Автор: alexxlab

Системы линейных неравенств (стр. 1 из 2)

Как только вы научитесь построить линейный график неравенство, вы можно перейти к решению систем линейных неравенств.

А «система» линейные неравенства — это набор линейных неравенств, с которыми вы имеете дело все вместе. Обычно вы начинаете с двух или трех линейных неравенств. Методика решения этих систем довольно проста. Вот пример.

• Решите следующее система:

Так же, как и при решении одиночных линейных неравенств, обычно лучше всего решать как можно больше возможные неравенства для « y » на одной стороне.Решая первые два неравенства, я переставляю система:

«Решающие» системы линейных неравенств означает «графическое отображение каждого отдельного неравенства, а затем нахожу совпадения различных решений «. Итак, я рисую каждое неравенство, а затем найти перекрывающиеся части решения регионы.

Линия для первое неравенство в вышеприведенной системе, y > ( 2 / 3 ) x 4, выглядит так:
Это неравенство неравенство «больше, чем», поэтому я хочу заштриховать над линией.Тем не мение. поскольку будет более одного неравенства на этом графике я не знаю (пока), сколько из этой верхней стороны Мне действительно понадобится. Пока я не узнаю, я могу отслеживать Дело в том, что я хочу, чтобы верхняя область нарисовала небольшую «бахрому» вдоль верхней стороны линии, вот так:
Теперь я построю график линия для второго неравенства выше, y < ( 1 / 5 ) x + 4:
…и с тех пор это неравенство «меньше», я нарисую бахрому по низу строки:
Последнее неравенство обычное ограничение «реальной жизни»: разрешить только х быть позитивным.Линия « x » = 0 » это просто ось y , и я хочу правую сторону. Мне нужно не забыть разбить в строке, потому что это не неравенство «или равно», поэтому граница (линия) не включена в решение:
«Решение» системы — это регион, где устраивают все неравенства; то есть решение там, где работают все неравенства, область, в которой перекрываются все три отдельные области решения.В данном случае решением является заштрихованная часть посередине:

Вверх | 1 | 2 | Возвращаться к указателю Вперед >>

Подводя итоги 2205 = 3, 3, 5, 7, 7.

Это то же самое, что и = 3^двах 5 х 7^два

Дерево основных факторов 2205

Факторное дерево 2205, приведенное выше, показывает уровень делений, выполненных для получения значений факторов. Изучите дерево, чтобы увидеть пошаговое деление

Баллы

Оценка

16 — 17

5

12 – 15

4

8 – 11

3

7 баллов и менее

2

№ задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

№ ответа

I вариант

4

1

4

1

1

4

2

1

2

1

3

1

2

3

2

3

4

№ ответа

II вариант

2

1

3

2

2

2

3

4

4

1

4

3

1

4

4

3

1

остаток = 0, коэффициент = 1

остаток = 0, коэффициент = 2

остаток = 0, коэффициент = 4

остаток = 0, коэффициент = 5

остаток = 0, коэффициент = 8

остаток = 0, коэффициент = 10

остаток = 0, коэффициент = 20

остаток = 0, коэффициент = 25

остаток = 0, коэффициент = 40

остаток = 0, коэффициент = 50

1000 ÷ 100

остаток = 0, коэффициент = 100

1000 ÷ 125

остаток = 0, коэффициент = 125

остаток = 0, коэффициент = 200

1000 ÷ 250

остаток = 0, коэффициент = 250

1000 ÷ 500

остаток = 0, коэффициент = 500

1000 ÷ 1000

остаток = 0, коэффициент = 1000

Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций

Доп. Инфо:

1. Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений синусов.
2. Таблица синусов, она-же косинусов точная.
3. Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов.
4. Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
5. Таблица котангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений котангенса, ctg
6. Таблица тангенсов, она же котангенсов точная.
7. Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы. Таблица значений тригонометрических функций.
8. Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.
9. Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.
10. Таблица соответствия угловых градусов, радиан, оборотов, тысячных (артиллерийских РФ).2 + 1) Я новичок в MATLAB и не совсем…
    
    почему в matlab sin (pi) не является точным, но sin(pi/2) является точным?

    У меня есть проблема в вычислении с matlab . Я знаю, что pi — это плавающее число и не является точным. Итак, в matlab sin(pi) не совсем ноль. Мой вопрос заключается в том, что если pi не…

    
    Построение графика sin (x)/(x) в Matlab

    У меня возникли проблемы с правильным построением графика sin(x)/(x). В частности, когда x = 0, возвращает NaN в Matlab. Однако при применении правила L’hôpital фактическое значение равно y = 1. мой…

    
    Быстрая аппроксимация для sin/cos в MATLAB

    Я пытаюсь создать быстрое приближение sin и cos в MATLAB, которое является текущим узким местом в моей программе. Существует ли более быстрый метод, чем встроенная процедура? Узкое место: на каждой…

    Таблица Брадиса sin cos tg ctg

    Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

    На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

    Найти точное значение

    ---

    ---

    ---

    Таблица Брадиса sin, cos

    sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
    											0	90°
    0°	0,0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
    1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
    2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87°	3	6	9
    3°	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86°	3	6	9
    4°	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0872	85°	3	6	9
    5°	0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84°	3	6	9
    6°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83°	3	6	9
    7°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82°	3	6	9
    8°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81°	3	6	9
    9°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	1736	80°	3	6	9
    10°	1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79°	3	6	9
    11°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78°	3	6	9
    12°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77°	3	6	9
    13°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76°	3	6	8
    14°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	2588	75°	3	6	8
    15°	2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74°	3	6	8
    sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
    16°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73°	3	6	8
    17°	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72°	3	6	8
    18°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71°	3	6	8
    19°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	3420	70°	3	5	8
    20°	3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69°	3	5	8
    21°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68°	3	5	8
    22°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67°	3	5	8
    23°	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66°	3	5	8
    24°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	4226	65°	3	5	8
    25°	4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64°	3	5	8
    26°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63°	3	5	8
    27°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62°	3	5	8
    28°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61°	3	5	8
    29°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	5000	60°	3	5	8
    30°	5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59°	3	5	8
    sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
    31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58°	2	5	7
    32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57°	2	5	7
    33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56°	2	5	7
    34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	5736	55°	2	5	7
    35°	5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	5878	54°	2	5	7
    36°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53°	2	5	7
    37°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52°	2	5	7
    38°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51°	2	5	7
    39°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	6428	50°	2	4	7
    40°	6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49°	2	4	7
    41°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48°	2	4	7
    42°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47°	2	4	6
    43°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	6909	6921	6934	6947	46°	2	4	6
    44°	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	7071	45°	2	4	6
    45°	7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44°	2	4	6
    sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
    46°	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43°	2	4	6
    47°	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42°	2	4	6
    48°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41°	2	4	6
    49°	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	7660	40°	2	4	6
    50°	7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39°	2	4	6
    51°	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38°	2	4	5
    52°	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37°	2	4	5
    53°	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36°	2	3	5
    54°	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	8192	35°	2	3	5
    55°	8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34°	2	3	5
    56°	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33°	2	3	5
    57°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32°	2	3	5
    58°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31°	2	3	5
    59°	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	8660	30°	1	3	4
    60°	8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29°	1	3	4
    sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
    61°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28°	1	3	4
    62°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27°	1	3	4
    63°	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26°	1	3	4
    64°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	9063	25°	1	3	4
    65°	9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24°	1	2	4
    66°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23°	1	2	3
    67°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9265	9272	22°	1	2	3
    68°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21°	1	2	3
    69°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9385	9391	9397	20°	1	2	3
    70°	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	9455	19°	1	2	3
    71°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18°	1	2	3
    72°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17°	1	2	3
    73°	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16°	1	2	2
    74°	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	9659	15°	1	2	2
    75°	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14°	1	1	2
    sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos
    76°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13°	1	1	2
    77°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12°	1	1	2
    78°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11°	1	1	2
    79°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	9848	10°	1	1	2
    80°	9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9°	0	1	1
    81°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8°	0	1	1
    82°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7°	0	1	1
    83°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6°	0	1	1
    84°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5°	0	1	1
    85°	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4°	0	0	1
    86°	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3°	0	0	0
    87°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2°	0	0	0
    88°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	9998	1°	0	0	0
    89°	9998	9999	9999	9999	9999	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	0°	0	0	0
    90°	1
    sin	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	cos

    ---

    Таблица Брадиса tg, ctg

    tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
    											0	90°
    0°	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
    1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
    2°	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87°	3	6	9
    3°	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86°	3	6	9
    4°	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85°	3	6	9
    5°	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84°	3	6	9
    6°	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83°	3	6	9
    7°	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82°	3	6	9
    8°	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81°	3	6	9
    9°	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80°	3	6	9
    10°	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79°	3	6	9
    11°	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78°	3	6	9
    12°	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77°	3	6	9
    13°	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76°	3	6	9
    14°	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75°	3	6	9
    tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
    15°	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74°	3	6	9
    16°	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73°	3	6	9
    17°	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72°	3	6	10
    18°	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71°	3	6	10
    19°	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70°	3	7	10
    20°	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69°	3	7	10
    21°	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68°	3	7	10
    22°	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67°	3	7	10
    23°	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66°	3	7	10
    24°	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65°	4	7	11
    25°	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64°	4	7	11
    26°	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63°	4	7	11
    27°	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62°	4	7	11
    28°	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61°	4	8	11
    29°	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60°	4	8	12
    tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
    30°	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59°	4	8	12
    31°	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58°	4	8	12
    32°	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57°	4	8	12
    33°	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56°	4	8	13
    34°	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55°	4	9	13
    35°	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54°	4	8	13
    36°	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53°	5	9	14°
    37°	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52°	5	9	14
    38°	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51°	5	9	14
    39°	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50°	5	10	15
    40°	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49°	5	10	15
    41°	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48°	5	10	16
    42°	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47°	6	11	16
    43°	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46°	6	11	17
    44°	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45°	6	11	17
    tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
    45°	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44°	6	12	18
    46°	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43°	6	12	18
    47°	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42°	6	13	19
    48°	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41°	7	13	20
    49°	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40°	7	14	21
    50°	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39°	7	14	22
    51°	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38°	8	15	23
    52°	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37°	8	16	24
    53°	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36°	8	16	25
    54°	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35°	9	17	26
    55°	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34°	9	18	27
    56°	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33°	10	19	29
    57°	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32°	10	20	30
    58°	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31°	11	21	32
    59°	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30°	11	23	34
    tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg
    60°	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29°	1	2	4
    61°	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28°	1	3	4
    62°	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27°	1	3	4
    63°	1,963	1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26°	1	3	4
    64°	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25°	2	3	5
    65°	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24°	2	3	5
    66°	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23°	2	4	5
    67°	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22°	2	4	6
    68°	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21°	2	4	6
    69°	2,605	2,619	2,633	2,646	2,66	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747	20°	2	5	7
    70°	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19°	3	5	8
    71°	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,06	3,078	18°	3	6	9
    72°	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17°	3	6	10
    73°	3,271	3,291	3,312	3,333	3,354	3,376							3	7	10
    							3,398	3,42	3,442	3,465	3,487	16°	4	7	11
    74°	3,487	3,511	3,534	3,558	3,582	3,606							4	8	12
    							3,630	3,655	3,681	3,706	3,732	15°	4	8	13
    75°	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867							4	9	13
    							3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14°	5	10	14
    tg	0′	6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′		1′	2′	3′
    	60′	54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′	ctg

    python — как возвести cos в квадрат в пайтоне?

    python — как возвести cos в квадрат в пайтоне? — Stack Overflow на русском

    Stack Overflow на русском — это сайт вопросов и ответов для программистов. Присоединяйтесь! Регистрация займёт не больше минуты.

    Присоединиться к сообществу

    Любой может задать вопрос

    Любой может ответить

    Лучшие ответы получают голоса и поднимаются наверх

    Вопрос задан 3 года 10 месяцев назад

    Просмотрен 3k раз

    Закрыт.2(sin 1/z) from math import cos, sin z = 3 result = cos(sin(1 / z)) ** 2 print(result) # 0.8967098683878832

    ответ дан 12 сен ’17 в 15:34

    gil9redgil9red

    62.6k55 золотых знаков4444 серебряных знака103103 бронзовых знака

    4

    Всё ещё ищете ответ? Посмотрите другие вопросы с метками python python-3.x или задайте свой вопрос.

    lang-py

    Stack Overflow на русском лучше работает с включенным JavaScript

    Ваша конфиденциальность

    Нажимая «Принять все файлы cookie» вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей [Политикой в отношении файлов cookie] (https://stackoverflow.2⁡x\), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.

    
    

    Примеры из ЕГЭ

    Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(24\sqrt{2}\,cos⁡(-\frac{π}{3})\,sin⁡(-\frac{π}{4})\).
    Решение. \(24\sqrt{2}\,cos⁡(-\frac{π}{3})\,sin⁡(-\frac{π}{4})=-24\sqrt{2}\,cos⁡\frac{π}{3}\,sin⁡\frac{π}{4}\).

    
    

    Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) принимает наименьшее т.е. \(cos\,⁡\frac{π}{3}=\frac{1}{2}\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(sin⁡\,\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Получается:

    \(-24\sqrt{2}\,cos⁡\frac{π}{3}\,sin⁡\frac{π}{4}=-24\sqrt{2}\cdot\)\(\frac{1}{2}\)\(\cdot\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(=\)\(\frac{-24\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4}\)\(=\)\(\frac{-24\cdot 2}{4}\)\(=-6\cdot2=-12\)

    Ответ: \(-12\).° )=-44\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=44\cdot 3=132\).
    Ответ: \(132\).

    Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью «Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы?».

    Доказательства формул с минусом в аргументе:

    
    

    Урок по теме «Формулы приведения». 9-й класс

    Цели урока:

    Учебная цель:

    1. научить применять формулы приведения для нахождения синусов, косинусов и тангенсов углов больших 900;
    2. повторить нахождение синусов, косинусов и тангенсов острых углов по таблице Брадиса, а также их значения для углов 00, 300, 450, 600, 900.

    Развивающая цель:

    1. развитие внимания, мышления, памяти и воображения;
    2. работа над математической речью.

    Воспитательная цель:

    1. развитие позитивной «Я-концепции» в каждом ученике;
    2. воспитание чувства ответственности, сопереживания, внимательного и терпеливого отношения к окружающим;
    3. умение сдерживать отрицательные эмоции и высказывать их тактично;
    4. формирование навыков умственного труда – поиск рационального пути выполнения задания.

    Оборудование: учебник «Геометрия 7–9 » Л.С. Атанасяна, таблицы Брадиса, надписи с заданиями и ответами, таблица с единичными окружностями.

    План урока:

    1. Рефлексия настроения
    2. Обсуждение темы и целей занятия
    3. Актуализация знаний, умений, навыков:
       1. обучающая самостоятельная работа с проверкой у доски
       2. формулировка правила
       3. чертеж – шпаргалка
    4. Закрепление формул приведения на примерах
    5. Психологическая разгрузка (стихотворение)
    6. Самостоятельная работа
       1. обучающая с проверкой у доски
       2. проверка знаний каждого ученика
    7. Итог урока
    8. Рефлексия результативности, настроения
    Ход урока
    I. Рефлексия настроения

    Здравствуйте, ученики! Я рада вас видеть!

    Желаю вам успехов на сегодняшнем непростом занятии – в освоении синусов, косинусов и тангенсов углов.

    II. Обсуждение темы и целей занятия

    На прошлом уроке мы познакомились с формулами приведения. Сегодня наша цель – научиться их применять. Откроем тетради, запишем число и тему урока.

    Задание: на доске

    а) используя таблицу Брадиса (стр. 52), найти:

    sin 20°,		ответ (0,3420)
    cos 70°,		ответ (0,3420)
    sin 30°,		ответ (0,5000)
    cos 60°.		ответ (0,5000)

    б) как можно найти по-другому:

    sin 30°,		ответ (1/2)
    cos 60°.		ответ (1/2)

    Для нахождения синусов, косинусов, тангенсов углов 00, 300, 450, 600, 900 можно воспользоваться таблицей, неплохо было бы ее запомнить.

    в) найти:

    sin 120°,
    cos 210°.

    Вот для этого случая и нужны формулы приведения. Вспомним их.

    III Актуализация знаний, умений, навыков:

    Вспомним звучание формул.

    Чтобы найти синус, косинус, тангенс углов больших 900, надо

    1) заменить этот угол суммой

    90° + α; 180° + α; 270° + α; 360° + α…

    (или разностью 180° — α; 270° — α; 360° — α…).

    2) определить какой знак «+» или «-» имеет искомое значение в зависимости от нахождения в четверти.

    3) изменить sinα на cosα, если есть 90° или 270°

    cosα на sinα

    tgα на сtgα

    не менять функцию, если есть 180° или 360°.

    Лучше сориентироваться поможет рисунок-шпаргалка. Вспомним основные моменты его построения.

     
    Рисунок – Единичная окружность и координаты точек

    Вопросы к классу:

    1. Почему окружность называется единичной?
    2. Назвать координаты точек пересечения окружности с осями координат.
    3. Какие знаки имеют абсциссы и ординаты всех точек, лежащих в первой четверти, второй, третьей, четвертой?
    4. Какое местоположение точки считается начальным?
    5. Какой угол считаем положительным, а какой отрицательным?
    6. С какой координатой точки совпадает sinα, с какой – cosα?

    Вернемся к заданию в).

    I вариант решения: sin 120° = sin (90° + 30°) = +cos 30° = /2

    II вариант решения: sin 120° = sin (180° 60°) = +sin 60° = /2

    I вариант решения: cos 210° = cos (180° + 30°) = — cos 30° = — /2

    II вариант решения: cos 210° = cos (270° — 60°) = — sin 60° = — /2

    IV. Закрепление формул приведения на примерах

    Вернемся к примеру в тетради и на доске. (Ученик выполняет под руководством учителя задание).

    а) sin 110° = sin (90°+ 20°) = cos 20° ≈ 0,9397

    или sin 110° = sin (180° — 70°) = sin 70°≈  0,9397

    б) cos 200° = cos (180° + 20°) = — cos 20°≈  — 0,9397

    или cos 200° = cos (270° — 70°) = — sin 70° ≈ — 0,9397

    V. Психологическая разгрузка (стихотворение)

    Научись встречать беду не плача:
    Горький миг – не зрелище для всех.
    Знай: душа растет при неудачах
    И слабеет, если скор успех.
    Мудрость обретают в трудном споре,
    Предначертан путь нелегкий твой
    По спирали радости и горя,
    А не вверх взмывающей кривой.

    Вдумайтесь в слова этого стихотворения и возьмите себе на вооружение.

    VI. Самостоятельная работа

    1) обучающая работа с проверкой у доски

    Учебник стр. 241 № 1016.

    • cos 120° = cos (90° + 30°) = — sin 30° = — 1/2
    • sin 120° = sin (90° + 30°) = cos 30° = /2
    • tg 120° = tg (90° + 30°) = — ctg 30° = —

    или

    • cos 120° = cos (180° — 60°) = — cos 60° = — 1/2
    • sin 120° = sin (180° — 60°) = sin 60° = /2
    • tg 120° = tg (180° — 60°) = — tg 60° = —

    2) проверка знаний каждого ученика

    • cos 135° = cos (90° + 45°) = — sin 45° = — /2
    • sin 135° = sin (90° + 45°) = cos 45° = /2
    • tg 135° = tg (90° + 45°) = — ctg 45° = — 1

    или

    VII. Итог урока

    Время урока подходит к концу. Ребята, давайте вспомним, какова была цель нашего занятия. Как вы думаете, мы достигли этой цели? На следующих уроках нам потребуется умение находить синусы, косинусы, тангенсы углов больших 900, не только в геометрии, но и на уроках алгебры и физики.

    VIII. Рефлексия результативности, настроения

    Я благодарю вас за урок. Вы подарили мне хорошее настроение, я надеюсь, что я вам тоже. До новой встречи.

    Синус угла в квадрате

    Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

    Простейшие тригонометрические тождества

    Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
    Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
    Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
    Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
    Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
    Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
    Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

    Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

    Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

    Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

    Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
    Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
    Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

    Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

    Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

    Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

    Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

    Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

    Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

    Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

    Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

    Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

    Формулы универсальной тригонометрической подстановки

    Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .

    Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.
    

    Тригонометрические тождества преобразования половины угла

    Тригонометрические формулы сложения углов

    cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

    sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

    sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
    cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

    Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

    Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

    Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

    Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

    Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

    Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

    Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

    Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

    Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

    Формулы приведения тригонометрических функций

    Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .

    Тригонометрическая окружность наглядно показывает отношения синуса и косинуса при различных значениях угла α . Угол α начинает раскрываться с правой стороны оси косинуса.

    Если исследовать значения синуса, то в первой и второй четверти графика они будут положительны, так как находятся выше оси косинуса, то есть выше нуля, а в третьей и четвертой четверти графика синус станет отрицательным, так как точки окружности опускаются ниже нуля. Поэтому синус угла от 0° до 180° будет со знаком плюс, а синус угла от 180° до 360° будет со знаком минус, как видно из таблицы ниже. В таблице приведены все значения синусов углов от 0° до 360° с точностью до 1 градуса.

    Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

    (lacktriangleright) Основные тождества: [egin <|l|l|>hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm, alpha cdot mathrm, alpha =1 \ &(sinalpha
    e 0, cosalpha
    e 0)\[0.2, alpha>\&\ cosalpha
    e 0 & sinalpha
    e 0\ hline end]

    (lacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [egin <|c|>hline ext<Частный случай>\ hline \ sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot sin<left(alphapm dfrac<pi>4
    ight)>\\ sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin<left(alphapm dfrac<pi>6
    ight)>\\ sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin<left(xpm dfrac<pi>3
    ight)>\\ hline ext<Общий случай>\ hline\ asinalphapm bcosalpha=sqrtcdot sin<(alphapm phi)>, cosphi=dfrac a<sqrt>, sinphi=dfrac b<sqrt>\\ hline end]

    Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

    Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

    (lacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos<(alpha -eta)>=cosalphacoseta+sinalphasineta)

    Рассмотрим тригонометрическую окружность и на ней углы (alpha) и (eta) .2alpha=dfrac<1-cos2alpha>2)

    Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1) .

    (lacktriangleright) Вывод формул произведения функций:

    1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

    Получим: (cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)=2cosalphacoseta Rightarrow cosalphacoseta=dfrac12Big(cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)Big))

    2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

    3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

    (lacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:

    Обозначим (alpha+eta=x, alpha-eta=y) . Тогда: (alpha=dfrac2, eta=dfrac2) . Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

    Получили формулу суммы косинусов.

    Получили формулу разности косинусов.

    Получили формулу суммы синусов.

    4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

    Аналогично выводится формула суммы котангенсов.2=dfrac=1)

    Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi) , для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1) . Тогда наше выражение примет вид:

    (sqrt,ig(cos phi sin x+sin phicos xig)=sqrt,sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)

    Значит, формула выглядит следующим образом: [<large,sin (x+phi),>> quad ext <где >cos phi=dfrac a<sqrt>] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt,cos (x-phi)]

    (lacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

    (a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1<sqrt2>sin xpmdfrac1<sqrt2>cos x
    ight)=sqrt2, sin left(xpmdfrac<pi>4
    ight))

    (b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac<sqrt3>2sin xpm dfrac12cos x
    ight)=2, sin left(xpmdfrac<pi>6
    ight))

    (c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin xpmdfrac<sqrt3>2cos x
    ight)=2,sinleft(xpmdfrac<pi>3
    ight))

    Mathway | Популярные задачи

    1	Найдите производную — d / dx	натуральное журнал x
    2	Оцените интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
    3	Найдите производную — d / dx	е ^ х
    4	Оцените интеграл	интеграл от e ^ (2x) относительно x
    5	Найдите производную — d / dx	1 / х
    6	Найдите производную — d / dx	х ^ 2
    7	Найдите производную — d / dx	1 / (х ^ 2)
    8	Найдите производную — d / dx	грех (х) ^ 2
    9	Найдите производную — d / dx	сек (x)
    10	Оцените интеграл	интеграл e ^ x относительно x
    11	Оцените интеграл	интеграл x ^ 2 относительно x
    12	Оцените интеграл	интеграл квадратного корня x относительно x
    13	Найдите производную — d / dx	соз (х) ^ 2
    14	Оцените интеграл	интеграл от 1 / x по отношению к x
    15	Оцените интеграл	интеграл sin (x) ^ 2 относительно x
    16	Найдите производную — d / dx	х ^ 3
    17	Найдите производную — d / dx	сек (x) ^ 2
    18	Оцените интеграл	интеграл cos (x) ^ 2 относительно x
    19	Оцените интеграл	интеграл от sec (x) ^ 2 относительно x
    20	Найдите производную — d / dx	е ^ (х ^ 2)
    21	Оцените интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1 + 7x относительно x
    22	Найдите производную — d / dx	грех (2x)
    23	Найдите производную — d / dx	загар (x) ^ 2
    24	Оцените интеграл	интеграл 1 / (x ^ 2) относительно x
    25	Найдите производную — d / dx	2 ^ х
    26	График	натуральное бревно из
    27	Найдите производную — d / dx	cos (2x)
    28	Найдите производную — d / dx	хе ^ х
    29	Оцените интеграл	интеграл от 2x относительно x
    30	Найдите производную — d / dx	(натуральный логарифм x) ^ 2
    31	Найдите производную — d / dx	натуральный логарифм (x) ^ 2
    32	Найдите производную — d / dx	3x ^ 2
    33	Оцените интеграл	интеграл xe ^ (2x) относительно x
    34	Найдите производную — d / dx	2e ^ x
    35	Найдите производную — d / dx	натуральное бревно 2x
    36	Найдите производную — d / dx	-син (х)
    37	Найдите производную — d / dx	4x ^ 2-x + 5
    38	Найдите производную — d / dx	y = 16 корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4
    39	Найдите производную — d / dx	2x ^ 2
    40	Оцените интеграл	интеграл e ^ (3x) относительно x
    41	Оцените интеграл	интеграл cos (2x) относительно x
    42	Найдите производную — d / dx	1 / (квадратный корень из x)
    43	Оцените интеграл	интеграл e ^ (x ^ 2) относительно x
    44	Оценить	e ^ бесконечность
    45	Найдите производную — d / dx	х / 2
    46	Найдите производную — d / dx	-cos (x)
    47	Найдите производную — d / dx	грех (3x)
    48	Найдите производную — d / dx	1 / (х ^ 3)
    49	Оцените интеграл	интеграл от tan (x) ^ 2 относительно x
    50	Оцените интеграл	интеграл 1 по x
    51	Найдите производную — d / dx	х ^ х
    52	Найдите производную — d / dx	x натуральное бревно x
    53	Найдите производную — d / dx	х ^ 4
    54	Оценить предел	предел, когда x приближается к 3 из (3x-5) / (x-3)
    55	Оцените интеграл	интеграл x ^ 2 натуральный логарифм x относительно x
    56	Найдите производную — d / dx	f (x) = квадратный корень из x
    57	Найдите производную — d / dx	х ^ 2sin (х)
    58	Оцените интеграл	интеграл sin (2x) относительно x
    59	Найдите производную — d / dx	3e ^ x
    60	Оцените интеграл	интеграл xe ^ x относительно x
    61	Найдите производную — d / dx	у = х ^ 2
    62	Найдите производную — d / dx	квадратный корень из x ^ 2 + 1
    63	Найдите производную — d / dx	грех (x ^ 2)
    64	Оцените интеграл	интеграл от e ^ (- 2x) относительно x
    65	Оцените интеграл	интеграл натурального логарифма квадратного корня x относительно x
    66	Найдите производную — d / dx	е ^ 2
    67	Найдите производную — d / dx	х ^ 2 + 1
    68	Оцените интеграл	интеграл sin (x) относительно x
    69	Найдите производную — d / dx	арксин (х)
    70	Оценить предел	предел, когда x приближается к 0 of (sin (x)) / x
    71	Оцените интеграл	интеграл e ^ (- x) относительно x
    72	Найдите производную — d / dx	х ^ 5
    73	Найдите производную — d / dx	2 / х
    74	Найдите производную — d / dx	натуральное бревно из 3х
    75	Найдите производную — d / dx	х ^ (1/2)
    76	Найдите производную — d / d @ VAR	f (x) = квадратный корень из x
    77	Найдите производную — d / dx	соз (х ^ 2)
    78	Найдите производную — d / dx	1 / (х ^ 5)
    79	Найдите производную — d / dx	кубический корень из x ^ 2
    80	Оцените интеграл	интеграл cos (x) относительно x
    81	Оцените интеграл	интеграл e ^ (- x ^ 2) относительно x
    82	Найдите производную — d / d @ VAR	е (х) = х ^ 3
    83	Оцените интеграл	интеграл от 0 до 10 из 4x ^ 2 + 7 по x
    84	Оцените интеграл	интеграл (натуральный логарифм x) ^ 2 относительно x
    85	Найдите производную — d / dx	журнал x
    86	Найдите производную — d / dx	арктан (x)
    87	Найдите производную — d / dx	натуральное бревно 5x
    88	Найдите производную — d / dx	5e ^ x
    89	Найдите производную — d / dx	cos (3x)
    90	Оцените интеграл	интеграл x ^ 3 относительно x
    91	Оцените интеграл	интеграл x ^ 2e ^ x относительно x
    92	Найдите производную — d / dx	Корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4 (16)
    93	Найдите производную — d / dx	х / (е ^ х)
    94	Оценить предел	предел, когда x приближается к 3 от arctan (e ^ x)
    95	Оцените интеграл	интеграл от (e ^ x-e ^ (- x)) / (e ^ x + e ^ (- x)) относительно x
    96	Найдите производную — d / dx	3 ^ х
    97	Оцените интеграл	интеграл xe ^ (x ^ 2) относительно x
    98	Найдите производную — d / dx	2sin (х)
    99	Оценить	сек (0) ^ 2
    100	Найдите производную — d / dx	натуральный логарифм x ^ 2

    Функция косинуса в квадрате — исчисление

    Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена ​​в статье.
    Просмотрите полный список определенных функций в этой вики.

    Для функций, включающих углы (тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и т. Д.), Мы следуем соглашению, согласно которому все углы измеряются в радианах. Так, например, угол измеряется как.

    Определение

    Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции косинуса.Явно это карта:

    Для краткости запишем как.

    Основные данные

    Товар	Стоимость
    Домен по умолчанию	все действительные числа, т. Е. Все из.
    диапазон	, т.е.
    период	, т.е.
    локальные максимальные значения и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при целых кратных.
    локальные минимальные значения и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при нечетных целых кратных.
    точки перегиба (обе координаты)	нечетных кратных, со значением в каждой точке
    производная	то есть отрицательная функция синусоиды двойного угла.
    вторая производная
    Высшие производные	раз выражение, которое равно или, в зависимости от остатка от mod 4.
    первообразная
    среднее значение за период
    выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
    важные симметрии	четная функция В более общем смысле имеет зеркальную симметрию относительно всех вертикальных линий, целое число. Также имеет симметрию на пол-оборота относительно всех точек формы, то есть всех точек перегиба.
    описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : убывающая и вогнутая вниз : убывающая и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вверх : увеличивающаяся и вогнутая вниз.

    Чему равен cos (0)?

    Кредит: WikiCommons CC0 1.0

    В математике функция косинуса (cos) — это функция, которая связывает внутренний угол треугольника с длиной его сторон. Функция косинуса, а также функция синуса и тангенса являются тремя основными тригонометрическими функциями. В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы прямоугольного треугольника. Математически это:

    cos (A) = смежный / гипотенуза

    Функция косинуса принимает угловые измерения в качестве входных данных и возвращает отношение в качестве выходных данных.Когда угол A = 0 °, функция косинуса принимает значение:

    cos (0) = 1

    Косинус угла в ноль градусов равен 1. Чтобы понять, почему, рассмотрим, что происходит с прямоугольным треугольником. когда один из его углов стремится к 0. По мере приближения угла к 0 противоположная сторона становится все меньше и меньше. По мере уменьшения этого угла длины гипотенузы и стороны, прилегающей к углу, становятся все ближе и ближе. Как только значение угла достигнет 0, гипотенуза и прилегающая сторона будут идеально лежать друг на друге, попадая в соотношение 1: 1.Таким образом, косинус 0 равен 1.

    Основы триггерных функций

    Три триггерные функции представляют собой общее соответствие между внутренними углами треугольника и длинами его сторон. Тот факт, что существует повторяющееся соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника, является следствием того факта, что одинаковые треугольники поддерживают соотношение между своими сторонами. Прямоугольный треугольник 3-4-5 имеет те же пропорции, что и треугольник 6-8-10; последнее является целым кратным первому.Таким образом, любые соотношения между длинами сторон двух треугольников будут точно такими же.

    Рассмотрим простой прямоугольный треугольник:

    Фото: D Pape via Resumbrae CC-BY 2.0

    Начиная с некоторого угла A, стороны треугольника обозначены следующим образом:

    Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной треугольника.

    Противоположная сторона — это сторона, находящаяся прямо напротив интересующего угла.

    смежная сторона — это сторона, непосредственно следующая за углом, который не является гипотенузой.

    Следуя этим обозначениям, мы можем определить три основные триггерные функции следующим образом:

    sin (A) = противоположный / гипотенуза

    cos (A) = смежный / гипотенуза

    tan (A) = противоположный / смежный

    Поскольку одинаковые треугольники имеют одинаковые пропорции, значения этих функций не зависят от размера прямоугольного треугольника, только угол оценки (A) равен.Хорошей мнемоникой для запоминания определений триггерных функций является аббревиатура SOH-CAH-TOA (произносится «со-ка-тоа»)

    Давайте добавим несколько цифр к этим абстрактным формулам. Скажем, у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 3 и 4 и гипотенуза длиной 5:

    Авторы и права: Автор

    Мы можем вычислить значения триггерных функций относительно угла A следующим образом:

    sin (A) = противоположное. / гипотенуза = 4/5 = 0,8

    cos (A) = смежный / гипотенуза = 3/5 = 0,6

    tan (A) = противоположный / смежный = 4/3 = 1.3

    Обратите внимание, что функции синуса и косинуса эквивалентны с учетом разных углов. Установив угол B в качестве интересующего нас угла, мы можем вычислить триггерные функции следующим образом:

    sin (B) = 3/5 = cos (A) = 0,6

    cos (B) = 4/5 = sin (A) = 0,8

    Это приводит нас к общему правилу, что для любого прямоугольного треугольника, где углы A и B не являются прямым углом:

    sin (A) = cos (B) и sin (B) = cos (A)

    В дополнение к 3 основным функциям триггера есть 3 взаимные триггерные функции.Обратные функции являются обратными базисным функциям и называются секансом, косекансом и котангенсом. Их можно определить как:

    сек (A) = 1 / sin (A) = гипотенуза / противоположная

    косекунд (A) = 1 / cos (A) = гипотенуза / смежная

    котан (A) = 1 / tan (A) = смежный / противоположный

    Числовые значения триггерных функций

    Допустим, вам дано только измерение угла, и вас просят вычислить синус этого угла только по этому значению. К сожалению, для этого не существует простого алгоритма.Вычисление значений sin вручную под заданным углом требует много времени и сложных вычислений. Вместо этого большинство калькуляторов используют справочные таблицы, таблицы со списком измерений углов и соответствующих значений sin. Эти таблицы были рассчитаны с высочайшей точностью. Однако есть интересный способ концептуализации угловых измерений, который делает вычисление некоторых значений триггерных функций интуитивно понятным и простым.

    Триггерные функции и единичная окружность

    Внутреннюю работу триггерных функций можно понять по структуре единичной окружности на координатной плоскости.Единичный круг — это круг радиуса один, центр которого находится в начале координатной плоскости (0,0). Перетаскивание радиуса вокруг исходной точки приведет к появлению круга, длина окружности которого составляет ровно 2π единицы. По теореме Пифагора этот круг представляет собой набор всех точек (x, y), таких что x ² + y ² = 1

    Углы могут быть измерены в терминах длины дуги на окружности, которую угол выводит наружу. Эти единицы называются радианами. Поскольку окружность единичной окружности равна точно 2π, угловая мера 2π в радианах соответствует 360 °.Аналогично, π / 2 радиан соответствует 90 °, π радиан — 180 °, π / 3 радиан — 60 ° и так далее.

    Единичный круг и преобразования между радианами и градусами. Предоставлено: Густав B через WikiCommons CC BY-SA 3.0

    Любая точка на единичной окружности может быть представлена ​​как конечная точка линии, идущей от центральной точки под углом θ с центром в начале координат. Значения x и y этой точки соответствуют сторонам прямоугольного треугольника. Это понимание приводит к некоторым интересным свойствам триггерных функций.Поскольку по определению единичный круг имеет радиус 1, sin (θ) = y и cos (θ) = x. Согласно теореме Пифагора и определению единичной окружности, верно, что cos ² (θ) + sin ² (θ) = 1.

    Что произойдет с прямоугольным треугольником, если мы изменим угол луча от происхождения? Изменение угла, на который линия простирается от начала координат, приводит к соответствующему изменению других сторон треугольника. Чем меньше угол, тем меньше и сторона, противоположная углу.а соседняя сторона становится больше. По мере увеличения угла противоположная сторона становится больше, а соседняя — меньше. Таким образом, когда мы меняем угол, мы можем визуализировать, как изменяется соотношение сторон треугольника.

    Анимация, показывающая, как стороны треугольника меняются в ответ на изменение угла. Предоставлено: WikiCommons CC0 1.0

    Сразу обратите внимание на несколько вещей. Что происходит, когда угол равен 0? Какое соотношение сторон друг к другу? По мере приближения угла к 0 синус угла (противоположный / гипотенуза) становится все меньше и меньше.Когда угол достигает 0, длина противоположной стороны достигает 0, поэтому полное отношение между противоположной стороной и гипотенузой равно 0. Итак, мы знаем, что sin (0) = 0.

    А что насчет того, когда мы сделаем угол больше? По мере увеличения угла противоположная сторона увеличивается в длине, пока мы не дойдем до π / 2 рад (90 °), после чего противоположная сторона и гипотенуза станут равной длины. Если стороны равны по длине, то их отношение равно 1, поэтому мы знаем, что sin (π / 2) = 1.

    Рассмотрим функцию косинуса.Что происходит со значением косинуса при уменьшении угла? По мере приближения к 0 отношение между соседней стороной и гипотенузой увеличивается, пока смежная сторона и гипотенуза не станут равными, когда угол равен 0. Итак, мы знаем, что cos (0) = 1. Аналогичным образом, когда угол приближается π / 2, соседняя сторона становится все меньше и меньше относительно гипотенузы, пока не станет равной 0; таким образом, cos (π / 2) = 0

    А как насчет касательной функции? Когда угол равен 0, отношение противоположной стороны к соседней стороне также равно 0, поэтому мы можем определить, что tan (0) = 0. По мере увеличения угла противоположная сторона становится больше, а соседняя — меньше, пока не достигнет точки, в которой две стороны имеют одинаковую длину. Прямоугольный треугольник может иметь только две стороны равной длины, если оба непрямых угла равны 45 °. Это означает, что под углом 45 ° длины двух сторон равны, и поэтому их отношение равно 1. 45 ° равно π / 4 рад, поэтому мы знаем, что тангенс (π / 4) = 1

    А как насчет значения tan (π / 2)? Обратите внимание, что по мере того, как угол увеличивается и приближается к π / 2 рад, противоположная сторона становится больше, а соседняя сторона сжимается до 0.Это означает, что tan (π / 2) равен выражению 1/0. Деление на 0 не определено, поэтому функция tan (π / 2) не определена и не имеет допустимого значения.

    Осмысление угловых измерений в радианах единичной окружности также объясняет еще одно интересное свойство триггерной функции; их периодичность. Значения триггерных функций колеблются между фиксированными выходами от входов от 0 до 2π, потому что угловые измерения, превышающие 2π, могут быть представлены как кратные 2π. Графическое изображение выходных данных функций sin и косинуса дает красивый волнообразный узор:

    Источник: WikiCommons CC0 1.0

    Вершины и впадины приведенных выше графиков представляют выходные значения 1 и -1 соответственно. Интересно отметить, что функции синуса и косинуса идентичны по форме, но функция косинуса смещена от функции синуса на половину длины волны. Периодичность триггерной функции (в частности, синуса и косинуса) делает их полезными в науке для моделирования периодических явлений, таких как механические или электромагнитные волны.

    Была ли эта статья полезной?

    😊 ☹️ Приятно слышать! Хотите больше научных тенденций? Подпишитесь на нашу рассылку новостей науки! Нам очень жаль это слышать! Мы любим отзывы 🙂 и хотим, чтобы вы внесли свой вклад в то, как сделать Science Trends еще лучше.

    Пифагорейские тождества | StudyPug

    Каковы пифагорейские тождества?

    Тождество в математике — это всегда верное уравнение. Все пифагорейские тождества включают число 1, и его пифагорейские аспекты можно ясно увидеть при доказательстве теорем о единичной окружности.

    Пифагорейские тождества

    В этом вопросе мы собираемся исследовать пифагорейские тождества. Вы можете обратиться к приведенному ниже списку формул, когда имеете дело с 3 пифагорейскими тождествами.

    список пифагорейских тождеств

    Давайте исследуем пифагорейские тождества. Первый из этих трех утверждает, что квадрат синуса плюс квадрат косинуса равняется единице. Второй гласит, что квадрат касательной плюс один равен квадрату секущей. В последнем случае один плюс квадрат котангенса равен квадрату косеканса.

    В следующем вопросе мы попытаемся использовать единичную окружность, чтобы доказать первое пифагорейское тождество: синус в квадрате плюс косинус в квадрате равняется единице.2 \ тета = 1cos2θ + sin2θ = 1

    С чего начать? Вы помните свойства единичного круга? Мы рассмотрели единичный круг в предыдущем разделе. Вкратце, единичный круг — это просто круг с радиусом в одну единицу, то есть радиус должен быть равен единице.

    получить пифагорейскую идентичность, используя единичный круг

    См. Изображение выше. Мы обозначим точку на окружности в X, Y. Здесь координата X равна X, а координата Y — Y.

    С этого момента проведем перпендикулярную линию к оси X.Мы сосредоточимся на этом треугольнике.

    На этом изображении найдите момент, чтобы вспомнить, что? средства. На самом деле это опорный угол, верно? Это один из самых важных углов в тригонометрии.

    Что означает опорный угол, если координата X равна X? Это означает, что длина сегмента X равна X. Аналогичным образом, если координата Y равна Y, это означает, что длина вертикального сегмента треугольника будет равна Y.

    Давайте продемонстрируем это на реальных цифрах, чтобы проиллюстрировать эту концепцию.

    иллюстрация взаимосвязи между координатой и длиной отрезков треугольника

    В приведенном выше примере есть точка 3,5. Если мы рисуем треугольник, тройка обозначает координату X. Это означает, что длина этого сегмента равна 3. Теперь, если координата Y равна 5, что это значит? Длина вертикального отрезка треугольника должна составлять пять.

    Возвращаясь к предыдущей иллюстрации единичного круга, давайте сосредоточимся на прямоугольном треугольнике и применим теорему Пифагора.Что такое теорема Пифагора? Пифагор говорит нам, что X в квадрате плюс Y в квадрате равняется квадрату гипотенузы. Гипотенуза в данном случае равна единице, поскольку мы используем единичную окружность. Итак, здесь X в квадрате плюс Y в квадрате равняется одному квадрату.

    Одна из замечательных особенностей единичного круга заключается в том, что его координата X также может быть представлена ​​в терминах угла тета. Координата X может быть представлена ​​как косинус-тета, а ее координата Y может быть представлена ​​как синус-тета. Имейте в виду, что это только для единичного круга.2 \ тета = 1 cos2θ + sin2θ = 1

    Ответ становится очевидным благодаря использованию единичного круга. Один квадрат — это всего лишь один. Координата X также может быть представлена ​​как косинус тета. Координата Y может быть представлена ​​как синус-тета. И вуаля! Мы сделали. Используя единичную окружность, мы успешно доказали, что возведенный в квадрат косинус плюс квадрат синуса равны единице, взяв одно из трех тождеств Пифагора.

    Круговая диаграмма

    и калькулятор триггера — Cos 0, Sin 0, Tan 0, радианы и др.

    Единичная окружность — полезный инструмент визуализации для изучения тригонометрических функций.

    Ключ к полезности — простота. Это устраняет необходимость запоминания разных значений и позволяет пользователю просто получать разные результаты для разных случаев.

    Давайте узнаем об этом больше и проверим наше понимание с помощью удобного тригонометрического калькулятора, который я создал в конце статьи.

    Часть 1. Что такое единичный круг и как он используется?

    Единичная окружность — это окружность с радиусом одна единица с центром в начале координат.Другими словами, центр помещается на график, где пересекаются оси X и Y .

    Рис. 1 . График единичной окружности с радиусом = 1 и точками пересечения с осями X и Y

    . Имея радиус, равный 1 единице, мы можем создать опорных треугольников с гипотенузой, равной 1 единице.

    Как мы вскоре увидим, это позволяет нам напрямую измерить синус , косинус и тангенс . Треугольник ниже напоминает нам, как мы определяем синус и косинус для некоторого угла альфа .

    Рис 2 . Геометрическое определение синуса и косинуса для угла с гипотенузой равным 1

    Поскольку гипотенуза равна 1, а все, что делится на 1, равно самому себе, синус альфы равен длине BC. Или sin (α) = BC / 1 = BC .

    Точно так же косинус будет равен длине AC. Или cos (α) = AC / 1 = AC .

    Теперь переместим этот треугольник в нашу единичную окружность, чтобы радиус круга мог служить гипотенузой.

    Рис 3 .Справочный треугольник внутри единичной окружности. Координата x = cos (α) и координата y = sin (α)

    В результате координата y точки, где треугольник касается круга, равна sin (α), или y = sin (α) . Точно так же координата x будет равна cos (α), или x = cos (α) .

    Таким образом, перемещаясь по окружности и изменяя угол, мы можем измерить синус и косинус этого угла, измеряя координаты y и x соответственно.

    Углы могут быть измерены в градусах и / или радианах .Точка с координатами (1, 0) соответствует 0 градусам (см. Рис. 1). Мера увеличивается против часовой стрелки, поэтому точка с координатами (0, 1) будет соответствовать 90 градусам. Полный круг — 360 градусов.

    Часть 2. Важные углы и соответствующие им значения синуса, косинуса и тангенса

    Поскольку имеет смысл начинать с 0 градусов, наш круг будет выглядеть так:

    Рис. 4 . Единичный круг, показывающий cos (0) = 1 и sin (0) = 0

    Поскольку тангенс равен синусу, деленному на косинус, tan (0) = sin (0) / cos (0) = 0/1 = 0 .

    Теперь давайте посмотрим, что происходит при 90 градусах. Координаты соответствующей точки: (0, 1). Таким образом, sin (90) = y = 1 и cos (90) = x = 0. Круг будет выглядеть так:

    Рис. 5 . Единичная окружность, показывающая cos (90) = 0 и sin (90) = 1

    А как насчет тангенса (90)? Когда косинусная мера приближается к 0 и оказывается знаменателем дроби, значение этой дроби увеличивается до бесконечности. Следовательно, tan (90) считается неопределенным .

    Теперь вопрос, который вы можете задать: если грех переходит от 0 до 1, а косинус — от 1 до 0, равны ли они когда-нибудь? Ответ — да, и это происходит ровно на полпути при 45 градусах! Круг выглядит так:

    Рис. 6 .Единичный круг, показывающий sin (45) = cos (45) = 1 / √2

    Поскольку числитель совпадает со знаменателем, tan (45) = 1 .

    Наконец, общая ссылка Unit Circle. Он отражает как положительные, так и отрицательные значения для осей X и Y и показывает важные значения, которые вы должны запомнить

    Рис 7 . Единичный круг, показывающий важные значения синуса и косинуса, которые следует запомнить

    В качестве последнего примечания к этому разделу всегда полезно помнить следующее тригонометрическое тождество, основанное на теореме Пифагора: sin ² (α) + cos ² (α) = 1.

    Часть 3. Тригонометрический калькулятор

    В качестве полезного практического инструмента я добавил простой тригонометрический калькулятор. Он принимает входные данные для угловых измерений и выдает соответствующие значения для функций синус , косинус и тангенс .

    Вы можете выбрать градусов или радиан в качестве меры угла. У каждого из них есть свои преимущества и недостатки. Для количественных соотношений, поскольку π радиан = 180 °, 1 радиан будет 180 ° / π или примерно 57 ° .Его можно рассчитать с любой желаемой точностью.

    Код калькулятора содержит некоторую базовую интерактивность и обработку ошибок в рамках ограничений редактора. Его строительные блоки отмечены и прокомментированы, поэтому любой желающий может легко это сделать.

    Например, могут быть добавлены новые функции, такие как ctg , sec и т. Д., А также различные цветовые схемы и многое другое. Полный исходный код можно получить, щелкнув здесь.

    Введите градус или радиан и нажмите «Отправить».

    Надеюсь, статья вместе с исходным кодом калькулятора принесет вам пользу.2 (\ theta) = 1 $

    Похоже, что спрашивающий не понимает основную идею аргументации. Однако этот вопрос помечен как проверка решения, поэтому я считаю, что спрашивающий хочет получить обратную связь по своему аргументу. Другие ответы предоставили альтернативные доказательства этих результатов, но они, похоже, на самом деле не решают вопрос о критике доказательства или его представления.

    Определения

    Аргумент, который вы приводите, немного неясен, поскольку вы не определили однозначно ни объекты, с которыми вы работаете, ни то, как они должны соответствовать друг другу.В американских средних школах определения тригонометрических функций обычно выражаются в виде прямоугольных треугольников, например $ \ sin (\ theta) = \ text {opp} / \ text {hyp} $, где $ \ text {opp} $ — длина стороны, противоположной углу $ \ theta $ в прямоугольном треугольнике, а $ \ text {hyp} $ — длина гипотенузы этого треугольника.

    Однако это не единственный способ определения тригонометрических функций. В других контекстах тригонометрические функции могут быть определены в терминах точек на единичной окружности, или как решения некоторых дифференциальных уравнений, или их рядов Тейлора, или в терминах комплексной экспоненциальной функции и так далее.

    Я не могу этого достаточно подчеркнуть: определения имеют значение! Все в математике сводится к применению аргументов к четко определенным математическим объектам. 2 = 1 $

    что это значит? Подразумевает ли первая строка вторую? Подразумевает ли второе первое? Эти два утверждения совершенно не связаны? Вы должны каким-то образом связать идеи, используя английский язык или обозначения.

    Более того, когда я читал ваш аргумент, вы начинаете , принимая заключение. Это нехорошо. Вам нужно начать с известного истинного утверждения, а затем показать, как это подразумевает желаемое утверждение. Опять же, полезно быть осторожным, указывая, как одно утверждение соотносится с другим.

    Грамматическая структура

    Хорошее математическое письмо должно быть легко читаемым в том смысле, что вы должны уметь читать его вслух, и оно должно иметь смысл. Например, вам следует писать полными предложениями, добавляя обозначения только тогда, когда это облегчает понимание происходящего.

    Имея в виду вышесказанное, я бы представил ваше доказательство следующим образом:

    ---

    Определение: Пусть $ \ треугольник ABC $ — произвольный прямоугольный треугольник, где $ C $ — прямой угол. 2 = 1 $.2 = 1, $$ по желанию.

    Addendum: Как указал fleablood в комментариях, есть небольшая дыра в аргументе: приведенное выше определение синуса и косинуса предполагает, что отношения не зависят от фактического треугольника. То есть, если $ \ треугольник ABC $ и $ \ треугольник A’B’C ‘$ — прямоугольные треугольники такие, что $ A $ и $ A’ $ имеют одинаковую меру, то $$ \ frac {a} {c} = \ frac {a ‘} {c’}. $$ Это сразу следует из свойств подобных треугольников, но, вероятно, требует упоминания в общем развитии теории.Здесь важна функция {\ circ} $, поскольку мы не определили функции синуса и косинуса для других значений $ \ theta $. Это одна из причин, почему мы в конечном итоге определяем эти функции с помощью более сложных инструментов в более сложных настройках.

    [2] Я собираюсь предположить, что теорема Пифагора уже установлена, поскольку аргумент в исходном вопросе, кажется, предполагает этот результат. Если нужно доказательство, на Cut the Knot есть одно или два.

    Тригонометрия: основные триггерные тождества — Magoosh Math

    Какие основные триггерные тождества вам необходимо знать? Посмотрите видео и узнайте!

    Фундаментальные триггерные идентичности.До сих пор мы говорили о трех основных триггерных функциях: синусе, косинусе и тангенсе. Эти три отношения. Но технически из трех сторон треугольника SOHCAHTOA можно создать шесть соотношений. Таким образом, каждая из шести функций является отдельной триггерной функцией, и действительно важно знать все шесть. Итак, мы уже знаем троих из них.

    Итак, давайте посмотрим на треугольник SOHCAHTOA. Вот наш знакомый треугольник SOHCAHTOA, который имеет угол 41 градус, есть противоположная смежная сторона гипотенузы.И поэтому, безусловно, три из отношений, которые мы можем создать, являются знакомыми отношениями SOHCAHTOA. Но есть еще три соотношения, которые мы можем создать, и вот они.

    Основные триггерные тождества: еще три соотношения

    Котангенс смежный напротив противоположного, секущий — гипотенуза над смежным, а косеканс — гипотенуза над противоположным. И это шесть соотношений вместе. Итак, подождите секунду, что это за имена? Давайте внимательно посмотрим на эти имена, вот полные имена. Итак, мы уже говорили о синусе, косинусе и тангенсе, а теперь мы говорим о котангенсе, секансе и косекансе.

    И обратите внимание, как они здесь перечислены. Если вы помните троих слева, то тройка справа — это одно и то же имя с буквой «Со» перед ним. Так что, по крайней мере, некоторые из этих имен возникли в геометрических отношениях. Давай поговорим об этом минутку. Итак, теперь давайте посмотрим на круг. Это может быть единичная окружность, радиус которой равен 1, центр в начале координат, поэтому AB и CD параллельны оси y.

    Итак, у нас есть два вертикальных сегмента, AB и CD. И похоже, что B — это точка, где эта радиусная линия пересекает круг, она продолжается.И D выглядит так, как будто он касается круга, где он пересекает ось x. Хорошо, обратите внимание на несколько вещей. Что в треугольнике OAB, треугольник внутри круга, OB, радиус равен 1, и, конечно, OA — это косинус, а AB — синус, хорошо?

    Итак, это знакомое соотношение SOHCAHTOA. Теперь посмотрите на треугольник, треугольник чуть побольше, ОКР. Итак, это тот, который начинается в точке O, проходит через B полностью до C, спускается вниз до D и возвращается по оси x. В этом треугольнике OD равен 1.И это будет означать, что противоположный CD над 1 равен касательной, поэтому касательная равна CD.

    А это значит, что гипотенуза над соседним ОС над 1 секущая. Итак, OC равно секущей. Но вот что действительно здорово в этой диаграмме. Обратите внимание, что сегмент CD, длина которого равна касательной, на самом деле касается окружности. Он проходит по кругу и касается его в одной точке.

    Это касательная линия. Обратите внимание, что OC, секущая, на самом деле пересекает круг.Итак, это то, что в геометрии называется секущей линией. Вот почему эти две функции имеют такие имена, потому что одна представляет длину касательного сегмента, а другая — длину секущего сегмента. Итак, если вы очень наглядный человек, это может помочь вам немного запомнить эти вещи.

    Все начинается с синуса и косинуса

    Хорошо, синус и косинус — самые элементарные триггерные функции, и мы можем выразить остальные четыре через них. И это действительно важные формулы, которые нужно знать.

    Касательную мы можем записать как синус над косинусом. Котангенс, мы можем записать как косинус по синусу, поэтому обратите внимание, что эти два являются обратными, тангенс и котангенс являются обратными.

    Секанс — величина, обратная косинусу. А косеканс — это величина, обратная синусу. Обратите внимание, что люди иногда путаются, потому что думают, что буквы S и S должны идти вместе. C и C должны идти вместе. Они этого не делают.

    Секанс — величина, обратная косинусу. Косеканс — это величина, обратная синусу.Таким образом, тест может дать вам один из них, если он вам понадобится в задаче, но он может ожидать, что вы также его запомните. Так что это действительно хорошо. Запомнить эти четыре.

    Фундаментальная пифагорейская идентичность

    В первом уроке триггерной теории мы упомянули фундаментальную пифагорейскую идентичность. Косинус в квадрате + синус в квадрате = 1. Теперь, когда у нас есть еще две функции, мы также можем выразить другие тождества Пифагора. Один из них — квадрат касательного + 1 = квадрат секущей, один — квадрат котангенса + 1 = квадрат косеканса.

    Итак, тест, скорее всего, даст вам эти уравнения, если они потребуются для задачи. Но они могут служить ярлыком или способом подтвердить ответ. Еще я скажу, что если вы планируете заниматься математическим анализом, я гарантирую, я абсолютно гарантирую, что вам нужно знать все три этих уравнения, как только вы приступите к математическому анализу.

    для запоминания? Или понять?

    Я скажу кое-что об этом. Конечно, вы можете запоминать их вслепую, но мы не рекомендуем этого делать.Мы действительно рекомендуем их понять.

    Итак, если вы начнете с того, что находится вверху, косинус в квадрате плюс синус в квадрате = 1. Вы можете разделить каждую вещь с обеих сторон на косинус в квадрате, вы получите вершину пифагорейской идентичности по нижней касательной и секущей.

    Или вы можете разделить все в квадрате косинуса плюс квадрат синуса = 1 на квадрат синуса. И тогда вы получите нижний — квадрат котангенса и косеканс. В качестве альтернативы вы можете вернуться к исходному треугольнику SOHCAHTOA с помощью ABC и начать с теоремы Пифагора, A в квадрате + B в квадрате = C в квадрате.Вы, возможно, помните, что мы получили это высшее пифагорейское тождество, косинус в квадрате + синус в квадрате = 1.

    Мы получили это, взяв квадрат плюс b в квадрате плюс c в квадрате и разделив все, все три члена, на c в квадрате. Что ж, вместо деления на c в квадрате мы можем разделить все три члена либо на квадрат, либо на b в квадрате. И если вы сделаете это, а затем подставите триггерные функции из соотношений, вы получите эти две пифагорейские тождества.

    И поэтому я настоятельно рекомендую сделать это самостоятельно, показать парой разных способов, что вы можете придумать все эти уравнения, потому что тогда вы действительно их поймете.

    Практическая задача

    Хорошо, теперь мы можем перейти к практической задаче. Поставьте видео на паузу, и мы поговорим об этом.

    _{Изображение ONYXprj}

    Хорошо, в треугольнике справа, в терминах b и c, какое из следующих значений является значением касательной теты?

    Хорошо, давайте подумаем об этом. У нас есть две стороны, нам даны b и c. И, конечно же, c — гипотенуза, b — противоположность, а касательная противоположна смежным.У нас противоположное, у нас нет соседнего, поэтому нам понадобится третья сторона.

    Снова использование Пифагора!

    Что ж, мы можем использовать теорему Пифагора. Итак, теорема Пифагора говорит нам, что квадрат b плюс любой квадрат соседней стороны равняется c в квадрате. И мы можем решить это с прилегающей стороной. Соседний квадрат равен c в квадрате минус b в квадрате, получим квадратный корень из обеих сторон. Обратите внимание, что извлекая квадратный корень, мы не можем извлекать квадратный корень из c и b по отдельности.

    Мы должны оставить это выражение: c в квадрате минус b в квадрате. Но это выражение для длины смежных сторон: c в квадрате минус b в квадрате. Итак, теперь мы золотые, потому что касательная противоположна смежной. У нас наоборот у нас есть смежные. Так противоположно по соседству, и это будет равно b по квадратному корню из c в квадрате минус b в квадрате.

    И на самом деле это ответ C. Мы вернулись к задаче и выбрали ответ C. Подводя итог, мы представили остальные три триггерные функции.Котангенс, секанс и косеканс. Мы обсудили, как выразить остальные четыре через синус и косинус. Так что очень хорошо понять, как они вписываются в треугольник SOHCAHTOA.

    График y 3cosx: Mathway | Популярные задачи

    alexxlab / 12.03.197020.07.2021 / Разное

    Построить график функции y 3cosx

    Что ты хочешь узнать?

    Ответ

    Проверено экспертом

    • Комментарии
    • Отметить нарушение

    Ответ

    Функция периодическая с периодом . Область определения функции – вся числовая ось.

    Область значений функции:

    План построения графика. Строим сначала график функции затем растягиваем от оси Ох на 3 единицы и параллельно сдвигаем вниз на 2 единицы.

    Тема: Циклические алгоритмы. Построение графиков функций.

    Цели:

    • дать понятие возможности построения графиков функций;
    • научить учащихся строить графики тригонометрических функций и с их помощью показывать свойства соответствующих функций.

    Воспитательная:

    способствовать развитию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, обобщение.

    Основные знания и умения:

    • Знать графики и свойства элементарных тригонометрических функций.
    • Уметь читать свойства тригонометрических функций по их графикам.

    1. Проверка домашнего задания

    2. Актуализация знаний и умений

    Повторить свойства тригонометрических функций.

    3. Объяснение нового материала

    При построении графиков функций необходимо учитывать особенности графического экрана: разрешение; ориентацию экранной системы координат.

    Расчет построения графика заключается в следующем: пусть на [a; b] надо построить график функции f(х). Отрезок [a; b] ––> [0; 640] с коэффициентом k = 640/( b – а), где х = – k * а.

    Точечный график можно реализовать фрагментом:

    100 for x = a to b step 640/(b – a)
    110 pset ( x _{+ x + k, y – k * f(x))
    120 next}

    Задача 1

    Провести ось через центр экрана и построить график функции y = sin x.

    10 screen 2
    20 line (350, 0) – (350, 260)
    30 line (0, 120) – (640, 120)
    40 for x = 0 to 100
    50 pset (10 * x, 120 + 120 * sin(x – 120) / 10)
    60 next x

    Рассмотренный график представляет собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить применяя прием уплотнения:

    40 for x = 0 to 100 step 0.01

    Для построения более сложных графиков удобно пользоваться оператором определения функции (функция пользователя).

    Задача 2

    Построить график функции y = 3cosx и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC.

    Построим график функции y = cosx.

    а) Область определения – множество всех действительных чисел.

    б) Множество значений – отрезок [–1, 1].

    в) Функция четная: cos(–x) = cosx для всех х R.

    г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. cos(x + 2) = cosx для всех х R.

    д) cosx = 0 при х = + k, k Z.

    е) cosx >0 для всех х (– + 2 k; + 2k), k Z.

    ж) cosx 0 для всех х (2 k; + 2k), k Z.

    ж) sin x 0 для всех х (–+ 2 k; + 2k), k Z.

    Решение

    График функции пересекает ось X при f = 0
    значит надо решить уравнение:
    $$- 3 cos <left (x
    ight )>- 1 = 0$$
    Решаем это уравнение
    Точки пересечения с осью X:

    Аналитическое решение
    $$x_ <1>= – operatorname<left (- frac<1> <3>
    ight )> + 2 pi$$
    $$x_ <2>= operatorname<left (- frac<1> <3>
    ight )>$$
    Численное решение
    $$x_ <1>= 52.1761156937$$
    $$x_ <2>= 35.7884786068$$
    $$x_ <3>= 71.0256716152$$
    $$x_ <4>= -83.5920422296$$
    $$x_ <5>= 67.2044051427$$
    $$x_ <6>= -96.1584128439$$
    $$x_ <7>= 54.6380345284$$
    $$x_ <8>= 1.91063323625$$
    $$x_ <9>= -35.7884786068$$
    $$x_ <10>= -33.3265597721$$
    $$x_ <11>= -48.3548492212$$
    $$x_ <12>= 79.7707757571$$
    $$x_ <13>= -29.5052932996$$
    $$x_ <14>= 33.3265597721$$
    $$x_ <15>= 23.2221079925$$
    $$x_ <16>= 58.4593010009$$
    $$x_ <17>= 77.3088569224$$
    $$x_ <18>= 155.168999443$$
    $$x_ <19>= -23.2221079925$$
    $$x_ <20>= 8.19381854343$$
    $$x_ <21>= -27.043374465$$
    $$x_ <22>= -64.742486308$$
    $$x_ <23>= -20.7601891578$$
    $$x_ <24>= 92.3371463714$$
    $$x_ <25>= 86.0539610643$$
    $$x_ <26>= -39.6097450793$$
    $$x_ <27>= 96.1584128439$$
    $$x_ <28>= -58.4593010009$$
    $$x_ <29>= -86.0539610643$$
    $$x_ <30>= -4.37255207093$$
    $$x_ <31>= -92.3371463714$$
    $$x_ <32>= -60.9212198355$$
    $$x_ <33>= 14.4770038506$$
    $$x_ <34>= -73.4875904499$$
    $$x_ <35>= 89.8752275368$$
    $$x_ <36>= 73.4875904499$$
    $$x_ <37>= 48.3548492212$$
    $$x_ <38>= 42.071663914$$
    $$x_ <39>= -77.3088569224$$
    $$x_ <40>= 20.7601891578$$
    $$x_ <41>= -71.0256716152$$
    $$x_ <42>= 16.9389226853$$
    $$x_ <43>= -52.1761156937$$
    $$x_ <44>= -89.8752275368$$
    $$x_ <45>= -10.6557373781$$
    $$x_ <46>= -7726.40729459$$
    $$x_ <47>= -971.983089377$$
    $$x_ <48>= -79.7707757571$$
    $$x_ <49>= -67.2044051427$$
    $$x_ <50>= 98.6203316786$$
    $$x_ <51>= 27.043374465$$
    $$x_ <52>= 64.742486308$$
    $$x_ <53>= -54.6380345284$$
    $$x_ <54>= 60.9212198355$$
    $$x_ <55>= 10.6557373781$$
    $$x_ <56>= -42.071663914$$
    $$x_ <57>= -14.4770038506$$
    $$x_ <58>= 39.6097450793$$
    $$x_ <59>= 3426.24662565$$
    $$x_ <60>= 83.5920422296$$
    $$x_ <61>= -45.8929303865$$
    $$x_ <62>= -8.19381854343$$
    $$x_ <63>= 4.37255207093$$
    $$x_ <64>= 29.5052932996$$
    $$x_ <65>= 45.8929303865$$
    $$x_ <66>= -98.6203316786$$
    $$x_ <67>= -16.9389226853$$
    $$x_ <68>= -1.91063323625$$

    Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
    $$fracf <left (x
    ight )>= 0$$
    (производная равна нулю),
    и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
    $$fracf <left (x
    ight )>= $$
    Первая производная
    $$3 sin <left (x
    ight )>= 0$$
    Решаем это уравнение
    Корни этого ур-ния
    $$x_ <1>= 0$$
    $$x_ <2>= pi$$
    Зн. экстремумы в точках:

    Интервалы возрастания и убывания функции:
    Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
    Минимумы функции в точках:
    $$x_ <2>= 0$$
    Максимумы функции в точках:
    $$x_ <2>= pi$$
    Убывает на промежутках

    Возрастает на промежутках

    Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
    $$frac>> f <left (x
    ight )>= 0$$
    (вторая производная равняется нулю),
    корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
    $$frac2>>> f <left (x
    ight )>= $$
    Вторая производная
    $$3 cos <left (x
    ight )>= 0$$
    Решаем это уравнение
    Корни этого ур-ния
    $$x_ <1>= frac<pi><2>$$
    $$x_ <2>= frac<3 pi><2>$$2>

    Интервалы выпуклости и вогнутости:
    Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
    Вогнутая на промежутках

    Выпуклая на промежутках

    © Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

    3cosx график

    Вы искали 3cosx график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y cosx 3, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «3cosx график».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 3cosx график,y cosx 3,график y 3cosx,график функции y 3 cosx,график функции y 3cosx,построить график функции y 3cosx. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3cosx график. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, график y 3cosx).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3cosx график Онлайн?

    Решить задачу 3cosx график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    «Циклические алгоритмы. Построение графиков тригонометрических функций»

    Тема: Циклические алгоритмы. Построение графиков функций.

    Цели:

    • Учебные:
      • дать понятие возможности построения графиков функций;
      • научить учащихся строить графики тригонометрических функций и с их помощью показывать свойства соответствующих функций.
    • Воспитательная:
      • способствовать развитию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, обобщение.

    Основные знания и умения:

    • Знать графики и свойства элементарных тригонометрических функций.
    • Уметь читать свойства тригонометрических функций по их графикам.

    ХОД УРОКА

    1. Проверка домашнего задания

    2. Актуализация знаний и умений

    Повторить свойства тригонометрических функций.

    3. Объяснение нового материала

    При построении графиков функций необходимо учитывать особенности графического экрана: разрешение; ориентацию экранной системы координат.

    Расчет построения графика заключается в следующем: пусть на [a; b] надо построить график функции f(х). Отрезок [a; b] ––> [0; 640] с коэффициентом k = 640/( b – а), где х = – k * а.

    Точечный график можно реализовать фрагментом:

    100 for x = a to b step 640/(b – a)
    110 pset ( x₀ + x + k, y₀ – k * f(x))
    120 next

    Задача 1

    Провести ось через центр экрана и построить график функции y = sin x.

    10 screen 2
    20 line (350, 0) – (350, 260)
    30 line (0, 120) – (640, 120)
    40 for x = 0 to 100
    50 pset (10 * x, 120 + 120 * sin(x – 120) / 10)
    60 next x

    Рассмотренный график представляет собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить применяя прием уплотнения:

    40 for x = 0 to 100 step 0.01

    Для построения более сложных графиков удобно пользоваться оператором определения функции (функция пользователя).

    Задача 2

    Построить график функции y = 3cosx и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC.

    Решение:

    Построим график функции y = cosx.

    а) Область определения – множество всех действительных чисел.

    б) Множество значений – отрезок [–1, 1].

    в) Функция четная: cos(–x) = cosx для всех х R.

    г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. cos(x + 2) = cosx для всех х R.

    д) cosx = 0 при х = + k, k Z.

    е) cosx >0 для всех х (– + 2 k; + 2k), k Z.

    ж) cosx< 0 для всех х ( + 2k; + 2k), k Z.

    з) Функция убывает от 1 до –1 на промежутке [2k; + 2k], k Z.

    и) Функция возрастает от –1 до1 на промежутке [– + 2k; 2k], k Z.

    к) Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точке х = 2k, k Z.

    л) Функция принимает наименьшее значение, равное –1, в точке х = + 2k, k Z.

    Используя эти свойства строим график функции у = cosx. Затем полученный график растягиваем по оси ординат в 3 раза, получим график функции у = 3cosx.

     

    10 rem
    20 def fny(x) = 3*cos(x)
    30 screen 2
    40 line (345, 0) – (345, 260)
    50 line (0, 120) – (640, 120)
    60 for x = 0 to 640 step 0.01
    70 pset (10 * x, 120 + 120 * fny(x) / 10)
    80 next x

    Для построения графика другой функции достаточно вставить ее в строку № 20.

    Рассмотренные графики представляют собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить, применяя прием уплотнения.

    Задача 3

    Построить график функции y = –sin x + 1и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC

    Построим график функции y = sin x.

    а) Область определения – множество всех действительных чисел.

    б) Множество значений – отрезок [–1, 1].

    в) Функция нечетная: sin(–x) = sin x для всех х R.

    г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. sin(x + 2) = sinx для всех х R.

    д) sin x = 0 при х = k, k Z.

    е) sin x >0 для всех х (2 k; + 2k), k Z.

    ж) sin x < 0 для всех х  ( +2 k; 2 + 2k), k Z.

    з) Функция убывает от 1 до –1 на промежутке [+ 2k; + 2k], k Z.

    и) Функция возрастает от –1 до1 на промежутке [–+ 2k; + 2k], k Z.

    к) Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точке х = +2k, k Z.

    л) Функция принимает наименьшее значение, равное –1, в точке х = + 2k, k Z.

    Используя эти свойства строим график функции у = sin x. Далее построим график функции у = sin x. Нетрудно заметить, что ординаты графика у = sin x в два раза меньше соответствующих ординат графика у = sin x. Поэтому график заданной функции строится путем уменьшения всех ординат исходного графика в два раза, т.е. путем сжатия исходного графика по оси Оу в два раза. График функции у = – sin x симметричен графику функции у = sin x относительно оси Ох. График функции у = –sin x + 1 получается параллельным переносом графика у = – sin x. в положительном направлении оси Оу на 1.

    10 rem y = –sinx + 1
    20 def y(x) = – * sin(x) + 1
    30 screen 2
    40 line(320, 0) – (320, 120)
    50 line(0, 120) – (640, 120)
    60 for x = 0 to 640 step 0.33
    70 pset (27 * x,120 – 120 * fny(x) / 10)
    80 next x

    График на экране можно построить в виде линии, для чего надо соединить точки графика прямыми. График будет иметь вид ломаной линии, однако чем плотнее будут располагаться точки, тем плавнее будет выглядеть кривая. Иногда необходимо вводить перерасчет координат из математической системы (х, у) в Экранную (U, V) по следующим формулам:

    U = (x – a) * um / (b – a)
    V = (d – y) * vm / (d – c)
    Где um – размер экрана в пикселях по горизонтали,
    vm – размер экрана по вертикали,
    um/(b – a) – число точек на [a, b] (по горизонтали),
    vm/(d – c) – число точек на [c, d] (по вертикали).

    Задача 4

    Построить график функции y = 2sin( x + ) и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC

    Порядок построения графика такой:

    – строим график функции у = sinх;
    – ось ординат переносим по горизонтали на ;
    – график растягиваем по оси ординат в 2 раза.

    а) Область определения – множество всех действительных чисел.

    б) Множество значений – отрезок [–2, 2].

    в) Функция нечетная: sin(– x) = sin x для всех х R.

    г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. sin(x + 2) = sinx для всех х R.

    д) sin x = 0 при х = – + k, k Z.

    е) sin x >0 для всех х (–+ 2 k; + 2k), k Z.

    ж) sin x < 0 для всех х (+ 2k; + 2k), k Z.

    з) Функция убывает от 2 до – 2 на промежутке [+2k; + 2k], k Z.

    и) Функция возрастает от – 2 до 2 на промежутке [–+ 2k; + 2k], k Z.

    к) Функция принимает наибольшее значение, равное 2, в точке х = + 2k, k Z.

    л) Функция принимает наименьшее значение, равное –2, в точке х = + 2k, k Z.

    10 rem y = 2sin(x + )
    20 def y(x) = 2 * sin(x + 3.14/3)
    30 screen 2
    40 line(320, 0) – (320, 120)
    50 line(0, 120) – (640, 120)
    60 for x = 0 to 640 step 0.33
    70 pset (27 * x,120 – 120 * fn y(x) / 10)
    80 next x

    5. Подведение итогов занятия

    6. Домашнее задание: составить программы и построить графики функций у = – sin 3x, у = cos x – 2.

    keepslide.com — Алгебра и начала анализа10 класс…

    Алгебра и начала анализа10 класс
    Тригонометрические функции, их свойства и графики

    
    Сгруппируйте функции на две группы по какому-нибудь признаку:
    y = cos(x + 2) y = cos2x y = tg2x y = sinx + 2 y = 1/3sinx y = 4 – cosx y = sin(x – 5) y = 2ctgx y = ctg1/3x y = ctgx + 1 y = – 3cosx y = 2ctgx

    
    Проверьте свои группы со следующими:
    Изменение аргумента: y = cos(x + 2) y = cos2x y = tg2x y = sin(x – 5) y = ctg1/3x
    Изменение функции: y = sinx + 2 y = 1/3sinx y = 4 – cosx y = 2ctgx y = ctgx + 1 y = – 3cosx y = 2ctgx;

    
    Алгоритм построения графиков функций
    Алгоритм построения графика функции y = cos2x: Построить график y = cosx Сжать в 2 раза по оси ОХ
    Алгоритм построения графика функции y = cos1/2x: Построить график y = cosx Растянуть в 2 раза по оси ОХ

    
    Алгоритм построения графика функции
    Алгоритм построения графика функции y = sin(x + 2): Построить график y = sinx. Сдвинуть график на 2 единицы влево по оси ОХ.
    Алгоритм построения графика функции y = sin(x – 2): Построить график y = sinx. Сдвинуть график на 2 единицы вправо по оси ОХ.

    
    Постройте графики функций:
    y = tg1/2x y = tg2x y = tgx y = ctgx y = ctg(x – 1) y = ctg(x + 2)

    
    Алгоритм построения графиков функций
    Алгоритм построения графика функции y = 2cosx: Построить график y = cosx Увеличить ординату в 2 раза
    Алгоритм построения графика функции y = 1/2cosx: Построить график y = cosx уменьшить ординату в 2 раза.
    Алгоритм построения графика функции y = – cosx: Построить график y = cosx Выполнить зеркальное отображение относительно оси ОХ.

    
    Алгоритм построения графиков функций
    Алгоритм построения графика функции y = sinx + 2: Построить график y = sinx Сдвинуть график на 2 единицы вверх по оси Оy
    Алгоритм построения графика функции y = sinx – 2: Построить график y = sinx Сдвинуть график на 2 единицы вниз по оси Оy

    
    Свойства функции
    Свойства функции y = cos2x: D(y) = R E(y) = [–1; 1] Период:Пп Четная Возрастает: [–П/2 + Пn; Пn] Убывает: [Пn; П /2 + Пn] Нули функции: (П/4 + Пn; 0) Точки max: Пn Точки min: П/2 +П n
    Свойства функции y = cos1/2x: D(y) = R E(y) = [–1; 1] Период: 4Пп Четная Возрастает: [– 2 + 4Пn; 4Пn] Убывает: [4Пn; 2П + 4Пn] Нули функции: ( + 2Пn; 0) Точки max: 4Пn Точки min: 2П + 4Пn

    
    Свойства функции
    y = 2 – 2cosx: D(y) = R E(y) = [0; 4] Период: 2Пп Четная Возрастает: [2Пn; П + 2Пn] Убывает: [П+ 2n; 2П + 2Пn] Нули функции: (2П; 0) Точки max: П + 2Пn Точки min: 2Пn
    y = 1/2sinx + 1: D(y) = R E(y) = [0,5; 1,5] Период: 2Пп Ни четная, ни нечетная Возрастает: [–П /2 + 2Пn;П /2 + 2Пn] Убывает: [П/2 + 2Пn; 3/2П + 2Пn] Нули функции: нет Точки max: П/2 + 2Пn Точки min:– П/2 + 2Пn

    Построить график функции y 3cosx

    Что ты хочешь узнать?

    Ответ

    Проверено экспертом

    • Комментарии
    • Отметить нарушение

    Ответ

    Функция периодическая с периодом . Область определения функции — вся числовая ось.

    Область значений функции:

    План построения графика. Строим сначала график функции затем растягиваем от оси Ох на 3 единицы и параллельно сдвигаем вниз на 2 единицы.

    Тема: Циклические алгоритмы. Построение графиков функций.

    Цели:

    • дать понятие возможности построения графиков функций;
    • научить учащихся строить графики тригонометрических функций и с их помощью показывать свойства соответствующих функций.

    Воспитательная:

    способствовать развитию таких мыслительных операций, как анализ, синтез, обобщение.

    Основные знания и умения:

    • Знать графики и свойства элементарных тригонометрических функций.
    • Уметь читать свойства тригонометрических функций по их графикам.

    1. Проверка домашнего задания

    2. Актуализация знаний и умений

    Повторить свойства тригонометрических функций.

    3. Объяснение нового материала

    При построении графиков функций необходимо учитывать особенности графического экрана: разрешение; ориентацию экранной системы координат.

    Расчет построения графика заключается в следующем: пусть на [a; b] надо построить график функции f(х). Отрезок [a; b] ––> [0; 640] с коэффициентом k = 640/( b – а), где х = – k * а.

    Точечный график можно реализовать фрагментом:

    100 for x = a to b step 640/(b – a)
    110 pset ( x _{+ x + k, y – k * f(x))
    120 next}

    Задача 1

    Провести ось через центр экрана и построить график функции y = sin x.

    10 screen 2
    20 line (350, 0) – (350, 260)
    30 line (0, 120) – (640, 120)
    40 for x = 0 to 100
    50 pset (10 * x, 120 + 120 * sin(x – 120) / 10)
    60 next x

    Рассмотренный график представляет собой совокупность точек, между которыми могут быть достаточно большие промежутки. Этот недостаток можно исправить применяя прием уплотнения:

    40 for x = 0 to 100 step 0.01

    Для построения более сложных графиков удобно пользоваться оператором определения функции (функция пользователя).

    Задача 2

    Построить график функции y = 3cosx и проверить соответствует ли он графику функции построенному с помощью программы BASIC.

    Построим график функции y = cosx.

    а) Область определения – множество всех действительных чисел.

    б) Множество значений – отрезок [–1, 1].

    в) Функция четная: cos(–x) = cosx для всех х R.

    г) Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2, т.е. cos(x + 2) = cosx для всех х R.

    д) cosx = 0 при х = + k, k Z.

    е) cosx >0 для всех х (– + 2 k; + 2k), k Z.

    ж) cosx 0 для всех х (2 k; + 2k), k Z.

    ж) sin x 0 для всех х (–+ 2 k; + 2k), k Z.

    Решение

    График функции пересекает ось X при f = 0
    значит надо решить уравнение:
    $$- 3 cos <left (x
    ight )>- 1 = 0$$
    Решаем это уравнение
    Точки пересечения с осью X:

    Аналитическое решение
    $$x_ <1>= — operatorname<left (- frac<1> <3>
    ight )> + 2 pi$$
    $$x_ <2>= operatorname<left (- frac<1> <3>
    ight )>$$
    Численное решение
    $$x_ <1>= 52.1761156937$$
    $$x_ <2>= 35.7884786068$$
    $$x_ <3>= 71.0256716152$$
    $$x_ <4>= -83.5920422296$$
    $$x_ <5>= 67.2044051427$$
    $$x_ <6>= -96.1584128439$$
    $$x_ <7>= 54.6380345284$$
    $$x_ <8>= 1.91063323625$$
    $$x_ <9>= -35.7884786068$$
    $$x_ <10>= -33.3265597721$$
    $$x_ <11>= -48.3548492212$$
    $$x_ <12>= 79.7707757571$$
    $$x_ <13>= -29.5052932996$$
    $$x_ <14>= 33.3265597721$$
    $$x_ <15>= 23.2221079925$$
    $$x_ <16>= 58.4593010009$$
    $$x_ <17>= 77.3088569224$$
    $$x_ <18>= 155.168999443$$
    $$x_ <19>= -23.2221079925$$
    $$x_ <20>= 8.19381854343$$
    $$x_ <21>= -27.043374465$$
    $$x_ <22>= -64.742486308$$
    $$x_ <23>= -20.7601891578$$
    $$x_ <24>= 92.3371463714$$
    $$x_ <25>= 86.0539610643$$
    $$x_ <26>= -39.6097450793$$
    $$x_ <27>= 96.1584128439$$
    $$x_ <28>= -58.4593010009$$
    $$x_ <29>= -86.0539610643$$
    $$x_ <30>= -4.37255207093$$
    $$x_ <31>= -92.3371463714$$
    $$x_ <32>= -60.9212198355$$
    $$x_ <33>= 14.4770038506$$
    $$x_ <34>= -73.4875904499$$
    $$x_ <35>= 89.8752275368$$
    $$x_ <36>= 73.4875904499$$
    $$x_ <37>= 48.3548492212$$
    $$x_ <38>= 42.071663914$$
    $$x_ <39>= -77.3088569224$$
    $$x_ <40>= 20.7601891578$$
    $$x_ <41>= -71.0256716152$$
    $$x_ <42>= 16.9389226853$$
    $$x_ <43>= -52.1761156937$$
    $$x_ <44>= -89.8752275368$$
    $$x_ <45>= -10.6557373781$$
    $$x_ <46>= -7726.40729459$$
    $$x_ <47>= -971.983089377$$
    $$x_ <48>= -79.7707757571$$
    $$x_ <49>= -67.2044051427$$
    $$x_ <50>= 98.6203316786$$
    $$x_ <51>= 27.043374465$$
    $$x_ <52>= 64.742486308$$
    $$x_ <53>= -54.6380345284$$
    $$x_ <54>= 60.9212198355$$
    $$x_ <55>= 10.6557373781$$
    $$x_ <56>= -42.071663914$$
    $$x_ <57>= -14.4770038506$$
    $$x_ <58>= 39.6097450793$$
    $$x_ <59>= 3426.24662565$$
    $$x_ <60>= 83.5920422296$$
    $$x_ <61>= -45.8929303865$$
    $$x_ <62>= -8.19381854343$$
    $$x_ <63>= 4.37255207093$$
    $$x_ <64>= 29.5052932996$$
    $$x_ <65>= 45.8929303865$$
    $$x_ <66>= -98.6203316786$$
    $$x_ <67>= -16.9389226853$$
    $$x_ <68>= -1.91063323625$$

    Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
    $$fracf <left (x
    ight )>= 0$$
    (производная равна нулю),
    и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
    $$fracf <left (x
    ight )>= $$
    Первая производная
    $$3 sin <left (x
    ight )>= 0$$
    Решаем это уравнение
    Корни этого ур-ния
    $$x_ <1>= 0$$
    $$x_ <2>= pi$$
    Зн. экстремумы в точках:

    Интервалы возрастания и убывания функции:
    Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
    Минимумы функции в точках:
    $$x_ <2>= 0$$
    Максимумы функции в точках:
    $$x_ <2>= pi$$
    Убывает на промежутках

    Возрастает на промежутках

    Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
    $$frac>> f <left (x
    ight )>= 0$$
    (вторая производная равняется нулю),
    корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
    $$frac2>>> f <left (x
    ight )>= $$
    Вторая производная
    $$3 cos <left (x
    ight )>= 0$$
    Решаем это уравнение
    Корни этого ур-ния
    $$x_ <1>= frac<pi><2>$$
    $$x_ <2>= frac<3 pi><2>$$2>

    Интервалы выпуклости и вогнутости:
    Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
    Вогнутая на промежутках

    Выпуклая на промежутках

    © Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

    Контрольная работа по теме «Тригонометрические функции» | Учебно-методический материал по алгебре (11 класс) на тему:

    Контрольная работа по алгебре и началам анализа

    по теме «Тригонометрические функции»

    Вариант 1

    1. Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
    2. Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
    3. Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
    4. Найти все, принадлежащие отрезку [–  π; π] корни уравнения  с помощью графика функции.
    5. Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.

    Контрольная работа по алгебре и началам анализа

    по теме «Тригонометрические функции»

    Вариант 1

    1. Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
    2. Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
    3. Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
    4. Найти все, принадлежащие отрезку [–  π; π] корни уравнения  с помощью графика функции.
    5. Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.

    Контрольная работа по алгебре и началам анализа

    по теме «Тригонометрические функции»

    Вариант 1

    1. Найти область определения и множество значений функции y = sin x + 2.
    2. Выяснить, является ли функция y = x2 + cos x четной или нечетной.
    3. Доказать, что наименьший положительный период функции y = cos 2x равен π.
    4. Найти все, принадлежащие отрезку [–  π; π] корни уравнения  с помощью графика функции.
    5. Построить график функции y = sin x – 1 и найти значения аргумента, при которых функция возрастает, принимает наибольшее значение.

    ---

    Контрольная работа по алгебре и началам анализа

    по теме «Тригонометрические функции»

    Вариант 2

    1. Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
    2. Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
    3. Доказать, что наименьший положительный период функции  равен 4π.
    4. Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения  с помощью графика функции.
    5. Построить график функции  и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.

    Контрольная работа по алгебре и началам анализа

    по теме «Тригонометрические функции»

    Вариант 2

    1. Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
    2. Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
    3. Доказать, что наименьший положительный период функции  равен 4π.
    4. Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения  с помощью графика функции.
    5. Построить график функции  и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.

    Контрольная работа по алгебре и началам анализа

    по теме «Тригонометрические функции»

    Вариант 2

    1. Найти область определения и множество значений функции y = 3 cos x.
    2. Выяснить, является ли функция y = x sin x четной или нечетной.
    3. Доказать, что наименьший положительный период функции  равен 4π.
    4. Найти все, принадлежащие отрезку [0; 2,5π] корни уравнения  с помощью графика функции.
    5. Построить график функции  и найти значения аргумента, при которых функция убывает, принимает наименьшее значение.

    Как решать график функции y kx b. Что такое угловой коэффициент линейной функции? Сбор и использование персональной информации

    Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
    Графиком линейной функции является прямая.

    1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

    Например, чтобы построить график функции y= &frac13; x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= &frac13; x+2:
    

    2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
    если k>0, то функция y=kx+b возрастает
    если k
    Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
    если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
    если b
    На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3
    

    Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

    Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

    Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

    На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

    Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

    Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

    Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
    График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
    График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) — начале координат.
    График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

    Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
    Если k 0

    Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:

    Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

    Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

    3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

    Например, график уравнения x=3 выглядит так:
    Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

    4. Условие параллельности двух прямых:

    График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2

    5. Условие перепендикулярности двух прямых:

    График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

    6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

    С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

    С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

    «Критические точки функции» — Критические точки. Среди критических точек есть точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Ответ: 2. Определение. Но, если f» (х0) = 0, то необязательно, что точка х0 будет точкой экстремума. Точки экстремума (повторение). Критические точки функции Точки экстремумов.

    «Координатная плоскость 6 класс» — Математика 6 класс. 1. Х. 1.Найдите и запишите координаты точек A,B, C,D: -6. Координатная плоскость. О. -3. 7. У.

    «Функции и их графики» — Непрерывность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Понятие обратной функции. Линейная. Логарифмическая. Монотонность. Если k > 0, то образованный угол острый, если k

    «Функции 9 класс» — Допустимые арифметические действия над функциями. [+] – сложение, [-] – вычитание, [*] – умножение, [:] – деление. В таких случаях говорят о графическом задании функции. Образование класса элементарных функций. Степенная функция у=х0,5. Иовлева Максима Николаевича, учащегося 9 класса РМОУ Радужская ООШ.

    «Урок Уравнение касательной» — 1. Уточнить понятие касательной к графику функции. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой. АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у=f(x). Тема урока: Тест: найти производную функции. Уравнение касательной. Флюксия. 10 класс. Расшифруйте, как исаак ньютон назвал производную функцию.

    «Построить график функции» — Дана функция y=3cosx. График функции y=m*sin x. Постройте график функции. Содержание: Дана функция: y=sin (x+?/2). Растяжение графика y=cosx по оси y. Чтобы продолжить нажмите на л. Кнопку мыши. Дана функция y=cosx+1. Смещения графика y=sinx по вертикали. Дана функция y=3sinx. Смещение графика y=cosx по горизонтали.

    Всего в теме 25 презентаций

    Линейная функция – это функция вида

    x-аргумент (независимая переменная),

    y- функция (зависимая переменная),

    k и b- некоторые постоянные числа

    Графиком линейной функции является прямая .

    Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.

    Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.

    Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох — острый; если k˂0, то этот угол- тупой.

    Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).

    y(x)=k∙x— частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.

    График линейной функции

    Где коэффициент k = 3, следовательно

    График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.

    ООФ линейной функции

    ОЗФ линейной функции

    Кроме случая, где

    Так же линейная функция вида

    Является функцией общего вида.

    Б) Если k=0; b≠0,

    В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).

    В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.

    Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5

    Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;

    – нули функции.

    Ответ: или (;0)

    Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1

    y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

    Ответ: y_1=2; y_2=4.

    Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.

    Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны

    Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.

    Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.

    y=2- ордината точки пересечения.

    (1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.

    Ответ: (1;2)

    Пример 5 .

    Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.

    Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.

    Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.

    Пример 6 .

    Построим два графика функции.

    Первый график имеет формулу

    Второй график имеет формулу

    В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.

    Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

    Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

    Сбор и использование персональной информации

    Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

    От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

    Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

    Какую персональную информацию мы собираем:

    • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

    Как мы используем вашу персональную информацию:

    • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

    Раскрытие информации третьим лицам

    Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    Исключения:

    • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

    Защита персональной информации

    Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

    Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

    Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

    Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике — функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления…, в радиотехнике — функции управления и функции отклика, в статистике — функции распределения… Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке «Преобразования графиков функций». В школьном курсе математики изучаются следующие элементарные функции. Название функции Формула функции График функции Название графика Комментарий Линейная y = kx Прямая Cамый простой частный случай линейной зависимости — прямая пропорциональность у = kx , где k ≠ 0 — коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента. Линейная y = kx + b Прямая Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b — любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1. Квадратичная y = x 2 Парабола Простейший случай квадратичной зависимости — симметричная парабола с вершиной в начале координат. Квадратичная y = ax 2 + bx + c Парабола Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a — произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b , c — любые действительные числа. Степенная y = x 3 Кубическая парабола Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций». Степенная y = x 1/2 График функции y = √x Самый простой случай для дробной степени (x 1/2 = √x ). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций». Степенная y = k/x Гипербола Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x -1) — обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1. Показательная y = e x Экспонента Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e — иррационального числа примерно равного 2,7182818284590… Показательная y = a x График показательной функции a > 0 и a a . Здесь пример для y = 2 x (a = 2 > 1). Показательная y = a x График показательной функции Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a . Здесь пример для y = 0,5 x (a = 1/2 Логарифмическая y = lnx График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой. Логарифмическая y = log a x График логарифмической функции Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a . Здесь пример для y = log 2 x (a = 2 > 1). Логарифмическая y = log a x График логарифмической функции Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a . Здесь пример для y = log 0,5 x (a = 1/2 Синус y = sinx Синусоида Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций». Косинус y = cosx Косинусоида Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций». Тангенс y = tgx Тангенсоида Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций». Котангенс y = сtgx Котангенсоида Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций». Обратные тригонометрические функции. Название функции Формула функции График функции Название графика

    Графический косинус

    
    Функция косинуса выглядит и действует так же, как и ее приятель, функция синуса.

    Для функции косинуса y = a cos ( bx ) период (время, необходимое для одного полного цикла) такой же, как у синуса.

    Средняя линия из y = a cos ( bx ) всегда равна y = 0, как и синус. Он может сдвигаться вверх или вниз, когда мы добавляем константу, но мы сохраним это позже на этой странице.

    Амплитуда (расстояние по вертикали между средней линией и «пиками») y = a cos ( bx ) равно | а |. Если a <0, график переворачивается (инвертируется). Опять то же самое, что и синус.

    Блин, какой подражатель.

    Пример задачи

    График y = cos x.

    Амплитуда y = cos x равна 1, период равен 2π, а средняя линия — это просто ось x .

    Давайте составим нашу диаграмму для y = cos x.

    График x в сравнении с y дает нам эту красоту:

    Пример задачи

    Сформулируйте амплитуду и период y = 3cos (2 x ). Затем изобразите функцию.

    Просто сравните это с y = a cos ( bx ) и запустите плагин.

    амплитуда = | a | = 3

    На этот раз наш график завершит один полный цикл в единицах π вместо единиц 2π.Другими словами, они будут больше смешиваться.

    Теперь изобразите это. Начнем со стола.

    На этот раз мы найдем наши пять ключевых углов, используя период π, и наши пять ключевых точек, используя амплитуду 3.

    Когда мы построим график, мы просто будем следовать той же схеме, чтобы расширить график до 2π. .

    До сих пор все графики косинусов, которые мы рассматривали, имели ось x в качестве средней линии. (Это дает нам еще одну ось для шлифования.)

    Подобно синусоидальным графикам, косинусные графики можно смещать вверх или вниз от оси x .

    В целом, для y = k + cos x график сдвигается вверх на k единиц, когда k > 0, и смещается вниз на k единиц, когда k <0.

    Пример задачи

    График y = 3 + cos x.

    Период равен 2π, а амплитуда — 1.

    Мы применяем сдвиг (вертикальное перемещение) 3 к нашим ключевым точкам.

    Теперь изобразите график функции от 0 до 2π.

    Средняя линия этого парня находится на y = 3.

    Просмотреть вопрос — Изобразите уравнения косинуса.

    Стандартный график y = cos (x)

    В уравнении y = -3 (cos (2 (x — pi / 4) — 1:

    Знак минус переворачивает график по вертикали.

    3 изменения амплитуда, растягивая ее по вертикали в 3 раза.

    2 изменяет период. Исходный период равен 2pi, теперь он равен 2pi / 2 = pi.

    Таким образом, новая функция имеет половину периода старой функция.

    Пи / 4 переводит график по горизонтали на величину после знака минус. Поскольку «x» был изменен на «x — pi / 4», график был перемещен вправо на pi / 4.

    Если бы изменение было с ‘x’ на ‘x + pi / 3’, график был бы перемещен влево на pi / 3.

    -1 переводит график по вертикали, перемещая график вниз 1.

    График y = cos (x) имеет максимум в точке (0,1), минимум в точке (пи, -1) и максимум. в (2pi, 1).

    Имеет период 2pi и амплитуду 1.

    График y = -cos (x) переворачивает график по вертикали; поэтому он имеет минимальное значение (0, -1), максимальное значение (pi, 1) и минимальное значение (2pi, -1).

    По сравнению с предыдущим графиком его период и амплитуда не изменились.

    График y = -3cos (x) увеличивает амплитуду на 3. Он имеет минимум в (0, -3), максимум в (pi, 3) и минимум в (2pi, -3).

    По сравнению с предыдущим графиком его период не изменился.

    График y = -3cos (x) -1 переводит график на единицу вниз.Он имеет минимальное значение (0, -4), максимальное значение (pi, 2) и минимальное значение (2p, -2).

    По сравнению с предыдущим графиком его период и амплитуда не изменились.

    График y = -3cos (x — pi / 4) — 1 переводит график вправо на число пи / 4. Он имеет максимум при (pi / 4, -4) и т.д.

    По сравнению с предыдущим графиком, его период и амплитуда не изменились.

    График y = -3co (2 (x — pi / 4)) — 1 изменяет период; период теперь равен пи (определяется путем деления исходного периода 2pi на 2, что дает период 2pi / 2 = пи.)

    По сравнению с предыдущим графиком изменился его период, но не амплитуда.

    1. Графики y = a sin x и y = a cos x

    М. Борна

    (a) Синусоидальная кривая

    y = a sin t

    Мы видим синусоидальные кривые во многих естественных явлениях, таких как волны на воде. Когда волны имеют больше энергии, они поднимаются и опускаются более энергично. Мы говорим, что у них амплитуда больше .

    Исследуем форму кривой л = a sin t и посмотрите, что означает понятие «амплитуда , ».

    Поиграйте со следующим интерактивом.

    Синусоидальная кривая Interactive

    Вы можете изменить радиус окружности (который изменяет амплитуду синусоидальной кривой) с помощью ползунка.

    Масштаб по горизонтальной оси t (и по окружности) составляет радиан . Помните, что π радиан — это `180 °`, поэтому на графике значение «pi = 3,14» на оси t представляет «180 °», а «2pi = 6,28» эквивалентно «360 °».

    Остановка

    t = θ = 0

    y = 70 sin (0) = 0

    Авторские права © www.intmath.com Частота кадров: 0

    Вы заметили?

    • Форма синусоидальной кривой образует регулярный узор (кривая повторяется после того, как колесо совершит один поворот). Мы говорим, что такие кривые периодические . Период — это время, необходимое для прохождения одного полного цикла.
    • В интерактивном режиме, когда радиус круга составлял «50» единиц, кривая увеличивалась до «50» единиц и снижалась до «-50» на оси y . Эта величина синусоиды называется амплитудой графика. Это показывает, сколько энергии участвует в отображаемой величине. Более высокая амплитуда означает большую энергию.
    • Угол поворота в радиан. совпадает со временем (в секундах). Подробнее о радианах. Все графики в этой главе относятся к углам в радианах.Радианы гораздо более полезны в инженерии и науке, чем ученые степени.
    • Когда угол находится в первом и втором квадрантах, синус положительный, а когда угол находится в 3-м и 4-м квадрантах, синус отрицательный.

    [Источники: приведенная выше анимация в общих чертах основана на демонстрационном графике HumbleSoftware.]

    Амплитуда

    « a » в выражении y = а грех x представляет амплитуду графика.Это показатель того, сколько энергии содержит волна.

    Амплитуда — это расстояние от положения «покоя» (также известного как среднее значение или среднее значение ) кривой. В интерактивном режиме выше амплитуда может быть изменена от «10» до «100» единиц.

    Амплитуда всегда равна положительной величине . Мы могли бы написать это, используя знаки абсолютного значения. Для кривой y = a sin x ,

    амплитуда `= | a |`

    График синуса

    x — с переменной амплитудой

    Начнем с y = sin x .

    Имеет амплитуду `= 1` и период ` = 2pi`.

    График `y = sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

    Теперь посмотрим на график y = 5 sin x .

    На этот раз амплитуда = 5, а период = 2 π . (Я использовал другой масштаб на оси и .)

    График `y = 5sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

    А теперь для y = 10 sin x .

    Амплитуда = 10 и период = 2 π .

    График `y = 10sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

    Для сравнения, используя ту же шкалу осей y , вот графики

    p ( x ) = sin x ,
    q ( x ) = 5 sin x и
    r ( x ) = 10 sin x

    на одном комплекте осей.

    Обратите внимание, что графики имеют тот же период (который равен «2pi»), но разные амплитуда .

    Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

    (б) График косинуса

    x — с разными амплитудами

    Теперь посмотрим, как выглядит график y = a cos x . На этот раз угол отсчитывается от положительной вертикальной оси.

    Косинусная кривая Интерактивный

    Подобно синусоидальному интерактиву вверху страницы, вы можете изменить амплитуду с помощью ползунка.

    Нажмите «Пуск», чтобы увидеть анимацию.@) `.

    Значение функции косинуса положительно в первом и четвертом квадрантах (помните, что на этой диаграмме мы измеряем угол от вертикальной оси) и отрицательно во 2-м и 3-м квадрантах.

    Теперь посмотрим на график простейшей косинусной кривой, y = cos x (= 1 cos x ).

    График `y = cos (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

    Отметим, что амплитуда `= 1` и период ` = 2π`.

    Аналогично тому, что мы сделали с y = sin x выше, теперь мы видим графики

    • p ( x ) = cos х
    • q ( x ) = 5 cos х
    • r ( x) = 10 cos х

    на одном комплекте осей, для сравнения:

    Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

    Примечание. Для косинусоидальной кривой, как и для синусоидальной кривой, период каждого графика одинаков (2pi), но амплитуда изменилась.

    Упражнения

    Нарисуйте один цикл следующего без , используя таблица значений! (Важно знать форму этих графики — не то, чтобы можно было соединять точки!)

    Каждый имеет период «2 пи». Мы узнаем больше о периоде в следующем разделе Графики y = a sin bx.

    В примерах в качестве независимой переменной используется t . В электронике переменная чаще всего составляет t .

    1) i = sin t

    Ответ

    i = sin t

    Мы видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем i для тока и t для времени.Это очень распространенные переменные в тригонометрии.

    График `i = sin (t)` для `0

    Период = 2 π

    Амплитуда `= 1`

    2) v = cos t

    Ответ

    v = cos t

    Мы снова видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем v для напряжения и t для времени.

    График `v = cos (t)` для `0

    Период = 2 π

    Амплитуда `= 1`

    3) i = 3 sin т

    Ответ

    i = 3 sin t

    График `i = 3sin (t)` для `0

    Период = 2 π

    Амплитуда `= 3`

    4) E = −4 cos т

    Ответ

    E = −4 cos t

    Переменная E используется для «электродвижущей силы», другого термина для напряжения.

    График `E = -4cos (t)` для `0

    Период = 2 π

    Амплитуда `= 4`

    Обратите внимание, что:

    • Отрицательный знак перед косинусом приводит к переворачиванию кривой косинуса «вверх ногами». То есть это зеркальное отображение по горизонтальной оси t .
    • Амплитуда — положительное число (это расстояние)

     Опишите преобразования, которые изменяют y = cosx в…  y = cos (x-30)  y = 3cosx  y = -cosx.

    Презентация на тему: « Опишите преобразования, которые изменяют y = cosx в…  y = cos (x-30)  y = 3cosx  y = -cosx.» — Стенограмма презентации:

    ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

    1  Опишите преобразования, которые изменяют y = cosx в…  y = cos (x-30)  y = 3cosx  y = -cosx

    2 Цели: познакомиться с функциями синуса, косинуса и тангенса.

    3  Имя: чтобы узнать функции синуса, косинуса и тангенса.  Опишите: откуда берутся функции синуса, косинуса и тангенса, и нарисуйте их графики.  Примените преобразования к этим функциям и начните использовать графический калькулятор для их рисования.

    4  P225 Ex 1A Q2,3 + Пересмотр C2 / C1  Следующий урок: больше триггерных графиков и функций  Гиппарх — греческий математик (родился в современной Турции) открыл основы тригонометрии c140 до н.э., но более известен своими работами в астрономии.

    5

    6  Визуальные демонстрации синуса и косинуса из единичной окружности.  http://integralmaths.org/course/view.p hp? Id = 33 http://integralmaths.org/course/view.p hp? Id = 33

    7  Те же правила преобразования, которые мы видели до сих пор, могут быть применены к этим графам.Вы должны знать, как эти графики влияют на ключевые элементы / свойства.  Например,

    8  Используя прозрачные пленки, сопоставьте функции с графиками.

    9  Ampiltude:  Max / Min:  Период (растяжки):  Osscilates О:

    10 Амплитуда = 1 Период = 120 ° Колебания около 0

    11 Амплитуда = 2 Период = 90 ° Колебания около 0

    12 Амплитуда = 4 Период = 1080 ° Колебания около 0

    13 Амплитуда = 4 Период = 180 ° Колебания около -3

    14 Амплитуда = 2 Период = 6 ° Колебания около 5

    15 Амплитуда = 10 Период = 100 ° Колебания около 12

    16  y = sinx  y = cosx

    17  Задача «Преобразования, триггеры и радианы»  Математик:  c500CE этот индийский математик, который первым рассмотрел тригонометрические отношения синуса и косинуса как функции.

    18  Как определить максимальные и минимальные значения тригонометрических функций, включающих синус и косинус …  Например, Каковы максимальные и минимальные значения 4 + 2sinx?

    19

    20

    21 год

    22

    23

    24  Учитывая, что sinx = 0.23 и 0≤x≤360 какие возможные значения x?  Используйте calc, чтобы получить главное значение…

    25  Учитывая sinx = 0,23 и 0≤x≤360, каковы возможные значения x?  Используйте график, чтобы найти другие значения…

    26 год

    27

    28 год

    29  Режим графика — все мощно!

    30

    31 год

    32

    33

    34

    график косинуса со сдвигом фазы | y = a cos (bx + c)

    Стандартная форма графика косинуса со сдвигом фазы:
    y = a cos (bx + c) + d
    Где, a = амплитуда

    $ \ frac {2 \ pi} {b} $ = Период

    $ \ frac {-c} {b} $ = Горизонтальный сдвиг

    d = Вертикальный сдвиг
    Оба b и c на этих графиках влияют на фазовый сдвиг в графике косинуса ( или смещение).
    Фазовый сдвиг — это величина, на которую кривая смещается в горизонтальном направлении от своего нормального положения. Если фазовый сдвиг отрицательный, то смещение будет перемещаться влево, а если фазовый сдвиг положительный, то смещение будет двигаться вправо.
    Фазовый сдвиг получается путем решения выражения
    bx + c = 0
    bx = — c
    x = -c / b
    ‘d’ влияет на вертикальный сдвиг косинусного графика. Если d положительно, график перемещается вверх на d единиц, а если d отрицателен, график перемещается вниз на d единиц.
    Примечание. Период косинусного графика равен $ 2 \ pi $.

    Как нанести точки на ось x косинусного графика?
    Разделите период на 4 Назовем его «а».
    Первая точка: Отметьте фазовый сдвиг по оси X. Если фазовый сдвиг отрицательный, нанесите его слева от нуля, а положительный — справа от нуля.
    Вторая точка: Добавьте фазовый сдвиг и a.
    

    Пример на графике косинусов со сдвигом фазы

    Пример 1: График y = 3 cos (x + $ \ frac {\ pi} {4} $)
    Решение: сравнить y = a cos (bx + c ) + d и y = cos (x + $ \ frac {\ pi} {6} $)
    a = амплитуда = 3
    b = 1
    $ \ frac {2 \ pi} {b} $ = $ \ frac { 2 \ pi} {1} $ = $ 2 \ pi $ = Период
    Для фазового сдвига решите x + $ \ frac {\ pi} {4} $ = 0
    x = $ \ frac {- \ pi} {4} $ = фазовый сдвиг
    Поскольку фазовый сдвиг отрицательный, график переместится на $ \ frac {\ pi} {4} $ единицу влево.
    d = 0 = вертикальный сдвиг, поэтому вертикального сдвига нет.
    Поскольку фазовый сдвиг отрицательный, 1-я точка на оси X — это $ \ frac {- \ pi} {4} $, которую мы строим слева от нуля.

    2-я точка: $ \ frac {- \ pi} {4} $ + $ \ frac {period} {4} $

    = $ \ frac {- \ pi} {4} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {\ pi} {4} $

    3-я точка: $ \ frac {\ pi} {4} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {3 \ pi} {4} $

    4-я точка: $ \ frac {3 \ pi} {4} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac { 5 \ pi} {4} $

    5-я точка: $ \ frac {5 \ pi} {4} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {7 \ pi} { 4} $
    Примечание. Ниже показан только один цикл графика косинуса.

    Пример 2: График y = cos (x — $ \ frac {2 \ pi} {5} $) + 1
    Решение: сравнить y = a cos (bx + c) + d и y = 3 cos (x — $ \ frac {2 \ pi} {5} $) + 1
    a = амплитуда = 3
    b = 1
    $ \ frac {2 \ pi} {b} $ = $ \ frac {2 \ pi } {1} $ = $ 2 \ pi $ = Период
    Для фазового сдвига решите x — $ \ frac {2 \ pi} {5} $ = 0
    x = $ \ frac {2 \ pi} {5} $ = фазовый сдвиг
    Поскольку фазовый сдвиг положительный, график переместится на $ \ frac {2 \ pi} {5} $ единицу вправо.
    d = 1 = вертикальный сдвиг, поэтому график переместится на 1 единицу вверх, поскольку d положительно.
    Итак, новая ось X — это y = 1 Поскольку фазовый сдвиг отрицательный, 1-я точка на оси X — это $ \ frac {2 \ pi} {5} $, которую мы строим справа от нуля.

    2-я точка: $ \ frac {2 \ pi} {5} $ + $ \ frac {period} {4} $

    = $ \ frac {2 \ pi} {5} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {9 \ pi} {10} $

    3-я точка: $ \ frac {9 \ pi} {10} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4 } $ = $ \ frac {14 \ pi} {10} $

    4-я точка: $ \ frac {14 \ pi} {10} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {19 \ pi} {10} $

    5-я точка: $ \ frac {19 \ pi} {10} $ + $ \ frac {2 \ pi} {4} $ = $ \ frac {24 \ pi } {10} $
    Примечание. Ниже показан только один цикл графика косинуса.

    
    Математика в 11 классе

    Home

    Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

    За электронным обучением будущее уже сегодня.

    Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

    Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

    Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

    ДЕНЬ 4

    ДЕНЬ 4

    ДЕНЬ 4 — Графики синуса и косинуса — Мэри Х.Брюс — EMAT 6690

    ---

    Задача: Учащиеся смогут рисовать уравнения в форме у = грех х и у = соз х

    ---

    Из ранее обсуждавшихся концевых углов и повторяющихся значений на единичной окружности, можно предположить, что тригонометрические функции будут периодическими и повторяйте в обычных циклах. Взять единичный круг и построить радианы (ось x) в зависимости от координаты y упорядоченных пар (x, y) на единичной окружности, можно сгенерировать один полный цикл или период графика y = sin x (помните, что sin x — координата y при радиусе 1).Как точка вращается против часовой стрелки вокруг единичного круга, из эскиза GSP легко увидеть, как разворачиваются тригонометрические графики. Студенты должны рассчитать свою таблицу точных значений из единичного круга, чтобы соответствовать десятичным значениям из эскиз GSP. НАЖМИТЕ здесь для GSP анимация y = sin x. Следует заметить, что синусоидальный граф ограничен между -1 и 1 (свяжите это с предыдущим обсуждением), максимум происходит при Π / 2 и минимум 3Π / 2 с пересечениями в 0, Π и 2Π (свяжите это с координатами y от единичного круга).Технология помогает укрепить концепции амплитуды, периода, максимальных и минимальных значений и точки пересечения, относящиеся к самой единичной окружности.

    Студенты могут составить таблицу значений для y = cos x также график. Предложите учащимся угадать форму, амплитуду, период, максимумы, минимумы и точки пересечения. НАЖМИТЕ здесь, чтобы просмотреть GSP-анимацию косинусоидальная кривая.

    Так же, как студенты знакомы с построением графиков из алгебра, посредством которой коэффициенты и константы могут влиять на сам график, студенты следует поощрять исследовать с помощью технологий различные преобразования тригонометрические графики.

    Рассмотрим график y = 2 cos x. Был бы передний коэффициент влияет на период родительского графа y = cos x? Как бы отрицательный коэффициент влияет на график? Обратите внимание на иллюстрацию Nucalc графики y = cos x, y = 1/2 cos x, y = 2 cos x, y = 3 cos x и y = -3 cos x.

    Передний коэффициент не меняет аргумент косинуса и, таким образом, изменяет график только по вертикали направление.Период (длина одного полного цикла), перехватов, максимум и это число не влияет на минимальные значения домена. Амплитуда увеличивается в соответствии с этим значением, а отрицательное значение отражает график на ось x (связать f (x) и -f (x) из алгебры).

    Упражнения: Изобразите следующее: y = 1/3 sin x

    у = 5 соз х

    ВЕРНУТЬСЯ в Краткое содержание учебного блока

    графиков функции синуса и косинуса

    График вариаций y = sin (x) и y = cos (x)

    Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности.Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности.

    x	0	[латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ latex]	π
    sin (x)	0	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]	1	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	0

    Построение точек из таблицы и продолжение по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2.

    Рисунок 2. Синусоидальная функция

    Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3.

    Рисунок 3. График значений синусоидальной функции

    Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности.

    x	0	[латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {π} {4} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ latex]	π
    cos (x)	1	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	0	[латекс] — \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	[латекс] — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]	[латекс] — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]	-1

    Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4.

    Рисунок 4. Функция косинуса

    Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1].

    На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π. Периодическая функция — это функция, для которой конкретный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: f ( x + P ) = f ( x ) для всех значений x в области f .Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с P > 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса.

    Рисунок 5

    Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] sin (−x) = — sinx [/ latex].Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике.

    Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции

    На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь мы можем видеть из графика, что [латекс] \ cos (−x) = \ cos x \\ [/ latex].

    Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса

    Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса

    Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик:

    • Это периодические функции с периодом 2π.
    • Область определения каждой функции — (−∞, ∞), а диапазон — [−1,1].
    • График y = sin x симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция.
    • График y = cos x симметричен относительно оси y , потому что это четная функция.

    Исследование синусоидальных функций

    Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы посмотрим на океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса.Однако они не обязательно идентичны. Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций:

    y = A sin ( Bx — C ) + D

    и

    y = A cos ( Bx — C ) + D

    Определение периода синусоидальной функции

    Глядя на формы синусоидальных функций, мы можем видеть, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса.Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода.

    В общей формуле B связано с периодом соотношением [latex] \ text {P =} \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если | B | > 1, то период меньше 2π и функция испытывает сжатие по горизонтали, а если | B | <1, то период больше 2π и функция растягивается по горизонтали. Например, f ( x ) = sin ( x ), B = 1, поэтому период равен 2π, который мы знали.Если f ( x ) = sin (2 x ), то B = 2, поэтому период равен π и график сжат. Если [латекс] \ text {f (x) = sin} (\ frac {x} {2}) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период равен 4π, и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с | B |.

    Рисунок 8

    Общее примечание: период синусоидальной функции

    Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы

    Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс].

    Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса

    Определите период функции [latex] f (x) = \ sin (\ frac {π} {6} x) \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с общей формой [latex] y = Asin (Bx) [/ latex].

    В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет

    [латекс] \ begin {array} P = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \ hfill \\ = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6} } \ hfill \\ = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \ hfill \\ = 12 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    Попробуйте 1

    Определите период функции [latex] g (x) = \ cos (\ frac {x} {3}) \\ [/ latex].

    Решение

    Определение амплитуды

    Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь давайте обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут расстоянием | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия — это ось x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда f ( x ) = 4 sin x в два раза больше амплитуды

    f ( x ) = 2 sin x .

    Если | A | <1, функция сжимается. На рисунке 9 сравнивается несколько синусоид с разными амплитудами.

    Рисунок 9

    Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций

    Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы

    [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) \\ [/ latex]

    Амплитуда равна A, а высота по вертикали от средней линии равна | A |.Кроме того, обратите внимание, что в примере

    [латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | \\ [/ latex]

    Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса

    Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) \\ [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

    Решение

    Начнем с сравнения функции с упрощенной формой y = A sin ( Bx ).

    В данной функции A = −4, поэтому амплитуда | A | = | −4 | = 4. Функция растягивается.

    Анализ решения

    Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10.

    Рисунок 10

    Попробуйте 2

    Какова амплитуда синусоидальной функции f ( x ) = 12 sin ( x )? Функция растягивается или сжимается по вертикали?

    Решение

    Анализ графиков вариаций

    y = sin x и y = cos x

    Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D .Напомним общую форму:

    [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex]

    или

    [латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex]

    Значение [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом , или горизонтальным смещением основного синуса или косинусоидальной функции . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) \\ [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f. (x) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} \\ [/ latex].

    Рисунок 11

    В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции.Функция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex].

    Рисунок 12

    Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рисунке 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравнивается с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике. .

    Рисунок 13

    Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса

    Дано уравнение в виде [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это фазовый сдвиг , а D — это вертикальный сдвиг .

    Пример 3: Определение фазового сдвига функции

    Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex].

    В данном уравнении обратите внимание, что B = 1 и [латекс] C = — \ frac {π} {6} \\ [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг

    [латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

    или [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] единиц слева.

    Анализ решения

    Обязательно обратите внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ гидроразрыв {π} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево.

    Попробовать 3

    Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex].

    Решение

    Пример 4: Определение вертикального сдвига функции

    Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex]

    Попробовать 4

    Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex].

    Решение

    Практическое руководство. Учитывая синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

    1. Определите амплитуду как | A |.
    2. Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
    3. Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
    4. Определите среднюю линию как y = D.

    Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения

    Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.

    Затем B = 2, поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π \\ [/ latex].

    В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex].

    Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1.

    Анализ решения

    Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3.См. Рисунок 14.

    Рисунок 14

    Попробовать 5

    Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) \ \[/латекс].

    Решение

    Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

    Определите формулу для функции косинуса на рисунке 15.

    Рисунок 15

    Решение

    [латекс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ latex]

    Попробовать 6

    Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16.

    Рисунок 16

    Решение

    Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика

    Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17.

    Рисунок 17

    Решение

    При максимальном значении 1 и минимальном значении −5 средняя линия будет находиться посередине между −2. Итак, D = −2.

    Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | А | = 3.

    Период графика равен 6, который может быть измерен от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Используя положительное значение для B , находим, что

    [латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} \\ [/ latex]

    Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ латекс].Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих:

    • косинус, смещенный вправо
    • отрицательный косинус, сдвинутый влево
    • синус, сдвинутый влево
    • отрицательный синус смещен вправо

    Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целые числа. Таким образом, наша функция становится

    [латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 \\ [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π} {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 \\ [/ латекс]

    Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график.

    Попробовать 7

    Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18.

    Рисунок 18

    Решение

    Графические вариации

    y = sin x и y = cos x

    В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений.

    Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида

    [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex],

    мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах.

    Практическое руководство. Для функции [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйте ее график.

    1. Определить амплитуду, | A |.
    2. Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex].
    3. Начать с начала координат, функция увеличивается вправо, если A положительно, или уменьшается, если A отрицательно.
    4. В [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, с y = А .
    5. Кривая возвращается к оси x в точке [латекс] x = \ frac {π} {| B |} \\ [/ latex].
    6. Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} \\ [/ latex] при y = — А .
    7. Кривая снова возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex].

    Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода

    Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) \\ [/ latex].

    Решение

    Начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex].

    Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2.

    | A | = 2

    Шаг 2. Уравнение показывает, что [latex] B = \ frac {π} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен

    [латекс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex]

    Шаг 3. Поскольку A отрицательно, график опускается по мере продвижения вправо от начала координат.

    Шаг 4–7. Прерывания x находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода при x = 4.

    Квартальные точки включают минимум x = 1 и максимум x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции.

    Рисунок 19

    Попробовать 8

    Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

    Решение

    Практическое руководство. Для синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график.

    1. Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] .
    2. Определите амплитуду, | A |.
    3. Укажите период, [латекс] P = 2π | B | [/ латекс].
    4. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
    5. Нарисуйте график [латекс] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [латекс] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] и вверх или вниз на D .

    Пример 9: Построение преобразованной синусоиды

    Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex].

    Решение

    Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ латекс]. Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начинающейся от средней линии и увеличивающейся вправо.

    Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.

    Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], мы определяем период следующим образом.

    [латекс] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 \\ [/ латекс]

    Период 8.

    Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], фазовый сдвиг равен

    [латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex].

    Фазовый сдвиг — 1 ед.

    Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции.

    Рис. 20. Горизонтально сжатая, вертикально растянутая и смещенная по горизонтали синусоида

    Попробовать 9

    Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг.

    Решение

    Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции

    Учитывая [латекс] y = −2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], определите амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.Затем изобразите функцию.

    Решение

    Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9.

    [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ латекс]

    Шаг 1. Функция уже написана в общем виде.

    Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2.

    Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].Период 4.

    Шаг 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Фазовый сдвиг -2.

    Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается 3.

    Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x .

    На рисунке 21 показан один цикл графика функции.

    Рисунок 21

    Использование преобразований функций синуса и косинуса

    Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием функции синуса или косинуса .

    Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

    Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота.

    Решение

    Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [латекс] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [латекс] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22.

    Рисунок 22

    Анализ решения

    Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) для x = 2π, 4π, 6π,….Поскольку выходные данные графика теперь будут колебаться между –3 и 3, амплитуда синусоидальной волны равна 3.

    Попробовать 10

    Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции.

    Решение

    Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения

    Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23.Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении окружности; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота.

    Рисунок 23

    Решение

    Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24.

    Рисунок 24

    Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение.

    Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере.

    Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Собирая эти преобразования вместе, получаем, что

    [латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс]

    Попробуй 11

    К пружине прикрепляется груз, который затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение груза и относительно доски изменяется в диапазоне от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение y задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y в единицах x .

    Рисунок 25

    Решение

    Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения

    Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах.

    Решение

    При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра.

    Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м.

    Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут.

    Наконец, поскольку райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться, следуя форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой.

    • Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
    • Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
    • Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
    • Форма: −cos ( t )

    Уравнение для роста всадника будет

    [латекс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латекс]

    , где т, измеряется в минутах, а y измеряется в метрах.

    Ключевые уравнения

    Синусоидальные функции	[латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ латекс]
    	[латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]

    • Периодические функции повторяются после заданного значения.Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π.
    • Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x четная, поэтому ее график симметричен относительно оси y .
    • График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция.
    • В общей формуле синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
    • В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается.
    • Значение [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг.
    • Значение D в общей формуле для синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии.
    • Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения.
    • Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика.
    • Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период.
    • Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг.
    • Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем.

    Глоссарий

    амплитуда

    вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции

    средняя линия

    горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции

    периодическая функция

    функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для конкретной константы P и любого значения x

    фазовый сдвиг

    горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex]

    синусоидальная функция

    любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс]

    Упражнения по разделам

    1.Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями?

    2. Как график [латекса] y = \ sin x [/ latex] соотносится с графиком [латекса] y = \ cos x [/ latex]? Объясните, как можно горизонтально перевести график [latex] y = \ sin x [/ latex], чтобы получить [latex] y = \ cos x [/ latex].

    3. Какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон для уравнения [латекс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex]?

    4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением [латекс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]?

    5.Как можно использовать единичный круг для построения графика [латекса] f (t) = \ sin t [/ latex]?

    6. [латекс] f (x) = 2 \ sin x [/ латекс]

    7. [латекс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ latex]

    8. [латекс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латекс]

    9. [латекс] f (x) = 4 \ sin x [/ латекс]

    10. [латекс] f (x) = 2 \ cos x [/ латекс]

    11. [латекс] f (x) = \ cos (2x) [/ латекс]

    12. [латекс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex]

    13. [латекс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латекс]

    14. [латекс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex]

    15.[латекс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латекс]

    16. [латекс] y = 2 \ sin (3x − 21) +4 [/ латекс]

    17. [латекс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латекс]

    Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x на одном периоде для [latex] x> 0 [/ latex]. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо.При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков.

    18. [латекс] f (t) = 2 \ sin (t− \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex]

    19. [латекс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex]

    20. [латекс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латекс]

    21. [латекс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex]

    22. [латекс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x − 3)) + 7 [/ latex]

    23. Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее синусоидальную функцию, для графика, показанного на рисунке 26.

    Рисунок 26

    24. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27.

    Рисунок 27

    25. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 28.

    Рисунок 28

    26. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 29.

    Рисунок 29

    27.Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30.

    Рисунок 30

    28. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 31.

    Рисунок 31

    29. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее косинус, для графика, показанного на рисунке 32.

    Рисунок 32

    30. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 33.

    Рисунок 33

    Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ sin x [/ latex].

    31. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

    32. Вычислить [латекс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex].

    33. На [0,2π), [латексе] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. Найдите все значения x .

    34. На [0,2π) максимальное значение (я) функции встречается (а) при каком значении (ах) x ?

    35. На [0,2π) встречается минимальное значение (-я) функции, при каком (-ых) значении (-ях) x ?

    36.Покажите, что [latex] f (−x) = — f (x) [/ latex]. Это означает, что [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________ .

    Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

    37. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex].

    38. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

    39. На [0,2π) найдите x -перехватывания [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

    40. На [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение.

    41. На [0,2π) решите уравнение [latex] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex].

    42. График [латекс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. Объясните, почему график выглядит именно так.

    43. График [латекс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] на [−100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении?

    44. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] на [0,2π] и вербализируйте, как график отличается от графика [латекса] f (x) = \ sin x [/ latex ].

    45. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] в окне [-10,10] и объясните, что показывает график.

    46. Изобразите [латекс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] в окне [−5π, 5π] и объясните, что показывает график.

    47. Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h ( t ) дает высоту человека в метрах над землей t минут после начала поворота колеса.
    а. Найдите амплитуду, среднюю линию и период ч ( т ).
    г. Найдите формулу для функции высоты h ( t ).
    г. Как высоко над землей окажется человек через 5 минут?

    .

    Элементы теории множеств примеры решения задач: Математическое Бюро. Страница 404

    alexxlab / 11.03.197018.06.2021 / Разное

    Множества — Практика — Примеры решения типовых задач

         1. Записать множество Е, если , причем А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
         Решение.
          есть не что иное, как объединение множеств А и В, т.е. множество Е будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В: Е={2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

         2. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
         Требуется выполнить операцию пересечения т.е. множество Е будет состоять только из элементов, одновременно входящих как в множество А, так и в множество В: Е={6, 12}.

         3. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
         Требуется выполнить операцию разности т.е. множество Е будет состоять из всех элементов множества А, не принадлежащих В: Е={2, 4, 8, 10}.

         4. Записать множество , если А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, B={3, 6, 9, 12}.
         Из предыдущего примера имеем . Для получения окончательного ответа требуется выполнить операцию дополнения т.е. множество Е будет состоять из элементов множества В: Е={3, 6, 9, 12}.

         5. Проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера следующую формулу:
         Выполняя действие в скобках получим:

         После этого получаем А\Е т.е. необходимо выделить участок множества А, не принадлежащий множеству Е. Ответ примет форму:

         6. Проиллюстрировать с помощью Диаграмм Венна верность тождества:
    

    .
    

         Проиллюстрируем левую часть тождества, обозначив сначала объединение множеств В и С,

          затем пересечение множеств А и . Окончательный вид левой части:

         Теперь проиллюстрируем правую часть:

              

         окончательный вид правой части:

         Как видим диаграммы совпадают, следовательно тождество верно.

         7. По диаграмме Венна записать формулу:

         Запишем сначала ,

         затем , получим:

         8. Доказать
         Решение.
    

    ,
    

         по закону да Моргана и закону дистрибутивности

    Задания 1. Теория множеств. — Popmath

    Вот мы все и добрались до первого листка с настоящими заданиями. Как их выполнять, что делать? В первой части вы найдёте список задач, которые предлагается выполнить. Очень рекомендуем хотя бы попытаться решить их самостоятельно, попробовать разные подходы, обсудить с друзьями или взять тетрадку с собой во время прогулки в парк. Самые нетерпеливые (а также те, кто достиг успехов в решении), могут прокрутить страницу ниже, где обнаружат максимально подробное решение каждой из задач. Надеемся, они вам помогут. Если что не ясно — спрашивайте в комментариях. Удачи!

     

     

    Задача 1

    Записать элементы множества , если , и .

    Задача 2

    Теперь давайте докажем три более абстрактных тезиса: 1) ; 2)  ; 3) .

    Задача 3

    В гимназии учатся учеников, нам известно, что каждый из них знает греческий или латынь, а некоторые даже оба. Известно, что из них знают греческий язык (множество ) и знают латынь (множество ). Какая часть учащихся знает оба языка?

    Задача 4

    Ещё раз вспомните из лекции, что такое мощность множества. А теперь давайте попробуем доказать справедливость равенства .

    Задача 5

    Пол комнаты площадью в шесть квадратных метров полностью покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна три квадратных метра. Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра.

    Задача 6

    Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл территории, условно обозначенными кругами на рисунке ниже, и внутри каждого круга насчитал ровно пять сосен. Мог ли получиться у лесника на самом деле такой результат, или он ошибся?

    Задача 7

    Пусть от нас требуется показать истинность утверждения , давайте сделаем это!

    Задача 8

    Если , то докажем, что .

     

     

     

     

     

     

    SPOILER ALERT! ДАЛЬШЕ ИДУТ РЕШЕНИЯ, НАСТОЯТЕЛЬНО РЕКОМЕНДУЕМ СНАЧАЛА ПОПРОБОВАТЬ!
    

     

     

     

     

     

     

     

     

    Задача 1

    Записать элементы множества , если , и .

    Решение:

    Рассмотрим первый случай — мы имеем дело с объединением множеств, и в объединении, например, множеств , как мы помним из лекции, собираются вместе все элементы из множеств и . Заметим, что множества имеют общие элементы — а именно, и . Поэтому мы не должны случайно упомянуть их повторно, пока собираем «в кучу» оба наших множества.

    В итоге получим

    По второму пункту мы, фактически, ответ уже нашли —ведь в пересечение множеств входят общие элементы этих множеств, а мы их уже установили — это и . Поэтому

    В третьем случае от нас требуется узнать разность множеств: . Из лекции мы помним, что в  множество должны войти все элементы, которые входят в и только в . Все элементы, которые входят в , мы должны отбросить. Значит, мы должны отбросить , которые присутствуют в и не присутствуют в , а также отбросить и , которые располагаются одновременно в двух этих множествах.

    В итоге получаем, что .

    А что же от нас требуют в последнем случае? — таким образом обозначается разность универсального множества с множеством, расположенным под чертой (дополнение множества в ).

    Введём понятие универсального множества — это совокупность всех элементов, которые фигурируют в нашем задаче/рассмотрении в целом. Все элементы, которые «есть» в этом конкретном контексте. Допустим, если мы анализируем холодильники разных марок и сортируем их по признакам (а значит и распределяем по разным множествам), то логично брать в данном случае в качестве универсального множества всю совокупность существующих и когда-либо существовавших холодильников. Как легко видеть, мы сами вольны устанавливать границы универсального множества . Однако оно всегда должно быть таким, чтобы в рамках нашей задачи нам не попалось ни одного элемента, который мог бы оказаться вне ! В этом и состоит смысл и удобство универсального множества.

    Мы предположим, что универсальное множество в данном случае состоит из всех элементов, которые указаны в условии задачи — нетрудно видеть, что в таком случае универсальное множество будет тождественно .

    Значит, осталось лишь найти разность  . Это будут все элементы универсального множества за вычетом тех, которые входят в . Из предыдущего случая мы знаем, что .

    Значит,

    Задача 2

    Теперь давайте докажем три более абстрактных тезиса: 1) ; 2)  ; 3) .

    Решение:

    Случай первый. Опираясь на выводы предыдущей задачи, мы понимаем, что указывает на разность универсального множества с множеством, расположенным под чертой (в данном случае некое ).

    На картинке прямоугольник представляет собой универсальное множество , а круг — множество . Разность — это пространство между квадратом и кругом. Запомним, что светло-розовым цветом у нас отмечается «исходное» множество, относительно которого берётся дополнение, а серым — само дополнение к этому «исходному» множеству.

    Теперь разность между прямоугольником и кругом должна стать «исходным» множеством. Где же будет его дополнение? Правильно, в круге!

    Более формально это можно установить следующим образом. По определению, если , то . Иными словами, все элементы, которые входят в , не входят в дополнение к по определению (поскольку имеет место разность множеств, а разность «выкидывает» из рассмотрения все элементы «вычитаемого» множества).

    Но в таком случае что мешает нам распространить ту же логику на дополнение дополнения? Если , то . И наоборот: если , то .

    Совмещаем оба полученных результата: с одной стороны, если , то . Но для всех  выполняется, что . Что и требовалось доказать.

    Случай второй. По определению универсального множества, абсолютно все элементы в нашем рассмотрении принадлежат множеству . А значит, элементов, которые бы не входили в множество , в рамках нашей задачи просто не существует. Иными словами, дополнение к универсальному множеству — пустое множество.

    Случай третий. По аналогии: если к множеству не относится ни один из элементов, рассматриваемых нами, то это пустое множество. Но это значит, что абсолютно все элементы, о которых мы можем помыслить в рамках нашей задачи, относятся к дополнению этого множества (дополнению пустого множества). Значит, дополнение пустого множества совпадает с универсальным множеством.

    Задача 3

    В гимназии учатся учеников, нам известно, что каждый из них знает греческий или латынь, а некоторые даже оба. Известно, что из них знают греческий язык (множество ) и знают латынь (множество ). Какая часть учащихся знает оба языка?

    Решение:

    Число всех учеников в данном случае можно представить как универсальное множество . Изобразим его в качестве прямоугольника. В условии сказано, что знатоки греческого и/или латыни исчерпывают всю совокупность учащихся без остатка, а потому данные подмножества вместе должны образовать исходный прямоугольник как на картинке. В данном случае мы частично «наложили» друг на друга два подмножества, чтобы у них образовалось пересечение.

    Итак, нам известно, что все из 200 учеников знают по крайней мере либо греческий язык, либо латынь. Однако если мы предположим, что эти множества не пересекаются, и сложим число знатоков греческого с числом знатоков латыни, мы получим человек. Это значение превышает численность учеников гимназии. Значит, некоторые люди действительно знают оба языка.

    Как же выяснить, сколько людей входят в это пересечение двух множеств? Мы знаешь лишь один критерий, по которому можно это установить — пойти от обратного, для начала выявив число знатоков только одного языка. Ведь те, кто знают только один язык, в пересечение точно не войдут!

    Кто же не знает греческий? . Пусть это множество . А латынь не знают человек. Пусть это будет множество . Теперь нам осталось заметить, что людей, которые бы знали только один язык, вне объединения этих двух множеств не существует! Действительно, если бы такой человек, знающий только один язык, существовал, не попадая в множество , то получалось бы, что мы не досчитались либо не знающего греческий, либо не знающего латынь в множествах или соответственно. А это не так — мы посчитали абсолютно всех.

    Выходит, что (здесь мы обращаемся к понятию мощности множества, которое было определено в лекции) составляет число тех, кто знает только один язык. Отсюда, наконец, следует, что человек говорят на обоих языках.

    Задача 4

    Ещё раз вспомните из лекции, что такое мощность множества! А теперь давайте попробуем доказать справедливость равенства

    .

    Решение:

    Ух, сложно! Но давайте начнём разбираться последовательно. Эта формула имеет вид для трёх произвольных множеств. Но вовсе не обязательно сразу рваться в бой — можно приступить к задаче с рассмотрения самого простого случая, а затем «насытить» наш анализ дополнительными моментами. Случай с одним множеством, правда, рассматривать бессмысленно — уж слишком он тривиален. Поэтому предлагаем подумать, как посчитать число элементов множеств, если их всего два.

    Допустим, что эти множества не пересекаются. Тогда сумма числа их элементов находится легко — просто складываем в одну кучу все подряд элементы из обеих множеств.

    Но что будет, если пересечение всё-таки имеет место быть? Из первой задачи мы видели, что в таком случае, если просто сложить все элементы из первого и второго множества, неизбежна ситуация повторного счёта. Для того, чтобы этого избежать, в задаче 1 нам пришлось обратить внимание на объединение множеств и сойтись на том, что элементы этого подмножества должны считаться лишь единожды, а не дважды.

    В общем случае действует та же самая логика. Какие-то элементы у нас неизбежно засчитаются дважды — это будут те из них, которые содержатся одновременно и в , и в . И чтобы удалить лишнюю «накрутку» достаточно просто вычесть число элементов, составляющих пересечение (таким образом от двойного счёта мы вернёмся вновь к одинарному). Итак,  сначала, «в тупую» складывая все элементы обоих множеств, мы лишний раз какие-то из них прибавляем (, конечно, не «какие-то», а входящие в пересечение ), а затем вновь их вычитаем. Один раз.

    Обобщим данное правило вычисления в формуле . Обратите внимание, что этому правилу подчиняется и первый из наших случаев (где не было пересечения) — просто в этом варианте последнее слагаемое формулы будет равно нулю.

    Ну а теперь можно перейти к трём множествам. Как вы, наверное, уже догадались, в этом случае можно предположить гораздо более разнообразные случаи пересечения множеств , , и .

    В частности, возможны сочетания , , — всего три штуки. Кроме того, добавляется ещё случай .

    Какие именно из этих пересечений пустые, а какие нет, мы знать заведомо не можем. Однако если какие-то из них не пустые, то мы должны их грамотно вычитать (или прибавлять), чтобы по-прежнему избегать возможности повторного (а то и тройного) счёта.

    Как и в предыдущем случае, мы должны вычитать пересечения двух множеств — даже если этого пересечения нет, от вычитания нуля нам хуже не станет. По умолчанию будем исходить из того, что в результате сложения у нас неизбежно возникают повторяющиеся элементы. Предположим, что повторения встречаются только в пересечениях не более двух множеств (например, ). Тогда, в соответствии с прошлым примером, мы должны просто вычесть число элементов в этих пересечениях: .

    Изобразим этот случай — когда есть попарные пересечения, но нет пересечения тройного:

    Однако у нас есть ещё один вариант пересечения — сразу всех трёх множеств вместе! В случае наличия трёх множеств такой вариант единственный. Это . И если вы в этом не уверены, то задумайтесь — какие ещё варианты мы можем помыслить? Разве что или … Но это будут повторения одного и того же множества! Так что в этом случае тройное пересечение только одно — как и в случае двух множеств единственным было пересечение двух множеств.

    Хорошо, скажете вы, но что же делать с этим пересечением этих трёх множеств? Прибавлять число элементов, входящих в это множество, или отнимать?

    Для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо хорошенько подумать, сколько раз у нас «считались» и вычитались элементы, входящие в это самое . Сначала они засчитались при подсчёте элементов , затем , затем — троекратно! Ведь элемент, входящий в пересечение сразу трёх множеств, входит в каждое из этих трёх множеств по определению… А потом эти же элементы были удалены также три раза — из-за вычитания элементов трёх множеств . Значит, в итоге осталось ноль элементов! Поэтому получается, что число элементов этого пересечения нужно прибавить и итоговая формула примет вид .

    Обратите внимание, что количество слагаемых точно соответствует числу пересечений и разностей множеств на изображении выше.

    PS. Этот случай можно распространить и на большее число множеств, но тогда нам нужно будет пересчитывать все комбинации из двух, трёх… и множеств. Как именно можно «обобщить» такое перечисление, нас пока не интересует — это слишком далеко выходит за нашу тему. Однажды мы к этому вопросу вернёмся. Но внимательный читатель может обратить внимание, что каждый раз по мере увеличения числа множеств, «участвующих» в пересечении, знак будет меняться с минуса на плюс и с плюса на минус.

    Подумайте: если у нас было бы не три, а четыре множества, то получилось бы, что при учёте четырёхкратного пересечения у нас будет вновь повторный счёт из-за того, что элементы множеств будут засчитаны с положительным знаком.  Значит,  будет вычитаться из общей суммы элементов.

    Отсюда общая формула:

    Задача 5

    Пол комнаты площадью в шесть квадратных метров полностью покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна три квадратных метра. Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра.

    Решение:

    Один из часто используемых методов в математических доказательствах — движение от обратного. Мы его уже однажды применили. Попробуем применить его и здесь. Допустим для начала, что площадь покрывается коврами вполне возможна без перекрытия вообще (без пересечения).

    Мы знаем, что площадь каждого из трёх ковров составляет квадратных метра. Мы имеем полное право представить наши ковры в качестве множеств. Если они лежат без перекрытия, то их общая площадь является просто суммой их отдельных площадей: , что больше площади комнаты в квадратных метров. Мы пришли к противоречию, предположив обратное. Значит, ковры должны перекрываться.

    Тогда давайте предположим, что площадь каждого из попарных перекрытий ковров (первый с третьим, второй с третьим, второй с первым) может составлять меньше одного квадратного метра. И снова мы вводим предположение, обратное тому, которое мы хотим доказать.

    Действительно, обратите внимание: чтобы опровергнуть тезис «какие-то два из этих ковров обязательно перекрываются по площади, не меньшей одного квадратного метра», нам нужно продемонстрировать, что абсолютно все перекрытия неизбежно имеют площадь, меньшую чем один квадратный метр. Обзовём последнее нашим условием-гипотезой.

    Допустим, что какие-то два ковра перекрываются таким образом, чтобы удовлетворять данному условию. Есть ковёр и ковёр , и их площадь перекрытия кв. м.

    В таком случае их общая площадь обязательно должна превышать 5 кв. м, но не быть более 6 кв. м (потому что оба ковра не крупнее трёх квадратных метров каждый). Таким образом, их общая площадь равна кв. м.

    Теперь перейдём к третьему ковру. Опять же по нашему предположению от обратного, он должен иметь общую площадь с первым ковром меньшую, чем квадратный метр (обозначим её как ), и со вторым ковром () — также меньшую, чем квадратный метр. Рассмотрим максимальный случай — и займут максимальную площадь вместе в том случае, если они друг с другом не пересекаются. Тогда общая площадь объединения будет «почти» достигать квадратных метра. Следовательно, оставшаяся часть третьего ковра (назовём её ) должна покрывать площадь большую, чем квадратный метр, поскольку из площади третьего ковра в 3 кв. м. вычитается площадь «общего» покрытия, составляющую менее двух метров: например, .

    Однако площадь, покрытая первыми двумя коврами, составляет  кв. м. Третий же ковёр добавляет площадь, большую, чем квадратный метр. А значит , то есть все три ковра занимают площадь большую, чем площадь квартиры, при выполнении нашего условия-гипотезы. Мы пришли к противоречию.

    Задача 6

    Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл территории, условно обозначенными кругами на рисунке ниже, и внутри каждого круга насчитал ровно пять сосен. Мог ли получиться у лесника на самом деле такой результат, или он ошибся?

    Решение:

    Опять же можно пойти уже исследованным нам ходом рассуждения — движением от противного. Если в каждом круге действительно по пять сосен, то, если собрать вместе все маленькие круги, таких деревьев должно быть как минимум 15. Однако большие круги свидетельствуют о не более чем 10 соснах, что входит в противоречие с предыдущим утверждением.

    Альтернативно можно обнаружить противоречие, наблюдая за расположением деревьев в пересечениях множеств. Малые левый и правый круги располагаются таким образом, что других сосен в больших кругах быть не должно. Но если это так, то на центральный малый круг не хватит вообще ни одной сосны, что опять же противоречит условию. Это хорошо видно на рисунке выше.

    Задача 7

    Пусть от нас требуется показать истинность утверждения:

    Решение:

    Внимательно рассмотрим, для каких элементов у нас будет выполняться выражение в левой части тождества. Опять же, первым делом нам необходимо вспомнить определения.  вмещает в себя все элементы такие, что для них выполняется и одновременно. Таким образом, в эту разность входят те элементы , которые не содержатся в . Таким образом отсюда исключаются как элементы, не содержащиеся в вообще, так и содержащиеся в , но одновременно и входящие в — то есть располагающиеся в пересечении .

    В данном случае розовым цветом обозначено множество, «остающееся» после разности.

    Аналогично рассуждение для . В этом множестве теперь будут находиться все элементы, которые входят в , не находясь в то же время в .

    Выходит, из обеих вышеуказанных множеств исключается одно и то же пересечение .

    Однако третья скобка в исходном выражении как раз и возвращает нам утерянное: . Тем самым, в итоге в состав нашего множества входят все элементы, входящие только в , только в , а также одновременно в и . Что это за множество у нас тогда получилось? Верно, !

    Задача 8

    Если , то .

    Решение:

    Ранее мы видели, что в сложных утверждениях на языке теории множеств одновременно может предполагаться огромное количество различных ситуаций: какие-то множества пересекаются друг с другом, какие-то лежат внутри друг друга или, наоборот, располагаются порознь. Каждая из таких ситуаций образует частный случай записанного утверждения, и порой перебрать все из них тяжело. Как же доказывать такие утверждения, не тратя слишком много времени и сил? Рассуждая по существу с помощью формальной записи всех условий. Мы это проделывали уже раньше, но теперь сделаем это в более явном виде.

    В данном случае нам нужно фактически показать, что при предпосылке всякий  также принадлежит и .

    Расшифруем первое выражение . Оно означает выполнение одновременно двух условий:   и .

    Теперь обратим внимание на то, выполняется ли при этой предпосылке  для нашего . Вспомним опять про нашего предположение из условия задачи, что . В таком случае, по определению подмножества, следует, что если , автоматически выполняется и . С другой стороны, если , то и — в противном случае элемент содержался бы в , но не содержался бы в и мы пришли бы к противоречию.

    Соответственно, с учётом условия  приходим к тому, что выполнение вместе с приводит к выполнению  и , что и требовалось показать.

    Задача 9

    Доказать справедливость выражения

    Решение:

    Для начала вспомним, что означает разность множеств. В данном это значит, что некий элемент должен одновременно удовлетворять двум условиям: принадлежать и при этом не принадлежать .

    Теперь давайте хорошенько осознаем, что именно за выражение сформулировано в нашем задании. Нам необходимо установить, что в случае, если элемент входит в множество , то он входит и в множество, представленное в виде . Это обстоятельство и отражается тем фактом, что второе множество представлено подмножеством первого. Иными словами, если элемент входит во второе множество, то автоматически входит и в первое — аналогичный случай мы рассматривали и в предыдущей задаче 7.

    В этом заключается смысл выражения, истинность которого нам необходимо установить.

    Итак, мы исходим из того, что какой-то элемент входит в множество .

    В нашей задаче фигурирует также множество . В отношении этого множества наш элемент может находиться в двух состояниях: либо он входит в состав , либо нет. Рассмотрим для начала второй вариант.

    Если , но в то же время верно, что (не забываем, что последнее мы принимаем в качестве предпосылки в наших рассуждениях!), то выполнится и условие , а вместе с ним и .

    Теперь рассмотрим другой случай: пусть .

    Опять обратимся к нашей предпосылке, которая гласит, что . Это означает, что элемент в данном случае входит в состав , но не входит в состав (согласно предпосылке). Соединяя эти две идеи в одну мы можем сказать, что элемент . Таким образом, в этом выполняется выражение .

    Таким образом, мы исчерпали все возможные состояния, которые может принимать и пришли к выводу, что всегда будет выполняться одно из двух условий: либо , либо .

    А почему из выполнения хотя бы одного из двух этих условий следует и выполнение ?

    Потому что мы в данном случае имеем объединение — а оно у нас «имеет силу» тогда, когда выполняется хотя бы что-то одно: либо истинно выражение слева от нашей подковы (в данном случае ), либо справа (в данном случае ), либо оба.

    Опять же, в нашем случае невозможно, чтобы оба условия не выполнялись одновременно, ибо каждому из них соответствует один из двух случаев: либо , либо , что исчерпывает все возможные варианты в принципе. Значит, при предпосылке объединение всегда будет гарантированно выполняться.

    Декабрь 2017 | Кузнецкий индустриальный техникум

    — Физико-математические науки
    	Баврин, И. И. Математика для технических колледжей и техникумов : учебник и практикум для СПО / И. И. Баврин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2017. — 329 с.   Профессионально ориентированный учебник содержит изложение элементов аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, сопровождаемое рассмотрением математических моделей из физики, химии, биологии и медицины. Приведено много примеров и задач, иллюстрирующих понятия высшей математики и ее методы, а также упражнений для самостоятельной работы.
    	Баврин, И. И. Математический анализ : учебник и практикум для СПО / И. И. Баврин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2017. — 327 с.   В учебнике изложены основы математического анализа. Издание написано в соответствии с действующими программами ведущих вузов. Особое внимание уделено понятиям и методам, имеющим прикладное значение. Это отражено как в физическом и геометрическом истолковании основных понятий математического анализа, так и в рассмотрении математических моделей из физики и других естественно-научных дисциплин. Каждая глава учебника содержит примеры и задачи, иллюстрирующие понятия математического анализа, его методы и приложения, а также упражнения для самостоятельной работы.
    	Башмаков, М. И. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия : учеб. для студентов учреждений среднего проф. образования / М. И. Башмаков. — 4-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 256 с.   Учебник разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования. Учебник написан в соответствии с «Примерной программой общеобразовательной учебной дисциплины: «Математика: алгебра и начало математического анализа. Геометрия» для профессиональных образовательных организаций и охватывает все основные темы: теория чисел, корни, степени, логарифмы, прямые и плоскости, пространственные тела, а также основы тригонометрии, анализа, комбинаторики и теории вероятностей. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.
    	Башмаков, М. И. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Сборник задач профильной направленности : учебное пособие для студентов учреждений среднего проф. образования / М. И. Башмаков. — Москва : Академия, 2017. — 208 с.   Сборник задач разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования и базируется на Примерной программе общеобразовательной учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (2015 г.). В учебном пособии приведены задачи профильной направленности по математике. Прикладной характер задач обеспечен выбором небольшого числа наиболее значимых профессиональных ситуаций, для которых предлагается строить стандартные математические модели и проводить их исследование. В основе выбора моделей лежит анализ стилевых характеристик, свойственных различным приложениям математики. Вместе с учебником, задачником (для выполнения заданий на базовом уровне независимо от профиля получаемого образования) и книгой для преподавателя того же автора составляет учебно-методический комплект. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.
    	Григорьев, В. П. Сборник задач по высшей математике : учебное пособие для СПО / В. П. Григорьев. — 7-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 160 с.   В учебном пособии представлены краткие сведения по теории, примеры решения задач и задания для самостоятельного решения по всем основным разделам высшей математики, предусмотренные требованиями Государственного образовательного стандарта: теория множеств, линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов, обыкновенные дифференциальные уравнения, комплексные числа.
    	Григорьев, В. П. Элементы высшей математики : учеб. для студентов учреждений среднего проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. — 12-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 400 с.   В учебнике представлены все основные разделы высшей математики: элементы теории множеств, линейной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления; числовые последовательности; обыкновенные дифференциальные уравнения. Теоретическую часть учебника дополняет большое количество практических задач; в приложении дано краткое описание пакета прикладных программ по математике МАРLE. Учебник может быть использован при изучении дисциплины в естественно-научном цикле в соответствии с требованиями ФГОС СПО для укрупненной группы специальностей 230000 «Информационная и вычислительная техника». Для студентов учреждений среднего профессионального образования.
    	Григорьев, С. Г. Математика : учебник для студентов учреждений среднего проф. образования / С. Г. Григорьев, С. В. Иволгина. — 13-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 416 с.   Учебник создан в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования, ЕН «Математика». Материал учебника охватывает все основные разделы математики: дифференциальное и интегральное исчисления, ряды, обыкновенные дифференциальные уравнения, а также элементы теории вероятностей и математической статистики. Каждый раздел включает разбор практических задач и задачи для самостоятельного решения. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.
    	Дмитриева, В. Ф. Физика для профессий и специальностей технического профиля : учебник для студентов учреждений среднего проф. образования / В. Ф. Дмитриева. — 4-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 448 с.   Учебник разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования. Содержит теоретический материал, способствующий формированию системы знаний об общих физических закономерностях, законах, теориях, раскрывает физическую картину мира во всем ее многообразии. Наряду с теоретическим материалом учебник содержит примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения. Учебник является составной частью учебно-методического комплекта, включающего также сборник задач, контрольные материалы, лабораторный практикум, методические рекомендации и электронное приложение к учебнику. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.
    	Дмитриева, В. Ф. Физика для профессий и специальностей технического профиля. Сборник задач : учеб. пособие для студентов учреждений среднего проф. образования / В. Ф. Дмитриева. — 7-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 256 с.   В учебном пособии приведены примеры решения типовых задач по основным разделам физики, а также задачи для самостоятельного решения с ответами. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.
    	Ивашев-Мусатов, О. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для СПО / О. С. Ивашев-Мусатов. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2017. — 327 с. В книге изложены основные понятия и теоремы теории вероятностей, случайные величины и их основные характеристики и элементы математической статистики. Рассматриваются основные предельные теоремы и показана их роль для практики. Последнее связано с математической статистикой и обработкой результатов наблюдений. Все главы содержат наборы упражнений с ответами.
    	Попов, А. М. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для СПО / А. М. Попов, В. Н. Сотников ; под ред. А. М. Попова. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2017. — 434 с.   Данный учебник является частью обучающего комплекса, в который также входят книги А.М.Попова и В.Н.Сотникова «Высшая математика для экономистов» и «Экономико-математические методы и модели». Учебник состоит из трех разделов: «Теория вероятностей», «Математическая статистика» и «Дискретная математика». В книге встречается большое количество примеров, которые поясняют существо рассматриваемых тем. В конце каждой главы приводятся вопросы для самоконтроля, а также задачи для самостоятельного решения с ответами в конце книги. Завершают учебник тесты, список литературы для углубленного изучения отдельных тем, а также справочный материал по математическим формулам, величинам и таблицам в виде приложений.
    	Самойленко, П. И. Естествознание. Физика : учебник для студентов образоват. учреждений среднего проф. образования / П. И. Самойленко. — 2-е изд., стер. — Москва : Академия, 2017. — 336 с.   Учебник разработан с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов среднего общего и среднего профессионального образования, а также профиля профессионального образования. Наглядно и убедительно показано, что все многообразие физических явлений можно привести в стройную систему и понять, опираясь на небольшое количество фундаментальных законов. Для учебника характерны строгая логика, современные подходы к изложению материала, широкое использование исторических фактов. Первостепенное внимание уделяется физическому смыслу и границам применимости основных понятий, формул, законов, теорий. Для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности среднего профессионального образования.
    	Спирина, М. С. Дискретная математика : учеб. для студентов учреждений среднего проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — Москва : Академия, 2018. — 368 с.   Учебник создан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальностям укрупненной группы «Информатика и вычислительная техника», в том числе по специальностям и из списка ТОП-50. Учебное издание предназначено для изучения естественнонаучной дисциплины «Дискретная математика». Учебник содержит теоретический материал по традиционным темам дискретной математики и некоторые вопросы классической логики. В каждой главе есть исторический материал, большой круг разобранных задач с указанием методов их решений, приведены упражнения для самостоятельной работы. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.
    	Спирина, М. С. Дискретная математика: сборник задач с алгоритмами решений : учебное пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — Москва : Академия, 2017. — 288 с.   Сборник задач создан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности «Компьютерные системы и комплексы» и «Прикладная информатика (по отраслям)»; дисциплины ОП.08 «Дискретная математика» и ЕН.02 «Дискретная математика» соответственно. Учебное пособие включает в себя теоретический материал, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения с ответами по основным разделам дискретной математики: теория множеств, элементам теории графов, математической логики, элементам теории и практики кодирования и теории автоматов. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.
    	Спирина, М. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — Москва : Академия, 2017. — 352 с.   Учебник создан в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальностям укрупненной группы «Информатика и вычислительная техника», в том числе по специальности из списка ТОП-50. Учебное издание предназначено для изучения естественнонаучной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». В учебнике приведены основные элементы комбинаторики, понятия и теоремы теории вероятностей, рассмотрены случайные величины и методы математической статистики – выборки, статистических испытаний и др. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.
    	Спирина, М. С. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач : учебное пособие для студ. учреждений сред. проф. образования / М. С. Спирина, П. А. Спирин. — Москва : Академия, 2017. — 192 с.   Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальностям укрупненной группы «Информатика и вычислительная техника», в том числе по специальностям из списка ТОП-50. Учебное издание предназначено для изучения естественнонаучной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Приведены краткие теоретические сведения по основным элементам комбинаторики, понятиям и теоремам теории вероятностей, рассмотрены случайные величины и методы математической статистики – выборки статистических испытаний и др. Разобрано большое количество задач по всем основным разделам курса, представлены задачи для самостоятельного решения с ответами. В приложении даны справочные таблицы, краткие сведения по основам дифференциального и интегрального исчисления и алгоритмы (в табличной форме) решения ключевых задач, соответствующих программе учреждений среднего профессионального образования. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

    Учебное пособие по теории множеств | Задачи, формулы, примеры

    В теории множеств есть свои обозначения и символы, которые многим могут показаться необычными. В этом руководстве мы рассмотрим несколько решенных примеров, чтобы понять, как работает теория множеств и какие задачи можно использовать для решения.

    Определение

    Набор — это набор объектов.

    Обычно изображается в цветочных скобках.

    Например, :
    Набор натуральных чисел = {1,2,3,…..}
    Набор целых чисел = {0,1,2,3,… ..}

    Каждый объект называется элементом множества.

    Набор, который содержит все элементы данной коллекции, называется универсальным набором и представлен символом «µ», произносимым как «му».

    Для двух комплектов A и B,

    • n (AᴜB) — количество элементов, присутствующих в любом из наборов A или B.
    • n (A∩B) — количество элементов, присутствующих в обоих наборах A и B.
    • n (AᴜB) = n (A) + (n (B) — n (A∩B)
    ).

    Для трех комплектов A, B и C,

    • n (AᴜBᴜC) = n (A) + n (B) + n (C) — n (A∩B) — n (B∩C) — n (C∩A) + n (A∩B∩C )

    Рассмотрим следующий пример:

    Вопрос: В классе 100 учеников, 35 из которых любят естественные науки, а 45 — математику.10 нравятся оба. Сколько нравится любой из них, а скольким не нравится ни один из них?

    Решение :

    Общее количество студентов, n (µ) = 100

    Количество студентов, изучающих естественные науки, n (S) = 35

    Количество студентов-математиков, n (M) = 45

    Количество студентов, которым нравятся оба, n (M∩S) = 10

    Количество студентов, которым нравится тот или иной из них,

    n (MᴜS) = n (M) + n (S) — n (M∩S)

    → 45 + 35-10 = 70

    Количество студентов, которым ничего не нравится = n (µ) — n (MᴜS) = 100 — 70 = 30

    Самый простой способ решить проблемы с наборами — это нарисовать диаграммы Венна, как показано ниже.

    Как говорится, одна картинка стоит тысячи слов. Одна диаграмма Венна может помочь решить проблему быстрее и сэкономить время. Это особенно верно, когда в проблеме задействовано более двух категорий.

    Давайте посмотрим еще несколько решенных примеров.

    Задача 1: В классе 30 учеников. Среди них 8 студентов изучают английский и французский языки. Английский язык изучают 18 студентов. Если каждый студент изучает хотя бы один язык, сколько всего студентов изучают французский язык?

    Решение :

    Диаграмма Венна для этой проблемы выглядит так.

    
    

    Каждый студент изучает хотя бы один язык. Следовательно, нет никого, кто попадает в категорию «ни то, ни другое».

    Итак, в этом случае n (EᴜF) = n (µ).

    В задаче упоминается, что всего 18 изучают английский язык. Это НЕ означает, что 18 изучают ТОЛЬКО английский язык. Только когда в задаче упоминается слово «только», мы должны считать это так.

    Сейчас 18 изучают английский язык, а 8 — оба. Это означает, что 18-8 = 10 изучают ТОЛЬКО английский.

    n (µ) = 30, n (E) = 10

    n (EᴜF) = n (E) + n (F) — n (E∩F)

    30 = 18+ n (Ж) — 8

    п (Ж) = 20

    Таким образом, общее количество студентов, изучающих французский язык = 20.

    Примечание : Вопрос касался только общего числа студентов, изучающих французский язык, а не тех, кто изучает ТОЛЬКО французский язык, что было бы другим ответом, 12.

    Наконец, диаграмма Венна выглядит так.
    
    

    
    
    Задача 2: Среди студентов 50 играли в крикет, 50 играли в хоккей и 40 играли в волейбол.15 играли в крикет и хоккей, 20 играли в хоккей и волейбол, 15 играли в крикет и волейбол и 10 играли во все три. Если каждый учащийся сыграл хотя бы одну игру, найдите количество учеников и сколько из них играли только в крикет, только в хоккей и только в волейбол?

    Решение :

    n (C) = 50, n (H) = 50, n (V) = 40

    п (C∩H) = 15

    п (H∩V) = 20

    п (C∩V) = 15

    п (C∩H∩V) = 10

    Количество учащихся, сыгравших хотя бы одну игру

    n (CᴜHᴜV) = n (C) + n (H) + n (V) — n (C∩H) — n (H∩V) — n (C∩V) + n (C∩H∩V)

    = 50 + 50 + 40-15-20-15 + 10

    Общее количество студентов = 100.

    Позвольте обозначить количество людей, которые играли только в крикет и волейбол.
    Пусть b обозначает количество людей, которые играли только в крикет и хоккей.
    Пусть c обозначает количество людей, которые играли только в хоккей и волейбол.
    Пусть d обозначает количество людей, сыгравших во все три игры.

    Соответственно d = n (CnHnV) = 10

    Теперь, n (CnV) = a + d = 15

    п (CnH) = b + d = 15

    п (HnV) = c + d = 20

    Следовательно, a = 15–10 = 5 [только крикет и волейбол]

    b = 15–10 = 5 [только крикет и хоккей]

    c = 20–10 = 10 [только хоккей и волейбол]

    №студентов, которые играли только в крикет = n (C) — [a + b + d] = 50 — (5 + 5 + 10) = 30

    Количество учеников, которые играли только в хоккей = n (H) — [b + c + d] = 50 — (5 + 10 + 10) = 25

    Количество учеников, которые играли только в волейбол = n (V) — [a + c + d] = 40 — (10 + 5 + 10) = 15
    
    

    В качестве альтернативы мы можем решить эту проблему быстрее с помощью диаграммы Венна.

    Диаграмма Венна для данной информации выглядит так.
    
    

    Вычитание значений на пересечениях из отдельных значений дает нам количество учащихся, сыгравших только одну игру.
    

    Тест по теории множеств: решите эти задачи на практике

    Проблема 1

    В группе было 115 человек, удостоверения личности которых проверялись. У некоторых был паспорт, у некоторых были удостоверения личности избирателя, а у некоторых и то, и другое. Если у 65 был паспорт, а у 30 были оба, у скольких из них были только удостоверения личности избирателя, а не паспорт?

    A. 30
    B. 50
    C. 80
    D. Ничего из вышеперечисленного

    Ответ 1

    Б.

    Пояснение

    Построим диаграмму Венна для данной информации.

    
    

    n (PᴜV) = n (P) + n (V) — n (P∩V)

    115 = 65 + n (В) — 30

    п (В) = 80

    Люди с только идентификатором избирателя = 80-30 = 50

    Задача 2

    Среди группы людей 40% любили красный, 30% — синий и 30% — зеленый. 7% понравились и красный, и зеленый, 5% понравились и красный, и синий, 10% понравились и зеленый, и синий. Если 86% из них понравился хотя бы один цвет, какой процент людей понравились все три?

    А.10
    B. 6
    C. 8
    D. Нет

    Ответ 2

    C.

    Пояснение :

    n (RᴜBᴜG) = n (R) + n (B) + n (G) — n (R∩B) — n (B∩G) — n (R∩G) + n (R∩G∩B)

    86 = 40 + 30 + 30-5-10-7 + n (R∩G∩B)

    Решение дает 8.

    Решенных задач для обзора теории множеств

    ---

    
    

    1.2.5 Решенные задачи:

    
    Обзор теории множеств

    Проблема

    Пусть $ A $, $ B $, $ C $ — три множества, как показано на следующей диаграмме Венна.c $