Автор: alexxlab

Adobe® Acrobat® X Pro позволяет легко превращать HTML-страницы в файлы PDF для более удобного просмотра, совместного использования, печати и архивирования. При использовании Microsoft Internet Explorer или Firefox в Windows® просто щелкните один раз, чтобы преобразовать веб-страницу в PDF с сохранением всего форматирования и ссылок. Хотя преобразование HTMl в PDF-файл с помощью Adobe Acrobat эффективно, оно стоит всего 199 долларов США. Если хотите, возьмите его пробную версию.

Как отобразить ваш PDF-файл в Интернете как веб-страницу?
Как бесплатно конвертировать документ Word в файл PDF?

Статьи по теме

 & # x3C; div style = & # x22; padding: 20px 20px 20px 20px; & # x22; & # x3E; 
 & # x3C; div style = & # x22; float: left; ширина: 50%; семейство шрифтов: Helvetica Neue, Helvetica, Arial, sans-serif; & # x22; & # x3E; 
 & # x3C; p style = & # x22; margin: 5px; размер шрифта: 10px & # x22; & # x3E; Encodian & # x3C; / p & # x3E; 
 & # x3C; p style = & # x22; margin: 5px; font-size: 10px & # x22; & # x3E; Blythe Valley IC, Central Boulevard, Blythe Valley Business Park, Solihull, B90 8AJ & # x3C; / p & # x3E; 
 & # x3C; p style = & # x22; margin: 5px; padding-bottom: 3px; font-size: 8px & # x22; & # x3E; & # x3C; a href = & # x22; https: // www.encodian.com & # x22; target = & # x22; _blank & # x22; style = & # x22; color: # 9F0DA3; & # x22; & # x3E; www.encodian.com & # x3C; / a & # x3E; & # x3C; / p & # x3E; 
 & # x3C; p style = & # x22; margin: 5px; размер шрифта: 8 пикселей; цвет: # 999; & # x22; & # x3E; Уверенная реклама & # x3C; / p & # x3E; 
 & # x3C; p style = & # x22; margin: 5px; размер шрифта: 8 пикселей; цвет: # 999; & # x22; & # x3E; Encodian Solutions Ltd зарегистрирована в Англии и Уэльсе под номером 10200243 & # x3C; / p & # x3E; 
 & # x3C; / div & # x3E; 
 & # x3C; div style = & # x22; float: left; ширина: 50%; & # x22; & # x3E; 
 & # x3C; img style = & # x22; float: right; максимальная ширина: 100 пикселей; высота: авто; & # x22; src = & # x22; https: // prod-cdn-general.azureedge.net/logos/icons/32x32t.png" / & # x3E; 
 & # x3C; / div & # x3E; 
 & # x3C; / div & # x3E; 

 
 
 
 
 
 Encodian 
 
 
 IC Blythe Valley, Центральный бульвар, бизнес-парк Blythe Valley, Солихалл, B90 8AJ 
 
 
  www.encodian.com  
 
 
 Уверенная коммерция 
 
 
 Encodian Solutions Ltd зарегистрирована в Англия и Уэльс № 10200243 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 

Виды и степени нарушений Слуха

Виды и степени нарушений Слуха

Около 10% всего населения Земного шара в той или иной степени имеют нарушения Слуха.

Тугоухость определяют как снижение Cлуха, при котором затруднено общение с окружающими людьми по причине недостаточного восприятия чужой речи. С нарушением восприятия звуков можно столкнуться в любом возрасте. Тугоухость может варьировать по степени тяжести — от легкой до глубокой.

Степень нарушения Слуха определяется в ходе специального исследования, называемого Аудиометрией.  Суть исследования состоит в измерении порога Слухового восприятия человека почастотно.

Если человек слышит  Звуки на всех Частотах до 25 Децибелл (дБ), то его Слух считается нормальным.

Если он слышит только Звуки громче, чем 25 дБ, говорят о снижении Слуха.

Чем большая громкость Звука требуется для того, чтобы человек услышал подаваемый в наушники сигнал, тем большая у него степень Тугоухости.

Согласно Международной классификации Тугоухости:

1. Слух в норме означает, что человек слышит Звуки на всех частотах от 0 до 25 дБ и не испытывает проблем с общением.

2. 1-я степень Тугоухости (слабая) означает, что человек слышит Звуки только громче 26-40 дБ. У него появляются трудности в восприятии тихой и отдаленной речи.

3. 2-я степень Тугоухости (средняя) означает, что человек слышит Звуки только громче 41-55 дБ. У него имеются трудности в восприятии тихой и отдаленной речи, диалога.

4. 3-я степень Тугоухости (средне-тяжелая) означает, что человек слышит Звуки только громче 56-70 дБ. Он воспринимает только громкую речь и испытывает затруднение при коллективном общении и разговоре по телефону.

5. 4-я степень Тугоухости (тяжелая) означает, что человек слышит Звуки только громче 71-90 дБ. Он с трудом воспринимает даже громкую речь. Понятен только крик или усиленная наушниками речь. Разговор по телефону не возможен.

6. Глухота (глубокая) означает, что человек может услышать звуки только громче 91 дБ и испытывает трудности в понимании даже усиленной наушниками речи. 

Снижение Слуха может возникать в следствии различных причин.

Кондуктивная Тугоухость

Эта Тугоухость, вызываемая препятствиями на пути проведения звуковой волны. Такая Тугоухость хорошо лечится либо консервативным, либо хирургическим путем.

Основными причинами развития данного вида Тугоухости являются: скопления ушной серы, средний отит, отосклероз и др. 

Нейросенсорная (сенсоневральная) Тугоухость.

Эта Тугоухость связана с нарушением преобразования механических колебаний в электрические импульсы. Причинами ее развития являются нарушения во внутреннем ухе или улитке. Поражение рецепторов звукового анализатора может быть вызвано акустическими травмами, ототоксическим действием антибиотиков, сосудистыми нарушениями кровоснабжения улитки и др. причинами, приводящими к гибели волосковых клеток внутреннего уха.

Данный вид Тугоухости очень тяжело поддается лечению и может быть компенсирован только Слухопротезированием.  

Смешанная Тугоухость.

Эта Тугоухость представляет  собой сочетание двух вышеупомянутых типов нарушения Слуха

Статья 19. Материальное обеспечение судей / КонсультантПлюс

КонсультантПлюс: примечание.

1. Ежемесячное денежное вознаграждение судьи состоит из месячного оклада в соответствии с замещаемой им должностью судьи (далее — должностной оклад), месячного оклада судьи в соответствии с присвоенным ему квалификационным классом (далее — оклад за квалификационный класс), ежемесячного денежного поощрения, ежемесячной доплаты за выслугу лет, ежемесячных доплат за ученую степень кандидата юридических наук, доктора юридических наук, за ученое звание доцента, профессора, за почетное звание «Заслуженный юрист Российской Федерации», а также в случаях, предусмотренных законодательством Российской Федерации, ежемесячной доплаты за знание иностранных языков и их использование при исполнении должностных обязанностей.

\ usepackage {textcomp}
\ begin {document}
Обозначение степени: 90 \ si {\ textdegree}
\ конец {документ}
 

\ usepackage {gensymb}
\ begin {document}
Обозначение степени: 90 \ si {\ deg}
\ конец {документ}
 

\ usepackage {siunitx}
\ begin {document}
Обозначение степени: 90 \ si {\ deg}
\ конец {документ}
 

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤, ≥.

Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.

Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. Представить эти промежутки не так просто, поэтому интервалы принято рисовать.

Алгоритм решения квадратных неравенств методом интервалов:

1. Найти нули квадратного трехчлена ax^2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.


2. Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.
   

   Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

   
   


3. Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.


4. Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

   Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.

   В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.

   Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −.

   
   


5. Выбрать необходимые интервалы и записать ответ. 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.
   • Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
   • Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
   • Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D < 0), то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.

   Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. 2 — 5x + 6 ≥ 0.

   Как решаем:

   
   
   1. Разложим квадратный трехчлен на множители.
      

      Неравенство примет вид:

      (х — 3) * (х — 2) ≥ 0

   
   
   2. Проанализируем два сомножителя:

      Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х — 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

      Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

      Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

      В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

   
   
   3. Построим чертеж.
      
   
   
   4. Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

      х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:

      (-1 — 3) * (-1 — 2) = -4 * (-3) = 12

      12 > 0

      Вывод: при х < 0 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0.

      Отобразим эти данные на чертеже:

      
      

      2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.

      Подставляем:

      • (2,5 — 3) (2,5 — 2) = -0,5 * 0,5 = — 0,25 < 0

      Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) < 0. Отметим на чертеже:

      
      

      х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

      Подставляем:

      • (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0

      Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.

      
      
   5. Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.

      Если (х — 3) * (х — 2) > 0:

      (x — 3) * (x + 3/2) > 0.

      Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

      Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

      
      

   Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

   Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.

   Как решить неравенство методом интервалов нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:

   
   

   Ответ: -3 < x < -2.

   Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:

   
   

   Как решаем:

   
   
   1. Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
      
   
   
   2. Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
      
   
   
   3. Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).

      Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:

      
      
   4. Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:
      

      Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).

   
   
   5.  

   Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).

   Метод интервалов

    

   Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

    

   1. Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
   2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
   3. Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
   4. Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
   5. Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

   После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) < 0.

   В случае с нестрогими неравенствами( ≤ , ≥) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0;

    

   Пример 1:

    

   Решить неравенство:

   (x — 2)(x + 7) < 0

   Работаем по методу интервалов.

   Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

   (x — 2)(x + 7) = 0

   Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

   x — 2 = 0 => x = 2

   x + 7 = 0 => x = -7

   Получили два корня.

    

   Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

    

    

   Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). 

   Получим:

   f(x) = (x — 2)(x + 7)

   x = 3

   f(3)=(3 — 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

   Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 – это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

    

   Шаг 4:  нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. 

    

    

   Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

   (x — 2)(x + 7) < 0

   Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

    

   Пример 2:

    

   Решить неравенство:

   (9x² — 6x + 1)(x — 2) ≥ 0

   Решение: 

   Для начала необходимо найти корни уравнения 

   (9x² — 6x + 1)(x — 2) = 0

   Свернем первую скобку, получим:

   (3x — 1)²(x — 2) = 0

   Отсюда:

   x — 2 = 0; (3x — 1)² = 0

   Решив эти уравнения получим:

   x₁ = 2; x₂ = ; x₃= ;

   Нанесем точки на числовую прямую:

   Т.к. x₂ и x₃ – кратные корни, то на прямой будет одна точка и над ней “петля”.

   Возьмем любое число меньшее самой левой точки   и подставим в исходное неравенство. Возьмем число -1.

   (9*(-1)² — 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

   Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

   Далее выбираем отрицательные интервалы, т. к. знак нашего неравенства ≤.

   Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.

   Ответ: {} U [2;+∞)

    

   Пример 3:

    

   Решить неравенство:

   (9x² — 6x + 1)(x — 2) > 0

   Все, чем данное неравенство отличается от предыдущего – вместо нестрогого неравенства (≥) стоит строгое (>). Как ни странно, решение данного неравенства будет иным.

   Найдем корни уравнения (9x² — 6x + 1)(x — 2) ≠ 0 (знак ≠ означает, что найденные корни не могут быть решениями нашего неравенства, т.к. оно строгое). Проделав все этапы, что и в предыдущем примере получим:

   x₁= 2; x_2,3 =;

   Вынесем наши решения на числовую прямую (обратите внимания, что данные точки не включены, т.к. неравенство строгое, т.е. левая часть неравенства не равна нулю)

   Обратите внимание, что корни x₂ и x₃ совпадают, корень “” является кратным. Соответственно, в данной точке на числовой прямой рисуем петлю.

   Возьмем число -1.

   (9*(-1)² — 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

   Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

   Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства <.

   Найденные корни не включаем в ответ.

   Ответ: (2;+∞).

   Неравенства методом интервалов

   Рассмотрим, как решать неравенства методом интервалов, на конкретных примерах.

      

   Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

      

      

      

   Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

   Для проверки знака берем 0 (желательно на числовой прямой отметить взятую точку, чтобы потом не забыть, куда ставить знак). Подставляем 0 в последнее неравенство: (2∙0-14)(5∙0+25)= -14∙25, то есть (-)∙(+)= -. Таким образом, в промежуток, из которого взяли нуль, ставим знак «-«, остальные знаки чередуем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

   Ответ:

      

      

   Приравниваем к нулю левую часть:

      

      

   Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

   Для проверки знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. По знакам получаем:

      

   В промежуток, которому принадлежит 0, ставим «+», остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≤0, в ответ выбираем промежутки со знаком «-«. (Не забываем, когда точки закрашенные, а когда — выколотые. Те точки, в которых знаменатель обращается в нуль, выколотые всегда).

   Ответ:

      

      

   Приравниваем к нулю левую часть:

      

   По теореме, обратной теореме Виета

      

   Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

   Для определения знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. Получает (-)/(-)=(+). Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

   Ответ:

      

      

   Переносим все слагаемые в левую часть, приводим к наименьшему общему знаменателю и упрощаем: 

      

      

      

      

   После упрощения решаем неравенство методом интервалов.

   Приравниваем к нулю левую часть:

      

      

   Точек, в которых числитель обращается в нуль, нет. На числовой прямой отмечаем только одну точку:

   Для проверки берем нуль. Подставляя его в последнее неравенство, получаем «+». На другом интервале — «-«. Нам нужен интервал с «-«.

   Ответ:

      

   Как решать более сложные неравенства методом интервалов, рассмотрим в следующий раз.

   Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

         Определение. Рациональным неравенством называют такое неравенство, которое при помощи равносильных преобразований сводится к одному из следующих неравенств

   где   P(x)   и   Q(x)   – многочлены.

        Для решения рациональных неравенств часто используют удобный способ, который получил название «метод интервалов». Продемонстрируем применение метода интервалов на примерах.

         Пример 1. Решить неравенство

   (1)

         Решение. Вводя обозначение

   (2)

   перепишем неравенство (1) в виде

   (3)

         Заметим, что и числитель, и знаменатель дроби из правой части формулы (2) являются произведением выражений типа

   где   a   – вещественное число, а   k   – натуральное число. Действительно, произведение выражений

   (5)

   равно числителю дроби (2), а произведение выражений

   (6)

   равно знаменателю дроби (2).

         В случае, когда показатель степени k   в формуле (4) является нечётным числом, выражение (4) отрицательно для всех значений   x,   лежащих на числовой оси слева от числа   a,   и положительно для всех значений   x,   лежащих на числовой оси справа от числа   a.

         В случае, когда показатель степени k   в формуле (4) является чётным числом, выражение (4) положительно для всех значений   x,   отличных от числа   a.

         Следовательно, если отметить на числовой оси числа

   (7)

   играющие роль числа   a   из формулы (4) в выражениях (5), а также отметить на числовой оси числа

   (8)

   играющие роль числа   a   из формулы (4) в выражениях (6), то внутри каждого из промежутков, полученных на числовой оси, функция (2) будет сохранять свой знак. Другими словами, внутри каждого из полученных промежутков числовой оси значения функции (2) будут или положительными, или отрицательными.

         Для того, чтобы воспользоваться этим рассуждением, отметим на числовой оси в нужном порядке числа (7) и (8), причём числа (7) изобразим закрашенными кружками, а числа (8) – незакрашенными кружками (рис.1).

         Перейдём от рисунка 1 к рисунку 2.

         На рисунке 2 подчёркнуты числа   3   и   4,   то есть те из чисел (7) и (8), которым соответствуют чётные показатели степени в выражениях (5) и (6). Действительно, числам   3   и   4   соответствуют чётные показатели степени в выражениях (5) и (6)подчёркнуто число   3,   то есть то из чисел (7) и (8), которому соответствует чётный показатель степени в выражениях (5) и (6). Действительно, числу   3   соответствует чётный показатель степени в выражении (6), поскольку числу   3   соответствует выражение

   (x – 3 )¹⁰⁰

   с показателем степени   100,   а числу   4   соответствует выражение.

   (x – 4 )²

   с показателем степени   2 .

         Нанесем на рисунок 2 волновую линию, начиная от правого верхнего угла рисунка и двигаясь влево (рис.3) .

         Мы начинаем вести волновую линию от правого верхнего угла рисунка, поскольку справа от всех точек (7) и (8) функция (2) принимает положительные значения.

         Заметим, что волновая линия на рисунке (3) вблизи от подчёркнутых точек 3 и 4подчёркнутой точки 3 располагается по одну сторону от числовой оси, а в точках

   (9)

   которым соответствуют нечётные показатели степени в выражениях (5) и (6), пересекает числовую ось и вблизи от этих точек располагается по разные стороны от числовой оси.

         Важно отметить, что значения функции (2) внутри каждого из промежутков имеют один и тот же знак. При переходе от промежутка к соседнему промежутку через точки (9), которым соответствуют нечётные показатели степени в выражениях (5) и (6), значения функции (2) меняют знак на противоположный. При переходе от промежутка к соседнему промежутку через точки   3   и   4,   которым соответствуют чётные показателиточку   3,   которой соответствует чётный показатель степени в выражениях (5) и (6), значения функции (2) знак не изменяют.

         Нанесем на рисунок 3 знаки   « + »   и   « – »,   как показано на рисунке 4.

         На промежутках, отмеченных знаком   « + »,   функция (2) принимает положительные значения. На промежутках, отмеченных знаком   « – »,   функция (2) принимает отрицательные значения. Отсюда вытекает, что решением неравенства (1) является объединение промежутков, отмеченных знаком   « – »,   поскольку именно на этих промежутках функция (2) принимает отрицательные значения. Для завершения решения примера остаётся лишь добавить, что концы промежутков

   отмеченные на рисунках закрашенными кружками, входят в ответ задачи, а концы промежутков

   отмеченные на рисунках незакрашенными кружками, не входят в ответ задачи.

   Ответ:

         Пример 2. Решить неравенство

   (10)

         Решение. Преобразуем неравенство (10) к такому виду, чтобы можно было применить метод интервалов:

         Неравенство

   (11)

   имеет вид (1). Решим его методом интервалов. Для этого отметим незакрашенными кружками числа

         Проведём волну, начиная движение от правого верхнего угла, и отметим знаками   « + »   и   « – »   промежутки числовой оси (рис.6)

         Решением неравенства (11) являются промежутки, отмеченные знаком   « – » .   Концы промежутков в ответ не входят. 

         Ответ:

         Замечание. Рекомендуем ознакомиться с нашим учебным пособием «Решение рациональных неравенств», близко связанным с материалом данного раздела справочника.

         На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

   § Как решать квадратные неравенства. Метод интервалов

   Требуется решить квадратное неравенство.

   x² + x − 12

   Итак, согласно п.1 мы должны перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль. В заданном неравенстве «x² + x − 12 » ничего дополнительно делать не требуется, так как в правой части и так уже стоит ноль.

   Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед «x²» стоял положительный коэффициент. В неравенстве «x² + x − 12 » при «x²» стоит положительный коэффициент «1», значит, снова нам ничего делать не требуется.

   Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

   x² + x − 12 = 0

   x_1;2 =

   −1 ± √12 − 4 · 1 · (−12)

   2 · 1

   x_1;2 =

   x_1;2 =

   x_1;2 =

   
   

   x1 =	x2 =
   x1 =	x2 =
   x1 = −4	x2 = 3

   Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

   Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси разным образом.

   Теперь, как сказано в п. 5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

   Проставим знаки внутри интервалов. Справа налево чередуя, начиная с «+», отметим знаки.

   Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.

   Так как в нашем неравенстве «x² + x − 12 », значит, нам требуются отрицательные интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

   Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами «−4» и «3», поэтому запишем его в ответ в виде двойного неравенства
   −4 .

   Запишем полученный ответ квадратного неравенства.

   Ответ: −4

   Именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название.

   После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

   Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа −4 и подставим его вместо «x» в исходное неравенство. Если мы получим верное неравенство, значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

   Возьмем, например, из интервала число «0». Подставим его в исходное неравенство «x² + x − 12 ».

   x² + x − 12

   0² + 0 − 12 −12 (верно)

   Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.

   Краткая запись решения методом интервалов

   Сокращенно запись решения квадратного неравенства «x² + x − 12 » методом интервалов будет выглядеть так:

   x² + x − 12

   x² + x − 12 = 0

   x_1;2 =

   −1 ± √12 − 4 · 1 · (−12)

   2 · 1

   x_1;2 =

   x_1;2 =

   x_1;2 =

   x1 =	x2 =
   x1 =	x2 =
   x1 = −4	x2 = 3

   Ответ: −4

   Другие примеры решения квадратных неравенств

   Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:

   2x² − x ≥ 0

   В правой части неравенство уже стоит ноль. При «x²» стоит «2» (положительный коэффициент), значит можно сразу переходить к поиску корней.

   2x² − x ≥ 0

   2x² − x = 0

   x_1;2 =

   −(−1) ± √(−12) − 4 · 2 · 0

   2 · 2

   x_1;2 =

   x_1;2 =

   x1 =	x2 =
   x1 =	x2 =
   x1 =	x2 = 0

   Ответ: x ≤ 0;    x ≥

   ---

   Рассмотрим пример, где перед «x²» в квадратном неравенстве стоит отрицательный коэффициент.

   −x² − 3x + 4 ≥ 0

   По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы перед «x²» стоял положительный коэффициент. Для этого умножим все неравенство на «−1».

               −x² − 3x + 4 ≥ 0 | ·(−1)
   x² + 3x − 4 ≤ 0
   

   Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».

   x² + 3x − 4 ≤ 0

   x² + 3x − 4 = 0

   x_1;2 =

   −3 ± √32 − 4 · 1 · (−4)

   2 · 1

   
   x_1;2 =

   x_1;2 =

   x_1;2 =

   x1 =	x2 =
   x1 =	x2 =
   x1 = 4	x2 = −1

   Важно!

   При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства перед нахождением его корней.

   В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это «x² + 3x − 4 ≤ 0».

   Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком «−».

   Ответ: −1 ≤ x ≤ 4

   ---

   К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше. Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

   Как решить квадратные неравенства в таких случаях, мы разберем в следующем уроке «Квадратные неравенства с одним корнем или без корней».

   
   

   ---

   Решение неравенств методом интервалов тест по алгебре

   Сложность: знаток.Последний раз тест пройден более 24 часов назад.

   Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории

   Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

   1. Вопрос 1 из 10

      Решите неравенство

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 61% ответили правильно
      • 61% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Следующий вопросОтветить

   2. Вопрос 2 из 10

      Решением неравенства x² + 2x – 48 < 0 является промежуток

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 72% ответили правильно
      • 72% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Ответить

   3. Вопрос 3 из 10

      Решите неравенство

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 67% ответили правильно
      • 67% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Ответить

   4. Вопрос 4 из 10

      Решением неравенства (х – 2)(х – 5)(х – 4) > 0 является промежуток

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 73% ответили правильно
      • 73% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Ответить

   5. Вопрос 5 из 10

      Решите неравенство

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 56% ответили правильно
      • 56% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Ответить

   6. Вопрос 6 из 10

      Решением неравенства (x — 3)(x — 9) > 0 является промежуток

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 60% ответили правильно
      • 60% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Ответить

   7. Вопрос 7 из 10

      Решите неравенство

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 56% ответили правильно
      • 56% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Ответить

   8. Вопрос 8 из 10

      Какой промежуток является решением неравенства (2 + x)(14 — x) < 0?

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 62% ответили правильно
      • 62% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Ответить

   9. Вопрос 9 из 10

      Решите неравенство

      • Правильный ответ
      • Неправильный ответ
      • Вы и еще 53% ответили правильно
      • 53% ответили правильно на этот вопрос

      В вопросе ошибка?

      Ответить

   10. Вопрос 10 из 10

       Какой промежуток является решением неравенства x(8 — x)(12 + x) > 0?

       • Правильный ответ
       • Неправильный ответ
       • Вы и еще 65% ответили правильно
       • 65% ответили правильно на этот вопрос

       В вопросе ошибка?

       Ответить

   Доска почёта

   Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

   ТОП-4 тестакоторые проходят вместе с этим

   Рейтинг теста

   Средняя оценка: 3.7. Всего получено оценок: 470.

   А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.

   Решение неравенств второй степени с одной переменной. Метод интервалов 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

   Тема 6.

   Решение неравенств второй степени с одной переменной. Метод интервалов.

   Неравенства вида

   ax² + bx + c > 0 и ax² + bx + c

   где x – переменная, a, b и c – некоторые числа и a ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

   Решение неравенства ax² + bx + c > 0 или ax² + bx + c y = ax² + bx + c принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции y = ax² + bx + c в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

   Пример:

   Решить неравенство: x² + 2x — 48

   Введем функцию y = x² + 2x — 48.

   Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как a = 1.

   Выясним, как расположен график этой функции относительно оси x. Для этого решим квадратное уравнение x² + 2x — 48 = 0.

   Это уравнение имеет два корня:

   x₁ = -8 и x₂ = 6.

   Значит, парабола y = x² + 2x — 48 пересекает ось x в двух точках, абсциссы которых равны -8 и 6. Схематично изобразим эту параболу.

   Ответ: x∈-8;6

   Решим неравенство:

   —x² + 2x + 15

   График функции y = —x² + 2x + 15 – это парабола, ветви которой направлены вниз, так как a

   Выясним, как расположен график функции y = —x² + 2x + 15 в координатной плоскости, пересекает ли он ось x и в каких точках.

   Для этого решим уравнение:

   —x² + 2x + 15 = 0

   x₁=-3; x₂=5

   Схематично изобразим эту параболу

   Функция принимает отрицательные значения при x принадлежит -∞;-3 или 5;+∞.

   Ответ: x∈-∞;-3∪5;+∞

   Решим неравенство:

   2x² — 3x + 8 > 0

   Графиком функции y = 2x² — 3x + 8 является парабола, ветви которой направлены вверх, так как a > 0. Выясним, как располагается эта парабола относительно оси x. Для этого решим квадратное уравнение:

   2x² — 3x + 8 = 0

   D = 9 — 4 ∙ 2 ∙ 8 = -55

   Данное уравнение не имеет корней, значит, парабола не пересекает ось x. Схематично покажем, как располагается эта парабола относительно оси x.

   Из рисунка видно, что данная функция принимает положительные значения при любом значении x.

   Ответ: -∞;+∞

   Итак, для решения неравенств вида

   ax² + bx + c > 0 и ax² + bx + c

   1. Выяснить имеет ли квадратный трехчлена ax² + bx + c имеет ли трехчлен корни;
   2. Если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх, если a > 0 или вниз, если a a > 0 или в нижней полуплоскости при a
   3. На оси x найти промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство ax² + bx + c > 0) или ниже оси x (если решают неравенство ax² + bx + c

   Рассмотрим функцию

   fx=x+1x-2x+3

   Областью определения этой функции является множество всех чисел. Точки -3, -1 и 2 нули функции, которые разбивают область определения на промежутки -∞;-3,-3;-1,-1;2,2;+∞. Выясним знак функции в каждом из указанных промежутков.

   Выражение (x + 1)(x — 2)(x + 3) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице.

   	-∞;-3	-3;-1	-1;2	2;+∞
   x + 3	—	+	+	+
   x + 1	—	—	+	+
   x — 2	—	—	—	+

   Отсюда ясно, что:

   Если x∈-∞;-3, то fx<0;

   Если x∈-3;-1, то fx>0;

   Если x∈-1;2, то fx<0;

   Если x∈2;+∞, то fx>0;

   Видно, что в каждом из промежутков

   -∞;-3,-3;-1,-1;2,2;+∞ функция сохраняет знак, а при переходе через точки -3, -1 и 2 ее знак изменяется.

   Вообще пусть функция задана формулой

   fx=x-x1x-x2…x-xn, где x – переменная, а x₁, x₂, …, x_n не равные друг другу числа. Числа x₁, x₂, …, x_n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через ноль знак изменяется.

   Это свойство используется для решений неравенств вида:

   x-x1x-x2…x-xn>0,

   x-x1x-x2…x-xn<0.

   x-5x+3x+7>0

   Введем функцию fx=x-5x+3x+7

   Найдем нули функции: -7, -3 и 5

   Определим знак функции в каждом из этих промежутков. В крайнем правом промежутке функция положительна, а далее знаки чередуются.

   Ответ: -7;-3∪5;+∞

   Итак, чтобы решить неравенство методом интервалов, надо:

   1. Ввести функцию;
   2. Найти нули этой функции;
   3. Нанести нули функции на числовую прямую;
   4. Определить знак в каждом промежутке;
   5. Посмотреть знак и выделить нужный интервал.

   Решить неравенства | Начальная алгебра

   Цели обучения

   • Опишите решения проблемы неравенства
     • Изобразите неравенства на числовой прямой
     • Изобразите неравенства, используя обозначение интервалов
   • Решите пошаговые неравенства
     • Используйте свойства сложения и умножения, чтобы решать алгебраические неравенства и выражать их решения графически и с интервальной нотацией
     • Решите неравенства, содержащие абсолютное значение
   • Решите многоступенчатые неравенства
     • Объединение свойств неравенства для выделения переменных, решения алгебраических неравенств и графического представления их решений
     • Упростите и решите алгебраические неравенства, используя свойство распределенности для удаления скобок и дробей

   Изобразите неравенства на числовой прямой

   Во-первых, давайте определимся с важной терминологией. Неравенство — это математическое утверждение, которое сравнивает два выражения, используя идеи больше или меньше чем. В этих утверждениях используются специальные символы. Когда вы читаете неравенство, читайте его слева направо — как если бы вы читали текст на странице. В алгебре неравенства используются для описания больших наборов решений. Иногда существует бесконечное количество чисел, которые удовлетворяют неравенству, поэтому вместо того, чтобы пытаться перечислить бесконечное количество чисел, мы разработали несколько способов краткого описания очень больших списков.

   Первый способ, с которым вы, вероятно, знакомы — основное неравенство. Например:

   • [latex] {x} \ lt {9} [/ latex] указывает список чисел, которые меньше 9. Вы бы предпочли написать [latex] {x} \ lt {9} [/ latex] или попробовать перечислить все возможные числа меньше 9? (надеюсь, ваш ответ отрицательный)
   • [латекс] -5 \ le {t} [/ latex] указывает все числа, которые больше или равны [latex] -5 [/ latex].

   Обратите внимание, как размещение переменной слева или справа от знака неравенства может изменить, ищете ли вы больше или меньше.

   Например:

   • [латекс] x \ lt5 [/ latex] означает все действительные числа, которые меньше 5, тогда как;
   • [latex] 5 \ lt {x} [/ latex] означает, что 5 меньше x, или мы могли бы переписать это с x слева: [latex] x \ gt {5} [/ latex] обратите внимание, как неравенство по-прежнему указывает то же направление относительно x. Этот оператор представляет все действительные числа, которые больше 5, что легче интерпретировать, чем 5 меньше x.

   Второй способ — построить график с использованием числовой прямой:

   И третий способ — с интервалом.

   В этом разделе мы подробно рассмотрим второй и третий способы. Опять же, эти три способа написать решения неравенства:

   • неравенство
   • интервал
   • график

   Признаки неравенства

   В рамке ниже показаны символ, значение и пример для каждого знака неравенства. Иногда легко запутаться в неравенствах, просто не забывайте читать их слева направо.

   Символ	слов	Пример
   [латекс] \ neq [/ латекс]	не равно	[латекс] {2} \ neq {8} [/ latex], 2 это не равно до 8 .
   [латекс] \ gt [/ латекс]	больше	[латекс] {5} \ gt {1} [/ латекс], 5 больше, чем 1
   [латекс] \ lt [/ латекс]	менее	[латекс] {2} \ lt {11} [/ латекс], 2 меньше 11
   [латекс] \ geq [/ латекс]	больше или равно	[латекс] {4} \ geq {4} [/ latex], 4 больше или равно 4
   [латекс] \ leq [/ латекс]	меньше или равно	[латекс] {7} \ leq {9} [/ latex], 7 меньше или равно 9

   Неравенство [latex] x> y [/ latex] также можно записать как [latex] {y} <{x} [/ latex]. Стороны любого неравенства можно поменять местами, если символ неравенства между ними также перевернут.

   Графическое изображение неравенства

   Неравенства также можно изобразить на числовой прямой. Ниже приведены три примера неравенств и их графики. Графики — очень полезный способ визуализировать информацию, особенно когда эта информация представляет собой бесконечный список чисел!

   [латекс] х \ leq -4 [/ латекс]. Это переводится во все действительные числа в числовой строке, которые меньше или равны 4.

   [латекс] {x} \ geq {-3} [/ латекс]. Это переводится во все действительные числа в числовой строке, которые больше или равны -3.

   Каждый из этих графиков начинается с круга — открытого или замкнутого (заштрихованного) круга. Эту точку часто называют конечной точкой решения. Замкнутый или заштрихованный круг используется для обозначения неравенств больше или равно [latex] \ displaystyle \ left (\ geq \ right) [/ latex] или меньше или равно [latex] \ displaystyle. \ left (\ leq \ right) [/ латекс].Дело в том, что это часть решения. Открытый кружок используется для больше (>) или меньше (<). Дело в , а не в части решения.

   Затем график бесконечно продолжается в одном направлении. Это показано линией со стрелкой в ​​конце. Например, обратите внимание, что для графа [latex] \ displaystyle x \ geq -3 [/ latex], показанного выше, конечной точкой является [latex] −3 [/ latex], представленная замкнутым кругом, поскольку неравенство составляет больше или равно [латекс] -3 [/ латекс].Синяя линия рисуется справа от числовой, потому что значения в этой области больше, чем [latex] −3 [/ latex]. Стрелка в конце указывает, что решения продолжаются бесконечно.

   Пример

   График неравенства [латекс] x \ ge 4 [/ латекс]

   Показать решение

   Мы можем использовать числовую линию, как показано. Поскольку значения x включают 4, мы помещаем сплошную точку на числовой прямой с номером 4.

   Затем мы рисуем линию, которая начинается с [latex] x = 4 [/ latex] и, как указано стрелкой, продолжается до положительной бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа, большие или равные 4.
   

   В этом видео показан пример построения графика неравенства.
   

   Пример

   Напишите неравенство, описывающее все действительные числа на числовой прямой, которые меньше 2, а затем нарисуйте соответствующий график.

   Показать решение

   Нам нужно начать слева и работать вправо, поэтому мы начинаем с отрицательной бесконечности и заканчиваем на [latex] -2 [/ latex]. Мы не будем включать ни то, ни другое, потому что бесконечность не является числом, и неравенство не включает [латекс] -2 [/ латекс].

   Неравенство: [латекс] x <2 [/ латекс]

   Чтобы нарисовать график, сначала поместите открытую точку на числовой прямой, а затем нарисуйте линию, идущую влево. Нарисуйте стрелку в самой левой точке линии, чтобы указать, что она продолжается до бесконечности.

   В следующем видео показано, как математически написать неравенство, если оно выражается словами. Затем мы построим его график.
   

   Изобразите неравенства, используя обозначение интервала

   Другой широко используемый и, возможно, самый краткий метод описания неравенств и решений неравенств называется интервальной нотацией . Согласно этому соглашению, наборы состоят из круглых или квадратных скобок, каждая из которых имеет свое значение. Решения для [latex] x \ geq 4 [/ latex] представлены как [latex] \ left [4, \ infty \ right) [/ latex]. Этот метод широко используется и будет присутствовать в других курсах математики, которые вы, возможно, пройдете.

   Основная концепция, которую следует запомнить, заключается в том, что круглые скобки представляют решения больше или меньше числа, а квадратные скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу.Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле слова и, следовательно, не могут быть «равны». Несколько примеров интервала или набора чисел, в который попадает решение: [latex] \ left [-2,6 \ right) [/ latex] или все числа между [latex] -2 [/ латекс] и [латекс] 6 [/ латекс], включая [латекс] -2 [/ латекс], но не включая [латекс] 6 [/ латекс]; [latex] \ left (-1,0 \ right) [/ latex], все действительные числа между, но не включая [latex] -1 [/ latex] и [latex] 0 [/ latex]; и [latex] \ left (- \ infty, 1 \ right] [/ latex], все действительные числа меньше, включая [latex] 1 [/ latex].В таблице ниже представлены возможные варианты. Не забывайте читать неравенства слева направо, как текст.

   В таблице ниже описаны все возможные неравенства, которые могут возникнуть, и способы их записи с использованием интервальной записи, где a и b — действительные числа.

   The entries in the third row are: All real numbers greater than a, but not including a; {x| x > a}; (a , infinity). The entries in the fourth row are: All real numbers less than b, but not including b; {x| x < b}; (negative infinity, b). The entries in the fifth row are: All real numbers greater than a, including a; {x| x a}; [a, infinity). The entries in the sixth row are: All real numbers less than b, including b; {x| x b}; (negative infinity, b]. The entries in the seventh row are: All real numbers between a and b, including a; {x| a x < b}; [a, b). The entries in the eighth row are: All real numbers between a and b, including b; {x| a < x b}; (a, b]. The entries in the ninth row are: All real numbers between a and b, including a and b; {x| a x b}; [a, b]. The entries in the tenth row are: all real numbers less than a and greater than b; {x| x < a and x > b}; (negative infinity, a) union (b, infinity). The entries in the eleventh row are: All real numbers; {x| x is all real numbers}; (negative infinity, infinity). «>

   Неравенство	слов	Интервальное обозначение
   [латекс] {a} \ lt {x} \ lt {b} [/ латекс]	все действительные числа от a до b , не включая a и b	[латекс] \ левый (а, б \ правый) [/ латекс]
   [латекс] {x} \ gt {a} [/ латекс]	Все действительные числа больше a , но не включая a	[латекс] \ слева (a, \ infty \ right) [/ латекс]
   [латекс] {x} \ lt {b} [/ латекс]	Все действительные числа меньше b , но не включая b	[латекс] \ влево (- \ infty, b \ right) [/ латекс]
   [латекс] {x} \ ge {a} [/ латекс]	Все действительные числа больше a , включая a	[латекс] \ left [a, \ infty \ right) [/ latex]
   [латекс] {x} \ le {b} [/ латекс]	Все действительные числа меньше b , включая b	[латекс] \ влево (- \ infty, b \ right] [/ латекс]
   [латекс] {a} \ le {x} \ lt {b} [/ латекс]	Все действительные числа от до и b , включая и	[латекс] \ слева [a, b \ справа) [/ латекс]
   [латекс] {a} \ lt {x} \ le {b} [/ латекс]	Все действительные числа между a и b , включая b	[латекс] \ левый (а, б \ правый] [/ латекс]
   [латекс] {a} \ le {x} \ le {b} [/ latex]	Все действительные числа между a и b , включая a и b	[латекс] \ слева [a, b \ справа] [/ латекс]
   [латекс] {x} \ lt {a} \ text {или} {x} \ gt {b} [/ latex]	Все действительные числа меньше a или больше b	[латекс] \ left (- \ infty, a \ right) \ чашка \ left (b, \ infty \ right) [/ latex]
   Все вещественные числа	Все вещественные числа	[латекс] \ левый (- \ infty, \ infty \ right) [/ латекс]

   Пример

   Опишите неравенство [латекс] x \ ge 4 [/ latex], используя обозначение интервала

   Показать решение

   Решения для [latex] x \ ge 4 [/ latex] представлены как [latex] \ left [4, \ infty \ right) [/ latex].

   Обратите внимание на использование кронштейна слева, потому что 4 включены в набор решений.

   В следующем видео мы показываем еще один пример использования обозначения интервалов для описания неравенства.
   

   Пример

   Используйте обозначение интервала, чтобы указать все действительные числа, большие или равные [latex] -2 [/ latex].

   Показать решение

   Используйте скобку слева от [latex] -2 [/ latex] и скобки после бесконечности: [latex] \ left [-2, \ infty \ right) [/ latex].Скобка указывает, что [латекс] -2 [/ латекс] включен в набор со всеми действительными числами от [латекс] -2 [/ латекс] до бесконечности.

   В следующем видео мы показываем еще один пример преобразования слов в неравенство и записи его в интервальной нотации, а также рисование графика.
   

   Подумай об этом

   В предыдущих примерах вам давали неравенство или описание одного со словами и просили нарисовать соответствующий график и записать интервал.В этом примере вам дается интервал и предлагается записать неравенство и нарисовать график.

   Дано [latex] \ left (- \ infty, 10 \ right) [/ latex], запишите соответствующее неравенство и нарисуйте график.

   В поле ниже запишите, считаете ли вы, что сначала будет проще нарисовать график или сначала записать неравенство.

   Показать решение

   Сначала нарисуем график.

   Интервал читается как «все действительные числа меньше 10», поэтому мы начнем с того, что поставим точку на 10 и проведем линию влево со стрелкой, указывающей, что решение продолжается до отрицательной бесконечности.

   Чтобы записать неравенство, мы будем использовать <, поскольку круглые скобки указывают, что 10 не включено. [латекс] x <10 [/ латекс]

   В следующем видео вы увидите примеры того, как нарисовать график с учетом неравенства в обозначении интервалов.

   И, наконец, последнее видео, в котором показано, как записывать неравенства с помощью графика, с обозначением интервалов и в виде неравенства.

   Решите пошаговые неравенства

   Решите неравенства сложением и вычитанием

   Вы можете решить большинство неравенств, используя обратные операции, как вы это делали для решения уравнений.Это потому, что, когда вы добавляете или вычитаете одно и то же значение с обеих сторон неравенства, вы сохраняете неравенство. Эти свойства указаны в поле ниже.

   Сложение и вычитание свойств неравенства

   Если [латекс] a> b [/ латекс], , то [латекс] a + c> b + c [/ латекс].

   Если [латекс] a> b [/ latex] , , то [латекс] a-c> b-c [/ latex].

   Поскольку неравенство имеет несколько возможных решений, графическое представление решений дает полезную визуализацию ситуации, как мы видели в последнем разделе.В приведенном ниже примере показаны шаги для решения и графического представления неравенства и выражения решения с использованием интервальной записи.

   Пример

   Решите относительно x.

   [латекс] {x} +3 \ lt {5} [/ латекс]

   Показать решение

   Полезно думать об этом неравенстве как о том, что вам предлагается найти все значения для x , включая отрицательные числа, так что при сложении трех вы получите число меньше 5.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} x + 3 <\, \, \, \, 5 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, - 3 \, \, \, \, - 3} \\ x \, \, \, \, \, \, \, \, <\, \, \, \, 2 \, \, \ end {array} [/ latex]

   Выделите переменную, вычтя 3 из обеих частей неравенства.

   Ответ

   Неравенство: [латекс] x <2 [/ латекс]

   Интервал: [латекс] \ влево (- \ infty, 2 \ вправо) [/ латекс]

   График:

   Линия представляет всех чисел, к которым можно сложить 3 и получить число меньше 5. Есть много чисел, которые разрешают это неравенство!

   Так же, как вы можете проверить решение уравнения, вы можете проверить решение неравенства. Сначала вы проверяете конечную точку, подставляя ее в соответствующее уравнение.Затем вы проверяете, верно ли неравенство, подставляя любое другое решение, чтобы увидеть, является ли оно одним из решений. Поскольку существует несколько решений, рекомендуется проверить более одного из возможных решений. Это также может помочь вам проверить правильность вашего графика.

   В приведенном ниже примере показано, как вы можете проверить, что [latex] x <2 [/ latex] является решением для [latex] x + 3 <5 [/ latex] .

   Пример

   Убедитесь, что [latex] x <2 [/ latex] является решением для [latex] x + 3 <5 [/ latex].

   Показать решение

   Подставьте конечную точку 2 в соответствующее уравнение [латекс] x + 3 = 5 [/ латекс].

   [латекс] \ begin {array} {r} x + 3 = 5 \\ 2 + 3 = 5 \\ 5 = 5 \ end {array} [/ latex]

   Выберите значение меньше 2, например 0, чтобы проверить неравенство. (Это значение будет на затененной части графика.)

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} x + 3 <5 \\ 0 + 3 <5 \\ 3 <5 \ end {array} [/ latex]

   Проверяет!

   [латекс] x <2 [/ latex] - это решение для [latex] x + 3 <5 [/ latex].

   В следующих примерах показаны проблемы неравенства, которые включают операции с отрицательными числами. Также показан график решения неравенства. Не забудьте проверить решение. Это хорошая привычка!

   Пример

   Решить для x : [латекс] x-10 \ leq-12 [/ латекс]

   Показать решение

   Выделите переменную, добавив 10 к обеим сторонам неравенства.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} x-10 \ le -12 \\\ underline {\, \, \, + 10 \, \, \, \, \, + 10} \\ x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ le \, \, \, — 2 \ end {array} [/ latex]

   Ответ

   Неравенство: [латекс] x \ leq-2 [/ latex]
   Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, -2 \ right] [/ latex]
   График: Обратите внимание, что используется замкнутый круг, потому что неравенство «меньше или равно» [латекс] \ left (\ leq \ right) [/ latex]. Синяя стрелка нарисована слева от точки [латекс] -2 [/ латекс], потому что это значения меньше, чем [латекс] -2 [/ латекс].
   

   Проверьте раствор [латекс] x-10 \ leq -12 [/ latex]

   Показать решение

   Подставьте конечную точку [латекс] -2 [/ латекс] в соответствующее уравнение [латекс] x-10 = -12 [/ латекс]

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} x-10 = -12 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, — 2-10 = -12? \\ — 12 = -12 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   Выберите значение меньше [латекс] -2 [/ латекс], например [латекс] -5 [/ латекс], чтобы проверить неравенство.(Это значение будет на затененной части графика.)

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} x-10 \ le -12 \, \, \, \\\ text {} \, \ text {Is} \, \, — 5-10 \ le -12? \\ — 15 \ le -12 \, \, \, \\\ text {It} \, \ text {проверяет!} \ End {array} [/ latex]

   [latex] x \ leq -2 [/ latex] — это решение [latex] x-10 \ leq -12 [/ latex]

   Пример

   Решите относительно и . [латекс] a-17> -17 [/ латекс]

   Показать решение

   Выделите переменную, добавив 17 к обеим сторонам неравенства.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} a-17> -17 \\\ подчеркивание {\, \, \, + 17 \, \, \, \, \, + 17} \\ a \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,> \, \, \, \, \, \, 0 \ end {array} [/ latex]

   Ответ

   Неравенство: [латекс] \ displaystyle a \, \,> \, 0 [/ latex]

   Интервал: [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex] Обратите внимание, как мы используем скобки слева, чтобы показать, что решение не включает 0.

   График: обратите внимание на пустой кружок, чтобы показать, что решение не включает 0.

   Проверьте раствор [латекс] a-17> -17 [/ латекс]

   Показать решение

   [latex] \ displaystyle a \, \,> \, 0 [/ latex] — правильное решение для [latex] a-17> -17 [/ latex]?

   Подставьте конечную точку 0 в соответствующее уравнение.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} a-17 = -17 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, 0-17 = -17? \\ — 17 = -17 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   Выберите значение больше 0, например 20, чтобы проверить неравенство. (Это значение будет на затененной части графика.)

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} a-17> -17 \, \, \, \\\ text {Is} \, \, 20-17> -17? \\ 3> -17 \, \, \, \\\\\ text {Проверяет!} \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   [latex] \ displaystyle a \,> \, 0 [/ latex] — это решение для [latex] a-17> -17 [/ latex]

   Предыдущие примеры показали вам, как решить одношаговое неравенство с переменной в левой части.В следующем видео представлены примеры того, как разрешить однотипное неравенство.

   Что бы вы сделали, если бы переменная находилась в правой части неравенства? В следующем примере вы увидите, как справиться с этим сценарием.

   Пример

   Решить относительно x : [латекс] 4 \ geq {x} +5 [/ латекс]

   Показать решение

   Выделите переменную, добавив 10 к обеим сторонам неравенства.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4 \ geq {x} +5 \\\ подчеркивание {\, \, \, — 5 \, \, \, \, \, — 5} \\ -1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ ge \, \, \, x \ end {array} [/ latex]

   Перепишите неравенство с переменной слева — это упростит запись интервала и построение графика.

   [латекс] x \ le {-1} [/ латекс]

   Обратите внимание, как острая часть неравенства по-прежнему направлена ​​на переменную, поэтому вместо того, чтобы читать как отрицательное значение больше или равно x, теперь оно читается как x меньше или равно отрицательному.

   Ответ

   Неравенство: [latex] x \ le {-1} [/ latex] Это также можно записать как
   Interval: [latex] \ left (- \ infty, -1 \ right] [/ latex]
   График: Обратите внимание, что замкнутый круг используется, потому что неравенство «меньше или равно».Синяя стрелка нарисована слева от точки [latex] -1 [/ latex], потому что это значения меньше, чем [latex] -1 [/ latex].
   

   Проверьте решение для [latex] 4 \ geq {x} +5 [/ latex]

   Показать решение

   Подставьте конечную точку [латекс] -1 [/ latex] в соответствующее уравнение [латекс] 4 = x + 5 [/ latex]

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4 = x + 5 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, 4 = -1 + 5? \\ — 1 = -1 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   Выберите значение меньше [латекс] -1 [/ латекс], например [латекс] -5 [/ латекс], чтобы проверить неравенство. (Это значение будет на затененной части графика.)

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4 \ geq {-5} +5 \, \, \, \\\ text {} \, \ text {Is} \, \, 4 \ ge 0 ? \\\ text {It} \, \ text {проверяет!} \ end {array} [/ latex]

   [latex] x \ le {-1} [/ latex] — это решение [latex] 4 \ geq {x} +5 [/ latex]

   В следующем видео показаны примеры решения неравенств с переменной справа.
   

   Решите неравенства умножением и делением

   Решение неравенства с переменной, имеющей коэффициент, отличный от 1, обычно включает умножение или деление.Эти шаги подобны решению одношаговых уравнений, включающих умножение или деление, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ знака неравенства. Давайте посмотрим, что происходит с неравенством, когда вы умножаете или делите каждую сторону на одно и то же число.

   Начнем с истинного утверждения: [латекс] 10> 5 [/ латекс]	Давайте попробуем еще раз, начав с того же истинного утверждения: [латекс] 10> 5 [/ латекс]
   Затем умножьте обе стороны на одинаковое положительное число: [латекс] 10 \ cdot 2> 5 \ cdot 2 [/ латекс]	На этот раз умножьте обе стороны на одно и то же отрицательное число: [латекс] 10 \ cdot-2> 5 \\ \, \, \, \, \, \ cdot -2 \, \ cdot-2 [/ латекс]
   20 больше 10, поэтому истинное неравенство сохраняется: [латекс] 20> 10 [/ латекс]	Погодите! [latex] −20 [/ latex] не на больше, чем на [latex] −10 [/ latex], поэтому у вас неверное утверждение. [латекс] -20> -10 [/ латекс]
   При умножении на положительное число оставьте знак неравенства как есть!	Вы ​​должны «перевернуть» знак неравенства, чтобы утверждение стало верным: [латекс] -20 <-10 [/ латекс]

   Внимание! Когда вы умножаете или делите на отрицательное число, «переверните» знак неравенства. Всякий раз, когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число, знак неравенства должен быть перевернут, чтобы утверждение оставалось верным.Эти правила кратко изложены во вставке ниже.

   ---

   Свойства неравенства умножения и деления

   Начать с	Умножить на	Окончательное неравенство
   [латекс] a> b [/ латекс]	[латекс] c [/ латекс]	[латекс] ac> bc [/ латекс]
   [латекс] a> b [/ латекс]	[латекс] -c [/ латекс]	[латекс] ac

   Начать с	Разделить на	Окончательное неравенство
   [латекс] a> b [/ латекс]	[латекс] c [/ латекс]	[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {c}> \ frac {b} {c} [/ latex]
   [латекс] a> b [/ латекс]	[латекс] -c [/ латекс]	[латекс] \ displaystyle \ frac {a} {c} <\ frac {b} {c} [/ latex]

   Имейте в виду, что вы меняете знак только при умножении и делении на отрицательное число . Если сложить или вычесть на отрицательное число, неравенство останется прежним.

   Пример

   Решите относительно x. [латекс] 3x> 12 [/ латекс]

   Показать решение Разделите обе части на 3, чтобы изолировать переменную.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ underline {3x}> \ underline {12} \\ 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 3 \\ x> 4 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   Проверьте свое решение, сначала проверив конечную точку 4, а затем проверив другое решение на предмет неравенства.

   [латекс] \ begin {array} {r} 3 \ cdot4 = 12 \\ 12 = 12 \\ 3 \ cdot10> 12 \\ 30> 12 \\\ text {Проверяет!} \ End {array} [/ латекс]

   Ответ

   Неравенство: [латекс] \ displaystyle x> 4 [/ latex]

   Интервал: [латекс] \ left (4, \ infty \ right) [/ latex]

   График:

   Не было необходимости вносить какие-либо изменения в знак неравенства, потому что обе части неравенства были разделены на положительное значение 3. В следующем примере есть деление на отрицательное число, поэтому есть дополнительный шаг в решении!

   Пример

   Решите для x .[латекс] -2x> 6 [/ латекс]

   Показать решение Разделите каждую сторону неравенства на [latex] −2 [/ latex], чтобы изолировать переменную, и измените направление знака неравенства из-за деления на отрицательное число.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ underline {-2x} <\ underline {\, 6 \,} \\ - 2 \, \, \, \, - 2 \, \\ x < -3 \ end {array} [/ latex]

   Проверьте свое решение, сначала проверив конечную точку [latex] −3 [/ latex], а затем проверив другое решение на предмет неравенства.

   [латекс] \ begin {array} {r} -2 \ left (-3 \ right) = 6 \\ 6 = 6 \ -2 \ left (-6 \ right)> 6 \\ 12> 6 \ end {array} [/ latex]

   Проверяет!

   Ответ

   Неравенство: [латекс] \ displaystyle x <-3 [/ latex]

   Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, -3 \ right) [/ latex]

   График:
   Поскольку обе стороны неравенства были разделены отрицательным числом [латекс] -2 [/ latex], символ неравенства был изменен с> на <.

   В следующем видео показаны примеры решения одношаговых неравенств с использованием свойства равенства умножения, где переменная находится слева.

   Подумай об этом

   Прежде чем читать решение следующего примера, подумайте, какие свойства неравенств вам, возможно, потребуется использовать для решения неравенства. Чем этот пример отличается от предыдущего? Напишите свои идеи в поле ниже.

   Решите для x .[латекс] — \ frac {1} {2}> — 12x [/ латекс]

   Показать решение

   Это неравенство имеет переменную в правой части, которая отличается от предыдущих примеров. Начните процесс решения, как и раньше, а в конце вы можете переместить переменную влево, чтобы записать окончательное решение.

   Разделите обе стороны на [латекс] -12 [/ латекс], чтобы изолировать переменную. Поскольку вы делите на отрицательное число, вам нужно изменить направление знака неравенства.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} — \ frac {1} {2} \ gt {-12x} \\\\\ frac {- \ frac {1} {2}} {- 12} \ gt \ frac {-12x} {- 12} \\\ end {array} [/ latex]

   Для деления дроби на целое число необходимо умножить на обратную величину, а обратная величина [latex] -12 [/ latex] будет [latex] \ frac {1} {- 12} [/ latex]

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ left (- \ frac {1} {12} \ right) \ left (- \ frac {1} {2} \ right) \ lt \ frac {- 12x} {- 12} \, \, \\\\ \ frac {1} {24} \ lt \ frac {\ cancel {-12} x} {\ cancel {-12}} \\\\ \ frac { 1} {24} \ lt {x} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   Ответ

   Неравенство: [latex] \ frac {1} {24} \ lt {x} [/ latex] Это также можно записать с переменной слева как [latex] x \ gt \ frac {1} {24} [ /латекс].Чтобы записать неравенство с переменной слева, нужно немного подумать, но это поможет вам записать интервал и правильно нарисовать график.

   Интервал: [латекс] \ left (\ frac {1} {24}, \ infty \ right) [/ latex]

   График:

   В следующем видео приведены примеры того, как решить неравенство со свойством умножения равенства, где переменная находится справа.

   Объединение свойств неравенства для решения алгебраических неравенств

   Популярная стратегия решения уравнений с выделением переменной также применима к решению неравенств.Путем сложения, вычитания, умножения и / или деления вы можете переписать неравенство так, чтобы переменная находилась с одной стороны, а все остальное — с другой. Как и в случае одношаговых неравенств, решения многоступенчатых неравенств можно изобразить на числовой прямой.

   Пример

   Решите относительно p . [латекс] 4p + 5 <29 [/ латекс]

   Показать решение

   Начните изолировать переменную, вычтя 5 из обеих частей неравенства.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 4p + 5 <\, \, \, 29 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, \, \, - 5 \, \, \, \, \, - 5} \\ 4p \, \, \, \, \, \, \, \, \, <\, \, 24 \, \, \ end {array} [ / латекс]

   Разделите обе части неравенства на 4, чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.

   [латекс] \ begin {array} {l} \ underline {4p} \, <\, \, \ underline {24} \, \, \\\, 4 \, \, \, \, <\, \ , 4 \\\, \, \, \, \, p <6 \ end {array} [/ latex]

   Ответ

   Неравенство: [латекс] p <6 [/ латекс]

   Интервал: [латекс] \ влево (- \ infty, 6 \ вправо) [/ латекс]

   График

   : Обратите внимание на белый кружок в конечной точке 6, чтобы показать, что решения неравенства не включают 6. Значения, где p меньше 6, находятся вдоль числовой линии слева от 6.

   Проверить решение.

   Показать решение

   Проверьте конечную точку 6 в соответствующем уравнении.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4p + 5 = 29 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, 4 (6) + 5 = 29? \\ 24 + 5 = 29 \, \, \, \\ 29 = 29 \, \, \, \\\ текст {Да!} \, \, \, \, \, \, \ End {array} [/ latex]

   Попробуйте другое значение, чтобы проверить неравенство. Давайте использовать [latex] p = 0 [/ latex].

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 4p + 5 <29 \, \, \, \\\ text {Is} \, \, \, 4 (0) +5 <29? \\ 0 +5 <29 \, \, \, \\ 5 <29 \, \, \, \\\ text {Да!} \, \, \, \, \, \ End {array} [/ latex]

   [латекс] p <6 [/ латекс] - это решение [латекс] 4p + 5 <29 [/ латекс]

   Пример

   Решить для x : [латекс] 3x – 7 \ ge 41 [/ латекс]

   Показать решение

   Начните изолировать переменную, прибавив 7 к обеим сторонам неравенства, затем разделите обе стороны неравенства на 3, чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 3x-7 \ ge 41 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, + 7 \, \, \, \, + 7} \\\ frac {3x} {3} \, \, \, \, \, \, \, \, \ ge \ frac {48} {3} \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x \ ge 16 \ end {array} [/ latex]

   Ответ

   Неравенство: [латекс] x \ ge 16 [/ латекс]

   Интервал: [латекс] \ left [16, \ infty \ right) [/ latex]

   График: Чтобы изобразить это неравенство, вы рисуете замкнутый круг в конечной точке 16 числовой линии, чтобы показать, что решения включают значение 16. Линия продолжается вправо от 16, потому что все числа больше 16 также будут составлять неравенство [латекс] 3x – 7 \ ge 41 [/ латекс] верно.
   

   Проверить решение.

   Показать решение

   Сначала проверьте конечную точку 16 в соответствующем уравнении.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 3x-7 = 41 \, \, \, \\\ text {Does} \, \, \, 3 (16) -7 = 41? \\ 48 -7 = 41 \, \, \, \\ 41 = 41 \, \, \, \\\ текст {Да!} \, \, \, \, \, \ End {array} [/ latex]

   Затем попробуйте другое значение, чтобы проверить неравенство. Давайте использовать [latex] x = 20 [/ latex].

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \, 3x-7 \ ge 41 \, \, \, \\\ текст {Is} \, \, \, \, \ , 3 (20) -7 \ ge 41? \\ 60-7 \ ge 41 \, \, \, \\ 53 \ ge 41 \, \, \, \\\ текст {Да!} \, \, \ , \, \, \ end {array} [/ latex]

   При решении многоступенчатых уравнений обратите внимание на ситуации, в которых вы умножаете или делите на отрицательное число.В этих случаях необходимо перевернуть знак неравенства.

   Пример

   Решите относительно p . [латекс] −58> 14−6p [/ латекс]

   Показать решение

   Обратите внимание, что переменная находится в правой части неравенства, метод решения в этом случае не меняется.

   Начните изолировать переменную, вычтя 14 из обеих частей неравенства.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} −58 \, \,> 14−6p \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, — 14 \, \, \, \, \, \, \, — 14} \\ — 72 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,> — 6p \ end {array} [/ latex]

   Разделите обе части неравенства на [латекс] −6 [/ латекс], чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

   [латекс] \ begin {array} {l} \ underline {-72}> \ underline {-6p} \\ — 6 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 6 \\\, \, \, \, \, \, 12 \ lt {p} \ end {array} [/ latex]

   Мы также можем записать это как [latex] p> 12 [/ latex]. Обратите внимание, как знак неравенства все еще открывается в сторону переменной p.

   Ответ

   Неравенство: [латекс] p> 12 [/ latex]
   Интервал: [latex] \ left (12, \ infty \ right) [/ latex]
   График: График неравенства p > 12 имеет открытый кружок на 12 со стрелкой, уходящей вправо.

   Проверить решение.

   Показать решение

   Сначала проверьте конечную точку 12 в соответствующем уравнении.

   [латекс] \ begin {array} {r} -58 = 14-6p \\ — 58 = 14-6 \ left (12 \ right) \\ — 58 = 14-72 \\ — 58 = -58 \ end {array} [/ latex]

   Затем попробуйте другое значение, чтобы проверить неравенство. Попробуйте 100.

   [латекс] \ begin {array} {r} -58> 14-6p \\ — 58> 14-6 \ left (100 \ right) \\ — 58> 14-600 \\ — 58> -586 \ end {array} [/ latex]

   В следующем видео вы увидите пример решения линейного неравенства с переменной в левой части неравенства и пример переключения направления неравенства после деления на отрицательное число.

   В следующем видео вы увидите пример решения линейного неравенства с переменной в правой части неравенства и пример переключения направления неравенства после деления на отрицательное число.

   Упростите и решите алгебраические неравенства, используя свойство распределенности

   Как и в случае с уравнениями, свойство распределения может применяться для упрощения выражений, являющихся частью неравенства.Как только скобки будут убраны, устранение неравенства будет несложным.

   Пример

   Решите для x . [латекс] 2 \ влево (3x – 5 \ вправо) \ leq 4x + 6 [/ латекс]

   Показать решение

   Раздать, чтобы убрать скобки.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \, 2 (3x-5) \ leq 4x + 6 \\\, \, \, \, 6x-10 \ leq 4x + 6 \ end {array} [/ латекс]

   Вычтите 4 x с обеих сторон, чтобы получить переменный член только с одной стороны.

   [латекс] \ begin {array} {r} 6x-10 \ le 4x + 6 \\\ подчеркивание {-4x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, — 4x} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\, \, \, 2x-10 \, \, \ leq \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, 6 \ end {array} [/ latex]

   Добавьте 10 к обеим сторонам, чтобы изолировать переменную.

   [латекс] \ begin {array} {r} \\\, \, \, 2x-10 \, \, \ le \, \, \, \, \, \, \, \, 6 \, \, \, \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, + 10 \, \, \, \, \, \, \, \, \, + 10} \\\, \, \, 2x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ le \, \, \, \, \, 16 \, \, \, \ end {array} [/ latex ]

   Разделите обе части на 2, чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.

   [латекс] \ begin {array} {r} \ underline {2x} \ le \, \, \, \ underline {16} \\\, \, \, 2 \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, 2 \, \, \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x \, \, \, \ le \, \, \, \, \, 8 \ end {array} [/ latex]

   Ответ

   Неравенство: [latex] x \ le8 [/ latex]
   Интервал: [latex] \ left (- \ infty, 8 \ right] [/ latex]
   График: График этого набора решений включает 8 и все, что слева от 8 в числовой строке.

   Проверить решение.

   Показать решение

   Сначала проверьте конечную точку 8 в соответствующем уравнении.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 2 (3x-5) = 4x + 6 \, \, \, \, \, \, \\ 2 (3 \, \ cdot \, 8-5 ) = 4 \, \ cdot \, 8 + 6 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 (24-5) = 32 + 6 \, \, \, \, \, \, \\ 2 (19) = 38 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\ 38 = 38 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   Затем выберите другое решение и оцените неравенство для этого значения, чтобы убедиться, что это истинное утверждение. Попробуйте 0.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} 2 (3 \, \ cdot \, 0-5) \ le 4 \, \ cdot \, 0 + 6? \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 (-5) \ le 6 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 10 \ le 6 \, \, \ end {array} [/ latex]

   [latex] x \ le8 [/ latex] — это решение для [latex] \ left (- \ infty, 8 \ right] [/ latex]

   В следующем видео вам дается пример того, как решить многоступенчатое неравенство, которое требует использования свойства распределения.
   

   Подумай об этом

   В следующем примере вам дано неравенство с термином, который выглядит сложным.Если вы остановитесь и подумаете о том, как использовать порядок операций для устранения неравенства, мы надеемся, что это покажется простой проблемой. Используйте текстовое поле, чтобы записать, что вы считаете лучшим первым шагом.

   Найдите файл. [латекс] \ displaystyle \ frac {{2} {a} — {4}} {{6}} {<2} [/ latex]

   Показать решение

   Очистите дробь, умножив обе части уравнения на 6.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ frac {{2} {a} — {4}} {{6}} {<2} \, \, \, \, \, \, \ , \, \\\\ 6 \, \ cdot \, \ frac {2a-4} {6} <2 \, \ cdot \, 6 \\\\ {2a-4} <12 \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   Добавьте 4 к обеим сторонам, чтобы изолировать переменную.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} 2a-4 <12 \\\ underline {\, \, \, + 4 \, \, \, \, + 4} \\ 2a <16 \ end {array} [/ latex]

   Разделите обе части на 2, чтобы выразить переменную с коэффициентом 1.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {c} \ frac {2a} {2} <\, \ frac {16} {2} \\\\ a <8 \ end {array} [/ latex]

   Ответ

   Неравенство: [латекс] a <8 [/ латекс]

   Интервал: [латекс] \ влево (- \ infty, 8 \ вправо) [/ латекс]

   График: График этого решения содержит сплошную точку у 8, чтобы показать, что 8 входит в набор решений. Линия продолжается влево, чтобы показать, что значения меньше 8 также включены в набор решений.

   Проверить решение.

   Показать решение Сначала проверьте конечную точку 8 в соответствующем уравнении.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ frac {2a-4} {6} = 2 \, \, \, \, \\\\\ text {Does} \, \, \, \ frac {2 (8) -4} {6} = 2? \\\\\ frac {16-4} {6} = 2 \, \, \, \, \\\\\ frac {12} {6 } = 2 \, \, \, \, \\\\ 2 = 2 \, \, \, \, \\\\\ text {Да!} \, \, \, \, \, \ End {массив } [/ латекс]

   Затем выберите другое решение и оцените неравенство для этого значения, чтобы убедиться, что это истинное утверждение.Попробуйте 5.

   [латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \ text {Is} \, \, \, \ frac {2 (5) -4} {6} <2? \\\\\ frac {10- 4} {6} <2 \, \, \, \\\\\, \, \, \, \ frac {6} {6} <2 \, \, \, \\\\ 1 <2 \, \, \, \\\\\ text {Да!} \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

   Сводка

   Решение неравенств очень похоже на решение уравнений, за исключением того, что вам нужно перевернуть символы неравенства, когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число. Решения неравенств можно представить тремя способами: интервал, график и неравенство.Поскольку обычно существует более одного решения неравенства, когда вы проверяете свой ответ, вы должны проверить конечную точку и одно другое значение, чтобы проверить направление неравенства.

   На неравенства могут быть разные ответы. Решения часто отображаются в виде числовой линии, чтобы наглядно представить все решения. Многоступенчатые неравенства решаются с использованием тех же процессов, которые работают для решения уравнений, за одним исключением. Когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число, вы должны перевернуть символ неравенства.Символы неравенства остаются неизменными при добавлении или вычитании положительных или отрицательных чисел к обеим сторонам неравенства.

   Решение квадратичных неравенств

   … и более …

   Квадратичный

   Квадратное уравнение (в стандартной форме) выглядит так:

   
   Квадратичное уравнение в стандартной форме
   ( a , b и c могут иметь любое значение, за исключением того, что a не может быть 0. )

   Выше приведено уравнение (=), но иногда нам нужно решить такие неравенства:

   Обозначение		Слова		Пример
   >		больше		x 2 + 3x> 2
   <		менее		7x 2 <28
   ≥		больше или равно		5 ≥ х 2 — х
   ≤		меньше или равно		2 года 2 911 10 + 1 ≤ 7 лет

   Решение

   Решение неравенств очень похоже на решение уравнений… мы делаем почти то же самое.

   При решении уравнения мы пытаемся найти точки , , например, помеченные «= 0»

   Но когда мы решаем неравенства мы пытаемся найти интервала (ов) , , например, помеченные «> 0» или «<0"

   Итак, что мы делаем:

   • найти «= 0» точки
   • между точками «= 0» — это интервала, либо
     • больше нуля (> 0) или
     • меньше нуля (<0)
   • , затем выберите тестовое значение, чтобы узнать, какое оно (> 0 или <0)

   Вот пример:

   Пример: x

   ² — x — 6 <0

   x ² — x — 6 имеет следующие простые коэффициенты (потому что я хотел упростить!):

   (х + 2) (х − 3) <0

   Для начала , найдем где равно ноль:

   (х + 2) (х − 3) = 0

   Равно нулю, когда x = −2 или x = +3.
   , потому что, когда x = −2, тогда (x + 2) равно нулю
   или когда x = +3, то (x − 3) равно нулю

   Итак, между −2 и +3, функция будет либо

   • всегда больше нуля или
   • всегда меньше чем ноль

   Мы не знаем какой… еще!

   Давайте выберем промежуточное значение и проверим его:

   При x = 0: x ² — x — 6

   = 0–0–6

   = −6

   Таким образом, между -2 и +3 функция будет на меньше, чем на .

   И это именно тот регион, который нам нужен, так что …

   x ² — x — 6 <0 в интервале (−2, 3)

   Примечание: x ² — x — 6> 0 на интервале (−∞, −2) и (3, + ∞)

   А вот график x 2 — x — 6: Уравнение равно нулю при −2 и 3 Неравенство «<0» верно между −2 и 3.

   Также попробуйте Grapher неравенства.

   Что делать, если он не проходит через ноль?

   	Вот график x 2 — x + 1 Нет баллов «= 0»! Но от этого все становится проще!
   Поскольку линия не пересекает y = 0, она должна быть либо: всегда> 0 или всегда <0 Итак, все, что нам нужно сделать, это проверить одно значение (скажем, x = 0), чтобы увидеть, выше или ниже оно.

   A Пример «Реальный мир»

   Каскадер прыгнет с 20-метрового здания.

   Высокоскоростная камера готова снимать его на высоте от 15 до 10 метров над землей.

   Когда камера должна его снимать?

   Мы можем использовать эту формулу для расстояния и времени:

   d = 20-5 т ²

   • d = расстояние от земли (м) и
   • t = время от прыжка (секунды)

   (Примечание: если вам интересна формула, она упрощена из d = d ₀ + v ₀ t + ½a ₀ t ² , где d ₀ = 20 , v ₀ = 0 и a ₀ = −9.81 , г. в ускорение свободного падения.)

   Хорошо, поехали.

   Сначала , давайте набросаем вопрос:

   Требуемое расстояние от 10 м до 15 м :

   10

   И мы знаем формулу для d:

   10 <20-5 т ² <15

   Теперь решим!

   Сначала вычтем 20 с обеих сторон:

   −10 <−5t ² <−5

   Теперь умножьте обе стороны на — (1/5). Но из-за того, что мы умножаем на отрицательное число, неравенства изменят направление… прочтите «Решение неравенств», чтобы понять, почему.

   2> т ² > 1

   Для наглядности меньшее число должно быть слева, а большее — справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства по-прежнему указывают правильно):

   1 2 <2

   Наконец, мы можем безопасно извлекать квадратные корни, поскольку все значения больше нуля:

   √1

   Съемочную группу можем сказать:

   «Фильм из 1.От 0 до 1,4 секунды после прыжка «

   Выше квадратичного

   Те же идеи могут помочь нам решить более сложные неравенства:

   Пример: x

   ³ + 4 ≥ 3x ² + x

   Во-первых, приведем его в стандартном виде:

   x ³ — 3x ² — x + 4 ≥ 0

   Это кубическое уравнение (наивысший показатель — куб, т. Е. X ³ ), и его сложно решить, поэтому давайте изобразим его вместо этого:

   Нулевые точки: приблизительно :

   А на графике мы видим интервалы, где он больше (или равен) нулю:

   • От −1.1 до 1,3 и
   • с 2,9 по

   В интервальных обозначениях можно написать:

   Примерно: [-1,1, 1,3] U [2,9, + ∞)

   Введение в неравенства и интервальную нотацию

   2.7 Введение в неравенства и интервальные обозначения

   Цели обучения

   1. Изобразите решения одного неравенства на числовой прямой и выразите решения в интервальной нотации.
   2. Изобразите решения сложного неравенства на числовой прямой и выразите решения, используя интервальную нотацию.

   Неограниченные интервалы

   Алгебраическое неравенство Выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и>., Например x≥2, читается как « x больше или равно 2». Это неравенство имеет бесконечно много решений для x . Некоторые из решений: 2, 3, 3.5, 5, 20 и 20.001.Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор. Два распространенных способа выражения решений неравенства — это их графическое представление на числовой прямой. Решения алгебраического неравенства, выраженные затенением решения на числовой прямой. и с использованием интервальной нотации Текстовая система выражения решений алгебраического неравенства ..

   Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, которые являются решениями неравенства.Обозначение интервалов является текстовым и использует следующие специальные обозначения:

   Определите обозначение интервала после построения графика решения, установленного на числовой прямой. Числа в обозначении интервалов следует записывать в том же порядке, в каком они появляются в числовой строке, при этом меньшие числа в наборе появляются первыми. В этом примере есть инклюзивное неравенство Неравенство, которое включает граничную точку, обозначенную «или равной» частью символов ≤ и ≥, и замкнутую точку на числовой прямой., что означает, что нижняя граница 2 входит в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​обозначении интервалов. Символ (∞) читается как бесконечность. Символ (∞) указывает, что интервал неограничен вправо. и указывает, что набор неограничен справа на числовой прямой. Для обозначения интервалов необходимо, чтобы бесконечность заключалась в круглые скобки. Квадратная скобка указывает, что граница включена в решение. Скобки указывают, что граница не включена. Бесконечность — это верхняя граница действительных чисел, но сама по себе не является действительным числом: его нельзя включить в набор решений.

   Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере с обозначением строгого или неисключительного неравенства, которое следует ниже:

   Строгое неравенство: Выразите отношения упорядочения с помощью символа <для «меньше чем» и> для «больше чем». подразумевают, что решения могут очень близко подходить к граничной точке, в данном случае 2, но фактически не включать ее.Обозначьте эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в ​​обозначении интервалов.

   Пример 1: Изобразите график и дайте эквивалент записи интервала: x <3.

   Решение: Используйте точку 3 и закрасьте все действительные числа строго меньше 3. Используйте отрицательную бесконечность. Символ (-∞) указывает, что интервал не ограничен слева. (−∞), чтобы указать, что множество решений неограничено слева на числовой прямой.

   Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

   Пример 2: График и дайте интервал эквивалентного обозначения: x≤5.

   Решение: Используйте закрытую точку и заштрихуйте все числа меньше 5 включительно.

   Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 5]

   Важно видеть, что 5≥x то же самое, что x≤5. Оба требуют, чтобы значения x были меньше или равны 5.Чтобы избежать путаницы, рекомендуется переписать все неравенства с переменной слева. Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенную форму бесконечности. Например, (−∞, 5] можно текстуально выразить как (−inf, 5].

   Сложное неравенство Два неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». фактически представляет собой два или более неравенства в одном утверждении, соединенных словом «и» или словом «или». Сложные неравенства с логическим «или» требуют выполнения любого из условий.Следовательно, множество решений этого типа сложного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы объединяем эти индивидуальные наборы решений, это называется объединением. Множество образовано путем объединения индивидуальных наборов решений, обозначенных логическим использованием слова «или» и обозначенных символом ∪., Обозначенным ∪. Например, решения составного неравенства x <3 или x≥6 можно изобразить следующим образом:

   Иногда мы сталкиваемся с составными неравенствами, когда отдельные наборы решений перекрываются.В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих наборов, чтобы создать один набор, содержащий все элементы каждого из них.

   Пример 3: График и эквивалентное обозначение интервала: x≤ − 1 или x <3.

   Решение: Объедините все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства показаны над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой прямой ниже.

   Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

   Любое действительное число меньше 3 в заштрихованной области числовой прямой удовлетворяет по крайней мере одному из двух указанных неравенств.

   Пример 4: Изобразите график и укажите эквивалентную интервальную нотацию: x <3 или x≥ − 1.

   Решение: Оба набора решений изображены над объединением, которое показано ниже.

   Ответ: Обозначение интервала: R = (−∞, ∞)

   Когда вы объединяете оба набора решений и формируете объединение, вы можете видеть, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.

   Таким образом,

   и

   Ограниченные интервалы

   Неравенство, такое как

   читается как «-1 меньше или равно x , а x меньше трех.”Это сложное неравенство, потому что его можно разложить следующим образом:

   Логическое «и» требует, чтобы выполнялись оба условия. Оба неравенства удовлетворяются всеми элементами в пересечении Множество, образованное общими значениями отдельных наборов решений, что обозначено логическим использованием слова «и», обозначенного символом., Обозначенным, множеств решений. каждого.

   Пример 5: Изобразите график и дайте эквивалент записи интервала: x <3 и x≥ − 1.

   Решение: Определите пересечение или перекрытие двух наборов решений. Решения каждого неравенства показаны над числовой линией как средство определения пересечения, которое показано на числовой прямой ниже.

   Здесь x = 3 не является решением, поскольку решает только одно из неравенств.

   Ответ: Обозначение интервала: [−1, 3)

   В качестве альтернативы мы можем интерпретировать −1≤x <3 как все возможные значения для x между или ограниченные −1 и 3 на числовой прямой.Например, одно из таких решений — x = 1. Обратите внимание, что 1 находится между -1 и 3 на числовой прямой или что -1 <1 <3. Точно так же мы видим, что другие возможные решения - -1, -0,99, 0, 0,0056, 1,8 и 2,99. Поскольку существует бесконечно много действительных чисел между -1 и 3, мы должны выразить решение графически и / или в интервальной записи, в данном случае [-1, 3).

   Пример 6: Изобразите график и укажите эквивалент записи интервала: −32

   Решение: Закрасьте все действительные числа, ограниченные или строго между −32 = −112 и 2.

   Ответ: Обозначение интервала: (−32, 2)

   Пример 7: Изобразите график и дайте эквивалент записи интервала: −5

   Решение: Закрасьте все действительные числа от -5 до 15 и укажите, что верхняя граница, 15, включена в набор решений, с помощью закрытой точки.

   Ответ: Обозначение интервала: (−5, 15]

   В предыдущих двух примерах мы не разбирали неравенства; вместо этого мы решили думать обо всех действительных числах между двумя заданными границами.

   Таким образом,

   Обозначение конструктора множеств

   В этом тексте мы используем обозначение интервалов. Однако другие ресурсы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используют альтернативный метод описания множеств, называемый нотацией построителя множеств — системой для описания множеств с использованием знакомой математической нотации.. Мы использовали обозначение набора для перечисления элементов, таких как целые числа

   Фигурные скобки группируют элементы набора, а знаки многоточия указывают на то, что целые числа продолжаются бесконечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел, например действительных чисел, больших или равных 2.

   Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация конструктора множеств позволяет нам описывать его, используя знакомые математические обозначения.Пример обозначения конструктора множеств:

   Здесь x ∈ R описывает тип числа, где символ (∈) читается как «элемент». Это означает, что переменная x представляет собой действительное число. Вертикальная черта (|) читается как «такая, что». Наконец, утверждение x≥2 — это условие, описывающее множество с использованием математической записи. На этом этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа.По этой причине вы можете опустить «∈ R » и написать {x | x≥2}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких, что x больше или равно 2. ”

   Чтобы описать составные неравенства, такие как x <3 или x≥6, напишите {x | x <3 или x≥6}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких, что x меньше 3. или x больше или равно 6. »

   Запишите ограниченные интервалы, такие как −1≤x <3, как {x | −1≤x <3}, что читается как «набор всех действительных чисел x таких, что x больше или равно −1 и меньше 3.”

   Ключевые выводы

   • Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой строке, либо текстуально с использованием интервальной нотации.
   • Включающие неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой с использованием обозначения интервала.
   • Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой в ​​числовой строке и круглыми скобками с использованием обозначения интервала.
   • Сложные неравенства, в которых используется логическое «или», разрешаются решениями любого неравенства. Набор решений — это объединение каждого отдельного набора решений.
   • Сложные неравенства, использующие логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением.Набор решений — это пересечение каждого отдельного набора решений.
   • Сложные неравенства вида n A ограничен между значениями n и m .

   Тематические упражнения

   Часть A: Простые неравенства

   Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

   1. x≤10

   2. х> −5

   3. x> 0

   4. x≤0

   5. х≤ − 3

   6. x≥ − 1

   7. −4 <х

   8. 1≥x

   9. х <−12

   10. x≥ − 32

   11. x≥ − 134

   12. x <34

   Часть B: Сложные неравенства

   Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

   13. -2 <х <5

   14. −5≤x≤ − 1

   15. −5

   16. 0≤x <15

   17. 10

   18. −40≤x <−10

   19. 0

   20. −30

   21. -58 <х <18

   22. −34≤x≤12

   23. −1≤x <112

   24. -112 <х <-12

   25.x <−3 или x> 3

   26. x <−2 или x≥4

   27. x≤0 или x> 10

   28. x≤ − 20 или x≥ − 10

   29. x <−23 или x> 13

   30. x≤ − 43 или x> −13

   31. x> −5 или x <5

   32. x <12 или x> −6

   33. x <3 или x≥3

   34. x≤0 или x> 0

   35. x <−7 или x <2

   36.x≥ − 3 или x> 0

   37. x≥5 или x> 0

   38. x <15 или x≤10

   39. x> −2 и x <3

   40. x≥0 и x <5

   41. x≥ − 5 и x≤ − 1

   42. x <−4 и x> 2

   43. x≤3 и x> 3

   44. x≤5 и x≥5

   45. x≤0 и x≥0

   46. x <2 и x≤ − 1

   47.х> 0 и х≥ − 1

   48. x <5 и x <2

   Часть C: Обозначение интервалов

   Определите неравенство по ответам, выраженным в виде интервалов.

   49. (-∞, 7]

   50. (-4, ∞)

   51. [-12, ∞)

   52. (−∞, −3)

   53. (-8, 10]

   54. (-20, 0]

   55.(−14, −2)

   56. [23, 43]

   57. (−34, 12)

   58. (−∞, −8)

   59. (8, ∞)

   60. (−∞, 4) ∪ [8, ∞)

   61. (−∞, −2] ∪ [0, ∞)

   62. (−∞, −5] ∪ (5, ∞)

   63. (−∞, 0) ∪ (2, ∞)

   64. (−∞, −15) ∪ (−5, ∞)

   Запишите эквивалентное неравенство.

   65. Все действительные числа меньше 27.

   66. Все действительные числа меньше или равны нулю.

   67. Все действительные числа больше 5.

   68. Все действительные числа больше или равные −8.

   69. Все действительные числа строго между −6 и 6.

   70. Все действительные числа строго между -80 и 0.

   Часть D. Темы дискуссионной доски

   71. Сравните обозначение интервалов с обозначением создателя множеств.Приведите пример набора, описанного с использованием обеих систем.

   72. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервалов, когда бесконечность является конечной точкой.

   73. Изучите и обсудите различные сложные формы неравенства, особенно союзы и пересечения.

   74. Изучите и обсудите историю бесконечности.

   75. Изучите и обсудите вклад Георга Кантора.

   76. Что такое диаграмма Венна? Объясните и опубликуйте пример.

   ответы

   1: (−∞, 10]

   3: (0, ∞)

   5: (−∞, −3]

   7: (−4, ∞)

   9: (-∞, -12)

   11: [-134, ∞)

   13: (-2, 5)

   15: (-5, 20]

   17: (10, 40]

   19: (0, 50]

   21: (-58, 18)

   23: [-1, 112)

   25: (−∞, −3) ∪ (3, ∞)

   27: (−∞, 0] ∪ (10, ∞)

   29: (−∞, −23) ∪ (13, ∞)

   31: рэнд

   33: R

   35: (−∞, 2)

   37: (0, ∞)

   39: (-2; 3)

   41: [−5, −1]

   43: ∅

   45: {0}

   47: (0, ∞)

   49: х≤7

   51: x≥ − 12

   53: −8

   55: −14

   57: -34 <х <12

   59: x> 8

   61: x≤ − 2 или x≥0

   63: x <0 или x> 2

   65: x <27

   67: x> 5

   69: −6

   Решение полиномиальных неравенств

   Решение полиномиальных неравенств Вот шаги, необходимые для решения полиномиальных неравенств:

   Шаг 1 :	Напишите многочлен в правильной форме.Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
   Шаг 2 :	Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
   Шаг 3 :	Сделайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
   Шаг 4 :	Выполните анализ знаков. Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в многочлен, чтобы определить знак полученного ответа. Знак этого ответа (положительный или отрицательный) будет знаком всего раздела. Вы можете проверить другой номер из того же раздела, если хотите проверить свой ответ.
   Шаг 5 :	Используйте диаграмму знакового анализа, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству.Если неравенство меньше нуля или меньше или равно нулю, тогда вы хотите, чтобы все отрицательные участки были найдены в диаграмме анализа знаков. Если неравенство больше нуля или больше или равно нулю, тогда вы хотите, чтобы все положительные участки были найдены в диаграмме анализа знаков.
   Шаг 6 :	Используйте интервальную запись, чтобы написать окончательный ответ.

   Пример 1 — График:

   Шаг 1 : Запишите многочлен в правильной форме.Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
   Шаг 2 : Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
   Шаг 3 : Сделайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
   Шаг 4 : Выполните анализ знаков. Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в многочлен, чтобы определить знак полученного ответа. В этом случае вы можете выбрать x = –3, что дает +7, x = 0, что дает –8, и x = 5, что дает +7.
   Шаг 5 : Используйте диаграмму анализа знаков, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству.В этом случае у нас больше или равно нулю, поэтому нам нужны все положительные секции.
   Шаг 6 : Используйте интервальную нотацию для записи окончательного ответа.

   Пример 2 — График:

   Шаг 1 : Запишите многочлен в правильной форме. Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
   Шаг 2 : Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
   Шаг 3 : Сделайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
   Шаг 4 : Выполните анализ знаков.Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в многочлен, чтобы определить знак полученного ответа. В этом случае вы можете выбрать x = –4, что дает +3, x = –2, что дает –1, и x = 0, что дает +3.
   Шаг 5 : Используйте диаграмму анализа знаков, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству. В этом случае у нас меньше или равно нулю, поэтому нам нужна отрицательная секция.
   Шаг 6 : Используйте интервальную нотацию для записи окончательного ответа.

   Нажмите здесь, чтобы узнать о проблеме

   Пример 3 — График:

   Шаг 1 : Запишите многочлен в правильной форме. Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
   Шаг 2 : Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
   Шаг 3 : Сделайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
   Шаг 4 : Выполните анализ знаков.Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в многочлен, чтобы определить знак полученного ответа. В этом случае вы можете выбрать x = –4, что дает –35, x = 0, что дает +9, x = 2, что дает –5, и x = 4, что дает +21.
   Шаг 5 : Используйте диаграмму анализа знаков, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству. В этом случае у нас меньше нуля, поэтому нам нужны все отрицательные секции.
   Шаг 6 : Используйте интервальную нотацию для записи окончательного ответа.

   Нажмите здесь, чтобы узнать о проблеме

   Пример 4 — График:

   Шаг 1 : Запишите многочлен в правильной форме. Многочлен должен быть записан в порядке убывания и должен быть меньше, больше, меньше или равен или больше или равен нулю.
   Шаг 2 : Найдите ключевые или критические значения. Чтобы найти ключевые / критические значения, приравняйте уравнение к нулю и решите.
   Шаг 3 : Сделайте диаграмму анализа знаков. Чтобы создать диаграмму анализа знаков, используйте ключевые / критические значения, найденные на шаге 2, чтобы разделить числовую линию на участки.
   Шаг 4 : Выполните анализ знаков.Чтобы провести анализ знаков, выберите по одному числу из каждого раздела, созданного на шаге 3, и вставьте это число в многочлен, чтобы определить знак полученного ответа. В этом случае вы можете выбрать x = –5, что дает +56, x = –2, что дает –16, x = 0, что дает +16, и x = 3, что дает –56.
   Шаг 5 : Используйте диаграмму анализа знаков, чтобы определить, какие разделы удовлетворяют неравенству. В этом случае у нас больше нуля, поэтому нам нужны все положительные секции.
   Шаг 6 : Используйте интервальную нотацию для записи окончательного ответа.

   Нажмите здесь, чтобы узнать о проблеме

   2.5 Решение линейных неравенств — промежуточная алгебра 2e

   Цели обучения

   К концу этого раздела вы сможете:

   • График неравенств на числовой прямой
   • Решите линейные неравенства
   • Переведите слова в неравенство и решите
   • Решите приложения с линейными неравенствами

   Будьте готовы 2.13

   Прежде чем вы начнете, пройдите тест на готовность.

   Перевести с алгебры на английский: 15> x.15> x.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.3.

   Будьте готовы 2.14

   Переведите в алгебраическое выражение: 15 меньше x .
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.8.

   Неравенства в графике на числовой прямой

   Какое число сделало бы неравенство x> 3x> 3 истинным? Вы думаете: « x может быть четыре»? Это правильно, но x тоже может быть 6, 37 или даже 3.001. Любое число больше трех является решением неравенства x> 3.x> 3.

   Мы показываем все решения неравенства x> 3x> 3 на числовой прямой, закрашивая все числа справа от трех, чтобы показать, что все числа больше трех являются решениями. Поскольку число три само по себе не является решением, мы заключили тройку в открывающую скобку.

   Мы также можем представить неравенства, используя обозначение интервала . У решения этого неравенства нет верхнего предела.В обозначениях интервалов мы выразим x> 3x> 3 как (3, ∞). (3, ∞). Символ ∞∞ читается как « бесконечность ». Это не настоящее число.

   На рис. 2.2 показаны числовая линия и интервал.

   Рис. 2.2 Неравенство x> 3x> 3 изображено на этой числовой прямой и записано в интервальных обозначениях.

   Мы используем символ левой круглой скобки (, чтобы показать, что конечная точка неравенства не включена. Символ левой скобки, [, показывает, что конечная точка включена.

   Неравенство x≤1x≤1 означает, что все числа меньше или равны единице. Здесь нам нужно показать, что это тоже решение. Мы делаем это, помещая скобку в x = 1.x = 1. Затем мы закрашиваем все числа слева от единицы, чтобы показать, что все числа меньше единицы являются решениями. См. Рисунок 2.3.

   У этих чисел нет нижнего предела. Мы пишем x≤1x≤1 в обозначении интервалов как (−∞, 1]. (- ∞, 1]. Символ −∞ − ∞ читается как «отрицательная бесконечность». На рисунке 2.3 показаны как числовая строка, так и обозначение интервала.

   Рис. 2.3 На этой числовой прямой изображено неравенство x≤1x≤1 и записано в интервальной записи.

   Неравенства, числовые линии и обозначение интервалов

   В обозначении неравенств на числовой строке и в обозначении интервалов используются одни и те же символы для обозначения конечных точек интервалов.

   Пример 2.48

   Изобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервале.

   ⓐ x≥ − 3x≥ − 3 ⓑ x <2,5x <2,5 ⓒ x≤ − 35x≤ − 35

   Попробуй 2.95

   Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи: ⓐ x> 2x> 2 ⓑ x≤ − 1,5x≤ − 1,5 ⓒ x≥34.x≥34.

   Попробуйте 2.96

   Изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной записи: ⓐ x≤ − 4x≤ − 4 ⓑ x≥0,5x≥0,5 ⓒ x <−23.x <−23.

   Какие числа больше двух, но меньше пяти? Вы думаете, скажем, 2,5,3,323,4,4,99? 2,5,3,323,4,4,99? Мы можем представить все числа от двух до пяти неравенством 2

   Рисунок 2.4

   Пример 2.49

   Изобразите каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервале.

   ⓐ −3

   Попробуйте 2.97

   Постройте каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервале обозначений:

   ⓐ −2

   Попробовать 2,98

   Постройте каждое неравенство в числовой строке и запишите в интервале обозначений:

   ⓐ −6

   Решите линейные неравенства

   Линейное неравенство во многом похоже на линейное уравнение, но знак равенства заменен знаком неравенства. Линейное неравенство — это неравенство с одной переменной, которое может быть записано в одной из форм: ax + b c , ax + b> c или ax + b≥c.топор + b≥c.

   Линейное неравенство

   Линейное неравенство — это неравенство в одной переменной, которое может быть записано в одной из следующих форм, где a , b и c — действительные числа и a 0a ≠ 0:

   ax + b c, ax + b≥c.ax + b c, ax + b≥c.

   Когда мы решали линейные уравнения, мы могли использовать свойства равенства, чтобы складывать, вычитать, умножать или делить обе части и при этом сохранять равенство. Аналогичные свойства верны и для неравенств.

   Мы можем прибавить или вычесть одну и ту же величину из обеих частей неравенства и при этом сохранить неравенство. Например:

   Обратите внимание, что знак неравенства остался прежним.

   Это приводит нас к свойствам сложения и вычитания неравенства.

   Свойство неравенства сложения и вычитания

   Для любых чисел a , b и c, , если a a + c Для любых чисел a , b и c, если a> b, то a> b, то

   a + c> b + ca − c> b − ca + c> b + ca − c> b − c

   Мы можем прибавить или вычесть одну и ту же величину из обеих частей неравенства и при этом сохранить неравенство.

   Что происходит с неравенством, когда мы делим или умножаем обе части на константу?

   Давайте сначала умножим и разделим обе части на положительное число.

   Признаки неравенства остались прежними.

   Неравенство сохраняется, когда мы делим или умножаем на отрицательное число?

   Обратите внимание, что когда мы заполняли знаки неравенства, знаки неравенства меняли свое направление.

   Когда мы делим или умножаем неравенство на положительное число, знак неравенства остается прежним.Когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

   Это дает нам свойство неравенства умножения и деления.

   Свойство неравенства умножения и деления

   Для любых номеров a , b и c ,

   умножить или разделить на положительное значение, если a 0, затем ac bandc> 0, затем ac> bcandac> bc. умножить или разделить на отрицательное значение ifa bcandac> bc.ifa> bandc <0, thenac 0, thenac bandc> 0, thenac> bcandac> bc. умножить или разделить на отрицательныйifa bcandac> bc.ifa> bandc <0, тогда ac Когда мы делим или умножаем неравенство на , получаем :
   • положительное число, неравенство остается прежним.
   • отрицательное число, неравенство обратное.

   Иногда при решении неравенства, как в следующем примере, переменная заканчивается справа.Мы можем переписать неравенство в обратном порядке, чтобы переменная оказалась слева.

   x> a имеет то же значение, что и a a имеет то же значение, что и a Думайте об этом так: «Если Ксандер выше Энди, то Энди ниже Ксандера».

   Пример 2,50

   Решите каждое неравенство. Постройте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

   ⓐ x − 38≤34x − 38≤34 ⓑ 9y <549y <54 ⓒ −15 <35z − 15 <35z

   Попробовать 2,99

   Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:

   ⓐ p − 34≥16p − 34≥16 ⓑ 9c> 729c> 72 ⓒ 24≤38m24≤38m

   Попробуй 2.100

   Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:

   ⓐ r − 13≤712r − 13≤712 ⓑ 12d≤ 6012d≤ 60 ⓒ −24 <43n − 24 <43n

   Будьте осторожны при умножении или делении на отрицательное число — не забудьте перевернуть знак неравенства.

   Пример 2.51

   Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   ⓐ −13m≥65−13m≥65 ⓑ n − 2≥8n − 2≥8

   Попробуй 2.101

   Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:

   ⓐ −8q <32−8q <32 ⓑ k − 12≤15.k − 12≤15.

   Попробуйте 2.102

   Решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи:

   ⓐ −7r≤ −70−7r≤ −70 ⓑ u − 4≥ − 16.u − 4≥ − 16.

   Для устранения большинства неравенств потребуется более одного шага. Мы следуем тем же шагам, что и в общей стратегии решения линейных уравнений, но обязательно обращаем особое внимание при умножении или делении, чтобы изолировать переменную.

   Пример 2.52

   Решите неравенство 6y≤11y + 17,6y≤11y + 17, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Попробуйте 2.103

   Решите неравенство, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: 3q≥7q − 23.3q≥7q − 23.

   Попробуйте 2.104

   Решите неравенство, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи: 6x <10x + 19.6x <10x + 19.

   При решении неравенств обычно проще всего собрать переменные на той стороне, где коэффициент переменной наибольший. Это исключает отрицательные коэффициенты, и нам не нужно умножать или делить на отрицательные значения, а это означает, что нам не нужно помнить о том, чтобы поменять местами знак неравенства.

   Пример 2.53

   Решите неравенство 8p + 3 (p − 12)> 7p − 28,8p + 3 (p − 12)> 7p − 28, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Решение

   	8p + 3 (p − 12)> 7p − 288p + 3 (p − 12)> 7p − 28
   Максимально упростите каждую сторону.
   Распространить.	8p + 3p − 36> 7p − 288p + 3p − 36> 7p − 28
   Объедините похожие термины.	11p − 36> 7p − 2811p − 36> 7p − 28
   Вычтите 7p7p с обеих сторон, чтобы собрать переменных слева, поскольку 11> 7.11> 7.	11п − 36−7p> 7p − 28−7p11p − 36−7p> 7p − 28−7p
   Упростить.	4p − 36> −284p − 36> −28
   Добавьте 36 к обеим сторонам, чтобы собрать константы справа.	4p − 36 + 36> −28 + 364p − 36 + 36> −28 + 36
   Упростить.	4p> 84p> 8
   Разделим обе части неравенства на 4; неравенство остается прежним.	4p4> 844p4> 84
   Упростить.	p> 2p> 2
   Изобразите решение на числовой прямой.
   Запишите решение в интервальной записи.	(2, ∞) (2, ∞)

   Попробуйте 2.105

   Решите неравенство 9y + 2 (y + 6)> 5y − 249y + 2 (y + 6)> 5y − 24, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Попробуйте 2.106

   Решите неравенство 6u + 8 (u − 1)> 10u + 326u + 8 (u − 1)> 10u + 32, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Так же, как некоторые уравнения являются тождествами, а некоторые — противоречиями, неравенства могут быть тождествами или противоречиями. Мы узнаем эти формы, когда у нас остаются только константы при решении неравенства. Если результатом является истинное утверждение, у нас есть личность. Если результатом является ложное утверждение, мы приходим к противоречию.

   Пример 2.54

   Решите неравенство 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x, 8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Решение

   Максимально упростите каждую сторону.		8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x
   Распространить.		8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x8x − 10 + 2x <4x + 36 + 6x
   Объедините похожие термины.		10x − 10 <10x + 3610x − 10 <10x + 36
   Вычтите 10 x с обеих сторон, чтобы собрать переменных слева.		10x − 10−10x <10x + 36−10x10x − 10−10x <10x + 36−10x
   Упростить.		−10 <36−10 <36
   Графики x исчезли, и у нас есть истинное утверждение .		Неравенство — это идентичность. Решение — все действительные числа.
   Изобразите решение на числовой прямой.
   Запишите решение в интервальной записи.		(−∞, ∞) (- ∞, ∞)

   Попробуйте 2.107

   Решите неравенство 4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение. в интервальной записи.

   Попробуйте 2.108

   Решите неравенство 9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h, отобразите решение на числовой прямой и запишите решение. в интервальной записи.

   Мы можем очистить дроби в неравенствах так же, как и в уравнениях.Опять же, будьте осторожны со знаками при умножении или делении на минус.

   Пример 2.55

   Решите неравенство 13a − 18a> 524a + 34,13a − 18a> 524a +34, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Попробуйте 2.109

   Решите неравенство 14x − 112x> 16x + 7814x − 112x> 16x + 78, обозначьте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Попробуйте 2.110

   Решите неравенство 25z − 13z <115z −3525z − 13z <115z −35, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Переведите на неравенство и решите

   Чтобы перевести английские предложения в выражения неравенства, нам нужно распознавать фразы, указывающие на неравенство. Некоторые слова просты, например «больше чем» и «меньше чем». Но другие не так очевидны. В таблице 2.2 приведены некоторые общие фразы, указывающие на неравенство.

   >>	≥ ≥	<<	≤≤
   больше больше больше больше	больше или равно не менее не менее минимально	меньше меньше меньше меньше	меньше или равно не больше не больше максимум

   Таблица 2.2

   Пример 2.56

   Перевести и решить. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Двадцать семь меньше xis не менее 48. Двадцать семь меньше xis не менее 48.

   Попробуйте 2.111

   Перевести и решить. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   Девятнадцать меньше р не меньше 47.

   Попробуйте 2.112

   Перевести и решить.Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   На четыре больше a не больше 15.

   Решение приложений с линейными неравенствами

   Многие жизненные ситуации требуют от нас решения проблемы неравенства. Метод, который мы будем использовать для решения приложений с линейными неравенствами, очень похож на тот, который мы использовали при решении приложений с уравнениями.

   Мы прочитаем задачу и убедимся, что все слова понятны.Затем мы определим, что мы ищем, и назначим переменную для его представления. Мы сформулируем проблему в одном предложении, чтобы облегчить перевод в неравенство. Затем решим неравенство.

   Иногда приложение требует, чтобы решением было целое число, но алгебраическое решение неравенства не является целым числом. В этом случае мы должны округлить алгебраическое решение до целого числа. Контекст приложения будет определять, округлять ли мы в большую или меньшую сторону.

   Пример 2.57

   Доун выиграла мини-грант в размере 4000 долларов на покупку планшетных компьютеров для своего класса. Планшеты, которые она хотела бы купить, стоят 254,12 доллара каждый, включая налоги и доставку. Какое максимальное количество планшетов может купить Dawn?

   Решение

   Шаг 1. Прочтите проблему.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	максимальное количество планшетов Dawn можно купить
   Шаг 3.Назовите то, что вы ищете.
   Выберите переменную для представления этого количества.	Letn = количество таблеток Letn = количество таблеток.
   Шаг 4. Переведите . Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	$ 254,12 умножить на количество планшетов не более 4000 долларов.
   Перевести в неравенство.	254,12n≤4000 254,12n≤4000
   Шаг 5.Решите неравенство. Но n должно быть целым числом таблеток, поэтому округляем до 15.	n≤15.74n≤15n≤15.74n≤15
   Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
   Округляя цену до 250 долларов, 15 планшетов будут стоить 3750 долларов, а 16 планшетов — 4000 долларов. Так что максимум 15 планшетов по цене 254,12 доллара кажется разумным.
   Шаг 7.Ответьте на вопрос полным предложением.	Dawn можно купить максимум 15 таблеток.

   Попробуйте 2.113

   У Энджи есть 20 долларов, которые она может потратить на коробки сока для дошкольного пикника сына. Каждая упаковка коробок для сока стоит 2,63 доллара. Какое максимальное количество пакетов она может купить?

   Попробуйте 2.114

   Дэниел хочет удивить свою девушку днём рождения в её любимом ресторане. Ужин будет стоить 42,75 доллара на человека, включая чаевые и налог.Его бюджет на вечеринку составляет 500 долларов. Какое максимальное количество людей может присутствовать на вечеринке Дэниел?

   Пример 2.58

   Телефонный план

   Талейши стоит 28,80 доллара в месяц плюс 0,20 доллара за текстовое сообщение. Сколько текстовых сообщений она может отправлять / получать, при этом ежемесячный счет за телефонные разговоры не превышает 50 долларов?

   Решение

   Шаг 1. Прочтите проблему.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	количество текстовых сообщений Талейша может составить
   Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
   Выберите переменную для представления этого количества.	Lett = количество текстовых сообщений Lett = количество текстовых сообщений.
   Шаг 4. Переведите Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	28,80 доллара плюс 0,20 доллара, умноженное на количество текстовых сообщений, меньше или равно 50 долларам.
   Перевести в неравенство.	28.80 + 0.20t≤50 28.80 + 0.20t≤50
   Шаг 5. Решите неравенство .	0,2t≤21,2t≤106 текстовых сообщений 0,2t≤21,2t≤106 текстовых сообщений
   Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл. Да, 28,80 + 0,20 (106) = 50. Да, 28,80 + 0,20 (106) = 50.
   Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос.	Талейша может отправлять / получать не более 106 текстовых сообщений, чтобы ее счет не превышал 50 долларов.

   Попробуйте 2.115

   У Серджио и Лизет очень ограниченный бюджет на отпуск. Они планируют арендовать автомобиль у компании, которая взимает 75 долларов в неделю плюс 0,25 доллара за милю. Сколько миль они могут проехать в течение недели, не выходя за рамки своего бюджета в 200 долларов?

   Попробуйте 2.116

   Счет за отопление

   Rameen составляет 5,42 доллара в месяц плюс 1,08 доллара за терм.Сколько термосов может использовать Рамин, если он хочет, чтобы его счет за отопление составлял не более 87,50 долларов.

   Прибыль — это деньги, которые остаются после вычета затрат из выручки. В следующем примере мы найдем количество работ, которые маленькая бизнес-леди должна выполнять каждый месяц, чтобы получать определенную прибыль.

   Пример 2.59

   Фелисити занимается каллиграфией. Она берет 2,50 доллара за приглашение на свадьбу. Ее ежемесячные расходы составляют 650 долларов. Сколько приглашений она должна написать, чтобы получать прибыль не менее 2800 долларов в месяц?

   Решение

   Шаг 1.Прочтите проблему.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	количество приглашений, которые нужно написать Фелисити
   Шаг 3. Назовите то, что вы ищете. Выберите переменную для ее представления.	Letj = количество приглашений Letj = количество приглашений.
   Шаг 4. Перевести. Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	2,50 доллара США, умноженное на количество приглашений минус 650 долларов, составляет не менее 2800 долларов.
   Перевести в неравенство.	2,50j-650≥2,8002,50j-650≥2,800
   Шаг 5. Решите неравенство .	2,5j≥3,450j≥1,380призваний2,5j≥3,450j≥1,380призваний
   Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
   Если бы Фелисити написала 1400 приглашений, ее прибыль составила бы 2.50 (1400) — 650, или 2850 долларов. Это больше 2800 долларов.
   Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос.	Фелисити должна написать не менее 1380 приглашений.

   Попробуйте 2.117

   Калеб занимается присмотром за домашними животными. Он берет 32 доллара в час. Его ежемесячные расходы составляют 2272 доллара. Сколько часов он должен работать, чтобы получать прибыль не менее 800 долларов в месяц?

   Попробуйте 2.118

   Elliot занимается обслуживанием ландшафтов.Его ежемесячные расходы составляют 1100 долларов. Если он берет 60 долларов за работу, сколько работ он должен сделать, чтобы получать прибыль не менее 4000 долларов в месяц?

   Есть много ситуаций, когда несколько количеств вносят вклад в общие расходы. Когда мы решаем подобные проблемы, мы должны учитывать все индивидуальные расходы.

   Пример 2.60

   Малик планирует шестидневную поездку на летние каникулы. У него есть сбережения в размере 840 долларов, и он зарабатывает 45 долларов в час за репетиторство. Поездка обойдется ему в 525 долларов на авиабилеты, 780 долларов на еду и осмотр достопримечательностей и 95 долларов за ночь в отеле.Сколько часов он должен заниматься репетитором, чтобы хватило денег на поездку?

   Решение

   Шаг 1. Прочтите проблему.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	количество часов, которые Малик должен преподавать
   Шаг 3. Назовите то, что вы ищете.
   Выберите переменную для представления этого количества.	Leth = количество часов Leth = количество часов.
   Шаг 4. Перевести. Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	Расходы должны быть меньше или равны доходу. Стоимость авиабилета плюс стоимость еды и осмотра достопримечательностей, а также счет в отеле должны быть меньше суммы сбережений плюс сумма заработанного репетиторства.
   Перевести в неравенство.	525 + 780 + 95 (6) ≤840 + 45х525 + 780 + 95 (6) ≤840 + 45х
   Шаг 5.Решите неравенство.	1,875≤840 + 45h2,035≤45h33≤hh≥231,875≤840 + 45h2,035≤45h33≤hh≥23
   Шаг 6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл. Подставляем 23 в неравенство. 1,875≤840 + 45h2,875≤840 + 45 (23) 1,875≤1875 1,875≤840 + 45h2,875≤840 + 45 (23) 1,875≤1875
   Шаг 7. Напишите предложение, которое отвечает на вопрос.	Малик должен быть репетитором не менее 23 часов.

   Попробуйте 2.119

   У лучшей подруги Бренды свадьба по назначению, мероприятие продлится три дня. У Бренды 500 долларов сбережений, и она может зарабатывать 15 долларов в час за присмотром за детьми. Она рассчитывает заплатить 350 долларов за авиабилеты, 375 долларов за еду и развлечения и 60 долларов за ночь за свою долю гостиничного номера. Сколько часов она должна сидеть с ребенком, чтобы иметь достаточно денег, чтобы оплатить поездку?

   Попробуйте 2.120

   Хосуэ хочет отправиться в путешествие с друзьями на 10 ночей следующей весной.Ему будет стоить 180 долларов на бензин, 450 долларов на еду и 49 долларов за ночь в номере мотеля. У него 520 долларов сбережений, и он может заработать 30 долларов за уборку снега на проезжей части. Сколько проездов он должен прорыть, чтобы иметь достаточно денег, чтобы заплатить за поездку?

   Раздел 2.5 Упражнения

   Практика ведет к совершенству

   Неравенства в графике на числовой прямой

   В следующих упражнениях нарисуйте каждое неравенство на числовой прямой и запишите в интервальной нотации.

   296.

   
   ⓐ x <−2x <−2
   ⓑ x≥ − 3,5x≥ − 3,5
   ⓒ x≤23x≤23

   297.

   
   x> 3x> 3
   ⓑ x≤ − 0,5x≤ − 0,5
   ⓒ x≥13x≥13

   298.

   
   x≥ − 4x≥ − 4
   ⓑ x <2,5x <2,5
   ⓒ x> −32x> −32

   299.

   
   ⓐ x≤5x≤5
   ⓑ x≥ − 1,5x≥ − 1,5
   ⓒ x <−73x <−73

   300.

   
   ⓐ −5 ⓑ −3≤x <1−3≤x <1
   ⓒ 0≤x≤1,50≤x≤1,5

   301.

   
   ⓐ −2 ⓑ −5≤x <−3−5≤x <−3
   ⓒ 0≤x≤3.50≤x≤3,5

   302.

   
   ⓐ −1 ⓑ −3 ⓒ −1,25≤x≤0−1,25≤x≤0

   303.

   
   ⓐ −4 ⓑ −5 ⓒ −3,75≤x≤0−3,75≤x≤0

   Решите линейные неравенства

   В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   304.

   
   ⓐ a + 34≥710a + 34≥710
   ⓑ 8x> 728x> 72
   ⓒ 20> 25h30> 25h

   305.

   
   ⓐ b + 78≥16b + 78≥16
   ⓑ 6y <486y <48
   ⓒ 40 <58k40 <58k

   306.

   
   ⓐ f − 1320 <−512f − 1320 <−512
   ⓑ 9t≥ − 279t≥ − 27
   ⓒ 76j≥4276j≥42

   307.

   
   ⓐ г − 1112 <−518 г − 1112 <−518
   ⓑ 7 с <−287 с <−28
   ⓒ 94g≤3694g≤36

   308.

   
   ⓐ −5u≥65−5u≥65
   ⓑ a − 3≤9a − 3≤9

   309.

   
   ⓐ −8v≤96−8v≤96
   ⓑ b − 10≥30b − 10≥30

   310.

   
   ⓐ −9c <126−9c <126
   ⓑ −25

   311.

   
   ⓐ −7d> 105−7d> 105
   ⓑ −18> q − 6−18> q − 6

   В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   316.

   12x + 3 (x + 7)> 10x − 2412x + 3 (x + 7)> 10x − 24

   317.

   9y + 5 (y + 3) <4y − 359y + 5 (y + 3) <4y − 35

   318.

   6h − 4 (час − 1) ≤7h − 116h − 4 (час − 1) ≤7h − 11

   319.

   4k− (k − 2) ≥7k − 264k- (k − 2) ≥7k − 26

   320.

   8 м − 2 (14 − м) ≥ 7 (м − 4) + 3 м 8 м − 2 (14 − м) ≥ 7 (м − 4) + 3 м

   321.

   6n − 12 (3 − n) ≤9 (n − 4) + 9n6n − 12 (3 − n) ≤9 (n − 4) + 9n

   322.

   34b-13b <512b-1234b-13b <512b-12

   323.

   9u + 5 (2u − 5) ≥12 (u − 1) + 7u9u + 5 (2u − 5) ≥12 (u − 1) + 7u

   324.

   23 г-12 (г-14) ≤16 (г + 42) 23 г-12 (г-14) ≤16 (г + 42)

   325.

   45h − 23 (h − 9) ≥115 (2h + 90) 45h − 23 (h − 9) ≥115 (2h + 90)

   326.

   56a − 14a> 712a + 2356a − 14a> 712a + 23

   327.

   12v + 3 (4v − 1) ≤19 (v − 2) + 5v12v + 3 (4v − 1) ≤19 (v − 2) + 5v

   В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нанесите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   330.

   23p − 2 (6−5p)> 3 (11p − 4) 23p − 2 (6−5p)> 3 (11p − 4)

   331.

   18q − 4 (10−3q) <5 (6q − 8) 18q − 4 (10−3q) <5 (6q − 8)

   332.

   −94x≥ − 512−94x≥ − 512

   333.

   −218y≤ − 1528−218y≤ − 1528

   Перевести на неравенство и разрешить

   В следующих упражнениях переведите и решите. Затем изобразите решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

   338.

   Три больше ч не меньше 25.

   339.

   Шесть больше k больше 25.

   340.

   Ten меньше w не меньше 39.

   341.

   Двенадцать меньше x не меньше 21.

   342.

   Отрицательно пять раз р не больше 95.

   343.

   Дважды отрицательное значение с меньше 56.

   344.

   Девятнадцать меньше b не больше -22,22.

   345.

   Пятнадцать меньше , а не меньше −7.−7.

   Решение приложений с линейными неравенствами

   В следующих упражнениях решите.

   346.

   Алан загружает поддон ящиками, каждая из которых весит 45 фунтов. Поддон может безопасно выдержать не более 900 фунтов. Сколько ящиков он может безопасно загрузить на поддон?

   347.

   На лифте в многоквартирном доме Йехира есть табличка, на которой указано, что максимальный вес составляет 2100 фунтов. Если средний вес одного человека составляет 150 фунтов, сколько людей могут безопасно пользоваться лифтом?

   348.

   Андре просматривает апартаменты с тремя своими друзьями. Они хотят, чтобы ежемесячная арендная плата не превышала 2360 долларов. Если соседи по комнате поровну распределяют арендную плату между четырьмя из них, какова максимальная арендная плата, которую каждый будет платить?

   349.

   Арлин получила подарочную карту на 20 долларов в кофейню. Ее любимый напиток со льдом стоит 3,79 доллара. Какое максимальное количество напитков она может купить по подарочной карте?

   350.

   Тиган любит играть в гольф. В следующем месяце он заложил 60 долларов на тренировочное поле.Каждый раз, когда он идет, ведро с мячиками обходится ему в 10,55 доллара. Какое максимальное количество раз он может посещать тренировочное поле в следующем месяце?

   351.

   Райан взимает со своих соседей 17,50 долларов за мытье машины. Сколько машин он должен помыть следующим летом, если его цель — заработать не менее 1500 долларов?

   352.

   Кешад получает 2400 долларов в месяц плюс 6% от его продаж. Его брат зарабатывает 3300 долларов в месяц. На какой общий объем продаж ежемесячная зарплата Кешада будет выше, чем месячная зарплата его брата?

   353.

   Кимуен нужно зарабатывать 4150 долларов в месяц, чтобы оплачивать все свои расходы. Ее работа приносит ей 3 475 долларов в месяц плюс 4% от общего объема продаж. Каков минимальный общий объем продаж Кимуен, чтобы она могла оплатить все свои расходы?

   354.

   Андре предложили работу начального уровня. Компания предлагала ему 48 000 долларов в год плюс 3,5% от его общих продаж. Андре знает, что средняя заработная плата за эту работу составляет 62 000 долларов. Каким должен быть общий объем продаж Андре, чтобы его зарплата была не меньше средней заработной платы за эту работу?

   355.

   Наталья рассматривает два предложения о работе. На первой работе ей платили 83 тысячи долларов в год. Второй заплатит ей 66 500 долларов плюс 15% от общего объема продаж. Каким должен быть ее общий объем продаж, чтобы ее зарплата по второму предложению была выше, чем по первому?

   356.

   Счет за воду Джейка составляет 24,80 доллара в месяц плюс 2,20 доллара за кубический фут (сто кубических футов) воды. Какое максимальное количество ccf может использовать Джейк, если он хочет, чтобы его счет не превышал 60 долларов?

   357. Телефонный тариф

   Киёси стоит 17 долларов.50 в месяц плюс 0,15 доллара за текстовое сообщение. Какое максимальное количество текстовых сообщений может использовать Киёси, чтобы телефонный счет не превышал 56,60 доллара?

   358. Тарифный план

   Марлона стоит 49,99 доллара в месяц плюс 5,49 доллара за первый просмотр фильма. Сколько фильмов он сможет посмотреть в первый раз, если хочет, чтобы его ежемесячный счет составлял не более 100 долларов?

   359.

   Келлен хочет снять банкетный зал в ресторане для детского душа своей кузины. Ресторан стоит 350 долларов за банкетный зал плюс 32 доллара.50 на человека за обед. Сколько людей может принять душ Келлен, если она хочет, чтобы максимальная стоимость была 1500 долларов?

   360.

   Мошде ведет парикмахерский бизнес из своего дома. Она берет 45 долларов за стрижку и укладку. Ее ежемесячные расходы составляют 960 долларов. Она хочет иметь возможность вкладывать не менее 1200 долларов в месяц на свой сберегательный счет, чтобы открыть собственный салон. Сколько «стилей и стилей» ей нужно сделать, чтобы сэкономить не менее 1200 долларов в месяц?

   361.

   Ной устанавливает и настраивает программное обеспечение на домашних компьютерах.Он берет 125 долларов за работу. Его ежемесячные расходы составляют 1600 долларов. Сколько рабочих мест он должен выполнить, чтобы получить прибыль не менее 2400 долларов?

   362.

   Кэтрин — личный повар. Она берет 115 долларов за обед на четырех человек. Ее ежемесячные расходы составляют 3150 долларов. Сколько обедов для четырех человек она должна продать, чтобы получить прибыль не менее 1900 долларов?

   363.

   Мелисса делает ожерелья и продает их в Интернете. Она берет 88 долларов за ожерелье. Ее ежемесячные расходы составляют 3745 долларов. Сколько ожерелий она должна продать, если хочет получить прибыль не менее 1650 долларов?

   364.

   Пятеро чиновников студенческого самоуправления хотят пойти на съезд штата. Это будет стоить им 110 долларов за регистрацию, 375 долларов на транспорт и еду и 42 доллара на человека в отеле. На сберегательный счет студенческого самоуправления заложено 450 долларов на съезд. Остальные деньги они могут заработать на мойке автомобилей. Если они берут 5 долларов за машину, сколько машин они должны помыть, чтобы иметь достаточно денег для оплаты поездки?

   365.

   Сезар планирует четырехдневную поездку, чтобы навестить своего друга в колледже в другом штате.Это будет стоить ему 198 долларов на авиабилеты, 56 долларов на местный транспорт и 45 долларов в день на еду. У него 189 долларов сбережений, и он может заработать по 35 долларов за каждую стриженную лужайку. Сколько газонов нужно косить, чтобы на поездку хватило денег?

   366.

   Алонзо работает мастером по ремонту автомобилей. Он берет 175 долларов за машину. Он планирует переехать из родительского дома и снять свою первую квартиру. Ему нужно будет заплатить 120 долларов за подачу заявления, 950 долларов за залог, а также арендную плату за первый и последний месяц из расчета 1140 долларов в месяц.У него 1810 долларов сбережений. Сколько машин нужно собрать, чтобы иметь достаточно денег на аренду квартиры?

   367.

   Ын-Кён работает репетитором и зарабатывает 60 долларов в час. У нее 792 доллара сбережений. Она планирует отпраздновать годовщину своих родителей. Она хочет пригласить 40 гостей. Вечеринка обойдется ей в 1520 долларов на еду и напитки и 150 долларов на фотографа. Она также окажет услугу каждому из гостей, и каждая услуга будет стоить 7,50 долларов. Сколько часов она должна заниматься репетитором, чтобы денег на вечеринку хватило?

   Повседневная математика

   368.

   Максимальная нагрузка на сцену В 2014 году обрушилась сцена средней школы в Фуллертоне, Калифорния, когда 250 учеников вышли на сцену для финала музыкальной постановки. Пострадали два десятка студентов. Сцена могла выдержать максимум 12 750 фунтов. Если предполагается, что средний вес студента составляет 140 фунтов, каково максимальное количество студентов, которые могут безопасно выйти на сцену?

   369.

   Максимальный вес лодки В 2004 году в гавани Балтимора затонуло водное такси, пять человек утонули.Водное такси имело максимальную вместимость 3500 фунтов (25 человек при среднем весе 140 фунтов). Средний вес 25 человек в водном такси, когда оно затонуло, составлял 168 фунтов на человека. Каким должно быть максимальное количество людей с таким весом?

   370.

   Свадебный бюджет Адель и Уолтер нашли идеальное место для своего свадебного приема. Стоимость составляет 9850 долларов США на 100 гостей, плюс 38 долларов США на каждого дополнительного гостя. Сколько гостей может присутствовать, если Адель и Уолтер хотят, чтобы общая стоимость не превышала 12500 долларов?

   371.

   Бюджет душа Пенни планирует детский душ для своей невестки. Стоимость ресторана составляет 950 долларов США за 25 гостей, плюс 31,95 доллара США за каждого дополнительного гостя. Сколько гостей может присутствовать, если Пенни хочет, чтобы общая стоимость не превышала 1500 долларов?

   Письменные упражнения

   372.

   Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении −5x> 10. −5x> 10.

   373.

   Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении n − 3 <12.п-3 <12.

   374.

   Найдите свой телефонный счет за последний месяц и почасовую зарплату, которую вам платят на работе. Подсчитайте количество часов работы, которое вам потребуется, чтобы заработать хотя бы достаточно денег для оплаты телефонного счета, написав соответствующее неравенство и затем решив его. Считаете ли вы, что это подходящее количество часов? Подходит ли вам этот тарифный план?

   375.

   Узнайте, сколько единиц у вас осталось после этого семестра для достижения вашей цели в колледже, и оцените количество единиц, которое вы можете сдавать в каждом семестре в колледже.Подсчитайте количество терминов, которое потребуется вам для достижения цели в колледже, написав соответствующее неравенство и затем решив его. Это приемлемое количество терминов, пока вы не достигнете своей цели? Как бы вы могли ускорить этот процесс?

   Самопроверка

   ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

   ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

   Решение рациональных неравенств — ChiliMath

   Ключевой подход к решению рациональных неравенств основан на поиске критических значений рационального выражения, которые делят числовую прямую на отдельные открытые интервалы.

   Критические значения — это просто нули числителя и знаменателя. Вы должны помнить, что нули знаменателя делают рациональное выражение неопределенным, поэтому их следует немедленно игнорировать или исключать как возможное решение. Однако нули числителя также необходимо проверять на предмет его возможного включения в общее решение.

   В этом уроке я рассмотрю пять (5) рабочих примеров с разным уровнем сложности, чтобы проиллюстрировать как процедуры, так и концепции.

   ---

   Примеры решения рациональных неравенств

   Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

   Я начинаю решать это рациональное неравенство с написания его в общем виде. Общая форма подразумевает, что рациональное выражение расположено слева от неравенства, а ноль остается справа.

   Общая форма имеет четыре (4) типа.

   Приятно знать, что эта проблема уже в общем виде.Мой следующий шаг — найти нулей числителя и знаменателя .

   Я могу найти нули числителя, полностью вычленив его, а затем отдельно установить каждый множитель равным нулю и решить относительно x. Точно так же поиск нулей знаменателя выполняется таким же образом.

   Теперь я буду использовать нули, чтобы разделить числовую строку на интервалы. Нули числителя и знаменателя также известны как критические числа . В этом случае два критических числа делят числовую прямую на три отдельных интервала.

   Следующий шаг — выбрать или выбрать число в каждом интервале и вычислить его обратно в исходное рациональное неравенство; чтобы определить, истинное это утверждение или ложное. Истинное утверждение означает, что интервал является частью решения, в противном случае это не так.

   Как видите, числа, которые я выбрал для каждого интервала, выделены желтым.

   Обратите внимание, что открытый интервал между -1 и 3, записанный как \ left ({- 1,3} \ right), дает истинное утверждение, которое подразумевает, что оно является частью решения.

   Итак, где еще нам искать возможные решения, чтобы покончить с этим?

   Проверяйте нули или критические числа числителей только в исходном уравнении. Если это верно, включите это критическое число как часть общего решения.

   Нулей в числителе 3. Сейчас проверю.

   Использование квадратной скобки указывает, что это часть решения, а открытая скобка (скобка) означает, что это не так.Я напишу свой окончательный ответ как \ left ({- 1, \ left. 3 \ right]} \ right ..

   ---

   Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

   Во-первых, данное рациональное неравенство имеет общий вид, потому что рациональное выражение находится слева, а ноль — справа. Это хорошо!

   Затем я вынесу за скобки числитель и знаменатель. После этого у вас должно получиться что-то вроде этого.

   Теперь я могу найти нули числителя и знаменателя.

   Эти нули или критические числа делят числовую строку на отдельные интервалы или части.

   Выберите номер теста для каждого интервала и верните исходное рациональное неравенство.

   Используйте факторизованную форму исходного рационального неравенства , чтобы оценить числа тестов для упрощения вычислений.

   Цифры желтого цвета — это те числа, которые я выбрал для проверки достоверности каждого интервала.

   Интервалы, дающие истинные утверждения:

   Чтобы найти остальную часть решения, проверьте правильность нулей числителя только в исходном рациональном неравенстве.

   Если вы сделали это правильно, вы должны согласиться с тем, что −4 и 2 — это недействительные ответы , потому что они не дают истинных утверждений после проверки.

   Окончательный ответ на эту проблему в обозначении интервалов —

   ---

   Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

   Я бы сначала вычленил числитель и знаменатель, чтобы найти их нули. В факторизованном виде у меня получилось

   Затем определите нули рационального неравенства, установив каждый коэффициент равным нулю, а затем решив относительно x.

   • Нули числителя: –1 и 4
   • Нули знаменателя: 4

   Используйте нули как критические числа, чтобы разделить числовую прямую на отдельные интервалы. Я начинаю проверять достоверность каждого интервала, выбирая тестовые значения и оценивая их в соответствии с исходным рациональным неравенством. Желтым — числа, которые я выбрал.

   Обратите внимание, что единственный интервал, дающий истинное утверждение, — это \ left ({- 1,4} \ right).

   Более того, нули числителя не совпадают с исходным рациональным неравенством, поэтому я должен их игнорировать.

   Окончательный ответ — просто \ left ({- 1,4} \ right).

   ---

   Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

   Это рациональное неравенство не в общем виде . Правая часть должна быть равна нулю. Первый шаг — избавиться от константы на этой стороне путем вычитания обеих частей на 1. После этого сведите к одному рациональному выражению. У вас должен быть аналогичный предварительный шаг, вот так.

   Затем найдите нули числителя и знаменателя.

   • Нули в числителе: -7
   • Нули в знаменателе: -3

   Используйте нули как критические числа, чтобы разделить числовую линию на участки или интервалы.

   Затем выберите номера тестов для каждого интервала и оцените их в общей форме, чтобы определить их истинностные значения. Желтым цветом обозначены выбранные значения. Вы можете выбрать другие числа, если они находятся в проверяемом интервале.

   Интервалы, дающие истинные утверждения:

   Между тем, после проверки нуля числителя при x = — \, 7 это также приводит к истинному утверждению.Используйте квадратную скобку, чтобы указать, что он включен в качестве решения.

   Окончательный ответ в обозначении интервалов должен быть

   ---

   Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

   Мне нужно обнулить правую часть рационального неравенства. Для этого я буду одновременно прибавлять x и вычитать 5 с обеих сторон. Однако моя конечная цель — выразить это в едином рациональном выражении. Здесь вам пригодятся ваши навыки складывания и вычитания рациональных выражений.У вас должны быть аналогичные шаги ниже.

   Затем найдите нули числителя и знаменателя.

   • Нули числителя: -3 и 5
   • Нули знаменателя: 0

   Используйте нули, чтобы разделить числовую прямую на отдельные интервалы. Выберите номера тестов для каждого интервала, чтобы проверить, верны ли утверждения. Выбранные тестовые значения для x выделены желтым цветом.

   «Истинные» интервалы — это \ left ({- \, \ infty, — 3} \ right) и \ left ({0,5} \ right).Более того, нули числителя также сверяются с общим видом данного рационального неравенства. Следовательно, я должен включить -3 и 5 как часть решения с использованием квадратных скобок.

   Окончательный ответ теперь становится

   ---

   Практика с рабочими листами

   ---

   Возможно, вас заинтересует:

   Решение рациональных уравнений

   Сложение и вычитание рациональных выражений

   Умножение рациональных выражений

   Неравенство

   Неравенство

   ---

   Содержание : Эта страница соответствует § 2.5 (стр. 216) текст.

   Предлагаемые задачи из текста:

   с. 225 # 11, 12, 13, 14, 16, 28, 33, 35, 38, 41, 53, 56, 62, 63, 68, 69

   Линейные неравенства

   Сочетания неравенств

   Неравенства, связанные с абсолютными значениями

   Полиномиальные неравенства

   Рациональные неравенства

   ---

   Линейные неравенства

   Неравенство — это сравнение выражений на «меньше» (<), «меньше или равно» на «(<=)», «больше» (>) или «больше или равно» (> =).Обратите внимание, что Html не поддерживает стандартные символы «меньше или равно» и «больше или равно», поэтому мы используем <= и> = для этих отношений.

   Пример 1 . х + 3 <= 10

   Решение для неравенства в x — это число, такое, что когда мы подставляем это число вместо x, мы имеем верное заявление. Итак, 4 — это решение, например 1, а 8 — нет. Набор решений неравенства: набор всех решений.Обычно неравенство имеет бесконечно много решений, и множество решений легко описывается с использованием обозначения интервалов.

   Набор решений в примере 1 — это набор всех x <= 7. В интервальной записи это набор (-inf, 7], где мы используем inf для обозначения бесконечности.

   Линейное неравенство — это такое неравенство, что если бы мы заменили неравенство соотношением равенства, то мы имели бы линейное уравнение. Решение линейных неравенств очень похоже на решение линейных уравнений с одним важным отличием.

   Когда вы умножаете или делите обе стороны неравенства на отрицательное число, направление неравенство обращено вспять.

   Вы можете увидеть это, используя неравенство без переменных.

   Пример 2 .

   3 <7. Это ИСТИНА.

   (3) (- 2) <(7) (- 2). Это ЛОЖЬ, потому что -6 находится справа от -14 в числовой строке.Следовательно, -6> -14.

   (3) (- 2)> (7) (- 2). Это верно. Итак, когда мы умножаем исходное неравенство на -2, мы должны перевернуть направление, чтобы получить еще одно верное утверждение.

   Примечание : Как правило, мы не можем умножать или делить обе стороны неравенства на выражение с переменной, потому что некоторые значения переменной могут сделать выражение положительным, а некоторые — отрицательным.

   Пример 3 .

   7 — 2x <3.

   -2x <-4.

   x> 2.

   Примечание : Когда мы разделили обе стороны неравенства на -2, мы изменили направление неравенства.

   Посмотрите на графики функций по обе стороны от неравенства.

   Для выполнения неравенства 7 — 2x должно быть меньше 3. Итак, мы ищем такие числа x, что точка на графике y = 7 — 2x находится на ниже точки на графике y = 3.Это верно для x> 2. В интервале обозначение множество решений — (2, inf).

   Есть еще один способ использовать графическую утилиту для решения этого неравенства. В Java Grapher выражение (7-2 * x) L3 имеет значение 1 для чисел x, удовлетворяющих неравенству, и значение 0 для других чисел Икс. На рисунке ниже показан график (7-2 * x) L3, нарисованный Grapher.

   Упражнение 1:

   Решите неравенство 4 — x> 1 + 3x.Ответ

   Вернуться к содержанию

   Сочетания неравенств

   Пример 4 .

   Найдите все числа x такие, что -3 <5 - 2x и 5 — 2x <9.

   -3 <5-2x -8 <-2x 4> x (-inf, 4)

   И

   5 — 2x <9 -2x <4 x> -2 (-2, инф)

   Чтобы удовлетворить обоим неравенствам, число должно быть в обоих наборах решений.Итак, числа, удовлетворяющие обоим неравенства — это значения на пересечении двух наборов решений, которые представляют собой набор (-2, 4) в интервале обозначение.

   Задача выше обычно записывается как двойное неравенство .

   -3 <5 - 2x <9 означает -3 <5 - 2x и 5 — 2x <9.

   Примечание: Когда мы решили два неравенства по отдельности, шаги в двух задачах были одно и тоже.Следовательно, для одновременного решения неравенств можно использовать обозначение двойного неравенства.

   -3 <5 - 2x <9.

   -8 <-2x <4.

   4> х> -2.

   В терминах графиков эта задача соответствует нахождению таких значений x, что соответствующая точка на график y = 5 — 2x находится между графиками y = -3 и y = 9.

   Пример 5 .

   Найдите все числа x такие, что x + 1 <0 или x + 1> 3.

   В примере 4 выше мы искали числа, удовлетворяющие обоим неравенствам. Здесь мы хотим найти числа удовлетворяющие любому из неравенств. Это соответствует объединению наборов решений вместо пересечения.

   Не используйте в этой ситуации обозначение двойного неравенства.

   x + 1 <0 x <-1 (-inf, -1)

   ИЛИ

   x + 1> 3 x> 2 (2, инф.)

   Набор решений представляет собой объединение двух интервалов (-inf, -1) и (2, inf).

   Упражнение 2:

   (a) 1 <3 + 5x <7 Ответ

   (b) 2 — x <1 или 2 - x> 5 Ответ

   Вернуться к содержанию

   Неравенства, связанные с абсолютными значениями

   Неравенства, включающие абсолютные значения, можно переписать как комбинации неравенств.

   Пусть a будет положительным числом.

   | x |

   | x | > a тогда и только тогда, когда x <-a или x> a.

   Чтобы понять эти утверждения, подумайте о числовой прямой. Абсолютное значение числа — это расстояние номер начинается с 0 в числовой строке. Итак, неравенство | x |

   Неравенство | x | > a удовлетворяют числам, расстояние от которых до 0 больше, чем a.Это означает числа которые либо больше, либо меньше -a.

   Пример 6 .

   | 3 + 2x | <= 7.

   -7 <= 3 + 2x <= 7.

   -10 <= 2x <= 4.

   -5 <= x <= 2.

   x находится в [-5, 2].

   Что касается графиков, мы ищем такие значения x, что соответствующая точка на графике y = | 3+ 2x | либо ниже, либо равна точке на графике y = 7.

   Пример 7 .

   | 5 — 2x | > 3.

   5 — 2x <-3 или 5 - 2x> 3.

   -2x <-8 или -2x> -2.

   x> 4 или x <1.

   x находится в (4, inf) union (-inf, 1).

   Этот набор решений соответствует области, где график y = | 5 — 2x | находится над графиком y = 3.

   Упражнение 3 :

   Решите следующие неравенства.Используйте графическую утилиту, чтобы проверить свои ответы.

   (а) | 3 + х | <4.

   (б) | 2 — х | > 3.

   Вернуться к содержанию

   Полиномиальные неравенства

   Пример 8 .

   x ² — x — 6 <0.

   Первый шаг — найти нули многочлена x ² — x — 6.

   х ² — х — 6 = 0.

   (x + 2) (x — 3) = 0.

   x = -2 или x = 3.

   -2 и 3 называются критическими числами неравенства.

   Примечание: -2 и 3 не входят в набор решений неравенства. Мы ищем ценности x, где многочлен отрицательный. Множество решений неравенства соответствует области, в которой граф полинома ниже оси абсцисс. Критические числа -2 и 3 — это места пересечения графика ось абсцисс.

   Критические числа делят ось абсцисс на три интервала, называемых контрольными интервалами для неравенства.

   Интервалы тестирования: (-inf, -2), (-2, 3), (3, inf).

   Мы собираемся использовать тот факт, что полиномиальные функции непрерывны . Это означает, что их графики не делать перерывов и прыжков.

   Так как мы нашли все пересечения по оси x графика x ² — x — 6 на протяжении каждого тестового интервала график должен быть либо выше оси x, либо ниже нее.Здесь нам нужно знать, что на графике нет никаких перерывов. Это означает, что мы можем выбрать любое число, которое нам нравится в тестовом интервале, и оценить полином на это число, чтобы увидеть, находится ли график выше или ниже оси x на протяжении всего интервала тестирования.

   (-inf, -2): -5 находится в интервале. (-5) ² — (-5) — 6 = 24> 0, поэтому график y = x ² — x — 6 находится над осью x на всем интервале (-inf, -2).

   (-2; 3): 0 находится в интервале.0 ² -0 — 6 = -6 <0, поэтому график y = x ² — x — 6 находится ниже оси абсцисс на всем интервале.

   (3, inf): 4 находится в интервале. 4 ² -4-6 = 6> 0, поэтому график y = x ² — x — 6 находится над осью абсцисс на всем интервале.

   Поскольку мы ищем области, в которых график находится ниже оси, набор решений равен -2

   Распространенная ошибка

   Мы будем использовать проблему из примера 8, чтобы проиллюстрировать распространенную ошибку.

   x ² — x — 6 <0.

   (x + 2) (x — 3) <0 Хорошо до этого момента.

   x + 2 <0 или x - 3 <0 НЕПРАВИЛЬНО!

   Если произведение двух чисел равно , равно 0, то хотя бы одно из чисел должно быть 0. Однако произведение двух отрицательных чисел не является отрицательным, поэтому этот подход бесполезен для решения неравенств.

   Пример 9 .

   1.2 x ³ + 3,07 x ² — x — 3,71> 0.

   Эта задача намного сложнее неравенства в предыдущем примере! Фактор непросто, поэтому мы не сможем найти точные значения критических чисел. Мы будем использовать графическую утилиту, чтобы приблизить критические числа. График полинома показан ниже.

   y = 1,2 x ³ + 3,07 x ² — x — 3,71

   Критическое число составляет примерно -2.35, -1,25 и 1,05. В этой задаче мы ищем регионы, где график находится над осью.

   Набор решений : (-2.35, -1.25) union (1.05, inf).

   Упражнение 4 :

   Решите неравенство x ² + 3x — 4> 0. Используйте графическую утилиту, чтобы проверить свое решение.

   Вернуться к содержанию

   Рациональные неравенства

   Рациональное выражение — это полином, деленный на полином.В общем, графики рациональных функций есть перерывы. Они не определены в нулях знаменателя. Это единственные места, где есть ломается, поэтому мы можем использовать ту же технику для решения рациональных неравенств, которую мы используем для полиномиальных неравенств.

   Пример 10 .

   Критические числа для рационального неравенства — это все нули числителя и знаменателя. С числитель и знаменатель уже учтены в этом примере, мы видим, что критические числа равны -3, 5 и 1.

   Три критических числа делят числовую строку на четыре тестовых интервала.

   (-inf, -3): -4 находится в интервале, а рациональная функция, оцененная как -4, равна -9/15. Поскольку значение отрицательное, график рациональной функции находится на ниже оси x на всем интервале.

   (-3, 1): 0 находится в интервале. Значение функции в 0 равно 5, что положительно. График функции находится на выше по оси x во всем интервале.

   (1, 5): 2 находится в интервале. Значение 2 равно -5. График функции находится на ниже по оси абсцисс.

   (5, inf): 6 находится в интервале. Значение 6 — 9/15. График функции находится на выше по оси абсцисс.

   Мы ищем области, в которых график находится выше оси x, поэтому набор решений равен (-3, 1) union (5, инф.).

   Примечание: Можно использовать графическую утилиту, чтобы увидеть, с какой стороны оси x находится график над различные интервалы тестирования.В некоторых случаях вам необходимо решить алгебраически, чтобы найти точные значения критических чисел, но как только это будет сделано, график предоставит быстрый способ решить проблему.

   График y = (x + 3) (x — 5) / 3 (x — 1)

   При работе с неравенством следует помнить о двух важных моментах:

   1.

Помогла ли вам эта статья?

Как конвертировать изображение JPG в PNG с разными параметрами

Если вы посвятили себя фотографии или работе, связанной с изображениями, то наверняка знаете такие форматы, как JPG, PNG, GIF . .. Они являются наиболее распространенными, с которыми вы работаете. Но иногда вы обнаруживаете, что вам нужно преобразовать изображение JPG в PNG, Ты умеешь это делать?

Здесь мы расскажем вам, каковы характеристики каждого формата изображения и как конвертировать JPG в PNG разными способами, независимо от того, хотите ли вы сделать это с помощью программы, с помощью онлайн-страницы или со своего мобильного телефона.

Что такое изображение в формате JPG

Формат JPG — один из наиболее распространенных в цифровой индустрии, но он также является тем, что мы используем чаще всего, когда мы загружаем фотографию из Интернета или загружаем ее в социальные сети. По умолчанию почти все программы сохраняют фотографии в этом формате, и когда вы делаете это с помощью мобильной камеры, они также имеют расширение JPG.

В частности, JPG, также известный как JPEG, означает Объединенные группы экспертов по фотографии. Это название было дано «группой экспертов» для создания этого формата. И что он делает? Хорошо сжимает изображения, как в оттенках серого, так и в цветных, с сохранением высокого качества (хотя есть потери, которые можно настроить).

Таким образом, в зависимости от желаемого качества изображения и от используемой программы вы можете определить, какая потеря данных будет у вас, если вообще произойдет. Это влияет на размер изображения, поскольку чем тяжелее, тем выше его качество. Но загрузка, загрузка, публикация или отправка займет больше времени.

У использования формата JPG много преимуществ, особенно потому, что это расширение, наиболее поддерживаемое браузерами (и фактически также социальными сетями, поскольку есть некоторые форматы, которые они не распознают). Кроме того, он относительно легкий, но при этом сохраняет качество, и его очень легко идентифицировать при просмотре большого количества фотографий.

Что такое изображение PNG

Сегодня веб-браузеры могут поддерживать несколько форматов изображений. Наиболее распространены обычно JPG, GIF и, да, PNG. Однако этот формат имеет некоторые характеристики, которые отличаются от других и могут иметь положительное или отрицательное влияние в зависимости от того, как вы хотите его использовать.

PNG — это формат изображения, который можно представить двумя разными способами:

• 8-битный PNG. Он очень похож на GIF, а это значит, что изображение может мало весить и сохранять определенный уровень качества. Но вы не можете создавать анимации.
• 24-битный PNG. Это связано с характеристиками JPG, то есть он может сохранять изображения с тем же качеством и количеством цветов, что и этот другой формат.

Теперь PNG характеризуется сохранить изображение с помощью сжатия, но без потери качества. То есть у вас будет качественное изображение. Кроме того, в отличие от того, что происходит с JPG, в этом случае PNG допускает прозрачность, что невозможно в JPG (фактически, когда вы пытаетесь сохранить его, прозрачный слой становится белым). Вот почему это наиболее предпочтительный формат для сохранения логотипов, изображений очень высокого качества или когда они имеют градиенты или прозрачность.

Формат PNG (что означает «переносимая сетевая графика») был разработан в середине 1990-х годов и был создан потому, что был необходим формат, который бы позволил избежать проблем с GIF, но в то же время мог бы обладать всеми преимуществами JPEG и GIF. .

Преобразование изображения JPG в PNG

Теперь, когда вы знаете каждый из форматов изображений, пришло время поговорить о том, как преобразовать изображение JPG в PNG, поскольку для этого есть несколько вариантов. Здесь мы объясняем некоторые из них.

Программы для преобразования изображения JPG в PNG

Первый вариант, который у вас есть, — это использовать программы, которые наверняка будут у вас на компьютере. Мы говорим, например, о Paint, Photoshop, GIMP … или любой редактор изображений, поскольку они обычно поддерживают разные форматы.

Что ты должен сделать? Следующий:

• Откройте программу, которую собираетесь использовать.
• Откройте изображение JPG, которое вы собираетесь преобразовать в другой формат в программе. Вы можете отредактировать его, если вам это нужно, или поработать с ним и сохранить результат (или сохранить его как есть).
• Теперь пора его спасти. Однако вместо того, чтобы нажимать кнопку «Сохранить» или «Файл / Сохранить», вы должны нажать кнопку «Сохранить как». Таким образом, программа интерпретирует, что вы хотите сохранить это изображение, но в другом формате.
• На экране «Сохранить как» он предложит вам список возможных форматов изображений, в которых вы можете сохранить фотографию. Все, что вам нужно сделать, это выбрать расширение PNG, чтобы наконец сохранить его и сохранить на своем компьютере в этом формате.

Бесплатные онлайн-страницы для преобразования изображения JPG в PNG

Если вы не хотите использовать компьютерную программу, либо потому, что она у вас не установлена, либо потому, что вам нужно сделать это быстрее (особенно если есть несколько фотографий, которые вы конвертируете из JPG в PNG, то может быть интересно используйте некоторые веб-страницы, которые вам предлагают эту «услугу».

В самом деле, многие из них бесплатны, и все, что вам нужно сделать, это загрузить фотографии, и они автоматически изменят формат так что вы загружаете их снова (по одному или в виде zip-файла), и вы можете иметь их по своему усмотрению.

Примеры бесплатных онлайн-страниц для преобразования изображения JPG в PNG:

• Image.online-convert.com
• Sodapdf.com
• convertio.co
• iloveimg.com
• jpg2png.com
• onlineconvertfree.com

Конвертируйте изображение JPG в PNG на своем смартфоне

Что делать, если вы хотите преобразовать изображение JPG в PNG? Нужно ли сначала перенести изображение на компьютер, чтобы поработать с ним и преобразовать его? Или можно сделать это с того же мобильного телефона?

Ну да, вы можете сделать это вот так. Для этого у вас есть несколько вариантов:

• Вы можете сделать это с помощью приложений, например Photo Converter; Конвертер фото и изображений jpg pdf eps psd, png, bmp…; Конвертер изображений, изображение в JPG / PNG, PNG Magic . ..
• Другой вариант через браузер, используя страницы, подобные упомянутым ранее, что почти все они также работают в мобильном формате.

Из JPG в PNG

JPEG – это наиболее распространенный и популярный формат растрового изображения. Свое название форма получил по аббревиатуре от названия организации-разработчика Joint Photographic Experts Group. Файлы такого формата используются сегодня во всех цифровых фотоаппаратах и камерах. Они имеют хорошую степень сжатия и поддерживают глубину цвета в 24 бит. Поскольку такое сжатие существенно уменьшают размер изображения практически без потери качества, формат JPEG широко распространен в Интернете. Однако чем сильнее сжатие, тем хуже качество. К тому же формат JPEG не поддерживает опцию прозрачности.

PNG – это формат растрового изображения, разработчиком которого является компания PNG Development Group. Название PNG – это аббревиатура от Portable Network Graphic. Этот формат изображений используется, прежде всего, в Интернете для размещения на веб-страницах, поскольку файлы PNG применяют сжатие по алгоритму Deflate, не теряя качества. Разработка данного формата была предпринята для того, чтобы заменить формат GIF, к которому было немало претензий. Качество изображения и характеристики у PNG оказались намного лучше, однако в отличие от GIF он не поддерживает анимацию и использует палитру CMYK.

Отзывы

отлично

good

збс

Очень долго конвертит, через ФШ быстрее сделать

Топовый конвертер, очень быстро, без всего лишнего. Лучший среди остальных!

Ваще супер!

Спасибо! Супер!

круто

Делаю рекламы и иногда файл с фото скачивается не в том формате. .. Лучший сайт для решения этой проблемы.

Делаю рекламы и иногда файл с фото скачивается не в том формате… Лучший сайт для решения этой проблемы

Другие сервисы

Как конвертировать PNG в JPG

С таким определением, как конвертация, современные пользователи сталкиваются практически ежедневно, во время работы за компьютером то и дело появляется необходимость перевести файл с одним расширением в другой. Стоит отметить, что подобные ситуации будут сопутствовать потребителям до того времени, сколько будут действовать и существовать персональные компьютеры. Необходимость менять формат картинок — одна из самых востребованных нужд, особенно часто возникает потребность перевести png в jpg. Зачастую активные пользователи социальных сетей или блогеры сталкиваются с проблемой загрузки картинок в формате PNG на различные сервисы, дело в том, что практическое большинство сайтов работают только с теми изображениями, которые сохранены в формате JPG. Каким бы прекрасным и качественным не был файл, его придётся конвертировать в требуемое расширение. Однако несмотря на кажущуюся сложность, количество программных продуктов настолько велико, что каждый желающий может с лёгкостью решить такую компьютерную задачку.

Принципиальное различие представленных расширений

Пользователи, которые не видят принципиальных отличий между PNG и JPG, должны знать, что эти форматы различны между собой, в первую очередь, способами максимального сжатия картинок и предназначением, точнее, специализированными чертами, заранее определяющими их дальнейшее логичное использование.

Если рассматривать формат PNG как расширение, предназначенное для создания картинок веб-графики (в основном с дополнительным эффектом прозрачности), то формат JPG обладает гораздо более обширным назначением. Посредством такого расширения могут сохраняться абсолютно все картинки, которые не имеют непосредственного отношения к веб-графике. Чаще всего встретить подобный формат можно при работе с фотографиями. Однако, несмотря на различные области применения, у некоторых владельцев ПК периодически возникает необходимость преобразовать png в jpg. Тем не менее в ряде случаев возникает необходимость в конвертировании из одного формата в другой.

Способы возможной конвертации

Чтобы сделать из изображения формата png jpg-картинку, на самом деле можно воспользоваться большим количеством разнообразных способов, выбрать для себя более оптимальный каждый должен самостоятельно в зависимости от личных предпочтений и навыков работы с компьютером.

Программный комплекс Photoshop

На сегодняшний день Photoshop является весьма распространённым продуктом, который установлен практически на каждом личном компьютере. Овладеть этим хитрым редактором пытается каждый, кто хочет в дальнейшем профессионально заниматься изображениями и, в частности, фотографиями. Посредством этой программы можно с лёгкостью конвертировать png в jpg.

Для непосредственной работы в этом графическом редакторе понадобится установленная программа и изображения. Пользователю нужно открыть файл с PNG-расширением, в меню найти подраздел с названием «Файл», в ниспадающем списке найти предложение «Сохранить как». Окно для дальнейшего сохранения содержит несколько списков, кроме «Имя файла» нужно указать соответствующий «Тип файла». Для преобразования в требуемый формат нужно выбрать строку JPEG, файлы этого расширения могут быть как *.JPG, так *.JPEG и *.JPE. Преимущество этого программного комплекса кроется в его мощнейшем функционале, о чём свидетельствует возможность создать определённый макрос, способный самостоятельно выполнять некоторые однотипные действия, например, переименовывать большое количество изображений.

Стандартная программа Paint

Помочь перевести png в jpg может весьма простой и функциональный программный комплекс, который не нужно устанавливать дополнительно. Paint — логичная и простая программа, которая устанавливается на компьютере вместе с операционной системой, кроме того, она не требует в отличие от Photoshop, например, профессиональных знаний и дорогостоящей лицензии.

Воспользоваться возможностями Paint можно сразу же после открытия программы и картинки. В перечне возможных операций, представленных Paint, нужно найти пункт «Сохранить как», дальше появится небольшое подменю, в котором придётся найти «Изображение с расширением JPEG». Пользователю нужно только указать место, в которое требуется сохранить картинку. Однако при работе со встроенным редактором нужно быть готовым к тому, что конечное полученное изображение может иметь не такое высокое качество как исходное, в этом кроется недостаток стандартной программы. Photoshop — более мощный инструмент, который способен на выходе отдавать одинаково качественные по сравнению с получаемыми картинки и фото.

Format Factory

Выполнить процедуру по конвертации одного формата в другой очень просто при помощи специальной утилиты Format Factory. Помимо функции конвертирования, программа имеет довольно широкий набор полезных инструментов, что делает её достаточно универсальным средством для редактирования любых медиа-файлов.

Для того чтобы изменить формат фотографии, следуйте приведённой ниже инструкции:

1. После запуска приложения, в левой нижней части окошка найдите перечень медиа-форматов и выберите «Фото».
   
2. В открывшемся списке расширений кликните на «JPG».
   
3. Перед вами появится промежуточное окно для изменения параметров изображения. Чтобы задать конфигурацию текущему файлу, нажмите кнопку «Настроить».
   
4. На панели настроек можно внести изменения в свойства картинки. В частности, изменить размер, задать угол поворота, добавить этикетку или водный знак. После проделанных манипуляций подтвердите свои действия кнопкой «Ок».
   
5. Далее нужно загрузить сам исходник, для этого щёлкните на «Добавить файл».
   
6. Найдите его на диске и нажмите «Открыть». Таким же образом можно загружать сразу несколько объектов.
7. После этого выбранное фото отобразится на рабочей области. В самом низу страницы вы можете увидеть директорию, куда будет сохранён рисунок JPG. Если это необходимо, укажите другой каталог, нажав на клавишу «Изменить».
   
8. После предыдущего шага убедитесь, что строка «Конечная папка» имеет прописанный вами путь. Если всё верно, в правом верхнем углу нажмите «Ок».
   
9. Возвращаемся в главное меню программы. Выделите только что отредактированный источник трансформирования и на панели инструментов кликните «Старт».
   
10. По завершению процесса конвертации статус в столбце «Состояние» изменится на «Выполнено».
    
11. Открыть полученную картинку можно самостоятельно через проводник, либо кликнув правой кнопкой мыши по наименованию завершённой задачи и выбрав «Открыть в папке».
    

Фотоконвертер

Следующая программа также отлично справится с задачей преобразования PNG в JPG. Фотоконвертер располагает множеством доступных форматов и удобным, интуитивно понятным интерфейсом. Однако, для того чтобы данный процесс совершенно точно не вызвал у вас затруднений, мы подготовили подробное пошаговое руководство:

1. Первым делом запустите приложение и в главном меню, в категории «Выбрать файлы», кликните на строку «Файлы» (рядом с плюсиком).
2. В открывшемся списке опций выберите «Добавить файлы».
   
3. Далее укажите местоположение фотографии и нажмите «Открыть». Если нужно, отметьте сразу несколько объектов.
   
4. После этого следует выбрать формат будущего изображения. Внизу рабочего окна напротив пункта «Сохранить как» активируйте значок «JPG» и перейдите в следующий раздел «Сохранить».
   
5. В новом подменю необходимо задать место сохранения преобразованного фото.
   
6. По окончании предыдущего шага запустите процесс конвертирования, щёлкнув на кнопку «Старт».
   
7. Как только процедура завершится, в информационном окошке появится соответствующее уведомление «Конвертация завершена». Чтобы перейти к обработанным картинкам, нажмите на «Показать файлы».
   

Единственный недостаток этой утилиты в том, что она платная. Её можно использовать только 15 дней, а затем придётся приобретать полную версию.

FastStone Image Viewer

Для того чтобы переформатировать PNG в JPG, необязательно прибегать к специализированным программам или мощным графическим редакторам. Для этой цели также подойдут утилиты для обычного просмотра и редактирования изображений. Одной из них является FastStone Image Viewer, которая имеет достаточно продвинутый функционал по сравнению с другими аналогичными приложениями.

Рассмотрим поэтапно принцип конвертации:

1. На главной странице перейдите во вкладку «Файл» → «Открыть», либо воспользуйтесь комбинацией клавиш «Ctrl + O».
   
2. В окне поиска укажите путь к целевому PNG и нажмите «Открыть».
3. В правом меню программы выделите нужный объект и выполните переход «Файл» → «Сохранить как» («Ctrl + S»). Также можно щёлкнуть по значку дискеты на панели инструментов.
   

   ВАЖНО. Обратите внимание, что в левом нижнем углу отображается миниатюра выбранной картинки. Убедитесь, что это именно то фото, формат которого вы хотите поменять.

4. Теперь необходимо установить место размещения будущего изображения. После чего на этой же панели в области «Тип файла» выберите «JPEG Format». В том случае, если вы желаете внести изменения в характеристики фото, кликните на кнопку «Опции».
   
5. Изменяемые параметры достаточно удобно контролировать при помощи визуального помощника, который показывает объект «До» и «После» сохранения. Здесь можно регулировать такие свойства как: цветовая схема, оптимизация Хоффмана, субдискретизация цвета.
   Наверное, самым важным атрибутом является «Качество», меняемое в зависимости от сжатия. Делать это очень просто с помощью специального бегунка. Однако большинство пользователей даже не заходят в этот раздел, поскольку данные настройки вовсе не обязательны и необходимы лишь в исключительных ситуациях. Выполнив всё, что планировали, щёлкните на «Ок».
6. После произведённых манипуляций кликните на «Сохранить».
   

К сожалению, через данное приложение не получится переформатировать одновременно больше одной фотографии, поскольку массовая конвертация этим просмотрщиком не предусмотрена.

XnView

Ещё одна достаточно популярная и многофункциональная программа для воспроизведения различных медиафайлов. XnView предоставляет возможность быстро и без проблем изменить формат PNG на JPG. Представляем вашему вниманию инструкцию по конвертированию. Последовательно выполняйте каждый шаг и у вас всё получится.

1. Запустив приложение, проследуйте по пути «Файл» → «Открыть», а затем найдите и отметьте изображение на вашем дисковом пространстве.
   
2. После того, как исходное фото появится перед вами в новой вкладке, нажмите на иконку дискеты со знаком вопроса. Альтернативный метод: «Файл» → «Сохранить как». Те, кто привык пользоваться горячими клавишами, могут нажать «Ctrl + Shift + S».
   
3. Следующим действием необходимо назначить место сохранения конвертируемого объекта. Кроме того, здесь же выставьте формат «JPG – JPEG/JFIF».
   
4. При желании можно открыть дополнительные настройки, щёлкнув по кнопке «Опции». В этом разделе вы найдёте множество регулируемых параметров. Обращаем ваше внимание, что это не является обязательным этапом, если вы не заинтересованы в чём-то конкретном, смело пропускайте этот шаг.
   
5. Осталось только подтвердить все совершённые операции кнопкой «Сохранить».
   

Данная утилита очень похожа на FastStone Image Viewer, однако обладает слегка расширенным набором возможностей и более гибкой настройкой.

Gimp

Графический редактор GIMP часто преподносится как бесплатная альтернатива Adobe Photoshop, практически не уступающая последнему в доступном функционале. С нашей задачей конвертации эта утилита также справится без проблем. Итак, перейдём к изменению формата PNG на JPG.

1. Для начала запустите приложение и перейдите в меню «Файл» → «Открыть».
   
2. Затем укажите расположение нужного фото.
3. После этого картинка появится на рабочей области Gimp.
4. Функция конвертации находятся в разделе «Файл» → «Export As».
   
5. Здесь вам нужно прописать любое наименование и место для сохранения. Также в самом низу окна, напротив текста «Выберите тип файла», нажмите на плюсик и в появившемся списке выберите «Изображение JPEG», а затем кликните «Экспортировать».
   
6. На следующем этапе программа предложит внести изменения в текущие параметры изображения. Сделать это можно нажав на «Дополнительные настройки».Среди основных стоит выделить управление сглаживанием, оптимизацию, маркеры перезапуска, комментарии и прочие.
7. По завершению этой процедуры щёлкните на «Экспорт».
   
8. Готово! Изменённый файл с новым расширением будет отправлен в указанную ранее папку.

Специализированные сайты и сервисы

Не меньшим спросом пользуются сервисы и сайты, работающие в онлайн-режиме и позволяющие в любое время суток при наличии интернета конвертировать png в jpg. Несмотря на то, что возможности большинства представленных на просторах интернета сайтов легко и быстро справляются с преобразованием файлов в формате PNG, полученные в результате модификаций изображения сильно искажаются.

Наряду с такими сервисами существует множество как бесплатных, так и платных утилит, которые позволяют конвертировать любые изображения. Главным их достоинством считается возможность быстрого пакетного преобразования, когда нет необходимости много раз совершать одно и то же действие. Конвертируемые картинки открываются целой папкой и преобразовываются единовременно в большом количестве.

Заключение

Преобразовать формат png в jpg достаточно просто, нужно лишь вооружиться специализированной программой, для работы в которой могут понадобятся простейшие познания.

Пакетное преобразование PNG в JPG в Linux

Для тех, кто просто хочет самые простые команды:

Конвертируйте и сохраняйте оригинальные файлы:

mogrify -format jpg *.png

Конвертировать и удалить оригинальные файлы:

mogrify -format jpg *.png && rm *.png

Вроде бы поздно на вечеринку, но просто чтобы прояснить всю путаницу для кого-то, кому может быть не очень комфортно с кли, вот супер тупая ссылка и объяснение.

Пример каталога

bar.png
foo.png
foobar.jpg

Сохраняет все оригинальные файлы PNG, а также создает файлы JPG.

mogrify -format jpg *.png

Результат

bar.png
bar.jpg
foo.png
foo.jpg
foobar.jpg

объяснение

• mogrify является частью набора инструментов ImageMagick для обработки изображений.
  • mogrify обрабатывает изображения на месте , что означает, что исходный файл перезаписывается, за исключением -formatопции. (С сайта : This tool is similar to convert except that the original image file is overwritten (unless you change the file suffix with the -format option))
• - formatПараметр указывает , что будет изменение формата, и следующий аргумент должен быть типа (в данном случае, JPG).
• Наконец, *.pngэто входные файлы (все файлы, заканчивающиеся на .png).

Конвертирует все png файлы в jpg, удаляет оригинал.

mogrify -format jpg *.png && rm *.png

Результат

bar.jpg
foo.jpg
foobar.jpg

объяснение

• Первая часть точно такая же, как и выше, она создаст новые файлы jpg.
• Это &&логический оператор. Короче говоря:
  • Когда программа завершается, она возвращает статус выхода. Состояние 0означает отсутствие ошибок.
  • Поскольку &&выполняется оценка короткого замыкания , правая часть будет выполняться только в случае отсутствия ошибок . Это полезно, потому что вы можете не захотеть удалять все исходные файлы, если произошла ошибка при их преобразовании.
• Команда rmудаляет файлы.

Теперь вот некоторые лакомства для людей , которые являются удобными с кли.

Если вы хотите выводить данные во время конвертации файлов:

for i in *.png; do mogrify -format jpg "$i" && rm "$i"; echo "$i converted to ${i%.*}.jpg"; done

Конвертируйте все файлы png во все подкаталоги и дайте вывод для каждого:

find . -iname '*.png' | while read i; do mogrify -format jpg "$i" && rm "$i"; echo "Converted $i to ${i%.*}.jpg"; done

Конвертируйте все файлы png во всех подкаталогах, поместите все получившиеся файлы jpgs в allкаталог, пронумеруйте их, удалите исходные файлы png и отобразите выходные данные для каждого файла в том виде, как это происходит:

n=0; find .  -iname '*.png' | while read i; do mogrify -format jpg "$i" && rm "$i"; fn="all/$((n++)).jpg"; mv "${i%.*}.jpg" "$fn"; echo "Moved $i to $fn"; done

Конвертировать JPG в PNG быстро и качественно – Фотоконвертер

Способы преобразования формата JPG в PNG

Есть несколько способов конвертации JPG файлов в формат PNG. Самый простой способ – это онлайн конвертация. В процессе, ваши файлы загружаются на сервер, и там обрабатываются. Такой вариант будет удобен, если вам нужно конвертировать всего несколько файлов.

Другой способ – установить Фотоконвертер. Установленная программа работает быстрее и эффективнее онлайн конвертации, так как все файлы обрабатываются на локальном диске. Фотоконвертер – это хороший вариант конвертировать множество файлов JPG в формат PNG за раз, сохраняя конфиденциальность информации.

Вы довольно быстро оцените, как Фотоконвертер способен сэкономить массу времени, необходимого при обработке файлов вручную или онлайн.

Скачайте и установите Фотоконвертер

Фотоконвертер легко скачать, установить и использовать – не нужно быть специалистом, чтобы разобраться как он работает.Установить Фотоконвертер

Добавьте JPG файлы

После того, как программа установилась, запустите Фотоконвертер и добавьте в главное окно все .jpg файлы, которые вы хотите конвертировать в .png

Вы можете выбрать JPG файлы через меню Файлы → Добавить файлы либо просто перекинуть их в окно Фотоконвертера.

Выберите место, куда сохранить полученные PNG файлы

Во вкладке Сохранить выберите папку для записи готовых PNG файлов.

Во вкладке Редактировать есть возможность добавить эффекты редактирования изображений для использования во время конвертации, но это не обязательно.

Выберите PNG в качестве формата для сохранения

Для выбора преобразования в .png, нажмите на иконку PNG в нижней части экрана, либо кнопку +, чтобы добавить возможность записи в этот формат.

Теперь просто нажмите кнопку Старт, чтобы начать конвертацию. Созданные PNG файлы сохранятся в указанное место с нужными параметрами и эффектами.

Видео инструкция

Интерфейс командной строки

Опытные пользователи могут использовать конвертер JPG в PNG через командную строку в ручном или автоматическом режиме.

За дополнительной помощью по использованию по использованию командной строки обращайтесь в службу поддержки пользователей.

Конвертировать изображения PNG в JPG на Mac с PhotoBulk

Количество цифровых форматов изображений, с которыми могут столкнуться пользователи Mac, может быть огромным. Однако, PNG и JPG – два формата, обычно используемых большинством веб-сайтов и приложений для загрузки и обработки изображений. Формат PNG сжимает данные не влияя при этом на качество изображения и поэтому широко используется для изображений в интернете и веб-дизайнерами.

Изображения в формате JPG занимают меньше места в сравнении с изображениями в формате PNG, поэтому этот формат используется для хранения изображений на карте памяти. Изображение, сжатое в формат JPG, может быть в 10 раз меньше размера оригинального изображения. Формат JPG поддерживается большинством программных средств, почтовых клиентов и социальных сетей. Формат JPG поддерживается большинством программных средств, почтовых клиентов и сайтов социальных сетей.

Ситуации, когда вам нужно конвертировать изображение в формате PNG в формат JPG и обратно, возникают довольно часто. Пользователи Mac могут задаться вопросом, как конвертировать PNG в JPG. Существует ли конвертер изображений, способный сделать это самым эффективным и удобным способом? И, желательно, пакетно – в эпоху цифровых камер мы никогда не получаем одну или две, обычно это сотни фотографий, поэтому необходим способ обработать их все за один раз.

Ответ – да, и это пакетный конвертер изображений для пользователей Mac – PhotoBulk, он поможет вам конвертировать изображение из PNG в JPG с помощью нескольких кликов, экономя ваше время и усилия.

Пошаговая инструкция по использованию пакетного конвертера изображений

1. Загрузите и установите этот конвертер изображения для Mac,
   запустите его.
2. Выберите графические файлы в формате PNG, чтобы преобразовать в формат JPEG, перетащите их в окно открытого приложения. Будет отображено количество добавленных файлов.
3. Выберите функцию ‘Optimize’.
4. Нажмите на кнопку ‘Start’, выберите формат и укажите место, куда Вы хотите сохранить готовые изображения.

Вы искали решение ‘Пакетный конвертер изображений на Mac’, ‘PNG в JPG конвертер Mac’, ‘JPG в PNG конвертер Mac’, ‘JPG конвертер Mac’? Выбирайте PhotoBulk – оптимальное решения для ваших запросов.

Нужно переключить PNG на JPG? Как конвертировать изображения и веб-файлы

Форматы файлов изображений многочисленны, от PNG и JPEG до ужасного WebP. Но что происходит, когда вы хотите преобразовать что-то из одного типа файла в другой? Когда-то процесс преобразования был трудным, но теперь в Windows, macOS и даже в ваш веб-браузер есть встроенные функции, позволяющие это сделать. Не говоря уже о множестве (многих) онлайн-инструментов. Вот все, что вам нужно знать, чтобы легко преобразовывать эти типы файлов.

Изменить расширение файла

Чтобы легко преобразовать JPEG (или JPG) в PNG, PNG в JPEG или формат веб-файлов Google WebP в JPEG или PNG в Windows, откройте проводник и убедитесь, что установлен флажок рядом с Имя файла extension отмечен в разделе «Просмотр». Щелкните файл, который хотите преобразовать, удалите расширение и добавьте желаемое расширение.

Пользователи Mac уже давно умеют это делать. Щелкните изображение правой кнопкой мыши и выберите во всплывающем меню «Получить информацию».В разделе «Имя и расширение» удалите расширение и добавьте собственное, затем нажмите Enter. Вы должны заметить, что ваш компьютер теперь обращается к файлу в новом формате.

Конвертировать в Microsoft Paint

Пользователи Windows также могут использовать Microsoft Paint в качестве простого конвертера файлов, открыв изображение (включая формат WebP), а затем сохранив его как файл другого типа. Перейдите в Файл> Сохранить как и откройте раскрывающееся меню Сохранить как тип . Затем вы можете выбрать JPEG и PNG, а также TIFF, GIF, HEIC и несколько форматов растровых изображений.Сохраните файл на свой компьютер, и он будет преобразован.

Используйте веб-браузер

Результаты могут отличаться от этого совета; одни сайты поддерживают это, другие нет. Но если вы планируете загрузить, а затем преобразовать изображение из Интернета, попробуйте изменить формат в своем браузере. В Chrome или Edge щелкните правой кнопкой мыши изображение, которое хотите загрузить, и выберите Открыть изображение в новой вкладке (Просмотреть изображение в Firefox). Вы увидите, что URL-адрес изображения содержит расширение файла или заканчивается им.Если у вас есть .jpg или .webp (-rw для изображений в Google Play), замените его на .png, чтобы преобразовать изображение в файл PNG при загрузке. В Chrome, Edge и Safari вы можете конвертировать в PNG только на поддерживаемых сайтах. Firefox преобразует только в .jpg.

Попробуйте расширение Chrome

Другой вариант — расширение Chrome. Convertio и File Converter поддерживают множество различных расширений файлов и носителей, но я бы порекомендовал сохранить изображение как тип для его простоты, если вы работаете только с файлами JPG, PNG и WebP.

В то время как другие варианты могут ссылаться на их веб-сайт для выполнения преобразования, это расширение этого не делает. Добавьте «Сохранить изображение как тип» в свой браузер, затем щелкните изображение правой кнопкой мыши и наведите курсор на «Сохранить изображение как тип » во всплывающем меню, чтобы сохранить изображение как файл JPG, PNG или WebP.

Онлайн-конвертеры

Сейчас онлайн-конвертеров больше, чем можно насчитать, но если вы ищете надежное имя, у Adobe есть свое. Вы можете перейти по этим ссылкам, чтобы конвертировать JPG в PNG или PNG в JPG.Другие сервисы, такие как CloudConvert, Convertio и Online-Convert.com, позволяют выбирать среди десятков расширений файлов, загружать сразу несколько файлов и конвертировать файлы с помощью прямой загрузки, Google Drive, Dropbox и URL.

Если вы ищете профессиональные услуги, изучите их политику сбора и хранения данных. И CloudConvert, и Convertio собирают незначительный объем данных, удаляют ваши загрузки в течение 24 часов и не имеют доступа к вашим документам. У них также есть серверная инфраструктура, расположенная в Германии, что делает их соответствующими правилам GDPR.

Этот информационный бюллетень может содержать рекламу, предложения или партнерские ссылки. Подписка на информационный бюллетень означает ваше согласие с нашими Условиями использования и Политикой конфиденциальности. Вы можете отказаться от подписки на информационные бюллетени в любое время.

Преобразование PNG в JPG — простое руководство по преобразованию

PNG — это файл изображения высокого качества с множеством функций. Однако, когда дело доходит до обмена изображениями, создания веб-сайтов или загрузки нескольких файлов, PNG отсутствует.К счастью, JPG хорош в этих областях. Узнайте, как преобразовать PNG в JPG.

Что такое PNG?

Файл изображения PNG представляет собой файл переносимой сетевой графики, который представляет собой растровое изображение. Растровый файл строит графику по частям. PNG использует сжатие без потерь, что позволяет сжимать большие файлы до меньших размеров без потери разрешения. Если PNG возвращается к исходному размеру, разрешение остается прежним.

Что такое JPG?

Файл изображения JPG — широко используемый тип файла из-за его необычно малого размера.Сжатие JPG делает его управляемым размером, что также снижает качество изображений. Обычно он используется, когда кому-то нужно загрузить или загрузить большое количество изображений.

Как конвертировать PNG в JPG с помощью Windows

1. Открыть выбранный файл PNG в программе Microsoft Paint
2. Выберите «Файл», нажмите «Сохранить как».
3. Введите желаемое имя файла в поле «Имя файла».
4. Щелкните раскрывающееся меню «Тип файла» и выберите «JPEG».
5. Нажмите «Сохранить», и файл будет сохранен в выбранном месте назначения.

Как конвертировать PNG в JPG с помощью Mac

1. Найдите файл PNG, который вы хотите преобразовать.
2. Используя «Предварительный просмотр», нажмите «Файл», затем выберите «Экспорт».
3. Выберите JPG из списка
4. Нажмите «Сохранить»

Существует несколько способов конвертировать PNG в JPG, хотя самый простой способ для пользователей Windows и Mac — использовать операции, показанные выше. Другие варианты — использовать программу преобразования. В Интернете есть множество бесплатных программ на выбор. Все зависит от того, хотите ли вы использовать систему на основе браузера или установленную программу.

Зачем конвертировать PNG в JPG?

Рассмотрите возможность преобразования файла изображения из PNG в JPG, если вам нужен файл меньшего размера. Существует множество причин, по которым вам может потребоваться сжатие файла изображения. PNG относится к классу типов файлов изображений высокого качества, которые сохраняют всю информацию и качество. Однако, особенно для предприятий, JPG лучше, потому что он играет роль в создании веб-сайтов.

Когда компания создает свою веб-страницу, она осознает важность удержания клиентов на странице.Если страница загружается слишком долго, клиент уходит. Вот почему организации конвертируют файлы PNG в JPG. Он создает более компактное изображение для веб-сайтов, позволяя более старым компьютерам и более медленным пользователям Интернета просматривать сайт, а также другим пользователям с превосходным подключением.

Дальнейшие вопросы для рассмотрения

Следует отметить, что при необходимости можно выполнить обратное преобразование (JPG в PNG). Процесс, описанный в начале статьи, работает и в другом направлении. Следуйте инструкциям, но вместо этого конвертируйте обратно в PNG.

Еще одна вещь, на которую следует обратить внимание, — быть осторожными с этим преобразованием, если качество изображения имеет первостепенное значение для вашего бизнеса. Фотографы с фотографиями высокого качества, скорее всего, не захотят сжимать изображение в файл меньшего размера с меньшим качеством. Убедитесь, что источник известен и принимает идею преобразования.

Если вы создаете веб-сайт или загружаете много отдельных файлов, PNG может вызвать некоторые проблемы. Для решения этих проблем рассмотрите возможность преобразования в JPG описанных выше шагов.

Как конвертировать изображения из PNG в JPG и JPG в PNG

Когда я впервые начал свою маркетинговую карьеру и мне нужно было включить изображение в одну из моих статей или опубликовать изображение в социальных сетях, формат изображения не имел для меня значения . На мой взгляд, JPG и PNG были абсолютно одинаковыми.

Как только я на самом деле вник в разницу между ними, я понял, что они совершенно разные. Но один формат не обязательно лучше другого — JPG оптимален для одних ситуаций, а PNG — для других.

Вкратце, изображения JPG лучше всего подходят для публикаций в социальных сетях и блогах, поскольку они оптимизированы для фотографий и имеют меньший размер файла, чем изображения PNG.

изображений PNG лучше всего подходят для веб-графики и профессиональной фотографии, потому что они сохраняют свое качество независимо от того, сколько раз вы открываете и сохраняете их, тогда как изображения JPG ухудшаются в качестве каждый раз, когда вы открываете и сохраняете их.

К счастью, изображения JPG и PNG не застревают навсегда в соответствующем формате файла.Вы можете конвертировать изображения из PNG в JPG и наоборот менее чем за одну минуту с помощью некоторых бесплатных онлайн-инструментов.

Как пакетно конвертировать файлы из PNG в JPG

1. Посетите один из бесплатных онлайн-конвертеров PNG в JPG, перечисленных в разделе ниже.

2. Загрузите изображения PNG.

3. Нажмите «Конвертировать», чтобы преобразовать изображения PNG в изображения JPG.

4. Нажмите «Загрузить», чтобы загрузить новые изображения в формате JPG.

Лучшие инструменты для конвертации PNG в JPG

1.iLoveImg

С iLoveImg вы можете конвертировать до 15 файлов PNG за раз, не создавая бесплатную учетную запись. Если вы зарегистрируете бесплатную учетную запись, вы можете конвертировать до 30 файлов PNG за раз.

2. png2jpg.com

Png2jpg.com позволяет конвертировать до 20 файлов PNG за раз. Бесплатный инструмент не запрашивает ваш адрес электронной почты.

3. online-convert.com

Online-convert.com предлагает бесплатный инструмент, который позволяет конвертировать до 20 файлов PNG за раз, не сообщая им свой адрес электронной почты.Если вы покупаете их премиум-версию, вы можете конвертировать до 200 файлов PNG за раз.

Как пакетно конвертировать файлы из JPG в PNG

1. Посетите один из бесплатных онлайн-конвертеров JPG в PNG, перечисленных в разделе ниже.

2. Загрузите изображения в формате JPG.

3. Нажмите «Конвертировать», чтобы преобразовать изображения JPG в изображения PNG.

4. Нажмите «Загрузить», чтобы загрузить новые изображения в формате PNG.

Лучшие инструменты для конвертации JPG в PNG

1. ILoveImg

С iLoveImg вы можете конвертировать до 15 файлов JPG за раз, не создавая бесплатную учетную запись.Если вы зарегистрируете бесплатную учетную запись, вы можете конвертировать до 30 файлов JPG за раз.

2. jpg2png.com

Jpg2png.com позволяет конвертировать до 20 файлов JPG за раз. Бесплатный инструмент не запрашивает ваш адрес электронной почты.

3. online-convert.com

Online-convert.com предлагает бесплатный инструмент, который позволяет конвертировать до 20 файлов JPG за раз, не сообщая им свой адрес электронной почты. Если вы купите их премиум-версию, вы можете конвертировать до 200 файлов JPG за раз.

Как конвертировать JPG в PNG с помощью Python

Для преобразования JPG в PNG с помощью Python можно использовать следующий синтаксис:

 из изображения импорта PIL

im1 = Изображение.открыть (r'путь, где хранится JPG \ имя файла.jpg ')
im1.save (r'путь, где будет храниться PNG \ новое имя файла.png ')
 

Далее вы увидите полные инструкции по применению вышеуказанного синтаксиса на практике.

шагов по преобразованию JPG в PNG с использованием Python

Шаг 1. Установите пакет PIL

Если вы еще этого не сделали, установите пакет PIL, используя следующую команду:

 pip install Подушка
 

Вы можете проверить следующее руководство, в котором объясняется, как установить пакет в Python под Windows.

Шаг 2: Захват пути, где хранится JPG

Затем запишите путь, по которому хранится ваш файл JPG.

В целях демонстрации предположим, что файл JPG (называемый « осень ») хранится по следующему пути:

C: \ Users \ Ron \ Desktop \ Test

Шаг 3. Преобразование JPG в PNG с помощью Python

Наконец, вы можете использовать приведенный ниже синтаксис для преобразования JPG в PNG с помощью Python:

 из изображения импорта PIL

im1 = Изображение.открыть (r'путь, где хранится JPG \ имя файла.jpg ')
im1.save (r'путь, где будет храниться PNG \ новое имя файла.png ')
 

Для нашего примера:

• Путь, по которому в настоящее время хранится JPG: C: \ Users \ Ron \ Desktop \ Test
  • Где имя файла — « осень », а расширение файла — « jpg »
  .
• Путь, по которому будет сохранен PNG: C: \ Users \ Ron \ Desktop \ Test
  • Где новое имя файла — « new_autumn », а расширение файла — « png »

Вот как будет выглядеть полный код Python для нашего примера (вам нужно будет изменить пути, чтобы отразить место, где файлы будут храниться на вашем компьютере ):

 из изображения импорта PIL

im1 = Изображение.открыть (r'C: \ Users \ Ron \ Desktop \ Test \ autumn.jpg ')
im1.save (r'C: \ Users \ Ron \ Desktop \ Test \ new_autumn.png ')
 

Запустите код (скорректированный в соответствии с вашими путями), и новый файл PNG будет создан в указанном вами месте.

Вы также можете проверить следующее руководство, в котором объясняются шаги по преобразованию PNG в JPG с помощью Python.

Image Converter бесплатно — конвертируйте любые изображения онлайн

Хотите знать, как убедиться, что вы не тратите слишком много ресурсов на механические задачи, такие как преобразование изображений? Вы можете слишком часто останавливаться и думать: «Как мне поменять изображение на JPG?» Это знак того, что вам нужен простой и понятный инструмент, чтобы изменить эту тенденцию.Не нужно отрываться от поставленной задачи, чтобы провести поиск. Просто воспользуйтесь конвертером Crello — и эти вопросы вас больше не будут беспокоить. Вы можете конвертировать все свои изображения онлайн за считанные минуты.

Слишком часто клиенты присылают вам свой логотип в формате JPG, Excel и т. Д. Не волнуйтесь! Не нужно быть профессиональным дизайнером, чтобы конвертировать повседневные рабочие материалы с помощью Crello. Просто используйте наш конвертер изображений, чтобы быстро переключаться между форматами.

Как преобразовать данные изображения ваших собственных изображений в разные форматы? Для этого откройте конвертер фотографий Crello и выберите фотографию на своем компьютере или в фотопленке. На данный момент мы можем конвертировать PNG в JPG, изменять фото в PNG, JPG в PNG, PNG в TIFF, JPEG в TIFF и т. Д.

Вам необходимо преобразовать изображения, чтобы размер файла для ваших цифровых активов был достаточно малым, чтобы не замедлять работу вашего веб-сайта. Некоторые форматы файлов лучше подходят для цифровых нужд, чем другие, поскольку они легче и быстрее загружаются.Это также делает их более подходящими для изменения размера на мобильных устройствах. И наоборот, для материалов для печати вам необходимо иметь формат, который будет давать максимальную детализацию.

Мы ценим ваше доверие, когда вы загружаете файлы в нашу службу. Когда вы загружаете файл, мы конвертируем его безопасным и защищенным способом. Всего через несколько секунд программа сообщит вам, когда переход будет завершен, и вы сможете сохранить файл в новом формате.

Откройте конвертер изображений Crello.Он одинаково идеально работает как на Windows, так и на Mac, мобильном или настольном компьютере, в приложении и в дороге. Инструмент очень прост в использовании. Просто выберите изображение, которое вы хотите преобразовать, выберите формат, загрузите и поделитесь.

Как конвертировать JPG в PNG онлайн без приложений

JPG и PNG — наиболее часто используемые форматы изображений. Поскольку эти два формата довольно популярны, некоторые люди спрашивают, как конвертировать JPG в PNG?

Наиболее заметное различие между этими двумя форматами заключается в том, что PNG можно использовать для изображений с прозрачным фоном.Между тем, JPG часто используется для обычных изображений, потому что он не может отображать прозрачный фон.

Кроме того, JPG также часто встречается для изображений в форме фотографии. В то время как PNG чаще используется для редактирования изображений и изображений с прозрачным фоном.

Обычно изображения JPG меньше формата PNG. Причина в том, что JPG — это сжатый формат изображений с потерями, который используется для обработки фотографий или изображений, чтобы они могли быть небольшого размера.

Этот способ преобразования JPG в PNG, несмотря на довольно много различий, будет очень полезен для корректировки ваших потребностей в управлении изображениями или фотографиями.

5 способов конвертировать JPG в PNG

Использование краски

Paint — одно из программ Windows по умолчанию, которое можно использовать для обработки изображений или фотографий. Paint имеет большой выбор форматов изображений, включая JPG и PNG.

Также читайте : Как быстро и легко загружать фотографии из Instagram

Вот шаги для изменения формата jpg на png в программе paint:

• Откройте приложение для рисования на своем компьютере или ноутбуке.
• Затем щелкните Файл> Открыть> Выберите фотографию в формате JPG, которую хотите изменить.
• Выбранное фото или изображение откроется в краске.
• Щелкните Файл> Сохранить как> в параметре Тип файла выберите формат PNG.
• Нажмите кнопку «Сохранить», чтобы сохранить изображение.
• Готово.

Очень просто, правда? Фактически, вам нужно всего несколько секунд, чтобы изменить формат изображения JPG на PNG или наоборот с помощью краски.

Преобразование с помощью Adobe Photoshop

Использование Adobe Photoshop не будет сильно отличаться от использования Paint выше.Но если вы используете Photoshop, вы можете сначала отредактировать его, потому что Photoshop предоставляет больше возможностей.

Ниже показано, как преобразовать JPG в PNG с помощью Photoshop:

• Откройте Adobe Photoshop на своем компьютере или ноутбуке.
• Нажмите «Файл»> «Открыть»>, затем выберите фотографию в формате JPG, которую хотите изменить.
• Тогда фото в формате JPG откроется в приложении фотошоп.
• Щелкните Файл> Сохранить как> и в параметрах формата выберите PNG.
• Вам нужно будет сжать и сделать чересстрочное изображение PNG.
• Наконец, нажмите кнопку ОК.

Функция сжатия используется для оптимизации размера сохраненной фотографии PNG. Если вы хотите, чтобы ваш PNG был маленьким, выберите «Самый маленький / самый низкий».

И функция чересстрочной развертки позволяет корректировать изображения PNG, чтобы сделать их лучше с точки зрения качества. Вы можете установить, активировать или нет. Однако, если этот параметр включен, размер PNG может быть немного больше.

Конвертировать JPG в PNG без приложения

Теперь вам больше не потребуется помощь приложений.Вы должны вручную изменить формат JPG на PNG или наоборот.

Для получения более подробной информации следуйте следующим инструкциям:

• Откройте проводник, затем перейдите в папку «Этот компьютер / компьютер».
• Затем щелкните вкладку меню «Просмотр» вверху.
• Установите флажок «Расширения имен файлов».
• Функция отобразит формат расширения файла.
• Найдите изображение в формате JPG или фотографию, которое вы хотите преобразовать в PNG.
• Щелкните изображение правой кнопкой мыши> Переименовать> удалить JPG и преобразовать его в PNG.

Этот метод не рекомендуется, поскольку он не проходит стадию оптимизации изображения, поэтому размер и качество будут ниже оптимального. Однако этот метод будет очень подходящим, если вы хотите изменить только формат изображения.

Кроме того, этот метод также можно использовать на мобильных устройствах, таких как телефоны Android. Для этого просто перейдите в файловый менеджер и переименуйте изображение или фотографию из JPG в PNG.

Как в Интернете изменить формат JPG на PNG

Следующий метод, который вы также можете использовать на компьютере или мобильном телефоне Android.Все, что вам нужно, это приложение для веб-браузера и стабильная интернет-сеть.

Также читайте : 5 простых способов получить больше подписчиков в TikTok

Вот как конвертировать jpg в png онлайн:

• Откройте веб-сайт jpg2png.com/id через браузер.
• Щелкните «Загрузить файл» и найдите нужный файл JPG.
• Тогда ваш запрос будет отправлен.
• Просто дождитесь завершения процесса конвертации.
• После этого вы можете взять изображение PNG.

Просто загрузите изображение, затем загрузите результат, и вы преуспели в изменении формата изображения в соответствии с вашими пожеланиями. Очень просто, правда?

Как конвертировать JPG в PNG на Android

Если вы хотите изменить формат изображения с JPG на PNG через телефон Android. Затем вы можете сделать это через приложение в магазине Google Play.

Это приложение под названием JPEG / PNG Image File Converter может легко и быстро преобразовывать изображения JPG в PNG.Вот полное руководство о том, как изменить jpg на png на телефоне Android:

• Сначала установите приложение «Конвертер файлов изображений JPEG / PNG».
• После установки откройте приложение.
• Выберите изображение, которое вы хотите преобразовать в формат PNG.
• После завершения процесса вы можете сразу сохранить результаты.

Несмотря на то, что это бесплатное приложение, оно оказалось эффективным для быстрого преобразования форматов изображений и фотографий JPG в PNG на телефонах Android.

На самом деле существует множество методов, которые можно использовать для изменения формата изображений и фотографий. Однако 5 способов, описанных выше, могут оказаться довольно простым и быстрым решением.

Как преобразовать JPG в формат изображения PNG. Надеюсь, полезно и удачи!

Как конвертировать изображения JPG в PNG

изображений JPG, преобразованных в PNG или любой другой формат изображения, очень просты, когда у пользователей есть много разных способов выполнения. Каждый тип формата изображения имеет свои особенности, преимущества и используется в определенных случаях.И не всегда можно использовать изображения формата JPG или PNG в любом случае. Следовательно, преобразование формата изображения необходимо, чтобы получить правильный формат.

Существует множество программных или онлайн-инструментов, которые совершенно бесплатно конвертируют формат изображений или файлы любого другого типа с указанием необходимых действий. В следующей статье показано, как преобразовать изображения PNG в JPG.

1. Как конвертировать PDF в JPG, изображения PNG
2. Как преобразовать изображения PNG в JPG не ухудшает качество
3. Как преобразовать изображение WebP в PNG, JPG в Chrome, Coc Coc
4. Инструкция по отключению формата изображений HEIF (HIEC) на iPhone

Инструкции по преобразованию изображений JPG в PNG

1. 1.Программа для преобразования JPG в PNG
   1. 1. Перенести JPG в PNG с помощью Paint
   2. 2. Преобразование JPG в PNG в Photoshop
2. 2. Конвертировать JPG в PNG онлайн
   1. 1. Перенести JPG в PNG в Photoshop онлайн
   2. 2. Измените изображения JPG на PNG на jpg2png
   3. 3. Конвертируйте JPG в PNG на iloveimg
   4. 4. Преобразование JPG в PNg с помощью преобразования

1. Программа для преобразования JPG в PNG

1.Перенести JPG в PNG с помощью Paint

Pain — это инструмент для рисования от Microsoft, доступный во всех версиях Windows. Даже Paint имеет возможность конвертировать изображения JPG в PNG очень простым способом.

Шаг 1:

Мы открываем образ с помощью Pain как обычно. Затем нажмите кнопку «Файл», чтобы выбрать Сохранить как . Затем мы увидим форматы файлов, которые поддерживает Paint, в том числе PNG .

Шаг 2:

Отображает вид папки, поэтому вы можете сохранить изображение как PNG.Нажмите Сохранить , чтобы сохранить.

2. Преобразование JPG в PNG в Photoshop

Photoshop — самая популярная и профессиональная программа для редактирования фотографий, доступная сегодня. В Photoshop доступны функции редактирования изображений от базовых до расширенных, включая сохранение изображений JPG в формате PNG.

Шаг 1:

Мы также открываем изображение JPG, которое необходимо преобразовать в PNG, затем щелкаем в меню «Файл », выбираем «Сохранить для Интернета» вариант или нажимаем Ctrl + Alt + Shift + S.

Шаг 2:

Показать интерфейс для сохранения изображений. Здесь мы выбираем , формат изображения PNG-24 для сохранения. Нажмите Сохранить ниже.

2. Конвертировать JPG в PNG онлайн

В онлайн-конвертации изображений есть много инструментов, поддержка для использования полностью бесплатна, метод очень простой, не сложный.

1. Перенос JPG в PNG в Photoshop онлайн

1. Доступ к Photoshop в Интернете

Шаг 1:

У нас есть доступ к Photoshop Online по ссылке выше, а затем нажмите кнопку «Файл» , чтобы выбрать место для получения изображения.

Шаг 2:

Затем нажмите Экспортировать как , а затем выберите PNG , чтобы переключиться на новый формат.

Затем отобразите интерфейс, чтобы настроить качество изображения, размер изображения, если хотите. Здесь вы видите новый размер изображения при сохранении в формате PNG.

Если вы согласны с качеством и размером изображения, щелкните Сохранить , чтобы сохранить новое изображение PNG.