Автор: 
Тест «Полные,неполные квадратные уравнения» 6 вариантов
тест по теме: » Полные и неполные квадратные уравнения. В-1
А1. Решите уравнение 5х2 -10=0. Если корней несколько, найдите их произведение.
1) -2 3)решений нет
2) 2 4)
А2. Укажите уравнение, которое не имеет корней.
1) 2,7х2 -1,5x=0 3) 2,7х2 — 1,5=0
2) 2,7x2+1,5х=0 4) 2,7х2 +1,5=0
А3. Вычислите дискриминант квадратного уравнения 2х2-7х+3=0
1) 5 3) 625
2) 73 4) 25
А4. Решите уравнение х2 +3х -4=0
1) 1;-3 3) -4;1
2) решений нет 4) 1;-4
А5.
Найдите сумму корней квадратного уравнения х2 -6х +2=0
1) решений нет 3) 6
2) 2 4)- 6
А6. Найдите произведение корней квадратного уравнения х2 -7х -6=0
1) -6 3) 6
2) решений нет 4) 7
А7. Решите уравнение 3х2 -5х -12=0
1) 1; 3) -6;
2) 5; 0 4) 3; —
А8. Решите уравнение х2 -7х=0
1) -7; 0 3) 0;7
2) -1;1 4) -7;0
А9.Укажите неполное квадратное уравнение
1) 3х2 -4х-7=0 3)х2-7х-8=0
2) 3х2-7х=0 4) 5х2 -3х-140=0
В1.
Решите уравнение. (х-2)(х+2)=7х-14
В-2
А1. Решите уравнение 7х2 -35=0. Если корней несколько, найдите их произведение.
1) 5 3) решений нет
2) -5 4)
А2. Укажите уравнение, которое не имеет корней.
1)6,9х2 +3,4x=0 3) 6,9х2 -3,4x=0
2) 6,9х2 +3,4=0 4) 6,9х2 -3,4=0
А3. Вычислите дискриминант квадратного уравнения 2х2+7х+5=0
1) 89 3) 3
2) 81 4) 9
А4. Решите уравнение х2 -5х +6=0
1)2;-3 3) 3;2
2)решений нет 4) -2;-3
А5.
Найдите сумму корней квадратного уравнения х2 +7х +4=0
1) 7 3) решений нет
2) -7 4) 4
А6. Найдите произведение корней квадратного уравнения х2 +5х +2 =0
1)– 2,5 3) -2
2)решений нет 4) 2
А7. Решите уравнение 3х2 -2х — 40 =0
1) 4 ; 3) 4 ; —
2) 10 ;0 4) -4 ; —
А8. Решите уравнение х2 -14х=0
1) 0; 14 3) -14; -1
2)-14;1 4) 0; -14
А9.Укажите полное квадратное уравнение
1) 5х2 -4х-10=0 3)х2-25 =0
2) х2+15х +14 =0 4) 3х2 -3х=0
В1.
Решите уравнение.
(х-2)2= 3х-8
В-3
А1. Решите уравнение 3х2 -9=0. Если корней несколько, найдите их произведение.
1) 3) 3
2) решений нет 4) -3
А2. Укажите уравнение, которое не имеет корней.
1)5,9х2 -2,3x=0 3) 5,9х2 +2,3=0
2) 5,9х2 +2,3x=0 4) 5,9х2 -2,3=0
А3. Вычислите дискриминант квадратного уравнения 6х2-11х+3=0
1) 7 3) 193
2) 49 4) 2041
А4. Решите уравнение х2 +7х +10=0
1)2; 5 3) -2; -5
2)решений нет 4) -2; 5
А5.
Найдите сумму корней квадратного уравнения х2 -11х +5=0
1) решений нет 3) — 11
2) 11 4) 5
А6. Найдите произведение корней квадратного уравнения х2 +5х -2 =0
1)– 2 3) -5
2) 2 4) решений нет
А7. Решите уравнение 4х2 +36х +81 =0
1) 4 3) 4,5; 0
2) — 4,5 4) решений нет
А8. Решите уравнение х2 -9х=0
1) 0; -9 3) 0;9
2)1; 9 4) -1; -9
А9.Укажите полное квадратное уравнение
1) 5х2 -25х=0 3)х2-36 =0
2)3х2+5х +28 =0 4) 3х2=0
В1.
Решите уравнение.
(х-1)2= 29 -5х
В-4
А1. Решите уравнение 4х2 -28=0. Если корней несколько, найдите их произведение.
1) 7 3)решений нет
2) -7 4)
А2. Укажите уравнение, которое не имеет корней.
1)9,1х2 — 4,5=0 3) 9,1х2 + 4,5х=0
2) 9,1х2 + 4,5=0 4) 9,1х2 — 4,5х=0
А3. Вычислите дискриминант квадратного уравнения 6х2+7х-3=0
1) 121 3) 529
2) 11 4) -23
А4. Решите уравнение х2 -5х +4=0
1)-4;-1 3) 1;4
2)решений нет 4)- 1; 4
А5.
Найдите сумму корней квадратного уравнения х2 +12х +5=0
1) -12 3) 5
2) решений нет 4) 12
А6. Найдите произведение корней квадратного уравнения х2 +9х -7=0
1) 7 3) решений нет
2) -7 4) -9
А7. Решите уравнение 5х2 +14х -3=0
1) -2; 3) -2;
2) решений нет 4)- 3;
А8. Решите уравнение х2 -4х=0
1) 0;4 3) 0;-4
2) -1;4 4) -4; -1
А9.Укажите полное квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом
1) 5х2 -4х-17=0 3)2 х2=0
2) 6х2-7х +8 =0 4) 5х2 -9х-14=0
В1.
Решите уравнение.
(х-3)(х+3)= 5х-13
В-5
А1. Решите уравнение 9х2 -54=0. Если корней несколько, найдите их произведение.
1)решений нет 3) 6
2) — 6 4)
А2. Укажите уравнение, которое не имеет корней.
1)8,6х2 + 1.5=0 3) 8,6х2 – 1.5х =0
2) 8,6х2 — 1.5=0 4) 8,6х2 + 1.5х =0
А3. Вычислите дискриминант квадратного уравнения 3х2-5х +2=0
1) 18 3) 1
2) -91 4) 101
А4.
Решите уравнение х2 -9х +20=0
1) -5;-4 3) -4;5
2) 4; 5 4)- 5; 4
А5. Найдите сумму корней квадратного уравнения х2 -17х +4=0
1) -40 3) -17
2) Решений нет 4) 17
А6. Найдите произведение корней квадратного уравнения х2 -29х +27=0
1) 29 3) нет корней
2) -29 4) 27
А7. Решите уравнение 7х2 +8х +1 =0
1) -; -1 4) -2; -1
2) решений нет 4)- 1;
А8. Решите уравнение х2 -6х=0
1) 0;1 3) 0;-6
2) 0;6 4) 0; -1
А9.
Укажите
неполное квадратное уравнение
1) 6х2 +14х+8=0 3) 9х2=0
2) х2-7х +9 =0 4) 5х2 -25х +6=0
В1. Решите уравнение.
(х+3)2= 2х+6
В-6
А1. Решите уравнение 10х2 -100=0. Если корней несколько, найдите их произведение.
1) 0 3)
2) -10 4) 10
А2. Укажите уравнение, которое не имеет корней.
1)10,2х2 — 13,4=0 3) 10,2х2 + 13,4=0
2) 10,2х2 + 13,4х=0 4) 10,2х2 — 13,4х=0
А3.
Вычислите дискриминант квадратного уравнения 9х2-2х -21=0
1.728 3)- 157
2)760 4) 265
А4. Решите уравнение х2 -19х +88=0
1) 8; 11 3) -11; 8
2) -8; -11 4)- 8; 11
А5. Найдите сумму корней квадратного уравнения х2 +25х +44=0
1)25 3) -25
2) 44 4) решений нет
А6. Найдите произведение корней квадратного уравнения х2 -8х +22=0
1)корней нет 3) 22
2) 8 4)- 22
А7. Решите уравнение 5х2 +8х -4 =0
1) — ; 2 3) решений нет
2) 2; 5 4)- 2;
А8.
Решите уравнение х2 -8х=0
1)-8;0 3) -1; 8
2) 1;8 4) 0; 8
А9.Укажите приведённое квадратное уравнение
1) х2 -14х+7=0 3) 27х2=0
2) 3х2-9х =0 4) 5х2 -10х +36=0
В1. Решите уравнение (х-4)(х+4)= -14х -49
Ответы:
№ варианта | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | А6 | А7 | А8 | А9 | В1 |
1 | 1 | 4 | 4 | 4 | 3 | 1 | 4 | 3 | 2 | 2;5 |
2 | 2 | 2 | 4 | 3 | 2 | 4 | 3 | 1 | 2 | 3;4 |
3 | 4 | 3 | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | -7;4 |
4 | 2 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 4 | 1 | 1 | 1;4 |
5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 4 | 1 | 2 | 3 | -3;-1 |
6 | 2 | 3 | 2 | 1 | 3 | 3 | 4 | 4 | 1 | -11;-3 |
Тест с ответами по теме: «Квадратные уравнения»
1.
Какое из предложенных уравнений является квадратным уравнением?
а) 8х2 — 5х + 7 + 3х3 = 0.
б) 8х2 + 3х — 2\х + 4 = 0.
в) 2х + 1\7*х2 + 5 =9. +
2. Какое из чисел -2, -1, 0, 1, 2 является корнем уравнения 3х2 -5х +2 = 0?
а) 1. +
б) -1.
в) 0.
3. Решите неполное квадратное уравнение 2х2 – 18 = 0.
а) 2 и 3.
б) -1 и 9.
в) -3 и 3. +
4. Решите неполное квадратное уравнение х2 + 2х = 0.
а) -1 и 2
б) 0 и -2. +
в) 0 и 2.
5. Решите неполное квадратное уравнение 2х2 = 0.
а) 0. +
б) -1 и 0.
в) 2 и 0.
6. Найдите корни уравнения х2 -7х + 6 = 0.
а) — 1 и — 6.
б) 1 и 6. +
в) 0 и 6.
7. Найдите корни уравнения х2 + 6х + 5 = 0.
а) 1 и 5.
б)-1 и -6.
в) -1 и -5. +
8. Найдите корни уравнения х2 + 8х + 16 = 0.
а) — 4 и 4.
б) 8 и — 8.
в) — 4. +
9. Решите уравнение 7х2 — х – 8 = 0.
а) 1 и 7.
б) -1 и — 7.
в) -1 и 7. +
10. Найдите сумму корней уравнения х2 — 16х + 2 8 = 0.
а) -16.
б) 16. +
в) 28.
11. Найдите сумму корней уравнения 3 х2 — 15х -2 8 = 0.
а) 5.
б) 15.
в) 5. +
12. Найдите произведение корней уравнения 2 х2 — 15х — 2 8 = 0.
а) 14.
б) -14. +
в) 28.
13. Решите уравнение (2х – 3) (3х + 6) = 0.
а) 3 и 6.
б) 1,5 и 0,5.
в) — 2 и 1,5. +
14. Решите уравнение (х – 2)2 = 3х — 8.
а) 1 и 7.
б) 2 и 0,5.
в) 3 и 4. +
15. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения х2 — 21х + 54 = 0.
а) 18. +
б) — 18.
в) 27.
16. Один из корней квадратного уравнения равен -3. Найдите коэффициент р уравнения х2 + рх + 18 = 0.
а) — 9.
б) — 8.
в) 9. +
17. Какое из чисел -3, -1, 0, 1, 3 является корнем уравнения 3х2 -5х -8 = 0?
а) 1.
б) -3.
в) 0.
г) -1.
д) 3. +
18. Решите неполное квадратное уравнение 4х2 – 64 = 0.
а) нет корней.
б) -1 и 16.
в) 2 и ??. +
19. Решите неполное квадратное уравнение — х2 + 2х = 0.
а) -1 и 0.
б) 0 и -2.
в) 1 и 2. +
20. Решите неполное квадратное уравнение 2х2 = 0.
а) 1,5
б) -1 и 2.
в) 2. +
21. Найдите корни уравнения х2 — 4х + 3 = 0.
а) 2 и 1,5.
б)-1 и 1.
в) 0 и 3. +
22. Найдите корни уравнения х2 + 8х + 7 = 0.
а) 1 и 7.
б) -1 и 7.
в) -1 и -7. +
23. Найдите корни уравнения х2 + 10х + 25 = 0.
а) — 5 и 5.
б) — 5.
в) — 5 и 5. +
24. Решите уравнение 3х2 — 8х + 5 = 0.
а) 1 и 5.
б) -2 и 3,5.
в) 1*2\3 и 1. +
25. Найдите сумму корней уравнения х2 — 17х + 2 8 = 0.
а) -17.
б) 14. +
в) 28.
ГБОУ средняя школа № 259 имени М.Т. Лорис-Меликова
Все, что важно знать выпускнику, в памятках от Рособрнадзора
Друзья, #МузейУИстока предлагает написать комментарии к этому посту свои любимые стихи Пушкина. https://vk.com/wall-187421469_1270 Поехали! 6 июня 2021 года исполняется 222 года со дня рождения выдающегося русского поэта и писателя Александра Сергеевича Пушкина.
Ко дню рождения Александра Сергеевича Пушкина в школьной #библиотеке подготовлена тематическая выставка «Всё ли Читать дальше …
Добрый день! #большаяперемена Коллеги, мы подготовили мотивационный ролик о конкурсе и возможностях, которые он дает ttps://disk.yandex.ru/i/NRF3AnSArtfANg #Школа259СПБ
Уважаемые родители! Приглашаем вас принять участие в опросе мнения о том, справедлива ли система ЕГЭ при поступлении в вузы. Проголосовать можно по ссылке — https://vk.com/wall615914394_80 Проголосовать можно по ссылке — https://vk.com/irina_potehina В этом году единому государственному экзамену исполнилось 20 лет. Удалось ли Читать дальше …
️Дети — маленькие частички большого счастья, чудо, которое наполняет жизнь каждого взрослого неподдельной радостью и теплотой. Дети так нуждаются в любви и заботе, в родительской ласке и хочется, чтобы каждое детское сердце не было обделено этим маленьким счастьем.
️В День защиты детей Читать дальше …
Чтобы помочь школьникам справиться с эмоциональным напряжением, эксперты Института воспитания подготовили небольшую памятку о том, как взять себя в руки перед ЕГЭ и успешно сдать его.
Поздравление с Днем города Санкт-Петербурга! Лучший город на Земле прими поздравления от #Школа259СПб #ДЕНЬГОРОДА2021 для вас выступают учащиеся начальных классов ГБОУ средней школы N259 им. М.Т. Лорис-Меликова Адмиралтейского района Санкт-Петербурга на празднике посвященный Дню города. Желаем всем хорошего, праздничного настроения, мира, добра Читать дальше …
Церемония награждения нагрудным знаком «Почетный работник воспитания и просвещения Российской Федерации» Уважаемая Астгик Телемаковна! Сердечно поздравляю Вас с получением заслуженной награды, которая является прямым подтверждением Ваших высоких профессиональных и личностных качеств. Примите искренние пожелания крепкого здоровья и благополучия и дальнейших Читать дальше …
26 мая 2021 года на базе ГБОУ средней школы №259 им.
М. Т. Лорис-Меликова Адмиралтейского района состоялся семинар учителей на тему «Социализация и обучение детей-инофонов в среде доминирующей русскоязычной культуры в современной петербургской школе». В работе семинара приняли участие учителя Читать дальше …
Уважаемые родители! Ежегодно с началом летне-весеннего сезона регистрируются случаи гибели детей при выпадении из окна! Как правило, во всех случаях падения дети самостоятельно забирались на подоконник, используя в качестве подставки различные предметы мебели, и, опираясь на противомоскитную сетку, выпадали из Читать дальше …
Алгебраическое решение уравнений
Алгебраическое решение уравненийСодержание: Эта страница соответствует § 2.4 (с. 200) текста.
Предлагаемые задачи из текста:
с. 212 # 7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87, 88, 95, 97
Квадратные уравнения
Уравнения с участием радикалов
Полиномиальные уравнения высшей степени
Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения
Квадратичные уравнения
Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a —
не равно 0.
Факторинг
Этот подход к решению уравнений основан на том факте, что если произведение двух величин равно нулю, то хотя бы одна из величин должна быть равна нулю. Другими словами, если a * b = 0, то либо a = 0, либо b = 0, либо и то, и другое. Для получения дополнительной информации о факторизации многочленов см. Обзорный раздел P.3 (p.26) текста.
Пример 1.
2x 2 — 5x — 12 = 0.
(2x + 3) (x — 4) = 0.
2x + 3 = 0 или x — 4 = 0.
x = -3/2 или x = 4.
Принцип квадратного корня
Если x 2 = k, то x = ± sqrt (k).
Пример 2.
x 2 — 9 = 0.
x 2 = 9.
x = 3 или x = -3.
Пример 3.
Пример 4.
x 2 + 7 = 0.
х 2 = -7.
х = ±.
Обратите внимание, что = =, так что решения
x = ±, два комплексных числа.
Завершение площади
Идея завершения квадрата состоит в том, чтобы переписать уравнение в форме, которая позволяет нам применять квадрат корневой принцип.
Пример 5.
x 2 + 6x — 1 = 0.
x 2 + 6x = 1.
x 2 + 6x + 9 = 1 + 9.
9, добавленная к обеим сторонам, получена из возведения в квадрат половины коэффициента при x, (6/2) 2 = 9. Причина выбор этого значения заключается в том, что теперь левая часть уравнения представляет собой квадрат бинома (полином с двумя членами). Поэтому эта процедура называется , завершение квадрата .[Заинтересованный читатель может видеть, что это истина, учитывая (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 .
Чтобы получить «а» нужно всего лишь разделите коэффициент x на 2. Таким образом, чтобы построить квадрат для x 2 + 2ax, нужно добавить 2 .]
(x + 3) 2 = 10.
Теперь мы можем применить принцип квадратного корня и затем решить относительно x.
x = -3 ± sqrt (10).
Чтобы получить «а» нужно всего лишь
разделите коэффициент x на 2. Таким образом, чтобы построить квадрат для x 2 + 2ax, нужно добавить 2 .]Пример 6.
2x 2 + 6x — 5 = 0.
2x 2 + 6x = 5.
Метод завершения квадрата, продемонстрированный в предыдущем примере, работает, только если старший коэффициент (коэффициент x 2 ) равен 1. В этом примере старший коэффициент равен 2, но мы можем изменить это, разделив обе части уравнения на 2.
x 2 + 3x = 5/2.
Теперь, когда старший коэффициент равен 1, мы берем коэффициент при x, который теперь равен 3, делим его на 2 и возводим в квадрат, (3/2) 2 = 9/4.
x 2 + 3x + 9/4 = 5/2 + 9/4.
Левая часть — квадрат (x + 3/2). [Проверьте это!]
(х + 3/2) 2 = 19/4.
Теперь мы используем принцип квадратного корня и решаем относительно x.
x + 3/2 = ± sqrt (19/4) = ± sqrt (19) / 2.
x = -3/2 ± sqrt (19) / 2 = (-3 ± sqrt (19)) / 2
Это постоянная, которую мы добавляем к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.До сих пор мы обсуждали три метода решения квадратных уравнений. Что лучше? Это зависит от проблема и ваши личные предпочтения. Уравнение в правильной форме для применения принципа квадратного корня могут быть перегруппированы и решены путем факторинга, как мы видим в следующем примере.
Пример 7.
x 2 = 16.
x 2 — 16 = 0.
(x + 4) (x — 4) = 0.
x = -4 или x = 4.
В некоторых случаях уравнение может быть решено путем факторизации, но факторизация не очевидна.
Метод завершения квадрата всегда будет работать, даже если решения являются комплексными числами, и в этом случае мы извлечем квадратный корень из отрицательного числа.Кроме того, шаги, необходимые для завершения квадрата, следующие: всегда одинаковы, поэтому их можно применить к общему квадратному уравнению
ах 2 + bx + c = 0.
Результатом квадрата этого общего уравнения является формула для решений уравнения называется квадратной формулой.
Квадратичная формула
Решения уравнения ax 2 + bx + c = 0 равны
Мы говорим, что завершение квадрата всегда работает, и мы завершили квадрат в общем случае, где у нас есть a, b и c вместо чисел.Итак, чтобы найти решения для любого квадратного уравнения, запишем его в стандартной форме, чтобы найти значения a, b и c, затем подставьте эти значения в квадратную формулу.
Одним из следствий этого является то, что вам никогда не придется заполнять квадрат, чтобы найти решения квадратного уравнения.
Однако процесс завершения квадрата важен по другим причинам, поэтому вам все равно нужно знать, как
сделай это!
Примеры использования квадратичной формулы:
Пример 8.
2x 2 + 6x — 5 = 0.
В данном случае a = 2, b = 6, c = -5. Подставляя эти значения в квадратную формулу, получаем
Обратите внимание, что мы решили это уравнение ранее, заполнив квадрат.
Примечание : Есть два реальных решения. Что касается графиков, есть два пересечения для графика функции f (x) = 2x 2 + 6x — 5.
Пример 9.
4x 2 + 4x + 1 = 0
В этом примере a = 4, b = 4 и c = 1.
В этом примере следует обратить внимание на две вещи.
- Есть только одно решение. С точки зрения графиков это означает, что существует только один пересечение по оси x.
- Решение упрощено, так что квадратный корень не используется. Это означает, что уравнение могло быть решается факторингом. (Все квадратные уравнения могут быть решены путем факторизации! Я имею в виду, что это могло быть решено легко факторингом.)
4x 2 + 4x + 1 = 0.
(2x + 1) 2 = 0.
х = -1/2.
Пример 10.
х 2 + х + 1 = 0
а = 1, б = 1, с = 1
Примечание: Реальных решений нет. Что касается графиков, то для графика нет перехватов. функции f (x) = x 2 + x + 1. Таким образом, решения сложны, поскольку график y = x 2 + x + 1 не имеет пересечений по x.
Выражение под радикалом в квадратичной формуле, b 2 — 4ac, называется дискриминантом уравнение.Последние три примера иллюстрируют три возможности для квадратных уравнений.
1. Дискриминант> 0. Два реальных решения.
2. Дискриминант = 0. Одно реальное решение.
3. Дискриминант <0. Два сложных решения.
Примечания к проверке растворов
Ни один из методов, представленных до сих пор в этом разделе, не может вводить посторонние решения.(См. Пример 3 из раздела Линейные уравнения и моделирование.) Тем не менее, рекомендуется проверить свои решения, потому что при решении уравнений очень легко сделать невнимательные ошибки.
Алгебраический метод, который состоит из обратной подстановки числа в уравнение и проверки того, что полученное утверждение верно, хорошо работает, когда решение «простое», но не очень практично, когда решение предполагает радикальное.
Например, в нашем предпоследнем примере 4x 2 + 4x + 1 = 0 мы нашли одно решение x = -1/2.
Алгебраическая проверка выглядит как
4 (-1/2) 2 +4 (-1/2) + 1 = 0.
4 (1/4) — 2 + 1 = 0.
1-2 + 1 = 0.
0 = 0. Решение проверяет.
В предыдущем примере, 2x 2 + 6x — 5 = 0, мы нашли два реальных решения, x = (-3 ± sqrt (19)) / 2. Конечно, можно проверить это алгебраически, но это не очень просто. В этом случае либо графический проверить или использовать калькулятор для алгебраической проверки быстрее.
Сначала найдите десятичные приближения для двух предложенных решений.
(-3 + sqrt (19)) / 2 = 0,679449.
(-3 — sqrt (19)) / 2 = -3,679449.
Теперь используйте графическую утилиту для построения графика y = 2x 2 + 6x — 5 и проследите график, чтобы приблизительно определить, где х-точки пересечения. Если они близки к указанным выше значениям, вы можете быть уверены, что у вас есть правильные решения. Вы также можете вставить приближенное решение в уравнение, чтобы увидеть, дают ли обе части уравнения примерно те же значения.Однако вам все равно нужно быть осторожным в заявлении о том, что ваше решение является правильным, поскольку оно не точное решение.
Обратите внимание, что если вы начали с уравнения 2x 2 + 6x — 5 = 0 и сразу перешли к графику утилиту для ее решения, то вы не получите точных решений, потому что они иррациональны. Однако, найдя (алгебраически) два числа, которые, по вашему мнению, являются решениями, если графическая утилита показывает, что перехваты очень близко к найденным вами числам, значит, вы, наверное, правы!
Упражнение 1:
Решите следующие квадратные уравнения.
(а) 3x 2 -5x — 2 = 0. Ответ
(б) (x + 1) 2 = 3. Ответ
(в) x 2 = 3x + 2. Ответ
Вернуться к содержанию
Уравнения с участием радикалов
Уравнения с радикалами часто можно упростить, возведя в соответствующую степень и возведя в квадрат, если радикал является квадратным корнем, кубическим корнем и т. д. Эта операция может вводить посторонние корни, поэтому все решения необходимо проверить.
Если в уравнении только один радикал, то перед возведением в степень вы должны договориться, чтобы радикальный член сам по себе на одной стороне уравнения.
Пример 11.
Теперь, когда мы изолировали радикальный член в правой части, возводим обе части в квадрат и решаем полученное уравнение для x.
Чек:
х = 0
Когда мы подставляем x = 0 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 0 = 2, что неверно!
Итак, x = 0 не является решением .
х = 3
Когда мы подставляем x = 3 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 3 = 3. Это верно, поэтому x = 3 равно раствор .
Решение : x = 3.
Примечание: Решением является x-координата точки пересечения графиков y = x и у = sqrt (х + 1) +1.
Посмотрите, что бы произошло, если бы мы возводили обе части уравнения в квадрат до , выделив радикал срок.
Это хуже, чем мы начали!
Если в уравнении более одного радикального члена, то, как правило, мы не можем исключить все радикалы с помощью возведение в степень один раз. Однако мы можем уменьшить количество радикальных членов на , возведя их в степень.
Если уравнение включает более одного радикального члена, мы все равно хотим изолировать один радикал с одной стороны и возвести в степень. Затем мы повторяем этот процесс.
Пример 12.
Теперь возведите обе части уравнения в квадрат.
В этом уравнении есть только один радикальный член, поэтому мы добились прогресса! Теперь выделите радикальный член, а затем возведите в квадрат снова обе стороны.
Чек:
Подстановка x = 5/4 в исходное уравнение дает
sqrt (9/4) + sqrt (1/4) = 2.
3/2 + 1/2 = 2.
Это утверждение верно, поэтому решение x = 5/4.
Примечание по проверке решений:
В этом случае выполнить алгебраическую проверку было несложно. Однако графическая проверка имеет то преимущество, что показывает, что нет никаких решений, которые мы не нашли бы, по крайней мере, в рамках прямоугольника просмотра. Решение — координата x точки пересечения графиков y = 2 и y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).
Упражнение 2:
Решите уравнение sqrt (x + 2) + 2 = 2x. Ответ
Вернуться к содержанию
Полиномиальные уравнения высшей степени
Мы видели, что любое полиномиальное уравнение второй степени (квадратное уравнение) от одной переменной может быть решено с помощью Квадратичная формула. Полиномиальные уравнения степени больше двух сложнее.Когда мы встречаемся такая проблема, то либо многочлен имеет особую форму, которая позволяет нам разложить его на множители, либо мы должны аппроксимировать решения с графической утилитой.
Нулевая постоянная
Один частый частный случай — отсутствие постоянного члена. В этом случае мы можем исключить одну или несколько полномочий x, чтобы начать задачу.
Пример 13.
Фактор2x 3 + 3x 2 -5x = 0.
x (2x 2 + 3x -5) = 0.
Теперь у нас есть произведение x и квадратного многочлена, равного 0, так что у нас есть два более простых уравнения.
x = 0 или 2x 2 + 3x -5 = 0.
Первое уравнение решить несложно. x = 0 — единственное решение. Второе уравнение может быть решено факторингом. Примечание: Если бы мы не смогли разложить квадратичный коэффициент во втором уравнении, то мы могли бы прибегнуть к к использованию квадратичной формулы.[Убедитесь, что вы получили те же результаты, что и ниже.]
x = 0 или (2x + 5) (x — 1) = 0.
Итак, есть три решения: x = 0, x = -5/2, x = 1.
Примечание: Решение находится при пересечении графиков f (x) = 2x 3 + 3x 2 -5x.
по группировке
Пример 14.
x 3 -2x 2 -9x +18 = 0.
Коэффициент при x 2 в 2 раза больше, чем при x 3 , и такое же соотношение существует между коэффициенты при третьем и четвертом членах. Группа слагает один и два, а также три и четыре.
x 2 (x — 2) — 9 (x — 2) = 0.
Эти группы имеют общий множитель (x — 2), поэтому мы можем разложить левую часть уравнения на множители.
(x — 2) (x 2 — 9) = 0.
Всякий раз, когда мы находим продукт, равный нулю, мы получаем два более простых уравнения.
x — 2 = 0 или x 2 — 9 = 0.
x = 2 или (x + 3) (x — 3) = 0.
Итак, есть три решения: x = 2, x = -3, x = 3.
Примечание: Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x 3 -2x 2 -9x +18.
Квадратичная форма
Пример 15.
x 4 — x 2 — 12 = 0.
Этот многочлен неквадратичный, он имеет четвертую степень. Однако его можно рассматривать как квадратичный по x 2 .
(x 2 ) 2 — (x 2 ) — 12 = 0.
Это может помочь вам фактически заменить z на x 2 .
z 2 — z — 12 = 0 Это квадратное уравнение относительно z.
(z — 4) (z + 3) = 0.
z = 4 или z = -3.
Мы еще не закончили, потому что нам нужно найти значения x, которые делают исходное уравнение истинным.Теперь заменим z на x 2 и решите полученные уравнения.
x 2 = 4.
х = 2, х = -2.
х 2 = -3.
x = i , или x = — i.
Итак, есть четыре решения, два реальных и два комплексных.
Примечание: Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x 4 — х 2 — 12.
График f (x) = x 4 — x 2 — 12 и увеличение, показывающее его локальное экстремумы.
Упражнение 3:
Решите уравнение x 4 — 5x 2 + 4 = 0. Ответ
Вернуться к содержанию
Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения
Пример 16.
Наименьший общий знаменатель равен x (x + 2), поэтому мы умножаем обе части на это произведение.
Это уравнение квадратичное. Квадратичная формула дает решения
Проверка необходима, потому что мы умножили обе части на переменное выражение. Используя графическую утилиту, мы убедитесь, что оба этих решения проверяют. Решением является координата x точки пересечения графиков. из y = 1 и y = 2 / x-1 / (x + 2).
Пример 17.
5 | х — 1 | = х + 11.
Ключ к решению уравнения с абсолютными значениями — помнить, что величина внутри абсолютного значения столбцы могут быть положительными или отрицательными. У нас будет два отдельных уравнения, представляющих разные возможности, и все решения должны быть проверены.
Корпус 1 . Предположим, что x — 1> = 0.Тогда | х — 1 | = x — 1, поэтому мы имеем уравнение
5 (x — 1) = x + 11.
5x — 5 = x + 11.
4x = 16.
x = 4, и это решение проверяет, потому что 5 * 3 = 4 + 11.
Случай 2. Предположим, что x — 1 <0. Тогда x - 1 отрицательно, поэтому | х - 1 | = - (х - 1). Этот точка часто сбивает студентов с толку, потому что кажется, что мы говорим, что абсолютное значение выражения отрицательно, но это не так.Выражение (x - 1) уже отрицательное, поэтому - (x - 1) положительное.
Теперь наше уравнение принимает вид
-5 (x — 1) = x + 11.
-5x + 5 = x + 11.
-6x = 6.
x = -1, и это решение проверяет, потому что 5 * 2 = -1 + 11.
Если вы используете Java Grapher для графической проверки, обратите внимание, что abs () является абсолютным значением, поэтому вы должны построить график
5 * abs (x — 1) — x — 11 и посмотрите на пересечения по x, или вы можете найти решение как x-координаты точки пересечения графиков y = x + 11 и y = 5 * abs (x-1).
Упражнение 4:
(а) Решите уравнение Ответ
(b) Решите уравнение | х — 2 | = 2 — x / 3 Ответ
Вернуться к содержанию
Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2
Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2 — Квадратные уравнения| 2008 Rasmus ehf и Jhann sak Ptursson | Уравнения III |
Урок 2 Уравнения кубической и четвертой степени
Как мы можем решить такие уравнения, как кубическое уравнение показано здесь?
x 3 — x 2 4x + 4 = 0
Существует чрезвычайно сложная формула для решения кубические уравнения.Некоторые калькуляторы имеют встроенную формулу и поэтому могут использоваться для решения кубических уравнений.
Мы собираемся узнать, как эти уравнения могут быть решены с помощью факторизация. Если уравнение имеет решения, которые являются целыми числами a, b и c, то мы можем разложить уравнение на множители следующим образом:
x 3 — x 2 4x + 4 = (x — а) (х — б) (х — в) = 0
Умножая скобки, видим, что константа член 4 должен быть числом, которое мы получаем, когда мы умножаем a, b и c вместе.
abc = 4
Все решения a, b и c должны быть множителями 4, поэтому не так много целых чисел, которые нам нужно учитывать.
У нас есть только следующие возможности:
1, 2 и 4
Хорошо изучите каждое из этих чисел, чтобы найти, какие из них являются решениями уравнения.
f (1) = 1 3 — 1 2 4 × 1 + 4 = 0 1 — решение
f (−1) = (−1) 3 — (−1) 2 4 × (-1) + 4 = 6 900 · 10
f (2) = 2 3 — 2 2 4 × 2 + 4 = 0 2 — решение
f (−2) = (−2) 3 — (−2) 2 4 × (−2) + 4 = 0 −2 — решение
Мы нашли три решения, поэтому нам не нужно попробуйте 4 и −4 как кубический уравнение имеет максимум три решения.
Эти три числа дают нам значения a, b и c и мы можем факторизовать уравнение.
x 3 — x 2 4x + 4 = (x — 1) (x — 2) (x + 2) = 0
Этот метод включает поиск целых чисел, которые являются множителями
(можно разделить на) постоянный член, а затем проверить, действительно ли эти
целые числа являются решениями уравнения.
К сожалению, мы не можем предполагать, что решения уравнения третьей степени являются
все целые числа.
Однако, если мы можем найти одно целочисленное решение, допустим, что это x = a, тогда по
Теорема остатка, мы знаем, что (x — a) является фактором уравнения. Мы
можно найти другой множитель, квадратичный множитель, делением. Затем мы можем решить квадратное уравнение, используя
формула для решения квадратиков.
Пример 1
Решите уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 = 0
Ставим числа, кратные 4 в уравнение, чтобы увидеть, верны ли какие-либо из них.
f (1) = 1 3 — 3 × 1 2 2 × 1 + 4 = 0 1 — решение
f (−1) = (−1) 3 — 3 × (−1) 2 2 × (-1) + 4 = 2 900 · 10
f (2) = 2 3 — 3 × 2 2 2 × 2 + 4 = −4
f (−2) = (−2) 3 — 3 × (−2) 2 2 × (−2) + 4 = −12
f (4) = 4 3 — 3 × 4 2 2 × 4 + 4 = 12 900 · 10
f (−4) = (−4) 3 — 3 × (−4) 2 2 × (−4) + 4 = −100
Единственное целочисленное решение — x = 1.Когда мы нашли одно решение, нам действительно не нужно проверять другие числа, потому что теперь мы можем решить уравнение, разделив на (x — 1) и попытавшись решить квадратичный получаем из деления.
Теперь мы можем разложить наши выражение следующим образом:
x 3 — 3x 2 2x + 4 = (х — 1) (х 2 — 2х — 4) = 0
Теперь нам остается решить квадратичную уравнение.
x 2 — 2x — 4 = 0
Воспользуемся формулой квадратичной системы с a = 1, b = −2 и c = −4.
Мы нашли все три решения уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 = 0. Это: эфтирфаранди:
.х = 1
x = 1 + 5
x = 1 — 5
Пример 2
Мы можем легко использовать тот же метод для решения уравнение четвертой степени или уравнения еще более высокой степени.Решите уравнение f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 = 0.
Сначала мы находим целые множители постоянный член, 2. Целочисленные множители 2 равны 1 и 2.
f (1) = 1 4 — 1 3 — 5 × 1 2 + 3 × 1 + 2 = 0 1 — решение
f (−1) = (−1) 4 — (−1) 3 — 5 × (−1) 2 + 3 × (−1) + 2 = −4
f (2) = 2 4 — 2 3 — 5 × 2 2 + 3 × 2 + 2 = −4
f (−2) = (−2) 4 — (−2) 3 — 5 × (−2) 2 + 3 × (−2) + 2 = 0 ср. нашли вторую решение.
Два найденных нами решения 1 и −2 означают, что мы можем разделить на x —
1 и x + 2 и остатка не будет. Сделайте это в два этапа.
Сначала разделим на x + 2
Теперь разделите полученное кубический коэффициент по x — 1.
Теперь мы разложили на множители
f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 в
f (x) = (x + 2) (x — 1) (x 2 — 2x — 1) и только
Осталось решить квадратное уравнение
x 2 — 2x — 1 = 0.Мы используем формула с a = 1, b = −2 и c = −1.
Всего найдено четыре решения. Их:
х = 1
х = -2
х = 1 +
х = 1-
Иногда мы можем решить уравнение третьей степени, заключив в скобки члены два на два и найдя множитель что у них общего.Давайте посмотрим на это на примере.
Пример 3.
Решите уравнение x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0
x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0 (x 3 — 2x 2 ) — (4x — 8) = 0 [x 2 (x — 2) — 4 (x — 2)] = 0 (x — 2) [x 2 — 4] = 0 (х — 2) (х — 2) (x + 2) = 0 | Здесь скобка (x — 2) является общим множителем и может быть вынесена за пределы общая скобка. |
Обратите внимание, что скоба (x — 2) происходит дважды, когда мы закончили факторизацию. x = 2 — это поэтому двойное решение, и у нас есть только два разных. Это:
х = 2 и х = -2 .Лауснир: x = 2 og x = −2 .
Все примеры, которые мы рассмотрели до сих пор, уравнения, в которых член с наибольшей степенью имеет коэффициент 1.
Как мы иметь дело с уравнениями, где этот коэффициент — какое-то другое число?
Общая форма — f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c и d — целые числа.
Мы можем искать целочисленные решения в том же как и раньше, проверяя множители постоянного члена d. Если мы найдем целочисленное решение, тогда мы можем разделить и найти другие решения, как и раньше.
Если ни один из факторов d не дает нам решения
затем мы ищем решения, которые являются дробями.
Предположим, есть дробное решение, и назовем его
решение x = t / n.
Это означает, что x — t / n является фактором f (x), или, если мы умножаем на n, то xn — t является множителем.
Теперь предположим, что мы разделили f (x) на xn.
— t и нашли квадратичный множитель, мы можем назвать его
Ax 2 + Bx + C.
Теперь у нас есть результат, что
ax 3 + bx 2 + cx + d = (xn — t) (Ax 2 + Bx + C)
сравнивая коэффициенты x 3 на
обе стороны уравнения мы видим, что a = nA и, следовательно, n должно быть множителем
а.
Аналогично, сравнивая постоянные члены, мы видим, что
d = −tC и, следовательно, t является множителем d.
Мы заключаем, что любая дробь является решением кубическое уравнение ax 3 + bx 2 + cx + d должен иметь вид t / n, где t — множитель числа d, а n — фактор числа a.
Обобщение для функции степени n:
ф (х) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + × × × × + а 1 х + 0
с коэффициентами a 0 , а 1 , а 2 , × × × × × а n − 2 , n − 1 и n .
Если эта функция имеет рациональное решение, скажем, t / n, тогда t — коэффициент 0 , а n — коэффициент n .
Пример 4
Решите уравнение f (x) = 2x 3 — 7x 2 + 4x + 3 = 0.
Возможные целые корни f (x) — это делители 3, они равны 1 и 3. Дроби, которые могут быть корнями, — это эти четыре числа, разделенные на множители 2.Итак, полный список рациональных чисел, которые нам нужно рассмотреть, — это , 1, 3 / 2 и 3.Сразу видно, что нам не нужно рассмотрите любые отрицательные значения, поскольку все они будут давать отрицательные значения для f (x), а не 0.
Теперь попробуем другие возможностиf () = 2 () 3 — 7 () 2 + 4 × + 3 = 3
f (1) = 2 × 1 3 — 7 × 2 + 4 × 1 + 3 = 2
ф ( 3 / 2 ) = 2 ( 3 / 2 ) 3 — 7 ( 3 / 2 ) 2 + 4 × 3 / 2 + 3 = 0, поэтому мы нашли решение.
x = 3 / 2 — решение, поэтому (x — 3 / 2 ) — фактор. Разделение на (x — 3 / 2 ) может быть трудным. Поэтому мы умножаем на 2 и вместо этого делим на (2x — 3). Если (x — 3 / 2 ) является фактор
, то (2x — 3).
Теперь нам нужно решить уравнение x 2 — 2x — 1 = 0.Мы уже решили это уравнение в примере 2. Решения: 1 + 2 og 1 — 2.
Итак, мы нашли три решения. Их:
x = 3 / 2 = 1
х = 1 + 2
х = 1 — 2
Попробуйте пройти тест 2 по уравнениям III.
Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.
систем линейных уравнений
систем линейных уравненийЧасто бывает необходимо посмотреть на несколько функций одного и того же независимого Переменная.Рассмотрим предыдущий пример, где x — количество произведенных товаров. и продано, была независимой переменной в трех функциях: функции затрат, функция дохода и функция прибыли.
В целом там может быть:
n уравнений
v переменные
Решение систем уравненийЕсть четыре метода решения систем линейных уравнений:
а.графическое решение
б. алгебраическое решение
c. метод исключения
d. метод замещения
Пример 1
даны являются два следующих линейных уравнения:
f (x) = y = 1 + 0,5x
f (x) = y = 11 — 2x 900 · 10
Изобразите первое уравнение , найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.
Если x = 0, тогда f (0) = 1 + .5 (0) = 1
Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 1 + 0,5x
-,5x = 1
х = -2
Результирующий точки данных: (0,1) и (-2,0)
Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных.От установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.
Если x = 0, тогда f (0) = 11-2 (0) = 11
Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 11 — 2x
2x = 11 900 10
х = 5,5
Результирующий точки данных: (0,11) и (5.5,0)
В точке пересечения двух уравнений x и y имеют одинаковые значения.
На графике эти значения можно прочитать как x = 4 и y = 3.
Пример 2
даны являются два следующих линейных уравнения:
f (x) = y = 15 — 5x 900 · 10
f (x) = y = 25 — 5x 900 · 10
Изобразите первое уравнение , найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равны нулю, можно найти точку пересечения y на вертикальная ось и точка пересечения x на горизонтальной оси.
Если x = 0, тогда f (0) = 15-5 (0) = 15
Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 15 — 5x
5x = 15
х = 3
Результирующий точки данных: (0,15) и (3,0)
Постройте график второго уравнения , найдя две точки данных.От установив сначала x, а затем y равными нулю, можно найти точку пересечения y по вертикальной оси и точка пересечения x по горизонтальной оси.
Если x = 0, тогда f (0) = 25-5 (0) = 25
Если y = 0, тогда f (x) = 0 = 25 — 5x
5x = 25
х = 5
Результирующий точки данных: (0,25) и (5,0)
Из графика видно, что эти линии не пересекаются.Они параллельны. У них одинаковый наклон. Нет однозначного решения.
Пример 3
даны являются два следующих линейных уравнения:
21x — 7y = 14
-15x + 5y = -10
Rewrite уравнения, поместив их в форму пересечения наклона.
Первый уравнение становится
7y = -14 + 21x
у = -2 + 3х
Второй уравнение становится
5y = -10 + 15x
у = -2 + 3х
Изобразите любое уравнение, найдя две точки данных.Установив сначала x, а затем y равный нулю, можно найти точку пересечения y по вертикали ось и точку пересечения x на горизонтальной оси.
Если x = 0, тогда f (0) = -2 +3 (0) = -2
Если y = 0, тогда f (x) = 0 = -2 + 3x
3x = 2
х = 2/3
Результирующий точки данных: (0, -2) и (2 / 3,0)
Из графика видно, что эти уравнения эквивалентны.Там — бесконечное количество решений.
Алгебраическое решение
Этот метод будет проиллюстрирован с помощью анализа спроса и предложения. Этот Тип анализа заимствован из работ великого английского экономиста Альфреда Маршалл.
Q = количество и P = цена
P (s) = функция предложения и P (d) = функция спроса
При построении графика цена откладывается на вертикальной оси. Таким образом, цена — это зависимая переменная.Было бы логичнее рассматривать количество как зависимая переменная, и этот подход использовал великий французский экономист, Леон Вальрас. Однако по соглашению экономисты продолжают строить графики, используя Анализ Маршалла, который называют крестом Маршалла.
Цель состоит в том, чтобы найти равновесную цену и количество, т. Е. Решение где цена и количество будут иметь одинаковые значения в функции предложения и функция цены.
Q E = равновесная величина P E = равновесная цена
Для равновесия
предложение = спрос
или P (s) = P (d)
Учитывая следующие функции
П (т) = 3Q + 10 и P (d) = -1 / 2Q + 80
Приравняйте уравнения друг к другу и решите относительно Q.
P (т) = 3Q + 10 = -1 / 2Q + 80 = P (d)
3.5Q = 70 900 · 10
Q = 20 Равновесное количество 20.
Подставьте это значение вместо Q в любое уравнение и решите для P.
P (т) = 3 (20) + 10
П (т) = 70
П (г) = -1/2 (20) + 80
П (г) = 70 Цена равновесия — 70.
Метод исключения
Этот метод включает удаление переменных из уравнений. Переменные удаляются последовательно, пока не останется только одна последняя переменная, т.е. пока не будет одно уравнение с одним неизвестным. Затем это уравнение решается для одного неизвестного. Затем решение используется для нахождения второго последняя переменная. Процедура повторяется, добавляя обратно переменные в качестве их решений. найдены.
Пример 1
2х + 3у = 5
-5x — 2y = 4
Порядок действий: удалить y.Коэффициенты при y не совпадают в два уравнения, но если бы они были, можно было бы сложить два уравнения и члены y будут сокращаться. Однако это возможно через умножение каждого уравнения, чтобы заставить члены y иметь одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.
Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 2, а второе уравнение умножьте на 3. Это дает
4х + 6у = 10
-15x — 6y = 12
Шаг 2: Сложите два уравнения.Это дает
-11x = 22
х = -2
Шаг 3: Решить относительно y в любом из исходных уравнений
2 (-2) + 3у = 5
3 года = 9
г = 3 или
-5 (-2) — 2y = 4
10 — 2y = 4
2y = 6
г = 3
Альтернативная процедура: удалить x.Коэффициенты при x не совпадают в двух уравнениях, но если бы они были, можно было бы добавить два уравнения и члены y будут сокращаться. Однако возможно путем умножения каждого уравнения, чтобы заставить члены x равняться имеют одинаковые коэффициенты в каждом уравнении.
Шаг 1: Умножьте первое уравнение на 5, а второе уравнение умножьте на 2. Это дает
10x + 15y = 25 900 · 10
-10x — 4y = 8
Шаг 2: Сложите два уравнения.Это дает
11лет = 33
y = 3
Шаг 3: Решить относительно x в любом из исходных уравнений
2x + 3 (3) = 5
2x = -4
х = -2 или
-5x — 2 (3) = 4
— 5x = 10
х = -2
Пример 2
2x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 2
4x 1 — 4x 2 — 3x 3 = 7
3x 1 — 3x 2 — 2x 3 = 5
В этом примере есть три переменные: x 1 , x 2 и х 3 .Одна из возможных процедур — удалить первый x 1 , , чтобы исключить следующие x 2 , а затем найти x 3 . Значение, полученное для x 3 , используется для решения x 2 и наконец, значения, полученные для x 3 и x 2 , используются для решить относительно x 1 .
Процедура Часть A Сначала удалите x 1 .
Шаг 1 Умножение первое уравнение на 2 и вычтите второе уравнение из первого уравнение.Это дает
4x 1 + 10x 2 + 14x 3 = 4 первое уравнение
4x 1 — 4x 2 — 3x 3 = 7 второе уравнение
14x 2 + 17x 3 = -3 второе уравнение вычитается из первого
Шаг 2 Умножение первое уравнение на 3, третье уравнение умножьте на 2 и вычтите третье уравнение из первого уравнения.Это дает
6x 1 + 15x 2 + 21x 3 = 6 первое уравнение
6x 1 — 6x 2 — 4x 3 = 10 третье уравнение
21x 2 + 25x 3 = -4 третье уравнение вычитается из первого
Процедура, часть B Второе удаление x 2 . Из Части А осталось два уравнения. Из этих двух уравнений исключить х 2 .
14x 2 + 17x 3 = -3 первое уравнение
21x 2 + 25x 3 = -4 второе уравнение
Шаг 1 Умножение первое уравнение на 21, второе уравнение умножьте на 14. и вычтите второе уравнение из первого уравнения.Это дает
294x 2 + 357x 3 = -63 первое уравнение
294x 2 + 350x 3 = -56 второе уравнение
7x 3 = -7 второе уравнение вычитается из первого
х 3 = -1
Часть C Решите относительно x 2 , вставив значение, полученное для x 3 в любое уравнение из части B.
14x 2 + 17 (-1) = -3
1 4x 2 = 14
х 2 = 1 или
21x 2 + 25 (-1) = -4
21x 2 = 21
х 2 = 1
Часть D Решите относительно x 1 , вставив полученные значения x 2 andx 3 в любом из трех исходных уравнений.
2x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 2 первое исходное уравнение
2x 1 + 5 (1) + 7 (-1) = 2
2x 1 = 4
x 1 = 2 или
4x 1 — 4x 2 — 3x 3 = 7 секунд исходное уравнение
4x 1 — 4 (1) — 3 (-1) = 7
4x 1 = 8
х 1 = 2 или же
3x 1 — 3x 2 — 2x 3 = 5 третье исходное уравнение
3x 1 — 3 (1) -2 (-1) = 5 900 10
3x 1 = 6
х 1 = 2
Метод замещения
Это включает выражение одной переменной через другую до тех пор, пока не будет одно уравнение с одним неизвестным.Затем это уравнение решается для этого один неизвестный. Затем результат используется для поиска переменной, которая была выражается через переменную, решение которой было только что найдено.
Пример
12x — 7лет = 106 первое уравнение
8x + У = 82 второе уравнение
Решите второе уравнение для y, а затем подставьте полученное значение y в первое уравнение.
г = 82 — 8x второе уравнение, решенное относительно y
12x — 7 (82 — 8х) = 106 первое уравнение переписано в x
12x — 574 + 56x = 106
68x = 680
х = 10
Подставьте полученное значение x в любое из исходных эквивалентов.
12x — 7лет = 106 первое уравнение
12 (10) — 7лет = 106
7лет = 14
г = 2
8 (10) + У = 82 второе уравнение
г = 2
[индекс]
Для квадратного уравнения 3×2 5x + 2 0 Как вы учитесь математике 10 CBSE
Подсказка: Мы дали квадратное уравнение вида $ a {x ^ 2} + bx + c = 0 $.2} — 4 \ left (3 \ right) \ left (2 \ right)}}} {{2 \ left (3 \ right)}} $Шаг 3: Упростив приведенное выше уравнение, мы получаем
$ x = \ dfrac {{5 \ pm \ sqrt {25–24}}} {2} $
Шаг 4. При дальнейшем упрощении получаем
$ x = \ dfrac {{5 \ pm \ sqrt 1}} {2} $
. $ x = \ dfrac {{5 \ pm 1}} {2} $
Шаг 5: Сначала, учитывая положительный знак, получаем
$ x = \ dfrac {{5 + 1}} {2} $
$ \ Rightarrow x = 3 $
Шаг 6: Теперь, учитывая отрицательный знак, мы получаем
$ x = \ dfrac {{5-1}} {2} $
$ \ Rightarrow x = 2 $
Следовательно, решение приведенного выше уравнения равно $ x = 2 $ и $ x = 3 $
Примечание:
При решении квадратного уравнения существуют два корня.2} — 4ac $.
Если значение дискриминанта больше нуля, то мы получаем два разных корня, если дискриминант равен нулю, то мы получаем одинаковые корни, а если дискриминант меньше нуля, то мы получаем мнимые корни.
Вы в одном шаге от ответа!
Подпишитесь бесплатно!
Регистрируясь, вы также получаете доступ к тысячам решенных вопросов, викторин
и загружаемым PDF-файлам БЕСПЛАТНО!
Решите квадратные уравнения по квадратичной формуле — элементарная алгебра
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Решите квадратные уравнения, используя квадратную формулу
- Используйте дискриминант, чтобы предсказать количество решений квадратного уравнения
- Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения
Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.
- Упростить:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок). - Упростить:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок). - Упростить:.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз предпринимали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ — «да». В этом разделе мы выведем и воспользуемся формулой, чтобы найти решение проблемы. квадратное уровненеие.
Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в целом», чтобы мы проделали алгебраические шаги только один раз, а затем использовали новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы рассмотрим этапы завершения квадрата в целом, чтобы решить квадратное уравнение для x . Возможно, будет полезно взглянуть на один из примеров в конце последнего раздела, где мы решали уравнение формы, когда вы читаете алгебраические шаги ниже, поэтому вы видите их как с числами, так и со словом «в целом».’
Последнее уравнение — квадратичная формула.
Квадратичная формула
Решения квадратного уравнения вида даются формулой:
Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения в выражение в правой части формулы. Затем мы делаем все математические вычисления, чтобы упростить выражение. Результат дает решение (я) квадратного уравнения.
Как решить квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Если вы произносите формулу во время написания каждой задачи, вы быстро запомните ее. И помните, квадратная формула — это уравнение. Обязательно начинайте с «».
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Когда мы решали квадратные уравнения с помощью свойства квадратного корня, мы иногда получали ответы с радикалами. То же самое может случиться и при использовании квадратичной формулы. Если в качестве решения мы получаем радикал, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.
Решите, используя дискриминант.
Решение
Мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти переменную в квадратном уравнении, независимо от того, называется ли оно « x ».
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Итак, когда мы подставляем, и в квадратную формулу, если величина внутри радикала отрицательна, квадратное уравнение не имеет реального решения.Мы увидим это в следующем примере.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Все квадратные уравнения, которые мы решили до сих пор в этом разделе, были записаны в стандартной форме,. Иногда нам нужно сделать некоторую алгебру, чтобы привести уравнение в стандартную форму, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы «очищали дроби», умножая обе части уравнения на ЖК-дисплей. Это дало нам возможность решить эквивалентное уравнение — без дробей. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Подумайте об уравнении. Мы знаем из принципа нулевого произведения, что это уравнение имеет только одно решение:.
В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения с полным квадратом также дает только одно решение.
Решите, используя дискриминант.
Решение
Вы узнали, что это идеальный квадрат?
Решите, используя дискриминант.
Решите, используя дискриминант.
Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения
Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда нет реальных решений. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения, не решая его на самом деле?
Да, количество внутри корня квадратной формулы позволяет нам легко определить количество решений.Эта величина называется дискриминантом.
Дискриминант
В квадратной формуле величина называется дискриминантом.
Давайте посмотрим на дискриминант уравнений на (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), а также на количество решений этих квадратных уравнений.
Когда дискриминант положительный , квадратное уравнение имеет два решения .
Когда дискриминант ноль , квадратное уравнение имеет одно решение .
Когда дискриминант отрицательный , квадратное уравнение не имеет реальных решений .
Определите количество решений каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒⓓ
ⓐ нет реальных решений ⓑ 2 ⓒ 1 ⓓ нет реальных решений
Определите количество решений каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒⓓ
ⓐ 2 ⓑ нет реальных решений ⓒ 1 ⓓ 2
Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения
Мы использовали четыре метода для решения квадратных уравнений:
- Факторинг
- Свойство квадратного корня
- Завершение квадрата
- Квадратичная формула
Вы можете решить любое квадратное уравнение с помощью квадратной формулы, но это не всегда самый простой метод.
Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения.
- Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные множители легко, этот метод очень быстрый.
- Далее попробуйте свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме или, его можно легко решить с помощью свойства квадратного корня.
- Используйте квадратную формулу . Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы.
А как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают не использовать его.Нам нужно было включить его в эту главу, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы получить квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс завершения квадрата в других областях алгебры.
Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒ
Решение
ⓐ
Поскольку уравнение находится в, наиболее подходящим методом является использование свойства квадратного корня.
ⓑ
Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен полного квадрата, поэтому факторинг будет наиболее подходящим методом.
ⓒ
Приведите уравнение в стандартную форму.
В то время как наша первая мысль может заключаться в том, чтобы попробовать факторинг, размышления обо всех возможностях проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода.
Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒ
коэффициент ⓑ Свойство квадратного корня ⓒ Квадратичная формула
Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:
ⓐⓑⓒ
ⓐ Квадратичная формула ⓑ факторинг ⓒ Свойство квадратного корня
Практика ведет к совершенству
Решите квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы
В следующих упражнениях решите, используя квадратичную формулу.
Использование дискриминанта для прогнозирования числа решений квадратного уравнения
В следующих упражнениях определите количество решений каждого квадратного уравнения.
ⓐ нет реальных решений ⓑ 1
ⓒ 2 ⓓ нет реальных решений
ⓐ 1 ⓑ реальных решений нет
ⓒ 1 ⓓ 2
Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения
В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (разложение на множители, квадратный корень или квадратная формула) для решения каждого квадратного уравнения. Не решай.
коэффициент ⓑ квадратный корень
ⓒ квадратная формула
коэффициент ⓑ квадратный корень
ⓒ коэффициент
Повседневная математика
Ракета запускается прямо с корабля в море.Решите уравнение для количества секунд, в течение которых ракета будет находиться на высоте 640 футов.
Архитектор проектирует холл гостиницы. Она хочет иметь треугольное окно, выходящее в атриум, с шириной окна на 6 футов больше высоты. Из-за ограничений по энергопотреблению площадь окна должна составлять 140 квадратных футов. Решите уравнение для высоты окна.
Письменные упражнения
Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?
ⓐⓑ
ⓒ ответы будут отличаться
Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?
Самопроверка
ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.
ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?
Глоссарий
- дискриминант
- В квадратной формуле величина называется дискриминантом.
— MathPapa
Это учебное пособие по использованию калькулятора алгебры , пошагового калькулятора для алгебры.
Решение уравнений
Сначала перейдите на главную страницу Калькулятора алгебры.В текстовом поле калькулятора вы можете ввести математическую задачу, которую хотите вычислить.
Например, попробуйте ввести уравнение 3x + 2 = 14 в текстовое поле.
После того, как вы введете выражение, Калькулятор алгебры распечатает пошаговое объяснение того, как решить 3x + 2 = 14.
Примеры
Чтобы увидеть больше примеров задач, которые понимает калькулятор алгебры, посетите Страница примеров. Вы можете попробовать их прямо сейчас.2.Вычисление выражений
Калькулятор алгебры может вычислять выражения, содержащие переменную x.
Чтобы оценить выражение, содержащее x, введите выражение, которое вы хотите оценить, затем знак @ и значение, которое вы хотите вставить для x. Например, команда 2x @ 3 вычисляет выражение 2x для x = 3, что равно 2 * 3 или 6.
Калькулятор алгебры также может вычислять выражения, содержащие переменные x и y.Чтобы оценить выражение, содержащее x и y, введите выражение, которое вы хотите оценить, затем знак @ и упорядоченную пару, содержащую ваше значение x и значение y. Вот пример вычисления выражения xy в точке (3,4): xy @ (3,4).
Проверка ответов для решения уравнений
Так же, как калькулятор алгебры можно использовать для вычисления выражений, Калькулятор алгебры также можно использовать для проверки ответов на решение уравнений, содержащих x.
В качестве примера предположим, что мы решили 2x + 3 = 7 и получили x = 2.Если мы хотим вставить 2 обратно в исходное уравнение, чтобы проверить нашу работу, мы можем сделать это: 2x + 3 = 7 @ 2. Поскольку ответ правильный, калькулятор алгебры показывает зеленый знак равенства.
Если вместо этого мы попробуем значение, которое не работает, скажем, x = 3 (попробуйте 2x + 3 = 7 @ 3), вместо этого калькулятор алгебры покажет красный знак «не равно».
Чтобы проверить ответ на систему уравнений, содержащую x и y, введите два уравнения, разделенные точкой с запятой, за которыми следует знак @ и упорядоченную пару, содержащую ваше значение x и значение y.Пример: x + y = 7; х + 2у = 11 @ (3,4).
Режим планшета
Если вы используете планшет, например iPad, войдите в режим планшета, чтобы отобразить сенсорную клавиатуру.
Статьи по теме
Вернуться к калькулятору алгебры »
Как найти набор решений
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
.
Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 упростите выражение,2 упростите выражение,2 упростить выражение 1 2,3 4x 2 5 упростить,3 упростить выражение,4 упростите выражение,4 упростить выражение,7 класс алгебра упростить выражение онлайн калькулятор,x y x упростить,алгебра как упростить выражение,алгебра упрощение выражений,алгебраическое выражение упростить,вы упростите,выражение онлайн,выражение решить онлайн,выражения решение онлайн,выразить из формулы онлайн,выразить онлайн,выразить онлайн переменную,выразить формулу онлайн,дроби упростить выражение,дробное выражение как упростить,как правильно упрощать выражения,как решать упростите выражение,как решать упростить выражение,как упростить,как упростить выражение,как упростить выражение алгебра,как упростить выражение дробное,как упростить выражения,как упростить дробное выражение,как упростить пример,как упростить уравнение,как упрощать,как упрощать выражение,как упрощать выражения,как упрощать уравнения,калькулятор алгебраических выражений,калькулятор алгебраических выражений онлайн калькулятор,калькулятор алгебраических выражений с буквами,калькулятор буквенных выражений,калькулятор буквенных выражений онлайн,калькулятор выражений,калькулятор выражений с буквами,калькулятор для упрощения выражений,калькулятор для упрощения выражений с дробями,калькулятор дробей упрощение выражений,калькулятор онлайн буквенных выражений,калькулятор онлайн подобные слагаемые,калькулятор онлайн упростить выражение,калькулятор онлайн упрощение выражений,калькулятор онлайн упрощение дробных выражений,калькулятор онлайн упрощения выражений,калькулятор подобных слагаемых,калькулятор преобразования выражений,калькулятор раскрытие скобок,калькулятор раскрытие скобок онлайн,калькулятор раскрытия скобок онлайн,калькулятор рациональных выражений с решением онлайн,калькулятор тождественных выражений,калькулятор упростите выражение,калькулятор упростите выражение с дробями,калькулятор упростите выражение с корнями,калькулятор упростить,калькулятор упростить выражение,калькулятор упростить выражение онлайн с дробями,калькулятор упростить выражение онлайн с дробями с буквами,калькулятор упрощение выражений,калькулятор упрощение выражений дробей,калькулятор упрощение выражений онлайн,калькулятор упрощение выражений с дробями,калькулятор упрощение выражений со степенями онлайн,калькулятор упрощение многочлена онлайн,калькулятор упрощения,калькулятор упрощения выражений,калькулятор упрощения выражений онлайн,калькулятор упрощения выражений онлайн калькулятор,калькулятор упрощения выражений с буквами,калькулятор упрощения выражений с буквами и степенями и дробями,калькулятор упрощения выражений с дробями,калькулятор упрощения выражений с дробями и степенями и буквами,калькулятор упрощения выражений с дробями и степенями и с буквами,калькулятор упрощения выражения,калькулятор упрощения дробей с буквами и степенями,математика выражение упростить,онлайн выражение,онлайн выражение формул,онлайн выразить,онлайн калькулятор буквенных выражений,онлайн калькулятор преобразование рациональных выражений,онлайн калькулятор раскрытие скобок,онлайн калькулятор раскрытия скобок,онлайн калькулятор спростить вираз,онлайн калькулятор упростите выражение,онлайн калькулятор упростить выражение,онлайн калькулятор упрощение выражений,онлайн калькулятор упрощение выражений с дробями,онлайн калькулятор упрощение выражений со степенями,онлайн калькулятор упрощение дробных выражений,онлайн калькулятор упрощение многочлена,онлайн калькулятор упрощения выражений,онлайн преобразование выражений,онлайн преобразование тригонометрических выражений,онлайн преобразователь в многочлен,онлайн преобразователь формул,онлайн раскройте скобки,онлайн раскрытие скобок,онлайн решение алгебраических выражений,онлайн решение выражений,онлайн решение выражения,онлайн решение рациональных выражений,онлайн решения выражений,онлайн сокращение выражений,онлайн сокращение многочленов,онлайн упроститель выражений,онлайн упростить,онлайн упростить выражение со степенями,онлайн упростить дробное выражение,онлайн упрощение выражений с дробями,онлайн упрощение выражений с корнями,онлайн упрощение выражений со степенями,онлайн упрощение дробных выражений,онлайн упрощение многочленов,онлайн упрощения выражений,подобные слагаемые калькулятор онлайн,подобные слагаемые онлайн калькулятор,преобразование выражений онлайн,преобразование иррациональных выражений онлайн калькулятор,преобразование рациональных выражений калькулятор онлайн,преобразование рациональных выражений онлайн калькулятор,преобразование формул онлайн,преобразования выражений калькулятор,преобразовать в многочлен выражение онлайн,преобразовать выражение в многочлен онлайн,преобразовать выражение онлайн,преобразовать многочлен в выражение онлайн,преобразуйте в дробь выражение онлайн,преобразуйте в многочлен выражение онлайн калькулятор,преобразуйте дробь в выражение онлайн,приведи подобные слагаемые онлайн калькулятор,пример упростить,пример упростить выражение,примеры упростите выражение,примеры упрощение выражений,примеры упрощения,раскрытие скобок калькулятор,раскрытие скобок калькулятор онлайн,раскрытие скобок онлайн,раскрытие скобок онлайн калькулятор,раскрытия скобок онлайн калькулятор,раскрыть скобки онлайн,раскрыть скобки онлайн калькулятор,рациональных выражений онлайн калькулятор с решением,решение алгебраических выражений онлайн,решение выражений,решение выражений онлайн,решение выражения,решение выражения онлайн,решение онлайн алгебраических выражений,решение онлайн выражения,решение примеров на упрощение выражений,решение упростите выражение,решения выражений онлайн,решите выражение,решить выражение,решить выражение онлайн,решить выражение онлайн со степенями,решить онлайн выражение,сократить выражение,сократить выражение онлайн,сократить выражение онлайн с подробным решением,сократить многочлен онлайн,сократить онлайн выражение,сократить уравнение онлайн,сокращение выражений,сокращение выражений онлайн,сокращение многочленов онлайн,сокращение уравнений онлайн,способы упрощения выражений,спростити вираз,спростити вираз онлайн,спростити вираз онлайн калькулятор,спростити вираз приклади,спростить вираз,спростить вираз онлайн калькулятор,спростіть вираз,спрощення виразів,упрости,упрости выражение,упрости выражения,упростите,упростите 3 4х 2 5,упростите алгебраическое выражение,упростите вы,упростите выражение,упростите выражение 1,упростите выражение 2,упростите выражение 2 3x 2,упростите выражение 3,упростите выражение a,упростите выражение x,упростите выражение x 2 x 8 x,упростите выражение x 3 x 4,упростите выражение а,упростите выражение дроби,упростите выражение дробное,упростите выражение дробь,упростите выражение и,упростите выражение калькулятор,упростите выражение калькулятор онлайн,упростите выражение калькулятор онлайн с решением,упростите выражение калькулятор с дробями,упростите выражение калькулятор с дробями и степенями,упростите выражение калькулятор с степенями,упростите выражение калькулятор с степенями и дробями,упростите выражение онлайн,упростите выражение онлайн калькулятор,упростите выражение онлайн калькулятор с решением,упростите выражение онлайн с дробями,упростите выражение онлайн с дробями и степенями,упростите выражение онлайн с дробями и степенями с решением,упростите выражение онлайн с корнями,упростите выражение примеры,упростите выражение решение,упростите выражение с дробями,упростите выражение с дробями онлайн,упростите выражение с корнями калькулятор,упростите выражение с корнями онлайн,упростите выражения,упростите выражения а,упростите выражения калькулятор,упростите выражения калькулятор онлайн,упростите выражения онлайн,упростите дробное выражение,упростите уравнение,упростите уравнение онлайн,упроститель выражений,упроститель выражений онлайн,упростить 2x 4 6x 6,упростить x 2 x,упростить алгебраическое выражение,упростить векторное выражение онлайн,упростить выражение,упростить выражение 3,упростить выражение алгебра как,упростить выражение алгебраическое,упростить выражение дроби,упростить выражение дробное,упростить выражение дробное онлайн,упростить выражение дробное онлайн калькулятор с решением,упростить выражение как решать,упростить выражение калькулятор,упростить выражение калькулятор онлайн,упростить выражение онлайн,упростить выражение онлайн калькулятор,упростить выражение онлайн калькулятор с дробями,упростить выражение онлайн калькулятор с дробями и буквами,упростить выражение онлайн калькулятор с корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями и буквами,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями и корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением со степенями,упростить выражение онлайн калькулятор со степенями,упростить выражение онлайн калькулятор со степенями с решением,упростить выражение онлайн с дробями,упростить выражение онлайн с дробями буквами и степенями онлайн,упростить выражение онлайн с дробями и буквами,упростить выражение онлайн с дробями и буквами 8 класс,упростить выражение онлайн с дробями и буквами калькулятор,упростить выражение онлайн с дробями и степенями,упростить выражение онлайн с дробями калькулятор,упростить выражение онлайн с корнями,упростить выражение онлайн с корнями и степенями,упростить выражение онлайн с корнями калькулятор,упростить выражение онлайн с решением,упростить выражение онлайн со степенями,упростить выражение примеры,упростить выражение с дробями,упростить выражение с дробями и буквами,упростить выражение с дробями и буквами 8 класс онлайн,упростить выражение с дробями и буквами онлайн калькулятор,упростить выражение с дробями и с степенями онлайн,упростить выражение с дробями и степенями онлайн,упростить выражение с дробями онлайн,упростить выражение с дробями онлайн калькулятор,упростить выражение с дробями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение с корнями онлайн,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор с решением с дробями,упростить выражение со степенями онлайн,упростить выражение со степенями онлайн калькулятор,упростить выражение со степенями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение что такое,упростить выражения,упростить выражения онлайн,упростить дробное выражение,упростить дробное выражение онлайн,упростить дробное выражение онлайн калькулятор с решением,упростить дробь онлайн с буквами,упростить дробь онлайн с буквами и степенями,упростить дробь с буквами онлайн,упростить как,упростить калькулятор,упростить многочлен онлайн,упростить онлайн,упростить онлайн выражение с корнями,упростить онлайн выражение со степенями,упростить тригонометрическое выражение онлайн,упростить тригонометрическое выражение онлайн калькулятор с решением,упростить уравнение,упростить уравнение онлайн,упростить уравнение онлайн с решением,упрощать как,упрощение алгебраические выражения,упрощение алгебраических выражений,упрощение выражений,упрощение выражений алгебра,упрощение выражений дробей,упрощение выражений дробей калькулятор,упрощение выражений дробных,упрощение выражений дробных онлайн,упрощение выражений калькулятор,упрощение выражений калькулятор онлайн,упрощение выражений калькулятор онлайн с корнями,упрощение выражений онлайн,упрощение выражений онлайн калькулятор,упрощение выражений онлайн калькулятор с дробями,упрощение выражений онлайн калькулятор с решением,упрощение выражений онлайн калькулятор со степенями,упрощение выражений онлайн с дробями,упрощение выражений онлайн с корнями,упрощение выражений онлайн с решением,упрощение выражений примеры,упрощение выражений с дробями,упрощение выражений с дробями калькулятор,упрощение выражений с дробями онлайн,упрощение выражений с дробями онлайн калькулятор,упрощение выражений с корнями онлайн,упрощение выражений с решением онлайн,упрощение выражений со степенями калькулятор онлайн,упрощение выражений со степенями онлайн калькулятор,упрощение дробей онлайн с буквами,упрощение дробей онлайн со степенями и буквами,упрощение дробей с буквами онлайн,упрощение дробных выражений,упрощение дробных выражений калькулятор онлайн,упрощение дробных выражений онлайн,упрощение дробных выражений онлайн калькулятор,упрощение корней онлайн,упрощение многочленов онлайн,упрощение онлайн,упрощение тригонометрических выражений онлайн,упрощение уравнений,упрощение уравнений онлайн,упрощение уравнения,упрощения,упрощения выражений,упрощения выражений онлайн калькулятор,упрощения выражений примеры,упрощения выражения калькулятор,формула упрощения выражения,формулы для упрощения выражений,формулы упрощения,формулы упрощения выражений,формулы упрощения выражения,что такое упростить выражение.
На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 упростите выражение. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 2 упростить выражение 1 2).
3 будет интерпретировано как куб синуса от 2.)
(К примеру, если решить пример 3/14, получить ответ, затем ввести 4 и сразу «=», то произведётся операция 4/14. Аналогично, если ввести v256 и несколько раз «=», то последовательно выведутся ответы 16, 4, 2, 1.414..) Как показала практика, это действительно удобно при вычислении процентных содержаний различных исходов в тесте и тому подобных вещах. В случае введения любого выражения, отличного от числа, последняя произведённая операция из памяти калькулятора удаляется.
3 \)
2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Функции калькулятора. Кнопки калькулятора.
Управлять калькулятором можно как с помощью мыши, используя панель задач калькулятора, так и посредством клавиатуры вашего компьютера. Порядок ввода математического выражения не имеет значения, просто пользователь выбирает удобный для него способ внесения записи.
На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.
Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.
, 2, —
Этот тип уравнения также называется линейным уравнением .
Для решения этих уравнений мы используем следующую формулу `x = b / a`. 
Например, введите x + 5, вернитесь к x + 5 = 0 и решите.2-4ac`. 
3 = 0`).
К
решить линейное неравенство, следуя 3x + 5> 0
, просто введите выражение 3 * x + 5> 0 в области исчисления, затем нажмите кнопку вычисления или кнопку
inequality_solver, точный результат возвращается `[x> -5/3]`.2 + b * x + c> 0` выполняется очень быстро,
если переменная не является неоднозначной, просто введите неравенство с по решите и щелкните inequality_solver, затем будет возвращен точный результат.
Вы также можете ввести математические свойства и методы JavaScript.
Например, чтобы найти значение pi (p), введите:
PI (Важно: JavaScript чувствителен к регистру! PI используется ТОЛЬКО в верхнем регистре !.
Чтобы найти журнал из 3, введите (ТОЛЬКО нижний регистр):
журнал (3)
Чтобы найти 2 в 3-й степени, введите:
пау (2,3)
Чтобы найти площадь 9-дюймовой пиццы (в квадратных дюймах), введите:
PI * pow (9 / 2,2)
Круглые скобки () могут изменять порядок операций.
---------- Законные математические операторы (порядок и иерархия ВАЖНЫ!)
+ добавить
- вычесть
/ делить
* умножить
() иерархия - Пример (4 + 1) / 2 или 4 + 1/2
% модуля - Пример (8 + 7)% 13 возвращает 2
---------- Законные операторы сравнения -------------
== равенство - ПРИМЕР 5 == 4 возвращает false
! = неравенство - ПРИМЕР 5! = 4 возвращает истину
больше чем - ПРИМЕР 5> 4 возвращает истину
= больше или равно - ПРИМЕР 5> = 4 возвращает истину
&& логическое И - ПРИМЕР 5> 4 && 3> 4 возвращает false
|| логическое ИЛИ - ПРИМЕР 5> 4 || 3> 4 возвращает истину
! логическое НЕ - ПРИМЕР! (5 == 5) возвращает false
---------- Математические свойства (Константы.
Важно: ТОЛЬКО верхний регистр!).
E (База из натурального бревна, около 2,718)
LN10 (натуральный логарифм 10, около 2,302)
LN2 (Натуральный логарифм 2, около 0,693)
LOG2E (логарифм от E по основанию 2, около 1,442)
LOG10E (логарифм E по основанию 10, около 0,434)
PI (PI = отношение длины окружности к диаметру, около 3,142)
SQRT1_2 (квадратный корень 1/2, около 0,707)
SQRT2 (квадратный корень из 2, около 1,414)
---------- Методы (Функции.Важно: ТОЛЬКО нижний регистр!) -----
abs (x) (абсолютное значение x)
acos (x) (арккосинус x в радианах)
asin (x) (арксинус x, в радианах)
atan (x) (арктангенс x в радианах)
ceil (x) (следующее большее целое, чем x)
cos (x) (косинус x, x в радианах)
exp (x) (экспоненциальная функция от x)
floor (x) (следующее меньшее целое число)
log (x) (натуральный логарифм x)
max (x, y) (максимум x, y)
min (x, y) (минимум x, y)
pow (x, y) (x в степени y)
random () (псевдослучайное число, равномерное от 0 до 1)
round (x) (округляет x до ближайшего целого числа)
sin (x) (синус x, где x в радианах)
sqrt (x) (квадратный корень из x)
tan (x) (тангенс x, где x в радианах)
Подробнее см .: здесь
2 + 3) 
141592654 …)
{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)
Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.
{2}=25\)
Так как второй аргумент (основание) опущен, предполагается, что он равен 10. Результат (1) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 10.
4.9.6. Формула представления любого числа в виде логарифма.
Значение х=-3,5 не удовлетворяет условию существования логарифма.
{2 n}}{n}+\ldots, |x| \lt 1$
На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и log3 x 3 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, найдите корень уравнения log 3 x 3 2).
В. Улитина
преподаватель математики ГАПОУ СО СККИ
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО МАТЕМАТИКЕ
Логарифмы. Свойства логарифмов.
Учебное пособие для студентов ОУ СПО
по учебной дисциплине «Математика» Математика
2017 г
АННОТАЦИЯ
В данном пособии представлен раздел математики 1 курса «Логарифмы.
Свойства логарифмов» в учреждениях среднего профессионального
образования. При изучении данного раздела студентами появляется множество
проблем, которые связаны не только со слабой базовой подготовкой студентов
по основным темам школьного курса, но и с недостаточностью упражнений,
предлагаемых учебниками.
Необходимо увеличить количество упражнений, тестов решаемых
студентами на уроках для лучшего понимания раздела. В данном учебном
пособии представлены упражнения, разработанные по принципу «от простого к
сложному», позволяющие решить проблемы количества упражнений и качества
знаний по данному разделу. Решение задач является одним из видов учебной
работы обучающихся. Поэтому основные цели создания данного пособия:
самостоятельности,
систематизация и закрепление теоретических знаний и практических
умений обучающихся;
углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений
использовать справочную документацию и дополнительную литературу;
развитие познавательных способностей и активности обучающихся,
творческой инициативы,
ответственности и
организованности;
формирование самостоятельного мышления.
Содержание учебного пособия соответствует образовательным стандартам
профессионального образования и может быть использовано для различных
специальностей и профессий. В данном пособии представлены упражнения,
тесты, задания, которые автор в течение многих лет использовала на своих
уроках и полученные результаты позволяют сделать следующий вывод:
используемые упражнения помогают студентам восстановить пробелы в знаниях
по темам «Степени», «Корни» и понять темы «Логарифмы», «Свойства
логарифмов». Пособие содержит как небольшой теоретический материал для
изучения тем раздела, так и решенные примеры в качества образца.
.
2 Математика
ЛОГАРИФМ
Операцию нахождения логарифма числа называют логарифмированием. Эта
операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим
основанием.
Определение логарифма
Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель
степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b:
log
a
b
b
a
x
x
при a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Например:
2
2
5
3
log
25
9
16
log
log
3
2
4
2
25
2
2
16
5
9
4
Задание1: Запишите с помощью логарифма
1
2
1)3
3
3
5
7)32
8)3
2)2
3)4
1
8
16
2;
9;
3
2
1
2
1
5
;
2
1
;
5)9
3;
0
6)7
1
4)5
1
25
;
3
10)81
4
27;
11)32
8;
2
3
9
9)27
12)125
2
3
25
Задание 1
3 Математика
Задание 2: Запишите в виде степенного выражения
1) log
1
81
4)log 16
3
1
2
4;
4;
2) log 256 4;
4
5) log 729 3;
9
3) log 343 3;
7
6) log 1 0;
14
7) log
9
16
3
4
2;
8) log
7
4
7
1
4
;
9) log
13
3
2
13
2
3
;
10) log 32 5
2
Определение логарифма можно записать на математическом языке
следующим образом:
, где
a
,0
a
,1
b
0
.
, где
к
a
,0
a
,1
b
0
к
log
a
b
a
b
Задание 2
, к0
a
log
ba
b
Полученное равенство называется основным логарифмическим тождеством.
Если основное логарифмическое тождество усложнить, то получим формулу:
4 Математика
log 5
12
Задание 3: Найдите значение выражения
1)12
6)9
3) 2
8)7
;
2log 11
2)4
7)11
log 6
;
3log 6
11
4)8
2log 4
log 7
2
7
;
;
;
;
4
9
log 13
8
9)6
;
4log 3
6
5)5
;
5
log 11
;
10)3
5log 2
.
3
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается
,
blg
называется натуральным логарифмом и обозначается
логарифм по основанию
( ee
…)7,2
.
bln
Задание 3
5 Математика
При вычислении логарифмов используется таблица степеней:
10
1024
59049
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
9
16
25
36
49
64
81
10
0
6
64
729
4096
15625
46656
117649
7
128
2187
16 384
78125
279936
823543
3
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
8
256
6561
65 536
390625
1679616
5764801
9
512
19683
262 144
1953125
1007696
4035360
7
5
4
32
16
243
81
1024
256
3125
625
1296
7776
2401 16807
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
Степень (результат логарифмирования)
Таблица квадратов
А 11
26
13
А2 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676
10 48576
9765625
60466176
282475249
1000 000
100 000
10 000
12
21
22
14
23
24
25
18
19
20
15
16
17
Примеры с решениями
1. Вычислите
.
log 2
1
125,0
Решение.
log
2
1
125,0
log
)5,0(
2
3
log
2
3
1
2
log
2
3
2
log3
2
2
.3
Ответ:
.
log 2
1
125,0
3
2.
Вычислите
Решение.
3
1,0lg
100
.
1,0lg
3
100
lg(
10
3. Вычислите
13
log13
04,0
.
2
3
1
10
)
lg
10
1
3
lg
10
1
3
1
3
.
Решение.
log
13
04,0
13
4. Вычислите
2
1
log
4
10
10
Решение. Т. к. выражение
1
2
log
13
04,0
13
log
13
04,0
1
2
1
2
04,0
04,0
.2,0
13
.
1
log
4
10
log
log
4
4
10
4
, то решение принимает вид:
4lg
6 Математика
2
1
log
4
10
10
100
4lg
10
100
4
.25
Задание 4: Вычислите, используя таблицу степеней
1)log 1024;
2
2)log
3
1
243
;
3)log
1
5
5)log
4
1
256
;
9)log
4
5
13)log
2
4;
1
2
3
;
4
Задание 4
1
625
1
512
;
;
4)log 512;
2
8)log 216;
6
6
7 ;
12)log
6
3
2
6 ;
6)log 729;
1
3
10)log
3
4
5
3 ;
7)log
1
8
11)log
7
14) log
11
1
11
;
15) log
15
5
1
11
;
16)log
7
1
7
3
.
7 Математика
3
1) log
Задание 5: Выберите номер правильного ответа
81
7)3
) log 3 81;
a
b
) log 81 4;
)log 4 3
c
3
4)8
)log 8 512;
a
b
)log 512 3;
)log
c
8 3
512
3
4
4
4
3
8
512
3
81
4
1
64
64;
64;
3
4
)4
a
b
)3
)64
c
243
5
2)3
)log 3 243;
a
b
)log 243 5;
) log 243 3
c
5
3
5
3)log 216 3
6
)3
a
3
)6
b
216;
216;
6
5
10)2
)log 2 32;
a
b
)log 32 5;
) log 32 2
c
32
5
2
5
21
5) log 441 2
2
441;
)21
a
21
441;
)2
b
c
) 441 21
1
49
49;
49;
1
49
)2
a
2
)7
b
6)log
)7
c
7
;
2
7
2
729;
729;
9
8) log 729 3
9
9
)3
a
3
)9
b
3
)729
c
9) log 144 2
12
144;
)12
a
12
144;
b
)2
) 144 12
c
2
20
11) log 400 2
20
400;
)2
a
400;
b
)20
) 400
20
c
2
Задание 5
8 Математика
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
5
1
3
1
5
1
9
1
8
1
2
3
4
Задание6: Выпишите номера примеров, решенных неверно
1)log 27
3
2
2)log 16
0, 4 2
3) log
4)log 125 3
2
5) log 9
4
0,09 2
1
625
2
11) log 36
7)log 729
8)log 16
9) log
10) log
0,2
4
9
2
3
0,3
5
1
6
12) log
0,5
0,125 3
0, 25 2
0,5
6) log
Задание 6
Задание 7. Найдите логарифмы данных чисел по основанию α:
1)25,
, 5
а
5
2)64,
, 2
а
8
3)16,
1
4
, 2
а
2
4)27,
, 3
а
3
5)2,
,1,0
а
4
Задание 7
Задание 8. Заполни таблицу, используя определение логарифма:
a x
N
log
xNa
log10
1000
3
9
Найти х по заданным условиям
Неизвестное
Условие
х
log 3
1 Математика
log 7 х
2
х
log11
2
2
36,0
log
log х
5
2
1
х
4
625
log
log
2
х
х
4
2
log 6
36
log 8
01
log 3
1
81
4
log 3
х
1
343
х125
log 2,0
log 2
log10
х16
х01,0
7 3
4 3
343
1
64
10 2
01,0
1
32 5
2
2
125 3
25
2,0 3
008,0
1 3
3
27
Задание 9. Используя определение логарифма выберите номер правильного ответа:
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
10 Математика
4
;
x
1)log
)
b x
)
a x
1
64
3;
1
3
)
c x
3
5
2)3
243
) log 3 243;
a
) log 243 5;
b
) log 243 3
c
3)log 25
2
)
a x
)
b x
3
5
5
;
)
c x
x
5;
5;
1
5
5
)
d x
4)log
x
3
6
)
a x
18;
)
b x
2;
)
c x
216;
9
)
d x
5)log
x
7
14;
)
a x
)
49;
b x
1
49
)
c x
;
2
2
2
6)log 144
12
)12
144;
a
12
144;
)2
b
c
) 144 12
1
225
x
7) log
)
a x
)
b x
15
;
2;
1
2
2
512
3
)
c x
3
8)8
) log 8 512;
a
) log 512 3;
b
)log
c
9)log 64
)
a x
)
b x
8 3
512
2
8
6
;
)
c x
x
8;
8;
1
8
8
)
d x
10) log
x
2
12;
)
a x
)
3;
b x
64;
)
c x
)
8
d x
11) log
x
13
26;
)
a x
)
169;
b x
1
169
)
c x
;
2
12) log 441 2
21
2
441;
)2
a
1
21
441;
)2
b
) 441
21
c
x
2
1) log
3
4
4
;
81
)
b x
)
a x
1
256
4;
1
4
)
c x
4
4
2)3
81
)log 3 81;
a
)log 81 4;
b
) log 4 3
c
3) log 36
x
)
6;
a x
)
6;
b x
1
6
6
)
d x
x
3
4)log
7
21;
)
a x
10;
)
b x
343;
)
c x
5) log
x
11
22;
)
a x
121;
)
b x
1
121
)
c x
)
c x
;
;
2
6)log 243 3
9
9
243;
a
)3
3
2
b
43;
)9
3
)243
c
9
x
;
)
b x
)
a x
7) log
1
5
125
3;
1
3
)
c x
3
5
8)2
32
)log 2 32;
a
)log 32 5;
b
)log 32 2
c
9) log 484
)
a x
)
b x
x
22;
22;
1
22
)
c x
;
5
2
5
2
2
22
)
d x
10)log
x
25
)
a x
27;
)
b x
50;
)
c x
625;
23
)
d x
11)log
x
17
)
a x
34;
)
289;
b x
1
289
)
c x
;
20
12)log 400
20
400;
)2
a
)20
400;
b
) 400
c
20
2
2
2
Ответы запишите в таблицу:
1
5
3
4
2
6
7
8
9
10
11
12
11 Математика
Для всех свойств логарифмов выполняются соответствующие условия:
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
log aa
1
log a
01
при
при
a
a
;
a
,0
1
;
a
,0
1
при
c
a
при
log
a
bc
(
)
log
b
a
log
a
,0
a
,1
b
,0
c
log
a
b
c
log
a
b
log
a
c
b
a
при
log
a
p
b
p
log
log
b
a
log
log
c
c
b
a
a
,0
a
,1
b
,0
c
при
a
,0
a
,1
b
0
;
a
,0
a
,1
b
,0
c
,0
ñ
0
;
0
;
0
.
Полезно также знать и другие свойства логарифмов:
log
b
a
при
a
,0
a
,1
b
,0
b
1
;
1
log
b
a
log
an
m
b
m
n
log
a
b
при
log
an
b
log
a
b
1
n
при
a
,0
a
,1
b
0
;
a
,0
a
,1
b
0
.
Полезно также знать и «хитрости» свойств логарифмов:
log
a
b
2
log2
b
a
при
a
,0
a
;
0
log
a
bc
(
)
log
a
b
log
a
a
,0
a
,1
b
,0
c
log
a
b
c
log
a
a
c
log
b
c
log
b
a
b
при
log
a
c
a
,0
a
,1
b
,0
c
a
,0
b
,0
b
,0
c
0
.
;
0
.
0
b
,1
при
c
при
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом:
log10
a
lg
a
Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10.
Он обозначается lg ,
т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, … pавны соответственно 1, 2, 3, …, т.е.
имеют столько положительных
единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1,
0.01, 0.001, … pавны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц,
сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ).
Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть
логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные
логарифмы наиболее удобны.
12 Математика
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln ,
т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение
2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n при
неограниченном возрастании n
Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом:
log
ae
ln
a
Примеры с решениями
1.
Найдите значение выражения
log
2
6
log
2
10
2
3
.
log
2,0
75
log
.3
2,0
Решение.
log
2
6
log
10
2
2. Найдите значение выражения
2
3
log
2
6
log
2
32
3
log
2
6
32
3
log
2
64
.6
Решение.
log
2,0
75
log
2,0
3
log
2,0
)3:75(
log
2,0
25
log
1
5
2
1
5
.2
3. Вычислите
Решение.
log 9
.27
log
9
27
log
3
log
27
9
3
log
log
3
3
3
2
3
3
log3
log2
3
3
3
3
3
2
.
4. Известно, что
log 5
a2
. Найдите
log 2
.80
Решение.
log
2
80
log
2
16(
)5
log
16
log
2
2
5
4
5. Найдите значение выражения
log
8
log
2
8 4
4
4
1
log
5
2
5
2
5
5
log
log
.
4
1
a
1
.
4
a
a
Решение.
log
8
log
2
8 4
4
log
8
log
2
32
2
2
log
8
log
2
2
1
16
log
8
1
16
log
8
16
1
log
8
16
6. Найдите
lg
45
log
2
log
2
.
16
4
3
8
, если
3lg
a
2lg,
b
.
13 Математика
5lg
3lg
2
lg
10
2
3lg2
lg
10
2lg
Решение.
lg
45
)59lg(
9lg
Задание 10:
1
2
a
.
b
Используя свойства логарифмов найдите значение выражения:
Вариант 1
Вариант 2
4
4
2) log 5 log
1)log 2 log 32
1
5
1
54
3)log
log
1
2
2
3
2
3
7
7
log
7
log 7
4) log
5
196
5) log 5 log 35
6)3
8) log 9
10)log 36
81
7
3
6
12)6
5log 3
6
14)log
7 3
1
7
2
Задание 10
5
4
7)49
log 3
7
27
3
3log 4
21
9)log
11)21
13)log
5
6
5
5
15)125
log 7
25
1)log 32 log
1
2
2)log 4 log 64
4
4
16
16
1
3
5
log
5
1
75
3)log
3
5
9
7
6
log
4)log
3
180
5)log 4 log 36
6)8
8)log 3
27
49
10)log
log 12
9
8
7
log 5
8
7)64
9)log
11)13
125
13
5
4log 3
12)9
4log 2
9
14)log
6
4
1
6
3
13)log
8
7
3
8
15)625
log
125
4
14 Математика
Задание 11:
ГРУППА А: Найдите значение выражения
log)2
2
5
log
2
log)2
2
22
log
Вариант 1
log)1
2
4
log
4
8
8
5
54
2
196
5
3
3
7
2
7
log)3
log)4
log)5
log
3)6
3
log)8
81
log)10
log)11
8
25
5
64
log
log
3
log
4
35
log
2
2
56
log
25)7
5
3
8
log)9
2
log)12
243
81
Вариант 2
log)1
128
4
log
4
2
2
32
11
45
3
8
5
192
log
3
log
log)3
log)4
log)5
3
8
5
8
log
5
2
log
5
25
4
36)7
log)9
log
6
7
16
4
log)12
81
27
50
log
50)6
log)8
125
log)10
log)11
6
5
49
7
128
16
Задание 11 гр А
15 Математика
ГРУППА Б: Найдите значение выражения
Вариант 1
Вариант 2
16 25
log
4
1
4
764
log)5
5
log
4)6
log2
5
2
3
)7
log
1
2
2
125
4
9
log
5
154
log
16)8
log)10
52
2327
log)9
49
343
8log)11
log
512
1
4
1
7
log)12
25
log
625
7)13
7
7
Математика
log)1
2
7
log
2
14
log)2
3
72
log
3
log2)3
2
6
log
2
log)4
4
5
log
4
63
log
36
2
log
3
18
log
2
35
16
27
35
9
log)1
3
log28
2
log
3
3
log2)2
log)3
5
log)4
4
32
7
22
1
5
log
log
5
256
7
11
log
4
36
log)5
2
12
log
2
5
3
log
2)6
94
)7
log
1
2
log
1
2
9
2
log2
7
10
25
81
4
5
2
4
5
52
log
log
log
8)8
125
2
log)10
327
log)9
216
log)11
4
256
36
log
6)13
1
3
1
6
243
7
3
log)12
9
log
3)14
Задание 11 гр Б
7)14
17 Математика
Задание 12:
Задание 1: Вычислить
Задание 2: Найти х
18 8lg)1
lg
;125
log)2
2
7
log
2
;
lg)4
13
16
log
3
log
4
3
log)8
3,0
lg
lg
16
8lg
3lg
2lg
16,3lg
:
у
)13
;
;
через
4,0lg)10
27
lg
3lg
;
)12
3lg
;
)15
12
)5
log
4
log)3
12
18
8lg
lg
2lg2
3lg
11
log
2
;7,2lg
log)7
lg)9
;
;3
;44
)6
;
2
27
4lg
2lg
15
lg
lg
)11
)14
25
Выразите
lg)1
x
х
y
;1
2
lg5,0
1
3
.
2lg
lg
y
y
;
lg)2
x
lg)3
x
Задание 12
4
log
1
3
4,2lg
12
lg2
1
2
50
72
lg
lg
;15
lg
lg
;18
;4lg
;3lg
lg)5
lg)7
x
x
lg)8
x
lg)9
x
1
3
;2lg3
lg
125
1
3
;2lg35lg2
1
2
5lg
3lg
1
2
;5,3lg
Математика
;
7
16
;130
log)1
6
x
lg)2
x
lg
1
2
log3
log5,02
25
6
6
log2
6
;3
5lg
a
lg3
b
lg4
;
c
lg)3
x
lg5
m
lg
n
2
3
1
4
lg
p
;
log29
;40
;10
3,0
log)4
4
x
216
log2
4
10
log4
;3
4
lg)6
x
6,9lg
;4,2lg
lg)10
x
lg)11
x
lg)12
x
19 Математика
Задание 13: Восстановите равенство
log
(…
…
log
2
30(
5,3
8
15
7
9
)5,3
8
15
log
)
9
)…3
log
3
log
log
2
3
21
7
log
…
)7…21(
Вариант 1
log)1
7
14
log
log)2
2
…
log
…
2
21
1
2
log
…
56
7
log
2
log
3
log)4
log)5
2
3)6
25)7
log)8
log)9
5,0
log)10
216
5
196
…5
7
3
125
…
49
…
log
3
log
log
70
2
…
3
…
log
…
)5(
…
log2
log
4
log
2
7
6
216
…
5
)2(
…
5
…
log
625
3
…
…
196
log
…
5(
4….
…
70
log
)56
(….)
20 Математика
Вариант 2
log
).
..1
1
2
log)3
)2
log
3
5
log
45
1
3
256
log
2
log
4
256
…
121
log
2
log
2
(…
4
2
32
…
11
log
5
3
….
4
2
log
32
11
log
5(
)
…
log
4
(
256
)2…
)45
log)4
8
96
1
3
log
2
3
log
8
96
log
…
3
log
8
96(
)3…
log
18(
…
25
4
5,4
)
25
4
log)5
5
18
…
log
5
…5,4
log
5
log
13
6
1
169)6
log
36)7
log)8
216
25,0
log)9
3
log)10
7
7
256
…
3
49
…
169
log
…
)6(
…
log
…
169
7
256
…
…
3
)3(
…
log
Задание 13 В
21 Математика
Тренировочные упражнения
Базовый уровень
1. Вычислите
2. Вычислите
3. Вычислите
4. Вычислите
5. Вычислите
6. Вычислите
7. Вычислите
log
2
3
2
.
5,0
2
.
log
3
log 2
.
3
39
82
.
log2
5,0
9
5,0
.
log3
2
27
log 2,0
3
125
.
1
log
5
5,0
.
16
.
Найдите значение выражения
8.
9. Найдите значение выражения
log6
01,0
6
.
25,0
log36
6
10. Найдите значение выражения
.
3lg210
22
11. Найдите значение выражения
.
24
log
1
3
1
3
12. Вычислите
13. Вычислите
14. Вычислите
15.
Вычислите
16. Вычислите
log
18
27
log
.12
18
log
1
2
log
12
.72
1
12
log
2
36
log
29
2
.
log
7
log
256
2
7
.
log
log
6,0
6,0
27
243
.
17. Вычислите
log
1
3
2
log
9
.4
25
.
18.
64
19.
1
Найдите значение выражения
log5,0
4
Найдите значение выражения
1
log
7
2
49
14
. 20. Найдите
log 2
21. Найдите
log 7
6
22. Известно, что
, если
1
81
, если
Найдите
.
lg
175
Тренировочные упражнения
23. Известно, что
2lg
m
7lg,
n
.
Найдите
.
log14
56
24. Вычислите
log
81
25
3
log
5
4
6
.
2
25. Найдите значение выражения
.
4
log
5
2,1
2,1
log
7
3
3
Математика
.
log 2
m3
log 7
5lg
a
7lg,
.
k42
.
b
23 Тесты
Математика
Тест 1
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7.
А1. Вычислите
.
log
5
1 5
5
1)
;
2) 5;
3)
;
1
5
4) –5.
1
5
1) 0,7;
А2. Найдите значение выражения
.
log3
49,0
3
А3. Найдите значение выражения
.
5
log32
5
2
1) 17;
А4. Найдите
log 5
1)
;
2a
2) 0,07;
2)
;
28,0
2)
;
a
2
25
8
, если известно, что
3) 0,245;
4) 0,2401.
3)
;
25
6
log 5
3)
a7
;
a
5
.
4) 19.
4)
.
5a
4) 2,5.
4) 4.
А5. Найдите значение выражения
1) 4,5;
А6. Вычислите
2) 9,5;
.
128
lg
8lg
1)
;
lg
120
А7. Известно, что
2)
;
7
3
lg
m
lg,3
n
8
log
3
72
.8
3
3
log
3) 1;
3)
;
lg
16
. Найдите
1)
;
lg
375
2) 8;
3) 1;
lg
n
1000
m
.
4)
.
8lg
Ответом в заданиях В8 – В10 должно быть целое или записанное в виде десятичной
дроби число.
В8. Вычислите
.
В9. Найдите значение выражения
10
64
log16
81
2lg2
1
log
2 125
8
log
В10. Найдите значение выражения
log
4
3
baa
24
.
3
4
log
3
1
2
, если
.
log ba
14 Математика
Решения заданий В8В10
Тест 2
Базовый уровень
.
5
1. Вычислите
1)
;
5,3
2. Вычислите
1) 2;
Отметьте номер правильного ответа в заданиях А1 – А7.
log 5
125
2)
;
5,1
1,0lg
.
1000
2) –1,5;
.
1
3
log3
12
12
3. Найдите значение выражения
1) –1;
4. Вычислите
1) 2;
5. Вычислите
2)
1
27
;
log
20
.5
20
log
80
2) 400;
log
1
9
log
15
.25
1
15
4)
.
5,2
4)
1
3
.
4)
.
3 3
4) 85.
3)
;6
3) 0,5;
3) 27;
3)
log 20
;85
25
Вычислить логарифм по основанию 2 числа.
321928
087463
857981
357552
72792
022368
266787
475733
658211
820179
965784
098032
209453
312883
434628
523562
60733
6
774787
857981
994353
060696
118941
174926
logcalculator.net
com
Хотя вы будете правы, если скажете, что «log 3 (2)» — это просто число (и позже мы увидим, как преобразовать это выражение во что-то, что вы можете оценить на своем калькуляторе), что они? На самом деле мы ищем здесь «точную» форму журнала, как показано выше, а не десятичное приближение из вашего калькулятора.
В этом случае я использую тот факт, что мощность, необходимая на 4 для создания 16, равна 2; другими словами, поскольку 4 2 = 16, то:
На следующей странице мы рассмотрим, какие упражнения вы будете выполнять в своем домашнем задании и на следующем тесте.
75667961083 
{\ displaystyle 3})}} {3-3}
Найдите время, чтобы изучить правила и понять, что они пытаются «сказать».
Поскольку число также является основанием, b, это означает, что b> 0, но b \ ne 1.
Просто представьте это как степень или показатель \ large {1 \ over 2}. Таким образом, эта проблема сводится к расширению лог-выражения со степенью \ large {1 \ over 2}. Здесь правило мощности опускает показатель \ large {1 \ over 2} слева от журнала, а затем вы расширяете остальную часть, как обычно.
3}. Обработайте квадратные корни, заменив их дробной степенью, а затем используйте правило логарифмов мощности, чтобы уменьшить его перед символом журнала в качестве множителя.
У Orange Lutheran были бегуны на втором и третьем местах с двумя аутами в полуфинальной игре Южного дивизиона 1. Он бросил 95 ударов. Тренеры Гарвард-Вестлейк отказались подтолкнуть его к команде. Кэтчер Джейкоб Гэллоуэй коротко с ним ободрял.
Он быстро вырос ».
.
Похоже, что Дюрант будет единственным из трех суперзвезд, сыгравших во вторник, учитывая его манеру игры. , в любом случае могло быть достаточно.
Однако вы можете повысить или снизить качество печати PDF-файла.
PowerPoint является частью Microsoft Office набор программ с 1993 года.
Поэтому PowerPoint необходимо обновить так, чтобы люди на ходу могли бы сделать свои презентации во время путешествия.
Если существует какой-либо способ открыть PDF в PowerPoint, пожалуйста, расскажите о нем.”
Преимущества данного способа заключаются в том, что он не требует финансовых вложений и занимает всего несколько минут.
Почему бы не попробовать программу с такими многообещающими функциями? Ниже Вы можете ознакомиться с инструкцией по работе с данной программой.
Дождитесь завершения процесса обновления библиотеки словарей.
Заходите на наш сайт, скоро у нас появятся новые полезные статьи!
.jpg)
0\PowerPoint\Options
2013 : HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Office.0\PowerPoint\Options
2010 : HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Office.0\PowerPoint\Options
2007 : HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Office.0\PowerPoint\Options
2003 : HKEY_CURRENT_USER\Software\Microsoft\Office.0\PowerPoint\Options
pdf) «в выпадающем меню «тип файла»
Такая ссылка будет работать при переходе с любого интернет-ресурса.
html файл размещается на уровень ниже, чем исходная PowerPoint презентация и оригинальный прикрепленный файл, поэтому файл не может быть найден по старому короткому пути.
Текст внутри формы будет подчеркнут, но остальная часть фигуры не будет работать как гиперссылка.
При наведении курсора мыши на текст, курсор мыши не меняется, по клику гиперссылка не срабатывает.
Но когда я загружаю эту же презентацию в интернет, гиперссылки снова в порядке.
:max_bytes(150000):strip_icc()/01parts-of-powerpoint-screen-58b8c7b15f9b58af5c8c6221.png)
Наш инструмент прост в использовании и БЕСПЛАТНО * «,
«ModulePopupHeadOops»: «Ой!»,
«FileTypeIsNotSupported»: «Тип файла не поддерживается.»,
«readLess»: «Читать меньше»,
«readMore»: «Читать дальше»,
«noThanks»: «Нет, спасибо»,
«BuyNow»: «Купить сейчас»,
«PrivacyTerms»: «Конфиденциальность и условия»,
«WordToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/word-to-pdf/»,
«businessAlertText»: «Вы занимаетесь бизнесом?»,
«EmailPreferencesSubTitle»: «Выберите списки рассылки, на которые вы хотите подписаться.Снимите флажок, чтобы отказаться от подписки. \ NЕсли вы хотите изменить язык получаемых писем, «,
«без обслуживания»: «Без обслуживания»,
«successTitle»: «Назначение выполнено успешно»,
«tooltip_1»: «План позволяет одному устройству входить в Soda PDF Online в любой момент времени»,
«contactEmail»: «Контактный адрес электронной почты»,
«BuyLink»: «https://www.sodapdf.com/buy/»,
«GifToJpgLink»: «https://www.sodapdf.com/gif-to-jpg/»,
«PDF_Software»: «Программное обеспечение PDF»,
«selectProduct»: «Выбрать продукт»,
«startFreeTrial»: «Начать бесплатную пробную версию»,
«errorTypeOfProduct»: «Выберите тип продукта»,
«compressed_copy»: «Загрузите сжатую копию вашего файла.
«,
«contactSales»: «Связаться с отделом продаж»,
«sellsheets»: «Product Sheets»,
«PricingLink»: «https://www.sodapdf.com/pricing/»,
«getSoda»: «Получить газировку»,
«noCreditCards»: «Нет кредитных карт»,
«createPdfLink»: «https://online.sodapdf.com/#/home?r=view»,
«accountManagement»: «Управление аккаунтом»,
«SixFiles»: «6 файлов»,
«premiumPhoneSupport»: «Поддержка по телефону премиум-класса»,
«forLimitLicenses»: «Для 1-4 лицензий»,
«knowledgeBase»: «База знаний»,
«passwordRequirements_3»: «Ваш пароль не может содержать \» пароль \ «, \» admin \ «или \» administrator \ «»,
«passwordRequirements_2»: «Ваш пароль не может содержать 3 или более последовательных символов или иметь один и тот же символ, повторяющийся последовательно (например,123, ABC, AAA, 111) «,
«YourFilesSecureServers»: «Ваши файлы хранятся на наших серверах только 24 часа, после чего они уничтожаются безвозвратно.»,
«errorConfirmEmailPasswordMatch»: «Введенные адрес электронной почты и пароль не совпадают»,
«PdfToImageLink»: «https://www.
sodapdf.com/pdf-to-jpg/»,
«WhatsNewTitle»: «Что нового в Soda PDF Anywhere»,
«registerSignUpTitle»: «С подключенной учетной записью»,
«WordToPdf»: «Word в PDF»,
«paymentAssociatedCreditCard»: «Продукты, связанные с этой кредитной картой»,
«createdPasswordSuccessfully»: «Ваш пароль был успешно создан.»,
«CookiesForAdvertising»: «Этот сайт использует файлы cookie в рекламных и аналитических целях. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой конфиденциальности, чтобы получить дополнительную информацию о файлах cookie и их использовании, а также о возможности изменения настроек файлов cookie.»,
«PDFReader»: «PDF Reader»,
«Сбережения»: «СБЕРЕЖЕНИЯ»,
«YourFilesSecure»: «Ваши файлы в безопасности»,
«ConvertfromPDF»: «Конвертировать из PDF»,
«WorkingOffline»: «Работаете в автономном режиме?»,
«зарегистрироваться»: «Зарегистрироваться»,
«sodaVersion»: «Сода PDF»,
«wouldLikeContinue»: «Хотите продолжить?»,
«productAvaliableProducts»: «Доступные продукты»,
«one_time_fee»: «единовременная плата»,
«Privacy_Terms»: «Конфиденциальность и условия»,
«RegisterLink»: «https: // www.
sodapdf.com/account/register/ «,
«AboutSodaPdf»: «О Soda Pdf»,
«PleaseSignInWithAccount»: «Войдите в свою учетную запись»,
«mergeToolLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-merge/»,
«активация»: «Активация»,
«EulaLink»: «https://www.sodapdf.com/terms-of-use/#eula»,
«formProductInterest»: «Интересующий продукт»,
«PDF_annual»: «* годовой план»,
«emailAddress»: «Адрес электронной почты»,
«Разблокировать»: «Разблокировать»,
«learnMore»: «Первое в мире онлайн-программное обеспечение для работы с PDF»,
«sitemap»: «Sitemap»,
«switchYearly»: «переходить на ежегодный»,
«MergeLink»: «https: // www.sodapdf.com/pdf-merge/ «,
«choose3options»: «Однако вы можете выбрать один из трех вариантов»,
«PngToJpg»: «PNG в JPG»,
«PngToPdf»: «PNG в PDF»,
«fromDevice»: «С устройства»,
«forLimitLicenses5»: «Для 5-24 лицензий»,
«cancelRequest»: «Отменить запрос»,
«resourceCenter»: «Ресурсный центр»,
«FallDocuments»: «Меня уволили после того, как я заснул по личным документам.»,
«PlanLinks»: «Планы и цены»,
«low_quality_text»: «меньшее качество, наименьший размер файла»,
«fromOpdfs»: «
Ваш файл готов!
sodapdf.com/account/manage-products/ «,
«youtubeTitle»: «Откройте для себя Soda PDF Anywhere»,
«previewText»: «Предварительный просмотр Soda PDF 12»,
«TenPack»: «10-PACK»,
«labelStateProvince»: «Штат / провинция»,
«formFirstName»: «Имя»,
«solutionsBusines»: «Решения для бизнеса»,
«ConnectedAccounts»: «Подключенные учетные записи»,
«One_file_only»: «ТОЛЬКО ОДИН ФАЙЛ»,
«PrivacyPolicyLink»: «https://www.sodapdf.com/privacy/»,
«Выход»: «Выйти»,
«compressWithSodaSubPrgh»: «Уменьшите размер PDF всего за несколько кликов.Это просто и бесплатно * «,
«ConvertPassProtected»: «Загруженный файл защищен паролем и не может быть преобразован.»,
«JpgToGif»: «JPG в GIF»,
«JpgToPdf»: «JPG в PDF»,
«JpgToPng»: «JPG в PNG»,
«emailPasswordIncorrect»: «Ваш адрес электронной почты или пароль неверны.»,
«BlogLink»: «https://www.sodapdf.com/blog/»,
«errorConfirmPasswordMatch»: «Ваши пароли не совпадают»,
«batchPrgh»: «Загрузите файл, содержащий электронные письма пользователей, которым вы хотите назначить лицензию.
Файл должен быть в формате .csv.Электронные письма должны быть в первом поле. Имя и фамилия не обязательны, но могут быть помещены во второе и третье поля. «,
«PurchasedDate»: «Дата покупки»,
«OpenedPassProtect»: «Загруженный файл защищен паролем и не может быть открыт.»,
«One_file_only2»: «Только один файл»,
«LinkfFeatures»: «https://www.sodapdf.com/features/»,
«manualFree»: «Бесплатно и надежно»,
«ready_1_strong»: «Еще не пробовали наше настольное приложение?»,
«Повернуть»: «Повернуть»,
«buyNowFoot»: «Купить сейчас»,
«SwitcherEnable»: «Включить»,
«Подмножество»: «Подмножество»,
«Суффикс»: «Суффикс»,
«supportText»: « БЕСПЛАТНО Поддержка клиентов 
«,
«OfferEXTENDEDGet60»: «Предложение РАСШИРЕНО Получите скидку 60% на : объединение, сжатие и многое другое!»,
«FreeUpdates»: «Бесплатные обновления»,
«FreePdfReader»: «Читатель Soda 3D»,
«Save50»: «SAVE 50% «,
«termsOfUse»: «Условия использования»,
«WatermarkLink»: «https: //www.sodapdf.com / add-watermark-to-pdf / «,
«Префикс»: «Префикс»,
«ContactSalesLink»: «https://www.sodapdf.com/contact-sales/»,
«errorEndsWithEmail»: «—«,
«ProductOverview»: «Обзор продукта»,
«stayConnected»: «Оставайтесь на связи»,
«HtmlPDFLabel»: «Хотите преобразовать веб-страницу в файл PDF? Сделайте это бесплатно на»,
«moduleOCRReq»: « OCR Module требует»,
«ThankyouCTA2notice_bottom»: «на рабочий стол»,
«Позиция»: «Позиция»,
«mobile_app_stores»: «Объединяйте и создавайте PDF-файлы бесплатно на своем телефоне»,
«getVolumePricing»: «Получить оптовые цены»,
«pagesToInsert»: «Страницы для вставки»,
«CreateFiles»: «Создавать файлы PDF»,
«labelIndustry»: «Промышленность»,
«ready_2_strong»: «Вам нужны PDF-файлы на ходу?»,
«Премиум»: «ПРЕМИУМ»,
«Защитить»: «Защитить»,
«DragFile»: «Перетащите сюда файлы»,
«ChooseCompressionRatio»: «Выбрать степень сжатия»,
«errorTimelineRequired»: «Выберите временную шкалу»,
«PdfToWorldToolLink»: «https: // www.
sodapdf.com/pdf-to-word/ «,
«Excel2pdf»: «Excel в PDF»,
«cookieSettings»: «Настройки файлов cookie»,
«PopularTools»: «Популярные инструменты»,
«errorRequired»: «Это поле обязательно для заполнения»,
«sodaPdfAnywhereOverview»: «Обзор Soda PDF Anywhere»,
«Авторское право»: «Авторское право»,
«SwitcherDisable»: «Отключить»,
«Ppt2pdf»: «PPT в PDF»,
«professionalPackage»: «Профессиональный пакет»,
«SignFiles»: «Подписать файлы PDF»,
«selectModule»: «Выбрать другую функцию»,
«btnDownloadText»: «Просмотреть и загрузить в браузере»,
«ArticleTitleThree»: «Как объединить документы с помощью Soda PDF 12»,
«CompressFiles»: «Сжимать файлы PDF»,
«PdfToExcelLink»: «https: // www.sodapdf.com/pdf-to-excel/ «,
«cloudUpload»: «загружено из облака»,
«RemoveMain maintenance»: «Удалить обслуживание»,
«PDF_next»: «следующий»,
«CompressTitle»: «Сжать PDF — БЕСПЛАТНО уменьшить размер файла PDF в Интернете»,
«OnDesktop»: «На рабочем столе»,
«expiresDate»: «Срок действия — дата»,
«PDFBates»: «Нумерация Бейтса PDF»,
«PdfFormFillerLink»: «https://www.
sodapdf.com/pdf-form-filler-creator/»,
«youShouldCreateAccount»: «Создайте учетную запись с этим адресом электронной почты для доступа к вашему продукту.»,
«expiredTime»: «Срок действия истекает через»,
«expiredDate»: «Срок действия истек»,
«howActivateSoda»: «Как активировать Soda PDF»,
«FreeOnlineToolsLink»: «https: // www.sodapdf.com/freeonlinetools/ «,
«ExceedsSizeLimit»: «Размер файла превышает максимально допустимый»,
«Подключиться»: «Подключиться»,
«emailNotValid»: «Пожалуйста, укажите действующий адрес электронной почты»,
«footerLuluWebsite»: «Сайт компании»,
«fullPagesRangeError»: «Ваши начальная и конечная страницы охватывают весь загруженный документ. Поэтому разделения не произойдет.»,
«footerCopyText»: «Soda PDF является товарным знаком LULU Software ™.»,
«fromOurSalesTeam»: «От нашей команды продаж»,
«openTicketBackText»: «Отправьте запрос в службу поддержки и получите необходимую помощь.»,
«montlyPlan»: «Ежемесячный план»,
«englishOnly»: «Только английский»,
«ChangePending»: «Ожидается изменение»,
«SoftwareLink»: «https://www.
sodapdf.com/»,
«thankYouTitle»: «Спасибо за установку Soda PDF»,
«myProducts»: «Мои продукты»,
«convert»: «Конвертировать»,
«CompressPassProtected»: «Загруженный файл защищен паролем и не может быть сжат.»,
«products»: «Товары»,
«WinTitle1»: «Полное решение PDF»,
«обязательный»: «обязательный»,
«PDFexceed_title»: «Загруженный файл превышает максимально допустимый размер»,
«fileReadyTitle»: «УРА! Ваш файл готов, 
Но как вообще вы вставляете страницы в уже существующий PDF-файл, который кажется нежелательным для изменения? «,
«ArticleDescriptionTwo»: «Вы повысите свою эффективность только тогда, когда научитесь создавать файлы PDF в пакетном режиме.Любой файл, который можно распечатать на бумаге, также можно преобразовать в формат PDF. С помощью процесса пакетного создания Soda PDF 12 вы можете взять любое количество файлов, независимо от формата, и одновременно преобразовать их все в PDF-файлы. «,
«changedCongratulations»: «Поздравляем, вы успешно изменили адрес электронной почты.»,
«features_text»: «Неограниченно: объединение, преобразование, редактирование, вставка, сжатие, просмотр и многое другое!»,
«productAction»: «Действие»,
«enterWaterMarkText»: «Пожалуйста, введите текст водяного знака.»,
«onlinePdfTools»: «Инструменты для работы с PDF в Интернете»,
«PdfConverter»: «Конвертер PDF»,
«productAssign»: «Назначить»,
«ResourcesLink»: «https://www.sodapdf.com/resources/»,
«WhatsNewText»: «Испытайте первое в истории полнофункциональное онлайн-решение для работы с PDF.
Оно содержит совершенно новые функции, специально разработанные для повышения производительности, включая E-Sign, Soda PDF Online, нумерацию Бейтса и пакетное преобразование.»,
«DeletePdf»: «Удалить PDF»,
«abovePage»: «Над страницей»,
«Спасибо Спасибо»,
«SodaOverviewLink»: «https: // www.sodapdf.com/products/soda-overview/ «,
«low_quality»: «Низкое качество»,
«findReseller»: «Найти реселлера»,
«errorProductRequired»: «Выберите продукт»,
«errorOopsEnterB2BEmail»: «К сожалению, похоже, вы предоставили личный адрес электронной почты! Чтобы получить доступ к нашей 30-дневной пробной версии для бизнеса, вы можете вернуться к форме и ввести действительный рабочий адрес электронной почты. В противном случае вы можете попробовать нашу личную пробную версию. ,
«лицензия»: «лицензия»,
«Pdf2Word»: «PDF в Word»,
«PasswordLabel»: «Пароль:»,
«ProtectTitle»: «Защитить PDF»,
«enterStreetAddressLine»: «Введите строку почтового адреса»,
«где угодно2»: «… и продолжайте работать над ним на своем смартфоне или планшете во время поездки на работу.
«,
«where3 «:» Когда вы окажетесь дома, запустите свой PC и продолжайте с того места, где вы остановились. «,
«where1 «:» Готовишь контракт в офисе, но есть поезд, чтобы успеть? «,
«PdfDownloadLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-download/»,
«protect_unlim»: «Защитить неограниченное ЧИСЛО файлов.»,
«allTools»: «Все инструменты»,
«EnglishContent»: «Доступно только на английском языке»,
«TextToPdfLink»: «https: // www.sodapdf.com/txt-to-pdf/ «,
«HtmlToPdf»: «HTML в PDF»,
«yourDownloadShouldBegin»: «Ваша загрузка должна начаться немедленно.»,
«errorLicensesRequired»: «Введите количество лицензий»,
«formEmailBusiness»: «Рабочий адрес электронной почты»,
«securitySign»: «Безопасность и подпись»,
«BatesNumberingLink»: «https://www.sodapdf.com/bates-numbering/»,
«BatesNumberingTool»: «Нумерация Бейтса»,
«BmpToJpg»: «BMP в JPG»,
«stayInformedOnSoftware»: «Будьте в курсе обновлений программного обеспечения, напоминаний об истечении срока действия, персонализированных советов и получайте эксклюзивные предложения по электронной почте.
«,
«EmailPreferencesMore»: «Для получения дополнительной информации прочтите наши»,
«createdPasswordLinkExp»: «Срок действия ссылки для создания пароля истек.»,
«year2Plan»: «План на 2 года»,
«ResellersFoot»: «Реселлеры»,
«ResellersLink»: «https://www.sodapdf.com/resellers/»,
«high_quality»: «Высокое качество»,
«paymentDetails»: «Детали платежа»,
«InformationHandled»: «Предоставленная вами информация будет обрабатываться в соответствии с нашей Политикой конфиденциальности.»,
«orderInvoiceQuestions»: «№ заказа / № счета / Вопросы»,
«mergeWithSodaTitle»: «Слияние PDF»,
«End_User»: «Лицензионное соглашение с конечным пользователем»,
«authenticationError»: «Произошла ошибка аутентификации.Пожалуйста, войдите в свою учетную запись еще раз, чтобы продолжить »,
«implperPrgh»: «Адреса электронной почты должны быть в первом поле для каждого назначения. Имя и фамилия могут быть указаны во втором и третьем полях.»,
«send_to_email»: «Отправить по электронной почте»,
«ProtectLink»: «https://www.
pdfprotect.net/»,
«Pdf2ppt»: «PDF в PPT»,
«successRegister»: «На ваш адрес электронной почты отправлено письмо для активации.»,
«ViewFiles»: «Просмотр PDF-файлов»,
«modifyRenewal»: «Изменить продление»,
«ForgotPasswordLink»: «https: // www.sodapdf.com/account/recover-password/ «,
«InWebBrowser»: «В веб-браузере»,
«customQuote»: «индивидуальная цитата»,
«ElectronicSignature»: «Электронная подпись»,
«rongTitle «:» Неверный тип файла «,
«mergeRequest»: «Запрос на объединение был отправлен на [другой адрес электронной почты]. Щелкните ссылку в электронном письме, чтобы завершить объединение ваших учетных записей»,
«YouIncognito»: «Вы используете режим инкогнито. 
«,
«forLegalProfessionals»: «Для юристов»,
«layoverText2»: «При нажатии откроется новая вкладка»,
«layoverText1»: «Это объявление помогает сделать наши услуги бесплатными»,
«selectLanguage»: «Выберите язык»,
«getStarted»: «Начало работы»,
«InstantText»: « Instant \ nЛицензия 
\ n
«,
«secureItem1»: «Когда вы загружаете файлы, они преобразуются через безопасное зашифрованное соединение (https), чтобы оставаться на 100% безопасным.»,
«capsLock»: «Caps Lock включен»,
«freeOnlineToolsHeader»: «Бесплатные онлайн-инструменты»,
«reviewingFiles»: «Просмотр файлов»,
«PptToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/ppt-to-pdf/»,
«howActivateSodaLink»: «https://support.sodapdf.com/hc/en/articles/360022497971-How-to-Activate-Soda-PDF»,
«TapAddFile»: «Нажмите, чтобы добавить файлы»,
«OptInSubmit»: «Я согласен получать сообщения об этой услуге по электронной почте.»,
«UseinDesktopApp»: «Использовать в настольном приложении»,
«myAccount»: «Моя учетная запись»,
«errorUsersRequired»: «Введите количество пользователей»,
«desktopSolutionLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-download/»,
«Popular»: «Популярные»,
«newVersion»: «Доступна новая версия!»,
«СпасибоCTA1notice_top»: «»,
«BatchConvert»: «Пакетное преобразование»,
«labelStreetAddressLine»: «Строка с адресом улицы»,
«secureSignModule»: «Безопасность и подпись»,
«sendMeUpdates»: «Да, присылать мне обновления»,
«СпасибоCTA2notice_top»: «»,
«cancelPlan»: «Отменить план»,
«mo»: «Mo»,
«on»: «on»,
«или или»,
«Нет нет»,
«Ладно ладно»,
«btnDownloadViewText»: «Загрузить и просмотреть в браузере»,
«userExists»: «Пользователь с этим адресом электронной почты уже существует»,
«ResetFormLabel»: «Сбросить форму»,
«OtherTools»: «Другие инструменты»,
«manualSecureFile»: «Безопасное объединение и обработка файлов»,
«Вращение»: «Вращение»,
«SignaturePackagePart2»: «пакет подписи»,
«formFileAttachment»: «Вложение файла»,
«Изменение размера»: «Изменение размера»,
«PrivacyFeedback»: «Конфиденциальность 
Повторите попытку или свяжитесь с нами.»,
«SodaTradeMark»: «Soda ™ является товарным знаком LULU Software ™.»,
«forms»: «Формы»,
«logIn»: «Войти»,
«часы»: «часы»,
«title»: «Заголовок»,
«SSLLabelThree»: «безопасное соединение»,
«Begins_auto»: «(Начинается автоматически после оплаты)»,
«ErrorChooseMorePDF»: «Выберите два или более файлов PDF»,
«video»: «Видео»,
«linkExpired»: «Срок действия вашей ссылки истек»,
«добавить»: «добавить»,
«пока пока»,
«выкл»: «выкл»,
«ocr»: «OCR»,
«odd»: «odd»,
«верх»: «верх»,
«Все»: «Все»,
«Новый»: «Новый»,
«Да»: «Да»,
«PerpetualLicense»: «Бессрочная лицензия»,
«year2»: «2 года»,
«Первый»: «Первый»,
«Слияние»: «Слияние»,
«LoginLink»: «https: // www.sodapdf.com/account/login/ «,
«no_limitation»: «24/7: без ежедневных ограничений 
«,
«Планы»: «Планы»,
«JpgToPngLink»: «https://www.sodapdf.com/jpg-to-png/»,
«reassignLicense»: «Переназначить лицензию»,
«Вставка»: «Вставка»,
«sodaPdfOnline»: «Soda PDF Online»,
«BEST_VALUE»: «BEST VALUE»,
«batchTitle»: «Пакетное назначение»,
«GifToPngLink»: «https://www.sodapdf.com/gif-to-png/»,
«SplitTitle»: «Разделить PDF»,
«split_unlim»: «Разделить неограниченное количество файлов.»,
«contactsSales»: «Связаться с отделом продаж»,
«BilledAnnualy»: «выставляется ежегодно»,
«addPageNumbering»: «Добавить номера страниц»,
«вебинары»: «вебинары»,
«good_quality»: «Хорошее качество»,
«EnterUrl»: «Введите URL»,
«productTypeDesctop»: «Рабочий стол»,
«FreeOnlineTools»: «Бесплатные онлайн-инструменты»,
«Pdf2Image»: «PDF в JPG»,
«AddMain maintenance»: «Добавить обслуживание»,
«howToSubAlt3»: «Загрузить объединенный PDF»,
«howToSubAlt2»: «Объединить желаемые файлы PDF»,
«howToSubAlt1»: «Загрузить PDF»,
«PdfCreator»: «PDF Creator»,
«uninstall»: «Удалить»,
«FreePdfReaderMacOs»: «Читатель для Mac OS X»,
«WinPdfReader»: «Читатель Магазина Windows»,
«errorEnterB2BEmail»: «Пожалуйста, введите действующий рабочий адрес электронной почты, чтобы продолжить.
«,
«discoverSodaPDf»: «Откройте для себя Soda PDF»,
«yourDownloadLinkSent»: «Ссылка для скачивания отправлена на ваш адрес электронной почты.»,
«Количество»: «КОЛИЧЕСТВО»,
«createPasswordSubTitle»: «Установите новый пароль для своей учетной записи.»,
«Download_Desktop»: «Загрузить настольную версию!»,
«ViewEdit»: «Просмотр и редактирование»,
«errorPhoneInvalid»: «Введите действительный номер телефона»,
«errorCompanyRequired»: «Введите название компании»,
«Особенности»: «Особенности»,
«EmailConfirmationError»: «OOPS! Срок действия вашей ссылки для активации истек.»,
«PdfToHtmlLink»: «https: // www.sodapdf.com/pdf-to-html/ «,
«bf_freeocrgift1»: «БЕСПЛАТНЫЙ ПОДАРОК OCR («,
«bf_freeocrgift2»: «значение)»,
«RessellerLink»: «https://www.sodapdf.com/business/resellers/»,
«fontSize»: «Размер шрифта»,
«productExpiredProducts»: «Товары с истекшим сроком годности»,
«SupportLink»: «https://support.sodapdf.com/hc/en-us/»,
«mostPopular»: «САМЫЕ ПОПУЛЯРНЫЕ»,
«errorPhoneRequired»: «Введите номер телефона»,
«Сжать»: «Сжать»,
«aboutTitle»: «О НАШИХ ИНСТРУМЕНТАХ»,
«howCanWeHelpYou»: «Чем мы можем вам помочь?»,
«LimitationTextRights»: «все права защищены.
«,
«PrivacyFeedbackImg»: «//privacy-policy.truste.com/privacy-seal/LULU-software/seal?rid=e691fbfb-8de4-4b17-b576-70688b60730d»,
«rotated_copy»: «Загрузить повернутую копию вашего файла.»,
«selectIconFile»: «Пожалуйста, выберите файл значка»,
«proOcrPackage»: «Пакет Pro + OCR»,
«privacyPolicy»: «Политика конфиденциальности»,
«BusinessLink»: «https://www.sodapdf.com/business/»,
«splitted_copy»: «Загрузить разделенные страницы.»,
«SplitPDFSiteLabel»: «Разделить файлы PDF на»,
«restorePasswordEnterEmail»: «Вы можете сбросить пароль для своего профиля учетной записи, введя свой адрес электронной почты.»,
«supportNav»: «Поддержка»,
«PDFexceed»: «Загруженные файлы превышают максимальный размер»,
«ArticleDescriptionEditTwo»: «PDF-файлы — очевидный выбор, если вы хотите безопасно обмениваться информацией через Интернет. Компании и правительства в значительной степени полагаются на них, и большинство людей имеют общее представление о том, что такое PDF-файлы.»,
«ArticleDescriptionEditOne»: «Вы получаете электронное письмо, содержащее этот важный документ, волшебный PDF-файл, который выведет ваш бизнес на новый уровень.
Этот PDF-файл содержит предложение, в котором каждая деталь должна быть доведена до совершенства.»,
«addWatermark»: «Добавить водяной знак»,
«DetailsLink»: «https://www.sodapdf.com/account/manage-account/»,
«информационный бюллетень»: «Информационный бюллетень»,
«newPassword»: «Новый пароль»,
«ThankyouCTA1»: «ОТКРЫТЬ»,
«ThankyouCTA2»: «СКАЧАТЬ»,
«ThankyouBack»: «Вернуться на сайт»,
«Пример»: «Пример»,
«options_text_8»: «Оптическое распознавание символов (OCR)»,
«reassign_prgh2»: «Вы не можете переназначить эту лицензию тому же пользователю в течение этого платежного цикла.»,
«createAccount»: «Создать учетную запись»,
«footerCopyTextLight»: «Этот продукт продается компанией Upclick.com в качестве авторизованного реселлера. «,
«cmWord»: «Сантиметры»,
«dailytimer»: «Вы превысили почасовой лимит бесплатных задач. Вы можете повторить попытку через ::»,
«ArticleTitleEditThree»: «Как редактировать документы PDF»,
«sodaPdfForYou»: «Газировка PDF для вас»,
«PdfToHtml»: «PDF в HTML»,
«PdfToDocx»: «PDF в DOCX»,
«PdfToWord»: «PDF в Word»,
«PdfToJpgLink»: «https://www.
sodapdf.com/pdf-to-jpg/»,
«signInTitle»: «Войдите в свою учетную запись Soda PDF с помощью»,
«enterCity»: «Введите город»,
«productProductAlert»: «Срок действия вашего плана истекает, и вы потеряете доступ к его функциям по истечении срока его действия.»,
«errorLastNameInvalid»: «Необходимо ввести действительную фамилию»,
«Reader3d»: «3D-читатель»,
«dayliLimitSubTitleB»: «Однако у вас есть другой вариант»,
«PDFMergeCanonical»: «https://www.pdfmerge.com/»,
«ErrorUploadOnlyPDF»: «Пожалуйста, загружайте только файлы PDF»,
«Jpg2pdf»: «JPG в PDF»,
«businessResourcesPageName»: «Бизнес-ресурсы»,
«userGuide»: «Руководство пользователя»,
«resourceCenterBackText»: «Вся информация, необходимая для поиска ответов на ваши вопросы.»,
«yourWebinarShouldBegin»: «Ваш веб-семинар должен начаться в ближайшее время.»,
«GoodQualityBest»: «лучшее качество изображения, минимальное сжатие»,
«withMain maintenance»: «С обслуживанием»,
«EasyAdoptionPageName»: «Простое принятие»,
«unassignProduct_prgh2»: «После отмены назначения определенной лицензии лицензию можно переназначить тому же пользователю только после следующего цикла выставления счетов.
«,
«downloadInstallation»: «Скачать / Установка»,
«Process_another»: «Обработать другой файл»,
«accountAssociated»: «С этим адресом электронной почты уже связана учетная запись.»,
«mustUploadCSV»: «Вы должны загрузить файл CSV»,
«download»: «Скачать»,
«Trial30Day»: «30-дневная пробная версия»,
«sodaAnywherePrgh»: «Полное решение в формате PDF для настольных компьютеров и в Интернете»,
«MoreOnePage»: «Загруженный документ должен содержать более 1 страницы.»,
«PaymentInformation»: «Платежная информация»,
«pdfCreatorConverter»: «Бесплатная программа для создания и преобразования PDF-файлов»,
«RateTool»: «Оценить этот инструмент»,
«MergePdfLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-merge/»,
«ResendAssignInvitationSuccess_prgh2»: «Приглашение было отправлено повторно»,
«getTheMost»: « Получите максимум от своих денег»,
«SplitPassProtected»: «Загруженный файл защищен паролем и не может быть разделен»,
«BackToSoda8»: «Вернуться к Soda PDF»,
«yourRequestReceived»: «Ваш запрос получен.
«,
«perMonth»: «В месяц»,
«минуты»: «минуты»,
«continueBtn»: «Продолжить»,
«createPasswordTitle»: «Создайте свой пароль»,
«bf_features»: «Включенные функции:»,
«ChooseFormat»: «Выбрать формат:»,
«aboutSubDesc4»: «Вы можете обрабатывать файлы на любом устройстве, в любое время и в любом месте с помощью компьютера, планшета и смартфона.»,
«aboutSubDesc1»: «Мы используем безопасную технологию для установления зашифрованного соединения между нашим веб-сервером и вашим браузером, чтобы все данные оставались конфиденциальными.»,
«aboutSubDesc3»: «Доступ к файлам, сохраненным в облачных системах хранения, таких как Google Drive, Box, Dropbox и OneDrive.»,
«aboutSubDesc2»: «Мы храним каждый файл на нашем сервере только в течение 24 часов, чтобы ограничить любой несанкционированный доступ. Затем он навсегда удаляется с наших серверов. Никто из нашей команды не может получить доступ к этим файлам.»,
«PngToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/png-to-pdf/»,
«TiffToPdf»: «TIFF в PDF»,
«ExtractPdf»: «Извлечь PDF»,
«errorServer»: «Извините, сервер занят.
Повторите попытку позже.»,
«detailEsignPhone»: «Этот номер используется нашей службой E-Sign для аутентификации по SMS»,
«StayUpToDate»: «Будьте в курсе!»,
«marginsWord»: «Поля»,
«offPrice»: «выкл»,
«errorNewPasswordRequired»: «Введите новый пароль»,
«insuffTitle»: «Недостаточно лицензий»,
«errorContactEmailInvalid»: «Вам необходимо ввести действующий контактный адрес электронной почты.»,
«onlineAccess»: «Доступ в Интернете»,
«errorCurrentPasswordRequired»: «Введите текущий пароль»,
«premiumPhoneSupportBackText»: «Прямой доступ к одному из наших специалистов по Soda PDF в любое время.»,
«productRefreshList»: «Обновить список»,
«PngToJpgLink»: «https://www.sodapdf.com/png-to-jpg/»,
«userGuideLink»: «http://userguide.sodapdf.com/»,
«MacOsUser»: «Пользователь Mac OS? Откройте для себя полнофункциональный Soda PDF Online.»,
«InsertPageElem»: «Вставить элементы страницы»,
«IncludedPrgh»: «Включено в следующие планы»,
«freeTrialLink»: «https: // онлайн.sodapdf.
com/ «,
«productAssignedLicenses»: «Назначенные лицензии»,
«Загрузка»: «Загрузка»,
«noCreditCard»: «Кредитная карта не требуется»,
«emailHasBeenChanged»: «Ваш адрес электронной почты был изменен»,
«messageEmailSent»: «Ссылка для подтверждения была отправлена на ваш адрес электронной почты. Если вы не получили это письмо, проверьте папку нежелательной почты / спама.»,
«chooseEmailToMerge»: «Пожалуйста, выберите адрес электронной почты для объединения продуктов из обеих учетных записей. Этот адрес электронной почты и соответствующий пароль будут использоваться для входа в вашу учетную запись после успешного объединения»,
«formMessage»: «Сообщение»,
«confirmUsers»: «Подтвердите пользователей, которым вы хотите назначить лицензии»,
«ChooseFile»: «Выбрать файл»,
«useOnlineTools»: «Воспользуйтесь нашим онлайн-инструментом»,
«privacyTitle»: «Конфиденциальность»,
«errorNotPdf»: «Файл не является PDF-документом»,
«formLastName»: «Фамилия»,
«Параметры»: «Параметры»,
«pageNumber»: «Номер страницы»,
«numberFormat»: «Формат числа»,
«settingsUpdated»: «Настройки вашей учетной записи успешно обновлены»,
«upgradeBuilder»: «Конструктор обновлений»,
«Непрозрачность»: «Непрозрачность»,
«статьAReseller»: «Стать реселлером»,
«formPhone»: «Телефон»,
«PDFClicking»: «Нажав кнопку« Оплатить сейчас »ниже, вы попадете на защищенный сайт PayPal 
«,
«email_terms_begin»: «Отправляя электронное письмо, вы соглашаетесь получить файл и быть связанными условиями»,
«email_terms_link1»: «Условия использования»,
«email_terms_link2»: «Политика конфиденциальности»,
«errorLastNameRequired»: «Введите фамилию»,
«formSuccessMessage»: «Спасибо за запрос. Служба поддержки свяжется с вами в ближайшие 12-24 часа.»,
«formEmail»: «Адрес электронной почты»,
«resetLicense»: «Сбросить лицензию»,
«currentPassword»: «Текущий пароль»,
«pdfDownload»: «https://www.sodapdf.com/pdf-download/»,
«formTimelineJustBrowsing»: «Просто просматриваю»,
«PlanBusinesPrgh3»: « Soda E-Sign Unlimited включен в бизнес-план Soda PDF Business»,
«PlanBusinesPrgh2»: «Полное решение PDF, разработанное для профессионалов»,
«UnlockLink»: «https: // www.pdfunlock.com/ «,
«WebDeskApp»: «Веб + настольные приложения»,
«errorFirstNameRequired»: «Введите имя»,
«formFailMessage»: «Невозможно отправить сообщение. Повторите попытку позже.»,
«buyOnline»: «Купить в Интернете»,
«btnAnotherFile»: «Обработать другой файл»,
«online_tools»: «ИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ ОНЛАЙН PDF»,
«SignSecure»: «Подписать и защитить»,
«smfileSign»: «Неограниченные возможности PDF»,
«unlock_unlim»: «Разблокировать неограниченное ЧИСЛО файлов.
«,
«реселлеры»: «реселлеры»,
«sodaOnline»: «https://online.sodapdf.com/»,
«ManagePdfFilesNav»: «Управление файлами PDF»,
«searchDeskPlaceholder»: «Найдите здесь, чтобы просмотреть нашу базу знаний»,
«ViewerLink»: «https: // www.sodapdf.com/products/pdf-reader/ «,
«bf_features_text»: «Просмотр, создание, преобразование, редактирование, вставка, проверка, формы, защита и подпись»,
«EditLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-editor/»,
«DonationLineTwo»: «Поблагодарите, сделав небольшое пожертвование.»,
«DonationLineOne»: «Помог ли этот сайт вам сэкономить (или заработать) немного денег?»,
«validationMsg»: «Ваша учетная запись подтверждена»,
«email_terms_and»: «и»,
«EditFiles»: «Редактирование файлов»,
«ResendEmail»: «Отправить письмо повторно»,
«ArticleTitleOne»: «Как добавить страницы в PDF-файлы»,
«ArticleTitleTwo»: «Как пакетно создавать файлы PDF»,
«footerCopyTextRights»: «Все права защищены.»,
«resetLicense_prgh2»: «Вы можете сбросить бессрочную лицензию только дважды в течение года.
«,
«good_quality_text»: «Хорошее качество, средний уровень сжатия»,
«OcrPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/ocr-pdf/»,
«errorWebsiteUrlInvalid»: «Введите действительный URL»,
«SignUpWith»: «Зарегистрируйтесь с помощью»,
«InvalidRange»: «Недопустимый диапазон»,
«PurchaseFirstTime»: «Вы недавно приобрели продукт Soda PDF и впервые получаете доступ к Soda? Создайте учетную запись с адресом электронной почты, который вы использовали при покупке.»,
«layoverTitlePart1»: «Ваш файл будет готов к загрузке через»,
«layoverTitlePart2»: «секунды:»,
«ThankyouCTA1notice_bottom»: «в веб-браузере»,
«sendEmail»: «Отправка электронной почты …»,
«MoreFilesLabel»: «Еще файлы»,
«Аффилированные лица»: «Аффилированные лица»,
«ArticleDescriptionEditThree»: «В наши дни получение бумажных документов для просмотра и редактирования — большая редкость, особенно в профессиональной среде. Обмен документами сейчас в основном осуществляется в электронном виде, а безопасный способ отправки файла — преобразование его в PDF.
первый.»,
«affiliateProgram»: «Партнерская программа»,
«chatBackText»: «Живой чат с одним из наших специалистов по Soda PDF.»,
«PdfEditor»: «Редактор PDF»,
«See_also»: «СМОТРИ ТАКЖЕ»,
«errorNewPasswordMatch»: «Ваши новые пароли не совпадают»,
«errorCurrentPasswordIncorrect»: «Ваш текущий пароль неверен»,
«DropFileHereOr»: «Перетащите файл сюда или»,
«textAndFormat»: «Текст и формат»,
«NotConnected»: «Не подключен»,
«updateInformation»: «Обновить информацию»,
«PdfToPptLink»: «https: //www.sodapdf.com / pdf-to-ppt / «,
«CompressFile»: «Сжать файл»,
«CompressLink»: «https://www.sodapdf.com/compress-pdf/»,
«download_here»: «Скачайте здесь»,
«subscribeToProduct»: «Обновления продукта»,
«AnnualCommitment»: «Годовое обязательство»,
«GuaranteeText»: « 30-дневная Гарантия возврата денег 
«,
«E-SingLink»: «https: // www.sodapdf.com/sign-pdf/ «,
«labelZipPostalCode»: «Почтовый индекс»,
«dayliLimitTitle»: «Вы превысили часовой лимит для PDFMerge»,
«registerAgreeWith»: «Выполняя вход с подключенной учетной записью, вы соглашаетесь с»,
«ResizePdfLink»: «https://www.sodapdf.com/resize-pdf/»,
«Ecx_options»: «Однако вы можете выбрать один из двух вариантов»,
«clickYouTube»: «Нажмите {0}, чтобы найти Soda PDF Anywhere»,
«active»: «Активный»,
«PDFFormFiller»: «Заполнитель PDF-форм»,
«formGetStarted»: «Начать работу»,
«noFileChosen»: «Файл не выбран»,
«errorAccountExists»: «Пользователь уже существует.»,
«ArticleTitleEditTwo»: «Как профессионально редактировать файлы PDF»,
«ArticleTitleEditOne»: «Как сделать PDF-файл редактируемым с помощью Soda PDF»,
«FeedbackLink»: «https://www.sodapdf.com/feedback/»,
«moduleFormsReq»: « Forms Module требует»,
«passwordChanged»: «Ваш пароль был успешно изменен»,
«AnywhereTitle»: «С помощью Soda PDF Anywhere вы можете выполнять работу буквально в любом месте.
«,
«formNo»: «Нет»,
«PDF_Reviews»: «Обзоры в PDF-формате»,
«OnlinePricingLink»: «https: //www.sodapdf.ru / pricing / online / «,
«productEnterEmail»: «Введите адрес электронной почты для назначения лицензии»,
«ForgotPassword»: «Забыли пароль?»,
«productTotalLicenses»: «Всего лицензий»,
«editPaymentCreditCard»: «Изменить платежную информацию для кредитной карты»,
«PdfToDocxLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-to-docx/»,
«BuyNowLink»: «https://www.sodapdf.com/pricing/»,
«DeletePdfLink»: «https://www.sodapdf.com/delete-pdf-pages/»,
«bf_title»: «Черная пятница — Киберпонедельник»,
«ImpressumLink»: «https: //www.sodapdf.ком / де / импрессум / «,
«RenewPlan_prgh2»: «Ваш план настроен на продление.»,
«NoConnectedAccounts»: «Нет подключенных аккаунтов»,
«tryAgain»: «Чтобы создать учетную запись, повторите попытку и разрешите sodapdf.com доступ к вашему адресу электронной почты»,
«PricingOnlineLink»: «https://www.sodapdf.com/pricing/online/»,
«logOut»: «Выйти»,
«FromComputer»: «С компьютера»,
«productTitle»: «Мои товары»,
«productAssignToMe»: «Назначить мне»,
«DownloadFreeOnlineTools»: «https://www.
sodapdf.com/buy/freeonlinetools/dw-success/»,
«aboutSubTitle4»: «Любое устройство»,
«aboutSubTitle1»: «Безопасность»,
«aboutSubTitle2»: «Конфиденциальность»,
«aboutSubTitle3»: «Доступ к облачному хранилищу»,
«addLicense»: «добавить лицензию»,
«insuffPrgh»: «Вы назначили больше лицензий, чем доступно в настоящее время.Измените свой выбор. «,
«FullPdfSolution»: «ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ PDF»,
«formSend»: «Отправить»,
«receiveSubject»: «Квитанция о транзакции»,
«formName»: «Имя»,
«модуль»: «Модуль»,
«freeDevice»: «Бесплатное устройство»,
«productTypeOnline»: «Интернет»,
«RotateLink»: «https://www.pdfrotate.com/»,
«Безлимитный»: «Безлимитный»,
«TryDesktopVersion»: «Попробуйте нашу версию для ПК»,
«SplitCompress»: «Разделить и сжать»,
«monthCommitment»: «Ежемесячное обязательство»,
«passwordRequirements»: «Ваш пароль должен содержать не менее 6 символов, содержащих буквы и цифры»,
«confirmPassword»: «Подтвердите пароль»,
«errorFirstNameInvalid»: «Необходимо ввести действительное имя»,
«security»: «Безопасность»,
«generalUsability»: «Общее удобство использования»,
«protected_copy»: «Загрузите защищенную копию вашего файла.»,
«OnlineServices»: «Online Services»,
«DropFilesHereOr»: «Перетащите файлы сюда или»,
«AffiliatesLink»: «https://affiliates.lulusoftware.com/?»,
«создать»: «создать»,
«formCountry»: «Страна»,
«CreateAccountWith»: «Создать учетную запись Soda PDF с»,
«formCompany»: «Компания»,
«пароль»: «Пароль»,
«mergeCongratulations»: «Поздравляем, вы успешно объединили свои аккаунты.»,
«productFeatures»: «Характеристики и преимущества»,
«PptToPdf»: «PPT в PDF»,
«FreeFinePrint»: «* Бесплатно для файлов размером до»,
«footerLuluContactUs»: «Свяжитесь с нами»,
«fileReadySubTitle»: «Получите файл за 2 простых шага»,
«addESign10pack»: «Добавить 10 пакетов E-Sign»,
«RotateTitle»: «Повернуть PDF»,
«Сжатие»: «Сжатие»,
«CompressPdf»: «Сжать PDF»,
«resizeWord»: «Изменить размер»,
«autoRenewDescription»: «Щелкните здесь, чтобы включить автоматическое продление»,
«DocxToPdf»: «DOCX в PDF»,
«вставить»: «Вставить»,
«RotatePdf»: «Повернуть PDF»,
«resources»: «Ресурсы»,
«DragToRange»: «Перетащите, чтобы изменить расположение»,
«largefile»: «Большой файл»,
«DonateButtonLabel»: «Пожертвовать»,
«TermsUse»: «Условия использования»,
«mediumfile»: «Средний файл»,
«enterStateProvince»: «Укажите штат / провинцию»,
«PDF_ANYWHERE»: «PDF ANYWHERE»,
«typeOfProduct»: «Тип товара»,
«productInterest»: «Интересующий продукт»,
«FreeOnlineToolsLinkAnchor»: «https: // www.sodapdf.com/#navOnlineTools «,
«compress_unlim»: «Сжать неограниченное ЧИСЛО файлов.»,
«resetPasswordSuccessfully»: «Ваш пароль был успешно сброшен.»,
«GoogleExtHtmlLink»: «https://chrome.google.com/webstore/detail/soda-pdf-convert-merge-sp/gfjafjofnehohehighdlkhcpanocobjb?hl=en»,
«ocrPDF»: «OCR PDF»,
«PDF2_text»: «Soda PDF 10 теперь поддерживает PDF 2.0 и все его богатые новые функции! PDF 2.0 — первое обновление формата PDF за 10 лет, которое включает в себя улучшения безопасности, доступности и общего удобства работы с PDF.Узнайте больше обо всех удивительных улучшениях, которые предоставляет PDF 2.0! «,
«visitBlog»: «Посетить блог»,
«messageValidateYourAccount»: «Подтвердите его сейчас, щелкнув ссылку для подтверждения, которая была отправлена на ваш адрес электронной почты.»,
«headerForYou»: «Для вас»,
«UnlockPdf»: «Разблокировать PDF»,
«Разблокировка»: «Разблокировка»,
«subtitleRequestQuote»: «Бизнес-клиенты имеют право на оптовые цены, начиная с 25 лицензий. Заполните форму ниже, и наши специалисты по продажам свяжутся с вами в течение 1 рабочего дня.»,
«GifToPdf»: «GIF в PDF»,
«GifToPng»: «GIF в PNG»,
«GifToJpg»: «GIF в JPG»,
«WebPDFApp»: «https: // www.sodapdf.com/web-pdf-app/ «,
«PDF_Create»: «Создание, преобразование и просмотр файлов PDF»,
«billingInquiry»: «Billing Inquiry»,
«language»: «Язык»,
«customerSupport»: «поддержка клиентов»,
«formYes»: «Да»,
«headerForBusiness»: «Для бизнеса»,
«cancelPlan_prgh2»: «Если вы отмените свой план, вы потеряете доступ к его функциям по истечении срока действия.»,
«inchWord»: «Дюймы»,
«ProductsLink»: «https://www.sodapdf.com/account/manage-products/»,
«UnlimitedSignaturePack»: «Пакет безлимитных подписей»,
«update»: «Обновить»,
«knowledgebase_prgh»: «Нужна дополнительная помощь? Ознакомьтесь с нашими»,
«securingFiles»: «Защита файлов»,
«labelPhone»: «Телефон»,
«PassProtected»: «»,
«account_list»: «
Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:
Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Найти значение выражения .
Записываем его над третьей дробью:
Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Допустим, у нас есть половина пиццы:
Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Сколько пиццы достанется каждому?
То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:
Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5
Найдите значение выражения:
Математика: уроки, тесты, задания.
Сколько? От 1 до 5
Числа от 1 до 9
Сколько? От 11 до 20
Нумерация. Числа и цифры
.. Увеличить в… Уменьшить на… Уменьшить в…
Виды треугольников
Нумерация
Распределительный закон умножения относительно сложения
Минута. Секунда
Нахождение части числа
Римская нумерация
Прикидка и оценка результатов вычислений
Понятие обыкновенной дроби
Измерение углов
Масштаб. Виды масштаба
Сравнение
Среднее арифметическое, деление на натуральное число
Определение, свойства
Разложение натурального числа на простые множители
Модуль числа. Целые и рациональные числа
Координатная плоскость, координаты точки
Число Пи. Длина окружности. Площадь круга
Как понять дроби
Чем больше долей в целом, тем они меньше, и наоборот.
Есть очень простой способ. Выбираем наибольший знаменатель, это 9. Проверяем делится ли он на 3. Так как 9:3 = 3 без остатка, следовательно 9 подходит как общий знаменатель.
Далее выполняем вычитание числителей, а знаменатель оставляем без изменения.
Результат 2,55.
Остальные примеры решаются аналогично.
Для упрощения вычислений желательно приводить дроби к наименьшему общему знаменателю, хотя это не является обязательным.
Тогда в качестве общего знаменателя берем 12·235.
Например, выражение 16·74-1·3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 31 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 16·74-1·3=16·74-1·31.
Значит это выражение считается доказываемым равенством вида AD±CD=A±CD.
После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида ACr справедливо равенство ACr=ArCr. Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:
Тогда при вычислении получаем, что
При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. ФГОС. / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017, стр. 272.
Сколько таких частей получилось?
При вычитании дробей вы убираете часть дроби. Например, если у вас есть половина файла cookie, а вы передали треть файла cookie, у вас останется меньше половины того, что у вас есть. У вас останется одна шестая часть оставшегося файла cookie. 
Например, предположим, что у вас есть группа из 2 ящиков и еще одна группа из 3 ящиков. Если вы объедините обе группы вместе, у вас получится одна группа из 5 ящиков. Чтобы представить эту идею в математических терминах:
Например, один из способов подсчета четырех групп по две коробки — сложить группы вместе:
Сложение и умножение — это коммутативные операции:
Например:
Например, вычитая 8 из 5:
Например:
Числитель представляет определенное количество равных частей целого, а знаменатель указывает, сколько из этих частей необходимо, чтобы составить одно целое. Пример можно увидеть на следующем рисунке, на котором торт разделен на четвертинки:
Всего пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:
Однако иногда есть более быстрый способ — использовать меньший знаменатель или наименьший общий знаменатель. Например, чтобы добавить [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] к [latex] \ frac {5} {12} [/ latex], знаменатель 48 (произведение 4 и 12, два знаменатели), но можно использовать и меньший знаменатель 12 (наименьшее общее кратное 4 и 12).
Что, если кто-то захочет «половину» рецепта печенья, для которого требуется [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] чашки шоколадной стружки? Чтобы найти необходимое количество шоколадной крошки, умножьте [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} [/ latex]. В результате получается [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], поэтому правильное количество шоколадной стружки составляет [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] чашки.
Например, [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex] — сложные дроби. При работе с уравнениями, которые включают сложные дроби, полезно упростить сложную дробь перед тем, как решать уравнение.
Решите уравнение: log5 ( + ) = log5 ( + 9)
Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.
Уравнение имеет решения, например, x = y = 4012.
Но 1/4>2/9, следовательно, функция убывает на луче [1/4; +∞]. Это значит, что − < 1/16 − 3/64 = 1/64 < 1/64.
В силу первого условия никаких других задач девочка не решала, но тогда максимум 12 мальчиков имеют общие решённые задачи с этой девочкой, что противоречит второму условию.
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно — 1, т. е. слагаемых с — 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.
Поэтому сумма цифр числа 3n равна 300.
Преобразование иррациональных выражений
Показательная и логарифмическая функции
Основное логарифмическое тождество
Неопределённые и определённые интегралы
Перестановки без повторений
Противоположные события
Закон больших чисел
Системы и совокупности неравенств
Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.
Вы можете отключить файлы cookies в настройках Вашего браузера.
{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$ равносильны уравнению $f(x)=g(x)$.
{2}(π+\frac{x}{2})-\frac{1}{2}sin(x)=0$.
Что верно в отношении масштаба оси Y графика?
RN.A.1
Коэффициент термина — это число перед термином. Если термин начинается с отрицательного числа, то коэффициент является отрицательным числом, независимо от того, содержит ли термин переменные или нет. Третий член — -6xy 2 , а число перед членом — -6. 
Таким образом, она продает 5 велосипедов. Тогда, если она продаст четыре мотоцикла на каждую машину, количество проданных мотоциклов будет в 4 раза больше. Задача гласит, что она делает 40 продаж в месяц, поэтому сложите автомобили, велосипеды и мотоциклы и сделайте эту сумму равной 40. Уравнение: x + 5x + 4x = 40.
Его график показан ниже. Какая часть домена этой функции фактически моделирует эту ситуацию?
Поскольку 12 на 5 единиц больше, чем 7, график g (x) получается сдвигом f (x) на 5 единиц вверх.
Судя по рисунку, расстояние, на которое параллелограмм смещается вправо, равно длине стороны PQ. Кроме того, судя по рисунку, расстояние, на которое параллелограмм перемещен вниз, составляет примерно половину длины бокового QR.
Если она допустила какие-либо ошибки, объясните их и напишите правильное уравнение. 
36см 3 / г