Автор: alexxlab

1.

Поменять местами любые две строки.

2.

Умножьте каждую запись в любой строке на ненулевое постоянное значение.

3.

Добавьте значения из каждой записи одной строки к каждой записи другой строки.

Цель использования исключения Гаусса — создать новую матрицу с теми же свойствами, что и исходная [ K ], но в формате, в котором только верхний треугольник имеет ненулевые элементы.Используя предыдущую матрицу 5 × 5 в качестве примера, верхний треугольник состоит из элементов в правом верхнем треугольнике матрицы и включает элементы в правой диагональной строке в виде

[m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m450000m55].

Мы достигаем цели исключения Гаусса, правильно применяя одну из трех вышеупомянутых операций за раз. После того, как верхняя треугольная матрица сформирована, мы используем метод обратной подстановки , чтобы сначала найти последнюю переменную.Причина, по которой этот метод называется «обратной заменой», заключается в том, что последняя строка верхней треугольной матрицы должна быть решена первой. Поскольку в последней строке верхней треугольной матрицы имеется только одна ненулевая запись, мы можем найти неизвестную переменную простым арифметическим делением, то есть из

[K] {u2v2u3u4v4} = [m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m40000m55] {u2v2v4vf3fu3fu4fu2 } → v4 = F4Vm55.

Имея значение v ₄ , мы решаем от второй до последней переменной.Поскольку m ₄₄ u ₄ + m ₄₅ v ₄ = F _{4 H} , мы можем решить для u _{4 = F4H − m45v4m44. Мы многократно применяем один и тот же набор процедур, пока не будут найдены значения всех переменных.}

Мы будем использовать типичный 64-битный компьютер, чтобы проиллюстрировать критическую проблему при использовании исключения Гаусса. Хорошо известно, что такой компьютер хранит действительное (десятичное) число в формате с плавающей запятой, используя 64 бита: 1 бит для представления знака (плюс или минус), 52 бита для представления числа точных цифр (мантисса), и 11 бит для представления экспоненты.При делении числа на другое очень маленькое число имеющихся цифр в мантиссе может быть недостаточно для поддержания необходимой точности, то есть может возникнуть ошибка округления. В исключении Гаусса точка поворота или позиция поворота — это позиция в строке, которая совпадает с правой диагональной линией. Значения в точках поворота используются в качестве знаменателя при формировании верхней треугольной матрицы. Чтобы исключить ошибки округления, возникающие при делении на очень маленькое число, используется первый тип манипуляции для перемещения строки с очень маленьким числом в точке поворота в другую строку.Это достигается простым перестановкой рядов так, чтобы большие числа располагались в точках поворота. Мы используем вторую и третью операции для получения нулей в левой нижней части матрицы, что необходимо для получения верхней треугольной матрицы.

Модифицированной версией метода исключения Гаусса является метод исключения Гаусса – Жордана. Цель исключения Гаусса – Жордана — получить матрицу, которая имеет правую диагональную линию всех единиц (единиц), а все остальные позиции матрицы содержат нули.Это достигается с помощью тех же трех типов матричных манипуляций, что и в методе исключения Гаусса. Поскольку квадратная матрица состоит только из единичных значений в диагональных элементах, решения для всех неизвестных становятся легко доступными. Один из недостатков метода Гаусса – Жордана заключается в том, что он более затратен в вычислительном отношении, чем метод исключения Гаусса. Таким образом, он полезен только для решения проблем путем ручного расчета, когда есть небольшое количество одновременных уравнений.Используя метод исключения Гаусса, а не метод Гаусса – Жордана, мы избегаем многих дополнительных шагов. Поскольку метод FE обычно включает большую систему, чаще используется метод исключения Гаусса.

В следующем разделе мы шаг за шагом продемонстрируем процессы в методе исключения Гаусса. Конечно, вместо ручных вычислений следует написать и использовать компьютерную программу. Используя предыдущий пример в качестве отправной точки, уравнение. (1.68) повторяется ниже.

[K] {u2v2u3u4v4} = 108 [100−50006.6700−6.67−506.44−1.441.9200−1.44400−6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {F2HF2VF3HF4HF4−500} = {0002004–9004). все, кроме первой записи в первом столбце, равны 0. Мы заметили, что третья строка в этом столбце содержит единственное ненулевое значение. Чтобы манипулировать третьей строкой, чтобы сделать ведущее число 0, мы должны умножить существующее число (-5) на такое значение, чтобы добавление результата к первой записи в строке один (10) давало 0. Используя правило два, мы умножаем каждая запись в третьей строке по 2:

108 [100-50006.6700−6.67−10012.88−2.883.8400−1.44400−6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}.

Затем мы добавляем строку 1 к строке 3, но мы не затрагиваем строку 1:

108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400−1.44400−6.671.92010.67] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000 }.

Теперь, когда все значения в первом столбце, кроме первого, равны 0, мы применяем аналогичный процесс ко второму столбцу. Мы хотим, чтобы все значения во втором столбце, кроме второго, равнялись 0, а это означает, что мы должны адресовать −6,67 в последней строке. Его можно изменить на 0, просто добавив значения из строки 2.

108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400−1.4440001.9204] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}

Две операции, правила два и три, необходимы для преобразования записи в четвертой строке столбца три на 0. Сначала умножаем четвертую строку на 7,881,44 (обратите внимание, что эта операция также применяется к вектору силы):

108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400-7,8821,8,9204] {u2v2u3u4v4} = { 0001.094 × 105−50000},

, а затем добавьте значения из третьей строки к этим результатам, чтобы сформировать новую четвертую строку:

108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400019.013.84001.9204] {u2v2u3u4v4} = {0001.094 × 105−50000}.

Аналогичным образом мы умножаем пятую строку на -7,881,92, а затем складываем значения из третьей строки, чтобы сформировать новую пятую строку:

108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400019,013,84000-2,88-12,58 ] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1052,052 × 106}.

К этому моменту должно быть очевидно, что умножение на значение в другой строке и последующее деление на значение в текущей строке дает результат, который можно вычесть из этой другой строки и получить 0.Чтобы еще раз увидеть этот процесс, мы умножаем пятую строку на 19.012.88, затем складываем значения из четвертой строки, чтобы получить новую пятую строку:

108 [100-50006.6700-6.67007.88-2.883.8400019.013.840000-79.20] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1051,464 × 106}.

Теперь матрица имеет форму верхней треугольной матрицы, что означает, что все значения ниже и слева от правой диагональной линии являются нулями. На этом этапе мы применяем метод обратной замены для определения узловых смещений.

Начнем с последней строки, которая содержит 108 [0000−79.20], и мы умножаем последовательные значения в этой строке на последовательные значения в векторе узлового смещения:

108 ((0) (u2) + (0) (v2) + (0) (u3) + (0) ( u4) + (- 79.20) (v4)) = 1.464 × 106

Мы можем сделать это проще, признав, что только последнее значение в строке не равно нулю, и поэтому v ₄ — это просто конечное значение в вектор силы, деленный на последнюю запись в верхней треугольной матрице [ K ]:

v4 = (1,464 × 106) (- 79,2 × 108) = — 1,849 × 10−4

Мы можем использовать v ₄ , чтобы найти u ₄ и т.

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac{1}{2}$ ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Решение СЛАУ 3-его порядка методом Гаусса, пример № 11

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по геометрии и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Проведём следующие действия:

• Поменяем местами строку № 1 и строку № 2

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 5 (Строка 2 — 5 × строка 1)
• Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 4 (Строка 3 — 4 × строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 поделим на -5 (Строка 3 = строка 3 / -5)
• Поменяем местами строку № 2 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

• К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 11 (Строка 3 + 11 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Строку № 3 поделим на 6 (Строка 3 = строка 3 / 6)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 3)
• Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

• Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х₁ = 1
х₂ = 2
х₃ = 3

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ: понятия, определения, примеры задач

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3×1+2×2+x3+x4=-2×1-x2+4×3-x4=-1-2×1-2×2-3×3+x4=9×1+5×2-x3+2×4=4

Как решать?

Расширенная матрица системы представлена в виде:

   x1    x2     x3 x432111-14-1-2-2-3115-12-2-194

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на -a21a11=-13, -a31a11=—23=23 и на -а41а11=-13.

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной  . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на -а32(1)а22(1)=-23-53=-25 и -а42(1)а22(1)=-133-53=135:

   x1    x2     x3 x43211|-20-53113-43|-130-23-7353|2330133-4353|143~

      x1                 x2                           x3                           x4~3211|-20-53113-43|-130-23+(-25)(-53)-73+(-25)11353+(-25)(-43)|233+(-25)(-13)0133+135(-53)-43+135×11353+135(-43)|143+135(-13)~

       x1    x2     x3       x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415-95|195

Теперь исключаем переменную x3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а43(2)а33(2)=-415-195=4119.

       x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415-95|195~

      x1    x2               x3                           x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415+4119(-195)-95+4119×115|195+4119×395~

       x1    x2     x3       x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

   x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

   x1    x2     x3       x43000|а10-5300|а200-1950|а30005619|39219, где а1, а2, а3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

-1155619=-209280, на —435619=1942 и на -15619=1956.

   x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219~

      x1    x2      x3                   x4~3211+(-1956)5619|-2+(-1956)392190-53113-43+1942×5619|-13+1942×3921900-195115+(-209280)5619|395+(-209280)392190005619|39219~

       x1    x2     x3       x4~3210|-90-531130|900-1950|-3850005619|39219

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

-113-195=5557 и на -1-195=519.

 x1    x2     x3       x43210|-90-531130|900-1950|-3850005619|39219~

      x1    x2             x3                   x4~321+519(-195)0|-9+519(-385)0-53113+5557(-195)0|9+5557(-385)00-1950|-3850005619|39219~

       x1    x2     x3       x4~3210|-110-5300|5300-1950|-3850005619|39219

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на -2-53=65.

 x1    x2     x3       x43210|-110-5300|5300-1950|-3850005619|39219~

      x1           x2            x3      x4~32+65(-53)00|-11+65×53)0-5300|5300-1950|-3850005619|39219~

       x1    x2     x3       x4~3000|-90-5300|5300-1950|-3850005619|39219

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3×1=-9-53×2=53-195×3=-3855619×4=39219, откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x1=-3, x2=-1,x3=2,x4=7.​​​

Метод Гаусса. Примеры

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных и преобразовании системы линейных алгебраических уравнений

к треугольному виду

Предположим, что в системе коэффициент . Если это условие не выполняется, то на первое место переносим уравнение, которое ее удовлетворяет. С помощью первого уравнения исключим из остальных уравнений.

Для этого делят первую строчку на , обозначим

.

Дальше второй строки вычитаем первую строку, умноженную на ;от третьего первую строчку, умноженный на ; и так далее до последней строки. Получим таблицу коэффициентов:

Для неизвестных имеем систему уравнений. Выполняя, как и раньше, исключим из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого сначала разделим вторую строчку на .

Если коэффициент , то переставим уравнения так, чтобы выполнялось условие .

Обозначив

,

от третьей строки вычтем вторую строчку, умноженный на ;

от четвертой строки вычтем вторую строчку, умноженный на и т.д. Получим таблицу коэффициентов:

Продолжая процесс исключения неизвестных получим таблицу:

Таблица коэффициентов при неизвестных сводится к треугольному виду. Все главной диагонали элементы . Запишем соответствующую систему уравнений:

Переход от первой системы уравнений до последней называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса начинается с последней системы уравнений. Ее решают с конца до начала. Из последнего уравнения находят . Подставив это значение в предпоследнее — находят и т.д. Из первого уравнения находят .

Если система уравнений с неизвестными имеет единственное решение, то эта система всегда может быть преобразована к треугольному виду. Для студентов не всегда требуют, чтобы диагональные элементы были равны единице. Достаточно просто свести систему линейных уравнений к верхней треугольной.

———————————————

Пример 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную из второго и третьего уравнения. Для этого от них вычтем первое умноженное на

Видим, что наше уравнение в таком виде можно решать обратным ходом метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения выразим

Подставим полученное значение в предыдущее уравнение и найдем

Из первого уравнения находим

Решение данной системы равен

——————————————

В случаях систем больших размеров, а также для удобства, часто на практике используют другую схему решения. Вместо преобразований над системой выполняют соответствующие преобразования над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца из свободных членов, который для удобства выделяют вертикальной линией. Такую матрицу называют расширенной матрицей системы.

——————————————

Пример 2.

Решить систему четырех линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу для данной системы

Сведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первый и второй строки.

2. Добавим к элементам второго, третьего и четвертого строк элементы первой строки, умноженные соответственно на

3. Поменяем местами второй и третий строки. Добавим к элементам третьего и четвертого строк элементы второй строки, умноженные соответственно на

4. От четвертого уравнения умноженного на вычитаем третье уравнение умноженное на

Такой расширенной матрицы соответствует следующая система уравнений

С четвертого уравнения находим и подставляем в третье уравнение

Найденные значения подставляем во второе уравнение

Из первого уравнения находим первую неизвестную

Система полностью решена и – ее решение.

——————————————————

Посмотреть материалы:

в чем суть, решение системы уравнений, примеры с объяснением

Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.

Метод Гаусса — что это такое

Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.

Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:

1. Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.
2. Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.
3. Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.
4. Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения

Матрицы: определение и свойства

Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.

Важным параметром матрицы является размер:

• ширина — это количество строк, обозначают буквой m;
• длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.

Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.

Определитель

Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:

1. Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».
2. Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».

Рассчитать определитель представляется возможным лишь в случае работы с квадратной матрицей.

Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:

• из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;
• отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.

Классификация систем

Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:

• определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;
• неопределенные;
• обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:

1. Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.
2. Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.
3. Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.
4. Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.
5. Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ

На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:

Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.

Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:

При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.

Обратный и прямой ход метода Гаусса

В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.

Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.

Варианты дальнейших действий:

• перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;
• деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;
• удаление нулевых строк;
• добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.

Примеры решений с объяснением

Пример 1

Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:

Решение

Необходимо записать расширенную матрицу:

Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:

Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:

После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:

После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:

\(x_{3}=\frac{98}{49}=2\)

\(x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0\)

\(x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1\)

Данный пример демонстрирует единственное решение системы.

Пример 2

Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:

Решение

Необходимо составить матрицу:

Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:

вторая строка:

\(k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3\)

\(a»_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0\)

\(a» _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7\)

\(a»_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11\)

b» 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка: 

\(k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5\)

\(a»_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0\)

\(a»_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9\)

\( a»_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18\)

\( b»_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57\)

Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:

Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.

Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.

\(k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7\)

В случае, когда некоторые преобразования приводят в результате к получению не целого числа, следует оставить его в этом виде. Таким образом, вычисления будут более точными. Затем при получении ответов можно определиться с его дальнейшем округлением или переводом в другую форму записи.

\(a»_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0\)

\(a»_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7\)

\(b»_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7\)

Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».

Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:

y = (24 — 11×(61/9))/7 = -65/9

С помощью первого уравнения можно определить х:

x = (12 — 4z — 2y)/1 = 12 — 4×(61/9) — 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений:

С этой системой связываются две матрицы: матрица коэффициентов

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами:

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:

1. умножение уравнения на отличное от нуля число;

2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;

3. перестановка уравнений местами.

Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.

Доказательство. Проводим элементарные преобразования только над строками матрицы , как в доказательстве теоремы о ранге матрицы. Возможно, при этом придется изменить нумерацию неизвестных. Приводим систему уравнений к виду

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то данная система уравнений решений не имеет (несовместна). Если же все они равны нулю, то последние равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если , то неизвестным можно придавать произвольные значения, а неизвестные находим из решения системы с треугольной матрицей

Эту систему удобно решать, определив из -го уравнения , затем из -го и т.д. Таким образом, можно выразить переменные через и получить общее решение системы. Если , то система (в случае совместности) имеет единственное решение.

Преобразование системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке называется обратным ходом.

Пример. Решить систему линейных уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

Первую строку умножим на 3 и вычтем из второй. Затем первую строку умножим на 2 и вычтем из третьей. Получим

Далее вторую строку прибавим к третьей и отбросим нулевую строку, получим

Запишем полученные уравнения:

Из второго уравнения выразим :

Полученное выражение подставляем в первое уравнение и выражаем из него :

Ответ. Общее решение данной системы:

Задачи.

1. Решите систему линейных уравнений

2. Решите систему линейных уравнений

3. Решите систему линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Содержание:

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

• Решение системы линейных уравнений Метод Гаусса (1) Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейной алгебры является метод Гаусса. i + ai2X2 H —— h alnxn = bi a22 x2 t ‘• * T a2n xn- » am2®2 + •• + ​​GmUn = bn • Где (t, j = 2, m) — новое значение коэффициента, Правильная часть получена после первого шага. Аналогичным образом исключают неизвестные X2 из всех уравнений системы, учитывая основной элемент <4UФ0, исключая первое и второе.

  Примеры решения и задачи с методическими указаниями

  Решение задач	Лекции
  Сборник и задачник	Учебник

  • Продолжайте этот процесс как можно больше. Если процесс приведения системы (1) к постепенной форме показывает нулевые уравнения, то есть уравнения вида 0 = 0, они отбрасываются. Если отображается уравнение вида 0 = aΦ0>, это указывает на несовместимость системы. Второй шаг (обратный) — это решение ступенчатой ​​системы. В общем, существует множество решений системы градуированных уравнений. В последнем уравнении этой системы первое неизвестное xb представлено оставшимися неизвестными (£ fc + 1, …, xn). Затем подставьте значение Xk в предпоследнее уравнение системы и выразите Xk- \ через a: n).

  Тогда найди Xk-2> … Примечания: 1. Если система ступеней представляет собой треугольник, то есть k = 7i, исходная система имеет единственное решение. Найти xn из последнего уравнения и из второго уравнения xn-1) из последнего далее в систему всех остальных неизвестных [xn — 2? ••• yXi). 2.

  Прибавьте произвольные значения к свободным неизвестным …, xn), получите бесконечное число решений для системы. Людмила Фирмаль

  На практике удобнее выполнять все базовые преобразования для строк, используя матрицу расширения, а не систему (1). Удобно, если коэффициент aj равен 1 (переместить уравнение на место или отделить обе стороны уравнения все ф 1). Пример: 1) Решить систему, используя метод Гаусса. 2x \ -x-2 + 3×3-5 # 4 = 1, X \ -X2-bx3 = 2 3xi-2×2-2hz-5×4 = 3, 7xi-5×2-9hz-10×4 = 8.

  ♦ В результате базового преобразования в расширенную матрицу системы / 2-1 3 «-5 1 \ 1-1-5 0 2 3 -2 -2 -5 3 \ 7-5-9-10 8 / 1 -1 -5 0 2 \ 0 1 13 -5 -3 0 1 13 -5 -3 х0 2 26-10-6 / ^ 1 -1 -5 0 2 \ 2-13 -5 1 3 -2 -2 -5 3 ^ 7-5-9-10 8J -1 О 1 Ах ах \ 0 O -5 0 ‘2 л 13-5-3 LLC O O O y Оригинальная система была уменьшена до ступенчатой системы. xi-x2-5xs = 2 x2 + 13 Гц + 5×4 = -3. Итак, общее решение системы: x2 = -5×4-13x-X \ = -5×4-8×3-1. 1, x2 = x3 = 0, x4 = 0. 2) Решить систему, используя метод Гаусса. — = О, -3, ♦ X1 + x2 + x3 = 3, 2xi + 3×2 + 3×3 = 7, 3X] + X2 + x3 = 5, 5xi-x2-. Xs = 3. ♦ Выполнять базовые преобразования в строках расширенной матрицы системы.

  / 11 1 3 \ / 11 1 3 \ / 1 1 1 3 \ / 1 1 1 3 \ 2337 010 1 0101 0101 31 15 ~ 0-2—2-4 ~ 0112 ~ 0011 \ 5 -1 -1 3 / \ 0 -b -6 -12 / \ 0 I 1 2 / \ 0 0 0 0 / Полученная матрица соответствует системе + X-2 + xs = 3, X-2 = 1 Xb = 1. Выполнение обратного хода приводит к £ 3 = 1, x2-1, Xj = 1.

  Систем линейных уравнений: исключение Гаусса

  Системы линейных уравнений:
  Решение методом исключения Гаусса (стр. 6 из 7)

  Разделы: Определения, Решение по графику, Подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.

  ---

  Решение трех переменных, линейных систем с тремя уравнениями сложнее, по крайней мере, на начальном этапе, чем решение систем с двумя переменными, потому что требуемые вычисления более грязный.Вы должны быть очень аккуратными в своей работе, и вы должны планируйте использовать много бумаги для заметок. Метод решения этих систем является расширением метода сложения двух переменных, поэтому сделайте конечно ты знаешь это метод хорошо и может использовать его последовательно правильно.

  Хотя метод решения основан на добавлении / исключении, попытка выполнить фактическое добавление имеет тенденцию становится очень запутанным, поэтому существует систематизированный метод решения трех или более переменных системы.Этот метод называется «исключение Гаусса» (с уравнения заканчиваются тем, что называется «строковой формой»).

  Начнем с простого, и работаем над более сложными примерами.

  • Решите следующие проблемы система уравнений.

  Достаточно легко увидеть как действовать в этом случае. Я просто подставлю обратно значение z -value из третьего уравнения во второе, решите результат для л , г. а затем подключите z и y в первое уравнение и решите результат для x .

  10 л 3 (3) = 11
  10 y 9 = 11
  10 y = 20
  y = 2

  5x + 4 (2) (3) = 0
  5 x + 8 3 = 0
  5 x + 5 = 0
  5 x = 5
  x = 1

  Тогда решение ( х , y , z ) = (1, 2, 3).

  Причина, по которой эта система была Легко решить, что система была «треугольной»; это относится к уравнениям, имеющим форму треугольника, из-за нижних уравнений содержащий только более поздние переменные.

  Дело в том, что в этом формат, система проста в решении. И гауссовское исключение — это метод, который мы будем использовать для преобразования систем в эту верхнетреугольную форму, используя операции со строками, которые мы изучили, когда применили метод сложения.

  • Решите следующие проблемы система уравнений с использованием исключения Гаусса.

  Уравнение не решается для переменной, поэтому мне нужно будет выполнить умножение и сложение чтобы упростить эту систему. Чтобы отслеживать свою работу, напишу вниз на каждом шагу, когда я иду. Но я сделаю свои вычисления на бумаге для заметок. Вот как я это сделал:

  Первое, что нужно сделать состоит в том, чтобы избавиться от ведущих x -термов в два ряда.А пока я просто посмотрю, какие строки будут легко расчистить; Я могу поменять строки позже, чтобы перевести систему в «верхний треугольной «формы. Нет правила, которое гласит, что я должен использовать x — срок из первой строки, и в этом случае, думаю, будет проще используйте термин x из третьей строки, так как его коэффициент просто «1». Поэтому я умножу третью строку на 3, и добавьте его в первую строку.Я делаю вычисления на бумаге для заметок:

  … а потом записываю результатов:

  (Когда мы решали системы с двумя переменными, мы могли умножить строку, переписав систему в сторону, а затем добавить. Для этого нет места в система с тремя переменными, поэтому нам и нужна бумага для заметок.) ​​

  Предупреждение: поскольку я не на самом деле ничего не делаю с третьей строкой, я скопировал ее без изменений, в новую матрицу уравнений.Я б / у третий ряд, но я на самом деле не менял Это. Не путайте «использование» с «изменением».

  Чтобы получить меньшие числа для коэффициентов умножу первую строку пополам:

  Теперь умножу третий ряд на 5 и добавьте это ко второму строка. Работаю на бумаге для заметок:

  … а потом записываю результаты: Авторские права Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

  Я ничего не делал с первым рядом, поэтому я скопировал его без изменений. Я работал с третий ряд, но я работал только на вторая строка, поэтому вторая строка обновляется, а третья строка копируется более без изменений.

  Хорошо, теперь x — столбец удаляется, за исключением ведущего члена в третьей строке.Так что дальше Приходится работать над колонкой и .

  Предупреждение: Начиная с третьего уравнение имеет член x , Я больше не могу использовать его ни в одном из двух других уравнений (или я отменить мой прогресс). Я могу работать с уравнением, но не с Это.

  Если я добавлю в два раза больше первого строки во вторую строку, это даст мне ведущую 1 во втором ряду.Я не буду избавились от ведущего y -терм во втором ряду, но я его преобразовал (не вмешиваясь дробями) в более простую форму. (Вы должны сохранить обратите внимание на такого рода упрощения.) Сначала я делаю царапину работа:

  … а потом записываю результатов:

  Теперь могу использовать второй ряд, чтобы убрать и -семестр в первом ряду.Вторую строку умножу на 7 и добавить. Сначала я царапаю работа:

  … а потом записываю результатов:

  Я могу сказать что z сейчас, но для большей точности я разделю первую строку на 43. Затем я переставляю ряды, чтобы придать им верхнетреугольную форму:

  Теперь я могу начать процесс обратного решения:

  Тогда решение ( х , y , z ) = ( 2, 3, 1 ) .

  Примечание: нет ничего священного о шагах, которые я использовал при решении указанной выше системы; там ничего не было Особо о том, как я решил эту систему. Вы могли бы работать в другом упорядочивайте или упрощайте разные строки, и все равно получите правильный ответ. Эти системы достаточно сложны, поэтому вряд ли один правильный способ вычисления ответа. Так что не беспокойтесь о том, «как она знала, что делать дальше? », потому что здесь нет правила.я просто делал все, что пришло мне в голову; Я делал то, что казалось простейшим, или как пришла в голову первая. Не волнуйтесь, если бы вы использовали совершенно другой шаги. Если каждый шаг на пути верен, вы придумаете Такой же ответ.

  ---

  В приведенном выше примере я мог пошли дальше в своих вычислениях и более тщательно проработали строковые операции, очищая все термины и кроме этого во второй строке и во всех терминах z кроме того, что в первой строке.Это то, что процесс тогда выглядело так:

  Так я могу просто читать от значений x , л , г. и z , и мне не нужно возиться с обратной заменой. Это более полное метод решения называется «методом исключения Гаусса-Жордана» (с уравнения, попадающие в так называемый «пониженный ряд-эшелон» форма»).Многие тексты доходят до исключения Гаусса, но я всегда было легче продолжать и делать Гаусс-Джордан.

  Обратите внимание, что я выполнил две строковые операции сразу на этом последнем шаге перед переключением строк. Пока я не работая с и работая на в той же строке на том же шаге, это нормально. В этом случае я работал с первой строкой и рабочая по второй и третий ряды.

  << Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>

  Цитируйте эту статью как:

  Стапель, Елизавета. «Системы линейных уравнений, решаемые методом исключения Гаусса». Purplemath Доступно по телефону https: // www.purplemath.com/modules/systlin6.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

  Решение системы с исключением Гаусса

  Результаты обучения

  • Используйте метод исключения Гаусса для решения системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.
  • Интерпретировать решение системы уравнений, представленной в виде расширенной матрицы.

  Мы увидели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей , а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку, чтобы получить форму с эшелонированием строк .Теперь мы будем использовать метод исключения Гаусса как инструмент для решения системы, записанной в виде расширенной матрицы. В нашем первом примере мы покажем вам процесс использования исключения Гаусса в системе двух уравнений с двумя переменными.

  Пример: решение системы 2 X 2 методом исключения Гаусса

  Решите данную систему методом исключения Гаусса.

  [латекс] \ begin {array} {l} 2x + 3y = 6 \ hfill \\ \ text {} x-y = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Показать решение

  Сначала запишем это как расширенную матрицу.

  [латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 1 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 6 \\ \ hfill \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] [/ latex]

  Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.

  [латекс] {R} _ {1} \ leftrightarrow {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill & \ hfill 6 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Теперь у нас есть 1 как первая запись в строке 1, столбце 1.Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на [latex] -2 [/ latex], а затем прибавив результат к строке 2.

  [латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill 5 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill \ frac {1} {2} \\ \ hfill & \ hfill 5 \ end {массив } \ right] [/ latex]

  У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на [latex] \ frac {1} {5} [/ latex].

  [латекс] \ frac {1} {5} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill \ \ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {cc} & \ frac {1} {2} \\ & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Использовать обратную замену.Вторая строка матрицы представляет [латекс] y = 1 [/ латекс]. Подставьте обратно [latex] y = 1 [/ latex] в первое уравнение.

  [латекс] \ begin {array} {l} x- \ left (1 \ right) = \ frac {1} {2} \ hfill \\ \ text {} x = \ frac {3} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Решение — точка [латекс] \ left (\ frac {3} {2}, 1 \ right) [/ latex].

  Попробуй

  Решите данную систему методом исключения Гаусса.

  [латекс] \ begin {массив} {l} 4x + 3y = 11 \ hfill \\ \ text {} \ text {} \ text {} x — 3y = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Показать решение

  [латекс] \ влево (2,1 \ вправо) [/ латекс]

  В нашем следующем примере мы решим систему двух уравнений с двумя зависимыми переменными.Напомним, что зависимая система имеет бесконечное количество решений, и результатом операций со строками в ее расширенной матрице будет уравнение, такое как [latex] 0 = 0 [/ latex]. Мы также рассмотрим написание общего решения для зависимой системы.

  Пример: решение зависимой системы

  Решите систему уравнений.

  [латекс] \ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \\ 6x + 8y = 24 \ end {array} [/ latex]

  Показать решение Выполните строковые операции на расширенной матрице, чтобы попытаться получить строковую форму .

  [латекс] A = \ left [\ begin {array} {llll} 3 \ hfill & \ hfill & 4 \ hfill & \ hfill \\ 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 12 \ hfill \\ \ hfill & 24 \ hfill \ end {array} \ right] [/ latex]

  [латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ begin {array} {l} — \ frac {1} {2} {R} _ {2} + {R} _ {1} = { R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {llll} 0 \ hfill & \ hfill & 0 \ hfill & \ hfill \\ 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 0 \ hfill \\ \ hfill & 24 \ hfill \ end {array} \ right] \ hfill \\ {R} _ {1} \ leftrightarrow {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {llll} 6 \ hfill & \ hfill & 8 \ hfill & \ hfill \\ 0 \ hfill & \ hfill & 0 \ hfill & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {ll} \ hfill & 24 \ hfill \\ \ hfill & 0 \ hfill \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: [latex] 0y = 0 [/ latex].Таким образом, существует бесконечное количество решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и решите для [latex] y [/ latex].

  [латекс] \ begin {array} {l} 3x + 4y = 12 \ hfill \\ \ text {} 4y = 12 — 3x \ hfill \\ \ text {} y = 3- \ frac {3} {4} x \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Итак, решение этой системы — [латекс] \ left (x, 3- \ frac {3} {4} x \ right) [/ latex].

  Теперь мы перейдем на следующий шаг к решению системы линейных уравнений 3 на 3.Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.

  Пример: решение системы линейных уравнений с использованием матриц

  Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.

  [латекс] \ begin {массив} {c} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ hfill \\ x-y + z = 8 \ hfill \ end {array} \\ 2x + 3y-z = -2 \\ 3x — 2y — 9z = 9 \ end {array} [/ latex]

  Показать решение

  Сначала мы пишем расширенную матрицу.

  [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill 3 & \ hfill -2 & \ hfill -9 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 8 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 9 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Затем мы выполняем операции со строками, чтобы получить форму строки-эшелона.

  [латекс] \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -2 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} { rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -9 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill 9 \ end {массив} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill -3 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -18 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ end {array} \ right] \ end {array} [/ latex]

  Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбца 1 — это поменять местами [латекс] {R} _ {2} [/ latex] и [latex] {R} _ {3} [/ latex].

  [латекс] \ text {Interchange} {R} _ {2} \ text {и} {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill — 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill & \ hfill -18 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Затем

  [латекс] \ begin {array} {l} \\ \ begin {array} {rrrrr} \ hfill -5 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ в \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 57 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \\ \ hfill & \ hfill 57 \ end {array} \ right] & \ hfill & \ hfill & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {57} {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -12 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 8 \\ \ hfill & \ hfill -15 \ \ \ hfill & \ hfill 1 \ end {array} \ right] \ end {array} \ end {array} [/ latex]

  Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.

  [латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x-y + z = 8 \ hfill \\ \ text {} y — 12z = -15 \ hfill \\ \ text {} z = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Используя обратную подстановку, мы получаем решение как [latex] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex].

  Напомним, что есть три возможных исхода решений для линейных систем. В предыдущем примере решение [латекс] \ left (4, -3,1 \ right) [/ latex] представляет точку в трехмерном пространстве. Эта точка представляет собой пересечение трех плоскостей.В следующем примере мы решаем систему, используя операции со строками, и обнаруживаем, что она представляет зависимую систему. Зависимая система в 3-х измерениях может быть представлена ​​двумя идентичными плоскостями, как в 2-х измерениях, где зависимая система представляет две идентичные линии.

  Пример: решение зависимой системы 3 x 3

  Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.

  [латекс] \ begin {array} {r} \ hfill -x — 2y + z = -1 \\ \ hfill 2x + 3y = 2 \\ \ hfill y — 2z = 0 \ end {array} [/ latex]

  Показать решение

  Запишите расширенную матрицу.

  [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill -1 & \ hfill -2 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill 3 & \ hfill 0 \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill 2 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Сначала умножьте строку 1 на [latex] -1 [/ latex], чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1. Затем выполните операции со строками , чтобы получить форму строки-эшелон.

  [латекс] — {R} _ {1} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ справа] [/ латекс]

  [латекс] {R} _ {2} \ leftrightarrow {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 \ \ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ text {} | \ begin {array} { rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 2 \ end {array} \ right] [/ latex]

  [латекс] -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

  [латекс] {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill \ end { array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 2 \\ \ hfill & \ hfill 1 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Последняя матрица представляет следующую систему.

  [латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} 0 = 0 \ hfill \ конец {array} [/ latex]

  По тождеству [latex] 0 = 0 [/ latex] мы видим, что это зависимая система с бесконечным числом решений. Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для [latex] y [/ latex] и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для [latex] z [/ latex] через [latex] x [/ latex].

  [латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + 2y-z = 1 \ hfill \\ \ text {} y = 2z \ hfill \\ \ hfill \\ x + 2 \ left (2z \ справа) -z = 1 \ hfill \\ \ text {} x + 3z = 1 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Теперь мы подставляем выражение для [latex] z [/ latex] во второе уравнение, чтобы решить для [latex] y [/ latex] через [latex] x [/ latex].

  [латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} y — 2z = 0 \ hfill \\ \ text {} z = \ frac {1-x} {3} \ hfill \\ \ hfill \\ y — 2 \ left (\ frac {1-x} {3} \ right) = 0 \ hfill \\ \ text {} y = \ frac {2 — 2x} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex ]

  Общее решение — [latex] \ left (x, \ frac {2 — 2x} {3}, \ frac {1-x} {3} \ right) [/ latex].

  Общее решение для зависимой системы 3 X 3

  Напомним, что когда вы решаете зависимую систему линейных уравнений с двумя переменными с использованием исключения или подстановки, вы можете записать решение [latex] (x, y) [/ latex] через x, потому что существует бесконечно много (x, y) пары, которые будут удовлетворять зависимой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] (x, mx + b) [/ latex].Теперь, когда вы работаете в трех измерениях, решение будет представлять собой плоскость, поэтому вы должны записать его в общей форме [латекс] (x, m_ {1} x + b_ {1}, m_ {2} x + b_ { 2}) [/ латекс].

  Попробуй

  Решите систему методом исключения Гаусса.

  [латекс] \ begin {array} {c} x + 4y-z = 4 \\ 2x + 5y + 8z = 15 \ x + 3y — 3z = 1 \ end {array} [/ latex]

  Показать решение

  [латекс] \ левый (1,1,1 \ правый) [/ латекс]

  Вопросы и ответы

  Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?

  Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.

  Как: решить систему уравнений с помощью матриц с помощью калькулятора

  1. Сохраните расширенную матрицу как матричную переменную [latex] \ left [A \ right], \ left [B \ right], \ left [C \ right] \ text {,} \ dots [/ latex].
  2. Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.

  Пример: решение систем уравнений с помощью калькулятора

  Решите систему уравнений.

  [латекс] \ begin {array} {r} \ hfill 5x + 3y + 9z = -1 \\ \ hfill -2x + 3y-z = -2 \\ \ hfill -x — 4y + 5z = 1 \ end { array} [/ latex]

  Показать решение

  Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.

  [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 5 & \ hfill 3 & \ hfill 9 \\ \ hfill -2 & \ hfill 3 & \ hfill -1 \\ \ hfill -1 & \ hfill -4 & \ hfill 5 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill -1 \\ \ hfill -2 \\ \ hfill 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

  На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше как матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].

  [латекс] \ left [A \ right] = \ left [\ begin {array} {rrrrrrr} \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill 9 & \ hfill & \ hfill -1 \\ \ hfill — 2 & \ hfill & \ hfill 3 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -2 \\ \ hfill -1 & \ hfill & \ hfill -4 & \ hfill & \ hfill 5 & \ hfill & \ hfill 1 \ end {массив } \ right] [/ latex]

  Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая матричную переменную [latex] \ left [A \ right] [/ latex].

  [латекс] \ text {ref} \ left (\ left [A \ right] \ right) [/ латекс]

  Оценить.

  [латекс] \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ left [\ begin {array} {rrrr} \ hfill 1 & \ hfill \ frac {3} {5} & \ hfill \ frac {9} {5 } & \ hfill \ frac {1} {5} \\ \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill \ frac {13} {21} & \ hfill — \ frac {4} {7} \\ \ hfill 0 & \ hfill 0 & \ hfill 1 & \ hfill — \ frac {24} {187} \ end {array} \ right] \ to \ begin {array} {l} x + \ frac {3} {5} y + \ frac {9} {5} z = — \ frac {1} {5} \ hfill \\ \ text {} y + \ frac {13} {21} z = — \ frac {4} {7} \ hfill \\ \ text {} z = — \ frac {24} {187} \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

  При использовании обратной подстановки решение: [latex] \ left (\ frac {61} {187}, — \ frac {92} {187}, — \ frac {24} {187} \ right) [/ latex] .

  Приложения систем уравнений

  Теперь обратимся к приложениям, для которых используются системы уравнений. В следующем примере мы определяем, сколько денег было инвестировано по двум разным ставкам, учитывая сумму процентов, полученных на обоих счетах.

  Пример: применение матриц 2 × 2 к финансам

  Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10,5% годовых, а другая — 12%. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов.Сколько было вложено по каждой ставке?

  Показать решение

  У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть [latex] x = [/ latex] сумма, инвестированная под 10,5% годовых, и [latex] y = [/ latex] сумма, инвестированная под 12% годовых.

  [латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y = 12 000 \ hfill \\ 0.105x + 0.12y = 1335 \ hfill \ end {array} [/ latex]

  В качестве матрицы имеем

  [латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0.105 & \ hfill 0.12 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} { r} \ hfill 12 000 \\ \ hfill 1,335 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Умножить строку 1 на [латекс] -0.105 [/ latex] и добавьте результат в строку 2.

  [латекс] \ left [\ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0 & \ hfill 0.015 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r } \ hfill 12,000 \\ \ hfill 75 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Затем,

  [латекс] \ begin {array} {l} 0,015y = 75 \ hfill \\ \ text {} y = 5,000 \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Итак [латекс] 12 000 — 5 000 = 7 000 [/ латекс].

  Таким образом, 5000 долларов были инвестированы под 12% годовых и 7000 долларов под 10,5%.

  Пример: применение матриц 3 × 3 к финансам

  Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше, чем сумма, вложенная под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?

  Показать решение

  У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть [latex] x [/ latex] будет сумма, инвестированная под 5% годовых, пусть [latex] y [/ latex] будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть [latex] z [/ latex] будет инвестированной суммой. под 9% годовых. Таким образом,

  [латекс] \ begin {array} {l} \ text {} x + y + z = 10 000 \ hfill \\ 0.05x + 0,08y + 0,09z = 770 \ hfill \\ \ text {} 2x-z = 0 \ hfill \ end {array} [/ latex]

  В качестве матрицы имеем

  [латекс] \ left [\ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill 1 & \ hfill 1 \\ \ hfill 0,05 & \ hfill 0,08 & \ hfill 0,09 \\ \ hfill 2 & \ hfill 0 & \ hfill -1 \ end {array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {r} \ hfill 10,000 \\ \ hfill 770 \\ \ hfill 0 \ end {array} \ right] [/ latex]

  Теперь мы выполняем исключение Гаусса, чтобы получить форму строки-эшелон.

  [латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ -0.05 {R} _ {1} + {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 2 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -1 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill 0 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} \ hfill \\ -2 {R} _ {1} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0.03 & \ hfill & \ hfill 0.04 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 270 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ \ frac {1} {0.03} {R} _ {2} = {R} _ {2} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill -2 & \ hfill & \ hfill -3 & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -20,000 \ end {array} \ right] \ hfill \\ 2 {R} _ {2} + {R} _ {3} = {R} _ {3} \ to \ left [\ begin {array} {rrrrrr} \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 1 & \ hfill & \ hfill \ frac {4} {3} & \ hfill \\ \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill 0 & \ hfill & \ hfill — \ frac {1} {3} & \ hfill \ end {array} | \ begin {array} {rr} \ hfill & \ hfill 10,000 \\ \ hfill & \ hfill 9,000 \\ \ hfill & \ hfill -2,000 \ end {array} \ right] \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Третья строка сообщает нам [латекс] — \ frac {1} {3} z = -2,000 [/ latex]; таким образом [латекс] z = 6,000 [/ латекс].

  Вторая строка сообщает нам [латекс] y + \ frac {4} {3} z = 9000 [/ latex].

  Подставляя [латекс] z = 6,000 [/ латекс], получаем

  [латекс] \ begin {array} {r} \ hfill y + \ frac {4} {3} \ left (6000 \ right) = 9000 \\ \ hfill y + 8000 = 9000 \\ \ hfill y = 1000 \ end {array} [/ latex]

  Первая строка сообщает нам [латекс] x + y + z = 10,000 [/ latex]. Подставив [latex] y = 1,000 [/ latex] и [latex] z = 6,000 [/ latex], мы получим
  [latex] \ begin {array} {l} x + 1,000 + 6,000 = 10,000 \ hfill \\ \ text {} x = 3 000 \ text {} \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Ответ: 3000 долларов вложены под 5%, 1000 долларов вложены под 8% и 6000 долларов вложены под 9%.

  Попробуй

  Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму, заимствованную по каждой ставке.

  Показать решение

  150 000 долларов США под 7%, 750 000 долларов США под 8%, 600 000 долларов США под 10%

  Внесите свой вклад!

  У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

  Улучшить эту страницуПодробнее

  систем линейных уравнений: исключение Гаусса

  систем линейных уравнений: исключение Гаусса

  Решать нелинейные системы уравнений довольно сложно, а линейные системы довольно легко изучать. Существуют численные методы, которые помогают аппроксимировать нелинейные системы линейными в надежде, что решения линейных систем достаточно близки к решениям нелинейных систем. Мы не будем здесь обсуждать это.Вместо этого мы сосредоточим наше внимание на линейных системах.

  Для простоты мы ограничимся тремя, максимум четырьмя неизвестными. Читатель, интересующийся случаем большего количества неизвестных, может легко развить следующие идеи.

  Определение. Уравнение
  

  a x + b y + c z + d w = h

  
  где a , b , c , d и h — известные числа, а x , y , z и w — неизвестные числа. называется линейным уравнением .Если h = 0, линейное уравнение называется однородным . Линейная система представляет собой набор линейных уравнений, а однородная линейная система представляет собой набор однородных линейных уравнений.

  Например,
  

  
  а также
  
  линейные системы, а
  
  является нелинейной системой (из-за y ² ). Система
  
  является однородной линейной системой.

  Матричное представление линейной системы
  

  Матрицы помогают переписать линейную систему в очень простой форме.Затем для решения систем можно использовать алгебраические свойства матриц. Сначала рассмотрим линейную систему
  

  
  Установите матрицы
  
  Используя матричное умножение, мы можем переписать линейную систему выше как матричное уравнение
  
  Как видите, это намного лучше, чем уравнения. Но иногда стоит решить систему напрямую, минуя матричную форму. Матрица A называется матричным коэффициентом линейной системы.Матрица C называется неоднородным членом . Когда , линейная система однородна. Матрица X — это неизвестная матрица. Его записи являются неизвестными линейной системы. Расширенная матрица , связанная с системой, является матрицей [ A | C ], где
  

  В общем, если линейная система имеет n уравнений с m неизвестными, то матричный коэффициент будет матрицей nxm, а расширенная матрица — матрицей nx (m + 1).Теперь обратим внимание на решения системы.
  

  Определение. Две линейные системы с n неизвестными считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый набор решений.
  

  Это определение важно, поскольку идея решения системы состоит в том, чтобы найти эквивалентную систему, которую легко решить. Вы можете спросить, как мы сможем создать такую ​​систему? Легко, мы делаем это с помощью элементарных операций . Действительно, ясно, что если мы поменяем местами два уравнения, новая система все равно будет эквивалентна старой.Если мы умножим уравнение на ненулевое число, мы получим новую систему, по-прежнему эквивалентную старой. И, наконец, заменив одно уравнение суммой двух уравнений, мы снова получим эквивалентную систему. Эти операции называются элементарными операциями в системах. Посмотрим, как это работает в конкретном случае.

  Пример. Рассмотрим линейную систему
  

  Идея состоит в том, чтобы сохранить первое уравнение и поработать над двумя последними. При этом мы попытаемся убить одного из неизвестных и решить два других.Например, если мы сохраним первое и второе уравнение и вычтем первое из последнего, мы получим эквивалентную систему
  

  
  Затем мы сохраняем первое и последнее уравнение и вычитаем первое из второго. Получаем эквивалентную систему
  
  Теперь мы сосредоточимся на втором и третьем уравнениях. Повторяем ту же процедуру. Попробуйте убить одного из двух неизвестных ( y или z ). Действительно, мы сохраняем первое и второе уравнение и добавляем второе к третьему, умножив его на 3.Мы получили
  
  Это, очевидно, означает z = -2. Из второго уравнения мы получаем y = -2, и, наконец, из первого уравнения мы получаем x = 4. Следовательно, линейная система имеет одно решение.
  
  Переход от последнего уравнения к первому при решении для неизвестных называется обратным решением .

  Имейте в виду, что линейные системы, для которых матричный коэффициент является верхнетреугольным, легко решить. Это особенно верно, если матрица имеет эшелонированную форму.Таким образом, фокус состоит в том, чтобы выполнить элементарные операции по преобразованию исходной линейной системы в другую, для которой матрица коэффициентов имеет эшелонированную форму.
  Используя наши знания о матрицах, можем ли мы в любом случае переписать то, что мы сделали выше, в матричной форме, которая упростит нашу нотацию (или представление)? Действительно, рассмотрим расширенную матрицу
  

  
  Выполним над этой матрицей несколько элементарных операций со строками. Действительно, если мы сохраним первую и вторую строки и вычтем первую из последней, мы получим
  
  Затем мы сохраняем первую и последнюю строки и вычитаем первую из второй.Мы получили
  
  Затем мы сохраняем первую и вторую строки и добавляем вторую к третьей, умножив ее на 3, чтобы получить
  
  Это треугольная матрица, не имеющая эшелонированной формы. Линейная система, для которой эта матрица является расширенной, есть
  
  Как видите, мы получили ту же систему, что и раньше. Фактически мы следовали тем же элементарным операциям, что и выше. На каждом этапе новая матрица была в точности расширенной матрицей, связанной с новой системой.Это показывает, что вместо того, чтобы писать системы снова и снова, легко поиграться с элементарными операциями со строками, и как только мы получим треугольную матрицу, напишем связанную линейную систему, а затем решим ее. Это известно как исключения по Гауссу . Подведем итоги процедуры:

  Исключение Гаусса. Рассмотрим линейную систему.

  1.

  Построить расширенную матрицу для системы;

  2.

  Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в треугольную;

  3.

  Запишите новую линейную систему, для которой треугольная матрица является связанной с ней расширенной матрицей;

  4.

  Решите новую систему. Вам может потребоваться присвоить некоторые параметрические значения некоторым неизвестным, а затем применить метод обратной подстановки для решения новой системы.

  Пример. Решите следующую систему методом исключения Гаусса
  

  
  Расширенная матрица
  
  Мы используем элементарные операции со строками, чтобы преобразовать эту матрицу в треугольную.Мы сохраняем первую строку и используем ее для получения всех нулей в любом месте первого столбца. У нас есть
  
  Далее мы сохраняем первую и вторую строки и стараемся, чтобы во втором столбце были нули. Мы получили
  
  Далее сохраняем первые три ряда. Добавляем последний к третьему, чтобы получить
  
  Это треугольная матрица. Связанная с ним система
  
  Очевидно, что v = 1. Установите z = s и w = t , тогда мы имеем
  
  Из первого уравнения следует Используя алгебраические манипуляции, получаем
  x = — — с — т .
  Собрав все вместе, у нас есть
  

  Пример. Используйте метод исключения Гаусса для решения линейной системы
  

  
  Соответствующая расширенная матрица
  
  Сохраняем первую строку и вычитаем первую строку, умноженную на 2, из второй строки. Мы получили
  
  Это треугольная матрица. Связанная система
  
  Ясно, что второе уравнение означает, что эта система не имеет решения. Следовательно, эта линейная система не имеет решения.

  Определение. Линейная система называется непоследовательной или переопределенной , если у нее нет решения. Другими словами, набор решений пуст. В противном случае линейная система называется согласованной .
  

  Следуя приведенному выше примеру, мы видим, что если мы выполним элементарные операции со строками над расширенной матрицей системы и получим матрицу с одной из строк, равной , где , тогда система несовместима.

  [Назад] [Следующий] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра]

  С.O.S MATH: Домашняя страница

  Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

  Автор : М.А.Хамси

  Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
  Свяжитесь с нами
  Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
  пользователей онлайн за последний час

  Исключение Гаусса — обзор

  1.3.7 Исключение Гаусса или Гаусса

  Исключение Гаусса (также известное как Исключение Гаусса ) — широко используемый метод для решения систем линейных уравнений в форме [ K ] { u } = { F }.В операциях с матрицами существует три распространенных типа манипуляций, которые служат для создания новой матрицы, обладающей теми же характеристиками, что и исходная:

  1.

  Поменять местами любые две строки.

  2.

  Умножьте каждую запись в любой строке на ненулевое постоянное значение.

  3.

  Добавьте значения из каждой записи одной строки к каждой записи другой строки.

  Цель использования исключения Гаусса — создать новую матрицу с теми же свойствами, что и исходная [ K ], но в формате, в котором только верхний треугольник имеет ненулевые элементы.Используя предыдущую матрицу 5 × 5 в качестве примера, верхний треугольник состоит из элементов в правом верхнем треугольнике матрицы и включает элементы в правой диагональной строке в виде

  [m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m450000m55].

  Мы достигаем цели исключения Гаусса, правильно применяя одну из трех вышеупомянутых операций за раз. После того, как верхняя треугольная матрица сформирована, мы используем метод обратной подстановки , чтобы сначала найти последнюю переменную.Причина, по которой этот метод называется «обратной заменой», заключается в том, что последняя строка верхней треугольной матрицы должна быть решена первой. Поскольку в последней строке верхней треугольной матрицы есть только одна ненулевая запись, мы можем найти неизвестную переменную простым арифметическим делением, то есть из

  [K] {u2v2u3u4v4} = [m11m12m13m14m150m22m23m24m2500m33m34m35000m44m450000m55] {u4 } → v4 = F4Vm55.

  Имея значение v ₄ , мы решаем от второй до последней переменной.Поскольку m ₄₄ u ₄ + m ₄₅ v ₄ = F _{4 H} , мы можем решить для u _{4 F4H − m45v4m44. Мы многократно применяем один и тот же набор процедур, пока не будут найдены значения всех переменных.}

  Мы будем использовать типичный 64-битный компьютер, чтобы проиллюстрировать критическую проблему при использовании исключения Гаусса. Хорошо известно, что такой компьютер хранит действительное (десятичное) число в формате с плавающей запятой, используя 64 бита: 1 бит для представления знака (плюс или минус), 52 бита для представления числа точных цифр (мантисса), и 11 бит для представления экспоненты.При делении числа на другое очень маленькое число имеющихся цифр в мантиссе может быть недостаточно для поддержания необходимой точности, то есть может возникнуть ошибка округления. В исключении Гаусса точка поворота или позиция поворота — это позиция в строке, которая совпадает с правой диагональной линией. Значения в точках поворота используются в качестве знаменателя при формировании верхней треугольной матрицы. Чтобы исключить ошибки округления, возникающие при делении на очень маленькое число, используется первый тип манипуляции для перемещения строки с очень маленьким числом в точке поворота в другую строку.Это достигается простым перестановкой рядов так, чтобы большие числа располагались в точках поворота. Вторую и третью операции мы используем для получения нулей в левой нижней части матрицы, что необходимо для получения верхней треугольной матрицы.

  Модифицированной версией метода исключения Гаусса является метод исключения Гаусса – Жордана. Цель исключения Гаусса – Жордана — получить матрицу, которая имеет правую диагональную линию всех единиц (единиц), а все остальные позиции матрицы содержат нули.Это достигается с помощью тех же трех типов манипуляций с матрицами, которые используются в методе исключения Гаусса. Поскольку квадратная матрица состоит только из единичных значений в диагональных элементах, решения для всех неизвестных становятся легко доступными. Один из недостатков метода Гаусса – Жордана заключается в том, что он более затратный в вычислительном отношении, чем метод исключения Гаусса. Таким образом, он полезен только для решения проблем путем ручного расчета, когда существует небольшое количество одновременных уравнений.Используя метод исключения Гаусса, а не метод Гаусса – Жордана, мы избегаем многих дополнительных шагов. Поскольку метод FE обычно включает большую систему, чаще используется метод исключения Гаусса.

  В следующем разделе мы шаг за шагом продемонстрируем процессы в методе исключения Гаусса. Конечно, вместо ручных вычислений следует написать и использовать компьютерную программу. Используя предыдущий пример в качестве отправной точки, уравнение. (1.68) повторяется ниже.

  [K] {u2v2u3u4v4} = 108 [100−50006.6700−6.67−506.44−1.441.9200−1.44400−6.671.

  .67] {u2v2u3u4v4} = {F2HF2VF3HF4HF4−5002} = {00020000 =

  002 все, кроме первой записи в первом столбце, равны 0. Мы заметили, что третья строка в этом столбце содержит единственное ненулевое значение. Чтобы манипулировать третьей строкой, чтобы сделать ведущее число 0, мы должны умножить существующее число (-5) на такое значение, чтобы добавление результата к первой записи в строке один (10) давало 0. Используя правило два, мы умножаем каждая запись в третьей строке по 2:

  108 [100-50006.6700−6.67−10012.88−2.883.8400−1.44400−6.671.

  .67] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}.

  Затем мы добавляем строку 1 к строке 3, но мы не затрагиваем строку 1:

  108 [100-50006.6700-6.67007.88-2.883.8400-1.44400-6.671.

  .67] {u2v2u3u4v4} = {00020000-50000 }.

  Теперь, когда все значения в первом столбце, кроме первого, равны 0, мы применяем аналогичный процесс ко второму столбцу. Мы хотим, чтобы все значения во втором столбце, кроме второго, равнялись 0, а это значит, что мы должны адресовать −6,67 в последней строке. Его можно изменить на 0, просто добавив значения из строки 2.

  108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400−1.4440001.9204] {u2v2u3u4v4} = {00020000−50000}

  Две операции, правила два и три, необходимы для преобразования записи в четвертой строке столбца три на 0. Сначала умножаем четвертую строку на 7,881,44 (обратите внимание, что эта операция также применима к вектору силы):

  108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400-7,8821,8,9204] {u2v2u3u4v4} = { 0001.094 × 105−50000},

  , а затем добавьте значения из третьей строки к этим результатам, чтобы сформировать новую четвертую строку:

  108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400019.013.84001.9204] {u2v2u3u4v4} = {0001.094 × 105−50000}.

  Аналогичным образом мы умножаем пятую строку на -7,881,92, а затем складываем значения из третьей строки, чтобы сформировать новую пятую строку:

  108 [100-50006,6700-6,67007,88-2,883,8400019,013,84000-2,88-12,58 ] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1052,052 × 106}.

  К этому моменту должно быть очевидно, что умножение на значение в другой строке и последующее деление на значение в текущей строке дает результат, который можно вычесть из этой другой строки и получить 0.Чтобы еще раз увидеть этот процесс, мы умножаем пятую строку на 19.012.88, затем складываем значения из четвертой строки, чтобы получить новую пятую строку:

  108 [100−50006.6700−6.67007.88−2.883.8400019.013.840000−79.20] {u2v2u3u4v4} = {0001,094 × 1051,464 × 106}.

  Теперь матрица имеет форму верхней треугольной матрицы, что означает, что все значения ниже и слева от правой диагональной линии являются нулями. На этом этапе мы применяем метод обратной замены для определения узловых смещений.

  Начнем с последней строки, которая содержит 108 [0000−79.20], и мы умножаем последовательные значения в этой строке на последовательные значения в векторе узлового смещения:

  108 ((0) (u2) + (0) (v2) + (0) (u3) + (0) ( u4) + (- 79.20) (v4)) = 1.464 × 106

  Мы можем сделать это проще, признав, что только последнее значение в строке ненулевое, и поэтому v ₄ — это просто последнее значение в вектор силы, деленный на последний элемент в верхней треугольной матрице [ K ]:

  v4 = (1,464 × 106) (- 79,2 × 108) = — 1,849 × 10−4

  Мы можем использовать v ₄ , чтобы найти u ₄ и т. Д.Ниже приведены расчеты значений узловых смещений в м :

  u4 = 1,094 × 105−108 × 3,84 × v419,01 × 108 = 1,804 × 10519,01 × 108 = 0,949 × 10−4,

  u3 = 108 × (2,88) × u4−108 × 3,84 × v4108 × 7,88 = 9,837 × 10−47,88 = 1,248 × 10−4,

  v2 = 108 × 6,67 × v4108 × 6,67 = −1,849 × 10−4 и

  u2 = 108 × 5 × u3108 × 10 = 0,624 × 10−4.

  Узловые смещения, рассчитанные с использованием метода MSA или прямого метода жесткости, в точности совпадают с точными решениями проблем, связанных с фермами.Для типов элементов, отличных от фермы или пружины, узловые решения вряд ли будут иметь те же значения, что и точные решения. Простое практическое правило состоит в том, что чем больше элементов используется для представления интересующей структуры, тем точнее результаты будут приближаться к точным решениям. Дополнительные описания других типов элементов приведены в главе 2.

  Исключение Гаусса Джордана — объяснение и примеры

  Метод методом исключения Гаусса-Жордана — это алгоритм для решения линейной системы уравнений.Мы также можем использовать его, чтобы найти обратную матрицу. Давайте сначала посмотрим на определение:

  Исключение Гаусса Джордана или Гаусса исключение — это алгоритм для решения системы линейных уравнений, представляющий ее в виде расширенной матрицы, сокращая ее с помощью операций со строками и выражая систему в сокращенной строке. -эшелонированная форма для нахождения значений переменных.

  В этом уроке мы увидим детали метода исключения Гаусса и того, как решить систему линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Жордана.Примеры и практические вопросы будут приведены ниже.

  Что такое метод исключения Гаусса?

  Метод исключения Гаусса — это структурированный метод решения системы линейных уравнений. Таким образом, это алгоритм, и его можно легко запрограммировать для решения системы линейных уравнений. Основная цель исключения Гаусса-Джордана:

  • представить систему линейных уравнений в форме расширенной матрицы
  • затем выполнить операции строки $ 3 $ до тех пор, пока не будет получена сокращенная форма эшелона строк (RREF) достигнуто
  • Наконец, мы можем легко распознать решения из RREF

  . Давайте посмотрим, что такое расширенная матричная форма, операции со строками стоимостью 3 доллара, которые мы можем выполнять с матрицей, и упрощенная форма эшелона строк матрицы.

  Расширенная матрица

  Система линейных уравнений показана ниже:

  $ \ begin {align *} 2x + 3y & = \, 7 \\ x — y & = 4 \ end {align *} $

  Мы запишет расширенную матрицу этой системы, используя коэффициенты уравнений и записав ее в стиле , показанном ниже:

  $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 4 \ end {array} \ right] $

  Пример использования одновременных уравнений $ 3 $ показан ниже:

  $ \ begin {align *} 2x + y + z & = \, 10 \\ x + 2y + 3z & = 1 \\ — x — y — z & = 2 \ end {align *} $

  Представление этой системы в виде расширенной матрицы:

  $ \ left [\ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & 1 & 10 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ — 1 & — 1 & — 1 & 2 \ end {array} \ right] $

  Операции со строками в матрице

  Есть $ 3 $ элементарных операций со строками , которые мы можем выполнять с матрицами.Это не изменит решения системы. Это:

  1. Обмен $ 2 $ строк
  2. Умножить строку на ненулевой ($ \ neq 0 $) скаляр
  3. Добавить или вычесть скалярное кратное одной строки из другой строки.

  Форма сокращенного эшелона строк

  Основная цель исключения Гаусса Джордана — использовать операции элементарной строки стоимостью 3 доллара в расширенной матрице, чтобы привести ее к форме сокращенного эшелона строк (RREF). Считается, что матрица находится в сокращенной форме эшелона строк , также известной как каноническая форма строки , если выполняются следующие условия $ 4 $:

  1. Строки с нулевыми записями (все элементы этой строки равны $ 0 $ s) находятся внизу матрицы.
  2. ведущая запись (первая ненулевая запись в строке) каждой ненулевой строки соответствует правой ведущей записи строки непосредственно над ней.
  3. Начальная запись в любой ненулевой строке — 1 доллар.
  4. Все записи в столбце, содержащем начальную запись ($ 1 $), нулевые.

  Как выполнить исключение Гаусса-Джордана

  В методе исключения Гаусса-Джордана нет каких-либо определенных шагов, но алгоритм ниже описывает шаги, которые мы выполняем, чтобы прийти к сокращенной форме эшелона строк расширенной матрицы.

  1. Поменяйте местами строки так, чтобы все строки с нулевыми записями находились внизу матрицы.
  2. Поменяйте местами строки так, чтобы строка с самой большой левой цифрой находилась наверху матрицы.
  3. Умножьте верхнюю строку на скаляр, который преобразует ведущую запись верхней строки в $ 1 $ (если ведущей записью верхней строки является $ a $, умножьте ее на $ \ frac {1} {a} $, чтобы получить $ 1 $).
  4. Сложите или вычтите значения, кратные верхней строке, из других строк, чтобы все записи в столбце ведущей записи верхней строки были нулями.
  5. Выполните шаги $ 2 — 4 $ для следующей крайней левой ненулевой записи , пока все ведущие записи каждой строки не будут равны 1 $.
  6. Поменяйте местами строки так, чтобы первая запись каждой ненулевой строки находилась справа от ведущей записи строки непосредственно над ней

  На первый взгляд, запомнить / запомнить шаги не так просто. Это вопрос решения нескольких проблем, пока вы не освоитесь с процессом. Существует также фактор интуиции , который играет B-I-G роль в выполнении исключения Гаусса Джордана.

  Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы пояснить процесс решения системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса-Джордана .

  Пример 1

  Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:

  $ \ begin {align *} {- x} + 2y & = \, {- 6} \\ { 3x} — 4y & = {14} \ end {align *} $

  Решение

  Первый шаг — написать расширенную матрицу системы.Мы показываем это ниже:

  $ \ left [\ begin {array} {r r | r} — 1 & 2 & — 6 \\ 3 & -4 & 14 \ end {array} \ right] $

  Теперь наша задача — преобразовать матрицу в сокращенную форму эшелона строк (RREF), выполнив команду $ 3 $ элементарные операции со строками.

  У нас есть расширенная матрица:

  $ \ left [\ begin {array} {r r | r} — 1 & 2 & — 6 \\ 3 & — 4 & 14 \ end {array} \ right] $

  Шаг 1:

  Мы можем умножить первую строку на $ — 1 $, чтобы получить ведущий вход $ 1 $.Показано ниже:

  $ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & — 2 & 6 \\ 3 & — 4 & 14 \ end {array} \ right] $

  Шаг 2:

  Теперь мы можем умножить первую строку на $ 3 $ и вычесть ее из второй ряд. Показано ниже:

  $ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & -2 & 6 \\ {3 — (1 \ times 3)} & {-4 — (-2 \ times 3)} & {14 — (6 \ times 3)} \ end {array} \ справа] $

  $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & — 2 & 6 \\ 0 & 2 & — 4 \ end {array} \ right] $

  У нас есть $ 0 $ как первая запись второй строки.

  Шаг 3:

  Чтобы сделать вторую запись второй строки $ 1 $, мы можем умножить вторую строку на $ \ frac {1} {2} $. Показано ниже:

  $ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & — 2 & 6 \\ {\ frac {1} {2} \ times 0} & {\ frac {1} {2} \ times 2} & {\ frac {1} {2} \ times — 4} \ end {array} \ right] $

  $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & — 2 & 6 \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ right] $

  Шаг 4:

  Мы почти у цели!

  Вторая запись первой строки должна быть $ 0 $.Для этого мы умножаем вторую строку на $ 2 $ и добавляем ее к первой строке. Показано ниже:

  $ \ left [\ begin {array} {r r | r} {1 + (0 \ times 2)} & {- 2 + (1 \ times 2)} & {6 + (- 2 \ times 2)} \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ справа] $

  $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & — 2 \ end {array} \ right] $

  Это сокращенный эшелон строк , форма . Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

  $ \ begin {align *} x + 0y & = \, 2 \\ 0x + y & = -2 \ end {align *} $

  $ \ begin {align *} x & = \, 2 \\ y & = — 2 \ end {align *} $

  Таким образом, решение системы уравнений: $ x = 2 $ и $ y = — 2 $.

  Пример 2

  Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:

  $ \ begin {align *} x + 2y & = \, 4 \\ x — 2y & = 6 \ end { align *} $

  
  Решение

  Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

  $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 4 \\ 1 & — 2 & 6 \ end {array} \ right] $

  Теперь мы выполняем элементарные операции со строками над этой матрицей, пока не получим сокращенную форму эшелона строк.

  Шаг 1:

  Умножаем первую строку на $ 1 $, а затем вычитаем ее из второй строки. По сути это вычитание первой строки из второй:

  $ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 и 2 и 4 \\ 1 — 1 и — 2 — 2 и 6 — 4 \ end {array} \ right] $

  $ = \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 2 & 4 \\ 0 & — 4 & 2 \ end {array} \ right] $

  Шаг 2:

  Мы умножаем вторую строку на $ — \ frac {1} {4} $, чтобы получить вторая запись строки, $ 1 $:

  $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 и 2 и 4 \\ 0 \ times — \ frac {1} {4} & — 4 \ times — \ frac {1} {4} и 2 \ times — \ frac {1} {4} \ end {массив} \ right] $

  $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & — \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] $

  Шаг 3:

  Наконец, мы умножаем вторую строку на $ — 2 $ и добавьте его в первую строку, чтобы получить уменьшенную форму эшелона строк этой матрицы:

  $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 + (- 2 \ times 0) & 2+ (- 2 \ times 1) & 4 + (- 2 \ times — \ frac {1} {2}) \\ 0 & 1 & — \ frac {1 } {2} \ end {array} \ right] $

  $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & — \ frac {1} {2} \ end {array} \ right] $

  Это сокращенный эшелон строки , форма .Из расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

  $ \ begin {align *} x + 0y & = \, 5 \\ 0x + y & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} $

  $ \ begin {align *} x & = \, 5 \\ y & = — \ frac {1} {2} \ end {align *} $

  Таким образом, решение системы уравнений составляет $ x = 5 $ и $ y = — \ frac {1} {2} $.

  Практические вопросы

  1. Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:

     $ \ begin {align *} 2x + y & = \, — 3 \\ — x — y & = 2 \ end {align *} $

  2. Решите систему, показанную ниже, используя метод исключения Гаусса Джордана:

     $ \ begin {align *} x + 5y & = \, 15 \\ — x + 5y & = 25 \ end {align *} $

  Ответы

  1. Начнем с написания расширенной матрицы системы уравнений:

     $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 2 & 1 & — 3 \\ — 1 & — 1 & 2 \ end {array} \ right] $

     Теперь мы выполняем элементарные операции со строками, чтобы прийти к нашему решению.

     Первый,
     Инвертируем знаки второй строки и меняем строки местами. Итак, имеем:
     $ \ left [\ begin {array} {r r | r} 1 & 1 & — 2 \\ 2 & 1 & — 3 \ end {array} \ right] $
     Во-вторых,
     Мы дважды вычитаем первую строку из второй строки:
     $ \ left [\ begin {array} { rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 2 — (2 \ times 1) & 1 — (2 \ times 1) & — 3 — (2 \ times — 2) \ end {array} \ right] $
     $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 0 & — 1 & 1 \ end {array} \ right] $
     В-третьих,
     Мы инвертируем вторую строку, чтобы получить:
     $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 1 & — 2 \\ 0 & 1 & — 1 \ end {array} \ right] $
     Наконец,
     Мы вычитаем вторую строку из первой и получаем:
     $ = \ left [\ begin { массив} {rr | r} 1 & 0 & — 1 \\ 0 & 1 & — 1 \ end {array} \ right] $

     Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

     $ \ begin {align *} x + 0y & = \, — 1 \\ 0x + y & = — 1 \ end {align *} $

     $ \ begin {align *} x & = \, — 1 \\ y & = — 1 \ end {align *} $

     Таким образом, решение системы уравнений: $ x = — 1 $ и $ y = — 1 $.

  2. Расширенная матрица системы:
     $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ — 1 & 5 & 25 \ end {array} \ right] $
     Давайте приведите эту матрицу к приведенной форме эшелона строк и найдите решение системы.
     
     Во-первых,
     Отмените первую строку, затем вычтите ее из второй строки, чтобы получить:
     $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ — 1 — (- 1) & 5 — (- 5) & 25 — (- 15) \ end {array} \ right] $
     $ = \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 10 & 40 \ end {array} \ right] $
     Second,
     Разделите вторую строку на $ 10 $, чтобы получить:
     $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 & 5 & 15 \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
     Затем
     Умножьте вторую строку на $ 5 $ и вычтите ее из первой строки, чтобы получить окончательное решение:
     $ \ left [\ begin {array} {rr | r} 1 — (5 \ times 0) & 5 — (5 \ times 1) & 15 — (5 \ times 4) \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
     $ = \ left [ \ begin {array} {rr | r} 1 & 0 & — 5 \\ 0 & 1 & 4 \ end {array} \ right] $
     Это сокращенная форма эшелона строк (RREF).Из этой расширенной матрицы мы можем написать два уравнения (решения):

     $ \ begin {align *} x & = \, — 5 \\ y & = 4 \ end {align *} $

     Таким образом, решение системы уравнений $ x = — 5 $ и $ y = 4 $.

  Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

  Исключение Гаусса (Введение в линейные системы)

  Метод исключения Гаусса — это процедура решения систем линейных уравнений. Его можно описать как последовательность операций, выполняемых над соответствующей матрицей коэффициентов.Мы мотивируем исключение Гаусса и исключение Гаусса – Жордана несколькими примерами с упором на понимание операций со строками.

  Введение в системы линейных уравнений

  Система линейных уравнений с двумя переменными $ x $ и $ y $ имеет вид $$ \ begin {cases} ax + by = c \\ d x + ey = f \ end {ases} $$ где $ a, b , c, d, e, f $ заданы числа, такие как действительные или комплексные числа. Иногда система линейных уравнений также записывается с использованием индексов \ begin {equal} \ label {2by2sys} \ begin {cases} a_ {11} x + a_ {12} y = b_1 \\ a_ {21} x + a_ {22} y = b_2 \ end {case} \ end {формула}, чтобы уменьшить количество используемых букв.Для простоты давайте временно предположим, что коэффициенты являются ненулевыми действительными числами, и зададимся вопросом: сколько решений может быть у системы $ 2 \ times 2 $? Ключевая идея состоит в том, чтобы понять, что каждое линейное уравнение представляет собой линию в декартовой плоскости. Если мы рассмотрим возможные способы пересечения прямых на плоскости, мы приходим к выводу, что не должно быть решений, одно единственное решение или бесконечно много точек $ (x, y) $, которые решают систему.

  Пример .Определите, соответствует ли система линейных уравнений \ begin {уравнение} \ label {consys} \ begin {cases} 2x + 3y = 0 \\ 4x + 5y = 0. \ end {ases} \ end {Equation} не имеет решений, ровно одно решение или бесконечно много решений. Если мы умножим первое уравнение, а именно $ 2x + 3y = 0 $, на 2 и вычтем из второго уравнения $ 4x + 5y = 0 $, мы получим $ y = 0. $ Следовательно, решение является единственным и имеет вид $ (x , y) = (0,0). $

  Система линейных уравнений $ 3 \ times 3 $ имеет вид \ begin {уравнение} \ label {3by3sys} \ begin {cases} a_ {11} x + a_ {12} y + a_ {13} z = b_1 \\ a_ {21} x + a_ {22} y + a_ {23} z = b_2 \\ a_ {31} x + a_ {32} y + a_ {33} z = b_3 \\ \ end {case} \ end { уравнение}, где $ a_ {ij} $ и $ b_1, b_2, b_3 $ — числа, а $ x, y, z $ — переменные.Геометрически линейные уравнения с тремя переменными — это просто плоскости в трех измерениях. Итак, каковы различные типы наборов решений для системы? Рассматривая возможные способы пересечения трех плоскостей в трех измерениях, мы приходим к выводу, что не должно быть решений, одно единственное решение или бесконечно много точек $ (x, y, z) $, которые решают систему.

  Пример . Определите, соответствует ли система линейных уравнений \ begin {уравнение} \ label {linesysex1} \ begin {cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 4x + 5y + 6z = 3 \\ 7x + 8y + 9z = 0 \ end { case} \ end {equal} не имеет решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.Умножьте первое уравнение на $ -2 $ и добавьте ко второму уравнению, получив уравнение $ 2x + y = 3. $ Удалив $ z $ из первого и третьего уравнений, мы получим $ 4x + 2y = 0 $, умножив первое уравнение. на $ -3 $ и добавив к третьему уравнению. $ X $ и $ y $, удовлетворяющие системе, также должны удовлетворять системе \ begin {уравнение} \ begin {cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 0. \ end {ases} \ end {Equation} Умножение первого уравнения на $ 2 $ дает $ 4x + 2y = 6. $ Обратите внимание, что нет $ x $ и $ y $, которые удовлетворяют как $ 4x + 2y = 6 $, так и $ 4x + 2у = 0.$ Таким образом, у системы нет решений; поэтому исходная система также не имеет решений.

  Пример . Для чисел $ a, b $ и $ c $ покажите, что система линейных уравнений $$ \ begin {cases} x + 2y + 3z = a \\ x + 3y + 8z = b \\ x + 2y + 2z = c \ end {case} $$ либо не имеет решений, либо ровно одно решение, либо бесконечно много решений. Мы выбираем сначала удалить $ x $ и получаем систему $$ \ begin {cases} -y-5z = a-b \\ z = a-c. \ end {ases} $$ Затем мы исключаем $ z $, получая $ y = -6a + b + 5c.$ Следовательно, единственное решение — $$ (x, y, z) = (10a-2b-7c, -6a + b + 5c, a-c). $

  Давайте рассмотрим набор линейных уравнений, который включает $ n $ неизвестных величин, представленных $ x_1, x_2, \ ldots, x_n. $ Пусть $ a_ {ij} $ представляет число, которое является коэффициентом $ x_j $ в $ i $ -ое уравнение. Пусть даны числа $ b_1, b_2, \ ldots, b_m $. Система линейных уравнений уравнений \ begin {equal} \ label {syseq} \ begin {cases} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + \ cdots + a_ {2n} x_n = b_2 \\ \ hfill \ vdots \ hfill \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m \\ \ end {cases} \ end {Equation} называется системой одновременных линейных алгебраических уравнений .

  Решение этой системы — это упорядоченный набор из $ n $ чисел, который удовлетворяет каждому из операторов $ m $ в системе. Система линейных уравнений без решения называется несовместимой , а система по крайней мере с одним решением называется согласованной . Массив $$ \ left [\ begin {array} {l | l} \ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} \\ & & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \\ \ end {matrix} & \ begin {matrix} b_1 \\ b_2 \\ \ vdots \\ b_m \ end {matrix} \ end {array} \ right] $$ называется расширенной матрицей , соответствующей системе линейных уравнений.

  Например, система линейных уравнений выше оказалась непротиворечивой, а другая система линейных уравнений выше оказалась непоследовательной. Дополненные матрицы для этих систем следующие. $$ \ left [\ begin {array} {l | l} \ begin {matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \ end {matrix} & \ begin {matrix} 0 \\ 0 \ end {matrix} \ end {массив} \ right] \ qquad \ text {and} \ qquad \ left [\ begin {array} {l | l} \ begin {matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ end {matrix} & \ begin {matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \ end {matrix} \ end {array} \ right] $$

  Пример .Найдите все решения следующей системы линейных уравнений. \ begin {Equation} \ label {example: 2by3system} \ begin {cases} -150 x + 500y = z \\ 50x + 100y + z = 200 \ end {cases} \ end {equal} Данная система эквивалентна $ $ \ begin {case} -150 x + 500y-z = 0 \\ 50x + 100y + z = 200. \ end {ases} $$ Сложение этих уравнений дает $ -100x + 600y = 200. $ Поскольку у нас есть одно уравнение с двумя переменными, одна из переменных свободна. Мы решили позволить $ y $ быть свободным. Пусть $ y = t $ для произвольного числа $ t. $ Тогда, решая для $ x $, мы получаем $ -100x = 200y-600y $, или, что то же самое, $ x = -2 + 6t.$ Подставляя в исходную систему, находим $$ z = -150 (-2 + 6t) + 500t = 300-400t. $$ Следовательно, существует бесконечно много решений, которые можно представить в виде множества $$ \ {(x, y, z) \ mid x = -2 + 6t, y = t, z = 300-400t \ text { где $ t \ in \ mathbb {R} $} \}. $

  Другая расширенная матрица для этой системы линейных уравнений — $$ \ left [\ begin {array} {l | l} \ begin {matrix} -150 & 500 & -1 \\ 50 & 100 & 1 \ end {matrix} & \ begin {matrix} 0 \\ 200 \ end {matrix} \ end {array} \ right] $$ Как вы думаете, возможно ли решить, проверяя расширенную матрицу, соответствует ли соответствующая система линейных уравнений будет последовательным или непоследовательным?

  Операции со строками: решение систем линейных уравнений

  До сих пор в наших примерах мы видели системы линейных уравнений, не имеющие решений, единственное решение или, возможно, бесконечное количество решений.Эти примеры предлагают следующее определение.

  Определение . Две системы линейных уравнений называются эквивалентными , если они имеют один и тот же набор решений.

  Пример . Найдите систему линейных уравнений с тремя неизвестными $ x, y, z $, решениями которой являются $ x = 6 + 5t $, $ y = 4 + 3t $, $ z = 2 + t $, где $ t $ произвольно. Мы хотим исключить $ t. $ Решение для $ t $ дает $ t = z-2. $ Путем подстановки $ x = 6 + 5 (z-2) $ и $ y = 4 + 3 (z-2). $ Таким образом, у нас есть система линейных уравнений $$ \ begin {ases} x-5z = -4 \\ y-3z = -2 \ end {ases} $$, которая имеет бесконечно много решений.

  Теорема . Системы линейных уравнений эквивалентны, если каждая может быть получена из другой с помощью одной или нескольких следующих операций.

  Поменяйте порядок уравнений.

  Умножьте (или разделите) одно уравнение на ненулевой скаляр.

  Складываем одно уравнение, кратное одному, к другому.

  Проба . Если мы рассматриваем набор решений как геометрический объект, должно быть очень легко понять, что способ, которым мы пишем уравнения, представляющие объект, не меняет объект.Таким образом, должно быть очевидно, что изменение порядка уравнений не изменит решений системы линейных уравнений. Также не будет умножения (или деления) обеих частей уравнения на ненулевую константу.

  Пусть система $ A $ будет системой $ m \ times n $, представленной \ begin {уравнением} \ label {syseqA} \ begin {cases} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ \ hfill \ vdots \ hfill \\ a_ {i1} x_1 + a_ {i2} x_2 + \ cdots + a_ {in} x_n = b_i \\ \ hfill \ vdots \ hfill \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m & \\ \ end {cases} \ end {equal} Рассмотрим систему $ B $, полученную из системы $ A $ добавлением $ k $ умноженного на уравнение $ i $ к уравнение $ j $ следующим образом: \ begin {Equation} \ label {syseqB} \ begin {cases} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ \ qquad \ qquad \ vdots \ qquad \ qquad \ qquad \ vdots \\ (a_ {j1} + k a_ {i1}) x_1 + (a_ {j2} + k a_ {i2}) x_2 + \ cdots + (a_ {jn} + k a_ {in }) x_n = b_j + k b_i \\ \ qquad \ qquad \ vdots \ qquad \ qquad \ qquad \ vdots \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m \\ \ end {case} \ end {Equation} Пусть $ S_A $ и $ S_B $ — множества решений систем $ A $ и $ B $ соответственно.Мы покажем $ S_A = S_B. $

  Пусть $ x_0 = (x_1, x_2, \ ldots, x_n) $ — решение системы $ A. $ Таким образом, $ x_0 $ удовлетворяет всем линейным уравнениям. Итак, $ x_0 $ удовлетворяет всем уравнениям в системе B, кроме, возможно, $ j $ -го уравнения. Работая с $ j $ -м уравнением в системе $ B $, находим

  \ begin {align} & (a_ {j1} + k a_ {i1}) x_1 + (a_ {j2} + k a_ {i2}) x_2 + \ cdots + (a_ {jn} + k a_ {in}) x_n \ \ & \ qquad = a_ {j1} x_1 + \ cdots + a_ {jn} x_n + k (a_ {i1} x_1 + \ cdots a_ {jn} x_n) \\ & \ qquad = b_j + k b_i.\ end {align}

  Это показывает, что $ x_0 $ также удовлетворяет $ j $ -му уравнению системы $ B. $ Поскольку $ x_0 $ удовлетворяет каждому уравнению, $ x_0 $ также является членом $ S_B. $ До сих пор мы показали $ S_A \ substeq S_B . $ И наоборот, предположим, что $ x_0 $ является решением каждого уравнения второй системы линейных уравнений. Работая с $ j $ -м уравнением системы $ A $, находим,

  \ begin {align} & a_ {j1} x_1 + a_ {j2} x_2 + \ cdots + a_ {jn} x_n = b_j \ notag \\ \ Longleftrightarrow \ quad & a_ {j1} x_1 + (k a_ {i1} -ka_ {i1}) x_1 + \ cdots + a_ {jn} + (k a_ {i1} -ka_ {i1}) x_n = b_j \ notag \\ \ Longleftrightarrow \ quad & (a_ {j1} + k a_ {i1}) x_1 + (a_ {j2} + k a_ {i2}) x_2 + \ cdots + (a_ {jn} + k a_ {in}) x_n = b_j + k b_i.\ label {eqsys} \ end {align}

  Следовательно, поскольку $ x_0 $ удовлетворяет системе $ B $; и, таким образом, $ x_0 $ удовлетворяет $ j $ -му уравнению системы $ A. $ Следовательно, $ S_A = S_B $, как и нужно.

  Прорабатывая детали следующих двух примеров, обратите внимание, как используются операции в Row Operations.

  Пример . Пусть $ a, b $ и $ c $ — константы. Решите систему линейных уравнений $$ \ begin {cases} y + z = a \\ x + z = b \\ x + y = c. \ end {ases} $$ Исключая $ z $ из первого и второго уравнений, получаем систему $$ \ begin {ases} xy = ba \\ x + y = c \ end {ases} $$ Решение для $ x $ дает $ x = (c + ba) / 2.$ Используя исходную систему, мы находим, что $ y $ и $ z $ равны $$ y = cx = c- (c + ba) / 2 = (c-b + a) / 2 $$ $$ z = ay = a — (c-b + a) / 2 = (a + bc) / 2 $$ Следовательно, решение системы: $$ (x, y, z) = \ left (\ frac {c + ba} {2 }, \ frac {a + cb} {2}, \ frac {a + bc} {2} \ right). $

  Пример . Найдите наименьшее натуральное число $ C $ такое, что $ x, y, z $ являются целыми числами и удовлетворяют системе линейных уравнений уравнений $$ \ begin {cases} 2x + y = C \\ 3y + z = C \\ x + 4z = C \ end {cases} $$ Умножьте третье уравнение на $ -2 $ и добавьте к первому уравнению, получив $ y-8z = -C.$ Умножая второе уравнение на 8 и прибавляя к $ y-8z = -C $, получаем $ 25y = 7C. $ Решая для $ y $, получаем $ y = (7/25) C. $ Подстановкой $ x = (9/25) C $ и $ z = (4/25) C. $ Следовательно, 25 — наименьшее целое число $ C $ такое, что $ x, y, z $ являются целыми числами и решает систему.

  Исключение по Гауссу

  Мы будем решать систему линейных уравнений, используя элементарные операции со строками над матрицами, используя процедуру, известную как Исключение Гаусса . Набор решений будет набором векторов.

  Определение . Следующие операции в совокупности известны как операции элементарных строк .

  (1) Поменяйте местами два ряда.

  (2) Умножьте строку на ненулевой скаляр.

  (3) Добавить строку из другой строки, кратную строке.

  Из операций со строками очевидно, что применение элементарных операций со строками к системе линейных уравнений приводит к эквивалентной системе. Редукция системы линейных уравнений при сохранении множества решений — чрезвычайно полезная идея, которую мы будем активно развивать.

  Например, мы обнаруживаем, что система линейных уравнений \ begin {equal} \ label {refex} \ begin {cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x + 5y-z = -4 \\ 3x-2y- z = 5 \ end {case} \ qquad \ qquad \ begin {cases} x = 2 \\ y = -1 \\ z = 3 \ end {case} \ end {уравнение} эквивалентны. Мы покажем, как применить элементарные операции со строками, чтобы получить систему справа. В то время как система слева может быть заданной системой линейных уравнений, система справа решена.

  Определение .Считается, что матрица находится в эшелоне строки формы , если она удовлетворяет всем следующим условиям.

  (1) Все строки с хотя бы одним ненулевым коэффициентом находятся над любыми строками со всеми нулями.

  (2) Первое ненулевое число слева (называемое ведущим коэффициентом ) ненулевой строки всегда находится строго справа от ведущего коэффициента строки над ней.

  (3) Все записи в столбце под ведущим коэффициентом нулевые.

  Далее, матрица называется сокращенной формой эшелона строк , если она находится в форме эшелона строк и выполняется дополнительное условие: каждый ведущий коэффициент равен 1 и является единственной ненулевой записью в своем столбце.
  

  Например, расширенные матрицы для системы линейных уравнений выше: $$ \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & -1 & -4 \\ 3 & -2 & -1 & 5 \ end {array} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {array} \ end {bmatrix}.$$ Проверив эти четыре условия, мы увидим, что матрица справа имеет вид сокращенного ряда строк. Для получения дополнительных примеров рассмотрим следующие матрицы. $$ A = \ begin {bmatrix} 0 & 5 \\ 2 & 3 \ end {bmatrix} \ qquad B = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ qquad C = \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$ $$ D = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} \ qquad E = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ qquad F = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$ Обратите внимание, что матрицы $ D $ и $ E $ находятся в уменьшенной строке форма эшелона, а остальные нет.

  Пример . Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы линейных уравнений. $$ \ begin {cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x + 5y-z = -4 \\ 3x-2y-z = 5 \ end {cases} $$ Используя операции со строками в расширенной матрице, мы получаем уменьшенная форма рядного эшелона.

  \ begin {align *} & \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 1 и 3 \\ 2 и 5 и -1 и -4 \\ 3 и -2 и -1 и 5 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_1 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -3R_1 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 1 и 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 & -8 & -4 & -4 \ end {массив} \ end {bmatrix} \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle 8 R_2 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 1 и 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 & 0 & -28 & -84 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle — \ frac {1} {28} R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 1 и 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 и 0 и 1 и 3 \ end {массив} \ end {bmatrix} \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle 3R_3 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_3 + R_1} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 и 2 и 0 и 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 и 0 и 1 и 3 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_2 + R_1} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 и 0 и 1 и 3 \ end {массив} \ end {bmatrix}.\ end {align *}

  Следовательно, единственное решение — $ x = 2 $, $ y = -1 $ и $ z = 3. $

  Пример . Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения следующей системы линейных уравнений. \ begin {уравнение} \ label {gjee1} \ begin {cases} x + y -2z + 4t = 5 \\ 2x + 2y-3z + t = 3 \\ 3x + 3y-4z-2t = 1 \ end {case } \ end {уравнение} Используя операции со строками над расширенной матрицей, мы получаем сокращенную форму эшелона строк.

  \ begin {align *} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 4 и 5 \\ 2 и 2 и -3 и 1 и 3 \\ 3 и 3 и -4 и -2 и 1 \ end {массив} \ end {bmatrix} & \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_1 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -3R_1 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 4 и 5 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 2 & -14 & -14 \ end {массив} \ end {bmatrix} \\ & \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_2 + R_3} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle 2R_2 + R_1} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и 0 и -10 и -9 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ end {align *}

  Эта система эквивалентна $$ \ begin {cases} x + y-10t = -9 \\ z-7t = -7 \ end {ases} \ quad \ text {или, проще говоря} \ quad \ begin {cases} х = -9-у + 10т \\ г = -7 + 7т.4 \ mid x = -9-y + 10t, y = s, z = -7 + 7t, w = t, \ text {for} s, t \ in \ mathbb {R} \}. $$ — это набор решений.

  Пример . Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения следующей системы линейных уравнений. $$ \ begin {case} x_1 + x_2-2x_3 + 3x_4 = 4 \\ 2x_1 + 3x_2 + 3x_3-x_4 = 3 \\ 5 x_1 + 7 x_2 + 4 x_3 + x_4 = 5 \ end {cases} $$ Использование строки операций над расширенной матрицей мы получаем приведенную форму эшелона строк.

  \ begin {align *} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 3 и 4 \\ 2 и 3 и 3 и -1 и 3 \\ 5 и 7 и 4 и 1 и 5 \ end {массив} \ end {bmatrix} & \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_1 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -5R_1 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 3 и 4 \\ 0 и 1 и 7 и -7 и -5 \\ 0 и 2 и 14 и -14 и 15 \ end {массив} \ end {bmatrix} \\ & \ begin {массив} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_2 + R_3} \ end {массив} \ begin {bmatrix} \ begin {array} {cccc | c} 1 и 1 и -2 и 3 и 4 \\ 0 и 1 и 7 и -7 и -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 25 \ end {массив} \ end {bmatrix} \ end {align *}

  Обратите внимание, что последняя строка соответствует уравнению $ 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 = 25.2 $ — такой многочлен. Используя данные точки, мы настраиваем систему и решаем.

  \ begin {align *} & \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & б & с \\ а & 2b & 4c \\ a, 3b и 9c \ end {matrix} & \ begin {matrix} -1 \ 3 \ 13 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_1 + R_2} \\ \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_1 + R_3} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & б & с \\ 0 & b & 3c \\ 0 и 2b и 8c \ end {matrix} & \ begin {matrix} 1 \ 4 \ 14 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -2R_2 + R_3} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & b & c \\ 0 & b & 3c \\ 0 и 0 и 2c \ end {matrix} & \ begin {matrix} -1 \ 4 \ 6 \ end {matrix} \ end {array} \ right] \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle \ frac {1} {2} R_3} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & b & c \\ 0 & b & 3c \\ 0 & 0 & c \ end {matrix} & \ begin {matrix} -1 \ 4 \ 3 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -3R_3 + R_2} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & б & с \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {matrix} & \ begin {matrix} -1 \ -5 \ 3 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_2 + R_1} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & 0 & с \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {matrix} & \ begin {matrix} 4 \ -5 \ 3 \ end {матрица} \ end {array} \ right] \\ & \ qquad \ qquad \ begin {array} {c} \ stackrel {\ longrightarrow} {\ scriptstyle -R_3 + R_1} \ end {массив} \ left [\ begin {array} {c | c} \ begin {matrix} а & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {matrix} & \ begin {matrix} 1 \ -5 \ 3 \ end {матрица} \ end {array} \ right].2-5 лет + 1. $

  Упражнения по системе линейных уравнений

  Упражнение . Убедитесь, что $ (2,3, -1) $ является решением системы линейных уравнений.

  • $ \ begin {cases} x + 2y + z = 7 \\ xy = -1 \\ 4x + y + z = 10 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} x + y = 5 \ \ xz = 3 \\ y + z = 2 \ end {cases} $

  Упражнение . Убедитесь, что каждая тройка вида $ (7-2k, 8 + 6k, k) $ является решением системы линейных уравнений.

  • $ \ begin {cases} x_1 + 2x_3 = 7 \\ x_2-6x_3 = 8 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 2x_1 + 4x_3 = 14 \\ x_1 + 3x_2-16x_3 = 31 \ end {кейсы}

  Упражнение .У следующих систем нет решений, ровно одно решение или бесконечно много решений? Обосновать ответ.

  • $ \ begin {case} x + y = 1 \\ x + 2y = 1 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 3x + y = 1 \\ y = -2 \ end {cases} $
  • $ \ begin {case} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 2 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 3x + y = 2 \\ 6x + 2y = 4 \ end { case} $

  Упражнение . Нарисуйте график каждого уравнения системы линейных уравнений и решите, нет ли у него решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.

  • $ \ begin {case} x + y = 2 \\ 2x + 3y = 0 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} -x + 3y = 2 \\ 2x-6y = -4 \ end {кейсы}

  Упражнение . Найдите решения, если таковые имеются, следующей системы линейных уравнений без использования матриц. Если уравнение имеет более одного решения, напишите общее решение.

  • $ \ begin {cases} 3x-2y = 7 \\ 2x + y = 15 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} x + y = 7 \\ 3x + 4y = 12 \ end {случаях } $
  • $ \ begin {case} 2x_1-3x_2 = 1 \\ 4x_1-6x_2 = -2 \\ x_1 + x_2 = 1 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 2x_1-5x_2 = 12 \ end {case} $
  • $ \ begin {cases} i x_1-3ix_2 = 1 \\ (2 + i) x_1-x_2 = -1 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} (1 + i ) x_1-2ix_2 = 2 \\ 2x_1-3i x_2 = 4-3i \ end {cases} $

  Упражнение .Если возможно, найдите точки пересечения.

  • $ x-4y = 11 $ и 7x-2y = 9 $
  • $ x-4y + 3z = 11 $, 7x-2y-z = -1 $, 7x-2y + z = -2 $

  Упражнение . Пусть $ u = (1,1,2, -1) $ и $ v = (1,1,1,0). $ Для каких скаляров $ a $ и $ b $ верно, что $ a u + bv $ это решение следующей системы?

  • $ \ begin {cases} 4x-2y-zw = 1 \\ x + 3y-2z-2w = 2 \ end {ases} $
  • $ \ begin {cases} x-4y-z-2w = 4 \ \ 7x + y-5z-2w = 12 \ end {cases} $

  Упражнение .Найдите все решения, если таковые существуют, для следующей системы линейных уравнений.

  • $ \ begin {case} xy = 1 \\ 2x = 4 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 2x + 3y-z = 19 \\ 3x-2y + 3z = 7 \ end {случаях } $
  • $ \ begin {case} x-3y = 2 \\ -2x + 6y = -4 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} x-y + 2z-2w = 1 \\ 2x + y + 3w = 4 \\ 2x + y + 3w = 6 \ end {cases} $

  Упражнение . Найдите все решения, если таковые существуют, следующей системы линейных уравнений.

  • $ \ begin {cases} 2x-z = -1 \\ x + yz = 0 \\ 2x-y + 2z = 3 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 2x-3y + 2z = 1 \\ x-6y + z = 2 \\ -x-3y-z = 1 \ end {cases} $

  Упражнение .Найдите все решения, если таковые существуют, следующей системы линейных уравнений.

  • $ \ begin {cases} x_1 + 2x_2-x_3 = 0 \\ 2x_1 + 5x_2 + 5x_3 = 0 \\ x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 0 \\ x_1 + 3x_2 + 3x_3 = 0 \ end {cases} $
  • $ \ begin {case} x + y + z + w = ​​1 \\ 2x-2y + z + 2w = 3 \\ 2x + 6y + 3z + 2w = 1 \\ 5x-3y + 3z + 5w = 8 \ end {кейсы}

  Упражнение . При каких значениях константы $ k $ у систем нет решения, ровно одно решение или бесконечное множество решений.

  • $ \ begin {cases} x + y = 1 \\ 3x + 3y = k \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} x + ky = 1 \\ 2x-y = k \ end {случаях } $

  Exercise .2 + 2} + \ frac {c} {2x-1}. $

  Упражнение . Пусть $ a $ и $ b $ — произвольные постоянные. Найдите все решения системы линейных уравнений.

  • $ \ begin {cases} x + 2y = a \\ 3x + 5y = b \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} a x + 2y = 1 \\ 3x + by = 4 \ end { case} $

  Упражнение .
  Пусть $ a $ и $ b $ — произвольные постоянные. Найдите все решения системы линейных уравнений.
  

  • $ \ begin {case} x + 2y + 3z = a \\ x + 3y + 8z = b \\ x + 2y + 2z = c \ end {case} $
  • $ \ begin {cases} x-2y + 4z = a \\ x-3y + 5z = b \\ x-2y + 6z = c \ end {cases} $

  Упражнение .Система линейных уравнений, все постоянные члены которой равны нулю, называется однородной системой
  .

  • Покажите, что в однородной системе всегда есть хотя бы одно решение.
  • Приведите примеры, показывающие, что гомогенная система может иметь более одного решения или только одно решение.

  Упражнение . Напишите систему, соответствующую каждой расширенной матрице.

  • $ \ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \ end {array} \ right] $
  • $ \ left [\ begin {array} {cccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right] $
  • $ \ left [\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ end {array} \ right] $
  • $ \ left [\ begin {array} {c | c} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \ end {array} \ right] $
  • $ \ left [\ begin {array} {c | c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {массив } \ right] $
  • $ \ left [\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ end {array} \ right] $

  Упражнение .Какие из следующих матриц представлены в виде уменьшенного ряда строк?

  • $ \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} $
  • $ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ end {bmatrix} $
  • $ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} $
  • $ \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} $

  Упражнение .Какие из следующих матриц представлены в виде уменьшенного ряда строк?

  • $ \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} $
  • $ \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} $
  • $ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $
  • $ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix } $

  Exercise .Найти все решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.

  • $ \ begin {cases} x_2 + 2x_4 + 3x_5 = 0 \\ 4x_4 + 8x_5 = 0 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 3x + 4y = 0 \\ -2x + 7y = 0 \ конец {кейсы} $

  Упражнение . Найти все решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.

  • $ \ begin {cases} x_4 + 2x_5-x_6 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + x_5-x_6 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3-x_5 + x_6 = 2 \ end {cases} $
  • $ \ begin {case} 3x_1 + 3x_2-4x_3 + x_4 = 2 \\ x_1 + x_2-x_3-x_4 = 5 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 2 x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 6-x_4 \\ 3x_1 -2x_2-x_4 = 1 + 4x_3 \\ 3x_1 + 3x_3 + x_4 = 4-x_2 \\ x_2 + x_3-4x_4 = -3-4x_1 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 -x_4 = 4 \\ 5x_1 + 4x_2 + 3x_3-x_4 = 4 \\ -2x_1-2x_2-x_3 + 2x_4 = -3 \\ 11x_1 + 6x_2 + 4x_3 + x_4 = 11 \ end {case} $
  • $ \ begin {case} 2x_1-3x_2 + x_3 = 5 \\ x_1 + x_2-x_3 = 3 \\ 4x_1-x_2-x_3 = 1 \ end {cases} $
  • $ \ begin {cases} x_1-x_2 = 4 \\ 2x_1 + x_2 = 7 \\ 5x_1-2x_2 = 19 \ end {case} $

  Упражнение .Найдите все матрицы размером $ 4 \ times 1 $ в приведенной форме эшелона строк.

  Упражнение . Сколько существует типов матриц размером $ 3 \ times 2 $ в приведенной строчной форме? Сколько существует типов матриц размером $ 2 \ times 3 $ в приведенной строчной форме?

  Упражнение . Опишите возможные формы сокращенного эшелона строк для матрицы с двумя строками и двумя столбцами. Опишите возможные формы сокращенного эшелона строк для матрицы с тремя строками и тремя столбцами.

  Упражнение .Найдите многочлен степени 3, график которого проходит через точки
  $ (0,1) $, $ (1,0) $, $ (- 1,0) $ и $ (2, -15). $ Нарисуйте эскиз график этой кубики.

  Упражнение . Найдите многочлен степени 4, график которого проходит через точки $ (1,1) $, $ (2, -1) $, $ (3, -59) $ и $ (- 2, -29). $ Sketch график этой квартики.

  Упражнение . Найдите значения $ k $, если они есть, для которых система имеет: только одно решение, никаких решений, бесконечное количество решений.2-2) x_3 = a \ end {cases} $$ будет иметь: бесконечно много решений, никаких решений, ровно одно решение.

  Упражнение . Используйте метод исключения Гаусса-Жордана для решения системы линейных уравнений $$ \ left \ {\ begin {array} {lll} a x_1 + b x_2 & & = r \ quad (a \ neq 0) \\ c x_1 + d x_2 & & = s \ quad (e \ neq 0) \\ & e x_3 + f x_4 & = t \\ & g x_3 + h x_4 & = u \\ \ end {array} \ right. $$ Условия состояния для $ a, b, c, d, e, f, g $ и $ h $, которые гарантируют уникальное решение.2 + a x + by + c = 0 $ окружности, проходящей через следующие точки.

  • $ (- 2,1) $, (5,0) $ и (4,1) $
  • $ (1,1) $, $ (5, -3) $ и $ (- 3, -3) $

  Часть 6: Исключение по Гауссу. Исключение Гаусса — это алгоритм… | Авниш | Линейная алгебра

  Метод исключения Гаусса — это алгоритм решения системы линейных уравнений. Он назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса.

  Карл Фридрих Гаусс

  Он аналогичен методу исключения, описанному ранее.

  Для выполнения исключения Гаусса:

  1. Создаем расширенную матрицу коэффициентов и констант данной системы линейных уравнений.
  2. Выбираем наш pivot (который является первым элементом по диагонали). Затем мы пытаемся уменьшить все элементы под ним (до «0»), используя pivot.

  Мы делаем это, выполняя два вида операций:

  a) Умножение сводной строки (строки сводного элемента) на скалярную величину и вычитание или добавление ее строк под ней.

  b) Перестановка строк (например, строка 2 заменяется строкой 3)

  Затем мы выбираем следующую точку поворота (следующий элемент по диагонали) и уменьшаем элементы под ней.

  3. Разбиваем расширенную матрицу обратно на строковое изображение и выполняем умножение с переменной матрицей. Получаем новые редуцированные уравнения.

  Мы решаем эти уравнения, чтобы получить значения неизвестных (переменных).

  Предположим, что нам нужно найти решение (я) следующей системы уравнений:

  4x + y = 9 → (1)

  2x-y = 3 → (2)

  5x-3y = 7 → ( 3)

  (пример «Одно уникальное решение» из Части 5)

  Шаг 1 (Создание расширенной матрицы):

  Для выполнения исключения Гаусса мы берем изображение строки (1), (2) и (3) .Это будет выглядеть следующим образом:

  Затем мы создаем расширенную матрицу для матрицы коэффициентов и постоянной матрицы.

  Единая матрица со значениями коэффициентов и констант, разделенных пунктирной линией

  Шаг 2 (Исключение):

  Шаг 2A:

  Принимая элемент в верхнем левом углу (первый элемент по диагонали) в качестве стержня, мы стремимся исключить ( уменьшить до «0») все элементы под ним. Другими словами, мы должны преобразовать каждый элемент в столбце 1 в «0», кроме pivot.

  Pivot элемент будет выделен красным цветом, а элементы, которые нужно исключить, — синим.

  Итак, мы умножаем первую строку на скаляр 1/2 и вычитаем ее из второй строки.

  Элемент в строке 2 и столбце 1 исключается.

  Затем мы умножаем первую строку на скаляр 5/4 и вычитаем из третьей строки.

  Элемент в строке 3 и столбце 1 исключен.

  Теперь все элементы в первом столбце равны «0», кроме точки поворота.

  Шаг 2B:

  Теперь следующий элемент по диагонали (второй столбец второй строки) установлен как опорный, и мы стремимся удалить все элементы под ним.

  Pivot выделен красным.

  Итак, мы умножаем вторую строку на скаляр 17/6 и вычитаем ее из третьей строки.

  Элемент в строке 3 и столбце 2 исключен.

  Результат — верхняя треугольная матрица.

  Текущее состояние расширенной матрицы называется эшелоном строк формы .

  Шаг 3 (обратная подстановка):

  Теперь мы конвертируем форму эшелона строки обратно в изображение строки.

  У нас было аналогичное уравнение на этапе 1

  При умножении мы получаем:

  Мы составляем уравнения из этих

  4x + y = 9 → (4)

  -3y / 2 = -3/2 → (5)

  Решая (5) относительно «y», получаем:

  y = 1

  Теперь подставляем y = 1 в (4):

  4x + 1 = 9

  4x = 8

  x = 2

  Итак, мы получаем x = 2 и y = 1, именно то, что мы получили, когда решали через изображение строки и изображение столбца в Части 5.

  Теперь применим тот же алгоритм еще в двух случаях (бесконечно много решений и нет решения).

  Бесконечно много решений

  Возьмем тот же пример, что и в части 5. А именно:

  x + 2y = 4 → (6)

  2x + 4y = 8 → (7)

  Шаг 1 (Создание дополненного матрица):

  Строковое изображение (6) и (7) Расширенная матрица строкового изображения выше

  Шаг 2 (Исключение):

  Первый элемент диагональный («1») в качестве опорного.

  Pivot выделен красным, и мы должны удалить все элементы под ним (синим). Чтобы исключить «2», мы дважды вычитаем строку 1 из строки 2 Теперь последняя строка полностью заполнена 0

  Мы больше не делаем поворота так как исключать нечего.

  Шаг 3 (обратная подстановка):

  Мы конвертируем форму эшелона строки обратно в изображение строки:

  После этого мы умножаем ее и получаем новые уравнения

  x + 2y = 4 → (8)

  Уравнение (6) и уравнения (8) такие же, и у нас есть только одно уравнение после исключения, но два неизвестных («x» и «y»).

  Существует множество значений, которыми можно заменить x и y, чтобы удовлетворить (8).

  Нравится, x = 0 и y = 2. Подставляя в уравнение (8), получаем:

  0 + 2 (2) = 4

  4 = 4

  Или x = 1 и y = 1.5. Подставляя в уравнение (8), получаем:

  1 + 2 (1.5) = 4

  1 + 3 = 4

  4 = 4

  Таким образом, система уравнений (6) и (7) имеет бесконечно много решений.

  Нет решения

  Рассмотрим систему линейных уравнений следующим образом:

  x + y = 4 → (9)

  x + y = 8 → (10)

  xy = 0 → (11)

  Применение гауссиана Устранение.

  Шаг 1 (Создание расширенной матрицы):

  Строковое изображение (9), (10) и (11) Расширенная матрица коэффициентов и констант

  Шаг 2 (Исключение):

  Принятие первого диагонального элемента в качестве оси

  Мы выполняем следующие две операции:

  и матрица, которую мы получаем:

  У нас все еще нет формы эшелона строк (верхняя треугольная матрица).

  Итак, мы выполняем обмен строк (который также является вариантом на этапе исключения из метода исключения по Гауссу):

  Замена строки 3 на строку 2 Форма эшелона строк

  Шаг 3 (обратная подстановка):

  Форма эшелона строк преобразована обратно в изображение строки

  Уравнения, которые мы получаем после умножения матриц выше:

  x + y = 4 → (12)

  -2y = -4 → (13)

  Решая уравнение (13) относительно «y», получаем:

  y = 2

  Подставляя y = 2 в уравнение (12), мы получаем:

  x + 2 = 4

  x = 2

  Чтобы подтвердить, что x = 2 и y = 2 является решением, мы подставляем их в систему уравнений i.е. (9), (10) и (11).

  Подставляя в (9), получаем:

  2 + 2 = 4

  4 = 4

  x = 2 и y = 2, удовлетворяет (9).

  Подставляя в (10), получаем:

  2 + 2 = 8

  4 ≠ 8, это не удовлетворяет (10).

  Следовательно, x = 2 и y = 2 не является решением (9), (10) и (11), и не существует решения этой системы линейных уравнений, как мы видели в прошлой статье.

  Одно решение

  Когда количество неизвестных (переменных) равно количеству уравнения в системе линейных уравнений.

  На примере (1), (2) и (3):

  4x + y = 9 → (1)

  2x-y = 3 → (2)

  5x-3y = 7 → (3)

  Есть 2 неизвестных («x» и «y») и 3 уравнения ((1), (2) и (3)).

  Двух уравнений было бы достаточно для двух неизвестных.

  Бесконечно много решений

  Когда количество неизвестных превышает количество уравнений.

  В примере (6) и (7):

  x + 2y = 4 → (6)

  2x + 4y = 8 → (7)

  Есть 2 неизвестных («x» и «y») и 2 уравнения ((6) и (7)).

Неравенством с двумя переменными х и у Называется неравенство вида

(или знак ),

Где – некоторое выражение с данными переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.

Основным методом решений данных неравенств является Графический. Он заключается в том, что строят линии границ (если неравенство строгое, линии строят пунктиром). Уравнение границы получают, если в заданном неравенстве заменяют знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области.

Системы, содержащие неравенства с двумя переменными, вида

Называются Системами неравенств с двумя переменными. Решением данных систем является пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.

Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид

Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.

Пример 1. Решить систему

Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис. 4.24):

Рис. 4.24

Уравнение задает окружность с центром в точке О¢(0; 1) и R = 2.

Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О(0; 0).

Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.

Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис. 4.24 показано наложением двух штриховок).

matica.org.ua

19.2. Решение систем mлинейных неравенств с двумя переменными

Дана система т линейных неравенств с двумя переменными

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х₁ОХ₂. Построим прямую

которая является граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплос­кость 2 не содержит начала координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произволь­ную точку на плоскости (лучше начало координат) и подста­вить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.

Направление полуплоскости на рисунках показываем стрел­кой.

Определение 15. Решением каждого неравенства систе­мы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из ко­торых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью решения системы (ОР).

Определение 17. Область решения системы, удовлетворяю­щая условиям неотрицательности (x_j ≥ 0, j = ), называ­ется областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной облас­тью или одной точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пус­тое множество.

Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и опреде­лить координаты угловых точек ОДР

Решение. Найдем ОР первого неравенства: х₁ + 3x₂ ≥ 3. Построим граничную прямую х₁ +3x₂ – 3 = 0 (рис. 19.5). Под­ставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решени­ем неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).

Аналогично найдем решения остальных неравенств систе­мы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых

Решая систему, получим А(3/7, 6/7).

Точку В найдем как точку пересечения прямых

Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем коорди­наты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Построим прямые и определим решения не­равенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).

Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

Упражнения

Найти ОР и ОДР систем неравенств

Глава 20. Графический метод

20.1. Постановка задачи

Наиболее простым и наглядным методом линейного про­граммирования является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными, заданными в не­канонической форме, и многими переменными в канонической форме при условии, что они содержат не более двух свободных переменных.

С геометрической точки зрения в задаче линейного про­граммирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на котором достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.

Для нахождения экстремального значения целевой функ­ции при графическом решении задач ЛП используют вектор L() на плоскости Х₁ОХ₂, который обозначим . Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения це­левой функции, он равен

где е₁ и е₂ — единичные векторы по осям OX₁ и ОX₂ соответ­ственно; таким образом, = (∂L/∂х₁, ∂L/∂х₂). Координатами вектора являются коэффициенты целевой функции L().

studfiles.net

19.2. Решение систем M линейных неравенств с двумя переменными

Дана система Т линейных неравенств с двумя переменными

Знаки некоторых или всех неравенств могут быть ≥.

Рассмотрим первое неравенство в системе координат Х1ОХ2. Построим прямую

Которая является Граничной прямой.

Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2 (рис. 19.4).

Полуплоскость 1 содержит начало координат, полуплос­кость 2 не содержит начала координат.

Для определения, по какую сторону от граничной прямой расположена заданная полуплоскость, надо взять произволь­ную точку на плоскости (лучше начало координат) и подста­вить координаты этой точки в неравенство. Если неравенство справедливо, то полуплоскость обращена в сторону этой точки, если не справедливо, то в противоположную от точки сторону.

Направление полуплоскости на рисунках показываем стрел­кой.

Определение 15. Решением каждого неравенства систе­мы является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Определение 16. Пересечение полуплоскостей, каждая из ко­торых определяется соответствующим неравенством системы, называется Областью решения системы (ОР).

Определение 17. Область решения системы, удовлетворяю­щая условиям неотрицательности (Xj ≥ 0, J = ), называ­ется Областью неотрицательных, или допустимых, решений (ОДР).

Если система неравенств совместна, то ОР и ОДР могут быть многогранником, неограниченной многогранной облас­тью или одной точкой.

Если система неравенств несовместна, то ОР и ОДР — пус­тое множество.

Пример 1. Найти ОР и ОДР системы неравенств и опреде­лить координаты угловых точек ОДР

Решение. Найдем ОР первого неравенства: Х1 + 3X2 ≥ 3. Построим граничную прямую Х1 +3X2 – 3 = 0 (рис. 19.5). Под­ставим координаты точки (0,0) в неравенство: 1∙0 + 3∙0 > 3; так как координаты точки (0,0) не удовлетворяют ему, то решени­ем неравенства (19.1) является полуплоскость, не содержащая точку (0,0).

Аналогично найдем решения остальных неравенств систе­мы. Получим, что ОР и ОДР системы неравенств является выпуклый многогранник ABCD.

Найдем угловые точки многогранника. Точку А определим как точку пересечения прямых

Решая систему, получим А(3/7, 6/7).

Точку В найдем как точку пересечения прямых

Из системы получим B(5/3, 10/3). Аналогично найдем коорди­наты точек С и D: С(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Построим прямые и определим решения не­равенств (19.5)-(19.7). ОР и ОДР являются неограниченные многогранные области ACFM и ABDEKM соответственно (рис. 19.6).

Пример 3. Найти ОР и ОДР системы неравенств

Решение. Найдем решения неравенств (19.8)-(19.10) (рис. 19.7). ОР представляет неограниченную многогранную область ABC; ОДР — точка В.

Пример 4. Найти OP и ОДР системы неравенств

Решение. Построив прямые, найдем решения неравенств системы. ОР и ОДР несовместны (рис. 19.8).

matica.org.ua

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

    
• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
    
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

А теперь еще несколько способов, которые пригодятся ребенку на уроках математики.

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Как решаем:

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

    
• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
    
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

А вот и полезные видео для закрепления материала:

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Как решаем:

    
1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
    
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
    
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.     

   1 + 2x = 5х

       
    
4. Решим обычное уравнение.     

   5x — 2х = 1

       

   3x = 1

       

   х = 1/3

       

Ответ: х = 1/3.

Пример 2. Найти корень уравнения

Как решаем:

    
1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
    
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
    
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.     
       
    
4. Переведем новый множитель в числитель..     
       
    
5. Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.     

   4 = х + 2

       

   х = 4 — 2 = 2

       

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Как решаем:

    
1. Найти общий знаменатель:     

   3(x-3)(x+3)

       
    
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:     

   3(x+3)(x+3)+3(x-3)(x-3)=10(x-3)(x+3)+3*36

       
    
3. Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:     

   x²-9=0

       
    
4. Решим полученное квадратное уравнение:     

   x²=9

       
    
5. Получили два возможных корня:     

   x₁=−3, x₂=3

       

   х = 4 — 2 = 2

       
    
6. Если x = −3, то знаменатель равен нулю:     

   3(x-3)(x+3)=0

       

   Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

       
    
7. Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Ответ: нет решения.

Если нужно решить уравнение с дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор дробей. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Электронный справочник по математике для школьников тригонометрия решение простейших тригонометрических уравнений

Содержание

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sin x = a ,     cos x = a ,     
tg x = a ,     ctgx = a .

где a – произвольное число.

Решение уравнения   sin 

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

Графическое обоснование решения уравнения   sin x = a   представлено на рисунке 1

Рис. 1

Частные случаи решения уравнений   sin x = a

Решение уравнения   cos 

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

Графическое обоснование решения уравнения   cos x = a   представлено на рисунке 2

Рис. 2

Частные случаи решения уравнений   cos x = a

Решение уравнения   tg 

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

Графическое обоснование решения уравнения   tg x = a   представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений   tg x = a

Решение уравнения   ctg 

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

Графическое обоснование решения уравнения   ctg x = a   представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений   ctg x = a

Уравнения и задачи на подбор параметра в Excel

Часто нам нужно предварительно спрогнозировать, какие будут результаты вычислений при определенных входящих параметрах. Например, если получить кредит на закупку товара в банке с более низкой процентной ставкой, а цену товара немного повысить – существенно ли возрастет прибыль при таких условиях?

При разных поставленных подобных задачах, результаты вычислений могут завесить от одного или нескольких изменяемых условий. В зависимости от типа прогноза в Excel следует использовать соответствующий инструмент для анализа данных.

Подбор параметра и решение уравнений в Excel

Данный инструмент следует применять для анализа данных с одним неизвестным (или изменяемым) условием. Например:

2x+1=7

• y=7 является функцией x;
• нам известно значение y, следует узнать при каком значении x мы получим y вычисляемый формулой.

Решим данную задачу встроенными вычислительными инструментами Excel для анализа данных:

1. Заполните ячейки листа, так как показано на рисунке:
2. Перейдите в ячейку B2 и выберите инструмент, где находится подбор параметра в Excel: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра».
3. В появившемся окне заполните поля значениями как показано на рисунке, и нажмите ОК:

В результате мы получили правильное значение 3.

Получили максимально точный результат: 2*3+1=7

Второй пример использования подбора параметра для уравнений

Немного усложним задачу. На этот раз формула выглядит следующим образом:

x²=4

Решение:

1. Заполните ячейку B2 формулой как показано на рисунке:
2. Выберите встроенный инструмент: «Данные»-«Работа с данными»-«Анализ что если»-«Подбор параметра» и снова заполните его параметрами как на рисунке (в этот раз значение 4):
3. Сравните 2 результата вычисления:

Обратите внимание! В первом примере мы получили максимально точный результат, а во втором – максимально приближенный.

Это простые примеры быстрого поиска решений формул с помощью Excel. Сегодня каждый школьник знает, как найти значение x. Например:

x=(7-1)/2

Excel в своих алгоритмах инструментов анализа данных использует более простой метод – подстановки. Он подставляет вместо x разные значения и анализирует, насколько результат вычислений отклоняется от условий указанных в параметрах инструмента. Как только будет, достигнут результат вычисления с максимальной точностью, процесс подстановки прекращается.

По умолчанию инструмент выполняет 100 повторений (итераций) с точностью 0.001. Если нужно увеличить количество повторений или повысить точность вычисления измените настройки: «Файл»-«Параметры»-«Формулы»-«Параметры вычислений»:

Таким образом, если нас не устраивает результат вычислений, можно:

1. Увеличить в настройках параметр предельного числа итераций.
2. Изменить относительную погрешность.
3. В ячейке переменной (как во втором примере, A3) ввести приблизительное значение для быстрого поиска решения. Если же ячейка будет пуста, то Excel начнет с любого числа (рандомно).

Используя эти способы настроек можно существенно облегчить и ускорить процесс поиска максимально точного решения.

О подборе нескольких параметров в Excel узнаем из примеров следующего урока.

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:

4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

Второго:

2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x=12±i и x=-12±i.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0

Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0

Проведем группировку:

2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0

Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

Решим полученное квадратное уравнение:

D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.

Решение

Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

Следовательно, x2=12 или x2=-3.

Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

Ответ: x=±12 и x=±i·3.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.

Решение

Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.

Решение

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения

Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение .

Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

• найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
• заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
• решить получившееся целое уравнение,
• исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

.

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

.

Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

.

При решении квадратного уравнения получаем его корни:

.

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.

Пример 2. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель —

.

Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению

.

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

.

Если x = -3, то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

,

то же самое, если x = 3.

Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

.

Общий знаменатель — выражение

Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению

.

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

.

Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 — корни данного уравнения.

Пример 4. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y:

.

Корни этого уравнения:

Значит

или .

Из уравнения находим, что

.

Из уравнения находим, что

.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

, .

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Общие сведения об уравнениях

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.

С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.

Что такое уравнение?

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Например выражение 3 + 2 = 5 является равенством. При вычислении левой части получается верное числовое равенство 5 = 5.

А вот равенство 3 + x = 5 является уравнением, поскольку содержит в себе переменную x, значение которой можно найти. Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.

Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет

Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5

Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.

Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.

Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.

Выразить одно через другое

Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.

Рассмотрим следующее выражение:

8 + 2

Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10

8 + 2 = 10

Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.

Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.

Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:

2 = 10 − 8

Мы выразили число 2 из равенства 8 + 2 = 10. Как видно из примера, ничего сложного в этом нет.

При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.

Так, выражая число 2 из равенства 8 + 2 = 10 мы получили равенство 2 = 10 − 8. Данное равенство можно прочесть так:

2 есть 10 − 8

То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:

Число 2 есть разность числа 10 и числа 8

или

Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.

Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.

Вернём получившееся равенство 2 = 10 − 8 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

Выразим в этот раз число 8. Что нужно сделать с остальными числами, чтобы получить число 8? Верно, нужно из числа 10 вычесть число 2

8 = 10 − 2

Вернем получившееся равенство 8 = 10 − 2 в первоначальное состояние:

8 + 2 = 10

В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:

10 = 8 + 2

Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:

8 = 6 + 2

Вернем получившееся равенство 8 = 6 + 2 в первоначальное состояние:

8 − 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно из 8 вычесть 6

2 = 8 − 6

Пример 3. Рассмотрим равенство 3 × 2 = 6

Выразим число 3. Чтобы выразить число 3, нужно 6 разделить 2

Вернем получившееся равенство  в первоначальное состояние:

3 × 2 = 6

Выразим из этого равенства число 2. Чтобы выразить число 2, нужно 6 разделить 3

Пример 4. Рассмотрим равенство 

Выразим из этого равенства число 15. Чтобы выразить число 15, нужно перемножить числа 3 и 5

15 = 3 × 5

Вернем получившееся равенство 15 = 3 × 5 в первоначальное состояние:

Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3

Правила нахождения неизвестных

Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.

Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.

В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.

Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:

2 = 10 − 8

То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.

Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x

8 + x = 10

В этом случае равенство 8 + 2 = 10 превращается в уравнение 8 + x = 10, а переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного слагаемого

Наша задача найти это неизвестное слагаемое, то есть решить уравнение 8 + x = 10. Для нахождения неизвестного слагаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Что мы в принципе и сделали, когда выражали двойку в равенстве 8 + 2 = 10. Чтобы выразить слагаемое 2, мы из суммы 10 вычли другое слагаемое 8

2 = 10 − 8

А сейчас, чтобы найти неизвестное слагаемое x, мы должны из суммы 10 вычесть известное слагаемое 8:

x = 10 − 8

Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x

x = 2

Мы решили уравнение. Значение переменной x равно 2. Для проверки значение переменной x отправляют в исходное уравнение 8 + x = 10 и подставляют вместо x. Так желательно поступать с любым решённым уравнением, поскольку нельзя быть точно уверенным, что уравнение решено правильно:

В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.

x + 2 = 10

В этом уравнении x — это неизвестное слагаемое, 2 — известное слагаемое, 10 — сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы 10 вычесть известное слагаемое 2

x = 10 − 2

x = 8

Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.

В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность

Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:

8 = 6 + 2

То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x

x − 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого

Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Что мы и сделали, когда выражали число 8 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить уменьшаемое 8, мы к разности 6 прибавили вычитаемое 2.

А сейчас, чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, мы должны к разности 6 прибавить вычитаемое 2

x = 6 + 2

Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x

x = 8

Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x

8 − x = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого

Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.

А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6

x = 8 − 6

Вычисляем правую часть и находим значение x

x = 2

Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.

В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение

Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:

То есть разделили произведение 6 на множитель 2.

Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x

x × 2 = 6

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.

Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 3 из равенства 3 × 2 = 6. Произведение 6 мы разделили на множитель 2.

А сейчас для нахождения неизвестного множимого x, нужно произведение 6 разделить на множитель 2.

Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x

x = 3

Это же правило применимо в случае, если переменная x располагается вместо множителя, а не множимого. Представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.

Что мы и сделали, когда выражали число 2 из равенства 3 × 2 = 6. Тогда для получения числа 2 мы разделили произведение 6 на множимое 3.

А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.

Вычисление правой части равенства  позволяет узнать чему равно x

x = 2

Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:

Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.

Например, решим уравнение 9 × x = 18. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 18 разделить на известный сомножитель 9

Отсюда .

Решим уравнение x × 3 = 27. Переменная x является неизвестным сомножителем. Чтобы найти этот неизвестный сомножитель, нужно произведение 27 разделить на известный сомножитель 3

Отсюда .

Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве  требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.

Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:

15 = 3 × 5

То есть умножили частное 3 на делитель 5.

Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 15 располагается переменная x

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.

Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.

А сейчас, чтобы найти неизвестное делимое x, нужно частное 3 умножить на делитель 5

x = 3 × 5

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 15

Теперь представим, что в равенстве  вместо числа 5 располагается переменная x.

В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.

Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.

А сейчас, чтобы найти неизвестный делитель x, нужно делимое 15 разделить на частное 3

Вычислим правую часть получившегося равенства. Так мы узнаем чему равна переменная x.

x = 5

Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое;
• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность;
• Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое;
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
  

  ---

Компоненты

Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство

Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма

Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность

Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение

Компонентами деления являются делимое, делитель и частное

В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.

Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60

45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

x = 60 − 45

Вычислим правую часть, получим значение x равное 15

x = 15

Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.

Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.

Пример 2. Решить уравнение 

Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x

В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.

При этом слагаемое 2x содержит переменную x. После нахождения значения переменной x слагаемое 2x примет другой вид. Поэтому слагаемое 2x можно полностью принять за неизвестное слагаемое:

Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:

Вычислим правую часть получившегося уравнения:

Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение

При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем

Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Вычислим правую часть, получим значение переменной x

Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение  и подставим вместо x

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56

Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.

Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:

Отсюда x равен 2

Равносильные уравнения

В предыдущем примере при решении уравнения 3x + 9x + 16x = 56, мы привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В результате получили новое уравнение 28x = 56. Старое уравнение 3x + 9x + 16x = 56 и получившееся новое уравнение 28x = 56 называют равносильными уравнениями, поскольку их корни совпадают.

Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.

Проверим это. Для уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы нашли корень равный 2. Подставим этот корень сначала в уравнение 3x + 9x + 16x = 56, а затем в уравнение 28x = 56, которое получилось в результате приведения подобных слагаемых в левой части предыдущего уравнения. Мы должны получить верные числовые равенства

Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:

Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56

Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.

Для решения уравнения 3x + 9x + 16x = 56 мы воспользовались одним из тождественных преобразований — приведением подобных слагаемых. Правильное тождественное преобразование уравнения позволило нам получить равносильное уравнение 28x = 56, которое проще решать.

Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

и аналогично:

Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение

Вычтем из обеих частей уравнения число 10

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Получили уравнение 5x = 10. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 10 разделить на известный сомножитель 5.

Отсюда .

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 2

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение мы вычли из обеих частей уравнения число 10. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 2

Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16

Раскроем скобки в левой части равенства:

Вычтем из обеих частей уравнения число 12

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 4x, а в правой части число 4

Получили уравнение 4x = 4. Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти неизвестный сомножитель x, нужно произведение 4 разделить на известный сомножитель 4

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение 4(x + 3) = 16 мы вычли из обеих частей уравнения число 12. В результате получили равносильное уравнение 4x = 4. Корень этого уравнения, как и уравнения 4(x + 3) = 16 так же равен 1

Пример 3. Решить уравнение

Раскроем скобки в левой части равенства:

Прибавим к обеим частям уравнения число 8

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

В левой части останется 2x, а в правой части число 9

В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4,5

Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Решая уравнение  мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  так же равен 4,5

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.

Рассмотрим следующее уравнение:

Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство

Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .

Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.

Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:

Получилось уравнение 12 = 9x − 3x. Приведем подобные слагаемые в правой части данного уравнения:

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда x = 2. Как видим, корень уравнения не изменился. Значит уравнения 12 + 3x = 9x и 12 = 9x − 3x являются равносильными.

На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.

Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x

Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.

Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.

Равносильными также являются уравнения 12 + 3x = 9x и 3x − 9x = −12. В этот раз в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 12 было перенесено в правую часть, а слагаемое 9x в левую. Не следует забывать, что знаки этих слагаемых были изменены во время переноса

Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.

Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.

Пример 1. Решить уравнение 

При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала  принято упростить это уравнение.

В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:

Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8

Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:

В результате останется простейшее уравнение

Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 4

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 4. Значит эти уравнения равносильны.

Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:

От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения  на множитель 8 желательно переписать следующим образом:

Пример 2. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 15

В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим

Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 5

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно. При решении данного уравнения мы умножили обе го части на 15. Далее выполняя тождественные преобразования, мы получили уравнение 10 = 2x. Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5. Значит эти уравнения равносильны.

Пример 3. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 3

В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18

Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:

Отсюда 

Вернемся к исходному уравнению   и подставим вместо x найденное значение 9

Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 4. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на 6

В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:

Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное x, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые свободные от неизвестных — в правой:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Теперь найдем значение переменной x. Для этого разделим произведение 28 на известный сомножитель 7

Отсюда x = 4.

Вернемся к исходному уравнению  и подставим вместо x найденное значение 4

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.

Пример 5. Решить уравнение 

Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:

Умнóжим обе части уравнения на 15

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:

Перепишем то, что у нас осталось:

Раскроем скобки там, где это можно:

Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

Найдём значение x

В получившемся ответе можно выделить целую часть:

Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 

Получается довольно громоздкое выражение. Воспользуемся переменными. Левую часть равенства занесем в переменную A, а правую часть равенства в переменную B

Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B

Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.

Значение переменной А равно . Теперь найдем значение переменной B. То есть значение правой части нашего равенства. Если и оно равно , то уравнение будет решено верно

Видим, что значение переменной B, как и значение переменной A равно . Это значит, что левая часть равна правой части. Отсюда делаем вывод, что уравнение решено правильно.

Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.

Рассмотрим уравнение 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42. Решим его обычным методом: слагаемые, содержащие неизвестные, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение x

Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:

Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:

Выполним сокращение в каждом слагаемом:

Перепишем то, что у нас осталось:

Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:

Получили корень 2. Значит уравнения 15x + 7x + 7 = 35x − 20x + 21 и 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 равносильны.

Деление обеих частей уравнения на одно и то же число позволяет освобождать неизвестное от коэффициента. В предыдущем примере когда мы получили уравнение 7x = 14, нам потребовалось разделить произведение 14 на известный сомножитель 7. Но если бы мы в левой части освободили неизвестное от коэффициента 7, корень нашелся бы сразу. Для этого достаточно было разделить обе части на 7

Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.

Умножение на минус единицу

Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.

Это правило следует из того, что от умножения (или деления) обеих частей уравнения на одно и то же число, корень данного уравнения не меняется. А значит корень не поменяется если обе его части умножить на −1.

Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.

Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?

Прибавим к обеим частям уравнения число 5

Приведем подобные слагаемые:

А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x

То есть минус, стоящий перед переменной x, относится не к самой переменной x, а к единице, которую мы не видим, поскольку коэффициент 1 принято не записывать. Это означает, что уравнение  на самом деле выглядит следующим образом:

Имеем дело с компонентами умножения. Чтобы найти х, нужно произведение −5 разделить на известный сомножитель −1.

или разделить обе части уравнения на −1, что еще проще

Итак, корень уравнения  равен 5. Для проверки подставим его в исходное уравнение. Не забываем, что в исходном уравнении минус стоящий перед переменной x относится к невидимой единице

Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.

Теперь попробуем умножить обе части уравнения  на минус единицу:

После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10

Корень этого уравнения, как и уравнения  равен 5

Значит уравнения  и  равносильны.

Пример 2. Решить уравнение 

В данном уравнении все компоненты являются отрицательными. С положительными компонентами работать удобнее, чем с отрицательными, поэтому поменяем знаки всех компонентов, входящих в уравнение . Для этого умнóжим обе части данного уравнения на −1.

Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.

Так, умножение уравнения  на −1 можно записать подробно следующим образом:

либо можно просто поменять знаки всех компонентов:

Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.

Итак, умножив обе части уравнения  на −1, мы получили уравнение . Решим данное уравнение. Из обеих частей вычтем число 4 и разделим обе части на 3

Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.

Пример 3. Решить уравнение 

Умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все компоненты поменяют свои знаки на противоположные:

Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:

Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые: 

Приравнивание к нулю

Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.

А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.

В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x

Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Прибавим к обеим частям 77, и разделим обе части на 7

Альтернатива правилам нахождения неизвестных

Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.

К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении  мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2

Но если в уравнении  обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет  равна 5

Уравнения вида  мы решали выражая неизвестное слагаемое:

Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:

Далее разделить обе части на 2

В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .

Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:

В случае с уравнениями вида  удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:

Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.

Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.

Когда корней несколько

Уравнение может иметь несколько корней. Например уравнение x(x + 9) = 0 имеет два корня: 0 и −9.

В уравнении x(x + 9) = 0 нужно было найти такое значение x при котором левая часть была бы равна нулю. В левой части этого уравнения содержатся выражения x и (x + 9), которые являются сомножителями. Из законов умножения мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.

x = 0 или x + 9 = 0

Приравняв к нулю оба этих выражения, мы сможем найти корни уравнения x(x + 9) = 0. Первый корень, как видно из примера, нашелся сразу. Для нахождения второго корня нужно решить элементарное уравнение x + 9 = 0. Несложно догадаться, что корень этого уравнения равен −9. Проверка показывает, что корень верный:

−9 + 9 = 0

Пример 2. Решить уравнение

Данное уравнение имеет два корня: 1 и 2. Левая часть уравнения является произведение выражений (x − 1) и (x − 2). А произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или сомножитель (x − 1) или сомножитель (x − 2)).

Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:

Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение  и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:

Когда корней бесконечно много

Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.

Пример 1. Решить уравнение 

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения и привести подобные слагаемые, то получится равенство 14 = 14. Это равенство будет получаться при любом x

Пример 2. Решить уравнение 

Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x

Когда корней нет

Случается и так, что уравнение вовсе не имеет решений, то есть не имеет корней. Например уравнение не имеет корней, поскольку при любом значении x, левая часть уравнения не будет равна правой части. Например, пусть . Тогда уравнение примет следующий вид

Пусть

Пример 2. Решить уравнение 

Раскроем скобки в левой части равенства:

Приведем подобные слагаемые:

Видим, что левая часть не равна правой части. И так будет при любом значении y. Например, пусть y = 3.

Буквенные уравнения

Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.

Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:

Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.

Полезным навыком является умение выразить любой компонент, входящий в буквенное уравнение. Например, чтобы из уравнения  определить расстояние, нужно выразить переменную s.

Умнóжим обе части уравнения  на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:

У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.

Попробуем из уравнения  определить время. Для этого нужно выразить переменную t.

Умнóжим обе части уравнения на t

В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:

В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v

В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:

У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.

Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч

v = 50 км/ч

А расстояние равно 100 км

s = 100 км

Тогда буквенное уравнение примет следующий вид

Из этого уравнения можно найти время. Для этого нужно суметь выразить переменную t. Можно воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, разделив делимое на частное и таким образом определить значение переменной t

либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t

Затем разделить обе части на 50

Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Вычтем из обеих частей уравнения a

Разделим обе части уравнения на b

Теперь, если нам попадется уравнение вида a + bx = c, то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения. Те значения, которые будут подставляться вместо букв a, b, c принято называть параметрами. А уравнения вида a + bx = c называют уравнением с параметрами. В зависимости от параметров, корень будет меняться.

Решим уравнение 2 + 4x = 10. Оно похоже на буквенное уравнение a + bx = c.  Вместо того, чтобы выполнять тождественные преобразования, мы можем воспользоваться готовым решением. Сравним оба решения:

Видим, что второе решение намного проще и короче.

Для готового решения необходимо сделать небольшое замечание. Параметр b не должен быть равным нулю (b ≠ 0), поскольку деление на ноль на допускается.

Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Раскроем скобки в обеих частях уравнения

Воспользуемся переносом слагаемых. Параметры, содержащие переменную x, сгруппируем в левой части уравнения, а параметры свободные от этой переменной — в правой.

В левой части вынесем за скобки множитель x

Разделим обе части на выражение a − b

В левой части числитель и знаменатель можно сократить на a − b. Так окончательно выразится переменная x

Теперь, если нам попадется уравнение вида a(x − c) = b(x + d), то у нас будет готовое решение. Достаточно будет подставить в него нужные значения.

Допустим нам дано уравнение 4(x − 3) = 2(x + 4). Оно похоже на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решим его двумя способами: при помощи тождественных преобразований и при помощи готового решения:

Для удобства вытащим из уравнения 4(x − 3) = 2(x + 4) значения параметров a, b, c, d. Это позволит нам не ошибиться при подстановке:

Как и в прошлом примере знаменатель здесь не должен быть равным нулю (a − b ≠ 0). Если нам встретится уравнение вида a(x − c) = b(x + d) в котором параметры a и b будут одинаковыми, мы сможем не решая его сказать, что у данного уравнения корней нет, поскольку разность одинаковых чисел равна нулю.

Например, уравнение 2(x − 3) = 2(x + 4) является уравнением вида a(x − c) = b(x + d). В уравнении 2(x − 3) = 2(x + 4) параметры a и b одинаковые. Если мы начнём его решать, то придем к тому, что левая часть не будет равна правой части:

Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Умнóжим обе части на a

В левой части x вынесем за скобки

Разделим обе части на выражение (1 − a)

Линейные уравнения с одним неизвестным

Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.

Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».

Большинство уравнений, решенных в данном уроке, в конечном итоге сводились к простейшему уравнению, в котором нужно было произведение разделить на известный сомножитель. Таковым к примеру является уравнение 2(x + 3) = 16. Давайте решим его.

Раскроем скобки в левой части уравнения, получим 2x + 6 = 16. Перенесем слагаемое 6 в правую часть, изменив знак. Тогда получим 2x = 16 − 6. Вычислим правую часть, получим 2x = 10. Чтобы найти x, разделим произведение 10 на известный сомножитель 2. Отсюда x = 5.

Уравнение 2(x + 3) = 16 является линейным. Оно свелось к уравнению 2x = 10, для нахождения корня которого потребовалось разделить произведение на известный сомножитель. Такое простейшее уравнение называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. Слово «канонический» является синонимом слов «простейший» или «нормальный».

Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.

Полученное нами уравнение 2x = 10 является линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в каноническом виде. У этого уравнения первая степень, одно неизвестное, оно не содержит деления на неизвестное и не содержит корней из неизвестного, и представлено оно в каноническом виде, то есть в простейшем виде при котором легко можно определить значение x. Вместо параметров a и b в нашем уравнении содержатся числа 2 и 10. Но подобное уравнение может содержать и другие числа: положительные, отрицательные или равные нулю.

Если в линейном уравнении a = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней. Действительно, если a равно нулю и b равно нулю, то линейное уравнение ax = b примет вид 0x = 0. При любом значении x левая часть будет равна правой части.

Если в линейном уравнении a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет. Действительно, если a равно нулю и b равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 5, то уравнение ax = b примет вид 0x = 5. Левая часть будет равна нулю, а правая часть пяти. А ноль не равен пяти.

Если в линейном уравнении a ≠ 0, и b равно любому числу, то уравнение имеет один корень. Он определяется делением параметра b на параметр a

Действительно, если a равно какому-нибудь числу, не равному нулю, скажем числу 3, и b равно какому-нибудь числу, скажем числу 6, то уравнение  примет вид .
Отсюда .

Существует и другая форма записи линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Выглядит она следующим образом: ax − b = 0. Это то же самое уравнение, что и ax = b, но параметр b перенесен в левую часть с противоположным знаком. Такие уравнение мы тоже решали в данном уроке. Например, уравнение 7x − 77 = 0. Уравнение вида ax − b = 0 называют линейным уравнением первой степени с одним неизвестным в общем виде.

В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Используя метод переноса слагаемого, решите следующее уравнение:

Задание 2. Используя метод прибавления (или вычитания) числа к обеим частям, решите следующее уравнение:

Задание 3. Решите уравнение:

Задание 4. Решите уравнение:

Задание 5. Решите уравнение:

Задание 6. Решите уравнение:

Задание 7. Решите уравнение:

Задание 8. Решите уравнение:

Задание 9. Решите уравнение:

Задание 10. Решите уравнение:

Задание 11. Решите уравнение:

Задание 12. Решите уравнение:

Задание 13. Решите уравнение:

Задание 14. Решите уравнение:

Задание 15. Решите уравнение:

Задание 16. Решите уравнение:

Задание 17. Решите уравнение:

Задание 18. Решите уравнение:

Задание 19. Решите уравнение:

Задание 20. Решите уравнение:

Задание 21. Решите уравнение:

Задание 22. Решите уравнение:

Задание 23. Решите уравнение:

Задание 24. Решите уравнение:

Задание 25. Решите уравнение:

Задание 26. Решите уравнение:

Задание 27. Решите уравнение:

Задание 28. Решите уравнение:

Задание 29. Решите уравнение:

Задание 30. Решите уравнение:

Задание 31. Решите уравнение:

Задание 32. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 33. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 34. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 35. В следующем буквенном уравнении выразите переменную x:

Задание 36. В следующем буквенном уравнении выразите переменную y:

Задание 37. В следующем буквенном уравнении выразите переменную z:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Решение линейных уравнений: с пареном; «All x», «No x» Soln’s

Purplemath

В этом уроке мы сначала попрактикуемся в решении линейных уравнений, содержащих скобки. Их решение потребует умножения и упрощения, прежде чем приступить к фактическому процессу решения. Если вам не нравятся скобки, сначала займитесь изучением. Тогда вернись сюда.

Затем мы рассмотрим два странных типа решений: «нет решения» и решение «все x ». В первом случае процесс решения заканчивается бессмыслицей, а во втором — тривиально верным утверждением. Поскольку учащиеся не часто сталкиваются с такими решениями, их легко забыть, а значит, и запутать. Но я бы поставил хорошие деньги на то, что в следующем тесте будет хотя бы одно из этих уравнений, а в финале, вероятно, будет еще одно.Так что изучите и сделайте заметку, чтобы просмотреть уравнения «без решения» и «все уравнения — x » перед следующим экзаменом.

MathHelp.com

После того, как вы изучите основы решения линейных уравнений, ваш учебник и инструктор начнут предлагать вам упражнения, которые включают в себя скобки, которые обычно необходимо сначала упростить (или «расширить», что означает, что вы умножили, а затем упростил результат).

Во-первых, мне нужно умножить скобки в правой части. Затем я могу продолжить как обычно:

Тогда мое решение:

• Решить 6

  x — (3 x + 8) = 16

Сначала я упрощу левую часть; тогда решу обычным способом.Я хочу быть осторожным, когда пишу негатив в скобках. Если у меня возникают проблемы с отслеживанием знаков «минус», я ставлю «1» перед круглыми скобками.

Тогда мое решение:

• Решите 7 (5

  x — 2) = 6 (6 x — 1)

Это уравнение заключено в скобки с обеих сторон уравнения.Я должен обязательно взять 7 и 6 до их соответствующих скобок.

После того, как я упростил любую сторону, я переместил меньший из двух членов переменной («35 x » с левой стороны), чтобы убедиться, что у полученного в результате члена переменной не было знака «минус». Это не «правило», но, безусловно, облегчает мою жизнь. И мой окончательный ответ:

Для уравнений с скобками, не торопитесь и выпишите всех ваших шагов, как я сделал выше.Не пытайтесь делать все в своей голове.

Во-первых, мне нужно умножить в левой части, взяв 3 через —

Подождите … В этом уравнении я действительно могу избавиться от 3, разделив его на части, потому что 6 в правой части делится на 3. На самом деле мне не нужно распределять для этого конкретного уравнения. Вместо:

3 (х — 2) = 6
——— —
3 3

х — 2 = 2
+2 +2
———-
х = 4

Тогда мое решение:

Если бы я не заметил, что могу начать с разделения, я бы все равно получил правильный ответ.Но если есть возможность разделить, предоставив себе меньшие числа для работы, я бы хотел этим воспользоваться. Это упрощение случается нечасто, но постарайтесь не закрывать глаза на то, что несколько раз оно появляется.

• Решить 13 — (2

  x + 2) = 2 ( x + 2) + 3 x

Я начну с умножения на каждую скобку (знак «минус» слева и 2 справа).Затем я объединю похожие термины, упрощу и решу:

Тогда мой ответ:

Не забывайте: никогда нет причин быть неуверенным в своем решении линейного уравнения, потому что вы всегда можете проверить свой ответ. Значение решения состоит в том, что именно значение x делает уравнение истинным. Итак, чтобы проверить свой ответ, вы вставляете значение решения обратно в исходное уравнение и убедитесь, что уравнение «работает» с этим значением.Например, в последнем упражнении выше мое решение было x = 1. Чтобы проверить свое решение, я подставлю свое значение в левую (LHS) и правую (RHS) части исходного уравнения. , и убедитесь, что обе стороны оценивают одно и то же число.

13 — (2 x + 2) = 2 ( x + 2) + 3 x

слева: 13 — (2 [1] + 2)

= 13 — (2 + 2) = 13-4 = 9

ПРА: 2 ([1] + 2) + 3 [1]

Две стороны уравнения оценивают одно и то же значение, поэтому решение «проверяет», и теперь я знаю , что мой ответ правильный

Кстати, если есть возможность, попробуйте проверить свои ответы при сдаче тестов.После того, как вы ответили на все вопросы (при условии, что у вас осталось немного времени), вернитесь и вставьте свои решения обратно в исходный вопрос. Если ваше решение вопроса «проверяет», значит, вы знаете, что ответили правильно. Если он не проверит, то у вас есть шанс исправить свою ошибку до того, как вы сдадите свой тест.

Вам также может потребоваться решить линейные уравнения с вложенными скобками .

• Решите 2 [3

  x + 4 (3 — x )] = 3 (5 — 4 x ) — 11

Прежде чем я смогу решить, мне нужно упростить.Сначала я упрощу левую часть:

2 [3 x + 4 (3 — x )]

2 [3 x + 4 (3) + 4 (- x )]

2 [3 x + 12–4 x ]

2 [12 — x ]

24-2 х

Тогда я упрощу правую часть:

3 (5 — 4 x ) — 11

3 (5) + 3 (–4 x ) — 11

15 — 12 x — 11

4–12 x

Теперь, когда я упростил обе стороны уравнения, я могу перейти к решению.

24 — 2x = 4 — 12x
+ 12x + 12x
——————-
24 + 10x = 4
-24-24
—————
10x = -20
— —
10 10

х = -2

Итак, мой окончательный ответ: