Автор: alexxlab

Итак,

Рисунок \(\PageIndex{15}\)

Нотация Set-Builder 9004 0

В В этом тексте мы используем обозначение интервала. Однако другие ресурсы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используют альтернативный метод для описания множеств, называемый обозначением построителя множеств. Мы использовали обозначение множеств для перечисления таких элементов, как целые числа

\(\{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…\}\)

Фигурные скобки группируют элементы набора, а многоточие указывает, что целые числа продолжаются вечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел, например, действительные числа, большие или равные \(2\).

Рисунок \(\PageIndex{16}\)

Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация построителя набора позволяет нам описать его, используя знакомую математическую запись. Ниже приведен пример нотации конструктора наборов:

\(\{ x∈\mathbb{R} | x\geq 2\}\)

Здесь \(x∈R\) описывает тип числа, где читается символ \((∈)\) «элемент». Это означает, что переменная \(x\) представляет собой действительное число. Вертикальная черта \((|)\) читается как «такая, что». Наконец, утверждение \(x≥2\) является условием, описывающим множество с помощью математической записи. На данном этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа. По этой причине вы можете опустить «\(∈R\)» и написать \(\{x|x≥2\}\), что читается как «множество всех действительных чисел \(x\), таких что \ (x\) больше или равно \(2\)».

Рисунок \(\PageIndex{17}\)

Для описания составных неравенств, таких как \(x<3\) или \(x≥6\), запишите \(\{x|x <3\) или \(x≥6\}\), который читается как «множество всех действительных чисел \(x\) таких, что \(x\) меньше, чем \(3\) или \(x\ ) больше или равно \(6\)».

Рисунок \(\PageIndex{18}\)

Запишите ограниченные интервалы, такие как \(−1≤x<3\), как \(\{x|−1≤x<3 \}\), который читается как «набор всех действительных чисел \(x\), таких что \(x\) больше или равен \(−1\) и меньше \(3\)».

Ключевые выводы

• Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой прямой, либо в текстовом виде с использованием интервальной записи.
• Инклюзивные неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой строке и квадратной скобкой в ​​интервальном обозначении.
• Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой на числовой строке и скобками с использованием интервальной записи.
• Составные неравенства, в которых используется логическое «или», решаются путем решения любого неравенства. Набор решений представляет собой объединение каждого отдельного набора решений.
• Составные неравенства, в которых используется логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением. Набор решений является пересечением каждого отдельного набора решений.
• Составные неравенства вида \(n

Упражнение \(\PageIndex{1}\) Простые неравенства

Нанесите графически все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

1. \(x≤10\)
2. \(х>−5\)
3. \(х>0\)
4. \(х≤0\)
5. \(х≤−3\)
6. \(х≥−1\)
7. \(−4
8. \(1≥х\)
9. \(х<−\фракция{1}{2}\)
10. \(x≥−\frac{3}{2}\)
11. \(x≥−1\frac{3}{4}\)
12. \(х<\фракция{3}{4}\)

Ответить

1. \((−∞, 10]\)

Рисунок \(\PageIndex{19}\)

3. \((0, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{20}\)

5. \((−∞, −3]\)

Рисунок \(\PageIndex{21}\)

7. \((−4, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{22}\)

9. \((−∞, −\frac{1}{2})\)

Рисунок \(\PageIndex{23}\)

11. \([−1\frac{3}{4}, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{24}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\) Составные неравенства

Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

1. \(−2
2. \(−5≤x≤−1\)
3. \(−5
4. \(0\leq x<15\)
5. \(10
6. \(-40\leq x<-10\)
7. \(0
8. \(-30
9. \(-\frac{5}{8}
10. \(-\frac{3}{4}\leq x\leq \frac{1}{2}\)
11. \(−1≤x<1\frac{1}{2}\)
12. \(−1\frac{1}{2}
13. \(х<-3\) или \(х>3\)
14. \(х<−2\) или \(х≥4\)
15. \(x≤0\) или \(x>10\)
16. \(x≤−20\) или \(x≥−10\)
17. \(x<-\frac{2}{3}\) или \(x>\frac{1}{3}\)
18. \(x≤−\frac{4}{3}\) или \(x>−\frac{1}{3}\)
19. \(х>−5\) или \(х<5\)
20. \(х<12\) или \(х>-6\)
21. \(х<3\) или \(х≥3\)
22. \(x≤0\) или \(x>0\)
23. \(х<−7\) или \(х<2\)
24. \(х≥−3\) или \(х>0\)
25. \(х≥5\) или \(х>0\)
26. \(x<15\) или \(x≤10\)
27. \(х>−2\) и \(х<3\)
28. \(х≥0\) и \(х<5\)
29. \(x≥−5\) и \(x≤−1\)
30. \(х<-4\) и \(х>2\)
31. \(x≤3\) и\(x>3\)
32. \(x≤5\) и \(x≥5\)
33. \(x≤0\)   и  \( x≥0\)
34. \(x<2\)   и  \( x≤−1\)
35. \(х>0\)    и  \( х≥−1\)
36. \(х<5\)   и  \( х<2\)

Ответить

1. \((−2, 5)\)

Рисунок \(\PageIndex{25}\)

3. \((−5, 20]\)

Рисунок \(\PageIndex{26}\) ​​

5. \((10, 40]\)

Рисунок \(\PageIndex{27}\)

7. \((0, 50]\)

Рисунок \(\PageIndex{28}\)

9. \((−\frac{5}{8}, \frac{1}{8})\)

Рисунок \(\PageIndex{29}\)

11. \([−1, 1\frac{1}{2})\)

Рисунок \(\PageIndex{30}\)

13. \((−∞, −3)∪(3, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{31}\)

15. \((−∞, 0]∪(10, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{32}\)

17. \((−∞, −\frac{2}{3})∪(\frac{1}{3}, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{33}\)

19. \(Р\)

Рисунок \(\PageIndex{34}\)

21. \(Р\)

Рисунок \(\PageIndex{35}\)

23. \((−∞, 2)\)

Рисунок \(\PageIndex{36}\)

25. \((0, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{37}\)

27. \((−2, 3)\)

Рисунок \(\PageIndex{38}\)

29. \([−5, −1]\)

Рисунок \(\PageIndex{39}\)

31. \(∅\)

Рисунок \(\PageIndex{40}\)

33. \(\{0\}\)

Рисунок \(\PageIndex{41}\)

35. \((0, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{42}\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\) Обозначение интервалов

Определите неравенство, учитывая ответы, выраженные в обозначении интервалов.

1. \((−∞, 7]\)
2. \((−4, ∞)\)
3. \([−\frac{1}{2}, ∞)\)
4. \((−∞, −3)\)
5. \((−8, 10]\)
6. \((−20, 0]\)
7. \((−14, −2)\)
8. \([\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]\)
9. \((−\frac{3}{4}, \frac{1}{2})\)
10. \((−∞, −8)\)
11. \((8, ∞)\)
12. \((−∞, 4)∪[8, ∞)\)
13. \((−∞, −2]∪[0, ∞)\)
14. \((−∞, −5]∪(5, ∞)\)
15. \((−∞, 0)∪(2, ∞)\)
16. \((−∞, −15)∪(−5, ∞)\)

Ответить

1. \(х\leq 7\)

3. \(x≥−\frac{1}{2}\)

5. \(−8

7. \(−14

9. \(-\frac{3}{4}

11. \(х>8\)

13. \(x≤−2\) или \(x≥0\)

15. \(х<0\) или \(х>2\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\) Обозначение интервалов

Запишите эквивалентное неравенство.

1. Все действительные числа меньше \(27\).
2. Все действительные числа меньше или равные нулю.
3. Все действительные числа больше \(5\).
4. Все действительные числа, большие или равные \(−8\).
5. Все действительные числа строго между \(−6\) и \(6\).
6. Все действительные числа строго между \(−80\) и \(0\).

Ответить

1. \(х<27\)

3. \(х>5\)

5. \(-6

Упражнение \(\PageIndex{5}\) Темы на доске обсуждений

1. Сравните нотацию интервала с нотацией построителя наборов. Поделитесь примером набора, описанного с использованием обеих систем.
2. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервала, когда бесконечность является конечной точкой.
3. Изучите и обсудите различные составные неравенства, особенно объединения и пересечения.
4. Исследуйте и обсуждайте историю бесконечности.
5. Исследовать и обсудить вклад Георга Кантора.
6. Что такое диаграмма Венна? Объясни и выложи пример.

Ответить

1. Ответы могут отличаться

3. Ответы могут отличаться

5. Ответы могут отличаться

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Аноним

   Печать CSS

   Плотный

   Версия лицензии

   3,0

   Программа OER или Publisher

   Издатель, имя которого нельзя называть

2. Теги

   На этой странице нет тегов. 2 + 2 = 4, у вас было бы два ответа √2 и -√2. Но если вам дано неравенство x + 2 < 4, то существует бесконечное количество решений. Чтобы описать этот бесконечный набор решений, вы должны использовать обозначение интервала и указать границы диапазона чисел, составляющих решение этого неравенства.

   Используйте те же процедуры, что и при решении уравнений, чтобы изолировать неизвестную переменную. Вы можете прибавить или вычесть одно и то же число с обеих сторон неравенства, как и в уравнении. В примере x + 2 < 4 вы можете вычесть два из левой и правой частей неравенства и получить x < 2.

   Умножьте или разделите обе части на одно и то же положительное число, как в уравнении. Если 2x + 5 < 7, сначала нужно вычесть по пять с каждой стороны, чтобы получить 2x < 2. Затем разделить обе части на 2, чтобы получить x < 1. 92 - x - 6 < 0. Теперь факторизуем левую часть: (x+2) (x-3) < 0. Это будет верным утверждением, когда либо (x+2), либо (x-3) отрицательно, но не оба, потому что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Это утверждение верно только тогда, когда x > -2, но < 3.

   Используйте интервальную нотацию, чтобы выразить диапазон чисел, делая ваше неравенство верным утверждением. Набор решений, описывающий все числа от -2 до 3, выражается как: (-2,3). Для неравенства x + 2 < 4 набор решений включает все числа меньше 2. Таким образом, ваше решение находится в диапазоне от отрицательной бесконечности до (но не включая) 2 и будет записано как (-inf, 2).

   Используйте квадратные скобки вместо скобок, чтобы указать, что одно или оба числа, служащие границами диапазона вашего набора решений, включены в набор решений. Таким образом, если x + 2 меньше или равно 4, 2 будет решением неравенства в дополнение ко всем числам, меньшим 2. Решение этого будет записано как: (-inf, 2]. Если набор решений состоит из всех чисел от -2 до 3, включая -2 и 3, набор решений будет записан как: [-2,3].

   Похожие статьи

   Ссылки

   • Ilumina: решение неравенств
   • Purple Math: решение линейных неравенств; Введение и форматирование; Элизабет Стапель
   • SOS Математика: Неравенства; Основные правила

   Об авторе

   Эндрю Бреслин профессионально пишет с 1994 года.

Математика, ее содержание, методы и значение. Под ред. Александрова А.Д., Колмогорова А.Н., Лаврентьева М.А. М.: Изд. Академии наук СССР, 1956; т.1 – 296с. Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности. Коллектив авторов при составления этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальными основами и путями развития. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ Глава I. ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИКУ § 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИКИ § 2. АРИФМЕТИКА § 3. ГЕОМЕТРИЯ § 4. АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ § 5. ЭПОХА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ § 6. МАТЕМАТИКА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН § 7. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА § 8. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ § 9. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ Глава II. АНАЛИЗ § 2. ФУНКЦИЯ Графики функций. § 3. ПРЕДЕЛ § 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ § 5. ПРОИЗВОДНАЯ Примеры вычисления производных. § 6. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Производная суммы. Производная произведения. Производная частного. Производная обратной функции. Таблица производных. Нахождение производной функции от функции. § 7. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Отыскание наибольших и наименьших значений функции. Производные высших порядков. Смысл второй производной. Выпуклость и вогнутость. Признаки максимумов и минимумов. Исследование графиков функций. § 8. ПРИРАЩЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ Теорема о среднем и примеры ее применения. § 9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Формула Тейлора. Ряд Тейлора. § 10. ИНТЕГРАЛ Определенный интеграл. Связь дифференциального и интегрального исчисления. § 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Неявное задание функции. Геометрическое изображение. Частные производные и дифференциал. Дифференцирование неявных функций. Задачи на максимум и минимум. Формула Тейлора. Относительный максимум и минимум. § 13. ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА Контурные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. § 16. РЯДЫ Сходимость ряда. Ряды функций. Равномерно сходящиеся ряды. Степенные ряды. Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 2. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ДЕКАРТА Идея сопоставления уравнениям с двумя неизвестными линий на плоскости. Основные задачи, решаемые аналитической геометрией, и определение аналитической геометрии. 2. § 6. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИАМЕТРОВ НЬЮТОНА § 7. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Уравнение эллипса и его фокальное свойство. Законы движения планет. Эллипс инерции. Гипербола и ее фокальное свойство. Парабола и ее директрисса. Свойство касательной к параболе. Директриссы эллипса и гиперболы. Конические сечения. Парабола как график пропорциональности квадрату и гипербола как график обратной пропорциональности. § 8. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Формулы преобразования координат. Приведение любого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов. § 9. ЗАДАНИЕ СИЛ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТРОЙКАМИ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ Арифметизация сил, скоростей и ускорений, введенная Лагранжей. Алгебра векторов. Скалярное произведение и его свойства. § 10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ Уравнение плоскости и уравнения прямой. Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов. Эллипсоид. Гиперболоиды и конус 2-го порядка. Параболоиды. § 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ Эллипс как результат «сжатия» окружности. Пример решения более сложной задачи. Важнейшие применения аффинных преобразований Формулы аффинных преобразований. Ортогональные преобразования. § 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ § 13. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Применение основной теоремы плоской перспективы в аэрофотосъемке. Проективная плоскость. Проективные отображения; основная теорема. Проективная геометрия. Запись проективных преобразований формулами. § 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА Проективные преобразования круга в себя. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Глава IV. АЛГЕБРА (ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ) § 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ Разложение многочлена на множители и формулы Виета. Теорема о симметрических многочленах. Работы Лагранжа. Открытие Абеля. Теория Галуа. Приложение теории Галуа к вопросу о разрешимости геометрической задачи циркулем и линейкой. Две основные нерешенные задачи, связанные с теорией Галуа. § 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ Теория комплексных чисел. Поверхность модуля многочлена. О возрастании модуля многочлена при удалении от начала. Существование минимумов поверхности M. Лемма Даламбера. § 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ Простые и кратные корни многочлена. Теорема Ролля и некоторые ее следствия. Правило знаков Декарта. Теорема Штурма. Задача Гурвица. § 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ

12.04. Исследование функции с помощью второй производной

Исследование функции с помощью второй производной

Вторая производная функции, если она существует, может быть так же эффективно использована для исследования на экстремум, определения промежутков выпуклости и вогнутости ее графика, отыскания точек перегиба.

ТЕОРЕМА 1 (ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА). Если для функции в точке производная , А в ее окрестности непрерывна, причем , то эта точка является точкой ее максимума (минимума).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть в точке с выполняется равенство

И имеет место неравенство

Будучи непрерывной, вторая производная сохраняет свой знак при х, Близких к с. Поэтому для этих x

Но вторая производная функции есть производная от первой производной

Следовательно, есть функция убывающая. По условию теоремы, . Это означает, что левее точки с Положительна, а правее – отрицательна. Переходя к самой функции , можно утверждать, что левее точки С она возрастает, а правее – убывает, то есть с – точка ее максимума, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается теорема в случае минимума. На рис. 11.17 приведен возможный вариант взаимного расположения графиков функций , И в окрестности точки с.

Данная теорема может оказаться удобной, когда знак определяется легко. Однако ее недостаток в сравнении с первым достаточным условием экстремума функции очевиден: не все точки, подозрительные на экстремум, могут быть исследованы с помощью данной теоремы. Она неприменима в случаях, когда в точке с первая производная функции обращается в бесконечность или же не определена и, конечно, когда не существует.

Сформулируем без доказательства некоторое обобщение данной теоремы для случая, когда функция имеет производные порядка .

ТЕОРЕМА 2. Если функция в некоторой окрестности точки С имеет производную до (n+1)-го порядка, непрерывную в самой точке С, причем то при четном (n+1) функция имеет максимум, если и минимум, если .

Рассмотрим примеры.

Исследуем на экстремум функцию

Находим первую производную:

И приравниваем ее к нулю:

.

Получаем, что x = 0 – Точка, подозрительная на экстремум.

Следовательно, в этой точке функция имеет максимум:

Рассмотрим теперь функцию

Ее первая производная

Также обращается в нуль при .

Легко обнаружить, что , так как

Однако по теореме 2 имеем:

Следовательно, функция при Экстремума не имеет.

Отсутствие экстремума у данной функции легко установить и без применения производной. Действительно, так как функция всюду возрастает, то функция

Убывает для , то есть экстремум отсутствует. Этот пример еще раз показывает, что при исследовании функций полезно использовать разнообразные приемы.

Применим теперь вторую производную к исследованию на выпуклость и вогнутость графика функции.

Выше, в главе 3, мы определили эти понятия, связывая расположение кривой с расположением хорды, соединяющей две близкие точки этой кривой. Возможен и иной способ описания выпуклости и вогнутости кривой.

Будем называть график функции в точке вогнутым (выпуклым), если в окрестности точки М он расположен выше (ниже) касательной к кривой в этой точке (рис. 11.18).

ТЕОРЕМА 3. Если функция в интервале имеет положительную (отрицательную) вторую производную, то кривая на этом интервале вогнута (выпукла).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Возьмем произвольную точку с в интервале и покажем, что при точки графика функции, соответствующие значениям аргумента х, близлежащим к с, будут располагаться выше точек касательной к кривой , Проведенной в точке (рис. 11.18). Уравнение касательной имеет вид:

Где – Ордината ее произвольной точки.

Найдем разность ординат кривой и касательной к ней при одном и том же значении х, близком к с :

Здесь мы применили теорему Лагранжа к разности ,

К разности , рассматриваемой на отрезке , снова применим теорему Лагранжа. Получим:

Где .

Если , то поэтому

,

И при условии, что , имеем

При

И так как , то

Таким образом, любая точка кривой Лежит выше касательной, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается выпуклость графика при

Точка графика функции называется Точкой перегиба, если при переходе через нее кривая меняет свою выпуклость на вогнутость, или же наоборот. Последующие теоремы определяют критерии существования перегиба.

ТЕОРЕМА 4 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА). Если функция имеет в окрестности внутренней точки c области определения вторую непрерывную производную и точка , лежащая на графике функции, является точкой перегиба, то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Предположим противное:

В силу непрерывности найдется окрестность точки С, в которой сохраняет знак, то есть график функции будет либо выпуклым, либо вогнутым, а потому точка не может быть точкой перегиба. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы

.

Данная теорема позволяет отнести к точкам, где следует ожидать перегиб графика функции , те точки ее области определения, в которых Однако множество точек, подозрительных на перегиб, может быть расширено за счет тех, в которых обращается в бесконечность или вовсе не существует. На рис. 11.19 указаны возможные случаи перегиба графика функции.

Укажем достаточные условия перегиба графика функции.

ТЕОРЕМА 5 (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА). Если при переходе через точку c, подозрительную на перегиб графика функции , вторая производная меняет знак, то точка графика есть точка перегиба.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из условия теоремы следует, что левее точки – кривая выпуклая (вогнутая), а правее ее – вогнутая (выпуклая). Значит, – точка перегиба.

Приведем без доказательства еще два признака перегиба графика функции.

ТЕОРЕМА 6. Если функция такова, что в точке с , а и конечна, то ее график в точке имеет перегиб.

Следующая теорема является более общей.

ТЕОРЕМА 7. Если функция в некоторой окрестности точки с имеет производную до (N+1)-го порядка, непрерывную в самой точке С, причем а , то при нечетном (n+1) График функции в точке будет иметь перегиб.

Рассмотрим примеры.

Найдем точки перегиба функции .

Выше получено:

.

Условие приводит нас к уравнению

Которое имеет решения:

Исследуем эти точки, подозрительные на перегиб. Очевидно, что

для

И ;

для

,

Следовательно, для и кривая вогнута; для кривая выпукла, а точки графика и являются точками перегиба.

Данная функциональная зависимость встречается часто в теории вероятностей. Она известна под названием кривой Гаусса. Ее график изображен на рис. 11.20.

Вернемся теперь еще раз к функции .

Ее вторая производная имеет вид:

Условие

Приводит нас к уравнению

Которое имеет корни

Являющиеся абсциссами точек графика данной функции, подозрительных на перегиб.

Теорема 7 позволяет достаточно просто их исследовать. Имеем:

Следовательно, точка является точкой перегиба графика кривой .

А потому и точка также является точкой перегиба. График данной функции схематично изображен на рис. 11.21.

AC Вторая производная

Мотивирующие вопросы

• Как производная функции говорит нам, возрастает или убывает функция на интервале?

• Что мы можем узнать, взяв производную от производной ( второй производной) функции \(f\text{?}\)

• Что значит сказать, что функция вогнута вверх или вогнута вниз? Как эти характеристики связаны с некоторыми свойствами производной функции?

• В каких единицах измеряется вторая производная? Как они помогают нам понять скорость изменения скорости изменения?

Для данной дифференцируемой функции \(y= f(x)\text{,}\) мы знаем, что ее производная \(y = f'(x)\text{,}\) является родственной функцией, выход которой \(x=a\) сообщает нам наклон касательной к \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\text{. }\) То есть высоты на графике производной сообщают нам значения наклонов на графике исходной функции.

В точке, где \(f'(x)\) положительно, наклон касательной к \(f\) положителен. Следовательно, на интервале, где \(f'(x)\) положительно, функция \(f\) возрастает (или возрастает). Точно так же, если \(f'(x)\) отрицательно на интервале, график \(f\) убывает (или падает).

Производная от \(f\) говорит нам не только о том, возрастает или убывает функция \(f\) на интервале, но также о том, как функция \(f\) возрастает или убывает. Посмотрите на две касательные линии, показанные на рисунке 1.6.1. Мы видим, что вблизи точки \(A\) значение \(f'(x)\) положительно и относительно близко к нулю, а вблизи этой точки график медленно растет. Напротив, вблизи точки \(B\text{,}\) производная отрицательна и относительно велика по модулю, а \(f\) быстро убывает вблизи \(B\text{.}\)

Рисунок 1.6.1. Две касательные линии на графике.

Помимо вопроса о том, является ли значение производной функции положительным или отрицательным, а также большим или малым, мы также можем спросить: «Как изменяется производная?»

Поскольку производная \(y = f'(x)\text{,}\) сама по себе является функцией, мы можем взять ее производную — производную от производной — и спросить: «Что говорит производная от производной нам о том, как ведет себя исходная функция?» Начнем с исследования движущегося объекта.

Предварительный просмотр 1.6.1.

Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \(t\) в минутах, определяется функцией \(y = s(t)\), изображенной на рисунке 1.6.2. Функция положения автомобиля измеряется в тысячах футов. Например, точка \((2,4)\) на графике указывает на то, что за 2 минуты автомобиль проехал 4000 футов.

Рисунок 1.6.2. График \(y = s(t)\text{,}\) положения автомобиля (измеряемого в тысячах футов от его начального местоположения) в момент времени \(t\) в минутах.

1. Обыденным языком опишите поведение автомобиля на указанном интервале времени. В частности, следует тщательно обсудить, что происходит на каждом из временных интервалов \([0,1]\text{,}\) \([1,2]\text{,}\) \([2,3 ]\text{,}\) \([3,4]\text{,}\) и \([4,5]\text{,}\) плюс общий комментарий о том, что машина делает на интервале \([0,12]\текст{.}\)

2. На левых осях, представленных на рисунке 1.6.3, нарисуйте аккуратный и точный график \(y = s'(t)\text{. }\)

3. Что означает функция \(y = s'(t)\) в контексте данной задачи? Что мы можем сказать о поведении автомобиля, когда \(s'(t)\) положительно? когда \(s'(t)\) равно нулю? когда \(s'(t)\) отрицательно?

4. Переименуйте функцию, которую вы нарисовали в (b), так, чтобы она называлась \(y = v(t)\text{.}\) Опишите поведение \(v\) словами, используя такие фразы, как «\(v\) возрастает на интервале \(\ldots\)» и «\(v\) постоянно на интервале \(\ldots\text{.}\)»

5. Нарисуйте график функции \(y = v'(t)\) на правой оси, представленной на рисунке 1.6.3. Напишите хотя бы одно предложение, чтобы объяснить, как поведение \(v'(t)\) связано с графиком \(y=v(t)\text{.}\)

Рисунок 1.6.3. Оси для построения \(y = v(t) = s'(t)\) и \(y = v'(t)\text{.}\)

Подраздел 1.6.1 Увеличение или уменьшение

До сих пор мы интуитивно использовали слова , увеличивающие , и , уменьшающие , для описания графика функции. Здесь мы определим эти термины более формально.

Определение 1.6.4.

Для данной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((a,b)\text{,}\), мы говорим, что \(f\) возрастает на \((a,b)\ ) при условии, что для всех \(x\text{,}\) \(y\) в интервале \((a,b)\text{,}\) if \(x \lt y\text{,} \) тогда \(f(x) \lt f(y)\text{.}\) Аналогично, мы говорим, что \(f\) убывает на \((a,b)\) при условии, что для всех \(x\text{,}\) \(y\) в интервале \((a,b)\text{,}\) если \(x \lt y\text{,}\), то \(f (x) \gt f(y)\text{.}\)

Проще говоря, возрастающая функция — это функция, возрастающая по мере движения слева направо по графику, а убывающая функция — функция, уменьшающаяся по мере увеличения входного значения. Если у функции есть производная, то знак производной говорит нам, является ли функция возрастающей или убывающей.

Пусть \(f\) — функция, дифференцируемая на отрезке \((a,b)\text{.}\) Можно показать, что если \(f'(x) > 0\) для каждый \(x\) такой, что \(a \lt x \lt b\text{,}\), то \(f\) возрастает на \((a,b)\text{;}\) аналогично, если \(f'(x) \lt 0\) на \((a,b)\text{,}\), то \(f\) убывает на \((a,b)\text{. }\)

Например, функция, изображенная на рис. 1.6.5, возрастает на всем интервале \(-2 \lt x \lt 0\text{,}\) и убывает на интервале \(0 \lt x \lt 2\ text{.}\) Обратите внимание, что значение \(x = 0\) не включено ни в один из интервалов, поскольку в этом месте функция меняется с возрастающей на убывающую.

Рисунок 1.6.5. Функция, убывающая на промежутках \(-3 \lt x \lt -2\) и \(0 \lt x \lt 2\) и возрастающая на \(-2 \lt x \lt 0\) и \ (2 \lt x \lt 3\text{.}\)

Подраздел 1.6.2 Вторая производная

Теперь мы привыкли исследовать поведение функции, исследуя ее производную. Производная функции \(f\) — это новая функция, заданная правилом

\begin{уравнение*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.} \end{уравнение*}

Поскольку \(f’\) сама по себе является функцией, для нас вполне возможно рассмотреть производную производной, которая является новой функцией \(y = [f'(x)]’\text{.}\ ) Назовем полученную функцию вторую производную от \(y = f(x)\text{,}\) и обозначим вторую производную через \(y = f»(x)\text{. }\). Следовательно, иногда мы будем называть \(f’\) «первая производная» от \(f\text{,}\), а не просто «производная» от \(f\text{.}\)

Определение 1.6.6.

Вторая производная определяется предельным определением производной первой производной. То есть

\begin{уравнение*} f»(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\text{.} \end{уравнение*}

Смысл функции производной сохраняется, поэтому при вычислении \(y = f»(x)\text{,}\) эта новая функция измеряет наклоны касательных к кривой \(y = f'( x)\text{,}\), а также мгновенную скорость изменения \(y = f'(x)\text{.}\) Другими словами, точно так же, как первая производная измеряет скорость, с которой исходная функция изменяется, вторая производная измеряет скорость изменения первой производной. Вторая производная поможет нам понять, как меняется сама скорость изменения исходной функции.

Подраздел 1.6.3 Вогнутость

В дополнение к вопросу о том, возрастает или убывает функция, естественно также спросить о том, как функция возрастает или убывает. Есть три основных поведения, которые возрастающая функция может демонстрировать на интервале, как показано на рисунке 1.6.7: функция может возрастать все быстрее, она может увеличиваться с той же скоростью или она может увеличиваться медленно. вниз. По сути, мы начинаем думать о том, как изгибается конкретная кривая, с естественным сравнением с линиями, которые вообще не изгибаются. Более того, мы хотим понять, как изгиб графика функции связан с поведением, характеризуемым первой производной функции.

Рисунок 1.6.7. Три функции, которые все увеличиваются, но делают это с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью и с убывающей скоростью соответственно.

На самой левой кривой на рисунке 1.6.7 нарисуйте последовательность касательных линий к кривой. По мере того, как мы движемся слева направо, наклон этих касательных линий будет увеличиваться. Следовательно, скорость изменения изображенной функции увеличивается, и это объясняет, почему мы говорим, что эта функция увеличивается с возрастающей скоростью . Для крайнего правого графика на рисунке 1.6.7 обратите внимание, что по мере увеличения \(x\) функция увеличивается, но наклоны касательных линий уменьшаются. Эта функция увеличивается с убывающей скоростью .

Аналогичные варианты относятся к уменьшению функции. Здесь мы должны быть особенно осторожны с нашим языком, потому что убывающие функции предполагают отрицательный наклон. Отрицательные числа представляют интересное противоречие между обычным языком и математическим языком. Например, может возникнуть соблазн сказать, что «\(-100\) больше, чем \(-2\текст{.}\)». Но мы должны помнить, что «больше чем» описывает, как числа лежат на числовой прямой: \(x \gt y\) при условии, что \(x\) лежит справа от \(y\text{.}\). Конечно, \(-100\) меньше, чем \(-2\text{ .}\) Неформально может быть полезно сказать, что «\(-100\) более отрицательно, чем \(-2\text{.}\)». Когда значения функции отрицательны, и эти значения становятся более отрицательными по мере вход увеличивается, функция должна быть убывающей.

Рисунок 1.6.8. Слева направо три функции, которые все уменьшаются, но делают это по-разному.

Теперь рассмотрим три графика, показанные на рисунке 1.6.8. Ясно, что средний график изображает функцию, уменьшающуюся с постоянной скоростью. Теперь на первой кривой нарисуйте последовательность касательных линий. Мы видим, что наклоны этих линий становятся все менее и менее отрицательными по мере нашего движения слева направо. Это означает, что значения первой производной, хотя и отрицательные, увеличиваются, поэтому мы говорим, что самая левая кривая равна 9.0011 уменьшается с возрастающей скоростью .

Остается рассмотреть только крайнюю правую кривую на рис. 1.6.8. Для этой функции наклоны касательных линий отрицательны на всем изображенном интервале, но по мере движения слева направо наклоны становятся все более и более отрицательными. Следовательно, наклон кривой уменьшается, и мы говорим, что функция убывает с убывающей скоростью .

Теперь мы вводим понятие вогнутости , которое обеспечивает более простой язык для описания этих поведений. x\text{,}\), мы говорим, что кривая 9{x}\text{,}\) мы говорим, что функция вогнута вниз . Вогнутость связана как с первой, так и со второй производной функции.

На рис. 1.6.9 мы видим две функции и последовательность касательных линий к каждой из них. На левом графике, где функция вогнута, обратите внимание, что касательные линии всегда лежат ниже самой кривой, а наклоны касательных линий увеличиваются по мере движения слева направо. Другими словами, функция \(f\) является вогнутой на показанном интервале, потому что ее производная \(f’\text{,}\) возрастает на этом интервале. Аналогично, на правом графике на рисунке 1.6.9, где показанная функция вогнута вниз, мы видим, что касательные линии всегда лежат выше кривой, а наклоны касательных линий уменьшаются по мере нашего движения слева направо. Тот факт, что его производная \(f’\text{,}\) убывает, делает \(f\) вогнутой вниз на интервале.

Рисунок 1.6.9. Слева — вогнутая вверх функция; справа, вогнутый вниз.

Мы формулируем эти самые последние наблюдения формально, поскольку определения терминов вогнуты вверх, и вогнуты вниз 9. 0012 .

Определение 1.6.10.

Пусть \(f\) — дифференцируемая функция на отрезке \((a,b)\text{.}\). Тогда \(f\) вогнута вверх на \((a,b)\), если и только если \(f’\) возрастает на \((a,b)\text{;}\) \(f\) вогнут вниз на \((a,b)\) тогда и только тогда, когда \(f’\) убывает на \((a,b)\text{.}\)

Мероприятие 1.6.2.

Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \(t\) в минутах, определяется функцией \(y = s(t)\), изображенной на рисунке 1.6.11. Функция положения автомобиля измеряется в тысячах футов. Помните, что вы работали с этой функцией и рисовали графики \(y = v(t) = s'(t)\) и \(y = v'(t)\) в предварительном просмотре 1.6.1.

Рисунок 1.6.11. График \(y = s(t)\text{,}\) положения автомобиля (измеряемого в тысячах футов от его начального местоположения) в момент времени \(t\) в минутах.

1. На каких интервалах функция положения \(y = s(t)\) возрастает? уменьшается? Почему?

2. На каких интервалах функция скорости \(y = v(t) = s'(t)\) возрастает? уменьшается? ни один? Почему?

3. Ускорение определяется как мгновенная скорость изменения скорости, поскольку ускорение объекта измеряет скорость изменения скорости объекта. Скажем, функция ускорения автомобиля называется \(a(t)\text{.}\) Как \(a(t)\) вычисляется из \(v(t)\text{?}\) Как \( a(t)\) вычисляется из \(s(t)\text{?}\) Объясните.

4. Что вы можете сказать о \(s»\) всякий раз, когда \(s’\) возрастает? Почему?

5. Используя только слова возрастающее , убывающее , постоянное , вогнутое вверх , вогнутое вниз и линейное , завершите следующие предложения. Для функции положения \(s\) со скоростью \(v\) и ускорением \(a\text{,}\)

   • на интервале, где \(v\) положительно, \(s\) равно .

   • на интервале, где \(v\) отрицательно, \(s\) равно .

   • на интервале, где \(v\) равно нулю, \(s\) равно .

   • на интервале, где \(a\) положителен, \(v\) равен .

   • на интервале, где \(a\) отрицательно, \(v\) равно .

   • на интервале, где \(a\) равно нулю, \(v\) равно .

   • на интервале, где \(a\) положителен, \(s\) равен .

   • на интервале, где \(a\) отрицательно, \(s\) равно .

   • на интервале, где \(a\) равно нулю, \(s\) равно .

Изучение контекста положения, скорости и ускорения — отличный способ понять, как функция, ее первая и вторая производные связаны друг с другом. В упражнении 1.6.2 мы можем заменить \(s\text{,}\) \(v\text{,}\) и \(a\) на произвольную функцию \(f\) и ее производные \(f ‘\) и \(f»\text{,}\) и, по существу, все те же самые наблюдения. В частности, обратите внимание, что следующие условия эквивалентны: на интервале, где график \(f\) вогнут вверх, \(f’\) возрастает, а \(f»\) положителен. Точно так же на интервале, где график \(f\) вогнут вниз, \(f’\) убывает, а \(f»\) отрицательна.

Мероприятие 1.6.3.

Картофель помещают в печь, измеряют температуру картофеля \(F\) (в градусах по Фаренгейту) в различные моменты времени и записывают в следующую таблицу. Время \(t\) измеряется в минутах. В упражнении 1. 5.2 мы вычислили приближения к \(F'(30)\) и \(F'(60)\), используя центральные разности. Эти значения представлены во второй таблице ниже вместе с несколькими другими, рассчитанными таким же образом.

Таблица 1.6.12. Выберите значения \(F(t)\text{.}\)

\(т\)	\(Ф(т)\)
\(0\)	\(70\)
\(15\)	\(180.5\)
\(30\)	\(251\)
\(45\)	\(296\)
\(60\)	\(324,5\)
\(75\)	\(342,8\)
\(90\)	\(354,5\)

Таблица 1.6.13. Выберите значения \(F'(t)\text{.}\)

\(т\)	\(Ф'(т)\)
\(0\)	нет данных
\(15\)	\(6.03\)
\(30\)	\(3,85\)
\(45\)	\(2,45\)
\(60\)	\(1,56\)
\(75\)	\(1. 00\)
\(90\)	нет данных

1. В каких единицах выражены значения \(F'(t)\text{?}\)

2. Используйте центральную разность для оценки значения \(F»(30)\text{.}\)

3. Что означает значение \(F»(30)\), которое вы вычислили в (b), в зависимости от температуры картофеля? Напишите несколько аккуратных предложений, в которых с соответствующими единицами обсуждаются значения \(F(30)\text{,}\) \(F'(30)\text{,}\) и \(F»(30) \text{,}\) и объясните общее поведение температуры картофеля в этот момент времени.

4. В целом температура картофеля увеличивается с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью или с убывающей скоростью? Почему?

Мероприятие 1.6.4.

Это упражнение основано на нашем опыте и понимании того, как набросать график \(f’\) по графику \(f\text{.}\)

На рисунке 1.6.14, учитывая соответствующие графики двух разных функций \(f\text{,}\), нарисуйте соответствующий график \(f’\) на первых осях ниже, а затем нарисуйте \(f» \) на втором наборе осей. Кроме того, для каждого напишите несколько аккуратных предложений в духе предложений из упражнения 1.6.2, которые связывают поведение \(f\text{,}\) \(f’\text{,}\) и \(f »\text{.}\) Например, напишите что-то вроде

\(f’\) находится на интервале , что связано с тем, что \(f\) находится на том же интервале , а \(f»\) находится на интервале.

, но, конечно, с заполненными пробелами. Всюду рассматривайте масштаб сетки для графика \(f\) как \(1 \times 1\text{,}\) и примите горизонтальный масштаб сетки для графика \(f’\) идентичен графику для \(f\text{.}\) Если вам нужно настроить вертикальный масштаб по осям для графика \(f’\) или \(f »\text{,}\) вы должны пометить это соответствующим образом.

Рисунок 1.6.14. Две заданные функции \(f\text{,}\) с осями для построения графиков \(f’\) и \(f»\) ниже.

Подраздел 1.6.4 Резюме

• Дифференцируемая функция \(f\) возрастает на отрезке, если ее первая производная положительна, и убывает, когда ее первая производная отрицательна.

• Взяв производную от производной функции \(f\text{,}\), мы получим вторую производную, \(f»\text{.}\) Вторая производная измеряет мгновенную скорость изменения первой производной. Знак второй производной говорит нам, увеличивается или уменьшается наклон касательной к \(f\). 9х\текст{.}\)

• Единицы второй производной — это «единицы выпуска на единицу ввода на единицу ввода». Они говорят нам, как значение производной функции изменяется в ответ на изменения входных данных. Другими словами, вторая производная сообщает нам скорость изменения скорости изменения исходной функции.

Упражнения 1.6.5 Упражнения

1. Сравнение значений \(f, f’, f»\).

Рассмотрим функцию \(f(x)\), показанную ниже.

Для этой функции следующие ненулевые величины положительны или отрицательны?

\(f(3)\) равно

• положительный

• отрицательный

\(f'(3)\) равно

• положительный

• отрицательный

\(f»(3)\) равно

• положительный

• отрицательный

(Поскольку это задача с несколькими вариантами ответов, она не покажет, какие части задачи верны, а какие нет, когда вы отправляете ее. )

2. Знаки величин \(f, f’, f»\).

Ровно в двух отмеченных точках на рисунке ниже, который показывает функцию \(f\text{,}\), производная \(f’\) равна нулю; вторая производная \(f»\) не равна нулю ни в одной из отмеченных точек. Выберите правильные знаки для каждого из \(f\text{,}\) \(f’\) и \(f»\) в каждой отмеченной точке.

Точка	А	Б	С	Д	Е
\(ж\)	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный
\(ж’\)	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный
\(ж»\)	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный	положительный ноль отрицательный

3.

Ускорение от скорости.

Предположим, что разгоняющийся автомобиль разгоняется с 0 до 64,1 миль в час за пять секунд. Его скорость указана в следующей таблице в пересчете из миль в час в футы в секунду, так что все измерения времени даны в секундах. (Примечание: 1 миля в час равна 22/15 футам/сек.) Найдите среднее ускорение автомобиля в течение первых двух секунд.

\(т\) (с)	0	1	2	3	4	5
\(v(t)\) (фут/с)	0,00	32,05	55,55	72,64	85,45	94.00

среднее ускорение за первую секунду =

среднее ускорение за вторую секунду =

4. Скорость изменения стоимости акций.

Пусть \(P(t)\) представляет собой цену акции корпорации в момент времени \(t\text{.}\) Что каждое из следующих утверждений говорит нам о знаках первого и второго производные от \(P(t)\text{?}\)

(a) Цена акции падает все медленнее и медленнее.

Первая производная \(P(t)\) равна

• положительная

• ноль

• отрицательный

Вторая производная \(P(t)\) равна

• положительная

• ноль

• отрицательный

(b) Цена акции близка к минимуму.

Первая производная \(P(t)\) равна

• положительная

• ноль

• отрицательный

Вторая производная \(P(t)\) равна

• положительная

• ноль

• отрицательный

5. Интерпретация графика \(f’\).

График \(f’\) (, а не \(f\)) приведен ниже.

(Обратите внимание, что это график \(f’\text{,}\), а не график \(f\text{.}\))

При каком из отмеченных значений \(x\)

A. \(f(x)\) наибольшее? \(x =\)

B. \(f(x)\) наименьшее? \(x =\)

C. \(f'(x)\) наибольшее? \(x =\)

D. \(f'(x)\) наименьшее? \(x =\)

E. \(f»(x)\) наибольшее? \(x =\)

F. \(f»(x)\) наименьшее? \(х =\)

6.

Предположим, что \(y = f(x)\) — дважды дифференцируемая функция такая, что \(f»\) непрерывна, для которой известна следующая информация: \(f(2) = -3\text{ ,}\) \(f'(2) = 1,5\текст{,}\) \(f»(2) = -0,25\текст{.}\)

1. Является ли \(f\) возрастающим или убывающим вблизи \(x = 2\text{?}\) Является ли \(f\) вогнутым вверх или вогнутым вниз вблизи \(x = 2\text{?}\)

2. Ожидаете ли вы, что \(f(2.1)\) будет больше, чем \(-3\text{,}\), равно \(-3\text{,}\) или меньше, чем \(-3\text {?}\) Почему?

3. Ожидаете ли вы, что \(f'(2.1)\) будет больше, чем \(1.5\text{,}\), равно \(1.5\text{,}\) или меньше, чем \(1.5\text{? }\) Почему?

4. Нарисуйте график \(y = f(x)\) вблизи \((2,f(2))\) и включите график касательной.

7.

Для некоторой функции \(y = g(x)\text{,}\) ее производная задается функцией, изображенной на рисунке 1.6.15.

Рисунок 1.6.15. График \(y = g'(x)\text{.}\)

1. Каков приблизительный наклон касательной к \(y = g(x)\) в точке \((2, г(2))\текст{?}\)

2. Сколько вещественных решений может быть у уравнения \(g(x) = 0\text{?}\) Обоснуйте свой вывод полностью и тщательно, объяснив, что вы знаете о том, как график \(g\) должен вести себя на основе заданного графика \(g’\text{.}\)

3. Сколько раз на интервале \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) изменяется вогнутость \(g\)? Почему?

4. Используйте предоставленный график для оценки значения \(g»(2)\text{.}\)

8.

Высота банджи-джампера \(h\) (в футах) в момент времени \(t\) (в секундах) частично указана в таблице:

\(т\)	\(0.0\)	\(0,5\)	\(1.0\)	\(1,5\)	\(2. 0\)	\(2,5\)	\(3.0\)	\(3,5\)	\(4.0\)	\(4,5\)	\(5.0\)
\(ч(т)\)	\(200\)	\(184.2\)	\(159.9\)	\(131.9\)	\(104.7\)	\(81.8\)	\(65,5\)	\(56.8\)	\(55,5\)	\(60.4\)	\(69.8\)

\(т\)	\(5,5\)	\(6.0\)	\(6,5\)	\(7.0\)	\(7,5\)	\(8.0\)	\(8,5\)	\(9.0\)	\(9,5\)	\(10.0\)
\(ч(т)\)	\(81.6\)	\(93,7\)	\(104.4\)	\(112.6\)	\(117.7\)	\(119.4\)	\(118.2\)	\(114.8\)	\(110.0\)	\(104.7\)

1. Используйте полученные данные для оценки \(h'(4.5)\text{,}\) \(h'(5)\text{,}\) и \(h'(5. 5)\text{.} \) В какой момент времени банджи-джампер поднимается быстрее всего?

2. Используйте данные и вашу работу в (а) для оценки \(h»(5)\text{.}\)

3. Какое физическое свойство банджи-джампера измеряет значение \(h»(5)\)? Каковы его единицы?

4. Исходя из данных, на каких примерных интервалах времени функция \(y = h(t)\) вогнута вниз? Что происходит со скоростью банджи-джампера в эти промежутки времени?

9.

Для каждой последующей подсказки нарисуйте возможный график функции на интервале \(-3 \lt x \lt 3\), который удовлетворяет указанным свойствам.

1. \(y = f(x)\) такое, что \(f\) возрастает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вверх на \(-3 \lt x \lt 0\text{,}\) и вогнут вниз на \(0 \lt x \lt 3\text{.}\)

2. \(y = g(x)\) такое, что \(g\) возрастает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вниз на \(-3 \lt x \ lt 0\text{,}\) и вогнут на \(0 \lt x \lt 3\text{.}\)

3. \(y = h(x)\) такое, что \(h\) убывает на \(-3 \lt x \lt 3\text{,}\) вогнуто вверх на \(-3 \lt x \ lt -1\text{,}\) не вогнут вверх и не вогнут вниз на \(-1 \lt x \lt 1\text{,}\) и не вогнут вниз на \(1 \lt x \lt 3\text{ . }\)

4. \(y = p(x)\) такое, что \(p\) убывает и вогнуто вниз на \(-3 \lt x \lt 0\) и возрастает и вогнуто вниз на \(0 \lt x \lt 3\текст{.}\)

4.2 Применение второй производной – методы исчисления 1

Вторая производная и вогнутость

Вторая производная функции предоставляет информацию о том, как изменяется первая производная, и приводит к выводам относительно вогнутости графика.

Графически функция вогнута вверх , если ее график искривлен отверстием вверх (a на рисунке). Точно так же функция является вогнутой вниз , если ее график открывается вниз (б) на рис. 4.10).

Рисунок 4.10

Подробное описание: Левый график обозначен как (a) и показан вогнутой вверх кривой. Правый график обозначен как (b) и показывает вогнутую кривую вниз.

На этом рисунке показана вогнутость функции в нескольких точках. Обратите внимание, что функция может быть вогнутой независимо от того, возрастает она или убывает. Важно понимать разницу между возрастающими/убывающими характеристиками и вогнутостью графика.

В качестве примера этой разницы обратите внимание на левую часть рисунка 3.4, которая помечена как «вогнутая вверх»:  эта часть графика сначала уменьшается, а затем увеличивается, несмотря на то, что этот участок графика вогнут вверх.

Рисунок 4.11

Подробное описание: левая часть графика помечена как вогнутая вверх, центральная часть графика помечена как вогнутая вниз, а правая часть графика помечена как вогнутая вверх.

Например, Эпидемия: Предположим, началась эпидемия, и вы, как член конгресса, должны решить, эффективно ли текущие методы борются с распространением болезни или нужны более радикальные меры и больше денег. На приведенном ниже рисунке f(x) — это количество людей, больных этим заболеванием в момент времени x, и показаны две разные ситуации. Как в (а), так и в (б) количество людей с болезнью f (сейчас) и скорость, с которой заболевают новые люди, f’ (сейчас), одинаковы. Разница в этих двух ситуациях заключается в вогнутости f, и эта разница вогнутости может сильно повлиять на ваше решение.

Рисунок 4.12

Подробное описание: Левая часть графика обозначена как (a) и показывает вогнутый вниз график с соответствующей касательной линией. Правая часть графика помечена как (b) и показывает вогнутый график с соответствующей касательной линией.

На (а) f вогнута вниз в «сейчас», наклоны уменьшаются, и кажется, что она сходит на нет. Мы можем сказать, что «f увеличивается с убывающей скоростью». Похоже, что нынешние методы начинают брать эпидемию под контроль.
В (b) f вогнута вверх, наклоны увеличиваются, и похоже, что она будет расти все быстрее и быстрее. Похоже, эпидемия все еще вышла из-под контроля.

Различия между графиками связаны с тем, увеличивается или уменьшается производная. Производная функции f — это функция, которая дает информацию о наклоне f. Производная говорит нам, увеличивается или уменьшается исходная функция. Поскольку [latex]f ‘[/latex] — это функция, мы можем взять ее производную. Эта вторая производная также дает нам информацию о нашей исходной функции f. Вторая производная дает нам математический способ сказать, как изогнут график функции. Вторая производная говорит нам, является ли исходная функция вогнутой вверх или вниз. 92}.[/latex] Читается вслух как «вторая производная от f».

Если [latex]f ‘ ‘(x)[/latex] положителен на интервале, график [latex]y = f (x)[/latex] будет вогнутым вверх по на этом интервале. Мы можем сказать, что f увеличивается (или уменьшается) с возрастающей скоростью.

Если [latex]f ‘ ‘(x)[/latex] отрицательно на интервале, график [latex]y = f (x)[/latex] будет вогнутым вверх по на этом интервале.
Можно сказать, что f увеличивается (или уменьшается) с убывающей скоростью.

Точки перегиба

Определение

Точка перегиба – это точка на графике функции, в которой вогнутость функции изменяется с вогнутой вверх на нижнюю или с вогнутой вниз на верхнюю.

 

Пример 1

Какие из отмеченных точек на графике ниже являются точками перегиба?

Рисунок 4.13

Подробное описание: изменение вогнутости в точках b и g. В точках a и h график вогнут вверх с обеих сторон. В точках c и f график вогнут вниз с обеих сторон. В точке e граф вогнут вниз с обеих сторон.
Вогнутость меняется в точках b и g. В точках a и h график вогнут с обеих сторон, поэтому вогнутость не меняется. В точках c и f график вогнут вниз с обеих сторон. В точке e, хотя график там выглядит странно, график вогнут вниз с обеих сторон — вогнутость не меняется.

Точки перегиба возникают при изменении вогнутости. Поскольку мы знаем связь между вогнутостью функции и знаком ее второй производной, мы можем использовать это для нахождения точек перегиба.

 

Рабочее определение

Точка перегиба — это точка на графике, в которой вторая производная меняет знак.

Чтобы вторая производная менял знак, она должна быть либо равна нулю, либо быть неопределенной. Таким образом, чтобы найти точки перегиба функции, нам нужно только проверить точки, в которых [latex]f »(x)[/latex] равен 0 или не определен.

Обратите внимание, что недостаточно, чтобы вторая производная была равна нулю или была неопределенной. Нам еще нужно проверить, что знак [latex]f’’[/latex] меняет знак. Функции в следующем примере иллюстрируют, что может произойти. 9{–\frac53}[/латекс] . [latex]h»[/latex] не определен, если [latex]x = 0,[/latex], но [latex]h »(\;отрицательное \;число) > 0[/latex] и [latex] ч »(\;положительное \;число)

 

Пример 3

Нарисуйте график функции с [латекс]f(2) = 3, f ‘(2) = 1,[/латекс] и точкой перегиба в [латекс](2,3) .[/latex]
Здесь показаны два возможных решения.

Рисунок 4.15

Подробное описание: На каждом графике показана касательная, пересекающая график в точке (2, 3). Крайний левый график вогнут вниз, затем переключается на вогнутость вверх в точке (2, 3). Крайний правый график вогнут вверх, затем переключается на вогнутость вниз в точке (2, 3).

Сколько кодов возможно с 3 цифрами? Есть точно 1,000 возможных комбинаций для 3-значного кода. Для 10,000-значного кода возможно 4 XNUMX комбинаций.

Как вы перечисляете все возможные комбинации?

Чтобы создать список всех возможных комбинаций:

1. Нажмите кнопку «Развернуть» в заголовке столбца. В подменю: выберите только столбец с данными, которые мы хотим сохранить (например, в нашем примере снимите флажок со столбца Temp)…
2. Список возможных комбинаций теперь отображается в окне Power Query.

Сколько комбинаций может быть из 9 цифр? Следовательно, путем умножения вариантов мы получаем общее количество возможностей, равное 9×9×8×7×6×5×4×3×2=3265920. Следовательно, 9-значные числа из разных цифр могут быть образованы 3265920 способами.

Сколько существует комбинаций из 7 цифр? Предполагая, что повторение разрешено, вы можете иметь 7-значные числа от 1,000,000 9,999,999 XNUMX до XNUMX XNUMX XNUMX, что в сумме составляет 9,000,000 7-значных чисел. (n-10) возможных n-значных чисел.

Как решить 6 факториалов?

Также как решить 5 факториалов? Чтобы найти факториал 5 или 5!, просто используйте формулу; то есть перемножьте все целые числа от 5 до 1. Когда мы используем формулу для нахождения 5!, мы получаем 120. Итак, 5! = 120.

Что означает факториал?

факториал, в математике, произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных данному положительному целому числу и обозначенных этим целым числом и восклицательным знаком. Таким образом, факториал семь записывается как 7 !, что означает 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7. Факториал нуль определяется как равный 1.

Сколько возможных комбинаций у кубика Рубика 3×3? Кубик Рубика — культовая игрушка-головоломка. Но это математически сложно — есть 43 квинтиллиона возможных конфигураций Куба.

Как узнать комбинацию к 3-значному замку?

Как взломать трехзначный код?

Какое трехзначное число самое распространенное? Ответ на вопрос: Какое трехзначное число самое популярное? 999 потому что многие страны используют этот номер в качестве экстренного контакта. Например, Бангладеш использует его в качестве национального центра экстренного вызова, Саудовская Аравия использует его в качестве контактного номера полиции.

Как составить комбинацию чисел в Excel? Как заставить Excel перечислить все возможные комбинации — Excelchat

1. Шаг 1: Откройте лист. Сначала вам нужно открыть лист с данными, из которых вы хотите составить все возможные комбинации. …
2. Шаг 2: Выберите ячейку для результата. …
3. Шаг 3. Перетащите формулу в другие ячейки.

Как создать комбинационную таблицу в Excel?

Перейдите в Вкладка данных и выберите «Получить данные» в разделе «Получить и преобразовать данные». Выберите «Объединить запросы» в меню, а затем выберите «Объединить» в подменю.

Сколько способов вы можете расположить 8 вещей?

Примечание: всего 8 элементов 40,320 различных комбинаций.

Сколько существует комбинаций из 12 чисел? Количество возможных комбинаций с 12-значным числом равно 4,095.

Сколько всего комбинаций из 10 чисел?

Количество возможных комбинаций с 10 числами равно 1,023.

Сколько существует комбинаций из 3 чисел? Видите ли, существует 3 x 2 x 1 = 6 возможных способов расположения трех цифр. Следовательно, в этом наборе из 720 вариантов каждая уникальная комбинация из трех цифр представлена ​​6 раз. Итак, мы просто делим на 6. 720/6 = 120.

Сколько существует комбинаций телефонных номеров?

Обычные телефонные номера обозначаются как NXX-XXXX (т.е.: 555-1234). N действует как любая цифра от 2 до 9, а X — любая цифра от 0 до 9. Каждый код города имеет 792 префикса или кода «NXX». Каждый NXX имеет 10,000 XNUMX возможных номеров..

дайте комбинацию цифр для трёхзначного кода

Germany.ru → Форумы → Архив Досок→ Спроси совет

дайте комбинацию цифр для трёхзначного кода

1831  1 2 все

рабынемызавсегдатай01.04.18 11:02

NEW 01.04.18 11:02 

Забыл код чемодана. Хочу открыть. Метод с прорезями не работает. На штоке везде прорези. Попробую методом подбора. Дайте ,пожалуйста, ссылку на набор комбинаций.ТОлько не на формулу,если можно,а на готовые столбцы. Спасибо.

#1 

virtaxсвой человек01.04.18 11:06

01.04.18 11:06 

в ответ рабынемы 01.04.18 11:02

какую таблицу???? 🙂

Берешь по порядку от 000 до 999

#2 

bordпатриот01.04.18 11:07

NEW 01.04.18 11:07 

в ответ virtax 01.04.18 11:06

Умное лицо — это еще не признак ума, господа. Все глупости на земле делаются именно с этим выражением лица.

#3 

Fraer12старожил01.04.18 11:12

NEW 01.04.18 11:12 

в ответ рабынемы 01.04.18 11:02

Забыл код чемодана. Хочу открыть. Метод с прорезями не работает. На штоке везде прорези. Попробую методом подбора. Дайте ,пожалуйста, ссылку на набор комбинаций.ТОлько не на формулу,если можно,а на готовые столбцы. Спасибо.

999 комбинаций. Выставляйте просто по порядку от 001 до 999. за час управитесь

#4 

  чили-перчиккоренной житель01.04.18 11:37

NEW 01.04.18 11:37 

в ответ рабынемы 01.04.18 11:02

я таким макаром как написали от 000 до 999, быстро открыла. Не так всё долго, если быстро работать. Попробуйте в начале, что у вас в голове, что вы могли бы поставить, потом может дни рождения, удобные комбинации, или вообще 000, так часто люди и оставляют и не меняют. Может есть ключ, для матожки, им тоже можно открыть и код на новый заменить

#5 

Ostiпатриот01.04.18 12:58

NEW 01.04.18 12:58 

в ответ рабынемы 01.04.18 11:02

Даю 123
Но без гарантии!

Я только объясняю Вам свои обязанности, но не ограничиваю Ваших прав! (C)

#6 

pawelplстарожил01. 04.18 13:04

NEW 01.04.18 13:04 

в ответ Osti 01.04.18 12:58

Н.П. 262

#7 

Серый 01коренной житель01.04.18 13:14

NEW 01.04.18 13:14 

в ответ рабынемы 01.04.18 11:02

Забыл код чемодана. Хочу открыть.

а что есть в чемодане:

1) пустой

2) бабки

или еше что нибудь?
может и не стоит его вскрывать?

#8 

valerosaкоренной житель01.04.18 13:24

NEW 01.04.18 13:24 

в ответ Серый 01 01.04.18 13:14

че так и возить с собой закрытый?

#9 

Doffпатриот01.04.18 13:43

NEW 01.04.18 13:43 

в ответ рабынемы 01.04.18 11:02

оооо

Помню у меня было такое. Код помню, но перед тем как закрыть, дочка поигралась с замком, и естественно его сменила. С дороги, уставшие, голодные, долгий перелет… И сюрприз вот такой. Замок открылся на цифре 534 = минут 25 времени это заняло, и 2 пальца с мозолью

Тяжело быть женщиной! Постоянно хочется чего-нибудь купить, кого-нибудь прибить, похудеть….и пироженку!Кошкин Дом

#10 

Lenka32коренной житель01.04.18 23:41

NEW 01.04.18 23:41 

в ответ рабынемы 01.04.18 11:02

Ну как открыли? Подобрали код?😊

Всё что не делается всё к лучшему!!!

#11 

Ameno2007завсегдатай02.04.18 10:23

NEW 02.04.18 10:23 

в ответ рабынемы 01.04.18 11:02

У меня была такая же история. Находила правильную цифру «по ощущению» — когда цифирка устанавливалась легче, как-бы попадала в пазик, это чувствовалось. Я ее там и оставляла и начинала подбирать следующую цифирку, тоже до «клика». Так 4 цифры подобрала, но времени это заняло мноооого…

#12 

Серый 01коренной житель02.04.18 10:44

NEW 02.04.18 10:44 

в ответ Ameno2007 02.04.18 10:23

У меня была такая же история. Находила правильную цифру «по ощущению» — когда цифирка устанавливалась легче, как-бы попадала в пазик, это чувствовалось. Я ее там и оставляла и начинала подбирать следующую цифирку, тоже до «клика». Так 4 цифры подобрала, но времени это заняло мноооого…

я тож так вскрывал, немного оттягивал назад защелку и крутил.

#13 

  temnotaкоренной житель02.04.18 16:55

NEW 02.04.18 16:55 

в ответ Серый 01 02.04.18 10:44

я тож так вскрывал, немного оттягивал назад защелку и крутил.

пральна, чтобы натяжка была. С любым наборным замком так

#14 

valerosaкоренной житель02. 04.18 16:57

NEW 02.04.18 16:57 

в ответ temnota 02.04.18 16:55

это что. Я помню, был простой замочек с ключиком, ключик упакован в косметичку и в чемодан. Замочек защелкнулся. Как открыть? Пришлось резать чемодан.

#15 

  васисуалий11местный житель02.04.18 17:15

NEW 02.04.18 17:15 

в ответ valerosa 02.04.18 16:57

лучше бы отверткой замок расковыряли.

#16 

valerosaкоренной житель02.04.18 17:17

NEW 02.04.18 17:17 

в ответ васисуалий11 02.04.18 17:15

в отеле предложили только ножницы :))

#17 

  васисуалий11местный житель02.04.18 17:21

NEW 02.04.18 17:21 

в ответ valerosa 02.04.18 17:17

меня не было. ножницами тоже можно расковырять замки чемоданные. я маникюрными расковыривал как то даже. не расстраивайтесь чемодан это фигня.

#18 

valerosaкоренной житель02.04.18 17:30

NEW 02.04.18 17:30 

в ответ васисуалий11 02.04.18 17:21

я пробовала. Не вышло, навыков нет что ли :)) открыла чемоданный карман, через него взрезала обшивку, через дырку вытащила косметичку с ключом и открыла чемодан . Теперь карман наглухо зашит. Вот это была опупея.

#19 

michelfranceгость на Земле02.04.18 17:47

NEW 02.04.18 17:47 

в ответ valerosa 02.04.18 17:30

#20 

Вот 20 самых распространенных пин-кодов в мире

7 лет назад

16 акций

Всего можно составить 10 000 комбинаций из 4 цифр от 0 до 9.

Мы используем их для всего. Карты, телефоны, сигнализация, ворота, чемоданы. И все же, несмотря на огромное разнообразие комбинаций, поразительные 10,7% из нас используют одну и ту же.

Реклама

Президент Data Genetics Ник Берри провел исследование 3,4 миллиона утекших PIN-кодов кредитных карт, чтобы определить наиболее часто и наименее часто используемые пароли.

Он пишет:

«Объединив открытые базы данных паролей, с которыми я столкнулся, и отфильтровав результаты только по тем строкам, длина которых составляет ровно четыре цифры [0-9], на выходе получается база данных всех четырехзначных символов. комбинации, которые люди использовали в качестве паролей к своим учетным записям».

Он на удивление нашел самый распространенный пароль в мире; 1234.

Реклама

Первая десятка выглядит следующим образом:

1. 1234
2. 1111
3. 0000
4. 1212
5. 7777
6. 1004
7. 2000
8. 4444
9. 2222
10. 6969
11. 9999
12. 3333
13. 5555
14. 6666
15. 1122
16. 1313
17. 8888
18. 4321
19. 2001
20. 1010

Ниже приведены наименее распространенные пароли.

1. 8557
2. 9047
3. 8438
4. 0439
5. 9539
6. 8196
7. 7063
8. 6093
9. 6827
10. 7394
11. 0859
12. 8957
13. 9480
14. 6793
15. 8398
16. 0738
17. 7637
18. 6835
19. 9629
20. 8068

Реклама

• Поделиться статьей
• • Подробнее о:
  • новости,
  • Жизнь,
  • Тех.

Молли-Мэй рыдает, рассказывая о трудностях материнства

• 5 акций

Риз Уизерспун «встречается» с Томом Брэди после развода

• 6 акций

Начат сбор средств для девочки из Дублина (12 лет), перенесшей четверную ампутацию

• 8 акций

Ник Кэннон объясняет, почему он не выплачивает мамам своих детей «ежемесячные пособия»

• 6 акций

ВЫИГРАЙ: ваучер Leap Card на 100 евро на следующую поездку на автобусе с этой быстрой онлайн-викториной

• 7 акций

Семья Джипси Роуз выражает беспокойство в связи с ее освобождением из тюрьмы

• 7 акций

Гвен Стефани беременна четвертым ребенком

• 40 акций

Вам также может понравиться

1 месяц назад

Выживший в Stardust публично заявляет о пропаже фотографии после бдения

• Сара МакКенна Барри
• 5 акций

1 месяц назад

Гэри Глиттер освобожден из тюрьмы после отбытия половины 16-летнего тюремного срока

• Чарли Герберт
• 7 акций

2 месяца назад

Мужчина утверждает, что в 90-е годы недалеко от Бессборо нашел останки младенца

• Ее
• 6 акций

2 месяца назад

«Это мешает вашей работе»: Холли Кэрнс о жестоком обращении с женщинами в политике

• Сара МакКенна Барри
• 9 Акций

2 месяца назад

Гарда изучает «полезную, новую» информацию по делу Софи Тоскан дю Плантье

• Сара МакКенна Барри
• 6 акций

2 месяца назад

Ирландия намерена запретить «жестокий процесс» конверсионной терапии

• Сара МакКенна Барри
• 6 акций

Вероятность — Вероятность конкретного 4-значного числа

спросил 4 года 5 месяцев назад

Изменено 2 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 36 тысяч раз

$\begingroup$

Я спорю с коллегой о вероятности четырехзначного числа. Предполагается, что номер создается случайным образом и независимо.

Предположим вероятность генерации числа 4109.

Теперь мой коллега считает, что это просто P(4109) = 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10. (что-то вроде простого подбрасывания монеты).

Но меня не интересует вероятность генерирования чисел 0149, 9014, 4910 и т. д. и т. д.

Очевидно, что вероятность этой конкретной последовательности, 4109, определяется путем вычисления перестановки, а не простой комбинации….

Пожалуйста, подтвердите мою веру или укажите мне какой-нибудь надлежащий материал, подтверждающий это?

• вероятность
• перестановочный тест

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Ваш коллега прав. Если ваши цифры выбраны случайным и независимым образом (предполагая равную вероятность для каждой цифры), вероятность того, что ваше число 4109, не более сложная, чем:

• вероятность того, что первая цифра 4

• вероятность того, что вторая цифра равна 1 94$ говорит вам — для расчета вам потребуется:

  • вероятность того, что первая цифра 0,1,4 или 9 = 4/10

  • вероятность того, что вторая цифра будет одной из трех еще не выбранных = 3/10

  • вероятность того, что третья цифра будет одной из двух еще не выбранных = 2/10

  • вероятность того, что последняя цифра окажется оставшейся из набора 0,1,4,9 = 1/10

  т. {4} \frac{i}{10}$ 94$) 4-значные числа: 0000-9999. Ваше целевое число — одно из этих 10 000. Таким образом, если вы выберете 4-значное число случайным образом, у вас будет один шанс из 10 000 выбрать это число (или любое другое конкретное 4-значное число).

  Вы правы в том, что здесь вы хотите вычислить перестановку, а не «простую» (как вы ее назвали) комбинацию. Но перестановки на самом деле проще вычислить, чем комбинации. В перестановке вы, по сути, просто подсчитываете все возможные результаты. В комбинации вы дополнительно должны рассчитать, сколько из этих результатов являются одной и той же комбинацией элементов в другом порядке, а затем скорректировать свой расчет для этого.

  $\endgroup$

  $\begingroup$

  Это очень просто. В 4 десятичных цифрах имеется 10 000 (от 0000 до 9999) возможных значений. Вероятность того, что любой из них выпадет случайным образом, составляет один к 10 000.

Это улыбка? Или что-то другое?

Что может быть проще, чем улыбка? Вы улыбаетесь, значит вам хорошо, не так ли? Совершенно не так. За улыбкой скрываются самые разнообразные эмоции, и только шесть из 19 существующих видов улыбки свидетельствуют о хорошем настроении. Зачем же мы улыбаемся, если на душе у нас — совсем другие чувства?

…Они склонились над своими жертвами, ножи наготове. Карни отдавал последние распоряжения. Еще немного, и обезглавливание состоится.

Шел 1924 год, и студент университета Миннесоты Карни Лэндис проводил эксперимент с группой, состоящей из его однокурсников, преподавателей, а также пациентов психиатрической клиники (был в ней и 13-летний мальчик).

Чтобы создать непринужденную атмосферу, Лэндис переоделся, спрятал лабораторное оборудование, задрапировал окна, а на стенах развесил картины.

Лэндис хотел определить роль мимики в выражении различных эмоций — например, таких как боль или шок. Ради этого он готов был сделать так, чтобы участники эксперимента действительно их испытали.

Он усадил их в удобные кресла, а затем нарисовал на их лицах мимические линии, чтобы лучше видеть гримасы, вызванные его опытами.

В течение трех часов он фиксировал эмоции участников эксперимента, сделав их объектами странных и порой неприятных шуток. То у них под креслом взрывался фейерверк, то их било током, пока они нащупывали у себя под креслом ведро со скользкими лягушками.

В довершение всего Лэндис принес живую белую крысу и попросил отрезать ей голову.

Подобные методы, несомненно, нарушали любые нормы научной этики, однако результаты его исследования впечатляют. Даже в ходе самых жестоких экспериментов наиболее типичной реакцией людей были не слезы и не гнев, а… улыбка.

Чем это можно объяснить?

Автор фото, Flickr/Alisha Vargas CC BY 2.0

В западной культуре улыбки окружают нас — но не все они означают счастье

Перенесемся в 2017 год. Улыбка, которую мы с такой готовностью надеваем при любых обстоятельствах, уже никого не удивляет, она на уровне рефлекса.

Нам улыбаются с экранов телевизоров, рекламных щитов, обложек книг-инструкций «Как стать счастливым за 10 дней», а иногда просто случайные прохожие. Улыбчивые люди производят на нас хорошее впечатление и кажутся более дружелюбными.

Однако все не так просто. Из 19 существующих видов улыбки только шесть свидетельствуют о хорошем настроении.

Остальные отражают ряд неприятных чувств — смущение, неловкость, страх и даже страдание. Улыбка может выражать презрение, гнев и недоверие. За ней мы пытаемся скрыть растерянность или то, что мы лжем.

• Так ли плохо быть по-британски сдержанным?
• Зачем люди научились плакать

Искренняя радостная улыбка появляется на нашем лице, когда мы сделали что-то для собственного благополучия, она выражает чувство удовлетворения. А вот остальные виды улыбок несут в себе совсем другую информацию.

«Некоторые из них возникли как способ показать, что мы не представляем собой угрозы и настроены сотрудничать, другие без ненужной агрессии сообщают оппоненту, что в этой ситуации мы сильнее его», — отмечает психолог из Висконсинского университет в Мэдисоне Пола Ниденталь.

Вежливая улыбка означает, что мы готовы следовать правилам. Но она также может быть эффективным способом манипулирования другими людьми, способом отвлечь их от понимания того, каковы наши истинные чувства.

Если совсем коротко: чаще всего этот универсальный символ счастья используется в качестве маски.

Улыбка Дюшена

Автор фото, Wellcome Library, London

И это искренняя улыбка, которая выражает удовольствие и незамутненное счастье?

Пропустить Подкаст и продолжить чтение.

Подкаст

Что это было?

Мы быстро, просто и понятно объясняем, что случилось, почему это важно и что будет дальше.

эпизоды

Конец истории Подкаст

Первые попытки расшифровать все возможные значения улыбки предпринял в XIX веке французский физиолог Гийом Дюшен (известный также как Дюшен Булонский).

Ученый прибегал к стимуляции мимических мышц с помощью электрического разряда. Поскольку такая процедура была очень болезненной, сначала он проводил свои эксперименты, используя отрубленные головы революционеров.

Но Дюшену повезло. В его распоряжении совершенно случайно оказался пациент одной из парижских клиник, лицо которого не чувствовало боли. Врач провел с ним множество опытов, подключая электроды к различным мышцам и получая самые разные гримасы.

В общей сложности Дюшен зафиксировал 60 выражений лица, за каждое из которых отвечала отдельная группа лицевых мышц его подпечного.

На одной из фотографий, сделанных Дюшеном, бедолага широко улыбается беззубым ртом и выглядит абсолютно, до идиотизма счастливым.

Это выражение лица потом так и назвали: «улыбка Дюшена» — искренняя улыбка, которая выражает удовольствие и незамутненное счастье. Ее отличительная черта — характерные морщинки в уголках глаз, так называемые гусиные лапки.

Автор фото, Getty Images

Улыбка Далай-ламы всегда беззаботно искренняя

Автор фото, Getty Images

Папа римский Франциск привнес в культуру Ватикана латиноамериканскую улыбчивость и аргентинское лукавство

«Ученые, однако, выяснили, что у некоторых народов искренняя улыбка не обязательно должна сопровождаться «гусиными лапками», — отмечает профессор Ниденталь.

И тут мы подходим к вопросу, который занимал умы ученых — от Дарвина до Фрейда. Является ли наша мимика инстинктивной и универсальной для всех людей или она зависит от культуры и воспитания?

Улыбка страха

Несмотря на то, что искренняя улыбка считается сейчас наиболее естественной, некоторые ученые считают, что на самом деле ее корни — в мимике с совсем другим значением.

Кое-что в этом вопросе могут прояснить наблюдения за человекообразными обезьянами.

«Когда шимпанзе испытывают чувство страха, они демонстрируют зубы в оскале», — объясняет Занна Клей, приматолог из Университета Бирмингема.

Это — выражение подчинения, которое шимпанзе используют в присутствии доминантных особей группы.

И хотя мы как правило не связываем улыбающееся лицо человека с чувством опасности, существует достаточно свидетельств того, что именно из такой подобострастной мимики и произошла наша искренняя улыбка.

Автор фото, Zanna Clay/ Lola ya Bonobo Sanctuary)

Когда шимпанзе испытывают чувство страха, они демонстрируют зубы в оскале

У детей, например, широкая улыбка может означать как удовольствие, так и боль. А мужчины, как показали исследования, чаще улыбаются в присутствии людей с более высоким статусом.

Дарвин считал, что мимика инстинктивна и изначально выполняла вполне практические функции. Например, когда человек поднимает брови от удивления, это увеличивает его поле зрения, что, очевидно, помогало нашим предкам рассмотреть хищника в засаде. А улыбка с широким оскалом свидетельствует о готовности защищаться и укусить.

Чтобы доказать свою теорию, Дарвин показал своим знакомым фотографии людей с разными выражениями лица, сделанные Дюшеном. Все 20 участников эксперимента безошибочно и единодушно определили эмоции на 11 фотографиях — от удовольствия до страха, от грусти до удивления.

Так Дарвин пришел к выводу, что эмоции у людей разных народностей выражаются с помощью универсальной мимики.

Несчастная улыбка

Автор фото, Getty Images

Даже если вы призер Олимпиады, но заняли второе место — ваши глаза выдают вашу грусть, несмотря на широкую улыбку

Теперь мы знаем, что улыбка действительно возникает инстинктивно, и не только когда мы испытываем удовольствие.

Немного асимметричный изгиб губ с выражением глубокой скорби в глазах — это несчастная, кривая улыбка, которая выражает стоицизм: «сжать зубы и терпеть».

Исследователи обнаружили этот тип улыбки, снимая скрытой камерой людей, наблюдающих ужасные сцены насилия в кино, а также у пациентов, страдающих депрессией.

Такая улыбка — социально приемлемый способ показать, что вам грустно или больно.

В 2009 году исследователи из Университета Сан-Франциско обнаружили, что это выражение лица запрограммировано в нашей ДНК. Проанализировал более 4 800 фотографий спортсменов-олимпийцев и паралимпийцев, они выяснили, что такая улыбка, как правило, появлялась на лицах серебряных медалистов, которые проиграли победителю в последний момент.

Интересно, что такое же выражение лица было у слепых от рождения спортсменов.

Сдержанная улыбка

Автор фото, Getty Images

Насколько улыбка уместна и как ее интерпретировать?

Автор фото, Getty Images

Одна из самых счастливых улыбок появляется на лице российского президента в компании спортсменов

Однако нынешняя искренняя улыбка не всегда была в моде. Например, в XVII веке считалось неприличным откровенно выражать свои эмоции. Улыбаться, демонстрируя зубы, было признаком плебейства.

«Революция улыбки» произошла лишь спустя столетие, когда французские аристократы, наслаждаясь жизнью в недавно открытых кафе, вернули моду на счастливое выражение лица.

Впрочем, во многих странах существенных изменений в этой области этикета так и не произошло. К примеру, известная русская пословица гласит: «Смех без причины — признак дурачины».

А в пособии для иностранных работников, изданном норвежским правительством, отмечается: вы уже достаточно долго живете в Норвегии, если принимаете идущего по улице улыбающегося незнакомца а) за пьяного б) за сумасшедшего в) за американского туриста.

• Может ли неискренность помочь вашей карьере
• Почему жаждущие внимания эгоцентрики заслуживают жалости
• Шестое чувство? А почему не 27-е? И сколько их всего?

«Сдерживая улыбку, мы опускаем уголки рта вниз или сжимаем губы, как бы говоря «я не должен улыбаться», — объясняет Зара Амбадар, когнитивный психолог из Университета Питтсбурга. вместо привычного нам :).

Желание улыбаться может быть универсальным, однако насколько улыбка уместна и как ее интерпретировать — зависит от правил и норм культуры.

Смущенная улыбка

Она очень похожа на сдержанную, но обычно сопровождается румянцем, и ей может предшествовать неловкая ситуация.

Неловко улыбаясь, человек часто наклоняет голову вниз и немного влево.

Дежурно-сожалеющая улыбка

Такой улыбкой вас одаривает сотрудник супермаркета, который, после того как вы выстояли очередь, любезно сообщает, что «возврат товаров осуществляется на четвертом этаже». Или администратор отеля, который объясняет вам, что свободные номера появятся не ранее чем через год.

Эта улыбка призвана смягчить неприятную для клиента новость. Для нее характерна немного приподнятая нижняя губа и небольшой наклон головы в сторону. Этот тип улыбки, пожалуй, нас раздражает более других, поскольку мы невольно улыбаемся в ответ, хотя причины для радости нет никакой.

Автор фото, Getty Images

Жозе Моуринью знает, как очаровать репортеров с помощью разного типа улыбок

Дежурно-сожалеющая улыбка очень похожа на три других, использующихся при иных обстоятельствах.

Покорная улыбка, часто появляющаяся на лицах тех, кто стал жертвой заученной улыбки, показывает смирение: мол, хорошо-хорошо, никто не собирается поднимать шума. Улыбка скоординированного ответа показывает, что согласие достигнуто. И наконец — улыбка слушателя, обычно сопровождаемая звуками («угу»), подчеркивающими уделяемое беседе внимание, и частыми кивками.

Презрительная усмешка

Автор фото, Getty Images

Ангела Меркель не всегда старается скрыть свои истинные чувства…

Еще одно двусмысленное выражение лица, в котором можно найти и отвращение, и негодование, и презрение — в разных пропорциях.

Презрительная усмешка очень похожа на искреннюю, но уголки губ при этом обычно сжаты.

В культуре стран Востока, которая менее ориентирована на удовлетворение потребностей индивидуума, любые негативные эмоции скрывают за вежливой улыбкой.

«На моей родине в Индонезии гнев считается неприемлемой эмоцией, поэтому чем более сердиты люди, тем больше они улыбаются», — отмечает Зара Амбадар.

Злорадная улыбка

Автор фото, Getty Images

Эта жуткая ухмылка стала визитной карточкой классических злодеев из фильмов ужасов

По понятным причинам такую эмоцию, как радость из-за неудачи другого, необходимо скрывать. Но это не всегда просто сделать.

«Если человек уверен, что его не видят, он выражает злорадство широкой радостной улыбкой — «улыбкой Дюшена», — говорит психолог из университета Цюриха Дженнифер Хоффман.

Однако когда на нас смотрят, мы пытаемся скрыть злорадство, изображая на лице возмущение. В результате чего рождается довольно жуткая ухмылка, которая стала визитной карточкой классических злодеев из фильмов ужасов.

Смешанная мимика свойственна и другим подобным видам улыбок, которые могут выражать льстивое презрение, приятно щекочущий нервы страх или сладкую печаль.

Фальшивая улыбка

Этот вид улыбки сопровождает приветствие и вежливый ответ: «Все хорошо», когда мы скрываем наши настоящие чувства.

Улыбка — универсальный способ придать себе привлекательности, поэтому если вы улыбнетесь своему отражению в зеркале примерочной, вы, скорее всего, купите то, что примеряли (об этом свидетельствуют результаты исследования, проведенного в 2013 году).

• Каково это — жить, не испытывая эмоций?
• Почему музыка так сильно влияет на наши эмоции

Улыбка придает словам больше искренности, когда люди говорят неправду. Американский комик Кин Хаббард шутил: «Если вы не видели, как ваша жена улыбается дорожному полицейскому, вы не видели самой ее очаровательной улыбки».

Но как понять, что насколько искренне вам улыбаются?

Если улыбка неискренняя, она может быть слишком внезапной или наоборот затянутой. Она выглядит неестественно и не синхронизируется с тем, что мы говорим.

В открытой улыбке есть нечто большее, чем просто прищур глаз или блеск зубов.

Кокетливая улыбка

Любая классификация улыбок была бы неполной без знаменитой улыбки Джоконды.

Несмотря на всю таинственность, окружающую эту работу Леонардо да Винчи, определить значение улыбки Моны Лизы оказалось несложно. Психологи уже давно пришли к выводу, что это — женское кокетство в самом его притягательном и невинном виде.

• Что, если под Моной Лизой скрыт другой портрет?

Его модель, Лиза Джокондо, очевидно, сидела, улыбаясь и глядя вдаль, но потом украдкой посмотрела в сторону художника, и он поймал это выражение лица — с мимолетной улыбкой, одновременно и игривой, и смущенной.

Автор фото, Beyond My Ken/Wikimedia Commons

Мимолетная улыбка Джоконды: в ней — вполне очевидное, хоть и скрываемое кокетство

Прочитать оригинал этой статьи на английском языке вы можете на сайте BBC Future.

19 римскими цифрами — Как написать 19 римскими цифрами?

LearnPracticeDownload

19 римскими цифрами — это XIX. Чтобы преобразовать 19 в римские цифры, запишем 19 в расширенной форме, т.е. 19 = 10 + (10 — 1) после чего заменив преобразованные числа соответствующими им римскими цифрами, получим 19 = X + (X — I) = XIX . В этой статье мы объясним, как правильно преобразовать 19 в римские цифры.

• 19 = 10 + 9
• римских цифр = X + IX
• 19 римскими цифрами = XIX

1.	Как написать 19 римскими цифрами?
2.	Основные правила
3.	Номера, относящиеся к 19
4.	Часто задаваемые вопросы о цифре 19 римскими цифрами

Как написать 19 римскими цифрами?

Римские цифры для 19 можно получить, используя метод, указанный ниже:
В этом методе мы разбиваем 19 на наименее расширяемую форму, пишем соответствующую им латинскую букву и добавляем/вычитаем их, то есть 19 = 10 + (10 — 1) = X + (X — I) = XIX.
Следовательно, значение 19 римскими цифрами равно XIX.

☛ Также проверьте: Калькулятор римских цифр

Основные правила интерпретации римских цифр

• Когда буква большего размера предшествует букве меньшего размера, буквы добавляются. Например: DC, D > C, поэтому DC = D + C = 500 + 100 = 600.
• Когда буква меньшего размера предшествует букве большего размера, буквы вычитаются. Например: CM, C < M, поэтому CM = M - C = 1000 - 100 = 900.
• Когда буква повторяется несколько раз, они добавляются. Например: ММ = М + М = 1000 + 1000 = 2000
• Одну и ту же букву нельзя использовать более трех раз подряд.

Римские цифры могут показаться отличными от цифр, но они похожи. Например, 19 римскими цифрами эквивалентно XIX. Римские цифры для чисел, связанных с 19приведены ниже:

• X = 10
• XI = 10 + 1 = 11
• XII = 10 + 2 = 12
• XIII = 10 + 3 = 13
• XIV = 10 + 4 = 14
• XV = 10 + 5 = 15
• XVI = 10 + 6 = 16
• XVII = 10 + 7 = 17
• XVIII = 10 + 8 = 18
• XIX = 10 + 9 = 19

19 римскими цифрами Примеры

1. Пример 1: Найдите значение (6 — 23) + 19 римскими цифрами.

   Решение:

   Решение (6 — 23) + 19 = -17 + 19 = 2. Теперь запишем ответ, то есть 2 = II.

2. Пример 2: Какой остаток при делении XIX на XIII?

   Решение:

   XIII = 13 и XIX = 19 в числах.
   При делении 19 на 13 получается остаток 6.
   Теперь 6 = VI
   Следовательно, при делении XIX на XIII получается остаток VI.

3. Пример 3. Найдите разницу между 25 и 19 римскими цифрами.

   Решение:

   Решение данной задачи, 25 — 19 = 6
   Чтобы определить значение 25 — 19 римскими цифрами, выразим 6 как VI.

4. Пример 4: найти значение 1914 — 19.

   Решение:

   Решение данной задачи, 1914 — 19 = 1895
   Для определения значения 1914 — 19 римскими цифрами выразим 1895 в развернутом виде, т.е. 1895 = 1000 + 800 + 90 + 5 = M + DCCC + XC + V = MDCCCXCV.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о 19 римскими цифрами

Что означает 19 римскими цифрами?

Чтобы записать 19 римскими цифрами, сначала выразим 19 в развернутом виде. 19 = 10 + (10 — 1) = Х + (Х — I) = XIX. Следовательно, 19 в римских числах выражается как XIX.

Как преобразовать число 19 в римские цифры?

Чтобы преобразовать 19 в римские цифры, преобразование включает разбиение чисел на основе разрядности (единицы, десятки, сотни, тысячи).

• Десятки = 10 = Х
• единиц = 9 = IX
• Число = 10 + 9 = X + IX = XIX

Почему число 19 римскими цифрами пишется как XIX?

Мы знаем, что римскими цифрами 9 записывается как IX, а 10 как X. Следовательно, 19 римскими цифрами записывается как 19 = 10 + 9 = X + IX = XIX.

Что нужно добавить к 18, чтобы получить 19? Запишите ответ римскими цифрами.

19 римскими цифрами — это XIX, тогда как 18 — это XVIII. 19 — 18 = 1. Значит, к 18 надо прибавить 1, чтобы получилось 19. Теперь, чтобы преобразовать 1 в римские числа, мы представим это как 1 = I.

Каково значение (21 — 23) + 19 в римских числах?

Решение (21 — 23) + 19 = -2 + 19 = 17. Чтобы выразить, (21 — 23) + 19 римскими цифрами, запишем ответ, то есть 17 в развернутом виде. 17 = 10 + 5 + 1 + 1 = X + V + I + I = XVII

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

XIX Римские цифры | Как написать XIX цифрами?

LearnPracticeDownload

XIX Римские цифры можно записать в виде чисел, комбинируя преобразованные римские цифры, т.е. XIX = X + (X — I) = 10 + (10 — 1) = 19. Более высокие римские цифры предшествуют более низким цифрам, что приводит к правильному переводу XIX римских цифр. В этой статье мы объясним, как преобразовать XIX римские цифры в правильный числовой перевод.

• XIX = X + IX
• XIX = 10 + 9
• XIX = 19

Как написать XIX римскими цифрами?

Числовое значение XIX римских цифр может быть получено любым из двух способов, указанных ниже:

Метод 1: В этом методе мы разбиваем римские цифры на отдельные буквы, пишем числовое значение каждой буквы и добавляем/вычитаем их.

• XIX = Х + (Х — I) = 10 + (10 — 1) = 19

Метод 2: В этом методе мы рассматриваем группы римских цифр для сложения или вычитания, например,

• XIX = X + IX = 10 + 9 = 19

Следовательно, числовое значение XIX римских цифр равно 19.

☛ Также проверьте: Калькулятор римских цифр

Каковы основные правила написания римских цифр?

• Когда буква большего размера предшествует букве меньшего размера, буквы добавляются. Например: DX, D > X, поэтому DX = D + X = 500 + 10 = 510
.
• Когда буква меньшего размера предшествует букве большего размера, буквы вычитаются. Например: XC, X < C, поэтому XC = C - X = 100 - 10 = 90
• Когда буква повторяется 2 или 3 раза, они добавляются. Например: ХХХ = Х + Х + Х = 10 + 10 + 10 = 30
• Одну и ту же букву нельзя использовать более трех раз подряд.

Числа, относящиеся к XIX римским цифрам

Римские цифры использовались в Древнем Риме и представляли собой комбинации букв латинского алфавита I, V, X, L, C, D и M. Может показаться, что они отличаются от цифр, но они похожи. Например, XIX римские цифры эквивалентны числу 19. Римские цифры, относящиеся к XIX, приведены ниже:

• X = 10
• XI = 10 + 1 = 11
• XII = 10 + 2 = 12
• XIII = 10 + 3 = 13
• XIV = 10 + 4 = 14
• XV = 10 + 5 = 15
• XVI = 10 + 6 = 16
• XVII = 10 + 7 = 17
• XVIII = 10 + 8 = 18
• XIX = 10 + 9 = 19

XIX Примеры римских цифр

1. Пример 1. Найдите частное 19 и 1.

   Решение:

   Римская цифра XIX равна 19, а I равна 1.
   Теперь, когда мы делим XIX на I, т. е. 19 ÷ 1, в частном получается 19.
   Так как 19 = XIX
   Следовательно, XIX ÷ I = XIX

2. Пример 2. Найдите произведение римских цифр XIX и XXIX.

   Решение:

   XIX = 10 + 9 = 19 и XXIX = 20 + 9 = 29
   Итак, XIX × XXIX = 19 × 29 = 551 
   . Так как DLI = 500 + 50 + 1 = 551
   Следовательно, XIX × XXIX = DLI

3. Пример 3: Найдите разницу между XIX и XVII.

   Решение:

   Римская цифра XIX равна 19, а XVII равна 17.
   Итак, XIX — XVII = 19 — 17 = 2 
   . Так как 2 = II
   Следовательно, XIX — XVII = II

4. Пример 4. Найдите сумму римских цифр MCLXXVII и XIX.

   Решение:

   MCLXXVII = 1000 + 100 + 70 + 7 = 1177 и XIX = 10 + 9 = 19
   Теперь MCLXXVII + XIX = 1177 + 19 = 1196
   . Так как MCXCVI = 1000 + 100 + 90 + 6 = 1196
   Следовательно, сумма римских цифр MCLXXVII и XIX равна MCXCVI

   .

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о римских цифрах XIX

Каково значение римских цифр XIX?

Напишем XIX римскими цифрами в развернутом виде, чтобы определить его значение. XIX = X + (X — I) = 10 + (10 — 1) = 19. Следовательно, значение римских цифр XIX равно 19.

Чему равен остаток при делении XIX на VIII?

XIX = 19 и VIII = 8 цифрами. При делении 19 на 8 получается остаток 8. Теперь 3 = III. Следовательно, когда XIX делится на VIII, остаток равен III.

Почему 19 пишется римскими цифрами как XIX?

Мы знаем, что римскими цифрами 9 записывается как IX, а 10 как X.