Автор: alexxlab

Я попытался сделать калькулятор квадратного корня с PHP и HTML, используя форму. но, похоже, он не получит выходного оператора. Вот он: <?php $num = $_POST[‘getroot’]; $pull_sqrt =…

Хорошо, я новичок в java, учусь самостоятельно через веб-сайты и книги. Я попробовал простой калькулятор квадратного корня с циклом for и циклом while (я включил то, что попробовал ниже). К…

Я пишу калькулятор без использования десятичных знаков (поддерживает только рациональные числа), но я хотел бы иметь возможность сделать версию квадратного корня. Когда функция квадратного корня…

Мне было интересно, каков код символа квадратного корня в java? То есть я хочу иметь возможность печатать знак квадратного корня на экране внутри строки других символов или в качестве метки на…

Когда пользователь нажимает на метку кнопки со знаком квадратного корня, он посылает знак квадратного корня внутри textarea. Есть ли способ сделать это с php? Если нет, то javascript-это нормально?

Вы должны написать свой собственный алгоритм вычисления квадратного корня. Сначала напишите псевдокод, прежде чем продолжить и написать программу C++. Не используйте функцию sqrt из математической…

Я разрабатываю для GPU под управлением OpenCL 1.2. Я пытаюсь использовать функцию половины квадратного корня, чтобы вычислить квадратный корень из моего типа данных половины. Однако для всех функций…

Я хотел сделать простой калькулятор квадратного корня. num = input(‘Enter a number and hit enter: ‘) if len(num) > 0 and num.isdigit(): new = (num**0.5) print(new) else: print(‘You did not enter…

Чтобы развить эту идею, предположим, что у меня есть 2 32-битных регистра, представляющих верхний и Нижний биты 64-bit с плавающей запятой. Я хочу вычислить на них квадратный корень 64-bit. Однако,…

Я новичок в Python и пишу на нем инженерный калькулятор. Но в настоящее время я не могу сделать функцию квадратного корня. Например, этот показывает мне ошибку TypeError: неподдерживаемые типы…

Кубический корень: онлайн калькулятор, график, формулы

Кубический корень числа А — это такое число В, которое при возведении в третью степень в результате дает число А. Вычисление кубического корня — более сложная задача, нежели поиск квадратных корней.

Обозначение

Корни чисел ранее обозначались символом Rx, от латинского слова radix, то есть корень. Именно поэтому синонимом арифметических корней стало слово «радикал». Позднее для удобства типографской записи корни стали обозначаться латинской буквой V, а надстрочный знак перед символом указывает на степень корня. Для упрощения обозначения кубических корней в этой статье мы будем использовать слово cube. Это означает, что cube(8) следует читать как «кубический корень из 8».

Алгоритм приблизительных вычислений

Кубический корень положительного или отрицательного числа А — это соответственно положительное или отрицательное В, которое при возведении в куб дает число А. Пусть требуется найти cube(27).

Для поиска корней используется следующий алгоритм рассуждений. Какое число нужно умножить на само себя 3 раза, чтобы получить 27? Посчитаем, что 2 × 2 × 2 = 8, а 3 × 3 × 3 = 27, следовательно, cube(27) = 3. Это простой целочисленный пример. Но что делать, если требуется найти cube(45)? Попробуем тот же алгоритм: 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64. Из этого следует, что кубический корень из 45 — это иррациональное число, которое находится в диапазоне 3 > cube(45) < 4. Число 45 находится приблизительно на половине пути между 27 и 64, поэтому можно предположить, что cube(45) = 3,5. Это грубая оценка кубического корня, которую можно использовать для приблизительных расчетов.

Помимо метода определения «на глазок», существует алгоритм расчета кубического корня больших чисел в столбик:

• для начала число разделяется на группы чисел по три, начиная с правого конца, например, число 1234561789 будет выглядеть как 1 234 561 789;
• после этого для каждой группы цифр требуется найти такой целочисленный кубический корень, который при увеличении на 1 и возведении в куб становится больше заданного числа;
• далее следует записать полученный куб под группой цифр и произвести вычитание;
• затем требуется ниже записать результат вычитания и снести вторую группу цифр;
• после чего повторить алгоритм.

Точное значение такого корня найти невозможно, так как кубические корни для некубических чисел — это всегда бесконечные и непериодическое иррациональные числа. А что такое кубические числа?

Последовательность кубических чисел

Кубическое число — это такое натуральное число, кубический корень которого является целым числом. Кубическая последовательность формируется из натурального ряда, каждый член которого возведен в третью степень. Начало кубической последовательности выглядит следующим образом:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729…

Очевидно, что 8 = 2³, 27 = 3³, a 64 = 4³ и так далее. Кубические корни любого числа из последовательности кубов являются целыми. Геометрически такие числа иллюстрируются объемом куба, ребро которого равно целочисленному корню числа. Например, число 64 — это объем куба с ребром длиной 4 см.

Кубическая последовательность растет довольно быстро, и в отличие от квадратов чисел, куб может оканчиваться на любую цифру. Так как количество натуральных чисел уходит в бесконечность, то и количество кубов также бесконечно, однако целочисленных значений все же гораздо меньше, чем иррациональных.

Наша программа представляет собой универсальный калькулятор вычисления корней любой степени. Для того, чтобы вычислить значение кубического корня вам потребуется указать заданное число в ячейку «Число(x)», а ячейке «Степень(n)» требуется ввести значение степени. По умолчанию калькулятор выставляет в «Степень(n)» число 3, поэтому вы сразу можете вычислять кубические корни, не устанавливая степень корня.

Пример работы калькулятора

Вычисление ребра куба

Классическая задача на вычисление кубического корня — это определение длины ребра куба, если известен его объем. Для значений объема из кубической последовательности все просто, так как ответ будет записан в виде целого числа. Для всех остальных значений нам пригодится онлайн-калькулятор. Давайте вычислим длины ребер для следующих объемов кубов:

• Cube(10) = 2,1544;
• Cube(25) = 2,9240;
• Cube(50) = 3,6840;
• Cube(75) = 4,2172;
• Cube(100) = 4,6416.

Как видите, в диапазоне от 10 до 100 длина ребра изменятся всего на 2,5 пункта.

Заключение

Поиск кубического корня — сложная задача, если вычислять значение требуется для больших или некубических чисел. Для определения значения кубического корня заданной точности используйте наш онлайн-калькулятор — простой инструмент для быстрых вычислений, который идеально подойдет школьникам и студентам.

Корень 3 степени из 1728. Инженерный калькулятор

Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.

Шаги

Часть 1

Запишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме.

• Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
• Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик. Единственное отличие – это форма двух знаков.
• Над горизонтальной линией поставьте десятичную запятую. Сделайте это непосредственно над десятичной запятой исходного числа.

Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.

Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .

Извлечение квадратного корня

Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

Пример решения квадратных корней в калькуляторе:

Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

Квадратный корень из отрицательного числа:

Корень третьей степени

Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

Корень 3 степени:

Корень степени n

Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

Корень 4 степени:

Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

Корень 5 степени с приблизительным результатом:

Корень из дроби

Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

Квадратный корень из дроби:

Корень из корня

В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

Пример, как извлечь корень из корня:

Степень в корне

Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.

Квадратный корень из степени:

Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.

Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)

Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)

Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.

Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:

Корни бывают чётной степени (наш любимый $\sqrt{a}$, а также всякие $\sqrt{a}$ и даже $\sqrt{a}$) и нечётной степени (всякие $\sqrt{a}$, $\sqrt{a}$ и т.{2}}=1$.

Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:

\[\begin{align} & \sqrt{27}=3; \\ & \sqrt{-64}=-4; \\ & \sqrt{343}=7. \\ \end{align}\]

Ну, и парочка «экзотических примеров»:

\[\begin{align} & \sqrt{81}=3; \\ & \sqrt{-32}=-2. \\ \end{align}\]

Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!

А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.

Зачем вообще нужны корни?

Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:

\[\begin{align} & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end{align}\]

Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:

Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:

Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.

После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?

Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд.{n}}=a\]

Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt{2}$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:

\[\sqrt{2}=1,414213562…\]

Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:

\[\sqrt{2}=1,4142…\approx 1,4 \lt 1,5\]

Или вот ещё пример:

\[\sqrt{3}=1,73205…\approx 1,7 \gt 1,5\]

Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).

Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.

Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac{p}{q}$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.

Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

\[\begin{align} & \sqrt{2+\sqrt{27}}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}\approx 2,236… \\ & \sqrt{\sqrt{-32}}=\sqrt{-2}\approx -1,2599… \\ \end{align}\]

Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой.{2}}$:

Попробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt{4}$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=-2$. Это вполне логично, поскольку

С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:

Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt{4}=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)

В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y , т.{3}}$:

Из этого графика можно сделать два вывода:

1. Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
2. Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).

Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:

1. Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
2. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.

Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок.{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

\[\sqrt{-a}=-\sqrt{a}\]

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

\[\begin{align} & \sqrt{-8}=-\sqrt{8}=-2; \\ & \sqrt{-27}\cdot \sqrt{-32}=-\sqrt{27}\cdot \left(-\sqrt{32} \right)= \\ & =\sqrt{27}\cdot \sqrt{32}= \\ & =3\cdot 2=6. \end{align}\]

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Арифметический корень

Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?

А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.{n}}=a$.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.

Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:

Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»

Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным.{2}}}=\sqrt{4} \gt 0. \\ \end{align}$

Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.

WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.{n}}=a \right. \right\}\]

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

1. Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
2. Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
3. Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Пример. Вычислите выражения:

\[\overline{\sqrt{4}};\quad \overline{\sqrt{-27}};\quad \overline{\sqrt{-16}}.\]

Решение. С первым выражением всё просто:

\[\overline{\sqrt{4}}=\left\{ 2;-2 \right\}\]

Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.

\[\overline{\sqrt{-27}}=\left\{ -3 \right\}\]

Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.

Наконец, последнее выражение:

\[\overline{\sqrt{-16}}=\varnothing \]

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt{-16}$, и многие другие странные вещи.

Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».y».

Корень третьей степени можно вычислить и в программе MS Excel. Для этого введите в любую клетку «=» и выберите значок «вставка » (fx). Выберите в появившемся окошке функцию «СТЕПЕНЬ» и нажмите кнопку «Ок». В появившемся окошке введите значение числа, для которого необходимо вычислить корень третьей степени. В «Степень» введите число «1/3». Число 1/3 набирайте именно в таком виде – как обыкновенную . После этого нажмите кнопку «Ок». В той клетке таблицы, где создавалась , появится кубический корень из заданного числа.

Если корень третьей степени приходится вычислять постоянно, то немного усовершенствуйте описанный выше метод. В качестве числа, из которого требуется извлечь корень, укажите не само число, а клетку таблицы. После этого, просто каждый раз вводите в эту клетку исходное число – в клетке с формулой будет появляться его кубический корень.

Видео по теме

Обратите внимание

Заключение. В данной работе были рассмотрены различные методы вычисления значений кубического корня. Выяснилось, что значения кубического корня можно находить с помощью метода итераций, также можно аппроксимировать кубический корень, возводить число в степень 1/3, искать значения корня третьей степени с помощью Microsoft Office Ecxel, задавая формулы в ячейках.

Полезный совет

Корни второй и третьей степени употребляются особенно часто и поэтому имеют специальные названия. Квадратный корень: В этом случае показатель степени обычно опускается, а термин «корень» без указания степени чаще всего подразумевает квадратный корень. Практическое вычисление корней Алгоритм нахождения корня n-ной степени. Квадратные и кубические корни обычно предусмотрены во всех калькуляторах.

Источники:

• корень третий степени
• Как извлечь квадратный корень в N степени в Excel

Операцию нахождения корня третьей степени обычно называют извлечением «кубического» корня, а заключается она в нахождении такого вещественного числа, возведение которого в куб даст значение равное подкоренному числу. Операция извлечения арифметического корня любой степени n эквивалентна операции возведения в степень 1/n. Для практического вычисления кубического корня можно использовать несколько способов.

При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).

Вам понадобится

• калькулятор или компьютер

Инструкция

• Чтобы посчитать корень третьей степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).
• Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень». Такая кнопка, в зависимости от типа калькулятора, может выглядеть как xy (у – в виде верхнего индекса). Так как в большинстве калькуляторов нет возможности работать с обычными (недесятичными) дробями, то вместо числа 1/3 наберите его приблизительное значение: 0,33. Чтобы получить большую точность вычислений, необходимо увеличить количество «троек», например, набрать 0,33333333333333. Затем, нажмите кнопку «=».
• Чтобы посчитать корень третьей степени на компьютере, воспользуйтесь стандартным калькулятором Windows. Порядок действий полностью аналогичен описанному в предыдущем пункте инструкции. Единственное отличие — это обозначение кнопки возведения в степень. На «компьютерном» калькуляторе она выглядит как x^y.
• Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

Библиотека функций для построения графиков онлайн

Используйте функции согласно приведенным примерам. Любая неточность или ошибка могут привести к неверному ответу или решению, будьте внимательны.

Оператор	Описание
Простейшие математические операции
+ — * / ()	Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы.3 значит x в кубе, также можно написать x*x*x
sqrt(x)	Квадратный корень. Эквивалентно root(x,2)
cbrt(x)	Кубический корень. Эквивалентно root(x,3)
root(x,n)	Корень n-ой степени из x. Например: root(x,3) есть корень 3й степени из x
log(a,x)	Логарифм x по основанию a
ln(x)	Натуральный логарифм (c основанием e)
lg(x)	Логарифм по основанию 10 (Десятичный логарифм)
exp()	Экспоненциальная функция (e в заданной степени), эквивалентно e^аргумент
Тригонометрические функции
sin(x)	Синус значения x
cos(x)	Косинус значения x
tg(x)	Тангенс значения x. Можно вводить tg(x) или tan(x)
ctg(x)	Котангенс значения x. Можно вводить ctg(x) или cot(x)
sec(x)	Секанс значения x, определяется как 1/cos(x)
csc(x)	Косеканс значения x, определяется как 1/sin(x)
arcsin(x)	Арксинус значения x. Можно вводить arcsin(x) или asin(x)
arccos(x)	Арккосинус значения x. Можно вводить arccos(x) или acos(x)
atan(x)	Арктангенс значения x. Можно вводить arctg(x) или atan(x)
arcctg(x)	Арккотангенс значения x. Можно вводить arcctg(x) или acot(x)
asec(x)	Арксеканс значения x, обратный секанс
acsc(x)	Арккосеканс значения x, обратный косеканс
Некоторые константы
e	Основание натурального логарифма или число Эйлера = 2.718281828459045…
pi	Число Пи = 3.141592653589793…

Вычислить квадратный корень из числа: примеры, расчеты, калькулятор

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

• найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
• выполнить математическое действие с дробными степенями.

Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

Например:

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.	Ответ.

 

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.	Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4. Значит между 2 и 4.
Оцениваем значение	Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76~7.
Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так: — целую часть справа налево; — число после запятой слева направо.	Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Допускается, что вначале остается непарное число.
Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел). Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа. У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =
Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7. А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_. Примечание: числа должны быть одинаковыми.
Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня. Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.
Вычтите полученное справа произведение из числа слева. Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.
Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую. Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.
Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение  прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Алгоритм действий

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

4. Нажмите кнопку «Решить».

Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.

Калькулятор

Basic — Инструмент | Сообщество EEWeb

Основная справка онлайн-калькулятора

Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Знак
Квадрат
Квадратный корень
Обратный
Показатель
Процент
Функции памяти

Базовый онлайн-калькулятор

Дополнение

Сложение (функция суммы) используется при нажатии кнопки «+» или с помощью клавиатуры. Функция дает a + b.

Вычитание

Вычитание (функция минуса) используется при нажатии кнопки «-» или с помощью клавиатуры. Функция приводит к a-b.

Умножение

Вычитание (функция минус) используется при нажатии кнопки «-» или с помощью клавиатуры. Функция приводит к a-b.

Отдел

Деление (функция разделения) используется при нажатии кнопки «/» или с помощью клавиши «/» на клавиатуре.Икс. Числа автоматически отображаются в формате, когда число слишком велико или слишком мало для отображения. Чтобы ввести число в этом формате, используйте кнопку экспоненты «EE». Для этого введите мантиссу (не экспоненциальную часть), затем нажмите «EE» или используйте комбинацию клавиш «e», а затем введите показатель степени.

процентов

Функция процента используется при нажатии на «%» или с помощью клавиатуры. Функция процента используется для сложения, вычитания, умножения или деления процента от числа.Он используется для вычисления процента от числа. Вот несколько примеров:

73 + 4,5% = 76,285.

18/80% = 1,25.

Функции памяти

Функции памяти позволяют сохранять и вызывать вычисления с помощью элемента временного хранения стека.

1. Функция «Память плюс» используется при нажатии на кнопку «M +». Это добавляет значение ко всему, что хранится в памяти (изначально это значение равно нулю).
2. Функция вычитания памяти используется при нажатии на кнопку «M-».Это вычитает значение из того, что в настоящее время хранится в памяти.
3. Функция вызова памяти используется при нажатии на кнопку «MR». Это вызывает значение из памяти и помещает его в рабочую область. Значение все еще хранится в памяти.
4. Чтобы очистить значение памяти, дважды нажмите кнопку «Очистить».

Как поместить кубический корень в графический калькулятор

Немного потренировавшись, вы можете неплохо научиться определять кубические корни простых чисел.Например, ³ √8 = 2, ³ √27 = 3 и так далее. Но когда дело доходит до нахождения кубических корней для больших чисел или нахождения точных значений для кубических корней, которые не соответствуют целому числу, научный калькулятор становится очень полезным инструментом. Если вы используете калькулятор с возможностью построения графиков, вы также можете получить доступ к графику этой функции.

Поиск корня куба на калькуляторе TI-83/84

Калькуляторы серии TI-83/84 — самый популярный графический калькулятор, с которым вы можете столкнуться в академических условиях, и все модели используют один и тот же процесс для доступа к корням куба.

Нажмите клавишу MATH, расположенную в дальнем левом углу калькулятора, чтобы открыть меню специальных операций.

Нажмите 4, чтобы выбрать функцию кубического корня, затем введите число, из которого вы хотите найти кубический корень, и нажмите ENTER. Калькулятор вернет значение кубического корня.

Построение графика корня куба на калькуляторе TI-83/84

Опять же, все версии графического калькулятора TI-83/84 используют аналогичный процесс для построения графика функции корня куба.

Нажмите кнопку y = , расположенную в верхнем левом углу калькулятора, чтобы получить доступ к графическому меню.

Нажмите MATH, чтобы вызвать меню специальных операций, затем нажмите 4, чтобы выбрать функцию корня куба. Затем нажмите клавишу « X, T, θ, n », расположенную слева от клавиатуры со стрелками, которая генерирует x под функцией корня куба. (Другими словами, вы просите калькулятор построить график ³ √ x .)

Нажмите клавишу ГРАФИК, расположенную в правом верхнем углу калькулятора.Это генерирует график функции корня куба.

Поиск корня куба на графическом калькуляторе Casio FX

Другой очень популярный графический калькулятор, серия Casio FX (в которую входят FX-9860GII и FX-9750GII), позволяет получить доступ к функции корня куба прямо из основная клавиатура.

Нажмите клавишу SHIFT, а затем клавишу (. Это активирует функцию корня куба.

Введите число, для которого нужно найти корень куба, затем нажмите EXE (выполнить), чтобы вернуть результат.

Построение графика корня куба на графическом калькуляторе Casio FX

Вы также можете использовать графические возможности серии Casio FX для отображения графика функции корня куба.

Нажмите клавишу МЕНЮ, затем используйте клавиши со стрелками для перехода в режим ГРАФИКА. Нажмите EXE, чтобы войти в режим графика.

Введите функцию корня куба, как только что описано, с одним небольшим отличием: нажмите SHIFT, а затем клавишу (, чтобы создать функцию корня куба. Затем нажмите клавишу « x , θ, T », расположенную на крайняя левая сторона клавиатуры калькулятора, чтобы ввести x под знаком корня куба.

Нажмите F6, чтобы построить график функции кубического корня.

Когда вы можете использовать кубические корни

Наиболее очевидное место, где вы будете использовать такого рода вычисления, — это задачи алгебры. Например, если вам дано уравнение x ³ = 125, вам нужно будет использовать функцию кубического корня, чтобы найти x . В реальном мире кубические корни появляются, когда вы рассматриваете проблемы в трех измерениях или, говоря другими словами, когда вы начинаете вычислять объем.

Например, если вы пытаетесь определить размеры контейнера квадратной формы, объем которого вам уже известен, вы можете использовать функцию кубического корня, чтобы найти длину его сторон. Это потому, что объем квадратного контейнера равен y ³ или y × y × y , где y — длина одной из его сторон. Итак, если вам уже известен объем V , вы вычисляете ³ √ V и получаете длину каждой стороны.

Как получить ответ квадратного корня из квадратного корня на TI-84

Обновлено 14 декабря 2020 г.

Автор Карен Дж. Блаттлер

Практически каждый математический класс имеет набор калькуляторов, но калькуляторы этого не делают. t всегда выглядеть одинаково. Иногда для класса требуется калькулятор определенного типа, функции которого могут быть расположены иначе, чем в других моделях калькуляторов. Кривая обучения может быть не очень крутой, но знакомство с новым калькулятором требует немного времени и практики.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Модели TI-84 находят квадратные корни с помощью второй функциональной клавиши. Функциональная клавиша извлечения квадратного корня расположена над клавишей x -квадрат (x ² ). Чтобы получить доступ к функции извлечения квадратного корня, нажмите вторую функциональную клавишу (2nd) в верхнем левом углу клавиатуры. Затем нажмите кнопку x ² и введите значение для оценки. Нажмите Enter, чтобы вычислить квадратный корень.

Основные вычисления

При использовании незнакомого калькулятора начните с основных вычислений.Многие калькуляторы обрабатывают ввод в точном порядке ввода, в то время как другие калькуляторы обрабатывают в соответствии с порядком операций. Ввод простого вычисления, например:

3 × 4 + 6 ÷ 2

покажет, какой процесс использует калькулятор. В последовательном калькуляторе ответ будет рассчитываться как:

3 × 4 = 12 \ 12 + 6 = 18 \ 18 ÷ 2 = 9

В этом случае используйте круглые скобки или функцию памяти, чтобы сгруппировать числа в соответствии с порядку операций. Если программирование калькулятора включает порядок операций, то последовательность будет правильно рассчитана как

(3 × 4) + (6 ÷ 2) = 12 + 3 = 15

Функциональная и вторая функциональные клавиши

Как и в случае с основной вычисления, функциональные и вторые функциональные клавиши могут работать, вводя число, а затем функцию или идентифицируя функцию перед вводом числа.Поэкспериментируйте, используя простые вычисления, чтобы определить, какой порядок, функция или номер первой подходят для калькулятора. Однако порядок ввода для функциональной клавиши и второй функциональной клавиши может отличаться, поэтому проверьте и то, и другое.

Графические калькуляторы TI 83 и TI-84

Графические калькуляторы Texas Instruments 83 и 84 используют функциональные и вторые функциональные клавиши. Для облегчения идентификации вторые функции написаны желтым цветом над клавишами. Осмотр клавиатуры показывает, что символ квадратного корня (√) находится над клавишей квадратной функции (x ² ), что указывает на то, что клавиша квадратного корня является второй функцией.Для доступа ко вторым функциональным клавишам используйте желтую клавишу с пометкой «2nd», расположенную в верхнем левом углу клавиатуры. Нажмите «2nd», а затем кнопку под символом нужной функции.

Чтобы найти квадратный корень с помощью TI-83 или TI-84, сначала нажмите кнопку «2nd», а затем кнопку x ² , чтобы получить доступ к функции извлечения квадратного корня. Теперь, когда вы определили функцию, введите число. Нажмите клавишу «Ввод», чтобы вычислить решение.

В качестве примера предположим, что площадь квадрата равна 225 квадратных метров, и задача состоит в том, чтобы найти длину сторон.Чтобы найти длину сторон квадрата, вспомните, что площадь прямоугольника определяется по формуле «длина, умноженная на ширину, равна площади». Поскольку все стороны квадрата равны по длине, формула для площади становится «длина, умноженная на длину», или «длина в квадрате равна площади квадрата». Итак, чтобы найти длину стороны квадрата с помощью TI-83 или TI-84, начните с желтой клавиши «2nd», а затем нажмите клавишу x ² , чтобы получить доступ к функции извлечения квадратного корня. Введите площадь 225 и нажмите Enter, чтобы найти квадратный корень.Длина каждой стороны квадрата составляет 15 метров.

TI-84 Plus и TI-84 Plus Silver

Графические калькуляторы Texas Instruments 84 Plus и 84 Plus Silver также используют функциональные и вторые функциональные клавиши. Найдите вторую функцию, написанную синим цветом над клавишами. Обратите внимание, что TI-84 Nspire edition показывает вторую функцию синим цветом в верхнем левом углу каждой клавиши. Как и в TI-83 и TI-84, вторая функциональная клавиша находится в верхнем левом углу клавиатуры.В моделях TI-84 Plus и TI-84 Silver Plus вторая функциональная клавиша окрашена в синий цвет, чтобы соответствовать вторым функциональным символам.

Как и TI-83 и TI-84, символ квадратного корня (√) находится над клавишей x ² на TI-84 Plus и TI-84 Plus Silver Edition. Чтобы найти значение квадратного корня, используйте ту же процедуру: нажмите клавишу «2nd», клавишу x ² , число и Enter.

Как извлекать квадратные корни на клавиатуре ПК | Малый бизнес

Дэвид Сарокин Обновлено 3 августа 2018 г.

Раньше поиск квадратного корня был долгой и трудоемкой работой, которая часто приводила к ошибкам.Компьютеры все изменили. С помощью нескольких движений клавиатуры вы можете легко найти квадратный корень на своем ПК. Вы также можете найти калькулятор квадратного корня в Интернете и на других электронных устройствах.

Квадратные корни: краткое освежение

Где-то в средней школе вы узнали о возведении чисел в квадрат и обратном вычислении квадратного корня из числа, но небольшое напоминание не повредит. Вы возводите число в квадрат, когда умножаете его само на себя: 5 в квадрате равно 25, так как 5 x 5 = 25.Обратитесь к процессу, чтобы найти квадратные корни. Квадратный корень из 25 равен 5. Точно так же, поскольку 10 x 10 = 100, квадратный корень из 100 равен 10.

К сожалению для учеников начальной школы, у большинства чисел нет простых квадратных корней, таких как 5 или 10. Квадратный корень из 2, например, будет 1,41421356 и так далее. Символически знак квадратного корня выглядит как знак деления с дополнительным крючком, хотя на компьютерах знак квадратного корня часто выглядит немного усеченным.

Поиск квадратного корня на вашем ПК

В ваш компьютер встроена функция, которую вы можете использовать в качестве калькулятора квадратного корня.Введите «калькулятор» в поле поиска Windows, которое обычно находится в левом нижнем углу экрана вашего ПК, а затем щелкните функцию калькулятора, чтобы открыть его. В зависимости от того, как настроен экран вашего рабочего стола, у вас также может быть значок калькулятора на главном экране, который вы можете щелкнуть.

После открытия калькулятора введите число, от которого нужно найти корень, переместите курсор на символ квадратного корня калькулятора и щелкните его. Ваш ответ появляется мгновенно.

Используйте Google для поиска квадратного корня

Поисковая система Google имеет встроенную функцию вычислений, которую можно использовать даже быстрее, чем открыть калькулятор.В поле поиска Google введите команду извлечения квадратного корня — символ sqrt — и число, от которого вы хотите узнать квадратный корень. Например, чтобы найти квадратный корень из 75, введите «sqrt 75» или «квадратный корень 75» и нажмите «Enter».

Как только вы закончите вводить текст, Google отобразит результат извлечения квадратного корня.

Вы также можете использовать свою любимую поисковую систему для поиска онлайн-калькулятора и использовать всплывающий инструмент для поиска квадратного корня.

Не забывайте другие устройства

В вашем телефоне и на ваших умных часах есть калькулятор, и вы можете поговорить с OK Google, Alexa или другим голосовым устройством и спросить: «Какой квадратный корень от…? «Вы получите свой ответ в кратчайшие сроки.

Учебное пособие по научному калькулятору — квадратный корень из x

Учебное пособие по научному калькулятору — квадратный корень из х
Одна из основных функций калькулятора — функция извлечения квадратного корня. Расположение ключа будет варьироваться от калькулятора к калькулятору. На некоторых калькуляторах потребуется клавиша Shift. В любом случае вам нужно будет искать символ на вашем калькуляторе. У меня мы находим это так, как показано на рисунке справа.

Предположим, вы хотите оценить что-то вроде на вашем калькуляторе. Сначала введите число 9. Затем нажмите клавишу извлечения квадратного корня. В результате должен получиться ответ 3.

Предположим, вы хотите оценить что-то вроде на вашем калькуляторе. Сначала введите число 25,85. Затем нажмите клавишу квадратного корня. В результате должен получиться что-то вроде 5.084289528. Имейте в виду, что это не совсем точный ответ. Калькуляторы ограничены определенным количеством десятичных знаков.Мой научный калькулятор может отображать не более 10 знаков. Если бы вы вручную оценили 5.084289528 ² , вы бы получили 25.850000004530462784. Однако для большинства целей 5.084289528 является прекрасным приближением для.

Теперь предположим, что вы хотите оценить что-то вроде на вашем калькуляторе. Сначала введите часть под корнем (символ квадратного корня). Вы введете 2 * 3,5 + 4 * 5,23. Затем вам нужно будет нажать знак равенства. НЕ нажимайте клавишу извлечения квадратного корня, пока не нажмете знак равенства.Причина в том, что калькулятор будет оценивать вещи, используя правильный приоритет операций. Это означает, что калькулятор извлечет квадратный корень из 5,23, умножит его на 4 и прибавит 2 * 3,5. Это будет неправильный ответ. Как только вы нажмете знак равенства, нажмите клавишу квадратного корня. В результате должен получиться примерно такой ответ: 5.283937925. Опять же, имейте в виду, что это не точный ответ, а приблизительное. Другой способ справиться со сложными выражениями под квадратным корнем — использовать круглые скобки.

Предположим, вы хотите оценить, используя круглые скобки. Сначала введите левую скобку. Затем введите деталь под корень. Затем введите правую скобку. Вы введете (2 * 3,5 + 4 * 5,23). Правая скобка действует так же, как и знак равенства. Затем нажмите клавишу квадратного корня. Опять же, в результате должен получиться что-то вроде 5.283937925.

---

Перейти к СЛЕДУЮЩЕМУ руководству.
Перейти к ПРЕДЫДУЩЕМУ руководству.
Перейдите на главную страницу учебника по калькулятору.
Перейти на главную страницу курса.

Комментарии и предложения направляйте по адресу :[email protected]

Дата последнего изменения — 07.04.99
HSU Страница отказа от ответственности — «Взгляды и мнения, выраженные в этом page строго принадлежат автору страницы. Содержание этой страницы не были рассмотрены или одобрены Государственным университетом Хендерсона «.

работает для десятичных и целых подкоренных выражений

Что такое квадратный корень?

Определение квадратного корня: Противоположность возведению числа в квадрат.Например, найти квадратный корень из 81 — это то же самое, что спросить: «Какое число в квадрате равно 81?»

Конечно, если вы знаете, что 9 x 9 = 81, вы будете знать, что квадратный корень из 81 равен 9 (9 ² = 81). Однако вы можете не осознавать, что -9 также является квадратным корнем из 81, потому что -9 x -9 также равняется 81.

Другими словами, все числа больше нуля (ноль никогда не может быть отрицательным или положительным) имеют два квадратных корня — один положительный и один отрицательный. Вот почему при использовании онлайн-калькулятора квадратного корня результату всегда будет предшествовать знак ±.

Что касается отрицательных чисел, поскольку отрицательное значение, умноженное на отрицательное, всегда дает положительное число, отрицательные числа не могут иметь действительного квадратного корня.

Что такое идеальные квадраты?

Когда квадратный корень числа является целым числом, это число называется полным квадратом. Например, поскольку √4 имеет квадратный корень из 2, 4 называется полным квадратом. Вот список идеальных квадратов до 225:

Список идеальных квадратов до 225 2 2 {{/each}} {{#each fields}} {{#each this}} {{/each}} {{/each}} {{#each products}} {{/each}} {{#each products}} {{/each}}

Сравнение товаров

{{> breadcrumbTemplate breadcrumbs=breadcrumbs }} {{#if (gt products.length 0)}}

Закрыть

{{else}}

Нечего сравнивать

{{/if}}

Сопутствующие товары

{{#if (gt tags.length 7)}}

{{#each tags}} {{excerpt this.tagName 70}} {{/each}} Скрыть

{{/if}} {{/if}}

{{#each this.featureValues}} {{#if (gt @index 0)}}
{{/if}} {{#if ../this.featureUnit}} {{this.value}} {{lowercase ../this.featureUnit.symbol}} {{else}} {{this.value}} {{/if}} {{/each}}

{{/if}} {{/each}} {{/each}} {{/if}} {{#if (neq ../typeId undefined)}}{{/if}} {{#if this.images}} {{#each this.images}} {{#if (and (eq this.format ‘product’) (eq this.imageType ‘PRIMARY’))}} {{/if}} {{/each}} {{else}} {{/if}} {{#if (and this.labels (gt this.labels.length 0))}}

{{> productLabelItemTemplate labels=this.labels}}

{{/if}} {{> productDetailTabItemDescriptionTemplate product=this typeId=../typeId needRenderPartials=true}} {{/each}} {{#if categoryLink}} {{/if}}

Настольный калькулятор — незаменимый помощник в офисе, школе и дома. Эргономичная форма, крупные клавиши, устойчивые прорезиненные ножки позволят работать эффективнее. Оптимальный набор функций поможет автоматизировать расчеты: вычисление квадратного корня, коррекция последнего введенного значения, копка»00«, двойная память, расчет наценки и функция автоотключения. Сама продаваемая модель в России по версии РБК! Одобрен для ЕГЭ по физике, химии и геограыии, сертификат прилагается. Тип клавиатуры: пластик. Наличие металлической панели: нет. Гарантия 5 лет! Мир рассчитывает на Citizen!

√1

=

1

с

1 2

=

1

√4

=

2

с

2 2

=

4

√9

=

3

с

3

с

9

√16

=

4

с

4 2

=

16

√25

=

с 5

=

25

√36

=

6

с

6 2

=

36

√49

= 7 19 с

7 2

=

49

√64

=

8

с

8 2

=

64

9

с

9 2

=

81

√100

=

10

с

10 2

= 100

= 100 121

=

11

с

11 2

=

121

√144

=

12

с

903

12

с

903 12 903

√169

=

13

с

13 2

=

169

√196

=

14

с

14 2

=

196

√225

=

15

с

15 2

=

35 все еще 225 9 0

Если вам сложно понять квадратные корни, сообщите мне об этом в форме обратной связи, расположенной под калькулятором, и я постараюсь улучшить свои пояснения на этой странице. Можно ли получить «рут! Рут!»? 🙂 Как вычислить квадратный корень вручную (с иллюстрациями) Резюме статьиX Чтобы вычислить квадратный корень вручную, сначала оцените ответ, найдя 2 полных квадратных корня, между которыми находится это число. Идеальный квадратный корень — это любой квадратный корень из целого числа. Например, если вы пытаетесь найти квадратный корень из 7, сначала вам нужно найти первый правильный квадрат ниже 7, который равен 4, и первый правильный квадрат выше 7, который равен 9.Затем найдите квадратный корень из каждого идеального квадрата. Квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 9 равен 3. Таким образом, вы знаете, что квадратный корень из 7 находится где-то между 2 и 3. Теперь разделите полученное число на один из найденных полных квадратных корней. Например, вы бы разделили 7 на 2 или 3. Если бы вы выбрали 3, ваш ответ был бы 2,33. Затем найдите среднее значение этого числа и точный квадратный корень. Чтобы найти среднее значение в этом примере, сложите 2,33 и 2, затем разделите на 2 и получите 2.16. Повторите процесс, используя среднее значение, которое вы получили. Сначала разделите число, из которого вы пытаетесь найти квадратный корень, на среднее значение. Затем найдите среднее значение этого числа и исходного среднего, сложив их и разделив на 2. Например, сначала вы разделите 7, число, с которого вы начали, на 2,16, среднее, которое вы рассчитали, и получите 3,24. Затем вы должны добавить 3,24 к 2,16, старому среднему, и разделить на 2, чтобы найти новое среднее значение, равное 2,7. Теперь умножьте свой ответ на себя, чтобы увидеть, насколько он близок к квадратному корню из числа, с которого вы начали.В этом примере 2,7, умноженное на само себя, равно 7,29, что на 0,29 отличается от 7. Чтобы приблизиться к 7, вы просто должны повторить процесс. Продолжайте делить число, с которого вы начали, на среднее значение этого числа и идеальный квадрат, используя это число и старое среднее значение, чтобы найти новое среднее, и умножайте новое среднее значение само на себя, пока оно не сравняется с вашим начальным числом. Наибольший общий делитель 33 и 44: найдите нод и  нок (33 и 44) и (11.340 и 37. 800) alexxlab / 15.03.197018.06.2021 / Разное Тест по математике Наибольший общий делитель 6 класс Тест по математике Наибольший общий делитель Наименьшее общее кратное для учащихся 6 класса с ответами. Тест состоит из 2 вариантов, в каждом варианте 11 заданий. 1 вариант 1. Какие числа являются общими делителями чисел 24 и 16? 1) 4, 8 2) 6, 2, 4 3) 2, 4, 8 4) 8, 6 2. Является ли число 9 наибольшим общим делителем чисел 27 и 36? 1) да 2) нет 3. Даны числа 128, 64 и 32. Какое из них является наибольшим общим делителем всех трёх чисел? 1) 128 2) 64 3) 32 4. Имеют ли числа 40, 35, 10, 8 наибольший общий делитель? 1)да 2) нет 5. Являются ли числа 7 и 18 взаимно простыми? 1) да 2) нет 6. Какие числа являются взаимно простыми? 1) 5 и 25 2) 64 и 2 3) 12 и 10 4) 100 и 9 7. Укажите дробь, у которой числитель и знаменатель — взаимно простые числа. 8. Какое число является общим кратным чисел 8, 12, 6? 1) 16 2) 120 3) 96 4) 2 9. Какое число является наименьшим общим кратным чисел 6, 9, 12? 1) 18 2) 36 3) 24 4) 180 10. Число а кратно числу b. Чему равен их наибольший об­щий делитель? 1) a 2) b 3) a + b 4) ab 11. Даны числа 400, 100, 25, 80. Какое из них является наименьшим общим кратным всех четырёх чисел? 1) 25 2) 400 3) 100 4) 80 2 вариант 1. Какие числа являются общими делителями чисел 18 и 12? 1) 9, 6, 3 2) 2, 3, 4, 6 3) 3, 2 4) 2, 3, 6 2. Является ли число 4 наибольшим общим делителем чисел 16 и 32? 1) да 2) нет 3. Даны числа 300, 150 и 600. Какое из них является наибольшим общим делителем всех трёх чисел? 1) 600 2) 150 3) 300 4. Имеют ли числа 20, 16, 14, 28 наибольший общий делитель? 1) да 2) нет 5. Являются ли взаимно простыми числа 33 и 44? 1) да 2) нет 6. Какие числа являются взаимно простыми? 1) 9 и 18 2) 105 и 65 3) 44 и 45 4) 6 и 16 7. Укажите дробь, у которой числитель и знаменатель — взаимно простые числа. 8. Какое число является общим кратным чисел 5, 10, 15? 1) 5 2) 100 3) 15 4) 300 9. Какое число является наименьшим общим кратным чи­сел 4, 8, 10? 1) 40 2) 16 3) 80 4) 32 10. Числа х и у — взаимно простые. Чему равно их наи­меньшее общее кратное? 1) x 2) у 3) ху 4) х + у 11. Даны числа 5, 130, 65, 260. Какое из них является наименьшим общим кратным всех трёх чисел? 1) 130 2) 65 3) 260 4) 5 Ответы на тест по математике Наибольший общий делитель Наименьшее общее кратное 1 вариант 1-3 2-1 3-3 4-2 5-1 6-4 7-4 8-3 9-2 10-2 11-2 2 вариант 1-4 2-2 3-2 4-1 5-2 6-3 7-4 8-4 9-1 10-3 11-3 Найдите наивеличайший общий делительи наименьшее общее кратное чисел: а)18 и 36 Дано: Числа 18 и 36; НОД — ?  НОК — ? Наибольший общий делитель (НОД) 2-ух данных чисел это величайшее число, на которое оба числа делятся без остатка. Величайший общее кратное (НОК) данных чисел это наименьшее естественное число, которое без остатка делится нацело на каждое из этих чисел. 183;   62; 33; 1 362; 183; 62; 33; 1 В обоих числах избираем схожие множители, перемножаем их: 3 * 3 * 2 = 18 Среди всех чисел, которые мы разложили, найдем наименьшее число. Выберем множители, которые не вошли в разложение иных чисел: 2, дальше найдем наивеличайшее число. Добавим наши множители в его разложение и перемножим их: 2 * 1 = 2. Ответ: НОД (18; 32) = 18. НОК (18; 32) = 2. Дано: Числа 33 и 44; НОД — ?  НОК — ? Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. Величайший общее кратное (НОК) данных чисел это меньшее натуральное число, которое без остатка делится нацело на каждое из этих чисел. 333;   1111; 1 442; 222; 1111; 1 В обоих числах избираем одинаковые множители, перемножаем их: 11 Найдем наименьшее число. Выберем множители, которые не вошли в разложение иных чисел: 3, далее найдем величайшее число. Добавим наши множители в его разложение и перемножим их: 2 * 2 * 11 * 3 = 132. Ответ: НОД (33; 44) = 11. НОК (33; 44) = 132. Дано: Числа 378 и 441; НОД — ?  НОК — ? Наивеличайший общий делитель (НОД) 2-ух данных чисел это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. Наивеличайший общее кратное (НОК) данных чисел это меньшее естественное число, которое без остатка делится нацело на каждое из этих чисел. 3782; 1893; 633; 213; 77; 1  4412; 1472; 497;   77; 1 В обоих числах избираем схожие множители, перемножаем их: 2 * 7 = 14 Найдем меньшее число. Выберем множители, которые не вошли в разложение иных чисел: 3, дальше найдем величайшее число. Добавим наши множители в его разложение и перемножим их: 2 * 2 * 7 * 7 * 3 * 3 * 3 = 5292. Ответ: НОД (378; 441) = 14. НОК (378; 441) = 5292. Дано: Числа 11340 и 37800; НОД — ?  НОК — ? Наивеличайший общий делитель (НОД) 2-ух данных чисел это величайшее число, на которое оба числа делятся без остатка. Величайший общее кратное (НОК) данных чисел это меньшее естественное число, которое без остатка делится нацело на каждое из этих чисел. 113402; 56702; 28353; 9453; 3153; 1053; 355; 77; 1  378002; 189002; 94502; 47255; 9453; 3153; 1053; 355; 77; 1 В обоих числах выбираем однообразные множители, перемножаем их: 3 * 3 *3 * 5 = 135 Найдем наименьшее число. Выберем множители, которые не вошли в разложение иных чисел: 1, далее найдем величайшее число. Добавим наши множители в его разложение и перемножим их: 37800 Ответ: НОД (11340; 37800) = 135. НОК (11340; 37800) = 37800.   Самостоятельная работа по математике Наибольшее общее кратное 6 класс Самостоятельная работа по математике Наибольшее общее кратное 6 класс с ответами. Самостоятельная работа включает 2 варианта, в каждом по 6 заданий. Вариант 1 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8 и 16. 2. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 33 и 44 б) 12 и 24 в) 4; 6 и 33 3. Найдите наименьшее общее кратное и наибольший об­щий делитель числителя и знаменателя следующих дробей: а) 14/21 б) 5/132 в) 48/120 4. Какие из следующих утверждений верны: а) два четных числа всегда взаимно просты б) два нечетных числа могут быть взаимно просты в) произведение составных чисел всегда является состав­ным числом г) наименьшее общее кратное двух нечетных чисел всегда является нечетным числом 5. Между пунктами А и В курсируют два автобуса. Первый тратит на дорогу туда и обратно 35 мин, второй — 40 мин. В какое время автобусы встретятся в пункте А, если первый автобус отправляется из А в первый рейс в 6 ч 15 мин, а вто­рой тоже из А — в 6 ч 30 мин? 6. Сколько можно составить различных прямоугольни­ков площадью 42 см2 , если длины сторон этих прямоуголь­ников являются натуральными числами (прямоугольники со сторонами, например, 3 см, 4 см и 4 см, 3 см считаются одинаковыми)? Вариант 2 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел 9 и 18. 2. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 21 и 28 б) 18 и 72 в) 3; 5 и 25 3. Найдите наименьшее общее кратное и наибольший об­щий делитель числителя и знаменателя следующих дробей: а) 13/26 б) 5/112 в) 36/84 4. Какие из следующих утверждений верны: а) два нечетных числа всегда взаимно просты б) два четных числа всегда имеют четное наименьшее об­щее кратное в) произведение составных чисел не может быть простым числом г) составное число не может делиться на простое число 5. Между пунктами А и В курсируют два поезда. Первый поезд тратит на путь туда и обратно 6 суток, второй — 7 суток. Через сколько суток со дня отправления из А первого поезда в пункте А встретятся оба поезда, если второй поезд отправляется из А через сутки после первого? 6. Сколько можно составить различных прямоугольни­ков площадью 66 см2, если длины сторон этих прямоуголь­ников являются натуральными числами (прямоугольники со сторонами, например, 3 см, 4 см и 4 см, 3 см считаются одинаковыми)? Ответы на самостоятельную работу по математике Наибольшее общее кратное 6 класс Вариант 1 1. 16 2. а) 132 б) 24 в) 132 3. а) 42 и 7 б) 660 и 1 в) 240 и 24 4. Верны: б), в), г) 5. В 9 часов 10 минут 6. 4 Вариант 2 1. 18 2. а) 84 б) 72 в) 75 3. а) 26 и 13 б) 560 и 1 в) 252 и 12 4. Верны: б), в) 5. Через 36 суток 6. 4 Урок 16. Наименьшее общее кратное | Поурочные планы по математике 6 класс Урок 16. Наименьшее общее кратное 09.07.2015 10971 0 Цели: ввести понятия наименьшего общего кратного; формировать навык нахождения наименьшего общего кратного; отрабатывать навык решения задач алгебраическим способом; повторить среднее арифметическое. Информация для учителя Обратить внимание учеников на разный смысл выражений: «общее кратное чисел», «наименьшее общее кратное чисел». Нахождение наименьшего общего кратного нескольких чисел: I способ 1. Проверить, не будет ли большее из данных чисел делиться на остальные числа. 2. Если делится, тогда это число будет наименьшим общим кратным всех данных чисел. 3. Если не делится, то проверить, не будет ли делиться на остальные числа удвоенное большее число, утроенное и т.д. 4. Так проверять до тех пор, пока не найдется наименьшее число, которое делится на каждое из остальных чисел. II способ 1. Разложить все числа на простые множители. 2. Написать разложение одного из чисел (лучше сразу записать наибольшее число). 3. Дополнить данное разложение теми множителями из разложения других чисел, которые не вошли в написанное разложение. 4. Вычислить полученное произведение. Если числа взаимно простые, то наименьшим общим кратным этих чисел будет являться их произведение. Ход урока I. Организационный момент   II. Устный счет 1. Игра «Я самый внимательный». 15, 67, 38, 560, 435, 226, 1000, 539, 3255. — Хлопните в ладоши, если число кратно 2. — Запишите, если число кратно 5. — Топайте ногами, если число кратно 10. — Почему вы одновременно хлопали, пищали и топали ногами? 2. Назовите все простые числа, удовлетворяющие неравенству 20 < х < 50. 3. Что больше, произведение или сумма этих чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? (Сумма. Произведение равно 0, а сумма равна 45.) 4. Назовите четырехзначное число, записанное с помощью цифр 1, 7, 5, 8, кратное 2, 5, 3. (1578, 1875, 1515.) 5. У Марины было целое яблоко, две половинки и четыре четвертинки. Сколько у нее было яблок? (3.)   III. Индивидуальная работа (Дать задание учащимся, допустившим ошибки в самостоятельной работе, разрешив воспользоваться записями в классной тетради.) 1 карточка 1. Найдите все общие делители чисел и подчеркните их наибольший общий делитель: а) 20 и 30;   б) 8 и 9;   в) 24 и 36. Назовите пару взаимно простых чисел, если есть. 2. Запишите два числа, для которых наибольшим общим делителем будет число: а) 5; б) 8. 3. Найдите наибольший общий делитель данных чисел: а) 22 и 33;   б) 24 и 30;   в) 45 и 9;    г) 15 и 35.   2 карточка 1. Найдите все общие делители чисел и подчеркните их наибольший общий делитель: а) 30 и 40;   б) 6 и 15;   в) 28 и 42. Назовите пару взаимно простых чисел, если есть. 2. Запишите два числа, для которых наибольшим общим делителем будет число: а) 3; б) 9. 3. Найдите наибольший общий делитель данных чисел: а) 33 и 44;   б) 18 и 24;   в) 36 и 9;    г) 20 и 25.   IV. Сообщение темы урока — Сегодня на уроке мы выясним, что такое наименьшее общее кратное чисел и как его находить.   V. Изучение нового материала (Задача записана на доске. ) — Прочитайте задачу. От одной пристани к другой ходят два катера. Начинают работу одновременно в 8 ч утра. Первый катер на рейс туда и обратно тратит 2 ч, а второй — 3 ч. Через какое наименьшее время оба катера опять окажутся на первой пристани, и сколько рейсов за это время сделает каждый катер? Сколько раз за сутки эти катера встретятся на первой пристани, и в какое время это будет происходить? Решение: — Искомое время должно делиться без остатка и на 2, и на 3, то есть должно быть кратным числам 2 и 3. — Запишем числа, кратные 2 и 3: Числа, кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24. Числа, кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24. — Подчеркните общие кратные чисел 2 и 3. — Назовите наименьшее кратное 2 и 3. (Наименьшее кратное — число 6.) — Значит, через 6 ч после начала работы два катера одновременно окажутся на первой пристани. — Сколько рейсов за это время сделает каждый катер? (1 – 3 рейса, 2 — 2 рейса. ) — Сколько раз за сутки эти катера встретятся на первой пристани? (4 раза.) — В какое время это будет происходить? (В 14 ч, 20 ч, в 2 ч ночи, в 8 утра.) Определение. Наименьшее натуральное число, которое делится на каждое изданных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным. Обозначение: НОК (2; 3) = 6. — Наименьшее общее кратное чисел можно найти и не выписывая подряд кратные чисел. Для этого надо: 1. Разложить все числа на простые множители. 2. Написать разложение одного из чисел (лучше наибольшего). 3. Дополнить данное разложение теми множителями из разложения других чисел, которые не вошли в написанное разложение. 4. Вычислить полученное произведение. — Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 75 и 60;   б) 180, 45 и 60;   в) 12 и 35. — Сначала надо проверить, не делится ли большее число на другие числа. Если да, то большее число будет наименьшим общим кратным этих чисел. — Затем определить, не являются ли данные числа взаимно простыми. Если да, то наименьшим общим кратным будет произведение этих чисел. а) 75 не делится на 60, и числа 75 и 60 не взаимно простые, тогда — Лучше сразу записывать не разложение числа 75, а само это число. б) Число 180 делится и на 45, и на 60, следовательно, НОК (180; 45; 60)= 180. в) Эти числа взаимно простые, значит, НОК (12; 35) = 420.   VI. Физкультминутка VII. Работа над задачей 1. — Составьте задачу по краткой записи. (На складе в трех ящиках было 160 кг яблок. В первом ящике на 15 кг меньше, нем во втором, во втором в 2 раза больше, чем в третьем. Сколько кг яблок было в каждом ящике?) — Решите задачу алгебраическим методом. (У доски и в тетрадях.) — Что примем за х? Почему? (Сколько кг яблок в III ящике. За х лучше принимать меньшее число.) — Тогда, что можно сказать о II ящике? (2х (кг) яблок во II ящике.) — Сколько будет в I ящике? (2х — 15 (кг) яблок в I ящике.) — На основании чего можно составить уравнение? (В 3 ящиках всего 160 кг яблок. ) Решение: 1) Пусть х (кг) — яблок в III ящике, 2х (кг) — яблок во II ящике, 2х — 15 (кг) — яблок в I ящике. Зная, что в 3 ящиках всего 160 кг яблок, составим уравнение: х + 2х + 2х — 15 = 160 5х = 160 + 15 Х = 175 : 5 х = 35;             35 кг  яблок в III ящике. 2) 35 · 2 = 70 (кг) — яблок во II ящике. 3) 70 — 15 = 55 (кг) — яблок во I ящике. — Что нужно сделать прежде, чем записать ответ задачи? (Чтобы записать ответ, нужно прочитать вопрос задачи.) — Назовите вопрос задачи. (Сколько кг яблок было в каждом ящике?) — Так как мы писали подробное пояснение к действиям, то ответ запишем кратко. (Ответ: 55 кг, 70 кг, 35 кг.) 2. № 184 стр. 30 (у доски и в тетрадях). — Прочитайте задачу. — Что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Найти НОК чисел 45 и 60.) Решение: 45 = 3 · 3 · 5 60 = 2 · 5 · 2 · 3 НОК (45; 60) = 60 · 3 = 180, значит 180 м. (Ответ: 180 м.)   VIII. Закрепление изученного материала 1. № 179 стр. 30 (у доски и в тетрадях). — Найдите разложение на простые множители наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b. а) НОК (а; в) = 3 · 5 · 7 НОД (а; в) = 5. б) НОК (а; в) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 НОД (а; в) = 2 · 2 · 3. 2. № 180 (а, б) стр. 30 (с подробным комментированием). — Расскажите, как удобнее считать. а) НОК (а; b) = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 2 · 5 = 2700. б) Так как b делится на а, то НОК, будет само число b. НОК (а; b) = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7 = 4410.   IX. Повторение изученного материала 1. — Как найти среднее арифметическое нескольких чисел? (Найти сумму этих чисел; полученный результат разделить на количество чисел.) № 198 стр. 32 (на доске и в тетрадях). (3,8 + 4,2 + 3,5 + 4,1) : 4 = 3,9 2. № 195 стр. 32 (самостоятельно). — Как по-другому можно записать частное двух чисел? (В виде дроби. ) Решение:   X. Самостоятельная работа — Записать промежуточные ответы. Вариант I. № 125 (1—2 строчки) стр. 22, № 222 (а—в) стр. 36, № 186 (а, б) стр. 31. Вариант II. № 125 (3—4 строчки) стр. 22, № 186 (в, г) стр. 31, № 222 (в—д) стр. 36.   XI. Подведение итогов урока — Какое число называют общим кратным данных чисел? — Какое число называют наименьшим общим кратным данных чисел? — Как найти наименьшее общее кратное данных чисел? Домашнее задание № 202 (а, б, найти НОД и НОК), № 204 стр. 32, № 206 (а) стр. 33, № 145 (а) стр. 24. Индивидуальное задание: № 201 стр. 32. Номер (задание) 240 — гдз по математике 6 класс Виленкин, Жохов, Чесноков Условие / глава 1. / § 2 / тема 8 / 240 240. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 18 и 36; б) 33 и 44; в) 378 и 441; г) 11 340 и 37 800. Решебник №1 / глава 1. / § 2 / тема 8 / 240 Видеорешение / глава 1. / § 2 / тема 8 / 240 Решебник №2 / глава 1. / § 2 / тема 8 / 240 Решебник №3 / глава 1. / § 2 / тема 8 / 240 Задача №14. Выполнение алгоритма — подготовка к ЕГЭ по Информатике Автор материалов — Лада Борисовна Есакова. В этой задаче используется, в основном, описание алгоритмов на псевдокоде (условном алгоритмическом языке, включающем в себя и элементы языка программирования, и элементы обычного естественного языка). Основные конструкции псевдокода описаны перед текстом задачи. Исполнитель чертежник Пример 1. Ис­пол­ни­тель Чертёжник пе­ре­ме­ща­ет­ся на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, остав­ляя след в виде линии. Чертёжник может вы­пол­нять ко­ман­ду сме­стить­ся на (a, b), где a, b – целые числа. Эта ко­ман­да пе­ре­ме­ща­ет Чертёжника из точки с ко­ор­ди­на­та­ми (x, y) в точку с ко­ор­ди­на­та­ми (x + a; y + b). На­при­мер, если Чертёжник на­хо­дит­ся в точке с ко­ор­ди­на­та­ми (4, 2), то ко­ман­да сме­стить­ся на (2, -3) пе­ре­ме­стит Чертёжника в точку (6, -1). Цикл ПО­ВТО­РИ число РАЗ по­сле­до­ва­тель­ность ко­манд КОНЕЦ ПО­ВТО­РИ озна­ча­ет, что по­сле­до­ва­тель­ность ко­манд будет вы­пол­не­на ука­зан­ное число раз (число долж­но быть на­ту­раль­ным). Чертёжнику был дан для ис­пол­не­ния сле­ду­ю­щий ал­го­ритм (бук­ва­ми n, a, b обо­зна­че­ны не­из­вест­ные числа, n>1): НА­ЧА­ЛО сме­стить­ся на (60, 100) ПО­ВТО­РИ n РАЗ сме­стить­ся на (a, b) сме­стить­ся на (33, 44) КОНЕЦ ПО­ВТО­РИ сме­стить­ся на (13, 200) сме­стить­ся на (-1, 60) КОНЕЦ Ука­жи­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние числа n, для ко­то­ро­го най­дут­ся такие зна­че­ния чисел a и b, что после вы­пол­не­ния про­грам­мы Чертёжник воз­вра­тит­ся в ис­ход­ную точку.   Решение: В результате выполнения алгоритма Чертежник переместится по оси х на: 60 + n*a + n*33 + 13 – 1 по оси y на: 100 + n*b + n*44 + 200 + 60 Известно, что в результате перемещения Чертежник вернулся в исходную точку, т.е. перемещение по оси х равно нулю, и перемещение по оси y равно нулю: 60 + n*a + n*33 + 13 – 1 = 0 100 + n*b + n*44 + 200 + 60 = 0 Т.е. n*(a + 33) = -72 n*(b + 44) = -360 Наибольшее n – это наибольший общий делитель чисел -72 и -360. Это число 72. Ответ: 72   Исполнитель робот Пример 2. Си­сте­ма ко­манд ис­пол­ни­те­ля РОБОТ, «жи­ву­ще­го» в пря­мо­уголь­ном ла­би­рин­те на клет­ча­той плос­ко­сти: вверх вниз влево впра­во При вы­пол­не­нии любой из этих ко­манд РОБОТ пе­ре­ме­ща­ет­ся на одну клет­ку со­от­вет­ствен­но (по от­но­ше­нию к на­блю­да­те­лю): вверх ↑, вниз ↓, влево ←, впра­во →. Че­ты­ре ко­ман­ды про­ве­ря­ют ис­тин­ность усло­вия от­сут­ствия стены у каж­дой сто­ро­ны той клет­ки, где на­хо­дит­ся РОБОТ (также по от­но­ше­нию к на­блю­да­те­лю): свер­ху сво­бод­но снизу сво­бод­но слева сво­бод­но спра­ва сво­бод­но Цикл ПОКА < усло­вие > по­сле­до­ва­тель­ность ко­манд КОНЕЦ ПОКА вы­пол­ня­ет­ся, пока усло­вие ис­тин­но. В кон­струк­ции ЕСЛИ < усло­вие > ТО ко­ман­да1 ИНАЧЕ ко­ман­да2 КОНЕЦ ЕСЛИ вы­пол­ня­ет­ся ко­ман­да1 (если усло­вие ис­тин­но) или ко­ман­да2 (если усло­вие ложно)   Если РОБОТ начнёт дви­же­ние в сто­ро­ну на­хо­дя­щей­ся рядом с ним стены, то он раз­ру­шит­ся и про­грам­ма прервётся. Сколь­ко кле­ток ла­би­рин­та со­от­вет­ству­ют тре­бо­ва­нию, что, начав дви­же­ние в ней и вы­пол­нив пред­ло­жен­ную про­грам­му, РОБОТ уце­ле­ет и оста­но­вит­ся в за­кра­шен­ной клет­ке (клет­ка F6)?   НА­ЧА­ЛО ПОКА снизу сво­бод­но ИЛИ спра­ва сво­бод­но ПОКА спра­ва сво­бод­но                                   впра­во КОНЕЦ ПОКА вниз КОНЕЦ ПОКА КОНЕЦ   1) 22 2) 19 3) 15 4) 12   Решение: В дан­ной про­грам­ме РОБОТ сначала про­ве­ря­ет, сво­бод­на ли клет­ка спра­ва или снизу от него. Если это так, то РОБОТ пе­ре­хо­дит к пер­во­му дей­ствию внут­ри цикла. В этом цикле пока у пра­вой сто­ро­ны клет­ки, в ко­то­рой на­хо­дит­ся РОБОТ, нет стены, он про­дол­жа­ет дви­гать­ся впра­во. Как толь­ко это усло­вие пе­ре­ста­нет вы­пол­нять­ся, он пе­ре­хо­дит ко вто­ро­му дей­ствию внут­ри цикла. Вто­рое дей­ствие, за­клю­ча­ет­ся в сле­ду­ю­щем: РОБОТ пе­ре­дви­га­ет­ся на одну клет­ку вниз. После чего воз­вра­ща­ет­ся к на­ча­лу внеш­не­го цикла. Про­ве­рив последовательно все клет­ки по пра­ви­лу дви­же­ния РО­БО­ТА вы­яс­ня­ем, что число кле­ток, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи равно 15 (вся пер­вая строч­ка, весь стол­бец F, клет­ки D2, E2, D4, D6, E4).   Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3. Ответ: 3   Исполнитель редактор Пример 3. Ис­пол­ни­тель Ре­дак­тор по­лу­ча­ет на вход стро­ку цифр и пре­об­ра­зо­вы­ва­ет её. Ре­дак­тор может вы­пол­нять две ко­ман­ды, в обеих ко­ман­дах v и w обо­зна­ча­ют це­поч­ки цифр. А) за­ме­нить (v, w). Эта ко­ман­да за­ме­ня­ет в стро­ке пер­вое слева вхож­де­ние це­поч­ки v на це­поч­ку w. На­при­мер, вы­пол­не­ние ко­ман­ды за­ме­нить (111, 27) пре­об­ра­зу­ет стро­ку 05111150 в стро­ку 0527150. Если в стро­ке нет вхож­де­ний це­поч­ки v, то вы­пол­не­ние ко­ман­ды за­ме­нить (v, w) не ме­ня­ет эту стро­ку. Б) на­шлось (v). Эта ко­ман­да про­ве­ря­ет, встре­ча­ет­ся ли це­поч­ка v в стро­ке ис­пол­ни­те­ля Ре­дак­тор. Если  она встре­ча­ет­ся, то ко­ман­да воз­вра­ща­ет ло­ги­че­ское зна­че­ние «ис­ти­на», в про­тив­ном слу­чае воз­вра­ща­ет зна­че­ние «ложь». Стро­ка ис­пол­ни­те­ля при этом не из­ме­ня­ет­ся.   Цикл ПОКА усло­вие по­сле­до­ва­тель­ность ко­манд КОНЕЦ ПОКА вы­пол­ня­ет­ся, пока усло­вие ис­тин­но. В кон­струк­ции ЕСЛИ усло­вие ТО ко­ман­да1 ИНАЧЕ ко­ман­да2 КОНЕЦ ЕСЛИ вы­пол­ня­ет­ся ко­ман­да1 (если усло­вие ис­тин­но) или ко­ман­да2 (если усло­вие ложно). Какая стро­ка по­лу­чит­ся в ре­зуль­та­те при­ме­не­ния при­ведённой ниже про­грам­мы к стро­ке, со­сто­я­щей из 68 иду­щих под­ряд цифр 8? В от­ве­те за­пи­ши­те по­лу­чен­ную стро­ку.  НА­ЧА­ЛО  ПОКА на­шлось (222) ИЛИ на­шлось (888)     ЕСЛИ на­шлось (222)         ТО за­ме­нить (222, 8)         ИНАЧЕ за­ме­нить (888, 2)     КОНЕЦ ЕСЛИ  КОНЕЦ ПОКА  КОНЕЦ   Решение: Обозначим строку из 68 восьмерок  — 68«8», строку из двойки и 65 восьмерок – 1«2»65«8» и т.д. Отработаем 4 первых цикла программы: 68«8»  →  1«2»65«8»   →  2«2»62«8»   →  3«2»59«8»   →  60«8» В результате количество восьмерок уменьшилось на 8. Не сложно понять, что строка будет уменьшаться на 8 восьмерок каждые 4 итерации. В результате останется строка из 4 восьмерок. Доработаем программу: …→  4«8»  →  1«2»1«8»   = 28 Ответ: 28   Исполнитель черепашка Пример 4. Исполнитель Черепашка перемещается на экране компьютера, оставляя след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существуют две команды: Вперед n, где n – целое число, вызывающее передвижение черепашки на n шагов в направлении движения. Направо m, где m – целое число, вызывающее изменение направления движения на m градусов по часовой стрелке. Запись Повтори 5 [Команда1 Команда2] означает, что последовательность команд в скобках повторится 5 раз. Черепашке был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 5 [Повтори 4 [Вперед 40 Направо 90] Направо 120] Какая фигура появится на экране? Решение: Последовательность действий Вперед 40 Направо 90 рисует отрезок длиной 40 шагов, а затем меняет направление на 90 градусов по часовой стрелке. Тогда последовательность Повтори 4 [Вперед 40 Направо 90] нарисует квадрат, а направление вернется в исходное. Затем выполняется команда Направо 120, она изменит направление на 120 градусов от исходного. Если повторить все рассмотренные действия 5 раз: Повтори 5 [Повтори 4 [Вперед 40 Направо 90] Направо 120], то будет 5 раз нарисован квадрат. Причем каждый следующий повернут вокруг вершины относительно предыдущего на 120 градусов. Не сложно заметить, что 4-й  квадрат будет нарисован поверх первого (120*3 = 360, сделан поворот на целый круг, возврат в исходное положение), а 5-й поверх второго. Результат изображен под номером 3. Ответ: 3   Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями! Самостоятельная работа по теме Наименьшее общее кратное (6 класс) Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 1. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 33 и 44; б) 12 и 24; в) 4, 6 и 33. 2. Между пунктами А и В курсируют два автобуса. Первый тратит на дорогу туда и обратно 35 мин, второй – 40 мин. В какое время автобусы встретятся в пункте А, если первый автобус отправляется из А в первый рейс в 6 ч 15 мин, а второй тоже из А – в 6 ч 30 мин? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 2. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 21 и 28; б) 18 и 72; в) 3, 5 и 25. 2. Между пунктами А и В курсируют два поезда. Первый поезд тратит на путь туда и обратно 6 суток, второй – 7 суток. Через сколько суток со дня отправления из А первого поезда в пункте А встретятся оба поезда, если второй поезд отправляется из А через сутки после второго? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 1. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 33 и 44; б) 12 и 24; в) 4, 6 и 33. 2. Между пунктами А и В курсируют два автобуса. Первый тратит на дорогу туда и обратно 35 мин, второй – 40 мин. В какое время автобусы встретятся в пункте А, если первый автобус отправляется из А в первый рейс в 6 ч 15 мин, а второй тоже из А – в 6 ч 30 мин? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 2. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 21 и 28; б) 18 и 72; в) 3, 5 и 25. 2. Между пунктами А и В курсируют два поезда. Первый поезд тратит на путь туда и обратно 6 суток, второй – 7 суток. Через сколько суток со дня отправления из А первого поезда в пункте А встретятся оба поезда, если второй поезд отправляется из А через сутки после второго? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 1. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 33 и 44; б) 12 и 24; в) 4, 6 и 33. 2. Между пунктами А и В курсируют два автобуса. Первый тратит на дорогу туда и обратно 35 мин, второй – 40 мин. В какое время автобусы встретятся в пункте А, если первый автобус отправляется из А в первый рейс в 6 ч 15 мин, а второй тоже из А – в 6 ч 30 мин? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 2. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 21 и 28; б) 18 и 72; в) 3, 5 и 25. 2. Между пунктами А и В курсируют два поезда. Первый поезд тратит на путь туда и обратно 6 суток, второй – 7 суток. Через сколько суток со дня отправления из А первого поезда в пункте А встретятся оба поезда, если второй поезд отправляется из А через сутки после второго? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 1. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 33 и 44; б) 12 и 24; в) 4, 6 и 33. 2. Между пунктами А и В курсируют два автобуса. Первый тратит на дорогу туда и обратно 35 мин, второй – 40 мин. В какое время автобусы встретятся в пункте А, если первый автобус отправляется из А в первый рейс в 6 ч 15 мин, а второй тоже из А – в 6 ч 30 мин? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 2. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 21 и 28; б) 18 и 72; в) 3, 5 и 25. 2. Между пунктами А и В курсируют два поезда. Первый поезд тратит на путь туда и обратно 6 суток, второй – 7 суток. Через сколько суток со дня отправления из А первого поезда в пункте А встретятся оба поезда, если второй поезд отправляется из А через сутки после второго? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 1. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 33 и 44; б) 12 и 24; в) 4, 6 и 33. 2. Между пунктами А и В курсируют два автобуса. Первый тратит на дорогу туда и обратно 35 мин, второй – 40 мин. В какое время автобусы встретятся в пункте А, если первый автобус отправляется из А в первый рейс в 6 ч 15 мин, а второй тоже из А – в 6 ч 30 мин? Самостоятельная работа №5. Наименьшее общее кратное. Вариант – 2. 1. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 21 и 28; б) 18 и 72; в) 3, 5 и 25. 2. Между пунктами А и В курсируют два поезда. Первый поезд тратит на путь туда и обратно 6 суток, второй – 7 суток. Через сколько суток со дня отправления из А первого поезда в пункте А встретятся оба поезда, если второй поезд отправляется из А через сутки после второго? Наибольший общий множитель 33 и 44 (GCF 33, 44) Вы на охоте за GCF 33 и 44? Поскольку вы находитесь на этой странице, я так и предполагаю! В этом кратком руководстве мы расскажем, как вычислить наибольший общий множитель для любых чисел, которые вам нужно проверить. Давайте прыгнем! Хотите быстро узнать или показать студентам, как найти GCF двух или более чисел? Воспроизведите это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас! Во-первых, если вы спешите, вот ответ на вопрос «каков GCF 33 и 44?» : GCF из 33 и 44 = 11 Каков наибольший общий фактор? Проще говоря, GCF набора целых чисел — это наибольшее положительное целое число (т. е.e целое число, а не десятичное), которое делится на все числа в наборе. Это также широко известно как: Наибольший общий знаменатель (НОД) Наивысший общий коэффициент (HCF) Наибольший общий делитель (НОД) Существует несколько различных способов вычисления GCF набора чисел в зависимости от того, сколько чисел у вас есть и насколько они велики. Для меньших чисел вы можете просто посмотреть множители или кратные для каждого числа и найти их наибольшее общее кратное. Для 33 и 44 эти коэффициенты выглядят так: Факторы для 33: 1, 3, 11 и 33 Факторы для 44: 1, 2, 4, 11 , 22 и 44 Как вы можете видеть, когда перечисляете факторы каждое число, 11 — это наибольшее число, на которое делятся 33 и 44. Подводя итоги По мере того, как числа становятся больше или вы хотите сравнить несколько чисел одновременно, чтобы найти GCF, вы можете увидеть, как перечисление всех факторов может стать слишком большим. Чтобы исправить это, вы можете использовать простые множители. Перечислите все простые множители для каждого числа: Основные множители для 33: 3 и 11 Основные множители для 44: 2, 2 и 11 Теперь, когда у нас есть список простых множителей, нам нужно найти любые, общие для каждого числа. В этом случае есть только один общий простой множитель, 11. Поскольку других нет, наибольшим общим делителем является этот простой множитель: GCF = 11 Найдите GCF с помощью алгоритма Евклида Последний метод вычисления GCF 33 и 44 — использовать алгоритм Евклида. Это более сложный способ вычисления наибольшего общего множителя, который на самом деле используется только калькуляторами GCD. Если вы хотите узнать больше об алгоритме и, возможно, попробовать его самостоятельно, загляните на страницу Википедии. Надеюсь, сегодня вы немного научились математике и понимаете, как вычислять НОД чисел. Возьмите карандаш и бумагу и попробуйте сами. (или просто воспользуйтесь нашим калькулятором НОД — никому не скажем!) Цитируйте, ссылайтесь или ссылайтесь на эту страницу Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большое одолжение и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали.Мы очень ценим вашу поддержку! Наибольший общий коэффициент 33 и 44 «Наибольший общий множитель 33 и 44». VisualFractions.com . По состоянию на 18 июня 2021 г. https://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-33-and-44/. «Наибольший общий множитель 33 и 44». VisualFractions.com , https://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-33-and-44/. По состоянию на 18 июня 2021 г. Наибольший общий множитель 33 и 44. VisualFractions.com. Получено с https://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-33-and-44/. GCF из 33 и 44 На этой странице мы определим GCF 33 и 44, научим вас различным способам вычисления GCF 33 и 44, а также покажу вам, для чего можно использовать GCF 33 и 44. Что такое GCF для 33 и 44? GCF — это сокращение от Greatest Common Factor. Следовательно, GCF 33 и 44 совпадает с наибольшим общим фактором. 33 и 44. GCF 33 и 44 — это наибольшее положительное целое число, на которое можно разделить 33 и 44. Кроме того, и 33, и 44 имеют набор факторов, и GCF является наибольшим общим фактором для 33 и 44. Сравните коэффициенты, чтобы получить GCF 33 и 44 Согласно приведенному выше определению, чтобы найти GCF 33 и 44, вы можете сравнить коэффициент 33 с коэффициентом множитель 44, чтобы увидеть, какой фактор является наибольшим.Когда мы это сделали, мы обнаружили что наибольший общий коэффициент (GCF) 33 и 44 равен 11. Используйте LCM, чтобы получить GCF 33 и 44 Наименьшее общее кратное (НОК) 33 и 44 равно 132. Вы можете найти НОК 33 и 44, разделив произведение 33 и 44 на НОК 33 и 44. Вот формула и математика: Произведение из 33 и 44 LCM 33 и 44 = GCF 33 × 44 132 = 11 Используйте компьютерную таблицу, чтобы получить GCF 33 и 44 Если у вас есть компьютер, вы также можете использовать электронную таблицу в Excel или Numbers, чтобы вычислить GCF 33 и 44. Вы хотите ввести = gcf (33, 44) в ячейку, чтобы получить ответ. gcf (33, 44) = 11 Используйте GCF 33 и 44 для упрощения дроби GCF 33 и 44 можно использовать для многих вещей. Вы можете, например, упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на GCF как это: 33 ÷ 11 44 ÷ 11 = Используйте GCF 33 и 44, чтобы упростить соотношение Точно так же вы можете использовать GCF 33 и 44, чтобы упростить соотношение, разделив каждую часть отношения на GCF выглядит следующим образом: = 33: 44 = (33 ÷ 11): (44 ÷ 11) = 3: 4 Используйте GCF 33 и 44, чтобы найти LCM 33 и 44 Поскольку использование наименьшего общего кратного (НОК) является одним из способов найти НОК 33 и 44, вы можете использовать НОК 33 и 44, чтобы найти НОК 33 и 44. НОК 33 и 44 можно, например, использовать для сложения и вычитания дробей со знаменателями 33 и 44. НОК 33 и 44 является произведением 33 и 44, разделенных на НОК 33 и 44. Вот математика: Произведение из 33 и 44 GCF из 33 и 44 = LCM 33 × 44 11 = 132 Вот и все! Мы надеемся, что эта страница выполнила свою задачу по определению GCF 33 и 44, показывая вам, как рассчитать GCF, примеры его использования и его отношение к LCM. Калькулятор GCF Используйте Калькулятор GCF для решения проблемы, аналогичной описанной на этой странице. GCF 33 и 45 Вот следующий GCF в нашем списке, который мы для вас вычислили и объяснили. Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт Калькулятор наибольшего общего коэффициента — Дюймовый калькулятор Найдите наибольший общий множитель, общие множители и все множители для набора чисел, используя калькулятор ниже. Решение: Наибольший общий множитель [22, 88, 132]: 22 Найдите множители для каждого числа Факторы 22 равны [1, 2, 11, 22] Факторы 88 равны [ 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88] Факторы 132 равны [1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132] Найдите коэффициенты, общие для всех трех чисел Общие коэффициенты: [1, 2, 11, 22] GCF — это наибольший коэффициент, общий для всех трех чисел GCF — 22 Как найти наибольший общий делитель набора чисел Наибольший общий множитель (GCF) набора чисел является наибольшим множителем, общим для всех чисел в наборе. Наибольший общий множитель иногда называют наибольшим общим делителем (HCF) , наибольшим общим знаменателем (GCD) (GCD), наибольшим общим делителем или наибольшим общим делителем . Коэффициент числа x — это число, которое можно умножить на другое целое число, чтобы получить x. Есть несколько способов найти наибольший общий фактор. Первый — использовать калькулятор выше, который даже показывает все шаги.Следуйте инструкциям ниже, чтобы узнать о еще трех методах. Иллюстрация, показывающая множители и общие множители чисел 90 и 165. Метод первый: найти GCF с помощью простого факторизации Один из способов найти наибольший общий делитель набора чисел — использовать разложение на простые множители. Чтобы использовать разложение на простые множители, найдите простые множители каждого числа. Чтобы найти простые множители, разделите каждое число в наборе на простой множитель. Затем разделите каждое число на другой простой множитель до тех пор, пока их нельзя будет разделить дальше. Простые числа, используемые для деления числа, являются простыми множителями. Чтобы найти наибольший общий делитель 90 и 165 с помощью разложения на простые множители, найдите простые делители каждого числа. Чтобы найти простые множители, разделите каждое число на другой простой множитель до тех пор, пока их нельзя будет разделить дальше. Когда у вас есть простые множители для каждого числа в наборе, следующий шаг — найти числа, общие для всех чисел. Наконец, умножьте все общие простые множители вместе, чтобы найти наибольший общий делитель. Например, позволяет найти наибольший общий делитель 90 и 165, используя разложение на простые множители. Чтобы найти простые множители 90, разделите 90 на 2, чтобы получить 45. 2 — простое число, но 45 можно разделить на 5, чтобы получить 9. 5 — простое число, а 9 можно разделить на 3, чтобы получить 3. Таким образом, простые числа 90 равны [5,3,3,2] . Повторите этот процесс для 165. 165 разделить на 3 = 55. 3 является простым множителем, но 55 можно разделить на 5, чтобы получить 11. Простые множители 165 равны [11,5,3] . Теперь найдите простые множители, общие для обоих чисел. 5 и 3 входят в оба набора простых множителей, которые мы нашли выше. Чтобы найти наибольший общий множитель, давайте умножим общие простые множители вместе. 5 × 3 = 15 Таким образом, 15 является наибольшим общим делителем 90 и 165. Совет: используйте наш калькулятор простых множителей, чтобы найти все простые множители числа. Метод второй: найти GCF по всем факторам Используя этот метод, можно найти наибольший общий множитель путем нахождения всех множителей для каждого числа в наборе, а затем нахождения множителей, общих для всех чисел в наборе. Наибольший общий фактор для всех чисел — наибольший общий фактор. Чтобы найти множители числа, разделите их на 2, если результатом является целое число, а не 2, а результат — множители. Повторите этот процесс, разделив на 3, 4 и так далее, пока не дойдете до 1. Затем найдите факторы, входящие в набор факторов для всех чисел. Это общие множители чисел. Наконец, найдите наибольшее число в наборе общих факторов. Это самый общий фактор. Например, давайте найдем наибольший общий делитель 90 и 165, найдя все множители. Начнем с определения множителей для обоих чисел. Коэффициенты для 90: [1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90] Коэффициенты для 165: [1, 3, 5, 11, 15, 33, 55, 165] Затем найдите факторы, общие для 90 и 165. Общие множители: [1, 3, 5, 15] Найдите наибольшее число в наборе общих множителей, чтобы найти наибольший общий множитель. Наибольшее число в наборе общих множителей 90 и 165 равно 15. Таким образом, наибольший общий множитель 90 и 165 равен 15 . Метод третий: найти GCF с помощью алгоритма Евклида Алгоритм Евклида определяет шаги для эффективного нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.Начните с деления большого числа на маленькое, чтобы получить частное и остаток. Если остаток не равен 0, разделите предыдущий делитель на остаток. Продолжайте делать это до тех пор, пока остаток не равен 0. Как только у вас есть остаток, равный 0, делитель на этом шаге является наибольшим общим множителем. Например, давайте найдем наибольший общий делитель 90 и 165, используя алгоритм Евклида. 165 ÷ 90 = 1 остаток 75 90 ÷ 75 = 1 остаток 15 75 ÷ 15 = 5 остаток 0 Поскольку 15 является делителем на последнем шаге, когда остаток равен 0, GCF составляет 15 . Узнайте больше, используя наш калькулятор алгоритма Евклида. Какой наибольший общий коэффициент используется для Наибольший общий коэффициент обычно используется для упрощения или сокращения дробей. Наибольший общий делитель также известен как наибольший общий делитель. Узнайте больше о сокращении фракций с помощью нашего упрощителя дробей. Калькулятор GCF (наибольший общий коэффициент) Калькулятор GCF вычисляет наибольший общий коэффициент от двух до шести различных чисел.Прочтите, чтобы найти ответ на вопрос: «Каков наибольший общий фактор данных чисел?», Узнайте о нескольких методах поиска GCF, включая разложение на простые множители или алгоритм Евклида, решите, какой из них вам больше всего нравится, и убедитесь сами наш калькулятор GCF поможет вам сэкономить время при работе с большими числами! Что такое GCF? Определение наибольшего общего множителя — наибольший целочисленный множитель, который присутствует между набором чисел . Он также известен как наибольший общий делитель , наибольший общий знаменатель ( GCD ), наибольший общий делитель ( HCF ) или наибольший общий делитель ( HCD ). Это важно в некоторых приложениях математики, таких как упрощение многочленов, где часто бывает необходимо выделить общие множители. Далее нам нужно знать, как найти GCF. Как найти наибольший общий множитель Существуют различные методы, которые помогут вам найти GCF. Некоторые из них — детская игра, другие — более сложные. Стоит знать их все, чтобы вы могли решить, что вам больше нравится: Используя список факторов, Факторизация чисел на простые множители, алгоритм Евклида, Бинарный алгоритм (алгоритм Штейна), Использование нескольких свойств GCF (включая наименьшее общее кратное, LCM). Хорошая новость в том, что вы можете оценить НОД с помощью простых математических операций, без корней и логарифмов! В большинстве случаев это просто вычитание, умножение или деление. GCF finder — список факторов Основной метод, используемый для оценки наибольшего общего делителя, — это найти все множители данных чисел. Факторы — это просто числа, умножение которых дает исходное значение. В целом они могут быть как положительными, так и отрицательными, т.е.грамм. 2 * 3 совпадает с (-2) * (-3) , оба равны 6. С практической точки зрения мы рассматриваем только положительные . Причем речь идет только о целых числах. В противном случае вы найдете бесконечную комбинацию различных дробей, являющихся факторами, что в нашем случае бессмысленно. Зная это, давайте оценим наибольший общий знаменатель чисел 72 и 40 . Факторы 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 , Факторы 40 : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 , Перечислите все общие множители: 1, 2, 4, 8 , Наибольший общий делитель — 8 , максимальное значение сверху. Давайте попробуем что-нибудь посложнее. Мы хотим найти ответ на вопрос: «Каков наибольший общий множитель для 33264 и 35640 ?» Все, что нам нужно сделать, это повторить предыдущие шаги: Факторы 33264 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 21, 22, 24, 27, 28, 33, 36, 42, 44, 48, 54, 56, 63, 66, 72, 77, 84, 88, 99, 108, 112, 126, 132, 144, 154, 168, 176, 189, 198, 216, 231, 252, 264, 297, 308, 336, 378, 396, 432, 462, 504, 528, 594, 616, 693, 756, 792, 924, 1008, 1188, 1232, 1386, 1512, 1584, 1848, 2079, 2376, 2772, 3024, 3696, 4158, 4752, 5544, 8316, 11088, 16632, 33264 , Факторы 35640 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 20, 22, 24, 27, 30, 33, 36, 40 , 44, 45, 54, 55, 60, 66, 72, 81, 88, 90, 99, 108, 110, 120, 132, 135, 162, 165, 180, 198, 216, 220, 264, 270, 297 , 324, 330, 360, 396, 405, 440, 495, 540, 594, 648, 660, 792, 810, 891, 990, 1080, 1188, 1320, 1485, 1620, 1782, 1980, 2376, 2970, 3240 , 3564, 3960, 4455, 5940, 7128, 8910, 11880, 17820, 35640 , Список всех общих делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 18, 22, 24, 27, 33, 36, 44, 54, 66, 72, 88, 99, 108, 132, 198, 216, 264, 297, 396, 594, 792, 1188, 2376 , Окончательный результат: 2376 . Как видите, чем больше факторов, тем больше времени занимает процедура и легко ошибиться. Стоит знать, как работает этот метод, но вместо этого мы рекомендуем использовать наш калькулятор GCF, просто чтобы убедиться, что результат правильный. Факторизация на простые множители Другая широко используемая процедура, которую можно рассматривать как калькулятор наибольшего общего делителя, использует разложение на простые множители. Этот метод в некоторой степени родственен ранее упомянутому.Вместо того, чтобы перечислять все возможные факторы, мы находим только те, которые являются простыми числами. В результате произведение всех общих простых чисел является ответом на нашу проблему, и, что более важно, всегда есть один уникальный способ разложить любое число на простые. Итак, теперь давайте найдем наибольший общий знаменатель 72 и 40 , используя разложение на простые множители: Основные множители числа 72 равны: 2, 2, 2, 3, 3 , Основные множители 40 : 2, 2, 2, 5 , Другими словами, мы можем написать: 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 и 40 = 2 * 2 * 2 * 5 , Общая часть в обоих случаях равна 2 * 2 * 2 = 8 , и это наибольший общий коэффициент. Мы видим, что для этого простого примера результат согласуется с предыдущим методом. Посмотрим, работает ли он одинаково хорошо для более сложного случая. Что такое GCF для 33264 и 35640 ? Основные множители 33264 : 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 7, 11 , Основные множители 35640 : 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 11 , Мы можем использовать обозначение экспоненты для записи продуктов как: 33264 = 2⁴ * 3³ * 7 * 11 , 35640 = 2³ * 3⁴ * 5 * 11 , Общее произведение двух чисел: 2³ * 3³ * 11 .Мы также можем записать его более компактно и изощренно с учетом факториалов: (3!) ³ * 11 . Проверьте, дает ли наш калькулятор GCD такой же результат: 2376 . Алгоритм Евклида Идея, лежащая в основе алгоритма Евклида, гласит, что если число k является наибольшим общим множителем чисел A и B , то k также является GCF для разности этих чисел A - В . Следуя этой процедуре, мы наконец достигнем 0. В результате наибольший общий делитель будет последним ненулевым числом. Еще раз взглянем на наши примеры — числа 40 и 72 . Каждый раз, когда мы производим вычитание, мы сравниваем два числа, упорядочивая их от наибольшего к наименьшему значению: GCF из 72 и 40 : разница 72-40 равна 32 , GCF из 40 и 32 : 40-32 = 8 , GCF из 32 и 8 : 32-8 = 24 , GCF из 24 и 8 : 24-8 = 16 , GCF из 16 и 8 : 16-8 = 8 , GCF из 8 и 8 : 8-8 = 0 СТОП! На нашем последнем шаге вычитанием мы получаем 0.Это означает, что мы находим наш Наибольший общий делитель и его значение в предпоследней строке вычитаний: 8 . А как насчет более сложного случая с 33264 и 35640 ? Попробуем решить ее с помощью алгоритма Евклида: GCF из 35640 и 33264 : 35640 - 33264 = 2376 , GCF из 33264 и 2376 : 33264 - 2376 = 30888 , GCF из 30888 и 2376 : 30888 - 2376 = 28512 , GCF из 28512 и 2376 : 28512 - 2376 = 26136 , GCF из 26136 и 2376 : 26136 - 2376 = 23760 , GCF из 23760 и 2376 : 23760 - 2376 = 21384 , GCF из 21384 и 2376 : 21384 - 2376 = 19008 , GCF из 19008 и 2376 : 19008 - 2376 = 16632 , GCF из 16632 и 2376 : 16632 - 2376 = 14256 , GCF из 14256 и 2376 : 14256 - 2376 = 11880 , GCF из 11880 и 2376 : 11880 - 2376 = 9504 , GCF из 9504 и 2376 : 9504 - 2376 = 7128 , GCF из 7128 и 2376 : 7128 - 2376 = 4752 , GCF из 4752 и 2376 : 4752 - 2376 = 2376 , GCF из 2376 и 2376 : 2376 - 2376 = 0 СТОП! Как и в предыдущем примере, НОД для 33264 и 35640 является последней отличной от нуля разницей в процедуре, которая составляет 2376 . Как видите, базовая версия этого искателя GCF очень эффективна и проста, но имеет один существенный недостаток. Чем больше разница между приведенными числами, тем больше шагов необходимо для достижения последнего шага. По модулю — это эффективная математическая операция, которая решает проблему, потому что нас интересует только остаток, меньший обоих чисел. Давайте повторим алгоритм Евклида для наших примеров, используя по модулю вместо обычного вычитания: GCF из 72 и 40 : 72 мод 40 = 32 , GCF из 40 и 32 : 40 мод 32 = 8 , GCF из 32 и 8 : 32 mod 8 = 0 СТОП! Наибольший общий знаменатель 8 .А что насчет другого? GCF из 35640 и 33264 : 35640 мод 33264 = 2376 , GCF из 33264 и 2376 : 33264 mod 2376 = 0 СТОП! GCD из 35640 и 33264 — это 2376 , и его можно найти всего за два шага вместо 15. Неплохо, не так ли? Алгоритм двоичного наибольшего общего делителя Если вам нравятся более простые арифметические операции, чем те, которые используются в алгоритме Евклида (например,грамм. по модулю), двоичный алгоритм (или алгоритм Штейна) определенно для вас! Все, что вам нужно использовать, это сравнение, вычитание и деление на 2. При оценке наибольшего общего множителя двух чисел имейте в виду следующие тождества: gcd (A, 0) = A , мы используем тот факт, что каждое число делит ноль, и наблюдение с последнего шага в алгоритме Евклида — одно из чисел упало до нуля, и наш результат был предыдущим, Если и A, , и B равны, это означает, что gcd (A, B) = 2 * gcd (A / 2, B / 2) , поскольку 2 является общим множителем, Если только одно из чисел четное, скажем, A , тогда gcd (A, B) = gcd (A / 2, B) .На этот раз 2 не является общим делителем, поэтому мы можем продолжить сокращение, пока оба числа не станут нечетными, Если и A , и B нечетные и A> B , то gcd (A, B) = gcd ((A-B) / 2, B) . На этот раз мы объединяем две функции в один шаг. Первый выводится из алгоритма Евклида, определяющего наибольший общий делитель разности обоих чисел и меньшего. Во-вторых, возможно деление на 2, так как разность двух нечетных чисел четная, и согласно шагу 3 мы можем уменьшить четное. Шаги 2-4 повторяются до достижения шага 1 или A = B . Результатом будет 2ⁿ * A , где n — количество факторов 2, найденных на втором этапе. Как обычно, давайте попрактикуемся в алгоритме с нашими наборами чисел. Начнем с 40 и 72 : Они оба равны gcf (72, 40) = 2 * gcf (36, 20) = 2² * gcf (18, 10) = 2³ * gcf (9, 5) =… , Остальные числа нечетные, поэтому … = 2³ * gcf ((9-5) / 2, 5) = 2³ * gcf (2, 5) , 2 ровно, поэтому мы можем уменьшить его: … = 2³ * gcf (1, 5) , 1 и 5 нечетны, поэтому: … = 2³ * gcf ((5-1) / 2, 1) = 2³ * gcf (2, 1) , Удалите 2 из четного числа: … = 2³ * gcf (1, 1) = 2³ = 8 . На самом деле, мы могли бы остановиться на третьем шаге, так как НОД 1 и любое число равно 1. Хорошо, а как найти наибольший общий множитель для 33264 и 35640 с помощью двоичного метода? Два четных числа: gcf (35640, 33264) = 2 * gcf (17820, 16632) = 2² * gcf (8910, 8316) = 2³ * gcf (4455, 4158) =… , Один четный, один нечетный: … = 2³ * gcf (4455, 2079) , Два нечетных: … = 2³ * gcf ((4455-2079) / 2, 2079) = 2³ * gcf (1188, 2079) , Один четный, один нечетный: … = 2³ * gcf (594, 2079) = 2³ * gcf (297, 2079) , Два нечетных: … = 2³ * gcf ((2079-297) / 2, 297) = 2³ * gcf (891, 297) , Два нечетных: … = 2³ * gcf ((891-297) / 2, 297) = 2³ * gcf (297, 297) = 2³ * 297 = 2376 . Сопоставимые номера Мы знаем, что простые числа — это числа, у которых есть только 2 положительных целых делителя: 1 и само себя. Итак, вопрос в том, что такое взаимно простые числа? Мы можем определить их как чисел, не имеющих общих делителей . Точнее, 1 — их единственный общий делитель, но поскольку мы опускаем 1 при разложении на простые множители, можно сказать, что у них нет общих делителей. Другими словами, мы можем написать, что числа A и B взаимно просты, если gcf (A, B) = 1 .На самом деле это не означает, что любое из них является простым числом, просто список общих факторов пуст. Примеры взаимно простых чисел: 5 и 7 , 35 и 48 , 23156 и 44613 . Интересный факт: можно вычислить вероятность того, что два случайно выбранных числа взаимно просты. Хотя это довольно сложно, общий результат составляет около 61% . Вы удивлены? Просто проверьте это на себе — представьте два случайных числа (скажем, из пяти цифр), воспользуйтесь нашим калькулятором наибольшего общего коэффициента и выясните, будет ли результат 1 или нет. Повторите игру несколько раз и оцените, какой процент найденных вами взаимно простых чисел. Наибольший общий знаменатель более двух чисел Теперь, когда мы знаем о многочисленных методах нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, вы можете спросить: «как найти наибольший общий делитель трех или более чисел?» . Оказывается, это не так сложно, как может показаться на первый взгляд. Что ж, перечисление всех факторов для каждого числа — определенно простой метод, потому что мы можем просто найти самый большой из них.Однако вы быстро поймете, что по мере увеличения числа фигур на это уходит все больше и больше времени. Метод факторизации простых чисел имеет аналогичный недостаток, но поскольку мы можем сгруппировать все простые числа, например, в порядке возрастания, мы можем представить способ получения результата немного быстрее, чем раньше. С другой стороны, если вы предпочитаете использовать двоичные или евклидовы алгоритмы для оценки ОКФ нескольких чисел, вы также можете использовать теорему, которая гласит: gcf (a, b, c) = gcf (gcf (a, b), c) = gcf (gcf (a, c), b) = gcf (gcf (b, c), a) . Это означает, что мы можем вычислить НОД любых двух чисел, а затем снова запустить алгоритм, используя результат и третье число, и продолжать, пока остаются какие-либо цифры. Неважно, какие два мы выберем в первую очередь. Наименьшее общее кратное Еще одно понятие, тесно связанное с НОД, — наименьшее общее кратное. Чтобы найти наименьшее общее кратное, мы используем тот же процесс, который мы использовали для поиска GCF. Как только мы сведем числа к разложению на простые множители, мы ищем наименьших степеней каждого множителя, в отличие от наибольшей степени.Затем мы умножаем наибольшие степени, и в результате получаем наименьшее общее кратное или НОК. Это можно сделать вручную или с помощью калькулятора LCM. Наибольший общий коэффициент можно оценить с помощью LCM. Допустимо следующее выражение: gcf (a, b) = | a * b | / см (а, б) . Может быть удобно сначала найти наименьшее общее кратное из-за сложности и продолжительности. Естественно, его можно вычислить любым способом, поэтому стоит знать, как найти GCD и LCM. Свойства GCD Мы уже представили несколько свойств наибольшего общего знаменателя. В этом разделе мы перечислим самые важные: Если отношение двух чисел a и b ( a> b ) является целым числом, то gcf (a, b) = b , gcf (a, 0) = a , используется в алгоритме Евклида, gcf (a, 1) = 1 , Если a и b не имеют общих множителей (они взаимно просты), то gcf (a, b) = 1 , Все общие множители a и b также являются делителями gcf (a, b) , Если b * c / a является целым числом и gcf (a, b) = d , то a * c / d также является целым числом, Для любого целого числа k : gcf (k * a, k * b) = k * gcf (a, b) , используется в двоичном алгоритме, Для любого положительного целого числа k : gcf (a / k, b / k) = gcf (a, b) / k , gcf (a, b) * lcm (a, b) = | a * b | , gcf (a, lcm (b, c)) = lcm (gcf (a, b), gcf (a, c)) , пкм (a, gcf (b, c)) = gcf (lcm (a, b), lcm (a, c)) . Калькулятор наибольшего общего коэффициента Укажите числа, разделенные запятой «,» и нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти GCF. Связанный калькулятор LCM | Калькулятор коэффициентов Какой наибольший общий коэффициент (GCF)? В математике наибольший общий делитель (GCF), также известный как наибольший общий делитель, двух (или более) ненулевых целых чисел a и b , является наибольшим положительным целым числом, на которое можно разделить оба целых числа. .Обычно его обозначают как GCF (a, b). Например, GCF (32, 256) = 32. . Метод простой факторизации Есть несколько способов найти наибольший общий делитель заданных целых чисел. Один из них включает в себя вычисление простых множителей каждого целого числа, определение общих факторов и умножение этих факторов для нахождения НОД. См. Пример ниже. Пример: GCF (16, 88, 104) 16 = 2 × 2 × 2 × 2 88 = 2 × 2 × 2 × 11 104 = 2 × 2 × 2 × 13 ОКФ (16, 88, 104) = 2 × 2 × 2 = 8 Факторизация на простые множители эффективна только для меньших целочисленных значений. Большие значения сделают простое разложение каждого из них и определение общих факторов гораздо более утомительным. Евклидов алгоритм Другой метод, используемый для определения GCF, включает использование алгоритма Евклида. Этот метод является гораздо более эффективным, чем использование разложения на простые множители. Алгоритм Евклида использует алгоритм деления в сочетании с наблюдением, что НОД двух целых чисел также может делить их разность. Алгоритм следующий: GCF (а, а) = а GCF (a, b) = GCF (a-b, b), когда a> b GCF (a, b) = GCF (a, b-a), когда b> a На практике: Для двух положительных целых чисел a и b, где a больше, чем b , вычтите меньшее число b из большего числа a , чтобы получить результат c . Продолжайте вычитать b из a , пока результат c не станет меньше b . Используйте b в качестве нового большого числа и вычтите окончательный результат c , повторяя тот же процесс, что и на шаге 2, пока остаток не станет 0. Если остаток равен 0, GCF — это остаток от шага, предшествующего нулевому результату. 178296– = 88150 — 88150 = 1996 88150 — 1996 × 44 = 326 1996 год — 326 × 6 = 40 326 — 40 × 8 = 6 6–4 = 2 4 — 2 × 2 = 0 EX: GCF (268442, 178296) 268442–178296 = Из приведенного выше примера видно, что GCF (268442, 178296) = 2.Если бы присутствовало больше целых чисел, тот же процесс был бы выполнен, чтобы найти GCF следующего целого числа и GCF двух предыдущих целых чисел. Ссылаясь на предыдущий пример, если вместо этого желаемое значение было GCF (268442, 178296, 66888), после того, как было обнаружено, что GCF (268442, 178296) равно 2, следующим шагом будет вычисление GCF (66888, 2). В этом конкретном случае ясно, что GCF также будет 2, давая результат GCF (268442, 178296, 66888) = 2. Simplify 44/33 — Сократите 44/33 до самой простой формы Упрощение 44/33 объяснено Каждую дробь можно привести к простейшей форме, в которой числитель и знаменатель должны быть как можно меньше. Чтобы упростить дробь, вам нужно найти наибольший общий множитель числителя и знаменателя. Общий множитель — это число, на которое можно разделить как числитель, так и знаменатель. Разделив числитель и знаменатель на GCF, ваша дробь приведена к простейшей форме. Часто GCF можно найти методом проб и ошибок. Но есть также способ найти GCF. Поэтому мы используем простые числа. Простое число — это число, которое делится только на себя и 1: Список простых чисел бесконечен: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 39, 41, 43, 47, 53 и т. Д. Чтобы упростить 44/33, мы запишем числитель и знаменатель как произведение только простых чисел (каждое число можно записать как произведение только простых чисел). Этот метод называется простой факторизацией : 44 = 2 х 2 х 11 = 2 х 2 = 33 3 х 11 3 GCF — это произведение общих простых чисел (перечеркнутых выше) в числителе и знаменателе: GCF = 11 Калькулятор упрощенных дробей Проверьте, есть ли у вас самая простая форма дроби, и посмотрите, есть ли у вас как можно меньшие числитель и знаменатель. Заполните числитель над линией результата и знаменатель под линией результата и нажмите «Упростить дробь», чтобы произвести расчет. Калькулятор упрощенных дробей показывает дробь в ее простейшей форме и показывает наибольший общий коэффициент (GCF). Fractioncalculator.com уже произвел 4 486 242 расчетов Множители из 1452 — из нашего калькулятора коэффициентов Какие множители у 1452? Это целые числа, которые можно без остатка разделить на 1452; они могут быть выражены как отдельные факторы или как пары факторов.В данном случае мы представляем их обоими способами. Это математическое разложение определенного числа. Хотя обычно это положительное целое число, обратите внимание на комментарии ниже об отрицательных числах. Что такое разложение 1452 на простые множители? Факторизация на простые множители — это результат разложения числа на набор компонентов, каждый член которого является простым числом. Обычно это записывают, показывая 1452 как произведение его простых множителей. Для 1452 г., результат будет таким: 1452 = 2 x 2 x 3 x 11 x 11 (это также известно как разложение на простые множители; наименьшее простое число в этой серии описывается как наименьшее простое множитель) 1452 — составное число? Да! 1452 — составное число.Это произведение двух положительных чисел, кроме 1 и самого себя. 1452 — квадратное число? Нет! 1452 — это не квадратное число. Квадратный корень из этого числа (38.11) не является целым числом. Сколько факторов у 1452? Это число состоит из 18 факторов: 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 121, 132, 242, 363, 484, 726, 1452 Более конкретно, показаны парами. .. (1 * 1452) (2 * 726) (3 * 484) (4 * 363) (6 * 242) (11 * 132) (12 * 121) (22 * 66) (33 * 44) ( 44 * 33) (66 * 22) (121 * 12) (132 * 11) (242 * 6) (363 * 4) (484 * 3) (726 * 2) (1452 * 1) Какой наибольший общий делитель числа 1452 и другого числа? Наибольший общий делитель двух чисел может быть определен путем сравнения факторизации на простые множители (факторизации в некоторых текстах) двух чисел. и беря наивысший общий простой множитель.Если нет общего множителя, gcf равен 1. Это также называется наивысшим общим множителем и является частью общих простых множителей двух чисел. Это самый большой множитель (наибольшее число), которое два числа делят в качестве основного множителя. Наименьший общий множитель (наименьшее общее число) любой пары целых чисел равен 1. Как найти наименее распространенное кратное 1452 и другое число? Здесь у нас есть калькулятор наименьшего общего кратного. Решение — наименьшее общее кратное. из двух номеров. Что такое дерево факторов Факторное дерево — это графическое представление возможных факторов числа и их подфакторов. Он предназначен для упрощения факторизации. Он создан нахождение множителей числа, затем нахождение множителей множителей числа. Процесс продолжается рекурсивно до тех пор, пока вы не получите набор простых множителей, который является факторизацией исходного числа на простые множители. При построении дерева обязательно запомните второй элемент в факторной паре. Как найти множители отрицательных чисел? (например, -1452) Чтобы найти множители -1452, найдите все положительные множители (см. Выше), а затем продублируйте их с помощью добавляя знак минус перед каждым (фактически умножая их на -1). Это устраняет негативные факторы. (обработка отрицательных целых чисел) 1452 — целое число? Да. Каковы правила делимости? Делимость относится к данному целому числу, которое делится на данный делитель.Правило делимости — это сокращение система для определения того, что делится, а что нет. Сюда входят правила о нечетных и четных числовых множителях. Этот пример предназначен для того, чтобы учащийся мог оценить статус данного числа без вычислений. . График функции sin модуль x: График функции y = sin(x)/sin(|x|) alexxlab / 15.03.197017.07.2021 / Разное 3

6

Risolvere per ?

cos(x)=1/2

7

Risolvere per x

sin(x)=-1/2

8

Преобразовать из градусов в радианы

225

9

Risolvere per ?

cos(x)=( квадратный корень 2)/2

10

Risolvere per x

cos(x)=( квадратный корень 3)/2

11

Risolvere per x

sin(x)=( квадратный корень 3)/2

12

График

g(x)=3/4* корень пятой степени x

13

Найти центр и радиус

x^2+y^2=9

14

Преобразовать из градусов в радианы

120 град. 2$ Функции вида $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, h(x)=\tan x, k(x)=\cot x$ называются тригонометрическими функциями. Область определения $f(x)=\sin x $ и $g(x)=\cos x$ это все действительные числа $\mathbb{R}$. А области определения $h(x)=\tan x $ и $k(x)=\cot x$ следующие: $h(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cos x=0 \rightarrow x=k\pi+\dfrac{\pi}{2} \rightarrow$ $D_h=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \rbrace$ $h(x)=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, \sin x=0 \rightarrow x=k\pi \rightarrow$ $D_k=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace$ Также отметим, что $-1 \leq \sin x \leq 1 $ и $ -1 \leq \cos x \leq 1$. Следовательно, $R_f=[-1,1] \,\,\,\,\,\, R_g=[-1,1]$ Множество значений of $h(x)=\tan x $ и $k(x)=\cot x$ это все действительные числа $\mathbb{R}$. Пример: Найти область определения и множество значений $f(x)=\sin x+\cos x$. Решение: Область определения $\sin x $ и $\cos x$ это все действительные числа, следовательно область определения $f(x)=\sin x+\cos x$ также все действительные числа. 4 \pi x = 0 \rightarrow \sin \pi x=0 \rightarrow \pi x=k \pi \rightarrow x=k \in \mathbb{Z}$ Значит $D_f=\mathbb{Z}$ Согласно $D_f=\mathbb{Z}$, можно переписать функцию как $f(x)=\cos \pi x=\pm 1$ Теперь очевидно, что $R_f= \lbrace \pm 1 \rbrace$ Пример: Найти область определения и множество значений $f(x)=\sin (\log (\log x))$. Решение: Согласно тому, что уже было сказано относительно логарифмической функции $D_f= \lbrace x| x \in \mathbb{R}; \log x>0,x>0 \rbrace$ $= \lbrace x| x\in \mathbb{R}, x>1,x>0 \rbrace =(1,+\infty)$ Также стоит отметить, что $|\sin (\log (\log x))| \leq 1 \rightarrow |y| \leq 1 \rightarrow -1 \leq y \leq 1$ Значит $R_f=[-1,1]$ График $f$ это Определение: Пусть $f$ функция, у которой область определения это $D_f$. Функция $f$ является инъективной тогда и только тогда, если для всех $x_1$ и $x_2$ в $D_f$, если $f(x_1)=f(x_2)$, то $x_1=x_2$. {\log x} \rightarrow y=(f \circ g)_{(x)}\,\,\, x \in (0,1) \rightarrow 0 Теперь, для того, чтобы найти множество значений $g \circ f$, отметим, что $Z=(g\circ f)_{(x)}=x \rightarrow x=Z\in (1,+\infty) \rightarrow Z>1 \rightarrow R_{g \circ f}=(1,+\infty)$ Графиком $f$ является Графиком $g$ является График $f \circ g$ это График $g \circ f$ это Пример: Если $f(x)=x-1$ and $(f \circ g)_{(x)}=\dfrac{1}{x-1}$, то найти область определения и множество значений $g \circ f$. Решение: Сначала найдем $ g \circ f$ $f(x)=x-1 \rightarrow f(g(x))=g(x)-1 \rightarrow (f \circ g)_{(x)}=g(x)-1 \rightarrow \\ \dfrac{1}{x-1}=g(x)-1 \rightarrow g(x)=\dfrac{x}{x+1}$ Значит $y=(g \circ f)_{(x)}=g(f(x))=\dfrac{f(x)}{f(x)-1}=\dfrac{x-1}{x+1}$ Следовательно $D_{g \circ f}=\lbrace x|x \in \mathbb{R}, x \neq 2 \rbrace \rightarrow D_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 2 \rbrace$ Также $y=\dfrac{x-1}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2y-1}{y-1}$ $R_{g \circ f}=\lbrace y | y \in \mathbb{R}, y \neq 1 \rbrace \rightarrow$ $R_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace$ График $f$ это График $f \circ g$ это Графиком $g$ является Графиком $g \circ f$ является Упражнения 1) Если $f(x)=2^{\log_2 x}$ and $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-x}$, то найти область определения и множество значений $f \circ g$. 2 2kx \,\,\, -1 \leq \sin 2kx \leq 1$ $\rightarrow \sin 2kx= \pm 1 \rightarrow y=\dfrac{1}{4} , \sin 2x=0 \rightarrow y=1$ $\rightarrow \dfrac{1}{4} \leq y \leq 1 \rightarrow R_f=[\dfrac{1}{4},1]$ Part 1 Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин Компания КНАУФ провела обучающие курсы для студентов-первокурсников Для студентов 1 курса Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин) партнер вуза – компания КНАУФ – провела обучающие курсы. В период летней практики, с 23 июня по 2 июля, первокурсники прошли обучение по программам «Материалы и технологии КНАУФ» и «Сухие смеси». Студенты познакомились с сухими смесями на основе гипсового, цементного, а также полимерного вяжущих и необходимыми материалами для создания комплектных систем КНАУФ. Теоретические знания были закреплены на практике, в ходе которой студенты самостоятельно собрали макет перегородки с соблюдением всех необходимых рекомендаций, поработали со штукатурными и шпаклевочными растворами, после чего все успешно сдали тестирование. Важное направление подготовки «Природообустройство и водопользование»: много бюджетных мест Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) ждет абитуриентов на направление подготовки «Природообустройство и водопользование», профиль «Комплексное использование и охрана водных ресурсов». В 2021 году на данное направление выделено 30 бюджетных мест. Деятельность выпускников НГАСУ (Сибстрин) по данному профилю направлена на повышение эффективности использования водных и земельных ресурсов, устойчивости и экологической безопасности, а именно: создание водохозяйственных систем комплексного назначение, охрана и восстановление водных объектов; охрана земель различного назначения, рекультивация земель, нарушенных или загрязненных в процессе природопользования; природоохранное обустройство территорий с целью защиты от воздействия природных стихий; водоснабжение сельских поселений, отвод и очистка сточных вод, обводнение территорий. Профессия дорожник всегда будет востребована! Строительная специальность НГАСУ (Сибстрин) «Автомобильные дороги» Старейший вуз города – Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) – вот уже более 90 лет занимает лидирующие позиции в обучении студентов по направлению «Строительство». С 2014 года в нашем вузе началась подготовка специалистов по профилю «Автомобильные дороги». На сегодняшний день это одно из самых актуальных направлений строительства. Национальный проект «Безопасные и качественные автомобильные дороги» предполагает приоритетное развитие транспортной инфраструктуры страны за счет средств федерального бюджета. Поэтому специалисты – строители автомобильных дорог – будут востребованы во всех регионах страны. Алгебра и начала анализа / КонсультантПлюс Повторение. Решение задач с использованием свойств чисел и систем счисления, делимости, долей и частей, процентов, модулей чисел. Решение задач с использованием свойств степеней и корней, многочленов, преобразований многочленов и дробно-рациональных выражений. Решение задач с использованием градусной меры угла. Модуль числа и его свойства. Решение задач на движение и совместную работу с помощью линейных и квадратных уравнений и их систем. Решение задач с помощью числовых неравенств и систем неравенств с одной переменной, с применением изображения числовых промежутков. Решение задач с использованием числовых функций и их графиков. Использование свойств и графиков линейных и квадратичных функций, обратной пропорциональности и функции . Графическое решение уравнений и неравенств.Тригонометрическая окружность, радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него. Значения тригонометрических функций для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°. (0, , , , рад). Формулы сложения тригонометрических функций, формулы приведения, формулы двойного аргумента. . Нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Периодические функции. Четность и нечетность функций. Сложные функции. Тригонометрические функции y = cos x, y = sin x, y = tg x. Функция y = ctg x. Свойства и графики тригонометрических функций. Арккосинус, арксинус, арктангенс числа. Арккотангенс числа. Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Решение простейших тригонометрических неравенств. Степень с действительным показателем, свойства степени. Простейшие показательные уравнения и неравенства. Показательная функция и ее свойства и график. Логарифм числа, свойства логарифма. Десятичный логарифм. Число e. Натуральный логарифм. Преобразование логарифмических выражений. Логарифмические уравнения и неравенства. Логарифмическая функция и ее свойства и график. Степенная функция и ее свойства и график. Иррациональные уравнения. Метод интервалов для решения неравенств. Преобразования графиков функций: сдвиг вдоль координатных осей, растяжение и сжатие, отражение относительно координатных осей. Графические методы решения уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Системы показательных, логарифмических и иррациональных уравнений. Системы показательных, логарифмических неравенств. Взаимно обратные функции. Графики взаимно обратных функций. Уравнения, системы уравнений с параметром. Производная функции в точке. Касательная к графику функции. Геометрический и физический смысл производной. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Понятие о непрерывных функциях. Точки экстремума (максимума и минимума). Исследование элементарных функций на точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение с помощью производной. Построение графиков функций с помощью производных. 2  uses graphABC; //Подключаем графический модуль   const W = 800; H = 500;//Размеры графического окна   function F(x: real): real; begin F := (sin(x)*sin(x))/ (Power(x,2)); //Функция // F:= (cos(2*x) * Power(x,2))/2; end;   var x0, y0, x, y, xLeft, yLeft, xRight, yRight, n: integer; a, b, fmin, fmax, x1, y1, mx, my, dx, dy, num: real; i: byte; s: string;   begin SetWindowSize(W, H); //Устанавливаем размеры графического окна //Координаты левой верхней границы системы координат: xLeft := 50; yLeft := 50; //Координаты правой нижней границы системы координат: xRight := W - 50; yRight := H - 50; //интервал по Х; a и b должно нацело делится на dx: a := -2; b := 6; dx := 0.5; //Интервал по Y; fmin и fmax должно нацело делится на dy: fmin := -10; fmax := 20; dy := 2; //Устанавливаем масштаб: mx := (xRight - xLeft) / (b - a); //масштаб по Х my := (yRight - yLeft) / (fmax - fmin); //масштаб по Y //начало координат: x0 := trunc(abs(a) * mx) + xLeft; y0 := yRight - trunc(abs(fmin) * my); //Рисуем оси координат: line(xLeft, y0, xRight + 10, y0); //ось ОХ line(x0, yLeft - 10, x0, yRight); //ось ОY SetFontSize(12); //Размер шрифта SetFontColor(clBlue); //Цвет шрифта TextOut(xRight + 20, y0 - 15, 'X'); //Подписываем ось OX TextOut(x0 - 10, yLeft - 30, 'Y'); //Подписываем ось OY SetFontSize(8); //Размер шрифта SetFontColor(clRed); //Цвет шрифта { Засечки по оси OX: } n := round((b - a) / dx) + 1; //количество засечек по ОХ for i := 1 to n do begin num := a + (i - 1) * dx; //Координата на оси ОХ x := xLeft + trunc(mx * (num - a)); //Координата num в окне Line(x, y0 - 3, x, y0 + 3); //рисуем засечки на оси OX str(Num:0:1, s); if abs(num) > 1E-15 then //Исключаем 0 на оси OX TextOut(x - TextWidth(s) div 2, y0 + 10, s) end; { Засечки на оси OY: } n := round((fmax - fmin) / dy) + 1; //количество засечек по ОY for i := 1 to n do begin num := fMin + (i - 1) * dy; //Координата на оси ОY y := yRight - trunc(my * (num - fmin)); Line(x0 - 3, y, x0 + 3, y); //рисуем засечки на оси Oy str(num:0:0, s); if abs(num) > 1E-15 then //Исключаем 0 на оси OY TextOut(x0 + 7, y - TextHeight(s) div 2, s) end; TextOut(x0 - 10, y0 + 10, '0'); //Нулевая точка { График функции строим по точкам: } x1 := a; //Начальное значение аргумента while x1 <= b do begin y1 := F(x1); //Вычисляем значение функции x := x0 + round(x1 * mx); //Координата Х в графическом окне y := y0 - round(y1 * my); //Координата Y в графическом окне //Если y попадает в границы [yLeft; yRight], то ставим точку: if (y >= yLeft) and (y <= yRight) then SetPixel(x, y, clGreen); x1 := x1 + 0. 001 //Увеличиваем абсциссу end end. tg x 2 график Вы искали tg x 2 график? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x sin 2 x построить график функции, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «tg x 2 график». Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как tg x 2 график,x sin 2 x построить график функции,y 12 x график,y 2 sin x построить график функции,y tg 2x график,y tg2x график,y tgx 2,график tg 2x,график tg x 2,график tg модуль x,период функции онлайн калькулятор,построить график функции y x 3 1. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и tg x 2 график. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, y 12 x график). Где можно решить любую задачу по математике, а так же tg x 2 график Онлайн? Решить задачу tg x 2 график вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора. Графики тригонометрических функций кратных углов. Графики тригонометрических функций кратных углов Начертить график у косинус х 2 «Графики функций и их свойства» — y = ctg x. 4) Ограниченность функции. 3) Нечётная функция. (График функции симметричен относительно начала координат). y = tg x. 7) Функция непрерывна на любом интервале вида (?k; ? + ?k). Функция y = tg x непрерывна на любом интервале вида. 4) Функция убывает на любом интервале вида (?k; ? + ?k). График функции y = tg x называется тангенсоидой. «График функции Y X» — Шаблон параболы у = х2. Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. График функции y=(x — m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0). «Математика графики» — Как можно строить графики? Наиболее естественно функциональные зависимости отражаются с помощью графиков. Интересное применение: рисунки,… Зачем мы изучаем графики? Графики элементарных функций. Что вы можете нарисовать с помощью графиков? Рассматриваем применение графиков в учебных предметах: математике, физике,… «Построение графиков с помощью производной» — Обобщение. Построить эскиз графика функции. Найти асимптоты графика функции. График производной функции. Дополнительное задание. Исследовать функцию. Назвать промежутки убывания функции. Самостоятельная работа учащихся. Расширить знания. Урок закрепления изученного материала. Оцените свои умения. Точки максимума функции. «Графики с модулем» — Отобрази «нижнюю» часть в верхнюю полуплоскость. Модуль действительного числа. Свойства функции y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построения графика функции. Алгоритм построения. Функция y= lхl. Свойства. Самостоятельная работа. Нули функции. Советы великих. Решение самостоятельной работы. «Уравнение касательной» — Уравнение касательной. Уравнение нормали. Если,то и кривые пересекаются под прямым углом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между графиками функций. Уравнение касательной к графику функции в точке. Пусть функция дифференцируема в точке. Пусть прямые заданы уравнениями и. Всего в теме 25 презентаций Теперь мы рассмотрим вопрос о том, как строить графики тригонометрических функций кратных углов ωx , где ω — некоторое положительное число. Для построения графика функции у = sin ωx сравним эту функцию с уже изученной нами функцией у = sin x . Предположим, что при х = x 0 функция у = sin х принимает значение, равное у 0 . Тогда у 0 = sin x 0 . Преобразуем это соотношение следующим образом: Следовательно, функция у = sin ωx при х = x 0 / ω принимает то же самое значение у 0 , что и функция у = sin х при х = x 0 . А это означает, что функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x . Поэтому график функции у = sin ωx получается путем «сжатия» графика функции у = sin x в ω раз вдоль оси х. Например, график функции у = sin 2х получается путем «сжатия» синусоиды у = sin x вдвое вдоль оси абсцисс. График функции у = sin x / 2 получается путем «растяжения» синусоиды у = sin х в два раза (или «сжатия» в 1 / 2 раза) вдоль оси х. Поскольку функция у = sin ωx повторяет свои значения в ω раз чаще, чем функция у = sin x , то период ее в ω раз меньше периода функции у = sin x . Например, период функции у = sin 2х равен 2π / 2 = π , а период функции у = sin x / 2 равен π / x / 2 = 4π . Интересно провести исследование поведения функции у = sin аx на примере анимации, которую очень просто можно создать в программе Maple : Аналогично строятся графики и других тригонометрических функций кратных углов. На рисунке представлен график функции у = cos 2х , который получается путем «сжатия» косинусоиды у = cos х в два раза вдоль оси абсцисс. График функции у = cos x / 2 получается путем «растяжения» косинусоиды у = cos х вдвое вдоль оси х. На рисунке вы видите график функции у = tg 2x , полученный «сжатием» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси абсцисс. График функции у = tg x / 2 , полученный «растяжением» тангенсоиды у = tg x вдвое вдоль оси х. И, наконец, анимация, выполненная программой Maple: Упражнения 1. Построить графики данных функций и указать координаты точек пересечения этих графиков с осями координат. Определить периоды данных функций. а). y = sin 4x / 3 г). y = tg 5x / 6 ж). y = cos 2x / 3 б). у= cos 5x / 3 д). у = ctg 5x / 3 з). у= ctg x / 3 в). y = tg 4x / 3 е). у = sin 2x / 3 2. Определить периоды функций у = sin (πх) и у = tg ( πх / 2 ). 3. Приведите два примера функции, которые принимают все значения от -1 до +1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом 10. 4 *. Приведите два примера функций, которые принимают все значения от 0 до 1 (включая эти два числа) и изменяются периодически с периодом π / 2 . 5. Приведите два примера функций, которые принимают все действительные значения и изменяются периодически с периодом 1. 6 *. Приведите два примера функций, которые принимают все отрицательные значения и нуль, но не принимают положительные значения и изменяются периодически с периодом 5. Урок и презентация на тему: «Функция y=cos(x). Определение и график функции» Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой. Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1» Что будем изучать: 1. Определение. 2. График функции. 3. Свойства функции Y=cos(X). 4. Примеры. Определение функции косинуса у=cos(x) Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X). Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X). Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают. График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X). График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой. Свойства функции cos(x) Запишем свойства нашей функции: Область определения – множество действительных чисел. Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция. Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции. Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что -1 ≤ cos(X) ≤ 1 Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk). Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность. Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика. Функция Y=cos(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки. Примеры с функцией cos(x) 1. Решить уравнение cos(X)=(x — 2π) 2 + 1 Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x — 2π) 2 + 1 (см. рисунок). y=(x — 2π) 2 + 1 — это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π. 2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0 Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по «кусочкам». Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x) при x ≥ 0. Изобразим оба «кусочка» на одном графике. 3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4] Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно. Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение. 4. Построить график функции y=cos(π/3 — x) + 1 Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх. Задачи для самостоятельного решения 1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2. 2) Решить уравнение: cos(x)= — (x – π) 2 — 1. 3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) — 2. 4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1. 5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке . 6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4]. графиков функции синуса и косинуса График изменения y = sin (x) и y = cos (x) Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции . Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности. x 0 [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ латекс] π sin (x) 0 [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ латекс] 0 Построение точек из таблицы по оси x дает форму синусоидальной функции. См. Рисунок 2. Рисунок 2. Синусоидальная функция Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, что соответствует значениям функции синуса в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между π и 2π, которые соответствуют значениям функция синуса в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3. Рисунок 3. График значений синусоидальной функции Теперь давайте аналогичным образом посмотрим на функцию косинуса .Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице ниже перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности. х 0 [латекс] \ frac {π} {6} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {π} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {2π} {3} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {3π} {4} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {5π} {6} \\ [/ латекс] π cos (x) 1 [латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ латекс] 0 [латекс] — \ frac {1} {2} \\ [/ latex] [латекс] — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс] [латекс] — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс] -1 Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4. Рисунок 4. Функция косинуса Поскольку мы можем вычислять синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1]. На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π. Периодическая функция — это функция, для которой определенный горизонтальный сдвиг , P приводит к функции, равной исходной функции: f ( x + P ) = f ( x ) для всех значений x в области f .Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с P > 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса. Рисунок 5 Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из «Других тригонометрических функций», что мы определили с помощью единичного круга, что синусоидальная функция является нечетной функцией, потому что [latex] sin (−x) = — sinx [/ latex].Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике. Рисунок 6. Нечетная симметрия синусоидальной функции На рисунке 7 показано, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь мы можем видеть из графика, что [латекс] \ cos (−x) = \ cos x \\ [/ latex]. Рисунок 7. Четная симметрия функции косинуса Общее примечание: Характеристики функций синуса и косинуса Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик: Это периодические функции с периодом 2π. Область определения каждой функции — (−∞, ∞), а диапазон — [−1,1]. График y = sin x симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция. График y = cos x симметричен относительно оси y , потому что это четная функция. Исследование синусоидальных функций Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы увидим океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса.Однако они не обязательно идентичны. Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, которая имеет ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса , известна как синусоидальная функция . Общие формы синусоидальных функций: y = A sin ( Bx — C ) + D и y = A cos ( Bx — C ) + D Определение периода синусоидальной функции Глядя на формы синусоидальных функций, мы можем видеть, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса. Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода. В общей формуле B связано с периодом соотношением [latex] \ text {P =} \ frac {2π} {| B |} [/ latex]. Если | B | > 1, то период меньше 2π и функция испытывает сжатие по горизонтали, а если | B | <1, то период больше 2π и функция растягивается по горизонтали. Например, f ( x ) = sin ( x ), B = 1, поэтому период равен 2π, который мы знали.Если f ( x ) = sin (2 x ), то B = 2, поэтому период равен π и график сжат. Если [латекс] \ text {f (x) = sin} (\ frac {x} {2}) [/ latex], то [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому период равен 4π, и график растянут. Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с | B |. Рисунок 8 Общее примечание: период синусоидальных функций Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы Период [латекс] \ frac {2π} {| B |} [/ латекс]. Пример 1: Определение периода функции синуса или косинуса Определите период функции [latex] f (x) = \ sin (\ frac {π} {6} x) \\ [/ latex]. Решение Начнем с сравнения уравнения с общей формой [latex] y = Asin (Bx) [/ latex]. В данном уравнении [latex] B = \ frac {π} {6} [/ latex], поэтому период будет [латекс] \ begin {array} P = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \ hfill \\ = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6} } \ hfill \\ = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \ hfill \\ = 12 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex] Попробуй 1 Определите период функции [latex] g (x) = \ cos (\ frac {x} {3}) \\ [/ latex]. Решение Определение амплитуды Возвращаясь к общей формуле синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная B связана с периодом. Теперь давайте обратимся к переменной A , чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя. A представляет коэффициент вертикального растяжения и его абсолютное значение | A | это амплитуда. Локальные максимумы будут расстоянием | A | над вертикальной средней линией графика, которая представляет собой линию x = D ; поскольку D = 0 в этом случае, средняя линия является осью x .Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A | > 1 функция растягивается. Например, амплитуда f ( x ) = 4 sin x в два раза больше амплитуды f ( x ) = 2 sin x . Если | A | <1, функция сжимается. На рисунке 9 сравнивается несколько синусоид с разными амплитудами. Рисунок 9 Общее примечание: амплитуда синусоидальных функций Если положить C = 0 и D = 0 в уравнениях синуса и косинуса в общем виде, мы получим формы [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx) \\ [/ latex] Амплитуда равна A, а высота по вертикали от средней линии равна | A |. Кроме того, обратите внимание, что в примере [латекс] | A | = \ text {амплитуда} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | \\ [/ latex] Пример 2: Определение амплитуды функции синуса или косинуса Какова амплитуда синусоидальной функции [латекс] f (x) = — 4 \ sin (x) \\ [/ latex]? Функция растягивается или сжимается по вертикали? Решение Начнем с сравнения функции с упрощенной формой y = A sin ( Bx ). В данной функции A = −4, поэтому амплитуда | A | = | −4 | = 4. Функция растягивается. Анализ решения Отрицательное значение A приводит к отражению по оси x синусоидальной функции , как показано на рисунке 10. Рисунок 10 Попробуй 2 Какова амплитуда синусоидальной функции f ( x ) = 12 sin ( x )? Функция растягивается или сжимается по вертикали? Решение Анализ графиков вариаций y = sin x и y = cos x Теперь, когда мы понимаем, как A и B связаны с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные C и D . Напомним общий вид: [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex] или [латекс] y = A \ sin (B (x− \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (B (x− \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex] Значение [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом , или горизонтальным смещением основного синуса или функцией косинуса . Если C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, график сдвигается влево.Чем больше значение | C |, тем больше смещен график. На рисунке 11 показано, что график [latex] f (x) = \ sin (x − π) \\ [/ latex] сдвигается вправо на π единиц, что больше, чем мы видим на графике [latex] f. (x) = \ sin (x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex], который сдвигается вправо на единицы [latex] \ frac {π} {4} \\ [/ latex]. Рисунок 11 В то время как C относится к горизонтальному смещению, D указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции. Функция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] имеет среднюю линию в [latex] y = D [/ latex]. Рисунок 12 Любое значение D , кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз. На рисунке 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравнивается с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], который сдвинут на 2 единицы вверх на графике. . Рисунок 13 Общее примечание: Вариации функций синуса и косинуса Дано уравнение в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex] или [латекс] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это сдвиг фазы , а D — сдвиг по вертикали . Пример 3: Определение фазового сдвига функции Определите направление и величину фазового сдвига для [латекса] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex]. Решение Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. В данном уравнении обратите внимание, что B = 1 и [латекс] C = — \ frac {π} {6} \\ [/ latex]. Итак, фазовый сдвиг [латекс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex] или [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] единиц слева. Анализ решения Необходимо обратить внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C . Следовательно, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {π} {6}) — 2 \\ [/ latex] можно переписать как [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ гидроразрыв {π} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если значение C отрицательное, сдвиг влево. Попробуй 3 Определите направление и величину фазового сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (x− \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex]. Решение Пример 4: Определение вертикального сдвига функции Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = \ cos (x) −3 \\ [/ latex]. Решение Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] Попробовать 4 Определите направление и величину вертикального сдвига для [латекса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex]. Решение Практическое руководство. Учитывая синусоидальную функцию в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex], определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг. Определите амплитуду как | A |. Определите период как [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex]. Определите фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex]. Определите среднюю линию как y = D. Пример 5: Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex]. Решение Начнем с сравнения уравнения с общей формой [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3. Затем B = 2, поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {2} = π \\ [/ latex]. В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0, а фазовый сдвиг равен [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex]. Наконец, D = 1, поэтому средняя линия составляет y = 1. Анализ решения Изучая график, мы можем определить, что период равен π, средняя линия равна y = 1, а амплитуда равна 3.См. Рисунок 14. Рисунок 14 Попробуй 5 Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции [латекс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {π} {3}) \ \[/латекс]. Решение Пример 6: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика Определите формулу функции косинуса на рисунке 15. Рисунок 15 Решение [латекс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ latex] Попробуй 6 Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16. Рисунок 16 Решение Пример 7: Определение уравнения для синусоидальной функции из графика Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17. Рисунок 17 Решение При максимальном значении 1 и минимальном значении –5 средняя линия будет находиться посередине между –2. Итак, D = −2. Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | А | = 3. Период графика равен 6, который может быть измерен от пика при x = 1 до следующего пика при x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, [латекс] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Используя положительное значение для B , находим, что [латекс] B = \ frac {2π} {P} = \ frac {2π} {6} = \ frac {π} {3} \\ [/ latex] Пока что наше уравнение выглядит так: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ latex] или [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x − C) −2 \\ [/ латекс]. Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов. Мы могли бы записать это как любое из следующих: косинус, смещенный вправо отрицательный косинус, сдвинутый влево синус, сдвинутый влево отрицательный синус смещен вправо Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целочисленные значения. Итак, наша функция становится [латекс] y = 3 \ cos (\ frac {π} {3} x− \ frac {π} {3}) — 2 \\ [/ latex] или [латекс] y = −3 \ cos (\ frac {π} {3} x + \ frac {2π} {3}) — 2 \\ [/ латекс] Опять же, эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график. Попробуй 7 Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18. Рисунок 18 Решение Графические вариации y = sin x и y = cos x В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений. Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида [латекс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] и [латекс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex], мы положим C = 0 и D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах. Практическое руководство. Для функции [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйте ее график. Определите амплитуду, | A |. Определите период, [латекс] P = \ frac {2π} {| B |} \\ [/ latex]. Начать с начала координат, функция увеличивается вправо, если A положительно, или уменьшается, если A отрицательно. В [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex] существует локальный максимум для A > 0 или минимум для A <0, с y = А . Кривая возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {| B |} \\ [/ latex]. Существует локальный минимум для A > 0 (максимум для A <0) при [latex] x = \ frac {3π} {2 | B |} \\ [/ latex] при y = — А . Кривая снова возвращается к оси x в точке [latex] x = \ frac {π} {2 | B |} \\ [/ latex]. Пример 8: Построение графика функции и определение амплитуды и периода Нарисуйте график [латекса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {πx} {2}) \\ [/ latex]. Решение Давайте начнем с сравнения уравнения с формой [латекс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex]. Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, поэтому амплитуда равна 2. | A | = 2 Шаг 2. Уравнение показывает, что [латекс] B = \ frac {π} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [латекс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex] Шаг 3. Поскольку A отрицательное значение, график опускается вниз по мере того, как мы перемещаемся вправо от начала координат. Шаг 4–7. x -перехватывания находятся в начале одного периода, x = 0, горизонтальные средние точки находятся на уровне x = 2 и в конце одного периода при x = 4. Квартальные точки включают минимум x = 1 и максимум x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицах. над средней линией при x = 3. На рисунке 19 показан график функции. Рисунок 19 Попробуй 8 Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг. Решение Практическое руководство. Для синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график. Выразите функцию в общем виде [латекс] y = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ latex] . Определите амплитуду, | A |. Определите период, [латекс] P = 2π | B | [/ латекс]. Определите фазовый сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex]. Нарисуйте график [латекс] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый вправо или влево на [латекс] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] и вверх или вниз на D . Пример 9: Построение преобразованной синусоиды Нарисуйте граф [латекс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ latex]. Решение Шаг 1. Функция уже записана в общем виде: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {π} {4} x− \ frac {π} {4}) \\ [/ латекс]. Этот график будет иметь форму синусоидальной функции , начинающейся от средней линии и увеличивающейся вправо. Шаг 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3. Шаг 3. Поскольку [latex] | B | = | \ frac {π} {4} | = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], мы определяем период следующим образом. [латекс] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2π} {\ frac {π} {4}} = 2π \ times \ frac {4} {π} = 8 \\ [/ латекс] Период 8. Шаг 4. Поскольку [latex] \ text {C} = \ frac {π} {4} \\ [/ latex], фазовый сдвиг равен [латекс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex]. Фазовый сдвиг — 1 ед. Шаг 5. На рисунке 20 показан график функции. Рис. 20. Сжатая по горизонтали, растянутая по вертикали и смещенная по горизонтали синусоида Попробуй 9 Нарисуйте график [латекс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг. Решение Пример 10: Определение свойств синусоидальной функции Дано [латекс] y = −2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], определить амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг. Затем изобразите функцию. Решение Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9. [латекс] y = A \ cos (Bx − C) + D \\ [/ латекс] Шаг 1. Функция уже написана в общем виде. Шаг 2. Так как A = −2, амплитуда | A | = 2. Шаг 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2π} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].Период 4. г. Шаг 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Фазовый сдвиг -2. Шаг 5. D = 3, поэтому средняя линия составляет y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается 3. Поскольку A отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x . На рисунке 21 показан один цикл графика функции. Рисунок 21 Использование преобразований функций синуса и косинуса Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение может быть смоделировано с использованием функции синуса или косинуса . Пример 11: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат.Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота. Решение Напомним, что для точки на окружности радиуса r координата y точки равна [latex] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому в этом случае мы получаем уравнение [latex] у (х) = 3 \ грех (х) [/ латекс]. Константа 3 вызывает вертикальное растяжение значений y функции в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22. Рисунок 22 Анализ решения Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) для x = 2π, 4π, 6π,….Поскольку выходные данные графика теперь будут колебаться между –3 и 3, амплитуда синусоидальной волны равна 3. Попробуй 10 Какова амплитуда функции [латекс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? Нарисуйте график этой функции. Решение Пример 12: Нахождение вертикальной составляющей кругового движения Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23.Нарисуйте график высоты над землей точки P при вращении окружности; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота. Рисунок 23 Решение Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на Рисунке 24. Рисунок 24 Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой.Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение. Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере. Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4.Объединяя эти преобразования, мы находим, что [латекс] y = −3 \ cos (x) +4 [/ латекс] Попробуй 11 Груз прикрепляется к пружине, которая затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение груза и относительно доски изменяется от –1 дюйма (при время x = 0) до –7 дюймов. (в момент времени x = π) под доской. Предположим, что положение y задано как синусоидальная функция x .Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение y в единицах x . Рисунок 25 Решение Пример 13: Определение роста всадника на колесе обозрения Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах. Решение При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра. Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м. Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут. Наконец, так как райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться, следуя форме вертикально отраженной косинусоидальной кривой. Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5 Средняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5 Период: 30, поэтому [латекс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex] Форма: −cos ( t ) Уравнение для роста всадника будет [латекс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латекс] , где т, — в минутах, а y — в метрах. Ключевые уравнения Синусоидальные функции [латекс] f (x) = A \ sin (Bx-C) + D [/ латекс] [латекс] f (x) = A \ cos (Bx-C) + D [/ латекс] Периодические функции повторяются после заданного значения. Наименьшее из таких значений — период. Основные функции синуса и косинуса имеют период 2π. Функция sin x нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция cos x четная, поэтому ее график симметричен относительно оси y . График синусоидальной функции имеет ту же общую форму, что и синусоидальная или косинусная функция. В общей формуле для синусоидальной функции период равен [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex]. В общей формуле синусоидальной функции | A | представляет амплитуду. Если | A | > 1 функция растягивается, а если | A | <1, функция сжимается. Значение [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] в общей формуле для синусоидальной функции указывает фазовый сдвиг. Значение D в общей формуле для синусоидальной функции указывает вертикальное смещение от средней линии. Комбинации вариаций синусоидальных функций могут быть обнаружены с помощью уравнения. Уравнение для синусоидальной функции может быть определено из графика. Функцию можно изобразить, указав ее амплитуду и период. Функцию также можно изобразить, указав ее амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг. Синусоидальные функции могут использоваться для решения реальных проблем. Глоссарий амплитуда вертикальная высота функции; константа A , фигурирующая в определении синусоидальной функции средняя линия горизонтальная линия y = D , где D появляется в общем виде синусоидальной функции периодическая функция функция f ( x ), которая удовлетворяет [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для определенной константы P и любого значения x сдвиг фазы горизонтальное смещение основной функции синуса или косинуса; константа [латекс] \ frac {C} {B} [/ latex] синусоидальная функция любая функция, которая может быть выражена в форме [латекс] f (x) = A \ sin (Bx − C) + D [/ latex] или [latex] f (x) = A \ cos (Bx − C) + D [/ латекс] Упражнения по разделам 1. Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями? 2. Как график [латекса] y = \ sin x [/ latex] соотносится с графиком [латекса] y = \ cos x [/ latex]? Объясните, как можно горизонтально перевести график [latex] y = \ sin x [/ latex], чтобы получить [latex] y = \ cos x [/ latex]. 3. Какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон для уравнения [латекс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex]? 4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением [латекс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]? 5.Как можно использовать единичный круг для построения графика [латекса] f (t) = \ sin t [/ latex]? 6. [латекс] f (x) = 2 \ sin x [/ латекс] 7. [латекс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ латекс] 8. [латекс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латекс] 9. [латекс] f (x) = 4 \ sin x [/ латекс] 10. [латекс] f (x) = 2 \ cos x [/ латекс] 11. [латекс] f (x) = \ cos (2x) [/ латекс] 12. [латекс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex] 13. [латекс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латекс] 14. [латекс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex] 15.[латекс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латекс] 16. [латекс] y = 2 \ sin (3x − 21) +4 [/ латекс] 17. [латекс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латекс] Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x на одном периоде для [latex] x> 0 [/ latex]. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо.При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков. 18. [латекс] f (t) = 2 \ sin (t− \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex] 19. [латекс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex] 20. [латекс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латекс] 21. [латекс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex] 22. [латекс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x − 3)) + 7 [/ latex] 23. Определите амплитуду, среднюю линию, период и уравнение, включающее синусоидальную функцию, для графика, показанного на рисунке 26. Рисунок 26 24. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 27. Рисунок 27 25. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 28. Рисунок 28 26. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 29. Рисунок 29 27.Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с косинусом для графика, показанного на рисунке 30. Рисунок 30 28. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение с синусом для графика, показанного на рисунке 31. Рисунок 31 29. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее косинус, для графика, показанного на рисунке 32. Рисунок 32 30. Определите амплитуду, период, среднюю линию и уравнение, включающее синус, для графика, показанного на рисунке 33. Рисунок 33 Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ sin x [/ latex]. 31. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex]. 32. Вычислить [латекс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex]. 33. На [0,2π), [латексе] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. Найдите все значения x . 34. На [0,2π) максимальное значение (я) функции встречается (а), при каком значении (ах) x ? 35. На [0,2π) встречается минимальное значение (я) функции, при каком значении (ах) x ? 36.Покажите, что [latex] f (−x) = — f (x) [/ latex]. Это означает, что [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] является нечетной функцией и обладает симметрией относительно ________________ . Для следующих упражнений пусть [latex] f (x) = \ cos x [/ latex]. 37. На [0,2π) решите уравнение [латекс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex]. 38. На [0,2π) решите [латекс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex]. 39. На [0,2π) найдите x -перехваты [latex] f (x) = \ cos x [/ latex]. 40. На [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение. 41. На [0,2π) решите уравнение [latex] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex]. 42. График [латекс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. Объясните, почему график выглядит именно так. 43. График [латекс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] на [−100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении? 44. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] на [0,2π] и вербализируйте, как график отличается от графика [латекса] f (x) = \ sin x [/ latex ]. 45. Изобразите [латекс] f (x) = x \ sin x [/ latex] в окне [-10,10] и объясните, что показывает график. 46. Изобразите [латекс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] в окне [−5π, 5π] и объясните, что показывает график. 47. Колесо обозрения имеет диаметр 25 метров и поднимается на него с платформы, находящейся на высоте 1 метра над землей. Шесть часов на колесе обозрения находится на уровне погрузочной платформы. Колесо совершает 1 полный оборот за 10 минут. Функция h ( t ) дает высоту человека в метрах над землей t минут после начала поворота колеса. а. Найдите амплитуду, среднюю линию и период ч ( т ). г. Найдите формулу для функции высоты h ( t ). г. Как высоко над землей окажется человек через 5 минут? график sinx | график y = sin x График sin x является периодической функцией с периодом 2π. Итак, мы нарисуем график y = sin (x) в интервале [0,2π]. График синуса выглядит так. Чтобы нарисовать график y = sin (x), мы будем использовать следующие шаги: 1) Нарисуйте ось Y с 0,1, -1.{0} $ или 2π. 3) y = a sin (x) амплитуда ‘a’ равна 1, поэтому кривая будет до (0,1). Если y = 2 sin (x), то амплитуда будет 2, поэтому кривая будет до (0,2). Здесь ask-math объясняет синусоидальную кривую только в радианах. Шаг 1: Проведите ось Y и отметьте точки 0,1 и -1, так как амплитуда для графика y = sin (x) равна 1. Нарисуйте ось x от 0 и отметьте точки π, 2π, 3π. ..etc.Шаг 2: Поскольку sin (0) = 0, то синусоидальный график начинается с начала координат, или вы можете сказать, что синусоидальный график пересекает ось X в точке (0,0). И sin (π / 2) = 1, что является максимумом для этого конкретного графика, так как амплитуда равна 1, поэтому синусоидальная кривая достигает [π / 2,1]. аналогично sin (3π / 2) = -1, который максимален вдоль отрицательной оси Y, поэтому синусоида достигает [3π / 2, -1]. Примечание: для y = 2 sin x амплитуда равна 2, а sin (π / 2) = 1, поэтому синусоидальная кривая достигает [π / 2,2] на положительной оси Y и [3π / 2, — 2] по отрицательной оси Y. Поскольку sin x является возрастающей функцией, мы получаем график y = sin x в интервале [0, π / 2].Мы рисуем график y = sin x, используя тот факт, что sin (π- x) = sin x. Итак, наконец, мы рисуем его в интервале [π, 2π], используя тот факт, что sin (π + x) = -sin x, что означает, что график y = sin x в [π, 2π] является зеркальным отображением график y = sin x в [0, π]. Практика на графике sinx 1) Каков период y = 2 sin (x). 2) Запишите амплитуду y = 3 sin (x). 3) Нарисуйте график y = 2 sin (x). Математика 11-го класса От графика sinx к дому Covid-19 привел мир к феноменальному переходу. Электронное обучение — это будущее сегодня. Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!! Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми. Не позволяйте этому влиять на ваше обучение. Что такое период синусоидальной функции? Обновлено 30 ноября 2020 г. Автор: Элиза Хансен Период синусоидальной функции равен 2π , что означает, что значение функции одинаково каждые 2π единиц. Синусоидальная функция, такая как косинус, тангенс, котангенс и многие другие тригонометрические функции, является периодической функцией , что означает, что она повторяет свои значения через равные промежутки времени или «периоды». В случае синусоидальной функции этот интервал равен 2π. TL; DR (слишком долго; не читал) TL; DR (слишком долго; не читал) Период синусоидальной функции равен 2π. Например, sin (π) = 0. Если вы прибавите 2π к значению x , вы получите sin (π + 2π), который равен sin (3π).Как и sin (π), sin (3π) = 0. Каждый раз, когда вы добавляете или вычитаете 2π из нашего значения x , решение будет таким же. Вы можете легко увидеть период на графике как расстояние между «совпадающими» точками. Поскольку график y = sin ( x ) выглядит как единый шаблон, повторяющийся снова и снова, вы также можете думать об этом как о расстоянии по оси x перед графиком. начинает повторяться. На единичной окружности 2π — это полный оборот по окружности.Любая величина, превышающая 2π радиан, означает, что вы продолжаете двигаться по кругу — это повторяющийся характер синусоидальной функции и еще один способ проиллюстрировать, что каждые 2π единицы значение функции будет одинаковым. Изменение периода функции синуса Период основной функции синуса y = \ sin (x) равен 2π, но если x умножить на константу, это может измениться стоимость периода. Если x умножить на число больше 1, это «ускорит» функцию, и период будет меньше.Функция не займет много времени, чтобы начать повторяться. y = \ sin (2x) удваивает «скорость» функции. Период равен всего π радиан. Но если x умножить на дробь от 0 до 1, это «замедлит» функцию, а период будет больше, потому что для повторения функции требуется больше времени. y = \ sin \ bigg (\ frac {x} {2} \ bigg) снижает «скорость» функции вдвое; требуется много времени (4π радиан), чтобы он завершил полный цикл и снова начал повторяться. Найдите период синусоидальной функции Допустим, вы хотите вычислить период модифицированной синусоидальной функции, например y = \ sin (2x) \ text {или} y = \ sin \ bigg (\ frac { x} {2} \ bigg) Коэффициент x является ключевым; назовем этот коэффициент B . Итак, если у вас есть уравнение в форме y = sin ( Bx ), тогда: \ text {Period} = \ frac {2π} {| B |} Бары | | означает «абсолютное значение», поэтому, если B — отрицательное число, вы должны просто использовать положительную версию.Если, например, B было −3, вы бы просто выбрали 3. Эта формула работает, даже если у вас есть сложный вариант синусоидальной функции, например y = \ frac {1} { 3} × \ sin (4x + 3) Коэффициент x — это все, что имеет значение для расчета периода, так что вы все равно должны: \ text {Period} = \ frac {2π} {| 4 |} \\ \, \\ \ text {Period} = \ frac {π} {2} Найдите период любой триггерной функции Чтобы найти период косинуса, тангенса и других триггерных функций, вы используйте очень похожий процесс.Просто используйте стандартный период для конкретной функции, с которой вы работаете при расчетах. Поскольку период косинуса равен 2π, то же самое, что и синус, формула для периода функции косинуса будет такой же, как и для синуса. Но для других триггерных функций с другим периодом, таких как тангенс или котангенс, мы сделаем небольшую корректировку. Например, период детской кроватки ( x ) равен π, поэтому формула для периода y = кроватка (3 x ) следующая: \ text {Period} = \ frac {π} {| 3 |} , где мы используем π вместо 2π. \ text {Period} = \ frac {π} {3} Абсолютные функции значений · Алгебра и тригонометрия Абсолютные функции · Алгебра и тригонометрия В этом разделе вы: Постройте график функции абсолютного значения. Решите уравнение абсолютного значения. До 1920-х годов считалось, что так называемые спиральные туманности представляют собой облака пыли и газа в нашей галактике, находящейся на расстоянии нескольких десятков тысяч световых лет от нас.Затем астроном Эдвин Хаббл доказал, что эти объекты сами по себе являются галактиками на расстояниях в миллионы световых лет. Сегодня астрономы могут обнаруживать галактики, удаленные от нас на миллиарды световых лет. Расстояния во Вселенной можно измерить во всех направлениях. Таким образом, полезно рассматривать расстояние как функцию абсолютного значения. В этом разделе мы продолжим наше исследование функций абсолютного значения . Понимание абсолютного значения Напомним, что в его основной форме f (x) = \ | x \ |, функция абсолютного значения — это одна из функций нашего инструментария.Функция абсолютного значения обычно рассматривается как обеспечивающая расстояние, на котором число находится от нуля на числовой прямой. Алгебраически, для любого входного значения, выход — это значение без учета знака. Зная это, мы можем использовать функции абсолютного значения для решения некоторых видов реальных проблем. Функция абсолютного значения Функция абсолютного значения может быть определена как кусочная функция f (x) = \ | x \ | = {xifx≥0 − xifx <0 Использование абсолютного значения для определения сопротивления Электрические детали, такие как резисторы и конденсаторы, имеют указанные значения рабочих параметров: сопротивление, емкость и т. Д.Однако из-за неточности изготовления фактические значения этих параметров несколько различаются от детали к детали, даже если они предполагаются одинаковыми. Лучшее, что могут сделать производители, — это попытаться гарантировать, что отклонения останутся в пределах указанного диапазона, часто ± 1%, ± 5%, или ± 10%. Предположим, у нас есть резистор номиналом 680 Ом, ± 5%. Используйте функцию абсолютного значения, чтобы выразить диапазон возможных значений фактического сопротивления. Мы можем найти, что 5% от 680 Ом составляет 34 Ом. Абсолютное значение разницы между фактическим и номинальным сопротивлением не должно превышать заявленную изменчивость, поэтому при сопротивлении R Ом, \ | R − 680 \ | ≤34 Студенты, набравшие в пределах 20 баллов из 80, пройдут тест. Запишите это как расстояние от 80, используя обозначение абсолютного значения. с использованием переменной p для прохождения, \ | p − 80 \ | ≤20 Построение графика функции абсолютного значения Наиболее важной особенностью графика абсолютных значений является угловая точка, в которой график меняет направление.Эта точка показана в исходной точке в [ссылка]. [ссылка] показывает график y = 2 \ | x – 3 \ | +4. График y = \ | x \ | был смещен вправо на 3 единицы, растянут по вертикали в 2 раза и сдвинут на 4 единицы вверх. Это означает, что угловая точка находится в точке (3,4) . для этой преобразованной функции. Написание уравнения для функции абсолютного значения на основе графика Напишите уравнение для функции, изображенной на [ссылка]. Основная функция абсолютного значения изменяет направление в начале координат, поэтому этот график сдвинут вправо на 3 единицы и на 2 единицы вниз от базовой функции инструментария. См. [Ссылка]. Мы также замечаем, что график выглядит растянутым по вертикали, потому что ширина окончательного графика на горизонтальной линии не равна двукратному расстоянию по вертикали от угла до этой линии, как это было бы для нерастянутой функции абсолютного значения.Вместо этого ширина равна 1 вертикальному расстоянию, как показано в [ссылка]. Из этой информации мы можем написать уравнение f (x) = 2 \ | x − 3 \ | −2, рассматривая растяжение как вертикальное растяжение, или f (x) = \ | 2 (x − 3) \ | −2, рассматривая растяжение как горизонтальное сжатие. Анализ Обратите внимание, что эти уравнения алгебраически эквивалентны — растяжение для функции абсолютного значения может быть взаимозаменяемо записано как вертикальное или горизонтальное растяжение или сжатие. Если бы мы не могли наблюдать растяжение функции по графикам, могли бы мы определить его алгебраически? Да. Если мы не можем определить растяжение на основе ширины графика, мы можем вычислить коэффициент растяжения, введя известную пару значений для x и f (x). е (х) = а \ | х − 3 \ | −2 Теперь подставляем в точку (1, 2) 2 = a \ | 1−3 \ | −24 = 2aa = 2 Напишите уравнение для функции абсолютного значения, которая сдвигается по горизонтали на 2 единицы влево, переворачивается по вертикали и смещается по вертикали на 3 единицы. е (х) = — \ | х + 2 \ | +3 Всегда ли графики функций абсолютных значений пересекают вертикальную ось? Горизонтальная ось? Да, они всегда пересекают вертикальную ось. График функции абсолютного значения будет пересекать вертикальную ось, когда вход равен нулю. Нет, они не всегда пересекают горизонтальную ось. График может пересекать или не пересекать горизонтальную ось, в зависимости от того, как график был смещен и отражен.Функция абсолютного значения может пересекать горизонтальную ось в нуле, одной или двух точках (см. [Ссылка]). Решение уравнения абсолютных значений В разделе «Другой тип уравнений» мы затронули концепции уравнений абсолютных значений. Теперь, когда мы немного больше разбираемся в их графиках, мы можем еще раз взглянуть на эти типы уравнений. Теперь, когда мы можем построить график функции абсолютного значения, мы узнаем, как решить уравнение абсолютного значения.Чтобы решить такое уравнение, как 8 = \ | 2x − 6 \ |, мы замечаем, что абсолютное значение будет равно 8, если количество внутри абсолютного значения равно 8 или -8. Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо. 2x − 6 = 8 или 2x − 6 = −82x = 142x = −2x = 7x = −1 Полезно знать, как решать задачи, связанные с функциями абсолютного значения. . Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки. Уравнение абсолютного значения — это уравнение, в котором неизвестная переменная отображается в столбцах абсолютного значения. Например, \ | x \ | = 4, \ | 2x − 1 \ | = 3 или \ | 5x + 2 \ | −4 = 9 Решения уравнений абсолютных значений Для вещественных чисел A и B , уравнение вида \ | A \ | = B, с B≥0, будет иметь решения, когда A = B или A = -B. Если B <0, уравнение \ | A \ | = B не имеет решения. Учитывая формулу функции абсолютного значения, найдите горизонтальные пересечения ее графика . Выделите член абсолютного значения. Использование \ | A \ | = B для записи A = B или −A = B, в предположении В> 0. Решить для Икс. Нахождение нулей функции абсолютного значения Для функции f (x) = \ | 4x + 1 \ | −7, найти значения x такой, что f (x) = 0. 0 = \ | 4x + 1 \ | −7 Заменить 0 вместо f (x). 7 = \ | 4x + 1 \ | Изолировать абсолютное значение на одной стороне уравнения. 7 = 4x + 1 или − 7 = 4x + 1 Разбить на два отдельных уравнения и решите 6 = 4x − 8 = 4xx = 64 = 1,5x = −84 = −2 Функция выводит 0, если x = 32 или x = −2. См. [Ссылка]. Для функции f (x) = \ | 2x − 1 \ | −3, найти значения x такой, что f (x) = 0. Следует ли всегда ожидать двух ответов при решении \ | A \ | = B? №Мы можем найти один, два или даже не найти ответов. Например, нет решения для 2+ \ | 3x − 5 \ | = 1. Ключевые понятия Прикладные задачи, такие как диапазоны возможных значений, также могут быть решены с помощью функции абсолютного значения. См. [Ссылка]. График функции абсолютного значения напоминает букву V. У него есть угловая точка, в которой график меняет направление. См. [Ссылка]. В уравнении абсолютного значения неизвестная переменная является входом функции абсолютного значения. Если абсолютное значение выражения установлено равным положительному числу, ожидайте два решения для неизвестной переменной. См. [Ссылка]. Упражнения по разделам Устный Как решить уравнение абсолютного значения? Выделите член абсолютного значения так, чтобы уравнение имело вид \ | A \ | = B. Сформируйте одно уравнение, задав выражение внутри символа абсолютного значения, A, , равное выражению на другой стороне уравнения B. Сформируйте второе уравнение, задав A равно величине, противоположной выражению на другой стороне уравнения, −B. Решите каждое уравнение для переменной. Как узнать, есть ли у функции абсолютного значения два интерцептора x , не отображая функцию в виде графика? При решении функции абсолютного значения изолированный член абсолютного значения равен отрицательному числу. Что это говорит вам о графике функции абсолютного значения? График функции абсолютного значения не пересекает x -ось, поэтому график либо полностью выше, либо полностью ниже x — ось. Как можно использовать график функции абсолютного значения для определения значений x , для которых значения функции отрицательны? Алгебраические Опишите все числа x , которые находятся на расстоянии 4 от числа 8. Выразите этот набор чисел, используя обозначение абсолютных значений. Опишите все числа x , которые находятся на расстоянии 12 из числа −4.Выразите этот набор чисел, используя обозначение абсолютных значений. \ | х + 4 \ | = 12 Опишите ситуацию, в которой расстояние до этой точки x из 10 — это минимум 15 единиц. Выразите этот набор чисел, используя обозначение абсолютных значений. Найти все значения функции f (x) такое, что расстояние от f (x) до значения 8 меньше 0,03 единицы. Выразите этот набор чисел, используя обозначение абсолютных значений. \ | f (x) −8 \ | <0,03 Для следующих упражнений найдите точки пересечения x и y графиков каждой функции. f (x) = — 3 \ | x − 2 \ | −1 (0, −7); нет x -перехватывает е (х) = — 5 \ | х + 2 \ | +15 (0, 5), (1,0), (- 5,0) f (x) = 2 \ | x − 1 \ | −6 (0, −4), (4,0), (- 2,0) f (х) = \ | −2x + 1 \ | −13 (0, −12), (- 6,0), (7,0) е (х) = — \ | х − 9 \ | +16 (0,7), (25,0), (- 7,0) Графический Для следующих упражнений постройте график функции абсолютного значения.Нарисуйте от руки не менее пяти точек для каждого графика. y = \ | x − 1 \ | ! [График абсолютной функции с точками в точках (-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, 1) и (3, 2).] (/ Algebra-trigonometry-book /resources/CNX_Precalc_Figure_01_06_201.jpg) у = \ | х \ | +1 ! [График абсолютной функции с точками в точках (-2, 3), (-1, 2), (0, 1), (1, 2) и (2, 3).] (/ Алгебра-тригонометрия- book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_203.jpg) Для следующих упражнений нарисуйте данные функции вручную. у = — \ | х \ | ! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_205.jpg) у = — \ | х − 3 \ | −2 ! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_207.jpg) е (х) = — \ | х + 3 \ | +4 ! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_209.jpg) f (x) = 3 \ | x − 2 \ | +3 ! [График абсолютной функции.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_211.jpg) е (х) = \ | 3x + 9 \ | +2 ! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_213.jpg) е (х) = — \ | х + 4 \ | −3 ! [График абсолютной функции.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_215.jpg) Технологии Используйте графическую утилиту для построения графика f (x) = 10 \ | x − 2 \ | на смотровом окошке [0,4]. Определите соответствующий диапазон. Покажи график. диапазон: [0,20] Используйте графическую утилиту для построения графика f (x) = — 100 \ | x \ | +100 в окне просмотра [−5,5]. Определите соответствующий диапазон. Покажи график. Для следующих упражнений нарисуйте график каждой функции с помощью графической утилиты. Укажите окно просмотра. f (х) = — 0,1 \ | 0,1 (0,2 — х) \ | +0,3 x- перехватывает: f (x) = 4 × 109 \ | x− (5 × 109) \ | + 2 × 109 Расширения Для следующих упражнений решите неравенство. Если возможно, найдите все значения такие, что нет х- перехватов для f (x) = 2 \ | x + 1 \ | + a. Если возможно, найдите все значения такое что нету -перехватывания для f (x) = 2 \ | x + 1 \ | + a. Нет решения для , который не позволит функции иметь y -перехват. Функция абсолютного значения всегда пересекает y -перехват, когда x = 0. Реальные приложения Города A и B находятся на одной линии восток-запад. Предположим, что город A расположен в исходной точке. Если расстояние от города A до города B составляет не менее 100 миль и x представляет собой расстояние от города B до города A, выразите это, используя обозначение абсолютных значений. Истинная пропорция р. человек, которые дают положительную оценку Конгрессу, составляют 8% с погрешностью 1,5%. Опишите это утверждение, используя уравнение абсолютного значения. \ | p − 0,08 \ | ≤0,015 Учащиеся, набравшие в пределах 18 баллов из числа 82, пройдут определенный тест. Запишите этот оператор, используя обозначение абсолютного значения, и используйте переменную x для оценки. Машинист должен изготовить подшипник, диаметр которого не превышает 0,01 дюйма (5,0 дюйма). Использование x в качестве диаметра подшипника, запишите это утверждение, используя обозначение абсолютного значения. \ | х − 5.0 \ | ≤0.01 Допуск для шарикового подшипника 0,01. Если истинный диаметр подшипника должен составлять 2,0 дюйма, а измеренное значение диаметра составляет x дюйма, выразите допуск, используя обозначение абсолютного значения. Эта работа находится под международной лицензией Creative Commons Attribution 4.0. Вы также можете бесплатно скачать по адресу http://cnx.org/contents/[email protected] Авторство: Период и амплитуда — тригонометрия Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors. Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org. Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу. Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия: Вы должны включить следующее: Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени. Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу: Чарльз Кон Varsity Tutors LLC 101 S. Hanley Rd, Suite 300 St. Louis, MO 63105 Или заполните форму ниже: 6.1 Графики функций синуса и косинуса — предварительное вычисление Цели обучения В этом разделе вы: Графические вариации y = sin (x) y = sin (x) и y = cos (x) y = cos (x). Используйте фазовые сдвиги синусоидальных и косинусных кривых. Рис. 1 Свет можно разделить на цвета из-за его волнообразных свойств. (кредит: «wonderferret» / Flickr) Белый свет, такой как свет от солнца, на самом деле совсем не белый. Вместо этого это композиция всех цветов радуги в виде волн. Отдельные цвета можно увидеть только тогда, когда белый свет проходит через оптическую призму, которая разделяет волны в соответствии с их длинами волн, образуя радугу. Световые волны могут быть представлены графически с помощью синусоидальной функции. В главе о тригонометрических функциях мы рассмотрели тригонометрические функции, такие как синусоидальная функция. В этом разделе мы будем интерпретировать и создавать графики функций синуса и косинуса. Графические функции синуса и косинуса Напомним, что функции синуса и косинуса связывают значения действительных чисел с координатами x и y точки на единичной окружности. Так как же они выглядят на графике на координатной плоскости? Начнем с синусоидальной функции.Мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице 1 перечислены некоторые значения синусоидальной функции на единичной окружности. xx 00 π6π6 π4π4 π3π3 π2π2 2π32π3 3π43π4 5π65π6 ππ sin (x) sin (x) 00 1212 2222 3232 11 3232 2222 1212 00 Таблица 1 Построение точек из таблицы и продолжение по оси x дает форму синусоидальной функции.См. Рисунок 2. Рисунок 2 Синусоидальная функция Обратите внимание, что значения синуса положительны между 0 и π, π, которые соответствуют значениям синусоидальной функции в квадрантах I и II на единичной окружности, а значения синуса отрицательны между ππ и 2π, 2π, которые соответствуют значениям синусоидальной функции в квадрантах III и IV на единичной окружности. См. Рисунок 3. Рисунок 3 График значений функции синуса Теперь давайте аналогичным образом взглянем на функцию косинуса.Опять же, мы можем создать таблицу значений и использовать их для построения графика. В таблице 2 перечислены некоторые значения функции косинуса на единичной окружности. хх 00 π6π6 π4π4 π3π3 π2π2 2π32π3 3π43π4 5π65π6 ππ cos (x) cos (x) 11 3232 2222 1212 00 −12−12 −22−22 −32−32 −1−1 Таблица 2 Как и в случае с функцией синуса, мы можем построить точки для построения графика функции косинуса, как показано на рисунке 4. Рисунок 4 Функция косинуса Поскольку мы можем вычислить синус и косинус любого действительного числа, обе эти функции определены для всех действительных чисел. Если рассматривать значения синуса и косинуса как координаты точек на единичной окружности, становится ясно, что диапазон обеих функций должен быть интервалом [-1,1]. [-1,1]. На обоих графиках форма графика повторяется после 2π, 2π, что означает, что функции являются периодическими с периодом 2π.2π. Периодическая функция — это функция, для которой определенный горизонтальный сдвиг, P , приводит к функции, равной исходной функции: f (x + P) = f (x) f (x + P) = f (x) для все значения xx в области f.f. Когда это происходит, мы называем наименьший такой горизонтальный сдвиг с P> 0P> 0 периодом функции. На рисунке 5 показаны несколько периодов функций синуса и косинуса. Рисунок 5 Еще раз взглянув на функции синуса и косинуса в области с центром на оси y , можно выявить симметрии. Как мы видим на рисунке 6, синусоидальная функция симметрична относительно начала координат. Вспомните из книги «Другие тригонометрические функции», которую мы определили по единичной окружности, что синусоидальная функция является нечетной функцией, поскольку sin (−x) = — sinx.sin (−x) = — sinx. Теперь мы можем ясно видеть это свойство на графике. Рисунок 6 Нечетная симметрия функции синуса Рисунок 7 показывает, что функция косинуса симметрична относительно оси y . Опять же, мы определили, что функция косинуса является четной функцией. Теперь из графика видно, что cos (−x) = cosx.cos (−x) = cosx. Рисунок 7 Четная симметрия функции косинуса Характеристики функций синуса и косинуса Функции синуса и косинуса имеют несколько отличительных характеристик: Это периодические функции с периодом 2π.2π. Область определения каждой функции — (−∞, ∞) (- ∞, ∞), а диапазон — [−1,1]. [- 1,1]. График y = sinxy = sinx симметричен относительно начала координат, потому что это нечетная функция. График y = cosxy = cosx симметричен относительно оси yy, потому что это четная функция. Исследование синусоидальных функций Как мы видим, функции синуса и косинуса имеют постоянный период и диапазон. Если мы увидим океанские волны или рябь на пруду, мы увидим, что они напоминают функции синуса или косинуса.Однако они не обязательно идентичны. Некоторые из них выше или длиннее других. Функция, имеющая ту же общую форму, что и функция синуса или косинуса, известна как синусоидальная функция. Общие формы синусоидальных функций: y = Asin (Bx − C) + Dandy = Acos (Bx − C) + Dy = Asin (Bx − C) + Dandy = Acos (Bx − C) + D Определение периода синусоидальной функции Глядя на формы синусоидальных функций, мы можем видеть, что они являются преобразованиями функций синуса и косинуса. Мы можем использовать то, что мы знаем о преобразованиях, для определения периода. В общей формуле BB связано с периодом соотношением P = 2π | B | .P = 2π | B |. Если | B |> 1, | B |> 1, то период меньше 2π2π и функция подвергается горизонтальному сжатию, тогда как если | B | <1, | B | <1, то период больше 2π2π и функция растягивается по горизонтали. Например, f (x) = sin (x), f (x) = sin (x), B = 1, B = 1, поэтому период равен 2π, 2π, что мы знали. Если f (x) = sin (2x), f (x) = sin (2x), то B = 2, B = 2, поэтому период равен ππ и график сжат. Если f (x) = sin (x2), f (x) = sin (x2), то B = 12, B = 12, поэтому период равен 4π4π и график растянут.Обратите внимание на рис. 8, как период косвенно связан с | B |. | B |. Рисунок 8 Период синусоидальной функции Если мы положим C = 0C = 0 и D = 0D = 0 в уравнениях общего вида для функций синуса и косинуса, мы получим формы Период равен 2π | B | .2π | B |. Пример 1 Определение периода функции синуса или косинуса Определите период функции f (x) = sin (π6x). F (x) = sin (π6x). Решение Начнем с сравнения уравнения с общей формой y = Asin (Bx).у = Asin (Bx). В данном уравнении B = π6, B = π6, поэтому период будет P = 2π | B | = 2ππ6 = 2π⋅6π = 12P = 2π | B | = 2ππ6 = 2π⋅6π = 12 Попробовать # 1 Определите период функции g (x) = cos (x3) .g (x) = cos (x3). Определение амплитуды Возвращаясь к общей формуле для синусоидальной функции, мы проанализировали, как переменная BB связана с периодом. Теперь давайте обратимся к переменной AA, чтобы мы могли проанализировать, как она связана с амплитудой , или наибольшим расстоянием от покоя.AA представляет коэффициент вертикального растяжения, а его абсолютное значение | A || A | это амплитуда. Локальными максимумами будет расстояние | A || A | выше горизонтальной средней линии графика, которая представляет собой линию y = D; y = D; поскольку в этом случае D = 0D = 0, средняя линия представляет собой ось x . Локальные минимумы будут на таком же расстоянии ниже средней линии. Если | A |> 1, | A |> 1, функция растягивается. Например, амплитуда f (x) = 4sinxf (x) = 4sinx в два раза больше амплитуды f (x) = 2sinx.f (x) = 2sinx. Если | A | <1, | A | <1, функция сжимается.На рисунке 9 сравнивается несколько синусоид с разными амплитудами. Рисунок 9 Амплитуда синусоидальной функции Если мы положим C = 0C = 0 и D = 0D = 0 в уравнениях общего вида для функций синуса и косинуса, мы получим формы y = Asin (Bx) и y = Acos (Bx) y = Asin (Bx ) И y = Acos (Bx) Амплитуда равна | A |, | A |, которая представляет собой высоту по вертикали от средней линии. Кроме того, обратите внимание на пример, что | A | = Амплитуда = 12 | максимум — минимум || A | = Амплитуда = 12 | максимум — минимум | Пример 2 Определение амплитуды функции синуса или косинуса Какова амплитуда синусоидальной функции f (x) = — 4sin (x)? F (x) = — 4sin (x)? Функция растягивается или сжимается по вертикали? Решение Начнем с сравнения функции с упрощенной формой y = Asin (Bx).у = Asin (Bx). В данной функции A = −4, A = −4, поэтому амплитуда равна | A | = | −4 | = 4. | A | = | −4 | = 4. Функция растянута. Анализ Отрицательное значение AA приводит к отражению по оси x синусоидальной функции, как показано на рисунке 10. Рисунок 10 Попробуй # 2 Какова амплитуда синусоидальной функции f (x) = 12sin (x)? F (x) = 12sin (x)? Функция растягивается или сжимается по вертикали? Анализ графиков вариаций y = sin x и y = cos x Теперь, когда мы понимаем, как AA и BB соотносятся с уравнением общей формы для функций синуса и косинуса, мы исследуем переменные CC и D.D. Напомним общую форму: y = Asin (Bx − C) + D и y = Acos (Bx − C) + Dory = Asin (B (x − CB)) + D и y = Acos (B (x − CB)) + Dy = Asin ( Bx − C) + D и y = Acos (Bx − C) + Dory = Asin (B (x − CB)) + D и y = Acos (B (x − CB)) + D Значение CBCB для синусоидальной функции называется фазовым сдвигом или горизонтальным смещением основной синусоидальной или косинусоидальной функции. Если C> 0, C> 0, график сдвигается вправо. Если C <0, C <0, график сдвигается влево. Чем больше значение | C |, | C |, тем больше сдвигается график.Рисунок 11 показывает, что график f (x) = sin (x − π) f (x) = sin (x − π) сдвигается вправо на ππ единиц, что больше, чем мы видим на графике f (x ) = sin (x − π4), f (x) = sin (x − π4), который сдвигается вправо на π4π4 единиц. Рисунок 11 В то время как CC относится к горизонтальному смещению, DD указывает вертикальное смещение от средней линии в общей формуле для синусоидальной функции. См. Рисунок 12. Функция y = cos (x) + Dy = cos (x) + D имеет среднюю линию в точке y = D.y = D. Рисунок 12 Любое значение DD, кроме нуля, сдвигает график вверх или вниз.На рисунке 13 сравнивается f (x) = sin (x) f (x) = sin (x) с f (x) = sin (x) + 2, f (x) = sin (x) +2, которое сдвинуто на 2. единиц на графике. Рисунок 13 Вариации функций синуса и косинуса Дано уравнение в форме f (x) = Asin (Bx − C) + Df (x) = Asin (Bx − C) + D или f (x) = Acos (Bx − C) + D, f (x ) = Acos (Bx − C) + D, CBCB — фазовый сдвиг, DD — вертикальный сдвиг. Пример 3 Определение фазового сдвига функции Определите направление и величину фазового сдвига для f (x) = sin (x + π6) −2.е (х) = грех (х + π6) −2. Решение Начнем с сравнения уравнения с общей формой y = Asin (Bx − C) + D.y = Asin (Bx − C) + D. Обратите внимание, что в данном уравнении B = 1B = 1 и C = −π6.C = −π6. Итак, фазовый сдвиг CB = −π61 = −π6CB = −π61 = −π6 или π6π6 единиц слева. Анализ Необходимо обратить внимание на знак в уравнении общего вида синусоидальной функции. Уравнение показывает знак минус перед C.C. Следовательно, f (x) = sin (x + π6) −2f (x) = sin (x + π6) −2 можно переписать как f (x) = sin (x — (- π6)) — 2.е (х) = грех (х — (- π6)) — 2. Если значение CC отрицательное, сдвиг влево. Попробуй # 3 Определите направление и величину фазового сдвига для f (x) = 3cos (x − π2). F (x) = 3cos (x − π2). Пример 4 Определение вертикального сдвига функции Определите направление и величину вертикального сдвига для f (x) = cos (x) −3.f (x) = cos (x) −3. Решение Начнем с сравнения уравнения с общей формой y = Acos (Bx − C) + D.у = Acos (Bx − C) + D. В данном уравнении D = −3D = −3, поэтому сдвиг составляет 3 единицы вниз. Попробуй # 4 Определите направление и величину вертикального сдвига для f (x) = 3sin (x) + 2. f (x) = 3sin (x) +2. Как к Для синусоидальной функции в форме f (x) = Asin (Bx − C) + D, f (x) = Asin (Bx − C) + D, идентифицирует среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг. . Определите амплитуду как | A |. | A |. Определите период как P = 2π | B |.P = 2π | B |. Определите фазовый сдвиг как CB.CB. Определите среднюю линию как y = D.y = D. Пример 5 Определение вариаций синусоидальной функции из уравнения Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции y = 3sin (2x) + 1.y = 3sin (2x) +1. Решение Начнем с сравнения уравнения с общей формой y = Asin (Bx − C) + D.y = Asin (Bx − C) + D. A = 3, A = 3, поэтому амплитуда | A | = 3.| А | = 3. Далее, B = 2, B = 2, поэтому период равен P = 2π | B | = 2π2 = π.P = 2π | B | = 2π2 = π. В скобках нет добавленной константы, поэтому C = 0C = 0, а фазовый сдвиг CB = 02 = 0. CB = 02 = 0. Наконец, D = 1, D = 1, поэтому средняя линия y = 1.y = 1. Анализ Изучая график, мы можем определить, что период равен π, π, средняя линия равна y = 1, y = 1, а амплитуда равна 3. См. Рисунок 14. Рисунок 14 Попробуй # 5 Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг функции y = 12cos (x3 − π3).у = 12cos (х3 — π3). Пример 6 Определение уравнения для синусоидальной функции из графика Определите формулу функции косинуса на рисунке 15. Рисунок 15 Решение Чтобы определить уравнение, нам нужно идентифицировать каждое значение в общем виде синусоидальной функции. y = Asin (Bx − C) + Dy = Acos (Bx − C) + Dy = Asin (Bx − C) + Dy = Acos (Bx − C) + D График может представлять либо функцию синуса, либо функцию косинуса, которая сдвигается и / или отражается.Когда x = 0, x = 0, график имеет крайнюю точку (0,0). (0,0). Поскольку функция косинуса имеет крайнюю точку при x = 0, x = 0, давайте запишем наше уравнение в терминах функции косинуса. Начнем со средней линии. Мы видим, что график поднимается и опускается на одинаковое расстояние выше и ниже y = 0,5.y = 0,5. Это значение, которое является средней линией, является DD в уравнении, поэтому D = 0,5, D = 0,5. Наибольшее расстояние выше и ниже средней линии — это амплитуда. Максимумы на 0,5 единицы выше средней линии, а минимумы — на 0.На 5 единиц ниже средней линии. Итак, | A | = 0,5. | A | = 0,5. Другой способ определить амплитуду — это признать, что разница между высотой локальных максимумов и минимумов равна 1, поэтому | A | = 12 = 0,5. | A | = 12 = 0,5. Кроме того, график отображается относительно оси x , так что A = -0,5.A = -0,5. График не растягивается и не сжимается по горизонтали, поэтому B = 1; B = 1; и график не смещен по горизонтали, поэтому C = 0.C = 0. Собирая все вместе, g (x) = — 0,5cos (x) + 0,5g (x) = — 0.5cos (x) +0,5 Попробуй # 6 Определите формулу синусоидальной функции на рисунке 16. Рисунок 16 Пример 7 Определение уравнения для синусоидальной функции из графика Определите уравнение для синусоидальной функции на рисунке 17. Рисунок 17 Решение При максимальном значении 1 и минимальном значении −5, −5 средняя линия будет находиться на полпути между −2. − 2. Итак, D = −2.D = −2. Расстояние от средней линии до самого высокого или самого низкого значения дает амплитуду | A | = 3. | A | = 3. Период графика равен 6, и его можно измерить от пика при x = 1x = 1 до следующего пика при x = 7, x = 7 или от расстояния между самыми низкими точками. Следовательно, P = 2π | B | = 6. P = 2π | B | = 6. Используя положительное значение для B, B, мы находим, что B = 2πP = 2π6 = π3B = 2πP = 2π6 = π3 Пока что наше уравнение выглядит так: y = 3sin (π3x − C) −2y = 3sin (π3x − C) −2 или y = 3cos (π3x − C) — 2. у = 3cos (π3x − C) −2. Для формы и сдвига у нас есть несколько вариантов.Мы могли бы записать это как любое из следующих: косинус, смещенный вправо отрицательный косинус, сдвинутый влево синус, сдвинутый влево отрицательный синус смещен вправо Хотя любой из них был бы правильным, в этом случае с косинусоидальными сдвигами работать легче, чем с синусоидальными сдвигами, поскольку они включают целочисленные значения. Таким образом, наша функция принимает вид y = 3cos (π3x − π3) −2 или y = −3cos (π3x + 2π3) −2y = 3cos (π3x − π3) −2 или y = −3cos (π3x + 2π3) −2 Снова , эти функции эквивалентны, поэтому обе дают один и тот же график. Попробуй # 7 Напишите формулу функции, показанной на рисунке 18. Рисунок 18 Графические вариации y = sin x и y = cos x В этом разделе мы узнали о типах вариаций функций синуса и косинуса и использовали эту информацию для написания уравнений из графиков. Теперь мы можем использовать ту же информацию для создания графиков из уравнений. Вместо того, чтобы сосредоточиться на уравнениях общего вида y = Asin (Bx − C) + D и y = Acos (Bx − C) + D, y = Asin (Bx − C) + D и y = Acos (Bx − C) + D, мы положим C = 0C = 0 и D = 0D = 0 и будем работать с упрощенной формой уравнений в следующих примерах. Как добраться Для функции y = Asin (Bx), y = Asin (Bx) нарисуйте ее график. Определите амплитуду, | A |. | A |. Определите период, P = 2π | B | .P = 2π | B |. Начните с начала координат, функция увеличивается вправо, если AA положительна, или уменьшается, если AA отрицательна. При x = π2 | B | x = π2 | B | существует локальный максимум для A> 0A> 0 или минимум для A <0, A <0, при y = A.y = A. Кривая возвращается к оси x при x = π | B |.х = π | B |. Существует локальный минимум для A> 0A> 0 (максимум для A <0A <0) при x = 3π2 | B | x = 3π2 | B | с y = –A.y = –A. Кривая снова возвращается к оси x при x = 2π | B | .x = 2π | B |. Пример 8 Построение графика функции и определение амплитуды и периода Нарисуйте график функции f (x) = — 2sin (πx2) .f (x) = — 2sin (πx2). Решение Давайте начнем с сравнения уравнения с формой y = Asin (Bx) .y = Asin (Bx). Шаг 1. Из уравнения видно, что A = −2, A = −2, поэтому амплитуда равна 2. Шаг 2. Уравнение показывает, что B = π2, B = π2, поэтому период равен P = 2ππ2 = 2π⋅2π = 4P = 2ππ2 = 2π⋅2π = 4 Шаг 3. Поскольку AA отрицательно, график опускается по мере продвижения вправо от начала координат. Шаг 4–7. Перехваты x находятся в начале одного периода, x = 0, x = 0, горизонтальные средние точки находятся в точке x = 2x = 2 и в конце одного периода в точке x = 4.х = 4. Четверть точки включают минимум при x = 1x = 1 и максимум при x = 3.x = 3. Локальный минимум будет на 2 единицы ниже средней линии при x = 1, x = 1, а локальный максимум будет на 2 единицы выше средней линии при x = 3.x = 3. На рисунке 19 показан график функции. Рисунок 19 Попробуй # 8 Нарисуйте график g (x) = — 0.8cos (2x) .g (x) = — 0.8cos (2x). Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг. Как к Для синусоидальной функции со сдвигом фазы и вертикальным сдвигом нарисуйте ее график. Выразите функцию в общем виде y = Asin (Bx − C) + D или y = Acos (Bx − C) + Dy = Asin (Bx − C) + D или y = Acos (Bx − C) + D . Определите амплитуду, | A |. | A |. Определите период, P = 2π | B | .P = 2π | B |. Определите фазовый сдвиг, CB.CB. Нарисуйте график f (x) = Asin (Bx) f (x) = Asin (Bx), сдвинутый вправо или влево на CBCB и вверх или вниз на D.D. Пример 9 Графическое изображение преобразованной синусоиды Нарисуйте график функции f (x) = 3sin (π4x − π4).f (x) = 3sin (π4x − π4). Попробуй # 9 Нарисуйте график g (x) = — 2cos (π3x + π6) .g (x) = — 2cos (π3x + π6). Определите среднюю линию, амплитуду, период и фазовый сдвиг. Пример 10 Определение свойств синусоидальной функции Для заданного y = −2cos (π2x + π) + 3, y = −2cos (π2x + π) +3 определите амплитуду, период, фазовый сдвиг и горизонтальный сдвиг. Затем изобразите функцию. Решение Начните со сравнения уравнения с общей формой и выполните шаги, описанные в Примере 9. y = Acos (Bx − C) + Dy = Acos (Bx − C) + D Шаг 1. Функция уже написана в общем виде. Шаг 2. Поскольку A = −2, A = −2, амплитуда равна | A | = 2. | A | = 2. Шаг 3. | B | = π2, | B | = π2, поэтому период равен P = 2π | B | = 2ππ2 = 2π⋅2π = 4. P = 2π | B | = 2ππ2 = 2π⋅2π = 4. Период 4. Шаг 4. C = −π, C = −π, поэтому мы вычисляем фазовый сдвиг как CB = −π, π2 = −π⋅2π = −2.CB = −π, π2 = −π⋅2π = −2. Сдвиг фазы равен -2-2. Шаг 5. D = 3, D = 3, поэтому средняя линия y = 3, y = 3, а вертикальный сдвиг увеличивается на 3. Поскольку AA отрицательно, график функции косинуса отражается относительно оси x . На рисунке 21 показан один цикл графика функции. Рисунок 21 Использование преобразований функций синуса и косинуса Мы можем использовать преобразования функций синуса и косинуса во многих приложениях. Как упоминалось в начале главы, круговое движение можно моделировать с помощью функции синуса или косинуса. Пример 11 Нахождение вертикальной составляющей кругового движения Точка вращается по окружности радиуса 3 с центром в начале координат. Нарисуйте график координаты y точки как функции угла поворота. Решение Напомним, что для точки на окружности радиусом r координата точки y равна y = rsin (x), y = rsin (x), так что в этом случае мы получаем уравнение y (x) = 3sin (x).у (х) = 3sin (х). Константа 3 вызывает растяжение значений функции y по вертикали в 3 раза, что мы можем видеть на графике на рисунке 22. Рисунок 22 Анализ Обратите внимание, что период функции по-прежнему равен 2π; 2π; путешествуя по кругу, мы возвращаемся в точку (3,0) (3,0) для x = 2π, 4π, 6π, … x = 2π, 4π, 6π, … Поскольку выходы график теперь будет колебаться между –3–3 и 3,3, амплитуда синусоидальной волны составит 3,3. Попробуй # 10 Какова амплитуда функции f (x) = 7cos (x)? F (x) = 7cos (x)? Нарисуйте график этой функции. Пример 12 Нахождение вертикальной составляющей кругового движения Круг радиусом 3 фута устанавливается с центром в 4 футах от земли. Ближайшая к земле точка обозначена P , как показано на рисунке 23. Нарисуйте график высоты точки PP над землей при вращении круга; затем найдите функцию, которая дает высоту через угол поворота. Рисунок 23 Решение Набрасывая высоту, мы отмечаем, что она начинается на высоте 1 фута над землей, затем увеличивается до 7 футов над землей и продолжает колебаться на 3 фута выше и ниже центрального значения в 4 фута, как показано на рисунке 24. Рисунок 24 Хотя мы могли бы использовать преобразование функции синуса или косинуса, мы начнем с поиска характеристик, которые сделают использование одной функции проще, чем другой. Давайте использовать функцию косинуса, потому что она начинается с самого высокого или самого низкого значения, а функция синуса начинается со среднего значения. Стандартный косинус начинается с самого высокого значения, а этот график начинается с самого низкого значения, поэтому нам нужно включить вертикальное отражение. Во-вторых, мы видим, что график колеблется на 3 выше и ниже центра, в то время как основной косинус имеет амплитуду 1, поэтому этот график был растянут по вертикали на 3, как в последнем примере. Наконец, чтобы переместить центр круга на высоту 4, график был сдвинут по вертикали на 4. Собирая эти преобразования вместе, мы находим, что y = −3cos (x) + 4y = −3cos (x) +4 Попробуй # 11 К пружине прикрепляется груз, который затем подвешивается к доске, как показано на рисунке 25. Когда пружина колеблется вверх и вниз, положение yy груза относительно доски изменяется в диапазоне от –1 до 1 дюйма (при время x = 0) x = 0) до –7–7 дюймов (в момент времени x = π) x = π) под доской.Предположим, что положение yy задано как синусоидальная функция от x.x. Нарисуйте график функции, а затем найдите функцию косинуса, которая дает положение yy через x.x. Рисунок 25 Пример 13 Определение роста всадника на колесе обозрения Лондонский глаз — это огромное колесо обозрения диаметром 135 метров (443 фута). Он совершает один оборот каждые 30 минут. Всадники садятся на платформу на высоте 2 метров над землей. Выразите высоту всадника над землей как функцию времени в минутах. Решение При диаметре 135 м колесо имеет радиус 67,5 м. Высота будет колебаться с амплитудой 67,5 м выше и ниже центра. Пассажирский борт на высоте 2 м над уровнем земли, поэтому центр колеса должен находиться на высоте 67,5 + 2 = 69,567,5 + 2 = 69,5 м над уровнем земли. Средняя линия колебания составит 69,5 м. Колесо совершает 1 оборот за 30 минут, поэтому высота будет колебаться с периодом 30 минут. Наконец, поскольку райдерские борта находятся в самой нижней точке, высота будет начинаться с наименьшего значения и увеличиваться в соответствии с формой вертикально отраженной косинусоидальной кривой. Амплитуда: 67,5,67,5, поэтому A = 67,5A = 67,5 Средняя линия: 69,5,69,5, поэтому D = 69,5D = 69,5 Период: 30,30, поэтому B = 2π30 = π15B = 2π30 = π15 Форма: −cos (t) −cos (t) Уравнение для роста всадника будет y = -67,5cos (π15t) + 69,5y = -67,5cos (π15t) +69,5 , где tt выражается в минутах, а yy — в метрах. 6.1 Упражнения по разделам Устные 1. Почему функции синуса и косинуса называются периодическими функциями? 2. Как график y = sinxy = sinx сравните с графиком y = cosx? y = cosx? Объясните, как можно горизонтально перевести график y = sinxy = sinx чтобы получить y = cosx.y = cosx. 3. Какие константы влияют на диапазон функции и как они влияют на диапазон для уравнения Acos (Bx + C) + D, Acos (Bx + C) + D? 4. Как диапазон преобразованной синусоидальной функции соотносится с уравнением y = Asin (Bx + C) + D? Y = Asin (Bx + C) + D? 5. Как можно использовать единичный круг для построения графика f (t) = sint? F (t) = sint? Графический Для следующих упражнений нарисуйте на графике два полных периода каждой функции и укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и соответствующие им значения x на одном периоде для x> 0.x> 0. При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков. 8. f (x) = — 3sinxf (x) = — 3sinx 12. f (x) = 2sin (12x) f (x) = 2sin (12x) 13. f (x) = 4cos (πx) f (x) = 4cos (πx). 14. f (x) = 3cos (65x) f (x) = 3cos (65x) 15. y = 3sin (8 (x + 4)) + 5y = 3sin (8 (x + 4)) + 5 16. y = 2sin (3x − 21) + 4y = 2sin (3x − 21) +4 17. y = 5sin (5x + 20) −2y = 5sin (5x + 20) −2 Для следующих упражнений нарисуйте один полный период каждой функции, начиная с x = 0.x = 0. Для каждой функции укажите амплитуду, период и среднюю линию. Укажите максимальное и минимальное значения y и их соответствующие значения x на одном периоде для x> 0.х> 0. Укажите фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо. При необходимости округлите ответы до двух десятичных знаков. 18. f (t) = 2sin (t − 5π6) f (t) = 2sin (t − 5π6) 19. f (t) = — cos (t + π3) + 1f (t) = — cos (t + π3) +1 20. f (t) = 4cos (2 (t + π4)) — 3f (t) = 4cos (2 (t + π4)) — 3 21. f (t) = — sin (12t + 5π3) f (t) = — sin (12t + 5π3) 22. f (x) = 4sin (π2 (x − 3)) + 7f (x) = 4sin (π2 (x − 3)) + 7 Алгебраические Для следующих упражнений пусть f (x) = sinx.f (x) = sinx. 31. На [0,2π), [0,2π) решить f (x) = 0. f (x) = 0. 32. На [0,2π), [0,2π) решите f (x) = 12. f (x) = 12. 34. На [0,2π), f (x) = 22. [0,2π), f (x) = 22. Найдите все значения x.x. 35. На [0,2π), [0,2π), максимальное значение (я) функции встречается (я) при каком значении (ах) x ? 36. На [0,2π), [0,2π), минимальное (ые) значение (я) функции встречается (а) при каком (ых) значении (ах) x ? 37. Покажите, что f (−x) = — f (x) .f (−x) = — f (x). Это означает, что f (x) = sinxf (x) = sinx — нечетная функция и обладает симметрией относительно ________________. Для следующих упражнений пусть f (x) = cosx.f (x) = cosx. 38. На [0,2π), [0,2π) решите уравнение f (x) = cosx = 0. f (x) = cosx = 0. 39. На [0,2π), [0,2π) решите f (x) = 12. f (x) = 12. 40. На [0,2π), [0,2π) найдите x -перехватывания f (x) = cosx.f (x) = cosx. 41. На [0,2π), [0,2π) найдите значения x , при которых функция имеет максимальное или минимальное значение. 42. На [0,2π), [0,2π) решите уравнение f (x) = 32.f (x) = 32. Технологии 43. График h (x) = x + sinxh (x) = x + sinx на [0,2π]. [0,2π]. Объясните, почему график выглядит именно так. 44. График h (x) = x + sinxh (x) = x + sinx на [−100,100]. [- 100,100]. График выглядел так, как было предсказано в предыдущем упражнении? 45. График f (x) = xsinxf (x) = xsinx на [0,2π] [0,2π] и вербализует, как график отличается от графика f (x) = sinx.f (x) = sinx. 46. ​​ График f (x) = xsinxf (x) = xsinx в окне [−10,10] [- 10,10] и объясните, что показывает график. 47. График f (x) = sinxxf (x) = sinxx в окне [−5π, 5π] [- 5π, 5π] и объясните, что показывает график. Реальные приложения Как найти период синусоидальных функций — Видео и стенограмма урока Шаги для решения Функция называется периодической , если она постоянно повторяется в обоих направлениях. Синусоидальная функция , подобная приведенной ниже, известна как периодическая тригонометрическая функция. Синусоидальная функция периодическая Когда функция является периодической, как функция синуса, у нее есть нечто, называемое периодом.Период периодической функции — это интервал значений x , на котором возникает одна копия повторяющегося шаблона. Обратите внимание, что на графике синусоидальной функции показано, что f ( x ) = sin ( x ) имеет период 2π, потому что график от x = 0 до x = 2π повторяется навсегда в обоих случаях. направления. Хорошо, пока все хорошо, правда? Мы видим, что основная синусоидальная функция имеет период 2π. Однако существуют разные варианты синусоидальной функции.Другими словами, функция синуса имеет вид f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , где A , B , C , и D может быть любым числом. Из-за этого функция может принимать множество различных форм, и форма определяет период. Теперь, прежде чем вы отчаиваетесь, у меня хорошие новости! У нас есть действительно простой способ определить период синусоидальной функции. Если у нас есть синусоидальная функция вида f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , то период функции равен 2π / | B |.Следовательно, чтобы найти период функции f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , мы выполняем следующие шаги: Идентифицируем B в функция f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D . Элементы теории множеств примеры решения задач для чайников: Математическое Бюро. Страница 404 alexxlab / 15.03.197020.07.2021 / Разное Решение некоторых задач по теории множеств На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств. Введем определение множества, а так же некоторые обозначения. Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком. Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит. Можно сделать такую запись определения множества: , где “” – принадлежит; “=>“ – следовательно; “ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента. Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов Например: Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения. Графически это выглядит так (рис.1): (рис.1) Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами. Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2). Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств. Это определение можно записать с помощью обозначений: А υ В, где   где “ υ ” – знак объединения, “ / ” – заменяет слова ”таких что“ (рис.2) Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко: А ∩ В = С, где “∩“ – знак пересечения. (рис.3) (рис.3) Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где  A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается ĀЕ или Ā (рис.4) Е (рис.4) Примерами для понимания этих понятий являются свойства: _ А Ā=Е                      Ø = Е             Е Ā=Ā _ А ∩ Ā= Ø                 Ē = Ø             (Ā)=А Свойства дополнения имеют свойства двойственности: ________ _ _ АВ = А∩В ________ _ _ АВ = АUВ Введем еще одно понятие – это мощность множества. Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А. Из определение следуют свойства: m (A) + m (Ā) = m (E) А = В => m(A) = m(B) Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения: m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В) m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ) m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С). А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию. Задача №1 В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи? Сколько учащихся решили только две задачи? Сколько учащихся решили только одну задачу? Задача № 2 Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов. Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу? Задача № 3 В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников. Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта? Решение задачи № 1 Запишем коротко условие и покажем решение: m (Е) = 40 m (А) = 20 m (В) = 18 m (С) = 18 m (А∩В) = 7 m (А∩С) = 8 m (В∩С) = 9 ___________ m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37 Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5). (рис.5) К1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре; К2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии; К3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии; К4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии; К5 – множество всех учеников, решивших все три задачи; К6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии; К7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии; К8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи. Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления: m (К5) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С) m (К5) = 37-20-18-18+7+8+9=5 m (К2) = m (А∩В) — m (К5) = 7-5=2 m (К4) = m (А∩С) — m (К5) = 8-5=3 m (К6) = m (В∩С) — m (К5) = 9-5=4 m (К1) = m (А) — m (К2) — m (К4) — m (К5) = 20-2-3-5=10 m (К3) = m (В) — m (К2) — m (К6) — m (К5) = 18-2-4-5=7 m (К7) = m (С) — m (К4) — m (К6) — m (К5) = 18-3-4-5 =6 m (К2) + m (К4) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи; m (К1) + m (К3) + m (К7) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу. Ответ: 5 учеников решили три задачи; 9 учеников решили только по две задачи; 23 ученика решили только по одной задаче. С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так: Решение задачи № 2 m (АВ) = 33 m (АС) = 31 m (ВС) = 32 m (К2) + m (К4) + m (К6) + m (К5) = 20 Найти m (К1) + m (К3) + m (К7) m (АUВ) = m (К1) + m (К2) + m (К3) + m (К4) + m (К5) + m (К6) = m (К1) + m (К3) + 20 = 33 => m (К1) + m (К3) = 33 – 20 = 13 m (АUС) = m (К1) + m (К4) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) = m (К1) + m (К7) + 20 = 31 => m (К1) + m (К7) = 31 – 20 = 11 m (ВUС) = m (К3) + m (К2) + m (К5) + m (К6) + m (К7) + m (К4) = m (К3) + m (К7) + 20 = 32 => m (К3) + m (К7) = 32 – 20 = 12 2m (К1) + m (К3) + m (К7) = 13+11=24 2m (К1) + 12 = 24 m (К3)= 13-6=7 m (К7)=12-7=5 m (К1) + m (К3) + m (К7) = 6+7+5=18 Ответ: Только одну контрольную работу решили 18 учеников. Решение задачи № 3 m (Е) = 35 m (А∩В∩С)= m (К5) = 6 m (А∩В)= 15 m (А∩С)= 13 m (В∩С)= 9 Найти m (К1) + m (К3) + m (К7) m (К2) = m (А∩В) — m (К5) = 15-6=9 m (К4) = m (А∩С) — m (К5) = 13-6=7 m (К6) = m (В∩С) — m (К5) = 9-6=3 m (К1) + m (К3) + m (К7) = m (Е) — m (К4) — m (К2) — m (К6) — m (К5) = 35-7-9-3-6=10 Ответ: Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников. Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности» Задачи по Python 3 для начинающих от Tproger и GeekBrains Вместе с факультетом Python-разработки GeekUniversity собрали для вас несколько простых задач по Python для обучения и тренировки. Их можно решать в любом порядке. Обратите внимание, что у любой задачи по программированию может быть несколько способов решения. Чтобы посмотреть добавленный нами вариант решения, кликните по соответствующей кнопке. Все приведённые варианты написаны на Python 3. *** Задача 1 Есть список a = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]. Выведите все элементы, которые меньше 5. Самый простой вариант, который первым приходит на ум — использовать цикл for: for elem in a: if elem < 5: print(elem) Также можно воспользоваться функцией filter, которая фильтрует элементы согласно заданному условию: print(list(filter(lambda elem: elem < 5, a))) И, вероятно, наиболее предпочтительный вариант решения этой задачи — списковое включение: print([elem for elem in a if elem < 5]) Задача 2 Даны списки: a = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]; b = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]. Нужно вернуть список, который состоит из элементов, общих для этих двух списков. Можем воспользоваться функцией filter: result = list(filter(lambda elem: elem in b, a)) Или списковым включением: result = [elem for elem in a if elem in b] А можно привести оба списка к множествам и найти их пересечение: result = list(set(a) & set(b)) Однако в таком случае каждый элемент встретится в результирующем списке лишь один раз, т.к. множество поддерживает уникальность входящих в него элементов. Первые два решения (с фильтрацией) оставят все дубли на своих местах. Задача 3 Отсортируйте словарь по значению в порядке возрастания и убывания. Импортируем нужный модуль и объявляем словарь: import operator d = {1: 2, 3: 4, 4: 3, 2: 1, 0: 0} Сортируем в порядке возрастания: result = dict(sorted(d.items(), key=operator.itemgetter(1))) И в порядке убывания: result = dict(sorted(d.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)) Задача 4 Напишите программу для слияния нескольких словарей в один. Допустим, вот наши словари: dict_a = {1:10, 2:20} dict_b = {3:30, 4:40} dict_c = {5:50, 6:60} Объединить их можно вот так: result = {} for d in (dict_a, dict_b, dict_c): result.update(d) А можно с помощью «звёздочного» синтаксиса: result = {**dict_a, **dict_b, **dict_c} О звёздочном синтаксисе можно прочитать в нашей статье. Задача 5 Найдите три ключа с самыми высокими значениями в словаре my_dict = {'a':500, 'b':5874, 'c': 560,'d':400, 'e':5874, 'f': 20}. Можно воспользоваться функцией sorted: result = sorted(my_dict, key=my_dict.get, reverse=True)[:3] Аналогичный результат можно получить с помощью функции nlargest из модуля heapq: from heapq import nlargest result = nlargest(3, my_dict, key=my_dict.get) Читайте также: Всё о сортировке на Python Задача 6 Напишите код, который переводит целое число в строку, при том что его можно применить в любой системе счисления. Второй аргумент функции int отвечает за указание основания системы счисления: print(int('ABC', 16)) Задача 7 Нужно вывести первые n строк треугольника Паскаля. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы, а каждое число внутри равно сумме двух расположенных над ним чисел. def pascal_triangle(n): row = [1] y = [0] for x in range(max(n, 0)): print(row) row = [left + right for left, right in zip(row + y, y + row)] pascal_triangle(6) Задача 8 Напишите проверку на то, является ли строка палиндромом. Палиндром — это слово или фраза, которые одинаково читаются слева направо и справа налево. Тут всё просто, достаточно сравнить строку с её обратной версией, для чего можно использовать встроенную функцию reversed: def is_palindrome(string): return string == ''.join(reversed(string)) print(is_palindrome('abba')) Того же эффекта можно добиться с помощью срезов: def is_palindrome(string): return string == string[::-1] print(is_palindrome('abba')) Задача 9 Сделайте так, чтобы число секунд отображалось в виде дни:часы:минуты:секунды. def convert(seconds): days = seconds // (24 * 3600) seconds %= 24 * 3600 hours = seconds // 3600 seconds %= 3600 minutes = seconds // 60 seconds %= 60 print(f'{days}:{hours}:{minutes}:{seconds}') convert(1234565) Задача 10 Вы принимаете от пользователя последовательность чисел, разделённых запятой. Составьте список и кортеж с этими числами. values = input('Введите числа через запятую: ') ints_as_strings = values.split(',') ints = map(int, ints_as_strings) lst = list(ints) tup = tuple(lst) print('Список:', lst) print('Кортеж:', tup) Задача 11 Выведите первый и последний элемент списка. lst = [1, 2, 3, 4, 5] print(f'Первый: {lst[0]}; последний: {lst[-1]}') Задача 12 Напишите программу, которая принимает имя файла и выводит его расширение. Если расширение у файла определить невозможно, выбросите исключение. def get_extension(filename): filename_parts = filename.split('.') if len(filename_parts) < 2: # filename has no dots raise ValueError('the file has no extension') first, *middle, last = filename_parts if not last or not first and not middle: # example filenames: .filename, filename., file.name. raise ValueError('the file has no extension') return filename_parts[-1] print(get_extension('abc.py')) print(get_extension('abc')) # raises ValueError print(get_extension('.abc')) # raises ValueError print(get_extension('.abc.def.')) # raises ValueError Задача 13 При заданном целом числе n посчитайте n + nn + nnn. def solve(n): n1 = n n2 = int(str(n) * 2) n3 = int(str(n) * 3) print(n1 + n2 + n3) solve(5) Задача 14 Напишите программу, которая выводит чётные числа из заданного списка и останавливается, если встречает число 237. numbers = [ 386, 462, 47, 418, 907, 344, 236, 375, 823, 566, 597, 978, 328, 615, 953, 345, 399, 162, 758, 219, 918, 237, 412, 566, 826, 248, 866, 950, 626, 949, 687, 217, ] for x in numbers: if x == 237: break elif x % 2 == 0: print(x) Задача 15 Напишите программу, которая принимает два списка и выводит все элементы первого, которых нет во втором. set_1 = set(['White', 'Black', 'Red']) set_2 = set(['Red', 'Green']) print(set_1 - set_2) Задача 16 Выведите список файлов в указанной директории. from os import listdir from os.path import isfile, join files = [f for f in listdir('/home') if isfile(join('/home', f))] print(files) Задача 17 Сложите цифры целого числа. def sum_digits(num): digits = [int(d) for d in str(num)] return sum(digits) print(sum_digits(5245)) Задача 18 Посчитайте, сколько раз символ встречается в строке. string = 'Python Software Foundation' string.count('o') Задача 19 Поменяйте значения переменных местами. Можно написать монструозную конструкцию в стиле языка C: x = 5 y = 10 temp = x x = y y = temp Но в Python есть более удобный способ для решения этой задачи: x = 5 y = 10 x, y = y, x Задача 20 С помощью анонимной функции извлеките из списка числа, делимые на 15. nums = [45, 55, 60, 37, 100, 105, 220] result = list(filter(lambda x: not x % 15, nums)) Задача 21 Нужно проверить, все ли числа в последовательности уникальны. def all_unique(numbers): return len(numbers) == len(set(numbers)) Задача 22 Напишите программу, которая принимает текст и выводит два слова: наиболее часто встречающееся и самое длинное. import collections text = 'lorem ipsum dolor sit amet amet amet' words = text.split() counter = collections.Counter(words) most_common, occurrences = counter.most_common()[0] longest = max(words, key=len) print(most_common, longest) *** Хотите вырасти от новичка до профессионала? Факультет Python-разработки GeekUniversity даёт год опыта для вашего резюме. Обучайтесь на практических заданиях, по-настоящему освойте Python и станьте ближе к профессии мечты. Узнать больше Издательство ФИЗМАТЛИТ — физико-математическая и техническая литература Издательство ФИЗМАТЛИТ — физико-математическая и техническая литература Абрамовский В.А., Архипов Г.И., Найда О.Н. «Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной» Акивис М.А., Гольдберг В.В. «Тензорное исчисление» Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. «Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи» Артамонов В.А., Бахтурин Ю.А., Винберг Э.Б., Голод Е.С. и др. «Сборник задач по алгебре» Под ред. А.И. Кострикина Арутюнов А.В. «Лекции по выпуклому и многозначному анализу» Афанасьев В.И., Зимина О.В., Кириллов А.И., Петрушко И.М. и др. «Решебник. Высшая математика. Специальные разделы» Под ред. А.И. Кириллова Баврин И.И. «Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей» Беклемишев Д.В. «Решение задач » Бесов О.В. «Лекции по математическому анализу» Битюков Ю.И., Ильина А.Н., Мартюшова Я.Г. «Математический анализ» Под. ред. Кибзуна Бочаров П.П., Печинкин А.В. «Теория вероятностей. Математическая статистика» Бугров Я.С., Никольский С.М. «Сборник задач по высшей математике» Вагин В.Н., Головина Е.Ю., Загорянская А.А., Фомина М.В. «Достоверный и правдоподобный вывод в интеллектуальных системах» Под ред. В.Н. Вагина, Д.А. Поспелова Васильева А.Б., Тихонов Н.А. «Интегральные уравнения» Владимиров В.С., Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. «Сборник задач по уравнениям математической физики» Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. «Задачи и упражнения по дискретной математике» Гантмахер Ф.Р. «Теория матриц» Геворкян П.С. «Высшая математика. Основы математического анализа» Геворкян П.С. «Высшая математика. Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения» Геворкян П.С. «Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» Геворкян П.С., Потемкин А.В., Эйсымонт И.М. «Теория вероятностей и математическая статистика» Под ред. П. С. Геворкяна Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. «Курс классической математики в примерах и задачах» Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. «Курс классической математики в примерах и задачах» Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.И. «Курс классической математики в примерах и задачах» Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. «Дискретная математика» Под ред. В.М. Курейчика Головешкин В.А., Ульянов М.В. «Теория рекурсии для программистов» Гордин В.А. «Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики» Горелик Г.С. «Колебания и волны» Гурова З.И., Каролинская С.Н., Осипова А.П. «Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами» Под ред. А.И. Кибзуна Дураков Б.К. «Краткий курс высшей алгебры» Егоров А.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями» Егоров А.И. «Классификация решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка» Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. «Математическая логика» Ефимов Н.В. «Высшая геометрия» Ефимов Н.В. «Квадратичные формы и матрицы» Ефимов Н.В. «Краткий курс аналитической геометрии» Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. «Линейная алгебра и многомерная геометрия» Закревский А.Д., Поттосин Ю.В., Черемисинова Л.Д. «Логические основы проектирования дискретных устройств» Зельдович Я.Б. «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике» Под общ. ред. С.С. Герштейна Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. «Решебник. Высшая математика» Под ред. А.И. Кириллова Злобина С.В., Посицельская Л.Н. «Математический анализ в задачах и упражнениях» Ибрагимов Н.Х. «Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности » Емельяновой И.С. Измаилов А.Ф. «Чувствительность в оптимизации» Измаилов А.Ф., Солодов М.В. «Численные методы оптимизации» Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра» Под ред. В.А. Ильина Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Под ред. В.А. Ильина Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Аналитическая геометрия» Под ред. В.А. Ильина Кадомцев С.Б. «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. «Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами» Кирсанов М.Н. «Задачи по теоретической механике с решениями в Maple 11» Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа» Кострикин А.И. «Введение в алгебру» Крянев А.В., Лукин Г.В. «Математические методы обработки неопределенных данных» Крянев А.В., Лукин Г.В., Удумян Д.К. «Метрический анализ и обработка данных» Кудрявцев В.Б., Гасанов Э.Э., Долотова О.А., Погосян Г.Р. «Теория тестирования логических устройств» Под ред. В.А. Садовничего Кудрявцев Л.Д. «Краткий курс математического анализа» Кудрявцев Л.Д. «Краткий курс математического анализа» Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. «Сборник задач по математическому анализу» Под ред. Л.Д. Кудрявцева Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. «Сборник задач по математическому анализу» Под ред. Л.Д. Кудрявцева Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. «Сборник задач по математическому анализу» Под ред. Л.Д. Кудрявцева Кузнецова Т.А., Мироненко Е.С., Розанова С.А., Сирота А.И. и др. «Высшая математика» Под ред. С. А. Розановой Лавров И.А., Максимова Л.Л. «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов» Лебедев В.И. «Функциональный анализ и вычислительная математика» Лизунова Н.А., Шкроба С.П. «Матрицы и системы линейных уравнений» Лунгу К.Н. «Линейное программирование. Руководство к решению задач» Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Высшая математика. Руководство к решению задач» Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Задачи по математике» Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Основные методы решения задач по элементарной математике» Лунгу К.Н., Макаров Е.В. «Высшая математика. Руководство к решению задач» Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И. «Дискретная математика» Марченков С.С. «Конечные автоматы» Марченков С.С. «Функциональные уравнения дискретной математики» Марченков С.С. «Основы теории булевых функций» Миллер Б.М., Панков А.Р. «Теория случайных процессов в примерах и задачах» Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. «Высшая математика, краткий курс» Мищенко А.С., Фоменко А.Т. «Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии» Мышкис А.Д. «Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы» Ольшанский М.А. «Лекции и упражнения по многосеточным методам» Петров И.Б. «Вычислительная математика для физиков» Печинкин А.В., Разумчик Р.В. «Системы массового обслуживания в дискретном времени» Половинкин Е.С., Балашов М.В. «Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа» Посицельская Л.Н. «Теория функций комплексной переменной в задачах и упражнениях» Прудников В.В., Вакилов А.Н., Прудников П.В. «Фазовые переходы и методы их компьютерного моделирования» Пугачев В.С. «Теория вероятностей и математическая статистика» Ракитин В.И. «Руководство по методам вычислений и приложения MATHCAD» Редькин Н.П. «Дискретная математика» Розендорн Э.Р. «Задачи по дифференциальной геометрии» Розендорн Э.Р., Соболева Е.С., Фатеева Г.М. «Уравнения с частными производными» Под ред. Э.Р. Розендорна Рябенький В.С. «Введение в вычислительную математику» Сабитов К.Б. «Уравнения математической физики» Семаков С.Л. «Элементы теории вероятностей и случайных процессов» Сидельников В.М. «Теория кодирования» Сизый С.В. «Лекции по теории чисел» Сизый С.В. «Лекции по дифференциальной геометрии» Сизый С.В. «Математические задачи» Соболевский Н.М. «Метод Монте-Карло в задачах о взаимодействии частиц с веществом» Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. «Курс методов оптимизации» Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. «Дифференциальные уравнения» Треногин В.А. «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Треногин В.А., Недосекина И.С. «Уравнения в частных производных» Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева T.С. «Задачи и упражнения по функциональному анализу» Турчак Л.И., Плотников П.В. «Основы численных методов» Тыртышников Е.Е. «Основы алгебры» Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И., Казарян К.С. и др. «Действительный анализ в задачах» Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. «Вводный курс математической логики» Федорчук В.В., Филиппов В.В. «Общая топология. Основные конструкции» Федоткин М.А. «Модели в теории вероятностей» Федоткин М.А. «Лекции по анализу случайных явлений» Филиппов В.А. «Основы геометрии поверхностей оболочек пространственных конструкций» Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Пред. и прим. А.А. Флоринского Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. «Линейная алгебра и геометрия» Щитов И.Н. «Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач» Язенин А.В. «Основные понятия теории возможностей: математический аппарат для принятия решений в условиях гибридной неопределенности» Конспект факультативного занятия » Элементы теории множеств» Конспект урока из цикла уроков по программе факультатива «Элементы теории множеств» Одно из самых важных, самых распространенных и широко употребляемых понятий математики является понятие множества. Цель нашего занятия: повторить свойства действий над множествами и рассмотреть некоторые задачи, которые решаются при помощи понятия множества. Для начала определим, какое понятие мы называем множеством? Сообщение учащегося о Канторе ( презентация) Итак, в одно множество можно объединить любые объекты. Как называется множество артистов, работающих в одном театре? Какие названия применяются для обозначения множества военнослужащих? Какие названия применяются для обозначения множества кораблей Какое название применяется для обозначения множества цветов, стоящих в вазе? Как называется множество царей, фараонов, императоров данной страны, принадлежащих одному семейству? Как называется множество точек земной поверхности, равноудаленных от Северного полюса? Как называется множество точек земной поверхности, имеющих одинаковую долготу? Пусть А – множество всех треугольников. Приведите примеры своих множеств множеств, которые вы составили сами. Группы предлагают списки элементов. Класс должен догадаться, о каком множестве идет речь. О некоторых множествах до сих пор неизвестно, пусты они ли нет. Так, до сих пор неизвестно, пусто ли множество натуральных чисел n, таких, что n>2, а уравнение X+Y=Z имеет положительные целочисленные решения (известная теорема Ферма). Неизвестно, пусто ли множество цифр, встречающихся лишь конечное число раз в десятичном разложении числа «пи». Графический диктант: Итак, я считаю, что все следующие множества пусты. Если вы со мной согласны поставьте 1 , если нет -0. Множество квадратов с неравными сторонами. Множество прямоугольников с неравными диагоналями. Множество треугольников, медианы которых не пересекаются в одной точке. Множество целых корней уравнения 4х-1=0 Множество натуральных корней уравнения 2х-3х-9=0. Множество точек пересечения двух параллельных прямых. Итак, мы с вами задавали множества способом перечисления его элементов. Но не все множества можно задать списком. Например, невозможно составить список рыб в океане. Как еще можно задать множество? Как называется такое свойство? (характеристическое) Какое множество у вас получилось в первом и втором случае? ( {2, 4} Действительно, одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Приведите свои примеры. В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите этот элемент. {2, 6, 15 ,84, 156} {2, 7, 13, 16, 29} {1, 4, 9, 25, 67, 121} {квадрат, параллелограмм, прямоугольник, трапеция, ромб} { жираф, аист, корова, барсук, собака} { лев, гиена, лисица, слон, рысь} {Евклид, Пифагор, Декарт, Колумб, Виет} В ряде случаев при решении задач и доказательстве теорем, используют свойства действий с множествами. Множества можно «складывать», «умножать», «вычитать» разность Пересечением (произведением) двух множеств А и В называют такое множество, элементы которого входят и в первое, и во второе множество. Обозначают: А*В . Удобно изображать пересечение множеств на кругах Эйлера. Приведите примеры применения в реальной жизни операции пересечения множеств. А – множество мальчиков всей школы. В – множество учеников 8 класса. А * В – множество мальчиков, которые учатся в 8 классе. Объединением (суммой) двух множеств А и В называют такое множество, которое составлено из всех элементов обоих множеств А и В. Обозначают: А+В. Удобно изображать объединение множеств при помощи кругов Эйлера. Приведите примеры применения в реальной жизни операции объединения множеств. А – множество успевающих учеников в классе. В – множество девочек в этом классе. С – множество неуспевающих мальчиков. А+ В+ С – является множеством всех учащихся этого класса. Разностью множеств А и В называют множество тех элементов из А, которых нет в В. Обозначают: А\В (косой минус) Удобно изображать разность множеств при помощи кругов Эйлера. Приведите примеры применения в реальной жизни операции пересечения множеств. А – множество всех учащихся 8 класса. В – множество всех девочек. А\ В – множество мальчиков. Для рассуждений о множествах используют круги (схемы) Эйлера. Леонард Эйлер предложил наглядно изображать каждое множество в виде круга (размер и положение круга не имеют значения) нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707(17070415), Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — российский и швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и, начиная с 1766 года, был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России. Решение задач 1. Три купчихи – Олимпиада Карповна, Дарья Петровна и Агриппина Ивановна — сели пить чай. Олимпиада Карповна и Дарья Петровна выпили вдвоем 11 чашек. Дарья Петровна и Агриппина Ивановна -15, а Агриппина Ивановна и Олимпиада Карповна-14. сколько чашек чая выпили купчихи вместе? 2. Во время опроса в одной Орских школ оказалось, что из- 800 опрошенных учеников 430 посещают электив по математике, 220- по истории, 180 посещают оба электива. Сколько человек не посещают элективов вообще? 3. Из 100 студентов английский язык изучают 28 человек, немецкий-30, французский-42, английский и немецкий-8, английский и французский -10, немецкий и французский -5. все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка? Выполнение творческого задания: (у учащихся на партах набор из трех палочек, кольца, пластилина и игрушка-коза) веревок привязать козу, чтобы она могла есть траву лишь на части луга, имеющей форму полукруга. Поставить колышки в точках А и В, на колышки А и В натянуть веревку, по которой может скользить колечко. К колечку привязать веревку длины R , а к концу этой веревки — козу. Кроме того, привязать козу к веревке длины R, идущей от третьего колышка. Итак, мы с вами повторили основные понятия теории множеств. Теория множеств является одной из дисциплин, на которые базируются почти все математические дисциплины — анализ, общая алгебра и другие. Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 4 г.Орска» Николаева Ольга Владимировна Программа факультативного курса «Элементы теории множеств и комбинаторики» 8 класс. Программа факультативного курса. Пояснительная записка В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Один из разделов теории вероятности является комбинаторика. На современном этапе развития науки невозможно полноценное ее изучение и понимание без минимальной вероятностно-статистической грамотности. Элементы комбинаторики включены в Федеральный компонент государственных образовательных стандартов основного общего образования по математике. Данная программа факультативного курса по теме «Элементы теории множеств и комбинаторики» предназначена для учащихся 8 класса. Курс рассчитан на 34 часа. Он ведется в рамках предмета «Алгебра» 8 класса общеобразовательной школы. Данный факультативный курс расширяет учебный материал, представленный в обязательном минимуме содержания учебной программы курса математики. Актуальность программы связана тем, что, во-первых, школьный возраст – это такой период развития ребенка, когда при создании специальных условий наиболее интенсивно развиваются свойства творческого мышления; во-вторых, программа является пропедевтической по отношению к стохастической линии, введенной в настоящее время в содержание математики общеобразовательной школы; в-третьих, каждой теме «Элементы теории множеств» и «Комбинаторика», по отдельности, в различных учебниках уделяется очень мало времени, поэтому такие темы должны быть вынесен на факультативной курс. Цель факультативного курса: расширение представлений учащихся о теории множестве и комбинаторике. Основная задача курса состоит в том, чтобы научить учащихся применять формулы комбинаторики к решению комбинаторных задач, а также уметь применять понятия теории множеств. В ходе изучения факультативного курса учащиеся должны будут подготовить и защитить доклады. Обучение предполагает теоретическую, практическую и самостоятельную работу учащихся. Основные формы теоретических занятий: лекция, комбинированные уроки, практикумы по решению задач. В ходе обучения значительное место отводится практическим и самостоятельным работам учащихся. Текущий контроль осуществляется в разных формах: устная, письменная, фронтальная (в зависимости от темы). Итоговый контроль – контрольная работа. В результате изучения факультативного курса учащийся должен: знать: Оперировать понятиями: множество, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность; основные понятия и формулы комбинаторики; приемы решения задач. уметь: Определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств, задавать множество с помощью перечисления множеств, словесного описания; применять формулы комбинаторики к решению комбинаторных задач. Планируемые результаты УУД (универсальных учебных действий): Личностные универсальные учебные действия: Осознавать собственные мотивы учебной деятельности и личностный смысл учения; Испытывать интерес к различным видам учебной деятельности; Сопоставлять собственную оценку своей деятельности с оценкой учителя. Метапредметные универсальные учебные действия: Воспринимать учебное задание, выбирать последовательность действий, оценивать ход и результат выполнения; Планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей; Слушать высказывания других, принимать другую точку зрения; Осознанно строить речевые высказывания в речевой форме; Применять знания и способы действий в измененных условиях; Перерабатывать полученную информацию: делать выводы на основе обобщения знаний, сравнивать и группировать факты и явления. Предметные универсальные учебные действия: Результаты первого уровня (приобретение школьником математических знаний, понимания практической направленности математики в повседневной жизни). Результаты второго уровня (формирование позитивного школьника к математической деятельности и к творческому саморазвитию в процессе ее выполнения). Результаты третьего уровня (приобретение школьниками опыта интеллектуального саморазвития). Формы реализации: Внеучебная деятельность в режиме второй половины дня образовательного учреждения. Кружковая работа в учреждениях дополнительного образования. Тематический план факультативного курса Содержание программы факультативного курса Раздел 1. Элементы теории множеств. Множество и его элементы. Способы задания множества. Раздача докладов. (3 часа) Понятие множества. Элемент множества. Равные множества. Конечное, бесконечное множество. Пустое множество. Способы задания множества. Операции над множествами и их свойства. (4 часа) Пересечение множеств. Объединение множеств. Разность множеств. Дополнение множеств. Декартово произведение. (2 часа) Упорядоченная пара. Равные упорядоченные пары. Произведение двух множеств. Декартово произведение. Декартов квадрат. Формула включений и исключений. (2 часа) Формула включений и исключений. Подготовка к контрольной работе. (1 час) Контрольная работа №2 по теме «Комбинаторика». (1 час) Раздел 2. Комбинаторика. Примеры комбинаторных задач. (1 час) Историческая справка. Понятие комбинаторики. Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов. Комбинаторное правило умножения. Размещение. (3 часа) Понятие выборки. Равенство выборок. Размещение с повторениями. Размещение без повторений. Перестановки. (3 часа) Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями. Сочетания. (3 часа) Сочетания без повторения. Сочетания с повторениями. Подготовка к контрольной работе. (2 час) Контрольная работа №2 по теме «Комбинаторика». (1 час) Защита докладов. (3 час) Повторение. Резерв.(5 часов) Построение системы KPI бизнес-процесса | Udemy НАУЧИТЕСЬ РАЗРАБАТЫВАТЬ СИСТЕМЫ KPI НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ, ЧТОБЫ ЭФФЕКТИВНО ВНЕДРЯТЬ ПРОЦЕССНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПОДХОД В УПРАВЛЕНИЕ БИЗНЕС-СТРУКТУРОЙ Итак, Вы умеете строить (разрабатывать, проектировать) модели бизнес-процессов. Но зачем это нужно, что дальше? Дело в том, что модель бизнес-процесса, которую Вы получили — это первая из множества задач при внедрении процессно-ориентированного подхода в управление бизнес-структурой. Следующая задача — это построение системы KPI бизнес-процесса, которая необходима в дальнейшем для решения всех последующих задач. Регистрация на курс предоставляет вам неограниченный по сроку доступ ко всем материалам курса. Кроме того, вы получите индивидуальную поддержку по любым возникающим вопросам или сомнениям. И все это сопровождается гарантией возврата денег. Вы много приобретаете и при этом ничего не теряете. Что входит в этот курс? Этот курс позволит вам на основе знаний о построении моделей бизнес-процессов (например, мой курс «Построить модель бизнес-процесса с «0»») получить практические навыки — компетенции в использовании того, что необходимо для создания систем KPI бизнес-процессов. Видеоуроки, построенные на простых и понятных примерах, помогают вам получать конкретное понимание изучаемого материала. Индивидуальная он-лайн поддержка означает, что любые вопросы, которые у вас есть, можно легко решить и прояснить. Доступ без истечения срока действия к материалам курса, чтобы вы могли учиться в удобном для вас темпе и возвращаться в любое время, когда чувствуете себя неуверенно или нуждаетесь в переподготовке. Это самый исчерпывающий курс по построению системы KPI бизнес-процесса и он шаг за шагом проведет вас через все, что вам нужно знать, в практичной и простой для понимания форме. Каждый урок и последующие действия основываются на предыдущих навыках, которые вы усвоили, поэтому к концу вы будете уверенно строить системы KPI любых бизнес-процессов, с которыми вы сталкиваетесь. В дополнение ко всем инструментам — программам, которые вам понадобятся, чтобы приступить к построению системы KPI бизнес-процессов, вы также в моем лице познакомитесь с этой частью предметной области бизнес-анализа. Я не просто преподаватель, написавший этот курс, я также ресурс и наставник, через руки которого прошли сотни студентов и тысячи разработанных ими схем процессов и который направит вас к долгой и плодотворной карьере в области бизнес-анализа! Более подробно о курсе смотрите в «Ознакомительном занятии» (в свободном доступе). теория множеств | Символы, примеры и формулы теория множеств , раздел математики, который имеет дело со свойствами четко определенных наборов объектов, которые могут иметь или не иметь математическую природу, например числа или функции. Теория менее ценна в прямом применении к обычному опыту, чем как основа для точной и адаптируемой терминологии для определения сложных и изощренных математических понятий. Между 1874 и 1897 годами немецкий математик и логик Георг Кантор создал теорию абстрактных множеств сущностей и превратил ее в математическую дисциплину.Эта теория выросла из его исследований некоторых конкретных проблем, касающихся определенных типов бесконечных множеств действительных чисел. Набор, как писал Кантор, представляет собой совокупность определенных, различимых объектов восприятия или мысли, задуманных как единое целое. Объекты называются элементами или членами набора. Теория имела революционный аспект рассмотрения бесконечных множеств как математических объектов, которые находятся на равных с теми, которые могут быть построены за конечное число шагов. С древних времен большинство математиков тщательно избегали введения в свои аргументы фактической бесконечности (т.е., наборов, содержащих бесконечное количество объектов, рассматриваемых как существующие одновременно, по крайней мере, мысленно). Поскольку такое отношение сохранялось почти до конца XIX века, работа Кантора подвергалась серьезной критике, поскольку она касалась вымысла — более того, что она вторгалась в сферу философии и нарушала принципы религии. Однако как только начали находить приложения к анализу, отношение начало меняться, и к 1890-м годам идеи и результаты Кантора получили признание.К 1900 году теория множеств была признана отдельной отраслью математики. Однако именно тогда было обнаружено несколько противоречий в так называемой наивной теории множеств. Для устранения таких проблем была разработана аксиоматическая основа теории множеств, аналогичная той, которая была разработана для элементарной геометрии. Степень успеха, достигнутого в этом развитии, а также нынешний уровень теории множеств были хорошо выражены в Nicolas Bourbaki Éléments de mathématique (начат в 1939 г .; «Элементы математики»): «В настоящее время это известно, что логически можно вывести практически всю известную математику из единого источника — теории множеств.” Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас Введение в теорию наивных множеств Основные концепции множеств В наивной теории множеств набор — это совокупность объектов (называемых членами или элементами), которые рассматриваются как один объект. Чтобы указать, что объект x является членом набора A , пишут x ∊ A , а x ∉ A указывает, что x не является членом A .Набор может быть определен правилом (формулой) членства или перечислением его членов в фигурных скобках. Например, набор, заданный правилом «простые числа меньше 10», также может быть задан как {2, 3, 5, 7}. В принципе, любое конечное множество может быть определено явным списком его членов, но для определения бесконечных множеств требуется правило или шаблон, указывающий на членство; например, многоточие в {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} указывает, что список натуральных чисел ℕ продолжается бесконечно. Пустой (или void, или null) набор, обозначенный {} или Ø, не содержит вообще никаких элементов.Тем не менее, он имеет статус набора. Набор A называется подмножеством набора B (обозначен символами A ⊆ B ), если все элементы A также являются членами B . Например, любой набор является подмножеством самого себя, а Ø — подмножеством любого набора. Если и A, ⊆ B и B ⊆ A , то A и B имеют точно такие же элементы. Часть концепции набора состоит в том, что в этом случае A = B ; то есть A и B — это один и тот же набор. Обзор теории множеств | Пустой набор | Универсальный набор | Реальные числа | Рациональные числа 1.2 Обзор теории множеств Теория вероятностей использует язык множеств. Как мы увидим позже, вероятность определяется и рассчитывается по сетам. Таким образом, здесь мы кратко рассмотрим некоторые основные концепции теории множеств. которые используются в этой книге. Мы обсуждаем обозначения множеств, определения и операции (такие как пересечения и союзы).Затем мы вводим счетные и несчетные множества. Наконец, мы кратко обсудим функции. Этот раздел может показаться несколько теоретическим и поэтому менее интересным. чем остальная часть книги, но она закладывает основу для будущего. Набор — это набор некоторых предметов (элементов). Мы часто используем заглавные буквы для обозначения множество. Чтобы определить набор, мы можем просто перечислить все элементы в фигурных скобках, например, чтобы определим набор $ A $, состоящий из двух элементов $ \ clubuit $ и $ \ diamondsuit $, запишем $ A = \ {\ clubuit, \ diamondsuit \} $.Чтобы сказать, что $ \ diamondsuit $ принадлежит $ A $, мы пишем $ \ diamondsuit \ in A $, где «$ \ in $» произносится как «принадлежит». Чтобы сказать, что элемент не принадлежит множеству, мы используйте $ \ notin $. Например, мы можем написать $ \ heartsuit \ notin A $. Набор сбор вещей (элементов). Обратите внимание, что порядок не имеет значения , поэтому два набора $ \ {\ clubuit, \ diamondsuit \} $ и $ \ {\ diamondsuit, \ clubuit \} $ равны. Мы часто работаем с наборами чисел.Некоторые важные наборы приведены в следующем примере. Пример В этой книге используются следующие наборы: Набор натуральных чисел, $ \ mathbb {N} = \ {1,2,3, \ cdots \} $. Набор целых чисел, $ \ mathbb {Z} = \ {\ cdots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ cdots \} $. Множество рациональных чисел $ \ mathbb {Q} $. Множество действительных чисел $ \ mathbb {R} $. Закрытые интервалы на реальной линии.Например, $ [2,3] $ — это набор всех действительных чисел. $ x $ такое, что $ 2 \ leq x \ leq3 $. Открытые интервалы на реальной линии. Например, $ (- 1,3) $ — это набор всех действительных чисел $ x $ такой, что $ -1 Аналогично, $ [1,2) $ — это множество всех действительных чисел $ x $, таких что $ 1 \ leq x Набор комплексных чисел $ \ mathbb {C} $ — это набор чисел в форме $ a + bi $, где $ a, b \ in \ mathbb {R} $ и $ i = \ sqrt {-1} $. Мы также можем определить набор, математически указав свойства, которым удовлетворяет элементы в наборе. 2 | x \ in \ mathbb {N} \} $, то $ D = \ {1,4,9,16, \ cdots \} $. Набор рациональных чисел можно определить как $ \ mathbb {Q} = \ {\ frac {a} {b} | a, b \ in \ mathbb {Z}, b \ neq 0 \} $. Для действительных чисел $ a $ и $ b $, где $ a $ \ mathbb {C} = \ {a + bi \ mid a, b \ in \ mathbb {R}, i = \ sqrt {-1} \} $. Набор $ A $ — это подмножество набора $ B $, если каждый элемент $ A $ также является элементом $ B $. Мы пишем $ A \ subset B $, где «$ \ subset $» означает «подмножество». Эквивалентно, мы говорим, что $ B $ — это надмножество $ A $ или $ B \ supset A $. Пример Вот несколько примеров наборов и их подмножеств: Если $ E = \ {1,4 \} $ и $ C = \ {1,4,9 \} $, то $ E \ subset C $. $ \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} $. $ \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {R} $. Два набора равны, если они имеют абсолютно одинаковые элементы. Таким образом, $ A = B $ тогда и только тогда, когда $ A \ subset B $ и $ B \ subset A $. Например, $ \ {1,2,3 \} = \ {3,2,1 \} $ и $ \ {a, a, b \} = \ {a, b \} $. Набор без элементы, т.е., $ \ emptyset = \ {\} $ — это нулевой набор или пустой набор . Для любого набора $ A $, $ \ emptyset \ subset A $. Универсальный набор — это набор всего, что мы могли бы рассмотреть в контексте мы учимся. Таким образом, каждое множество $ A $ является подмножеством универсального множества. В этой книге мы часто обозначаем универсальное множество $ S $ (Как мы увидим, на языке теории вероятностей универсальное множество называется пробел .) Например, если мы обсуждаем бросание кубика, наш универсальный множество может быть определено как $ S = \ {1,2,3,4,5,6 \} $, или, если мы обсуждаем подбрасывание монеты один раз, наш универсальный set может быть $ S = \ {H, T \} $ ($ H $ для орла и $ T $ для решки). Теория множеств — определение и примеры Теория множеств — это раздел математической логики, изучающий множества, их операции и свойства. Георг Кантор впервые инициировал теорию в 1870-х годах в статье под названием « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел .С помощью операций над множеством степеней он доказал, что одни бесконечности больше других бесконечностей. Это привело к широкому использованию канторовских концепций. Теория множеств — одна из основ математики. В настоящее время он считается независимым разделом математики с приложениями в топологии, абстрактной алгебре и дискретной математике. В этой статье мы рассмотрим следующие темы: Основы теории множеств. Доказательства теории множеств. Формулы теории множеств. Обозначения теории множеств. Примеры. Практические задачи. Основы теории множеств Самая фундаментальная единица теории множеств — это множество. Набор — это уникальный набор объектов, называемых элементами. Эти элементы могут быть чем угодно, например деревьями, компаниями мобильной связи, числами, целыми числами, гласными или согласными. Наборы могут быть конечными или бесконечными. Примером конечного набора может быть набор английских алфавитов, действительных чисел или целых чисел. Наборы записываются тремя способами: в табличной форме, в нотации конструктора наборов или в описании. Далее они подразделяются на конечные, бесконечные, одноэлементные, эквивалентные и пустые множества. Мы можем выполнять с ними несколько операций. У каждой операции есть свои уникальные свойства, как мы скажем позже в этой лекции. Мы также рассмотрим обозначения множеств и некоторые основные формулы. Доказательства теории множеств Одним из наиболее важных аспектов теории множеств являются теоремы и доказательства, касающиеся множеств.Они помогают в базовом понимании теории множеств и закладывают основу для продвинутой математики. Один экстенсивно требуется для доказательства различных теорем, большинство из которых всегда о множествах. В этом разделе мы рассмотрим три доказательства, которые служат ступенькой к доказательству более сложных утверждений. Однако мы будем делиться только подходом, а не пошаговым руководством для лучшего понимания. Объект является элементом набора: Как мы знаем, любой набор в нотации конструктора наборов определяется как: X = {x: P (x)} Здесь P (x) равно открытое предложение о x, которое должно быть истинным, если какое-либо значение x должно быть элементом множества X.Поскольку мы это знаем, мы должны сделать вывод, что для доказательства объект является элементом множества; нам нужно доказать, что P (x) для этого конкретного объекта истинно. Набор является подмножеством другого: Это доказательство является одним из наиболее избыточных доказательств в теории множеств, поэтому его необходимо хорошо понять и уделить особое внимание. В этом разделе мы рассмотрим, как доказать это предложение. Если у нас есть два набора, A и B, A является подмножеством B, если оно содержит все элементы, присутствующие в B, это также означает, что: , если ∈ A, то ∈ B. Это тоже утверждение, которое нам нужно доказать. Один из способов — предположить, что элемент A является элементом A, а затем сделать вывод, что a также является элементом B. Однако другой вариант называется контрапозитивным подходом, где мы предполагаем, что a не является элементом B, поэтому a также не является элементом A. Но для простоты всегда следует использовать первый подход в связанных доказательствах. Пример 1 Докажите, что {x ∈ Z : 8 I x} ⊆ {x ∈ Z : 4 I x} Решение: Предположим, что a ∈ {x ∈ Z : 8 I x}, что означает, что a принадлежит целым числам и может делиться на 8.Должно быть целое число c, для которого a = 8c; если присмотреться, то можно записать это как a = 4 (2c). Из a = 4 (2c) мы можем вывести, что 4 I a. Следовательно, a — целое число, которое можно разделить на 4. Следовательно, a {x ∈ Z : 4 I x}. Как мы доказали, a ∈ {x ∈ Z : 8 I x} влечет {x ∈ Z : 4 I x}, это означает, что {x ∈ Z : 8 I x} ⊆ {x ∈ Z : 4 I x}. Следовательно доказано. Два набора равны: Существует элементарное доказательство того, что два набора равны.Предположим, мы доказываем, что A ⊆ B; это будет означать, что все элементы A присутствуют в B. Но на втором этапе, если мы покажем, что B ⊆ A, это будет означать, что вся возможность некоторых элементов B, которых не было в A на первом этапе, была удаленный. Нет никаких шансов, что какие-либо элементы в B теперь не присутствуют в A или наоборот. Теперь, поскольку и A, и B являются подмножеством друг друга, мы можем доказать, что A равно B. Формулы теории множеств В этом разделе будут рассмотрены некоторые формулы теории множеств, которые помогут нам выполнять операции с наборы.Не только операции над множествами, мы сможем применять эти формулы к реальным задачам и понимать их. Формулы, которые мы будем обсуждать, являются фундаментальными и будут выполняться только на двух наборах. Прежде чем мы углубимся в эти формулы, некоторые обозначения нуждаются в пояснении. n (A) представляет количество элементов в A n (A B) представляет количество элементов в A или B n (A ∩ B) представляет количество элементов, общих для оба набора A и B. n (A ∪ B) = n (A) + n (B) — n (A ∩ B) Мы можем использовать эту формулу для расчета количества элементов присутствует в союзе А и Б. Эта формула может использоваться только тогда, когда A и B перекрываются и имеют общие элементы между ними. Эту формулу можно использовать, когда A и B — непересекающиеся множества, так что между ними нет общих элементов. n (A) = n (A ∪ B) + n (A ∩ B) — n (B) Эта формула используется, когда мы хотим вычислить число элементов в множестве A, при условии, что нам дано количество элементов в A union B, A пересечении B и B. n (B) = n (A ∪ B) + n (A ∩ B) — n (A) Эта формула используется, когда мы хотим вычислить число элементов в множестве B при условии, что нам дано количество элементов в объединении A B, пересечении B и в A. n (A ∩ B) = n (A) + n (B ) — n (A ∪ B) Если мы хотим найти элементы, общие для A и B, нам нужно знать размер A, B и A объединения B. n (A ∪ B) = n (A — B) + n (B — A) + n (A ∩ B) В этой формуле мы снова вычисление количества элементов в объединении B, но на этот раз предоставленная информация отличается. Нам дана величина разницы относительно B и разницы относительно A. Наряду с этим нам дается количество элементов, общих для A и B Пример 2 В школе 20 учителей.10 преподают науку, 3 — искусство, а 2 преподают и то, и другое. Определите, сколько учителей преподают любой из предметов. Решение: Количество учителей, преподающих любой из предметов: n (A ∪ B) = n (A) + n (B) — n (A ∩ B) n ( A ∪ B) = 10 + 3 — 2 = 11 Итак, 11 учителей обучают любого из них. Обозначение теории множеств В этом разделе мы будем говорить обо всех обозначениях, используемых в теории множеств.Он включает математические обозначения от множества до символа для действительных и комплексных чисел. Эти символы уникальны и зависят от выполняемой операции. Мы обсуждали подмножества и наборы мощности ранее. Мы также рассмотрим их математические обозначения. Использование этого обозначения позволяет нам представить операцию наиболее компактным и упрощенным способом. Это позволяет случайному наблюдателю-математику точно узнать, какая операция выполняется.Итак, давайте разберемся с этим по порядку. Набор: Мы знаем, что набор — это набор элементов, как мы неоднократно обсуждали ранее. Этими элементами могут быть названия некоторых книг, машин, фруктов, овощей, числа, алфавиты. Но все это должно быть уникальным и неповторяющимся в наборе. Они также могут быть связаны с математикой, например, различные линии, кривые, константы, переменные или другие наборы. В современной математике вы не найдете такого обычного математического объекта.Для определения наборов мы обычно используем заглавный алфавит, но его математическое обозначение: {} Набор фигурных скобок используется в качестве математического обозначения наборов. Пример 3 Запишите 1, 2, 3, 6 как один набор A в математической записи. Решение: A = {1, 2, 3, 6} Union: Предположим, у нас есть два набора: A и B. Объединение этих двух наборов определяется как новый набор, который содержит все элементы A, B и элементы, присутствующие в обоих.Единственное отличие состоит в том, что элементы повторяются в A и B. В новом наборе эти элементы будут только один раз. В математической индукции это представляется с помощью логики «или» во внутреннем смысле. Если мы говорим A или B, это означает объединение A и B. Он представлен с помощью символа: ∪ Пример 4 Как бы вы изобразили объединение множеств A и B? Решение: Объединение двух наборов A и B, также определенных как элементы, принадлежащие либо A, либо B, либо обоим, может быть представлено следующим образом: A ∪ B Пересечение: Давайте снова предположим, что у нас есть два набора: A и B.Пересечение этих множеств определяется как новый набор, содержащий все элементы, общие для A и B, или все элементы A, которые также присутствуют в B. Другими словами, мы также можем сказать, что все элементы, присутствующие в A и B. В математической индукции логика «И» используется для представления пересечения между элементами. Итак, если мы говорим A и B, мы имеем в виду пересечение или общие элементы. Включены только элементы, присутствующие в обоих наборах. Он представлен с помощью символа: ∩ Пример 5 Как бы вы изобразили пересечение A и B? Решение: Пересечение двух наборов представлено следующим образом: A ∩ B Подмножество: Любой набор A считается подмножеством набора B, если все элементы набора A также являются элементами набор Б.Это набор, который содержит все элементы, также присутствующие в другом наборе. Эту взаимосвязь можно также называть «включением». Два набора A и B могут быть равными, они также могут быть неравными, но тогда B должно быть больше, чем A, поскольку A является подмножеством B. Далее мы обсудим несколько других вариантов подмножества. Но пока мы говорим только о подмножествах. Он представлен с помощью символа: ⊆ Пример 6 Представьте, что A является подмножеством B. Решение: Это отношение A, являющегося подмножеством B, представлено как: A ⊆ B Правильное подмножество: Раньше мы говорили о подмножестве, теперь мы должны чтобы посмотреть на обозначение для правильного подмножества любого набора, но сначала нам нужно знать, что такое правильное подмножество. Предположим, у нас есть два набора: A и B. A является правильным подмножеством B, если все элементы A присутствуют в B, но B имеет больше элементов, в отличие от некоторых случаев, когда оба набора равны в нескольких элементах.A — собственное подмножество B с большим количеством элементов, чем A. По сути, A является подмножеством B, но не равно B. Это правильное подмножество. В теории множеств он представлен с помощью символа: ⊂ Этот символ означает «правильное подмножество. Б? Решение: Учитывая, что A является правильным подмножеством B: A ⊂ B Не подмножество: Мы обсуждали, что всякий раз, когда все элементы A присутствуют в другом в нашем случае это множество B, то можно сказать, что A является подмножеством B.Но что, если все элементы A отсутствуют в B? Как мы это называем и как представляем? В этом случае мы называем это A не подмножеством B, потому что все элементы A не присутствуют в B, и математический символ, который мы используем, чтобы представить это: ⊄ Это означает «не подмножество. of. ‘ Пример 8 Как вы изобразите связь A, не являющуюся подмножеством B? Решение: Учитывая, что A не является правильным подмножеством B: A ⊄ B Надмножество: Надмножество также можно объяснить с помощью подмножества.Если мы говорим, что A является подмножеством B, тогда B является надмножеством A. Здесь следует отметить, что мы использовали слово «подмножество», а не собственное подмножество, где B всегда имеет больше элементов, чем A. Здесь B может либо иметь больше элементов или такое же количество элементов, что и A. Другими словами, мы можем сказать, что B имеет те же элементы, что и A, или, возможно, больше. Математически мы можем представить это с помощью символа: ⊇ Это означает «надмножество.» Пример 9 Как вы изобразите отношение A как надмножества B? Решение: Учитывая, что A является надмножеством B: A ⊇ B Правильный надмножество: Так же, как концепция правильного подмножества, где набор, который является правильным подмножеством, всегда имеет меньше элементов, чем другой набор, когда мы говорим, что набор является надлежащим надмножеством некоторого другого набора, он также должен иметь больше элементов, чем другой набор.Теперь определим его: любой набор A является правильным надмножеством любого набора B, если он содержит все B и более элементов. Это означает, что A всегда должен быть больше B. Эта операция представлена ​​с помощью символа: ⊃ Это означает правильное «подмножество.» Пример 10 Как вы будете представлять отношения является ли A правильным надмножеством B? Решение: Учитывая, что A является правильным надмножеством B: A ⊃ B Не надмножество: Если какой-либо набор не может быть подмножеством другого набора, любой набор может также не должен быть надмножеством какого-либо другого набора.Чтобы определить это в терминах теории множеств, мы говорим, что любой набор A не является надмножеством B, если он не содержит всех элементов, присутствующих в B, или имеет меньше элементов, чем B. Это означает, что размер A может быть меньше B или иметь все элементы, присутствующие в B. В обозначении набора мы представляем это как: ⊅ Это означает «не надмножество.» Пример 11 Как вы представите отношение A не является надмножеством B? Решение: Учитывая, что A не является надмножеством B: A ⊅ B Дополнение: Чтобы понять дополнение любого набора, вам сначала нужно знать, что универсальный набор есть.Универсальный набор — это набор, содержащий все, что находится под наблюдением. Он включает в себя все объекты и все элементы в любом из связанных наборов или в любом наборе, который является подмножеством этого универсального набора. Теперь, когда мы знаем, что такое универсальный набор, дополнение набора, скажем, набор A определяется как все элементы, присутствующие в универсальном наборе, но не в A, при условии, что A является подмножеством U. Это означает, что набор элементов, которых нет в A. Он представлен с помощью небольшого скрипта c: Ac Читается как «дополнение A». Пример 12 У нас есть набор U, но не A; как вы их представляете? Решение: Учитывая, что эти элементы не находятся в A, мы имеем: Ac Разница: Дополнение набора использует функцию разницы между универсальным набором и любым набором A. Теперь , в чем разница между наборами? В теории множеств разница между множествами заключается в том, что новый набор содержит все элементы, присутствующие в одном наборе, но не в другом.Итак, предположим, что мы хотим найти разницу между множеством A и B, нам нужно будет построить новый набор, содержащий все элементы, присутствующие в A, но не в B. Разница — это двоичная функция. Для этого нужны два операнда: мы используем символ оператора вычитания. Итак, предположим, что у нас есть два набора, A и B. Нам нужно найти разницу между ними относительно B. Это будет новый набор, содержащий все элементы в B, но не в A. Это можно представить с помощью обозначение: A — B Элемент: Мы знаем, что набор состоит из уникальных объектов.Эти уникальные объекты называются элементами. Отдельный объект набора называется элементом набора. Это объекты, которые используются для формирования набора. Их также можно назвать членами множества. Любой элемент набора — это уникальный объект, принадлежащий этому набору. Как мы уже выяснили ранее, они записываются в фигурных скобках с разделителями-запятыми. Название набора всегда представлено заглавными буквами английского алфавита. Если какой-либо объект, скажем «6», является элементом набора, мы запишем его как: 6 A Где означает «элемент из.’ Пример 13 A определяется как {2, 5, 8, 0}. Укажите, является ли следующее утверждение истинным или ложным. 0 A Решение: Как мы видим, 0 является элементом A, поэтому утверждение верно. Не является элементом: Что означает, что элемент не является частью набора, и как мы это представляем? Любой объект не является элементом набора, если его нет в наборе, или мы можем сказать, что его нет в наборе.Для обозначения этого используется следующий символ: ∉ Это означает «не является элементом». Пример 14 A определяется как {2, 5, 8, 0}. Укажите, является ли следующее утверждение истинным или ложным. 0 A Решение: Как мы видим, 0 является элементом A, в то время как данное условие утверждает, что 0 не является элементом A, поэтому утверждение FALSE. Пустой набор: Пустой набор — увлекательная концепция в теории множеств.По сути, это набор, не содержащий вообще никаких элементов. Причина, по которой нам это нужно, состоит в том, что мы хотим иметь какое-то представление о пустоте. Пустой набор не пуст. Если вы заключите его в скобки, это будет набор, содержащий эту пустоту. Размер пустого набора также равен нулю. Он существует на самом деле? Это можно вывести из некоторых теорем. Он также имеет уникальные свойства, например, является подмножеством всех наборов. Однако единственное подмножество, которое содержит пустой набор: пустое множество. Есть несколько способов представить это; некоторые используют пустые фигурные скобки; некоторые используют символ Ⲫ. Универсальный набор: Как мы обсуждали в разделе «Дополнения», универсальный набор содержит все элементы, присутствующие в соответствующих наборах. Эти объекты уникальны, уникальны и не должны повторяться. Итак, если мы установили A = {2, 5, 7, 4, 9} и установили B = {6, 9}. Универсальный набор, обозначенный с помощью символа «U», будет равен набору U = {2, 5, 4, 6, 7, 9, 10, 13}. Если вам дан универсальный набор, вы должны сделать вывод, что он должен содержать некоторые элементы разных, но связанных наборов вместе со своими собственными уникальными элементами, которых нет в связанных наборах. Как мы упоминали ранее, универсальный набор обозначается символом «U». Нет формулы для расчета одного набора из нескольких наборов. К этому моменту вы должны уметь рассуждать, что составляющие множества универсальных множеств также являются подмножествами U. Набор мощности: В теории множеств набор мощности определенного набора A — это набор, который включает в себя все подмножества A. Эти подмножества включают в себя пустой набор и сам набор. Количество элементов в наборе мощности может быть рассчитано с использованием предопределенной формулы 2s, где — количество элементов в исходном наборе. Набор мощности — прекрасный пример наборов внутри наборов, где элементы набора являются другим набором. Любое подмножество набора мощности называется семейством наборов над этим набором. Итак, допустим, у нас есть набор A. Набор мощности A представлен следующим образом: P (A) Равенство: Любые два набора считаются равными, если они имеют одинаковые элементы. Теперь порядок этих элементов быть одинаковым не обязательно; однако важен сам элемент. Чтобы два набора были равны, их объединение и пересечение должны давать одинаковый результат, который также равен обоим задействованным множествам. Как и в других свойствах равенства, мы также используем символ равенства в теории множеств. Если два набора A и B равны, мы запишем это как: A = B Декартово произведение: Как следует из названия, это продукт любых двух наборов, но этот продукт заказан. Другими словами, декартово произведение любых двух наборов — это набор, содержащий все возможные и упорядоченные пары, так что первый элемент пары происходит из первого набора, а второй элемент берется из второго набора.Теперь это упорядочено таким образом, чтобы имели место все возможные вариации между элементами. Чаще всего декартово произведение реализуется в теории множеств. Как и другие операции с продуктом, мы используем знак умножения, чтобы представить это, поэтому, если мы установили a и B, декартово произведение между ними будет представлено как: A x B Мощность элементов: В наборе Согласно теории, мощность набора — это размер этого набора. Под размером набора мы понимаем количество присутствующих в нем элементов.Он имеет то же обозначение, что и абсолютное значение, которое представляет собой две вертикальные полосы с каждой стороны. Допустим, мы хотим представить мощность множества A, мы запишем это как: IAI Это обозначает количество элементов, присутствующих в A. Для всех: Это символ в установите обозначение для представления «для всех». Допустим, у нас есть x> 4, x = 2. Это означает, что для всех значений x больше четырех, x будет равен 2. Следовательно: Следовательно, символ, наиболее часто используемый в математической записи теории множеств, отключен.Он используется в своем английском значении и обозначается символом: ∴ Проблемы: Докажите, что 21 A, где A = {x: x N и 7 I x}. Определите количество элементов в наборе мощности A = {5, 8, 3, 4, 9}. Найдите объединение A = {4, 6, 8} и B = {1, 2, 5}. В школе 35 учителей; 15 преподают науку, 9 — искусство, а 6 — и то, и другое. Определите, сколько учителей преподают оба предмета. Найдите разницу между A = {набор целых чисел} и B = {набор натуральных чисел} относительно B. Ответы: Доказательство оставлено читателю 32 {1, 2, 4, 5, 6, 8} 6 {0}, это не пустой набор Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок Математика | Операции над множествами (теория множеств) Объединение Объединение множеств A и B, обозначенное A ∪ B, представляет собой набор отдельных элементов, которые принадлежат множеству A или множеству B, или обоим. Диаграмма Венна для A ∪ B Выше представлена ​​диаграмма Венна для A U B. Пример : Найдите объединение A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5}; Решение: A ∪ B = {2, 3, 4, 5}. Пересечение Пересечение множеств A и B, обозначенное A ∩ B, является набором элементов, которые принадлежат как A, так и B, т.е. набор общих элементов в A и B. Диаграмма Венна из A ∩ B Выше диаграмма Венна для A ∩ B. Пример : Найдите пересечение A = {2, 3, 4} и B = {3, 4, 5} Решение: A ∩ B = {3, 4}. Непересекающийся Два множества называются непересекающимися, если их пересечение является пустым множеством. т.е. у наборов нет общих элементов. Выше диаграмма Венна непересекающейся B. Пример : Пусть A = {1, 3, 5, 7, 9} и B = {2, 4, 6, 8} A и B - непересекающиеся множества, поскольку оба они не имеют общих элементов. Разница между наборами Разница между наборами обозначается буквой «A — B», которая представляет собой набор, содержащий элементы, которые находятся в A, но не в B.то есть все элементы A, кроме элемента B. Выше представлена ​​диаграмма Венна для A-B. Пример : Если A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {2, 4, 6, 8}, найдите A-B Решение: AB = {1, 3, 5} Дополнение Дополнение набора A, обозначенное A C , является набором всех элементов, кроме элементов в A. Дополнением набора A является U — A. Выше представлена ​​диаграмма Венна для A c Пример : Пусть U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} и А = {2, 4, 6, 8}.Найдите A C Решение: A C = UA = {1, 3, 5, 7, 9, 10} Сложение и вычитание Сложение наборов A и B, называемое сложением Минковского , является набором в элементы которого представляют собой сумму каждой возможной пары элементов из двух наборов (то есть один элемент из набора A, а другой из набора B). Вычитание множества следует тому же правилу, но с операцией вычитания для элементов. Следует отметить, что эти операции выполняются только с числовыми типами данных.Даже если бы действовал иначе, это было бы только символическое представление без какого-либо значения. Кроме того, легко увидеть, что сложение множеств коммутативно, а вычитание — нет. Для сложения и последующего вычитания обратитесь к этому ответу. [Tex] AB = A \ cap \ bar {B} [/ Tex] Ассоциативные свойства: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C и A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Коммутативные свойства: A ∪ B = B ∪ A и A ∩ B = B ∩ A Свойство идентичности для Union: A ∪ φ = A Пересечение Свойство пустого множества: A ∩ φ = φ Распределительные свойства: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) аналогично для пересечения. Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Практикуйте экзамен GATE задолго до самого экзамена с помощью предметных и общих викторин, доступных в курсе GATE Test Series . Изучите все концепции GATE CS с бесплатными живыми классами на нашем канале YouTube. Что такое символы диаграммы Венна — с примерами Этот пост был первоначально опубликован 11 сентября 2018 г. и последний раз обновлялся 26 июля 2020 г. Когда вы оглядываетесь на диаграммы Венна, которые вы создали в начальной школе, у вас, вероятно, остались приятные воспоминания о том, какие типы шоколадных батончиков нравились вам и вашим друзьям, или о сравнении ваших любимых героев фильмов. Хотя вы, возможно, думали, что дни построения диаграмм Венна давно остались позади, эти инструменты на самом деле полезны в зрелом возрасте. Фактически, математики и родственные профессии используют их для представления сложных взаимосвязей и решения математических задач все время. Конечно, объекты, изучаемые на профессиональных диаграммах, обычно не являются шоколадными батончиками или персонажами фильмов. И вам нужно понять гораздо больше, чтобы использовать их эффективно. Чтобы полностью погрузиться в мир профессиональных диаграмм Венна, вы должны иметь базовое понимание раздела математической логики, называемого «теорией множеств», и связанных с ней символов и обозначений. Используя теорию множеств, исследователи и математики заложили основы многих математических понятий, включая разнообразные наборы структур, отношений и теорем, которые могут применяться в различных областях исследования, включая топологию, абстрактную алгебру и дискретную математику. Используя основы, которые мы рассмотрим здесь, вы также можете начать использовать диаграммы Венна более сложными способами. Обозначения диаграммы Венна Хотя в теории множеств используется более 30 символов, вам не нужно запоминать их все, чтобы начать. Фактически, следующие три являются идеальной основой. Символ союза ∪ Диаграммы Венна состоят из серии перекрывающихся кругов, каждый из которых представляет категорию. Чтобы представить объединение двух множеств, мы используем символ ∪ — не путать с буквой ‘u.’ В приведенном ниже примере у нас есть круг A зеленого цвета и круг B фиолетового цвета. Эта диаграмма представляет собой объединение A и B, которое мы обозначим как A ∪ B. Давайте на мгновение вернемся к тем дням в начальной школе на примере шоколадных батончиков. Если бы в круге A были люди, которым нравились батончики Snickers, а в круге B — люди, которым нравились батончики 3 Musketeers, A ∪ B представляли людей, которым нравятся Snickers, 3 Musketeers или оба. Знак перекрестка ∩ Область пересечения двух наборов — это то место, где объекты разделяют обе категории.В нашем примере диаграммы бирюзовая область (где зеленый и фиолетовый перекрываются) представляет собой пересечение точек A и B, которое мы обозначили как A ∩ B. На этом перекрестке мы найдем людей, которым нравятся и Snickers, и 3 Musketeers. Дополнительный символ A c Категории, не представленные в наборе, называются дополнением набора. Чтобы представить дополнение набора A, мы используем символ A c . Для представления абсолютного дополнения набора, т.е.е., все, что не входит в набор, мы используем уравнение A c = U \ A, где буква «U» представляет данную вселенную. Это уравнение означает, что все во Вселенной, кроме A, является абсолютным дополнением к A в U. Серая часть нашего примера диаграммы представляет все, что находится за пределами A. Если использовать наш пример с шоколадным батончиком, это будет представлять всех, кто не любит Snickers. Другой пример Давайте попробуем новый пример. Допустим, мы планируем вечеринку на работе и пытаемся понять, какие напитки подать.Мы спрашиваем трех человек, какие напитки они любят. Когда мы спрашиваем, вот что получаем: Напиток A B С Вино Х Х Х Пиво Х Х Мартини Х Х Старомодный Х Х Ром и кокс Джин-тоник Используя трехкружную диаграмму Венна, мы можем охватить все возможности.Каждый человек представлен в виде круга, который обозначается буквами A, B и C. Используя символ ∩, мы можем показать, где должны быть размещены пересечения между множествами. Когда мы заполняем диаграмму нашими данными, мы размещаем каждый объект в соответствии с формулами, которые мы указали выше. Например, мы помещаем мартини в области B и C, потому что респонденты B и C указали, что они им нравятся. Поскольку ром и кока-кола и джин-тоник не были выбраны никем, они не входят в какой-либо круг. Однако, поскольку они все еще существуют и доступны во вселенной, их можно поместить в белое пространство. Вот наша последняя диаграмма: Понятно, что вино — лучший выбор для нашей предстоящей вечеринки. Пиво, мартини и старомодные напитки могут быть хорошими дополнительными напитками, но к ним, вероятно, не следует подавать ром с кока-колой или джин с тоником. Примеры диаграмм Венна Использование всех этих версий с усвоенными вами символами должно послужить отличным началом для построения диаграмм Венна, которые помогут вашей команде. Используйте серию шаблонов диаграмм Венна на Cacoo в качестве отправной точки. Вот еще несколько примеров, когда вы продолжите: Как читать диаграмму Венна Теперь, когда вы знаете все о том, как построить диаграмму Венна и включили официальную терминологию и символы, вы должны понять, как правильно ее читать. Путем реверс-инжиниринга вы можете взять информацию, уже имеющуюся на диаграмме, чтобы увидеть, где будут располагаться обозначенные нами символы и уравнения. Независимо от того, сколько опций добавлено, вы знаете, в чем их сходства или предпочтения, а также различия между тем, какие элементы в конечном итоге оказываются внутри и за пределами диаграммы. Теория множеств Хотя мы могли бы очень глубоко изучить теорию множеств (всегда есть чему поучиться), подходящим способом завершить урок по диаграммам Венна является изучение некоторой теории, лежащей в основе этих диаграмм. Набор — это группа или набор вещей, также называемых элементами. Эти элементы действительно могут быть чем угодно. В приведенном выше примере набор — это выбор, который безымянная группа сделала для своих предпочтений по напиткам. В теории множеств мы бы записали это вместо этого в виде уравнения, перечислив все элементы в фигурных скобках: {человек 1, человек 2, человек 3, человек 4,…} Поскольку вопрос в примере заключается в том, какой напиток они предпочитают, эти люди в конечном итоге делятся на группы по своему выбору: Старомодный = {X человек} Мартини = {X человек} Пиво = {X человек} Ром и кокс = {X человек} Джин-тоник = {X человек} Поскольку мы предлагаем пять различных вариантов напитков, мы получаем пять отдельных наборов, которые затем представлены на диаграмме Венна. Заключительные мысли Для ясности здесь мы остановились на основных примерах, но есть гораздо больше информации, которую вы можете использовать для более глубокого изучения теории множеств. На самом деле, статья в Стэнфордской энциклопедии по теории множеств — отличное место для начала. По мере того, как вы исследуете больше установленных взаимосвязей, визуализация вашей работы с помощью диаграмм Венна — мощный и простой способ с легкостью передать эти отношения. Когда вы будете готовы приступить к созданию собственных диаграмм Венна, остановитесь на нашем облачном инструменте построения диаграмм Cacoo.Наша библиотека форм может помочь вам легко создавать диаграммы с нуля, или вы можете начать с одного из наших сотен готовых шаблонов, чтобы просто вставить свою информацию и начать. Совместная работа над идеями для согласования видения вашей команды в Cacoo Брэнди Гратис Брэнди — менеджер по контент-маркетингу в Nulab, создателе Cacoo, Backlog и Typetalk. Она регулярно вносит и редактирует контент для всех веб-сайтов и блогов Nulab. От математики к SQL Server, быстрое введение в теорию множеств Введение В предыдущей статье этой серии «Введение в подходы на основе наборов и процедурное программирование в T-SQL» мы увидели на простом примере, что можем найти реальную пользу от изучения подхода, основанного на наборах, при написании кода T-SQL. . В этой статье мы продолжим в том же духе, посмотрев, что такое набор и что мы можем с ним делать с математической точки зрения, а также как он реализован и предоставлен нам в SQL Server.Мы также рассмотрим более «реалистичные» примеры с использованием базы данных Microsoft AdventureWorks. Теория множеств и основы Определение набора В математике мы определяем, что теория множеств — это раздел математики и, в частности, математической логики, изучающий совокупности объектов, которые мы называем множествами. Не волнуйтесь, здесь мы не будем заниматься математикой, так как сосредоточимся на практических аспектах, которые мы будем использовать при написании запросов T-SQL.Давайте просто рассмотрим некоторые основы этой теории: Элементарный набор — это пустой набор. Это набор нулевых объектов, который вы найдете в некоторых справочниках, он также называется набором null . Его обозначение — ∅ или {}. Непустой набор содержит пустой набор плюс один или несколько объектов. Это также означает, что набор может содержать набор. Существует фундаментальная бинарная связь между объектом и набором: объект для набора членства.Это эквивалентно операции IN в запросе T-SQL. Поскольку набор может содержать другой набор, последнее двоичное отношение может быть расширено, чтобы установить членство, также известное как отношение подмножества или включение набора. Как и любая арифметическая теория, теория множеств определяет собственные бинарные операции над множествами. Например, в теории чисел мы можем найти такие операции, как сложение или деление. Графическое изображение набора Для графического представления операции над наборами обычно используются диаграммы Венна, которые показывают все возможные логические отношения между конечным числом различных наборов. Вы найдете пример представления отдельного набора и его объектов на следующем рисунке. Этот набор содержит следующие объекты: A, B, D, L, o, Q и z. В дальнейшем мы будем использовать это представление, чтобы обеспечить хорошее понимание продукта каждой операции, которую мы определим. Установить операции и их эквиваленты в SQL Server Теперь поговорим об операциях с двумя наборами, которые называются A и B .Мы также переведем их в операторы T-SQL, где A и B будут либо таблицами, либо результатами запроса. Как должны знать почти все читатели, способ получить содержимое набора A или набора B выполняется следующим образом с использованием T-SQL (пример с набором A ): Примечание В дальнейшем, если не оговорено иное, «наборы» T-SQL A и B имеют одинаковое количество столбцов одного и того же типа.Это причина, по которой мы использовали обозначение SELECT * выше. Профсоюзное предприятие Операция объединения создаст набор, состоящий из всех объектов из A и всех объектов из B . Обозначается как A∪B. Например, если A состоит из {1,3,6} и B из {3,9,10}, тогда A∪B представляет собой набор, состоящий из {1,3,6,9,10}. Графическое представление A∪B выглядит следующим образом. Набор A представлен красным кружком, а зеленый кружок представляет набор B .A∪B — это части этих кругов в оттенках серого. Дальнейшие представления будут использовать это соглашение об использовании цвета. В SQL Server мы найдем реализацию оператора UNION. Ниже вы найдете эквивалентную инструкцию T-SQL для набора A∪B: ВЫБРАТЬ * ИЗ A СОЕДИНЕНИЕ ВЫБРАТЬ * ИЗ B Между T-SQL и теорией множеств есть небольшая разница: Microsoft предоставляет своим пользователям возможность хранить повторяющиеся записи, которые обычно должны быть удалены оператором UNION.Для этого мы добавим слово ALL после UNION. Вернемся к предыдущему примеру с использованием наборов чисел, UNION ALL набора A с набором B сгенерирует следующий набор: {1,3,3,6,9,10} Теперь давайте рассмотрим пример использования SQL Server и проверим, действительно ли существует разница между операторами UNION и UNION ALL. Пример союза Объединить все Пример Как видно из приведенного выше примера, операция UNION преобразуется в оператор MERGE JOIN в SQL Server, в то время как оператор UNION ALL просто берет все строки из каждого набора и объединяет их. До сих пор мы не видели, что такое «присоединение». По сути, соединение — это способ получить набор на основе двух или более таблиц. Этот набор результатов имеет либо те же столбцы, что и базовые таблицы, либо столбцы из обеих таблиц, подразумеваемые при операции соединения. Эксплуатация перекрестка Пересечение набора A и набора B обозначено A∩B и представляет собой набор элементов, которые можно найти в обоих наборах. Вернемся к примеру с числовыми наборами, A = {1,3,6} B = {3,9,10} A∩B = {3} Графически это выглядит так: В SQL Server есть также оператор INTERSECT T-SQL, который реализует эту операцию над множеством.Ниже вы найдете эквивалентную инструкцию T-SQL для набора A∪B: ВЫБРАТЬ * ОТ A ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫБРАТЬ * ОТ B Теперь давайте посмотрим на конкретный пример T-SQL, где A — это набор лиц, имя которых начинается с «J», а B — это набор лиц, фамилия которых начинается с «E».A∩B — это совокупность лиц, инициалы которых имеют «J.E.». ВЫБЕРИТЕ BusinessEntityID, PersonType, FirstName, MiddleName, LastName FROM [Person]. [Person] WHERE FirstName LIKE ‘J%’ INTERSECT SELECT BusinessEntityName, LastNameType ОТ [Человек]. [Человек] ГДЕ Фамилия КАК «E%» План выполнения для этого конкретного запроса не представляет собой эквивалентного оператора в ядре базы данных SQL Server.Как мы видим, операция INTERSECT транслируется в цепочку операторов вложенного цикла, поскольку у нас есть предложение WHERE в каждом подзапросе. Если мы прокомментируем эти предложения WHERE, мы получим следующий план выполнения, в котором используется оператор MERGE JOIN, как и для операции UNION, но в режиме «внутреннего соединения»: Установка разницы в работе Разница между набором A и набором B обозначена A \ B и будет принимать все элементы, составляющие набор A , которых нет в наборе B . Вернемся к примеру с числовыми наборами, A = {1,3,6} B = {3,9,10} A \ B = {1,6} Графически это выглядит так: В SQL Server эта операция также реализована и доступна пользователям через оператор EXCEPT. Ниже вы найдете эквивалентную инструкцию T-SQL для набора A \ B: ВЫБРАТЬ * ИЗ A ИСКЛЮЧАЯ ВЫБРАТЬ * ИЗ B Итак, если мы хотим получить конкретный пример, допустим, мы хотим получить идентификаторы всех лиц, у которых нет номера контактного телефона.Для этого возьмем таблицу Person.Person как набор A и таблицу Person.PersonPhone как набор B . Это дает нам следующее утверждение: ВЫБЕРИТЕ BusinessEntityID ОТ [Person]. [Person] EXCEPT выберите BusinessEntityID из Person.PersonPhone Если мы посмотрим на его план выполнения, мы увидим, что оператор, используемый SQL Server, называется «Hash Match (Left Anti Semi Join)». Операция декартова произведения Описание работы Декартово произведение обозначается A × B и представляет собой набор, составленный из всех возможных упорядоченных пар (a, b), где a является членом набора A и b является членом набора B . Вернемся к нашему примеру с использованием чисел, где: Чтобы получить элементы A × B, мы можем составить таблицу с элементом A по строке и элементом B по столбцу.Каждая комбинация значений строки и столбца будет элементом A × B. Элементы набора B Элементы набора A 3 9 10 1 (1,3) (1,9) (1,10) 3 (3,3) (3,9) (3,10) 6 (6,3) (6,9) (6,10) Итак, A × B = {(1,3), (1,9), (1,10), (3,3), (3,9), (3,10), (6,3), ( 6,9), (6,10)} Что ж, мы можем быть очень сбиты с толку, увидев эту операцию, и спросить себя: «Что, черт возьми, я могу с этим сделать? ».На самом деле, эта операция очень полезна во множестве ситуаций, и мы будем широко ее использовать в последней статье этой серии. Сначала мы рассмотрим способ выполнения перекрестного соединения с помощью T-SQL. Соответствующая реализация в SQL Server В SQL Server мы можем написать декартово произведение с помощью команды CROSS JOIN следующим образом. SELECT * FROM A CROSS JOIN B Примечание : Здесь звездочка вернет все столбцы из A и из B . Если мы хотим перекрестно соединить A с самим собой, мы получим следующее сообщение об ошибке, за исключением случаев, когда мы предоставим псевдоним по крайней мере для одного из вхождений таблицы A . В качестве альтернативы мы можем просто использовать запятую, чтобы заменить нотацию CROSS JOIN: Примеры использования реальных приложений Cross join Теперь мы знаем, как написать запрос, используя перекрестное соединение или декартово произведение, ну, мы должны знать, в каких случаях мы могли бы его использовать. Пример 1: Вычислить / создать все возможные варианты для конкретной ситуации Предположим, мы работаем на швейной фабрике и хотим знать, сколько разных видов изделий мы можем создать и по какой цене в зависимости от размера и цвета одежды. Если у нас есть таблицы ClothingSizes и ClothingColors, мы можем воспользоваться операцией CROSS JOIN следующим образом. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140002 13 14 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 000 000 34 35 36 37 38 39 40 — Создать таблицу размеров одежды СОЗДАТЬ ТАБЛИЦУ Размеры одежды ( SizeDisplay VARCHAR (32), Need4FabricUnits INT ); ВСТАВИТЬ В РАЗМЕРЫ одежды ЗНАЧЕНИЯ («Маленький», 1), («Средний», 2), («Большой», 3), («Очень большой», 4) ; — Создать таблицу ClothingColors СОЗДАТЬ ТАБЛИЦУ ClothingColors ( ColorName VARCHAR (32), ColorPrice INT ); — Создать все комбинации ВСТАВИТЬ В ClothingColors ЗНАЧЕНИЯ («Белый», 10), («Серый», 12), («Красный», 15), ( «Желтый», 20), («Черный», 10) ; SELECT cs.SizeDisplay, cc.ColorName, cc.ColorPrice * cs.Need4FabricUnits as ManufactoringPrice FROM ClothingSizes cs, ClothingColors cc — cleanups 9000P — cleanups 9000P — cleanups DROP TABLE Размеры одежды; Результаты: Пример 2: Создание тестовых данных В приведенном выше примере вы можете представить решение со списком имен и списком фамилий.При выполнении перекрестного соединения на обоих, мы получим кандидатов для таблицы Contact или Person. Это также может быть распространено на адреса и любые типы данных. Ваше воображение — это предел. Пример 3: Создание данных диаграмм (ось X) Этот пример является частью расширенного примера подхода, основанного на множествах, поэтому здесь мы не будем его подробно разрабатывать. Мы просто представим ситуацию. Допустим, у нас есть инструмент, который регистрирует любое ненормальное поведение с отметкой времени внутри таблицы SQL Server, но ничего не регистрирует, когда все работает, как ожидалось.В таком случае, если мы хотим, например, построить график количества аномалий по дням, мы столкнемся с проблемой, поскольку в данных есть «дыры». Таким образом, мы не можем построить диаграмму напрямую, и мы должны сначала создать временную шкалу с соответствующим шагом (здесь часы). Чтобы создать эту временную шкалу, нам нужно будет использовать CROSS JOIN. Таким образом, мы могли бы рассмотреть набор, содержащий короткие интересующие даты, а затем соединить их перекрестно с набором из 24 чисел от 0 до 23, представляющих часы в день. Если нам нужно отчитываться по минутам в день, мы бы добавили еще одну операцию CROSS JOIN с набором из 60 чисел от 0 до 59, представляющих минуты в час. Математические операции, не имеющие эквивалента в SQL Server Эти операции над наборами не так просто реализовать, чтобы они работали эффективно для каждого отдельного случая. Думаю, именно поэтому Microsoft их не реализовала. Далее мы представим саму операцию, пример использования, в котором они могут быть полезны, и реализацию, специфичную для этого варианта использования. Симметричная разностная операция Симметричная разностная операция эквивалентна логическому исключающему ИЛИ. Он обозначается как A⊕B и содержит все элементы, которые находятся в наборе A , но не входят в набор B , и те, которые находятся в наборе B , но не входят в набор A . Графически эту операцию можно представить как: Мы можем реализовать это разными способами: Реализация 1 — просто как ее определение ( SELECT * FROM A EXCEPT SELECT * FROM B ) UNION ALL ( SELECT * FROM B 9000EP5 EXC ) Реализация 2 — Использование оператора IN для ключевых столбцов ВЫБРАТЬ * ОТ A ГДЕ A_Keys НЕ ВХОДИТ (ВЫБРАТЬ B_Keys ИЗ B) UNION ВСЕ ВЫБРАТЬ * ОТ B ОТКЛЮЧИТЬ ОТКРЫТЬ B_Keys Работа силовой установки Набор мощности набора A — это набор, состоящий из всех возможных подмножеств набора A. В нашем предыдущем примере с использованием наборов чисел A = {1,3,6}. Это означает, что набор мощности A состоит из следующих элементов: Пустой набор Наборы из одного элемента {1} {3} {6} Наборы из двух элементов {1,3} {1,6} {3,6} Наборы из трех элементов (на самом деле это набор А, ). Я не нашел особой причины использовать эту операцию с набором в реальной жизни, но не стесняйтесь обращаться ко мне, если вы ее найдете! Сводка В этой статье мы увидели, что SQL Server реализует большинство математических операций над наборами.Мы можем добавить операторы множества, определенные здесь, справа от таблицы, созданной в предыдущей статье этой серии — «Введение в подходы к программированию на основе множеств и процедурные подходы в T-SQL». Напоминаем, что в этой таблице приведены инструкции и объекты, которые мы можем использовать как в процедурном, так и в основанном на наборах подходах. Процедурный подход Основанный на наборах подход SELECT и другие операции DML, WHILE, BREAK, CONTINUE, IF… ELSE, TRY… CATCH Курсоры (OPEN, FETCH, CLOSE) DECLARE SELECT и другие операции DML, Агрегатные функции (MIN, MAX, AVG, SUM…) UNION и UNION ALL EXCEPT и INTERSECT CROSS JOIN Дополнительная информация На этом вторая статья завершается, но есть третья и последняя из серии.В следующей статье мы уделим внимание различным типам объединений и стандартной функции SQL, называемой Common Tabular Expression. Затем мы будем использовать всю информацию, полученную в этой серии, чтобы предоставить основанное на наборах решение некоторых реальных проблем, с которыми я столкнулся как администратор баз данных. Другие статьи из этой серии: Живя в Бельгии, я получил степень магистра компьютерных наук в 2011 году в Льежском университете. Я один из тех немногих, кто начал работать администратором баз данных сразу после окончания учебы.Итак, я работаю в университетской больнице Льежа с 2011 года. Изначально я занимался администрированием баз данных Oracle (которые все еще находятся в моей компетенции), а в 2013 году у меня была возможность изучать экземпляры SQL Server и управлять ими. много о SQL Server в администрировании и разработке. Мне нравится работа администратора баз данных, потому что вам нужно обладать общими знаниями во всех областях ИТ. Вот почему я не перестану изучать (и делиться) продуктами моего обучения. Посмотреть все сообщения Jefferson Elias Последние сообщения Jefferson Elias (посмотреть все) Примеры вопросов теории множеств 17 апреля 2011 г. · Дано решение: A = {a}, B = {a} и C = пустое множество.Мой вопрос в том, как вы можете это решить — мне сказали, что это возможно из диаграмм Венна, но я не уверен, как это работает. Мой метод поиска примеров счетчиков обычно состоит в том, чтобы сделать A = {a}, B = {b} и C = {c}, а затем показать, что LHS не совпадает с RIGHT. Селонис — аналитик данных (вопросы теории MCQ). Селонис — инженер по данным (вопросы по теории MCQ). Предположим, у нас есть три центроида кластера, и. Кроме того, у нас есть обучающий пример. Заработная плата VIP-бортпроводника Как вернуть панель поиска на главный экран 21 ноября 2017 г. · Задать теорию упражнений 1.1 Является ли каждый из следующих четко определенным набором? Обоснуйте каждый свой ответ вкратце. (а) Набор всех буквенно-цифровых символов. (б) Собрание всех высоких людей. (c) Набор всех действительных чисел x, для которых: 2x — 9 = 16. (d) Набор всех целых чисел x, для которых: 2x — 9 = 16. Второй вопрос заключается в том, объясняются ли явления создателями и сторонниками Теорию этологической привязанности можно было бы объяснить иначе, используя другие психологические механизмы. Это два критерия, которым необходимо соответствовать, чтобы теория привязанности считалась отличной идеей. Как сказать спасибо за неожиданный подарок от брата? Линейный усилитель Palomar на продажу Теория цвета включает в себя множество определений, концепций и дизайнерских приложений — достаточно, чтобы заполнить несколько энциклопедий. Тем не менее, есть три основных категории теории цвета, которые логичны и полезны: цветовое колесо, цветовая гармония и контекст использования цветов. Определение теории, связная группа проверенных общих положений, обычно считающихся правильными, которые можно использовать в качестве принципов объяснения и предсказания для класса явлений: теории относительности Эйнштейна. Mekanism chargepad Jojo copypasta meme 17 апреля 2011 г. · Дано решение: A = {a}, B = {a} и C = пустой набор. Мой вопрос в том, как вы можете это решить — мне сказали, что это возможно из диаграмм Венна, но я не уверен, как это работает. Мой метод поиска примеров счетчиков обычно состоит в том, чтобы сделать A = {a}, B = {b} и C = {c}, а затем показать, что LHS не совпадает с RIGHT. Набор восприятия — хороший пример так называемой обработки сверху вниз. При нисходящей обработке восприятие начинается с самого общего и движется к более конкретному.На такое восприятие сильно влияют ожидания и предыдущие знания. Danganronpa genderswap Rzr Belt whine Пример 1.1: Некоторые примеры групп. 1. Целые числа Z при сложении +. 2. Набор GL 2 (R) обратимых матриц 2 на 2 над вещественными числами с матричным умножением в качестве бинарной операции. Это общая линейная группа матриц 2 на 2 над вещественными R. 3. Набор матриц G = ˆ e = 1 0 0 1; a = 1 0 0 1; b = 1 0 0 1; c = 1 0 0 1 ˙ Множество всех четных перестановок в S n является подгруппой в S n.3.6.5. Определение. Множество всех четных перестановок S n называется знакопеременной группой на n элементах и ​​обозначается A n. Другие примеры Пример 3.1.4. (Группа единиц по модулю n) Пусть n — натуральное число. 2013 lexus es 350 замена свечи зажигания Professor Peirce Теория чисел — обширная и увлекательная область математики, иногда называемая «высшей арифметикой», состоящая из изучения свойств целых чисел. Простые числа и факторизация на простые множители особенно важны в теории чисел, как и ряд функций, таких как функция делителя, дзета-функция Римана и функция общего числа.01 мая 2002 г. · В наивной теории множеств набор — это просто набор объектов, удовлетворяющих некоторому условию. Считается, что любое четко сформулированное условие определяет набор, а именно те вещи, которые удовлетворяют условию. Вот несколько наборов: Набор всех красных мотоциклов; Набор всех целых чисел больше нуля; Набор всех синих бананов — это просто пустой … Анализ иронии в литературном листе ответы Плавучий костюм для подледной рыбалки Находите и изучайте онлайн-карточки и заметки в классе дома или на своем телефоне.Посетите StudyBlue сегодня, чтобы узнать больше о том, как делиться и создавать карточки бесплатно! Кроме того, эта страница содержит тему с дополнительными ответами, например, WAEC GCE Expo 2017 | (Все предметы) Математика, английский язык, биология, физика, химия и т. Д., А также WAEC Obj & Theory — наверняка На этой странице мы предоставим вам точные прошлые вопросы и ответы, которые позволят вам и другим ученикам прочитать и подготовиться к Экспертиза WAEC GCE. Какой из следующих процессов требует, чтобы ячейка использовала atppercent27s Glock 22 slide ebay Исчисление предикатов с равенством.Примеры языков и теорий первого порядка. Формулировка теоремы о полноте; * эскиз доказательства *. Теорема компактности и теоремы Ловенгейма-Сколема. Ограничения логики первого порядка. Теория моделей. [5] Теория множеств Теория множеств как теория первого порядка; аксиомы теории множеств ZF. 10 ТЕОРИЯ ГРАФОВ {ЛЕКЦИЯ 4: ДЕРЕВЬЯ Изоморфизмы и автоморфизмы деревьев Пример 1.1. Два графика на рис. 1.4 имеют одинаковую последовательность степеней, но их можно легко увидеть как неизомные по нескольким причинам.Например, центр левого графа — это единственная вершина, а центр правого графа — единственное ребро. Prediksi jitu togel hari ini Задачи теории множеств обычно сбивают с толку учащихся. Наш сайт может помочь вам прояснить, и вы также можете задать нам вопросы относительно диаграмм Венна или любой другой подтемы в вашей теории множеств. Домашнее задание по теории множеств на самом деле различается в зависимости от уровня домашнего задания, так как оно отличается в случае высокого … Вопросы и ответы по интерпретации данных с пояснениями для собеседования, конкурсного экзамена и вступительного испытания.Полностью решенные примеры с подробным описанием ответов, даны пояснения, которые легко понять. Alice launcher apk Rocket league семинар карты карты щенки корги для продажи в charlotte nc The Great Gatsby Movie скачать бесплатно Goal zero van setup проблемы практики осмоса pdf Retro0005 background free 22 9 Финансы 30210 Решения набора проблем № 8: Введение в теорию игр.1) Рассмотрим следующую версию игры с дилеммой заключенного (выигрыши игрока выделены жирным шрифтом) В этой статье мы рассмотрим некоторые элементарные результаты теории чисел, отчасти потому, что они интересны сами по себе, а отчасти потому, что они полезны для других целей. контекстах (например, в задачах олимпиад), и отчасти потому, что они дадут вам представление о том, что такое теория чисел. Примером такого отношения может быть функция. Функции связывают ключи с единичными значениями.Набор всех функций — это подмножество набора всех отношений — функция — это отношение, в котором первое значение каждого кортежа уникально для всего набора. Другими хорошо известными отношениями являются отношение эквивалентности и отношение порядка. Покупаете учебники? Получите бесплатную доставку для соответствующих заказов на сумму свыше 25 долларов и сэкономьте до 90% при покупке учебников на Textbooks.com. 10 ТЕОРИЯ ГРАФОВ {ЛЕКЦИЯ 4: ДЕРЕВЬЯ Изоморфизмы и автоморфизмы деревьев Пример 1.1. Два графика на рис.4 имеют одинаковую последовательность степеней, но их можно легко увидеть как неизомные по нескольким причинам. Например, центр левого графа — это единственная вершина, а центр правого графа — единственное ребро. Население города Солт-Лейк-Сити Расширитель для труб из ПВХ Внешний жесткий диск 1 ТБ terbaik Построить лодку для кодов сокровищ апрель 2020 Asus chromebook c423na dh02 Ugebra ответы проверьте себя Велосипедист из Бостона убит Корневой файл G610s Карта пула Python несколько аргументов Масляный фильтр Onan p220 Dana 44 уплотнение задней оси Norscot signal 5v Сценарий Titan gpt без значения Gen v 454 прокладка головки Данные конфигурации загрузки для вашего компьютера отсутствуют или содержат ошибки 0xc00000f Tbm 900 синтетическое зрение Портал для входа в контроллер Unifi 9223 9 Консоль разработчика firefox Линейный эквалайзер tions unit test pdf Baldwin, датское современное акросоническое пианино с тростником Инженер Artitec Коды Klondike adventures 2020 Гибридизация Sp3d3 в if7 Dd15 Шум детонации Dd15 Шум детонации Стандартные законы о нейтрализаторах Аризоны форма ключ ответа Какой из следующих организмов расположен только на 3-м трофическом уровне почвенной пищевой сети_ Смс-сообщения, получаемые онлайн, великобритания Коды Gamehag Ssaa brisbane Просить профессора о расширении reddit Преобразование vmdk в qcow2 eve ng Адаптер фрезерованного материала Mak 90 Gold prospecting Queensland youtube Как предотвратить фокусировку на клике Wr3d 2k20 скачать Лучшие видеоигры всех времен Динамо-машина для улучшения теплового расширения Dr Shoemaker Mold Diet Портал для переадресации не перенаправляется Выполняется дата выплаты пособия tn Стеклянные банки с крышками рядом со мной Db drive wd g2 15 Двойное крепление для пропанового бака Gaf timberline hdz vs ultra hd Win32 veeam Трансмиссионное масло 50w opercent27reilly Пропустить вашей организации требуется модуль Windows меньше 12240 2 Grade unit Селектор безопасности Radian Talon Lenovo t470 3 монитора Лист для ухода за Rhysida longipes Draft Rhysida longipes apush So3 + h3o h3so4 Тип реакции 3 sulphite Farming выдвижной слив Комплект верхней части Mopar 383 C Продажа нестандартных микроавтобусов б / у . Калькулятор дробей и десятичных онлайн: Онлайн Калькулятор. Вычисления с обыкновенной и десятичной дробями. alexxlab / 14.03.197018.06.2021 / Разное Онлайн калькулятор. Сложение, вычитание, умножение и деление столбиком. Калькулятор вычисления суммы, разности, произведения и частного столбиком отобразит все этапы решения примера и даст подробное решение. Калькулятор может сложить, вычесть, умножить и разделить столбиком десятичные дроби и целые числа. Для записи десятичной дроби используйте точку либо запятую (например, 1.12 или 1,12). Как складывать столбиком Для того, чтобы сложит два числа столбиком, необходимо записать большее число над меньшим и выполнить последовательное сложение справа на лево, например, сложим столбиком 345 и 67. 345 + 67 = 412 110 +345 67 412 1) 5 + 7 = 12; 2 пишем, число 1 запишем над числом 4. 2) 4 + 6 = 10; 10 + 1 = 11; 1 пишем, 1 запишем над числом 3. 3) Под числом 3 нет слагаемого, поэтому просто прибавим 3 + 1 = 4 Получилось 412 Приведем еще один пример: 1567 + 761 1567 + 761 = 2328 1100 +1567 761 2328 1) 7 + 1 = 8, запишем 8. 2) 6 + 6 = 12; 2 пишем, 1 запишем над числом 5. 3) 5 + 7 = 12; 12 + 1 = 13; 3 пишем, 1 запишем над числом 1. 4) Под числом 1 нет слагаемого, поэтому просто прибавим 1 + 1 = 2 Как складывать столбиком десятичные дроби Для того, чтобы сложить две десятичные дроби, необходимо записать одну десятичную дробь над другой, совместив их точки. Приведем пример: 123.345 + 46.02 123.345 + 46.02 = 169.365 +123.345 46.020 169.365 1) Запишем число 123.345 над числом 46.02 2) Под числом 5 нет слагаемого, поэтому просто запишем его внизу. 2) Далее сложим 2 и 4; 2 + 4 = 6; запишем 6 внизу. 3) 3 + 0 = 3; записываем 3. 4) Ставим точку 5) 3 + 6 = 9; записываем 9 внизу. 6) 2 + 4 = 6; записываем 6 внизу. 7) Так как под числом 1 нет слагаемого, просто сносим его вниз. Запишем число 1 внизу. Итак, у нас получилось 169.365 Приведем следующий пример: 123.99 + 12. 99 123.99 + 12.99 = 136.98 001010 +123.99 12.99 136.98 1) 9 + 9 = 18; 8 пишем, 1 запишем над числом 9. 2) 9 + 9 = 18; 18 + 1 = 19; 9 пишем, 1 запишем над числом 3. 3) Ставим точку. 4) 2 + 3 = 5; 5 + 1 = 6; 6 запишем внизу 5) 2 + 1 = 3; 3 запишем внизу. 6) Так как под числом 1 нет слагаемого, просто сносим его вниз. Запишем число 1 внизу. Ответ: 136.98 Для того чтобы сложить десятичную дробь с целым числом, необходимо сложить целую часть десятичной дроби с целым числом. Сложим, например, 23 и 0.34. У числа 23, после точки поставим столько нолей, сколько чисел после точки у десятичной дроби. 23 + 0.34 = 23.34 +23.00 0.34 23.34 1) 0 + 4 = 4. Запишем 4. 2) 0 + 3 = 3. Запишем 3. 3) Ставим точку 4) 3 + 0 = 3. Запишем 3 5) Под числом 2 нет слагаемого, поэтому просто сносим его вниз. Ответ: 23. 34 Как вычитать столбиком Для того, чтобы вычесть два числа столбиком, необходимо записать большее число над меньшим и выполнить последовательное вычитание, например, вычтем столбиком 456 и 89. 456 — 89 = 367 ..0 —456 89 367 1) Из 6-ти вычесть число 9 не получится, так как 6 меньше девяти, поэтому займем 1 у числа 5 и поставим над ним точку, получим вместо числа 6 число 16. Отнимем от 16 число 9; 16 – 9 = 7; запишем 7. 2) Так как мы заняли число 1 у числа 5, то теперь осталось число 4. Из числа 4 вычесть число 8 не получится, поэтому займем 1 у соседнего числа 4 и поставим над ним точку, получим вместо числа 4 число 14. Отнимем от числа 14 число 8 = 6. Запишем 6. 3) Под числом 4 нет вычитаемого, поэтому отнимем от числа 4 число 1 (так как мы занимали 1-цу): 4 -1 = 3; запишем число 3. Получилось 367. Приведем еще один пример: 307 – 58 307 — 58 = 249 . .0 —307 58 249 1) Из числа 7 вычесть число 8 не получится, так как 7 меньше 8, поэтому займем 1 у ноля. Поставим над нолем точку. Когда мы занимаем 1-цу у нуля, ноль становится числом 9! получим вместо 0 число 9. Однако у ноля не получится взять единицу, поэтому двигаемся влево и занимаем единицу у числа 3 и ставим над ним точку; отнимем от 17 число 8; 17 – 8 = 9; запишем 9. 2) Так как мы заняли число 1 у ноля, то теперь осталось число 9. Отнимем от числа 9 число 5 = 4. Запишем 4. 3) Под числом 3 нет вычитаемого, но мы помним, что мы заняли единицу у числа 3, поэтому 3-1 = 2. Запишем число 2. Получилось 249. Как вычитать столбиком десятичные дроби Для того, чтобы отнять из десятичной дроби целое число, либо из целого числа вычесть десятичную дробь нужно у целого числа после точки записать столько нолей, сколько чисел после точки у десятичной дроби, затем записать большее число над меньшим. Например вычтем столбиком из десятичной дроби 123.478 целое число 56 123.478 — 56 = 67.478 ..00000 —123.478 56.000 67.478 Начинаем последовательно вычитать справа налево 1) 8 – 0 = 8. Запишем 8. 2) 7 – 0 = 7. Запишем 7. 3) 4 – 0 = 4. Запишем 4. 4) Ставим точку. 5) Из числа 3 не вычесть число 6, поэтому занимаем единицу у числа 2 и ставим над ним точку. 13 – 6 = 7. Запишем число 7. 6) Над числом 2 стоит точка, значит теперь там уже не число 2, а число 1. Из единицы число 5 не вычесть, поэтому занимаем единицу у числа 1 и ставим над ним точку. 11 – 5 = 6. Запишем число 6. 7) Над числом 1 стоит точка, следовательно, 1 – 1 = 0, поэтому на этом решение законченно. Ответ: 67.478 Еще один пример на вычитание столбиком десятичной дроби из целого числа. 432 — 2.95 432 — 2.95 = 429.05 0..0.0 —432.00 2. 95 429.05 1) Из ноля число 5 не вычесть, поэтому займем единицу у ноля и поставим над ним точку, далее, как мы уже знаем ставим точку над числом 2 и занимаем единицу. 10 – 5 = 5. Запишем число 5. 2) Над числом 0 стоим точка, следовательно, 0 превратился в число 9. 9 – 9 = 0. Запишем 0. 3) Над числом два стоит точка значит 2-1 = 1. Из числа 1 число 2 не отнять, поэтому занимаем единицу у числа 3 и ставим над ним точку. 11 – 2 = 9. Запишем число 9. 4) Над числом 3 стоит точка, 3 – 1 = 2. Так как нет вычитаемого, просто сносим число 2 вниз, тоже делаем и с числом 4. Ответ: 429.05 Правила вычитания десятичной дроби из десятичной дроби, такие же как при сложении. Нам так же необходимо сначала совместить точки десятичных дробей и затем выполнить последовательное вычитание справа налево. Вот несколько примеров на вычитание десятичных дробей: 378.326 — 26.57 = 351.756 00.0.00 —378. 326 26.570 351.756 0.07 — 0.009 = 0.061 000.0 —0.070 0.009 0.061 Как умножать столбиком Для того, чтобы умножить одно число на другое необходимо записать первый множитель над вторым, причем не важно какой множитель больше первый или второй, но удобнее чтобы записать более компактное решение записать большее число над меньшим. Затем необходимо каждое число нижнего множителя умножить на каждое число верхнего справа налево, затем суммировать произведения. На примере будет намного понятнее. Итак, умножим 367 на 12 367 × 12 = 4404 ×367 12 734 3670 4404 1. Умножим число 2 на 367 и результат запишем с справа налево от числа 2. 1) 2 × 7 = 14. Запишем число 4, число 1 в уме. 2) 2 × 6 = 12; 12 + 1 = 13. Запишем 3, число 1 в уме. 3) 2 × 3 = 6; 6 + 1 = 7. Запишем число 7. На этом этапе мы получили число 734. 2. Умножим число 1 на 367 и результат запишем справа на лево начиная уже от числа 1 под первой строкой. 1) 1 × 7 = 7. Запишем число 7. 2) 1 × 6 = 6. Запишем число 6. 3) 1 × 3 = 3. Запишем число 3. На этом этапе мы получили число 367 3. Теперь нам необходимо сложить получившиеся два числа 734 и 367 1) Под числом 4 нет слагаемого, поэтом просто снесем его вниз. Запишем число 4. 2) 3 + 7 = 10. Запишем 0 и запомним число 1. 3) 7 + 6 + 1 = 14. Запишем число 4, число 1 в уме. 4) У числа три нет слагаемого, поэтому просто запишет число 3. На этом решение закончено, получилось 4404. Как умножать столбиком десятичные дроби Десятичные дроби столбиком умножать очень просто. Прежде всего, уберем точки из десятичных дробей. Затем произведем умножение уже получившихся целых чисел, далее посчитаем количество чисел в первом и во втором множителе, сложим эти значения, результатом будет число равное количеству чисел после точки в получившемся произведении. На примерах все станет намного понятнее. Умножим 0.2354 на 12.3997 Уберем точки из десятичных дробей, чтобы было удобной умножать. ×123997 2354 495988 6199850 37199100 247994000 291888938 Теперь добавим точку в получившейся ответ. Так как в первом множителе 12.3997 после точки стоит 4 числа, и во втором множителе 0.2354 стоит 4 числа, тогда 4 + 4 = 8. Сдедовательно в ответе после точки будет 8 чисел. 2.91888938 ×12.3997 0.2354 2.91888938 Умножим 49.265 на 0.0045 Уберем точки из десятичных дробей, чтобы было удобной умножать. ×49265 45 246325 1970600 2216925 Теперь добавим точку в получившейся ответ. Так как в первом множителе 49.265 после точки стоит 3 числа, а во втором множителе 0.0045 стоит 4 числа, тогда 3 + 4 = 7. Сдедовательно в ответе после точки будет 7 чисел. 0.2216925 ×49.265 0.0045 0.2216925 Как делить столбиком Как делить столбиком целые числа. Деление столбиком с остатком, в данном материале рассматриваться не будет, если интересно, есть много информации по остатку от деления тут. Разберем для начала как разделить большее число на меньшее в столбик (когда делимое больше делителя). На примере будет намного нагляднее изучить данную тему. Итак, разделим 12 на 5 12 : 5 = 2.4 01205 01002.4 0020 0020 0000 При делении числа 12 на число 5 у нас получится конечная десятичная дробь. Кому интересно почитать что такое десятичные дроби — это можно сделать здесь. 1) Сколько раз число 5 помещается в числе 12? Правильно 2 раза. Поэтому первым делом умножим 2 на 5 получим 10. 2) Теперь отнимем из числа 12 число 10; 12 – 10 = 2. Запишем число 2. 3) В числе 12 нет больше чисел, поэтому поле числа 2 в ответе необходимо поставить точку. Целую часть ответа мы уже нашли! Двигаемся дальше. 4) Теперь будем находить дробную часть нашей десятичной дроби. Поставим ноль рядом с разностью. Получим число 20. Теперь снова думаем, сколько раз число 5 содержится в числе 20? Правильно 4 раза. 5 × 4 = 20. 5) Отнимем от числа 20 число 20; 20 – 20 = 0. Разность равна нулю, следовательно, результатом деления является конечная десятичная дробь. Ответ: 2.4 Возьмем другой пример, где уже ответом будет являться бесконечная периодическая десятичная дробь. Разделим 7 на 3 7 : 3 = 2.(3) 0703 0602.3 010 009 001 1) В числе 7 число 3 содержится 2 раза. То есть неполное частное деления числа 7 на число 3 равно числу 2. Умножим число 2 на делитель. 2 × 3 = 6. 2) Отнимем от числа 7 число 6; 7 — 6 = 1; В делимом больше нет чисел, поэтому ставим точку. 3) Начинаем вычислять ответ для дробной части. Для этого к получившейся разности добавим ноль, получим число 10. Неполное частное деления числа 10 на число 3 равно числу 3. Запишем число 3 после точки. 4) 3 × 3 = 9. Из числа 10 отнимем число 9; 10 – 9 = 1. На этом этапе необходимо завершить деление, так как мы уже получали число 1 при вычитании числа 6 из числа 7, следовательно, при дальнейшем решении примера мы снова и снова будем получать число три в виде неполного частного и этот процесс будет продолжаться бесконечно (2.333333333333333333333333333…). Такое повторение называется периодом бесконечной периодической десятичной дроби. Для краткости период записывают в скобках 2.(3) Деление десятичных дробей в столбик примеры Разделим 3.12 на 3.6 Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число, то значение дроби не изменится, поэтому, чтобы было проще разделить одно число на другое, уберем запятую, домножив оба числа на 100 07120360 036001. 97 03520 03240 002800 002520 000280 Разделим 9.4 на 45.1 Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число, то значение дроби не изменится, поэтому, чтобы было проще разделить одно число на другое, уберем запятую, домножив оба числа на 10 0940451 00000.2084257206 0940 0902 003800 003608 0001920 0001804 00001160 00000902 000002580 000002255 0000003250 0000003157 00000000930 00000000902 0000000002800 0000000002706 0000000000094 Калькуляторы систем счисления Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел Системы счисления теория N2 | Двоичная система счисления N3 | Троичная система счисления N4 | Четырехичная система счисления N5 | Пятеричная система счисления N6 | Шестеричная система счисления N7 | Семеричная система счисления N8 | Восьмеричная система счисления N9 | Девятеричная система счисления N11 | Одиннадцатиричная система счисления N12 | Двенадцатеричная система счисления N13 | Тринадцатеричная система счисления N14 | Четырнадцатеричная система счисления N15 | Пятнадцатеричная система счисления N16 | Шестнадцатеричная система счисления N17 | Семнадцатеричная система счисления N18 | Восемнадцатеричная система счисления N19 | Девятнадцатеричная система счисления N20 | Двадцатеричная система счисления N21 | Двадцатиодноричная система счисления N22 | Двадцатидвухричная система счисления N23 | Двадцатитрехричная система счисления N24 | Двадцатичетырехричная система счисления N25 | Двадцатипятеричная система счисления N26 | Двадцатишестеричная система счисления N27 | Двадцатисемеричная система счисления N28 | Двадцативосьмеричная система счисления N29 | Двадцатидевятиричная система счисления N30 | Тридцатиричная система счисления N31 | Тридцатиодноричная система счисления N32 | Тридцатидвухричная система счисления N33 | Тридцатитрехричная система счисления N34 | Тридцатичетырехричная система счисления N35 | Тридцатипятиричная система счисления N36 | Тридцатишестиричная система счисления Калькуляторы (Теория чисел) Калькулятор выражений Калькулятор со скобками Калькулятор разложения числа на простые множители Калькулятор НОД и НОК Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых Калькулятор деления числа в данном отношении Калькулятор процентов Калькулятор перевода числа с Е в десятичное Калькулятор экспоненциальной записи чисел Калькулятор нахождения факториала числа Калькулятор нахождения логарифма числа Калькулятор квадратных уравнений Калькулятор остатка от деления Калькулятор корней с решением Калькулятор нахождения периода десятичной дроби Калькулятор больших чисел Калькулятор округления числа Дроби Калькулятор интервальных повторений Учим дроби наглядно Калькулятор сокращения дробей Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей Калькулятор возведения дроби в степень Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную Калькулятор сравнения дробей Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю Калькуляторы (тригонометрия) Калькулятор синуса угла Калькулятор косинуса угла Калькулятор тангенса угла Калькулятор котангенса угла Калькулятор секанса угла Калькулятор косеканса угла Калькулятор арксинуса угла Калькулятор арккосинуса угла Калькулятор арктангенса угла Калькулятор арккотангенса угла Калькулятор арксеканса угла Калькулятор арккосеканса угла Калькуляторы площади геометрических фигур Площадь квадрата Площадь прямоугольника Калькуляторы (Комбинаторика) Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия Калькулятор сложения и вычитания матриц Калькулятор умножения матриц Калькулятор транспонирование матрицы Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы Калькулятор нахождения обратной матрицы Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора Калькулятор сложения и вычитания векторов Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты Калькулятор векторного произведения векторов через координаты Калькулятор смешанного произведения векторов Калькулятор умножения вектора на число Калькулятор нахождения угла между векторами Калькулятор проверки коллинеарности векторов Калькулятор проверки компланарности векторов Конвертеры величин Конвертер единиц длины Конвертер единиц скорости Конвертер единиц ускорения Калькуляторы (физика) Механика Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения Калькулятор вычисления времени движения Калькулятор времени Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения. Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния. Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы. Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения Оптика Калькулятор отражения и преломления света Электричество и магнетизм Калькулятор Закона Ома Калькулятор Закона Кулона Калькулятор напряженности E электрического поля Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы Конденсаторы Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов Калькуляторы по астрономии Вес тела на других планетах Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках Генераторы Генератор примеров по математике Генератор случайных чисел Генератор паролей Калькулятор с десятичными дробями онлайн На просторах интернета находится множество самых разнообразных калькуляторов, часть из которых поддерживают выполнение операций с десятичными дробями. Такие числа вычитаются, складываются, умножаются или делятся по особому алгоритму, а его необходимо выучить, чтобы самостоятельно проводить подобные расчеты. Сегодня мы поговорим о двух специальных онлайн-сервисах, чья функциональность сосредоточена на работе с десятичными дробями. Мы постараемся детально рассмотреть весь процесс взаимодействия с такими сайтами. Читайте также: Конвертеры величин онлайн Проводим расчеты с десятичными дробями онлайн Перед тем как обратиться за помощью к веб-ресурсам, рекомендуем внимательно ознакомиться с условиями поставленной задачи. Возможно, ответ там следует предоставить в обыкновенных дробях или в виде целого числа, тогда задействовать рассмотренные нами сайты вовсе не придется. В другом случае вам помогут разобраться с вычислением следующие инструкции. Читайте также: Деление в столбик десятичных дробей с помощью онлайн-калькулятора Сравнение десятичных дробей онлайн Перевод десятичных дробей в обыкновенные с помощью онлайн-калькулятора Способ 1: HackMath На сайте HackMath присутствует большое количество самых разнообразных задач и объяснений теории математики. Кроме этого разработчики постарались и создали несколько простых калькуляторов, которые пригодятся для выполнения расчетов. Подойдут они и для решения сегодняшней задачи. Калькуляция на данном интернет-ресурсе производится следующим образом: Перейти на сайт HackMath Перейдите в раздел «Calculators» через главную страницу сайта. На панели слева вы увидите перечень различных калькуляторов. Отыщите среди них «Decimals». В соответствующем поле от вас потребуется ввести пример, указывая при этом не только числа, но и добавляя знаки операции, например, умножить, поделить, сложить или вычесть. Для отображения результата щелкните левой кнопкой мыши на «Calculate». Вы сразу же будете ознакомлены с готовым решением. Если шагов присутствует несколько, каждый из них будет по порядку расписан, и изучить их вы можете в специальных строках. Переходите к последующим вычислением, воспользовавшись указанной на скриншоте ниже таблицей. На этом работа с калькулятором десятичных дробей на сайте HackMath завершена. Как видите, в управлении данным инструментом нет ничего сложного и разобраться с этим сможет неопытный пользователь даже при отсутствии русского языка интерфейса. Способ 2: OnlineMSchool Интернет-ресурс OnlineMSchool базируется на информации в области математики. Здесь находятся различные упражнения, справочники, полезные таблицы и формулы. Кроме этого создатели добавили сборник калькуляторов, который поможет в решении определенных задач, в том числе и в операциях с десятичными дробями. Перейти на сайт OnlineMSchool Откройте OnlineMSchool, перейдя по указанной выше ссылке, и переходите к разделу «Калькуляторы». Опуститесь по вкладке немного вниз, где найдите категорию «Сложение, вычитание, умножение и деление столбиком». В открывшемся калькуляторе введите два числа в соответствующие поля. Далее из всплывающего меню выберите подходящую операцию, указав необходимый знак. Для запуска процесса обработки кликните левой кнопкой мыши на значок в виде знака равно. Буквально через несколько секунд перед вами отобразится ответ и решение примера методом в столбик. Переходите к другим вычислениям, поменяв значения в отведенных для этого полях. Теперь вы ознакомлены с процедурой работы с десятичными дробями на веб-ресурсе OnlineMSchool. Проведение расчетов здесь происходить достаточно просто — от вас требуется только ввести числа и выбрать подходящую операцию. Все остальное выполнится автоматически, а затем будет показан готовый результат. Сегодня мы постарались максимально подробно рассказать об онлайн-калькуляторах, которые позволяют производить действия с десятичными дробями. Надеемся, представленная сегодня информация была полезной и у вас больше не осталось вопросов по данной теме. Читайте также: Сложение систем счисления онлайн Перевод из восьмеричной в десятичную онлайн Перевод из десятичной в шестнадцатеричную систему онлайн Перевод в систему СИ онлайн Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы. Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро. Помогла ли вам эта статья? ДА НЕТ Калькулятор дробей онлайн | Сложение, вычитание, умножение, деление Дробный калькулятор онлайн расчитывает произведение, разность, сумму и частное для двух дробей с выводом подробного решения, которое поволяет понять последовательность выполненния арифметических операций с дробями. при просмотре на смартфоне — поверните экран Выполнение решения проверка возможности выполнения решения дробей 1) Перевод смешанных дробей в неправильные дроби перевод смешанных дробей в неправильные дроби 2) Приведение дробей к общему знаменателю приведение смешанных дробей к общему знаменателю 3) Выполнение операции с дробями выполнение арифметической операции 4) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя 5) Сокращение числителя и знаменателя дроби сокращение числителя и знаменателя 6) Выделение целой части дроби выделение целой части 7) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь перевод алгебраической дроби в десятичную дробь Помощь на развитие проекта premierdevelopment. ru Send mail и мы будем знать, что движемся в правильном направлении. Спасибо, что не прошели мимо! I. Порядок действий при расчете калькулятором для дробей онлайн: Чтобы выполнить сложение, вычитание, умножение или деление дробей введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя для двух дробей и выберите необходимую арифметическую операцию из выпадающего списка. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым. Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби. В зависимости от задаваемых калькулятору дробей и арифметической операции автоматически выполняется следующая последовательность действий: перевод смешанных дробей в неправильные дроби, т.е. избавление от целой части дроби: для обеих дробей целая часть умножается на ее знаменатель и суммируется с ее числителем; приведение дробей к общему знаменателю: числитель и знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножается на знаменатель первой дроби; выполнение заданной арифметической операции с дробями: сложение — сложение числителей дробей, вычитание — вычитание из числителя первой числителя второй дроби, умножение — умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, деление — умножить числитель первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби на числитель второй дроби; определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби; сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД; выделение целой части дроби, если числитель итоговой дроби больше знаменателя. перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых. В результате вычисления может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет представлена в виде правильной дроби. II. Для справки: сокращение дроби — замена дроби другой равной дробью, но с меньшими значением числителя и знаменателя. Сортировка дробей: онлайн калькулятор | BBF.RU Дробь – это соотношение двух чисел, при помощи которого можно представить любой элемент рационального множества. По способу записи дробные числа делятся на обыкновенные вида m/n и десятичные. Обыкновенные дроби с разными числителями и знаменателями сложно отсортировать по возрастанию/убыванию на интуитивном уровне, как это происходит с десятичными. Для этого и нужен наш калькулятор. Представление рациональных чисел в виде дроби Когда люди столкнулись с проблемой отделения части от целого, они придумали дроби. Если разделить круглый торт на 4 куска, то каждый кусочек лакомства будет представлять собой 1/4 от целого торта. С введением десятичной системы исчисления 1/4 превратилась в 0,25 и для современных людей такое обозначение четвертой части чего-либо гораздо понятнее. Однако 0,25 можно выразить бесконечным количеством дробей: 1/4, 2/8, 25/100 или 752/3008. Последняя дробь так и вовсе неочевидна и интуитивно непонятно, какое число она собой представляет. Такая проблема возникает и в случаях, когда перед глазами множество самых разных дробей. Узнать какое дробное число больше или меньше на первый взгляд очень сложно: приходится подсчитывать в уме соотношение чисел или приводить их к общему знаменателю. В зависимости от представленного набора дробей, их сортировка происходит по-разному. Дроби с одинаковыми знаменателями Сортировка таких дробей не представляет ничего сложного. Если у рациональных чисел одинаковый знаменатель, то их упорядочивание осуществляется по числителям. Например, для набора 1/5, 10/5, 4/5 и 3/5 очевидно, что элементы сортируются: по возрастанию – 1/5, 3/5, 4/5, 10/5; по убыванию – 10/5, 4/5, 3/5, 1/5. Главное правило: смотрим на числители и выполняем сортировку по ним. Дроби с одинаковыми числителями Набор рациональных чисел может выглядеть иначе: знаменатели все разные, но числитель один и тот же. К примеру, у нас есть набор: 3/5, 3/20, 3/10, 3/7. Как их отсортировать? Во всех случаях мы делим тройку на разные числа, и чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби. Очевидно, что число 3 деленное на 20 в любом случае меньше 3 деленного на 5. Если подсчитать эти значения мы получим десятичные дроби 0,06 и 0,6, и такие значения нетрудно сопоставить. Сортировка таких дробей выполняется по знаменателям, но в обратном порядке. Для нашего примера сортировка будет выглядеть так: по возрастанию – 3/20, 3/10, 3/7, 3/5; по убыванию – 3/5, 3/7, 3/10, 3/20. Чем больше знаменатель – тем меньше значение дроби. Главное правило: смотрим на знаменатели и сортируем числа в обратном порядке. Абсолютно разные дроби Предыдущие примеры были слишком простыми. В большинстве случаев наборы рациональных чисел содержат совершенно разные дроби, с различными числителями и знаменателями. В этой ситуации единственным верным способом сортировки становится метод привидения всех элементов к общему знаменателю. Существует три метода определения общего знаменателя: использование максимального знаменателя, последовательный перебор кратных или разложение на простые множители. В общем случае поиск общего знаменателя сводится к задаче определения наименьшего общего кратного (НОК). Первый метод подразумевает проверку наибольшего знаменателя на делимость остальными. Если максимальный знаменатель делится с остатком, то он умножается на 2, 3, 4 и так далее до тех пор, пока не станет кратным всем остальным знаменателям. Второй метод сложнее, так как нам требуется последовательно выписывать кратные числа для каждого знаменателя до тех пор, пока не найдутся общие, что тоже неудобно. Самый удобный, а потому и наиболее распространенный метод поиска НОК состоит в разложении на простые множители. Каждое целое число можно разложить на простые множители единственным способом с точностью до порядка расположения сомножителей. К примеру, число 30 можно разложить на 2 × 3 × 5, а число 20 на 2 × 2 × 5. Наименьшее общее кратное для этих чисел представляет собой число, которое состоит из общих для этих чисел неделимых множителей. Для данной пары это 2 × 2 × 3 × 5 = 60. Проводить данные операции вручную дело долгое и утомительное. Наша программа автоматически сортирует обыкновенные и десятичные дроби по возрастанию или убыванию. Для этого вам достаточно ввести значения через пробел в форму калькулятора и сделать один клик мышкой. Особенность программы состоит в том, что в случае разнородного набора рациональных чисел (десятичные и обыкновенные дроби), калькулятор вначале сортирует десятичные, а затем обыкновенные дроби. Таким образом, калькулятор разделяет смешанные наборы на две совокупности обыкновенных и десятичных дробей и сортирует их по отдельности. Рассмотрим пример Пример сортировки Пусть у нас есть совокупность разнородных чисел: 1/5, 2/9, 0,75, 5/7, 0,2, 6/13, 0,35, 8/15. На первый взгляд не угадаешь, какое из этих чисел наибольшее, а какое – наименьшее. Вручную нам пришлось бы раскладывать на множители или подбирать кратные, но при помощи компьютера мы можем на выбор: перевести обыкновенные дроби в десятичные; отсортировать их при помощи онлайн-калькулятора. Давайте попробуем и то, и другое. Представим нашу совокупность в виде десятичных дробей: 0,2 0,22 0,75 0,71 0,2 0,46 0,35 0,53 Мы просто подсчитали значение заданных дробей и расположили соответственно исходному ряду. Отсортировать такие числа проще простого, но опять же, это лишние усилия на промежуточные операции. Давайте просто введем наш ряд в форму калькулятора и получим ответ: по возрастанию – 1/5, 2/9, 6/13, 8/15, 5/7; 0,2; 0,35; 0,75; по убыванию – 0,75, 0,35, 0,2; 5/7, 8/15, 6/13, 2/9, 1/5. Заключение Сортировка дробных значений необходима при обработке любых данных, поэтому на практике вы можете столкнуться с необходимостью упорядочивания различных значений. Ученикам же наш калькулятор пригодится для проверки решений по арифметике. Калькулятор дробей: сложение, вычитание, умножение, деление С помощью онлайн калькулятора дробей вы легко сможете складывать, умножать, вычитать, делить и возводить в степень обыкновенные, смешанные и десятичные дроби, преобразовывать десятичные дроби в обыкновенные, неправильные дроби в смешанные и наоборот. Вам необходимо лишь ввести исходные данные, используя интерфейсные визуальные кнопки или клавиатуру. Дробный онлайн калькулятор очень простой и удобный в использовании.   Дробь — число, представляющее одну часть единицы или несколько равных ее частей. Записывается дробь в виде двух чисел, разделенных горизонтальной чертой. Над чертой располагается числитель, под чертой — знаменатель, показывающий на сколько одинаковых частей разделено целое. В числителе показано, сколько частей взято от целого. Когда числитель меньше знаменателя, дробь — правильная, если больше знаменателя — неправильная. Выделить целую часть из правильной дроби нельзя, т.к. результат от деления числителя на знаменатель меньше единицы. В неправильной дроби это возможно. Частное от деления числителя неправильной дроби на ее знаменатель покажет число целых единиц. Смешанной называется дробь в виде целого числа и правильной дроби. Для преобразования неправильной дроби в смешанную, выделяется число целых единиц путем деления числителя на знаменатель. В смешанной дроби частное от деления — число целых единиц, остаток от деления заносим в числитель. Дробь без целого числа — простая дробь. Десятичная дробь записывается без знаменателя, т.к. в знаменателе будет только единица с последующими нулями. Из двух десятичных дробей больше та, у которой больше число целых. Если число целых равно, больше число десятых и т.д. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с необходимостью совершать математические действия. Это могут быть простые арифметические расчеты в виде сложения, вычитания, а возможны и более сложные финансовые, хозяйственные расчеты, где приходится сталкиваться с простыми и десятичными дробями, которые окружают нас повсюду, являются неотъемлемой частью нашей жизни. Слив содержимое двух пол-литровых банок (0,5 + О,5 или ½ + ½) в одну литровую мы складываем обыкновенные или десятичные дроби, поделив пирог на равные части по числу присутствующих, мы дробим целое число на доли, хотя совершенно не задумываемся об этом. И это лишь простейшие примеры из нашей обычной жизни. Представителям же естественно-научных, инженерно-технических специальностей постоянно приходится решать более сложные задачи, непосредственно связанные с дробными числами. Неточные инженерные расчеты могут повлечь за собой разрушение мостов, дорог, всевозможных сооружений. Физики с невероятной точностью определяют размеры и количество атомов, из которых состоят тела. Создание счетных машин непосредственно связано с десятичными дробями. Людям разных профессий необходимо знать правила дробей, уметь решать как простейшие, так и сложные задачи на дроби. Перевод дроби в десятичную дробь При переводе обыкновенной дроби в десятичную удобнее всего работать с сокращенными дробями, у которых уже выделена целая часть, тогда не приходится ее высчитывать отдельно, и числитель и знаменатель максимально просты. Как это сделать, можно посмотреть в разделах «Перевод неправильной дроби в смешанную дробь» и «Сокращение дробей», или воспользоваться он-лайн калькулятором для дроби в том виде, в котором она есть. Дроби делятся на два вида – те, которые можно перевести в десятичную дробь без потери данных, и те, которые при обычном раскладе не считаются переводимыми, но их также можно представить в десятичном виде с округлением до определенного количества знаков после запятой. Первый вид дробей имеет следующую отличительную особенность – их знаменатель состоит только из простых множителей 2 и 5. Определить это можно, полностью разделив его на простые множители в калькуляторе «Разложение на множители». Для перевода таких дробей в десятичный вид необходимо привести их к минимальному десятичному знаменателю 10, 100, 1000 и т.д. Для этого количество простых множителей 2 и 5 должно быть одинаковым, например, для дроби дополнительным множителем до 100 будет 5, так как 20 раскладывается на множители 20=22×5, и для одинакового количества множителей необходим еще один – 5. После того как дробь приведена к необходимому знаменателю, ее можно записывать в десятичный вид – целая часть остается неизменной, а числитель записывается после запятой в таком порядке, чтобы количество знаков после запятой соответствовало количеству нулей в знаменателе. Второй вид дробей содержит в знаменателе хотя бы один сторонний множитель и не подлежит подобным превращениям. Для того чтобы привести его в десятичный вид, необходимо просто разделить числитель на знаменатель до следующей цифры после необходимого количества знаков после запятой, например делением в столбик. Эта дополнительная цифра служит индикатором того, в какую сторону округлять полученную десятичную дробь. Калькулятор дробей онлайн | umath.ru Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7. Сложение дробей Чтобы сложить две дроби, нужно Привести дроби к общему знаменателю Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений Пример. Вычислить сумму дробей и Решение. Сначала находим общий знаменатель дробей, он равен 10. После приведения дробей к общему знаменателю складываем числители дробей, и в результате получаем:     Вычитание дробей Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно Привести дроби к общему знаменателю Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений Пример. Вычислить разность дробей и Решение. Сначала находим общий знаменатель дробей, он равен 10. После приведения дробей к общему знаменателю из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, и в результате получаем:     Умножение дробей Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели. Иначе говоря, числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби. Пример. Найти произведение дробей и Решение. Перемножаем числители и значенатели данных дробей и находим:     Деление дробей Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй. Пример. Разделить дробь на Решение. Пользуясь правилом для деления дробей, числитель первой дроби умножаем на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби — на числитель второй. Получаем:     Онлайн калькулятор дробей с решением Данный калькулятор помогает вычислить сумму, разность, произведение и частное двух дробей. При этом выводится не только конечный ответ, но и решение с пояснениями. Калькулятор дробей в десятичные для простых и смешанных дробей Онлайн-калькулятор дробей и десятичных дробей используется для преобразования дробей и смешанных чисел в простейшую форму и последующего преобразования этого упрощенного числа в десятичное. Он также предназначен для преобразования неправильных дробей в десятичные и показывает шаги преобразования. Читайте дальше, чтобы узнать о десятичной дроби, диаграмме ее преобразования и о том, как в мгновение ока превратить дробь в десятичную. Хотите выполнять вычисления от десятичной дроби к дроби, попробуйте этот калькулятор с помощью онлайн-калькулятора. О десятичной дроби: Число между нулем и 1 или нулем, а -1 является десятичной дробью. Это альтернативный способ выразить метод деления. Мы также можем записать это как часть / целое. Преобразование дробей в десятичные требует простого деления. Например, дробь 12/17 — это то же самое, что 12, разделенное на 17. В обоих случаях окончательный результат будет одинаковым. Вы можете преобразовать дробь в десятичную с помощью формулы, метода долгого деления и дроби в десятичный калькулятор. Формула дроби в десятичную: При преобразовании дробей в десятичные числа простая формула может помочь в вычислениях вручную. Если у вас есть дробь 9/12, то она станет 9 ÷ 12. Теперь вам просто нужно завершить это деление. Это можно сделать как вручную, так и с помощью калькулятора дроби в десятичную: 9/12 = 9 ÷ 12 = 0,75. О калькуляторе дроби в десятичную: Калькулятор дробей в десятичные дроби — это умный инструмент, который учитывает не только дроби, но и смешанные числа в простейшей форме, а затем просто преобразует упрощенную дробь в форму десятичного числа.Не имеет значения, ввели ли вы правильные или неправильные значения дроби в данное поле; этот инструмент предоставит вам мгновенные результаты вместе с пошаговыми вычислениями. Читайте дальше, чтобы узнать, как этот калькулятор переводит дробь в десятичную! Как преобразовать дроби в десятичные с помощью калькулятора дробей в десятичные: Придерживайтесь указанных шагов, чтобы преобразовать дроби в десятичные с помощью этого калькулятора: Калькулятор содержит три поля для перевода дробей в десятичные: Для целого числа (это поле необязательно) Для числителя Для знаменателя Входы: Если вы хотите преобразовать смешанное число в простейшее десятичное число, тогда все, что вам нужно, ввести значения во все три заданных обозначенных поля Если вы хотите преобразовать простую дробь в десятичное число, просто добавьте значение числителя и знаменателя в соответствующие поля Выходы: Неважно, ввели ли вы значения простой дроби или смешанных чисел; этот калькулятор выдаст такие же результаты: Десятичное число для заданных значений Пошаговые ручные вычисления для заданных входов Как преобразовать дроби в десятичные (путем упрощения)? Любое число может быть указано в виде дроби, десятичной дроби или процентного значения.В некоторых условиях важно изменить число с одного типа на другой. Существует список методов преобразования дробной части в десятичную. Один из самых быстрых способов — использовать калькулятор дробей в десятичные для быстрых вычислений. Однако ниже также объясняется другой простой пошаговый метод. Для преобразования дробей в десятичные необходимо упростить данную дробь. Вы должны найти кратное знаменателю или число, которое находится под линией деления. Вышеупомянутый шаг даст вам 100. Теперь вам нужно умножить числитель или число, которое стоит над линией деления, на то же кратное. Это изменит исходную дробь. На последнем шаге вы должны поставить десятичную дробь в новый числитель (над цифрой). Десятичный знак будет помещен слева после двух цифр. Пример: Возьмите дробь 1/4 и преобразуйте ее в десятичное число. Прежде всего, упростим дробь. Нам нужно найти число, кратное 4 (знаменатель), чтобы получить 100. 25 кратно 4, что даст нам: 25 * 4 = 100 Умножим 1 (числитель) на 25: 1 * 25 = 25 Теперь новая дробь — 25/100. Исходная дробь 1/4 = новая дробь 25/100 Числитель в новом уравнении: 25 Чтобы поставить десятичную дробь в 25, мы должны отсчитать две цифры с левой стороны. Будет: 0.25 Следовательно, десятичное число 1/4 = 0,25. Как превратить дробь в десятичную с помощью метода длинного деления? Деление в столбик дает нам еще один способ преобразования дробей в десятичные. В этом методе вы должны иметь дело с дивидендами и девизером. В математике число, которое будет разделено на другое число, называется делимым, а другое число — делителем. Это постепенный процесс, который разделен на 4 этапа: Найдите соответствующий дивиденд и делитель, чтобы использовать их при делении. В этом методе числителем дроби является делимое, а знаменателем — делитель. Используйте эти числа в столбик. На последнем шаге решите деление в столбик, чтобы преобразовать дробь в десятичную. Пример: Фракция: 1/4 Дивиденды: 1 Делитель: 4 1 ÷ 4 = 1,0 — 0,8 = 20-20 = 0 Остающийся ответ будет: 0,25 Этот метод преобразования дробной части в десятичную является сложным.Для удобных вычислений предпочтительнее использовать калькулятор от дробей к десятичным. Часто задаваемые вопросы (от дробей к десятичным): Как превратить дробь в десятичную на калькуляторе? Если вы хотите найти десятичную форму дроби, все, что вам нужно, разделить числитель на знаменатель, используя калькулятор или метод деления в столбик. Сразу после этого все, что вам нужно, добавить десятичное число к целому числу. Что такое 5/8 в виде десятичной дроби? 5/8 в десятичной форме, выраженной как 0.625. Что означает 5 больше 9 в виде десятичной дроби? 5 больше 9 или 5/9 в десятичной форме, выраженной как 0,55556. Что такое 1/3 в виде десятичной дроби? 1/3 в десятичной форме, выраженной как 0,33333333. Как записать 5 2 в виде десятичной дроби? 5/2 или 5 больше 2 в десятичной форме, выраженной как 2,5. Примечание: Этот онлайн-калькулятор десятичной дроби позволяет преобразовать любую дробь в простую десятичную форму с помощью пошагового метода.Он может оказать поддержку как в учебе, так и в профессиональной жизни. он предназначен для возврата десятичного числа, которое в точности эквивалентно дроби. Каждый раз, когда вы хотите перепроверить свои расчеты на точность, вы можете воспользоваться помощью этого онлайн-инструмента. Дробь в десятичной таблице: Для преобразования некоторых обыкновенных дробей в десятичные числа может оказаться очень полезным преобразование дробей в десятичную диаграмму. диаграмма: Каталожные номера: Из источника BBC — Как переводить дроби в десятичные — Часть математики | Операции (расчеты / суммы) Из источника freemathhelp — Определение числителя и знаменателя (числитель над знаменателем) Из источника тематической страницы — о десятичных дробях — общий метод выражения дробей как десятичных (Примеры) Калькулятор дробей в десятичную Добро пожаловать в наш калькулятор от дробей к десятичным.Здесь вы найдете бесплатный онлайн-калькулятор, который поможет вам преобразовать дробь в десятичную. Вы также можете выбрать количество десятичных знаков для отображения дроби. Чтобы ввести дробь, вы должны ввести числитель с последующим знаком «/». за которым следует знаменатель. Например. 4/5 или 23/7 Чтобы ввести смешанную дробь, сначала введите целое число, а затем пробел. за которым следует числитель, за которым следует ‘/’, за которым следует знаменатель.Например. 3 1/4 (3 с четвертью), 2 4/5 (2 и четыре пятых). Нажмите кнопку «Преобразовать», чтобы преобразовать дробь в десятичную. Вы можете выбрать, какую точность вы хотите для своего ответа — по умолчанию максимальная. Если вам нужна помощь, чтобы узнать, как преобразовать дробь в десятичную, есть дополнительная помощь ниже! Здесь вы найдете простую информацию и советы о том, как преобразовать дробь в десятичную. Вы также найдете распечатанный ресурсный лист, в котором объясняется, как преобразовать дроби в десятичные более подробно. Существует также лист для практики, где вы можете попробовать это умение самостоятельно. У нас есть упрощенный калькулятор дробей, который преобразует любую дробь в ее простейшую форму. Калькулятор также покажет вам подробный расчет, чтобы показать, как получить ответ. Здесь вы найдете математический калькулятор бесплатных дробей саламандр. Этот калькулятор позволит вам: сложение, вычитание, умножение и деление дробей преобразовать дроби в простейшую форму преобразовать неправильные дроби в смешанные переводить дроби в десятичные дроби и проценты переводит десятичные дроби и проценты в дроби. Использование калькулятора — отличный способ самопроверить, что вы поняли ваша дробь обучения! Здесь вы найдете простую информацию и советы о том, как преобразовать десятичную дробь в дробь.Прежде чем вы узнаете, как это сделать, вы также должны знать об упрощении дробей. Вы также найдете материалы для печати и некоторые практические занятия. листы, которые помогут вам понять и практиковать этот математический навык. Саламандры по математике надеются, что вам понравятся эти бесплатные распечатываемые рабочие листы по математике. и все другие наши математические игры и ресурсы. Мы приветствуем любые комментарии о нашем сайте или рабочие листы в поле для комментариев Facebook внизу каждой страницы. Калькулятор дробей в десятичную — Дюймовый калькулятор Преобразуйте дробь в десятичную, указав дробь ниже. См. Три метода преобразования дроби в десятичную дробь ниже. Решенное десятичное число: 52 = 2,5 Шаги по преобразованию дроби в десятичную Найдите десятичную дробь, разделив числитель на знаменатель 52 = 5 ÷ 2 = 2,5 Вы хотите преобразовать десятичную дробь в дробь? Как преобразовать дробь в десятичную Число может быть выражено в виде дроби, десятичной дроби или процента, и иногда необходимо выполнять преобразование между разными формами, чтобы представлять число по-разному. Есть несколько методов преобразования дроби в десятичную дробь; попробуйте один из методов, описанных ниже. Метод 1. Преобразование дроби в десятичную с помощью калькулятора Самый простой способ преобразовать дробное число в десятичное — просто разделить числитель на знаменатель, чтобы получить десятичное значение. В числителе указывается верхнее число, а в знаменателе — нижнее. Например, преобразует дробь 14 в десятичную с помощью метода деления. 14 = 1 ÷ 4 = 0,25 Таким образом, десятичное значение 14 равно 0,25. Возможно, вас заинтересует наш калькулятор доли в процентах для аналогичных преобразований. Метод 2. Преобразование дробной части в десятичную с помощью длинного деления Длинное деление предлагает еще один способ преобразования в десятичную форму. Это делается путем определения делимого и делителя, а затем использования этих значений в столбике. Сначала найдите делимое и делитель.Числитель дроби будет делимым, а знаменатель — делителем. Затем изобразите делимое и делитель в длинной форме. Скорее всего, потребуется добавить десятичную дробь и нули, если дивиденд меньше делителя. Наконец, решите задачу деления в столбик, чтобы завершить преобразование дробной части в десятичную. Совет: воспользуйтесь калькулятором деления в столбик, чтобы решить эту проблему, и просмотрите каждый шаг. Метод 3. Преобразование дробной части в десятичную путем упрощения Альтернативный метод преобразования дроби в десятичное число — упростить его, поместив числитель больше 1.Это требует нескольких шагов. Сначала умножьте знаменатель, чтобы получить 100. Для этого попробуйте разделить 100 на знаменатель, чтобы найти кратное, затем умножьте числитель и знаменатель на кратное. Последний шаг — переместить десятичный разряд в новом числителе на влево на два разряда , чтобы преобразовать дробь в ее десятичное значение. Например, , используя этот метод, мы можем преобразовать дробь 14 в десятичное значение. Начните с поиска кратного числа, необходимого для умножения знаменателя на, чтобы получить 100. 100 = 4 × 25 Таким образом, кратное 25 . Теперь умножьте числитель на кратное (25). 1 × 25 = 25 Таким образом, дробь 14 также может быть представлена ​​как 25100. 14 = 25100 Наконец, переместите десятичный разряд числителя на две позиции влево, чтобы получить десятичное значение. 25.0 -> 0,25 Таким образом, десятичное значение 14 равно 0,25. Таблица преобразования дробей в десятичные Другой способ преобразовать дроби в десятичные — обратиться к таблице преобразования, такой как приведенная ниже, в которой показаны десятичные значения нескольких распространенных дробей. Таблица преобразования дробей в десятичные с указанием общих дробей и их эквивалентных десятичных значений. Дробь Десятичное число 1/2 0.5 1/3 0,333 2/3 0,666 1/4 0,25 3/4 0,75 1/5 0,2 2/5 0,4 3/5 0,6 4/5 0,8 1/6 0,1666 5/6 0.8333 1/8 0,125 3/8 0,375 5/8 0,625 7/8 0,875 1/9 0,111 2/9 0,222 4/9 0,444 5/9 0,555 7/9 0,777 8/9 0.888 1/10 0,1 1/12 0,08333 1/16 0,0625 См. Больше десятичных эквивалентов дробной части. Калькулятор дробей + десятичные знаки в App Store Представляем первый в мире калькулятор дробей с дополнительными функциями, такими как сокращение или упрощение дробей, преобразование дробей в десятичные и калькулятор десятичных дробей.Все это в одном отличном приложении. Откройте для себя простой способ решения повседневных задач дроби. Складывайте, вычитайте, умножайте, делите и даже конвертируйте дроби быстро и четко. Калькулятор дробей Visual Math Interactive — отличный помощник по выполнению домашних заданий и справочный инструмент для бизнеса с красивыми чистыми клавиатурами и большим дисплеем для быстрых и простых вычислений. ОСОБЕННОСТИ: — Приложение для вычисления дробей и приложение для преобразования десятичных дробей в одно. — Также автоматически выполняет обратное преобразование дробей в десятичные для вашей быстрой справки. — Поддерживает неправильные и правильные дроби, смешанные числа и целые числа. — Теперь вы можете пойти и в обратном порядке: вычислить от десятичных дробей до дробей. — Большие, четкие, не загроможденные клавиатуры для быстрых и простых вычислений каждый раз. — Дополнительная помощь в домашнем задании: нужна дополнительная помощь в понимании дробей? Теперь вы также можете БЕСПЛАТНО транслировать визуально интерактивные видеоролики «Основы дроби», чтобы быстро изучить основы дробей. ПОКУПКА В ПРИЛОЖЕНИИ ДЛЯ РАЗБЛОКИРОВКИ ПРЕМИУМ-ФУНКЦИЙ ► Конвертер десятичных дробей в дробные ► Конвертер неправильных дробей в смешанные ИЛИ ПОЛУЧИТЕ ZAPZAPMATH HOME ALL ACCESS PASS ► Разблокируйте премиум-функцию с помощью All Access Pass. ► Ваш All Access Pass открывает весь контент для Zapzapmath Home с K по 6! УСЛОВИЯ ПОДПИСКИ ZAPZAPMATH ► До трех учетных записей на подписку Ваша подписка будет автоматически продлена, если автоматическое продление не будет отключено по крайней мере за 24 часа до истечения срока подписки. Продление стоит столько же, сколько и исходная подписка, и оплата будет снята с вашей учетной записи iTunes после подтверждения продления. Вы можете отключить автоматическое продление в любое время после покупки, перейдя в настройки своей учетной записи iTunes, но за неиспользованную часть срока возврат средств не производится. Цена указана для клиентов из США. Цены в других странах могут отличаться, а оплата может быть конвертирована в вашу местную валюту. См. Наши: ► Условия использования (https://www.zapzapmath.com/terms) ► Политика конфиденциальности (https://www.zapzapmath.com/privacy) ВАМ ТАКЖЕ МОЖЕТ ПОТРЕБОВАТЬСЯ: Zap Zap Fractions Интересный способ изучить основы дробей, дополненный интерактивной визуализацией, геймификацией и аналитикой производительности. Основы работы с дробями Комплексный курс повышения квалификации по дробям в 12 простых, наглядных, удобных для поиска анимационных видеороликах.Также называется: «Словарь дробей». ПОСЕТИТЕ США — www.zapzapmath.com НРАВИТСЯ НАС — facebook.com/ZapZapMathApp ПОДПИШИТЕСЬ НА НАС — twitter.com/ZapZapMathApp ЧИТАЙТЕ О НАС — blog.zapzapmath.com Калькулятор преобразования дробей в десятичную На главную Математика Предварительная алгебра Десятичная дробь Преобразователь дробей в десятичные числа , также известный как калькулятор дробей в десятичные, представляет собой онлайн-инструмент для преобразования чисел, запрограммированный для вычисления эквивалентного десятичного значения для данного дробного значения.Поскольку этот калькулятор дроби в десятичную дробь позволяет пользователям вводить любое дробное число, которое содержит числитель и знаменатель, и дает десятичный вывод, который содержит и разделен точкой (.). Этот преобразователь дроби в десятичный предоставляет ответы для любого рационального числа, содержащего m / n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю. В приведенной ниже таблице показан пример ввода и вывода дроби в десятичный калькулятор. 90 0.5 8 9036 2 / 5 8 9036 8 75% Преобразование дроби в десятичное Форма дроби Десятичная форма Процентная форма 1 / 2 50% 1 / 4 0,25 25% 1 / 5 0,2 20% 0,125 12,5% 1 / 10 0,1 10% 1 / 16 0,0625 6,25 0.4 40% 3 / 4 0,75 75% 3 / 5 0,6 60% 0,375 37,5% 3 / 10 0,3 30% 3 / 16 0,1875 0,1875 903 4 / 5 0.8 80% 5 / 8 0,625 62,5% 5 / 16 0,3125 31,25% 0,875 87,5% 7 / 10 0,7 70% 7 / 16 0,4375 0,4375 9 / 10 0,9 90% 9 / 16 0,5625 56,25% Базовый расчет дроби и расширенные вычисления с дробями Используйте этот калькулятор дробей, чтобы легко выполнять вычисления с дробями. Складывайте, вычитайте, умножайте и делите дроби, а также возводите дробь в степень (дробь или нет). Поддерживает оценку смешанных фракций (например,грамм. «2 1/3») и отрицательные дроби (например, «-2/3»). Используйте «пи» или «π» вместо числа Пи. Мощный расширенный режим для вычисления целых выражений с дробями. Использование калькулятора дробей Калькулятор дробей предлагает два режима: базовый и расширенный. Базовый режим поддерживает одну операцию (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) только с двумя дробями, например 1/2 + 2 2/3 . В расширенном режиме вы можете оценивать очень сложные выражения, такие как ((2 x 2/5 / 13.1/2 . Калькулятор поддерживает: Простые дроби: — например, 1/2, 3/4, 13/5 в обоих режимах. Смешанные фракции: — например, 1 1/2, 2 3/4, 10 3/5 в обоих режимах. Убедитесь, что вы оставили одно пространство между целой частью и дробной частью. Десятичные дроби: — например, 1.5, 3.45, 10.01 в обоих режимах. Вы также можете ввести такие вещи, как 1,5 / 2,5 . Убедитесь, что вы используете точку (.) В качестве десятичного разделителя.у). Группировки / круглые скобки: в расширенном режиме вы можете использовать круглые скобки для группировки элементов и принудительного порядка расчета. В противном случае расчеты производятся в обычном порядке. Число Пи (π) : вы можете ввести «пи» или «π» в обоих режимах, например pi / 2 в базовом режиме, (pi + 5) / 2 в расширенном режиме. Он будет автоматически преобразован в правильное значение приблизительно 3,14159. Отрицательные дроби : оба режима поддерживают отрицательные дроби, десятичные дроби и числа. В расширенном режиме порядок вычислений в инструменте следующий: круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание (PEMDAS). Результат представлен в виде десятичного числа (точность 12 позиций после десятичной точки) и в виде упрощенной смешанной дроби . Как считать дроби Принципы математики дробей одинаковы, независимо от того, кодируете ли вы их в калькуляторе или выполняете вычисления вручную.Во-первых, когда складывает или вычитает дроби , вам нужно начать с нахождения наименьшего общего знаменателя, также известного как наименьший общий знаменатель или наименьший общий знаменатель дробей, с которыми вам нужно работать. Это по определению наименьшее положительное целое число, которое делится на каждый знаменатель. ЖК-дисплей — это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей. В этой операции нет необходимости при умножении, делении или возведении в степень. Затем вам нужно преобразовать смешанные дроби в простые дроби, чтобы упростить работу.Чтобы найти числитель простой дроби, умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к ней числитель дробной части. Знаменатель останется прежним. Наконец, выполните необходимые операции (сложение, вычитание, умножение, деление), работая с числителями. Затем вы получите результат расчета. Конечно, гораздо проще использовать мощный калькулятор дробей , как наш выше. Иллюстрируя пошаговый процесс, это: при сложении или вычитании дробей найдите наименьший общий знаменатель преобразование смешанных дробей в простые дроби выполнять арифметические действия с числителями Это не так сложно, но в определенных сценариях может быть сложно сделать вручную, что не является проблемой для онлайн-калькулятора. Практические примеры Пример задания № 1: сложить дроби 1/2 и 3/4. Решение : Наименьший общий знаменатель 2 и 4 равен 4, поэтому 1/2 = 2/4, а 3/4 остается 3/4. Складываем 2 + 3 = 5, получаем 5/4. В виде смешанной дроби, равной 1 1/4, в десятичном виде: 1,25. Пример задания № 2: вычесть дроби 1 1/5 и 2/3. Решение : Сначала преобразуйте 1 1/5 в простую дробь по формуле (1 x 5 + 1) / 5 = 6/5. Наименьший общий знаменатель 5 и 3 равен 15, поэтому 6/5 = 18/15 и 2/3 = 10/15.Вычитая 10 из 18 = 8, получаем 8/15. Это не может быть далее упрощено. В десятичном виде это 0,53 (3). Вы можете проверить результат с помощью нашего инструмента. Пример задания № 3: Умножение дробей 1/3 и 5/8 Решение : Чтобы вычислить это выражение, просто умножьте числители вместе, а затем знаменатели вместе. Умножив 1 на 5, мы получим 5, умножив 3 на 8, получим 24, поэтому ответ будет 5/24, или 0,2083 (3). Визуальный калькулятор дробей Добро пожаловать в калькулятор дробей На этой странице находится калькулятор дробей, который может выполнять сложение, вычитание, умножение или деление двух дробей.Значения для расчета могут быть простыми или смешанными дробями или состоять только из целых чисел. Допускается ввод неправильных дробей. Введите значения прямо в соответствующие места в калькуляторе дробей, и ответ будет обновляться в режиме реального времени. Визуализация дробей операндов и дроби ответа отображается на панели внизу, где вводятся значения. Полные шаги для решения каждого типа операции с дробями будут перечислены в версии калькулятора дробей, которая появится в ближайшее время! Эта часть калькулятора дробей предназначена не только для иллюстрации ответов, но и для предоставления обучающего инструмента, чтобы вы могли увидеть, как были решены проблемы. Если вы хотите сохранить калькулятор дробей, показывающий проблему, над которой вы работаете, ссылку «Поделиться этим вычислением» можно скопировать и вставить в электронное письмо, закладки браузера или на веб-страницу. Он вернется к калькулятору дробей и покажет проблему именно так, как вы ее видите. Не используйте этот калькулятор дробей, чтобы быстро выполнять домашнее задание! Решайте проблемы самостоятельно и используйте калькулятор, чтобы проверить свою работу или посмотреть, как решить задачу, которую вы не понимаете.Этот калькулятор дробей — полезный инструмент, но он не заменяет мощный математический ум! Ничто не заменит выработку прочного набора концепций, и этот урок представляет собой интересное введение в дроби, если вы ищете другой подход. Изучая основные математические операции, мы начинаем с операций с целыми числами. Но мир полон частичного количества вещей … Полстакана сахара в рецепте, или шесть десятых амиле, или четверть доллара.Все они представляют собой часть целого, и именно это и есть дробь. Мы имеем дело с частичными суммами каждый день, поэтому эти идеи нам знакомы, даже если то, как мы должны работать с ними в математике, поначалу кажется немного пугающим. Не волнуйся! Мы сделаем это легко! Использование калькулятора дробей в реальных условиях Дробь — это способ математически представить меньшую часть целого чего-либо. Итак, в нашем примере с пиццей, если всю пиццу разрезать на восемь равных ломтиков, и вы съедите три ломтика, вы съедите три из восьми частей целого.Мы представляем это дробью как 3/8 и говорим «три восьмых», когда читаем это вслух. Существуют особые термины для чисел, составляющих дробь. Число внизу называется знаменателем. Вот на сколько частей делится все целое. В нашем примере с пиццей все делится на восемь частей, поэтому знаменатель этой дроби равен восьми. Знаменатель слова — это необычное слово, которое просто означает «то, что разделяет». Иногда вместо знаменателя можно встретить слово делитель, но это одно и то же. Еще один способ подумать о знаменателе — это понять, насколько велик каждый дробный кусок, поэтому, например, если наша пицца разрезана на восемь частей, вы можете приблизительно представить себе, насколько велика каждая из них. Если нашу пиццу нарезать на 20 кусочков, можно представить, что каждый кусочек будет намного меньше. Это может быть камнем преткновения … Чем больше знаменатель, тем меньше дробная часть целого. Это может сбивать с толку, когда вы впервые изучаете дроби, потому что мы привыкли к большим числам, соответствующим значению больших реальных значений, но в этом случае большее значение в делителе может фактически уменьшить значение всей дроби.Например, 1/8 — это на самом деле большее значение (больший кусок пиццы), чем 1/20. Верхнее число дроби называется числителем, что является еще одной причудой, означающей «вещь, которая имеет значение». Это представляет собой фактическое значение с точки зрения того, сколько частей целого представлено дробью. В нашем примере с пиццей, когда вы действительно были голодны и съели три ломтика, мы представили это как дробь 3/8. В этом случае числитель равен трем и представляет три из восьми частей, составляющих целое. Это действительно так сложно, как кажется. Простая дробь состоит всего из двух частей: числитель вверху и знаменатель внизу. Знаменатель говорит нам, на сколько частей делится целое, а числитель говорит нам, сколько из этих частей дробь должна представлять. Если это все еще кажется нечетким, вот еще одно отличное описание концепций дроби с несколькими иллюстрациями. Смешанные и неправильные дроби с помощью калькулятора дробей Смешанные дроби представляют собой некоторое количество целых, а также дробную часть.Три с половиной стакана сахара могут быть примером того, что вы представляете смешанной фракцией. Иногда, работая с дробями на шагах, вы вычисляете числитель больше знаменателя. Это называется «неправильная дробь». Примером может быть что-то вроде 9/8, что означает 9 частей целого, где каждое целое делится на восемь частей. Если создатель говорит нам, что целое разделено на восемь частей, если у нас есть девять частей, нас достаточно для полного целого с одной оставшейся частью.Это означает, что 9/8 — это одно целое плюс одна часть или смешанная дробь 1/8. Когда вы используете калькулятор дробей на этой странице, вы можете вводить неправильные дроби или смешанные дроби, и он рассчитает результаты для вас соответствующим образом, но ответ всегда будет дан в виде правильной дроби. Уменьшение эквивалентных дробей с помощью калькулятора дробей Если вы действительно думаете о работе с дробями, вы можете увидеть, что вы можете представить одну и ту же дробную величину разными дробями с разными знаменателями.Если мы вернемся к визуализации нашей пиццы, если целое разделить на четыре части, половина будет двумя ломтиками. Однако если вместо этого целое разделить на восемь частей, половина пиццы будет состоять из четырех частей. В этих примерах 2/4 и 4/8 — это одинаковое количество целого. 2/4, 4/8 и 1/2 — все эквивалентные дроби, потому что представляют собой то же самое реальное количество целого значения. Конечно, самый простой способ представить любое из этих значений — просто сказать «половина», а дробь в простейшей форме, которая представляет это, очевидно, равна 1/2.Два в этом случае — это наименьший возможный делитель, представляющий дробь. Поиск наименьшего возможного разработчика называется «приведением дробей» к их простейшей форме. Этот калькулятор дробей автоматически сокращает дроби в ответах. Сложение дробей с помощью калькулятора дробей Процесс сложения дробей несложен, если знаменатели совпадают. Просто сложите числители, и полученная дробь будет иметь тот же знаменатель. Итак, один кусок пиццы (1/8) плюс другой (1/8) равняется двум кусочкам пиццы (2/8).Эта доля может быть уменьшена до 1/4, и это имеет смысл мысленно, потому что эти два фрагмента представляют собой четверть целого. Если вы начнете с двух дробей с разными знаменателями, вам нужно найти наименьший общий знаменатель. Это наименьший знаменатель, который поможет получить эквивалентные дроби для каждой из дробей, которые вы пытаетесь сложить. Например, если бы мы пытались сложить 3/16 и 1/8, мы могли бы превратить 1/8 в эквивалентную дробь 2/16. Теперь мы складываем 3/16 и 2/16, что равно 5/16. Вы можете найти больше об общих знаменателях в целом на WikiPedia, но эта ссылка дает еще одно хорошее описание фактического поиска наименее общих знаменателей в Quick and Dirty Tips. Несмотря на то, что 2/16 не является сокращенной дробью, для расчета ответа можно использовать несокращенные дроби или даже неправильные дроби. Мы просто хотим вернуть дроби в правильной сокращенной форме, когда дадим ответ в конце. Опять же, этот калькулятор дробей выполняет все эти шаги за вас, поэтому, если вам нужно увидеть больше примеров, попробуйте решить задачу и посмотрите, как это работает! Обратите внимание, что когда вы добавляете дроби, предварительный просмотр в калькуляторе дробей показывает, как две исходные дроби могут объединиться, чтобы сформировать дробную часть ответа. Вычитание дробей с помощью калькулятора дробей Вычитание дробей работает так же, как и сложение дробей. Вам нужно убедиться, что дроби имеют общий знаменатель, а затем просто вычтите числители и уменьшите дробь ответа. Как и при сложении, если вы начинаете со смешанной дроби, вам может потребоваться преобразовать дробь в неправильную форму, чтобы вычесть числители. Это обратная процедурам, которые мы использовали для создания правильных дробей.Чтобы получить неправильную дробь, умножьте целые числа на знаменатель и прибавьте его к значению числителя. Итак, 1 и 1/8 — это одно целое плюс одна часть, или восемь частей плюс одна часть, или всего девять частей. Таким образом, правильная смешанная дробь 1 1/8 как неправильная дробь равна 9/8. При вычитании дробей, если вы отнимете большую дробь от меньшей дроби, у вас останется отрицательная величина. Вы покажете получившуюся дробь со знаком минус либо целиком, либо в числителе.Отрицательная дробь должна иметь только один отрицательный знак. Распространенная ошибка — думать, что нужно поставить и числитель, и знаменатель отрицательными, если вы получили отрицательный ответ. Не делай этого! Если ваш ответ отрицательный, вы должны увидеть только один отрицательный знак в полученной дроби. Умножение дробей с помощью калькулятора дробей Умножение дробей в некотором смысле проще, чем сложение или вычитание дробей, потому что вам не нужен общий знаменатель.Однако хороший первый шаг — посмотреть, можно ли уменьшить одну или обе умножаемые дроби. Это немного упростит расчеты. Если какая-либо из фракций смешана, превратите их в неправильные фракции, как описано выше. Если вы умножаете дробь на целое значение, превратите целое в дробь со знаминателем, равным единице, так, например, целые 3 превращаются в дробь 3/1 для выполнения умножения. Затем, чтобы получить числитель для ответа, умножьте два числителя дробей, с которой вы начинаете.Чтобы получить знаменатель, проделайте то же самое, умножьте два знаменателя и запишите результат как знаменатель в дробной части ответа. Существует большая вероятность того, что полученная дробь неверна или может быть уменьшена. Вы всегда должны сокращать свой ответ и приводить его в надлежащей форме. Опять же, если вам нужна помощь с этим, попробуйте решить задачу умножения дробей, используя калькулятор дробей на этой странице, и он покажет вам пример. Этот калькулятор дробей всегда упрощает дроби в ответе. Деление дробей с помощью калькулятора дробей Процедура деления дробей аналогична умножению дробей с одним дополнительным шагом. Начните следовать инструкциям по умножению дробей. Как только у вас есть две дроби в неправильной форме и вы готовы перемножить числители и знаменатели, вы сначала делаете еще один шаг. Во второй дроби поменяйте местами числитель и знаменатель. Таким образом, старый знаменатель идет сверху и становится числителем, а старый числитель идет снизу и становится знаменателем.Затем завершите процедуру умножения дробей… Умножайте прямо поперек, уменьшайте и просто. Когда вы меняете местами числитель и знаменатель дроби, получается нечто, называемое обратным. Эту процедуру иногда называют «инвертированием» или «взятием обратной» дроби. Обратная величина дроби имеет интересную особенность. Если вы умножите дробь на величину, обратную этой дроби, результат будет иметь такое же число в числителе и знаменателе, что означает уменьшение до единицы.Попробуйте это в калькуляторе дробей, умножив 2/3 на 3/2, и увидите. Калькулятор упрощенных дробей Этот калькулятор дробей автоматически упростит результаты. Если вам нужно упростить дроби, этот калькулятор дробей может сделать эту работу за вас, введя обычную дробь, смешанную дробь или неправильную дробь, а затем умножив полученное значение на единицу. Калькулятор дробей просто ответит за вас. Например, если вы введете 4/32 x 1 в калькулятор дробей, упрощенное произведение будет 1/8. Калькулятор смешанных фракций Этот калькулятор фракций обрабатывает смешанные дроби для всех операций и возвращает результат в простейшей форме. Когда калькулятор дробей имеет дело со смешанными дробями, процедура почти всегда упрощается, если целое число умножить на знаменатель и прибавить к числителю, чтобы получить неправильную дробь. Это преобразование смешанных чисел в неправильные дроби позволяет рассматривать проблемы с дробями так, как если бы целые числа не использовались. Калькулятор дробей делает это внутренне для решения задач смешанных дробей. Для сложения дробей или вычитания дробей калькулятор дробей должен определить общий знаменатель. Затем, после завершения операции, если результирующая дробь все еще неверна, калькулятор дробей преобразует ее обратно в смешанную дробь для использования в качестве ответа. Даже после того, как калькулятор дробей вычитает целое число из неправильной дроби, полученная смешанная дробь может быть еще не в простейшей форме.Если дробь может быть уменьшена, калькулятор дробей найдет общий делитель числителя и знаменателя, а затем разделит оба компонента, чтобы упростить окончательную дробь. Вы готовы к дробям с нашим онлайн-калькулятором дробей На этой странице дан очень краткий обзор дробей и дан ряд примеров, которые вы можете попробовать в калькуляторе дробей. Мы рассмотрели сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей и деление дробей, а также то, как создать правильную дробь из неправильной дроби (и наоборот), сокращение дробей, поиск наименьшего общего знаменателя, а также то, как получить обратную дробь.Вы видели, как использовать калькулятор дробей для упрощения неправильных дробей и как использовать калькулятор дробей для уменьшения дробей. Вы можете попробовать все эти концепции в калькуляторе дробей, изучить результаты, и вы сразу же обнаружите, что являетесь рок-звездой дробей! Когда вы будете готовы к большему, попробуйте на практике приведенные ниже таблицы дробей и поделитесь этим калькулятором дробей со своими друзьями! Обновления калькулятора дробей 7 января 2018 Изменена загрузка файлов JavaScript, так что калькулятор дробей запускается раньше на странице, благодаря чему калькулятор появляется раньше во время загрузки страницы. Корень знак калькулятор: Квадратный корень — онлайн калькулятор CALC.WS alexxlab / 14.03.197017.07.2021 / Разное — возведение в степень и следующих функций: sqrt — квадратный корень rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень exp — e в указанной степени lb — логарифм по основанию 2 lg — логарифм по основанию 10 ln — натуральный логарифм (по основанию e) logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7 sin — синус cos — косинус tg — тангенс ctg — котангенс sec — секанс cosec — косеканс arcsin — арксинус arccos — арккосинус arctg — арктангенс arcctg — арккотангенс arcsec — арксеканс arccosec — арккосеканс versin — версинус vercos — коверсинус haversin — гаверсинус exsec — экссеканс excsc — экскосеканс sh — гиперболический синус ch — гиперболический косинус th — гиперболический тангенс cth — гиперболический котангенс sech — гиперболический секанс csch — гиперболический косеканс abs — абсолютное значение (модуль) sgn — сигнум (знак) Кубический корень: онлайн калькулятор, график, формулы Кубический корень числа А — это такое число В, которое при возведении в третью степень в результате дает число А. Вычисление кубического корня — более сложная задача, нежели поиск квадратных корней. Обозначение Корни чисел ранее обозначались символом Rx, от латинского слова radix, то есть корень. Именно поэтому синонимом арифметических корней стало слово «радикал». Позднее для удобства типографской записи корни стали обозначаться латинской буквой V, а надстрочный знак перед символом указывает на степень корня. Для упрощения обозначения кубических корней в этой статье мы будем использовать слово cube. Это означает, что cube(8) следует читать как «кубический корень из 8». Алгоритм приблизительных вычислений Кубический корень положительного или отрицательного числа А — это соответственно положительное или отрицательное В, которое при возведении в куб дает число А. Пусть требуется найти cube(27). Для поиска корней используется следующий алгоритм рассуждений. Какое число нужно умножить на само себя 3 раза, чтобы получить 27? Посчитаем, что 2 × 2 × 2 = 8, а 3 × 3 × 3 = 27, следовательно, cube(27) = 3. Это простой целочисленный пример. Но что делать, если требуется найти cube(45)? Попробуем тот же алгоритм: 3 × 3 × 3 = 27, 4 × 4 × 4 = 64. Из этого следует, что кубический корень из 45 — это иррациональное число, которое находится в диапазоне 3 > cube(45) < 4. Число 45 находится приблизительно на половине пути между 27 и 64, поэтому можно предположить, что cube(45) = 3,5. Это грубая оценка кубического корня, которую можно использовать для приблизительных расчетов. Помимо метода определения «на глазок», существует алгоритм расчета кубического корня больших чисел в столбик: для начала число разделяется на группы чисел по три, начиная с правого конца, например, число 1234561789 будет выглядеть как 1 234 561 789; после этого для каждой группы цифр требуется найти такой целочисленный кубический корень, который при увеличении на 1 и возведении в куб становится больше заданного числа; далее следует записать полученный куб под группой цифр и произвести вычитание; затем требуется ниже записать результат вычитания и снести вторую группу цифр; после чего повторить алгоритм. Точное значение такого корня найти невозможно, так как кубические корни для некубических чисел — это всегда бесконечные и непериодическое иррациональные числа. А что такое кубические числа? Последовательность кубических чисел Кубическое число — это такое натуральное число, кубический корень которого является целым числом. Кубическая последовательность формируется из натурального ряда, каждый член которого возведен в третью степень. Начало кубической последовательности выглядит следующим образом: 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729… Очевидно, что 8 = 23, 27 = 33, a 64 = 43 и так далее. Кубические корни любого числа из последовательности кубов являются целыми. Геометрически такие числа иллюстрируются объемом куба, ребро которого равно целочисленному корню числа. Например, число 64 — это объем куба с ребром длиной 4 см. Кубическая последовательность растет довольно быстро, и в отличие от квадратов чисел, куб может оканчиваться на любую цифру. Так как количество натуральных чисел уходит в бесконечность, то и количество кубов также бесконечно, однако целочисленных значений все же гораздо меньше, чем иррациональных. Наша программа представляет собой универсальный калькулятор вычисления корней любой степени. Для того, чтобы вычислить значение кубического корня вам потребуется указать заданное число в ячейку «Число(x)», а ячейке «Степень(n)» требуется ввести значение степени. По умолчанию калькулятор выставляет в «Степень(n)» число 3, поэтому вы сразу можете вычислять кубические корни, не устанавливая степень корня. Пример работы калькулятора Вычисление ребра куба Классическая задача на вычисление кубического корня — это определение длины ребра куба, если известен его объем. Для значений объема из кубической последовательности все просто, так как ответ будет записан в виде целого числа. Для всех остальных значений нам пригодится онлайн-калькулятор. Давайте вычислим длины ребер для следующих объемов кубов: Cube(10) = 2,1544; Cube(25) = 2,9240; Cube(50) = 3,6840; Cube(75) = 4,2172; Cube(100) = 4,6416. Как видите, в диапазоне от 10 до 100 длина ребра изменятся всего на 2,5 пункта. Заключение Поиск кубического корня — сложная задача, если вычислять значение требуется для больших или некубических чисел. Для определения значения кубического корня заданной точности используйте наш онлайн-калькулятор — простой инструмент для быстрых вычислений, который идеально подойдет школьникам и студентам. Вычислить квадратный корень из числа: примеры, расчеты, калькулятор Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет: найти квадратные или кубические корни из заданных чисел; выполнить математическое действие с дробными степенями. Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать. Что такое квадратный корень Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом. Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня. Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем. Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16. Проводим расчеты вручную Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число: 1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ. Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число. Например: 25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку: Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами. Возьмем 784 и извлечем из него корень. Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16. Применим правило Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ. Ответ.    2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители. Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя. Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель. Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки. Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4. Значит между 2 и 4. Оцениваем значение Вероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7. 2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76~7. Вычисляем корень Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня. При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня. Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала. Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так: — целую часть справа налево; — число после запятой слева направо. Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94 795,28 → 7 95, 28 Допускается, что вначале остается непарное число. Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел). Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа. У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =  Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7. А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_. Примечание: числа должны быть одинаковыми. Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8. Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня. Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева. Вычтите полученное справа произведение из числа слева. Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками. Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую. Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева. Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение  прочерками, подбираем множители для него и так далее. Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты. Алгоритм действий 1. Введите желаемое количество знаков после запятой. 2. Укажите степень корня (если он больше 2). 3. Введите число, из которого планируете извлечь корень. 4. Нажмите кнопку «Решить». Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU. Урок 4. Использование Mathcad в качестве калькулятора Mathcad является хорошим калькулятором, особенно удобным при использовании цифровой клавиатуры. Несмотря на то, что Mathcad требует некоторого времени для освоения, он имеет одно неоспоримое преимущество – в нем можно сохранять результаты всех вычислений и выводить их на печать.] Кроме того, существует оператор деления «в строку» [?], который по функции аналогичен обычному оператору деления. Все эти операторы находятся на вкладке Математика –> Операторы, но намного быстрее использовать для их ввода клавиатуру: Использование бинарных операторов в Mathcadаналогично их использованию в обычном калькуляторе. Сначала щелкните мышью в пустой области, введите первое число, затем оператор, затем второе число. Для вывода результата следует нажать [=]. Например, ввод выражения [2/3=] приведет к следующему результату: При использовании бинарных операторов Mathcad использует обычные правила старшинства операций. Попробуйте вычислить следующие выражения: Правила старшинства операций и скобки Используя скобки, можно изменить правила старшинства операций. В вычислениях скобки набираются сразу парой. В математической области введите открывающуюся скобку [(], и появится пара скобок: В появившийся местозаполнитель вводите символы дальше, например, [3+7]: Нажмите на стрелку вправо на клавиатуре, чтобы выделить закрывающую скобку, затем введите оператор деления: [?/] Закончите вычисление, набрав [10=]: Следующие выражения можно вычислить, набрав следующие комбинации клавиш [(2+3/5?*7=] и [2+3/5??*7=]: При вводе бинарных операторов без чисел Вы получите оператор и два местозаполнителя: При вводе сложных выражений часто бывает проще сначала ввести скобки и операторы, а затем вводить числа: При вводе сложных выражений можно допустить ошибку. Как их можно исправить, мы обсудим в уроке 6 «Редактирование выражений». А пока просто удаляйте неправильные выражения, выделяя их и нажимая [Delete]. Унарные операторы Существует несколько «унарных» операторов, применение которых требует только одно число: квадратный корень [\], модуль [|], факториал [!]. Примеры: Оператор корня может быть как унарным, так и бинарным. Если не заполнять местозаполнитель над знаком корня, используется квадратный корень: Оператор [-] также может использоваться для двух случаев: как оператор вычитания и как оператор отрицания. При внимательном рассмотрении видно, что оператор отрицания находится ближе к числу, следующему за ним: Константы Стандартные константы Mathcad (доступны на вкладке Математика –> Операторы и символы –> Константы):   Странная, но полезная константа – NaN (Not a Number– Не число). Ее можно использовать, чтобы избегать пропущенные или ошибочные значения: Многие другие константы также находятся на вкладке Математика –> Операторы и символы –> Константы. В следующем уроке мы научимся определять собственные константы. Функции Mathcad включает в себя большое число функций. Весь список можно увидеть, нажав Функции –> Все функции: Вот пример некоторых использования некоторых из них (обратите внимание, что у некоторых из них не совсем привычные названия, например, функцию арккосинуса следует набирать acos, а не arccos): Форматирование чисел Чтобы изменить формат числа, следует щелкнуть по числу и выбрать нужный формат на вкладке Форматирование формул –> Результаты. Первое меню включает в себя пять форматов: Общий, Десятичный, Научный, Проектирование, Процент: Второе меню позволяет настроить число знаков после запятой. Продемонстрируем эти настройки на следующих числах (здесь используется оператор присваивания :=, о котором мы поговорим в следующем уроке): Чаще всего используют общий формат – число от 0.001 до 1000 представляется в привычной записи, для остальных чисел используется стандартная запись (число от 1 до 10, умноженное на 10n): Десятичный формат представляет все числа в привычной десятичной форме: Научный формат представляет все числа в стандартной записи: На него похож инженерный формат (формат Проектирование), но показатель степени кратен трем: В процентном формате число умножается на 100 и отображается со знаком процента: Резюме Щелкните мышью в пустой области, чтобы начать ввод математического выражения. Введите выражение с помощью операторов сложения [+], вычитания [-], умножения [*] и т.д. Используйте скобки для изменения правила старшинства операций. При вводе одной скобки на экране появляется сразу пара скобок. Чтобы войти или выйти из скобок, используйте стрелки или щелчок мышью. Чтобы составить сложное выражение, сначала наберите скобки и операторы. Три полезных унарных оператора: отрицание [-], модуль [|], факториал [!]. Оператор отрицания использует тот же символ, что и оператор вычитания. В Mathcad встроено большое число констант. Мы рассмотрели лишь ?, eи ?. В Mathcad есть множество функций. Большую часть из них можно ввести с клавиатуры, например, [sin(] для синуса, [exp(] для экспоненты и т.д. При необходимости, отформатируйте число с помощью вкладки Форматирование формул –> Результаты. Другие интересные материалы Алгоритм извлечения квадратного корня Квадратный корень легко извлекается с помощью калькулятора. Для этого достаточно набрать на нём исходное число и нажать клавишу корня Если калькулятора под рукой нет, то квадратный корень извлекают пользуясь алгоритмом извлечения квадратного корня. Применение алгоритма может оказаться весьма полезным на контрольных и экзаменах. Ведь чаще всего на таких мероприятиях использовать калькулятор запрещено. Предварительные навыки Как пользоваться алгоритмом Рассмотрим применение алгоритма извлечения квадратного корня на конкретных примерах. О том, почему алгоритм следует применять именно так, поговорим позже. Пример 1. Извлечём квадратный корень из числа 4096 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня. Прежде всего сгруппируем число 4096 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку: Сгруппированные цифры исходного числа называют грáнями, а саму группировку по две цифры разделением на грáни. Количество грáней позволяет предположить сколько цифр будет содержаться в извлечённом корне. В нашем примере извлечённый корень будет содержать две цифры, поскольку исходное число содержит две грани. Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 40 с точностью до целых, получаем 6. Записываем 6 после знака равенства: Далее возвóдим число 6 в квадрат и полученный результат записываем под числом 40 Далее вычитаем из числа 40 число 36, получаем 4. Записываем это число под 36 Снóсим оставшиеся цифры из под корня, а именно 96. Получаем остаток 496 Теперь нужно найти следующую цифру корня. Её находят так. Первую найденную цифру корня, а именно 6 умножаем на 2, получаем 12. К числу 12 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 496 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 12 и умножим образовавшееся число 125 на 5 Получилось число 625, которое больше остатка 496. Значит цифра 5 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 4. Допишем ее к числу 12 и умножим образовавшееся число 124 на 4 Получилось число 496, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 12 цифра 4 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 4 в ответе после цифры 6 А число 496, которое получилось в результате умножения 124 на 4 записываем под остатком 496 Выполняем вычитание 496 − 496 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено: Для удобства поиска второй цифры, слева от остатка проводят вертикáльную линию и уже за этой линией записывают умножение. В нашем случае умножение 124 на 4. Результат умножение сразу записывают под остатком: Итак, квадратный корень из числа 4096 равен 64 Пример 2. Извлечём квадрáтный корень из числа 441 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня. Прежде всего сгруппируем число 441 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку. В данном случае в числе 441 только три цифры. Поэтому группируем цифры 4 и 1. Крайняя четвёрка слева будет сама по себе: Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 4 с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства: Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под числом 4 Вычитаем из числа 4 число 4, получаем 0. Ноль принято не записывать. Снóсим оставшиеся цифры корня, а именно 41 Теперь нахóдим следующую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 41 или хотя бы максимально близким ему, но не превосходящим его. Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 42 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 41 Получилось число 84, которое больше остатка 41. Значит цифра 2 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 41 на на ту же самую дописанную цифру 1 Получилось число 41, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 4 цифра 1 является следующей цифрой корня. Записываем цифру 1 после цифры 2 А число 41, которое получилось в результате умножения 41 на 1, записываем под остатком 41 Выполняем вычитание 41 − 41 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено: Пример 3. Извлечём квадратный корень из числа 101761 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня. Разбиваем число 101761 на грани: Получилось три грани. Значит корень будет состоять из трёх цифр. Извлекáем квадратный корень из первой грани (из числа 10) с точностью до целых, получаем 3. Записываем 3 после знака равенства: Далее возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 10) Вычитаем из числа 10 число 9, получаем 1. Снóсим следующую грань, а именно число 17. Получаем остаток 117 Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 117 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 6 и умножим образовавшееся число 62 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 117 Получилось число 124, которое больше остатка 117. Значит цифра 2 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 6 и умножим образовавшееся число 61 на на ту же самую дописанную цифру 1 Получилось число 61, которое не превосходит остатка 117. Значит дописанная к числу 6 цифра 1 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 3 Теперь выполняем вычитание 117 − 61 = 56. Снóсим следующую грань, а именно число 61. Получаем новый остаток 5661 Теперь нахóдим третью цифру корня. Первые две найденные цифры корня, а именно число 31 умножаем на 2, получаем 62. К числу 62 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 5661 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. Итак, проверим например цифру 9. Допишем её к числу 62 и умножим образовавшееся число 629 на ту же самую дописанную цифру 9. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 5661 Получилось число 5661, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 62 цифра 9 является третьей цифрой корня. Записываем цифру 9 в ответе после цифры 1 Выполняем вычитание 5661 − 5661 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено: Пример 4. Извлечём квадратный корень из числа 30,25 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня. Данное число является десятичной дробью. В данном случае на грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой: Получилось по одной грани в каждой части. Это значит, что корень будет состоять из двух цифр: одна цифра будет в целой части корня и одна цифра в дробной. Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 30) с точностью до целых, получаем 5. Записываем 5 после знака равенства: Далее возвóдим число 5 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 30) Вычитаем из числа 30 число 25, получаем 5. Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 30,25 с точностью до целых, получили ответ 5. Последний остаток 5 показывает, что целая часть 30 превосходит квадрат 52 на 5 квадратных единиц. Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых), снесём следующую грань, а именно число 25, получим остаток 525. А в ответе после числа 5 следует поставить запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробную часть корня. Затем снóсим следующую грань, а именно число 25. Получаем остаток 525 Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим следующую цифру корня. Для этого уже найденный корень, а именно число 5 умножим на 2 получим 10. К числу 10 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 525 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 10 и умножим получившееся число 105 на ту же самую дописанную цифру 5 Получилось число 525, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 10 цифра 5 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 5 после в ответе после запятой: Выполняем вычитание 525 − 525 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено: В подкоренном выражении можно было использовать следующий прием: умножить подкоренное число на 100 и получить под корнем число 3025. Далее извлечь из него квадратный корень, как из обычного целого числа. Тогда получился бы ответ 55 Затем можно обратно разделить 3025 на 100 (или сдвинуть запятую влево на две цифры). В результате под корнем полýчится прежнее число 30,25, а правая часть уменьшится в десять раз и полýчится квадратный корень из числа 30,25. Пример 5. Извлечём квадратный корень из числа 632,5225 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня. Данное число является десятичной дробью. Разбиваем число на грани. На грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой: Получилось четыре грани. При этом две грани в целой части, и две грани в дробной. Это значит, что корень будет состоять из четырёх цифр: две цифры будет в целой части корня, и две цифры после запятой. Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 6) с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства: Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 6)   Вычитаем из числа 6 число 4, получаем 2. Затем снóсим следующую грань, а именно число 32. Получаем остаток 232 Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую уже найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 232 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 46 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 232 Получилось число 276, которое больше остатка 232. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 45 на на ту же самую дописанную цифру 5 Получилось число 225, которое не превосходит остатка 232. Значит дописанная к числу 4 цифра 5 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 2 Теперь выполняем вычитание 232 − 225 = 7. Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 632,5225 с точностью до целых, получили ответ 25. Последний остаток 7 показывает, что целая часть 632 превосходит квадрат 252 на 7 квадратных единиц. Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых и сотых), снесём следующую грань, а именно число 52, получим остаток 752. А в ответе после числа 25 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня: Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим первую цифру корня после запятой. Для этого уже найденные цифры, а именно 25 умножим на 2 получим 50. К числу 50 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 752 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 50 и умножим получившееся число 502 на ту же самую дописанную цифру 2. Можно интуитивно понять, что цифра 2 великá, поскольку 502 × 2 = 1004. А число 1004 больше остатка 752. Тогда очевидно, что первой цифрой после запятой будет цифра 1 Теперь выполняем вычитание 752 − 501 = 251. Сразу снóсим следующую грань 25. Полýчим остаток 25125 Теперь нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 502. К числу 502 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 25125 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 502 и умнóжим образовавшееся число 5026 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 25125 Получилось число 30156, которое больше остатка 25125. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 502 и умножим получившееся число 5025 на на ту же самую дописанную цифру 5 Получилось число 25125, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 502 цифра 5 является второй цифрой корня после запятой. Записываем цифру 5 в ответе после цифры 1 Теперь выполняем вычитание 25125 − 25125 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено: В этом примере можно было воспользоваться методом умножения подкоренного выражения на 10000. Тогда подкоренное число приняло бы вид 6325225. Его можно разделить на грани, двигаясь справа налево. В результате получился бы корень 2515 Затем подкоренное число 6325225 делят на 10000, чтобы вернуться к изначальному числу 632,5225. В результате этого деления ответ умéньшится в 100 раз и обратится в число 25,15. Пример 4. Используя алгоритм извлечения квадратного корня, извлечь квадратный корень из числа 11 с точностью до тысячных: В данном числе только одна грань 11. Извлечём из неё корень с точностью до целых, получим 3 Теперь возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 11) Выполним вычитание 11 − 9 = 2 Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 11 с точностью до целых, получили ответ 3. Последний остаток 2 показывает, что целая часть 11 превосходит квадрат 32 на две квадратные единицы. Наша задача была извлечь корень из числа 11 с точностью до тысячных. Значит нужно снести следующую грань, но её в данном случае нет. Если после целого числа поставить запятую и написать сколько угодно нулей, то значение этого числа не измéнится. Так, после 11 можно поставить запятую и написать несколько нулей (несколько граней), которые в последствии можно будет снóсить к остаткам. Если корень извлекáется с точностью до тысячных, то в ответе после запятой должно быть три цифры. Поэтому в подкоренном выражении поставим запятую и запишем три грани, состоящие из нулей: Теперь можно снести следующую грань, а именно два нуля. Получим остаток 200. А в ответе после числа 3 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня: Теперь нахóдим первую цифру после запятой в ответе. Первую найденную цифру корня, а именно число 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 200 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. В данном случае подойдёт цифра 3 Выполним вычитание 200 − 189 и снесём следующую грань 00 Нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 66. К числу 66 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 1100 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. В данном случае подойдёт цифра 1 Выполним вычитание 1100−661 и снесём следующую грань 00 Нахóдим третью цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умножим на 2. Получим 662. К числу 662 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 43900 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его. Проверим цифру 7 Получилось число 46389, которое больше остатка 43900. Значит цифра 7 не годится в качестве третьей цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 6. Допишем ее к числу 662 и умножим получившееся число 6626 на на ту же самую дописанную цифру 6 Получилось число 39756, которое не превосходит остатка 43900. Значит дописанная к числу 662 цифра 6 является третьей цифрой корня после запятой. Записываем цифру 6 в ответе после цифры 1 Выполним вычитание 43900 − 39756 = 4144 Дальнейшее вычисление не требуется, поскольку корень нужно было извлечь с точностью до тысячных. Но в таких примерах как этот, цифры после запятой можно находить бесконечно. Например, так можно продолжить данный пример, найдя значение корня с точностью до десятитысячных: Как работает алгоритм Алгоритм извлечения квадратного корня основан на формуле квадрата суммы двух выражений: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Геометрически эту формулу можно представить так: То есть сторона a увеличивается на b. Это приводит к увеличению изначального квадрата. Чтобы вычислить площадь такого квадрата, нужно по отдельности вычислить площади квадратов и прямоугольников, входящих в этот квадрат и сложить полученные результаты. Нужно хорошо понимать данный рисунок. Без его понимания невозможно понять как работает алгоритм извлечения квадратного корня. Отметим, что формула квадрата суммы двух выражений позволяет возвести в квадрат любое число. Используя разряды, исходное число представляют в виде суммы чисел и далее эту сумму возвóдят в квадрат. Например, так можно возвести число 21 в квадрат: представить данное число в виде суммы двух десятков и одной единицы, и далее эту сумму возвести в квадрат : 212 = (20 + 1)2 = 202 + 2 × 20 × 1 + 12 = 400 + 40 + 1 = 441 Геометрически это будет выглядеть так: сторона квадрата равная 21 разбивается на две составляющие: 20 и 1. Затем по отдельности вычисляются площади квадратов и прямоугольников, входящих в большой квадрат. А именно: один квадрат со стороной 20 (получается площадь, равная 400), два прямоугольника со сторонами 20 и 1 (получается две площади по 20), один квадрат со стороной 1 (получается площадь, равная 1). Результаты вычисления площадей складываются и получается итоговое значение 441. Заметим также, что при возведéнии десятков в квадрат получились сотни. В данном случае при возведéнии числа 20 в квадрат получилось число 400. Это позволяет предположить, что если корень является двузначным числом, то десятки этого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Действительно, . Десятки корня это цифра 2, является корнем числа 4, которое отвечает за сотни числа 441. А при возведéнии сóтен в квадрат получаются десятки тысяч. Например, возведём в квадрат число 123, используя формулу квадрата суммы двух выражений. Число 123 это одна сотня, два десятка и три единицы: 1232 = (100 + 20 + 3)2 При изучении многочленов мы выяснили, что если многочлен содержит более двух членов и возникла необходимость применить формулу квадрата суммы, то некоторые из членов можно взять в скобки, чтобы получилось выражение вида (a + b)2 Рассмотрим подробное извлечение квадратного корня из числа 4096. Заодно пройдёмся по основным этапам алгоритма извлечения квадратного корня, рассмотренного в предыдущей теме. Допустим, что число 4096 это площадь следующего квадрата: Извлечь корень из числа 4096 означает найти длину стороны данного квадрата: Для начала узнáем из скольких цифр будет состоять корень. Ближáйшие от 4096 известные нам квадраты это 3600 и 4900. Между ними располагается квадрат 4096. Запишем это в виде неравенства: Запишем каждое число под знáком корня: Квадратные корни из чисел 3600 и 4900 нам известны. Это корни 60 и 70 соответственно: Корни 60 и 70 являются двузначными числами. Если квадратный корень из числа 4096 располагается между числами 60 и 70, то этот корень тоже будет двузначным числом. Двузначное число состоит из десятков и единиц. Это значит, что квадратный корень из числа 4096 можно представить в виде суммы a + b, где a — десятки корня, b — единицы корня. Сумма a + b во второй степени будет равна 4096 (a + b)2 = 4096 Тогда сторона квадрата будет разбита на две составляющие: a и b Перепишем в равенстве (a + b)2 = 4096 левую часть в виде a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = 4096 Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 4096, можно представить так: Если мы узнáем значения переменных a и b, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень. Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет двузначное число. Двузначное число состоит из десятков и единиц. При возведéнии десятков в квадрат, получаются сотни. Тогда десятки искомого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. В подкоренном числе 40 сотен. Отделим их небольшой помéткой: Извлечём корень из числа 40. Из числа 40 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых. Ближáйший мéньший квадрат к числу 40 это 36. Извлечём корень из этого квадрата, получим 6. Тем сáмым полýчим первую цифру корня: На самом деле корень извлечён не из числа 40, а из сорокá сотен. Метка, которая постáвлена после числа 40, отделяет разряды числа, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 40 это 4000. Из 4000 как и 40 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 4000. Но нужно принимать во внимание следующий момент. Десятки это числа с одним нулем на конце. Примеры: 10 — один десяток 30 — три десятка 120 — двенадцать десятков При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа с двумя нулями на конце: 102 = 100 302 = 900 1202 = 14400 Мы ищем десятки корня в сотнях числá 4096, то есть в числе 4000. Но нет такого числá с нулем на конце, вторая степень которого равна 4000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с двумя нулями на конце. Таковым является квадрат 3600. Корень следует извлекать из этого квадрата. Вернемся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 3600. Укажем вместо a2 значение 3600 Теперь извлечём квадратный корень из квадрата 3600. Ранее мы говорили, что если число содержит уже знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь корень из этого числа. Для этого сначала следует извлечь корень из знакомого нам квадрата, а затем записать половину от количества нулей исходного числа: Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 3600. Подпишем сторону a как 60 Но ранее в ответе мы написали не 60, а 6. Это является сокращённым вариантом. Число 6 в данном случае означает шесть десятков: Итак, десятки корня найдены. Их шесть. Теперь нужно найти единицы корня. Единицы корня это длина оставшейся маленькой стороны квадрата, то есть значение переменной b. Чтобы найти b, нужно из общего квадрата, площадь которого 4096 вычесть квадрат, площадь которого 3600. В результате останется фигура, площадь которой 4096 − 3600 = 496 На рисунке видно как из квадрата, площадь которого 4096 отделился квадрат, площадь которого 3600. Осталась фигура, площадь которой 496. Именно поэтому в процессе применения алгоритма первая найденная цифра корня возводится в квадрат, чтобы результат возведения вычесть из сотен подкоренного выражения. Так, из 40 сотен вычитаются 36 сотен, остаётся 4 сотни плюс сносятся девяносто шесть единиц. Эти четыре сотни и девяносто шесть единиц вместе образуют 496 единиц: Оставшаяся фигура есть ни что иное как удвоенное произведение первого выражение a плюс квадрат второго выражения b Сумма площадей 2ab + b2 должна вмещаться в число 496. Запишем это в виде следующего равенства: 2ab + b2 = 496 Значение a уже известно. Оно равно 60. Тогда равенство примет вид: 2 × 60 × b + b2 = 496 120b + b2 = 496 Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 496 или хотя близкой к этому числу. Поскольку b является единицами искомого корня, то значение b является однозначным числом. То есть значение b это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. В данном случае очевидно, что числом b является 4 120 × 4 + 42 = 496 480 + 16 = 496 496 = 496 Но для удобства поиска этой цифры, переменную b выносят за скобки. Вернёмся к выражению 120b + b2 = 496 и вынесем b за скобки:  b(120 + b) = 496 Теперь правую часть можно понимать так: к 120 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же сáмым b даст в результате 496. Именно поэтому при использовании алгоритма, уже найденную цифру умножают на 2. Так, 6 мы умножили на 2 получили 12 и уже к 12 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же дописанную цифру, пытаясь получить остаток 496. Но это опять же упрощённый вариант. На самом деле на 2 умножается не просто 6, а найденные десятки (в нашем случае число 60), получается число 120. Затем следует нахождение числá вида b(120 + b). То есть к 120 прибавляется число b, которое при перемножении с b даёт остаток 496. Итак, b = 4. Тогда: 4(120 + 4) = 496 4 × 124 = 496 496 = 496 При подстановке числá 4 вместо b получается остаток 496. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 4096, имеет сторону равную 60 + 4, то есть 64. Если из общей площади вычесть 3600, затем 496, полýчим 0. Остаток, равный нулю, говорит о том, что решение завершено: 4096 − 3600 − 496 = 0 Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 54756 Пусть число 54756 это площадь следующего квадрата: Извлечь корень из числа 54756 означает найти длину стороны данного квадрата: Пока неизвестно является ли квадратный корень из числа 54756 целым либо дробным числом. Узнáем для начала из скольких цифр будет состоять целый корень. Число 54756 больше числá 10000, но меньше числá 90000 10000 < 54756 < 90000 Корни из 10000 и 90000 являются трёхзначными числами. Тогда корень из 54756 тоже будет трёхзначным числом. А трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц. Квадратный корень из числа 54756 можно представить в виде суммы a + b + с, где a — сотни корня, b — десятки корня, с — единицы корня. Сумма a + b + с во второй степени будет равна 54756 (a + b + c)2 = 54756 Тогда сторона квадрата будет разбита на три составляющие: a, b и c Выполним в левой части равенства (a + b + c)2 = 54756 возведéние в квадрат: Тогда рисунок иллюстрирующий квадрат, площадью 54756 можно представить так: Два прямоугольника площадью ab в приведённом ранее равенстве заменены на 2ab, а два прямоугольника площадью (a + b)c заменены на 2ac + 2bc, поскольку (a + b)c = ac + bc. Если повторить выражение ac + bc дважды, то полýчится 2ac + 2bc 2(ac + bc) = 2ac + 2bc Если мы узнáем значения переменных a, b и c, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень. Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет трёхзначное число. Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц. При возведéнии сотен в квадрат, получаются десятки тысяч. Тогда сотни искомого корня следует искать в десятках тысяч подкоренного числа. В подкоренном числе 5 десятков тысяч. Отделим их мéткой: Извлечём корень из числа 5. Из числа 5 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых Ближáйший мéньший квадрат к 5 это 4. Извлечём корень из этого квадрата, получим 2. Тем самым полýчим первую цифру корня: На самом деле корень извлечён не из числа 5, а из пяти десятков тысяч. Метка, которая поставлена после числá 5, отделяет разряды числá, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 5 это 50000. Из 50000 как и 5 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 50000. Но нужно принимать во внимание, что сотни это числа с двумя нулями на конце. Примеры: 100 — одна сотня 500 — пять сотен 900 — девять сотен При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа, у которых четыре нуля на конце: 1002 = 10000 5002 = 250000 9002 = 810000 Мы ищем сотни корня в десятках тысяч числа 54756, то есть в числе 50000. Но нет такого числá с двумя нулями на конце, вторая степень которого равна 50000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с четырьмя нулями на конце. Таковым является квадрат 40000. Вернёмся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 40000. Укажем вместо a2 значение 40000 Теперь извлечём корень из квадрата 40000 Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 40000. Подпишем сторону a как 200 Но ранее в ответе мы написали не 200, а 2. Это является сокращённым вариантом. Число 2 в данном случае означает две сотни: Теперь вытаскиваем остаток. Из пяти десятков тысяч корень извлечён только из четырёх десятков тысяч. Значит в остатке остался один десяток тысяч. Вытащим его: Опять же надо понимать, что 4 это 40000, а 1 это 10000. С помощью рисунка это можно пояснить так: квадрат, площадь которого 40000, вычитается от общего квадрата, площадь которого 54756. Остаётся фигура, площадь которой 54756 − 40000 = 14756 Теперь нужно найти десятки корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей ab + ab + b2 (или 2ab + b2). В эту сумму будет входить один десяток тысяч, который остался в результате нахождения сóтен корня, удвоенное произведение сотен и десятков корня 2ab, а также десятки корня в квадрате b2. Десятки в квадрате составляют сотни. Поэтому десятки корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Под корнем сейчас 47 сотен. Снесём их к остатку 1, предварительно отделив их под корнем мéткой: Один десяток тысяч это сто сотен, плюс снесено 47 сотен. Итого 100 + 47 = 147 сотен. В эти 147 сотен должна входить сумма 2ab + b2 2ab + b2 = 14700 Переменная a уже известна, она равна 200. Подставим это значение в данное равенство: 2 × 200 × b + b2 = 14700  400b + b2 = 14700 Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 14700 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку b является десятками искомого корня, то значение b является двузначным числом с одним нулём на конце. Такое число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки b b(400 + b) = 14700 Теперь левую часть можно понимать так: к 400 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же самым b даст в результате 14700 или близкое к 14700 число, не превосходящее его. Подставим например 40 40(400 + 40) = 14700 17600 ≠ 14700 Получается 17600, которое превосходит число 14700. Значит число 40 не годится в качестве десятков корня. Проверим тогда число 30 30(400 + 30) = 14700 12900 ≤ 14700 Получилось число 12900, которое не превосходит 14700. Значит число 30 подходит в качестве десятков корня. Числа, расположенные между 30 до 40 проверять не нужно, поскольку сейчас нас интересуют только двузначные числа с одним нулем на конце: Вернемся к нашему рисунку. Сторона b это десятки корня. Укажем вместо b найденные десятки 30. А квадрат, площадь которого b2 это найденные десятки во второй степени, то есть число 900. Также укажем площади прямоугольников ab. Они равны произведению сотен корня на десятки корня, то есть 200 × 30 = 6000 Ранее в ответе мы написали не 30, а 3. Это является сокращённым вариантом. Число 3 в данном случае означают три десятка. Теперь вытаскиваем остаток. В 147 сотен вместилось только 129 сотен. Значит в остатке осталось 147 − 129 = 18 сотен плюс сносим число 56 из подкоренного выражения. В результате образýется новый остаток 1856 С помощью рисунка это можно пояснить так: от фигуры, площадь которой 14756, вычитается площадь 12900. Остаётся фигура, площадь которой 14756 − 12900 = 1856 Теперь нужно найти единицы корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей 2(a + b)c + c2. В эту сумму и должен входить последний остаток 1856 2(a + b)c + c2 = 1856 Переменные a и b уже известны, они равны 200 и 30 соответственно. Подставим эти значения в данное равенство: 2(200 + 30)c + c2 = 1856  2 × 230c + c2 = 1856 460c + c2 = 1856 Теперь наша задача найти такое значение c, при котором левая часть станет равна 1856 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку c является единицами искомого корня, то значение с является однозначным числом. То есть значение с это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки с с(460 + c) = 1856 Теперь левую часть можно понимать так: к 460 следует прибавить нéкоторое число с, которое при умножении с тем же сáмым с даст в результате 1856 или близкое к 1856 число, не превосходящее его. Подставим, например, число 4 4(460 + 4) = 1856 4 × 464 = 1856 1856 = 1856 Именно поэтому при использовании алгоритма первые найденные цифры умножают на 2. Так, 23 мы умнóжили на 2, получили 46 и уже к 46 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру, пытаясь получить остаток 1856 Итак, с = 4. При подстановке вместо с числá 4 получается остаток 1856. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 54756, имеет сторону равную 200 + 30 + 4, то есть 234. Если из общей площади 54756 вычесть 40000, 6000, 6000, 900, 920, 920 и 16, то получим 0. Остаток равный нулю говорит о том, что решение завершено: 54756 − 40000 − 6000 − 6000 − 900 − 920 − 920 − 16 = 0 Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 3 Квадратный корень из числа 3 не извлекается. Ранее мы говорили, что квадратные корни из таких чисел можно извлекать только приближённо с определенной точностью. Пусть 3 это площадь следующего квадрата: Извлечь корень из числа 3 значит найти длину стороны данного квадрата: Корень из 3 больше корня из 1, но меньше корня из 4 √1 < √3 < √4 Корни из 1 и 4 являются целыми числами. √1 < √3 < √4 1 < √3 < 2 Между числами 1 и 2 нет целых чисел. Значит корень из числа 3 будет десятичной дробью. Найдём этот корень с точностью до десятых. Квадратный корень из числа 3 можно представить в виде суммы a + b, где a — целая часть корня, b — дробная часть. Тогда сторону квадрата можно разбить на две составляющие: a и b Сумма a + b во второй степени должна приближённо равняться 3. (a + b)2 ≈ 3 Выполним в левой части данного равенства возведéние в квадрат: a2 + 2ab + b2 ≈ 3 Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 3, можно представить так: Найдём a. Извлечём корень из числа 3 с точностью до целых, получим 1 Если a2 это 1, а площадь всего квадрата равна 3, то в остатке останется 2. В этот остаток должна вмещаться площадь оставшейся фигуры: Найдём b. Для этого рассмотрим сумму площадей 2ab + b2. Эта сумма должна приближённо равняться остатку 2, но не превосходить его 2ab + b2 ≈ 2 Значение a уже известно, оно равно единице: 2b + b2 ≈ 2 Вынесем за скобки b b(2 + b) ≈ 2 Теперь в левой части к 2 следует прибавить нéкоторое число b, которое при умножении с тем же b будет приближённо равняться 2. Значение b является дробным числом, а именно десятой частью. Оно равно какому-нибудь числу из промежутка [0,1; 0,9]. Возьмём любое число из этого промежутка и подставим его в равенство. Подставим к примеру 0,8 0,8(2 + 0,8) ≈ 2 2,24 ≈ 2 Получилось 2,24 которое превосходит 2. Значит 0,8 не годится в качестве значения b. Проверим тогда 0,7 0,7(2 + 0,7) ≈ 2 1,89 ≈ 2 Получилось 1,89 которое приближённо равно 2 и не превосходит его. Значит 0,7 является значением b Значит квадратный корень из 3 с точностью до десятых приближённо равен 1 + 0,7 К сожалению, понять механизм алгоритма извлечения квадратного корня намного сложнее, чем использовать сам алгоритм. Решите несколько примеров на применение алгоритма, и понимание механизма его работы будет даваться вам значительно проще. Задания для самостоятельного решения Задание 1. Извлечь квадратный корень из числа 169, используя алгоритм извлечения квадратного корня Решение: Задание 2. Извлечь квадратный корень из числа 289, используя алгоритм извлечения квадратного корня Решение: Задание 3. Извлечь квадратный корень из числа 1089, используя алгоритм извлечения квадратного корня Решение: Задание 4. Извлечь квадратный корень из числа 1764, используя алгоритм извлечения квадратного корня Решение: Задание 5. Извлечь квадратный корень из числа 4761, используя алгоритм извлечения квадратного корня Решение: Задание 6. Извлечь квадратный корень из числа 132496, используя алгоритм извлечения квадратного корня Решение: Задание 7. Извлечь квадратный корень из числа 157 с точностью до сотых, используя алгоритм извлечения квадратного корня Решение: Задание 8. Извлечь квадратный корень из числа 240,25 используя алгоритм извлечения квадратного корня Решение: Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже Навигация по записям Калькулятор настольный полноразмерный Citizen SDC-444S 12-разрядный черный Калькулятор настольный полноразмерный Citizen SDC-444S 12-разрядный черный – выгодная цена – купить товар Калькулятор настольный полноразмерный Citizen SDC-444S 12-разрядный черный в интернет-магазине Комус {{#each tradingPlatforms}} {{/each}} {{/if}} Запросите оферту через форму обратной связи {{#if tradingPlatforms.length}} {{/if}} Арт. 176189 • В наличии Характеристики: Торговая марка: Citizen Разрядность дисплея: 12 Тип размера: полноразмерный Материал кнопок: пластик Металлическая панель: Нет Вычисление налога: Нет Пересчет курсов валют: Нет Коррекция вычислений: Да Тип применения: для бухгалтеров Страна происхождения: Филиппины Цена за шт. цена только для интернет-магазина 876,00 р. Количество Ваша цена Экономия 2 806,00 p. 70,00 р. 4 771,00 p. 105,00 р. 6 718,00 p. 158,00 р. 8 666,00 p. 210,00 р. Наличие в магазинах «Комус» товара с артикулом N {{productId}} {{region}}, состояние на {{currentTime}} {{> pageNumberTemplate pages}} {{#if availableStocks.length}} {{#if subwayNeed }} {{/if}} {{#each availableStocks}} {{/each}} {{/if}} {{> pageNumberTemplate pages}} В розничных магазинах «Комус» цена на данный товар может отличаться от цены Интернет-магазина. Подробную информацию о цене и количестве товара вы можете получить, позвонив по телефону ближайшего к Вам магазина «Комус». Адреса всех магазинов Комус Закрыть Закрыть {{/if}} {{#each products}}

{{#if (eqw this.forbidden true)}} {{> productAddToCartForbiddenTemplate}} {{else}} {{#if (and (neqw this.stock null) (neqw (uppercase this.stock.stockLevelStatus.code) «OUTOFSTOCK») (neqw this.price null))}} {{else}} Товар недоступен {{/if}} {{/if}} Арт. {{this.code}} {{#if this.stock}} {{#if (neqw this.stock.stockStatusText null)}} {{{ this.stock.stockStatusText }}} {{else}} {{#if (eqw (uppercase this.stock.stockLevelStatus.code) «ONREQUEST»)}} Под заказ {{else}} {{#if (neqw (uppercase this.stock.stockLevelStatus.code) «OUTOFSTOCK»)}} В наличии {{else}} Нет в наличии {{/if}} {{/if}} {{/if}} {{/if}}

{{@key}}

{{this}}

Торговая марка

{{#if (neqw this.trademark null)}} {{this.trademark.name}} {{/if}}

Рейтинг

{{#if (eqw this.ratingWidth null)}} {{this.averageRating}}{{#if (eqw this.averageRating null)}}0{{/if}}

Торговая марка:	Citizen
Подробные характеристики
Модель:	SDC-444S
Разрядность дисплея:	12
Тип питания:	LR54
Размер изделия:	199x153x30 мм
Тип размера:	полноразмерный
Материал кнопок:	пластик
Металлическая панель:	Нет
Вес изделия:	0.209 кг
Расчет процентов:	Да
Вычисление налога:	Нет
Пересчет курсов валют:	Нет
Коррекция вычислений:	Да
Гарантийный срок:	60 мес
Принадлежность к ТСТ:	оборудование не требует установки/запуска
Вычисление квадратного корня:	Да
Тип применения:	для бухгалтеров
Страна происхождения:	Филиппины
Цвет:	черный

Отзывы: Калькулятор настольный полноразмерный Citizen SDC-444S 12-разрядный черный

Отзывы могут оставлять только авторизованные пользователи.

{{#if (neqw this.shopAnswer null)}}

Магазин «Комус»,

{{this.shopAnswer}}

{{/if}} {{/each}}

Описание

Настольный калькулятор — незаменимый помощник в офисе, школе и дома. Эргономичная форма, крупные клавиши, устойчивые прорезиненные ножки позволят работать эффективнее. Оптимальный набор функций поможет автоматизировать расчеты: вычисление квадратного корня, коррекция последнего введенного значения, копка»00«, двойная память, расчет наценки и функция автоотключения. Сама продаваемая модель в России по версии РБК! Одобрен для ЕГЭ по физике, химии и геограыии, сертификат прилагается. Тип клавиатуры: пластик. Наличие металлической панели: нет. Гарантия 5 лет! Мир рассчитывает на Citizen!

Торговая марка:	Citizen
Подробные характеристики
Модель:	SDC-444S
Разрядность дисплея:	12
Тип питания:	LR54
Размер изделия:	199x153x30 мм
Тип размера:	полноразмерный
Материал кнопок:	пластик
Металлическая панель:	Нет
Вес изделия:	0.209 кг
Расчет процентов:	Да
Вычисление налога:	Нет
Пересчет курсов валют:	Нет
Коррекция вычислений:	Да
Гарантийный срок:	60 мес
Принадлежность к ТСТ:	оборудование не требует установки/запуска
Вычисление квадратного корня:	Да
Тип применения:	для бухгалтеров
Страна происхождения:	Филиппины
Цвет:	черный

ООО «МИР ФОТО И РЕКЛАМЫ», Юлия, написал(а) 02 Июнь 2021

Очень хороший и практичный калькулятор. Действительно долгожитель среди всех моделей.!!! Очень удобен для офиса в использовании. Купили уже третий для сотрудников ))

МОСИНЖЖЕЛЕЗОБЕТОН ЖБИ-15, Ivan йцу Test, написал(а) 04 Июнь 2019

Калькулятор хорошо подходит для офиса.

Любовь, написал(а) 21 Декабрь 2018

Калькулятор- долгожитель! Очень удобный размер,большие клавиши- большой плюс. При этом не мешает на рабочем столе

Полозов, написал(а) 21 Август 2016

Это — облегчённая версия легендарного долгожителя SDC-888. Отличие от 888 — нет металлической рамки вокруг экрана. Только по этой причине он стоит дешевле. Базовая модель выпускается как минимум с середины 90-х годов прошлого века.

Виктория, написал(а) 19 Март 2016

Недавно купили такой калькулятор. Довольны. Самое главное — большие удобные кнопки для нажатия. Большой набор различных вычислительных функций. Высокая разрядность дисплея. С удовольствием пользуемся)

«Калькулятор» на iPhone: скрытые возможности стандартного iOS-приложения

«Калькулятор» – одно из системных приложений в iOS, на которое владельцы «яблочных» смартфонов в большинстве своем практически не обращают внимание. Для тех, кто имеет дело с постоянными расчетами и вычислениями, мобильный калькулятор служит, скорее, экстренной заменой, но для остальных пользователей приложение является неплохим подспорьем в определенных ситуациях. 

♥ ПО ТЕМЕ: Как считать проценты: от суммы, числа, по кредиту, на калькуляторе, на айфоне.

Помимо базовых функций, «Калькулятор» на iPhone включает ряд дополнительных возможностей, о которых Вы могли не знать.

 

Видео:

 

Как активировать научный калькулятор

В число функций приложения входит научный калькулятор, предназначенный для произведения сложных математических вычислений. О его существовании наверняка известно многим владельцам iPhone. При повороте устройства на 90 градусов клавиатура калькулятора превращается в более функциональный интерфейс с кнопками, имеющими интуитивно понятное обозначение. Используя научный калькулятор любители математики смогут извлекать корни, вычислять логарифмы и тригонометрические функции.

♥ ПО ТЕМЕ: Почему «0» на клавиатуре-звонилке iPhone идет после «9», а в калькуляторе перед «1»?

 

Как удалить последнюю введенную цифру в калькуляторе

Вы когда-нибудь задумывались, где Apple разместила кнопку возврата, позволяющую исправить цифру в случае ошибочного ввода? Многие пользователи используют для этой цели клавишу C (Сброс) и, в результате, вынуждены начинать операцию сначала. Apple предусмотрела более простое решение проблемы – для того, чтобы удалить последнюю введенную цифру, поместите палец на числовое значение и сделайте свайп вправо или влево. Направление свайпа не важно – приложение всегда удаляет только последнюю введенную цифру. Данный жест работает как в вертикальном, так и в горизонтальном режимах.

♥ ПО ТЕМЕ: Как правильно заштриховывать секретные данные на скриншотах в iPhone, чтобы их нельзя было увидеть.

 

Как в калькуляторе скопировать последний результат

С выходом iOS 10 переключение между «Калькулятором» и другими приложениями стало намного удобнее благодаря наличию поддержки 3D Touch. В устройствах с поддержкой 3D Touch «Пункт управления» включает функцию «Скопировать последний результат», избавляющую пользователей от необходимости каждый раз открывать «Калькулятор» для доступа к результатам подсчетов.

♥ ПО ТЕМЕ: Ретушь на Айфоне: лучшие iOS-приложения для ретуширования фотографий.

 

Как в калькуляторе на iPhone повторить последнее действие

Повторное нажатие на клавишу «=» в калькуляторе позволит повторить последнее произведенное действие. Например, подсчитываем чему равно 80% от 1200 (1200 × 0,8 = 960). Каждый раз, когда пользователь будет нажимать «=» приложение повторно проведет операцию (то есть посчитает 80% от 960, 80% от 768 и т.д.).

♥ ПО ТЕМЕ: iPhone новый, demo или восстановленный (реф, CPO, как новый) – как проверить по номеру модели.

 

Какая разница между кнопками C и AC в калькуляторе

Нажатие на кнопку AC приводит к аннулированию текущего ввода, а кнопка C отменяет последнюю из введенных операций. В начале ввода клавиша будет иметь значение AC, а затем изменит значение на C, что позволит пользователю лучше контролировать производимые вычисления.

Смотрите также:

Учебное пособие по научному калькулятору

— квадратный корень из x Учебное пособие по научному калькулятору

— квадратный корень из x
Одна из основных функций калькулятора — функция извлечения квадратного корня. Расположение ключа будет варьироваться от калькулятора к калькулятору. На некоторых калькуляторах потребуется клавиша Shift. В любом случае вам нужно будет искать символ на вашем калькуляторе. У меня мы находим это так, как показано на рисунке справа.

Предположим, вы хотите оценить что-то вроде на вашем калькуляторе.Сначала введите число 9. Затем нажмите клавишу извлечения квадратного корня. В результате должен получиться ответ 3.

Предположим, вы хотите оценить что-то вроде на вашем калькуляторе. Сначала введите число 25,85. Затем нажмите клавишу квадратного корня. В результате должен получиться что-то вроде 5.084289528. Имейте в виду, что это не совсем точный ответ. Калькуляторы ограничены определенным количеством десятичных знаков. Мой научный калькулятор может отображать не более 10 знаков. Если бы вы оценили 5.084289528 ² вручную получится 25.850000004530462784. Однако для большинства целей 5.084289528 является прекрасным приближением для.

Теперь предположим, что вы хотите оценить что-то подобное на своем калькуляторе. Сначала введите часть под корнем (символ квадратного корня). Вы введете 2 * 3,5 + 4 * 5,23. Затем вам нужно будет нажать знак равенства. НЕ нажимайте клавишу извлечения квадратного корня, пока не нажмете знак равенства. Причина в том, что калькулятор будет оценивать вещи, используя правильный приоритет операций.Это означает, что калькулятор извлечет квадратный корень из 5,23, умножит его на 4 и прибавит 2 * 3,5. Это будет неправильный ответ. После того, как вы нажмете знак равенства, нажмите клавишу квадратного корня. В результате должен получиться примерно такой ответ: 5.283937925. Опять же, имейте в виду, что это не точный ответ, а приблизительный. Другой способ справиться со сложными выражениями под квадратным корнем — использовать круглые скобки.

Предположим, вы хотите оценить, используя круглые скобки.Сначала введите левую скобку. Затем введите деталь под корень. Затем введите правую скобку. Вы введете (2 * 3,5 + 4 * 5,23). Правая скобка имеет тот же эффект, что и знак равенства. Затем нажмите клавишу квадратного корня. Опять же, в результате должен получиться что-то вроде 5.283937925.

---

Перейти к СЛЕДУЮЩЕМУ руководству.
Перейти к ПРЕДЫДУЩЕМУ руководству.
Перейдите на главную страницу учебника по калькулятору.
Перейти на главную страницу курса.

Комментарии и предложения присылайте по адресу :worthf @ hsu.edu

Дата последнего изменения — 07.04.99
HSU Страница отказа от ответственности — «Взгляды и мнения, выраженные в этом page строго принадлежат автору страницы. Содержание этой страницы не были рассмотрены или одобрены Государственным университетом Хендерсона «.

Калькулятор корня ➤ вычислить любой корень

Воспользуйтесь этим калькулятором, чтобы легко вычислить корень n-й степени заданного числа.

Быстрая навигация:

1. Что такое корень числа?
2. Функции квадратного и кубического корня
3. Поддерживает ли калькулятор дроби?

Что такое корень числа?

n-й корень числа отвечает на вопрос «какое число я могу умножить само на себя n раз, чтобы получить это число?».Это обратная операция возведения в степень, когда показатель степени равен n, поэтому, если r ⁿ = x, то мы говорим, что «r — корень n-й степени из x». Математическая операция нахождения корня числа имеет специальное обозначение: символ корня √.

Если n четно, то всегда есть два корня: положительный и отрицательный, с равным значением и противоположными знаками. Положительное решение называется главным корнем. Если n нечетное, то существует только один корень действительного числа, и он имеет тот же знак, что и x.Это его главный корень. Некоторые корни, например кубический корень, также имеет решения в комплексных числах и сопряжениях, но это всегда главный корень, который будет выводить наш калькулятор корней.

Самыми популярными корневыми функциями являются квадратный корень (n = 2) и кубический корень (n = 3), причем первая из них имеет множество приложений в математике, геометрии, физике, теории вероятностей и статистике. Кубические корни находят применение в угловых вычислениях.

Функции квадратного и кубического корня

Вот визуализация функций квадратного корня и кубического корня для небольшого набора целых чисел:

Графики были построены с использованием этого калькулятора корня n-й степени.Он поддерживает любой корень, который может вас заинтересовать в вычислениях, в той мере, в какой это позволяет современное программное обеспечение.

Калькулятор поддерживает дроби?

Да, просто введите дробь как десятичное число (используйте точку в качестве десятичного разделителя), и вы получите соответствующий корень. Например, чтобы вычислить квадратный корень из 1/2, просто введите 0,5 в числовое поле и 2 в поле корня, и вы получите 0,7071 на выходе. Если у вас возникли проблемы с преобразованием дроби в десятичное число, вам пригодится наш конвертер дроби в десятичное.

Как вычислить квадратный корень вручную (с иллюстрациями)

Краткое содержание статьиX

Чтобы вычислить квадратный корень вручную, сначала оцените ответ, найдя 2 полных квадратных корня, между которыми находится это число. Идеальный квадратный корень — это любой квадратный корень из целого числа. Например, если вы пытаетесь найти квадратный корень из 7, сначала вам нужно найти первый правильный квадрат ниже 7, который равен 4, и первый правильный квадрат выше 7, который равен 9. Затем найдите квадратный корень из каждого полного квадрата.Квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 9 равен 3. Таким образом, вы знаете, что квадратный корень из 7 находится где-то между 2 и 3. Теперь разделите полученное число на один из найденных полных квадратных корней. Например, вы бы разделили 7 на 2 или 3. Если бы вы выбрали 3, ваш ответ был бы 2,33. Затем найдите среднее значение этого числа и точный квадратный корень. Чтобы найти среднее значение в этом примере, сложите 2,33 и 2, затем разделите на 2 и получите 2,16. Повторите процесс, используя полученное среднее значение.Сначала разделите число, из которого вы пытаетесь найти квадратный корень, на среднее значение. Затем найдите среднее значение этого числа и исходного среднего, сложив их и разделив на 2. Например, сначала вы разделите 7, число, с которого вы начали, на 2,16, среднее, которое вы рассчитали, и получите 3,24. Затем вы должны добавить 3,24 к 2,16, старому среднему, и разделить на 2, чтобы найти новое среднее значение, равное 2,7. Теперь умножьте свой ответ на себя, чтобы увидеть, насколько он близок к квадратному корню из числа, с которого вы начали.В этом примере 2,7, умноженное на само себя, равно 7,29, что на 0,29 отличается от 7. Чтобы приблизиться к 7, вы должны просто повторить процесс. Продолжайте делить число, с которого вы начали, на среднее значение этого числа и идеального квадрата, используя это число и старое среднее значение, чтобы найти новое среднее значение, и умножайте новое среднее значение само на себя, пока оно не сравняется с вашим начальным числом. Если вы хотите узнать, как использовать алгоритм длинного деления для нахождения квадратного корня, продолжайте читать статью!

Спасибо всем авторам за создание страницы, которую прочитали 2161 289 раз.

работает для десятичных и целых подкоренных выражений

Что такое квадратный корень?

Определение квадратного корня: Противоположность возведению числа в квадрат. Например, найти квадратный корень из 81 — это то же самое, что спросить: «Какое число в квадрате равно 81?»

Конечно, если вы знаете, что 9 x 9 = 81, вы будете знать, что квадратный корень из 81 равен 9 (9 ² = 81). Однако вы можете не осознавать, что -9 также является квадратным корнем из 81, потому что -9 x -9 также равняется 81.

Другими словами, все числа больше нуля (ноль никогда не может быть отрицательным или положительным) имеют два квадратных корня — один положительный и один отрицательный. Вот почему при использовании онлайн-калькулятора квадратного корня результату всегда будет предшествовать знак ±.

Что касается отрицательных чисел, поскольку отрицательное значение, умноженное на отрицательное, всегда дает положительное число, отрицательные числа не могут иметь действительного квадратного корня.

Что такое идеальные квадраты?

Когда число имеет квадратный корень, являющийся целым числом, это число называется полным квадратом.Например, поскольку √4 имеет квадратный корень из 2, 4 называется полным квадратом. Вот список идеальных квадратов до 225:

Список идеальных квадратов до 225 92 121

КР° к Ð ± Ñ ‹Ñ Ñ‚Ñ € о Ð · Ð ° помнить Ñ‚Ð ° Ð ± Ð Ð¸Ñ † у Ð · нР° Ñ ‡ ений «sin», «cos», «tgî», «ctg» €?

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð½Ð ° тему: СинуÑ, ÐºÐ¾Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð¸ Ñ‚Ð ° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ñƒ гРР° AC

ÐžÑ‚Ð²ÐµÑ‚Ñ ‹Mail ru: РжнР° Ñ‚Ð ° Ð ± Ð Ð¸Ñ † Ð ° Ñ Ð¾ Ð · нР° Ñ ‡ ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¼Ð¸ î €€ cosî €, € € sinî €, € € tgî €

î €€ Sinî € (€ € 90 ° € + ±) = € € Cos ‘€ (€ € 90 ° € ° + ±) = € € tgî € (€ € 90 ° € + ±) = € € Â ° ±

Na czym polegają funkcje trygonometryczne lub trójką ty

Ð — нР° Ñ ‡ ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¡Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð ° ÐšÐ¾Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð ° Ð ¢ Ð ° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ð ° КотР° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ð ° emalldownloader

разоны с зажимом для пальцев

Ð ¢ Ð ° Ð ± Ð Ð¸Ñ † Ñ ‹Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð¾Ð², ÐºÐ¾Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð¾Ð², Ñ‚Ð ° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ð¾Ð² и котР° нген котР° нген ввР°

sin cos tan таблица тригонометрических формул

sin tan cos таблица радиан

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð½Ð ° тему: СинуÑ, ÐºÐ¾Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ, Ñ‚Ð ° Ð½Ð³ÐµÐ½Ñ Ð¸ ÐºÐ¾Ñ ‚Ð ° нгенÑ

тригонометрия тригонометрическая tg valorile sinus cosinus graficul

таблица cos tg sin ctg valori тригонометрическая функция cosinus functia directe ppt презентация в PowerPoint fitfab

tg cos ctg tabela cosinus sin cotangens sinus aksu znalezienie styczna Definicje

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð½Ð ° тему: Ð’Ñ ‹Ñ € Ð ° Ð · ите угоРв Ñ € Ð ° ди Ð ° нР° Ñ… Ñ Ð¿Ð¾Ð¼Ð¾Ñ ‰ ью

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð¿Ð¾ мР° темР° тике Ð — нР° ки Ñ Ð¸Ð½ÑƒÑ Ð °, ÐºÐ¾Ñ Ð Ð½ÑƒÑ Ð °

T¡blázat î €€ sinî €, € € cosî €, € € tgî €, î €€ ctgî €

Ø £ كم Ù „ÙŠ Øساب x Ù ÙŠ كل Øا٠„Ø ©

ÐŸÑ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð½Ð ° тему: Ð Ð ° йти: 1) î €€ sinî € A, 2) cоs A, 3) î € € A

tabela wzory redukcyjne funkcji

Krótszy bok równolegÅ‚oboku ma dÅ‚ugoÅ ›Ä ‡ 4 см, a wysokoÅ› Ä ‡

180 sin cos Ð¿Ð¾Ð´Ñ € оР± но Ð¿Ð¾Ð ÑƒÑ ‡ Ð ° ем Ñ Ñ‚Ð¾Ð¼ же Ñ Ñ € Ð ° Ð · у Ð¾Ñ Ñ‚Ð ° нР° вРРвР° Ñ‚ÑŒÑ Ñ Ð¾Ñ‚Ñ ÑŽÐ´Ð ° tg нР°

sin cos tg ctg 60 45 стопни

Ð ¢ Ñ € игономет € Ð¸Ñ Ð¤Ð¾Ñ € Ð¼ÑƒÐ Ñ ‹Ð¿Ñ € Ð¸Ð²ÐµÐ´ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿Ñ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð¾Ð½Ð Ð ° йн

Ð’Ñ ‹Ñ ‡ Ð¸Ñ Ð ‚е î €€ sinî € a, î € € cosî € a, î €€ tgî € a, î €€ ctgî € a дРР· Ð ° дР° нного Ð · нР° Ñ ‡ ениÑ

Ð ¢ Ñ € игономет € Ð¸Ñ Ð¤Ð¾Ñ € Ð¼ÑƒÐ Ñ ‹Ð¿Ñ € Ð¸Ð²ÐµÐ´ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿Ñ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð¾Ð½Ð Ð ° йн

Ð ¢ Ñ € игономет € Ð¸Ñ Ð¤Ð¾Ñ € Ð¼ÑƒÐ Ñ ‹Ð¿Ñ € Ð¸Ð²ÐµÐ´ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿Ñ € еР· ентР° Ñ † Ð¸Ñ Ð¾Ð½Ð Ð ° йн

(î € € Sinî € (a) î €€ ctgî € (a)) / (î €€ cosî € (360 ° a) î €€ tgî € (î €€ 180î € ° + a )) Ð¿Ñ € Ð¾Ñ Ñ‚Ð¸Ñ‚ÑŒ

Таблица тригонометрическая (tabel «sin», «cosî», «tgî», «ctg» €

СР± Ð¾Ñ € ник Ð · Ð ° дР° Ñ ‡

Wzory trygonometryczne

Tablice z wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych znajdują się pod tym linkiem.2 {\ alpha} -1} \\\\\ end {split} \]

Funkcje trygonometryczne sumy i rónicy kątów

\ [\ begin {split} & \\ & \ sin {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} = \ sin {\ alpha} \ cos {\ beta} + \ sin {\ beta} \ cos {\ alpha} \\\\\\\\ & \ sin {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} = \ sin {\ alpha} \ cos {\ beta} — \ sin {\ beta} \ cos {\ alpha} \\\\\\\\ & \ cos {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} = \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} — \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} \\\\\\\\ & \ cos {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} = \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} + \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} \\\\\\\\ & \ text {tg} {\ left (\ альфа + \ beta \ right)} = \ frac {\ text {tg} {\ alpha} + \ text {tg} {\ beta}} {1- \ text {tg} {\ alpha} \ \ text {tg} {\ beta}} \\\\\\\\ & \ text {tg} {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} = \ frac {\ text {tg} {\ alpha} — \ text {tg } {\ beta}} {1+ \ text {tg} {\ alpha} \ \ text {tg} {\ beta}} \\\\\\\\ & \ text {ctg} {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} = \ frac {\ text {ctg} {\ alpha} \ \ text {ctg} {\ beta} -1} {\ text {ctg} {\ beta} + \ text {ctg} {\ альфа}} \\\\\\\\ & \ text {ctg} {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} = \ frac {\ text {ctg} {\ alpha} \ \ text { ctg} {\ beta} +1} {\ text {ctg} {\ beta} — \ text {ctg} {\ alpha}} \\\\\ end {split} \]

Wzory redukcyjne

√1	=	1	с	1 2	=	1
√4	=	2	с	2 2	=	4
√9	=	3	с 9102	3	с
√16	=	4	с	4 2	=	16
√25	=	01 9	9	9	5		=	25
√36	=	6	с	6 2	=	36
√49	= 7 01 с	7 2	=	49
√64	=	8	с	8 2	=	64
9	с	9 2	=	81
√100	=	10	с	10 2 100102
=	11	начиная с	11 2	=	121
√144	=	12	начиная с	101 12
√169	=	13	с	13 2	=	169
√196	=	14	с	14 2	=	196
√225	=	15	с	15 2	=	по-прежнему 225 Если вам сложно понять квадратные корни, сообщите мне об этом в форме обратной связи, расположенной под калькулятором, и я постараюсь улучшить свои пояснения на этой странице. Можно ли получить «рут! Рут!»? 🙂 Корневой символ в калькуляторе RedCrab Описание как написать корневой символ в RedCrab Calculator Запись корневого символа Корневой символ записывается клавишами Ctrl + 1 . Выберите корневую зону Введите корневой символ с помощью клавиш Ctrl + 1 Затем выберите область справа от символа, который будет включен в корень Затем щелкните по корневому символу Чтобы изменить корневую область, выберите новую область и снова щелкните символ корня При двойном щелчке по корневому символу область сбросит Чтобы выбрать корневую область с помощью клавиатуры, удерживая клавишу Shift, переместите курсор с конца диапазона на символ корня Как определить корни с помощью научного калькулятора — Видео и стенограмма урока Квадратный корень Чтобы вычислить квадратный корень, воспользуйтесь кнопкой квадратного корня на вашем научном калькуляторе.Чтобы использовать эту кнопку, вам необходимо знать, как работает ваш калькулятор. В некоторых калькуляторах сначала нужно ввести число, а затем нажать кнопку извлечения квадратного корня. В других случаях вы сначала нажимаете кнопку извлечения квадратного корня, а затем свое число. Так, например, чтобы найти квадратный корень из 5, вы нажмете эти кнопки, если в вашем калькуляторе вы сначала вводите число. Квадратный корень из 5 должен быть около 2,236. Пользовательская кнопка корня Чтобы найти другие корни, вы воспользуетесь специальной кнопкой, которая позволит вам выбрать корень.Если вы не видите такой кнопки, возможно, она находится в меню одной из функциональных клавиш. Вы можете использовать настраиваемую корневую кнопку , чтобы найти кубический, четвертый и пятый корни или любой положительный целочисленный корень. Чтобы использовать эту кнопку, вам нужно посмотреть руководство к своему калькулятору. В некоторых калькуляторах вы сначала вводите число, затем кнопку корня, а затем желаемый корень. В других случаях вы выполняете эти операции в обратном порядке, начиная с желаемого корня, затем кнопки корня и числа. Чтобы найти кубический корень из 5 с помощью калькулятора, в который вы вводите желаемый корень последним, вы нажимаете следующие кнопки: Кубический корень из 5 должен быть около 1,7. Кнопка экспоненты Если в вашем калькуляторе нет настраиваемой кнопки корня, вы можете использовать кнопку настраиваемой степени, чтобы найти корень. Чтобы использовать кнопку настраиваемой степени , преобразуйте желаемый корень в показатель степени, инвертируя его или используя 1 в качестве числителя и корня в качестве знаменателя дроби.Таким образом, кубический корень становится показателем 1/3, квадратный корень становится показателем или степенью 1/2, а корень пятой степени становится 1/5 и так далее. После преобразования желаемого корня используйте кнопки в круглых скобках, чтобы сообщить калькулятору, что у вас есть дробная экспонента. Итак, чтобы ввести квадратный корень из 9, нажмите эти кнопки: Помните, что в зависимости от вашего калькулятора вам может потребоваться сначала ввести дробную экспоненту, прежде чем нажимать кнопку настраиваемой степени.символ). Если у вас есть, вы можете использовать его вместо кнопки настраиваемой экспоненты. Обе кнопки означают, что базовое число взято в степень. Практическая задача Давайте попробуем вычислить седьмой корень из 24. Если в вашем калькуляторе вы выбираете корень в последнюю очередь, то вы будете нажимать на такие кнопки. Вы должны получить ответ около 1,5746. Краткое содержание урока На этом уроке вы узнали, как использовать научный калькулятор для вычисления корней.Корень в математике относится к этому символу: Например, когда вы извлекаете квадратный корень из числа, вы ищете число, которое при умножении само на себя дает данное число. Например, квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 умножения на себя равно 9. Кубический корень числа — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает данное число.), которую можно использовать вместо кнопки настраиваемой экспоненты. Оценка и аппроксимация квадратного корня результатов обучения Вычислить квадратный корень, не являющийся полным квадратом Приблизительные квадратные корни с помощью калькулятора До сих пор мы работали только с квадратными корнями из абсолютных квадратов. Квадратные корни из других чисел не являются целыми числами. Мы можем заключить, что квадратные корни из чисел между [латексом] 4 [/ латексом] и [латексом] 9 [/ латексом] будут находиться между [латексом] 2 [/ латексом] и [латексом] 3 [/ латексом], и они не будут целыми числами.Основываясь на шаблоне в таблице выше, мы можем сказать, что [latex] \ sqrt {5} [/ latex] находится между [latex] 2 [/ latex] и [latex] 3 [/ latex]. Используя символы неравенства, пишем [латекс] 2 <\ sqrt {5} <3 [/ латекс] , пример Оцените [латекс] \ sqrt {60} [/ latex] между двумя последовательными целыми числами. Решение Подумайте о идеальных квадратах, ближайших к [латексу] 60 [/ латексу]. Составьте небольшую таблицу из этих идеальных квадратов и их корней из квадратов. [латекс] \ text {Найдите 60 между двумя последовательными точными квадратами.} [/ латекс] [латекс] 49 <60 <64 [/ латекс] [латекс] \ sqrt {60} \ text {находится между квадратными корнями.} [/ Latex] [латекс] 7 <\ sqrt {60} <8 [/ латекс] В следующем видео вы увидите больше примеров того, как вычислить квадратный корень между двумя последовательными целыми числами. Приблизительные квадратные корни с помощью калькулятора Существуют математические методы для приближения квадратных корней, но гораздо удобнее использовать калькулятор для нахождения квадратных корней.Найдите на калькуляторе клавишу [latex] \ sqrt {\ phantom {0}} [/ latex] или [latex] \ sqrt {x} [/ latex]. Вы будете использовать этот ключ для вычисления приближения квадратных корней. Когда вы используете свой калькулятор, чтобы найти квадратный корень из числа, не являющегося точным квадратом, ответ, который вы видите, не является точным числом. Это приблизительное количество цифр, отображаемых на дисплее вашего калькулятора. Символ приблизительного значения [латекс] \ приблизительно [/ латекс] читается как приблизительно . Предположим, у вашего калькулятора есть [латексный] \ текст {10-значный} [/ латексный] дисплей.Используя его для нахождения квадратного корня из [latex] 5 [/ latex], вы получите [latex] 2.236067977 [/ latex]. Это приблизительный квадратный корень из [латекса] 5 [/ латекса]. Когда мы сообщаем ответ, мы должны использовать знак «примерно равно» вместо знака равенства. [латекс] \ sqrt {5} \ приблизительно 2.236067978 [/ latex] Вы редко будете использовать такое количество цифр в приложениях по алгебре. Итак, если вы хотите округлить [латекс] \ sqrt {5} [/ latex] до двух десятичных знаков, вы должны написать [латекс] \ sqrt {5} \ приблизительно 2.{2} & = & 5.0176 \ hfill \ end {array} [/ latex] Квадраты близки, но не точно равны [латексу] 5 [/ latex]. , пример Округлите [латекс] \ sqrt {17} [/ latex] до двух десятичных знаков с помощью калькулятора. Показать решение Решение [латекс] \ sqrt {17} [/ латекс] Воспользуйтесь ключом квадратного корня калькулятора. [латекс] 4.123105626 [/ латекс] Округление до двух десятичных знаков. [латекс] 4.12 [/ латекс] [латекс] \ sqrt {17} \ приблизительно 4,12 [/ латекс] В следующем видео вы увидите больше примеров использования калькулятора для вычисления квадратного корня из числа. Таблица тригонометрических значений углов: синус, косинус, тангенс, котангенс Ниже представлена таблица со значениями синусов (sin), косинусов (cos), тангенсов (tg) и котангенсов (ctg) углов от 0 до 360 градусов (или от 0 до 2π). α° α sin α cos α tg α ctg α 0° 0 0 1 0 — 30° π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 45° π/4 √2/2 √2/2 1 1 60° π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 90° π/2 1 0 — 0 120° 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -1/√3 135° 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 150° 5π/6 1/2 -√3/2 -1/√3 -√3 180° π 0 -1 0 — 210° 7π/6 -1/2 -√3/2 1/√3 √3 225° 5π/4 -√2/2 -√2/2 1 1 240° 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 1/√3 270° 3π/2 -1 0 — 0 300° 5π/3 -√3/2 1/2 -√3 -1/√3 315° 7π/4 -√2/2 √2/2 -1 -1 330° 11π/6 -1/2 √3/2 -1/√3 -√3 360° 2π 0 1 0 — microexcel.ru Таблица Брадиса sin cos tg ctg Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах. На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426. Найти точное значение Таблица Брадиса sin, cos sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ cos 0 90° 0° 0,0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9 1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9 2° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87° 3 6 9 3° 0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86° 3 6 9 4° 0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0872 85° 3 6 9 5° 0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84° 3 6 9 6° 1045 1063 1080 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83° 3 6 9 7° 1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82° 3 6 9 8° 1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 1530 1547 1564 81° 3 6 9 9° 1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1702 1719 1736 80° 3 6 9 10° 1736 1754 1771 1788 1805 1822 1840 1857 1874 1891 1908 79° 3 6 9 11° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78° 3 6 9 12° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77° 3 6 9 13° 2250 2267 2284 2300 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76° 3 6 8 14° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 2588 75° 3 6 8 15° 2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 2740 2756 74° 3 6 8 sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ cos 16° 2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73° 3 6 8 17° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72° 3 6 8 18° 3090 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71° 3 6 8 19° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 3420 70° 3 5 8 20° 3420 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69° 3 5 8 21° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68° 3 5 8 22° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67° 3 5 8 23° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66° 3 5 8 24° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 4226 65° 3 5 8 25° 4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64° 3 5 8 26° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63° 3 5 8 27° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62° 3 5 8 28° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61° 3 5 8 29° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 5000 60° 3 5 8 30° 5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 59° 3 5 8 sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ cos 31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 58° 2 5 7 32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57° 2 5 7 33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56° 2 5 7 34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 5736 55° 2 5 7 35° 5736 5750 5764 5779 5793 5807 5821 5835 5850 5864 5878 54° 2 5 7 36° 5878 5892 5906 5920 5934 5948 5962 5976 5990 6004 6018 53° 2 5 7 37° 6018 6032 6046 6060 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52° 2 5 7 38° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51° 2 5 7 39° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 6428 50° 2 4 7 40° 6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49° 2 4 7 41° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48° 2 4 7 42° 6691 6704 6717 6730 6743 6756 6769 6782 6794 6807 6820 47° 2 4 6 43° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 6909 6921 6934 6947 46° 2 4 6 44° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 7071 45° 2 4 6 45° 7071 7083 7096 7108 7120 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44° 2 4 6 sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ cos 46° 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43° 2 4 6 47° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42° 2 4 6 48° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41° 2 4 6 49° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 7660 40° 2 4 6 50° 7660 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 7760 7771 39° 2 4 6 51° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38° 2 4 5 52° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37° 2 4 5 53° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36° 2 3 5 54° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 8192 35° 2 3 5 55° 8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 8290 34° 2 3 5 56° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33° 2 3 5 57° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32° 2 3 5 58° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31° 2 3 5 59° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 8660 30° 1 3 4 60° 8660 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29° 1 3 4 sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ cos 61° 8746 8755 8763 8771 8780 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28° 1 3 4 62° 8829 8838 8846 8854 8862 8870 8878 8886 8894 8902 8910 27° 1 3 4 63° 8910 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8980 8988 26° 1 3 4 64° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 9063 25° 1 3 4 65° 9063 9070 9078 9085 9092 9100 9107 9114 9121 9128 9135 24° 1 2 4 66° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23° 1 2 3 67° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9265 9272 22° 1 2 3 68° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21° 1 2 3 69° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9385 9391 9397 20° 1 2 3 70° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 9455 19° 1 2 3 71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18° 1 2 3 72° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17° 1 2 3 73° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16° 1 2 2 74° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 9659 15° 1 2 2 75° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 9690 9694 9699 9703 14° 1 1 2 sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ cos 76° 9703 9707 9711 9715 9720 9724 9728 9732 9736 9740 9744 13° 1 1 2 77° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 12° 1 1 2 78° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11° 1 1 2 79° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 9848 10° 1 1 2 80° 9848 9851 9854 9857 9860 9863 9866 9869 9871 9874 9877 9° 0 1 1 81° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 8° 0 1 1 82° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 7° 0 1 1 83° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 6° 0 1 1 84° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 9962 5° 0 1 1 85° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 4° 0 0 1 86° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 3° 0 0 0 87° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 2° 0 0 0 88° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 9998 1° 0 0 0 89° 9998 9999 9999 9999 9999 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0° 0 0 0 90° 1 sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ cos Таблица Брадиса tg, ctg tg 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ ctg 0 90° 0° 0,000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9 1° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9 2° 0349 0367 0384 0402 0419 0437 0454 0472 0489 0507 0524 87° 3 6 9 3° 0524 0542 0559 0577 0594 0612 0629 0647 0664 0682 0699 86° 3 6 9 4° 0699 0717 0734 0752 0769 0787 0805 0822 0840 0857 0,0875 85° 3 6 9 5° 0,0875 0892 0910 0928 0945 0963 0981 0998 1016 1033 1051 84° 3 6 9 6° 1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 83° 3 6 9 7° 1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 82° 3 6 9 8° 1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 81° 3 6 9 9° 1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0,1763 80° 3 6 9 10° 0,1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 79° 3 6 9 11° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 78° 3 6 9 12° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 77° 3 6 9 13° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 76° 3 6 9 14° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0,2679 75° 3 6 9 tg 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ ctg 15° 0,2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 74° 3 6 9 16° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 73° 3 6 9 17° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 72° 3 6 10 18° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 71° 3 6 10 19° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0,3640 70° 3 7 10 20° 0,3640 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 69° 3 7 10 21° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 68° 3 7 10 22° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 67° 3 7 10 23° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 66° 3 7 10 24° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0,4663 65° 4 7 11 25° 0,4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 64° 4 7 11 26° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 63° 4 7 11 27° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 62° 4 7 11 28° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 61° 4 8 11 29° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0,5774 60° 4 8 12 tg 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ ctg 30° 0,5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 59° 4 8 12 31° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 58° 4 8 12 32° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 57° 4 8 12 33° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 56° 4 8 13 34° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0,7002 55° 4 9 13 35° 0,7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 54° 4 8 13 36° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 53° 5 9 14° 37° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 52° 5 9 14 38° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 7983 8012 8040 8069 8098 51° 5 9 14 39° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0,8391 50° 5 10 15 40° 0,8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0,8693 49° 5 10 15 41° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 48° 5 10 16 42° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 47° 6 11 16 43° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0,9657 46° 6 11 17 44° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 1,0000 45° 6 11 17 tg 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ ctg 45° 1,0000 0035 0070 0105 0141 0176 0212 0247 0283 0319 0355 44° 6 12 18 46° 0355 0392 0428 0464 0501 0538 0575 0612 0649 0686 0724 43° 6 12 18 47° 0724 0761 0799 0837 0875 0913 0951 0990 1028 1067 1106 42° 6 13 19 48° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 41° 7 13 20 49° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1,1918 40° 7 14 21 50° 1,1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 39° 7 14 22 51° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 38° 8 15 23 52° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 37° 8 16 24 53° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 36° 8 16 25 54° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1,4281 35° 9 17 26 55° 1,4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 34° 9 18 27 56° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 5282 5340 5399 33° 10 19 29 57° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 32° 10 20 30 58° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 31° 11 21 32 59° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1,7321 30° 11 23 34 tg 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ ctg 60° 1,732 1,739 1,746 1,753 1,760 1,767 1,775 1,782 1,789 1,797 1,804 29° 1 2 4 61° 1,804 1,811 1,819 1,827 1,834 1,842 1,849 1,857 1,865 1,873 1,881 28° 1 3 4 62° 1,881 1,889 1,897 1,905 1,913 1,921 1,929 1,937 1,946 1,954 1,963 27° 1 3 4 63° 1,963 1,971 1,980 1,988 1,997 2,006 2,014 2,023 2,032 2,041 2,05 26° 1 3 4 64° 2,050 2,059 2,069 2,078 2,087 2,097 2,106 2,116 2,125 2,135 2,145 25° 2 3 5 65° 2,145 2,154 2,164 2,174 2,184 2,194 2,204 2,215 2,225 2,236 2,246 24° 2 3 5 66° 2,246 2,257 2,267 2,278 2,289 2,3 2,311 2,322 2,333 2,344 2,356 23° 2 4 5 67° 2,356 2,367 2,379 2,391 2,402 2,414 2,426 2,438 2,450 2,463 2,475 22° 2 4 6 68° 2,475 2,488 2,5 2,513 2,526 2,539 2,552 2,565 2,578 2,592 2,605 21° 2 4 6 69° 2,605 2,619 2,633 2,646 2,66 2,675 2,689 2,703 2,718 2,733 2,747 20° 2 5 7 70° 2,747 2,762 2,778 2,793 2,808 2,824 2,840 2,856 2,872 2,888 2,904 19° 3 5 8 71° 2,904 2,921 2,937 2,954 2,971 2,989 3,006 3,024 3,042 3,06 3,078 18° 3 6 9 72° 3,078 3,096 3,115 3,133 3,152 3,172 3,191 3,211 3,230 3,251 3,271 17° 3 6 10 73° 3,271 3,291 3,312 3,333 3,354 3,376   3 7 10   3,398 3,42 3,442 3,465 3,487 16° 4 7 11 74° 3,487 3,511 3,534 3,558 3,582 3,606   4 8 12   3,630 3,655 3,681 3,706 3,732 15° 4 8 13 75° 3,732 3,758 3,785 3,812 3,839 3,867   4 9 13   3,895 3,923 3,952 3,981 4,011 14° 5 10 14 tg 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ 1′ 2′ 3′ 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ ctg Тригонометрические формулы 1. Тождества тригонометрических функций одного и того же аргумента: 2. Значения тригонометрических функций в определенных точках: α ° 0 30 45 60 90 180 270 360 sin (α) 0 12 22 32 1 0 -1 0 cos (α) 1 32 22 12 0 -1 0 1 тг (α) 0 13 1 3 – 0 – 0 карат (α) – 3 1 13 0 – 0 – 3.Четность или нечетность: 4. Знаки в кварталах: Триг. функция Quater I II III IV sin (α) + + – – cos (α) + – – + тг (α) + – + – карат (α) + – + – 5.Формулы приведения: β = 90 ± α 180 ± α 270 ± α 360 ± α sin (β) cos (α) ∓sin (α) -cos (α) ± sin (α) cos (β) ∓sin (α) -cos (α) ± sin (α) cos (α) тг (β) ∓ctg (α) ± tg (α) ∓ctg (α) ± tg (α) ктг (β) ∓тг (α) ± ctg (α) ∓тг (α) ∓ctg (α) 6.Решение простейших тригонометрических уравнений: sin (x) = a x = (-1) n arcsin (a) + n π, n = 0, 1 … ∈ Z cos (x) = a ⇔ x = ± arccos (a) + 2 n π, n = 0, 1 … ∈ Z tg (x) = a ⇔ x = arctg (a) + n π, n = 0, 1 … ∈ Z 7. Формулы суммирования и вычитания: sinαβsinαcosβcosαsinβ sinαβsinαcosβcosαsinβ cosαβcosαcosβsinαsinβ cosαβcosαcosβsinαsinβ 8.Формулы двойного угла: 9. Формулы тройного угла: 10. Формулы преобразования суммы и разности: а) Преобразование суммы и разности одинаковых тригонометрических функций под разными углами: Синусоидальные преобразования: sinαsinβ2sinαβ2cosαβ2 sinαsinβ2sinαβ2cosαβ2 Косинусных преобразований: cosαcosβ2cosαβ2cosαβ2 cosαcosβ2sinαβ2sinαβ2 Касательных преобразований: tgαtgβsinαβcosαcosβ tgαtgβsinαβcosαcosβ преобразований котангенса: ctgαctgβsinβαsinαsinβ ctgαctgβsinβαsinαsinβ б) Преобразование суммы и разности различных тригонометрических функций под разными углами: sinαcosβ2sinαβ2π4cosαβ2π4 sinαcosβ2sinαβ2π4cosαβ2π4 c) Особые формулы: AsinαBcosαA2B2sinαarctgBA sinαsin2α…sinnαsin12n1αsinnα2sinα2 cosαcos2α … cosnαcos12n1αsinnα2sinα2 11. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций: sinαsinβcosαβcosαβ2 sinαcosβsinαβsinαβ2 cosαcosβcosαβcosαβ2 12. Редукция тригонометрических функций по степенным формулам: 13. Выражение тригонометрических функций тангенсом половинного угла: ttgα2sinα1cosα1cosαsinα1cosα1cosα sin cos tan таблица Таблицы Брадиса sin, cos, tg, ctg. Таблица sin cos tan (тригонометрические значения) содержит рассчитанные значения тригонометрических функций для определенного угла от 0 до 360 градусов в виде простой таблицы и в виде таблицы Брадиса. Также приведены значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов, используемых в расчетах. Таблицы с расчетными значениями sin, cos, tg, ctg используются для упрощения и ускорения математических вычислений, когда нет возможности использовать калькулятор или компьютер. грех cos тг CTG триг. значения Брэдис грех и соз Bradys tg и ctg sin 0 ° = sin 360 ° = 0 α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α α ° sin α cos 0 ° = cos 360 ° = 1 α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α α ° cos α тг 0 ° = тг 360 ° = 0 α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α α ° тг α ctg 0 ° = ctg 360 ° = ∞ α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α α ° CTG α Значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространенных углов. Таблица Брэдиче для синусов и косинусов грех 0 ‘ 6 ‘ 12 ‘ 18 ‘ 24 ‘ 30 мин. 36 ‘ 42 ‘ 48 ‘ 54 ‘ 60 ‘ cos 1 ‘ 2 ‘ 3 ‘ 0.0000 90 ° 0 ° 0,0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89 ° 3 6 9 1 ° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88 ° 3 6 9 2 ° 0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87 ° 3 6 9 3 ° 0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86 ° 3 6 9 4 ° 0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0.0872 85 ° 3 6 9 5 ° 0,0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84 ° 3 6 9 6 ° 1045 1063 1080 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83 ° 3 6 9 7 ° 1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82 ° 3 6 9 8 ° 1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 1530 1547 1564 81 ° 3 6 9 9 ° 1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1702 1719 0.1736 80 ° 3 6 9 10 ° 0,1736 1754 1771 1788 1805 1822 1840 1857 1874 1891 1908 79 ° 3 6 9 11 ° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78 ° 3 6 9 12 ° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77 ° 3 6 9 13 ° 2250 2267 2284 2300 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76 ° 3 6 8 14 ° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 0.2588 75 ° 3 6 8 15 ° 0,2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 2740 2756 74 ° 3 6 8 16 ° 2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73 ° 3 6 8 17 ° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72 ° 3 6 8 18 ° 3090 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71 ° 3 6 8 19 ° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 0.3420 70 ° 3 5 8 20 ° 0,3420 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69 ° 3 5 8 21 ° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68 ° 3 5 8 22 ° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67 ° 3 5 8 23 ° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66 ° 3 5 8 24 ° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 0.4226 65 ° 3 5 8 25 ° 0,4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64 ° 3 5 8 26 ° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63 ° 3 5 8 27 ° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62 ° 3 5 8 28 ° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61 ° 3 5 8 29 ° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 0.5000 60 ° 3 5 8 30 ° 0,5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 59 ° 3 5 8 31 ° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 58 ° 2 5 7 32 ° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57 ° 2 5 7 33 ° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56 ° 2 5 7 34 ° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 0.5736 55 ° 2 5 7 35 ° 0,5736 5750 5764 5779 5793 5807 5821 5835 5850 5864 0,5878 54 ° 2 5 7 36 ° 5878 5892 5906 5920 5934 5948 5962 5976 5990 6004 6018 53 ° 2 5 7 37 ° 6018 6032 6046 6060 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52 ° 2 5 7 38 ° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51 ° 2 5 7 39 ° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 0.6428 50 ° 2 4 7 40 ° 0,6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49 ° 2 4 7 41 ° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48 ° 2 4 7 42 ° 6691 6704 6717 6730 6743 6756 6769 6782 6794 6807 6820 47 ° 2 4 6 43 ° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 8909 6921 6934 6947 46 ° 2 4 6 44 ° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 0.7071 45 ° 2 4 6 45 ° 0,7071 7083 7096 7108 7120 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44 ° 2 4 6 46 ° 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43 ° 2 4 6 47 ° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42 ° 2 4 6 48 ° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41 ° 2 4 6 49 ° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 0.7660 40 ° 2 4 6 50 ° 0,7660 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 7760 7771 39 ° 2 4 6 51 ° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38 ° 2 4 5 52 ° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37 ° 2 4 5 53 ° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36 ° 2 3 5 54 ° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 0.8192 35 ° 2 3 5 55 ° 0,8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 8290 34 ° 2 3 5 56 ° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33 ° 2 3 5 57 ° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32 ° 2 3 5 58 ° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31 ° 2 3 5 59 ° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 0.8660 30 ° 1 3 4 60 ° 0,8660 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29 ° 1 3 4 61 ° 8746 8755 8763 8771 8780 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28 ° 1 3 4 62 ° 8829 8838 8846 8854 8862 8870 8878 8886 8894 8902 8910 27 ° 1 3 4 63 ° 8910 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8980 8988 26 ° 1 3 4 64 ° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 0.9063 25 ° 1 3 4 65 ° 0,9063 9070 9078 9085 9092 9100 9107 9114 9121 9128 9135 24 ° 1 2 4 66 ° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23 ° 1 2 3 67 ° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9256 9272 22 ° 1 2 3 68 ° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21 ° 1 2 3 69 ° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9383 9391 0.9397 20 ° 1 2 3 70 ° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 0,9455 19 ° 1 2 3 71 ° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18 ° 1 2 3 72 ° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17 ° 1 2 3 73 ° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16 ° 1 2 2 74 ° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 0.9659 15 ° 1 2 2 75 ° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 9690 9694 9699 9703 14 ° 1 1 2 76 ° 9703 9707 9711 9715 9720 9724 9728 9732 9736 9740 9744 13 ° 1 1 2 77 ° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 12 ° 1 1 2 78 ° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11 ° 1 1 2 79 ° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 0.9848 10 ° 1 1 2 80 ° 0,9848 9851 9854 9857 9860 9863 9866 9869 9871 9874 9877 9 ° 0 1 1 81 ° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 8 ° 0 1 1 82 ° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 7 ° 0 1 1 83 ° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 6 ° 0 1 1 84 ° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 9962 5 ° 0 1 1 85 ° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 4 ° 0 0 1 86 ° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 3 ° 0 0 0 87 ° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 2 ° 0 0 0 88 ° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 0.9998 1 ° 0 0 0 89 ° 9998 9999 9999 9999 9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0 ° 0 0 0 90 ° 1.0000 грех 60 ‘ 54 ‘ 48 ‘ 42 ‘ 36 ‘ 30 мин. 24 ‘ 18 ‘ 12 ‘ 6 ‘ 0 ‘ cos 1 ‘ 2 ‘ 3 ‘ Таблица Брэдиса для касательных и котангенсов тг 0 ‘ 6 ‘ 12 ‘ 18 ‘ 24 ‘ 30 мин. 36 ‘ 42 ‘ 48 ‘ 54 ‘ 60 ‘ CTG 1 ‘ 2 ‘ 3 ‘ 0 90 ° 0 ° 0,000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89 ° 3 6 9 1 ° 0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88 ° 3 6 9 2 ° 0349 0367 0384 0402 0419 0437 0454 0472 0489 0507 0524 87 ° 3 6 9 3 ° 0524 0542 0559 0577 0594 0612 0629 0647 0664 0682 0699 86 ° 3 6 9 4 ° 0699 0717 0734 0752 0769 0787 0805 0822 0840 0857 0,0875 85 ° 3 6 9 5 ° 0,0875 0892 0910 0928 0945 0963 0981 0998 1016 1033 1051 84 ° 3 6 9 6 ° 1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 83 ° 3 6 9 7 ° 1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 82 ° 3 6 9 8 ° 1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 81 ° 3 6 9 9 ° 1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0,1763 80 ° 3 6 9 10 ° 0,1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 79 ° 3 6 9 11 ° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 78 ° 3 6 9 12 ° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 77 ° 3 6 9 13 ° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 76 ° 3 6 9 14 ° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0,2679 75 ° 3 6 9 15 ° 0,2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 74 ° 3 6 9 16 ° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 73 ° 3 6 9 17 ° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 72 ° 3 6 10 18 ° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 71 ° 3 6 10 19 ° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0,3640 70 ° 3 7 10 20 ° 0,3640 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 69 ° 3 7 10 21 ° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 68 ° 3 7 10 22 ° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 67 ° 3 7 10 23 ° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 66 ° 3 7 10 24 ° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0,4663 65 ° 4 7 11 25 ° 0,4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 64 ° 4 7 11 26 ° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 63 ° 4 7 11 27 ° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 62 ° 4 7 11 28 ° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 61 ° 4 8 11 29 ° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0,5774 60 ° 4 8 12 30 ° 0,5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 59 ° 4 8 12 31 ° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 58 ° 4 8 12 32 ° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 57 ° 4 8 12 33 ° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 56 ° 4 8 13 34 ° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0,7002 55 ° 4 9 13 35 ° 0,7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 54 ° 4 8 13 36 ° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 53 ° 5 9 14 ° 37 ° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 52 ° 5 9 14 38 ° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 7983 8012 8040 8069 8098 51 ° 5 9 14 39 ° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0,8391 50 ° 5 10 15 40 ° 0,8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0,8693 49 ° 5 10 15 41 ° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 48 ° 5 10 16 42 ° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 47 ° 6 11 16 43 ° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0,9657 46 ° 6 11 17 44 ° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 1,0000 45 ° 6 11 17 45 ° 1,0000 0035 0070 0105 0141 0176 0212 0247 0283 0319 0355 44 ° 6 12 18 46 ° 0355 0392 0428 0464 0501 0538 0575 0612 0649 0686 0724 43 ° 6 12 18 47 ° 0724 0761 0799 0837 0875 0913 0951 0990 1028 1067 1106 42 ° 6 13 19 48 ° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 41 ° 7 13 20 49 ° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1,1918 40 ° 7 14 21 50 ° 1,1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 39 ° 7 14 22 51 ° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 38 ° 8 15 23 52 ° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 37 ° 8 16 24 53 ° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 36 ° 8 16 25 54 ° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1,4281 35 ° 9 17 26 55 ° 1,4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 34 ° 9 18 27 56 ° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 5282 5340 5399 33 ° 10 19 29 57 ° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 32 ° 10 20 30 58 ° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 31 ° 11 21 32 59 ° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1,7321 30 ° 11 23 34 60 ° 1,732 1,739 1,746 1,753 1,760 1,767 1,775 1,782 1,789 1,797 1 804 29 ° 1 2 4 61 ° 1 804 1,811 1819 1827 1834 1842 1849 1857 1865 1873 1881 28 ° 1 3 4 62 ° 1881 1889 1897 1 905 1 913 1 921 1 929 1 937 1 946 1 954 1 963 27 ° 1 3 4 63 ° 1 963 1 971 1 980 1 988 1,997 2 006 2,014 2,023 2 032 2 041 2,05 26 ° 1 3 4 64 ° 2 050 2,059 2 069 2,078 2 087 2 097 2,106 2,116 2,125 2,135 2,145 25 ° 2 3 5 65 ° 2,145 2 154 2 164 2 174 2 184 2 194 2 204 2,215 2,225 2,236 2,246 24 ° 2 3 5 66 ° 2,246 2,257 2,267 2,278 2,289 2,3 2,311 2,322 2,333 2,344 2,356 23 ° 2 4 5 67 ° 2,356 2,367 2,379 2,391 2,402 2,414 2,426 2,438 2,450 2,463 2,475 22 ° 2 4 6 68 ° 2,475 2,488 2,5 2,513 2,526 2,539 2,552 2,565 2,578 2,592 2 605 21 ° 2 4 6 69 ° 2 605 2 619 2 633 2 646 2,66 2,675 2,689 2 703 2 718 2 733 2 747 20 ° 2 5 7 70 ° 2 747 2 762 2,778 2 793 2 808 2 824 2 840 2 856 2 872 2 888 2 904 19 ° 3 5 8 71 ° 2 904 2 921 2 937 2 954 2,971 2,989 3 006 3 024 3 042 3,06 3 078 18 ° 3 6 9 72 ° 3 078 3 096 3,115 3,133 3,152 3 172 3,191 3 211 3,230 3 251 3 271 17 ° 3 6 10 73 ° 3 271 3 291 3 312 3 333 3 354 3 376 3 7 10 3 398 3,42 3 442 3 465 3 487 16 ° 4 7 11 74 ° 3 487 3,511 3,534 3,558 3,582 3 606 4 8 12 3 630 3 655 3 681 3,706 3,732 15 ° 4 8 13 75 ° 3,732 3,758 3,785 3 812 3 839 3 867 4 9 13 3 895 3 923 3 952 3 981 4 011 14 ° 5 10 14 тг 60 ‘ 54 ‘ 48 ‘ 42 ‘ 36 ‘ 30 мин. 24 ‘ 18 ‘ 12 ‘ 6 ‘ 0 ‘ CTG 1 ‘ 2 ‘ 3 ‘ Sin Cos Tg Ctg 0

\ [\ begin {split} & \ sin {\ left (90 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ cos {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (90 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ sin {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (90 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ text {ctg} {\ alpha} \\\ \ & \ text {ctg} {\ left (90 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ text {tg} {\ alpha} \ end {split} \]		\ [\ begin {split } & \ sin {\ left (90 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ cos {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (90 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ sin {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (90 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ text {ctg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (90 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ text {tg} {\ alpha} \ end {split} \]
\ [\ begin {split} & \ sin {\ left ( 180 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ sin {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (180 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ cos {\ alpha} \ \\\ & \ text {tg} {\ left (180 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ text {tg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (180 ^ \ circ + \ альфа \ right)} = \ text {ctg} {\ alpha} \ end {split} \]		\ [\ begin {split} & \ sin {\ left (180 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ sin {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (180 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ cos {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (180 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ text {tg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (180 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ text {ctg} {\ alpha} \ end {split} \]
\ [\ begin {split} & \ sin {\ left (270 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ cos { \ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (270 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ sin {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (270 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ text {ctg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (270 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = — \ text {tg} {\ alpha} \ end {split} \]		\ [\ begin {split} & \ sin {\ left (270 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ cos {\ alpha} \\ \\ & \ cos {\ left (270 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ sin {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (270 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ text {ctg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (270 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ text {tg} {\ alpha} \ end {split} \]
\ [\ begin {split} & \ sin {\ left (360 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ sin {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (360 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ cos {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (360 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ text {tg} {\ alpha} \ \\\ & \ text {ctg} {\ left (360 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ text {ctg} {\ alpha} \ end {split} \]		\ [\ begin { split} & \ sin {\ left (360 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ sin {\ alpha} \\\\ & \ cos {\ left (360 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = \ cos {\ alpha} \\\\ & \ text {tg} {\ left (360 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ text {tg} {\ alpha} \\\\ & \ text {ctg} {\ left (360 ^ \ circ — \ alpha \ right)} = — \ text {ctg} {\ alpha} \ end {split} \]

Сумы и różnice funkcji trygonometrycznych

\ [\ begin {split} & \\ & \ sin {\ alpha} + \ sin {\ beta} = 2 \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha — \ beta} } {2}} \\\\\\\\ & \ sin {\ alpha} — \ sin {\ beta} = 2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha — \ beta} {2}} \\\\\\\\ & \ cos {\ alpha} + \ cos {\ beta} = 2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2} } \ cos {\ frac {\ alpha — \ beta} {2}} \\\\\\\\ & \ cos {\ alpha} — \ cos {\ beta} = — 2 \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha — \ beta} {2}} \\\\\\\\ & \ text {tg} {\ alpha} + \ text {tg} {\ beta} = \ frac {\ sin { \ left (\ alpha + \ beta \ right)}} {\ cos {\ alpha} \ cos {\ beta}} \\\\\\\\ & \ text {tg} {\ alpha} — \ text {tg } {\ beta} = \ frac {\ sin {\ left (\ alpha — \ beta \ right)}} {\ cos {\ alpha} \ cos {\ beta}} \\\\\\\\ & \ text {ctg} {\ alpha} + \ text {ctg} {\ beta} = \ frac {\ sin {\ left (\ beta + \ alpha \ right)}} {\ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} } \\\\\\\\ & \ text {ctg} {\ alpha} — \ text {ctg} {\ beta} = \ frac {\ sin {\ left (\ beta — \ alpha \ right)}} { \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta}} \\\\\\\\ & \ cos {\ alpha} + \ sin {\ alpha} = \ sqrt {2} \ sin {\ left (45 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ sqrt {2} \ cos {\ left (45 ^ \ circ — \ alpha \ right)} \\\\\\\\ & \ cos {\ alpha} — \ sin { \ alpha} = \ sqrt {2} \ cos {\ left (45 ^ \ circ + \ alpha \ right)} = \ sqrt {2} \ sin {\ left (45 ^ \ circ — \ alpha \ right)} \ \\\\ end {split} \]

Sumy i różnice jedności z funkcjami trygonometrycznymi

\ [\ begin {split} & \\ & 1+ \ sin {\ alpha} = 2 \ sin ^ 2 {\ left (45 ^ \ circ + \ frac {\ alpha} {2} \ right)} = 2 \ cos ^ 2 {\ left (45 ^ \ circ — \ frac {\ alpha} {2} \ right)} \\\\\\ \\ & 1- \ sin {\ alpha} = 2 \ sin ^ 2 {\ left (45 ^ \ circ — \ frac {\ alpha} {2} \ right)} = 2 \ cos ^ 2 {\ left (45 ^ \ circ + \ frac {\ alpha} {2} \ right)} \\\\\\\\ & 1+ \ cos {\ alpha} = 2 \ cos ^ 2 {\ frac {\ alpha} {2}} \\ \\\\\\ & 1- \ cos {\ alpha} = 2 \ sin ^ 2 {\ frac {\ alpha} {2}} \\\\\\\\ & 1+ \ text {tg} ^ 2 {\ alpha } = \ frac {1} {\ cos ^ 2 {\ alpha}} \\\\\\\\ & 1+ \ text {ctg} ^ 2 {\ alpha} = \ frac {1} {\ sin ^ 2 {\ alpha}} \\\\\\\\\ end {split} \]

Rónice kwadratów funkcji trygonometrycznych

\ [\ begin {split} & \\ & \ sin ^ 2 {\ alpha} — \ sin ^ 2 {\ beta} = \ cos ^ 2 {\ beta} — \ cos ^ 2 {\ alpha} = \ sin {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} \ sin {\ left (\ alpha — \ beta \ справа)} \\\\\\\\ & \ cos ^ 2 {\ alpha} — \ sin ^ 2 {\ beta} = \ cos ^ 2 {\ beta} — \ sin ^ 2 {\ alpha} = \ cos {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} \ cos {\ left (\ alpha — \ beta \ right)} \\\\\ end {split} \]

Iloczyny funkcji trygonometrycznych

\ [\ begin {split} & \\ & \ sin {\ alpha} \ sin {\ beta} = \ frac {1} {2} \ left [\ cos {\ left (\ alpha — \ beta \ right) — \ cos {\ left (\ alpha + \ beta \ right)}} \ right] \\\\\\ & \ cos {\ alpha} \ cos {\ beta} = \ frac {1} { 2} \ left [\ cos {\ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ cos {\ left (\ alpha + \ beta \ right)}} \ right] \\\\\\ & \ sin {\ альфа} \ cos {\ beta} = \ frac {1} {2} \ left [\ sin {\ left (\ alpha — \ beta \ right) + \ sin {\ left (\ alpha + \ beta \ right)} } \ right] \\\\\\\ end {split} \]

Тригонометрия: sin, cos, tg, ctg.

Trigonometria este știința care se ocupă cu măsurarea unghiurilor unui triunghi. Unghiurile se pot măsura fie cu raportorul, fie cu ajutorul unor funcții numite funcții trigonometrice . Trigonometria este des utilizată в географии, навигации, физике, астрономии и топографии. Cu ajutorul trigonometriei putem Calcula distanțele dintre orașe și putem întocmi hărți точный.

Funcțiile trigonometrice pe care le vom studia se aplică în triunghiul dreptunghic.

fign figura de mai jos avem o pârtie de ski și la fiecare 100 de m parcurși, înălțimea pârtiei ( h ) scade cu 5 m. Notăm cu x unghiul pe care pârtia îl face cu orizontala. N fiecare punct, raportul dintre înălțimea pârtiei și distanța rămasă de parcurs până la baza pârtiei este постоянная :

Фото предоставлено Schior: Pixabay

De aici putem trage următoarea заключение: în triunghiurile dreptunghice care conțin același unghi ascuțit x, raportul dintre cateta opusă unghiului x iunghiurile lat.Acest raport se va numi sinusul unghiului x . N Continuous Vom Defini și alte rapoarte trigonometrice, luând in caurare laturi ale triunghiului dreptunghic.

Sinusul unui unghi x Este raportul dintre cateta opusă i ipotenuză.

Cosinusul unui unghi x Este raportul dintre cateta alăturată i ipotenuză.

Tangenta unui unghi x Este raportul dintre cateta opusă i cateta alăturată.

Cotangenta unui unghi x Este raportul dintre cateta alăturată i cateta opusă.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta se numesc funcții trigonometrice .

Iată tabelul cu valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor uzuale:

Funciile trigonometrice uzuale

Probleme rezolvate cu funcții trigonometrice

Проблема 1

Fie ABC un triunghi dreptunghic в A.Dacă AB = 3 см și AC = 4 см, aflați sinusul unghiului B.

Rezolvare:

Aflăm mai lungimea ipotenuzei BC cu Teorema lui Pitagora. Обțинем ВС = 5 см. Sinusul unghiului B este raportul dintre cateta opusă AC și ipotenuza BC.
sin B = AC / BC = 4/5.

Проблема 2

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A. Dacă AB = 6 см și BC = 12 см, aflați măsura unghiului B.

Rezolvare:

Cunoaștem cateta alăturată unghiului B i ipotenuza.Vom Calcula cosinusul unghiului B:

cosB = AB / BC = 6/12 = 1/2. Prin urmare, unghiul B are măsura de 60 de grade (vezi tabelul funcțiilor trigonometrice uzuale).

Калькулятор тригонометрии

. Простой способ найти sin, cos, tan, cot

Этот калькулятор тригонометрии поможет вам в двух популярных случаях, когда необходима тригонометрия. Если вы хотите найти значения синуса, косинуса, тангенса и их обратных функций, используйте первую часть калькулятора. Ищете недостающую сторону или угол в прямоугольном треугольнике с помощью тригонометрии? Наш инструмент — тоже беспроигрышный вариант! Введите 2–3 заданных значения во второй части калькулятора, и вы в мгновение ока найдете ответ.Прокрутите вниз, если хотите узнать больше о тригонометрии и о том, где ее можно применить.

Есть много других инструментов, полезных при решении задач тригонометрии. Ознакомьтесь с двумя популярными тригонометрическими законами: калькуляторами закона синусов и закона косинусов, которые помогают решить любой вид треугольника. Если вы хотите узнать больше о тригонометрических функциях, перейдите к нашим специальным инструментам:

Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — это раздел математики. Само это слово происходит от греческого слова trignon (что означает «треугольник») и metron («мера»).Как следует из названия, тригонометрия имеет дело в основном с углами и треугольниками ; в частности, он определяет и использует отношения и соотношения между углами и сторонами в треугольниках. Таким образом, основное приложение — решение треугольников, в частности прямоугольных, а также любого другого типа треугольника, который вам нравится.

Тригонометрия имеет множество приложений: от повседневных задач, таких как вычисление высоты или расстояния между объектами, до спутниковой навигационной системы, астрономии и географии.Кроме того, функции синуса и косинуса являются фундаментальными для описания периодических явлений — благодаря им мы можем описывать колебательные движения (как простой маятник) и волны, такие как звук, вибрация или свет.

Тригонометрия и тригонометрические функции используются во многих различных областях науки и техники, если упомянуть лишь некоторые из них: музыка, акустика, электроника, медицина и медицинская визуализация, биология, химия, метеорология, электрика, машиностроение и гражданское строительство, даже экономика. Тригонометрические функции действительно вокруг нас!

Калькулятор триггеров нахождение sin, cos, tan, cot, sec, csc

Чтобы найти тригонометрические функции угла, введите выбранный угол в градусах или радианах.Под калькулятором появятся шесть самых популярных триггерных функций — три основных: синус, косинус и тангенс, а также их обратные величины: косеканс, секанс и котангенс. Кроме того, если угол острый, будет отображаться прямоугольный треугольник, который может помочь вам понять, как могут быть интерпретированы функции.

Чтобы найти недостающие стороны или углы прямоугольного треугольника, все, что вам нужно сделать, это ввести известные переменные в калькулятор тригонометрии. Вам нужны только два заданных значения в случае:

• одна сторона и один угол
• с двух сторон
• площадь и одна сторона

Помните, что если вы знаете два угла, этого недостаточно, чтобы найти стороны треугольника.Два треугольника, имеющие одинаковую форму (что означает, что они имеют равные углы), могут быть разных размеров (не с одинаковой длиной стороны) — такая связь называется подобием треугольника . Если стороны имеют одинаковую длину, то треугольники равны .

Что такое тригонометрия?

Тригонометрия — это исследование отношений внутри треугольника . Для прямоугольных треугольников соотношение между любыми двумя сторонами всегда одинаково и задается в виде тригонометрических соотношений, cos, sin и tan.Тригонометрия также может помочь найти некоторую недостающую треугольную информацию , например правило синуса.

Сложна ли тригонометрия?

Поначалу тригонометрия

может быть сложной задачей, но после некоторой практики вы справитесь с ней! Вот несколько советов по тригонометрии: Обозначьте гипотенузу, смежную и противоположную на вашем треугольнике, чтобы помочь вам выяснить, какую идентификацию использовать, и запомните мнемонику SOHCAHTOA для тригонометрических отношений!

Для чего используется тригонометрия?

Тригонометрия используется для поиска информации обо всех треугольниках и, в частности, прямоугольных треугольниках.Поскольку треугольников повсюду в природе , тригонометрия используется вне математики, в таких областях, как строительство, физика, химическая инженерия и астрономия.

Кто изобрел тригонометрию?

Так как тригонометрия — это соотношение между углами и сторонами треугольника, никто не придумал ее , она все равно была бы там, даже если бы об этом никто не знал! Первыми, кто открыл часть тригонометрии, были древние египтяне и вавилоняне , но Евклид и Архемид первыми подтвердили идентичность, хотя они сделали это с помощью форм, а не алгебры.

Какой уровень у тригонометрии?

Тригонометрия обычно преподается подросткам в возрасте 13-15 лет , что составляет 8 и 9 классов в США и лет 9 и 10 в Великобритании. Точный возраст преподавания тригонометрии зависит от страны, школы и способностей учеников.

Best Excel Tutorial — Как использовать триггерные функции в Excel?

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между элементами (сторонами и углами) треугольника.Теперь вы можете вспомнить многие тригонометрические формулы и уравнения, которые вы выучили в школе или колледже. Некоторые из них: cot x = 1 / tanx, шесть x / cos x = tan x, sin (900-x) — cos x и так далее. Excel предлагает ряд встроенных функций, связанных с тригонометрией. Эти тригонометрические функции можно использовать для решения сложных тригонометрических выражений.

Главное, что вам нужно учитывать при решении тригонометрических выражений, — это то, что Excel выполняет вычисления с учетом значения угла в радианах, а не в градусах.Возможно, вы знаете, что sin 900 = 1. Итак, если вы введете формулу SIN (90) в Excel, результатом будет 0,8, а не 1, потому что Excel считает 90 как 90 радиан, а не 90 градусов. Если вы хотите найти синус 90 градусов, вам следует сначала преобразовать градусы в радианы, а затем использовать формулу SIN, доступную в Excel. Не волнуйтесь, мы узнаем, как использовать тригонометрические функции в Excel за считанные минуты.

Excel предоставляет функции для синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tan), гиперболического синуса (sinh), гиперболического косинуса (cosh) и гиперболического тангенса (tanh).Excel не предоставляет функций для секанса (сек), косеканса (косеканс), котангенса (cot) и их гиперболических аналогов. Однако вы можете рассчитать эти функции, используя базовые функции (синус и косинус). Excel также предлагает функции для преобразования угла из радианов в градусы и наоборот.

Использование тригонометрических функций в Excel

Откройте Excel и сохраните файл как trig-functions.xlsx. Введите «Угол (градусы)» в A1, «Угол (радианы)» в B1, «SIN» в C1, «COS» в D1, «TAN» в E1, «COSEC» в F1, «SEC» в G1 и « СОТ »в h2.Также введите «0» в A2, «30» в A3, «45» в A4, «60» в A5, «90» в A6, «180» в A7, «270» в A8 и «360» в A9. При вводе данных не следует вводить двойные кавычки. Вы можете отформатировать эти тексты и сделать их жирными. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку B2 и перейдите в Формулы (главное меню) -> Math & Trig (в группе Function Library ).

Прокрутите вниз и выберите функцию РАДИАНЫ , чтобы получить следующий экран:

После щелчка внутри пространства для ввода значения (обведено красным) щелкните ячейку A2.

Нажмите ОК, и ячейка B2 будет иметь значение 0.

Щелкните ячейку B2, скопируйте формулу (CTRL + C) и вставьте ее (CTRL + V) в ячейки B3, B4, B5, B6, B7. , B8 и B9. Если вы опытный пользователь Excel, вы можете просто перетащить формулу в ячейки вместо копирования и вставки. Теперь ваш экран будет выглядеть следующим образом:

Щелкните ячейку C2 и перейдите к Формулы -> Math & Trig (в группе Function Library ).Выберите функцию SIN и, щелкнув внутри пробела для ввода значения, щелкните ячейку B2. Щелкните ОК. Скопируйте формулу в ячейку C2 и вставьте ее в ячейки C3 – C9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку D2 и перейдите к Формулы -> Math & Trig (в группе Function Library ). Выберите функцию COS и, щелкнув внутри пробела для ввода значения, щелкните ячейку B2. Щелкните ОК. Скопируйте формулу в ячейку D2 и вставьте в ячейки с D3 по D9.Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку E2 и перейдите к Formulas -> Math & Trig (в группе Function Library ). Выберите функцию TAN и, щелкнув внутри пробела для ввода значения, щелкните ячейку B2. Щелкните ОК. Скопируйте формулу в ячейку E2 и вставьте в ячейки E3 – E9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Как уже упоминалось, нет встроенных функций для расчета значений COSEC, SEC и COT.Вы должны рассчитать их, используя следующие основные функции:

cosec x = 1 / sin x

sec x = 1 / cos x

cot x = 1 / tan x

Щелкните ячейку F2 и щелкните внутри формулы Полоса (обведена красным) и введите формулу «= 1 / C2» (без двойных кавычек). Скопируйте формулу в ячейку F2 и вставьте в ячейки с F3 по F9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку G2, щелкните внутри строки формул и введите формулу «= 1 / D2» (без двойных кавычек).Скопируйте формулу в ячейку G2 и вставьте в ячейки G3 — G9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Щелкните ячейку h3, щелкните внутри строки формул и введите формулу «= 1 / E2» (без двойных кавычек). Скопируйте формулу в ячейку h3 и вставьте в ячейки с h4 по H9. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Вы можете округлить полученные значения до двух или трех десятичных знаков, чтобы получить более реалистичные результаты. Измените все формулы в ячейках C, D, E, F, G и H таким образом, чтобы новая формула стала = ОКРУГЛ (существующая формула, 3) .Например, формула в ячейке C4 становится = ОКРУГЛ (SIN (B4), 3) , где существующая формула была = SIN (B4) . Вы также можете заменить все ошибки (# DIV / 0!) На * и просто предоставить описание где-нибудь на том же листе, указав, что * означает undefined. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Точно так же вы можете найти значение sinh, cosh и tanh, используя формулы SINH, COSH и TANH, и вычислить cosech, sech и coth из sinh, cosh и tanh.