Автор: alexxlab

Утвер­жде­ние о су­ще­ство­ва­нии кор­ня не­чет­ной сте­пе­ни из лю­бо­го чис­ла мы при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства.

Со­глас­но опре­де­ле­нию, ко­гда n не­чет­ное, то при лю­бом зна­че­нии а вер­но ра­вен­ство

На­при­мер, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

За­ме­тим, что 0 — это един­ствен­ное чис­ло, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 0. По­это­му

при лю­бом на­ту­раль­ном n≥2 су­ще­ству­ет един­ствен­ный ко­рень n-й сте­пе­ни из 0 — это чис­ло 0, т. е. 0n=0.

При­ме­ра­ми кор­ней чет­ной сте­пе­ни мо­гут слу­жить квад­рат­ные кор­ни: −7 и 7 — квад­рат­ные кор­ни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рас­смот­рим еще не­сколь­ко при­ме­ров. Кор­ни 4-й сте­пе­ни из чис­ла 81 — это чис­ла 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Кор­ни 6-й сте­пе­ни из чис­ла 64 — это чис­ла 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

Во мно­же­стве дей­стви­тель­ных чи­сел су­ще­ству­ет ров­но два кор­ня чет­ной сте­пе­ни n из лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла а, их мо­ду­ли рав­ны, а зна­ки про­ти­во­по­лож­ны. По­ло­жи­тель­ный ко­рень обо­зна­ча­ет­ся

На­при­мер, 814=3,646=2.

Утвер­жде­ние о су­ще­ство­ва­нии кор­ня чет­ной сте­пе­ни из лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла мы при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства. Со­глас­но опре­де­ле­нию, ко­гда n чет­ное, то при лю­бом по­ло­жи­тель­ном зна­че­нии а вер­но ра­вен­ство

На­при­мер, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

Не су­ще­ству­ет та­ко­го чис­ла, 4-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на −81. По­это­му кор­ня 4-й сте­пе­ни из чис­ла −81 не су­ще­ству­ет. И во­об­ще, по­сколь­ку не су­ще­ству­ет та­ко­го чис­ла, чет­ная сте­пень ко­то­ро­го бы­ла бы от­ри­ца­тель­ной, то

не су­ще­ству­ет кор­ня чет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го чис­ла.

Опре­де­ле­ние. Не­отри­ца­тель­ный ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла a на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ским кор­нем n-й сте­пе­ни из a .

При чет­ном n сим­во­лом an обо­зна­ча­ет­ся толь­ко ариф­ме­ти­че­ский ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла a (при чте­нии за­пи­си an сло­во «ариф­ме­ти­че­ский» обыч­но про­пус­ка­ют).

Вы­ра­же­ние, сто­я­щее под зна­ком кор­ня, на­зы­ва­ет­ся под­ко­рен­ным вы­ра­же­ни­ем.

Из­влечь ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла a — это зна­чит най­ти зна­че­ние вы­ра­же­ния an.

Так как кор­ня чет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го чис­ла не су­ще­ству­ет, то вы­ра­же­ние an при чет­ном n и от­ри­ца­тель­ном а не име­ет смыс­ла.

На­при­мер, не име­ют смыс­ла вы­ра­же­ния −814 и −646.

Как мы уста­но­ви­ли, при лю­бом зна­че­нии а, при ко­то­ром вы­ра­же­ние an име­ет смысл, вер­но ра­вен­ство

По­это­му ра­вен­ство (1) яв­ля­ет­ся тож­де­ством.

В кон­це XV в. ба­ка­лавр Па­риж­ско­го уни­вер­си­те­та Н. Шю­ке внес усо­вер­шен­ство­ва­ния в ал­ге­бра­и­че­скую сим­во­ли­ку. В част­но­сти, зна­ком кор­ня слу­жил сим­вол Rx (от ла­тин­ско­го сло­ва radix — ко­рень). Так, вы­ра­же­ние 24+374 в сим­во­ли­ке Шю­ке име­ло вид R¯x424p¯R¯x237.

Знак кор­ня     в со­вре­мен­ном ви­де был пред­ло­жен в 1525 г. чеш­ским ма­те­ма­ти­ком К. Ру­доль­фом. Его учеб­ник ал­ге­бры пе­ре­из­да­вал­ся до 1615 г., и по не­му учил­ся зна­ме­ни­тый ма­те­ма­тик Л. Эй­лер.

Знак     еще на­зы­ва­ют ра­ди­ка­лом.

При­мер 1. Вер­но ли, что:

а) (−2)44=−2;

б) (−2)77=−2?

Ре­ше­ние. а) По опре­де­ле­нию ариф­ме­ти­че­ский ко­рень n-й сте­пе­ни из не­отри­ца­тель­но­го чис­ла a (n — чет­ное чис­ло) яв­ля­ет­ся не­отри­ца­тель­ным чис­лом, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию a.

По­сколь­ку −2<0, то ра­вен­ство (−2)44=−2 не­вер­ное. Вер­но ра­вен­ство (−2)44=2.

б) По опре­де­ле­нию ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла а (n — не­чет­ное чис­ло) яв­ля­ет­ся чис­лом, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию а.

По­сколь­ку (−2)7=−27 — вер­ное ра­вен­ство, то ра­вен­ство (−2)77=−2 − вер­ное.

При­мер 2. Ре­шить урав­не­ние:

а) x3=7;

б) x4=5.

Ре­ше­ние. а) Ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся та­кое зна­че­ние х, 3-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 7, т. е. по опре­де­ле­нию ку­би­че­ско­го кор­ня име­ем:

б) Ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся та­кое зна­че­ние х, 4-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 5, т. е. (по опре­де­ле­нию) х — это ко­рень 4-й сте­пе­ни из чис­ла 5. Но из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла 5 су­ще­ству­ют два кор­ня чет­вер­той сте­пе­ни, ко­то­рые рав­ны по мо­ду­лю и име­ют про­ти­во­по­лож­ные зна­ки. По­сколь­ку по­ло­жи­тель­ный ко­рень обо­зна­ча­ют 54, то вто­рой ко­рень ра­вен −54, т. е. x=±54.

От­вет: а) 73; б) ±54.

В тет­ра­ди ре­ше­ние урав­не­ния б) (ана­ло­гич­но и а)) мож­но за­пи­сать так:

Ре­ше­ние: x4=5 ⇔ x=±54.

От­вет: ±54.

При­мер 3. Ре­шить урав­не­ние:

а) (x8)8=x;

б) (x13)13=x.

Ре­ше­ние. а) Чис­ло 8 — чет­ное, зна­чит, дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся тож­де­ством при x≥0, по­это­му каж­дое не­отри­ца­тель­ное зна­че­ние х яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем (кор­нем) урав­не­ния (x8)8=x.

б) Чис­ло 13 — не­чет­ное, зна­чит, дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся тож­де­ством при лю­бом зна­че­нии х, по­это­му ре­ше­ни­ем урав­не­ния (x13)13=x яв­ля­ет­ся лю­бое дей­стви­тель­ное чис­ло, а R — мно­же­ство всех его кор­ней.

От­вет: а) [0;+∞); б) R.

При­мер 4. Ре­шить урав­не­ние

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим x6=t, то­гда по­лу­чим урав­не­ние

Кор­ни это­го урав­не­ния

Та­ким об­ра­зом, име­ем

от­ку­да x=±2 (по­яс­ни­те, по­че­му урав­не­ние x6=−1 не име­ет кор­ней).

От­вет: ±2.

1

1Ка­кое чис­ло на­зы­ва­ет­ся кор­нем n-й сте­пе­ни из чис­ла а?

1

2

2Сколь­ко су­ще­ству­ет кор­ней чет­ной сте­пе­ни n из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла а?

2

3

3Ко­рень ка­кой сте­пе­ни су­ще­ству­ет из лю­бо­го чис­ла а?

3

4

4Ка­кой ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла а на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ским?

4

5

5При ка­ких зна­че­ни­ях а вер­но ра­вен­ство (an)n=a, если:

а) n — не­чет­ное чис­ло;

б) n — чет­ное чис­ло?

5

Упраж­не­ния

1. 24°

1.24°Ис­поль­зуя опре­де­ле­ние ариф­ме­ти­че­ско­го кор­ня n-й сте­пе­ни, до­ка­жи­те, что:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24°

1.25°

1.25°Вер­но ли, что:

1) чис­ло −4 яв­ля­ет­ся кор­нем чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла 256;

2) чис­ло −0,3 яв­ля­ет­ся кор­нем чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла −0,0081?

1.25°

1.26°

1.26°Вер­но ли, что:

1) −17283=−12;

2) −33753=15;

3) −16 8075=7;

4) −77765=−6?

1.26°

1.27°

1.27°Най­ди­те ариф­ме­ти­че­ский квад­рат­ный ко­рень из чис­ла:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27°

1.28°

1.28°Най­ди­те ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28°

1.29°

1.29°Най­ди­те ариф­ме­ти­че­ский ко­рень чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29°

Вы­чис­ли­те (1.30—1.42).

1.30°

1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;

4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

1.30°

1.31°

1.31°1) −10003;

2) −115;

3) −643;

4) −10245;

5) −1273;

6) −3433;

7) −272163;

8) −31255;

9) −0,000325.

1.31°

1.32

1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;

2) ⎛⎝−145⎞⎠5;

3) ⎛⎝−307⎞⎠7;

4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;

5) ⎛⎝−69⎞⎠9;

6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.

1.32

1.33

1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;

2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.

1.33

1.34

1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;

2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;

3) ⎛⎝1125⎞⎠10;

4) ⎛⎝2136⎞⎠18;

5) ⎛⎝567⎞⎠21;

6) ⎛⎝239⎞⎠36.

1.34

1.35

1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;

2) ⎛⎝534⎞⎠48;

3) ⎛⎝7610⎞⎠120;

4) ⎛⎝643⎞⎠12;

5) ⎛⎝108⎞⎠16;

6) ⎛⎝1294⎞⎠36.

1.35

1.36°

1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;

2) ⎛⎝53⎞⎠3;

3) ⎛⎝−124⎞⎠4;

4) −1244;

5) ⎛⎝−35⎞⎠5;

6) ⎛⎝323⎞⎠3;

7) ⎛⎝−444⎞⎠4;

8) ⎛⎝−157⎞⎠7;

9) −5555;

10) ⎛⎝−36⎞⎠6;

11) ⎛⎝−229⎞⎠9;

12) −488.

1.36°

1.37°

1.37°1) 325+−83;

2) 6254−−1253;

3) 12−60,1253;

4) 1+100,00814;

5) 3164−4273;

6) −3383+2,25;

7) 83−643;

8) 164−643.

1. 37°

1.38°

1.38°1) 9+4;

2) 36−164;

3) 0,81+0,0013;

4) 0,0273−0,04;

5) 5−2564;

6) 7+83;

7) −325+164;

8) −273+814.

1.38°

1.39°

1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;

2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;

3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;

4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;

5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;

6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.

1.39°

1.40

1.401) 1225244⋅15−1382−2323;

2) 58+442−26235;

3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;

4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.

1.40

1.41

1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;

2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;

3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;

4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).

1.41

1.42

1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;

2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;

3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

1.42

Най­ди­те есте­ствен­ную об­ласть опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния (1.43—1.44).

1.43

1.431) x+4;

2) −9+2×4;

3) 5×2−6×10;

4) 8x−4×212;

5) x+33;

6) x−75;

7) x2−47;

8) 2×2−329.

1.43

1.44

1.441) 34x−112;

2) −48x−314;

3) 2−59−5×8;

4) 3−1016−7×6;

5) 2+x4−2(8−6x)3;

6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;

7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;

8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.

1.44

1.45

1.45Най­ди­те дли­ну ре­бра ку­ба, если его объ­ем ра­вен:

1) 27 см³;

2) 64 мм³;

3) 0,125 дм³;

4) 0,216 м³.

1.45

Ре­ши­те урав­не­ние (1.46—1.54).

1.46°

1.46°1) x2=0,49;

2) x2=121;

3) x3=0,008;

4) x3=1000;

5) x3=−64 000;

6) x3=216;

7) x4=0,0625;

8) x4=−16.

1.46°

1.47

1.471) x3=−27;

2) x5=−132;

3) x7=−1;

4) x9=−512;

5) x3=−0,027;

6) x11=0.

1.47

1.48°

1.48°1) x2=11;

2) x4=19;

3) x8=27;

4) x3=25;

5) x7=38;

6) x9=−2;

7) x15=−6;

8) x17=4;

9) x13=−13.

1.48°

1.49

1.491) x2=25 600;

2) x2=0,0196;

3) x2+1=1,0016;

4) 5×2−20=0;

5) x2+25=0;

6) x2+179=0;

7) x2·4=0;

8) −6×2=0;

9) 113×2−12=0;

10) 13×2−1=0.

1.49

1.50

1.501) 4×3+4125=0;

2) 8×3+27=0;

3) −0,1×4=−0,00001;

4) 16×4−81=0;

5) 12×5+16=0;

6) 132×6−2=0.

1.50

1.51

1.511) x4+2=7;

2) x5−3=30;

3) x6−7=19;

4) x3+5=5.

1.51

1.52

1.521) (x+1)4=16;

2) (x−2)6=64;

3) (2x+1)3=27;

4) (3x−1)5=32.

1.52

1. 53

1.531) x10−31×5−32=0;

2) x8−15×4−16=0;

3) x4−12×2+27=0;

4) x6−7×3−8=0;

5) x8−82×4+81=0;

6) x4+2×2−15=0.

1.53

1.54

1.541)° (x6)6=x;

2)° (x10)10=x;

3)° (x3)3=x;

4)° (x5)5=x;

5) ⎛⎝x−14⎞⎠4=x−1;

6) ⎛⎝x+212⎞⎠12=x+2;

7) ⎛⎝1×7⎞⎠7=1x;

8) ⎛⎝1x−211⎞⎠11=1x−2.

1.54

3 корень 3 степени из х производная

Вы искали 3 корень 3 степени из х производная? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x корень x производная, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «3 корень 3 степени из х производная».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 3 корень 3 степени из х производная,x корень x производная,как найти производную корня,корень x производная,корень из x производная,корень из икс производная,корень из х производная,корень кубический из х производная,корень производная,корень х производная,кубический корень из х производная,найти производную x корень из x,под корнем производная,производная x корень x,производная из квадратного корня,производная из корень из икс,производная из корня,производная из корня 3 степени,производная из корня 3 степени из х,производная из корня из 3,производная из корня квадратного,производная из корня х,производная из кубического корня из х,производная из х в степени корень из х,производная квадратного корня,производная квадратного корня из,производная корень,производная корень x,производная корень из x,производная корень из икс,производная корень из х,производная корень из х в степени корень из х,производная корень из х в степени х,производная корень из х в степени х в,производная корень кубический из х,производная корень х,производная корней,производная корня,производная корня 3 степени,производная корня 4 степени,производная корня из 3 степени,производная корня из x,производная корня из х,производная корня из х 3 степени,производная корня квадратного,производная корня кубического,производная корня кубического из x,производная кубический корень из х,производная кубического корня,производная кубического корня из x,производная от x корень из x,производная от квадратного корня,производная от корень из x,производная от корня,производная от корня 3 степени,производная от корня из х,производная от корня квадратного,производная от корня кубического,производная от корня кубического из х,производная от кубического корня,производная от кубического корня из х,производная под корнем,производная с корнем,производная х в степени корень из х,производная х корень,производные с корнями,х под корнем производная,чему равна производная корня из х. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3 корень 3 степени из х производная. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как найти производную корня).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3 корень 3 степени из х производная Онлайн?

Решить задачу 3 корень 3 степени из х производная вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Mathway | Популярные задачи

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням  и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — amn. Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени! 

Положительное число a в степени mn — это корень степени n из числа am.

amn=amn.

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

a>0; m∈ℤ; n∈ℕ.

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0:

0mn=0mn=0.

В соответствии с определением, степень amn можно представить в виде корня amn.

Например: 325=325, 123-34=123-34.

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ;   m ∈ ℤ ;   n ∈ ℕ .

Так, выражение -813 нельзя представить в виде -813, так как запись -813 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень -813 имеет смысл.

Переход от  степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени. 

Например, выражение x2+2x+1-412 можно представить в виде квадратного корня x2+2x+1-4.Выражение в степени x2+x·y·z-z3-73 переходит в выражение x2+x·y·z-z3-73 для всех x, y, z из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

amn=amn

Опять же, переход очевиден для положительных чисел a. Например, 764=764, или27-53=27-53.

Для отрицательных a корни имеют смысл. Например -426, -23. Однако, представить эти корни в виде степеней  -426 и -213 нельзя.  

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования  выражения -426.

-426=-12·426=426.

Так как 4>0, можно записать: 

426=426.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

-a2m+1=-a2m+1.

Тогда выражение -23 примет вид:

-23=-23=-213.

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании. 

Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением Amn в виде Amn. Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х-323, основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x-323. Такая замена возможна только при x-3≥0, а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула amn=amn не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида Amn=Amn является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы Amn=Amn нередко возникают ошибки. 

Чтобы правильно перейти от корня Amn к степени Amn, необходимо соблюдать несколько пунктов:

• В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула  Amn=Amn справедлива на всей ОДЗ переменных.
• Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение Amn можно заменить:
   — на Amn для всех значений переменных, при которых A≥0;
   — на —Amn для  для всех значений переменных, при которых A<0;
• Если  m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то Amn можно заменить на Amn.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению х-323. Здесь m=2 — целое и четное число, а n=3 — натуральное число. Значит, выражение х-323 правильно будет записать в виде:

х-323=x-323.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

x+5-35=x+5-35, x>-5—x-5-35, x<-5

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении Amn значение A положительно или неотрицательно (при m>0). Именно поэтому  Amn=Amn.

Во втором варианте, когда  m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения Amn разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, Amn=Amn=Amn. Для переменных, при которых A отрицательно, получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=-Amn=-Amn=-Amn.

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение Aположительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ Amn=Amn=Amn. Для отрицательных A получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=Amn=Amn.

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать Amn=Amn.

Правила ввода функций в онлайн калькуляторах OnlineMSchool.

На данной странице описаны правила ввода функций, которых следует придерживаться в онлайн калькуляторах для решения производных и решения интегралов.

Не забывайте проверять правильность написания формул. Неточность и ошибки в написании, приводят к неверному ответу и ситуациям, при которых калькулятор отказывается проводить вычисления.

Оператор	Описание
Простейшие математические операции
+ — * / ()	Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы. Знак умножения * — необязателен: выражение 2sin(3 x ) эквивалентно 2*sin(3* x ). x
Тригонометрические функции
	Синус от x
	Косинус от x
	Тангенс от x . Можно вводить tg( x ) или tan( x )
	Котангенс от x . Можно вводить ctg( x ) или cot( x )
	Секанс от x , определяется как 1/cos( x )
	Косеканс от x , определяется как 1/sin( x )
	Арксинус от x . Можно вводить arcsin( x ) или asin( x )
	Арккосинус от x . Можно вводить arccos( x ) или acos( x )
	Арктангенс от x . Можно вводить arctg( x ) или atan( x )
	Арккотангенс от x . Можно вводить arcctg( x ) или acot( x )
	Арксеканс от x
	Арккосеканс от x
Некоторые константы
	Число Эйлера e = 2.718281828459045…
	Число π = 3.141592653589793…

Корень и его свойства. Подробная теория с примерами (ЕГЭ — 2021)

Как умножать корни? На этот вопрос помогает ответить самое простое и базовое свойство: \( \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}\)

Начнем с простенького:

\( \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{10}\)

\( \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}\)

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот вам такие примеры:

\( \sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4\)

\( \sqrt{12,5}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{25}=5\)

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

\( \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{10}=\sqrt{100}=10\)

С этим вроде все ясно. Едем дальше. А если перед нами такое выражение:

\( 3\sqrt{5}\)

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из \( 9\)!

\( 3\sqrt{5}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{45}\).

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

\( 3\sqrt{10}-\sqrt{45}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{90}-\sqrt{90}=0\).

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно!

Только надо помнить, что вносить под знак корня четной степени мы можем только положительные числа.

Посмотрим, где это еще может пригодиться. Например, в задаче требуют сравнить два числа:

Что больше: \( 3\sqrt{7}\ или\ 2\sqrt{17}\)?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня? Тогда вперед:

\( 3\sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63}\)

\( 2\sqrt{17}=\sqrt{4\cdot 17}=\sqrt{68}\)

Ну и, зная, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень! Т. {2}}\cdot 2}=7\sqrt{2}\)

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

\( \sqrt{15}\cdot \sqrt{180}\cdot \sqrt{12}\)

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

\( \sqrt{15}\cdot \sqrt{180}\cdot \sqrt{12}=\sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{36\cdot 5}\cdot \sqrt{2\cdot 6}\)

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

\( \begin{array}{l}\sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{36\cdot 5}\cdot \sqrt{2\cdot 6}=\sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{3\cdot 12\cdot 5}\cdot \sqrt{2\cdot 3\cdot 2}=\\=\sqrt{5\cdot 3}\cdot \sqrt{3\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5}\cdot \sqrt{2\cdot 3\cdot 2}\end{array}\)

На простые множители разложили. Что дальше? 

А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

\( \begin{array}{l}\sqrt{5\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{5\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\\=\sqrt{25}\cdot \sqrt{81}\cdot \sqrt{16}=5\cdot 9\cdot 4=180\end{array}\)

Вот и все, не так все и страшно, правда?

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

\( \sqrt{15}\cdot \sqrt{54}\cdot \sqrt{10}=?\)

Получилось \( 90\)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

\( \sqrt{4225}=?\)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам. Ну что, начнем раскладывать \( 4225\) на множители? 

Сразу заметим, что поделить число на \( 5\) (вспоминаем признаки делимости):

\( \sqrt{4225}=\sqrt{845\cdot 5}=\sqrt{169\cdot 5\cdot 5}=\sqrt{13\cdot 13\cdot 5\cdot 5}=5\cdot 13=65\)

А теперь попробуй сам (опять же, без калькулятора!):

\( \sqrt{2304}=?\)

Ну что, получилось \( 48\)? Молодец, все верно!

Квадратный корень в Python 3 — Извлечение кубических и n-ой степени

Под извлечением корня из какого-либо числа чаще всего подразумевают нахождение решение уравнения x в степени n = value, соответственно для квадратного корня, число n — это два, для кубического — 3. Чаще всего под результатом и числом подразумеваются вещественные числа.

В программировании нахождение корней используется очень часто. Разберемся, как и какими методами можно эффективно извлекать корни из числа. Вначале рассмотрим, какие способы есть в Python, и определим самый эффективный. Потом более подробно разберём, как можно найти не только квадратный корень из числа, но и кубический, и потом корень n степени.

Способы извлечения корня

В языке программирования Python 3 существует три способа извлечения корней:

• Использование функции sqrt из стандартной математической библиотеки math.
• Операция возведения в степень **
• Применение функции pow(x, n)

Чтобы воспользоваться первым способом, необходимо вначале импортировать sqrt из модуля math. Это делается с помощью ключевого слова import: from math import sqrt. При помощи этой функции можно извлекать только квадратный корень из числа. Приведем пример:

from math import sqrt
x = sqrt(4)
print(x)

2.0

Если же нам нужно вычислить в Python корень квадратный из суммы квадратов, то можно воспользоваться функцией hypot из модуля math. Берется сумма квадратов аргументов функции, из нее получается корень. Аргументов у функции два.

from math import hypot
x = hypot(4,3)
print(x)

5.0

Еще одним, чуть более универсальным методом, будет использование возведения в степень. Известно, что для того, чтобы взять корень n из числа, необходимо возвести его в степень 1/n. Соответственно, извлечение квадратного корня из числа 4 будет выглядеть так:

n = 2
x = 4**(1./n)
print(x)

2.0

Обратите внимание, что в Python 2 необходимо ставить точку после единицы, иначе произойдет целочисленное деление, и 1/n == 0, а не нужной нам дроби. В Python 3 можно не ставить точку.

Последний метод использует функцию pow(value, n). Эта функция в качестве аргумента value возьмет число, которое необходимо возвести в степень, а второй аргумент будет отвечать за степень числа. Как и в предыдущем методе, необходимо использовать дробь, для того, чтобы получить корень числа.

x = pow(4, 0.5)
print(x)

2.0

Какой метод быстрее?

Для того, чтобы определить какой же метод предпочтительнее использовать, напишем программу. Замерять время выполнения будем с помощью метода monotonic библиотеки time.

from time import monotonic
from math import sqrt
iterations = 1000000
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = sqrt(4)
print("sqrt time: {:>. 3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = 4 ** 0.5
print("** time: {:>.3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")
start = monotonic()
for a in range(iterations):
    x = pow(4, 0.5)
print("pow time: {:>.3f}".format(monotonic() - start) + " seconds")

sqrt time: 0.266 seconds
** time: 0.109 seconds
pow time: 0.453 seconds

Как видно, самое быстрое решение — использовать **. На втором месте метод sqrt, а pow — самый медленный. Правда, метод sqrt наиболее нагляден при вычислении в Python квадратных корней.

Таким образом, если критична скорость, то используем **. Если скорость не критична, а важна читаемость кода, то следует использовать sqrt.

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня самым наглядным способом, правда не самым быстрым, будет использование sqrt из модуля math.

from math import sqrt
x = sqrt (value)

Но можно использовать и трюки с возведением в степень 1/2, что тоже будет приводить к нужному результату.

x = value ** (0.5) или x = pow(value, 0.5).

Кубический корень

Для извлечения кубического корня в Python 3 метод sqrt не подойдет, поэтому воспользуйтесь возведением в степень 1/3:

x = value ** (1./3) или x=pow(value, 1/3).

Корень n-степени

Корень n-степени из числа в Python извлекается можно получить двумя способами с помощью возведения в степень 1.0/n:

• С помощью оператора **.
• Используя функцию pow.

Как было проверено выше, оператор ** быстрее. Поэтому его использовать более целесообразно. Приведем пример вычисления кубических корней в Python 3 с помощью этих двух методов:

n = 4.
x = 16.0 ** (1./n)
print(x)
x = pow(16.0, 1./n)
print(x)

2.0
2.0

Корень отрицательного числа

Рассмотрим, как поведут себя функции, если будем брать корень из отрицательного числа.

from math import sqrt
x = sqrt(-4)

File "main. py", line 2, in 
    x = sqrt(-4)
ValueError: math domain error

Как видим, функция sqrt выдаёт исключение.

Теперь посмотрим, что будет при использовании других методов.

x = -4 ** 0.5
print(x)
x = pow(-4, 0.5)
print(x)

-2.0
(1.2246467991473532e-16+2j)

Как видно из результата, оператор ** не выдает исключения и возвращает некорректный результат. Функция pow работает корректно. В результате получаем комплексное число 2j, что является верным.

Вывод

В Python существуют два универсальных способа для извлечения корня из числа. Это возведение в необходимую степень 1/n. Кроме того, можно воспользоваться функцией из математического модуля языка, если необходимо извлечь квадратный корень числа.

Все эти методы имеют свои преимущества и недостатки. Самый наглядный это sqrt, но подходит только для квадратный корней из числа. Остальные методы не такие элегантные, но легко могут извлечь корень нужной степени из числа. Кроме того оператор ** оказался наиболее быстрым при тестировании.

Необходимо также помнить про целочисленное деление, неправильное использование которого может приводить к ошибке в вычислении.

N-й корень и рациональные экспоненты

Результаты обучения

• Упростите корни N-й степени.
• Запишите радикалы как рациональные экспоненты.

Использование рациональных корней

Хотя квадратные корни являются наиболее распространенными рациональными корнями, мы также можем найти кубические корни, корни четвертой степени, корни пятой степени и многое другое. Так же, как функция квадратного корня является обратной функцией возведения в квадрат, эти корни являются обратными функциями соответствующих степенных функций. Эти функции могут быть полезны, когда нам нужно определить число, которое при возведении в определенную степень дает определенное число.{5} = — 243 [/ латекс]. Если [latex] a [/ latex] является действительным числом с хотя бы одним n -м корнем, то основной n -й корень [latex] a [/ latex] — это число с тем же знаком, что и [latex] a [/ latex], который при увеличении до n в -й степени равен [latex] a [/ latex].

Главный n -й корень [латекса] a [/ latex] записывается как [latex] \ sqrt [n] {a} [/ latex], где [latex] n [/ latex] является положительным целым числом больше чем или равно 2. В радикальном выражении [латекс] n [/ латекс] называется индексом и радикала.

A Общее примечание: основной

Если [latex] a [/ latex] является действительным числом с по крайней мере одним n -й корень, то основной n -й корень [latex] a [/ latex], записанный как [latex] \ sqrt [n] {a} [/ latex] — это число с тем же знаком, что и [latex] a [/ latex], которое при увеличении до n в -й степени равно [latex] a [/ latex]. Индекс , индекс радикала — [латекс] n [/ латекс].

Пример: упрощение

Упростите каждое из следующих действий:

1. [латекс] \ sqrt [5] {- 32} [/ латекс]
2. [латекс] \ sqrt [4] {4} \ cdot \ sqrt [4] {1,024} [/ латекс]
3. [латекс] — \ sqrt [3] {\ dfrac {8 {x} ^ {6}} {125}} [/ латекс]
4. [латекс] 8 \ sqrt [4] {3} — \ sqrt [4] {48} [/ латекс]

1. [латекс] \ sqrt [5] {- 32} = — 2 [/ латекс], потому что [латекс] {\ left (-2 \ right)} ^ {5} = — 32 \\ \ text {} [/ латекс]
2. Во-первых, выразите произведение как одно радикальное выражение. {2}} {5} && \ text {Упростить}. \\ \ end {align} [/ latex]
3. [латекс] \ begin {align} \\ & 8 \ sqrt [4] {3} -2 \ sqrt [4] {3} && \ text {Упростите, чтобы получить одинаковые подкоренные выражения}. \\ & 6 \ sqrt [4] {3} && \ text {Добавить}. \ end {align} [/ latex]

Попробуйте

Упростить.

1. [латекс] \ sqrt [3] {- 216} [/ латекс]
2. [латекс] \ dfrac {3 \ sqrt [4] {80}} {\ sqrt [4] {5}} [/ латекс]
3. [латекс] 6 \ sqrt [3] {9000} +7 \ sqrt [3] {576} [/ латекс]

1. [латекс] -6 [/ латекс]
2. [латекс] 6 [/ латекс]
3. [латекс] 88 \ sqrt [3] {9} [/ латекс]

Использование рациональных экспонентов

Радикальные выражения также можно записывать без использования радикального символа.{m}} \ end {align} [/ latex]

Как: дано выражение с рациональной экспонентой, запишите выражение как радикал.

1. Определите степень, посмотрев на числитель экспоненты. {\ frac {2} {3}} [/ латекс] как радикал.{\ frac {23} {15}} [/ латекс]

   Внесите свой вклад!

   У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

   Улучшить эту страницуПодробнее

   дробных (рациональных) экспонентов | Purplemath

   Purplemath

   Вам уже известна одна взаимосвязь между сторонниками и радикалами: соответствующий радикал «отменит» показатель, а правая сила «отменит» корень.Например:

   Но есть еще одно соотношение, которое, кстати, может значительно упростить вычисления, подобные приведенным выше.

   MathHelp.com

   Для квадратного (или «второго») корня мы можем записать его как половинную степень, например:

   . ..или:

   Кубический (или «третий») корень — это степень одной трети:

   Корень четвертой степени равен одной четвертой степени:

   Корень пятой степени равен одной пятой степени; и так далее.

   Глядя на первые примеры выше, мы можем переписать их так:

   Вы можете ввести дробные показатели на вашем калькуляторе для оценки, но не забудьте использовать круглые скобки.Если вы пытаетесь вычислить, скажем, 15 ^(4/5) , вы должны заключить в скобки «4/5», потому что в противном случае ваш калькулятор будет думать, что вы имеете в виду «(15 ⁴ ) ÷ 5».

   ---

   Дробные показатели обеспечивают большую гибкость (вы часто это увидите в исчислении), их часто проще написать, чем эквивалентный радикальный формат, и они позволяют выполнять вычисления, которые вы не могли раньше. Например:

   Всякий раз, когда вы видите дробную экспоненту, помните, что верхнее число — это степень, а нижнее число — это корень (если вы конвертируете обратно в радикальный формат).Например:

   Кстати, некоторые десятичные степени могут быть записаны и в виде дробных показателей. Если вам дано что-то вроде «3 ^5,5 », вспомните, что 5,5 = 11/2, поэтому:

   ---

   Однако, как правило, когда вы получаете десятичную степень (что-то другое, кроме дроби или целого числа), вы должны просто оставить ее как есть или, если необходимо, вычислить ее в своем калькуляторе. Например, 3 π , где π — это число, которое вы узнали в геометрии, и примерно равно 3.14159, нельзя упростить или преобразовать в радикал.

   ---

   Технический момент: когда вы имеете дело с этими показателями с переменными, вам, возможно, придется принять во внимание тот факт, что вы иногда получаете ровные корни. Подумайте об этом: предположим, вы начали с числа –2. Тогда:

   Другими словами, вы вводите отрицательное число и получаете положительное число! Это официальное определение абсолютной величины:

   .

   Да, я знаю: они никогда не говорили вам этого, но они ожидают, что вы каким-то образом узнаете, поэтому я говорю вам сейчас.

   Итак, если они дадут вам, скажем, x ^3/6 , тогда x лучше не быть отрицательным, потому что x ³ все равно будет отрицательным, и вы попытаетесь извлечь шестой корень отрицательного числа. Если они дадут вам x ^4/6 , тогда отрицательное значение x станет положительным (из-за четвертой степени) и тогда будет корень шестой степени, поэтому он станет | x | ^2/3 (за счет уменьшения дробной мощности). С другой стороны, если они дадут вам что-то вроде x ^4/5 , вам не нужно заботиться о том, является ли x положительным или отрицательным, потому что пятый корень не имеет проблем с отрицательными. (Между прочим, эти соображения не имеют значения, если в вашей книге указано, что вы должны «предполагать, что все переменные неотрицательны».)

   ---

   Технологический момент: калькуляторы и другое программное обеспечение не вычисляют вещи так, как это делают люди; они используют заранее запрограммированные алгоритмы.Иногда конкретный метод, используемый калькулятором, может создать трудности в контексте дробных показателей.

   Например, вы знаете, что кубический корень из –8 равен –2, а квадрат –2 равен 4, поэтому (–8) ^(2/3) = 4. Но некоторые калькуляторы возвращают комплексное значение или сообщение об ошибке, как в случае с одним из моих графических калькуляторов:

   Очевидно, это не ожидаемый результат, особенно если вы еще не изучали комплексные числа. (2/3) «в ячейку, электронная таблица Microsoft» Excel «возвращает ошибку» # ЧИСЛО! «, Еще один бесполезный ответ.

   Некоторые калькуляторы и программы будут выполнять вычисления, как ожидалось, как показано справа от моего другого графического калькулятора:

   Разница связана с заранее запрограммированными вычислительными алгоритмами. Эти алгоритмы обычно пытаются выполнять вычисления способами, требующими наименьшего количества «операций», чтобы обработать введенные вами данные как можно быстрее.

   Но иногда самый быстрый метод не всегда самый полезный, и ваш калькулятор «давится».

   К счастью, проблему можно обойти. Разделив числитель и знаменатель дробной степени, вы можете ввести выражение, чтобы ваш калькулятор получил правильное значение. Получив бесполезный ответ в моем первом калькуляторе, я повторно ввел число с разбитой на части степенью:

   Как вы можете видеть выше, не имело значения, возьму ли я сначала кубический корень из отрицательной восьмерки, а затем возведу в квадрат или сначала возведу в квадрат, а затем получу кубический корень; в любом случае, подавая числитель и знаменатель в калькулятор по отдельности, я смог заставить калькулятор возвращать правильное значение «4».

   ---

   URL: https://www.purplemath.com/modules/exponent5.htm

   степеней и корней — формулы, примеры, викторины | Учебник по математике

   В этом учебном пособии по математике мы вводим экспоненты / степени и корни с использованием формул, решаемых примеров и практических вопросов.
   

   Полномочия и корни | Формулы, решенные примеры, практические задачи

   Показатели, также называемые степенями, представляют собой способ выражения числа, умноженного на само себя в определенное количество раз.

   Когда мы пишем число a , на самом деле это ¹ , выраженное как a в степени 1.

   а ² = а * а

   a ³ = a * a * a
   :
   :
   a ⁿ = a * a * a * a *. . . п раз.
   

   Основные формулы в Powers and Roots

   Некоторые основные формулы, используемые для решения вопросов об экспонентах:

   • ( ^м ) ⁿ = ( ⁿ ) ^м = ^м
   • а ^м . a ⁿ = a ^{m + n}
   • a ^-м = 1 / a ^м
   • a ^м / a ⁿ = a ^m-n = 1 / a ^n-m
   • (ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ
   • (a / b) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ
   • а ⁰ = 1

   2 ² = 4. 2 ³ = 8. Это то, что мы узнаем в экспонентах.

   √4 = 2. ³ √8 = 2.Это то, что мы узнаем в корнях.

   Здесь √ называется квадратным корнем или порядка 2 ^nd .

   ³ √ называется кубическим корнем или порядка 3 ^rd .

   Точно так же мы можем получить корень числа любого порядка.

   ⁿ √a называется surd порядка n.

   Обозначение ⁿ √ называется радикальным знаком,

   n называется порядком сурда и

   a называется подкоренным.

   Некоторые основные формулы, используемые для решения вопросов о корнях:

   • ⁿ √a = a ^{1 / n}
   • ⁿ √ab = ⁿ √a * ⁿ √b
   • ⁿ √ (a / b) = ⁿ √a / ⁿ √b
   • ( ⁿ √a) ⁿ = a

   Решенные примеры в Powers & Roots

   Рассмотрим несколько примеров:

   Задача 1. Упростить (7.5 * 10 ⁵ ) / (25 * 10 ^-4 )

   Решение :

   (7,5 * 10 ⁵ ) / (25 * 10 ^-4 )

   → (75 * 10 ⁴ ) / (25 * 10 ^-4 )

   Отмена 75 с 3 умножением на 25 и применение формулы ^м / a ⁿ = a ^m-n

   → 3 * 10 ^{4 — (- 4)}

   → 3 * 10 ⁸

   Задача 2. Найти x, если 3 ^2x-1 + 3 ^{2x + 1} = 270.

   Решение :

   Вычитая обыкновенный термин, получаем

   → 3 ^2х-1 (1 + 3 ² )

   Обратите внимание, что здесь мы применили формулу a ^{m + n} = a ^m .a ⁿ в письменном виде 3 ^{2x + 1} как произведение 3 ^2x-1 и 3 ² .

   → 3 ^2х-1 (10) = 270

   → 3 ^2х-1 = 27

   → 3 ^2x-1 = 3 ³

   → 2х-1 = 3

   → х = 2.

   Задача 3. Упростить [10 [(216) ^1/3 + (64) ^1/3 ] ³ ] ^3/4

   Решение :

   [10 [(6 ³ ) ^1/3 + (4 ³ ) ^1/3 ] ³ ] ^3/4

   → [10 [6 + 4] ³ ] ^3/4

   → [10 (10) ³ ] ^3/4

   → (10 ⁴ ) ^3/4

   → 10 ³ = 1000.

   Задача 4. Упростить [4 ^0,08 * (2 ^0,22 ) ² ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

   Решение :

   [4 ^0,08 * (2 ^0,22 ) ² ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

   Применяя формулу (a ^m ) ⁿ = (a ⁿ ) ^m к подчеркнутой части,

   → [4 ^{0. 08} * (2 ² ) ^0,22 ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

   → [4 ^0,08 * 4 ^0,22 ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

   Применяя формулу a ^m .a ⁿ = a ^{m + n} к числителю,

   → [4 ^{0,08 + 0,22} ] ¹⁰ / [16 ^0.16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

   Упрощение знаменателя,

   → [4 ^0,3 ] ¹⁰ / [(4 ² ) ^0,16 * (4 ² ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

   Применяя формулу a ^m .a ⁿ = a ^{m + n}

   → 4 ³ / [(4 ² ) ^{0,16 + 0,74 + 0,1} ]

   → 4 ³ / (4 ² ) ¹

   Применяя формулу a ^m / a ⁿ = a ^m-n ,

   = 4.

   Задача 5. Упростить √ (5 + 3√2) + [1 / √ (5 + 3√2)]

   Решение :

   Упрощение такого выражения также означает, что знаменатель следует рационализировать. Рационализация выражения означает удаление всех имеющихся квадратных корней.

   Термин, который рационализирует, называется сопряженным. В этом примере, чтобы рационализировать 5 + 3√2, мы используем 5-3√2. Следовательно, 5-3√2 называется сопряженным с 5 + 3√2 и наоборот.

   Рассмотрим 5 + 3√2 = x.

   [√x + (1 / √x)] ² = x + 1 / x + 2 * √x * 1 / √x

   → (5 + 3√2) + (1 / (5 + 3√2)) + 2

   В знаменателе 5 + 3√2. Чтобы удалить квадратный корень, умножим 1 / (5 + 3√2) на (5-3√2) / (5-3√2). Умножение на это никоим образом не меняет значения термина, но помогает рационализировать знаменатель и упростить выражение.

   → (5 + 3√2) + ((5-3√2) / (5 + 3√2) (5-3√2) ) + 2

   Применение формулы (a + b) (a-b) = a ² — b ² к подчеркнутой части,

   → (5 + 3√2) + [(5-3√2) / (5 ² — (3√2) ² ] + 2

   → (5 + 3√2) + [(5-3√2) / (25 — (9 * 2)] + 2

   → (5 + 3√2) + [(5-3√2) / 7] + 2

   → [7 (5 + 3√2) + (5-3√2) + 2 (7)] / 7

   → [35 + 21√2 + 5 — 3√2 + 14] / 7

   → [54 + 18√2] / 7

   Поскольку исходное выражение было возведено в квадрат для исключения корней, нам нужно применить квадратный корень к этому выражению.

   → √ ([54 + 18√2] / 7)

   Примечание. Поскольку мы знали, что результат выражения будет положительным, мы смогли возвести в квадрат, а затем извлечь квадратный корень из выражения. Если есть сомнения в том, что это может быть отрицательно, мы воздержимся от этого.

   Задача 6. Если a ² + b ² + c ² = ab + bc + ca, упростите [x ^a / x ^b ] ^ab * [x ^b / x ^c ] ^bc * [x ^c / x ^a ] ^ca

   Решение :

   Применяя ^m / a ⁿ = a ^m-n , получаем

   → (x ^a-b ) ^a-b * (x ^b-c ) ^b-c * (x ^c-a ) ^c-a

   Применяя формулу (a-b) ² = a ² + b ² -2ab в экспоненте,

   → x ^{(a 2 + b 2 — 2ab)} * x ^{(b 2 + c 2 — 2bc)} * x ^{(c 2 + a 2 — 2ca )}

   Применение ^м .a ⁿ = a ^{m + n}

   → x ^{(a 2 + b 2 — 2ab + b 2 + c 2 — 2bc + c 2 + a 2 — 2ca)}

   → x ^{(2 (a 2 + b 2 + c 2 — (ab + bc + ca)))}

   → х ^{(2 (0))}

   → x ⁰ = 1.

   Задача 7. Что больше: ⁴ √3 или ³ √4?

   Решение :

   Чтобы сравнить два сюрда, они должны быть похожими i.е., они должны быть одного порядка.

   ⁴ √3 — это сюрд из 4 ^{-го порядка} и ³ √4 — это сюрд из 3 ^{-го порядка} .

   ⁴ √3 можно записать как 3 ^1/4 и ³ √4 как 4 ^1/3 .

   Пока еще нет возможности сравнить. Для этого нам нужно взять НОК двух заказов и выразить их как сурды одного заказа.

   НОК 3 и 4 равно 12.

   1/4 можно записать как (1/4) * (3/3) = 3/12 И 1/3 можно записать как (1/3) * (4/4) = 4/12.

   3 ^1/4 можно записать как 3 ^3/12 4 ^1/3 можно записать как 4 ^4/12 .

   3 ^3/12 = (3 ³ ) ^1/12 = ¹² √27 4 ^4/12 = (4 ⁴ ) ^1/12 = ¹² √256

   Теперь сравнение между ¹² √27 и ¹² √256.

   Очевидно, ¹² √256 больше, чем 256> 27.

   Следовательно, ³ √4> ⁴ √3

   Тест на полномочия и корни: решите следующие проблемы :

   Проблема 1

   Если (2 ¹⁰ ,2 ⁿ ,4 ³ ) / (8 ⁿ ,16) = 16, найдите n.

   A. 3
   B. 2
   C. 5
   D. 4

   Ответ 1

   Д.

   Пояснение

   (2 ¹⁰ .2 ⁿ . (2 ² ) ³ ) / (2 ³ ) ⁿ ,2 ⁴ = 2 ⁴

   Применяя формулу a ^m / a ⁿ = a ^m-n и принимая только показатели степени,

   → 16 + п — (3n + 4) = 4

   → 12 + п — 3n — 4 = 4

   Проблема 2

   Если x ^{a + b + c} = 3, найдите значение (x ^{2a — b} / x ^-b ). (x ^{2b — c} / x ^-c ).(x ^{2c — a} / x ^-a )

   A. 3
   B. 6
   C. 9
   D. Нет

   Ответ 2

   С.

   Пояснение :

   Применение ^m / a ⁿ = a ^m-n ,

   → х ^{2a — b + b} . х ^{2б — с + с} . х ^{2c — а + а}

   Применение ^m .a ⁿ = a ^{m + n} ,

   → х ^{2a + 2b + 2c}

   → (х ^{a + b + c} ) ²

   → 3 ² = 9

   Функция, обратная квадратному корню

   Чтобы найти обратную функцию квадратного корня, важно сначала набросать или изобразить данную проблему, чтобы четко определить, что такое область и диапазон.Я буду использовать домен и диапазон исходной функции, чтобы описать область и диапазон обратной функции, меняя их местами. Если вам нужна дополнительная информация о том, что я имел в виду под «обменом доменов и диапазонов» между функцией и ее обратной, см. Мой предыдущий урок об этом.

   ---

   Примеры того, как найти обратную функцию квадратного корня

   Пример 1: Найдите обратную функцию, если она существует. Укажите его домен и диапазон.

   Каждый раз, когда я сталкиваюсь с функцией извлечения квадратного корня с линейным членом внутри радикального символа, я всегда думаю о ней как о «половине параболы», нарисованной сбоку.Поскольку это положительный случай функции квадратного корня, я уверен, что ее диапазон будет становиться все более положительным, проще говоря, стремительно увеличиваясь до положительной бесконечности.

   Эта конкретная функция извлечения квадратного корня имеет этот график с указанием области и диапазона.

   С этого момента мне нужно будет решить обратную алгебру, выполнив предложенные шаги. По сути, замените \ color {red} f \ left (x \ right) на \ color {red} y, поменяйте местами x и y в уравнении, решите для y, которое вскоре будет заменено соответствующей обратной записью, и, наконец, укажите домен и диапазон.

   Не забудьте использовать методы решения радикальных уравнений для решения обратной задачи. Возведение квадратного корня в квадрат или во вторую степень должно устранить радикал. Однако вы должны сделать это с обеими сторонами уравнения, чтобы сохранить баланс.

   Убедитесь, что вы проверили домен и диапазон обратной функции из исходной функции. Они должны быть «противоположны друг другу».

   Размещение графиков исходной функции и обратной к ней по одной координатной оси.2} = 1. Его домен и диапазон будут замененной «версией» исходной функции.

   ---

   Пример 3: Найдите обратную функцию, если она существует. Укажите его домен и диапазон.

   Это график исходной функции, показывающий ее домен и диапазон.

   Определение диапазона обычно является сложной задачей. Лучший способ найти это — использовать график данной функции с ее областью определения. Проанализируйте, как функция ведет себя по оси Y, учитывая значения x из области.

   Вот шаги, чтобы решить или найти обратное значение данной функции квадратного корня.

   Как видите, все очень просто. Убедитесь, что вы делаете это осторожно, чтобы избежать ненужных алгебраических ошибок.

   ---

   Пример 4: Найдите обратную функцию, если она существует. Укажите его домен и диапазон.

   Эта функция составляет 1/4 (четверть) окружности с радиусом 3, расположенной в Квадранте II. С другой стороны, это половина полукруга, расположенная над горизонтальной осью.

   Я знаю, что он пройдет проверку горизонтальной линии, потому что ни одна горизонтальная линия не пересечет ее более одного раза. Это хороший кандидат на обратную функцию.

   Опять же, я могу легко описать диапазон, потому что потратил время на его построение. Что ж, я надеюсь, что вы понимаете важность наличия наглядного пособия, которое поможет определить этот «неуловимый» диапазон.

   Присутствие члена в квадрате внутри радикального символа говорит мне, что я буду применять операцию извлечения квадратного корня к обеим сторонам уравнения, чтобы найти обратное.Поступая так, у меня будет положительный или отрицательный результат. Это ситуация, когда я приму решение, какую из них выбрать в качестве правильной обратной функции. Помните, что обратная функция уникальна, поэтому я не могу позволить получить два ответа.

   Как мне решить, какой выбрать? Ключевым моментом является рассмотрение домена и диапазона исходной функции. Я поменяю их местами, чтобы получить домен и диапазон обратной функции. Используйте эту информацию, чтобы определить, какая из двух функций-кандидатов удовлетворяет требуемым условиям.

   Хотя у них один и тот же домен, диапазон здесь — решающий фактор! Диапазон говорит нам, что обратная функция имеет минимальное значение y = -3 и максимальное значение y = 0.

   Случай положительного квадратного корня не соответствует этому условию, так как он имеет минимум при y = 0 и максимум при y = 3. Отрицательный случай должен быть очевидным выбором, даже после дальнейшего анализа.

   ---

   Пример 5: Найдите обратную функцию, если она существует. Укажите его домен и диапазон.

   Полезно увидеть график исходной функции, потому что мы можем легко определить ее домен и диапазон.

   Отрицательный знак функции квадратного корня означает, что он находится ниже горизонтальной оси. Обратите внимание, что это похоже на Пример 4. Это также одна четверть круга, но с радиусом 5. Область вынуждает четверть круга оставаться в Квадранте IV.

   Вот как мы находим его алгебраически обратный.

   Вы выбрали правильную обратную функцию из двух возможных? Ответ — случай с положительным знаком.

   ---

   Практика с рабочими листами

   ---

   Возможно, вас заинтересует:

   Инверсия матрицы 2 × 2

   Функция, обратная абсолютному значению

   Функция, обратная постоянной

   Функция, обратная экспоненте

   Функция, обратная линейной функции

   Обратная логарифмическая функция

   Обратная квадратичная функция

   Обращение рациональной функции

   Корень (числа) — определение математического слова

   Корень (числа) — определение математического слова — Открытый справочник по математике

   Корень числа x — это другое число, которое при умножении само на себя заданное количество раз равно x.

   Например, третий корень (также называемый кубическим корнем) из 64 равен 4, потому что если вы умножите три четверки вместе, вы получите 64:

   4 × 4 × 4 = 64

   Это было бы записано как Вышеупомянутое будет означать «третий корень из 64 равен 4» или «кубический корень из 64 равен 4» .
   • Второй корень обычно называют «квадратным корнем».
   • Третий корень числа обычно называют «кубическим корнем»,
   • После этого они называются корнем n, например корень 5, корень 7 и т. Д.

   Иногда бывает два корня

   Для каждого корня четной степени (например, 2-го, 4-го, 6-го….) есть два корня. Это потому, что умножение двух положительных или двух отрицательных чисел дает положительный результат. Например, рассмотрим квадратный корень из 9.

   Какое число, умноженное на само себя, даст 9?
   Очевидно 3 будут работать:

   3 × 3 = 9

   Но так будет -3:

   -3 × -3 = 9

   Когда таких корней два, если не указано иное, мы имеем в виду положительный. Строго говоря, когда мы пишем √ 4, мы имеем в виду положительный корень +2.Это называется «главный корень».

   Корни отрицательных чисел

   У отрицательных чисел нет реальных корней четного порядка. Например, квадратного корня из -9 не существует, потому что -3 × -3 = + 9, а также +3 × +3 = + 9. Это относится ко всем корням четного порядка, 2-му (квадратному) корню, 4-му корню, 6-му корню и так далее.

   Однако — это корней нечетного порядка отрицательных чисел. Например, –3 — это кубический корень из –27. Это потому что –3 × –3 × –3 = –27.Первые два члена при умножении дают +9, затем следующее умножение дает
   +9 × –3 = –27. Это относится ко всем корням нечетного порядка, таким как 3-й (кубический) корень, 5-й корень, 7-й корень и т. Д.

   Мнимые числа

   Выше сказано, что действительного квадратного корня из отрицательного числа не существует. Обратите внимание на слово «настоящий». Это говорит о том, что нет настоящий номер это квадратный корень отрицательного числа.

   Однако в математике и инженерии нам часто нужно найти квадратный корень из отрицательного числа.Чтобы решить эту проблему, мы вводим понятие «мнимого» числа. Он включает в себя символ i , который обозначает квадратный корень из отрицательного числа. Или, другими словами, i ² = –1

   На практике мы можем использовать его для выражения квадратного корня из любого отрицательного числа. Например Это означает, что квадратный корень из –25 — это квадратный корень из +25, умноженный на квадратный корень из отрицательной единицы.

   Подробнее о мнимых числах см. Мнимые числа.

   Символы

   Радиканд

   Вещь, корень которой вы находите.

   Радикальный символ

   Символ √ , означающий «корень из». Длина турника важна. См. Примечание ниже.

   Степень

   Сколько раз подкоренное выражение умножается само на себя. 2 означает квадратный корень, 3 означает кубический корень. После этого они называются корень 4-й, 5-й и так далее. Если он отсутствует, предполагается, что это 2 — квадратный корень.

   Другой способ записи

   Корни также можно записать в экспоненциальной форме. В общем Так, например, кубический корень x будет записан Что будет произноситься как «х в степени одной трети».

   Другие экспоненты и основные темы

   (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
   Все права защищены.

   Как преобразовать корни в дробные экспоненты — стенограмма видео и урока

   Запись корня в виде экспоненты

   Любое радикальное выражение можно записать в виде экспоненциального выражения. Результат будет иметь показатель степени, который является дробью. Следующие шаги описывают, как должно быть записано экспоненциальное выражение:

   1. Индекс радикала, который является корнем, становится знаменателем дроби
   2. Подкоренное выражение становится основой экспоненциального выражения, а
   3. Если подкоренное выражение радикального выражения имеет показатель степени, это число становится числителем дроби; в противном случае цифра 1 записывается как числитель

   Пример 1

   В этом первом примере подкоренное выражение равно 28 и становится основанием экспоненциального выражения.Корень радикала равен 5 и становится знаменателем показателя степени. Поскольку подкоренное выражение не имеет показателя степени, числитель дробной степени равен 1.

   Пример 2

   Во втором примере нет числа, записанного в качестве индекса радикала. Следовательно, корень равен 2. Подкоренное выражение равно 7 с показателем степени 3. 7 становится основанием экспоненциального выражения, а 3 становится числителем показателя степени.Знаменатель показателя степени равен 2, потому что корень равен 2.

   Преобразование корня использует

   При выполнении операций с радикальными выражениями, таких как умножение или деление, может быть очень трудно решить, если они имеют разные корни. Преобразуя их в экспоненциальные выражения, можно применять свойства экспонент, что упрощает умножение и деление выражений.

   В следующем примере показано, как перемножить два радикала, которые имеют одно и то же подкоренное выражение, но разные корни.Во-первых, они преобразуются в экспоненциальные выражения. Затем они умножаются, применяя свойство произведения экспоненты. Свойство продукта экспоненты позволяет вам просто добавлять показатели, когда основания совпадают.

   Итоги урока

   Хорошо, давайте сделаем обзор. Сначала мы узнали о различных частях радикальных выражений; в основном то, что часть выражения, записанная внутри радикального символа, называется подкоренным элементом и , а индекс — это число, записанное за пределами радикального символа меньшим размером шрифта.

   Затем мы узнали, как радикальные выражения имеют корни, которые можно переписать как дроби в экспоненциальных выражениях. Корень радикала определяется индексом и становится знаменателем показателя степени в экспоненциальном выражении. Подкормка становится основой.

   Если подкоренное выражение имеет показатель степени, это число становится числителем дробной степени. В противном случае в числителе записывается 1.

   Поиск корней — Бесплатная справка по математике

   Что такое «рут»?

   Корень — это значение, для которого заданная функция равна нулю.Когда эта функция отображается на графике, корнями являются точки, в которых функция пересекает ось x.

   Для функции \ (f (x) \) корнями являются значения x, для которых \ (f (x) = 0 \). Например, с функцией \ (f (x) = 2-x \) единственный корень будет \ (x = 2 \), потому что это значение дает \ (f (x) = 0 \).

   Конечно, легко найти корни такой тривиальной проблемы, но как насчет чего-то безумного вроде этого:

   $$ f (x) = \ frac {(2x-3) (x + 3)} {x (x-2)} $$

   Шаги по поиску корней рациональных функций

   1. Установить каждый множитель в числителе равным нулю.

   2. Решите этот множитель относительно x.

   3. Проверьте множители знаменателя, чтобы убедиться, что вы не делите на ноль!

   Числитель Коэффициенты

   Помните, что коэффициент — это что-то умножаемое или делимое, например \ ((2x-3) \) в приведенном выше примере. Итак, два множителя в числителе — это \ ((2x-3) \) и \ ((x + 3) \). Если или из этих факторов могут быть равны нулю, тогда вся функция будет равна нулю.Не имеет значения (ну, есть исключение), что говорит остальная часть функции, потому что вы умножаете на член, равный нулю.

   Итак, суть в том, чтобы выяснить, как сделать числитель нулевым, и вы нашли свои корни (также известные как нули по понятным причинам!). В этом примере у нас есть два множителя в числителе, поэтому любой из них может быть равен нулю. Давайте установим их (по отдельности) равными нулю, а затем решим для значений x:

   $$ 2x — 3 = 0 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = \ frac {3} {2} $$

   И

   $$ x + 3 = 0 $$ $$ x = -3 $$

   Итак, \ (x = \ frac {3} {2} \) и \ (x = -3 \) становятся нашими корнями для этой функции.Они также являются пересечениями по оси x при нанесении на график, потому что y будет равно 0, когда x равен 3/2 или -3.

   Факторы знаменателя

   Как и в случае с числителем, знаменатели умножаются на два множителя. Это \ (x \) и \ (x-2 \). Приравняем их к нулю и решим:

   $$ x = 0 $$

   И

   $$ x — 2 = 0 $$ $$ x = 2 $$

   Это , а не корней этой функции. Посмотрите, что происходит, когда мы подставляем 0 или 2 для x. В знаменателе получаем ноль, что означает деление на ноль.Это означает, что на данный момент функции не существует. Фактически, x = 0 и x = 2 становятся нашими вертикальными асимптотами (нулями в знаменателе). Итак, существует вертикальная асимптота при x = 0 и x = 2 для указанной выше функции.

   Вот геометрическое изображение того, как выглядит приведенная выше функция, включая ОБЕ х-пересечения и ОБЕИ вертикальные асимптоты:

   Сводка

   Корни функции — это значения x, для которых функция равна нулю. Их также называют нулями. Когда дана рациональная функция, обнулить числитель путем обнуления факторов по отдельности.Убедитесь, что ваши нули не превращают знаменатель в ноль, потому что тогда у вас будет не корень, а вертикальная асимптота.

   Найдите корни данного уравнения ниже:

   .

Исключение из современных учебников физики инертной массы и замена ее массой покоя представляется ошибкой. Эта тема была поднята автором в статье [1,2]. Здесь приведены дополнительные рассуждения в подтверждение такого тезиса.

Конец 20-го века ознаменовался великой путаницей с физическим понятием «масса тела».

1. Масса покоя

В начале века, до создания теории относительности, было все ясно. Массой тела, m, называлось количество вещества тела, и в то же время масса являлась мерой инертности тела. Инертность тела определяет его «количество движения» при заданной скорости v движения, то есть коэффициент пропорциональности в формуле

P = mv.     (1)

P — количество движения или, по-научному, импульс тела, а коэффициент m называется инертной массой.

Но массу как меру инертности тела можно определять и с помощью формулы

F = ma:     (2)

чем больше масса, тем меньше ускорение тела при заданной силе. Значение массы по формулам (1) и (2) получалось одно и то же, потому что формула (2) является следствием формулы (1), если инертная масса не зависит от времени и скорости.

То же значение массы можно было получить, взвесив тело, то есть измерив силу притяжения к земле или к любому другому заданному телу (масса которого обозначена M). В законе тяготения Ньютона фигурирует та же самая масса m,

,      (3)

но тут она называется гравитационной (пассивной) массой. В этом выражается эквивалентность инертной и гравитационной массы. Благодаря этой эквивалентности ускорение свободного падения, как известно, не зависит от природы и массы тела:

     (4)

2. Инертная масса

Однако при создании теории относительности выяснилось, что никакое тело нельзя разогнать до скорости света, потому что при приближении скорости тела к скорости света ускорение тела уменьшается до нуля, как бы ни была велика ускоряющая сила. Другими словами, выяснилось, что инертность тела возрастает до бесконечности при приближении его скорости к скорости света, хотя «количество вещества» тела, очевидно, остается при этом неизменным.

Выскажемся точнее по поводу увеличения инертности тела. Теория относительности показала, что импульс тела P при любых скоростях остается параллелен скорости v. Поэтому формулу P = mv можно сохранить неизменной при больших скоростях, если принять, что коэффициент m, то есть инертная масса, увеличивается с ростом скорости по закону

,      (5)

то есть для импульса тела справедливо выражение

.      (6)

В этих формулах m₀ — это то значение массы рассматриваемого тела, о котором говорилось вначале, то есть значение, которое можно получить после того, как тело затормозят до достаточно малой скорости. Его называют массой покоя тела. Поэтому формулы (1), (2), (3) следовало бы записать так: P = m₀v, F = m₀a, . Однако для малых скоростей, как видно из формулы (5), инертная масса равна массе покоя, m = m₀, и поэтому запись (1), (2), (3) в разделе «до теории относительности» корректна.

Для того, чтобы подчеркнуть, что инертная масса m зависит от скорости, ее называют иногда «релятивистской» массой: она оказывается различной с точки зрения различных наблюдателей, если эти наблюдатели движутся друг относительно друга. Однако существует выделенное значение инертной массы, именно, значение, которое наблюдает неподвижный относительно тела наблюдатель. Другими словами, масса покоя является выделенным значением инертной массы. Такое свойство инертной массы аналогично свойству времени: одни и те же часы имеют разную скорость хода с точки зрения различных наблюдателей. Однако существует собственная скорость хода часов.

При желании проверить формулу (6) вы должны измерить скорость v тела, а потом измерить импульс тела. Для этого следует затормозить тело некоторой преградой, все время замеряя силу F(t), с которой при торможении тело будет действовать на преграду, а потом проинтегрировать. Импульс, как известно, равен

     (7)

Эта процедура, по сути, задает операционное определение инертной массы.

Заметим, что формулы (5) и (6) остаются справедливыми и для объекта, у которого нет массы покоя, m₀ = 0, например, для фотона или нейтрино (если предположить, что масса покоя нейтрино равна нулю). Такие объекты обладают инертной массой и импульсом, но должны двигаться со скоростью света, их нельзя остановить, они исчезают при остановке. Тем не менее, несмотря на постоянство скорости движения, величина их инертной массы оказывается различной с точки зрения различных наблюдателей. Однако в этом случае не существует какого либо выделенного значения инертной массы. Либо, можно сказать, выделенное значение равно нулю.

Увеличение инертности тела при больших скоростях мы объяснили уменьшением ускорения при большой скорости. При этом мы сослались на формулу (2). И это допустимо. Однако именно в силу увеличения инертной массы с ростом скорости тела формула (2) при некоторых условиях изменяет свой вид. Это объясняется тем, что при фиксированном ускорении сила, если она имеет составляющую вдоль скорости, должна обеспечить не только возрастание скорости уже имеющейся массы

,      (5)

она должна обеспечить возрастание самой массы:

.      (8)

Коэффициент

называют иногда продольной массой [3] .

Если сила перпендикулярна скорости и, значит, не изменяет величину скорости и инертной массы, то формула F = ma сохраняет свой вид:

.      (9)

Последнее обстоятельство позволило Р. Фейнману предложить простой способ операционного определения инертной массы, основанный на формуле (9) и справедливый для любой скорости. «Массу можно измерить так: просто привязать предмет на веревочке, крутить его с определенной скоростью и измерять ту силу, которая необходима, чтобы удержать его.» [4]

При произвольном направлении силы относительно скорости тела коэффициент пропорциональности в формуле (2) следует рассматривать как некий оператор (тензор), превращающий вектор a в вектор F: F = a. Оператор зависит от величины и направления скорости тела и, вообще говоря, изменяет направление вектора. Это нетрудно принять. Ведь скорость v тела является его свойством, а сила F, действующая на тело — это внешний по отношению к телу фактор. Понятно, что результат воздействия силы, то есть ускорение a тела, может зависеть от соотношения направлений векторов F и v.

3. Гравитационная масса

Одновременно теория относительности показала, что не только инертность тела, но и его вес увеличивается с ростом скорости, причем по тому же закону (5) в соответствии с эквивалентностью инертной и гравитационной массы. Поэтому формула (8) для тела, падающего вниз со скоростью v, выглядит, грубо говоря, так:

= .

Точная формула для ускорения может быть получена в рамках общей теории относительности, как показано в конце статьи:

, .     (10)

Эта формула является релятивистским аналогом формулы (4).

4. Энергия

Теория относительности показала далее, что прирост инертной массы, m — m₀, умноженный на квадрат скорости света, равен как раз кинетической энергии тела:

(m √ m₀)c² = E_k.     (11)

Поэтому, если приписать покоящемуся телу энергию покоя E₀ = m₀c², то полная энергия E = E₀ + E_k тела оказывается пропорциональной инертной массе:

E = mc²     (12)

Эта знаменитая формула Эйнштейна провозглашает эквивалентность инертной массы и энергии. Два, доселе различных понятия, соединяются в одно.

Заметим, что формула (12), как и формулы (5) и (6) остается справедлива и для объекта, у которого нет массы и энергии покоя, m₀ = 0.

При желании проверить формулу (11) и одновременно убедиться в справедливости теории относительности вы должны измерить инертную массу и массу покоя тела как было объяснено выше, и, кроме того, измерить кинетическую энергию тела. Для этого следует при торможении тела упомянутой преградой все время замерять силу, с которой тело будет действовать на преграду в процессе торможения в функции перемещения l преграды, F(l), а потом проинтегрировать. Кинетическая энергия, равная, как известно, в данном случае работе, вычисляется по формуле

.

Здесь F(l)dl — скалярное произведение силы на инфинитезимальный вектор смещения преграды. Все это рассказано в [5] .

Формула (11) связывает инертную массу, массу покоя и кинетическую энергию. Используя формулу (6) для вычисления разности m² √ P²/c², легко связать инертную массу, массу покоя и импульс:

.      (13)

Для частиц с нулевой массой покоя получаем mc = P или E = Pc.

5. Система тел

При объединении нескольких тел в систему тел, как известно, их импульсы и их инертные массы складываются. Для двух тел это выглядит так:

P = P₁ + P₂, m = m₁ + m₂.     (14)

Другими словами, импульс и инертная масса аддитивны. Не так обстоит дело с массой покоя. Из формул (13), (14) следует, что масса покоя пары тел с массами покоя m₀₁, m₀₂ равна не сумме m₀₁ + m₀₂, а сложному выражению, зависящему от импульсов P₁, P₂:

.      (15)

Таким образом, масса покоя, вообще говоря, не аддитивна. Например, пара фотонов, не имеющих массу покоя, имеет массу покоя, если фотоны летят в разные стороны, и не имеет массу покоя, если фотоны летят в одну и ту же сторону.

Тем не менее, все три величины, P, m, m₀, подчиняются закону сохранения, то есть не изменяются со временем для замкнутой системы.

Однако ввиду неаддитивности массы покоя, на наш взгляд, нецелесообразно рассматривать массу покоя системы тел. Имеет смысл говорить лишь о сумме масс покоя отдельных тел системы. В действительности именно так поступают на практике. Когда говорят, что при неупругих соударениях увеличивается масса покоя, имеют ввиду не массу покоя системы, которая удивительным образом сохраняется неизменной при соударениях благодаря неаддитивности, а сравнивают именно сумму масс покоя тел до столкновения и массу покоя после столкновения. Точно так же, когда говорят о дефекте массы покоя при ядерных реакциях, имеют в виду не массу покоя, определяемую формулой (15), а сумму масс покоя частей системы.

6. Сравнение масс

Теперь уместно задать вопрос. Какую из двух масс, массу покоя или инертную массу следует назвать простым словом масса, обозначить буквой m без индексов и тем самым признать «главной» массой. Это — не терминологическая проблема. Здесь имеется серьезная психологическая подоплека.

Чтобы решить, какая из масс — главная, перечислим еще раз свойства обеих масс.

Масса покоя является постоянной величиной для данного тела и выражает «количество вещества тела». Она соответствует привычному дорелятивисткому ньютоновскому представлению о массе. Но она не эквивалентна энергии, не эквивалентна гравитационной массе, она не аддитивна и поэтому не используется как характеристика системы тел или частиц. Это последнее обстоятельство вызывает путаницу (см. [1] , стр. 1365) и мешает проявлению закона сохранения массы покоя. Фотоны и частицы, движущиеся со скоростью света, не обладают массой покоя. Операционное определение массы покоя частицы предполагает торможение ее до малой скорости без использования информации о текущем состоянии частицы.

Инертная масса это — релятивистская масса. Она принимает различное значение для различных наблюдателей, аналогично тому, как скорость хода часов оказывается различной относительно различных наблюдателей. Инертная масса эквивалентна энергии и гравитационной массе, она аддитивна и подчиняется закону сохранения. Инертной массой обладают частицы, не имеющие массы покоя. Операционное определение инертной массы основано на простой формуле P = mv.

На наш взгляд, инертную массу следует называть массой и обозначать m, как это и делалось в настоящей статье.

7. Психологическая подоплека

К сожалению, большое количество физиков считает массу покоя главной и обозначает ее m а не m₀, а инертную массу дискриминирует и оставляет без обозначения, что вносит дополнительную путаницу, поскольку из-за этого порой бывает трудно понять, о какой массе идет речь.

Эти физики соглашаются, например, с тем, что масса газа увеличивается при нагревании, потому что увеличивается содержащаяся в нем энергия, но психологический барьер мешает им попросту объяснить это увеличение ростом массы отдельных молекул вследствие увеличения их тепловой скорости.

Эти физики жертвуют представлением о массе как мере инертности в пользу ярлыка, прикрепляемого к каждой частице с информацией о неизменном «количестве вещества», потому что ярлык соответствует их привычному ньютоновскому представлению о массе. Они считают, например, что излучение, которое, согласно Эйнштейну [6] , «переносит инерцию между излучающими и поглощающими телами», не имеет массы, поскольку к излучению невозможно прикрепить ярлык.

Инертная масса отсутствует в издаваемых сейчас стандартных учебниках физики в России (И.В.Савельев) и за рубежом [7,8], а также в популярной литературе [9] . Этот факт, однако, скрыт тем обстоятельством, что сторонники массы покоя настойчиво называют массу покоя не массой покоя, а просто массой, словом, которое ассоциируется с мерой инерции.

Главная психологическая трудность заключается в том, чтобы отождествить массу и энергию (которая изменяется), чтобы принять эти две сущности, как одну. Легко принять формулу E₀ = m₀c² для покоящегося тела. Труднее принять справедливость формулы E = mc² для любой скорости. Замечательная формула E= mc² представляется, например, Л.Б. Окуню «безобразной» [10] .

Сторонники массы покоя, видимо, не в состоянии принять идею инертной, релятивистской массы так же, как ранее противники теории относительности не могли принять относительность времени. Ведь время жизни астронавта или нестабильной частицы изменяется так же, как изменяется их инертная масса: . Здесь уместно процитировать М. Планка: «Великая научная идея редко внедряется путем постепенного убеждения и обращения своих противников, редко бывает, что Савл становится Павлом. В действительности дело происходит так, что оппоненты постепенно вымирают, а растущее поколение с самого начала осваивается с новой идеей. » [11] К сожалению, великая идея релятивистской массы тщательно изолируется от молодежи. На данный момент статья [1, 2] отклонена редакциями следующих журналов: «Известия вузов. Физика», «Квант», «American Journal of Physics», «Physics Education» (Bristol), «Physics Today».

8. Шварцшильдовское пространство

Мы получим здесь формулу (10), рассмотрев пространство-время Шварцшильда общей теории относительности с выражением для интервала s [12] :

.

Уравнения радиальной геодезической линии могут быть получены по общей формуле, использующей коэффициенты связности :

,      (16)

.      (17)

Первый интеграл уравнения (16) легко находится:

.      (18)

Запишем теперь выражение для ускорения a, учитывая (18) и то, что соотношения между расстоянием l и временем , с одной стороны, и координатами r, t, с другой, даются формулами

, :

.

Выразив таким образом ускорение a через , мы можем теперь воспользоваться уравнением (17), а затем, вернувшись к l и , получить окончательно

, .     (10)

Список литературы

1. Храпко Р. И. Что есть масса? // Успехи физических наук. — 2000, N12. √ с.1363-1366.

2. Храпко Р. И. Что есть масса? — http://www.mai.ru. Труды МАИ, Вып.2.

3. Фриш С. Э., Тиморева А. В. Курс общей физики. Т. 3. — М.: ГИТТЛ, 1951.- 547 с.

4. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1. — М.: Мир, 1965. √ 232 с.

5. Храпко Р. И., Спирин Г.Г., Разоренов В. М. Механика. — М.: МАИ, 1993. √ 89 с.

6. Эйнштейн А. Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии. // Принцип относительности. — ОНТИ, 1935.- с.175-178.

7. Resnick R., Halliday D., Krane K. S. Physics. V.1 — N.Y.: J. Wiley, 1992.-592p.

8. Alonso M., Finn E. J. Physics — N.Y.: Addison-Wesley, 1995. -496p.

9. Taylor E. F., Wheeler J. A. Spacetime Physics. √ San Francisco: Freeman, 1966.- 631c. Русский перевод: Тейлор Э. Ф., Уилер Дж. А. Физика пространства-времени. √ М.: Мир, 1971.- 612c.

10. Окунь Л. Б. Понятие массы. // Успехи физических наук. — 1989, т. 158. — с.512-530.

11. Планк М. Происхождение научных идей и влияние их на развитие науки./ М. Планк.// Сборник статей к столетию со дня рождения Макса Планка. — М.: АНСССР, 1958.- с.52.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1973.- 504с.

Урок 7. законы динамики ньютона — Физика — 10 класс

Физика, 10 класс

Урок 7. Законы динамики Ньютона

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке: основные характеристики массы и силы; взаимодействие тел; законы динамики Ньютона и их особенности; экспериментальная проверка справедливости законов Ньютона.

Глоссарий по теме.

Масса – одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерциальные и гравитационные свойства.

Сила – векторная физическая величина, являющаяся мерой взаимодействия тел.

Взаимодействие – одновременное влияние (действие) тел друг на друга.

Равнодействующая сила производит на тело такое же действие (вызывает такое же действие), как несколько сил, одновременно приложенных к телу.

Инерция – явление сохранения скорости тела при отсутствии (или компенсации) действия на него других тел.

Инерциальная система отсчета – система отсчета, в которой тело, не взаимодействующее с другими телами, сохраняет состояние равномерного прямолинейного движения или покоя.

Неинерциальные системы отсчета — система отсчета, которая двигается с ускорением относительно инерциальной системы отсчета.

Список литературы:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 64 – 87.

О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов, А. В. Паномарева. Факультативный курс физики. М.: Просвещение, 1987. – С. 188 – 200.

Открытые электронные ресурсы:

http://kvant.mccme.ru/1971/05/zadachi_na_zakony_nyutona.htm

Основное содержание урока

Масса (лат. « massa» — ком, кусочек, глыба) — физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерциальные и гравитационные свойства.

Способы измерения массы:1) сравнение с эталоном; 2) взвешивание на весах. В классической механике масса — аддитивная величина; не зависит от рода взаимодействия и скорости движения тела.

Сила — мера взаимодействия тел. Атрибуты силы: точка приложения силы, линия действия силы, модуль силы.

Первый закон Ньютона (закон инерции): если на тело не действуют другие тела, то тело движется прямолинейно и равномерно.

Особенности первого закона Ньютона: указывает на существование инерциальных систем отсчета; равнодействующая всех сил равна нулю: F = 0.

Если есть одна инерциальная система отсчета, то любая другая система, движущаяся относительно неё прямолинейно и равномерно, также является инерциальной.

Второй закон Ньютон: ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него, и обратно пропорционально его массе: a =F/m.

Другая запись формулы второго закона Ньютона (основное уравнение динамики): F =ma.

Формулировка второго закона Ньютона для системы тел: приращение импульса ∆P_{системы тел} равно по величине и по направлению импульсу внешних сил F_вн, действующих на тело, за то же время: ∆p =(F∆ P_сист).

Особенности второго закона Ньютона: выполняется в инерциальных системах отсчета; скорость тела мала по сравнению со скоростью света; макрообъекты; постоянная масса; справедлив для любых сил; сила — причина, ускорение – следствие; вектор ускорения а сонаправлен с вектором F.

Согласно третьему закону Ньютона тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению:

F₁₂ =-F ₂₁

Особенности третьего закона Ньютона: выполняется в инерциальных системах отсчета; силы всегда действуют парами; силы являются силами одной природы; силы не уравновешивают друг друга; выполняется для всех сил в природе

Разбор тренировочных заданий

1. Вставьте в текст пропущенные слова из следующего ряда: действие, скорость, направление, деформация, нагревание.

Сила характеризует (_____________) одного тела на другое, в результате которого изменяется (___________) тела или происходит (______________) тел.

Правильный ответ: действие; скорость, деформация

2. Автомобиль массой 0,5 т. разгоняется с места равноускоренно и достигает скорости 40 м/с  за 20 с. Равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль равна __ кН.

Решение:

При V₀=0 ускорение автомобиля равно:

a =v /∆t

Следовательно, равнодействующая сила по второму закону Ньютона равна:

F = ma = mv/∆t

Проверка размерностей: F = кг ×  м/с  × с (-1)= [ Н ]

F= 500 кг ×  (40 м/с)/(20 с)= 1000 Н = 1 кН

Ответ: F= 1 кН.

Сила. Второй закон Ньютона

. : Сила. Второй закон Ньютона :.     В дополнение к кинематическим характеристикам движения (перемещение, скорость ускорение и др.) мы ввели новую величину, характеризующую поведение тела под влиянием другого тела – массу тела m. Однако её недостаточно для описания причин возникновения ускорения тела. Наличие ускорения у данного тела зависит от влияния на него другого тела, а масса m характеризует свойства самого тела независимо от того, какое влияние оно испытывает. Мы уже знаем, что при взаимодействии двух тел ускорения получают оба тела и что числовые значения этих ускорений обратно пропорционально массам тел. Однако нас обычно интересует движение одного какого-то тела, и тогда нам «безразлично», что это тело взаимодействует с каким-то другим телом. Если, к примеру, ми изучаем движение автомобиля, то знаем, что он взаимодействует с поверхностью Земли. Нас интересует движение автомобиля, а не Земли. Как известно, числовые значения ускорений двух взаимодействующих тел обратно пропорциональны их массам: или: a1m1=a2m2 Это равенство показывает, что произведения массы и приобретённого при взаимодействии ускорения по своему числовому значению одинаковы для обоих взаимодействующих тел. Для любого из двух взаимодействующих тел произведение ma отображает как свойства самого тела, так и влияние на него второго тела. Если влияние второго тела на данное тело изменится, то и величина ma также изменится. Таким образом, величину та можно принять за меру влияния второго тела на данное тело массой m. Величину, численно равную произведению массы данного тела и его ускорения, называют силой, действующей на данное тело: F= ma Поскольку ускорение — векторная величина, то и сила — величина векторная, и предыдущую формулу нужно записать так: Очевидно, что вектор силы и вектор ускорения, которое эта сила сообщает телу, одинаково направлены, ведь масса — величина скалярная. А при умножении вектора на скаляр получаем вектор того же направления, изменяется только его значение. Определение силы содержит и способ её экспериментального нахождения. из курса седьмого класса вы знаете, что силу можно найти иначе. Влияние одного тела на другое вызывает деформацию — изменение формы тела. Деформация зависит от значения силы. следовательно, по деформации можно определить приложенную силу. В некоторых случаях можно найти действующую силу, воспользовавшись известными из опытов законами, которым подчиняются те или иные виды сил (сила трения, сила электрического взаимодействия заряженных тел и др.). Из формулы F= ma можно найти единицу измерения силы. В СИ берут такую единицу силу, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н). Выше мы говорили лишь о влиянии одного тела на данное. Однако тело может взаимодействовать не с одним, а с несколькими телам. Тогда на него будет взаимодействовать не одна, а несколько сил одновременно. Эти силы можно сложить по правилу параллелограмма и найти равнодействующею всех приложенных сил. Ускорение, которое телу сообщают все силы вместе равно ускорению, которое получило бы тело под действием равнодействующей силы. Следовательно, в формуле: под F нужно понимать равнодействующею всех приложенных к телу сил. Связь между силой, массой и ускорением тела F= ma. выражает второй закон Ньютона, который формулируется так: сила, действующая на тело, равна произведению массы тела и его ускорения. Из этого уравнения чётко видно, что сила F – причина ускорения. Решив уравнение F= ma, получим выражение, показывающая изменение координаты тела со временем. Таким образом, можно узнать положение движущегося тела в любой момент времени. Поэтому уравнение, выражающие второй закон Ньютона, называют уравнением движения. Если координата x изменяется со временем, то тело движется вдоль оси X с постоянным ускорением. В соответствии со вторым законом Ньютона это значит, что к телу приложена постоянная сила Fx, направленная вдоль оси и равная по модулю max.                 Второй закон Ньютона очень часто применяется для решения задач. Рассмотрим это на конкретном примере. Пусть имеются два тела с массами m1 и m2, которые связаны нитью, перекинутой через блок, установленный на вершине наклонной плоскости. Пренебрегая массами нити и блока, можно найти ускорение, с которым будет двигаться эта система тел. Груз m1 взаимодействует с наклонной плоскостью, нитью и Землёй. Данные тела являются источниками четырёх си: силы реакции опоры N, силы трения скольжения µ N, сила натяжения нити Т, и сила тяжести m1g. Груз m2 взаимодействует лишь с Землёй и нитью, поэтому к нему приложены только две силы – сила тяжести m2g,и сила натяжения нити Т.(Пример №1). Если приложенных к грузам сил отлична от нуля, то грузы начнут двигаться с ускорением, которое можно найти с помощью второго закона Ньютона. Направления движения тел в общем случае зависят от масс тел, угла наклона плоскости и коэффициента трения. Если перетягивая груз m2,то сила трения, приложенная к телу m1, оказывается направленной вниз. Применительно к телу m1 второй закон Ньютона, записывается в проекциях на оси X и Y, даёт: m1a= T-m1gsina- µ N, 0=N-m1gcosa, Применяя тот же закон к телу m2, получаем: m2а= m2п-Т, Из этих уравнений находим ускорение: а=((m2-m1sina- µm1cosa)/m2+m1)g, Если предположить, что перетягивает тело m1(сила трения изменяется на противоположную), получаем другой ответ: а=((msina-m2-µm1cosa)/m2+m1)g, Так как модули ускорения а>0, то заданных значениях а(угол) и µ, первое из получившихся уравнений справедливо при условии: m2>=m1(sina+µcosa), а второе: m2, Следовательно второй закон Ньютона позволяет добить массу информации о рассматриемай системе.         Используются технологии uCoz

Механика 1

Центробежная сила • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Во вращающейся системе отсчета наблюдатель испытывает на себе действие силы, уводящей его от оси вращения.

Вам, наверное, доводилось испытывать неприятные ощущения, когда машина, в которой вы едете, входила в крутой вираж. Казалось, что сейчас вас так и выбросит на обочину. И если вспомнить законы механики Ньютона, то получается, что раз вас буквально вдавливало в дверцу, значит на вас действовала некая сила. Ее обычно называют «центробежная сила». Именно из-за центробежной силы так захватывает дух на крутых поворотах, когда эта сила прижимает вас к бортику автомобиля. (Между прочим, этот термин, происходящий от латинских слов centrum («центр») и fugus («бег»), ввел в научный обиход в 1689 году Исаак Ньютон.)

Стороннему наблюдателю, однако, всё будет представляться иначе. Когда машина закладывает вираж, наблюдатель сочтет, что вы просто продолжаете прямолинейное движение, как это и делало бы любое тело, на которое не оказывает действия никакая внешняя сила; а автомобиль отклоняется от прямолинейной траектории. Такому наблюдателю покажется, что это не вас прижимает к дверце машины, а, наоборот, дверца машины начинает давить на вас.

Впрочем, никаких противоречий между этими двумя точками зрения нет. В обеих системах отсчета события описываются одинаково и для этого описания используются одни и те же уравнения. Единственным отличием будет интерпретация происходящего внешним и внутренним наблюдателем. В этом смысле центробежная сила напоминает силу Кориолиса (см. Эффект Кориолиса), которая также действует во вращающихся системах отсчета.

Поскольку не все наблюдатели видят действие этой силы, физики часто называют центробежную силу фиктивной силой или псевдосилой. Однако мне кажется, что такая интерпретация может вводить в заблуждение. В конце концов, едва ли можно назвать фиктивной силу, которая ощутимо придавливает вас к дверце автомобиля. Просто всё дело в том, что, продолжая двигаться по инерции, ваше тело стремится сохранить прямолинейное направление движения, в то время как автомобиль от него уклоняется и из-за этого давит на вас.

Чтобы проиллюстрировать эквивалентность двух описаний центробежной силы, давайте немного поупражняемся в математике. Тело, движущееся с постоянной скоростью по окружности, движется с ускорением, поскольку оно всё время меняет направление. Это ускорение равно v²/r, где v — скорость, а r — радиус окружности. Соответственно, наблюдатель, находящийся в движущейся по окружности системе отсчета, будет испытывать центробежную силу, равную mv²/r.

Теперь обобщим сказанное: любое тело, движущееся по криволинейной траектории, — будь то пассажир в машине на вираже, мяч на веревочке, который вы раскручиваете над головой, или Земля на орбите вокруг Солнца — испытывает на себе действие силы, которая обусловлена давлением дверцы автомобиля, натяжением веревки или гравитационным притяжением Солнца. Назовем эту силу F. С точки зрения того, кто находится во вращающейся системе отсчета, тело не движется. Это означает, что внутренняя сила F уравновешивается внешней центробежной силой:

    F = mv²/r

Однако с точки зрения наблюдателя, находящегося вне вращающейся системы отсчета, тело (вы, мяч, Земля) движется равноускоренно под воздействием внешней силы. Согласно второму закону механики Ньютона, отношение между силой и ускорением в этом случае F = ma. Подставив в это уравнение формулу ускорения для тела, движущегося по окружности, получим:

    F = ma = mv²/r

Но тем самым мы получили в точности уравнение для наблюдателя, находящегося во вращающейся системе отсчета. Значит, оба наблюдателя приходят к идентичным результатам относительно величины действующей силы, хотя и исходят из разных предпосылок.

Это очень важная иллюстрация того, что представляет собою механика как наука. Наблюдатели, находящиеся в различных системах отсчета, могут описывать происходящие явления совершенно по-разному. Однако, сколь бы принципиальными ни были различия в подходах к описанию наблюдаемых ими явлений, уравнения, их описывающие, окажутся идентичными. А это — не что иное, как принцип инвариантности законов природы, лежащий в основе теории относительности.

Механика на ЕГЭ по физике

Механика — раздел физики, изучающий виды, законы движения. На ЕГЭ встречается в номерах 1-7, 27-29. Примерно половина экзамена! Неудивительно, ведь механика в физике включает понятия скорости, ускорения, силы, массы, энергии, колебаний, волн. Хотите полностью освоить тему? Подумайте о курсах подготовки к ЕГЭ. Там дают много полезного материала, он пригодится на итоговой аттестации, для учебы в университете. В статье изучим основы механики в физике, рассмотрим главные формулы для ЕГЭ.

Теория

Изучение механики начнем с теории. Важнейшим понятием является материальная точка —  объект с пренебрежимо малыми размерами. Сохраняется только масса. Тело обозначают материальной точкой, когда оно движется поступательно, а расстояния, изучаемые в задаче, много больше размеров. В механике рассматриваются также абсолютно твердые тела. Расстояние между двумя любыми точками таких объектов остается постоянным. 

Следующее определение для задач ЕГЭ — перемещение, т.е. вектор, проведенный из точки начала движения в точку его окончания. Не путайте перемещение и путь. Путь — участок траектории, пройденный материальной точкой за определенный промежуток времени. Отношение перемещения ко времени называется скоростью: v = s / t. Задачи по механике в физике иногда рассматривают две скорости, связанные с разными системами координат. Применяется закон сложения скоростей v2 = v1 + v. Здесь  v2, v1 — скорости точки в двух системах отсчета, v — скорость системы 1, движущейся относительно системы 2. 

В заданиях по механике из ЕГЭ по физике встречается понятие ускорения — величина, отражающая быстроту изменения скорости. Она представляет собой отношение скорости к пройденному времени: a = v / t. Как и скорость, является векторной величиной. Если траектория вогнутая, ускорение делится на две составляющие. Тангенциальная направлена по касательной к траектории, нормальная перпендикулярно к ней. Далее рассмотрим виды движения: 

Следующий раздел для подготовки к ЕГЭ — динамика. Описывает законы движения тел, рассматривает инерциальные системы отсчета. Они определяются следующим образом: если на тело не воздействуют никакие силы (или они уравновешены), то тело находится в состоянии покоя или движется равномерно, прямолинейно. Количество систем в природе не ограничено, законы механики в них одинаковы. Неинерциальные системы — движущиеся относительно инерциальных с ускорением. Условие существования инерциальных систем обнаружил Ньютон, оно называется первым законом Ньютона. 

Важные формулы касаются массы. Под термином понимают величину, определяющую гравитационные, инертные свойства. Чем тяжелее тело, тем оно инертнее, тем большее ускорение придает при взаимодействии. Второй закон Ньютона выражает соотношение F = ma. В формуле появляется понятие силы —  меры взаимодействия (влияния друг на друга) тел. В механике различают силы трения, упругости, гравитационные силы. В задачах иногда встречается принцип суперпозиции: если на тело действует сразу несколько сил, их складывают, представив в виде одной, называемой равнодействующей. С силой связан третий закон Ньютона: для каждого действия есть противодействие, равное по модулю, противоположное по направлению. Запишем в виде F1 = -F2 или m1a1 = -m2a2. Еще несколько важных сил: 

• упругости. Возникает в результате деформации, направлена на возвращение тела в изначальную форму. Определяется законом Гука Fупр = -kx, k — жесткость тела, x — модуль удлинения;
• трение покоя. Два тела соприкасаются, не двигаясь относительно друг друга. Fпок = μпN, N — сила реакции опоры, а μ — коэффициент трения;
• трение скольжения. Соприкасающиеся тела движутся. Сила направлена противоположно движению. Fтр = μN;
• трение качения. Возникает, когда тело катится подобно колесу. Трение качения намного меньше скольжения. Fкач = μN.

Задания из ЕГЭ

Теорию разобрали, теперь попробуем решить задачи из ЕГЭ. 

Задание 1. На брусок массой 5 кг, движущийся по горизонтальной поверхности, действует сила трения скольжения 20 Н. Чему равна сила трения скольжения, если коэффициент трения уменьшится в 4 раза при неизменной массе?

Решение. Формула для трения скольжения: Fтр = μN. Движение горизонтальное, по второму закону Ньютона N = mg. Масса не меняется, следовательно, при уменьшении коэффициента сила уменьшается в 4 раза. 20 Н / 4 = 5 Н.

Ответ: 5

Задание 2. В каком случае Земля считается материальной точкой? 

1) рассчитывается длина экватора;

2) изучается земная атмосфера;

3) измеряется расстояние от Земли до Луны;

4) рассчитывается скорость движения Земли относительно Солнца.

Решение. В номерах 1, 2 изучаются свойства Земли, важны форма и размер. В номерах 3, 4 изучаемые расстояния намного больше радиуса Земли, ее можно считать материальной точкой. 

Ответ: 34

Задание 3. Тело равномерно движется по окружности радиусом 2 м. По графику определите модуль линейной скорости тела в интервале 0 < t < π.

Решение. Найдем связь угловой и линейной скорости: v = Rω = Rφ / t. В указанном интервале t изменяется в промежутке от -π / 4 до π / 4, следовательно, φ = π / 4 — (-π / 4) = π / 2. v = 2 • π / 2 : π = 1.

Ответ: 1.

Задание 4. Математический маятник колеблется с угловой амплитудой 1 градус. Уменьшили длину нити маятника и массу привязанной дробинки, оставив угловую амплитуду прежней. Определите изменение величин.

А) период колебаний

Б) запас полной механической энергии

1) увеличится

2) уменьшится 

3) не изменится

Решение. Период колебаний определяется выражением T=2lg. При уменьшении длины нити уменьшается период колебаний. Кроме того, уменьшится потенциальная энергия, общая механическая также станет меньше. 

Ответ: 22

Задание 5. Используя рисунок, определите, чему равна проекция ускорения на ось Х через 2 секунды. 

Решение. Ускорение — отношение изменения скорости к изменению t. Скорость в первую секунду была равна нулю, в точке v1 стала 1 м/с. Δv = 1 — 0 = 1. Вычисляем ускорение: 1 / 2 = 0,5 м/с2.

Ответ: 0,5. 

Мы изучили теорию по механике, разобрались, как решать задания из ЕГЭ по физике. Материал будет полезен при подготовке к экзамену, поэтому сохраните его, повторяйте. Не забывайте практиковаться, решать тематические задачи. Желаем вам удачи на итоговой аттестации!

Dynamics | Безграничная физика

Инерция вращения

Инерция вращения — это тенденция вращающегося объекта оставаться во вращении, если к нему не приложен крутящий момент.

Цели обучения

Объясните взаимосвязь между силой, массой, радиусом и угловым ускорением

Основные выводы

Ключевые моменты

• Чем дальше от оси приложена сила, тем больше угловое ускорение.
• Угловое ускорение обратно пропорционально массе.2) α — вращательный аналог второго закона Ньютона (F = ma), где крутящий момент аналогичен силе, угловое ускорение аналогично поступательному ускорению, а mr2 аналогично массе (или инерции).

Ключевые термины

• инерция вращения : Тенденция вращающегося объекта оставаться вращающимся, если к нему не приложен крутящий момент.
• крутящий момент : вращательное или скручивающее действие силы; (Единица СИ ньютон-метр или Нм; британская единица измерения фут-фунт или фут-фунт)

Если вы когда-либо крутили колесо велосипеда или катали карусель, вы испытали силу, необходимую для изменения угловой скорости.Наша интуиция надежно предсказывает многие из вовлеченных факторов. Например, мы знаем, что дверь открывается медленно, если мы нажимаем слишком близко к ее петлям. Кроме того, мы знаем, что чем массивнее дверь, тем медленнее она открывается. Первый пример подразумевает, что чем дальше от оси приложена сила, тем больше угловое ускорение; другое значение состоит в том, что угловое ускорение обратно пропорционально массе. Эти отношения должны казаться очень похожими на знакомые отношения между силой, массой и ускорением, воплощенные во втором законе движения Ньютона.На самом деле существуют точные вращательные аналоги как силы, так и массы.

Инерция вращения, как показано на рисунке, — это сопротивление объектов изменениям в их вращении. Другими словами, вращающийся объект будет продолжать вращаться, а невращающийся объект останется неподвижным, если на него не будет действовать крутящий момент. Это должно напомнить вам о Первом законе Ньютона.

Инерция вращения : Для вращения колеса велосипеда требуется сила. Чем больше сила, тем больше угловое ускорение.Чем массивнее колесо, тем меньше угловое ускорение. Если вы надавите на спицу ближе к оси, угловое ускорение будет меньше.

Чтобы установить точное соотношение между силой, массой, радиусом и угловым ускорением, рассмотрим, что произойдет, если мы приложим силу F к точечной массе m, находящейся на расстоянии r от точки поворота. Поскольку сила перпендикулярна r, ускорение [latex] \ text {a} = \ text {F} / \ text {m} [/ latex] получается в направлении F. Мы можем изменить это уравнение так, чтобы F = ma, а затем поищите способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин.Заметим, что a = rα, и подставляем это выражение в F = ma, получая:

[латекс] \ text {F} = \ text {mr} \ alpha [/ latex].

Напомним, что крутящий момент — это эффективность силы при повороте. В этом случае, поскольку F перпендикулярно r, крутящий момент просто равен τ = Fr. Итак, если мы умножим обе части приведенного выше уравнения на r, мы получим крутящий момент в левой части. То есть rF = mr ² α, или

τ = mr ² α.

Это уравнение является вращательным аналогом второго закона Ньютона (F = ma), где крутящий момент аналогичен силе, угловое ускорение аналогично поступательному ускорению, а mr ² аналогично массе (или инерции).Величина mr ² называется инерцией вращения или моментом инерции точечной массы m на расстоянии r от центра вращения.

Объекты различной формы имеют разную инерцию вращения, которая зависит от распределения их массы.

Веб-сайт класса физики

Законы движения Ньютона: обзор набора задач

Этот набор из 30 задач нацелен на вашу способность различать массу и вес, определять чистую силу по значениям отдельных сил, связывать ускорение с чистой силой и массой, анализировать физические ситуации, чтобы нарисовать диаграмму свободного тела и решить ее. неизвестная величина (ускорение или индивидуальное значение силы) и объединить анализ второго закона Ньютона с кинематикой для определения неизвестной величины (кинематической величины или значения силы).Проблемы варьируются по сложности от очень простых и простых до очень сложных и сложных. Более сложные задачи имеют цветовую кодировку , синие задачи .

Масса против веса

Этот набор из 30 задач нацелен на вашу способность различать массу и вес, определять чистую силу по значениям отдельных сил, связывать ускорение с чистой силой и массой, анализировать физические ситуации, чтобы нарисовать диаграмму свободного тела и решить неизвестная величина (ускорение или индивидуальное значение силы), масса — это величина, которая зависит от количества вещества, присутствующего в объекте; обычно выражается в килограммах. Масса материи, которой обладает объект, не зависит от его местоположения во Вселенной. С другой стороны, вес — это сила тяжести, с которой Земля притягивает к себе объект. Поскольку гравитационные силы меняются в зависимости от местоположения, вес объекта на поверхности Земли отличается от его веса на Луне. Вес, как сила, чаще всего выражается в метрических единицах измерения в ньютонах. Каждое место во Вселенной характеризуется постоянной гравитационного поля, представленной символом g (иногда называемое ускорением свободного падения).Вес (или F _grav ) и масса ( м ) связаны уравнением:

F _грав = m • g

Второй закон движения Ньютона

Второй закон движения Ньютона гласит, что ускорение ( a ), испытываемое объектом, прямо пропорционально чистой силе ( F _net ), испытываемой объектом, и обратно пропорционально массе объекта. В форме уравнения можно сказать, что a = F _net / m . Чистая сила — это векторная сумма всех индивидуальных значений силы. Если величина и направление отдельных сил известны, то эти силы могут быть добавлены как векторы для определения результирующей силы. Следует обратить внимание на векторную природу силы. Направление важно. Поднимающую силу и прижимающую силу можно добавить, присвоив прижимной силе отрицательное значение, а восходящей силе положительное значение. Аналогичным образом, сила, направленная вправо, и сила, направленная влево, могут быть добавлены путем присвоения левой силе отрицательного значения и правой силы положительного значения.

Уравнение a = F _net / m может использоваться как формула для решения проблем, так и как руководство к размышлениям. При использовании уравнения в качестве формулы для решения проблемы важно, чтобы числовые значения двух из трех переменных в уравнении были известны, чтобы найти неизвестную величину. При использовании уравнения в качестве руководства к размышлениям необходимо учитывать прямые и обратные отношения между ускорением и чистой силой и массой. Двукратное или трёхкратное увеличение чистой силы вызовет такое же изменение ускорения, удвоение или утроение его значения.Увеличение массы в два или три раза вызовет обратное изменение ускорения, уменьшив его значение в два или три раза.

Диаграммы свободного тела

Диаграммы свободного тела представляют силы, которые действуют на объект в данный момент времени. Отдельные силы, действующие на объект, представлены векторными стрелками. Направление стрелок указывает направление силы, а приблизительная длина стрелки представляет относительную величину силы.Силы обозначены в соответствии с их типом. Схема свободного тела может оказаться полезным подспорьем в процессе решения проблем. Он обеспечивает визуальное представление сил, действующих на объект. Если величины всех отдельных сил известны, диаграмму можно использовать для определения чистой силы. И если ускорение и масса известны, то можно рассчитать чистую силу, и диаграмму можно использовать для определения значения единственной неизвестной силы.

Коэффициент трения

Объект, который движется (или событие, пытающееся двигаться) по поверхности, встречает силу трения.Сила трения возникает из-за того, что две поверхности плотно прижимаются друг к другу, вызывая межмолекулярные силы притяжения между молекулами разных поверхностей. Таким образом, трение зависит от природы двух поверхностей и от степени их прижатия друг к другу. Силу трения можно рассчитать по формуле:

F _frict = µ • F _norm

Символ µ (произносится как «мью») представляет коэффициент трения и будет отличаться для разных поверхностей.

Смешение законов Ньютона и кинематических уравнений

Кинематика относится к описанию движения объекта и фокусируется на вопросах, как далеко?, Как быстро?, Сколько времени? а с каким ускорением? Чтобы помочь ответить на такие вопросы, в модуле «Одномерная кинематика» были представлены четыре кинематических уравнения. Четыре уравнения перечислены ниже.

• d = v _o • t + 0.5 • а • т ²
• v _f = v _o + a • t
• v _f ² = v _o ² + 2 • a • d
• d = (v _o + v _f ) / 2 • t

где

• d = рабочий объем
• t = время
• a = ускорение
• v _o = исходная или начальная скорость
• v _f = конечная скорость

Законы Ньютона и кинематика разделяют один из этих общих вопросов: с каким ускорением? Ускорение (a) F _net = m • a уравнение — это то же ускорение, что и в кинематических уравнениях.Таким образом, общие задачи включают:

1. использование кинематической информации для определения ускорения, а затем использование ускорения в анализе законов Ньютона, или
2. использование информации о силе и массе для определения значения ускорения, а затем использование ускорения в кинематическом анализе.

При анализе словесной проблемы физики целесообразно идентифицировать известные величины и систематизировать их либо как кинематические, либо как величины типа F-m-a.

Привычки эффективно решать проблемы

Эффективный решатель проблем по привычке подходит к физической проблеме таким образом, который отражает набор дисциплинированных привычек. Хотя не все эффективные специалисты по решению проблем используют один и тот же подход, все они имеют общие привычки. Эти привычки кратко описаны здесь. Эффективное решение проблем …

• …. внимательно читает задачу и создает мысленную картину физической ситуации. При необходимости они набрасывают простую схему физической ситуации, чтобы помочь визуализировать ее.
• … определяет известные и неизвестные величины в организованном порядке, часто записывая их на диаграмме. Они приравнивают заданные значения к символам, используемым для представления соответствующей величины (например, v _o = 0 м / с, a = 2,67 м / с / с, v _f = ???).
• …построит стратегию решения неизвестной величины; стратегия, как правило, сосредоточена вокруг использования физических уравнений и во многом зависит от понимания физических принципов.
• … определяет подходящую (ые) формулу (ы) для использования, часто записывая их. При необходимости они выполняют необходимое преобразование количеств в правильные единицы.
• … выполняет подстановки и алгебраические манипуляции, чтобы найти неизвестную величину.

Подробнее …

Дополнительная литература / Учебные пособия:

Следующие страницы из учебного пособия по физике могут быть полезны для понимания концепций и математики, связанных с этими проблемами.

Набор задач о законах движения Ньютона

Просмотреть набор задач

Законы Ньютона о движении Решения с аудиосистемой

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30

F = ma — EWT

Описание

, опубликованный сэром Исааком Ньютоном в 1687 году, Второй закон Ньютона (F = ma) — это один из трех законов движения, которые заложили основу классической механики в Principia . Второй закон гласит, что сумма сил (F) на объекте равна его массе (m), умноженной на ускорение объекта (a).

В теории энергетических волн второй закон представляет собой совокупность частиц, испытывающих электромагнитные силы, когда они находятся в непосредственной близости. Закон Кулона может быть использован для силы частиц, за исключением того, что это сила, действующая на сумму частиц, измеренную по заряду (q), а не по массе частицы (m). В современной физике трудно согласовать законы движения Ньютона и закон Кулона, потому что заряд и масса — это отдельные свойства (объясняемые здесь отдельно).Как и все силы, движение частиц является результатом конструктивной или деструктивной интерференции волн, вызывающей изменение амплитуды. Частицы движутся, чтобы минимизировать амплитуду. Это движение становится силой. Большая разница в амплитуде вызывает большую силу.

Вывод

Классический вывод и вывод волновой постоянной одинаковы, поскольку в основе лежит соотношение энергии-импульса (E = pc). Первые шаги уже были проверены на странице энергии-импульса и здесь не повторяются.Посетите страницу E = pc, чтобы узнать о первых шагах вывода. Более подробную информацию можно найти в статье Key Physics Equations and Experiments . .

Значения ускорения (a) были рассчитаны в разделе «Силы» для различных значений силы тяжести / ускорения на поверхности планеты, включая Землю, которое оказалось равным 9,81 м / с. ² . Расчеты требуют объяснения для получения количества частиц (Q) на основе оценки нуклонов для планет, которые здесь не рассматриваются.

.

Второй закон движения Ньютона

Первый закон движения Ньютона предсказывает поведение объектов, для которых все существующие силы уравновешены. Первый закон — иногда называемый законом инерции — гласит, что если силы, действующие на объект, уравновешены, то ускорение этого объекта будет 0 м / с / с. Объекты в состоянии равновесия (состояние, при котором все силы уравновешены) не будут ускоряться.Согласно Ньютону, объект будет ускоряться только в том случае, если на него действует чистая или неуравновешенная сила. Присутствие неуравновешенной силы ускоряет объект, изменяя его скорость, направление или одновременно скорость и направление.

Второй закон движения Ньютона относится к поведению объектов, для которых все существующие силы не сбалансированы. Второй закон гласит, что ускорение объекта зависит от двух переменных — чистой силы, действующей на объект, и массы объекта.Ускорение объекта напрямую зависит от чистой силы, действующей на объект, и обратно — от массы объекта. По мере увеличения силы, действующей на объект, ускорение объекта увеличивается. По мере увеличения массы объекта ускорение объекта уменьшается.

Большое уравнение

Второй закон движения Ньютона можно формально сформулировать следующим образом:

Ускорение объекта, создаваемое чистой силой, прямо пропорционально величине чистой силы в том же направлении, что и чистая сила, и обратно пропорционально массе объекта.

Это словесное утверждение можно выразить в виде уравнения следующим образом:

a = F _нетто / м

Приведенное выше уравнение часто преобразовывается в более знакомую форму, как показано ниже. Чистая сила равна произведению массы на ускорение.

F _net = m • a

Во всем этом обсуждении упор был сделан на чистую силу .Ускорение прямо пропорционально чистой силе ; чистая сила равна массе, умноженной на ускорение; ускорение в том же направлении, что и чистая сила ; ускорение создается чистой силой . СЕТЕВАЯ СИЛА. Важно помнить об этом различии. Не используйте значение просто «какой-либо одной силы» в приведенном выше уравнении. Это чистая сила, связанная с ускорением. Как обсуждалось в предыдущем уроке, результирующая сила — это векторная сумма всех сил.Если известны все индивидуальные силы, действующие на объект, то можно определить результирующую силу. При необходимости просмотрите этот принцип, вернувшись к практическим вопросам в Уроке 2.

В соответствии с приведенным выше уравнением единица силы равна единице массы, умноженной на единицу ускорения. Подставив стандартные метрические единицы для силы, массы и ускорения в приведенное выше уравнение, можно записать следующую эквивалентность единиц.

1 Ньютон = 1 кг • м / с ²

Определение стандартной метрической единицы силы определяется приведенным выше уравнением.Один Ньютон определяется как количество силы, необходимое для придания 1 кг массы ускорения 1 м / с / с.

Ваша очередь практиковаться

Сеть F = m • уравнение часто используется при решении алгебраических задач. Приведенную ниже таблицу можно заполнить, подставив в уравнение и решив неизвестную величину. Попробуйте сами, а затем используйте кнопки, чтобы просмотреть ответы.

	Чистая сила (н. )	Масса (кг)	Разгон (м / с / с)
1.	10	2
2.	20	2
3.	20	4
4.		2	5
5.	10		10

Второй закон Ньютона как руководство к мышлению

Числовая информация в таблице выше демонстрирует некоторые важные качественные отношения между силой, массой и ускорением.Сравнивая значения в строках 1 и 2, можно увидеть, что удвоение чистой силы приводит к удвоению ускорения (если масса остается постоянной). Точно так же сравнение значений в строках 2 и 4 показывает, что уменьшение вдвое чистой силы на приводит к уменьшению вдвое ускорения (если масса остается постоянной). Ускорение прямо пропорционально чистой силе.

Кроме того, качественную взаимосвязь между массой и ускорением можно увидеть, сравнив числовые значения в приведенной выше таблице.Обратите внимание на строки 2 и 3, что удвоение массы приводит к уменьшению вдвое ускорения (если сила остается постоянной). Точно так же строки 4 и 5 показывают, что уменьшение массы на на вдвое приводит к удвоению ускорения (если сила остается постоянной). Ускорение обратно пропорционально массе.

Анализ табличных данных показывает, что такое уравнение, как F _net = m * a, может быть руководством к размышлениям о том, как изменение одной величины может повлиять на другую величину.Какое бы изменение ни производилось в чистой силе, такое же изменение произойдет и с ускорением. Удвойте, утроите или учетверите чистую силу, и ускорение будет делать то же самое. С другой стороны, какое бы изменение массы ни производилось, с ускорением будет происходить противоположное или обратное изменение. Удвойте, утроите или учетверите массу, и ускорение составит половину, одну треть или одну четвертую от первоначального значения.

Направление чистой силы и ускорения

Как указано выше, направление результирующей силы совпадает с направлением ускорения.Таким образом, если известно направление ускорения, то известно и направление результирующей силы. Рассмотрим две диаграммы падения масла ниже для ускорения автомобиля. По диаграмме определите направление чистой силы, действующей на автомобиль. Затем нажмите кнопки, чтобы просмотреть ответы. (При необходимости проверьте ускорение предыдущего блока.)

В заключение, второй закон Ньютона дает объяснение поведения объектов, на которых силы не уравновешиваются.Закон гласит, что несбалансированные силы заставляют объекты ускоряться с ускорением, которое прямо пропорционально чистой силе и обратно пропорционально массе.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего Force Interactive.Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Force Interactive позволяет учащемуся исследовать влияние изменений прилагаемой силы, чистой силы, массы и трения на ускорение объекта.

Ракетостроение!

Ракеты НАСА (и другие) ускоряются от стартовой площадки, сжигая огромное количество топлива. Когда топливо сгорает и расходуется для приведения в движение ракеты, масса ракеты изменяется.Таким образом, одна и та же движущая сила может привести к увеличению значений ускорения с течением времени. Используйте виджет Rocket Science ниже, чтобы изучить этот эффект.

Проверьте свое понимание

1. Определите ускорения, возникающие при приложении чистой силы 12 Н к объекту массой 3 кг, а затем к объекту массой 6 кг.

2. К энциклопедии прилагается чистая сила 15 Н, которая заставляет ее ускоряться со скоростью 5 м / с. ² .Определите массу энциклопедии.

3. Предположим, что салазки ускоряются со скоростью 2 м / с. ² . Если чистая сила утроится, а масса — вдвое, то каково новое ускорение салазок?

4. Предположим, что салазки ускоряются со скоростью 2 м / с. ² . Если чистая сила утроится, а масса уменьшится вдвое, то каково новое ускорение салазок?

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона

Самое важное Уравнение в физике

Почти все слышали уравнения E = mc ² .А также действительно, это самое известное уравнение в физике, устанавливающее эквивалентность энергии и массы. Но это это самое важное уравнение в физике? Знающие ученые скажу нет. Самое важное уравнение в физике — F = ma , также известен как второй закон механики Ньютона. Это управляет поведение всего видимого и невидимого на Земле и в космосе — от траектория бейсбольного мяча к движению планеты.

студентов факультетов естествознания и инженерии посвящают половина времени изучения курса классической механики и научимся применять это уравнение. Таким образом, если вы понимаете, что F = ma , вы хорошо разбираетесь в физике.

Сэр Исаак Ньютон (1642-1727)
Ученый, ответственный за важнейшее уравнение по физике ^{* сноска}

Так что же уравнение означает? Его можно переписать в эквиваленте и более интуитивно понятная форма как a = F / m .Таким образом, второй закон Ньютона дает ответ тела массой м до силы F . Силы вещи, которые вызывают изменения в движении. Такое изменение называется ускорением и обозначается символом a . Тело претерпевает ускорение, если изменяется его скорость или меняет направление движения.

Когда вы что-то толкаете, вы наносят силу на него. Следовательно, если вы ударите по вазе рукой, все кончено, ваза ощущает силу и претерпевает изменение движения.Ясно, что ваза лежа на боку претерпел изменение состояния.

Множество уравнений во всевозможных полях иметь форму

(реакция) = (эффект движения) / (эффект сопротивления)
и второй Ньютона закон имеет такую ​​структуру. Сравнивая приведенное выше с a = F / m , можно увидеть что эффект сопротивления масса объекта, которую иногда называют инерция означает «тенденция оставаться по-прежнему.»Действительно, очень сложно изменить движение тяжелого предмета. Представить пять человек пытаются толкнуть машину. С другой стороны, свет объекты легко разгоняются. Ты не нужно пять физиков, чтобы вкрутить лампочку.

В форме F = ma , Ньютон-секунда закон сообщает нам силу F , необходимую для ускорения a на кузов массой м . Как объяснялось выше, сила движущий импульс, который заставляет тела ускоряться.Примеры сил гравитация, которая, например, заставляет вещи упасть на землю и вызвать планеты для движения вокруг Солнца; трение, которое замедляет предметы поскольку они трутся о другое вещество; то электрическая сила, которая заставляет заряженные тела отталкивать или притягивать друг друга и несет ответственность для подачи электроэнергии; магнитная сила, который, например, отклоняет иглу компаса; плавучесть, которая делает вещи плавать; и так далее.В природе бесчисленное количество сил, все создание изменений в движении.

Первый закон механики Ньютона гласит: что, если на него не действуют силы, покоящееся тело останется в покое или движущееся тело останется в движении движется с той же скоростью и направлением. Этот первый закон фактически следует из второго: Если F = 0 , то a = F / m = 0 тоже , а если объект не ускоряется, значит, не меняет своего движения.

Мир без сил было бы действительно очень скучно. Все тела в покое останется в покое; все движущиеся объекты будут путешествовать с постоянной скоростью в фиксированных направлениях вечно. Там не было бы никаких изменений в движениях. Все было бы предсказуемо, но скучно.

Таким образом, второй закон Ньютона обеспечивает механические средства определения движений предметов. Чтобы определить будущее движение тела, нужно знать его масса м , действующая на него сила F и его текущее состояние движения.Тогда один может определить изменение движения, которое должно произойти, также известное в качестве текущего ускорения a , от a = F / m .

Это обсуждение является интуитивным введением. к самому важному уравнению в физике. Если вы хотите увидеть числовые примеры, нажмите здесь.

————
^{* сноска} Исаак Ньютон явно не записал второй закон. в форме F = ma : Это было на самом деле Леонард Эйлер, выразивший это таким образом.

В начало этого файла.

---

Эта веб-страница была подготовлена ​​доктором Стюартом Сэмюэлем, который предоставил Jupiter Scientific Publishing разрешение использовать эту страницу а также кто является представителем Библия по Эйнштейну: A Опубликовано научное дополнение к Библии компании Jupiter Scientific, организация, занимающаяся продвижением наука через книги, Интернет и другие средства связи.

Эту веб-страницу НЕЛЬЗЯ копировать на другой веб-сайт. сайты, но другие сайты могут ссылаться на эту страницу.

---

Авторские права © 2000 Стюарт Самуэль

---

К информационной странице Jupiter Scientific

Kinetic Energy — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

Кинетическая энергия — это простое понятие с простым уравнением, которое легко вывести. Сделаем это дважды.

Вывод с использованием только алгебры (и в предположении постоянного ускорения).Начните с теоремы о работе-энергии, затем добавьте второй закон движения Ньютона.

∆ K = W = F ∆ s = ma ∆ s

Возьмите соответствующее уравнение кинематики и немного измените его.

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ s

a ∆ с =	v 2 — v 0 2
	2

Объедините два выражения.

∆ K = м	⎛ ⎜ ⎝	v 2 — v 0 2	⎞ ⎟ ⎠
		2

А теперь кое-что необычное. Расширять.

∆ К =	1	мв 2 —	1	мв 0 2
	2		2

Если кинетическая энергия — это энергия движения, то, естественно, кинетическая энергия покоящегося объекта должна быть равна нулю.Следовательно, второй член нам не нужен, и кинетическая энергия объекта составляет всего…

K = ½ мв ²

Вывод с использованием исчисления (но теперь нам не нужно ничего предполагать об ускорении). Опять же, начните с теоремы о работе-энергии и добавьте второй закон движения Ньютона (расчетная версия).

∆ K = ⌠ ⌡ F ( r ) · d r

∆ K = ⌠ ⌡ м a · d r

∆ K = м ⌠ ⌡ d v · d r дт

Переставьте дифференциальные члены, чтобы получить интеграл и функцию в соглашение.

∆ K = м ⌠ ⌡ d v · d r дт

∆ K = м ⌠ ⌡ d r · d v дт

∆ K = м ⌠ ⌡ v · d v

Интеграл которого довольно просто вычислить за пределы начальной скорости ( v ) до конечной скорости ( v ₀ ).

∆ К =	1	мв 2 —	1	мв 0 2
	2		2

Естественно, кинетическая энергия покоящегося объекта должна быть равна нулю. Таким образом, кинетическая энергия объекта математически определяется следующим уравнением…

K = ½ мв ²

Томас Янг (1773–1829) вывел аналогичную формулу в 1807 году, хотя он пренебрегал добавлением ½ в начале и не использовал слова масса и вес с той же точностью, что и сейчас.Он также был первым, кто использовал слово энергия в его нынешнем значении в лекции о столкновениях, прочитанной перед Королевским институтом.

Термин «энергия» может быть применен с большой долей уместности к произведению массы или веса тела на квадрат числа, выражающего его скорость. Таким образом, если вес в одну унцию движется со скоростью ноги в секунду, мы можем назвать его энергию 1; если второе тело весом в две унции имеет скорость три фута в секунду, его энергия будет вдвое больше квадрата трех, или 18.

Томас Янг, 1807

Янг просто назвал это энергией. Уильям Томсон, лорд Кельвин (1824–1907) добавил прилагательное «кинетическая», чтобы отделить ее от «потенциальной энергии», названной Уильямом Рэнкином (1820–1872) в 1853 году.

Кинетическая энергия иногда обозначается буквой T . Вероятно, это происходит от французского travail mécanique (механическая работа) или Quantité de travail (количество работы).

Сила, масса и ускорение: второй закон движения Ньютона

Первый закон движения Исаака Ньютона гласит: «Покоящееся тело будет оставаться в покое, а тело в движении будет оставаться в движении, если на него не действует внешняя сила.«Что же тогда происходит с телом, когда к нему прикладывается внешняя сила? Эта ситуация описывается вторым законом движения Ньютона.

Согласно НАСА, этот закон гласит:« Сила равна изменению количества движения за одно изменение. во время. Для постоянной массы сила равна массе, умноженной на ускорение ». Это записывается в математической форме как F = м a

F — сила, m — масса и a — ускорение. математика, стоящая за этим, довольно проста.Если вы удвоите силу, вы удвоите ускорение, но если вы удвоите массу, вы уменьшите ускорение вдвое.

Ньютон опубликовал свои законы движения в 1687 году в своей основополагающей работе «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» («Математические принципы естественной философии»), в которой он формализовал описание того, как массивные тела движутся под действием внешних сил.

Ньютон расширил более раннюю работу Галилео Галилея, который разработал первые точные законы движения масс, по словам Грега Ботуна, профессора физики в Университете Орегона.Эксперименты Галилея показали, что все тела ускоряются с одинаковой скоростью, независимо от размера и массы. Ньютон также раскритиковал и расширил работы Рене Декарта, который также опубликовал свод законов природы в 1644 году, через два года после рождения Ньютона. Законы Декарта очень похожи на первый закон движения Ньютона.

Ускорение и скорость

Второй закон Ньютона гласит, что когда на массивное тело действует постоянная сила, она заставляет его ускоряться, то есть изменять его скорость с постоянной скоростью.В простейшем случае сила, приложенная к неподвижному объекту, заставляет его ускоряться в направлении силы. Однако, если объект уже находится в движении или если эта ситуация рассматривается из движущейся инерциальной системы отсчета, это тело может казаться ускоряющимся, замедляющимся или меняющим направление в зависимости от направления силы и направлений, в которых объект и система отсчета движутся относительно друг друга.

Жирные буквы F и a в уравнении указывают, что сила и ускорение являются векторными величинами , что означает, что они имеют как величину, так и направление.Сила может быть одной силой или сочетанием более чем одной силы. В этом случае мы бы записали уравнение как ∑ F = м a

Большой Σ (греческая буква сигма) представляет векторную сумму всех сил, или чистую силу, действующую на тело.

Довольно сложно представить приложение постоянной силы к телу в течение неопределенного промежутка времени. В большинстве случаев силы могут применяться только в течение ограниченного времени, создавая так называемый импульс .Для массивного тела, движущегося в инерциальной системе отсчета без каких-либо других сил, таких как трение, действующих на него, определенный импульс вызовет определенное изменение его скорости. Тело может ускориться, замедлиться или изменить направление, после чего оно продолжит движение с новой постоянной скоростью (если, конечно, импульс не заставит тело остановиться).

Однако есть одна ситуация, в которой мы действительно сталкиваемся с постоянной силой — силой, вызванной гравитационным ускорением, которая заставляет массивные тела оказывать на Землю нисходящую силу.В этом случае постоянное ускорение свободного падения записывается как g , а Второй закон Ньютона становится F = mg . Обратите внимание, что в этом случае F и g обычно не записываются как векторы, потому что они всегда указывают в одном направлении, вниз.

Произведение массы на гравитационное ускорение, мг , известно как вес , что представляет собой просто еще один вид силы. Без гравитации массивное тело не имеет веса, а без массивного тела гравитация не может создавать силу.Чтобы преодолеть гравитацию и поднять массивное тело, вы должны создать направленную вверх силу м a , которая больше, чем сила тяжести, направленная вниз мг .

Второй закон Ньютона в действии

Ракеты, путешествующие в космосе, охватывают все три закона движения Ньютона.

Если ракете необходимо замедлить, ускориться или изменить направление, для ее толчка используется сила, обычно исходящая от двигателя. Величина силы и место, в котором она обеспечивает толчок, могут изменять либо скорость (часть величины ускорения), либо направление, либо и то, и другое.

Теперь, когда мы знаем, как массивное тело в инерциальной системе отсчета ведет себя, когда на него действует внешняя сила, например, как двигатели, создающие толкающий маневр, маневрируют ракетой, что происходит с телом, которое проявляет эту силу? Эта ситуация описывается третьим законом движения Ньютона.