбить рассмотренный выше урок на два урока, тогда на первом учащиеся будут самостоятельно открывать функцию у = ax2 и ее свойства (для организации открытия рекомендуется использовать задание № 445). Второй урок будет посвящен открытию способа построения графика y = a(x – d)2 + h. Сначала учащиеся используют №447 (способ построения графика y = ax2 + h), затем №446 (способ построения y = a (x– d)2). Далее, используя задание №449, или в побуждающем диалоге составляется алгоритм построения графика y = a(x – d)2 + h.

    Кроме урока открытия нового знания, основные структурные элементы которого рассмотрены выше, планированием предусмотрены и другие типы уроков: уроки рефлексии тренировочного и коррекционного типа, где учащиеся вырабатывают и закрепляют свое умение применять новые понятия и способы действий, учатся самостоятельно выявлять и исправлять свои ошибки, корректировать свою учебную деятельность.

    Уважаемые коллеги! Предлагаем вам скачать решение некоторых задач на смекалку, которые входят в данный параграф.

    2 + bx + c = 0$

    Где a ≠ 0, b, c — действительные числа.

    Так как каждая функция имеет свой особый график, то и квадратичная тоже. График любого квадратного уравнения представляет собой параболу . Парабола — это набор точек на плоскости, которые все одинаково удалены от заданной линии, называемой директрисой, и заданный фокус точки не находится на этой линии.

    На поведение этого графа влияет множество аспектов, поэтому начнем с самого простого.

    Обратите внимание, что у нас только старший коэффициент отличен от нуля. И он равен ровно единице. Поскольку мы до сих пор не знаем, как именно выглядит этот график, мы начнем с рисования множества точек и посмотрим, куда это нас приведет. 92$. И это именно тот результат, которого мы могли ожидать, потому что, если вы возьмете большое число в качестве своего старшего коэффициента, функция будет быстро расти, а значит, она будет выглядеть уже.

    Вершина параболы с одним старшим коэффициентом всегда будет в точке (0, 0).

    С другой стороны, если ваш ведущий коэффициент будет числом меньше единицы (но все же положительным числом), ваш график будет выглядеть шире, потому что значения функции будут расти намного медленнее.

    Теперь нарисуем график функции 92 – 2x$

    Снова возьмем некоторое множество точек и посчитаем в них значение функции.

    Отсюда мы не можем точно нарисовать нашу параболу, потому что мы мало о ней знаем. В первом случае, который мы показали, мы знали, что вершина параболы будет в центре и что ее график будет симметричен относительно оси y. Теперь мы знаем, что ничего из этого не относится к этому графику.

    Первое, что вам нужно сделать, это найти вершину. x – координата вершины параболы любого вида находится по формуле:

    $ V_x = – \frac{b}{2a}$

    Когда вы знаете координату x, вы можете просто ввести ее в функцию и получить координату y.

    Для этой функции: $\a = 1$, $\b = – 2$, значит

    $V_x = 1$

    и

    $V_y = f(V_x) = 1$

    Второе. что полезно знать при построении графика квадратного уравнения — это нули. Нули — это точки, в которых график делит ось x пополам. Вы получаете эти очки, вычисляя f(x) = 0 и вычисляя нули полученного вами квадратного уравнения. 92 – 4x + 3 = 0$

    $\ x = \frac{(4 +- \sqrt[2](16-24))}{4}$

     

    Мы получили мнимые решения. Это всегда будет означать, что наш график не делит ось x пополам. Поскольку вы уже знаете свою вершину, вы знаете линию, относительно которой симметричен ваш график. Все, что вам нужно, это еще несколько точек, которые вы вычисляете, и вы можете нарисовать свой график. Чтобы быть точным, вы также можете рассчитать, где ваш график будет пересекать ось Y пополам в точке, где x = 0, или, в нашем случае, в точке (0, 3).

    92$ переводится на 1 вправо по оси x и на 3 по оси y – вверх.

    График Квадратичные функции — Стандартная форма (1,7 миб, 975 попаданий)

    График Квадратичные функции — Форма вершины (1,8 миб, 956 хиты)

    График. 854 просмотров)

    Пошаговое руководство по построению графика квадратичной функции

    от Каталин Дэвид

    Чтобы нарисовать график функции в декартовой системе координат системы нам нужны две перпендикулярные линии xOy (где O – точка пересечения x и y), называемая «координатными осями». и единица измерения.

    Точка в этой системе имеет две координаты.
    M(x, y): M — название точки, x — абсцисса, отсчитываемая от Ox, а y — ордината, отсчитываемая от Oy.
    Две координаты представляют расстояния от точки до двух осей.

    Если рассмотреть функцию f: A -> B (A — область определения определение, B — домен), то точка, найденная на графике функция имеет вид P(x, f(x)).

    Пример 92-\frac{\Delta}{4a}$
    , где Δ = b 2 — 4ac

    Если a > 0, минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$, которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Граф будет выпуклой параболой , вершина которой (точка поворота параболы) равна $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

    Если a < 0, максимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ который получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. График будет вогнутая парабола с вершиной $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

    Парабола симметрична относительно прямой, пересекающей $x=-\frac{b}{2a}$, которая называется «осью симметрии» .
    Вот почему, когда мы присваиваем значения x , мы выбирать значения, симметричные относительно $-\frac{b}{2a}$.
    При построении графика очень важны точки пересечения с осями координат.

    |. Точка найдена на Ox ось имеет вид P(x, 0) , потому что расстояние от нее до Ox равно 0. Если точка найдена и на Ox , и на графике функции, то она также форма P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0 .

    Таким образом, чтобы найти координаты точек пересечения Ox с осью , мы должны решить уравнение f(x)=0 . Получаем уравнение a 2 + bx + c = 0 .

    Решения уравнения зависят от знака Δ = б 2 — 4ас .

    Имеем следующие ситуации:

    1) Δ < 0
    уравнение не имеет решений в R (множество действительных чисел) график не пересекает Ox . Форма графика будет:

    или

    2) Δ = 0
    уравнение имеет два равных решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
    График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика:

    или

    3) Δ > 0
    уравнение будет иметь два разных решения.

    $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

    График функции будет пересекать ось Ох в точках М(х 1 и Ох . Вид графика будет:

    или

    ||. Точка найдена на Oy 9Ось 0199 имеет форму R(0, y) , потому что расстояние от нее до Oy равно 0 . Если точка находится и на Oy , и на графике функции, то она также имеет вид R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)) .

    В случае квадратичной функции
    f(0) = a×0 2 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

    Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции

    f: R → R
    f(x) = ax 2 + бх + в

    1. Рисуем таблицу переменных, в которую записываем некоторые важные значения для x .

    2. Находим координаты вершины $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

    3. Также запишем 0 в таблице и симметрию 0 относительно $-\frac{b}{2a}$.

    или

    4. Определяем точку пересечения Ох с осью, решая уравнение f(x)=0 и в таблице запишем х 1 и х 2 .
    ∆ > 0 ⇒

    Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, симметричных относительно $-\frac{b}{2a}$

    Δ = 0 ⇒ граф касается Ox прямо в своей вершине. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных относительно $-\frac{b}{2a}$. Чтобы лучше определить форму графика, мы можем также выбрать другие пары значений для 9.0196 x , но они также должны быть симметричны относительно $-\frac{b}{2a}$.

    5. Записываем все эти значения в системе координат и строим график, соединяя точки.

    Пример 1
    f: R → R
    f(x) = x 2 — 2x — 3
    a = 1, b = -2, c = -3
    Δ = b 2 — 4×a×c = (-2) 2 — 4×1×(-3) = 16
    $-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$ ⇒ V(1; -4)

    1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

    2. f(0) = -3
    Симметрия 0 относительно 1 равна 2.
    f(2) = -3

    3. f(x) = 0 ⇒ x 2 — 2x — 3 = 0
    Δ = 16 > 0
    $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2 -4}{2}=-1$

    $x_1=\frac{2+4}{2}=3$

    Мы нашли точки:
    A(-1; 0)
    B(0; -3)
    V(1; -4)
    C(2; -3)
    D(3; 0)

    График будет:

    Пример 2
    f: R → R
    f(x) = -x 2 — 2x + 8
    a = -1, b = -2, c = 8
    Δ = b 2 — 4×a×c = (-2) 2 — 4×(-1)×8 = 36
    $-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}= -1$ ⇒ V(-1; 9)

    1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

    2. f(0) = 8
    f(-2) = 8 (симметричность 0 относительно -1 равна -2)

    3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 — 2x + 8 = 0
    Δ = 36
    x 1 = 2 и x 2 = -4

    A(-4; 0)
    B(-2; 8)
    V(-1; 9)
    C(0; 8)
    D(2; 0)

    Пример 3
    f: R → R
    f(x) = x 2 — 4x + 4
    a = 1, b = -4, c = 4
    Δ = b 2 — 4×a×c = (-4 ) 2 — 4×1×4 = 0
    $-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$ ⇒ V(2; 0)

    1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$

    2. f(0) = 4
    f(4) = 4 (симметричность 0 относительно 2 равна 4)

    3. f(x) = 0 ⇒ x 2 — 4x + 4 = 0
    Δ = 0
    x 1 = x 2 = $-\frac{b}{2a}$ = 2

    А(-2; 9)
    Б(0; 4)
    В(2; 0)
    С(4; 4)
    Д(5; 9)

    Пример 4
    f: R → R
    f(x) = -x 2 + 4x — 5
    a = -1, b = 4, c = -5
    Δ = b 2 — 4×a×c = 4 2 — 4×(-1)×(-5) = 16 — 20 = -4
    $-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$ ⇒ V(2; -1)

    1.

    Тангенс на круге: Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс — урок. Алгебра, 10 класс.

    alexxlab / / Разное

    Отсчёт углов на тригонометрическом круге. Положительные и отрицательные углы. Распределение углов по четвертям

            В прошлом уроке мы с вами успешно освоили (или повторили — кому как) ключевые понятия всей тригонометрии. Это тригонометрический круг, угол на круге, синус и косинус этого угла, а также освоили знаки тригонометрических функций по четвертям. Освоили подробно. На пальцах, можно сказать.

            Но этого пока мало. Для успешного практического применения всех этих простых понятий нам необходим ещё один полезный навык. А именно — правильная работа с углами в тригонометрии. Без этого умения в тригонометрии — никак. Даже в самых примитивных примерах. Почему? Да потому, что угол — ключевая действующая фигура во всей тригонометрии! Нет, не тригонометрические функции, не синус с косинусом, не тангенс с котангенсом а именно сам угол. Нет угла — нету и тригонометрических функций, да…

            Как правильно работать с углами на круге? Для этого нам надо железно усвоить два пункта.

            1) Как отсчитываются углы на круге?

            2) В чём они считаются (измеряются)?

            Ответ на первый вопрос — и есть тема сегодняшнего урока. С первым вопросом мы детально разберёмся прямо здесь и сейчас. Ответ на второй вопрос здесь не дам. Ибо достаточно развёрнутый он. Как и сам второй вопрос очень скользкий, да.) Вдаваться в подробности пока не буду. Это — тема следующего отдельного урока.

            Приступим?

     

    Как отсчитываются углы на круге? Положительные и отрицательные углы.

            У прочитавших название параграфа, возможно, уже волосы встали дыбом. Как так?! Отрицательные углы? Разве такое вообще возможно?

            К отрицательным числам мы с вами уже попривыкли. На числовой оси их изображать умеем: справа от нуля положительные, слева от нуля отрицательные. Да и на градусник за окном поглядываем периодически. Особенно зимой, в мороз.) И денежки на телефоне в «минус» (т.е. долг) иногда уходят. Это всё знакомо.

            А что же с углами? Оказывается, отрицательные углы в математике тоже бывают! Всё зависит от того, как отсчитывать этот самый угол… нет, не на числовой прямой, а на числовой окружности! То бишь, на круге. Круг — вот он, аналог числовой прямой в тригонометрии!

            Итак, как же отсчитываются углы на круге? Ничего не поделать, придётся нам для начала этот самый круг нарисовать.

            Я нарисую вот такую красивую картинку:

            Она очень похожа на картинки из прошлого урока. Есть оси, есть окружность, есть угол. Но есть и новая информация.

            Во-первых, я добавил номера четвертей (или квадрантов). Напоминаю, что четверти всегда нумеруются против часовой стрелки.

            Также я добавил циферки 0°, 90°, 180°, 270° и 360° на осях. Вот это уже поинтереснее. ) Что это за циферки? Правильно! Это значения углов, отсчитанные от нашей неподвижной стороны, которые попадают на координатные оси. Вспоминаем, что неподвижная сторона угла у нас всегда крепко-накрепко привязана к положительной полуоси ОХ. И любой угол в тригонометрии отсчитывается именно от этой полуоси. Это базовое начало отсчёта углов надо держать в голове железно. А оси — они же под прямым углом пересекаются, верно? Вот и прибавляем по 90° в каждой четверти.

            И ещё добавлена красная стрелочка. С плюсом. Красная — это специально, чтобы в глаза бросалась. И в память хорошенько врезалась. Ибо это надо запомнить надёжно.) Что же означает эта стрелочка?

            Так вот оказывается, если наш угол мы будем крутить по стрелочке с плюсом (против часовой стрелки, по ходу нумерации четвертей), то угол будет считаться положительным! В качестве примера на рисунке показан угол +45°. Кстати, обратите внимание, что осевые углы 0°, 90°, 180°, 270° и 360° также отмотаны именно в плюс! По красной стрелочке.

            А теперь посмотрим на другую картинку:

            Здесь почти всё то же самое. Только углы на осях пронумерованы в обратную сторону. По часовой стрелке. И имеют знак «минус».) Ещё нарисована синяя стрелочка. Также с минусом. Эта стрелочка — направление отрицательного отсчёта углов на круге. Она нам показывает, что, если мы будем откладывать наш угол по ходу часовой стрелки, то угол будет считаться отрицательным. Для примера я показал угол -45°.

            Кстати, прошу заметить, что нумерация четвертей никогда не меняется! Неважно, в плюс или в минус мы мотаем углы. Всегда строго против часовой стрелки.)

            Запоминаем:

            1. Начало отсчёта углов — от положительной полуоси ОХ. По часам — «минус», против часов — «плюс».

            2. Нумерация четвертей всегда против часовой стрелки вне зависимости от направления исчисления углов.

     

            Кстати говоря, подписывать углы на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, каждый раз рисуя круг — вовсе не обязаловка. Это чисто для понимания сути сделано. Но эти циферки обязательно должны присутствовать в вашей голове при решении любой задачи по тригонометрии. Почему? Да потому, что эти элементарные знания дают ответы на очень многие другие вопросы во всей тригонометрии! Самый главный вопрос — в какую четверть попадает интересующий нас угол? Хотите верьте, хотите нет, но правильный ответ на этот вопрос решает львиную долю всех остальных проблем с тригонометрией. Этим важным занятием (распределением углов по четвертям) мы займёмся в этом же уроке, но чуть позже.

            Величины углов, лежащих на осях координат (0°, 90°, 180°, 270° и 360°), надо запомнить! Запомнить накрепко, до автоматизма. Причём как в плюс, так и в минус.

            А вот с этого момента начинаются первые сюрпризы. И вместе с ними и каверзные вопросы в мой адрес, да…) А что будет, если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным? Выходит, что одну и ту же точку на круге можно обозначить как положительным углом, так и отрицательным???

            Совершенно верно! Так и есть. ) Например, положительный угол +270° занимает на круге то же самое положение, что и отрицательный угол -90°. Или, например, положительный угол +45° на круге займёт то же самое положение, что и отрицательный угол -315°.

            Смотрим на очередной рисунок и всё видим:

            Точно так же положительный угол +150° попадёт туда же, куда и отрицательный угол -210°, положительный угол +230° — туда же, куда и отрицательный угол -130°. И так далее…

            И что теперь делать? Как именно считать углы, если можно и так и сяк? Как правильно?

            Ответ: по-всякому правильно! Ни одно из двух направлений отсчёта углов математика не запрещает. А выбор конкретного направления зависит исключительно от задания. Если в задании ничего не сказано прямым текстом про знак угла (типа «определите наибольший отрицательный угол» и т.п.), то работаем с наиболее удобными нам углами.

            Конечно, например, в таких крутых темах, как тригонометрические уравнения и неравенства направление исчисления углов может колоссально влиять на ответ. И в соответствующих темах мы эти подводные камни рассмотрим.

     

            Запоминаем:

            Любую точку на круге можно обозначить как положительным, так и отрицательным углом. Любым! Каким хотим.

     

            А теперь призадумаемся вот над чем. Мы выяснили, что угол 45° в точности совпадает с углом -315°? Как же я узнал про эти самые 315°? Не догадываетесь? Да! Через полный оборот.) В 360°. У нас есть угол 45°. Сколько не хватает до полного оборота? Отнимаем 45° от 360° — вот и получаем 315°. Мотаем в отрицательную сторону — и получаем угол -315°. Всё равно непонятно? Тогда смотрим на картинку выше ещё раз.

            И так надо поступать всегда при переводе положительных углов в отрицательные (и наоборот) — рисуем круг, отмечаем примерно заданный угол, считаем, сколько градусов не хватает до полного оборота, и мотаем получившуюся разность в противоположную сторону. И всё.)

            Чем ещё интересны углы, занимающие на круге одно и то же положение, как вы думаете? А тем, что у таких углов совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс! Всегда!

            Например:

            sin45° = sin(-315°)

            cos120° = cos(-240°)

            tg249° = tg(-111°)

            ctg333° = ctg(-27°)

            И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли… Кстати, прошу заметить, что углы в этих парочках различны. Зато тригонометрические функции у них — одинаковы! Идея ясна?

            А вот это уже крайне важно! Зачем? Да всё за тем же!) Для упрощения выражений. Ибо упрощение выражений — ключевая процедура успешного решения любых заданий по математике. И по тригонометрии в том числе.

            Итак, с общим правилом отсчёта углов на круге разобрались. Ну а коли мы тут заикнулись про полные обороты, про четверти, то пора бы уже покрутить и порисовать эти самые углы. Порисуем?)

            Начнём пока с положительных углов. Они попроще в рисовании будут.

     

    Рисуем углы в пределах одного оборота (между 0° и 360°).

            Нарисуем, например, угол 60°. Тут всё просто, никаких заморочек. Рисуем координатные оси, круг. Можно прямо от руки, безо всякого циркуля и линейки. Рисуем схематично: у нас не черчение с вами. Никаких ГОСТов соблюдать не надо, не накажут.)

            Можно (для себя) отметить значения углов на осях и указать стрелочку в направлении против часов. Ведь мы же в плюс откладывать собираемся?) Можно этого и не делать, но в голове держать всяко надо.

            И теперь проводим вторую (подвижную) сторону угла. В какой четверти? В первой, разумеется! Ибо 60 градусов — это строго между 0° и 90°. Вот и рисуем в первой четверти. Под углом примерно 60 градусов к неподвижной стороне. Как отсчитать примерно 60 градусов без транспортира? Легко! 60° — это две трети от прямого угла! Делим мысленно первую чертвертинку круга на три части, забираем себе две трети. И рисуем… Сколько у нас там по факту получится (если приложить транспортир и померить) — 55 градусов или же 64 — неважно! Важно, что всё равно где-то около 60°.

            Получаем картинку:

            Вот и всё. И инструментов не понадобилось. Развиваем глазомер! В задачах по геометрии пригодится.) Этот неказистый рисунок бывает незаменим, когда надо нацарапать круг и угол на скорую руку, не особо задумываясь о красоте. Но при этом нацарапать правильно, без ошибок, со всей необходимой информацией. Например, как вспомогательное средство при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

            Нарисуем теперь угол, например, 265°. Прикидываем, где он может располагаться? Ну, ясное дело, что не в первой четверти и даже не во второй: они на 90 и на 180 градусов оканчиваются. Можно сообразить, что 265° — это 180° плюс ещё 85°. То есть, к отрицательной полуоси ОХ (там, где 180°) надо добавить примерно 85°. Или, что ещё проще, догадаться, что 265° не дотягивает до отрицательной полуоси OY (там, где 270°) каких-то несчастных 5°. Одним словом, в третьей четверти будет этот угол. Очень близко к отрицательной полуоси OY, к 270 градусам, но всё-таки в третьей!

            Рисуем:

            Повторюсь, абсолютная точность здесь не требуется. Пускай в реальности этот угол получился, скажем 263 градуса. Но на самый главный вопрос (какая четверть?) мы ответили безошибочно. Почему этот вопрос самый главный? Да потому, что любая работа с углом в тригонометрии (неважно, будем мы рисовать этот угол или не будем) начинается с ответа именно на этот вопрос! Всегда. Если этот вопрос проигнорировать или пробовать на него ответить мысленно, то ошибки почти неизбежны, да… Оно вам надо?

            Запоминаем:

            Любая работа с углом (в том числе и рисование этого самого угла на круге) всегда начинается с определения четверти, в которую попадает этот угол.

            Теперь, я надеюсь, вы уже безошибочно изобразите углы, например, 182°, 88°, 280°. В правильных четвертях. В третьей, первой и четвёртой, если что…)

            Четвёртая четверть заканчивается углом 360°. Это один полный оборот. Ясен перец, что этот угол занимает на круге то же самое положение, что и 0° (т.е. начало отсчёта). Но углы на этом не заканчиваются, да…

     

    Что делать с углами, большими 360°?

            «А такие разве бывают?» — спросите вы. Бывают, ещё как! Бывает, например, угол 444°. А бывает, скажем, угол 1000°. Всякие углы бывают.) Просто визуально такие экзотические углы воспринимаются чуть сложнее, чем привычные нам углы в пределах одного оборота. Но рисовать и просчитывать такие углы тоже надо уметь, да.

            Для правильного рисования таких углов на круге необходимо всё то же самое — выяснить, в какую четверть попадает интересующий нас угол. Здесь умение безошибочно определять четверть куда более важно, чем для углов от 0° до 360°! Сама процедура определения четверти усложняется всего одним шагом. Каким, скоро увидите.

            Итак, например, нам надо выяснить, в какую четверть попадает угол 444°. Начинаем крутить. Куда? В плюс, разумеется! Угол-то нам дали положительный! +444°. Крутим, крутим… Крутанули на один оборот — дошли до 360°.

            Ну и крутим себе дальше!

            Сколько там осталось до 444°? Считаем оставшийся хвостик:

            444°-360° = 84°.

            Итак, 444° — это один полный оборот (360°) плюс ещё 84°. Очевидно, это первая четверть. Итак, угол 444° попадает в первую четверть. Полдела сделано.

            Осталось теперь изобразить этот угол. Как? Очень просто! Делаем один полный оборот по красной (плюсовой) стрелке и добавляем ещё 84°.

            Вот так:

            Здесь я уж не стал загромождать рисунок — подписывать четверти, рисовать углы на осях. Это всё добро уже давно в голове быть должно.)

            Зато я «улиткой» или спиралькой показал, как именно складывается угол 444° из углов 360° и 84°. Пунктирная красная линия — это один полный оборот. К которому дополнительно прикручиваются 84° (сплошная линия). Кстати, обратите внимание, что, если этот самый полный оборот отбросить, то это никак не повлияет на положение нашего угла!

            А вот это важно! Положение угла 444° полностью совпадает с положением угла 84°. Никаких чудес нет, так уж получается.)

            А можно ли отбросить не один полный оборот, а два или больше?

            А почему — нет? Если угол здоровенный, то не просто можно, а даже нужно! Угол-то не изменится! Точнее, сам-то угол по величине, конечно же, изменится. А вот его положение на круге — никак нет!) На то они и полные обороты, что сколько экземпляров ни добавляй, сколько ни убавляй, всё равно будешь в одну и ту же точку попадать. Приятно, правда?

            Запоминаем:

            Если к углу прибавить (отнять) любое целое число полных оборотов, положение исходного угла на круге НЕ изменится!

     

            Например:

            В какую четверть попадает угол 1000°?

            Никаких проблем! Считаем, сколько полных оборотов сидит в тысяче градусов. Один оборот — это 360°, ещё один — уже 720°, третий — 1080°… Стоп! Перебор! Значит, в угле 1000° сидит два полных оборота. Выбрасываем их из 1000° и считаем остаток:

            1000° — 2·360° = 280°

            Значит, положение угла 1000° на круге то же самое, что и у угла 280°. С которым работать уже гораздо приятнее.) И куда же попадает этот угол? В четвёртую четверть он попадает: 270° (отрицательная полуось OY) плюс ещё десяточка.

            Рисуем:

            Здесь я уже не рисовал пунктирной спиралькой два полных оборота: уж больно длинная она получается. Просто нарисовал оставшийся хвостик от нуля, отбросив все лишние обороты. Как будто бы их и не было вовсе.)

            И ещё раз. По-хорошему, углы 444° и 84°, а также 1000° и 280° — разные. Но для синуса, косинуса, тангенса и котангенса эти углы — одинаковые!

            Как вы видите, для того чтобы работать с углами, большими 360°, надо определить, сколько полных оборотов сидит в заданном большом угле. Это и есть тот самый дополнительный шаг, который обязательно надо предварительно проделывать при работе с такими углами. Ничего сложного, правда?

            Отбрасывание полных оборотов, конечно, занятие приятное.) Но на практике при работе с совсем уж кошмарными углами случаются и затруднения.

            Например:

            В какую четверть попадает угол 31240° ?

            И что же, будем много-много раз прибавлять по 360 градусов? Можно, если не горит особо. Но мы же не только складывать можем.) Ещё и делить умеем!

            Вот и поделим наш большущий угол на 360 градусов!

            Этим действием мы как раз и узнаем, сколько полных оборотов запрятано в наших 31240 градусах. Можно уголком поделить, можно (шепну на ушко :)) на калькуляторе.)

            Получим 31240:360 = 86,777777….

            То, что число получилось дробным — не страшно. Нас же только целые обороты интересуют! Стало быть, до конца делить и не надо. )

            Итак, в нашем лохматом угле сидит аж 86 полных оборотов. Ужас…

            В градусах это будет 86·360° = 30960°

            Вот так. Именно столько градусов можно безболезненно выкинуть из заданного угла 31240°. Останется:

            31240° — 30960° = 280°

            Всё! Положение угла 31240° полностью идентифицировано! Там же, где и 280°. Т.е. четвёртая четверть.) Кажется, мы уже изображали этот угол ранее? Когда угол 1000° рисовали?) Там мы тоже на 280 градусов вышли. Совпадение.)

     

            Итак, мораль сей басни такова:

            Если нам задан страшный здоровенный угол, то:

            1. Определяем, сколько полных оборотов сидит в этом угле. Для этого делим исходный угол на 360 и отбрасываем дробную часть.

            2. Считаем, сколько градусов в полученном количестве оборотов. Для этого умножаем число оборотов на 360.

            3. Отнимаем эти обороты от исходного угла и работаем с привычным углом в пределах от 0° до 360°.

     

    Как работать с отрицательными углами?

            Не вопрос! Точно так же, как и с положительными, только с одним единственным отличием. Каким? Да! Крутить углы надо в обратную сторону, в минус! По ходу часовой стрелки.)

            Нарисуем, например, угол -200°. Сначала всё как обычно для положительных углов — оси, круг. Ещё синюю стрелочку с минусом изобразим да углы на осях по-другому подпишем. Их, естественно, также придётся отсчитывать в отрицательном направлении. Это будут всё те же самые углы, шагающие через 90°, но отсчитанные в обратную сторону, в минус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

            Картинка станет вот такой:

            При работе с отрицательными углами часто возникает чувство лёгкого недоумения. Как так?! Получается, что одна и та же ось — это одновременно, скажем, и +90° и -270°? Неее, что-то тут нечисто…

            Да всё чисто и прозрачно! Мы ведь же уже в курсе, что любую точку на круге можно обозвать как положительным углом, так и отрицательным! Совершенно любую. В том числе и на какой-то из координатных осей. В нашем случае нам нужно отрицательное исчисление углов. Вот и отщёлкиваем в минус все углы.)

            Теперь нарисовать правильно угол -200° никакого труда не составляет. Это -180° и минус ещё 20°. Начинаем мотать от нуля в минус: четвёртую четверть пролетаем, третью тоже мимо, доходим до -180°. Куда мотать оставшуюся двадцатку? Да всё туда же! По часам.) Итого угол -200° попадает во вторую четверть.

            Теперь вы понимаете, насколько важно железно помнить углы на осях координат?

            Углы на осях координат (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) надо помнить именно для того, чтобы безошибочно определять четверть, куда попадает угол!

            А если угол большой, с несколькими полными оборотами? Ничего страшного! Какая разница, куда эти самые полные обороты крутить — в плюс или в минус? Точка-то на круге не изменит своего положения!

            Например:

            В какую четверть попадает угол -2000°?

            Всё то же самое! Для начала считаем, сколько полных оборотов сидит в этом злом угле. Чтобы не косячить в знаках, оставим минус пока в покое и просто поделим 2000 на 360. Получим 5 с хвостиком. Хвостик нас пока не волнует, его чуть позже сосчитаем, когда рисовать угол будем. Считаем пять полных оборотов в градусах:

            5·360° = 1800°

            Воот. Именно столько лишних градусов можно смело выкинуть из нашего угла без ущерба для здоровья.

            Считаем оставшийся хвостик:

            2000° — 1800° = 200°

            А вот теперь можно и про минус вспомнить.) Куда будем мотать хвостик 200°? В минус, конечно же! Нам же отрицательный угол задан.)

            -2000° = -1800° — 200°

            Вот и рисуем угол -200°, только уже без лишних оборотов. Только что его рисовали, но, так уж и быть, накалякаю ещё разок. От руки.

            Ясен перец, что и заданный угол -2000°, так же как и -200°, попадает во вторую четверть.

            Итак, мотаем себе на кру… пардон… на ус:

            Если задан очень большой отрицательный угол, то первая часть работы с ним (поиск числа полных оборотов и их отбрасывание) та же самая, что и при работе с положительным углом. Знак «минус» на данном этапе решения не играет никакой роли. Учитывается знак лишь в самом конце, при работе с углом, оставшимся после удаления полных оборотов. 

            Как видите, рисовать отрицательные углы на круге ничуть не сложнее, чем положительные.

            Всё то же самое, только в другую сторону! По часам!

            

            А вот теперь — самое интересное! Мы рассмотрели положительные углы, отрицательные углы, большие углы, маленькие — полный ассортимент. Также мы выяснили, что любую точку на круге можно обозвать положительным и отрицательным углом, отбрасывали полные обороты… Нету никаких мыслей? Должно отложиться…

            Да! Какую точку на круге ни возьми, ей будет соответствовать бесконечное множество углов! Больших и не очень, положительных и отрицательных — всяких! И разница между этими углами будет составлять целое число полных оборотов. Всегда! Так уж тригонометрический круг устроен, да…) Именно поэтому обратная задача — найти угол по известным синусу/косинусу/тангенсу/котангенсу — решается неоднозначно. И куда сложнее. В отличие от прямой задачи — по заданному углу найти весь набор его тригонометрических функций. И в более серьёзных темах тригонометрии (арки, тригонометрические уравнения и неравенства) мы с этой фишкой будем сталкиваться постоянно. Привыкаем.)

     

            Итак, будем считать, что самые-самые азы работы с углами на круге мы с вами освоили. Можно и на вопросы поотвечать. Самостоятельно.)

            1. В какую четверть попадает угол -345°?

            2. В какую четверть попадает угол 666°?

            3. В какую четверть попадает угол 5555°?

            4. В какую четверть попадает угол -3700°?

     

            Всё хорошо? Поехали дальше.

            5. Какой знак имеет cos999°?

            6. Какой знак имеет ctg999°?

            И это получилось? Прекрасно! Есть проблемы? Тогда вам сюда.

     

            Ответы:

            1. 1

            2. 4

            3. 2

            4. 3

            5. «+»

            6. «-«

            В этот раз ответы выданы по порядку в нарушение традиций. Ибо четвертей всего четыре, а знаков так и вовсе два. Особо не разбежишься…)

            В следующем уроке мы с вами поговорим про радианы, про загадочное число «пи», научимся легко и просто переводить радианы в градусы и обратно. И с удивлением обнаружим, что даже этих простых знаний и навыков нам будет уже вполне достаточно для успешного решения многих нетривиальных задачек по тригонометрии!

    Тригонометрический круг со всеми значениями, числовая окружность синус косинус тангенс котангенс, как пользоваться тригонометрическим кругом

    Тригонометрический круг один из основных элементов геометрии для решения уравнений с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

    Каково определение данного термина, как строить данный круг, как определить четверть в тригонометрии, как узнать углы в построенном тригонометрическом круге — об этом и многом другом расскажем далее.

    Содержание

    Тригонометрическая окружность

    Тригонометрическим видом числовой окружности в математике является круг, имеющий одинарный радиус с центром в начале координатной плоскости. Как правило, она образована пространством из формул синуса с косинусом, тангенсом и котангенсом на системе координат.

    Назначение такой сферы с n-мерным пространством в том, что благодаря ей могут быть описаны тригонометрические функции. Выглядит она просто: круг, внутри которого находится система координат и множественные прямоугольного вида треугольники, образованные из этой окружности по тригонометрическим функциям.

    Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике

    Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.

    Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.

    Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).

    Построение единичной окружности

    Построение единичной окружности сводится к ее прорисовке с единичным радиусом в центре системы координат. Затем для построения нужно отсчитать углы и, двигаясь против часовой стрелки, обойти по целому кругу, проставляя соответствующие им линии координаты.

    Начинается построение после черчения круга и установки точки в его центре с размещения системы координат ОХ. Точкой О сверху оси координат является синус, а Х косинус. Соответственно они являются абсциссой и ординатой. Затем нужно провести измерения ∠. Они проводятся градусами и радианами.

    Сделать перевод этих показателей просто полный круг равен двум пи радиан. Угол от нуля против часовой стрелки идет со знаком +, а ∠ от 0 по часовой стрелке со знаком -. Положительные и отрицательные значения синуса с косинусом повторяются каждый оборот круга.

    Углы на тригонометрическом круге

    Для того, чтобы освоить теорию тригонометрической окружности, нужно понять, как считаются ∠ на ней, и в чем они измеряются. Считаются они очень просто.

    Окружность делится системой координат на четыре части. Каждая часть образует ∠ 90°. Половина от этих углов равняется 45 градусам. Соответственно две доли окружности равняются 180°, а три 360°. Как пользоваться этой информацией?

    Если требуется решить задачу по нахождению ∠, прибегают к теоремам о треугольниках и основным Пифагоровым законам, связанных с ними.

    Измеряются углы в радианах:

    • от 0 до 90° значения углов от 0 до ∏/2,
    • от 90 до 180° значения углов от ∏/2 до ∏,
    • от 180 до 270° от ∏ до 3*∏/2,
    • последняя четверть от 2700 до 3600 — значения от 3*∏/2 до 2*∏.

    Чтобы узнать конкретное измерение, перевести радианы в градусы или наоборот, следует прибегнуть к таблице-шпаргалке.

    Перевод углов из градусов в радианы

    Углы возможно измерить в градусах либо радианах. Требуется осознавать связь между обоими значениями. Эта взаимосвязь выражена в тригонометрии с помощью специальной формулы. Благодаря пониманию связи, можно научиться оперативным образом управлять углами и переходить от градусов к радианам обратно.

    Для того чтобы точно узнать, чему равен один радиан, можно воспользоваться следующей формулой:

    1 рад. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956

    В конечном итоге, 1 радиан равен 57°, а в 1 градусе 0,0175 радиан:

    1 градус = (∏ /180) рад. = 3,1416 / 180 рад. = 0,0175 рад.

    Косинус, синус, тангенс, котангенс на тригонометрической окружности

    Косинус с синусом, тангенсом и котангенсом на тригонометрической окружности функции углов альфа от 0 до 360 градусов. Каждая функция обладает положительным или отрицательным значением в зависимости от того, какая величина у угла. Они символизируют отношения к прямоугольным треугольникам, образованным в круге.

    Заключение

    В целом, тригонометрическая окружность – единичная окружность, необходимая для решения соответствующих задач и описания функций. Она состоит из многих составляющих, запомнить которые нужно обязательно для правильного решения последующих задач.

    Касательная к окружности

    Горячая математика

    А касательная к окружности относится прямая линия, которая касается окружности только в одной точке. Эта точка называется точкой касания.

    Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания.

    В кругу О , п Т ↔ является касательной и О п ¯ это радиус.

    Если п Т ↔ является касательной, то О п ¯ перпендикулярно п Т ↔ .

    Например, предположим О п ¯ «=» 3 единицы и п Т ¯ «=» 4 единицы измерения. Найдите длину О Т ¯ .

    Поскольку радиус перпендикулярен касательной в точке касания, О п ¯ ⊥ п Т ↔ .

    Это делает угол п прямой угол в треугольнике О п Т и треугольник О п Т прямоугольный треугольник.

    Теперь используйте Теорема Пифагора найти О Т ¯ .

    ( О п ) 2 + ( п Т ) 2 «=» ( О Т ) 2 3 2 + 4 2 «=» ( О Т ) 2 9+ 16 «=» ( О Т ) 2 25 «=» ( О Т ) 2 ± 5 «=» О Т

    Поскольку длина не может быть отрицательной, длина О Т ¯ является 5 единицы измерения.

    Касательная к окружности, значение, свойства, примеры

    Слово «касательная» означает «касаться». Латинское слово, обозначающее то же самое, — «tangere». В общем, мы можем сказать, что линия, которая пересекает окружность ровно в одной точке на ее окружности и никогда не входит внутрь окружности, является касательной . Окружность может иметь много касательных. Они перпендикулярны радиусу. Давайте узнаем больше о значении тангенса и теоремах в этой статье.

    1. Тангенс Значение
    2. Касательная окружности
    3. Свойства касательной
    4. Теоремы касательной
    5. Тангенс окружности Формула
    6. Часто задаваемые вопросы по касательной

    Тангенс Значение

    В геометрии касательная — это линия, проведенная из внешней точки и проходящая через точку на кривой. Один из реальных примеров касательной: когда вы едете на велосипеде, каждая точка окружности колеса касается дороги. Давайте разберемся с понятием касательной на примере. На следующем рисунке показаны дуга S и точка P, внешняя по отношению к S. Касательная из P проведена к S. Это пример представления касательной.

    Касательная Определение: Касательная в геометрии определяется как линия, которая касается кривой или изогнутой поверхности ровно в одной точке.

    Касательная окружности

    Касательная окружности определяется как прямая линия, которая касается или пересекает окружность только в одной точке. Касательная — это линия, которая никогда не входит внутрь круга. На следующем рисунке показана окружность с точкой P. Касательная L проходит через точку P. Это пример касательной к окружности.

    Точка касания

    Точка касания определяется как единственная точка пересечения, в которой прямая линия касается или пересекает окружность. На приведенном выше рисунке точка P представляет собой точку касания.

    Свойства касательной

    Касательная имеет два важных свойства:

    • Касательная касается кривой только в одной точке.
    • Касательная — это линия, которая никогда не входит внутрь круга.
    • Касательная касается радиуса окружности в точке касания под прямым углом.

    Помимо перечисленных выше свойств, касательная к окружности имеет связанные с ней математические теоремы, и эти теоремы используются при выполнении основных вычислений в геометрии. Давайте подробно обсудим некоторые касательные к теоремам об окружности.

    Теоремы касательной

    Существуют две наиболее важные теоремы о касательной окружности. Это теорема о касательной к радиусу и теорема о двух касательных. Обсудим их утверждения и доказательства подробно.

    Касательная Радиус Теорема: Касательная в любой точке окружности перпендикулярна радиусу через точку касания.

    Дано: Касательная PL к окружности S (с центром окружности O) и точка касания A.

    Доказать: OA перпендикулярна касательной PL.

    Доказательство: Точка P лежит вне круга. При присоединении к PO получаем PO > OA (радиус окружности). Это условие будет применяться ко всем точкам на линии PL, кроме точки A.

    PO > OA доказывает, что OA — кратчайшее из всех расстояний от точки O до других точек на PL.

    Отсюда доказано, что OA перпендикулярна PL.

    Теорема о двух касательных: Предположим, что из внешней точки C к окружности проведены две касательные. Пусть точками касания будут A и B, как показано на рисунке ниже.

    Теорема утверждает следующее:

    • Длины этих двух касательных будут равны, то есть CA = CB.
    • Две касательные образуют в центре равные углы, то есть ∠COA = ∠COB.
    • Угол между касательными будет разделен пополам линией, соединяющей внешнюю точку и центр, то есть ∠ACO = ∠BCO.

    Доказательство: Все три части будут доказаны, если мы покажем, что ΔCAO конгруэнтно ΔCBO. Сравнивая два треугольника, мы видим, что:

    • ОА = ОВ (радиусы одной окружности)
    • OC = OC (общая сторона)
    • ∠OAC = ∠OBC = 90° (касательная, проведенная к окружности, перпендикулярна радиусу в точке касания)
    • Таким образом, по критерию RHS ΔCAO конгруэнтно ΔCBO, откуда следует истинность всех трех утверждений.

    Тангенс окружности Формула

    Давайте теперь узнаем об уравнении касательной. Тангенс — это линия, и чтобы написать уравнение линии, нам нужны две вещи: наклон (м) и точка на линии. Общее уравнение касательной к окружности:

    1) Касательная к уравнению окружности x 2 + y 2 = a 2 для прямой y = mx +c определяется уравнением y = mx ± a √[1+ m 2 ].

    2) Касательная к уравнению окружности x 2 + y 2 = a 2 в точке (\(a_1, b_1)\) равна x\(a_1\)+y\(b _1\)= a 2

    Таким образом, уравнение касательной можно представить в виде сделал.

    ☛ Похожие темы

    Проверьте эти интересные статьи, связанные с касательной и касательной к окружности.

    • Калькулятор касательной
    • Касательная линия
    • Функция касания

    Часто задаваемые вопросы по касательной

    Что означает тангенс?

    Термин «тангенс» происходит от латинского слова «tangere», что означает «прикасаться». Касательная в геометрии определяется как линия или плоскость, которая касается кривой или криволинейной поверхности ровно в одной точке на границе кривой.

    Что такое касательная окружности?

    Касательная — это линия, которая никогда не входит внутрь круга. Касательная к окружности может быть описана как прямая линия, проходящая через точку на окружности и перпендикулярная радиусу. Касательная окружности касается окружности в одной точке, но не входит внутрь окружности.

    Каковы две основные теоремы касательной к окружности?

    Ниже перечислены две основные теоремы касательной к окружности:

    • Касательная в любой точке окружности перпендикулярна радиусу, проходящему через точку касания.
    • Длины двух касательных, проведенных из внешней точки к окружности, равны.

    Какова формула касательной окружности?

    Общее уравнение касательной к окружности может быть выражено следующим образом:

    • Уравнение касательной к окружности x 2 + y 2 = a 2 для прямой y = mx +c определяется уравнением y = mx ± a √[1+ m 2 ].
    • Касательная к уравнению окружности x 2 + y 2 = a 2 at (a 1 , b 1 ) is xa 1 +yb 1 = a 2 901 78 .

    Таким образом, уравнение касательной можно представить в виде джентльмен нарисован.

    Каковы четыре свойства касательных к окружности?

    Ниже перечислены четыре основных свойства касательной к окружности:

    • Касательная — это прямая линия, которая касается окружности только в одной точке.
    • Перпендикулярно радиусу в точке касания.
    1 … 237 238 239 240 241 … 3 230

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта