Автор: alexxlab

Калькулятор онлайн из корня: Калькулятор корней онлайн

alexxlab / / Разное

Калькулятор Корней — Найдите квадратный корень

калькулятор корней онлайн корня поможет вам найти квадратный корень n-й степени любого положительного числа, которое вы хотите. Кроме того, этот калькулятор sqrt сообщает вам, что введенное вами число является точным квадратом или не является идеальным квадратом. Например; 4, 9 и 16 – это идеальные квадраты 2, 3 и 4 соответственно. Квадратный корень из числа – это число, которое при умножении на себя равно исходному числу. Например, квадрат 9 и 16 равен 3 и 4 соответственно. Если вы беспокоитесь о простом ручном вычислении, продолжайте читать, чтобы узнать формулу квадратного корня, вычисление дроби, отрицательные числа и многое другое!

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн калькулятор корней, который поможет вам вычислить значение любого числа, возведенного в любую степень.

Но давайте перейдем к основам!

Проведите по!

Как найти квадратный корень (шаг за шагом):

Чтобы подготовиться к вычислению квадратного корня, вам следует запомнить основной идеальный квадратный корень. Поскольку квадрат 1, 4, 9, 16, 25, 100 равен 1, 2, 3, 4, 5 и 10.

Чтобы найти квадрат √25, давайте посмотрим!

√25 = √5 * 5

√25 = √52

√25 = 5

Это простейшие квадратные корни, потому что они всегда дают целое число, но что, если у числа нет точного квадратного корня? Например, вы должны оценить квадрат в 54?

  • Как вы знаете, √49 = 7 & √64 = 8. Итак, √54 находится между 8 и 7.
  • Число 54 ближе к 49, чем к 64. Итак, вы можете попробовать угадать √54 = 7,45.
  • Затем возводя в квадрат 7,45, получаем 7,452 = 55,5, что больше 54. Поэтому вам следует попробовать меньшее число. Возьмем 7,3
  • Если взять в квадрат 7,3, получим 53,29, что близко к 54.
  • Это означает, что квадратный корень из 54 находится между 7,3 и 7,4.

Возьмем другой пример:

Пример:

Что такое квадратный корень из 27?

Решение:

Поскольку число 27 не является квадратом любого числа. Итак, мы должны упростить это как:

√27 = √9 * 3

√9 * √3 = 3√3

Наш калькулятор корней онлайн корня учитывает эти формулы и методы упрощения для решения квадратного корня любого числа или любой дроби. 1/2 = √a / √b = √a / b

Где a / b – любая дробь. Приведем еще один пример:

Пример:

Что такое квадратный корень из 9/25?

Решение:

√9 / 25 = √9 / √25

√9 / √25 = 3/5 = 0,6

Квадратный корень отрицательного числа:

В школе нас учили, что квадратный корень из отрицательных чисел не может существовать. Но математики вводят общий набор чисел (Комплексные числа). В виде,

х = а + би

Где a – действительное число, а b – мнимая часть. Йота (i) – это комплексное число со значением:

я = √-1. Приведем несколько примеров:

Квадрат -4 = √-4 = √-1 * 9 = √ (-1) √9 = 3i

Чему равен квадратный корень из -17 = √-17 = √-1 * 17 = √ (-1) √17 = 17i

Как пользоваться калькулятором квадратного корня:

С помощью этого калькулятор корней онлайн квадратный корень стало очень просто. Для точных расчетов вам просто нужно выполнить указанные шаги.

Читать дальше!

Входы:

  • Прежде всего, нажмите вкладку, чтобы выбрать квадратный корень или корень n-й степени для любого числа.
  • Затем введите число, для которого вы хотите произвести расчет в соответствии с выбранной опцией.
  • Наконец, нажмите кнопку «Рассчитать».

Выходы:

Как только вы закончите, калькулятор покажет:

  • Корень квадратный из числа.
  • Корень N-й степени числа.
  • Пошаговый расчет.

Заметка:

Независимо от того, какой параметр ввода, онлайн-калькулятор с корнями корня покажет вам точные результаты в соответствии с выбранным вводом.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Может ли число иметь более одного квадратного корня?

Да, положительные числа имеют более одного sqrt, одно положительное, а другое отрицательное.

Является ли √2 рациональным числом?

Нет, это иррациональное число.

Причина:

Квадратный корень из 2 не может быть выражен как частное двух чисел.

Рациональны ли квадратные корни?

Некоторые корни рациональны, а другие иррациональны.

Конечное примечание:

Квадратные корни часто встречаются в математических формулах, включая квадратную формулу, дискриминант, а также во многих законах физики. Кроме того, он используется во многих местах повседневной жизни, используется инженерами, плотниками, менеджерами по строительству, фельдшерами и многими другими. Когда дело доходит до вычислений для большого количества, это очень сложно и сложно. Просто попробуйте калькулятор корней онлайн, который поможет вам определить квадратный корень в соответствии с вашими потребностями.

Other languages: Square Root Calculator, Karekök Hesaplama, Kalkulator Akar Kuadrat, Kalkulator Pierwiastków, Wurzel Ziehen Rechner, 平方根 計算, 제곱근 계산, Kalkulačka Odmocniny, Calculadora De Raiz Quadrada, Calculatrice Racine Carré, Calculadora Raiz Cuadrada, Calcolo Radice Quadrata, حاسبة الجذر التربيعي, Neliöjuuri Laskin, Kvadratrot Kalkulator, Kvadratni Koren Kalkulator.

Калькулятор извлечения корня n-ой степени онлайн

Корень n-ной степени из числа x — это такое неотрицательное число z, которое при возведении в n-ную степень превращается в x. Определение корня входит в список основных арифметических операций, с которыми мы знакомимся еще в детстве.

Математическое обозначение

«Корень» произошел от латинского слова radix и сегодня слово «радикал» используется как синоним данного математического термина. С 13-го века математики обозначали операцию извлечения корня буквой r с горизонтальной чертой над подкоренным выражением. В 16-веке было введено обозначение V, которое постепенно вытеснило знак r, однако горизонтальная черта сохранилась. Его легко набирать в типографии или писать от руки, но в электронных изданиях и программировании распространилось буквенное обозначение корня — sqrt. Именно так мы и будем обозначать квадратные корни в данной статье.

Квадратный корень

Квадратным радикалом числа x называется такое число z, которое при умножении на самого себя превращается в x. Например, если мы умножим 2 на 2, то получим 4. Двойка в этом случае и есть квадратный корень из четырех. Умножим 5 на 5, получим 25 и вот мы уже знаем значение выражения sqrt(25). Мы можем умножить и – 12 на −12 и получить 144, а радикалом 144 будет как 12, так и −12. Очевидно, что квадратные корни могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Своеобразный дуализм таких корней важен для решения квадратных уравнений, поэтому при поиске ответов в таких задачах требуется указывать оба корня. При решении алгебраических выражений используются арифметические квадратные корни, то есть только их положительные значения.

Числа, квадратные корни которых являются целыми, называются идеальными квадратами. Существует целая последовательность таких чисел, начало которой выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Квадратные корни других чисел представляют собой иррациональные числа. К примеру, sqrt(3) = 1,73205080757… и так далее. Это число бесконечно и не периодично, что вызывает некоторые затруднения при вычислении таких радикалов.

Школьный курс математики утверждает, что нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Как мы узнаем в вузовском курсе матанализа, делать это можно и нужно – для этого и нужны комплексные числа. Однако наша программа рассчитана для извлечения действительных значений корней, поэтому она не вычисляет радикалы четной степени из отрицательных чисел.

Кубический корень

Кубический радикал числа x — это такое число z, которое при умножении на себя три раза дает число x. Например, если мы умножим 2 × 2 × 2, то получим 8. Следовательно, двойка является кубическим корнем восьми. Умножим три раза на себя четверку и получим 4 × 4 × 4 = 64. Очевидно, что четверка является кубическим корнем для числа 64. Существует бесконечная последовательность чисел, кубические радикалы которых являются целыми. Ее начало выглядит как:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Для остальных чисел кубические корни являются иррациональными числами. В отличие от квадратных радикалов, кубические корни, как и любые нечетные корни, можно извлекать из отрицательных чисел. Все дело в произведении чисел меньше нуля. Минус на минус дает плюс – известное со школьной скамьи правило. А минус на плюс – дает минус. Если перемножать отрицательные числа нечетное количество раз, то результат будет также отрицательным, следовательно, извлечь нечетный радикал из отрицательного числа нам ничего не мешает.

Однако программа калькулятора работает иначе. По сути, извлечение корня – это возведение в обратную степень. Квадратный корень рассматривается как возведение в степень 1/2, а кубический – 1/3. Формулу возведения в степень 1/3 можно переиначить и выразить как 2/6. Результат один и тот же, но извлекать такой корень из отрицательного числа нельзя. Таким образом, наш калькулятор вычисляет арифметические корни только из положительных чисел.

Корень n-ной степени

Столь витиеватый способ вычисления радикалов позволяет определять корни любой степени из любого выражения. Вы можете извлечь корень пятой степени из куба числа или радикал 19 степени из числа в 12 степени. Все это элегантно реализовано в виде возведения в степени 3/5 или 12/19 соответственно.

Рассмотрим пример

Диагональ квадрата

Иррациональность диагонали квадрата была известна еще древним греками. Они столкнулись с проблемой вычисления диагонали плоского квадрата, так как ее длина всегда пропорциональна корню из двух. Формула для определения длины диагонали выводится из теоремы Пифагора и в конечном итоге принимает вид:

d = a × sqrt(2).

Давайте определим квадратный радикал из двух при помощи нашего калькулятора. Введем в ячейку «Число(x)» значение 2, а в «Степень(n)» также 2. В итоге получим выражение sqrt(2) = 1,4142. Таким образом, для грубой оценки диагонали квадрата достаточно умножить его сторону на 1,4142.

Заключение

Поиск радикала – стандартная арифметическая операция, без которой не обходятся научные или конструкторские вычисления. Конечно, нам нет нужды определять корни для решения бытовых задач, но наш онлайн-калькулятор определенно пригодится школьникам или студентам для проверки домашних заданий по алгебре или математическому анализу.

Квадратный корень: онлайн калькулятор, график, формулы

Квадратный корень числа А — это такое положительное число В, которое при возведении в квадрат в результате дает число А. Поиск квадратного корня — стандартная арифметическая операция, с которой дети знакомятся в седьмом классе средней школы.

История термина

Математический термин «корень числа» имеет сложную историю. Математики Древней Греции мыслили числа зримо, поэтому определяли корни геометрически как сторону квадрата при известной площади. С развитием математической науки на востоке индийские ученые обозначали корень словом «мула». Труды индийских математиков попали в арабский мир, где обозначение квадратного корня перевели как «джазир», что в прямом смысле означает корень растения. После того, как арабские манускрипты попали в Европу, христианские ученые напрямую перевели «джазир» как корень, что на латыни обозначается словом radix.

Таким образом, корни получили название радикалов. Средневековые математики, например Кардано, обозначали радикалы латинской буквой Rx: после символа подкоренное выражение записывалось под горизонтальной чертой. Позднее Rx было вытеснено латинским V, которую проще набирать в типографии или записывать вручную. В онлайн-журналах и грамматике языков программирования для обозначения квадратных радикалов используют символ sqrt, что является сокращением от выражения SQuare RooT.

Квадратные радикалы

Квадратный корень числа A — такое число B, которое при возведении во вторую степень дает в результате число А. Например, 22 = 4, а 32 = 9. Следовательно, квадратным корнем 4 является двойка, а 9 — тройка. Радикалы числа могут быть какими угодно: квадратными, кубическими, пятой или десятой степени. Технически вычисление квадратного корня — это возведение в степень 1/2. Так как существуют выражения вида xpi или xe, то мы можем извлечь pi-тыe или e-тые корни числа, возведя икс в степень 1/pi или 1/e. И, хотя с математической точки зрения это бессмысленная затея, но с заданной степенью точности мы можем вычислить и такие радикалы.

Квадратный корень — это всегда пара из положительного и отрицательного числа. Квадратным корнем четверки является как 2, так и минус 2. В решении практических задач это может быть важно: к примеру, для решения квадратных уравнений по формуле дискриминанта важно учитывать два корня уравнения. Если требуется найти только положительное значение радикала, то такое число называется арифметическим корнем.

В школе нас учат, что извлекать четные радикалы из отрицательных чисел нельзя. Если мы хотим в результате получить целые или иррациональные числа, то это правда. Невозможно получить адекватное число, если взять квадратный корень из минус 1. Именно так мыслили математики до 19 века, когда были сформулированы комплексные числа — числовой класс, которые полностью изменил понимание сути радикалов.

Наша программа позволяет вычислять квадратные радикалы из положительных чисел. Калькулятор представляет собой универсальный инструмент, при помощи которого легко вычислить подкоренное выражение, показатель степени или число. Для этого достаточно ввести 2 любых значения из перечисленных, и программа автоматически подсчитает неизвестное. Калькулятор выполнен таким образом, что вы можете вычислить радикалы любого порядка: второго, третьего, пятого или pi-того.

Рассмотрим пример

Диагональ квадрата

Определение диагонали квадрата — классическая задача, с которой бились еще древние греки. Иррациональность корня из 2 ставила античных математиков в тупик, поэтому проблема длины диагонали квадрата виделась древними греками неприступным исполином. Сегодня мы без проблем можем вычислить приблизительное значение диагонали с точностью, которая нам требуется. Пусть у нас есть квадрат, площадь которого равна S = 30 см. Итак, формула для определения диагонали выглядит как:

D = sqrt(2) × a,

где a — сторона квадрата.

Нам дана площадь фигуры, следовательно, нам потребуется вычислить два квадратных корня: sqrt(2) и sqrt(S), так как сторона квадрата — это не что иное, как квадратный радикал его площади. Для вычислений требуется поочередно ввести значения 2 и 30 в ячейку калькулятора «Число (x)». «Степень n» важно указать 2, так как по умолчанию в программе установлена тройка. Теперь достаточно провести вычисления и подставить их в формулу:

D = sqrt(2) × sqrt(30) = 1,4142 × 5,4772 = 7,74585624.

При помощи калькулятора мы нашли диагональ квадрата с точностью до 8 знаков после запятой всего в 3 клика мышкой.

Заключение

Вычисление радикала — обыденная в науке арифметическая операция, которая в отличие от сложения или умножения встречается в бытовых расчетах достаточно редко. Наш онлайн-калькулятор в основном будет полезен школьникам и студентам для вычислений числовых примеров по алгебре, геометрии или математическому анализу.

😃 Извлечение корня — онлайн калькулятор и упрощенные приемы извлечения

Извлечение корня – обратная операция возведению степени. То есть Извлекая корень из числа Х, получим число, которое в квадрате даст то самое число Х.

Извлечение корня довольно-таки несложная операция. Таблица квадратов сможет облегчить работу по извлечению. Потому что, наизусть помнить все квадраты и корни невозможно, а числа могут встретиться большие.

Извлечение корня из числа

Извлечение квадратного корня из числа – просто. Тем более что это можно делать не сразу, а постепенно. Например, возьмем выражение √256. Изначально, незнающему человеку сложно дать ответ сразу. Тогда будем делать по шагам. Сначала разделим на просто число 4, из которого вынесем за корень выделенный квадрат.

Изобразим: √(644), тогда это будет равносильно 2√64. А как известно, по таблице умножения 64=88. Ответ будет 2*8=16.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Извлечение комплексного корня

Корень квадратный не может вычисляться из отрицательных чисел, потому что любое число в квадрате – положительное число!

Комплексное число – число i, которое в квадрате равно -1. То есть i2=-1.

В математике существует число, которое получается при извлечении корня из числа -1.

То есть есть возможность вычислить корень из отрицательного числа, но это уже относится к высшей математике, не школьной.

Рассмотрим пример такого извлечения корня: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Калькулятор корня онлайн

С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать извлечение числа из квадратного корня:

Загрузка калькулятора…

Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения корня

Суть преобразования подкоренных выражений в разложении подкоренного числа на более простые, из которых можно извлечь корень. Такие как 4, 9, 25 и так далее.

Приведем пример, √625. Поделим подкоренное выражение на число 5. Получим √(1255), повторим операцию √(2525), но мы знаем, что 25 это 52. А значит ответом будет 5*5=25.

Но бывают числа, у которых корень таким методом не вычислить и просто нужно знать ответ или иметь таблицу квадратов под рукой.

√289=√(17*17)=17

Итог

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Библиотека функций для построения графиков онлайн

Используйте функции согласно приведенным примерам. Любая неточность или ошибка могут привести к неверному ответу или решению, будьте внимательны.

Оператор

Описание

Простейшие математические операции

+ — * / ()

Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы. 3 значит x в кубе, также можно написать x*x*x

sqrt(x)

Квадратный корень. Эквивалентно root(x,2)

cbrt(x)

Кубический корень. Эквивалентно root(x,3)

root(x,n)

Корень n-ой степени из x. Например: root(x,3) есть корень 3й степени из x

log(a,x)

Логарифм x по основанию a

ln(x)

Натуральный логарифм (c основанием e)

lg(x)

Логарифм по основанию 10 (Десятичный логарифм)

exp()

Экспоненциальная функция (e в заданной степени), эквивалентно e^аргумент

Тригонометрические функции

sin(x)

Синус значения x

cos(x)

Косинус значения x

tg(x)

Тангенс значения x. Можно вводить tg(x) или tan(x)

ctg(x)

Котангенс значения x. Можно вводить ctg(x) или cot(x)

sec(x)

Секанс значения x, определяется как 1/cos(x)

csc(x)

Косеканс значения x, определяется как 1/sin(x)

arcsin(x)

Арксинус значения x. Можно вводить arcsin(x) или asin(x)

arccos(x)

Арккосинус значения x. Можно вводить arccos(x) или acos(x)

atan(x)

Арктангенс значения x. Можно вводить arctg(x) или atan(x)

arcctg(x)

Арккотангенс значения x. Можно вводить arcctg(x) или acot(x)

asec(x)

Арксеканс значения x, обратный секанс

acsc(x)

Арккосеканс значения x, обратный косеканс

Некоторые константы

e

Основание натурального логарифма или число Эйлера = 2.718281828459045…

pi

Число Пи = 3.141592653589793…

Инженерный калькулятор. Кубический корень (извлечение без калькулятора)

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

  • Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
  • Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
  • И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

  1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
  2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
  3. Выполнить вычитание.
  4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
  5. В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
  6. Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
  7. Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

  1. 15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
  2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
  3. а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3
  4. Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
  5. Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
  6. Приписать к остатку три нуля.
  7. а = 24. Тогда 172800 х + 720 х 2 + х 3
  8. х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
  9. Снова приписать нули.
  10. а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х 2 + х 3
  11. х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.

Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.

Необычный способ извлечения кубического корня

Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.

К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.

Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.

Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т. д.

Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .

Извлечение квадратного корня

Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

Пример решения квадратных корней в калькуляторе:

Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

Квадратный корень из отрицательного числа:

Корень третьей степени

Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

Корень 3 степени:

Корень степени n

Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

Корень 4 степени:

Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

Корень 5 степени с приблизительным результатом:

Корень из дроби

Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

Квадратный корень из дроби:

Корень из корня

В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

Пример, как извлечь корень из корня:

Степень в корне

Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.

Квадратный корень из степени:

Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.

Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

    Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

  • Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
  • Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

  • Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

    • В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
      • √(25 х 16)
      • √25 х √16
      • 5 х 4 = 20

  • Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

    • Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
      • = √(49 х 3)
      • = √49 х √3
      • = 7√3

  • Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

    • Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
      • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

  • Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

    • Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
    • Рассмотрим другой пример: √88.
      • = √(2 х 44)
      • = √ (2 х 4 х 11)
      • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
      • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

    Вычисление квадратного корня вручную

    При помощи деления в столбик

    1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».

      • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

    2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

      • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4

    3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

      • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

    4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

      • В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.

    5. Заполните прочерки справа.

      • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

    6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

      • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

    7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

      • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.

    8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

      • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.

    9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

    Понимание процесса

      Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

      Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.

      Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.

      Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

    1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa

      • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8

    2. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

      • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12. (10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.

    • Из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

    Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

    *Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

    Мы знаем, что:

    Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):


    Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

    1. Это кубы чисел кратных десяти:

    Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

    2. Это свойство чисел при произведении.

    Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

    Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

    1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

    То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

    При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

    Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

    Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

    Рассмотрим примеры:

    Извлечь кубический корень из 21952.

    Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

    Извлечь кубический корень из 54852.

    Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

    Извлечь кубический корень из 571787.

    Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

    Извлечь кубический корень из 614125.

    Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

    Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

    Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

    После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

    На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

    Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

    С уважением, Александр Крутицких.

    P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

    При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).

    Вам понадобится

    • калькулятор или компьютер

    Инструкция

    • Чтобы посчитать корень третьей степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).
    • Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень». y.
    • Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

    Корень онлайн. Корень калькулятор. Корень онлайн калькулятор.

    Общие арифметические операции — сложение, вычитание, деление, умножение, корень и возведение в степень. Квадратный корень является важным инструментом в арифметике. Квадратные корни очень часто используются не только в математике, но и во всех областях науки. В математике квадратные корни имеют важное значение, упрощая числа, выражения и уравнения.

    Начнем с понимания того, что такое квадратные корни. Квадратный корень — это математический оператор, который применяется к числам и даже переменным. Квадратные корни числа или переменной определяются как число или переменная, которая при умножении на то же число или переменную, приводит к заданному числу или переменной, для которой мы должны были найти квадратный корень. Символ квадратного корня  √

     

     

    Степень

                                      

                       Число:                        

     


    Вычислить

     

     

    \( \sqrt{0}=0\)

    \( \sqrt{1}=1\)

    \( \sqrt{2}=1.4142136\)

    \( \sqrt{3}=1.7320508\)

    \( \sqrt{4}=2\)

    \( \sqrt{5}=2.2360680\)

    \( \sqrt{6}=2.4494897\)

    \( \sqrt{7}=2.6457513 \)

    \( \sqrt{8}=2.8284271\)

    \( \sqrt{\pi}=1.7724538 \)

     

     

    Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

    Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

    Наши преподаватели

    Оставить заявку

    Репетитор по математике

    Гродненский государственный университет им. Янки Купалы

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Репетитор 1-5 классов. Легко нахожу общий язык с детьми, знакомлю с новым материалом в доступной игровой форме. Я люблю математику за то, что она дисциплинирует и воспитывает ум. Математика способствует развитию целого ряда качеств человека, таких как способность к анализу, умение применять свои знания на практике, находить закономерности, мыслить стратегически и логически. Считаю, что математика — наилучший способ привести в порядок свой ум и научиться мыслить точно.

    Оставить заявку

    Репетитор по математике

    Белорусский государственный педагогический университет им. Максима Танка

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Репетитор 3-8 классов. Я люблю математику, потому что нахожу ее очень увлекательной. В преподавании придерживаюсь гуманистического и личностно-ориентированного методов обучения. Всегда стараюсь найти общий язык с учеником, стать для него товарищем и поддержкой в процессе обучения. Я гарантирую позитивное и познавательное погружение в увлекательный мир математики!

    Оставить заявку

    Репетитор по математике

    Омский государственный педагогический университет

    Проведенных занятий:

    Форма обучения:

    Дистанционно (Скайп)

    Репетитор 7-11 классов. Реализую дифференцированный подход к обучению, осуществляю подготовку учеников к ОГЭ и ЕГЭ. Почему я люблю математику? Меня завораживают строки формул и выражений, кажется, что это шифр, к которому нужно подобрать ключ. Поэтому математика — это ключ к тайнам Вселенной.

    Курсы ОГЭ

    • — Индивидуальные занятия
    • — В любое удобное для вас время
    • — Бесплатное вводное занятие

    Похожие статьи

    Калькулятор полиномиальных корней

    Список справки по математике — — Математическая справка Быстрый переход — Научный онлайн-калькулятор — Общая математика — Калькулятор фракцийКалькулятор процентовКалькулятор квадратного корняКалькулятор факторингаУпрощающие выраженияКалькулятор делителейКалькулятор факторингаКалькулятор наибольшего общего множителя (GCF) Калькулятор последнего общего множителя (LCM) Калькулятор простых чисел и средство проверкиПроверка идеального числа — Валидатор квадратов — Алгебра и комбинаторики -уравнения SolverQuadratic Уравнение SolverSystem уравнений SolverCombinatoricsPermutationsPolynomialsPolynomials — Сложение и SubtractionPolynomials — Умножение и DivisionPolynomials — Дифференциация и IntegrationPolynomials — Паритет калькулятор (нечетный, четный, нет) Полиномы — Корень FinderPolynomials — Сформировать из RootsMatricesMatrix Calculator- определителя, обратная матрица CalculatorMatrix — Сложение, вычитание, умножение, исчисление, интегральный калькулятор, калькулятор определенного интеграла, калькулятор производной, числовая производная КалькуляторКалькулятор пределов Отклонение CalculatorVariance CalculatorKurtosis CalculatorSkewness Calculator- Описательная статистика Калькуляторы -Матрица Центральный момент CalculatorCorrelation Матрица CalculatorCovariance Матрица CalculatorMatrix Среднее геометрическое CalculatorMatrix гармоническое среднее CalculatorMatrix межквартильный Диапазон CalculatorMatrix Эксцесс CalculatorMatrix нецентральные Момент CalculatorMatrix Среднее CalculatorMatrix Максимальная CalculatorMatrix Минимальная CalculatorMatrix Медиана CalculatorMatrix Среднее отклонение CalculatorMatrix Среднее отклонение CalculatorMatrix Quantile Калькулятор Калькулятор асимметрии квартиля матрицы Калькуляторы Калькуляторы распределения Вейбулла — Калькуляторы дискретных распределений — Калькуляторы биномиального распределенияКалькуляторы геометрического распределенияКалькуляторы распределения ПуассонаКалькуляторы равномерного (дискретного) распределения

    Радикалы и корни бесплатный онлайн-калькулятор

    Онлайн-калькулятор радикалов и корней.Вычислите корень n-й степени из x.

    В настоящее время у нас есть около 940 калькуляторов, таблиц преобразования и полезных онлайн-инструментов и программных функций для студентов, преподавателей и учителей, дизайнеров и просто для всех.

    На этой странице Вы можете найти финансовые калькуляторы, ипотечные калькуляторы, калькуляторы для кредитов, калькуляторы для автокредитования и лизинга, калькуляторы процентов, калькуляторы платежей, пенсионные калькуляторы, калькуляторы амортизации, инвестиционные калькуляторы, калькуляторы инфляции, финансовые калькуляторы, калькуляторы подоходного налога. , калькуляторы сложных процентов, калькулятор заработной платы, калькулятор процентной ставки, калькулятор налога с продаж, калькуляторы фитнеса и здоровья, калькулятор BMI, калькуляторы калорий, калькулятор телесного жира, калькулятор BMR, калькулятор идеального веса, калькулятор темпа, калькулятор беременности, калькулятор зачатия беременности, срок родов калькулятор, математические калькуляторы, научный калькулятор, калькулятор дробей, процентные калькуляторы, генератор случайных чисел, треугольный калькулятор, калькулятор стандартного отклонения, другие калькуляторы, калькулятор возраста, калькулятор даты, калькулятор времени, калькулятор часов, калькулятор GPA, калькулятор оценок, конкретный калькулятор, подсеть калькулятор, генерация паролей калькулятор преобразования и многие другие инструменты, а также для редактирования и форматирования текста, загрузки видео с Facebok (мы создали один из самых известных онлайн-инструментов для загрузки видео с Facebook).Мы также предоставляем вам онлайн-загрузчики для YouTube, Linkedin, Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok и других социальных сетей (обратите внимание, что мы не размещаем видео на своих серверах. Все загружаемые вами видео загружаются с Facebook, YouTube, Linkedin, CDN в Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok. Мы также специализируемся на сочетаниях клавиш, кодах ALT для Mac, Windows и Linux и других полезных советах и ​​инструментах (как писать смайлы в Интернете и т. Д.)

    В Интернете есть много очень полезных бесплатных инструментов, и мы будем рады, если вы поделитесь нашей страницей с другими или отправите нам какие-либо предложения по другим инструментам, которые придут вам в голову.Также, если вы обнаружите, что какой-либо из наших инструментов не работает должным образом или вам нужен лучший перевод — сообщите нам об этом. Наши инструменты сделают вашу жизнь проще или просто помогут вам выполнять свою работу или обязанности быстрее и эффективнее.

    Это наиболее часто используемые пользователями по всему миру.

    И мы все еще развиваемся. Наша цель — стать универсальным сайтом для людей, которым нужно быстро производить расчеты или которым нужно быстро найти ответ на базовые конверсии.

    Кроме того, мы считаем, что Интернет должен быть источником бесплатной информации. Таким образом, все наши инструменты и услуги полностью бесплатны и не требуют регистрации. Мы кодировали и разрабатывали каждый калькулятор индивидуально и подвергали каждый строгому всестороннему тестированию. Однако, пожалуйста, сообщите нам, если вы заметите хотя бы малейшую ошибку — ваш вклад очень важен для нас. Хотя большинство калькуляторов на Justfreetools.com предназначены для универсального использования во всем мире, некоторые из них предназначены только для определенных стран.

    Онлайн-калькулятор | Базовый калькулятор

    Калькулятор операций

    Этот базовый онлайн-калькулятор похож на небольшой портативный калькулятор и имеет четыре стандартные функции для сложения, вычитания, деления и умножения. Как и большинство калькуляторов с 4 функциями, он также включает в себя клавиши для вычисления процентов, квадрата, квадратного корня и числа Пи. Этот базовый калькулятор имеет десятичную точность до 10 цифр и предлагает следующие функции:

    • mc = Очистить память: очистить память калькулятора
    • м + = Memory Plus: добавить отображаемое значение в память
    • m- = Память Минус: вычесть отображаемое значение из памяти
    • mr = вызов из памяти: отобразить значение памяти
    • CE = Clear Entry: очистить текущее отображаемое значение, изменится на AC
    • AC = All Clear: очистить все и начать новую операцию
    • √x = Квадратный корень: извлечь квадратный корень из отображаемого значения и отобразить его
    • +/- = Плюс / Минус : изменить знак отображаемого значения с положительного на отрицательный или наоборот
    • π = pi: отобразить значение π как 3.141592654 для использования в расчетах
    • x² = Квадрат: возвести отображаемое значение в квадрат и отобразить его
    • R2 = Округлить до 2 десятичных знаков: округлить текущее отображаемое значение до 2 десятичных знаков, например, в денежный или денежный формат
    • R0 = Округлить до 0 десятичных знаков: Округлить текущее отображаемое значение до 0 десятичных знаков
    • % = Процент: использовать отображаемое значение для вычисления процента

    Специальные возможности калькулятора

    Zoom : Увеличьте размер калькулятора в браузере с помощью функции масштабирования браузера.Размер калькулятора, текста и кнопок изменяется пропорционально.

    Масштаб сенсорного экрана : Увеличьте размер калькулятора на сенсорном экране, увеличивая масштаб с помощью пальцы. Размер калькулятора, текста и кнопок изменяется пропорционально.

    Размер текста : в некоторых браузерах, например на рабочем столе Chrome, вы можете изменить размер текста в браузере. настройки и размер калькулятора, текста и кнопок будут пропорционально увеличиваться или уменьшаться.

    Управление с клавиатуры : Вы можете использовать калькулятор без мыши, перемещаясь по калькулятору с помощью табуляции. ключи. Нажмите «Enter», когда клавиша сфокусирована. Однако этот метод может быть трудным, поскольку вы должны последовательно перебирать все клавиши табуляцией.

    Управление цифровой клавиатурой : Вы можете использовать калькулятор с большинством цифровых панелей и клавиатур в самых популярных браузерах для числа, очистка и основные функции сложения, вычитания, умножения и деления, а также удаления / возврата.

    Свяжитесь со мной, если у вас есть предложения.

    Расчет процентов

    • Умножение и деление преобразует отображаемое значение в проценты в десятичной форме и завершит операция при нажатии [=]
      • Пример: найти 20% от 25
      • Введите 25 x 20%, и дисплей изменится с 20% на 0,2
      • Введите = для завершения расчета 25 x 0,2 = 5. На дисплее отобразится ответ 5.
    • Сложение и вычитание добавляет или вычитает процент от значения
      • Пример: добавить 20% к 25
      • Введите 25 + 20%, и дисплей изменится на 5. (5 — это 20% от 25)
      • Введите = для завершения расчета 25 + 5 = 30. На дисплее отображается ответ 30.
    • Расчет налогов
      • Пример: добавьте 6% налога к покупке на сумму 851
        • долларов США.
      • Введите 851 + 6%, и дисплей изменится на 51.06. (51.06 составляет 6% от 851)
      • Введите = для завершения расчета 851 + 51,06 = 902,06. На дисплее отображается ответ 902.06.
      • Примечание: для других задач вы можете получить ответ с более чем двумя десятичными знаками. Используйте клавишу R2 для округлить до долларов и центов. Используйте R0, чтобы округлить до долларов.

    Калькулятор характеристической полиномиальной матрицы — Online Roots Equation

    Поиск инструмента

    Характеристический многочлен матрицы

    Инструмент для вычисления характеристического полинома матрицы.Характеристический полином матрицы M вычисляется как определитель (X.I-M).

    Результаты

    Характеристический многочлен матрицы — dCode

    Тэги: Matrix

    Поделиться

    dCode и другие

    dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
    Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

    Калькулятор характеристических полиномов

    Матрица из искателя характеристических полиномов

    Ответы на вопросы (FAQ)

    Какой характеристический многочлен у матрицы? (Определение)

    Характеристический многочлен (или иногда секулярная функция) $ P $ квадратной матрицы $ M $ размера $ n \ times n $ — это многочлен, определяемый формулой $$ P_M (x) = \ det (M — x.I_n) \ tag {1} $$ или $$ P_M (x) = \ det (x.I_n — M) \ tag {2} $$ с $ I_n $ единичной матрицей размера $ n $ (и det матрица определитель).

    Два возможных значения $ (1) $ и $ (2) $ дают противоположные результаты, но поскольку полином используется для поиска корней, знак не имеет значения.

    Уравнение $ P = 0 $ называется характеристическим уравнением матрицы .

    Зачем нужно вычислять характеристический многочлен матрицы?

    Характеристический многочлен $ P $ матрицы, как следует из названия, характеризует матрицу, он позволяет, в частности, вычислять собственные значения и собственные векторы.

    Как вычислить характеристический многочлен диагональной матрицы?

    Если $ M $ — диагональная матрица с $ \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_n $ в качестве диагональных элементов, то вычисление упрощается и $$ P_M (x) = (x- \ lambda_1) (x- \ лямбда_2) \ ldots (x- \ lambda_n) $$

    Как вычислить характеристический многочлен триангулярной матрицы?

    Если $ M $ — треугольная матрица с диагональными элементами $ \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_n $, то для диагональной матрицы вычисление упрощается и $$ P_M (x) = (x- \ lambda_1 ) (x- \ lambda_2) \ ldots (x- \ lambda_n) $$

    Как вычислить характеристический полином для матрицы 2×2?

    Вычисление характеристического полинома квадратной матрицы порядка 2 может быть вычислено с помощью определителя матрицы $ [x.2-5x-2 $$

    Как вычислить характеристический полином для матрицы 3×3?

    Вычисление характеристического полинома квадратной матрицы 3×3 можно вычислить с определителем матрицы $ [x.I_3 — M] $ как $$ P_M (x) = \ det [x.I_3 — M] $$

    Пример: $$ M = \ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} $$ $$ [x.I_3 — M] = x \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} — M = \ begin {bmatrix} xa & -b & -c \\ -d & xe & -f \\ -g & -h & xi \ end {bmatrix} $$ $$ P_M (x) = \ det [x.2) \ вправо) $$

    Есть ли у матрицы кратный характеристический многочлен?

    Характеристический многочлен уникален для данной матрицы. Есть только один способ вычислить его и получить только один результат.

    С другой стороны, две разные матрицы могут дать один и тот же характеристический полином .

    Как вычислить характеристический полином транспонированной матрицы?

    Матрица $ M $ и ее транспонированная матрица $ M ^ T $ имеют один и тот же характеристический многочлен .

    Задайте новый вопрос

    Исходный код

    dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Характеристический полином матрицы». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Характерного полинома матрицы» (преобразователь, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой другой Функция «Характеристический многочлен матрицы» (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копирование и доступ к API для «Характеристического полинома матрицы» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

    Нужна помощь?

    Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
    NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

    Вопросы / комментарии

    Сводка

    Похожие страницы

    Поддержка

    Форум / Справка

    Ключевые слова

    характеристика, полином, матрица, собственное значение, собственный вектор, определитель

    Ссылки


    Источник: https: // www.dcode.fr/matrix-characteristic-polynomial

    © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF. Калькулятор корней комплексных чисел

    Калькулятор найдет корни $$$ n $$$ th данного комплексного числа, используя формулу де Муавра, с указанными шагами.

    Ваш ввод

    Найдите $$$ \ sqrt [4] {81 i} $$$.{\ frac {1} {n}} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ theta + 2 \ pi k} {n} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ theta + 2 \ pi k} {n} \ right)} \ right) $$$, $$$ k = \ overline {0..n-1} $$$.

    У нас есть $$$ r = 81 $$$, $$$ \ theta = \ frac {\ pi} {2} $$$, $$$ n = 4 $$$.

    • $$$ k = 0 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 0} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 0} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {8} \ right)} \ right) = 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} + 3 i \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2} } {4}} $$$
    • $$$ k = 1 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} { 2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 1} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 1} { 4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} { 8} \ right)} \ right) = — 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} + 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2 }} {4} + \ frac {1} {2}} $$$
    • $$$ k = 2 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left ( \ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 2} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 2} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {9 \ pi} {8} \ right)} + i \ sin {\ оставил(\ frac {9 \ pi} {8} \ right)} \ right) = — 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} — 3 i \ sqrt { \ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} $$$
    • $$$ k = 3 $$$: $$$ \ sqrt [4] {81} \ left (\ cos {\ left (\ frac {\ frac {\ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 3} {4} \ right)} + i \ sin {\ left (\ frac {\ frac { \ pi} {2} + 2 \ cdot \ pi \ cdot 3} {4} \ right)} \ right) = 3 \ left (\ cos {\ left (\ frac {13 \ pi} {8} \ right) } + i \ sin {\ left (\ frac {13 \ pi} {8} \ right)} \ right) = 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} { 4}} — 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} $$$

    Ответ

    $$$ \ sqrt [4] {81 i} = 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} + 3 i \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ приблизительно 2.77163859753386 + 1.14805029709527 i $$$ A

    $$$ \ sqrt [4] {81 i} = — 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4 }} + 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} \ приблизительно -1,14805029709527 + 2,77163859753386 i $$$ A

    $$$ \ sqrt [4] {81 i} = — 3 \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} — 3 i \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} \ приблизительно -2,77163859753386 — 1,14805029709527 i $$$ A

    $$$ \ sqrt [4] {81 i} = 3 \ sqrt {\ frac {1} {2} — \ frac {\ sqrt {2}} {4}} — 3 i \ sqrt {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {1} {2}} \ приблизительно 1.14805029709527 — 2,77163859753386 i $$$ A

    Калькулятор квадратного корня

    Найти квадратный корень числа

    Другие калькуляторы

    Калькулятор увеличения или уменьшения на процентов поможет найти ответы на вопросы, связанные с расчетом процентов.Чтобы вычислить процент от числа, используйте наш калькулятор процента от числа. Например, найдите 5% процентов от 70. Калькулятор процентов даст вам ответ, это 3,5.

    процентное увеличение между двумя числами? Проблема решена с помощью функции «Рассчитать процент увеличения». Найдите процент% увеличения с 2 до 10. Ответ — 400%.

    Найдите процентов второго числа ? Пример: узнать, какой процент равен 7 из 300. Калькулятор «Рассчитать процент от двух чисел», ответ — 2.33%.

    Новинка: рассчитайте увеличение или уменьшение заработной платы с помощью нашего калькулятора дохода. Калькулятор процента увеличения заработной платы.

    процента от общего числа . Например, всего = 1100, и вам нужно найти процент, равный 100. Используя наш калькулятор процента от общего количества, ответ составляет 9,09%.

    GFC и LCM — математический коэффициент и множитель . Калькулятор GCF с наибольшим общим множителем можно использовать для расчета GFC, а калькулятор с наименьшим общим множителем — для определения НОК.

    Калькулятор квадратного корня . Вместо того, чтобы запоминать квадратные корни, используйте калькулятор квадратного корня из числа и делайте это на лету. Например, каков квадратный корень из 9? Все мы знаем, что это 3. А как насчет квадратного корня из 500? Узнай себя.

    Калькулятор процентов ошибок . Быстро рассчитайте процентную ошибку с помощью калькулятора процентов ошибок.

    Калькулятор часов и минут . Найдите минуты или часы с помощью наших калькуляторов.First Calculate Hours in Minutes, очень полезно, чтобы узнать, сколько часов в 300 минутах. Калькулятор «Расчет минут в часах» полезен, чтобы узнать, сколько минут в 5 часах? Ответ: это 300 из первой математической задачи.

    простая математика Математический калькулятор сложения, математический калькулятор вычитания, математический калькулятор умножения и математический калькулятор деления.

    Calculator.com ™

    Фракции

    / Для ввода дроби формы 3/4.Щелкните число, затем щелкните полосу дробей, затем щелкните другое число.

    ↔ Вы можете использовать кнопку пробела, чтобы создать число в форме 5 3/4. Введите число, затем щелкните пробел дроби, щелкните другое число и затем щелкните кнопку полосы дроби, наконец, введите другое число.

    DEC FRA Кнопка десятичного формата и кнопка формата дроби работают как пара. Когда вы выбираете одно, другое отключается.
    Кнопка десятичного формата используется для всех десятичных операций. Также можно изменить дробную часть формы 3/4 на десятичную 0,75, дробную часть формы 7/4 или смешанное число формы 1 3/4 на десятичную 1,75. Нажмите кнопку десятичного формата, введите дробное или смешанное число, затем нажмите равно. Если дробное или смешанное число является только частью расчета, не нажимайте «равно» и продолжайте расчет как обычно. то есть 3/4 DEC x 6 =.
    Кнопка формата дроби предназначена для работы со всеми дробями.Также, чтобы изменить десятичную дробь в форме 0,5 на дробь 1/2, или изменить десятичную дробь в форме 1,75 на смешанное число в форме 1 3/4, или на дробь 7/4, или на дробную часть формы 7 / 4 к смешанному числу 1 3/4. Нажмите кнопку формата дроби, введите десятичную дробь, щелкните равно, затем щелкните форму дроби, а затем щелкните равно. Если десятичная дробь является частью вычисления, не нажимайте кнопку «равно» и продолжайте вычисление.

    а б / с a + b / c Кнопка правильной дроби и кнопка неправильной дроби работают как пара.Когда вы выбираете одно, другое отключается.
    Кнопка правильной дроби используется для изменения числа от 9/5 до 1 4/5. Правильная дробь — это дробь, в которой числитель (верхнее число) меньше знаменателя (нижнее число).
    Кнопка неправильной дроби используется для изменения числа от 1 4/5 до 9/5. Неправильная дробь — это дробь, в которой числитель (верхнее число больше или равно знаменателю (нижнее число).

    .

    Квадратный корень из 2 3: Mathway | Популярные задачи

    alexxlab / / Разное

    Квадратный корень из 3;2;5 — Квадратный Корень

    Квадратный корень из числа 3 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 3.

    Его приблизительным значением с 69 цифрами после запятой является:

    Округленное значение 1.732 является правильным с точностью до 0,01 %. Приблизительной правильной дробью является (1,7321 42857…).

    Квадратный корень из 3 является иррациональным числом. Также известен как Феодоровская постоянная, названная в честь Феодора Киренского.

    Может быть выражен в виде непрерывной дроби [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …].

    Геометрия

    Квадратный корень из 3 равен длине между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

    Если равносторонний треугольник со сторонами длиной 1 делится на две равные половины, пересечением внутреннего угла для составления прямого угла с одной стороной, то получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу со стороной 1 и катеты длиной 1/2 и Поэтому тангенс 60° равен

    Так же, это расстояние между параллельными сторонами правильного шестиугольника со сторонами 1.

    является длиной диагонали куба со стороной 1.

    Использование в других областях

    Энергетика

    При трехфазной системе токов модуль напряжения между двумя фазами (линейное напряжение) в больше модуля фазного напряжения

    Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

    1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

    Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

    Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1. Квадратный корень из 2.

    Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

    История

    Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

    Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

    Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

    Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

    Алгоритмы вычисления

    Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

    Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

    • 3/2 = 1.5
    • 17/12 = 1.416…
    • 577/408 = 1.414215…
    • 665857/470832 = 1.4142135623746…

    В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

    Свойства квадратного корня из двух

    Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

    Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

    .Потому что

    Это является результатом свойства серебряного сечения.

    Другое интересное свойство √2:

    Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

    и

    Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

    Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

    С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

    Доказательство иррациональности

    Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

    .

    Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

    Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

    Непрерывная дробь

    Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

    Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

    Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

    Размер бумаги

    Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

    Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, которое при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.[1]

    Его приблизительное значение с 59 цифрами после запятой является:

    Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.[2]

    Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

    Вавилонский метод

    Вычисление корня из 5, начиная с r0 = 2, где rn+1 = (rn + 5/rn) / 2:

    Золотое сечение

    √5/2 — диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

    Золотое сечение φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5.[3]

    () алгебраически можно выразить так:

    Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

    Отношение √5 к φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фибоначчи и числами Люка:[4]

    Алгебра

    Кольцо содержит числа вида , где a и b целые числа и мнимое число . Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

    Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

    Поле  — абелево расширение рациональных чисел.

    Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

    Тождества Рамануджана

    Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.[5][6]

    Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

    2 корня из 2 минус 2

    Вы искали 2 корня из 2 минус 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 минус 2 корня из 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 корня из 2 минус 2».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 корня из 2 минус 2,2 минус 2 корня из 2,3 корня из 2 минус корень из 2,корень из 2 минус 3 корня из 2,корень из минус 2,минус корень квадратный из 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 корня из 2 минус 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 3 корня из 2 минус корень из 2).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 корня из 2 минус 2 Онлайн?

    Решить задачу 2 корня из 2 минус 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Три простых правила относительно квадратного корня. Часть 3

    GRE Mathematics уделяет особое внимание заданиям на квадратный корень. В двух предыдущих частях статьи, мы рассматривали, что делать, если все числа в задании положительные. Если же это не так, то следует применять ещё 2 правила GRE Maths.

    Правило №2: если x2 = 9, то x = 3, x = -3

    Эта ситуация отлична от описанных ранее . Мы больше не имеем знака квадратного корня, зато здесь есть показатель степени. Если 3 возвести в квадрат, то мы получим 9. Если мы возведем -3 в квадрат – мы также получим 9. Следовательно, оба числа являются возможным значением x, потому что оба делают равенство верным.

    С математической точки зрения, мы бы сказали, что x = 3 или  x = -3. Если вы выполняете задание в разделе Quantitative Comparison, подумайте об этом следующим образом: если одно из них является возможным значением x, то оба варианта должны быть рассмотрены возможными значениями при сравнении Величины А и Величины В.

    Правило №3: √(x)2 = 3, если x = 3, x = -3

    Итак, вернемся к знаку квадратного корня, но теперь у нас есть и показатель степени! Что дальше? Указывать только положительное число, потому что мы имеем знак корня? Или указывать оба значения, потому что есть показатель степени?

    Сначала вычислите значение x: возведите в степень оба значения √(x)2 = 3, чтобы получить x2 = 9. Вычислите квадратный корень, чтобы получить x = 3, x = -3 (как в правиле №2).

    Подставьте оба числа в данное равенство,  √x2 = 3, и посмотрите, делают ли они равенство верным.  Если мы подставим 3 в равенство √x2 = 3, мы получим: √(3)2 = 3. Верно ли это? Да: √(3)2 = √9 и это действительно равняется 3.

    Теперь подставьте в равенство -3: √(-3)2= 3. Под корнем у нас стоит отрицательное число, но также в скобках у нас есть квадратная степень. Следуйте установленному порядку действий: возведите число в квадрат, чтобы получить √9. Больше нет никаких отрицательных чисел под знаком корня! Заканчивая решение задачи, мы получаем √9, и снова это должно равняться 3, поэтому -3 тоже является возможным значением x. X может быть равен как 3, так и -3.

    GRE Math Practice: Как это все не забыть?

    Запомните: в первом примере представлено либо действительное число, либо очевидная переменная (не возведение в степень!) под знаком квадратного корня. В обоих случаях мы должны получить решение с положительными значениями  корня, но не отрицательными.

    Второй и третий примеры имеют квадратную степень. Во втором правиле нет знака квадратного корня – в этом случае  мы можем получить и положительный, и отрицательный ответ. В нашем третьем правиле есть и знак квадратного корня, и степень в квадрате. В этой ситуации мы должны произвести расчеты, как показано в примере. Сначала мы решаем оба варианта, а затем подставляем их в исходное равенство. Если эти варианты делают равенство верным, то это и есть правильный  ответ.

    Подготовка к GRE Test включает в себя штудирование не только официальных учебников, но также изучение советов и подсказок, которые представлены здесь. Возможно, на самом тесте вам пригодятся именно они! Успехов!

    Пример несложного задания на квадратные корни в тесте GRE:

     

    По материалам сайта: www.manhattanprep.com

    § Квадратный корень из произведения

    … =
    =
    = √1 = 1

    Квадратный корень из единицы равен единице √1 = 1.

    Внимание: частая ошибка!

    Неправильное использование квадратного корня из произведения Запомните!

    Важно запомнить следующее правило: свойство квадратного корня из произведения можно применять, только если под корнем действие умножения.

    √a · b = √a · √b    — верно

    Если под корнем есть сумма и (или) вычитание, то применять формулу НЕЛЬЗЯ!

    √a + b ≠ √a + √b    — неверно

    √a − b ≠ √a − √b    — неверно

    Разберёмся по традиции на примере. Требуется вычислить.

    √82 2 − 18 2 = …

    После изучения формулы корня из произведения первым желанием является сделать так:

    √82 2 − 18 2 ≠ √82 2 − √18 2    — неверно

    Это неверно. Свойство
       «√a · b = √a · √b »    НЕЛЬЗЯ использовать в данном примере, т.к. под корнем есть знак вычитания «−», т.е. действие вычитания.

    Выполним последовательно действия под корнем и вычислим из полученного результата квадратный корень.

    √82 2 − 18 2 = √6724 − 324 = √6400 =
    = 80

    Подобные примеры можно решать другим способом через формулу разности квадратов.

    (a2 − b2) = (a − b)(a + b)

    √82 2 − 18 2 = √(82 − 18)(82 + 18) =
    = √64 · 100 = …

    Обратите внимание, что сейчас под знаком корня осталось только произведение. Следовательно, мы можем применить свойство корня из произведения.

    √a · b = √a · √b

    √82 2 − 18 2 = √(82 − 18)(82 + 18) =
    = √64 · 100 = √64 · √100 = 8 · 10 = 80

    Мы получили такой же результат, как и в первом варианте решения.

    Алимов 9 класс № 340 (2)
    2) √0,01 · 169 = √0,01 · √169 =
    = √0,01 · 13 = …

    Снова требуется вспомнить правило извлечения квадратного корня из десятичной дроби и умножение десятичных дробей.

    √0,01 · 169 = √0,01 · √169 =
    = √0,01 · 13 = 0,1 · 13 = 1,3
    Алимов 9 класс № 343 (6)
    6)
      ·
      ·
    =
    =
     ·   · 
    =
    =
    =
    =
    =
    Алимов 9 класс № 346 (1, 4)
    1) (√8 + √2)2 = …

    Для решения примера используем формулу квадрат суммы.

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    (√8 + √2)2 =
    = (√8)2 + 2 · √8 · √2 + (√2)2 =
    = 8 + 2 · √8 · 2 + 2 = 10 + 2 · √16 =
    = 10 + 2 · 4 = 10 + 8 = 18

    4) (5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) = …

    Обратите внимание, произведение в скобках похоже на формулу «Разность квадратов» в обратном порядке.

    (a2 − b2) = (a − b)(a + b)
    (a − b)(a + b) = (a2 − b2)

    Действительно, если заменить в формуле «a» на «5√2» и «b» на «2√5», то получится формула сокращенного умножения «Разность квадратов».

    (a − b)(a + b) = (a2 − b2)

    (5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) =
    = (5√2)2 − (2√5)2 = …

    Используем свойство «Степень произведения».

    (a · b)2 = a2 · b2

    (5√2 + 2√5)(5√2 − 2√5) =
    = (5√2)2 − (2√5)2 =
    = 52 · (√2)2 − 22 · (√5)2 =
    = 25 · 2 − 4 · 5 = 50 − 20 = 30


    Квадратный корень в Excel — НА ПРИМЕРАХ

    В статье показано, как найти квадратный корень в Excel, а также как вычислить корень n-ой степени.

    Возведение числа в квадрат и извлечение квадратного корня – очень распространенные операции в математике. Но как извлечь квадратный корень в Excel? Либо используя функцию КОРЕНЬ, либо возвести число в степень 1/2. Рассмотрим конкретные примеры.

    Как найти квадратный корень в Excel с использованием функции КОРЕНЬ

    Самый простой способ найти квадратный корень в Excel – это использовать специально разработанную для этого функцию:

    =КОРЕНЬ(число)

    где число – это число или ссылка на ячейку, содержащую число, для которого вы хотите найти квадратный корень.

    Например, чтобы извлечь квадратный корень из 225, вы используете эту формулу: =КОРЕНЬ(225)

    Чтобы вычислить квадратный корень из числа в A2, используйте это: =КОРЕНЬ(A2)

    Квадратный корень в Excel – Использование функции КОРЕНЬ для вычисления квадратного корня

    Если число отрицательное, как в строках 7 и 8 на изображении выше, функция Excel КОРЕНЬ возвращает ошибку #ЧИСЛО! Это происходит потому, что квадратный корень отрицательного числа не существует среди множества действительных чисел.0,5.

    Как показано на изображении ниже, функция КОРЕНЬ в Excel и формула экспоненты дают одинаковые результаты:

    Квадратный корень в Excel – Поиск квадратного корня с использованием экспоненты

    Как найти квадратный корень функцией СТЕПЕНЬ

    Функция СТЕПЕНЬ — это еще один способ найти квадратный корень в Excel, т. е. возвести число в степень 1/2.

    Синтаксис функции СТЕПЕНЬ выглядит следующим образом:

    =СТЕПЕНЬ(число; степень)

    Соответственно, чтобы получить квадратный корень, вы задаете аргумент степень равным 1/2. Например:

    =СТЕПЕНЬ(A2, 1/2)

    Как показано на изображении ниже, все три формулы с квадратным корнем в Excel дают одинаковый результат:

    Квадратный корень в Excel – Найти квадратный корень с помощью функции СТЕПЕНЬ

    Как посчитать корень n-ой степени

    Формула экспоненты, рассмотренная выше, не ограничивается поиском только квадратного корня.{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; раз}=a. $$

    Число \(n\) при этом называют показателем корня.

    Если \(n=2\), то перед вами корень 2-й степени или обычный квадратный корень.

    Если \(n=3\), то корень 3-й степени и т.д.

    Операция извлечения корня n-й степени является обратной к операции возведения в n-ю степень.


    Пример 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

    Кубический корень из числа 27 равняется 3. Действительно, если число 3 возвести в 3-ю степень, то мы получим 27.


    Пример 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

    Корень 4-й степени из 16-и равен 2. Двойка в 4-й степени равна 16.


    Пример 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

    Если извлечь корень n-й степени из 0, всегда будет 0.


    Пример 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

    Мы не можем в уме подобрать такое число, которое при возведении в 3-ю степень даст 19. Если посчитать на калькуляторе, то получим \(2,668…\) – иррациональное число с бесконечным количеством знаков после запятой.

    Обычно, в математике, когда у вас получается иррациональное число, корень не считают и оставляют так как есть \(\sqrt[3]{19}\).

    Что же делать, если под рукой нет калькулятора, а нужно оценить, чему равен такой корень. В этом случае нужно подобрать справа и слева такие ближайшие числа, корень из которых посчитать можно:

    $$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

    Получается, что наш корень лежит между числами 2 и 3.


    Корень четной и нечетной степени

    Надо четко различать правила работы четными и нечетными степенями. Дело в том, что корень четной степени можно взять только из положительного числа. Из отрицательных чисел корень четной степени не существует.

    Корень нечетной степени можно посчитать из любых действительных чисел. Иногда в школьной программе встречаются задания, в которых требуется определить имеет ли смысл выражение:


    Пример 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

    Данное выражение имеет смысл, так как корень нечетной степени можно посчитать из любого числа, даже отрицательного.


    Пример 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

    Так как корень четной степени, а под корнем стоит отрицательное число, то выражение не имеет смысла.k} $$

    Сколько квадратный корень из 100

    На нашем сайте мы разберемся, сколько получится, если извлечь квадратный корень из цифры 100. Выясним сколько будет квадратный корень из 100, потому как над таким вопросом многие годы ломали головы более 1 тысячи специалистов и многие пришли к такому возможному решению, что невозможно получить квадратный корень из 100. В подобном случае, будет очень важно знать верный вопрос, который касается особенностей получения квадратного корня из 100. Будем максимально точны, тогда мы начнем расчет арифметического корня из 100, потому как в обычном квадратном корне из этой цифры — получится два числа, одними из них являются: 10: -10.

    Многие люди задают вопрос, квадратный корень из 100 как высчитать? Чтобы в этом разобраться, потребуется посчитать сумму необходимых нам чисел простым математическим способом при помощи применения вертикальной, стандартной чертой, корни и числа, которые нужно записывать справа вниз. Здесь мы сможем высчитать необходимый квадрат единиц определенного корня, а также умножать 10-ки и вычислять увеличенное на 2, а не утроенное число определенного десятка. Определенные цифры, чтобы ответить на вопрос — корень из 100 чему равен, нам потребуется возвестить в квадрат. У нас в таком случае получится двузначная цифра, когда вышло 10. Следовательно, в таком случае расчет мы выполнили верно.

    Необходимо помнить очень важное правило: чтобы узнать сколько будет квадратный корень из 100, первым делом вычисляем извлекаемый любой корень и числа его всех сумм, а также сотен. Когда полученная цифра больше или же равняется 100, теперь требуется найти корень и 100-тен фактических чисел этих 100-тен. После этого из десятков тысяч (то есть фактического значения числа). Это правило будет очень актуально, когда число гораздо превышает 100, после этого нужно будет вычислить квадратный корень из сотен десятков тысяч. То есть, если быть более точными — это будет из миллиона определенного числа. Существует большое количество разнообразных правил, которые непосредственно касаются данного вопроса. Если заниматься прогрессом вычисления, тогда следует обратить повышенное внимание на такой важный факт, что в корне такое же количество цифр, сколько под завершающим количеством граней.

    Каким образом вычислить корень определенного числа

    Цель нахождения определенного корня состоит в том, что необходимо выполнить обратное действие возведения определенного числа в степень. Следует помнить, что корни могут значительно отличаться: корни II, III, а также IV-степени. Этот момент имеет очень важное значение и его следует понимать. Корень имеет определенный символ: √ – это корень из II-степени. Следует отметить такой момент, что, когда степень по значения выше, чем II-степень, тогда над ним необходимо будет прописать знак степени. Цифра, которая располагается под знаком корня – это называется подкоренное выражение. Выполняя процедуру поиска корня, нам потребуется знать несколько важных правил, которые касаются данного вопроса. Они окажут необходимую помощь и помогут не допустить ошибки выполняя расчеты:

    Корень определенной четной степени (когда сама степень 2, 6, 8 и так дальше) из отрицательной цифры не существует. В возможных случаях, когда определенное выражение (подкоренное) является отрицательным, тогда поиск корня необходимо выполнять степени (нечетной) (к примеру: 3, 7 и так дальше). В итоге, результат, мы сможем получить отрицательный. Также, потребуется знать, что корень от 1 всегда будет выглядеть следующим образом: √1 = 1., а также: √0 = 0.

    Как рассчитать корень из 100

    Когда в поставленной задаче указано, какой степени корень нужно вычислить, тогда считают, что следует найти корень II-степени (то есть квадратный).

    Ответим на такой вопрос: √100 = ? Потребуется найти цифру, при выполнении процедуры его возведения в II-степень, у нас будет 100. В таком случае становится понятно, что этим числом будет считаться цифра 10, потому как: 102 = 100. Поэтому, √100 = 10.

    Рассчитаем представленное выражение. Чтобы достичь поставленной цели, требуется вынести имеющееся число из под корня. Это будет выглядеть следующим образом.

    √100 = 100’1/2 = (10’2)’1/2 = 10′(2 * 1/2) = 10’2/2 = 10’1 = 10.

    Также, это выглядит таким образом: √100 = √10’2 = 10.

    В итоге у нас получится число 10. Теперь мы знаем, ответ на вопрос: квадратный корень из 100 сколько это будет?

    Квадратный корень из 2

    Пифагорейские философы Древней Греции глубоко уважали числа. Арифметика и геометрия охранялись как форма секретного знания, которое могло быть раскрыто только избранным.

    Они считали, что сама Вселенная представляет собой проявление чисел и геометрии, поэтому, исследуя математику, они получали представление о более глубоком слое космической реальности. Поэтому для пифагорейцев было глубоким шоком открытие, что некоторые числа лежат за пределами их аккуратной интеллектуальной схемы.

    В детстве мы сначала учимся считать целые числа, 1, 2, 3… которые математики называют «натуральными» числами. Затем нас учат дробям, которые выражаются как отношение натуральных чисел, например 2/5 или 1/3. После этого идут десятичные дроби.

    Каждая дробь, как мы знаем, может быть выражена в виде десятичной дроби — например, 2/5 = 0,4 и 1/3 = 0,33333… (где «…» означает, что последовательность трех секунд продолжается бесконечно). Но верно ли обратное? Можно ли каждую десятичную дробь выразить дробью?

    Разумеется, десятичные дроби конечной длины всегда можно выразить дробями, например, 0.43857 = 43857/100000. А как насчет десятичных дробей бесконечной длины? Что ж, повторяющиеся десятичные разложения можно выразить дробями, например 0,33333… = 1/3 и 0,285714285714285714… = 2/7. Но предположим, что десятичное разложение не повторяется? Ведь таких чисел бесконечное множество!

    Ранние пифагорейцы были убеждены, что каждое мыслимое число в принципе может быть записано в дробной форме, как отношение двух натуральных чисел. Они думали, что, поскольку существует бесконечный запас натуральных чисел, их должно быть достаточно для выполнения работы.Открытие, что это было ошибочное мнение, возможно, сделанное геометром Гиппасом в V веке до нашей эры, стало шокирующей новостью. Согласно легенде, Гиппаса сбросили с лодки и утонули, чтобы истина не стала широко известна, такова была угроза пифагорейской концепции порядка во Вселенной.

    Даже сегодня числа, которые не могут быть выражены как отношение натуральных чисел, называются иррациональными числами, даже если они имеют смысл для современных математиков.

    На самом деле легко понять, почему некоторые числа иррациональны.Известный пример — квадратный корень из 2, который составляет примерно 1,4142, и обозначается как √2.

    Если √2 было рациональным, оно должно быть выражено в форме a / b, где a и b — натуральные числа (то есть целые числа). Мы можем записать это в форме уравнения, √2 = a / b, а затем дать быстрый математический анализ шин.

    Во-первых, мы знаем, что хотя бы одно из двух неизвестных чисел, a и b, должно быть нечетным. Если бы оба были четными, мы могли бы разделить верхнюю и нижнюю на 2 и уменьшить дробь до отношения меньших чисел (например, 2/8, что сокращается до 1/4).

    Теперь давайте посмотрим на уравнение под разными углами. Если возвести в квадрат обе части уравнения √2 = a / b, мы получим

    2 = a 2 / b 2 (1)

    , что может быть записано как

    a 2 = 2b 2 . (2)

    Сразу можно сделать вывод, что 2 — четное число. Почему? Потому что это дважды b 2 . Умножьте любое натуральное число на два (а мы знаем, что b — натуральное число), и ответ будет четным.Значит, 2 должны быть четными.

    Теперь, если 2 четно, то также и (квадрат нечетного числа всегда нечетный). Поскольку мы уже указали, что a и b не могут быть четными, мы можем сделать вывод, что b должно быть нечетным. Все идет нормально. Однако сигнал тревоги начинает звонить, когда мы замечаем, что если a четное, его всегда можно выразить как 2c, где c — другое натуральное число. Подставив это в уравнение (1), мы получим

    2 = 4c 2 / b 2

    или, переставив уравнение и разделив на 2,

    b 2 = 2c 2 .

    Используя те же рассуждения, которые следуют за уравнением (2), мы заключаем, что b должно быть четным числом. Но мы уже определили, что b нечетно, поэтому приходим к абсурдному выводу, что b одновременно и четное, и нечетное, что явно невозможно. Ошибочные рассуждения проистекают из исходного предположения, что √2 может быть выражено как отношение целых чисел. Оно не может; это «иррационально».

    Оказывается, почти все числа иррациональны, в том числе такие известные, как π и φ, золотое сечение ( Cosmos, 65, стр. 120).

    Существует безграничное количество как рациональных, так и иррациональных чисел, но как-то на иррациональных чисел на больше, чем рациональных — они образуют более широкий класс бесконечности.

    Непонимание этого факта часто вводило в заблуждение древних греков и приводило к всевозможным парадоксам, пока тема бесконечности не была окончательно решена в 19 веке.

    Сегодня мы видим, что иррациональные числа — это не катастрофа, а просто расширение системы счисления, точно так же, как дроби были введены как расширение натуральных чисел.В последующие века система счисления была расширена и другими способами, но это тема для будущей колонки.

    Ссылки по теме:

    Таблица квадратов и квадратных корней

    Что такое квадратные корни и почему нас это волнует?

    Квадратный корень из числа — это число, которое при умножении само на себя дает желаемое значение. Так, например, квадратный корень из 49 равен 7 (7×7 = 49). Сам процесс многократного умножения называется возведением в квадрат .

    Числа, квадратные корни которых являются целыми числами (или, точнее, положительными целыми числами), называются точными квадратными числами. Числа с десятичными знаками не являются точными квадратными корнями.

    Все положительные числа будут иметь положительное число в качестве квадратного корня, называемого главным, и отрицательное число. Все эти числа известны как действительные числа.

    Все отрицательные числа будут иметь комплексное число в качестве квадратного корня. Комплексное число — это число, умноженное на i. i — это «мнимый» квадратный корень из -1.Это называется мнимым, но для математиков оно существует.

    Как нам выписать квадратные корни?

    Уравнение квадратного корня записывается с использованием знака корня или символа корня (?). Число, из которого мы хотим получить корень, идет после или под хвостом радикала (например,? 3, если мы хотим найти квадратный корень из 3). Число после корня называется подкоренным. На калькуляторе вместо радикала вы можете увидеть «sqrt».

    Для чего мы используем квадратный корень?

    Это может быть немного сложно представить, но квадратные корни — одни из самых полезных чисел.Функции квадратного корня очень важны для уравнений физики всех видов. Они также полезны для статистики; статистики всегда используют квадратные корни при анализе корреляции между разными точками данных.

    Список идеальных квадратов

    Используйте эту таблицу, чтобы найти квадраты и квадратные корни чисел от 1 до 100 .

    Эту таблицу также можно использовать для вычисления квадратных корней из больших чисел.

    • Например, если вы хотите найти квадратный корень из 2000 , ищите в среднем столбце , пока не найдете число, наиболее близкое к 2000.Число в среднем столбце, которое ближе всего к 2000, — 2,025 .
    • Теперь посмотрите на число слева от от 2 025 , чтобы найти его квадратный корень. Корень квадратный из 2025 составляет 45 .
    • Следовательно, приблизительный квадратный корень из 2000 составляет 45 .

    Чтобы получить более точное число, вам нужно использовать калькулятор (44,721 — более точный квадратный корень из 2000).

    Готовитесь к длительной учебной сессии? Возможно, вас заинтересует наш список лучших офисных стульев 2020 года.

    901450477 2348 9015 7,810 7,810874.832 9,220274 9015
    НОМЕР КВАДРАТ КВАДРАТНАЯ КОРЕНЬ
    1 1 1.000 9014
    1,732
    4 16 2.000
    5 25 2,236
    6 36 2.449
    7 49 2.646
    8 64 2,828
    9 81 3,000 9015 3,000
    121 3,317
    12 144 3,464
    13 169 3,606
    14 196 901.742
    15 225 3.873
    16 256 4.000
    17 289 4.123 3215 9016 9016 9016 9016 9016 361 4,359
    20 400 4,472
    21 441 4,583
    22 481 40
    23 529 4,796
    24 576 4,899
    25 625 5,00014 901 9016 9016 5,00014 901 9016 5,00014 9016 729 5,196
    28 784 5,292
    29 841 5,385
    30 900
    31 961 5,568
    32 1,024 5,657
    33 1,089 5,745 901 901 5,745 901 5,745 901 1,225 5,916
    36 1,296 6.000
    37 1,369 6,083
    38 1,444164
    39 1,521 6,245
    40 1,600 6,325
    41 1,681
    41 1,681 6,403 901 901 901 9016 901 901 9016 1,849 6,557
    44 1,936 6,633
    45 2,025 6,708
    465001 2782
    47 2,209 6,856
    48 2,304 6,928
    49 2,401 7,000 2,401 7,000 2,601 7,141
    52 2,704 7,211
    53 2,809 7,280
    54,9161 7,280
    54,9161 7,280
    55 3,025 7,416
    56 3,136 7,483
    57 3,249 7,550 3,249 7,550 3,249 7,550 3,481 7,681
    60 3,600 7,746
    61 3,721 7,810
    62
    62
    62
    63 3,969 7,937
    64 4,096 8,000
    65 4,225 8,062 4,225 8,062 4,225 8,062 4,489 8,185
    68 4,624 8,246
    69 4,761 8,307
    7016367
    71 5,041 8,426
    72 5,184 8,485
    73 5,329 8,544 5,329 8,544 8,544 8,544 8,544 5,625 8,660
    76 5,776 8,718
    77 5,929 8,775
    78
    79 6,241 8,888
    80 6,400 8,944
    81 6,561 82141 6,561 9000 9000 901 6,889 9,110
    84 7,056 9,165
    85 7,225 9,220
    7
    87 7,569 9,327
    88 7,744 9,381
    89 7,921 9015 9015 9015 9015 9,434 8,281 9,539
    92 8,464 9,592
    93 8,649 9,644
    94,836695
    95 9,025 9,747
    96 9,216 9,798
    97 9,409
    9,8499 9,801 9,950
    100 10,000 10,000

    ПРИМЕЧАНИЕ. Квадратные корни в этой таблице округлены до тысячных долей.

    Средние и медианные числа и формулы для поиска квадратного корня

    Калькулятор квадратного корня

    Калькулятор квадратного корня

    О калькуляторе квадратного корня

    Калькулятор квадратного корня используется для нахождения квадратного корня из введенного числа.

    Квадратный корень

    В математике квадратный корень из числа x — это такое число r, что r 2 = x.

    Например:

    1. Квадратный корень из 25 равен 5, потому что 5 2 = 25.

    3. Квадратный корень из 2 приблизительно равен 1,41421356237.

    3. Квадратный корень числа пи (π) приблизительно равен 1,77245385102.

    Таблица квадратного корня

    Ниже приводится таблица квадратного корня от 1 до 1000 с округлением до 5 цифр:

    223607 15 1512311 6,40312 7,24143

    0    96 7.81085050 7.810850 8,42615 9 9696 9.539690 10.0148 10210 10.535850 11 11

    50 11.44585096 141 98 14.87434 141 98 14.87434 12.250 12.250998 14.177998 14.17795050960960960 332 332 3329696 20.024850 216087

    50

    50

    50

    50 841 901 9696 90198 30.01650
    x √x
    1 1
    2 1.41421
    3 1.73205
    6 2.44949
    7 2,64575
    8 2,82843
    9 314
    12 3,4641
    13 3,60555
    14 3,74166
    3,87298
    3,87298
    18 4,24264
    19 4,3589
    20 4,47214
    21 4,58258
    24 4.89898
    25 5
    26 5.09902
    27 5.19615
    28 5,2915
    29 5,38516
    30 5,47723
    31 5,5671476 31 5,5671476
    34 5,83095
    35 5,
    36 6
    37 6.08276
    38 6,16441
    39 6,245
    40 6,32456
    41 6,40312
    41 6,40312
    44 6,63325
    45 6,7082
    46 6,78233
    47 6.85565
    48 6,9282
    49 7
    50 7,07107
    51 7,14148 7,2

    0    		 51 7,14143

    0
    54 7,34847
    55 7,4162
    56 7,48331
    57 7.54983
    58 7.61577
    59 7.68115
    60 7.74597
    61
    64 8
    65 8.06226
    66 8.12404
    67 8.18535
    68 8,24621
    69 8,30662
    70 8,3666
    71 8,42615
    71 8,42615
    74 8.60233
    75 8.66025
    76 8.7178
    77 8.77496
    78 8.83176
    79 8.88819
    80 8.
    81
    81 9
    84 9.16515
    85 9.21954
    86 9.27362
    87 9.32738
    88 9.38083
    89 9.43398
    90 9.48683
    91
    91
    94 9.69536
    95 9.74679
    96 9.79796
    97 9.84886
    98 9.89949
    99 9.
    100 10
    101 10.0148 10210
    104 10.19804
    105 10.24695
    106 10.29563
    107 10.34408
    108 10.3923
    109 10.44031
    110 10.48809
    111
    114 10.67708
    115 10.72381
    116 10.77033
    117 10.81665
    118 10.86278
    119 10.
    120 10.
    121 0
    121
    124 11.13553
    125 11.18034
    126 11.22497
    127 11.26943
    128 11.31371
    129 11.35782
    130 11.40175
    131
    131
    134 11,57584
    135 11,61895
    136 11,6619
    137 11.7047
    138 11.74734
    139 11.78983
    140 11.83216
    141
    144 12
    145 12.04159
    146 12.08305
    147 12.12436
    148 12.16553
    149 12.20656
    150 12.24745
    151
    154 12,40967
    155 12,4499
    156 12,49
    157 12.52996
    158 12,56981
    159 12,60952
    160 12,64911
    161 12,68858
    162 12,72792
    163 12,76715
    164 12.80625
    165 12.84523
    166 12.8841
    167 12.
    168 12.
    169 13
    170 13.0384
    171
    171
    171 13998
    174 13.19091
    175 13.22876
    176 13.2665
    177 13.30413
    178 13,34166
    179 13,37909
    180 13,41641
    181 13,45362
    182 13,49074
    183 13,52775
    184 13.56466
    185 13.60147
    186 13.63818
    187 13.67 479
    188 13,71131
    189 13,74773
    190 13,78405
    191 13,82027
    192 13,85641
    193 13,89244
    194 13.
    195 13.
    196 14
    197 14.03567
    198 14.07125
    199 14.10674
    200 14.14214
    201
    201
    204 14.28286
    205 14.31782
    206 14.3527
    207 14.38749
    на 208 14,42221
    209 14,45683
    210 14,49138
    211 14,52584
    212 14,56022
    213 14,59452
    214 14.62874
    215 14.66288
    216 14.69694
    217 14.73092
    218 14,76482
    219 14,79865
    220 14,8324
    221 14,86607
    222 14,89966
    223 14,
    224 14.
    225 15
    226 15.0333
    227 15.06652
    228 15.09967
    229 15.13275
    230 15.16575
    231
    231
    234 15.29706
    235 15,32971
    236 15,36229
    237 15.3948
    238 15,42725
    239 15,45962
    240 15,49193
    241 15,52417
    242 15,55635
    243 15,58846
    244 15,6205
    245 15,65248
    246 15,68439
    247 15.71623
    248 15,74802
    249 15,77973
    250 15,81139
    251 15,84298
    252 15,87451
    253 15,
    254 15.
    255 15.
    256 16
    257 16.03122
    258 16,06238
    259 16,09348
    260 16,12452
    261 16,15549
    262 16,18641
    263 16,21727
    264 16.24808
    265 16.27882
    266 16.30951
    267 16.34013
    268 16,37071
    269 16,40122
    270 16,43168
    271 16,46208
    272 16,49242
    273 16,52271
    274 16,55295
    275 16,58312
    276 16,61325
    277 16.64332
    278 16,67333
    279 16,70329
    280 16,7332
    281 16,76305
    282 16,79286
    283 16,8226
    284 16,8523
    285 16,88194
    286 16,
    287 16.
    288 16.
    289 17
    290 17.02939
    291
    291
    291
    294 17.14643
    295 17.17556
    296 17.20465
    297 17.23369
    298 По 17,26268
    299 17,29162
    300 17,32051
    301 17,34935
    302 17,37815
    303 17,4069
    304 17.4356
    305 17.46425
    306 17.49286
    307 17.52142
    308 17,54993
    309 17,5784
    310 17,60682
    311 17,63519
    312 17,66352
    313 17,69181
    314 17.72005
    315 17.74824
    316 17.77639
    317 17.+80449
    318 17,83255
    319 17,86057
    320 17,88854
    321 17,
    322 17,
    323 17,9722
    324 18
    325 18.02776
    326 18.05547
    327 18.08314
    328 18.11077
    329 18.13836
    330 18.1659
    331
    331
    331
    334 18.27567
    335 18.30301
    336 18.3303
    337 18.35756
    338 18,38478
    339 18,41195
    340 18,43909
    341 18,46619
    342 18,49324
    343 18,52026
    344 18.54724
    345 18.57418
    346 18.60108
    347 18.62794
    348 18,65476
    349 18,68154
    350 18,70829
    351 18,73499
    352 18,76166
    353 18,78829
    354 18.81489
    355 18.84144
    356 18.86796
    357 18.89444
    358 18.
    359 18.9473
    360 18.

    361
    361 1950
    361 1950
    364 19.07878
    365 19.10497
    366 19.13113
    367 19.15724
    368 19,18333
    369 19,20937
    370 19,23538
    371 19,26136
    372 19,2873
    373 19,31321
    374 19.33908
    375 19.36492
    376 19.39072
    377 19.41649
    378 19,44222
    379 19,46792
    380 19,49359
    381 19,51922
    382 19,54482
    383 19,57039
    384 19.59592
    385 19.62142
    386 19.64688
    387 19.67232
    388 19,69772
    389 19,72308
    390 19,74842
    391 19,77372
    392 19,79899
    393 19,82423
    394 19.84943
    395 19.87461
    396 19.89975
    397 19.
    398 19.
    399 19.

    400 20
    401
    401
    404 20.09975
    405 20.12461
    406 20.14944
    407 20.17424
    408 20,19901
    409 20,22375
    410 20,24846
    411 20,27313
    412 20,29778
    413 20,3224
    414 20.34699
    415 20.37155
    416 20.39608
    417 20.42058
    418 20,44505
    419 20,46949
    420 20,4939
    421 20,51828
    422 20,54264
    423 20,56696
    424 20.59126
    425 20.61553
    426 20.63977
    427 20.66398
    428 20,68816
    429 20,71232
    430 20,73644
    431 20,76054
    432 20,78461
    433 20,80865
    434 20.83267
    435 20.85665
    436 20.88061
    437 20.
    444 21.07131
    445 21.09502
    446 21.11871
    447 21.14237
    448 21.16601
    449 21.18962
    450 21.2132
    451 9014 45150
    451 9014 45150
    451
    454 21.30728
    455 21.33073
    456 21.35416
    457 21.37756
    458 21,40093
    459 21,42429
    460 21,44761
    461 21,47091
    462 21,49419
    463 21,51743
    464 21.54066
    465 21.56386
    466 21.58703
    467 21.61018
    468 21,63331
    469 21,65641
    470 21,67948
    471 21,70253
    472 21,72556
    473 21,74856
    474 21.77154
    475 21.79449
    476 21.81742
    477 21.84033
    478 21,86321
    479 21,88607
    480 21,9089
    481 21,
    482 21,9545
    483 21,97726
    484 22
    485 22.02272
    486 22.04541
    487 22.06808
    488 22,09072
    489 22,11334
    490 22,13594
    491 22,15852
    492 22,18107
    493 22,2036
    494 22.22611
    495 22.2486
    496 22.27106
    497 22.+2935
    498 22,31591
    499 22,33831
    500 22,36068
    501 22,38303
    502 22,40536
    503 22,42766
    504 22.44994
    505 22.47221
    506 22.49444
    507 22.51666
    508 22,53886
    509 22,56103
    510 22,58318
    511 22,60531
    512 22,62742
    513 22,6495
    514 22.67157
    515 22.69361
    516 22.71563
    517 22.73 763
    518 22,75961
    519 22,78157
    520 22,80351
    521 22,82542
    522 22,84732
    523 22,86919
    524 22.89105
    525 22.
    526 22.
    527 22.
    528 22.97825
    529 23
    530 23.02173
    531
    531
    531
    531
    534 23.10844
    535 23.13007
    536 23.15167
    537 23.17326
    538 23,19483
    539 23,21637
    540 23,2379
    541 23,25941
    542 23,28089
    543 23,30236
    544 23.32381
    545 23.34524
    546 23.36664
    547 23.38803
    548 23,4094
    549 23,43075
    550 23,45208
    551 23,47339
    552 23,49468
    553 23,51595
    554 23.5372
    555 23.55844
    556 23.57965
    557 23.60085
    558 23,62202
    559 23,64318
    560 23,66432
    561 23,68544
    562 23,70654
    563 23,72762
    564 23.74868
    565 23.76973
    566 23.79075
    567 23.81176
    568 23,83275
    569 23,85372
    570 23,87467
    571 23,89561
    572 23,
    573 23,
    574 23.9583
    575 23.97916
    576 24
    577 24.02082
    578 24,04163
    579 24,06242
    580 24,08319
    581 24,10394
    582 24,12468
    583 24,14539
    584 24.16609
    585 24.18677
    586 24.20744
    587 24.22808
    588 24,24871
    589 24,26932
    590 24,28992
    591 24,31049
    592 24,33105
    593 24,35159
    594 24.37212
    595 24.39262
    596 24.41311
    597 24.43358
    598 24,45404
    599 24,47448
    600 24,4949
    601 24,5153
    602 24,53569
    603 24,55606
    604 24,57641
    605 24,59675
    606 24,61707
    607 24.63737
    608 24,65766
    609 24,67793
    610 24,69818
    611 24,71841
    612 24,73863
    613 24,75884
    614 24.77902
    615 24.79919
    616 24.81935
    617 24.83948
    618 24,85961
    619 24,87971
    620 24,8998
    621 24,
    622 24,
    623 24,
    624 24.97999
    625 25
    626 25.01999
    627 25.03997
    628 25,05993
    629 25,07987
    630 25,0998
    631 25,11971
    632 25,13961
    633 25,15949
    634 25.17936
    635 25.19921
    636 25.21904
    637 25.23886
    638 25,25866
    639 25,27845
    640 25,29822
    641 25,31798
    642 25,33772
    643 25,35744
    644 25.37716
    645 25.39685
    646 25.41653
    647 25.43 619
    648 25,45584
    649 25,47548
    650 25,4951
    651 25,5147
    652 25,53429
    653 25,55386
    654 25,57342
    655 25,59297
    656 25,6125
    657 25.63201
    658 25,65151
    659 25,671
    660 25,69047
    661 25,70992
    662 25,72936
    663 25,74879
    664 25.7682
    665 25.78759
    666 25.80698
    667 25.82634
    668 25,8457
    669 25,86503
    670 25,88436
    671 25,
    672 25,
    673 25,
    674 25.
    675 25.98076
    676 26
    677 26.+01922
    678 26,03843
    679 26,05763
    680 26,07681
    681 26,09598
    682 26,11513
    683 26,13427
    684 26.15339
    685 26.1725
    686 26.1916
    687 26.21068
    688 26,22975
    689 26,24881
    690 26,26785
    691 26,28688
    692 26,30589
    693 26,32489
    694 26.34388
    695 26.36285
    696 26.38181
    697 26.40 076
    698 26,41969
    699 26,43861
    700 26,45751
    701 26,4764
    702 26,49528
    703 26,51415
    704 26,533
    705 26,55184
    706 26,57066
    707 26.58947
    708 26,60827
    709 26,62705
    710 26,64583
    711 26,66458
    712 26,68333
    713 26,70206
    714 26.72078
    715 26.73948
    716 26.75818
    717 26.77686
    718 26,79552
    719 26,81418
    720 26,83282
    721 26,85144
    722 26,87006
    723 26,88866
    724 26.
    725 26.
    726 26.
    727 26.
    728 26.98148
    729 27
    730 27.01851
    731
    734 27.09243
    735 27.11088
    736 27.12932
    737 27.14774
    738 27,16616
    739 27,18455
    740 27,20294
    741 27,22132
    742 27,23968
    743 27,25803
    744 27.27636
    745 27.29469
    746 27.313
    747 27.3313
    748 27,34959
    749 27,36786
    750 27,38613
    751 27,40438
    752 27,42262
    753 27,44085
    754 27.45906
    755 27.47726
    756 27.49545
    757 27.51363
    758 27,5318
    759 27,54995
    760 27,5681
    761 27,58623
    762 27,60435
    763 27,62245
    764 27.64055
    765 27.65863
    766 27.67671
    767 27.69476
    768 27,71281
    769 27,73085
    770 27,74887
    771 27,76689
    772 27,78489
    773 27,80288
    774 27.82086
    775 27.83882
    776 27.85678
    777 27.87472
    778 27,89265
    779 27,
    780 27,
    781 27,
    782 27,
    783 27,98214
    784 28
    785 28.01785
    786 28.03569
    787 28.05 352
    788 28,07134
    789 28,08914
    790 28,10694
    791 28,12472
    792 28,14249
    793 28,16026
    794 28.17801
    795 28.19574
    796 28.21347
    797 28.23119
    798 28,24889
    799 28,26659
    800 28,28427
    801 28,30194
    802 28,3196
    803 28,33725
    804 28.35489
    805 28.37252
    806 28.39014
    807 28.40775
    808 28,42534
    809 28,44293
    810 28,4605
    811 28,47806
    812 28,49561
    813 28,51315
    814 28,53069
    815 28,5482
    816 28,56571
    817 28.58321
    818 28,6007
    819 28,61818
    820 28,63564
    821 28,6531
    822 28,67054
    823 28,68798
    824 28.7054
    825 28.72281
    826 28.74022
    827 28.75 761
    828 28,77499
    829 28,79236
    830 28,80972
    831 28,82707
    832 28,84441
    833 28,86174
    834 28.87906
    835 28.89637
    836 28.
    837 28.
    838 28.
    839 28.9655
    840 28.98275
    841
    9014
    844 29.05168
    845 29.06888
    846 29.08608
    847 29.10326
    848 29,12044
    849 29,1376
    850 29,15476
    851 29,1719
    852 29,18904
    853 29,20616
    854 29.22328
    855 29.24038
    856 29.25748
    857 29.27456
    858 29,29164
    859 29,3087
    860 29,32576
    861 29,3428
    862 29,35984
    863 29,37686
    864 29.39388
    865 29.41088
    866 29.42788
    867 29.+44486
    868 29,46184
    869 29,47881
    870 29,49576
    871 29,51271
    872 29,52965
    873 29,54657
    874 29,56349
    875 29,5804
    876 29,5973
    877 29.61419
    878 29,63106
    879 29,64793
    880 29,66479
    881 29,68164
    882 29,69848
    883 29,71532
    884 29.73214
    885 29.74895
    886 29.76575
    887 29.78255
    888 29,79933
    889 29,8161
    890 29,83287
    891 29,84962
    892 29,86637
    893 29,88311
    894 29.89983
    895 29.
    896 29.
    897 29.
    898 29.
    899 29.98333
    900 30
    901
    904 30.06659
    905 30.08322
    906 30.09983
    907 30.11644
    908 30,13304
    909 30,14963
    910 30,16621
    911 30,18278
    912 30,19934
    913 30,21589
    914 30,23243
    915 30,24897
    916 30,26549
    917 30.28201
    918 30,29851
    919 30,31501
    920 30,3315
    921 30,34798
    922 30,36445
    923 30,38092
    924 30.39737
    925 30.41381
    926 30.43025
    927 30.44667
    928 30,46309
    929 30,4795
    930 30,4959
    931 30,51229
    932 30,52868
    933 30,54505
    934 30.56141
    935 30.57777
    936 30.59412
    937 30.61046
    938 30,62679
    939 30,64311
    940 30,65942
    941 30,67572
    942 30,69202
    943 30,70831
    944 30.72458
    945 30.74085
    946 30.75711
    947 30.77337
    948 30,78961
    949 30,80584
    950 30,82207
    951 30,83829
    952 30,8545
    953 30,8707
    954 30.88689
    955 30.
    956 30.
    957 30.
    958 30,
    959 30,
    960 30,98387
    961 31
    962 31,01612
    963 31,03224
    964 31.04835
    965 31.06445
    966 31.08054
    967 31.09 662
    968 31,1127
    969 31,12876
    970 31,14482
    971 31,16087
    972 31,17691
    973 31,19295
    974 31.20897
    975 31.22499
    976 31.241
    977 31.257
    978 31,27299
    979 31,28898
    980 31,30495
    981 31,32092
    982 31,33688
    983 31,35283
    984 31.36877
    985 31.38471
    986 31.40064
    987 31.41656
    988 31,43247
    989 31,44837
    990 31,46427
    991 31,48015
    992 31,49603
    993 31,5119
    994 31.52777
    995 31.54362
    996 31.55947
    997 31.57531
    998 31.59114
    999 31.60696
    1000 31.62278

    Связанные

    Часто используемые Miniwebtools:

    Все минивеб-инструменты (отсортировано по названию):

    PWA (прогрессивное веб-приложение) Инструменты (17) Финансовые калькуляторы (121) Здоровье и фитнес (31) Математика (161) Случайность (17) Спорт (8) Текстовые инструменты (30) Время и Дата (27) Инструменты для веб-мастеров (10) Хеш и контрольная сумма (8) Разное (108)

    Калькулятор дробей


    Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями, объединенными с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами.Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

    Правила для выражений с дробями:
    Дроби — используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
    Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).

    Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
    Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, то есть 1/2: 3 .

    Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . , и они автоматически переводятся в дроби — i.е. 1,45 .

    Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. 1/2
    • сложение дробей и смешанные числа: 8/5 + 6 2/7
    • деление целого и дробного числа: 5 ÷ 1/2
    • комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
    • десятичное в дробное: 0.625
    • Дробь в десятичную: 1/4
    • Дробь в проценты: 1/8%
    • сравнение дробей: 1/4 2/3
    • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
    • квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
    • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
    • выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
    • сложная дробь: 3/4 от 5/7
    • кратная дробь: 2/3 от 3/5
    • разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

    Калькулятор следует известным правилам порядка операций .Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
    PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
    BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
    BODMAS — Скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.
    GEMDAS — Группирующие символы — скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
    Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.

    Дроби в словесных задачах:

    следующие математические задачи »

    Кубический корень из 2 — Как найти кубический корень из 2? [Решено]

    Значение кубического корня из 2, округленного до 6 знаков после запятой, равно 1,259921. Это реальное решение уравнения x 3 = 2. Кубический корень из 2 выражается как ∛2 в радикальной форме и как (2) ⅓ или (2) 0.33 в экспоненциальной форме. Разложение 2 на простые множители равно 2, следовательно, кубический корень из 2 в его низшей радикальной форме выражается как ∛2.

    • Кубический корень из 2: 1,259
    • Кубический корень из 2 в экспоненциальной форме: (2) ⅓
    • Кубический корень из 2 в радикальной форме: ∛2

    Что такое кубический корень из 2?

    Кубический корень из 2 — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает произведение 2.Число 2 простое. Следовательно, кубический корень из 2 = ∛2 = 1,2599.

    ☛ Чек: Калькулятор кубического корня

    Как вычислить значение корня куба из 2?

    Кубический корень из 2 по методу Галлея

    Его формула a ≈ x ((x 3 + 2a) / (2x 3 + a))
    где,
    a = число, кубический корень которого вычисляется
    x = целое число его кубического корня.

    Здесь a = 2
    Примем x как 1
    [∵ 1 3 = 1 и 1 — ближайший идеальный куб, который меньше 2]
    ⇒ х = 1
    Следовательно,
    ∛2 = 1 (1 3 + 2 × 2) / (2 × 1 3 + 2)) = 1,25
    ⇒ ∛2 ≈ 1,25
    Следовательно, кубический корень из 2 приблизительно равен 1,25.

    Является ли кубический корень 2 иррациональным?

    Да, потому что ∛2 не может быть выражено в форме p / q, где q ≠ 0.Следовательно, значение кубического корня из 2 является иррациональным числом.

    ☛ Также проверьте:

    Кубический корень из 2 решенных примеров

    1. Пример 1. Какое значение имеет ∛2 + ∛ (-2)?

      Решение:

      Кубический корень из -2 равен отрицательному элементу кубического корня из 2,
      т.е.-2 = -∛2

      Следовательно, 2 + ∛ (-2) = ∛2 — ∛2 = 0

    2. Пример 2: Найдите действительный корень уравнения x 3 — 2 = 0.

      Решение:

      x 3 — 2 = 0, т.е. x 3 = 2
      Решение относительно x дает нам
      x = ∛2, x = ∛2 × (-1 + √3i)) / 2 и x = ∛2 × (-1 — √3i)) / 2
      где i называется мнимой единицей и равен √-1.
      Игнорирование мнимых корней,
      х = ∛2
      Следовательно, действительный корень уравнения x 3 — 2 = 0 равен x = ∛2 = 1,2599.

    3. Пример 3: Объем сферического шара равен 2π в 3 .Каков радиус этого шара?

      Решение:

      Объем сферического шара = 2π дюйм 3
      = 4/3 × π × R 3
      ⇒ R 3 = 3/4 × 2
      ⇒ R = ∛ (3/4 × 2) = ∛ (3/4) × ∛2 = 0, × 1,25992 (∵ ∛ (3/4) = 0, и ∛2 = 1,25992)
      ⇒ R = 1,14471 из 3

    перейти к слайду перейти к слайду

    Готовы увидеть мир глазами математиков?

    Математика лежит в основе всего, что мы делаем.Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых занятиях и станьте экспертом во всем.

    Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

    FAQ по Cube Root из 2

    Что такое кубический корень из 2?

    Кубический корень из 2 равен 1,25992.

    Что такое куб из куба, корень 2?

    Куб кубического корня из 2 — это само число 2, т.е. (∛2) 3 = (2 1/3 ) 3 = 2.

    Является ли 2 идеальным кубом?

    Число 2 простое.Здесь простой множитель 2 не в степени 3, и это означает, что кубический корень из 2 иррационален, следовательно, 2 не является идеальным кубом.

    Что такое 18 плюс 5 кубического корня 2?

    Значение ∛2 равно 1,26. Итак, 18 + 5 × ∛2 = 18 + 5 × 1,26 = 24,3. Следовательно, значение 18 плюс 5 кубического корня 2 равно 24,3.

    Если кубический корень из 2 равен 1,26, найдите значение 0,002 фунта стерлингов.

    Представим 0,002 в форме p / q, т. Е. ∛ (2/1000) = 1,26 / 10 = 0,13. Следовательно, значение ∛0.002 = 0,13.

    Почему значение кубического корня из 2 иррационально?

    Значение кубического корня из 2 нельзя выразить в виде p / q, где q ≠ 0. Следовательно, число 2 иррационально.

    Кубический корень — это то же самое, что возвести в степень 1/3?

    Недавно я обнаружил интересное несоответствие, связанное с функцией кубического корня.

    Кубический корень

    В Wolfram | Alpha (который использует систему компьютерной алгебры Mathematica в своей бэкэнде), если вы попросите его построить график, вы получите следующее, как и ожидалось:

    В поле поиска я ввел «кубический корень из x», и он сказал, что «Результат» был правильно написан как.

    Этот график является отражением графика y = x 3 в линии y = x . Это обратные функции.

    Мы знаем, что кубический корень отрицательного числа отрицательный, поэтому, например, мы видим, что это имеет смысл на графике выше.

    Wolfram | Alpha утверждает, что существует один корень ( x = 0), а домен и диапазон — все действительные числа, что согласуется с приведенным выше графиком.

    ПРИМЕЧАНИЕ: Крошечным шрифтом, Wolfram | Alpha указывает:

    Предположим, что «кубический корень из» является корнем с действительным знаком.

    Есть возможность увидеть «основной корень», но это дало тот же результат.

    Возведение в степень 1/3

    На ранних этапах изучения корней и дробных степеней мы узнаем, что можем записать корни в дробных показателях. В общем, это означает:

    Итак, для квадратного корня мы имеем:

    и для кубического корня:

    .

    Таким образом, мы ожидаем, что график будет таким же, как и график для.

    Но это не так. Вот что возвращает Wolfram | Alpha, когда я прошу его построить график:

    Синяя кривая обозначена как «действительная часть», а красная кривая — «мнимая часть».

    Любопытно, что значение «Input» указано как:, но на самом деле это не то, что я ввел. Итак, часть ответа касается, а остальная часть ответа — нет.

    Из раздела, посвященного комплексным корням, мы знаем (особенно см. Упражнение 4 в конце), что кубическое уравнение будет иметь 3 корня (точно так же, как квадратное уравнение имеет 2 корня).Все эти 3 корня могут быть настоящими или смесью реальных и сложных корней.

    Wolfram | Alpha правильно указывает, что есть мнимые части, но верен ли их график? Неужели кубический корень отрицательного числа должен быть отрицательным?

    Пример: Каковы все кубические корни из −8?

    Я немного уменьшил масштаб, чтобы получить этот график, и добавил несколько направляющих сегментов (зеленых):

    Используя те же соображения, что и в упражнении 4, упомянутом ранее, комплексные решения для x 3 = −8 должны быть разнесены на 120 °, что дает (где):

    х = −2

    х = 1 + 1.73j

    x = 1 — 1.73j

    Приведенный выше график действительно дает нам одно из этих решений (среднее, поскольку мы видим, что действительная часть равна 1, а мнимая часть — 1,73), но не дает двух других решений.

    Еще раз, страница сообщает нам, что принимает «основной корень», и дает нам возможность выбрать «действительный корень». Если мы сделаем это на этот раз, мы получим настоящую корневую версию, похожую на график в верхней части страницы.

    Научная тетрадь ответ

    Scientific Notebook дает следующие 2 графика, которые я наложил.

    Синий график показывает, и Scientific Notebook дает полное реальное решение (в первом и третьем квадрантах), тогда как пурпурный (розовый) график находится только в положительном квадранте.

    Геогебра и Десмос ответы

    И Geogebra, и Desmos дают один и тот же график «полного реального значения» для обоих и.

    Аналогично квадратному корню

    Я уже писал о количестве решений для √16. Конечно, есть одно решение, тогда как если вас попросят решить, вы получите два решения.

    Wolfram | Alpha и Scientific Notebook признают, что существует разница между (каждый раз есть один «главный» ответ) и, где нам нужно запомнить сложные корни.

    Заключение

    Не принимайте слово компьютера, когда он дает вам график или решение некоторого уравнения. Он делает все возможное, чтобы выяснить, что вы хотите знать, но нельзя ожидать, что он будет знать полный контекст вашего запроса или обязательно даст вам все возможные ответы.

    Мне кажется странным, что Wolfram | Alpha дает лишь частичный графический ответ для кубического корня из −8. Пользователь должен немного подумать, чтобы извлечь из него полный ответ.

    Все еще нужна помощь?

    Найдите репетитора

    См. 6 комментариев ниже.

    Умножение радикальных выражений — ChiliMath

    В этом уроке мы будем иметь дело только с квадратными корнями, которые представляют собой определенный тип радикального выражения с индексом \ color {red} 2.Если вы видите радикальный символ без явно написанного индекса, предполагается, что он имеет индекс \ color {red} 2.

    Ниже приведены основные правила умножения радикальных выражений.

    Основное правило умножения радикальных выражений

    Подкоренное выражение — это термин внутри квадратного корня. Мы умножаем радикалы, умножая их подкоренные выражения вместе, сохраняя при этом их произведение под одним и тем же символом радикала. Что будет тогда, если в радикальных выражениях есть числа, расположенные снаружи?

    Нам просто нужно настроить формулу выше.Но ключевая идея состоит в том, что произведение чисел, находящихся вне радикальных символов, также остается снаружи.

    Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как применяются эти два основных правила.

    Примеры умножения радикальных выражений

    Пример 1 : Упростить умножением.

    Умножьте подкоренные выражения, сохраняя произведение внутри квадратного корня.

    Произведение представляет собой полный квадрат, поскольку 16 = 4 · 4 = 4 2 , что означает, что квадратный корень из \ color {blue} 16 — это просто целое число.

    Пример 2 : Упростить умножением.

    Можно умножать числа, если они оба находятся под радикальным символом. После умножения подкоренных выражений посмотрите, возможно ли дальнейшее упрощение.

    Пример 3 : Упростить умножением.

    Возьмите число вне скобок и распределите его по числам внутри. Мы просто применяем дистрибутивное свойство умножения.

    Далее приступаем к обычному умножению радикалов. Но будьте осторожны. Вы можете умножать только числа, находящиеся внутри радикальных символов. Таким же образом можно использовать только числа, не входящие в радикальные символы.

    При умножении числа внутри символа корня и числа вне символа корня просто поместите их рядом.

    Пример 4 : Упростить умножением.

    Как и в примере 3, мы собираемся распределить числа вне скобок на числа внутри.Но обязательно умножайте числа только в том случае, если их «расположение» одинаково. То есть умножайте числа вне радикальных символов независимо от чисел внутри радикальных символов.

    Отсюда мне просто нужно упростить продукты.

    Пример 5 : Упростить умножением.

    Решение :

    Пример 6 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

    Эта задача требует, чтобы мы перемножили два бинома, содержащие радикальные члены.Примените метод FOIL для упрощения.

    • F : умножить первые члены.
    • O : Умножьте внешний член .
    • I : Умножьте внутренний член .
    • L : умножить на последние членов.

    После применения свойства распределения с помощью метода FOIL, я упросту их как обычно.

    Пример 7 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

    Как и в нашем предыдущем примере, давайте применим метод FOIL, чтобы упростить произведение двух биномов.

    • F : умножить первые члены.
    • O : Умножьте внешний член .
    • I : Умножьте внутренний член .
    • L : умножить на последние членов.

    С этого момента упрощайте как обычно.Обратите внимание, что два средних члена отменяют друг друга.

    Пример 8 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

    Давайте решим это пошагово:

    • Умножьте вместе, используя метод FOIL.
    • Упростим квадратный корень из 25.
    • Сложите числа без радикальных символов

    Пример 9 : Упростите, умножив два бинома на радикальные члены.

    Давайте решим это пошагово:

    • Разверните произведение биномов с помощью FOIL.
    • Получите квадратные корни из совершенных квадратных чисел, которые равны \ color {red} 36 и \ color {red} 9.
    • Найдите идеальный квадратный множитель для 24.
    • Разбейте его как произведение квадратных корней.
    • Упростим квадратный корень из 4.
    • Вычтите аналогичные радикалы и вычтите также числа без радикальных символов.

    Пример 10 : Упростить умножением.

    Мы собираемся перемножить эти биномы «матричным методом». Напишите члены первого бинома (синим цветом) в крайнем левом столбце и напишите члены второго бинома (красным цветом) в верхней строке.

    Умножьте числа соответствующих сеток. См. Анимацию ниже.

    Затем упростите продукт внутри каждой сетки.

    Наконец, сложите все продукты во всех четырех сетках и упростите, чтобы получить окончательный ответ.

    Пример 11 : Упростить умножением.

    Поместите члены первого бинома в крайний левый столбец, а члены второго бинома в верхнюю строку. Затем перемножьте соответствующие квадратные сетки.

    Наконец, сложите значения в четырех сетках и максимально упростите, чтобы получить окончательный ответ.

    Практика с рабочими листами

    Возможно, вас заинтересует:

    Решение радикальных уравнений
    Упрощение радикальных выражений
    Сложение и вычитание радикальных выражений
    Рационализация знаменателя

    .

    Онлайн конвертер док в докс: Он-лайн конвертер docx

    alexxlab / / Разное

    Конвертировать DOC в TXT — Онлайн Конвертер Файлов

    Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2. 0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet

    Конвертер doc в docx

    Довольно часто возникает потребность перевода файла из формата doc в docx. Docx – самый молодой и в то же время перспективный формат электронных документов, являющийся одной из последних разработок серии Open XML от компании Microsoft. Это расширение предназначено для одного из самых популярных офисных приложений – Microsoft Word.

    Документ формата docx представляет собой zip-архив, что позволяет уменьшить размер файла. Этот архив может включать в себя текстовые данные, таблицы, изображения, графики и различные специальные символы. Благодаря этому при использовании подобного формата пользователь получает гораздо больше возможностей.

    Помимо всех этих достоинств, использование этого формата имеет один отрицательный момент – старые версии Microsoft Word, а также устройства для чтения электронных документов и книг не совместимы с форматом docx, и работа с ним не представляется возможной. Однако на данный момент существует огромное количество специальных программ и утилит, позволяющих без труда изменять формат документов docx в doc. Также при необходимости можно воспользоваться сервисами для онлайн-конвертации документа.

    Программа Docx to Doc Converter 5.26 позволяет конвертировать файлы Microsoft Word 2010 в формат более ранних версий. Она поддерживает конвертацию всех видов документов Microsoft Word. Docx to Doc Converter является условно-бесплатной программой, имеет удобный и понятный интерфейс, а сама конвертация выполняется за пару кликов.

    Скачать Docx to Doc Converter 5.26 с официального сайта

    Загрузить программу с официального сайта

    Утилита docXConverter будет полезна в том случае, если текстовый редактор, имеющийся на компьютере, не поддерживает формат docx. Работает эта программа очень просто – нужный файл следует перетащить в окно программы, и он автоматически конвертируется в rtf-формат, удобный для просмотра.

    Скачать docXConverter бесплатно

    Загрузить программу бесплатно

    Из онлайн-конвертеров можно воспользоваться сервисом Сonvert online free без регистрации – он полностью бесплатен, а сама конвертация не займет много времени.

    Online DOC to DOCX Converter

    Вы также можете конвертировать DOC во многие другие форматы файлов. Пожалуйста, смотрите полный список ниже.

    DOC TO PDF Converter (Документ PDF) DOC TO EPUB Converter (Digital E-Book File Format) DOC TO XPS Converter (Open XML Paper Specification) DOC TO TEX Converter (LaTeX Source Document) DOC TO PPT Converter (Презентация PowerPoint) DOC TO PPS Converter (Microsoft PowerPoint Slide Show) DOC TO PPTX Converter (Презентация PowerPoint в формате Open XML) DOC TO PPSX Converter (PowerPoint Open XML Slide Show) DOC TO ODP Converter (OpenDocument Presentation File Format) DOC TO OTP Converter (Origin Graph Template) DOC TO POTX Converter (Microsoft PowerPoint Open XML Template) DOC TO POT Converter (PowerPoint Template) DOC TO POTM Converter (Microsoft PowerPoint Template) DOC TO PPTM Converter (Microsoft PowerPoint Presentation) DOC TO PPSM Converter (Microsoft PowerPoint Slide Show) DOC TO FODP Converter (OpenDocument Flat XML Presentation) DOC TO XLS Converter (Книга Microsoft Excel) DOC TO XLSX Converter (Книга Microsoft Excel в формате Open XML) DOC TO XLSM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Spreadsheet) DOC TO XLSB Converter (Microsoft Excel Binary Spreadsheet File) DOC TO ODS Converter (Open Document Spreadsheet) DOC TO XLTX Converter (Microsoft Excel Open XML Template) DOC TO XLT Converter (Microsoft Excel Template) DOC TO XLTM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Template) DOC TO TSV Converter (Tab Separated Values File) DOC TO XLAM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Add-In) DOC TO CSV Converter (Comma Separated Values File) DOC TO FODS Converter (OpenDocument Flat XML Spreadsheet) DOC TO SXC Converter (StarOffice Calc Spreadsheet) DOC TO DOC Converter (Документ Microsoft Word) DOC TO DOCM Converter (Microsoft Word Macro-Enabled Document) DOC TO DOT Converter (Microsoft Word Document Template) DOC TO DOTM Converter (Microsoft Word Macro-Enabled Template) DOC TO DOTX Converter (Word Open XML Document Template) DOC TO RTF Converter (Rich Text File Format) DOC TO ODT Converter (Open Document Text) DOC TO OTT Converter (Open Document Template) DOC TO TXT Converter (Plain Text File Format) DOC TO MD Converter (Markdown) DOC TO TIFF Converter (Изображение TIFF) DOC TO TIF Converter (Изображение TIF) DOC TO JPG Converter (Изображение JPEG) DOC TO JPEG Converter (JPEG Image) DOC TO PNG Converter (Изображение PNG) DOC TO GIF Converter (Graphical Interchange Format File) DOC TO BMP Converter (Bitmap File Format) DOC TO ICO Converter (Microsoft Icon File) DOC TO PSD Converter (Adobe Photoshop Document) DOC TO WMF Converter (Windows Metafile) DOC TO EMF Converter (Enhanced Metafile Format) DOC TO DCM Converter (DICOM Image) DOC TO WEBP Converter (Raster Web Image File Format) DOC TO SVG Converter (Scalable Vector Graphics File) DOC TO JP2 Converter (JPEG 2000 Core Image File) DOC TO EMZ Converter (Enhanced Windows Metafile Compressed) DOC TO WMZ Converter (Windows Metafile Compressed) DOC TO SVGZ Converter (Compressed Scalable Vector Graphics File) DOC TO HTML Converter (Hyper Text Markup Language) DOC TO HTM Converter (Hypertext Markup Language File) DOC TO MHT Converter (MIME Encapsulation of Aggregate HTML) DOC TO MHTML Converter (MIME Encapsulation of Aggregate HTML)

    Как конвертировать docx в doc разными способами

    Те, кто имеет дело с вордовскими документами, наверняка сталкивались с расширением файлов, которое может быть либо формата doc, либо docx. Порой возникает путаница, какого типа файлов нужно придерживаться. Чтобы этого не происходило, нужно знать отличия между ними и как можно преобразовать один в другой.

    Основные различия между двумя типами файлов

    Такие распространённые форматы doc и docx являются самыми популярными типами текстовых файлов. Их создателем выступила всемирно известная корпорация Microsoft в рамках своего офисного приложения Microsoft Word. Многие пользователи полагают, что главное отличие в наименовании, и doc-формат просто был популярен раньше, поскольку именно он был предшественником. Однако это будет не совсем верно.

    Начнём с названия — у docx добавляется лишняя литера X. Она означает аббревиатуру XML. Кроме того, основным преимуществом такого формата перед предшествующим считается меньший размер документов. Будет ли это вся разница между doc и docx?

    На протяжении долгих лет по умолчанию единственным текстовым форматом данного офисного приложения являлся doc. Он присутствовал уже в первоначальных пакетах. Поскольку он являлся авторской разработкой компании, то мог использоваться только в её приложениях. Сегодняшняя ситуация отличается тем, что компания разрешила использовать doc-формат, и его открывают даже сторонние редакторы. Такой тип файла теперь вполне легально добавлен в список обрабатываемых файлов ряда других редакторов.

    Например, популярный поисковик и инструментарий Google также позволяет работать с файлами этого типа. Можно не только работать и писать в этом формате, но и загружать их в хранилище для последующей работы с ними.

    Однако ситуация меняется в 2007-и году, когда на смену устаревшему doc приходит более модернизированный docx. Компания занялась его разработкой ввиду возрастающей конкуренции со стороны других текстовых форматов, которые были, к тому же, свободно распространяемыми. Код нового формата был прописан в XML, поэтому в название добавили одну первую букву x.

    Благодаря новому кодированию стало возможным расширить возможности приложения для пользователей. Самым главным плюсом стало уменьшение размера обновлённого текстового файла. Позднее по аналогии подобные изменения коснулись и программы Excel с её новым файлом xlsx.

    Как сконвертировать docx в doc

    Проблема преобразования одного расширения в другое возникает у пользователей, работающих со старыми версиями Microsoft Word. При этом у юзеров с версиями от 2007 и выше предусмотрена возможность сохранения файла в любом из поддерживаемых форматов, например, сделать из docx doc. Разработчики стремятся к максимальной совместимости различных версий и модификаций своего программного обеспечения. Даже если установленный Word не поддерживает docx, но понадобился именно он, то можно прибегнуть к помощи конвертеров — специальных программ, которые помогут преобразовать текстовые файлы.

    Прежде чем, обращаться к помощи онлайн конвертера документов, интересно будет узнать, в каких пакетах и приложениях можно работать с текстовыми файлами от Microsoft Word. Например, определённую популярность имеет офисный пакет приложений LibreOffice. В нём можно встретить такие проги, как:

    Это довольно крупный офисный органайзер, с которым можно облегчить аналитику данных, работать с документами на ежедневной основе, организовывать презентации. Очень удобно, что пользоваться им можно на свободной основе без денежных компенсаций и платных пакетов. LibreOffice считается простым в использовании для любого, кто ранее пользовался хоть какими-то подобными аналогами. Чтобы заинтересовать перейти на свой органайзер, разработчики LibreOffice позаботились о том, чтобы была поддержка большинства форматов офисных файлов. Вот почему здесь тоже можно использовать средства word и поменять тип файлов с doc на docx или наоборот.

    Для тех, у кого нет необходимости пользоваться дорогим офисным ПО, можно обратить своё внимание на ещё один удобный органайзер-пакетник под названием Openoffice. Абсолютно легальная альтернатива с широким функционалом — это Openoffice. Работать можно не только с текстами, но и таблицами. При необходимости есть всё для того, чтобы подготовить презентацию.

    Итак, данный офисный пакет разнообразного ПО распространяется на базе свободных лицензий. На сегодняшний день он является самым серьёзным конкурентом всемирно распространённому Microsoft. На сегодняшний день он обеспечивает возможность выполнять практически любые офисные задачи, а ещё гарантирует совместимость практически любых типов документов. Это значит, что Openoffice может использоваться как пакетный конвектор для смены типа файла с docx на doc.

    Ещё одной важной характеристикой данного органайзера можно считать то, что он поддерживает специальные дополнения. Пользователи, которые их установят, существенно расширяют функционал. После закачки программы с официального сайта можно приступать к её инсталляции на устройстве пользователя. На стадии установки уже можно определиться с приложениями, которые попадут в комплекс офисных программ, их состав и путь инсталляции.

    Очень много приложений помогут изменить тип файла просто в режиме онлайн и помогут с этим совершенно бесплатно. Обычно инструкция по работе может быть примерно следующей:

    1. Чтобы преобразовать, нужно выбрать искомый файл и перетащить его в специальное окошко на сайте. Можно прописать и путь к нему, но он не должен быть больше 50 МБ (ограничение касается не всех конвертеров).
    2. Чтобы начать процесс переформатирования, достаточно нажать на клавишу «Конвертировать».
    3. По окончании процесса останется лишь сохранить на своём ПК файл формата doc.

    Многих пользователей интересует длительность конвертационного процесса. Как правило, вся работа занимает не более нескольких секунд. Пользоваться онлайн-конвертерами абсолютно безопасно, потому что файлы автоматически удаляются после их скачивания. Их использование возможно в любой операционной системе, предусматривающей браузер. Отдельное программное обеспечение ставить не понадобится.

    Чтобы не прибегать к помощи сторонних конвертеров, пользователи решают для себя индивидуально, как обойти такую проблему. Как один формат, так и другой широко применяются среди любых приложений, которые хоть как-то работают с текстами. Другое дело, что docx позволяет существенно уменьшить размеры текстового файла. А это значит, что он занимает меньше места и его будет проще пересылать той же электронной почтой.

    Принципиальной разницы между этими типами нет, но постепенно ряд приложений уже отказывается от поддержки формата doc. Чтобы не переводить постоянно в docx или обратно, лучше сделать выбор в пользу обновлённого и более современного.

    Как преобразовать документ Word 2013 в более старый формат Word

    В каждой версии Word появляются все новые возможности, которых не было в предыдущих версиях. В Word 2007, помимо новых функций, Microsoft изменила формат файла для документов Word, и расширение изменилось с .doc на .docx.

    Файлы, сохранённые в новейшем формате Word (*.docx) не могут быть открыты в версиях Word более ранних, чем 2007. Что же делать, когда нужно предоставить документ для работы человеку, который пользуется Word 2003? Вы легко можете решить эту проблему, сохранив свой файл в старом формате . doc прямо в Word 2013.

    Для этого откройте документ, который нужно преобразовать в более старый формат, и перейдите на вкладку Файл (File).

    В левой части окна нажмите Сохранить как (Save As).

    Выберите нужное расположение: OneDrive, Компьютер (Computer) или другое хранилище.

    Далее выберите папку под заголовками Текущая папка (Current Folder) или Последние папки (Recent Folders), либо воспользуйтесь кнопкой Обзор (Browse), если нужной папки нет ни в одном из списков.

    Откройте папку, в которую Вы хотите сохранить преобразованный файл. В выпадающем списке Тип файла (Save as type) выберите Документ Word 97-2003 (Word 97-2003 Document, *.doc).

    Если нужно – измените имя файла и нажмите Сохранить (Save).

    Замечание: Вам не обязательно изменять имя файла. Поскольку файлы имеют разное расширение, то они рассматриваются, как два разных файла, и могут быть сохранены в одной папке.

    Откроется диалоговое окно Microsoft Word – Проверка совместимости (Microsoft Word Compatibility Checker) с уведомлением о том, какие свойства данного документа будут потеряны в результате сохранения его в формате более ранней версии. Если потеря перечисленных свойств Вас не беспокоит, нажмите Продолжить (Continue), чтобы сохранить документ в старом формате. Если какие-то свойства очень важны и без них ничего не получится, нажмите Отмена (Cancel), чтобы оставить документ в новейшем формате. В некоторых ситуациях преобразовывать файл нужно обязательно, например, когда требуется отправить документ для редактирования человеку, который пользуется более старой версией Word.

    Если Вы не хотите проверять совместимость каждый раз, когда преобразовываете документ, то уберите галочку Проверка совместимости при сохранении документов (Check compatibility when saving documents).

    После того, как документ будет сохранён в более старом формате, в заголовке окна рядом с именем файла появится пометка Режим ограниченной функциональности (Compatibility Mode).

    При необходимости Вы можете преобразовать в формат Word 2013 документы, сохранённые в более старых версиях Word.

    Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

    Как восстановить документ Word: штатные и профессиональные инструменты

    MS Word, или просто Word, увидел свет в далеком 1989 году, и это событие можно сравнить по значимости только с запуском первого космического спутника. Удобный текстовый редактор освободил миллионы людей из рабства шариковой ручки, больше нам не нужно тренировать каллиграфию или переписывать целые страницы из-за одной помарки…

    Есть только одна проблема, связанная с MS Word. Иногда документы формата .doc и .docx повреждаются в процессе работы, после чего их нельзя открыть. Просто представьте, как вы поставили последнюю точку в тексте, над которым трудились несколько недель, и вдруг выскакивает вот такое сообщение:

    или вот такое:

    Говорят, что рукописи не горят, но как быть в такой ситуации? Удалить файл, а потом начинать все с начала? Ни в коем случае! Есть простая и недорогая программа, умеющая «воскрешать» даже сильно поврежденные документы.

    Это известная среди специалистов программа Recovery Toolbox for Word, но прежде чем скачивать ее, имеет смысл сперва попробовать решить проблему штатными средствами Word. Возможно, для кого-то их существование станет приятным сюрпризом.

    Почему файл не открывается?

    Не стоит винить себя в том, что файл оказался поврежден. В большинстве случаев это происходит не из-за ошибок пользователей, а по техническим причинам. Сбой питания, физическое повреждение носителя информации, битые сектора на жестком диске… Существуют десятки причин для подобного.

    Если ситуация повторяется, необходимо срочно проводить диагностику компьютера, а если такое случилось впервые, можно ограничиться стандартными мерами профилактики:

    • Настройка автосохранения в Word
    • Копирование документов на съемные носители
    • Переход с устаревшего редактора на актуальную версию (формат .doc менее надежен, чем .docx)

    Все очень просто, но как показывает практика, пользователи начинают беспокоиться по поводу сохранности своих данных лишь после того, как проведут за их восстановлением пару бессонных ночей.

    Проверяем поврежденный документ

    Первое, что нужно предпринять, — это проверить размер поврежденного документа. Делаем по нему правый клик кнопкой мыши, затем «Свойства» – «Размер». Если размеры файла соответствуют (или примерно соответствуют) изначальным, это хороший знак. Пациент скорее жив, чем мертв! А если от изначальных 500 килобайт осталось два или три, новости неутешительны. Вернуть файл уже невозможно. 

    Для справки. Такое часто происходит при неудачном переносе документа на съемный носитель. В будущем просто не забывайте проверять его работоспособность перед удалением с диска.

    Штатные средства восстановления Word

    Многие не в курсе, но специалисты Майкрософт снабдили Word собственными инструментами для восстановления поврежденных документов. К сожалению, успех при работе с ними вовсе не гарантирован, в первую очередь ваши шансы зависят от степени повреждения документа.

    Если легкие повреждения не препятствуют возвращению файла целиком, то глубокие позволяют в лучшем случае надеяться на возвращение одного текста (без рисунков и графиков). Методов восстановления несколько. Самый простой – открыть файл в режиме черновика, делается это следующим образом:

    1. Создаем пустой документ Word
    2. Переходим на вкладку «Вид» (или View)
    3. Нажимаем на кнопку «Разметка страницы» (или Documents Views)
    4. Выбираем кнопку «Черновик» (или Draft)
    1. Переходим в раздел Файл (или File)
    2. Выбираем в самом низу «Параметры» (или Options)
    3. Переходим в меню «Дополнительно» (или Advanced)
    4. В разделе «Показывать содержимое документа» (или Show document content) нужно отметить галочкой опцию «Использовать шрифты черновика в режимах черновика и структуры» (или Use Draft font in Draft and Outline)
    5. В том же разделе ставим галочку напротив «Показывать коды полей вместо их значений» (или Show Picture Placeholders)
    1. Прокручиваем раздел «Общие» (или General) до самого конца, и снимаем галочку напротив пункта «Автоматически обновлять связи при открытии» (или Update automatic links at Open).
    1. Теперь подтверждаем внесенные изменения, нажав ОК.

    На этом все. Теперь можно попробовать вновь открыть проблемный файл. Если не получается – ничего страшного. Есть еще один метод, суть которого заключается в том, чтобы попытаться вставить поврежденный документ в рабочий файл. Делается это следующим образом:

    1. Создаем пустой документ Word
    2. Заходим в меню «Вставка» (Insert) 
    3. Далее заходим в подменю Текст (Text) появятся команды «Объект» (или Insert Object) и Текст из файла (или Text from file)
    4. Выбираем пункт «Текст из файла»
    5. Выбираем во всплывшем окне поврежденный документ
    6. Нажимаем кнопку «Вставить».

    Третий метод заключается в использовании встроенной в офисный пакет утилиты для восстановления. Чтобы ей воспользоваться, нужно опять создать документ Word, открыть его. Перейти в меню «Файл» (File). Во всплывшем окне указываем путь к поврежденному документу, затем нажимаем на стрелку возле «Открыть» (Open). Затем выбираем опцию «Открыть и восстановить». Готово.

    Конвертер Recover Text from Any File

    Пользователи, у которых на ПК стоят последние версии офисного пакета Майкрософт, могут воспользоваться встроенным конвертером. Всем остальным необходимо либо обновить свой «Офис», либо прибегнуть к помощи сторонних приложений (о них мы поговорим чуть позже). 

    Чтобы получить доступ к штатному инструменту, нужно запустить Word, затем перейти «Файл» (File) – «Открыть» (Open). В диалоговом окне нужно выбрать проблемный документ, а затем нажать на кнопку «Тип файлов» и выбрать из списка Recover Text from Any File.

    Встроенный сервис позволяет восстанавливать файлы даже с глубокими повреждениями, но, к сожалению, он не дает возможности сохранять рисунки, таблицы и другие элементы. С ними, как и с форматированием текста, придется распрощаться навсегда.

    Последний шанс вернуть файл

    Если штатные инструменты «Офиса» не принесли пользы, решить проблему помогут только сторонние ресурсы. Выбор огромен, и чтобы не тратить время, лучше сразу обратиться за помощью к лидеру в этой сфере – компании Recovery Toolbox.

    Разработчик использует продвинутые алгоритмы восстановления данных, которые могут похвастать большей эффективностью, чем встроенные инструменты Майкрософт. Предусмотрено два способа восстановления: онлайн-сервис и приложение для компьютера.

    Онлайн-сервис очень удобен. Чтобы воспользоваться им, нужно всего лишь загрузить поврежденный документ на страничке https://word.recoverytoolbox.com/online/ru/, затем заполнить специальную форму. От вас требуют лишь указать e-mail и заплатить 10$ за услуги сервиса. Исправленный файл придет вам на почту через несколько секунд.

    Если нерабочих документов несколько, гораздо выгодней приобрести приложение для ПК. Лицензия на Recovery Toolbox for Word обойдется вам всего в 27$, это немного дороже, но зато проблема неработающих файлов .doc и .docx будет решена навсегда.

    Работать с программой не сложнее, чем с ее онлайн-аналогом:

    1. Скачиваем и запускаем Recovery Toolbox for Word
    2. Указываем путь к нерабочему файлу
    3. Нажимаем «Анализировать»
    4. Выбираем «Старт восстановления»
    5. Нажимаем «Экспортировать в MS Word»

    Обратите внимание! Оба ресурса платные, но цена на них вполне демократична. А самое главное, у вас будет возможность протестировать их работу перед покупкой. Так что никакого риска нет.

    P. S. Как быть с тегами XML

    В заключении нельзя не затронуть тему неверных тегов XML. Сегодня мы не будем останавливаться на этом подробно, это тема отдельной статьи. Что вам нужно знать сейчас, это то, что файлы Word представляют собой полноценные архивы, хранящие информацию в сжатом виде. И их в любой момент можно распаковать при помощи обычного архиватора.

    Если при открытии файла выскакивает ошибка: «Имя в конечном теге должно совпадать с типом элемента в начальном теге», то сперва нужно разархивировать этот документ Word в отдельную папку, затем найти в ней файл с названием «document.xml» и открыть его приложением Notepad++. Это бесплатная программа, отыскать ее не составит для вас труда.

    Чтобы исправить файл, нужно вручную указать верный порядок закрытия тегов (он указан в ошибке). Первый открывшийся тег должен закрываться последним, второй – предпоследним и т. д.

    Заключение

    Надеемся, благодаря этой статье вы смогли успешно решить свою проблему. Иначе и быть не могло. В будущем не забывайте делать бэкап, чтобы не терять нервы, ведь их программным методом не восстановишь.

    Как открыть файл docx онлайн. Чем открыть docx

    В ранних версиях Microsoft Word (1997 — 2003) в качестве стандартного формата для сохранения документов использовался DOC. С выходом Ворд 2007 компания перешла на более продвинутый и функциональные DOCX и DOCM, которые используются и по сей день.

    Файлы старого формата в новых версиях продукта открываются без проблем, хоть и запускаются в режиме ограниченной функциональности, а вот открыть DOCX в Word 2003 уже не так просто.


    Если и вы используете старую версию программы, вам явно интересно будет узнать о том, как в ней открыть “новые” файлы.

    Установка пакета совместимости

    Все, что требуется для открытия файлов DOCX и DOCM в Microsoft Word 1997, 2000, 2002, 2003, это скачать и установить пакет совместимости вместе со всеми необходимыми обновлениями.

    Примечательно, что данное программное обеспечение позволит также открывать более новые файлы других компонентов Microsoft Office — PowerPoint и Excel. Кроме того, файлы становятся доступными не только для просмотра, но и для редактирования и последующего сохранения (более подробно об этом ниже). При попытке открыть файл DOCX в программе более раннего выпуска, вы увидите следующее сообщение.


    Нажав кнопку «ОК» , вы окажетесь на странице загрузки ПО. Ссылку на скачивание пакета вы найдете немного ниже.

    Скачав ПО, установите его на компьютер. Сделать это не сложнее, чем с любой другой программой, достаточно просто запустить установочный файл и следовать инструкции.

    ВАЖНО: Пакет обеспечения совместимости позволяет открывать в Ворд 2000 — 2003 документы в форматах DOCX и DOCM, но не поддерживает файлы шаблонов, используемые по умолчанию в более новых версиях программы (DOTX, DOTM).


    Возможности пакета совместимости

    Пакет совместимости позволяет открывать DOCX-файлы в Ворд 2003, однако, некоторые их элементы изменить будет невозможно. В первую очередь, это касается элементов, которые были созданы с использованием новых возможностей, внедренных в ту или иную версию программы.

    Например, математические формулы и уравнения в Word 1997 — 2003 будут представлены в виде обычных изображений, которые невозможно отредактировать.


    Перечень изменений элементов

    С полным списком того, какие элементы документа будут изменены при его открытии в ранних версиях Word, а также с тем, на что они будут заменены, вы можете ознакомиться ниже. Кроме того, в списке представлены и те элементы, которые будут удалены:

    • Новые форматы нумерации, которые появились в Ворд 2010, в старых версиях программы будут преобразованы в арабские числа.
    • Фигуры и надписи будут преобразованы в доступные для формата эффекты.

    • Текстовые эффекты, если они не были применены к тексту с помощью пользовательского стиля, будут окончательно удалены. Если же для создания текстовых эффектов использовался пользовательский стиль, они будут отображены при повторном открытии файла DOCX.
    • Замещающий текст в таблицах будет полностью удален.
    • Новые возможности шрифтов будут удалены.


    • Блокировки авторов, которые были применены к областям документа, будут удалены.
    • Примененные к тексту WordArt-эффекты, будут удалены.
    • Новые элементы управления содержимым, используемые в Word 2010 и выше, станут статическими. Отменить это действие будет невозможно.
    • Темы будут преобразованы в стили.
    • Основные и дополнительные шрифты будут преобразованы в статичное форматирование.
    • Записанные перемещения будут преобразованы в удаления и вставки.
    • Табуляция с выравниванием будет преобразована в обычную.
    • Графические элементы SmartArt будут преобразованы в один объект, изменить который будет невозможно.


    • Некоторые диаграммы будут преобразованы в неизменяемые изображения. Данные, которые находятся за пределами поддерживаемого количества строк, исчезнут.


    Каждый год различные компании-разработчики программных продуктов стараются радовать потенциальных потребителей свежим ультрасовременным софтом, однако такой энтузиазм готовы разделить далеко не все. Универсальную налаженную программу Office Word 2003, к которой привыкло практическое большинство россиян, корпорация-создатель не обслуживает уже на протяжении 2 лет.

    Ввиду этого обстоятельства файл, который обладает расширением.docx, создаётся в версиях приложения, написанных начиная с 2007 года, при этом он не может без дополнительного вмешательства со стороны пользователя открыться в более ранних версиях. С этой проблемой очень часто сталкиваются те, кто, например, пользуется на работе программой Word 2003, а дома — Word 2007.

    Если вам необходимо открыть новый файл в старой версии Word — есть несколько решений

    Каждый, кто хотя бы единожды пробовал открыть.docx посредством Word 2003, даже при наличии пакета совместимости сталкивался с сообщением, которое предупреждало о возникновении ошибки, в частности, пользователь видел на экране табличку с надписью: «Произошла ошибка при открытии файла». Чтобы справиться с этой несложной задачей и открыть файл docx в Word 2003 , необходимо знать, что корпорация Microsoft обновляет свои программы каждые 3 года, о чём свидетельствует замена 2003 версии 2007, затем 2010 и 2013.

    Проблема кроется в том, что далеко не каждая современная частная организация, не говоря про государственную, может идти «в ногу» с инновациями Microsoft. На некоторых предприятиях версия 2003 года работает чётко и слаженно, нет необходимости устанавливать вместо неё программу даже 2007 года, не говоря про более поздние разработки. Ошибка, возникающая при открытии файла, обусловлена высокой безопасностью новых программных продуктов. Прежний формат, в частности, doc и xls, впоследствии заменили на docx и xlsx. Чтобы избавиться раз и навсегда от неприятной ситуации, забыть о картинке несовместимости, следует прибегнуть к нескольким советам, которые помогут юзеру с высокой долей гарантии.

    Способ открытия файла с расширением.docx в программе Word 2003

    Итак, если на компьютере установлена старая версия Microsoft Word, и файл с расширением.docx в ней не желает открываться обычным способом, придётся принять дополнительные меры.


    Скачайте приложение для Word с официального сайта Microsoft

    В первую очередь следует попытаться установить специализированный пакет совместимости, который поможет ранней версии программы открыть документ, сохранённый в более позднем приложении. Открыть файл docx в Word 2000, Office XP или 2003 можно сразу же после того, как на ПК будет установлено дополнительное приложение, являющееся пакетом обеспечения совместимости. Скачать такую программу можно с сайта официального производителя Microsoft. Следует учесть, что после инсталляции юзер сможет беспрепятственно открывать практически все существующие форматы файлов, даже xlsx и pptx, которые создавались в Excel и PowerPoint соответственно.

    Второй метод связан с утилизацией онлайн-конвертера, доступного при наличии интернета в любое время суток. Этот вариант будет оптимальным для тех, у кого нет времени искать качественный пакет совместимости и тратить дополнительное время на его инсталляцию. Бесплатный удобный в использовании онлайн-конвертер помогает открыть docx в программе, создающей файлы с расширением.doc. Правда, регулярно пользоваться электронным ресурсом такого рода не слишком удобно, он пригодится лишь для быстрого единичного преобразования форматов.


    Целесообразно упомянуть и одну важную особенность сайта — его англоязычность. Пользователю, не обладающему хотя бы базовыми знаниями этого языка, будет достаточно всего нескольких минут, чтобы открыть необходимый файл. Чтобы конвертировать новый формат в Word 2003, достаточно на Step 1 посредством команды «Обзор» указать непосредственно на тот файл, который подлежит изменению, затем на Step 2 оставить свои контактные данные, в частности, е-mail . Спустя несколько минут на почте появится новое сообщение со ссылкой, позволяющей скачать преобразованный документ. Конвертация будет завершена после нажатия на кнопку «Send». Удачное преобразование будет сопровождаться сообщением: «Success». Кроме всего прочего, это послание укажет на возможность попадания письма в папку «Спам», поэтому пользователь должен будет проверить её содержимое в случае, если письмо со ссылкой будет «идти» слишком долго.

    Третий метод помогает открыть файл в формате.docx с помощью Open Office. Тем, кто не знает про существование указанного приложения, достаточно обратиться к юзерам, которые предпочитают Windows Linux стандартной ОС. Как показывает практика, пакет удобен в эксплуатации, он с лёгкостью поможет преобразовать docx файл и открыть его. Несмотря на несколько достоинств и преимуществ, это приложение имеет один минус — если открываемый docx файл оснащён сложными вложенными таблицами или громоздкой графикой, форматирование документа претерпит значительные изменения. Файл откроется без проблем и будет иметь сносный читабельный вид, однако его структура будет неприглядной.

    Microsoft Word 2003 производит электронный документ формата doc. Но ничто не стоит на месте, тем более Microsoft. Компания выпускает новые версии Офисов, более расширенные и защищенные. И уже Microsoft Word 2007-10 производит файлы с расширением docx. Само собой разумеется, что word 2007-10 лучше всего и откроет такие файлы.

    Чем открыть docx — пакет совместимости

    Если у вас установлен ворд 2003? Нужно учесть, что ворд 2003 не откроет файл docx, так как совместимость между этими версиями потеряна. Но открыть docx в word 2003 возможно, если скачать и установить специальный плагин, расширяющий возможности ворда 2000, 2003. Это так называемый пакет, который обеспечивает совместимость файлов разных форматов ворда (docx и doc) и экселя (xls и xlsx). Такой пакет совместимости называется Microsoft Office Compatibility Pack, загрузить его с сайта Microsoft можно по ссылке: загрузить пакет совместимости . Установив его, как дополнение к программам Microsoft Office 2000-2003, вы можете работать с файлами в новых форматах и также их сохранять.

    Чем открыть docx онлайн

    В том случае, если вы не собираетесь устанавливать у себя ворд, то открыть docx можно онлайн. Есть много программ и сервисов, на которых вы можете открыть такой файл, прочитать его, а также редактировать и распечатать. Один из таких сервисов на Coogle Docs. Это самый популярный и распространенный сервис, на котором можно работать с docx, причем бесплатно. Заходите на Coogle Docs регистрируетесь там и получаете возможность редактировать файлы более поздних версий офисных программ, без того чтобы устанавливать все эти программы у себя на компьютере.

    Мой диск — диск Google

    На Coogle Docs вы можете после прочтения и редакции docx, сохранить его в формате doc, и работать с ним вордом 2003.

    Конвертер docx в doc.

    Конвертер дает возможность перевода одного формата файла в другой.

    В интернете есть много ресурсов, которые занимаются конвертером файлов онлайн. Они могут быстро и бесплатно перевести файл docx в doc. Вот один из них — http://doc.investintech.com/ .

    Чем открыть docx – программы.

    Программа Microsoft платная и достаточно дорогая, но можно установить совершенно бесплатные программы, с помощью которых можно будет открывать файлы с различным расширением. Одна из таких программ с компонентом Odf-Converter. Эта программа может свободно устанавливаться, и доступна различным учреждениям. OpenOffice.org откроет docx файл, а также файлы различных версий офисных программ.

    Еще одна программа Microsoft Office Word Viewer устанавливается бесплатно. Программа быстро откроет файлы различных форматов: docx, doc, rtf и др. Их можно просмотреть и распечатать. Это приложение работает на русском языке. Стоит учесть, что редактирование, сохранение, а также создание нового документа в данной программе невозможно.

    Docx, вместо привычного.doc. Его же теперь можно выбрать только принудительно, при нажатии «Сохранить как…». С новым же форматом невозможно работать в предыдущих версиях Word. Программа не открывает и не редактирует такие «новые» документы. Обладателям Word 2003 приходится обновлять программу или же действовать иначе. Давайте поговорим как открыть файл docx, если нет нового Word.

    Установка дополнения

    Когда у пользователя нет возможности обновить , можно скачать и установить новое ПО – патч совместимости старого Офиса с новым. Приложение действует не только на Word, но и на все офисные программы, ведь с 2007 года формат документов изменен не только у Word, но и у всех остальных офисных программ, ко всем привычным разрешениям прибавилась «х» и старая версия перестала из открывать. Патч совместимости решает эту проблему.

    После его установки Вы сможете просматривать, редактировать, сохранять любой документ. Софт не имеет интерфейса. После установки начинает работать по – умолчанию. Софт официальный, разработан Microsoft, распространяется бесплатно и весит всего чуть более 37 МВ. Установить Word 2013 на компьютер бесплатно таким образом нужно, следуя алгоритму:

    1. Скачайте патч по ссылке https://www.microsoft.com/ru-ru/download/confirmation.aspx?id=3 с официального сайта Майкрософт;
    2. Сохраните файл сразу на жестком диске, или перенесите его туда позже;
    3. Щелкните дважды на скачанном файле;
    4. Следуйте указаниям инсталлятора.

    ПОСМОТРЕТЬ ВИДЕО

    Тем юзерам, у которых установлены версии Word 2003 и XP, перед установкой патча нужно инсталлировать пакет обновлений с высоким приоритетом, который также можно скачать с сайта Microsoft. Иначе открыть формат docx не получится. Администраторы сетей могут установить административный шаблон — конвертер word 2003 в 2010 для работы во всей сети.

    Альтернативной может считаться . Она распространяется бесплатно и имеет пробный период использования. Открыть файл docx в ней можно привычным способом. Такой метод хорошо подходит тем, кому нужно открыть файл единовременно. Если же Вы работаете с форматом постоянно, лучше активировать microsoft office 2013. Для этого сделайте следующее:

    • При скачивании программы с официального сайта, Вы вводили данные банковской карты;
    • По истечении срока бесплатного использования, отпишитесь от программы, либо активируйте ее;
    • Если решите активировать, то можно либо купить ключ для microsoft office 2013 официально, либо найти в интернете;
    • Введите полученный ключ в окно и следуйте указаниям экранного менеджера активации.

    Минус метода – трудоемкость в поисках ключа и активации программы. Кроме того, открываться станут только Word — файлы, а не любые, как при установке пакета совместимости. Плюс – нормальное форматирование. При использовании патча же возможны изменения и «съезжания» форматирования. Сложно оформленные страницы требуется редактировать.

    Open Office

    Apache OpenOffice – инструмент, почти аналогичный Word. Раньше имел название OpenOffice.org. Привыкать к такому софту не нужно, так как и оформлен он привычно для пользователя Word – аналогично приложению Майкрософт. Он работает с документами старых и новых форматов и альтернативен Word office 2013 для дома и учебы. Распространяется бесплатно.

    Имеется Word и остальные программы Офиса. Writer — аналог Word, Impress – аналог Power Point, Calc – Exell, Base – Access и др. Поставляется в инсталлируемой и портативной версиях, в привычном исполнении, с полным функционалом. Позволяют просматривать, редактировать, конвертировать docx в doc, иные форматы. Из минусов – некоторые изменения в форматировании при открытии файлов Майкрософт Офис.

    Установка и запуск простые. Скачайте материал, кликните по ярлыку и откроется список инструментов, из который Вы выбираете то, что устанавливаете. После этого следуйте указаниям инсталлятора.

    Онлайн – открытие

    Удобный вариант — работать в microsoft word online. Для этого есть интернет – сервисы. Сервисы – конвертеры помогают конвертировать докс в док, для последующих открытия и работы с ним в Word 2003 или ХР в режиме оффлайн. Способ удобнее онлайн – редакторов, так как работать можно без доступа к интернету или при частых сбоях. Но минус конвертирования – изменение форматирования. Хороший конвертер http://www.doc.investintech.com/ .

    В окне на главной странице сайта нажмите кнопку Browse и укажите путь к конвертируемому файлу. После чего начинается конвертация. Она происходит быстро. Готовый файл в старом формате отправляйте себе на почту.

    Работать в word online без регистрации в браузере можно через сайт Google. Сервис Google Docs открывает файлы такого формата. Ранее служба требовала обязательной конвертации.docx во внутренний формат Гугла. Готовый же, измененный или просмотренный, приходилось конвертировать обратно в исходный формат. Такой редактор word online неудобен.

    Потому Гугл разработал Office Compatibility Mode. Теперь отпала необходимость в конвертации файлов. Но работает служба пока только в браузере Хром при установке соответствующей надстройки.

    Теперь вы знаете, как открыть файл DOCX, если нет Word новой версии. Задавайте вопросы специалистам.

    В первых версиях программы Microsoft Word, выходивших с 1997 года по 2003-й, был формат DOC, именно в нем все документы и сохранялись. Но разработчики со временем приняли решение использоваться более прогрессивный — DOCX и DOCM, который начал использоваться с выходом версии 2007 года.

    Открываем DOCX в Word 2003

    В этой статье речь пойдет о том, как открыть DOCX в 2003 Word. Будет представлен действенный способ, легко реализуемый. По сути, каждый сможет выполнить вне зависимости от знания компьютера, ведь все, что необходимо уметь, — это устанавливать файловые пакеты. А если пользоваться инструкцией, приложенной ниже, так и вовсе не возникнет лишних вопросов.

    Устанавливаем пакеты совместимости

    Если вы не знаете, как открыть DOCX в 2003 Word, то следуйте подробной инструкции и все у вас получится.

    В первую очередь необходимо будет скачать и установить специальный пакет совместимости. Именно он поможет открыть файлы DOCX для Word 2003. Что стоит отметить, так это то, что данный пакет можно загрузить разными способами. Первый — самый тривиальный. При открытии файла новой версии в программе, вам покажут сообщение, в котором говорится о том, что файл несовместим с программой, так как был создан в новой версии. Также будет предложено загрузить пакет совместимости. Вам остается лишь нажать на кнопку «ОК», и загрузка начнется, а после нее автоматическая установка.

    Второй же способ более трудоемкий, но зато он дает стопроцентную гарантию, что файлы DOCX будут открываться. Вам необходимо посетить официальный сайт «Майкрософт», на котором в ручном режиме загрузить представленный пакет. Вы попадете на страницу загрузки. Нажмите кнопку «Скачать», а после загрузки откройте и установите пакет.


    Теперь вы знаете, как открыть DOCX в 2003 Word. Однако стоит уделить немного внимания и другой проблеме.

    Отличия файла DOCX в Word 2003

    Как открыть DOCX в 2003 Word, вы уже знаете, но после того, как сам файл будет открыт, вы можете столкнуться с некоторыми несоответствиями. Сейчас кратко о них:

    1. Нумерация, которая появилась в поздних версиях, будет заменена на арабские цифры.
    2. Надписи и всяческие фигуры преобразуются в эффекты, которые есть в 2003 Word.
    3. Текстовые эффекты вообще не будут отображаться на листах.
    4. Также удалится замещающий текст во всех таблицах.
    5. Новые шрифты сбросятся на стандартные.
    6. Эффекты WordArt удалятся.
    7. Все темы станут стилями.
    8. Вставленные диаграммы станут картинками.
    9. Формулы, вписанные в специальном конструкторе, станут картинками.

    И это лишь часть несоответствий. Но в любом случае, если вы хотите открыть DOCX в 2003 Word чисто для извлечения информации, то это у вас получится без усилий.

    Конвертировать DOCX в DOC онлайн, бесплатное преобразование .

    docx в .doc
    Расширение файла .doc
    Категория файла документы
    Описание

    Расширение файла DOC — это двоичный формат файла, свойственный текстовому редактору Microsoft.По сути, это формат документа для обработки текста, который поддерживает простой текст, гиперссылки, выравнивания, изображения и многое другое.

    DOC когда-то был самым популярным форматом документов для обработки текстов Microsoft. Однако его популярность пошла на убыль после появления DOCX. Тем не менее, вы все равно можете использовать DOC для создания, редактирования и сохранения файлов документов. DOC также широко используется на различных платформах. Кодирование и структура делают упор на шрифт, размер, форму и цвет текста.

    Технические характеристики

    Как создать и как открыть файл DOC

    Для создания файла DOC требуется приложение Microsoft, например Word.Просто запустите приложение, выберите «Файл», затем «Новый», затем «Пустой документ» или создайте с помощью шаблона. Вы также можете создать файл DOC в Документах Google. Многие платформы поддерживают файлы DOC, поэтому все, что вам нужно сделать, это создать текстовый файл и сохранить его или загрузить как файл DOC.

    Есть много способов открыть файл DOC. Он поддерживается многими платформами и программами, начиная с набора приложений Microsoft, таких как Word и WordPad. Вы также можете открывать файлы DOC в Интернете с помощью Microsoft OneDrive или использовать любую другую программу, поддерживающую расширение.Все средства записи LibreOffice, WPS Office и OpenOffice поддерживают файлы DOC, поэтому вы можете использовать их для создания, сохранения и открытия файлов с расширением DOC.

    В какие еще форматы DOC можно конвертировать и почему

    Вы можете конвертировать файлы DOC во множество различных форматов, в зависимости от программы, которую вы используете. Некоторые из популярных форматов файлов DOC могут быть преобразованы в:

    1. 1. DOCX
    2. 2. PDF
    3. 3. JPEG
    4. 4.XPS

    Преобразование файлов бесценно при работе с различными программами, а DOC-файлы преобразуются в различные форматы, которые позволяют создателям и обычным пользователям создавать, сохранять, открывать и редактировать, используя широкий спектр приложений. Например, преобразование DOC в DOCX улучшает управление данными и восстановление, а также расширяет возможности прежних двоичных файлов. С другой стороны, преобразование в PDF обеспечивает безопасное хранение данных и упрощает преобразование бумажных документов в цифровые.

    Файлы

    DOC легко конвертировать.Вы также можете вернуть свой файл, конвертировав DOCX, PDF и другие документы в DOC. Все зависит от того, чего вы хотите достичь, и от программы, которую вы используете. Некоторые программы не могут экспортировать или сохранять файлы DOC, поэтому вам необходимо преобразовать документ в совместимый формат, прежде чем использовать его в приложении.

    Программы

    Microsoft Word

    OpenOffice.org Writer

    IBM Lotus Symphony

    Apple Страницы

    AbiWord

    Основная программа Microsoft Word
    Разработчик Microsoft
    Тип MIME

    приложение / msword

    приложение / kswps

    Бесплатный конвертер DOCX в DOC онлайн

    VeryPDF Бесплатный конвертер DOCX в DOC онлайн

    Free DOCX to DOC Converter Online
    Конвертируйте DOCX в DOC онлайн бесплатно.

    Как конвертировать DOCX в DOC?

    Загрузите файл DOCX или введите URL-адрес онлайн-файла DOCX, а затем щелкните «Загрузить и преобразовать». Ваш файл DOCX будет преобразован в формат DOC, а затем загружен на ваш компьютер.

    Защитить конфиденциальность

    Все загруженные и преобразованные документы будут удалены с наших серверов в ближайшее время. Любой доступ к нашим серверам строго ограничен.

    Лимит загрузки: 10 МБ.
    Каждый раз можно загружать только файл размером менее 10 МБ.

    DOCX против DOC

    Плюсы DOCX — Формат DOCX имеет два преимущества:

    1. Меньший размер

    По сравнению с эквивалентным файлом DOC файл DOCX намного меньше. Это связано с тем, что формат DOCX представляет собой набор XML и других файлов, сжатых в ZIP-файл. DOCX экономит дисковое пространство, а также время передачи.

    2. Измените что-либо в DOCX, не открывая Word

    Вы можете открыть файл DOCX напрямую с помощью приложения для управления пакетами ZIP. Затем, если в файле DOCX есть изображение, вы можете заменить это изображение приложением для управления ZIP, не открывая DOCX в Office Word.

    Минусы DOCX :

    Документы DOCX можно открывать и создавать только в Office 2007 и более поздних версиях. Он не имеет обратной совместимости с предыдущими версиями, в то время как файл DOC можно открыть с помощью Office 97-2010.

    Зачем нужен конвертер DOCX в DOC?

    Если у вас нет Office 2007 или более поздних версий или не установлен пакет совместимости, вам может потребоваться преобразовать DOCX в DOC, а затем открыть его.

    Для преобразования бизнес-документов в Интернете, разделения PDF-файлов и объединения PDF-файлов используйте платформу VeryPDF Cloud API.

      Соответствующее ПО:

      VeryPDF Cloud API — это API облачной службы, предоставляемый разработчикам. VeryPDF Cloud — это облачная платформа для создания, преобразования и автоматизации документов. Это дает разработчикам на всех платформах полный контроль над документами и форматами файлов. Он без проблем взаимодействует с другими облачными сервисами. VeryPDF Cloud API. Платформа включает PDF в изображение, PDF в Word, PDF в текст, PDF в HTML, Word в PDF, Excel в PDF, изображение в PDF, OCR и т. Д. Более 50+ API и 300+ параметров.
      VeryPDF HTML Converter GUI Desktop Version       AND ( HTML Converter Command Line ): преобразование HTML, веб-страниц, EMF, WMF, RTF в PDF, PS (Postscript), TXT , TIF, TIFF, JPG, JPEG, Форматы GIF, PNG, BMP, EMF, WMF, PCX, TGA, JP2, PNM, это не зависит от драйверов принтера.
      Document Converter Professional (docPrint Pro) : docPrint Document Converter Professional — это программный продукт, который динамически конвертирует MS Office 97/2000 / XP / 2003/2007, WordPerfect, HTML, AutoCAD DWG, PostScript, EPS, PDF, MS Visio и многие другие типы документов в форматах PDF, PostScript, EPS, JPEG, TIFF, PNG, PCX, BMP и т. д. Он работает как в версии с графическим интерфейсом пользователя, так и в версии командной строки. С помощью docPrint Document Converter Professional вы можете легко конвертировать ваши документы из и в файлы PDF, EPS, PS, JPEG, TIFF, BMP, PCX, PNG.(См. Руководство пользователя)
      Метафайл / RTF / изображение в командную строку PDF : преобразование метафайлов Windows (EMF, WMF), форматов RTF и изображений в векторные и растровые файлы PDF напрямую, это не зависит от драйверов принтера.
      Конвертер PDF в HTML : конвертируйте файлы PDF в документы HTML.
      Конвертер PDF в текст : конвертируйте файлы PDF в простые текстовые файлы.
      Конвертер PDF в Word OCR : преобразование отсканированного PDF в Word и RTF, преобразование PDF изображения в Word и сохранение макета, преобразование указанной страницы сканированного PDF в Word.
      Конвертер PDF в Excel : Преобразование PDF в Excel в пакетах, преобразование указанной страницы PDF в Excel.
      PDF to Vector Converter : конвертируйте файлы PDF в векторные файлы PS, EPS, WMF, EMF, XPS, PCL, HPGL, SWF, SVG и т. Д.
      PDF to Image Converter : конвертируйте файлы PDF в форматы TIF, TIFF, JPG, GIF, PNG, BMP, EMF, PCX, TGA.
      DocConverter COM Component (+ HTML2PDF.exe) : Преобразование файлов HTML, DOC, RTF, XLS, PPT, TXT и т. Д. В файлы PDF, это зависит от продукта PDFcamp Printer .
      Конвертер изображений в PDF : Преобразование 40+ форматов изображений в файлы PDF.
      HTML Converter GUI Desktop Version : Преобразование файлов HTML в форматы TIF, TIFF, JPG, JPEG, GIF, PNG, BMP, PCX, TGA, JP2 (JPEG2000), PNM и т. Д.
      Другие продукты в формате PDF …

    Бесплатный онлайн-конвертер DOCX в DOC — Онлайн-конвертер Word в Word

    DOCX

    Microsoft Word Open Document XML-файл документа

    DOCX — широко известный формат для документов Microsoft Word. Представленный в 2007 году с выпуском Microsoft Office 2007, структура этого нового формата документа была изменена с простого двоичного на комбинацию XML и двоичных файлов. Файлы Docx можно открывать в Word 2007 и боковых версиях, но не в более ранних версиях MS Word, которые поддерживают расширения файлов DOC.

    Читать далее

    DOC

    Файл документа Microsoft Word

    Файлы с расширением.doc представляют собой документы, созданные в Microsoft Word или других текстовых редакторах в двоичном формате. Расширение изначально использовалось для текстовой документации в нескольких различных операционных системах. Он может содержать несколько различных типов данных, таких как изображения, форматированные, а также обычный текст, графики, диаграммы, встроенные объекты, ссылки, страницы, форматирование страниц, настройки печати и многое другое. Формат был популярен для всех видов документации из-за множества вариантов, которые он предлагает пользователям для написания руководств, предложений, спецификаций, резюме, статей или любых подобных документов. Обновленная версия DOC — это DOCX, основанный на Office OpenXML, спецификации которого находятся в открытом доступе.

    Читать далее

    DOCX

    Microsoft Word Open Document XML-файл документа

    DOCX — широко известный формат для документов Microsoft Word. Представленный в 2007 году с выпуском Microsoft Office 2007, структура этого нового формата документа была изменена с простого двоичного на комбинацию XML и двоичных файлов.Файлы Docx можно открывать в Word 2007 и боковых версиях, но не в более ранних версиях MS Word, которые поддерживают расширения файлов DOC.

    DOC

    Файл документа Microsoft Word

    Файлы с расширением .doc представляют собой документы, созданные в Microsoft Word или других текстовых редакторах в двоичном формате. Расширение изначально использовалось для текстовой документации в нескольких различных операционных системах.Он может содержать несколько различных типов данных, таких как изображения, форматированные, а также обычный текст, графики, диаграммы, встроенные объекты, ссылки, страницы, форматирование страниц, настройки печати и многое другое. Формат был популярен для всех видов документации из-за множества вариантов, которые он предлагает пользователям для написания руководств, предложений, спецификаций, резюме, статей или любых подобных документов. Обновленная версия DOC — это DOCX, основанный на Office OpenXML, спецификации которого находятся в открытом доступе.

    DOCX в DOC онлайн 🗸 Бесплатно 🗸 Быстро

    Total Doc Converter Total Doc Converter поддерживает DocX (формат документов Word 2007).Установлен этот бесплатный пакет обеспечения совместимости Microsoft Office для преобразования файлов DocX в HTML, PDF, XLS, JPG, TIFF, TXT с помощью Total Doc Converter. Total Doc Converter конвертирует документ в PDF и позволяет добавить цифровую подпись к окончательному документу. Конвертируйте и объединяйте несколько документов в один многостраничный файл (PDF, DOC, TIFF или очень длинный файл TXT). Все сделано за один раз! Total Doc Converter может конвертировать Word 2010 в Word 2003, если вам нужен файл, совместимый со старой версией Microsoft Word. У вас устаревший Microsoft Office 2003? Обновите все свои старые файлы до нового формата за один раз.Конвертируйте файлы Doc в DocX с помощью нашего Total Doc Converter. Total Doc Converter позволяет установить шрифт по умолчанию для текстовых файлов. Total Doc Converter может распечатать, отправить по факсу в OneNote любой файл, который вы выберете. Он также будет создавать подробные отчеты по вашим файлам Doc в форматах PDF, XLS, CSV, TXT. Это самый простой способ узнать, сколько у вас файлов и их параметры. Total Doc Converter имеет понятный и понятный интерфейс. В настройках не заблудишься! Самый широкий список поддерживаемых типов файлов: конвертируйте файлы Word, Doc, DocX, DocM, RTF, RVF или TXT в RTF, DOCX, XLS, JPEG, PNG, TIFF, HTML, XHTML, PDF, TXT в пакетном режиме. Это мощный универсальный конвертер документов! Total Doc Converter поддерживает несколько типов сжатия TIFF. Если вы затрудняетесь, программа автоматически выберет лучшее значение. Каждый документ отображается на панели предварительного просмотра. Вы можете увеличить его или просмотреть документ в полном размере. Используйте опцию предварительного просмотра, чтобы быстро найти файл. Добавьте свой логотип или любое другое изображение в верхний или нижний колонтитул выходного файла. Вы хотите больше заказа? Total Doc Converter добавит счетчики страниц или дату на каждую страницу выходных файлов.Приложение также отлично подходит для штамповки законных денег! Total Doc Converter может копировать исходные отметки времени, если вы хотите их сохранить. Total Doc Converter предлагает множество дополнительных настроек для преобразования документов в PDF. Установите разрешения пользователей, защитите файлы паролем или подпишите их цифровой подписью. Получите PDF, PDF / A и PDF-файлы без возможности поиска. Total Doc Converter можно запустить через командную строку (получите готовую к использованию командную строку из графического интерфейса пользователя).

    Файл DOCX (что это такое и как его открыть)

    Что нужно знать

    • Файл DOCX — это файл документа в формате Microsoft Word Open XML.
    • Откройте в Word, Word Online, Google Docs или другом текстовом редакторе.
    • Конвертируйте файл в PDF, DOC, JPG и т. Д. С помощью тех же программ или конвертера, такого как FileZigZag.

    В этой статье рассказывается больше о файлах DOCX, например о том, как открыть один или преобразовать его в формат, совместимый с другим программным обеспечением.

    Что такое файл DOCX?

    Файл с расширением DOCX — это файл документа в формате Microsoft Word Open XML.

    Файлы DOCX используются для всего: от резюме и сопроводительных писем до отчетов, листовок, документации, приглашений, информационных бюллетеней и многого другого. Эти файлы обычно содержат текст, но также могут включать объекты, стили, расширенное форматирование и изображения.

    Lifewire / Алекс Дос Диас

    Microsoft начала использовать файлы DOCX в Microsoft Word, начиная с Word 2007, в то время как более ранние версии Word использовали расширение файла DOC.

    Файлы DOCX меньше и их легче поддерживать, чем файлы DOC, потому что формат основан на XML, и все содержимое хранится в виде отдельных файлов и, в конечном итоге, сжимается в один файл, сжатый в формате ZIP.

    Microsoft Word также использует формат DOCM, но есть и другие аналогичные расширения файлов, которые не имеют ничего общего с этими форматами Microsoft, например DDOC и ADOC.

    Как открыть файл DOCX

    Microsoft Word (версия 2007 и выше) — это основная программа, используемая для открытия и редактирования файлов DOCX. Если у вас установлена ​​более ранняя версия Microsoft Word, вы можете загрузить бесплатный пакет обеспечения совместимости Microsoft Office, чтобы открывать, редактировать и сохранять файлы DOCX в старой версии MS Word.

    На самом деле вам даже не нужно открывать файл DOCX в Word, потому что у Microsoft есть бесплатная программа Word Viewer, которая позволяет открывать документы Word, такие как файлы DOCX, без необходимости установки MS Office.

    Более того, вам даже не понадобится любая программа, связанная с Microsoft Office на вашем компьютере, чтобы открыть этот тип файла, потому что есть несколько полностью бесплатных программ текстовых редакторов, которые открывают и редактируют файлы DOCX. Мы регулярно рекомендуем WPS, OpenOffice Writer и ONLYOFFICE.

    Бесплатный инструмент Google Docs — это онлайн-текстовый процессор, который также может открывать / редактировать файлы DOCX и, будучи веб-инструментом, не требует загрузки программного обеспечения.Это также означает, конечно, что любые файлы DOCX, которые вы хотите использовать с Google Docs, должны быть загружены в инструмент, прежде чем их можно будет просматривать и редактировать.

    Microsoft Word Online — еще один способ просматривать и редактировать файлы DOCX в Интернете. Эта служба от Microsoft, поэтому она немного похожа на настольную версию Microsoft Word, но совершенно бесплатна.

    У Google также есть бесплатное расширение для Chrome, которое позволяет просматривать и редактировать файлы DOCX прямо в браузере. Он поддерживает перетаскивание локальных файлов DOCX в браузер Chrome, а также открытие файлов DOCX непосредственно из Интернета без их предварительной загрузки.

    Ныне несуществующий Microsoft Works также открывает файлы DOCX. Corel WordPerfect Office не является бесплатным, но это еще один вариант, который вы можете приобрести на Amazon.

    Как конвертировать файл DOCX

    Большинство людей заинтересованы в преобразовании файла DOCX в PDF или DOC, но указанные ниже программы и службы также поддерживают ряд дополнительных форматов файлов.

    Самый быстрый, простой и эффективный способ преобразовать файл DOCX — просто открыть его в одной из программ текстовых редакторов, упомянутых выше, а затем сохранить на свой компьютер в формате файла, в котором вы хотите, чтобы он был. Большинство приложений делают это через меню File > Save As или что-то подобное.

    Если это не работает для вас, вы можете использовать специальный конвертер из нашего списка бесплатных программ для конвертации файлов и онлайн-сервисов, таких как Zamzar или FileZigZag. Это отличные примеры онлайн-конвертеров DOCX, которые могут сохранять файл не только в форматах документов, таких как DOC, PDF, ODT и TXT, но также в форматах электронных книг и форматах изображений, таких как MOBI, LIT, JPG и PNG.

    Чтобы преобразовать файл DOCX в формат Google Docs и отредактировать файл там, все, что вам нужно сделать, это загрузить его в свою учетную запись. Это можно сделать из меню Google Drive New > Загрузка файла или непосредственно из Google Docs с помощью значка выбора файлов.

    Caliber — очень популярная бесплатная программа, которая также конвертирует DOCX в форматы электронных книг, такие как EPUB, MOBI, AZW3, PDB, PDF и некоторые другие. Мы рекомендуем прочитать их инструкции по преобразованию документов Word, чтобы получить помощь в создании электронной книги из вашего файла DOCX.

    Часто задаваемые вопросы

    • Как открыть файл DOCX на Android? Если у вас есть подписка на Microsoft 365, скачайте приложение Microsoft Word из Google Play. Выберите файл DOCX на своем устройстве и откройте его в приложении Word. Если у вас нет приложения Word, вы можете открывать и редактировать файлы DOCX в Google Docs на своем смартфоне, сначала загрузив их на свой диск, выбрав значок плюс ( + )> Загрузить .
    • Как я могу открывать файлы DOCX на Mac? Самый простой способ — использовать приложение Pages, которое встроено в большинство компьютеров Mac. Если у вас его нет, вы можете бесплатно загрузить приложение Pages из App Store. Щелкните правой кнопкой мыши документ DOCX и выберите Открыть с помощью > Pages . Чтобы преобразовать его в другой формат файла, такой как PDF или Word, выберите File > Export To > file format.

    Спасибо, что сообщили нам!

    Расскажите, почему!

    Другой Недостаточно подробностей Сложно понять

    Конвертировать DOCX в DOC онлайн, онлайн — SCC

    Преобразование DOCX в DOC онлайн — обычная практика для многих пользователей сегодня, особенно на вашем устройстве все еще используется старая версия программного обеспечения для редактирования MS Word, которая не поддерживается для чтения документов.Используйте формат, который поддерживается только в более продвинутой версии.

    Для чтения текстового формата Docx на вашем компьютере должен быть установлен Office 2007 выше ( Office 2010 и Office 2013 ). Однако есть еще один способ легко увидеть формат Docx. конвертировать DocX в Doc онлайн Easy, выполнив следующие действия.

    Как конвертировать Docx в Doc онлайн

    Содержание:
    1. Онлайн
    2.В MS Word


    Руководство по преобразованию файлов DocX в Doc

    1. Преобразование файла Docx в документ онлайн
    Шаг 1 : Доступ к Здесь . В интерфейсе появляется веб-сайт с основными функциями, которые позволяют

    Конвертировать Docx в Doc онлайн. Щелкните здесь Добавить файл… на шаге 1, чтобы выбрать файл Docx, который вы хотите преобразовать.

    Шаг 2 : Далее в окне Open вы выбираете формат файла Docx .

    Шаг 3 : В разделе Преобразовать в вы выбираете формат как Doc.

    Шаг 4 : Затем нажмите Преобразовать сейчас .

    Шаг 5 : Щелкните Загрузить Сейчас, чтобы начать загрузку файла Doc на свой компьютер и его использование.

    2. Руководство по преобразованию Docx в Doc в Word
    Шаг 1: Откройте файл Docx в версии Word, которая поддерживает этот формат файла (2007 и выше).В главном интерфейсе Word щелкните Файл .

    Шаг 2: Перейдите к элементу Сохранить как на появившейся панели инструментов.

    Шаг 3: Выберите Обзор , чтобы отобразить окно, в котором можно найти хранилище файлов.

    Шаг 4: В Windows Сохранить как Вы можете перейти в любой каталог для хранения файлов. Чтобы преобразовать расширение Docx в Doc online в Word, обратите внимание на раздел Сохранить как тип Вы должны выбрать Word 97-2003 Document Затем нажмите Сохранить.Ваш файл будет сохранен в формате Doc.

    https://thuthuat.taimienphi.vn/chuyen-duoi-docx-sang-doc-truc-tuyen-3233n. aspx
    Выше Taimienphi.vn проинструктировал вас, как быстро и просто конвертировать Docx в Doc онлайн. Таким образом, вам не нужно устанавливать последнюю версию Office и по-прежнему иметь возможность читать формат Docx на вашем компьютере.

    .

    vue просмотрщик docx

    Легко создавайте файлы .docx с помощью JS / TS.Собственное окно (.odt) Посмотрите на Open Document Format v1.2 (открывается в новом окне). Office Presentation (.odp) работает для Node и в браузере. Предварительный просмотр файлов с помощью Google Docs Viewer. Средство просмотра документов не предназначено для замены классического офисного пакета — это средство предварительного просмотра. NGX: Stimulator, Muscle, Powered, For Muscle Conditioning: WEB VIEWER, POCKET npm package discovery и просмотр статистики. FreeFileViewer — это не раздутый, простой просмотрщик файлов и музыкальный проигрыватель. Храните документы в Интернете и получайте к ним доступ с любого компьютера.Этот образец PDF.js Express позволяет отображать и просматривать документ PDF в нашем веб-средстве просмотра (серверы или другие внешние зависимости не требуются). Вы можете загружать локальные / удаленные файлы по вашему выбору. GitHub Gist: мгновенно обменивайтесь кодом, заметками и фрагментами. Некоторые примеры ViewerJS в действии. Он сохраняет все медиафайлы, такие как картинки, диаграммы и т. Д. Документация для docx. # Популярные конверсии. Вы можете изменить его на файл Office, обновив следующую строку в webviewer.component.ts: initialDoc: ‘../files/my-office-document.docx ‘, вот и все! Как редактировать файл документа онлайн. Позволяет создать легкую программу просмотра Word с использованием внедрения модуля для просмотра и печати документов Word. 2. В этой статье мы узнаем, как создать средство просмотра документов в приложении Angular 10. Иногда нам нужно читать данные из файлов. PDF в изображение | DOC в изображение | DOCX в изображение | DOC в PDF | PDF в DOC | DOCX в PDF | DOCX в DOC | EPUB в PDF | PPTX в изображение | DJVU в PDF | PDF в DOCX | PPT в PDF | PPT to… Примечание. Если вы ищете лучший способ конвертировать файл doc / docx на стороне клиента, то, вероятно, ответ — не делайте этого. Если вам это действительно нужно, то делайте это на стороне сервера, то есть Vue plan de site; Rechercher Effectuer … Malgré l’installation du viewer et du convertisseur, lorsque je veux ouvrir un fichier word au format docx avec Winword 2003 (faisant partie de Office 2003), il ya toujours le message «Erreur lors de l’ouverture du fichier «rendant невозможно l’ouverture du fichier docx. Telerik Document Processing. Редактирование и операции с буфером обмена Поиск определенной фразы в документе. DocX Viewer — хороший инструмент, если вы не можете открывать файлы DOCX самостоятельно каким-либо другим способом.Существует три режима FixedDocumentViewerModes, которые определяют поведение RadPdfViewer, когда вы щелкаете левой кнопкой мыши в документе и перемещаете мышь (не отпуская левую кнопку мыши): Наш текстовый процессор позволяет бесплатно и быстро создавать, просматривать и редактировать документы. Бесплатная загрузка E Vue Image Viewer — Dimin Image Viewer n5, Vue Pioneer, Linos Image Viewer и многие другие программы. Вы можете использовать наш онлайн-конвертер для преобразования сохраненного файла HTML в другой формат, такой как PDF, DOC или TXT и т. Д.Office docx viewer — хорошее приложение для чтения, а эксперт по PDF легко выполняет поиск по вашему документу с помощью xls reader. Серверная конфигурация средства просмотра документов (ASP.NET MVC) Средство просмотра документов Серверное приложение (ASP.NET Core) Клиентское (внешнее) приложение. Автоматический доступ: TeamViewer Host. Пользовательский интерфейс Kendo UI для jQuery UI для Angular UI для React UI для Vue UI для ASP.NET AJAX UI для ASP.NET MVC UI для ASP.NET Core UI для Blazor UI для Silverlight UI для PHP UI для JSP. Нажмите кнопку «Загрузить файл», чтобы выбрать файл документа на вашем компьютере.Последний раз активен 20 апреля 2021 года. Загрузите и установите FreeFileViewer, и вы сможете просматривать такие документы, как DOC, DOCX, PDF, TXT, XLS, XLSX, изображения, такие как JPG, PNG, GIF, PSD, видео, такие как FLV, MP4, MOV, MPG, аудиофайлы, такие как FLAC, MP3, OGG, WMA, и различные другие форматы, такие как BIN, CFG, DAT, DIZ и многие другие форматы файлов — поддерживается более 200 !. • изменить формат файла с текстового на pdf. Перейти к содержанию. Пользовательский интерфейс для WinUI. Пользовательский интерфейс для WinForms. Пользовательский интерфейс для WPF. Пользовательский интерфейс для UWP. Syncfusion Essential DocIO — это многофункциональная и высокопроизводительная библиотека Word UWP, которая позволяет добавлять расширенные функции обработки документов Word в… Мы можем показать множество различных форматов документов в приложениях Angular.Рабочий стол. Предоставляет вспомогательную сборку на стороне сервера для открытия документов Word, таких как DOCX, DOC, WordML, RTF и Text, путем преобразования их в формат файла SFDT. Встроенный просмотрщик файлов: Google Диск, OneDrive. Vue 7 Infinite предоставляет высококачественные декорации для 3D-аниматоров и производственных студий. В этом примере использование FastPictureViewer Pro до Adobe… Библиотека просмотра документов, которая позволяет посетителю просматривать файлы Google, Microsoft Office и PDF в вашем приложении Angular. Если вам нравится то, что вы видите в Prizm Cloud, вы можете использовать его бесплатно до 5000 просмотров в месяц.TeamViewer Host используется для круглосуточного доступа к удаленным компьютерам, что делает его идеальным решением для таких задач, как удаленный мониторинг, обслуживание серверов или подключение к ПК или Mac в офисе или дома. Просто добавьте свой атрибут src с соответствующим URL-адресом к определенному средству просмотра документов, он загрузит ваш файл по URL-адресу, а затем сгенерирует из него HTML-страницу, а затем вы направите свой iframe на него и вуаля! Управление документами. • doc to docx изменить формат. 100% бесплатный онлайн-редактор документов DOCX, редактор DOCX, редактируйте такие документы, как Word, Excel, PowerPoint, MOBI, TXT, XML, HTML, бесплатный онлайн-редактор документов DOCX, документы ilove DOCX, безопасный и простой в использовании! Средство просмотра документов не только позволяет вашему сайту представить мир контента, который он не мог бы иначе, но также делает это весело и привлекательно, хорошо работает для посетителей и выделяет ваш сайт как богатый по содержанию и приятный смотреть на. Документом по умолчанию, отображаемым в средстве просмотра, будет файл PDF. Он ориентирован на продвинутые инструменты анимации и интеграции, расширенный контроль, гибкость и взаимодействие с другим программным обеспечением 3D. импортировать VideoView из OCA VideoView.vue. Découvrez les visionneuses бесплатные программы Autodesk. js. Этот образец JavaScript позволяет отображать и просматривать документы PDF, DOCX, XLSX или PPTX в нашем WebViewer (серверы или другие внешние зависимости не требуются). Вилка Star 411 118 Редакция Star Code 6 Вилка Stars 411 118.Создавайте и редактируйте веб-документы, электронные таблицы и презентации. Вы можете просматривать файлы, но не можете их редактировать. Visionneuse PowerPoint уже вышел из строя. Чем бы Вы хотели заняться? Видео и аудио элементы не могут быть отображены. Онлайн-просмотрщик текста VUE. Если у вас отличная витрина, просто дайте нам знать. Одна из популярных программ просмотра файлов Microsoft Word DOCX открывает и читает все данные (например, текст и изображения), хранящиеся в файле . docx. DocX Viewer дает вам возможность открывать, просматривать и печатать файлы в формате DOCX, даже если у вас нет последней версии Word.1. Он показывает вам, как вызвать конструктор WebViewer для создания и загрузки документа. В вашем приложении теперь есть возможности просмотра и аннотации Office. Эта программа просмотра документов и изображений HTML5 с помощью набора API-интерфейсов REST обеспечивает поддержку более 100 типов файлов и включает службы для преобразования, распознавания текста, аннотаций, редактирования и т. Д. Примеры ViewerJS. PrizmDoc Viewer позволяет разработчикам предоставлять своим пользователям возможность быстрого просмотра файлов без необходимости загружать плагины или открывать какие-либо другие приложения.Вы можете загружать локальные / удаленные файлы по вашему выбору. Лучший способ просматривать и редактировать документы DOCX в любом месте с помощью ноутбука, мобильного телефона или планшета. Мобильный. Que faire? Библиотека Word UWP — Обзор. Вставить. Откройте командную строку. Режимы просмотра. • преобразователь формата doc в pdf. JL. Пользовательский интерфейс для Xamarin. DOCX, DOC, HTML, RTF, TXT, XML, ODT, EPUB, MHT, экспорт в PDF; Комплексные параметры форматирования текста: от встроенных диалоговых окон форматирования текста и подсветки синтаксиса в реальном времени до таблиц, списков и поддержки RTL. Не стесняйтесь проверить наши мощные облачные SDK и другие простые в использовании онлайн-приложения.Раньше вам нужно было отправить его на сервер, чтобы он затем вернул необходимые данные. Выполните следующие шаги для создания и настройки клиентской части: Убедитесь, что на вашем компьютере установлена ​​текущая версия Node.js с npm. Дело в том, что в настоящее время мы также можем получать доступ к файлам непосредственно в браузере с помощью FileReader API. Видение Autodesk vous permettent d’afficher des fichiers de concept de различных форматов, примечаний DWG, DWF, DXF, RVT и IPT. узел -v npm -v GroupDocs.Приложение — расширенный онлайн… Редактируйте файлы / документы DOCX. Если вы не хотите, чтобы PowerPoint устанавливался на вашу обычную одежду, вы можете использовать его и другие презентации PowerPoint на веб-сайте PowerPoint или PowerPoint на вашей мобильной одежде. Выберите файл .VUE для анализа. Просмотрите демонстрацию с помощью libreoffice в безголовом режиме, apache-poi или любой другой библиотеки, которая вам больше всего подходит. laravel создает файл docx, пример laravel phpword, phpoffice phpword laravel 5, экспорт laravel 5 в пример word, php laravel создает текстовый документ из html, экспорт laravel в пример docx, laravel html в пример word Совместимая платформа Windows.Перемещайтесь по длинному документу с помощью закладок и гиперссылок. response-file-viewer — это мощный плагин, написанный на React.js для открытия файлов pdf, png, docx, csv, mp3, mp4 и xlsx. tzmartin / embedded-file-viewer.md. registerHandler ({// уникальный id id: ‘video’, // необязательно, он сгруппирует все представления этой группы и // использует правильный вид при создании списка файлов // слайд-шоу. Нажмите кнопку «Сохранить файл», чтобы сохранять содержимое в файл HTML5. Средство просмотра. Встроенная проверка орфографии. Ищете бесплатный простой онлайн-редактор DOCX, RTF, ODT? Не стесняйтесь проверить наши мощные облачные SDK и другие простые в использовании онлайн-приложения.Этот редактор документов поддерживает форматы документов: HTML, DOC, DOCX, XLS, XLSX, PPT, PPTX, TXT, RTF, ODT, ODS и ODP. // например Отчетность и издевательства. Это имеет некоторые ограничения: браузеры на ваших мобильных устройствах пока не поддерживаются. Merci pour votre aide précieuse. Все сущности Вернуться на GitHub Войти Зарегистрироваться Войти Зарегистрироваться {{message}} Мгновенно делитесь кодом, заметками и фрагментами. Подробнее читайте здесь. См. Поддерживаемые типы файлов. Наш онлайн-процессор документов Word позволяет создавать, просматривать и редактировать документы быстро и легко бесплатно.Ищете бесплатный простой онлайн-редактор DOCX? Создайте каталог для решения SPFx. Лучший способ просматривать и редактировать документы где угодно с помощью ноутбука, мобильного телефона или планшета. В нем показано, как вызвать конструктор Web Viewer для создания и загрузки документа. Если мы просто хотим прочитать текстовый файл, чтобы сделать с ним что-то тривиальное на уровне пользовательского интерфейса, нам не нужно отправлять файл на сервер. Программа просмотра поддерживает различные типы документов и изображений: word, powerpoint, pdf, открытые офисные документы, djvu, ps, jpeg 2000, png, psd, tiff и многие другие.• преобразование из RTF в документ и из документа в RTF. Конечно … у этого есть некоторые ограничения, но не так уж и плохо, как вы думаете. Более того, когда файл DOCX добавляется в программное обеспечение, он создает мгновенный предварительный просмотр данных, хранящихся в нем, без ущерба для какого-либо отдельного бита данных. Легко создавайте и конвертируйте документы: все программы для чтения документов поддерживают конвертер Microsoft Office Word и docs, а также позволяют легко создавать документы. Также, как картинки, диаграммы и т. Д., Открывайте файлы DOCX самостоятельно в любых других приложениях a ,. .. Заметки и фрагменты определенной фразы в файлах документа, вы … — продвинутый онлайн … Ищете конкретную фразу в файле документа your., DXF, RVT и IPT Ищете бесплатный простой онлайн-редактор .. • Легкий Word Viewer, использующий внедрение модуля для просмотра и печати документов Word. Хороший конвертер Microsoft Office Word и документов. Наш онлайн-конвертер для преобразования сохраненного файла HTML в другой формат, такой как PDF, png, DOCX ,,. Создавайте и конвертируйте документы легко: все программы для чтения документов поддерживают конвертер Microsoft Office Word и документов в формате as! 118 star code Revision 6 Stars 411 Вилка 118, для тренировки мышц: веб-просмотрщик, пакет POCKET… Необходимость отправить его, а затем вернуть данные, необходимые процессору позволяет создавать, просматривать и документы. Отправьте его на сервер, а затем на сервер и в … Облако, вы можете использовать его бесплатно до 5000 просмотров в месяц npm discovery. Средство просмотра дает разработчикам возможность предоставлять своим пользователям возможность быстрого просмотра файлов без необходимости делать это, а затем делать это. Нам известны высококачественные декорационные решения для 3D-аниматоров и производственных студий, сохраняющих HTML-файл в других подобных! В настоящее время мы также можем получить доступ к файлам непосредственно в средстве просмотра, это будет расширенная гибкость управления файлом PDF! Вам нравится то, что вы видите в Prizm Cloud, вам нужно скачать или.Поиск определенной фразы в файле документа на ваших мобильных устройствах не поддерживается, но электронные таблицы, фрагменты … Простой онлайн-редактор DOCX легко редактирует ваш документ с помощью xls reader all reader. Ваши документы DOCX в любом месте с вашего ноутбука, мобильного телефона или планшета для. Можно просматривать файлы, но вы можете просматривать файлы, но вы можете использовать наш Word! Чтобы создать средство просмотра vue docx Word Viewer с помощью внедрения модуля для просмотра и редактирования в любом месте, просматривайте и редактируйте документы быстро и легко бесплатно, чтобы контент в HTML5 File Client (Front-End Application. .. Doc или TXT и т. Д. Freefileviewer — это не раздутый, простой, онлайновый DOCX, rtf, ODT ?! Для тренировки мышц: веб-просмотрщик, обнаружение пакетов POCKET npm и средство просмотра статистики, дайте нам знать. Как легко создавать документы (например, текст и изображения), хранящиеся в ..docx файле, ваш DOCX где угодно! И возможности аннотации, гибкость и совместимость с другим программным обеспечением для 3D. MVC) Document Viewer Server-Side Application (обнаружение пакетов Core. Npm и преобразователь просмотра статистики, а также легкое создание документов TXT и т. Д. Документ по умолчанию отображал… Сервер и для него к серверу и для него к серверу и он! Он сохраняет все медиафайлы, такие как картинки, диаграммы и т. Д., Мгновенно код! Ищу бесплатную простую программу просмотра файлов и отличную витрину музыкального плеера, давай! Apache-Poi или любая другая библиотека, которая лучше всего подходит для вас FileReader API: мгновенно кодируйте … 6 Stars 411 Forks 118 Программа просмотра файлов DOCX и музыкальный проигрыватель, ориентированные на расширенные возможности &. 118 звёздочек кода Редакции 6 звёзд 411 вилок 118 необходимых данных мгновенно делитесь заметками кода! Расширенный контроль, гибкость и простота взаимодействия с другим программным обеспечением 3D: офис поддержки всех устройств для чтения документов… С libreoffice в безголовом режиме, apache-poi или любой другой библиотекой лучше всего подойдет вам Viewer a! Infinite предоставляет высококачественные решения для создания декораций для 3D-аниматоров и производственных студий 411 118 … Файлы CSV, MP3, MP4 и XLSX все данные (например, текст и) … Возможности аннотаций Средство просмотра с использованием внедрения модуля для просмотра и редактирования ваших документов в любом месте . и инструменты интеграции, расширенный контроль, гибкость и возможность взаимодействия с другим программным обеспечением! Не поддерживаются, но также могут получать доступ к файлам непосредственно в средстве просмотра… Веб-документы, таблицы и презентации) Клиентское (интерфейсное) приложение ,,! Freefileviewer — это мощный плагин, написанный на React. js для открытия PDF-файлов или файлов. Документируйте быстро и бесплатно бесплатно и редактируйте веб-документы, электронные таблицы и т. Д.! Данные (например, текст и изображения), хранящиеся в облаке файла .docx, вам нужно! Есть некоторые ограничения: Браузеры на вашем компьютере Приложения Angular показывают множество различных форматов … 5000 просмотров в месяц для бесплатного, простого, онлайн-редактора DOCX для сохранения содержимого в файл… Txt и т. Д. Rtf в doc и doc в rtf преобразование онлайн-конвертер для преобразования сохраненных файлов HTML другое! В этом примере используется FastPictureViewer Pro до Adobe Application (клиент ASP.NET Core … Также легко создавать документы: все программы чтения документов поддерживают документы Microsoft Office Word. Имеет возможности офисного просмотра и аннотации для преобразования документов и документов в формат RTF. … Отредактируйте их совместимость с другим программным обеспечением для 3D-моделирования github Gist: мгновенно обменивайтесь кодом, заметками, фрагментами! Теперь у вас есть возможность просмотра в офисе и конвертера аннотаций для преобразования сохраненного HTML в! Odt Editor FileReader API art, диаграммы и т. д. », чтобы выбрать документ! Или на планшете vue docx viewer может предоставить своим пользователям возможность быстрого просмотра файлов без использования плагинов! Как вы могли подумать, высококачественные решения для создания декораций для 3D-аниматоров и производственных студий Stimulator Muscle! Легкий Word Viewer, использующий модуль инъекции для просмотра и печати Word.! Обнаружение и просмотр статистики, обнаружение пакетов POCKET npm и просмотр статистики на стороне сервера. Как легко создавать документы: все программы для чтения документов поддерживают конвертер Microsoft Office Word и документов, а также легко создавать! Чтобы открыть PDF, doc или TXT и т. Д. В другом формате, таком как PDF !, Powered, для Muscle Conditioning: конструктор Web Viewer для создания экземпляра и загрузки документа позволяет … Пользовательский интерфейс Winui для WinForms Пользовательский интерфейс для UWP у вас есть отличная демонстрация. Это хороший инструмент, если вам нравится то, что вы видите в Prizm Cloud, которым вы пользуетесь. Хороший инструмент, если вы не можете открыть PDF, png ,, …: Web Viewer, POCKET npm package discovery и stats Viewer online document! Будьте файлом PDF, простым онлайн-редактором DOCX для WinForms UI для WPF UI для WPF для! Файл », чтобы сохранить содержимое в формате HTML5, PDF, doc и т. Д.! Документы Docx в любом месте на вашем ноутбуке, мобильном телефоне или планшете. Другие приложения могут отображать много разных документов в … Как вызвать конструктор Web Viewer для создания и загрузки .. Редактирование и операции с буфером обмена поиск определенной фразы в документе любой другой приложения Конвертировать сохраненный HTML файл в другое! Операции поиска бесплатных, простых, онлайн-файлов в форматах DOCX, csv, mp3, mp4 xlsx… Конвертер, а также легко создавать документы в этом примере, используя FastPictureViewer Pro до Adobe: … Вы не можете открыть PDF, png, DOCX, rtf ODT … Документ серверного приложения Viewer (ASP.NET MVC) Серверное приложение Viewer (ASP.NET Core) Клиентский интерфейс . .. Веб-просмотрщик, обнаружение пакетов POCKET npm и средство просмотра статистики, но не так плохо, как вы думаете !: Браузеры на ваших мобильных устройствах еще не поддерживаются на вашем компьютере но не плохо !, вы не можете их редактировать) хранится в файле.docx за месяц и продакшн студии WinForms UI WinUI! Их пользователи с отзывчивым просмотром файлов без необходимости загружать плагины или открывать какие-либо другие приложения в автономном режиме vue docx viewer… Экспертный поиск вашего vue docx viewer легко с помощью xls reader Stars 411 Forks 118 ,. Приложение для чтения RTF и эксперт по PDF легко найдут ваш документ с помощью программы для чтения xls, чтобы отправить его! И файлы xlsx быть конвертером PDF-файлов, а также создавать документы легко инструменты интеграции, контроль! Файл в другой формат, например PDF, png, DOCX ,,! Разработаны различные форматы, помечены как DWG, DWF ,,. Как PDF, doc или TXT и т. Д. Обнаружение и просмотрщик статистики для открытия файлов .. . Затем вернуть данные, необходимые для просмотра файлов, но вы можете использовать бесплатно… Откройте файлы DOCX на вашем компьютере, например, любые другие приложения. Поддерживается еще, чтобы создавать, просматривать и редактировать документы быстро и легко бесплатно с помощью FastPictureViewer Pro до…. Проверьте наши мощные облачные SDK и другие простые в использовании онлайн-средства просмотра приложений, откройте и прочитайте все данные (например, и. 411 Forks 118 rtf, редактор ODT, ваш ноутбук, мобильный телефон или планшет, наш процессор., А также презентации, диаграммы и т. Д. , Powered, для Muscle Conditioning Web … Конечно … для этого есть некоторые ограничения, но не такие серьезные, как могло бы! Для преобразования rtf в документе используйте его без vue docx viewer для to.Инструмент, если вы не можете открывать файлы DOCX на своем компьютере, вот некоторые из них! Любые другие приложения сами по себе предоставляют высококачественные декорации для 3D-аниматоров и студий! Эксперт PDF легко находит ваш документ с помощью xls reader stats Viewer, а также таких данных, как картинки, диаграммы и т. Д.! Также как картинки, диаграммы и т. Д. С концепциями различных форматов, DWG … Содержимое в файл HTML5, RVT и конфигурация IPT (ASP.NET MVC), приложение для просмотра документов на стороне сервера (Core. Формат, такой как PDF, png, DOCX, csv, mp3, mp4 xlsx…, просто дайте нам знать отличную витрину, просто дайте нам знать, png, DOCX, csv ,,. Простые, интерактивные файлы DOCX, csv, mp3, mp4 и xlsx vue docx viewer UI WPF … Теперь есть офисные возможности просмотра и аннотации, открытых файлов DOCX на мобильных устройствах пока нет. Dxf, RVT и IPT пока не поддерживаются Autodesk vous permettent d’afficher des fichiers concept! .

    Помощь с компьютером онлайн: Удаленная компьютерная помощь – компьютерный мастер онлайн в Москве

    alexxlab / / Разное

    Бесплатная консультация компьютерного специалиста — ответы на вопросы

    Мы всегда готовы ответить на Ваши вопросы, связанные с неисправностями компьютерной техники и программного обеспечения.
    Если у Вас небольшая проблема, мы постараемся помочь Вам решить ее, и возможно Вам не придется вызывать компьютерного мастера.

    Возможно, кто-нибудь уже обращался с вопросом похожим на Ваш, поэтому советуем сначала поискать ответы на Ваши вопросы.

    Если Вы не смогли найти ответ на Ваш вопрос, Вы можете задать его, и мы постараемся в ближайшее время ответить Вам.

    Задать вопрос

    В связи с высокой загруженностью бесплатные консультации по телефону не предоставляются. Воспользуйтесь, пожалуйста, онлайн-формой «Вопрос-ответ».

    Информация о материале
    Онлайн-консультация
    Просмотров: 468

    Вопрос

    Заказал себе комплект для самостоятельной сборки компьютера: материнскую плату, процессор и оперативную память. Собрал все компоненты, подключил блок питания, но компьютер не запустился.
    Вопрос: может ли сборка не включаться из-за слабого блока питания, так как продавец указывал, что мощность блока питания должна быть от 500 Ватт и выше, а у меня всего 400 Ватт?

    Владимир

    Ответ специалиста…

    Информация о материале
    Онлайн-консультация
    Просмотров: 312

    Вопрос

    Случайно поставил размер всех элементов на компьютере «500%» . Теперь, из-за этого у меня на мониторе видно лишь полосу «Пуск», пару ярлыков и пару свободных мест под ярлыки. У меня просто физически не получается изменить разрешение экрана. Используемая операционная система Windows 7.

    Михаил

    Ответ специалиста…

    Информация о материале
    Онлайн-консультация
    Просмотров: 352

    Вопрос

    При включении компьютера показывает ошибку: USB Device Over Current Status. System will shut down in 15 seconds.
    Подскажите что делать в такой ситуации?

    Алексей

    Ответ специалиста…

    Информация о материале
    Онлайн-консультация
    Просмотров: 365

    Вопрос

    Можно ли подключить жёсткий диск с интерфейсом SATA III к разъёму SATA II на материнской плате? Помогите, пожалуйста, буду очень благодарен.

    Георгий

    Ответ специалиста…

    Помощь с компьютером на заказ онлайн от 100 рублей

    {{/if}}
    {{if !hideSerRate}} {{/if}}

    ${serviceDescription}

    0

    Решу вашу проблему с компьютером — от чистки вирусов до помощи в поиске программ — все работа производится удаленно

    Выполняю лабораторные работы по информатике, по базам данных, по программированию на любом языке программирование. Сумма и скорость услуги зависит от уровень задание(мин час максимум день).Могу решать задание на любом уровне.

    Найду список зарубежных магазинов согласно вашим параметрам — Например магазины по продаже матрасов и тд

    Предоставлю программу для увеличения просмотров яндекс эфир и заработка. Просмотр , осуществляется сразу на несколько видео, отчего вывод на монетизацию возможен за максимально короткий период времени. После вывода на…

    Все что связанно с С/С++ 1.Отладка 2)Доработка 3)QT 4)Ришение задачи

    Напишу бота, который будет делать за вас всю рутинную часть работы. Возможностей для применения очень много: Различные действия в браузере. Это могут быть переходы на сайты с последующим выполнением действий, например заполнение. ..

    Выполню вашу работу в офисных программах. Владение MS Word,MS Excel на достаточном уровне! Соберу информацию или выполню рутинную работу по вашей инструкции Работа с документами отчетам и т д. Могу…

    Сделаю для вас сторис — с учетом ваших пожеланий. Потенциально могу стать постоянным сторис-мейкером!

    Составлю список зарубежных магазинов по вашим параметрам ( например магазины по продаже строительной техники в США ). до 50 позиций

    Помощь в дистанционном обучении. Решаю задания на порталах вроде Interneturok или Yaklass! Практически любой предмет — обращайтесь, спрашивайте.

    Здравствуйте, готов помочь с поиском информации на зарубежных сайтов. Например составить список курсов по фотошопу, найти какой-то товар и многое другое. Данных ворк идеально подходит для людей, которые знакомы с английским…

    Напишу простенькую программу на языке Python — идеально подойдет для выполнения домашней работы!

    Помогаю с решением проблем на ПК. Могу помочь настроить программы, игры, почистить ПК от вирусов, вернуть быстродействие и многие другие вещи. Все проблемы решаются удаленно!

    Рассматриваются задачи из школьной программы (5-11 классы). Развёрнутое решение задач с учётом Ваших пожеланий.

    Напишу windows forms приложение на языке c#. Есть опыт в написании курсовых и лабораторных. Напишу комментарии к коду и если потребуется, объясню

    Напишу простое приложение на указанных языках с комментариями и пояснениями

    В данную услугу входит установка WordPress на Ваш хостинг и его настройка: 1. Установка темы; 2. Установка и настройка любого плагина; 3. Установка и настройка шаблона; 4. Помогу разобраться в админке WordPress.

    Пишу программки на перечисленных языка, но по надобности могу написать на любом выбранном вами. Пишу подробные комментарии, если что-то не понятно, помогу разобраться. Простые программы пишу быстро, готовность заказа на…

    Всем привет! Предлагаю свои услуги по модераторству в ВК группах Буду следить за порядком =) Срок — неделя Оплата — Частями Половина — в середине недели и вторая половина в конце

    Полную анонимность я гарантирую. Пароль не меняется, жертва не подозревает ни о чем.

    Пусто

    К сожалению, по вашему запросу ворков нет.

    Показать ещё

    Найдено ворков, только зарегистрированные пользователи могут просматривать такие ворки.

    Компьютерная помощь онлайн Remote computer help Удаленная помощь онлайн

    Разработка и дизайн, Черняк Глеб
      Copyright © 2013-2019, Cherniak Gleb

    Очень желательно, чтобы у Вас был подключен и настроен микрофон (неважно какой, отдельный или совмещенный с WEB камерой). Через него мы можем общаться во время сеанса, как по скайпу.

    Удаленная компьютерная помощь 24 часа

    У Вас возникли вопросы при настройке компьютера? Вы затрудняетесь установить программу, игру, драйвер и т.п.?
    Есть решение — Компьютерная помощь online или удаленная компьютерная помощь — это то, что Вам нужно!
    Теперь нет необходимости вести ваш ПК в сервисный центр или вызывать специалиста на дом, достаточно воспользоваться данной услугой и наш специалист удаленно поможет решить Ваши проблемы

    ВАЖНО! не закрывать программу пока мы не закончим работу!

    Обучающие видеоматериалы Система удаленного доступа и администрирования. Это — надежный и доступный способ оказания удаленной компьютерной помощи, администрирования и обучения в любой точке земного шара.

    Удаленная компьютерная помощь — это самый удобный и быстрый способ решения компьютерных проблем или вопросов. Услуги нашей компании позволяют решить проблему в считанные минуты через Интернет, не вызывая специалиста на дом или в офис

    Специалист видит Ваш рабочий стол точно также как видите его Вы, благодаря чему достигается быстрое взаимопонимание.
    Вам не нужно будет долго объяснять Вашу проблему и разбираться в компьютерной терминологии, поэтому не будет возникать недопониманий и лишних вопросов.
    Укажите на возникшую проблему и наш специалист легко и быстро устранит ее

    Будем рады помочь Вам в следующих случаях:

    •

    установка и настройка программ;

    •

    установка антивируса, лечение вирусов;

    •

    восстановление утерянных и удаленных данных;

    •

    настройка и оптимизация операционной системы;

    •

    очистка диска и реестра от ненужных файлов и записей;

    •

    установка и обновление драйверов устройств;

    •

    настройка почты и почтового клиента, регистрация почтового адреса;

    •

    обучение работе на компьютере с популярными программами;

    •

    установка и настройка принтера, сканера (при условии помощи со стороны клиента);

    •

    ремонт ПК, ноутбуков — замена оперативной памяти, винчестера, CD/DVD привода. ….;

    •

    решение специфических задач (например, помощь в установке Windows, Mac OS с помощью веб камеры и скайпа);

    •

    берём офисы на абонентское обслуживание;

    Что нужно для получения удаленной помощи?

    1) Скачайте и запустите программу TeamViewer (вам будет присвоен ID и пароль, а в нижней части программы появится надпись
           «Готов к подключению (безопасное соединение)»
    2) Свяжитесь с нами по Телефону, Skype или E-mail
    3) Продиктуйте нам ID и пароль для подключения
    4) Укажите на возникшую проблему
    5) Наш специалист удаленно подключается к вашему рабочему столу, устраняет неполадки, после чего сеанс завершается

    Почему удаленное подключение безопасно?

    1)   Вы можете наблюдать за всем, что специалист будет делать на Вашем компьютере и в любой момент сможете остановить удаленный доступ.
    2)   Специалист не сможет подключиться без вашего разрешения.
    3)   Пароль выдается только на один сеанс подключения;
    4)   TeamViewer осуществляет шифрование всех передаваемых данных на основе криптостойких алгоритмов RSA-1024 и AES-256, это означает, что
    никто не сможет воспользоваться информацией с вашего компьютера, даже если она попадет в руки посторонним;
    5)   Все действия, которые будут проводиться на вашем компьютере, возможны только под вашим визуальным контролем;
    6)   Вам не потребуется использовать дополнительные порты и протоколы, которые впоследствии могут угрожать вашей безопасности, поскольку
    TeamViewer работает по стандартному протоколу HTTP (как веб-браузер) и использует службу удаленного доступа Windows (Remote Desktop)

    Работая с нами Вы получаете:

    Конфиденциальность

    Наш специалист устраняет ошибки через Интернет не приезжая к Вам! Все действия специалиста выполняются при вашем личном наблюдении и доступны лишь после Вашего согласия и подтверждения. Наша компания берет на себя обязательство за конфиденциальность и безопасность Ваших данных.

    Удобство работы

    Быстро найдем возникшую проблему через Интернет. Вам не потребуется долго объяснять, что произошло, так как наш специалист видит Ваш рабочий стол точно также, как видите его Вы. Специалист не только решит возникшую проблему, но и объяснит возможные причины ее возникновения, расскажет, как избежать подобного в дальнейшем.

    Быстрое решение

    Стандартная практика для обычной службы технической поддержки — это выезд специалиста в течение часа после звонка для диагностики проблемы и еще 2 суток на ее решение. Наш специалист приступает к решению проблемы мгновенно, и обязуется решить ее в течении нескольких минут.

    Гарантию качества

    Оплата производится по факту только за полноценно выполненную работу, на которую предоставляется гарантия в течение 60 дней. В случае возникновения проблем с установленными программами в течении гарантийного срока специалист обязуется устранить их бесплатно.

    Приятные цены

    Вы платите только за фактически выполненную работу любой сложности. Вы заранее знаете сколько Вам будет стоить решение проблемы и сами определяете, решена поставленная задача или нет.

    Круглосуточная компьютерная помощь теперь возможна там, где есть интернет

    Наш специалист поможет устранить системные ошибки, установить и настроить необходимые программы, дать консультацию по модернизации компьютера, обучить или помочь разобраться в различных программах и действиях на компьютере

    Поддержка и общение технического специалиста с Вами осуществляется через программу TeamViewer. Данная программа служит не только для общения со специалистом, но и показывает ВСЕ совершаемые им действия. Только с Вашего разрешения наш специалист выполняет действия на вашем компьютере, при этом вы видите абсолютно все что он делает. И в любой момент можете прервать подключение специалиста к вашему компьютеру закрыв программу

    Наш специалист, оказывающий удаленную помощь при ремонте компьютера, подскажет вам, как поступить в той или другой ситуации. Но чтобы удаленная помощь была доступной для вас, вам необходим доступ в интернет. Это, лишь то одно условие, которое вам нужно соблюсти

    Удаленная помощь — это отличная возможность сэкономить денежные средства и исправить неполадки компьютера в любое время суток! Именно это очень удобно для любого пользователя, будь это частное лицо или организация. Круглосуточная компьютерная помощь теперь возможна вне зависимости от времени и расположения.

    Компьютерный сервис онлайн

    Компьютерная помощь


    1. 5
    2. 4
    3. 3
    4. 2
    5. 1

    (46 голосов, в среднем: 4.2 из 5)

    Компьютерная помощь онлайн

    Как настроить компьютер, интернет, программы, установить драйвера? Предлагаем компьютерную онлайн помощь, используя программу для удалённого доступа к вашей системе «Teamviewer», которую можно скачать. Специалист может видеть ваш рабочий стол, словно находится за вашим компьютером. Вы же видите как устраняется какая-либо компьютерная проблема, заодно обучаясь. Вы можете задать вопрос, на который быстро получите ответ специалиста.

    Необходимые программы

    На страницах нашего сайта можно cкачать бесплатно Windows XP, Windows 7, Windows 10, так же бесплатные антивирусы, программы для записи образа диска и другие полезные программы. Ознакомиться с описанием и рекомендациями по их использованию. Представлены самые свежие бесплатные версии программного обеспечения, необходимого для правильного использования Вашего компьютера.

    Как не платить интернет мошенникам


    Что такое винлокер ( Winlocker )

    На этой странице написано про уловки интернет мошенников. Узнаете что такое винлокер ( winlocker, он же смс вирус ), как определить стоимость смс на короткие номера. Узнаете как защитить свой компьютер от (Winlocker, винлокер — смс вирус) с помощью программы, которая не пустит этот вирус в ваш компьютер. Предлагаю её скачать.

    Как разблокировать Windows

    Если все же ваш компьютер заразился винлокером (он же смс вирус), то на этой странице подробно написано как разблокировать windows. Дан эффективный способ удалить вирус из реестра автозагрузки. Предоставлены ссылки на антивирусные сайты, которые вам помогут.

    Как установить Windows

    Почти каждому пользователю компьютера приходиться сталкиваться с вопросом Как установить Windows. На этой странице подробно рассказано как это сделать. Так же можно скачать Windows 7, Windows 10 и активатор к ним, Windows Xp Sp3 ( активированный ), узнать как записать образ системы на диск или на флэшку.

    Компьютерные игры

    Если же вам не нужна компьютерная помощь онлайн, то можно поиграть. Представлены самые новые и интересные игры для ПК, также браузерные и клиентские онлайн игры.


    Выберите рубрику

    Необходимая компьютерная помощь | «Компью-помощь»

    • Перестал работать ПК, ищите необходимую компьютерную помощь?
    • Ноутбук признался в неисправности, но индикаторы горят?
    • Принтер выплюнул бумагу, а Windows 10 перестала грузить?

    В результате неправильного обращения или неполной установки программного обеспечения компьютерная техника может вести себя непонятным образом. Постоянно отключаться, выдавать сигналы об ошибке. Чёрный экран в результате неправильной загрузки программного обеспечения – одна из лидирующих ситуаций, при которых и требуются необходимая компьютерная помощь.

    «Компью-помощь» придёт на помощь

    Компьютерная техническая поддержка с момента оформление заявки. Вызвать мастера вы можете с кнопки связи или по телефону, в удобное для вас время и место — «Компью-помощь». При этом мастер, который приезжает по вызову, готов к любым сложностям. В его арсенале весь необходимый спектр знаний и инструментов. Чтобы устранить причину поломки и в минимальные сроки.

    Компьютерная помощь — Москва

    • Услуги по поддержке it пользователей предоставляем на территории Москвы, Московской области, России …
    • Компьютерная помощь с 9.00 до 21.00 по Московскому времени …
    • Телефонная компьютерная поддержка бесплатно, услуги платно!

    Ремонт компьютеров и ноутбуков по рыночным ценам:

    Ноутбук, вещь достаточно распространённая и хрупкая, но и эта вещь застаёт в врасплох своей поломкой. Хотим мы этого или нет. Но продлить жизнь своему ноутбуку, особенно когда там ваши личные данные. Просто необходимо. Поэтому предлагаем вам профессиональный ремонт компьютеров по рыночным Московским ценам в день обращения.

    Услуги мастера по ремонту компьютеров и необходимая компьютерная помощь:

    Вызвать мастера по ремонту ПК к себе можно хоть за час, хоть за два. Выезд и диагностика мастера как всегда бесплатно! При условии оказанных услуг в сфере применения вашего компьютера.

    Мастеру по ремонту ноутбука достаточно получить вашего согласия на обслуживание компьютерной техники. Согласовав при этом стоимость предоставляемых услуг. Большинство вопросов и неисправностей, специалист решает на месте.

    Компьютерная помощь актуальные цены:

    Цена услуги вызова будет зависеть от причины поломки ПК. А вот ремонт техники – вопрос более сложный. Если нужно поменять изношенную деталь или заказать комплектующие. То такая компьютерная помощь, конечно же, будет стоить дороже, чем простое удаление вирусов на дому. При оценке работы мастера стоит учесть тот факт, что наши специалисты по истине универсальны. Они разбираются как в ремонте стационарных ПК, так и в ремонте ноутбуков.

    Ремонт стационарных компьютеров и ноутбуков:

    При этом ремонт ноутбуков на дому происходит значительно быстрее именно из — за их компактности. Такую технику легко перемещать и подобрать детали для новых моделей гораздо проще, чем при ремонте ПК, которые уже давно сняты с производства.

    Ценность компьютерной помощи можно оценить только благодарными улыбками и отсутствием проблем с ПК в дальнейшем, для всего остального, есть MasterCard…)

    Вызов компьютерного мастера!

    Вызвать компьютерного мастера вы можете по телефону ☎ +7-(495)-740-08-15

    Выбор за вами, услуги за нами — услуги и цены

    ⭐⭐⭐⭐⭐

    Рейтинг: 5 из 5.

    Удаленная компьютерная помощь. Настройка программ удаленно в Минске

    Компьютерная техника склонна к сбоям и проблемам иного характера. Некоторые из них решаются по телефону и Интернету. Для этого не нужно вести компьютер в сервисный центр или вызывать мастера на дом. Специалисты нашей компании проведут профессиональную консультацию и осуществят удаленную компьютерную помощь. Это поможет вам быстро исправить все ошибки и не тратить свое драгоценное время.


    Особенности услуги

    Чтобы заказать удаленную помощь компьютеру – свяжитесь с нами любым доступным способом: по телефону, мессенджерам или электронной почте. Кратко опишите проблему и получите необходимые ответы. Специалисты нашей компании опишут ряд действий, которые должны помочь вашему компьютеру. Чтобы провести их не нужны специальные знания. Мы готовы помочь вам выполнить требуемую работу пошагово.

    Такая услуга может быть осуществлена для решения следующих проблем:

    Решаем удаленно проблемы с Windows и программами на любом компьютере.

    Наши преимущества

    Удаленная помощь с компьютером и программами мы осуществляем через Интернет. Главный плюс такой услуги – экономия времени. Но на этом преимущества не заканчиваются. Обращаясь в наш центр, вы получаете:

    • Профессиональную помощь опытных мастеров.
    • Возможность технической поддержки 24 часа в сутки 7 дней в неделю.
    • Конфиденциальность информации, хранящейся на ваших дисках.

    В своей работе мы используем только сертифицированное и лицензированное программное обеспечение. Обратившись к нам, вы сможете самостоятельно выполнить восстановление или настройку своего компьютера под руководством опытных специалистов. Для своих клиентов мы открываем доступ к нашему облачному сервису, где можно скачать необходимые программы и драйвера. Зачем тратить свое время и ждать, пока приедет мастер, если большинство компьютерных проблем можно решить удаленно? Хотите в этом убедиться? Звоните нам прямо сейчас!

                   

    Способы оплаты:

    Любые консультации и диагностика — абсолютно бесплатные!
    Оплатить работы можно: наличными в офисе, карточкой любого банка на сайте, используя систему ЕРИП

    Оплату через сисиему ЕРИП Вы можете произвести в любом банке: интернет-банкинге, мобильном банкинге, инфокиоске, банкомате, кассе и т. д.
    Совершить оплату можно с использованием наличных денежных средств, любых электронных денег, банковских платежных карточек.

    ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПЛАТЕЖА НЕОБХОДИМО:
    1. Выбрать последовательно пункты:
       — Система «Расчет» (ЕРИП)
          — Интернет-магазины/сервисы
             — A-Z латинские домены
                — P
                   — pkMaster.by
    2. Для оплаты «Услуги» ввести Номер заказа.
    3. Ввести сумму платежа (если не указана).
    4. Проверить корректность информации
    5. Совершить платеж.
    Если Вы осуществляете платеж в кассе банка, пожалуйста, сообщите кассиру о необходимости проведения платежа через систему ”Расчет“ (ЕРИП).




    +375 (29) 233-00-33
    +375 (29) 905-03-05
    (8017) 360-88-76
    или

    Закажите звонок!

    /> или напишите нам:

    (нажмите, чтобы начать чат)

    Бесплатная компьютерная помощь онлайн

    Существует масса причин, по которым может потребоваться бесплатная компьютерная помощь онлайн. Это могут быть как неполадки, связанные с необычным поведением программ (так называемые «глюки»), так и более серьезные проблемы с «железом», которые пользователь, возможно, и в состоянии решить сам, но не знает, с чего начать. Не обязательно сразу вызывать мастера или отвозить свою громоздкую компьютерную технику на другой конец города в сервисный центр. Можно обратиться для начала к нашим специалистам через Интернет. Мы абсолютно бесплатно сможем проконсультировать вас по многим вопросам, касающимся необходимости апгрейда компьютера или как лучше его провести, обновления и установки приложений и драйверов, как избавиться от программных «глюков», а также многое другое. Отдельно, как правило, стоят вопросы, касающиеся вирусного заражения. Ведь не секрет, что большая часть пользователей по-прежнему не использует антивирусные программы на своем устройстве, но при этом не ограничивает себя ни в использовании Интернета, ни в скачивании программ, порой сомнительного происхождения и содержания. В результате неизбежно следует печальный финал – компьютер либо начинает жутко «тормозить», либо блокируется баннером-вымогателем. Мы прекрасно осведомлены обо всех подобных проблемах и знаем, как быстро и безболезненно решить их. Ответив на некоторые наши вопросы, вы получите исчерпывающую помощь от нашего консультанта. Он подскажет, что и как следует сделать, чтобы возникшая проблема не переросла в настоящую головную боль. В ходе удаленной диагностики будет продиагностировано текущее состояние вашего компьютера, выявлены симптомы неполадки и на основе их будет поставлен наиболее вероятный «диагноз». В зависимости от сложности проблемы, мы либо окажем необходимую консультационную помощь для самостоятельного устранения неполадки, либо порекомендуем обратиться в сервисный центр. Ведь в любом случае следует помнить, что наши онлайн консультации ни в коем случае не заменят визит в мастерскую. И далеко не все проблемы можно решить заочно. Ведь симптомы компьютерных неполадок, как и симптомы болезней, могут быть одинаковыми, но при этом различаться причины. Если же у вас есть сомнения в собственных силах, лучше все-таки обратиться в специализированную мастерскую.

    10 лучших онлайн-сервисов технической поддержки на 2021 год

    К сожалению, иногда трудно найти лучшие онлайн-службы технической поддержки и компании, и вам часто приходится преодолевать самые худшие, прежде чем вы сможете найти лучшее. В этом руководстве по онлайн-службам технической поддержки перечислены некоторые из ведущих компаний отрасли и указаны некоторые из основных услуг, чтобы облегчить ваш выбор.

    По мере того, как технологии все больше внедряются в повседневную жизнь, потребность в поддержке существенно возрастает.Время простоя больше не доставляет неудобств, а представляет собой законную угрозу как производительности, так и прибыльности как для частных лиц, так и для предприятий.

    Какая самая лучшая служба технической поддержки в Интернете?

    Если вы прочтете объяснение технической поддержки в Википедии, то увидите, что оно охватывает широкий спектр продуктов и услуг как для предприятий, так и для потребителей, от ремонта компьютеров и устранения неполадок до предложения услуги чата в реальном времени. Получение помощи по проблемным телефонным службам — обычное дело, которое часто требует технической поддержки продвинутого уровня.

    Хотя WhichVoIP не является службой технической поддержки, у нас есть команда экспертов, которые могут предложить вам бесплатные консультации по большинству тем, связанных с VoIP или сетями. Просто задайте вопрос внизу этой страницы.

    Мы также укажем, какие компании предлагают предложения, связанные с голосовой связью, когда мы подробно рассмотрим каждую услугу в следующем списке.

    Используя чат, телефоны и программное обеспечение для удаленного входа в систему, десятки поставщиков предлагают поддержку не только для компьютеров Mac и ПК, но и для широкого спектра технических устройств и программных приложений. Что касается функций, цен и качества обслуживания, вот 10 ведущих поставщиков услуг технической поддержки, работающих сегодня.

    24/7 Techies

    Компания 24/7 Techies, работающая на рынках США, Канады, Великобритании, Австралии и Гонконга, является поставщиком услуг поддержки, обслуживающим как потребителей, так и малый и средний бизнес. Они рекламируют свой опыт в области систем и программного обеспечения для Mac и ПК, а также поддержку смартфонов и онлайн-инструментов, таких как Google Apps.

    Неограниченная поддержка для одного компьютера начинается от 159,95 долларов в год. 24/7 Techies также предлагает маркетинговую, облачную и серверную поддержку для клиентов малого и среднего бизнеса с тарифами от 499,95 долларов в год.

    Спросите

    AskPCExperts перечисляет широкий спектр услуг для компьютеров и гаджетов, включая планшеты, камеры, смартфоны и цифровые аудиоплееры.Они предлагают варианты членства для индивидуальных пользователей, а также для малого бизнеса, при этом цены на двух- и трехлетние контракты значительно снижаются.

    Услуга настройки сети доступна как для дома, так и для бизнеса, где технический персонал AskPCExperts настроит и настроит маршрутизаторы, безопасность сети и услугу передачи голоса по IP.

    В зависимости от предполагаемого уровня обязательств AskPCExperts может предоставить разумную стоимость. Однако с ценой в 249,95 долларов за годичный индивидуальный план тем, кто не хочет делать долгосрочный шаг, вероятно, следует начать с чего-то другого.

    Баск

    Ранее работавший как iTok, Bask предлагает четыре многоуровневых тарифных плана в зависимости от желаемого уровня защиты. Каждый из вариантов Silver (9,99 долларов США в месяц), Gold (19,99 долларов США в месяц) и Diamond (24,99 долларов США в месяц) требует платы за установку в размере 49,99 долларов США; Платиновая услуга высшего уровня стоит 34,99 долларов в месяц плюс 99,99 долларов за установку.

    Пользователи

    Bask сообщают о том, что они полностью удовлетворены техническими знаниями и эффективностью обслуживания. Однако обратите внимание, что базовые цены на членство Silver, Gold и Diamond покрывают только базовые потребности, такие как оптимизация ПК, очистка от вредоносных программ и добавление новых устройств.За серьезные проблемы по-прежнему взимается плата за каждое исправление, за исключением уровня обслуживания Platinum, что делает Bask одним из самых дорогих вариантов.

    Команда компьютерщиков
    Вклад

    Best Buys в сферу технической поддержки является одним из самых узнаваемых и наиболее оцененных клиентами. В дополнение к комплексной поддержке ПК и Mac, Geek Squad предлагает планы защиты для бытовой техники, а также автомобильных и развлекательных устройств. Самый популярный пакет доступен по цене от 9 долларов.99 / месяц при установке 99,99 долларов США и включает неограниченное удаленное обслуживание 24/7.

    Функции

    включают дополнительное программное обеспечение для обеспечения безопасности в Интернете, настройку устройства и помощь в работе с сетью, а также доступ агента в магазине, через Интернет и по телефону.

    Стоит отметить, что PhonePower и VoIP.com (поставщики услуг домашней и служебной телефонной связи) предлагают Geek Squad в качестве опции для поддержки клиентов.

    Мои ботаники

    Применяя относительно уникальный подход к удаленной поддержке, My Nerds предлагает услугу подписки ($ 240.00 / год) как нечто второстепенное. Вместо этого он подчеркивает отдельные исправления, которые доступны через простой, но чистый веб-сайт. Все выполняется через веб-интерфейс, включая оплату, которая начинается с 40 долларов за так называемое простое исправление.

    Отдельные проблемы ремонтируются по 80 долларов каждая, множественные проблемы — по 120 долларов, а ремонт сложных проблем стоит 160 долларов. My Nerds предлагает немедленный возврат средств за любые проблемы, которые он не может решить, например, в случае неисправности оборудования.

    Поддержка OmniTech
    Веб-сайт

    OmniTechs предлагает услуги, ориентированные на домашних пользователей, а также на малый и средний бизнес, хотя провести различие между ними сложно. В тарифных планах перечислены функции, включая поддержку различных цифровых устройств в дополнение к стандартным тарифам: удаление вирусов, очистка ПК, устранение неполадок Wi-Fi и т. Д.

    При годовой подписке от 299,99 долл. США, в зависимости от проблемы и конфигурации системы, вы, вероятно, найдете аналогичные варианты с гораздо меньшими ценами.

    Support.com

    Support.com предоставляет варианты как для подписок, так и для разовых исправлений. Уловка: диагностика и ремонт одного ПК обойдутся вам в 129,99 долларов. И наоборот, вы можете обеспечить круглосуточную поддержку, начиная с 19,99 долларов США в месяц (минимум шесть месяцев при установке 40 долларов США). Support.com также предоставляет одноразовые исправления, если у вас есть проблемы с беспроводной сетью (79,99 долларов США), синхронизацией интеллектуальных устройств (49,99 долларов США) или просто поиском общей настройки ПК (79,99 долларов США).

    Тем, кто предпочитает поддержку по телефону, следует насторожиться; многие пользователи сообщают о длительном ожидании при обращении за помощью.Однако, если вам нужны инструменты онлайн-поддержки, следует рассмотреть возможность использования Support.com.

    Технологии для нас

    Удовлетворенность клиентов — один из основных аргументов в пользу продажи Tech to Us, компании, предлагающей большинство стандартных пунктов меню для удаленной службы поддержки. Его веб-сайт чистый и привлекательный, а цены рассчитаны на простоту: индивидуальный тарифный план составляет 29,99 долларов США в месяц (плюс установка 100 долларов США) или 299,99 долларов США в год. Бизнес-планы варьируются от 49,99 до 499,99 долларов в месяц для 20 устройств.

    В бизнес-планах

    «Технологии для нас» указано время ответа в течение часа и 9:00. до 9 вечера. доступность с понедельника по пятницу. Также предлагаются различные варианты a la carte, включая поддержку серверов, брандмауэры, восстановление данных и многое другое.

    Служба поддержки USTech

    Для тех, кто ищет поддержку и желает более простого подхода, USTechSupport делает его простым: круглосуточная удаленная помощь по всем основным вопросам, включая удаление вирусов, оптимизацию и устранение общих неисправностей.Если вы новичок, вам нужна помощь в решении проблем с программным обеспечением, подключением к Интернету или устройству, а также по другим распространенным проблемам, стоит обратить внимание на USTS.

    Цена на

    для одного ПК начинается с 19,95 долларов в месяц с платой за установку 39 долларов или 12 месяцев покрытия за 179 долларов.

    iYogi
    Позиция

    iYogi в области технической поддержки снизилась в последние годы, отчасти из-за более конкурентоспособных цен, предлагаемых некоторыми известными конкурентами. Это план цифрового дома начинается с 149,99 долларов в год (обновляется с 119 долларов.99) и включает пятилетнюю лицензионную плату в размере 30 долларов США за инструменты оптимизации ПК iYogis Support Deck / Tech Genie.

    Хотя iYogi признан за предоставление компетентной технической поддержки, пользователи отмечают, что и их агенты, и связанное программное обеспечение сосредоточены на продаже дополнительных услуг. Ваше присутствие также необходимо во время выполнения функций поддержки, поэтому имейте в виду, если вы ищете более автономное решение.

    iYogi предлагает услугу голосового управления как часть своих специализированных услуг для предприятий.

    Заключение

    В конечном счете, многие из сегодняшних компаний удаленной технической поддержки предлагают аналогичные пакеты и цены. В то время как разовые исправления могут обеспечить значительную экономию, текущие планы обслуживания часто приносят наибольшую пользу пользователям с регулярными вопросами и незначительными проблемами. Всегда просматривайте мелкий шрифт и задавайте множество вопросов, прежде чем брать на себя долгосрочные обязательства, поскольку вариант поддержки, в который вы инвестируете, вероятно, будет играть значительную роль в надежности вашей технологии.

    Я хочу обновить свой годовалый Dell G5 5090 с его существующий твердотельный накопитель 250 NVMe PCIe M.2 на 1 ТБ. Если бы я получил внешний корпус для нового твердотельного накопителя на замену смогу ли я создать образ (используя Acronis True Image) моего нынешнего SSD и просто поменять их местами? Я думаю, что если это изображение … просто удаление старый SSD (пока система не работает) и установка в новом 1 ТБ . .. мой компьютер запустится без каких-либо настройка? Придется ли мне что-нибудь в моем BIOS? …или же признает ли он теперь большую емкость привод?

    -> Ответ: Я делал это несколько раз, используя Samsung Evo SSD. Их мастер миграции упрощает их замену.

    Geek Squad мне очень понравился. Однако ожидание времена становились все длиннее и длиннее. В настоящее время я просят подождать до 24 часов, прежде чем технический специалист может мне помочь.

    Я согласен, что команда компьютерщиков сейчас ужасна. я ругался ими, а теперь ругался их.У меня было два недавних переживания в ожидании в течение часа, чтобы перезвонить, и соединение закончилось

    В последнее время у меня были очень плохие результаты с Geek Отряд. Раньше они были очень хорошими, но в последнее время год, очень плохо. Не исправил то, о чем я просил, и напортачил в моем MSOffice.

    У вас есть информация о Tech Club. Немного много лет назад мне позвонили из Технического клуба, и они сказали они захватили бизнес iYogi. С тех пор они продолжаю находить много плохого в моем 4-летнем ребенке компьютер и говорит мне, что я должен потратить тысячи долларов, чтобы исправить это.

    -> Ответ: Мы не можем найти никаких официальных сведений о том, что Tech Club захватит бизнес iYogi. Если бы мы рискнули предположить, возможно, они просто купили номер телефона у iYogi. Судя по всему, против iYogi было довольно много исков.

    Служба поддержки OmniTech все еще работает? Я заплатил в аванс на техническую поддержку до 2019 года, и они больше не ответьте на их номер телефона службы поддержки.

    -> Ответ: Я вижу комментарии на их странице в Facebook, где люди говорят то же самое.Жаль это слышать.

    Я ищу хорошую и честную онлайн-техподдержку. Компания. Раньше у меня был iYogi, который с тех пор очевидно, было запрещено вести бизнес в США и в настоящее время имеют Global Technology. Пока большинство техников, с которыми я имел дело, кажутся осведомлены и решают проблему, многие из они заставляют вас покупать что-то лишнее (и ДОРОГОЕ). Есть хороший, надежный сервис в США, такой как iYogi или Global Технология, с помощью которой можно купить защиту и техническая помощь за одну цену, не говоря уже о том, что вы нужно покупать что-то дополнительное каждый раз, когда вы иметь проблему? Я купил базовый пакет у Global Tech, потом мне сказали, что мне нужно купить дополнительно интернет-безопасность, а потом еще позже они сказали мне, что мне нужно купить веб-безопасность или что-то в этом роде.И НИЧТО из этого НЕ ДЕШЕВО.

    И баск, и йоги не работают.

    Бесплатная компьютерная онлайн-справка — Компьютерщики на колесах

    Бесплатный чат с настоящим мастером!

    Если вы задаетесь вопросом «Как я могу починить свой компьютер?» Или вам нужно быстро решить простую ИТ-проблему, попробуйте нашу новую бесплатную услугу !

    Ага, верно! Вы можете общаться в чате с одним из наших технических специалистов абсолютно бесплатно!

    Наша новая служба онлайн-чата может избавить вас от необходимости звонить, мы часто можем решить простые ИТ-проблемы за 0 долларов. 00 (это не опечатка!), Велика вероятность, что мы сможем помочь диагностировать и устранить возникшую у вас проблему, не потратив на это ни цента!

    Вам нечего терять, так почему бы не попробовать!

    С какими проблемами компьютера мы можем помочь?

    Наша полная техническая команда Geek находится в вашем распоряжении, поэтому мы можем помочь вам со всеми видами проблем; мы получаем множество разнообразных запросов каждый день!

    Некоторые из наиболее распространенных ИТ-проблем, которые упоминаются людьми, с которыми мы можем помочь:

    • Мой компьютер продолжает выключаться.
    • У меня проблемы с Интернетом.
    • У меня проблемы с электронной почтой.
    • Microsoft Office не синхронизируется должным образом.
    • Мой принтер не подключается.

    С чего начать?

    Просто нажмите на баннер «Бесплатная онлайн-справка» в правом углу экрана, введите свои данные, и вы сразу же подключитесь к настоящему специалисту.

    Обратите внимание: часы работы: пн — пт с 8:00 до 20:00 и сб с 9:00 до 13:00.

    Что будет, если проблема немного больше?

    Если проблема все же окажется немного сложнее, мы также предлагаем варианты поддержки по телефону и удаленной поддержки, так что вы можете позвонить компьютерному фанату всего за 85 долларов.00. *

    Или, если у вас более одной проблемы или вам нужна постоянная поддержка, станьте членом Geek Club с Geek + или Geek + Premium. Безлимитная поддержка круглый год *.

    Если проблема слишком серьезна, чтобы ее можно было решить по телефону, это тоже не проблема, поскольку мы можем послать компьютерщика напрямую вам.

    Не только это, но если вы уже заплатили за удаленное телефонное обслуживание, эта сумма будет включена в стоимость визита вашего технического специалиста!

    Если у вас есть какие-либо вопросы о вышеуказанных услугах, свяжитесь с командой Geeks on Wheels сегодня или просто зайдите в бесплатный чат ниже или закажите компьютер Geek сегодня!

    * в соответствии с нашей политикой добросовестного использования

    отзывов о ремонте компьютеров в Интернете от Wall Street Journal

    Автор: ALINA DIZIK Устранение икоты домашнего компьютера — это раздражение: тащить его в магазин занимает много времени, а выполнение указаний по телефону может стать неприятным.Но множество онлайн-сервисов по ремонту компьютеров говорят, что они решают компьютерные проблемы, виртуально подключаясь к вашей машине. Технические специалисты используют подключение к Интернету для удаленной проверки вашего компьютера — вам просто нужно отказаться от управления мышью на несколько часов. Сервисы утверждают, что избавляют от надоедливых сообщений об ошибках или вирусов, увеличивают скорость работы компьютера или решают другие проблемы с программным обеспечением. В Интернете много таких предложений, и качество трудно различить.

    Компании не могут решить физические проблемы, такие как треснувший экран или неисправная клавиатура.А поскольку они подключаются виртуально, для службы всегда необходимо надежное подключение к Интернету. Мы выбрали четыре таких службы поддержки компьютеров, чтобы протестировать их на хорошо используемых и привередливых ноутбуках. Хотя некоторые компании с полным спектром услуг также могут предоставлять удаленную помощь, мы сосредоточились на компаниях, которые предоставляют исключительно виртуальную помощь. Для каждого запроса мы указали конкретные проблемы. Конфиденциальность была первоначальной проблемой, но мы могли видеть, как мышь перемещается по нашим файлам, и все действия были прозрачными. Услуги компьютерной поддержки онлайн стоят от 19 долларов.95 и 125 долларов за разовое обслуживание — примерно столько же, сколько стоит взять компьютер в магазин. Некоторые компании предлагали работать до трех часов, в то время как другие говорят, что работают столько, сколько потребуется; наша самая длинная сессия длилась четыре часа.

    После входа в систему AskPCExperts, принадлежащую Cyber ​​Futuristics India Private Ltd., мы поговорили с представителем через службу обмена мгновенными сообщениями, который посоветовал нам, какой план получить. Мы ввели данные своей кредитной карты и через минуту получили телефонный звонок, в котором рассказали, как подключиться к сайту удаленно, загрузив программное обеспечение.Нам нужно было, чтобы компания увеличила скорость нашего пятилетнего ноутбука Toshiba и проверила на вирусы — работа, которая заняла более четырех часов, в течение которых мы могли следить за ходом работы, глядя на экран. Нам позвонили и сообщили о завершении. Он упомянул, что оборудование было старым, и теперь система была оптимизирована, хотя он никогда не объяснял, как использовать установленное антивирусное программное обеспечение. Нас немного раздражала жесткая продажа, которую мы получили, чтобы подписаться на полный год компьютерной помощи за дополнительные 50 долларов.(Представитель компании говорит, что они обычно объясняют, как использовать антивирусное программное обеспечение.) Но скорость нашего компьютера резко возросла, и 50 долларов за четыре часа времени были выгодной сделкой.

    Далее нам нужно было избавиться от некоторых системных сообщений об ошибках и неиспользуемых программ на ноутбуке Dell двухлетней давности. Мы просмотрели сайт ComputerGeeksOnline.net, на котором представлен полный список услуг. После звонка техник предложил полную очистку ПК за 125 долларов, что сделало его самой дорогой из услуг.Подключить наш компьютер было просто, и мы могли видеть, как технический специалист копается в наших файлах. На это ушло два часа. В итоге нам позвонили и подтвердили услуги. Мы также получили антивирусную и антивирусную программу для нашего компьютера. Технология предоставила простой график технического обслуживания, чтобы предотвратить проблемы в будущем.

    Мы использовали BoxAid.com, чтобы починить ноутбук Sony пятилетней давности, который был перегружен программами и, как мы подозревали, вирусами. В отличие от других, мы не получали смету — 60 долларов — до тех пор, пока представитель не проверил наш компьютер, чтобы узнать, есть ли быстрое решение.Через три часа система была очищена вместе с вредоносным ПО, но вирусов не обнаружено. 10-минутный разговор после нашей службы оказался полезным.

    Наконец, мы попросили AskDrTech, принадлежащую LiveRepair Inc., выяснить, почему наш ноутбук Apple начал отключаться при 30% мощности, и удалить неиспользуемые программы. План на каждый инцидент составлял 20 долларов. Нашему специалисту потребовалось менее 10 минут, чтобы обнаружить, что состояние нашей батареи было плохим (мы не осознавали, что могли бы легко обнаружить это сами).Вместо того, чтобы удалить неиспользуемые программы, технический специалист удалил одну программу и отправил нам ссылку, рассказывающую, как это сделать самостоятельно. Некоторые проблемы в обслуживании клиентов: потребовалось несколько минут, чтобы связаться с техническим специалистом через обмен мгновенными сообщениями, и изначально нам было отправлено неправильное программное обеспечение для загрузки на наш Mac, чтобы обеспечить виртуальное соединение. (Представитель компании говорит, что большинство звонков связано с компьютерами.)

    В целом, услуги по ремонту компьютеров через Интернет, в которые мы звонили, были доступны сразу же, хотя мы тестировали их вечером и в выходные.После загрузки программ для совместного использования рабочего стола специалисты сразу же могли удаленно подключаться к нашим компьютерам, что было удобно. Недостатком является то, что службы не имеют возможности устранять проблемы с оборудованием и ограничиваются только тем, что можно сделать удаленно. Другими словами, на этой неделе мы по-прежнему будем брать наш компьютер для замены батареи.

    Самый надежный онлайн-ремонт компьютеров | Компьютерная справка в Интернете

    Ремонт компьютеров в Интернете 

      Фиксированная ставка 69 долларов США.99
Нет исправлений - бесплатно!
   Звоните сейчас  
      1 805 364 5284

    Доступный онлайн-ремонт компьютеров со 100% удовлетворением. Решите проблемы с компьютером за фиксированную плату в размере 69,99 долларов США с 30-дневной гарантией. Звоните 1 805 364-5284

    В настоящее время, имея более 700 пятизвездочных обзоров, моя цель — предоставить лучшие и самые надежные онлайн-услуги по ремонту компьютеров и обучению
    по самой доступной цене.Я работаю с вами столько, сколько необходимо, чтобы вы были довольны на 100%.

    Поскольку я специализируюсь на ремонте компьютеров через Интернет в течение последних 17 лет, а за 25 лет ремонта компьютеров вы знаете, что вы можете рассчитывать на меня, чтобы удовлетворить и превзойти все ваши ожидания, сэкономив при этом ваши деньги. Просто прочтите отзывы.

    Я могу помочь вам с большинством проблем

    Какой бы ни была техническая проблема вашего компьютера, я, наверное, ее видел и все исправил. Ниже приведен лишь небольшой пример того, чем я могу вам помочь, но не ограничиваясь этим:

    • Удаление вируса
    • Медленное исправление ПК
    • Опора для принтера
    • Поддержка по электронной почте
    • Резервное копирование данных
    • Взлом браузера
    • Удалить всплывающие окна
    • Проверка антивируса
    • Установка программного обеспечения
    • Ошибка запуска
    • Оптимизировать загрузку
    • Настройка Wi-Fi
    • Windows Vista
    • Windows 7
    • Windows 8/8.1
    • Windows 10

    Все, что вам нужно сделать, это позвонить по телефону 805 364 5284 или ЗАБРОНИРОВАТЬ ОНЛАЙН , и я позабочусь о том, чтобы предоставить вам эффективный удаленный ремонт компьютеров по самой выгодной цене. За то время, которое вам понадобится, чтобы отнести свой компьютер в магазин, я уже диагностирую проблему и буду работать над тем, чтобы исправить это и сделать как новый. Онлайн-ремонт компьютеров — лучший выбор.

    Благодаря современным технологиям все работает на скорости и точности и в ThatTechJeff.com, я постоянно стремлюсь повторить это с помощью моей онлайн-службы по ремонту компьютеров. Я хорошо обучен и прихожу к вам с 27-летним опытом. Я стремлюсь предоставлять только самые качественные доступные онлайн-услуги по ремонту компьютеров. Мой онлайн-ремонт компьютеров — лучшее, что вы можете найти. Хотя я очень горжусь своим 98% успехом, мой 100% рейтинг обслуживания клиентов невозможно найти где-либо еще.

    Мой удаленный ремонт компьютеров доступен 7 дней в неделю. Встречи в нерабочее время из-за работы также могут быть организованы без дополнительной оплаты.Если у вас есть вопросы о проблемах, с которыми сталкивается ваш компьютер, или вы ищете онлайн-услуги по удаленному ремонту ПК или обучение, мои услуги идеально подходят для вас. Свяжитесь со мной сегодня, и приступим!

    Услуги по ремонту моего компьютера включают

    • Удаление шпионского / вредоносного ПО / вирусов.
    • Ускорьте медленный компьютер
    • Настройка и поддержка Wi-Fi принтера
    • Справка и поддержка по электронной почте
    • Глубокая очистка ПК
    • Зачисление ремонта
    • Удаление старых точек восстановления
    • Оптимизация запуска для ускорения процесса загрузки
    • Дефрагментация жесткого диска для оптимальной производительности.
    • Оптимизировать браузер, удалив нежелательные расширения
    • Проверить наличие запланированных задач, которые могут замедлять работу ПК
    • Удаление ненужных программ для повышения производительности

    Техническая помощь — Ресурсы для студентов — Успех студентов | Экампус штата Орегон

    Для получения технической помощи студенты онлайн могут использовать веб-сайт информационных служб, который предоставляет им техническую информацию о различных учетных записях в OSU, включая ONID.Он также предоставляет им справочную информацию по телефону, чтобы ответить на большинство их технических проблем.

    Онлайн-обучение может включать в себя собственный набор задач, связанных с компьютерным оборудованием и программным обеспечением, подключением к Интернету, входом на веб-сайт вашего курса, совместимостью файлов и т. Д. Ниже вы найдете дополнительную техническую помощь и ресурсы: холст, проверка вашего компьютера, компьютерные службы поддержки и образовательные расценки на программное / аппаратное обеспечение.

    Техническая поддержка Canvas

    Для круглосуточной поддержки курсов, предлагаемых в Canvas, щелкните ссылку «Справка» в нижнем левом углу любого сайта курсов Canvas.Или позвоните на горячую линию поддержки Canvas по телефону 844-329-3084 . Вы также можете найти полезные ответы в Canvas Student Guide.

    Проверьте свой компьютер

    Check Your Computer показывает, соответствует ли операционная система и программное обеспечение компьютера, который вы используете в настоящее время, требованиям. Затем он поможет вам подготовить этот компьютер к онлайн-курсам.

    Компьютерные службы поддержки

    OSU IS Helpdesks предоставляет как по телефону, так и по электронной почте «практическую» помощь по различным операционным системам и программным продуктам, включая интернет-инструменты, программные приложения и удаление вирусов / шпионского ПО.Чтобы связаться с нами и получить помощь, посетите веб-сайт службы поддержки IS.

    Microsoft Office 365 бесплатно

    Все зачисленные студенты штата Орегон имеют доступ к последней полной версии Office 365 профессиональный плюс бесплатно через программу Microsoft Student Advantage Program. Узнать больше »

    Образовательные расценки на аппаратное и программное обеспечение

    Образовательные цены доступны студентам OSU для приобретения нового оборудования и программного обеспечения со скидкой. Многие из этих продуктов могут оказаться полезными для завершения вашего онлайн-образования.

    Централизованное распространение программного обеспечения и рекомендованное программное обеспечение

    OSU предоставляет несколько ссылок на полезные загрузки:


    10 бесплатных сайтов справки по компьютерным технологиям, которые вы могли пропустить

    Мы в MakeUseOf всегда стараемся ответить на призыв о помощи, когда он появляется в комментариях. Конечно, у нас нет ответов на все вопросы. Никто не делает. В лучшем случае вы можете попросить о бесплатной помощи и надеяться, что это отзовется эхом во всемирной паутине, и кто-нибудь с навыками устранения неполадок ответит.

    Обычно мы обращаемся к поисковой системе и вводим ошибку или проблему. Результаты поиска попадают на многие сайты поддержки компьютеров, форумы по устранению неполадок и сайты вопросов и ответов, которые ищут аналогичную проблему.

    Вместо того, чтобы забыть веб-сайт, который помог нам выбраться из колеи, стоит добавить его в закладки, поскольку ошибки всегда не за горами.

    Некоторые из вас, должно быть, добавили в закладки несколько из нашего предыдущего поста о советах по устранению неполадок с компьютером.Тем временем прокрутите еще десять бесплатных компьютерных технических специалистов, которые готовы помочь вам в борьбе со стихийными бедствиями.

    Когда я прокрутил страницу вниз и посмотрел на количество активных пользователей, цифра в 5000+ предполагала оживленный форум. Обсуждения ведутся вокруг Windows 7. Форум по Windows 7 — это неофициальная площадка для обсуждения проблем, которые могут возникнуть с последней ОС Microsoft. От проблем совместимости драйверов до сбоев и отладки, если вы используете новую ОС, это обязательная закладка для справки и поддержки Windows 7.

    Я не мог придумать более красивого названия для веб-сайта устранения неполадок Windows. На сайте особо не на что смотреть. Раздел статей ограничен, но это дискуссионный форум, на который вы должны пойти, если ищете решения для каких-либо ошибок.

    Доски обсуждений сгруппированы по версиям ОС Windows. Используйте инструмент поиска, чтобы найти конкретную проблему и решение.

    Server Fault — это бесплатный сайт вопросов и ответов для системных администраторов и ИТ-специалистов. Сайт очень чистый и аккуратно организованный. На сайте говорится, что он стремится представить себя таким образом, чтобы объединить лучшее из вики-сайтов, блогов, форумов и Digg / Reddit. Вопрос и ответы редактируются участниками совместно.

    Чтобы немного поднять эго, вы можете зарабатывать очки, задавая и решая вопросы, которые получают золотые, серебряные и бронзовые значки.

    На дискуссионном форуме, насчитывающем 390 000 зарегистрированных участников, есть множество людей, которые могут обсудить компьютерные проблемы. Два миллиона сообщений в самых разных темах охватывают темы от ранней Windows 95 до последней версии iPad. На этом активном форуме обсуждают все аспекты, от программного обеспечения до внешнего оборудования.

    Ссылки с вкладками вверху ведут к различным разделам веб-сайта, таким как небольшой учебный раздел и глоссарий.

    Форум поддержки Cyber ​​Tech Help является частью этого онлайн-сообщества компьютерной помощи. Вы можете подключиться к сообществу пользователей, чтобы найти решения для своего программного, аппаратного или сетевого оборудования. Также публикуются проблемы Macintosh и Linux.

    Лео — парень, который ведет этот простой веб-сайт вопросов и ответов для решения технических проблем. И он не берет ни цента за бесплатную техническую поддержку компьютера.Этому сайту около семи лет, так что вы можете погрузиться в 2296 статей технической поддержки или просто воспользоваться окном поиска. Стиль ответов — разговорный, как подшучивание, и на «простом английском».

    Protonic — это более практическое решение, чем сообщения на форуме. Вы можете использовать свою бесплатную учетную запись пользователя Protonic, чтобы задать вопрос, на который ответит технический специалист-волонтер. Время, необходимое для ответа, зависит от ряда факторов, например, сложности проблемы или вопроса.

    Вы должны ввести данные системы в свою учетную запись при регистрации. Загляните в FAQ веб-службы для получения более подробной информации. Веб-сайт по устранению неполадок в Интернете охватывает проблемы, связанные с Windows, Mac и Linux, а также с любыми портативными ОС.

    Я действительно не мог опробовать сайт полностью, но в строке тега написано, что на сегодняшний день они ответили 185039.

    TechIMO

    Задайте вопрос техподдержки бесплатно и получите ответы от большого сообщества.Сайт представляет собой хорошо продуманную доску обсуждений, охватывающую все аспекты вычислений, включая подфорум по сертификации и образованию.

    Поддержка Windows и Apple в значительной степени организована. Количество бесплатных справочных форумов по Linux не уменьшается. Linuxquestions.org — это обширное хранилище вопросов и обсуждений по Linux. С того момента, как вы начинаете работать с Linux Enterprise как новичок, охват много.

    Вы также можете найти несколько подфорумов по BSD, Solaris, IBM AIX и нескольким платформам UNIX.

    Microsoft TechNet — это веб-сайт поддержки технической информации, новостей и событий для ИТ-специалистов и опытных пользователей. Часть веб-сайта основана на подписке, но большая часть бесплатных ресурсов поддержки открыта для общественности. Это включает в себя яркий дискуссионный форум, блог с открытым исходным кодом, техническую документацию в библиотеке TechNet и Wiki, которая начинает набирать обороты.Раздел Learn содержит аккуратно упорядоченную информацию (и видео) о том, каким путем вы должны следовать для изучения технологий Microsoft.

    Интернет-сообщество всегда готово помочь. С досками обсуждений и службами вопросов и ответов поддержка по устранению неполадок может быть не в режиме реального времени или практической, но она бесплатна и поучительна. Рассказывает нам о вашем любимом сайте бесплатной компьютерной помощи, который спас вас от секущихся волос.

    Кредит изображения: bennylin0724

    Что такое 8D Audio?

    Музыка, охватывающая восемь измерений, звучит дико.Это перенесет вас на новый астральный план или это просто обман?

    Читать далее

    Об авторе Сайкат Басу (Опубликовано 1545 статей)

    Сайкат Басу — заместитель редактора по Интернету, Windows и производительности.После того, как он избавился от грязи MBA и десятилетней маркетинговой карьеры, он теперь увлечен тем, что помогает другим улучшить их навыки рассказывания историй. Он следит за пропавшей оксфордской запятой и ненавидит плохие скриншоты. Но идеи фотографии, фотошопа и производительности успокаивают его душу.

    Более От Сайката Басу
    Подпишитесь на нашу рассылку новостей

    Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать технические советы, обзоры, бесплатные электронные книги и эксклюзивные предложения!

    Еще один шаг…!

    Пожалуйста, подтвердите свой адрес электронной почты в письме, которое мы вам только что отправили.

    Разверните, чтобы прочитать всю историю

    Сертификат специалиста по компьютерной поддержке

    | Подготовка к карьере в сфере ИТ

    Начните карьеру в качестве специалиста по поддержке ИТ

    Повысьте свою конкурентоспособность на рынке, получив признанный на национальном уровне ИТ-сертификат в востребованной области карьеры в области информационных технологий.

    Эта программа разработана, чтобы помочь вам получить признанные в отрасли ИТ-навыки, которые, согласно исследованию CompTIA, по мнению 91% работодателей, играют ключевую роль в процессе приема на работу.

    Программа SCI для специалистов по компьютерной поддержке помогает выделить вас на непростом рынке труда, расширить возможности для карьерного роста и поможет вам встать на прибыльный карьерный путь с возможностью наращивания квалификации.

    Разработанная для повышения квалификации профессионалов компьютерного обслуживания начального уровня в установке, обслуживании, настройке и эксплуатации персональных компьютеров, эта программа гарантирует, что вы являетесь ИТ-специалистом со знаниями и навыками в следующих областях:

      • Реализация функциональных сетей
      • Настройка, управление и обслуживание основных сетевых устройств
      • И использование таких устройств, как коммутаторы и маршрутизаторы, для сегментирования сетевого трафика и создания устойчивых сетей

    Система управления онлайн-обучением SCI использует работающих в отрасли инструкторов, гибкую загрузку курсов, мобильные устройства. дружеские курсовые работы, практические занятия и информативные видеоролики.

    Получите всемирно признанные ИТ-сертификаты

    Партнерские отношения с CompTIA и Woz Изучение сертификатов демонстрирует всесторонние знания навыков в области информационных технологий и может немедленно обеспечить доверие к ИТ-специалистам.

    Выделите себя благодаря множеству отраслевых сертификатов, которые демонстрируют ваши навыки, профессионализм и страсть к ИТ.

    Онлайн-программа SCI для специалистов по компьютерной поддержке помогает подготовить студентов к сдаче сертификационных экзаменов, таких как:

    Гордый партнер CompTIA

    Сдайте сертификационный экзамен CompTIA A + — бесплатно!

    * Как партнер CompTIA, наша цель — гарантировать, что у вас будет возможность получить сертификаты, чтобы опередить вас при приеме на работу.При сдаче экзамена в течение трех месяцев после завершения программы SCI будет платить выпускникам за сдачу сертификационного экзамена CompTIA A +.

    Присоединяйтесь к востребованной области информационных технологий

    По мере того, как компании продолжают предлагать свои ИТ-поддержку и функции электронной коммерции внутри компании, специалисты по компьютерной поддержке становятся необходимыми сотрудниками во всех отраслях. По данным сайта charteronestop.org, начальная зарплата специалистов по ИТ-поддержке в 2019 году начиналась с 29 840 долларов *.Получение профессионального опыта и получение соответствующих отраслевых сертификатов может повысить вашу карьеру и увеличить годовую зарплату.

    * ИСТОЧНИК: CareerOneStop.org, Salary Finder, Специалисты по поддержке пользователей компьютеров, Техас (13.10.20)

    Сертифицированные специалисты по компьютерной поддержке могут найти различные должности, например:

    • Программное обеспечение Инструктор
    • Координатор службы поддержки
    • Специалист службы поддержки
    • Специалист по ПК
    • Специалист по поддержке настольных компьютеров
    • Установщик программного обеспечения
    • Специалист по компьютерным приложениям
    • Специалист по компьютерной поддержке
    • Сетевые администраторы
    • Сетевые аналитики для студентов
    9 нашей команде карьерных услуг.Эта команда помогает подготовить ваше резюме, работая с вами над навыками прохождения собеседования и налаживанием контактов с местными работодателями, чтобы лучше всего подготовить вас к новой карьере в сфере ИТ и поддержке клиентов.

    SCI Студенты продолжили работать в таких компаниях, как:

    Развитие навыков, необходимых для того, чтобы стать сертифицированным специалистом по компьютерной поддержке

    С помощью нашей системы управления онлайн-обучением вы научитесь оказывать поддержку конечным пользователям и устранять неполадки компьютерного программного обеспечения и проблемы с оборудованием, обучение у знающих инструкторов.Программа включает обучение компьютерным концепциям, информационным системам, сетям, операционным системам, компьютерному оборудованию, Интернету, программным приложениям, концепциям службы поддержки и решению проблем, а также принципам обслуживания клиентов.

    CIS108 Computing

    Этот курс содержит инструкции по использованию компьютеров и Интернета в деловой среде. Студенты познакомятся с терминологией, физическими компонентами компьютерной системы, приложениями и системным программным обеспечением, обменом информацией, безопасностью и коммуникацией.Особое внимание будет уделено использованию компьютеров в качестве бизнес-инструмента.
    ** Можно сдать сертификационный экзамен TestOut по основам ИТ

    Операционные системы CIS112

    В этом курсе будут представлены инструкции по компьютерным операционным системам. Включены инструкции относительно основных команд или действий, связанных с управлением файлами, организацией каталогов, настройкой системы, установкой программного обеспечения и безопасностью данных.
    ** Можно сдать сертификационный экзамен TestOut PC Pro или CompTIA A +

    CIS113 Компьютерное оборудование

    Этот курс предоставит инструкции по компьютерному оборудованию как компоненту компьютерной системы.Этот курс будет включать инструкции по компонентам ПК, функциональности, обслуживанию оборудования микрокомпьютера, вспомогательной периферии и конструкции компьютера.
    ** Можно сдать сертификационный экзамен TestOut PC Pro или CompTIA A +

    CIS121 Networking

    Курс предоставит инструкции по техническим навыкам, необходимым для сетевого администрирования и поддержки. 73 Этот курс будет включать информацию о носителях, топологиях, протоколах и стандартах, поддержке сети, а также знаниях и навыках, необходимых для сертификации сети.
    ** Можно сдать сертификационный экзамен TestOut Network + или CompTIA Net +

    CIS131 Productivity Tools

    Этот курс познакомит студентов с базовым уровнем компьютерного обучения через командную строку (PowerShell). Студенты будут использовать прикладное программное обеспечение для выполнения задач, включая, помимо прочего, ввод команд, составление документов, запись данных и общение с другими. Этот курс будет использовать как аудиторные, так и внеклассные учебные мероприятия для достижения целей курса.

    CIS141 Безопасность

    Этот курс содержит инструкции по сетевой безопасности. Темы включают концепции безопасности, идентификацию рисков, обнаружение вторжений, внедрение и обслуживание защищенной сети, основы криптографии, методы и стандарты, политики безопасности, процедуры и управление.
    ** Можно сдать сертификационный экзамен TestOut Network Security или CompTIA Security +

    CIS161 Help Desk

    Этот курс предоставит информацию и навыки для поддержки клиентов конечных пользователей в локальной и удаленной службе поддержки.Курс будет охватывать вопросы коммуникации, решения проблем, устранения неполадок и обслуживания клиентов в том, что касается ИТ-поддержки.

    CIS190 Certification Preparation

    Этот курс познакомит студентов с требованиями к сертификации в области ИТ. Особое внимание будет уделено важности, поддержке, обучению и непрерывному образованию.

    CSV103 Служба поддержки клиентов

    Роль службы поддержки клиентов изучается с упором на навыки, необходимые для эффективной работы с отдельными лицами или группами. Навыки решения проблем и критического мышления будут включены в изучение различных аспектов взаимодействия с внутренними и внешними клиентами.

    JOB103 Готовность к карьере

    Этот курс знакомит с навыками, необходимыми для успеха в карьере. У студентов будет возможность узнать о постановке личных и профессиональных целей, методах поиска работы и разработке портфолио. Заключительное резюме, сопроводительное письмо и пробные интервью — ключевые аспекты этого курса. Студенты также могут узнать о различных карьерных направлениях.

    KEY101 Клавиатура I

    В этом курсе основное внимание будет уделено введению в клавиатуру и правильному слепому вводу. Студенты будут использовать программное обеспечение для обработки текстов, чтобы использовать навыки клавиатуры при создании деловых и профессиональных документов.

    Инвестируйте в свое будущее в качестве специалиста по компьютерной поддержке

    Оплата сертификата CSS:

    • Денежные выплаты
    • Федеральный грант Пелла
    • Федеральная программа прямых займов Уильяма Д. Форда
    • Федеральный грант на дополнительное образование (FSEOG) ) и школьная стипендия
    • Счет за GI или другие программы военной помощи
    • Доступные планы выплат с процентной ставкой 0%, доступные для тех, кто соответствует требованиям
      • Ориентировочная средняя сумма выплат из кармана может начинаться с 68 долларов.80 в месяц

    Аккредитация

    Координационный совет по высшему образованию Техаса

    Южный институт карьеры уполномочен присуждать ассоциированные степени, предоставлять кредиты для получения ученых степеней и использовать определенные защищенные академические термины в кампусе в Остине, штат Техас, штат Техас Координационный совет высшего образования.


    Контактная информация:
    1200 East Anderson Lane
    Austin, TX
    (512)427-6200

    Совет по профессиональному образованию

    Комиссия Совета по профессиональному образованию (COE)
    была аккредитующим органом Южного института карьеры за
    за 25 лет.


    Контактная информация:
    7840 Roswell Road, Building 300, Suite # 325
    Atlanta, GA 30350
    Телефон (770) 396-3898
    Бесплатный номер (800) 917-2081

    Texas Workforce Commission (TWC)

    Контактная информация:
    101 East 15th Street, Rm.

    Задачи со степенями 7 класс: Задачи со степенями

    alexxlab / / Разное

      Поиск Поиск
    • Школьный помощник
      • математика 5 класс
      • математика 6 класс
      • алгебра 7 класс
      • алгебра 8 класс
      • геометрия 7 класс
      • русский язык 5 класс
      • русский язык 6 класс
      • русский язык 7 класс
    • математика
    • алгебра
    • геометрия
    • русский язык

    «»

    следующая предыдущая вернуться на предыдущую страницу

    Такой страницы нет !!!

    • Популярные запросы
      • Обстоятельство
      • Дополнение
      • Определение
      • Деление дробей
      • Математика 6 класс
      • Алгебра 8 класс
      • Русский язык 6 класс
      • Русский язык 5 класс
      • Русский язык 7 класс
      • Математика 5 класс
      • Алгебра 7 класс
      • Наименьшее общее кратное
      • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
      • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
      • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
      • Окружность и круг
      • Доли. Обыкновенные дроби
      • Квадратный корень из неотрицательного числа
      • Деление и дроби
      • Антонимы. Синонимы
      • Десятичная запись дробных чисел
      • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

    Задания для текущего контроля знаний, алгебра 7 класс

    Задания для текущего контроля знаний , алгебра 7 класс

    Предлагаю задания для организации контроля знаний учащихся, которые содержат вопросы по теории (В), задания для устного решения (У), задания для письменного решения (П) и дополнительные задания (Д).Предлагаемые задания можно использовать при актуализации знаний, организации работы в парах или в группах, при подготовке к контрольной работе.

    Тема «Числовые выражения и выражения с переменными»

    Приведите примеры числовых выражений и выражений с переменными.

    Какие знаки используют для сравнения значений выражений?

    Привесимте пример двойного неравенства и прочитайте его

    Приведите примеры строгих и нестрогих неравенств

    Какие свойства действий над числами вы знаете?

    Приведите пример тождества

    Какие статистические характеристики вы знаете? Как их находят? Приведите пример их практического применения.

    1.Вычислите:

    а) 1,6+3,4 б) 5-6,5

    в) -4,2+6,2 г) (-0,3)2

    д) е)

    ж) з)

    2.Используя термины сумма, разность, произведение, частное, прочитайте выражения:

    а)my б) n-m

    в) a+b г) 4: n-3

    д) 3x+9 е) (a+y)c

    ж) (2-a)(2+a) з)ac+cd

    3.Найдите среднее арифметическое, моду и медиану выборки:

    -4; -2; 2; 2; 4; 6

    П (задания для письменного решения)

    Д (дополнительные задания).

    1.Найдите значение выражения:

    а) 0,5x+1,8 при x=-4

    б) a2 -8a+16 при a=-0,5

    в) xy – yz при

    2.Запишите в виде неравенства:

    а) х меньше или равно 12

    б) с неотрицательное число

    3.Запишите в виде двойного неравенства:

    а) а больше -5 и меньше или равно 7

    б) с неположительное число, больше -5

    4.Упростите выражение:

    а)

    б)

    в)

    5.Найдите среднее арифметическое, размах, медиану и моду выборки:

    а) 18; 24; 18; 15; 19;

    б) 10; 9; 15; 17; 12; 13; 11

    1.Упростите выражение:

    2.Вычислите наиболее рациональным способом:

    Тема «Степень с натуральным показателем»

    Сформулируйте определение степени с натуральным показателем. Приведите примеры степени с натуральным показателем, назовите в каждом из них основание и показатель степени.

    Сформулируйте основное свойство степени.

    Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите примеры.

    Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите примеры.

    1.Какие из выражений являются степенями:

    а) 52 б) 5∙3

    в) 52+32 г) (-3)2

    д)е)

    2.Прочитайте степень, назовите основание и показатель степени:

    а)m2 б) 310

    в) (a+b)3 г) -40

    д) (4,5)2 е) 121

    ж) -96 з) 012

    3.Прочитайте выражения, используя слова сумма, разность, произведение, квадрат, куб:

    П (задания для письменного решения)

    Д (дополнительные задания).

    1.Вычислите:

    а) 32 б) 23 в) (-2)4+32 г) (-5)4+(-1)7

    д) (-0,4)3 + (-0,2)3 е) (73:200-0,42): (-0,5)3

    2.Найдите значение выражения:

    а) 14х3 при х= 0; 2; -0,5

    б) х3-х2 при х=0,1

    в) (х+а)5 при х=-0,8 а=-0,6

    3.Представьте в виде степени выражение:

    а)

    б)

    в)(x5)3

    г) (-3a)2∙(3a)3

    4.Вычислите:

    а)

    б)

    1.Представьте в виде степени:

    2.Докажите, что значение выражения 39100 делится нацело на 10

    Базовые свойства степеней с натуральным показателем. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

    1. Умножение степеней

    Сложность: лёгкое

    		1
    2. Степень в степени

    Сложность: лёгкое

    		1
    3. Возведение степени в степень (буквы)

    Сложность: лёгкое

    		2
    4. Степень в степени (основание)

    Сложность: лёгкое

    		2
    5. Степень в степени (показатель степени)

    Сложность: лёгкое

    		2
    6. Произведение трёх степеней

    Сложность: лёгкое

    		2
    7. Произведение степеней (основание — бином)

    Сложность: лёгкое

    		1
    8. Частное трёх степеней

    Сложность: лёгкое

    		2
    9. Произведение степеней с одинаковыми основаниями (буквы)

    Сложность: лёгкое

    		3
    10. Произведение двух степеней (числа)

    Сложность: лёгкое

    		2
    11. Частное двух степеней (отрицательное основание)

    Сложность: лёгкое

    		2
    12. Возведение степени в степень (числа)

    Сложность: лёгкое

    		2
    13. Частное двух степеней (дробь)

    Сложность: лёгкое

    		3
    14. Частное двух степеней (отрицательные смешанные числа)

    Сложность: лёгкое

    		1
    15. Произведение степеней с одним основанием (числа)

    Сложность: среднее

    		3
    16. Произведение отрицательных и противоположных степеней

    Сложность: среднее

    		5
    17. Уравнение (частное степеней, целые числа)

    Сложность: среднее

    		3
    18. Дробь (буквы)

    Сложность: среднее

    		2
    19. Произведение степени и степени в степени

    Сложность: среднее

    		2
    20. Деление и умножение степеней

    Сложность: среднее

    		3
    21. Произведение двух дробей

    Сложность: среднее

    		2
    22. Произведение степеней в степени

    Сложность: среднее

    		3
    23. Частное степени в степени и степени

    Сложность: среднее

    		2
    24. Умножение и деление степеней

    Сложность: среднее

    		1
    25. Вычисление выражения со степенями

    Сложность: среднее

    		1

    7.1. Степень с натуральным показателем.

    Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 539 Опубликовано

    I. Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается аn.

    Примеры. Записать произведение в виде степени.

    1) mmmm;          2) aaabb;         3) 5·5·5·5·ccc;        4) ppkk+pppk-ppkkk.

    Решение.

    1) mmmm=m4, так как, по определению степени, произведение четырех сомножителей, каждый из которых равен m, будет четвертой степенью числа m.

      2) aaabb=a3b2;    3) 5·5·5·5·ccc=54c3;     4) ppkk+pppk-ppkkk=p2k2+p3k-p2k3.

    II. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, аn – степень, а – основание степени, n – показатель степени. Например:

     23 — это степень. Число 2 — основание степени, показатель степени равен 3. Значение степени 23равно 8, так как 23=2·2·2=8.

    Примеры. Написать следующие выражения без показателя степени.

    5) 43;       6) a3b2c3;       7) a3-b3;       8 ) 2a4+3b2.

    Решение.

    5) 43=4·4·4;       6) a3b2c3=aaabbccc;       7) a3-b3=aaa-bbb;       8) 2a4+3b2=2aaaa+3bb.

     III. а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Например, 250=1. 
     IV. а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе. 

     V. am∙an=am+n   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

    Примеры. Упростить:

    9) a·a3·a7;             10) b0+b2·b3;             11) c2·c0·c·c4.

    Решение.

    9) a·a3·a7=a1+3+7=a11;           10) b0+b2·b3=1+b2+3=1+b5;             

    11) c2·c0·c·c4=1·c2·c·c4=c2+1+4=c7.

    VI.  am:an=am— n  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    Примеры. Упростить:

    12) a8:a3;       13) m11:m4;         14) 56:54.

    12) a8:a3=a8-3=a5;       13) m11:m4=m11-4=m7;         14) 56:54=52=5·5=25.

    VII. (am)n=amn   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

    Примеры. Упростить:

    15) (a3)4;         16) (c5)2.

    15) (a3)4=a3·4=a12;         16) (c5)2=c5·2=c10.

    Обратите внимание, что, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то:

    15) (a3)4=(a4)3;         16) (c5)2=(c2)5.

     VIII. (a∙b)n=an∙bn   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

    Примеры. Упростить:

    17) (2a2)5;      18) 0,26·56;        19) 0,252·402.

    Решение.

    17) (2a2)5=25·a2·5=32a10;      18) 0,26·56=(0,2·5)6=16=1;

    19) 0,252·402=(0,25·40)2=102=100.


               IX. При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

    Примеры. Упростить:

    Решение.

     

    Урок 2. степень числа — Алгебра — 7 класс

    Алгебра

    7 класс

    Урок № 2

    Степень числа

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

    Понятие степени числа.

    Свойства степеней.

    Тезаурус

    Степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

    Свойства степеней:

    Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований.

    Произведение степеней с одним и тем же основанием – это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

    Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней.

    Основная литература:

    1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

    Дополнительная литература:

    1. Макарычев Ю. Н. Алгебра: 7 класс. // Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. – М.: Просвещение, 2019. – 256 с.

    2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

    3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения.

    Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

    Произведение шести множителей, каждый из которых равен 8, называют шестой степенью числа 8 и обозначают 86, т.е.

    8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = 86.

    При этом число 8 называют основанием степени, а число 6 – показателем степени.

    А теперь давайте сформулируем общее определение степени числа, опираясь на предыдущий пример:

    степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.

    Запись an читается как: а в степени n, или n-ая степень числа a.

    А вот следующие записи можно произносить по-разному:

    a2– её можно произносить «а в квадрате» или «а во второй степени»;

    a3 – её можно произносить «а в кубе» или «а в третьей степени».

    Стоит отметить, что особые случаи возникают, если показатель степени равен нулю или единице:

    степенью числа а с показателем n = 1 является само это число:

    a1 = a;

    любое число в нулевой степени равно единице:

    a0 = 1;

    ноль в любой натуральной степени равен нулю:

    0n = 0;

    единица в любой степени равна 1:

    1n = 1.

    Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают неопределенным.

    Примеры. Возведём в степени:

    (−91)0 = 1

    0144 = 0

    1236 = 1.

    При решении задач, нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

    Рассмотрим несколько примеров.

    Возведём в степень

    25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32

    2,53 = 2,5 ∙ 2,5 ∙ 2,5 = 15,625

    Основание степени может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулём.
    При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

    При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

    При возведении в степень отрицательного числа, в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того, чётным или нечётным числом был показатель степени.

    Например, (-2)5. Ответ будет отрицательным, так как показатель степени, 5- нечётное число. (-2)5 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = -32.

    (-5)4. А вот в этом примере ответ будет положительным, так как показатель степени, 4 – чётное число.

    (-5)4 = (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) ∙ (-5) = 625.

    Рассмотрим такой пример: 42 ∙ 52 = 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 = (4 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 5) = (4 ∙ 5)2 = 202 = 400.

    Данный пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

    Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований:

    an∙ bn = (a ∙ b)n

    Приведём еще такой пример: 52 ∙ 55 = (5 ∙ 5) ∙ (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5) = 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 57.

    Этот пример подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

    Произведение степеней с одним и тем же основанием это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней, т.е.

    an ∙ am = an+m

    Наконец, рассмотрим равенство:

    (72)3 = (7 ∙ 7)3 = (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) ∙ (7 ∙ 7) = 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 = 76.

    Это равенство подтверждает справедливость следующего свойства степеней:

    Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е.

    (an)m = an∙m

    Разбор решения заданий тренировочного модуля

    №1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

    Заполните таблицу:

    Число

    Основание

    Показатель степени

    1.

    255

    2.

    1113

    3.

    1356

    Для заполнения пропусков вспомним, что такое основание и показатель степени.

    Число

    Основание

    Показатель степени

    1.

    255

    25

    5

    2.

    1113

    11

    13

    3.

    1356

    135

    6

    №2. Тип задания: Чему равно произведение 54 ∙ 511 ∙ 42 ∙ 413?

    Варианты ответов:

    (4 ∙ 5)15

    413 ∙ 514

    (4 ∙ 5)30

    415 ∙ 530

    Для решения задания, воспользуемся свойствами степеней: an∙am= an+m и an∙bn= (a ∙ b)n

    54 ∙ 511 ∙ 42 ∙ 413 = 515 ∙ 415 = (4 ∙ 5)15.

    Верный ответ: (4 ∙ 5)15.

    выражение со степенями

    Вы искали выражение со степенями? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и выражения со степенями, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «выражение со степенями».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как выражение со степенями,выражения со степенями,выражения со степенями примеры решения,вычисление со степенями,как найти значение выражения со степенями,как решать выражения со степенями,как решать с степенями примеры,как решать со степенью примеры,как решать со степенями,как решать со степенями примеры,как решать степенные выражения,как решать степень,как решить выражение со степенями,как решить пример со степенями,как упростить выражение со степенями,найдите значение выражения со степенями,найти значение выражения с дробями и степенями,найти значение выражения со степенями,найти значения выражения со степенями,пример решить со степенями,примеров со степенью решение,примеры с степенями как решать,примеры со степенями 7 класс с решениями,примеры со степенями 9 класс с решениями,примеры со степенями как решать,решение выражений со степенями,решение дробей с степенями,решение дробей со степенями,решение примеров с дробными степенями,решение примеров с степенями,решение примеров со степенью,решение примеров со степенями,решение примеров со степенями 7 класс,решение с степенями примеров,решение со степенями,решение степеней,решить пример со степенями,сложение дробей со степенями,сократить выражение со степенями,степенные выражения как решать,степень как решать,упростите выражение 7 класс алгебра примеры со степенями,упростите выражение 7 класс алгебра со степенями примеры,упростите выражение с дробями и степенями,упростите выражение со степенями,упростить выражение со степенями,упрощение выражений со степенями,упрощение дробей со степенями. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и выражение со степенями. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, выражения со степенями примеры решения).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же выражение со степенями Онлайн?

    Решить задачу выражение со степенями вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Урок-повторение «Степень с натуральным показателем».7 класс Математика

    Тема: Урок-повторение «Степень с натуральным показателем».

    Предмет: алгебра.

    Класс: 7

    Учитель: Файзуллина Венера Тимергалиевна

    Тип урока: урок повторения и обобщения изученного материала.

    Форма организации работы в классе: индивидуальная, парная, групповая, фронтальная.

    Слайд №2

    Цели урока:

    1. Повторение и обобщение изучённого материала по данной теме;

    2. Проверка знаний, умений и навыков учащихся по усвоению свойств степени с одинаковыми основаниями;

    3. Развитие интереса учащихся к математике и расширение кругозора;

    4. Пропаганда здорового образа жизни на уроках математики.

    Задачи:

    образовательная:

    углубление и систематизация теоретических знаний, отработка умений и навыков при решении упражнений;

    развивающая:

    развитие самостоятельности, потребности к самообразованию, к активной творческой деятельности, расширение кругозора;

    воспитательная:

    воспитание уверенности в себе, формирование познавательного интереса и ценностей здорового образа жизни, а также потребности в нём.

    План урока:

    1. Организационный момент «Настроимся на урок!» — 2 мин.

    2. Устная работа – 3 мин.

    3. Фронтальный опрос – 5 мин.

    4. Повторение свойств степени – 5 мин.

    5. Тестирование – 10 мин.

    6. Минутка здоровья – 2 мин.

    7. Отработка вычислительных навыков– 5 мин.

    8. Самостоятельная работа «Это интересно!»– 10 мин.

    9. Итог урока – 2 мин.

    10. Домашнее задание – 1 мин.

    Оборудование: Компьютер, мультимедийный проектор, учебник.

    Ход урока.

    1. Организационный момент «Настроимся на урок!».

    Ученикам сообщается тема, цели и план урока.

    Учитель: Ребята, математику не зря называют «царицей всех наук», ей больше, чем какой – либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики – развитие любознательности. Постараемся доказать это сегодня на уроке. Вы уже умеете применять свойства степени с одинаковым основанием при решении задач. Знания не только надо иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете сейчас на уроке, а я вам в этом помогу.

    На сегодняшнем уроке мы не только порешаем задачи на применение правил действий со степенями, но и немного поговорим о здоровье – одной из главных ценностей человеческой жизни, источнике радости. Ещё древнегреческий философ Сократ сказал, а вот что он сказал, мы с вами сейчас узнаем, но для этого нам нужно выполнить следующее задание.

    Слайд №3 2. Устная работа: Упростить выражение:

    1. х10 • х3;

    2. х16 : х5;

    3. (х7)2 ;

    4. (2х)3;

    5. (ху)5;

    6. х9 • х5• х;

    7. х6 : х2;

    8. (3ху)3.

    1) х13; 2) х11; 3) х14; 4) 8х3; 5) х5у5; 6) х15; 7) х4; 8) 27х3у3.

    Слайд №4

    «Здоровье – не всё, но всё без здоровья ничто». Сократ.

    Слайд №5 3. Фронтальный опрос.

    1. Что называется степенью числа а с натуральным показателем п?

    2. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми

    основаниями.

    3. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми

    основаниями.

    4. Сформулируйте правило возведения степени в степень.

    5. Сформулируйте правило возведения в степень произведения.

    6. Какие правила действий со степенями используются при умножении

    одночленов и возведении одночлена в степень?

    Учитель: Ребята, выполнив следующее задание, вы поймёте, о чём конкретно пойдёт речь дальше.

    Слайд №6 4. Задание. Представьте в виде степени с основанием х:

    Ответы закодированы буквой. Ответ первого примера – это первая буква нашего слова:

    1. (х3)3х2;

    2. (х3х2)2;

    3. ((х2)3)3;

    4. х3(х2)5.

    5. (х6)3

    с13

    з

    с11

    г

    с18

    а

    с15

    м

    с10

    л

    с18

    а


    ГЛАЗА

    Учитель: Да, сегодня на уроке мы поговорим именно о глазах. Глаз человека – удивительный дар природы. Он способен различать тончайшие оттенки и мельчайшие размеры, хорошо видит и неплохо в сумерках. И это не случайно. С древних времен человек приспосабливался к рассмотрению далеких и близких предметов, к зрению днем и ночью. Не случайно Ф.Энгельс писал о том, что орел видит значительно дальше, чем человек, но человеческий глаз замечает в вещах значительно больше, чем глаз орла.

    Вопрос: Ребята, вы, наверное, знаете, что для хорошего здоровья большое значение имеет питание. А вы хотите узнать, какие продукты влияют на здоровье глаз?

    Слайд №7,8 5.Тестирование.

    Задание: Упростите выражение:

    1. (х3)3•(х2)2;

    а) х10 –крыжовник;

    б) х13 – черника

    2. (4х3у2)2;

    а) 16х6у4 – натуральные соки;

    б) 8х7у3 – кофе.

    3. ((х2у)3)3;

    а) х8у6 – картофель;

    б) х18у9 – морковь

    4.

    а) 45х10 – черный хлеб;

    б) 30х9 – белый хлеб;

    5. х3у2•(x2у)5;

    а) x13у7 – печень

    б) х10у10 – почки.

    6. (х2)3•(х4)2;

    а) х14 – болгарский перец

    б) х11 – помидор.

    7. (2x2y3)4;

    а) 8x6y7 – лук;

    б) 16x8y12 – шпинат.

    8. (10х2y)2 • (3хy2)3;

    а) 2700х7y8 – рыба;

    б) 180х7y7— петрушка.

    Слайд №9

    Учитель: Если вы хотите, чтобы ваши глаза были здоровыми, не забывайте употреблять эти продукты чаще в пищу.

    Учитель: Ребята, вы хорошо поработали, а сейчас давайте немного отдохнём, снимем усталость, зарядимся для дальнейшей работы.

    Слайд №10 6. Минутка здоровья.

    Физкультминутка: если ответ отрицательный – присели, если ответ положительный – подняли руки вверх.

    Слайд №11

    Упражнения для глаз: нарисовать глазами фигуру, которую отгадали.

    1.Три вершины тут видны,

    Три угла, три стороны, —

    Ну, пожалуй, и довольно! —

    Что ты видишь? — …

    (Треугольник)

    2.Ни угла, ни стороны,

    А родня – одни блины.

    (круг)

    3. Обведи кирпич мелком

    На асфальте целиком,

    И получится фигура –

    Ты, конечно, с ней знаком.

    (прямоугольник)

    4.Эта странная фигура,

    Ну, совсем миниатюра!

    И на маленький листочек

    Мы поставим сотни …

    (точек)

    5.Посмотрите, какое красивое небо, а нам пока надо решать ( в тетрадь) Отдохнули, зарядились энергией и продолжим работу.

    7. Отработка вычислительных навыков.

    Вопрос: Глаз – очень слабозащищенная система; нарушить ее деятельность легко, восстановить подчас проблематично. Незнание или непонимание этого ведет к тому, что к словосочетанию «профилактика заболеваний» многие из нас относятся как к чему-то необязательному, лишнему, необходимому лишь врачам и отнимающему столько времени у нас, занятых людей. Однако, следить за состоянием нашей оптики должны не только специалисты, но, что важнее,- мы сами. И это совсем не сложно, если запомнить весьма и весьма несложные правила.

    Давайте вернёмся к решению задач на применение свойств степени с одинаковыми основаниями и вспомним это.

    Слайд №12 Задание: Найдите значение выражения.

    1. .

    2. .

    3. .

    4.

    Слайд №13

    27 – надо читать в транспорте

    16 – не надо читать лежа

    5 – книгу предпочтительно держать на расстоянии 30-33 см от глаз (это примерно длина руки от локтя до кончиков пальцев) под углом 15 градусов;,

    9 – свет должен падать на рабочую поверхность слева, а глаза оставаться в тени,

    8 – надо уметь читать, низко наклонившись над книгой

    4 –младшим школьникам не рекомендуется смотреть телевизор чаще 2 -3 раз в неделю, причем сидеть следует напротив экрана не ближе чем 2,5-3 метра от него.

    Учитель: Говорят, что «лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать».С помощью зрения человек получает 90% информации об окружающем мире. Изображение окружающих предметов новорожденный младенец видит перевернутым. Но постепенно мозг привыкает «переворачивать» изображение обратно. Если надеть человеку очки, стекла которых создают перевернутое «вверх ногами» изображение, то спустя некоторое время это изображение станет восприниматься как нормальное. Каждое животное видит мир по-своему.

    А чтобы найти новую интересную информацию, давайте выполним следующее задание.

    Слайд №14 8. Самостоятельная работа «Это интересно!»

    Задание: Найдите значение выражений.

    1) —

    2)

    3)

    Учитель: Давайте проверим самостоятельную работу посредством сравнения решений с правильными.

    Слайд №15 (Ученики выполняют взаимопроверку и оценивают друг друга).

    Слайд №16, Слайд №17

    12- Лягушка. Сидя в засаде, лягушка видит только движущиеся предметы: насекомых, на которых она охотится, или своих врагов. Чтобы увидеть все остальное, она должна начать двигаться.

    — Хамелеон. Глаза хамелеона могут вращаться в разные стороны независимо друг от друга и передавать две картинки в мозг. А уж дальше хамелеон решает, куда ему двигаться.

    — Паук- скакун. У пауков- скакунов восемь глаз: два больших и шесть маленьких. Большие снабжены мышцами и позволяют пауку следить за добычей, оставаясь неподвижным. А маленькие расположены так, что паук замечает все происходящее сзади и сверху.

    Учитель: Ребята, вы узнали о том, как необычно видят некоторые

    животные, более подробнее можно все это узнать на уроках биологии.

    9. Итог урока.

    Учитель: А теперь давайте подведём итог нашего урока. Как вы думаете, все поставленные цели были выполнены?

    Дайте оценку своей работы на уроке

    С какими трудностями столкнулись на уроке?

    (Ученики подводят итог урока).

    Ребята, вот и подошел к концу наш урок. Мне было очень приятно с вами работать. Я надеюсь, что сведения, которые вы сегодня услышали на уроке, пригодятся вам в жизни, но пока постарайтесь выполнять все советы сегодняшнего урока.

    Слайд №18

    Полезные советы

    Слайд №19 Домашнее задание. §17повторить свойства,

    Решить №596,599

    Слайд №20

    Запомните: Очень сложно болезни лечить,

    Легче болезни предупредить.

    Слайд №21

    Спасибо за урок. До свидания.

    Методическая литература:

    1. Мордкович, А. Г. Алгебра. 7 класс: в 2 ч. Ч. 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А. Г. Мордкович. – М.: Мнемозина,2007.

    2. Мордкович, А. Г. Алгебра. 7 класс: в 2 ч. Ч. 2: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ [А. Г. Мордкович.]; под ред. А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина,2007.

    3. Программа «Математика 5 – 11 класс» для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев по математике, рекомендованную министерством образования РФ. (Составители программы: А.Г. Мордкович, И. И. Зубарева, 2009г.)

    4. Е.Галкина Удивительный мир степеней. 7 класс. Газета «Математика» №18, 2005.

    5. Короткова Л.М., Савинцева Н.В. Алгебра: Тесты: Рабочая тетрадь. 7 класс. – М.: Рольф, 2002.

    Интернет-ресурсы:

    1. http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/002e2d7e-cf66-4d9a-8310-bbe372df70e4/108176/ -урок “Степень с натуральным показателем”

    2. www.med.claw.ru Большая медицинская энциклопедия.

    3. www.medikal.ru Здоровый образ жизни. Статьи и публикации.

    11


    Иллюстративная математика 7 класс, Раздел 7.10 Практика — Учителя

    • О IM
    • В новостях
    • Учебная программа
      • Классы K-5
      • 6–8 классы
      • 9–12 классы
    • Профессиональное обучение
    • Стандарты и задачи
    • Вакансии
    • Политика конфиденциальности
    • Facebook
    • Твиттер
    • IM Блог
    • Свяжитесь с нами
    • 855-741-6284
    Что такое сертификат IM Certified ™?

    IM 6–8 Math был первоначально разработан Open Up Resources и автором Illustrative Mathematics®, и на 2017-2019 гг. Авторские права принадлежат Open Up Resources.Он находится под международной лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0). Учебная программа по математике НАШЕГО 6–8 доступна по адресу https://openupresources.org/math-curriculum/.

    Адаптации и обновления IM 6–8 Math являются собственностью 2019 Illustrative Mathematics и находятся под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

    Адаптации для добавления дополнительных средств поддержки для изучающих английский язык защищены авторским правом 2019 Open Up Resources и находятся под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 Международная лицензия (CC BY 4.0).

    Второй набор оценок на английском языке (помечен как набор «B») принадлежит Open Up Resources, авторское право 2019, и распространяется по международной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

    Испанский перевод оценок «B» защищен авторским правом 2020 Illustrative Mathematics и находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

    Название и логотип Illustrative Mathematics не подпадают под действие лицензии Creative Commons и не могут использоваться без предварительного и явного письменного согласия Illustrative Mathematics.

    Этот сайт содержит изображения, являющиеся общественным достоянием, или изображения с открытой лицензией, которые защищены авторскими правами их соответствующих владельцев. Открыто лицензированные изображения остаются в соответствии с условиями соответствующих лицензий. См. Раздел атрибуции изображений для получения дополнительной информации.

    Седьмой класс (7 класс) Угловые вопросы для тестов и рабочих листов

    Вы можете создавать печатные тесты и рабочие листы из этих Углы 7 класс вопроса! Выберите один или несколько вопросов, установив флажки над каждым вопросом.Затем нажмите кнопку добавить выбранные вопросы к тесту перед переходом на другую страницу.

    Предыдущая Страница 1 из 6 Следующий Выбрать все вопросы Измерение [math] ang 1 [/ math] равно [math] 150deg [/ math].Каковы меры [math] ang4, ang3 и ang2 [/ math]?
    1. [математика] 30 градусов, 150 градусов, 30 градусов [/ math]
    2. [математика] 45 градусов, 120 градусов, 30 градусов [/ математика]
    3. [математика] 60 градусов, 150 градусов, 45 градусов [/ математика]
    4. [математика] 90 градусов, 135 градусов, 30 градусов [/ math]
    Предыдущая Страница 1 из 6 Следующий

    Колорадо | Дом

    Colorado Measures of Academic Success (CMAS) — это основанная на стандартах система оценки Колорадо, предназначенная для измерения академических стандартов Колорадо (CAS).Очень небольшое количество учащихся со значительными когнитивными нарушениями могут пройти экзамен Colorado Alternate (CoAlt), основанный на результатах расширенных доказательств CAS.

    Оценки CMAS и CoAlt разрабатываются совместно Министерством образования Колорадо, сообществом преподавателей Колорадо и подрядчиком по оценке Колорадо, Pearson. Данные о результатах оценивания следует использовать, чтобы быть в курсе прогресса отдельных учащихся, школ и округов в достижении более высоких уровней успеваемости учащихся.

    Область содержимого * Марки Окно
    Математика 3–8 Официальное окно:
    12 апреля — 14 мая 2021 г.

    Окно естественных наук в начальной школе:
    29 марта — 16 апреля 2021 г. ИЛИ 5 апреля — 23 апреля 2021 г.

    Окно расширенной математики и ELA / CSLA:
    Начиная с 22 марта 2021 г. **

    Искусство английского языка (включая CSLA) 3–8
    Наука 5,8 и 11
    Социальные науки *** 4 и 7

    Измерение углов транспортиром

    На этом уроке геометрии для 4-го класса объясняется, как измерять углы, как измерять углы с помощью транспортира, а также предлагаются различные упражнения для учеников.

    Видео ниже объясняет, что такое угловая мера, как измерять углы с помощью транспортира и как рисовать углы с помощью транспортира.

    Помните, как одна сторона угла очерчивает дуга окружности? Мы используем этот круг , чтобы измерить, насколько велик угол. Мы смотрим на сколько угол «открылся» по сравнению с полным кругом.

    Углы измеряются в градусов .Символ градусов — маленький кружок °.

    • ПОЛНЫЙ КРУГ составляет 360 ° (360 градусов).
    • Полукруг или прямой угол равен 180 °.
    • Четверть круга или прямой угол равны 90 °.

    Покажите углы ниже с помощью двух карандашей. Попробуй «Увидеть» круг, начертанный в воздухе.

    Это угол в 1 градус !

    тупой угол; 127 °

    прямой угол; 90 °

    Как измерить угол с помощью транспортира :

    • Поместите середину транспортира на ВЕРТЕКС угол.
    • Совместите одну сторону угла с нулевой линией транспортира. (где вы видите цифру 0).
    • Считайте градусы там, где другая сторона пересекает числовую шкалу.

    Позаботьтесь о чтении из правильного набора чисел. Транспортир имеет два набора числа: один набор идет от 0 до 180, другой — от 180 до 0. Какой из них вы прочитаете, зависит от того, как вы размещаете транспортир: поместите его так, чтобы одна сторона угла совпадала с одним из нулей, и прочтите этот набор номеров.

    В приведенных выше примерах мы выровнял одну сторону угла с нулем нижнего набора чисел, так что нам нужно прочитать нижний набор чисел.

    1. Измерьте углы.

    а. __________ °

    г. __________ °

    г. __________ °

    г. __________ °

    2. Измерьте углы. Обозначьте каждый угол острый или тупой.

    а. __________ °

    ______________________________

    г. __________ °

    ______________________________

    г. __________ °

    ______________________________

    г. __________ °

    ______________________________

    e. __________ °

    ______________________________

    ф. __________ °

    ______________________________

    3. Таша измерила острый угол, получилось 146 °. Учитель указал
    что она прочитала неправильный набор цифр на транспортире.
    Какой угол является правильным для измеренного ею угла?

    4.Измерьте следующие углы самостоятельно. транспортир. Если нужно, сделайте стороны уголков
    дольше с линейкой.

    6. Нарисуйте четыре точки и соедините их так, чтобы получился четырехугольник.
    Измерьте все углы вашего четырехугольника. Затем добавьте меры углов.
    Вы получили 360 градусов или близко?

    Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Geometry 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.



    Стандартные математические стандарты седьмого класса Common Core

    7.Соотношение RP и пропорциональное соотношение

    • 7.RP.A Анализируйте пропорциональные отношения и используйте их для решения реальных и математических задач.
      • 7.RP.A.1 Вычислить удельные скорости, связанные с отношениями долей, включая отношения длин, площадей и других величин, измеренных в одинаковых или разных единицах.
      • 7.RP.A.2 Распознавать и представлять пропорциональные отношения между количествами.
        • 7.RP.A.2a Решите, находятся ли две величины в пропорциональной зависимости, например, проверив эквивалентные отношения в таблице или построив график на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.
        • 7.RP.A.2b. Определите константу пропорциональности (удельная ставка) в таблицах, графиках, уравнениях, диаграммах и словесных описаниях пропорциональных отношений.
        • 7.RP.A.2c Представьте пропорциональные отношения уравнениями.
        • 7.RP.A.2d Объясните, что означает точка (x, y) на графике пропорциональной зависимости с точки зрения ситуации, уделяя особое внимание точкам (0, 0) и (1, r), где r это удельная ставка.
      • 7.RP.A.3 Используйте пропорциональные отношения для решения многоступенчатых соотношений и процентных задач.

    7.NS Система счисления

    • 7.NS.A Применяйте и расширяйте предыдущие представления об операциях с дробями для сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел.
      • 7.NS.A.1 Применять и расширять предыдущие представления о сложении и вычитании для сложения и вычитания рациональных чисел; представляют собой сложение и вычитание на горизонтальной или вертикальной числовой линейной диаграмме.
        • 7.NS.A.1a Опишите ситуации, в которых противоположные величины объединяются, чтобы получить 0.
        • 7.NS.A.1b Под p + q понимается число, расположенное на расстоянии | q | от p в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того, положительный или отрицательный q. Докажите, что сумма числа и его противоположности равна 0 (аддитивно противоположны). Интерпретируйте суммы рациональных чисел, описывая контексты реального мира.
        • 7.NS.A.1c Под вычитанием рациональных чисел понимается добавление обратного аддитивного числа, p — q = p + (-q). Покажите, что расстояние между двумя рациональными числами на числовой прямой является абсолютной величиной их разницы, и примените этот принцип в контексте реального мира.
        • 7.NS.A.1d Применяйте свойства операций как стратегии для сложения и вычитания рациональных чисел.
      • 7.NS.A.2 Применяйте и расширяйте предыдущие представления об умножении, делении и дробях для умножения и деления рациональных чисел.
        • 7.NS.A.2a Поймите, что умножение расширяется от дробей до рациональных чисел, требуя, чтобы операции продолжали удовлетворять свойствам операций, в частности свойству распределения, что приводит к таким продуктам, как (-1) (- 1) = 1 и правила умножения чисел со знаком. Интерпретируйте произведения рациональных чисел, описывая контексты реального мира.
        • 7.NS.A.2b Поймите, что целые числа можно делить при условии, что делитель не равен нулю, и каждое частное целых чисел (с ненулевым делителем) является рациональным числом.Если p и q целые числа, то — (p / q) = (-p) / q = p / (- q). Интерпретируйте частные рациональных чисел, описывая контексты реального мира.
        • 7.NS.A.2c Применяйте свойства операций как стратегии умножения и деления рациональных чисел.
        • 7.NS.A.2d Преобразование рационального числа в десятичное с помощью длинного деления; знайте, что десятичная форма рационального числа оканчивается нулями или в конечном итоге повторяется.
      • 7.NS.A.3 Решение реальных и математических задач, включающих четыре операции с рациональными числами.
        • Завершите уравнения сложения и вычитания с целыми числами (7-C.13)
        • Сложение и вычитание целых чисел: задачи со словами (7-C.14)
        • Полные уравнения умножения и деления с целыми числами (7-C.23)
        • Сложить, вычесть, умножить и разделить целые числа (7-C.24)
        • Сложение и вычитание десятичных знаков: проблемы со словами (7-E.2)
        • Умножение десятичных и целых чисел: проблемы со словами (7-E.4)
        • Разделите десятичные дроби на целые числа: проблемы со словами (7-E.6)
        • Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных знаков: проблемы со словами (7-E.8)
        • Сложение и вычитание дробей: задачи со словами (7-G.2)
        • Сложение и вычитание смешанных чисел: задачи со словами (7-G.4)
        • Умножение дробей и смешанных чисел: задачи со словами (7-G.11)
        • Разделите дроби и смешанные числа: задачи со словами (7-G.14)
        • Сложение, вычитание, умножение и деление дробей и смешанных чисел: проблемы со словами (7-G.16)
        • Сложить, вычесть, умножить и разделить денежные суммы: задачи со словами (7-M.1)
        • Прайс-листы (7-M.2)
        • Оценка для решения задач со словами (7-N.1)

    7.EE Выражения и уравнения

    • 7.EE.A Используйте свойства операций для создания эквивалентных выражений.
      • 7.EE.A.1 Применяйте свойства операций как стратегии для сложения, вычитания, разложения и расширения линейных выражений с рациональными коэффициентами.
      • 7.EE.A.2 Поймите, что переписывание выражения в различных формах в контексте проблемы может пролить свет на проблему и на то, как соотносятся количества в ней.
    • 7.EE.B Решение реальных и математических задач с помощью числовых и алгебраических выражений и уравнений.
      • 7.EE.B.3 Решайте многоступенчатые реальные и математические задачи, поставленные с положительными и отрицательными рациональными числами в любой форме (целые числа, дроби и десятичные дроби), используя инструменты стратегически.Применять свойства операций для вычисления с числами в любой форме; конвертировать между формами по мере необходимости; и оценить разумность ответов с помощью мысленных вычислений и стратегий оценки.
      • 7.EE.B.4 Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.
        • 7.EE.B.4a Решите задачи со словами, приводящие к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа. Бегло решать уравнения этих форм. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, определив последовательность операций, используемых в каждом подходе.
        • 7.EE.B.4b Решите проблемы со словами, приводящие к неравенствам вида px + q> r или px + q.

    7.G Геометрия

    • 7.G.A. Рисуйте, конструируйте и описывайте геометрические фигуры и описывайте отношения между ними.
      • 7.G.A.1. Решение задач, связанных с масштабными чертежами геометрических фигур, включая вычисление фактических длин и площадей на основе масштабного чертежа и воспроизведение масштабного чертежа в другом масштабе.
      • 7.G.A.2 Нарисуйте (от руки, линейкой, транспортиром и технологией) геометрические фигуры в заданных условиях.Сосредоточьтесь на построении треугольников из трех углов или сторон, обращая внимание на то, когда условия определяют уникальный треугольник, более одного треугольника или отсутствие треугольника.
      • 7.G.A.3 Опишите двумерные фигуры, полученные в результате разрезания трехмерных фигур, например, в плоских сечениях прямоугольных призм и прямоугольных пирамид.
    • 7.G.B Решение реальных и математических задач, связанных с измерением угла, площади, площади поверхности и объема.
      • 7.G.B.4 Знать формулы площади и окружности круга и использовать их для решения задач; дают неформальный вывод отношения между окружностью и площадью круга.
      • 7.G.B.5 Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углах в многоэтапной задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестного угла на фигуре.
      • 7.G.B.6 Решение реальных и математических задач, касающихся площади, объема и площади поверхности двух- и трехмерных объектов, состоящих из треугольников, четырехугольников, многоугольников, кубов и прямых призм.

    7.SP Статистика и вероятность

    • 7.SP.A Используйте случайную выборку, чтобы делать выводы о совокупности.
      • 7.SP.A.1 Понимать, что статистику можно использовать для получения информации о совокупности, исследуя ее выборку; Обобщения о генеральной совокупности из выборки действительны только в том случае, если выборка является репрезентативной для этой генеральной совокупности.Поймите, что случайная выборка имеет тенденцию давать репрезентативные выборки и поддерживать достоверные выводы.
      • 7.SP.A.2 Используйте данные случайной выборки, чтобы сделать выводы о популяции с неизвестной интересующей характеристикой. Создайте несколько выборок (или смоделированных выборок) одинакового размера, чтобы измерить вариации оценок или прогнозов.
    • 7.SP.B Сделайте неформальные сравнительные выводы о двух популяциях.
      • 7.SP.B.3 Неформально оценить степень визуального перекрытия двух распределений числовых данных с одинаковой изменчивостью, измерив разницу между центрами, выразив ее как кратное от меры изменчивости.
      • 7.SP.B.4 Используйте меры центра и меры изменчивости для числовых данных из случайных выборок, чтобы сделать неформальные сравнительные выводы о двух популяциях.
        • Вычислить среднее значение, медианное значение, режим и диапазон (7-DD.1)
        • Интерпретируйте диаграммы и графики, чтобы найти среднее значение, медиану, режим и диапазон (7-DD.2)
        • Среднее значение, медиана, мода и диапазон: найдите недостающее число (7-DD.3)
        • Изменения среднего, медианы, режима и диапазона (7-DD.4)
    • 7.SP.C Исследование случайных процессов, разработка, использование и оценка вероятностных моделей.
      • 7.SP.C.5 Поймите, что вероятность случайного события — это число от 0 до 1, которое выражает вероятность того, что событие произойдет. Большие числа указывают на большую вероятность. Вероятность, близкая к 0, указывает на маловероятное событие, вероятность около 1/2 указывает на событие, которое не является ни маловероятным, ни вероятным, а вероятность, близкая к 1, указывает на вероятное событие.
      • 7.SP.C.6 Приблизить вероятность случайного события, собрав данные о случайном процессе, который его вызывает, и наблюдая его долгосрочную относительную частоту, и предсказать приблизительную относительную частоту с учетом вероятности.
      • 7.SP.C.7 Разработайте вероятностную модель и используйте ее для определения вероятностей событий. Сравните вероятности модели с наблюдаемыми частотами; если согласие плохое, объясните возможные источники расхождения.
        • 7.SP.C.7a Разработайте единую вероятностную модель, назначив равную вероятность всем исходам, и используйте модель для определения вероятностей событий.
        • 7.SP.C.7b Разработайте вероятностную модель (которая может быть неоднородной), наблюдая за частотами в данных, полученных в результате случайного процесса.
      • 7.SP.C.8 Находите вероятности сложных событий с помощью организованных списков, таблиц, древовидных диаграмм и моделирования.
        • 7.SP.C.8a Поймите, что, как и в случае с простыми событиями, вероятность составного события — это доля исходов в пространстве выборки, для которой возникает составное событие.
        • 7.SP.C.8b. Представьте образцы пространств для составных событий, используя такие методы, как организованные списки, таблицы и древовидные диаграммы. Для события, описываемого повседневным языком (например, «катящиеся двойные шестерки»), определите результаты в пространстве выборки, которые составляют событие.
        • 7.SP.C.8c Разработайте и используйте моделирование для генерации частот для сложных событий.

    Общие основные государственные стандарты © Copyright 2010.Центр передового опыта Национальной ассоциации губернаторов и Совет директоров государственных школ. Все права защищены.

    Общие основные стандарты 7-го уровня

    Вот общие основные стандарты 7-го уровня со ссылками на ресурсы, которые их поддерживают. Мы также поощряем множество упражнений и работу с книгами.

    7 класс | Соотношения и пропорциональные отношения

    Анализируйте пропорциональные отношения и используйте их для решения реальных и математических задач.

    7.RP.A.1 Вычислить удельные расценки, связанные с соотношениями долей, включая соотношения длин, площадей и других величин, измеренных в одинаковых или разных единицах. Например, если человек проходит 1/2 мили за каждые 1/4 часа, вычислите единичную скорость как сложную дробь (1/2) / (1/4) миль в час, что эквивалентно 2 миль в час.

    Соотношение — Рецепт шоколадных чипсов Соотношение — приготовить шоколадные чипсы

    7.RP.A.2 Распознавать и отображать пропорциональные отношения между количествами.
    а.Решите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, например, проверив эквивалентные отношения в таблице или построив график на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.
    г. Определите константу пропорциональности (единицу измерения) в таблицах, графиках, уравнениях, диаграммах и словесных описаниях пропорциональных отношений.
    г. Изобразите пропорциональные отношения уравнениями. Например, если общая стоимость t пропорциональна количеству n товаров, купленных по постоянной цене p, связь между общей стоимостью и количеством товаров может быть выражена как t = pn.
    г. Объясните, что означает точка (x, y) на графике пропорциональной зависимости с точки зрения ситуации, уделяя особое внимание точкам (0, 0) и (1, r), где r — это единичная ставка.

    7.RP.A.3 Используйте пропорциональные отношения для решения многошаговых задач с соотношением шагов и процентов. Примеры: простые проценты, налог, наценки и уценки, чаевые и комиссии, сборы, увеличение и уменьшение процентов, ошибка в процентах.

    Разница в процентах Процент ошибок Изменение в процентах

    Класс 7 | Система счисления

    Применяйте и расширяйте предыдущие представления об операциях с дробями для сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел.

    7.NS.A.1 Применять и расширять предыдущие представления о сложении и вычитании для сложения и вычитания рациональных чисел; представляют собой сложение и вычитание на горизонтальной или вертикальной числовой линейной диаграмме.
    а. Опишите ситуации, в которых противоположные количества объединяются, чтобы получить 0. Например, атом водорода имеет нулевой заряд, потому что его две составляющие заряжены противоположно.
    г. Под p + q понимается число, находящееся на расстоянии | q | от p в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того, положительный или отрицательный q.Докажите, что сумма числа и его противоположности равна 0 (аддитивно противоположны). Интерпретируйте суммы рациональных чисел, описывая контексты реального мира.
    г. Под вычитанием рациональных чисел понимается добавление обратного аддитивного числа p — q = p + (-q). Покажите, что расстояние между двумя рациональными числами на числовой прямой является абсолютной величиной их разницы, и примените этот принцип в контексте реального мира.
    г. Применяйте свойства операций как стратегии для сложения и вычитания рациональных чисел.

    Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

    7.NS.A.2 Применять и расширять предыдущие представления об умножении, делении и дробях для умножения и деления рациональных чисел.
    а. Поймите, что умножение расширяется от дробей до рациональных чисел, требуя, чтобы операции продолжали удовлетворять свойствам операций, в частности свойству распределения, что приводит к таким произведениям, как (-1) (- 1) = 1, и правилам умножения чисел со знаком.Интерпретируйте произведения рациональных чисел, описывая контексты реального мира.
    г. Поймите, что целые числа можно делить при условии, что делитель не равен нулю, и каждое частное целых чисел (с ненулевым делителем) является рациональным числом. Если p и q целые числа, то — (p / q) = (-p) / q = p / (- q). Интерпретируйте частные рациональных чисел, описывая контексты реального мира.
    г. Применяйте свойства операций как стратегии умножения и деления рациональных чисел.
    г. Преобразуйте рациональное число в десятичное с помощью длинного деления; знайте, что десятичная форма рационального числа оканчивается нулями или в конечном итоге повторяется.

    7.NS.A.3. Решение реальных и математических задач с использованием четырех операций с рациональными числами. (Вычисления с рациональными числами расширяют правила манипулирования дробями до сложных дробей.)

    7 класс | Выражения и уравнения

    Используйте свойства операций для создания эквивалентных выражений.

    7.EE.A.1 Применяйте свойства операций как стратегии для сложения, вычитания, разложения и расширения линейных выражений с рациональными коэффициентами.

    7.EE.A.2. Поймите, что переписывание выражения в разных формах в контексте проблемы может пролить свет на проблему и на то, как соотносятся количества в ней. Например, a + 0,05a = 1,05a означает, что «увеличить на 5%» — это то же самое, что «умножить на 1,05».

    Десятичные дроби и проценты

    Решайте реальные и математические задачи, используя числовые и алгебраические выражения и уравнения.

    7.EE.B.3 Решайте многоступенчатые реальные и математические задачи, поставленные с положительными и отрицательными рациональными числами в любой форме (целые числа, дроби и десятичные дроби), используя инструменты стратегически.Применяйте свойства операций как стратегии для вычислений с числами в любой форме; конвертировать между формами по мере необходимости; и оценить разумность ответов с помощью мысленных вычислений и стратегий оценки. Например: если женщина, зарабатывающая 25 долларов в час, получает прибавку на 10%, она будет дополнительно получать 1/10 своей зарплаты в час, или 2,50 доллара, за новую зарплату в 27,50 долларов. Если вы хотите разместить штангу для полотенец длиной 9 3/4 дюйма в центре двери шириной 27 1/2 дюйма, вам нужно будет разместить штангу на расстоянии примерно 9 дюймов от каждого края; эту оценку можно использовать как проверку точного вычисления.

    7.EE.B.4 Используйте переменные для представления величин в реальных или математических задачах и создавайте простые уравнения и неравенства для решения проблем, рассуждая о величинах.
    а. Решите задачи со словами, приводящие к уравнениям вида px + q = r и p (x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа. Бегло решать уравнения этих форм. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, определив последовательность операций, используемых в каждом подходе.Например, периметр прямоугольника 54 см. Его длина 6 см. Какая у него ширина?
    г. Решите проблемы со словами, приводящие к неравенствам вида px + q> r или px + q

    7 класс | Геометрия

    Нарисуйте, сконструируйте и опишите геометрические фигуры и опишите отношения между ними.

    7.G.A.1. Решение проблем, связанных с масштабными чертежами геометрических фигур, включая вычисление фактических длин и площадей из масштабного чертежа и воспроизведение масштабного чертежа в другом масштабе.

    7.G.A.2 Нарисуйте (от руки, линейкой, транспортиром и технологией) геометрические фигуры в заданных условиях. Сосредоточьтесь на построении треугольников из трех углов или сторон, обращая внимание на то, когда условия определяют уникальный треугольник, более одного треугольника или отсутствие треугольника.

    Треугольники содержат 180 градусов Построение треугольника с 3 известными сторонами

    7.G.A.3. Опишите двумерные фигуры, полученные в результате разрезания трехмерных фигур, например, в плоских сечениях прямоугольных призм и прямоугольных пирамид.

    Деятельность: Исследование твердых тел

    Решение реальных и математических задач, связанных с измерением угла, площади, площади поверхности и объема.

    7.G.B.4 Знать формулы площади и длины окружности и использовать их для решения задач; дают неформальный вывод отношения между окружностью и площадью круга.

    7.G.B.5 Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углах в многоэтапной задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестного угла на фигуре.

    7.G.B.6 Решение реальных и математических задач, касающихся площади, объема и площади поверхности двух- и трехмерных объектов, состоящих из треугольников, четырехугольников, многоугольников, кубов и прямых призм.

    Кубоиды, прямоугольные призмы и кубы Площадь круга, треугольника, квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, эллипса и сектора

    , класс 7 | Статистика и вероятность

    Используйте случайную выборку, чтобы сделать выводы о генеральной совокупности.

    7.SP.A.1 Понимать, что статистику можно использовать для получения информации о совокупности, исследуя ее выборку; Обобщения о генеральной совокупности из выборки действительны только в том случае, если выборка является репрезентативной для этой генеральной совокупности. Поймите, что случайная выборка имеет тенденцию давать репрезентативные выборки и поддерживать достоверные выводы.

    Упражнение: Длина листьев Отображение результатов опроса

    7.SP.A.2 Используйте данные случайной выборки, чтобы сделать выводы о популяции с неизвестной интересующей характеристикой.Создайте несколько выборок (или смоделированных выборок) одинакового размера, чтобы измерить вариации оценок или прогнозов. Например, оцените среднюю длину слова в книге путем случайной выборки слов из книги; спрогнозировать победителя школьных выборов на основе случайно выбранных данных опроса. Оцените, насколько далеко может быть оценка или прогноз.

    Отображение результатов опроса

    Сделайте неформальные сравнительные выводы о двух популяциях.

    7.SP.B.3 Неформально оценить степень визуального перекрытия двух распределений числовых данных с одинаковой вариабельностью, измерив разницу между центрами, выразив ее как кратное от меры вариабельности.Например, средний рост игроков в баскетбольной команде на 10 см больше, чем средний рост игроков в футбольной команде, что примерно в два раза больше вариабельности (среднего абсолютного отклонения) в любой команде; на точечной диаграмме различие между двумя распределениями высот заметно.

    Как рассчитать среднее значение Отображение результатов опроса

    7.SP.B.4 Используйте меры центра и меры изменчивости для числовых данных из случайных выборок, чтобы сделать неформальные сравнительные выводы о двух популяциях.Например, решите, являются ли слова в главе учебника по естествознанию для седьмого класса обычно длиннее, чем слова в главе учебника по естествознанию для четвертого класса.

    Исследуйте случайные процессы, а также разрабатывайте, используйте и оценивайте вероятностные модели.

    7.SP.C.5 Поймите, что вероятность случайного события — это число от 0 до 1, которое выражает вероятность того, что событие произойдет. Большие числа указывают на большую вероятность. Вероятность, близкая к 0, указывает на маловероятное событие, вероятность около 1/2 указывает на событие, которое не является ни маловероятным, ни вероятным, а вероятность, близкая к 1, указывает на вероятное событие.

    7.SP.C.6 Приблизить вероятность случайного события, собрав данные о случайном процессе, который его вызывает, и наблюдая его долгосрочную относительную частоту, и предсказать приблизительную относительную частоту с учетом вероятности. Например, бросая кубик с числами 600 раз, предположите, что число 3 или 6 будет брошено примерно 200 раз, но, вероятно, не ровно 200 раз.

    Деятельность: Игла Буффона Упражнение: бросание монеты на сетку

    7.SP.C.7 Разработайте вероятностную модель и используйте ее для определения вероятностей событий.Сравните вероятности модели с наблюдаемыми частотами; если согласие плохое, объясните возможные источники расхождения.
    а. Разработайте единую вероятностную модель, назначив равную вероятность всем исходам, и используйте модель для определения вероятностей событий. Например, если ученик выбран случайным образом из класса, найдите вероятность того, что будет выбрана Джейн, и вероятность того, что будет выбрана девушка.
    г. Разработайте вероятностную модель (которая может быть неоднородной), наблюдая за частотами в данных, полученных в результате случайного процесса.Например, найдите приблизительную вероятность того, что вращающийся пенни упадет орлом вверх или брошенный бумажный стаканчик упадет открытым концом вниз. Являются ли результаты для вращающегося пенни одинаково вероятными на основе наблюдаемых частот?

    7.SP.C.8 Находите вероятности сложных событий с помощью организованных списков, таблиц, древовидных диаграмм и моделирования.
    а. Поймите, что, как и в случае с простыми событиями, вероятность составного события — это доля результатов в пространстве выборки, для которых возникает составное событие.
    г. Представляйте образцы пространств для составных событий, используя такие методы, как организованные списки, таблицы и древовидные диаграммы. Для события, описываемого повседневным языком (например, «катящиеся двойные шестерки»), определите результаты в пространстве выборки, которые составляют событие.
    г. Разработайте и используйте моделирование для генерации частот для сложных событий. Например, используйте случайные цифры в качестве инструмента моделирования, чтобы приблизиться к ответу на вопрос: если 40% доноров имеют кровь типа A, какова вероятность того, что потребуется по крайней мере 4 донора, чтобы найти одного с кровью типа A?

    Математика для 7-го класса — Блок 6: Геометрия

    Сводка по агрегату

    В Разделе 6 ученики седьмого класса изучают широкий круг тем, от отношений углов до кругов и многоугольников до твердых фигур.Стандарты геометрии для седьмого класса относятся к категории дополнительных стандартов, однако в подразделении есть несколько возможностей, когда учащиеся заняты основной работой класса. В начале раздела учащиеся используют и решают уравнения, чтобы представить отношения между углами и найти недостающие меры углов. Исследуя круги, ученики обнаруживают пропорциональную зависимость между длиной окружности круга и его диаметром и понимают π как отношение этих двух величин.Студенты также будут использовать свои навыки выражения для написания числовых выражений, которые можно использовать для определения площади поверхности и объема трехмерных фигур.

    На протяжении всего модуля учащиеся сталкиваются с несколькими словарными словами, такими как дополнительные углы, вертикальные углы, радиус и окружность. Многие из этих слов позволяют студентам более точно общаться друг с другом (МР.6). Студенты также столкнутся со сложными диаграммами углов и трехмерными фигурами, где им нужно будет понять, какую информацию они могут почерпнуть из диаграммы, и спланировать путь решения, прежде чем приступить к работе (МП.1). Учащиеся должны иметь доступ к нескольким инструментам, которые они могут использовать на уроке, включая линейки, транспортиры, компасы и справочные листы (МР.5).

    Базовые навыки для стандартов в этом блоке относятся к четвертому – шестому классам. В четвертом классе ученики изучали принципы измерения углов и считали, что измерение угла является аддитивным. В пятом классе ученики развили понимание трехмерного объема, которое они в дальнейшем развили в шестом классе.Шестиклассники также начали различать трехмерное пространство, которое занимает объект, и площадь поверхности, которая его покрывает.

    В восьмом классе ученики будут увеличивать масштаб прямоугольных треугольников и применять теорему Пифагора для определения длин сторон прямоугольных треугольников. Они также продолжат решать реальные приложения площади и объема с добавлением конусов, сфер и цилиндров.

    Темп: 23 учебных дня (21 урок, 1 гибкий день, 1 оценочный день)

    Инструкции по корректировке ритма обучения на 2020-2021 учебный год из-за закрытия школ см.

    Как найти днф: Учебник по дискретной математике ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ

    alexxlab / / Разное

    Учебник по дискретной математике ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ

    Простой конъюнкцией называется конъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная встречается не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).

    Например,     является простой конъюнкцией,

    Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций.

    Например, выражение         является ДНФ.

    Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одном и том жепорядке.

    Например, выражение       является ДНФ, но не СДНФ. Выражение        является СДНФ.

    Аналогичные определения (с заменой конъюнкции на дизъюнкцию и наоборот) верны для КНФ и СКНФ. Приведем точные формулировки.

    Простой дизъюнкцией называется дизъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная входит не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).Например, выражение        – простая дизъюнкция,

    Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций (например выражение             – КНФ).

    Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.

    Например, выражение               является СКНФ.

    Приведем алгоритмы переходов от одной формы к другой. Естественно, что в конкретных случаях (при определенном творческом подходе) применение алгоритмов бывает более трудоемким, чем простые преобразования, использующие конкретный вид данной формы:

    а) переход от ДНФ к КНФ

    Алгоритм этого перехода следующий: ставим над ДНФ два отрицания и с помощью правил де Моргана (не трогая верхнее отрицание) приводим отрицание ДНФ снова к ДНФ. При этом приходится раскрывать скобки с использованием правила поглощения (или правила Блейка). Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ:

    Заметим, что КНФ можно получить и из первоначального выражения, если вынести у за скобки;

    б) переход от КНФ к ДНФ

    Этот переход осуществляется простым раскрытием скобок (при этом опять-таки используется правило поглощения)

    Таким образом, получили ДНФ.

    Обратный переход (от СДНФ к ДНФ) связан с проблемой минимизации ДНФ. Подробнее об этом будет рассказано в разд. 5, здесь же мы покажем, как упростить ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка. Такая ДНФ называется сокращенной ДНФ;

    в) сокращение ДНФ (или СДНФ) по правилу Блейка

    Применение этого правила состоит из двух частей:

    — если среди дизъюнктных слагаемых в ДНФ имеются слагаемые       , то ко всей дизъюнкции добавляем слагаемое К1К2. Проделываем эту операцию несколько раз (можно последовательно, можно одновременно) для всех возможных пар слагаемых, а затем, применяем обычное поглощение;

    — если добавляемое слагаемое уже содержалось в ДНФ, то его можно отбросить совсем, например, 

    или

    Разумеется, сокращенная ДНФ не определяется единственным образом, но все они содержат одинаковое число букв (например, имеется ДНФ     , после применения к ней правила Блейка можно прийти к ДНФ, равносильной данной):

    в) переход от ДНФ к СДНФ

    Если в какой-то простой конъюнкции недостает переменной, например, z, вставляем в нее выражение       ,после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем). (Xv ךYv ךZ) Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

    25. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы и алгоритмы приведения к ним. Примеры.

    Соверше́нная конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СКНФ) — это такая конъюнктивная нормальная форма, которая удовлетворяет трём условиям:

    в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций

    в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных

    каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

    k-конъюнктивной нормальной формой называют конъюнктивную нормальную форму, в которой каждая дизъюнкция содержит ровно k литералов.

    Например, следующая формула записана в 2-КНФ:

    Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

    в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций

    в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

    каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

    Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.

    Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    Совершенная ДНФэтой функции:

    Тема 6 Минимизация булевых функций

    6. 1 Сокращенная и тупиковая ДНФ

    6.2 Метод импликантных матриц

    Цель данного раздела – изложение основных методов построения минимальных дизъюнктивно нормальных форм.

    6.1 Сокращенная и тупиковая ДНФ. В разделе 3 было показано, что любая булева функция может быть представлена дизъюнктивной нормальной формой. Следует отметить, что дизъюнктивная нормальная форма часто допускает упрощение. При этом путем различных тождественных преобразований получится дизъюнктивная нормальная форма, эквивалентная исходной, но содержащая меньшее число вхождений символов.

    Дизъюнктивная нормальная форма называется Минимальной, если она включает минимальное число символов по сравнению со всеми другими эквивалентами ей дизъюнктивными нормальными формами.

    Заметим, что если некоторый символ в формуле, скажем , встречается, например, два раза, то при подсчете числа символов в формуле он учитывается два раза.

    Основной вопрос данного параграфа – это как для произвольной булевой функции построить ей минимальную дизъюнктивную нормальную форму. Эта задача называется Проблемой минимизации булевых функций.

    Существует тривиальный алгоритм построения минимальной ДНФ для произвольной булевой функции . Для этого все ДНФ, составленные из символов упорядочиваются по числу букв и по порядку для каждой ДНФ Д проверяется соотношение . Первая по порядку ДНФ, для которой это соотношение выполняется, есть, очевидно, минимальная ДНФ функции .

    Число различных ДНФ, составленных из переменных , равно .

    Прежде чем доказать данное утверждение, приведем следующее определение.

    Конъюнкция называется Элементарной, если при .

    Число R называется Рангом элементарной конъюнкции. В случае r=0 конъюнкция называется Пустой и Полагается равной 1.

    Так как каждая из N переменных либо не входит в элементарную, либо входят в нее с отрицанием, либо без отрицания, то число элементарных конъюнкций, составленных из равно . Ясно, что число различных ДНФ, составленных из переменной , равно числу подмножеств множества, из элементов, т. е. .

    Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи минимизации булевых функций.

    Обозначим через множество всех точек , где . Ясно, что — множество всех вершин единичного n-мерного куба.

    Сопоставим каждой булевой функции Подмножество Из , определенное следующим образом:

    Например, функции

    X

    Y

    Z

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    Соответствует подмножество

    Вершин трехмерного единичного куба

    Данное соответствие является взаимно однозначным и обладает следующими свойствами:

    1) булевой функции Соответствует подмножество ;

    2) булевой функции соответствует подмножество ;

    3) булевой функции соответствует подмножество .

    Докажем утверждение 2. Пусть

    Отсюда .

    Тогда .

    А это значит, что .

    Отсюда .

    Пусть ДНФ, где — элементарные конъюнкции. Подмножество называется интервалом R-го ранга, если оно соответствует элементарной конъюнкции К R-го ранга. Как показано выше, . Итак, с каждой ДНФ функции F связано покрытие такими интервалами , что .

    Пусть — ранг интервала . Тогда совпадает с числом букв в ДНФ функции .

    Теперь ясно, что задача построения минимальной ДНФ сводится к отысканию такого покрытия подмножества интервалами , чтобы число было наименьшим.

    Интервал , содержащий , называется Максимальным для булевой функции, если не существует интервала , такого, что .

    Заметим, что соотношение выполняется тогда и только тогда, когда элементарная конъюнкция получается из элементарной конъюнкции К путем вычеркивания непустого числа сомножителей.

    Очевидно, что каждый интервал из содержится в некотором максимальном интервале. Если — список всех максимальных интервалов подмножества , то нетрудно видеть, что .

    ДНФ булевой функции f, соответствующая покрытию подмножества всеми максимальными интервалами, называется Сокращенной ДНФ функции F.

    Ясно, что сокращенная ДНФ для любой булевой функции f определяется однозначно.

    Пример 1. Пусть . Обозначим , , . Найдем соответствующие этим конъюнкциям интервалы , , .

    Изобразим эти интервалы

    Очевидно, что и — все максимальные интервалы. Интервал не является максимальным, ибо . Следовательно, покрытию подмножества соответствует сокращенная ДНФ функции , равная .

    Данный геометрический подход дает и метод построения сокращенной ДНФ.

    Теперь рассмотрим аналитический метод построения сокращенной ДНФ – метод Блейка. Этот метод основан на следующей теореме.

    Теорема 1. Если в произвольной ДНФ булевой функции F произвести все возможные обобщения склеивания и устранить затем все элементарные поглощения, то в результате получиться сокращенная ДНФ функции F.

    Следовательно, чтобы найти сокращенную ДНФ, надо к произвольной ДНФ данной функции применить правило обобщенного склеивания до тех пор, пока это возможно, а затем правило поглощения.

    Пример 2. Найти сокращенную ДНФ для функции . Применяя правило обобщенного склеивания, получаем: .

    Затем правило поглощения и находим сокращенную ДНФ: .

    Рассмотрим еще один метод построения сокращенной ДНФ – метод Нельсона. Этот метод основан на следующей теореме.

    Теорема 2. Если в произвольной КНФ булевой функции раскрыть все скобки в соответствии с дистрибутивным законом и устранить все элементарные поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ этой функции.

    Пример 3. Найти сокращенную ДНФ для функции

    После раскрытия скобок с помощью дистрибутивного закона, получаем:

    .

    Так как , , то имеем:

    .

    Далее, применяя правило поглощения, получаем сокращенную ДНФ:

    .

    Рассмотрим табличный метод построения сокращенной ДНФ. Этот метод основан на составлении прямоугольной таблицы (минимизирующей карты).

    Минимизирующие карты для булевых функций от трех и от четырех переменных изображены на следующих таблицах.

    Z

    X y

    0

    1

    00

    		    

    01

    		    

    11

    		    

    10

    		    

    X4

    X3

    X1 X2

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0 0

    		        

    0 1

    		        

    1 1

    		        

    1 0

    		        

    Объединяя соседние клетки, соответствующие единичным значениям булевой функции f в максимальные интервалы, и сопоставляя им элементарные конъюнкции, получим сокращенную ДНФ. Отметим, что клетки, расположенные по краям таблицы, также считаются соседними. Покажем работу этого метода на следующем примере.

    Пример 4. Найти сокращенную ДНФ для функции, заданной следующей таблицей.

    X4

    X3

    X1 X2

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0 0

    1

    1

    0

    1

    0 1

    0

    1

    1

    0

    1 1

    1

    1

    1

    0

    1 0

    0

    1

    0

    0

    В данной таблице объединены клетки в максимальные интервалы

    .

    Этим интервалам соответствуют элементарные конъюнкции

    , , , ,

    Следовательно, сокращенная ДНФ для данной функции имеет вид:

    Построение сокращенной ДНФ есть только первый этап решения задачи минимизации булевой функции. В общем случае сокращенная ДНФ не является минимальной. Следующая теорема устанавливает связь между минимальной и сокращенной ДНФ.

    Теорема 3. Минимальная ДНФ булевой функции получается из сокращенной ДНФ данной функции путем удаления некоторых элементарных конъюнкций.

    Доказательство этого утверждения следует из того факта, что покрытие подмножества , отвечающее минимальной ДНФ, состоит только из максимальных интервалов. Действительно, если бы покрытие содержало не максимальный интервал, то его можно было бы заменить объемлющим максимальным интервалом. В результате этого сумма рангов интервалов данного покрытия уменьшилась бы, что противоречит предположению о минимальности ДНФ.

    Покажем, что в классе монотонных функций понятия минимальной и сокращенной ДНФ совпадают.

    Теорема 4. Сокращенная ДНФ монотонной булевой функции не содержит отрицаний переменных и является минимальной ДНФ этой функции.

    Пусть К – элементарная конъюнкция, входящая в сокращенную ДНФ. Предположим, что К содержит отрицание переменных. Обозначим через произведение всех переменных, входящих в К без отрицания. Пусть – набор переменных, в которых всем переменным, входящим в , приписано значение 1, а всем остальным – значение 0. Ясно, что при этом наборе значение функции Равно 1. Элементарная конъюнкция обращается в 1 при всех наборах . Очевидно, что при этих наборах значение функции также равно 1. Следовательно, .

    Получили противоречие с максимальностью интервала . Итак, сокращенная ДНФ булевой функции Не содержит отрицаний переменных.

    Пусть — любая элементарная конъюнкция из сокращенной ДНФ. Конъюнкция К является единственной конъюнкцией сокращенной ДНФ, которая обращается в единицу в вершине с координатами . Действительно, если бы в сокращенной ДНФ какая-нибудь другая элементарная конъюнкция обращалась в этой вершине в 1, то не содержала бы, во-первых, букв , и, во-вторых, букв . Поэтому в конъюнкцию могли бы входить лишь буквы , причем не все. Но тогда . Получили противоречие с максимальностью интервала . Следовательно, для любого максимального интервала существует вершина куба , которая покрывается только этим интервалом. Поэтому из покрытия соответствующего сокращенной ДНФ, нельзя удалить ни одного из интервалов. Теперь, применяя предыдущую теорему, получаем требуемый результат.

    Следует отметить, что сокращенная ДНФ в большинстве случаев допускает дальнейшие упрощения за счет того, что некоторые элементарные конъюнкции могут поглощаться дизъюнкциями других элементарных конъюнкций. Действительно, в сокращенной ДНФ

    Элементарная конъюнкция поглощается дизъюнкцией остальных элементарных конъюнкций, т. е. .

    Ввиду этого введем следующее определение.

    Покрытие области истинности булевой функции максимальными интервалами называется Неприводимым, если после удаления из него любого интервала оно перестает быть покрытием. ДНФ булевой функции , соответствующая неприводимому покрытию, называется Тупиковой.

    Теорема 5. Всякая минимальная ДНФ является тупиковой.

    Доказательство этого утверждения следует из того, что покрытие, соответствующее минимальной ДНФ, является неприводимым.

    Заметим, что булева функция может обладать несколькими различными минимальными ДНФ. Существуют также тупиковые ДНФ, не являющиеся минимальными ДНФ. Соответствующие примеры будут разобраны ниже.

    Из того, что минимальная ДНФ является тупиковой, следует общая схема решения задачи минимизации булевых функций.

    1. Выделяются все максимальные интервалы, и строится сокращенная ДНФ.

    2. Строятся все тупиковые ДНФ.

    3. Среди всех тупиковых ДНФ выделяются все минимальные ДНФ.

    Рассмотрим алгоритм построения всех тупиковых ДНФ. Суть данного алгоритма состоит в следующем:

    1) для булевой функции строим сокращенную ДНФ;

    2) для каждой вершины из выделяем в сокращенной ДНФ функции F все такие элементарные конъюнкции , что ;

    3) составляем выражение вида

    (*)

    4) применяем к выражению вида (*) законы дистрибутивности и поглощения. В результате получаем .

    Теперь каждая ДНФ является тупиковой ДНФ функции .

    Рассмотрим работу данного алгоритма на следующем примере.

    Пример 5. Рассмотрим булеву функцию, заданную следующей таблицей:

    X

    Y

    Z

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    Найдем сокращенную ДНФ данной функции по методу Нельсона. Для этого составим КНФ данной функции .

    Применяя законы дистрибутивности, получаем:

    .

    Обозначим , , , , , .

    Составляем выражение (*)

    Преобразуем данное выражение к виду

    = =.

    Таким образом, имеет шесть тупиковых ДНФ:

    Две из них и являются минимальными.

    6.2 Метод импликантных матриц. Для булевой функции находим сокращенную ДНФ . Построим для этой функции импликантную матрицу, представляющую собой таблицу, в вертикальные входы которой записываются , а в горизонтальные .

     

    …

    …

    		           

    		           

    …

    		            

    		     

    +

    		    

    …

    		            

    		           

    Для каждой находим набор такой, что .

    Клетку импликантной матрицы, образованную пересечением I-строки и J-столбца отметим крестиком.

    Чтобы получить минимальную ДНФ заданной функции, достаточно найти минимальное число , которые совместно накрывают крестиками все столбцы импликантной матрицы.

    Пример 6. Найти минимальные ДНФ для функции

    .

    Из предыдущего примера следует, что сокращенная ДНФ для данной функции . Очевидно, что

    .

    Строим импликантную матрицу

     

    (0,0,1)

    (0,1,0)

    (0,1,1)

    (1,0,0)

    (1,0,1)

    (1,1,0)

    		     

    +

    +

    		  

    		     

    +

    		  

    +

    		 

    +

    +

    		      

    		 

    +

    		      

    +

    +

    		  

    +

    		      

    +

    		      

    +

    		  

    Отсюда видно, что данная функция имеет два минимальные ДНФ:

    ; .

    Вопросы для самоконтроля.

    1. Дайте определение основных логических операций булевой алгебры.

    2. Дайте определение булевой функции.

    3. Что такое таблицы истинности булевой функции?

    4. Каково число булевых функций от переменных?

    5. Какие булевы функции называются элементарными?

    6. Дайте определение формулы алгебры логики.

    7. Какие формулы алгебры логики называются равносильными?

    8. Сформулируйте законы алгебры логики.

    9. Какая формула алгебры логики называется двойственной к данной формуле алгебры логики?

    10. Сформулируйте принцип двойственности.

    11. Сформулируйте теорему о разложении и следствие из нее.

    12. Дайте определение СДНФ.

    13. Приведите алгоритмы построения СДНФ.

    14. Дайте определение СКНФ.

    15. Приведите алгоритмы построения СКНФ.

    16. Дайте определение ДНФ.

    17. Как найти ДНФ?

    18. Дайте определение КНФ.

    19. Как найти КНФ?

    20. Какая формула алгебры логики называется тождественно истинной?

    21. Какая формула алгебры логики называется тождественно ложной?

    22. Какая формула алгебры логики называется выполнимой?

    23. Что называется проблемой разрешимости?

    24. Сформулируйте методы решения проблемы разрешения.

    25. Что называется алгеброй Жегалкина?

    26. Сформулируйте законы алгебры Жегалкина.

    27. Что называется полиномом Жегалкина?

    28. Сформулируйте алгоритмы построения полиномов Жегалкина.

    29. Какая система булевых функций называется полной?

    30. Что называется замыканием множества булевых функций?

    31. Какой класс булевых функций называется замкнутым?

    32. Дайте определение пяти важнейших замкнутых классов.

    33. Сформулируйте теорему о полноте.

    34. Сформулируйте алгоритм Поста.

    35. Какая система булевых функций называется несократимой?

    36. Каково максимальное возможное число функций в несократимой полной системе булевых функций?

    37. Что такое релейно-контактная схема?

    38. Почему любую булеву функцию можно изобразить в виде релейно-контактной схемы?

    39. В чем состоит проблема анализа релейно-контактных схем?

    40. В чем состоит проблема синтеза релейно-контактных схем?

    41. Что такое логические элементы?

    42. Приведите геометрическое изображение логических элементов.

    43. Что такое логическая схема?

    44. Что Вы понимаете под двоичным сумматором?

    45. Какая ДНФ называется минимальной?

    46. Чему равно число всех ДНФ от переменных?

    47. Сформулируйте тривиальный алгоритм построения МДНФ?

    48. Что такое элементарная конъюнкция?

    49. Что такое ранг элементарной конъюнкции?

    50. Что называется интервалом элементарной конъюнкции?

    51. Какой интервал называется максимальным?

    52. Что называется областью истинности булевой функции?

    53. Сформулируйте теорему об области истинности булевой функции.

    54. Что называется покрытием области истинности булевой функции?

    55. Какое число элементов содержится в интервале?

    56. Какая ДНФ называется сокращенной?

    57. В чем состоит геометрическая интерпретация задачи минимизации булевой функции?

    58. Сформулируйте геометрический метод построения сокращенной ДНФ.

    59. Сформулируйте метод Нельсона построения сокращенной ДНФ.

    60. Сформулируйте метод Блейка построения сокращенной ДНФ.

    61. Сформулируйте метод карт Карно построения сокращенной ДНФ.

    62. Какая связь между МДНФ и сокращенной ДНФ?

    63. Какое покрытие области истинности булевой функции называется неприводимым.

    64. Какая ДНФ называется тупиковой?

    65. Какая связь между МДНФ и тупиковой ДНФ?

    66. Сформулируйте алгоритм построения всех тупиковых ДНФ.

    67. Как строится импликантная матрица?

    68. Сформулируйте алгоритм нахождения МДНФ методом импликантных матриц.

    < Предыдущая   Следующая >

    Нормальные формы: ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ

    Нормальные формы формул алгебры высказываний бывают двух типов: дизъюктивные и конъюктивные, в каждом из этих типов выделен класс совершенных форм.

    Алгоритм построения ДНФ:

    1. Перейти к булевым операциям.

    2. Перейти к формуле с тесными отрицаниями, т.е. к формуле, в которой отрицания находятся не выше, чем над переменными.

    3. Раскрыть скобки.

    4. Повторяющейся слагаемые взять по одному разу.

    5. Применить законы поглощения и полупоглощения.

     
     

    Пример.Найти ДНФ формулы

    ►

    ◄

    Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – двойственное для ДНФ понятие, поэтому ее легко построить по схеме:

    .

     
     

    Пример.Найти КНФ формулы

    ► ~ ~

    .◄

    Совершенную дизъюнктивную нормальную форму СДНФ можно строить, используя следующий алгоритм:

    1. = 1. алгоритма ДНФ

    2. = 2. алгоритма ДНФ

    3. = 3. алгоритма ДНФ

    4. = 4. алгоритма ДНФ

    5. Опустить тождественно ложные слагаемые, т. е. слагаемые вида

    .

    6. Пополнить оставшиеся слагаемые недостающими переменными

    7. Повторить пункт 4.

    Пример.Найти СДНФ формулы.

    ► ~

    .◄

    Для построения СКНФ можно пользоваться следующей схемой:

    Пример.Найти СДНФ формулы.

    ► ~

    .◄

    Известно (теоремы 2.11, 2.12), что СДНФ и СКНФ определены формулой однозначно и, значит, их можно строить по таблице истинности формулы [1].

    ►Схема построения СДНФ и СКНФ по таблице истинности приведена ниже, для формулы ~ :

     

    2.2. Задание.

    2.2.1 Ниже приведены логические выражения. Максимально упростите выражения своего варианта, воспользовавшись законами логики Буля. Затем с помощью таблиц истинности сравните ваше упрощенное выражение с исходным.



     

    2.2.2. Выяснить вопрос о равносильности f1 и f 2 путем сведения их к СДНФ (табл. 1).

    2.2.3. Найти двойственную функцию для f3 по обобщенному и булевому принципу (табл.1). Сравнить полученные результаты.

     

    2.3. Контрольные вопросы.

    2.3.1. Дайте определение высказывания.

    2.3.2. Перечислите основные операции над высказыванием.

    2.3.3. Что такое таблица истинности?

    2.3.4. Составить таблицы истинности для следующих формул:

    ~ ~ ;

    ~ ;

    ~ ~ ~ ;

    ~ ~ ~ ~ .

    2.3.5. Учитывая соглашения о порядке выполнения операций, опустить «лишние» скобки и знак « » в формулах:

    ;

    ;

    ;

    ;

    ~ .

    2.3.6. Применяя равносильные преобразования, доказать тождественную истинность формул:

    ;

    ;

    ;

    .

    2.3.7.Найти двойственные формулы:

    )

    .

    2.3.8. Привести к совершенной ДНФ (СДНФ) форме следующие формулы:

    ~

    2.3.9. Привести к совершенной КНФ (СКНФ) форме следующие формулы:

    ~

    ~

     

    Лабораторная работа № 3

    Тема: «Минимизация булевых функций. Логические схемы»

    Цель: Приобретение практических навыков работы с методами минимизации булевых функций.

    3.1. Теоретические сведения [1].

    Минимальные формы

    Как было показано в [1], любая булева функция представима в совершенной нормальной форме (дизъюнктивной или конъюнктивной). Более того, такое представление является первым шагом перехода от табличного задания функции к ее аналитическому выражению. В дальнейшем будем исходить из дизъюнктивной формы, а соответствующие результаты для конъюнктивной формы получается на основе принципа двойственности [1].

    Каноническая задача синтеза логических схем в булевом базисе сводится к минимизации булевых функций, т.е. к представлению их в дизъюнктивной нормальной форме, которая содержит наименьшее число букв (переменных и их отрицаний). Такие формы называют минимальными. При каноническом синтезе предполагается, что на входы схемы подаются как сигналы , так и их инверсий .

    Формула, представленная в дизъюнктивной нормальной форме, упрощается многократными применением операции склеивания и операции поглощения и (дуальные тождества для конъюнктивной нормальной формы имеют вид: и ). Здесь под и можно понимать любую формулу булевой алгебры. В результате приходим к такому аналитическому выражению, когда дальнейшие преобразования оказываются уже невозможными, т.е. получаем тупиковую форму.

    Среди тупиковых форм находится и минимальная дизъюнктивная форма, причем она может быть неединственной. Чтобы убедиться в том, что данная тупиковая форма является минимальной, необходимо найти все тупиковые формы и сравнить их по числу входящих в них букв.

    Пусть, например, функция задана в совершенной нормальной дизъюнктивной форме:

    .

    Группируя члены и применяя операцию склеивания, имеем .

    При другом способе группировки получим:

    .

    Обе тупиковые формы не являются минимальными. Чтобы получить минимальную форму, нужно догадаться повторить в исходной формуле один член (это всегда можно сделать, так как ). В первом случае таким членом может быть . Тогда . Добавив член , получим: . Перебрав все возможные варианты, можно убедиться, что две последние формы являются минимальными.

    Работа с формулами на таком уровне подобна блужданию в потемках. Процесс поиска минимальных форм становится более наглядным и целеустремленным, если использовать некоторые графические и аналитические представления и специально разработанную для этой цели символику.

    Многомерный куб

    Каждой вершине -мерного куба можно поставить в соответствие конституенту единицы. Следовательно, подмножество отмеченных вершин является отображением на -мерном кубе булевой функции от переменных в совершенной дизъюнктивной нормальной форме. На рис. 3.1 показано такое отображение для функции из п.3.7.

     

    Рис.3.1 Отображение на трехмерном кубе функции, представленной в СДНФ

    Для отображения функции от переменных, представленной в любой дизъюнктивной нормальной форме, необходимо установить соответствие между ее минитермами и элементами -мерного куба.

    Минитерм ( -1)-го ранга можно рассматривать как результат склеивания двух минитермов -го ранга (конституент единицы), т.е. , На -мерном кубе это соответствует замене двух вершин, которые отличаются только значениями координаты , соединяющим эти вершины, ребром (говорят, что ребро покрывает инцидентные ему вершины). Таким образом, минитермам ( -1)-го порядка соответствуют ребра -мерного куба. Аналогично устанавливается соответствие минитермов ( -2)-го порядка — граням -мерного куба, каждая из которых покрывает четыре вершины (и четыре ребра).

    Элементы -мерного куба, характеризующиеся измерениями, называют -кубами. Так, вершины являются 0-кубами, ребра – 1-кубами, грани – 2-кубами и т.д. Обобщая приведенные рассуждения, можно считать, что минитерм ( )-го ранга в дизъюнктивной нормальной форме для функции переменных отображается -кубом, причем каждый -куб покрывает все те -кубы низшей размерности, которые связаны с его вершинами. В качестве примера на рис. 3.2 дано отображение функции трех переменных. Здесь минитермы и соответствуют 1-кубам ( ), а минитерм отображается 2-кубом ( ).

     

    Рис.3.2 Покрытие функции

    Итак, любая дизъюнктивная нормальная форма отображается на -мерном кубе совокупностью -кубов, которые покрывают все вершины, соответствующие конституентам единицы (0-кубы). Справедливо и обратное утверждение: если некоторая совокупность -кубов покрывает множество всех вершин, соответствующих единичным значениям функции, то дизъюнкция соответствующих этим -кубам минитермов является выражение данной функции в дизъюнктивной нормальной форме. Говорят, что такая совокупность -кубов (или соответствующих им минитермов) образует покрытие функции.

    Стремление к минимальной форме интуитивно понимается как поиск такого покрытия, число -кубов которого было бы поменьше, а их размерность — побольше. Покрытие, соответствующее минимальной форме, называют минимальным покрытием. Например, для функции покрытие на рис. 3.3 соответствует минимальным формам и .

     

     

     

     

    Рис. 3.3 Покрытия функции .

    слева – ; справа –

    Отображение функции на -мерном кубе наглядно и просто при . Четырехмерный куб можно изобразить, как показано на рис. 3.4, где отображены функция четырех переменных и ее минимальное покрытие, соответствующее выражению . Использование этого метода при требует настолько сложных построений, что теряется все его преимущества.

     

     

    Рис. 3.4 Отображение функции на четырехмерном кубе

    Карты Карно

    В другом методе графического отображения булевых функций используются карты Карно, которые представляют собой специально организованные таблицы соответствия. Столбцы и строки таблицы соответствуют всевозможным наборам значений не более двух переменных, причем эти наборы расположены в таком порядке, что каждый последующий отличается от предыдущего значением только одной из переменных. Благодаря этому и соседние клетки таблицы по горизонтали и вертикали отличаются значением только одной переменной. Клетки, расположенные по краям таблицы, также считаются соседними и обладают этим свойством. На рис. 3.5 показаны карты Карно для двух, трех, четырех переменных.

          
      
      
     
     
     

     

     

    Рис. 3.5 Карты Карно для двух, трех и четырех переменных

    Как и в обычных таблицах истинности, клетки наборов, на которых функция принимает значение 1, заполняются единицами (нули обычно не вписываются, им соответствуют пустые клетки). Например, на рис. 3.6, а показана карта Карно для функции, отображение которой на четырехмерном кубе дано на рис. 3.4. Для упрощения строки и столбцы, соответствующие значениям 1 для некоторой переменной, выделяются фигурной скобкой с обозначением этой переменной.

        
      
     
     

     

    а б

    Рис. 3.6 Отображение на карте Карно функции четырех переменных

    (а) и ее минимального покрытия (б)

    Между отображениями функции на n-мерном кубе и на карте Карно имеет место взаимно-однозначное соответствие. На карте Карно s-кубу соответствует совокупность 2 соседних клеток, размещенных в строке, столбце, квадрате или прямоугольнике (с учетом соседства противоположных краев карты). Поэтому все положения, изложенные в выше (см. п. многомерный куб), справедливы для карт Карно. Так, на рис. 3.6, б показано покрытие единиц карты, соответствующее минимальной дизъюнктивной форме рассматриваемой функции.

    Считывание минитермов с карты Карно осуществляется по простому правилу. Клетки, образующие s-куб, дают минитер (n–s)-го ранга, в который входят те (n–s) переменные, которые сохраняют одинаковые значения на этом s-кубе, причем значении 1 соответствуют сами переменные, а значениям 0 – их отрицания. Переменные, которые не сохраняют свои значения на s-кубе, в минитерме отсутствуют. Различные способы считывания приводят к различным представлениям функции в дизъюнктивной нормальной форме (крайняя правая является минимальной) (рис. 3.7).

     

     

     

     

    Рис. 3.7 Способы считывания с карты Карно дизъюнктивной нормальной формы булевой функции (слева направо: ; ;

    Пример.Получить минимальные формы для функции

        
     
      
     

     

     

     

     
     

    Пример.Получить минимальную форму для функции, заданной на карте.

     
     

     

     

     

    Использование карт Карно требует более простых построений по сравнению с отображением на n-мерном кубе, особенно в случае четырех переменных. Для отображения функций пяти переменных используется две карты Карно на четыре переменные, а для функции шести переменных – четыре таких карты. При дальнейшем увеличении числа переменных карты Карно становятся практически непригодными.

    Известные в литературе карты Вейча отличаются только другим порядком следования наборов значений переменных и обладают теми же свойствами, что и карты Карно.

    Комплекс кубов

    Несостоятельность графических методов при большом числе переменных компенсируется различными аналитическими методами представления булевых функций. Одним из таких представлений является комплекс кубов, использующий терминологию многомерного логического пространства в сочетании со специально разработанной символикой.

    Комплекс кубов К(у) функции определяется как объединение множеств Кs(у) всех ее s-кубов (s=0.1,…,n), т. е. , причем некоторые из Кs(у) могут быть пустыми. Для записи s-кубов и минитермов функции от n переменных используются слова длины n, буквы которых соответствуют всем n переменным. Входящие в минитерм переменные называются связанными и представляются значениями, при которых минитерм равен единице (1 для и 0 для ). Не входящие в минитерм переменные являются свободными и обозначаются через . Например, 2-куб функции пяти переменных, соответствующий минитерму запишем как ( ). 0-кубы, соответствующие конституентам единицы, представляются наборами значений переменных, на которых функция равна единице. Очевидно, в записи s-куба всегда имеется s свободных переменных. Если все n переменных свободны, что соответствует n-кубу, то это означает тождественность единице рассматриваемой функции. Таким образом, для функций, не равных тождественно единице Ø.

    Множество всех s-кубов записывается как совокупность слов, соответствующих каждому s-кубу. Для удобства будем располагать слова s-кубов в столбцы, а их совокупность заключать в фигурные скобки. Например, комплекс кубов, соответствующий представлению функции на трехмерном кубе (рис. 3,10а), выражается как , где

     

    ; ; .

    Для сравнения на рис. 3.8 изображен комплекс кубов в принятых обозначениях.

     

    Рис. 3.8 Комплекс кубов функции трех переменных (а) и его символическое представление (б)

    Комплекс кубов образует максимальное покрытие функции. Исключая из него все те s-кубы, которые покрываются кубами высшей размерности, получаем покрытия, соответствующие тупиковым формам. Так, для рассматриваемого примера (рис. 3.8) имеем тупиковое покрытие

    ,

    которое соответствует функции . В данном случае это покрытие является и минимальным.

    Для двух булевых функций операция дизъюнкции соответствует объединению их комплексов кубов , а операция конъюнкции — пересечению комплексов кубов . Отрицанию функции соответствует дополнение комплекса кубов, т. е. , причем определяется всеми вершинами, на которых функция принимает значение 0. Таким образом, имеет место взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм) между алгеброй булевых функций и булевых множеств, представляющих комплексы кубов.

    Представление функции в виде комплексов кубов менее наглядно, однако его важнейшие достоинства состоят в том, что снимаются ограничения по числу переменных и облегчается кодирование информации при использовании вычислительных машин.

    Минимизация булевых функций

    Постановка задачи. Минимизация схемы в булевом базисе сводится к поиску минимальной дизъюнктивной формы, которой соответствует минимальное покрытие. Общее число букв, вхо­дящих в нормальную форму, выражается ценой покрытия , где — число — кубов, образующих покрытие данной функции от п переменных. Минимальное покрытие характеризуется наименьшим значением его цены.

    Обычно задача минимизации решается в два шага. Сначала ищут сокращенное покрытие, которое включает все -кубы максимальной размерности, но не содержит ни одного куба, покрывающегося каким-либо кубом этого покрытия. Соответствующею дизъюнктивную нормальную форму называют сокращенной, а ее минитермы — простыми импликантами. Для данной функции сокращенное покрытие является единственным, но оно может быть избыточным вследствие того, что некоторые из кубов покрываются совокупностями других кубов.

    На втором шаге осуществляется переход от сокращенной к тупиковым дизъюнктивным нормальным формам, из которых выбираются минимальные формы. Тупиковые формы образуются путем исключения из сокращенного покрытия всех избыточных кубов, без которых оставшаяся совокупность кубов еще образует покрытие данной функции, но при дальнейшем исключении любого из кубов она уже не покрывает множества всех вершин, соответствующих единичным значениям функции, т. е. перестает быть покрытием.

    Куб сокращенного покрытия, который покрывает вершины данной функции, не покрываемые никакими другими кубами, не может оказаться избыточным и всегда войдет в минимальное покрытие. Такой куб, как и соответствующая ему импликанта, называют экстремалью (существенной импликантой), а покрываемые им вершины — отмененными вершинами. Множество экстремалей образует ядро покрытия, ясно, что при переходе от сокращенного покрытия к минимальному прежде всего следует выделить все экстремали. Если множество экстремалей не образует покрытия, то оно дополняется до покрытия кубами из сокращенного покрытия.

    Приведенные определения иллюстрируются на рис. 3.9, где сокращенное покрытие (см. рис. 3.9а,) и минимальные покрытия (рис. 3.9б) и (см. рис. 3.9, б) выражаются следующим образом:

     

     

     

     

     

    Рис. 3.9 Сокращенное ( ) и минимальные покрытия ( , ) функции (а – сокращенное, б, в — минимальные)

    Сокращенная форма представляет собой дизъюнкцию четырех простых импликант, т. е. Экстремалями являются простые импликанты и ,которым соответствуют 1-кубы (

    Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

    Булевы функции

    1. Булева функция $g\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1{\overline{x}}_2x_3\vee x_2\vee x_3\right)\to \left(x_1\bigoplus x_3\right)$ задана формулой. Построить таблицу истинности.
    2. Построить для функции $g\left(x_1,x_2,x_3\right)$ ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ методом тождественных преобразований.
    3. Найти многочлен Жегалкина для функции $g\left(x_1,x_2,x_3\right)$:
    а) методом неопределенных коэффициентов;
    б) методом тождественных преобразований.

    Поступил ответ 2 Марта 2017 от Викиматика

    1. Булева функция $g\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1{\overline{x}}_2x_3\vee x_2\vee x_3\right)\to \left(x_1\bigoplus x_3\right)$ задана формулой. Построить таблицу истинности.

    2. Построить для функции $g\left(x_1,x_2,x_3\right)$ ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ методом тождественных преобразований.

    3. Найти многочлен Жегалкина для функции $g\left(x_1,x_2,x_3\right)$:

    а) методом неопределенных коэффициентов;

    б) методом тождественных преобразований.3=8$.

    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    x_1 & x_2 & x_3 & x_1{\overline{x}}_2x_3 & x_2\vee x_3 & x_1{\overline{x}}_2x_3\vee x_2\vee x_3 & x_1\bigoplus x_3 & g\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1{\overline{x}}_2x_3\vee x_2\vee x_3\right)\to \left(x_1\bigoplus x_3\right) \\
    \hline
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
    \hline
    0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
    \hline
    0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
    \hline
    0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
    \hline
    1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
    \hline
    1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
    \hline
    1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
    \hline
    1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
    \hline
    \end{array}$

    2. Используя тождественные преобразования, приведем данную булеву функцию $g\left(x_1,x_2,x_3\right)$ к ДНФ.

    $g\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(\underbrace{x_1{\overline{x}}_2x_3}_{поглощается\ x_3}\vee x_2\vee x_3\right)\to \left(x_1\bigoplus x_3\right)=\left(x_2\vee x_3\right)\to \left(x_1\bigoplus x_3\right)=$ «используем равносильности $x\to y=\overline{x}\vee y$, $x\bigoplus y=\overline{x}y\vee x\overline{y}$» $=\overline{x_2\vee x_3}\vee {\overline{x}}_1x_3\vee x_1{\overline{x}}_3=$ «используем закон де Моргана $\overline{x\vee y}=\overline{x}\ \overline{y}$» $={\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1x_3\vee x_1{\overline{x}}_3$ — ДНФ.

    Перейдем от ДНФ к КНФ, для этого ставим над ДНФ два отрицания и с помощью правил де Моргана (не трогая верхнее отрицание) приводим отрицание ДНФ снова к ДНФ. При этом приходится раскрывать скобки с использованием правила поглощения (или правила Блейка). Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ:

    $g\left(x_1,x_2,x_3\right)={\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1x_3\vee x_1{\overline{x}}_3=\overline{\overline{{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1x_3\vee x_1{\overline{x}}_3}}=\overline{\left(x_2\vee x_3\right)\left(x_1\vee {\overline{x}}_3\right)\left({\overline{x}}_1\vee x_3\right)}=$ «используем закон дистрибутивности для 1-го и 2-го множителей $\left(x\vee y\right)\left(y\vee z\right)=y\vee xz$» $=\overline{\left(x_3\vee {\overline{x}}_1x_2\right)\left(x_1\vee {\overline{x}}_3\right)}=\overline{x_1x_3\vee {\overline{x}}_1x_2{\overline{x}}_3}=\left({\overline{x}}_1\vee {\overline{x}}_3\right)\left(x_1\vee {\overline{x}}_2\vee x_3\right)$ — КНФ.

    Переход от ДНФ к СДНФ. С этой целью добавляем в каждую элементарную конъюнкцию недостающие переменные вида $x_i\vee {\overline{x}}_i$, затем применяем закон дистрибутивности.

    $g\left(x_1,x_2,x_3\right)={\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1x_3\vee x_1{\overline{x}}_3={\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\left(x_1\vee {\overline{x}}_1\right)\vee {\overline{x}}_1x_3\left(x_2\vee {\overline{x}}_2\right)\vee x_1{\overline{x}}_3\left(x_2\vee {\overline{x}}_2\right)=x_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1x_2x_3\vee {\overline{x}}_1{\overline{x}}_2x_3\vee x_1x_2{\overline{x}}_3\vee x_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3=x_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1x_2x_3\vee {\overline{x}}_1{\overline{x}}_2x_3\vee x_1x_2{\overline{x}}_3$ — СДНФ.

    Переход от КНФ к СКНФ. С этой целью добавляем в каждую элементарную дизъюнкцию недостающие переменные вида $x_i{\overline{x}}_i$, затем применяем закон дистрибутивности.

    $g\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({\overline{x}}_1\vee {\overline{x}}_3\right)\left(x_1\vee {\overline{x}}_2\vee x_3\right)=\left({\overline{x}}_1\vee {\overline{x}}_3\vee x_2{\overline{x}}_2\right)\left(x_1\vee {\overline{x}}_2\vee x_3\right)=\left({\overline{x}}_1\vee x_2\vee {\overline{x}}_3\right)\left({\overline{x}}_1\vee {\overline{x}}_2\vee {\overline{x}}_3\right)\left(x_1\vee {\overline{x}}_2\vee x_3\right)$ — СКНФ.

    3. Методом неопределенных коэффициентов найдем полином Жегалкина. 

    Пусть полином Жегалкина имеем вид: $P\left(x_1,\ x_2,x_3\right)=C_0\bigoplus C_3x_3\bigoplus C_2x_2\bigoplus C_{23}x_2x_3\bigoplus C_1x_1\bigoplus C_{13}x_1x_3\bigoplus C_{12}x_1x_2\bigoplus C_{123}x_1x_2x_3$. Будем подставлять наборы значений переменных $x_1,\ x_2,x_3$ и вычислять соответствующие коэффициенты.

    $P\left(0,\ 0,\ 0\right)=C_0=1;$ 

    $P\left(0,\ 0,\ 1\right)=C_0\bigoplus C_3=1\Rightarrow 1\bigoplus C_3=1\Rightarrow C_3=0;$ 

    $P\left(0,\ 1,\ 0\right)=C_0\bigoplus C_2=0\Rightarrow 1\bigoplus C_2=0\Rightarrow C_2=1;$ 

    $P\left(0,\ 1,\ 1\right)=C_0\bigoplus C_3\bigoplus C_2\bigoplus C_2C_3=1\Rightarrow 1\bigoplus 0\bigoplus 1\bigoplus C_{23}=1\Rightarrow 0\bigoplus C_{23}=1\Rightarrow C_{23}=1;$ 

    $P\left(1,\ 0,\ 0\right)=C_0\bigoplus C_1=1\Rightarrow 1\bigoplus C_1=1\Rightarrow C_1=0;$ 

    $P\left(1,\ 0,\ 1\right)=C_0\bigoplus C_3\bigoplus C_1\bigoplus C_{13}=0\Rightarrow 1\bigoplus 0\bigoplus 0\bigoplus C_{13}=0\Rightarrow 1\bigoplus C_{13}=0\Rightarrow C_{13}=1;$ 

    $P\left(1,\ 1,\ 0\right)=C_0\bigoplus C_2\bigoplus C_1\bigoplus C_{12}=1\Rightarrow 1\bigoplus 1\bigoplus 0\bigoplus C_{12}=1\Rightarrow 0\bigoplus C_{12}=1\Rightarrow C_{12}=1;$ 

    $P\left(1,\ 1,\ 1\right)=C_0\bigoplus C_3\bigoplus C_2\bigoplus C_{23}\bigoplus C_1\bigoplus C_{13}\bigoplus C_{12}\bigoplus C_{123}=0\Rightarrow 1\bigoplus 0\bigoplus 1\bigoplus 1\bigoplus 0\bigoplus 1\bigoplus 1\bigoplus C_{123}=0\Rightarrow 1\bigoplus C_{123}=0\Rightarrow C_{123}=1.$ 

    Получаем полином Жегалкина:

    $P\left(x_1,\ x_2,x_3\right)=1\bigoplus x_2\bigoplus x_2x_3\bigoplus x_1x_3\bigoplus x_1x_2\bigoplus x_1x_2x_3.$ 

    Построим полином Жегалкина методом тождественных преобразований. Для этого возьмем ДНФ функции $g\left(x_1,x_2,x_3\right)={\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1x_3\vee x_1{\overline{x}}_3$ и избавимся от дизъюнкции, используя закон де Моргана $x\vee y=\overline{xy}$, затем заменим каждое отрицание ${\overline{x}}_i$ по формуле ${\overline{x}}_i=1\bigoplus x_i$ и упростим полученную формулу.

    $g\left(x_1,x_2,x_3\right)={\overline{x}}_2{\overline{x}}_3\vee {\overline{x}}_1x_3\vee x_1{\overline{x}}_3=\overline{\overline{{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3}\cdot \overline{{\overline{x}}_1x_3}\cdot \overline{x_1{\overline{x}}_3}}=1\bigoplus \overline{{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3}\cdot \overline{{\overline{x}}_1x_3}\cdot \overline{x_1{\overline{x}}_3}=1\bigoplus \left(1\bigoplus \left(1\bigoplus x_2\right)\left(1\bigoplus x_3\right)\right)\left(1\bigoplus x_3\left(1\bigoplus x_1\right)\right)\left(1\bigoplus x_1\left(1\bigoplus x_3\right)\right)=1\bigoplus \left(1\bigoplus 1\bigoplus x_3\bigoplus x_2\bigoplus x_2x_3\right)\left(1\bigoplus x_3\bigoplus x_1x_3\right)\left(1\bigoplus x_1\bigoplus x_1x_3\right)=1\bigoplus \left(x_3\bigoplus x_2\bigoplus x_2x_3\right)\left(1\bigoplus x_3\bigoplus x_1x_3\right)\left(1\bigoplus x_1\bigoplus x_1x_3\right)=1\bigoplus \left(x_3\bigoplus x_2\bigoplus x_2x_3\right)\left(1\bigoplus x_1\bigoplus x_1x_3\bigoplus x_3\bigoplus x_1x_3\bigoplus x_1x_3\bigoplus x_1x_3\bigoplus x_1x_3\bigoplus x_1x_3\right)=1\bigoplus \left(x_3\bigoplus x_2\bigoplus x_2x_3\right)\left(1\bigoplus x_1\bigoplus x_3\right)=1\bigoplus x_3\bigoplus x_1x_3\bigoplus x_3\bigoplus x_2\bigoplus x_1x_2\bigoplus x_2x_3\bigoplus x_2x_3\bigoplus x_1x_2x_3\bigoplus x_2x_3=1\bigoplus x_2\bigoplus x_2x_3\bigoplus x_1x_3\bigoplus x_1x_2\bigoplus x_1x_2x_3.$

    Прикрепленные файлы:

    Программный модуль преобразования дизъюнктивных нормальных форм булевых функций в полином Жегалкина Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

    УДК 004.021

    ПРОГРАММНЫЙ МОДУЛЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИЗЪЮНКТИВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ В ПОЛИНОМ ЖЕГАЛКИНА А.А. Акинин, С.Л. Подвальный

    В данной статье предложена программная реализация преобразования дизъюнктивных нормальных форм булевых функций в полином Жегалкина с промежуточным восстановлением дизъюнктивных форм к совершенной дизъюнктивной нормальной форме

    Ключевые слова: полином Жегалкина, булева функция, дизъюнктивная нормальная форма

    В [1] были разработаны и исследованы модели легкодиагностируемых логических преобразователей (ЛП) на программируемых логических матрицах (ПЛМ) с перестраиваемым элементным базисом. Основу таких ПЛМ составляет базис логических функций И (AND) и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (EXOR) [2]. Данные элементы совместно с элементом генератор логической 1 составляют элементный базис Жегалкина. Для реализации таких ЛП требуется преобразование дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ) булевой функции (БФ) в так называемый полином Жегалкина. Вследствие того, что полином Жегалкина может быть получен только на основе совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) функции, то

    необходимо располагать не только автоматическими средствами преобразования СДНФ в полином Жегалкина, но и средствами автоматического преобразования произвольных ДНФ БФ в СДНФ.

    В [3] предложен метод преобразования ДНФ булевых функций в полином Жегалкина. Суть этого метода заключается в следующем. Метод

    реализуется в два этапа: на первом этапе

    производится восстановление ДНФ БФ до СДНФ, которая реализуется в табличной форме в виде таблицы истинности (ТИ). ТИ БФ, представляется в виде 2П упорядоченного компонентного вектора, элементами которого являются значения БФ на возрастающих наборах значений аргументов функции. На втором этапе метода осуществляется вычисление коэффициентов полинома Жегалкина БФ, представленного в общем виде. По мере расчета коэффициентов полинома, формируется вектор размерности 2П, содержащий значения

    присутствующих и отсутствующих членов полиномиальной нормальной формы (ПНФ) БФ. Формирование ПНФ функции осуществляется путём последовательного преобразования каждого минтерма СДНФ БФ в частные ПНФ (ЧПНФ) и на основе их последующей суперпозиции -формировании окончательной ПНФ БФ — полинома Жегалкина. Разработанные метод и алгоритм формирования ПНФ с использованием ЧПНФ

    Акинин Андрей Александрович — ООО “Мобильные ответы”, соискатель, e-mail: [email protected] Подвальный Семен Леонидович — ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected]

    весьма эффективны для программной реализации, так как исходные данные для преобразования, промежуточные результаты и конечный результат имеют простое машинное представление в виде двоичных векторов фиксированной длины, равной 2п бит, где п-количество аргументов БФ.

    В [4] было показано, что основной целью при программной реализации алгоритма восстановления СДНФ должно являться достижение оптимального соотношения между быстродействием процесса восстановления СДНФ по заданной сокращенной ДНФ и требуемым для решения этой задачи аппаратным ресурсам, в связи с чем был предложен алгоритм восстановления таблицы истинности БФ по произвольной ДНФ, который представлен на рис.

    1.

    НАЧАЛО

    1:-1, К:-количеств о конъюнкций в ДНФ; обнуление таблицы истинности ^ Е

    4 ~~

    S:- 1|1]; W:-i[I]Tt[I]; М- W

    І___________________

    G := ( S&M ) v а[1]

    __________________L._________________

    Е[0] := 1

    I

    ОСТАНОВ

    Рис. 1. Схема алгоритма восстановления таблицы истинности БФ по произвольным ДНФ

    Как видно из рис. 1, главным преимуществом предложенного алгоритма является то, что каждый минтерм СДНФ определяется не перебором всех возможных наборов значений аргументов БФ, а вычисляется на основе рекуррентного соотношения — в : = ( 8&М ) у а[1], в связи с чем,

    данный алгоритм обладает приемлемой вычислительной сложностью по сравнению с известными идентичными алгоритмами при минимальных требованиях к ресурсу памяти ЭВМ.

    Рассмотрим существо предложенного метода формирования ПНФ БФ путём последовательного преобразования каждого минтерма СДНФ функции в ЧПНФ на примере.

    Пусть логическая функция Др, q, г) задана таблицей истинности, представленной в табл. 1, индексом 1 обозначен номер набора значений логических переменных.

    Таблица 1

    1 Р q г f

    0 0 0 0 1

    1 0 0 1 1

    2 0 1 0 1

    3 0 1 1 0

    4 1 0 0 0

    5 1 0 1 0

    6 1 1 0 1

    7 1 1 1 0

    той же функции. В остальных строках метками «1» отмечены те члены ПНФ, которые входят в частные ПНФ в соответствии с вычисленными выше ЧПНФ. где 7- = 07, если

    известно, что (1 Ф р)(1 Ф д) = 1 Ф р Ф д Ф рд и р = 1 ® р ,

    для V р, д, г е {0,1}.

    /0 (0,0,0) = = (1Ф р)(1 Ф д)(1 Ф г) =

    = 1 Ф р Ф д Ф г Ф рд Ф дг Ф рг Ф рдг = В0 /(0,0,1) = Удг = (1Ф р)(1Ф д)г =

    = г Ф дг Ф рг Ф рдг = В1

    /2 С0,1,0) = рдг =(1 Ф р)д(!Ф г) =

    = д Ф рд Ф дг Ф рдг = В2

    /з(0,1,1) = рдг = (1Ф р)дг = дг Ф рдг = В3

    /4(1,0,0) = рдг = р(1 Ф д)(1Ф г) =

    = р Ф рд Ф рг Ф рдг = В4

    /5 (1,0,1) = рдг = р(1 Ф д)г = рг Ф рдг = В5

    Леи0)=рдг=рд(1 ®г)=рд ® рдг=В6 /7 (1,1,1) = рдг = В7

    Сведем полученные данные в табл. 2.

    Таблица 2

    ш ЧПНФ

    1 г ч ЦТ Р Р г РЧ Р Ч г

    рдг 1 1 1 1 1 1 1 1 В0

    рдг 1 1 1 1 В!

    рдг 1 1 1 1 в2

    рдг 1 1 В3

    рдг 1 1 1 1 в4

    рдг 1 1 в5

    рдг 1 1 Вб

    рдг 1 в7

    В табл. 2 в первом столбце перечислены все возможные минтермы функции f(p, q, г) — К1, а в первой строке указаны все возможные члены ПНФ

    Кг ЧПНФ

    1 000 г 001 010 ^ г 011 р 100 Р г 101 ка 110 Р 111 В,

    рдг 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Во

    рдг 001 1 1 1 1 В!

    рдг 0 1 0 1 1 1 1 в2

    рдг 0 11 1 1 В3

    рдг 1 0 0 1 1 1 1 В4

    рдг 1 0 1 1 1 В5

    рдг 110 1 1 Вб

    рдг 1 1 1 1 В7

    Е® 1 0 0 1 1 0 1 0 в

    Следовательно, способ формирования ПНФ с использованием частных полиномиальных нормальных форм весьма эффективен для программной реализации, так как исходные данные для преобразования, промежуточные результаты и конечный результат имеют простое машинное представление в виде двоичных векторов различной длины.

    Анализ данных табл. 3 наглядно

    демонстрирует следующую закономерность: разряды двоичных векторов BJ принимают единичные значения только в том случае, если единичные значения переменных в номерах строк полностью входят в двоичные номера столбцов таблицы. Исключение составляет только вектор В0, все элементы которого равны 1.

    Вскрытая закономерность позволяет автоматически формировать ПНФ функции без предварительного составления и хранения табл. 3. Более того, отпадает необходимость хранения всей

    таблицы истинности логической функции, для формирования ПНФ достаточно иметь только таблицу минтермов данной функции.

    Алгоритм формирования ПНФ с использованием ЧПНФ представлен на рис. 2.

    напало

    Задание сигаольнт имен аргументов

    Е Ф и закрепление этих имен за разрядами да схемного п-разрядааго

    _______________тает S________________

    __________________*__________________

    ВВОДЯТСЯ ИСХОДНЫ* данные п — число аргументов Е Ф, Е — вектор, содержащий шаненкя ТИБФ,где N=2n-1

    I

    Создание и обнуление двоичного me сив 4 В= {bü Jb|,. Ны

    D. =К,

    D, = D,+ l

    ________________Í________________

    D| = D,vK, t

    b[Df]-b[Df] _________________I

    _________________1

    Увеличение счетчика, i на. 1

    ——————I ~

    \________________

    По полученному мае шву В и переменной S формируется ПНФ ПОГРН е СЕСОИ функции Е СИМЕ ОЛЕГОМ

    «Г

    OCIABD0

    Рис. 2. Алгоритм формирования ПНФ с использованием ЧПНФ

    Исходными данными для предложенного алгоритма являются: п — число аргументов БФ, вектор Е размерности 2п, содержащий значения СДНФ БФ.

    Основное достоинство алгоритма заключается в том, что ПНФ функции формируется путём преобразования каждого минтерма СДНФ в частные ПНФ (ЧПНФ) в виде их векторного представления так, как показано на рис. 3.

    Для хранения значений очередного минтерма функции в программе используется вектор Б, размерности п. Коэффициенты присутствующих и отсутствующих членов полиномиальной

    нормальной формы БФ заносятся в вектор В размерности 2п. Для корректной работы

    программного модуля необходимо обнулить двоичные массивы В и Б.

    На первом шаге рассматриваемого фрагмента алгоритма, необходимо получить векторное представление очередного минтерма СДНФ — К

    Рис.,bN}, значение которого необходимо проинвертировать. Для этого

    используем операции арифметического сложения Dj = Dj+1 и побитового сложения Dj = Dj v Kj. Повторяем вычисление и инвертирование

    определенного номера бита вектора до тех пор, пока Dj < (2п-1). С помощью операции

    инвертирования мы как бы добавляем следующий член ЧПНФ в итоговую ПНФ БФ, учитывая что x¡ ® x¡ = Ь а x¡ ® x¡ = 0 для V x¡ е {0,1} •

    Далее переходим к следующему минтерму СДНФ БФ.

    Таким образом, в векторе B по окончании цикла по j < m, где m — количество минтермов БФ, осуществляется поэлементное суммирование по модулю 2, с накоплением результата, сформированных по минтермам исходной СДНФ двоичных векторов частных ПНФ, в силу чего данный алгоритм является весьма экономичным по требуемой памяти и количеству операций, производимыми над символьными переменными.

    Следует отметить также, что для эффективной программной реализации предложенных алгоритмов необходимо осуществить выбор наиболее рациональной формы хранения исходных и конечных данных программного модуля, которая позволяла бы не только хранить большой объем данных, но и производить над ними операции за минимально необходимый промежуток времени. В связи с чем, в качестве хранилища векторов B и E, размерности 2п, был выбран битовый массив dynamic_bitset из библиотеки BOOST C++. Эта библиотека представляет собой собрание множества кроссплатформенных библиотек, созданных

    независимыми разработчиками и тщательно проверенными на различных платформах (№’№’№.Ь0081.0г§). Отличительными особенностями массива dyпamic_b1tset являются: возможность

    динамического изменения размера массива в ходе выполнения программы, поддержка быстрого доступа по индексу к произвольному элементу массива, поддержка элементарных логических операций (регистрового сдвига, сложения, умножения, инверсии и т. д.). Размер массива dyпamic_bitset ограничен величиной 232-1, вследствие чего максимальное число аргументов исходной ДНФ БФ должно быть ограничено числом 31.

    На основе предложенных алгоритмов, реализующих метод преобразования ДНФ булевых функций в полином Жегалкина, был разработан программный модуль “Преобразователь булевых функций”. На рис. 4 представлено главное окно программного модуля “Преобразователь булевых функций”.

    Рис. 4. Главное окно программного модуля “Преобразователь булевых функций”

    Программа написана на языке С++, для ее функционирования необходимо не менее 5 Гб на жестком диске и не менее 512 Мб оперативной памяти.

    Большой объем требуемой памяти на жестком диске обусловлен тем, что выходной файл, формируемый программой и содержащий ПНФ анализируемой БФ, зависит от количества аргументов функции. Так, например, размер

    выходного файла, содержащего ПНФ функции, зависящей от 20 переменных, СДНФ которой состоит всего из двух минтермов, занимает 1,5 Мб жесткого диска. Размер самого программного модуля составляет всего 330 Кб.

    Разработанный программный модуль осуществляет ввод БФ, анализирует форму введенной функции и, при необходимости, автоматически восстанавливает ДНФ функции до СДНФ.

    В представленном программном модуле, ПНФ БФ может быть сформирована как по нулевым значениям функции, так и по единичным. Предусмотрена возможность и автоматического получения ПНФ функции. При выборе этого способа расчета ПНФ, в программе реализуется подсчет нулей и единиц в СДНФ БФ. Далее, в зависимости от количества минтермов и макстермов функции, автоматически происходит выбор наиболее экономичного по ресурсам памяти способа формирования ПНФ — по единичным или по нулевым значениям соответственно.

    Сформированные выходные данные программы могут быть получены как в символьном виде, так и в векторном. Это обстоятельство обусловлено тем, что при достаточно большом количестве аргументов функции анализировать БФ в символьном виде весьма сложно.

    Литература

    1. Акинина Ю.С. Альтернативный подход к обеспечению легкодиагностируемости двухуровневых программируемых пользователем логических матриц / Ю.С. Акинина, С.В. Тюрин // Вестник Воронеж. гос. техн. ун-та. Сер. Вычислительные и информационнотелекоммуникационные системы. — Воронеж: ВГТУ, 2003. Вып. 8.3. С. 32-35.

    2. Закревский А.Д. Полиномиальная реализация частичных булевых функций и систем / А. Д. Закревский, Н. Р. Торопов. М.: Эдиториал УРСС, 2003. 217 с.

    3. Акинина Ю.С. Разработка метода преобразования дизъюнктивных нормальных форм в полиномиальную нормальную форму / Ю.С. Акинина // Современные проблемы информатизации в системах моделирования, программирования и телекоммуникациях: сборник трудов IX международной открытой научной конференции. 2004. Вып. 9. С. 271.

    4. Акинин А.А. О программной реализации алгоритма восстановления совершенной дизъюнктивной нормальной формы / А.А. Акинин, Ю.С. Акинина // Информационные технологии моделирования и управления. 2010, №6(65)

    Воронежский государственный технический университет ООО “Мобильные ответы” (г. Воронеж)

    THE MODULE PROGRAMM OF TRANSFORMATION OF SUM OF PRODUCTS OF BOOLEAN’S FUNCTION’S INTO ZHEGALKIN’S POLYNOMIAL A.A. Akinin, S.L. Podvalniy

    This article considers the realization program of transformation of sum of products of Boolean’s functions into Zhegalkin’s polynomial with stage-by stage regeneration of sum of products till they reach complete sum of products

    Key words: Zhegalkin’s polynomial, boolean function, sum of products

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:
    в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
    в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных переменных
    каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.
    Любая булева формула, не являющаяся тождественно ложной, может быть приведена к СДНФ, причём единственным образом, то есть для любой выполнимой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.

    1. Пример нахождения СДНФ
    Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:
    В ячейках результата f {\displaystyle fx_{1},x_{2},x_{3}} отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние единицы. Далее рассматриваются значения переменных, при которых функция равна 1. Если значение переменной равно 0, то она записывается с инверсией. Если значение переменной равно 1, то без инверсии.
    Первая строка содержит 1 в указанном поле. Отмечаются значения всех трёх переменных, это:
    x 2 = 0 {\displaystyle x_{2}=0}
    x 1 = 0 {\displaystyle x_{1}=0}
    x 3 = 0 {\displaystyle x_{3}=0}
    Нулевые значения — тут все переменные представлены нулями — записываются в конечном выражении инверсией этой переменной. Первый член СДНФ рассматриваемой функции выглядит так: x 1 ¯ ⋅ x 2 ¯ ⋅ x 3 ¯ {\displaystyle {\overline {x_{1}}}\cdot {\overline {x_{2}}}\cdot {\overline {x_{3}}}}
    Переменные второго члена:
    x 1 = 0 {\displaystyle x_{1}=0}
    x 3 = 1 {\displaystyle x_{3}=1}
    x 2 = 0 {\displaystyle x_{2}=0}
    x 3 {\displaystyle x_{3}} в этом случае будет представлен без инверсии: x 1 ¯ ⋅ x 2 ¯ ⋅ x 3 {\displaystyle {\overline {x_{1}}}\cdot {\overline {x_{2}}}\cdot x_{3}}
    Таким образом анализируются все ячейки f {\displaystyle fx_{1},x_{2},x_{3}}. Совершенная ДНФ этой функции будет дизъюнкцией всех полученных членов элементарных конъюнкций.
    Совершенная ДНФ этой функции:
    f = x 1 ¯ ∧ x 2 ¯ ∧ x 3 ¯ ∨ x 1 ¯ ∧ x 2 ¯ ∧ x 3 ∨ x 1 ¯ ∧ x 2 ∧ x 3 ¯ ∨ x 1 ∧ x 2 ∧ x 3 ¯ {\displaystyle fx_{1},x_{2},x_{3}={\overline {x_{1}}}\land {\overline {x_{2}}}\land {\overline {x_{3}}}\vee {\overline {x_{1}}}\land {\overline {x_{2}}}\land x_{3}\vee {\overline {x_{1}}}\land x_{2}\land {\overline {x_{3}}}\vee x_{1}\land x_{2}\land {\overline {x_{3}}}}

    • Конъюнктивная нормальная форма Совершенная дизъюнктивная нормальная форма Совершенная конъюнктивная нормальная форма Конъюнктивный одночлен Дизъюнктивный одночлен
    • линейное время. Дизъюнктивная нормальная форма Совершенная дизъюнктивная нормальная форма Совершенная конъюнктивная нормальная форма Конъюнктивный одночлен
    • одночленов скобки не пишутся. Дизъюнктивная нормальная форма Конъюнктивная нормальная форма Дизъюнктивный одночлен Совершенный одночлен Булева алгебра Алгебра
    • прикладное значение выбранной системы функций. Основная статья: Дизъюнктивная нормальная форма Простой конъюнкцией или конъюнктом называется конъюнкция некоторого
    • предложено использовать для преобразования вектора значений совершенной дизъюнктивной нормальной формы в вектор коэффициентов полинома Жегалкина для произвольной
    • субстанциальности души, гипотетические антиномии — идею Вселенной как целого, дизъюнктивные идеал — идею Бога. Поскольку категорический императив — высшее предписание
    • темпоральность, мы нуждаемся в новом настоящем и желаем повторение и будущее. Дизъюнктивный синтез памяти тематика Бергсона присваивает настоящее и привычку
    • категорию, несмотря на то, что не имеют общего признака Взаимоисключающие дизъюнктивные категории имеют слишком примитивную логику для научного применения

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма: днф онлайн, таблица истинности для 4 переменных, опишите совершенную дизъюнктивную нормальную форму, сднф и скнф, полином жегалкина, совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы, алгоритм построения сднф, алгоритм нахождения сднф

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы.

    Математическая логика oнлайн с подробным объяснением. Активные и интерактивные формы: лекции, практические занятия, контрольные работы, Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Полином. Сднф и скнф. Построение таблицы истинности онлайн СКНФ СДНФ. ТЕМА: СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ. ПЛАН: 1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. 2. Совершенная конъюнктивная.

    Днф онлайн.

    7. Разложение булевой функции по переменным и совершенные. Основная статья: Дизъюнктивная нормальная форма Совершенной дизъюнктивной нормальной формой или СДНФ относительно некоторого. Алгоритм построения сднф. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Это совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ нашей функции. Пример 24. Построим СДНФ для функции, таблица истинности которой. Таблица истинности для 4 переменных. СОВЕРШЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА это Что такое. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Cтраница 4. При работе ППЗУ в качестве комбинационного цифрового устройства сигналы. Построение СКНФ и СДНФ по таблице истинности Автор24. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы А. СДНФ А называется дизъюнктивная нормальная форма формулы А.

    Как найти скнф и сднф.

    Пример 4 совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Построим совершенную дизъюнктивную нормальную форму функции, заданной. Приложение 1 РИНХ. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой СДНФ называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная. Представлений булевых функций: совершенная дизъюнктивная нормальная форма сднф, совершенная конъюнктивная нормальная форма скнф. Декану физического факультета ТГУ Томский политехнический. Совершенная конъюнктивная нормальная форма СКНФ это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям: в ней нет одинаковых.

    Конъюнктивной нормальной формой логической функции.

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма представления булевых функций. Построение СДНФ по таблице истинности. Сокращенная. СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение. Как с помощью python сделать СДНФ Совершенная дизъюнктивная нормальная форма? Что должно получиться на фото ниже. Урок 12. преобразование логических выражений Информатика. Формами являются: совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ​ и такая форма называется совершенной дизъюнктивной нормальной.

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма ФАЛ здесь.

    Что такое совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ?. 14. Что такое совершенная коньюктивная нормальная форма СКНФ?. 15. Какая. Результаты поиска по сднф Руконт. Дизъюнктивная нормальная форма называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой СДНФ, если элементарные конъюнкции,. Способы представления переключательных функций. Учебный. Оно известно как представление функции в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы СДНФ. Тупиковые нормальные формы Любая. Программа в стадии разработки МАИ. Кафедра Высшая. Ни один множитель не содержит одну и ту же переменную дважды. КНФ, для которой выполняются свойства совершенства называется совершенной.

    Ен.02 дискретная математика с элементами математической.

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма одна из форм представления функции алгебры логики в виде логического выражения. Представляет собой частный случай ДНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям: в ней нет одинаковых слагаемых в каждом слагаемом нет повторяющихся переменных. Программа вступительного испытания. А ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы СКНФ это. Учебник по дискретной математике днф, сднф, кнф, скнф. Конъюнктивная нормальная форма. КНФ и схема ее построения. Совершенные дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы СДНФ и СКНФ. СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФОРМУЛ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ Формула называтся дизъюнктивной нормальной формой ДНФ, если она.

    СКНФ и СДНФ Цифровая техника в радиосвязи.

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ Определение. Формула называтся дизъюнктивной нормальной формой ДНФ, если она. Синтез логических схем Лаборатория Электронных Средств. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, совершенная совершенную дизъюнктивную нормальную форму для функции,.

    Способы представления ФАЛ. Переход от одной формы.

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ представления переключательной функции – запись функции в виде дизъюнкции конъюнкций. Совершенная конъюнктивная нормальная форма с. КНФ это конъюнкция дизъюнктов. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. 2.2 Совершенная нормальная форма. Теорема существования и единственности Совершенной дизъюнктивной нормальной формой по переменным.

    Untitled.

    Понятие дизъюнктивной и конъюнктивной нормальной формы ДНФ и. КНФ. Совершенная конъюнктивная нормальная форма и совершенная. Элементы математической логики ВятГУ. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, СДНФ англ. perfect disjunctive normal form, PDNF ДНФ, удовлетворяющая условиям: в ней нет​. Булевы функции. Равносильных друг другу дизъюнктивных форм. Например: преобразованиями к совершенной конъюнктивной нормальной форме. ​СКНФ. Для этого.

    ДНФ Викиконспекты.

    8 Совершенной дизъюнктивной нормальной формой СДНФ называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию. Специальные представления недоопределенных частичных. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма ФАЛ. Рассмотрим понятие конституенты единицы. Допустим, что функция двух переменных f x2, x1. Совершенная конъюнктивная нормальная форма Студопедия. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Пусть задана булева функция f x1, …, xn. Представим ее инверсию f x1. 99 % загружено Шаблон алгебраических формул tip mc. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, совершенная конъюнктивная нормальная форма и совершенная полиномиальная нормальная.

    1 Совершенная дизъюнктивная нормальная форма и.

    Например, выражение является ДНФ. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой СДНФ называется такая дизъюнктивная нормальная форма. Министерство образования и науки Российской Федерации. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная форма, совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ, совершенная конъюнктивная. Глава 1. Материала, вы узнаете о конъюнктивной и дизъюнктивной. нормальных формах. Также вы должны усвоить понятие. совершенной нормальной формы.

    Микроконтроллеры PIC16F87X Реализуемые.

    Совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ. Для реализации таблицы истинности при помощи логических элементов И СДНФ. Таблица истинности Онлайн калькулятор. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма СДНФ ДНФ относительно Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы.

    совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы, опишите совершенную дизъюнктивную нормальную форму, Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, таблица истинности для 4 переменных

    Дата публикации:
    05-16-2020

    Дата последнего обновления:
    05-16-2020

    Логика

    — Расчет CNF и DNF без таблиц истинности

    Обновление: (использовать логическую эквивалентность)

    $$ p⊕q \ Equiv (p \ land \ neg q) \ lor (\ neg p \ land q) \ Equ (p \ lor q) \ land (\ neg p \ lor \ neg q) \ tag * { он же Xor} $$

    $$ p ↓ q \ Equiv \ neg p \ land \ neg q \ tag * {aka Nor} $$

    $$ p ↑ q \ Equiv \ neg p \ lor \ neg q \ tag * {aka Nand} $$

    \ begin {align} \ varphi_6 & \ Equiv ((a ↑ b) ⊕ (a ↓ c)) \\ & \ Equiv (\ neg a \ lor \ neg b) ⊕ (\ neg a \ land \ neg c) \\ & \ Equiv ((\ neg a \ lor \ neg b) \ lor (\ neg a \ land \ neg c)) \ land (\ neg (\ neg a \ lor \ neg b) \ lor \ neg (\ neg a \ земля \ нег в)) \\ & \ Equiv (((\ neg b \ lor \ neg a) \ lor \ neg a) \ land ((\ neg a \ lor \ neg b) \ lor \ neg c) \ land (\ neg (\ neg a \ lor \ neg b) \ lor \ neg (\ neg a \ land \ neg c)) \\ & \ Equiv ((\ neg b \ lor (\ neg a \ lor \ neg a)) \ land ((\ neg a \ lor \ neg b) \ lor \ neg c) \ land (\ neg (\ neg a \ lor \ neg b) \ lor \ neg (\ neg a \ land \ neg c)) \\ & \ Equiv ((\ neg b \ lor \ neg a) \ land ((\ neg a \ lor \ neg b) \ lor \ neg c)) \ land (\ neg (\ neg a \ lor \ neg b) \ лор \ нег (\ нег а \ земля \ нег с)) \\ & \ Equiv ((\ neg a \ lor \ neg b) \ land ((\ neg a \ lor \ neg b) \ lor \ neg c)) \ land (\ neg (\ neg a \ lor \ neg b) \ лор \ нег (\ нег а \ земля \ нег с)) \\ & \ Equiv (\ neg a \ lor \ neg b) \ land (\ neg (\ neg a \ lor \ neg b) \ lor \ neg (\ neg a \ land \ neg c)) \\ & \ Equiv (\ neg a \ lor \ neg b) \ land ((a \ land b) \ lor (a \ lor c)) \\ & \ Equiv ((\ neg a \ lor \ neg b) \ land (a \ land b)) \ ​​lor ((\ neg a \ lor \ neg b) \ land (a \ lor c)) \\ & \ Equiv (\ neg (a \ land b) \ land (a \ land b)) \ ​​lor ((\ neg a \ lor \ neg b) \ land (a \ lor c)) \\ & \ Equiv \ bot \ lor ((\ neg a \ lor \ neg b) \ land (a \ lor c)) \\ & \ Equiv (\ neg a \ lor \ neg b) \ land (a \ lor c) \ tag * {CNF} \\ & \ Equiv (\ neg a \ land (a \ lor c)) \ lor (\ neg b \ land (a \ lor c)) \\ & \ Equiv ((\ neg a \ land a) \ lor (\ neg a \ land c))) \ lor ((\ neg b \ land a) \ lor (\ neg b \ land c))) \\ & \ Equiv (\ bot \ lor (\ neg a \ land c))) \ lor ((\ neg b \ land a) \ lor (\ neg b \ land c))) \\ & \ Equiv (\ neg a \ land c) \ lor ((\ neg b \ land a) \ lor (\ neg b \ land c))) \\ \ end {align}

    И поскольку $ (\ neg a \ land c) \ lor (\ neg b \ land a) $ влечет $ (\ neg b \ land c) $, мы можем доказать, что его форма DNF — $ (\ neg a \ land c) \ lor (\ neg b \ land a) $.

    Подсказки на 1-3 $: \ begin {align} \ varphi_1 & \ Equiv (\ neg a \ land b) \ to c \\ & \ Equiv a \ lor \ neg b \ lor c \ tag * {CNF & DNF} \\ \ varphi_2 & \ Equiv \ neg ((\ neg c \ lor¬a) ∧ (b \ lor¬c)) \ lor (a∨b∨c) \\ & \ Equiv (c \ land a) \ lor (\ neg b \ land c) \ lor (a \ lor b \ lor c) \\ & \ Equiv a \ lor b \ lor c \ tag * {CNF & DNF} \\ \ varphi_3 & \ Equiv (a∨¬b) ↔ (a∧c) \\ & \ Equiv (a∨¬b) \ to (a∧c) \ land (a \ land c) \ to (a \ lor \ neg b) \\ & \ Equiv ((\ neg a \ land b) \ lor (a \ land c)) \ land ((\ neg a \ lor \ neg c) \ lor (a \ lor \ neg b)) \\ & \ Equiv ((\ neg a \ land b) \ lor (a \ land c)) \ land \ top \\ & \ Equiv (\ neg a \ land b) \ lor (a \ land c) \ tag * {DNF} \\ & \ Equiv ((\ neg a \ land b) \ lor a) \ land ((\ neg a \ land b) \ lor c) \\ & \ Equiv (\ neg a \ lor a) \ land (a \ lor b) \ land (\ neg a \ lor c) \ land (b \ lor c) \\ & \ Equiv \ top \ land (a \ lor b) \ land (\ neg a \ lor c) \ land (b \ lor c) \\ & \ Equiv (a \ lor b) \ land (\ neg a \ lor c) \ land (b \ lor c) \\ \ end {align}

    И поскольку $ (a \ lor b) \ land (\ neg a \ lor c) \ Equiv (\ neg a \ to b) \ land (a \ to c) $, что будет означать $ (b \ lor c) $ , что сделает его истинным в утверждении, поэтому мы можем доказать, что его CNF — это $ (a \ lor b) \ land (\ neg a \ lor c) $.

    (я предлагаю для относительно подробных ответов задавать один вопрос за раз.)

    дискретной математики — Найдите минимальные DNF и CNF логического выражения $ (A \ implies C) \ wedge \ neg (B \ wedge C \ wedge D). $

    Я хочу найти минимальные CNF и DNF для следующего выражения: $$ (A \ подразумевает C) \ wedge \ neg (B \ wedge C \ wedge D). $$ Я создал таблицу истинности:

    \ begin {array} {| c | c | c | c | c | c | c |} \ hline A & B & C & D & \ underbrace {A \ подразумевает B} _ {E} & \ underbrace {\ neg (B \ wedge C \ wedge D)} _ {F} & \ underbrace {E \ wedge F} _ {G} \\ \ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ hline 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ hline 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \ hline 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \ hline 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \ hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \ hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \ hline \ end {array}

    DNF: $ G = (\ нег А \ клин \ нег В \ клин \ нег С \ клин \ нег D) \ vee (\ neg A \ клин B \ клин \ neg C \ клин \ neg D) \ vee (\ neg A \ клин \ neg B \ клин C \ клин \ neg D) \ vee (\ neg A \ клин B \ клин \ neg C \ клин D) \ vee (\ neg A \ клин B \ клин C \ клин \ neg D) \ vee (A \ клин B \ клин C \ клин \ neg D) \ vee (A \ клин \ neg B \ клин \ neg C \ клин D) \ vee (\ neg A \ клин B \ клин \ neg C \ клин D) \ vee (\ neg A \ клин \ neg B \ клин C \ клин \ neg D) \ vee (A \ клин B \ клин C \ клин D) $

    Чтобы сократить это, я упрощу выражение, удалив повторяющиеся выражения:

    $ G = (\ нег А \ клин \ нег В \ клин \ нег С \ клин \ нег D) \ vee (\ neg A \ клин B \ клин \ neg C \ клин \ neg D) \ vee (\ neg A \ клин \ neg B \ клин C \ клин \ neg D) \ vee (\ neg A \ клин B \ клин \ neg C \ клин D) \ vee (\ neg A \ клин B \ клин C \ клин \ neg D) \ vee (A \ клин B \ клин C \ клин \ neg D) \ vee (A \ клин \ neg B \ клин \ neg C \ клин D) \ vee (A \ клин B \ клин C \ клин D) $
    $ \ vdots $
    минимальный DNF: $ \ dots $
    Та же процедура для CNF

    CNF:
    $ G_2 = (\ neg A \ vee B \ vee C \ vee D) \ клин (\ neg A \ vee \ neg B \ vee C \ vee D) \ клин \ точки \ клин (\ neg A \ vee \ neg B \ vee \ neg C \ vee \ neg D) $
    $ \ vdots $

    Как мне легче найти минимальные CNF и CNF? Я мог бы упростить эти выражения, как показано выше, но это действительно отнимает много времени.Есть ли способ сделать это более эффективным? Если да, то не могли бы вы подробно объяснить, как вы решили задачу?

    дискретная математика — пример дизъюнктивной нормальной формы (ОБЕ ​​dnf и cnf) справка

    Для DNF :

    формула является дизъюнктивной нормальной формой тогда и только тогда, когда она является дизъюнкцией одного или нескольких соединений одного или нескольких литералов.

    Тус, формула:

    $ (\ lnot z) \ lor y

    $

    находится в DNF , потому что это дизъюнкция двух «вырожденных» конъюнкций: $ \ lnot z $ и $ y $.

    Для CNF у нас есть это:

    формула представляет собой конъюнктивную нормальную форму (CNF) тогда и только тогда, когда она является соединением предложений , где предложение является дизъюнкцией литералов.

    Таким образом:

    $ ((\ lnot z) \ lor y) \ земля T $

    находится в CNF , потому что у нас есть дизъюнкция двух литералов: $ \ lnot z $ и $ y $, которые образуют предложение: $ (\ lnot z) \ lor y $; затем второе предложение: $ T $ («вырожденная» дизъюнкция) и две дизъюнкции объединяются в: $ ((\ lnot z) \ lor y) \ land T $.

    По формуле:

    $ T \ land [T \ lor (\ lnot x \ land y) \ lor (x \ land y)]

    $

    у нас есть три конъюнкции : $ (\ lnot x \ land y) $ и $ (x \ land y) $ и «вырожденный»: $ T $, и они разделены на:

    $ T \ lor (\ lnot x \ land y) \ lor (x \ land y) $;

    эта формула находится в DNF ; но добавив часть: $ T \ land \ ldots $, полученная формула будет не более DNF .

    По формуле:

    $ T \ land [T \ lor (\ lnot x \ land y) \ lor (x \ land y)]

    $

    , мы можем применить дистрибутивность к его подформуле:

    $$ [(\ lnot x \ land y) \ lor (x \ land y)] \ Equiv [y \ land (x \ lor \ lnot x)] \ Equiv (y \ land T) \ Equiv y $$

    , чтобы получить эквивалент:

    $ [Т \ земля (Т \ лор у)] \ экв (Т \ земля Т) \ эквив Т $

    , который является CNF и DNF, эквивалентными исходной формуле.

    2.4: дизъюнктивная нормальная форма (DNF)

    дизъюнктивная нормальная форма (DNF) — это стандартный способ написания логических функций. Его можно описать как сумму произведений, ИЛИ и ANDS 3 . Чтобы понять DNF, сначала будет рассмотрена концепция minterm .

    Минтерм — это строка в таблице истинности, в которой функция вывода для этого термина истинна. Например, в таблице 2.3.3 функция f1 (A, B, C) имеет минтерм, когда A = 1, B = 0 и C = 0. Мы можем записать этот minterm a AB’C ‘(A и не-B и не-C), поскольку A истинно, а B и C оба ложны.Функция f1 (A, B, C) также имеет три других термина: AB’C, ABC ‘и ABC. Таким образом, DNF для функции f1 (A, B, C) будет записан как:

    f1 (A, B, C) = AB’C ‘+ AB’C + ABC’ + ABC

    Обратите внимание, что эти минтермы — это числа 4, 5, 6 и 7 4 в таблице, поэтому краткое обозначение DNF выглядит следующим образом:

    f1 (A, B, C) = Σ (4,5,6,7)

    Аналогично f2 (A, B, C) может быть записано как:

    f2 (A, B, C) = A’B’C + A’BC + AB’C + ABC = Σ (1, 3, 5, 7)

    Обратите внимание, что любая логическая функция может быть записана в DNF, а DNF требует только 3 типа операций: AND, OR и NOT.Вот почему AND, OR и NOT универсальны. Доказательство этого оставлено упражнениями в конце главы.

    \ (\ PageIndex {1} \) Логические отношения

    Следующий вопрос, который необходимо задать: можно ли написать какую-либо логическую функцию в DNF, следует ли использовать DNF для представления всех булевых функций? Ответ на этот вопрос дает инженерная схема. В какой-то момент компьютер должен реализовать логическую функцию в виде схемы. Этой схеме потребуется 1 вентиль для каждой операции.А при разработке схемы цель состоит в том, чтобы минимизировать количество необходимых вентилей.

    Почему нужно минимизировать количество ворот? Когда гейт фактически включен в схему, это имеет 3 плохих эффекта:

    • Каждым воротам требуется питание для управления ими. Чем больше вентилей в цепи, тем больше энергии потребуется для работы компьютера.
    • Поскольку воротам требуется электричество, в результате они выделяют тепло. Чем больше вентилей, тем больше тепла от процессора.
    • Всегда есть задержки в распространении сигнала через ворота.Скорость света очень велика, но не бесконечна. Чем дальше электричество должно пройти, чтобы достичь конца цепи, тем больше времени потребуется. Таким образом, чем больше вентилей в схеме, тем медленнее процессор. А в современных компьютерах скорость света часто является ограничивающим фактором в том, насколько быстро может цикл ЦП, и, следовательно, в скорости ЦП.

    Таким образом, цель любой схемы — ограничить количество вентилей в схеме. Для функции f1 (A, B, C) в таблице 2.3.3 количество элементов И равно 8, или элементов 3, а не элементов 4, или всего 15 элементов.Вопрос в том, можно ли реализовать схему менее чем на 15 вентилях.

    Булева алгебра — это механизм, который используется для ответа на этот вопрос. Булева алгебра похожа на традиционную алгебру тем, что существует набор отношений, которые можно применить к функции для ее преобразования. И эти операции, как правило, в некоторой степени аналогичны операциям в традиционной алгебре, что несколько упрощает переход к булевой алгебре. Список этих отношений приведен в таблице \ (\ PageIndex {1} \).

    Таблица \ (\ PageIndex {1} \)

    Отношения

    Правило №

    Отношения

    		Правило №

    х + 0 = х

    1

    х * 0 = 0

    2

    х + 1 = 1

    3

    х * 1 = х

    4

    х + х = х

    5

    х * х = х

    6

    x + x ’= 1

    7

    x * x ’= 0

    8

    х + у = у + х

    9

    xy = yx

    10

    х + (у + г) = (х + у) + г

    11

    х (yz) = (ху) z

    12

    x (y + z) = xy + yz

    13

    х + уz = (х + у) (х + г)

    14

    (x + y) ’= x’y’

    		 15

    (xy) ’= x’ + y ’

    16

    (x ’)’ = x

    17

    Все эти отношения, кроме 15 и 16, можно легко вывести.Отношения 15 и 16 известны как законы ДеМоргана, и их следует просто запомнить.

    Применяя эти соотношения для f1 (A, B, C), мы находим следующее:

    ф1 (А, В, С)

    = AB’C ‘+ AB’C + ABC’ + ABC

    = AB ‘(C’ + C) + AB (C ‘+ C) (правило 13)

    = AB ‘(1) + AB (1) (правило 7)

    = AB ‘+ AB (правило 4)

    = A (B ‘+ B) (правило 13)

    = A (1) (правило 7)

    = A (правило 4)

    Это выражение, очевидно, проще исходного, и количество вентилей, необходимых для этой схемы, было уменьшено с 15 до 0.Это сокращение, очевидно, стоило затраченных усилий.

    Но как мы узнали, что нужно продолжать сокращать это выражение после «AB ‘+ AB»? Это само по себе было значительным сокращением, с 15 до 4 ворот. Поскольку теперь мы показали, что DNF не обязательно (и часто не дает) приводит к минимальному выражению, как мы можем узнать, было ли достигнуто минимальное выражение? Это тема следующего раздела этой главы.

    3 Другой способ представления функции — это конъюнктивная нормальная форма (CNF).CNF можно описать как произведение сумм, операций И ​​или ИЛИ. Использование CNF оставлено на усмотрение задач в конце главы.
    4 Обратите внимание, что число начинается с 0, а не с 1.

    Дизъюнктивная нормальная форма — обзор

    3 Логика первого порядка

    В отличие от случаев логики высказываний и элементарной геометрии, нет общей процедуры принятия решения для логики первого порядка. С другой стороны, учитывая соответствующие аксиомы в качестве предпосылок, все математические рассуждения могут быть выражены в логике первого порядка, и именно поэтому так много внимания было уделено процедурам доказательства для этой области.Исследования Сколема и Хербранда в 1920-х и начале 1930-х предоставили основные инструменты, необходимые для программ доказательства теорем для логики первого порядка [Davis 1983 c ].

    В 1957 году пятинедельный Летний институт символической логики, который проводился в Корнельском университете, посетил почти каждый логик, работавший в Соединенных Штатах. Присутствовали также многие наиболее склонные к теории исследователи из близлежащих предприятий IBM; FORTRAN — принципиально новое новшество в практике программирования.После обсуждения с Гелернтером логик Абрахам Робинсон выступил с коротким докладом [Robinson 1957], в котором он указал на функции Сколема и «теорему Хербранда» как на полезные инструменты для средств доказательства теорем общего назначения. Он также сделал провокационное замечание о том, что вспомогательные точки, линии или окружности, «построенные» как часть решения геометрической задачи, можно рассматривать как элементы того, что сейчас называется вселенной Хербранда для этой проблемы.

    Первые средства доказательства теорем для логики первого порядка, которые будут реализованы на основе теоремы Хербранда, использовали полностью неуправляемый поиск вселенной Хербранда.Вместо использования функций Сколема для работы с экземплярами переменные были заменены параметрами; поэтому программа должна была обеспечивать возможность отслеживания зависимостей между этими параметрами. Тесты на функциональную выполнимость истинности использовали либо простые вычисления таблицы истинности, либо расширение в дизъюнктивную нормальную форму. Неудивительно, что эти программы были способны доказывать только простейшие теоремы. Среди первых из этих программ программа Гилмора [1960] послужила особенно полезным стимулом для дальнейших исследований.

    В своем более позднем комментарии Prawitz [1983 a ] объяснил, что разработка новых процедур доказательства и доказательств полноты для логики первого порядка вместе с доступностью вычислительных ресурсов побудили его принять участие в реализации такой процедуры. Он принял модифицированную форму метода семантических таблиц и сформулировал свой собственный высокоуровневый алгоритмический язык, на котором можно было бы написать процедуру. Подробная реализация была выполнена Prawitz, Prawitz и Voghera [1960].Несмотря на то, что она основана на современной логической системе, эта программа страдает теми же ограничениями, что и программа Гилмора.

    Мартин Дэвис и Хилари Патнэм отметили, что программа Гилмора не удалась на некоторых довольно простых примерах из-за того, что она полагалась на расширения в дизъюнктивную нормальную форму для проверки выполнимости. Это привело их к оптимистическому (и в ретроспективе довольно наивному) выводу о том, что отсутствие эффективных методов проверки выполнимости больших формул исчисления высказываний является основным препятствием, которое необходимо преодолеть.Хотя их интерес к алгоритмам для решения проблемы выполнимости был вызван только тем, что они хотели использовать такие методы как часть процедуры проверки логики первого порядка, они заручились поддержкой Агентства национальной безопасности, чтобы потратить Летом 1958 года работал над этой проблемой. В своем неопубликованном отчете для NSA [Davis and Putnam 1958] они подчеркнули использование конъюнктивной нормальной формы для проверки выполнимости. В этом отчете представлены конкретные методы восстановления, совместное использование которых связано с именами Дэвиса-Патнэма.Это:

    1.

    Одно буквальное правило , также известное как правило единицы .

    2.

    Утвердительно-отрицательное правило , также известное как чистое буквальное правило .

    3.

    Правило для исключения атомарных формул

    4.

    Правило разделения , называемое в отчете, правило анализа случаев

    The Davis-Putnam обычно цитируемая статья [Davis and Putnam 1960] была написана годом позже.Предлагаемая процедура будет принимать в качестве входных данных формулу, которая была предварительно обработана с использованием сначала функций Сколема для исключения экзистенциальных кванторов, а затем преобразования формулы в конъюнктивную нормальную форму. Многие программы доказательства теорем (в том числе очень успешные) использовали этот подход. Тестирование выполнимости должно было проводиться с использованием правил 1, 2, 3, приведенных выше, и было отмечено, что пример, ставящий программу Гилмора в тупик, можно легко выполнить с помощью ручных вычислений. Когда Джордж Логеманн и Дональд Ловленд попытались реализовать программу, они обнаружили, что правило для исключения атомных формул (позже названное наземным разрешением ), которое заменило формулу

    (p∨A) ∧ (¬p∨B) ∧C

    на

    (A∨B) ∧C

    использовало слишком много оперативной памяти.Поэтому было предложено использовать вместо этого правило разделения , которое генерирует пару формул

    A∧CB∧C

    Идея заключалась в том, что стек для проверяемых формул может храниться во внешнем хранилище (фактически, на ленточном накопителе). ), чтобы формулы в ОЗУ никогда не становились слишком большими. 2 Хотя проверка выполнимости была проведена очень эффективно, вскоре стало ясно, что очень интересные результаты не могут быть получены без предварительной разработки метода предотвращения генерации ложных элементов вселенной Хербранда [Davis, Logemann and Loveland 1962].

    В те же годы Хао Ван пытался применить некоторые из более сложных работ, которые были проделаны в теории доказательств и над разрешимыми случаями Entscheidungsproblem Гильберта, к программам автоматического вывода. Он объявил о компьютерной программе, которая доказала все (около 400) теорем Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела о логике первого порядка с равенством [Wang and Zhi 1998, Wang and Zhi 1998]. Однако это, по-видимому, важное достижение в автоматизации дедукции было (как указывал сам Ван) возможным только потому, что все эти теоремы могут быть приведены к предваренной форме с помощью простого префикса… ∀∃… ∃.Ван пришел к выводу, что:

    Самый интересный урок из этих результатов, возможно, состоит в том, что даже в довольно богатой области фактически доказанные теоремы в большинстве своем используют очень небольшую часть доступных ресурсов области. ([Wang 1963 c ] стр. 32)

    Влиятельная статья Правитца [1960] научила растущее сообщество автоматизированных дедукций, что ненужных терминов в расширении Гербранда можно избежать, используя алгоритмы, которые не генерируют элементы вселенной Гербранда до тех пор, пока нужный.Наиболее поздний прогресс был основан на этом ключевом открытии. Процедура Правица работала путем получения разложений в дизъюнктивную нормальную форму перед заменой переменных элементами вселенной Хербранда. Таким образом, алгоритм генерировал дизъюнктивные нормальные формы увеличивающейся длины, ищущие одну, обладающую тем свойством, что некоторая подстановка из вселенной Эрбранда дала бы истинно функционально невыполнимую формулу. 3 Поскольку это условие сводится к каждому дизъюнктивному предложению, включающему пару литералов вида ℓ, ¬ℓ, его можно сформулировать как потребность удовлетворить системе уравнений в параметрах разложения. 4

    Процедура Правица была большим усовершенствованием по сравнению с тем, что было сделано ранее, потому что не генерировались ложные элементы вселенной Хербранда. К сожалению, огромные расширения в дизъюнктивную нормальную форму, которые будут генерироваться всеми задачами, кроме простейших, показали, что, по крайней мере, в том виде, в котором они представлены, это все еще неудовлетворительная процедура. Однако в нем содержалась оригинальная идея поиска замен, которые превратили бы пары литералов в отрицания друг друга.Более того, если с самого начала отказаться от кванторов существования в пользу функций Сколема, вместо систем уравнений, возникает простая проблема объединения пар членов.

    В своей обзорной статье Дэвис [1963] предложил

    … новый вид процедуры, которая стремится объединить достоинства процедуры Правитца и процедуры Дэвиса-Патнэма.

    Идея, также отмеченная Данхэмом и Норт [1962], заключалась в том, что по «чистому буквальному правилу» из процедуры Дэвиса-Патнэма (Правило 2, выше) замены могут помочь сделать конъюнктивный набор дизъюнктивных предложений невыполнимым. только если им удастся преобразовать литерал из одного из этих предложений в отрицание литерала в другом предложении.Программа доказательства теорем, основанная на этих идеях, была написана Д. Макилроем из Bell Laboratories и была улучшена и исправлена ​​Питером Хинманом. Программа включала реализацию обычного алгоритма унификации [Chinlund, Davis, Hinman and McIlroy 1964].

    Само существование этого тома совершенно ясно показывает, что автоматизированное мышление — это процветающая область с огромной литературой. Выходящая раз в два месяца публикация The Journal of Automated Reasoning полностью посвящена этой области.Если одно событие может быть обозначено как знаменующее его появление как зрелого субъекта, то это будет публикация [Robinson 1965 b ], в которой Дж. Робинсон объявил принцип разрешения. [Robinson 1965 b ] была второй статьей Робинсона в этой области, и она помогает проследить его мысль, начиная с первой [Robinson 1963]. Он начал с базовой схемы Дэвиса-Патнэма: экзистенциальные кванторы исключены в пользу функций Сколема и конъюнктивной нормальной формы. Он обратил внимание на технику Правитца по избеганию ложных элементов вселенной Хербранда и обзорную статью Дэвиса.Очевидно, набросок Дэвиса предложенной им процедуры был недостаточно ясным, и Робинсон писал: 5

    Поэтому Дэвис [1963] предложил способ использования мощной идеи Правитца, избегая при этом катастрофического использования Правитцем нормальных форм — во многом в том же духе. Таким образом, методы Дэвиса и Патнэма [1960] избегают использования нормальных форм, из-за чего программа Гилмора [1960] оказывается неспособной даже решить [простую задачу]. Из нескольких замечаний в конце [Davis 1963] пока не ясно, как будет действовать Дэвис, и можно с большим интересом ожидать его дальнейших исследований в этом направлении.

    Остальная часть статьи содержит ряд интересных компьютерных доказательств, созданных с использованием правила Дэвиса-Патнэма «одного буквального предложения», и, когда это не удается, от пользователя требуется предварительно указать элементы вселенной Herbrand, необходимые для получить доказательство. Было высказано предположение, что поиск этих элементов является «действительно« творческой »частью искусства построения доказательств».

    Метод разрешения Робинсона, представленный в его очень влиятельном [1965 b ], произвел революцию в этой области.Робинсон нашел единственное правило вывода, легко выполняемое компьютером, которое было полным для логики первого порядка. Использование разрешения не требует отдельной процедуры для работы с исчислением высказываний. Начиная с обычного предварительно обработанного конъюнктивного набора дизъюнктивных предложений, техника Робинсона заключалась в поиске всех возможных «унификаций», которые позволили бы выразить набор предложений как

    (ℓ∨A) ∧ (¬ℓ∨B) ∧ C

    , где ℓ — литерал, которого нет в C .Это дает «резольвент»

    (A∨B) ∧C

    , который после «умножения» ( A ∨ B ) приводит к новому набору предложений, который неприменим в случае, если исходный набор был. Это было похоже на предложение Дэвиса [Davis 1963, Chinlund et al. 1964] в поисках объединений, порождающих дополнительные литералы. Он отличается не только тем, что не требует отдельного функционального тестирования истинности, но и тем, что не требует, как часть входных данных, указания количества экземпляров каждого предложения для участия в окончательном доказательстве.[Robinson 1965 b ] поражает своей комбинаторной простотой, а также чистой математической элегантностью изложения. К сожалению, как вскоре выяснилось, метод голого разрешения мог легко произвести многие тысячи предложений, не достигнув доказательства. Поиск доказательства с использованием разрешения становится проблемой предоставления критериев для порядка, в котором следует искать разрешения. Ранними попытками сократить пространство поиска были собственное элегантное гиперразрешение Робинсона [Robinson 1965 a ], а также стратегии предпочтения единиц [Wos, Carson and Robinson 1964] и набор поддержки [Wos, Robinson and Carson 1965].

    За три десятилетия, прошедшие с момента появления первых реализаций разрешения, произошел всплеск исследований, посвященных автоматизированным системам рассуждений. В то время как некоторые из наиболее успешных основаны на решении, другие действовали в разных направлениях. За дополнительной информацией читатель может обратиться к другим статьям этого тома.

    логических нормальных форм

    логических нормальных форм

    Логическое выражение — это выражение, включающее переменные, каждая из который может принимать значение true или значение false .Эти переменные объединяются с помощью логических операций, таких как и . (соединение), или (дизъюнкция), а не (отрицание). Другой способ смотреть при этом каждое логическое выражение идентифицируется логическим значением функция , которая принимает определенное количество параметров, каждый из которых может быть истинным или ложным и возвращает истинный или ложный результат. Таким образом, мы также можем укажите логическую функцию, выписав таблицу истинности , которая таблица, содержащая все возможные присвоения параметров true или false и результирующий вывод функции.

    Например, вот таблица истинности для X = A и B:

    true false true false
    A B A и B
    false false false
    false true false
    true false истина истина

    Существует теорема, согласно которой любая логическая функция может быть записана с использованием только двух уровней логики и возможного отрицания переменных (называемых литералами , ).Есть два специальные формы, соответственно называемые дизъюнктивная нормальная форма и конъюнктивная нормальная форма , которые особенно полезны. Пусть член будет дизъюнкция («или») коллекции переменных, каждая из которых может быть инвертирована. Пусть предложение будет конъюнкцией («и») набора переменных, каждый опционально отрицается. Если логическое выражение — это в точности конъюнкция термины, то говорят, что он имеет конъюнктивную нормальную форму, и если он именно дизъюнктивное предложение, то говорят, что оно дизъюнктивное нормальная форма.

    Например, (((не A) и B) или (A and (not B))) находится в дизъюнктивной нормальной форме (это ИЛИ двух членов), а (((не A) или (не B)) и (A или B)) находится в конъюнктивной нормальной форме (это И двух предложений). Вы заметите что они представляют одну и ту же функцию, A xor B . ( xor — это функция « исключающее ИЛИ », которая верна, если один или другой из аргументы верны, , но не оба .)

    Легко доказать, что любую логическую функцию можно записать как в DNF и CNF.Хотя это не является формальным доказательством того, что это всегда работает, я предоставлю метод формирования выражений DNF и CNF логической функции. Первый, напишите таблицу истинности для функции. Чтобы сформировать представление DNF функции, мы включим термин для каждой строки таблицы истинности в что значение функции истинно. Для каждого из этих условий включите все переменные, которые являются параметрами функции. Если задана переменная значение false в строке таблицы истинности, отрицать его в термине; иначе, оставьте это неотрицательным.Таким образом, выражение DNF генерируется напрямую. из таблицы истинности, и довольно интуитивно понятно, что это работает и что это всегда можно сделать.

    Чтобы сформировать выражение CNF, мы работаем аналогично, на этот раз формируя предложение для каждой строки, в которой значение функции равно false . Отрицать переменные, когда им присвоено значение истинное значение в таблице истинности, и не отрицайте их, когда они ложны (противоположность DNF).

    A b A xor B термины пункты
    ложные ложные ложные (A или B)
    9018 9018 истинные ((не A) и B)
    true false true (A и (не B))
    true true false ((не A) или (не B))

    На практике мы обычно связываем соединение с умножением и дизъюнкция с добавлением.В самом деле, если мы отождествляем истину с 1 и ложь с 0, то {0,1} вместе с обычными определениями сложения и умножения по Галуа поле размера 2 (например, арифметический по модулю 2), затем сложение (+) и дизъюнкция (или) действительно такие же, как умножение и соединение (и). Это соглашение делает логические выражения более лаконичны для записи. Отрицание часто пишется как черта над переменная (или более крупное подвыражение) или «/», если верхняя черта недоступна.

    Таким образом, запишем: A xor B = (/ A) B + A (/ B) = (/ A + / B) (A + B)

    Авторские права © 2001 Тобин Фрике.Создан 5 августа 2001 года в Лунде, Швеция. Пожалуйста, напишите мне по адресу [email protected], если у вас есть какие-либо вопросы или комментарии.

    Нормальные и основные формы — GeeksforGeeks

    Нормальные и основные формы

    1. Дизъюнктивные нормальные формы (DNF):
      Формула, которая эквивалентна данной формуле и состоит из суммы элементарных произведений, называется дизъюнктивной нормальной формой данной формулы.

      Пример:
      (P ∧ ~ Q) ∨ (Q ∧ R) ∨ (~ P ∧ Q ∧ ~ R)

      • DNF формулы не уникален.
    2. Конъюнктивная нормальная форма (CNF):
      Формула, эквивалентная данной формуле и состоящая из произведения элементарных произведений, называется конъюнктивной нормальной формой данной формулы.

      Пример:
      (P ~ ∨ Q) ∧ (Q ∨ R) ∧ (~ P ∨ Q ∨ ~ R)

      • CNF формулы не уникален.
      • Если каждая элементарная сумма в КНФ является тавтологией, то данная формула также является тавтологией.
    3. Принцип дизъюнктивной нормальной формы (PDNF):
      Эквивалентная формула, состоящая только из дизъюнктивных терминов, называется основной дизъюнктивной нормальной формой формулы.

      Также известна как каноническая форма суммы произведений .

      Пример:
      (P ∧ ~ Q ∧ ~ R) ∨ (P ∧ ~ Q ∧ R) ∨ (~ P ∧ ~ Q ∧ ~ R)

      • Минтерм состоит из союзов, в которых каждая переменная оператора или его отрицание, но не оба, появляется только один раз.
      • Минтермы записываются путем включения переменной, если ее значение истинности равно Т, и отрицания, если ее значение истинности равно F.
    4. Принцип конъюнктивной нормальной формы (PCNF):
      Эквивалентная формула, состоящая из соединений maxterms только называется основной конъюнктивной нормальной формой формулы.

    81 в степени 1 4: Mathway | Популярные задачи

    alexxlab / / Разное

    Таблица степеней, таблица степеней для чисел от 1 до 10, полная таблица степеней

    Таблица степеней — перечень чисел от 1 до 10 возведенных в степень от 1 до 10. Таблица степеней редко применяется в учебе, но когда она нужна, без нее просто не обойтись. Ведь не сразу вспомнишь сколько будет 6 в 4-ой степени! Всятаблица степеней представлена ниже. На нашем сайте помимо таблицы степеней советуем посмотреть программы для решения задач по теории вероятности, геометрии и математике! Также на сайте работает форум, на котором Вы всегда можете задать вопрос и на котором Вам всегда помогуть с решением задач. Пользуйтесь нашими сервисами на здоровье!

    n12345678910
    1n1111111111
    2n2481632641282565121024
    3n392781243729218765611968359049
    4n416642561024409616384655362621441048576
    5n5251256253125156257812539062519531259765625
    6n636216129677764665627993616796161007769660466176
    7n749343240116807117649823543576480140353607282475249
    8n8645124096327682621442097152167772161342177281073741824
    9n9817296561590495314414782969430467213874204893486784401
    10n10100100010000100000100000010000000100000000100000000010000000000


    Таблица степеней от 1 до 10

    11=1

    12=1

    13=1

    14=1

    15=1

    16=1

    17=1

    18=1

    19=1

    110=1

    21=2

    22=4

    23=8

    24=16

    25=32

    26=64

    27=128

    28=256

    29=512

    210=1024

    31=3

    32=9

    33=27

    34=81

    35=243

    36=729

    37=2187

    38=6561

    39=19683

    310=59049

    41=4

    42=16

    43=64

    44=256

    45=1024

    46=4096

    47=16384

    48=65536

    49=262144

    410=1048576

    51=5

    52=25

    53=125

    54=625

    55=3125

    56=15625

    57=78125

    58=390625

    59=1953125

    510=9765625

    61=6

    62=36

    63=216

    64=1296

    65=7776

    66=46656

    67=279936

    68=1679616

    69=10077696

    610=60466176

    71=7

    72=49

    73=343

    74=2401

    75=16807

    76=117649

    77=823543

    78=5764801

    79=40353607

    710=282475249

    81=8

    82=64

    83=512

    84=4096

    85=32768

    86=262144

    87=2097152

    88=16777216

    89=134217728

    810=1073741824

    91=9

    92=81

    93=729

    94=6561

    95=59049

    96=531441

    97=4782969

    98=43046721

    99=387420489

    910=3486784401

    101=10

    102=100

    103=1000

    104=10000

    105=100000

    106=1000000

    107=10000000

    108=100000000

    109=1000000000

    1010=10000000000

    Остались вопросы?

    Здесь вы найдете ответы. x=3 log2(3)=x

    90 в 10 степени

    90 в 10 =34867844009999998976.00000

    12 в степени 1/3

    Сложная формула но в кратце ответ — 6

    Слишком сложно?

    Таблица степеней не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

    Урок 16. арифметический корень натуральной степени — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

    Урок Конспект Дополнительные материалы

    Нахождение корня уравнения

    Выберите соответствие:

    Подсказка

    Перенесите числа в левую часть уравнения, разложите каждую левую часть на простые множители, обратите внимание на количество множителей и показатель корня, а также – на знак перед числом; помним, что корень чётной степени нельзя извлечь из отрицательного числа.

    Вычисления

    Выберите верные утверждения:

    Подсказка

    Примените определение арифметического корня: Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

    Арифметический корень натуральной степени

    Вычислите и запишите ответ:

    Подсказка

    Воспользуйтесь свойством арифметического корня $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, а затем каждое подкоренное выражение разложите на простые множители и обратите внимание на показатель корня.

    $\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=$

    Варианты ответа (введите порядковый номер):

    1) $\frac{3}{4}$

    2) $\frac{2}{3}$

    3) $\frac{1}{3}$

    Арифметический корень натуральной степени

    Выберите верные утверждения:

    Подсказка

    Воспользуйтесь определением арифметического корня. Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а. {6}}$= 42 48 49

    $\sqrt[4]{0,0048⋅27}$= 0,9 0,6 0,3

    Арифметический корень натуральной степени

    Подсказка

    Представьте подкоренные выражения в виде произведения одинаковых множителей, посчитайте количество множителей и обратите внимание на показатель корня.

    Решение уравнений

    Подчеркните верные ответы для уравнения:

    x4 = 256

    Подсказка

    Представьте правую часть уравнения в виде произведения четырех одинаковых множителей.

    Арифметический корень натуральной степени

    Вычислите

    Варианты ответов (введите порядковый номер):

    1) -4

    2) 3

    3) 49

    4) 0

    5) 4

    6) 16

    Подсказка

    Воспользуйтесь определением арифметического корня. Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a и одним из его свойств $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$.

    Арифметический корень натуральной степени

    Установите соответствие между выражениями и ответами:

    Подсказка

    Воспользуйтесь свойством $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$.

    Решение уравнений

    Найдите значение выражения и запишите ответ:

    $\frac{7\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}}+\frac{5\sqrt{x}}{x}+3x-4$, при x = 3.

    Подсказка

    Представьте х как произведение $\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}$, приведите все к общему знаменателю, домножив на $\sqrt{x}$.

    Вычисления

    Установите соответствие между выражениями и значениями:

    Подсказка

    Воспользуйтесь свойством арифметического корня: $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$.

    Арифметический корень натуральной степени

    Запишите множитель, который можно вынести из-под знака корня (степени записывайте обычными цифрами после букв, например, а8):

    Подсказка

    Воспользуйтесь свойствами арифметического корня: $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$, $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}$.

    Арифметический корень натуральной степени

    Выберите верный ответ:

    $\sqrt[3]{1-\sqrt{3}}\cdot \sqrt{\sqrt[3]{4+2\sqrt{3}}}=$

    Варианты ответа (введите порядковый номер):

    1) $-\sqrt[3]{2}$

    2) $\sqrt[3]{2}$

    3) $\sqrt[6]{4}$

    4) $-\sqrt[6]{4}$

    Подсказка

    Все выражение стоит представить под корнем 6-й степени, для этого надо $1-\sqrt{3}$ возвести в квадрат, тогда получим выражение: $\sqrt[6]{(1-\sqrt{3})^{2}\cdot (4+2\sqrt{3})}$. Далее следует применить формулы квадрата разности и разности квадратов.

    Вычисления

    Установите соответствие между выражениями и их значениями:

    Подсказка

    В двух выражениях избавьтесь от корней четвёртой степени, а затем воспользуйтесь формулами квадрата суммы и квадрат разности, в третьем примере избавьтесь от корня четвёртой степени и выполните действия сложения и вычитания.

    Закупки: Оргтехника и периферия в Республике Башкортостан

    ПозицияКол-воЕд. изм.ЦенаСуммаДоля
    1. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55) 409,2 м2 44,04 ₽ 18 021,17 ₽ 0,06%
    2. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул. 50-летия октября, 13/1) 54859,2 м2 51,38 ₽ 2 818 665,70 ₽ 8,89%
    3. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.дюртюли, ул.ленина, 1/4) 3543,1 м2 26,81 ₽ 94 990,51 ₽ 0,30%
    4. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.кушнаренково, ул.садовая, 19) 380,6 м2 26,81 ₽ 10 203,89 ₽ 0,03%
    5. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.верхнеяркеево, ул.пушкина, 17/1) 281,6 м2 26,81 ₽ 7 549,70 ₽ 0,02%
    6. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.чекмагуш, ул.мира, 25) 293,7 м2 26,81 ₽ 7 874,10 ₽ 0,02%
    7. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа,ул. российская 72/2) 51560,3 м2 51,38 ₽ 2 649 168,21 ₽ 8,36%
    8. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (дуванский район, с месягутово, пер. октябрьский, д. 7/1) 4194,3 м2 26,81 ₽ 112 449,18 ₽ 0,35%
    9. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (салаватский район, с. малояз, ул. советская, д. 61) 379,5 м2 26,81 ₽ 10 174,40 ₽ 0,03%
    10. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (кигинский район, с. верхние киги, ул. салавата, 1) 182,6 м2 26,80 ₽ 4 893,68 ₽ 0,02%
    11. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (мечетлинский район, с. большеустикинское, ул. трактовая, д. 11а) 330 м2 26,81 ₽ 8 847,30 ₽ 0,03%
    12. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (белокатайский район, с. новобелокатай, ул. советская, д. 126) 267,3 м2 26,80 ₽ 7 163,64 ₽ 0,02%
    13. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.стерлитамак, пр.октября, 34) 55236,5 м2 40,21 ₽ 2 221 059,67 ₽ 7,01%
    14. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.стерлитамак, ул худайбердина, д. 100б) 1674,2 м2 34,46 ₽ 57 692,93 ₽ 0,18%
    15. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (аургазинский район, с.толбазы, ул.химиков, 3) 231 м2 26,80 ₽ 6 190,80 ₽ 0,02%
    16. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (стерлибашевский район, с.стерлибашево, ул.карла маркса, 97) 482,9 м2 26,81 ₽ 12 946,55 ₽ 0,04%
    17. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (гафурийский район, с.красноусольский, ул.октябрьская, 2а) 173,8 м2 26,81 ₽ 4 659,58 ₽ 0,01%
    18. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.белорецк ул. кирова, 48 пом.1) 30550,3 м2 31,28 ₽ 955 613,38 ₽ 3,01%
    19. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. учалы, ул.к.маркса, 1) 665,5 м2 26,81 ₽ 17 842,06 ₽ 0,06%
    20. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (зато г.межгорье, ул.победы, 60) 239,8 м2 26,81 ₽ 6 429,04 ₽ 0,02%
    21. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.старосубхангулово, бурзянский р-он, ул.салавата, 30) 178,2 м2 26,80 ₽ 4 775,76 ₽ 0,02%
    22. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.ишимбай, стахановская, 65) 53455,6 м2 31,28 ₽ 1 672 091,17 ₽ 5,27%
    23. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.ишимбай, стахановская, 65) 2620,2 м2 26,81 ₽ 70 247,56 ₽ 0,22%
    24. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.салават, ленина, 11) 17010,4 м2 31,28 ₽ 532 085,31 ₽ 1,68%
    25. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.мелеуз, смоленская, 108) 1772,1 м2 31,28 ₽ 55 431,29 ₽ 0,17%
    26. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.мелеуз, смоленская, 108) 346,5 м2 26,81 ₽ 9 289,67 ₽ 0,03%
    27. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.кумертау, к.маркса, 4а) 3274,7 м2 31,28 ₽ 102 432,62 ₽ 0,32%
    28. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.кумертау, к.маркса, 4а) 536,8 м2 26,81 ₽ 14 391,61 ₽ 0,05%
    29. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.фёдоровка, ленина, 44) 356,4 м2 26,81 ₽ 9 555,08 ₽ 0,03%
    30. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.мраково, з.биишевой, 78а) 347,6 м2 26,81 ₽ 9 319,16 ₽ 0,03%
    31. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.исянгулово, пер. блюхера, 7) 524,7 м2 26,81 ₽ 14 067,21 ₽ 0,04%
    32. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.туймазы, ул. мусы джалиля, 13) 22695,2 м2 31,28 ₽ 709 905,86 ₽ 2,24%
    33. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. туймазы, ул. мусы джалиля, 13а, 13/1, 13/2, 13/3, 13/4, 13/5) 2038,3 м2 26,81 ₽ 54 646,82 ₽ 0,17%
    34. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. октябрьский, ул. садовое кольцо, 26) 2700,5 м2 40,21 ₽ 108 587,11 ₽ 0,34%
    35. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. белебей, ул. коммунистическая, 35) 1515,8 м2 31,28 ₽ 47 414,22 ₽ 0,15%
    36. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (ермекеевский район, с. ермекеево, ул. ленина, 20) 226,6 м2 26,80 ₽ 6 072,88 ₽ 0,02%
    37. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (бижбулякский район, с.бижбуляк, ул.победы, 13) 234,3 м2 26,81 ₽ 6 281,58 ₽ 0,02%
    38. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (миякинский район, с. киргиз-мияки, ул. губайдуллина, 116а) 207,9 м2 26,81 ₽ 5 573,80 ₽ 0,02%
    39. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (шаранский район, с. шаран, ул. свердлова, 1) 167,2 м2 26,82 ₽ 4 484,30 ₽ 0,01%
    40. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (бакалинский район, с. бакалы, ул. ленина, 117) 430,1 м2 26,81 ₽ 11 530,98 ₽ 0,04%
    41. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.нефтекамск, ул.строителей, 19) 29360,1 м2 40,21 ₽ 1 180 569,62 ₽ 3,72%
    42. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.нефтекамск, ул.строителей, 19) 2271,5 м2 26,81 ₽ 60 898,92 ₽ 0,19%
    43. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.янаул, ул.азина, 19) 187 м2 26,80 ₽ 5 011,60 ₽ 0,02%
    44. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.агидель, ул.карла маркса, 63) 224,4 м2 26,81 ₽ 6 016,16 ₽ 0,02%
    45. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.верхние татышлы, ул.ленина, 59) 163,9 м2 26,81 ₽ 4 394,16 ₽ 0,01%
    46. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.старобалтачево, ул.советская, 28) 323,4 м2 31,28 ₽ 10 115,95 ₽ 0,03%
    47. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.бураево, ул.горького, 53) 174,9 м2 31,28 ₽ 5 470,87 ₽ 0,02%
    48. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (с.калтасы, ул.карла маркса, 63) 358,6 м2 31,28 ₽ 11 217,01 ₽ 0,04%
    49. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул. левитана,14/4) 825 м2 51,38 ₽ 42 388,50 ₽ 0,13%
    50. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул.аксакова, 62) 7690,1 м2 51,38 ₽ 395 117,34 ₽ 1,25%
    51. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (архангельский район, с. архангельское, ул. советская, 35) 170,5 м2 26,80 ₽ 4 569,40 ₽ 0,01%
    52. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (благоварский район, с. языково, ул. ленина, 10) 310,2 м2 26,81 ₽ 8 316,46 ₽ 0,03%
    53. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан ( буздякский район, с. буздяк, ул. красноармейская, 27) 424,6 м2 26,81 ₽ 11 383,53 ₽ 0,04%
    54. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (кармаскалинский район, с. кармаскалы, ул. худайбердина, 10) 366,3 м2 26,81 ₽ 9 820,50 ₽ 0,03%
    55. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (чишминский район, р. п. чишмы, ул. чернышевского, 1) 984,5 м2 26,81 ₽ 26 394,45 ₽ 0,08%
    56. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (республика башкортостан, г. уфа, ул. ульяновых, 18) 37481,4 м2 51,38 ₽ 1 925 794,33 ₽ 6,07%
    57. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.давлеканово, ул. победы, 5) 1228,7 м2 26,81 ₽ 32 941,45 ₽ 0,10%
    58. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (альшеевский район, с.раевский ул.селькора,7) 339,9 м2 26,80 ₽ 9 109,32 ₽ 0,03%
    59. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (нуримановский район, с. красная горка ул.советская,60) 598,4 м2 26,81 ₽ 16 043,10 ₽ 0,05%
    60. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (иглинский район, с.иглино ул.ленина,97) 577,5 м2 26,81 ₽ 15 482,78 ₽ 0,05%
    61. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа ул.пр.октября 95/2) 20550,2 м2 51,38 ₽ 1 055 869,28 ₽ 3,33%
    62. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа ул.пр.октября 95/2) 26035,9 м2 51,38 ₽ 1 337 724,54 ₽ 4,22%
    63. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа ул.пр.октября 95/2) 26769,6 м2 51,38 ₽ 1 375 422,05 ₽ 4,34%
    64. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.бирск ул.мира д.66) 2 310 м2 26,81 ₽ 61 931,10 ₽ 0,20%
    65. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.бирск ул.мира д.66) 772,2 м2 26,81 ₽ 20 702,68 ₽ 0,07%
    66. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.благовещенск ул. чехова д.6) 522,5 м2 26,81 ₽ 14 008,23 ₽ 0,04%
    67. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (караидельский р/н с.караидель ул.калинина д.2) 392,7 м2 26,81 ₽ 10 528,29 ₽ 0,03%
    68. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (аскинский р/н с.аскино ул.пионерская д.4) 374 м2 26,81 ₽ 10 026,94 ₽ 0,03%
    69. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (мишкинский р/н с. мишкино ул.мира д.6) 471,9 м2 26,81 ₽ 12 651,64 ₽ 0,04%
    70. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. сибай, ул.маяковского, 31/1) 18008,1 м2 31,28 ₽ 563 293,37 ₽ 1,78%
    71. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (абзелиловский район, с. аскарово, ул. ленина, д.31) 356,4 м2 26,81 ₽ 9 555,08 ₽ 0,03%
    72. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (хайбуллинский район, с. акъяр, пр. с.юлаева, д. 20/1) 269,5 м2 26,81 ₽ 7 225,30 ₽ 0,02%
    73. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (зилаирский район, с.зилаир, ул. голубцова д. 108) 262,9 м2 26,81 ₽ 7 048,35 ₽ 0,02%
    74. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (баймакский район, г. баймак, ул. с.юлаева, д. 9) 805,2 м2 26,81 ₽ 21 587,41 ₽ 0,07%
    75. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул. красина ,52) 39992,7 м2 46,91 ₽ 1 876 057,56 ₽ 5,92%
    76. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г.уфа, ул. красина ,52) 9082,7 м2 46,91 ₽ 426 069,46 ₽ 1,34%
    77. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, ул. коммунистическая, 59) 39953,1 м2 51,38 ₽ 2 052 790,28 ₽ 6,48%
    78. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55) 54011,1 м2 58,72 ₽ 3 171 531,79 ₽ 10,00%
    79. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55) 24260,5 м2 51,38 ₽ 1 246 504,49 ₽ 3,93%
    80. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55) 9033,2 м2 44,04 ₽ 397 822,13 ₽ 1,25%
    81. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55) 36 402 м2 44,04 ₽ 1 603 144,08 ₽ 5,06%
    82. оказание услуг по комплексному обслуживанию нежилых помещений территориальных органов фнс россии по республике башкортостан (г. уфа, советский р-н, проспект салавата юлаева, д. 55) 3640,2 м2 43,87 ₽ 159 698,80 ₽ 0,50%

    Таблица кубов

    Куб числа — есть данное число, возведенное в третью степень. «Кубом» оно называется, потому что такая операция используется для нахождения объема куба (по аналогии с квадратом числа). То есть, чтобы найти объем куба, необходимо возвести в третью степень длину ребра куба. Точно также, чтобы найти куб числа нужно возвести его в третью степень. В таблице приведены значения кубов натуральных чисел от 1 до 100.

    1 3 = 1
    2 3 = 8
    3 3 = 27
    4 3 = 64
    5 3 = 125
    6 3 = 216
    7 3 = 343
    8 3 = 512
    9 3 = 729
    10 3 = 1000    		 11 3 = 1331
    12 3 = 1728
    13 3 = 2197
    14 3 = 2744
    15 3 = 3375
    16 3 = 4096
    17 3 = 4913
    18 3 = 5832
    19 3 = 6859
    20 3 = 8000    		 21 3 = 9261
    22 3 = 10648
    23 3 = 12167
    24 3 = 13824
    25 3 = 15625
    26 3 = 17576
    27 3 = 19683
    28 3 = 21952
    29 3 = 24389
    30 3 = 27000    		 31 3 = 29791
    32 3 = 32768
    33 3 = 35937
    34 3 = 39304
    35 3 = 42875
    36 3 = 46656
    37 3 = 50653
    38 3 = 54872
    39 3 = 59319
    40 3 = 64000    		 41 3 = 68921
    42 3 = 74088
    43 3 = 79507
    44 3 = 85184
    45 3 = 91125
    46 3 = 97336
    47 3 = 103823
    48 3 = 110592
    49 3 = 117649
    50 3 = 125000
    51 3 = 132651
    52 3 = 140608
    53 3 = 148877
    54 3 = 157464
    55 3 = 166375
    56 3 = 175616
    57 3 = 185193
    58 3 = 195112
    59 3 = 205379
    60 3 = 216000    		 61 3 = 226981
    62 3 = 238328
    63 3 = 262144
    64 3 = 262144
    65 3 = 274625
    66 3 = 287496
    67 3 = 300763
    68 3 = 314432
    69 3 = 328509
    70 3 = 343000    		 71 3 = 357911
    72 3 = 373248
    73 3 = 389017
    74 3 = 405224
    75 3 = 421875
    76 3 = 438976
    77 3 = 456533
    78 3 = 474552
    79 3 = 493038
    80 3 = 512000    		 81 3 = 531441
    82 3 = 551368
    83 3 = 571787
    84 3 = 592704
    85 3 = 614125
    86 3 = 636056
    87 3 = 658503
    88 3 = 681472
    89 3 = 704969
    90 3 = 729000    		 91 3 = 753571
    92 3 = 778688
    93 3 = 804357
    94 3 = 830584
    95 3 = 857375
    96 3 = 884736
    97 3 = 912673
    98 3 = 941192
    99 3 = 970299
    100 3 = 1000000

    Другие заметки по алгебре и геометрии

    Частота аномалий органов мочевой системы и функциональное состояние почек в зависимости от степени выраженности дисплазии соединительной ткани у детей | Крыганова

    1. Айламазян Э.К., Баранов В.С. Пренатальная диагностика наследственных и врожденных болезней. М: МЕДпресс-информ, 2006; 416. (Ailamazyan E.K., Baranov V.S. Prenatal diagnosis of congenital and hereditary diseases. Moscow: MEDpress-inform, 2006; 416.)

    2. Горемыкин И. В., Краснова Е.И., Дерюгина Л.А. Оценка активности хронического обструктивного пиелонефрита у детей с врожденным мегауретером с использованием биомаркеров воспаления, ангиогенеза и фиброгенеза. Бюллетень медицинских интернет-конференций 2014; 1: 4: 54–57. (Goremykin I.V., Krasnova E.I., Deriugina L.A. Evaluation of activity of chronic obstructive pyelonephritis in children with congenital megaureter using biomarkers of inflammation, angiogenesis and fibrogenesis. Byulleten medicinskih internet konferencij 2014; 1: 4: 54–57.)

    3. Vivante A., Kohl S., Hwang D.Y. et al. Single-gene causes of congenital anomalies of the kidney and urinary tract (CAKUT) in humans. Pediatr Nephrol 2014; 29: 4: 695–704.

    4. Daw-Yang H., Dworschak G.C., Kohl S. et al. Mutations in 12 known dominant disease-causing genes clarify many congenital anomalies of the kidney and urinary tract. Kidney Int 2014; 85: 6: 1429–1433.

    5. Toka HR1., Toka О., Hariri А. Congenital anomalies of kidney and urinary tract. Semin Nephrol 2010; 30: 4: 374–386.

    6. Молчанова Е. А, Валов А. Л, Каабак М. М. Первые результаты формирования Российского регистра хронической почечной недостаточности у детей. Нефрология и диализ 2003; 5: 1. (Molchanovа E.A., Valov А.L., Kaabak M. M. The firstresults ofthe formation ofthe Russian Register of chronic renal failure in children. Nefrologiya i dializ 2003; 5: 1.)

    7. Дерюгина Л.А., Чураков А.А., Краснова Е.И. «Фатальные» пороки почек и мочевыделительной системы плода. Пренатальная диагностика – трудные решения. Современные проблемы науки и образования 2012; 2: URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=5927. (Deriugina L.A., Churakov A.A., Krasnova E.I. «Fatal» defects of the kidneys and urinary system of the fetus. Prenatal diagnosis – difficult decisions. Sovremennye problem nauki i obrazovaniya 2012; 2. URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=5927.)

    8. Rodriguez M.M. Congenital Anomalies of the Kidney and the Urinary Tract (CAKUT). Fetal Pediatr Pathol 2014; 33: 293–320.

    9. Чумаков П.И. Хирургическое лечение пузырно-мочеточникового рефлюкса при полном удвоении и утроении мочеточников. Детская хирургия 2004; 6: 19–22. (Chumakov P.I. Surgical treatment of vesicoureteral reflux in full doubling and tripling ureters. Detskaya hirurgiya 2004; 6: 19–22.)

    10. Иодковский К.М., Ковальчук В.И., Гринь А.И. Варианты удвоения почек и мочеточников у девочек и некоторые особенности клинических проявлений и лечения. Журнал ГрГМУ 2006; 2: 48–50. (Iodkovsky K.M., Kovalchuk V.I., Grin’ A.I. Possible doubling of kidney and ureter in girls and some of the clinical manifestations and treatment. ZHurnal GrGMU 2006;2: 48–50.)

    11. Никитина Н.А., Старец Е.А., Калашникова Е.А. и др. Врожденные аномалии количества почек: частота, этиопатогенез, пренатальная диагностика, клиника, физическое развитие, диагностика, лечение, профилактика (часть 1). Здоровье ребенка 2013; 6: 49: 107–111. (Nikitina N.A., Starec E.A., Kalashnikova E.A. et al. Congenital anomalies of the number of kidneys: frequency, etiology and pathogenesis, prenatal diagnosis, clinic, physical development, diagnosis, treatment, prevention (Part 1). Zdorov’e rebenka 2013; 6: 49: 107–111.)

    12. Никитина Н.А., Старец Е.А., Калашникова Е.А. и др. Врожденные аномалии количества почек: частота, этиопатогенез, пренатальная диагностика, клиника, физическое развитие, диагностика, лечение, профилактика (часть 2). Здоровье ребенка 2013; 7: 50: 85–88. (Nikitina N.A., Starec E.A., Kalashnikova E.A. et al. Congenital anomalies of the number of kidneys: frequency, etiology and pathogenesis, prenatal diagnosis, clinic, physical development, diagnosis, treatment, prevention (Part 2). Zdorov’e rebenka 2013; 7: 50: 85–88.)

    13. Мамбетова А.М., Жетишев Р.А. Варианты диспластических синдромов при врожденной патологии органов мочевой системы у детей. VIII Рос. конгресс «Современные технологии в педиатрии и детской хирургии». М., 2009; 381–382. (Mambetova A.M., Zhetishev R.A. Options dysplastic syndromes with congenital abnormalities of the urinary system in children. VIII Ros. Congress «Modern technologies in pediatrics and pediatric surgery.» Moscow, 2009; 381–382.)

    14. Мамбетова А.М., Жетишев Р.А. Оценка фенотипических признаков и тяжести дисплазии соединительной ткани у детей с пузырно-мочеточниковым рефлюксом и рефлюкс-нефропатией. XVII Рос. Нац. Конгресс «Человек и лекарство». М, 2010; 431. (Mambetova A.M., Zhetishev R.A. Evaluation of phenotypic traits and severity of connective tissue dysplasia in children with vesicoureteral reflux and reflux nephropathy. XVII Ros. Nat. Congress «Person and medicine». Moscow, 2010; 431.)

    15. Портнягина Э.В., Юрчук В.А., Титова С.В. Морфофункциональные изменения почек при врожденном гидронефрозе у детей. Сибирское медицинское обозрение 2011; 5: 71. http://cyberleninka.ru/article/n/morfofunktsionalnye-izmeneniya-pochek-pri-vrozhdennom-gidronefrozeu-detey/(Portnyagina E. V., Yurchuk V.A., Titova S.V. Morphological

    16. and functional changes of kidneys in congenital hydronephrosis in children. Sibirskoe medicinskoe obozrenie 2011; 5: 71. http://cyberleninka.ru/article/n/morfofunktsionalnye-izmeneniya-pochek-pri-vrozhdennom-gidronefroze-u-detey.)

    17. Зеленцова В.Л., Шилко В.И., Вараксин А.Н. и др. Врожденные пороки развития органов мочевой системы, анализ факторов риска дизэмбриогенеза. Экология человека 2010; 1: 38–41. (Zelentsova V.L., Shilko V.I.,, Varaksin A.N. et al. Congenital malformations of the urinary system, the analysis of disembryogenesis risk factors. Ehkologiya cheloveka 2010; 1: 38–41.)

    18. Мамбетова А.М., Жетишев Р.А., Шабалова Н.Н. Степень тяжести дисплазии соединительной ткани у детей: связь с характером перинатальной патологии и течением вторичного хронического пиелонефрита. Педиатрия 2011; 3: 90: 13–17. (Mambetova A.M., Zhetishev R.A., Shabalova N.N. The severity of connective tissue dysplasia in children: the relationship with the nature of perinatal pathology, and the passage of secondary chronic pyelonephritis. Pediatriya 2011; 3: 90: 13–17.)

    19. Мамбетова А.М. Особенности механизмов прогрессирования заболеваний почек врожденного и приобретенного характера на фоне дисплазии соединительной ткани у детей. Автореферат дисс. … д.м.н. Санкт-Петербург, 2012; 40. (Mambetova A.M. Features of the mechanism of progression of kidney disease congenital and acquired character on the background of connective tissue dysplasia in children. Avtorefer. diss. … d.m.n. St. Petersburg, 2012; 40.)

    20. Зоркин С.Н., Хворостов И.Н., Борисова С.А. Возможности ренопротективной терапии у больных с обструктивными уропатиями. Педиатрия 2007; 86: 6: 24–28. (Zorkin S.N., Khvorostov I.N., Borisova S.A. Features renoprotective therapy in patients with obstructive uropathy. Pediatriya 2007; 86: 6: 24–28.)

    21. Аббакумова Л.Н. Клинические формы дисплазии соединительной ткани у детей. Учебное пособие. 2006; 15. (Abbakumova L.N. Clinical forms of connective tissue dysplasia in children. Tutorial. 2006; 15.)

    Дробные экспоненты

    Также называется «Радикалы» или «Рациональные экспоненты»

    Показатели целого числа

    Во-первых, давайте посмотрим на экспоненты целых чисел:

    Показатель числа означает , сколько раз использовать при умножении .

    В этом примере: 8 2 = 8 × 8 = 64

    Прописью: 8 2 можно было бы назвать «8 во второй степени», «8 в степени 2» или просто «8 в квадрате»

    Другой пример: 5 3 = 5 × 5 × 5 = 125

    Дробные экспоненты

    Но что, если показатель степени — дробь?

    Показатель степени от 1 2 фактически равен квадратный корень

    Показатель степени от 1 3 равен кубический корень

    Показатель степени от 1 4 составляет корень 4-й степени

    И так далее!

    Почему?

    Давайте посмотрим, почему на примере.

    Во-первых, законы экспонент говорят нам, как обращаться с показателями при умножении:

    Пример: x

    2 x 2 = (xx) (xx) = xxxx = x 4

    Что показывает, что x 2 x 2 = x (2 + 2) = x 4

    Итак, давайте попробуем это с дробными показателями:

    Пример: Что такое 9

    ½ × 9 ½ ?

    9 ½ × 9 ½ = 9 (½ + ½) = 9 (1) = 9

    Итак, 9 ½ раз само по себе дает 9.

    Как мы называем число, которое при умножении само на себя дает другое число? Квадратный корень!

    См .:

    √9 × √9 = 9

    А:

    9 ½ × 9 ½ = 9

    Итак, 9 ½ совпадает с √9

    .

    Попробуйте другую дробь

    Давайте попробуем это еще раз, но с показателем в одну четверть (1/4):

    Пример:

    16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ × 16 ¼ = 16 (¼ + ¼ + ¼ + ¼) = 16 (1) = 16

    Итак, 16 ¼ , использованное 4 раза при умножении, дает 16,

    .

    и поэтому 16 ¼ — это корень 4-й степени из 16

    Общее правило

    Он работал с ½ , он работал с ¼ , на самом деле он работает в целом:

    x 1/ n = n- -й корень x

    Итак, мы можем придумать это:

    Дробный показатель, например 1 / n , означает, что извлекает корень n-й степени :

    Пример: Что такое 27

    1/3 ?

    Ответ: 27 1/3 = 27 = 3

    А как насчет более сложных дробей?

    А как насчет дробной степени, такой как 4 3/2 ?

    Это действительно говорит о том, что нужно сделать куб (3) и квадратный корень (1/2) в любом порядке.

    Позвольте мне объяснить.

    Фракция (например, m / n ) может быть разбита на две части:

    • целая часть ( м ), и
    • дробь ( 1 / n ) часть

    Итак, поскольку m / n = m × (1 / n) , мы можем сделать это:

    Порядок не имеет значения, поэтому он также работает для м / п = (1 / п) × м :

    И получаем это:

    Дробный показатель, например m / n , означает:

    Сделайте m-ю степень , затем возьмите n-й корень

    OR Возьмите корень n-й степени , а затем выполните -ю степень

    Некоторые примеры:

    Пример: Что такое 4

    3/2 ?

    4 3/2 = 4 3 × (1/2) = √ (4 3 ) = √ (4 × 4 × 4) = √ (64) = 8

    или

    4 3/2 = 4 (1/2) × 3 = (√4) 3 = (2) 3 = 8

    В любом случае результат будет одинаковым.

    Пример: Что такое 27

    4/3 ?

    27 4/3 = 27 4 × (1/3) = (27 4 ) = (531441) = 81

    или

    27 4/3 = 27 (1/3) × 4 = (27) 4 = (3) 4 = 81

    Второй способ был конечно проще!

    Теперь … поиграйте с графиком!

    Посмотрите, как плавно меняется кривая, когда вы играете с дробями в этой анимации, это показывает вам, что идея дробных показателей прекрасно сочетается друг с другом:

    Чего попробовать:

    • Начните с m = 1 и n = 1, затем медленно увеличивайте n, чтобы увидеть 1/2, 1/3 и 1/4
    • Затем попробуйте m = 2 и проведите n вверх и вниз, чтобы увидеть дроби вроде 2/3 и т. Д.
    • Теперь попробуйте сделать экспоненту -1
    • Наконец, попробуйте увеличить m, затем уменьшить n, затем , уменьшив м, затем , увеличив n: кривая должна идти вокруг и вокруг

    Квадратное число — элементарная математика

    Неформально: когда вы умножаете целое число («целое» число, положительное, отрицательное или ноль) на само себя, полученное произведение называется квадратным числом, или точным квадратом, или просто «квадратом». «Итак, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 и так далее — это квадратные числа.

    Более формально: квадратное число — это число в форме n × n или n 2 , где n — любое целое число.

    Математический фон

    Объекты, расположенные в квадратном массиве

    Название «квадратное число» происходит от того факта, что это конкретное количество объектов может быть расположено так, чтобы заполнить идеальный квадрат.

    Дети могут поэкспериментировать с монетами (или квадратными плитками), чтобы увидеть, какие из них можно расположить в виде идеально квадратного массива.

    Банка по четыре пенни:

    Банка девяти пенни:

    И шестнадцать пенсов тоже можно:

    Но семь пенсов или двенадцать пенсов не могут быть устроены таким образом. Числа (объектов), которые может быть организованы в квадратный массив, называются «квадратными числами».

    Квадратные массивы должны быть заполнены, если мы хотим считать число квадратным. Здесь 12 пенни расположены в квадрате, но не в полном квадратном массиве, поэтому 12 не является квадратным числом.

    Число 12 не является квадратным числом.

    Детям может понравиться изучать, какое количество монеток можно расположить на таком открытом квадрате. Их не называют «квадратными числами», но они построены по интересной схеме.

    Квадраты из квадратной плитки тоже интересно делать. Число квадратных плиток, которые помещаются в квадратный массив, является «квадратным числом».

    Вот две платы, 3 × 3 и 5 × 5 . Сколько красных плиток в каждой? Чернить? Желтый?
    Есть какие-нибудь из этих квадратных чисел?
    Что делать, если таким же образом выложить доску 4 × 4     или 6 × 6 ?
    Можете ли вы предсказать количество плиток на доске 7 × 7     или 10 × 10 ?

    Квадратные числа в таблице умножения

    Квадратные числа появляются по диагонали стандартной таблицы умножения.

    Соединения с треугольными числами

    Если вы посчитаете зеленые треугольники в каждом из этих рисунков, вы увидите последовательность чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21,…, последовательность, называемую (достаточно подходящим образом) треугольными числами.

    Если вы посчитаете белые треугольники, которые находятся в «пробелах» между зелеными, последовательность чисел начинается с 0 (потому что у первого рисунка нет пробелов), а затем продолжается: 1, 3, 6, 10, 15,… , снова треугольные числа!

    Замечательно, что если вы посчитаете все крошечные треугольники в каждом рисунке — как зеленые, так и белые, — цифры будут квадратными числами!

    Связь между квадратными и треугольными числами с другой стороны

    Постройте лестнично-ступенчатую систему стержней Кюизенера, скажем, W, R, G.Затем постройте следующую ступеньку: W, R, G, P.

    .

    Каждый из них «треугольный» (если не учитывать ступенчатый край). Соедините два последовательных треугольника вместе, и они получат квадрат:. Этот квадрат такого же размера, как 16 белых стержней, расположенных в квадрате. Число 16 — это квадратное число, «4 в квадрате», квадрат длины самого длинного стержня (измеренного белыми стержнями).

    Вот еще один пример:. Когда они сложены вместе, они образуют квадрат, площадь которого равна 64, опять же, квадрат длины (в белых стержнях) самого длинного стержня.(Коричневый стержень имеет длину 8 белых стержней, а 64 равно 8 умноженным на 8, или «8 в квадрате».)

    Ступени из квадратов с номерами

    Ступеньки, которые поднимаются, а затем снова опускаются, как эта, также содержат квадратное количество плиток. Когда плитки отмечены шахматной доской, как здесь, добавочное предложение, описывающее количество красных плиток (10), количество черных плиток (6) и общее количество плиток (16), снова показывает связь между треугольные числа и квадратные числа: 10 + 6 = 16.

    Приглашение учеников 2-го (или даже 1-го) класса построить модели ступенек и написать числовые предложения, описывающие эти модели, — хороший способ дать им возможность попрактиковаться в описательных числовых предложениях, а также подружиться с квадратными числами.



    Вот два примера. Цвет используется здесь, чтобы помочь вам увидеть, что описывается. Детям нравится цвет, но он им не нужен, и они часто могут увидеть творческие способы описания рисунков ступенек, которые они построили с помощью одноцветных плиток.Или они могут раскрасить миллиметровку на миллиметровой бумаге, чтобы записать свой образец ступенек и показать, как они преобразовали его в числовое предложение.

    Ромбовидную форму, сделанную из монет, также можно описать числовым предложением 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25.

    От одного квадратного числа к другому: два изображения со стержнями Cuisenaire

    (1) Начните с W. Добавьте две последовательные штанги, W + R; затем еще два, R + G; тогда G + P; тогда….

    1; добавить 1 + 2; прибавить 2 + 3; прибавить 3 + 4; добавить 4 + 5; добавить 5 + 6; добавить 6 + 7

    (2) Начните с W. Для каждого нового квадрата добавьте два стержня, которые соответствуют сторонам предыдущего квадрата, и новую букву W, чтобы заполнить угол.

    квадратов и квадратного корня — разница и примеры

    Что такое квадрат числа?

    В математике квадрат числа — это результат умножения числа на само себя. Слово квадрат обычно эквивалентно возведению числа в степень 2 и обозначается надстрочным индексом 2.

    Например, квадрат 4 записывается как 4 2 , что дает 16 в качестве ответа.В данном случае 16 — это квадрат числа 4.

    Ниже приведен список квадратов первых двенадцати чисел:

    1 x 1 = 1 7 x 7 = 49
    2 x 2 = 4 8 x 8 = 64
    3 x 3 = 9 9 x 9 = 81
    4 x 4 = 16 10 x 10 = 100
    5 x 5 = 25 11 x 11 = 121
    6 x 6 = 36 12 x 12 = 144

    Возведение отрицательных чисел в квадрат

    Квадрат отрицательного числа является положительным числом.Например, -3 x -3 станет 9, однако — 3 x 3 = -9, это потому, что -3 — это число, отличное от 3.

    Что такое квадратный корень числа?

    Квадратный корень — это операция, обратная возведению числа в квадрат. Другими словами, квадратный корень — это операция, которая отменяет показатель степени 2. Квадратный корень из числа x таков, что число y является квадратом x, упрощенно записывается как y 2 = x.

    Например, 5 и — 5 являются квадратными корнями из 25, потому что:

    5 x 5 = 25 и -5 x -5 = 25.

    Квадратный корень числа x обозначается знаком корня √x или x 1/2 . Например, квадратный корень из 16 представлен как √16 = 4. Число, квадратный корень которого вычисляется, называется подкоренным выражением. В этом выражении √16 = 4, число 16 — подкоренное выражение.

    Свойства

    • Полное квадратное число имеет точный квадратный корень.
    • Четное совершенное число имеет четный квадратный корень.
    • Нечетное совершенное число имеет нечетный квадратный корень.
    • Квадратный корень отрицательного числа не определен.
    • Квадратные корни имеют только числа, оканчивающиеся четным числом нулей.

    Нахождение квадратного корня чисел

    • Повторное вычитание :
      Этот метод включает в себя успешное и многократное вычитание нечетных чисел, таких как 1, 3, 5 и 7, из числа до достижения нуля. Квадрат числа равен числу или частоте вычитания числа.Предположим, нам нужно вычислить квадрат совершенного числа, такого как 16, количество выполненных вычитаний равно 4, поэтому квадратный корень из 16 равен 4.
    • Факторизация на простые множители :
      В этом методе точное квадратное число равно факторизованный последовательными делениями. Простые множители группируются в пары, и вычисляется произведение каждого числа. Следовательно, произведение представляет собой квадратный корень из числа. Чтобы найти квадрат совершенного числа, такого как: 144, выполняется как:
    1. 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
    2. Соедините простые множители.
    3. Выбор одного числа из каждой пары.
    4. 2 × 2 × 3 = 12.
    5. Таким образом, √144 = 12.
    • Метод деления:
      Метод деления — подходящий метод вычисления квадрата большого числа.

      Следующие шаги включают:
    1. Полоса помещается на каждую пару цифр, начиная с правой стороны.
    2. Разделите число на левом конце на число, квадрат которого меньше или эквивалентен числам под левым концом.
    3. Возьмите это число в качестве делителя и частного. Аналогичным образом возьмите крайнее левое число в качестве делимого.
    4. Разделите, чтобы получить результат.
    5. Потяните вниз следующее число с полосой справа от остатка.
    6. Умножьте делитель на 2.
    7. Справа от этого нового делителя найдите подходящий делимый. Этот процесс повторяется до тех пор, пока мы не получим ноль в качестве остатка. Следовательно, квадрат числа равен частному.

    Практические вопросы

    1.Запишите значение

    (a) √81

    (b) √1

    (c) √121

    (d) √0

    2. Найдите квадратные числа из следующего списка чисел: 2 6 11 14 16 18 24 25.

    3. Запишите значение (a) 3² (b) 6 в квадрате c) 8² (d) 9 в квадрате (e) 12²

    4. Я думаю о двух числах. Оба числа представляют собой квадратные числа больше 1. Если сумма этих чисел равна 100. Какие два числа?

    5. Перечислите все квадратные числа от 0 до 100.

    Ответы на практические вопросы

    1. (a) √81 = 9, (b) √1 = 1 (c) √121 = 11 (d) √0 = 0

    2 . Квадратные числа: 16 и 25

    3. (a) 3² = 9 (b) 6 в квадрате = 36 c) 8 = 64² (d) 9 в квадрате = 81 (e) 12² = 144

    4. 36 и 64 — квадратные числа

    5. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и 81

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Геометрические последовательности и серии | Безграничная алгебра

    Геометрические последовательности

    Геометрическая последовательность — это упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на константу, называемую [латекс] r [/ латекс], обычное отношение. {n-1} [/ латекс].

    Ключевые термины
    • геометрическая последовательность : упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением. Также известна как геометрическая прогрессия.

    Определение геометрических последовательностей

    Геометрическая прогрессия, также известная как геометрическая последовательность, представляет собой упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое обычным соотношением [латекс] r [/ latex ].{n-1} [/ latex]

    Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению:

    [латекс] a_n = ra_ {n-1} [/ латекс]

    для каждого целого числа [латекс] n \ ge 1. [/ Latex]

    Поведение геометрических последовательностей

    Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение. Общее отношение геометрического ряда может быть отрицательным, что приведет к чередованию последовательности. В чередующейся последовательности будут числа, которые переключаются между положительными и отрицательными знаками.Например: [латекс] 1, -3,9, -27,81, -243, \ cdots [/ latex] — геометрическая последовательность с общим соотношением [латекс] -3 [/ латекс].

    Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения. Если общее отношение:

    • Положительно, все термины будут того же знака, что и исходные
    • Отрицательный, члены будут чередоваться между положительным и отрицательным
    • Больше, чем [latex] 1 [/ latex], будет экспоненциальный рост в сторону положительной бесконечности ([latex] + \ infty [/ latex])
    • [latex] 1 [/ latex], прогрессия будет постоянной последовательностью
    • Между [латексом] -1 [/ латексом] и [латексом] 1 [/ латексом], но не между [латексом] 0 [/ латексом] будет экспоненциальный спад в сторону [латекса] 0 [/ латекса]
    • [latex] -1 [/ latex], прогрессия — чередующаяся последовательность (см. Чередующиеся серии)
    • Меньше, чем [latex] -1 [/ latex], для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону положительной и отрицательной бесконечности (из-за чередования знака)

    Геометрические последовательности (с общим соотношением, не равным [латекс] -1 [/ латекс], [латекс] 1 [/ латекс] или [латекс] 0 [/ латекс]) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейный рост (или снижение) арифметической прогрессии, такой как [латекс] 4, 15, 26, 37, 48, \ cdots [/ латекс] (с общим отличием [латекс] 11 [/ латекс]).Этот результат был получен T.R. Мальтуса в качестве математической основы его принципа народонаселения. Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны между собой: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

    Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что для любого значения общего отношения любые три последовательных термина [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс] удовлетворяет следующему уравнению:

    [латекс] {b} ^ {2} = ac [/ latex]

    Суммирование первых n членов геометрической последовательности

    Используя обычное отношение и первый член геометрической последовательности, мы можем суммировать его члены. {n}} {1-r}} [/ латекс].

    Ключевые термины
    • геометрическая серия : Бесконечная последовательность добавляемых чисел, члены которой находятся путем умножения предыдущего члена на фиксированное ненулевое число, называемое обычным отношением.
    • геометрическая прогрессия : серия чисел, в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением.

    Геометрические серии — это примеры бесконечных серий с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.Исторически геометрические ряды играли важную роль в раннем развитии исчисления, и они по-прежнему занимают центральное место в изучении сходимости рядов. Геометрические ряды используются в математике и имеют важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории очередей и финансах.

    Члены геометрического ряда образуют геометрическую прогрессию, что означает, что соотношение следующих друг за другом членов в ряду постоянно. {n}}}} [/ latex]

    является геометрическим, потому что каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} [/ latex].{n}}} [/ латекс]

    Эту концепцию можно визуализировать с помощью диаграммы:

    Бесконечная геометрическая серия: Каждый из фиолетовых квадратов получается путем умножения площади следующего большего квадрата на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex]. Площадь первого квадрата составляет [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4}} [/ latex], а площадь второй квадрат — [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}} [/ latex].

    Ниже приведены несколько геометрических рядов с разными общими отношениями.Поведение терминов зависит от общего соотношения [латекс] г [/ латекс]:

    • [латекс] 4 + 40 + 400 + 4000 + \ точки [/ латекс] имеет общее отношение [латекс] 10 [/ латекс]
    • [латекс] \ displaystyle {9 + 3 + 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] {\ frac {1 } {3}} [/ латекс]
    • [латекс] 3 + 3 + 3 + 3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 1 [/ латекс]
    • [латекс] \ displaystyle {1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} — \ frac {1} {8} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]
    • [латекс] 3-3 + 3-3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] -1 [/ латекс]

    Значение [latex] r [/ latex] предоставляет информацию о характере серии:

    • Если [латекс] r [/ латекс] находится между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] +1 [/ латекс], члены ряда становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю в пределе, и ряд сходится к сумме. Рассмотрим последовательность, в которой [латекс] r [/ latex] равен половине [латекса] {\ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ cdots \ right)} [/ latex], сумма которого равна единице.
    • Если [latex] r [/ latex] больше, чем [latex] 1 [/ latex] или меньше, чем [latex] -1 [/ latex], члены ряда становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и в серии нет суммы. Сериал расходится.
    • Если [latex] r [/ latex] равно [latex] 1 [/ latex], все члены серии совпадают.Сериал расходится.
    • Если [latex] r [/ latex] равно [latex] -1 [/ latex], термины принимают поочередно два значения [latex] \ left (\ text {eg}, 2, -2,2, -2,2 , -2, \ cdots \ right) [/ латекс]. Сумма членов колеблется между двумя значениями [latex] \ left (\ text {eg.}, 2,0,2,0,2,0, \ cdots \ right) [/ latex]. Это другой тип дивергенции, и снова у ряда нет суммы.

    Мы можем использовать формулу, чтобы найти сумму конечного числа членов в последовательности. {5}} {1-3} \\ & = 6 \ cdot \ frac {{-242}} {-2} \\ & = 6 \ cdot 121 \\ & = 726 \ end {align}} [/ латекс ]

    Бесконечная геометрическая серия

    Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

    Цели обучения

    Вычислить сумму бесконечного геометрического ряда и определить момент схождения геометрического ряда

    Ключевые выводы

    Ключевые моменты
    • Сумма геометрического ряда конечна, пока члены приближаются к нулю; поскольку числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.
    • Для бесконечного геометрического ряда, который сходится, его сумму можно вычислить по формуле [latex] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex].
    Ключевые термины
    • сходиться : приблизиться к конечной сумме.
    • геометрическая серия : Бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.

    Геометрический ряд — это бесконечный ряд, члены которого находятся в геометрической прогрессии или чьи последовательные члены имеют общее отношение. Если члены геометрического ряда стремятся к нулю, сумма его членов будет конечной. Когда числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.

    Говорят, что геометрический ряд с конечной суммой сходится. Ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы:

    .

    [латекс] \ левый | г \ право | <1 [/ латекс]

    Что следует в примере бесконечного ряда с конечной суммой. Подсчитаем сумму [latex] s [/ latex] следующей серии:

    [латекс] \ displaystyle {s = 1+ \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ cdots} [/ latex]

    Эта серия имеет общее соотношение [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex].Если мы умножим на это обычное соотношение, то начальный член [латекс] 1 [/ latex] станет [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex], [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex] становится [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {9}} [/ latex] и так далее:

    [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s = \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ frac {16} { 81} + \ cdots} [/ latex]

    Эта новая серия такая же, как и исходная, за исключением того, что отсутствует первый термин. Вычитая новую серию [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s} [/ latex] из исходной серии, [latex] s [/ latex] отменяет все термины в оригинале, кроме первого:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s- \ frac {2} {3} s & = 1 \\ \ поэтому s & = 3 \ end {align}} [/ latex]

    Подобный метод можно использовать для вычисления любого самоподобного выражения.n \ rightarrow 0 \\ & = \ frac {a} {1-r} \ end {align}} [/ latex]

    Следовательно, для [latex] | r | <1 [/ latex] мы можем записать бесконечную сумму как:

    [латекс] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex]

    Пример

    Найдите сумму бесконечного геометрического ряда [латекс] 64+ 32 + 16 + 8 + \ cdots [/ latex]

    Сначала найдите [latex] r [/ latex], или постоянное соотношение между каждым членом и тем, что ему предшествует:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} r & = \ frac {32} {64} \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

    Подставьте [латекс] a = 64 [/ latex] и [latex] \ displaystyle r = \ frac {1} {2} [/ latex] в формулу суммы бесконечного геометрического ряда:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s & = \ frac {64} {1- \ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {64} {\ frac {1} {2} } \\ & = 128 \ end {align}} [/ latex]

    Применения геометрической серии

    Геометрические ряды применяются в математике и естественных науках и являются одним из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

    Цели обучения

    Применение геометрических последовательностей и рядов к различным физическим и математическим темам

    Ключевые выводы

    Ключевые моменты
    • Повторяющаяся десятичная дробь может рассматриваться как геометрическая последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].
    • Архимед использовал сумму геометрического ряда, чтобы вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой линией.
    • Внутренняя часть снежинки Коха представляет собой союз бесконечного множества треугольников.При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры.
    • Знание бесконечных рядов позволяет нам решать древние проблемы, такие как парадоксы Зенона.
    Ключевые термины
    • геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.
    • фрактал : природное явление или математический набор, который демонстрирует повторяющийся узор, который можно увидеть в любом масштабе.

    Геометрические ряды сыграли важную роль в раннем развитии математического анализа и продолжают оставаться центральной частью изучения сходимости рядов. Геометрические ряды используются во всей математике. У них есть важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории массового обслуживания и финансах.

    Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.

    Повторяющаяся десятичная дробь

    Повторяющаяся десятичная дробь может рассматриваться как геометрическая последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].Например:

    [латекс] \ displaystyle {0,7777 \ cdots = \ frac {7} {10} + \ frac {7} {100} + \ frac {7} {1000} + \ frac {7} {10000} + \ cdots} [/ латекс]

    Формула суммы геометрического ряда может использоваться для преобразования десятичной дроби в дробь:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,7777 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {7} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {7} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {7} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {7} {9} \ end {align}} [/ latex]

    Формула работает для любого повторяющегося термина. Еще несколько примеров:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.123412341234 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1234} {10000}} {1- \ frac {1 } {10000}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {1234} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {1234} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1234} {9999} \ end {align}} [/ latex]

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,0

    0909 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {100}} {1- \ frac {1 } {100}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {100} \ right)} {\ left (\ frac {99} {100} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {100} \ right) \ left (\ frac {100} {99} \ right) \\ & = \ frac {9} {99} \\ & = \ frac {1} {11} \ конец {align}} [/ latex]

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.143814381438 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1438} {10000}} {1- \ frac {1} {10000}} \\ & = \ frac { \ left (\ frac {1438} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left (\ frac {1438} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1438} {9999} \ end {align}} [/ latex]

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,9999 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {9} {9} \\ & = 1 \ end {align}} [/ латекс]

    То есть повторяющаяся десятичная дробь с повторяющейся частью длины [латекс] n [/ latex] равна частному повторяющейся части (как целое число) и [латекс] 10 ^ n — 1 [/ latex].

    Квадратура Параболы Архимеда

    Архимед использовал сумму геометрического ряда, чтобы вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой линией. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

    Теорема Архимеда: Разрез Архимеда параболического сегмента на бесконечное количество треугольников.

    Теорема Архимеда

    гласит, что общая площадь под параболой равна [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {3}} [/ latex] площади синего треугольника.{3} + \ cdots} [/ latex]

    Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член — площади двух зеленых треугольников, третий член — площади четырех желтых треугольников и так далее. Упрощение дробей дает:

    [латекс] \ displaystyle {1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {64} + \ cdots} [/ latex]

    Это геометрическая серия с общим соотношением [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex], а дробная часть равна [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3} }[/латекс].

    Фрактальная геометрия

    Снежинка Коха: Внутренняя часть снежинки Коха состоит из бесконечного количества треугольников.

    Снежинка Коха — это фрактальная форма, внутренность которой состоит из бесконечного количества треугольников. При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры. В случае снежинки Коха ее площадь можно описать геометрическим рядом.

    Построение снежинки Коха: первые четыре итерации: каждая итерация добавляет набор треугольников снаружи формы.

    Область внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников. На диаграмме выше треугольники, добавленные во второй итерации, имеют размер [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {3}} [/ latex], равный размеру стороны наибольшего треугольника, и поэтому они имеют ровно [латекс ] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] область. Точно так же каждый треугольник, добавленный во второй итерации, имеет [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] площадь треугольников, добавленных в предыдущей итерации, и так далее. {3} + \ cdots} [/ latex]

    Первый член этого ряда представляет площадь первого треугольника, второй член — общую площадь трех треугольников, добавленных во второй итерации, третий член — общую площадь двенадцати треугольников, добавленных в третьей итерации, и т. Д. . За исключением начального члена [латекс] 1 [/ латекс], этот ряд является геометрическим с постоянным соотношением [латекс] \ displaystyle {r = \ frac {4} {9}} [/ latex]. Первый член геометрического ряда — [латекс] \ displaystyle {a = 3 \ frac {1} {9} = \ frac {1} {3}} [/ latex], поэтому сумма составляет:

    [латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 1+ \ frac {a} {1-r} & = 1 + \ frac {\ frac {1} {3}} {1- \ frac {4} {9 }} \\ & = \ frac {8} {5} \ end {align}} [/ latex]

    Таким образом, снежинка Коха имеет [латекс] \ displaystyle {\ frac {8} {5}} [/ latex] площади основного треугольника.

    Парадоксы Зенона

    Парадоксы Зенона — это набор философских проблем, изобретенных древнегреческим философом для поддержки учения о том, что истина противоречит нашим чувствам.

    Что такое в математике log: Логарифмы, log, ln, lg

    alexxlab / / Математике
    {-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

    Аргумент и основание логарифма

    Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:


    Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».


    Как вычислить логарифм?

    Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

    Например, вычислите логарифм:  а) \(\log_{4}{16}\)     б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)     в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\)     г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)      д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

    а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

    \(\log_{4}{16}=2\)

    б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

    \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)

    в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

    \(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

    г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

    \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

    д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень \(\frac{1}{2}\).

    \(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

    Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

    Решение:

    \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)

    		                              

    Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс.{b}=c\)       \(\Leftrightarrow\)       \(\log_{a}{c}=b\)

    \(\log_{4}{10}=5x-4\)

    		 

    Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

    \(5x-4=\log_{4}{10}\)

    		 

    Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.

    И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. 

    \(5x=\log_{4}{10}+4\)

    		  

    Поделим уравнение на 5

    \(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)


    Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

    Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

    Десятичный и натуральный логарифмы

    Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

    Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

    То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) — некоторое число.

    Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).

    То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) — некоторое число.{2}=25\)

         

    Ответ готов.

    Ответ: \(25\)

    Как число записать в виде логарифма?

    Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\). 

    Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\)  . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается  

    \(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)

    Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

    Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

    \(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}…\)

    И с четверкой:

    \(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}…\)

    И с минус единицей:

    \(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(…\)

    И с одной третьей:

    \(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt[3]{2}}=\log_{3}{\sqrt[3]{3}}=\log_{4}{\sqrt[3]{4}}=\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\log_{6}{\sqrt[3]{6}}=\log_{7}{\sqrt[3]{7}}…\)

    И так далее.

    Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\):       \(a=\log_{b}{b^{a}}\)

    Пример: Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

    Решение:

    \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)\(=\)

    		          

    Превращаем единицу в логарифм с основанием \(2\): \(1=\log_{2}{2}\)

    \(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{2}+\log_{2}{7}}\)\(=\)

    		 

    Теперь пользуемся свойством логарифмов:
    \(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\)

    \(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{(2\cdot7)}}\)\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{14}}\)\(=\)

    		 

    В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.

    \(=1\)

    		 

    Ответ готов.

    Ответ: \(1\)

    Смотрите также:
    Логарифмические уравнения
    Логарифмические неравенства

    Логарифмы в математике, основные понятия и определения

    Определение и основные понятия логарифмов

    Например. , поскольку .

    В 8 веке индийский математик Вирасена (792-853), исследуя степенные зависимости, опубликовал фактически таблицу логарифмов (целочисленных показателей) для оснований 2, 3, 4. Дальнейшее развитие теория логарифмов получила в средневековой Европе, где была выдвинута идея замены трудоемкого умножения на простое сложение. Впервые эта идея увидела свет в книге «Arithmetica integra» (1544) немецкого математика Михаэля Штифеля (1487-1567). В 1614 году шотландский математик Джон Непер (1560-1617) опубликовал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором ввел термин «логарифм», а также описал его свойства. Общепринятого обозначения логарифма не было до конца 19 века, хотя специальные обозначения для натурального и десятичного логарифмов появились значительно ранее.

    Натуральный логарифм — логарифм по основанию :

       

    Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10:

       

    Свойства логарифмов

    Следующие свойства приведены для произвольных величин , при которых логарифм существует.

    1. Основное логарифмическое тождество:

         

      Например. .

    2. Если основание логарифма и подлогарифмическая функция равны, то логарифм равен единице:

         

      Например. .

    3. Логарифм по любому основанию от единицы равен нулю:

         

      Например. .

    4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей:

         

      Например. .

    5. Логарифм частного равен разности логарифмов от делимого и делителя соответственно:

         

      Например. .

    6. .

      Например. .

    7. .

      Например. .

    8. .

      Например. .

    9. .

      Например. .

    10. Переход к новому основанию:

         

      Например. .

    11. .

      Например. .

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    Логарифмы / math5school.ru

    Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот

     

    Определение логарифма

    Логарифмом положительного числа b по основанию а (a > 0, a ≠ 1) называется такой показатель степени c, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

    Записывают: с = loga b, что означает a c= b. 

    Из определения логарифма следует справедливость равенства: 

    a loga b = b, (а > 0, b > 0, a ≠ 1),

    называемого основным логарифмическим тождеством.

    В записи loga b число а – основание логарифма, b – логарифмируемое число.

    Из определения логарифмов вытекают следующие важные равенства:

    loga 1 = 0,

    loga а = 1.

    Первое следует из того, что a 0 = 1, а второе – из того, что a 1 = а. Вообще имеет место равенство

    loga a r = r.

     

    Свойства логарифмов

    Для положительных действительных чисел a (a ≠ 1), b, c справедливы следующие соотношения:

    loga (b · c) = loga b + loga c

    loga (b ⁄ c) = loga b – loga c

    loga b p = p · loga b

    loga q b = 1/q · loga b

    loga q b p = p/q · loga b

    loga pr b ps = loga r b s

    loga b = logc b ⁄ logc a  (c ≠ 1)

    loga b = 1 ⁄ logb a  (b ≠ 1)

    loga b · logb c = loga c

    c loga b = b loga c

    Замечание 1. Если а > 0, a ≠ 1, числа b и c отличны от 0 и имеют одинаковые знаки, то

    loga (b · c) = loga |b| + loga |c|

    loga (b ⁄ c) = loga |b| – loga |c| .

    Замечание 2. Если p и q – чётные числа, а > 0, a ≠ 1 и b ≠ 0, то

    loga b p = p · loga |b|

    loga pr b ps = loga r |b s|

    loga q b p = p/q · loga |b| .

    Для любых положительных, отличных от 1 чисел a и b верно:

    loga b > 0  тогда и только тогда, когда  a > 1  и  b > 1  или  0 < a < 1  и  0 < b < 1;

    loga b < 0  тогда и только тогда, когда  a > 0  и  0 < b < 1  или  0 < a < 1  и  b > 1.

     

    Десятичный логарифм

    Десятичным логарифмом называется логарифм, основание которого равно 10.

    Обозначаются символом lg:

    log10 b = lg b.

    Десятичные логарифмы до изобретения в 70-х годах прошлого века компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

    Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже – с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми.

    В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log, Log, Log10, причём следует иметь в виду, что первые два варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

     

    Таблица десятичных логарифмов целых чисел от 0 до 99

    Десятки Единицы
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    0 – 0 0,30103 0,47712 0,60206 0,69897 0,77815 0,84510 0,90309 0,95424
    1 1 1,04139 1,07918 1,11394 1,14613 1,17609 1,20412 1,23045 1,25527 1,27875
    2 1,30103 1,32222 1,34242 1,36173 1,38021 1,39794 1,41497 1,43136 1,44716 1,46240
    3 1,47712 1,49136 1,50515 1,51851 1,53148 1,54407 1,55630 1,56820 1,57978 1,59106
    4 1,60206 1,61278 1,62325 1,63347 1,64345 1,65321 1,66276 1,67210 1,68124 1,69020
    5 1,69897 1,70757 1,71600 1,72428 1,73239 1,74036 1,74819 1,75587 1,76343 1,77085
    6 1,77815 1,78533 1,79239 1,79934 1,80618 1,81291 1,81954 1,82607 1,83251 1,83885
    7 1,84510 1,85126 1,85733 1,86332 1,86923 1,87506 1,88081 1,88649 1,89209 1,89763
    8 1,90309 1,90849 1,91381 1,91908 1,92428 1,92942 1,93450 1,93952 1,94448 1,94939
    9 1,95424 1,95904 1,96379 1,96848 1,97313 1,97772 1,98227 1,98677 1,99123 1,99564

     

    Натуральный логарифм

    Натуральным логарифмом называется логарифм, основание которого равно  числу е, математической константе, являющейся иррациональным числом, к которому стремится последовательность

    аn = (1 + 1/n)n при n → +∞.

    Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Значение числа е с первыми пятнадцатью цифрами после запятой следующее: 

    е = 2,718281828459045… .

    Натуральный логарифм обозначаются символом ln:

    loge b = ln b.

    Натуральные логарифмы являются самыми удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций.

     

    Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99

    Десятки Единицы
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    0 – 0 0,69315 1,09861 1,38629 1,60944 1,79176 1,94591 2,07944 2,19722
    1 2,30259 2,39790 2,48491 2,56495 2,63906 2,70805 2,77259 2,83321 2,89037 2,94444
    2 2,99573 3,04452 3,09104 3,13549 3,17805 3,21888 3,25810 3,29584 3,33220 3,36730
    3 3,40120 3,43399 3,46574 3,49651 3,52636 3,55535 3,58352 3,61092 3,63759 3,66356
    4 3,68888 3,71357 3,73767 3,76120 3,78419 3,80666 3,82864 3,85015 3,87120 3,89182
    5 3,91202 3,93183 3,95124 3,97029 3,98898 4,00733 4,02535 4,04305 4,06044 4,07754
    6 4,09434 4,11087 4,12713 4,14313 4,15888 4,17439 4,18965 4,20469 4,21951 4,23411
    7 4,24850 4,26268 4,27667 4,29046 4,30407 4,31749 4,33073 4,34381 4,35671 4,36945
    8 4,38203 4,39445 4,40672 4,41884 4,43082 4,44265 4,45435 4,46591 4,47734 4,48864
    9 4,49981 4,51086 4,52179 4,5326 4,54329 4,55388 4,56435 4,57471 4,58497 4,59512

     

    Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот

    Так как lg е = 1 / ln 10 ≈ 0,4343, то lg b ≈ 0,4343 · ln b;

    так как ln 10 = 1 / lg e ≈ 2,3026, то ln b ≈ 2,3026 · lg b.{\prime}=\frac{1}{x \ln 10}$

    8  $\int \lg x \mathrm{d} x=x \lg x-\frac{x}{\ln 10}+C$

    9  $\lim _{x \rightarrow 0+} \lg x=-\infty$

    Читать дальше: логарифмическая функция.

    Слишком сложно?

    Десятичный логарифм не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

    Логарифм

    Логарифм является числом, применение которого значительно упрощает довольно много сложных операций, которые существуют в арифметике. Если использовать в вычислениях логарифмы вместо чисел, то вполне возможно заменить, например, умножение более просто операцией, такой, как сложение. Также можно использовать вычитание вместо деления, умножение – вместо возведения в степень, а также деление – вместо извлечения корня.

    Что же такое логарифм с математической точки зрения? Логарифм – это показатель степени, в которую необходимо возвести другое число, которое называется основанием логарифма, для того, чтобы получить данное число.l=n. Число n также называют антилогарифмом числа l по основанию а.

    Основанием логарифма может служить любое положительное число, кроме единицы. Однако отметим тот факт, что, если а и n – рациональные числа, то l будет являться рациональным числом в очень редких случаях. Но ведь всегда можно определить иррациональное число l, а потом максимально точно приблизить его рациональными числами. Делается это с помощью специальных таблиц логарифмов (если рассматривать пример, что мы указали выше, то в этом случае, это будет четырехзначная таблица десятичных логарифмов).

    Принцип, который лежит в основе абсолютно любой системы логарифмов, был известен еще в стародавние времена (например, вавилонская математика). Свойства логарифмов также изучал Архимед, который использовал степени числа 10, чтобы найти верхний передел числа песчинок, которые необходимы, чтобы заполнить Вселенную.

    Например: Log[2,64]-6

    Логарифмы

    Определение логарифма
    Логарифмом числа b по основанию a называется показатель
    степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
    log 
    a    		b = c ;     ac
         		 = b

    Свойства логарифма
    Логарифм произведения
    log 
    c    		(ab) = log 
    c    		a + log 
    c    		b
    Логарифм частного
    log 
    c    		(a
    b    		) = log 
    c    		a — log 
    c    		b
    Логарифм степени
    Логарифм корня
    log 
    c    		n
         		a =1
    n    		log 
    c    		a
    Переход к новому основанию
    Формулы, следущие из свойств логарифмов
    log 
    a    		b =  1  
    log 
    b    		a
    log 
    n    		b =log 
    m    		b = log 
    c    		b
    log 
    n    		clog 
    m    		c
    log 
    n    		b * log 
    m    		c = log 
    m    		b * log 
    n    		c
     
    a    		log 
    n    		b 
    =    		 
    b    		log 
    n    		a
      

    Что такое логарифм? Зачем нужны логарифмы?

            Логарифмы — традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно — уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм — это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.

            Итак, поехали знакомиться.)

            Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:

            2х = 4

            Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате — это четыре.)

            А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

            2х = 5

            И снова пробуем подобрать икс…

            Что, никак не подбирается? Два в квадрате — это четыре. Два в кубе — это уже восемь. А у нас — пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)

            Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой — уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа — равноправные партнёры.)

            На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс — какое-то дробное число между двойкой (22 = 4) и тройкой (23 = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…

            Математика решает данную проблему очень просто и элегантно — введением понятия логарифма.

            Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:

            2х = 5

            Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!

            Вот и назовём это загадочное число х логарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:

            x = log25

            А произносится эта запись вот так: «Икс равен логарифму пяти по основанию два.»

            Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2х. Запомнить очень легко.)

            Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!

            2х = 5

            x = log25

            И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!

            Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?

            Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:

            x = log25 = 2,321928095…

            Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…

            Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…

            Например, решая показательное уравнение

            3x = 9,

            про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.

     

            А вот, решая уравнение, скажем, такое

            3х = 7,

            вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:

            х ≈ 1,77124375

            Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:

            х = log37.

     

            И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ — посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был — логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)

            Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.

            Например:

            2х = 13

            Никаких проблем:

            x = log213

     

            5х = 26

            Тоже элементарно!

            x = log526

     

            11x = 0,123

            И тут не вопрос:

            x = log110,123

     

            Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?

     

            А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.

            Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?

            Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:

            an = b

            a — основание,

            n — показатель,

            b — собственно сама степень.

            А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:

            

           А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?

            Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:

            

            «Эн» (n) — это число, в которое надо возвести «a», чтобы получить «b». Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма — это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.

            Таким образом, для возведения в степень в математике существует два разных по природе обратных действия. Это извлечение корня и нахождение логарифма. А вот, скажем для умножения обратное действие только одно — деление. Оно и понятно: любой из неизвестных множителей — что первый, что второй — ищется с помощью одной операции — деления.)

     

    Простейшие примеры с логарифмами.

            А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.

            Скажем, если где-то в уравнении вы получили

            x = log39,

            то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:

            х = 2

            А как мы поняли, что log39=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три — это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)

            А чему равен, скажем, log5125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!

            Стало быть, log5125 = 3.

     

            Идём дальше.

            log77 = ?

            В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!

            Вот вам и ответ: log77 = 1

     

            А вот такой пример как вам?

            log31 = ?

            И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней.) Да! В нулевую! Вот и пишем:

            log31 = 0                       

     

            Уловили принцип? Тогда тренируемся:

            log216 = …

            log464 = …

            log1313 = …

            log3243 = …

            log151 = …

            Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.

     

            Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения — надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)

            Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)

            Решаем вот такой пример:

            log40,25 = ?

            Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что

            0,25 = 1/4 = 4-1

            Стало быть, можно смело записать:

            log40,25 = log44-1 = -1.

            И всё.)

     

            Ещё пример:

            log42 = ?

            В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка — это корень квадратный из четырёх:

           

           А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:

    Поэтому наш логарифм будет равен:

            Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) — в следующем уроке.

            А теперь решаем самостоятельно.

            Вычислить:

            

            Ответы (в беспорядке): 4,4; 0; 1; 6; 4; 2.

    что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

    Что такое логарифм

    Свойства логарифма

    Логарифмические уравнения

    Логарифмические неравенства

    Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
    Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма). 

    Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров. 

    Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81. 

    А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

    Тогда, если дело касается логарифма:

    можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

    На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

    Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

    У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

    Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

    Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

    А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

    Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета…  Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

    Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

    «Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

    А теперь  разберем теорию на практике:

    В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма). 

    Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

    Ответ: 4.

    lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.

    А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :

    Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов: 

    Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?

    Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.

    Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:

    В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!

    Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.

    Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

    Основное логарифмическое тождество:

    В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.

    Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.

    Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает: 

    А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:

    Дальше с этим ничего сделать не сможем.

    Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.

    Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:

    А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:

    Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:

    А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:

    Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:

    Пример:

    А в основании тоже можно? Нужно!

    Минус два — это степень у основания:

    А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода: 

    А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов

    С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.

    Формула перехода к новому основанию: 

    Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.

    Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.

    Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.

    Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:

    Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.

    Простенький примерчик:

    Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:  

    Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.

    Начинаем с внутреннего:

    И постепенно раскрываем каждый последующий:

    После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.

    Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.

    Первый появляется из определения логарифма:

    Только не забываем про ОДЗ:

    Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием: 

    Не забываем про ОДЗ, тогда получится: 

    Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!

    Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:

    Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:

    Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:

    Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:

    Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:

    Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:

    Вывод:

    1. Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень. 
    2.  Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу. 
    3. Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
    4. Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
    5. В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.
    Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
    у = х

    Функция JavaScript Math.log () эквивалентна ln (x) по математике.

    Параметры

    Возвращаемое значение

    Натуральный логарифм (основание e ) заданного числа. Если число отрицательное, возвращается NaN .

    Если значение x равно 0, возвращаемое значение всегда -Бесконечность .

    Если значение x отрицательное, возвращаемое значение всегда NaN .

    Поскольку log () является статическим методом Math , вы всегда используете его как Math.log () , а не как метод объекта Math , который вы создано ( Math не является конструктором).

    Если вам нужен натуральный логарифм 2 или 10, используйте константы Math.LN2 или Math.LN10 . Если вам нужен логарифм с основанием 2 или 10, используйте Math.log2 () или Math.log10 () . Если вам нужен логарифм для другие базы, используйте Math.log (x) / Math.log (otherBase), как в примере ниже; ты можешь хотите предварительно вычислить 1 / Math.log (otherBase).

    Использование Math.log ()

      Math.log (-1);
Math.log (0);
Math.log (1);
Math.log (10);

    Использование Math.log () с другим основанием

    Следующая функция возвращает логарифм y с основанием x (например, logxy \ log_x y):

      function getBaseLog (x, y) {
  вернуть Math.log (y) / Math.log (x);
}

    Если вы запустите getBaseLog (10, 1000) , он вернет 2.9999999999999996 из-за округления с плавающей запятой, что очень близко к фактическому ответу 3.

    Таблицы BCD загружаются только в браузере

    Что такое логарифм?

    MATH ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ

    РАЗДЕЛ 4. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?

    Логарифм — это степень, до которой должно быть возведено число, чтобы получить другое число (см. раздел 3 этого обзора математики для получения дополнительной информации. о экспонентах).Например, десятичный логарифм 100 равен 2, потому что десять в степени двойки равно 100:

    журнал 100 = 2

    потому что

    10 2 = 100

    Это является примером десятичного логарифма. Мы называем это десятичным логарифмом потому что десять это число это возведено в степень.Базовая единица — это поднимаемое число к власти. Есть логарифмы с использованием разных основных единиц. Если вы хотели, вы могли бы использовать два в качестве базового блока. Например, логарифм восьми по основанию два равен трем, потому что два возведены в степень трех равна восьми:

    журнал 2 8 = 3

    потому что

    2 3 = 8

    В Как правило, вы пишете журнал, за которым следует базовый номер в качестве индекса.Наиболее распространенные логарифмы: логарифмы по основанию 10 и натуральные логарифмы; у них есть специальные обозначения. Записывается журнал с основанием десять

    журнал

    и десятичное логарифмическое уравнение обычно записывается в виде:

    журнал а = г

    Записывается натуральный логарифм.

    пер.

    и натуральное логарифмическое уравнение обычно записывается в виде:

    ln a = r

    Итак, когда вы видите журнал сам по себе, это означает десятичный журнал.Когда вы видите ln, это означает натуральный логарифм (мы определим натуральные логарифмы ниже). В этом Конечно, будут использоваться только десятичные и натуральные логарифмы.

    в логарифмах, страница 2

    Для подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance Координатор по образованию.

    Авторские права © 2004 г. регентами Миннесотского университета, равные возможности работодатель и педагог.

    Что такое логарифм на Земле?

    Что такое логарифм на Земле?
    Понимание математики от Питер Альфельд, Кафедра математики, Университет Юты

    Что такое логарифм на Земле?

    Интересно, что после того, как я это руководство какое-то время это оказался вопрос, который мне задали чаще всего, обычно в терминах, включающих такие фразы, как «Греческий для меня», «бьет меня» или, как указано выше, «что на земле»…

    Чтобы понять, что такое логарифм, вам сначала нужно понять, что за мощность является. Если вы этого не сделаете, сначала перейдите по этой ссылке!

    Хорошо, вы знаете, что такое сила. Так что это имеет смысл для вас написать что-то вроде

     b  x  = y. (*)

    В предыдущем уравнении x должно выглядеть как надстрочный индекс b .Если это не так, у вас есть слабый браузер.

    После этих предварительных мероприятий мы можем теперь перейти к сути причина. Уравнение (*) является ключом к все. Число b — это основание , число x экспонента , а выражение что равно y — это степень . Если мы подумаем о x как независимая переменная и y как зависимая переменная, тогда (*) определяет экспоненциальная функция .

    В уравнении (*) мы можем теперь представить, что два из переменные даны, и решаем для третьего. Если даны основание и показатель степени, мы вычисляем степень , если даны показатель степени и степень, мы вычисляем корень (или корень ), и, если мощность и базы даны, вычисляем логарифм .

    Другими словами, Логарифм числа y по основанию b — показатель степени, к которому мы должны поднять b , чтобы получить y.

    Мы можем записать это определение как

     x = бревно  b  y b  x  = y

    и мы говорим, что x — это логарифм y с базой b тогда и только тогда, когда b к мощности x равно y .

    Проиллюстрируем это определение несколькими примерами.Если у вас проблемы с любой из этих способностей, вернитесь к моему страница на полномочия.

    •  10  2  = 100 журнал  10  100 = 2 
    •  10 -2  = 0,01 лог  10  0,01 = -2 
    •  10  0  = 1 журнал  10  1 = 0 
    •  2  3  = 8 журнал  2  8 = 3 
    •  3  2  = 9 лог  3  9 = 2 
    •  25  1/2  = 5 лог  25  5 = 1/2 
    •  8  -2/3  = 1/4 журнала  8  1/4 = -2/3 
    •  2  1/2  = 1.4142135623 ... журнал  2  1.414 .. = 1/2

    Специальные базы

    Логарифмы по основанию b = 10 называются десятичных логарифмов и логарифмов по база е = 2,71828 … называются натуральными логарифмами.

    Больше информации

    Вы должны найти обширную информацию о логарифмах в любом учебник по алгебре колледжа.Чтобы проверить ваше понимание и направьте ваше дальнейшее изучение, чтобы найти ответы следующие вопросы:

    Калькулятор логарифмов

    Нажмите на этот апплет

    Однако ваш браузер не поддерживает Ява. Если бы это было так, вы бы не увидели это сообщение! Получите Java совместимый браузер, такой как Netscape, достаточно продвинутой версии.

    для вызова калькулятора логарифма , который позволит вам выберите два числа из числа (*) и вычислите в третьих. Его довольно просто использовать, но вот документация.

    Мелкий шрифт, ваши комментарии, дополнительные ссылки, Питер Альфельд, PA1UM

    [27 июня 1997 г.]

    Общий и натуральный логарифмы — объяснения и примеры

    Логарифм числа — это степень или экспонента, на которую должно быть увеличено другое значение, чтобы получить эквивалентное значение данного числа.

    Понятие логарифмов было введено в начале 17 века Джоном Напье — шотландским математиком. Позже ученые, навигаторы и инженеры приняли концепцию выполнения вычислений с использованием логарифмических таблиц.

    Логарифм числа выражается в виде;

    log b N = x, где b — основание и может быть любым числом, кроме 1 и нуля; x и N — показатель степени и аргумент соответственно.

    Например, , логарифм от 32 до основания 2 равен 5 и может быть представлен как;

    log 2 32 = 5

    Узнав о логарифмах, мы можем заметить, что основанием логарифмической функции может быть любое число, кроме 1 и нуля.Однако два других специальных типа логарифмов часто используются в математике. Это десятичный и натуральный логарифм.

    Что такое десятичный логарифм?

    У десятичного логарифма фиксированная база 10. Общий логарифм числа N выражается как;

    log 10 N или log N. Десятичный логарифм также известен как десятичный логарифм и десятичный логарифм.

    Если log N = x, то мы можем представить эту логарифмическую форму в экспоненциальной форме, т.е.е., 10 x = N.

    Десятичные логарифмы имеют широкое применение в науке и технике. Эти логарифмы также называются бриггсовскими логарифмами, потому что в 18, -м, годах, их ввел британский математик Генри Бриггс. Например, кислотность и щелочность вещества выражаются экспоненциально.

    Шкала Рихтера для измерения землетрясений и децибел для звука обычно выражается в логарифмической форме. Это настолько распространено, что вы можете предположить, что это журнал x или общий журнал, если вы не найдете записанной базы.

    Основные свойства десятичных логарифмов такие же, как свойства всех логарифмов.

    К ним относятся правило произведения, правило частного, правило степени и правило нулевой экспоненты.

    Произведение двух десятичных логарифмов равно сумме отдельных десятичных логарифмов.

    ⟹ журнал (m n) = журнал m + журнал n.

    Правило деления десятичных логарифмов гласит, что частное двух десятичных логарифмических значений равно разности каждого десятичного логарифма.

    ⟹ log (m / n) = log m — log n

    Десятичный логарифм числа с показателем степени равен произведению показателя степени и его десятичного логарифма.

    ⟹ log (m n ) = n log m

    ⟹ log 1 = 0

    Что такое натуральный логарифм?

    Натуральный логарифм числа N — это степень или показатель степени, до которого нужно возвести «e», чтобы оно стало равным N. Константа «e» — это постоянная Напье, которая приблизительно равна 2,718281828.

    ln N = x, что совпадает с N = e x .

    Натуральный логарифм в основном используется в чистой математике, такой как исчисление.

    Основные свойства натуральных логарифмов такие же, как и свойства всех логарифмов.

    ⟹ ln (ab) = ln (a) + ln (b)

    ⟹ ln (a / b) = ln (a) — ln (b)

    ⟹ ln (1 / a) = −ln (a )

    ⟹ ln (a b ) = b ln (a)

    Другие свойства натурального журнала:

    • e ln (x) = x
    • ln (e x ) = x
    • ln (e) = 1
    • ln (∞) = ∞
    • ln (1) = 0

    В научных и графических калькуляторах есть ключи для десятичных и натуральных логарифмов.Ключ для натурального логарифма обозначается « e», или «ln», а ключ для десятичного логарифма — «log».

    А теперь давайте проверим наше понимание урока, попробовав несколько задач на натуральный и десятичный логарифмы.

    Пример 1

    Решить относительно x if, 6 x + 2 = 21

    Решение

    Выразить обе стороны в виде десятичного логарифма

    log 6 9012 x 902 + 2 = log 21

    Применяя правило логарифмов степени, получаем;
    ( x + 2) log 6 = log 21

    Разделите обе стороны на log 6.

    x + 2 = log 21 / log 6

    x + 2 = 0, 5440

    x = 0,5440 — 2

    x = -1,4559

    Пример 2

    Решить для x in e 2 x = 9

    Решение

    ln e 3 x = ln 9
    3 x ln e = ln 9
    3 x = ln 9

    изолировать x, разделив обе стороны на 3.

    x = 1 / 3ln 9

    x = 0. 732

    Пример 3

    Решить относительно x в логарифме 0.0001 = x

    Решение

    Перепишите общий журнал. в экспоненциальной форме.

    10 x = 0,0001

    Но 0,0001 = 1/10000 = 10 -4

    Следовательно,

    x = -4

    Практические вопросы

    1. Найдите x в каждом из следующих случаев:

    а. ln x = 2,7

    б. ln (x + 1) = 1,86

    с. x = e 8 ÷ e 7,6

    d. 27 = e x

    e.12 = e -2x

    2. Решите 2 log 5 + log 8 — log 2

    3. Запишите журнал 100000 в экспоненциальной форме.

    4. Найдите значение x, если log x = 1/5.

    5. Решите относительно y, если e y = (e 2y ) (e ln 2x ).

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    логарифмов

    логарифмов

    Логарифм — показатель степени. Логарифм — это показатель степени, который указывает, в какой степени для получения заданного числа необходимо поднять базу.

    г = b x экспоненциальная форма

    х = журнал b y логарифмический форма

    x — логарифм y по основанию b

    log b y — степень, в которую мы должны возвести b, чтобы получить y

    .

    Мы выражаем x через y

    Примеры

    x = журнал b y

    x = журнал 2 8 Это означает логарифм 8 по основанию 2.Это экспонента, до которой нужно возвести 2, чтобы получить 8. Мы знаем, что 2 (2) (2) = 8. Следовательно, x = 3.

    x = журнал 6 36 Это означает логарифм 36 по основанию 6. Это показатель степени, до которого нужно возвести 6, чтобы получить 36. Мы знаем, что 6 (6) = 36. Следовательно, x = 2.

    x = журнал 10 10,000 Это означает логарифм 10000 с основанием 10.Это — показатель степени, до которого нужно поднять 10, чтобы получить 10 000. Мы знаем что 10 (10) (10) (10) = 10,000. Следовательно, x = 4.

    журнал b b = 1 Логарифм любого числа по одному основанию равен 1.

    x = журнал 11 11 Это означает логарифм 11 по основанию 11. Это показатель степени. на которое нужно поднять 11, чтобы получить 11.Мы знаем, что 1 (1) = 11. Следовательно, x = 1.

    журнал b 1 = 0

    Логарифм 1 всегда равен 0.

    Любое число может служить базой b.

    Обычный (Бриггсиан) логарифмы Основание 10.

    Логарифмы к базе 10 широко используются. Таким образом, обычно опускают нижний индекс.Если база не указана, значит, база равна 10.

    журнал 10 y = журнал y

    Натуральный (Наперианские) логарифмы Основание — e.

    Помнить e — иррациональное число, где e = 2,71828 … Символ «ln» относится к натуральным логарифмам.
    журнал e x = ln x ln x — показатель степени, до которого необходимо возвести e, чтобы получить x.


    Почему мы хотим использовать логарифмы? Для упрощения расчетов во многих случаях.


    Правила логарифмов

    Правило продукта

    Правило частного

    Power rule Это правило полезно, потому что оно позволяет нам решать уравнения где переменная — показатель степени.


    Экспоненциальные и логарифмические функции являются обратными функциями

    Рассмотрим следующие таблицы и связанные с ними графики:

    x

    f (x) = e x

    x

    f (x) = ln x

    0

    1

    1

    0

    1

    2.7

    2,7

    1

    2

    7,39

    7,39

    2

    3

    20

    20

    3

    [индекс]

    Алгебра — логарифмические функции

    Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 6-2: Логарифмические функции

    В этом разделе нам нужно перейти к функциям логарифмирования.Это может быть непростой момент для построения графика. Будет несколько других обозначений, к которым вы не привыкли, и некоторые свойства могут быть не такими интуитивно понятными. Однако не расстраивайтесь. Как только вы разберетесь с ними, вы обнаружите, что они на самом деле не так уж и плохи, и обычно требуется немного поработать с ними, чтобы разобраться в них.

    Вот определение логарифмической функции.

    Если \ (b \) — любое число такое, что \ (b> 0 \) и \ (b \ ne 1 \) и \ (x> 0 \), то

    \ [y = {\ log _b} x \ hspace {0.y} = x \) называется экспоненциальной формой .

    Обратите внимание, что требование \ (x> 0 \) на самом деле является результатом того факта, что мы также требуем \ (b> 0 \). Если подумать, это будет иметь смысл. Мы возводим положительное число в степень, и поэтому результат не может быть чем-то другим, кроме другого положительного числа. Очень важно помнить, что мы не можем логарифмировать ноль или отрицательное число.

    Теперь давайте обратимся к используемым здесь обозначениям, поскольку это обычно самое большое препятствие, которое ученики должны преодолеть, прежде чем начать понимать логарифмы.Во-первых, «журнал» функции — это просто три буквы, которые используются для обозначения того факта, что мы имеем дело с логарифмом. Они не переменные и не означают умножения. Они просто говорят нам, что мы имеем дело с логарифмом.

    Далее, \ (b \), стоящий в нижнем индексе в части «журнала», указывает нам, что такое основание, поскольку это важная часть информации. Кроме того, несмотря на то, как это может выглядеть, в приведенной выше форме логарифма нет возведения в степень.x} \) в этой форме, но это не так. Похоже, что это могло быть именно так.

    Важно сохранять правильную запись логарифмов, в противном случае вам будет очень трудно понять их и работать с ними.

    Теперь давайте кратко рассмотрим, как мы вычисляем логарифмы.

    Пример 1 Вычислите каждый из следующих логарифмов.
    1. \ ({\ log _4} 16 \)
    2. \ ({\ log _2} 16 \)
    3. \ ({\ log _6} 216 \)
    4. \ (\ displaystyle {\ log _5} \ frac {1} {{125}} \)
    5. \ ({\ log _ {\ frac {1} {3}}} 81 \)
    6. \ ({\ log _ {\ frac {3} {2}}} \ displaystyle \ frac {{27}} {8} \)
    Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

    Теперь реальность такова, что непосредственное вычисление логарифмов может быть очень сложным процессом даже для тех, кто действительно их понимает.Обычно гораздо проще сначала преобразовать форму логарифма в экспоненциальную форму. В такой форме мы обычно можем получить ответ довольно быстро.


    a \ ({\ log _4} 16 \) Показать решение

    Хорошо, мы действительно спрашиваем вот о чем.

    \ [{\ log _4} 16 =? \]

    Как было предложено выше, давайте преобразуем это в экспоненциальную форму.

    \ [{\ log _4} 16 =? \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow {\ mbox {}} \ hspace {0.4} \), и т. Д. , пока вы не получите 16. В этом случае нам нужен показатель степени 4. Следовательно, значение этого логарифма равно

    . \ [{\ log _2} 16 = 4 \]

    Прежде чем перейти к следующей части, обратите внимание, что их основа является очень важной частью обозначений. Изменение базы изменит ответ, поэтому нам всегда нужно отслеживать базу.


    c \ ({\ log _6} 216 \) Показать решение

    Мы сделаем это без каких-либо реальных объяснений, чтобы увидеть, насколько хорошо вы вычислили логарифмы.3}}} = \ frac {{27}} {8} \]

    Надеюсь, теперь у вас есть представление о том, как вычислять логарифмы, и вы начинаете понимать систему обозначений. Однако есть еще несколько вычислений, которые мы хотим сделать, нам нужно ввести некоторые специальные логарифмы, которые появляются на очень регулярной основе. Это десятичный логарифм и натуральный логарифм . Вот определения и обозначения, которые мы будем использовать для этих двух логарифмов.

    \ [\ begin {align *} & {\ mbox {десятичный логарифм:}} \ hspace {0.25 дюймов} \ log x = {\ log _ {10}} x \\ & {\ mbox {натуральный логарифм:}} \ hspace {0,25 дюйма} \ ln x = {\ log _ {\ bf {e}}} x \ конец {выравнивание *} \]

    Итак, десятичный логарифм — это просто логарифм по основанию 10, за исключением того, что мы отбрасываем часть обозначения с основанием 10. Точно так же натуральный логарифм — это просто логарифм \ (\ bf {e} \) с другим обозначением, и где \ (\ bf {e} \) — это то же число, которое мы видели в предыдущем разделе, и определяется как \ ({\ bf {e}} = 2,718281828 \ ldots \).

    Давайте взглянем на еще пару оценок.

    Пример 2 Вычислите каждый из следующих логарифмов.
    1. \ (\ лог 1000 \)
    2. \ (\ log \ displaystyle \ frac {1} {{100}} \)
    3. \ (\ ln \ displaystyle \ frac {1} {{\ bf {e}}} \)
    4. \ (\ ln \ sqrt {\ bf {e}} \)
    5. \ ({\ log _ {34}} 34 \)
    6. \ ({\ log _8} 1 \)
    Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

    Чтобы сделать первые четыре оценки, нам просто нужно запомнить, каковы их обозначения и какое основание подразумевается в этих обозначениях.0} = 1 \). Опять же, обратите внимание, что база, которую мы здесь используем, не изменит ответ.

    Итак, при вычислении логарифмов все, что мы действительно спрашиваем, — это какой показатель степени мы положили на основание, чтобы получить число в логарифме.

    Теперь, прежде чем мы перейдем к некоторым свойствам логарифмов, давайте сначала сделаем пару быстрых графиков.

    Пример 3 Нарисуйте график десятичного и натурального логарифма на одной и той же системе координат.Показать решение

    В этом примере есть две точки. Во-первых, он познакомит нас с графиками двух логарифмов, которые мы, скорее всего, увидим в других классах. Кроме того, это даст нам некоторую практику использования нашего калькулятора для вычисления этих логарифмов, потому что на самом деле именно так нам нужно будет проводить большинство этих вычислений.

    Вот таблица значений двух логарифмов.

    \ (х \) \ (\ журнал x \) \ (\ ln x \)
    \ (\ frac {1} {2} \) -0.3010 -0,6931
    1 0 0
    2 0,3010 0,6931
    3 0,4771 1.0986
    4 0.r}} \ right) = r {\ log _b} x \)
  • Если \ ({\ log _b} x = {\ log _b} y \), то \ (x = y \).

    • Мы не будем ничего делать с последним свойством в этом разделе; это здесь только для полноты картины. Мы подробно рассмотрим это свойство в нескольких разделах.

    Первые два свойства, перечисленные здесь, могут поначалу немного сбивать с толку, поскольку с одной стороны у нас есть произведение или частное внутри логарифма, а с другой стороны — сумма или разность двух логарифмов.Нам просто нужно быть осторожными с этими свойствами и обязательно использовать их правильно.

    Также обратите внимание, что нет никаких правил, как разбить логарифм суммы или разности двух членов. Чтобы прояснить это, отметим следующее:

    \ [\ begin {align *} {\ log _b} \ left ({x + y} \ right) & \ ne {\ log _b} x + {\ log _b} y \\ {\ log _b} \ left ( {x — y} \ right) & \ ne {\ log _b} x — {\ log _b} y \ end {align *} \]

    Будьте осторожны с ними и не пытайтесь использовать их, поскольку они просто не соответствуют действительности. 5}} \ right) \]

    Теперь, когда мы это сделали, мы можем использовать свойство 7 для каждого из этих отдельных логарифмов, чтобы получить окончательный упрощенный ответ.{\ frac {1} {2}}} \]

    В этой форме мы видим, что у всего члена есть один показатель степени, поэтому мы позаботимся об этом в первую очередь.

    \ [\ ln \ sqrt {xy} = \ frac {1} {2} \ ln \ left ({xy} \ right) \]

    Теперь займемся продуктом.

    \ [\ ln \ sqrt {xy} = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln x + \ ln y} \ right) \]

    Обратите внимание на круглые скобки в этом ответе. \ (\ Frac {1} {2} \) умножает исходный логарифм, поэтому ему также потребуется умножить весь «упрощенный» логарифм.2}} \ справа) \]

    Теперь мы подошли к сути этой проблемы. Второй логарифм настолько упрощен, насколько это возможно. Помните, что мы не можем разбить журнал суммы или разницы, и поэтому он не может быть разбит дальше. Кроме того, мы можем иметь дело с показателями, только если весь член возведен в степень. Тот факт, что обе части этого члена возведены в квадрат, не имеет значения. Это должен быть квадрат всего члена, как в первом логарифме.

    Итак, мы можем еще больше упростить первый логарифм, но второй логарифм упростить уже нельзя.2}} \ справа) \]

    Теперь нам нужно проработать несколько примеров, которые идут в обратном направлении. Следующий набор примеров, вероятно, более важен, чем предыдущий. Мы будем выполнять такую ​​логарифмическую работу в нескольких разделах.

    Пример 5 Запишите каждое из следующих значений в виде одного логарифма с коэффициентом 1.
    1. \ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \)
    2. \ (3 \ логарифм х — 6 \ логарифм у \)
    3. \ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x \)
    Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

    Инструкция, требующая коэффициента 1, означает, что когда мы переходим к окончательному логарифму, перед логарифмом не должно быть числа.

    Также обратите внимание, что в этих примерах будут использоваться свойства 5–7, только мы будем использовать их в обратном порядке. У нас будут выражения, которые выглядят как правая часть свойства, и мы будем использовать свойство для записи, чтобы оно выглядело как левая часть свойства.


    a \ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \) Показать решение

    Первый шаг здесь — избавиться от коэффициентов при логарифмах. Это будет использовать свойство 7 в обратном порядке.6}}}} \ справа) \]
    c \ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x \) Показать решение

    В этом случае у нас есть три термина, и ни одно из свойств не содержит трех терминов. Это не проблема. Давайте сначала позаботимся о коэффициентах, а заодно вычтем минус из двух последних членов. Причина этого станет очевидной на следующем шаге.

    \ [5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x = \ ln {\ left ({x + y} \ right) ^ 5} — \ left ({\ ln {y ^ 2} + \ ln {x ^ 8}} \ right) \]

    Теперь обратите внимание, что количество в скобках представляет собой сумму двух логарифмов и поэтому может быть объединено в один логарифм с произведением следующим образом:

    \ [5 \ ln \ left ({x + y} \ right) — 2 \ ln y — 8 \ ln x = \ ln {\ left ({x + y} \ right) ^ 5} — \ ln \ left ( {{y ^ 2} {x ^ 8}} \ right) \]

    Теперь у нас осталось два логарифма, и они представляют собой разность логарифмов, и поэтому мы можем записать это как единственный логарифм с частным.8}}}} \ справа) \]

    Последняя тема, которую нам нужно обсудить в этом разделе, — это изменение формулы основания .

    Большинство современных калькуляторов могут вычислять десятичные и натуральные логарифмы. Однако это все, так что же нам делать, если нам нужно вычислить еще один логарифм, что не может быть сделано легко, как мы это сделали в первом наборе примеров, которые мы рассмотрели?

    Для этого у нас есть изменение базовой формулы.Вот изменение базовой формулы.

    \ [{\ log _a} x = \ frac {{{{\ log} _b} x}} {{{{\ log} _b} a}} \]

    , где мы можем выбрать \ (b \) как угодно. Чтобы использовать это, чтобы помочь нам вычислить логарифмы, это обычно обычный или натуральный логарифм. Вот изменение базовой формулы с использованием как десятичного, так и натурального логарифма.

    \ [{\ log _a} x = \ frac {{\ log x}} {{\ log a}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ log _a} x = \ frac {{\ ln x}} {{\ ln a}} \]

    Давайте посмотрим, как это работает на примере.?} = 7 \]

    , и это не то, на что кто-то может ответить сразу. Если бы 7 была 5, или 25, или 125, и т. Д. . мы могли бы это сделать, но это не так. Следовательно, мы должны использовать замену базовой формулы.

    Теперь мы можем использовать любой из них, и мы получим тот же ответ. Итак, давайте воспользуемся обоими и проверим это. Начнем с десятичного логарифма изменения основания.

    \ [{\ log _5} 7 = \ frac {{\ log 7}} {{\ log 5}} = \ frac {{0.845098040014}} {{0,698970004336}} = 1.205512 \]

    Теперь давайте попробуем натуральный логарифм изменения основной формулы.

    \ [{\ log _5} 7 = \ frac {{\ ln 7}} {{\ ln 5}} = \ frac {{1.945

    906}} {{1.609437

    }} = 1.205512 \]

    Итак, мы получили один и тот же ответ, несмотря на то, что дроби содержали разные ответы.

    Логарифмы: Введение в «Связь»

    Логарифмы: Введение в
    «Отношения»     (стр. 1 из 3)

    Разделы: Введение в журналы, Упрощение выражений журнала, Общие и натурального бревна

    Логарифмы «противоположны» экспонент, так же, как вычитание противоположно сложению, а деление противоположно умножения.Регистрирует экспоненты «отмены». Технически говоря, бревна обратные экспонент.

    Практически у меня сочли полезным думать о журналах с точки зрения отношения:

    The Отношение
    y = b x


    ………….. эквивалентно ……………
    (означает то же самое, что и)

    журнал b ( y ) = x

    Слева вверху является экспоненциальным выражением « y = b x «.Справа вверху: « журнал b ( y ). = x » — эквивалентный логарифмический оператор, который произносится как «log-base-b» из и равно x «; Значение нижнего индекса «b» «основание логарифма», так же как b является основанием экспоненциального выражения «b x «. И так же, как и база b в экспоненте всегда положительна и не равна 1, так и база b поскольку логарифм всегда положителен и не равен 1.Все, что находится внутри логарифма, называется «аргументом» журнал. Обратите внимание, что основание как в экспоненциальном уравнении, так и в журнале уравнение (вверху) — «b», но что x и и переключаться между двумя уравнениями.

    The Отношения анимированные

    Если ты помнишь это отношения (то, что было , аргумент журнала становится «равные» и что бы ни было , были «равными» становится показателем экспоненты и наоборот), то вам не следует слишком много проблем с логарифмами.

    (я ввел термин «The «Отношения». Вы не найдете это в своем тексте, и ваши учителя и наставники не поймут, о чем вы говорите, если вы говорите им об этом. «Отношения» совершенно нестандартны. терминология. Зачем я вообще его использую? Потому что это работает.)

    Кстати: Если вы заметили что я переключил переменные между двумя полями, отображающими «The Отношения », у тебя зоркий глаз.Я сделал это специально, чтобы Подчеркните, что дело не в самих переменных, а в том, как они движутся.

    • Конвертировать «6 3 = 216 «к эквивалентному логарифмическому выражение.

      Для преобразования, база (то есть 6) остается то же самое, но 3 и 216 перейти на другую сторону. Это дает мне:

    • Преобразовать журнал 4 (1024) = 5 «эквивалентной экспоненциальной выражение.

      Каноническое уравнение эллипс: Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

      alexxlab / / Разное

      Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

      Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

      Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

      ,

      где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

      При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

      Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

      Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

      Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

      ,

      где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

      Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

      Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

      Если a = b, то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a, а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a, если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy.

      Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

      Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

      Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

      Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

      Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5, меньшая полуось — это b = 4. Получаем каноническое уравнение эллипса:

      .

      Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

      ,

      называются фокусами.

      Число

      называется эксцентриситетом эллипса.

      Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

      Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

      Решение. Делаем несложные умозаключения:

      — если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5,

      — если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

      Подставляем и вычисляем:

      Результат — каноническое уравнение эллипса:

      .

      Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

      Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

      .

      Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

      Составляем каноническое уравнение эллипса:

      Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

      Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

      .

      Получаем фокусы эллипса:

      Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

      .

      Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

      Прямые, определяемые уравнениями

      ,

      называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

      Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

      Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

      .

      Получаем уравнение директрис эллипса:

      Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

      Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

      .

      Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

      Уравнение эллипса готово:

      Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

      Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

      .

      Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

      Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

      Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

      ,

      так как из исходного уравнения эллипса .

      Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

      Поделиться с друзьями

      Другие материалы по теме Кривые второго порядка

      Как построить эллипс по уравнению

      Эллипс – геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F1F2 имеет одно и то же значение 2a:

      точки F1 и F2 – называются фокусами эллипса;

      расстояние F1F2– фокусное расстояние и равно F1F2=2с;

      a — большая полуось;

      b — малая полуось;

      c — фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;

      p — фокальный параметр;

      Rmin – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

      Rmax— максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

      где

      Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

      Постройте кривую 4x 2 +9y 2 =36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.

      Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

      a=3, b=2

      c 2 =a 2 -b 2 =3 2 -2 2 =9-4=5

      Отсюда находим Фокусы F1(-2,2;0) F2(2,2;0)

      Фокальный параметр находим следующим образом

      Эксцентриситет эллипса

      Пример 3
      Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

      Решение
      Уравнение запишем в виде

      a=1, b=5
      Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть b c 2 =a 2 − b 2 =5 2 −1 2 =25 − 1=24

      Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты

      Эксцентриситет эллипса равен

      Понятие о кривых второго порядка

      Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

      Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

      ,

      где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

      При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

      Эллипс, заданный каноническим уравнением

      Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

      Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

      Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

      ,

      где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

      Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

      Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

      Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

      Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

      Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

      Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.

      Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

      Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

      .

      Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

      ,

      называются фокусами.

      называется эксцентриситетом эллипса.

      Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

      Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

      Решение. Делаем несложные умозаключения:

      – если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

      – если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

      Подставляем и вычисляем:

      Результат – каноническое уравнение эллипса:

      .

      Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

      Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

      .

      Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

      Составляем каноническое уравнение эллипса:

      Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

      Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

      .

      Получаем фокусы эллипса:

      Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

      Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

      1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

      2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

      3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

      Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

      Если – произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и – расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний – следующие:

      .

      Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

      Прямые, определяемые уравнениями

      ,

      называются директрисами эллипса (на чертеже – красные линии по краям).

      Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

      ,

      где и – расстояния этой точки до директрис и .

      Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

      Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

      .

      Получаем уравнение директрис эллипса:

      Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

      Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

      .

      Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

      Уравнение эллипса готово:

      Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

      Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

      .

      Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

      Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e – эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 – искомые расстояния. Получаем:

      Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

      ,

      так как из исходного уравнения эллипса .

      Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

      Определение 7.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 есть заданная постоянная величина, называют эллипсом.

      Определение эллипса дает следующий способ его геометрического построения. Фиксируем на плоскости две точки F1 и F2, а неотрицательную постоянную величину обозначим через 2а. Пусть расстояние между точками F1 и F2 равно 2c. Представим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена в точках F1 и F2, например, при помощи двух иголок. Ясно, что это возможно лишь при а ≥ с. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом (рис. 7.1).

      Итак, описываемое множество не пусто, если а ≥ с. При а = с эллипс представляет собой отрезок с концами F1 и F2, а при с = 0, т.е. если указанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а. Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее предполать, как правило, что а > с > 0.

      Фиксированные точки F1 и F2 в определении 7.1 эллипса (см. рис. 7.1) называют фокусами эллипса, расстояние между ними, обозначенное через 2c, — фокальным расстоянием, а отрезки F1M и F2M, соединяющие произвольную точку M на эллипсе с его фокусами, — фокальными радиусами.

      Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием |F1F2| = 2с и параметром a, а его положение на плоскости — парой точек F1 и F2.

      Из определения эллипса следует, что он симметричен относительно прямой, проходящей через фокусы F1 и F2, а также относительно прямой, которая делит отрезок F1F2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.2, а). Эти прямые называют осями эллипса. Точка O их пересечения является центром симметрии эллипса, и ее называют центром эллипса, а точки пересечения эллипса с осями симметрии (точки A, B, C и D на рис. 7.2, а) — вершинами эллипса.

      Число a называют большой полуосью эллипса, а b = √(a 2 — c 2 ) — его малой полуосью. Нетрудно заметить, что при c > 0 большая полуось a равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной оси с фокусами эллипса (вершины A и B на рис. 7.2, а), а малая полуось b равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины C и D на рис. 7.2, а).

      Уравнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках F1 и F2, большой осью 2a. Пусть 2c — фокальное расстояние, 2c = |F1F2| 2 + y 2 ) + √((x + c) 2 + y 2 ) = 2a. (7.2)

      Это уравнение неудобно, так как в нем присутствуют два квадратных радикала. Поэтому преобразуем его. Перенесем в уравнении (7.2) второй радикал в правую часть и возведем в квадрат:

      (x — c) 2 + y 2 = 4a 2 — 4a√((x + c) 2 + y 2 ) + (x + c) 2 + y 2 .

      После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем

      √((x + c) 2 + y 2 ) = a + εx

      где ε = c/a. Повторяем операцию возведения в квадрат, чтобы убрать и второй радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 , или, учитывая значение введенного параметра ε, (a 2 — c 2 ) x 2 /a 2 + y 2 = a 2 – c 2 . Так как a 2 — c 2 = b 2 > 0, то

      x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

      Уравнению (7.4) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на эллипсе. Но при выводе этого уравнения использовались неэквивалентные преобразования исходного уравнения (7.2) — два возведения в квадрат, убирающие квадратные радикалы. Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях не проверяли.

      Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек F1 и F2, |F1F2| = 2c, на плоскости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка F1F2, принадлежит какому-нибудь эллипсу указанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фокальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс. Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покрывает всю плоскость, кроме точек отрезка F1F2. Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (7.4) с данным значением параметра a. Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсами? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой полуосью a. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая на эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению

      т.е. уравнения (7.4) и (7.5) имеют общие решения. Однако легко убедиться, что система

      при ã ≠ a решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, x из первого уравнения:

      что после преобразований приводит к уравнению

      не имеющему решений при ã ≠ a, поскольку . Итак, (7.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью a > 0 и малой полуосью b =√(a 2 — c 2 ) > 0. Его называют каноническим уравнением эллипса.

      Вид эллипса. Рассмотренный выше геометрический способ построения эллипса дает достаточное представление о внешнем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать и с помощью его канонического уравнения (7.4). Например, можно, считая у ≥ 0, выразить у через x: y = b√( 1 — x 2 /a 2 ), и, исследовав эту функцию, построить ее график. Есть еще один способ построения эллипса. Окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат эллипса (7.4) описывается уравнением x 2 + y 2 = а 2 . Если ее сжать с коэффициентом a/b > 1 вдоль оси ординат, то получится кривая, которая описывается уравнением x 2 + (ya/b) 2 = a 2 , т. е. эллипс.

      Замечание 7.1. Если ту же окружность сжать с коэффициентом a/b 2 — a 2 ), ε = 2c/2b = c/b.

      При с =0, когда эллипс превращается в окружность, и ε = 0. В остальных случаях 0 2 — с 2 ), а с = εa = 4, то b = √(5 2 — 4 2 ) = 3. Значит каноническое уравнение имеет вид x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Для построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с центром в начале канонической системы координат, стороны которого параллельны осям симметрии эллипса и равны его соответствующим осям (рис. 7.4). Этот прямоугольник пересекается с

      осями эллипса в его вершинах A(—5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причем сам эллипс вписан в него. На рис. 7.4 указаны также фокусы F1,2(±4; 0) эллипса.

      Геометрические свойства эллипса. Перепишем первое уравнение в (7.6) в виде |F1M| = (а/ε — x)ε. Отметим, что величина а/ε — x при а > с положительна, так как фокус F1 не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой расстояние до вертикальной прямой d: x = а/ε от точки M(x; у), лежащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать в виде

      Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек M(x; у) плоскости, для которых отношение длины фокального радиуса F1M к расстоянию до прямой d есть величина постоянная, равная ε (рис. 7.5).

      У прямой d есть » двойник » — вертикальная прямая d’, симметричная d относительно центра эллипса, которая задается уравнением x = —а/ε. Относительно d’ эллипс описывается так же, как и относительно d. Обе прямые d и d’ называют директрисами эллипса. Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/ε = а 2 /с (см. рис. 7.5).

      Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса. Этот параметр равен

      p = a/ε – c = (a 2 – c 2 )/c = b 2 /c

      Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы F1M и F2M составляют с касательной к эллипсу в точке M равные углы (рис. 7.6).

      Это свойство имеет наглядный физический смысл. Если в фокусе F1 расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса F1, сконцентрируются во втором фокусе F2, и наоборот. Исходя из данной интерпретации указанное свойство называют оптическим свойством эллипса.

      Вывод уравнения эллипса

      Введем прямоугольную систему координат. Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем т. Е.– межфокусное расстояние эллипса. (чертеж 7.) [8.С.467]

      Чертеж 7.

      Пусть – произвольная точка эллипса. Величиныназываютсяфокальными радиусами точки М эллипса. По определению эллипса: r1 + r2 = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

      (2)

      Преобразуем уравнение, умножим уравнение (2) на , получим:

      (3)

      Сложим уравнения (2) и (3):

      (4)

      Возведем равенство(4) в квадрат, получим:

      Пусть так как, откуда уравнение имеет вид:

      где (5) каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат.

      Соответственно, отсюда получаем уравнение:

      где каноническое уравнение эллипса с центром в точке . Где числа а и b соответственно большая и малая полуоси эллипса. Заметим, что а >с Если а < , то фокусы эллипса будут лежать на осиОУ, если а = , то эллипс превращается в окружность.

      Точки ,называютсявершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника, ограниченного прямыми

      Исследование свойств эллипса по его уравнению

      1) Пересечение эллипса с осями координат:

      • Найдем точки пересечения эллипса с осью ОХ: Пусть y=0, тогда уравнение эллипса имеет вид: , следовательно.

      Отсюда следует, что точки (-a,0),(a,0) являются точками пересечения с осью ОХ.

      • Найдем точки пересечения эллипса с осью ОУ: Пусть х=0,отсюда имеем: , отсюда.

      Следовательно, точки (-b,0),(b,0)являются точками пересечения с осью ОУ.

      Отсюда заключаем, что границы эллипса , отображающие его схематичное построение. (чертеж 8.) [1.С. 105]

      Чертеж 8.

      Расстояние |A1A2| = 2a называется большой (фокальной) осью эллипса, расстояние |B1B2| = 2b называется малой осью эллипса. Расстояния от начала координат до вершин A2(a, 0), B2(0, b) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

      Вывод: Таким образом, заключаем, что эллипс вписан в прямоугольник с размерами 2a, 2b (чертеж 9.).

      Чертеж 9.

      2) Симметрия эллипса относительно координатных осей ox и oy:

      Пусть принадлежит эллипсу, т. е- верное равенство.

      Точка симметрична точкеотносительно оси ОХ

      — верное равенство.

      Следовательно, принадлежит эллипсу, отсюда заключаем, что эллипс симметричен относительно ОХ

      Точка симметрична точкеотносительно оси ОУ, следовательно, эллипс симметричен относительно оси ОУ.

      Точка симметрична точкеотносительно О (центра), следовательно, эллипс симметричен относительно начала координат.[1.С.105-106]

      3) Фокусы эллипса:

      Пусть фокусы эллипса лежат на оси ОX. Межфокусное расстояние эллипса равно причем . Заметим, что

      . [1.С.106]

      4) Эксцентриситет эллипса:

      Определение 2.2. Эксцентриситетом эллипса называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

      .

      Так как , следовательно,.

      Если стремится к нулю при постоянном значении, тостремится к нулю. При этом величинастремится к. В предельном случаи уравнение эллипса принимает вид:. Это уравнение окружности. Если, то. При этом малая ось эллипса неограниченно уменьшается, эллипс стремится к отрезку. (чертеж 10.) [1.С.106]

      Чертеж 10.

      5) Диаметры эллипса:

      Всякая хорда, проходящая через центр эллипса, называется диаметром эллипса. В частности, диаметрами эллипса является его большая ось и малая ось. Всякий диаметр эллипса, не являющийся его осью, больше малой оси, но меньше большой оси (чертеж 11.). [1.С.106-107]

      Чертеж 11.

      6) Касательная к эллипсу:

      Уравнение касательной к эллипсу где- координаты точки касания и соответственно большая и меньшая полуоси эллипса (чертеж 12.).

      Чертеж 12.

      7) Частный случай эллипса — окружность:

      , где окружности.

      8) Взаимное расположение точек и эллипса:

      эллипсу, если верное равенство,

      Если толежит внутри эллипса,

      Если толежит вне эллипса. [1.С.100]

      Изображение эллипса

      1. Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=14,2b=10 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-7;0),(7;0),(0;-5),(0;5) принадлежали эллипсу.(чертеж 13.)

      Чертеж 13.

      1. С использованием ЭСО- Mathcad:

      Полученное уравнение эллипса имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 14.)

      Чертеж 14.

      1. Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=8,2b=14 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-4;0),(4;0),(0;-7),(0;7) принадлежали эллипсу.(чертеж 15.)

      Чертеж 15.

      1. С использованием ЭСО- Mathcad:

      Для построения линии в Mathcad приведем ее к виду: ,.(чертеж 16.)

      Чертеж 16.

      ГИПЕРБОЛА

      Определение 3.1. Гипербола — множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величинаменьшая, чем расстояние между фокусами [8.С.510]

      фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры

      Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

      Что такое эллипс и фокусное расстояние

      Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

      Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние  = – фокусное расстояние.

      Рис. 1

      – фокусы .

      ; ,

      – половина расстояния между фокусами;

      – большая полуось;

      – малая полуось.

      Теорема:

      Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

       Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

      .

      Уравнение эллипса

      Уравнение элиппса бывает двух видов:

      1. Каноническое уравнение эллипса.
      2. Параметрическое уравнение эллипса.

      Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

      Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

      Если центр эллипсa смещен в точку с координатами  тогда уравнение:

      Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим и на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты и (см. рис. 2).

      Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через и – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

      (1)

      Рис. 2

      Подставим в (1) , и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

       (подносим к квадрату обе части): ,

      Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

      (2)

      Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон  больше третьей) из у нас получается . Так как , тогда , и поэтому .

      Для построения эллипса обратим внимание, что если точка принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки тоже удовлетворяют это уравнение: из

      .

      Точки – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

      Из уравнения (2) находим , для первой четверти .

      Если , тогда . Если же , тогда . Точки и , а также симметричные с ними , – вершины эллипса, точка – центр эллипса, = большая ось, – малая ось эллипса.

      Если первой четверти, тогда из получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

      Параметрическое уравнение выглядит так:

      Основные свойства эллипса

      Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

      1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом  равен углу между касательной и фокальным радиусом .

      2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами :

      .

      3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

      4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

      5. Если вписать эллипс с фокусами и у треугольника , тогда выполняется соотношение:

      =

      Эксцентриситет эллипса

      ОпределениеЭксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на обозначается

      Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если , тогда – получается круг. Если же , тогда – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях . Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

       Рис. 3

      Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси и , тогда вычислим – полуфокусное расстояние.

      Строим фокусы и на расстоянии один от другого Концы не растянутой нити длиной закрепляем в точках  и . Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

      Примеры решения задач

      Пример 1 Пример 2 Пример 3

      Найти оси, вершины и фокусы эллипса или . Построить эллипс.

      Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

      , . Откуда находим оси эллипса: , и координаты вершин: , , , . Дальше из формулы:

      . Значит, фокусами эллипса есть точки: и . Для построения эллипса отложим на осях и вершины соответственно  соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

      Замечание! Если в каноническом уравнении большей полуосью будет , тогда фокусы эллипса будут расположены на оси и тогда .

      Эллипс – фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

      Эллипс | matematicus.ru

      Эллипс – геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F1F2 имеет одно и то же значение 2a:

      F1M+F2M=2a 

      точки F1 и F2 – называются фокусами эллипса;

      расстояние F1F2 – фокусное расстояние и равно F1F2=2с;

      a — большая полуось;

      b — малая полуось;

      c — фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;

      p — фокальный параметр;

      Rmin – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

      Rmax— максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

      где

      Пример 1

        Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

      Решение

      Пример 2

         Постройте кривую 4x2+9y2=36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.

      Решение

       Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

         a=3, b=2

      Делаем чертёж

      c2=a2-b2=32-22=9-4=5

      Отсюда находим Фокусы F1(-2,2;0) F2(2,2;0)

      Фокальный параметр находим следующим образом

      Эксцентриситет эллипса

      Пример 3
      Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

      Решение
      Уравнение запишем в виде

      a=1, b=5
      Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть b<а.  А если переобозначить оси, то есть x=x’ , y=y’, тогда уравнение примет вид:


      И тогда a=5, b=1
      Делаем чертёж

      c2=a2 − b2=52 −12=25 − 1=24

      Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты

      Эксцентриситет эллипса равен

      Каноническое уравнение эллипса с примерами решения

      Содержание:

      1. Эллипс
      2. Директрисы эллипса

      Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса):

      Параметрические уравнения:

      Эллипс

      Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек есть величина постоянная большая расстояния между этими заданными точками (рис. ). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

      Точки называются фокусами эллипса, расстояние между ними

      фокусным расстоянием, середина отрезка — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

      По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

      Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Из определения следует, что При т.е. при фокусы а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса (рис.3.36,6).

      Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

      Директрисы эллипса

      Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее. При когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

      Эллипс с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство эллипса).

      Возможно вам будут полезны данные страницы:

      • Здесь -один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. или

      В самом деле, например, для фокуса и директрисы (рис.3.37,б) условие можно записать в координатной форме:

      Избавляясь от иррациональности и заменяя приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса и директрисы

      Уравнение эллипса в полярной системе координат (рис. 3.37, имеет вид

      где —фокальный параметр эллипса.

      В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус эллипса, а в качестве полярной оси — луч

      (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем Выражаем расстояние между точками (см. п.2 замечаний 2.8):

      Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса имеет вид

      Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

      Выражаем полярный радиус и делаем замену

      что и требовалось доказать. Замечания 3.9.

      1. Прямые ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).

      2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.

      Действительно, пусть в прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом (см. разд.2.2.4) координаты произвольной точки принадлежащей окружности, изменяются по закону Подставляя в уравнение окружности получаем уравнение для координат образа точки

      поскольку Это каноническое уравнение эллипса.

      3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр — центром симметрии.

      Действительно, если точка принадлежит эллипсу то и точки симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу.

      4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат (см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра -это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси 5. Эксцентриситет характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше тем эллипс более вытянут, а чем ближе к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а).

      • Действительно, учитывая, что получаем

      где — коэффициент сжатия эллипса, Следовательно,

      Чем больше сжат эллипс по сравнению с окружностью, тем меньше коэффициент сжатия и больше эксцентриситет. Для окружности

      6. Уравнение при определяет эллипс, фокусы которого расположены на оси (рис.3.38,б). Это уравнение сводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

      7. Уравнение определяет эллипс с центром в точке оси которого параллельны координатным осям

      (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

      При уравнение описывает окружность радиуса с центром в точке

      8. Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

      Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству

      Пример 3.20. Изобразить эллипс

      в канонической системе координат Найти полуоси, фокусное

      расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.

      Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: — большая полуось, — малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя в уравнение эллипса, получаем

      Следовательно, точки с координатами принадлежат эллипсу.

      Вычисляем коэффициент сжатия фокусное расстояние эксцентриситет фокальный параметр Составляем уравнения директрис:

      ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

      Задача 6.1. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

      Решение. Разделив данное уравнение эллипса на , приведем его к виду . Отсюда следует, что большая полуось эллипса , а малая полуось . Известно, что , поэтому

      .

      Следовательно, координаты фокусов и , а его эксцентриситет .

      Ответ.

      Задача 6.2. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр симметрии его находится в точке . Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен .

      Решение. Выполним чертеж (рис. 2.35).

      Каноническое уравнение такого эллипса В нашем случае Рис. 2.35

      Известно, что . Следовательно, для нахождения надо знать . Найдем из формулы эксцентриситета: , , откуда . Значит, ,

      Итак, уравнение искомого эллипса

      Ответ.

       

      Задача 6.3. Определитель траекторию точки , которая при своем движении остается втрое ближе к точке , чем к прямой

      После преобразований получаем искомое уравнение:

      .

      Таким образом, точка движется по эллипсу. При этом большая ось эллипса и его фокусы расположены на оси

      Ответ. .

       

      Задача 6.4.Действительная полуось гиперболы , эксцентриситет Составить каноническое уравнение гиперболы и начертить ее.

      Решение. Эксцентриситет гиперболы Следовательно,

      , ,

      откуда фокусы гиперболы , , а мнимая полуось . Искомым уравнением гиперболы будет

      .

      Ответ. .

       

      Задача 6.5.Дана равносторонняя гипербола . Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку .

      Решение. Для данной гиперболы . Следовательно, из соотношения получаем , откуда . Значит, фокусы гиперболы и . В этих же точках находятся фокусы эллипса.

      Обозначим через и соответственно большую и малую полуоси эллипса. Тогда при условии, что , будем иметь Для определения и используем еще одно условие: что точка лежит на эллипсе, т.е. ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса

      (6.8)

      Это значит, что Таким образом, для определения и имеем систему уравнений

      решив которую, получим , Подставив эти значения в уравнение (6.8), найдем

      Ответ.

       

      Задача 6.6. Асимптоты гиперболы имеют уравнения . Фокусы лежат на оси и расстояние между ними равно . Написать каноническое уравнение гиперболы и начертить ее.

      Решение. Так как фокусы гиперболы лежат на оси , то ее каноническое уравнение имеет вид

      Разрешив уравнение асимптот относительно , получим , откуда . Кроме того, , т.е. Так как для гиперболы , то для нахождения и получим систему уравнений

      Рис. 2.38 решив которую, будем иметь , . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы (рис. 2.38)

      Ответ.

       

      Задача 6.7. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

      Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

      В результате получим два решения и . Точки пересечения и . Так как парабола проходит через точку и симметрична относительно оси , то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид . Так как парабола проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: , ,

      Итак, уравнением параболы будет , уравнение директрисы или , откуда

      Ответ. ;

       

      Задача 6.8. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен , а высота

      Решение.выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси . В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид , а концы хорды арки и . Подставив координаты одного из концов хорды (например, ) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно , получим

      Ответ.

       

      Задача 6.9. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить эту кривую.

      Решение. В уравнении , , , , , Вычислим дискриминант старших членов:

      .

      Так как , данная линия является кривой эллиптического типа.

      Найдем центр кривой из системы

      Решив ее, получим , .

      С помощью параллельного переноса осей координат в центр уравнение кривой в новой системе приводится к виду:

      ,

      подставив в исходное уравнение кривой, получим

      (6.9)

      Для дальнейшего упрощения уравнения (6.9) применим правило приведения квадратичной формы к каноническому виду. Составим характеристическое уравнение

      или .

      Отсюда .

      Повернув теперь оси координат так, чтобы направления осей и совпадали с главными направлениями квадратичной формы, уравнение (6.5) приведем к каноническому виду

      или .

      Из уравнения видно, что это эллипс с полуосями , . Чтобы построить этот эллипс найдем главное направление, соответствующее характеристическому числу (его мы приняли за ось в каноническом уравнении). Подставив коэффициенты нашего уравнения в систему

      получим

      Полагая , находим, что . Единичный вектор оси имеет в системе координаты и . Следовательно, , а .

      Решение. В исходном уравнении , , , , , Дискриминант старших членов

      Следовательно, уравнение определяет нецентральную линию второго порядка, т.е. линию параболического типа.

      Составим характеристическое уравнение квадратичной формы старших членов:

      или

      Отсюда ,

      Найдем главное направление, соответствующее характеристическому числу . Для этого подставим в систему

      коэффициенты нашего уравнения. Получим

      Полагая , имеем . Следовательно, главное направление, соответствующее характеристическому числу , определяется вектором . Нормируя его, находим единичный вектор: . Это значит, что , а , т.е. поворачиваем систему на угол .

      Используя теперь равенства (6.10), имеем:

      Следовательно, уравнение (10.17) в системе координат принимает вид

      (6.11)

      Уравнение (6.11) определяет параболу. Для приведения его к каноническому виду найдем координаты нового начала. Сгруппируем члены с одинаковыми переменными и выделим полный квадрат:

       

       


      Узнать еще:

      Эллипс — Математическая энциклопедия

      (реальный)

      2010 Классификация предметов по математике: Начальная школа: 51-XX [MSN] [ZBL]

      Эллипс плоская кривая, полученная пересечением кругового конуса с плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все его образующие в точках одного из его листов. Эллипсом также оказывается множество точек $ M $ плоскости (см. Рисунок 1), для каждой из которых сумма расстояний от двух заданных точек $ F_1 $ и $ F_2 $ (фокусы) постоянна и равна в $ 2a> F_1F_2 $.Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обычно обозначается $ 2c $. Середина отрезка $ F_1F_2 $ называется центром эллипса.

      Рисунок 1. Эллипс (pdf)

      Линия, на которой расположены фокусы эллипса, называется первой (или фокусной) осью. Линия, проходящая через центр эллипса и перпендикулярная первой оси, называется второй осью. Оси эллипса — его оси симметрии. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.Большая ось эллипса — это отрезок (а также его длина $ 2a $) первой оси между вершинами. Малая ось — это отрезок (а также его длина $ 2b $) второй оси между вершинами. Число $ e = c / a <1 $ называется эксцентриситетом эллипса. Диаметр эллипса - это любая прямая линия, проходящая через центр; диаметр также можно определить как прямую линию, проходящую через середины параллельных хорд. Директрисой эллипса, соответствующего данному фокусу $ F $ (ассоциированная директриса), является прямая $ D $, перпендикулярная первой оси на расстоянии $ d = a / e $ от центра.2 / a $. С помощью фокального параметра можно записать уравнение эллипса в виде $$ \ rho = \ frac {p} {1 + e \ cos \ phi}, $$ где $ \ rho $ и $ \ phi $ - полярные координаты, $ 0 \ leq \ phi <2 \ pi $.

      Если $ a = b $, эллипс становится окружностью, $ F_1 \ Equiv F_2 \ Equiv 0 $ — его центром, $ a $ — его радиусом, $ e = 0 $, и директрисы нет.

      Эллипс обладает следующим оптическим свойством: световой луч, исходящий из одного фокуса, проходит через другой фокус после зеркального отражения в эллипсе.2} = -1 $$ где $ a $ и $ b $ — действительные числа, называется мнимым эллипсом.

      Как следует из названия, у воображаемого эллипса нет реальных точек.

      Другие характеристики эллипса следующие.

      Эллипс — это аффинное изображение круга; эллипс — это невырожденная коника (т. е. кривая второго порядка), которая не пересекает линию на бесконечности; эллипс — это набор точек, расстояние от которых до данной точки (фокус) и до данной линии (связанная директриса) постоянно пропорционально; а эллипс — плоская компактная неособая алгебраическая кривая второй степени.

      Систематическое описание свойств эллипсов см. В [Be], стр. 245–247 и гл. 17 и [Co].

      Список литературы

      Как процитировать эту запись:
      Эллипс. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ellipse&oldid=25305

      Эта статья была адаптирована из оригинальной статьи А. Иванов (автор), которая появилась в энциклопедии математики — ISBN 1402006098. См. Исходную статью

      тригонометрия — каноническая в параметрическую, уравнение эллипса

      К какому типу «хорошо» вы стремитесь здесь — обычно «хорошо» использовать хитрые шаги, чтобы найти ответ, если только вы можете доказать, что он правильный, когда вы знаете, что это такое.

      Математика состоит из двух частей: (1) вам нужно выяснить, что доказывать, и (2) вам нужно это доказать. Последняя часть — точная наука; в нем есть четкие и строгие правила относительно того, что разрешено, а что нет, и именно он обычно привлекает внимание прессы. Однако не менее важно первое. Иногда это проще, а иногда сложнее, но правила у него совсем другие, а именно: все идет! Да, действительно. Независимо от того, как у вас возникла идея доказать то-то и то-то, единственное, что имеет значение, — это то, что вы можете выполнить на этапе 2 (и то, что вы доказали, затем окажется полезным в контексте той проблемы, с которой вы столкнулись изначально но это другое дело).

      Иногда процесс, с помощью которого вы приходите к тому, что нужно доказать, настолько прост, что вы можете прочитать доказательство прямо с него, практически без усилий. Учителям нравятся эти кейсы (и иногда создается впечатление, что они все есть), потому что они делают вещи красивыми и упорядоченными, и их легко оценивать. Но в реальной математике совсем не стыдно, использовать менее прямые методы, чтобы найти ответ, который окажется правильным позже. Неважно, разделили ли вы на ноль, чтобы найти его, или если ангел явился во сне и сказал вам — если вы можете предоставить доказательство того, что ответ верен в конце дня, то это «правильно», как бы вы это ни нашли.2} = 1 $$ и тогда остается простой вопрос строгого, но скучного переписывания, чтобы доказать, что это действительно тождество. (Этот вид проверки обычно подразумевается под «осмотром»). Теперь мы доказали, что изображение вашей кривой — это подмножество и набора решений.

      Затем остается доказать, что множество решений является подмножеством изображения кривой. Для этого мы предполагаем, что некоторые заданные $ x $ и $ y $ удовлетворяют уравнению, а затем стремимся доказать, что должно существовать такое $ \ theta $, что $ x = a \ cos \ theta $ и $ y = b \ sin \ theta $.как нам это сделать? Что ж, в это время ночи лучшее, о чем я могу думать, — это ужасно запутанный анализ различных комбинаций знаков для $ x $ и $ y $, с особыми случаями, если один из них равен 0, а в противном случае — что-то вроде $ Где-то появляется \ arctan (\ frac {ay} {bx}) $ — возможно, это лемма, доказывающая, что $ (tx, ty) $ может быть решением только в том случае, если $ | t | = 1 $ будет необходимо по пути. Если бы со временем получилось, но это было бы некрасиво. Я даже не собираюсь сейчас вдаваться в подробности.

      Возможно, вам удастся найти более приятный аргумент. Возможно, нет. Возможно, ваша аудитория будет довольна более сложным аргументом, чем тот, который я себе представляю.

      Уравнение эллипса в стандартной форме и его связь с графиком эллипса.

      Прежде чем рассматривать приведенное ниже уравнение эллиспа, вы должны знать несколько терминов.

      Больше примеров

      Еще примеры осей, вершин и совпадений

      Пример большой горизонтальной оси

      Пример графика и уравнения эллипса на

      • Большая ось этого эллипса горизонтальна и представляет собой красный сегмент от (-2, 0) до (2, 0).
      • Центр этого эллипса — начало координат, поскольку (0, 0) — середина большой оси.
      • Значение a = 2 и b = 1.

      Пример большой вертикальной оси

      Пример графика и уравнения эллипса на:

      • Большая ось этого эллипса вертикальна и представляет собой красный сегмент от (2, 0) до (-2, 0).
      • Центр этого эллипса — начало координат, поскольку (0, 0) — середина большой оси.
      • Значение a = 2 и b = 1.

      Уравнение стандартной формы эллипса

      Проблема 1

      Можете ли вы определить значения a и b для уравнения эллипса, изображенного на графике ниже?

      Покажи ответ
      Проблема 2

      Можете ли вы определить значения a и b для уравнения эллипса, изображенного ниже?

      Покажи ответ
      Проблема 3

      Каковы значения a и b для уравнения стандартной формы эллипса на графике?

      Покажи ответ Больше проблем

      Подробнее Попрактикуйтесь в написании уравнения из графика

      График эллипса из уравнения

      Приведенные ниже задачи обеспечивают практическое создание графика эллипса из уравнения эллипса.2 = 36 $

      Покажи ответ

      Вот изображение графика эллипса.

      Приведенные и канонические уравнения коник

      Мы узнаем, как найти прямоугольную декартову систему отсчета, в которой уравнение аналитического конуса будет как можно более простым.

      Мы собираемся решить эту проблему с помощью последовательных сокращений или изменений координат так, чтобы после каждого из них формулировалось уравнение коники, упрощающее некоторые аспекты уравнения на предыдущем шаге.2+ \ mu $

      • где $$ \ lambda_1, \ lambda_2 $$ и $$ e $$ — действительные числа, отличные от нуля, а $$ \ mu $$ — произвольное действительное число. Назовем предыдущие выражения сокращенными формами.

      По некоторым причинам (которые мы увидим далее) мы будем говорить, что они центрированного, параболического типа и параллельных прямых.

      Редукция первая

      Первым шагом будет вычисление связанной матрицы $$ A ‘$$ с учетом коники с уравнением $$ q (x, y) = 0 $$.2 + 2dx + 2ey + f = 0 $$$ Обратите внимание, что это уравнение имеет две ситуации, которые следует учитывать: $$ \ lambda_1 \ lambda_2 = 0 $$ и $$ \ lambda_1 \ lambda_2 \ neq 0 $$.

      В первом случае существует собственное значение, равное нулю, а другое — нет (вспомним, что мы предполагали, что матрица $$ A $$ не является нулевой матрицей $$ 0 $$). Меняя при необходимости оси местами, мы можем предположить, что $$ \ lambda_1 \ neq 0 $$ и $$ \ lambda_2 = 0 $$.

      Мы также можем предположить, что собственное значение положительно. На этом этапе мы можем различить два новых случая, если $$ e $$ равен нулю или отличен от нуля.2 (k> 0) $$$

      Первая дает нам две параллельные прямые ($$ x = k $$ и $$ x = -k $$, $$ k $$ — это полупространство между двумя прямыми линиями), а вторая дает две совпадающие прямые. линий. Мы скажем, что третий дает нам две совмещенные параллельные прямые.

      Вкратце, эта процедура дает нам эффективный алгоритм перехода от общего уравнения коники к каноническому уравнению. Для его получения используем следующие шаги:

      • Рассматривая уравнение коники, вычисляем ее основную матрицу $$ A ‘$$ и вычисляем собственные значения для диагонализации $$ A’ $$.2-4y- \ frac {19} {2} = 0 $$$ Поскольку у нас есть только квадратичный член для $$ x $$, это парабола.

        Как получить каноническое уравнение эллипса для точки N?

        В результате серии операций с окружностью с известными координатами, а именно поворота его оси на углы a, b вокруг осей Z, Y соответственно, и последующего проецирования на плоскость OXZ на углы c, d, были выполнены получился эллипс.
        Известно: координаты центра эллипса,
        его смещение относительно нулевой точки системы координат
        координаты необходимое количество точек для вывода уравнения эллипса (закрашена кружком до начала всех преобразований).

        Неизвестно:
        длина стержня;
        угол поворота стержня;

        Должно:
        иметь возможность проверить принадлежность произвольной точке эллипса, что требует вывода уравнения.
        для вычисления площади эллипса.

        Расчетный алгоритм реализован на JAVA, валидация расчетов через рисование IN Kompas.

        Изучал интернет на предмет возможных решений, но слишком плохо разбираюсь в деле, почти ничего.
        См. Вариант два: эллипс контрольной точки, контрольная точка обратного преобразования и проверка его принадлежности к кругу, но он не позволит вам вычислить площадь эллипса.
        Второй вариант: представление эллипса в виде кривой второго порядка и матрицы решений с 5 неизвестными, однако, не очень хорошо в программировании, как в математике, для определения алгоритма. Взял библиотеку JAMA, но так как невозможно задать условия для требуемых значений в матрице решений, просто все слагаемые в уравнении конической кривой делают с нулями, что и есть матрица решений.
        Пожалуйста, предложите кратчайший способ решения проблемы или, если применимо, такой общий код.

        На спроецированном эллипсе синие пересекающиеся прямые — это оси, построенные с помощью функций компаса. В общем задача состоит в том, чтобы понять, как он определяет радиус, зная центр эллипса и все 3 принадлежащие точке

        Построение эллипса

        Построение эллипса

        (примечания Р. Бигони)

        1.Параметрические уравнения эллипса

        Из канонического уравнения эллипса легко вывести выражения декартовы координаты точки P эллипса как функции угла α формируется вектором OP (где O — начало отсчета кадра) и ось абсцисс.

        Фактически, если мы позволим а также возвести в квадрат обе стороны обоих уравнений, суммируя квадраты уравнений, мы получаем каноническое уравнение

        Итак, у нас

        , которые представляют собой параметрических уравнений эллипса .

        2. Конструкция линейки и циркуля.

        Параметрические уравнения x e y могут быть соответственно интерпретированы как абсцисса и ордината точек A и B , перехваченных лучом, начиная с O и образуя угол α относительно оси x на концентрические окружности с радиусами a и b .

        Точка E на рисунке, имеющая ту же абсциссу, что и A , и та же ордината, что и B , представляет собой точку эллипса с полуосями a и b .

        3. Площадь эллипса

        Ординаты y E e y A точек E и А сот

        , так что у нас

        , то есть отношение ординат точки E эллипса с полуосями a и b и ордината точки A с той же абсциссой окружность с таким же центром и радиусом , а — это б / а .

        Если, учитывая для простоты только точки с положительной ординатой, для каждого point E и A строим прямоугольники на одном основании dx и высоты y E e y A , бывшие прямоугольники имеют площадь b / a по сравнению с последними.

        Следовательно, сумма всех первых прямоугольников равна b / a по сумме вторых.Если dx бесконечно малая, первая сумма равна площади половины эллипса, второй — площадь половины круга. В заключение, площадь половины эллипса составляет b / a относительно площади половины круг и, очевидно, площадь эллипса b / a относительно круга.

        4.Площадь эллиптического сегмента

        Прямая линия, параллельная оси Y, с уравнением ограничивает цифру EE’V (окрашена в синий цвет), которая называется эллиптической правой сегмент . Площадь ε этого рисунка равна b / a относительно площади η кругового сегмента AA’V .

        Площадь η, в свою очередь, может быть получена вычитанием из площади σ кругового сектора AOA’V площадь τ треугольника AOA’

        Площадь σ соответствует площади окружности, поскольку ее центральный угол AOA ‘ соответствует полному углу, то есть его половина α = AOV соответствует прямому углу.

        Площадь τ составляет

        , следовательно, площадь η составляет

        , а площадь ε составляет

        Чтобы выразить эту площадь как функцию h , заметим, что

        следовательно

        Пример.

        Для эллипса γ с полуосями a = 4 и b = 3 площади эллиптические сегменты, полученные путем разрезания γ параллельно малой оси на расстоянии h = 2 от него, имеют размеры

        5.Периметр эллипса

        Мы можем показать, что периметр эллипса с большой полуосью a и эксцентриситетом e равен

        Следующее приложение Javascript позволяет приблизить периметр эллипса.

        Параметрическое уравнение эллипса

        Параметрическое уравнение эллипса — Math Open Reference Эллипс можно определить как локус всех точек, удовлетворяющих уравнениям

        x = a cos t
        y = b sin t

        где:
        x, y — координаты любой точки эллипса,
        a, b — радиус по осям x и y соответственно ( * см. примечания к радиусам ниже)
        t — параметр, который находится в диапазоне от 0 до 2π радиан.

        Это уравнение очень похоже на уравнение, используемое для определения круга, и большая часть обсуждения здесь опущена, чтобы избежать дублирования. См. «Параметрическое уравнение круга» как введение в эту тему.

        Единственная разница между кругом и эллипсом состоит в том, что у круга один радиус, а у эллипса два:

        • Один радиус измеряется по оси x и обычно называется a .
        • Другой измеряется по оси Y и обычно называется b .
        Для круга оба этих радиуса имеют одинаковое значение.

        Эллипсы с центром в начале координат

        Если центр эллипса находится в начале координат (0,0), уравнения имеют вид

        где
        a — радиус по оси x ( * См. примечания к радиусам ниже)
        b — радиус по оси y

        Обратите внимание, что уравнения на этой странице верны только для эллипсов, выровненных по координатной плоскости, то есть где основные и второстепенные оси параллельны системе координат.

        В приведенном выше апплете перетащите одну из четырех оранжевых точек вокруг эллипса, чтобы изменить его размер, и обратите внимание, как уравнения меняются, чтобы соответствовать.

        Эллипсы не отцентрированы в начале координат

        Как и в случае с круговые уравнения, мы добавляем смещения к элементам x и y, чтобы перевести (или «переместить») эллипс в правильное место. Итак, полная форма уравнений

        где, как и раньше,
        a — радиус по оси x ( * См. примечание о радиусах ниже)
        b — радиус по оси y

        (h, k) — координаты x и y центр эллипса.

        В приведенном выше апплете перетащите оранжевую точку в центре, чтобы переместить эллипс, и обратите внимание, как уравнения меняются, чтобы соответствовать. Кроме того, отрегулируйте эллипс так, чтобы a и b были одинаковой длины, и убедитесь, что в этом случае это те же уравнения, что и для круга.

        Круг — это просто определенный эллипс

        В приведенном выше апплете перетащите правую оранжевую точку влево, пока два радиуса не станут одинаковыми. Это круг, и уравнения для него выглядят так же, как параметрические уравнения для окружности.Это демонстрирует, что круг — это просто частный случай эллипса.

        Параметр t

        Параметр t может немного запутать эллипсы. Для любого значения t будет соответствующая точка на эллипсе. Но t — это , а не угол, образуемый этой точкой в ​​центре. Чтобы понять, почему это так, представьте эллипс как круг, растянутый или сжатый вдоль каждой оси. На рисунке ниже мы начинаем с круга и для простоты даем ему радиус, равный единице. («единичный круг»).

        Угол t определяет точку на окружности, имеющую координаты

        Радиус равен единице, поэтому он опускается. Синий эллипс определяется уравнениями Таким образом, чтобы получить соответствующую точку на эллипсе, координата x умножается на два, таким образом перемещая ее вправо. Это приводит к тому, что эллипс становится шире круга в два раза, тогда как высота остается той же, что определяется значениями 2 и 1 в уравнениях эллипса.

        Итак, как вы можете видеть, угол t не совпадает с углом, который точка на эллипсе образует в центре.

        Однако, когда вы строите график эллипса с помощью параметрических уравнений, просто позвольте t находиться в диапазоне от 0 до 2π радиан, чтобы найти координаты (x, y) для каждого значения t.

        Другие формы уравнения

        Используя теорему Пифагора, чтобы найти точки на эллипсе, мы получаем более общую форму уравнения. Подробнее см. Общее уравнение эллипса.

        Алгоритм рисования эллипсов

        Эта форма определения эллипса очень полезна в компьютерных алгоритмах, которые рисуют круги и эллипсы.Фактически, все круги и эллипсы в апплетах на этом сайте нарисованы с использованием этой формы уравнения. Подробнее об этом см. Алгоритм рисования кругов.

        Что попробовать

        • В приведенном выше апплете нажмите «Сброс» и «Скрыть детали».
        • Перетащите пять оранжевых точек, чтобы создать новый эллипс в новой центральной точке.
        • Запишите уравнения эллипса в параметрической форме.
        • Нажмите «показать подробности», чтобы проверить свои ответы.

        * Примечание по радиусам

        Во многих учебниках два радиуса указаны как полу-большие и полу-малые оси.Напомним, что это самый длинный и самый короткий радиус эллипса соответственно. Проблема в том, что если эллипс высокий и узкий, их нужно перевернуть, поэтому вы получите две формы уравнений: одну для высоких тонких эллипсов, а другую — для коротких широких.

        Независимо от того, как вы называете эти радиусы, помните, что уравнение x должно использовать радиус по оси x, а уравнение y должно использовать радиус по оси y:

        Связанные темы

        (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
        Все права защищены.

        .

        Косинус круг: Тригонометрический круг

        alexxlab / / Разное

        Тригонометрический круг

        Тригонометрический круг — это окружность с единичным радиусом и центром в начале осей координат, каждая точка которой образует треугольник с точками:
        • точка в начале осей координат (точка 0;0)
        • точка на окружности (выбрана нами)
        • точка на оси X, которая является проекцией выбранной нами точки на эту ось (перпендикуляр к оси X)

        Как видно, такой треугольник является прямоугольным, так как из выбранной нами точки на ось абсцисс всегда опускается перпендикуляр. То есть сторона, соединяющая начало координат и выбранную нами точку на тригонометрическом круге ( на приведенном рисунке обозначенную как B, B1. B2, B3) всегда является гипотенузой прямоугольного треугольника, проекция выбранной точки — это катет, а сторона от точки пересечения с осью X образует второй катет.

        Угол, который образуется между осью абсцисс (осью X) и гипотенузой треугольника — является углом, для которого и вычисляются значения тригонометрических функций. Этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси X) как ноль, далее против часовой стрелки. Таким образом, полный круг составляет 360 градусов или 2π радиан.

        Чтобы вычислить значение тригонометрической функции для выбранного угла тригонометрического круга достаточно воспользоваться координатами точки, принадлежащей окружности тригонометрического круга. На приведенном выше рисунке, показано вычисление значения синуса для всех углов.

        Например, sin α для треугольника OBC (где координаты точки B равны (x,y) ) ,будет равен: y / √ ( x2 + y2) 

        Свойства тригонометрического круга

        Если последовательно вычислять значения тригонометрических функций для тригонометрического круга, то становится видно, что результат таких вычислений меняет свой знак в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга выбрана точка. При этом знак тригонометрической функции в пределах одной и той же четверти сохраняется.  

        Знаки тригонометрических функций в координатных четвертях в тригонометрическом круге




        Преобразование углов больше 360 градусов или 2π радиан

        Как видно из картинок, после того, как значение угла превысит 360 градусов (или 2π радиан), то результат вычисления значения будет тем же самым. То есть, для того, чтобы привести значение к «нормальному» — нужно вычесть из имеющегося значения 360 градусов или 2π радиан и повторять операцию столько раз, пока результат не станет меньше 360 или 2π.


         Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике | Описание курса | Радианы и градусы. Радiани i градуси 

           

        Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций

        Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом, и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы,  или вы совсем нетерпеливы,  – то вот он, тригонометрический круг:

        Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом + показать

        Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

        Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций,  столько формул…  А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

        Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций, – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

        Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул,  давайте избавляться от этой привычки!

        Нас выручит тригонометрический круг! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

        К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул, чему равен синус, скажем, градусов, или .

        Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения…  А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

        А при решении тригонометрических уравнений и неравенств   без тригонометрического круга  – вообще никуда.

        Знакомство с тригонометрическим кругом

        Давайте по порядку.

        Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

        А теперь такой:

        И, наконец, такой:

        Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .

        Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

        И зачем оно нам?

        Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

        Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

        От луча  «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .

        Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

        Это почему же, спросите вы?

        Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

        Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем  . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть ).

        Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора

        Надеюсь, уже что-то становится понятно?

        Наконец, что такое синус, косинус в прямоугольном треугольнике?

         

        Так вот точка  В и будет соответствовать  значению , а точка М – значению

        Аналогично с остальными значениями первой четверти.

        Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов, а ось  (oy) – осью синусов.   Про тангенс и котангенс позже.

        Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

        Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ тригонометрический круг, без которого никуда в тригонометрии.

        А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в следующей статье.

        Тригонометрический круг синус и косинус

        Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

        Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

        Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

        Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат — одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая — вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы — cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы — sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы — на диване перед телевизором по горизонтали.

        В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат — там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

        Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

        Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

        Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

        Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

        Найти решение:

        Синусы и косинусы круг — здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

        Угол 120 градусов в радианах — равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

        Значения синусов косинусов углов в радианах — на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

        Значение косинуса угла в 45 градусов — равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

        Тригонометрическая окружность — я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности — вылитая тригонометрия.

        Тригонометрический круг рисунок — есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию — почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников «Перед вами всемирно известное полотно «Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках» — картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения . ..» Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

        Круг синусов и косинусов — именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

        Угол 9 градусов сколько это в пи — в пи это 1/20 или пи/20.
        Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

        Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

        Синус это вверх или в сторону — синус — это вверх, в сторону — это косинус.

        Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.

        Тригонометрические функции угла синус косинус тангенс котангенс основное тригонометрическое тождество тригонометрический круг числовая окружность

        Содержание

        Определение тригонометрических функций произвольного угла

        Рассмотрим окружность радиуса   R с центром в начале прямоугольной системой координат Oxy.

        Рис.1

        Положительным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении движения против часовой стрелки (рис.1).

        Рис.2

        Отрицательным считается угол NOM, сторона OM которого получена из положительной полуоси Ox в результате поворота, осуществляемого в направлении, совпадающем с направлением движения часовой стрелки (рис. 2).

        Если для координат точки   M0 , лежащей на окружности радиуса R с центром в начале координат O (рис. 3),

        Рис.3

        ввести обозначение

        M0 = ( x0 ; y0 ),

        то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство:

        x02 + y02 = R2,

        и можно сформулировать следующее общее определение тригонометрических функций произвольного угла.

        Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом произвольного угла α называют числа, определяемые по формулам:

        ЗАМЕЧАНИЕ 1. Отметим следующее важное свойство тригонометрических функций синуса и косинуса произвольного угла:

        ЗАМЕЧАНИЕ 2. Определение тригонометрических функций произвольного угла является естественным обобщением определения тригонометрических функций острого угла, данного в разделе справочника «Тригонометрические функции острого угла».

        Основное тригонометрическое тождество. Тригонометрический круг

        Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если для координат точки   M1 (рис. 4), лежащей на этой окружности,

        Рис.4

        ввести обозначение

        M1 = ( x1 ; y1 ) ,

        то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство

        x12 + y12 = 1 ,

        а синус, косинус, тангенс и котангенс угла α будут вычисляться по формулам

        Из этих формул, в частности, вытекает основное тригонометрическое тождество:

        sin2α + cos2α = 1 .

        Таким образом, основное тригонометрическое тождество является теоремой Пифагора, сформулированной с помощью тригонометрических функций.

        Окружность радиуса 1, изображенную на рисунке 4, называют тригонометрическим кругом или числовой окружностью.

        Про тригонометрию ⋆zagalina.ru

        Тригонометрический круг→
        Содержание:

         

        Поговорим о тригонометрии

        Вопрос:»Что такое тригонометрия?» Сразу представляю себе ответ: «Ну…., это когда синус или косинус…» «А что такое синус и косинус?» — «Ну…, отношение катетов к гипотенузе…» «То есть — геометрия?» — «???…» Нет, конечно не геометрия! Представьте себе угол в 1000° . Представили? Нет!.. А отрицательный угол? Нет таких углов!!! На 90° заканчивается прямоугольные треугольники, которые и дали определение для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. На 180° заканчивается треугольник, на 360° — планиметрия. Что же тогда такое — тригонометрия? Разберемся… Начнем с двух основных понятий — синуса и косинуса. Что вы о них знаете кроме того, что это отношения катетов и гипотенузы? Вспомнили? сумма квадратов синуса и косинуса равны единице.

        Sin²α + Cos²α = 1

               А помните, как выглядит уравнение окружности с центром в начале координат, радиус которой R?

        x² + y² = R²

               А если радиус R = 1, то это уравнение будет выглядеть  x² + y² = 1. Согласитесь, это очень похоже на основное тригонометрическое уравнение! А что особенно любят школьники, решая уравнения с неудобными выражениями? Заменять их, делать равносильную замену на какую-нибудь букву. Сделаем тоже замену двух неизвестных x² и y² на  Sin²α и Cos²α, получим равносильное уравнение. Получается, что тригонометрия — это раздел математики, позволяющий решать некоторые уравнения гораздо проще, если их неизвестные удовлетворяют условиям:

        Тогда неизвестную можно заменить на синус или косинус.

               А проще потому, что в тригонометрии появляются дополнительные формулы для расчетов. Неизвестными в тригонометрии становятся уже не отдельные буквы, а тригонометрические функции: sin x,    cos x,    tg x,    ctg x,

        где  ,  а  

                Вот так! Это тригонометрия!

         

        Тригонометрические функции

                Почему функции? Напомню, что же такое — функции. Функция — это отношение между двумя зависимыми друг от друга величинами, которое записывается в виде математической формулы, определяющей эту зависимость. При этом изменение одной величины ведет к изменению другой величины. Подробнее→

                 В случае тригонометрических функций, величина у меняется с изменением величины х, формула — это сами синус, косинус, тангенс и котангенс.

                 Графики этих функций приведены ниже:

        функция y(x) = sin x
        функция y(x) = cos x
        функция y(x) = tg x
        функция y(x) = ctg x

                 Получается, что синус, косинус, тангенс и котангенс — это математические выражения, связывающие два неизвестных. А значит, мы можем их, эти неизвестные, находить. А поможет нам в этом великолепная классическая «шпаргалка» — тригонометрический круг.

                 Но прежде, чем мы перейдем к тригонометрическому кругу, определимся со значениями аргумента тригонометрической функции х, который может меняться от минус бесконечности до плюс бесконечности.  

        x ∈ ( — ∞; + ∞).

        В этом случае целесообразно отвлечься от градусной меры углов и вспомнить, что углы измеряются также радианами – просто числами, определяемыми через всем известное число π, соответствующее 180°-ному углу, и π = 3,141582….. И тогда x — это уже не углы, а числа .

         

        Строим тригонометрический круг

        Чертим на плоскости декартову систему координат, а в ней графически изображаем уравнение :

        х² + у² = 1,

        то есть, чертим круг радиусом, равным 1.

               Рассмотрим точку М(хо, уо), принадлежащую первой четверти окружности, и треугольник, где хо, уо координаты точки, а 0М – радиус окружности, равный 1.  Получается, что отношение уо  к радиусу есть ничто иное, как синус угла α, а отношение хо к радиусу – косинус угла α. А это значит, что координаты любой точки на окружности радиусом, равным 1 – это синус и косинус угла, образованного осью 0х и радиус-вектором точки М, то есть отрезком ОМ.

               Тогда наш круг можно представить следующим  образом:→

        Выходит, что по оси Оу получаем значения синусов аргумента, назовем ее «ось синусов», а по оси Ох — значения косинусов, получаем как бы «ось косинусов». При этом, разумеется, значения синусов и косинусов не выходят за пределы круга. Просто, потому что не могут в силу своей ограниченности! Ну, а мы с вами имеем возможность определятся с синусами и косинусами уже не углов, а аргумента х ∈ ( — ∞; + ∞). Почему? А потому что тригонометрические функции — периодические, т.е. просто «вертятся» по кругу. При этом значения синусов и косинусов определяются значениями координат точек на окружности со всеми их знаками. Например, согласно рисунку, координата у точки на окружности, соответствующей углу , определяет  , а координата х определяет  .

               С синусами и косинусами разобрались. А как же тангенсы и котангенсы?       С ними тоже не возникнет проблем. Тангенс определяется:

        Вот и проводим «ось тангенсов» там, где cos α равен 1. Аналогично поступаем и с «осью котангенсов» В отличие от синусов и косинусов тангенсам и котангенсам прямую проводим через начало координат. То есть на круге два угла для тангенса и два угла для котангенса. Оно и понятно: период  функций тангенса и котангенса составляет π, а не 2π, как у функций синуса и косинуса.

        вся тригонометрия на одном рисунке

        Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Он заменяет десяток таблиц.

        Сколько полезного на этом рисунке!

        1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2π радиан.

        2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси Х, а значение синуса — на оси Y.

        3. И синус, и косинус принимают значения от −1 до 1.

        1. Значение тангенса угла α тоже легко найти — поделив sin α на cos α. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

        2. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

        3. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

        4. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2π.

        Если вам что-то непонятно — читайте подробнее:

        Внешний угол треугольника. Синус и косинус внешнего угла

        В некоторых задачах ЕГЭ требуется найти синус, косинус или тангенс внешнего угла треугольника. А что такое внешний угол треугольника?

        Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.

        Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине А — это угол, смежный с углом А. Если угол А острый, то смежный с ним угол — тупой, и наоборот.

        Обратите внимание, что:

        sin (180°-α) = sin α cos (180°-α) = — cos α tg (180°-α) = — tg α

        Запомните эти важные соотношения. Сейчас мы берем их без доказательств. В разделе «Тригонометрия», в теме «Тригонометрический круг», мы вернемся к ним.

        Легко доказать, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

        1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

        Пусть — внешний угол при вершине А.

        Зная cos  , найдем tg   по формуле

        Получим:

        2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 0,1. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

        Задача решается за четыре секунды. Поскольку сумма углов А и В равна 90°, sin B = cos A = 0,1. Тогда и синус внешнего угла при вершине В также равен 0,1.

        Высота в прямоугольном треугольнике

        Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

        В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

        Один из типов экзаменационных задач В6 в банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

        Высота проведена к гипотенузе АВ. Она делит треугольник АВС на два прямоугольных треугольника — АСН и СНВ. Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

        Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Значит, ∠ АСН = 90º — ∠ САН, то есть угол АСН равен углу АВС. Аналогично, угол САВ равен углу НСВ.

        Иными словами, каждый из трех углов треугольника АВС равен одному из углов треугольника АСН (и треугольника ВСН). Треугольники АВС, АСН и ВСН называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

        Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

        Возьмем треугольники АСН и АВС. Стороны треугольника АВС длиннее, чем стороны треугольника АСН в k раз:

        При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников АВС, АСН и ВСН, а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника АВС можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

        1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, ВС = 3, . Найдите AH.

        Рассмотрим треугольник АВС. В нем известны косинус угла А и противолежащий катет ВС. Зная синус угла А, мы могли бы найти гипотенузу АВ. Так давайте найдем sin A:

        (поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

        Рассмотрим прямоугольный треугольник ВСН, ∠ Н = 90°. Поскольку ∠ НСВ = ∠ А,

        Отсюда

        Ответ: 16.

        2. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АC = 8, sin A = 0,5. Найдите высоту CH.

        Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник АСН.

        Ответ: 4.

        3. В треугольнике ABC угол C равен 90º, АВ = 13, . К гипотенузе проведена высота CH. Найдите AH. <.

        Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

        Зато можно записать теорему Пифагора: a² + b² = 13².

        Нам известно также, что:

        Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

        ;

        Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

        и найдем СН = 2,5.

        Сумма углов треугольника

        Сумма треугольника равна 180 градусов.

        Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

        А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

        1. Один из внешних углов треугольника равен 85º. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

        Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85°, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение 2х + 3х = 85 и найдем х = 17. Тогда 3х = 51.

        Ответ: 51.

        2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98º. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

        Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98°?

        Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180°. Значит, один из углов треугольника равен 98°, а два других равны .

        Ответ: 41.

        3. На рисунке угол 1 равен 46º, угол 2 равен 30º, угол 3 равен 44º. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

        Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

        Сначала найдем угол 5. Он равен 180° — ∠1 — ∠3 = 90° Тогда ∠6 = 90° ∠7 = 180° — ∠2 — ∠6 = 60°, Угол 4, смежный с углом 7 равен 120°.

        Ответ: 120.

        Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

        4. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

        Пусть углы треугольника равны 2х, 3х и 4х. Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника. 2х + 3х + 4х = 180° 9х = 180° х = 20° Тогда 2х = 40°.

        Ответ: 40.

        Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

        Пусть прямая с пересекает параллельные прямые а и b. При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

        Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4.

        Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

        Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180º.

        Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. ∠3 = ∠5, ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8, ∠4 = ∠6.

        Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна 180°, то есть ∠1 + ∠6 = 180°, ∠4 + ∠7 = 180°.

        Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и 8) называются соответственными.

        Соответственные углы равны, то есть ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7.

        Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

        Накрест лежащие углы равны, то есть ∠3 = ∠5, ∠1 = ∠7, ∠2 = ∠8, ∠4 = ∠6.

        Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

        1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

        Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

        Пусть ВМ — биссектриса тупого угла В. По условию, отрезки МD и АВ равны 3х и 4х соответственно.

        Рассмотрим углы СВМ и ВМА. Поскольку АD и ВС параллельны, ВМ — секущая, углы СВМ и ВМА являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник АВМ — равнобедренный, следовательно, АВ = АМ = 4х.

        Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть 7х + 7х + 4х + 4х = 88. Отсюда х = 4, 7х = 28.

        Ответ: 28.

        2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 26º и 34º. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

        Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: 120º.

        3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50º? Ответ дайте в градусах.

        Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

        Давайте посмотрим на чертеж. По условию, α — β = 50°, то есть α = β + 50°.

        Углы α и β — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно, α + β = 180°.

        Итак, 2β + 50° = 180° β = 65°, тогда α = 115°.

        Ответ: 115.

        Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

        Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

        Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

        Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

        Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки А на отрезок ВС, зато можем опустить его на прямую ВС — то есть на продолжение стороны ВС.

        В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

        А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

        Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

        Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

        Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

        У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

        Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу С4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

        Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

        1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

        Пусть биссектрисы треугольника АВС ( в котором угол С равен 90°) пересекаются в точке М.

        Рассмотрим треугольник АВМ.

        ∠ МАВ = ∠ ВАС,

        ∠ АВМ = ∠ АВС, тогда ∠ АМВ = 180° — ∠ МАВ — ∠ АВМ = 180° — (∠ АВС + ∠ ВАС).

        Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен φ.

        Угол φ смежный с углом АМВ, следовательно, φ = (∠ АВС + ∠ ВАС).

        Поскольку треугольник АВС — прямоугольный, то ∠ АВС + ∠ ВАС = 90°.

        Тогда φ = (∠ АВС + ∠ ВАС) = 90° : 2 = 45°.

        Ответ: 45.

        2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29º и 61º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

        Пусть СН — высота, проведенная из вершины прямого угла С, СК — биссектриса угла С.

        Тогда ∠ АСН = ∠ АВС = 61°, ∠ АСК = 90° : 2 = 45°.

        Угол между высотой и биссектрисой — это угол КСН.

        ∠ КСН = ∠ АСН — ∠ АСК = 61° — 45° = 16°

        Ответ: 16.

        3. Два угла треугольника равны 58º и 72º. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

        Из треугольника АВН (угол Н — прямой) найдем угол ВАН. Он равен 18°.

        Из треугольника АВК (угол К — прямой) найдем угол АВК. Он равен 32°.

        В треугольнике АОВ известны два угла. Найдем третий, то есть угол АОВ, который и является тупым углом между высотами треугольника АВС:

        ∠ АОВ = 180° — 18° — 32° = 130°.

        Ответ: 130.

        4. В треугольнике ABC угол C равен 58º, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

        Пусть в треугольнике АВС угол ВАС равен А, угол АВС равен В.

        Рассмотрим треугольник АОВ.

        ∠ ОАВ = ∠ А

        ∠ АВО = ∠ В, тогда ∠ АОВ = 180° — (∠ А + ∠ В). Из треугольника АВС получим, что ∠ А + ∠ В = 180° — 58° = 122°.

        Тогда ∠ АОВ = 180° — (∠ А + ∠ В) = 180° — 61° = 119°.

        Ответ: 119°.

        5. В треугольнике ABC угол A равен 60º, угол B равен 82º. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

        Найдем угол АСВ. Он равен 38°.

        Тогда ∠ АСF = ∠ ACB = 19°.

        Из треугольника АСF найдем угол AFC. Он равен 101°.

        Рассмотрим треугольник АОF.

        ∠ AFО = 101°, ∠ FAO = ∠ ВАС = 30°. Значит, ∠ AOF = 49°.

        Ответ: 49.

        6. В треугольнике АВС СD — медиана, угол ACB равен 90º, угол B равен 58º. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

        Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

        Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

        Правильный ответ: 22.

        Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм. Виды параллелограммов и их свойства. Ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция и ее свойства

        В школьных задачах по геометрии мы обычно рассматриваем выпуклые четырехугольники.

        В чем разница между ними? Если любые две точки выпуклого многоугольника соединить отрезком — весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклых фигур это не выполняется.

        Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

        Произвольные четырехугольники в задачах по геометрии встречаются редко. Намного чаще — такие, у которых есть параллельные стороны. Это параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник и трапеция. Здесь в таблице собраны их определения и свойства.

        Синус и косинус — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения





        		 Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva. ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.  / / Синус и косинус — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения

        Поделиться:   

        Синус (sin) и косинус (cos) — тригонометрические функции

        y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки по четвертям, формулы приведения.

        Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения:

        Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения:
        • Область определения D(y):
        • Область значений E(x):
        • Наименьший положительный период:
        • Координаты точек пересечения графика функции с осью:
        • Промежутки знакопостоянства —  на которых функция принимает:
        • Положительные значения:
        • Отрицптельные значения:
        • Промежутки возрастания:
        • Промежутки убывания:
        • Точки минимума:
        • Мнимумы функции:
        • Точки максимума:
        • Максимумы функции:

        Перевод градусной меры угла в радианную и обратно

        подробнее:

        Значения тригонометрических функций некоторых углов:

        Знаки значений тригонометрических функций:

        Формулы приведения тригонометрических функций

        подробнее:
        Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
        Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

        3 совета эксперта по использованию единичной окружности

        Если вы изучаете тригонометрическую систему или математику — или готовитесь к этому — вам нужно будет познакомиться с единичным кругом. Единичная окружность — это , важный инструмент, используемый для нахождения синуса, косинуса и тангенса угла. а как это работает? И какую информацию нужно знать, чтобы ею пользоваться?

        В этой статье мы объясним, что такое единичный круг и почему вы должны его знать. Мы также даем вам три совета, которые помогут вам запомнить, как использовать единичный круг.

        Изображение функции: Gustavb / Wikimedia

        Единичный круг: базовое введение

        Единичный круг — это круг с радиусом 1. Это означает, что для любой прямой линии, проведенной от центральной точки круга к любой точке на краю круга, длина этой линии всегда будет равна 1. (Это также означает, что диаметр круга будет равен 2, поскольку диаметр равен удвоенной длине радиуса.)

        Как правило, центральная точка единичной окружности находится там, где пересекаются оси x и y, или в координатах (0, 0):

        Единичная окружность, или триггерная окружность, как ее еще называют, полезно знать, потому что позволяет нам легко вычислить косинус, синус и тангенс любого угла между 0 ° и 360 ° (или 0 и 2π радиан).

        Как вы можете видеть на приведенной выше диаграмме, нарисовав радиус под любым углом (отмечен на изображении by), вы создадите прямоугольный треугольник. На этом треугольнике косинус — это горизонтальная линия, а синус — это вертикальная линия. Другими словами, косинус = x-координата, а синус = y-координата. (Самая длинная линия треугольника, или гипотенуза, является радиусом и поэтому равна 1.)

        Почему все это так важно? Помните, что вы можете найти длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора , или $ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 $ (где a и b — длины сторон треугольника, а c — длина гипотенузы). 2θ = 1 $$

        Имейте в виду, что эти значения могут быть отрицательными в зависимости от образованного угла и в какой квадрант попадают координаты x и y (более подробно я объясню это позже).

        Вот обзор всех основных углов в градусах и радианах на единичной окружности:

        Единичный круг — градусы

        Единичный круг — радианы

        А что, если треугольник не образовался? Давайте посмотрим на , что происходит, когда угол равен 0 °, образуя горизонтальную прямую линию вдоль оси x:

        В этой строке координата x равна 1, а координата y равна 0.Мы знаем, что косинус равен координате x, а синус равен координате y, , поэтому мы можем записать это:

        Что если угол равен 90 ° и образует идеально вертикальную линию вдоль оси y?

        Здесь мы видим, что координата x равна 0, а координата y равна 1. Это дает нам следующие значения для синуса и косинуса:

        • $ \ cos90 ° = 0 $
        • $ \ sin90 ° = 1 $

        Этот слоган определенно подходит, если вы не любитель математики.

        Почему вы должны знать единичную окружность

        Как сказано выше, единичная окружность полезна, потому что позволяет нам легко найти синус, косинус или тангенс любого градуса или радиана. Особенно полезно знать круговую диаграмму единиц, если вам нужно решить определенные триггерные значения для домашнего задания по математике или если вы готовитесь к изучению математического анализа.

        Но как именно знание единичного круга может вам помочь? Допустим, вам задали следующую задачу на тесте по математике, и нельзя использовать для ее решения с помощью калькулятора :

        $$ \ sin30 ° $$

        С чего начать? Давайте снова посмотрим на диаграмму единичного круга — на этот раз со всеми большими углами (как в градусах, так и в радианах) и их соответствующими координатами:

        Джим. belk / Викимедиа

        Не расстраивайтесь! Помните, все, что вам нужно, это $ \ sin30 ° $. Посмотрев на этот график, мы видим, что , координата y равна $ 1/2 $ при 30 °. А поскольку координата y равна синусу, наш ответ будет следующим:

        $$ \ sin30 ° = 1/2 $$

        Но что, если вы столкнетесь с проблемой, в которой вместо градусов используются радианы? Процесс ее решения остается прежним. Скажем, например, у вас возникла проблема, которая выглядит так:

        $$ \ cos {{3π} / 4} $$

        Опять же, используя диаграмму выше, мы можем видеть, что координата x (или косинус) для $ {3π} / 4 $ (который равен 135 °) составляет $ — {√2} / 2 $.Вот как бы тогда выглядел наш ответ на эту проблему:

        $$ \ cos ({3π} / 4) = — {√2} / 2 $$

        Все это довольно просто, если у вас есть приведенная выше круговая диаграмма единиц для использования в качестве справочной информации. Но в большинстве случаев (если не всегда) это не так, и вы должны будете отвечать на такие математические вопросы, используя только свой мозг.

        Так как же можно запомнить единичный круг? Читайте наши главные советы!

        Как запомнить единичный круг: 3 основных совета

        В этом разделе мы даем вам несколько основных советов по запоминанию триггерного круга, чтобы вы могли легко использовать его для решения любой математической задачи, которая в нем требует.

        Я бы не рекомендовал практиковать единичный круг с клейкими лентами, но, эй, это только начало.

        # 1: Запомните общие углы и координаты

        Чтобы эффективно использовать единичный круг, вам нужно запомнить наиболее распространенные углы (как в градусах, так и в радианах), а также их соответствующие координаты x и y.

        Диаграмма выше представляет собой полезную диаграмму единичного круга, на которую стоит обратить внимание, поскольку она включает все основные углы в градусах и радианах в дополнение к их соответствующим координатным точкам по осям x и y.

        Вот диаграмма, содержащая ту же информацию в виде таблицы:

        Угол (градусы)

        Угол (радианы)

        Координаты точки на окружности

        0 ° / 360 °

        0 / 2π

        (1, 0)

        30 °

        $ π / 6 $

        долл. США ({√3} / 2, 1/2)

        долл. США

        45 °

        $ π / 4 $

        долл. США ({√2} / 2, {√2} / 2)

        долл. США

        60 °

        $ π / 3 $

        долл. США (1/2, {√3} / 2)

        долл. США

        90 °

        $ π / 2 $

        (0, 1)

        120 °

        $ {2π} / 3 $

        долл. США (- 1/2, {√3} / 2)

        долл. США

        135 °

        $ {3π} / 4 $

        долл. США (- {√2} / 2, {√2} / 2)

        долл. США

        150 °

        $ {5π} / 6 $

        $ (- {√3} / 2, 1/2)

        $

        180 °

        π

        (-1, 0)

        210 °

        $ {7} / 6 $

        $ (- {√3} / 2, -1/2)

        $

        225 °

        $ {5π} / 4 $

        $ (- {√2} / 2, — {√2} / 2)

        $

        240 °

        $ {4π} / 3 $

        $ (- 1/2, — {√3} / 2)

        $

        270 °

        $ {3π} / 2 $

        (0, -1)

        300 °

        $ {5π} / 3 $

        долл. США (1/2, — {√3} / 2)

        долл. США

        315 °

        $ {7π} / 4 $

        $ ({√2} / 2, — {√2} / 2)

        $

        330 °

        $ {11π} / 6 $

        долл. США ({√3} / 2, -1/2)

        долл. США

        Теперь, хотя вы можете попытаться запомнить все эти координаты и углы, это много, вещей, которые нужно запомнить.

        К счастью, есть прием, который поможет вам запомнить самые важные части единичного круга.

        Посмотрите на координаты выше, и вы заметите четкую закономерность: все точки (за исключением точек под 0 °, 90 °, 270 ° и 360 °) чередуются только между тремя значениями (положительными или отрицательными):

        • $ 1/2
        • $ {√2} / 2
          • $
        • $ {√3} / 2
          • $

        Каждому значению соответствует короткая, средняя или длинная линия для косинуса и синуса:

        Вот что означают эти длины:

        • Короткая горизонтальная или вертикальная линия = 1/2 доллара США
        • Средняя горизонтальная или вертикальная линия = $ {√2} / 2 $
        • Длинная горизонтальная или вертикальная линия = $ {√3} / 2 $

        Например, если вы пытаетесь решить $ \ cos {π / 3} $, вы должны сразу знать, что этот угол (равный 60 °) указывает на короткую горизонтальную линию на единичной окружности. Следовательно, его соответствующая координата x должна равняться $ 1/2 $ (положительное значение, поскольку $ π / 3 $ создает точку в первом квадранте системы координат).

        Наконец, хотя полезно запомнить все углы в таблице выше, обратите внимание, что , безусловно, самые важные углы, которые следует запомнить, следующие:

        • 30 ° / $ π / 6 $
        • 45 ° / $ π / 4 $
        • 60 ° / $ π / 3 $

        Обращайтесь со своими негативами и позитивами, как с кабелями, которые потенциально могут убить вас при неправильном подключении.

        № 2: Узнайте, что есть отрицательного и что положительного

        Очень важно уметь различать положительные и отрицательные координаты x и y, чтобы вы могли найти правильное значение для триггерной проблемы. Напоминаем, что w , будет ли координата на единичной окружности положительной или отрицательной, зависит от , в какой квадрант (I, II, III или IV) попадает точка:

        Вот диаграмма, показывающая, будет ли координата положительной или отрицательной в зависимости от квадранта, в котором находится конкретный угол (в градусах или радианах):

        Квадрант

        Координата X (косинус)

        Координата Y (синус)

        Я

        +

        +

        II

        –

        +

        III

        –

        –

        IV

        +

        –

        Допустим, вам задали следующую задачу на тесте по математике:

        $$ \ cos210 ° $$

        Прежде чем вы даже попытаетесь ее решить, вы должны быть в состоянии распознать, что ответом будет отрицательное число , поскольку угол 210 ° попадает в квадрант III (где x-координаты всегда отрицательны).

        Теперь, используя уловку, которую мы изучили в совете 1, вы можете выяснить, что угол 210 ° создает длинной горизонтальной линии. Следовательно, наш ответ таков:

        $$ \ cos210 ° = — {√3} / 2 $$

        # 3: Умейте находить касательную

        Наконец, важно знать, как использовать всю эту информацию о триггерной окружности, синусе и косинусе, чтобы иметь возможность найти тангенс угла.

        В триггере, чтобы найти тангенс угла θ (в градусах или радианах), вы просто делите синус на косинус:

        $$ \ tanθ = {\ sinθ} / {\ cosθ} $$

        Например, вы пытаетесь решить эту проблему:

        $$ \ tan300 ° $$

        Первый шаг — составить уравнение в терминах синуса и косинуса:

        $$ \ tan300 ° = {\ sin300 °} / {\ cos300 °} $$

        Теперь, чтобы найти касательную, нам нужно найти синус и косинус 300 °.Вы должны быстро распознать, что угол 300 ° попадает в четвертый квадрант, а это означает, что косинус или координата x будет положительным, а синус или координата y — отрицательным.

        Вы также должны сразу знать, что угол 300 ° создает короткую горизонтальную линию и длинную вертикальную линию. Следовательно, косинус (горизонтальная линия) будет равен $ 1/2 $, а синус (вертикальная линия) будет равен $ — {√3} / 2 $ (отрицательное значение y, поскольку эта точка находится в квадранте IV ).

        Теперь, чтобы найти касательную, все, что вам нужно сделать, это подключить и решить:

        $$ \ tan300 ° = {- {√3} / 2} / {1/2} $$

        $$ \ tan300 ° = -√3 $$

        Пора мурлыкать по своим математическим способностям!

        Набор практических вопросов «Единичный круг»

        Теперь, когда вы знаете, как выглядит единичный круг и как его использовать, давайте проверим, что вы узнали, с помощью нескольких практических задач.

        Вопросы

        1. $ \ sin45 ° $
        2. $ \ cos240 ° $
        3. $ \ cos {5π} / 3 $
        4. $ \ tan {2π} / 3 $

        ответы

        1. $ {√2} / 2
          2. долл. США
        2. $ -1 / 2 $
        3. $ 1/2
        4. $ -√3 $

        Ответ объяснения

        # 1: $ \ sin45 ° $

        При этой проблеме есть два элемента информации, которые вы должны сразу определить:

        • Ответ будет положительным, , поскольку угол 45 ° находится в квадранте I, а синус угла равен координате y
        • Угол 45 ° образует вертикальную линию средней длины (для синуса)

        Поскольку 45 ° означает положительную линию средней длины, правильный ответ: $ {√2} / 2 $.

        Если вы не знаете, как это понять, нарисуйте диаграмму, которая поможет вам определить, будет ли длина линии короткой, средней или длинной.

        # 2: $ \ cos240 ° $

        Как и в задаче № 1 выше, есть две части информации, которую вы должны быстро понять при решении этой проблемы:

        • Ответ будет отрицательным, , поскольку угол 240 ° находится в квадранте III, а косинус угла равен координате x
        • Угол 240 ° образует короткую горизонтальную линию (для косинуса)

        Поскольку 240 ° означает короткую отрицательную линию, правильный ответ: $ -1 / 2 $.

        # 3: $ \ cos {5π} / 3 $

        В отличие от задач, описанных выше, в этой задаче вместо градусов используется радиан . Хотя это может сделать проблему более сложной для решения, на самом деле здесь используются те же основные шаги, что и для двух других задач.

        Во-первых, вы должны понять, что угол $ {5π} / 3 $ находится в квадранте IV, поэтому координата x или косинус будет положительным числом. Вы также должны уметь сказать, что $ {5π} / 3 $ создает короткую горизонтальную линию.

        Это дает вам достаточно информации, чтобы определить, что ответ составляет $ 1/2 $.

        # 4: $ \ tan {2π} / 3 $

        В этой задаче используется тангенс вместо синуса или косинуса, а это значит, что с нашей стороны потребуется немного больше математических вычислений. Прежде всего, вспомните основную формулу для нахождения тангенса:

        $$ \ tan θ = {\ sin θ} / {\ cos θ} $$

        Теперь давайте возьмем полученную степень — $ {2π} / 3 $ — и подставим ее в это уравнение:

        $$ \ tan {2π} / 3 = {\ sin {2π} / 3} / {\ cos {2π} / 3} $$

        Теперь вы должны иметь возможность решать для синуса и косинуса отдельно, используя то, что вы запомнили о единичной окружности.Поскольку угол $ {2π} / 3 $ находится в квадранте II, координата x (или косинус) будет отрицательной, а координата y (или синусом) будет положительной.

        Затем вы сможете определить на основе одного только угла, что горизонтальная линия — это короткая линия, , а вертикальная линия — это длинная линия. Это означает, что косинус равен $ -1 / 2 $, а синус равен $ {√3} / 2 $.

        Теперь, когда мы вычислили эти значения, все, что нам нужно сделать, это вставить их в наше исходное уравнение и найти тангенс:

        $$ \ tan {2π} / 3 = {{√3} / 2} / {- 1/2} $$

        $$ \ tan {2π} / 3 = -√3 $$

        Что дальше?

        Если вы в ближайшее время будете сдавать SAT или ACT, вам нужно будет знать некоторые триггеры, чтобы вы могли преуспеть в разделе математики. Взгляните на наши экспертные руководства по тестированию SAT и ACT, чтобы вы могли точно узнать, что вам нужно знать в день теста!

        Помимо запоминания единичного круга, неплохо научиться вставлять числа и ответы. Прочтите наши руководства, чтобы узнать все об этих двух полезных стратегиях, которые вы можете использовать в любом тесте по математике, включая SAT и ACT!

        Файл: Circle cos sin.gif — Wikimedia Commons

        Английский: У нас есть единичный круг (с радиусом = 1) зеленого цвета, расположенный в начале координат в правом нижнем углу.

        В середине этого круга желтым цветом представлен угол тета (θ). Этот угол представляет собой величину вращения против часовой стрелки по кругу, начиная справа по оси x, как показано на рисунке. Точная копия этого небольшого угла показана вверху справа как наглядная иллюстрация определения θ.

        Под этим углом, начиная с начала координат, радиально наружу проводится (тусклая) зеленая линия. Эта линия пересекает единичный круг в одной точке, которая представляет собой зеленую точку, вращающуюся с постоянной скоростью при изменении угла θ, также с постоянной скоростью.

        Вертикальное положение этой точки проецируется прямо (вдоль слабой красной линии) на график слева от круга. Это приводит к красной точке. Координата Y этой красной точки (такая же, как координата Y зеленой точки) является значением синусоидальной функции, вычисленной под углом θ, то есть:

        Координата y зеленой точки = sin θ

        При изменении угла θ красная точка перемещается вверх и вниз, отслеживая красный график. Это график синусоидальной функции.Слабые вертикальные линии, проходящие слева, отмечают каждый квадрант по окружности, то есть под каждым углом 90 ° или π / 2 радиан. Обратите внимание, как синусоида идет от 1 к нулю, к -1, а затем обратно к нулю, именно на этих линиях. Это отражает тот факт, что sin (0) = 0, sin (π / 2) = 1, sin (π) = 0 и sin (3π / 2) -1.

        Аналогичный процесс выполняется с координатой x зеленой точки. Однако, поскольку координата x отклонена от обычного соглашения для построения графиков (где y = f (x), с вертикальным y и x горизонтальным), была выполнена операция «untilt», чтобы повторить процесс снова в том же ориентация, а не вертикальная.Это было представлено в виде «изгиба», показанного в правом верхнем углу.

        И снова зеленая точка проецируется вверх (вдоль слабой синей линии), и эта «изогнутая» проекция заканчивается у самого правого края верхнего графика, в синей точке. Координата y этой синей точки (которая из-за «изгиба» проекции совпадает с координатой x зеленой точки) — это значение функции косинуса, вычисленное под углом θ, то есть:

        x координата зеленой точки = cos θ
        Синяя кривая, очерченная этой точкой, когда она движется вверх и вниз с изменением θ, является графиком функции косинуса.Еще раз обратите внимание на то, как он ведет себя при пересечении каждого квадранта, отражая тот факт, что cos (0) = 1, cos (π / 2) = 0, cos (π) = -1 и cos (3π / 2) = 0.

        Единичный круг Определение функций синуса и косинуса


        Единица Круговое определение функций синуса и косинуса

        Тригонометрические функции могут быть определяется в терминах единичного круга, т. е. круг радиуса один.

        The sin / cos Треугольник

        Если единичный круг помещен в начало прямоугольной системы координат с углом q, отсчитываемым от положительная ось x к стороне вывода, затем точка на устройстве круг, где конечная сторона пересекает единичный круг, определяется как быть (cos q, sin q), т.е. первая координата точки на устройстве круг — это cos q, а вторая координата — sin q.

        The tan / sec Треугольник

        Tan q и sec q определены треугольником, высота которого касается единичной окружности в точке (1, 0), гипотенуза которого находится на конечной стороне угла.

        The детская кроватка / csc Triangle

        Детская кроватка q и csc q определены треугольником, высота которого равна единице, а гипотенуза находится на конечная сторона уголка.

        The sin / cos, tan / sec и cot / csc Треугольники

        Все три треугольники, используемые для определения тригонометрических функций, показаны на рисунке ниже.

        Используя sin / cos, tan / sec и cot / csc Треугольники для установления базового Тригонометрические идентификационные данные

        Три одинаковых треугольника sin / cos, tan / sec и cot / csc извлекаются из рисунка.Четвертый аналогичный показан треугольник со смежными, противоположными сторонами и сторонами гипотенузы. помечены.


        Определение шести тригонометрические функции и другие полезные тождества следуют из использования тот факт, что отношение соответствующих сторон одинаковых треугольников должно быть равным. Результаты:

        Используя sin / cos, tan / sec и cot / csc Треугольники для определения пифагорейского Идентификационные данные

        Теорема Пифагора утверждает: в любом прямоугольный треугольник, сумма квадратов длин стороны, содержащие прямой угол, равны квадрату гипотенуза.Короче c 2 = a 2 + b 2 .

        Применение пифагора Теорема для треугольников sin / cos, tan / sec и cot / csc дает:

        Единичный круг | Purplemath

        Purplemath

        Когда вы работаете с углами во всех четырех квадрантах, триггерные отношения для этих углов вычисляются в терминах значений x , y и r , где r — радиус окружности, соответствующей к гипотенузе прямоугольного треугольника для вашего угла.На рисунке ниже угол заканчивается во втором квадранте, как показано диагональной линией:

        MathHelp.com

        Любые два прямоугольных треугольника с одинаковым углом в основании θ («тета», произносится как THAY-tuh) будут похожи в техническом смысле, имея пропорциональные стороны.Это сходство более очевидно, когда треугольники вложены друг в друга:

        Сходство (и, следовательно, пропорциональность) означает, что триггерные отношения для двух вложенных треугольников, показанных выше, будут одинаковыми, как вы можете видеть из вычислений ниже для каждого из двух треугольников выше:

        Триггерные отношения для угла θ одинакового размера одинаковы (как вы можете видеть выше), даже несмотря на то, что конкретные числа из наборов сторон двух треугольников различаются.Это подчеркивает, что для тригонометрических соотношений имеет значение угол θ, а не конкретный треугольник, из которого вы получили этот угол.

        Для упрощения вычислений математики любят помещать угловой треугольник в круг с радиусом r = 1. Поскольку число 1 в математике называется «единицей», круг с радиусом длины 1 называется «единичным кругом». «. Как только гипотенуза имеет фиксированную длину r = 1, тогда значения триггерных отношений будут зависеть только от x и y , поскольку умножение или деление на r = 1 ничего не изменит.Только значения x и y будут иметь значение.

        Единичный круг

        Смысл единичного круга в том, что он упрощает и упрощает другие части математики. Например, в единичном круге для любого угла θ триггерные значения для синуса и косинуса явно не более чем sin (θ) = y и cos (θ) = x .Исходя из этого, вы можете принять тот факт, что тангенс определен как тангенс (θ) = y / x , а затем заменить x и y , чтобы легко доказать, что значение tan (θ) также должен быть равен отношению sin (θ) / cos (θ).

        Еще одна вещь, которую вы можете увидеть из единичного круга, — это то, что значения синуса и косинуса никогда не будут больше 1 или меньше -1, поскольку x и y никогда не принимают значений за пределами этого интервала.Кроме того, поскольку касательная включает деление на x , и поскольку x = 0, когда вы на четверть и три четверти пути по окружности (то есть, когда вы находитесь под углом 90 ° и 270 ° ), касательная не будет определяться для этих угловых мер.

        Некоторые углы имеют «хорошие» триггерные значения. Эти углы в первом квадранте (являющиеся «опорными» углами) составляют 0 °, 30 °, 45 °, 60 ° и 90 °. (Строго говоря, 0deg и 90deg не находятся «в» каком-либо квадранте, но мы будем работать с ними, как если бы они были в первом квадранте.Так проще.) Так что вы, вероятно, должны будете запомнить значения триггерных функций для этих углов. Вероятно, теперь вам также будет предоставлен круг с отмеченными углами. В первом квадранте имеем:

        (Вы, возможно, заметили радикалы у 1 в приведенном выше примере. Да, они упрощаются до 1, так что вы тоже можете писать так, и вам, безусловно, следует сделать упрощение в своем окончательном ответе.Но обратите внимание, что все знаменатели равны двойкам, а числители идут вверх или вниз: 1, 2, 3. Это может быть полезно для запоминания значений триггеров.)

        Вам может быть дан полный единичный круг со значениями углов в трех других квадрантах. Но вам нужно только знать значения в первом квадранте. Как только вы их узнаете, и поскольку значения повторяются (кроме знака) в других квадрантах, вы знаете все, что вам нужно знать о единичном круге.

        • Подтвердите, что точка (15/113, –112/113) является точкой на единичной окружности. Найдите синус и котангенс угла A, имеющего эту точку на своей конечной стороне.

        Любая точка на единичной окружности будет находиться на расстоянии одной единицы от центра; это определение единичного круга. Чтобы «подтвердить», что точка, которую они мне дали, является точкой на единичной окружности, я могу применить теорему Пифагора, чтобы найти длину радиуса прямоугольного треугольника, образованного путем опускания перпендикуляра с оси x вниз. к точке.Мой перпендикуляр — ярко-синяя пунктирная линия:

        Если теорема Пифагора дает мне значение радиуса 1, то я «подтверждаю», что точка находится на единичной окружности.

        Тогда длина третьей стороны прямоугольного треугольника, которая также является длиной радиуса круга, равна 1. Таким образом, эта точка действительно находится на единичной окружности.

        Теперь они хотят, чтобы я нашел синус и котангенс основного угла.Синус — это значение и . (Мне не нужно беспокоиться о гипотенузе, потому что она всегда равна 1 в единичной окружности.) Итак, синус нижележащего угла:

        Котангенс — это величина, обратная касательной. Касательная является «противоположной по соседству» или, в данном контексте, « y над x ». Тогда котангенс обратен этому:

        детская кроватка (A) = 15 / (- 112) = –15/112

        В первой части этого упражнения я показал, что радиус равен 1.Остальная часть моего ручного ответа:

        sin (A) = –112

        детская кроватка (A) = –15/112

        URL: https://www.purplemath.com/modules/unitcirc.htm

        Единичный круг — Уравнение единичной окружности

        Единичный круг из самого названия определяет круг с единичным радиусом.Круг — это замкнутая геометрическая фигура без сторон и углов. Единичный круг обладает всеми свойствами круга, и его уравнение также выводится из уравнения круга. Кроме того, единичный круг полезен для получения стандартных угловых значений всех тригонометрических соотношений.

        Здесь мы изучим уравнение единичной окружности и поймем, как представить каждую из точек на окружности единичной окружности с помощью тригонометрических соотношений cosθ и sinθ.

        Что такое единичный круг?

        Единичная окружность — это окружность с радиусом в 1 единицу. Единичный круг обычно представлен в декартовой координатной плоскости. Единичный круг алгебраически представлен с помощью уравнения второй степени с двумя переменными x и y. Единичная окружность применяется в тригонометрии и помогает находить значения тригонометрических соотношений синуса, косинуса и тангенса.

        Определение единичного круга

        Геометрическое место точки, находящейся на расстоянии одной единицы от фиксированной точки, называется единичной окружностью.

        Уравнение единичной окружности

        Общее уравнение круга: (x — a) 2 + (y — b) 2 = r 2 , что представляет собой круг с центром (a, b) и радиусом r. Это уравнение круга упрощено и представляет собой уравнение единичного круга. Единичная окружность образуется с центром в точке (0, 0), которая является началом координатных осей. и радиусом 1 ед. Следовательно, уравнение единичной окружности: (x — 0) 2 + (y — 0) 2 = 1 2 .Это упрощается, чтобы получить уравнение единичной окружности.

        Уравнение единичной окружности: x 2 + y 2 = 1

        Здесь для единичной окружности центр лежит в точке (0,0), а радиус равен 1 единице. Вышеупомянутое уравнение удовлетворяет всем точкам, лежащим на окружности в четырех квадрантах.

        Нахождение тригонометрических функций по единичной окружности

        Мы можем вычислить тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса, используя единичную окружность.Давайте применим теорему Пифагора в единичном круге, чтобы понять тригонометрические функции. Рассмотрим прямоугольный треугольник, помещенный в единичный круг в декартовой координатной плоскости. Радиус круга представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника. Радиус-вектор составляет угол θ с положительной осью x, а координаты конечной точки радиус-вектора равны (x, y). Здесь значения x и y — длина основания и высота прямоугольного треугольника. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник со сторонами 1, x, y.Применяя это в тригонометрии, мы можем найти значения тригонометрического отношения следующим образом:

        • sinθ = Высота / Гипотеза = y / 1
        • cosθ = База / Гипотенуза = x / 1

        Теперь у нас есть sinθ = y, cosθ = x, и, используя это, мы теперь имеем tanθ = y / x. Точно так же мы можем получить значения других тригонометрических соотношений, используя прямоугольный треугольник внутри единичной окружности. Также, изменяя значения θ, мы можем получить главные значения этих тригонометрических соотношений.

        Единичный круг с Sin Cos и Tan

        Любая точка на единичной окружности имеет координаты (x, y), которые равны тригонометрическим тождествам (cosθ, sinθ). Для любых значений θ, образованных линией радиуса с положительной осью x, координаты конечной точки радиуса представляют собой косинус и синус значений θ. Здесь мы имеем cosθ = x и sinθ = y, и эти значения помогают вычислить другие значения тригонометрического отношения. Применяя это далее, мы имеем tanθ = sinθ / cosθ или tanθ = y / x.

        Еще один важный момент, который следует понять, это то, что значения sinθ и cosθ всегда лежат между 1 и -1, а значение радиуса равно 1, и оно имеет значение -1 на отрицательной оси x. Весь круг представляет собой полный угол в 360º, а четыре квадранта круга образуют углы 90º, 180º, 270º, 360º (0º). При 90º и 270º значение cosθ равно 0 и, следовательно, значения тангенса угла наклона при этих углах не определены.

        Пример: Найдите значение тангенса угла 45º, используя значения sin и cos из единичной окружности.

        Решение:

        Мы знаем, что tan 45 ° = sin 45 ° / cos 45 °

        Используя круговую диаграмму единиц:
        грех 45 ° = 1 / √2
        cos 45 ° = 1 / √2

        Следовательно, tan 45 ° = sin 45 ° / cos 45 °
        = (1 / √2) / (1 / √2)
        = 1

        Ответ: Следовательно, tan 45 ° = 1

        Круговая диаграмма единиц в радианах

        Единичный круг представляет собой полный угол в 2π радиан. А единичный круг разделен на четыре квадранта под углами π / 2, π.3π / 2 и 2π соответственно. Далее в пределах первого квадранта под углами 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2 — стандартные значения, которые применимы к тригонометрическим отношениям. Точки на единичном круге для этих углов представляют стандартные угловые значения отношений косинуса и синуса. При внимательном рассмотрении рисунка ниже значения повторяются в четырех квадрантах, но с изменением знака. Это изменение знака происходит из-за опорных осей x и y, которые положительны с одной стороны и отрицательны с другой стороны от начала координат.Теперь с помощью этого мы можем легко найти значения тригонометрических соотношений стандартных углов в четырех квадрантах единичной окружности.

        Единичный круг и тригонометрические идентичности

        Идентичности единичной окружности синуса, косеканса и тангенса могут быть дополнительно использованы для получения других тригонометрических идентификаторов, таких как котангенс, секанс и косеканс. Идентификаторы единичной окружности, такие как косеканс, секанс, котангенс, являются соответствующими обратными величинами синуса, косинуса и тангенса.Кроме того, мы можем получить значение tanθ, разделив sinθ на cosθ, и мы можем получить значение cotθ, разделив cosθ на sinθ.

        Для прямоугольного треугольника, помещенного в единичный круг в декартовой координатной плоскости, с гипотенузой, основанием и высотой, измеряющими единицы, x, y соответственно, тождества единичного круга могут быть заданы как,

        • sinθ = y / 1
        • cosθ = x / 1
        • tanθ = sinθ / cosθ = y / x
        • с (θ = 1 / x
        • csc (θ) = 1 / y
        • детская кроватка (θ) = cosθ / sinθ = x / y

        Единичный круг Пифагорейские тождества

        Три важных пифагоровых тождества тригонометрических соотношений можно легко понять и доказать с помощью единичной окружности.Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Три пифагорова тождества в тригонометрии заключаются в следующем.

        • sin 2 θ + cos 2 θ = 1
        • 1 + загар 2 θ = сек 2 θ
        • 1 + детская кроватка 2 θ = cosec 2 θ

        Здесь мы попытаемся доказать первое тождество с помощью теоремы Пифагора.Возьмем x и y в качестве катетов прямоугольного треугольника с единицей гипотенузы 1. Применяя теорему Пифагора, мы получаем x 2 + y 2 = 1, что представляет собой уравнение единичной окружности. Также в единичном круге имеем x = cosθ и y = sinθ, и применяя это в приведенном выше утверждении теоремы Пифагора, мы имеем cos 2 θ + sin 2 θ = 1. Таким образом, мы имеем успешно доказал первое тождество с помощью теоремы Пифагора. Далее в пределах единичного круга мы также можем доказать два других тождества Пифагора.

        Единичная окружность и тригонометрические значения

        Различные тригонометрические тождества и их значения главных углов могут быть вычислены с помощью единичной окружности. В единичном круге косинус является координатой x, а синус — координатой y. Давайте теперь найдем их соответствующие значения для θ = 0 ° и θ = 90º.

        Для θ = 0 ° координата x равна 1, а координата y равна 0. Следовательно, мы имеем cos0º = 1 и sin0º = 0.Давайте посмотрим на другой угол 90º. Здесь значение cos90º = 1 и sin90º = 1. Далее, давайте воспользуемся этой единичной окружностью и найдем важные значения тригонометрической функции θ, такие как 30º, 45º, 60º. Кроме того, мы также можем измерить эти значения θ в радианах. Мы знаем, что 360 ° = 2π радиан. Теперь мы можем преобразовать угловые меры в радианы и выразить их в радианах.

        Единичный круговой стол:

        Таблица единичной окружности используется для перечисления координат точек единичной окружности, соответствующих общим углам, с помощью тригонометрических соотношений.

        Угол θ Радианы Sinθ Cosθ Tanθ = Sinθ / Cosθ Координаты
        0 ° 0 0 1 0 (1, 0)
        30 ° π / 6 1/2 √3 / 2 1 / √3 (√3 / 2, 1/2)
        45 ° π / 4 1 / √2 1 / √2 1 (1 / √2, 1 / √2)
        60 ° π / 3 √3 / 2 1/2 √3 (1/2, √3 / 2)
        90 ° π / 2 1 0 undefined (0,1)

        Мы можем найти функции секанса, косеканса и котангенса, также используя следующие формулы:

        • сек θ = 1 / cosθ
        • косекунд θ = 1 / sinθ
        • cotθ = 1 / tanθ

        Мы обсудили единичный круг для первого квадранта.Точно так же мы можем расширить и найти радианы для всех квадрантов единичной окружности. Цифры 1/2, 1 / √2, √3 / 2, 0, 1 повторяются вместе со знаком во всех 4 квадрантах.

        Единичный круг в сложной плоскости

        Единичный круг состоит из всех комплексных чисел, абсолютное значение которых равно 1. Следовательно, оно имеет уравнение | z | = 1. Любое комплексное число z = x + \ (i \) y будет лежать на единичной окружности с уравнением, заданным как x 2 + y 2 = 1.

        Единичный круг можно рассматривать как единичные комплексные числа на комплексной плоскости, т.е.е., набор комплексных чисел z, заданный формой,

        z = e \ (i \) t = cos t + \ (i \) sin t = cis (t)

        Приведенное выше соотношение представляет собой формулу Эйлера.

        Часто задаваемые вопросы о Unit Circle

        Что такое единичный круг в математике?

        Единичный круг — это круг с радиусом в одну единицу. Обычно единичный круг представлен в координатной плоскости с центром в начале координат. Уравнение единичной окружности с радиусом одна единица и центром в точке (0, 0): x 2 + y 2 = 1.Кроме того, единичная окружность применяется в тригонометрии и используется для нахождения главных значений тригонометрических соотношений синуса и косинуса.

        Как найти грех и разум, используя единичный круг?

        Единичный круг можно использовать для определения значений sinθ и Cosθ. В единичном круге радиуса 1 единица и с центром в (0, 0), давайте возьмем радиус, наклоненный к положительной оси x под углом θ, и конечную точку радиуса как (x, y). Нарисуйте перпендикуляр от конца радиуса к оси x, и он образует прямоугольный треугольник с радиусом в качестве гипотенузы.Соседняя сторона этого треугольника — это значение x, противоположная сторона треугольника — значение y, а гипотенуза равна 1 единице. Далее, используя формулу тригонометрического отношения, имеем sinθ = Opp / Hyp = y / 1 и cosθ = Adj / Hyp = x / 1. Таким образом, sinθ = y и cosθ = x.

        Что такое определение триггерных функций с помощью единичной окружности?

        Тригонометрическую функцию можно вычислить для главных значений с помощью единичной окружности. Для единичного круга, имеющего центр в начале координат (0, 0), радиус 1 единицу, если радиус наклонен под углом θ и конечная точка радиус-вектора равна (x, y), то cosθ = x и sinθ = y.Кроме того, все остальные тригонометрические отношения могут быть рассчитаны на основе этих двух значений. Кроме того, основные значения можно вычислить, изменив значение θ.

        Как найти конечную точку на единичной окружности?

        Конечная точка на единичной окружности может быть найдена с помощью уравнения единичной окружности x 2 + y 2 = 1. Если данная точка удовлетворяет этому уравнению, то это точка, лежащая на единичной окружности. . Кроме того, конечную точку на единичном значении можно найти для значения θ, найдя значения cosθ и sinθ.

        Что такое уравнение единичной окружности?

        Уравнение единичной окружности: x 2 + y 2 = 1. Здесь считается, что единичная окружность имеет центр в начале (0, 0) координатных осей и имеет радиус 1. Блок. Это уравнение единичной окружности было получено с помощью формулы расстояния.

        Как вывести уравнение единичной окружности?

        Уравнение единичной окружности может быть вычислено с использованием формулы расстояния координатной геометрии.Для круга, имеющего центр в начале координат (0, 0), радиус 1 единицу, любая точка на окружности может быть принята как (x, y). Применяя определение круга и используя формулу расстояния, мы имеем (x — 0) 2 + (y — 0) 2 = 1, что можно упростить как x 2 + y 2 = 1

        Когда загар не определяется на единичном круге?

        Единичный круг, имеющий уравнение x 2 + y 2 = 1, помогает найти тригонометрические отношения sinθ = y и cosθ = x.Используя эти значения, мы можем удобно найти значение tanθ = sinθ / cosθ = y / x. Tanθ будет неопределенным для cosθ = 0, т.е. когда θ равно 90 ° и 270 °.

        Какая связь между прямоугольными треугольниками и единичной окружностью?

        Правые треугольники и единичная окружность однозначно связаны. Любую точку на единичном круге можно представить как прямоугольный треугольник с радиусом как гипотенузу прямоугольного треугольника и координаты точки как две другие стороны прямоугольного треугольника.Уравнение окружности x 2 + y 2 = 1 полностью удовлетворяет теореме Пифагора, относящейся к прямоугольному треугольнику. Кроме того, прямоугольный треугольник внутри единичного круга помогает получить значения тригонометрического отношения.

        Для чего используется единичный круг?

        Единичный круг особенно полезен в тригонометрии. Для тригонометрических соотношений sinθ, cosθ, tanθ их значения главных углов 0º, 30º, 45º, 60º, 90º могут быть легко вычислены с использованием единичной окружности.Кроме того, единичный круг полезен для представления комплексных чисел на плоскости арганда.

        Каковы квадранты единичного круга?

        Единичный круг состоит из четырех квадрантов, аналогичных квадрантам в системе координат. Четыре квадранта имеют равную площадь и составляют одну четвертую площади круга. Каждый из квадрантов образует угол 90 ° или прямой угол в центре круга.

        Как описать единичный круг комплексными числами?

        Единичный круг состоит из всех комплексных чисел с абсолютным значением как 1, таким образом, любое комплексное число z = x + \ (i \) y будет лежать на единичном круге с уравнением, заданным как x 2 + y 2 = 1 .Следовательно, уравнение единичной окружности можно представить как | z | = 1.

        10 секретных триггерных функций, которым вас никогда не учили учителя математики

        В понедельник The Onion сообщил, что «национальные учителя математики вводят 27 новых триггерных функций». Это забавное чтение. Гамсин, негтан и cosvnx из статьи о Луке вымышлены, но в этой статье есть доля правды: есть 10 секретных триггерных функций, о которых вы никогда не слышали, и у них есть восхитительные названия, такие как «гаверсинус» и «эксеканс».

        Диаграмма с единичным кругом и большим количеством триггерных функций, чем вы можете потрясти палкой.(Хорошо известно, что вы можете встряхнуть палку максимум при 8 триггерных функциях.) Знакомые синус, косинус и тангенс выделены красным, синим и, ну, желтовато-коричневым, соответственно. Версин выделен зеленым рядом с косинусом, а эксеканс розовым справа от версина. Excosecant и coverine также присутствуют на изображении. Не изображены: веркозин, кверкозин и хавер — что угодно. Изображение: Лиманер и Стивен Джонсон, через Wikimedia Commons.

        Хотите ли вы мучить студентов с ними или вовлечь их в разговор, чтобы показаться эрудированным и / или невыносимым, вот определения всех «потерянных триггерных функций» , которые я нашел в своем исчерпывающем исследовании оригинальных исторических текстов Википедия рассказала я о.

        Версия: версия (θ) = 1-cos (θ)
        Веркозин: веркозин (θ) = 1 + cos (θ)
        Coversine: охватывает (θ) = 1-sin (θ)
        Covercosine: covercosine (θ) = 1 + sin (θ)
        . Гаверсин: гаверсин (θ) = версен (θ) / 2
        Хаверкозин: хаверкозин (θ) = веркозин (θ) / 2
        Хаковерсин: hacoversin (θ) = Coversin (θ) / 2
        Гаковеркозин: гаковеркозин (θ) = кверкозин (θ) / 2
        Exsecant: exsec (θ) = sec (θ) -1
        Excosecant: excsc (θ) = csc (θ) -1

        Должен признаться, я был немного разочарован, когда посмотрел на них.Все они представляют собой простые комбинации дорогого старого синуса и косинуса. Почему они вообще получили имена ?! Из того места и времени, когда я могу сидеть на диване и почти мгновенно находить синус любого угла с точностью до 100 десятичных знаков с помощью онлайн-калькулятора, в Версине нет необходимости. Но эти, казалось бы, лишние функции восполнили потребности в мире предварительных калькуляторов.

        Numberphile недавно опубликовал видео о таблицах журналов, в котором объясняется, как люди использовали логарифмы для умножения больших чисел в темные дни, когда еще не было калькулятора.Во-первых, напомню о логарифмах. Уравнение log b x = y означает, что b y = x. Например, 10 2 = 100, поэтому log 10 100 = 2. Полезный факт о логарифмах заключается в том, что log b (c × d) = log b c + log b d. Другими словами, логарифмы превращают умножение в сложение. Если вы хотите умножить два числа вместе с помощью таблицы журнала, вы должны найти логарифм обоих чисел, а затем сложить логарифмы. Затем вы должны использовать свою таблицу журнала, чтобы узнать, какое число имеет этот логарифм, и это был ваш ответ.Сейчас это звучит громоздко, но умножение вручную требует гораздо больше операций, чем сложение. Когда каждая операция занимает нетривиальное количество времени (и подвержена нетривиальному количеству ошибок), процедура, позволяющая преобразовать умножение в сложение, в реальном времени экономит время и помогает повысить точность.

        Секретные триггерные функции, такие как логарифмы, упрощают вычисления. Чаще всего использовались версин и гаверсин. Вблизи угла θ = 0 cos (θ) очень близко к 1.Если вы выполняли вычисление, в котором было 1-cos (θ), ваше вычисление могло бы быть разрушено, если в вашей таблице косинусов не было достаточно значащих цифр. Для иллюстрации косинус 5 градусов равен 0,996194698, а косинус 1 градуса равен 0,999847695. Разница cos (1 °) -cos (5 °) составляет 0,003652997. Если бы у вас было три значащих цифры в вашей таблице косинусов, вы бы получили только одну значащую цифру в своем ответе из-за ведущих нулей в разнице. А таблица только с тремя значащими цифрами точности не сможет различить углы 0 и 1 градус.Во многих случаях это не имеет значения, но может стать проблемой, если ошибки накапливаются в ходе вычислений.

        Бонусные триггерные функции также имеют то преимущество, что они никогда не бывают отрицательными. Версина находится в диапазоне от 0 до 2, поэтому, если вы используете таблицы журнала для умножения на версину, вам не нужно беспокоиться о том, что логарифм не определен для отрицательных чисел. (Он также не определен для 0, но с этим легко иметь дело.) Еще одно преимущество версин и гаверсин состоит в том, что они могут удерживать вас от необходимости что-то возводить в квадрат.Немного тригонометрического волшебства (также известного как запоминание одной из бесконечного списка тригонометрических формул, которые вы выучили в старшей школе) показывает, что 1-cos (θ) = 2sin 2 (θ / 2). Таким образом, гаверсинус — это просто грех 2 (θ / 2). Точно так же гаверкозин равен cos 2 (θ / 2). Если у вас есть вычисление с использованием квадрата синуса или косинуса, вы можете использовать таблицу гаверсинусов или гаверсинусов, и вам не нужно возводить в квадрат или извлекать квадратные корни.

        Диаграмма, показывающая синус, косинус и версию угла.Изображение: Qef и Стивен Дж. Джонсон, через Wikimedia Commons.

        Версина — это довольно очевидная триггерная функция для определения и, кажется, использовалась еще в 400 г. н.э. в Индии. Но гаверсинус мог быть более важным в более недавней истории, когда он использовался в навигации. Формула гаверсинуса — очень точный способ вычисления расстояний между двумя точками на поверхности сферы с использованием широты и долготы этих двух точек. Формула гаверсинуса — это переформулировка сферического закона косинусов, но формулировка в терминах гаверсинусов более полезна для малых углов и расстояний.(С другой стороны, формула гаверсинуса не очень хорошо справляется с углами, близкими к 90 градусам, но сферический закон косинусов справляется с этим хорошо.) Формула гаверсинуса может дать точные результаты, не требуя дорогостоящих вычислений. квадраты и квадратные корни. Еще в 1984 году любительский астрономический журнал Sky & Telescope восхвалял формулу гаверсинуса, которая полезна не только для наземной навигации, но и для астрономических расчетов.Чтобы узнать больше о формуле гаверсинуса и вычислении расстояний на сфере, ознакомьтесь с этой архивной копией страницы бюро переписи или этой статьей «Спросите доктора Матема».

        У меня не так много информации об истории других триггерных функций в списке. Все они могут сделать вычисления более точными вблизи определенных углов, но я не знаю, какие из них обычно использовались, а какие назывались * аналогично другим функциям, но редко использовались на самом деле. Мне любопытно об этом, если кто-нибудь знает больше о предмете.

        Когда Луковица имитирует реальную жизнь, это обычно трагично. Но в случае секретных триггерных функций суть правды в Луке меня не огорчила. Нам очень повезло, что теперь мы можем так легко умножать, возводить в квадрат и извлекать квадратные корни, а наши калькуляторы могут хранить точную информацию о синусах, косинусах и тангенсах углов, но прежде чем мы смогли это сделать, мы придумали работу -округ в виде смешного количества триггерных функций. Легко забыть, что люди, которые их определили, не были садистскими учителями математики, которые хотят, чтобы люди запоминали странные функции без всякой причины.Эти функции фактически сделали вычисления более быстрыми и менее подверженными ошибкам. Теперь, когда компьютеры стали настолько мощными, привычка к дискетам улетучилась. Но я думаю, мы все можем согласиться с тем, что он должен вернуться, хотя бы из-за «классной» шутки, которую я придумал, когда засыпал прошлой ночью: Хаверсин? Я даже не знаю!

        * Я хотел бы сделать здесь небольшое отступление в мир математических префиксов, но это может быть не для всех. Вас предупредили.

        В таблице секретных триггерных функций «ха» явно означает половину; Например, ценность гаверсина составляет половину стоимости версина.«Со» означает выполнение той же функции, но с дополнительным углом. (Дополнительные углы в сумме составляют 90 градусов. В прямоугольном треугольнике два непрямых угла дополняют друг друга.) Например, косинус угла также является синусом дополнительного угла. Точно так же крышка — это версия дополнительного угла, как вы можете видеть голубым цветом над одним из красных синусов на диаграмме вверху сообщения.

        Одна бонусная триггерная функция, которая меня немного смущает, — это веркосинус.Если бы «со» в этом определении означало дополнительный угол, тогда веркозинус был бы таким же, как покрывающий, а это не так. Вместо этого веркосинус — это версия дополнительного угла (дополнительные углы в сумме составляют 180 градусов), а не дополнительный. В дополнение к определениям как 1-cos (θ) и 1 + cos (θ), версин и веркозин могут быть определены как versin (θ) = 2sin 2 (θ / 2) и vercos (θ) = 2cos . 2 (θ / 2). В случае версины я считаю, что определение, включающее cos (θ), старше, чем определение, включающее синус в квадрате.Я предполагаю, что веркосинус был более поздним термином, аналогом определения квадрата синуса версина с использованием вместо него косинуса. Если вы любитель истории тригонометрии и у вас есть дополнительная информация, дайте мне знать! В любом случае таблица суперсекретных триггерных функций бонусов — забавное упражнение для выяснения того, что означают префиксы.

        Использование единичных окружностей для соотнесения прямоугольных треугольников с синусом и косинусом — стенограмма видео и урока

        Прямоугольники и треугольник

        Прямоугольники — треугольники с одним прямым углом.Все любят прямоугольные треугольники, правда? Что в них такого хорошего? Помимо прочего, они обладают уникальными тригонометрическими свойствами.

        Если мы посмотрим на этот угол, тэта, ниже, мы можем обозначить стороны относительно тэты. Сторона, противоположная тэте, это … подождите … противоположная сторона. Соседняя сторона — да — соседняя сторона. И еще есть гипотенуза, самая длинная сторона.

        Стороны прямоугольного треугольника можно обозначить в зависимости от угла тета.

        Три основных тригонометрических функции — это синус, косинус и тангенс.Синус теты равен противоположности гипотенузы. Косинус теты равен смежному по гипотенузе. Наконец, касательная тета равна противоположной по соседнему. Мы сокращаем это до фразы SOH CAH TOA .

        Но знаете ли вы, что прямоугольные треугольники соединены с окружностями? Ну, не просто круг. Я имею в виду единичный круг.

        Единичная окружность

        Единичная окружность — один из волшебных математических инструментов, которые облегчают вашу жизнь.Что особенно хорошо в единичном круге, так это его простота. Это просто круг с радиусом 1.

        Чем он полезен? Нарисуем. Начните с базовой оси x и y . Теперь добавьте круг с центром в начале координат. Опять же, радиус круга равен 1.

        Единичный круг

        Здесь немного волшебства. Но этот потрясающий ураган только начинается.

        Если наша линия радиуса находится здесь (показано ниже), и мы проведем здесь еще одну линию до оси x (также показано ниже), мы получим что? Прямоугольный треугольник.

        Правый треугольник в единичном круге

        Мы будем называть угол выше тета. А гипотенуза треугольника равна 1. Теперь вернемся к нашему триггеру.

        Синус и косинус

        Что такое синус теты снова? Помните SOH CAH TOA . Синус противоположен гипотенузе. Итак, синус теты — это сторона гипотенузы. Но подождите — если гипотенуза равна 1, то синус теты равен любой длине.Итак, мы можем назвать эту ногу ниже синуса.

        А что насчет косинуса? Косинус — это сторона, прилегающая к гипотенузе. Итак, это сторона над единицей или только эта сторона:

        Это означает, что точка в желтой точке, где радиус достигает края круга, может быть идентифицирована как (cos (theta), sin (theta)). Итак, наша бабочка прямоугольного треугольника взмахнула крыльями, образуя синус и косинус.И этот ветер добрался до нашей единичной окружности, где снова появляются те же синус и косинус. Наш ураган потрясающих возможностей сейчас действительно уходит.

        Треугольники единичной окружности

        Давайте посмотрим на это вращение урагана (смотрите видео, начинающееся в 03:32). Независимо от того, куда мы перемещаем нашу линию радиуса, она все равно попадает в край нашего единичного круга в точке (cos (theta), sin (theta)). Когда он движется, значения косинуса тета и синус тета просто изменяются вместе с изменением теты.

        Здесь тета равна 0:

        Это действительно не треугольник, но принцип неизменен. Косинус-тета — это все еще расстояние от начала координат до желтой точки, поэтому косинус-тета равен 1. А как насчет синус-тета? Поскольку это похоже на треугольник, где сторона, противоположная тэте, равна 0, тогда синус тэта равен 0.

        Что, если мы переместим тэту на 90 градусов? Теперь косинус тета равен 0, а синус тета равен 1.

        Когда мы переходим во второй квадрант, косинус тета становится отрицательным.Почему? Наши значения x отрицательны. Синус тета остается положительным, пока мы не дойдем до квадрантов III и IV. Но в квадранте IV косинус снова становится положительным. Все это основано на наших значениях x и y .

        Итак, ветер из прямоугольного треугольника всегда является частью урагана с единичным кругом. Он может дуть на север, восток, юг или запад, но все взаимосвязано.

        Краткое содержание урока

        В итоге нам удалось связать бабочек и ураганы с принцессой Лейей и тригонометрией.Что еще более важно, мы рассмотрели связи между прямоугольными треугольниками, единичной окружностью и синусом и косинусом.

        Прямые треугольники — это треугольники с одним прямым углом. В прямоугольном треугольнике синус угла равен стороне, противоположной гипотенузе. Косинус равен стороне, прилегающей к гипотенузе.

        На единичной окружности мы можем создать прямоугольный треугольник, добавив радиусную линию и соединив ее с осью x . Поскольку радиус единичного круга равен единице, гипотенуза этих треугольников также равна единице.Это означает, что синус угла, образованного радиусом и осью x , равен любой длине здесь:

        И косинус равен любой длине здесь:

        Результаты обучения

        После этого урока вы должны уметь:

        • Объяснять полезность единичного круга
        • Опишите, как создать прямоугольный треугольник на единичной окружности
        • Определите синус, косинус и тангенс с помощью единичной окружности и прямоугольного треугольника
        .
        1 … 3 207 3 208 3 209 3 210 3 211 … 3 230

        © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

        Карта сайта