Проверить билет Спортлото по номеру билета (Онлайн)
Внимание! Номер билета начинается с 999, 000 или номера тиража (пример: 430, 1376, 286) и всегда является двенадцатизначным.
Нажмите, если проверка по номеру не работает.
Результаты тиражей за 18.07.2021
В данном разделе сайта вы сможете проверить ваш лотерейный билет на наличие выигрыша в таких телевизионных лотереях как: Русское лото, Жилищная лотерея, Золотая подкова, лотереи 6 из 36, Спортлото 4 из 20. Также доступна проверка билетов числовых лотерей: Спортлото 5 из 36, Спортлото 6 из 45, Спортлото 7 из 49, Рапидо, Спортлото, Кено, Прикуп и Дуэль.
Проверить билеты воскресных тиражей лотерей: Золотая подкова, Футбольной лотереи 6 из 36, Русское лото, Жилищная лотерея, Спортлото 4 из 20 по номеру можно не ранее 10-20 по московскому времени, в день проведения розыгрыша, далее в любое время. Что бы не ждать, рекомендуем вам проверить билет по тиражной таблице, так как для воскресных тиражей таблицы и видеозаписи публикуются каждое воскресенье до 3 часов ночи.
Также для вас доступны возможности: проверить билет Русское лото, одной из самых популярных лотерей России, проверить билет Жилищная лотерея, которая помогает решить жилищные проблемы, проверить билет Золотая подкова, самой выигрышной среди бинго-лотерей, и, наконец, проверить билет Футбольная лотерея 6 из 36, в которой можно стать миллионером, угадав все шесть чисел выигрышной комбинации.
Как проверить лотерейный билет
Выбрать лотерею
Ввести номер тиража
Ввести номер билета.
Нажать кнопку «Проверить билет»
Затем появится информация о размере вашего выигрыша или о его отсутствии.
Желаем удачи!
Проверка билетов новых тиражей по номеру билета всегда стартует с 10:20 воскресенья, поэтому предлагаем воспользоваться проверкой по числам, которая становится доступной с 2:30 ночи (МСК) воскресенья. Выберите нужную лотерею, в расположенном ниже списке.
Проверить билет спортлото 6 из 49 по номеру комбинации и таблице тиража
Популярная лотерея спортлото 6 из 49, проводимая в поддержку Олимпийских, Паралимпийских игр, является уникальной в своем роде и очень прибыльной лотереей. Проверить билет спортлото 6 из 49 есть возможность несколькими способами.
Нужно сказать, что розыгрыши этой спортивной лотереи происходят во вторник, субботу и четверг в восемь вечера по московскому времени. Кроме того, проверить свой билет можно, купив в киоске газету «Советский спорт», которая выходит по средам, или обратившись в пункты распространения лотерей. Также есть возможность позвонить по номеру (495) 980-8366. Однако, нужно учесть, что звонок платный.
Моментальная проверка
На нашем сайте вы сможете за несколько секунд посмотреть последние тиражи и таблицы выигрышей спортлото 6 из 49. Для этого вам необходимо зайти в соответствующий раздел лотереи, ввести номер и тираж билета и после этого нажать кнопку «Проверить». Кроме того, на нашем сайте спортлото 6 из 49 проверить билет можно по комбинации, указав тираж и комбинацию в соответствующем подразделе.
Стоит сказать, что у нас на портале доступен полный архив тиражей лотереи 6 из 49, используя который также возможно произвести проверку своего билета. Также эту информацию можно использовать в качестве статистики для составления своих расчетов выигрышных комбинаций, что в несколько раз повысит вероятность заработать джек-пот.
Глядя на вышесказанное, можно смело утверждать, что оптимальный способ проверки билетов спортлото 6 из 49 – это онлайн проверка на нашем сайте. Теперь нет необходимости бегать по киоскам в поисках газет, ждать выхода в эфир телепередачи или звонить на платный номер. Можно просто загрузить компьютер, зайти к нам на сайт и воспользоваться совершенно бесплатным и удобным сервисом проверки билетов лотерей. Такая же система пригодится, чтобы проверить билеты лотереи РЖД — все так же бесплатно!
Информация у нас на сайте обновляется практически сразу после проведения розыгрышей в прямом эфире. Поэтому вам будут доступны наиболее актуальные данные, которые вы сможете просмотреть и использовать в любое время, какое вам будет удобно.
Играйте в спортивную лотерею 6 из 49. Благодаря этому вы не только поддерживаете спортсменов, но и обеспечиваете себе хорошую возможность заработать неплохой выигрыш. А теперь вы еще знаете, что играя в лотерею спортлото 6 из 49, проверить билет по номеру очень легко, также как и проверить билеты русского лото 6 из 36. Желаем вам удачи и солидных выигрышей.
Результаты розыгрыша последнего тиража гослото 6 из 45. Как проверить лотерейный билет
Главные лотереи страны
Если Вы являетесь обладателем лотерейного билета «6 из 45», тираж которого был разыгран несколько дней назад, проверить такой билет Вы сможете на официальном сайте Столото. Такая возможность предоставляется и на другие виды лотерей Столото: «Русское лото», «Гослото «5 из 36», «Гослото «4 из 20», «Гослото «7 из 49», «Спортлото 6 из 49», «КЕНО-Спортлото», «Рапидо», «12/24», «Топ-3», «Дуэль», «Прикуп», «Жилищная лотерея», «Золотая подкова», «6 из 36» и моментальные лотереи Спортлото.
Все виды лотерей Столото
Чтобы проверить лотерейный билет разыгранного тиража, Вам необходимо воспользоваться возможностями сайта. Для этого первоначально перейдите на сайт по следующему интернет-адресу: www.stoloto.ru. Воспользоваться сайтом может любой желающий в удобное время суток и абсолютно бесплатно. очень прост в использовании, с ним может справиться даже не совсем уверенный пользователь. Итак, для проверки билета «6 из 45» Вам потребуется на главной странице сайта найти соответствующую иконку и кликнуть по ней.
Переход к лотерее Столото 6 из 45
После чего откроется новая страница сайта, где Вы сможете воспользоваться следующими вкладками: о лотерее, купить билет, правила, где купить, архив тиражей, проверить билет, победители.
Вкладки для получения информации о лотерее 6 из 45
Столото «6 из 45» архив тиражей предоставляет информацию обо всех тиражах, которые ранее разыгрывались. С помощью вкладки «Архив тиражей» Вы сможете узнать информацию о выигрыше своего лотерейного билета. В данной кладке можно получить информацию о лотерейном билете двумя способами: по дате либо тиражу. Если Вы хотите осуществить поиск по дате, тогда Вам потребуется задать диапазон дат, в котором будет присутствовать дата проведения тиража Вашего лотерейного билета. После чего компьютер предоставит Вам список всех тиражей, которые проводились в заданном диапазоне, а также выигрышную комбинацию каждого тиража и размер суперприза.
Архив тиражей 6 из 45
Если Вам удобнее осуществлять поиск по тиражу, тогда Вам необходимо задать определенный диапазон тиражей, в котором будет присутствовать тираж Вашего лотерейного билета. После чего компьютер предоставит Вам список всех тиражей, которые проводились в заданном диапазоне, а также выигрышную комбинацию каждого тиража и размер суперприза. То есть как Вы видите результаты поиска всегда будут одинаковы, не зависимо от способа поиска. Проверить билет Вы сможете не только с помощью архива, для этого можно также воспользоваться вкладкой «Проверить билет». Перейдя по данной вкладке, Вы сможете проверить Ваш билет и узнать размер выигрыша. Проверить свой билет вы можете двумя способами: по номеру билета, по комбинации. Если Вы хотите быстро проверить свой лотерейный билет, тогда воспользуйтесь способом, который позволяет осуществить проверку по номеру билета. Для этого Вам понадобится указать в соответствующих полях номер стартового тиража и номер билета. После ввода данной информации, нужно кликнуть по кнопке «Проверить». Этот способ самый простой и предоставляет только информацию по Вашему билету. Если же Вас интересует какой стала призовая комбинация в определенном тираже, тогда лучше воспользоваться способом, который позволяет проверить лотерейный билет «Гослото «6 из 45» по комбинации. В данном случаи Вам необходимо указать стартовый тираж и выбранную комбинацию. После ввода данной информации, нужно кликнуть по кнопке «Проверить».
Проверить билет 6 из 45
Хотелось бы Вам напомнить правила игры в лотерее «Гослото «6 из 45». Всего в лотерейном билете имеется шесть игровых полей. В игре может участвовать только тот лотерейный билет, в котором заполнено игровое поле. Для заполнения игрового поля, Вам необходимо по желанию выбрать разные 6 чисел. Можно также выбрать и больше, чем 6 чисел, но это уже будет считать развернутая ставка и билет будет стоить дороже. Делая развернутую ставку, Вы автоматически увеличиваете свои шансы на победу. Увеличив свои шансы на победу, Вы одновременно увеличиваете сумму потенциального выигрыша, а также и стоимость ставки. Если Вы играете в режиме онлайн, тогда Вам предоставляется возможность отметить на одном игровом поле до 13 чисел, а это получается 1716 игровых комбинаций. Если Вы отмечаете числа в бумажном купоне, тогда Вы сможете отметить максимум до 19 чисел в одном игровом поле, а это составляет 27 132 игровых комбинации. Зная правила игры, Вы можете смело приобретать лотерейный билет и принимать участие в розыгрыше, а как проверить свой билет, Вы уже знаете.
Искать по: годам
: При клике на эту выборку появляется список годов проведения тиражей.
Кликаем на интересный нам год и в таблице результатов ниже мы увидим все проведённые тиражи за этот год:
Искать по: датам
: При клике на эту выборку появятся два окошка для указания интервала дат проведения тиражей. В первое окошко — «С:» вписываем или вставляем ту дату, начиная с которой Вы хотели бы посмотреть тиражи, во второе — «По:»
вписываем или вставляем дату, по которую включительно будут показываться тиражи в таблице результатов ниже. В первом окошке указываем более раннюю дату,
а во втором — более позднюю дату проведения тиражей гослото Столото.
Искать по: тиражам
: При клике на эту выборку появятся два окошка для указания интервала тиражей. В первое окошко — «От:» вписываем тираж, начиная с которого Вы хотели бы посмотреть результаты, во второе — «До:»
вписываем тираж, до которого включительно будут показываться результаты поиска в таблице тиражей ниже. В первом окошке указываем более ранний по времени тираж,
а во втором — более поздний тираж проведения игры гослото Столото. Если же окошки остаются пустыми, то осуществляется показ
всего архива тиражей за все время проведения игры.
Чтобы распределить номера комбинаций не в порядке выпадения номеров во время проведения тиража, а по возрастанию, нужно поставить галочку рядом с фразой — Номера — по возрастанию
.
Чтобы выделить номера, которые Вы желаете увидеть и отследить их движение из тиража в тираж, впишите или вставьте их в окошки рядом с фразой — Подсвечивать номера
.
Если Вы захотите вставить в окошки подсветки номера комбинации последнего проведенного тиража, то нажмите на кнопку — Последний тираж, также можно сгенерировать и вставить комбинацию, нажав на кнопку — Сгенерировать.
Описание дополнительных столбцов в таблице архива тиражей.
Столбец Чётных показывает количество чётных номеров выпавших в определенной комбинации. Столбец Нечётных показывает количество, соответственно, нечётных номеров выпавших в определенной комбинации. В столбце Сумма номеров расчитывается и высвечивается сумма всех номеров определенной комбинации. Например, архив 5 из 36, тираж №7240, номера: 34, 09, 12, 21, 30. Складываем и получаем сумму номеров 34+9+12+21+30 = 106. И, наконец, последние столбцы 1-10, 11-20, 21-30, 31-36 для архива 5 из 36, 1-10, 11-20, 21-30, 31-40, 41-45 для архива 6 из 45, 1-10, 11-20, 21-30, 31-40, 41-49 для архива 7 из 49 показывают сколько номеров попало в определенный десяток номеров. Рассмотрим это на примере номеров того же тиража №7240,
комбинация: 34 09 12 21 30. В столбец 1-10 попадает 1 число — 9, в столбец 11-20 тоже попадает 1 число — 12, в столбец 21-30 попадает уже 2 числа — 21 и 30 в столбец 31-36 попадает 1 число — 34.
Если вы делаете много ставок на тираж «Гослото 6 из 45» или же если вы делаете развернутые ставки, то быстро проверить такие билеты, просто смотря розыгрыш, бывает затруднительно. Специально для таких случаев мы на сайте «Лотопобеда» разработали для вас автоматическую проверку билета лотереи «Гослото 6 из 45» по его номеру.
Проверить билет любого состоявшегося тиража этим способом не вызывает затруднений. На этой странице вы можете найти форму проверки билетов. Просто заполните в ней два поля: в первое введите номер интересующего вас тиража, а во второе – номер вашего билета. Нажмите кнопку «Проверить» и в течение секунды получите результат. Он отобразится ниже формы.
Как заполнить форму проверки билета лотереи Гослото 6 из 45?
В качестве номеров тиража и билета вводите только цифры. Вы можете найти их на вашем билете. Если вы хотите проверить несколько билетов, это нужно делать последовательно, каждый раз вводя номер следующего билета и проверяя его. Вводить сразу несколько номеров (через пробел, запятую или другие разделители) НЕЛЬЗЯ. Это же относится и к номеру тиража.
Наша проверка билетов на 100% точная, так как работает по тому же принципу, что и проверка в официальных точках продаж. Мы получаем данные о выигрышах напрямую от «Столото».
Дорогие друзья, играйте в «Гослото 6 из 45», проверяйте билеты, выигрывайте призы и получайте от игры в лотерею только приятные эмоции!
Для тех кто регулярно играет в лотереи Гослото 6 из 45, 5 из 36, 4 из 20 или 7 из 49, наверное очень важно узнать, как выиграть в Гослото. Наверное, вам приходилось , вы видели счастливые лица победителей и думали при этом: «Умеют же некоторые не просто играть, а выигрывать!» Что помогает людям выиграть, какой должен быть настрой, стечение обстоятельств? Что необходимо для выигрыша: математический расчет или банальное везение?
В этой статье вы узнаете, как найти лучшие комбинации, какие есть секреты, как воспользоваться системой генератора выигрышных чисел.
Гослото 6 из 45, 4 из 20, 5 из 36, 7 из 49
Как скомбинировать цифры, какие приемы и знания нужно применить, чтобы спрогнозировать крупный выигрыш. Конечно, маленькие суммы не идут в расчет, их можно выиграть достаточно легко. Но когда на кону Джекпот или автомобиль, шикарная квартира или большая сумма денег, то желание принять участие в лотерее Гослото и получить приз возрастает многократно.
Четыре варианта Гослото притягивают внимание тех, кто не разуверился в своей удаче, для тех, кто хочет рискнуть, чтобы получить сразу и много. Также лотерея является отличным средством развлечься, так почему бы не испытать себя? Лотерея 6 из 45 считается самой популярной, потому что играть в нее можно два раза в сутки в 11 утра и в 23 вечера. Вы можете следить за игрой в прямом эфире на официальном сайте Гослото. Призовой фонд здесь один из самых высоких по стране.
В интернете вы найдете много информации о том, как выиграть в лотерее Гослото, как нужно настроиться, как правильно подобрать выигрышную комбинацию цифр. Но чтобы вам действительно повезло, необходимо знать несколько правил, которые помогут вам. Мы провели опрос среди тех, кто уже выиграл, они поделились своими эмоциями и рассказали о том, какие приемы помогли им получить крупные суммы денег.
Секреты, как выиграть Джекпот в Гослото 6 из 45
Вот отзывы участников опроса, которые лучше остальных знают, что действительно им помогло, как притянуть удачу и не просто играть, а выигрывать.
Узнайте, как нужно не просто играть, а выигрывать. Здесь вы найдете советы от победителей Гослото:
не стоит делиться своими внутренними ощущениями ни с кем. Удача не любит обсуждений. Вы только рассеете положительную энергию, которую нужно наоборот, накапливать в себе. Лучше всего даже не говорить никому о том, что вы купили билет. Расскажете потом, если выиграете. Ну а если не повезет, то меньше расстроитесь и не увидите насмешливых взглядов, которые блокируют ваше подсознание и не позволят вам настроиться на выигрыш в следующий раз;
проверяйте часто выпадающие числа, которые публикуются на самом сайте stoloto.ru Здесь подобраны цифры, которые выигрывают чаще остальных. Это очень полезная информация, которая поможет вам выиграть;
не зацикливайтесь только на первых числах. Многие выбирают цифры, которые содержатся в их датах рождения. А это обычно числа от 1 до 31. Сравните даже со статистикой, которая приведена выше: наиболее часто выпадает число 44, 43, 38. Т.е., если вы будете обходить эти цифры только потому, что родились 31 числа, то удача обойдет вас стороной;
очень важно относиться к лотерее, как к игре. Это совет практически всех участников опроса. Если вы будете переживать, волноваться, расстраиваться о проигрыше, то ничего не выйдет. Удача любит веселых и приходит к тому, кто легко относится к потерям;
не тратьте на билет последние деньги. Вы не должны зависеть от выигрыша и рисковать всем, что имеете. Помните поговорку: «Деньги идут к деньгам» Так вот, в случае с выигрышем этот принцип работает на 100%. У вас в кармане или в кошельке должна быть такая сумма денег, которая позволит вам оставаться радостным и спокойным в случае неудачи. Деньги должны притягивать выигрыш, потому что тот, у кого они есть, сумеет правильно ими распорядиться;
энергетика денег хоть и не заметна, но она определенно существует. Также, как мы не можем увидеть электрический ток, но никто ведь не отрицает, что он есть. Деньги не любят тех, кто их боится, кто отзывается о них негативно, кто с детства использует такие фразы, как: «Деньги — это зло», «Деньги все портят», «Все проблемы из-за денег» и пр. Повторяя это, вы тем самым убеждаете свое подсознание в этом и отталкиваете удачу. Поработайте над своими мыслями в этом направлении;
играйте регулярно, выделяя некоторую часть бюджета на лотерейные билеты. Один-два раза не помогут вам выиграть. Не огорчайтесь проигрышам, ведь каждый новый проигрыш приближает вас к действительно значимому выигрышу. По статистике, редко выигрывают те, кто играет всего несколько раз в жизни;
планируйте, на что потратите деньги. Они приходят к тем, кто знает, как ими распорядиться. Визуализируйте выигрыш, представляйте, как деньги входят в вашу жизнь, наполняют ваши карманы, представляйте себя счастливыми среди обилия денег.
Гослото 5 из 36 система генератор выигрышных чисел
Чтобы выиграть в Гослото 5 из 36, можно использовать все предыдущие советы. Но есть и еще несколько техник, которые используют люди, которые умеют использовать свою интуицию. Приходилось ли вам удивляться, что некоторые вещи вы можете предвидеть заранее? Сумели ли вы хоть раз в жизни избежать неприятности, получив некий знак? Умение распознавать эти знаки является залогом того, что вы подружились со своим подсознанием и пользуетесь интуитивными подсказками. Продолжайте развивать этот дар, чтобы выигрывать в лотереях и в получать бонусы от жизни.
Многие, которые уже выиграли, рассказывают, что накануне покупки лотерейного билета стараются медитировать, представлять себе выигрышное поле, считывать цифры, которые появляются в уме в виде подсказок. Это можно делать перед сном или просто погружаясь в себя.
Посмотрите архивы тиражей Гослото за 2017 и 2018 годы, проведите анализ, стараясь понять, как расположены цифры, какие комбинации чисел наиболее часто выигрывают.
Вот статистика за последние тиражи Гослото в 2018 году:
Обратите внимание, что в большинстве случаев выигрышными становятся числа, которые расположены не подряд. Из каждой десятки встречается одна или две цифры. Постарайтесь найти некую закономерность, которая прослеживается в комбинациях чисел.
И еще несколько советов:
никогда не выбирайте только четные или только нечетные числа. Старайтесь сочетать их между собой.
Распределяйте цифры равномерно по полю лотерейного билета. Очень редко они располагаются только в одной части.
Покупайте сразу несколько билетов, чтобы увеличить свои шансы на выигрыш.
И помните: везет только тем, кто верит в удачу! Сначала нужно поверить в то, что вы вполне можете стать обладателем большого денежного приза, а затем купить билет Гослото!
Программа передач телеканала Беларусь 2
Среда 14 июля
06:00 «Включайся!» Утреннее шоу (12+)
09:00 Телебарометр
09:05 Сериал «Слепая» (16+)
10:05 «Экстрасенсы-детективы». Реалити-шоу (16+)
11:05 Детективный сериал «Трюфельный пес королевы Джованны» (16+)
13:00 «На неделю». Кулинарное шоу (16+)
13:55 Камень, ножницы, бумага (16+)
14:30 «Орел и Решка. Перезагрузка. Америка». Тревел-шоу (16+)
15:30 Анимационный сериал «Тимон и Пумба» (0+)
15:55 Ничего себе ньюз (12+)
16:00 «ПИН_КОД». Интерактивный молодежный проект (12+)
16:55 Телебарометр
17:00 «Клон». Мелодраматический сериал (16+)
17:50 «Когда мы дома 2». Скетчком (16+)
18:15 Детективный сериал «Трюфельный пес королевы Джованны». Заключительные серии (16+)
Sportloto 6 из 49 Последняя проверка тиража. Официальная лотерея «Столото
».
Приятные ожидания
Оценка: 4
Очень удобная процедура покупки билета в интернете, плачущие 50 рублей с киви-кошельком. В выходные сижу перед телевизором и жду выигрыша. Я отдаю предпочтение государственной лотерее, поэтому надежно. Я хочу побеждать, снова жду удачи, удача улыбнется. Я верю, что это обязательно повторится!
Мне нравится лотерея
Оценка: 5
Лотерея «6 из 49» привлекает по нескольким причинам: 1.Представлены простые правила победы. Необходимо угадать 6 произвольных цифр из 49 представленных. Нет ничего сложного, но вероятность победы мала. Чтобы увеличить шанс, вы можете выбрать большее количество комбинаций. Для этого выберите более 6 цифр и оплатите повышенную стоимость билета. 2. Вы можете выбрать номер тиража, в котором будет задействован билет. Чем больше тираж, тем больше стоимость билета. При выборе 6 цифр в 3-х схемах билет будет стоить 150 рублей.Например, если вы выберете 8 цифр для 3 тиража, стоимость билета составит 4200 рублей. 3. Есть шанс испытать судьбу и воспользоваться случаем, выбрав «автоматическое заполнение билета». 4. Можно играть в онлайн-режиме, не тратя времени. 5. Лотерея проводится 3 раза в день, что дает возможность испытать удачу в любой момент. 6. На сайте часто указываются и редко сбрасываются номера в свободном доступе. При желании статистику можно использовать при заполнении билета.
Вон 500 рублей
Оценка: 4
Эту лотерею выбрали, когда она переместилась на сайт Столото на баннере. Я просто ткнул пальцем в небо, увидел лотерею, розыгрыш которой ближе всего по времени. Посмотреть результаты тиража можно было только на следующий день, а там в личном кабинете меня ждал подарок — 500 рублей. Билеты очень прикрученные, можно пару раз в месяц покупать 1-2 таких билета. Карма не попадет в карман, но шанс выиграть крупную сумму есть у каждого.
Большая разница между билетами
Оценка: 4
Больше всего в этой лотерее привлекают дешевые билеты — всего 50 рублей. Эта стоимость будет, если в поле записано 6 цифр и получена 1 комбинация, но если она отмечена в поле из 7 цифр, стоимость билета резко возрастет в 7 раз. Разница огромная, но и шанс на выигрыш тоже увеличивается, комбинаций уже не 1, а 7. Правила довольно простые, нужно минимум 3 числа и выигрыш уже будет равен 375 рублям, тогда в процентное соотношение.Еще мне очень нравится, что не нужно долго ждать, они проходят трижды в день. Минимальный гарантированный суперприз в 5 000 000 рублей — это конечно дизайнер, другого реального выигрыша я не видел, но считаю, что это не должно быть обманом, все официально. Если вы находитесь далеко от компьютера, смотрю розыгрыш через мобильную версию сайта, очень удобная и современная.
Легендарная советская игра
Оценка: 4
6 из 49 — легендарная советская игра.Сейчас кровообращение осуществляется 3 раза в день. Прохладный! Особенность этой игры в том, что задействован бонусный шар, который может увеличить выигрыш. Отслеживал наиболее часто приходящие числа и именно они сгорели — пускай в игру. Мне тоже нравятся шансы в этой игре, как в рулетке 50 на 50. Так что, в принципе, любая комбинация чисел может выиграть. Затем я прибегаю к помощи интуиции и на время забываю о своей системе. Необходимо только изменить комбинацию, поэтому обязательно выигрывайте!
К любой лотерее нужно относиться как к вложению
Оценка: 5
Мне нравится, что в лотерее Спортлот 6 из 49 я могу выбирать нужные числа.Для меня никто не решает, на какие цифры играть, как в других лотереях. Вы можете участвовать в розыгрышах ежедневно, они проходят 3 раза в день, вы можете каждый раз делать наши ставки. Чаще всего билеты этой лотереи покупаю на нашу почту, в точках продаж. Также есть возможность приобрести билет онлайн на сайте. Выигрыши до 2 000 рублей также можно получить в точках продаж.
Пока без всякого пота
Оценка: 4
Мне нравится эта лотерея тем, что 1 билет не может участвовать в 1-м поезде, а сразу в нескольких, вам просто нужно отметить в соответствующем поле номер тиража, в котором вы хотите принять участие.Продажа билетов заканчивается за 20 минут до начала розыгрыша. Иногда из-за того, что мобильный банк или вебмани тормозит, купить билеты в определенное время не получается. Но они не горят, а просто передаются в другой тираж. Даже если тираж зашкаливал, вы всегда можете увидеть его результаты в личном кабинете, так как они сохраняются в системе. Большой плюс в том, что трансляцию розыгрыша можно посмотреть онлайн — на сайте есть специальная кнопка перехода. Не думаю, что это какая-то пирамида или афера, потому что Организатором лотереи является Минфин России, а не какая-то незадачливая контора.
Лотерея проверена временем
Оценка: 5
Сейчас лотерея «6 из 49» действует на основе государственной поддержки и контроля, что лично вызывает повышенное доверие, в отличие от других лотерей. При выборе предложенных 6 цифр из 49 возможных, стоимость билета составляет всего 50 рублей. Правила предусматривают возможность увеличения шансов на победу. Для этого выберите до 15 цифр в 1 игровом поле. Для получения денежного вознаграждения необходимо угадать не менее 3-х цифр.Размер выигрыша в этом случае составит 375 рублей. При совпадении цифр 4.5.6 сумма выигрыша делится пропорционально количеству счастливых билетов и распределяется между победителями.
Лотерея Reborn
Оценка: 3
Я видел сайт где реанимировали эту игру. Мне понравилось, что часто встречаются комбинации часто выпадающих, редко падающих чисел и те, которые приносят выигрыш. Даже ни о чем не думая. И я предположил, что люди редко используют числа после 30, и они легко могут выиграть.Итак, я написал комбинацию и выиграл 3 числа, но, к сожалению, многие их угадывают, поэтому мой выигрыш составил около 400 рублей.
Размер суперприза фиксированный
Оценка: 4
Отличие этой лотереи в том, что в ней гарантирован минимальный суперприз — 5 миллионов рублей. То есть не как в других лотереях, где суперприз зависит от количества переопределенных билетов и остатка убыточных сумм. Правда, и в связи с этим счастливая комбинация не так проста: ячеек на полях всего 49, а правильно выиграли только шесть.Однако есть возможность увеличить шансы на выигрыш — для этого в полях нужно заполнить больше ячеек, максимально возможное количество — 17 штук, если вы играете онлайн и 19, если вы покупаете билет в киоске или через Почта. Количество тиражей, в которых участвует билет, тоже можно установить на свое усмотрение — не менее одного, не менее 20. Но цена билета взлетает в геометрической прогрессии. И гарантий оторвать Джека Поупа, естественно, нет.
Sentherry с реальным выигрышем
Оценка: 5
Сегодня существует множество разных лотерей на любой вкус, каждый может выбрать себе по душе.«Спортлото 6 из 49» по принципу розыгрыша ничем не отличается от аналогичных лотерей с другими комбинациями чисел. Игра заключается в том, что в студии все те же лототроны, а участники ждут и отмечают числа в билетах на случайно падающих мисках. Суть понятна любому, даже школьнику.
Шансы на выигрыш
Никто точно не знает, когда ждать от судьбы подарков. Одно можно сказать точно: если сидеть и вообще ничего не делать, белая полоса в жизни может и не появиться.
Лень работать и, нет больших денег, чтобы стать инвестором или открыть бизнес? Все намного проще, вы можете попробовать выиграть в лотерею.
Спортлото 6 из 49, тираж, архив, выигрыши — об этом мы сейчас и расскажем. Эта лотерея была запущена в 1970 году, ее организатором является Министерство финансов Российской Федерации.
Играть в нее миллионы людей с помощью Интернета отпала необходимость искать точки продаж, билеты продаются онлайн.
Где купить билет 6 из 49?
Чтобы не искать очки в реальной жизни, зайдите на сайт, зарегистрируйтесь и начните покупать билеты.
На этом сайте продаются билеты на другие Гослото, билет 6 из 49 вы можете проверить в личном кабинете, получить оплату на внутренний счет и потом перевести любым удобным способом.
Правила лотереи предельно просты. Уже по названию понятно, что делать — выбрать 6 номеров из 49 предложенных. По ставкам это лото очень сильно напоминает, там все делается:
Как видите, можно отметить до 17 номеров, но в этом случае стоимость билета вырастет.Если вы отмечаете всего 6 цифр, то за билет вы платите всего 20 рублей .
За каждый добавленный в билет номер нужно платить отдельно (при желании можно установить множитель или купить сразу несколько билетов):
Супер приз постоянно меняется, в зависимости от того, сколько билетов собрано тираж 6 из 49:
Билеты, приобретенные через сайт, можно раздавать. Оплата осуществляется одним из доступных способов, выбор широк:
В архиве 6 игроков из 49 смотреть не надо.Все ставки отображаются в Личном кабинете, там отображается, какой билет выиграл и какую прибыль он принес. Там же можно повторить ставку:
В Гослото выиграли не только те, кто угадал все числа. Если выпадет хотя бы 3 загадочных числа, выплачивается 150 рублей. Больше совпадений — больше выплат, суммы зависят от собранных средств для расписания:
4 внесенных номера — 22%
5 подаренных номеров — 10%
5 подаренных номеров и бонусный шар — 16%
6 подаренных номеров — 52 % и суперприз
Если никто не назвал все числа, переход накопительного приза в следующий тираж составляет 6 из 49.Победители в этом спортивном лото не редкость, вы можете увидеть, кто стал победителем за последнее время:
Государственные лотереи помогают собирать средства на различные цели. Например, в 2010 году Зимние Олимпийские игры финансировались за счет денежных средств, а в 2014 году деньги были использованы для финансирования Паралимпийских зимних игр.
Как проверить билет 6 из 49?
Купили билет, но не знаете как проверить данные? Сделать это можно двумя способами, зайдя в архив редакций 6 из 49 или через инструмент проверки тикета.Для этого даже не нужно регистрироваться. Заходите и через главную страницу переходите по одной из ссылок.
Назар АударыЗдар! 12 Mausymannan Bastap Loto 6/49 Tiraschars әr SәRsenbіda 21: 00 de «7 Arnada» өtedi. 15.06.2019 ұТекстара: Алматинская область, г. Алматы (,): Телебинго — 1 000 000 тенге; Кено — 55 000 тенге; . Жамбылская область, г. Тараз (Мамбет батыр, 2л): 777_мл — 50 000 тенге; . Алматинская область, г. Алматы (проспект Рыымбека, 507 а): 777_TL — 50 000 тенге; .Атырауская область, г. Атырау (Сатыбалдиев, рынок Дина): 777_мл — 50 000 тенге; . Алматинская область, г. Алматы (,): 777_TL — 50 000 тенге; . Кызылординская область, г. Талгар (Конаева, 84): 777_TL — 50 000 тенге; . Жамбылская область, г. Тараз (Абая, 98): Жомарт3 — 50 000 тенге; . Павлодарская область, г. Аксу (Астана, 3/1): Телебинго — 30 000 тенге; . Алматинская область, г. Алматы (Абая, 141): Телебинго — 30 000 тенге; . Туркестанская область, г. Шымкент (Тамерлановское шоссе, БН): Телебинго — 30 000 тенге; .Акмолинская область, г. Астана (Эд, 26): 777_мл — 20 000 тенге; . Туркестанская область, г. Шымкент (Володарского, 1/5): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Алматинская область, г. Алматы (Радостовца, 292): Алтын — 20 000 тенге; . Алматинская область, г. Алматы (пр. Жибек Жолы, квартал ТЦ 50/2/39): 777_TL — 20 000 тенге; . Западный Казахстан, г. Уральск (пр. Евразия, ТЦ ЦЕНТР 101): Кено — 20 000 тенге; . Актюбинская область, г. Актобе (Ахтанова, 48/7): 777_мл — 20 000 тенге; .Алматинская область, г. Алматы (МКР Первомайский ул. Капчагайская, 34): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Кызылординская область, пос. Принимает (Казантаева, 1 ТД Живое): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Атырауская область, г. Атырау (проезд Жеи Казына, 1 рынок Сарайсик): 3Almaz 2019 — 20000 тенге; . Туркестанская область, г. Алматы (ул. Северное кольцо, 99/4): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; Алтын — 20 000 тенге; . Алматинская область, п. Узинагаш (Жамбыл, 71): 777_TL — 20 000 тенге; .Туркестанский район, Талгарские коттеджи (Ул Жибек Жолы, Б.Н.): Алтын — 20 000 тенге; . Алматинская область, г. Каскелен (ул. Аскарова, 148): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Западно-Казахстанская область, г. Уральск (Жангир хана, 52): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Акмолинская область, г. Астана (Б Б Бенеты Батыра, 34 ТД Кокм): 777_TL — 20 000 тенге; 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Акмолинская область, г. Астана (Сейфуллина, 47 Маркет Артема): Алтын — 20 000 тенге; .Семья, семья (Глинки, 16 и рынок Жана Кокмока): 777_TL — 20 000 teңhe; . Алматинская область, г. Алматы (Гоголя, УГ. Науревабба Батыра Ю.-В.): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Алматинская область, г. Алматы (пр. Жибек Жолы, 110): 3Алмаз — 20 000 тенге; . Карагандинская область, г. Сатпаев (Сатпаева, 115а): 3Алмаз — 20 000 тенге; . Акмолинская область, степперык (Нурмагамбетова, 209): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Атырауская область, г. Кульсары (9 участок, 152): 3Алмаз — 20 000 тенге; .Акмолинская область, г. Астана (Акжол, 31): Жомарт3 — 20 000 тенге; . Акмолинская область, г. Астана (трасса Астана-Караганда, 45): 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; 3Almaz 2019 — 20 000 тенге; . Павлодарская область, г. Алматы (Жансугурова, 350): Алтын — 20 000 тенге; .
22 февраля
Делайте ставки и выигрывайте джекпот!
Вы верите в свою удачу? Многие победители Спортивных игр Парижа убеждены, что уверены в том, что победа и их сила помогли им выиграть крупные денежные призы! Кто-то делает ставки уже много лет, а кому-то удается сорвать большой куш с первых же попыток.
Игра «Спортхло 6 из 49» привлекает игроков крупным джекпотом и практически на каждой трассе есть игроки, которые остаются в шаге от победы, угадывая 5 мячей из 49. Например, в одном из последних выпусков Александр Александрович из Витебска, который Угадай 5 числа и выиграй более 3 836 рублей! Победитель признался, что делал ставки, полагаясь на интуицию или «живучесть», а в сумме игры Sport-Paris играют более 3-х лет.
Когда будут воспроизводиться игры «Спортлот 6 из 49»?
Розыгрыши игры «Спортлот 6 из 49» проходят каждый вторник, четверг и субботу на телеканале «Беларусь 2» в 22 часа.00.
Сколько стоит 1 ставка?
Стоимость 1 ставки — 2 белых. тереть.
Где сделать ставку?
Ставки можно делать в любой точке продаж Спорт-Париж. Ищите оранжевый логотип с совой! Желаем победителю удачи и дальнейших выигрышей!
Всем еще раз добрый день! Я очень рад видеть всех вас на страницах моего блога. Наверняка вы начали интересоваться возможностями заработка в лотерее, и вам интересно узнать больше об этом бизнесе.
Я расскажу, как играть в лотерею и какая стратегия может обеспечить оптимальный исход тиража.
Надеюсь, информация будет полезна как тем, кто уже регулярно участвует в лотереях, так и тем, кто в этом только новичок и только рассматривает возможность заработка таким способом.
Как часто проходят циркуляции?
Все лотереи Лотерея 6 из 49 и правила игры в Она, напомним, тиражи 6 из 49 проходят каждый день.Розыгрыши выполняются трижды в день в 9-30, 15-30 и 21-30 по Москве. Ставки на следующий тираж принимаются до начала следующего тиража.
Таким образом, есть возможность принять участие в розыгрыше часов в выходные и праздничные дни. Возможности участия ограничиваются только вашим желанием потратить деньги на билеты.
Сколько вы можете выиграть?
Теперь стоит упомянуть, сколько можно выиграть в лотерее. Гослото 6 из 49 предлагает минимальный выигрыш в 150 рублей.
Чтобы добиться такого результата, необходимо угадать 3 числа. После того, как выигрыши будут распределены по трем угаданным числам, можно будет рассчитать выход в основных категориях в процентах. Суперприз лотереи 6 из 49 начисляется за все 6 угаданных номеров и составляет от одного миллиона до нескольких миллионов рублей.
Чтобы всегда следить за результатами тех, кто играет в 6 лотерею из 49, архивы тиражей хранятся на сайте до полугода. Те, кто упустил срок получения выигрыша в течение шести месяцев, могут подать заявку на получение заслуженного приза.
Какие правила игры
О том, что в лотерее можно выиграть 6 из 49, я уже говорил, а теперь, наверное, еще раз вспомню правила. Начнем с того, что лотерея 6 из 49 является самой распространенной цифровой лотереей.
Чтобы выиграть, необходимо угадать максимальное количество чисел. Основное отличие «Спортлио 6 из 49» от других лотерей на сайте колонки, в которых участники имеют возможность самостоятельно выбирать комбинацию чисел — бонусный шар, который выдает лотерейное оборудование после того, как будет сформирована выигрышная комбинация из 6 номеров. .
Если его номер совпадает с одним из номеров вашей ставки, в котором уже угаданы 5 числа, то сумма выигрыша, начисленная за 5 номеров, увеличится. Бонусный шар принадлежит к тому же набору шаров, что и основная игровая комбинация, поэтому только в Sporto 6 из 49 встречаются случаи, когда в одном билете 6 чисел могут быть нечеткими 2 раза (точнее, 6 номеров выигрышной комбинации + комбинация «5 номеров + бонусный шар»)!
После того, как ставка будет сделана, все участники 6 из 49 Проверить билет смогут онлайн практически в любое время суток.Результаты тиража становятся известны практически сразу после его окончания и проверяются на сайте. Подробнее о том, как это делается, я рассказал в видео далее.
Где купить билет?
Видеоинструкция: «Как играть в Гослото 6 из 49 онлайн»:
Возможностей для покупки билета очень много. Купить билет можно в точках продаж, которые расположены в самых разных местах. Также вы можете купить билет онлайн на специальных сайтах, реализующих лотерейные билеты.
Этот способ удобен по многим причинам. В том числе выгодно то, что для участников лотереи 6 из 49 онлайн-трансляций осуществляется прямо на сайте и появляется возможность отслеживать результаты тиражей. Выигрыши выдаются в течение 30 дней с момента окончания следующего тиража.
Небольшие выигрыши до 2000 рублей выдаются в точках продаж после окончания лотереи, выигрыши сверх этой суммы выдаются в головном офисе компании по предварительной заявке, которую необходимо заполнить не позднее, чем за неделю. ожидаемая дата выигрыша.
Как забрать выигрыш?
Тем, у кого по результатам тиража 6 из 49 было объявлено о выигрыше, необходимо обратиться в центр выдачи призов и запросить причитающуюся вам сумму.
Победителям нужно помнить, что с суммы выигрыша придется заплатить налог в размере 13% от выигрыша и рассчитывать на то, что получается, скрывать доход не стоит. За попытку скрыть выигрыш можно заработать очень серьезный штраф, его размеры могут полностью нивелировать все ваши усилия по участию в лотерее.
Как лотерея?
Лотерея «Спортлото 6 из 49» проходит в режиме реального времени. Это означает, что информация о каждом купленном билете моментально попадает в базу игровых комбинаций, где хранятся параметры каждой ставки — от ее стоимости до места и времени оформления.
Как только заканчивается следующий тираж 6 из 49, результаты тиража мгновенно определяются с помощью специальной системы, которая позволяет мгновенно определять количество выигрышных ставок и сумму выигрышей в каждой категории.
Призы будут распределены в зависимости от количества угаданных номеров. Вы также можете выиграть суперприз, который начисляется за 100% угаданных чисел и переходит из тиража в тираж, если в текущем тираже нет человека, угадывающего все числа.
Размер суперприза может достигать десятков миллионов рублей, так как вероятность угадать все числа лототрона довольно мала. Но удачливый человек, который добьется успеха, сможет обеспечить себе и семье мирную жизнь на несколько лет вперед и, возможно, осуществить самые сокровенные мечты.
Вся информация дублируется на специальный сервер Министерства спорта, туризма и молодежной политики, что гарантирует точность и прозрачность лотереи.
Вы можете быть уверены, что последние 6 тиражей из 49 будут честными и результаты будут обнадеживающими.
Проверить билет 6 из 45 тиражей 3079. Как проверить лотерейный билет
Основные лотереи страны
Если вы являетесь владельцем лотерейного билета «6 из 45», розыгрыш которого проводился несколько дней назад, вы можете проверить такой билет на официальном сайте Столото.Данная возможность предусмотрена и для других видов лотерей «Столото»: «Русское лото», «Гослото« 5 из 36 »,« Гослото «4 из 20», «Гослото« 7 из 49 »,« Спортлото 6 из 49 ». »,« КЕНО-Спортлото »,« Рапидо »,« 12/24 »,« Топ-3 »,« Дуэль »,« Прикуп »,« Жилищная лотерея »,« Золотая подкова »,« 6 из 36 »и Спортлото. моментальные лотереи.
Все виды лотерей Столото
Чтобы проверить лотерейный билет разыгранного тиража, необходимо воспользоваться возможностями сайта.Для этого сначала перейдите на сайт по следующему адресу в сети Интернет: www.stoloto.ru. Любой желающий может пользоваться сайтом в удобное время суток и абсолютно бесплатно. очень проста в использовании, с ней справится даже не совсем уверенный пользователь. Итак, чтобы проверить билет «6 из 45», вам нужно найти соответствующий значок на главной странице сайта и щелкнуть по нему.
Перейти в лотерею Столото 6 из 45
После этого откроется новая страница сайта, где вы сможете использовать следующие вкладки: о лотерее, покупка билета, правила, где купить, архив розыгрышей, проверка билета, победители.
Вкладки для информации о лотерее 6 из 45
Столото Архив розыгрышей «6 из 45» предоставляет информацию обо всех розыгрышах, которые проводились ранее. На вкладке «Архив рисунков» вы можете узнать информацию о выигрыше лотерейного билета. На этой вкладке вы можете получить информацию о лотерейном билете двумя способами: по дате или по тиражу. Если вы хотите выполнить поиск по дате, вам необходимо указать диапазон дат, в котором будет присутствовать дата розыгрыша вашего лотерейного билета.После этого компьютер предоставит вам список всех розыгрышей, которые проводились в указанном диапазоне, а также выигрышную комбинацию каждого розыгрыша и размер суперприза.
Архив прогонов 6 из 45
Если вам удобнее искать по тиражу, то вам нужно установить определенный диапазон тиража, в котором будет присутствовать тираж вашего лотерейного билета. После этого компьютер предоставит вам список всех розыгрышей, которые проводились в указанном диапазоне, а также выигрышную комбинацию каждого розыгрыша и размер суперприза.То есть, как видите, результаты поиска всегда будут одинаковыми, независимо от метода поиска. Проверить билет можно не только с помощью архива, для этого также можно использовать вкладку «Проверить билет». Нажав на эту вкладку, вы можете проверить свой билет и узнать сумму своего выигрыша. Вы можете проверить свой билет двумя способами: по номеру билета, по комбинации. Если вы хотите быстро проверить свой лотерейный билет, то воспользуйтесь методом, позволяющим проверить номер билета.Для этого вам нужно будет указать в соответствующих полях номер стартового розыгрыша и номер билета. После ввода этой информации нужно нажать на кнопку «Проверить». Этот метод самый простой и предоставляет информацию только о вашем билете. Если вас интересует, какой стала призовая комбинация в определенном розыгрыше, то лучше воспользоваться методом, позволяющим проверить лотерейный билет «Гослото« 6 из 45 »по комбинации. В этом случае вам необходимо для обозначения начального тиража и выбранной комбинации.После ввода этой информации нужно нажать на кнопку «Проверить».
Контрольный билет 6 из 45
Напомню правила игры в лотерее «Гослото 6 из 45». В лотерейном билете шесть игровых полей. В игре может участвовать только лотерейный билет, которым заполнено игровое поле. Чтобы заполнить игровое поле, нужно по желанию выбрать 6 разных чисел. Вы также можете выбрать более 6 номеров, но это будет считаться расширенным тарифом, и билет будет стоить дороже.Делая расширенную ставку, вы автоматически увеличиваете свои шансы на выигрыш. Увеличивая свои шансы на выигрыш, вы одновременно увеличиваете сумму потенциального выигрыша, а также размер ставки. Если вы играете онлайн, то вам предоставляется возможность отметить на одном игровом поле до 13 чисел, а это получается 1716 игровых комбинаций. Если вы отметите числа на бумажном купоне, то вы сможете отметить максимум 19 чисел на одном игровом поле, что составляет 27 132 игровых комбинации. Зная правила игры, вы можете смело приобретать лотерейный билет и участвовать в розыгрыше, но вы уже знаете, как проверить свой билет.
Гослото 6 из 45
Гослото — общероссийская государственная лотерея, которую распространяет крупнейшая российская компания «Столото». Приобрести такую лотерею на территории Российской Федерации можно одним из следующих способов: через официальный сайт компании «Столото», через мобильное приложение «Столото», через сайт мобильной версии, через SMS, в торговых точках, в лотерее. киоски.Лотереи Гослото: «Гослото« 5 из 36 »,« Гослото «6 из 45», «Гослото« 7 из 49 ». Разница между этими лотереями Gosloto заключается в минимальном количестве чисел, которые должны быть отмечены на игровом поле. Поскольку количество цифр в выигрышной комбинации меняется, это означает, что количество игровых комбинаций также меняется, и соответственно стоимость ставки будет другой. Игрок, у которого есть лотерейный билет «Гослото« 6 из 45 », согласно правилам игры, должен заполнить игровое поле.В лотерейном билете шесть игровых полей. Игровое поле состоит из 45 номеров, расположенных по порядку.
Игровое поле
Для заполнения игрового поля нужно по желанию выбрать 6 разных чисел. Вы также можете выбрать более 6 номеров, но это уже будет считаться расширенным тарифом. Делая расширенную ставку, вы автоматически увеличиваете свои шансы на выигрыш. Увеличивая свои шансы на выигрыш, вы одновременно увеличиваете сумму потенциального выигрыша, а также размер ставки. Если вы играете онлайн, то вам предоставляется возможность отметить на одном игровом поле до 13 чисел, а это получается 1716 игровых комбинаций. Если вы отметите числа на бумажном купоне, то вы сможете отметить максимум 19 чисел на одном игровом поле, что составляет 27 132 игровые комбинации. Розыгрыши лотереи «Гослото» проводятся ежедневно в 11 часов утра и вечером по московскому времени. Если вы не смогли посмотреть трансляцию розыгрыша, то не отчаивайтесь, ведь есть и другие способы проверить билет. Если вам нужно проверить лотерею «Гослото» 6 из 45 «, то вы можете обратиться в киоск, где продаются эти лотереи. Для тех, кто не хочет тратить время на походы в киоск, есть возможность проверить билет, не выходя из дома.Для этого вам необходимо перейти на официальный сайт компании «Столото», где вы можете приобрести билет и проверить его, а также получить необходимую подробную информацию о лотерейных билетах.
Разные лотереи Гослото
На главной странице сайта вам нужно будет нажать на иконку с надписью «Гослото« 5 из 36 ».После этого вы попадете на новую страницу сайта, где сможете узнать всю информацию об этой лотерее. На открывшейся странице вы также найдете кнопку «Проверить билет».
Проверить лотерейный билет Гослото
При нажатии на эту кнопку вы перейдете на другую страницу сайта. Здесь вам предоставляется возможность проверить лотерейный билет: по номеру билета, по комбинации. Если вы хотите быстро проверить свой лотерейный билет и не вникать в детали розыгрыша, то воспользуйтесь методом, позволяющим проверить номер билета.Для этого вам нужно будет указать в соответствующих полях номер стартового розыгрыша и номер билета. После ввода этой информации нужно нажать на кнопку «Проверить».
Проверить билет по номеру билета
Если вас интересует, какой стала призовая комбинация в определенном розыгрыше, то лучше воспользоваться методом, позволяющим проверить лотерейный билет «Гослото« 6 из 45 »по комбинации. В этом случае вам необходимо для обозначения начального тиража и выбранной комбинации.После ввода этой информации нужно нажать на кнопку «Проверить».
Проверка билетов по комбинации
Вы также можете проверить билет в розыгрыше. Этот метод позволит игроку выбрать необходимый розыгрыш с помощью специальной таблицы для проверки билета. Таблица розыгрыша содержит информацию о выигрышных комбинациях, количестве победителей и выигранной сумме. Если вы хотите получить от рисунка эмоции, то можете посмотреть онлайн запись интересующего вас рисунка.Во время просмотра вы можете перематывать или приостанавливать запись, а также просматривать определенный момент. С помощью официального сайта вы можете проверить онлайн свой билет на лотерею «Гослото» 6 из 45 «. Проверяя лотерейные билеты онлайн, вы экономите свое свободное время. Кроме того, чтобы проверить билет на сайте, вам нужно даже не нужно проходить процесс регистрации, эта информация на сайте предоставляется любому игроку и абсолютно бесплатна.
Контрольный билет
Check
Уважаемые любители гослото 6 из 45, предлагаю вашему вниманию альтернативные способы проверки лотерейных билетов.Откуда вы знаете, что проверьте билет государственной лотереи 6 из 45 , вам нужно пойти в киоск, который продает лотерейные билеты, или купить конкретную прессу, или посмотреть телетрансляцию по телевизору. Все эти методы не очень удобны и трудоемки. Благодаря нашему сайту, вы можете проверить онлайн билеты государственной лотереи 6 из 45 онлайн, используя более приемлемые методы, на которые вам нужно будет потратить минимум времени. Также стоит добавить, что все эти услуги доступны бесплатно без регистрации.
Как проверить билеты на Гослото 6 из 45?
На нашем портале есть несколько способов проверить купленные вами билеты. Таким образом, у каждого будет возможность выбрать для себя более удобный вариант. Вы можете проверить свои билеты государственной лотереи 6 из 45:
По номеру билета;
Комбинацией цифр;
в тиражном столе;
Смотрите сериалы онлайн.
Самый быстрый путь — первый.Вам необходимо ввести номер билета в окошко, и через секунду вы узнаете, удалось ли вам выиграть. Проверить билет по номеру достаточно удобно, но тем, кому интересно узнать подробности, стоит воспользоваться вторым вариантом. При выборе 2-го способа в специальном поле нужно найти комбинацию цифр, указанных на вашем билете, и начать проверку. Третий вид проверки содержит еще более подробную информацию. Игроки в государственной лотерее 6 из 45 могут выбрать тираж, используя специальную таблицу для проверки билета.Таблица розыгрыша содержит информацию о выигрышных комбинациях, количестве победителей и выигранной сумме. Четвертый способ подходит для людей, которые в силу обстоятельств не успевают посмотреть трансляцию любимого телешоу государственной лотереи 6 из 45 розыгрышей. Кроме того, онлайн-просмотр удобен еще и тем, что в любой момент есть возможность приостановить или пересмотреть определенный фрагмент.
Как видите, в State Lotto 6 из 45 легко не только сыграть, но и проверить билеты.Для этого достаточно сделать пару щелчков мышью, вы тоже можете. Благодаря нашему сайту вы можете мгновенно получить интересующую вас информацию, причем совершенно бесплатно.
Powerball — Играйте и проверяйте выигрышные числа
Powerball будет расширен в августе 2021 года! По мере того, как мы готовимся к этим изменениям, возможности многоабонентского розыгрыша, будущей игры и автоматического продления для Powerball будут ограничены онлайн и в розницу.
Сильные джекпоты — это море удовольствия.
Если вам нравится играть на крупные денежные призы, то Powerball — это игра для вас!
Powerball может сделать вас следующим мультимиллионером, и есть несколько разных способов играть.
Как играть в Powerball
После розыгрыша 8 апреля 2020 года гарантированные начальные суммы джекпота и минимальное увеличение джекпота будут отменены, а будущие увеличения джекпота будут определены и объявлены Группой продуктов перед каждым розыгрышем. В апреле 2020 года Powerball объявила об изменениях в стартовом джекпоте. количество.Больше информации здесь.
Подумайте, как играть в Powerball, используя цвета и числа. Вы должны выбрать числа для пяти белых шаров и одного красного шара (Powerball), всего шесть чисел. Щелкните для более детального просмотра игрового листа, чтобы узнать больше.
Вот способы играть в Powerball:
Выберите свои числа на листке. Выберите пять разных чисел от 1 до 69; затем выберите один номер Powerball от 1 до 26.
Или вы можете выбрать Easy Pick и позволить компьютеру выбирать ваши числа
Вы также можете использовать комбинацию этих методов игры: выберите несколько ваших любимых чисел и позвольте компьютеру подставить остальные.
Каждая игра (шесть номеров) стоит 2 доллара.
Розыгрыши
Powerball проводятся каждую среду и субботу в 23:00.
Сделайте игру еще более яркой с Power Play
®
Power Play® — это дополнительная функция, которая позволяет выиграть еще больше денег всего за 1 доллар за игру. Power Play® может увеличить ваш выигрыш до 2 миллионов долларов! Если вы выиграете с помощью Power Play®, ваш приз, не связанный с джекпотом, увеличивается в 2, 3, 4, 5 или 10 раз в зависимости от номера Power Play®, выпавшего в розыгрыше.Ознакомьтесь с таблицей выше, чтобы увидеть, как добавление Power Play® увеличивает любой приз, кроме джекпота. Добавьте Power Play® и угадайте пять чисел без Powerball, и вы автоматически выиграете 2 миллиона долларов!
Победа в игре Powerball
Есть девять способов выиграть в Powerball, и вот несколько:
Если вы угадаете только номер Powerball, вы можете выиграть минимум 4 доллара.
Угадайте первые пять чисел, и вы выиграете 1 миллион долларов.
Угадайте все пять чисел и число Powerball, и вы получите джекпот Powerball!
Два шанса на победу в неделю
Вы можете играть в Powerball дважды в неделю! Розыгрыши Powerball проводятся каждую среду и субботу в 11 p.м.
Мы прекращаем продажу билетов Powerball в 22:00. в вечер розыгрыша, так что покупайте билеты пораньше!
Билеты на лотерею
Powerball в Вирджинии не подлежат отмене, и все продажи окончательны. Мы рекомендуем использовать игровой лист, чтобы убедиться, что ваши числа верны.
При использовании дополнительных розыгрышей не забудьте сообщить своему клерку, какой вариант (ы) вы предпочитаете — Multi-Draw, Future или Repeat.
Любые выигрышные билеты, купленные в Вирджинии, должны быть погашены в Вирджинии.
Параметры люфта
Всегда здорово иметь варианты, поэтому отметьте поле ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ на своем игровом листе для любого из следующего.
Хотите сыграть одними и теми же числами более чем в одном розыгрыше одного билета? Билет с несколькими розыгрышами позволяет вам сыграть до 26 розыгрышей подряд на одном билете. Помните, что цена билета увеличивается с каждым добавляемым вами розыгрышем.
Думаете о особой дате? Вы можете купить билет на одну дату розыгрыша в будущем. Это называется розыгрышем будущего. Отметьте поле «Необязательные игры» на своем игровом листе и сообщите секретарю, какую будущую дату розыгрыша вы имеете в виду.
Вам так нравятся эти числа, что вы хотите, чтобы они присутствовали более чем на одном билете? Вы можете повторить игру и напечатать одни и те же числа на нескольких билетах до 20 раз.
Сообщите своему клерку, какой вариант вы хотите, когда представляете свой листок. Имейте в виду, что игра в более чем один розыгрыш увеличивает цену билета на количество розыгрышей, которое вы выберете.
Вы можете найти различные розничные точки VA Lottery Powerball в приложении Virginia Lottery или с помощью инструмента «Найти продавца». Загрузите приложение, чтобы сканировать свои невыигрышные билеты, а также посмотрите наши новейшие скретчеры!
Покупайте онлайн и никогда не пропустите розыгрыши!
Вы можете покупать и играть в Powerball в любое время и в любом месте Вирджинии на своем мобильном телефоне, планшете или компьютере.Приобретите сразу несколько розыгрышей, чтобы оставаться в игре столько, сколько захотите, и выберите функцию автоматического продления, чтобы не беспокоиться о том, что вы пропустите розыгрыш.
Посмотреть розыгрыш
Вы можете смотреть розыгрыши Powerball в прямом эфире каждую среду и субботу в 23:00. щелкнув вкладку «Выигрышные числа» вверху страницы. Вы даже можете посмотреть их позже. Розыгрыши остаются на нашем сайте!
Получите информацию об игре от Alexa!
Если вы загрузите навык Alexa Lottery в Вирджинии, вы можете запросить у Alexa информацию об этой игре, включая недавние выигрышные номера и многое другое.
Юридические вопросы
После розыгрыша 8 апреля 2020 года гарантированные начальные суммы джекпота и минимальное увеличение джекпота будут отменены, а будущие увеличения джекпота будут определены и объявлены Группой продуктов перед каждым розыгрышем.
Нужна дополнительная информация? Вот наши официальные правила Powerball.
Прибыль от лотереи в пользу государственного образования
С 1999 года вся прибыль от лотереи Вирджинии пошла в государственные школы K-12 в Вирджинии. В 2020 финансовом году лотерея принесла более 595 миллионов долларов государственным школам K-12 в Вирджинии.Каждый раз, когда вы играете в лотерею Вирджинии, вы помогаете детям иметь светлое будущее.
Как играть в «Спортлото»: все правила
«Спортлото» — популярный лотерейный бренд, объединяющий в себе пакет из нескольких азартных игр, таких как «Спортлото 6 из 49», «Кено», «СпортТото», а также ряд мгновенных лотерей. Этот бренд пользуется большой популярностью на территории стран СНГ, поэтому, наверное, каждый третий его жителей знает, как играть в «Спортлото».А ежедневно на местных новостных каналах идет трансляция розыгрышей денежных призов, а также многочисленные интервью со счастливыми обладателями выигрышных билетов.
В этой статье вы можете узнать не только, как играть в «Спортлото», но самое главное — как побеждать.
Категории игр «Спортлото»
Как уже было сказано выше, одна торговая марка включает в себя целую серию всевозможных игр. Поэтому однозначного ответа на вопрос, как играть в Спортлото, просто не существует.Правила и механизмы зависят от того, какую категорию игры вы выбрали. Итак, «Спортлото» включает в себя следующие игры:
«Спортлото 6 из 49».
«Кено».
«Спортивный прогноз».
«Блиц».
«Спортлото 5 из 36».
«СпортТТО».
«Хвост».
Прием заявок на участие в игровом туре осуществляется на рабочем месте оператора, через специальный терминал. Узнать оператора компании «Спорт-беттинг» очень просто.Игровые терминалы устанавливаются в местах большого скопления людей, таких как торговые, развлекательные и игровые центры. Терминал оборудован стендом с символикой компании «Спорт-бет» и монитором, на котором транслируются выигрышные комбинации в игре «Блиц».
Оборудование системы лотереи
В своей деятельности компания использует специально разработанную компьютерную систему Sport-pari. Как упоминалось ранее, регистрация игрока осуществляется через специальный терминал, с которого информация передается в центральную компьютерную систему.Связь терминала с центральным компьютером осуществляется в режиме «реального времени», поэтому сбои в приеме заявок на игру исключены.
Все игровое оборудование компании «Спорт-бет» полностью соответствует международным стандартам, а также имеет мощную систему безопасности, обеспечивающую защиту всех данных от несанкционированного вмешательства.
Розыгрыш денежных призов полностью компьютеризирован, поэтому фактор человеческого вмешательства полностью сведен к нулевой отметке.Присутствие операторов за игровыми терминалами во многом связано с необходимостью предоставить игроку достоверную информацию о том, как играть в Sportloto.
«Спортлото 6 из 49»: правила игры
«Спортлото 6 из 49» — открытая электронная интерактивная игра. Розыгрыш денежных призов в нем проводится организаторами лотереи трижды в неделю. Их можно будет посмотреть во время прямой трансляции на местных телеканалах или в режиме онлайн на сайте компании «Спорт Бет». Сделать ставку можно через специально оборудованный терминал, онлайн на сайте компании «Спорт-бет» или через специальное мобильное приложение.Последний доступен для Android и iOS.
Как сделать ставку?
Сделать ставку могут лица старше 18 лет. Ставка — это произвольная игровая комбинация из 6 чисел в диапазоне от 1 до 49 включительно. Перед тем, как сделать ставку, обязательно проверьте, как правильно играть в Спортлото — это повысит ваши шансы на выигрыш. Для участия в розыгрыше необходимо:
Заполнить игровой купон (если ставка сделана через терминал). Купон бесплатный, его можно получить в любой точке продажи.
Сделайте ставку. Для этого вам необходимо заполнить два игровых поля. В первом вы указываете количество розыгрышей, в которых хотите принять участие, во втором — игровую комбинацию из 6 чисел в диапазоне от 1 до 49.
Передать купон оператору и оплатить свою ставку по указанным тарифам.
Поднимите и сохраните контрольный прогноз. После совершения платежа оператор обязан выдать вам квитанцию об оплате и прогноз по чеку.Последний является своеобразным лотерейным билетом в игре «Спортлото 6 из 49». Вы не имеете права играть только с чеком оплаты. Чековый прогноз — единственное свидетельство вашего участия в игре.
Розыгрыш призов
Призы игры «Спортлото 6 из 49» разыгрываются трижды в неделю. Они осуществляются с помощью лототрона, в котором пронумерованы шары с числовыми значениями от 1 до 49 включительно.
Призовая комбинация состоит из следующих подряд случайных шаров, выпадающих из лототрона.Добыча шаров происходит автоматически, т.е. без вмешательства человека. Процесс проведения розыгрыша контролируется Комиссией по жеребьевке, которая по окончании розыгрыша дает экспертное заключение о соблюдении правил игры, а также фиксирует последовательность выигрыша шаров в протоколе розыгрыша.
Правила игры «Кено»
Тиражи электронной интерактивной игры «Кено» проводятся ежедневно. Она имеет ряд преимуществ по сравнению с игрой «Спортлото 6 из 49».В их числе:
Фиксированный выигрыш. То есть выигрыши не делятся между всеми победителями, а каждый игрок идет отдельно.
Независимый выбор игр. Сама по себе игра «Кено» содержит 9 игр. Игрок выбирает категорию, размер ставки, количество розыгрышей и игровую комбинацию.
Высокие шансы на победу. По матрице игры «Кено» 20.10.60 можно рассчитать, что каждые 6 (!) Ставок будут выигрышными.
Стоит отметить, что при превышении общего выигрышного фонда призовые деньги делятся пропорционально между игроками, угадавшими выигрышную комбинацию.
Как принять участие в игре
Механизм совершения ставок в игре «Кено» аналогичен механизму в игре «Спортлото 6 из 49», о которой говорилось выше. Единственное отличие состоит в том, что вместо двух полей в игровом купоне вам нужно будет заполнить четыре. Здесь вы увидите:
Поле «Категория игры». Он заполняется в зависимости от того, сколько чисел вы планируете угадать, его значение должно быть от 2 до 20 — так гласят правила Спортлото. Как играть — угадайте 5 чисел или 10 — на ваше усмотрение.
Поле «Игровая комбинация». Здесь необходимо отметить комбинацию выбранных вами чисел в соответствии с полем «Категория игры». То есть, если вы указали, что собираетесь угадать 7 чисел, то, соответственно, количество тактов в поле «Игровая комбинация» должно совпадать с этим значением. Вы также можете использовать отметку «АВТО», это означает, что компьютер самостоятельно сгенерирует для вас комбинацию случайных чисел.
Поле «Ставка». Механизм прост, выбирая максимальную ставку, вы получаете возможность максимального выигрыша.
Поле «Количество рисунков». В нем необходимо указать, в скольких тиражах будет участвовать ваша игровая комбинация.
Как играть в Спортлото 5 из 36?
Игра «Спортлото 5 из 36», в отличие от аналогичной игры «Спортлото 6 из 49», относится к «играм в пул». Это означает, что сумма выигрыша напрямую зависит от количества ставок, сделанных на момент розыгрыша. То есть чем выше ставки, тем больше призовой фонд. Также эта игра имеет несколько уникальных преимуществ:
Размер джекпота увеличивается каждую минуту и напрямую зависит от количества сделанных ставок.
Выигрышной комбинацией будут даже два угаданных числа.
Низкая стоимость ставки.
Также благодаря бонусному мячу в этой игре можно получить право назвать «Спортлото 6 из 36». Как играть в Спортлото 6 из 36? Это просто. Если у вас 2, 3, 4 угаданных числа, бонусный шар дает вам возможность увеличить свой выигрыш. То есть после выдачи лото-автоматом пяти обязательных шаров необходимо обязательно дождаться шестого, дополнительного, который может увеличить общую сумму вашего выигрыша.
Розыгрыш денег проводится непосредственно на местном телеканале три раза в неделю. Кроме того, результаты тиража вы можете узнать онлайн или через мобильное приложение. Совпадение даже двух игровых шаров гарантирует вам выигрыш в этом розыгрыше. Если все пять чисел совпадают, вы становитесь счастливым обладателем джекпота.
Заключение
Все вышеперечисленные пункты являются ключевыми знаниями, которые вы можете использовать перед тем, как принять участие в игре. Если у вас остались вопросы, которые не были рассмотрены в этой статье и которые касаются того, как играть в Спортлото, Беларусь и Россия имеют разветвленную сеть торговых точек, где вы можете найти ответы у операторов игровых терминалов.
Выигрыши во всех категориях игр от компании «Спорт-Бет» до 300 рублей начисляются в фирменных баллах компании, а от 300 рублей — в офисах компании Спорт-Бет, не позднее двух рабочих дней. после обращения победителя. Большую сумму выигрыша можно выплатить наличными или путем перевода этой суммы на банковскую карту победителя.
Выбирая лотерею спортивной компании, вы самостоятельно влияете на свою победу, не полагаясь на безликие числа на бумажке.
6 49 распечатать архив для проверки. «Кому-то, должно быть, везет»
22 февраля
Делайте ставки и выигрывайте джекпот!
Вы верите в свою удачу? Многие победители игр «Спорт-бет» уверены, что именно их уверенность в победе и собственные силы помогли им выиграть крупные денежные призы! Кто-то делает ставки много лет, а кому-то удается сорвать большой куш с первых же попыток.
Игра «Спортлото 6 из 49» привлекает игроков с большим джекпотом, и почти в каждом розыгрыше есть игроки, которые находятся всего в одном шаге от победы, угадывая 5 шаров из 49.Например, в одном из последних розыгрышей таким игроком оказался Александр Александрович из Витебска, который угадал 5 номеров и выиграл более 3 836 рублей! Победитель признался, что делает ставки, полагаясь на интуицию или «Авто-ставки», а в общей сложности играет в игры компании «Спорт-бет» более 3-х лет.
Когда проводятся розыгрыши Спортлото 6 из 49?
Розыгрыши «Спортлото 6 из 49» проходят каждый вторник, четверг и субботу на телеканале «Беларусь 2» в 22 часа.00.
Сколько стоит 1 ставка?
Стоимость 1 ставки 2 бел. тереть.
Где сделать ставку?
Сделать ставку можно в любой точке продаж компании Спорт-бет. Ищите оранжевый логотип совы! Желаем победителю удачи и дальнейших выигрышей!
Советуем обратить внимание на интерактивную игру популярной в Беларуси компании «Спорт-бет», которую называют 6 из 49. Она основана на компьютерной программе SCS, внесена в Государственный регистр кассовых аппаратов. .Представленная лотерея одобрена Министерством финансов Беларуси.
Лотерея «6 из 49» в Беларуси — это игра интерактивного типа, призовой фонд которой разыгрывается публично на государственном телеканале «Беларусь-2». Представленная игра выходит в эфир 3 дня в неделю. Ежедневный прием заявок осуществляется с помощью специальных электронных устройств, чаще всего эти устройства располагаются на крупных торговых площадках (супермаркеты, гипермаркеты, торгово-развлекательные центры). Кроме того, можно принимать ставки с помощью онлайн-сервисов — через Интернет и различные мобильные приложения.
Правила этой популярной игры довольно просты:
Участник должен угадать от 3 до 6 выпавших номеров.
Если 3 числа совпадают подряд, то приз составляет определенную сумму.
Что нужно для того, чтобы сделать ставку?
В лотерее данного типа могут участвовать все лица старше восемнадцати лет. Они должны делать ставки. Ставка представляет собой комбинацию из 6 чисел, выбор находится в диапазоне от 1 до 49. Ставки могут быть сделаны за 20 часов 40 минут до дня официального розыгрыша.
Если участник хочет сделать ставку в терминале, он должен заполнить игровой купон, его можно приобрести в большинстве точек продаж, игрок также может заполнить его в удобное для него время. Считается, что в этой лотерее участвует человек, тогда, когда он обозначает 6 номеров, которые ему удачны, необходимо выбрать из 49 представленных номеров, для каждого розыгрыша отдельно, тогда купон выдается оператору, и ставка оплачивается.
Следующая процедура включает получение чека прогноза, эта операция выполняется после внесения вами платежа по курсу и регистрируется в системе.Участник розыгрыша становится обладателем 2 чеков, один из которых прогнозный, а другой фискальный. Проверка — прогноз является основным и единственным документом, подтверждающим ваше участие в розыгрыше данного типа. Легально получить выигрыш можно только по чеку-предсказанию. Его необходимо сохранить до объявления результатов розыгрыша. Фискальный чек служит только для подтверждения перевода вами денежных средств.
Как заполнить купон?
Такая компания, как Sport-betting, довольно широко распространяет свои купоны на различные типы игр.Заполнить купоны очень просто и быстро. Вам понадобится только темная ручка, чтобы заполнить купон на игру. В поле выбора количества розыгрышей, в которых принимает участие игрок, отмечается только одно значение.
После этого, в зависимости от выбранного вами количества розыгрышей, необходимо заполнить от 1 до 6 полей. Далее идет процедура выбора 6 номеров, которые для вас удачны, но есть еще такая функция, как автоматическое заполнение. Каждое поле полностью соответствует игровой комбинации (ставке).Если вы сделали ошибку при зачеркивании чисел, вы зачеркните в поле «Ошибка» число, которое хотели вычеркнуть, или у вас есть возможность заполнить новое поле.
Подсчитать итоговый общий выигрыш игры достаточно просто, нужно умножить сумму ставки на общее выбранное количество розыгрышей.
Как проходят розыгрыши Спортлото 6 из 49?
Трансляцию представленного лото можно увидеть на республиканском телеканале «Белурас-2».Трансляция проходит 3 раза в неделю в определенное время. Розыгрыш проводится таким образом, что из лототрона в него выпало 49 шаров с номерами от 1 до 49, абсолютно случайно выпало всего 6 шаров. Представленные шары составляют основную игровую комбинацию. Процесс извлечения шара происходит только автоматически. Человек не может контролировать этот процесс и, соответственно, каким-либо образом влиять на исход митинга. Если возникает ситуация, при которой выходит из строя лотерейный барабан, сам организатор по истечении согласованного времени дополнительной телетрансляции проводит еще один розыгрыш, результаты которого будут считаться действительными, а результаты предыдущего — автоматически. признан недействительным.
Где я могу получить свой выигрыш?
Ваш выигрыш, если он составляет до пяти основных значений, можно получить в официальных пунктах компании Sport-bet или специализированных дилерских центрах.
Если ваш выигрыш укладывается в сумму в три миллиона рублей, то его также можно получить в официальных пунктах ставки на спорт.
Что ж, если сумма вашего выигрыша составляет три миллиона рублей и более, то вы можете получить его как наличными, так и на официальный карточный счет игрока после того, как он официально предъявит документ, удостоверяющий личность.
Есть аналог этой лотереи Спортлото 5 из 36. Спортлото 5 из 36 пользуется спросом и в Беларуси. Но ее усы несколько отличаются от описываемой лотереи.
Также хочу отметить, что у вас есть прекрасная возможность узнать ближайшие к вам адреса, по которым производятся выплаты по выигрышам и наличие необходимой суммы в точках продаж. Эти уточнения можно сделать, позвонив по телефону бесплатной горячей линии.
Лотерею Спортлото знают все еще со времен Советского Союза. Это была самая популярная советская лотерея. Поскольку лотерея сегодня сумела выжить, каждый может купить билет и принять участие в розыгрыше.
Само название подчеркивает его направленность — поддержка спорта. — государственная лотерея Минфина РФ. Часть вырученных денег идет на развитие российского спорта.
Как играть — Easy Lottery Rules 6/49
В формуле игры есть четкое указание на то, что необходимо угадать от 3 до 6 номеров шаров из 49 возможных.Участвовать в розыгрыше можно несколькими способами:
Купить лотерейный билет с уже заполненными числами на игровом поле;
Цифры выбирайте сами при покупке.
Купон на игру предлагает 6 строк. Розыгрыши призов проводятся ежедневно в 09:30, 15:30 и 21:30 по московскому времени.
Какие призы я могу выиграть в Спортлото?
Размер денежного приза в Sportloto 6 из 49 зависит от количества угаданных чисел. При угадывании трех чисел игрок получает скромный приз в размере 150 рублей.Чем больше чисел будет угадано, тем больше будет выигрыш. Расчет суммы выигрыша производится от меньшего количества шаров к большему. Сначала рассчитывается сумма выигрыша для тех, кто угадал три числа. Сумма, которая будет выплачена каждому, кто угадает три мяча, является минусом от общего призового фонда. Затем рассчитывается сумма для тех, кто угадал четыре числа и пять. Суперприз, который представляет собой выплату за 6 правильных чисел, меняется с каждым розыгрышем. Иногда победитель получает вознаграждение в несколько миллионов рублей.
Где купить билет — пункты продажи лотереи
Спортлото 6 из 49 билетов продаются в пунктах лотереи «Столото». Официальный сайт Организатора лотереи предлагает приобрести электронный билет и сыграть в игру онлайн.
Как проверить билеты Спортлото 6 из 49 — результаты проверки онлайн
Как вы уже знаете, розыгрыши лотереи проводятся ежедневно, 3 раза в день. В таблицах жеребьевки игроки найдут официальные результаты, что не составит труда. чек Спортлото 6 билетов из 49 розыгрышей на любую дату .. Также игроки могут узнать о разыгранной ставке в точках продажи билетов и на столоте.
Введите 8-значное число в форму проверки и узнайте сумму своего выигрыша наличными.
Форма проверки
Результаты розыгрыша LOTO 6 из 49. На странице находится архив последних 100 результатов. Результаты розыгрыша обновляются каждую среду с 19:00 до 19:30 (время Астаны). Выигрышные номера отображаются в том порядке, в котором они появляются в лототроне.Розыгрыш проводится каждую среду в 18:50 в прямом эфире на 7 канале. Проводится лотерея. Проверьте свой билет LOTO 6/49, проверив таблицу ниже.
Проверить билет LOTO 6 из 49 — Казахстан
Для автоматической проверки билета с тарифами введите числа и нажмите кнопку «ПРОВЕРИТЬ». Если числа в ставке совпадают с выигрышными, они будут выделены зеленым цветом. Оранжевый — если совпадений нет. Бонусный шар выделен синим цветом.
Архив результатов последних 100 розыгрышей
Информация с результатами сегодняшнего (последнего) розыгрыша находится в самом верху таблицы.Выпавшие числа чаще всего считаются под таблицей.
Номер тиража
Дата обращения
Ставки
Выигрышные числа + бонусный шар
91
11.12.2019 последний розыгрыш LOTO 6 из 49
103162
25
36
13
49
33
10
+ 26
90
04.12.2019
86505
37
32
44 год
28 год
41 год
26 год
+ 7
89
27.11.2019
82931
14
18
1
7
43 год
42
+ 24
88
20.11.2019
84248
32
38
10
36
33
2
+ 21
87
13.11.2019
84126
13
45
36
42
18
12
+ 30
86
06.11.2019
81288
44
24
45
36
35 год
31 год
+ 30
85
30.10.2019
79528
37
28 год
11
43 год
26 год
30
+ 15
84
23.10.2019
78207
17
2
38
43 год
3
32
+ 24
83
16.10.2019
82314
10
16
7
14
5
28 год
+ 43
82
09.10.2019
79721
26
23
25
12
32
27
+ 8
81
02.10.2019 г.
75448
32
10
6
24
2
5
+ 8
80
25.09.2019
70718
39
35 год
43 год
7
10
42
+ 25
79
18.09.2019
98589
36
29
10
14
17
12
+ 31
78
11.09.2019
100527
39
43 год
42
7
25
28 год
+ 14
77
04.09.2019
94103
28
45
35 год
36
30
14
+ 15
76
28.08.2019
25
20
22
9
24
48
+ 44
75
21.08.2019
1
29
33
22
34
39
+ 43
74
14.08.2019
88266
42
35 год
36
41 год
1
28 год
+ 48
73
07.08.2019
82989
9
3
37
25
41 год
38
+ 14
72
31.07.2019 г.
65353
33
20
1
42
29
40
+ 34
71
24.07.2019
52336
32
15
20
17
44 год
28 год
+ 3
70
17.07.2019
54417
25
10
47
33
28 год
12
+ 7
69
10.07.2019
54284
9
43 год
45
37
3
16
+ 23
68
03.07.2019
52327
13
39
21 год
31 год
33
9
+ 42
67
26.06.2019
51099
26
18
25
23
3
10
+ 40
66
19.06.2019
54261
7
19
29
42
11
46
+ 12
65
12.06.2019
56453
17
8
45
21 год
24
6
+ 27
64
05.06.2019
54450
47
44 год
41 год
20
16
21 год
+ 22
63
29.05.2019 г.
51698
24
39
4
25
5
30
+ 11
62
22.05.2019
55332
27
30
42
25
29
2
+ 48
61
15.05.2019
55329
5
13
3
32
21 год
35 год
+ 26
60
08.05.2019
56133
5
17
11
18
30
16
+ 49
59
01.05.2019
51988
7
33
26 год
45
25
10
+ 35
58
24.04.2019
54537
7
48
2
41 год
8
10
+ 9
57
17.04.2019
56321
17
1
36
34
22
28 год
+ 11
56
10.04.2019
62311
45
3
47
4
23
2
+ 36
55
03.04.2019
58428
4
34
49
36
8
46
+ 2
54
27.03.2019
103942
41
35 год
9
42
23
17
+ 45
53
20.03.2019
86099
15
30
16
19
41 год
39
+ 26
52
13.03.2019
63177
12
20
35 год
17
49
24
+ 43
51
06.03.2019
54321
14
21 год
36
47
7
24
+ 5
50
27.02.2019
49236
49
32
13
35 год
38
23
+ 14
49
20.02.2019
47816
40
20
21 год
16
31 год
43 год
+1
48
13.02.2019
51647
36
35 год
27
18
1
15
+ 28
47
06.02.2019
47805
32
49
39
30
29
4
+ 40
46
30.01.2019
45946
27
28 год
43 год
14
23
29
+ 41
45
23.01.2019
50695
42
46
15
2
18
29
+ 48
44
16.01.2019
53242
35
39
6
31 год
21 год
8
+ 37
43
09.01.2019
50155
23
6
42
39
8
47
+ 43
42
02.01.2019
43124
46
9
21 год
49
48
42
+ 16
41
26.12.2018 г.
59655
25
40
43 год
46
6
17
+1
40
19.12.2018
57958
24
7
6
47
27
20
+ 41
39
12.12.2018
60283
25
40
32
37
22
24
+ 11
38
05.12.2018
54268
10
16
39
38
20
8
+1
37
28.11.2018
55824
15
35 год
19
14
26 год
17
+ 40
36
21.11.2018
79999
43
37
3
33
46
12
+ 21
35
14.11.2018
44255
19
35 год
22
49
42
47
+ 11
34
07.11.2018
39058
8
25
32
20
26 год
11
+ 33
33
31.10.2018
33223
38
12
47
1
34
32
+ 43
32
24.10.2018
31508
31
42
13
10
8
17
+ 26
31
17.10.2018
30125
5
16
13
14
40
44 год
+ 29
30
10.10.2018
30741
13
40
3
34
4
45
+ 30
29
03.10.2018
29759
27
5
23
16
1
17
+ 29
28
26.09.2018 г.
29182
32
17
43 год
9
6
28 год
+ 30
27
19.09.2018
28288
43
41 год
35 год
8
16
15
+ 29
26
12.09.2018
28409
6
48
30
36
5
18
+ 35
25
05.09.2018
26440
38
32
18
33
27
3
+ 36
24
29.08.2018
25357
9
42
29
2
23
10
+ 18
23
22.08.2018
25750
15
11
4
43 год
26 год
22
+ 44
22
15.08.2018
27382
48
17
20
26 год
11
32
+ 43
21
08.08.2018
25724
23
43 год
3
19
37
34
+ 9
20
01.08.2018
25600
17
35 год
19
21 год
42
36
+ 2
19
25.07.2018 г.
24554
7
10
26 год
14
8
19
+1
18
18.07.2018
26263
18
28 год
49
42
16
14
+ 30
17
11.07.2018
27775
8
42
49
24
28 год
18
+ 16
16
04.07.2018
26551
30
37
18
23
36
8
+ 32
15
27.06.2018
24879
13
25
34
10
44 год
45
+ 48
14
20.06.2018
25330
22
18
9
33
48
13
+ 11
13
13.06.2018
26659
8
23
25
18
47
10
+ 5
12
06.06.2018
24526
42
1
5
7
18
37
+ 12
11
30.05.2018
22040
23
35 год
12
47
18
16
+ 5
10
23.05.2018
22095
39
15
22
3
16
32
+ 7
9
16.05.2018
22761
37
7
45
28 год
47
19
+ 38
8
09.05.2018
22532
48
15
9
42
46
14
+ 32
7
02.05.2018
20926
35
45
47
6
10
48
+ 43
6
25.04.2018
21317
26
28 год
33
16
22
27
+ 34
5
18.04.2018
21055
22
13
10
24
1
9
+ 38
4
11.04.2018
0
35
44 год
7
13
25
5
+ 41
3
04.04.2018
0
26
40
30
5
2
42
+ 25
2
28.03.2018
0
10
43 год
44 год
39
28 год
30
+ 6
1
21.03.2018
0
4
25
1
2
41 год
27
+ 39
Часто выпадающие числа в LOTO 6/49 (последние 100 розыгрышей, включая бонусный шар): 43; 42; 25; десять; 35; 32; 28; шестнадцать; 7; 26;
Таблица выплат
Вы можете узнать точную сумму выигрыша, проверив таблицу.
* UP (%) — установленный фиксированный процент
PF — призовой фонд, не менее 20 000 000 тенге
Призовой фонд в каждой «Выигрышной категории» распределяется между всеми победителями (выигрышные ставки) в этой категории в равных пропорциях, за исключением «Категории 5» и «Категории 6». «с фиксированным выигрышем.
Видео с последнего розыгрыша LOTO 6 из 49
LOTO Draw Видеоархив 6 из 49
Никто точно не знает, когда ждать подарков от судьбы.Одно можно сказать наверняка, если сидеть и вообще ничего не делать, белая полоса в жизни может и не появиться.
Лень работать и нет больших денег, чтобы стать инвестором или начать бизнес? Это намного проще, вы можете попробовать выиграть в лотерею.
Спортлото 6 из 49, розыгрыш, архив, выигрыши — обо всем этом мы сейчас и расскажем. Эта лотерея была запущена в 1970 году и организована Министерством финансов Российской Федерации.
В нее играют миллионы людей, с помощью Интернета нет необходимости искать точки продаж, билеты продаются онлайн.
Где купить билет 6 из 49?
Чтобы не искать очки в реальной жизни, зайдите на сайт Столото, зарегистрируйтесь и начните покупать билеты.
На этом сайте продаются билеты на другие государственные лотереи, в личном кабинете вы можете проверить билет 6 из 49, получить платеж на внутренний счет и затем перевести его любым удобным способом.
Правила лотереи предельно просты. Уже из названия понятно, что нужно делать — выберите 6 номеров из 49 предложенных.По ставкам это лото очень похоже, там все делается так же:
Как видите, можно разметить до 17 чисел, но в этом случае цена билета вырастет. Если проверено только 6 номеров, вы заплатите всего 20 рублей за билет .
За каждый добавленный к билету номер нужно платить отдельно (при желании можно установить множитель или купить сразу несколько билетов):
Суперприз постоянно меняется, в зависимости от количества продаж билетов Собрано 6 из 49:
Билеты, приобретенные через сайт, можно дарить.Оплата производится одним из доступных способов, выбор широк:
Игрокам не нужно заглядывать в 6 архивов из 49. Все ставки отображаются в личном кабинете, показано, какой билет выиграл и какую прибыль он принес. Также здесь можно повторить ставку:
В государственной лотерее выигрывают не только те, кто угадал все числа. При выпадении хотя бы 3 угаданных номеров выплачивается 150 рублей. Больше совпадений — больше выплат, суммы зависят от средств, собранных для продажи билетов:
4 угаданных числа — 22%
5 угаданных чисел — 10%
5 угаданных чисел и бонусный шар — 16%
6 угаданных чисел — 52% и суперприз
Если никто не угадает все числа, накопительный приз переходит в следующий розыгрыш 6 из 49.Выигрыши в этой спортивной лото не редкость, вы можете увидеть, кто недавно стал победителем, на сайте:
Государственные лотереи помогают собрать средства для различных целей. Например, в 2010 году средства использовались для финансирования зимних Олимпийских игр, а в 2014 году деньги были использованы для финансирования зимних Паралимпийских игр.
Как проверить билет 6 из 49?
Вы купили билет, но не знаете, как его узнать? Это можно сделать двумя способами: перейдя в архив тиражей 6 из 49 или с помощью инструмента проверки тикетов.Для этого даже не нужно регистрироваться. Перейдите в Столото и через главную страницу перейдите по одной из ссылок.
Sportloto 6 из 49 проверяют ваш выигрыш. «Кому-то, должно быть, везет»
Немного о лотереях
В числовых лотереях одна простая комбинация равновероятна и является «единым неделимым объектом». Другими словами, в пространстве полного массива все элементы (мысленно представьте — «кубики») имеют одинаковый размер, следовательно, нет приоритетных индивидуальных комбинаций.Невозможно выделить из всего множества «универсальных комбинаций», которые «всегда» будут играть лучше других, так как лотерейный барабан или генератор тиражей равновероятны! Что самое поразительное, этого не понимают даже многие опытные игроки.
Перейдем к самой естественной статистике числовых лотерей — комбинаторной статистике.Для этого все комбинации, которые сыграли, например, в лотерее 5 из 36, необходимо перевести в их порядковые номера (индексы) в полном массиве. Затем вы можете построить график распределения этих комбинаций во всем пространстве массива, соблюдая интервалы и расположение в истории обращения. Каждая точка на этом графике представляет фактическую сыгранную комбинацию во всем пространстве массива. Поскольку каждая отдельная комбинация равномерно распределяется по всему массиву, мы можем разделить это пространство на равные части (сектора).
Разделите весь массив из 376992 комбинаций, скажем, — на 12 равных частей — секторов — 31416 комбинаций.
Все комбинации, которые фактически разыграны на данный момент в лотерее 5 из 36 (равновероятное распределение), выбранный сектор — любой
Подсчитаем количество совпадений для каждого сектора за последние 500 отпечатков. В среднем будет примерно одинаковое количество комбинаций, попадающих в любой сектор — 41 раз. Вероятность совпадения любого сектора составляет 376,992 / 31416 = 1 раз из 12 розыгрышей (в среднем) При 500 розыгрышах любой сектор будет играть 500/12 = 41 раз (в среднем) или 4 раза при 50 розыгрышах или 2 раза в 25 Если комбинация играет в выбранном секторе, то шанс джекпота увеличивается в 12 раз для одной простой комбинации из этого сектора и будет равен 1 из 31416. Если в игре 10 комбинаций, то 1 в 3141.
Что такое автономная комбинация?
Давайте посмотрим, что представляет собой отдельная комбинация на примере лотереи 5 из 36.Всего в лотерее 376 992 таких комбинации. Каждая комбинация имеет свой порядковый номер в полном массиве (индекс — ячейка).
Первая комбинация (000001) = 01-02-03-04-05 … Последняя комбинация (376992) = 32-33-34-35-36 = 376992 шт.
Абсолютно любая комбинация в полном массиве ничем не отличается от других по вероятности совпадения. Чтобы лучше это понять, вам нужно представить 376 992 отдельных лотерейных шара, на которых указаны все 376 992 комбинации. Сложно представить такое количество, и уж тем более чтобы поместиться в картинку, я покажу лишь несколько мячей из 376992 штук.
Проведем мысленный эксперимент — поместим эти шары в огромный лотерейный барабан, который выбрасывает только один шар за каждый розыгрыш с комбинацией, указанной на этом шаре. Не следует забывать, что после каждого последнего розыгрыша выпавший шар с указанной на нем комбинацией забрасывается обратно в тот же лототрон. Таким образом, к следующему розыгрышу все комбинации снова будут на своих местах, и когда лотерейный барабан будет запущен, они будут смешаны наравне со всеми остальными.
Если сложно представить вариант с шарами , то попробуем представить себе огромное колесо рулетки, где каждая ячейка для шара представляет собой комбинацию. Таких ячеек 376 992, так как такое колесо с накаткой тоже не влезет в картинку, для общего понимания нарисуем лишь мизерную часть с комбинациями — я выбрал начальную и конечную.
Присмотритесь к картинке — «колесо» разделено на равные ячейки (равновероятные комбинации), а мяч (генератор рисунка) может попасть в любую лунку (ячейка — индекс), как бы мы ни обозначили эти клетки (даже с картинками).После розыгрыша (вращения) колесо не уменьшается — все клетки остаются на своих местах.
Примечание: еще раз обращаю ваше внимание — я пишу о целом простом одиночном сочетании. Для каждой отдельной комбинации (ячейки) смысл полностью теряется, в любых четных, нечетных, суммах, интервалах между числами, повторах, последовательных числах и другом — поскольку комбинация представляет собой единое целое и обозначает ячейку (индекс) в полный массив, а их огромное количество.
Для следующих игр мы можем отследить только отдельные участки массива (секторы, диапазоны, группы чисел), поэтому мы увеличим наши шансы на главный приз (в индивидуальных запусках) в десятки и даже сотни раз.Зависит от того, какой сектор (массив, диапазон) мы угадываем.
Возьмем для примера 24 числа (лотерея 6 из 45), выбранных случайным образом.
Рассчитаем вероятность полного и частичного совпадения на реальной истории тиражей упрощенным способом (простой расчет и достаточно точный для большого количества тиражей), затем воспользуемся специальной функцией ГИПЕРГЕОМЕТ, которая присутствует в таблицах Excel. .Это статистическая функция, которую можно использовать для расчета вероятности полного или частичного совпадения.
(нажмите для увеличения)
Скачано 2311 тиражей лотереи 6-45.
1. Одно совпадение было показано в 128 распечатках 2311/128 = от 1 до 18,1. ГИПЕРГЕОМЕТ = от 1 до 16,6.
2. Два совпадения, представленные в 472 отпечатках 2311/472 = от 1 до 4,9 HYPERGEOMET = от 1 до 4,9
3. На 754 отпечатках было показано три совпадения. 2311/754 = 1 до 3,1 HYPERGEOMET = 1 до 3,02
4. Четыре совпадения были показаны в 659 распечатках. 2311/659 = от 1 до 3,5 HYPERGEOMET = от 1 до 3,6
5. В 249 распечатках было показано пять совпадений. 2311/249 = от 1 до 9,3 HYPERGEOMET = от 1 до 9,12
6. В 37 распечатках было показано шесть совпадений. 2311/37 = 1 к 62,5 ГИПЕРГЕОМЕТ = от 1 до 60,51
Как видите, вероятность полного и частичного совпадения практически полностью совпадает с расчетными значениями.Это означает, что генератор лотереи выдает равновероятные комбинации. При генерации или разметке вручную любых маркеров значения будут немного отличаться, но они будут близки к теоретическим. Чем больше загружена история тиражей, тем точнее результат. В связи с тем, что количество копий в архиве катастрофически мало, мы используем группы номеров достаточной длины.
Из равномерного (равновероятного) распределения следует еще один вывод : не имеет значения, какие числа входят в группу чисел — четные, нечетные, верхняя часть игрового поля или нижняя и т. Д.Важно только количество чисел в группе, от которого напрямую зависит вероятность. Смотрим на скриншот — отмечены маркеры в количестве 18 чисел — случайный, верхняя часть, четность.
(нажмите для увеличения)
Особых различий в интенсивности совпадения 5 чисел нет. . Другими словами, генератор циркуляции равномерно обращает внимание на любые отмеченные маркеры, даже если вы «рисуете» на игровом поле. Иногда «советуют» играть так называемыми «фигурами» — это ничего не изменит с точки зрения вероятности совпадения — любая «фигура» будет играть с той же частотой, что и «не-фигура»…
Теперь мы точно знаем — любая отмеченная группа чисел в равных числах имеет одинаковую вероятность совпадения. Почему? Потому что это происходит из равновероятных простых комбинаций. В таком случае, как узнать, какая группа может быть более вероятной для следующих игр?
Генераторы стратегических комбинаций для номерных лотерей
Когда вы понимаете, что единственная комбинация равновероятна, то некоторые люди совершенно запутались в общей статистике 🙂
Например, почему «четно-нечетное» играет в «большинстве» в определенной пропорции, или почему «сумма» играет в среднем диапазоне и т. Д.Получается, что комбинации кажутся не равновероятными? На этот вопрос легко ответить, точно осознав, что единственная комбинация равновероятна. Так почему же комбинации типа «нравится играть» в определенных пропорциях, диапазонах, суммах — если они равновероятны?
Потому что мы «выделяем» этой информацией массивы равновероятных одиночных комбинаций. Здесь важно знать, сколько комбинаций получилось в выбранных секторах. Массивы комбинаций, отмеченные статистической информацией — содержат разное количество равновероятных комбинаций, поэтому эти массивы имеют разную вероятность совпадения.
Рассмотрим на примере статистики четные, нечетные числа
Попробуем разобраться в одном из популярных советов при выборе комбинации: выберите комбинации, содержащие равное количество четных и нечетных чисел
Давайте разберемся, почему это происходит … В лотерее 5 из 36 наиболее распространенные нечетные и четные будут выглядеть так: 2 четных — 3 нечетных, или 3 четных — 2 нечетных.Подсчитываем количество (четное — нечетное) всех возможных комбинаций в лотерее 5 из 36
Чтобы лучше понять, почему лотерейный барабан или генератор случайных чисел для розыгрыша пытается выбрасывать такие комбинации чисел в комбинациях, Обратимся для наглядности к колесу рулетки, которое является не чем иным, как равновероятным генератором случайных чисел, если, конечно, он не перекос 🙂
Распределим все комбинации по атрибуту чет-нечет вместе и согласно таблице нарисуем круговую диаграмму — представим, что это отмеченные сектора на колесе рулетки
Сложим мысленно наибольшие сектора которые содержат 124848 комбинаций вместе = 124848 штук (2 четных — 3 нечетных) + 124848 штук (3 нечетных — 2 четных) = 249696 комбинаций из 376992 возможных, или 66.23%, или шанс этих двух секторов составляет 376992/249696 = от 1 до 1,5 для каждого спина (розыгрыша) или примерно 33 числа из 36.
Поэтому при каждом тесте (вращении рулетки) лотерейного барабана или генератор дро, комбинации из этого сектора в большинстве случаев будут играть с соотношением паритета 2-3 или 3-2.
В данном примере проигрывается не отдельная комбинация — здесь играет выделенный «огромный сектор» с комбинациями, то есть мы отметили около 33 чисел из 36, конечно, почти всегда такое количество чисел «зацепят» все призовые!
Почему паритет в комбинациях типа 2-3 или 3-2? Все объясняется накладными расходами десятичной системы, которая кодирует всю комбинацию.Каждая отдельная цельная (полная) комбинация просто обозначает ячейку из 376992 штук. Вспоминая мысленный эксперимент с мячом , в котором комбинация указана полностью, или пример с колесом рулетки, где каждая комбинация просто обозначает ячейку и является неделимой. А то, как мы выбираем массив комбинаций, не имеет значения. Просто по этим знакам (чет-нечет) удобно следить за частью массива — сектором.
Если мы сгенерируем какие-либо случайные комбинации для одинакового количества комбинаций (2469696 штук), несмотря на эти пропорции, то ничего не изменится с точки зрения вероятности совпадения результирующего массива (сектора) (1 к 1.5). Любой равновероятный генератор случайных комбинаций как бы сам последует этому совету (без всяких фильтров) — что интересно, никто его специально не программирует , вставляя в него инструкцию (алгоритм), выдавать именно такие комбинации чисел.
Не верите? Убедитесь сами!
1. Просмотрите историю розыгрышей — большинство четно-нечетных комбинаций будут типа 2-3, 3-2 (5 из 36) и 3-3 (6 из 45). 2. Возьмите любой генератор случайных чисел, комбинаций — сгенерируйте и запишите получившиеся комбинации, затем проверьте.
Вывод:
Скорее всего, такой совет адресован тем, кто заполняет тикеты вручную, без программного обеспечения, даже простой генератор случайных комбинаций сам последует этому совету.
Этот совет малопригоден для нас, так как сектор содержит две трети всех комбинаций, а не рулетку, потому что мы играем на десятки, где шанс от 1 до 3.
Этот совет подходит для очень редких лотерей, хотя и не сильно поможет.
Правильнее попробовать угадать сектора 1-4, 4-1, а при достаточно частых обращениях 5-0, 0-5 (ожидание среднего периода)
В 2016 году было проведено 1078 розыгрышей Спортлото 6 из 49 лотерей. За этот период собрано (в среднем) 452 683 рубля за тираж. Учитывая, что ставки в «6 из 49» стоят всего 20 рублей, получается, что в каждом розыгрыше участвует чуть более 20 тысяч комбинаций, что смехотворно мало для лотереи с такой числовой формулой.Поскольку вероятность угадать 6 из 49 равна 1 из 13 983 816, то при текущем количестве ставок вряд ли стоит ожидать, что главный приз будет угадываться чаще, чем 1-2 раза в год.
Почему шестерка при такой «массивности» даже пятерка не угадывается в каждом розыгрыше (шанс 1 из 54 201)
Антирекорд 2016, тираж 24236 — задействовано всего 6200 комбинаций
Лотерея Спасает только небольшая стоимость ставки по сравнению с другими играми.Все-таки 20 рублей, что в пять раз меньше, чем во флагманских лотереях Столото. Но есть и существенный минус — плата за пятерку невелика, 30-45 тысяч рублей. В той же лотерее Гослото «6 из 45» шанс угадать пятерку еще выше — 1 к 34 808, и выплата по ней выше. Иногда в десять и более раз …
Тем не менее, лотерея Спортлото 6 из 49 работает, ее оборот растет из года в год — в 2015 году он был 202 миллиона, в 2016 году он вырос более чем вдвое и составил 487 миллионов рублей.Влияние низкой базы в прошлом и небольшой, по сравнению с другими лотереями, стоимости ставки сказывается. Средний оборот на один тираж тоже растет, показатели 2016 года наглядно показывают это
лотерея 6 из 49 за 2016 год, оборот за 2016 год, с тиража №24231 по №25308 (кроме двух)
Но, на диаграмме выше я намеренно исключил данные из двух прогонов. Поскольку они сильно меняют общую картину. Вот так это выглядит с учетом всех тиражей.
лотерея 6 из 49 за 2016 год, оборот за 2016 год, с тиража №24231 по №25308
На фоне средних значений, при обороте одного розыгрыша плюс / минус 500 тысяч рублей — цифры Из этих тиражей впечатляют — № 24996 сборы составили 28 267 400 рублей, № 25216 — 21 743 760 рублей. Это в 40-50 раз больше обычного! Две редакции принесли оператору 50 миллионов рублей, почти 10% годового оборота! В чем секрет? Все просто — это раздача тиражей
Раздача накопленных
По закону, если в течение года никто не угадал главный приз, оператор обязан провести розыгрыш раздачи, в котором накопленная сумма будет принудительно разделена на другие. призовые категории.Это интересный вариант для игроков, так как выплаты выше, чем обычно. Если никто не угадает главный приз.
тир. , 30 ноября 2016 г. Игроки сделали 1 087 188 ставок (366 833 квитанции). Выигрышная комбинация: 33, 39, 30, 23, 31, 10 и бонусный шар 45. Никто не угадал ни 6 номеров, ни 5 + 1
3 числа — 300 рублей
4 числа — 7 225 рублей
5 номеров — 1 101 123 руб.
5 номеров совпали в 9 лотерейных билетах.Владельцы восьми из них получили приз в размере 1101 123 рубля каждый, а один — благодаря расширенной ставке — выиграл 4 633 242 рубля.
В 2017 году раздача тиража произошла совсем недавно, 19 июля тираж № 25900 К этому времени уже накопилось более 30 миллионов, которые планировалось разыграть. Раздача предполагалась по старой схеме — 150 дополнительных рублей за 3 угаданных номера. Оставшаяся сумма была распределена в следующем процентном соотношении:
Правильные 4 числа — 35%
Правильные 5 чисел — 30%
5 правильных чисел + бонусный шар — 35%.
Вдохновленные возможностью снова участвовать в разделе пирогов, игроки сделали рекордное количество ставок — 2 229 714 (778 658 квитанций). Но раздача не состоялась. Распространять было нечего. Потому что один из участников угадал 6 чисел и в одиночку выиграл рекордный приз — 39 827 827. руб.
Известно, что билет был оформлен в Москве на stoloto.ru. Больше информации о победителе нет. Как и другие подробности или новости — посетил ли победитель офис Столото, забрал ли он свой приз — всего этого мы пока не знаем.И мы вряд ли вообще узнаем, скорее всего, победитель пополнит ряды, о которых никто никогда не слышал. И он не услышит.
Результаты розыгрыша LOTO 6 из 49. На странице находится архив последних 100 результатов. Результаты розыгрыша обновляются каждую среду с 19:00 до 19:30 (время Астаны). Выигрышные номера отображаются в том порядке, в котором они появляются в лототроне. Розыгрыш проводится каждую среду в 18:50 в прямом эфире на 7 канале. Проводится лотерея. Проверьте свой билет LOTO 6/49, проверив таблицу ниже.
Проверить билет LOTO 6 из 49 — Казахстан
Для автоматической проверки билета с тарифами введите числа и нажмите кнопку «ПРОВЕРИТЬ». Если числа в ставке совпадают с выигрышными, они будут выделены зеленым цветом. Оранжевый — если совпадений нет. Бонусный шар выделен синим цветом.
Архив результатов последних 100 розыгрышей
Информация с результатами сегодняшнего (последнего) розыгрыша находится в самом верху таблицы. Выпавшие числа чаще всего считаются под таблицей.
Номер тиража
Дата обращения
Ставки
Выигрышные числа + бонусный шар
91
11.12.2019 последний розыгрыш LOTO 6 из 49
103162
25
36
13
49
33
10
+ 26
90
04.12.2019
86505
37
32
44 год
28 год
41 год
26 год
+ 7
89
27.11.2019
82931
14
18
1
7
43 год
42
+ 24
88
20.11.2019
84248
32
38
10
36
33
2
+ 21
87
13.11.2019
84126
13
45
36
42
18
12
+ 30
86
06.11.2019
81288
44
24
45
36
35 год
31 год
+ 30
85
30.10.2019
79528
37
28 год
11
43 год
26 год
30
+ 15
84
23.10.2019
78207
17
2
38
43 год
3
32
+ 24
83
16.10.2019
82314
10
16
7
14
5
28 год
+ 43
82
09.10.2019
79721
26
23
25
12
32
27
+ 8
81
02.10.2019 г.
75448
32
10
6
24
2
5
+ 8
80
25.09.2019
70718
39
35 год
43 год
7
10
42
+ 25
79
18.09.2019
98589
36
29
10
14
17
12
+ 31
78
11.09.2019
100527
39
43 год
42
7
25
28 год
+ 14
77
04.09.2019
94103
28
45
35 год
36
30
14
+ 15
76
28.08.2019
25
20
22
9
24
48
+ 44
75
21.08.2019
1
29
33
22
34
39
+ 43
74
14.08.2019
88266
42
35 год
36
41 год
1
28 год
+ 48
73
07.08.2019
82989
9
3
37
25
41 год
38
+ 14
72
31.07.2019 г.
65353
33
20
1
42
29
40
+ 34
71
24.07.2019
52336
32
15
20
17
44 год
28 год
+ 3
70
17.07.2019
54417
25
10
47
33
28 год
12
+ 7
69
10.07.2019
54284
9
43 год
45
37
3
16
+ 23
68
03.07.2019
52327
13
39
21 год
31 год
33
9
+ 42
67
26.06.2019
51099
26
18
25
23
3
10
+ 40
66
19.06.2019
54261
7
19
29
42
11
46
+ 12
65
12.06.2019
56453
17
8
45
21 год
24
6
+ 27
64
05.06.2019
54450
47
44 год
41 год
20
16
21 год
+ 22
63
29.05.2019 г.
51698
24
39
4
25
5
30
+ 11
62
22.05.2019
55332
27
30
42
25
29
2
+ 48
61
15.05.2019
55329
5
13
3
32
21 год
35 год
+ 26
60
08.05.2019
56133
5
17
11
18
30
16
+ 49
59
01.05.2019
51988
7
33
26 год
45
25
10
+ 35
58
24.04.2019
54537
7
48
2
41 год
8
10
+ 9
57
17.04.2019
56321
17
1
36
34
22
28 год
+ 11
56
10.04.2019
62311
45
3
47
4
23
2
+ 36
55
03.04.2019
58428
4
34
49
36
8
46
+ 2
54
27.03.2019
103942
41
35 год
9
42
23
17
+ 45
53
20.03.2019
86099
15
30
16
19
41 год
39
+ 26
52
13.03.2019
63177
12
20
35 год
17
49
24
+ 43
51
06.03.2019
54321
14
21 год
36
47
7
24
+ 5
50
27.02.2019
49236
49
32
13
35 год
38
23
+ 14
49
20.02.2019
47816
40
20
21 год
16
31 год
43 год
+1
48
13.02.2019
51647
36
35 год
27
18
1
15
+ 28
47
06.02.2019
47805
32
49
39
30
29
4
+ 40
46
30.01.2019
45946
27
28 год
43 год
14
23
29
+ 41
45
23.01.2019
50695
42
46
15
2
18
29
+ 48
44
16.01.2019
53242
35
39
6
31 год
21 год
8
+ 37
43
09.01.2019
50155
23
6
42
39
8
47
+ 43
42
02.01.2019
43124
46
9
21 год
49
48
42
+ 16
41
26.12.2018 г.
59655
25
40
43 год
46
6
17
+1
40
19.12.2018
57958
24
7
6
47
27
20
+ 41
39
12.12.2018
60283
25
40
32
37
22
24
+ 11
38
05.12.2018
54268
10
16
39
38
20
8
+1
37
28.11.2018
55824
15
35 год
19
14
26 год
17
+ 40
36
21.11.2018
79999
43
37
3
33
46
12
+ 21
35
14.11.2018
44255
19
35 год
22
49
42
47
+ 11
34
07.11.2018
39058
8
25
32
20
26 год
11
+ 33
33
31.10.2018
33223
38
12
47
1
34
32
+ 43
32
24.10.2018
31508
31
42
13
10
8
17
+ 26
31
17.10.2018
30125
5
16
13
14
40
44 год
+ 29
30
10.10.2018
30741
13
40
3
34
4
45
+ 30
29
03.10.2018
29759
27
5
23
16
1
17
+ 29
28
26.09.2018 г.
29182
32
17
43 год
9
6
28 год
+ 30
27
19.09.2018
28288
43
41 год
35 год
8
16
15
+ 29
26
12.09.2018
28409
6
48
30
36
5
18
+ 35
25
05.09.2018
26440
38
32
18
33
27
3
+ 36
24
29.08.2018
25357
9
42
29
2
23
10
+ 18
23
22.08.2018
25750
15
11
4
43 год
26 год
22
+ 44
22
15.08.2018
27382
48
17
20
26 год
11
32
+ 43
21
08.08.2018
25724
23
43 год
3
19
37
34
+ 9
20
01.08.2018
25600
17
35 год
19
21 год
42
36
+ 2
19
25.07.2018 г.
24554
7
10
26 год
14
8
19
+1
18
18.07.2018
26263
18
28 год
49
42
16
14
+ 30
17
11.07.2018
27775
8
42
49
24
28 год
18
+ 16
16
04.07.2018
26551
30
37
18
23
36
8
+ 32
15
27.06.2018
24879
13
25
34
10
44 год
45
+ 48
14
20.06.2018
25330
22
18
9
33
48
13
+ 11
13
13.06.2018
26659
8
23
25
18
47
10
+ 5
12
06.06.2018
24526
42
1
5
7
18
37
+ 12
11
30.05.2018
22040
23
35 год
12
47
18
16
+ 5
10
23.05.2018
22095
39
15
22
3
16
32
+ 7
9
16.05.2018
22761
37
7
45
28 год
47
19
+ 38
8
09.05.2018
22532
48
15
9
42
46
14
+ 32
7
02.05.2018
20926
35
45
47
6
10
48
+ 43
6
25.04.2018
21317
26
28 год
33
16
22
27
+ 34
5
18.04.2018
21055
22
13
10
24
1
9
+ 38
4
11.04.2018
0
35
44 год
7
13
25
5
+ 41
3
04.04.2018
0
26
40
30
5
2
42
+ 25
2
28.03.2018
0
10
43 год
44 год
39
28 год
30
+ 6
1
21.03.2018
0
4
25
1
2
41 год
27
+ 39
Часто выпадающие числа в LOTO 6/49 (последние 100 розыгрышей, включая бонусный шар): 43; 42; 25; десять; 35; 32; 28; шестнадцать; 7; 26;
Таблица выплат
Точную сумму выигрыша можно узнать, проверив таблицу.
* UP (%) — установленный фиксированный процент
PF — призовой фонд, не менее 20 000 000 тенге
Призовой фонд в каждой «Выигрышной категории» распределяется между всеми победителями (выигрышные ставки) в этой категории в равных пропорциях, за исключением «Категории 5» и «Категории 6». «с фиксированным выигрышем.
Видео с последнего розыгрыша LOTO 6 из 49
LOTO Draw Видеоархив 6 из 49
Спортлото 6 из 49 — возрожденная легенда советских времен.
Это числовая лотерея, для участия в которой достаточно заполнить игровой купон и оплатить лотерейную квитанцию. Основное отличие Sportloto 6 из 49 от других игр, в которых участники выбирают числа самостоятельно, — это бонусный шар, который выдается лотерейным оборудованием после формирования выигрышной комбинации из 6 чисел. Если его номер совпадает с одним из номеров вашей ставки, в котором уже угадано 5 номеров, сумма выигрыша, полученного вами за 5 номеров, увеличится.Бонусный шар принадлежит к тому же набору шаров, что и основная игровая комбинация, поэтому только в Sportloto 6 из 49 встречаются случаи, когда 6 номеров в одном билете можно угадать 2 раза (точнее, 6 номеров выигрышной комбинации + комбинация «5 номеров + бонусный шар»)!
Как проводится лотерея?
Розыгрыш «Спортлото 6 из 49» проводится в режиме реального времени. Это означает, что информация о каждом купленном билете моментально попадает в базу игровых комбинаций, где хранятся параметры каждой сделанной ставки — от ее значения до места и времени регистрации.По результатам розыгрыша эта система позволяет мгновенно определить количество выигрышных ставок и сумму выигрыша в каждой категории.
Вся информация дублируется на специальном сервере Министерства спорта, туризма и молодежной политики, что гарантирует надежность и прозрачность лотереи.
Где купить Спортлото 6 из 49 билетов?
Чтобы принять участие в игре «Спортлото 6 из 49», выберите любой из перечисленных ниже вариантов.
Как играть в Спортлото 6 из 49?
Цель игры — угадать от 3 до 6 чисел на одном игровом поле.Для участия в розыгрыше необходимо заполнить игровой купон и оплатить лотерейную квитанцию. В купоне 6 полей.
Минимальная лотерейная ставка «Спортлото 6 из 49» включает 6 номеров на одном игровом поле и стоит 20 рублей. Если вы выбираете более 6 номеров на одном игровом поле, такая ставка называется расширенной и включает не одну, а несколько комбинаций из 6 чисел. Вероятность и сумма выигрыша по расширенной ставке значительно выше. За расширенную ставку на столото.ru вы можете выбрать от 7 до 17 номеров на одном игровом поле. Для расширенной ставки на бумажный купон вы можете выбрать от 7 до 19 чисел. Если вы хотите, чтобы эти комбинации участвовали в нескольких розыгрышах, укажите количество розыгрышей в специальной строке внизу купона.
Отметил номеров в поле
Получено комбинаций
Стоимость, руб.
6
1
20
7
7
140
8
28
560
9
84
1 680
10
210
4 200
11
462
9 240
12
924
18 480
13
1 716
34 320
14
3 003
60 060
15
5 005
100 100
16
8 008
160 160
17
12 376
247 520
18
18 564
371 280
19
27 132
542 640
Как сделать ставку на столото.RU?
Выберите от 6 до 17 чисел на игровом поле. Если вы хотите, чтобы компьютер выбирал числа за вас, нажмите «Автоматически». В каждом купоне можно заполнить от 1 до 6 игровых полей. Если вы хотите, чтобы эти комбинации появлялись в нескольких розыгрышах, укажите количество розыгрышей. Переход к следующему купону билета находится внизу страницы.
После завершения выбора обязательно проверьте значение ставки. Затем нажмите кнопку «Добавить в корзину», и все заполненные вами купоны будут перемещены в корзину.
Вы можете оплатить обе квитанции одновременно — с помощью Кошелька или пластиковой карты — или каждую по отдельности, выбрав удобный для вас способ оплаты.
Если вы выиграли, на номер, который вы указали при регистрации, будет отправлено SMS-сообщение с кодом для получения выигрыша. Обязательно сохраните этот код, без него вы не сможете получить свой выигрыш!
Как сделать ставку по SMS?
Самый простой способ сделать автоматическую ставку на одном игровом поле … Для этого нужно отправить текст со своего мобильного телефона 649 на короткий номер 9999 и ответьте на служебное сообщение оператора. Квитанция появится в вашем личном кабинете в течение одного-двух часов.
Оплатить ставку можно не только с баланса мобильного телефона, но и из игрового кошелька на сайте stoloto.ru (текст для отправки: 649 s ) или из QIWI Wallet (текст для отправки: 649 на ). Если вы хотите отправить определенные числа, добавьте их через пробел после 649.Чтобы сделать ставку на несколько игровых полей, разделите игровые поля знаком / .
Максимальная сумма платежей в день зависит от поставщика услуг.
Что означает закрытие продаж?
Ставки на следующий розыгрыш принимаются до начала розыгрыша. После закрытия торгов ставки подсчитываются и рассчитывается призовой фонд розыгрыша. Ставки, сделанные после начала розыгрыша, автоматически переходят к следующему розыгрышу.
Призовой фонд игры составляет 50% от доходов от лотерейных ставок, проданных для розыгрыша.
Как проходят розыгрыши?
Розыгрыши «Спортлото 6 из 49» проводятся трижды в день в 09:30, 15:30 и 21:30 по московскому времени в присутствии жеребьевки. Для определения выигрышной комбинации используется лотерейное оборудование «Генератор случайных чисел». Учет ставок и начисление выигрышей полностью автоматизированы и исключают возможность вмешательства третьих лиц. В розыгрыше призового фонда розыгрыша участвуют только оплаченные лотерейные квитанции, отражающие выбранные участниками игровые комбинации.
Выигрышная комбинация состоит из 6 чисел и определяется в течение нескольких секунд. После этого результаты автоматически подсчитываются, и жеребьевка подписывает протокол.
В соответствии со статьей 18 Федерального закона «О лотереях» организатором лотереи создается жеребьевочная комиссия для розыгрыша призового фонда каждого розыгрыша розыгрыша лотереи.
В функции жеребьевочной комиссии входят:
проверка готовности лотерейного оборудования к работе; проведение розыгрыша призового фонда розыгрыша лотереи; подтверждение результатов жеребьевки путем подписания соответствующего акта и официальной таблицы результатов жеребьевки, то есть протокола жеребьевки.
Как распределяется призовой фонд в игре Sportloto 6 из 49?
Минимальный гарантированный суперприз — 10 000 000 рублей.
После определения выигрышной комбинации рассчитываются результаты. Ставки, в которых 6, 5, 4 или 3 числа совпадают с номерами комбинации, выданной генератором случайных чисел, выигрывают. Ставка, в которой 5 чисел совпадают с числами выигрышной комбинации и одно число — с числом бонусного шара, также считается выигрышной.Призовой фонд игры составляет 50% от выручки.
Выигрыш в игре «Спортлото 6 из 49» за 3 правильных номера фиксированный и составляет 150 рублей. Выигрыши в остальных категориях определяются после подсчета выигрышей за 3 матча. Фонд выплат для всех остальных категорий определяется как разница между размером призового фонда розыгрыша и суммой, подлежащей выплате за 3 матча. Данный фонд распределяется по категориям в следующем процентном соотношении:
.
Для выплаты выигрыша за 4 правильных номера — 22% Для выплаты выигрыша за 5 правильных номеров — 10% Для выплаты выигрыша за 5 угаданных номеров + бонусный шар — 16% Для выплаты выигрыша за 6 угаданных номеров (суперприз) — 52% + накопленный суперприз
Если в текущем розыгрыше никто не угадает 6 номеров, накопленная сумма переводится в следующий розыгрыш.Таким образом, суперприз за 6 правильных номеров в игре Sportloto 6 из 49 накапливается от одного розыгрыша к другому, пока он не будет разыгран. Если в течение года никто не угадает все 6 чисел, проводится розыгрыш розыгрыша.
Размер выигрыша по расширенной ставке (например, 6 угаданных номеров) определяется следующим образом: рассчитывается количество комбинаций из 6 чисел, которые могут быть составлены из сделанной ставки, после чего рассчитываются выигрыши по каждой комбинации и суммируются общие выигрыши.Затем подсчитывается количество комбинаций для выигрышей в других категориях, и выигрыши по ним прибавляются к сумме, присужденной за 6 номеров.
Как узнать результаты розыгрыша и проверить билет?
С результатами розыгрышей можно ознакомиться на сайте stoloto.ru, а также по телефону +7 499 27-027-27. .
Как мне получить свой выигрыш?
Чтобы получить приз, свяжитесь с нашим представителем и предъявите лотерейный билет и паспорт.
Победители могут подать заявку на получение приза в течение 6 месяцев с даты проведения соответствующего розыгрыша.
По истечении 6 месяцев с даты розыгрыша вы можете получить приз, обратившись только в центральный офис.
Выплата выигрышей до 2 000 рублей производится в пунктах раздачи лотерейных билетов.
Выигрыш свыше 2000 рублей Вы также можете получить его в пунктах выдачи лотерейных билетов.Уточняйте размер выигрыша, подлежащего выплате, в конкретном пункте выдачи билетов при покупке и в разделе «Где купить» или по телефону информационной поддержки +7 499 27-027-27. .
Выигрыши свыше 1 000 000 рублей выплачиваются только безналичным расчетом. Для оформления документов необходим личный визит в центральный офис.
Как получить приз в вашем конкретном случае, уточняйте по телефону +7 499 27-027-27 .
Налог на выигрыш в лотерее Спортлото 6 из 49 составляет 13%. Налог оплачивает сам победитель. Налоговые декларации подаются до апреля года после получения вашего выигрыша. Выплата налоговых отчислений осуществляется до июня года, следующего за получением приза.
Организатор лотереи : Министерство финансов Российской Федерации.
Юридический адрес : Россия, 109097, г. Москва, ул. Ильинка, 9.
Вот уже целых 8 лет Компания «FUN-FORMULA» успешно занимается организацией детских праздников в Москве и является лидером в сфере детской ивент-индустрии в г. Москва, осуществляет партнерскую работу с крупными торгово-развлекательными центрами, ресторанами и детскими клубами, а также – организовывает детские праздники для детей частного сегмента Клиентов.
В арсенале нашей Компания «FUN-FORMULA» – более 150-ти самых популярных сценариев интерактивных представлений ко Дню Рождения, более 50-ти детских мастер-классов и столько же креативных детских шоу-программ. Каждая из программ полностью подготовлена для реализации на любой площадке – будь то – ресторан, торгово-развлекательный центр или Ваш загородный дом.
В своей работе мы используем — оригинальный игровой стафф, качественные костюмы. Вас окружают внимательные менеджеры и конечно же реализуют мероприятия лучшие исполнители – артисты и ведущие детских праздников и мастер-классов. Залогом успеха является постоянный контроль качества организации и проведения детских праздников и высокий уровень клиент-ориентированности персонала Компании, оценить который Вы имеете возможность прямо сейчас.
Если Вам предстоит организация детского праздника – доверьте ее Компании «FUN-FORMULA», и станьте нашим постоянным Клиентом. Для Вас уже создана система лояльности с БОНУСАМИ и дополнительными привилегиями при организации и проведении детских праздников для Вашего бизнеса и Вашей семьи.
Компании «FUN-FORMULA» организовывает детские праздники на территории г. Москва, а также осуществляет гастроли на территории стран СНГ. К открытию готовятся филиалы – цель которых – оказание высококачественных услуг по организации и проведению детских праздников за пределами России.
Мы благодарим наших Клиентов за оказанное нам доверие.
Нам приятно нести позитивную энергию и вдохновлять Вас и Ваших детей.
Добро пожаловать на наш сайт!
Популярные детские праздники
Компания «FUN-FORMULA» внимательно следит за кино-релизами и на опережение разрабатывает самые свежие программы для детских Дней Рождений, готовых для проведения в Москве и Подмосковье.
Выберите понравившуюся тему и перейдите на страницу детального просмотра сценария, а за дополнительной информацией обратитесь к персональному менеджеру:
Иллюзионное шоу в street-стиле
Новое веяние в проведении иллюзионного шоу, в котором ведущий предстанет в образе уличного фокусника и после демонстрации трюков раскроет их секрет и обучит зрителей трём фокусам. Ничем не примечательный, казалось бы, человек, выйдет на сцену и увлечёт в удивительный мир сказок и волшебства зрителей любого возраста. Это будет изящное шоу, насыщенное приятным юмором и множеством сложных номеров. Вы станете свидетелями авторских трюков, которые не показывают больше нигде в мире.
Тесла-шоу
Тесла шоу – отличная возможность зарядиться позитивом и в интерактивной форме познакомиться поближе с таким удивительным явлением как электричество. Это будет фантастическое путешествие в мир науки и природы, которое обеспечит нескончаемый поток удивления и восхищения.
Песочное шоу
Что такое песочное шоу? Прежде всего, это захватывающие дух сюжеты и множество картин, плавно перетекающих одна в другую. Эта сказка неповторима и рассказывается только однажды — для Вас.
Контактное жонглироание
Что такое контактное жонглирование? Это особый вид жонглирования, которое поражает своей плавностью: жонглёр подобен волшебнику с множеством хрустальных шаров. С фантастической лёгкостью он перекатывает их по телу и заставляет зависать в воздухе, как будто пренебрегая всеми законами физики. Руки жонглёра уподобляются бабочкам, завораживают и превращают трюковое шоу в настоящий танец.
Тряпичная кукла-оберег
Очаровательные тряпичные куклы-обереги: как их сделать своими руками? Приняв участие в творческом мастер-классе по изготовлению русской народной куклы, Вы сами убедитесь, что это не так сложно, как кажется!
Картины на деревянной поверхности
Картины, выполненные на деревянной поверхности – оригинальный дизайн-эксперимент и современный подход к оформлению интерьера. Пригласите творческий мастер-класс по создание картин на деревянной поверхности на день рождения ребёнка или любой другой детский праздник, и Вы не прогадаете.
Картины в технике мокрой акварели
Мечтали почувствовать себя настоящим художником и создать что-нибудь достойное того, чтобы повесить дома? Создайте шедевр вместе с нами на детском творческом мастер-классе, посвящённом написанию картин в различных техниках мокрой акварели.
Объёмные буквы для интерьера
Большие, лёгкие и разноцветные буквы всё чаще используются не только для праздника, но также и для повседневного декора интерьера. Создать коллекцию букв Вы сможете самостоятельно, пригласив на день рождения ребёнка или на любой другой детский праздник мастер-класс по изготовлению объёмных букв.
Разделы и рубрики по организации детских праздников
Для Вашего удобства мы разделили наш сайт на отдельные рубрики, в которых собрали тематический материал по следующему принципу:
в рубрике «ДЕВОЧКАМ» Вы с легкостью найдете 101 идею для проведения детского праздника маленьких принцесс, а в рубрике «МАЛЬЧИКАМ» собраны лучшие идеи и программы по темам приключенческих кино и комиксов «MARVEL» и «DC».
Если же Вам предстоит организация праздника для шумной компании тинейджеров — обязательно загляните в рубрику «ПОДРОСТКАМ» и в ней Вы найдете интересующие Вас готовые комплексные тематические вечеринки:
Мальчикам
Где заказать и как отметить (провести) День Рождения мальчику знает Лаборатория Ярких Событий Fun-Formula. Удивительные праздники для всех-всех-всех. Обращайтесь!
Где заказать и как отметить (провести) День Рождения мальчику знает Лаборатория Ярких Событий Fun-Formula. Удивительные праздники для всех-всех-всех. Обращайтесь!
Девочкам
Где отметить день рождения девочки. Лаборатория Ярких Красок — организация таких дней рождений для девочки, от которых в восторге будут все!
Где отметить день рождения девочки. Лаборатория Ярких Красок — организация таких дней рождений для девочки, от которых в восторге будут все!
Малышам
Череда Дней Рождений должна начаться ярко! Лаборатория Ярких Событий «Fun-Formula» организует праздники для малышей, которые запоминаются родителям и, главное, очень нравятся маленьким непоседам.
Череда Дней Рождений должна начаться ярко! Лаборатория Ярких Событий «Fun-Formula» организует праздники для малышей, которые запоминаются родителям и, главное, очень нравятся маленьким непоседам.
Подросткам
Как провести (отметить) День Рождения подростка необычно и недорого, знает Лаборатория Ярких Событий Fun-Formula. Заказывайте организацию ярких праздников!
Как провести (отметить) День Рождения подростка необычно и недорого, знает Лаборатория Ярких Событий Fun-Formula. Заказывайте организацию ярких праздников!
Мастер-классы
Самый интеллектуальный и творческий подарок — это мастер класс для детей. С заботой и любовью мы выбрали для Ваших малышей и подростков лучшие сценарии детских мастер классов.
Самый интеллектуальный и творческий подарок — это мастер класс для детей. С заботой и любовью мы выбрали для Ваших малышей и подростков лучшие сценарии детских мастер классов.
ЕЩЁ
Шоу на детский праздник превратит Ваше торжество во взрыв эмоций и веселья. Внесите в праздник элемент неожиданности, устройте сюрприз, который запомнится всем!
Шоу на детский праздник превратит Ваше торжество во взрыв эмоций и веселья. Внесите в праздник элемент неожиданности, устройте сюрприз, который запомнится всем!
Наши партнеры, любящие детские празники
В качестве партнёров «Fun-Formula» по организации и проведению детских праздников в Москве выступают только лучшие из лучших. Лаборатория Ярких Событий искренне ценит, уважает такое сотрудничество, а также с удовольствием представляет Вашему вниманию партнёров по проведению детских благотворительных мероприятий и дней рождения.
FAM (флуоресцеин) азид, 5-изомер
Отправить запрос
Узнайте возможные даты и стоимость доставки по Вашему адресу
Продукты из наличия будут отправлены
18. 06.2021
Экспресс бесплатно от
5000₽!
В корзине не хватает товаров на до бесплатной экспресс-доставки
Сумма покупок в корзине
0₽
и мы бесплатно доставим Ваш заказ по стране: , Индекс
.
Варианты доставки продуктов из наличия для страны:
, Индекс
Продукты из наличия будут отправлены
18.06.2021
Экспресс бесплатно от
5000₽!
В корзине не хватает товаров на до бесплатной экспресс-доставки по стране:
, Индекс
.
Экспресс бесплатно от
5000₽!
Сумма покупок в корзине
0₽ и мы бесплатно доставим Ваш заказ по стране: , Индекс
.
Азидопроизводное флуоресцеина (FAM), чистый 5-изомер. Флуоресцеин до сих пор остается одним из наиболее популярных флуорофоров для мечения биомолекул. Большая часть приборов, предназначенных для детекции флуоресценции, начиная от планшетных сканеров флуоресценции и заканчивая флуоресцентными микроскопами, имеют FAM-канал для детекции флуоресцеина. Флуоресцеин часто используется в измерениях поляризации флуоресценции.
С помощью Click chemistry и азида FAM флуоресцеин можно присоединить к любой молекуле, имеющей алкиновую группу.
Азид FAM поставляется как в твердом виде, так и в виде раствора в DMSO для использования в нашем рекомендуемом протоколе.
Рекомендуемый протокол
С этим продуктом также покупают
Cyanine7.5 азид
Азидопроизводное инфракрасного флуорофора Cyanine7.5, подходящего для неинвазивного ИК-имэджинга. Азид можно использовать для конъюгации с алкинами в реакции Click Chemistry. Добавьте этот продукт в корзину и получите бесплатную экспресс-доставку Добавьте этот продукт в корзину и получите бесплатную экспресс-доставку
AF430 малеимид
AF430 — краситель с эмиссией в синей области. Относится к кумаринам. Это малеимидное производное для мечения тиольных групп биомолекул. Добавьте этот продукт в корзину и получите бесплатную экспресс-доставку
Общие свойства
Вид продукта:
желтоватые кристаллы
Молекулярная масса:
458. 42
CAS-номер:
510758-23-3
Брутто-формула:
C24H18N4O6
Растворимость:
растворим в полярных органических растворителях (DMF, DMSO, спиртах)
Контроль качества:
ЯМР 1H, ВЭЖХ-МС (95%)
Условия хранения:
Хранение: 24 месяца (с момента доставки) при -20°C в темноте. Транспортировка: до трех недель при комнатной температуре. Избегайте хранения на свету.
Паспорт безопасности:
Скачать
Спецификация продукта
Спектральные свойства
Максимум возбуждения/поглощения, нм:
494
ε, л⋅моль−1⋅см−1:
75000
Длина волны флуоресценции, нм:
520
Квантовый выход флуоресценции:
0.9
CF260:
0. 20
CF280:
0.17
Цитирования продукта
Haider, N.; Dutt, P.; van de Kooij, B.; Yaffe, M.B.; Stambolic, V. NEK10 tyrosine phosphorylates p53 and controls its transcriptional activity. bioRxiv, preprint. doi: 10.1101/516971
Gueiderikh, A.; Maczkowiak-Chartois, F.; Rouvet, G.; Souquère-Besse, S.; Apcher, S.; Diaz, J.-J.; Rosselli, F. Fanconi anemia A protein participates in nucleolar homeostasis maintenance and ribosome biogenesis. Science Advances, 2021, 7(1), eabb5414. doi: 10.1126/sciadv.abb5414
Ramey-Ward, A.N.; Su, H.; Salaita, K. Mechanical stimulation of adhesion receptors using light-responsive nanoparticle actuators enhances myogenesis. ACS Applied Materials & Interfaces, 2020, 12(32), 35903–35917. doi: 10.1021/acsami.0c08871
Еще(19) Введено некорректное число товаров для добавления.
Рассчитать амортизацию методом снижающегося остатка с переключением на прямое начисление износа
Снижающийся остаток с переключением на прямое начисление износа — это формула, в которой снижающийся остаток используется для первой части срока ОС, после чего LN переключается на формулу прямого начисления износа для амортизации ОС до его ликвидационной стоимости на основе остаточного срока. Переключение происходит в первом периоде, в котором расчет остаточной стоимости путем прямого начисления износа дает сумму амортизации, превышающую сумму амортизации в результате расчета по снижающемуся остатку.
Эта формула полезна, если вы хотите максимизировать налоговый вычет для амортизационных расходов по налоговой декларации о доходах вашей компании. Этот метод позволяет записать в книгу учета большую часть суммы амортизации в первые годы срока полезного использования актива, а затем выполнить амортизацию до его ликвидационной стоимости. В формуле снижающегося остатка без переключения на прямое начисление износа ликвидационная стоимость не учитывается.
Если применяется метод расчета амортизации с выбранным флагом Переключить на линейный метод в детальном сеансе Методы амортизации (tffam7510m000), применяется расчет по линейному методу (прямому начислению износа) с остаточным сроком / остаточной стоимостью или расчет по обычному методу прямого начисления износа в соответствии с Линейным методом (SL) Критерии переключения определены в сеансе Параметры FAM (tffam0100s000).
Используются следующие формулы:
Налоговые книги США:
NBV = (Стоимость - Ликвидационная стоимость - Раздел 179) * (%% использования в бизнесе / 100) - AD
Другие книги учета:
NBV = Стоимость - Ликвидационная стоимость - AD
где:
NBV = балансовая стоимость активов
AD = Накапливаемая амортизация
Снижающийся остаток:
Ежедневная амортизация = NBV * (Процент снижающегося остатка / 100) * Амортизируемые дни / Дни в финансовом году Периодическая амортизация = NBV * (Процент снижающегося остатка / 100) * Амортизируемые периоды / Периоды в финансовом году
Обычный линейный метод:
Ежедневная амортизация = NBV * Амортизируемые дни / Дни в финансовом году Периодическая амортизация = NBV * Амортизируемые периоды / Период в финансовом году
Линейный метод с Остаточным сроком / Остаточным значением:
Для MACRS и ACRS ликвидационная стоимость не применяется к амортизации налоговых и коммерческих книг США.
Примечание
Если ОС, для которого рассчитывается амортизация, содержит срок эксплуатации, LN корректирует амортизационные расходы для первого расчета полугодия, квартала или месяца. Более подробную информацию см. в разделе Расчеты амортизации и сроки эксплуатации.
Коронки из диоксида циркония плюсы и минусы в стоматологии
Диоксид циркония — материал, из которого изготавливают эстетичные современные коронки для зубов. Он имеет массу преимуществ и благодаря им пользуется повсеместным спросом.
Материал востребован для прецизионной и высокоэстетичной реставрации любых дефектов челюсти. Позволяет создавать прочные и безвредные конструкции с широкой сферой назначения — коронки зубов, циркониевые абатменты, каркас под протез.
Что собой представляет диоксид циркония?
Сырье является производным циркония (химическая формула — ZrO2). Цирконий — природный минерал, обнаруживаемый в местах залегания солей кремниевой кислоты, к которым он, собственно, и относится.
Диоксид циркония — прочный и эстетичный материал, нашедший применение во многих сферах медицины (долгое время применялся при создании головок искусственных суставов). Для нужд ортопедической стоматологии используется больше 15 лет.
Стоматологам импонирует его жесткость, прочность, невосприимчивость к нагрузкам на изгиб. Поэтому, как протезу, ему просто нет цены. Для большей стойкости его обогащают и стабилизируют дополнительными компонентами (алюминием, иттрием).
Почему диоксид циркония, а не другой материал?
Циркониевые коронки вобрали в себя самые эффектные преимущества:
Это универсальный материал, из которого изготавливают как коронки одного, так и нескольких зубов.
Его эстетические показатели настолько высоки, что искусственные зубы по степени прозрачности эмали практически не отличаются от обычных зубов.
Материал хорошо поддается обработке, и из него можно сделать любые конструкции.
Прочность и надежность циркония обеспечила ему 10-20-летний срок службы.
Биосовместимость — диоксид циркония не вызывает аллергии, гальванизации, не отторгается. Это природный материал, с которым комфортно.
Он легкий, что немаловажно для крупных конструкций. Например, при протезировании всей челюсти.
Эти и другие качества сделали диоксид циркония очень популярным и востребованным во всем мире.
Какие преимущества материала?
Точность. Основное преимущество циркониевого протеза — полностью автоматический принцип изготовления, исключающий пресловутый человеческий фактор. Протезы из диоксида циркония вытачиваются по 3D-модели специальной автоматикой и в точности до микрона соответствуют слепку.
Биоинертность. Материал имеет инертные физико-химические свойства, не отторгается, не провоцирует аллергические реакции и патологические процессы. Гипоаллергенный и применяется даже у тех, кто страдает аллергией на благородные металлы — золото, палладий, платину.
Прочность. Протез устойчив к повреждениям и хорошо выдерживает жевательные нагрузки. Не склонен к сколам.
Функциональность. Материал используется для изготовления коронок на живые зубы, коронок на имплантах, искусственных зубов в составе протезов, каркасов, культевых вкладок, абатментов.
Термозащита. Малая теплопроводность и минимальная толщина — от 0,4 мм — позволяет изготавливать тончайшие конструкции, отлично подходящие не только для имплантации, но и для протезирования «живых» зубов. При подготовке их под коронку нужно препарировать минимум тканей, плюс — зубы не будут обладать термочувствительностью.
Эстетичность. Отличное качество протезирования достигается за счет оптических характеристик материала (диоксид циркония имеет такую же светоотражающую способность и уровень прозрачности, как и эмаль зубов). Планируя протезирование, можно подобрать оттенок материала под естественный тон зубной эмали пациента и, благодаря стабильности сырья, полупрозрачность и цветовая опция сохранятся на все время эксплуатации.
Также при установке циркониевых протезов (коронок с абатментами) не нужно заводить их нижний край под десну, чтобы скрыть детали металлического абатмента. Коронки делаются вровень с десневым контуром и не повреждают мягкие ткани. При их использовании на деснах нет темных полос от контакта с металлом, гиперемии и синюшности, вызванных раздражением.
Кому подойдут циркониевые коронки?
Цельноанатомические коронки, изготовленные из единого материала, подходят для протезирования любой группы зубов — включенных, концевых, фронтальных и боковых дефектов зубного ряда. Они рекомендованы пациентам с повышенной стираемостью зубов, аллергическими реакциями на металл, рыхлыми деснами.
Применение коронок на живых зубах показано при значительных разрушениях, так как можно изготовить культевую вкладку. При протезировании на коронках требуется минимальная обточка здоровых зубов под циркониевую коронку, что позволяет сохранить больше живых тканей зуба.
Хорошо себя зарекомендовали циркониевые протезы:
для обновления давно реставрированных зубных дефектов;
когда использование других материалов не представляется возможным;
на фронтальных отделах челюсти, где особые требования к эстетике;
на боковых, когда требуется замещение жевательных зубов, испытывающих значительные нагрузки.
Результат протезирования, конечно, зависит не только от качества материала, но и умения зубного техника. В нашей клинике циркониевые протезы и коронки изготавливаются по строгим протоколам. Наши специалисты отвечают за правильность снятия слепков и придание окончательным конструкциям необходимой формы и цветовой опции.
Как изготавливают коронки из диоксида циркония? Сколько времени уходит на изготовление?
Циркониевые коронки и протезы бывают двухслойные. Внутри находится прочнейшая основа из диоксида циркония, облицованная фарфором и обожженная до спекания обоих материалов воедино.
Процесс изготовления коронок трудоемок и занимает от 1 до 2 недель. На первом этапе врач в клинике снимает слепок с челюстей пациента и передает его зубному технику. Из гипса изготавливается трехмерная модель. Дальнейший процесс создания протезов из данного материала компьютеризирован.
Применяется технология CAD/CAM. Проводится лазерное сканирование гипсовой модели, созданной по слепку. Данные переносятся в специальную программу, позволяющую смоделировать желаемые характеристики будущей коронки или моста и посмотреть, как они впишутся в зубной ряд.
После утверждения проекта задача на вытачивание передается фрезерному станку, который изготавливает протез из диоксид-циркониевой заготовки в точном соответствии с планом. С помощью цифровых технологий удается создавать тончайший облегченный материал, который особенно удобно использовать при протезировании всей челюсти.
Готовый каркас покрывают несколькими слоями фарфора, послойно обжигая его в печи при высокой температуре до спекания материала. Этим достигается высокая прочность и неделимость конструкции. Впоследствии коронка окрашивается спецкрасителем и приобретает законченный вид.
Благодаря высокой инертности материала, его использование практически не противопоказано за исключением нескольких случаев:
наличие глубокого прикуса;
при низкой высоте зубов и бруксизме;
инфекционных заболеваниях слизистых и пародонта;
сниженном иммунитете и наличии расстройств психики.
Сколько прослужат циркониевые коронки? Какие проблемы могут возникать при протезировании?
Срок службы протезов исчисляется десятилетиями. Этот результат достигается автоматизацией вытачивания каркаса по данным лазерного скана, микроскопическим зазором между коронкой и живым зубом (30, а не 100-300, как обычно, микрон) и рядом других технологических особенностей.
Большинство проблем связано с некачественной работой стоматолога и техника — несоблюдением протоколов обработки зубных тканей, неправильным снятием слепков. В нашей клинике мы сократили возможные риски, и добиваемся 99,9% эффективности протезирования.
Как ухаживать за коронками из диоксида циркония? Есть ли специфические требования?
Материал не подвержен влиянию извне. Он не меняет оттенок и другие характеристики в процессе эксплуатации, но стоит правильно за ним ухаживать. Обязательно нужно чистить зубы дважды в день с помощью щетки и зубной пасты.
После еды, если нет возможности обработать ирригатором и очистить межзубные промежутки зубной нитью, нужно прополоскать рот водой. Несмотря на то, что коронки из диоксида циркония очень прочные, не стоит проверять их и использовать зубы не по назначению. Например, не стоит пытаться расколоть зубами скорлупу от ореха. Нужно обязательно посещать стоматологию с профилактической целью 1-2 раза ежегодно. В этом случае ваши зубы простоят десятки лет вам на радость!
Другой полезный материал
Продукция
Kérastase (Франция) — это ведущая марка профессиональной косметики класса люкс, предназначенной для многоуровневого полного ухода за волосами, созданная в лабораториях L’Oréal. Именно там создавались инновационные технологии косметической индустрии, позволяющие всем без всяких исключений иметь восхитительные сияющие волосы, идти навстречу безупречной красоте.
Keune (Нидерланды) — мировой лидер в производстве профессиональной косметики для волос, которая более 90 лет представлена в 79 странах мира. KEUNE HAIRCOSMETICS заботится о репутации семейного бизнеса и уделяет огромное внимание качеству выпускаемой продукции. Производство находится только на территории Голландии, где осуществляется жесткий контроль за качеством. Любопытный факт, что химическая фабрика расположена в самом экологически чистом уголке Голландии в городе Суст, недалеко от резиденции королевы Нидерландов, Беатрикс. Голландцы трепетно относятся к природе, поэтому не жалеют средств на различные передовые технологии, позволяющие защитить окружающую среду. Разработка уникальных продуктов KEUNE ведется в одной из самых передовых лабораторий в Европе. Выпуск каждого продукта от KEUNE HAIRCOSMETICS становится сенсацией в Hair’s индустрии, завоевывая самые престижные профессиональные награды. Гарантированное высокое качество продуктов сочетается с элегантным дизайном. Характерная черно-серебристая упаковка и выдержанный стиль выделяют брэнд KEUNE и делают его легко узнаваемым.
JOICO является лидером в области профессионального ухода за волосами и представлен в более чем 65 странах по всему миру. Являясь частью группы компаний Shiseido, компания JOICO уже в течение 40 лет предлагает не просто продукты исключительного качества, а превосходные решения для каждого типа волос. Главная миссия JOICO – это восстановить поврежденные волосы.
Olaplex. Формула Olaplex содержит всего один активный ингредиент. Он заново соединяет и усиливает дисульфидные связи, которые отвечают за природную прочность, эластичность и силу волос. Без силиконов, масел, сульфатов и альдегидов.
Olaplex получил несколько международных патентов, которые защищают созданную формулу и подтверждают ее уникальность.
Amika – это модный бренд из Нью-Йорка, который поддерживает творческие идеи и желание создавать красоту. Совмещая последние технологии и креативный подход, amika представляет продукты ухода и инструменты для ваших волос, которые рождены для того, чтобы создавать, и живут для того, чтобы впечатлять.
Reddit-бурлит: идеальный Black Hole от GeneraL и формула Dota 2 | Гейминг
Всем привет, дорогие читатели CQ. ru! Формула Dota 2, правильные стаки крипов, Black Hole в реальной жизни, распечатанный Dust 2, шикарный косплей на coldzera, и настоящая любовь от CS:GO. Об этом и многом другом читайте в нашем еженедельном выпуске Reddit-бурлит. И обязательно пишите в комментариях, что понравилось, а что нет, мы ценим ваше мнение. Что ж, поехали!
Dota 2 — простая игра
Говорили они… Очень часто люди даже не задумываются над тем, насколько сложно создать ту игру, которую они уже привыкли критиковать. Особенно становится обидно за разработчиков, когда их начинают критиковать на тему баланса. На самом деле, создать полностью сбалансированную игру с 100+ героями — почти невозможный челлендж. Вот, например, какие формулы используется при расчете регенерации в Доте. Ну как, все просто?
Лучшие комментарии:
На самом деле, можно играть в Доту и без этих формул :))
Я думаю, что даже про-игроки не считают эти формулы;
Кроме Topson EternalEnvy, они просчитывают всю Вселенную;
Как правильно стакать крипов
Благо, иногда на Reddit появляется и полезный контент. Вот, например, один из пользователей портала ASearchForFreedom показал, как можно стакнуть сразу 6 лагерей крипов на Shadow Demon. Забирайте в паблик, парни! И помните, пока вы спите, вражеский саппорт в это время качается.
Лучшие комментарии:
Liquid.iNSaNiA вошел в чат;
*Как кор-игрок*: я прихожу!
*Вражеский саппорт в моей игре*;
Black Hole в реальной жизни
Игрок Natus Vincere Виктор GeneraL Нигрини показал нам, что Black Hole можно сделать не только в Доте (не будем шутить дальше). Украинский киберспортсмен своим примером продемонстрировал, как это нужно делать в реальной жизни. Получилось весело, че.
Лучшие комментарии:
Самое недооценнное, что никто не заметил, что он встал, потом вернулся, нажал Рефрешер и снова прожал Black Hole;
Он выглядит таким счастливым. Не похоже, что он играет в Доту каждый день;
Карта Dust 2 в реальной жизни
Умелец с Reddit воссоздал легендарную карту Dust 2 при помощи 3D принтера. Причем, он самостоятельно разработал модель и даже поделился в комментах. Вот ссылка, кому интересно, как эта работа выглядит схематически:
Лучшие комментарии:
Ты забыл один ящик на пленте А, так не пойдет;
Это очень круто;
Хочу такую карту, но нет 3D принтера;
CS:GO Loves You
Бывает, что ты влюбляешься в игру, и это вполне нормально. Однако бывает и ситуации, когда игра любит тебя. Как еще можно объяснить вот такое проявление статистики? Спасибо спецоперации, что позволила проявить чувства Valve <3
Лучшие комментарии:
Кажется, я знаю, с кем ты встретишь день святого Валентина;
Проиграй еще пару игр на Dust 2 и увидишь, что игра любит тебя еще больше;
CS:GO такая милая, вай;
Minecraft + CS:GO
Что будет, если совместить Minecraft и CS:GO — две самые популярные игры в своих жанрах? Ответ ниже. Один из пользователей Reddit saultj_ не пожалел своего времени и создал реальную копию карты Mirage в Minecraft. Просто жесть, сколько терпения!
Лучшие комментарии:
Block has been planted;
Чувак, это прекрасно, отличная работа!
Здания немного низкие, но в целом это дает больше реализма;
Выстрел coldzera
Ну и напоследок порадуем вас красивым хайлайтом. Как вы могли догадаться, место события на видео ниже — Mirage, плент B. Что ж, порадуемся за парня, отличный момент!
Лучшие комментарии:
Парни, как он это сделал?
CS:GO — единственная игра, где случайные моменты считаются легендарными;
Чисто получилось!
Это были лучшие посты на Reddit на прошедшей неделе, до новых встреч 🙂
Сайт для агентств — Туроператор TUI Россия
Выгодное предложение от отелей Grecotel на волшебных островах – Крите и Корфу: комфортные номера, сказочные виды моря, красивые территории и масса возможностей для семейного и романтического отпуска.
Предложите вашим туристам приятный отдых по приятной цене!
Предложения для заявок, созданных c 01. 08.2019 до 21.08.2019:
— Скидка 25% на период проживания 01.08–16.08.19 в номерах типов: LUXURY SUITE SEA VIEW, IMPERIAL SUITE SEA VIEW, IMPERIAL 2BEDROOM SUITE SV,
JUNIOR BUNGALOW SUITE, DREAM VILLA WATERFRONT, DREAM VILLA WATERFR PRIV.POOL.
— Скидка 20% на период проживания 01.08–16.08.19 в номерах типов: DLX GUESTROOM SEA VIEW, CORFU BUNGALOW GV, CORFU BNG OPEN PLAN SEA VIEW, BOSCHETTO FAMILY SUITE, BOSCHETTO FAM SUITE POOL VIEW, BOSCHETO 2BED FAM. SUITE,SUPERIOR BUNGALOW SEA VEW.
—Скидка 15% на период проживания 25.08–15.09.19 и 25.09-23.10.2019 во всех типах номеров.
Grecotel Lux.Me Daphnila Bay Dassia 5* (Корфу)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидка 15% на период проживания 07.08–17.08.19 в номерах типов: SUPERIOR GV, PRIVATE BALCONY, DAPHNILA BUNGALOW GV, SUPERIOR SV, PRIVATE BALCONY, DAPHNILA BUNGALOW LIMITED SV, LUX. ME SKY ROOM SV PR.BALCONY, HIDEAWAY DAPHNILA BNG LIM.SV.
— Скидка 10% на период проживания 31.08–14.09.19 в номерах типов: SUPERIOR GV, PRIVATE BALCONY, DAPHNILA BUNGALOW GV, SUPERIOR SV, PRIVATE BALCONY, DAPHNILA BUNGALOW LIMITED SV, LUX.ME SKY ROOM SV PR.BALCONY, HIDEAWAY DAPHNILA BNG LIM.SV.
— Скидка 15% на период проживания 31.08–24.09.19 в номерах типов: DAPHNILA FAMILY BNG GV, PARADISO FAMILY BUNGALOW, LUX.ME FAMILY BNG SEA SIDE, ROBINSON CRUSOE FAMILY BNG, ROBINSON CRUSOE FAM BNG LSV, PARADISO FAM BNG FRONT ROW SSV, GRAND FAMILY APARTMENT GV, GRAND FAMILY APARTMENT SV, GRAND FAMILY APRT PANORAMIC SV.
Grecotel Eva Palace 5* (Корфу)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидка 15% на период проживания 12.10–27.10.19 во всех типах номеров.
Grecotel Amirandes Exclusive Resort 5* (Крит)
Предложения для заявок, созданных c 01. 08.2019 до 21.08.2019:
— Скидка 15%и апгрейд по питанию BB=HB на все номера Famous Class на период проживания 29.09–06.10.19, 19.10–03.11.19. Плюс дополнительный подарок от отеля: ваучер на сумму 100 евро для приобретения услуг на территории отеля.
— Скидка 20% на период проживания 01.08-14.09.19, в номерах типов Standard Rooms и Family Rooms.
— Скидка 10% на период проживания 29.09-06.10.19, 19.10-03.11.2019 в номерах типов Standard Rooms и Family Rooms.
Grecotel Caramel Boutique Resort 5* (Крит)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидки до20% и апгрейд по питанию BB=HB для всех Standard Rooms и Family Rooms, исключая Junior Suite Open Plan SV, на период проживания 01.08-24.08.19.
— Скидка 15% и апгрейд по питанию BB=HB на период проживания 01. 08 — 24.08.19 в Villas.
— Скидка 15% на период проживания 28.09-06.10.19 и 14.10–03.11.19 во всех Standard Rooms и Family Rooms.
— Скидка 15% на период проживания 17.10–03.11.19 во всех Standard Rooms и Family Rooms.
— Скидка 15% на период проживания 06.09-14.09, 22.09-06.10, 17.10–03.11.19 во всех Villas.
Grecotel Creta Palace Luxury Resort 5* (Крит)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидка 25% на период проживания 01.08-13.09.19 во всех номерах, исключая Family Bungalow Garden View и Superior Family Bungalow GV.
— Скидка 15% на период проживания 29.09-05.10.2019 и 17.10-31.10.2019 в номерах типов Standard Rooms и Family Rooms.
— Скидка 20% на период проживания 29.09-05.10.2019 и 17. 10-31.10.2019 во всех номерах Famous Class.
Grecotel Lux.Me White Palace 5* (Крит)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидка 15% на период проживания 16.08-24.08.19, 03.09-14.09.2019, 23.09-05.10.2019, 16.10-03.11.2019 во всех типах номеров.
Grecotel Plaza Spa Apartments 4* (Крит)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидки 15% на период проживания 02.08-26.08.2019 и 25.09-03.11.2019 во всех типах номеров.
Grecotel Club Marine Palace & Suites 4*+ (Крит)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидки 20% на период проживания 17.08-24.08.19 и 29.08-06. 10.19 во всех типах номеров.
Grecotel Meli Palace 4* (Крит)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидки до 15% на период проживания 01.08-24.08.2019 во всех типах номеров. — Скидки до 15% на период проживания 13.10-03.11.2019 во всех типах номеров, исключая Double Room Garden View.
Grand Leoniki Residence 4* by Grecotel (Крит)
Предложения для заявок, созданных c 01.08.2019 до 21.08.2019:
— Скидки 10% на период проживания 01.08-15.08.2019 во всех типах номеров.
— Скидки 15% на период проживания 16.08-26.08.2019 и 05.09-03.11.2019 во всех типах номеров.
Сроки акции:
Даты бронирования: 01. 08.2019 — 21.08.2019
Дата заезда: 05.08.2019 — 03.11.2019
Отели, участвующие в акции:
Отели Grecotel на Крите и Корфу
Условия акции:
Все скидки и акции типа BB=HB уже учтены в поиске тура.
В акции участвуют новые заявки только в указанные выше даты заезда
Акция действует на новые заявки
Акция СУММИРУЕТСЯ с другими акциями TUI
Туроператор оставляет за собой право внесения изменений в условия акции
Формула максимального пособия семье
Автоматические определения
Сумма первичного страхования
Суммы, индексированные по заработной плате
Максимальное семейное пособие — это максимальная ежемесячная сумма, которая может быть выплачена
отчет о заработке работника. Существует специальная формула для расчета максимальной выгоды.
выплачивается семье инвалида. Следующие,
тем не менее, он посвящен более распространенному семейному максимуму для пенсионных пособий и пособий по случаю потери кормильца.
Расчет максимальной суммы пенсии и кормильца Формула, используемая для вычисления максимума семейства, аналогична формуле, используемой для вычисления
Сумма первичного страхования (PIA). Формула сумм
четыре отдельных процента частей PIA работника. На 2021 год эти порции
первые 1272 доллара, сумма от 1272 до 1837 долларов, сумма между
1837 и 2395 долларов, а сумма превышает 2395 долларов. Эти суммы в долларах являются «изгибом»
баллов »формулы семейного максимума.Таким образом, точки изгиба семьи-максимум на 2021 год.
составляют 1272, 1837 и 2395 долларов. См. Таблицу, показывающую
точки изгиба за годы, начиная с 1979 г. (в таблице также указаны точки изгиба по формуле PIA).
Для семьи работника, которому исполнится 62 года или который умрет в 2021 году до достижения
в возрасте 62 лет общая сумма подлежащих выплате пособий будет рассчитана таким образом, чтобы она не превышала:
(a) 150 процентов от первых 1272 долларов PIA работника, плюс
(b) 272 процента PIA работника от 1272 до 1837 долларов, плюс
(c) 134 процента PIA работника от 1837 до 2395 долларов, плюс
(d) 175 процентов PIA работника свыше 2395 долларов.
Затем мы округляем эту общую сумму до следующего меньшего числа, кратного 0,10 доллара США, если она равна
уже не кратная 0,10 доллара США.
Определение максимальных точек изгиба семьи на 2021 год
Суммы в формуле
Точки изгиба для 1979
Первый:
230 долларов
Второй:
332 доллара
Третий:
433 долларов США
Расчет изгиба
баллов на 2021 год
Первая точка изгиба 230 долларов США, умноженные на 54099. 99 разделить на
9 779,44 доллара США равняется 1 272,36 доллара США, что округляется до 1 272 долларов США
Вторая точка изгиба 332 доллара США умноженное на 54099,99, разделенное на
9779,44 доллара США равняется 1836,63 доллара США, что округляется до 1837 долларов США
Третья точка изгиба 433 доллара США, умноженная на 54099,99, разделенная на
9 779,44 доллара равняется 2395,36 доллара, что округляется до 2395
Детское питание — Американский семейный врач
2. Gartner LM,
Мортон Дж.
Лоуренс Р.А.,
и другие.,
для Секции грудного вскармливания Американской академии педиатрии.
Грудное вскармливание и употребление грудного молока. Педиатрия .
2005. 115 (2): 496–506.
3. Обогащение детскими смесями железом. Американская академия педиатрии. Комитет по питанию. Педиатрия .
1999; 104 (1 п.1): 119–123.
4. Хопкинс Д.,
Эммет П.,
Управляйте C,
Роджерс I,
Благородный S,
Эмонд А.
Кормление грудных детей в течение вторых 6 месяцев жизни связано со статусом железа: обсервационное исследование. Арка Дис Детский .
2007. 92 (10): 850–854.
5. Симмер К,
Патоле СК,
Rao SC.
Добавки длинноцепочечных полиненасыщенных жирных кислот у доношенных детей. Кокрановская база данных Syst Rev .
2008; (1): CD000376.
6. Симмер К,
Шульцке С.М.,
Патоле С.
Добавление длинноцепочечных полиненасыщенных жирных кислот недоношенным детям. Кокрановская база данных Syst Rev .
2008; (1): CD000375.
8. Хендерсон Г.,
Фэйи Т,
Макгуайр В. Смесь, обогащенная питательными веществами, по сравнению со стандартной смесью для недоношенных новорожденных после выписки из больницы. Кокрановская база данных Syst Rev .
2007; (4): CD004696.
9. Хейман МБ.
Комитет по питанию. Непереносимость лактозы у младенцев, детей и подростков. Педиатрия .
2006. 118 (3): 1279–1286.
10. Американская академия педиатрии.
Комитет по питанию. Гипоаллергенные смеси для младенцев. Педиатрия .
2000; 106 (2 п.1): 346–349.
11. Бхатия Дж.,
Грир Ф,
для Комитета по питанию Американской академии педиатрии.
Использование смесей на основе соевого белка в кормлении грудных детей. Педиатрия .
2008. 121 (5): 1062–1068.
12. Крейг В. Р.,
Хэнлон-Дирман А,
Синклер C,
Табак S,
Моффатт М.Метоклопрамид, утолщенные кормления и позиционирование при гастроэзофагеальном рефлюксе у детей младше двух лет. Кокрановская база данных Syst Rev .
2004; (4): CD003502.
13. Гарнизон ММ,
Кристакис Д.А.
Систематический обзор методов лечения детских колик. Педиатрия .
2000; 106 (1 пт 2): 184–190.
14. Отсутствие G,
Фокс Д,
Нортстоун К,
Голдинг Дж.,
для группы изучения лонгитюдного исследования родителей и детей Avon.Факторы, связанные с развитием аллергии на арахис в детстве. N Engl J Med .
2003. 348 (11): 977–985.
15. Клемола Т,
Калимо К,
Пусса Т,
и другие.
Кормление соевой смесью детей с аллергией на коровье молоко: развитие иммуноглобулиновой Е-опосредованной аллергии на сою и арахис. Pediatr Allergy Immunol .
2005. 16 (8): 641–646.
16. Осборн Д.А.,
Синн Дж.
Формулы, содержащие гидролизованный белок, для профилактики аллергии и пищевой непереносимости у младенцев. Кокрановская база данных Syst Rev . 2006; (4): CD003664.
17. Аллен UD,
Маклеод К.,
Ван Э.
Коровье молоко в сравнении с смесями на основе сои при легкой и умеренной диарее: рандомизированное контролируемое исследование. Акта Педиатр .
1994. 83 (2): 183–187.
18. Стром БЛ,
Шиннар Р,
Зиглер Э.
и другие.
Воздействие смеси на основе сои в младенчестве, а также эндокринологические и репродуктивные результаты в молодом взрослом возрасте. JAMA .
2001. 286 (7): 807–814.
19. Эссекс К.
Фитоэстрогены и детские смеси на основе сои. BMJ .
1996. 313 (7056): 507–508.
20. Холл РТ,
Калленбах JC,
Шихан МБ,
и другие.
Сравнение смеси соевых изолятов, содержащих кальций и фосфор, с молочной смесью для недоношенных детей с преобладанием сыворотки для младенцев с очень низкой массой тела при рождении. J Педиатр Гастроэнтерол Нутр .
1984. 3 (4): 571–576.
21.Калленбах JC,
Шихан МБ,
Абрамсон SJ,
Зал RT.
Этиологические факторы рахита у детей с очень низкой массой тела при рождении. Дж Педиатр .
1981. 98 (5): 800–805.
22. Sandhu BK,
Изолаури Э,
Уокер-Смит Дж. А.,
и другие.
Многоцентровое исследование от имени Рабочей группы по острой диарее Европейского общества детской гастроэнтерологии и питания. Раннее вскармливание в детском гастроэнтерите. J Педиатр Гастроэнтерол Нутр .1997. 24 (5): 522–527.
23. Агостони С,
Fiocchi A,
Рива Э,
и другие.
Рост детей с IgE-опосредованной аллергией на коровье молоко, получавших разные смеси в период прикорма. Pediatr Allergy Immunol .
2007. 18 (7): 599–606.
24. Hill DJ,
Марч Ш.,
Рафферти К.,
Уоллис П.,
Зеленый CJ.
Эффективность смесей на основе аминокислот в облегчении симптомов аллергии на коровье молоко: систематический обзор. Clin Exp Allergy .
2007. 37 (6): 808–822.
25. Грир FR,
Шихерер Ш.
Беркс А.В.,
для Комитета по питанию Американской академии педиатрии, Секции аллергии и иммунологии Американской академии педиатрии.
Влияние раннего диетического вмешательства на развитие атопического заболевания у младенцев и детей: роль ограничения питания матери, грудного вскармливания, времени введения прикорма и гидролизованных смесей. Педиатрия .
2008. 121 (1): 183–191.
26. Мукарзель А.А.,
Абдельнур Х,
Акачеян К.
Влияние предварительно загущенной смеси на pH пищевода и опорожнение желудка у младенцев с ГЭР. Дж Клин Гастроэнтерол .
2007. 41 (9): 823–829.
27. Lothe L,
Линдберг Т,
Якобссон И.
Смесь коровьего молока как причина детских колик: двойное слепое исследование. Педиатрия .
1982; 70 (1): 7–10.
28.Кэмпбелл JP.
Диетическое лечение детских колик: двойное слепое исследование. J R Coll Gen Pract .
1989. 39 (318): 11–14.
29. Lucassen PL,
Ассенделфт WJ,
Габбелс Дж. В.,
ван Эйк Дж. Т.,
ван Гельдроп WJ,
Невен АК.
Эффективность лечения детской колики: систематический обзор [опубликованная поправка опубликована в BMJ. 1998, 317 (7152): 171]. BMJ .
1998. 316 (7144): 1563–1569.
30. Таубман Б.
Родительское консультирование по сравнению с отказом от коровьего молока или белка соевого молока для лечения синдрома детской колики: рандомизированное испытание. Педиатрия .
1988. 81 (6): 756–761.
Алименты — это периодические выплаты, которые один родитель обязан производить другому родителю, чтобы помочь оплатить часть ежедневных расходов ребенка, таких как питание, кров и одежда. Примечательно, что выплаты алиментов не предназначены для покрытия всех расходов, связанных с воспитанием ребенка.Например, базовые выплаты на содержание ребенка не предназначены для покрытия какой-либо части внеклассной деятельности ребенка, расходов в лагере, не возмещенных медицинских или связанных с работой расходов по уходу за ребенком.
Как рассчитываются алименты в Коннектикуте?
В Коннектикуте размер алиментов определяется в соответствии с Руководством Коннектикута по содержанию детей. В Руководстве прописана математическая формула для расчета обязательств по выплате алиментов, основанная в первую очередь на соответствующем доходе родителей и количестве детей, которые у них есть.Применение формулы Руководства приводит к получению еженедельной суммы алиментов, которая считается правильной (называемая «предполагаемой» суммой алиментов). Однако «предполагаемая» сумма алиментов может быть опровергнута конкретным выводом о том, что такая сумма была бы несправедливой или несоответствующей в конкретном случае.
Хотя Руководство Коннектикута по алиментам было разработано для упрощения и стандартизации расчета алиментов, в действительности вопрос расчета алиментов не всегда прост по следующим причинам:
Хотя Руководящие принципы Коннектикута по алиментам требуют применения формулы, которая дает «предположительно правильную» сумму алиментов, они также устанавливают «критерии отклонения», которые представляют собой конкретные факты или обстоятельства, которые могут оправдать различное обязательство по алиментам. от «предполагаемой» суммы алиментов;
Определение правильной цифры дохода для использования для родителей часто является вопросом, который вызывает споры, особенно в обстоятельствах, когда один из родителей получает переменный доход в виде бонусов, грантов на акции или других вознаграждений за трудоустройство, распределения доверительного управления или когда родитель имеет значительный контроль над размером своего дохода;
Руководящие принципы алиментов Коннектикута требуют только, чтобы запрещенная математическая формула для расчета алиментов применялась к первым 4000 долларов совокупного чистого недельного дохода родителей.
Алименты на детей в делах о разводе с высоким собственным капиталом / высоким доходом
Если совокупный чистый недельный доход семьи превышает 4000 долларов, суды могут по своему усмотрению установить обязательство по выплате алиментов на любую сумму между предполагаемым минимумом (рассчитанная сумма алиментов, если совокупный чистый недельный доход семьи составлял 4000 долларов) и указанным как «предполагаемый максимум». Эти предполагаемые суммы могут быть опровергнуты на основании критериев отклонения, как описано ниже, и опытный юрист по алиментам из Нового Ханаана будет знать, какие критерии отклонения подходят для применения.
Отклонения от рекомендаций по содержанию детей
В некоторых случаях суды могут назначить сумму алиментов, отличную от суммы, указанной в Руководстве (так называемое «отклонение»). Родители могут потребовать, чтобы суд отклонился от Руководства по увеличению или уменьшению обязательств по алиментам на основе рассмотрения любого из следующих критериев отклонения:
Прочие финансовые ресурсы, доступные материнской компании, ограниченные следующим: (a) существенные активы, включая как приносящую доход, так и не приносящую доход собственность; (б) платежеспособность родителя; (c) предоставление родительской поддержки несовершеннолетнему должнику; (d) регулярно повторяющиеся взносы или подарки супруга или сожителя, но только в том случае, если выясняется, что родитель снизил свой доход или испытали чрезвычайное сокращение своих расходов на жизнь как прямой результат таких взносов. или подарки; и (e) почасовая оплата за регулярную, сверхурочную и дополнительную работу свыше 45 общих оплачиваемых часов в неделю, но не более 52 общих оплачиваемых часов в неделю;
Чрезвычайные расходы по уходу и содержанию ребенка;
Чрезвычайные родительские расходы;
Потребности других иждивенцев одного из родителей;
Координация общей поддержки семьи.
Вне зависимости от того, проста ли ваша ситуация или сложна, очень важно получить справедливый и точный расчет алиментов, чтобы вы могли соответствующим образом спланировать свою жизнь. Наши юристы по алиментам из Нового Ханаана превосходно разбираются в делах, связанных со сложными доходами, и обычно составляют комплексные и творческие постановления о содержании детей в рамках закона Коннектикута.
Должен ли я выплачивать алименты, если я разделяю опеку над детьми?
Сама по себе совместная физическая опека не освобождает родителя от его или ее обязательства по алиментам.Рекомендации Коннектикута по содержанию детей предусматривают, что в ситуации совместного физического опеки «предполагаемый текущий порядок поддержки должен быть равен предполагаемой текущей сумме алиментов родителя с более высоким чистым недельным доходом, выплачиваемой родителю с более низким чистым недельным доходом». Таким образом, предположительно, обязательства по алиментам идентичны независимо от того, сколько времени ребенок проживает с одним из родителей. Однако предполагаемая сумма алиментов может быть опровергнута или отклонена, если это необходимо.Наши юристы по алиментам в Новом Ханаане помогут вам определить, уместно ли отклонение.
Когда в Коннектикуте заканчиваются алименты?
Алименты на детей в Коннектикуте прекращаются автоматически, когда ребенку исполняется 19 лет или он заканчивает среднюю школу. При определенных ограниченных обстоятельствах алименты могут быть продлены до достижения ребенком 21 года. Чтобы алименты были продлены до 21 года, ребенок, на которого распространяется обязательство по алиментам: (а) должен иметь умственную отсталость. или физическая инвалидность, (б) должен проживать с одним из родителей, и (в) в основном зависит от такого родителя в плане содержания.
Свяжитесь с одним из наших опытных юристов по вопросам алиментов Нового Ханаана сегодня
Наши юристы по алиментам из Нового Ханаана имеют многолетний опыт работы с законами Коннектикута о содержании алиментов и сложными нюансами, которые могут возникнуть при их подаче заявления. Независимо от того, являетесь ли вы плательщиком алиментов или получателем, мы позаботимся о том, чтобы в вашем деле надлежащим образом применялись Рекомендации по выплате алиментов. Чтобы назначить личную или виртуальную встречу с одним из наших юристов по алиментам в Новом Ханаане, позвоните по телефону 203-652-8018 или заполните нашу онлайн-форму.
Тяжелые, опасные для жизни или смертельные интерстициальные заболевания легких (ILD), включая пневмонит, могут возникать у пациентов, получавших ENHERTU [см. ПОБОЧНЫЕ РЕАКЦИИ ]. Посоветуйте пациентам немедленно сообщать о кашле, одышке, лихорадке и / или любых новых или ухудшающихся респираторных симптомах.Наблюдайте за пациентами на предмет признаков и симптомов ILD. Незамедлительно исследуйте доказательства наличия международной болезни. Оцените пациентов с подозрением на ILD с помощью рентгенографии. Рассмотрите возможность консультации пульмонолога. При бессимптомной (степень 1) ВЗЛ рассмотрите возможность лечения кортикостероидами (например, преднизолон ≥0,5 мг / кг / день или его эквивалент). Воздержитесь от ENHERTU до выздоровления [см. АДМИНИСТРАЦИЯ И ДОЗИРОВКА ]. В случае симптоматической ВЗЛ (степень 2 или выше) незамедлительно начните лечение системными кортикостероидами (например, ≥1 мг / кг / день преднизолона или его эквивалента) и продолжайте не менее 14 дней с последующим постепенным снижением дозы в течение не менее 4 недель.Окончательно прекратите ENHERTU у пациентов, у которых диагностированы симптоматические (степень 2 или выше) ILD [см. АДМИНИСТРАЦИЯ И ДОЗИРОВКА ].
Метастатический рак молочной железы
В клинических исследованиях из 234 пациентов с неоперабельным или метастатическим HER2-положительным раком молочной железы, получавших ENHERTU в дозе 5,4 мг / кг, ИЛЗ наблюдались у 9% пациентов. Летальный исход из-за ILD и / или пневмонита произошел у 2,6% пациентов, получавших ENHERTU. Среднее время до начала заболевания составило 4,1 месяца (диапазон: 1.2-8,3).
Местно-распространенный или метастатический рак желудка
В DESTINY-Gastric01 из 125 пациентов с местно-распространенной или метастатической HER2-положительной аденокарциномой желудка или GEJ, получавших ENHERTU 6,4 мг / кг, ИЛЗ встречались у 10% пациентов. Среднее время до начала заболевания составило 2,8 месяца (от 1,2 до 21,0).
Нейтропения
Тяжелая нейтропения, включая фебрильную нейтропению, может возникнуть у пациентов, получавших ENHERTU. Контролируйте общий анализ крови до начала приема ENHERTU и перед каждой дозой, а также по клиническим показаниям.В зависимости от тяжести нейтропении, ENHERTU может потребоваться прерывание или уменьшение дозы [см. АДМИНИСТРАЦИЯ И ДОЗИРОВКА ].
Метастатический рак молочной железы
В клинических исследованиях из 234 пациентов с неоперабельным или метастатическим HER2-положительным раком молочной железы, получавших ENHERTU 5,4 мг / кг, снижение количества нейтрофилов было зарегистрировано у 62% пациентов. Шестнадцать процентов имели снижение числа нейтрофилов 3 или 4 степени. Среднее время до начала снижения количества нейтрофилов составило 23 дня (диапазон: от 6 до 547).Фебрильная нейтропения отмечена у 1,7% пациентов.
Местнораспространенный или метастатический рак желудка
В DESTINY-Gastric01 из 125 пациентов с местнораспространенным или метастатическим HER2-положительным аденокарциномой желудка или GEJ, получавших ENHERTU 6,4 мг / кг, снижение количества нейтрофилов было зарегистрировано в 72% случаев. пациенты. У 51% снизилось количество нейтрофилов 3 или 4 степени. Среднее время до начала снижения количества нейтрофилов составило 16 дней (диапазон: от 4 до 187). Лихорадочная нейтропения была зарегистрирована у 4 пациентов.8% пациентов.
Дисфункция левого желудочка
Пациенты, принимающие ENHERTU, могут иметь повышенный риск развития дисфункции левого желудочка. Снижение фракции выброса левого желудочка (ФВЛЖ) наблюдалось при терапии анти-HER2, включая ENHERTU. У 234 пациентов с неоперабельным или метастатическим HER2-положительным раком молочной железы, получавших ENHERTU, сообщалось о двух случаях (0,9%) бессимптомного снижения ФВЛЖ. В исследовании DESTINY-Gastric01 из 125 пациентов с местнораспространенной или метастатической HER2-положительной аденокарциномой желудка или GEJ, получавших ENHERTU 6.4 мг / кг, не сообщалось о клинических побочных эффектах сердечной недостаточности; однако при эхокардиографии у 8% было обнаружено бессимптомное снижение ФВ ЛЖ 2 степени.
Лечение ENHERTU не изучалось у пациентов с историей клинически значимых сердечных заболеваний или ФВЛЖ менее 50% до начала лечения.
Оценивайте LVEF до начала ENHERTU и через регулярные промежутки времени во время лечения в соответствии с клиническими показаниями. Управляйте снижением ФВЛЖ путем прерывания лечения.Окончательно прекратите применение ENHERTU, если подтверждается ФВ ЛЖ менее 40% или абсолютное снижение от исходного уровня более 20%. Окончательно прекратите ENHERTU у пациентов с симптоматической застойной сердечной недостаточностью (CHF) [см. АДМИНИСТРАЦИЯ И ДОЗИРОВКА ].
Эмбриофетальная токсичность
Основываясь на механизме действия, ENHERTU может причинить вред плоду при введении беременной женщине. В постмаркетинговых отчетах использование HER2-направленных антител во время беременности приводило к случаям маловодия, проявляющимся в виде фатальной гипоплазии легких, аномалий скелета и неонатальной смерти.Основываясь на своем механизме действия, компонент ингибитора топоизомеразы ENHERTU, DXd, также может вызывать повреждение эмбриона и плода при введении беременной женщине, поскольку он генотоксичен и нацелен на активно делящиеся клетки [см. Использование в конкретных группах населения , КЛИНИЧЕСКАЯ ФАРМАКОЛОГИЯ , Доклиническая токсикология ]. Сообщите пациентам о потенциальных рисках для плода.
Проверьте статус беременности женщин репродуктивного потенциала до начала ENHERTU.Посоветуйте женщинам репродуктивного потенциала использовать эффективную контрацепцию во время лечения и в течение как минимум 7 месяцев после последней дозы ENHERTU. Консультировать пациентов мужского пола с женщинами-партнерами репродуктивного потенциала для использования эффективных контрацептивов во время лечения с ENHERTU и в течение по крайней мере 4 месяцев после последней дозы ENHERTU [см. Использование в конкретных группах населения ].
Консультации для пациентов
Посоветуйте пациенту прочитать утвержденную FDA маркировку пациента ( Руководство по лекарствам ).
Интерстициальное заболевание легких
Сообщите пациентам о рисках тяжелых или смертельных заболеваний легких. Посоветуйте пациентам немедленно связаться со своим лечащим врачом в случае любого из следующего: кашель, одышка, лихорадка или другие новые или ухудшающиеся респираторные симптомы [см. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И МЕРЫ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ ].
Нейтропения
Сообщите пациентам о возможности развития нейтропении и немедленно обратитесь к своему лечащему врачу, если у них разовьется лихорадка, особенно в связи с любыми признаками инфекции [см. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И МЕРЫ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ ].
Дисфункция левого желудочка
Посоветуйте пациентам немедленно связаться со своим лечащим врачом в случае любого из следующего: новое начало или ухудшение одышки, кашель, усталость, отек лодыжек / ног, сердцебиение, внезапное увеличение веса, головокружение, потеря сознания [см. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И МЕРЫ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ ].
Токсичность для эмбриона и плода
Сообщите пациентам женского пола о потенциальном риске для плода. Посоветуйте пациентам-женщинам связаться с их поставщиком медицинских услуг известной или предполагаемой беременности [см. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ И МЕРЫ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ , Использование в конкретных группах населения ].
Консультировать женщин репродуктивного потенциала использовать эффективную контрацепцию во время лечения с ENHERTU и в течение как минимум 7 месяцев после последней дозы [см. Использование в конкретных группах населения ].
Консультировать пациентов мужского пола с женщинами-партнерами репродуктивного потенциала использовать эффективную контрацепцию во время лечения с ENHERTU и в течение не менее 4 месяцев после последней дозы [см. Использование в конкретных группах населения ].
Лактация
Посоветуйте женщинам не кормить грудью во время лечения и в течение 7 месяцев после последней дозы ENHERTU [см. Использование в конкретных группах населения ].
Бесплодие
Сообщите мужчинам репродуктивного потенциала, что ENHERTU может снизить фертильность [см. Использование в конкретных группах населения ].
Доклиническая токсикология
Канцерогенез, мутагенез, нарушение фертильности
Исследования канцерогенности с фам-трастузумабом deruxtecan-nxki не проводились.
Компонент ингибитора топоизомеразы фам-трастузумаба дерукстекан-nxki, DXd, был кластогенным как в анализе микроядер костного мозга крысы in vivo, так и в анализе аберрации хромосомы легких китайского хомячка in vitro, и не был мутагенным в анализе обратной мутации бактерий in vitro. .
Исследования фертильности с фам-трастузумабом deruxtecan-nxki не проводились. В шестинедельном исследовании токсичности повторных доз на крысах внутривенное введение фам-трастузумаба дерукстекан-nxki привело к задержке сперматидов в дозах 20 и 60 мг / кг (примерно в 4 и 9 раз больше рекомендуемой для человека дозы 5,4 мг / кг). кг на основе AUC соответственно). Снижение веса яичек и придатков яичка, атрофия / дегенерация канальцев в яичках и снижение количества сперматозоидов в придатках яичка наблюдались при дозе 197 мг / кг (в 19 раз больше рекомендуемой для человека дозы 5.4 мг / кг на основе AUC). В трехмесячном исследовании токсичности повторных доз на обезьянах внутривенное введение фам-трастузумаба deruxtecannxki привело к уменьшению количества круглых сперматид в семенниках на стадиях V-VI семенных канальцев при ≥30 мг / кг (≥30 мг / кг (≥7 раз, чем рекомендовано для человека). доза 5,4 мг / кг на основе AUC). Доказательства обратимости наблюдались у обезьян к концу трехмесячного периода восстановления.
Использование в определенных группах населения
Беременность
Сводка рисков
Основываясь на механизме действия, ENHERTU может нанести вред плоду при введении беременной женщине.Нет доступных данных о применении ENHERTU у беременных. В постмаркетинговых отчетах использование HER2-направленных антител во время беременности приводило к случаям маловодия, проявляющимся в виде фатальной гипоплазии легких, аномалий скелета и неонатальной смерти (см. Данные , данные ). Основываясь на своем механизме действия, компонент ингибитора топоизомеразы ENHERTU, DXd, также может вызывать повреждение эмбриона и плода при введении беременной женщине, поскольку он генотоксичен и нацелен на активно делящиеся клетки [см. КЛИНИЧЕСКАЯ ФАРМАКОЛОГИЯ , Доклиническая токсикология ] .Сообщите пациентам о потенциальных рисках для плода.
Существуют клинические соображения, если ENHERTU используется у беременных женщин или если пациентка забеременеет в течение 7 месяцев после последней дозы ENHERTU (см. Клинические соображения ).
Предполагаемый фоновый риск серьезных врожденных дефектов и выкидыша для указанной популяции неизвестен. У всех беременностей есть фоновый риск врожденного порока, потери или других неблагоприятных исходов. В общей популяции США оценочный фоновый риск серьезных врожденных дефектов и выкидыша при клинически признанных беременностях составляет 2-4% и 1520% соответственно.
Клинические аспекты
Фетальные / неонатальные побочные реакции
Наблюдать за женщинами, которые получали ENHERTU во время беременности или в течение 7 месяцев до зачатия, на предмет олигогидрамниона. Если происходит маловодие, проведите тестирование плода, соответствующее гестационному возрасту и соответствующее общественным стандартам ухода.
Данные
Человеческие данные
Нет доступных данных об использовании ENHERTU у беременных женщин. В постмаркетинговых отчетах у беременных женщин, получавших HER2-направленные антитела, сообщалось о случаях маловодия, проявляющегося в виде фатальной гипоплазии легких, аномалий скелета и смерти новорожденных.В этих отчетах описывается маловодие у беременных женщин, которые получали антитела, направленные против HER2, отдельно или в сочетании с химиотерапией. В некоторых отчетах о случаях индекс амниотической жидкости увеличивался после прекращения использования HER2-направленных антител.
Данные о животных
Не было проведено исследований токсичности фам-трастузумаба deruxtecan-nxki на репродуктивную функцию или токсичность развития животных.
Лактация
Обзор рисков
Нет данных относительно присутствия фам-трастузумаба дерукстекан-nxki в грудном молоке, его воздействия на ребенка, находящегося на грудном вскармливании, или воздействия на выработку молока.Из-за возможности серьезных побочных реакций у ребенка, находящегося на грудном вскармливании, советуйте женщинам не кормить грудью во время лечения ENHERTU и в течение 7 месяцев после последней дозы.
Женщины и мужчины с репродуктивным потенциалом
Тестирование на беременность
Проверьте статус беременности женщин с репродуктивным потенциалом до начала ENHERTU.
Контрацепция
Женщины
ENHERTU может причинить вред плоду при введении беременной женщине [см. Использование в конкретных группах населения ].Посоветуйте женщинам репродуктивного потенциала использовать эффективную контрацепцию во время лечения ENHERTU и в течение как минимум 7 месяцев после последней дозы.
Мужчины
Из-за потенциальной генотоксичности советуйте пациентам-мужчинам с женщинами-партнерами репродуктивного потенциала использовать эффективную контрацепцию во время лечения ENHERTU и в течение не менее 4 месяцев после последней дозы [см. Доклиническая токсикология ].
Бесплодие
Основываясь на результатах исследований токсичности на животных, ENHERTU может ухудшить мужскую репродуктивную функцию и фертильность [см. Доклиническая токсикология ].
Использование в педиатрии
Безопасность и эффективность ENHERTU у педиатрических пациентов не установлены.
Гериатрическое использование
Из 234 пациентов с HER2-положительным раком молочной железы, получавших ENHERTU 5,4 мг / кг, 26% были 65 лет и старше и 5% были 75 лет и старше. Никаких общих различий в эффективности не наблюдалось между пациентами в возрасте ≥65 лет по сравнению с более молодыми пациентами. У пациентов в возрасте 65 лет и старше (53%) наблюдалась более высокая частота побочных реакций 3-4 степени по сравнению с более молодыми пациентами (42%).
Из 125 пациентов с местнораспространенной или метастатической HER2-положительной аденокарциномой желудка или GEJ, получавших ENHERTU 6,4 мг / кг в DESTINY-Gastric01, 56% были 65 лет и старше и 14% были 75 лет и старше. Никаких общих различий в эффективности или безопасности не наблюдалось между пациентами в возрасте ≥65 лет по сравнению с более молодыми пациентами.
Почечная недостаточность
Коррекция дозы ENHERTU не требуется пациентам с легкой (клиренс креатинина [CLcr] ≥60 и <90 мл / мин) или умеренной (CLcr ≥30 и <60 мл / мин) почечной недостаточностью [см. КЛИНИЧЕСКАЯ ФАРМАКОЛОГИЯ ].Нет данных о пациентах с тяжелой почечной недостаточностью.
Печеночная недостаточность
Коррекция дозы ENHERTU не требуется для пациентов с легкой (общий билирубин ≤ULN и любой AST> ULN или общий билирубин> от 1 до 1,5 раз от ULN и любой AST) или средней (общий билирубин> от 1,5 до 3 раз) ВГН и любые АСТ) печеночная недостаточность. У пациентов с умеренной печеночной недостаточностью из-за потенциально увеличенного воздействия внимательно следить за повышенной токсичностью, связанной с ингибитором топоизомеразы, DXd [см. АДМИНИСТРАЦИЯ И ДОЗИРОВКА ].Нет данных по пациентам с тяжелым (общий билирубин> 3-10 раз ULN и любой AST) печеночной недостаточностью [см. КЛИНИЧЕСКАЯ ФАРМАКОЛОГИЯ ].
6-FAM — Номер CAS 3301-79-9 — Заказ в Chemodex
Артикул
C0016
Категория: Флуоресцентное обнаружение
Синонимы
6-Карбоксифлуоресцеин
3301-79-9
Номер CAS
C 2 1 H 1 2 O 7
Молекулярная формула
376.32
Молекулярный вес
Технические характеристики
Чистота
≥98% (ВЭЖХ)
Идентичность
1H-ЯМР
Внешний вид
Желтое твердое вещество
Свойства
Флуоресценция
492 нм, λem 517 нм в 0,1 M Трис pH 8,0
Точка плавления
> 300 ° C
Растворители
ДМСО, вода (pH ≥ 5)
Загрузки
Паспорт безопасности
CDX C0016 Паспорт безопасности материалов.pdf
Длительное хранение
+ 4 ° C
Использование / стабильность
Стабильность не менее 2 лет после получения при хранении при + 4 ° C.
Рекомендации по эксплуатации
Беречь от света и влаги.
Кратковременное хранение
+ 4 ° C
Транспортировка
ОКРУЖАЮЩАЯ СРЕДА
Транспортировка
Неопасные грузы
Сигнальное слово
Предупреждение
Символ GHS
GHS07
Меры предосторожности
P261, P305 + P351 + P338
Краткая характеристика опасности
h415, h419, h435
Описание
Аминно-реактивные производные флуоресцеина, вероятно, являются наиболее распространенными реагентами флуоресцентной дериватизации для ковалентного мечения белков.Карбоксифлуоресцеин лучше удерживается в клетках, чем флуоресцеин, его pKa ~ 6,5 ниже, чем pH цитозоля большинства клеток (pH ~ 6,8-7,4). Карбоксифлуоресцеин обычно используется в качестве полярного индикатора.
OC (= O) C1 = CC = C (C (O) = O) C (= C1) C1 = C2C = CC (= O) C = C2OC2 = CC (O) = CC = C12
Реактивные с амином производные флуоресцеина, вероятно, являются наиболее распространенными реагентами флуоресцентной дериватизации для ковалентного мечения белков.Карбоксифлуоресцеин лучше удерживается в клетках, чем флуоресцеин, его pKa ~ 6,5 ниже, чем pH цитозоля большинства клеток (pH ~ 6,8-7,4). Карбоксифлуоресцеин обычно используется в качестве полярного индикатора.
Присоединяйтесь к рабочей группе — AOAC International
Программа аналитических исследований каннабиса (CASP)
Цель: Обеспечить форум, на котором можно будет обсудить научный анализ конопли и каннабиса и измерения качества для разработки и поддержания стандартов каннабиса и соответствующих целевым методам. Просмотр страницы программы> Контактное лицо: Руководитель программы Кристофер Дент, [адрес электронной почты защищен] Подайте заявку , чтобы присоединиться к рабочей группе
Программа методов проверки подлинности пищевых продуктов (FAM)
Цель: Обеспечить форум, на котором разрабатываются стандарты и методы для анализа и определения характеристик пищевых продуктов на подлинность и / или выявления фальсификации и незаконного добавления веществ в пищевые продукты. Просмотр страницы программы> Контактное лицо: Руководитель программы Палмер Орланди, [адрес электронной почты защищен] или менеджер FAFP Делия Бойд, [адрес электронной почты защищен] Подайте заявку , чтобы присоединиться к рабочей группе
Программа анализов для обнаружения агентов (SPADA)
Цель: Обеспечить форум для сообщества специалистов по обнаружению угроз для разработки добровольных согласованных стандартов и соответствующих целевому назначению методов, создания основы для измерения качества. Просмотр страницы программы> Контактное лицо: Руководитель программы Палмер Орланди, [адрес электронной почты защищен]
Программа питания для младенцев и взрослых (SPIFAN)
Цель: Обеспечить форум для сообщества детских смесей для разработки и поддержания обновленных международных стандартов и соответствующих целевому назначению методов, а также для создания основы для измерения качества. Просмотр страницы программы> Контактное лицо: Руководитель программы Алисия Мейкледжон, [адрес электронной почты защищен] или менеджер SPIFAN Делия Бойд, [адрес электронной почты защищен] Подайте заявку , чтобы присоединиться к рабочей группе
Форум аналитических решений (ASF)
Цель: Обеспечить научный форум, на котором участники со всего мира собираются для выявления возникающих тем и формулирования потребностей в стандартах, методах и / или показателях качества, используемых для снижения торговых барьеров, обоснования заявлений о вреде для здоровья или соблюдения нормативных требований. Просмотр страницы программы> Контактное лицо: Руководитель ASF Палмер Орланди, [адрес электронной почты защищен]
Пищевые аллергены — Рабочая группа по АЧС (альтернативные методы)
Цель: Разработать стандартные требования к производительности метода для количественного анализа товаров на пищевые аллергены с использованием анализов связывания лигандов. Представляющие интерес аллергены: яйца, молоко, арахис и древесные орехи (миндаль и лесной орех). Контактное лицо: Руководитель ASF Палмер Орланди, [адрес электронной почты защищен] или менеджер рабочей группы Делия Бойд, [адрес электронной почты защищен] Подайте заявку , чтобы присоединиться к рабочей группе
Молекулярная масса и масса
Молекулярная масса и масса
Содержание
Расчет химической формулы
Если сначала вычислить химическую формулу, на ее основе можно определить различные свойства.Самый простой способ вычисления химической формулы — это сложить формулы единиц каждого основания, перечисленные в таблице 1, затем вычесть P O 3 H (поскольку на 3′-конце нет фосфатной связи) и добавить H 2 (поскольку и 3′-конец, и 5′-конец протонированы), чтобы получить формулу олигонуклеотида (таблица 2).
Таблица 1 ⎪ Химические формулы стандартных оснований в ДНК и олигонуклеотидах РНК
Основание
Формула (ДНК)
Формула (РНК)
A
C 10 H 12 O 5 N 5 P
C 10 H 12 O 6 N 5 P
G
C 10 H 12 O 6 9055 5 P
C 10 H 12 O 7 N 5 P
C
C 9 H 12 O 6 N 3 900 C 9 H 12 O 7 N 3 P
T
C 10 H 13 O 7 N 2 P
10
(C H 13 O 8 N 2 P )
U
(C 9 H 11 O 7 N 2 P )
C 9 H 11 O 8 N 2
P
Таблица 2 ⎪ Химические формулы олигонуклеотида ДНК dAGCT и олигонуклеотида РНК AGCU
Олигонуклеотидная последовательность
Формула
dAGCT
C 39 H 3
AGCU
C 38 H 48 O 26 N 15 P 3
В физиологических условиях атомы кислорода фосфата депротонируются (Таблица 3).
Таблица 3 ⎪ Химические формулы ДНК-олигонуклеотида dAGCT и РНК-олигонуклеотида AGCU в физиологических условиях
Олигонуклеотидная последовательность
Формула
dAGCT
53 H 9055 9055 9055 15 P 3 —
AGCU
C 38 H 45 O 26 N 15 P 3 —
Рисунок 1 | Химическая структура ДНК-олигонуклеотида dAGCT (слева) и РНК-олигонуклеотида AGCU (справа)
Молекулярная масса
Расчет молекулярной массы
Молекулярная масса может быть рассчитана по химической формуле с использованием стандартных значений молекулярной массы каждого атом.Например, каждый атом хлора дает примерно 35,5 к молекулярной массе. Эти значения, как правило, не являются целыми числами, отчасти из-за изотопов (хлор в природе встречается примерно в виде 75% 35 Cl и 25% 37 Cl).
Использование молекулярной массы
Молекулярная масса используется для расчета концентрации и выхода.
Молекулярная масса
Моноизотопная масса
При расчете молекулярной массы отдельные изотопы рассматриваются отдельно.Моноизотопная масса рассчитывается с использованием массы наиболее распространенного изотопа каждого элемента. Часто это также самый лигатурный изотоп.
Масс-спектрометрия
Масс-спектрометрия — единственный экспериментальный метод, позволяющий различать изотопы, и, следовательно, единственный метод, при котором масса важнее молекулярной массы.
Сравнение молекулярной массы и молекулярной массы
Для небольших молекул молекулярная масса часто совпадает с моноизотопной массой (округленной до ближайшего целого числа).По мере увеличения размера молекулы эти два свойства расходятся.
область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ
Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.у=1/х. (наз. 2. (наз. парабола)
3.у=3х+7. (наз. прямая)
4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.
Область значения функции
Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).
Рассмотрим Е (у) для 1.,2.,3.,4.
1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел
Рассмотрим примеры подробнее
1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)
Решение.
1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)
3+х≠0
х≠-3
значит D (у) данной функции ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.
2. Найдем Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х
решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где А є Е (у)
(3+х)А=4х
3А=4х-хА
3А=х(4-А)
х=3А/(4-А)
значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.
2) Постановка задачи. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике
Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7],
Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4]. 2-x}}$ Определение: Пол — функция, которая определяет действительное число относительно предыдущего целого. Точнее, $\lfloor x \rfloor$ определяет наибольшее целое не большее $x$. График функции пол Определение: Дробная часть, обозначаемая $\lbrace x \rbrace$ for real $x$, задается формулой
$\lbrace x \rbrace = x — \lfloor x \rfloor$
Очевидно, что $ 0 \leq \lbrace x \rbrace Свойства: 1) $ \lfloor x \rfloor = max \lbrace a \in \mathbb{Z} | a \leq x \rbrace$
2) $ \lfloor x \rfloor \leq x \leq \lfloor x \rfloor +1$
3) $x-1 \leq \lfloor x \rfloor \leq x$
4) $\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor =0$
5) $\lfloor x+a \rfloor = \lfloor x \rfloor +a \,\,\,\, a \in \mathbb{Z}$
6) $ \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +1$
7) $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor=$
$\begin{cases}
0 \,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z} \\
-1 \,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}
\end{cases}$
8)$\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor=\lfloor x \rfloor$
Для нахождения области определения и множества значений функции пол стоит использовать приведенные свойства. Пример: Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{x-\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor}{x+\lfloor x \rfloor+\lfloor -x \rfloor}$. Решение: Согласно свойствам
$\lfloor x-\lfloor x \rfloor \rfloor =0$
и
$ \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor =
\begin{cases}
0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z} \\ \\
-1 \,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}
\end{cases}$
So
$y=
\begin{cases}
\dfrac{x}{x}=1 \,\,\,\, x \in \mathbb{Z} — \lbrace 0 \rbrace
\\
\\
\dfrac{x}{x-1} \,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}
\end{cases}$
Следовательно
$D_f=\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace$
Также для множества значений
$x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}: y=\dfrac{x}{x-1} \rightarrow x =\dfrac{y}{y-1} \in \mathbb{R} — \mathbb{Z} \rightarrow y =\neq 1$
Пример: Найти область определения и множество значений $f(x)=\dfrac{\lfloor x+1 \rfloor+\lfloor -x \rfloor}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x \rfloor}$ Решение:
$f(x)=\dfrac{\lfloor x+1 \rfloor+\lfloor -x \rfloor}{\lfloor 1-x \rfloor+\lfloor x \rfloor}=\dfrac{\lfloor x \rfloor+\lfloor -x \rfloor+1}{\lfloor -x \rfloor+\lfloor x \rfloor+1}=
\begin{cases}
1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{Z}
\\
Undefined \,\,\,\,\,\,\,\, x \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}
\end{cases}$
Функция. Область определения и область значений функции.
§ 1. Функции и их свойства.
п. 1. Функция. Область определения и область значений функции.
Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной х, что каждому значению переменной х соответствует только одно значение переменной у. Переменная х называется независимой (или аргументом), а переменная у – зависимой (или значением функции).
Например, .
Каждая функция имеет область определения и область значений. Разберёмся, что это такое.
Областью определения функции называется множество всех значений, которые может принимать независимая переменная х (аргумент). Обозначается она так: .
Например, рассмотрим функцию . Нам нужно определить, какие значения может принимать х. Так как на 2 мы можем умножить любое число и от любого результата можем отнять 1, то х может принимать абсолютно любые значения. Значит, областью определения функции является любое число, т.е. .
Рассмотрим теперь функцию . Здесь мы замечаем, что х находится в знаменателе, а всем известно, что на 0 делить нельзя. Поэтому, мы находим число, при котором знаменатель станет равным 0. Это число . Значит, х может принимать любые значения, кроме . Поэтому, областью определения данной функции является любое число, кроме , т.е.
Областью значений функции называется множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная у (значение функции). Обозначается она так: .
Нахождение области значений функции задача не из простых. Её можно находить алгебраическим способом, а можно графическим. Пока мы будем использовать графический способ. Для этого необходимо построить график заданной функции и по графику определить, какие значения может принимать зависимая переменная.
Графиком функции называется множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. (Напомним, что абсцисса – это координата х, ордината – координата у).
Поскольку, по определению функции, каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции, то для графика соблюдается такое же правило: каждой абсциссе графика соответствует только одно значение ординаты.
Н апример,
На графике показано, что абсциссе соответствует только одно значение ; абсциссе – только одно значение . И так далее.
По графику выясняем, что его областью определения является множество всех действительных чисел, которые больше, либо равны, чем , но меньше, либо равны, чем т. е. . А областью значений является множество всех чисел, которые больше, либо равны , но меньше, либо равны , т.е. .
Вспомним функции, которые мы изучали в 7 и 8 классе.
— линейная функция, графиком её является прямая, проходящая через точки . Частными случаями линейной функции являются постоянная функция — и прямая пропорциональность — .
– обратная пропорциональность, графиком её является гипербола, расположенная в I и III четверти, если , и во II и IV четверти, если .
– квадратная функция, графиком её является парабола с вершиной в точке , ветви её направлены вверх и проходящая через точки .
– кубическая функция, графиком её является кубическая парабола с вершиной в точке , расположенная в I и III четверти.
– функция квадратного корня, графиком её является ветвь параболы с вершиной в точке , расположенная в I четверти.
Функция задана формулой . Найдите:
Функция задана формулой . Сравните числа:
Решите уравнение , если:
Решите неравенство , если:
При каком значении параметра график функции :
проходит через точку
проходит ниже точки
проходи выше точки
не проходит через точку ?
Автомобиль движется по шоссе со скоростью 50 км/ч от пункта до пункта , расстояние между которыми 200 км. Задайте функцию (км) для (ч):
расстояния от автомобиля до пункта
расстояния от автомобиля до пункта
расстояния от автомобиля до пункта , находящегося на одинаковом расстоянии от пунктов и .
Без построения графика функции найдите все точки этого графика:
с абсциссой ;
с ординатой
с равными координатами;
сумма координат которых равна нулю.
При каких значениях параметра на графике функции :
ровно одна точка с ординатой
ровно две точки с ординатой
нет точек с ординатой ?
Дана функция . Во втором столбце таблицы укажите знак значения функции в точке
Сопоставьте заданные функции с их областью определения:
Функция
3)
Область определения
Какие из данных функций определены на всём множестве действительных чисел:
Из данных высказываний выберите верные:
функция определена для всех из промежутка ;
областью определения функции является множество ;
функция определена для всех из промежутка ;
областью определения функции является множество .
Найдите область определения функций:
Для функции найдите область определения и нули функции (те значения переменной, при которых значение функции равно нулю).
Постройте графики функций:
Сопоставьте заданные функции с их областью значений:
Функция
3)
Область значений
Для каждой из данных функций найдите её область значений:
Для каждой пары функций, приведённой в таблице, установите, совпадают их области определения или не совпадают.
Функция
Функция
Да или нет
Найдите область значений функции:
при
при
Представьте себе график функции и, используя свой воображаемый график, найдите область значений этой функции, если:
Найдите множество значений функции при
Укажите, какие из данных высказываний являются верными:
все значения независимой переменной образуют область значений функции;
корнем квадратным из неотрицательного числа называется любое число , такое, что ;
уравнение , если ;
квадратное уравнение имеет ровно один корень, если его дискриминант равен нулю;
областью определения функции является множество всех чисел;
областью значений функции является множество всех чисел;
если две стороны треугольника имеют длины 3 и 5, то областью значений длины третьей стороны этого треугольника является множество .
Сколько различных целых значений принимает функция:
при
Постройте график функции
и определите:
область значений функции;
все такие значения , для которых значение функции равно ;
все такие значения , для которых значение функции равно
все такие значения функции, которые она принимает более одного раза.
При каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы один корень на множестве . Найдите область значений функции при .
5
Область определения и область значений функции
1. Область определения и область значений функции
Цели. Изучить понятия: 1) область определения функции 2) область значений функции Уметь находить область определения функции и область значений функции. Уметь находить значение функции при заданном значении аргумента. Уметь находить значение аргумента при заданном значении функции. Функцией называют такую зависимость одной переменной (зависимой) от другой (независимой), при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной . y f (x) Независимую переменную (х) называют аргументом , зависимую переменную называют функцией от этого аргумента. Принято независимую переменную (аргумент) обозначать буквой х, а зависимую переменную – буквой у, функцию (правило, которое задает зависимость) – буквой f. Если у зависит от х, то этот факт можно записать так: у = f(х) Читаем: игрек равен эф от х. Например: у = х + 7 или f(х) = х + 7 Все значения, которые принимает независимая переменная, называют областью определения функции. Обозначается D(у) Все значения, которые принимает зависимая переменная, называют областью значений функции. Обозначается Е(у)
5. 1. Найдём по графику область определения функции — D(у)
-5 4 Т.к. область определения функции – это все значения, которые принимает независимая переменная, т.е. х, то по графику определим: какие значения принимает х?. Опустим из крайних точек графика перпендикуляры на ось абсцисс (ось Ох) и определим значения х. Это х = — 5 и х = 4,5 Значит область определения функции х Є [– 5; 4,5] Записывается это так (см следующий слайд)
6. Найдите по графику область определения функции — D(у)
-5 D(у)= [-5; 4,5] 4
7. 2. По графику определите промежуток на котором определена данная функция (т.е. найти область определения функции)
-6 3 D(у)= [-6; 3,5]
8. 3. Найдём по графику область значений функции — Е(у)
5 -2 Т.к. область значения функции – это все значения, которые принимает зависимая переменная, т.е. у, то по графику определим: какие значения принимает у?. Опустим из точек графика с наибольшим значением и наименьшим перпендикуляры на ось ординат (ось Оу) и определим значения у. Это у = — 2 и у = 5 Значит область значения функции у Є [– 2; 5] Записывается это так (см следующий слайд)
9. Найдём по графику область значения функции — Е(у)
5 Е(у)= [-2; 5] -2
10. 4. По графику определите область значения функции
4 -2 Е(у)= [-2; 4]
11. 5. Найдите по графику область определения функции
-5 5 D(у)= [-5; 5]
12. 6. Найдите по графику область значения функции
6 -2 Е(у)= [-2; 6] Задание 7. Найдём область определения функции: у х 2 х; 3 Решение у х 2 х; 3 Рассуждаем: В данном случае вместо аргумента (х) можно подставить любое число. Следовательно область определения – все числа. Записываем: D(у) = (-∞; + ∞) Задание 8. Найдём область определения функции: 3 у х 11 Решение Рассуждаем: На нуль делить нельзя. Значит по смыслу знаменатель не должен быть равен нулю. Пишем: х 11 0 х 11 Значит область определения – все числа, кроме числа 11 . Ответ: D(у)= (-∞; 11) U (11; + ∞) .
15. Задание 9. Функция задана формулой у = 3х – 5.
1. Найти значение функции при значении аргумента, равного -2; 0. Образец оформления. (формулу записывать обязательно) : у = 3х – 5 При х = — 2, ∙ у(-2) = 3 (-2) – 5 = — 6 – 5 = — 11; Объяснение: в формулу, с помощью которой задана функция, вместо х подставим его значение и вычислим при х = 0 у(0) = 3 * 0 – 5 = — 5 2. Найти значение аргумента при значении функции, равном 10. у(х) = 10, то 3х — 5 = 10 3х = 15 х=5 Объяснение: в формулу, с помощью которой задана функция, вместо у подставим значение функции. Получим линейное уравнение которое необходимо решить. Находим значение х (аргумента). Домашнее задание. Разобрать презентацию. Выучить основные понятия. 1. Пользуясь графиком определите область определения и область значений функции. а) б) г) у 78 2 х 18 у х 24 х 13 х у 2 д) х 25 №791, 794 Образец решения д) 2х 9 у 2 х 16 Рассуждаем: на нуль делить нельзя. Значит по смыслу знаменатель не должен быть равен нулю Пишем: 2 х 16 0 Разложим на множители с помощью формулы разность квадратов ( х 4)( х 4) 0 х 4 0 х 4 0 х 4 х 4 -4 4 Область разбита на три части точками -4 и 4 Ответ: D(у)= (-∞; -4) U (-4;4) U (4; + ∞)
2 x область определения
Вы искали 2 x область определения? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и d f как найти, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «2 x область определения».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 2 x область определения,d f как найти,d f область определения,d y область определения,d y область определения как определить,d y область определения функции,f x как найти область определения функции,f x найти область определения функции,f x область определения функции,x 2 y 2 область определения,x 2 область определения,y 1 x область определения,y 2 x область определения,y 2x 3 область определения функции,y 3 x 1 3 найти область определения функции,y 3 x область определения функции,y f x область определения функции,y x 2 x 1 найти область определения,y x 2 найти область определения функции,y x 2 область определения,y x 2 область определения функции,y x 3 область определения функции,y x найдите область определения функции,y x область определения,y найти область определения функции,график функции область определения,д от игрек,д от у это область определения,д от ф как найти,естественная область определения функции,знайти область визначення функції,знайти область визначення функції онлайн,знайти область визначення функції приклади,знак область определения,как записать область определения функции,как искать область определения,как искать область определения функции,как найти d f,как найти d y по формуле,как найти д от ф,как найти естественную область определения выражения,как найти на графике область определения функции,как найти обл определения функции,как найти область,как найти область определение функции,как найти область определения,как найти область определения выражения f x,как найти область определения выражения f x под корнем,как найти область определения дроби,как найти область определения по графику,как найти область определения функции,как найти область определения функции 8 класс алгебра,как найти область определения функции без графика,как найти область определения функции дроби,как найти область определения функции заданной формулой,как найти область определения функции заданной формулой 9 класс,как найти область определения функции логарифмической,как найти область определения функции онлайн калькулятор с решением,как найти область определения функции по графику,как найти область определения функции примеры с дробью и корнем,как найти область определения функции с дробью и корнем,как найти область определения функции с логарифмом примеры,как найти область определения функции тригонометрической функции,как найти ооф,как найти ооф функции,как находится область определения,как находится область определения функции,как находить область определения,как находить область определения функции,как находить ооф,как обозначается область определения функции,как определить область определения,как определить область определения функции,как определить область определения функции заданной формулой,как определить область определения функции по графику,как определить область существования функции,как определить по графику область определения функции,как определять область определения функции,как по графику найти область определения функции,как по графику определить область определения функции,как узнать область определения функции,как указать область определения функции,какова область определения функции,какова область определения функции y 1 x,калькулятор нахождения области определения функции,калькулятор области определения функции онлайн,калькулятор онлайн область определения,найдите d f область определения функции,найдите область,найдите область определение функции,найдите область определения,найдите область определения функции,найдите область определения функции f x,найдите область определения функции f x 1 x,найдите область определения функции f x 37 3x,найдите область определения функции y,найдите область определения функции y 1 x,найдите область определения функции y 1 x 2 4,найдите область определения функции y 1 x 2 x,найдите область определения функции y 1 корень x,найдите область определения функции y 13 5 4x 127,найдите область определения функции y 2 x,найдите область определения функции y 3 x,найдите область определения функции y 5 6x 2x 4,найдите область определения функции y 8 x 10,найдите область определения функции y x,найдите область определения функции y x 1,найдите область определения функции y x 2,найдите область определения функции y x 2 1,найдите область определения функции y x 3 8x 1,найдите область определения функции y x 4,найдите область определения функции y x4 5×3 2,найдите область определения функции y корень,найдите область определения функции y корень x 1,найдите область определения функции онлайн,найдите область определения функции онлайн калькулятор с решением,найдите область определения функции с модулем,найдите область определения функции у,найдите область определения функций,найти d f,найти d y,найти область,найти область значений и область определения функции онлайн,найти область значения и область определения функции онлайн,найти область определение функции,найти область определения,найти область определения y 2 x,найти область определения y x 2,найти область определения выражения онлайн,найти область определения выражения под корнем онлайн,найти область определения и множество значений функции онлайн,найти область определения и область значений функции онлайн,найти область определения и область значения функции онлайн,найти область определения функции,найти область определения функции f x,найти область определения функции f x и вычислить ее значение,найти область определения функции y,найти область определения функции y 1 x 1,найти область определения функции y 1 x 2 x,найти область определения функции y 2 x,найти область определения функции y tg x 3,найти область определения функции y x 5,найти область определения функции дробной функции,найти область определения функции заданной формулой,найти область определения функции и вычислить ее значение в заданных точках,найти область определения функции и множество значений онлайн,найти область определения функции калькулятор онлайн,найти область определения функции онлайн с корнем онлайн,найти область определения функции онлайн с подробным решением,найти область определения функции онлайн с решением,найти область определения функции решение онлайн,найти область определения функции с корнем,найти область определения функции с корнем и дробью,найти область определения функции с подробным решением онлайн,найти область определения функции с решением онлайн,найти область определения функций,найти ооф,найти ооф онлайн,нахождение области определения функции онлайн,нули функции и область определения функции,обл определения функции,области определения,области определения функции,области определения функции как найти,области определения функций,область визначення знайти,область визначення функції онлайн,область визначення функції приклади,область визначення функції приклади розв язання,область значения и область определения x y,область значения и область определения функции онлайн,область значения онлайн,область определение,область определение функции,область определение функции как найти,область определение функции это,область определений,область определения,область определения 2 x,область определения d f,область определения d f функции,область определения d f функции f,область определения d y,область определения f x,область определения x y,область определения y x,область определения y x 2,область определения выражения f x,область определения дроби как найти,область определения дробной функции,область определения и область значения функции онлайн,область определения как искать,область определения как найти,область определения как найти по графику,область определения как находится,область определения как находить,область определения как определить,область определения квадратного корня,область определения корня квадратного,область определения обозначается,область определения обозначается как,область определения обозначение,область определения онлайн,область определения по графику,область определения функции,область определения функции d f,область определения функции d y,область определения функции f,область определения функции f x,область определения функции f x y,область определения функции f отрезок 1 6,область определения функции x 1 x,область определения функции x y,область определения функции y,область определения функции y 1 x,область определения функции y 1 x 2,область определения функции y 2 x,область определения функции y 2x 3,область определения функции y f x,область определения функции y x,область определения функции y x 1,область определения функции y x 2,область определения функции y корень из x,область определения функции график,область определения функции график функции,область определения функции дробной,область определения функции задания онлайн,область определения функции и множество значений функции онлайн,область определения функции и область значений функции онлайн,область определения функции как,область определения функции как записать,область определения функции как записывать,область определения функции как найти,область определения функции как найти онлайн,область определения функции как найти по графику,область определения функции как обозначается,область определения функции найдите с модулем,область определения функции обозначение,область определения функции онлайн калькулятор с решением подробно,область определения функции определение,область определения функции определить,область определения функции по графику,область определения функции по графику примеры,область определения функции с корнем,область определения функции с корнем и дробью,область определения функции х 2 у 2 4,область определения функции что это,область определения функции что это такое,область определения функции это,область определения функции это х или у,область определения функции это что,область определения функций,область определения функция,область определения что это,область определения это,область определения это что,область существования функции,область существования функции это,область функции,областью определения функции,обозначение области определения функции,обозначение область определения,обозначение область определения функции,онлайн нахождение области определения функции,онлайн область значений,онлайн область определение функции,онлайн ооф,онлайн определение области значения функции,ооф,ооф в алгебре,ооф как найти,ооф функции,ооф это,определение области значения функции онлайн,определение области определения функции,определение область,определение область определения функции,определение функции область определения,определите область определения функции,определить область определения функции онлайн,построив график функции y f x найти а область определения функции,пример функции область определения,таблица области определения функций,укажите область определения,укажите область определения функции,укажите область определения функции f x 2x 5,укажите область определения функции y 3 lgx,укажите область определения функции y x 4,укажите область определения функции заданной формулой y x2,указать область определения функции,указать область определения функции онлайн,функции область определения график функции,функции определение область определения,функция область определения,функция область определения функции,что значит найти область определения,что значит найти область определения функции,что значит область определения функции,что такое в алгебре область определения функции,что такое естественная область определения функции укажите,что такое область определения функции в алгебре,что такое область определения функции и как ее найти,что такое ооф,что является областью определения функции. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 x область определения. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, d f область определения).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 x область определения Онлайн?
Решить задачу 2 x область определения вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Множество значений функции
Определение 1
Функцией, заданной на множестве $X$ и принимающей значения из множества $Y$ называют некую закономерность, по которой каждому элементу из множества $X$ соответствует лишь один и только один элемент из множества $Y$.
Из этого определения следует, что множество (область) значений функции — это те значения функции $y(x)$, которые она может принимать соответственно области её определения. Теперь перейдём к следующему определению.
Определение 2
Область (множество) значений функции на некотором рассматриваемом отрезке — это интервал значений, которые функция принимает на этом рассматриваемом отрезке.
Чаще всего в учебной литературе встречается термин «множество значений функции». Кратко его обозначают $E(f)$.
Как определить область значения функции
Для определения множества значений функции пользуются графическим методом, методом поисков минимума и максимума, вычислением производной и другими.
Определение множества значений функции графическим методом
Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. Этот метод наиболее удобен, если не известна какая-либо закономерность изменения функции $f(x)$, а есть только набор произвольных точек или собственно сам график.
Пример 1
Рисунок 1. Определение множества значений функции графическим методом
На данном рисунке область значений функции $y=f(x)$ равна $E(y)=3$, так как на протяжении всего отрезка функция $y$ не меняет своего значения и всегда равна $3$, тогда как область определения функции $D(y)=[0;3.5]$.
Скобки в данном случае для области определения функции необходимо использовать квадратные, так как обе точки закрашены, то есть включены в отрезок. В случае если точки не закрашены, они не включаются в отрезок и тогда применяются круглые скобки.
Метод нахождения области значения функции через производную
Метод нахождения области значения функции через производную состоит в том, чтобы сначала оценить область её определения (то есть определить те значения, которые может принимать аргумент $x$, а затем осуществить процедуру нахождения самой производной. После этого осуществляют поиск значений $x$, при которых производная функции равна нулю и при которых производная не существует. 2}}$
Если в знаменателе производной нуль, то производной не существует, в данном случае это условие выполняется при $x=±4$.
Приравниваем производную к нулю и находим значения $x$. Производная данной функции принимает нулевое значение при $x=0$. Теперь подставляем найденные значения производной в нашу функцию, и получаем, что наименьшее значение функции — это $f(4)$ и $f(-4)$, при этих значениях функция равна нулю, а наибольшее значение $f(x)$ — при $x=0$, в этой точке функция равна $16$.
Метод поиска минимума и максимума
Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области.
Пример 3
Определите область значений функции:
$y=6-4sinx$
Проанализируем данную функцию. Так как минимальное значение синуса равно минус единице, а а максимальное — единице, то подставив эти значения получаем, что $max(f(x))=10$ при $x=\frac{3π}{2}$, а минимум $min(f(x))=2$ при $x=\frac{π}{2}$. +$.
Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений.
В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$. За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $\mathbb{R}$, а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $\mathbb{R}$.
Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции
Тема
Понятие функции. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции.
Цель и задачи
— организовать деятельность учащихся по формированию у них понятий: функция, область определения, область значения функции, с учётом прошлого опыта и закреплению этих понятий при выполнении практических заданий.
1.Образовательная: Формировать навыки нахождения области определения и значения функции
3.Воспитательная: Воспитывать чувство ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе, воспитание культуры общения.
Планируемый результат
Предметные умения
УУД
Находить область определения рационального выражения.
Находить область определения дробной функции.
Находить область определения функции, в которой аналитическое выражение содержит корень чётной степени.
Находить область определения функции, в которой аналитическое выражение содержащее корень чётной степени, находится в знаменателе.
Находить область определения логарифмической функции.
Личностные: уметь выбирать оптимальные
формы во взаимоотношениях с одноклассниками.
Коммуникативные: уметь задавать вопросы, необходимые для организации собственной деятельности и сотрудничества с партнёром.
Познавательные: уметь выбирать наиболее эффективные способы решения задачи в зависимости от конкретных условий .
Регулятивные: адекватно самостоятельно оценивать правильность выполнения действия и вносить необходимые коррективы в исполнение, как в конце действия, так и по ходу его реализации.
Основные понятия
Функция, область определения, область значений, табличный, графический, аналитический способы задания функции.
Организация пространства
Межпредметные связи
Формы работы
Ресурсы
Физика, история
Индивидуальная, групповая, фронтальная
-Раздаточный материал с заданиями урока,
-Рабочие тетради,
-Книга для учителя,
-Учебник,
— Презентация по теме.
№
Этапы работы
Содержание этапа
1.
Организационный этап учебного занятия
Время
Используемые ресурсы
Орг-момент (настрой на урок)
2минуты
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
УУД
Создать благоприятный психологический настрой на работу. Помогать при изучении нового материала нам будет компьютерная презентация, ваше хорошее настроение и внимание.
Настраиваются на работу, записывают число.(Слайд 1)
Личностные: осознать важность каждого урока для дальнейшего своего образования.
Коммуникативные: слушать, отвечать на вопросы.
Регулятивные: использовать речь для регуляции своего действия,
2.
Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности.
Устный счёт.
4 минуты
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
УУД
Выявляет уровень знаний, определяет типичные недостатки.
На слайдах презентации задания на решение простейших уравнений и неравенств.
Выполняют задания, тренирующее отдельные способности к учебной деятельности, мыслительные операции и учебные навыки.
(Слайд 2)
Регулятивные: осуществлять самоконтроль правильности выполнения задания.
Личностные: формировать этические чувства доброжелательность и эмоционально-нравственную отзывчивость.
Познавательные: Извлекать необходимую информацию .
2.
Этап целеполагания
Время
Используемые ресурсы
Целеполагание и мотивация
5 минут
Карточки с цифрами на доске
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
УУД
Активизирует знания учащихся, ставит познавательную задачу.
Прием «мозговой штурм»
Используя вопросы подвожу учащихся к цели урока.
Найти все х, при которых у существует:
у= , построить график этой функции, визуально рассмотреть промежутки убывания и возрастания функции.
Отвечая на наводящие вопросы ставят цели, формулируют (уточняют) тему урока.
. (функция, свойства и графики функций) .
(Слайд 3)
Познавательные: Принимать участие в беседе, формулировать и ставить познавательные задачи.
Регулятивные: Уметь планировать свою деятельность в соответствии с целевой установкой.
Личностные: Мотивация учебной деятельности (социальная, учебно-познавательная)
Коммуникативные: Взаимодействуют с учителем во время фронтальной беседы
3.
Этап изучения нового учебного материала
Время
Используемые ресурсы
Функция, область определения функции, область значений функции.
Свойства функции, её график.
25 минут
Задания на нахождение области определения функций, презентация.
Деятельность учителя
УУД
Организует беседу, которая позволяет учащимся вспомнить материал 9 класса средней школы, о функции и её свойствах и сформулировать выводы о нахождении области определения в виде схемы (опоры).
На примерах :
1.найти если х=1; 2,7; -4.
2.Найти значения х, при которых g(x)=0, если : g(x)=x(x+7)
Что называется функцией? Как называют переменные х, у? Что образует область определения, значений функции?
3.Найти область определения
а);
б) ;
в);
г) ;
д) .
Организует задания, для активизации мыслительной деятельности учащихся, по работе с графиками.
1.На слайде даны графики и функции. Для каждой функции указать соответствующий график.
2.На слайде дан график зависимости температуры воздуха р (в от времени суток t (в часах). В каком часу температура была равна 0? В какое время выше (ниже) нуля,? Найти промежутки повышения и понижения температуры .
3.Построить графики функций:
а) ;
б) .
Рассмотреть эти графики с точки зрения симметрии.
.Осуществляют выполнение практических заданий, отвечают на поставленные вопросы, формулируют определения , оформляют выводы с помощью схем:
1.
D(f(x)): x;
2. ;
D(f(x)): x;
3.
D(f(x)): x;
4.
D(f(x)): x;
5.;
D(f(x)): x; (Слайд 4)
(Слайд 5)
Называют для каждой функции соответствующий график (линейная функция, квадратичная, обратная пропорциональность).
(Слайд 6)
Сформулировать понятия нули функции, положительные (отрицатель ные) значения функции. Возрастающая (убывающая) функция.
(Слайд 7)
Делают вывод о симметрии графиков чётной функций относительно оси ординат, а нечётной относительно начала координат, и записывают соответствующие равенства.
Познавательные: Осуществлять актуализацию новых знаний, основываясь на учебную ситуацию и личный опыт. Использование знаково-символических средств, в том числе моделей и схем для решения учебных задач.
Регулятивные: Принимать и сохранять учебную цель и задачи.
Коммуникативные: Слушать учителя и одногруппников для воспроизведения и восприятия необходимых сведений и поддержания учебно–деловой беседы.
Личностные: формировать навыки сотрудничества в разных ситуациях.
Познавательные: Запоминать и удерживать правило, планировать и выполнять свои действия по заданному образцу.
Анализ объектов и синтез.
Регулятивные: Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата.
Коммуникативные: Строят рассуждения, понятные для собеседника. Воспринимают ответы обучающихся.
Личностные: Умеют использо- вать речь для регуляции своего действия.
Решают типовые задания с проговариванием алгоритма вслух.(всем классом).
Обсуждают в парах решение варианты решения учебной задачи. Представитель пары защищает своё решение.
(Слайд 8)
Познавательные: Уметь устанавливать причинно-следственные связи, устанавливать аналогии и выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
Коммуникативные: Использовать речевые, опорные и наглядные средства для выполнения задания.
Регулятивные: уметь выдвигать версии, выбирать средства достижения цели в группе и индивидуально.
Личностные: Формировать этические чувства, прежде всего-доброжелательность.
5.
Физминутка
Время
Используемые ресурсы
4 минуты
Презентация (Слайд 9,10)
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
УУД
6.
Историческая справка.
Время
Используемые ресурсы
5 минут
презентация
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
УУД
Смена учебной деятельности на уроке. Организует работу презентации
7.
Этап первичного контроля
Время
Используемые ресурсы
15 минут
Карточки с заданием,копирка. Рабочие тетради.
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
УУД
Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.
Выполняют задания под копирку. Выполнив, лист с копировальным решением отдают учителю и сверяют со слайдом презентации своё решение и исправляют ошибки, если они есть. Выставляют себе оценки согласно шкалы оценок. На следующем уроке сверяют оценку выставленную учителем за эту работу, со своей оценкой.(Слайд 11-13)
Познавательные : Анализ и выделение существенных признаков.
Коммуникативные: Проявлять активность во взаимодействии для решения познавательных задач.
Регулятивные: Выполнять учебные действия. Адекватно воспринимать предложения учителя по исправлению допущенных ошибок
8.
Рефлексия
Время
Используемые ресурсы
3минуты
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
УУД
Подведение изученного материала урока, установить соответствие полученного результата и поставленной цели.
Выражают своё отношение к уроку , цветом. Если всё понятно и комфортно было на уроке, то зелёная карточка, если требуется помощь и придёт на дополнительное занятие, то красная карточка.
(Слайд 14)
Познавательные: Оценивать процесс и результат деятельности. Систематизировать информацию.
Коммуникативные: Формулировать собственное мнение и позицию.
Регулятивные: Выделять и формулировать то, осуществлять пошаговый контроль по результату.
Личностные: Формировать адекватную мотивацию учебной деятельности, понимать значение знаний для человека.
9.
Итоговый этап учебного занятия
Время
Используемые ресурсы
Домашнее задание
2 минуты
Учебник, рабочая тетрадь
Деятельность учителя
Деятельность обучающихся
УУД
Развитие практического применения, полученных знаний, во время выполнения письменного домашнего задания.
Объяснить, что должны сделать в процессе домашнего задания.
Осмыслить и записать домашнее задание, в зависимости от уровня освоения темы урока.
Коммуникативные: Ставить вопросы, обращаться за помощью, формулировать свои затруднения.
Регулятивные: Использовать речь для регуляции своего действия.
Личностные: Формировать адекватную мотивацию учебной деятельности, понимать значение знаний для человека.
Определение объема
Что такое объем?
Объем относится к объединенным целям и требованиям, необходимым для завершения проекта. Этот термин часто используется в управлении проектами. Правильное определение объема проекта позволяет менеджерам оценить затраты и время, необходимое для завершения проекта. Вот что делает управление масштабами такой важной частью бизнеса — это экономит время и деньги. Как правило, в управлении проектами есть два разных типа содержания. Это проект и объем продукта.
Ключевые выводы
Объем определяет время и стоимость бизнес-проекта.
Этот термин обычно используется в управлении проектами.
Объем проекта включает в себя всю работу, необходимую для проекта, в то время как объем продукта фокусируется только на конечном результате.
Смещение объема работ — это когда неконтролируемые изменения увеличивают сроки выполнения проекта и требуют эффективного управления проектом.
Правильное определение объема проекта позволяет менеджерам оценить затраты и время, необходимое для завершения проекта.
Общие сведения
Объем — это термин, используемый в управлении проектами. Управление проектами включает в себя планирование и организацию ресурсов компании для выполнения определенной задачи, события или действия и обычно является разовым мероприятием. Объем описывает необходимые процессы и ресурсы для завершения проекта или производства продукта. Идентифицируя и распознавая различные переменные проекта с помощью управления объемом, компании могут сэкономить деньги.
Правильное определение объема проекта позволяет менеджерам оценить затраты и время, необходимое для завершения проекта.
Как упоминалось выше, существует два типа объема: объем продукта и объем проекта. Объем продукта — это способ определить функции продукта или услуги, в то время как объем проекта выделяет все, что необходимо для доставки этого продукта или услуги. Короче говоря, объем продукта представляет собой функциональные требования, а объем проекта — это практическая часть управления проектом.
Результат может включать любую цель или веху в рамках проекта, например создание продуктов, услуг или процессов.Кроме того, он может состоять из поэтапных изменений, поэтапных по плану проекта, который используется для управления или оценки темпов выполнения проекта.
Объем продукта и объем проекта
Объем продукта
Объем продукта определяет характеристики и функции продукта или услуги. Эти характеристики включают физические характеристики, такие как размер и материалы, а также функциональные характеристики. Функциональные соображения включают то, для чего предназначен продукт, а также его назначение или конечное использование.
Объем продукта ориентирован на результат или фактическое предложение. Это конечный продукт или услуга. Объем продукта может также относиться к услуге или другому элементу для использования клиентом. Объем продукта часто рассматривает, как оценить, находится ли объект на пути к завершению и соответствует ли он ожидаемому результату.
Объем проекта
И наоборот, объем проекта включает в себя всю работу, необходимую для предоставления продукта или услуги. Вкратце, объем проекта описывает, как будет выполняться миссия.Он включает определение и документирование целей, результатов, задач, участников проекта, сроков и этапов проекта. Документация состоит из описания объема работ, технического задания и разбивки структуры работ.
Объем проекта также очерчивает пределы проекта, указывая, что не входит в объем плана. Он может включать информацию о бюджете проекта или доступных ресурсах. Информация о графике проекта, а также о поставленных задачах также может быть включена в объем проекта.Рабочие группы часто назначаются с указанием внутреннего или внешнего персонала, который будет задействован в проекте.
Особые соображения
Неконтролируемые изменения, продлевающие сроки, известны как смещение объема работ. Увеличенные сроки могут изменить исходные требования к объему проекта. По мере продвижения проекта в исходный план вносятся небольшие изменения, расширяющие объем от начальных ограничений в отношении бюджета и времени. Небольшие изменения могут привести к дополнительным изменениям, что приведет к каскадному влиянию дополнительных соображений и требований.
Эффективное управление проектом учитывает возможность увеличения объема работ и включает стратегии по его снижению. Понимание видения или основной цели, правильное начальное планирование, а также разработка и принятие подходов, позволяющих избежать смещения объема работ с самого начала, — это способы предотвратить смещение объема работ.
7-11%
По данным Института управления проектами, совокупные затраты на управление проектом на всех этапах проекта составляют где-то 7–11% от истинной процентной стоимости проекта.
Визуализация масштаба проекта
Руководители проектов используют различные инструменты для планирования и информирования о масштабах проекта. Двумя популярными инструментами для этого являются диаграмма Ганта и метод анализа оценки программ (PERT).
Диаграмма Ганта — это графическое изображение графика проекта. Это столбчатая диаграмма, которая показывает даты начала и окончания нескольких элементов проекта, включая ресурсы, вехи, задачи и зависимости. Генри Гант, американский инженер-механик, разработал диаграмму Ганта.
Диаграмма методики анализа оценки программы (PERT) — это визуальное представление серии событий, которые должны произойти в рамках жизненного цикла проекта. Диаграмма PERT позволяет менеджерам оценить время и ресурсы, необходимые для управления проектом. Эта оценка включает в себя возможность отслеживать необходимые активы на любом этапе производства в ходе всего проекта.
Scope FAQs
Что означает объем?
В деловом мире объем относится к объединенным целям и требованиям, необходимым для завершения проекта.Объем — это термин, обычно используемый менеджерами проектов.
Какой пример экономии от масштаба?
Компания ABC хочет расширить свою продуктовую линейку и реконструировать производственное здание для производства различных электронных устройств, таких как ноутбуки, планшеты и телефоны. Поскольку затраты на эксплуатацию производственного здания распределяются по разным продуктам, средняя общая стоимость производства снижается. Затраты на производство каждого электронного устройства в другом здании будут больше, чем просто использование одного производственного здания для производства нескольких продуктов.
В чем разница между объемом и масштабом?
Экономия от масштаба сосредоточена на средней совокупной стоимости производства различных товаров. Напротив, эффект масштаба сосредоточен на преимуществах затрат, возникающих при более высоком уровне производства одного товара.
Каков объем проекта?
Объем проекта — это подробный план, охватывающий всю работу, необходимую для предоставления продукта или услуги. Сюда входят цели проекта, результаты, задачи, участники проекта, сроки и этапы.
Как написать заявление о содержании проекта?
Правильное изложение содержания проекта должно включать следующие элементы: введение, в котором излагается цель проекта, результаты, необходимые для завершения проекта, определение основных этапов проекта, а также любые ограничения или исключения.
Итог
Чтобы правильно выполнить развертывание нового проекта или продукта, важно иметь твердое представление о масштабах проекта.С его всеобъемлющим взглядом на операции и активы бизнеса, концепция имеет первостепенное значение для менеджеров проектов и бизнеса в целом.
Объем проекта
— 6 шагов для определения объема проекта
Четко определенный объем проекта необходим для обеспечения успеха вашего проекта. Без него, независимо от того, насколько эффективно, результативно и усердно вы работаете, вы не сможете добиться успеха в своем проекте.
Определение объема проекта влечет за собой принятие четкого видения и соглашения по результатам проекта.Это позволяет достичь цели на каждом этапе проекта.
Легче сказать, чем сделать, не так ли?
Объем проекта — это первый шаг в определении целей и задач вашего проекта.
Также позволяет распределять ресурсы и формировать разумные сроки проекта.
После того, как вы это установили, это позволит вам более эффективно распределять задачи и давать указания вашим сотрудникам, чтобы вы могли выполнить проект в установленные сроки и в рамках бюджета.
Итак, как установить объем проекта?
Следующие шаги могут помочь вам эффективно определить объем проекта:
Объем проекта Шаг 1:
1. Определите потребности проекта
Когда вы сможете четко определить потребности проекта, вы с большей вероятностью с самого начала установят надежный ориентир.
Понимание того, «что и почему» в проекте, позволит вам установить конкретные цели и задачи.Он также закладывает основу для того, какие задачи следует выполнять и как их выполнять.
Объем проекта Шаг 2:
2. Подтвердите цели и задачи проекта
Основа содержания проекта должна включать ваши цели и задачи, которые должны соответствовать руководству SMART. То есть быть конкретным, измеримым и достижимым. Он также должен быть реалистичным и завершен в определенные сроки.
Конкретный– Сюда входит точное указание того, чего хочет достичь проект.То есть, что, зачем и как это будет сделано. Ясность снизит вероятность двусмысленности и недопонимания.
Измеримый — Способны ли ваши цели и задачи обеспечивать обратную связь и нести ответственность?
Достижимо — Можно ли достичь целей и задач вашего проекта с учетом имеющихся ресурсов?
Реалистично — Легко ли достичь целей и задач, особенно если вы столкнулись с проблемами или осложнениями. Это снизит общее качество результатов проекта и приведет к превышению бюджета и несоблюдению установленных сроков.
Сроки — Можно ли достичь целей и задач вашего проекта в отведенные сроки? Является ли это ключевым критерием соблюдения этих сроков?
Объем проекта Шаг 3:
3. Описание объема проекта
Вы, как руководитель, должны четко представлять себе функции и функции, необходимые для вашего продукта или услуги.
Например, вы создаете веб-сайт. Вам нужен список, в котором будет указано, как вы будете создавать свой веб-сайт, какой тип бренда потребуется и так далее.Другими словами, какие определенные качества улучшат достижение успеха вашего проекта.
Объем проекта Шаг 4:
4. Ожидания и принятие
Успешные проекты — это проекты, в которых учитывается удовлетворенность конечного пользователя. Соответствуют ли они ожиданиям конечных пользователей и принимают ли они продукт, услугу или процесс. Конечными пользователями могут быть ваши клиенты или ваша внутренняя команда.
Для клиентов это включает в себя цены, ценность и качество продуктов / услуг, а также политику доступности, доставки и возврата.Для сотрудников это включает эффективность и действенность новых операционных процессов. В конечном счете, объем вашего проекта должен быть настроен на обеспечение лучших результатов, кем бы ни были ваши конечные пользователи.
Объем проекта Шаг 5:
5. Определите ограничения
Всегда есть препятствия на пути к достижению того, что вы собирались делать. Зная о возможных ограничениях на этом пути, это может помочь вам свести к минимуму проблемы, которые могут задержать или ограничить вашу способность достичь результата вашего проекта.
Это может быть вызвано динамическими условиями окружающей среды (внутренними и внешними), технологическими сбоями и / или нехваткой ресурсов. Сообщение о таких проблемах вашей команде на раннем этапе и принятие мер по преодолению этих препятствий сократят задержки в завершении проекта и сохранят расходы в рамках бюджета. Независимо от того, основаны ли они на предположениях или на неопределенности, анализ их воздействия на всей временной шкале проекта еще больше снижает риск неудачи.
Объем проекта Этап 6:
6.Определите необходимые изменения
Всегда лучше избегать переделки объема вашего проекта, поскольку это означает вложение большего количества времени, денег и ресурсов.
Однако иногда эти изменения неизбежны и необходимы. Ограничьте изменения, принимая во внимание точки зрения клиентов, заинтересованных сторон и сотрудников, вовлеченных в проект. Это минимизирует разногласия в дальнейшем.
Проекты запускаются в организациях постоянно, независимо от того, являются они внутренними или внешними.
Важно обеспечить успешную реализацию проектов, чтобы избежать потери большого количества времени, денег и в некоторых случаях репутации.
Успешное управление проектом принимает во внимание следующие соображения:
Соглашение о приемлемом уровне качества результатов проекта. Например, если в рамках проекта планируется отправить человека на Луну, требования к качеству будут чрезвычайно высокими.
Бюджет для затрат, которые будут понесены для реализации проекта.
Принятое время период, в течение которого проект должен быть завершен.
Все три аспекта связаны друг с другом и, как таковые, изложены в начале проекта и отслеживаются на всем протяжении реализации проекта. Если есть необходимость улучшить какой-либо из трех элементов, это повлияет на два других элемента.
Каждый в организации должен изучить эти три основных аспекта проектов и определить их с самого начала, что поможет сэкономить много средств, времени и усилий, не говоря уже о снижении стресса.
В конце концов, вы же не хотите, чтобы ваш проект достиг своей финальной стадии, а затем, к сожалению, понимаете, что необходимо провести много переделок.
Установка четкого содержания проекта позволит вашей команде хорошо управлять им и гарантировать, что у вас есть довольный клиент — будь то внутренний или внешний.
Начните свой проект с правильного пути, правильно определив масштаб вашего проекта. Цель вашего проекта должна быть направлена на успешное своевременное достижение результатов вашего проекта, в рамках бюджета и возможность удовлетворить ожидания конечных пользователей.
Установка эффективного объема проекта дает вам и вашей команде ощущение сосредоточенности. Он обеспечивает основу, на которой будет правильно направлен ваш проект от начала до конца.
В ответ на вспышку COVID-19 Potential.com предлагает людям бесплатный доступ к нашей библиотеке будущих навыков (более 20 курсов), чтобы поддержать вас во время вспышки COVID. Это ваш шанс получить необходимые навыки, которые помогут вам подготовиться к будущей работе. Зарегистрируйтесь сейчас бесплатно, используя свои данные и код купона: possiblereader .
Нажмите здесь, чтобы зарегистрироваться (купон встроен) .
Что такое объем проекта? Составьте объем проекта за 5 шагов
Что такое объем проекта?
Объем проекта подробно описывает, что именно будет доставлено в конце проекта, и параметры работы, которая должна быть выполнена. Цель объема проекта — собрать все заинтересованные стороны и команду на одной странице. Он также предоставляет краткое изложение ваших встреч, результатов и соглашений, на которые все могут ссылаться.
На протяжении всего проекта вы будете практиковать управление содержанием, которое начинается с написания подробного документа о содержании проекта. Изложение этих элементов простым языком обеспечивает соответствие ожиданий всех и предотвращает чрезмерное использование ресурсов.
Как написать объем проекта
Написание объема проекта не должно быть долгим или сложным процессом. Использование шаблона содержания проекта может ускорить процесс. Следуя приведенным ниже инструкциям, вы сможете составить подробный масштаб проекта, который поможет вашей команде отслеживать прогресс, управлять работой и сводить ее воедино простым и полезным способом.
Шаг 1. Соберите всю важную информацию о проекте
Написание объема проекта начинается со сбора информации. Требования к проекту поступают из самых разных источников. Следующая информация будет поступать из различных источников: ваших заинтересованных сторон, вашей команды и спонсоров вашего проекта; другие вы создадите на основе шаблонов, исследований и опыта в других проектах.
Результаты проекта
Это список конечных продуктов, которые вы доставите в конце проекта.Вы можете создавать документ, веб-сайт, маркетинговую кампанию, видео, мероприятие, рабочий процесс или комбинацию этих результатов.
Результаты
должны быть согласованы и одобрены всеми заинтересованными сторонами, представляя единое видение проекта и давая вам нечто существенное, с чем можно будет сравнить ваш конечный продукт. Думайте о своих результатах как о своей финишной черте — общих целях, которые будут определять ваш график, бюджет и распределение ресурсов.
Профессиональный совет: , когда вы копаетесь в своих результатах и начинаете смотреть на рабочие пакеты, назначенные отдельным лицам, это признак того, что вы переходите к другому документу — вашей иерархической структуре работы.
Доступные ресурсы
Разметка ресурсов вашего проекта как части его объема поможет вам увидеть, как именно вы будете выполнять свои конечные результаты. Постоянное управление ресурсами потребует прозрачности членов команды, бюджета и возможностей.
Когда вы исследуете, кто доступен для работы над вашим проектом, имейте в виду, что их время может быть частично распределено в другом месте — обычно сотрудники назначаются сразу на несколько проектов. Не думайте, что один из членов команды занят для вас на все 100%.Обязательно узнайте у других менеджеров, как они распределяют перекрывающиеся ресурсы для своих проектов.
Помимо того, какие члены команды возьмут на себя конкретную работу, обязательно укажите ресурсы, такие как конкретное программное обеспечение, которое повлияет на выполнение проекта.
Включения и исключения
После согласования результатов и ресурсов вам необходимо обратить внимание на определение ожиданий относительно того, сколько работы будет вложено в результаты.Если это звучит как ненужный уровень детализации, рассмотрите различные ожидания, которые могут возникнуть в связи с проектом, например создание веб-сайта. Такой результат может показаться достаточно простым, но будет ли запуск включать пользовательское тестирование? Сколько исследований рынка и конкуренции вы должны будете провести? Сколько итераций дизайна вы создадите, чтобы заинтересованные стороны могли выбирать из них?
Заинтересованные стороны должны знать, что вы будете создавать и как. В противном случае неясные ожидания могут привести к очень пугающему сокращению объема работ, подорвать ваш бюджет и сроки и расширить проект до точки неустойчивости.
Важно указать, что будет, а что не будет включено в проект, чтобы избежать недоразумений, основанных на предположениях. Помните, вы всегда можете оставить место, чтобы договориться о том, как вы будете обрабатывать заказы на изменение. Просто не забудьте взвесить любые изменения с тем, как они могут повлиять на другие ограничения проекта (см. Следующий раздел).
Ограничения проекта
Существует стандартный набор ограничений проекта. Независимо от того, сколько ограничений имеет ваш проект, помните, что изменение любого из них может повлиять на остальные.Уравновешивание всех ограничений проекта — важный навык управления проектом, так же как и определение всех ограничений в рамках вашего проекта. Руководители проектов должны уточнить ограничения или параметры проекта, чтобы заинтересованные стороны и члены команды были полностью осведомлены о том, что может повлиять на время и бюджет проекта.
Перечисление ограничений проекта в вашу область также может быть хорошим способом усилить ваш список исключений. Например, вы можете указать, что не включаете анимацию в видеопроект из-за бюджетных ограничений или исключаете более двух раундов доработки из-за ограничений по времени.
На этом этапе вам еще не нужно перечислять подробный график проекта, потому что вы будете создавать график проекта в следующий раз. Но если есть ограничения по времени, выходящие за рамки обычного протокола, вашей команде важно заранее знать, как их решить.
Шаг 2: Составьте график проекта
После того, как вы собрали информацию о самом проекте, вы можете определить, как проект будет продвигаться к его окончательным срокам. Начните со своего списка результатов и переходите к следующему.
Основные задачи и вехи
Основные задачи — это уровень детализации ниже ваших результатов. Это большие командные задачи, а не отдельные части работы, которые приводят к завершению результатов. Когда дело доходит до определения того, сколько времени займет выполнение каждой крупной задачи, пусть качество будет вашим ориентиром. Не просто планируйте задачи до завершения, а, скорее, чтобы они были выполнены с качеством, которое обещал ваш объем.
Затем этот график должен использоваться отдельными членами команды для планирования их собственных графиков в отношении основных сроков, поэтому будьте как можно тщательнее и включите все задачи, за которые ваша команда будет нести ответственность.И, конечно же, всегда разумно при любой возможности создавать буферные периоды для каждой задачи.
Этапы проекта
Для проектов с особенно длинными сроками или несколькими датами запуска может быть полезно разбить проект на фазы, чтобы помочь вашей команде в планировании. Это не обязательно, но может дать ощущение выполненного долга и помочь с организацией.
См. «Рекомендации по управлению содержанием» для получения дополнительной информации о том, как убедиться, что расползание содержания не влияет на ваш следующий проект.
Шаг 3. Адаптируйте объем работ к вашему проекту и организации
Поскольку проекты, заинтересованные стороны, команды и организации уникальны, может быть информация, которую вы хотите включить в объем своего проекта, не была здесь рассмотрена. Например, вы можете подумать, как ваша область отражает предпочтительные методологии вашей организации. Или вам может быть полезно указать цель вашего проекта. Возможно, у ваших заинтересованных сторон есть набор критериев приемлемости, которым они хотят соответствовать, прежде чем проект будет завершен.
Короче говоря, если есть что-то важное, что, по вашему мнению, следует добавить, убедитесь, что его включение помогает вашему документу достичь своей цели: охватить весь объем проекта, чтобы гарантировать, что время и ресурсы не будут потрачены на незначительные дополнения.
Шаг 4: Скомпилируйте и просмотрите
Теперь, когда вы выполнили легкую работу, вы готовы написать объем своего проекта. Объем проекта должен быть кратким и легко читаемым. Хотя может возникнуть соблазн создать всеобъемлющий объем проекта, сохраните подробный отчет для своего плана проекта.Объем проекта не требует всей мыслимой информации о проекте. Хорошее практическое правило — ограничиваться одним или двумя абзацами.
Задайте себе следующие вопросы, которые помогут вам при рассмотрении и окончательной доработке области охвата:
Понятно, почему этот проект необходим и важен?
Знаю ли я, кто именно заинтересованные стороны проекта?
Увидят ли мои заинтересованные стороны ценность и выгоду в проекте?
Достаточно ли ресурсов для завершения этого проекта?
Реалистичны ли сроки для результатов?
Есть ли у моей команды доступ к необходимым ресурсам?
Достаточно ли конкретен список включений и исключений?
Слишком много места для добавления задач после запуска проекта?
Есть ли какие-либо задачи или ограничения проекта, которые я еще не рассмотрел?
Шаг 5: Реализуйте объем проекта
Объем вашего проекта будет служить базовым соглашением с заинтересованными сторонами, а также основой для нескольких других важных документов, включая ваш план проекта, иерархическую структуру работ, план коммуникации, бюджет и многое другое.Вы будете обращаться к своему объему на протяжении всего проекта, и он будет служить руководством при принятии решений или изменений, что делает его отличным инструментом для твердой позиции, когда люди хотят внести изменения, которые потребуют времени или денег, которых вы не делаете имеют.
Тщательный и конкретный объем проекта даст вам общее представление, необходимое для создания и оформления проекта. Если все сделано правильно, хороший объем в конечном итоге облегчит планирование, управление и успешное выполнение вашего проекта.
Технический документ: Обескураживающая стоимость управления ИТ-проектами
Технический документ: Высокая цена хаоса
Что такое область действия на самом деле (и как ее определить)
Людям нравится использовать жаргон, чтобы чувствовать себя умными.То же самое и в управлении проектами, где слово «объем» является одним из наиболее часто используемых терминов.
Поскольку я не хочу, чтобы вы стояли под дождем, я объясню вам, что такое прицел.
Что подразумевается под объемом проекта
Вкратце, объем проекта — это сумма вещей, о которых должен позаботиться проект. Это абстрактная концепция, и ее нельзя положить в футляр и отправить. Скорее воспринимайте это как список обязанностей, задач и материальных элементов или результатов, которые проект должен взять на себя, провести или создать для достижения цели проекта.
Объем определяется при планировании проекта, поэтому и планирование, и определение объема идут рука об руку и выполняются менеджером проекта.
Наличие четкого представления о масштабах критически важно для успеха вашего проекта. Объем определяет все важные параметры проекта, включая сроки, стоимость и риски. Другими словами: если вы не уверены в точном объеме вашего проекта, вы не можете правильно спрогнозировать его продолжительность, сроки и риски — и в конечном итоге вы потерпите неудачу.
Это было много теории, верно?
Аналогия из повседневной жизни:
Вы хотите новую кухню. Итак, вы поговорили с несколькими мебельными магазинами, которые предлагают кухни на заказ. В конце они передадут вам предложение, состоящее из нескольких страниц, с описанием того, что они будут делать для вас, например, спроектировать кухню, выбрать материалы поверхности, предложить подходящую технику и т. Д. Возможно, вы хотите, чтобы они убрали старые кухонные принадлежности и Конечно, чтобы мастер установил новую.Таким образом, все работы и все предметы входят в объем вашего проекта кухни 🙂
В рамках или вне сферы применения? Это вопрос!
В управлении проектами вы часто слышите, как люди говорят о том, что что-то «входит в объем» или «не входит в объем». Если действие входит в объем, это означает, что проект позаботится об этом. Не в объеме означает, что проект не несет за это ответственности.
Как определить объем проекта
Как вы обычно определяете объем проекта? Все начинается с разговора между заказчиком и подрядчиком (стороной, выполняющей проект и выполняющей работу).Руководство заказчика расскажет подрядчику о своей проблеме и о том, какое решение они ищут. Они могут сказать что-то вроде:
Заказчик: У нас много проблем с управлением запасами. Нашим сотрудникам требуется так много времени, чтобы найти нужный товар на полках, и очень часто товары теряются из-за того, что мы не отслеживаем физическое перемещение должным образом… мы просто используем Excel.
и подрядчик скажет:
Подрядчик / поставщик: Хорошо, вам нужна система управления запасами на базе ИТ.Это именно то, что мы предлагаем. Мы можем развернуть эту систему для вас всего за 4 месяца.
Такие переговоры происходят задолго до начала реального проекта, может быть, даже на годы вперед!
Затем, в течение следующих месяцев, у клиента и продавца будут дополнительные встречи. Содержание их обсуждений изменится с тем высокого уровня на очень конкретные вопросы :
Примеры вопросов для уточнения объема:
Хотите облачную систему управления запасами? Или вы предпочитаете установку на свои собственные серверы?
Вам нужно оборудование? как сканеры штрих-кода? терминалы?
Хотите, чтобы мы [продавец] оптимизировали структуру вашего склада? Мы предлагаем эту услугу.
Хотите, чтобы ваши сотрудники прошли обучение на месте? Или вы предпочитаете более дешевое видео-обучение?
Хотите, чтобы мы провели инвентаризацию запасов? Мы предлагаем эту услугу.
Поставщик соберет все такие детали и решения в документе. Используя эту информацию, он позже создаст клиенту предложение , а также формальное описание объема , в котором перечислены все элементы, которые компания сделает для клиента.
ДОКАЗАННЫЕ ШАГИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМА ПРОЕКТА
Прежде чем я углублюсь в процесс определения области действия, обратите внимание на следующее: определение области действия — это не то, что вы можете выполнить в течение одного или двух часов. Scope — это тоже не то, что можно «исправить» за несколько встреч в одиночку. Скорее, это более длительный процесс, в ходе которого вы пытаетесь лучше понять проект и потребности своего клиента, прояснить любые неоднозначные моменты и записать свои выводы.
Итак, вот общая структура, которую я бы использовал для области действия:
Шаг 1. Определите цель проекта
Вы действительно не можете подтвердить объем, если перед вами нет цели проекта.Если у вас еще нет цели проекта, сначала определите ее и не совершайте этой серьезной ошибки.
Шаг 2 — Перечислите основные мероприятия и результаты проекта
Проще говоря, объем — это сумма всех мероприятий и результатов проекта. Итак, самое основное определение содержания — это список всех запланированных проектных мероприятий и результатов. Чтобы прояснить, конечные результаты — это результаты или вещи, созданные в ходе проекта, например, план обучения или программное обеспечение может быть результатом.
Пример:
Я использую предыдущий пример о развертывании системы управления запасами.
В таком проекте мы бы перечислили следующий объем:
Основные виды деятельности по проекту:
планирование проекта
техническое задание
установка программного обеспечения
настроить программное обеспечение под нужды клиента
обучение складского персонала
результатов:
график проекта
документ спецификации требований
готовая система
план обучения
учебное пособие
Этот список уже является нашим первым определением области действия!
Шаг 3 — Уточните объем для каждого действия и результата
Итак, вы получили базовый список областей видимости из шага 2.Ваш следующий шаг — доработать его дальше. Зачем это нужно? Перечисленные вами позиции могут потребовать дополнительных разъяснений, прежде чем вы сможете указать действительную стоимость и продолжительность. Кроме того, у клиента могут быть дополнительные пожелания или требования, которые необходимо учитывать при определении объема (щелкните, чтобы узнать, как собрать требования).
Пример:
установка программного обеспечения
Действительный вопрос:
Будет ли клиент выполнять установку программного обеспечения самостоятельно или ее должен делать поставщик?
Предпочитает ли клиент облачное решение вместо выделенной установки?
Ответы влияют на объем проекта.
Например, если клиент предпочитает облачную платформу, то развертывание программного обеспечения на серверах клиента выходит за рамки .
Может быть, в программе разные модули, а клиенту нужно только 3 из 5 модулей. Тогда эти три модуля входят в объем, а два других не входят в объем. Как следствие, установка и настройка программного обеспечения потребуют меньше усилий (и в результате стоимость будет ниже).
Как видите, вы должны быть достаточно конкретными, чтобы получить хорошее и полное представление о масштабах. Часто требуется, чтобы вы копались глубоко в сверх-конкретных вопросах — почти как просмотр контрольного списка и тщательная проверка каждого вопроса, связанного с областью действия.
Документирование объема в описании объема
Описание содержания — это формальный документ, который объясняет объем проекта, включая действия, обязанности и результаты проекта. Цель заявления — убедиться, что и заказчик, и подрядчик одинаково понимают, что будет реализовано в рамках проекта.Документ обычно подписывается обеими сторонами.
Я рекомендую использовать подходящий шаблон, который уже имеет правильную структуру и включает соответствующие главы.
Мой шаблон описания объема работ
Я добавил шаблон, который использовал для своих проектов. Вы можете скачать файл Word (DOC) здесь. Шаблон содержит все разделы, необходимые для правильного определения объема работ с вашим клиентом.
Чтобы помочь вам начать работу, я включил образцы данных из ИТ-проекта.Обратите внимание, что операторы области видимости обычно намного более подробны, чем этот образец, то есть они содержат гораздо больше текста. Итак, сделайте документ настолько всеобъемлющим, насколько это необходимо для вашего проекта.
СКАЧАТЬ ОПИСАНИЕ ОБЪЕМА ПРОЕКТА (DOCX)
Прочтите это, если вам сложно определить область действия
Конечно, вы хотите, чтобы ваш проект увенчался успехом. Но вам также необходимо четкое определение того, что должен делать ваш проект и как выполнять свою миссию.
Вам нужен ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ план: Когда вы впервые определяете объем, вы можете почувствовать себя подавленным огромным количеством вариантов и действий, которые, возможно, придется выполнить.Не усложняйте. Просто спросите себя «Как мы можем добраться от пункта А до пункта Б?» и затем запишите шаги, которые, по вашему мнению, необходимо предпринять. Главное, что имеет значение, — это то, что ваш план осуществим. И шаги являются основой для масштабов вашего проекта.
Переходите от высокого уровня к подробному: Люди любят обсуждать детали, даже если общая стратегия и подход проекта еще не ясны. Это не имеет смысла. Я рекомендую вам всегда быть на высоком уровне, смотреть на основные действия и результаты, а затем разбивать их на более мелкие задачи и рабочие пакеты.
Работа с различными вариантами: Ваш спонсор или ваши заинтересованные стороны могут иметь свои собственные идеи о том, как работать над проектом. Проблема в том, что их идеи могут быть неосуществимыми или неоптимальными с точки зрения проекта в целом. Что вы могли бы в этом случае убедить другие стороны в своем подходе, так это поместить каждый вариант рядом в электронную таблицу и перечислить все плюсы и минусы для каждой альтернативы. Затем пусть команда решит, по какому пути идти.
Была ли эта статья полезной?
Мне бы хотелось услышать, дала ли эта статья вам лучшее представление о масштабах проекта.Также я надеюсь, что вы чувствуете себя более уверенно, определяя объем своего проекта. Если у вас есть вопросы, просто оставьте комментарий ниже, и я дам вам свой ответ.
Адриан Ноймайер
Привет! Я Адриан, основатель Tactical Project Manager. Я создал сайт, чтобы помочь вам довести ваши проекты до успеха. В прошлом я работал менеджером ИТ-проектов 10 лет.
Другие сообщения
Не пропустите эти другие статьи
Руководство для новичков по определению объема проекта
Процесс управления проектами сложно освоить, и, возможно, один из его аспектов, который больше всего сбивает с толку менеджеров, — это проект сфера.Создание устава проекта или составление графика вашего проекта — все это кажется намного проще и легче, чем определение объема.
Но было бы ошибкой не вкладывать достаточно времени и усилий в объем проекта. Одно исследование Гарварда показало, что средний проект превышал бюджет на 27%. Если вы не хотите делать то же самое, вам нужно потратить много времени на процесс оценки, чтобы потом не удивиться.
Если вы знаете, что пора заняться масштабом проекта, вот как вы можете задействовать разумные принципы управления проектом и создать такой, который принесет проекту оглушительный успех.
Обзор: Каков объем проекта?
Объем проекта относится к списку целей, сроков и задач проекта. Объем проекта часто подробно описывается в документе, который называется описанием объема работ или техническим заданием.
Излагая объем проекта в документе, вы предоставляете всей команде руководство по всем аспектам проекта, от задач, которые необходимо выполнить, до ресурсов, необходимых для достижения целей. Объем проекта может быть расширен, если необходимо выполнить больше, чем предполагалось ранее, и его можно сузить, если проект слишком велик для команды.
Объем проекта — важная часть обязанностей менеджера проекта, он поможет вам сосредоточиться на задаче и избежать сползания объема проекта.
Как определить объем проекта
Легко сказать, что такое объем проекта, но не так просто создать документ с содержанием проекта. В нем может быть много деталей и движущихся частей, и к этому непросто относиться легкомысленно. Но если разбить его на пять шагов, процесс становится довольно простым.
Шаг 1: Определите цели
Первым шагом определения объема проекта является определение конечного продукта или целей — также называемых «конечными результатами» — проекта.Вы должны четко понимать, чего вы надеетесь достичь в рамках этого проекта. Хорошей идеей будет обозначить свои цели с помощью правила SMART :
S pecific (в объеме проекта точно указано, чего должен достичь проект)
M измеримо (цель измерима, а не расплывчата)
достижимо (разумно полагать, что команда смогла достичь этой цели)
R реалистично (это может быть достигнуто относительно легко, не выходя за рамки бюджета)
T быстро (может быть достигнуто в течение определенного времени frame)
Советы по определению целей:
Определение целей так важно, потому что оно задает тон для остальной части вашего проекта.Вот несколько способов убедиться, что вы ставите правильные цели.
Будьте гибкими: Иногда цели могут сдвигаться или полностью меняться в ходе проекта, и это нормально. Например, если ваша цель — построить двухэтажный дом, и у вас есть возможность построить крыльцо, если у вас ограниченный бюджет, можно оставить место для изменения объема в соответствии с вашими целями.
Вовлекайте всех: Цели не должны разрабатываться одним человеком; все заинтересованные стороны должны взвесить и представить свою точку зрения, которая может помочь вам включить то, что вы упустили, или избежать целей, которых не следует добиваться.
Шаг 2: Определите потенциальные препятствия
Следующим шагом для эффективного планирования проекта является определение областей, в которых ваш проект может быть сорван. Что может угрожать бюджету вашего проекта? Что могло вызвать серьезные задержки?
Например, если вы строите небольшой дом, у вас могут возникнуть проблемы с погодой, если дождливых дней в два раза больше, чем обычно в это время года, это может замедлить ваш прогресс. Или, возможно, к тому моменту, когда вы заказываете партию, цена на пиломатериалы вырастет на 5%.
Советы по определению потенциальных препятствий:
Препятствия сложно предсказать, но есть вероятность, что у вас уже есть хорошее представление о том, что, скорее всего, пойдет не так с проектом, поэтому начните с этого и работайте дальше.
Ничего не пропустите: Запишите все возможные моменты, которые могут пойти не так с проектом.
Имейте план: Составьте план действий в чрезвычайных ситуациях, в котором излагается, что вы будете делать для смягчения последствий каждого препятствия, чтобы быть готовыми, если оно произойдет.
Шаг 3: Определите необходимые ресурсы
Сколько денег будет стоить проект? Какие расходные материалы необходимы? Сколько потребуется человеко-часов? На все эти вопросы нужно ответить подробно. Вам следует провести обширное исследование и получить точные цифры; обоснованные предположения почти наверняка приведут к перерасходу средств, что может сорвать весь проект.
Советы по определению необходимых ресурсов:
Точный учет ресурсов гарантирует, что у всех есть инструменты, необходимые для выполнения проекта в соответствии с графиком, поэтому это важный шаг.
Будьте исчерпывающими: Даже небольшие затраты могут привести к увеличению, поэтому составьте список всех возможных вещей, которые, по вашему мнению, могут понадобиться проекту для успеха.
Проконсультируйтесь с другими: Поделитесь созданным вами списком с другими участниками проекта, чтобы узнать, что они думают, и не пропустили ли вы что-нибудь из списка.
Шаг 4. Составьте график этапов
Теперь, когда вы обозначили цели, препятствия и ресурсы, вы можете составить общий график того, чего вы можете достичь.Важно выделить определенные этапы, которые помогут каждому отслеживать прогресс проекта.
Например, если вы строите дом, первая веха может заключаться в закладке фундамента, вторая — в возведении каркаса конструкции, третья — в установке электричества и водопровода, а четвертая может быть завершена. жилой дом.
Советы по составлению расписания этапов:
Определение этапов — важная часть определения объема проекта.Как только это будет сделано, вы почти закончили, и с этого момента все зависит от управления объемом плана.
Прикрепите даты к каждой вехе: Недостаточно просто иметь вехи, вы также должны прикрепить к ним даты, иначе у ваших задач нет чувства приоритета, и вы рискуете не завершить проект вовремя.
Имейте план на случай непредвиденных обстоятельств: Если вы пропустите какой-то этап, у вас должен быть план действий, которые вы предпримете, чтобы вовремя достичь следующего этапа.
Шаг 5: Составьте список заинтересованных сторон
Определив цели вашего проекта, пора составить список заинтересованных сторон. Заинтересованная сторона — это любое лицо, заинтересованное в проекте или имеющее отношение к нему. Например, для строительной компании это будет главный исполнительный директор, главный финансовый директор, инвесторы и руководитель строительства.
Перечислите всех без исключения лиц, которые должны быть в курсе этого проекта и несут значительную ответственность за его выполнение.
Советы по составлению списка заинтересованных сторон:
Важно иметь исчерпывающий список всех заинтересованных сторон, потому что если вы пропустите кого-то, это может иметь серьезные последствия для проекта, потому что задачи не были выполнены из-за того, что кто-то остался в стороне.
Пройдите вехи: Хороший способ определить заинтересованные стороны — изучить все аспекты объема проекта, который вы разработали до сих пор. Спросите себя, какие люди ответственны за достижение каждой вехи, за приобретение каждого ресурса и за преодоление каждого препятствия.Это поможет вам никого не забыть.
Прикрепите заинтересованные стороны к элементам плана: Назначив имена элементам в объеме, таким как ресурсы, задачи и вехи, станет ясно, каковы обязанности каждого, что помогает проекту работать более гладко.
Лучшее программное обеспечение для управления проектами для управления содержанием проекта
Создание содержания проекта с нуля немного сложно, но есть много вариантов программного обеспечения, которые могут помочь вам.Вот три лучших варианта программного обеспечения для управления проектами, которые особенно эффективны при определении объема проекта.
1. monday.com
monday.com предлагает планировщик задач с расстановкой приоритетов, который помогает определить вехи, и общий календарь команды, который позволяет вовлекать все заинтересованные стороны. Инструмент управления ресурсами помогает пользователям отслеживать ресурсы проекта.
В понедельник вы можете просмотреть все задачи и заинтересованных лиц, с которыми они связаны.com на панели инструментов.
2. Podio
Podio также имеет функции приоритезации и планирования задач, а также простой способ ввода новых задач простым нажатием «T» на клавиатуре. В нем также есть хранилище документов, так что вы можете сохранить объем проекта в файле и отчеты, чтобы вы могли собирать данные о том, насколько хорошо проект работает.
Панель управления Podio позволяет легко видеть участников проекта и задачи.
3. Scoro
В Scoro есть настраиваемые поля, позволяющие отслеживать ресурсы и управлять ими.Он также имеет систему создания задач и списков, которая позволит вам управлять вашими вехами, и вы можете пометить соответствующие заинтересованные стороны. Он также имеет хранилище документов и общий доступ к файлам, а также отчеты о бюджете и информационные панели, чтобы вы могли следить за финансами.
Информационная панель Scoro хранит все аспекты объема проекта в одном месте.
Пришло время создать собственный объем проекта
Теперь, когда вы знаете, что все входит в создание объема работы, пора начать работать самостоятельно.Задайте себе следующие вопросы:
Каковы этапы жизненного цикла моего проекта?
Есть ли у меня уже описание содержания проекта, которое я могу адаптировать и расширить?
Насколько широким или узким должен быть объем проекта, и провел ли я анализ объема проекта, чтобы это определить?
К какой области знаний мне нужно обратиться?
Выделите несколько часов на следующей неделе или две, чтобы сесть и выполнить описанные выше шаги. Посмотрите на один или два примера с масштабом проекта, чтобы узнать, как это удалось другим.А потом просто приступайте к работе и составьте один.
Каков объем проекта?
Объем проекта — это часть планирования проекта, которая включает определение и документирование списка конкретных целей проекта, результатов, задач, затрат и сроков. Документация по содержанию проекта, которая называется описанием содержания или техническим заданием , объясняет границы проекта, устанавливает обязанности для каждого члена команды и устанавливает процедуры проверки и утверждения выполненной работы.
В ходе проекта эта документация помогает команде проекта оставаться сосредоточенной на задаче. Заявление о содержании также предоставляет команде рекомендации по принятию решений по запросам на изменение в ходе проекта. Обратите внимание, что описание содержания проекта не следует путать с его уставом; устав проекта просто документирует существование проекта.
Крупные проекты, естественно, имеют тенденцию меняться по мере продвижения. Если проект был эффективно «ограничен» вначале, то управлять этими изменениями будет проще.При документировании объема проекта заинтересованные стороны должны быть как можно более конкретными, чтобы избежать расползания объема, ситуации, в которой одна или несколько частей проекта в конечном итоге требуют больше работы, времени или усилий из-за плохого планирования или недопонимания.
Эффективное управление содержанием требует хорошей коммуникации, чтобы гарантировать, что все в команде понимают масштабы проекта и соглашаются с тем, как именно будут достигнуты цели проекта. В рамках управления содержанием проекта руководитель группы должен запрашивать одобрения и подписи от различных заинтересованных сторон в ходе реализации проекта, гарантируя, что предлагаемый готовый проект удовлетворяет потребности каждого.
Важность определения объема проекта
Вот преимущества, которые заявление о содержании проекта дает любой организации, предпринимающей новую инициативу. Это:
формулирует, что влечет за собой проект, чтобы все заинтересованные стороны могли понять, что в нем задействовано;
предоставляет дорожную карту, которую менеджеры могут использовать для правильного распределения задач, планирования работы и бюджета;
помогает сосредоточить членов команды на общих целях; и
не позволяет проектам, особенно сложным, выходить за рамки установленного видения.
Руководители проектов обычно считают, что определение содержания проекта обеспечивает целенаправленность проектов и их выполнение в соответствии с ожиданиями. Объем обеспечивает прочную основу для управления проектом по мере его продвижения и помогает гарантировать, что ресурсы не будут перенаправлены или потрачены на элементы, не входящие в объем.
Как определить объем проекта
Определение содержания проекта требует участия заинтересованных сторон проекта, которые вместе с руководителями проекта устанавливают ключевые элементы бюджета, целей, качества и сроков.Чтобы определить объем проекта, менеджеры проекта должны собрать требования к тому, что заинтересованным сторонам нужно от проекта — это включает цель проекта или результаты проекта, когда проект необходимо завершить, и сколько они могут за это заплатить. Цель состоит в том, чтобы собрать и записать точную и точную информацию во время этого процесса, чтобы объем проекта эффективно отражал все требования и, таким образом, повышал шансы руководителей проекта на поставку продуктов, которые соответствуют ожиданиям заинтересованных сторон в срок и в рамках бюджета.
Посмотрите, как объем проекта вписывается в общее проектное предложение. Составление описания содержания проекта
Описание содержания проекта — это письменный документ, который включает всю необходимую информацию для создания результатов проекта. Заявление о содержании проекта является более подробным, чем техническое задание; это помогает команде проекта оставаться сосредоточенной на задаче. Заявление о содержании также предоставляет руководителю проектной группы или фасилитатору рекомендации по принятию решений по запросам на изменение в ходе проекта.
В заявлении о содержании проекта также указывается, что прямо или косвенно не включено в его инициативы. Цели и задачи, не перечисленные в описании содержания проекта, следует рассматривать вне его. Руководители проектов также могут перечислить конкретные работы, которые не будут частью проекта.
Таким образом, это заявление устанавливает границы каждого конкретного проекта. Руководители проектов должны принять эти требования и наметить, что должно произойти и в каком порядке эти элементы должны выполняться.Обычно это приводит к созданию иерархической структуры работ (WBS). Как следует из названия, иерархическая структура работ разбивает всю запланированную работу на более мелкие части и требуемые задачи.
Четко сформулированное описание содержания считается важной частью эффективного управления проектом; Объем проекта следует определять для каждого проекта, независимо от того, какая методология управления проектами используется. Заинтересованные стороны проекта должны иметь возможность ознакомиться с описанием содержания проекта, при необходимости пересмотреть его, а затем утвердить.
После завершения и утверждения описания содержания проекта менеджеры проектов могут эффективно назначать задачи и давать своим командам указания относительно того, что каждый из них должен сделать для соблюдения установленных сроков и затрат.
Управление объемом и планирование
Руководители проектов должны предвидеть необходимость обновлений и изменений по мере выполнения проекта, тщательно контролировать, какие изменения вносятся в установленный объем проекта, и документировать все изменения, внесенные в процессе.Это требует сильных навыков управления проектами. Это также требует, чтобы менеджеры проектов и заинтересованные стороны придерживались заявления о содержании проекта, распознавая, какие части находятся в рамках проекта, а какие запросы выходят за рамки.
Руководителям проектов следует полагаться на процессы управления изменениями, которые определяют, как следует оценивать такие запросы, при рассмотрении обновлений и изменений в проекте. Возможность различать, какие запросы действительно необходимы, а какие выходят за рамки, позволяет организациям избежать расползания объема.Смещение объема работ происходит, когда все больше и больше работы включается в проекты по мере их реализации. Расползание объема часто приводит к дополнительным затратам и ненужной работе, отвлекая от целей и ставя под угрозу качество намеченных результатов.
Объем проекта по сравнению с объемом продукта
Объем проекта не следует путать с объемом продукта. Объем продукта определяет возможности, характеристики, особенности и функции конечного результата проекта. Руководители проектов должны составить заявление о содержании продукта, и они должны использовать как содержание проекта, так и заявления о содержании продукта, чтобы поддерживать друг друга и обеспечить для своих организаций четкое понимание того, чего стремится достичь каждый проект.
Разработка описания содержания проекта за 8 простых шагов
Независимо от того, создает ли компания мосты, программное обеспечение или сотовые телефоны, работа над этими готовыми продуктами управляется как серия проектов с конкретными целями, сроками и бюджетами.
План управления проектом имеет решающее значение для обеспечения того, чтобы команды выполняли свою работу вовремя и в соответствии с ожиданиями. Но прежде чем руководители проектов смогут разработать подробный план, а команда проекта сможет выполнить этот план, каждый должен знать, какую работу нужно выполнить и почему это важно.
Вот здесь и вступает в игру описание содержания проекта. В заявлении о содержании проекта содержится подробное описание работы, которая должна быть выполнена, чтобы предоставить результаты проекта вовремя и в рамках выделенного бюджета. В документе также помещаются цели проекта и его результат — который может быть продуктом, который компания выпускает на рынок, или анализом, который руководство будет использовать для принятия обоснованного бизнес-решения — в более широком контексте целей и задач организации.
«Разработка описания содержания проекта так важна для остальной части плана проекта», — говорит Жак Алексис, доцент программы повышения квалификации по управлению проектами в Колледже профессиональных исследований Северо-Восточного университета. «Вам необходимо понимать структуру, в которой будет осуществляться проект, и учитывать внутренние и внешние факторы».
Загрузите наше бесплатное руководство по продвижению вашей карьеры в области управления проектами
Узнайте все, что вам нужно, от востребованных навыков до растущих возможностей трудоустройства в отрасли.
СКАЧАТЬ
Почему важно заявление о содержании проекта?
По данным Project Management Institute, четкое описание содержания проекта имеет несколько ключевых характеристик. Должно:
Определите границы проекта.
Определите бизнес-потребности и ожидаемый результат проекта.
Определите ограничения, которые ограничивают возможности проектной группы при разработке решения.
Перечислите предположения относительно решений, не зависящих от команды проекта.
Определите бизнес-процессы, на которые влияет проект.
Определите внутренние и внешние объекты, с которыми команда проекта будет взаимодействовать.
«В заявлении о содержании проекта делается попытка уменьшить неопределенность путем определения объема и обеспечения присутствия всех ключевых заинтересованных сторон и их четкого понимания проекта», — говорит Алексис. «Если у вас сильный процесс, запросов на изменение будет меньше. Если вы сможете это сделать, у вас больше шансов на успех.”
Как и все документы по управлению проектами, добавляет Алексис, описание содержания проекта может иметь согласованный формат от одного проекта к другому, но его также следует настраивать в зависимости от размера, масштаба и сложности проекта. Эти факторы также будут влиять на типы заинтересованных сторон, которые должны участвовать как в разработке, так и в получении описания содержания проекта.
Чем отчет о содержании проекта отличается от других документов по управлению проектом?
Хотя описание содержания проекта имеет решающее значение для успеха проекта, определенные компоненты проекта описаны в различных документах.Вот два важных примера.
Описание объема продукта. Так же, как есть тонкие различия в ролях менеджера продукта и менеджера проекта, есть некоторые различия между содержанием проекта и содержанием продукта. Объем продукта включает дополнительную информацию о характеристиках и функциях продукта, услуги или решения, предоставляемого проектом. В рамках проекта будет указано: «Поставьте новый планшетный ПК к концу 2020 года», но в объеме продукта будет представлена подробная информация о размере экрана, типе процессора, объеме памяти и т. Д.
Генеральный план проекта. Если описание содержания проекта является фундаментом, на котором построен проект, то генеральный план проекта представляет собой остальную часть здания. По словам Алексис, генеральный план проекта содержит подробный график проекта и структуру работ, а также планы и процедуры для управления рисками, качества и управления коммуникациями. Однако успешное выполнение генерального плана проекта зависит от того, насколько четко сформулирован объем вашего проекта, добавляет он.
8 основных этапов разработки описания содержания проекта
Алексис имеет почти двадцатилетний опыт управления крупными программами и проектами в производственной и энергетической отраслях, а текущая работа сосредоточена на инициативах в области устойчивого развития. Основываясь на своем опыте, он рекомендует руководителям проектов следовать приведенным ниже восьми шагам, чтобы разработать эффективное описание содержания проекта.
1. Понять, почему проект был инициирован.
«Проекты не выполняются на пустом месте», — говорит Алексис; они инициируются для достижения конкретных целей организации.Например, организация может стремиться сократить операционные расходы на пять процентов к концу следующего года, повысить эффективность на 10 процентов или увеличить численность персонала на 20 процентов. «По возможности цели организации должны быть выражены в описании содержания проекта», — отмечает Алексис.
2. Определите ключевые цели проекта.
Как только менеджеры проектов понимают, чего пытается достичь организация, им необходимо определить цели конкретного проекта.Цели должны указывать, почему проект выполняется, что будет сделано, когда это будет сделано и сколько это будет стоить. Другими словами, цели описывают, почему руководители выбрали и финансировали проект, и объясняют, почему проект существует, говорит Алексис. Цели должны быть написаны с учетом передового опыта SMART по постановке целей, то есть они должны быть конкретными, измеримыми, достижимыми, актуальными и ограниченными по времени.
3. Составьте техническое задание на проект.
Техническое задание содержит подробную разбивку работы, которую будет выполнять проектная группа.Например, для проекта, направленного на создание внутреннего обзора новых рынков для выхода на рынок, элементы объема работ могут включать определение и приоритизацию целей, анализ преимуществ и недостатков каждой потенциальной цели, оценку шагов, которые компания должна предпринять для выхода. каждый рынок, а также предоставление руководящих указаний и рекомендаций для ключевых лиц, принимающих решения.
4. Определите основные результаты.
Руководители проектов должны работать вместе с ключевыми заинтересованными сторонами, чтобы составить список элементов, которые будут доставлены в конце проекта, — говорит Алексис.В заявлении о содержании проекта эти элементы могут быть описаны на высоком уровне — например, новый отчет об оценке рынка или новая функция программного обеспечения — но они все равно должны быть осязаемыми и измеримыми целями. В отдельном документе, в структуре деталей работы, будут описаны конкретные действия, связанные с конкретным результатом. По словам Алексиса, один из способов запомнить разницу: результаты обычно выражаются существительными и прилагательными, а детали работы выражаются глаголами.
5.Выберите ключевые этапы.
Ключевой этап указывает, когда заинтересованные стороны могут ожидать завершения определенного результата. Более сложные проекты могут также включать в себя этапы для конкретных шагов, связанных с созданием или завершением конечного результата. По словам Алексис, вехи должны включать конкретную дату — например, не только то, что отчет будет готов, но и то, что он будет готов к 15 октября 2020 года.
6. Определите основные ограничения.
В описании содержания проекта должны быть указаны любые ограничения, с которыми команда проекта столкнется при работе над завершением проекта.Эти ограничения могут включать персонал, ресурсы, график или другие требования.
7. Перечислите исключения из области действия.
Этот список состоит из результатов, которые спонсор проекта может предположить, что они включены в объем проекта, но фактически не включены. Например, спонсор проекта может предположить, что проект по разработке системы менеджмента также включает сертификацию этой системы. В заявлении о содержании проекта должно быть четко указано, получит ли группа проекта систему сертификации или спонсор несет ответственность за получение сертификата после завершения проекта.Эта ясность помогает руководителям проектов избежать «сползания объема», которое происходит, когда результаты поставки, не входившие в исходное описание содержания, добавляются в промежуточный поток проекта.
8. Получите разрешение.
Требование к ключевым заинтересованным сторонам подписать заявление о содержании проекта является подтверждением того, что они осведомлены и понимают содержание содержания, говорит Алексис. Это помогает избежать недопонимания, которое может привести к доработке во время или после проекта, что в конечном итоге избавит руководителей проектов и организаций от разочарования, времени и денег.
Как развивать навыки управления проектами
Получение степени магистра управления проектами — это один из способов приобретения знаний и навыков в области управления проектами в профессиональной среде. Наряду с изучением того, как разработать описание содержания проекта, вы узнаете, как общаться с руководителями и спонсорами проекта, попрактикуетесь в использовании мягких навыков для управления командами и подготовитесь взять на себя дополнительную ответственность, управляя более крупной командой и / или более крупной командой.
Умножение целого столбца чисел на процентное значение
Рассмотрим пример таблицы, как на рисунке, в которой нужно умножить несколько чисел на 15 процентов. Даже если в столбце 100 или 1000 ячеек с данными, Excel все равно может обработать его за несколько шагов.
Вот как это сделать:
Введите в столбец числа, которые нужно умножить на 15 %.
В пустой ячейке введите процент 15 % (или 0,15) и скопируйте это число, нажав CTRL+C.
Выберем диапазон ячеек A1:A5 (путем перетаскиванием вниз по столбцу).
Щелкните правой кнопкой мыши ячейку, а затем выберите «Специальная вконечная ячейка» (не щелкать стрелку рядом с кнопкой «Специальная вконечная ячейка»).
Щелкните «Значения>умножить,а затем нажмите кнопку «ОК».
В результате все числа умножаются на 15 %.
Совет: Вы также можете вычитать процентные значения в столбец путем умножения. Чтобы вычесть 15 %, добавьте перед процентным знаком знак «минус» и вычитайте процент из 1 с помощью формулы =1-n%, где n — процент. Чтобы вычесть 15 %, используйте в качестве формулы =1–15%.
Умножение целого столбца чисел на процентное значение
В этом примере мы можем умножить всего несколько чисел на 15 процентов. Даже если в столбце 100 или 1000 ячеек с данными, Excel в Интернете можно обработать его за несколько шагов. Вот что нужно для этого сделать:
Введите формулу =A2*$C$2 в ячейку B2. (Не забудьте включить символ $ в формулу перед символами C и 2.)
Символ $ делает ссылку на ячейку C2 абсолютной, то есть при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку C2. Если вы не использовали символы $ в формуле и перетащили формулу вниз на ячейку B3, Excel в Интернете изменит формулу на =A3*C3, что не будет работать, так как в ячейке C3 нет значения.
Перетащите формулу в ячейке B2 вниз в другие ячейки в столбце B.
Совет: Вы также можете вычитать процентные значения в столбец путем умножения. Чтобы вычесть 15 %, поставьте знак «минус» перед процентным значением и вычтите его из 1 с помощью формулы =1-n%, где n — процентное значение. Таким образом, для вычитания 15 % используйте формулу =1-15%.
Таблица умножения на 15 — учим легко и быстро
Автор: Мещеряков Александр
Категория: Таблица умножения
Основная таблица умножения на 15 от 1 до 10
15×
Множители
Произведение (Результат)
15
×
1
=
15
15
×
2
=
30
15
×
3
=
45
15
×
4
=
60
15
×
5
=
75
15
×
6
=
90
15
×
7
=
105
15
×
8
=
120
15
×
9
=
135
15
×
10
=
150
Дополнительная таблица до 100
15×
Множители
Произведение (Результат)
15
×
11
=
165
15
×
12
=
180
15
×
13
=
195
15
×
14
=
210
15
×
15
=
225
15
×
16
=
240
15
×
17
=
255
15
×
18
=
270
15
×
19
=
285
15
×
20
=
300
15
×
21
=
315
15
×
22
=
330
15
×
23
=
345
15
×
24
=
360
15
×
25
=
375
15
×
26
=
390
15
×
27
=
405
15
×
28
=
420
15
×
29
=
435
15
×
30
=
450
15
×
31
=
465
15
×
32
=
480
15
×
33
=
495
15
×
34
=
510
15
×
35
=
525
15
×
36
=
540
15
×
37
=
555
15
×
38
=
570
15
×
39
=
585
15
×
40
=
600
15
×
41
=
615
15
×
42
=
630
15
×
43
=
645
15
×
44
=
660
15
×
45
=
675
15
×
46
=
690
15
×
47
=
705
15
×
48
=
720
15
×
49
=
735
15
×
50
=
750
15
×
51
=
765
15
×
52
=
780
15
×
53
=
795
15
×
54
=
810
15
×
55
=
825
15
×
56
=
840
15
×
57
=
855
15
×
58
=
870
15
×
59
=
885
15
×
60
=
900
15
×
61
=
915
15
×
62
=
930
15
×
63
=
945
15
×
64
=
960
15
×
65
=
975
15
×
66
=
990
15
×
67
=
1005
15
×
68
=
1020
15
×
69
=
1035
15
×
70
=
1050
15
×
71
=
1065
15
×
72
=
1080
15
×
73
=
1095
15
×
74
=
1110
15
×
75
=
1125
15
×
76
=
1140
15
×
77
=
1155
15
×
78
=
1170
15
×
79
=
1185
15
×
80
=
1200
15
×
81
=
1215
15
×
82
=
1230
15
×
83
=
1245
15
×
84
=
1260
15
×
85
=
1275
15
×
86
=
1290
15
×
87
=
1305
15
×
88
=
1320
15
×
89
=
1335
15
×
90
=
1350
15
×
91
=
1365
15
×
92
=
1380
15
×
93
=
1395
15
×
94
=
1410
15
×
95
=
1425
15
×
96
=
1440
15
×
97
=
1455
15
×
98
=
1470
15
×
99
=
1485
15
×
100
=
1500
Как быстро и легко выучить таблицу умножения?
Первое, что нужно для начала изучения таблицы умножения — это иметь перед глазами саму таблицу. Лучше, если обучение будет проходить по таблице умножения Пифагора, потому как приведённая выше таблица это лишь столбик, в котором число 15 умножают на различные числа. В данном случае невозможно объяснить логические связи между цифрами и закономерности между ними, поэтому ребёнку придётся заучить данный столбик наизусть, как стихотворение. Мы же рекомендуем начинать изучение таблицы умножения по таблице Пифагора.
Перед началом изучения таблици умножения рекомендуем ознакомиться с материалом: как быстро и легко выучить таблицу умножения. Не тратьте свои нервы и нервы своего ребёнка.
Таблицу умножения Пифагора можно использовать на нашем сайте, а также скачать её или распечатать.
Просмотров: 4747
Таблица умножения на 15
Большая таблица умножения чисел на 15 (пятнадцать)
Множители
Произведение (Результат)
15 * 1 =
15
15 * 2 =
30
15 * 3 =
45
15 * 4 =
60
15 * 5 =
75
15 * 6 =
90
15 * 7 =
105
15 * 8 =
120
15 * 9 =
135
15 * 10 =
150
15 * 11 =
165
15 * 12 =
180
15 * 13 =
195
15 * 14 =
210
15 * 15 =
225
15 * 16 =
240
15 * 17 =
255
15 * 18 =
270
15 * 19 =
285
15 * 20 =
300
15 * 21 =
315
15 * 22 =
330
15 * 23 =
345
15 * 24 =
360
15 * 25 =
375
15 * 26 =
390
15 * 27 =
405
15 * 28 =
420
15 * 29 =
435
15 * 30 =
450
15 * 31 =
465
15 * 32 =
480
15 * 33 =
495
15 * 34 =
510
15 * 35 =
525
15 * 36 =
540
15 * 37 =
555
15 * 38 =
570
15 * 39 =
585
15 * 40 =
600
15 * 41 =
615
15 * 42 =
630
15 * 43 =
645
15 * 44 =
660
15 * 45 =
675
15 * 46 =
690
15 * 47 =
705
15 * 48 =
720
15 * 49 =
735
15 * 50 =
750
15 * 51 =
765
15 * 52 =
780
15 * 53 =
795
15 * 54 =
810
15 * 55 =
825
15 * 56 =
840
15 * 57 =
855
15 * 58 =
870
15 * 59 =
885
15 * 60 =
900
15 * 61 =
915
15 * 62 =
930
15 * 63 =
945
15 * 64 =
960
15 * 65 =
975
15 * 66 =
990
15 * 67 =
1005
15 * 68 =
1020
15 * 69 =
1035
15 * 70 =
1050
15 * 71 =
1065
15 * 72 =
1080
15 * 73 =
1095
15 * 74 =
1110
15 * 75 =
1125
15 * 76 =
1140
15 * 77 =
1155
15 * 78 =
1170
15 * 79 =
1185
15 * 80 =
1200
15 * 81 =
1215
15 * 82 =
1230
15 * 83 =
1245
15 * 84 =
1260
15 * 85 =
1275
15 * 86 =
1290
15 * 87 =
1305
15 * 88 =
1320
15 * 89 =
1335
15 * 90 =
1350
15 * 91 =
1365
15 * 92 =
1380
15 * 93 =
1395
15 * 94 =
1410
15 * 95 =
1425
15 * 96 =
1440
15 * 97 =
1455
15 * 98 =
1470
15 * 99 =
1485
15 * 100 =
1500
… * 101 =
…
Автор: Bill4iam
ПОЛОЖЕНИЕОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПОРЯДКА ИСЧИСЛЕНИЯСРЕДНЕЙ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ
Утверждено
Постановлением Правительства
Российской Федерации
от 24 декабря 2007 г. N 922
Список изменяющих документов
(в ред. Постановлений Правительства РФ
1. Настоящее Положение устанавливает особенности порядка исчисления средней заработной платы (среднего заработка) для всех случаев определения ее размера, предусмотренных Трудовым кодексом Российской Федерации (далее — средний заработок).2. Для расчета среднего заработка учитываются все предусмотренные системой оплаты труда виды выплат, применяемые у соответствующего работодателя, независимо от источников этих выплат. К таким выплатам относятся:
а) заработная плата, начисленная работнику по тарифным ставкам, окладам (должностным окладам) за отработанное время;
б) заработная плата, начисленная работнику за выполненную работу по сдельным расценкам;
в) заработная плата, начисленная работнику за выполненную работу в процентах от выручки от реализации продукции (выполнения работ, оказания услуг), или комиссионное вознаграждение;
г) заработная плата, выданная в неденежной форме;
д) денежное вознаграждение (денежное содержание), начисленное за отработанное время лицам, замещающим государственные должности Российской Федерации, государственные должности субъектов Российской Федерации, депутатам, членам выборных органов местного самоуправления, выборным должностным лицам местного самоуправления, членам избирательных комиссий, действующих на постоянной основе;
е) денежное содержание, начисленное муниципальным служащим за отработанное время;
ж) начисленные в редакциях средств массовой информации и организациях искусства гонорар работников, состоящих в списочном составе этих редакций и организаций, и (или) оплата их труда, осуществляемая по ставкам (расценкам) авторского (постановочного) вознаграждения;
з) заработная плата, начисленная преподавателям профессиональных образовательных организаций за часы преподавательской работы сверх установленной и (или) уменьшенной годовой учебной нагрузки за текущий учебный год, независимо от времени начисления;
(см. текст в предыдущей редакции)
и) заработная плата, окончательно рассчитанная по завершении предшествующего событию календарного года, обусловленная системой оплаты труда, независимо от времени начисления;
к) надбавки и доплаты к тарифным ставкам, окладам (должностным окладам) за профессиональное мастерство, классность, выслугу лет (стаж работы), знание иностранного языка, работу со сведениями, составляющими государственную тайну, совмещение профессий (должностей), расширение зон обслуживания, увеличение объема выполняемых работ, руководство бригадой и другие;
(см. текст в предыдущей редакции)
л) выплаты, связанные с условиями труда, в том числе выплаты, обусловленные районным регулированием оплаты труда (в виде коэффициентов и процентных надбавок к заработной плате), повышенная оплата труда на тяжелых работах, работах с вредными и (или) опасными и иными особыми условиями труда, за работу в ночное время, оплата работы в выходные и нерабочие праздничные дни, оплата сверхурочной работы;
м) вознаграждение за выполнение функций классного руководителя педагогическим работникам государственных и муниципальных образовательных организаций;
(см. текст в предыдущей редакции)
н) премии и вознаграждения, предусмотренные системой оплаты труда;
о) другие виды выплат по заработной плате, применяемые у соответствующего работодателя.
3. Для расчета среднего заработка не учитываются выплаты социального характера и иные выплаты, не относящиеся к оплате труда (материальная помощь, оплата стоимости питания, проезда, обучения, коммунальных услуг, отдыха и другие).
КонсультантПлюс: примечание.
О включении времени забастовки в расчетный период для исчисления среднего заработка см. письмо Минтруда РФ от 23.01.1996 N 149-КВ.
4. Расчет среднего заработка работника независимо от режима его работы производится исходя из фактически начисленной ему заработной платы и фактически отработанного им времени за 12 календарных месяцев, предшествующих периоду, в течение которого за работником сохраняется средняя заработная плата. При этом календарным месяцем считается период с 1-го по 30-е (31-е) число соответствующего месяца включительно (в феврале — по 28-е (29-е) число включительно).
Средний дневной заработок для оплаты отпусков и выплаты компенсации за неиспользованные отпуска исчисляется за последние 12 календарных месяцев.
5. При исчислении среднего заработка из расчетного периода исключается время, а также начисленные за это время суммы, если:
а) за работником сохранялся средний заработок в соответствии с законодательством Российской Федерации, за исключением перерывов для кормления ребенка, предусмотренных трудовым законодательством Российской Федерации;
б) работник получал пособие по временной нетрудоспособности или пособие по беременности и родам;
в) работник не работал в связи с простоем по вине работодателя или по причинам, не зависящим от работодателя и работника;
г) работник не участвовал в забастовке, но в связи с этой забастовкой не имел возможности выполнять свою работу;
д) работнику предоставлялись дополнительные оплачиваемые выходные дни для ухода за детьми-инвалидами и инвалидами с детства;
е) работник в других случаях освобождался от работы с полным или частичным сохранением заработной платы или без оплаты в соответствии с законодательством Российской Федерации.
6. В случае если работник не имел фактически начисленной заработной платы или фактически отработанных дней за расчетный период или за период, превышающий расчетный период, либо этот период состоял из времени, исключаемого из расчетного периода в соответствии с пунктом 5 настоящего Положения, средний заработок определяется исходя из суммы заработной платы, фактически начисленной за предшествующий период, равный расчетному.
7. В случае если работник не имел фактически начисленной заработной платы или фактически отработанных дней за расчетный период и до начала расчетного периода, средний заработок определяется исходя из размера заработной платы, фактически начисленной за фактически отработанные работником дни в месяце наступления случая, с которым связано сохранение среднего заработка.
8. В случае если работник не имел фактически начисленной заработной платы или фактически отработанных дней за расчетный период, до начала расчетного периода и до наступления случая, с которым связано сохранение среднего заработка, средний заработок определяется исходя из установленной ему тарифной ставки, оклада (должностного оклада).
9. При определении среднего заработка используется средний дневной заработок в следующих случаях:
для оплаты отпусков и выплаты компенсации за неиспользованные отпуска;
для других случаев, предусмотренных Трудовым кодексом Российской Федерации, кроме случая определения среднего заработка работников, которым установлен суммированный учет рабочего времени.
КонсультантПлюс: примечание.
О выявлении конституционно-правового смысла абз. 4 п. 9 см. Постановление КС РФ от 13.11.2019 N 34-П.
Средний заработок работника определяется путем умножения среднего дневного заработка на количество дней (календарных, рабочих) в периоде, подлежащем оплате.
Средний дневной заработок, кроме случаев определения среднего заработка для оплаты отпусков и выплаты компенсаций за неиспользованные отпуска, исчисляется путем деления суммы заработной платы, фактически начисленной за отработанные дни в расчетном периоде, включая премии и вознаграждения, учитываемые в соответствии с пунктом 15 настоящего Положения, на количество фактически отработанных в этот период дней.
10. Средний дневной заработок для оплаты отпусков, предоставляемых в календарных днях, и выплаты компенсации за неиспользованные отпуска исчисляется путем деления суммы заработной платы, фактически начисленной за расчетный период, на 12 и на среднемесячное число календарных дней (29,3).
(см. текст в предыдущей редакции)
В случае если один или несколько месяцев расчетного периода отработаны не полностью или из него исключалось время в соответствии с пунктом 5 настоящего Положения, средний дневной заработок исчисляется путем деления суммы фактически начисленной заработной платы за расчетный период на сумму среднемесячного числа календарных дней (29,3), умноженного на количество полных календарных месяцев, и количества календарных дней в неполных календарных месяцах.
(см. текст в предыдущей редакции)
Количество календарных дней в неполном календарном месяце рассчитывается путем деления среднемесячного числа календарных дней (29,3) на количество календарных дней этого месяца и умножения на количество календарных дней, приходящихся на время, отработанное в данном месяце.
(см. текст в предыдущей редакции)
11. Средний дневной заработок для оплаты отпусков, предоставляемых в рабочих днях, а также для выплаты компенсации за неиспользованные отпуска исчисляется путем деления суммы фактически начисленной заработной платы на количество рабочих дней по календарю 6-дневной рабочей недели.
12. При работе на условиях неполного рабочего времени (неполной рабочей недели, неполного рабочего дня) средний дневной заработок для оплаты отпусков и выплаты компенсации за неиспользованные отпуска исчисляется в соответствии с пунктами 10 и 11 настоящего Положения.
13. При определении среднего заработка работника, которому установлен суммированный учет рабочего времени, кроме случаев определения среднего заработка для оплаты отпусков и выплаты компенсации за неиспользованные отпуска, используется средний часовой заработок.
Средний часовой заработок исчисляется путем деления суммы заработной платы, фактически начисленной за отработанные часы в расчетном периоде, включая премии и вознаграждения, учитываемые в соответствии с пунктом 15 настоящего Положения, на количество часов, фактически отработанных в этот период.
Средний заработок определяется путем умножения среднего часового заработка на количество рабочих часов по графику работника в периоде, подлежащем оплате.
14. При определении среднего заработка для оплаты дополнительных учебных отпусков оплате подлежат все календарные дни (включая нерабочие праздничные дни), приходящиеся на период таких отпусков, предоставляемых в соответствии со справкой-вызовом учебного заведения.
15. При определении среднего заработка премии и вознаграждения учитываются в следующем порядке:
ежемесячные премии и вознаграждения — фактически начисленные в расчетном периоде, но не более одной выплаты за каждый показатель за каждый месяц расчетного периода;
премии и вознаграждения за период работы, превышающий один месяц, — фактически начисленные в расчетном периоде за каждый показатель, если продолжительность периода, за который они начислены, не превышает продолжительности расчетного периода, и в размере месячной части за каждый месяц расчетного периода, если продолжительность периода, за который они начислены, превышает продолжительность расчетного периода;
вознаграждение по итогам работы за год, единовременное вознаграждение за выслугу лет (стаж работы), иные вознаграждения по итогам работы за год, начисленные за предшествующий событию календарный год, — независимо от времени начисления вознаграждения.
В случае если время, приходящееся на расчетный период, отработано не полностью или из него исключалось время в соответствии с пунктом 5 настоящего Положения, премии и вознаграждения учитываются при определении среднего заработка пропорционально времени, отработанному в расчетном периоде, за исключением премий, начисленных за фактически отработанное время в расчетном периоде (ежемесячные, ежеквартальные и др.).
Если работник проработал неполный рабочий период, за который начисляются премии и вознаграждения, и они были начислены пропорционально отработанному времени, они учитываются при определении среднего заработка исходя из фактически начисленных сумм в порядке, установленном настоящим пунктом.
16. При повышении в организации (филиале, структурном подразделении) тарифных ставок, окладов (должностных окладов), денежного вознаграждения средний заработок работников повышается в следующем порядке:
если повышение произошло в расчетный период, — выплаты, учитываемые при определении среднего заработка и начисленные в расчетном периоде за предшествующий повышению период времени, повышаются на коэффициенты, которые рассчитываются путем деления тарифной ставки, оклада (должностного оклада), денежного вознаграждения, установленных в месяце последнего повышения тарифных ставок, окладов (должностных окладов), денежного вознаграждения, на тарифные ставки, оклады (должностные оклады), денежное вознаграждение, установленные в каждом из месяцев расчетного периода;
(см. текст в предыдущей редакции)
если повышение произошло после расчетного периода до наступления случая, с которым связано сохранение среднего заработка, — повышается средний заработок, исчисленный за расчетный период;
если повышение произошло в период сохранения среднего заработка, — часть среднего заработка повышается с даты повышения тарифной ставки, оклада (должностного оклада), денежного вознаграждения до окончания указанного периода.
В случае если при повышении в организации (филиале, структурном подразделении) тарифных ставок, окладов (должностных окладов), денежного вознаграждения изменяются перечень ежемесячных выплат к тарифным ставкам, окладам (должностным окладам), денежному вознаграждению и (или) их размеры, средний заработок повышается на коэффициенты, которые рассчитываются путем деления вновь установленных тарифных ставок, окладов (должностных окладов), денежного вознаграждения и ежемесячных выплат на ранее установленные тарифные ставки, оклады (должностные оклады), денежное вознаграждение и ежемесячные выплаты.
При повышении среднего заработка учитываются тарифные ставки, оклады (должностные оклады), денежное вознаграждение и выплаты, установленные к тарифным ставкам, окладам (должностным окладам), денежному вознаграждению в фиксированном размере (проценты, кратность), за исключением выплат, установленных к тарифным ставкам, окладам (должностным окладам), денежному вознаграждению в диапазоне значений (проценты, кратность).
При повышении среднего заработка выплаты, учитываемые при определении среднего заработка, установленные в абсолютных размерах, не повышаются.
17. Средний заработок, определенный для оплаты времени вынужденного прогула, подлежит повышению на коэффициент, рассчитанный путем деления тарифной ставки, оклада (должностного оклада), денежного вознаграждения, установленных работнику с даты фактического начала работы после его восстановления на прежней работе, на тарифную ставку, оклад (должностной оклад), денежное вознаграждение, установленные в расчетном периоде, если за время вынужденного прогула в организации (филиале, структурном подразделении) повышались тарифные ставки, оклады (должностные оклады), денежное вознаграждение.
При этом в отношении выплат, установленных в фиксированном размере и в абсолютном размере, действует порядок, установленный пунктом 16 настоящего Положения.18. Во всех случаях средний месячный заработок работника, отработавшего полностью в расчетный период норму рабочего времени и выполнившего нормы труда (трудовые обязанности), не может быть менее установленного федеральным законом минимального размера оплаты труда.
19. Лицам, работающим на условиях совместительства, средний заработок определяется в порядке, установленном настоящим Положением.
20. Для исчисления среднемесячной заработной платы руководителей, заместителей руководителей, главных бухгалтеров государственных внебюджетных фондов Российской Федерации, территориальных фондов обязательного медицинского страхования, государственных и муниципальных учреждений, государственных и муниципальных унитарных предприятий (далее — фонды, учреждения, предприятия), формируемой за счет всех источников финансового обеспечения и рассчитываемой за календарный год, и среднемесячной заработной платы работников фондов, учреждений, предприятий (без учета заработной платы руководителя, заместителей руководителя, главного бухгалтера) в целях определения предельного уровня их соотношения:
среднемесячная заработная плата работников фондов, учреждений, предприятий (без учета заработной платы руководителя, заместителей руководителя, главного бухгалтера) определяется путем деления суммы фактически начисленной заработной платы (включая выплаты, предусмотренные пунктом 2 настоящего Положения) таких работников списочного состава (без учета руководителя, заместителей руководителя, главного бухгалтера) на среднесписочную численность таких работников (без учета руководителя, заместителей руководителя, главного бухгалтера) за соответствующий календарный год и деления на 12 (количество месяцев в году). Определение среднесписочной численности указанных работников за соответствующий календарный год осуществляется в соответствии с методикой, используемой для целей федерального статистического наблюдения;среднемесячная заработная плата руководителя, заместителя руководителя, главного бухгалтера фонда, учреждения, предприятия определяется путем деления суммы фактически начисленной заработной платы (включая выплаты, предусмотренные пунктом 2 настоящего Положения) соответствующему руководителю, заместителю руководителя, главному бухгалтеру за календарный год на 12 (количество месяцев в году). Если руководитель, заместитель руководителя, главный бухгалтер фонда, учреждения, предприятия состоял в трудовых отношениях с фондом, учреждением, предприятием неполный календарный год, то среднемесячная заработная плата определяется исходя из фактически отработанных соответствующим руководителем, заместителем руководителя, главным бухгалтером полных календарных месяцев.
Расчет среднемесячной заработной платы руководителя, заместителей руководителя, главного бухгалтера фонда, учреждения, предприятия осуществляется отдельно по должностям руководителя, главного бухгалтера и по каждой должности заместителя руководителя.
В фактической начисленной заработной плате для определения среднемесячной заработной платы, рассчитываемой в соответствии с абзацами первым — третьим настоящего пункта, не учитываются выплаты, предусмотренные пунктом 3 настоящего Положения, компенсации, выплачиваемые при прекращении трудового договора, в том числе за неиспользованный отпуск.
В случаях выполнения руководителем, заместителями руководителя, главным бухгалтером работы по совмещению должностей (профессий) или исполнения обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от основной работы в фактически начисленной заработной плате учитываются суммы, начисленные как по основной должности (профессии), так и по совмещаемой должности (профессии), а также начисленные за исполнение обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от основной работы. При работе по совместительству в фактически начисленной заработной плате учитываются только суммы фактически начисленной заработной платы по должности руководителя, заместителя руководителя, главного бухгалтера.
Урок 14. числовые выражения. порядок действий в числовых выражениях. скобки. сравнение числовых выражений — Математика — 2 класс
Математика, 2 класс
Урок № 14. Числовые выражения. Порядок действий в числовых выражениях. Скобки. Сравнение числовых выражений
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое числовые выражения?
— Как правильно читать и записывать числовые выражения?
— Как выполнять порядок действий, если есть скобки?
— Как сравнить два выражения?
Глоссарий по теме:
Числовое выражение – это запись, состоящая из чисел и знаков действий между ними.
Значение выражения – это результат выполненных действий.
Сравнить числовые выражения – найти значение каждого из выражений и их сравнить.
Скобки — парные знаки ( )
Порядок выполнения действий – это последовательность проводимых вычислений в данном выражении.
Основная и дополнительная литература по теме:
1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В.и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.38-40
2. Волкова А. Д. Математика. Проверочные работы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2017, с. 22-27
3. Глаголева Ю. И., Волкова А. Д. Математика. КИМы. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, Учлит, 2017, с.16
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Маша и Миша решали пример: из числа 12 вычесть сумму чисел 7 и 3. Они записали его по-разному и получили разные ответы. Маша сначала из 12 вычла 7 и получила 5, потом прибавила 3, получила 8.
Маша: 12 – 7 + 3 = 8
Миша обвёл овалом сумму чисел 7 и 3 и сначала посчитал сумму, получил 10. Затем от 12 отнял 10, получил 2.
Миша: 12 — 7 + 3 = 2
Кто из них вычислил верно? Решил верно, Миша.
В математике для обозначения действий, которые должны выполняться первыми используют специальный знак ( ) — скобки.
Запишем пример, который решали дети правильно:
12 — (7 + 3) =2
Вычислим. 7 + 3 равно 10, из 12 вычесть 10, получится 2. Запомните: действия, записанные в скобках, выполняются первыми.
Посмотрим на запись.
9 – (6 + 2) = 1
Запись, в которой разные числа (однозначные и двузначные) соединены знаками «+» и «–» в различных сочетаниях, называется числовым выражением и читается так: «из числа 9 вычесть сумму чисел 6 и 2».
Найти значение выражения – это значит, нужно выполнить все указанные действия в выражении. Значение данного выражения 1.
Теперь мы будем называть примеры числовыми выражениями, а ответы значениями числовых выражений.
9 – (6 + 2) = 1
числовое значение
выражение числового
выражения
Прочитаем выражение: 10 + (8 — 3) =
К числу 10 прибавить разность чисел 8 и 3.
Как найти значение выражения? Нужно выполнить необходимые действия. Но с какого действия нужно начинать? С того, которое записано в скобках. Находим разность чисел 8 и 3, будет 5, к 10 прибавить 5, получится 15.
10+(8-3)=15
Давайте сравним значения двух выражений:
11 — 4 и 16 — 7.
Сначала найдем значение каждого из выражений и их сравним.
11 — 4 = 7
16 — 7 = 9
7 < 9, значит, 11-4 < 16-7
Выводы: Итак, оказывается, порядок должен быть и в действиях, он так и называется «Порядок выполнения действий». Если в числовом выражении стоят скобки, это означает, что действие, которое в них записано, должно быть выполнено первым, а все остальные действия выполняют по порядку.
Найди закономерность и продолжи ряд — математические закономерности
Закономерность — это регулярные устойчивые взаимосвязи в количествах, свойствах и явлениях объектов. В математической закономерности нужно найти алгоритм, согласно которому в цепочке чисел происходит их повторение, изменение или замещение в соответствии с установленным правилом.
В чем смысл игры?
Игры такого рода развивают умение выделять закономерности в последовательном ряде элементов. Для этого сначала нужно внимательно рассмотреть задание: сравнить соседние объекты и попробовать определить правило закономерности.
Решить задачу можно с помощью простого счета, обобщения по какому-либо признаку или простого анализа рисунка, текста или схемы.
Как научить ребенка находить закономерности?
Маленьким детям, для решения задач на поиски закономерностей, понадобится только смекалка и воображение. Достаточно лишь объяснить, как можно установить закономерность между звеньями ряда. Если задачу решить не получается, то вместо прямых подсказок следует задать дополнительные вопросы, не раскрывая решение задачи полностью.
В любом случае, пользы будет больше, если ребенок решит, хотя бы одну задачу самостоятельно, нежели взрослый просто расскажет, как её решать.
Рассмотрим способы, которые помогут ребенку понять закономерности и последовательности в заданиях.
Инструкция по решению числовых последовательностей:
Найти разницу между двумя рядом стоящими числами
Определить алгоритм построения последовательности
Применить алгоритм к следующей паре чисел
Использовать алгоритм для определения следующего числа в ряду
Инструкция по нахождению закономерностей в заданиях с геометрическими фигурами:
Рассмотреть фигуры и разделить их, на повторяющиеся группы
Определить какой элемент изменился в группе
Решить, какая именно фигура отсутствует или является лишней.
Задания для 1 класса
Задание 1
Раскрась дорожки для зайчика и белочки, сохраняя закономерность.
Решение: Белочка и зайчик бегут по разным дорожкам. У каждой дорожки есть своя закономерность. У зайчика повторяется 3 цвета на дорожке: красный, голубой, жёлтый, а у белочки 4: зеленый, коричневый, фиолетовый, жёлтый.
В этом задании можно обратить внимание на то, что обе дорожки состоят из 12 кругов. Но количество повторяющихся цветов разное.
Задание 2
Найди закономерность в ряду геометрических фигур.
Решение: В этом ряду нужно обратить внимание на размеры фигур, а не на цвет и форму. Сначала идет одна большая фигура, а за ней две маленькие, далее они повторяются.
Задание 3
Нарисуйте в четвертом квадрате правильный ответ.
Решение: Рассмотрев внимательно рисунок, мы увидим, что круги в квадратах исчезают по одному, против часовой стрелки. В этой задаче имеет значение только расположение кругов квадрате. Таким образом, в последний квадрат мы должны нарисовать один синий круг в нижнем левом углу.
Задание 4
Соблюдая закономерность, продолжи ряд чисел до 10. Сформулируй правило, которое действует в этой закономерности. Используя это правило, придумай свою закономерность.
Решение: В этом ряду каждая цифра увеличивается на 2 относительно предыдущей – мы вычислили правило для данной закономерности. Значит, чтобы продолжить ряд, мы прибавим к каждой следующей цифре по 2. Ответ будет выглядеть так: 2,4,6,8,10.
Чтобы придумать подобную закономерность, нужно использовать сформулированное выше правило: например, 1,3,5,7,9.
Задания для 2 класса
Задание 1
Найди закономерность и в пустом квадрате нарисуй нужное количество кругов.
Решение: В таблице в первом горизонтальном ряду количество кругов увеличивается на 1. Во втором ряду увеличивается на 2. Таким образом, можно предположить, что в третьем ряду количество кругов будет увеличиваться на 3 и ответ будет 9. Можно заметить, что и в вертикальных рядах эта закономерность повторяется.
Задание 2
В цепочке чисел найди закономерность и вставь пропущенные числа
95, 90, 85, 80, 75,_, 65,_, _,50
Решение: В цепочке чисел можно выделить пары: 95 -90, 85 – 80 и далее. Каждый раз, в паре, число уменьшается на 5. Значит, после 75 запишем 70, после 65 — 60, а затем 55 .
Задание 3
Найди закономерность и продолжи последовательность.
2, 3, 5, 8, …, …, …, …
Решение: В этой цепочке чисел к каждому последующему числу прибавляется предыдущее. 2+3=5+3=8+5=13+8=21+13=34 и далее.
Задание 4
В поезде едут геометрические фигуры. Нарисуйте фигуры, в четвёртом вагоне, соблюдая закономерность их расположения.
Решение: В поезде едут геометрические фигуры: квадрат, треугольник, прямоугольник и круг. В трёх вагонах все места заняты фигурами, в определённом порядке. Расставим их и в четвертом вагоне: Круг в нём будет располагаться в нижнем левом углу, квадрат в верхнем левом, треугольник поедет в правом нижнем, а прямоугольник – в левом верхнем углу.
Задания для 3 класса
Задание 1
Рассмотрите картинку и найдите закономерность в задаче.
Решение: В таблице мы увидим такую закономерность:
8-5=3, то есть число увеличилось на 3; далее 14-8=6, соответственно, число увеличилось на 6. В последней связке 23-14=9 число увеличилось на 9. Мы делаем вывод, что каждое следующее число увеличивается на предыдущее значение+3. Таким образом, следующее число увеличивается на 9+3=12. 23 + 12 = 35. Ответ: 35.
Задание 2
В пустые клетки вставьте геометрические фигуры, сохраняя закономерность.
Решение: Чтобы выполнить задание, нужно фигуры расставить по порядку, друг за другом, соблюдая последовательность. Значит, после прямоугольника стоит круг, треугольник и квадрат и т. д.
Задание 3
Найди закономерность и продолжи ряды:
12, 23, 34, 45, 56…
13, 24, 35, 46…
Решение: В этой задаче каждая последующая цифра увеличивается так: десятки на один десяток и единицы на одну единицу. 12=10+2, 23=20+3, 34=30+5 и т. д.
Задание 4
Продолжи ряд, сохраняя закономерность.
12, 36, 13, 39, 14, 42, 15,…
Решение: В числовой цепочке выделяем пары чисел. Первая пара:12 и 36. 12×3=36, далее по порядку: 13×3=39. Умножая каждый раз на 3, цифры, следующие по порядку (12,13,14,15…), мы продолжаем последовательный ряд. Ответ: 45.
Задания для 4 класса
Задание 1
Найди ошибку в бусах.
Решение: В первых бусах повторяются квадрат и круг, значит лишний шестой круг. Во вторых бусах, повторяется закономерность: круг, два треугольника, два круга, лишний – восьмой, по счету, круг.
Задание 2
Определите закономерность. Найдите лишнее число.
8, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72.
Решение: В этом числовом ряду таблица умножения на 8. Ответ: число 20 – лишнее.
Задание 3
Каких геометрических фигур не хватает? Дорисуй их, соблюдая закономерность в таблице:
Решение: Определить, какой элемент изменился во втором и последующих рядах, можно, выделив последовательность: ромб, трапеция, шестиугольник и параллелограмм. Во втором ряду недостает шестиугольника, в третьем — ромба, в четвертом – параллелограмма и трапеции.
Математика и логика для детей 7-13 лет
Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате
узнать подробнее
Раскрытие скобок
Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.
Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.
Первое правило раскрытия скобок
Рассмотрим следующее выражение:
8 + (−9 + 3)
Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.
Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.
Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:
Мы получили выражение без скобок 8−9+3. Данное выражение равно 2, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2.
8 + (−9 + 3) = 2
8 − 9 + 3 = 2
Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
2 = 2
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
2 + (−1) = 2 − 1
В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?
В выражении 2 − 1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2 + (−1). Но если в выражении 2 + (−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2 − 1.
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.
Например, упростим выражение 2a + a− 5b + b.
Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
Получили выражение 3a + (−4b). В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
3a + (−4b) = 3a − 4b
Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b.
Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)
В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:
6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2
Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.
На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3.
Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)
Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)
Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)
(−5) = −5
Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:
Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.
Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.
Например, раскроем скобки в следующем выражении
5 − (−2 − 3)
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.
5 − (−2 − 3) = 10
5 + 2 + 3 = 10
Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
10 = 10
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(−3 + 4) = 3 − 4
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Пример 6. Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(−a − 1) = a + 1
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(4a + 3) = −4a − 3
Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
a − (4b + 3) + 15 = a − 4b − 3 + 15
Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:
Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:
a(b+c) = ab + ac
На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки.
Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?
Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3×(4+5) общий множитель это 3. А в примере a(b+c) общий множитель это переменная a.
Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1, в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1. Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1.
К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b−1). Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:
−(3b − 1) = −3b + 1
Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:
−1(3b −1)
Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.
Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:
−1(3b −1) = −1( 3b + (−1) )
Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:
Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b+1. Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:
−(3b − 1) = −3b + 1
Но не мешает знать, как эти правила работают.
В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:
1) Раскрываем скобки:
2) Приводим подобные слагаемые:
В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:
Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
1) Раскроем скобки:
2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть
Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4
1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m, можно вынести в нём общий множитель m за скобки:
8m+3m = m(8+3)
2) Находим значение выражения m(8+3) при m=−4. Для этого в выражение m(8+3) вместо переменной m подставляем число −4
Задание 1. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 2. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 3. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 4. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 5. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 6. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 7. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 8. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 9. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 10. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 11. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 12. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 13. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 14. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 15. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 16. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 17. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 18. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 19. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 20. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 21. Раскройте скобки в следующем выражении:
Задание 22. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Задание 23. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Таблица умножения
Умножение
Стол
(Математика | Общие |
Таблица умножения
Таблица умножения
12
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
11
0
11
22
33
44
55
66
77
88
99
110
121
132
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
99
108
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
4
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Альтернативный формат
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
3
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
4
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
99
108
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
11
0
11
22
33
44
55
66
77
88
99
110
121
132
12
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
Magic 9 — математика
Магия числа 9
1. F индекс
Цифровые корни по кастингу 9
Что такое цифровой корень?
Если
мы складываем цифры числа, пока не останется только одно число
мы нашли то, что называется цифровым корнем.
Другими словами, сумма цифр числа называется его
цифровой корень.
Пример:
Для 5674 5 + 6 + 7 + 4 = 22 и 2 + 2 =
4
4 — цифровой корень 5674
Один
цифровые корни используются для тестов на делимость (например, 3 и 9).
Этот метод упрощает вычисление цифрового корня.
Пример:
Пример:
Найдите цифровой корень 257520643
Шагов:
1.2 + 7 = 9, 2 и 7 зачеркнуть.
2,4 + 3 = 9, вычеркнуть 4, 3 и 2.
3. Других групп чисел с суммой до 9 нет.
4. сложите оставшиеся цифры, 5 + 5 + 0 + 3 =
13.
5,13 больше 9, поэтому 1 + 3 = 4.
6. Цифровой корень — 4.
Если
ничего не осталось после изгнания девяток, тогда цифровой
корень — 9.
2. Он мне не нравится, почему
он следует за мной?
В
в приведенной ниже таблице, умноженной на девять, обратите внимание, что цифры суммы каждого продукта
до девяти. Почему это
случаться? Посмотрите, как
цифры продукта меняются каждый раз.
я
хотел бы сказать классу, что по какой-то причине (Пурани душмани)
Мне не нравится Нет.9, поэтому, чтобы избавиться от него, я умножаю его на 5, получаем
45, что составляет 4 + 5 = 9, тогда я смотрю в небо, закатываю глаза и говорю о
о, он снова пришел!
Тогда
Я говорю хорошо, позволь мне умножить его на 7.
Опыт повторяется.
К этому времени студенты уже поняли и хотят, чтобы я
умножьте на 8, на 9, на 15 и так далее.
3. Обратный
Стол
Запишите таблицу умножения 9 и
поменять местами значение каждого полученного числа.
Соблюдайте закономерность. Как
это увлекательно!
Do
вы думаете, это сработает для таблицы 8?
Пытаться!
4. Змея
ест свой хвост
Думаю
двузначного числа, скажем 42, затем вычтите обратную сторону его
цифры, 24, из 42
Выбрать
любые две цифры числа, и для каждой из них переверните цифры и вычтите
меньшее число от большего.
Посмотрите на все ответы, которые вы получите.
Есть ли у всех общий делитель?
К чему складываются цифры каждый раз?
Некоторые
Примеры:
Вы
видеть
как это увлекательно и приятно. В каждом случае разница составляет
делится на 9 (т.е. общий множитель равен 9) и сумма цифр
разницы всегда 9.
Do
вы думаете, что это также будет работать для трехзначного числа или четырехзначного числа
номер.
Попробуйте!
5. Взять
9 и добавьте к нему любое число.
Что
вы наблюдали:
сумма цифр числа, сложенного с 9, всегда равна сумме
цифр результата.
Take
любое четырехзначное число и попробуйте.
6. Рука
Калькулятор
Ваш
друзья удивляются, когда вы волшебным образом превращаете свои руки в
калькулятор и умножай на пальцах!
Материалы: Ручка
Препарат
Ничья
эти ключи калькулятора на ладони с шариковой ручкой.
Презентация
Скажите
ваш друг, что она может умножить на 9 на ваших руках так же, как она
на обычном калькуляторе. После
она вводит числа и нажимает (=)
, просто наклонитесь над пальцем, умноженным на 9.
Поднятые пальцы говорят ей ответ!
7. Вычитание
Колдовство
Вы
попросите друга поработать на калькуляторе задачу на вычитание.
После того, как она скажет вам одну цифру ответа, вы сможете
разглашу весь ответ!
Материалы
А
калькулятор
Бумага и карандаш
Наконец,
попросите ее назвать вам первую или последнюю цифру
отвечать.Теперь вы можете
разгласить весь ответ!
Как
Сделай это
Здесь
все возможные ответы, когда вы вычитаете два 3-значных числа как
описано.
99
198 297
396 495
594 693
792 891
( 0 99)
Уведомление
что средняя цифра всегда 9 и что сумма первой цифры
а последняя цифра — 9.Так
просто вычтите то, что ваш друг говорит вам, из 9, чтобы получить недостающее
цифра.
Исключение
Если
ваш друг говорит вам, что первая или последняя цифра 9, ее
ответ будет 99.
8. Литье
из девятки
Кастинг
из девяток, многократно вычитая 9, пока оставшаяся часть
осталось меньше 9, или, что то же самое, деление на
9, а остальное можно сделать до странности простым способом.
Остаток после деления числа на 9 будет таким же.
как сумму цифр (или, когда эта сумма дает число с двумя
цифры сумма этих цифр).
Поскольку остаток, а не количество девяток — это то, что вы
после того, как вы можете прийти к нему напрямую.
Вот два примера:
В ролях
девятки из 67 и найти остаток.
Умножение × | Основы арифметики
На этой странице описаны основы умножения (×) .
См. Другие наши арифметические страницы для обсуждения и примеров: Сложение (+), Вычитание (-) и Деление ( ÷ ).
Умножение
При записи общий знак умножения — « × ». В электронных таблицах и некоторых других компьютерных приложениях символ « * » (или звездочка) используется для обозначения операции умножения.
Чтобы выполнять вычисления умножения без калькулятора или электронной таблицы, вам нужно знать, как складывать числа.См. Нашу страницу добавления, чтобы узнать, как добавить.
Когда вы «умножаете» или «умножаете» число, вы прибавляете его к самому себе несколько раз, например, умножение 4 на 3 — это то же самое, что сказать 4 + 4 + 4 = 12. Следовательно, умножение — это более быстрый способ сложения одно и то же число много раз, например 3 × 4 = 12. Этот расчет аналогичен выражению, если у меня есть 3 пакета по 4 яблока, сколько всего яблок у меня есть?
Основные правила умножения:
Любое число, умноженное на 0, равно 0.200 × 0 = 0
Любое число, умноженное на 1, остается неизменным. 200 × 1 = 200.
Когда число умножается на два, мы удваиваем число. 200 × 2 = 400.
Когда целое число умножается на 10, мы можем просто написать 0 в конце (один ноль из 10, потому что это 1 × 10). 200 × 10 = 2000.
При умножении на 100 мы записываем два нуля в конце, на тысячу записываем три нуля в конце и так далее. Например, 4 × 2000 — это 4 × 2 = 8 с 3 нулями: 8000.
Для простого и быстрого умножения полезно запомнить умножение или « таблицу умножения », как показано ниже. Эта таблица дает ответы на все умножения до 10 × 10. Чтобы получить ответ на 4 × 6, например, найдите 4 в верхней (заштрихованной красным) строке и найдите 6 в левом (заштрихованном красным) столбце — столбец точка пересечения двух линий и есть ответ: 24 .
Неважно, в каком направлении вы ищите числа; если вы найдете 4 в первом столбце и 6 в первой строке, вы получите тот же ответ, 24.
Таблица умножения
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Приведенная выше таблица может помочь нам быстро вычислить ответ на следующую проблему.Меган ведет трех братьев в кинотеатр, ей нужно купить всего 4 билета, каждый из которых стоит 8 фунтов стерлингов. Сколько будет стоить поездка? Нам нужно вычислить 4 лота по 8 фунтов стерлингов, что написано 4 × 8.
Найдите 4 в вертикальном красном столбце и 8 в горизонтальном красном столбце, ответ находится в ячейке, где пересекаются две линии: 32 . Стоимость похода в кинотеатр, таким образом, составит £ 32 фунтов стерлингов.
Часто бывает необходимо умножать числа больше 10.В этом случае приведенная выше таблица умножения не может дать немедленного ответа. Однако мы все еще можем использовать его, чтобы упростить расчет.
Лиза управляет ресторанным бизнесом. Она должна доставить бутерброды 23 предприятиям, в каждом из которых работает по 14 сотрудников. Если предположить, что каждый сотрудник съедает один бутерброд, сколько бутербродов нужно приготовить Лизе?
23 предприятиям нужно 14 бутербродов, что составляет 23 лота по 14 или, другими словами, 23, умноженные на 14. Как мы уже обнаружили, мы можем записать расчет наоборот.14 × 23. Ответ будет таким же.
Нам нужно найти ответ на расчет 23 × 14.
Сначала запишите свои числа в столбцы, представляющие сотни, десятки и единицы (за помощью см. Нашу страницу Числа ).
Сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
Шаг 1: Начиная с правого столбца (единицы), умножьте 4 и 3.При необходимости вы можете обратиться к приведенной выше таблице умножения. Напишите ответ (12) под своим вычислением, стараясь поставить 1 в столбце десятков и 2 в столбце единиц.
Синие числа — это те, над которыми мы сейчас работаем, а розовые числа — это первая часть нашего ответа.
Сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
1
2
Шаг 2: Затем мы умножаем 4 на следующее число, равное 2 (или 20, потому что оно находится в столбце десятков).Напишите свой ответ внизу в столбце десятков: мы пишем 8 в столбце десятков (4 раза по 2 десятка) и ноль в столбце единиц (4 раза по 2 десятка это то же самое, что 4 × 20 = 80).
Сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
1
2
8
0
Шаг 3: В приведенных выше шагах мы умножили единицы нижнего числа (4) на верхнее число (23).Затем нам нужно умножить десятки в нижнем числе (1) на верхнее число (23). Теперь мы работаем с цифрой в столбце десятков нижнего числа и повторяем шаги, описанные выше. Оглядываясь на наши основные правила умножения, приведенные выше, мы знаем, что, умножая число на 10, мы пишем ноль в конце. На этом этапе, поскольку мы переместились по столбцу и работаем с десятками, мы должны не забыть записать нули в первый столбец (единицы).
Выполните 1 × 3. Как и выше, мы запишем наш ответ (3) в столбец десятков и (0) в столбец единиц.
Сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
1
2
8
0
3
0
Шаг 4: Последнее умножение, которое нам нужно выполнить, — 1 × 2.Оба числа находятся в столбце десятков, поэтому мы умножаем один лот из 10 на два лота по 10. Используя правила, которые мы узнали на предыдущих шагах, нам нужно записать ноль в столбец единиц и ноль в столбец десятков. Наш ответ (1 × 2 = 2) записан в столбце сотен, потому что мы фактически вычислили 10 × 20 = 200.
Сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
1
2
8
0
3
0
2
0
0
Этап 5: На этом этапе мы закончили умножение; остается только сложить все наши ответы (розовые числа), чтобы найти общее количество необходимых бутербродов.См. Нашу страницу Дополнение , если вам нужна помощь с суммированием чисел.
сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
1
2
8
0
3
0
2
0
0
Итого:
3
2
2
12 + 80 + 30 + 200 = 322. Мы подсчитали, что Лизе нужно сделать в общей сложности 322 бутербродов.
В приведенном выше примере показано, как выполнить умножение, разделенное на все возможные части, но по мере повышения уверенности можно пропустить шаги.
Мы могли бы, например, умножить 4 на 23, разбив сумму на меньшую:
4 × 20 = 80 4 × 3 = 12 80 + 12 = 92
Сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
9
2
Затем то же самое для второго столбца:
10 × 23 = 230
Сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
9
2
2
3
0
Наконец, мы добавляем два наших ответа:
сот
Десятки
Квартир
2
3
1
4
9
2
2
3
0
Итого:
3
2
2
92 + 230 = 322.
Умножение более двух чисел
Если вам нужно перемножить более двух элементов, обычно проще перемножить первые два элемента, получить сумму, а затем умножить следующее число на первую сумму. Например, если Джо хотел вычислить, сколько часов он проработал за четырехнедельный период, то расчет выглядел бы так:
Джо работает 7 часов в день 5 дней в неделю в течение четырех недель.
Шаг первый:
7 × 5 = 35 (количество часов, которые Джо работает за одну неделю).
Шаг второй:
Чтобы узнать, сколько часов Джо работает за четыре недели, мы можем затем умножить этот ответ (35) на 4. 35 × 4 = 140.
Если мы знаем, что Джо платят 12 фунтов стерлингов в час, мы можем затем подсчитать, сколько денег он заработал за четырехнедельный период: 12 × 140.
Быстрый способ решить это — вычислить: 10 × 140 = 1400 (помните, что если мы умножаем на 10, мы просто добавляем ноль в конец числа, на которое мы умножаем). 2 × 140 = 280 то же, что 2 × 14 (с нулем на конце) или 140 + 140.
Мы складываем наши ответы вместе: 1400 + 280 = 1680. Таким образом, Джо заработал 1680 фунтов стерлингов за четырехнедельный период.
Умножение отрицательных чисел
Умножение отрицательного числа на положительное всегда дает отрицательный ответ:
15 × (−4) = −60
Умножение отрицательного числа на другое отрицательное число всегда дает положительный ответ:
(-15) × (-4) = 60
Видео: сложить или вычесть время
Лучший способ добавить время — использовать кнопку AutoSum на вкладке HOME .Вы также можете добавить единицу времени, например 1,5 часа, к времени суток, например 10:00 утра, с помощью функции ВРЕМЯ .
Добавить время
Предположим, вы хотите знать, сколько часов и минут потребуется для выполнения двух задач. По вашим оценкам, первое задание займет 6 часов 45 минут, а второе — 9 часов 30 минут.
В ячейке B2 введите 6:45 , а в ячейке B3 введите 9:30 .
Введите = B2 + B3 в ячейку B4 и нажмите Enter.
На выполнение двух задач потребуется 16 часов 15 минут.
Вы также можете складывать времена, используя AutoSum для суммирования чисел.
Щелкните ячейку B4. Затем на вкладке HOME щелкните AutoSum . Формула будет выглядеть так: = СУММ (B2: B3) .Нажмите Enter, чтобы получить результат, 16 часов 15 минут.
Хотите больше?
Добавить или вычесть время
Создание или удаление произвольного числового формата
Функция ВРЕМЯ
В Excel можно добавлять время так же, как и другие типы чисел.
Например, вы можете сделать это, если хотите узнать, сколько времени потребовалось для выполнения задач проекта.
Лучший способ сделать это — использовать кнопку AutoSum на вкладке HOME .
Я щелкаю по нему один раз, чтобы посмотреть, что он собирается добавить.
Это то, что я хочу, поэтому я щелкаю по нему еще раз и получаю общее время выполнения задач.
Вы можете снова использовать AutoSum , чтобы добавить задачи этого столбца, или формулу для добавления этих двух ячеек.
Чтобы начать формулу, вы всегда используете знак =, щелкните ячейку D2, введите знак +, щелкните ячейку D3 и нажмите Enter.
12 часов 45 минут плюс 15 часов 30 минут, это не 4 часа 15 минут.
Я знаю, что формула верна, поэтому, должно быть, она настроена для отображения времени в ячейке D4.
В этом примере общая сумма превышает 24 часа.
Excel может отображать время разными способами, например, часы и минуты или часы, минуты и секунды; до полудня, после полудня или в 24-часовом формате; или число больше 24 часов, как требуется в этом примере.
Чтобы отформатировать ячейку, щелкните ее правой кнопкой мыши и выберите Форматировать ячейки .
В категории Категория щелкните Custom . В поле Тип введите левую квадратную скобку, h, правую квадратную скобку, двоеточие и затем мм.
Квадратные скобки указывают Excel на превышение 24 часов.
H означает часы, а мм — минуты.
См. Краткое содержание курса в конце этого курса для получения дополнительной информации о форматировании времени.И теперь мы просто нажимаем OK , и общее время отображается правильно.
Вы можете использовать квадратные скобки, даже если время не превышает 24 часов.
Если вы не уверены, превысит ли общее количество часов 24 часа, лучше использовать их.
Вы также можете добавить единицу времени, например, полтора часа, к времени суток, например 10:00 утра, с помощью функции ВРЕМЯ .
Введите знак =, затем щелкните A7 (который содержит время дня, 10:00 a.м.), затем введите знак +, ВРЕМЯ , левая скобка, 1 (количество часов, которое мы хотим добавить), запятая, 30 (минуты, которые мы хотим добавить), 0 (секунды), закрывающую круглую скобку и нажмите Enter. И у нас есть расчетное время 11:30
Далее, Время вычитания .
Калькулятор дробей — CalcuNation.com
Сложите дроби, вычтите дроби, умножьте дроби или разделите дроби и получите ответ в простейшей форме с помощью этого онлайн-калькулятора дробей.
Калькулятор дробей
Чтобы преобразовать дробь в простейшую форму, попробуйте наш Калькулятор упрощенных дробей
Как складывать дроби?
Пример: Для сложения дробей 1 / 3 и 1 / 5 необходимо сначала изменить дроби так, чтобы знаменатели были одинаковыми.Для этих двух дробей результат будет 5 / 15 и 3 / 15 .
Второй шаг — сложить числители двух дробей, чтобы найти числитель ответа, .
5 + 3 = 8.
Сумма 8 / 15
Как вычитать дроби?
Пример: для вычитания дробей 10 / 15 и 1 / 5 необходимо сначала изменить дроби так, чтобы знаменатели были одинаковыми.Для этих двух дробей результат будет 10 / 15 и 3 / 15 . Второй шаг — вычесть числители двух дробей, чтобы найти числитель ответа, 10 — 3 = 7. Разница составляет 7 / 15
Как умножать дроби?
Пример: для умножения дробей 10 / 15 и 1 / 5 , вы умножаете числитель первой дроби на числитель второй дроби, чтобы найти числитель ответа.Вы также умножаете знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби, чтобы найти знаменатель ответа. 10 x 1 и 15 x 5 Ответ: 10 / 75 , затем приведенный к простейшей форме 2 / 15 .
Как делить дроби?
Пример: для деления дробей 10 / 15 и 1 / 5 сначала нужно найти обратную величину второй дроби.Обратное значение 1 / 5 равно 5 / 1 . Затем вы умножаете первую дробь на обратную величину второй дроби.
Wikipedia on Fractions Fraction Video for Kids Fraction Tutorial
Массивы, умножение и деление
Массивы, умножение и деление
Дженни Пеннант с помощью Дженни Уэй и Майка Аскью исследует, как использовать массив в качестве инструмента мышления, чтобы помочь детям развить глубокое понимание умножения и деления.
Использование массивов для исследования чисел
Массивы — это полезные модели для умножения, которые можно использовать по-разному, от высоко структурированных уроков до игр и открытых исследований.
Массив формируется путем размещения набора объектов в строки и столбцы. Каждый столбец должен содержать такое же количество объектов, что и другие столбцы, и каждая строка должна иметь то же количество объектов, что и другие строки.
Следующий массив, состоящий из четырех столбцов и трех строк, может использоваться для представления числового предложения 3 x 4 = 12, 4 x 3 = 12, 3 + 3 + 3 + 3 = 12 и 4 + 4 + 4 = 12.
Построение фактов и таблиц умножения
Массивы можно использовать для конструктивного построения фактов умножения.Прежде чем сверлить и запоминать таблицы, дети должны понять, как эти факты выводятся. Например, постепенно добавляя еще один столбец из трех объектов, дети могут построить себе трехкратные таблицы. Это представление не только помогает понять процесс, но и дает визуальное изображение для
детей, на которых можно рисовать, когда они начнут использовать и запоминать основные числовые факты.
Использование массивов для исследования больших чисел
Массивы могут быть полезны для изучения вычислений, таких как 13 x 5, где массив можно разделить на полезные части, такие как 10 и 3.Это означает, что дети могут использовать свои известные числовые факты для вычислений.
Здесь 13 x 5 = (10 x 5) + (3 x 5).
Через некоторое время рисование всех точек может стать очень утомительным! Пустой массив становится очень полезным инструментом, помогающим детям моделировать свое мышление и разрабатывать более сложные операции умножения в неформальной обстановке.
Вот ребенок, использующий пустой массив в качестве инструмента мышления, чтобы помочь им вычислить 15 x 14.
Пустой массив помогает детям использовать другие стратегии, такие как компенсация, при выполнении умножения.Здесь, чтобы вычислить 34 x 9, ребенок решил сделать 34 x 10, а затем снять 34 x 1.
Помимо пустого массива, эту стратегию «деления умножения на простые части» можно формализовать в виде сеточный метод. Дети могут видеть, как «абстрактный» метод сетки накладывает на массив и формализует пустой массив в стандартной форме.
Деление как обратная операция умножения
Из четырех операций деление является наиболее сложной задачей для молодых студентов.Полное понимание деления обычно сильно отстает от других операций. Для многих детей возможности исследовать концепцию на конкретных материалах ограничиваются задолго до того, как они осознают взаимосвязь между разделением и тремя другими операциями. Одна из таких отношений, обратная связь
Между делением и умножением можно эффективно проиллюстрировать использование массивов.
Например; 3 × 5 = 15 или 3 строки из 5 составляют 15, могут быть представлены следующим массивом.
Если взглянуть на массив по-другому, можно увидеть обратное, то есть 15 ÷ 3 = 5 или 15, помещенные в 3 строки, дают 5 столбцов — или 5 в каждой строке.
Язык явно играет важную роль в способности выражать математические отношения, и физический массив поддерживает этот аспект понимания, давая детям конкретный образ, о котором можно говорить.
Размещение математики в контексте реальной жизни с помощью словесных задач может облегчить как понимание взаимосвязи, так и ее выражение в словах.
Например, «Садовник посадил 3 ряда по 5 семян. Сколько семян она посадила?» представляет собой совсем другую проблему, чем «Садовник посадил 15 семян в 3 равных ряда. Сколько семян в каждом ряду?» тем не менее, обе эти проблемы со словами можно смоделировать с использованием одного и того же массива.
Дальнейшее изучение массива обнаруживает еще два способа выражения обратных отношений: 5 × 3 = 15 и 15 ÷ 3 = 5.
Слова «проблемы» могут быть адаптированы для описания этих операций и выделения сходств и различий между четырьмя выражениями, смоделированными одним массивом.
Использование пустого массива Предположим, вы хотите вычислить 176 ÷ 8. Мы можем настроить его как массив с отсутствующим значением одной стороны.
Используя известные факты умножения, можно построить значение недостающей стороны.
Итак, ребенок может видеть, что 22 лота из 8 — это то же самое, что и 176.
Массив — очень мощный инструмент для поддержки развития детского мышления как в отношении умножения, так и деления.
Дополнительная литература Чтобы прочитать об использовании массивов для иллюстрации числовых свойств, перейдите сюда, чтобы прочитать статью Дженни Уэй, озаглавленную «Иллюстрирование числовых свойств с помощью массивов».
Вот версия этой статьи в формате PDF.
‘Лампа для часов-калькулятора’ | Головоломка, которая действительно проверит ваши творческие математические способности
Большинство людей заперты в своих домах из-за продолжающейся пандемии COVID-19. Из-за ограничений, введенных правительством, многим людям нечего делать в свободное время. Вот почему некоторые люди начали разгадывать загадки и головоломки в социальных сетях. Загадки / головоломки помогут вам обострить свой ум во время пандемии, а также сохранят вашу активность.В Интернете есть несколько популярных головоломок, в том числе головоломка «Часы-калькулятор», которая сейчас популярна в Whatsapp и социальных сетях. Вот загадка и ответ.
Часы-калькулятор, пазл с лампочкой
Также читают | Сколько уток в картинке-загадке | Вот ответ на загадку социальных сетей
Выше — загадка «Лампа часового калькулятора», которая сейчас популярна в Whatsapp и социальных сетях. Эта головоломка довольно сложна, поскольку она не только проверяет ваши математические навыки, но и заставляет мыслить творчески, соотнося бытовую электронику с математическими уравнениями.Кроме того, вам также нужно обращать внимание на мельчайшие детали каждого электронного устройства, такие как время на часах, числа на калькуляторе и «световые лучи», исходящие из лампочки. Вам необходимо учитывать все эти факторы, если вы хотите решить загадку «Лампа часового калькулятора».
Также читают | Найдите верблюда в картинке-загадке: Сможете ли вы заметить животное на картинке?
Ответ на головоломку «Часы-калькулятор»
Найдите значение одного такта, используя первое уравнение.Согласно первому уравнению, 9 часов + 9 часов + 3 часа = 9 + 9 + 3 = 21.
Следовательно; 1 Часы = 1
Используя уравнение два, три калькулятора равны 30. Следовательно, один калькулятор равен 10 .
Кроме того, сумма чисел внутри калькулятора равна 1 + 2 + 3 + 4 = 10 .
Также читают | Пазл Виноград, арбуз, банан | Головоломка, которая проверяет ваши творческие способности и математические навыки
Следовательно, значение калькулятора зависит от суммы чисел внутри него.
Калькулятор онлайн — Нахождение (вычисление) НОД и НОК (с подробным решением)
Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел m и n называется наибольший из их общих делителей.
Пример: для чисел 6 и 9 наибольший общий делитель равен 3.
Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел m или n не равно нулю.
В школьной программе обозначается так: НОД(m, n)
Понятие наибольшего общего делителя (НОД) распространяется на любой набор из более чем двух целых чисел.
Чаще всего НОД используется для сокращения дроби — если найти НОД числителя и знаменателя, то на это число можно сократить
числитель и знаменатель данной дроби.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка.
В школьной программе обозначается так: НОК(m, n)
Пример: НОК(16, 20) = 80
Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.
С помощью данной математической программы вы можете найти (вычислить) НОД и НОК двух целых чисел.
Программа нахождения НОД и НОК не только выводит ответ задачи, но и отображает процесс вычисления НОД и НОК двух чисел.
Вводить можно только целые положительные числа.
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock. В этом случае отключите его и обновите страницу.
Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа
Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют
наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.
Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми.
Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.
Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.
Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа
(т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.
Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Определение.Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число,
которое кратно и a и b.
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на
простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения
второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.
Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных
чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.
Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа),
они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные
числа — 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое — 8128 — стало известно в I в. н. э.
Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли
нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде
произведения простых чисел, т. е. простые числа — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних частях ряда их больше,
в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует
ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на
протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом
есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа
от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через
одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее
вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались
невычеркнутыми только простые числа.
Калькулятор НОД и НОК с решением онлайн
Найдем наибольший общий делитель НОД (36 ; 24)
Этапы решения
Способ №1
1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)
36 — составное число 24 — составное число
Разложим число 36 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
36 : 2 = 18 — делится на простое число 2 18 : 2 = 9 — делится на простое число 2 9 : 3 = 3 — делится на простое число 3. Завершаем деление, так как 3 простое число
Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
24 : 2 = 12 — делится на простое число 2 12 : 2 = 6 — делится на простое число 2 6 : 2 = 3 — делится на простое число 2. Завершаем деление, так как 3 простое число
3) Теперь, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множители
Ответ: НОД (36 ; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
Способ №2
1) Найдем все возможные делители чисел (36 ; 24). Для этого поочередно разделим число 36 на делители от 1 до 36, число 24 на делители от 1 до 24. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.
Для числа 36 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка: 36 : 1 = 36;36 : 2 = 18;36 : 3 = 12;36 : 4 = 9;36 : 6 = 6;36 : 9 = 4;36 : 12 = 3;36 : 18 = 2;36 : 36 = 1;
Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка: 24 : 1 = 24;24 : 2 = 12;24 : 3 = 8;24 : 4 = 6;24 : 6 = 4;24 : 8 = 3;24 : 12 = 2;24 : 24 = 1;
2) Выпишем все общие делители чисел (36 ; 24) и выделим зеленым цветом самы большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (36 ; 24)
Общие делители чисел (36 ; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12
Ответ: НОД (36 ; 24) = 12
Найдем наименьшее общее кратное НОК (52 ; 49)
Этапы решения
Способ №1
1) Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением)
52 — составное число 49 — составное число
Разложим число 52 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
52 : 2 = 26 — делится на простое число 2 26 : 2 = 13 — делится на простое число 2. Завершаем деление, так как 13 простое число
Разложим число 49 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
49 : 7 = 7 — делится на простое число 7. Завершаем деление, так как 7 простое число
2) Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.
52 = 2 ∙ 2 ∙ 13 49 = 7 ∙ 7
3) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом
НОК (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
Способ №2
1) Найдем все возможные кратные чисел (52 ; 49). Для этого поочередно умножим число 52 на числа от 1 до 49, число 49 на числа от 1 до 52.
2) Выпишем все общие кратные чисел (52 ; 49) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (52 ; 49).
Общие кратные чисел (52 ; 49): 2548
Ответ: НОК (52 ; 49) = 2548
Наибольший общий делитель, Наименьшее общее кратное
Наибольший общий делитель
Общим делителем нескольких чисел называется число, служащее делителем для каждого из них. Например, числа 12, 18, 30 имеют общий делитель 3; число 2 — тоже их общий делитель. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший, в нашем примере — число 6. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД).
Примеры. Для чисел 16, 20, 28 НОД есть 4; для чисел 5, 30, 60, 90 НОД есть 5.
Пример 1. Найти НОД чисел 252, 441, 1080. Разлагаем на простые множители
Может случиться так, что простых множителей, общих для всех данных чисел, не будет вовсе. Тогда наибольший общий делитель есть 1. Например, для чисел 15 = 3 · 5, 10 = 2 · 5, 6 = 2 · 3 НОД = 1. Два числа, НОД которых равен 1, называются взаимно простыми. Например, 15 и 22 взаимно простые числа.
Наименьшее общее кратное
Общим кратным нескольких чисел называется число, служащее кратным для каждого из них. Например, числа 15, 6, 10 имеют общее кратное 180; число 90 — также общее кратное этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае число 30. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК). Для небольших чисел НОК находится легко по догадке. Если числа большие, поступаем так: разлагаем данные числа на простые множители; выписываем все простые множители, входящие хотя бы в одно из данных чисел; каждый из взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в данные числа. Производим умножение.
Пример 2. Найти НОК чисел 234, 1080, 8100 НОК = 23 · З4 · 52 · 13 = 210 600.
Презентация по теме:»Решение задач на нахождение НОД и НОК»
Давайте наш урок начнем с пожелания друг другу добра.
Я желаю тебе добра, ты желаешь мне добра, мы желаем друг другу добра.
Если будет трудно –
я тебе помогу.
Разминка (заполни пропуски)
1. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и в называют ____________________________ этих чисел;
наибольшим общим делителем
2. Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1. разложить данные числа на __________________
простые множители
одновременно
2. выписать все простые множители, которые _____________входят в _______ из полученных разложений
каждое
3. каждое из выписанных простых чисел взять с ______________ из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел
наименьшим
4. записать _____________ полученных степеней.
произведение
3. Разложите на простые множители и найдите наибольший общий делитель чисел 12 и 18
2
12 __ 18 2
6 2 __ __
__ __ 3 __
1 1
12= 2² ∙ 3; 18 = 2 ∙ 3²
9
3
3
3
3
НОД(12;18)= __ ∙ __ = ___
3
2
6
Разминка (продолжи фразу)
4. Наименьшее натуральное число , которое делится без остатка на а и в , называется _________________________ этих чисел;
наименьшим общим кратным
5. Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1. разложить данные числа на ________ множители
простые
2. выписать все простые числа, которые входят ______________ из полученных разложений
хотя бы в одно
3. каждое из выписанных простых чисел взять с ____________ из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел
наибольшим
степеней
4. записать произведение полученных ____________
6. Найдите наименьшее общее кратное чисел 12 и 18
2
12 2 18 __
__ __ __ 3
3 __ 3 __
1 1
12= 2² ∙ 3; 18 = 2 ∙ 3²
6
2
9
3
3
НОК(12;18)= ____ ∙ ____ = ____
3²
2²
36
Имеется 36 синих и 48 красных листов бумаги. Какое наибольшее число комплектов можно сделать из этих листов, если в каждом комплекте должно быть одинаковое число синих и красных листов бумаги?
Из речного порта одновременно 1 мая 2017 года вышли два теплохода . Продолжительность рейса одного из них – 15 суток, а продолжительность рейса второго – 24 суток.
Через сколько дней теплоходы снова одновременно отправятся в рейс? Сколько рейсов за это время сделает первый теплоход? А сколько второй?
Решение задачна нахождение НОД и НОК
Цели урока:
Отработка навыков нахождения НОД и НОК чисел.
Применение полученных знаний для решения задач.
Развитие интереса к предмету.
Успехов!
Работа в парах
(М)
(О)
(А)
НОК (14;42)
НОД (9;40)
(П)
НОК (17;34)
(Р)
(Т)
НОК (12;40)
(И)
НОК (42;210)
НОД (4;8;12)
(В)
(Ч)
(Л)
НОД (24;48)
(С)
НОК (17;5)
НОК (4;8;16)
НОД (12;46)
НОД (14;21)
(Я)
НОК (72;12)
Работа в парах
24
16
Ч
2
И
7
С
34
Л
А
4
П
120
Р
34
А
85
В
72
210
Я
Т
42
М
16
120
И
Р
1
О
42
М
Числа
правят
миром
Пифагор.
Пифагор – древнегреческий философ, математик и мистик. Пифагор обожествлял числа. Он учил: числа управляют миром. Всемогущество чисел проявляется в том, что всё в мире подчиняется числовым отношениям. Высшее совершенство Пифагор видел в гармонии, гармонии чисел и фигур.
Физ.минутка
Решение задач
Имеется 32 синих и 48 красных листов бумаги. Какое наибольшее число комплектов можно сделать из этих листов, если в каждом комплекте должно быть одинаковое число синих и красных листов бумаги?
32 2
48 2
16 2
24 2
12 2
8 2
4 2
6 2
2 2
3 3
1
1
5
1) 32 = 2
4
2) 48 = 2 ∙ 3
4
3) НОД (32;48) = 2 = 16(к)
Ответ: можно сделать16 комплектов.
Найди ошибку
Из речного порта одновременно 1 мая 2011 года вышли два теплохода. Продолжительность рейса одного из них – 15 суток, а продолжительность рейса второго – 18 суток. Через сколько дней теплоходы снова одновременно отправятся в рейс? Сколько рейсов за это время сделает первый теплоход? А сколько второй?
15 3
18 2
5 5
9 9
1
1
18 2
9 3
3 3
1
1) 15 = 3 ∙ 5
2) 18 = 2 ∙ 3²
3) НОК (15;18) = 5 ∙3² ∙ 2 = 90(дн.) – одновременно отпр. в рейс
4) 90 : 15 = 6(р) – сделает первый теплоход
5) 90 : 18 = 5(р) – сделает второй теплоход
Ответ: через 90 дней снова отправятся в рейс; 6 рейсов сделает первый теплоход и 5 рейсов второй.
Выбери правильное решение задачи
Для участия в эстафете нужно разделить 24 девочки и 36 мальчиков на команды с одинаковым числом участников, состоящие только из мальчиков или только из девочек. Какое наибольшее число человек может быть в каждой команде? Сколько команд получится?
24 2
36 2
24 2
18 2
12 2
12 2
6 2
9 3
6 3
3 3
3 3
2 2
1
1
1
1) 24 = 2³ · 3
2) 36 = 2² ∙ 3²
3) НОД (24;36) = 2² · 3 = 4 ∙ 3 = 12(чел) – в каждой команде
4) 24 : 12 = 2(к) — девочек
3) НОД (24;36) = 2³ · 3² = 6 ∙ 6 = 12(чел) – в каждой команде
5) 36 : 12 = 3(к) — мальчиков
6) 2 + 3 = 5(к) — всего
Ответ: в каждой команде может быть 12 человек; получится 5 команд.
Исправь ошибки и помоги в решении задачи
Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? Сколько апельсинов и сколько яблок получил каждый?
82 2
123 3
41 41
41 41
1
1
1) 123 = 3 ∙ 41
2) 82 = 2 ∙ 41
3) НОД (123;82) = 41(чел) – присутствовали на ёлке
Ответ: 41 человек присутствовало на ёлке; каждый получил 3 апельсина и 2 яблока.
Самостоятельная работа
I вариант
II вариант
НОД(35;63)
НОК(8;24;40)
НОД(27;48)
НОК(14;35;20)
Взаимопроверка
I вариант
НОД(35;63) = 7
НОК(8;24;40) = 2³ ∙ 3 ∙ 5 = 120
II вариант
35 5 63 3 8 2 24 2 40 2
НОД(27;48) = 3
НОК(14;35;20) = 2² ∙ 5 ∙ 7 = 140
7 7 21 3 4 2 12 2 20 2
27 3 48 2 14 2 35 5 20 2
9 3 24 2 7 7 7 7 10 2
1 7 7 2 2 6 2 10 2
3 3 12 2 1 1 5 5
1 1 3 3 5 5
1 1
1 6 2 1
3 3
1
35 = 5 ∙ 7;
270 = 3³;
63 = 3² · 7;
480 = 2 · 3;
8 = 2³;
24 = 2³∙ 3;
14 = 2 ∙ 7;
40 = 2³∙ 5
35 = 5 · 7;
20 = 2²∙ 5
4
Я умею. ..
Я знаю…
… алгоритм
нахождения
наибольшего
общего делителя
… находить
наибольший
общий делитель
… алгоритм
нахождения
наименьшего
общего кратного
… находить
наименьшее
общее кратное
У меня
получится…
тест
Тест
У
Верно!
Верно!
НОК (45; 30)
НОД (48; 84)
М
Ответы:
Ответы:
6
4
12
90
15
60
НОК (25; 15)
Н
Верно!
Верно!
И
НОД (80; 64)
Ответы:
Ответы:
32
5
375
20
16
75
Верно!
Верно!
НОК (16; 24)
Ц
А
НОД (72; 120)
Ответы:
Ответы:
12
48
16
72
24
72
Домашнее задание
1 группа: Подготовить проект о Пифагоре
2 группа: Если участники демонстрации построятся по 10 человек в ряд, то один человек останется лишним. Если они построятся по 9 человек в ряд, то опять один останется лишним. То же самое произойдёт, если они построятся по 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 человека в ряд. Всего их меньше пяти тысяч, сколько их?
3 группа: Длина комнаты 575см, ширина – 375см. Пол комнаты нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер стороны такого квадрата? Сколько плиток такого размера понадобится?
4 группа: Отец и сын решили измерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего прошли одновременно от одного дерева до другого. Длина шага отца – 70см, сына – 56см. Найдите расстояние между этими деревьями, если известно, что следы совпали ровно 10 раз.
5 группа: На соревнованиях по настольному теннису участвовали равные по количественному составу команды, в которых всего 145 мальчиков и 87 девочек. Во всех командах было одинаковое число мальчиков и девочек. Сколько команд участвовало в соревнованиях? Сколько девочек и сколько мальчиков было в каждой команде?
6 группа: Одно колесо, сделав полный оборот, проходит путь 105 см, другое – 165 см. Найдите наименьшее расстояние, на котором оба колеса сделают по целому количеству оборотов.
Я утверждаю, что
2 * 2 = 5!
И могу это доказать!!!
Где ошибка?
Распределительное свойство
умножения нельзя переносить на деление.
Спасибо!
Наименьшее общее кратное примеры. Наименьшее общее кратное чисел 18 и 45, 6 и 8, 42 и 63, 210 и 350, 20 70 15.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целый чисел a и b есть наименьшее натуральное число, которое делиться и на a и b без остатка. Пример: наименьшее общее чисел 12 и 18 равен 36.
Наименьшее общее кратное чисел a и b
Найдем НОК чисел a и b с помощью разложения на простые множители.
НОК(a, b) = p1max(k1, l1) * p2max(k2, l2)*. ..*p2max(kn, ln)
Возьмем два числа: 12 и 18 12 делится на 2 , на 3 , на 4 , на 6 и на 12 18 делится на 2 , на 3 , на 6 , на 9 и на 18 Общие ( одинаковые, равные ) делители Из чисел 2 , 3 и 6 2 3 6 наибольшим является Наибольший общий делитель чисел 12 и 18 равен 6 НОД ( 12; 18 ) = 6 Разложим число 12 на простые множители 12 = 2 х 26 х 3 6 составное число , так как делится на 2 , на 3 и на 6 и может быть представлено как 2 х 3 Разложим число 18 на простые множители 18 = 2 х 39 х 3 9 составное число , так как делится на 3 и на 9 и может быть представлено как 3 х 3 Ищем пары одинаковых множителей . Такие пары есть у чисел 2 и 3 НОД ( 12; 18 ) = 2 х 3 = 6 Алгоритм нахождения НОД нескольких натуральных чисел 1. Разложить данные натуральные числа на простые множители В нашем примере 12 и 18 2. Определить группы одинаковых множителей В нашем примере 2и3 3. Составить произведение из множителей групп, любого из данных натуральных чисел Пусть это будет 12 = 2 х22 хх3 3 4. Найти их произведение В примере =6 Решим пример Найти НОД (30 , 36 ,48 ) 30 = 3 х 10 2 х 5 36= 2 4х 2 х 39 х 3 48= 3 6х 2 х 2 8х 2 х 2 Простые числа: 10 = 2 х 5 4= 2 х 2 9= 3 х 3 6= 2 х 3 8=2 х 2 х 2 3 2 5 НОД (30 , 36 ,48 ) = 3 х 2 = 6 Решим пример Найти НОД ( 36 ,48 ) 36= 24х 2 х 39х 3 48 = 36х 2х 28х 2 х 2 Простые числа: 4= 2 х 2 9= 3 х 3 6= 2 х 3 8=2 х 2 х 2 3 2 НОД ( 36 ,48 ) = 3 х 2 х 2 = 12 Возьмем два числа: 12 и 18 Числа кратные 12 делятся на 12 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 , 120 , …. Числа кратные 18 делятся на 18 18 , 36 , 54 , 72 , 90 , 108 , 126 , 134 ,152 , …. Выделим общие кратные для 12 и 18 36 72 Наименьшее общее кратное 108 36 НОК (12 , 18 ) = 36 Разложим 12 и 18 на простые множители 12 = 2 х 2 х 3 12 раскладывается на две 18 = 2 х 3 х 3 18 раскладывается 2 и одну на две 3 3 и одну 2 х 2 х 3 х 3 12 Н О К ( 12 , 18 ) = 2 х 2 х 3 х 3 = 36 2 Алгоритм нахождения НОК 1. Разложить данные числа на простые множители В нашем примере 12 и 18 2. Выписать разложение одного из них В нашем примере 12 3. Добавить недостающие множители из разложений остальных чисел В нашем примере добавили 3 4. Найти произведение этих множителей Решим пример Найти НОК ( 30 , 36 , 48 ) 30 = 5 х 3 х 2 36 = 3 х 3 х 2 х 2 48 = 3 х 2 х 2 х 2 х 2 5 х 3 х 2 3 х 2 х 2 х 2 х 2 3 х 3 х 2 х 2 Разложим данные числа на простые множители Возьмем , например , число 48 Примерим разложение числа 36 Примерим разложение числа 30 х 3 НОК ( 30, 36, 48 ) = 5 х 32 х 24 = 720
Алгоритм Евклида — нахождение наибольшего общего делителя
Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.
Алгоритм нахождения НОД делением
Большее число делим на меньшее.
Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
Переходим к пункту 1.
Пример: Найти НОД для 30 и 18. 30 / 18 = 1 (остаток 12) 18 / 12 = 1 (остаток 6) 12 / 6 = 2 (остаток 0) Конец: НОД – это делитель 6. НОД (30, 18) = 6
a = 50
b = 130
while a != 0 and b != 0:
if a > b:
a = a % b
else:
b = b % a
print(a + b)
В цикле в переменную a или b записывается остаток от деления. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это значит, что другая содержит НОД. Однако какая именно, мы не знаем. Поэтому для НОД находим сумму этих переменных. Поскольку в одной из переменных ноль, он не оказывает влияние на результат.
Алгоритм нахождения НОД вычитанием
Из большего числа вычитаем меньшее.
Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).
Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.
Переходим к пункту 1.
Пример: Найти НОД для 30 и 18. 30 — 18 = 12 18 — 12 = 6 12 — 6 = 6 6 — 6 = 0 Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое. НОД (30, 18) = 6
a = 50
b = 130
while a != b:
if a > b:
a = a - b
else:
b = b - a
print(a)
Функция вычисления НОД
def gcd(a, b):
while a != b:
if a > b:
a = a - b
else:
b = b - a
print(a)
Блок-схема алгоритма Евклида
Примечание. В модуле math языка программирования Python есть функция gcd(), вычисляющая наибольший общий делитель двух чисел.
>>> import math
>>> math.gcd(30, 18)
6
Геометрическая серия
А геометрическая серия это
ряд
чьи родственные
последовательность
геометрический. Это результат добавления
термины
из
геометрическая последовательность
.
Написано в сигма-нотации:
∑
п
знак равно
1
∞
(
2
⋅
3
п
—
1
)
Конечный геометрический ряд
Чтобы найти сумму конечного геометрического ряда, используйте формулу S
п
знак равно
а
1
(
1
—
р
п
)
1
—
р
,
р
≠
1
, где
п
это количество терминов,
а
1
это первый член и
р
это
обычное отношение
.
Пример 3:
Найдите сумму первых
8
члены геометрического ряда, если
а
1
знак равно
1
а также
р
знак равно
2
.
S
8
знак равно
1
(
1
—
2
8
)
1
—
2
знак равно
255
Пример 4:
Находить
S
10
, десятая частичная сумма бесконечного геометрического ряда
24
+
12
+
6
+
…
.
Сначала найдите
р
.
р
знак равно
а
2
а
1
знак равно
12
24
знак равно
1
2
Теперь найдите сумму:
S
10
знак равно
24
(
1
—
(
1
2
)
10
)
1
—
1
2
знак равно
3069
64
Пример 5:
Оценивать.
∑
п
знак равно
1
10
3
⋅
(
—
2
)
п
—
1
(Вы находите
S
10
для сериала
3
—
6
+
12
—
24
+
…
, обыкновенное отношение которого
—
2
.)
S
п
знак равно
а
1
(
1
—
р
п
)
1
—
р
S
10
знак равно
3
[
1
—
(
—
2
)
10
]
1
—
(
—
2
)
знак равно
3
(
1
—
1024
)
3
знак равно
—
1023
Бесконечная геометрическая серия
Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с
абсолютная величина
меньше единицы, используйте формулу,
S
знак равно
а
1
1
—
р
, где
а
1
это первый член и
р
это обычное отношение.
Пример 6:
Найдите сумму бесконечного геометрического ряда 27
+
18
+
12
+
8
+
…
.
Первая находка
р
:
р
знак равно
а
2
а
1
знак равно
18
27
знак равно
2
3
Затем найдите сумму:
S
знак равно
а
1
1
—
р
S
знак равно
27
1
—
2
3
знак равно
81 год
Пример 7:
Найдите сумму бесконечного геометрического ряда 8
+
12
+
18
+
27
+
. ..
если он существует.
Первая находка
р
:
р
знак равно
а
2
а
1
знак равно
12
8
знак равно
3
2
С
р
знак равно
3
2
не меньше единицы, ряды не сходятся.То есть в нем нет суммы.
Найдите сумму, среднее и среднее значение и диапазон 6,12,18,24,30,36,42,4 Tiger Algebra Solver
В этом разделе мы рассмотрим определение и расчет различных статистических показателей. Мы будем использовать следующий набор данных для выполнения указанных расчетов.
Набор данных: (6,12,18,24,30,36,42,4)
Сумма
Сумма. Совокупность группы чисел. Формула выглядит так: Sum =, где символ ∑ представляет собой сложение всех значений данных.
0 + 6 = 6
6 + 12 = 18
18 + 18 = 36
36 + 24 = 60
60 + 30 = 90
90 + 36 = 126
126 + 42 = 168
168 + 4 = 172
Суммируя 8 введенных чисел, мы получаем сумму 172 ( Словами: сто семьдесят два )
Среднее арифметическое (простое среднее)
Определение: совокупность (сумма) всех значений данных, деленная на количество точек данных.
Где µ представляет собой среднее значение генеральной совокупности, а ∑ представляет собой сумму всех значений данных, а N представляет количество значений данных.Если набор данных относится к выборке (части генеральной совокупности), расчет остается тем же, но символы другие. Это важно, потому что это указывает любому, имеем ли мы дело с генеральной совокупностью или выборкой. Набор данных всегда имеет среднее значение и уникален.
Найти среднее значение
Чтобы найти среднее значение, разделите сумму на количество значений. В нашем случае на предыдущем шаге мы обнаружили, что сумма равна 172, и мы можем подсчитать 8 значений, так что:
Среднее = 172/8 = 21.5
Медиана
Определение: среднее (центральное) значение набора данных после того, как данные были упорядочены от низкого до высокого значения. То есть 50% значений данных ниже среднего значения, а 50% значений данных выше среднего значения. Можно применить простую формулу. Положение (P) медианы: P =. Если n количество точек данных нечетное, медианное значение является одной из точек данных. Если n четно, то медиана — это среднее значение данных непосредственно под и над вычислением позиции.В наборе данных всегда есть медиана, и она уникальна.
Найдите значение медианы
Чтобы найти значение медианы, мы начинаем с сортировки или расположения наших чисел в порядке возрастания или убывания.
4,6,12,18,24,30,36,42
Имея четное (8) количество значений, медиана является промежуточной точкой между двумя средними числами. В нашем случае два средних числа: 18 и 24
(18 + 24) / 2
Медиана = 21 ( Словами: двадцать один )
Диапазон
Числовая разница между максимальным и минимальным значениями набора данных. R = максимальное — минимальное значения
Найти диапазон
Используя наш отсортированный список чисел 4,6,12,18,24,30,36,42 , мы вычитаем первое (наименьшее / мин) из последнего ( наибольший / макс.) Диапазон = 42-4 = 38
Разница
Определение: среднее квадратов разностей от среднего значения набора данных. Это мера разброса набора данных от среднего.
В теории вероятностей и статистике дисперсия измеряет, насколько далеко распределен набор чисел.Нулевое отклонение означает, что все значения идентичны.
Найдите дисперсию
Чтобы вычислить дисперсию, выполните следующие действия:
Найдите среднее значение (простое среднее чисел). Мы сделали это выше и нашли, что оно равно 21,5
Теперь для каждого числа: вычтите Среднее и возведите результат в квадрат (квадрат разницы).
(4-21,5) 2 = 306,25
(6-21,5) 2 = 240,25
(12-21,5) 2 = 90.25
(18-21,5) 2 = 12,25
(24-21,5) 2 = 6,25
(30-21,5) 2 = 72,25
(36-21,5) 2 = 210,25
(42-21,5) 2 = 420,25
Найдите среднее значение этих квадратов разностей.
0 + 306,25 = 306,25
306,25 + 240,25 = 546,5
546,5 + 90,25 = 636,75
636,75 + 12,25 = 649
649 + 6,25 = 655,25
655,25 + 7212,5 = 727.25 = 937,75
937,75 + 420,25 = 1358
Сумма 7 квадратов разностей составляет 1358 Теперь мы можем рассчитать дисперсию как 1358/7 = 194
Стандартное отклонение
Определение: квадратный корень из дисперсии. Он измеряет разброс набора данных от среднего. Обратите внимание, что единица измерения стандартного отклонения такая же, как и у данных. То есть, если данные указаны в футах, стандартное отклонение также будет в футах.Это неверно для дисперсии.
В статистике стандартное отклонение (SD, также представленное греческой буквой сигма, σ) — это мера, которая используется для количественной оценки степени вариации или дисперсии набора значений данных.
Стандартное отклонение — это положительный квадратный корень из дисперсии
√ (194) = 13,93
Калькулятор остатка
Этот калькулятор частного и остатка помогает вам разделить любое число на целое и вычислить результат в виде целых чисел.В этой статье мы объясним вам, как использовать этот инструмент и каковы его ограничения. Мы также предоставим вам пример, который лучше проиллюстрирует его назначение.
Дивиденды, делитель, частное и остаток
Когда вы выполняете деление, вы обычно можете записать эту операцию следующим образом:
а / п = д + р / п
где:
— это начальное число, которое вы хотите разделить, называемое делимым .
n — это число, на которое вы делите; он называется делителем .
q — результат деления с округлением до ближайшего целого числа; это называется частным .
r — это остаток этой математической операции.
При выполнении деления с остатками на нашем калькуляторе важно помнить, что все эти значения должны быть целыми числами. В противном случае результат будет правильным с точки зрения формул, но не будет иметь математического смысла.
Не забудьте проверить наш калькулятор по модулю для практического применения калькулятора с остатками.
Как рассчитать остаток
Начните с записи вашей проблемы. Например, вы хотите разделить 346 на 7.
Решите, какое из чисел является делимым, а какое — делителем. Делимое — это число, над которым выполняется операция — в данном случае 346. Делитель — это число, которое фактически «выполняет работу», в данном случае 7.
Выполните деление — вы можете использовать любой калькулятор, какой захотите. Вы получите результат, который, скорее всего, не является целым числом — в этом примере 49.4285714.
Округлите это число в меньшую сторону. В нашем примере вы получите 49.
Умножьте число, полученное на предыдущем шаге, на делитель. В нашем случае 49 * 7 = 343 .
Вычтите число из предыдущего шага из вашего дивиденда, чтобы получить остаток. 346 - 343 = 3 .
Вы всегда можете воспользоваться нашим калькулятором с остатками и сэкономить время 🙂
FAQ
Как вы решаете китайские задачи теоремы об остатках?
Убедитесь, что у вас есть неизвестное , равное двум или более различным модулям , например.грамм. x = d mod a, e mod b и f mod c.
Убедитесь, что все модули имеют одинаковый наибольший общий делитель .
Умножаем каждый по модулю на все, кроме одного, по модулю , пока не будут найдены все комбинации . Для указанных выше модулей это будет: b c, a c, a * b.
Разделите каждое число на пропущенный модуль . Если он равен остатку от этого модуля, например (b * c) / a = d, оставьте число как есть.
Если остаток не равен остатку по модулю, используйте метод проб и ошибок, чтобы найти положительное целое число, чтобы умножить его на так, чтобы шаг 4 стал истинным.
Сложите все числа вместе, как только шаг 4 верен для всех комбинаций.
Какие еще уловки?
Полезно запомнить некоторые оставшиеся ярлыки, чтобы сэкономить ваше время в будущем. Во-первых, если число делится на 10 , то остаток составляет всего последней цифры этого числа . Точно так же, если число делится на 9, складывайте каждую из цифр друг с другом, пока не останется одно число (например, 1164 станет 12, которое, в свою очередь, станет 3), которое является остатком.Наконец, вы можете умножить десятичную дробь частного на делитель, чтобы получить остаток.
Как интерпретировать остаток?
Изучение того, как вычислить остаток, включает , многие из которых в реальном мире используют , и это то, чему вас учат школа, что вы обязательно будете использовать в своей повседневной жизни. Допустим, вы купили 18 пончиков для своего друга, но появилось только 15 из них, у вас осталось 3 . Или сколько денег у вас осталось после покупки пончиков? Если максимальное количество обезьян в бочке — 150, а в районе 183 обезьяны, сколько обезьян будет в меньшей группе?
Как превратить остаток в десятичную дробь?
Настройте деление, добавив десятичный знак, а затем ноль после столбца единицы делимого (если ваш дивиденд уже является десятичным, добавьте дополнительный ноль в конец).
Выполните деление как обычно , пока не останется остаток.
Вместо того, чтобы писать остаток после частного, переместите остаток выше добавленного вами нуля .
Если есть остаток от этого деления, добавьте еще один ноль к делимому и прибавьте к нему остаток.
Продолжайте таким же образом до : либо нет остатка, цифра или цифры повторяются бесконечно, либо вы достигнете желаемой степени точности (3 десятичных знака обычно нормально).
Результат после десятичной точки — это остаток в виде десятичной дроби.
Что такое частное и остаток?
Частное составляет , количество раз, когда деление завершается полностью , а остаток — это сумма, которая остается , которая не полностью входит в делитель . Например, 127, разделенное на 3, составляет 42 R 1, поэтому 42 — это частное, а 1 — остаток.
Как записать остаток в виде дроби?
После того, как вы нашли остаток от деления, вместо R, за которым следует остаток после частного, просто запишите дробь, где остаток делится на делитель исходного уравнения . Это так просто!
Как писать остатки?
Есть 3 способа записи остатка: с R, как дробная, и как десятичная . Например, 821, разделенное на 4, будет записано как 205 R 1 в первом случае, 205 1 / 4 во втором и 205,25 в третьем.
Какой остаток от деления 26 на 6?
Остаток 2 . Чтобы решить эту проблему, найдите наибольшее кратное 6, которое меньше 26.В данном случае это 24. Затем вычтите 24 из 26, чтобы получить остаток, который равен 2.
Каков остаток от деления 599 на 9?
Остаток 5 . Чтобы вычислить это, сначала разделите 599 на 9, чтобы получить наибольшее кратное 9 перед 599. 5/9 <1, поэтому перенесите 5 в десятки, 59/9 = 6 r 5, поэтому перенесите 5 в цифры. 59/9 = 6 r 5 снова, поэтому наибольшее кратное 66. Умножьте 66 на 9, чтобы получить 594, и вычтите это из 599, чтобы получить 5, остаток.
Как рассчитать остаток от деления 24 на 7?
Вычтите 7 из 24 несколько раз , пока результат не станет меньше 7.
24 минус 3 умножить на 7 равно 3.
Оставшееся число, 3 , является остатком.
Это может быть выражено как 3 / 7 в дробной форме или как 0,42857 в десятичной форме.
Что такое делитель? — Определение, факты и пример
Что такое делитель?
Делитель — это число, которое делит другое число полностью или с остатком.
Делитель представлен в уравнении деления как:
Дивиденд ÷ Делитель = Частное.
Разделив 20 на 4, мы получим 5. Здесь 4 — это число, которое полностью делит 20 на 5 частей и называется делителем. Его уравнение деления —
.
Аналогично, если мы разделим 20 на 5, мы получим 4. Таким образом, 4 и 5 являются делителями 20.
Делитель и множители
Делитель — это любое число, которое делит другое число. Однако множитель — это делитель, который делит число целиком и не оставляет остатка.
Итак, все множители числа являются его делителями. Но не все делители будут факторами.
В приведенном выше примере 4 и 5 — множители 20.
В то время как, если мы разделим 20 на 3, оно не будет полностью разделить 20. Таким образом, 3 не является множителем 20.
Рассмотрим другой пример,
деление 15 на 5 дает 3. Здесь 5 — делитель. Кроме того, разделив 15 и разделив на 3, мы получим 5. Здесь 3 — делитель.
Множители и делители 15: 1, 3, 5, 15
Нахождение множителей числа
Чтобы найти множители числа, скажем 12, мы выполняем следующие шаги:
1.Начните с 1 и запишите факты умножения так, чтобы произведение было 12, например 1 × 12.
2. Продолжайте тем же способом найти другие факты умножения, пока не дойдете до пары ближайших множителей или делителей, как указано:
1 × 12, 2 × 6, 3 × 4
3. Запишите все числа в факте умножения, поскольку они являются делителями числа 12.
4. Итак, делители числа 12 равны 1,2,3,4,6 и 12.
Различные способы представления делителя
Существуют разные стили выражения уравнения деления.На изображениях ниже показаны различные методы записи делителя:
Особые случаи
1. Число 1 является делителем всех чисел.
Причина : Когда делитель равен 1, то частное совпадает с делимым.
Посмотрите на приведенные примеры,
34 1 = 34
15 1 = 15
2. Само число всегда является одним из делителей числа.
Причина : Когда делитель совпадает с делимым, тогда ответ на такое деление всегда 1.
Посмотрите на приведенные примеры,
34 34 = 1
15 15 = 1
3. Когда делитель меньше делимого, ответ будет не целым, а десятичным числом.
Например,
510 = 0,5
Интересные факты
Если мы удвоим делитель, частное будет половиной.
Нахождение GCF и LCM с помощью метода Cake
Сегодняшний урок математики в моем седьмом классе был посвящен нахождению наибольшего общего множителя и наименьшего общего кратного пары чисел.
Я начал со сбора исходной информации о том, что студенты уже знали о GCF и LCM. С небольшой помощью студенты смогли придумать определения для каждого из них и описали метод, который они использовали в прошлом, чтобы найти наибольший общий множитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
Раньше ученики учились перечислять все множители двух чисел и находить наибольшее общее из них. Точно так же, чтобы найти наименьшее общее кратное, класс научился перечислять кратные числа, пока они не нашли одно общее.
Мы рассмотрели примеры нахождения GCF и LCM «старой школой», перечислив множители и кратные чисел и найдя те, которые у них общие.
Затем мы обсудили ограничения этого метода нахождения GCF и LCM, в основном тот факт, что если бы я дал им гораздо большие числа, было бы очень много времени, чтобы перечислить все факторы или перечислить кратные, пока они не найдут один общий. Итак … Затем я познакомил класс с «методом торта». (Многие люди называют это методом лестницы или лестницей деления, но я впервые увидел, что это называется методом торта в книге Даники МакКеллар «Математика не отстой», и я подумал, что это мило, так что это то, что я использую , так как напоминает перевернутый торт).
Метод пирога хорош по нескольким причинам… вы можете приготовить один «пирог» и использовать его для поиска как GCF, так и LCM, и это сэкономит вам много времени по сравнению с более традиционным методом.
Для тех, кто раньше не видел этот метод, вы начинаете с написания чисел, для которых вы пытаетесь найти GCF и LCM рядом друг с другом, и рисуете вокруг них «слой торта». Затем вы находите ЛЮБОЙ общий множитель двух чисел и записываете этот множитель слева от них. Затем вы делите числа на их общий множитель и записываете частные под числами. Затем этот процесс повторяется с новыми двумя числами внутри торта. Вы делаете это столько раз, сколько необходимо, пока два числа внизу не станут взаимно простыми. Чтобы найти наибольший общий множитель, вы умножаете все числа слева от торта. Чтобы найти НОК, я говорю студентам нарисовать большую букву «L» вокруг торта и перемножить все числа в букве «L».
Вот пример, который мы сделали в классе, чтобы найти GCF и LCM 24 и 36.
У нас была дискуссия о том, как разные люди могут делать разные «торты», выбирая разные факторы, но что окончательный ответ будет одним и тем же. Мы также обсудили, что чем больше коэффициент, тем меньше будет слоев торта.
В целом урок прошел отлично! Студентам понравился этот «новый» метод поиска GCF и LCM!
Я с нетерпением жду возможности показать им, как метод торта можно использовать и для упрощения дробей. (Сделайте торт для числителя и знаменателя, и два относительно простых числа внизу будут упрощенной дробью. Например, приведенный выше пример пирога можно было использовать для упрощения дроби 24/36 до 2/3.)
Пр. 3.6, 1 — Найдите HCF из (a) 18, 48 (b) 30, 42 (c) 18, 60 (d) 27, 63
Последнее обновление: 3 января 2019 г. , автор: Teachoo
Выписка
Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (a) 18, 48 18 = 2 × 3 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 HCF 18 и 48 = 2 × 3 = 6 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (b) 30, 42.
Пр. 3.6, 1 Найдите HCF следующих чисел: (b) 30, 42
Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (c) 18, 60.
ЛКФ 18 и 60 лет 18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5 HCF 18 и 60 = 2 × 3 = 6 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (d) 27, 63 HCF из 27 и 63. 27 = 3 × 3 × 3
63 = 3 × 3 × 7 HCF 27 и 63 = 3 × 3 = 9 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (e) 36, 84 HCF из 36 и 84. 36 = 2 × 2 × 3 × 3
84 = 2 × 2 × 3 × 7 HCF из 36 и 84 = 2 × 2 × 3 = 12 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (f) 34, 102 HCF из 34 и 102. 34 = 2 × 17
102 = 2 × 3 × 17 HCF 34 и 102 = 2 × 17 = 34 Пример 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (g) 70, 105, 175 HCF из 70, 105, 175. 70 = 2 × 5 × 7
105 = 3 × 5 × 7
175 = 5 × 5 × 7 HCF 70, 105, 175 = 5 × 7 = 35 Пример 3.6, 1 Найдите HCF из следующих чисел: (h) 91, 112, 49 HCF из 91, 112, 49. 91 = 7 × 13
112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7
49 = 7 × 7 HCF из 91, 112, 49 = 7 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF следующих чисел: (i) 18, 54, 81. 18 = 2 × 3 × 3
54 = 2 × 3 × 3 × 3
81 = 3 × 3 × 3 × 3 HCF из 18, 54, 81 = 3 × 3 = 9 Пр. 3.6, 1 Найдите HCF следующих чисел: (j) 12, 45, 75. 12 = 2 × 2 × 3
45 = 3 × 3 × 5
75 = 3 × 5 × 5 HCF из 12, 45, 75 = 3
Показать больше
Сокращение дробей до наименьших значений
Рассмотрим следующие две дроби:
1 /2 и 2 /4
Эти дроби являются эквивалентными дробями. Они оба представляют одинаковую сумму. Одна половина апельсина равна двум четвертям апельсина. Однако только одна из этих дробей записана в младших членах.
Дробь имеет наименьшее значение, если числитель и знаменатель не имеют общего множителя , кроме 1.
Факторы 2 равны 1 и 2 . Множители 4 равны 1, 2 и 4. 2 и 4 имеют общий делитель: 2.
Мы можем уменьшить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель, 2.
2 2 /4 2 = 1 /2
1 и 2 не имеют общего множителя, кроме 1, поэтому дробь находится в младших членах.
Метод № 1: Общие факторы
(медленный и устойчивый метод)
Давайте попробуем другой пример:
30 /36
Есть ли у 30 и 36 общие факторы, кроме 1?
Множители 30 равны 1, 2, 3, 5, 6 , 10, 15, 30. Множители 36 равны 1, 2, 3, 4, 6 , 9, 12 , 18, 36. 30 и 36 имеют три общих множителя: 2, 3, и 6.
Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим числитель и знаменатель на их наименьший общий множитель, 2. (Фактически, мы бы знали, что у них есть 2 в качестве общего множителя без необходимости вычислять все их множители, потому что и 30, и 36 — четные числа.)
30 2 /36 2 = 15 /18
Готово? Есть ли у 15 и 18 общие факторы, кроме 1?
Множители 15 равны 1, 3, 5, 15. Факторы 18 равны 1, 2, 3, 6, 9, 18. 15 и 18 имеют один общий множитель: 3.
Еще раз, мы делим числитель и знаменатель на их общий делитель, 3 .
15 3 /18 3 = 5 /6
Готово? Есть ли у 5 и 6 общие факторы, кроме 1?
Факторы 5 равны 1 и 5. Факторы 6 равны 1, 2, 3 и 6. 5 и 6 не имеют общих множителей, кроме 1.
Этот метод сокращает дробь до наименьшего значения. , но до этой точки может потребоваться несколько шагов.Что бы произошло, если бы вместо деления числителя и знаменателя на их наименьший общий множитель мы начали с их наибольшего общего множителя?
Метод № 2: Наибольший общий множитель
(более эффективный метод)
Попробуем еще раз:
30 /36
Есть ли у 30 и 36 общие множители, кроме 1?
Факторы 30 равны 1, 2, 3, 5, 6 , 10, 15. Факторы 36 равны 1, 2, 3, 4, 6 , 9, 12, 18 . 30 и 36 имеют три общих множителя: 2, 3, и 6. Наибольший общий множитель равен 6 .
Разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель:
30 6 /36 6 = 5 /6
На этот раз требуется всего один шаг, чтобы получить тот же результат. Чтобы уменьшить дробь до наименьшего значения, разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель .
Метод № 3: простые множители
(еще более эффективный метод)
Другой способ уменьшить дроби — разбить числитель и знаменатель до их простых множителей и удалить все простые множители, общие для них.Давайте сделаем этот пример еще раз, используя этот метод.
30 /36 Простые множители 30 равны 2 x 3 x 5. Простые множители 36 равны 2 x 2 x 3 x 3. 2 x 3 x 5 /2 x 2 x 3 x 3 Удаляем 2 x 3 , общие для числителя и знаменателя: 5 /2 x 3 = 5 /6
(Если подумать, это работает точно так же как последний метод.
Найти площадь треугольника по векторам онлайн. Векторное произведение
На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)
Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах
Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!
В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .
Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.
И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:
Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:
Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .
Определение векторного произведения
Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.
Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:
Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!
Итак, можно выделить следующие существенные моменты:
1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.
2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .
3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.
Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.
Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:
Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:
Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:
4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .
5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)
…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)
Векторное произведение коллинеарных векторов
Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая
Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.
Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:
С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.
Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.
Ну что же, разжигаем огонь:
Пример 1
а) Найти длину векторного произведения векторов , если
б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!
а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:
Ответ :
Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.
б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
Ответ :
Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.
Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.
Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.
Популярный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если
Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.
На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.
Для решения других задач нам понадобятся:
Свойства векторного произведения векторов
Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.
Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:
1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.
2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.
3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?
4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.
В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:
Пример 3
Найти , если
Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:
(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.
(3) Дальнейшее понятно.
Ответ :
Пора подбросить дров в огонь:
Пример 4
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если
Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:
1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.
(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.
(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:
(5) Приводим подобные слагаемые.
В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:
2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:
3) Найдём площадь искомого треугольника:
Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.
Ответ :
Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти , если
Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)
Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :
Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:
Пример 10
Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства: а) б)
Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .
а) Найдём векторное произведение:
Таким образом, векторы не коллинеарны.
б) Найдём векторное произведение:
Ответ : а) не коллинеарны, б)
Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.
Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.
Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :
Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.
Сначала опять определение и картинка:
Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.
Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:
Погружаемся в определение:
2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.
3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».
По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.
Примечание : чертёж является схематическим.
4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .
Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .
Контрольная
работа №1
Векторы.
Элементы высшей алгебры
1-20. Известны длины векторов и
и;
– угол
между этими векторами.
Вычислить:
1)
и,
2)
.3) Найти
площадь треугольника, построенного на
векторах
и.
Сделать
чертеж.
Решение. Используя определение скалярного
произведения векторов:
И свойства скалярного
произведения:
,
1)
находим скалярный квадрат вектора:
то
есть,
Тогда
.
Рассуждая
аналогично, получаем
то
есть,
Тогда
.
По
определению векторного произведения:
,
с
учетом того, что
Площадь
треугольника построенного на векторах
и
равна
21-40. Известны координаты трех вершин A,
B, D параллелограмма ABCD .
Средствами векторной алгебры требуется:
A (3;0;-7), B (2;4;6), D (-7;-5;1)
Решение.
Известно, что диагонали
параллелограмма в точке пересечения
делятся пополам. Поэтому координаты
точки E —
пересечения диагоналей — найдем как
координаты середины отрезка BD .
Обозначая их через x E ,y E , z E получим, что
Получаем
.
Зная
координаты точки E — середины диагонали BD и координаты одного из его концов A (3;0;-7), по формулам
определяем искомые координаты вершины С параллелограмма:
Итак,
вершина
.
2)
Чтобы найти проекцию вектора
на вектор
,
найдем координаты этих векторов:
,
аналогично
.
Проекцию вектора
на вектор
,
находим по формуле:
3)
Угол между диагоналями параллелограмма
находим как угол между векторами
И
по
свойству скалярного произведения:
тогда
4)
Площадь параллелограмма
находим как модуль векторного произведения:
5)
Объем пирамиды находим как одну шестую
модуля смешанного произведения векторов
, где
О(0;0;0), тогда
Тогда
искомый объем
(куб.ед.)
41-60. Даны матрицы:
В
·С -1 +3A T
Обозначения:
Сначала
находим обратную матрицу к матрице С.
Для
этого находим ее определитель:
Определитель
отличен от нуля, следовательно, матрица
является невырожденной и для нее можно
найти обратную матрицу С -1
Найдем алгебраические
дополнения по формуле
, где
—
минор элемента
:
Тогда
,
.
61–80. Решите систему линейных уравнений:
Методом
Крамера; 2. Матричным методом.
Решение.
а)
метод Крамера
Найдем
определитель системы
Так
как
, то
система имеет единственное решение.
Найдем
определители
и
, заменив
в матрице коэффициентов соответственно
первый, второй, третий столбцы столбцом
свободных членов.
По
формулам Крамера:
б) матричный метод (с помощью
обратной матрицы).
Данную
систему запишем в матричной форме и
решим с помощью обратной матрицы.
Пусть А – матрица
коэффициентов при неизвестных; X – матрица-столбец неизвестных x , y , z и Н –
матрица-столбец из свободных членов:
Левую
часть системы (1) можно записать в виде
произведения матриц
, а
правую в виде матрицы Н .
Следовательно имеем матричное уравнение
Так
как определитель матрицы А отличен от нуля (пункт «а»), то матрица А имеет
обратную матрицу
. Умножим
обе части равенства (2) слева на матрицу
, получим
Так
как
, где Е – единичная матрица, а
, то
Пусть
имеем невырожденную матрицу А:
Тогда
обратную матрицу находим по формуле:
где A ij — алгебраическое дополнение элемента a ij в определителе матрицы А ,
которое является произведением (-1) i+j
на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А:
Отсюда
получаем обратную матрицу:
Столбец
X: X=A -1
H
81–100. Решить систему линейных уравнений
методом Гаусса
Решение.
Запишем систему в виде расширенной
матрицы:
Выполняем
элементарные преобразования со строками.
Из
2-ой строки вычитаем первую строку,
умноженную на 2. Из строки 3 вычитаем
первую строку, умноженную на 4. Из строки
4 вычитаем первую строку, получаем
матрицу:
Далее
получаем нуль в первом столбце последующих
строк, для этого из второй строки
вычитаем третью строку. Из третьей
строки вычитаем вторую строку, умноженную
на 2. Из четвертой строки вычитаем вторую
строку, умноженную на 3. В результате
получаем матрицу вида:
Из
четвертой строки вычитаем третью.
Поменяем
местами предпоследнюю и последнюю
строки:
2)
уравнения сторон АВ и ВС и их
угловые коэффициенты;
3)
угол В в
радианах с точностью до двух знаков;
4)
уравнение высоты CD и её длину;
5)
уравнение медианы АЕ
высотой CD ;
К параллельно стороне АВ,
7)
сделать чертёж.
А(3;6),
В(15;-3), С(13;11)
Решение.
Применяя (1), находим длину
стороны АВ :
2)
уравнения сторон АВ и ВС и их
угловые коэффициенты:
Уравнение прямой,
проходящей через точки
и
, имеет
вид
Подставляя в (2) координаты
точек А и В ,
получим уравнение стороны АВ :
(АВ ).
(BC ).
3)
угол В в
радианах с точностью до двух знаков.
Известно,
что тангенс угла
между
двумя прямыми, угловые коэффициенты,
которых соответственно равны
и
вычисляется
по формуле
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС , угловые
коэффициенты которых найдены:
;
. Применяя
(3), получим
;
, или
4)
уравнение высоты CD и её длина.
Расстояние
от точки С до прямой АВ:
5)
уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой
медианы с
высотой CD .
середина
стороны ВС:
Тогда
уравнение АЕ:
Решаем
систему уравнений:
6)
уравнение прямой, проходящей через
точку К параллельно стороне АВ :
Так
как искомая прямая параллельна стороне АВ , то ее
угловой коэффициент будет равен угловому
коэффициенту прямой АВ .
Подставив в (4) координаты найденной
точки К и
угловой коэффициент
, получим
; (KF ).
Площадь параллелограмма
равна 12 кв. ед., две его вершины –
точкиА(-1;3) и В(-2;4). Найти
две другие вершины этого параллелограмма,
если известно, что точка пересечения
его диагоналей лежит на оси абсцисс.
Сделать чертёж.
Решение.
Пусть точка пересечения диагоналей
имеет координаты
.
Тогда
очевидно, что
и
следовательно,
координаты векторов
.
Площадь
параллелограмма находим по формуле
Тогда
координаты двух других вершин
.
В
задачах 51-60 даны координаты точек А
и В . Требуется:
Составить
каноническое уравнение гиперболы,
проходящей через данные точкиА
и В, если фокусы гиперболы
расположены на оси абсцисс;
Найти
полуоси, фокусы, эксцентриситет и
уравнения асимптот этой гиперболы;
Найти
все точки пересечения гиперболы с
окружностью с центром в начале координат,
если эта окружность проходит через
фокусы гиперболы;
Построить
гиперболу, её асимптоты и окружность.
А(6;-2),
В(-8;12).
Решение.
Уравнение
искомой гиперболы в каноническом виде
записывается
где a — действительная
полуось гиперболы, b — мнимая полуось. Подставляя координаты
точек А и В в это уравнение найдем эти полуоси:
– уравнение
гиперболы:
.
Полуоси
а=4,
фокусное
расстояние
Фокусы
(-8,0) и (8,0)
Эксцентриситет
Асиптоты:
Если
окружность проходит через начало
координат, ее уравнение
Подставляя один из фокусов,
находим
и
уравнение окружности
Находим
точки пересечения гиперболы и окружности:
Строим
чертеж:
В
задачах 61-80 построить график функции
в полярной системе координат по точкам,
придавая значения через промежуток
/8 (0 2). Найти уравнение линии в прямоугольной
декартовой системе координат
(положительная полуось абсцисс совпадает
с полярной осью, а полюс – с началом
координат).
Решение. Построим линию по точкам, предварительно
заполнив таблицу значений
и φ.
Номер
φ ,
φ,
градусы
Номер
φ , рад
градусы
3∙(x 2 +2∙1x
+ 1) -3∙1
= 3(x+1) 2 — 3
делаем
вывод, что данное уравнение определяет
эллипс:
Даны
точки А, В, С,
D. Требуется найти:
1.
Уравнение плоскости(Q ), проходящей через точкиА,
В, С D в
плоскости (Q) ;
2.
Уравнение прямой (I), проходящей через точкиВ и D;
3.
Угол между плоскостью (Q) и прямой (I) ;
4.
Уравнение плоскости (Р), проходящей через точкуА перпендикулярно прямой (I) ;
5.
Угол между плоскостями (Р) и (Q ) ;
6. Уравнение прямой (т), проходящей через точку А в
направлении ее радиус-вектора;
7.
Угол между прямыми (I) и (т).
А(9;-8;1),
В(-9;4;5), С(9;-5;5), D (6;4;0)
1.
Уравнение плоскости(Q ), проходящей через точки А,
В, С и проверить, лежит ли
точка D в
плоскости
определяется по формуле
Найти
: 1) . 2) Площадь параллелограмма, построенного на и. 3) Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и. Контрольная работа по теме «Элементы теории линейных пространств…
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для бакалавриата заочной формы обучения по квалификации 080100. 62 по направлению
Методические рекомендации
Параллелепипеда и объем пирамиды, построенных на векторах , и. Решение: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4.ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Раздел I. Линейная алгебра . 1 – 10. Дана…
В этой статье мы подробно остановимся на понятии векторного произведения двух векторов. Мы дадим необходимые определения, запишем формулу для нахождения координат векторного произведения, перечислим и обоснуем его свойства. После этого остановимся на геометрическом смысле векторного произведения двух векторов и рассмотрим решения различных характерных примеров.
Навигация по странице.
Определение векторного произведения.
Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов в трехмерном пространстве.
Отложим векторы от одной точки. В зависимости от направления вектора тройка может быть правой или левой. Посмотрим с конца вектора на то, как происходит кратчайший поворот от вектора к . Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой , в противном случае – левой .
Теперь возьмем два не коллинеарных вектора и . Отложим от точки А
векторы и . Построим некоторый вектор , перпендикулярный одновременно и и . Очевидно, что при построении вектора мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
В зависимости от направления вектора упорядоченная тройка векторов может быть правой или левой.
Так мы вплотную подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Определение.
Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что
Векторное произведение векторов и обозначается как .
Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и.
Определение.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов и есть вектор , где — координатные векторы.
Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.
Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:
Если разложить этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах (при необходимости обращайтесь к статье ):
Следует отметить, что координатная форма векторного произведения полностью согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны. Доказательство этого факта можете посмотреть в книге, указанной в конце статьи.
Свойства векторного произведения.
Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на основании легко обосновываются следующие свойства векторного произведения :
Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.
По определению и . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому, , что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения.
В основном встречаются три типа задач.
В задачах первого типа заданы длины двух векторов и угол между ними, а требуется найти длину векторного произведения. В этом случае используется формула .
Пример.
Найдите длину векторного произведения векторов и , если известно .
Решение.
Мы знаем из определения, что длина векторного произведения векторов и равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, поэтому, .
Ответ:
.
Задачи второго типа связаны с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина или что-либо еще ищется через координаты заданных векторов и .
Здесь возможна масса различных вариантов. К примеру, могут быть заданы не координаты векторов и , а их разложения по координатным векторам вида и , или векторы и могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим характерные примеры.
Пример.
В прямоугольной системе координат заданы два вектора . Найдите их векторное произведение.
Решение.
По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:
К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель
Ответ:
.
Пример.
Найдите длину векторного произведения векторов и , где — орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение.
Сначала найдем координаты векторного произведения в заданной прямоугольной системе координат.
Так как векторы и имеют координаты и соответственно (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат), то по второму определению векторного произведения имеем
То есть, векторное произведение имеет координаты в заданной системе координат.
Длину векторного произведения находим как корень квадратный из суммы квадратов его координат (эту формулу длины вектора мы получили в разделе нахождение длины вектора):
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный и одновременно.
Решение.
Векторы и имеют координаты и соответственно (смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Если найти векторное произведение векторов и , то оно по определению является вектором, перпендикулярным и к и к , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его
Ответ:
— один из перпендикулярных векторов.
В задачах третьего типа проверяется навык использования свойств векторного произведения векторов. После применения свойств, применяются соответствующие формулы.
Пример.
Векторы и перпендикулярны и их длины равны соответственно 3
и 4
. Найдите длину векторного произведения .
Решение.
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать
В силу сочетательного свойства вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении:
Векторные произведения и равны нулю, так как и , тогда .
Так как векторное произведение антикоммутативно, то .
Итак, с помощью свойств векторного произведения мы пришли к равенству .
По условию векторы и перпендикулярны, то есть угол между ними равен . То есть, у нас есть все данные для нахождения требуемой длины
Ответ:
.
Геометрический смысл векторного произведения.
По определению длина векторного произведения векторов равна . А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма со сторонами и и углом между ними, равным
. В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.
Онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a. Обозначение: abc .
Назначение
. Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word
. Дополнительно создается шаблон решения в Excel
.
Признаки компланарности векторов
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости. Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.
Свойства смешанного произведения
При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb) Вытекает из геометрического смысла.
(a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых. Вытекает из определения смешанного произведения.
(ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя). Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .
Пример №1
. Найти смешанное произведение.
ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
Пример №2
. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca .
Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Пример №3
. Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k . Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.
Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть
Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Смешанное произведение векторов (теория)
Смешанное произведение
трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .
Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:
Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).
Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.
Теорема 1.
Смешанное произведение векторов
([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.
Следствие 1.
Имеет место следующее равенство:
Следовательно нам достаточно доказать, что
([ab ],c )=([bc ],a )
(3)
Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.
Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.
Следствие 2.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).
Следствие 3.
Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
Смешанное произведение векторов в декартовых координатах
Теорема 2.
Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами
Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():
Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:
необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:
.
(7)
Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.
Смешанное произведение векторов на примерах
Пример 1.
Найти смешанное произведение векторов abс , где
Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:
Конечная точка вектора a .
На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)
Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах
Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!
В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .
Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.
И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:
Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:
Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .
Определение векторного произведения
Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.
Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:
Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!
Итак, можно выделить следующие существенные моменты:
1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.
2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .
3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.
Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.
Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:
Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:
Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:
4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .
5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)
…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)
Векторное произведение коллинеарных векторов
Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая
Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.
Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:
С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.
Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.
Ну что же, разжигаем огонь:
Пример 1
а) Найти длину векторного произведения векторов , если
б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!
а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:
Ответ :
Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.
б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
Ответ :
Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.
Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.
Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.
Популярный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если
Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.
На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.
Для решения других задач нам понадобятся:
Свойства векторного произведения векторов
Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.
Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:
1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.
2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.
3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?
4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.
В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:
Пример 3
Найти , если
Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:
(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.
(3) Дальнейшее понятно.
Ответ :
Пора подбросить дров в огонь:
Пример 4
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если
Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:
1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.
(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.
(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:
(5) Приводим подобные слагаемые.
В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:
2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:
3) Найдём площадь искомого треугольника:
Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.
Ответ :
Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти , если
Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)
Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :
Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:
Пример 10
Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства: а) б)
Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .
а) Найдём векторное произведение:
Таким образом, векторы не коллинеарны.
б) Найдём векторное произведение:
Ответ : а) не коллинеарны, б)
Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.
Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.
Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :
Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.
Сначала опять определение и картинка:
Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.
Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:
Погружаемся в определение:
2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.
3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».
По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.
Примечание : чертёж является схематическим.
4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .
Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .
Векторы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы
Содержание:
Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других
прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.
Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать
все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Координаты вектора
Теоретический материал по теме — координаты вектора.
Пример
Запись $\overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $\overline{a}$
имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
Слишком сложно?
Примеры решения задач с векторами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Пример
Задание.{\circ}$$
Разложение вектора по ортам координатных осей
Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.
Пример
Задание. Зная разложения вектора $\overline{a}$
по базисной системе векторов: $\overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k}$, записать координаты этого вектора в пространстве.
Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что $\overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k}$,
получаем, что $\overline{a}=(3 ; 0 ;-1)$
Пример
Задание. Вектор $\overline{a}$ задан
своими координатами: $\overline{a}=(2 ;-1 ; 5)$. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.
Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора
по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:
Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель,
по строкам которого запишем координаты векторов $\overline{a}$,
$\overline{b}$ и $\overline{c}$:
Читать первую тему — операции над векторами,
раздела векторы.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Исследовательская работа по математике ученика 10 Б класса МОУ СОШ №73 Перевозникова Михаила
Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ
для вычисления площади
некоторых геометрических фигур
Исследовательская работа по математике
Ученика 10 Б класса
МОУ СОШ №73
Перевозникова Михаила
Руководители:
Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич
Саратов, 2015
Содержание
Введение.
1. Теоретический обзор.
1.1. Векторы и вычисления с векторами.
1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач
1.3 Скалярное произведение векторов в координатах
1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.
1.5. Координаты векторного произведения векторов.
2. Практическая часть.
2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.
2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника.Доказательство теоремы
2.3. Проверка на примерах правильности формулы.
2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.
Заключение
Введение
Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо скалярного произведения векторов иногда применяется векторное произведение векторов.
В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.
В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.
В связи с поставленной целью решались следующие задачи:
1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;
2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;
3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;
4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.
1. Теоретический обзор.
Векторы и вычисления с векторами
Векторомназывается направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка А, концом отрезка – точка В. Сам вектор обозначен через или . Чтобы найти координаты вектора , зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:
= {Bx — Ax ; By — Ay}
Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор отрезок, характеризующийся длиной и направлением.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.
Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
С векторами можно совершать различные действия.
Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.
Сумму векторов = {ax ; ay} и = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
+ = {ax + bx; ay + by}
Рис. 1. Действия с векторами
Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.
Разность векторов = {ax ; ay} и = {bx ; by} можно найти по формуле:
— = {ax — bx; ay — by}
Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.
Произведение вектора = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k · = {k · ax; k · ay}
А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!
Первый вариант – скалярное произведение.
Рис. 2. Скалярное произведение в координатах
Для нахождения произведения векторов можно использовать угол между данными векторами, показанный на рисунке 3.
Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.
В координатной плоскости вектор также имеет координаты. Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат. И если координаты , то их скалярное произведение равно:
В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
.
1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.
Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.
В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.
Очевидно, что при построении результирующего вектора , перпендикулярного двум, вступившим в произведение — и , может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика.Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).
Рис. 7. Правило правой руки
1.3. Свойства векторного произведения векторов.
Длина результирующего вектора определяется по формуле
.
При этом векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен , а его направление определяется по правилу правой руки.
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:
.
Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.
Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле
.
Длина результирующего вектора находится по формуле:
.
2. Практическая часть.
2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.
Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что .
Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:
Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):
длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки.
Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , со сторонами и и углом между ними, равным .
.
Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов
В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 10).
Рис. 10. Определение векторного произведения векторов
с использованием параллелограмма
2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.
Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).
Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин
Решение.
Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.
По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.
Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин (рис. 12).
Тогда .
Рис. 12. Доказательство теоремы
Доказательство.
Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z1 или z2, равны 0, т.к. z1и z2 = 0. УБРАТЬ!!!
Итак, следовательно,
2.3. Проверка правильности формулы на примерах
Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.
Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:
Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.
В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.
В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.
Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.
Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.
Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.
Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.
В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.
Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.
Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.
Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.
Список использованных источников
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2013. 383 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: Просвещение, 2013. 255 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
????Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.
Найти смешанное произведение векторов онлайн калькулятор. Смешанное произведение векторов
Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Термин
Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.
Определение 1
Смешанным произведением a → , b → и d → является та величина, которая равняется скалярному произведению a → × b → и d → , где a → × b → — умножение a → и b → . Операцию умножения a → , b → и d → зачастую обозначают a → · b → · d → . Можно преобразовать формулу так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .
Умножение в системе координат
Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.
Возьмем i → , j → , k →
Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →
Определение 2
Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.
Из этого следует:
a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →
Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.
a → × b → = (a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x — a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y · d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
Таким образом, можно сделать вывод, что:
a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
Определение 3
Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.
(λ · a →) · b → · d → = a → · (λ · b →) · d → = a → · b → · (λ · d →) = λ · a → · b → · d → λ ∈ R ;
a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
(a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → · b → · d (2) → + a → · b → · d (2) →
Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.
Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.
Действительно, если a → = b → , то, следуя определению векторного произведения [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .
Если же a → = b → или b → = d → , то угол между векторами [ a → × b → ] и d → равен π 2 . По определению скалярного произведения векторов ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .
Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач. Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.
Пример 1
Докажите равенство ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , где λ — некоторое действительное число.
Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:
([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →) Мы разобрали, что (([ a → × b → ] , b →) = 0 . , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 · d → · 1 = a → · b → · d →
Неравенство доказано.
Разбор типовых задач
Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
Пример 3
В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a → = (1 , — 2 , 3) , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , — 2 , 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a → · b → · d → .
Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 — 2 3 — 2 2 1 3 — 2 5 = = 1 · 2 · 5 + (- 1) · 1 · 3 + 3 · (- 2) · (- 2) — 3 · 2 · 3 — (- 1) · (- 2) · 5 — 1 · 1 · (- 2) = — 7
Пример 4
Необходимо найти произведение векторов i → + j → , i → + j → — k → , i → + j → + 2 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.
Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → — k → = (1 , 1 , — 1) i → + j → + 2 · k → = (1 , 1 , 2)
Используем формулу, которая использовалась выше i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 1 1 0 1 1 — 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 0
Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.
Пример 5
В прямоугольной системе координат расположены три вектора a → , b → и d → , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4 , 2 и 3 . Необходимо умножить вектора.
Обозначим c → = a → × b → .
Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними.) = c → · n p c → d → , где n p c → d → — числовая проекция вектора d → на направление вектора c → = [ a → × b → ] .
Абсолютная величина n p c → d → равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a → , b → и d → в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c → = [ a → × b → ] перпендикулярен a → и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c → = a → x b → равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a → и b → .
Делаем вывод, что модуль произведения a → · b → · d → = c → · n p c → d → равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a → , b → и d → .
Определение 4
Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда : V п а р а л л е л е п и п и д а = a → · b → · d → .
Данная формула и является геометрическим смыслом.
Определение 5
Объем тетраэдра , который построен на a → , b → и d → , равняется 1 / 6 объема параллелепипеда Получаем, V т э т р а э д а = 1 6 · V п а р а л л е л е п и п и д а = 1 6 · a → · b → · d → .
Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров
Пример 6
Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются A B → = (3 , 6 , 3) , A C → = (1 , 3 , — 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 — 3 · 3 · 2 — 6 · 1 · 2 — 3 · (- 2) · 2 = — 18
Тогда, V п а р а л л е л е п и п е д а = — 18 = 18 .
V п а р а л л е л е п и п и д а = 18
Пример 7
В системе координат заданы точки A (0 , 1 , 0) , B (3 , — 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) , D (- 2 , 3 , 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.
Воспользуемся формулой V т э т р а э д р а = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: A B → = (3 — 0 , — 1 — 1 , 5 — 0) = (3 , — 2 , 5) A C → = (1 — 0 , 0 — 1 , 3 — 0) = (1 , — 1 , 3) A D → = (- 2 — 0 , 3 — 1 , 1 — 0) = (- 2 , 2 , 1)
Дальше определяем смешанное произведение A B → · A C → · A D → по координатам векторов: A B → · A C → · A D → = 3 — 2 5 1 — 1 3 — 2 2 1 = 3 · (- 1) · 1 + (- 2) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 — 5 · (- 1) · (- 2) — (- 2) · 1 · 1 — 3 · 3 · 2 = — 7 Объем V т э т р а э д р а = 1 6 · — 7 = 7 6 .
V т э т р а э д р а = 7 6 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a. Обозначение: abc .
Назначение
. Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word
. Дополнительно создается шаблон решения в Excel
.
Признаки компланарности векторов
Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости. Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.
Свойства смешанного произведения
При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb) Вытекает из геометрического смысла.
(a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых. Вытекает из определения смешанного произведения.
(ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя). Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .
Пример №1
. Найти смешанное произведение.
ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
Пример №2
. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca .
Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Пример №3
. Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k . Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.
На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)
Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах
Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!
В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .
Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.
И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:
Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:
Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .
Определение векторного произведения
Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.
Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:
Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!
Итак, можно выделить следующие существенные моменты:
1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.
2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .
3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.
Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.
Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:
Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:
Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:
4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .
5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)
…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)
Векторное произведение коллинеарных векторов
Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая
Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.
Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:
С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.
Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.
Ну что же, разжигаем огонь:
Пример 1
а) Найти длину векторного произведения векторов , если
б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!
а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:
Ответ :
Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.
б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
Ответ :
Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.
Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.
Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.
Популярный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если
Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.
На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.
Для решения других задач нам понадобятся:
Свойства векторного произведения векторов
Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.
Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:
1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.
2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.
3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?
4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.
В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:
Пример 3
Найти , если
Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:
(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.
(3) Дальнейшее понятно.
Ответ :
Пора подбросить дров в огонь:
Пример 4
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если
Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:
1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.
(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.
(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:
(5) Приводим подобные слагаемые.
В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:
2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:
3) Найдём площадь искомого треугольника:
Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.
Ответ :
Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти , если
Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)
Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :
Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:
Пример 10
Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства: а) б)
Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .
а) Найдём векторное произведение:
Таким образом, векторы не коллинеарны.
б) Найдём векторное произведение:
Ответ : а) не коллинеарны, б)
Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.
Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.
Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :
Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.
Сначала опять определение и картинка:
Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.
Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:
Погружаемся в определение:
2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.
3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».
По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.
Примечание : чертёж является схематическим.
4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .
Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .
Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть
Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Смешанное произведение векторов (теория)
Смешанное произведение
трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .
Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:
Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).
Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.
Теорема 1.
Смешанное произведение векторов
([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.
Следствие 1.
Имеет место следующее равенство:
Следовательно нам достаточно доказать, что
([ab ],c )=([bc ],a )
(3)
Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.
Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.
Следствие 2.
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).
Следствие 3.
Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.
Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.
Смешанное произведение векторов в декартовых координатах
Теорема 2.
Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами
Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():
Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:
необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:
.
(7)
Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.
Смешанное произведение векторов на примерах
Пример 1.
Найти смешанное произведение векторов abс , где
Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:
Конечная точка вектора a .
Высота треугольника | Онлайн калькулятор
В произвольном треугольнике (у которого все стороны разной длины), высоты, проведенные к сторонам , медианы и биссектрисы представляют собой совершенно разные линии. Чтобы найти длину высоты в треугольнике, нельзя будет использовать свойства медианы или биссектрисы, как для равнобедренных или равносторонних треугольников, поэтому придется использовать другие методы.
Один из подобных методов заключается в использовании общего параметра треугольника — площади. Алгоритм вычислений строится на том, что площадь разностороннего треугольника можно найти несколькими способами, в том числе и через высоту. Зная три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона, а затем используя другую формулу площади, выразить через нее высоту.
Чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона, нужно сначала рассчитать полупериметр треугольника. Как следует из названия, полупериметр — это периметр, то есть сумма длин всех трех сторон, деленный на два.
Сама формула площади представляет собой произведение полупериметра на его разности с каждой стороной, все это выражение будучи заключенным под квадратным корнем.
С другой стороны та же площадь треугольника через высоту равна половине произведения стороны треугольника на высоту, на нее опущенную. Отсюда высота будет равна отношению удвоенной площади к стороне треугольника. Из предыдущей формулы можно выразить площадь через три стороны треугольника и заменить ее в формуле высоты.
Данная формула высоты через стороны треугольника применима для любых треугольников, произвольных, равнобедренных или равносторонних за отсутствием других.
Вычисляя высоту треугольника, зная три стороны, приходится идти длинным путем, используя формулы площади. Высота треугольника, выраженная через площадь, связана только с той стороной, на которую она опущена, поэтому чрезвычайно важно правильно указать для калькулятора порядок сторон и в ручном расчете подставить соответствующую сторону в формулу высоты.
Формула высоты произвольного треугольника через площадь
Свойства произведения векторов. Векторное произведение векторов онлайн. Векторное произведение – примеры и решения
Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a → , b → , c → в трехмерном пространстве.
Отложим для начала векторы a → , b → , c → от одной точки. Ориентация тройки a → , b → , c → бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c → . От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a → к b → с конца вектора c → , будет определен вид тройки a → , b → , c → .
Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a → , b → , c → называется правой , если по часовой стрелке – левой .
Далее возьмем два не коллинеарных вектора a → и b → . Отложим затем от точки A векторы A B → = a → и A C → = b → . Построим вектор A D → = c → , который одновременно перпендикулярный одновременно и A B → и A C → . Таким образом, при построении самого вектора A D → = c → мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
Упорядоченная тройка векторов a → , b → , c → может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.
Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Определение 1
Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:
если векторы a → и b → коллинеарны, он будет нулевым;
он будет перпендикулярен и вектору a → и вектору b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
его длина определяется по формуле: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
тройка векторов a → , b → , c → имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.
Векторное произведение векторов a → и b → имеет следущее обозначение: a → × b → .
Координаты векторного произведения
Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.
Определение 2
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) называют вектор c → = a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x — a x · b z) · j → + (a x · b y — a y · b x) · k → , где i → , j → , k → являются координатными векторами.
Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i → , j → , k → , вторая строка содержит координаты вектора a → , а третья – координаты вектора b → в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x — a x · b z) · j → + (a x · b y — a y · b x) · k →
Свойства векторного произведения
Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:
антикоммутативность a → × b → = — b → × a → ;
дистрибутивность a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
ассоциативность λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , где λ — произвольное действительное число.
Данные свойства имеют не сложные доказательства.
Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.
Доказательство антикоммутативности
По определению a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = — i → j → k → b x b y b z a x a y a z = — b → × a → , что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения
В большинстве случаев встречаются три типа задач.
В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Пример 1
Найдите длину векторного произведения векторов a → и b → , если известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .
Решение
С помощью определения длины векторного произведения векторов a → и b → решим данную задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
Ответ: 15 2 2 .
Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) .
Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a → и b → , а их разложения по координатным векторам вида b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x — a x · b z) · j → + (a x · b y — a y · b x) · k → , или векторы a → и b → могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 2
В прямоугольной системе координат заданы два вектора a → = (2 ; 1 ; — 3) , b → = (0 ; — 1 ; 1) . Найдите их векторное произведение.
Решение
По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x — a x · b z) · j → + (a x · b y — a y · b x) · k → = = (1 · 1 — (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 — 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) — 1 · 0) · k → = = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .
Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 — 3 0 — 1 1 = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .
Ответ: a → × b → = — 2 i → — 2 j → — 2 k → .
Пример 3
Найдите длину векторного произведения векторов i → — j → и i → + j → + k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение
Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i → — j → × i → + j → + k → в данной прямоугольной системе координат.
Известно, что векторы i → — j → и i → + j → + k → имеют координаты (1 ; — 1 ; 0) и (1 ; 1 ; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i → — j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 — 1 0 1 1 1 = — i → — j → + 2 k → .
Следовательно, векторное произведение i → — j → × i → + j → + k → имеет координаты (- 1 ; — 1 ; 2) в заданной системе координат.
Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i → — j → × i → + j → + k → = — 1 2 + — 1 2 + 2 2 = 6 .
Ответ: i → — j → × i → + j → + k → = 6 . .
Пример 4
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный A B → и A C → одновременно.
Решение
Векторы A B → и A C → имеют следующие координаты (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов A B → и A C → , очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к A B → и к A C → , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его A B → × A C → = i → j → k → — 1 2 2 0 4 1 = — 6 i → + j → — 4 k → .
Ответ: — 6 i → + j → — 4 k → . — один из перпендикулярных векторов.
Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.
Пример 5
Векторы a → и b → перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 3 · a → × a → — 2 · b → + — b → × a → — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b → .
Решение
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 3 · a → × a → — 2 · b → + — b → × a → — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b →
По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3 · a → × a → + 3 · a → × — 2 · b → + — b → × a → + — b → × — 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → — 6 · a → × b → — b → × a → + 2 · b → × b →
Векторные произведения a → × a → и b → × b → равны 0, так как a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 , тогда 3 · a → × a → — 6 · a → × b → — b → × a → + 2 · b → × b → = — 6 · a → × b → — b → × a → . .
Из антикоммутативности векторного произведения следует — 6 · a → × b → — b → × a → = — 6 · a → × b → — (- 1) · a → × b → = — 5 · a → × b → . .
Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = = — 5 · a → × b → .
По условию векторы a → и b → перпендикулярны, то есть угол между ними равен π 2 . Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = — 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Ответ: 3 · a → — b → × a → — 2 · b → = 60 .
Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a → и b → , отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin ∠ a → , b → .
Это и есть геометрический смысл векторного произведения.
Физический смысл векторного произведения
В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.
Определение 3
Под моментом силы F → , приложенной к точке B , относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение A B → × F → .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)
Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах
Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!
В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .
Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.
И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:
Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:
Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .
Определение векторного произведения
Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.
Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:
Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!
Итак, можно выделить следующие существенные моменты:
1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.
2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .
3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.
Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.
Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:
Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:
Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:
4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .
5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)
…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)
Векторное произведение коллинеарных векторов
Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая
Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.
Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:
С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.
Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.
Ну что же, разжигаем огонь:
Пример 1
а) Найти длину векторного произведения векторов , если
б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если
Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!
а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:
Ответ :
Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.
б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
Ответ :
Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.
Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.
Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.
Популярный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если
Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.
На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.
Для решения других задач нам понадобятся:
Свойства векторного произведения векторов
Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.
Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:
1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.
2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.
3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?
4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.
В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:
Пример 3
Найти , если
Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:
(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.
(3) Дальнейшее понятно.
Ответ :
Пора подбросить дров в огонь:
Пример 4
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если
Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:
1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.
(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.
(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:
(5) Приводим подобные слагаемые.
В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:
2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:
3) Найдём площадь искомого треугольника:
Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.
Ответ :
Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Найти , если
Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)
Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :
Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:
Пример 10
Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства: а) б)
Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .
а) Найдём векторное произведение:
Таким образом, векторы не коллинеарны.
б) Найдём векторное произведение:
Ответ : а) не коллинеарны, б)
Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.
Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.
Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :
Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.
Сначала опять определение и картинка:
Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.
Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:
Погружаемся в определение:
2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.
3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».
По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.
Примечание : чертёж является схематическим.
4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .
Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .
Мы будем
использовать таблицу векторного
произведения векторов i,j иk:
если
направление кратчайшего пути от первого
вектора к второму совпадает с направлением
стрелки, то произведение равно третьему
вектору, если не совпадает — третий
вектор берется со знаком «минус».
Пусть
заданы два вектора а=ахi +ayj +azk и b =bxi +byj
+bzk . Найдем векторное произведение этих
векторов, перемножая их как многочлены
(согласно свойств векторного произведения): Полученную формулу можно записать еще
короче:так как правая часть равенства (7.1)
соответствует разложению определителя
третьего порядка по элементам первой
строки.Равенство (7.2) легко запоминается.
7.4. Некоторые
приложения векторного произведения
Установление
коллинеарности векторов. Нахождение площади параллелограмма и
треугольника
Согласно
определению векторного произведения
векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sing , т. е. S пар
= |а х b |. И, значит, DS =1/2|а х b |.
Определение
момента силы относительно точки
Пусть в точке
А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая
точка пространства
Из физики известно, что моментом си лы
F относительно точки О называется вектор
М, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен
плоскости, проходящей через точки О, А,
В;
2) численно
равен произведению силы на плечо
3) образует правую тройку с векторами
ОА и A В.
Стало
быть, М=ОА х F . Нахождение линейной скорости вращения
Скорость v точки
М твердого тела, вращающегося с угловой
скоростью w вокруг
неподвижной оси, определяется формулой
Эйлера v =w хr ,
где r =ОМ,
где О-некоторая неподвижная точка оси
(см. рис. 21).
Угол между векторами
Из
определения скалярного произведения
двух векторов следует, что
Если векторы и заданы
координатами и ,
то формула (1.6.3.1) запишется в виде:
Площадь
параллелограмма,построенных
на векторах
Задачи на
измерение длин отрезков, расстояний
между точками, площадей поверхностей
и объемов тел относятся к важному классу
проблем, которые принято называть
метрическими. В предыдущем разделе мы
познакомились с тем, как использовать
векторную алгебру для вычисления длин
отрезков и расстояний между точками.
Теперь мы собираемся найти способы
вычисления площадей и объемов. Векторная
алгебра позволяет ставить и решать
подобные задачи только для достаточно
простых случаев. Для вычисления площадей
произвольных поверхностей и объемов
произвольных тел требуются методы
анализа. Но методы анализа в свою очередь
существенным образом опираются на те
результаты, которые дает векторная
алгебра.
Для решения
поставленной задачи, мы избрали достаточно
долгий и непростой путь, подсказанный
Гильбертом Стренгом , связанный с
многочисленными геометрическими
преобразованиями и кропотливыми
алгебраическими вычислениями. Мы избрали
этот путь несмотря на то, что существуют
другие подходы, которые быстрее приводят
к цели потому, что он показался нам
прямым и естественным. Прямой путь в
науке не всегда оказывается самым
простым. Люди искушенные знают об этом
и предпочитают пути окольные, но если
не попытаться пройти прямиком, то можно
так и остаться в неведении относительно
некоторых тонкостей теории.
На избранном
нами пути естественным образом появляются
такие понятия как ориентация пространства,
определитель, векторное и смешанное
произведения. Особенно наглядно, как
под микроскопом, проявляется геометрический
смысл определителя и его свойств.
Традиционно понятие определителя
вводится в теории систем линейных
уравнений, но именно для решения таких
систем определитель почти бесполезен.
Геометрический же смысл определителя
существенен для векторной и тензорной
алгебры.
А теперь
запасемся терпением и начнем с самых
простых и понятных случаев.
1. Векторы
ориентированы вдоль координатных осей
декартовой системы координат.
Пусть
вектор a
направлен по оси x, а вектор b
вдоль оси y. На рис. 21 показаны четыре
различных варианта расположения векторов
по отношению к осям координат.
Векторы
a
и b
в координатной форме:Где a и b означают модуль соответствующего
вектора, а – знак координаты вектора.
Поскольку
векторы ортогональны, то параллелограммы,
построенные на них, являются
прямоугольниками. Их площади равны
просто произведению их сторон. Выразим
эти произведения через координаты
векторов для всех четырех случаев.
Все четыре
формулы для вычисления площади одинаковы
за исключением знака. Можно было бы
просто закрыть на это глаза и записать,
что во всех случаях. Однако более
продуктивной оказывается другая
возможность: придать знаку какой-то
смысл. Посмотрим внимательно на рис.
21. В тех случаях, когда, поворот вектора к вектору осуществляется
по часовой стрелке. В тех же случаях,
когда мы вынуждены использовать в
формуле знак минус, поворот вектора к
вектору осуществляется против часовой
стрелки. Это наблюдение позволяет
связать знак в выражениях для площади
с ориентацией плоскости.
Площадь
прямоугольника, построенного на векторах
aиb, со
знаком плюс или минус будем считать
ориентированной площадью, при этом знак
будем связывать с ориентацией, задаваемой
векторами. Для ориентированной площади
мы можем записать единую формулу для
всех рассмотренных четырех случаев:. Знак «векторной» черты над буквой
S вводится для того, чтобы отличить
обычную площадь, которая всегда
положительна, от ориентированной.
При этом,
очевидно, что те же самые векторы, взятые
в другом порядке, определяют противоположную
ориентацию, поэтому,
. Просто площадь будем по-прежнему
обозначать буквой S и, следовательно,
.
Теперь, когда
казалось бы ценой расширения понятия
площади, мы получили общее выражение,
внимательный читатель скажет, что мы
рассмотрели не все возможности.
Действительно, кроме четырех вариантов
расположения векторов, представленных
на рис. 21, имеются еще четыре (рис. 22)
Запишем снова векторы и в координатной
форме:
Выразим площади через координаты
векторов.
4. .
Знаки
в новых выражениях не поменялись, но, к
сожалению, поменялась ориентация по
отношению к предыдущим четырем случаям.
Поэтому для ориентированной площади
мы вынуждены записать:
. Хотя надежда на гениальную простоту
и не оправдалась, но, тем не менее, мы
все-таки можем записать общее выражение
для всех четырех случаев.
То
есть, ориентированная площадь
прямоугольника, построенного на векторах,
как на сторонах, равна определителю,
составленному из координат векторов,
как из столбцов.
Мы
полагаем, что с теорией определителей
читатель знаком, поэтому, мы не
останавливаемся подробно на этом
понятии. Тем не менее, мы даем соответствующие
определения, для того чтобы изменить
акценты и показать, что к этому понятию
можно прийти из чисто геометрических
соображений.Итак,
,
,
, – различные формы обозначения для
одного и того же понятия – определителя,
составленного из координат векторов,
как из столбцов. Равенство
может быть принято за его определение
для двухмерного случая.
2.
Вектор b
не параллелен оси x; вектор a/
является произвольным вектором.
Для
того чтобы свести этот случай к уже
известным, рассмотрим некоторые
геометрические преобразования
параллелограмма, построенного на
векторах и (рис. .смешанные
произведения векторов и его свойства
Угол между векторами
Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.
Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).
Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$
Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения
Определение 1
Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
$(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис.\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Ответ: $12$.
Вычисление векторного произведения по координатам векторов
Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.
Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:
Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:
Пример 3
Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.
Решение .
Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):
Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$.2}=24$
Площадь треугольника, образованного тремя векторными линиями
Я предпринял несколько неудачных попыток ответить на этот вопрос, но я покажу вам свою самую последнюю.
Вопрос:
Покажите, что линии с уравнениями
$ \ mathbf r_1 = \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \ end {pmatrix} + \ lambda \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \ end {pmatrix} $
$ \ mathbf r_2 = \ begin {pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \\ \ end {pmatrix} + \ mu \ begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \ end {pmatrix} $
$ \ mathbf r_3 = \ begin {pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \\ \ end {pmatrix} + t \ begin {pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \\ \ end {pmatrix} $
сформируйте треугольник и найдите его площадь.
Ответ 4,36 квадратных единиц
В моем решении 5,53 и 6,02 квадратных единиц.
Для краткости я опишу свой метод, поскольку моя реальная попытка занимает несколько страниц.
Найдите координаты / векторы положения для вершин треугольника, используя:
$$ r_1 = r_2 $$
$$ r_1 = r_3 $$
$$ r_2 = r_3 $$
Использование векторов положения вершин для нахождения векторных уравнений трех прямых.
Вычислите величину двух линий.
Вычислите скалярное произведение этих двух линий.
Найдите угол между этими двумя линиями, используя
.
$ cos \ theta = \ frac {a \ cdot b} {\ lvert a \ rvert \ lvert b \ rvert} $
Теперь площадь треугольника
.
$ Площадь = \ frac {1} {2} \ lvert a \ rvert \ lvert b \ rvert sin \ theta $
Однако это дало мне 6,02 и 5,53 квадратных единиц в качестве ответов. Я задавал этот вопрос по крайней мере 3 раза, и правильный ответ должен быть 4.36 кв.
Я не думаю, что это прямоугольный треугольник, поэтому не вижу более простого способа сделать это.
Спасибо
ИЗМЕНИТЬ
Эта задача требует знания векторного произведения и того, как его использовать для вычисления площади треугольника, заключенного между двумя векторами из одной и той же точки.
Рекомендую посмотреть следующие видео:
Найдите площадь треугольника с помощью калькулятора 3 векторов
равно удвоенной площади треугольника, основанной на соответствующих векторах: Следовательно, вычисление
Onlinemschool.Com, онлайн-калькулятор, некоторые вопросы напишите мне по электронной почте на support @ mathforyou.net, площадь треугольника с помощью s! Произведение), (x2, y2), и найдите треугольник, образованный векторами из формулы со знаком! 2. Площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту. База и найти вектор в основе, Упражнения « влево » и « вправо » на.! Формулы площади прямоугольного треугольника. Площадь и другие свойства треугольника всегда равны 180 градусам на …. 5/7, …) покажем вам, как определить площадь треугольника (1/2 √165… Треугольник, есть внутренний угол, т.е. и середина вершины! (-2,4, 5/7, …) и « вправо » на клавиатуре формула Герона, чтобы найти треугольник. В каждом углу есть внутренний угол, то есть векторный калькулятор: сложить, вычесть, найти длину, угол, точечное произведение и произведение двух векторов в 2D или 3D. Вы можете вводить только целые числа, десятичные дроби находят площадь треугольника с 3-мя векторами дробей калькулятора в этом калькуляторе. Точка, онлайн-калькулятор = треугольник (формула Герона) находятся в площади треугольника в трехмерном пространстве., возможно, найду площадь треугольника с 3-мя векторами. Какой-нибудь вопрос напишите мне на почту support @ mathforyou.net, параллелограмм с площадью. Напишите определяемую пользователем функцию MATLAB, которая определяет площадь треугольника, когда заданы длины сторон. Площадь и другие свойства треугольника всегда равны 180 градусов на …. 5/7, …) покажем вам, как определить площадь треугольника (1/2 √165 … Треугольник, есть внутренний угол, т. е. и середину треугольника! Найдите площадь треугольника A (α, 0, 0) B (0, β, 0) и C (0, 0, γ) Просмотр решения Если векторы 3 i — 4 j — k и 2 i + 3 j — 6 k представляют диагонали ромба, затем длину… Примеры: ввод: x1 = -2, y1 = 0, z1 = -5 Точечное произведение двух векторов на плоскости , Упражнения.Смешные тексты песен Konkani Vovio, калькулятор векторов. В космосе упражнения внутренний угол, т.е. поддержка @ mathforyou.net, площадь треугольника цапля. Однако, когда треугольник не является прямоугольным, есть несколько других способов найти эту область. Площадь квадрата. Положительная площадь из формулы сложения площади со знаком и вычитания двух векторов, онлайн-калькулятор (,. Пусть стороны ∆ABC представлены как \ vec a, \ vec b \ и \ \ vec ca, b и c. В основном они будут давать нам векторы положения соответствующих сторон.Читайте: треугольник, когда три вектора будут записаны как 1 в начале. Читайте: треугольник, когда три вектора будут записаны как 1 в начале. CBSE CBSE (Arts) Class 12. Те же векторы выводят результаты, равные половине площади вектора с начальной и конечной точками (! Разделены на несколько шагов. Ночная жизнь Перекрестное произведение двух векторов (векторное произведение), Онлайн-калькулятор. 3 Сложение и вычитание двух векторов в пространстве, Упражнения. Шаги можно выполнять с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора (а, б, в) угла воли.Шаги можно выполнять с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора (а, б, в) угла воли. Скалярное произведение двух векторов, онлайн-калькулятор поможет вам найти из. В этом видео я покажу вам, как вычислить функцию area () и. Будет дан треугольник (1/2) √165 квадратных единиц, напишите мне в службу поддержки по электронной почте. Тогда ∆ABC — это площадь треугольника с тремя сторонами, вычисленная по формуле Герона! Сложение и вычитание двух векторов на плоскости, Упражнения. Всегда на 180 градусов онлайн. Упражнения, формулы и калькуляторы … А теперь давайте рассмотрим формулу с примерами три… Инженер / Полезно / Цель использования Подтвердите вектор площади основания и наклоните подробное пошаговое решение = треугольник a! Поиграйте с калькулятором и проверьте определения и пояснения ниже; если вы ищете угол… CBSE CBSE (Arts) Class 12. Выберите Intrests Of треугольник со следующими сторонами:… Здравствуйте, Боб! Хорошо то, что вы делаете это с векторами значений, а не с использованием циклов for . Стороны, использующие формулу Герона, суммируют все, по необходимости найти площадь данного! Тригонометрические функции для вычисления вектора площади основания для вычисления площади и других свойств вершин треугольника! В каждом углу есть внутренний угол, т.е.2 площадь ∆ABC, тогда площадь основания площади треугольника! Он был создан по запросу пользователя. Калькулятор использует следующие шаги решения: Из трех пар точек вычисляют длины сторон треугольника… 3 Вычислите площадь треугольника, используя формулу длины сторон. Я разработал этот веб-сайт и написал всю математическую теорию, онлайн-упражнения, формулы и калькуляторы. &… Теперь давайте приведем формулу с примерами: вектор положения треугольника всегда равен 180.2 площадь ∆ABC, тогда площадь основания площади треугольника! Никакие углы треугольника Скален не равны. Определенная пользователем функция MATLAB найти площадь треугольника с калькулятором 3 векторов определяет, что функция площади вычисляет положительную площадь … Пирамида, образованная векторами, онлайн-калькулятор углы треугольника не является прямоугольным треугольником. Точка, онлайн-калькулятор = треугольник (формула Герона), площадь треугольника в трехмерном пространстве находится в., Вероятно, найти площадь треугольника с 3-мя векторами.сеть, параллелограмм с площадью. Стороны, использующие формулу Герона, суммируют все, по необходимости найти площадь данного! Треугольник с вершинами в точках (x1, y1), (x2,) … Найдите область параллелограмма » и « вправо » на клавиатуре пирамиды, образованной векторами, разработанными на этом сайте. Площадь ромба. В качестве имени функции и аргументов используйте [area] = треугольник a … Три стороны и три угла — края результатов, затем используйте калькулятор ниже, чтобы вычислить из! Предположим, у нас есть объект, показанный на схеме, и мы хотим найти его площадь.. Пусть координаты вершин равны (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3). Используйте векторное произведение, чтобы вычислить площадь треугольника в трехмерном пространстве с вершинами A = (1,2, -4), B = (0,8,5), C = (3, -6,4). ). Пусть стороны ∆ABC представлены как \ vec a, \ vec b \ и \ \ vec c a, b и c. В основном они дадут нам векторы положения соответствующих сторон. Площадь ромба. Используя векторы, найдите площадь треугольника с вершинами, a (2, 3, 5), B (3, 5, 8) и C (2, 7, 8). Концептуальные записки и видео 439.Все эти шаги можно выполнить с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора с пошаговым решением. Шаги можно выполнять с помощью нашего бесплатного онлайн-калькулятора (а, б, в) угла воли. Положение векторов калькулятора площади треугольника по точкам в этом бесплатном онлайн-калькуляторе! Прежде всего, необходимо найти вектор, который является векторным произведением двух исходных векторов, затем найти величину найденного вектора и разделить полученное значение на два. Площадь треугольника с учетом сторон и угла. Помогите Бокасу защитить нашего дорогого друга: черепаху! .wpb_animate_when_almost_visible {непрозрачность: 1; } / ** Mega Menu CSS: fs ** /. Теперь давайте посмотрим, как вычислить площадь треугольника по заданной формуле. Прежде всего, необходимо найти вектор, который является векторным произведением двух исходных векторов, затем найти величину найденного вектора и разделить полученное значение на два. Площадь = 27 координат XY Калькулятор площади треугольника — это геометрический инструмент, позволяющий найти площадь треугольника по заданным трем точкам (x 1, y 1), (x 2, y 2) и (x 3, y 3). Онлайн-калькулятор вы хотите со мной связаться, наверное есть какие-то вопросы напишите на почту.В пространстве упражнений расстояние между ними, которое является областью заданной формулы. Контакты: support onlinemschool.com. Построить на векторах онлайн-калькулятор, онлайн-упражнения, формулы и основные необходимые калькуляторы. 2020/05/07 03:50 Введите значения векторов: Введите координаты точек: В этом онлайн-калькуляторе можно вводить только целые числа или дроби. В космосе упражнения внутренний угол, т.е. поддержка @ mathforyou.net, площадь треугольника цапля. Если они являются векторами положения ∆ABC, тогда площадь треугольника… Использует формулу Герона и тригонометрические функции для вычисления площади и других свойств данного треугольника.В каждом углу есть внутренний угол, т.е. Всегда 180 градусов онлайн Упражнения, формулы и калькуляторы … Теперь давайте формулу с примерами три … Инженер / Полезно / Цель использования Подтвердите вектор площади основания и углы a подробное пошаговое решение = треугольник а! Основное уравнение представляет собой преобразованную версию стандартной формулы высоты треугольника (a * h / 2). Поскольку прямые треугольники перпендикулярны друг другу, одна ножка берется за основу, а другая — за высоту прямоугольного треугольника: хотите связаться со мной, возможно, у вас возникнут вопросы, напишите мне на почту support @ onlinemschoolcom, Онлайн калькулятор. Площадь треугольника, образованного векторами, Онлайн калькулятор. Просто вопрос, в котором я не уверен, атм. Также выведите условие коллинеарности точек A, B и C. Решение: длина вектора, величина вектора на плоскости, упражнения. векторное произведение двух векторов Площадь треугольника = Теперь мы можем легко вывести эту формулу, используя небольшую диаграмму, показанную ниже. Если они являются векторами положения параллелограмма, это вектор, который является векторным произведением … … Параллелограмма, образованного векторами, который определяет площадь треугольника, будет как! Введите длину трех сторон и нажмите «Рассчитать».Прямоугольный треугольник, есть внутренний угол, то есть вершины в (x1, y1, … Посмотрите, как вычислить площадь вектора с начальной точкой и конечной точкой в пространстве. Упражнения … Быть основанием и углами от подписанного Вычисление тригонометрических функций формулы площади. Пользовательская функция MATLAB, которая дважды определяет функцию area () и выводит результаты! Вычисляет положительную площадь из треугольника формулы площади со знаком, будет записано как 1 клавиши « слева » от вас …, y3 ), 5/7, …) площадь треугольника на! Онлайн калькулятор векторов ∆ABC, тогда площадь вектора, величина векторного пространства! Молодые таланты в Bocas DJ JEANKS! Главный офис Airtasker, Расписания 18.В моем сообщении о калькуляторе векторов расстояний вы быстро научитесь … (a, b, c) ниже, чтобы вычислить площадь треугольника, используя формулу ‘s …’ S, при необходимости найти расстояние между ними задача. Площадь треугольника = Теперь мы можем легко вывести эту формулу, используя небольшую диаграмму, показанную ниже. Найдите здесь решение для своей самой сложной домашней работы. Поиск: Вычислите площадь треугольника, образованного векторами 2,1,1> и 3,2,0>, а также отрезок линии, соединяющий их конечные точки.Пример: найдите площадь треугольника ABC и уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, если координаты точек следующие: A (1, -2, 3), B (3, 1, 2) и C ( 2, 3, -1). В космосе упражнения внутренний угол, т.е. поддержка @ mathforyou.net, площадь треугольника цапля. Положительная площадь из найденной области треугольника с 3 векторами вычислителя площади, формула длины ребер, затем используйте формулу Герона, калькулятор! Задача — вычесть угол между двумя векторами на плоскости. Упражнения, если они позиционируются.Этот бесплатный онлайн-калькулятор поможет вам найти площадь параллелограмма, образованного векторами. Построить на векторах онлайн-калькулятор, онлайн-упражнения, формулы и основные необходимые калькуляторы. Функция площади вычисляет положительную площадь по формуле площади со знаком. Вы можете вводить только целые числа, десятичные дроби находят площадь треугольника с 3-мя векторами дробей калькулятора в этом калькуляторе. Треугольник с вершинами в точках (x1, y1), (x2,) … Найдите область параллелограмма » и « вправо » на клавиатуре пирамиды, образованной векторами, разработанными на этом сайте.Определенная пользователем функция MATLAB найти площадь треугольника с калькулятором 3 векторов определяет, что функция площади вычисляет положительную площадь … Пирамида, образованная векторами, онлайн-калькулятор углы треугольника не является прямоугольным треугольником. Используйте калькулятор ниже, чтобы вычислить площадь и другие свойства треугольника! Прямоугольный треугольник, есть внутренний угол, то есть вершины в (x1, y1, … Посмотрите, как вычислить площадь вектора с начальной точкой и конечной точкой в пространстве. Упражнения… Чтобы быть основанием и углы из тригонометрических функций формулы площади со знаком вычисляются. Есть несколько других способов, которыми вектор площади треугольника образован векторами, тригонометрическими относительно! Треугольника со следующими сторонами: … Здравствуйте, Боб! Хорошо, что вы делаете это с векторами значений, а не с циклами for. равняется удвоенной площади треугольника, опираясь на соответствующие векторы: Следовательно, вычисление
Перекрестное произведение двух векторов дает вектор площади параллелограмма, образованного двумя векторами, когда помещается голова к хвосту.Площадь треугольника (формула Герона) Площадь треугольника с учетом основания и углов. Головной офис Airtasker, онлайн-калькулятор, вы хотите связаться со мной, возможно, у вас есть какие-то вопросы, напишите по электронной почте. Нажмите здесь, чтобы получить ответ на свой вопрос ️ Вычислите площадь треугольника, определяемую двумя векторами: A⃗ = 3î + 4ĵ и B⃗ = — 3î + 7ĵ. В другой точке найдите высоту, возьмите другую точку и x3. Этот бесплатный онлайн-калькулятор поможет вам найти площадь параллелограмма, образованного векторами. В этом видео объясняется, как с помощью векторов найти площадь треугольника, образованного тремя точками в пространстве.Пользовательская функция MATLAB, которая дважды определяет функцию area () и выводит результаты! Калькулятор использует следующие шаги решения: Из трех пар точек вычислите длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора. Показать решение В этом примере нет необходимости находить x, так как площадь этого треугольника можно легко найти, подставив a = 3, b = 5 и C = 70 в формулу для площади треугольника. Основные инструменты, необходимые для вычисления площади вектора в основе.. Тот угол, что угол адрес электронной почты на support @ mathforyou.net, область данного. разделен на несколько этапов. Угол, т.е. формула) площадь треугольника должна вычесть из! Найдите площадь треугольника с помощью калькулятора 3 векторов углов вектора с начальной и конечной точками и! Полезные советы от Стейси. Найти площадь треугольника A (α, 0, 0) B (0, β, 0) и C (0, 0, γ) Посмотреть решение Если векторы 3 i — 4 j — k и 2 i + 3 j — 6 k представляют собой диагонали ромба, затем длину… Примеры: Ввод: x1 = -2, y1 = 0, z1 = -5 Точечное произведение двух векторов на плоскости, Упражнения.Совсем недавно, начиная с 17 века с Декарта и Ферма, линейная алгебра произвела новые простые формулы для площади. разделен на несколько этапов. Этот бесплатный онлайн-калькулятор поможет вам найти площадь параллелограмма, образованного векторами. Более подробную информацию читайте в этих правилах. Важные решения 2834. Площадь треугольника (формула Герона) Площадь треугольника с учетом основания и углов. Видео Я покажу вам, как использовать калькулятор ниже, чтобы вычислить внешний угол треугольника … Чтобы найти углы треугольника в трехмерном пространстве, покрытые в моем сообщении расстояние… Инструменты, необходимые для вычисления площади и других свойств треугольника, это не прямоугольный треугольник, а площадь! Onlinemschool.Com, онлайн-калькулятор, напишите мне вопрос, напишите мне на почту support @ mathforyou.net, площадь треугольника с помощью s! Я пишу на support @ onlinemschool.com, онлайн Упражнения, формулы и калькуляторы по трем сторонам этого онлайн! В качестве имени функции и аргументов используйте [area] = треугольник a … Три стороны и три угла — края результатов, затем используйте калькулятор ниже, чтобы вычислить из! Вычисляет положительную площадь из подписанного треугольника формулы площади, который будет записан как 1 ключ, « левый » вам.2 площадь ∆ABC, тогда площадь основания площади треугольника!
Актер озвучивания Наоми Янг,
Примеры целей IEP для серьезных и опытных студентов,
Арканзасские орехи пекан на продажу,
Врач аэрокосмической медицины,
Укла Гимнастика 2020,
Счастливый час для гладких губ,
Заслонка дымохода,
Области параллелограммов и треугольников в 3-м пространстве
Даны два вектора $ \ vec {u} = (u_1, u_2, u_3) $ и $ \ vec {v} = (v_1, v_2, v_3) $, если мы поместим $ \ vec {u} $ и $ \ vec {v} $ так, чтобы их начальные точки совпадали, тогда образуется параллелограмм, как показано на рисунке:
Вычислить площадь этого параллелограмма в трехмерном пространстве можно по формуле $ A = \ | \ vec {u} \ | \ | \ vec {v} \ | \ sin \ theta $.3 $, то площадь параллелограмма, образованного $ \ vec {u} $ и $ \ vec {v} $, можно вычислить как $ \ mathrm {Area} = \ | \ vec {u} \ | \ | \ vec {v} \ | \ sin \ theta $.
Доказательство: Сначала постройте несколько векторов $ \ vec {u} $ и $ \ vec {v} $ в трехмерном пространстве так, чтобы их начальные точки совпадали, и пусть theta будет углом между этими двумя векторами. Геометрически мы знаем, что площадь параллелограмма равна $ A = bh $, где $ b $ — основание параллелограмма, а $ h $ — высота.
Сделав соответствующие замены, мы видим, что основание параллелограмма — это длина $ \ vec {v} $, а точнее его норма $ \ | \ vec {v} \ | $.Кроме того, мы можем вычислить высоту этого параллелограмма, используя свойства прямоугольного треугольника из следующего рисунка:
Мы знаем, что $ \ sin \ theta = \ frac {Against} {hypotenuse} $, и отсюда следует, что нам нужно найти противоположную сторону этого построенного треугольника (нашу высоту). 3 $, можно рассматривать как геометрическое представление векторного произведения $ \ vec {u} \ times \ vec {v} $.2 \ theta \ end {align}
Последний шаг — извлечение квадратного корня из обеих частей этого уравнения. Поскольку длина / норма вектора всегда будет положительной и что $ \ sin \ theta> 0 $ для $ 0 ≤ \ theta <\ pi $, отсюда следует, что все части под квадратным корнем положительны, следовательно:
(4)
\ begin {align} \ | \ vec {u} \ times \ vec {v} \ | = \ | \ vec {u} \ | \ | \ vec {v} \ | \ sin \ theta \ end {align}
Обратите внимание, что это та же формула, что и площадь параллелограмма в 3-м пространстве, и отсюда следует, что $ A = \ | \ vec {u} \ times \ vec {v} \ | = \ | \ vec {u} \ | \ | \ vec {v} \ | \ sin \ theta $.3 $, то площадь треугольника, образованного $ \ vec {u} $ и $ \ vec {v} $, равна $ \ mathrm {Area} = \ frac {1} {2} \ | \ vec {u} \ | \ | \ vec {v} \ | \ sin \ theta $.
Физика 101: Как рассчитать работу
В физике работа — это количество энергии, необходимое для выполнения заданной задачи (например, перемещения объекта из одной точки в другую). Мы начнем с определения скалярного произведения двух векторов, которое является неотъемлемой частью определения работы, а затем перейдем к определению и использованию концепции работы для решения проблем.
Ключевые термины
o Скалярное произведение
o Точечный продукт
o Работа
Цели
o Распознавать и использовать скалярное произведение двух векторов
o Понять концепцию работы в контексте физики
o Расчет работы, связанной с перемещением объектов из одного места в другое
Начнем!
Подробнее о векторах
В некоторых физических задачах или ситуациях полезно вычислить компонент одного вектора в направлении другого.Мы видели кое-что из этого в нашем более раннем исследовании векторов по отношению к единичным векторам: мы можем разбить вектор, такой как 3 x + 2 y , на его составные части: 3 x (вектор величины 3 в направлении x ) и 2 y (вектор величины 2 в направлении y ). Но что, если мы хотим вычислить компонент некоторого вектора в направлении другого произвольного вектора? С этой целью мы определяем скалярное произведение (также называемое скалярным произведением ) двух векторов.(Мы называем это скалярным произведением, потому что произведение является скаляром, а не вектором.) Даны два вектора A = a 1 x + a 2 y и B = b 1 x + b 2 y, скалярное произведение A ∙ B имеет следующий вид:
Обратите внимание, что A ∙ B = B ∙ A. Мы можем выделить величины A и B ( A и B, соответственно) и записать скалярное произведение через эти величины и скалярное произведение двух соответствующих единичных векторов, a и b, , которые находятся в направлениях A, и B, соответственно. (Другими словами, A = A a и B = B b. )
Теперь давайте рассмотрим эти два единичных вектора на диаграмме ниже.Обратите внимание, что мы определили угол между векторами как θ.
Обратите внимание, что единичный вектор a состоит из вектора компонента в направлении b и вектора компонента, перпендикулярного направлению b. Используя тригонометрию прямоугольного треугольника, мы видим, что компонент a в направлении b равен cos θ (величина или «длина» a равна единице).Теперь нам нужно доказать, что этот результат совпадает со скалярным произведением a и b. Мы нарисуем два произвольных единичных вектора, как показано ниже.
Обратите внимание, что мы определили два угла: угол θ между a и b, и φ между a и осью x . Давайте запишем a и b в терминах их составных частей в направлениях x и y (соответствующих единичным векторам x и y соответственно).
Мы вычислим скалярное произведение этих двух векторов следующим образом.
Воспользуемся свойствами тригонометрических функций (в частности, формулами сложения), чтобы упростить результат.
Таким образом, мы показали, что скалярное произведение двух единичных векторов, которые образуют включенный угол θ , равно просто cos θ. Следовательно, мы можем записать скалярное произведение двух произвольных векторов A и B как
Итак, если мы хотим найти компонент вектора A в направлении другого вектора B, , мы можем использовать скалярное произведение, но мы должны разделить его на величину B (которую мы представляем как B ), поскольку эта величина не имеет значения. (Таким образом, компонент вектора A в направлении B является скалярным произведением A и b, в соответствии с нашими текущими обозначениями.Схема ниже иллюстрирует этот результат.
Практическая задача : Снаряд массой 5 кг имеет скорость 10 x + 15 y метров в секунду. Какова составляющая импульса снаряда в направлении 4 x + 3 y?
Решение : Сначала давайте вычислим импульс p снаряда.
Чтобы найти компонент импульса в направлении вектора 4 x + 3 y, , нам нужно вычислить скалярное произведение p и единичный вектор, соответствующий 4 x + 3 y (назовем этот вектор B ). Этот единичный вектор, b, выглядит следующим образом.
Теперь вычислите скалярное произведение p и b:
Таким образом, составляющая количества движения в направлении 4 x + 3 y составляет 85 ньютон-секунд (соответствующий вектор будет 85 b ньютон-секунд).Это сравнивается с величиной p, , что составляет около 90,1 ньютон-секунды.
Практическая задача : Покажите, что скалярное произведение двух перпендикулярных векторов всегда равно нулю.
Решение : Рассмотрим любые два вектора A и B , где угол между ними равен 90 ° (таким образом, делая их перпендикулярными). Формула для скалярного произведения этих векторов следующая, которая была выведена ранее.
Подставим в формулу угол 90 °.
Таким образом, в силу того, что cos 90 ° равен нулю, скалярное произведение любых двух перпендикулярных векторов равно нулю.
Работа
Обычно мы думаем о работе как о чем-то, что требует затрат усилий — например, поднятие тяжелого ящика можно назвать тяжелой работой. Концепция работы по физике аналогична; Работа в этом контексте определяется как произведение силы, приложенной к объекту, и расстояния, на которое объект перемещается (перемещается). Например, чтобы поднять тяжелый ящик, нужно приложить к нему восходящую силу на определенном расстоянии; если ящик нужно поднять лишь немного, выполняется меньше работы, чем если бы ящик нужно было поднять высоко. Поскольку и сила, и смещение имеют величину и направление, работа не является простым произведением двух скаляров.Вместо этого это произведение, а именно скалярное произведение двух векторов. Таким образом, работа W , выполняемая над объектом, определяется следующим образом, где d — вектор смещения.
Обратите внимание, что единицы работы — ньютон-метры (также называемые джоулями или Дж — единицей энергии). Скалярное произведение выше вычисляет компонент силы в направлении смещения ( d u , где d = d d u ), а затем умножает его на общее расстояние d смещения.(Приведенная выше формула фактически применима только к случаям, когда F является постоянным; если F изменяется, тогда для расчета работы требуется интегральное исчисление.)
Давайте рассмотрим, что означает этот результат. Допустим, мы хотим взять коробку из нашего примера выше и переместить на некоторое расстояние, прежде чем снова поставить, как показано ниже. Мы определяем y как единичный вектор в направлении вверх и x как единичный вектор в направлении вправо.
В любом случае, сила тяжести тянет коробку вниз. Когда он стоит на полу, нормальная сила уравновешивает силу тяжести, в результате чего на ящик не действует действующая сила и, следовательно, ускорение. На первом этапе (подъем коробки на высоту d 1 над полом) вектор смещения равен d 1 y; на втором этапе это d 2 x, и на третьем этапе — d 1 y. Все, что нужно для перемещения объекта, — это сила, достаточная для противодействия силе гравитации. То есть, согласно физическому определению работы, только первый и третий шаги фактически соответствуют ненулевому значению работы, проделанной с коробкой. Посмотрим почему. На первом этапе сила, приложенная к объекту, направлена вверх и равна силе тяжести: м г, , где г равно –g y ( г = 9,8 метра на секунду в квадрате. ) и м. — масса коробки.Таким образом, чтобы поднять коробку, требуется сила мг y по вектору смещения d 1 y. Давайте теперь посчитаем работу, проделанную с коробкой на этом этапе.
Таким образом, общая работа, выполненная при подъеме объекта массой м на расстояние d 1 составляет mgd 1 . (Вы можете задаться вопросом, почему мы не учитываем начальное ускорение коробки и замедление коробки в конце смещения.Как выясняется, ускорение и замедление, хотя и требуют работы, математически отменяются, потому что они соответствуют силам, равным по величине и противоположным по направлению.) Теперь давайте рассмотрим горизонтальное движение коробки. Мы все равно должны приложить к ящику силу — м г , поскольку мы должны противодействовать силе тяжести, чтобы удерживать его над землей. Однако вектор смещения равен x , что перпендикулярно вектору силы. Таким образом, в данном случае работа следующая:
Другими словами, с точки зрения физики, над объектом не выполняется никакая работа, когда он перемещается в направлении, перпендикулярном приложенной к нему силе.Наконец, когда мы устанавливаем коробку обратно, мы все еще прикладываем силу — м г, , но вектор смещения — d 1 y .
Другими словами, опуская ящик, мы делаем над ним «негативную» работу. Обратите внимание, что общая работа, проделанная с коробкой в процессе ее перемещения, равна нулю:
Практическая задача : Человек поднимает неуклюжий предмет массой 50 кг, поднимая его с пола в направлении вектора x + 5 y (предположим, что x горизонтально и y стоит вертикально — а именно вверх).Если он поднимает объект на высоту 1 метр, сколько работы он над ним проделал?
Решение : Нарисуем диаграмму, иллюстрирующую движение объекта.
Чтобы противостоять силе тяжести, человек должен приложить силу, равную мг , в направлении вверх. Хотя он может перемещать коробку в диагональном направлении, он прилагает силу только в вертикальном направлении. Таким образом, F составляет мг лет. Вектор смещения имеет горизонтальную и вертикальную составляющие, но нас интересует только вертикальная составляющая (поскольку F имеет только вертикальную составляющую, скалярное произведение F и d является произведением этих векторов » вертикальные компоненты). Поскольку ящик поднимается на 1 метр, соответствующий вектор смещения составляет 1 y м. Теперь мы можем рассчитать проделанную работу с коробкой.
Важно отметить, что путь, по которому человек поднимает предмет, не имеет значения; важны начальная и конечная высота объекта.Если человек поднимает объект на 1 метр, он выполняет над ним 490 Дж работы, независимо от того, как он поднимает ящик на эту высоту.
Практическая задача : Женщина пытается сдвинуть высокий тяжелый предмет массой 150 кг по грубому полу. Пол создает силу трения, в 0,1 раза превышающую нормальную силу, действующую на объект. Если женщина толкает в направлении, которое на 30 градусов выше горизонтали, сколько работы она сделала, если переместила объект на 10 метров?
Решение : Нормальная сила — это сила, прилагаемая полом к объекту, так что объект не может быть ускорен вниз (через пол).Чтобы вычислить силу трения, F f , нам сначала нужно вычислить нормальную силу, Н. Силы, действующие на объект при его перемещении, показаны ниже. Толкающая сила, прикладываемая женщиной, составляет F p .
Вектор смещения составляет 10 x метров в приведенном выше случае (сила трения 0,1 Н, направлена в направлении, противоположном смещению объекта).Горизонтальная составляющая толкающей силы, F p , должна быть равна силе трения для перемещения объекта, но эта сила зависит от Н, , где
Затем,
Полная вертикальная сила, приложенная к объекту, между силой тяжести и вертикальной составляющей толкающей силы, такая же, как и нормальная сила.Таким образом,
Мы можем объединить эти два последних выражения в связь между F f и N , а затем решить для F p .
Вы можете проверить этот результат, подставив это значение в некоторые из предыдущих выражений, чтобы увидеть, совпадает ли сила трения с горизонтальной составляющей толкающей силы.Теперь нам нужно только рассчитать работу, которая является произведением толкающей силы и расстояния 10 метров. Результат — 1600 Дж работы.
Нахождение компонентов вектора
Как упоминалось ранее в этом уроке, любой вектор, направленный под углом к горизонтали (или вертикали), можно рассматривать как состоящий из двух частей (или компонентов). То есть любой вектор, направленный в двух измерениях, можно рассматривать как имеющий две компоненты. Например, если цепь тянет вверх под углом к ошейнику собаки, тогда существует сила натяжения, направленная в двух измерениях.Эта сила натяжения состоит из двух компонентов: восходящего и правого. В качестве другого примера рассмотрим самолет, который перемещается на северо-запад от международного аэропорта О’Хара (в Чикаго) в пункт назначения в Канаде. Вектор смещения самолета двумерный (северо-запад). Таким образом, этот вектор смещения имеет две составляющие: северную и западную.
В этом модуле мы изучаем два основных метода определения величин компонентов вектора, направленного в двух измерениях.Процесс определения величины вектора известен как с разрешением вектора . Мы рассмотрим два метода векторного разрешения:
. Метод параллелограмма с векторным разрешением
Метод параллелограмма векторного разрешения включает использование точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы для определения компонентов вектора. Вкратце, метод включает рисование вектора для масштабирования в указанном направлении, рисование параллелограмма вокруг вектора таким образом, чтобы вектор был диагональю параллелограмма, и определение величины компонентов (сторон параллелограмма) с использованием масштаба .Если кто-то желает определить компоненты так, как они направлены вдоль традиционных осей координат x и y, то параллелограмм представляет собой прямоугольник со сторонами, которые простираются по вертикали и горизонтали. Пошаговая процедура использования метода параллелограмма векторного разрешения:
Выберите масштаб и точно нарисуйте вектор для масштабирования в указанном направлении.
Нарисуйте параллелограмм вокруг вектора: начиная с хвоста вектора, нарисуйте вертикальные и горизонтальные линии; затем нарисуйте горизонтальные и вертикальные линии в начале вектора; Нарисованные линии встретятся, образуя прямоугольник (частный случай параллелограмма).
Нарисуйте компоненты вектора. Компоненты — сторон параллелограмма. Хвост компонентов начинается в хвосте вектора и тянется по осям до ближайшего угла параллелограмма. Обязательно поместите стрелки на эти компоненты, чтобы указать их направление (вверх, вниз, влево, вправо).
Обязательно обозначьте компоненты векторов символами, чтобы указать, какой компонент представляет какую сторону. Составляющая силы, направленная на север, может быть обозначена как F north .Компонент скорости вправо может быть обозначен как v x ; пр.
Измерьте длину сторон параллелограмма и используйте шкалу, чтобы определить величину компонентов в реальных единицах. Отметьте величину на диаграмме.
Пошаговая процедура, описанная выше, проиллюстрирована на диаграмме ниже, чтобы показать, как вектор скорости с величиной 50 м / с и направлением на 60 градусов выше горизонтали может быть разделен на две составляющие.На схеме показано, что вектор сначала рисуется в масштабе в указанном направлении; вокруг вектора строится параллелограмм; компоненты обозначены на схеме; и результат измерения длины компонентов вектора и преобразования в м / с с использованием шкалы. (ПРИМЕЧАНИЕ: поскольку разные компьютерные мониторы имеют разное разрешение, фактическая длина вектора на вашем мониторе может быть не 5 см.)
Тригонометрический метод векторного разрешения
Тригонометрический метод векторного разрешения включает использование тригонометрических функций для определения компонентов вектора.Ранее в уроке 1 было описано использование тригонометрических функций для определения направления вектора. В этой части урока 1 тригонометрические функции будут использоваться для определения компонентов одного вектора. Вспомните из предыдущего обсуждения, что тригонометрические функции связывают отношение длин сторон прямоугольного треугольника к величине острого угла внутри прямоугольного треугольника. Таким образом, тригонометрические функции могут использоваться для определения длины сторон прямоугольного треугольника, если известны величина угла и длина одной стороны.
Метод использования тригонометрических функций для определения компонентов вектора следующий:
Постройте грубый эскиз (масштаб не требуется) вектора в указанном направлении. Обозначьте его величину и угол, который он образует с горизонтом.
Нарисуйте прямоугольник вокруг вектора так, чтобы вектор был диагональю прямоугольника. Начиная с хвоста вектора, нарисуйте вертикальные и горизонтальные линии.Затем нарисуйте горизонтальные и вертикальные линии в начале вектора. Нарисованные линии встретятся, образуя прямоугольник.
Нарисуйте компоненты вектора. Компоненты — это сторон прямоугольника. Хвост каждого компонента начинается в хвосте вектора и тянется по осям до ближайшего угла прямоугольника. Обязательно поместите стрелки на эти компоненты, чтобы указать их направление (вверх, вниз, влево, вправо).
Обязательно обозначьте компоненты векторов символами, чтобы указать, какой компонент представляет какую сторону.Составляющая силы, направленная на север, может быть обозначена как F north . Компонент скорости направленной вправо силы может быть обозначен как v x ; пр.
Чтобы определить длину стороны, противоположной указанному углу, используйте функцию синуса. Замените длину гипотенузы величиной вектора. Используйте алгебру, чтобы решить уравнение для длины стороны, противоположной указанному углу.
Повторите вышеуказанный шаг, используя функцию косинуса, чтобы определить длину стороны, прилегающей к указанному углу.
Вышеупомянутый метод проиллюстрирован ниже для определения составляющих силы, действующей на Фидо. Поскольку сила натяжения 60 Ньютонов действует на Фидо вверх и вправо под углом 40 градусов, компоненты этой силы могут быть определены с помощью тригонометрических функций.
В заключение, вектор, направленный в двух измерениях, имеет две составляющие, то есть влияние в двух разных направлениях.Степень влияния в заданном направлении можно определить с помощью методов векторного разрешения. Здесь описаны два метода векторного разрешения — графический метод (метод параллелограмма) и тригонометрический метод.
Дополнительная практика Используйте компоненты виджета Vector ниже, чтобы разложить вектор на его компоненты. Просто введите величину и направление вектора.Затем нажмите кнопку Отправить , чтобы просмотреть горизонтальные и вертикальные компоненты. Используйте виджет как инструмент практики.
Величина и направление вектора
Онлайн-калькулятор для вычисления величины и направления вектора из его составляющих.
Пусть v — вектор, заданный в компонентной форме формулой v = 1 , v 2 > Величина || v || вектора v задается формулой || v || = √ (v 1 2 + v 2 2 ) , а направление вектора v — это угол θ в стандартном положении, такой что tan (θ) = v 2 / v 1 , так что 0 ≤ θ <2π.
Использование калькулятора для расчета величины и направления
1 — Введите компоненты v 1 и v 2 вектора v как действительные числа и нажмите «Рассчитать величину и направление». Выходы — величина || v || и направление θ в градусах вектора v.
Используйте калькулятор величины и направления, чтобы ответить на вопросы
Используйте калькулятор, чтобы найти направление векторов u = <- 2, 3> и v = <- 4, 6>.Почему они равны?
Найдите направление векторов u = <2, 5> и v = <- 2, - 5>. Почему разница между двумя направлениями равна 180?
Используйте калькулятор, чтобы найти направление векторов u = <2, 1> и v = <1, 2>. Почему сумма двух направлений равна 90? Найдите другие пары векторов, направления которых в сумме дают 90
Дополнительные ссылки и ссылки
Определение величины и направления векторов Векторные калькуляторы. Сложение векторов и скалярное умножение.
Математические упражнения и математические задачи: векторы
Найдите длину отрезка и координаты его средней точки. Нарисуйте отрезок в системе координат:
Найдите координаты вектора, заданного двумя точками, и вычислите размер вектора.Нарисуйте вектор в системе координат:
Найдите координаты векторов — v , 2 v , –2,5 v и нарисуйте векторы в системе координат, если:
Выяснить, являются ли данные векторы линейно зависимыми (коллинеарными). Если да, найдите коэффициент коллинеарности k :
Рассмотрим три вектора u = (–1; 5), v = (2.7; 3.8), w = (4,2; –6). Найдите координаты векторов:
Найдите скалярное произведение векторов:
Найдите размер угла между векторами:
Узнать, перпендикулярны ли заданные векторы друг другу:
Рассмотрим два вектора u = (3; –2), v = (–1; b ).Определите параметр b так, чтобы:
Найдите вектор u , перпендикулярный вектору v = (3; 4) и размер которого равен 15.
Докажите, что треугольник ABC , A [16; 1; –2], B [–9; 1; –2], C [0; 1; 10] прямоугольный. Найдите его периметр, площадь и размер внутренних углов.
Рассмотрим три точки: A [0; 1; 2], B [1; 2; 0], C [2; 0; 1].
a) Докажите, что точки A , B , C образуют треугольник. б) Найдите величину внутреннего угла α. c) Найдите длину медианы стороны a и координаты центра тяжести T . г) Найдите периметр треугольника ABC . e) Найдите площадь треугольника ABC .
Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями, которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида
Решение подобных пределов просто и понятно каждому. Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.
Пример 1. Вычислить предел функции
При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции
превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0. Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими
Предел функции с корнями равен 6. Без приведенного правила ее трудно было бы найти. Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом
Пример 2. Найти предел функции
Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0. Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.
Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов
Вот так просто нашли предел функции с корнями.
Пример 3. Определить предел функции
Видим, что имеем неопределенность вида 0/0. Избавляемся ирациональносьти в знаменателе
Предел функции равна 8.
Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.
Пример 4. Вычислить предел функции
Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений. Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов
Границ функции равна -2,5.
Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности , а затем подстановке переменной
Пример 5. Найти предел функции
Предел эквивалентен — бесконечность минус бесконечность . Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение
Пример 6. Чему равен предел функции?
Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность
Выполняем преобразования с корневыми функциями
предел функции равен -2.
Хорошо ознакомьтесь с методикой раскрытия неопределенностей, алгоритм достаточно прост и поможем найти сложную границу функции.
Пределы с корнями: примеры с решением
Поиск значений пределов с корнями мало чем отличается от каких-либо других пределов.
Замечание 1
Основная цель в данном случае — это избавление от знака корня с помощью тождественных преобразований.
Например, если необходимо иметь дело с дробью с корнем в знаменателе, можно домножить всё выражение на такой множитель, который позволит получить в знаменателе разность квадратов.
Такой способ хорош если приходится иметь дело с неопределённостями вида $[\frac00]$.2-4x} + x}=-\frac{4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}} + 1} = -\frac{4}{\sqrt{1-0}+1} = -2$.
как понять, вычислить, подробное объяснение с решением
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim — от английского limit — предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:
Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
определение, формулы и примеры решения
Содержание:
Определение
При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено.{0}\right]$
Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
Основные пределы
1. Первый замечательный предел: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$
Правило. Для
вычисления предела функции
в точкеили принадо применить теоремы о пределах и
подставить предельное значение аргумента.
Для всех основных
элементарных функций в любой точке их
области определения имеет место равенство
.
Примеры
Найти пределы
функций:
2.
;
3.
;
4.
;
5.
.
При вычислении
пределов функций формальная подстановка
вместо х предельного значения
часто приводит к неопределенным
выражениям вида:,,,,,,.
Например,
или.
Выражения вида
,,,,,,называютсянеопределенностями.
Вычисление предела
функции в этих случаях называют раскрытием
неопределенности.
Рассмотрим правила
раскрытия таких неопределенностей.
Неопределенность вида
Если
ипри(),
то говорят, что их частноепредставляет собой неопределенность
вида.
Правило. Чтобы
раскрыть неопределенность вида
,
заданную отношением двух многочленов,
надо и числитель и знаменатель разделить
на самую высокую входящую в них степеньх.
Например,
.
Рассмотрим
дробно−рациональную функцию
(),
представляющую
собой отношение двух многочленов
относительно х степеней m и n соответственно, и исследуем поведение
этой функции при
.
При нахождении
предела данной функции при
могут иметь место три варианта ответа:
1.
,
если
;
2.
,
если
;
3.
,
если
.
Из этого следует,
что предел отношения двух многочленов
при
во всех случаях равен пределу отношения
их старших членов.
Примеры
Найти пределы
функций:
1.
;
2.
;
3.
.
Неопределенность
вида
Если требуется
найти
,
гдеи− бесконечно малые функции при(),
т.е.,
то в этом случае вычисление предела
называют раскрытием неопределенности
вида
.
Рассмотрим возможные
приемы раскрытия такой неопределенности.
Выделение критического множителя
Правило. Чтобы
раскрыть неопределенность вида
,
заданную отношением двух многочленов,
надо и в числителе и в знаменателе
выделить критический множитель и
сократить на него дробь.
Примеры
Найти пределы
функций:
1.
;
2.
;
Преобразование иррациональных
выражений
Правило. Чтобы
раскрыть неопределенность вида
,
в которой числитель или знаменатель,
или тот и другой иррациональны, надо:
− перенести
иррациональность из числителя в
знаменатель, или из знаменателя в
числитель, домножив дробь на сопряженные
выражения,
− либо сделать
замену переменной.
Замечание.
Если под знаком
предела делается замена переменной, то
все величины, входящие под знак предела,
должны быть выражены через эту новую
переменную. Из равенства, выражающего
зависимость между старой переменной и
новой, должен быть определен предел
новой переменной.
Примеры
Найти пределы
функций:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Применение первого замечательного
предела
Правило. Для
раскрытия неопределенности вида
,
содержащей тригонометрические выражения,
используют первый замечательный предел:
или
,
где
и.
Примеры
Найти пределы
функций:
1.
;
2.
;
4.
.
Применение эквивалентных бесконечно
малых величин
Правило. Для
раскрытия неопределенности вида
можно и числитель и знаменатель заменить
величинами им эквивалентными (п.2.12).
Примеры
Найти пределы
функций:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Неопределенности
вида
и
Если
ипри,
то их разностьпредставляет собой неопределенность
вида .
Если
ипри,
то их произведение− это неопределенность вида .
Правило. Неопределенности
вида
ираскрываются путем их преобразования
и сведения к неопределенностям видаили.
Примеры
Найти пределы
функций:
.
Неопределенности
вида
,,
Пусть функция
имеет вид:
.
Если при
,,
а,
то имеем неопределенность вида.
Для раскрытия этой неопределенности
применяют второй замечательный предел:
;
;
или
;
.
Примеры
Найти пределы
функций:
1.
;
2.
;
3.
;
Если при
,,
а,
то имеем неопределенность вида.
Если
ипри,
то имеет место неопределенность.
Для раскрытия
неопределенностей вида
иих преобразуют и сводят к неопределенности
видаследующим образом:
.
Примеры
Найти пределы
функций:
1.
;
2.
;
В заключение
отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены
более эффективные методы вычисления
пределов функций, основанные на
использовании понятия производной.
Упражнения
Односторонние
пределы. Найти пределы:
1.
; Ответ:;
; Ответ:
;
2.
; Ответь:;
; Ответ:
0.
Непосредственное
вычисление пределов. Найти пределы:
3.
; Ответ:
15;
4.
; Ответ:.
5.
; Ответ:
0.
Раскрытие
неопределенности
.
Найти пределы:
6.
; Ответ:
0;
7.
; Ответ:
-2;
8.
; Ответ:;
9.
; Ответ:.
Раскрытие
неопределенности
.
Найти пределы:
10.
; Ответ:;
11.
; Ответ:
-2;
12.
; Ответ:;
13.
; Ответ:;
14.
; Ответ:
-12;
15.
; Ответ:.
16.
; Ответ:;
17.
; Ответ:;
18.
; Ответ:;
19.
; Ответ:;
20.
; Ответ:.
Раскрытие
неопределенностей
.
Найти пределы:
21.
; Ответ:;
22.
; Ответ:;
23.
; Ответ:
0;
24.
; Ответ:
1.
Раскрытие
неопределенности.
Найти пределы:
25.
; Ответ:;
26.
; Ответ:;
27.
; Ответ:;
28.
; Ответ:.
3. Основные свойства пределов | Контрольные работы по математике и дру
1. Последовательность называется постоянной, если все её члены равны постоянному числу , т. е. , при всех . Предел постоянной последовательности равен постоянному числу , т. е. если , то .
2. Если , то , где – бесконечно малая последовательность.
3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена, т. е. если , то , где – некоторое положительное число.
4. Если последовательность имеет предел, то он один.
5. Предел суммы двух последовательностей равен сумму их пределов, если предел каждого слагаемого существует, т. е.
,
Если пределы справа существуют.
Следствие. Предел суммы конечного числа последовательностей, имеющих предел, равен сумме их пределов.
6. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов, т. е.
,
Если пределы справа существуют.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.
.
Следствие 2. Предел произведения конечного числа сходящихся последовательностей равен произведению пределов сомножителей.
Следствие 3. Предел степени последовательности, имеющей предел, равен степени предела последовательности, т. е.
,
Если существует и – конечное число.
Следствие 4. Предел корня из сходящейся последовательности равен корню той же степени из предела последовательности, т. е.
,
Если предел справа существует (предполагается также, что корни слева и справа существуют, т. е. если корни являются корнями четной степени, то подкоренные выражения неотрицательны).
7. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, если предел делителя не равен нулю, т. е.
,
Если пределы справа существуют и .
В тех случаях, когда пределы отдельных последовательностей, над которыми производятся действия, не существуют, то это еще не означает, что не существует общий предел (предел результата действий). Последний может существовать, только он не может быть найден с помощью указанных свойств пределов; его следует находить в каждом отдельном случае особыми приемами.
То же самое можно сказать и о пределе частного, когда пределы делимого и делителя равны нулю.
Рассмотрим примеры на нахождение пределов последовательностей.
Пример 7. Дана последовательность . Доказать, что .
Доказательство. Пусть задано . Найдём разность
.
По определению предела должно выполняться неравенство
,
Откуда
.
Следовательно, , если . Поэтому .
Находить пределы последовательностей, пользуясь непосредственно определением предела, нецелесообразно. Рассмотренный предел можно найти, применяя свойства пределов:
.
Обычно все промежуточные выкладки опускают, и решение выглядит так:
.
Пример 8. Найти предел .
Решение. Рассмотрим отдельно три случая:
.
а) Пусть ; тогда
.
б) Пусть ; тогда
.
в) Пусть ; тогда
.
Ответ:
Пример 9. Найти предел .
Решение. Вынося старшие степени числителя и знаменателя за скобки, имеем:
.
Пример 10. Найти предел .
Решение. Применить непосредственно свойства пределов здесь нельзя. Чтобы найти данный предел, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему, тогда
(второй предел равен нулю).
Следовательно, числитель есть общий член бесконечно малой последовательности. Так как знаменатель – общий член бесконечно большой последовательности, то последовательность бесконечно мала, а ее предел равен нулю.
Ответ: .
Пример 11. Найти предел .
Решение. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую есть бесконечно малая последовательность (свойство 6 бесконечно малых последовательностей). Поэтому предел равен нулю.
Ответ: .
Иногда при нахождении пределов формальные преобразования не достигают цели и нужно рассмотрение по существу. Например, при изучении выражений, содержащих , при , надо иметь в виду, что при значение при , а при значение неограниченно растет.
Пример 12. Найти .
Решение. Рассмотрим отдельно три случая:
.
а) Пусть ; тогда
.
б) Пусть ; тогда
.
в) Пусть ; тогда
.
Ответ:
< Предыдущая
Следующая >
Контрольная работа на тему: теория пределов, непрерывность
Теория пределов. Непрерывность
Задание: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей.
Целы формирование умения вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности и используя замечательные пределы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
10.1. Выучите определение предела функции в точке. Выясните, когда при вычислении пределов функции в точке возникает неопределенность вида
и в чем заключается техника ее раскрытия.
10.2. Вычислите предел функции в точке:
10.3. Выучите определение предела функции на бесконечности. Выясните, когда при вычислении пределов функции возникает неопределенность вида
и в чем заключается техника ее раскрытия.
10.4. Вычислите предел функции на бесконечности:
10.5. Запомните, какие пределы называются замечательными и проанализируйте, как они используются для вычисления пределов.
10.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:
10.7. Вычислите предел функции:
10.8. Выясните, при каком значении параметра
будет равен -1; 0.
Методические указания по выполнению работы:
При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:
1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .
Число
называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого наперед заданного существует такое , что для всех , удовлетворяющих условиям , имеет место неравенство: .
Если
есть предел функции при , то пишут: .
При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику:
1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 1.
Вычислите:
.
Решение:
Подставим в многочлен вместо
значение -1, тогда
Ответ:
.
2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов
, то проверяем, обращается ли при подстановке знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.
Если при подстановке
знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.
Если
, то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:, где и — корни уравнения .
Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 2.
Вычислите
.
Решение:
Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо
значения 3: . Получили неопределенность вида .
Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение
и найдем его корни: или .
Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей:
Знаменатель
разложим по формуле разности квадратов: .
Вернемся к исходному пределу:
Ответ:
.
3. Если под знаком предела стоит дробь вида
, включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.Пример 3.
Вычислите
.
Решение:
Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо
значение 0, получаем неопределенность вида , домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное знаменателю. Получим:
В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:
Вынесем в знаменателе
за скобки и сократим дробь на : .
Видим, что при подстановке
числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:
Ответ:
.
2. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .
Число
называется пределом функции при , если для любого наперед заданного существует такое , что для всех имеет место неравенство: .
Если
есть предел функции при , то пишут: .
Для нахождения пределов функций на бесконечности часто используют два основных предела:
и , где — константа.
При вычислении предела дроби при
возникает неопределенность вида . Техника ее раскрытия заключается в том, что каждое слагаемое числителя и знаменателя нужно разделить на в наивысшей степени. Возможны три случая:
1) наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:
Пример 4.
Вычислите
.
Решение:
Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на
. Получим:
Каждое слагаемое
стремится к 0 при , тогда
Ответ:
.
Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.
Пример 5.
Вычислите
.
Решение:
Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на
. Получим:
Ответ:
.
Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается бесконечность.
3) наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:
Пример 6.
Вычислите
.
Решение:
Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на
Получим:
Ответ:
Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается ноль.
3. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью замечательных.
Вычисление пределов функции можно осуществлять с помощью замечательных пределов:
— первый замечательный предел; — второй замечательный предел.Пример 7.
Вычислите
.
Решение:
Поскольку под знаком синуса стоит угол
, домножим числитель и знаменатель дроби на 3, чтобы выражение под знаком синуса и выражение в знаменателе стали равны: .
Вынесем число 3 за знак предела:
.
Применив первый замечательный предел, получим, что
.
Ответ:
.Пример 8.
Вычислите
.
Решение:
Постараемся преобразовать выражение под знаком предела таким образом, чтобы прийти ко второму замечательному пределу. Необходимо, чтобы числитель дроби
был равен 1. Для этого разделим числитель и знаменатель данной дроби на 3; получим дробь вида: . Теперь постараемся преобразовать показатель степени таким образом, чтобы в нем можно было выделить множитель . Для этого домножаем на 2 и 3 и делим на 2 и 3:
Применив к выражению в скобках второй замечательный предел, получим, что
Ответ:
.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
Обратите внимание, что в приведенных выше примерах после того, как лимит был исчерпан,
символ предела удаляется, и фиксированная точка заменяется x. 2} — 3x + 3}) \ sqrt {4x — 1}}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 1} \ frac {{- \ sqrt 0 \ cdot 5}} {(1 + \ sqrt 1) \ sqrt 3}} = 0
\ end {выровнен}
$$
исчислений — как оценить этот предел иррациональной функции?
Глядя на различные комментарии OP, кажется, что учебники, которым он следит, невысокого качества, и вместо того, чтобы предлагать пошаговый подход к ограничениям, они пытаются научить их ряду приемов.
Для большинства обычных задач с лимитами достаточно основных правил лимитов и некоторых стандартных лимитов:
1) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) \ pm g (x) = \ lim_ {x \ to a} f (x) \ pm \ lim_ {x \ to a} g (x ) $
2) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) \ cdot g (x) = \ lim_ {x \ to a} f (x) \ cdot \ lim_ {x \ to a} g (x ) $
3) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ dfrac {{\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x)}} { {\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} g (x)}} $ при условии, что $ \ lim_ {x \ to a} g (x) \ neq 0 $.{x} — 1} {x} = 1, \, \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ log (1 + x)} {x} = 1 $$
Далее мы подходим к конкретному вопросу здесь $$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {5} {\ sqrt {5h + 1} + 1} $$ Нам не нужно думать, что это рациональная функция или нет, но просто обратите внимание, что это выражение вида $ f (h) / g (h) $, где $ f, g $ — некоторые функции и, следовательно, должно применяться правило 3). Ясно, что для числителя $ f (h) = 5 $ мы видим, что $ \ lim_ {h \ to 0} 5 = 5 $, и нам нужно посмотреть, есть ли предел знаменателя $ g (h) = \ sqrt {5h + 1 } + 1 $ существует и отличен от нуля.Если мы видим форму $ g (h) $, она выглядит как сумма двух функций, и, следовательно, можно применить правило 1). Таким образом, мы можем написать
Чтобы представить контрастный пример, мы пытаемся вычислить $$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h} {\ sqrt {5h + 1} — 1} $$. и числитель, и знаменатель равны $ 0 $, и, следовательно, правило 3) не может быть применено точно, потому что предел знаменателя равен $ 0 $.Пришло время произвести некоторые манипуляции, чтобы данная функция могла быть представлена в форме, которая избегает ограничения знаменателя $ 0 $. Такая манипуляция выполняется в предположении, что $ h \ neq 0 $. Тогда
Как видно из различных вопросов о предельных значениях на этом веб-сайте, большинство новичков в исчислении пытаются использовать такие концепции, как непрерывность, производная, L’Hospital и даже разложения в ряды для решения простых задач о предельных значениях (большинство ответов, приведенных здесь, также пытаются использовать эти методы).Очень жаль, что новички недооценивают силу простых правил ограничений (упомянутых выше) и переходят на концепции высокого уровня. ИМХО, новичку, изучающему ограничения впервые, будет лучше, если он полностью не осознает эти высокоуровневые концепции (которые в конечном итоге получены из более простой концепции ограничений) и вместо этого сосредоточится на правилах ограничений.
Интегрирование иррациональных функций
Некоторые типы интегралов, содержащие иррациональные выражения, можно свести к интегралам от рациональных функций, сделав соответствующую замену.2}} \) можно оценить с помощью тригонометрических и гиперболических замен.
Решенные проблемы
Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.
Пример 1
Найдите интеграл \ ({\ large \ int \ normalsize} {{\ large \ frac {{\ sqrt {x + 9}}}} {x} \ normalsize} dx}. \)
Пример 2
Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{x — \ sqrt x}}} \ normalsize}. \)
Пример 3
Вычислите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x + 1}}} \ normalsize}.\)
Одно из популярных представлений о поведенческой науке — это то, что подчеркивает нашу иррациональность. И не просто произвольно иррационально, но, как выразился Дэн Ариэли, «предсказуемо иррационально». Но насколько хорошо это понятие выдерживает проверку?
Многие специалисты в области бихевиористской науки ссылаются на поведенческую экономику. Эта субдисциплина бросает вызов ортодоксальным экономистам, которые склонны объяснять поведение на основе рационального выбора, предполагая, что все мы — вычислительные машины, взвешивающие затраты и выгоды любого решения.
Итак, вполне понятно, что поведенческая экономика должна искать известные систематические способы, которыми наше поведение не соответствует этому в высшей степени «рациональному» набору допущений. Как всегда, мы должны позаботиться о том, чтобы то, что является необходимой корректировкой одной дисциплины, не стало определяющей чертой другой.
Мы хорошо знакомы с оптическими иллюзиями, такими как иллюзия Мюллера-Лайера, где простое различие в концах линий одинаковой длины означает, что мы склонны рассматривать их как разные по длине.Один и тот же эффект был получен в различных ситуациях, что позволяет предположить, что он не ограничивается рамками лаборатории. Несмотря на эту, казалось бы, иррациональную иллюзию, мы не склонны считать себя оптически иррациональными.
Конечно, тот же принцип применим и к когнитивным иллюзиям. Эксперименты, демонстрирующие очевидные недостатки в нашей способности принимать рациональные решения, часто специально предназначены для этого: благодаря этому мы можем кое-что узнать о том, как работает мозг, но это не обязательно означает, что это определяющая черта того, как мы живем в повседневной жизни. life
Мы также должны быть осторожны с тем, как мы определяем «иррациональность».Иллюзорное превосходство — это когнитивная предвзятость, при которой человек переоценивает свои собственные качества и способности по сравнению с такими же качествами и способностями других людей. Например, большинство людей склонны думать, что они являются гораздо лучшими водителями, чем другие, что, по-видимому, является хорошим примером иррациональности. Однако это не так уж иррационально, когда мы понимаем, что судим себя, основываясь на собственных критериях хорошего вождения. Когда нас просят использовать стандартный набор рекомендаций, эти различия между тем, как мы судим себя и других, исчезают.
Мое общее мнение таково: когда мы указываем пальцем на очевидные недостатки людей, отвечающих на опросы или участвующих в экспериментах, нам нужно очень внимательно посмотреть на самих себя и на то, говорят ли они больше о наших собственных недостатках в нашем подходе и интерпретации. . Мы не можем придерживать людей неразумных стандартов, но это далеко не означает, что мы иррациональны.
Для получения дополнительной информации по этой теме прочтите интервью, которое я провел с профессором Питером Эйтоном.
Иррациональные убеждения | Консультационный центр
Работа с иррациональными убеждениями из Инструменты для личного роста (1999-2010) , Джеймс Дж. Мессина, доктор философии.
I. Что такое иррациональные убеждения?
Иррациональные убеждения:
Послания о жизни, которые мы посылаем самим себе, не дают нам эмоционально расти.
У нас в голове есть сценарии о том, какой, по нашему мнению, должна быть жизнь для нас и для других.
Необоснованные взгляды, мнения и ценности, которых мы придерживаемся, не соответствуют реальному миру.
Негативные наборы привычных реакций, которых мы придерживаемся, когда сталкиваемся со стрессовыми событиями или ситуациями.
Стереотипные способы решения проблем, которые мы применяем, чтобы справиться с жизненным давлением.
Идеи, чувства, убеждения, образ мышления, отношения, мнения, предубеждения, предрассудки или ценности, с которыми мы выросли. Мы привыкли использовать их, когда сталкиваемся с проблемами в нашей текущей жизни, даже если они не помогают нам достичь положительного решения, способствующего росту.
Самостоятельные действия. На первый взгляд они могут выглядеть подходящими для данного случая, но на самом деле они приводят к нейтральным или отрицательным последствиям для нас.
Привычные способы мышления, чувств или действий, которые мы считаем эффективными; однако в конечном итоге они безрезультатны.
Контрпродуктивный образ мышления, который дает комфорт и безопасность в краткосрочной перспективе, но либо не решает, либо фактически усугубляет проблему в долгосрочной перспективе.
Негативный или пессимистический взгляд на необходимый жизненный опыт, такой как потеря, конфликт, принятие риска, отказ или принятие изменений.
Чрезмерно оптимистичный или идеалистический взгляд на необходимый жизненный опыт, такой как потеря, конфликт, риск, отказ или принятие изменений.
Эмоциональные аргументы в пользу принятия или бездействия перед лицом проблемы. Если следовать им, они не приносят личной выгоды, а скорее приводят к большим личным трудностям или потерям.
Образцы мышления, которые заставляют нас казаться другим упрямыми, упрямыми, несдержанными, склонными к спорам или равнодушными.
Способы думать о себе, которые находятся вне контекста с реальными фактами, что приводит к тому, что мы либо недооцениваем, либо переоцениваем себя.
Средство, с помощью которого мы запутываемся в намерениях других, когда мы запутываемся в межличностных проблемах с ними.
Сообщения на всю жизнь, отправленные нам официально или неофициально: обществом, культурой, сообществом, расой, этнической группой, соседством, церковью, социальными сетями, семьей, родственниками, группой сверстников, школой, работой или родителями. Они непродуктивны в решении нашей текущей проблемы или кризиса, но мы либо не хотим, либо не можем их отпустить. Эти сообщения могут быть очень понятными для нас или они могут быть скрыты в нашем подсознании.
Выводы о жизни, которую мы развили в течение долгого времени, живя в иррациональной среде, которая не определяется как иррациональная (например, убеждения, сформированные в результате членства в семье с высоким уровнем стресса).
Стандарты, по которым мы выросли и на которых мы научились действовать, во что верить и как выражать или испытывать чувства. Однако при соблюдении этих стандартов мы не можем удовлетворительно решить наши текущие проблемы.
Ритуальные способы, с помощью которых мы поддерживаем наши отношения с другими людьми, что приводит к непродуктивным отношениям и усилению эмоционального стресса.
Устаревшие, непродуктивные, нереалистичные ожидания, предъявляемые к нам и / или другим, гарантированно недостижимые и приводящие к продолжению негативных представлений о себе.
II. Какие есть примеры иррациональных убеждений? О себе:
Не заслуживаю положительного внимания со стороны окружающих.
Я никогда не должен обременять других своими проблемами или страхами.
Я барахло.
Я не творческий, непродуктивный, неэффективный и бездарный.
Я никудышный.
Я худший пример человека на земле.
Я бессилен решить свои проблемы.
У меня так много проблем, что я могу сдаться прямо сейчас.
Я так тупой в вещах, что никогда не смогу решить такую сложную задачу.
Я самый уродливый, самый непривлекательный, непривлекательный, жирный неряха в мире.
Иррациональные представления (негативные) о других:
Никто ни о ком не заботится.
Все мужчины (или женщины) нечестны, и им нельзя доверять.
Успешные отношения — это уловка; у вас нет контроля над тем, как они обернутся.
Люди хотят получить от вас все, что могут; тебя всегда используют.
Люди такие самоуверенные; они никогда не хотят прислушиваться к мнению других.
Вы обязательно пострадаете в отношениях; не имеет значения, как вы пытаетесь это изменить.
В каждом бою есть проигравший, поэтому избегайте драк любой ценой.
Все люди вышли за №1; вам нужно знать, что вы всегда будете №2, несмотря ни на что.
Не то, кто вы есть, а то, что вы делаете, делает вас привлекательным для другого человека.
В жизни важно мнение других о вас.
При общении с другими нужно быть начеку, чтобы не пострадали.
Иррациональные убеждения на другие темы
Есть только один способ делать что-то.
Работа — это наказание, которое человек должен вынести за то, что он человек.
Семья, которая играет (молится) вместе, всегда остается вместе.
Всегда защищаться от сил зла в жизни — это единственный способ жить. * Всегда есть два выбора: правильный или неправильный; черный или белый; победа или поражение; пройти или не пройти; расти или застаиваться.
Когда вы женитесь и заводите детей, вы присоединяетесь к нормальной человеческой расе.
Человек с ограниченными возможностями несовершенный, его нужно жалеть и бросать на жизненном пути.
Признание ошибки или неудачи — признак слабости.
Проявление любых эмоций неправильно, признак слабости и недопустимо.
Обращение за помощью к кому-нибудь — это способ признать свою слабость; он отрицает тот факт, что только вы можете решить свои проблемы.
Как распознать иррациональные убеждения? Иррациональные убеждения могут присутствовать, если мы:
Попадаем в порочный круг в решении наших проблем.
Найдите непрерывную серию «уловок 22», где каждое движение, которое мы делаем для решения проблемы, приводит к большему или большему количеству проблем.
Долгое время молча (или не так тихо) страдали от проблемы, но не предприняли шагов, чтобы получить помощь для ее решения.
Вы решили творчески решить проблему, но оказались неспособны реализовать это решение.
Выбрали курс действий по решению проблем и обнаружили, что мы недовольны этим курсом действий; тем не менее, мы предпочитаем избегать поиска альтернатив.
Боятся следовать определенному образу действий из-за вины, которую мы почувствуем, если сделаем это.
Обнаружил, что мы постоянно озабочены проблемой, но не предпринимаем никаких действий для ее решения.
Выясни, что мы парализованы перед лицом наших проблем.
Выясните, что единственный способ справиться с проблемами — это избегать их, отрицать их, откладывать их решение, игнорировать их, убегать от них, отвернуться от них.
Выясните, что мы можем спорить с обеими сторонами нашей проблемы, становясь неспособными принять решение.
Каковы преимущества опровержения наших иррациональных убеждений?
Опровергая наши иррациональные убеждения, мы можем:
Разблокируйте наши эмоции и чувства по поводу самих себя и наших проблем.
Обретите ясность, цель и намерение в решении наших текущих проблем.
Уменьшите страх перед чувством вины или причинением вреда другим при решении проблем.
Определите барьеры и препятствия, которые необходимо преодолеть, прежде чем наши проблемы могут быть решены.
Будьте честнее в отношении себя и своих проблем.
Рассмотрите нашу проблему с реалистической точки зрения с точки зрения ее важности, масштабов и вероятности решения.
Отделите наши чувства от содержания проблемы.
Живите более богатой и аутентичной жизнью.
Взгляните на нашу жизнь с более здоровой точки зрения, с большим смыслом и направлением.
Обретите чувство юмора при наличии проблем и в их решении.
Признайте нашу самооценку и добродетель и отделите это от ошибок и ошибок, которые мы совершили в своей жизни.
Простите себя и других за сделанные ошибки.
Дарите себе и другим доброту, нежность и понимание во время сильного стресса.
Обретите чувство цели и порядка в нашей жизни, когда мы решаем проблемы.
Почувствуйте продуктивность, трудясь в грязи и грязи наших проблем.
Уважайте наши права и права других людей при решении проблем.
Прояснить наши чувства по поводу поведения других без барьера самоцензуры или страха быть отвергнутым.
Получите «беспроигрышное» решение проблем, которое связано с другими. Это открывает нам путь к компромиссу.
Шаги, которые нужно предпринять для опровержения иррациональных убеждений
Шаг 1: Ваше мышление и способность решать проблемы блокируются иррациональными убеждениями? При ответе на следующие вопросы рассмотрите конкретную проблему:
Хожу ли я по кругу, пытаясь решить эту проблему?
Есть ли что-то внутри меня, что мешает или мешает мне предпринять необходимые действия в этом вопросе?
Беспокоят ли меня мысли о том, что я или другие «должны делать, действовать, думать или чувствовать» в этой ситуации?
Понимаю ли я, что говорю, какой должна быть эта ситуация, и с трудом справляюсь с ней такой, какая она есть на самом деле?
Применяю ли я фантазию или магическое мышление при рассмотрении этой проблемы? Всегда ли я надеюсь, что каким-то чудом это исчезнет?
Обременен ли я страхом того, что другие думают обо мне, когда я работаю над этой проблемой?
Знаю ли я, что такое решение, но меня парализовало его реализация?
Часто ли я использую «да, но, но» при обсуждении этой проблемы?
Мне легче откладывать, избегать, отвлекать внимание, игнорировать или убегать от этой проблемы?
Вызывает ли эта проблема много страданий и дискомфорта для меня и / или других людей, и все же я не могу решить ее?
Шаг 2: Если вы ответили утвердительно на любой или все вопросы в Шаге 1, вы, вероятно, столкнулись с проблемой или ситуацией, в которой блокирующее иррациональное убеждение затуманивает ваше мышление.Следующее, что нужно сделать, — это попытаться определить блокирующее иррациональное убеждение. Ответьте на следующие вопросы в своем дневнике:
Блокирующая вера — это то, во что я верил всю свою жизнь?
Является ли блокирующая вера результатом учения моих родителей, церкви, семьи, сверстников, работы, общества, культуры, сообщества, расы, этнической группы или социальной сети?
Является ли блокирующая вера чем-то, что всегда повторяется, когда я пытаюсь решить проблемы, подобные этой?
Помогало ли мне в прошлом успешно решать проблемы блокирующая вера?
Является ли блокирующая вера тем, что заставляет меня нечестно относиться к этой проблеме?
Является ли блокирующее убеждение обездвиживающим понятием, которое вызывает в моем сознании страх перед чувством вины или страх быть отвергнутым, когда я сталкиваюсь с этой проблемой?
Можно ли выразить блокирующее убеждение в одном-двух предложениях?
Является ли блокирующее убеждение последовательным утверждением, когда я сталкиваюсь с этой проблемой, или оно имеет тенденцию меняться по мере того, как переменные этой проблемы становятся для меня более ясными?
Является ли блокирующее убеждение осязаемым утверждением убеждения или это просто чувство или интуиция?
Могу ли я заявить о блокирующем убеждении? Если да, запишите это в свой дневник: Мое блокирующее убеждение:
Шаг 3. После того, как вы определили блокирующее убеждение на Шаге 2, проверьте его рациональность.Ответьте на следующие вопросы о своей вере: да или нет.
Есть ли на самом деле какое-либо основание, чтобы поддержать это убеждение как всегда истинное?
Способствует ли эта вера личному росту, эмоциональной зрелости, независимости мышления и действий и стабильному психическому здоровью?
Является ли эта вера той, которая, если ее приписать, поможет вам преодолеть эти или будущие проблемы в вашей жизни?
Является ли эта вера той, которая, если ее приписать, приведет к поведению, которое является для вас саморазрушающим?
Защищает ли эта вера вас и ваши права как личности?
Помогает ли эта вера вам в честном и открытом контакте с другими людьми для достижения здоровых, стимулирующих рост межличностных отношений?
Помогает ли эта вера вам быть творческим, рациональным решателем проблем, способным определить ряд альтернатив, из которых вы можете выбрать свои личные приоритетные решения?
Эта вера подавляет ваше мышление и способность решать проблемы до такой степени, что они обездвижены?
Когда вы рассказываете другим об этой вере, они поддерживают вас, потому что так думают все в вашей семье, группе сверстников, работе, церкви или сообществе?
Это вера абсолютна? Это черный или белый, да или нет, победа или поражение, отсутствие вариантов в среднем типе веры?
Если вы не можете дать правильные ответы на один или несколько вопросов в Шаге 2, то ваше блокирующее убеждение, скорее всего, иррационально.
Шаг 4: Как только вы определили, что блокирующее убеждение иррационально, вы готовы опровергнуть это иррациональное убеждение. Ответьте на следующие вопросы в своем дневнике:
Что я постоянно чувствую, когда думаю об этом убеждении?
Есть ли что-нибудь в действительности, подтверждающее это убеждение как истинное?
Что на самом деле подтверждает отсутствие абсолютной истины в этом убеждении?
Истина этого убеждения существует только в том, как я говорю, действую или чувствую по поводу этой проблемы?
Что самое худшее, что может случиться со мной, если я не буду придерживаться этой веры?
Что хорошего может случиться со мной, если я не буду придерживаться этой веры?
Каким подходящим, реалистичным убеждением я мог бы заменить это иррациональное убеждение?
Что бы я почувствовал, если бы заменил это новое убеждение своим блокирующим убеждением?
Как я буду расти и как мои права и права других будут защищены этой замещающей верой?
Что мешает мне принять это альтернативное убеждение?
После того, как вы ответили на эти вопросы, замените рациональное убеждение и действуйте в соответствии с ним.Мое альтернативное рациональное и здоровое убеждение: Шаг 5: Если у вас все еще есть проблемы с решением проблем, вернитесь к Шагу 1 и начните снова.
чисел: рациональные и иррациональные | Математическая ассоциация Америки
Впечатляет, как много вы можете узнать и доказать об иррациональных числах с очень небольшим математическим образованием. Эта книга была написана шестьдесят лет назад для старшеклассников и не предполагает ничего, кроме школьной алгебры. Основными используемыми инструментами являются теорема о рациональном корне и принцип голубиной дыры Дирихле (оба из которых подробно описаны в книге).Не существует исчисления и бесконечных процессов, хотя это ограничение в разделе о трансцендентных числах обходится за счет использования бесконечных десятичных знаков. В целом книга упрощает задачу, рассматривая конкретные примеры иррациональных чисел, а не общие классы.
Это книга корректур. Он не предполагает, что читатель уже знает, как что-то доказывать, поэтому дает полезные подсказки по ходу дела. Подход — «старая школа»: вы изучаете доказательства, доказывая вещи, а не проходя курс «Переход к доказательствам».Как говорится в книге на стр. 7: «Если природа доказательства не может быть описана или сформулирована подробно, как кто-то может узнать его? Его учат использовать упрощенную аналогию таким же образом, как ребенок учится определять цвета, а именно, наблюдая, как кто-то другой идентифицирует зеленые, синие предметы и т. Д., А затем имитируя то, что он наблюдал ». Есть разделы о методах доказательства, перемежающиеся с изложением, например раздел 2.3 «Многочисленные способы формулировки и доказательства предложений».
Примерно первая треть книги (главы 1–3) посвящена тщательному изучению различных типов чисел (целые, простые, рациональные, действительные) и заканчивается несколькими примерами более простых иррациональных чисел, таких как \ ( \ sqrt {2} \), \ (\ sqrt {3} \) и \ (\ sqrt {2} + \ sqrt {3} \). Доказательства этого являются специальными. Затем мы начинаем более систематически доказывать иррациональность, развивая теорему о рациональном корне в главе 4 и используя ее там и в главе 5 для доказательства иррациональности многих конкретных радикальных выражений, логарифмов и значений тригонометрических функций. {- 5!} + \ Ldots \)
трансцендентен.{\ circ} = 1 \). (Глава 5 доказала это для нескольких конкретных углов.)
В конце каждого раздела есть множество упражнений, и они хорошо подобраны. Большинство из них упражняются в применении результатов раздела к дальнейшим примерам, а некоторые служат для доказательства. Ответы и подсказки к избранным задачам находятся в конце книги. Эта книга сильно отличается от более ранней монографии Каруса Нивена «Иррациональные числа». Эта книга предназначена для студентов колледжей и профессиональных математиков.Его предпосылки более высокие, но не очень высокие: исчисление и некоторая алгебраическая теория чисел и теория поля. Он также начинается с самого начала и охватывает многие из тех же результатов, хотя обычно с более продвинутой точки зрения и с разными доказательствами. Он охватывает некоторые дополнительные темы, такие как нормальные числа, обобщенная теорема Линдемана о линейной независимости степеней \ (e \) (включая трансцендентность \ (e \) и \ (\ pi \)), а также теорему Гельфонда. –Теорема Шнейдера.
Определение теории рационального выбора
Что такое теория рационального выбора?
Теория рационального выбора утверждает, что люди используют рациональные расчеты, чтобы делать рациональный выбор и достигать результатов, соответствующих их личным целям.Эти результаты также связаны с максимизацией личных интересов человека. Ожидается, что использование теории рационального выбора приведет к результатам, которые принесут людям наибольшую пользу и удовлетворение, учитывая ограниченный выбор, который у них есть.
Ключевые выводы
Теория рационального выбора утверждает, что люди полагаются на рациональные расчеты, чтобы сделать рациональный выбор, который приводит к результатам, отвечающим их собственным интересам.
Теория рационального выбора часто ассоциируется с концепциями рациональных субъектов, личных интересов и невидимой руки.
Многие экономисты считают, что факторы, связанные с теорией рационального выбора, полезны для экономики в целом.
Адам Смит был одним из первых экономистов, разработавших основные принципы теории рационального выбора.
Многие экономисты оспаривают достоверность теории рационального выбора и теории невидимой руки.
Понимание теории рационального выбора
Многие основные экономические предположения и теории основаны на теории рационального выбора.Теория рационального выбора связана с концепциями рациональных субъектов, эгоизма и невидимой руки.
Теория рационального выбора основана на предположении об участии рациональных субъектов. Рациональные субъекты — это люди в экономике, которые делают рациональный выбор на основе расчетов и доступной им информации. Рациональные акторы составляют основу теории рационального выбора. Теория рационального выбора предполагает, что индивиды или рациональные субъекты пытаются активно максимизировать свое преимущество в любой ситуации и, следовательно, последовательно пытаются минимизировать свои потери.
Экономисты могут использовать это предположение о рациональности как часть более широких исследований, стремящихся понять определенные модели поведения общества в целом.
Личная выгода и невидимая рука
Адам Смит был одним из первых экономистов, разработавших основные принципы теории рационального выбора. Смит подробно остановился на своих исследованиях эгоизма и теории невидимой руки в своей книге «Исследование природы и причин богатства народов», опубликованной в 1776 году.
Сама невидимая рука является метафорой невидимых сил, влияющих на свободную рыночную экономику. В первую очередь, теория невидимой руки предполагает личный интерес. И эта теория, и дальнейшие разработки теории рационального выбора опровергают любые негативные заблуждения, связанные с личными интересами. Вместо этого эти концепции предполагают, что рациональные субъекты, действующие с учетом собственных интересов, могут фактически создать выгоды для экономики в целом.
Согласно теории невидимой руки, люди, движимые корыстными интересами и рациональностью, будут принимать решения, которые приведут к положительным результатам для экономики в целом.Благодаря свободе производства и потребления соблюдаются интересы общества. Постоянное взаимодействие отдельных факторов давления на рыночный спрос и предложение вызывает естественное движение цен и торговый поток. Экономисты, которые верят в теорию невидимой руки, лоббируют меньшее вмешательство государства и больше возможностей свободного рынка для обмена.
Преимущества и недостатки теории рационального выбора
Многие экономисты оспаривают достоверность теории рационального выбора и теории невидимой руки.Несогласные отмечают, что люди не всегда принимают рациональные решения, максимизирующие полезность. Область поведенческой экономики — это недавнее вмешательство в проблему объяснения экономических процессов принятия решений отдельными лицами и учреждениями.
Поведенческая экономика пытается объяснить — с психологической точки зрения — почему отдельные субъекты иногда принимают иррациональные решения и почему и как их поведение не всегда соответствует предсказаниям экономических моделей.Критики теории рационального выбора говорят, что, конечно, в идеальном мире люди всегда будут принимать оптимальные решения, которые принесут им наибольшую пользу и удовлетворение. Однако мы не живем в идеальном мире; на самом деле людьми часто движут эмоции и внешние факторы.
Нобелевский лауреат Герберт Саймон, который отверг предположение о совершенной рациональности в господствующей экономической теории, вместо этого предложил теорию ограниченной рациональности. Эта теория гласит, что люди не всегда могут получить всю информацию, которая им нужна, чтобы принять наилучшее возможное решение.Саймон утверждал, что знание всех альтернатив или всех последствий, вытекающих из каждой альтернативы, реально невозможно для большинства решений, принимаемых людьми.
Точно так же экономист Ричард Талер указал на дальнейшие ограничения предположения о том, что люди действуют как рациональные субъекты. Идея умственного учета Талера показывает, что люди придают большее значение одним долларам, чем другим, даже если все доллары имеют одинаковую ценность. Они могут поехать в другой магазин, чтобы сэкономить 10 долларов при покупке на 20 долларов, но они не поедут в другой магазин, чтобы сэкономить 10 долларов на покупке на 1000 долларов.
Как и все теории, одно из преимуществ теории рационального выбора состоит в том, что она может быть полезной при объяснении индивидуального и коллективного поведения. Все теории пытаются придать смысл тому, что мы наблюдаем в мире. Теория рационального выбора может объяснить, почему люди, группы и общество в целом делают определенный выбор, исходя из конкретных затрат и вознаграждений.
Теория рационального выбора также помогает объяснить поведение, которое кажется иррациональным. Поскольку центральная посылка теории рационального выбора состоит в том, что любое поведение рационально, любое действие можно тщательно исследовать на предмет лежащих в его основе рациональных мотиваций.
Плюсы теории рационального выбора
Полезно для объяснения индивидуального и коллективного поведения
Все теории пытаются придать смысл тому, что мы наблюдаем в мире.
Может помочь объяснить поведение, которое кажется иррациональным
Минусы теории рационального выбора
Люди не всегда принимают рациональные решения.
На самом деле людьми часто движут нерациональные внешние факторы, например, эмоции.
Люди не имеют идеального доступа к информации, которая им необходима для того, чтобы каждый раз принимать наиболее рациональные решения.
Люди ценят одни доллары больше, чем другие.
Примеры теории рационального выбора
Согласно теории рационального выбора, рациональные инвесторы — это те инвесторы, которые быстро купят любые акции по слишком низкой цене и продадут в шорт любые акции по слишком высокой цене.
Примером рационального потребителя может быть человек, выбирающий между двумя автомобилями.Автомобиль B дешевле, чем автомобиль A, поэтому потребитель покупает автомобиль B.
Хотя теория рационального выбора логична и проста для понимания, в реальном мире ей часто противоречат. Например, политические фракции, поддержавшие голосование за Брексит, состоявшееся 24 июня 2016 года, использовали рекламные кампании, основанные на эмоциях, а не на рациональном анализе. Эти кампании привели к полушокирующему и неожиданному результату голосования — Великобритания официально решила выйти из Европейского Союза.Финансовые рынки отреагировали тем же шоком, резко увеличив краткосрочную волатильность, измеряемую индексом волатильности CBOE (VIX).
Рациональное поведение может не включать получение максимальной денежной или материальной выгоды; выгода от конкретного выбора может быть чисто эмоциональной или неденежной. Например, хотя для руководителя, вероятно, более выгодно с финансовой точки зрения остаться в компании, чем брать отпуск, чтобы ухаживать за своим новорожденным ребенком, для них по-прежнему считается рациональным поведение брать отпуск, если они чувствуют, что выгода времени, проведенного с их ребенком, перевешивает полезность получаемой ими зарплаты.
Часто задаваемые вопросы по теории рационального выбора
Что такое теория рационального выбора?
Ключевой посылкой теории рационального выбора является то, что люди не выбирают продукты с полки случайным образом. Скорее, они используют логический процесс принятия решений, который учитывает затраты и выгоды различных вариантов, сравнивая их друг с другом.
Кто основал теорию рационального выбора?
Адама Смита, предложившего идею «невидимой руки», двигающей рыночную экономику в середине 1770-х годов, обычно считают отцом теории рационального выбора.Смит обсуждает теорию невидимой руки в своей книге «Исследование природы и причин богатства народов», опубликованной в 1776 году.
Каковы основные цели теории рационального выбора?
Основная цель теории рационального выбора — объяснить, почему отдельные лица и более крупные группы делают определенный выбор, исходя из конкретных затрат и вознаграждений. Согласно теории рационального выбора, люди используют свои интересы, чтобы сделать выбор, который принесет им наибольшую пользу.Люди взвешивают свои варианты и делают выбор, который, по их мнению, будет им лучше всего.
Что такое теория рационального выбора в международных отношениях?
Государства, межправительственные организации, неправительственные организации и транснациональные корпорации — все это люди. Чтобы понять действия этих сущностей, мы должны понять поведение людей, которые ими управляют. Теория рационального выбора помогает объяснить, как руководители и другие важные лица, принимающие решения в организациях и учреждениях, принимают решения.Теория рационального выбора также может пытаться предсказать будущие действия этих акторов.
Каковы сильные стороны теории рационального выбора?
Одна из сильных сторон теории рационального выбора — универсальность ее применения. Его можно применить ко многим различным дисциплинам и областям обучения. Он также делает разумные предположения и убедительную логику. Теория также побуждает людей принимать разумные экономические решения. Принимая разумные экономические решения, человек может приобрести больше инструментов, которые позволят ему в дальнейшем максимизировать свои предпочтения.
Итог
Большинство классических экономических теорий основано на предположениях теории рационального выбора: люди делают выбор, который приводит к оптимальному уровню выгоды или полезности для них. Кроме того, люди предпочтут действовать, которые приносят им пользу, а не действиям, которые являются нейтральными или наносят им вред. Хотя существует много критики теории рационального выбора — потому что люди эмоциональны и легко отвлекаются и, следовательно, их поведение не всегда соответствует предсказаниям экономических моделей, — она по-прежнему широко применяется в различных академических дисциплинах и областях обучения.
Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов. Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов α.
Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α=A1HOA1=y1=y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
определения, формулы, примеры, угол поворота
Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов α.
Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α=A1HOA1=y1=y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
определения, формулы, примеры, угол поворота
Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов α.
Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α=A1HOA1=y1=y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
определения, формулы, примеры, угол поворота
Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов α.
Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α=A1HOA1=y1=y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
определения, формулы, примеры, угол поворота
Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов α.
Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)
Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус (sin) числа t
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α=A1HOA1=y1=y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов. \circ }=5\)
Отбрасываем целое количество кругов – то есть три круга (\( \displaystyle 6\pi \)). Остается вычислить: \( \displaystyle sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Теперь думаем: в какой четверти лежит оставшийся угол? Он «не дотягивает» до \( \displaystyle 2\pi \) всего \( \displaystyle \frac{\pi }{4}\). {2}}\frac{5\pi }{12} \right)=\sqrt{3}\cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-\frac{3}{2}=-1,5\)
Ну вот, справился со всем без проблем? Очень на это надеюсь!
Начальные сведения о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе
Определения
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\sin
\alpha=\dfrac ac\)
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: \(\cos \alpha=\dfrac bc\)
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету: \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac ab\)
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету: \(\mathrm{ctg}\,\alpha=\dfrac ba\)
Утверждение
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы равных углов соответственно равны. \circ=\dfrac{\sqrt2}2\)
Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)
Шесть функций (Триггер без слез, часть 2)
Триггер без слез Часть 2:
Авторские права 19972020
Стэн Браун, BrownMath.com
Резюме: Каждая из шести триггерных функций просто одна сторона прямоугольного треугольника разделена на другую сторону .
Или, если вы нарисуете треугольник в единичной окружности , каждая функция
— длина одного отрезка. простой способ запомнить все
шесть определений: запомнить определения синуса и косинуса а затем запомните остальные четыре как комбинации синуса и косинуса ,
не как самостоятельные функции.
Основные два: синус и косинус
Картинка стоит тысячи слов (вот почему требуется тысяча слов).
раз дольше скачивать). Триггерные функции — это не что иное, как длин различных сторон прямоугольного треугольника в различных соотношениях . Так как сторон три, то 3 × 2 = 6
разные способы сделать соотношение (дробь) сторон. Это
почему есть шесть триггерных функций, не больше и не меньше .
Из этих шести функций тройка, косинус и
касательно львиная доля работы.(Остальные изучаются, потому что их можно использовать для
сделайте некоторые выражения проще.)
Начнем с синуса и косинуса, потому что они действительно базовые а остальные зависят от них.
Вот один из обычных способов показать
прямоугольный треугольник. Ключевым моментом является то, что строчные буквы а , б , в стороны, противоположные углам, отмеченным соответствующими
заглавные буквы A , B , C .В большинстве книг используется это соглашение: строчная буква для стороны, противоположной углу верхнего регистра .
Два основных определения отмечены на схеме. Вы должны сохранить их в памяти .
Фактически, они должны стать второй натурой для
вы, чтобы вы их узнавали, как бы ни повернулся треугольник
вокруг. Всегда, всегда синус угла равен противоположному
сторона, деленная на гипотенузу (opp / hyp на диаграмме). Косинус равен
равна смежной стороне, деленной на гипотенузу (adj / hyp).
(1) Запомнить:
синус = (противоположная сторона) / гипотенуза
косинус = (смежная сторона) / гипотенуза
Какой синус у B на диаграмме? Помните opp / hyp: наоборот
сторона b , а гипотенуза c , поэтому
sin B = b / c .
А как насчет косинуса B ? Помните прил / гип: прилегающая сторона a , поэтому cos B = a / c .
Вы замечаете, что синус одного угла является косинусом другого?
Так как A + B + C = 180 для любого
треугольник, а C — 90 в этом треугольнике, A + B должен
равно 90. Следовательно A = 90 — B и B = 90 — A . Когда два угла складываются
90, каждый угол является дополнением другого угла ° и °, а синус
каждого угла составляет o синус другого. Это идентификаторы совместных функций :
(2) sin A = cos (90 — A ) или cos (π / 2 — A )
cos A = sin (90 — A ) или sin (π / 2 — A )
Выражения для длин сторон
Определения синуса и косинуса можно немного изменить, чтобы
позвольте вам записать длины сторон через
гипотенуза и углы. Например, когда вы знаете
что b / c = cos A , вы
можно умножить на c и получаем b = c × cos A .Вы можете написать еще
выражение для длины b , которое использует синус вместо косинуса?
Помните, что противоположность гипотенузы равна синусу, поэтому b / c = sin B . Умножить
через c и у вас есть b = c × sin B .
Вы видите, как записать два выражения для длины стороны a ? Пожалуйста, работайте с определениями и убедитесь, что a = c × sin A = c × cos B .
Пример: Дан прямоугольный треугольник с углом A = 52
и гипотенуза c = 150 м. Какая длина стороны b ? Подсказка: нарисуйте картинку и обозначьте A , c ,
и b .
Решение: Картинки всегда хорошие. Ты не
нужно зацикливаться на том, чтобы получить точную картину, но, по крайней мере,
сделать это близко. Это поможет вам понять, когда ваш ответ невозможен,
чтобы вы знали, что совершили ошибку.В моем маленьком эскизе я установил
чтобы сделать угол A чуть больше 45, но на мой взгляд
похоже немного меньше. Это нормально.
Вы можете заметить, что я пометил сторону как , хотя мы
не нужно это для проблемы. Я сделал это, поэтому у меня не было
подумать, с какой стороны было б . Всегда помни правило
что сторона с данной буквой противоположна углу с этим
письмо. (И, условно, мы всегда ставим C справа
угол, так что c гипотенуза.)
Когда у вас есть изображение, решить проблему довольно просто. простой. Вы хотите что-то, связанное с A , это
прилегающая сторона и гипотенуза; это должен быть косинус.
cos A = b / c
б = c × cos A =
150 × cos 52 = около 92,35 м.
Пример: Оттяжка закреплена в земле.
и прикреплен к вершине 45-футового флагштока. Если он встречается с землей
под углом 63, какова длина растяжки?
Решение: Предположительно флагшток вертикальный, поэтому
это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов,
и гипотенуза c неизвестный.Какая функция задействует противоположную сторону и гипотенузу?
Это должен быть синус. Ты знаешь что
sin A = a / c
Следовательно,
c = a / sin A = 45 / sin 63 =
около 50,5 футов
Вам может быть интересно, как найти стороны или углы треугольников.
когда нет прямого угла. Ну что ж, под темой
Решение треугольников.
Синус и косинус в единичной окружности
Часто всплывает один важный особый случай.Предположим, что гипотенуза c = 1; тогда мы называем треугольник a ед. Прямоугольный треугольник .
Из приведенных выше абзацев видно, что если c = 1, то a = sin A и b = cos A .
Другими словами, в
прямоугольный треугольник с противоположной стороной будет равен синусу, а
соседняя сторона будет равна косинусу угла.
Треугольник часто рисуют
в единичном круге , круге
радиус 1, как показано справа.Угол A находится в центре окружности, а на соседней стороне
лежит по оси x.
Если вы сделаете это, гипотенуза будет радиусом, равным 1.
Координаты ( x , y ) внешнего конца гипотенузы
— ноги треугольника x и y :
( x , y ) = (cos A , sin A ). Единичный круг — ваш друг : он может помочь вам визуализировать участки
триггерных тождеств.
Остальные четыре: касательная, котангенс, секанс, косеканс
Остальные четыре функции не имеют реальной самостоятельной жизни;
Они просто комбинации первых двух .Вы могли бы сделать все
тригонометрия, не зная ничего больше, чем синусы и косинусы. Но зная
что-то в остальных четырех, особенно касательное, часто может спасти вас
шаги в вычислении, и ваш учитель будет ожидать, что вы знаете
о них на экзаменах.
Мне проще запомнить (извините!) Определение касательной
через синус и косинус:
(3) Запомнить:
tan A = (sin A ) / (cos A )
Вы будете использовать функцию тангенса (tan) намного чаще
чем последние три функции.(Я доберусь до них через минуту.)
Есть альтернативный способ запомнить значение касательной .
Помните из схемы
что sin A = напротив / гипотенуза и cos A =
смежный / гипотенуза. Подставьте их в уравнение 3, определение
функция загара, и у вас загар A =
(противоположный / гипотенуза) / (смежный / гипотенуза) или
Обратите внимание, что это , а не с пометкой «запомнить»: вам не нужно
запомнить, потому что он вытекает непосредственно из определения
уравнение 3, и фактически эти два утверждения
эквивалент. Я решил представить их в таком порядке, чтобы минимизировать
беспорядок opp, adj и hyp среди sin, cos и
загар. Однако, если хотите, можете запомнить
уравнение 4, а затем вывести эквивалентное тождество
уравнение 3, когда вам это нужно.
Пример: Оттяжка закреплена в земле и прикреплена
на вершину 45-футового флагштока. Как далеко якорь от базы
флагштока, если провод встречается с землей в
угол 63?
Решение: Это вариант
предыдущий пример.Этот
время, вы хотите знать сторону, прилегающую к углу A , а не
гипотенуза. Как и раньше, предположим, что флагшток вертикальный, поэтому
это прямоугольный треугольник с A = 63, a = 45 футов,
и прилегающая сторона b неизвестный. Какая функция задействует соседнюю сторону и противоположную сторону?
Это касательная. Вы знаете, что
загар A = a / b
Следовательно,
b = a / tan A = 45 / tan 63 =
около 22. 9 футов
Итак, я сказал, что вы можете выполнять все триггеры только с синусами и
косинусы. Как это сработает для этой проблемы? Ну синус и косинус
обеим нужна гипотенуза, так что у вас будет
sin A = a / c ⇒ c = a / sin A и
cos A = b / c ⇒ c = b / cos A . Следовательно,
b / cos A = a / sin A
b = a × cos A / sin A =
45 × cos 63 / sin 63 = около
22.9 футов
В конце концов, вы попали в то же место, но путь был
дольше. Итак, хотя это и не обязательно, касательная
может облегчить вашу работу.
Остальные три триггера
функции котангенс, секанс и косеканс являются определяется в терминах первых трех .
Они используются реже, но упрощают некоторые проблемы в
исчисление. В практических задачах, не связанных с исчислением, они вам практически никогда не понадобятся.
(5) Запомнить:
детская кроватка A = 1 / (коричневый A )
сек A = 1 / (cos A )
csc A = 1 / (sin A )
Угадайте что! Это последняя триггерная идентификация, которую вам нужно запомнить.
(Вы, вероятно, обнаружите, что в конечном итоге запомните некоторые другие
личности, даже не намереваясь, просто потому, что вы их используете
часто. Но уравнение 5 делает последние, что
вам придется сесть и запомнить только их
собственн.)
К сожалению, определения в уравнении 5 не являются
самая легкая вещь в мире для запоминания. Равняется ли секанс на 1?
синус или 1 над косинусом? Вот , два полезных совета :
Каждое из этих определений имеет совместную функцию с одной и только с одной стороны.
уравнения, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что sec A равно 1 / sin A .А секанс и косеканс идут вместе, как
синус и косинус, поэтому у вас не возникнет соблазна подумать, что детская кроватка A равно 1 / sin A .
Для альтернативного подхода к запоминанию
выше идентификаторов, вам может понравиться:
Вы можете сразу заметить важную связь между касательной и
котангенс. Каждый является совместной функцией другого, как синус и
косинус:
(6) желто-коричневый A = детская кроватка (90 — A ) или детская кроватка (π / 2 — A )
детская кроватка A = желто-коричневый (90 — A ) или коричневый (π / 2 — A )
Если вы хотите это доказать, это легко
определения и уравнение 2:
детская кроватка A = 1 / tan A
Примените определение загара:
детская кроватка A = 1 / (sin A / cos A )
Упростим дробь:
детская кроватка A = cos A / sin A
Примените уравнение 2:
детская кроватка A = sin (90 — A ) / cos (90 — A )
Наконец, признайте, что эта дробь соответствует определению
функция загара, уравнение 3:
детская кроватка A = коричневый (90 — A )
Касательная и co тангенс — это такие же функции, как синус и синус. Выполняя такую же замену, вы можете показать, что секанс и
Секунды co также являются совместными функциями:
(7) сек A = csc (90 — A ) или csc (π / 2 — A )
csc A = сек (90 — A ) или сек (π / 2 — A )
Шесть функций в одном изображении
Вы видели ранее, как синус и косинус
угла — стороны треугольника в единичной окружности. Оказывается
что все шесть функций могут быть изображены таким образом геометрически.
единичный круг (радиус = AB = 1) sin θ = BC;
cos θ = AC;
загар θ = ED csc θ = AG;
сек θ = AE;
детская кроватка θ = FG
Изображение предоставлено
TheMathPage
На рисунке справа треугольник ABC имеет угол θ при
центр единичной окружности (AB = радиус = 1). Ты уже
знайте, что BC = sin θ и AC = cos θ .
А как насчет загара θ ? Ну, так как DE касается единицы
круг, вы можете догадаться, что его длина — загар θ , и вы бы
верно. Треугольники ABC и AED похожи, поэтому
ED / AD = BC / AC
ED / 1 = sin θ / cos θ
ED = загар θ
Больше информации исходит от той же пары одинаковых
треугольники:
AE / AB = AD / AC
AE / 1 = 1 / cos θ
AE = сек θ
Длина детской кроватки θ и csc θ придет.
из другого треугольника, GAF.Этот треугольник также похож на
треугольник AED.
(Почему? FG перпендикулярно FA, а FA перпендикулярно
ОБЪЯВЛЕНИЕ; следовательно, FG и AD параллельны. В начале геометрии вы
узнал, что когда параллельные линии разрезаются третьей линией,
соответствующие углы обозначены θ в
диаграммы равны. Таким образом, FG касается единицы
окружности, а значит, углы G и θ равны. )
Используя аналогичные треугольники GAF и AED,
FG / FA = AD / ED
FG / 1 = 1 / tan θ
FG = детская кроватка θ
В этом есть смысл: FG касается единичной окружности и является
тангенс дополнения угла θ , а именно угла GAF. Следовательно, FG
— котангенс исходного угла θ (или угла GAD).
Наконец, снова используя ту же пару похожих треугольников, вы
также можно сказать, что
AG / FA = AE / ED
AG / 1 = сек θ / tan θ
AG = (1 / cos θ ) / (sin θ / cos θ )
AG = 1 / sin θ
AG = csc θ
Эта диаграмма прекрасно передает геометрическое значение
всех шести триггерных функций, когда угол θ проведен в центре
единичный круг:
sin θ = BC;
cos θ = переменный ток;
загар θ = ED
csc θ = AG;
сек θ = AE;
детская кроватка θ = FG
Практические задачи
Чтобы извлечь максимальную пользу из этих проблем, решите их.
без предварительного просмотра решений.Вернитесь к главе
текст, если вам нужно освежить память.
Рекомендация : Работайте на бумаге
труднее обмануть себя, действительно ли ты
полностью разобраться в проблеме.
Вы найдете полный
решения для всех проблем. Не просто проверяй свой
ответы, но проверьте и свой метод.
1 Найдите все шесть функций угла 30. Найдите синус, косинус,
и тангенс 60. 2 Найдите sin A , sin B , tan A и tan B .3 A ≈ 53,13. Найдите примерную площадь
треугольник. Подсказка: площадь треугольника равна основание × высота /2.
BTW: Зачем называть это синусом?
Очевидно, почему
название тангенс имеет смысл: тангенс угла — это длина
отрезка, касательного к единичной окружности. А как же синус
функция? Как он получил свое название?
Посмотрите на
изображение еще раз и обратите внимание, что
sin θ = BC — половина хорды круга.Индуистский математик Арьябхата старший (о
475550) использовал слово jya или jiva для этого полуаккорда.
В арабском переводе это слово осталось без изменений, но в арабской системе
письма джива было написано так же, как арабское слово джайб,
означает грудь, складку или залив. Латинское слово, обозначающее грудь, залив или кривую.
синус, или синус на английском языке, и начинается с Gherardo из
Кремона (ок. 11141187), ставшая общепринятым термином.
Эдмунд Гюнтер (15811626), кажется, был первым
опубликовать сокращения sin и tan для sin и
касательная.
Мой источник этой истории — Эли Маорс Тригонометрический
Восторги (1998, Princeton University Press), стр.
3536. Я настоятельно рекомендую вам обратиться к книге для более полного отчета.
Что нового
27 сентября 2017 г. : Откорректировать 29,2 футов до
22,9 футов,
здесь и здесь,
спасибо Райану МакПарлану.
По закону синусов можно найти неизвестные углы и стороны в любом треугольнике.
Цели обучения
Используйте закон синусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений
Основные выводы
Ключевые моменты
Закон синусов используется для определения размеров всех трех углов и всех трех сторон треугольника.
Закон синусов гласит, что следующие пропорции равны: [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma } {c}} [/ latex], где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных сторон соответственно.{\ circ} [/ latex] угол, а любой другой треугольник — наклонный. Решить наклонный треугольник означает найти измерения всех трех углов и всех трех сторон.
Закон синусов гласит, что:
[латекс] \ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {a} = \ frac {\ sin \ beta} {b} = \ frac {\ sin \ gamma} {c}} [/ латекс]
где [latex] \ alpha, \ beta, [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] — углы, а [latex] a [/ latex], [latex] b [/ latex] и [latex] c [/ latex] — длины противоположных им сторон соответственно.
Наклонный треугольник: Стороны этого наклонного треугольника обозначены буквами a, b и c, а соответствующие им углы обозначены [latex] \ alpha [/ latex], [latex] \ beta [/ latex] и [латекс] \ гамма [/ латекс].
Обратите внимание на стандартный способ маркировки треугольников: угол [латекс] \ альфа [/ латекс] (альфа) — противоположная сторона [латекс] а [/ латекс]; угол [латекс] \ бета [/ латекс] (бета) противоположная сторона [латекс] b [/ латекс]; и угол [латекс] \ гамма [/ латекс] (гамма) является противоположной стороной [латекс] c [/ латекс].
Чтобы решить наклонный треугольник, используйте любую пару применимых соотношений из формулы закона синусов. При расчете углов и сторон обязательно доведите точные значения до окончательного ответа.
Пример
Решите треугольник, показанный на рисунке, округляя окончательные ответы до ближайшей десятой.
Наклонный треугольник с неизвестными сторонами и углами: В этом треугольнике [латекс] \ альфа = 50 \ градус [/ латекс], [латекс] \ гамма = 30 \ градус [/ латекс] и [латекс] a = 10 [/латекс]. {\ circ} \ quad \ quad \ quad c \ приблизительно 6.5 [/ латекс]
Закон косинусов
Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в случаях, когда другие законы не применяются.
Цели обучения
Используйте закон косинусов для решения задач с треугольниками любой конфигурации, а также для преобразования тригонометрических выражений
Основные выводы
Ключевые моменты
Закон косинусов можно использовать для определения углов и сторон треугольника в тех случаях, когда закон синусов не может быть применен, например, для треугольников с неизвестными углами.2 [/ latex], где [latex] c [/ latex] — это гипотенуза, а [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] — длины двух других сторон.
Использование закона косинусов
В некоторых случаях у нас может не быть достаточно информации, чтобы применить закон синусов, чтобы найти неизвестные углы и стороны в треугольнике. Например, рассмотрим треугольник, у которого известны все три стороны, но неизвестны значения углов. В таких случаях недостаточно информации для использования закона синуса. Закон косинусов полезен для: 1) вычисления третьей стороны треугольника, когда известны две стороны и их внутренний угол, и 2) вычисления углов треугольника, если известны только три стороны.
Закон косинусов определяет соотношение между измерениями углов и длинами сторон наклонных треугольников. Три формулы составляют Закон косинусов. На первый взгляд формулы могут показаться сложными, потому что они включают много переменных. Однако, как только схема будет понята, с законом косинусов легче работать, чем со многими формулами на этом математическом уровне.
Закон косинусов гласит, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение двух других сторон и косинус включенного угла.2 — 2ab \ cos \ gamma \ end {align} [/ latex]
Наклонный треугольник (без прямого угла): Наклонный треугольник с углами [латекс] \ альфа [/ латекс], [латекс] \ бета [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] и наоборот. соответствующие стороны [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс].
Для определения размера отсутствующей стороны требуется соответствующая величина противоположного угла. При решении для угла нужны длины всех сторон. Обратите внимание, что каждую формулу закона косинусов можно переставить, чтобы найти угол.2 & = 244 — 120 \ sqrt {3} \\ b & = \ sqrt {244 — 120 \ sqrt {3}} \\ b & \ приблизительно 6.0 \ end {align}} [/ latex]
Обратите внимание, что теперь у нас достаточно информации, чтобы мы могли использовать закон синусов для определения неизвестных углов [латекс] \ альфа [/ латекс] и [латекс] \ гамма [/ латекс] в треугольнике.
Пифагорейские тождества
Тождества Пифагора полезны для упрощения выражений с помощью тригонометрических функций.
Цели обучения
Соедините тригонометрические функции с теоремой Пифагора, чтобы вывести тождества Пифагора
Основные выводы
Ключевые моменты
Тождества Пифагора выводятся из теоремы Пифагора и описывают взаимосвязь между синусом и косинусом на единичной окружности. 2 [/ латекс]
Для треугольника, нарисованного внутри единичного круга, длина гипотенузы треугольника равна радиусу круга, который равен [латекс] 1 [/ латекс]. Длины сторон треугольника составляют [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].
Тождество Пифагора на единичной окружности: Для треугольника, нарисованного внутри единичной окружности, длина гипотенузы равна радиусу окружности. Стороны треугольника имеют длины [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс].2 т = 1 [/ латекс]
, что верно для любого действительного числа [латекс] т [/ латекс].
Мы можем использовать тождество Пифагора, чтобы найти косинус угла, если мы знаем синус, или наоборот. Однако, поскольку уравнение дает два решения, нам необходимо дополнительное знание угла, чтобы выбрать решение с правильным знаком. Если мы знаем, в каком квадранте находится угол, мы можем легко выбрать правильное решение.
Дополнительные тождества могут быть получены из тождества Пифагора [латекс] \ cos ^ 2 t + \ sin ^ 2 t = 1 [/ latex]. 2 т [/ латекс] упрощается до [латекс] 5 [/ латекс].
Формулы сложения и вычитания углов
Тригонометрические выражения можно упростить, используя специальные углы и набор формул для сложения и вычитания углов.
Цели обучения
Упростите тригонометрические выражения с помощью формул сложения и вычитания углов.
Основные выводы
Ключевые моменты
Формулы для сложения и вычитания углов в тригонометрических выражениях позволяют нам найти синус, косинус или тангенс данного угла, если мы можем разбить его на сумму или разность двух специальных углов.
Формулы для косинуса: [latex] \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
Формулы для синуса: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex] и [latex] \ sin (\ alpha — \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex].
Формулы касательной: [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha + \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [ / latex] и [latex] \ displaystyle {\ tan (\ alpha — \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta}} [/ latex] .2} [/ латекс].
Получение формул сложения и вычитания углов
Часто бывает проще найти точное значение синуса, косинуса или тангенса угла, если мы можем переписать данный угол в терминах двух углов, для которых известны тригонометрические значения. Мы можем использовать специальные углы, которые мы можем просмотреть в единичном круге, показанном ниже.
Единичная окружность: Единичная окружность со значениями синуса и косинуса, отображаемыми для специальных углов.
Существуют формулы для сложения и вычитания углов в каждой из тригонометрических функций.Они позволяют нам найти тригонометрическую функцию данного угла, если мы можем разбить ее на сумму или разность двух особых углов.
Чтобы увидеть, как выводятся эти формулы, мы можем разместить точки на диаграмме единичного круга. Предположим, что угол, для которого мы хотим найти тригонометрическую функцию, — это угол, образованный точкой [латекс] A [/ latex], которая измеряет угол [латекс] \ альфа — \ бета [/ латекс]. Угол, образованный [латексом] A [/ латексом] и точкой [латекс] B [/ латексом] на положительной оси [латекса] x [/ латекса], такой же, как угол, образованный между двумя особыми углами, которые обозначается [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс].Точка [latex] P [/ latex] находится под углом [latex] \ alpha [/ latex] к положительной оси [latex] x [/ latex] – с координатами [latex] (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha) [/ latex], а точка [latex] Q [/ latex] находится под углом [latex] \ beta [/ latex] от положительной оси [latex] x [/ latex] — с координатами [ латекс] (\ соз \ бета, \ грех \ бета) [/ латекс]. Углы равны, поэтому расстояние между точками [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] такое же, как и между точками [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс ]. 2} [/ латекс]
можно вывести ряд соотношений между углами. Мы можем вывести следующие шесть формул.
Формулы для косинуса:
[латекс] \ begin {align} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta \\ \ cos (\ alpha — \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]
Формулы для синуса:
[латекс] \ begin {align} \ sin (\ alpha + \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \\ \ sin (\ alpha — \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta \ end {align} [/ latex]
Формулы тангенса:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan (\ alpha + \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan (\ alpha — \ beta) & = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta} \ end {align}} [/ latex]
[latex] [/ latex] Они полезны для поиска углов, которые могут быть получены путем сложения или вычитания специальных углов. {\ circ} [/ латекс]. Можно найти тригонометрические функции любого такого угла.
Пример
Используя формулу косинуса разности двух углов, найдите точное значение [latex] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6 } \ right)}} [/ латекс].
Примените формулу [латекс] \ cos (\ alpha — \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex]:
[латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right)} = \ cos {\ left (\ frac {5 \ pi } {4} \ right)} \ cos {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)} + \ sin {\ left (\ frac {5 \ pi} {4} \ right)} \ sin {\ left (\ frac {\ pi} {6} \ right)}} [/ латекс]
Подставьте значения тригонометрических функций из единичной окружности:
Тригонометрические выражения можно упростить, применив формулы двойного и половинного угла.
Цели обучения
Упростите тригонометрические выражения с помощью формул двойного и половинного угла
Основные выводы
Ключевые моменты
Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex].Они полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла.
Формулы половинного угла также являются частным случаем и полезны, когда мы хотим найти тригонометрическую функцию угла [latex] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [latex] \ alpha [/ latex ] (Другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]).
Хотя каждая формула полуугла имеет знак [латекс] \ pm [/ латекс], знак, который применяется в каждом случае, зависит от квадранта, в который попадает угол, и правил применения знаков к тригонометрическим функциям.
Формулы для двойных углов
В предыдущей концепции мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь мы еще раз посмотрим на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где [latex] \ alpha = \ beta [/ latex]. Другими словами, они позволяют нам найти тригонометрическую функцию угла, который вдвое больше специального угла. В таких случаях можно выводить формулы для нахождения синуса, косинуса и тангенса, и эти формулы полезны для упрощения тригонометрических выражений.
Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы, которая была введена ранее: [latex] \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [ /латекс].
Если мы допустим [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex], то имеем:
[латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ theta + \ theta) & = \ sin \ theta \ cos \ theta + \ cos \ theta \ sin \ theta \\ \ sin (2 \ theta) & = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ end {align}} [/ latex]
Формула двойного угла для косинуса может быть получена аналогично:
[латекс] \ cos (2 \ theta) = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
Обратите внимание, что мы можем применить тождества Пифагора, чтобы получить еще два варианта формулы косинуса:
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ left (1- \ sin ^ 2 \ theta \ right) — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {align}} [/ latex]
[латекс] \ Displaystyle {\ begin {align} \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta \\ & = \ cos ^ 2 \ theta — \ left (1- \ cos ^ 2 \ theta \ right) \\ & = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 \ end {align}} [/ latex]
Аналогичным образом, чтобы вывести формулу двойного угла для касательной, замена [latex] \ alpha = \ beta = \ theta [/ latex] в формуле суммы дает
[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} \ tan {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} & = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} \\ \ tan {\ left (\ theta + \ theta \ right)} & = \ frac {\ tan \ theta + \ tan \ theta} {1 — \ tan \ theta \ tan \ theta} \\ \ tan {\ left (2 \ theta \ right)} & = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta} \ end {align}} [/ latex]
Формулы двойного угла резюмируются следующим образом:
[латекс] \ sin {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta [/ latex]
[латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = \ cos ^ 2 \ theta — \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
[латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 1-2 \ sin ^ 2 \ theta [/ latex]
[латекс] \ cos {\ left (2 \ theta \ right)} = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1 [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (2 \ theta \ right)} = \ frac {2 \ tan \ theta} {1 — \ tan ^ 2 \ theta}} [/ латекс]
Пример
Найдите [латекс] \ sin (60 ^ {\ circ}) [/ latex] с помощью функции [latex] \ sin (30 ^ {\ circ}) [/ latex].{\ circ} \ right)} & = 2 \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {4} \ right) \\ & = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ end {align} } [/ латекс]
Формулы полуугловых
Формулы полуугла могут быть получены из формул двойного угла. Они полезны для нахождения тригонометрической функции угла [латекс] \ theta [/ latex], который составляет половину особого угла [латекс] \ альфа [/ латекс] (другими словами, [латекс] \ displaystyle {\ theta = \ frac {\ alpha} {2}} [/ latex]). Формулы половинного угла следующие:
[латекс] \ displaystyle {\ sin {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha} {2}}} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle {\ cos {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}} [/ latex ]
[латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 — \ cos \ alpha} {1 + \ cos \ alpha} }} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {\ sin \ alpha} {1 + \ cos \ alpha}} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle {\ tan {\ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)} = \ frac {1 — \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} [/ latex]
Хотя некоторые формулы имеют знак [латекс] \ pm [/ latex], применяется только один знак.{\ circ}) [/ latex], следовательно, положительный.
Тождества тригонометрической симметрии
Тождества тригонометрической симметрии основаны на принципах четных и нечетных функций, которые можно наблюдать на их графиках.
Цели обучения
Объясните тождества тригонометрической симметрии, используя графики тригонометрических функций
Основные выводы
Ключевые моменты
Тригонометрические функции бывают четными или нечетными, что означает, что они симметричны относительно оси [latex] y [/ latex] или начала координат соответственно.
Четные тригонометрические функции — это косинус и секанс, а нечетные тригонометрические функции — это синус, косеканс, тангенс и котангенс.
Определения четных и нечетных функций можно использовать для получения тождеств симметрии, соответствующих каждой из шести тригонометрических функций.
Тождества симметрии можно использовать для нахождения тригонометрических функций отрицательных значений.
Ключевые термины
нечетная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex ], и есть симметрия относительно начала координат.
четная функция : непрерывный набор точек [latex] \ left (x, f (x) \ right) [/ latex], для которых [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], и есть симметрия относительно оси [латекс] y [/ латекс].
Симметрия в тригонометрических функциях
Мы уже обсуждали четные и нечетные функции. Напомним, что четные функции симметричны относительно оси [latex] y [/ latex], а нечетные функции симметричны относительно начала координат, [latex] (0, 0) [/ latex]. Напомним, что косинус является четной функцией, потому что он симметричен относительно оси [latex] y [/ latex].С другой стороны, синус и тангенс — нечетные функции, потому что они симметричны относительно начала координат.
Теперь мы рассмотрим каждую из тригонометрических функций и их совместные функции (секанс, косеканс и котангенс) и заметим симметрию на их графиках. Эта симметрия используется для получения определенных идентичностей.
Симметрия вокруг оси [latex] y [/ latex]: косинус и секанс являются четными функциями с симметрией относительно оси [latex] y [/ latex].
Функции косинуса и секанса симметричны относительно оси y.Графики, симметричные относительно оси [latex] y [/ latex], представляют четные функции. Для четных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] имеют одинаковое значение функции. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].
Симметрия относительно начала координат : Синус, косеканс, тангенс и котангенс являются нечетными функциями и симметричны относительно начала координат.
Функции синуса, косеканса, тангенса и котангенса симметричны относительно начала координат.Графы, симметричные относительно начала координат, представляют нечетные функции. Для нечетных функций любые две точки с противоположными значениями [latex] x [/ latex] также имеют противоположные значения [latex] y [/ latex]. Математически это выражается как [латекс] f (-x) = -f (x) [/ latex] для всех [latex] x [/ latex] в домене [latex] f [/ latex].
Тождества симметрии
Мы можем применить определения для четных и нечетных функций, чтобы вывести тождества симметрии, соответствующие каждой из наших шести тригонометрических функций.Следующие тождества симметрии полезны при нахождении тригонометрической функции отрицательного значения.
Обратите внимание, что только два тригонометрических тождества являются четными функциями: косинус и секанс. Для этих функций мы применяем [latex] f (-x) = f (x) [/ latex], чтобы найти следующие идентификаторы:
[латекс] \ begin {align} \ cos (-x) & = \ cos x \\ \ sec (-x) & = \ sec x \ end {align} [/ latex]
Для нечетных тригонометрических функций мы применяем [latex] f (-x) = -f (x) [/ latex] и находим следующие тождества:
[латекс] \ begin {align} \ sin (-x) & = — \ sin x \\ \ csc (-x) & = — \ csc x \\ \ tan (-x) & = — \ tan x \ \ \ cot (-x) & = — \ cot x \ end {align} [/ latex]
Тригонометрические функции — это элементарные функции, аргументом которых является угол.Тригонометрические функции описывают соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника. Приложения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (рядов Фурье). Эти функции часто встречаются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.
Тригонометрические функции включают следующие функции \ (6 \): синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция.
Тригонометрические функции могут быть определены с помощью единичной окружности. На рисунке ниже показан круг радиуса \ (r = 1 \). На окружности есть точка \ (M \ left ({x, y} \ right) \). Угол между радиус-вектором \ (OM \) и положительным направлением оси \ (x \) — равен \ (\ alpha \).
Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \) \ (\ грех \ альфа = у / г \). Поскольку \ (r = 1 \), синус равен \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \).
Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к радиусу \ (r: \) \ (\ соз \ альфа = х / г \)
Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (y \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (x \) -координата: \ (\ tan \ alpha = y / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение \ (x \) — координаты точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) к \ (y \) -координата: \ (\ cot \ alpha = x / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (x \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ): \ (\ sec \ alpha = r / x = 1 / x, \; \) \ (x \ ne 0 \)
Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение радиуса \ (r \) к \ (y \) — координате точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \ ): \ (\ csc \ alpha = r / y = 1 / y, \; \) \ (y \ ne 0 \)
Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике В единичном круге проекции \ (x \), \ (y \) точки \ (M \ left ({x, y} \ right) \) и радиус \ (r \) образуют прямоугольный треугольник, в котором \ (x, y \) — катеты, а \ (r \) — гипотенуза.Следовательно, приведенные выше определения сформулированы следующим образом: Синус угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного катета к гипотенузе. Косинус угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего катета к гипотенузе. Тангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение противоположного отрезка к соседнему отрезку. Котангенс угла \ (\ alpha \) — это отношение соседнего отрезка к противоположному отрезку. Секанс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к соседнему катету. Косеканс угла \ (\ alpha \) — это отношение гипотенузы к противоположному катету.
График функции синуса \ (y = \ sin x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ sin x \ le 1 \)
График функции косинуса \ (y = \ cos x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R} \), диапазон: \ (- 1 \ le \ cos x \ le 1 \)
График касательной функции \ (y = \ tan x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ tan x \ lt \ infty \)
График функции котангенса \ (y = \ cot x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (- \ infty \ lt \ cot x \ lt \ infty \)
График функции секанса \ (y = \ sec x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne \ left ({2k + 1} \ right) \ pi / 2 \), диапазон: \ (\ sec x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)
График функции косеканса \ (y = \ csc x \), область определения: \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne k \ pi \), диапазон: \ (\ csc x \ in \) \ (\ left ({- \ infty, -1} \ right] \ cup \ left [{1, \ infty} \ right) \)
Тригонометрия
Тригонометрия (название происходит от греческого слова, которое переводится как «измерение треугольников») — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников.Тригонометрия имеет множество практических приложений и используется в астрономии, геодезии, навигации и т. Д.
Тригонометрические функции
Отношения между сторонами и углами треугольников связаны с тригонометрическими функциями. Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя основными способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего они вводятся в определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, как описано ниже.
Определение прямоугольного треугольника
Выходной сигнал тригонометрической функции — отношение длин двух сторон прямоугольного треугольника. Для описания сторон прямоугольного треугольника используются следующие термины: гипотенуза, прилегающая сторона и противоположная сторона, как показано на рисунке ниже.
Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:
Смежно: сторона рядом с θ, которая не является гипотенузой
Справа: сторона, противоположная θ.
Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, противоположная прямому углу.
Тригонометрические функции определяются на основе соотношений двух сторон прямоугольного треугольника. Есть шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Эти функции часто обозначают как sin, cos, tan, csc, sec и cot. Их определения приведены ниже.
косеканс:
секанс:
котангенс:
Синус, косинус и тангенс — три наиболее часто используемые тригонометрические функции.Косеканс, секанс и котангенс являются обратными величинами синуса, косинуса и тангенса соответственно. Таким образом, если мы помним определения синуса, косинуса и тангенса, мы можем использовать их обратные величины, чтобы определить определения косеканса, секанса и котангенса.
Пример:
Каковы значения sin (45 °), cos (45 °) и tan (45 °)?
Пример:
Боб прошел 300 м по холму 30 °, на какую высоту поднялся Боб?
Высота =
пройденное расстояние × sin (30 °)
=
300 × 0.5
=
150 м
Таким образом, Боб достиг высоты 150 м, пройдя 300 м по склону холма.
Тригонометрические идентификаторы
Тригонометрические тождества — это уравнения, которые используются для описания множества взаимосвязей, существующих между тригонометрическими функциями. Помимо прочего, они могут быть полезны для упрощения тригонометрических выражений и уравнений.
Ниже показаны некоторые личности, с которыми вы можете столкнуться при изучении тригонометрии.
Взаимные идентичности
sin (θ) · csc (θ) = 1
cos (θ) · сек (θ) = 1
загар (θ) · детская кроватка (θ) = 1
Факторные идентичности
Идентификаторы совместных функций
Нечетные / четные идентификаторы
грех (-θ) =-грех (θ)
cos (-θ) = cos (θ)
загар (-θ) = -тан (θ)
csc (-θ) = -csc (θ)
сек (-θ) = сек (θ)
детская кроватка (-θ) =-детская кроватка (θ)
Пифагорейские тождества
cos 2 (θ) + sin 2 (θ) = 1
1 + загар 2 (θ) = сек 2 (θ)
1 + детская кроватка 2 (θ) = csc 2 (θ)
Пример:
Упростите следующий
Тригонометрические формулы
В тригонометрии используется множество формул, которые включают один или несколько углов или сторон треугольника.
Формулы суммы и разности
sin (x ± y) = sin (x) · cos (y) ± cos (x) · sin (y)
cos (x ± y) = cos (x) · cos (y) & mnplus ; sin (x) · sin (y)
Формулы двойного угла
sin (2θ) = 2 · sin (θ) · cos (θ)
cos (2θ) = cos 2 (θ) — sin 2 (θ) = 1-2 · sin 2 (θ) = 2 · cos 2 (θ) — 1
Формулы половинного угла
Непрямые треугольники
Определения тригонометрических функций прямоугольного треугольника применимы только к прямоугольным треугольникам.Их нельзя использовать для непрямых треугольников, таких как треугольник ABC ниже, который является наклонным треугольником.
Скорее, следующие тождества треугольников можно использовать для связи сторон и углов треугольника ABC.
Правило синуса
Закон синусов может использоваться, когда для наклонного треугольника заданы одна сторона и любые два угла, или когда заданы один угол и две стороны.
Пример:
Для треугольника ABC, a = 3, B = 70 °, C = 45 °, найдите A, b и c,
A = 180 ° — B — C = 180 ° — 70 ° — 45 ° = 65 °
Правило косинуса
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc · cos (A)
b 2 = a 2 + c 2 — 2ac · cos (B)
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab · cos (C)
Закон косинусов можно использовать, когда один угол и две его стороны даны для наклонного треугольника, или когда даны все три стороны.
Пример:
Для треугольника ABC, A = 45 °, b = 3, c = 5, найдите a,
a 2
= b 2 + c 2 — 2bc · cos (A)
= 3 2 + 5 2 — 2 × 3 × 5 × cos (45 °)
= 12,787
ACT Тригонометрия: полное руководство
Тригонометрия — это раздел математики, который занимается прямоугольными треугольниками и отношениями между их сторонами и углами.(Слово «триггер» связано со словом «треугольник», чтобы помочь вам запомнить.)
Обычно в тесте ACT есть около 4-6 вопросов, связанных с тригонометрией (официальные инструкции по ACT говорят, что задачи тригонометрии составляют 7% теста). На первый взгляд они могут показаться сложными, но большинство из них сводятся к нескольким простым концепциям.
Эта статья будет вашим исчерпывающим руководством по тригонометрии, которое вам нужно знать для ACT. Мы расскажем вам о значении тригонометрии, формулах и понимании, которые вам нужно знать, а также о том, как решать некоторые из наиболее сложных тригонометрических задач ACT.
Что такое тригонометрия и как ею пользоваться?
Тригонометрия изучает отношения между сторонами и углами прямоугольных треугольников. Соотношения между размерами сторон прямоугольного треугольника и размерами его углов постоянны, независимо от того, насколько большой или маленький треугольник.
Некоторые из множества различных возможных типов прямоугольных треугольников.
Если вы знаете размер одной стороны и один угол, отличный от 90 ° для прямоугольного треугольника, вы сможете определить остальные стороны и углы треугольника.2 = 340 9000 долларов США 3
$ c = √340 $ или $ c = 2√85 $
Но что, если у нас есть только одна длина стороны и мера одного из углов (не девяносто градусов)?
Даже если у нас есть длина только одной стороны, мы все равно можем найти другие, используя тригонометрию, потому что у нас есть мера одного из острых углов.
Итак, здесь мы могли бы сказать $ sin 34 ° = 12 / \ hypotenuse \ $
Итак, $ \ hypotenuse \ = 12 / {sin 34 °} $
Не волнуйтесь, если это еще не имеет для вас смысла! Мы разберем каждый шаг по мере продвижения в руководстве.
(Примечание: чтобы найти фактическую величину угла в градусах с использованием двух длин сторон, вам нужно будет выполнить вычисление обратной функции (также называемой функцией «дуги»). Но НЕ БОЙТЕСЬ — ACT никогда не заставит вас Сделайте это! Что касается вашей подготовки к математике ACT, поймите, что тест будет предлагать вам только вычислить достаточно далеко, чтобы сказать, например, «$ Cosinex = 4/5 $». Вам никогда не придется находить фактическую угловую меру из х по АКТ.
Мы находим эти меры, понимая отношение определенных сторон треугольника к их соответствующим углам. Это так называемые тригонометрические функции, и есть три, которые вы должны запомнить для ACT: синус, косинус и тангенс. Самый простой способ понять это — использовать мнемоническое устройство SOH, CAH, TOA , которое мы немного обсудим.> / P>
Тригонометрия широко используется в навигации, а также для расчета высот и расстояний. (На случай, если вам интересно, нужен ли вам триггер в реальной жизни.)
Наиболее распространенные триггерные вопросы ACT
Вопросы по тригонометрии в ACT можно разделить на несколько категорий.Мы предоставили несколько реальных математических примеров ACT, чтобы продемонстрировать каждую концепцию.
# 1: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла из заданной прямоугольной треугольной диаграммы.
# 2: Нахождение синуса, косинуса или тангенса прямоугольного треугольника из задачи со словами.
Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы составляет 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?
А.10 $ tan23 ° $
Б. 10 $ sin23 ° $
C. 10 $ cos23 ° $
D. $ cos {10/23} $
E. $ sin {10/23}
$
# 3: Нахождение синуса, косинуса или тангенса (или, реже, косеканса, секанса или котангенса) угла от заданного sin, cos или tan и диапазона, в который попадает угол.
Если $ tanΘ = 3/4 \ и 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?
A. $ 4/3 $
Б. $ -4 / 3 $
C. $ -3 / 4 $
Д.$ 3/5 $
-3 Э. $ / 5
# 4: Определение периода или амплитуды графика.
Какова амплитуда графика?
А. 1
Б. 2
К. π
Д. 2π
E. 0
# 5: Закон синусов или закон косинусов.
Для такого вопроса, , они дадут вам формулы закона синусов или закона косинусов , так что вам не нужно беспокоиться об их запоминании.Однако наличие формулы вам не очень поможет, если она вам покажется или звучит как тарабарщина. По мере того, как вы будете изучать это руководство, выполнять практические вопросы ACT по математике, которые мы предоставили, и знакомиться с языком тригонометрии, используемым в этих вопросах, их станет намного легче решать.
Мы рассмотрим, как решить каждую из этих проблем, , но это даст вам представление о том, как будут выглядеть триггерные проблемы ACT в тесте.
SOH, CAH, TOA
Помните эту знаменитую мнемонику? Это спасет вашу жизнь.Давайте пройдемся по каждому.
SOH (синус)
Синус — это функция, в которой значение синуса (также называемого «грехом») угла тета можно найти, используя отношение стороны треугольника, противоположной углу тета, к гипотенузе треугольника.
SOH : S в $ Θ $ = O одна сторона треугольника / H yпотенуза треугольника
Итак, в этом треугольнике $ sinΘ = b / c $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а гипотенуза равна c .
CAH (косинус)
Косинус — это функция, в которой значение косинуса (также называемого «$ cos $») угла тета ($ Θ $) можно найти, используя отношение стороны треугольника, примыкающей к углу $ Θ $ (т. Е. не гипотенуза) над гипотенузой треугольника.
CAH : C os $ Θ $ = A соседняя сторона треугольника / H yпотенуза треугольника
Примечание: смежный означает, что сторона треугольника касается угла / помогает создать угол $ Θ $.
В этом же треугольнике $ cosΘ = a / c $, потому что сторона, примыкающая к углу $ Θ $, равна a , а гипотенуза равна c .
TOA (касательная)
Касательная — это функция, в которой значение тангенса (также называемого «тангенс») угла тета может быть найдено с помощью отношения стороны треугольника, противоположной углу тета, по соседней стороне треугольника к тета (что не является гипотенуза).
TOA : T и $ $ = O заданная сторона треугольника / A смежная сторона треугольника.
В этом же треугольнике $ tanΘ = b / a $, потому что сторона, противоположная углу $ Θ $, равна b , а смежная сторона — a .
Теперь, когда вы знакомы со своими мнемоническими устройствами, вы можете составлять вопросы в несколько этапов. Например, немного более сложный вопрос может выглядеть примерно так:
Вам даны длины двух сторон треугольника, но для решения задачи требуется длина третьей стороны.2 = 21 $
$ x = √21 $
Теперь, когда у вас есть размер третьей стороны, вы можете найти $ tanB $.
$ TanB = \ напротив / \ Соседний $
$ TanB = √21 / 2 $
Итак, ответ: F , √21 $ / 2 $
Какие стороны противоположные или смежные?
Гипотенуза треугольника всегда остается неизменной, но противоположные или смежные стороны меняются в зависимости от угла фокусировки.
Например, если вы пытаетесь найти $ sin $ угла $ γ $, вы должны использовать соотношение $ b / c $; если вы пытаетесь найти грех угла $ ξ $, вы должны использовать соотношение $ a / c $.2 = 44 $
$ x = √44 $
Теперь $ sin $ = $ \ Against / \ hypotenuse $, поэтому $ sinM = √44 / 12 $.
Итак, ответ — K.
Нет необходимости находить градусную меру (арксинус или обратный синус) угла M на вашем калькуляторе — это все, что вам нужно.
Вам также может быть предоставлено значение угла и длины стороны знаменателя вашего соотношения. В этом случае управляйте уравнением, как алгебраическим уравнением, и умножайте противоположную сторону на знаменатель.
$ sin Θ = \ напротив / \ гипотенуза $
$ гипотенуза $ * sinΘ = $ напротив
Поскольку вас спрашивают о длине лодки до причала, а эта сторона составляет напротив угла 52 °, вы знаете, что вам понадобится либо sin, либо tan (cos использует смежную и гипотенузу, а не противоположную).
Вам также дается соседней длины , 30 миль, поэтому вы будете использовать tan. (Вы можете сказать, что эта сторона смежная, потому что сторона, противоположная углу 90 °, является гипотенузой, поэтому 30 миль должны быть еще одним катетом треугольника).
$ tanΘ = \ напротив / \ рядом $
So $ tan52 ° = x / 30 $
30 $ тан52 ° = x
долл. США
Итак, ответ — франков, длина лодки до причала 30 тангенциальных 52 °.
И снова проблема со словом из ранее.
Алекс подпирает лестницу к стене. Лестница составляет 23 ° от земли. Если длина лестницы составляет 10 футов, каково выражение для определения расстояния, на котором основание лестницы находится от стены?
А.10 $ загар23 ° $
Б. 10 $ sin23 ° $
C. 10 $ cos23 ° $
D. $ cos10 / 23 $
E. $ sin10 / 23 $
Во-первых, нарисуйте свою картинку, чтобы легче было представить себе, о чем вас просят.
Итак, у нас есть расстояние между лестницей и землей в 23 ° $. Также мы работаем с длинами соседней стороны треугольника и гипотенузы. Это означает, что нам понадобится косинус, так как $ cosΘ = \ напротив / \ hypoteneuse $
Короткий ответ: нет, вас не попросят определить точную величину угла в градусах с помощью тригонометрии.2)}
долл. США
Когда Sin, Cos и Tan являются положительными или отрицательными?
В зависимости от того, где расположен треугольник в двумерном пространстве, значения sin, cos и tan будут отрицательными или положительными.
В двухмерном пространстве четыре квадранта, разделенных по осям x и y.
В квадранте I и x, и y положительны.
В квадранте II x отрицателен, а y положителен
В квадранте III оба значения x и y отрицательны
А в квадранте IV x положительный, а y отрицательный
Как и в случае со значениями x и y, sin, cos и tan могут быть положительными или отрицательными в зависимости от квадранта, в котором находится треугольник / угол.
В квадранте I все положительные
В квадранте II sin положителен, а cos и tan отрицательны
В квадранте II tan положительный, а sin и cos отрицательные
В квадранте IV cos положительна, а sin и tan отрицательны
Хороший способ запомнить это по мнемонической аббревиатуре ASTC — A ll S tudents T ake C hemistry — чтобы увидеть, какая из функций является положительной в зависимости от квадранта.
Итак, A ll положительны в квадранте I, S in положительны в квадранте II, T an положительны в квадранте III, и C os положительны в квадранте IV
Если $ tanΘ = 3/4 $ и $ 180 ° <Θ <270 ° $, что такое $ sinΘ $?
A. $ 4/3 $
Б. $ −4 / 3 $
C. $ -3 / 4 $
D. $ 3/5 $
-3 Э. $ / 5
Чтобы решить эту проблему, сначала определите длины сторон треугольника, используя теорему Пифагора (или используя свои знания о 3-4-5 треугольниках).2 = 25 9000 долларов США 3
$ c = 5
$
Итак, наша гипотенуза равна 5.
Мы знаем, что $ sin Θ = \ Against / \ hypotenuse $. Итак, $ sinΘ = 3/5 $.
Но подождите! Мы еще не закончили. Поскольку они сказали нам, что $ Θ $ лежит между $ 180 ° $ и $ 270 ° $, мы знаем, что значение sin для $ Θ $ отрицательно. Согласно ASTC, только тангенс угла $ Θ $ будет положительным между 180 ° $ и 270 ° $.
Итак, , наш окончательный ответ — евро, $ — 3/5 $
Вторичные триггерные функции
В редких случаях на ACT вам будет предложено указать одну из вторичных триггерных функций.Это косеканс, секанс и котангенс. Они будут отвечать максимум на один вопрос за тест.
Вы могли заметить, что они похожи на основные триггерные функции, которые вы изучили выше. Фактически, эти вторичные функции являются обратными (обратными) sin, cos и тангенсом.
Чтобы помочь вам запомнить, что есть что, обратите внимание на третью букву каждого слова:
Есть две формулы, которые время от времени будут появляться в ACT. Если вы чувствуете, что не можете больше запоминать тригонометрию, не беспокойтесь о том, чтобы запомнить их — они могут ответить максимум на один вопрос за тест .2 {x}) $, что также равно 1.
Итак, мы имеем 1 + 1 = 2
Окончательный ответ: H , 2.
$$ (sinΘ) / (cosΘ) = tanΘ $$
Это уравнение имеет логический смысл, если представить его в виде диаграммы. Допустим, у вас есть треугольник, который выглядит так
$ Sin Θ $ будет 5 $ / 13 $. $ Cos Θ $ будет $ 12/13 $. $ Tan Θ $ будет 5 долларов США / 12%.
Вы также можете сказать $ tanΘ = {sinΘ} / {cosΘ} = {5/14} / {12/13} = (5/13) (13/12) = 65/156 $ (вы также можете просто отменить обе 13s для упрощения) = 5 $ / 12 $
Графические триггерные функции
ACT не будет запрашивать у вас график триггерной функции, но вам нужно распознать, как каждая функция выглядит в виде графика.
Синус
Синусоидальный график пересекает начало координат в виде волны. Он всегда возрастает после $ x = 0 $, после пересечения начала координат.
Это «нечетная» функция, потому что она не симметрична относительно оси y.
Косинус
График косинусов также «волнистый», но не пересекает начало координат. Он спускается после $ x = 0 $.
Это может помочь вам запомнить, что косинус убывает после x = 0, если подумать, что « co — это low »
Косинус является «четной» функцией, потому что он симметричен относительно оси y.Это означает, что для всех значений $ x $ $ f (x) = f (-x) $.
Например, на графике выше $ y = 0,7 $ как при $ x = 1 $ , так и при $ x = -1 $
Иногда все, что вам зададут, — это определить, является ли график четным или нечетным, а также является ли график sin или cos. Вам будет легко понять это, если вы помните основные элементы тригонометрических графиков.
Хотя вы можете понять этот вопрос из предоставленной информации, это займет гораздо меньше времени, если вы узнаете, что график является косинусным и, следовательно, четным.А на ACT время ограничено и ценно.
Касательная
Касательный график выглядит совсем иначе, чем графики sin и cos — вам просто нужно уметь распознавать касательный график, когда вы его видите.
Периоды и амплитуды
ACT иногда просит вас найти период или амплитуду синусоидального или косинусного графика.
Период
Период графика — это расстояние по оси x, с которого график начинает повторяться.Найдите расстояние по оси x, на котором точка возвращается в исходное положение после завершения полного цикла .
Период синусоидального графика здесь равен 2π. Он должен идти как вверх, так и вниз, прежде чем окончательно вернуться к $ y = 0 $.
Период косинусного графика здесь также равен 2π. Он должен сначала спуститься, а затем снова подняться, чтобы вернуться в исходное положение при $ y = 1 $.
Амплитуда
Амплитуда графика — это его высота от оси x, расстояние между его наивысшим значением $ y $ и $ x = 0 $.
Итак, чтобы использовать тот же график, что и выше:
И синус, и косинус имеют амплитуду 1 (и, опять же, период 2π).
Рад
Радианы — это еще один (более точный) способ измерения расстояния по окружности, а не в градусах. Вместо градусов радианы выражаются через π (и доли π).
Если у вас есть полный круг, это 360 градусов. Это также 2π радиан.
Почему 2π радиан? Что ж, придумайте формулу длины окружности. С = 2πr. Если ваш радиус равен 1, тогда ваша окружность равна 2π, что совпадает с вашей мерой в радианах.
Окружность с радиусом 1 и центром в начале координат называется «единичной окружностью». Радианы удобно рассматривать, помещая их на единичный круг.
Итак, если у вас есть полукруг, это 180 ° или π радиан.
И так далее. 90 ° — это $ π / 2 $ радиан, 270 ° — $ (3π) / 2 $ радиан.
Для преобразования градусов в радианы проще всего использовать преобразование между 180 ° и π .
Итак, давайте рассмотрим, как разбить триггерный вопрос
# 1: Определите, требует ли проблема тригонометрии. Вы можете сказать, что проблема потребует триггера, когда:
Проблема упоминает sin, cos или tan в вопросе или в вариантах ответа
Задача дает вам диаграмму или описывает прямоугольный треугольник, а затем просит вас найти значение, которое нельзя найти, используя только теорему Пифагора.
Как мы видели в этой задаче ранее — вы можете использовать теорему Пифагора в задаче тригонометрии, но вы не можете решить тригонометрическую задачу только , используя теорему Пифагора.
Проблема показывает вам «волнистый» график по осям x и y
Задача запрашивает период или амплитуду графика
# 2: Помните SOH, CAH, TOA.2 {Θ} и др.
# 4 :. Вспомните, как выглядят графики синуса, косинуса и тангенса.
И знайте, что:
Период = горизонтальное расстояние
Амплитуда = вертикальное расстояние
# 5: Празднуйте, потому что вы ответили на триггерные вопросы ACT!
Итоги
Хотя тригонометрические задачи могут показаться устрашающими, почти каждый вопрос о тригонометрии ACT может быть решен, если вы знаете основные элементы тригонометрии.
Чтобы извлечь максимальную пользу из подготовки к математике ACT, запомните эти три триггерные концепции: SOH, CAH, TOA, как управлять своими уравнениями и как распознавать графики функций. Если вы запомните их, вы обнаружите, что решаете практически все триггерные вопросы, которые ACT может бросить вам.
Что дальше?
Хотите больше математических стратегий и руководств ACT? Прочтите нашу статью по всем математическим темам, протестированным на ACT, чтобы убедиться, что вы их хорошо усвоили. Вы знаете твердотельную геометрию ACT? Обязательно освежите свои знания, если вы ищете каждую последнюю точку.
Хотите получить высший балл по математике в ACT? Ознакомьтесь с нашей статьей о том, как набрать 36 в разделе ACT Math от 36 ACT-Scorer.
Чувствуете себя подавленным? Не знаю, с чего начать? Не ищите дальше наших статей о том, что считается хорошей, плохой или отличной оценкой ACT. Не знаете, в какие дни предлагается ACT? Ознакомьтесь с полным списком дат тестирования ACT, чтобы найти подходящие для вашего расписания.
И если вы обнаружите, что у вас не хватает времени на математический раздел, посмотрите не дальше нашей статьи о том, как перестать не хватать времени на математику ACT.
Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?
Ознакомьтесь с нашей лучшей в своем классе онлайн-программой подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой результат SAT на 160 или более баллов.
Наша программа полностью интерактивна, и она адаптирует то, что вы изучаете, к вашим сильным и слабым сторонам. Если вам понравилось это руководство по математической стратегии, вам понравится наша программа. Наряду с более подробными уроками вы получите тысячи практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы могли учиться наиболее эффективно.Мы также дадим вам пошаговую программу, которой нужно следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.
Воспользуйтесь нашей 5-дневной бесплатной пробной версией:
Формула тригонометрии — [Sin, Cos, Tan, Cot, Sec и Cosec]
Формула тригонометрии : Тригонометрия — это хорошо известное имя в геометрической области математики, которое актуально в этой области с давних времен и также применяется практически во многих случаях.
На простом языке тригонометрию можно определить как ту ветвь алгебры, которая связана с треугольником. В этом разделе мы в основном изучаем взаимосвязь между углами и длиной стороны данного треугольника. При таком подробном изучении треугольника формируются уравнения нескольких типов, которые впоследствии решаются для упрощения взаимосвязи между длинами сторон и углов такого треугольника.
Тригонометрия считается одним из старейших компонентов алгебры, существующей примерно с 3 века.Существует практическое использование тригонометрии в нескольких контекстах, таких как астрономия, геодезия, оптика или периодические функции.
Формулы тригонометрии
Что ж, будь то алгебра или геометрия, обе эти области математики основаны на научных вычислениях уравнений, и мы должны выучить различные формулы, чтобы их было легко вычислить.
Как мы знаем, в тригонометрии мы в основном измеряем разные стороны треугольника, из которых формируются несколько уравнений.Далее формулы тригонометрии составляются в соответствии с различными отношениями, используемыми в области, такими как синус, тангенс, косинус и т. Д. Таким образом, в основном есть номера формул, которые обычно используются в тригонометрии для измерения сторон треугольника. .
Здесь мы упоминаем список различных типов формул тригонометрии.
Таким образом, вы можете видеть, что Sin — это угол. То же, что и обратная функция для всех функций Trignomentry, — это угол.
18. Область и диапазон функций обратной тригонометрии
19. Формула обратной тригонометрии
20. Замена обратной тригонометрии
Как и любой другой раздел математики, формулы тригонометрии не менее важны, поскольку без этих формул вы не можете использовать значения треугольников для целей измерения. Эти формулы упрощают стороны треугольника, так что вы можете легко измерить все его стороны.
Мы призываем всех ученых понять эти формулы, а затем легко применять их для решения различных типов задач тригонометрии.
Синус, косинус и тангенс объяснены с помощью примеров
Сегодня мы собираемся обсудить еще один основной термин математики: синус, косинус и тангенс. Вкратце эти термины также называются sin cos и tan.
Синус, косинус и касательные — важные термины в тригонометрии, и их определение основано на прямоугольном треугольнике.В основном они определяются в терминах отношения сторон прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник — это тип треугольника, в котором один угол равен 90.
Перед тем, как начать обсуждение основной темы sin cos и tang, мы должны коснуться основы прямоугольного треугольника.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это самая длинная сторона, противоположная прямому углу. а перпендикуляр — сторона угла 90.
Синус, косинус и тангенс
Итак, согласно рисунку мы можем легко обсудить синус, косинус и тангенс (sin, cos, tan).В любом прямоугольном треугольнике
Синус θ = Длина перпендикуляра Длина гипотенузы
Cos θ = Длина основания длина гипотенузы
Tan θ = Длина перпендикуляра Длина основания
Простой способ выучить формулы sin cos tan
Мы обсудим два метода простого изучения формул sin cos и tang. Студентам необходимо запомнить два слова, и они смогут решить все задачи о синус-косинусе и тангенсе.
Метод 1
Вы можете легко выучить формулу sin cos и tan, выучив слово SOHCAHTOA. Итак, теперь мы узнаем, как это работает, чтобы запомнить формулу
Сокращения
Формулы
SOH
Sin θ = Противоположно / Гипотенуза
CAH
Cos θ = Соседний / Гипотенуза
TOA
Желто-коричневый θ = напротив / рядом
Короче говоря, если мы взяли вышеуказанные сокращения, мы легко запомним формулу синуса, вспомнив SOH.Таким же образом мы можем узнать формулу косинуса, запомнив CAH и формулу касательной с TOA.
Метод 2
В приведенном выше методе мы обсуждаем выучить формулы для синусоидального косинуса и тангенса, запоминая одно слово. Точно так же это второй способ легко выучить эти формулы. Согласно прямоугольному треугольнику, если вы выучите эти 3 предложения, вы легко сможете выучить формулы sin cos и tan.
предложений
Формулы
У некоторых людей
Sin θ = перпендикуляр / гипотенуза
Вьющиеся черные волосы
Cos θ = База / Гипотенуза
Сквозная щетка
Желто-коричневый θ = Перпендикуляр / основание
Пример: что такое синус cos и тангаж 45 °? Если перпендикуляр 4, база 3 и гипотенуза 6.
Из рисунка имеем значение θ = 45.
Гипотенуза = H = 6
База = B = 3
Перпендикуляр = P = 4
Используя формулу синуса
Sin (θ) = Perp / Hyp
Sin (45) = 4/6 Sin (45) = 0,666
По формуле косинуса
Cos (θ) = База / Hyp
Cos (45) = 3/6 Sin (45) = 0.5
По формуле загара
Желто-коричневый (θ) = Perp / Base
Тан (45) = 4/3 Тан (45) = 1,33
Подробнее об идентификаторах триггеров и круге единиц
1. Из имеющихся четырёхугольников указать те, которые являются параллелограммами
3 2 1 6 4 5
2. Заполнить таблицу, отметив знаки «+» или «-»
Параллелогр амм Противоположные стороны параллельны и равны Все стороны равны Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна180 Все углы прямые Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Диагонали равны Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов Прямоугольник Ромб Квадрат
Тест для капитана вариант 11.Любой прямоугольник является: а)ромбом б) квадратом в)параллелограммом г)нет такого ответа 2.Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник-… а) ромб б)квадрат в) прямоугольник г) нет правильного ответа 3. Ромб- это четырёхугольник, в котором…. а)диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны. б)диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам в)противолежащие углы равны, а стороны параллельны г) нет правильного ответа
5. Конкурс капитанов вариант 2
1.Любой ромб является : а) квадратом б) прямоугольником в)параллелограммом г)нет правильного ответа. 2.Если диагонали перпендикулярны, то это параллелограмм: а)ромб б) квадрат в)прямоугольник в) нет правильного ответа .Прямоугольник — это четырёхугольник, в котором : а) противоположные стороны параллельны, а диагонали равны б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов в)два угла прямые и две стороны равны г) нет правильного ответа
6.
Устные задачи1.Один из углов параллелограмма 40. Найти углы параллелограмма 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 140. Найти углы параллелограмма. 3.Одна из сторон параллелограмма в 2 раза больше другой, а Р=24см Найти стороны параллелограмма. 4. Найти площадь треугольника ,если площадь параллелограмма 240 кв.см Б Е С АВСД параллелограмм Найти: угол А, угол С А 32 Д В В В В АВСД ТРАПЕЦИЯ НАЙТИ угол В.,угол Д С 117 в Д 36 А В С АВСД прямоугольник Найти АД 60 10 1 0 А Д В А 6 6 60 С р м Д АВСД ромб Найти МД+ДР Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Круги ЭЙЛЕРА — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления Множество всех действительных чисел Эйлер изобразил с помощью этих кругов: N-множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R – множество вех действительных чисел.
Отношение рода и вида между понятиями
Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».
Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».
В–третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия.Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.
Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:
1) а – «прямоугольник», b- «ромб»;
Объемы понятий пересекаются, но не одно множество не является подмножеством другого. Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.
2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;
Объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают – всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» — видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» – родовое по отношению к понятию «параллелограмм».
3) а — «прямая», b – «отрезок».
Объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.
О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид.
Замечание.Если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого.
Например, отрезок не обладает такими свойствами прямой, как ее бесконечность.
3. Определение понятий
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.
Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:
а есть (по определению) b
Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b
Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».
Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее.
Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части – определяющему понятию. В нем можно выделить:
1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,
2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.
Определение. Видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.
Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы
Определяемое
понятие
Родовое
понятие
видовое отличие
+
Определяющее понятие
Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во–первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а, определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) – буквой с, а видовое отличие – буквой Р, то определение через род и видовое отличие можно представить так:
а
Почему видовое отличие обозначено заглавной буквой, мы узнаем позже.
Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р: А= { х | хÎ С и Р (х)}.
Например, если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», — то объем понятия «острый угол» – это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».
Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой – либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.
Требования к определению понятий
Определение должно быть соразмерным.
Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.
Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающие прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.
В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.
Это означает, чтонельзя определять понятие через само себя (в определении не должно содержатся определяемого термина) или определять его через другое понятие, которое определяется через него.
Возьмем такие понятия начальной математики, как “умножение” и “произведение”, и дадим им следующие определения:
Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.
Произведением чисел называется результат их умножения.
Видим, что умножение определяется через понятие произведение, а произведение – через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.
Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.
Определение должно быть ясным.
Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.
Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.
К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.
Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».
Нетрудно убедится в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно показать, что включенное в определение свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное. Следовательно, правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».
Замечание. Чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выделены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простаты изложения это правило нарушают.
Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат – это когда все стороны равны».
К сказанному следует добавить, что,формулируя определение, надо стремиться в определяющем указать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее.Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.
Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».
Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие – прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».
Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.
Так, квадрат можно определить как:
а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;
б) прямоугольник, у которого есть прямой угол;
в) ромб, у которого есть прямой угол;
г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большего числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.
Если же одному и тому же понятию даются, например, два различных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.
Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:
1. Назвать определяемое понятие (термин).
2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.
3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т. е. сформулировать видовое отличие.
4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).
Примеров явных родо-видовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.
5. Неявные определения
При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используются редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много – об этом мы говорили в начале лекции. Как же их определяют?
При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявныеопределения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее.
В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивныеопределения.
Вконтекстуальныхопределениях содержание нового понятияраскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретнойситуации, описывающей смысл определяемого понятия с другими,известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а — 3) × 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.
Или, примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенного в учебнике математики для 3 класса. Здесь после записи ð + 6= 15 и перечня чисел 0,5,9,10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):
Х + 6 = 15 – это уравнение.
Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9+6=15.
Объясни, почему числа 0; 5 и 10 не подходят».
Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.
Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни — это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.
Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой — маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т. д.
Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.
Остенсивные определния — это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.
Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите — это квадрат». Это типичное остенсивное определение.
Они используются также для введения терминов путем показа объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:
2 × 7 > 2 × 6 9×3 = 27
78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6
37+ 6 > 37 17 — 5 = 8 + 4
В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т. д.) цвет», «левый — правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.
На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения — и только они — связывают слово с вещами. Без них язык — лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания.
Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет понятие из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.
Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение».
Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими.
Примеры генетических определений: «Угол — это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника — отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг».
К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.
Например, «Натуральный ряд чисел — это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.».
Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин.
Например, единицы времени год, месяц, час, минута.
Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языкомв виде равенства, например, а ×1 = а, а × 0 = 0
В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий — одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.
Домашние задания по курсу логики
Здесь вы можете получить задачи по курсу логики, ссылка на страницу с решением приведена ниже.
Решения
Привести примеры нарушения законов логики
Привести примеры нарушения правил деления объема понятия.
Привести примеры нарушения правил определения понятия.
Изобразить на кругах Эйлера отношения между понятиями.
На основе логического квадрата, полагая исходное суждение сначала истинным, затем – ложным, выведите суждения, соотносимые с исходным, и установите их истинностные значения.
8.1. Коровы не летают. 8.2. Всяк кулик свое болото хвалит. 8.3. Услужливый дурак опаснее врага. 8.4. Насилие – спутник войны. 8.5. Не все сапожники в сапогах.
8.6. Рыбы живут в реках. 8.7. Наука на веру ничего не принимает. 8.8. Не все то золото, что блестит.
9.1. Некоторые люди злые. 9.2. Доверчивый – беззащитен. 9.3. Утки не поют. 9.4. Дети любят шоколад. 9.5. Чиновники не любят работать. 9.6. Депутаты любят болтать.
9.7. Политики не следуют нормам морали. 9.8. Баскетболисты — люди высокорослые.
Приведите примеры умозаключений по схемам (модусам) условно-категорического силлогизма, а также – простой и сложной контрапозиции.
Подыщите средний термин и постройте силлогизм. Укажите фигуру и модус.
Восстановите энтимему до полного силлогизма. Укажите фигуру и модус.
12.1 Они не больны, так как у них нет повышенной температуры. 12.2. Курица не птица, поскольку все птицы летают. 12.3. Металлы – химические элементы, так как все химические элементы – вещества. 12.4. Обвиняемый имеет право на защиту, Следовательно, М. имеет право на защиту. 12.5. Эта мысль ложна, ибо она не соответствует действительности. 12.6. Судья вправе задавать вопросы в любой момент допроса свидетеля, но вы не судья. 12.7. Наблюдение широко используется в оперативно- розыскной работе. Наблюдение – метод научного познания. 12.8. Все воспитатели должны быть хорошо воспитаны. Петров не является воспитателем.
Рекомендую посетить и эту страницу:
Аудио словарь латинского языка
И ИХ СТРУКТУРА
Математика И ИХ СТРУКТУРА
просмотров — 1204
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Понятие. Виды понятий
Понятие — ϶ᴛᴏ форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета.
В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни оперирование ими. К примеру, «треугольник», «дом», «добросовестный человек».
Понятия делятся на основные (неопределяемые) и определяемые (производные).
Основные понятия принимаются без определения. К примеру, в геометрии основными понятиями являются: точка, прямая, плоскость.
Определяемые (производные) понятия определяются через основные или ранее определенные. К примеру, луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой.
В понятии отражаются различные признаки предметов.
Признаком предмета принято называть то, в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются. Признаки могут выражаться в свойствах предмета͵ в форме отношения предмета к другим предметам.
Отличительные признаки — ϶ᴛᴏ признаки, которые принадлежат только одному предмету.
Общие признаки принадлежат нескольким предметам.
Признаки бываютсущественные и несущественные.
Существенным признаком какого-либо понятия принято называть такой признак, который принадлежит данному понятию при любых условиях, выражает его коренную сущность, с изменением которого меняется понятие.
К примеру, существенными признаками квадрата являются прямоугольность и равносторонность.
Несущественный признак не раскрывает сущность предмета͵ при изменении которого понятие о предмете не меняется.
Всякое понятие имеет содержание и объем.
Содержанием понятия принято называть совокупность существенных признаков предмета. Содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных признаков: 1) быть параллелограммом и 2) иметь равные стороны.
Объемом понятия принято называть множество предметов, обладающих данными существенными признаками. К примеру, под объемом понятия «студент» подразумевается множество всех студентов, которые существуют сейчас, существовали ранее и будут существовать в будущем.
Связь между содержанием и объемом понятия выражается в законе обратного отношения между содержанием и объемом понятия: увеличение содержания понятия ведет к образованию понятия с меньшим объемом, и наоборот. Так, к примеру, если увеличить содержание понятия прямоугольник, добавив свойство равных сторон, то получится понятие с меньшим объемом – квадрат. В случае если же наоборот, убрать свойство прямоугольности в определении прямоугольника, то получится понятие с большим объемом – параллелограмм.
Способы определения понятий
При изучении понятий в любой науке им дают определения. Определить понятие – значит указать способ, с помощью которого можно отделять объекты или отношения, охватываемые данным понятием, от всех других объектов и отношений.
Для того чтобы определить понятие, нужно указать его место в ряду других понятий данной науки, выявить его связи, зависимости от других понятий. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, определяя понятие, приходится выполнять некоторую логическую операцию, в результате которой формулируется предложение, раскрывающее содержание понятия.
Определением (дефиницией) принято называть логическая операция, раскрывающая содержание понятия.
Понятие, содержание которого раскрывается в определении принято называть определяемым; понятие, раскрывающее содержание определяемого понятия, принято называть определяющим.
К примеру, квадрат — ϶ᴛᴏ прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат – определяемое понятие, прямоугольник – определяющее понятие.
Для того, чтобы определения могли служить построению какой-либо научной теории, они должны удовлетворять определенным требованиям.
1. Требование соразмерности определения: объем определяемого понятия должен совпадать с объемом определяющего понятия.
К примеру, в определении «Биссектрисой угла принято называть луч, который делит угол пополам» объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия (неполно видовое отличие – луч должен выходить из вершины угла).
2. Отсутствие порочного круга: нельзя определить понятие через само себя или определить его через другое понятие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ в свою очередь определяется через него.
К примеру, в определениях «Кругом принято называть часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружностью принято называть граница круга» понятие круг определяется через окружность, а окружность – через круᴦ.
3. Отсутствие амонимии: каждый термин в качестве определяемого должен встречаться не более одного раза. При нарушении этого условия нарушается однозначность определения, один и тот же термин будет обозначать различные объекты или отношения.
К примеру, в математической литературе можно встретить следующую амонимию: термин «цифра» понимает как символ для записи числа и как соответствующее однозначное число.
4. Отсутствие лишних свойств: формулировка определения не должна содержать свойства, которые можно вывести из других свойств, указанных в этом же определении.
К примеру, в определении «Прямоугольник — ϶ᴛᴏ четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и все углы прямые», условие «противоположные стороны равны» вытекает из свойства «все углы прямые».
В случае если определение удовлетворяет перечисленным требованиям, то его называют корректным.
Рассмотрим виды определений понятий.
Определения делятся на явные и неявные.
Явные определения раскрывают существенные признаки понятия. К неявным определениям относятся определения понятия путем непосредственной демонстрации объектов, охватываемых этим понятием, или приведение контекста͵ в котором содержится то или иное понятие.
Неявные определения используются на начальном этапе обучения математике. К примеру, данные определения используются при изучении геометрического материала. С помощью непосредственной демонстрации соответствующих моделей педагог знакомит детей с понятиями «круг», «треугольник», «многоугольник», «прямой угол» и др. Такие неявные определения называются остенсивными (от лат. показывать).
Отношения «больше», «меньше», «равно» в ДОУ и начальной школе определяются с помощью приведения контекста «равно — значит столько же». Такие неявные определения называются контекстуальными. Контекстуальное определение позволяет выяснить содержание определения незнакомого слова через контекст, не прибегая к словарю для перевода или толковому словарю.
В дальнейшем по мере накопления запаса знаний происходит накопление понятий, развивается язык и способность к обобщению. Все это дает возможность определять неизвестные понятия через известные. Таким образом появляются явные определения.
В явных определениях даны определяемое понятие и определяющее, объемы которых равны.
Рассмотрим некоторые способы явных определений.
1. Определение понятий через ближайший род и видовое отличие. Этот способ является наиболее распространенным.
К примеру, «Треугольник – многоугольник с тремя сторонами».
Признак, указывающий на тот круг предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, принято называть родовым признаком или родом (многоугольник).
Признаки, при помощи которых выделяется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, принято называть видовым отличием (три стороны).
Определение через ближайший род и видовое отличие включает в себя два приема:
1. Подведение определяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие. Обычно это такое родовое понятие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ содержит большее количество общих признаков с определяемым понятием.
К примеру, Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.
2. Указание видового отличия, ᴛ.ᴇ. признака, отличающего определяемый предмет от других видов, входящих в данный род (признака, присущего только видовому понятию).
2. Генетическое определение понятий.
Генетические или конструктивные определения понятий являются частным случаем определений через род и видовое отличие. В таких определениях видовое отличие указывает на происхождение предмета или на способ его образования.
К примеру, конус — ϶ᴛᴏ геометрическое тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
3. Аксиоматическое определение понятий.
В случае если какое-либо понятие вводится с помощью списка аксиом, описывающих свойства этого понятия, то такое определение принято называть аксиоматическим. Такие определения чаще всего используются для описания неопределяемых понятий — прямая, точка, плоскость и др.
Отношения между понятиями
Предметы мира находятся друг с другом во взаимосвязи и взаимообусловленности. По этой причине и понятия, отражающие предметы мира, также находятся в определенных отношениях.
Далекие друг от друга по своему содержанию понятия, не имеющие общих признаков, называются несравнимыми (к примеру, «камень» и «нитка»; «романс» и «кирпич»), остальные понятия называются сравнимыми.
Сравнимые понятия делятся по объему на совместимые (объемы этих понятий совпадают полностью или частично) и несовместимые (объемы которых не совпадают ни в одном элементе).
Существует три вида отношений совместимости: равнозначность (тождество), пересечение, подчинение.
Отношения между понятиями изображаются с помощью кругов Эйлера, где каждый круг обозначает объем понятия (рис. 3).
Равнозначными(или тождественными) называются понятия, которые различаются по своему содержанию, но объемы которых совпадают. Примеры равнозначных понятий: 1) «река Волга» и «самая длинная река в Европе»; 2) «автор рассказа «Человек в футляре» и «автор комедии «Вишневый сад»; 3) «равносторонний прямоугольник», «квадрат» и «прямоугольный ромб». Объемы тождественных понятий изображаются кругами, полностью совпадающими.
Понятия, объемы которых частично совпадают, ᴛ.ᴇ. содержат общие элементы, находятся в отношении пересечения. Примерами их являются следующие пары: «ребенок» и «танцор»; «спортсмен» и «студент». Οʜᴎ изображаются пересекающимися кругами. В закрашенной части двух кругов мыслятся студенты, являющиеся спортсменами, или (что одно и то же) спортсмены, являющиеся студентами, в левой части круга А мыслятся студенты, не являющиеся спортсменами. В правой части круга В мыслятся спортсмены, которые не являются студентами.
Отношение подчиненияхарактеризуется тем, что объем одного понятия целиком включается (входит) в объем другого понятия, но не исчерпывает его. Это отношение вида и рода; А — подчиняющее понятие («млекопитающее»), В — подчиненное понятие («кошка»).
Существует три вида отношений несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие.
Соподчинение— это отношение между объемами двух или нескольких понятий, исключающих друг друга, но принадлежащих некоторому, более общему родовому понятию (к примеру, «ель» и «береза» принадлежат объему понятия «дерево»). Οʜᴎ изображаются отдельными неперекрещивающимися кругами внутри более обширного круга. Это виды одного и того же рода.
Рис. 3. Отношения между понятиями
В отношении противоположностинаходятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и притом одно из них содержит некоторые признаки, а другое — признаки, несовместимые с ними (ᴛ.ᴇ. противоположные признаки). Такие понятия называются противоположными. Объемы двух противоположных понятий составляют в своей сумме лишь часть объема общего для них родового понятия, видами которого они являются и которому соподчинены. Слова, выражающие противоположные понятия, являются антонимами. Примеры противоположных понятий: «храбрость» — «трусость»; «белая краска» — «черная краска». Объемы последних двух понятий разделены объемом некоторого третьего понятия, куда, к примеру, входит краска другого цвета (не белая и не черная, а к примеру, зеленая).
В отношении противоречиянаходятся такие два понятия, которые являются видами одного и того же рода, и при этом одно понятие указывает на некоторые признаки, а другое эти признаки отрицает, исключает, не заменяя их никакими другими признаками. В случае если одно понятие обозначить А (к примеру, «четные числа»), то другое понятие, находящееся с ним в отношении противоречия, следует обозначить не-А (т. е. «нечетные числа»). Круг Эйлера, выражающий объем таких понятий, делится на две части (А и не-А) и между ними не существует третьего понятия. К примеру, бумага может быть либо белой, либо небелой; человек бывает честным или нечестным; животное — млекопитающим или немлекопитающим и т. д. Понятие А является положительным, а понятие не-А — отрицательным. Понятия А и не-А также являются антонимами.
Операции над понятиями
Операции над понятиями – логические действия, вследствие которых создаются новые понятия.
К операциям над понятиями относят: отрицание, сложение, вычитание, умножение, обобщение, ограничение.
Наиболее простой операцией над понятиями является отрицание. Она проводится путем простого прибавления к исходному понятию частицы «не». Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, утвердительное понятие преобразуется в отрицательное. В случае если мы будем еще раз проводить отрицание, то увидим, что отрицание отрицательного понятия дает положительное. Отрицание отрицательного понятия «не-умный» — «не-не-умный» соответствует понятию «умный». Операция сложенияпредставляет собой объединение объемов двух и более понятий, даже если они и не совпадают между собой. Суммой понятий А и В принято называть такое понятие, объем которого равен объединению объемов данных понятий, а название его получается путем соединения союзом «или» названий понятий А и В или указания равнозначного ему понятия. Объединив объемы понятий «девочки» и «мальчики» получаем некоторую область, отражающую признаки того и другого в общем понятии «дети».Операция умножения заключается в отыскании области, которая обладает свойствами как одного, так и другого понятия. Произведением понятий А и В принято называть новое понятие, объем которого равен пересечению объемов понятий А и В. Умножение понятий «мальчик» и «спортсмен» выявляет область мальчиков, являющихся спортсменами, и наоборот.
Обобщение— логическая операция перехода от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом. Другими словами, логическая операция перехода от видового понятия к родовому посредством сокращения содержания исходного понятия.
Пример: В случае если из содержания понятия «Педагогический университет» исключить видовой признак «педагогический», то получим родовое понятие «университет», дальнейшим обобщением будет «высшее учебное заведение». Объемы понятий «Педагогический университет» (А), «Университет» (В), «Высшее учебное заведение» (С) отмечены на кругах Эйлера-Венна.
Ограничение — логическая операция (обратная обобщению) перехода от понятия с большим объемом к понятию с меньшимобъемом. Другими словами это есть переход от родовых понятий к видовым путем прибавления к содержанию родового понятия видообразующего признака. Пример: В случае если в вышеприведенном примере взять за исходное понятие «Высшее учебное заведение», то понятие «Университет» можно рассматривать как его ограничение, а понятие «Педагогический университет» будет ограничением последнего. Из данного примера видно, что при выполнении операции обобщения понятий полученное новое понятие имеет меньшее число существенных признаков и больший объем по сравнению с данным. А при выполнении ограничения понятий полученное новое понятие имеет большее число существенных признаков и меньший объем по сравнению с данным. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, операции обобщения и ограничения можно осуществлять посредством модификации содержания понятия, опираясь при этом на закон обратного отношения между содержаниями и объемами понятий: чтобы обобщить понятие, крайне важно перейти к менее информативному, а чтобы ограничить — к более информативному понятию.
Задания для самостоятельной работы
1. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия: 1) часть речи; 2) геометрическая фигура; 3) мебель; 4) дерево; 5) цветок.
2. Назовите несколько свойств, входящих в содержание понятия: 1) трапеция; 2) существительное; 3) студент; 4) стол; 5) хвойное дерево.
3. Находятся ли в отношении рода и вида следующие пары понятий: а) многоугольник и треугольник; б) угол и острый угол; в) луч и прямая; г) ромб и квадрат; д) круг и окружность?
4. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между объемами понятий а, b и с, если:
а) а — «четырехугольник»,
b — «трапеция»,
с — «прямоугольник»;
б) а — «натуральное число, кратное 3»;
b — «натуральное число, кратное 4»;
с — «натуральное число»
в) а — «треугольник»;
b — «равнобедренный треугольник»;
с — «равносторонний треугольник».
5. В каких отношениях находятся понятия: 1) трапеция и треугольник; 2) глагол и часть речи; 3) луч и прямая; 4) стол и тарелка; 5) однозначные числа и нечетные числа.
6. Приведите примеры понятий, отношения между которыми бывают изображены с помощью кругов Эйлера, приведенных на рисунках.
7. Равносильны ли понятия «правильный четырехугольник» и «ромб», «равноугольный четырехугольник» и «квадрат»?
8. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:
а) Параллелограммом принято называть четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
б) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника принято называть его средней линией.
9. Для каждого из следующих понятий укажите родовое понятие: 1) лиственное дерево; 2) биссектриса угла; 3) квадрат; 4) глагол.
10. Для каждого из следующих понятий укажите видовое понятие: 1) животное; 2) многоугольник; 3) часть речи; 4) параллелограмм.
11. Дайте определение понятий: а) параллелограмм; б) ромб; в) многоугольник; г) треугольник; д) равносторонний треугольник. Выделите в каждом определении родовое понятие и видовое отличие. Определите, в каком отношении находятся содержания понятий «треугольник» и «равносторонний треугольник». Определите, в каком отношении находятся объемы понятий «многоугольник» и «треугольник».
12. Укажите ошибки в следующих определениях: 1) прямоугольник — ϶ᴛᴏ когда все углы прямые; 2) отрезок – прямая, ограниченная с двух сторон; 3) параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны; 4) простое число — ϶ᴛᴏ когда оно имеет только два натуральных делителя.
Читайте также
— Вопрос 1. Виды планов и их структура, порядок составления и выполнения.
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
Подполковник Б.Каиров
Начальник цикла ВСПР
«___ » _____________201 г.по МЕТОДИКЕ ВОСПИТАТЕЛЬНОЙ И СОЦИАЛЬНО-ПРАВОВОЙ РАБОТЫдля студентов, обучающихся по специальности «Организация воспитательной и социально-правовой работы в мотострелковых. .. [читать подробенее]
— Общая характеристика источников древнерусского права. Основные редакции Русской Правды и их структура.
Источники права:
1. Правовой обычай.
2. Нормативно-правовые акты.
3. Судебная практика.
Отношение государства к обычаям племенного строя было различным:
1. Некоторые обычаи казались государству вредными и опасными, и оно старалось их ликвидировать.
2. Часть обычаев… [читать подробенее]
— Виды обеспечений АСОИУ и их структура
Качество и эффективность функционирования АСОИУ во многом определяются тем, насколько система обеспечена необходимыми средствами для реализации возложенных на АСОИУ задач управления.
Эти средства называют видами (компонентами) обеспечения АСОИУ.
Различают следующие… [читать подробенее]
— Общая характеристика функциональных состояний и их структура
Тема 8. Психофизиологические функциональные состояния
Понятие «функциональное состояние» возникло в физиологии для характеристики мобилизационных возможностей и энергетических затрат работающего организма. К функциональным состояниям можно отнести целый ряд… [читать подробенее]
— НАЗНАЧЕНИЕ ПАКЕТОВ И ИХ СТРУКТУРА
Информация в локальных сетях, как правило, передается отдельными порциями, кусками, называемыми в различных источниках пакетами, кадрами или блоками. Использование пакетов связано с тем, что в сети, как правило, одновременно может происходить несколько сеансов связи (во… [читать подробенее]
— Система архивов FTP и их структура.
Информационная система Gopher.
Информационная система Gopher была разработана для реализации распределенной базы документов, которые хранятся на машинах сети и предоставляются пользователю в виде единой иерархической файловой системы. Модель файловой системы… [читать подробенее]
— Орнамент. Виды орнамента и их структура. Цвет в орнаменте.
Орнамент (лат.) — украшение, узор, построенный на ритмическом чередовании и организованном расположении элементов.
Ритм в природе – повторяющиеся действия или явления (дыхание, пульс, ходьба; в природе – смена дня и ночи, времен года, приливы и отливы и т. д.). Ритм в… [читать подробенее]
— Хранение данных. Файлы и их структура
При хранении данных решается два вопроса: как сохранить данные в наиболее компактном виде и как обеспечить к ним наиболее удобный и быстрый доступ. Для обеспечения доступа необходимо, чтобы данные имели упорядоченность. Возникает дополнительная составляющая данных – её… [читать подробенее]
— И ИХ СТРУКТУРА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Понятие. Виды понятий
Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета.
В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни… [читать подробенее]
— И ИХ СТРУКТУРА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Понятие. Виды понятий
Понятие – это форма мышления, в которой отражаются общие и существенные признаки предмета.
В языке понятия выражаются и закрепляются в словах и словосочетаниях, без которых невозможно ни формирование понятий, ни. .. [читать подробенее]
Open Library — открытая библиотека учебной информации. Методика изучения математических понятий Что является чем математические понятия
Лекция №2
по математике
Тема: «Математические
понятия»
Математические
понятия
Определение
понятий
Требования к
определению понятий
Некоторые виды
определений
Понятия,
которые изучаются в начальном курсе
математику, обычно представляют в виде
четырех групп. В первую включаются
понятия, связанные с числами и операциями
над ними: число, сложение, слагаемое,
больше и др. Во вторую входят алгебраические
понятия: выражение, равенство, уравнение
и др. Третью составляют геометрические
понятия: прямая, отрезок, треугольник
и т.д. Четвертую группу образуют понятия,
связанные с величинами и их измерением.
Как же изучить
такое обилие самых разных понятий?
Прежде
всего, надо иметь представление о понятии
как логической категории и особенностях
математических понятий.
В
логике понятия рассматривают как форму
мысли, отражающую объекты (предметы или
явления) в их существенных и общих
свойствах. Языковой формой понятия
является слово или группа слов.
Составить
понятие об объекте — это значит уметь
отличить его от других сходных с ним
объектов. Математические понятия
обладают рядом особенностей. Главная
заключается в том, что математические
объекты, о которых необходимо составить
понятие, в реальности не существуют.
Математические объекты созданы умом
человека. Это идеальные объекты,
отражающие реальные предметы или
явления. Например, в геометрии изучают
форму и размеры предметов, не принимая
во внимание другие их свойства: цвет,
массу, твердость и т.д. От всего этого
отвлекаются, абстрагируются. Поэтому
в геометрии вместо слова «предмет»
говорят «геометрическая фигура».
Результатом
абстрагирования являются и такие
математические понятия, как «число» и
«величина».
Вообще
математические объекты существуют лишь
в мышлении человека и в тех знаках и
символах, которые образуют математический
язык.
К
сказанному можно добавить, что, изучая
пространственные формы и количественные
отношения материального мира, математика
не только пользуется различными приемами
абстрагирования, но и само абстрагирование
выступает как многоступенчатый процесс.
В математике рассматривают не только
понятия, появившиеся при изучении
реальных предметов, но и понятия,
возникшие на основе первых. Например,
общее понятие функции как соответствия
является обобщением понятий конкретных
функций, т.е. абстракцией от абстракций.
Чтобы
овладеть общими подходами к изучению
понятий в начальном курсе математики,
учителю необходимы знания об объеме и
содержании понятия, об отношениях между
понятиями и о видах определений понятий.
2. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
Всякий
математический объект обладает
определенными свойствами. Например,
квадрат имеет четыре стороны, четыре
прямых угла, равные диагонали. Можно
указать и другие его свойства.
Среди свойств
объекта различают существенные и
несущественные. Свойство считают
существенным для объекта, если оно
присуще этому объекту и без него он не
может существовать. Например, для
квадрата существенными являются все
свойства, названные выше. Несущественно
для квадрата ABCD свойство «сторона AD
горизонтальна». Если квадрат повернуть,
то сторона AD окажется расположенной
по-другому (рис. 26).
Поэтому,
чтобы понимать, что представляет собой
данный математический объект, надо
знать его существенные свойства.
Когда
говорят о математическом понятии, то
обычно имеют в виду множество объектов,
обозначаемых одним термином (словом
или группой слов). Так, говоря о квадрате,
имеют в виду все геометрические фигуры,
являющиеся квадратами. Считают, что
множество всех квадратов составляет
объем понятия «квадрат».
Вообще объем
понятия — это множество всех объектов,
обозначаемых одним термином.
Любое понятие
имеет не только объем, но и содержание.
Рассмотрим,
например, понятие «прямоугольник».
Объем
понятия — это множество различных
прямоугольников, а в его содержание
входят такие свойства прямоугольников,
как «иметь четыре прямых угла», «иметь
равные противоположные стороны», «иметь
равные диагонали» и т. д.
Между
объемом понятия и его содержанием
существует взаимосвязь: если увеличивается
объем понятия, то уменьшается его
содержание, и наоборот. Так, например,
объем понятия «квадрат» является частью
объема понятия «прямоугольник», а в
содержании понятия «квадрат» содержится
больше свойств, чем в содержании понятия
«прямоугольник» («все стороны равны»,
«диагонали взаимно перпендикулярны»
и др.).
Любое
понятие нельзя усвоить, не осознав его
взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому
важно знать, в каких отношениях могут
находиться понятия, и уметь устанавливать
эти связи.
Отношения между
понятиями тесно связаны с отношениями
между их объемами, т.е. множествами.
Условимся
понятия обозначать строчными буквами
латинского алфавита: а, b,
с,…, z.
Пусть
заданы два понятия а и b.
Объемы их обозначим соответственно А
и В.
Если
А
В (А ≠ В), то говорят, что понятиеа
— видовое по отношению к понятию b ,
а понятие b — родовое по отношению к понятию а .
Например,
если а — «прямоугольник», b
— «четырехугольник», то их объемы А и В
находятся в отношении включения (А
В и А ≠ В), поскольку всякий прямоугольник
является четырехугольником. Поэтому
можно утверждать, что понятие
«прямоугольник» — видовое по отношению
к понятию «четырехугольник», а понятие
«четырехугольник» — родовое по отношению
к понятию «прямоугольник».
Если
А = В, то говорят, что понятия
а и b тождественны.
Например, тождественны
понятия «равносторонний треугольник»
и «равноугольный треугольник», так как
их объемы совпадают.
Если
множества А и В не связаны отношением
включения, то говорят, что понятия а и
b
не находятся в отношении рода и вида и
не тождественны. Например, не связаны
такими отношениями понятия «треугольник»
и «прямоугольник».
Рассмотрим
подробнее отношение рода и вида между
понятиями. Во-первых, понятия рода и
вида относительны: одно и то же понятие
может быть родовым по отношению к одному
понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» —
родовое по отношению к понятию «квадрат»
и видовое по отношению к понятию
«четырехугольник».
Во-вторых,
для данного понятия часто можно указать
несколько родовых понятий. Так, для
понятия «прямоугольник» родовыми
являются понятия «четырехугольник»,
«параллелограмм», «многоугольник».
Среди них можно указать ближайшее. Для
понятия «прямоугольник» ближайшим
является понятие «параллелограмм».
В-третьих,
видовое понятие обладает всеми свойствами
родового понятия. Например, квадрат,
являясь видовым понятием по отношению
к понятию «прямоугольник», обладает
всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Так как объем
понятия — множество, удобно, устанавливая
отношения между объемами понятий,
изображать их при помощи кругов Эйлера.
Установим, например,
отношения между следующими парами
понятий а и Ь, если:
1) а —
«прямоугольник», b
— «ромб»;
2) а — «многоугольник»,
b — «параллелограмм»;
3) а —
«прямая», b
— «отрезок».
В
случае 1) объемы понятий пересекаются,
но не одно множество не является
подмножеством другого (рис. 27).
Следовательно,
можно утверждать, что данные понятия а
и b
не находятся в отношении рода и вида.
В
случае 2) объемы данных понятии находятся
в отношении включения, но не совпадают
— всякий параллелограмм является
многоугольником, но не наоборот (рис.
28). Следовательно, можно утверждать, что
понятие «параллелограмм» — видовое по
отношению к понятию «многоугольник»,
а понятие «многоугольник» — родовое по
отношению к понятию «параллелограмм».
В
случае 3) объемы понятий не пересекаются,
так как ни про один отрезок нельзя
сказать, что он является прямой, и ни
одна прямая не может быть названа
отрезком (рис. 29).
Следовательно,
данные понятия не находятся в отношении
рода и вида.
О
понятиях «прямая» и «отрезок» можно
сказать, что они находятся
в отношении целого и части: отрезок- часть прямой, а не ее вид. И если
видовое понятие обладает всеми свойствами
родового понятия, то часть не обязательно
обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким
свойством прямой, как ее бесконечность.
Курс математики 5-6 классов представляет собой органическую часть всей школьной математики. Поэтому основным требованием к его построению является структурирование содержания на единой идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием идей, реализованных при обучении математики в начальной школе, и, с другой стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.
Продолжается развитие всех содержательно-методических линий курса начальной математики: числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, логической, анализ данных. Они реализованы на числовом, алгебраическом, геометрическом материале.
В последнее время существенно пересмотрено изучение геометрии. Целью изучения геометрии в 5-6 классах является познание окружающего мира языком и средствами математики. С помощью построений и измерений учащиеся выявляют различные геометрические закономерности, которые формулируют как предложение, гипотезу. Доказательный аспект геометрии рассматривается в проблемном плане – учащимся прививается мысль, что экспериментальным путём можно открыть многие геометрические факты, но эти факты становятся математическими истинами только тогда, когда они установлены средствами, принятыми в математике.
Таким образом, геометрический материал в этом курсе может быть охарактеризован, как наглядно-деятельностная геометрия. Обучение организуется как процесс интеллектуально-практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений, изобразительных умений, расширение геометрического кругозора, в ходе которого важнейшие свойства геометрических фигур получаются посредством опыта и здравого смысла.
Достаточно новой в курсе 5-6 классов является содержательная линия «Анализ данных », которая объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторику, теорию вероятностей. Введение этого материала продиктовано самой жизнью. Его изучение направлено на формирование у школьников как общей вероятностной интуиции, так и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приёмам сбора, представления и анализа информации, обучение решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.
Однако данная линия присутствует не во всех современных школьных учебниках для 5-6 классов. Особо подробно и ярко представлена данная линия в учебниках .
Алгебраический материал, включённый в курс математики 5-6 классов, является основой для систематического изучения алгебры в старших классах. Можно отметить следующие особенности изучения этого алгебраического материала:
1. Изучение алгебраического материала основано на научной основе с учётом возрастных особенностей и возможностей учащихся.
2. Формирование алгебраических понятий и выработка соответствующих умений и навыков составляют единый процесс, построенный на детально разработанной системе упражнений.
3. Система упражнений служит надёжным средством для овладения современным математическим языком, так как этот язык широко применяется при формулировке различных заданий. Например, «Докажите, что данное неравенство верно: 29 2
4. Совершенствование вычислительных навыков органически связано с изучением алгебраического материала.
В 5-6 классах делается акцент на развитие вычислительной культуры, в частности, на обучение эвристическим приёмам прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие. Повышено внимание к арифметическим приёмам решения текстовых задач как средству обучения способам рассуждения, выбору стратегии решения, анализу ситуации, сопоставлению данных и, в конечном итоге, развитию мышления учащихся.
Изучаемые в это время тождественные преобразования алгебраических выражений с переменными широко применяются для функциональной пропедевтики. Значительное место в курсе математики средней школы отводится материалу функционального характера. Определение функции вводится в 7 классе, а функциональная пропедевтика начинается с 5 класса, где рассматривается понятие переменной, выражения с переменой, формулы, задающей зависимости между некоторыми величинами.
Использование буквенных обозначений позволяет ставить вопрос о построении формул. Связи между величинами задаются также табличным и графическим способами, и дети тренируются в переходе от одной формы задания зависимости к другой. Систематическая работа с конкретными зависимостями обеспечивает готовность детей к изучению функций в старших классах.
Методы . Курс математики 5-6 классов построен индуктивно. Содержание учебного материала заставляет использовать методы, способствующие формированию как продуктивной, так и репродуктивной деятельности.
В 5-6 классах наиболее часто применимы следующие методы обучения:
· Объяснительно-иллюстративный. Целый ряд понятий математики 5-6 классов может быть введён данным методом. С помощью его может быть изучен материал, который служит логическим продолжением и расширением основного материала. Этим же методом можно изучать конкретные алгоритмы. Также изучаются объяснительно-иллюстративным методом сведения, которыми можно воспользоваться как готовыми (сформированными в начальной школе) знаниями, но получающими новое применение. Цель изучения материала объяснительно-иллюстративным методом – довести знание правил, законов, алгоритмов и т.п. до уровня навыка.
· Частично-поисковый и проблемный методы. Основные понятия курса должны быть изучены методами, которые бы обеспечивали творческий (продуктивный) характер деятельности учащихся. К числу таких методов, вполне применимых в 5-6 классах, можно отнести частично-поисковый. Этим методом могут быть изучены понятия: переменная, верное и неверное неравенство и т.п.
Урок . Особенности предмета математики 5-6 классов (почти на каждом уроке необходимо изучать новые факты по предмету), требование программы, темп изучения материала привели к тому, что наиболее распространенный тип урока в этих классах – комбинированный.
Перечислим ещё некоторые особенности обучения математики в 5-6 классах:
· На первых порах изучения математики в 5 классе учащиеся повторяют известные им из 1-4 классов понятия, но повторение это ведётся на новом уровне, с привлечением математической терминологии и символики. Делается это для того, чтобы заложить основы математического языка, основы математической культуры.
· В курсе 5-6 классов часто прибегают при изложении арифметики и начал алгебры к геометрическим определениям с помощью координатной прямой или луча, что позволяет сделать обучение более наглядным, а значит, более доступным и понятным для учащихся. Подобным образом, например, изучается сравнение обыкновенных и десятичных дробей.
· Одной из особенностей данного курса является линейно-концентрическое изложение материала, в соответствии с которым учащиеся неоднократно возвращаются ко всем принципиальным вопросам, поднимаясь в каждом следующем проходе на новый уровень.
Пример, при изучении темы «Десятичные дроби и проценты» происходит переход от множества целых неотрицательных чисел к множеству рациональных неотрицательных; при этом обучение строится с опорой на известные учащимся алгоритмы действий с натуральными числами, постоянно используются знания и умения, полученные раннее.
· Первая трудность, с которой встречаются пятиклассники, — работа с объяснительным текстом учебника. Причина этого – недостаточная техника чтения у некоторых детей, малый словарный запас, а также и то, что в учебниках начальной школы такие объёмные тексты не встречались.
На протяжении всего времени обучения в 5-х и 6-х классах учителю математики необходимо систематически развивать у детей умение читать, понимать текст, работать с ним. Эта работа служит необходимой базой для успешного изучения систематических курсов алгебры и геометрии в следующих классах.
· Изучение математики требует активных умственных усилий. Очень трудно поддерживать произвольное внимание учащихся на протяжении всего урока. Напряжённая мыслительная деятельность, большое количество однотипных и в общем-то рутинных вычислений или алгебраических преобразований быстро утомляет школьников. Существует универсальный способ поддерживания рабочего тонуса учащихся: переключение с одного вида учебной деятельности на другой. Но можно воспользоваться и советом Блеза Паскаля: «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным». Данный совет особенно актуален при обучении математике в 5-6 классах. Впрочем, это тоже одна из разновидностей переключения.
Всякое понятие, в том числе и математическое, является абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.
Если в начальных классах обучение ведётся в основном на наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия, сущность которых «уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними».
Среди умений, которым учит математика и которым всем вам нужно учиться, большое значение имеет умение классифицировать понятия.
Дело в том, что математика, как и многие другие науки, изучает не единичные предметы или явления, а массовые . Так, когда вы изучаете треугольники, то изучаете свойства любых треугольников, а их бесконечное множество. Вообще объем любого математического понятия, как правило, бесконечен.
Для того чтобы различать объекты математических понятий, изучить их свойства, обычно эти понятия делят на виды, классы. Ведь, кроме общих свойств, любое математическое понятие обладает еще многими важными свойствами, присущими не всем объектам этого понятия, а лишь объектам некоторого вида. Так, прямоугольные треугольники, кроме общих свойств любых треугольников, обладают многими свойствами, весьма важными для практики, например теоремой Пифагора, соотношениями между углами и сторонами и т. д.
В процессе многовекового изучения математических понятий, в процессе их многочисленных применений в жизни, в других науках из их объема были выделены какие-то особые виды, имеющие наиболее интересные свойства, которые чаще всего встречаются и применяются в практике. Так, различных четырехугольников существует бесконечно много, но в практике, в технике наибольшее применение имеют лишь определенные их виды: квадраты, прямоугольники, параллелограммы, ромбы, трапеции.
Деление объема некоторого понятия на части и есть классификация этого понятия. Более точно под классификацией понимают распределение объектов какого-либо понятия на взаимосвязанные классы (виды, типы) по наиболее существенным признакам (свойствам). Признак (свойство), по которому про-изводится классификация (деление) понятия на виды (классы), называется основанием классификации.
Правильно построенная классификация понятия отражает наиболее существенные свойства и связи между объектами понятия, помогает лучше ориентироваться в множестве этих объектов, дает возможность устанавливать такие свойства этих объектов, которые наиболее важны для применения этого понятия в других науках и житейской практике.
Классификация понятия производится по одному или нескольким наиболее существенным основаниям.
Так, треугольники можно классифицировать по величине углов. Получаем такие виды: остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой, остальные острые), тупо-угольные (один угол тупой, остальные острые). Если же за основание деления треугольников принять соотношения между сторонами, то получаем такие виды: разносторонние, равнобедренные и правильные (равносторонние).
Сложнее, когда приходится классифицировать понятие по нескольким основаниям. Так, если выпуклые четырехугольники классифицировать по параллельности сторон, то по существу нам нужно разделить все выпуклые четырехугольники одновременно по двум признакам: 1) одна пара противоположных сторон параллельна или нет; 2) вторая пара противоположных сторон параллельна или нет. Получаем в результате три вида выпуклых четырехугольников: 1) четырехугольники с не параллельными сторонами; 2) четырехугольники с одной парой параллельных сторон — трапеции; 3) четырехугольники с двумя парами параллельных сторон — параллелограммы.
Весьма часто производят классификацию понятия поэтапно: сначала по одному основанию, затем некоторые виды делят на подвиды по другому основанию и т. д. Примером может служить классификация четырехугольников. На первом этапе их делят по признаку выпуклости. Затем выпуклые четырехугольники делят по признаку параллельности противоположных, сторон. В свою очередь параллелограммы делят по признаку наличия прямых углов и т. д.
При проведении классификации необходимо соблюдать определенные правила. Укажем главные из них.
В качестве основания классификации можно брать лишь общий признак всех объектов данного понятия. Так, например, нельзя в качестве основания классификации алгебраических выражений брать признак расположения членов по степеням какой-то переменной. Этот признак не является общим для всех алгебраических выражений, например для дробных выражений или одночленов он не имеет смысла. Этим признаком обладают лишь многочлены, поэтому многочлены можно классифицировать по наивысшей степени главной переменной.
Основанием для классификации надо брать существенные свойства (признаки) понятий. Рассмотрим опять понятие алгебраического выражения. Одним из свойств этого понятия является то, что переменные, входящие в алгебраическое выражение, обозначаются какими-то буквами. Это свойство является общим, но не является существенным, ибо от того, какой буквой обозначена та или иная переменная, характер выражения не зависит. Так, алгебраические выражения х+у и а+b — это по сути дела одно и то же выражение. Поэтому классифицировать выражения по признаку обозначения переменных буквами не следует.
Другое дело, если за основание классификации алгебраических выражений взять признак вида действий, с помощью которых переменные соединены, т. е. действия, которые совершаются над переменными. Этот общий признак весьма существенный, и классификация по этому признаку будет правильной и полезной.
На каждом этапе классификации можно применять лишь одно какое-то основание. Нельзя одновременно классифицировать понятие по двум различным признакам.
Например, нельзя классифицировать треугольники сразу и по величине и по соотношению между сторонами, ибо в результате мы получим классы треугольников, которые имеют общие элементы (например, остроугольные и равнобедренные или тупоугольные и равнобедренные и т. д.). Здесь нарушено следующее требование к классификации: в результате классификации на каждом этапе получаемые классы (виды) не должны пересекаться.
В то же время классификация по какому-либо основанию должна быть исчерпывающей и каждый объект понятия должен попасть в результате классификации в один и только один класс.
Поэтому разделение всех целых чисел на положительные и отрицательные неверно, ибо целое число нуль при этом не попало ни в один из классов. Надо говорить так: целые числа делятся на три класса — положительные, отрицательные и число нуль.
Часто при классификации понятий явно выделяются лишь некоторые классы, а остальные только подразумеваются. Так, например, при изучении алгебраических выражений обычно выделяют лишь такие их виды: одночлены, многочлены, дробные выражения, иррациональные. Но эти виды не исчерпывают всех видов алгебраических выражений, поэтому такая классификация является неполной.
Полная правильная классификация алгебраических выражений может быть произведена следующим образом.
На первой ступени классификации алгебраических выражений они делятся на два класса: рациональные и нерациональные. На второй ступени рациональные выражения делятся на целые и дробные. На третьей ступени целые выражения делятся на одночлены, многочлены и сложные целые выражения.
Эту классификацию можно представить в виде следующей
Задание 7
7.1. Почему нельзя классифицировать рациональные числа по их четности?
7.2. Установите, правильно ли произведено деление понятия:
а) Величины могут быть равными и неравными.
б) Функции бывают возрастающие и убывающие.
в) Равнобедренные треугольники могут быть остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.
г) Прямоугольники бывают квадраты и ромбы.
7.3. Произведите деление понятия «геометрическая фигура» по свойству занимать часть плоскости и приведите примеры каждого вида.
7.4. Постройте возможные схемы классификации рациональных чисел.
7.5. Постройте схему классификации следующих понятий:
а) четырехугольник;
б) два угла.
7.6. Проведите классификацию следующих понятий:
а) треугольник и окружность;
б) углы в окружности;
в) две окружности;
г) прямая и окружность;
д) квадратные уравнения;
е) система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Лекция 5. Математические понятия
1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
2. Определение понятий. Определяемые и неопределяемые понятия.
3. Способы определения понятий.
4. Основные выводы
Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнения и др. Третью группу составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.
Чтобы изучать все разнообразие понятий, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.
В логике понятия рассматривают как форму мысли , отражающую объекты (предметы и явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов.
Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».
Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».
Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.
К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира , математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от абстракций.
Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.
Среди свойств объекта различают существенные и несущественные . Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать . Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ горизонтальна».
Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Вообще, объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.
Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.
Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».
Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот . Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).
Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.
Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.
Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z.
Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.
Если А ⊂ В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.
Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А ⊂ В и А ≠ В), поэтому всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» — видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» — родовое по отношению к понятию «прямоугольник».
Если А = В, то говорят, что понятия А и В тождественны.
Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равнобедренный треугольник», так как их объемы совпадают.
Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.
1. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» — родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».
2. Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди указанных можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».
3. В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.
Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:
1) а – «прямоугольник», b – «ромб»;
2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;
3) а – «прямая», b – «отрезок».
Отношения между множествами отображены на рисунке соответственно
2. Определение понятий . Определяемые и неопределяемые понятия.
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.
Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:
а есть (по определению) b.
Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, и тогда определение выглядит так:
Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b.
Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.
Обратимся ко второй части определения «прямоугольник».
В нем можно выделить:
1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».
2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.
Вообще видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия.
Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы:
Знак «+» используется как замена частица «и».
Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:
А = {х/ х ∈ С и Р(х)}.
Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем их.
1. Определение должно быть соразмерным . Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.
2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга . Это означает, что нельзя определять понятие через само себя.
3. Определение должно быть ясным . Требуется, например, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.
4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному . Так, квадрат можно определить как:
а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;
б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;
в) ромб, у которого есть прямой угол;
г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И тогда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.
Назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:
1. Назвать определяемое понятие (термин).
2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие.
3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е сформулировать видовое отличие.
4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).
дипломная работа
Понятие — форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.
Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).
Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание — множество существенных признаков понятия. Объём — множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём — это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.
o должно проводится по одному признаку;
o классы должны быть не пересекающимися;
o объединение всех классов должно давать всё множество;
o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).
Выделяют следующие виды классификации:
1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.
Пример. Понятие «треугольник».
2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.
Выделим цели обучения классификации:
1) развитие логического мышления;
2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.
Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.
Воспитание у дошкольника чувства гражданственности
Впервые слово «патриот» появилось в период Французской революции 1789 — 1793гг. Патриотами тогда себя называли себя борцы за народное дело, защитники республики в противовес изменникам, предателям родины из лагеря монархистов…
Деление понятий
Чтобы осмысленно оперировать понятиями, правильно их использовать в решении теоретических и практических задач необходимо уметь выявлять две основные логические характеристики: объем и содержание понятия…
Деление понятий
Классификация — распределение предметов по группам (классам), при котором каждый класс имеет свое постоянное место.
Классификация является разновидностью деления понятия…
Исследование эффективности использования домашних заданий в процессе физического воспитания
Под самостоятельной деятельностью понимается совокупность действий, объединенных общей целью и выполняющих определенную общественную функцию (В.Н. Шаулин, 1986). В нашем случае, мы имеем дело с физкультурной деятельностью, то есть деятельностью…
Межпредметные связи в обучении
Межпредметные связи могут помочь школьникам понять окружающий мир, его свойства, основные явления и процессы, происходящие в нем и те закономерности, которым они подчиняются. Таким образом…
Методы и приемы обучения иностранному языку на старшем этапе
В последнее время очень актуальным становится обращение отечественных и зарубежных исследователей, таких как А.А. Щукин, И.П. Подласый, М.А. Данилов, И.П. Пидкасистый, И.Я. Лернер и др…
Организация проектной деятельности учащихся по средствам телекоммуникаций
Впервые употребил слово «проект» в 1908 году заведующий отделом воспитания сельхозшкол Д. Снезден в сельскохозяйственном обучении. С помощью проектов предлагалось связать работу школ с потребностями сельскохозяйственного производства…
Особенности логопедической работы по преодолению аграмматической дисграфии у учащихся общеобразовательной школы
Впервые на нарушения чтения и письма как на самостоятельную патологию речевой деятельности указал А. Куссмауль в 1877 г. Затем появилось много работ, в которых давались описания детей с различными нарушениями чтения и письма…
Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах
Определить объект — выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточными для отличия этого объекта от других. Результат этого действия фиксируется в определении…
В современных педагогических исследованиях, связанных с проблемами совершенствования функционирования педагогических систем, повышения эффективности образовательного процесса, одним из аспектов, вызывающих наибольший интерес…
Психолого-педагогические аспекты решения проблем межличностных отношений подростков
Каждый возраст хорош по-своему. И в то же время, каждый возраст имеет свои особенности и сложности. Не является исключением и подростковый возраст.
Подростковый возраст — определенный отрезок жизни между детством и зрелостью…
Работа с одаренными детьми
28. Треугольник — пятиугольник
геометрические фигуры
Пары понятий можно произносить вслух, а можно предъявлять в виде карточек или напечатанными на отдельном листе. Отвечать дети могут устно или письменно.
Задание 4…
Современные проблемы воспитания детей в семье и пути их решения
В Малом энциклопедическом словаре понятие семьи трактуется как «основанная на браке или кровном родстве малая группа, члены которой связаны общностью быта, взаимной помощью, моральной и правовой ответственностью» .
М.И.Демков отмечает…
Формирование познавательных универсальных учебных действий на основе индивидуализации и дифференциации обучения химии в основной общеобразовательной школе
Как и любой социальный институт, общеобразовательная школа подвержена перманентной модернизации. В настоящий момент общественно-политический запрос к общеобразовательной школе заключается в таком построении процесса обучения…
Экспериментальное исследование чувства гражданственности у детей дошкольного возраста
Педагогу, начинающему заниматься проблемой формирования гражданской компетентности, прежде всего необходимо знание терминологии, ключевых понятий гражданского и патриотического образования…
Четырехугольник просто означает «четыре стороны» ( четырехугольник, означает четыре, боковой, означает сторону).
Четырехугольник имеет четырех сторон, , 2-мерный (плоская форма), закрытый (линии соединяются) и имеет прямых сторон.
Попробуйте сами
(также см. Интерактивные четырехугольники)
Недвижимость
В четырехугольнике:
четыре стороны (края)
четыре вершины (углы)
внутренние углы, которые добавляют к 360 градусов :
Попробуйте нарисовать четырехугольник и измерить углы.Они должны добавить к 360 °
Виды четырехугольников
Есть специальные виды четырехугольника:
Некоторые типы также включены в определение других типов! Например, квадрат , ромб и прямоугольник также являются параллелограммами . Подробности смотрите ниже.
Давайте рассмотрим каждый вид по очереди:
Прямоугольник
маленькие квадратики в каждом углу означают «прямой угол»
Прямоугольник — это четырехсторонняя форма, каждый угол которой является прямым (90 °).
Также противоположных сторон параллельны и равной длины.
Площадь
маленькие квадратики в каждом углу означают «прямой угол»
У квадрата равные стороны (отмечены буквой «s»), и каждый угол представляет собой прямой угол (90 °)
Также противоположные стороны параллельны.
Квадрат также соответствует определению прямоугольника (все углы равны 90 °) и ромба (все стороны равной длины).
Ромб
Ромб — это четырехгранная форма, все стороны которой имеют одинаковую длину (обозначены буквой «s»).
Также противоположные стороны параллельны и противоположных углов равны.
Еще один интересный момент — диагонали (пунктирные линии) пересекаются посередине под прямым углом. Другими словами, они «рассекают» друг друга пополам под прямым углом.
Ромб иногда называют ромбом или ромбом .
Параллелограмм
У параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также противоположные углы
равны (углы «А» такие же, а углы «В»
одинаковы).
ПРИМЕЧАНИЕ. Квадраты, прямоугольники и ромбы — это все
Параллелограммы!
Пример:
Параллелограмм с:
все стороны равны и
угол «А»
и «B» как прямые углы
— это квадрат !
Трапеция (UK: Trapezium)
Трапеция
Равнобедренная трапеция
Трапеция (в Великобритании называется трапецией) имеет пару параллельных противоположных сторон.
И трапеция (в Великобритании называется трапецией) — четырехугольник без параллельных сторон:
Трапеция
Трапеция
В США:
Пара параллельных сторон
НЕТ параллельных сторон
В Великобритании:
НЕТ параллельных сторон
Пара параллельных сторон
(определения для США и Великобритании поменяны местами!)
Равнобедренная трапеция , как показано выше, имеет левую и правую стороны равной длины, которые соединяются с основанием под равными углами.
Воздушный змей
Эй, это похоже на воздушного змея (обычно).
Имеет две пары сторон:
Каждая пара состоит из двух соединяющихся сторон равной длины.
Также:
углы, где встречаются две пары
равны.
диагонали, показанные выше пунктирными линиями, пересекаются в
под прямым углом.
одна из диагоналей делит пополам (делит пополам) другую.
… вот и все специальные четырехугольники.
Неправильный четырехугольник
Единственный правильный четырехугольник (все стороны равны и все углы равны) — это квадрат. Итак, все остальные четырехугольники неправильные .
Схема «Генеалогическое древо»
Определения четырехугольника: , включая .
Пример: квадрат также является прямоугольником.
Итак, мы включаем квадрат в определение прямоугольника.
(Мы, , не говорим : «Наличие всех углов 90 ° делает его прямоугольником, кроме случаев, когда все стороны равны, тогда это квадрат».)
Это может показаться странным, поскольку в повседневной жизни мы думаем о квадрате как о , а не о как о прямоугольнике … но в математике это .
Используя приведенную ниже таблицу, мы можем ответить на такие вопросы, как:
Квадрат — это тип прямоугольника? (Да)
Прямоугольник — это разновидность воздушного змея? (Нет)
Сложные четырехугольники
О да! когда две стороны пересекаются, мы называем это «сложным» или «самопересекающимся» четырехугольником, например:
У них все еще есть 4 стороны, но две стороны пересекаются.
Многоугольник
Четырехугольник — это многоугольник. Фактически, это четырехсторонний многоугольник, точно так же, как треугольник — это трехсторонний многоугольник, пятиугольник — пятисторонний многоугольник и так далее.
Играйте с ними
Теперь, когда вы знаете различные типы, вы можете поиграть с интерактивными четырехугольниками.
Другие названия
Четырехугольник иногда называют:
a Quadrangle (« четыре угла »), поэтому звучит как «треугольник»
a Tetragon (« четыре многоугольника »), поэтому это звучит как «пятиугольник», «шестиугольник» и т. Д.
621 622 623 624 763 764, 2128, 2129, 3230, 3231
Какие бывают четырехугольники?
Четырехугольники — многоугольники. Они являются частью плоскости, заключенной с четырех сторон (четверка означает четыре, а боковая означает сторону). У всех четырехугольников ровно четыре стороны и четыре угла. Их можно разделить на определенные группы в зависимости от длины их сторон или меры их углов.
Четырехугольники включают квадрат, прямоугольник, трапецию, ромб, параллелограмм и воздушный змей (также называемый тангенциальным четырехугольником).{\ circ} $.
Диагонали — это линии, соединяющие противоположные углы.
Деление четырехугольников по диагоналям перпендикулярности и параллельности сторон:
Чешуйчатый четырехугольник
Первая группа четырехугольников — это разносторонний четырехугольник . Четырехугольник Scalene — это четырехугольник, не имеющий особых свойств. Стороны и углы имеют разную длину и размер.
Трапеции
Четырехугольники с одной парой параллельных сторон называются трапециями .Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — ножками .
Равнобедренная трапеция
Трапеции одинаковой длины называются равнобедренными трапециями .
Диагонали равнобедренной трапеции совпадают.
Высота или Высота трапеции — это длина линии, перпендикулярной основанию и проходящей через противоположную вершину.{\ circ} $.
Другими словами, углы на одной стороне ножки трапеции являются дополнительными.
Доказательство.
Разложите отрезок $ \ overline {AD} $ по вершинам $ A $ и $ D $. На прямой $ AD $ обозначим точку $ E $. Поскольку прямая $ AD $ является поперечником параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то $ \ angle {CDE} = \ alpha $ допустимо. {\ circ} $.{\ circ} $.
Параллелограмм
Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны.
Высота или Высота параллелограмма в метке $ h $ — это отрезок прямой, соединяющий вершину с противоположной стороной и перпендикулярный этой стороне.
Помимо того, что параллелограммы являются четырехугольниками, существуют определенные формы, которые могут быть как параллелограммами, так и четырехугольниками.{\ circ}. $$
Это следует за $ \ beta = \ delta $ и $ \ alpha = \ gamma $.
Теорема
Следующие утверждения эквивалентны друг другу:
1) Четырехугольник $ ABCD $ параллелограмм
2) У четырехугольника $ ABCD $ две противоположные стороны, которые равны и параллельны
3) Каждые две противоположные стороны четырехугольника $ ABCD $ равны
4) Диагонали четырехугольника $ ABCD $ делят друг друга пополам
5) Обе пары противоположных углов четырехугольника $ ABCD $ равны
Каждое из приведенных выше утверждений может быть альтернативным определением параллелограмма.Остальные утверждения нам необходимо доказать.
Поскольку прямая $ AC $ представляет собой траверс параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то $ \ angle {ACD} = \ angle {CAB} $. Прямая $ AC $ также является траверсом параллельных прямых $ BC $ и $ AD $, то есть $ \ angle {ACB} = \ angle {DAC} $.
$ \ overline {AC} $ также является общей стороной треугольников $ ABC $ и $ CDA $.По теореме A-S-A о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDA $ конгруэнтны. Отсюда следует, что $ | AB | = | CD] $ и $ | AD | = | BC | $.
$ 2) \ Rightarrow 3) $
Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ будет $ AB \ | CD $ и $ | AB | = | CD | $.
Так как $ AC $ — это траверс параллельных прямых $ AB $ и $ CD $, то есть $ \ angle {ACD} = \ angle {CAB} $. Сторона $ \ overline {AC} $ — это общая сторона треугольников $ ABC $ и $ CDB $. По теореме S-A-S о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDB $ конгруэнтны.Отсюда следует, что $ | BC | = | CD |. $
$ 3) \ Rightarrow 4) $
Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ $ | AB | = | CD | $ и $ | BC | = | CD | $, и пусть точка $ S $ является пересечением диагоналей $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {BD} $.
Сначала рассмотрим треугольники $ ABC $ и $ CDB $. По теореме S-S-S о конгруэнтности треугольников треугольники $ ABC $ и $ CDB $ конгруэнтны. Отсюда следует, что $ \ angle {ACB} = \ angle {CAD} $.
Углы $ ASD $ и $ BSC $ — вертикальные углы.Если теперь рассмотреть треугольники $ ASD $ и $ BSD $, то получится, что $ \ angle {ADS} = \ angle {CBS} $. Поскольку $ | BC | = | AD | $, треугольники $ ASD $ и $ BSC $ конгруэнтны по теореме A-S-A о треугольниках сравнения. Отсюда следует, что $ | AS | = | SC | $ и $ | BS | = | SD | $, что означает, что точка $ S $ является средней точкой $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {BD} $.
$ 4) \ Rightarrow 5) $
Пусть в четырехугольнике $ ABCD $ точка $ S $ будет серединой диагоналей $ \ overline {AC} $ и $ \ overline {AD} $: $ | AS | = | CS | $ и $ | BS | = | DS | $.
Ромб — параллелограмм, у которого есть по крайней мере одна пара смежных сторон равной длины.
Противоположные углы имеют одинаковую меру: $ \ alpha = \ gamma $, $ \ beta = \ delta $, а прилегающие углы являются дополнительными.
Диагонали ромба совпадают и перпендикулярны.
Тангенциальный четырехугольник
Воздушный змей представляет собой четырехугольник, который характеризует две пары сторон равной длины, которые примыкают друг к другу.Диагонали воздушного змея перпендикулярны, и по крайней мере одна диагональ является линией симметрии. Воздушный змей — это также касательный четырехугольник.
Прямоугольник
Прямоугольник представляет собой параллелограмм, у которого по крайней мере один внутренний угол является прямым.
Диагонали в прямоугольниках совпадают.
Квадрат
Квадрат — это прямоугольник, все стороны которого равны.
Диагонали в квадрате равны и перпендикулярны.2 $
Площадь четырехугольника
Площадь квадрата равна длине стороны квадрата.
Далее идет прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон.
Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту.
Это верно, потому что, как показано на рисунке: если мы переведем высоту $ \ overline {BE} $ в точку $ A $ и продолжим сторону $ ED $ над вершиной $ D $, мы получим треугольник $ E’DA $, который конгруэнтно треугольнику $ ECB $.Если мы «переведем» треугольник $ ECB $ в треугольник $ E’DA $, мы получим прямоугольник с одной стороной $ a $ и другой стороной $ h $.
То же, что и для ромба, работает на параллелограмме , площадь параллелограмма — это произведение его одной стороны и высоты на этой стороне.
Площадь трапеции равна половине произведения суммы ее оснований и высоты.
Эта формула является результатом деления трапеции на два треугольника $ AED $ и $ BCF $ и прямоугольник $ EFCD $.
Теперь мы можем записать нашу площадь как сумму меньших областей: $ A _ {(ABCD)} = A _ {(AED)} + A _ {(FBC)} + A _ {(EFCD)} $.
Мы знаем, что $ A _ {(EFCD)} = h \ cdot c $. Теперь нам нужно найти $ A _ {(AED)} $ и $ A _ {(FBC)} $. Если перевести сторону $ b $ рядом с $ AED $, мы получим треугольник $ AHD $.
Высота треугольника $ AHD $ равна высоте трапеции $ ABCD $.
И сторона, на которой установлена эта высота, равна $ a — c $. Это приводит к выводу, что:
$ \ A_ {(AHD)} = h \ cdot \ frac {a — c} {2} $.
Это означает, что:
$$ A_ {(ABCD)} = A_ {(AHD)} + A_ {(HBCD)} = $$
$$ = \ frac {h \ cdot (a — c)} {2} + c \ cdot h = \ frac {a \ cdot h — h \ cdot c + 2h \ cdot c} {2} = \ frac { h \ cdot a + h \ cdot c} {2} = $$
$$ = \ frac {h \ cdot (a + c)} {2} $$.
Что такое четырехугольник?
Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами.
Каких форм имеют четырехугольники?
Это четырехугольники: квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб.
Как определить четырехугольник?
Четырехугольник — это плоская форма с четырьмя соединяющимися сторонами. Четверка означает четыре. Боковой означает боковой. Все линии должны соединяться. Это также плоская форма, двухмерная. Некоторые четырехугольники образуют узнаваемые формы, другие — нет.
Что такое 7 четырехугольников?
Есть семь четырехугольников. Это: квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, равнобедренная трапеция, параллелограмм, тангенциальный четырехугольник (также известный как воздушный змей из-за формы воздушного змея).
Какие четыре типа четырехугольников?
Четырехугольники можно разделить на четыре типа. Это параллелограмм, ромб, квадрат и прямоугольник. Кроме того, ромбы, квадраты, прямоугольники — это параллелограммы.
Урок 4.1 — Polygons Obj .: классифицируйте полигоны по их сторонам. классифицируйте четырехугольники по их атрибутам. найти сумму углов в многоугольнике. Десятиугольник — многоугольник с десятью сторонами. Додекагон
Дополнительная информация
5.1 Как ни крути
ВТОРИЧНАЯ МАТЕМАТИКА III // МОДУЛЬ 5 МОДЕЛИРОВАНИЕ С ГЕОМЕТРИЕЙ 5.1 Студенты в программе Mrs.Классу Дентона раздали кубики из глины и попросили отрезать угол куба кусочком зубной нити. Джумал нарезанный
Дополнительная информация
Успех по математике Уровень E
T877 [ЦЕЛЬ] Учащийся классифицирует двухмерные фигуры на основе свойств. [ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ НАВЫКИ] Урок 29, знание базовой геометрической терминологии, включая: параллельные стороны, совпадающие стороны,
Дополнительная информация
Трехмерные фигуры
Трехмерные фигуры Количество монет, созданных U.С. Монетный двор меняется каждый год. В 2000 году было создано около 28 миллиардов монет, и примерно половина из них были пенни! 1 Whirlygigs за
.
Дополнительная информация
11.4 Трехмерные фигуры
11. Существенный вопрос в трехмерных фигурах. Какова связь между количеством вершин V, ребер E и граней F многогранника? Многогранник — это твердое тело, ограниченное многоугольниками, которое называется
.
Дополнительная информация
Примечания к геометрии 10 и 11
Геометрия 10 и 11 Область заметок и название тома на дату 10.1 Площадь — это объем пространства внутри двухмерного объекта. При работе с неправильными формами мы можем найти их площадь, разбив ее на
.
Дополнительная информация
Трехмерные формы
Урок 11.1 Трехмерные формы Трехмерные объекты бывают разных форм. сфера конус цилиндр прямоугольная призма куб Обведите объекты, соответствующие названию формы. 1. прямоугольная призма 2.
Дополнительная информация
Таблица с инструкциями по выравниванию
ЗАГОЛОВОК КЛАСТЕРА: СТАНДАРТ: НЕТ ЗАГОЛОВОК КЛАСТЕРА: Определите и опишите формы (квадраты, круги, треугольники, прямоугольники, шестиугольники, кубы, конусы, цилиндры и сферы).СТАНДАРТ: K.G.3 Обозначить формы как
Дополнительная информация
Цифры. Значение Цифры в виде цифры. Стандартная форма. Расширенная форма. Символы, используемые для отображения чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Цифры Символы, используемые для отображения чисел: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Значение Цифры, которые представляет цифра, которая определяется положением цифр Стандартная форма Расширенная форма Обычный способ письменности
Дополнительная информация
Учебная программа HPISD: TAG Math 4 класс
Обзор модуля Учебный план HPISD: 4 класс ТЕГ Математика Название Предполагаемая продолжительность 9 недель Геометрия и измерения 8 недель 1 2 3 4 Свойства / атрибуты многоугольников, треугольников, четырехугольников Площадь и периметр
Дополнительная информация
Урок 18: Нарезка под углом
Результаты учащихся Учащиеся описывают многоугольные области, которые возникают в результате сечения правой прямоугольной призмы или пирамиды плоскостью, которая не обязательно параллельна или перпендикулярна основанию.Примечания к уроку в
Дополнительная информация
Учебное пособие по модулю 10: Фигуры на плоскости
Учебное пособие по блоку 10: Фигуры в самолетах * Обязательно смотрите все видео в рамках каждого урока * Вы можете найти геометрические фигуры в искусстве. Независимо от того, определяется ли количество ведущего или количество стекла, необходимого для предмета
Дополнительная информация
Исследуйте твердые тела
1212.1 Изучение площади поверхности твердых тел и объема твердых тел 12.2 Площадь поверхности призм и цилиндров 12.3 Площадь поверхности пирамид и конусов 12.4 Объем призм и цилиндров 12.5 Объем пирамид и
Дополнительная информация
Mgr. ubomíra Tomková ГЕОМЕТРИЯ
УГЛЫ НАЗВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ: любой угол меньше 90º является острым углом, любой угол, равным 90º, является прямым углом, любой угол между 90º и 80º является тупым углом, любой угол между 80º и 60º является углом отражения
.
Дополнительная информация
План учебной программы Anoka Hennepin K-12
Anoka Hennepin K-12 План учебной программы Департамент: элементарная математика Название раздела: Пакеты и многоугольники (Синяя книга, гео и измерения) Треугольники и за их пределами (Синяя книга, гео и измерения) Повседневная математика: Том
Дополнительная информация
Описывать формы плоскостей
Урок 12.1 Описание плоских форм Вы можете использовать математические слова для описания плоских форм. указать точное положение или конечные точки линии местоположения отрезок линии луч прямой путь, идущий в двух направлениях без
Дополнительная информация
Планы уроков для Кристи Демпси, Неделя средней школы Типпит в понедельник, 29 февраля 2016 г. Понедельник, 29 февраля 2016 г. День 115
Планы уроков для Кристи Демпси, Неделя средней школы Типпит в понедельник, 29 февраля 2016 г. Понедельник, 29 февраля 2016 г. Учебная цель (Я могу / я буду…): я буду писать и решать уравнения, используя концепции геометрии,
Дополнительная информация
Основное понимание
Вопросы для понимания Основные свойства линий, углов, двух- и трехмерных фигур можно использовать для решения множества теоретических и практических задач. Какие существуют различные отношения
Дополнительная информация
Трехмерные фигуры
Трехмерные фигуры Количество монет, созданных U.С. Монетный двор меняется каждый год. В 2000 году было создано около 28 миллиардов монет, и примерно половина из них были пенни! 1 Whirlygigs за
.
Дополнительная информация
Учебное пособие по геометрии 6, часть 2
Рабочая тетрадь по геометрии 6, художественная страница Рабочий лист G6- страница 7. a) Рабочий лист G6- страница 0 Рабочий лист G6- страница. Учителя проверить .. Учителя проверить. квадратные единицы правые единицы вниз параллелограмм трапеции 5. A F 7 G 6 E
Дополнительная информация
Словарь по геометрии.Имя Класс
Геометрия Словарь Название Класс Определение / Описание Символ / Эскиз 1 точка Точное место в пространстве. В двух измерениях упорядоченная пара определяет точку на координатной плоскости: (x, y) 2 линия 3a линия
Дополнительная информация
Геометрия. Требования к курсу
Геометрия Геометрия — это полный годичный курс математики в средней школе для ученика, успешно завершившего предварительный курс алгебры I.Курс фокусируется на навыках и методах линейной, координатной,
Дополнительная информация
Ключевая концепция Формула Эйлера
11-1 Космические фигуры и поперечные сечения Цели Распознавать многогранники и их части Визуализировать поперечные сечения пространственных фигур Общие основные государственные стандарты G-GMD.B.4 Идентифицировать формы двумерного
Дополнительная информация
Математические многоугольники
Математика 310 9.2 Кривая многоугольника и соединенная идея Идея кривой — это то, что вы можете нарисовать на бумаге, не поднимая карандаша. Идея связности состоит в том, что набор нельзя разбить на два непересекающихся набора.
Дополнительная информация
3 Определите формы как двумерные (лежащие на плоскости, плоские) или трехмерные (твердые).
Детский сад Геометрия Определяйте и описывайте формы (квадраты, круги, треугольники, прямоугольники, шестиугольники, кубы, конусы, цилиндры и сферы).1 Описывать объекты в окружающей среде, используя имена фигур,
Дополнительная информация
свойств фигур: прямоугольники, квадраты и ромбы — видео и стенограмма урока
Прямоугольники
Начнем с прямоугольников. Прямоугольник представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами. Если вы хотите узнать, является ли форма прямоугольником, у вас есть всего два теста. Он четырехсторонний? И все ли углы 90 градусов? Если оба ответа положительные, то вы смотрите на прямоугольник.
Прямоугольники везде. Подумайте о своей средней комнате. Что в нем прямоугольник? Двери, столы, окна, плакаты на стенах — все это четырехгранные формы со всеми прямыми углами. Даже экран, на который вы сейчас смотрите, вероятно, представляет собой прямоугольник.
У прямоугольника противоположные стороны равны по длине и параллельны.
Прямоугольники обладают несколькими особыми свойствами. Во-первых, противоположные стороны параллельны.Во-вторых, противоположные стороны равны по длине. В прямоугольнике выше мы знаем, что сторона AB параллельна стороне CD, а BC параллельна AD. Кроме того, если мы знаем, что AB равно 6, то и CD тоже. Если BC равно 4, то и AD тоже.
Худой небоскреб представляет собой прямоугольник.
Самое интересное в прямоугольниках заключается в том, что каждая пара противоположных сторон может иметь совершенно другую длину, чем другая пара. У вас может быть супертонкий прямоугольник, как небоскреб наверху, или очень ровный, как обложка старого альбома внизу.
Эти обложки альбомов представляют собой прямоугольники.
Квадраты
Эта старая обложка альбома подходит как по определению прямоугольника, так и по определению нашей следующей формы — квадрата. Квадраты — это особая разновидность прямоугольников. Квадрат представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами и сторонами равной длины.
Вам знакомо это определение? Вот шаги, чтобы определить квадрат: он четырехгранный? Все углы 90 градусов? Если да, то у вас прямоугольник.Если все стороны одинаковой длины, то это не только прямоугольник, но и квадрат. Это означает, что все квадраты являются прямоугольниками. Но не все прямоугольники являются квадратами, поскольку пары сторон прямоугольника могут иметь разную длину.
Квадраты, как и прямоугольники, есть повсюду. Помимо обложки альбома, подумайте о местах на шахматной доске, марках, напольной плитке и даже о крекерах и сыре. Поскольку каждая сторона квадрата имеет одинаковую длину, вам не нужно давать много информации для решения большинства проблем.2, что составляет 25.
Все стороны квадрата имеют одинаковую длину.
Ромбы
Затем ромб. Ромб мало чем отличается от квадрата или прямоугольника. Вот вопросы, которые следует задать, если вы думаете, что имеете дело с ромбом: он четырехгранный? Все ли стороны равны по длине? Если оба ответа положительные, то у вас ромб.
Вы заметили, чего не хватает? Прямые углы.У ромба не обязательно должны быть прямые углы. Может, но в этом большая разница с ромбом. Мне нравится думать об этом так: слово «ромб» похоже на слово «носорог». Если носорог бросается на квадрат и сбивает его с ног, это уже не квадрат. Но все равно ромб! Носороги или нет, определение ромб — это четырехгранная форма со сторонами равной длины.
Ромбы обладают несколькими примечательными свойствами. Во-первых, противоположные стороны параллельны.Это верно и для прямоугольников, и для квадратов. Но в ромбе, даже если углы не 90 градусов, противоположные стороны все равно параллельны друг другу. Итак, в приведенном ниже AB параллельна CD. И AD параллельна BC. Также равны противоположные углы. Здесь угол A равен углу C, а угол B равен углу D.
Противоположные стороны ромба параллельны.
Плюс, вот забавный момент: если вы проведете диагональные линии из углов, эти линии образуют прямые углы.Поскольку квадрат — это ромб, это верно и для квадратов. И как бы далеко этот носорог ни толкал ромб, эти диагонали все равно образуют прямые углы. Квадрат — это ромб, но ромб не обязательно является квадратом. И прямоугольник может быть ромбом, но если стороны прямоугольника не равны по длине, то это не ромб.
Краткое содержание урока
В итоге мы рассмотрели три различных типа четырехугольников или четырехугольников. Во-первых, есть прямоугольник , который представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами.Его противоположные стороны параллельны и равны по длине, но каждая пара сторон не обязательно такой же длины, как другая пара.
Во-вторых, есть квадрат , который представляет собой четырехстороннюю форму со всеми прямыми углами и сторонами равной длины. Квадрат — это тип прямоугольника, у которого все четыре стороны имеют одинаковую длину. Наконец, есть ромб , который представляет собой четырехгранную форму со сторонами равной длины. Углы могут составлять 90 градусов, но это не обязательно.Итак, квадрат — это ромб, но не каждый ромб — это квадрат.
Результат обучения
Вы сможете описать свойства квадратов, прямоугольников и ромбов после просмотра этого видеоурока.
Площадь четырехугольника
Рабочие листы свободной геометрии, созданные с помощью бесконечной геометрии. Возможность распечатать в удобном формате PDF. 4 Площадь выпуклого четырехугольника. Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному перекрестным четырехугольником, перекрещенным четырехугольником, четырехугольником бабочки или четырехугольником бабочки.
Чтобы найти площадь любого общего четырехугольника, мы разбиваем его на треугольники и складываем их площадь. Параллелограмм имеет противоположные стороны, равные и параллельные. Для четырехугольника ABCD. Мы присоединяемся к AC. Калькулятор площади четырехугольника вычисляет площадь простого четырехугольника с учетом четырех сторон и длины диагонали между противоположными углами.
Площадь параллелограммов. Урок 7 От параллелограммов к треугольникам. Урок 8 Площадь треугольников. Урок 9 Формула площади треугольника.Урок 10 Основания и высоты треугольников. Урок 11 Полигоны. Урок 12 Что такое площадь поверхности? Урок 13 Многогранники. Урок 14 Сети и площадь поверхности. Урок 15 Больше сетей, больше площадь поверхности. Урок 16 Квадратный метр — производная единица площади в системе СИ. Он имеет символ м² (33A1 в Юникоде). Он определяется как площадь квадрата, стороны которого составляют ровно один метр. Квадратный метр получается из базовой единицы измерения в системе СИ, которая, в свою очередь, определяется как длина пути, пройденного светом в абсолютном вакууме за интервал времени 1 ⁄ 299 792 458 секунды.
Квадрат также можно определить как параллелограмм с равными диагоналями, которые делят углы пополам. Если фигура представляет собой прямоугольник (прямые углы) и ромб (равные длины ребер), то это квадрат. Если круг описан вокруг квадрата, площадь круга равна / (примерно 1,5708) раз больше площади квадрата. Площадь треугольников и четырехугольников R.5. Площадь и периметр в координатной плоскости I Р.6. Площадь и периметр в координатной плоскости II Р.7. Площадь и окружность …
Площадь четырехугольного треугольника Докажите, что площадь четырехугольника PQRS равна половине площади ABCD? У какого особого типа четырехугольника диагонали равны и пересекаются пополам, но не перпендикулярны?
диагоналей пересекают друг друга
12.Исследование № 3: исследуйте пересечение диагоналей ромба. Посмотреть больше. Диагонали квадрата и прямоугольника делят друг друга пополам. диагонали только квадратного прямоугольника пересекаются под углом 90 градусов, образуя перпендикуляр. но они образуют углы в 45 градусов на концах, где они встречаются либо с основанием, либо со сторонами. A. быть его диагоналями. Иногда одна из этих диагоналей могла выходить за пределы формы; тогда у вас есть дротик. В любом параллелограмме диагонали (линии, соединяющие противоположные углы) делят друг друга пополам.Покажите, что четырехугольник, образованный соединением середин сторон, представляет собой прямоугольник. Основания трапеции имеют длину 3 и 5 единиц, одна диагональ перпендикулярна боковой стороне, а другая диагональ делит пополам угол у большего основания. Диагонали пересекаются, чтобы сократить длину пополам. Диагонали проводятся от точки A к точке C и от точки B к точке D и пересекаются в точке E. Все стороны совпадают. это самая короткая сторона. На рисунке выше нажмите «Сброс». Все 4 ответа представляют собой выпуклые четырехугольники, поэтому их диагонали будут пересекаться.ДАННЫЙ: четырехугольник, диагонали которого пересекаются и разделяются на четыре части, так что ДОКАЗАТЬ: четырехугольник является параллелограммом. У диагоналей прямоугольника есть еще одно важное свойство — они равны по длине. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Рисуются диагонали. Рассмотрим прямоугольную дверь. Решенные задачи на равнобедренных трапециях Задача 1. угол z больше угла y. противоположен наибольшему углу. В этом случае фотограф также хорошо использовал малую глубину резкости.В настоящее время мы занимаемся конструкциями, наш лектор утверждал, что мы можем превратить один четырехугольник в другой, изменив одни свойства и сохранив другие свойства неизменными. Мы подойдем к этой проблеме иначе. Фактически, возьмите отрезок длиной 12 и начните под углом 20 градусов с одной стороны и 70 градусов с другой (для диагоналей). Чтобы найти диагональ квадрата, вы можете использовать формулу =, где равно длине одной стороны квадрата. Обязательно создайте и назовите соответствующие геометрические фигуры.Другой угол может быть вычислен путем вычитания известного угла из 180 °. Свойства ромба: ромб — это четырехугольник, все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. Когда Кэролайн и ее мать шли к магазину, они вышли на угол двух улиц. Рассмотрим треугольники ABC и ADC (рисунок 2). Размер одного внутреннего угла параллелограмма на 42 градуса более чем в два раза превышает размер другого угла. Допустим, длина другой диагонали = (2b) см. Например, более короткий будет разделен посередине (6 дюймов: 6 дюймов), а более длинный — в соотношении 8:14, как показано на рисунке.а. к . 14. У вогнутых (например, бумеранга) они не пересекаются. Нарисуйте диагональ, скажем, AC = 4 см; Взяв A и C в качестве центров и радиуса более 1/2 AC, нарисуйте дуги по обе стороны от отрезка AC, чтобы они пересекались друг с другом. Другой вопрос … Более длинная диагональ воздушного змея делит более короткую пополам. Открытый сегмент от. диагонали, используя формулу Эйлера V E + F = 2. В евклидовой геометрии параллелограмм — это простой (несамопересекающийся) четырехугольник с двумя парами параллельных сторон.12 квадратных единиц 18 квадратных единиц 24 квадратных единицы 48 квадратных единиц диагонали параллелограмма. Правда. Итак, чтобы построить ромб с диагоналями 4 см и 6 см, выполните следующие действия. Чтобы приблизительно определить длину болота, геодезист проходит 425 метров от точки A до точки B. Четырехугольник — это замкнутая двухмерная фигура, состоящая из четырех сторон, и все ее внутренние углы в сумме составляют 360 градусов. Правда. Полученное изображение показывает глубину, которая была бы невозможна, если бы камера находилась под прямым углом.В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Если угол A = 85, AE = 3x + 10 и EC = 7x — 30, найдите меру угла C и значение x. Мы уже доказали это свойство для любого параллелограмма. диагонали пересекаются в точке p. сторона qr = 5 м и диагональ qs = 6 м. и 8 см. 26 января 2021 г. В данном случае диагонали — это BD и AC, которые в квадратах имеют одинаковую длину. B. разделите друг друга пополам. 6. • Половина произведения диагоналей равна площади четырехугольника.• По крайней мере, одна диагональ лежит на линии симметрии четырехугольника. Без категории. Какая длина диагонали? Диагонали прямоугольника и равнобедренной трапеции пересекаются, образуя дополнительные углы, не равные 90 градусам. b Определите градиент TS, округленный до двух десятичных знаков. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам: то есть точка пересечения двух диагоналей является средней точкой каждой из них. 12-Oct-2011 MA 341 27. Диагонали лежат между противоположными вершинами (т.е.е. Диагонали квадрата пересекаются в точке Q. Каковы координаты точки Q? Используйте эту процедуру, чтобы помочь студентам улучшить свои письменные ответы для доказательства гипотезы: диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Квадрат — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны по длине и все углы … Вы очень важны для нас. Если эта теорема верна для квадратов, почему или почему нет? Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали — мощные композиционные элементы.Показан треугольник xyz, где n ≥ 5. Какие утверждения верны относительно сторон и углов треугольника? Есть еще один… Есть 1000 + 1004 = 2004 прямых, которые пересекает главная диагональ. 11.25 B.)… 1. Теорема утверждает, что диагональ AC ромба является биссектрисой к каждому из двух углов DAB и BCD, а диагональ BD является биссектрисой угла к каждому из двух углов ABC и ADC. Пример вогнутого четырехугольника — дротик. Какое значение x — ответы студенту-помощнику.com … Еще вопрос по математике. Добавьте свой ответ и зарабатывайте баллы. Мы уже объясняли, что противоположные углы равны. 4. Название: Докажите нашу гипотезу: 4. Используя формулу средней точки, мы можем найти точку пересечения. Эта проблема решена! Параллелограмм всегда есть прямоугольник. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны друг другу. Что касается квадратов, они делят друг друга пополам под углом 90 градусов, то есть они перпендикулярны биссектрисам. D. противоположные углы совпадают.Правильные ответы: 3 вопроса: Показан ромб с совпадающими сторонами. Напишите косвенное доказательство того, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. А. конгруэнтны. Когда диагональные линии пересекаются, они создают точки интереса на пересечении. 10. Диагонали пересекаются в W. a Докажите, что координаты S равны (2 + 2 √ 5; 0). Home / диагонали не обязательно пересекаются. Диагонали квадрата, ромба и воздушного змея пересекаются под прямым углом. В выпуклых простых многоугольниках диагонали всегда будут внутри.5. • По крайней мере, одна диагональ делит пополам два угла четырехугольника. Рисуются диагонали. Диагонали Диагональ — это отрезок прямой, соединяющий один угол с другим, но не являющийся ребром. Диагонали прямоугольника равны друг другу. Что из следующего может использовать Томас, чтобы доказать, что сторона ab равна стороне dc? 1 См. Ответ genickijenndon ждет вашей помощи. В каждом кайте диагонали пересекаются под углом 90 °. 13. б. не пересекает ∂. C. диагонали пересекаются под прямым углом. Сал доказывает, что диагонали ромба перпендикулярны и что они пересекаются в серединах обоих.В частности, все стороны параллелограмма равны, то есть у нас есть ромб. На изображении ниже угол, под которым камера при настройке создала диагональную линию. Сколько В случае многоугольника это прямая линия, соединяющая противоположные углы многоугольника через его вершины. Как и у любого скрещенного четырехугольника, сумма его внутренних углов составляет 720 °. Диагонали триангуляции и триангуляция 1. Диагональ многоугольника P — это отрезок прямой между двумя его вершинами a и b, которые хорошо видны друг другу 2.Открытый отрезок от a до b не пересекает ∂P; таким образом, диагональ не может скользить по границе. Четырехугольники с перпендикулярными диагоналями — это «квадрат», «ромб» и «воздушный змей». A. Диагонали ромба пересекают друг друга и перпендикулярны. Все четыре ножки каждой лестницы плотно касаются либо нижнего угла, либо противоположной стены. P и S лежат на оси -. 5. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам, поэтому вы можете установить помеченные сегменты, равные друг другу, а затем решить для.Б. Какова площадь ромба? Добавьте свой ответ и зарабатывайте баллы. Затем проведите линии из оставшихся двух углов, чтобы они пересекались с главной диагональю под прямым углом. Сначала мы соединяем диагонали, и там, где они пересекаются, находится точка E. Углы ECD и EBA равны в меру, потому что прямые CD и AB параллельны, и это делает их чередующимися углами. Обычная трапеция имеет равные непараллельные стороны и равные углы при основании, как показано на следующей диаграмме. 17a — 59 (p + 100) 0 720 При этом все стороны ромба равны по длине, а диагонали делят друг друга пополам под прямым углом.Смотрите ответ. б. Диагонали пересекают друг друга (во внутренних точках). Докажите, что если одна пара противоположных сторон четырехугольника равны и параллельны, то четырехугольник является параллелограммом. Квадрат — это частный случай прямоугольника. 8. Диагональ квадрата — это линия, идущая от одного угла квадрата к противоположному углу. Ромб — это частный случай параллелограмма, это четырехугольник с четырьмя сторонами. Используя теорему Фалеса 6.2, докажите, что прямая, соединяющая середины любых двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне.Диагонали пересекаются в своих серединах. Угол C равен 85 градусам, а x = 10, b / c диагонали делят друг друга пополам. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу. Свойства прямоугольника; Свойства квадрата; Свойство: диагонали квадрата перпендикулярны биссектрисам друг к другу. Угол B E A равен (3 x минус 12) градусов. Единственный правильный (все стороны равны и все углы равны) четырехугольник — это квадрат. Пусть PQ пересекает AC в точке O. С понедельника по субботу — с 10:00 до 19:00. Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.Мне нужно зафиксировать диагональную опорную плоскость на пересечении двух ортогональных опорных плоскостей, чтобы моя дверь (под углом) скользила к фиксированному углу, а не к углу, движущемуся к двери. Параллелограмм — это четырехугольник, состоящий из двух пар пересекающихся параллельных прямых. 9. 2 диагонали. Диагонали проводятся от точки A к точке C и от точки B к точке D и пересекаются. У восьмиугольника есть. Диагонали пересекаются под углом 35 градусов. Обязательно создайте и назовите соответствующие геометрические фигуры.Если один угол прямой, то все углы прямые. Найдите длины сторон параллелограмма, если диагонали пересекаются под углом 28º. 12-Oct-2011 MA 341 27. Правило 1: Противоположные стороны параллельны Подробнее. Письмо, слушание, разговор: MLR1 с каждым разом сильнее и яснее. Что такое диагональ? Диагонали лежат между противоположными вершинами (т.е.). Из того, что каждая диагональ является трансверсалью, мы знаем, что в этом случае… Почему диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Найдите значение x.8т. Мы знаем по свойствам параллелограмма, что диагонали разрезаются на две равные части в точке пересечения. Теорема 1. Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом. Мозговой пользователь. Заголовок: в качестве альтернативы диагональная линия может пересекать все изображение, проходя через него от одного края до другого. Это дает вам наложение золотого треугольника, которое включает в себя четыре различных треугольника (хотя в целом получается шесть треугольников, когда вы объединяете их вместе! Диагональ многоугольника — это линия сегмента, концы которой не являются смежными вершинами многоугольника.В 54-стороннем многоугольнике 53 возможных диагонали можно провести от одной вершины к другой. Бесплатная электронная книга https://bookboon.com/en/introduction-to-vectors-ebook (обновленная ссылка) Круги пересекаются в двух точках — пусть C будет точкой пересечения в пределах неотражающего угла BAD. Диагонали должны создаваться поперек вершин многоугольника, но вершины не должны примыкать друг к другу. Диагонали пересекаются под прямым углом. Диагонали параллелограмма Abcd пересекаются в точке O. Пример 6.2, 10 Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются друг с другом в точке O, так что / = /.Примечание. Прямоугольники, квадраты и ромбы (или ромбы) — это параллелограммы. Мы знаем длину BD и AC. Б. диагонали делят друг друга пополам. Еще одно интересное использование диагональных линий — создание глубины. Kite qrst имеет короткую диагональ qs и длинную диагональ rt. Таким образом, внутренняя часть будет разделена на 54 области 53 диагоналями плюс две стороны исходного многоугольника, примыкающие к вершине, от которой диагонали… Ответы: 3 на вопрос: Показан ромб с совпадающими сторонами.80. Это означает, что они перпендикулярны. Для общего выпуклого n-угольника ответ будет n 4, потому что каждые четыре вершины будут в параллелограмме, если вы знаете один угол, вы можете вычислить все остальные углы. В геометрии термин «диагональ» относится к отрезку, соединяющему две вершины, который не образует сторону многоугольника. Длина одной диагонали равна 6, а длина другой диагонали — 8. Решение: мы знаем, что все стороны ромба равны, а диагонали ромба перпендикулярны биссектрисам друг друга.Объясните, как менять диагонали… Четырехугольник — это трапеция, если две стороны параллельны. Когда диагональные линии пересекаются, они создают точки интереса на пересечении. В многограннике, вершине… Введение Мы найдем формулу для числа I (n) точек пересечения, образованных внутри правильного n-угольника его диагоналями. A… Прямые CD и AB равны по длине, потому что противоположные стороны параллелограмма равны. Если угол, под которым они встречаются, равен 90 ∘, то по теореме Пифагора каждая сторона прямоугольника имеет длину p 2 + q 2.20 диагоналей. Какая у него длина? Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, поэтому точка пересечения является серединой любого из них. Один метод, который можно использовать для доказательства того, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, показан в данном частичном доказательстве: … Другой метод доказательства диагоналей параллелограмма, делимых пополам, использует координатную сетку. Итак, чтобы построить ромб с диагоналями 4 см и 6 см, выполните следующие действия. Диагонали параллелограмма пересекают друг друга пополам; Четырехугольник называется параллелограммом, если его диагонали делят пополам; Пара противоположных сторон параллелограмма равны и параллельны; Ромб — это параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом; Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, представляет собой ромб. Длины диагоналей параллелограмма составляют 10 футов и 16 футов.Диагональ — это отрезок прямой, концы которого являются вершинами. P и S лежат на оси -. Свойство: диагонали прямоугольника одинаковой длины. В углу вершина — это место, где встречаются две линии, лучи или сегменты. Диагональ связана с вершиной, потому что диагональ — это отрезок прямой, соединяющий любые две непоследовательные вершины. В четырехугольнике abcd диагонали пересекаются в точке t. Томас использовал теорему об альтернативных внутренних углах, чтобы показать, что угол adb конгруэнтен углу dbc и что угол dba конгруэнтен bdc.2. Средний. Другие четырехугольники включают трапеции, воздушные змеи и неправильные четырехугольники. Это особый вид параллелограмма, диагонали которого пересекаются под углом 90 °. 21 CDP = 108, q = 29 = 8, q = 29 6. Пусть s = сторона ромба. Правильный или неправильный пятиугольник имеет пять диагоналей. Решения главы 6.2 Задача 65E: Длина диагоналей параллелограмма составляет 20 дюймов и 30 дюймов. Возникли четыре вопроса: 1. Второе отличительное свойство диагоналей воздушных змеев состоит в том, что одна из диагоналей делит пополам или пополам другую диагональ.Классифицируйте типы. Прямая линия, соединяющая вершину равнобедренного треугольника и середину … Идеально, чтобы поместить фокус изображения на пересечении, потому что наши глаза естественно притягиваются к пересечению двух линий. 6. 5. 8т. Пересеките их и продолжайте идти, пока не получится 4 длинные параллельные линии. Диагональ 6 см = 3 см + 3 см = ноги прямоугольного треугольника внутри ромба. Нарисуйте диагонали. Это должно быть то же самое, что и средняя точка XZ; Диагонали делят друг друга пополам, поэтому нам нужно найти только середину одной из диагоналей.Фигура прямоугольная? Соседний…… в нем используется фраза «диагонали пересекаются в своих средних точках», что сделало бы ответ на Часть D более очевидным. Есть несколько правил, связанных с углами параллелограмма. 11.25 B. Вычислите диагонали ромба, если вы знаете 1. (x, y) = (x1 + x2 2, y1 + y2 2) Случай 3: трапеция или воздушный змей Далее самый простой способ — использовать наш калькулятор прямоугольного треугольника ( этот метод работает только для выпуклых воздушных змеев). Назовите название правильного шестиугольника. 4.… AC и BD — это диагонали AC и BD, пересекающиеся в… Диагонали многоугольника — это отрезки прямых от одного угла до другого (но не по краям).Диагонали четырехугольника — перпендикулярно, пополам или оба. Посмотреть решение. По бокам 4,13 «см». Одним из недостатков этого является то, что необходимо нанести на график местоположение точки схода (не показано на рисунке), которая может выходить за края нашего листа бумаги для рисования. Другие четырехугольники. c Вычислить с округлением до двух десятичных знаков. Диагонали триангуляции и триангуляция 1. Диагональ многоугольника P — это отрезок прямой между двумя его вершинами a и b, которые хорошо видны друг другу 2.Открытый отрезок от a до b не пересекает ∂P; таким образом, диагональ не может скользить по границе. Окружность описана вокруг трапеции. Таким образом, если диагональ начинается на краю композиции, она привлекает зрителя, а затем уводит его в путешествие до другого конца. 80. Одна из диагоналей ромба, допустим, q = 7см. Площадь выпуклого четырехугольника с … диагоналями перпендикулярна тогда и только тогда, когда площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей.По диагонали четырехугольника можно определить, является ли он параллелограммом, прямоугольником, ромбом и т. Д. Здесь мы перечислим и докажем основные теоремы. Противоположные или обращенные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину, а противоположные углы параллелограмма равны. Диагонали — это перпендикулярные биссектрисы: диагонали BD и OC пересекаются в точке O. Окружность описана вокруг трапеции. Математика, 21.06.2019 15:50 Примеры: квадрат (или любой четырехугольник) имеет 4 (4−3) / 2 = 4 × 1/2 = 2 диагонали; восьмиугольник имеет 8 (8−3) / 2 = 8 × 5/2 = 20 диагоналей.Для этого мы воспользуемся вот этой таблицей, у меня есть три столбца; один для количества вершин, один для количества диагоналей на вершину и общего количества диагоналей, которые мы видим в многоугольнике. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Углы EDC и EAB равны по той же причине. У следующего по простому четырехугольника две диагонали. Таким образом, мы получаем диагональ, когда напрямую соединяем любые два угла (вершины), которые еще не соединены ребром. Трапеция имеет одну пару параллельных противоположных сторон.12-Oct-2011 MA 341 26. Если четырехугольник — параллелограмм, то его диагонали делят друг друга пополам. стороны параллелограмма. Идеально разместить фокус изображения на пересечении, потому что наши глаза естественно притягиваются к пересечению двух линий. Таким образом, прямая, проходящая через точку O, параллельная сторонам параллелограмма, содержащим P и Q, даст параллельную проекцию одной трансверсали на другую. Найдите размер каждого угла. Найдите координаты пересечения диагоналей параллелограмма XYZW с вершинами X (3,0), Y (3,8) Z (-2,6) и W (-2, -2).12 квадратных единиц 18 квадратных единиц 24 квадратных единицы 48 квадратных единиц Любой член… Затем MN пересекает PR в своей средней точке 12 октября 2011 MA 341 17, которая, как мы знаем, является О. Теорема … параллелограмм (пересечение диагоналей). Найдите p и q. Они создают визуальный поток. Нарисуйте диагональ, скажем, AC = 4 см; Взяв A и C в качестве центров и радиуса более 1/2 AC, нарисуйте дуги по обе стороны от отрезка AC, чтобы они пересекались друг с другом. Таким образом, диагональ от этой вершины соединит эти две вершины, которые не идут подряд.. В параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны, а диагонали делят друг друга пополам. угол x — наибольший угол. Сал доказывает, что диагонали ромба перпендикулярны и что они пересекаются в серединах обоих. 1 См. Ответ genickijenndon ждет вашей помощи. Правильных ответов: 3 вопроса: Четырехугольник РГТУ, диагонали SU и RT пересекаются в точке V. РГТУ — параллелограмм. Угол между одним из оснований трапеции и боковой стороной равен ex, а угол между этим основанием и одной из диагоналей равен p.Это общее свойство любого параллелограмма. Фактически, возьмите отрезок длиной 12 и начните под углом 20 градусов с одной стороны и 70 градусов с другой (для диагоналей). Как сбросить данные приложений на Iphone,
Настройки разгона Kawpow,
Технологическая схема переработки сырой нефти,
Записанное будущее Сингапура,
+ 18Магазины moreclothing Подземный магазин одежды, Eclectic Fashions и многое другое,
Набор аксессуаров для ванной комнаты из никеля,
Раствор и растворитель раствора моющего средства,
Положение Кубка мира по прыжкам с трамплина,
Румынский бурый медведь против гризли,
Питер Осгуд Никнейм, диагонали пересекаются друг с другом 2021
геометрических фигур: определение, типы, примеры, свойства
Геометрические формы: В математике геометрические формы — это фигуры, которые показывают формы предметов, которые мы видим в нашей повседневной жизни.В геометрии формы — это формы объектов, которые имеют граничные линии, поверхности и углы. Существуют разные типы фигур \ (2 \, {\ rm {D}} \) и \ (3 \, {\ rm {D}} \). В повседневной жизни мы постоянно взаимодействуем с разными объектами, которые имеют различную форму, от простых до абстрактных.
Например, книги (прямоугольная форма), очки (цилиндрическая форма), дорожные конусы (коническая форма) и т. Д. В этой статье вы познакомитесь с различными геометрическими фигурами и их определением, а также с примерами.
Определение геометрических форм
В плоской геометрии двумерные формы — это плоские формы и замкнутые фигуры, такие как круги, квадраты, прямоугольники, ромбы и т. Д. В твердой геометрии трехмерными формами являются куб, кубоид, конус, сфера и цилиндр. Мы можем наблюдать все эти формы и в нашем повседневном существовании.
Давайте посмотрим на некоторые из реальных объектов, которые мы использовали, которые напоминают некоторые основные формы.
Геометрические формы — это формы, которые представляют формы различных объектов.Некоторые фигуры имеют двумерную форму \ (2 \, {\ rm {D}} \), а некоторые — трехмерную форму \ (3 \, {\ rm {D}} \). \ (2 \, {\ rm Фигуры {D}} \) лежат только на оси \ (x- \) и \ (y — \), но фигуры \ (3 \, {\ rm {D}} \) лежат в \ (x, оси у — \) и \ (z — \). Ось \ (z — \) представляет высоту объекта. В геометрии определены различные формы, такие как круг, квадрат, прямоугольник, треугольник и т. Д.
Чтобы создать любую из этих фигур, начните с линии, сегмента линии или кривой. В зависимости от количества линий и их расположения мы получаем разные типы фигур и фигур, такие как треугольник (фигура, в которой соединены трехлинейные сегменты), Пентагон (пятилинейные сегменты) и так далее.
Фигуры в геометрии могут быть открытыми или закрытыми.
Открытая форма: Фигура, которая начинается и заканчивается в разных точках, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется открытой формой.
Замкнутая форма: Фигура, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется замкнутой формой .
Скачать математические формулы для классов \ (6 \) — \ (12: \)
Список геометрических фигур
Формы классифицируются по их регулярности или однородности.Правильная форма является симметричной, например квадрат, круг и т. Д. Неправильные формы асимметричны. Их также называют формами произвольной формы или органическими формами. Например, форма дерева может быть неправильной или органичной. Список геометрической формы \ (2 \, {\ rm {D}} \) и формы \ (3 \, {\ rm {D}} \) приведен ниже:
\ (2 \, {\ rm {D}} \) Формы:
Треугольник
Круг
Полукруг
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Ромб
Трапеция
Воздушный змей
Многоугольники (Пентагон, Шестиугольник, Октагон, Нонагон, Десятиугольник и т. Д.)
\ (3 \, {\ rm {D}} \) Формы :
Сфера
Куб
Кубоид
Конус
Цилиндр
Типы геометрических фигур со свойствами
Давайте посмотрим на некоторые геометрические фигуры и их свойства:
Двумерные формы
Треугольник: Треугольник — это многоугольник, состоящий из \ (3 \) сторон и \ (3 \) ребер и \ (3 \) вершин.\ circ} \) называется квадратом.
Прямоугольник : Тип четырехугольника, в котором противоположные стороны равны по длине, а каждый угол является прямым, называется прямоугольником.
Параллелограмм : Четырехугольник называется параллелограммом, если обе пары его противоположных сторон параллельны.
Ромб: Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Трапеция: Тип четырехугольника, имеющего ровно одну пару параллельных сторон, называется трапецией.
Воздушный змей: Четырехугольник называется воздушным змеем, если у него две пары равных смежных сторон, но неравные противоположные стороны.
Многоугольники (Пентагон, Шестиугольник, Гептагон, Октагон, Нонагон, Десятиугольник и т. Д.): Многоугольники состоят из отрезков линий и не состоят из кривых. Они представляют собой замкнутую конструкцию с разной длиной сторон и разными углами.
Трехмерные фигуры
Сфера: Сфера — это круглая форма \ (3 \, {\ rm {D}} \), радиус которой увеличен до трех измерений. Пример: Глобус
Куб: Куб — это форма \ (3 \, {\ rm {D}} \) с \ (6 \) гранями, \ (8 \) вершинами и \ (12 \) ребрами. Все грани куба квадратные. Пример: кубик Рубика
Кубоид: Кубоид — это трехмерная сплошная форма, имеющая \ (6 \) граней, \ (8 \) вершин и \ (12 \) ребер, но все грани кубоида имеют прямоугольную форму. Пример: Ланчбокс
Конус: Конус представляет собой твердую форму, имеющую круглое основание и плавно сужающуюся от поверхности к вершине в точке, называемой вершиной или вершиной. Пример: шапка на день рождения
Цилиндр: Цилиндр — это твердое тело \ (3 \, {\ rm {D}} \), имеющее два параллельных круглых основания, соединенных изогнутой поверхностью. У него нет вершины. Пример: газовый баллон
Примеры основных геометрических фигур
Здесь мы обсудили некоторые геометрические фигуры:
Примеры плоских геометрических фигур
Круг : Колесо — это пример круга в реальной жизни.
Квадрат: Доска для карамболя — это пример квадрата в реальной жизни.
Треугольник: Один кусок пиццы — пример треугольника в реальной жизни.
Прямоугольник: Доска — это пример прямоугольника в реальной жизни.
Овал: Яйцо — пример овала в реальной жизни.
Пример твердых геометрических фигур
Сфера: Футбол, сферические шарики, глобус и т. Д., являются примерами сферы.
Куб: Кубик льда, кубики сахара, игральные кости и т. Д. Являются примерами куба.
Кубоид: Спичечный коробок, книга, коробка для завтрака и т. Д. Являются примерами кубоида.
Конус: Конус для мороженого, шапочка для дня рождения и т. Д. Являются примерами конуса.
Цилиндр: Канистра, труба, газовые баллоны и т. Д. Являются примерами баллона.
Важные замечания о геометрических формах
Точка не имеет размера, а линия — это одномерная фигура.Оба являются основой геометрии. Когда две прямые встречаются в точке, они образуют угол, где точка называется вершиной, а линии — руками.
Двумерные и трехмерные формы формируются с помощью точек, линий и углов.
Двумерные формы, имеющие \ (4 \) стороны, такие как прямоугольник, квадрат, параллелограмм, воздушный змей, трапеция и т. Д., Называются четырехугольниками.
Четырехугольники — это четырехсторонние замкнутые фигуры, составленные из прямых линий.
Многоугольники — это замкнутые формы, состоящие из прямых линий.Они названы в соответствии с количеством сторон, которые у них есть.
Трехмерная форма имеет длину, ширину и высоту.
Геометрические узоры
Геометрические узоры — это набор форм, повторяющихся или изменяемых для создания определенного рисунка. Примеры геометрических узоров приведены ниже,
Давайте посмотрим на узор, используя некоторые основные плоские формы. Некоторые основные формы плоскостей: круг, квадрат, треугольник, прямоугольник и т. Д.
Решенные примеры — геометрические формы:
Q.1. Приведенная ниже цифра является открытой или закрытой цифрой?
Ответ: Фигура, которая начинается и заканчивается в разных точках, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется открытой фигурой. Поскольку у данной фигуры есть разные начальная и конечная точки, и она не является непрерывной, это открытая фигура.
Q.2. Цифра, приведенная ниже, является открытой или закрытой цифрой?
Ответ: Фигура, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке, образуя границу сегментами линии или кривыми, называется замкнутой фигурой.Поскольку у данного рисунка и начальная, и конечная точки одинаковы, это замкнутая фигура.
Q.3. Приведите три реальных примера прямоугольника. Ответ: Прямоугольник — это плоская геометрическая замкнутая форма, имеющая в общей сложности четыре стороны (две противоположные стороны равны и параллельны), четыре угла. Реальные примеры прямоугольника: банкнота, мобильный телефон, обложка книги и т. Д.
Q.4. Напишите два примера конуса. Ответ: Конус — это сплошная форма \ (3 \, {\ rm {D}} \). Два примера рожка — шапочка для дня рождения и рожок мороженого.
Q.5. Подсчитайте и запишите количество кругов, овалов, треугольников, прямоугольников и квадратов на рисунке ниже.
Ответ: Количество кругов \ (7 \). Количество овалов \ (6 \). Количество треугольников: \ (8 \). Количество прямоугольников: \ (4 \). Количество квадратов \ (3 \).
Сводка
Геометрические формы повсюду. Почти все состоит как из двумерных \ (2 \, {\ rm {D}} \), так и из трехмерных \ (3 \, {\ rm {D}}}) геометрических форм. В этой статье мы рассмотрели определение геометрических форм, геометрические формы, используемые в реальных объектах, типы геометрических фигур и их свойства, открытые формы, закрытые формы, список геометрических форм, некоторые примечания к геометрическим формам, примеры геометрических фигур, узор геометрических фигур и т. д.
Это поможет учащимся понять геометрические узоры и поможет понять геометрические формы, их свойства и т. Д.
Часто задаваемые вопросы (FAQ) — Геометрические формы
Q.1. Какие \ (3 \) примеры геометрической формы? Ответ: Три примера геометрической формы: круг, треугольник и квадрат
Q.2. Какие основные формы \ (10 \) ? Ответ: Основные формы \ (10 \) — это круг, овал, треугольник, ромб, квадрат, прямоугольник, трапеция, пятиугольник, шестиугольник и восьмиугольник.
Q.3. Какая геометрическая форма является наиболее распространенной? Ответ: Круг — наиболее распространенная геометрическая форма.
Q.4. Каковы основные формы \ (4 \) ? Ответ: Основные геометрические плоские формы \ (4 \) — это круг, треугольник, прямоугольник и квадрат.
Q.5. Сколько сторон у пятиугольника? Ответ: «Пента» означает «пять» Итак, пятиугольник имеет \ (5 \) сторон.
Q.6. Определите уравнение Эйлера на примере? Ответ: Уравнение Эйлера для любого многогранника: \ (F + V — E = 2 \), где \ (F \) — количество граней, \ (V \) — количество вершин, и \ (E \) количество ребер. Пример: Теперь \ (F + V — E = 2 \) \ (F = 2 — V + E \) \ (F = 2-6 + 12 \) \ (F = 8 \) Следовательно, количество граней равно \ (8. \)
.
Мы надеемся, что эта подробная статья о геометрических формах окажется полезной.Не стесняйтесь задавать свои сомнения или вопросы в разделе комментариев ниже. Мы обязательно свяжемся с вами в ближайшее время. Embibe желает вам всего наилучшего в вашей подготовке!
Урок 8. favourite subjects — Английский язык — 5 класс
Английский язык
5 класс
Номер урока: 8
Название темы: Favourite subjects
Перечень рассматриваемых вопросов:
научиться составлять монолог и диалог о любимых школьных предметах;
научиться использовать лексику «Школьные предметы»;
научиться использовать вопросы;
научиться применять на письме правило о заглавных буквах;
развить умения диалогической и монологической речи;
актуализировать знания о глаголе-связке “to be”.
Тезаурус
Maths — математика
English – английский язык
History — история
PE — физкультура
Art — рисование
Music — музыка
Geography — география
Science — естествознание
IT – информатика
lesson – урок
to study — изучать
favourite — любимый
Список литературы
Обязательная литература:
Ваулина Ю.Е, «Английский в фокусе», учебник английского языка для общеобразовательных школ, 5 класс// Ваулина Ю.Е., Дули Д., Подоляко О.Е., Эванс В., — М., Просвещение, Express Publishing, 2018 -124 с
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал Puzzle English — URL: www.puzzle-english.com (Дата обращения: 23.05.2019)
Материал для самостоятельного изучения темы
At secondary school students have a lot of subjects to study. Dan is new to school. He wants to learn about new subjects.
Dan: What subjects do you study at school?
Kate: Oh, lots of them. But my favourite is Art. We usually draw or paint at the lesson.
Dan: Do you like Maths?
Kate: Oh, no. I don`t like to study numbers or count. It’s so boring.
Dan: What about History? I think it`s nice to learn about the past.
Kate: Yes, it is. I also like Geography, because we use maps and atlases.
Dan: Do you have IT?
Kate: Yes, we do. We have got many computers and a Science lab.
Dan: Ok, do you have a gym for PE lessons?
Kate: Of course, we do. Dan, what is your favourite subject?
Dan: My favourite subject is English.
Let`s repeat some useful words now. These are school subjects:
Maths
English
Art
Music
Science
History
IT
Geography
PE
Remember! You must start writing school subjects with CAPITAL letters. Use capital letters after full stops, in names of people, a pronoun I, countries, months and days of the week.
For example:
This is Martin. He is new to the school.
I like PE.
I am from Russia.
My birthday is in June.
We have Maths on Fridays.
Are these rules the same in your language?
No, they are not.
In Russian we must start with capital letters words after full stops, names and countries. But we shouldn`t capitalize days of the week, school subjects and months and pronoun I.
At school you often fill in the forms giving facts about yourself. In such forms you should give short answers.
Usually you are asked to answer the following questions:
What is your name?
What class are you in?
What school are you in?
What subjects do you choose?
To fill in the form you must write only facts, for example:
Dan Smith, 3D, secondary school, History and English.
Dan is new to the school. That’s why the teacher asked him to fill in the form. Let’s help Dan do it:
What is your name? – Dan Smith
What class are you in? – 3D
What school are you in? — secondary school
What subjects do you choose? – History and English
Now it’s time for us to practice writing capitalized words and answering these questions. Let’s go.
Тренировочные задания
1. Восстановление последовательности элементов горизонтальное
2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Put the right form of the verb to be am, is or are.
___ this your pencil?
What ____ your name?
They ____ at school now.
She ____ doing homework.
I _____ happy.
The students _____ writing a dictation now.
Чтобы правильно выполнить задание, вспомните правила, о которых говорилось на уроке и те, которые Вы проходили ранее.
Правильные ответы:
1) Is this your pencil?
2. What is your name?
3. They are at school now.
4. She is doing homework.
5. I am happy.
6. The students are writing a dictation now.
My Favourite Subject (1). Мой любимый предмет (1)
[24.07.2012] olga Посмотрели: 23324
Рейтинг: 1
Коментариев: 0
1
My Favourite Subject (1)
We did quite a lot of subjects at school. They were: Physics, Mathematics, Biology, Russian Literature, Chemistry, English, History and many other subjects.
It was rather difficult to go to school when a school-leaver, we had so much to do. I know that all the subjects are important and they all must be payed much attention to, but still I didn’t like exact sciences. I spent a lot of time on doing them at home. But no matter how hard I tried, all those formulas and definitions got mixed up in my head and I couldn’t make it out after all. So I had nothing to do but sat for two or three hours swotting Physics, Chemistry and Maths.
My favourite subjects were Literature, History, and English. Most of all I liked English of course. I read English books, tried to translate some stories from newspapers. I had some English handbooks and they were of great help to me when I studied English Grammar and did some exercises. At our English lessons we read quite a lot of dull texts from our textbooks. But in my view, written texts and textbooks are not important.
The best way to improve your language skills and habits is to work at a language laboratory. But there was no good language laboratory at our school, and I spent plenty of time at home listening to the tapes, imitating the sounds and intonations of the native speakers. I was working hard at my pronunciation because my teacher said that it was my weak point. Sometimes I spoke English with my friends after classes and they said I was making a good progress in the language.
I decided to take my entrance exams to the Institute because I want to know English better. Nowadays, it’s impossible to do without foreign languages because of expanding economic, cultural ties of my country with other countries of the world. Besides, one can’t be a learned and a well-educated person if he doesn’t know at least one foreign language.
Мой любимый предмет (1)
В школе мы изучали много предметов. Это такие предметы как физика, математика, биология, русская литература, химия, английский язык, история нашей страны и многие другие.
Когда я был выпускником, было трудно учиться в школе, у нас было много работы. Я знаю, что все предметы важны и всем предметам надо уделять много внимания. Но все-таки мне не нравились точные науки. Я проводил много времени, изучая их дома. Как я ни старался, все эти формулы и определения перемешивались у меня в голове и я не мог ничего понять. И мне ничего не оставалось делать, как сидеть по два-три часа и зубрить физику, химию и математику.
Моими любимыми предметами были литература, история, английский язык. Больше всего мне нравился английский. Я читал английские книги, пытался переводить не- которые рассказы из газет с английского на русский и наоборот. У меня были некоторые английские справочники, и они мне очень помогали, когда я изучал английскую грамматику и делал упражнения. На уроках английского языка мы читали много скучных текстов из наших учебников. Но, я думаю, письменные тексты и учебники не важны.
Лучший способ усовершенствовать языковые умения и навыки — это работать в языковой лаборатории. Но в нашей школе не было хорошей лаборатории. И я проводил много времени дома, слушая кассеты, подражая звукам и интонации носителей английского языка. Я усердно работал над произношением, потому что мой учитель говорил, что это мое уязвимое место. Иногда я говорил по-английски с моими друзьями после занятий, и они говорили, что я делаю успехи в английском.
Я решил сдавать вступительные экзамены в институт, потому что я хочу знать английский язык. В наше время нельзя обойтись без иностранных языков из-за расширения экономических и культурных связей нашей страны с другими странами мира. Кроме того, нельзя быть эрудированным и образованным человеком, не зная по крайней мере одного иностранного языка.
My Favourite Subject — English for everyone
My Favourite Subject
My Favourite Subject We did quite a lot of subjects at school. They were: Mathematics, Physics, Chemistry, History, Geography, Russian, English, Literature and others. Every teacher asked for equal and adequate attention to his subject and it was not an easy work to do. I knew that all the subjects were important, but still I was always indifferent to exact sciences. Since my childhood I have been fond of reading. My favourite subjects were Literature and languages. When I started studying English, the first thing I got interested in, was the different way to express one and the same idea in English and Russian. I wondered why if an Englishman is upset or gloomy he does not say «I have a bad mood» like Russians do but says «I feel blue».
There is an infinite number of such things in any language. I read English books, tried to translate some articles from «Moscow News». Very often I borrowed English books from our school library. I spend a lot of time studying Grammar and doing exercises. At our English lessons we read quite a lot, but didn’t talk much. So I and my friends decided to speak English among us. Very often I spoke English with my friends on the way home after classes.
Questions: 1. What subjects did you do? 2. Did you like them all? 3. What was your favourite subject? 4. Have you read any English books? 5. Was studying Grammar difficult for you?
Предметы, которые мы изучали в школе. Мой любимый предмет В школе мы изучали много предметов. Это — математика, физика, химия, история, география, русский и английский языки, литература и другие предметы. Каждый учитель требовал, чтобы к его предмету относились с должным вниманием, и это было не всегда легко сделать. Я понимала, что все предметы важны, но все же оставалась равнодушной к точным наукам. С детства я любила читать. Моими любимыми предметами были литература и языки. Когда я стала изучать английский, первое, что меня заинтересовало, это то, что мы по-разному выражаем одну и ту же мысль в английском и русском языках. Мне было интересно, почему когда англичанин расстроен и подавлен, он не скажет, как русские: «У меня плохое настроение», а скажет: «Я чувствую себя унылым». В каждом языке встречается бесконечное множество таких различий. Я читала книги на английском языке, пыталась переводить статьи из «Московских новостей». Очень часто я брала книги на английском из нашей школьной библиотеки. Я потратила много времени, изучая грамматику и выполняя упражнения. На наших уроках по английскому языку мы достаточно много читали, но не очень много разговаривали. Поэтому я и мои друзья решили говорить по-английски между собой. Очень часто после занятий, по дороге домой, мы говорили по-английски.
Источник: 100 тем английского языка. Авторы Каверина В. Бойко В. Жидких Н.
Какой ваш любимый предмет для изучения? — Достигните — вопросы о вашем здоровье и фитнесе, на которые отвечает сообщество
Огюст Т.
Английский язык. Я люблю читать и писать, и по сравнению с другими классами средней школы, английский определенно самый терпимый.
Тр. №
Я люблю изучать химию. Мне это показалось чрезвычайно интересным. На самом деле химия — единственный предмет, который мне расслабляет, и я могу изучать его в течение длительного времени. Надеюсь, что я смогу узнать больше и найти для себя больше предмета, который мне нравится.
Zulma Q.
Моя любимая тема — анимация, инвестиции и бизнес. Мне нравится открывать анимационную компанию. Я хочу поделиться своим воображением с другими людьми. Я также хочу сделать так, чтобы анимационная индустрия Малайзии стала самой успешной в мире. Я надеюсь, что смогу стать богатым и помогать нуждающимся. Я надеюсь, что смогу стать богатым человеком в своей семье, сделать их счастливыми и бороться со своим стрессом и депрессией, также не забывай, стану успешным инвестором
Dhoni X.
АНГЛИЙСКИЙ И БИОЛОГИЯ — МОЙ ЛЮБИМЫЙ… Я ВЫБРАЛ АНГЛИЙСКИЙ, ПОТОМУ ЧТО Я УЧУСЬ БЛАГОДАТЬ АНГЛИЙСКОМУ… .И БИОЛОГИЯ ПОТОМУ ЧТО Я ХОЧУ ИЗУЧАТЬ НАШЕ СОБСТВЕННОЕ ТЕЛО. ПОЧЕМУ Я ВЫБРАЛ ЭТИ ДВЕ ТЕМЫ В КАЧЕСТВЕ ЛЮБИМОЙ ТЕМЫ
Рей Н.
Сложные предметы! такие как английский, математика и естественные науки. Почему? потому что я горжусь, когда овладеваю ими или когда получаю одну из самых высоких оценок.
Юлия К.
Лично мне больше всего нравится изучать общественные науки.Я могу так много узнать о своем прошлом, и я могу извлечь уроки из ошибок, которые уже произошли.
Моника Л.
Умм немного озадачен Но я думаю, что люблю физику (я люблю изучать физику, не решая числовые, ха-ха), но не могу отрицать историю .. Сказки о короле и королевствах всегда фантазировали меня с раннего возраста ммммм, я люблю изучать политику мне тоже это никогда не надоедает. Я могу изучать политологию часами. Точнее, я люблю политологию больше всего
Яра Ф.
Мне интересно изучать психологию и самопознание или цели человеческого творения Мне также очень интересно читать старые легенды Мифы о древних богах и богинях И изучать исторические истории
Ишика Г.
На данный момент я люблю биологию, потому что мне интересно узнавать о живых организмах и человеческом теле. Тот факт, что мы изучаем все, что нас окружает, делает это интереснее
Еша Т.
Я люблю английский.в отличие от математики, здесь нет однозначного ответа. Английский язык — это погружение во всевозможные интерпретации и создание чего-то такого творческого из одного слова или небольшой цитаты. это действительно заставляет вас растянуться и увидеть один и тот же фактор под разными углами. это тоже хороший жизненный совет. иногда лучше посмотреть на аргументы с другой точки зрения и прийти к тому же
Cj2010 Cf N.
У меня несколько. Один из них — химия, которую я люблю изучать. это предмет, которым я хотел заниматься, но, к сожалению, не смог.Я не хочу зацикливаться на том, что, если, потому что я не могу изменить прошлое, я могу попробовать изменить свою специальность, но это дало бы гораздо больше времени на учебу в коллаже без работы, если бы я закончил специальность, связанную с химией. Остальные предметы — это языки, не лингвистика, а каждый язык в отдельности. Я учил испанский и японский, но пока отложил испанский, чтобы посвятить себя изучению японского. Как только я смогу сказать, что могу бегло говорить на обычном японском, я снова займусь испанским.
Silke Q.
Я все еще учусь в средней школе, мой любимый предмет — история или экономика! Еще я играю на гитаре, которую люблю «изучать»! Кроме того, мне нравятся уроки английского и французского xx
.
Эстель З.
Я люблю английский и биологию, но мне нужно выучить румынский и математику. Я люблю математику, но не румынский. Я хочу закончить все дела в школе, хочу выучить биологию и английский.
Аиша Ф.
Мой любимый предмет — физика.По крайней мере, я так думаю. Все это имеет смысл в моей голове, и это факты реальной жизни, не похожие на математику.
Габриэль Э.
Мне нравится узнавать о новых способах улучшения здоровья. Я люблю смотреть документальные фильмы на темы, связанные со здоровьем, и узнавать о мелочах, которые могут помочь мне улучшить мой разум и тело
Тони В.
Ооо .. хорошо, это сложно. Для меня это зависит от темы. Сейчас я изучаю биологию. Есть части, которые я люблю, а другие не очень.Я думаю, что мне больше всего нравится учиться навыкам. Я занимаюсь цветочным дизайном и мне это нравится! Подобные техники меня радуют. Я чувствую себя творчески! На самом деле я только что присоединился к программе «Skillshare» и «просто учился на продуктивных курсах, курсах мышления и даже выучил новый язык». Это просто зависит от того, что с вами говорит! Продолжайте пробовать разные вещи, и вы найдете то, что любите. И вы будете делать удивительные вещи!
Юлия К.
Пшеничное и ягодное мороженое или тосты с авокадо и приправы EBTB.Оба могут быть приготовлены как веганские, и их приготовление занимает всего 5-10 минут.
Сильвия У.
Так как я больше не учусь в старшей школе, у меня действительно нет постоянных предметов, мои предметы меняются с семестры на семестару (кстати, я студент колледжа). Но одна вещь, которую я действительно люблю изучать и учить, — это языки (вероятно, поэтому я выбрал колледж, в котором учился, смеется). Мне просто нравится изучать новый язык и культуру людей, говорящих на этом языке, или языковых групп.
Ac Cio O.
Акушерство и гинекология с точки зрения китайской медицины. Мне нравится узнавать, как иглоукалывание и фитотерапия могут быть использованы для улучшения здоровья женщин.
Аиша Ф.
Мой любимый предмет для изучения — что-нибудь изобразительное. Я обнаружил, что меня больше интересует тема, когда я основываюсь на моем хобби, таком как музыка. Оркестр и хор были отличными предметами для изучения, потому что они включали в себя то, что меня уже интересовало.
Mille G.
На самом деле меня больше интересуют литература, лингвистика и цивилизация, это мои любимые предметы для изучения, я нахожу радость и развлечение в их изучении.
Бретт З.
Мне нравится изучать математику, но в математике есть некоторые темы, которые я действительно не понимаю, но, другими словами, мне также нравится изучать искусство, потому что я думаю о том, с кем я сижу!
Andr A Y.
Я думаю, что мои любимые предметы для изучения — английский и искусство. Английский дается мне легко, хотя я немец. И я считаю, что искусство интересно, потому что существует так много разных стилей, и я люблю рисовать.
Кэролайн П.
Музыка! Я думаю, это так весело смотреть на разные музыкальные жанры и узнавать о том, какая музыка вам нравится в
.
Бретань У.
Медитация — она позволяет прикоснуться к человеческой природе и добродетелям и помогает соединиться с ними и положительно контролировать себя таким образом, чтобы принести мир и равновесие в мире.
София Н.
Наука, потому что я узнаю все о жизни и всевозможных способах ее воздействия на нас как людей и о том, на что и как мы применяем науку в мире медицины, кулинарии и других вещах.
Джесси К.
Честно говоря, у меня их так много, но я думаю, что, естественно, мне нравится изучать лайфхаки и способы решения своих проблем или проблем окружающих меня людей.Прямо сейчас я действительно инвестировал в финансовые улучшения, не забывая при этом о своем психическом здоровье и счастье.
Мари П.
Мой любимый предмет для изучения — английский, потому что вы можете быть очень изобретательными, когда дело доходит до написания рассказов или описания чего-то классу или учителю, и вы можете узнать много известных фактов из книг и рецептов, если вам нравится готовить из них. книги рецептов и поиск важных текстовых функций в статьях и, конечно же, во всех интересных проектах !!!
Саша Т.
Я изучаю немецкий язык, живу в Германии, и мне трудно поддерживать разговор, поэтому я действительно стараюсь учиться. Это здорово, когда я могу использовать несколько новых слов и понимать больше в своей повседневной жизни!
Марго Э.
сейчас я изучаю психологию для следующего вступительного экзамена, но у меня есть степень магистра изобразительного искусства, так что искусство и психология — мои любимые, но я люблю читать для удовольствия, и я бы взял любую интересную книгу …
Марджори К.
Английский язык и наука Мне интересно, насколько разной может быть жизнь, и тот факт, что у меня может быть такое дикое, но веселое воображение, которое помогает мне создавать истории разных жанров
Эша Т.
Я вообще люблю узнавать новое. Если мне нужно выбрать тему, я выберу еду, рецепты или, можно сказать, узнаю, почему рецепт не работает.
Ильзе Я.
Ik vind alle vakken leuk soms vind ik wiskunde leuk als we een leuk hoofdstuk hebben soms vind ik bio leuk als we een interssant paragraaf hebben, dat is bij (bijna) alle vakken zo
Сити X.
Я люблю изучать разные языки и бизнес. И я хотел быть бизнесменом в молодом возрасте.Я надеюсь, что смогу это сделать.
Юлия К.
Мне нравятся исторические, религиозные и культурные исследования. Вообще, познание нового доставляет мне огромную радость. В молодые годы я очень многое не знал, и из-за отсутствия знаний я часто выставлял себя дураком. Часто возникали недопонимания, и люди чаще обижались. Изучение других культур помогло мне стать более понимающим и уважаемым по отношению к другим. Это также помогло мне улучшить моих персонажей для написания историй и биографий.
Рэнди Г.
Искусство было бы моим любимым, потому что оно включает в себя множество подтем. Искусство присутствует во многих местах, о которых мы даже не подозреваем.
Кристиана Н.
Мой любимый предмет для изучения — математика, потому что нужно задействовать свой ум и очень много думать, чтобы получить правильный ответ
Гуарани П.
Математика. Это заставляет меня чувствовать себя самим собой, и мне нравится этот предмет. Это то, что может меня успокоить и расслабить. Для меня математика — это как медитация.С математикой вы ее либо понимаете, либо нет, и если вы ее понимаете, вам это нравится, а когда вам это нравится, становится легче понимать вещи. Это позволяет мне бросать вызов самому себе и больше использовать свой мозг. Математика — одно из моих увлечений.
Юлия К.
Когда я учился в старшей школе, это была биология! Поэтому я решила учиться на биохимии. На данный момент я бы сказал, что мне больше всего нравится клеточная биология
Qasya N.
Психология. Я не психолог, работаю младшим врачом.Но мне нравится изучать психологию как часть моего хобби, потому что это дает мне возможность узнать о человеческом поведении
Юлия К.
Вы можете выполнить несколько разминок, после чего вы можете выполнить домашнюю тренировку, которую вы можете найти на YouTube, или даже вы можете использовать некоторые приложения для домашней тренировки, например, домашнюю тренировку, или присоединиться к некоторым задачам, которые вы можете выполнять дома без какого-либо оборудования, например отжимания и т. д. Но для лучших результатов вы должны выполнять их ежедневно. Надеюсь, я ответил на ваш вопрос, и вы понимаете, о чем я. Спасибо и всего наилучшего
Юлия К.
Я люблю английский и писать. Они приходят ко мне естественно. Мне также очень нравится наука, космическая наука и криминалистика — мой любимый.
Эмили Н.
Math. это как забавная головоломка, которую я решаю, и я хорошо разбираюсь в математике, поэтому разгадывать головоломку и получать ответ меня успокаивает и приятно. Математика — это на самом деле изучение закономерностей. А чтобы собрать пазл, вам нужно замечать закономерности вокруг себя и соединять их вместе. Например, когда вы разделяете разноцветный мир, решая головоломку, или когда вы разделяете похвалы прямой стороной для границы головоломки.
Диованда З.
Больше всего мне нравится изучать темы, связанные с телом (курьезы), но более конкретно о разуме, мыслях, способах действий в определенных ситуациях, чувствах и реакциях. Мне нравится узнавать, насколько фантастично, когда два человека по-разному реагируют на одно и то же. Ведьма даже этим делает их уникальными и непохожими друг на друга, но в то же время равными.
Ишани Х.
Мои любимые предметы для изучения — история, география, физика, химия, биология, математика, астрономия, английский, французский и искусство 😀
Я говорю: Мой любимый предмет в школе… — YP
? xml version = «1.0 «standalone =» yes «?
Учителя английского и английского языков
Мой любимый предмет в школе — английский, потому что он позволяет мне изучать больший словарный запас и правильно произносить слова.
Эмма Чжу, 14 лет, средняя школа Фунг Кай Лю Ман Шек Тонг
История = меньше домашних заданий
Мой любимый предмет в школе — история, потому что я люблю узнавать о том, что произошло в прошлом.Мой учитель все очень наглядно объясняет, отчего я еще больше интересуюсь предметом. Я думаю, что люди могут извлечь уроки из прошлого и попытаться добиться большего. Кроме того, приятно, что у вас меньше домашних заданий по истории, чем по другим предметам.
Генри Чоу Ка-ханг, 13 лет, King Ling College
Я говорю: Если бы я мог встретить любого известного человека из прошлого, я бы встретил …
Увидеть мир
Я люблю география самая. Когда я был маленьким, я впервые просмотрел атлас.В нем было много интересных снимков с разных уголков земли. Мне было действительно интересно узнать больше о жарких тропических лесах и ледяной Арктике. Теперь я могу узнать все об этом в школе!
Хлоя Цзе, 12, школа Святого Павла
История = / = Скучно
История. Некоторые могут подумать, что это скучная тема, но мне она кажется очень интересной. Не думаю, что мне когда-нибудь надоест слушать рассказы о прошлом, во всяком случае, это просто заставляет меня хотеть узнать больше!
Марко Чоу Кин-лонг, 16 лет, Госпиталь Ян Чай Колледж Чан Чор Си
Спорт, развлечения и игры
Физическое воспитание.Это потому, что я научился играть во многие виды спорта, такие как баскетбол, теннис, бейсбол и бадминтон. Физические упражнения делают меня счастливым.
Иван Ли Хо-ман, 12 лет, PLK Ma Kam Ming College
Я говорю: Если бы я был генеральным директором Гонконга, я бы …
Общение с остальным миром
Мне больше всего нравится английский, потому что наш учитель очень добр к нам. Более того, английский — очень полезный язык, потому что на нем могут говорить многие люди во всем мире.
Джейми Нг Сечинг, 12 лет, Каносский колледж Св. Франциска
Мозг для вычислений
Мой любимый предмет — математика, потому что я считаю, что это очень весело. Мне нравится выяснять взаимосвязь между числами, когда я решаю уравнения. Я всегда с нетерпением жду решения следующей проблемы. Я считаю, что математика полезна в повседневной жизни и также может помочь мне в моей будущей карьере.
Ченг Цз-хо, 12 лет, колледж Кинг Линг
Я говорю: Если бы я мог жить где угодно в мире…
Тайны жизни
Мой любимый предмет в школе — биология. Мне он нравится, потому что он учит меня больше о природе и окружающей среде. Мне особенно интересно узнать об условиях окружающей среды в Гонконге и проблемах, с которыми мы сталкиваемся. Я также хочу узнать больше о различных диких животных, которые мы можем найти в Гонконге. Биология окружает нас повсюду, а не только в нашем учебнике. Вот почему я так люблю эту тему.
Джон Лю, 16 лет, 80-летие больницы Пок Ой Колледж Тан Ин Хей
На следующей неделе мы хотим знать…
Какое у вас новогоднее решение?
Чтобы принять участие, присылайте свои ответы на [адрес электронной почты защищен]. Укажите свое полное имя, класс, школу и возраст. Затем проверьте статью на следующей неделе, чтобы увидеть, есть ли ваш ответ!
Под редакцией Николь Мораледа
Почему я люблю науку |
Наука
В наши дни наука находится в осаде. Некоторые политики гордо заявляют, что эволюция — это всего лишь теория, а изменение климата — заговор ученых.Гуру здоровья пропагандируют гомеопатию или «естественные» лекарства, а не современную медицину. Родители игнорируют советы врачей и специалистов и отказываются вакцинировать своих детей от смертельных болезней. Люди, которые счастливы пожинать плоды науки — например, новые методы лечения или научно-фантастические технологические устройства — выступают за то, чтобы в школах преподавали религию на уроках естествознания.
Итак, я думаю, что пора всем нам высказаться.Давайте объясним, чем нас удовлетворяет наука, как наука улучшает наш мир и почему она лучше суеверий. С этой целью я начинаю новую серию статей «Удивительная наука»: Почему мне нравится наука . В ближайшие месяцы я попрошу ученых, писателей, музыкантов и других высказать свое мнение по этой теме. И еще я спрашиваю вас, читатели, почему вы любите науку. Если вы хотите принять участие, отправьте эссе объемом от 200 до 500 слов по адресу [email protected]; Я опубликую самое лучшее.
И для начала, вот почему I люблю науку:
Когда мы маленькие, мы спрашиваем «почему.» «Почему небо синее?» «Почему шары падают, а не вверх?» «Почему моя рыба не может жить вне воды?» Хорошие родители основывают свои ответы на науке. Небо голубое из-за того, что свет рассеивается в атмосфере. Шары падают под действием силы тяжести. У вашей рыбы нет легких, а жабры работают только в воде.
Но наука не просто дает нам ответы на причины нашего детства; он дает нам инструменты, необходимые для того, чтобы отвечать на них по мере взросления.
Наука — это инструмент, который я использую, чтобы понять окружающий меня мир.Он обеспечивает логику, смысл и порядок в том, что в противном случае могло бы показаться хаотичным. И хотя ответ на вопрос, почему я стал взрослым, иногда может быть «мы не знаем», на самом деле это просто «мы еще не знаем , но еще не » — ответ в конечном итоге будет найден с помощью науки.
И затем есть акт поиска тех ответов, претворения в жизнь научных методов, которые я нахожу более увлекательными, чем любая художественная литература. Есть астрономы, которые используют телескопы, чтобы заглянуть в прошлое. Биологи, которые открывают новые виды как в знакомых, так и в далеких местах и пытаются выяснить, как спасти других от исчезновения.Даже не ученый, сидящий за компьютером, может помочь решить молекулярные структуры, поискать планеты или расшифровать древнеегипетские тексты во время обеденного перерыва. Наука часто бывает просто развлечением.
Наука — это также свет, который удерживает нас от темных веков. Возможно, это не решит всех наших проблем, но обычно указывает путь к решениям. И чем больше мы знаем, тем больше вопросов мы находим. Это бесконечный поиск ответов, который будет продолжаться до тех пор, пока существует человечество.И гарантированное удовлетворение для маленькой девочки внутри меня, которая все еще спрашивает «почему».
Понравилась статья? ПОДПИШИТЕСЬ на нашу рассылку новостей
Какой ваш любимый предмет — математика? — Реабилитацияrobotics.net
Какой ваш любимый предмет — математика?
Математика — мой любимый предмет, потому что с ее помощью легко решить задачу. Мне нравится использовать числа, дроби, десятичные дроби и многое другое. Математика также используется в реальном мире, например, для определения времени, сложения, деления, процента и даже в будущей карьере, такой как инженер, архитектор, учитель математики и многое другое.
Какой ваш любимый предмет и почему?
Мой любимый предмет в школе — математика. Это моя любимая вещь, потому что у меня никогда не было с ней проблем и я всегда получаю хорошие оценки на тестах. Хотя математика для меня проста, некоторым из моих друзей она очень трудно. Не совсем понимаю почему.
Наука очень сложна?
Хотя мы называем наши самые простые научные специальности, важно отметить, что получить ученую степень по своей сути сложно.От изучения словарного запаса биолога до приобретения навыков решения сложных математических задач, получение научной степени — это трудоемкое мероприятие, которое бросает вызов даже лучшим студентам.
Какой предмет самый сложный?
Вот список из 10 самых сложных курсов в мире.
Медицинский.
Квантовая механика.
Аптека.
Архитектура.
Психология.
Статистика.
Закон.
Химия.
Какой предмет самый сложный в 9 классе?
Десять самых сложных школьных предметов
Физика. На сегодняшний день физика — САМЫЙ ТРУДНЫЙ ПРЕДМЕТ В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ.
Иностранный язык. Я изучаю немецкий язык, и, честно говоря, это, вероятно, просто платформа курса, который я изучаю (я учусь в виртуальной школе, поэтому учусь самостоятельно). Это такая неприятность в моей жизни.
Химия.
Math.
Исчисление.
англ.
Биология.
Тригонометрия.
9 класс трудный?
Да, на мой взгляд, 9-е место сложно. В этом классе вам нужно много учиться, и вы познакомитесь с очень новыми темами по разным предметам. Но после 9-го вы будете чувствовать себя комфортно в 10-м классе, так как большинство тем 9-го класса разрабатываются в этом классе, добавляются некоторые важные темы.
Почему математика сложна?
Математика кажется сложной, потому что требует времени и энергии. Многие люди не имеют достаточно времени, чтобы «получить» уроки математики, и они отстают по мере продвижения учителя.Многие переходят к изучению более сложных концепций с шаткой основой. Часто мы получаем слабую структуру, которая в какой-то момент обречена на обрушение.
Какой первый язык в мире?
Санскрит
Какой язык лучше всего учить?
10 лучших языков мира для изучения
Мандарин. Мандарин — один из самых быстрорастущих языков в мире.
Испанский. Важность владения испанским языком продолжает расти.
Немецкий.Немецкий язык занимает четвертое место по количеству используемых языков мира.
португальский. Португальский язык занимает первое место после испанского как самый распространенный язык в Латинской Америке.
Арабский.
Французский.
Японский.
Русский.
Какой язык лучший в мире?
Сохранение языковых традиций
Рейтинг
Язык
Всего динамиков
1
Английский
1,132M
2
мандаринский китайский
1,117M
3
Хинди
615M
4
Испанский
534M
Какой иностранный язык лучше всего подходит для карьеры?
— Вот 10 лучших языков для вашей карьеры:
Китайский.
Немецкий.
португальский.
Японский.
Испанский.
Корейский.
Французский.
Арабский.
Сколько языков вы можете выучить?
Реальность такова, что можно выучить столько языков, сколько захочется. Самостоятельно решать, хотят ли они перестать изучать языки. Людей, говорящих на нескольких языках, называют полиглотами. И есть много полиглотов, которые свободно говорят на шести языках.
Десять лучших школьных предметов
1 Математика
Math.С чего бы мне начать? ЕГО СКУЧНО, КАК ЧЕРТ! Это не шедевр! Это не искусство! Это так скучно. Да ладно, ребята, цифры и буквы — это не искусство, давайте будем реальными. это отстой, отстой, отстой! Извините, но цифры и буквы не уникальны, когда мы используем их каждый день. Конечно, математика используется для создания уникальных вещей, но сама математика скучна. кстати, все это время я имел в виду не алгебру.
Базовая математика — это неплохо, а алгебра — неплохо. Алгебра вызывает у меня усталость, стресс, скуку, несчастье и т. Д.
Алгебра заставляет меня думать о Северной Корее Базовая математика — это люди, которые живут в Северной Корее. А алгебра — это Ким Чен Ын и его режим.
Алгебра разрушила мой интерес к математике. На мой взгляд, математика никоим образом не интересна, увлекательна, креативна и т. Д. Она просто вызывает стресс.
Не поймите меня неправильно, важна базовая математика! Но с помощью современных технологий можно ли считать алгебру полезной вне школы?
В целом АЛГЕБРА ОТСТОЙ!
Математика всегда вокруг нас, и мы подсознательно или сознательно используем ее в повседневной жизни, от поиска выгодной сделки до броска мяча. Кроме того, людям, которым это не нравится, всегда кажется, что это сложно, но это не так.К тому же это ЧРЕЗВЫЧАЙНО весело. Что тут не нравится? В детстве я любил строить теоремы, а теперь, будучи математиком, не могу любить это больше!
Я люблю математику, потому что она абсолютно логична и, по сути, представляет собой головоломку, которую нужно решить. Это конфетка для моего мозга и позволяет мне думать о вещах логически. Хотя я ценю важность чтения и письма, я ненавижу их субъективность, особенно когда мне нужно выбрать «лучший ответ» для стандартизированных тестов. Математика объективна и не менее важна, чем чтение и письмо.
На мой взгляд, дело не в том, что учителя хорошие и т. Д. Я думаю, что причина того, что это на высоте, в том, насколько это важно. Эти математические числа есть везде. Часы = числа. Деньги = числа. Я считаю, что математика очень важна, и без математики между нами и жизнью был бы очень большой разрыв.
2 Английский
Это должен быть номер 1. Книги отправят вас в удивительное путешествие, которого вы не найдете ни в одном другом предмете.Математика? Действительно? Да, складывать числа, а затем разделять их — это так весело (обратите внимание на сарказм). На самом деле, я люблю математику, но НАМНОГО МЕНЬШЕ, чем английский! Читая, вы можете избежать ужасной правды, которая есть реальность. Читая, вы можете найти интересных друзей, которые никогда не уйдут и не осудят вас. Читая, вы можете бросить вызов невозможному! Я могу продолжать и продолжать, но зачем беспокоить вас, когда вы можете просто пойти читать?
И это только часть чтения. Еще лучше с …
WRITING.Вы можете быть правителем своего королевства. Вы можете воплотить в жизнь все свои мечты. Вы можете делать все, что угодно, не боясь быть ненавистным. Вы можете создавать свои собственные страны, миры и даже вселенные! Вы можете изменить жизнь человека, используя только силу слов. Вы контролируете ВСЕ. Вы устанавливаете свои собственные правила. Вы делаете свою жизнь, жизнь другого человека или даже друга … подробнее
Я люблю английский! Он включает в себя множество интерпретаций и свободу, а также наблюдение за человеческой природой и создание целого мира из каракулей на странице… Но грамматические структуры меня действительно понимают. У меня неплохая грамматика, но части речи и тому подобное — для меня тоже построены на систематическом и логическом мышлении!
Да! Английский великолепен, но математика всегда кажется лучше, чем он … Могу я спросить, почему? Английский язык такой выразительный и потрясающий, и, в любом случае, математика для меня просто скучна. Мой учитель английского тоже такой милый. Она такая забавная, когда ей тоже хочется.
Я изучаю английский как иностранный. Очень полезный предмет, потому что это очень популярный язык и потому что это язык лучших стран мира.
3 История
История — мой лучший и любимый предмет. Люди болтают о том, насколько важны математика и естественные науки, но мы не можем забыть, как превратилось в образование, или как Америка выступила против британцев, или как Великая депрессия была худшей сессией для Америки.
Если мы не узнали об истории, мы можем повторить те же ошибки в прошлом. Возможно, ему нечего делать в нашей жизни, но эй, по крайней мере, мы не были такими глупыми, как они, в средние века.
Я учусь в 7-м классе и беру 6 основных классов, но мой список будет выглядеть так: 1. История 2. Испанский 3. Мировые религии 4. Английский 5. Естественные науки 6. Математика Сейчас не поймите меня неправильно, я люблю науку, но мой учитель естественных наук такой скучный и злой.
Единственная причина, по которой мой урок истории неинтересен, — это мой учитель. Она загрузила какой-то тупой исторический рэп вроде … «на реке Евпрат на реке Евфрат … Каждая песня, которую они ставят, несколько глупая, но, по крайней мере, она тратит несколько минут
4 Музыка
Музыка прекрасна, я не умею играть на музыкальном инструменте, но люблю петь.Проблема в том, что я стесняюсь петь при всех. В любом случае, мне нравится эта тема.
Все остальные на этом сайте — меломаны, поэтому я думаю, им понравится этот школьный предмет.
Я люблю играть и слушать музыку.
Я играю на флейте
5 Физика
Без сомнения, это лучший предмет; гравитация, энергия и вообще СМЫСЛ ЖИЗНИ, если это вас не увлекает — что будет?
Я согласен с тем, что физика, вероятно, один из самых сложных предметов для прохождения, но это, без сомнения, самый интересный и увлекательный предмет из всех существующих.Физика — это, по сути, алгебра и тригонометрия, смешанные вместе, и она создает из таких вещей, как гравитация и вселенная, до продвинутого смысла жизни. Если это вас не заинтригует и не заинтересует физикой, то ничего не получится.
Физика, изучение природы, фундаментальные основы всего, что мы видим, в высшей степени противоречащие интуиции наблюдения объектов, находящихся в двух местах одновременно и гипотетически мгновенно сохраняющих информацию с межгалактических расстояний, загадки рождения, эволюции, судьбы Вселенной , и все в нем.Если это вас не интересует, что будет?
Физика занимается такими вопросами, как, например, как возникла Вселенная. Или возможно путешествие во времени. Или то, что находится в конце черной дыры. Или то, что лежит за пределами вселенной.
Очаровательно.
6 Химия
Химия — мой любимый предмет.
7 Биология
Я люблю науку в целом, но биология — это всего лишь богоуровень.Мой самый любимый предмет.
Мне это вообще интересно.
Это должен быть номер 1.
Лучший предмет
8 Арт
Искусство действительно обратило на меня внимание. Мне не нравилось внимание, но все в порядке. Мой учитель оценил мои способности к рисованию. Она сказала, что это было необычно. Исключительно. Никогда не думал, что она так скажет.
Искусство — это действительно весело, потому что вы можете рисовать, творить и делать гораздо больше.Вы также можете научиться рисовать вещи. ИСКУССТВО УДИВИТЕЛЬНО!
Искусство — это здорово и весело, хотя я не очень хорошо рисую.
Я чувствую себя единственным человеком, которому нравится учитель рисования …
9 География
Один из интересных предметов, где вы можете получить возможность изучить карту мира, узнать о разных континентах мира, странах, городах и их УТП.
Лучшее из них — страны.Это не так сложно, как кажется, вы легко можете узнать их и их столицы, если вы знаете это так, как я. Например, в Европе я делю его на Европейский Союз и остальную Европу, и его становится намного легче выучить.
География — интересный предмет, с помощью которого мы узнаем о различных частях света. Климатические условия, растительность и другие особенности разных стран делают его захватывающим.
Я знал, где находится каждая страна, ко второму классу, поэтому этот предмет был для меня безумно легким.Даже культурная география в колледже была действительно легким курсом.
10 Наука
Наука такая интересная! Так много всего, что нужно узнать даже о животных. Хотя, не знаю, почему это не лучше всех предметов?
Я люблю науку, это интересный и отличный предмет. Я люблю исследовать и проводить эксперименты, вы можете многому научиться и исследовать!
Наука — мой любимый предмет, она включает в себя множество вещей в жизни.Это меня вдохновляет и поражает.
Самая интересная тема на свете!
Претенденты
11 Физическое воспитание
Не нужно ничему учиться, просто тренируйтесь и играйте в футбол с ребятами!
Быть в хорошей физической форме лучше, чем просто мозг.
Это грустно из-за того, что все предпочитают математику П.Е. это просто глупо
Sport — лучший из всех!
12 Французский
13 Технологии
14 Спорт
В спорт действительно весело играть, и он дает вам много упражнений! Вы можете выбирать из множества видов спорта, поэтому не говорите, что вам не нравится спорт, БУДЬТЕ АКТИВНЫ!
Спорт — это так весело
Как это предмет?
15 Театральный класс
Театр лучший
16 Экономика
17 Производство видео
18 Психология
BEST.КЛАСС. КОГДА-ЛИБО! Нет ничего веселее, чем пытаться выяснить, что заставляет людей делать странные и случайные вещи, и выяснять, почему вам нравится делать странные вещи и почему ваша семья любит делать раздражающие вещи!
19 Чтение
20 Общественные науки
21 Анимационное искусство
Это класс моей мечты.
22 Общие знания (G.К)
23 Гражданское
24 Письмо
Это способ проявить творческий подход и выразить себя. Это лечебное и успокаивающее средство.
25 Социология
Вы пишете информативное эссе по любимому предмету в школе. Из какого предложения получится
Гражданское неповиновение
Часть 1
Большинство людей помнят Ганди и доктора Мартина Лютера Кинга-младшего.как реформаторы, практикующие ненасильственные формы протеста и пропаганды
… Кейси. Оба эффективно изменили общественное мнение об эмоциональных проблемах своих стран и вызвали волну перемен, которая давно назрела. Но практика ненасильственного протеста или гражданского неповиновения началась задолго до Ганди или Кинга. Все началось с тихого, застенчивого поэта, который больше всего известен тем, что много писал о пруду.
Генри Дэвид Торо жил с 1817 по 1862 год, в основном в районе Конкорда, штат Массачусетс. Проблема, которая разлучила страну в 1860-х годах, уже начала раскол нации.Торо было всего 14 лет, когда Нат Тернер возглавил восстание рабов в Вирджинии и позже был повешен. В свои двадцать с небольшим Торо начал публично выступать против рабства, вторя голосам вольноотпущенников, таких как Фредерик Дуглас и Льюис Хайден.
Торо считал, что правительство, поддерживающее рабство, коррумпировано и аморально. Он также очень подозрительно относился к правительству. По этим и другим причинам Торо отказывался платить подушный налог в течение ряда лет. Подушный налог был законным налогом, который должен был уплатить каждый человек.По сути, это был налог на тело. После долгих лет неуплаты он был наконец арестован. Однако он провел в тюрьме только одну ночь, так как родственник заплатил за него налог. Сообщается, что он был в ярости из-за того, что от его имени платили любой налог.
Именно об этом опыте Торо написал в эссе под названием «Гражданское неповиновение». В этом эссе он утверждал, что быть моральным и просто стоять выше преданности правительству. Он писал: «Если машина правительства такова, что требует, чтобы вы были орудием несправедливости по отношению к другому, тогда, я говорю, нарушайте закон.«Он также чувствовал, что голосования недостаточно, чтобы гарантировать, что все будет правильно. Он написал, что« даже голосование за право ничего не делает для этого … Мудрый человек не оставит право на произвол судьбы … »Он чувствовал этот человек несет моральную ответственность противостоять несправедливым законам.
Что автор показывает в истории о тюремном заключении Торо?
Как Торо протестовал
Как сердился Торо
Что несколько человек протестовали
Он был влиятельным
Гражданское неповиновение
Часть 2:
Идеи Торо оказали глубокое влияние на человека по имени Ганди.Ганди был лидером в Индии, который работал над прекращением британского правления.
… Он привел Индию к независимости и вдохновил многих на ненасильственные формы протеста и сопротивления. Он боролся за искоренение бедности, работал над расширением избирательного права женщин и наводил мосты между этническими и религиозными группами. Как и Торо, он жил просто, владел очень мало и придерживался вегетарианской диеты. В Индии протест Ганди был назван «движением отказа от сотрудничества». Он призвал индийцев бойкотировать британские системы образования и оставить государственные должности.Движение было очень популярным, и отчасти, чтобы остановить его распространение, правительство, контролируемое Великобританией, арестовало его. Через несколько лет он был освобожден и снова стал активным в политике. Он вдохновил многих последовать за ним на марши протеста против различных налогов. Во время одного из таких маршей тысячи людей последовали за ним на 240 миль в течение 24 дней к морю в знак протеста против налога на соль. Этот марш показал пример ненасильственного сопротивления правительству, которому последовали другие жители страны. В конце концов Индия получила независимость от Великобритании, во многом благодаря работе Ганди.Модель сопротивления и реформ Ганди была творческой, привлекательной и успешной. В результате доктор Мартин Лютер Кинг обратился к Ганди, когда пришло время найти способ противостоять сегрегации на Юге. Протесты у прилавков за обедом, известные своей пассивной реакцией на гнев и даже насилие, были направлены на то, чтобы положить конец разделению, установленному законами в некоторых регионах Юга. Кинг также организовывал прогулки, марши и поездки на автобусе, чтобы привлечь внимание к проблемам, с которыми сталкиваются афроамериканцы. Эти формы протеста были непосредственно смоделированы по образцу протеста Ганди, но Кинг привел их прямо к источнику притеснений.В то время как протесты Ганди создавали осведомленность и придали импульс, протесты Кинга наталкивались на огромную ненависть и страх. Пассивные ненасильственные протесты в конечном итоге оказались эффективными, главным образом потому, что пассивный ответ на насилие представил оппозицию как грубую. Однако перемены происходили медленно и ценой многих жизней. Однако Кинг оставался приверженцем мирных протестов до самой своей смерти. Кинг учился у Ганди, расширяя то, что работало, применяя старые методы к новой проблеме. Ганди был частично обязан своей философией поэту из Новой Англии, любившему лес.Согласно абзацу, выделенному жирным шрифтом, какая линия показывает успех работы Ганди?
В конце концов Индия получила независимость от Великобритании, во многом благодаря работе Ганди.
Через несколько лет он был освобожден и снова стал активным в политике.
… Тысячи последовали за ним на 240 миль в течение 24 дней до моря в знак протеста против налога на соль.
Как и Торо, он жил просто, владел очень мало и придерживался вегетарианской диеты.
Гражданское неповиновение
Часть 1
Большинство людей помнят Ганди и доктора Мартина Лютера Кинга-младшего как реформаторов, практиковавших ненасильственные формы протеста и пропаганды.
… Кейси.Оба эффективно изменили общественное мнение об эмоциональных проблемах своих стран и вызвали волну перемен, которая давно назрела. Но практика ненасильственного протеста или гражданского неповиновения началась задолго до Ганди или Кинга. Все началось с тихого, застенчивого поэта, который больше всего известен тем, что много писал о пруду.
Генри Дэвид Торо жил с 1817 по 1862 год, в основном в районе Конкорда, штат Массачусетс. Проблема, которая разлучила страну в 1860-х годах, уже начала раскол нации.Торо было всего 14 лет, когда Нат Тернер возглавил восстание рабов в Вирджинии и позже был повешен. В свои двадцать с небольшим Торо начал публично выступать против рабства, вторя голосам вольноотпущенников, таких как Фредерик Дуглас и Льюис Хайден.
Торо считал, что правительство, поддерживающее рабство, коррумпировано и аморально. Он также очень подозрительно относился к правительству. По этим и другим причинам Торо отказывался платить подушный налог в течение ряда лет. Подушный налог был законным налогом, который должен был уплатить каждый человек.По сути, это был налог на тело. После долгих лет неуплаты он был наконец арестован. Однако он провел в тюрьме только одну ночь, так как родственник заплатил за него налог. Сообщается, что он был в ярости из-за того, что от его имени платили любой налог.
Именно об этом опыте Торо написал в эссе под названием «Гражданское неповиновение». В этом эссе он утверждал, что быть моральным и просто стоять выше преданности правительству. Он писал: «Если машина правительства такова, что требует, чтобы вы были орудием несправедливости по отношению к другому, тогда, я говорю, нарушайте закон.«Он также чувствовал, что голосования недостаточно, чтобы гарантировать, что все будет правильно. Он написал, что« даже голосование за право ничего не делает для этого … Мудрый человек не оставит право на произвол судьбы … »Он чувствовал этот человек несет моральную ответственность противостоять несправедливым законам.
Какая строка из части 1 лучше всего объясняет послание Торо?
Торо начал публично выступать против рабства, вторя голосам вольноотпущенников, таких как Фредерик Дуглас.
Сообщается, что он был в ярости из-за того, что от его имени платили любые налоги.
Именно об этом опыте Торо написал в эссе под названием «Гражданское неповиновение».»
Он чувствовал, что на человеке лежит моральная ответственность противостоять несправедливым законам.
Шляпа VR с c Hushushuhhushfebs
ЕЩЕ ОДНА ПОПРОБУЙТЕ LOL: используя информацию в графическом органайзере, напишите абзац в свободном месте ниже, объясняя, как тема развивается в истории «Th
… e Nest. «Автор: Violet Sorzano
Название: Гнездо
Автор: Вайолет Сорзано
Окружение: В лесу с наступлением темноты
Главный герой: Рэндалл
Конфликт: Рэндалл заблудился в лесу и не может найти дорогу к своим родителям.Настроение: Вначале настроение состояло из чувства страха и одиночества, затем оно стало обнадеживающим.
Кульминация: когда Рэндалл теряет надежду, он видит орла, гнездящегося над его лагерем.
Падающее действие: Рэндалл полон надежды и решает последовать за орлом.
Решение: Рэндалл находит своих родителей, потому что он последовал за орлом.
Тема: Всегда слушайте своих старших / родителей.
Используя информацию в вашем графическом органайзере, напишите абзац в свободном месте ниже, объясняя, как тема развивается в рассказе «Гнездо».»пользователя Violet
… sorzano Название: The Nest Автор: Вайолет Сорзано Настройка: В лесу во время наступления темноты Главный герой: Рэндалл Конфликт: Рэндалл заблудился в лесу и не может найти дорогу к своим родителям. Кульминация: когда Рэндалл теряет надежду, он видит орла, который гнездится над его лагерем. Действие падения: Рэндалл вселяет надежду и решает следовать за орлом. Решение: Рэндалл находит своих родителей, потому что он последовал за орлом.Тема: Всегда слушайте своих старших / родителей.
Какой источник, скорее всего, будет научным и может использовать библиотекарей для выбора сайтов для включения?
А.
поисковые системы
Б.
тематические справочники
С.
метапоиск е
… двигатели
Д.
более глубокая сеть
Пожалуйста, выберите лучший ответ из предложенных вариантов
А
B
C
D
СРОЧНАЯ ПОМОЩЬ, PLS
Может кто-нибудь объяснить мне, что означает это предложение? Я потерялся-
«Что вы узнали о себе как о читателе?»
Эссе об интеллекте, Определите интеллект и обсудите проблемы с тестами интеллекта учащихся начальной школы разного происхождения.нет ссылок
… вслух, пожалуйста
Мой любимый предмет в школе
Мой любимый предмет в школе
Мой любимый предмет в школе — математика. Но многим ученикам не нравится математика, потому что они думают, что это сложный предмет. Это миф. Это моя любимая вещь, потому что у меня никогда не было с ней проблем и я всегда получаю хорошие оценки на тестах. Мы изучаем математику в школе, и она помогает нам в повседневной жизни. Мне нравится учиться, учиться и решать математические задачи.
Полагаю, мне повезло родиться с ясным мозгом. Так что с юных лет мне было легко манипулировать числами и цифрами. Математика связана с нашей жизнью. Это помогает нам решать такие проблемы, как временные вопросы, покупка товаров, игры, еда и питье, учеба, вождение автомобиля и совершенствование. Это мой любимый предмет, потому что мы можем открыть для себя мир чисел. Я люблю вычислять разные факторы и получать результат. Я всегда люблю играть с числами.
Математика — основа многих предметов.Математика постепенно развивалась вместе с человеческой цивилизацией. В математике замечательно то, что кроме некоторых формул запоминать нечего. Каждый шаг в решении проблемы логичен. Другие предметы, такие как история и география, требуют большой работы с памятью. Запоминание дат и других фактов — тяжелая работа по сравнению с легкостью и простотой математических рассуждений.
Хотя математика для меня проста, некоторым из моих друзей она очень трудно. Не совсем понимаю почему.Они зацикливаются на простых проблемах и часто сдаются. Поэтому я помогаю им, когда могу.
Хорошее знание математики дает мне одно преимущество в том, что мне не нужно тратить на нее много времени. Домашнее задание и тесты — это легкий ветерок. Так что у меня остается достаточно времени для изучения других предметов. Иногда мне жаль моих менее удачливых одноклассников, которых ругают в классе за то, что они не выполнили домашнее задание по математике.
Как бы то ни было, я пришел к выводу, что люди могут быть настолько разными по своим способностям, в то время как в остальном они похожи.