Самые сложные уравнения: Почему самые сложные уравнения физики такие трудные

Сложные квадратные уравнения примеры с решением. Квадратные уравнения

Уравнение вида

Выражение D = b 2 — 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0 , иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение D = b 2 — 4 ac , можно переписать формулу (2) в виде

Если b = 2 k , то формула (2) принимает вид:

где k = b / 2 .
Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент b — четное число.
Пример 1: Решить уравнение 2 x 2 5 x + 2 = 0 . Здесь a = 2, b = -5, c = 2 . Имеем D = b 2 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Так как D > 0 , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

Итак x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 — 3) / 4 = 1 / 2 ,
то есть x 1 = 2 и x 2 = 1 / 2 — корни заданного уравнения.
Пример 2: Решить уравнение 2 x 2 — 3 x + 5 = 0 . Здесь a = 2, b = -3, c = 5 . Находим дискриминант D = b 2 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Так как D 0 , то уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c =0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным . Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Пример 1: решить уравнение 2 x 2 — 5 x = 0 .
Имеем x (2 x — 5) = 0 . Значит либо x = 0 , либо 2 x — 5 = 0 , то есть x = 2.5 . Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
Пример 2: решить уравнение 3 x 2 — 27 = 0 .
Имеем 3 x 2 = 27 . Следовательно корни данного уравнения — 3 и -3 .

Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q =0 имеет действительные корни, то их сумма равна p , а произведение равно q , то есть

x 1 + x 2 = -p ,
x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x 2 − 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x + = 0
  • x 2 + 0,25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A x 2 + b x + c = 0

«a », «b » и «c » — заданные числа.
  • «a » — первый или старший коэффициент;
  • «b » — второй коэффициент;
  • «c » — свободный член.

Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x + = 0 x 2 + 0,25x = 0
Уравнение Коэффициенты
  • a = −7
  • b = −13
  • с = 8
x 2 − 8 = 0

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

  • привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
  • использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.


x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =


x = 3
Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:


Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:


1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D

Давайте рассмотрим уравнение:


По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:


Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:


Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(4995)+(6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:


У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является «квадратное». Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 — то, что меньше, а х 2 — то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

  • в решении будет два корня;
  • ответом будет одно число;
  • корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

  • Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.
  • Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.
  • Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 — х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

Показательные уравнения (уровень С) — Колпаков Александр Николаевич

Банк заданий на показательные уравнения для подготовки к ЕГЭ по математике и внутреннего экзамена в МГУ. Коллекция моих любимых уравнений. Обычно сильные репетиторы по математике ведут работу со способными выпускниками, поступающими на серьезные факультеты главного ВУза страны, за границами традиционных ЕГЭ задач. Хороший репетитор предложит Вам подборку классических показательно — логарифмических уравнений на разные виды и способы решений. Учебные планы репетитора по математике, занятого исключительно подготовкой к ЕГЭ, обычно не затрагивают подобные головоломки. Они предлагаются в случае занятий для поступления МГУ или разбираются на уроках с любознательным учеником, заинтересованном в дополнительных знаниях.

Показательный вид — наиболее простой из всех конкурсных уравнений, поэтому собрать номера с высоким уровнем сложности оказалось делом нелегким. Здесь опубликована только часть материалов моей базы. Она постоянно пополняется новыми заданиями. Появится время — размещу остальное.

Уважаемые репетиторы по математике и школьные преподаватели, присылайте понравившиеся Вам сложные показательные уравнения мне на почту (принимается сканер или фото условия). С удовольствием включу их в комплект.

Коллекция показательных уравнений репетитора по математике

Приведите к простейшему показательному уравнению:

=====================================================
Однородные уравнения:

=====================================================
На преобразования и замену:


Отв: x=2,5


Отв: x=4


Отв:


Отв:


Отв:

======================================================
Уравнения с квадратным трехчленом:


Отв:


Отв:

======================================================
На метод оценки значений:

======================================================
На монотонность

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — составитель комплекта. Москва, Строгино

Формулы и уравнения, которые изменили мир

Математик Ян Стюарт (Ian Stewart) в своей новой книге «В поисках неизвестного: 17 уравнений, которые изменили мир» рассматривает несколько наиболее важных уравнений всех времен и приводит примеры их практического применения.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

Согласно Теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Важность: Теорема Пифагора — важнейшее уравнение в геометрии, которое связывает ее с алгеброй и является основой тригонометрии. Без него было бы невозможно создать точную картографию и навигацию.

Современное использование: Триангуляция используется и по сей день, чтобы точно определить относительное расположение для GPS навигации.

Логарифм и его тождество

Логарифм и его тождество

Логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент.

Важность: Логарифмы стали настоящей революцией, позволив астрономам и инженерам делать расчеты более быстро и точно. С появлением компьютеров они не потеряли своего значения, поскольку все еще существенны для ученых.

Современное использование: Логарифмы важная составляющая для понимания радиоактивного распада.

Основная теорема анализа

Основная теорема анализа

Основная теорема анализа или формула Ньютона — Лейбница дает соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Важность: Теорема анализа фактически создала современный мир. Исчисление имеет важное значение в нашем понимание того, как измерять тела, кривые и площади. Она является основой многих природных законов и источником дифференциальных уравнений.

Современное использование: Любая математическая проблема, где требуется оптимальное решение. Существенное значение для медицины, экономики и информатики.

Классическая теория тяготения Ньютона

Классическая теория тяготения Ньютона

Классическая теория тяготения Ньютона описывает гравитационное взаимодействие.

Важность: Теория позволяет рассчитать силу гравитации между двумя объектами. Хотя позднее она была вытеснена теорией относительности Эйнштейна, теория все равно необходима для практического описания того, как объекты взаимодействуют друг с другом. Мы используем ее и по сей день для проектирования орбит спутников и космических аппаратов.

Современное использование: Позволяет найти наиболее энергоэффективные пути для вывода спутников и космических зондов. Также делает возможным спутниковое телевидение.

Комплексные числа

Комплексное число

Комплексные числа — расширение поля вещественных чисел.

Важность: Многие современные технологии, в том числе цифровые фотокамеры, не могли быть изобретены без комплексных чисел. Кроме того, они позволяют проводить анализ, который нужен инженерам для решения практических задач в авиации.

Современное использование: Широко используется в электротехнике и сложных математических теориях.

Эйлерова характеристика полиэдров

Эйлерова характеристика полиэдров

Важность: Внесла вклад в понимание топологического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности. Необходимый инструмент для инженеров и биологов.

Современное использование: Топология используется, чтобы понять поведение и функции ДНК.

Нормальное распределение

Нормальное распределение

Важность: Уравнение является основой современной статистики. Естественные и социальные науки не могли бы существовать в своей нынешней форме без него.

Современное использование: Используется в клинических испытаниях для определения эффективности лекарств по сравнению с отрицательными побочными эффектами.

Волновое уравнение

Волновое уравнение

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение волн.

Важность: Волны исследуются с целью определения времени и места землетрясений, а также для прогнозирования поведения океана.

Современное использование: Нефтяные компании используют взрывчатку, а затем считывают данные от последующих звуковых волн для определения геологических формаций.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье

Важность: Уравнение позволяет разбивать, очищать и анализировать сложные шаблоны.

Современное использование: Используется при сжатии информации изображений в формате JPEG, а так же для обнаружения структуры молекул.

Уравнения Навье—Стокса

Уравнения Навье—Стокса

В левой части уравнения — ускорение небольшого количества жидкости, в правой — силы, которые воздействуют на него.

Важность: Как только компьютеры стали достаточно мощными, чтобы решить это уравнение, они открыли сложную и очень полезную области физики. Она особенно полезна для создания более качественной аэродинамики у транспортных средств.

Современное использование: Среди прочего, уравнение помогло в усовершенствовании современных пассажирских самолетов.

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла

Описывают электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Важность: Помогли в понимании электромагнитных волн, что способствовало созданию многих технологий, которые мы используем сегодня.

Современное использование: Радар, телевидение и современные средства связи.

Второй закон термодинамики

Второй закон термодинамики

Вся энергия и тепло со временем исчезнет.

Важность: Имеет существенное значение для нашего понимания энергии и Вселенной через понятие энтропии. Открытие закона помогло улучшить паровой двигатель.

Современное использование: Помог доказать, что материя состоит из атомов, физики до сих пор пользуются этим знанием.

Теория относительности Эйнштейна

Теория относительности Эйнштейна

Энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света.

Важность: Наверное, самое известное уравнение в истории. Оно полностью изменило нашу точку зрения на материю и реальность.

Современное использование: Помогло создать ядерное оружие. Используется в GPS навигации.

Уравнение Шрёдингера

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Описывает материю как волну, а не как частицу.

Важность: Перевернула представления физиков — частицы могут существовать в диапазоне возможных состояний.

Современное использование: Существенный вклад в использование полупроводников и транзисторов, и, таким образом, в большинство современных компьютерных технологий.

Информационная энтропия Шаннона

Информационная энтропия Шаннона

Оценивает количество данных в куске кода путем расчета вероятности его символов.

Важность: Это уравнение, которое открыло дверь в Информационную Эпоху.

Современное использование: В значительной степени все, что связано с обнаружением ошибок в кодировании (программировании).

Логистическая модель роста популяций

Логистическая модель роста популяций

Оценка изменений в популяции живых существ из поколения в поколение с ограниченными ресурсами.

Важность: Помогла в развитии теории хаоса, которая полностью изменила наше понимание того, как работают природные системы.

Современное использование: Используется для моделирования землетрясений и прогноза погоды.

Модель Блэка-Скоулза

Модель Блэка Скоулза

Одна из моделей ценообразования опционов.

Важность: Помогла создать несколько триллионов долларов. Согласно некоторым экспертам, неправильное использование формулы (и ее производных) способствовало финансовому кризису. В частности, уравнение имеет несколько предположений, которые не справедливы на реальных финансовых рынках.

Современное использование: Даже после кризиса используются для определения цен.

Вместо заключения

В мире существует множество других важных уравнений и формул, которые изменили судьбу человечества в целом и нашу личную жизнь в частности. Среди них, модель Ходжкина—Хаксли, Фильтр Калмана и, конечно, уравнение поисковой системы Google. Мы надеемся, что нам удалось показать насколько важна математика, и насколько бесценен ее вклад для всех людей.

Искусственный интеллект научился решать сложные уравнения, которые описывают устройство Вселенной

Дифференциальные уравнения в частных производных встречаются в самых разных аспектах физико-математического моделирования. Они позволяют рассчитывать состояния весьма сложных систем, но их решение всегда было ресурсоемкой задачей. Благодаря специально созданной нейросети этот процесс значительно ускорился и мощности суперкомпьютеров можно будет перенаправить на другие важные задачи.

Большинство студентов технических специальностей встречают уравнения математической физики (УМФ), или дифференциальные уравнения в частных производных, лишь однажды. Пройдя их во время обучения, об этом сложном, но мощном инструменте почти всегда забывают. И лишь некоторые инженеры используют их регулярно. Речь идёт, например, о моделировании воздушных потоков в аэродинамике, описании движения тектонических плит, расчёте положения планет или метеорологии.

Как правило, для решения подобных уравнений применяют мощные вычислительные комплексы — суперкомпьютеры или сети распределённых вычислений. Для многих учёных, работающих в не самых богатых на финансирование отраслях, такие расчёты всегда были головной болью. Понимая важность появления нового инструмента для выполнения подобных задач, американские математики и программисты обратились к технологиям искусственного интеллекта.

Коллектив учёных из Калифорнийского технологического института (Caltech) и Университета Пердью разработал высокоэффективный нейросетевой алгоритм для работы с УМФ. При его использовании удалось достичь огромного прироста скорости решения уравнений — в некоторых случаях на несколько порядков. Например, на матрице 256х256 их Нейронный оператор Фурье (Fourier neural operator, FNO) выдал результат за 0,005 секунды при решении уравнений Навье — Стокса. Наиболее распространенный алгоритм, используемый ранее, рассчитывал те же условия за 2,2 секунды.

Эти дифференциальные уравнения встречаются повсеместно — точнее, с их помощью можно описать практически любую динамическую систему. Появление доступного и эффективного метода их решения может существенно продвинуть вперёд самые разные области науки. А уж применимость такого «искусственного интеллекта» в инженерных разработках точно не заставит себя ждать. Полное описание своей работы американские учёные опубликовали на портале arXiv.

Нельзя сказать, что создатели FNO первыми догадались решать дифференциальные уравнения в частных производных с помощью нейросетей и машинного обучения. Нет, так делали и раньше. Однако существующие алгоритмы приходилось обучать заново на каждый новый набор вычислений — даже при изменении свойств похожих жидкостей. Разработка учёных из Калтеха и Пердью позволяет выполнить «тренировку» лишь однажды и обсчитывать самые разные модели. Секрет эффективности FNO гениален и одновременно прост.

Основа работы любой нейросети — аппроксимация функции, её приближение. Искусственный интеллект оперирует в своих вычислениях не точными значениями, а диапазоном величин, который позволяет принять решение или выдать результат, не прибегая к ресурсоемким и сложным уточнениям. Иными словами, нейросети во время обучения вырабатывают упрощённые формулы, результаты которых достаточно точны, чтобы применяться на практике.

Обычно работающие с графиками функций нейросети оперируют значениями в евклидовом пространстве. Для того чтобы упростить задачу, авторы FNO решили не переводить волновые функции в привычные графики, а «научить» алгоритм работать напрямую с преобразованиями Фурье. Это позволило не только прибавить скорость вычислений, но и снизить количество ошибок: их теперь на 30% меньше, чем в прежних алгоритмах.

Вспоминаем самые сложные темы по математике в начале учебного года. 2-4 класс

Занятия в школе начались. Самое время вспомнить темы из курса математики за 2-4 класс, с которыми у большинства ребят возникают сложности. Разумеется, в рамках одной публикации невозможно уместить материал трёх лет обучения. Давайте пройдёмся по самым «проблемным».

Сложение и вычитание с переходом через десяток


Здесь важно помнить, что второе число можно разбить на 2 числа поменьше и выполнять действия по частям. Допустим, нужно решить пример 8+5. Пишу наши действия по шагам.

1. Вспоминаем состав числа 10 и думаем, что сначала нужно прибавить к 8, чтобы получить 10:
8+?=10
8+2=10
2. Затем вычитаем эту двойку из второго слагаемого:
5-2=3
3. И прибавляем полученное значение к 10:
10+3=13

Схематично это выглядит так:

С вычитанием ещё проще. Разберём на примере 15-8.
1. Вычитаем из первого числа его «последнюю цифру», чтобы получить ровно 10:
15-5=10
2. Вычитаем из второго числа то же самое:
8-5=3
3. И полученное значение вычитаем из 10:
10-3=7

Наглядно на схеме:

Решение уравнений


Здесь важно запомнить правила, как получить ту или иную неизвестную компоненту.

Например, у нас уравнение х + 19 = 54. Здесь х («икс») – это неизвестное слагаемое. А чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (54) вычесть известное слагаемое (19).
х = 54-19
х = 35

Для решения уравнения 72 – х = 38 думаем, какая компонента неизвестна. Это вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, мы из уменьшаемого вычитаем разность:
х = 72-38
х = 34

А в уравнении х – 17 = 47 «икс» – уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, складываем вычитаемое и разность:
х = 47+17
х = 64

С уравнениями на умножения и деления проводим те же рассуждения. И помним, что при оформлении уравнений каждый раз пишем с новой строки (на одну строку только один знак «=»).

Периметр и площадь


Чтобы их не путать, важно помнить не только формулы, но и сам смысл этих понятий. Периметр – это сумма длин всех сторон любой замкнутой фигуры. А площадь – это вся «внутренняя» часть фигуры. Если по-умному, «площадь фигуры – это часть плоскости, ограниченная этой фигурой».

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: Р=(a+b)*2, где а – длина, b – ширина, * – знак умножения. Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, нужно из периметра вычесть удвоенную известную сторону и разделить пополам:
а=(Р-2*b):2

Периметр квадрата Р=а*4 (потому что у квадрата 4 одинаковых стороны).
Чтобы найти сторону квадрата, нужно его периметр разделить на 4.

Формулы для нахождения площади ещё легче. Для прямоугольника S=a*b, для квадрата S=a*a. Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, мы его площадь делим на известную сторону. А вот если мы знаем площадь квадрата, то сторону нужно подбирать. Например, площадь квадрата 9 кв. см. Значит, думаем, какие 2 одинаковых числа нужно перемножить, чтобы получилось 9. Это 3 и 3. Значит, сторона квадрата равна 3 см.

В комментариях пишите, с какими другими темами у ваших детей возникают трудности. Разберём их в следующий раз.

Другие статьи блога «Настольная математика» на Уфамаме:


Занятия математикой с малышом до двух лет. Личный опыт мамы
Математические фокусы для младших школьников
Как заинтересовать ребенка математикой
Геометрия для малышей 1-3 лет

§ 22. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем.

   Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесообразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.

Задача 1. Решите уравнение 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.

Комментарий

Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к одному аргументу х, то получим уравнение (1) (см. решение), в которое входят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента х и их произведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную sin x + cos x = y. Чтобы получить произведение sin x cos x, достаточно возвести в квадрат обе части равенства замены и учесть, что sin2 x + cos2 x = 1. Выполняя обратную замену, удобно также учесть, что

Решение

   Данное уравнение равносильно уравнению

                                  3 (sin x + cos x) = 4 sin х cos x.                                     (1)

Если обозначить sin x + cos x = у, то

Тогда  Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем

Таким образом, sin x + cos x = 2 или sin x+cos x =

Тогда  или  Получаем  (корней нет, поскольку ) или  Отсюда  Тогда

Ответ:

   З а м е ч а н и е. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 7). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием. Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одинаковые знаки, и тогда a = b Если обе части равенства a = b положительны, то для положительных значений t функция y =возрастает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при a > 0, b > 0 из равенства a = b следует равенство и, наоборот, из равенства следует равенство a = b, что и гарантирует равносильность выполненного преобразования для положительных a и b. Аналогично для  используем то, что для не положительных значений t функция y =убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

   Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применяться свойства функций (соответствующие общие подходы к решению были рассмотрены в § 3, пункт 3.2), в частности, оценка левой и правой частей уравнения.

Задача 2. Решите уравнение 

         Оценим область значений функции 

         Поскольку  то есть 

         Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция f (x) может принимать наибольшее значение 2. Если cos 6x будет меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше 1, что невозможно. Аналогично, если допустить, что меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение cos 6x было больше 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда cos 6x и равны 1. Поэтому данное уравнение равносильно системе

         Приравнивая правые части этих равенств, получаем

         Поскольку k и n — целые числа, то для получения всех решений последнего уравнения в целых числах (см. § 9) достаточно подставить в правую часть последнего равенства вместо п все остатки при делении на 5 и найти, для каких значений п по этой формуле k также будет целым числом. Только при n = 1 получаем целое k = 3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной n в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах только вида n = 1 + 5m,. Подставляя значение п в одно из решений системы, получаем х = π + 4πm. Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения.

Ответ: х = π + 4πm,.

Задача 3. Решите уравнение 

Комментарий

         Преобразуем левую часть по формуле  и оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Решая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно несколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.

Решение

         Данное уравнение равносильно уравнению

(1)

        

 

Обозначим: . Поскольку 

         Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе

         Из первого уравнения системы имеем , откуда 

         Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы. Если , тогда sin 8x=0 и поэтому 

Ответ:

   Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится применять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ данного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким о р и е н т и р о м:

если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или неравенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.

   В таблице 42 указаны тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.

Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу 

ОДЗ левой части: . Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю:, таким образом, . То есть ОДЗ правой части задается системой ограничений  Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение. Таким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны в таблице: Чтобы не потерять корни данного уравнения, при использовании формулы, значение , необходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения).

Приведем пример использования указанного о р и е н т и р а.

Задача 4. Решите уравнение

Комментарий

Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 42, то мы приведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргументу, и к одной функции — tg x. Но при использовании указанных формул происходит сужение ОДЗ на значение ,  и вследствие этого можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разобьем решение на две части.

  1. Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в                уравнение (1). При вычислениях учитываем периодичность функций и формулы приведения.
  2. При (на ОДЗ уравнения (1)) использование формул и приводит к уравнению (2) (см. решение), которое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где ), потому что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равенства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к равенству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к уравнению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного уравнения).

   Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только тем, что в нее не входят значения , которые входят в ОДЗ уравнения (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.

Решение

  1. Если , то из данного уравнения получаем:

– верное равенство.

Таким образом, – корни уравнения (1).

  1. Если , получаем:

(2)

 

        Замена tg x = t приводит к уравнению  которое при  и  равносильно уравнению . Тогда 

Обратная замена даёт: tg x= -1 или , то есть:

   Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, исполь­зуя такой ориентир, который условно можно назвать «ищи квадратный трехчлен», то есть:

попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

 

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:

Игрек вершины параболы:

 

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

 

Формулы с логарифмами

К оглавлению…

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

 

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

 

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

 

Тригонометрия

К оглавлению…

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

 

Геометрия на плоскости (планиметрия)

К оглавлению…

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

 

Геометрия в пространстве (стереометрия)

К оглавлению…

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

 

Координаты

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

 

Таблица умножения

К оглавлению…

 

Таблица квадратов двухзначных чисел

К оглавлению…

 

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

К оглавлению…

2, завоевавшие большую часть общественной славы, многие менее известные формулы имеют своих чемпионов среди ученых. LiveScience попросил физиков, астрономов и математиков рассказать об их любимых уравнениях; вот что мы обнаружили:

Общая теория относительности

(Изображение предоставлено Shutterstock / RT Wohlstadter)

Уравнение, приведенное выше, было сформулировано Эйнштейном в 1915 году в рамках его новаторской общей теории относительности. сила как искривление ткани пространства и времени.

«Мне до сих пор удивительно, что одно такое математическое уравнение может описать, что такое пространство-время», — сказал астрофизик Института космического телескопа Марио Ливио, который назвал это уравнение своим любимым. «В этом уравнении воплощен весь истинный гений Эйнштейна». [Викторина Эйнштейна: проверьте свои знания о гении]

«Правая часть этого уравнения описывает энергетический состав нашей Вселенной (включая« темную энергию », которая движет текущим космическим ускорением)», — объяснил Ливио.«Левая часть описывает геометрию пространства-времени. Равенство отражает тот факт, что в общей теории относительности Эйнштейна масса и энергия определяют геометрию и, соответственно, кривизну, которая является проявлением того, что мы называем гравитацией». [6 странных фактов о гравитации]

«Это очень элегантное уравнение», — сказал Кайл Кранмер, физик из Нью-Йоркского университета, добавив, что уравнение раскрывает взаимосвязь между пространством-временем, материей и энергией. «Это уравнение говорит вам, как они связаны — как присутствие Солнца искажает пространство-время, так что Земля движется вокруг него по орбите и т. Д.В нем также рассказывается, как эволюционировала Вселенная после Большого взрыва, и предсказывается, что там должны быть черные дыры ».

Стандартная модель

(Изображение предоставлено Shutterstock / RT Wohlstadter)

Еще одна господствующая теория физики, стандартная модель описывает совокупность элементарных частиц, из которых в настоящее время состоит наша Вселенная.

Теория может быть заключена в основное уравнение, называемое стандартным модельным лагранжианом (названное в честь французского математика и астронома 18-го века Жозефа Луи Лагранжа), которое было выбрано физик-теоретик Лэнс Диксон из Национальной ускорительной лаборатории SLAC в Калифорнии в качестве своей любимой формулы.

«Он успешно описал все элементарные частицы и силы, которые мы наблюдали в лаборатории на сегодняшний день, за исключением гравитации», — сказал Диксон LiveScience. «Сюда входит, конечно, недавно открытый (подобный) бозон Хиггса, фи в формуле. Это полностью самосогласовано с квантовой механикой и специальной теорией относительности».

Однако стандартная теория моделей еще не объединена с общей теорией относительности, поэтому она не может описывать гравитацию. [Инфографика: объяснение стандартной модели]

Calculus

(Изображение предоставлено Shutterstock / agsandrew)

Хотя первые два уравнения описывают определенные аспекты нашей Вселенной, другое любимое уравнение можно применить ко всем ситуациям.Фундаментальная теорема исчисления составляет основу математического метода, известного как исчисление, и связывает две его основные идеи: понятие интеграла и понятие производной.

«Простыми словами, [он] говорит, что чистое изменение плавной и непрерывной величины, такой как пройденное расстояние, за данный интервал времени (т. Е. Разница в значениях величины в конечные моменты времени интервал) равен интегралу скорости изменения этой величины, т.е.е. интеграл скорости «, — сказала Мелкана Бракалова-Тревитик, заведующая математическим факультетом Фордхэмского университета, которая выбрала это уравнение в качестве своего любимого.» Фундаментальная теорема исчисления (FTC) позволяет нам определить чистое изменение за интервал на основе от скорости изменения в течение всего интервала ».

Зародыши исчисления зародились в древние времена, но большая часть их была собрана в 17 веке Исааком Ньютоном, который использовал расчеты для описания движения планет вокруг Солнца. .

Теорема Пифагора

(Изображение предоставлено Shutterstock / igor.stevanovic)

Уравнение «старое, но хорошее» — это знаменитая теорема Пифагора, которую изучает каждый начинающий изучающий геометрию.

Эта формула описывает, как для любого прямоугольного треугольника квадрат длины гипотенузы c (самая длинная сторона прямоугольного треугольника) равен сумме квадратов длин двух других сторон. ( a и b ). 2

«Самым первым математическим фактом, который меня поразил, была теорема Пифагора, — сказала математик Дайна Таймина из Корнельского университета.«Я тогда был ребенком, и мне казалось таким удивительным, что это работает с геометрией и с числами!» [5 серьезных математических фактов]

1 = 0,999999999….

(Изображение предоставлено: Shutterstock / Турсунбаев Руслан)

Это простое уравнение, которое утверждает, что величина 0,999, за которой следует бесконечная строка девяток, эквивалентна единице, является любимым математиком Стивена Строгаца из Корнельского университета.

«Мне нравится, насколько это просто — все понимают, что в нем говорится, — но насколько это провокационно», — сказал Строгац.«Многие люди не верят, что это может быть правдой. Это также прекрасно сбалансировано. Левая сторона представляет собой начало математики; правая часть представляет тайны бесконечности».

Специальная теория относительности

(Изображение предоставлено: Shutterstock / optimarc)

Эйнштейн снова попадает в список со своими формулами специальной теории относительности, которые описывают, что время и пространство не являются абсолютными понятиями, а скорее являются относительными в зависимости от скорости движения. наблюдатель. Приведенное выше уравнение показывает, как время расширяется или замедляется по мере того, как человек движется в любом направлении.

«Дело в том, что это действительно очень просто», — сказал Билл Мюррей, физик элементарных частиц из лаборатории CERN в Женеве. «В нем нет ничего, что не мог бы сделать ученик A-level, никаких сложных производных и алгебр следов. Но то, что он воплощает, — это совершенно новый взгляд на мир, целостное отношение к реальности и наше отношение к ней. неизменный космос сметается и заменяется личным миром, связанным с тем, что вы наблюдаете.Вы переходите от того, чтобы быть вне вселенной, глядя вниз, к одному из компонентов внутри нее.Но концепции и математику может усвоить любой, кто захочет ».

Мюррей сказал, что предпочитает специальные уравнения относительности более сложным формулам более поздней теории Эйнштейна.« Я никогда не смогу следовать математике общей теории относительности », — сказал он. .

Уравнение Эйлера

(Изображение предоставлено: Shutterstock / Jezper)

Эта простая формула инкапсулирует нечто чистое о природе сфер:

«Это говорит о том, что если вы разрежете поверхность сферы на грани, края и вершины и пусть F будет числом граней, E числом ребер и V числом вершин, вы всегда получите V — E + F = 2 «, — сказал Колин Адамс, математик из колледжа Уильямс в Массачусетсе.

«Возьмем, к примеру, тетраэдр, состоящий из четырех треугольников, шести ребер и четырех вершин», — пояснил Адамс. «Если вы сильно дунете в тетраэдр с гибкими гранями, вы можете округлить его до сферы, так что в этом смысле сферу можно разрезать на четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. И мы видим, что V — E + F = 2. То же самое верно для пирамиды с пятью гранями — четырьмя треугольными и одним квадратом — восемью гранями и пятью вершинами »и любой другой комбинацией граней, ребер и вершин.

«Очень крутой факт! Комбинаторика вершин, ребер и граней улавливает кое-что очень фундаментальное о форме сферы», — сказал Адамс.

Уравнения Эйлера-Лагранжа и теорема Нётер

(Изображение предоставлено Shutterstock / Марк Пинтер)

«Это довольно абстрактные, но удивительно мощные», — сказал Кранмер из Нью-Йоркского университета. «Круто то, что этот способ мышления о физике пережил несколько крупных революций в физике, таких как квантовая механика, теория относительности и т. Д.«

Здесь L обозначает лагранжиан, который является мерой энергии в физической системе, такой как пружины, рычаги или фундаментальные частицы.« Решение этого уравнения показывает, как система будет развиваться со временем », — сказал Кранмер.

Побочный результат уравнения Лагранжа называется теоремой Нётер в честь немецкого математика 20 века Эмми Нётер. «Эта теорема действительно фундаментальна для физики и роли симметрии», — сказал Кранмер. обладает симметрией, то существует соответствующий закон сохранения.Например, идея о том, что фундаментальные законы физики сегодня такие же, как и завтра (временная симметрия), подразумевает сохранение энергии. Идея о том, что законы физики здесь такие же, как и в космическом пространстве, подразумевает, что импульс сохраняется. Симметрия, возможно, является движущей концепцией фундаментальной физики, в первую очередь благодаря вкладу [Нётер] ».

Уравнение Каллана-Симанзика

(Изображение предоставлено: Shutterstock / RT Wohlstadter)

« Уравнение Каллана-Симанзика является жизненно важным первым. «Уравнение принципов 1970 года, необходимое для описания того, как наивные ожидания терпят неудачу в квантовом мире», — сказал физик-теоретик Мэтт Страсслер из Университета Рутгерса.

Уравнение имеет множество приложений, в том числе позволяет физикам оценивать массу и размер протона и нейтрона, составляющих ядра атомов.

Основы физики говорят нам, что гравитационная и электрическая сила между двумя объектами пропорциональна величине, обратной квадрату расстояния между ними. На простом уровне то же самое верно и для сильного ядерного взаимодействия, которое связывает протоны и нейтроны вместе, чтобы сформировать ядра атомов, и которое связывает кварки вместе, чтобы сформировать протоны и нейтроны.Однако крошечные квантовые флуктуации могут немного изменить зависимость силы от расстояния, что имеет драматические последствия для сильного ядерного взаимодействия.

«Это предотвращает уменьшение этой силы на больших расстояниях, заставляет ее захватывать кварки и объединять их, чтобы сформировать протоны и нейтроны нашего мира», — сказал Штрасслер. «Уравнение Каллана-Симанзика связывает этот драматический и трудно поддающийся расчету эффект, важный, когда [расстояние] примерно равно размеру протона, с более тонкими, но более простыми для расчета эффектами, которые можно измерить, когда [ расстояние] намного меньше протона.«

Уравнение минимальной поверхности

(Изображение предоставлено Shutterstock / MarcelClemens)

« Уравнение минимальной поверхности каким-то образом кодирует красивые мыльные пленки, которые образуются на границах проводов, когда вы погружаете их в мыльную воду », — сказал математик Фрэнк Морган из Williams. Колледж. «Тот факт, что уравнение является» нелинейным «, включая степени и произведения производных, является закодированным математическим намеком на удивительное поведение мыльных пленок. Это контрастирует с более знакомыми линейными уравнениями в частных производных, такими как уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Шредингера квантовой физики.«

Самая сложная математическая задача в мире — верь в глаза

Нравится? Поделиться!

У вас начинает кружиться голова от одного вида уравнений и калькуляторов? Представьте, что вы пытаетесь решить сложнейшую в мире математическую задачу. Есть некоторые проблемы, которые ставили в тупик лучших математиков мира.

В детстве большинство моих друзей (и я) страдали от нелогичного страха перед числами, уравнениями, прямыми углами и всей загадкой математики.К сожалению, тех из нас, кто этого не делал, называли вундеркиндами, вероятно, из-за многовековой человеческой реакции на кислый виноград.

Конечно, нам нужно было научиться складывать или вычитать, на случай, если мы захотим проверить, что мы получили правильное изменение от кассира, но какой смысл изучать теорему Пифагора или алгебру с x и y или со всеми? эти другие математические термины? Что ж, это была логика, которую многие из нас применяли, чтобы отказаться от изучения этого ужасного предмета.Но среди нас были некоторые, кто хотел изучить эти странные теоремы с греческими алфавитами и мнимыми числами. А иногда эти члены математического клуба говорили о решении самой сложной математической задачи в мире. Так большинство из нас узнало, что есть некоторые математические задачи, которые на самом деле никогда не решались даже математиками, которые посвятили им свою жизнь. Сегодня меня интересует сложнейшая математическая задача. Не потому, что я хочу ее решить (на самом деле, это далеко не так), а потому, что тот факт, что на самом деле в мире существует гипотеза, которая не была доказана в течение почти 150 лет, очень интригует.

Какая самая сложная математическая задача в мире?

В мире есть две математические задачи, получившие большое признание и внимание, потому что они оставались нерешенными в течение нескольких лет. Хотя гипотеза Римана все еще остается нерешенной, теорема Ферма, которая является одной из сложнейших математических задач в мире, была решена только в 1995 году. Хотя ее трудно понять, мы попытаемся объяснить эти две проблемы в следующем разделе.

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана, выдвинутая Бернхардом Риманом в 1859 году, считается самой сложной математической задачей в мире.Риман применил дзета-функцию Эйлера ко всем комплексным числам, за исключением s = 1. При дальнейшем изучении этого вопроса он понял, что дзета-функция имеет тривиальные нули в точках -2, -4, -6 и т.д., и все нетривиальные нули симметричны там, где прямая Re (s) = ½. Это привело его к выдвижению гипотезы о том, что все нетривиальные нули находятся на прямой Re (s) = ½. Он указан как:

Теорема Ферма

Теорема Ферма, или Великая теорема Ферма, как ее называют, была выдвинута Пьером де Ферма в 1637 году.Спустя несколько лет, когда многие математики пытались доказать теорему, она была решена более чем через триста лет в 1995 году. Теорема Ферма сформулирована следующим образом.

Хотя эта теорема была доказана для целочисленного случая n = 4 до того, как была предложена теорема Ферма, за следующие двести лет теорема была доказана для простых чисел 3, 5 и 7. За эти годы теорема была доказана для всех простые числа меньше 100 и для обычных простых чисел.В 1984 году Герхард Фрей предложил доказать теорему с помощью гипотезы модульности. Эндрю Уайлс успешно доказал Великую теорему Ферма в 1995 году с помощью Ричарда Тейлора.

Великая теорема Ферма была опубликована только после его смерти, так как при его жизни Ферма, математик-любитель, отказался публиковать какие-либо свои работы. Фактически, теорема была нацарапана на полях одной из его книг и позже найдена его сыном. Наряду с еще не доказанной гипотезой Римана последняя теорема Ферма, без сомнения, является самой сложной математической проблемой в мире.

Обе эти теоремы приобрели культовую популярность в математических кругах, просачиваясь в массовую культуру благодаря упоминаниям в таких бестселлерах, как «Трилогия тысячелетия» Стейг Ларрсон и в таких сериалах, как «Симпсоны», «Numb3rs» и «Закон и порядок». Так что, если простые смертные, подобные нам, не могут питать никаких надежд на решение самой сложной математической задачи в мире, мы можем хотя бы выглядеть умными, пока будут упоминания. Как однажды сказал Бертран Рассел: «Математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не узнаем, о чем говорим, и правильно ли то, что мы говорим.”

Похожие сообщения

  • Год, который мир потерял десять дней

    Всем известно, что в году 365 дней. Почему тогда Папа решил, что 1582 год будет длиться всего 355 дней? Как это решение повлияло на…

  • Самая длинная река в мире

    Часто, переходя реку или идя по ней, иногда ум задается вопросом, какая река может быть самой длинной в мире. Что ж, здесь вы найдете исчерпывающий ответ…

сложнейших математических задач.Шесть сложных способов стать… | Франческо Ди Лалло

Можно ли быстро решить любую проблему, решение которой можно быстро проверить?

Проблемы можно разделить на разные классы сложности. Здесь нас интересуют классы P и NP. Они обозначают олиномиальное время P и N при детерминированном олиномиальном времени P , соответственно.

По сути, проблема P может быть решена «быстро» и проверена «быстро». В то время как проблема NP (в настоящее время) не имеет «быстрого» решения.Более конкретно, учитывая задачу с размером входных данных n, , время, необходимое для ее решения, если бы она находилась в классе P, растет в соответствии с некоторым полиномом. А если это NP, то он будет расти быстрее.

Пример проблемы, которая считается NP (я говорю, что мысль , поскольку она зависит от истинности гипотезы) — это задача коммивояжера (версия задачи решения):

Учитывая список городов и расстояние между ними, можете ли вы построить маршрут, проходящий через каждый город, общая длина которого меньше заданного расстояния?

Решение этой проблемы сложно и требует больших затрат, но решение легко проверить — решение представляет собой список городов для посещения по порядку, и можно проверить, что это действительное решение, просто сложив расстояния и сравнивая его с заданной границей.Важно отметить, что при увеличении длины списка городов время на решение будет намного быстрее, чем при использовании любого полинома.

С другой стороны, пример проблемы P — это проверка того, находится ли номер в данном списке. Его легко решить и легко проверить, и если вы увеличите размер списка вдвое, затраченное время также удвоится (так что затраченное время не будет расти слишком быстро).

Проблема P vs NP заключается в том, действительно ли проблемы NP отличаются от проблем P. Иначе говоря, существует ли какой-то секретный или скрытый алгоритм, который может быстро решить ранее рассмотренные сложные проблемы?

В трех измерениях пространства и времени, при заданной начальной скорости, существуют ли векторная скорость и скалярное поле давления, которые являются гладкими и глобально определенными, которые решают уравнения Навье – Стокса?

Уравнения Навье-Стокса — это два нелинейных дифференциальных уравнения в частных производных , которые описывают движение жидкости в трехмерном пространстве.Это система из двух уравнений, которые связывают векторное поле скорости и скорость его изменения с полем давления, внешними силами, приложенными к жидкости. Уравнения записываются следующим образом:

Мы не будем углубляться в то, что означает каждый термин, но, по сути, первое уравнение представляет собой (вязкую) версию жидкости Ньютона F = ma — силы, участвующие в сумме давления, вязкие стресс и внешние силы. Второе уравнение — это очень просто сохранение массы и требует, чтобы жидкость была несжимаемой.

Для того, чтобы решение было «действительным», у нас есть два условия:

  1. Векторное поле v и скалярное поле p глобально определены и непрерывны во всем пространстве.
  2. Полная кинетическая энергия ограничена. (Интеграл квадрата нормы v по всему пространству ограничен.)

Таким образом, проблема Навье-Стокса сводится к доказательству одного из двух случаев:

Утвердительный : при f = 0 и начальное поле скорости (которое должно удовлетворять определенным условиям) существует поле скорости и давления, которое удовлетворяет (1) и (2).

Пробой: Существует начальное векторное поле и внешнее силовое поле, где нет решения, удовлетворяющего (1) и (2). Уравнения

N-S управляют диффузией молока в чае — Фото Alex Boyd на Unsplash

Имеют ли все нетривиальные нули дзета-функции Римана действительную часть, равную 1/2?

Снова разберемся с этим. Во-первых, дзета-функция Римана определяется следующим уравнением

, которое справедливо для с> 1. Обратите внимание, что для s = 1, функция сводится к гармоническому ряду, который увеличивается. Мы можем проделать некоторые причудливые математические вычисления, чтобы аналитически продолжить (существенно расширить) функцию на комплексную плоскость (кроме s = 0 и 1 ) со следующей функциональной зависимостью:

Теперь мы хотим найти, для которой s , ζ (s) = 0. Теперь, поскольку косинус равен 0 для нечетных отрицательных целых чисел, ζ (-2n) для положительного целого n равен 0. Они называются тривиальными нулями, поскольку они равны нулю из-за природы косинуса.Вместо этого нас интересует, когда ζ само по себе равно нулю.

Известно, что все нетривиальные нули имеют действительную часть от 0 до 1, известную как критическая полоса. Как оказалось, кажется, что если s является нетривиальным нулем (т.е. если ζ (s) = 0 и s не является отрицательным четным числом), то s = 1/2 + iy для некоторого значения y . то есть действительная часть s равна 1/2 , это называется критической линией.

Для эллиптической кривой E над всегда ли совпадает алгебраический ранг с аналитическим рангом?

Эллиптическая кривая E — это набор решений уравнения вида y² = x³ + Ax + B с ограничением, что дискриминант ∆ = -16 (4A³ + 27B²) ≠ 0. Ограничение просто гарантирует, что кривая будет достаточно хорошей.

Две эллиптические кривые. Слева: y² = x³-1.5x + 1, справа: y² = x³-4x + 1

Теперь мы ограничиваем решения эллиптической кривой, требуя, чтобы x и y были рациональными.Вот что мы подразумеваем под кривой над over. Теперь мы можем использовать эту кривую E, чтобы сформировать группу, обозначенную E (ℚ). Мы проделали довольно аккуратную бинарную операцию: по двум точкам мы проводим через них линию, находим третье пересечение с E и отражаем его через ось x.

Как сложить две точки A и B, чтобы найти C

Чтобы полностью превратить ее в группу, нам нужно добавить бесконечно удаленную точку, которая действует как идентичность группы (для читателя, знакомого с проективной геометрией, E — неособая проективная кривая, поэтому мы получаем тождество бесплатно из амбиантного пространства).

Первый естественный вопрос, который задают, — что мы можем сделать вывод о структуре E (ℚ)?

Результат Морделла и Вейля говорит нам, что E (ℚ) конечно порождено и может быть записано как

где E (ℚ) _tors — это все точки в E (ℚ), которые имеют конечный порядок. r известен как алгебраический ранг кривой E.

Отлично, теперь у нас есть первая половина. Теперь нам нужно понять аналитический ранг.

Давайте теперь еще больше ограничим решения, рассмотрев E в конечном поле размером p , где p — простое число

Мы определяем следующие значения

и, наконец, L-серию E при с как таковой

напомним, что ∆ — дискриминант эллиптической кривой.Затем мы можем разложить L в ряд Тейлора около s = 1:

Здесь r_an — аналитический ранг кривой. Те, кто знаком с комплексным анализом, узнают, что r_an — это порядок исчезновения нуля.

Наконец-то! Мы можем записать гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера очень просто как

Хорошо, что все это означает? Как оказалось, вычислить алгебраический ранг довольно сложно, тогда как аналитический ранг несколько проще. Эта гипотеза обеспечивает мост между страной анализа и страной алгебры.

Для любой компактной простой калибровочной группы G существует ли нетривиальная квантовая теория Янга – Миллса на, которая имеет щель масс Δ> 0?

Небольшое заявление об отказе от ответственности: я вряд ли специалист в области физики элементарных частиц, поэтому я изложу здесь свое лучшее поверхностное понимание.

Задача состоит в том, чтобы сделать современную физику математически строгой.

Мы начинаем с идеи калибровочных симметрий: это, по сути, свободы в том, как мы описываем физическую систему.Например, не имеет значения, как и где мы ориентируем нашу систему координат.

Изящная теорема Эмми Нётер гласит, что для каждой симметрии существует соответствующий закон сохранения. Например:

  • Временная инвариантность (т.е. не имеет значения, начинаете ли вы свой эксперимент сейчас или через 5 минут после того, как выпили чашку чая) непосредственно ведет к сохранению энергии
  • Трансляционная инвариантность дает начало сохранение импульса

Далее переходим к теории Янга-Миллса.

Лучшее объяснение, которое я смог найти, дано Лоуренсом Крауссом. Представьте себе шахматную доску: если вы поменяете каждый белый квадрат на черный квадрат и каждый черный квадрат на белый, то игра будет практически идентичной. Немногое произошло, но произошли изменения, так что это довольно простая симметрия.

А теперь представьте, что я локально переключаю цвет определенного квадрата и делаю это столько, сколько хочу, по всей доске. Доска будет выглядеть очень странно, но я могу написать книгу правил, в которой будут учтены все сделанные мною свопы.Затем эта книга правил определяет, как играть в игру.

Теперь свод правил — это фактически поле, а игра — теория Янга-Миллса, и локальная перестановка цветов является калибровочной симметрией.

Фото Хассана Паши на Unsplash

Итак, давайте пройдемся по нему:

Калибровочная группа — это группа (возможно, очень причудливых) симметрий системы, это дает начало закону сохранения, и мы можем написать «свод правил» это поле, которое определяет, как взаимодействуют частицы, что является теорией Янга-Миллса.

Это уже было сделано в случае электромагнитного взаимодействия и сильного ядерного взаимодействия, которые полностью описаны с помощью квантовой электродинамики и квантовой хромодинамики.

Что спрашивает существование Янга-Миллса (мы перейдем к разнице масс через секунду): существует ли это описание для всех четырех фундаментальных сил? И что еще интереснее, можно ли их объединить?

Фотография israel palacio на Unsplash

Касательно разрыва масс: возбуждение в одном из этих полей на самом деле является частицей. Массовый зазор — это, по сути, условие, что масса этих частиц должна быть ограничена снизу, чтобы вы не могли найти частицу, которая была бы сколь угодно легкой. Это то, что мы наблюдаем в природе.Это называется зазором массы, поскольку существует зазор между 0 и самой легкой частицей.

Итак, чтобы теория Янга-Миллса «хорошо» описывала реальность, должна также иметь этот разрыв в массах.

Пусть X — неособое комплексное проективное многообразие. Тогда может ли каждый класс Ходжа на X быть записан как линейная комбинация с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X?

Этот дурацкий. Я собираюсь вдаваться в гораздо меньшие подробности здесь, потому что, черт возьми, это трудно понять.

Существует естественный обмен между алгебраическими уравнениями и геометрическими фигурами. Решение x² + y²-1 = 0 образует круг, а x + y-1 = 0 образует линию.

Итак, мы можем придумать несколько сумасшедших уравнений, и решение будет иметь форму (иногда очень сложную), это называется алгебраическими циклами. Если эти алгебраические циклы достаточно гладкие, то их можно назвать многообразиями (напомним, это из гипотезы Пуанкаре).

Итак, алгебраические циклы (читай решения уравнений) могут образовывать многообразия, если мы добавим больше уравнений, то мы получим алгебраические циклы на многообразии.

Добавляя z = 0 к уравнению x² + y² + z² = 1, мы получаем круг.

Теперь с топологической точки зрения мы можем рисовать сумасшедшие формы на многообразии, а затем группировать эти формы вместе, если их можно деформировать друг в друга. Они сгруппированы в классы гомологии.

Два разных класса гомологии на торе

Теперь это выглядит точно так же, как обмен, который мы рассмотрели выше: мы переходим от алгебраического описания формы к геометрическому описанию. Проблема в том, для данного многообразия, когда класс гомологии содержит одну фигуру, которую можно описать как алгебраический цикл на этом многообразии?

К сожалению, мы имели дело с многообразиями, живущими в регулярном евклидовом пространстве.Гипотеза Ходжа имеет дело с многообразиями, живущими в проективном комплексном n-мерном пространстве (имеющем вещественную размерность 2n). Так что здесь все поражает. Многообразие неособое, если нет «заостренных битов».

Ходжу пришла в голову изящная и элегантная идея сказать, эквивалентен ли класс гомологии алгебраическому циклу, и это, по сути, гипотеза Ходжа. Я предоставляю заинтересованным читателям возможность получить степень магистра по алгебраической геометрии, если они хотят понять больше.

Топ-5 самых сложных задач исчисления в мире

Вы когда-нибудь задумывались, какие самые сложные задачи по исчислению в мире?

Я сейчас на полпути к курсу «Исчисление 2» и уже на грани умственного истощения. Тем не менее, я отчаянно хочу знать, какие самые сложные проблемы исчисления и что может потребоваться для их решения. Кроме того, я хочу знать, какие реальные приложения у них могли бы быть, если бы они были решены.

Я провел небольшое исследование, и то, что я обнаружил, было действительно захватывающим.На самом деле существует несколько нерешенных задач исчисления, которые, если они будут решены, могут иметь революционные реальные приложения в нескольких областях.

Кроме того, две задачи, попавшие в этот список, могут принести человеку 1 000 000 долларов, присуждаемых Институтом математики Клэя, если решение будет найдено. Эти 5 нерешенных проблем относятся к числу самых сложных в мире, которые относятся к сфере математического анализа.

5 самых сложных задач исчисления
1.Уравнение существования и гладкости Навье-Стокса
2. Гипотеза Римана
3. Уравнения Эйлера (гидродинамика)
4. Уравнения Власова
5. Формула инверсии для преобразования прерванного полярного луча

Это 5 самых сложных нерешенных задач исчисления. Возможно, некоторые из этих проблем выходят за рамки исчисления, поскольку они являются уравнениями с частными производными (PDE). Однако я включаю их, потому что это замечательные проблемы, и они, по крайней мере, уходят корнями в математический анализ.

5. Формула инверсии для преобразования полярного сломанного луча

Преобразование «Полярный сломанный луч» было введено в 2015 году Брайаном Шерсоном в его 140-страничной докторской диссертации по этому вопросу, которую можно найти здесь:

Брайан Шерсон: Некоторые результаты томографии однократного рассеяния

Работа Брайана Шерсона основана на работе Лючии Флореску, Джона С. Шотланда и Вадима А. Маркеля в их исследовании преобразования сломанного луча в 2009 году.

Формула инверсии была найдена в 2014 году для исследования преобразования Broken Ray в 2009 году.Однако формулы инверсии для преобразования Брайана Шерсона в Полярный луч 2015 года не найдено.

Рейтинг сложности

8,5 / 10

Несмотря на то, что эту нерешенную в настоящее время задачу исчисления чрезвычайно трудно решить, она отнюдь не невозможна. Если исследования продолжатся, мы найдем решение в течение следующего десятилетия. Хотя это решение не принесет первооткрывателю премии в размере 1 000 000 долларов, оно, скорее всего, принесет им почетную степень доктора математики.

Реальные приложения

Эти уравнения описывают рассеяние фотонов при их прохождении через объект. Таким образом, они находят широкое применение в продвинутых рентгеновских снимках , также известных как компьютерная томография (компьютерная томография).

4. Уравнение Власова

Уравнение Власова впервые было рассмотрено в 1938 году для описания плазмы .

Уравнение разработал Анатолий Власов.Однако в дальнейшем оно использовалось вместе с уравнением Джеймса Клерка Максвелла и уравнением Симеона Дени Пуассона. В результате появилась система уравнений Власова-Максвелла, а также уравнение Власова-Пуассона.

Рейтинг сложности

9/10

Эта проблема не решалась более 80 лет и, вероятно, останется нерешенной еще какое-то время.

Для решения этой проблемы необходимо глубокое понимание физики и математики, включая функции распределения.

Реальные приложения

Система уравнений Власова-Максвелла описывает взаимодействия частиц плазмы.

Уравнения Власова-Пуассона оценивают уравнения Власова-Максвелла.

3. Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Уравнения Эйлера, названные в честь Леонарда Эйлера, были первоначально представлены в 1755 году и позже опубликованы в 1757 году. Эти уравнения тесно связаны с другой из наиболее сложных задач математического анализа, уравнениями Навье-Стокса, которые занимают в этом отношении позицию # 1. список .

Уравнения Эйлера, связанные с гидродинамикой, представляют собой набор квазилинейных гиперболических уравнений, которые управляют адиабатическим и невязким потоком. Из этих уравнений есть общая форма уравнения неразрывности, уравнения количества движения и уравнения баланса энергии.

Леонард Эйлер также создал одно из самых известных в математическом сообществе уравнений, называемое просто тождеством Эйлера, которое связывает 5 важных математических констант: 0, 1, i, e, и pi .

Рейтинг сложности

9,5 / 10

Несмотря на то, что этим уравнениям более 250 лет, они по большей части остаются нерешенными. Например, в трех измерениях пространства до сих пор неясно, определены ли решения на все времена или являются сингулярностями.

Реальные приложения

Уравнения Эйлера применяются в термодинамике , гидродинамике и аэродинамике .

2. Гипотеза Римана

Гипотеза Римана была первоначально выдвинута в 1859 году Бернхардом Риманом. Это одна из семи задач Millenial Prize , которые принесут ей декодер 1 000 000 долларов , оплаченный Институтом математики Клэя. Это одна из двух задач Премии Миллениума, попавших в этот список.

Гипотеза Римана предполагает, что дзета-функция Римана пересекает ось x (нули функций) только при отрицательных четных целых числах и комплексных числах с действительной частью 1/2.

Эта гипотеза считается наиболее важной нерешенной проблемой математики, не говоря уже о математическом анализе.

Рейтинг сложности

9,5 / 10

Это не только одна из самых важных проблем математического анализа, но и одна из самых трудных, если не самая сложная на сегодняшний день. За прошедшие годы был достигнут некоторый прогресс в подтверждении гипотезы Римана, но формального доказательства еще не было.

Реальные приложения

Гипотеза Римана находит широкое применение в теории чисел, области математики, имеющей дело с целыми числами, особенно с простыми числами.

1. Уравнение существования и гладкости Навье-Стокса

Подобно уравнениям Эйлера, которые занимают третье место в этом списке, уравнение существования и гладкости Навье-Стокса лежит в основе гидродинамики. Это означает, что они описывают, как жидкости, наряду с подобными жидкостям субстанциями, такими как воздух, перемещаются в пространстве.

Уравнение существования и гладкости Навье-Стокса было разработано в 1822 году Клодом-Луи Навье и Джорджем Габриэлем Стоксом. Это уравнение фигурирует в списке задач Millenial Prize Института математики Клея, который выплатит 1 000 000 долларов тому, кто его решит.

Официальное заявление, которое они могли бы доказать или опровергнуть, выглядит следующим образом:

В трех измерениях пространства и времени, при заданном поле начальной скорости, существует вектор скорости и поле скалярного давления, которые являются как гладкими, так и глобально определенными, которые решают уравнения Навье – Стокса.

Математический институт Клэя
Рейтинг сложности

10/10

Это одна из самых важных проблем в физике, которая беспокоит математиков и научное сообщество с момента ее появления.Чтобы решить эту проблему, потребуется глубокое понимание сложного исчисления, а точнее — дифференциальных уравнений. Однако некоторые предполагают, что решение будет физически невозможным.

Реальные приложения

Уравнение существования и гладкости Навье-Стокса находит применения в механике жидкости, аэродинамике, и в инженерии самолетов . Правильное решение было бы революционным в аэрокосмической отрасли.

Если вы хотите узнать о других задачах Millenial Prize, вы можете ознакомиться с ними здесь:

Википедия: Задачи Millenial Prize

Другие нерешенные математические задачи

Если вам интересно узнать больше о самых сложных нерешенных математических задачах в мире, в Википедии есть список из более чем 100 задач. Список организован по различным разделам математики, таким как алгебра и теория чисел. Вы можете ознакомиться со списком здесь:

Википедия: Список нерешенных задач математики


Статьи по теме


Самые популярные нерешенные вопросы в математике остаются в основном загадочными

Двадцать один год назад на этой неделе математики опубликовали список из семи основных нерешенных проблем в этой области.Ответ на них предложит важные новые идеи в фундаментальной математике и может даже иметь реальные последствия для таких технологий, как криптография.

Но большие вопросы в математике не всегда вызывали такой же уровень интереса со стороны, как загадки в других областях науки. Когда доходит до понимания того, как выглядят математические исследования и в чем их смысл, многие люди до сих пор в тупике, — говорит Вэй Хо, математик из Мичиганского университета. Хотя люди часто неправильно понимают природу ее работы, Хо говорит, что это нетрудно объяснить.«Моя тусовка на коктейльной вечеринке всегда связана с эллиптическими кривыми», — добавляет она. Хо часто спрашивает участников вечеринок: «Вы знаете параболы и круги в средней школе? Как только вы начнете составлять кубическое уравнение, все становится очень сложно … По ним возникает так много открытых вопросов ».

Одна известная открытая проблема, называемая гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера, касается природы решений уравнений эллиптических кривых, и это одна из семи задач, отмеченных премией тысячелетия, которые были выбраны учредительным научным консультативным советом Института математики Клея (CMI ) как то, что институт описывает как «одни из самых сложных проблем, с которыми математики боролись на рубеже второго тысячелетия.«На специальном мероприятии, состоявшемся в Париже 24 мая 2000 года, институт объявил приз в размере 1 миллиона долларов за каждое решение или контрпример, которое впервые эффективно решит одну из этих проблем. Правила, пересмотренные в 2018 году, гласят, что результат должен получить «всеобщее признание в мировом математическом сообществе».

Провозглашение 2000 года дало людям 7 миллионов долларов причин для работы над семью проблемами: гипотезой Римана, гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера, проблемой P и NP, проблемой существования Янга-Миллса и проблемой разрыва массы, гипотезой Пуанкаре. , проблема существования и гладкости Навье-Стокса и гипотеза Ходжа.Тем не менее, несмотря на фанфары и денежные стимулы, через 21 год была решена только гипотеза Пуанкаре.

Неожиданное решение

В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман, российский математик, тогда работавший в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН, поделился работой, связанной с его решением гипотезы Пуанкаре, в Интернете. В 2010 году CMI объявила, что Перельман доказал эту гипотезу, а также решил связанную с ней гипотезу геометризации покойного математика Уильяма Терстона.(Известно, что Перельман, который редко общается с публикой, отказался от призовых).

Согласно CMI, гипотеза Пуанкаре фокусируется на топологическом вопросе о том, «по существу характеризуются» ли сферы с трехмерными поверхностями свойством, называемым «простая связность». Это свойство означает, что если вы закроете поверхность сферы резиновой лентой, вы можете сжать эту ленту — не разрывая ее и не снимая с поверхности — до тех пор, пока она не станет единственной точкой.Двумерная сфера или отверстие для бублика просто соединены, а бублик (или другая форма с отверстием) — нет.

Мартин Бридсон, математик из Оксфордского университета и президент CMI, описывает доказательство Перельмана как «одно из величайших событий, безусловно, последних 20 лет» и «венец достижения многих направлений мысли и нашего понимания того, что трехмерные пространства похожи на. » И это открытие может привести к еще большим открытиям в будущем. «Для доказательства потребовались новые инструменты, которые сами по себе находят далеко идущие применения в математике и физике», — говорит Кен Оно, математик из Университета Вирджинии.

Оно было сосредоточено на другой проблеме тысячелетия: гипотезе Римана, которая включает простые числа и их распределение. В 2019 году он и его коллеги опубликовали статью в Proceedings of the National Academy of Sciences USA , в которой пересмотрели старый, ранее заброшенный подход к поиску решения. В сопроводительном комментарии Энрико Бомбьери, математик из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси, лауреат высшей награды математики 1974 года — медали Филдса, назвал это исследование «крупным прорывом».Однако Оно говорит, что было бы необоснованным описывать его работу как «что-либо, что предполагает, что мы собираемся доказать гипотезу Римана». Другие также отказались от этой проблемы на протяжении многих лет. Например, математик: «Пару лет назад Терри Тао написал прекрасную статью о программе [математика Чарльза] Ньюмана для гипотезы Римана», — говорит Оно.

Прогресс в том, что не сработает

Тот факт, что до сих пор решена только одна из перечисленных проблем, не удивляет экспертов — в конце концов, головоломки существуют давно и ошеломляюще сложны.«Количество решенных задач на одну больше, чем я ожидал», — говорит Манджул Бхаргава, математик из Принстонского университета и медалист Филдса 2014 года. Сам Бхаргава сообщил о нескольких недавних результатах, связанных с гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера, в том числе тот, в котором, по его словам, он и его коллеги «доказали, что более 66 процентов эллиптических кривых удовлетворяют гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера».

Ни одну из проблем решить непросто, но некоторые из них могут оказаться особенно трудноразрешимыми.Проблема P и NP кажется настолько сложной для решения, что Скотт Ааронсон, ученый-теоретик из Техасского университета в Остине, называет ее «признаком нашего невежества». Эта проблема касается вопроса о том, есть ли у вопросов, которые легко проверить (класс запросов NP), решения, которые легко найти (класс P). * Ааронсон много писал о проблеме P и NP. В статье, опубликованной в 2009 году, он и Ави Вигдерсон, математик и компьютерный ученый из Института перспективных исследований и один из лауреатов премии Абеля 2021 года, показали новый барьер на пути к доказательству того, что класс P — это не то же самое, что NP. класс.Барьер, обнаруженный Ааронсоном и Вигдерсоном, является третьим из обнаруженных на сегодняшний день.

«Есть большой прогресс в том, чтобы показать, какие подходы не работают», — говорит Вирджиния Василевска Уильямс, ученый-теоретик и математик из Массачусетского технологического института. «Доказательство того, что P [не] равно NP, было бы важной ступенькой к тому, чтобы показать, что криптография хорошо обоснована», — добавляет она. «Прямо сейчас криптография основана на недоказанных предположениях», одним из которых является идея о том, что P не равно NP.«Чтобы показать, что вы не можете взломать криптографические протоколы, которые нужны людям в современных компьютерах», в том числе те, которые обеспечивают безопасность нашей финансовой и другой личной информации в Интернете, «вам нужно хотя бы доказать, что P не равно NP», — говорит Василевска. Примечания Уильямса. «Когда люди пытались привязать меня к числу, — говорит Ааронсон, — я даю 97 или 98 процентов вероятности, что P не равно NP».

Восхождение на Эверест

По словам Оно, поиск решений призовых задач похож на попытку подняться на Эверест в первый раз.«На этом пути есть различные шаги, которые олицетворяют прогресс», — добавляет он. «Настоящий вопрос: сможете ли вы добраться до базового лагеря? И если можешь, ты все равно знаешь, что очень далеко ».

В отношении таких проблем, как гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера и гипотеза Римана, Оно говорит: «Конечно, мы в Непале» — одной из стран отправления восхождения на гору, — «но добрались ли мы до базового лагеря? ” Математикам может понадобиться дополнительное «снаряжение», чтобы подняться на вершину. «Сейчас мы пытаемся выяснить, каковы математические аналоги высокотехнологичных инструментов, баллонов с кислородом, которые потребуются, чтобы помочь нам добраться до вершины», — говорит Оно.Кто знает, сколько препятствий может стоять между текущими исследованиями и возможными решениями этих проблем? «Может быть, их 20. Может быть, мы ближе, чем думаем», — говорит Оно.

Несмотря на сложность задач, математики с оптимизмом смотрят на долгую перспективу. «Я очень надеюсь, что пока я являюсь президентом института Клея, одна из них будет решена», — говорит Бридсон, отмечая, что CMI разрабатывает стратегию, как лучше всего продолжать повышать осведомленность о проблемах.«Но нужно признать, что это очень сложные проблемы, которые могут продолжать формировать математику на всю оставшуюся жизнь, но без решения».

* Примечание редактора (02.06.21): это предложение было изменено после публикации, чтобы исправить описание проблемы P по сравнению с NP.

Сможете ли вы решить сложнейшие математические задачи? — Новости канала 4

13 августа 2014 г.

Как доказывает награда Fields Awards в этом году, математика очень сложна для понимания.Это проблемы, которые на протяжении веков ставили математиков в тупик.

Медаль Филдса за выдающиеся достижения в математике часто называют Нобелевской премией в мире математики. Но в отличие от Нобелевской премии по физике, которая была присуждена в прошлом году создателям большого адронного коллайдера ЦЕРНа, даже попытка приоткрыть завесу понимания и понять, почему победители медали Филдса достойны, почти невозможна.

Хорошая новость заключается в том, что Марк Ронан, почетный профессор математики в UCL, говорит, что мы не одиноки. «Даже когда люди объясняют эти вещи, объяснения носят довольно технический характер, поэтому вы не всегда понимаете, что произошло», — сказал он Channel 4 News. «Пока вы на самом деле не прочитали их статью или не услышали их выступление, вы мало что знаете об этом».

Но Терри Лайон, президент Лондонского математического общества (LMS), считает, что не потворствовать широкой публике есть заслуга. «Медаль Филдса — самая престижная», — сказал он Channel 4 News.«Они оба (Нобель и Филдс) чрезвычайно осторожно относятся к делу… Здесь математика на первом месте, новости на втором месте.

Знаменитая Великая теорема Ферма


Математика — древняя дисциплина, которой около 4000 лет, и некоторые теории остаются нерешенными в течение сотен лет.

Самой давней нерешенной проблемой в мире была Великая теорема Ферма, которая оставалась недоказанной в течение 365 лет. «Гипотеза» (или предположение) была высказана Пьером де Ферма в 1937 году, который, как известно, написал на полях своей книги, что у него есть доказательства, но просто не было места для подробностей.

В 1995 году Эндрю Уайлс опубликовал свое собственное доказательство, в котором он, как известно, сказал, что ему понадобится больше, чем запас, чтобы доказать свою точку зрения.

53 + 47 = 100: простые?


Но для тех, кто жаждет удачной охоты, Книга рекордов Гиннеса помещает гипотезу Гольдбаха как самую давнюю математическую задачу, которая существует уже 257 лет.

В нем говорится, что каждое четное число является суммой двух простых чисел: например, 53 + 47 = 100. Пока все просто.Но из-за бесконечного характера последовательности чисел доказать однозначно пока невозможно.

Эта гипотеза породила роман Апостола Доксиадиса, дяди Петрова и гипотезы Гольдбаха, и ее ломали веками. Но, как говорит профессор Ронан: «Никто не скажет вам, что они годами пытались это доказать».

Числа «в телескоп»


Но когда дело доходит до наиболее важной, недоказанной теоремы, большинство согласны с тем, что это гипотеза Римана, выдвинутая немецким математиком Берхардом Риманом в 1859 году.В нем говорится, что нетривиальные корни дзета-функции имеют вид (1/2 + b I). Или, как объясняет профессор Лайон, это включает в себя рассмотрение точек, в которых определенная функция принимает значение 0, как если бы «через телескоп», и была проверена на наличие множества, многих чисел.

«Предполагается, что эти точки всегда находятся на одной линии в плоскости… кажется, что все они выстроены в линию, насколько может видеть глаз. Вы думаете: «Это должно быть правдой». К сожалению, это не доказательство ».

Более того, чем гипотеза Гольдбаха, это считается чрезвычайно важным из-за целого ряда следствий, которые могут возникнуть, если она будет доказана, а не просто гипотезой.«Люди, не имеющие отношения к своему времени, делают это на компьютерах», — добавил профессор Лайон.

«Меня не интересуют деньги или слава»

Много внимания было уделено тому факту, что женщина была удостоена одной из четырех наград этого года впервые в истории этой премии. Марьям Мирзахани работает в области геометрии, и описание ее работы гласит: «Из-за своей сложности и неоднородности пространство модулей часто казалось невозможным для непосредственной работы. Но не Мирзахани.У нее сильная геометрическая интуиция ».

Но британское математическое сообщество также было в восторге от награды Мартина Хайрера — только восьмой британец, получивший эту премию. Он работает в области, известной как «стохастический анализ». Пока что понять невозможно. Но профессор Лайон сказал, что его область построена на области, которая оказала огромное влияние на все, от мобильных телефонов до фондового рынка.

И эксперты даже предположили, что его работа может пролить свет на другую из этих до сих пор неразрешимых проблем — проблему Навье Стокса, которая является одной из шести нерешенных проблем, связанных с Премией тысячелетия, которые включают гипотезу Римана.

Но опять же, не все математики занимаются этим ради славы. Русский гений Григорий Перельман, как известно, отказался от медали Филдса и еще одного миллиона долларов в 2010 году за доказательство гипотезы Пуанкаре, которая на тот момент была одной из самых сложных проблем в мире.

«Меня не интересуют деньги или слава», — сказал он тогда. «Я не хочу выставляться напоказ, как животное в зоопарке. Я не герой математики. Я даже не настолько успешен; вот почему я не хочу, чтобы все смотрели на меня.”

Использование компьютеров для решения многовековых математических головоломок

В математике ни один исследователь не работает изолированно. Даже те, кто работает в одиночку, используют теоремы и методы своих коллег и предшественников для развития новых идей.

Но когда известную технику слишком сложно использовать на практике, математики могут пренебречь важными — и иначе решаемыми — проблемами.

Недавно я присоединился к нескольким математикам в проекте, чтобы упростить использование одной такой техники.Мы создали компьютерный пакет для решения проблемы, называемой «уравнение S-единицы», в надежде, что теоретики чисел всех мастей смогут легче решать широкий круг нерешенных задач математики.

Диофантовы уравнения

В своем тексте «Арифметика» математик Диофант рассмотрел алгебраические уравнения, решениями которых должны быть целые числа. Как оказалось, эти проблемы имеют прямое отношение как к теории чисел, так и к геометрии, и с тех пор математики изучают их.

Зачем добавлять это ограничение только целочисленных решений? Иногда причины практические; нет смысла выращивать 13,7 овец или покупать -1,66 машин. Кроме того, математиков привлекают эти проблемы, которые теперь называются диофантовыми уравнениями. Очарование проистекает из их удивительной сложности и их способности раскрывать фундаментальные истины о природе математики.

На самом деле математики часто не интересуются конкретными решениями какой-либо конкретной диофантовой проблемы.Но когда математики разрабатывают новые методы, их силу можно продемонстрировать, решив ранее нерешенные диофантовы уравнения.

Эндрю Уайлс (справа) получает награду Вольфльскеля за решение Великой теоремы Ферма. Питер Мюллер / REUTERS

Доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом — известный пример. Пьер де Ферма утверждал в 1637 году — на полях экземпляра «Арифметики», не меньше, — что он решил диофантово уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, но не представил никакого оправдания.Когда Уайлс доказал это более 300 лет спустя, математики сразу обратили на это внимание. Если Уайлс разработал новую идею, которая могла бы разрешить Ферма, то что еще могла бы эта идея сделать? Теоретики чисел поспешили понять методы Уайлса, обобщить их и найти новые следствия.

Не существует единого метода, который мог бы решить все диофантовы уравнения. Вместо этого математики развивают различные техники, каждая из которых подходит для определенных типов диофантовых задач, но не подходит для других. Итак, математики классифицируют эти проблемы по их особенностям или сложности, как биологи могут классифицировать виды по таксономии.

Более тонкая классификация

Эта классификация производит специалистов, поскольку разные теоретики чисел специализируются на методах, связанных с различными семействами диофантовых проблем, такими как эллиптические кривые, бинарные формы или уравнения Туэ-Малера.

Внутри каждой семьи настраивается более тонкая классификация. Математики разрабатывают инварианты — определенные комбинации коэффициентов, фигурирующих в уравнении, — которые позволяют различать разные уравнения в одном и том же семействе.Вычислить эти инварианты для конкретного уравнения несложно. Однако более глубокая связь с другими областями математики порождает более амбициозные вопросы, например: «Существуют ли эллиптические кривые с инвариантом 13?» или «Сколько бинарных форм имеют инвариант 27?»

Уравнение S-единицы можно использовать для решения многих из этих более серьезных вопросов. S относится к списку простых чисел, например {2, 3, 7}, связанных с конкретным вопросом. S-единица — это дробь, числитель и знаменатель которой образуются путем умножения только чисел из списка.Итак, в этом случае 3/7 и 14/9 — это S-единицы, а 6/5 — нет.

Уравнение S-единицы обманчиво просто сформулировать: найдите все пары S-единиц, которые складываются с 1. Найти некоторые решения, такие как (3/7, 4/7), можно с помощью ручки и бумаги. Но ключевое слово — «все», и это делает проблему трудной как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения. Как можно быть уверенным, что каждое решение найдено?

В принципе, математики знали, как решить уравнение S-единицы за несколько лет.Однако процесс настолько запутан, что никто никогда не мог решить уравнение вручную, и лишь несколько случаев были решены. Это расстраивает, потому что многие интересные задачи уже свелись к «простому» решению некоторого конкретного уравнения S-единицы.

Процесс решения уравнения S-единицы настолько запутан, что немногие пытались сделать это вручную. Jat306 / shutterstock.com

Как работает решатель

Однако обстоятельства меняются.С 2017 года шесть теоретиков чисел в Северной Америке, включая меня, создают программу для решения уравнений S-единиц для математической программы с открытым исходным кодом SageMath. 3 марта мы объявили о завершении проекта. Чтобы проиллюстрировать его применение, мы использовали программное обеспечение для решения нескольких открытых диофантовых задач.

Основная трудность уравнения S-единицы состоит в том, что, хотя будет существовать лишь несколько решений, существует бесконечно много S-единиц, которые могут быть частью решения.Объединив знаменитую теорему Алана Бейкера и тонкую алгоритмическую технику Бенна де Вегера, решатель исключает из рассмотрения большинство S-единиц. Даже в этот момент могут остаться миллиарды S-единиц — или больше — для проверки; теперь программа пытается сделать окончательный поиск максимально эффективным.

Этот подход к уравнению S-единицы известен уже более 20 лет, но использовался редко, поскольку требуемые вычисления сложны и требуют много времени.Раньше, если математик сталкивался с уравнением S-единицы, которое он хотел решить, не было автоматизированного способа его решения. Ей нужно будет тщательно пройти через работу Бейкера, де Вегера и других, а затем написать свою собственную компьютерную программу для выполнения вычислений. Выполнение программы может занять часы, дни или даже недели для завершения вычислений.

Найти функцию: Как найти функцию еси известны производные : Анализ-II

Как найти функцию за ее полным дифференциалом?

Сегодня научим Вас возобновлять функцию через интеграл от ее полного дифференциала.
Алгоритм который описывает что за чем нужно делать детально расписан в приведенной дальше статье.
Формула Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала имеет вид
(1)
где P(x, y) частичная производная функции u по переменной y,
Q(x, y) частичная производная функции u по переменной x.
Для ее использования необходимо лишь убедиться, что частичные производные P(x, y), Q(x, y) равны между собой

Криволинейный интеграл 2 рода (1) упрощается, если контур интегрирования от точки M0(x0,y0) к M(x, y) по прямой заменить ломаной, что состоит из прямых параллельных к осям координат M0M1 но M1M или M0M2 но M2M.
С одной стороны это позволяют свойства криволинейных интегралов.
Из другой такой способ имеет практическую выгоду.

На практике можем превратить в нуль один из дифференциалов под интегралом, если интегрировать вдоль прямых параллельных осям, в замен придется интегрировать вдоль двух отрезков прямых, тоесть вычислять сумму двух интегралов. Детальнее об этом можете почитать в статье об интегрировании полных дифференциалов.

Пример 1 Найти функцию z, если известен полный дифференциал функции
dz=(ydx-xdy)/(3x2-2xy+3y2)

Решение: Разделяем слагаемые при dx, dy, но выписываем для функции z дифференциалы P, Q:

Найдем частичные производные первого порядка функций P(x, y), Q(x, y):

Из равенства частичных производных делаем вывод, что выражение dz является полным дифференциалом.
Функцию z найдем с помощью криволинейного интегралу 2-го рода:

Приведенный криволинейный интеграл от точки (0,0) к точке (x, y) будем вычислять вдоль прямых x=0 и y=y0.
Так как криволинейный интеграл не зависит от контура интегрирования, то кривую интегрирования будем строить в виде ломанной из двух прямых, которые параллельны осям и соединяют крайние точки.
Это делается с целью избавиться от одного из дифференциалов на каждом из промежутков интегрирования.
В этом случае ломаную можно выбрать из следующих прямых

Здесь также записано почему ровные соответствующие дифференциалы.
Вычислим криволинейный интеграл 2 рода для возобновления функции z через полный дифференциал:

Внимательно разберите интегрирование.

 

Пример 2 Найти функцию z, если

Решение: Имеем дифференциал:

Здесь обозначено 

Найдем частичные производные первого порядка функций P(x, y) но Q(x, y):

Как видим условие равенства частных производных выполняется , поэтому выражение dz является полным дифференциалом.
Функцию z найдем с помощью криволинейного интеграла 2-го рода:

Полученный криволинейный интеграл от точки (1,0) к точке (x,y) будем вычислять вдоль прямых y=1 и x=x0.
То есть

Возобновим функцию z за ее полным дифференциалом с помощью криволинейного интегралу второго рода

При интегрировании выполнили замену переменных
Выписываем конечное значение интеграла 

Впереди Вас ожидают новые решения на криволинейные, поверхностные, тройные и другие интегралы.

Ошибка: не удалось найти функцию » проблеск»



Я пытаюсь использовать функцию glimpse в R, как показано ниже

df<- read.csv("movie-pang02.csv", stringsAsFactors = FALSE)
glimpse(df)

Но я получаю ошибку:

Ошибка: не удалось найти функцию «glimpse»

Кто-нибудь может мне помочь?

r
Поделиться Источник prakash     13 апреля 2017 в 16:16

4 ответа


  • Ошибка: не удалось найти функцию в R

    Возможный Дубликат : Ошибка: не удалось найти функцию … в R Ну, я новичок в концепции rattle (пакет интеллектуального анализа данных в R), и хотя я установил rattle , но когда я даю rattle() , это дает мне следующую ошибку > rattle() Error in rattle() : could not find function gtkBuilderNew

  • Ошибка: не удалось найти функцию » nnn.R»

    Я получил свою функцию nnn.R с помощью строки : источник (nnn.R)* и не получил никаких ошибок, но когда я пытаюсь запустить его, это то, что я получаю: Ошибка: не удалось найти функцию nnn* это все, что функция имеет внутри функция (x) is.null(x )



7

Сначала вам понадобится установить пакет dplyr . Кроме того, вам нужно иметь вызов glimpse на отдельной линии.

library(dplyr)
glimpse(mtcars)

Поделиться Edward Carney     13 апреля 2017 в 16:26



0

Убедитесь, что вы сначала запустите library(dplyr) , а затем запустите функцию glimpse() .

Поделиться Satyam Srivastava     06 июля 2018 в 06:41



0

Установка и загрузка пакета dplyr библиотека (dplyr)

Поделиться Akanksha Rai     04 июня 2019 в 08:01


  • Ошибка: не удалось найти функцию «readDICOM»

    Я установил запрошенный пакет install.packages(‘devtools’) library(devtools) Рабочий каталог был установлен правильно, но когда я пытался открыть данные, R не смог их прочитать. И вот что я получил в качестве обратной связи. slice = readDICOM (IM-0001-0011.dcm) Ошибка: не удалось найти функцию…

  • Ошибка не удалось найти функцию «pull» в R

    Я хочу создать объект eventlog в R с пакетом bupaR / edeaR. Но я получаю сообщение об ошибке: Ошибка в function_list[i] : не удалось найти функцию pull Функция pull взята из пакета git2r , но мне даже не нужен этот пакет, чтобы сделать журнал событий. Даже когда я активирую пакет git2r и пытаюсь…



0

Во-первых, вам понадобится установить пакет tibble. Кроме того, вам нужно иметь вызов glimpse на отдельной линии

library(tibble)
glimpse(mpg)

Поделиться guohongwang1     21 апреля 2020 в 10:05


Похожие вопросы:


Ошибка: не удалось найти функцию» %>%»

Я запускаю пример в R, проходя через шаги, и все работает до сих пор, за исключением того, что этот код выдает ошибку: words <- dtm %>% as.matrix %>% colnames %>% (function(x) x[nchar(x)…


Ошибка: не удалось найти функцию » pdwtest»

Я применил тест DW к своей объединенной модели в R и получил эту ошибку Ошибка: не удалось найти функцию pdwtest — Что случилось? Я установил пакет lmtest .


Не удалось найти функцию «zip.file.extract»

library(utils) a<-zip.file.extract(\\1\\1.csv,zipname=drivers.zip) Ошибка: не удалось найти функцию zip.file.extract — Что происходит?


Ошибка: не удалось найти функцию в R

Возможный Дубликат : Ошибка: не удалось найти функцию … в R Ну, я новичок в концепции rattle (пакет интеллектуального анализа данных в R), и хотя я установил rattle , но когда я даю rattle() , это…


Ошибка: не удалось найти функцию » nnn.R»

Я получил свою функцию nnn.R с помощью строки : источник (nnn.R)* и не получил никаких ошибок, но когда я пытаюсь запустить его, это то, что я получаю: Ошибка: не удалось найти функцию nnn* это все,…


Ошибка: не удалось найти функцию «readDICOM»

Я установил запрошенный пакет install.packages(‘devtools’) library(devtools) Рабочий каталог был установлен правильно, но когда я пытался открыть данные, R не смог их прочитать. И вот что я получил…


Ошибка не удалось найти функцию «pull» в R

Я хочу создать объект eventlog в R с пакетом bupaR / edeaR. Но я получаю сообщение об ошибке: Ошибка в function_list[i] : не удалось найти функцию pull Функция pull взята из пакета git2r , но мне…


Ошибка : не удалось найти функцию «ImportMethodFrom»

Я попытался запустить код в главе 7 Data mining с R learning with case study book, но получил ошибку в следующей строке: rankWorkflows(svm, maxs = TRUE) Ошибка была в следующем: Ошибка в…


не удалось найти функцию » find_rtools»

R 3.5.1 windows 7 установлен rTools35.exe при проверке правильности установки rtools появляется сообщение об ошибке: библиотека(в инструментах разработчика) find_rtools() Ошибка в find_rtools() : не.% Пакет Magrittr не…

Настройка и использование программы «Найти друзей» в iOS 12 или более ранней версии ОС

Используйте функцию «Найти друзей» в iOS 12 или более ранней версии, чтобы легко находить своих друзей и родных с помощью iPhone, iPad, iPod touch, Apple Watch или на iCloud.com. В iOS 13 или более поздней версии используйте вместо этого приложение «Локатор» либо приложение «Поиск людей» в watchOS 6 или более поздней версии. 

На устройствах с iOS 13, iPadOS или macOS Catalina службы «Найти iPhone» и «Найти друзей» объединены в приложении «Локатор». Для начала настройте приложение «Локатор» и включите функцию «Найти [устройство]». Если на ваших Apple Watch установлена watchOS 6 или более поздняя версия, используйте приложение «Найти людей», чтобы поделиться своим местоположением с друзьями и родными.

Начало работы

Настройка программы «Найти друзей»

Если на iPhone, iPad или iPod touch используется iOS версий 9–12, приложение «Найти друзей» установлено автоматически. Если на устройстве используется iOS 8, установите бесплатную программу «Найти друзей», загрузив ее из App Store. При входе в службу iCloud на устройстве автоматически выполняется вход в программу «Найти друзей» под тем же идентификатором Apple ID.

Если вы хотите получать уведомления программы «Найти друзей» на Apple Watch, откройте программу Apple Watch на iPhone. Затем перейдите на вкладку «Мои часы», нажмите «Уведомления», прокрутите вниз, выберите «Найти друзей» и нажмите «Повтор уведомлений iPhone», чтобы включить соответствующую функцию. Если вы используете watchOS 4 или 5, можете также включить уведомления на Apple Watch. Выберите «Настройки» > «Основные» > «Службы геолокации». Затем включите параметр «Поделиться геопозицией».

Программу «Найти друзей» можно также использовать на веб-сайте iCloud.com или с функцией Семейный доступ, чтобы делиться сведениями о своем местонахождении с членами семьи.

Функция «Поделиться геопозицией» не поддерживается в Южной Корее и ряде других стран в связи с требованиями местного законодательства. 

Добавление друга

Чтобы пользоваться программой «Найти друзей», она должна быть установлена также на устройствах ваших друзей. Друзей из программы «Найти друзей» можно добавлять только на устройстве iPhone, iPad или iPod touch.

  1. Откройте программу «Найти друзей».
  2. Нажмите «Добавить».
  3. Выберите друга из списка или введите его адрес электронной почты, затем нажмите «Отправить» или «Готово», чтобы отправить запрос.

Когда он согласится делиться сведениями о своем местонахождении, они будут отображаться в списке или на карте в программе «Найти друзей» либо на веб-сайте iCloud.com.

По желанию можно выбрать адрес электронной почты, который будет использоваться для отправки запросов друзьям.

  • На iPhone или iPod touch нажмите «Я» > «От:».
  • На iPad нажмите «Список» > «Я» > «Сведения» > «От:».

Если вы не хотите получать запросы на дружбу, выполните следующие действия:

  • На iPhone или iPod touch перейдите на вкладку «Я» > и отключите параметр «Запросы на дружбу» в разделе «Приглашения».
  • На iPad нажмите «Список» > «Я» > и отключите параметр «Запросы на дружбу» в разделе «Приглашения».

В приложении «Найти друзей» на веб-сайте iCloud.com можно просматривать список друзей и узнавать, где они сейчас, а также изменять настройки предоставления данных о своем местонахождении. Для добавления друзей необходимо использовать устройство iOS.

   

Скрытие своего местонахождения

Вы можете скрыть свое местоположение, то есть прекратить делиться с друзьями своей геопозицией. Выполните указанные ниже действия:

   

Откройте программу «Найти друзей» и нажмите «Я». Отключите функцию «Поделиться геопозицией».

 

   

Нажмите «Готово». Вы увидите фразу «Не показывать геопозицию» рядом с пунктом «Я» в нижней части экрана.

 

Отключение предоставления данных о геопозиции

Вы можете прекратить делиться сведениями о своем местонахождении в программе «Найти друзей» на устройстве iOS или на веб-сайте iCloud.com. Вы по-прежнему сможете видеть, где находятся ваши друзья, но они при попытке найти вас будут получать ответ «Геопозиция недоступна».

На iPhone, iPad или iPod touch:

  1. Перейдите в меню «Настройки» > [ваше имя].
  2. Если на вашем устройстве установлена iOS 12, нажмите «Поделиться геопозицией». Если используется более ранняя версия iOS, выберите iCloud > «Поделиться геопозицией».
  3. Отключите функцию «Поделиться геопозицией».

На веб-сайте iCloud.com:

  1. Выполните вход на веб-сайт iCloud.com и запустите программу «Найти друзей».
  2. Откройте вкладку «Я».
  3. Отключите функцию «Поделиться геопозицией».

   

   

Использование программы «Найти друзей» на нескольких устройствах

Вы можете использовать программу «Найти друзей» на любом устройстве iPhone, iPad, iPod touch или Apple Watch, владельцем которого вы являетесь. Тем не менее отправлять сведения о вашем местонахождении может только одно устройство iOS и любые объединенные с ним в пару часы Apple Watch с возможностью подключения к сотовой сети передачи данных. Можно изменить устройство на то, которое в настоящее время используется в приложении «Найти друзей».

  • На iPhone или iPod touch нажмите «Я», а затем — «Это устройство» в разделе «Отправка геопозиции с».
  • На iPad выберите «Список» > «Я» > «Сведения», а затем — «Это устройство» в разделе «Отправка геопозиции с».

Этот раздел отображается, только когда вход в приложение «Найти друзей», «Локатор» или «Найти людей» выполнен сразу на нескольких устройствах.

Отправка и получение запросов на сведения о местонахождении

Друзья могут отправлять вам запросы на отслеживание вашего местонахождения. Принимая такой запрос, вы разрешаете отслеживание. Чтобы увидеть местонахождение этого пользователя, вы должны пригласить его, а он должен принять ваше приглашение.

Если вы приняли запрос от друга, местонахождение которого еще не отслеживаете, ответный запрос будет отправлен автоматически.

Ограничения по отслеживанию местоположения

  • Число друзей, чье местоположение вы отслеживаете, не может превышать 100.
  • За вашим местонахождением могут следить максимум 100 друзей.

Дополнительная информация

Ищете службу «Найти iPhone» в iOS 13 или более поздней версии?

Ищете службу «Найти друзей» в iOS 13 или более поздней версии?

Дата публикации: 

Примеры использования функции НАЙТИ в таблицах Excel

Используя таблицы Excel как базу данных, не обойтись без такой функции, как «Найти». Она понадобится для быстрого определения места ключевого слова в каждой строке таблицы.

Как использовать функцию НАЙТИ в Excel

Каждая функция с заполненными аргументами в Excel – это формула, с помощью которой выполняются сложные операции и вычисления в Excel. Перед ее введением ставится знак равенства. Именно так вы дадите знать программе, что вводится именно формула, а не текст и не значение. Функция состоит из двух частей: имени и аргумента.

Каждое название функции в Excel описывает ее операцию и назначение. В данном случае это слово «НАЙТИ».

Аргументов может быть несколько. Они могут быть числовыми, символьными или текстовыми и всегда заключаются в круглые скобки. Если аргументов больше одного, между ними ставится знак «;». Для поиска необходимо использовать следующие аргументы.

  1. Искомый текст. Сочетание знаков, которые мы разыскиваем в таблице. Это может быть цифро-буквенное сочетание, только цифры или только буквы, пробелы или знаки. Нужно помнить, что функция учитывает введенный регистр. Результаты поиска слов «Мир» и «мир» будут разными.
  2. Просматриваемый текст. Область поиска может быть указана с помощью мыши. Также ее значения могут быть введены с клавиатуры.
  3. Начальная позиция (опциональный аргумент). По умолчанию началом поиска признается первая ячейка первой строки таблицы. Вы можете вручную задать номер ячейки, которая будет начальной в процессе поиска.

Синтаксис функции выглядит таким образом:

НАЙТИ(«искомый текст»; просматриваемый текст; [начальная позиция])

Результатом применения функции будет номер места в строке, на котором располагается искомое ключевое слово. Если его нет, выдается символ ошибки #ЗНАЧ!



Примеры использования функции НАЙТИ

Эта формула редко используется самостоятельно. Тем не менее, чтобы наглядно продемонстрировать действие, стоит рассмотреть несколько примеров ее использования.

Пример 1. В таблице 4 столбца по 10 строк. В нее внесены:

  • номера по штатному расписанию;
  • ФИО работников;
  • количество отработанных дней:
  • оклад (размер оплаты).

Для отчета нужно выбрать информацию о том, сколько дней отработали и какую оплату получили специалисты, которые работают во вредных условиях, связанных с задымленностью.

Штатное расписание составлено особым образом. Номера рабочих единиц имеют пометку «!». В зависимости от расположения этой пометки можно понять, с какими вредными факторами сталкивается рабочий. Нам нужно отсортировать строки, штатные номера которых имеют пометку «!» на втором месте. Например, 3!7884, 8!6453 или 5!54.

Для этого в ячейку, следующую за последней в первой строчке, нужно ввести функцию НАЙТИ. Она будет выглядеть так.

=НАЙТИ(«!»; A2; 1)

При этом, для указания области поиска можно выделить столбец с номерами. По окончанию набора функции, нажмите Enter. В ячейке появится номер места, на котором располагается пометка «!».

Теперь вы сможете выделить и скопировать строки, напротив которых стоит цифра 2 или воспользоваться автофильтром: «ДАННЫЕ»-«Фильтр».

Отчет готов за пару секунд.

Пример 2. В таблице 4 столбца по 10 строк.

В нее сведены артикулы товаров, которые находятся на складе и указаны такие параметры;

  • наименование товара;
  • цвет;
  • цена;
  • артикул.

В зависимости от времени поступления на склад они по-разному маркируются. Нужно выбрать информацию по товарам артикулы которых начинаются на буквы «de». Эти буквосочетания встречаются и в других местах артикулов. Важно отсортировать только товары, в артикулах которых оно встречается на первом месте.

Алгоритм действий аналогичный. В ячейке, следующей за последней в первой строке прописываем функцию.

=НАЙТИ(«de»;D2;1)

После нажатия клавиши Enter появляется номер места заданных букв в артикуле товаров. Протянув за нижний угол выделенную ячейку вниз, вы получите аналогичные показатели по всем строкам.

В артикулах товаров, по которым выдана ошибка #ЗНАЧ!, нет заданных букв. Остается выполнить автофильтр, поиск по которым дал результат 1.

Выборка товаров готова.

Пример 3. В таблице 5 строк. В нее введены математические формулы.

Студент готовит шпаргалку на экзамен. Ему нужно выбрать формулы для расчета суммы. Он знает, что в таких формулах на четвертом месте всегда стоит знак «+».

Как всегда, функция прописывается в ячейке, следующей за последней в первой строчке. Формула выглядит так.

=НАЙТИ(«+»; A1; 1)

Нажав Enter, вы получите результат функции.

Теперь можно выбрать формулы, в которых знак суммы находится на 4 месте.

Читайте также: Примеры использования функции НАЙТИ в Excel формулах.

Выбраны все необходимые формулы из списка по критерию – «4» указанном в условии для отбора строк автофильтром Excel.

Все выше описанные примеры применяют функцию НАЙТИ без формул.2

Сложная функция

Сложная функция

Пример 1. Дана функция f(x) = 3x2 – 4. Найти:

Решение: f(4) = 3•42 – 4 = 48 – 4 = 44;

f(a3 + 1) = 3(a3 + 1)2 – 4 = 3(a6 + 2a3 + 1) – 4 =

= 3a6 + 6a3 – 1;

f(t) = 3t2 – 4;

Пример 2. Найти функцию f(x), если  f(x + 1) = x2 + 2x + 2.

Решение. Пусть x + 1 = a, тогда x = a – 1;  f(a) = (a – 1)2 + 2(a – 1) + 2 = a2 – 2a + 1 + 2a – 2 + 2 = a2 + 1.

Ответ: f(x) = x2 + 1.

Пример 3. F(2x – 1) = 4x – 7; F(g(x)) = x3. Найти g(x).

Решение. Пусть 2x – 1 = a, тогда

т. е.  F(x) = 2x – 5. Значит,

F(g(x)) = 2g(x) – 5. 2g(x) – 5 = x3.

Ответ:

Пример № 229г (из учебника «алгебра, 10–11» А.Н. Колмогорова). Найти такую функцию f, что

f(g(x)) = x, g(x) = x2 + 1, x Ј 0.

Решение. По условию f(x2 + 1) = x, x Ј 0.

Пусть x2 + 1 = t, тогда

Ответ:

Пример 4. Найти F(x), если F(sin x) + F(cos x) = 3.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

F(sin x) + F(cos x) = 3(sin2 x + cos2 x).

В выражении sin x заменим букву x на m, получим sin m. Допустим, что cos x = sin m, выразим x через m:

x = arccos (sin m).

Уравнение примет вид

F(sin m) + F(cos (arccos (sin m))) = 3(sin2 m + sin2 m),

2F(sin m) = 3•2sin2 m,

т. е.  F(sin m) = 3sin2 m; F(x) = 3x2.

Ответ: F(x) = 3x2.

Пример 5. Найти функцию f(x), если

Решение. В дроби

  заменив x на m, получим

Пусть 

Выразим x через m, получим

Найдем значение дроби через m:

и значение дроби в правой части данного уравнения тоже при

Получим новое уравнение (при аргументе m)

или, заменив букву m на x,

Вместе с данным уравнением составим систему

Эта система, линейная относительно неизвестных

и

решается любым из возможных способов. Ее решение (после упрощения):

или

Найдем f(t), если допустим, что

Выразим x через t:

Тогда

Аналогичный результат получим из первого уравнения последней системы.

Ответ:

Пример 6. Найти функцию f(x), если

Решение. Пусть

тогда

Получим новое уравнение с переменной t

Заменив t на x, запишем

Составим систему с данным уравнением, переставив слагаемые

Исключим из системы неизвестное

Ответ:

Пример 7. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений

Решение. Пусть

Тогда

и первое уравнение примет вид

Заменим t на x. Получим систему

Вычитая уравнения почленно, находим

а затем и

Пусть 2x + 1 = a, тогда

Следовательно,

Ответ:

Пример 8. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений

Решение. Пусть

откуда

и второе уравнение перепишется в виде

Система примет вид

Исключим функцию F(•):

Значит,

Пусть

тогда

F(a) = 2a + 3.

Ответ: F(x) = 2x + 3, g(x) = 0.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите функцию F(x) из уравнений:

2. Найдите g(x), если

1) F(x – 1) = 2x – 3, F(g(x)) = 3x – 4.
2) F(x) = x3, F(g(x)) = 2x + 1.

3. Найдите F(x) и g(x) из систем уравнений:

Ответы

М Селиванова,
г. Реутов

Как найти обратную функцию для данной

Обратной функцией называют функцию, обращающую исходную зависимость у = f(x) таким образом, что аргумент х и функция у меняются ролями. То есть хстановится функцией от y (х = f(у)). При этом графики взаимно обратных функций у = f (x) и х = f (у) симметричны по отношению к оси ординат в первой и третьей координатных четвертях декартовой системы. Областью определения обратной функции является область значений исходной, а областью значений в свою очередь – область определения заданной функции.

В общем случае при нахождении обратной функции для заданной у = f(x) выразите аргумент х через функцию у. Для этого воспользуйтесь правилами умножения обеих частей равенства на одно и то же значение, переносом многочленов выражений, при этом учитывайте смену знака. В простом случае рассмотрения показательных функций вида: y = (7/x) + 11, обращение аргумента х производится элементарно: 7/x = у-11, х = 7*(у-11). Искомая обратная функция имеет вид х = 7*(у-11).

Однако зачастую в функциях используются сложные степенные и логарифмические выражения, а также тригонометрические функции. В этом случае при нахождении обратной функции нужно учитывать известные свойства данных математических выражений.

Если в исходной функции аргумент х стоит под степенью, для получения обратной функции возьмите от данного выражения корень с тем же показателем. Например, для заданной функции у = 7+ х² обратная будет иметь вид: f(у) = √у -7.

При рассмотрении функции, где аргумент х представляет собой степень постоянного числа, примените определение логарифма. Из него следует, что для функции f(х) = ах обратной будет являться f(у) = logаy, причем основание логарифма а – в обоих случаях число, отличное от нуля. Так же и наоборот, рассматривая исходную логарифмическую функцию f(х) = logах, ее обратная функция представляет собой степенное выражение: f(у) = ау.

В частном случае исследования функции, содержащей натуральный логарифм ln х или десятичный lg х, т.е. логарифмы по основанию числа е и 10 соответственно, получение обратной функции проводится аналогично, только вместо основания а подставляется экспоненциальное число либо число 10. Например, f(х) = lg х -> f(у) = 10у и f(х) = ln х -> f(у) = еу.

Для тригонометрических функций обратными друг к другу являются следующие пары:
— y = cos x -> x = аrccos y;
— y = sin x-> x = аrcsin y;
— y = tan x-> x = аrctan y.

Как использовать функцию НАЙТИ (WS)


В этом руководстве Excel объясняется, как использовать функцию Excel НАЙТИ с синтаксисом и примерами.

Описание

Функция Microsoft Excel НАЙТИ возвращает расположение подстроки в строке. При поиске учитывается регистр.

Функция НАЙТИ — это встроенная функция в Excel, относящаяся к категории String / Text Function . Его можно использовать как функцию рабочего листа (WS) в Excel.Как функцию рабочего листа, функцию НАЙТИ можно ввести как часть формулы в ячейку рабочего листа.

Подписаться


Если вы хотите следовать этому руководству, загрузите пример электронной таблицы.

Загрузить пример

Синтаксис

Синтаксис функции НАЙТИ в Microsoft Excel:

 НАЙТИ (подстрока, строка; [начальная_позиция]) 

Параметры или аргументы

подстрока
Подстрока, которую вы хотите найти.
строка
Строка для поиска.
начальное_положение
Необязательно. Это позиция в строке , с которой начинается поиск. Первая позиция — 1. Если start_position не задана, функция НАЙТИ начнет поиск с начала строки.

Возвращает

Функция НАЙТИ возвращает числовое значение. Первая позиция в строке — 1.
Если функция НАЙТИ не находит совпадения, она вернет # ЗНАЧ! ошибка.

Относится к

  • Excel для Office 365, Excel 2019, Excel 2016, Excel 2013, Excel 2011 для Mac, Excel 2010, Excel 2007, Excel 2003, Excel XP, Excel 2000

Пример (как функция рабочего листа)

Давайте рассмотрим несколько примеров функции НАЙТИ в Excel и узнаем, как использовать функцию НАЙТИ в качестве функции рабочего листа в Microsoft Excel:

На основе приведенной выше таблицы Excel будут возвращены следующие примеры НАЙТИ:

 = НАЙТИ (B2; A2)
  Результат:  1

= НАЙТИ ("T"; A2)
  Результат:  1

= НАЙТИ ("t"; A3)
  Результат:  12

= НАЙТИ ("The"; A4)
  Результат:  7

= НАЙТИ ("Z"; A5)
  Результат:  #VALUE!

= НАЙТИ ("Т"; A2; 3)
  Результат:  7 

Часто задаваемые вопросы

Вопрос: В Microsoft Excel у меня есть значение «Супермаркет» в ячейке A1 и 100 в ячейке A2.

Цель: Если A1 содержит «Super», то я хочу, чтобы A3 = A2. В противном случае я хочу A3 = 0. Я не могу использовать функцию НАЙТИ, потому что, если ячейка A1 не содержит «Super», функция НАЙТИ возвращает # ЗНАЧ! ошибка, которая не позволяет мне суммировать столбец A.

Ответ: Чтобы не возвращать #VALUE! ошибок при использовании функции НАЙТИ, вам также необходимо использовать функцию ЕОШИБКА в своей формуле.

Рассмотрим пример.

На основе приведенной выше таблицы Excel будут возвращены следующие примеры НАЙТИ:

 = ЕСЛИ (ЕСТЬ ОШИБКА (НАЙТИ ("Супер"; A1; 1)) = ИСТИНА; 0; A2)
  Результат:  100 

В этом случае ячейка A1 действительно содержит значение «Super», поэтому формула возвращает значение, найденное в ячейке A2, равное 100.

На основе приведенной выше таблицы Excel будут возвращены следующие примеры НАЙТИ:

 = ЕСЛИ (ЕСТЬ ОШИБКА (НАЙТИ ("Супер"; A1; 1)) = ИСТИНА; 0; A2)
  Результат:  0 

В этом примере ячейка A1 НЕ содержит значения «Super», поэтому формула возвращает 0.

Давайте быстро объясним, как работает эта формула. Если ячейка A1 содержит «Super», функция НАЙТИ вернет числовую позицию значения «Super». Таким образом, ошибки не будет (т.е.функция IsError оценивается как ЛОЖЬ), и формула вернет A2.

Если ячейка A1 НЕ содержит «Super», функция НАЙТИ вернет # ЗНАЧ! ошибка, из-за которой функция IsError оценивает значение TRUE и возвращает 0.

Array.prototype.find () — JavaScript | MDN

Метод find () возвращает значение первого элемент в предоставленном массиве, который удовлетворяет предоставленной функции тестирования. Если нет значения удовлетворяют функции тестирования, возвращается undefined .

  • Если вам нужен индекс найденного элемента в массиве, используйте findIndex () .
  • Если вам нужно найти индекс значения , используйте Массив.prototype.indexOf () . (Это похоже на findIndex () , но проверяет каждый элемент на равенство со значением вместо использования функция тестирования.)
  • Если вам нужно определить, существует ли в массиве значение , используйте Array.prototype.включает () . Опять же, он проверяет каждый элемент на равенство со значением вместо использования функции тестирования.
  • Если вам нужно определить, удовлетворяет ли какой-либо элемент предусмотренной функции тестирования, используйте Array.prototype.some () .
 
найти ((элемент) => {...})
find ((элемент, индекс) => {...})
find ((элемент, индекс, массив) => {...})


найти (callbackFn)
найти (callbackFn, thisArg)


найти (функция callbackFn (элемент) {...})
найти (функция callbackFn (элемент, индекс) {...})
find (функция callbackFn (элемент, индекс, массив) {...})
find (функция callbackFn (элемент, индекс, массив) {...}, thisArg)
  

Параметры

callbackFn
Функция, выполняемая для каждого значения в массиве, принимая 3 аргумента:
элемент
Текущий элемент в массиве.
индекс Дополнительно
Индекс (позиция) текущего элемента в массиве.
массив Дополнительно
Был вызван массив, который нашел .
thisArg Дополнительно
Объект использовать как этот внутри обратный звонокFn .

Возвращаемое значение

Значение первого элемента в массиве, который удовлетворяет предоставленной функции тестирования. В противном случае возвращается undefined .

Метод find выполняет функцию callbackFn один раз для каждого индекса массива, пока callbackFn не вернет истинное значение. Если так, найдите немедленно возвращает значение этого элемента. В противном случае найти возвратов не определено .

callbackFn вызывается для каждый индекс массива, а не только те, которым присвоены значения.Это означает, что он может быть менее эффективным для разреженных массивов, по сравнению с методами, которые обращаются только к заданным значениям.

Если параметр thisArg предоставлен для find , он будет использоваться как это значение внутри каждого вызова обратный звонокFn . Если он не указан, то undefined использовал.

Метод find не изменяет массив, для которого он вызывается, но метод функция предоставляется для callbackFn может.Если да, то элементы обработаны по найти установить до первый вызов обратный звонокFn . Следовательно:

  • callbackFn не будет посещать какие-либо элементы, добавленные в массив после звонка на начинается поиск .
  • Если существующий, еще не посещенный элемент массива изменяется на callbackFn , его значение передается в callbackFn будет значением в момент времени find посещает индекс этого элемента.
  • Элементы, которые удалены все еще посещаются.

Найти объект в массиве по одно из его свойств

  const inventory = [
  {название: 'яблоки', количество: 2},
  {название: 'бананы', количество: 0},
  {название: 'вишня', количество: 5}
];

function isCherries (fruit) {
  return fruit.name === 'вишня';
}

console.log (inventory.find (isCherries));
  
Использование функции стрелки и деструктуризации
  const inventory = [
  {название: 'яблоки', количество: 2},
  {название: 'бананы', количество: 0},
  {название: 'вишня', количество: 5}
];

const result = inventory.найти (({имя}) => имя === 'вишни');

console.log (результат)  

Найти простое число в массиве

В следующем примере выполняется поиск элемента в массиве, который является простым числом (или возвращает undefined , если нет простого числа):

  function isPrime (элемент, индекс, массив) {
  пусть start = 2;
  while (start <= Math.sqrt (element)) {
    if (element% start ++ <1) {
      вернуть ложь;
    }
  }
  возвратный элемент> 1;
}

приставка.журнал ([4, 6, 8, 12] .find (isPrime));
console.log ([4, 5, 8, 12] .find (isPrime));
  

Следующие примеры показывают, что несуществующие и удаленные элементы посещаются , и что значение, переданное в обратный вызов, является их значением при посещении:

 
массив констант = [0,1 ,,,, 5,6];


array.find (функция (значение, индекс) {
  console.log ('Посещенный индекс', индекс, 'со значением', значение);
});


array.find (функция (значение, индекс) {
  
  if (index === 0) {
    console.log ('Удаление массива [5] со значением', массив [5]);
    удалить массив [5];
  }
  
  приставка.log ('Посещенный индекс', индекс, 'со значением', значение);
});









  

Таблицы BCD загружаются только в браузере

Как использовать функцию НАЙТИ в Excel

В этой статье мы узнаем, как использовать функцию НАЙТИ в Excel.

Найдите любой текст в Excel

В Excel вам нужно найти положение текста. Либо вы можете рассчитывать вручную, внимательно наблюдая за каждым значением ячейки. Excel не хочет, чтобы вы этого делали, и мы тоже.Например, поиск позиции символа пробела для разделения значений везде, где есть пробел, например, отделение имени и фамилии от полного имени. Итак, давайте посмотрим на синтаксис функции НАЙТИ и пример, чтобы проиллюстрировать его использование.

В ячейке Jimmy Kimmel , пробел идет сразу после y и перед K . 6-й — это наличие символа пробела в слове, начинающемся с J.

Функция НАЙТИ в Excel

Функция НАЙТИ требует только два аргумента (третий необязательный).Для поиска части текста или одного символа в текстовом значении используется функция НАЙТИ.

Функция НАЙТИ Синтаксис:

= НАЙТИ (find_text, within_text, [start_num])

Find_text: Символ или набор символов, которые вы хотите найти в строке.

Within_text: Текст или ссылка на ячейку, в которой вы хотите найти текст

[start_num]: необязательно.Отправная точка поиска.

Пример:

Все это может быть непонятным. Давайте разберемся, как пользоваться функцией, на примере. Здесь, чтобы лучше объяснить функцию НАЙТИ, я подготовил эти данные.

В ячейках с D2 по D4 я хочу найти местоположение «Герой» в ячейке B2, «@» в ячейке B3, и «a» в B4 , соответственно.

Я записываю эту формулу НАЙТИ в ячейку D2 и перетаскиваю ее в ячейку D4.

Используйте формулу в ячейке D4

И теперь у меня есть расположение данного текста:

Найдите второе, третье и N-е вхождения заданных символов в строках.

Здесь у нас есть строки в диапазоне A2: A4. В ячейках C2, C3 и C4 мы упомянули символы, которые мы хотим искать в строках. В D2, D3 и D4 мы упоминали появление символа. В соседней ячейке я хочу получить положение этих вхождений символов.

Запишите эту формулу в ячейку E2 и перетащите ее вниз.

Возвращает точные позиции (19) упомянутого вхождения (4) символа пробела в строке.

Как это работает?

Техника довольно простая. Как мы знаем, функция SUBSTITUTE в Excel заменяет заданное вхождение текста в строке заданным текстом. Мы пользуемся этим свойством.

Итак, формула работает изнутри.

ЗАМЕНА (A2, C2, «~», D2): Эта часть разрешается до ЗАМЕНА Меня зовут Энтони Гонсалвис. «
,» «,» ~ «, 4). Что в конечном итоге дает нам строку» Меня зовут Энтони ~ Гонсалвис. «

PS: четвертый пробел заменен на» ~ «. Я заменил пробел на» ~ «, потому что уверен, что этот символ не будет отображаться в строке по умолчанию. Вы можете использовать любой символ, который вы используете Конечно, не будет отображаться в строке.Вы можете использовать функцию CHAR для вставки символов.

Поиск подстроки в Excel

Здесь у нас есть два столбца.Подстрока в столбце B и данная строка в столбце A.

Запишите формулу в ячейку C2.

Формула:

Объяснение:

Функция Find берет подстроку из ячейки B2 столбца B и сопоставляет ее с заданной строкой в ​​ячейке A2 столбца A.

ISNUMBER проверяет соответствие строки, возвращает True, иначе возвращает False.

Скопируйте формулу в другие ячейки, выберите ячейки, занимающие первую ячейку, в которой формула уже применена, используйте сочетание клавиш Ctrl + D.

Как вы можете видеть, выходные данные в столбце C показывают True и False, представляющие, есть ли подстрока или нет.

Вот все заметки с использованием функции НАЙТИ в Excel.
Примечания:

НАЙТИ по умолчанию возвращает первое найденное местоположение.

Если вам нужно второе найденное место текста, укажите start_num, и оно должно быть больше первого места текста.

Если указанный текст не найден, формула НАЙТИ вернет ошибку # ЗНАЧ.

FIND чувствителен к регистру. Если вам нужна функция без учета регистра, используйте функцию ПОИСК.

FIND не поддерживает подстановочные знаки. Используйте функцию ПОИСК, если вам нужно использовать подстановочные знаки для поиска текста в строке.

Надеюсь, эта статья о том, как использовать функцию НАЙТИ в Excel, носит пояснительный характер. Дополнительные статьи о поиске частичного текста и связанных формул Excel можно найти здесь. Если вам понравились наши блоги, поделитесь ими с друзьями на Facebook.А также вы можете подписаться на нас в Twitter и Facebook. Мы будем рады услышать от вас, дайте нам знать, как мы можем улучшить, дополнить или усовершенствовать нашу работу и сделать ее лучше для вас. Напишите нам на [email protected].

Статьи по теме:

Как использовать ФУНКЦИЮ ПОИСКА : Она работает так же, как функция НАЙТИ, за исключением того, что поиск нечувствителен к регистру (например, a или A считаются одинаковыми) в Excel.

Поиск в строке для определенной подстроки в Excel : Найдите ячейки, если ячейка содержит заданное слово в Excel, используя функцию НАЙТИ или ПОИСК.

Выделить ячейки, содержащие определенный текст : Выделить ячейки, если ячейка содержит заданное слово в Excel, используя формулу в разделе Условное форматирование

Как проверить, содержит ли строка один из многих текстов в Excel : ячейки подстановки если ячейка содержит заданное несколько слов в Excel с помощью функции НАЙТИ или ПОИСК.

Подсчет ячеек, содержащих определенный текст : Подсчитайте количество ячеек, если ячейка содержит заданный текст, используя одну формулу в Excel.

Как искать ячейки с определенным текстом и возвращать определенный текст в Excel : находить ячейки, если ячейка содержит определенный текст, и возвращает требуемые результаты с помощью функции ЕСЛИ в Excel.

Популярные статьи:

Как использовать функцию ЕСЛИ в Excel : Оператор ЕСЛИ в Excel проверяет условие и возвращает определенное значение, если условие ИСТИНА, или другое конкретное значение, если ЛОЖНО.

Как использовать функцию ВПР в Excel : это одна из наиболее часто используемых и популярных функций Excel, которая используется для поиска значений из разных диапазонов и листов.

Как использовать функцию СУММЕСЛИ в Excel : это еще одна важная функция приборной панели. Это поможет вам суммировать значения для конкретных условий.

Как использовать функцию СЧЁТЕСЛИ в Excel : Подсчитайте значения с условиями, используя эту удивительную функцию. Вам не нужно фильтровать данные для подсчета определенных значений. Функция Countif важна для подготовки вашей приборной панели.

Как использовать функцию НАЙТИ в Google Таблицах [Пошаговое описание]

Функция НАЙТИ в Google Таблицах полезна, если вы хотите вернуть позицию, в которой была найдена строка в тексте.

Функция НАЙТИ в Google Таблицах аналогична функции ПОИСК с небольшим отличием. Но об этом позже

Рассмотрим пример.

Допустим, у вас есть текст в ячейке и вам нужно знать точное положение ключевого слова или буквы в тексте.

Итак, как нам это сделать?

Простой. Функция НАЙТИ нуждается в строке, которую вы ищете, и тексте для поиска.

При желании, если вы не ищете первое совпадение строки, вы можете добавить позицию символа, с которой начинается поиск.Если вы не добавите позицию поиска, поиск автоматически начнется с первого символа.

Давайте сразу перейдем к реальным примерам, где мы будем иметь дело с фактическими значениями, чтобы лучше понять функцию НАЙТИ в Google Таблицах и посмотреть, как вы можете написать ее самостоятельно.

Анатомия функции НАЙТИ

Синтаксис (то, как мы пишем) функции НАЙТИ следующий:

  = НАЙТИ (search_for, text_to_search, [start_at])  

Давайте разберемся с этим, чтобы понять синтаксис функции НАЙТИ и что означает каждый из этих терминов:

  • = знак равенства — это то, как мы начинаем любую функцию в Google Таблицах.
  • НАЙТИ () — это наша функция. Нам нужно будет добавить строку, которую мы хотим найти, а также текст для поиска и позицию символа, с которой начинается поиск.
  • search_for — это строка, которую вы ищете в text_to_search .
  • text_to_search — это текст внутри, который вы ищете для первого совпадения search_for .
  • start_at [необязательно, по умолчанию 1] — позиция символа, с которой начинается поиск.

⚠️ Несколько примечаний, которые следует знать при написании собственной функции НАЙТИ в Google Таблицах:

  1. В отличие от функции ПОИСК , функция НАЙТИ чувствительна к регистру , поэтому следует обращать внимание на прописные и строчные буквы.
  2. Подстановочные знаки ( ‘~’ тильда, ‘*’ звездочка и ‘?’ вопросительный знак), используемые с некоторыми функциями Google Таблиц для представления или замены одного или нескольких других символов в функциях, не являются разрешено функцией НАЙТИ .
  3. Начальная позиция — это числовое значение, которое должно быть больше или равно 1 и меньше или равно количеству символов в тексте, в котором выполняется поиск (text_to_search).
  4. Формула НАЙТИ вернет ошибку (# ЗНАЧ!) , если искомая строка не найдена в text_to_search.

Реальный пример использования функции НАЙТИ

Давайте посмотрим на приведенные ниже примеры, чтобы узнать, как использовать функцию НАЙТИ в Google Таблицах.

Первые две формулы в ячейках C2 и C3 довольно просты. Единственное отличие состоит в том, что вы можете ввести только адрес ячейки или текст, который вы ищете для первого появления строки. Если вы не используете необязательную часть синтаксиса (start_at) в формуле, он будет считать текст с самого первого символа.

Если вы посмотрите на третью и четвертую формулы в ячейках C4 и C5 , вы увидите, что в четвертой формуле (C5), мы использовали необязательную часть синтаксиса (start_at), поскольку есть повторение одной и той же строки «яблоко» дважды.Чтобы найти позицию второго совпадения строки «яблоко» , мы должны сначала посчитать позицию первого совпадения, и в данном случае это # 5 (как вы можете видеть в строке 4 ) . Теперь мы вводим первое число выше # 5 , и наш поиск начнется оттуда.

Наконец, в последней формуле, в ячейке C6 , вы можете увидеть, что она возвращает ошибку (# ЗНАЧЕНИЕ!) , поскольку, в отличие от формулы ПОИСК , формула НАЙТИ в Google Таблицах чувствительна к регистру ( означает, что прописные и строчные буквы имеют значение) 🙂

Вы также можете использовать функцию НАЙТИ для поиска в диапазоне ячеек первого вхождения строки.Для этого вам понадобится обертка ARRAYFORMULA . Ваша формула теперь будет выглядеть так

  = ARRAYFORMULA (FIND (search_for, range, [start_at])  

Если искомой строки нет, формула вернет ошибку (# ЗНАЧ!) . Но если строка найдена, она вернет позицию строки. Давайте посмотрим, что произойдет, если мы попытаемся найти строку «яблоко» в диапазоне пяти ячеек.

Вы можете попробовать сами, сделав копию электронной таблицы, используя ссылку ниже:

Сделайте копию образца таблицы

Как использовать функцию НАЙТИ в Google Таблицах

Давайте приступим к написанию нашей собственной функции НАЙТИ в Google Таблицах, шаг за шагом.

  1. Сначала щелкните любую ячейку, чтобы сделать ее активной. Вы должны щелкнуть по ячейке, в которой вы хотите показать свой результат. Для этого руководства я выберу B2 .

  1. Затем введите знак равенства ‘=’ , чтобы запустить функцию. После этого введите имя функции: ‘FIND’ .

  1. Когда вы начнете вводить имя функции, вы увидите, что всплывающее окно автоматически предложит имена функций, начинающиеся с «F».Вы можете закрыть и проигнорировать это всплывающее окно, или вы можете выбрать функцию НАЙТИ, щелкнув по ней, просто убедитесь, что вы щелкнули по правильной, поскольку иногда там может быть больше функций с похожими именами.

  1. После открывающей скобки следует добавить искомую строку. Убедитесь, что search_for и text_to_search не указаны в обратном порядке, иначе формула, скорее всего, вернет ошибку (#VALUE!) .

  1. Введите запятую ‘,’ , чтобы действовать как разделитель между строкой, которую вы ищете, и текстом внутри, который будет выполнять поиск.

  1. После того, как вы добавили запятую, введите текст, в котором вы будете выполнять поиск. Вы также можете ввести адрес ячейки, нет необходимости копировать / вставлять текст.

  1. Вы можете закрыть функцию закрывающей скобкой ‘)‘ или нажать клавишу Enter , которая закроет скобку на функции и немедленно выведет результат формулы. Если вы выполнили мои шаги, результат в ячейке B2 будет 5 , поскольку это первая позиция строки «яблоко» в выделенном тексте.

  1. Однако, если вы не ищете первое совпадение строки и хотите найти вторую позицию строки «яблоко» , вам следует добавить необязательную часть синтаксиса (start_at) . Введите запятую ‘,’ после текста, в котором вы будете выполнять поиск (или адреса ячейки), и добавьте позицию символа, с которой начинается поиск.

  1. Закройте функцию закрывающей скобкой ‘)’ или нажмите клавишу Enter , и вы увидите, что результат в ячейке B3 будет 31 , поскольку это вторая позиция строки “ яблоко » внутри выделенного текста.

Вот и все! Ты сделал это! Теперь вы можете использовать функцию НАЙТИ вместе с другими формулами Google Таблиц, чтобы создавать еще более эффективные формулы, которые помогут вам в вашей работе и сэкономят время 🙂

Получайте от нас электронные письма о Google Таблицах.

Наша цель в этом году — создать множество подробных небольших руководств для таких пользователей Google Таблиц, как вы.Если вам понравился этот, вам понравится то, над чем мы работаем! Читатели получают «ранний доступ» к новому контенту. Спама не будет, и вы сможете отказаться от подписки в любой момент.

Как использовать функцию поиска в Excel (примеры + видео)

Функция поиска в Excel (пример + видео)

Когда использовать функцию поиска в Excel

Функцию поиска в Excel можно использовать, если вы хотите найти текстовую строку в другом текстовая строка и найдите ее позицию.

Что возвращает

Возвращает число, которое представляет начальную позицию строки, которую вы находите в другой строке.

Синтаксис

= FIND (find_text, within_text, [start_num])

Входные аргументы

  • find_text — текст или строка, которую нужно найти.
  • inside_text — текст, в котором вы хотите найти аргумент find_text.
  • [start_num] — число, представляющее позицию, с которой вы хотите начать поиск.Если вы его опустите, он начнется с самого начала.

Дополнительные примечания

  • Если начальный номер не указан, поиск начинается с начала строки.
  • Функция НАЙТИ в Excel чувствительна к регистру. Если вы хотите выполнить поиск без учета регистра, используйте функцию ПОИСК в Excel.
  • Функция НАЙТИ в Excel не может обрабатывать подстановочные знаки. Если вы хотите использовать подстановочные знаки, используйте функцию ПОИСК в Excel.
  • Возвращает #VALUE! ошибка, если искомая строка не найдена в тексте.

Функция поиска в Excel — примеры

Вот четыре примера использования функции поиска в Excel:

Поиск слова в текстовой строке (с начала)

В приведенном выше примере, когда вы ищете слово Хорошо в тексте Доброе утро, возвращает 1, которая является позицией начальной точки искомого слова.

Обратите внимание, что функция НАЙТИ в Excel чувствительна к регистру.Когда вы используете good вместо Good, возвращается #VALUE! ошибка.

Если вы ищете поиск без учета регистра, используйте функцию ПОИСК в Excel.

Поиск слова в текстовой строке (с указанным началом)

Третий аргумент в функции НАЙТИ — это позиция в тексте, с которой вы хотите начать поиск. В приведенном выше примере функция возвращает 1 при поиске текста Good in Good Morning, а начальная позиция — 1.

Однако она возвращает ошибку, когда вы начинаете с 2.Следовательно, он ищет текст «Доброе утро». Поскольку он не может его найти, он возвращает ошибку.

Примечание. Если вы пропустите последний аргумент и не укажете начальную позицию, по умолчанию она будет принята как 1.

При наличии многократного появления искомого текста

Функция НАЙТИ в Excel начинает поиск в указанный текст с указанной позиции. В приведенном выше примере, когда вы ищете текст Good in Good Good Morning с начальной позицией 1, он возвращает 1, поскольку находит его в начале.

Когда вы начинаете поиск со второго символа и далее, он возвращает 6, поскольку находит соответствующий текст в шестой позиции.

Извлечение всего слева указанного символа / строки

Предположим, у вас есть идентификаторы электронной почты для некоторых супергероев, как показано ниже, и вы хотите извлечь только часть имени пользователя (это будут символы перед @).

Ниже приведена формула, которая найдет позицию «@» в каждом идентификаторе электронной почты и извлечет все символы слева от него:

= LEFT (A2, FIND («@», A2,1) — 1)

Функция НАЙТИ в этой формуле определяет позицию символа «@».Функция LEFT, которая использует эту позицию для извлечения имени пользователя.

Например, в случае [email protected] функция FIND возвращает 11. Функция LEFT затем использует FIND («@», A2,1) -1 в качестве второго аргумента для получения имени пользователя.

Обратите внимание, что 1 вычитается из значения, возвращаемого функцией FIND, поскольку мы хотим исключить @ из результата функции LEFT.

Excel FIND Function — VIDEO

Связанные функции Excel:

Вам также могут понравиться следующие руководства:

Find function — Minitab

Чтобы использовать эту функцию, выберите.

Определяет начальную позицию строки текста в другой строке текста. Поиск аналогичен поиску, за исключением того, что при поиске учитывается регистр; например, он различает b и B.

Синтаксис

НАЙТИ (найти_текст; внутри_текста; [начальное_число])

Для find_text укажите текстовую строку, которую вы хотите найти. Для параметра within_text укажите столбец текста для поиска. По умолчанию Minitab выполняет поиск с первой позиции каждой текстовой записи. Вы также можете указать другую начальную позицию (место в строке, откуда следует начать поиск), вставив число для start_num, необязательного третьего аргумента функции.

Вы можете использовать звездочку (*) в качестве символа подстановки, представляющего строку из одного или нескольких символов. Вопросительный знак (?) Также является подстановочным знаком, но он представляет только один символ вместо строки символов. Для ссылки на «*» или «?» в текстовой строке используйте тильду (~) перед символом.

Примеры

Колонна Выражение калькулятора Результат
C1 содержит «234B75» НАЙТИ («B7», C1) 4 (поскольку B7 начинается с 4-й позиции в тексте)
C1 содержит «амортизировать» НАЙТИ «c * t», C1) 6
C1 содержит «Артикул № C-222-T» НАЙТИ («C * T», C1) 7
C1 содержит «дефектный» НАЙТИ («c * t», C1) 5
C1 содержит «814 * 231 * 2682» НАЙТИ («~ *», C1) 4

Google Sheets Функция НАЙТИ и ее отличие от формулы поиска

На этот раз я подробно расскажу вам об использовании функции НАЙТИ в Google Таблицах.Вы можете использовать эту текстовую функцию так же, как мы используем функцию ПОИСК в Google Doc Spreadsheets.

Но есть ОДНА разница между этими текстовыми функциями и что это? Я к этому подойду.

Как использовать функцию поиска в Google Таблицах

Мы можем использовать функцию НАЙТИ в Google Таблицах, чтобы вернуть позицию строки, которая впервые была найдена в тексте.

Синтаксис:

НАЙТИ (search_for, text_to_search, [start_at])

search_for — это строка, которую вы хотите найти в предложении.

text_to_search — Это предложение.

start_at — с какой позиции символа начинать поиск.

См. Примеры, чтобы понять эту функцию.

Как использовать формулу НАЙТИ в Google Таблицах

Пример:

Здесь стоит обратить внимание на две последние формулы. Это формулы в ячейках B7 и B8. Чем они отличаются?

Формула в ячейке B7:

= НАЙТИ («турист», A7,9)

Здесь я использовал необязательную часть синтаксиса, т.е.е., start_at, поскольку есть повторение одной и той же строки «турист» дважды.

См. № 9 в конце формулы. Почему именно этот номер? Потому что мы хотим найти позицию второго совпадения строки «турист».

Итак, сначала вам нужно посчитать позицию первой строки, а это # ​​8. Таким образом, вы можете поставить любое число выше 8, чтобы найти позицию второй строки.

Формула будет считать текст от самого первого символа. Когда вы проверяете это на листе, вы можете это понять.

В приведенном выше примере формула в B8 возвращает ошибку. Почему? Это потому что;

Функция НАЙТИ чувствительна к регистру.

В этом отличие формулы НАЙТИ от формулы ПОИСК в Google Таблицах. В то время как в первом случае учитывается регистр, во втором регистр не учитывается.

Вот ваш шанс освежить некоторые навыки использования функций текста в Google Таблицах

Я собираюсь извлечь слово «аэропорт» из предложения «я постараюсь забрать вас из аэропорта».Как?

1. Непосредственно с помощью функции MID.

= MID («Я постараюсь забрать вас из аэропорта», 32,8)

2. Комбинация MID и LEN

= MID («Я постараюсь забрать вас из аэропорта», LEN («Я постараюсь забрать вас из аэропорта»), 8)

3. Комбинация FIND и MID

= MID («Я постараюсь забрать вас из аэропорта», НАЙТИ («Аэропорт», A19), 7)

4.С функцией REGEXEXTRACT.

= REGEXEXTRACT («Я постараюсь забрать вас из аэропорта», «Аэропорт»)

В этом руководстве я объяснил вам, как использовать функцию НАЙТИ в Google Таблицах. Он похож на ПОИСК, и разницу вы можете увидеть выше.

.

Чему равна градусная мера угла: Что такое градусная мера угла? Ответ на webmath.ru

Градусная мера угла / Начальные геометрические сведения / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Начальные геометрические сведения
  5. Градусная мера угла

Нам известно, что при измерении отрезков, мы сравниваем измеряемый отрезок с отрезком, который принят за единицу измерения. Аналогично происходит измерение углов: чтобы измерить угол его сравнивают с углом, который принят за единицу измерения —  с  градусом.


Градус — это угол, который равен части развернутого угла,обозначается знаком

часть градуса называется минутой, обозначается знаком

часть минуты называется секундой, обозначается знаком

Пример: (двадцать градусов пятнадцать минут сорок семь секунд)

Градусная мера угла — это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Пример:

Градусная мера угла ABC равна . Говорят: «Угол ABC равен 120 градусам». Пишут: .


Транспортир — это измерительный инструмент, который используется для измерения и построения углов. Состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы: внутренней и внешней), который разделен на градусы от 0 до .

Для того чтобы измерить угол, необходимо совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна из сторон угла должна пройти через нулевое деление шкалы, тогда вторая сторона угла укажет градусную меру угла.

Пример: Измерим угол ABC, для этого совместим точку B с центром транспортира, и расположим транспортир так, чтобы сторона BC прошла через нулевое деление шкалы (обратите внимание отсчёт угла ведётся по той шкале, через нулевое деление которой пройдет одна из сторон угла: в нашем случае по внутренней шкале).

Вторая сторона при этом, как мы видим, проходит через деление шкалы 120, значит: .


Свойства:
  • Равные углы имеют равные градусные меры.
  • Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
  • Развернутый угол равен .
  • Неразвернутый угол меньше .
  • Если луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Основные типы углов:
  1. Острый угол — угол, градусная мера которого меньше 90°.

  1. Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90°.

  1. Тупой угол — угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.

  1. Развернутый угол — угол, градусная мера которого равна 180°.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Длина отрезка

Единицы измерения длины, расстояний

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 53, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 67, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 223, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 226, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 2, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 325, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 13, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 896, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1170, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Урок 5. измерение углов — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок №5

Измерение углов

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Измерительные инструменты.
  • Градусная мера угла; биссектриса.
  • Транспортир.
  • Классификация углов.

Тезаурус:

Градус – угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Минута – 1/60 часть градуса.

Секунда – 1/60 часть минуты.

Луч – часть прямой, состоящий из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки, которая является началом луча.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.

Вершина угла – общее начало сторон угла.

Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее вы уже познакомились с геометрической фигурой – уголи его составными элементами.

Сегодня мы продолжим изучать углы, познакомимся с их классификацией и будем измерять углы с помощью транспортира.

Измерение углов аналогично измерению отрезков – оно основано на сравнении, только отрезки сравнивались с отрезком, принятым за единицу измерения, а углы с углом, тоже принятым за единицу измерения.

Обычно за единицу измерения углов принимают градус.

Градус – угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу, называется градусной мерой угла.

Для измерения углов используют транспортир. Вспомним, как проводить измерение углов с помощью транспортира.

Транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах на той же шкале.

Например:

∠О = 50°

Но обычно говорят кратко – угол О равен 50 градусам.

Если масштабныйугол не укладываетсяцелое число раз в измеряемом угле, тоединицу измерения делят ещё на части.

Определённые части градуса носят специальные названия.

Части градуса.

Минута – 1/60 часть градуса.

Обозначается «´».

Секунда – 1/60 часть минуты.

Обозначается «´´».

Например:

∠А = 40 ° 15´ 16 ´´

Далее, аналогично понятию равные отрезки, ведём понятие равные углы.

Дваугла считаются равными, если градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т.е. равные углы имеют равные градусные меры.

Если один угол меньше другого, то градус в нём (или его часть) укладываются в этом углу меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

∠АОС =∠АОL + ∠LОС,

∠АОL = 64°,

∠LОС = 64°,

∠АОС = 64° + 64° = 128°.

Далее рассмотрим классификацию углов.

Мы уже знаем, что есть развёрнутый угол, его градусная мера сто восемьдесят градусов.

Но есть и другие углы.

Например, прямой угол, его градусная мера девяносто градусов;

острый угол, его градусная мера меньше девяноста градусов;

тупой угол, его градусная мера больше девяноста градусов, но меньше ста восьмидесяти.

Выполним практическое задание – построим биссектрису угла с помощью транспортира.

Мы знаем, что биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

∠АОС = 128°,

128° : 2 = 64°,

OL – биссектриса ∠АОС.

Поэтому для начала определим градусную меру ∠АОС, она составляет 128°, тогда биссектриса этого угла, исходя из определения, составит 64 °.

Итак, сегодня получили представление о том, как измерять и изображать угол с помощью транспортира. Перейдем к практическим заданиям.

Способы измерения на местности.

Измерение углов на местности проводят с помощью различных приборов. Один из таких – астролябия, она состоит из диска (лимб), разбитого на градусы и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады есть окошечки, которые нужны, чтобы устанавливать её в определённом направлении.

Опишем, как происходит измерение углов с помощью этого прибора. При измерении углов астролябию устанавливают в его вершине, например, точке О, при этом лимб должен находится горизонтально плоскости угла, а отвес, в центе диска, совпадать с вершиной угла.

Затем устанавливаем алидаду вдоль одной из сторон угла, например, АО, отмечаем деление, напротив которого находится указатель алидады.

Далее поворачиваем алидаду по часовой стрелке, пока она не совпадёт со второй стороной угла, у нас это сторона ОВ, отмечаем деление, напротив которого оказался указатель алидады. Теперь можно найти градусную меру измеряемого угла, как разность второго и первого измерения.

Тренировочные задания.

1. Луч ВК делит развернутый ∠ОВС на два угла, разность которых равна 56°. Найдите образовавшиеся углы.

Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи.

Обозначим ∠СВК за х, тогда ∠ОВК= х + 56°, исходя из условия задачи (разность углов равна 56°). Развёрнутый угол равен 180°. Составим уравнение и решим его.

х + х +56 =180,

2х= 180 – 56,

2х= 124,

х = 124:2,

х = 62° (∠СВК).

Тогда ∠ОВК= х + 56°= 62° +56° = 118°.

Ответ: ∠СВК = 62°; ∠ОВК = 118°.

2. Чему равен ∠ЕОА, если ∠ВОА = 130° 54´, а ∠ВОЕ = 105° 76´?

Решение: Найдём ∠ЕОА = ∠ВОА – ∠ВОЕ, т.к. ОЕ – луч, проведённый из вершины ∠ВОА и делящий этот угол на 2 части. Подставим в выражение градусные меры углов и найдём градусную меру ∠ЕОА. Так как в градусе 60 минут, то 105° 76´ = 106° 16´.

∠ЕОА = 130° 54´ – 106° 16´ = 24° 38´.

Ответ: ∠ЕОА = 24° 38´.

Радианная мера углов

§ 11. Радианная мера углов

1. Понятие угла

В геометрии 
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

В тригонометрии*
Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.

2. Измерение углов
Градусная мера углачасть развернутого угла)

Каждому углу ставится в соответствие градусная мера α ∈ [0°; 180°].

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. Угол поворота

α ∈ (–×; +×).

Объяснение и обоснование

1. Понятие угла. В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол AOB, изображенный в первом пункте таблицы 16, — это угол, образованный лучами OA и OB.

Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч OA около точки O от начального положения OA до конечного положения OB, также получим угол AOB. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча OA как по часовой стрелке, так и против нее.

2. Измерение углов. Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов.

В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от 0° до 180°, и поэтому, например, для прямого угла AOB  его мера записывается однозначно: ∠ AOB = 90° (1° — это 1/180 часть развернутого угла).

При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол AOB, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча OA на угол 90° против часовой стрелки, то значение угла поворота β (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 16) равно +90° (или просто 90°). Если тот же угол AOB получен при повороте луча OA на угол 270° по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это 360°), то значение угла поворота γ равно (–270°). Этот же угол AOB можно получить также при повороте луча OA против часовой стрелки на 90° и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота ϕ равно 90° + 360°, то есть 450° и т. д.
 Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч OA (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол AOB. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от.

Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1°) — 1/180 часть развернутого угла.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это 1/360 часть полного оборота).

В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный 1/32 час ти полного оборота.

В математике и физике, кроме градусной меры углов, используется также радианная мера углов.

Если рассмотреть некоторую окружность,

то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Таким образом, если угол AOB равен одному радиану (рис. 59), то это означает, что ∪AB = OA = R.

Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу AOC, с градусной мерой 180°, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна πR, а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера развернутого угла AOC равна радиан. Таким образом, одному и тому же развернутому углу АОС соответствует градусная мера 180° и радианная мера π радиан. Это соответствие часто записывают так: 

Задача 1 Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.
 Поскольку 30° — это 1/6часть угла 180°, то из соответствия 180° = π (рад)
получаем, что 30°=6/π (рад).

Аналогично можно вычислить и величины других углов.

В общем случае учитываем, что 1°=π/180 радиан, тогда:

Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:

Замечание. Чаще всего при записи радианной меры углов наименование единицы измерения «радиан» (или сокращенно рад) не пишут, но подразумевают его. Например, вместо равенства 90 2 °=π радиан пишут иногда 90 °=π/2 .

Задача 2 Выразите в градусах величины углов, радианнная мера которых равна: π/10 ; 2π/3 ; 3π/4 ; 5.

 Поскольку π/10 — это 1/10 часть угла π, то из соответствия π = 180° получаем, что π/10=18° . Аналогично можно вычислить и величины углов 2π /3  и 3π/4 .

В общем случае учитываем, что 1 радиан=180°/π , тогда:

Отметим, что далее в этом разделе будет рассматриваться в основном радианная мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры угла. Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла, пользуясь приведенными выше соотношениями.

Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого равна α радиан» говорить коротко «угол α».

Вопросы для контроля

1. Объясните, как можно определить угол с помощью поворота луча. Как при таком определении измеряются углы?

2. Как вы понимаете такие утверждения: «Величина угла равна 450°», «Величина угла равна (–225°)»? Изобразите эти углы.

3. Как можно определить угол в 1°?

4. Дайте определение угла в 1 радиан.

5. Чему равна градусная мера угла в π радиан?

6. Объясните на примерах, как по радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот — по градусной мере угла найти его радианную меру.
Упражнения

1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на: 1) 270°; 2) –270°; 3) 720°;

4) –90°; 5) 225°; 6) –45°;

7) 540°; 8) –180°; 9) 360°; 10) –60°.

2°. Чему равны градусные и радианные меры углов поворота, показанных на рисунке 60?

3. Выразите в радианной мере величины углов, градусная мера которых равна:

1 °) 225°; 2°) 36°; 3) 100°; 4) –240°; 5) –22,5°; 6) –150°.

4. Выразите в градусной мере величины углов, радианная мера которых равна:

1) 3π; 2) 3 4 π; 3) −2 5 π;

4) 7 6 π; 5) − π 18 ;

6) 11 6 π;7) −π 8 ; 8) 3.
 5. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные меры углов, градусная мера которых равна:

1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.

6. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите градусные меры углов, радианная мера которых равна:

1) 0,5585; 2) 0,8098; 3) 3,1416; 4) 4,4454.

 

Чему равна градусная мера треугольника

Мерой угла является размер поворота луча около точки как центра вращения.

Что такое градусная мера угла? Градусной мерой угла является число больше нуля, которое показывает,

какое число раз градус и его части — минута и секунда — помещаются в этом угле, т.е. градусная мера

величина, которая отражает число градусов, минут и секунд между двумя сторонами угла.

У любого угла существует определенная градусная мера, которая больше . Развернутый угол = 180°.

Градусная мера угла соответствует сумме градусных мер углов, разбиваемый всяким лучом, который

проходит между его сторонами.

От всякого луча в необходимую полуплоскость есть возможность отложить угол с необходимой градусной

мерой, меньше чем 180°, и только 1.

Мерой плоского угла, который является элементом полуплоскости, является градусная мера угла с теми же

сторонами. Мерой плоского угла, который содержит полуплоскость, является величина 360°α ,

где α – градусная мера дополнительного плоского угла.

2 угла будут называться равными, когда их градусные меры одинаковы.

Так же как при делении часа, как интервала времени, градус делится на 60 минут — минуты обозначается

знаком , а минуту — на 60 секунд — обозначается знаком ».

Свойства углов.

  • У любого угла есть определенная градусную меру, большая нуля. Развернутый угол = 180°.
  • Градусная мера угла соответствует сумме градусных мер углов, разбиваемый всяким лучом,

который проходит меж его сторонами.

  • От всякого луча в необходимую полуплоскость есть возможность отложить угол с данной градусной

мерой, меньше чем 180°, и только один.

Как найти градусную меру угла?

1 градус (°) — это угол, равный 1/180 части развернутого угла. Если выразиться по другому, если возьмем

развернутый угол и поделим его на 180 одинаковых меж собой частей-углов, то любой такой маленький угол

будет соответствовать 1 градусу. Размер остальных углов вычисляется тем, какой число этих маленьких

углов возможно разместить внутри угла, который измеряется.

Т.о., развернутый угол = 180°, прямой угол = 90°, острые углы меньше, чем 90°, а тупые — больше,

Если угол невозможно измерить точно в целых градусах, то не обязательно использовать минуты и секунды.

Можно пользоваться дробными значениями градуса. Например, 96,5°.

Известно, что минуты и секунды легко переводятся в градусы, выражая их в долях градуса.

Например, 30′ = (30/60)° или 0,5°. А 0,3° = (0,3 * 60)’ или 18′. Т.о., пользоваться минутами и секундами —

Нам известно, что при измерении отрезков, мы сравниваем измеряемый отрезок с отрезком, который принят за единицу измерения. Аналогично происходит измерение углов: чтобы измерить угол его сравнивают с углом, который принят за единицу измеренияс градусом.

Градус — это угол, который равен части развернутого угла,обозначается знаком

часть градуса называется минутой , обозначается знаком

часть минуты называется секундой , обозначается знаком

Пример: (двадцать градусов пятнадцать минут сорок семь секунд)

Градусная мера угла — это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Пример:

Градусная мера угла ABC равна . Говорят: «Угол ABC равен 120 градусам». Пишут: .

Транспортир — это измерительный инструмент, который используется для измерения и построения углов. Состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы: внутренней и внешней), который разделен на градусы от 0 до .

Для того чтобы измерить угол, необходимо совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна из сторон угла должна пройти через нулевое деление шкалы, тогда вторая сторона угла укажет градусную меру угла.

Пример: Измерим угол ABC, для этого совместим точку B с центром транспортира, и расположим транспортир так, чтобы сторона BC прошла через нулевое деление шкалы (обратите внимание отсчёт угла ведётся по той шкале, через нулевое деление которой пройдет одна из сторон угла: в нашем случае по внутренней шкале).

Вторая сторона при этом, как мы видим, проходит через деление шкалы 120, значит: .

Свойства:
  • Равные углы имеют равные градусные меры.
  • Меньший угол имеетменьшую градусную меру.
  • Развернутый угол равен.
  • Неразвернутый угол меньше.
  • Если лучделит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Основные типы углов:
  1. Острый угол — угол, градусная мера которого меньше 90 ° .

  1. Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90 ° .

  1. Тупой угол — угол, градусная мера которого больше 90 °, но меньше 180 ° .

  1. Развернутый угол — угол, градусная мера которого равна 180 °.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Определение

Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Рис. 1. Треугольник ABC.

Виды треугольников

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

  • остроугольные;
  • прямоугольные;
  • тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90 0 .

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Рис. 2. Виды треугольников по углам.

Пифагоровым треугольником называется прямоугольник, стороны которого равны 3, 4, 5.

Такие треугольники часто используются для составления простых задач в геометрии. Поэтому, запомните: если две стороны треугольника равны 3, то третья обязательно будет 5. Это упростит расчеты.

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние;
  • равнобедренные;
  • разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60 0 , то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

Рис. 3. Виды треугольников по сторонам.

Сумма всех углов треугольника, независимо от его вида, равна 1800.

Напротив большего угла находится большая сторона. А также длина любой стороны всегда меньше суммы двух других его сторон. Эти свойства подтверждаются теоремой о неравенстве треугольника.

Задача:

Существует ли треугольник, стороны которого равны 6 см., 3 см., 4 см.?

Решение:

Для решения данного задания нужно использовать неравенство a

Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 160.

Градусная мера угла. Определение

Основные понятия

В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:

  • угол;
  • развёрнутый и неразвёрнутый угол;
  • градус, минута и секунда;
  • градусная мера угла;
  • прямой, острый и тупой углы.

Углом называют такую геометрическую фигуру, которая представляет собой точку (вершину) и исходящие из неё два луча (стороны). Угол называют развёрнутым, если оба луча лежат на одной прямой.

Рисунок 1. Угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Благодаря градусной мере угла можно произвести измерение углов. Измерение углов проводится аналогично измерению отрезков.{\circ}$.

Рисунок 4. Прямой, острый и тупой углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В повседневной жизни есть примеры необходимости и важности умения измерять углы и понимать градусную меру. Измерение углов необходимо в различных исследованиях, в том числе в астрономии при определении положения небесных тел.

Для практики, попробуйте начертить хотя бы три неразвёрнутых угла и один развёрнутый разными способами, измерьте с помощью транспортира углы и запишите эти результаты. Можно задать случайные числа и попрактиковаться в точности черчения углов с помощью транспортира, деления их с помощью биссектрисы (биссектриса — это луч, исходящий из вершины данного угла и делящий угол пополам).

Примеры задач

Пример 1

Задача. Есть рисунок:

Рисунок 5. Задача. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Лучи $DE$ и $DF$ — биссектрисы соответствующих углов $ADB$ и $BDC$.{\circ}$

В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.

Что такое градусная мера угла?

Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус).

1 градус — это угол, который равен 1/180 части развернутого угла. Другими словами, если взять развернутый угол и поделить его на 180 равных между собой частей-углов, то каждый такой маленький угол будет равен 1 градусу. Размер всех других углов определяется тем, сколько таких маленьких углов можно внутри измеряемого угла уложить.

Обозначается градус знаком °. Это не ноль и не буква О. Это такой специальный, введенный для обозначения градуса, символ.

Таким образом, развернутый угол равен 180°, прямой угол равен 90°, острые углы имеют размер меньший, чем 90°, а тупые — больший, чем 90°.

В метрической системой для измерения расстояния используется метр. Однако используются и более крупные и мелкие единицы. Например, сантиметр, миллиметр, километр, дециметр. По аналогии с этим в градусной мере углов также выделяют минуты и секунды.

Одна градусная минута равна 1/60 градуса. Обозначается она одним знаком ‘.

Одна градусная секунда равна 1/60 минуты или 1/3600 градуса. Обозначается секунда двумя знаками ‘, то есть ».

В школьной геометрии градусные минуты и секунды используются редко, однако надо уметь понимать, например, такую запись: 35°21’45». Это значит, что угол равен 35 градусов + 21 минута + 45 секунд.

С другой стороны, если угол нельзя измерить точно лишь в целых градусах, то не обязательно вводить минуты и секунды. Достаточно использовать дробные значения градуса. Например, 96,5°.

Понятно, что минуты и секунды можно перевести в градусы, выразив их в долях градуса. Например, 30′ равно (30/60)° или 0,5°. А 0,3° равно (0,3 * 60)’ или 18′. Таким образом, использование минут и секунд — это лишь вопрос удобства.

Тест 7 класс. Перпендикуляр к прямой

Перпендикуляр к прямой

Задание 1Как называется отрезок, проведённый из данной точки к данной прямой, если этот отрезок и данная прямая перпендикулярны? Запишите ответ:________________________

Задание 2Чему равна градусная мера угла АВО, если отрезок ОВ – перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р?

Выберите один из 5 вариантов ответа:

1) 60°

2) 45°

3) 100°

4) 90°

5) 180°

Задание 3

Отрезок ОВ – перпендикуляр, проведённый из тоски О к прямой a. Как называется точка В?

Выберите один из 3 вариантов ответа:

1) Точка перпендикуляра

2) Центр перпендикуляра

3) Основание перпендикуляра

Задание 4Сколько перпендикуляров можно провести к прямой из точки, не лежащей на данной прямой?

Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) Один  2) Два   3) Три

Задание 5Если данный угол прямой, то каким будет смежный с ним угол?

Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) Тупой  2) Острый   3) Прямой

Задание 6Если данный угол прямой, то каким будет вертикальный ему угол?

Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) Тупой  2) Острый   3) Прямой

Задание 7На рисунке отрезок OВ – перпендикуляр, проведённый из точки O к прямой p. Чему равна градусная мера угла CBO, если угол ABC равен 37°?

Выберите один из 5 вариантов ответа:1) 37° 2) 127°  3) 63°  4) 53°   5) 47°

 

Задание 8Как называется инструмент, изображённый на рисунке?

 

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Транспортир

2) Чертёжный угольник

3) Циркуль

4) Экер

Задание 9Точки А и В лежат по разные стороны от прямой p. Перпендикуляры АС и ВD к прямой p равны. Чему равна длина отрезка АD, если отрезок ВС равен 5 см?

Выберите один из 5 вариантов ответа:

1) 5 см

2) 10 см

3) 6 см

4) 11 см

5) 4 см

Задание 10

Пересекающиеся прямые a и b образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из углов прямой, то чему равны градусные меры остальных углов?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 100°, 90°, 80°

2) 90°, 90°, 90°

3) 120°, 90°, 60°

4) 90°, 90°, 60°

 

 

 

Ответы:

1) (1 б.) Верный ответ: «перпендикуляр».

2) (1 б.) Верные ответы: 4;

3) (1 б.) Верные ответы: 3;

4) (1 б.) Верные ответы: 1;

5) (1 б.) Верные ответы: 3;

6) (1 б.) Верные ответы: 3;

7) (1 б.) Верные ответы: 4;

8) (1 б.) Верные ответы: 2;

9) (1 б.) Верные ответы: 1;

10) (1 б.) Верные ответы: 2;

 

Конец


Найдите градус измерения угла

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

градусов как единица измерения угла

градус как единица измерения угла — Math Open Reference Определение: мера угол. Один градус — это одна 360-я часть полного круга.

Попробуй это Отрегулируйте угол ниже, перетащив оранжевый на R. Обратите внимание на количество градусов для любого конкретного угла.

Измерение угла

В геометрии угол. измеряется в градусах, где полный круг равен 360 градусам. Небольшой угол может составлять около 30 градусов. Обычно, когда требуется более точная мера, мы просто добавляем десятичные знаки к градусам. Например 45,12 °

Маленький кружок после числа означает «градусы». Таким образом, это будет произноситься как «сорок пять целых два десятых градуса».

Градусов — Минут — Секунды

При измерении широты и долготы каждый градус делится на минуты и секунды. Степень делится на 60 минут. Для более точных измерений минута снова делится на 60 секунд, Однако эта последняя мера настолько мала, что используется только там, где углы поданный на экстремальных расстояниях, таких как астрономические измерения и измерения широты и долготы.

Эти минуты и секунды (как ни странно) не имеют ничего общего со временем.Они просто все меньшие и меньшие части градуса.

См. Также Градусы — Минуты — Калькулятор секунд. для калькулятора, который может складывать и вычитать углы в этой форме.

Установка Письменный Объявлен
Градусов С кружком после номера.
Пример 61 °
«61 градус»
Минуты С небольшим тире после номера.
Пример 34 ° 21 ‘
«34 градуса, 21 минута»
Секунды С двумя маленькими черточками.
Пример 32 ° 34 ’44’ ‘
«32 градуса, 34 минуты, 44 секунды»
Когда используются только минуты и секунды, мы обычно говорим «угловые минуты» и «угловые секунды», чтобы избежать путаницы с единицами времени.

В каком направлении измерять?

На рисунке выше отрегулируйте точку R так, чтобы линия пересекала точку с отметкой 315 °.Начиная с Q и идя против часовой стрелки, мы видим, что размер равен 315 °. Но если бы мы пошли по часовой стрелке от Q, это было бы 45 ° (360-315). Что правильно?

Они оба, но по соглашению предполагается меньший. Поэтому в этих условиях угол в центре составляет 45 °. Большая мера (315 °) называется угол рефлекса RPQ.

Углы, которые вы должны знать

На приведенном выше рисунке показано, как выглядят различные угловые меры, измеренные в градусах.В общем, вы должны уметь чтобы визуально оценить любой угол с точностью до 15 °, и вы должны быть в состоянии распознать общие углы (показаны красным) на месте и сами зарисовать их.

Прочие меры

  • Радианы

    Угол может быть измерен в радианах, где полный круг составляет 2 пи радиана (около 6,28). Это широко используется в тригонометрии.
  • Грады

    В некоторых геодезических работах используется град. В круге 400 градусов, поэтому прямой угол равен 100 градусам.Вы редко увидите этот агрегат. Думайте об оценках как о «метрических градусах».
  • Морские углы

    Судовые навигаторы используют углы, которые измеряются несколько иначе, с помощью системы, разработанной сотни лет назад для Nautical Alamanac — книги навигационных таблиц. Каждый градус, как обычно, делится на 60 минут, но секунд нет. Вместо этого минуты выражаются в десятичном формате. Например, 23 ° 34,62 ‘читается как «23 градуса 34,62 минуты. См. Также «Калькулятор морского угла».

Что попробовать

  1. На рисунке выше нажмите «Скрыть детали».
  2. Отрегулируйте положение точки R
  3. Оценить угол RPQ
  4. Нажмите «Показать подробности», чтобы узнать, насколько близко вы подошли
  5. Повторить.

Вы должны быть особенно в состоянии оценить углы, близкие к красным на рисунке выше, поскольку они часто встречаются в геометрии.

Другие ракурсы

Общие

Типы углов

Угловые отношения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Измерение углов

Измерение углов

Измерение углов

При изучении геометрии угловые меры часто рассматриваются как степень разделения между двумя лучами с общей конечной точкой, или, возможно, связан с размером данного сектора круга. Обе эти интерпретации неявно накладывают ограничения на допустимые углы измерения.{\ circ} $. В конце концов, как можно иметь сектор круга, превышающий сам круг? Следующее обсуждение обеспечивает переинтерпретацию углов как 90–150 поворотов на 90–151, что позволяет нам обобщить углы так, чтобы их меры могли принимать любое реальное значение, независимо от его знака или величины.



Угол образован двумя половинными линиями, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной . Одна половинная линия обозначается как начальная сторона , а другая — клеммная сторона .Мы можем считать, что угол образован поворотом от начальной стороны к конечной. {\ circ} $.{\ circ} $.

Знак меры указывает направление вращения и определяется по формуле:

$ (+) $, если вращение против часовой стрелки
$ (-) $, если вращение по часовой стрелке

Угол в стандартном положении

Примеры

Практика


Терминальные уголки

Когда два угла имеют одинаковую начальную и конечную стороны, они называются концевыми углами.2 = 1 \} $$ Мы измеряем угол расстоянием $ t $, пройденным по окружности единичной окружности, поскольку угол образуется при повороте от начальной стороны к конечной стороне в стандартном положении.

Условные обозначения знаков остались прежними:

  • $ (+) $, если вращение против часовой стрелки
  • $ (-) $, если вращение по часовой стрелке

Радианная мера угла, образованного одним полным вращением против часовой стрелки, равна длине окружности единичной окружности, которая равна $ 2 \ pi $.{\ circ}}

долл. США

1.3: Дуги, углы и калькуляторы

Основные вопросы

Изучив этот раздел, мы должны понять концепции, мотивированные этими вопросами, и уметь писать точные, последовательные ответы на эти вопросы.

  • Как мы измеряем углы в градусах?
  • Что мы подразумеваем под радианной мерой угла? Как радианная мера угла связана с длиной дуги единичной окружности?
  • Почему важна мера в радианах?
  • Как преобразовать радианы в градусы и из градусов в радианы?
  • Как мы можем использовать калькулятор для аппроксимации значений функций косинуса и синуса?

Древняя цивилизация, известная как Вавилония, была культурным регионом на юге Месопотамии, на территории современного Ирака.Вавилония возникла как независимое государство около 1894 г. до н. Э. Вавилоняне разработали математическую систему, основанную на шестнадцатеричной системе счисления (с основанием 60). Это было источником современного использования 60 минут в час, 60 секунд в минуту и ​​360 градусов по кругу.

Многие историки теперь считают, что для древних вавилонян год состоял из 360 дней, что является неплохим приближением, учитывая грубость древних астрономических инструментов. Как следствие, они разделили круг на 360 дуг равной длины, что дало им единичный угол, составляющий 1/360 круга или то, что мы теперь знаем как градус.Несмотря на то, что в году 365,24 дня, вавилонская единица угла по-прежнему используется в качестве основы для измерения углов в круге. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показан круг, разделенный на 6 углов по 60 градусов каждый, что также хорошо сочетается с вавилонской системой счисления с основанием 60.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): круг с шестью углами в 60 градусов.

Мы часто обозначаем линию, проведенную через 2 точки A и B, как \ (\ overleftrightarrow {AB} \).Часть прямой \ (\ overleftrightarrow {AB} \), которая начинается в точке A и продолжается бесконечно в направлении точки B, называется лучом AB и обозначается \ (\ overrightarrow {AB} \). Точка A — это начальная точка луча \ (\ overrightarrow {AB} \). Угол образуется путем поворота луча вокруг его конечной точки. Луч в его исходном положении называется начальной стороной угла, а положение луча после его поворота называется конечной стороной луча.Конечная точка луча называется вершиной угла °.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): угол с некоторыми обозначениями.

На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) показан луч \ (\ overrightarrow {AB} \), повернутый вокруг точки A, образуя угол. Конечной стороной угла является луч \ (\ overrightarrow {AC} \). Мы часто называем это углом ВАС, сокращенно \ (\ angle {BAC} \). Мы также можем называть этот угол углом \ (CAB \) или \ (\ angle {CAB} \). Если мы хотим использовать одну букву для этого угла, мы часто используем греческую букву, такую ​​как \ (\ alpha \) (alpha).Затем мы просто говорим угол ̨. Другие часто используемые греческие буквы: \ (\ beta \) (бета), \ (\ gamma \) (гамма), \ (\ theta \) (theta), \ (\ phi \) (phi) и \ (\ ро \) (ро).

Дуги и уголки

Чтобы определить тригонометрические функции в терминах углов, мы сделаем простую связь между углами и дугами, используя так называемое стандартное положение угла. Когда вершина угла находится в начале координат в плоскости \ (xy \), а начальная сторона лежит вдоль положительной оси x, мы видим, что угол находится в стандартной позиции .Конечная сторона угла тогда находится в одном из четырех квадрантов или лежит вдоль одной из осей. Когда сторона вывода находится в одном из четырех квадрантов, сторона вывода определяет так называемое обозначение квадранта угла. См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Стандартное положение угла во втором квадранте.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Нарисуйте угол в стандартном положении в

  1. первый квадрант;
  2. третий квадрант; и
  3. четвертый квадрант.
Ответ

На этих графиках показаны положительные углы в стандартном положении. Конечная точка левой точки находится в первом квадранте, точка посередине — в третьем квадранте, а точка справа — в четвертом квадранте.

Если угол находится в стандартном положении, то точка, в которой конечная сторона угла пересекает единичный круг, отмечает конечную точку дуги, как показано на рисунке 1.11. Точно так же конечная точка дуги на единичной окружности определяет луч, проходящий через начало координат и эту точку, которая, в свою очередь, определяет угол в стандартном положении. В этом случае мы говорим, что угол , стянутый дугой на . Таким образом, существует естественное соответствие между дугами единичной окружности и углами в стандартном положении. Из-за этого соответствия мы также можем определить тригонометрические терминальные боковые функции в терминах углов, а также дуг. Однако, прежде чем мы это сделаем, нам нужно обсудить два разных способа измерения углов.\ circ \) — это измерение, как и длина. Итак, чтобы сравнить угол, измеренный в градусах, с дугой, измеренной некоторой длиной, нам нужно соединить размеры. Мы можем сделать это с помощью радианной меры угла.

Радианы будут полезны в том смысле, что радиан — это безразмерная единица измерения. Мы хотим связать угловые измерения с измерениями дуги, и для этого мы напрямую определим угол в 1 радиан как угол, образованный дугой длиной 1 (длина радиуса) на единичной окружности, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): один радиан.

Определение: Radian

Угол один радиан — это угол в стандартном положении на единичной окружности, который образуется дугой длиной 1 (в положительном направлении).

Это напрямую связывает углы, измеренные в радианах, с дугами, поскольку мы связываем действительное число как с дугой, так и с углом. Таким образом, угол в 2 радиана отсекает дугу длины 2 на единичной окружности, угол в 3 радиана отсекает дугу длины 3 на единичной окружности и так далее.На рисунке 1.13 показаны конечные стороны углов с размерами 0 радиан, 1 радиан, 2 радиана, 3 радиана, 4 радиана, 5 радиан и 6 радиан. Обратите внимание, что \ (2 \ pi \ приблизительно 6.2832 \) и поэтому \ (6 <2 \ pi \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): углы с радианной мерой 1, 2, 3, 4, 5 и 6

У нас также могут быть углы с отрицательной радианной мерой, точно так же, как у нас есть дуги с отрицательной длиной. Идея состоит в том, чтобы просто проводить измерения в отрицательном (по часовой стрелке) направлении вокруг единичной окружности.Таким образом, угол, размер которого равен \ (- 1 \) радиан, — это угол в стандартном положении на единичной окружности, который образует дуга длиной 1 в отрицательном (по часовой стрелке) направлении.

Итак, в общем случае угол (в стандартном положении) в t радиан будет соответствовать дуге длины t на единичной окружности. Это позволяет нам обсуждать синус и косинус угла, измеренного в радианах. То есть, когда мы думаем о sin \ ((t) \) и cos \ ((t) \), мы можем рассматривать \ (t \) как:

  • действительное число;
  • длина дуги с начальной точкой \ ((1, 0) \) на единичной окружности;
  • радианная мера угла в стандартном положении.

Когда мы рисуем угол в стандартном положении, мы часто рисуем небольшую дугу возле вершины от начальной до конечной стороны, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {7} \), который показывает угол, мера равна \ (\ dfrac {3} {4} \ pi \) радианам.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

1. Начертите угол в стандартном положении в радианах:

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): угол с размером \ (\ dfrac {3} {4} \ pi \) в стандартном положении

  1. \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан.\ circ \]

Преобразование радианов в градусы

Радиан является предпочтительной мерой углов в математике по многим причинам, главная из которых состоит в том, что радиан не имеет размеров. Однако, чтобы эффективно использовать радианы, нам нужно иметь возможность преобразовывать угловые измерения между радианами и градусами.

Напомним, что один виток единичной окружности соответствует дуге длины \ (2 \ pi \), а дуга длины \ (2 \ pi \) на единичной окружности соответствует углу \ (2 \ pi \ ) радианы.\ circ \), поэтому радиан довольно велик по сравнению с градусом. Эти отношения позволяют быстро переводить градусы в радианы.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

  • Если угол имеет градусное значение 35 градусов, его радиан может быть рассчитан следующим образом:

\ [35 \ пробел в градусах \ times \ dfrac {\ pi \ пробел радиан} {180 \ пробел в градусах} = \ dfrac {35 \ pi} {180} \ пробел в радианах \]

Переписывая эту дробь, мы видим, что угол с мерой 35 градусов имеет радианную меру \ (\ dfrac {7 \ pi} {36} \) радиан.\ circ \)

Калькуляторы и тригонометрические функции

Теперь мы увидели, что когда мы думаем о \ (\ sin (t) \) или \ (\ cos (t) \), мы можем думать о \ ((t) \) как о действительном числе, длине arc, или радианная мера угла. В разделе 1.5 мы увидим, как определить точные значения функций косинуса и синуса для нескольких специальных дуг (или углов). Например, мы увидим, что \ (\ cos (\ dfrac {\ pi} {6}) = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \).Однако определение косинуса и синуса как координат точек на единичной окружности затрудняет поиск точных значений для этих функций, за исключением очень специальных дуг. Хотя точные значения всегда лучше, технологии играют важную роль, позволяя нам аппроксимировать значения круговых (или тригонометрических) функций. Большинство портативных калькуляторов, калькуляторов в приложениях для телефонов или планшетов, а также онлайн-калькуляторов имеют ключ косинуса и ключ синуса, которые вы можете использовать для приблизительного значения этих функций, но мы должны помнить, что калькулятор предоставляет только приближение значения, а не точного значения (за исключением небольшого набора дуг).\ circ \)

Таблица 1.1: Преобразование радианов в градусы.

Для этого в калькуляторе есть два режима для углов: радиан и градус. Из-за соответствия между действительными числами, длиной дуг и радианами углов, на данный момент мы всегда будем переводить наши калькуляторы в радианный режим. Фактически, мы видели, что угол, измеренный в радианах, образует дугу этой радианной меры вдоль единичной окружности. Таким образом, косинус или синус угловой меры в радианах — это то же самое, что косинус или синус действительного числа, когда это действительное число интерпретируется как длина дуги вдоль единичной окружности. (Когда мы изучаем тригонометрию треугольников в главе 3, мы будем использовать режим градусов. Вводное обсуждение тригонометрических функций угловой меры в градусах см. В упражнении (4)).

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

В упражнении 1.6 мы использовали апплет Geogebra под названием Конечные точки дуг на единичной окружности на http://gvsu.edu/s/JY, чтобы аппроксимировать значения функций косинуса и синуса при определенных значениях. Например, мы обнаружили, что

  • \ (\ cos (1) \ приблизительно 0.5403 \), \ (\ sin (1) \ приблизительно 0,8415 \).
  • \ (\ cos (2) \ приблизительно -0,4161 \), \ (\ sin (2) \ приблизительно 0,9093 \).
  • \ (\ cos (-4) \ приблизительно -0,6536 \), \ (\ sin (-4) \ приблизительно 0,7568 \).
  • \ (\ cos (-15) \ приблизительно -0,7597 \), \ (\ sin (-15) \ приблизительно -0,6503 \).

Используйте калькулятор, чтобы определить эти значения функций косинуса и синуса, и сравните их с указанными выше. Они одинаковы? Насколько они разные?

Ответ

Используя калькулятор, мы получаем следующие результаты с точностью до десяти десятичных знаков.

\ (\ cos (1) \ приблизительно 0,5403023059, \ sin (1) \ приблизительно 0,8414709848 \). \ (\ cos (1) \ приблизительно 0: 4161468365, \ sin (1) \ приблизительно 0,74268 \).

Разница между этими значениями и значениями, полученными в ходе проверки выполнения 1.6, состоит в том, что эти значения верны с точностью до 10 десятичных знаков (а остальные верны с точностью до 4 десятичных знаков). Если мы округлим каждое из приведенных выше значений до 4 десятичных знаков, мы получим те же результаты, что и в Progress Check 1.6.

  • \ (\ cos (1) \ приблизительно 0: 6536436209, \ sin (1) \ приблизительно 0.7568024953 \).
  • \ (\ cos (1) \ приблизительно 0: 7596879129, \ sin (1) \ приблизительно 0,6502878402 \).

Краткое содержание раздела 1.3

В этом разделе мы изучили следующие важные концепции и идеи:

  • Угол образуется путем поворота луча вокруг его конечной точки. Луч в его исходном положении называется начальной стороной угла, а положение луча после его поворота называется конечной стороной луча.\ circ \) — это угол, равный 1 = 360 центральному углу окружности. Угол на один радиан — это угол в стандартном положении на единичной окружности, который образует дуга длиной 1 (в положительном направлении).
  • Мы конвертируем величину угла из градусов в радианы, используя тот факт, что каждый градус — это радианы. Мы конвертируем величину угла из 180 радиан в градусы, используя тот факт, что каждый радиан равен 180 градусам.

Измерение

Пифагорейский Теорема

.
Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен
равна сумме квадратов двух ног.

а + б = с

Используйте java апплет для построения доказательства теоремы Пифагора.


Пи — греческая буква, которая представляет число, примерно равное 3.141592654. Пи — иррациональное число, поэтому указанное выше число не является точное, но приблизительное. Чтобы увидеть число, представленное как расширенное до большего количества десятичных знаков, щелкните здесь или здесь (две разные версии).

Архимед, великий математик древности, использовал метод, называемый «Истощение», которое нужно попытаться найти ценность. Нам следует знать, что это за ценность представляет.

Проще говоря, представляет собой отношение длины окружности к диаметру. круга. Таким образом, = c / d. Метод «истощения», используемый Архимеда, для которого можно найти приближение, можно посмотреть на веб-сайте, на который можно получить доступ, щелкнув здесь.

Мы тоже сделаем это сами…..сейчас .


Углы и их измерение


Определение угла.
Угол состоит из двух половинных линий (лучей) с общей начальной точкой, называемой вершиной. Мы согласны что конечная сторона получается поворотом начальной стороны против часовой стрелки на угол t. Угол находится в стандартном положении с вершиной в начале координат и начальная сторона вдоль положительной оси абсцисс.

Угол положительной меры получается, когда сторона клеммы повернута против часовой стрелки, а угол отрицательный мера получается при повороте угла по часовой стрелке. Углы, полученные разные повороты, имеющие одинаковые начальную и конечную стороны, называются котерминальными.


Измерение угла

Есть разница между углом (геометрический объект) и его мера (число).Однако правильно сказать, что «угол равен x единиц», так что наша работа не становится слишком утомительным.

Степень

Классическая единица измерения углов — градус. Полный оборот так, чтобы конечная сторона лежит на начальной стороне под углом 360, поэтому 1 — это 1/360 единицы полное вращение. Части угла измеряются в минутах и ​​секундах.

Далее будут использоваться следующие символы:
= градусы
‘= Минут
«= секунды

На основании определения степени (в предыдущем абзаце) следующие эквиваленты должно иметь смысл:

1 = 60 ‘

1 = 60 дюймов

Отсюда следует, что 1 = (60) (60) » = 3600 «
(1/60) = 1 ‘

(1/60) ‘= 1 дюйм

Итак, 1 «= (1/60) (1/60) = (1/3600)


Теперь, используя преобразования на основе эквивалентностей, отмеченных в в таблице выше, мы можем изменить единицы измерения с градусов, минут и секунд на десятичные эквиваленты:

42 25 48
= 42 + 25 (1/60) + 48 (1/3600)
= 42 + (25/60) + (48/3600)
= 42 +.4167 + 0,0133
= 42,4300

Радианы

Более удобной единицей измерения углов в приложениях является радиан.

Рассмотрим круг радиусом 1 единицу. Начните с
точку (1,0) и отмерьте 1 единицу против часовой стрелки по
окружность круга. Отметьте эту точку и присоедините ее к исходной точке, чтобы сделать концевую сторону угла.Этот угол составляет 1 радиан.

На окружности радиусом 1 единицу (единичная окружность) угол 1 радиан отсекает дугу в 1 единицу по окружности круга.

Длина окружности равна 2 (радиус).

2 радиана = 360 или радианы = 180
Угол в радианах — это отношение длины дуги на окружности равной длине начальной стороны угла, поэтому он не имеет размерных единиц.

Изменение единиц измерения между градусами и радианами. С использованием эквивалентность радианы = 180
мы можем записать это как отношение: радианы к 180, как x радианы к t
Или, говоря математически:

радиан = x радианы
180 т

Введите заданный угол (градусы или радианы) в пропорции и решите для неизвестный.

углов | Алгебра и тригонометрия

Игрок в гольф замахивается, чтобы отбить мяч через песчаную ловушку на лужайку. Пилот авиалинии ведет самолет к узкой взлетно-посадочной полосе. Дизайнер платьев создает последнюю моду. Что у них общего? Все они работают с углами, как и все мы в то или иное время. Иногда нам нужно точно измерить углы инструментами. В других случаях мы оцениваем их или судим на глаз.В любом случае правильный угол может иметь значение для успеха или неудачи во многих начинаниях. В этом разделе мы рассмотрим свойства углов.

Углы рисования в стандартном положении

Для правильного определения угла сначала необходимо определить луч. Луч — это направленный отрезок прямой. Он состоит из одной точки на линии и всех точек, идущих в одном направлении от этой точки. Первая точка называется конечной точкой луча. Мы можем ссылаться на конкретный луч, указав его конечную точку и любую другую точку на нем.Луч на (Рисунок) может быть назван как луч EF или в виде символа [latex] \, \ stackrel {⟶} {EF}. [/ Latex]

Рисунок 1.

Угол — это объединение двух лучей, имеющих общий конец. Конечная точка называется вершиной угла, а два луча — сторонами угла. Угол на (Рисунок) образован из [латекса] \, \ stackrel {⟶} {ED} \, [/ latex] и [latex] \, \ stackrel {⟶} {EF} \, [/ latex]. Углы могут быть названы с использованием точки на каждом луче и вершине, например, angle DEF , или в виде символа [latex] \, \ angle DEF.[/ латекс]

Рисунок 2.

Греческие буквы часто используются в качестве переменных для измерения угла. (Рисунок) — это список греческих букв, обычно используемых для обозначения углов, а примерный угол показан на (Рисунок).

[латекс] \ theta [/ латекс] [латекс] \ phi \, [/ latex] или [латекс] \, \ varphi [/ latex] [латекс] \ alpha [/ латекс] [латекс] \ beta [/ латекс] [латекс] \ гамма [/ латекс]
тета фи альфа бета гамма

Рисунок 3. Угол тета, обозначенный как [латекс] \, \ угол \ тета [/ латекс]

Создание угла — это динамический процесс. Начнем с двух лучей, лежащих один на другом. Один оставляем на месте, а другой вращаем. Фиксированный луч — это начальная сторона , , а повернутый луч — это конечная сторона. Чтобы идентифицировать разные стороны, мы указываем вращение маленькой стрелкой рядом с вершиной, как на (Рисунок).

Рисунок 4.

Как мы обсуждали в начале раздела, существует множество применений углов, но для того, чтобы использовать их правильно, мы должны уметь их измерять.Мера угла — это величина поворота от начальной стороны к конечной стороне. Вероятно, самая известная единица измерения угла — это градус. Один градус равен [latex] \, \ frac {1} {360} \, [/ latex] кругового вращения, поэтому полный круговой поворот содержит [latex] \, 360 \, [/ latex] градусов. Угол, измеряемый в градусах, всегда должен включать единицу измерения «градусы» после числа или включать символ градуса [латекс] °. \, [/ Латекс] Например, [латекс] \, 90 \ text {градусы} = 90 ° . [/ латекс]

Чтобы формализовать нашу работу, мы начнем с рисования углов на координатной плоскости x y .Углы могут встречаться в любом положении на координатной плоскости, но в целях сравнения принято их изображать в одном и том же положении, когда это возможно. Угол находится в стандартном положении, если его вершина расположена в начале координат, а его начальная сторона проходит вдоль положительной оси x . См. (Рисунок).

Рисунок 5.

Если угол измеряется против часовой стрелки от начальной стороны к конечной стороне, угол считается положительным.Если угол измеряется по часовой стрелке, угол считается отрицательным.

Рисование угла в стандартном положении всегда начинается одинаково — начертите начальную сторону вдоль положительной оси x . Чтобы разместить конечную сторону угла, мы должны вычислить долю полного поворота, которую представляет угол. Мы делаем это, разделив угол в градусах на [латекс] \, 360 °. \, [/ Латекс] Например, чтобы нарисовать угол [латекс] \, 90 ° \, [/ латекс], мы вычисляем, что [ латекс] \, \ frac {90 °} {360 °} = \ frac {1} {4}.\, [/ latex] Таким образом, сторона вывода будет на четверть пути по окружности, двигаясь против часовой стрелки от положительной оси x . Чтобы нарисовать угол [latex] \, 360 ° [/ latex], мы вычисляем, что [latex] \, \ frac {360 °} {360 °} = 1. \, [/ Latex] Таким образом, сторона вывода будет равна 1 полное вращение по окружности, двигаясь против часовой стрелки от положительной оси x . В этом случае начальная сторона и конечная сторона перекрываются. См. (Рисунок).

Рисунок 6.

Поскольку мы определяем угол в стандартном положении его конечной стороной, у нас есть специальный тип угла, конечная сторона которого лежит на оси, квадрантный угол .Этот тип угла может иметь размер [латекс] \ text {0 °,} \, \ text {90 °,} \, \ text {180 °,} \, \ text {270 °,} [/ latex] или [латекс] \, \ text {360 °}. \, [/ latex] См. (рисунок).

Рис. 7. Квадрантные углы имеют концевую сторону, которая лежит вдоль оси. Показаны примеры.

Углы квадранта

Угол — это квадрантный угол, если его конечная сторона лежит на оси, включая [latex] \ text {0 °,} \, \ text {90 °,} \, \ text {180 °,} \, \ text { 270 °,} [/ latex] или [latex] \, \ text {360 °}. [/ Latex]

Как к

Зная угол в градусах, начертите угол в стандартном положении.

  1. Выразите угловую меру как долю от [latex] \, \ text {360 °}. [/ Latex]
  2. Уменьшить дробь до простейшего вида.
  3. Нарисуйте угол, содержащий ту же часть круга, начиная с положительной оси x и двигаясь против часовой стрелки для положительных углов и по часовой стрелке для отрицательных углов.

Чертеж угла в стандартном положении, измеренный в градусах

  1. Нарисуйте угол [латекс] \, 30 ° \, [/ латекс] в стандартном положении.
  2. Нарисуйте угол [латекс] \, — 135 ° \, [/ латекс] в стандартном положении.
Показать решение
  1. Разделите размер угла на [латекс] \, 360 °. [/ Латекс]

    [латекс] \ frac {30 °} {360 °} = \ frac {1} {12} [/ латекс]

    Чтобы переписать дробь в более знакомую дробь, мы можем распознать, что

    [латекс] \ frac {1} {12} = \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {4} \ right) [/ latex]

    Одна двенадцатая равняется одной трети четверти, поэтому, разделив четверть поворота на трети, мы можем нарисовать линию в точках [латекс] \, 30 °, [/ латекс], как показано на (Рисунок).

    Рисунок 8.

  2. Разделите размер угла на [латекс] \, 360 °. [/ Латекс]

    [латекс] \ frac {-135 °} {360 °} = — \ frac {3} {8} [/ латекс]

    В этом случае мы можем распознать, что

    [латекс] — \ frac {3} {8} = — \ frac {3} {2} \ left (\ frac {1} {4} \ right) [/ latex]

    Отрицательные три восьмых — это полторы раза в четверть, поэтому мы размещаем линию, перемещая по часовой стрелке одну полную четверть и половину другой четверти, как на (Рисунок).

    Рисунок 9.

Попробуйте

Покажите угол [латекс] \, 240 ° \, [/ латекс] на окружности в стандартном положении.

Показать решение

Преобразование между градусами и радианами

Разделение круга на 360 частей — выбор произвольный, хотя при этом создается знакомая величина в градусах. Мы можем выбрать другие способы разделить круг. Чтобы найти другую единицу, представьте себе процесс рисования круга. Представьте, что вы остановились до того, как круг замкнулся.Нарисованная вами часть называется дугой. Дуга может быть частью полного круга, полного круга или более чем полного круга, представленного более чем одним полным оборотом. Длина дуги вокруг всего круга называется окружностью этого круга.

Окружность круга равна [латекс] \, C = 2 \ pi r. \, [/ Latex]. Если мы разделим обе части этого уравнения на [латекс] \, r, [/ латекс], мы получим соотношение окружность, которая всегда равна [латексу] \, 2 \ pi, [/ латексу] к радиусу, независимо от длины радиуса.Таким образом, длина окружности любого круга равна [латексу] \, 2 \ пи \ приблизительно 6,28 \, [/ латексу] умноженным на длину радиуса. Это означает, что если мы возьмем струну такой же длины, как радиус, и будем использовать ее для измерения последовательных длин по окружности, то будет место для шести полных длин струны и чуть больше четверти седьмой, как показано на (Рис. ).

Рисунок 10.

Это подводит нас к нашей новой угловой мере. Один радиан — это мера центрального угла круга, который пересекает дугу, равную по длине радиусу этого круга.Центральный угол — это угол, образованный в центре круга двумя радиусами. Поскольку общая длина окружности равна [латексу] \, 2 \ pi \, [/ latex], умноженным на радиус, полный круговой поворот равен [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] радианам.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill 2 \ pi \ text {radians} & = & 360 ° \ hfill \\ \ hfill \ pi \ text {radians} & = & \ frac {360 °} { 2} = 180 ° \ hfill \\ \ hfill 1 \ text {radian} & = & \ frac {180 °} {\ pi} \ приблизительно 57,3 ° \ hfill \ end {array} [/ latex]

См. (Рисунок). Обратите внимание, что когда угол описывается без конкретной единицы измерения, он относится к радианам.Например, величина угла 3 означает 3 радиана. Фактически, радиан безразмерен, так как это частное от деления длины (окружности) на длину (радиус) и сокращения единиц длины.

Рис. 11. Угол [латекс] \, t \, [/ latex] составляет величину в один радиан. Обратите внимание, что длина перехваченной дуги равна длине радиуса круга.

Связь длины дуги с радиусом

Длина дуги [латекс] \, s \, [/ латекс] — это длина кривой вдоль дуги.Так же, как полная длина окружности всегда имеет постоянное отношение к радиусу, длина дуги, образованная любым заданным углом, также имеет постоянную связь с радиусом, независимо от длины радиуса.

Это отношение, называемое радианной мерой, одинаково независимо от радиуса круга — оно зависит только от угла. Это свойство позволяет нам определить меру любого угла как отношение длины дуги [latex] \, s \, [/ latex] к радиусу r . См. (Рисунок).

[латекс] \ begin {array} {ccc} s & = & r \ theta \\ \ theta & = & \ frac {s} {r} \ end {array} [/ latex]

Если [латекс] \, s = r, [/ latex], то [латекс] \, \ theta = \ frac {r} {r} = \ text {1 радиан} \ text {.} [/ латекс]

Рис. 12. (a) Под углом в 1 радиан длина дуги [латекс] \, s \, [/ latex] равна радиусу [латекс] \, r. \, [/ Латекс] (b) Угол в 2 радиана имеет длину дуги [латекс] \, s = 2r. \, [/ Latex] (c) Полный оборот составляет [латекс] \, 2 \ pi, [/ latex] или около 6,28 радиана.

Чтобы развить эту идею, рассмотрим две окружности, одну с радиусом 2, а другую с радиусом 3. Напомним, что длина окружности [латекс] \, C = 2 \ pi r, [/ latex], где [латекс] \ , г \, [/ латекс] — радиус.Тогда меньший круг имеет окружность [латекс] \, 2 \ pi \ left (2 \ right) = 4 \ pi \, [/ latex], а больший круг имеет окружность [латекс] \, 2 \ pi \ left (3 \ right ) = 6 \ pi. \, [/ Latex] Теперь нарисуем угол [латекс] \, 45 ° \, [/ latex] на двух окружностях, как на (Рисунок).

Рис. 13. Угол [латекс] \, 45 ° \, [/ латекс] содержит одну восьмую окружности окружности, независимо от радиуса.

Обратите внимание, что произойдет, если мы найдем отношение длины дуги к радиусу круга.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ text {Меньший круг:} \ frac {\ frac {1} {2} \ pi} {2} & = & \ frac {1} {4} \ pi \ \ \ text {Большой круг:} \ frac {\ frac {3} {4} \ pi} {3} & = & \ frac {1} {4} \ pi \ end {array} [/ latex]

Поскольку оба соотношения равны [latex] \, \ frac {1} {4} \ pi, [/ latex], угловые размеры обеих окружностей одинаковы, даже несмотря на то, что длина и радиус дуги различаются.

Радианы

Один радиан — это мера центрального угла окружности, при которой длина дуги между начальной и конечной сторонами равна радиусу окружности. Полный оборот [латекс] \, \ влево (360 ° \ вправо) \, [/ латекс] равен [латексу] \, 2 \ pi \, [/ latex] радианам. Половина оборота [латекс] \, \ влево (180 ° \ вправо) \, [/ латекс] эквивалентна [латексу] \, \ pi \, [/ latex] радианам.

Радианная мера угла — это отношение длины дуги, образуемой этим углом, к радиусу окружности.Другими словами, если [латекс] \, s \, [/ латекс] — длина дуги круга, а [латекс] \, r \, [/ латекс] — радиус круга, то центральный Угол, содержащий эту дугу, измеряет [latex] \, \ frac {s} {r} \, [/ latex] радианы. В круге радиуса 1 радианная мера соответствует длине дуги.

Измерение в 1 радиан выглядит примерно [латекс] \, 60 °. \, [/ Латекс] Это верно?

Да. Это примерно [латекс] \, 57,3 °. \, [/ Latex] Потому что [латекс] \, 2 \ pi \, [/ latex] радиан равны [латекс] 360 °, 1 [/ латекс] радиан равняется [латекс] \, \ frac {360 °} {2 \ pi} \ приблизительно 57.3 °. [/ Латекс]

Использование радианов

Поскольку радиан представляет собой отношение двух длин, это безразмерная мера. Например, на (Рисунок) предположим, что радиус составляет 2 дюйма, а расстояние по дуге также составляет 2 дюйма. Когда мы вычисляем радианную меру угла, «дюймы» отменяются, и мы получаем результат без единиц измерения. Следовательно, нет необходимости писать метку «радианы» после радианной меры, и если мы видим угол, который не отмечен «градусами» или символом градуса, мы можем предположить, что это радианная мера.

Рассматривая самый простой случай, единичный круг (круг с радиусом 1), мы знаем, что 1 поворот равен 360 градусов, [латекс] \, 360 °. [/ Latex] Мы также можем отследить один поворот вокруг круга, найдя окружность, [латекс] \, C = 2 \ pi r, [/ latex] и для единичного круга [латекс] \, C = 2 \ pi. \, [/ latex] Эти два разных способа вращения вокруг круга дайте нам возможность конвертировать градусы в радианы.

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ hfill \ text {1 вращение} & = & 360 ° \ hfill & = & 2 \ pi \ text {радианы} \ hfill \\ \ hfill \ frac {1} { 2} \ text {вращение} & = & 180 ° \ hfill & = & \ pi \ text {радианы} \ hfill \\ \ hfill \ frac {1} {4} \ text {вращение} & = & 90 ° \ hfill & = & \ frac {\ pi} {2} \ text {радианы} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Определение особых углов, измеренных в радианах

Помимо знания измерений в градусах и радианах четверти оборота, половины оборота и полного оборота, есть и другие часто встречающиеся углы в одном обороте окружности, с которыми мы должны быть знакомы.Часто встречаются кратные 30, 45, 60 и 90 градусов. Эти значения показаны на (Рисунок). Запоминание этих углов будет очень полезно при изучении свойств, связанных с углами.

Рис. 14. Часто встречающиеся углы, измеряемые в градусах

Теперь мы можем перечислить соответствующие значения в радианах для общих мер круга, соответствующие тем, которые перечислены на (Рисунок), которые показаны на (Рисунок). Убедитесь, что вы можете проверить каждую из этих мер.

Рис. 15. Часто встречающиеся углы, измеряемые в радианах

Нахождение меры радиана

Найдите одну треть полного оборота в радианах.

Показать решение

Для любой окружности длина дуги при таком повороте составляла бы одну треть окружности. Мы знаем, что

[латекс] 1 \ text {вращение} = 2 \ pi r [/ латекс]

Итак,

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill s & = & \ frac {1} {3} \ left (2 \ pi r \ right) \ hfill \\ & = \ hfill & \ frac {2 \ pi r} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Радиан представляет собой длину дуги, деленную на радиус.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ text {радианная мера} & = & \ frac {\ frac {2 \ pi r} {3}} {r} \ hfill \\ & = & \ frac {2 \ pi r} {3r} \ hfill \\ & = & \ frac {2 \ pi} {3} \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Найдите три четверти полного оборота в радианах.

Показать решение

[латекс] \ frac {3 \ pi} {2} [/ латекс]

Преобразование радианов в градусы

Поскольку градусы и радианы измеряют углы, нам нужно иметь возможность конвертировать между ними.{R}}} {\ pi} [/ латекс]

Эта пропорция показывает, что величина угла [латекс] \, \ theta \, [/ latex] в градусах, деленная на 180, равна измерению угла [latex] \, \ theta \, [/ latex] в радианах, деленному на [ latex] \, \ pi. \, [/ latex] Другими словами, градусы равны 180, а радианы — [latex] \, \ pi. [/ latex]

[латекс] \ frac {\ text {Degrees}} {180} = \ frac {\ text {Radians}} {\ pi} [/ latex]

Преобразование радианов в градусы

Чтобы преобразовать градусы в радианы, используйте пропорцию

.

[латекс] \ frac {\ theta} {180} = \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi} [/ латекс]

Преобразование радианов в градусы

Преобразование радианов в градусы.

  1. [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс]
  2. 3
Показать решение

Поскольку нам даны радианы и нам нужны градусы, мы должны установить пропорцию и решить ее.

  1. Используем пропорции, подставляя данную информацию.

    [латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ frac {\ theta} {180} & = & \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ frac {\ theta} {180} & = & \ frac {\ frac {\ pi} {6}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ theta & = & \ frac {180} {6} \ hfill \\ \ hfill \ theta & = & 30 ° \ hfill \ end {array} [/ latex]

  2. Используем пропорцию, подставляя данную информацию.{R}}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ frac {\ theta} {180} & = & \ frac {3} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ theta & = & \ frac { 3 \ left (180 \ right)} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ theta & \ приблизительно & 172 ° \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Преобразовать [латекс] \, — \ frac {3 \ pi} {4} \, [/ latex] радианы в градусы.

Преобразование градусов в радианы

Преобразование [латексных] \, 15 \, [/ латексных] градусов в радианы.

Показать решение

В этом примере мы начинаем с градусов и хотим радиан, поэтому мы снова устанавливаем пропорцию, но подставляем данную информацию в другую часть пропорции.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ frac {\ theta} {180} & = & \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ frac {15} {180} & = & \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ frac {15 \ pi} {180} & = & {\ theta} _ { R} \ hfill \\ \ hfill \ frac {\ pi} {12} & = & {\ theta} _ {R} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ

Другой способ подумать об этой проблеме — вспомнить, что [latex] \, 30 ° = \ frac {\ pi} {6}. \, [/ Latex], потому что [latex] \, 15 ° = \ frac {1} {2} \ left (30 ° \ right), [/ latex] мы можем найти, что [latex] \, \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \, [/ latex] — это [latex] \, \ frac {\ pi} {12}.[/ латекс]

Попробуйте

Преобразовать [латекс] \, 126 ° \, [/ латекс] в радианы.

Показать решение

[латекс] \ frac {7 \ pi} {10} [/ латекс]

Нахождение концевых углов

Преобразование между градусами и радианами может упростить работу с углами в некоторых приложениях. Для других приложений нам может потребоваться другой тип преобразования. Отрицательные углы и углы, превышающие полный оборот, труднее работать, чем углы в диапазоне от [латекс] \, 0 ° \, [/ латекс] до [латекс] \, 360 °, [/ латекс] или [латекс] ] \, 0 \, [/ латекс] в [латекс] \, 2 \ пи.\, [/ latex] Было бы удобно заменить эти углы вне диапазона на соответствующий угол в пределах одного оборота.

Может быть более одного угла иметь одну и ту же сторону вывода. Посмотрите на (рисунок). Угол [латекса] \, 140 ° \, [/ латекса] — положительный угол, измеренный против часовой стрелки. Угол [латекса] \, — 220 ° \, [/ латекса] — отрицательный угол, измеренный по часовой стрелке. Но оба угла имеют одинаковую конечную сторону. Если два угла в стандартном положении имеют одну и ту же конечную сторону, они являются концевыми углами.Каждый угол больше, чем [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] или меньше, чем [латекс] \, 0 ° \, [/ латекс], совпадает с углом между [латексом] \, 0 ° \, [/ латекс] и [латекс] \, 360 °, [/ латекс], и часто удобнее найти угол котерминала в диапазоне от [латекс] \, 0 ° \, [/ латекс] до [латекс] \, 360 ° \, [/ latex], чем работать с углом, выходящим за пределы этого диапазона.

Рис. 16. Угол [латекс] \, 140 ° \, [/ латекс] и угол [латекс] \, — 220 ° \, [/ латекс] являются котерминальными углами.

Любой угол имеет бесконечно много концевых углов, потому что каждый раз, когда мы добавляем [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] к этому углу — или вычитаем из него [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] — полученный value имеет терминальную сторону в том же месте.Например, по этой причине [латекс] \, \ text {100 °} \, [/ latex] и [latex] \, \ text {460 °} \, [/ latex] являются концевыми, как и [латекс] \ , -260 °. \, [/ Латекс]

Базовый угол угла — это мера наименьшего положительного острого угла [латекс] \, t \, [/ латекс], образованного конечной стороной угла [латекс] \, t \, [/ латекс] и Горизонтальная ось. Таким образом, положительные опорные углы имеют концевые стороны, которые лежат в первом квадранте, и могут использоваться в качестве моделей для углов в других квадрантах. См. (Рисунок) примеры исходных углов для углов в различных квадрантах.{\ prime}, [/ latex] образованы конечной стороной угла [latex] \, t \, [/ latex] и горизонтальной осью.

Как к

Если задан угол больше, чем [латекс] \, 360 °, [/ латекс], найдите внутренний угол между [латексом] \, 0 ° \, [/ латексом] и [латексом] \, 360 ° [/ латекс]

  1. Вычтите [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] из заданного угла.
  2. Если результат все еще больше [латекс] \, 360 °, [/ латекс], вычтите [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] еще раз, пока результат не окажется между [латекс] \, 0 ° \, [ / латекс] и [латекс] \, 360 °.[/ латекс]
  3. Полученный угол совпадает с исходным углом.

Нахождение углового терминала с углом измерения больше, чем [латекс] \, 360 ° [/ латекс]

Найдите наименьший положительный угол [латекс] \, \ тета \, [/ латекс], который совпадает с углом измерения [латекс] \, 800 °, [/ латекс], где [латекс] \, 0 ° \ ле \ тета <360 °. [/ Латекс]

Показать решение

Угол с мерой [латекс] \, 800 ° \, [/ латекс] совпадает с углом с размером [латекс] \, 800-360 = 440 °, [/ латекс] но [латекс] \, 440 ° \ , [/ latex] по-прежнему больше, чем [latex] \, 360 °, [/ latex], поэтому мы снова вычитаем [latex] \, 360 ° \, [/ latex], чтобы найти другой котерминальный угол: [latex] \, 440 -360 = 80 °.[/ латекс]

Угол [латекс] \, \ theta = 80 ° \, [/ latex] совпадает с [латексом] \, 800 °. \, [/ Latex] Другими словами, [латекс] \, 800 ° \ , [/ latex] равно [latex] \, 80 ° \, [/ latex] плюс два полных поворота, как показано на (Рисунок).

Рисунок 18.

Попробуйте

Найдите угол [латекс] \, \ альфа \, [/ латекс], который совпадает с углом измерения [латекс] \, 870 °, [/ латекс], где [латекс] \, 0 ° \ le \ alpha <360 °. [/ Латекс]

Показать решение

[латекс] \ альфа = 150 ° [/ латекс]

Как к

Для заданного угла с мерой меньше [латекс] \, 0 °, [/ latex] найдите внутренний угол, имеющий меру между [латексом] \, 0 ° \, [/ latex] и [латексом] \, 360 °. .[/ латекс]

  1. Добавьте [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] к заданному углу.
  2. Если результат по-прежнему меньше [латекс] \, 0 °, [/ latex], добавьте [latex] \, 360 ° \, [/ latex] еще раз, пока результат не окажется между [latex] \, 0 ° \, [ /latex visibleand [латекс ]\ 360 ° [/ латекс]
  3. Полученный угол совпадает с исходным углом.

Нахождение углового терминала с углом меньше [латекс] \, 0 ° [/ латекс]

Покажите угол с мерой [latex] \, — 45 ° \, [/ latex] на окружности и найдите положительный угол на конце [латекс] \, \ alpha \, [/ latex], такой, что [latex] \, 0 ° \ le \ alpha <360 °.[/ латекс]

Показать решение

Поскольку [латекс] \, 45 ° \, [/ latex] составляет половину [латекса] \, 90 °, [/ latex], мы можем начать с положительной горизонтальной оси и измерить по часовой стрелке половину [латекса] \, 90 ° \, угол [/ латекс].

Поскольку мы можем найти концевые углы путем добавления или вычитания полного поворота [latex] \, 360 °, [/ latex], мы можем найти здесь положительный котерминальный угол, добавив [latex] \, 360 °. [/ Latex]

[латекс] -45 ° + 360 ° = 315 ° [/ латекс]

Затем мы можем показать угол на окружности, как на (Рисунок).

Рисунок 19.

Попробуйте

Найдите угол [латекс] \, \ beta \, [/ латекс], который совпадает с углом измерения [латекс] \, — 300 ° \, [/ латекс], такой, что [латекс] \, 0 ° \ le \ бета <360 °. [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ beta = 60 ° [/ латекс]

Нахождение концевых углов, измеренных в радианах

Мы можем найти концевые углы, измеренные в радианах, почти так же, как мы нашли их в градусах. В обоих случаях мы находим концевые углы, добавляя или вычитая один или несколько полных оборотов.

Как к

Если задан угол больше, чем [латекс] \, 2 \ pi, [/ latex], найдите внутренний угол между 0 и [латекс] \, 2 \ pi. [/ Latex]

  1. Вычтите [латекс] \, 2 \ pi \, [/ латекс] из заданного угла.
  2. Если результат все еще больше, чем [latex] \, 2 \ pi, [/ latex], вычтите [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] еще раз, пока результат не окажется между [latex] \, 0 \, [/ латекс] и [латекс] \, 2 \ пи. [/ латекс]
  3. Полученный угол совпадает с исходным углом.

Нахождение конерминальных углов с помощью радианов

Найдите угол [latex] \, \ beta \, [/ latex], который совпадает с [latex] \, \ frac {19 \ pi} {4}, [/ latex], где [latex] \, 0 \ le \ бета <2 \ пи.[/ латекс]

Показать решение

При работе в градусах мы нашли концевые углы путем добавления или вычитания 360 градусов, полного поворота. Точно так же в радианах мы можем найти концевые углы, добавляя или вычитая полные обороты [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] радиан:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ frac {19 \ pi} {4} -2 \ pi & = & \ frac {19 \ pi} {4} — \ frac {8 \ pi} { 4} \ hfill \\ & = & \ frac {11 \ pi} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Угол [латекс] \, \ frac {11 \ pi} {4} \, [/ latex] на одном конце, но не меньше, чем [latex] \, 2 \ pi, [/ latex], поэтому мы вычитаем еще один поворот.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ frac {11 \ pi} {4} -2 \ pi & = & \ frac {11 \ pi} {4} — \ frac {8 \ pi} { 4} \ hfill \\ & = & \ frac {3 \ pi} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Угол [латекс] \, \ frac {3 \ pi} {4} \, [/ latex] совпадает с [латексом] \, \ frac {19 \ pi} {4}, [/ latex], как показано на (Фигура).

Рисунок 20.

Попробуйте

Найдите угол измерения [латекс] \, \ theta \, [/ latex], который совпадает с углом измерения [латекс] \, — \ frac {17 \ pi} {6} \, [/ latex] где [латекс] \, 0 \ ле \ тета <2 \ пи.[/ латекс]

Показать решение

[латекс] \, \ frac {7 \ pi} {6} \, [/ латекс]

Определение длины дуги

Напомним, что радианная мера [латекс] \, \ тета \, [/ латекс] угла была определена как отношение длины дуги [латекс] \, s \, [/ латекс] дуги окружности к радиусу [latex] \, r \, [/ latex] круга, [latex] \, \ theta = \ frac {s} {r}. \, [/ latex] Из этого соотношения мы можем найти длину дуги вдоль круг, заданный под углом.

Длина дуги на окружности

В круге радиусом r показана длина дуги [латекс] \, s \, [/ latex], образуемая углом с размером [латекс] \, \ theta \, [/ latex] в радианах. в (рисунок) —

[латекс] s = r \ theta [/ латекс]

Рисунок 21.

Как к

Дан круг радиуса [латекс] \, r, [/ латекс] вычислить длину [латекс] \, s \, [/ латекс] дуги, образованной заданным углом измерения [латекс] \, \ theta . [/ латекс]

  1. При необходимости преобразуйте [латекс] \, \ theta \, [/ latex] в радианы.
  2. Умножьте радиус [латекс] \, r \, \, \ theta: s = r \ theta. [/ Latex]

Определение длины дуги

Предположим, что орбита Меркурия вокруг Солнца представляет собой идеальный круг.Меркурий находится примерно в 36 миллионах миль от Солнца.

  1. За один земной день Меркурий совершает 0,0114 своего полного обращения. Сколько миль он преодолевает за день?
  2. Используйте свой ответ из части (а), чтобы определить радианную меру движения Меркурия за один земной день.
Показать решение
  1. Начнем с определения окружности орбиты Меркурия.

    [латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill C & = & 2 \ pi r \ hfill \\ & = & 2 \ pi \ left (\ text {36 миллионов миль} \ right) \ hfill \\ & \ приблизительно & \ text {226 миллионов миль} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Поскольку Меркурий завершает 0.0114 его полного обращения за один земной день, теперь мы можем найти пройденное расстояние.

    [латекс] \ left (0,0114 \ right) 226 \ text {миллион миль = 2} \ text {0,58 миллиона миль} [/ latex]

  2. Теперь конвертируем в радианы.

    [латекс] \ begin {массив} {ccc} \ hfill \ text {radian} & = & \ frac {\ text {arclength}} {\ text {radius}} \ hfill \\ & = & \ frac {2. \ text {58 миллионов миль}} {36 \ text {миллионов миль}} \ hfill \\ & = & 0,0717 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Найдите длину дуги вдоль круга радиусом 10 единиц, ограниченного углом [латекс] \, 215 °.{2}. \, [/ Latex] Если два радиуса образуют угол [латекс] \, \ theta, [/ latex], измеренный в радианах, то [latex] \, \ frac {\ theta} {2 \ pi } \, [/ latex] — это отношение угловой меры к величине полного поворота, а также, следовательно, отношение площади сектора к площади круга. Таким образом, площадь сектора представляет собой дробь [latex] \, \ frac {\ theta} {2 \ pi} \, [/ latex], умноженную на всю площадь. (Всегда помните, что эта формула применима, только если [latex] \, \ theta \, [/ latex] выражено в радианах.{2} [/ латекс]

См. (Рисунок).

Рисунок 22. {2} \ hfill \\ & \ приблизительно & 104.{2}. [/ Латекс]

Попробуйте

При центральном круговом орошении большая оросительная труба на колесах вращается вокруг центральной точки. У фермера есть центральная система поворота с радиусом 400 метров. Если водные ограничения позволяют ей поливать только 150 тысяч квадратных метров в день, под каким углом она должна установить систему для покрытия? Запишите ответ в радианах с точностью до двух десятичных знаков.

Использование линейной и угловой скорости для описания движения по круговой траектории

Помимо определения площади сектора, мы можем использовать углы для описания скорости движущегося объекта.У объекта, движущегося по круговой траектории, есть два типа скорости. Линейная скорость — это скорость по прямой траектории, которая может определяться расстоянием, по которому она движется (ее перемещением) в заданный интервал времени. Например, если колесо с радиусом 5 дюймов вращается раз в секунду, точка на краю колеса перемещается на расстояние, равное окружности, или [латекс] \, 10 \ pi \, [/ латекс] дюймов, каждую секунду. . Таким образом, линейная скорость точки составляет [латекс] \, 10 \ пи \, [/ латекс] дюйм / с. Уравнение для линейной скорости выглядит следующим образом, где [латекс] \, v \, [/ латекс] — линейная скорость, [латекс] \, s \, [/ латекс] — смещение, а [латекс] \, t \, [ / латекс] — время.

[латекс] v = \ frac {s} {t} [/ латекс]

Угловая скорость является результатом кругового движения и может быть определена углом, на который точка вращается в заданный интервал времени. Другими словами, угловая скорость — это угловое вращение в единицу времени. Так, например, если шестерня совершает полный оборот каждые 4 секунды, мы можем вычислить ее угловую скорость как [latex] \, \ frac {360 \ text {градусы}} {4 \ text {секунды}} = [/ latex ] 90 градусов в секунду. Угловая скорость может быть выражена, например, в радианах в секунду, оборотах в минуту или градусах в час.Уравнение для угловой скорости выглядит следующим образом, где [latex] \, \ omega \, [/ latex] (читается как omega) — угловая скорость, [latex] \, \ theta \, [/ latex] — пройденный угол, и [латекс] \, t \, [/ latex] — время.

[латекс] \ omega = \ frac {\ theta} {t} [/ латекс]

Комбинируя определение угловой скорости с уравнением длины дуги, [латекс] \, s = r \ theta, [/ latex], мы можем найти взаимосвязь между угловой и линейной скоростями. Уравнение угловой скорости может быть решено для [latex] \, \ theta, [/ latex], давая [latex] \, \ theta = \ omega t.[/ latex] Подставляя это в уравнение длины дуги, получаем:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill s & = & r \ theta \ hfill \\ & = & r \ omega t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Подставляя это в уравнение линейной скорости, получаем:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill v & = & \ frac {s} {t} \ hfill \\ & = & \ frac {r \ omega t} {t} \ hfill \\ & = & r \ omega \ hfill \ end {array} [/ latex]

Угловая и линейная скорость

Когда точка движется по окружности радиуса [латекс] \, r, [/ латекс], ее угловая скорость, [латекс] \, \ omega, [/ latex] — это угловое вращение [латекс] \, \ theta \, [/ латекс] в единицу времени, [латекс] \, т.е.[/ латекс]

[латекс] \ omega = \ frac {\ theta} {t} [/ латекс]

Линейная скорость [latex] \, v, [/ latex] точки может быть найдена как пройденное расстояние, длина дуги [latex] \, s, [/ latex] в единицу времени, [latex] \, t . [/ латекс]

[латекс] v = \ frac {s} {t} [/ латекс]

Когда угловая скорость измеряется в радианах в единицу времени, линейная скорость и угловая скорость связаны уравнением

[латекс] v = r \ omega [/ латекс]

Это уравнение утверждает, что угловая скорость в радианах, [латекс] \, \ omega, [/ latex], представляющая величину вращения, происходящего в единицу времени, может быть умножена на радиус [латекс] \, r \, [ / latex] для расчета общей длины дуги, пройденной за единицу времени, что является определением линейной скорости.

Как к

Зная угол поворота и прошедшее время, вычислите угловую скорость.

  1. При необходимости преобразуйте угол в радианы.
  2. Разделите угол в радианах на количество прошедших единиц времени: [latex] \, \ omega = \ frac {\ theta} {t}. [/ Latex]
  3. Результирующая скорость будет в радианах за единицу времени.

Определение угловой скорости

Гидравлическое колесо, показанное на (Рисунок), совершает 1 оборот каждые 5 секунд.Найдите угловую скорость в радианах в секунду.

Рисунок 24.

Показать решение

Колесо совершает 1 оборот или проходит под углом [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] радиан за 5 секунд, поэтому угловая скорость будет [latex] \, \ omega = \ frac {2 \ pi} {5} \ приблизительно 1,257 \, [/ latex] радиан в секунду.

Попробуйте

Старая виниловая пластинка проигрывается на проигрывателе, вращающемся по часовой стрелке со скоростью 45 оборотов в минуту. Найдите угловую скорость в радианах в секунду.

Показать решение

[латекс] \ frac {-3 \ pi} {2} \, [/ latex] рад / с

Как к

Зная радиус круга, угол поворота и продолжительность прошедшего времени, определите линейную скорость.

  1. При необходимости преобразуйте общее вращение в радианы.
  2. Разделите общее вращение в радианах на прошедшее время, чтобы найти угловую скорость: apply [latex] \, \ omega = \ frac {\ theta} {t}. [/ Latex]
  3. Умножьте угловую скорость на длину радиуса, чтобы найти линейную скорость, выраженную в единицах длины, используемых для радиуса, и единицах времени, используемых для истекшего времени: apply [latex] \, v = r \ omega.[/ латекс]

Определение линейной скорости

Велосипед имеет колеса диаметром 28 дюймов. Тахометр определяет, что колеса вращаются со скоростью 180 об / мин (оборотов в минуту). Найдите скорость, с которой велосипед движется по дороге.

Показать решение

Здесь у нас есть угловая скорость, и нам нужно найти соответствующую линейную скорость, поскольку линейная скорость внешней стороны шин — это скорость, с которой велосипед движется по дороге.

Начнем с преобразования числа оборотов в минуту в радианы в минуту.Для этого преобразования может быть полезно использовать единицы измерения:

[латекс] 180 \ frac {\ overline {) \ text {rotations}}} {\ text {minute}} \ cdot \ frac {2 \ pi \, \ text {радианы}} {\ overline {) \ text { вращение}}} = 360 \ pi \ frac {\ text {радианы}} {\ text {minute}} [/ latex]

Используя приведенную выше формулу вместе с радиусом колес, мы можем найти линейную скорость:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill v & = & \ left (\ text {14 дюймов} \ right) \ left (360 \ pi \ frac {\ text {радианы}} {\ text {minute} } \ right) \ hfill \\ & = & 5040 \ pi \ frac {\ text {дюймы}} {\ text {minute}} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Помните, что радианы — это безразмерная мера, поэтому включать их не обязательно.

Наконец, мы можем захотеть преобразовать эту линейную скорость в более привычное измерение, например мили в час.

[латекс] 5040 \ pi \ frac {\ overline {) \ text {дюймы}}} {\ overline {) \ text {minute}}} \ cdot \ frac {\ text {1} \ overline {) \ text { футов}}} {\ text {12} \ overline {) \ text {дюймы}}} \ cdot \ frac {\ text {1 миля}} {\ text {5280} \ overline {) \ text {ft}}} \ cdot \ frac {\ text {60} \ overline {) \ text {minutes}}} {\ text {1 час}} \ приблизительно 14,99 \ text {миль в час (миль в час)} [/ latex]

Попробуйте

Спутник вращается вокруг Земли в 0.{2} [/ латекс] угловая скорость [латекс] \ omega = \ frac {\ theta} {t} [/ латекс] линейная скорость [латекс] v = \ frac {s} {t} [/ латекс] линейная скорость, связанная с угловой скоростью [латекс] v = r \ omega [/ латекс]

Ключевые понятия

  • Угол образуется из объединения двух лучей, если начальная сторона остается фиксированной, а конечная сторона вращается. Величина поворота определяет меру угла.
  • Угол находится в стандартном положении, если его вершина находится в начале координат, а его начальная сторона лежит вдоль положительной оси x . Положительный угол измеряется против часовой стрелки от начальной стороны, а отрицательный угол — по часовой стрелке.
  • Чтобы нарисовать угол в стандартном положении, начертите начальную сторону вдоль положительной оси x , а затем поместите конечную сторону в соответствии с долей полного поворота, которую представляет угол. См. (Рисунок).
  • Помимо градусов, угол может быть выражен в радианах.См. (Рисунок).
  • Чтобы преобразовать градусы в радианы, используйте пропорцию [latex] \, \ frac {\ theta} {180} = \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi}. \, [/ Latex] См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Два угла с одной и той же конечной стороной называются концевыми углами.
  • Мы можем найти концевые углы, добавляя или вычитая [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] или [латекс] \, 2 \ пи. \, [/ Латекс] См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Coterminal углы можно найти в радианах так же, как и в градусах.См. (Рисунок).
  • Длина дуги окружности составляет часть окружности всей окружности. См. (Рисунок).
  • Площадь сектора — это часть площади всего круга. См. (Рисунок).
  • Объект, движущийся по круговой траектории, имеет как линейную, так и угловую скорость.
  • Угловая скорость объекта, движущегося по круговой траектории, является мерой угла, на который он поворачивается за единицу времени. См. (Рисунок).
  • Линейная скорость объекта, движущегося по круговой траектории, — это расстояние, которое он проходит за единицу времени.См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Начертите угол в стандартном положении. Обозначьте вершину, начальную и конечную стороны.

Показать решение

Объясните, почему существует бесконечное количество углов, которые совпадают с определенным углом.

Укажите, что означает положительный или отрицательный угол, и объясните, как их рисовать.

Показать решение

Направление определяется положительным или отрицательным углом.Положительный угол рисуется против часовой стрелки, а отрицательный угол — по часовой стрелке.

Как соотносится угол в радианах с градусами? Включите в свой абзац объяснение 1 радиан.

Объясните разницу между линейной скоростью и угловой скоростью при описании движения по круговой траектории.

Показать решение

Линейная скорость — это величина, полученная путем вычисления расстояния дуги по сравнению со временем.Угловая скорость — это величина, которая определяется путем вычисления угла дуги по сравнению со временем.

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте угол в стандартном положении с заданной мерой.

Показать решение

Показать решение

[латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ латекс]

[латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]

[латекс] — \ frac {\ pi} {10} [/ латекс]

Показать решение

Показать решение

[латекс] 240 ° [/ латекс]

[латекс] \ frac {22 \ pi} {3} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

[латекс] — \ frac {\ pi} {6} [/ латекс]

[латекс] — \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

Для следующих упражнений см. (Рисунок).{2} [/ латекс]

Алгебраический

Для следующих упражнений преобразуйте углы в радианах в градусы.

[латекс] \ frac {3 \ pi} {4} \, [/ latex] радианы

[латекс] \ frac {\ pi} {9} \, [/ latex] радиан

[латекс] — \ frac {5 \ pi} {4} \, [/ latex] радианы

[латекс] \ frac {\ pi} {3} \, [/ latex] радиан

[латекс] — \ frac {7 \ pi} {3} \, [/ latex] радианы

[латекс] — \ frac {5 \ pi} {12} \, [/ latex] радианы

[латекс] \ frac {11 \ pi} {6} \, [/ latex] радиан

Для следующих упражнений преобразуйте углы из градусов в радианы.

Показать решение

[латекс] \ frac {\ pi} {2} \, [/ latex] радиан

Показать решение

[латекс] -3 \ pi \, [/ latex] радиан

Показать решение

[латекс] \ пи \, [/ латекс] радиан

Показать решение

[латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ latex] радиан

Для следующих упражнений используйте данную информацию, чтобы найти длину дуги окружности. Округлить до двух десятичных знаков.

Найдите длину дуги круга радиусом 12 дюймов, ограниченного центральным углом [латекс] \, \ frac {\ pi} {4}.\, [/ latex] радианы.

Найдите длину дуги окружности радиусом 5,02 мили, образуемой центральным углом [latex] \, \ frac {\ pi} {3}. [/ Latex]

Показать решение

[латекс] \ frac {5.02 \ pi} {3} \ приблизительно 5,26 \, [/ латекс] миль

Найдите длину дуги окружности диаметром 14 метров, образуемой центральным углом [latex] \, \ frac {5 \ pi} {6}. [/ Latex]

Найдите длину дуги круга радиусом 10 сантиметров, ограниченного центральным углом [латекса] \, 50 °.[/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {25 \ pi} {9} \ приблизительно 8,73 \, [/ латекс] см

Найдите длину дуги окружности радиусом 5 дюймов, образуемой центральным углом [латекс] \, 220 °. [/ Latex]

Найдите длину дуги окружности диаметром 12 метров, образуемой центральным углом [латекс] \, 63 °. [/ Латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {21 \ pi} {10} \ приблизительно 6,60 \, [/ латекс] метров

Для следующих упражнений используйте данную информацию, чтобы найти площадь сектора.Округлить до четырех знаков после запятой.

Сектор круга имеет центральный угол [латекс] \, 45 ° \, [/ латекс] и радиус 6 см.

Сектор круга имеет центральный угол [латекс] \, 30 ° \, [/ латекс] и радиус 20 см.

Сектор круга диаметром 10 футов и углом [latex] \, \ frac {\ pi} {2} \, [/ latex] радиан.

Сектор круга радиусом 0,7 дюйма и углом [латекс] \, \ пи \, [/ латекс] радиан.

Для следующих упражнений найдите угол между [латексом] \, 0 ° \, [/ латексом] и [латексом] \, 360 ° \, [/ латексом], который совпадает с заданным углом.

Для следующих упражнений найдите угол между 0 и [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] в радианах, который является на конце заданным углом.

[латекс] — \ frac {\ pi} {9} [/ латекс]

[латекс] \ frac {10 \ pi} {3} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

[латекс] \ frac {13 \ pi} {6} [/ латекс]

[латекс] \ frac {44 \ pi} {9} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {8 \ pi} {9} [/ латекс]

Реальные приложения

Грузовик с колесами диаметром 32 дюйма движется со скоростью 60 миль / ч.Найдите угловую скорость колес в рад / мин. Сколько оборотов в минуту делают колеса?

Велосипед с колесами диаметром 24 дюйма движется со скоростью 15 миль / ч. Найдите угловую скорость колес в рад / мин. Сколько оборотов в минуту делают колеса?

Показать решение

[латекс] 1320 \, [/ латекс] рад / мин [латекс] \, 210.085 \, [/ латекс] об / мин

Колесо радиусом 8 дюймов вращается со скоростью 15 ° / с. Что такое линейная скорость [latex] \, v, [/ latex], угловая скорость в об / мин и угловая скорость в рад / с?

Колесо радиусом [латекс] \, 14 \, [/ латекс] дюймов вращается [латекс] \, 0.5 \, [/ латекс] рад / с. Что такое линейная скорость [latex] \, v, [/ latex], угловая скорость в об / мин и угловая скорость в град / с?

Показать решение

[латекс] 7 \, [/ латекс] дюйм / с, 4,77 об / мин, [латекс] \, 28,65 \, [/ латекс] град / с

CD имеет диаметр 120 миллиметров. При воспроизведении звука угловая скорость изменяется, чтобы поддерживать постоянную линейную скорость в месте чтения диска. При чтении по внешнему краю диска угловая скорость составляет около 200 об / мин (оборотов в минуту). Найдите линейную скорость.

При записи на записываемый привод CD-R угловая скорость компакт-диска часто намного выше, чем при воспроизведении звука, но угловая скорость по-прежнему изменяется, чтобы поддерживать постоянную линейную скорость в том месте, где записывается диск. При записи по внешнему краю диска угловая скорость одного привода составляет около 4800 об / мин (оборотов в минуту). Найдите линейную скорость, если диаметр компакт-диска составляет 120 миллиметров.

Показать решение

[латекс] 1 809 557,37 \ text {мм / мин} = 30,16 \ text {м / с} [/ латекс]

Человек стоит на экваторе Земли (радиус 3960 миль).Каковы его линейная и угловая скорости?

Найдите расстояние по дуге на поверхности Земли, которая образует центральный угол 5 минут

[латекс] \ left (1 \ text {minute} = \ frac {1} {60} \ text {степень} \ right) [/ latex]. Радиус Земли составляет 3960 миль.

Показать решение

[латекс] 5,76 \, [/ латекс] миль

Найдите расстояние по дуге на поверхности Земли, которая образует центральный угол в 7 минут

[латекс] \ left (1 \ text {minute} = \ frac {1} {60} \ text {степень} \ right) [/ latex].Радиус Земли составляет [латекс] \, 3960 \, [/ латекс] миль.

Рассмотрим часы с часовой и минутной стрелками. Каков угол наклона минутной стрелки в [латексных] \, 20 \, [/ латексных] минутах?

Добавочные номера

Два города имеют одинаковую долготу. Широта города A составляет 9 градусов северной широты, а широта города B — 30 градусов северной широты. Предположим, что радиус Земли составляет 3960 миль. Найдите расстояние между двумя городами.

Город расположен на 40 градусе северной широты.Предположим, что радиус Земли составляет 3960 миль, а Земля вращается каждые 24 часа. Найдите линейную скорость человека, проживающего в этом городе.

Город расположен на 75 градусе северной широты. Предположим, что радиус Земли составляет 3960 миль, а Земля вращается каждые 24 часа. Найдите линейную скорость человека, проживающего в этом городе.

Найдите линейную скорость Луны, если среднее расстояние между Землей и Луной составляет 239 000 миль, предполагая, что орбита Луны круговая и требует около 28 дней.Экспресс-ответ в милях в час.

Велосипед имеет колеса диаметром 28 дюймов. Тахометр определяет, что колеса вращаются со скоростью 180 об / мин (оборотов в минуту). Найдите скорость, с которой велосипед движется по дороге.

Автомобиль проезжает 3 мили. Его шины совершают 2640 оборотов. Какой радиус шины в дюймах?

Колесо трактора имеет диаметр 24 дюйма. Сколько оборотов делает колесо, если трактор проезжает 4 мили?

Градус

Градус — это единица измерения, обозначаемая символом °, используемая для обозначения угла в плоскости.Угол, равный 1 °, считывается 1 градус, равен одному полному обороту угла вокруг его вершины. На диаграмме ниже видно, что поворот конечной стороны угла против часовой стрелки образует круговую траекторию для угла.

Один полный оборот эквивалентен 360 °. Четверть оборота дает угол в 90 °, а половина оборота дает угол 180 °. Хотя углы могут иметь размеры больше, чем показано, выполняя несколько вращений, при изучении геометрии мы в основном будем смотреть только на углы до 360 °.

Знаете ли вы?

Углы могут иметь и другие единицы измерения. Углы могут быть измерены в радианах, что позволяет сравнить длину дуги, полученную при повороте угла, с радиусом окружности. Угол, который составляет 180 °, имеет размер π радиан. Еще одна единица измерения угла называется уклоном. Его также можно назвать уклоном, уклоном, уклоном, основным падением, тангажем или подъемом. Наклон угла измеряет отношение вертикального расстояния к горизонтальному расстоянию на конечном конце угла.Наклон часто представлен в процентах. У вас может быть опыт использования этой единицы измерения при восхождении или подъеме на гору. Крутизну холма или горы часто описывают в терминах уклона или уклона. Например, уклон холма может составлять 5%.


При использовании символа градуса будьте осторожны и не используйте его для названия угла, а только для его меры.

Название угла, показанного ниже, — A, а не A °. При указании его меры используйте m∠A = 80 ° или просто ∠A = 80 °, где ∠ — это символ, используемый для обозначения угла.

Уголки специальные

Некоторые углы чаще используются в геометрии из-за их размеров:


Обратите внимание, что угол 90 ° имеет небольшой квадрат в вершине. Это обозначение указывает угол, который составляет 90 °, и нет необходимости указывать размер угла в числовом выражении.

Измерительные углы

Транспортир — это распространенный инструмент, используемый для измерения углов. Большинство транспортиров измеряют углы в градусах.


Транспортиры обычно имеют два набора чисел.Оба набора можно использовать для измерения угла в градусах.

Из ворда в jpg: Word в JPEG – Конвертировать файлы Word в JPEG изображения онлайн

Конвертация WORD В JPG Онлайн

Конвертировать DOCX в JPG Онлайн Бесплатно

Aspose Words поможет вам получить все преимущества форматов Word и JPG. Мы предлагаем бесплатный онлайн-конвертер Word в JPG для преобразования документов Word в изображения JPG с профессиональным качеством и высокой скоростью. Мощный движок конвертации от Aspose позволяет преобразовывать файлы Word в другие популярные форматы документов.

Бесплатный Высококачественный Онлайн-Конвертер Word в JPG Онлайн

Возможно, вам потребуется преобразовать редактируемый документ Word в набор неизменяемых изображений JPG. Microsoft Word не предоставляет функции для извлечения страниц в виде изображений, поэтому Aspose Words предоставляет эту функцию онлайн.

Вам не нужно дополнительно устанавливать какое-либо ПО, например Microsoft Word или LibreOffice. Попробуйте Aspose Words to JPG Converter прямо сейчас, чтобы сохранить Word в формате JPG онлайн. Это 100% бесплатно. Регистрация на сайте не требуется.

Настройки разрешения и качества для преобразования Word в JPG будут добавлены в ближайшее время. Оставайтесь в курсе!

Легко сохраняйте Word как изображения JPG онлайн с Высокой Скоростью

Преобразование слов происходит очень быстро и просто. Чтобы преобразовать Word в JPG, просто перетащите документ, установите параметры преобразования и получите обратно получившийся набор изображений JPG за считанные секунды. Полученный контент и форматирование будут такими же, как в исходном документе.

Платформа Aspose.Words

Это бесплатное онлайн-приложение Conversion предоставляется Aspose.Words. Мы предоставляем нашим клиентам высокопроизводительные технологии обработки документов и надежные программные решения для автоматизации делопроизводства, доступные в операционных системах Windows, iOS, Linux и Android: C#, Java, C++.

Шаг 1 из 4

Пропустить Следующий

Шаг 2 из 4

Пропустить Следующий

Шаг 3 из 4

Каким образом мы можем улучшить ваш опыт?

Пропустить Следующий

Шаг 4 из 4

Можно ли будет связаться с вами по поводу ваших ответов?

Ваш email

Нет, спасибо Да, пожалуйста

Большое спасибо за ваш отзыв!
Мы действительно это ценим!

С вашей помощью наши продукты становятся лучше с каждым днем!

Как перевести документ Word в формат JPEG

При использовании текстового редактора может возникнуть необходимость в преобразовании файлов Word в jpg. Часто это необходимо для публикации отдельных элементов на сайте без дальнейшего форматирования или в случае совместного расположения текста и таблицы в одном файле. При вёрстке макетов этот функционал также востребован, поэтому важно знать, как из документа Word сделать jpg.

Применение стандартной утилиты «Ножницы»

Среди встроенных возможностей системы для преобразования текста Word в jpg выделяется инструмент «Ножницы», доступный, начиная с версий Windows 7 и Vista. Он позволяет делать скриншоты с непосредственным масштабированием границ, захватывая весь экран или отдельную область. Чтобы перевести документ Word в jpeg, делаем следующее:

Вот таким образом можно перевести фрагмент теста Word в изображение jpeg. Это полезная функция, при которой пользователь получает файл, в котором при любых обстоятельствах будет фиксированная разметка. Эта возможность решает проблему размещения текста и таблиц, которые имеют различное положение в разной среде или при печати.

СОВЕТ. В процессе форматирования многостраничного документа Word в изображение необходимо учитывать используемый масштаб. Если текст слишком плотный, его следует разбавить абзацами, добавить сноски и списки, а также сделать большим шрифт. Это увеличит количество страниц, но поможет сохранить читаемость букв.

Лёгкий способ создания скриншота

Метод можно применять, в том числе и на старых версиях ОС, не оснащённых утилитой «Ножницы». Для использования этого функционала достаточно выполнить следующие действия:

Важно учитывать, что от выбранного масштаба документа Word напрямую зависит итоговое качество jpeg-файла. Если на странице размещается много текста малого шрифта, изображение может получиться смазанным или же будет непригодным для масштабирования. Также команда PrtScr захватывает весь рабочий стол, поэтому обязательная к обрезке границ.

Использование возможностей пакета Microsoft Office

Среди программных средств пакета Microsoft Office, куда входит и текстовый редактор Word, есть инструмент, позволяющий делать заметки, — OneNote. Его также можно использовать для преобразования текстового документа в графический формат. Отметим, что способ подходит в случае использования свежих версий ОС Windows и пакета Microsoft Office. Выполняем следующие действия:

Сохранение изображений из Word-документа в формате JPG

Отдельные картинки из документа можно сохранить на компьютер прямо из Word, даже не прибегая к другому софту. Сделать это легко:

  • В открытом документе жмём ПКМ на нужной картинке.
  • Из появившегося меню выбираем функцию «Сохранить как рисунок…».
  • Выставляем «Рисунок в формате JPG», назначаем имя, указываем путь и жмём кнопку «Сохранить».

Как преобразовать документ Word в формат JPG при помощи программ

Сторонний софт также эффективен в создании графики из текстовых элементов. Напрямую конвертировать текст в графику не получится, поэтому действовать придётся в несколько этапов:

  1. Сохранение «вордовского» объекта в PDF.
  2. Запуск преобразованного в PDF объекта в графическом редакторе.
  3. Конвертирование PDF в JPG.

Начальный этап будет выполняться в редакторе MS Word. Для выполнения следующих шагов потребуется софт для работы с графикой, поддерживающий PDF (в виде примера используем редактор Photoshop и программу для просмотра изображений IrfanView).

Рассмотрим подробнее, как посредством программ выполнить задачу:

Аналогичные действия можно выполнить в просмотрщике IrfanView (чтобы программой поддерживался формат PDF, устанавливаем ADPL Ghostscript). Точно так же в меню «Файл» следует выбрать опцию сохранения объекта и сохранить картинку в формате JPG.

Использование онлайн-сервисов

В интернете представлено множество программ и онлайн-сервисов, которые обеспечивают работу с документами для перевода их в вид изображения. Большинство из них предоставляют бесплатный доступ к функциям. Для их использования достаточно загрузить документ Word, после чего указывается желаемое количество страниц для перевода.

Популярные сервисы имеют разный функционал работы с jpeg, позволяя создавать заметки, выделять особые фрагменты, а также конвертировать их в другие форматы.

Рассмотрим, как выполнить процедуру на примере нескольких сервисов.

Online-convert

Веб-сервис позволяет бесплатно конвертировать Word в JPG для всех или выбранных страниц из исходника. Для этого выполняем следующее:

  • Переходим на сайт online-convert.com и идём на страницу «Конвертировать DOC в JPG» (имеется поддержка как документов с расширением «.doc», так и файлов «.docx»).
  • Жмём «Выберите файлы» или добавляем объект в соответствующую область путём перетягивания из проводника (также есть возможность добавления файлов из сети интернет, для чего потребуется ввести URL или загрузить из облака).
  • Нажимаем «Начать конвертирование».
  • По окончании процедуры выбираем картинки в JPG (все или выборочно) и загружаем отдельные или все файлы в ZIP, после чего распаковываем архив уже на компе.

Zamzar

Ещё один неплохой сервис, предлагающий бесплатную конвертацию онлайн, — Zamzar. С его помощью выполнить задачу так же просто:

  • Идём на сайт zamzar.com и на странице DOC в JPG жмём «Добавить файлы» (перетаскиваем их или добавляем ссылку).
  • На втором шаге предложен выбор конечного формата (оставляем здесь jpg).
  • Нажимаем «Конвертировать» и по завершении процесса жмём «Download».
  • На следующей страничке будут доступны варианты скачивания элементов по отдельности или целиком (ZIP-архивом).

Word to JPEG

Бесплатный веб-сервис поможет преобразовать «вордовские» документы в наборы отдельных элементов формата JPEG, для чего потребуется совершить следующие манипуляции:

  • Переходим на страницу Word to JPEG.
  • Жмём кнопку «Загрузить» (можно выбирать до 20 «вордовских» файлов).
  • После конвертации нажимаем «Скачать все» для получения результатов одним ZIP-архивом или скачиваем элементы по отдельности.

По аналогичному принципу работают и другие онлайн-сервисы.

Среди многочисленных возможностей по преобразованию документов Microsoft Word и картинок из файлов в графический формат вы можете выбрать самый удобный для вас вариант. Одним из самых распространённых методов является снимок экрана, поскольку для его использования не нужно устанавливать дополнительное программное обеспечение, ведь это стандартная функция операционной системы. Если же нужный софт на компьютере уже есть, можно воспользоваться им, а также дополнительными возможностями редактирования, доступными с применением графических редакторов.

Помогла ли вам статья выполнить задачу? Какой из способов оказался для вас самый приемлемый? Расскажите об этом в комментариях.

Несколько способов как перевести документ из ворда в jpg

Как перевести документ из ворда в jpg при помощи ножниц

Самый простой и доступный всем способ перевода — это открыть страницу в ворде на экране и при помощи инструмента «Ножницы» вырезать видимую часть и сохранить в формате jpg. При этом  каждая страница документа будет отдельным файлом. Чтобы это сделать:

1. Откройте необходимый документ при помощи редактора Word и с помощью кнопок изменения масштаба отмасштабируйте чтобы весь лист или необходимая вам часть документа помещалась на экране (можно использовать колесико прокрутки на вашей мышке с нажатой одновременно клавишей Ctrl). Чем крупнее отображается документ, тем более качественной получится изображение.

Необходимо выбрать масштаб документа таким образом, чтобы весь поместился на экране

2. Запустите инструмент «Ножницы». Найти его всегда можно через поиск или же в меню через: Пуск -> Все программы -> Стандартные -> Ножницы. Обратите внимание, что этот инструмент присутствует в операционной системе начиная от Home Premium для Windows 7.

В инструменте «Ножницы» выберите тип выделения — Прямоугольник и затем «Создать»

3. Выделите при помощи курсора область в документе, которую вы хотите преобразовать в файл jpg.

C помощью инструмента выделите прямоугольную область , которую вы хотите преобразовать в JPG

4. Открывшийся снимок экрана вашего документа сохраните при помощи кнопки Файл -> Сохранить как.. Формат для файла вы можете выбрать любой из доступных для сохранения (в том числе и jpg).

Нажмите «Сохранить как…» или сочетание клавиш CTRL+S для сохранения

Как при помощи OneNote перевести документ из Word в jpg

Второй способ конвертировать документ word в jpg подойдет тем, у кого установлено приложение OneNote. OneNote — это своеобразный блокнот с помощью которого можно создавать заметки с иерархической структурой или же ведение своих дел по аналогии с обычным канцелярским блокнотом. Очень удобно (по заявлению самого разработчика) пользователям планшетов. Если у вас не установлено это приложение (OneNote идет вместе с пакетом Microsoft Office), его можно бесплатно установить с сайта Microsoft.

1. Открытый документ в Ворд, вам необходимо передать в приложение OneNote при помощи печати через виртуальный принтер, который создается при установке OneNote. Для этого нажмите Файл -> Печать или сочетание клавиш Ctrl + P.

При помощи диалога печати отправляем документ в OneNote

2. В качестве принтера выберите из списка «Отправить в OneNote» и нажмите «Печать».

Вsбираем OneNote в качестве источника для передачи текста

3. Документ откроется в приложении «OneNote» одной страницей. Следующим шагом необходимо экспортировать открывшийся документ. Для этого нажмите «Файл -> Экспорт

Экспорт документа из OneNote в качестве картинки

4. В качестве формата выберите «Документ Word (*.docx)» и нажмите кнопку «Экспорт».

5. Открыв получившийся файл, вы получите необходимый текст в jpg формате

 

Поделиться «Как перевести документ из ворда в jpg»

Как сохранить документ Word в формате JPEG и PDF в JPEG: инструкция

Как сохранить документ формата Doc в Jpeg и PDF в Jpeg

Может случиться так, что вы захотите поделиться документом Word в виде изображения, которое каждый может открыть.  К сожалению, вы не можете напрямую экспортировать документ формата Word в формат JPEG, но есть несколько других простых решений. Вот несколько из самых простых.

 

Конвертировать одну страницу Word в JPEG

 

Если у вас есть документ Word, состоящий только из одной страницы или если вы хотите захватить только одну конкретную страницу более длинного документа, вы можете использовать программное обеспечение для создания снимков экрана (скрин/screen). Например, это можно сделать стандартным способом, сделав скрин документа Word, вставив его затем в редактор Paint и сохранив в Jpg-формате. Но проще это сделать для Windows или, если у вас Mac, с помощью приложения Snip & Sketch.

 

Для этого воспользуйтесь приложением Microsoft «Фрагмент и набросок» (Snip & Sketch). Если вы используете компьютер под управлением Windows 10, то, возможно, у вас уже предустановлено данное приложение. Чтобы его найти, введите в строке поиска Windows (лупа в нижней панели управления) запрос Snip & Sketch или «Фрагмент и набросок». Если у вас не установлено данное приложение, вы можете загрузить его бесплатно с официального сайта Microsoft здесь.

 

Итак, первое, что вам нужно будет сделать, чтобы сохранить документ Word в формате Jpeg, – это уменьшить масштаб документа Word, чтобы вся страница была видна на экране. Это можно сделать, отрегулировав ползунок масштабирования в строке состояния в направлении символа минус. У нас нет точной рекомендации по процентам (все зависит от вашего экрана) – просто убедитесь, что весь документ виден на экране.

Затем, запустив приложение «Фрагмент и набросок», нажмите кнопку «Создать». 

На экране появится перекрестие. Нажмите и перетащите перекрестие, чтобы захватить всю страницу документа Word.

 

Далее, если вы используете Snip & Sketch (приложение «Фрагмент и набросок») в Windows, выберите значок дискеты, чтобы сохранить образ. Пользователи Mac должны выбирать Файл> Экспорт.

Дайте вашему изображению имя и выберите формат «JPG» из списка типов файлов.  Наконец, нажмите «Сохранить».

Конвертировать в PDF, а затем в JPEG в Windows

 

Как мы упоминали ранее, вы не можете конвертировать файл документа непосредственно в JPEG. Однако вы также можете преобразовать документ Word в PDF, а затем в JPEG.

 

Чтобы преобразовать документ Word в PDF, откройте документ и выберите вкладку «Файл».

Затем выберите «Сохранить как» на левой панели, а после нажмите «Обзор».

В проводнике выберите папку, в которой вы хотите сохранить файл, и дайте ему имя. Нажмите стрелку в строке, где указан тип сохраняемого файла, и выберите «PDF» из выпадающего списка.

Теперь ваш файл сохранен в формате PDF.

 

Чтобы конвертировать PDF в JPEG, вам нужно скачать бесплатное программное обеспечение Microsoft для конвертации. Откройте приложение Microsoft Store и введите «PDF to JPEG» (ОБЯЗАТЕЛЬНО на АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ) в строке поиска. Выберите первый вариант из раскрывшегося списка приложений.  

На следующей странице отображается некоторая информация о программном обеспечении. Прочитайте его и выберите «Получить».

 

Программное обеспечение будет установлено автоматически. Откройте его и нажмите «Выбрать файл» в верхней части окна.

 

Теперь вы сможете легко преобразовать сохраненный ранее документ PDF в JPEG.

Для этого перейдите к местоположению вашего файла PDF и выберите его. Затем файл откроется в программе конвертации PDF в JPEG. Открыв его, нажмите «Выбрать папку».

Проводник Windows появится снова. Перейдите в место, где вы хотите сохранить новый файл, а затем нажмите кнопку «Выбрать папку».

Наконец, выберите «Конвертировать».

 

Ваш PDF теперь будет конвертирован в JPEG.

 

Конвертировать документ Word в PDF, а затем в JPEG на Mac

 

Шаги для преобразования Word Doc в PDF на Mac точно такие же, как шаги, упомянутые в предыдущем разделе.  Тем не менее Mac поставляется с программой «Preview», которая может выполнять преобразование PDF> JPEG, поэтому здесь не требуется никакого дополнительного программного обеспечения.

 

Повторите шаги из предыдущего раздела, чтобы преобразовать документ Word в PDF. Когда ваш файл PDF готов, щелкните правой кнопкой мыши файл, выберите «Открыть с помощью» в меню и выберите «Предварительный просмотр».

В левом верхнем углу окна выберите «Файл». Появится раскрывающееся меню. Здесь выберите «Экспорт».

Появится новое окно. Нажмите стрелку рядом с «Форматировать», чтобы отобразить список параметров. Выберите «JPEG» из списка. После этого выберите «Сохранить».

Ваш PDF теперь будет конвертирован в JPEG.

Не хотите пройти через все эти шаги, чтобы преобразовать документ Word в JPEG? Есть бесплатный онлайн-сервис конвертеров Word в JPEG, которые работают очень хорошо. 

Как word перевести в jpg


Преобразование текстового документа MS Word в изображение JPEG

Перевести текстовый документ, созданный в редакторе Microsoft Word, в графический файл JPG несложно. Сделать это можно несколькими простыми способами, но для начала давайте разберемся, зачем вообще такое может понадобиться?

Скачать последнюю версию Microsoft Word

Например, вы хотите вставить изображение с текстом в другой документ или же хотите добавить это на сайт, но не хотите при этом, чтобы оттуда можно было скопировать текст. Также, готовое изображение с текстом можно установить на рабочий стол в качестве обоев (заметки, напоминания), которые вы будете видеть постоянно и перечитывать информацию, запечатленную на них.

Использование стандартной утилиты «Ножницы»

Компания Microsoft, начиная с версий Windows Vista и Windows 7, интегрировала в свою операционную систему довольно полезную утилиту — «Ножницы».

С помощью этого приложения можно быстро и удобно делать снимки экрана без необходимости вставки изображения из буфера обмена в сторонний софт и последующего экспорта, как это было на предыдущих версиях ОС. К тому же, с помощью «Ножниц» можно захватить не только весь экран, но и отдельную область.

1. Откройте документ Ворд, из которого вы хотите сделать JPG-файл.

2. Масштабируйте его таким образом, чтобы текст на странице занимал максимум пространства на экране, но помещался при этом целиком.

3. В меню «Пуск» — «Программы» — «Стандартные» найдите «Ножницы».

Примечание: Если вы используете Windows 10, найти утилиту можно и через поиск, значок которого расположен на панели навигации. Для этого просто начните вводить в поисковую строку название приложения на клавиатуре.

4. Запустив «Ножницы», в меню кнопки «Создать» выберите пункт «Окно» и укажите курсором на документ Microsoft Word. Чтобы выделить только область с текстом, а не все окно программы, выберите параметр «Область» и укажите область, которая должна будет находиться на изображении.

5. Выделенная вами область будет открыта в программе «Ножницы». Нажмите кнопку «Файл», выберите пункт «Сохранить как», а затем выберите подходящий формат. В нашем случае это JPG.

6. Укажите место для сохранения файла, задайте ему имя.

Готово, мы с вами сохранили текстовый документ Ворд в качестве картинки, но пока что лишь одним из возможных методов.

Создание скриншота на Windows XP и более ранних версиях ОС

Данный метод подойдет в первую очередь для пользователей старых версий операционной системы, на которых нет утилиты «Ножницы». Однако, при желании им могут воспользоваться абсолютно все.

1. Откройте и масштабируйте документ Word так, чтобы текст занимал большую часть экрана, но не вылазил при этом за его пределы.

2. Нажмите клавишу «PrintScreen» на клавиатуре.

3. Откройте «Paint» («Пуск» — «Программы» — «Стандартные», или же «Поиск» и ввод названия программы в Windows 10).

4. Захваченное изображение с текстового редактора сейчас находится в буфере обмена, откуда нам его нужно вставить в Paint. Для этого просто нажмите «CTRL+V».

5. Если это необходимо, отредактируйте изображение, изменив его размер, отрезав ненужную область.

6. Нажмите кнопку «Файл» и выберите команду «Сохранить как». Выберите формат «JPG», укажите путь для сохранения и задайте имя файла.

Это еще один способ, благодаря которому можно быстро и удобно перевести текст Ворд в картинку.

Использование возможностей пакета Microsoft Office

Майкрософт Офис — это полнофункциональный пакет, состоящий из ряда программ. В числе таковых не только текстовый редактор Word, табличный процессор Excel, продукт для создания презентаций PowerPoint, но и инструмент для создания заметок — OneNote. Именно он нам и понадобится для того, чтобы преобразовать текстовый файл в графический.

Примечание: Данный метод не подойдет для пользователей устаревших версий ОС Windows и Microsoft Office. Чтобы иметь доступ ко всем возможностям и функциям софта от Майкрософт, рекомендуем своевременно его обновлять.

Урок: Как обновить Ворд

1. Откройте документ с текстом, который нужно перевести в изображение, и нажмите кнопку «Файл» на панели быстрого доступа.

Примечание: Ранее это кнопка называлась «MS Office».

2. Выберите пункт «Печать», а в разделе «Принтер» выберите параметр «Отправить в OneNote». Нажмите кнопку «Печать».

3. Текстовый документ будет открыт в виде отдельной страницы заметочника OneNote. Убедитесь в том, что в программе открыта только одна вкладка, что слева и справа от нее нет ничего (если есть — удалите, закройте).

4. Нажмите кнопку «Файл», выберите пункт «Экспорт», а затем выберите «Документ Word». Нажмите кнопку «Экспорт», а затем укажите путь сохранения файла.

5. Теперь снова откройте этот файл в Ворде — документ будет отображен в качестве страниц, на которых вместо обычного текста будут содержаться изображения с текстом.

6. Все, что вам остается — сохранить изображения с текстом в качестве отдельных файлов. Просто поочередно кликайте по картинкам правой кнопкой мышки и выбирайте пункт «Сохранить как рисунок», укажите путь, выберите формат JPG и задайте имя файла.

О том, как еще можно извлечь изображение из документа Word, вы можете прочесть в нашей статье.

Урок: Как в Ворде сохранить изображение

Несколько советов и примечаний напоследок

Делая из текстового документа картинку, следует учитывать тот факт, что качество текста в конечном итоге может оказаться отнюдь не таким высоким, как в Word. Все дело в том, что каждый из вышеописанных методов, конвертирует векторный текст в растровую графику. Во многих случаях (зависит от многих параметров) это может привести к тому, что текст, преобразованный в картинку, окажется размытым и плохо читаемым.

Наши простые рекомендации помогут вам добиться максимально возможного, положительного результата и обеспечить удобство работы.

1. Масштабируя страницу в документе перед ее преобразованием в изображение, увеличьте по возможности размер шрифта, которым этот текст напечатан. Это особенно хорошо для случаев, когда в Ворде у вас содержится какой-то список или небольшое напоминание.

2. Сохраняя графический файл через программу Paint, вы можете не видеть всю страницу целиком. В данном случае необходимо уменьшить масштаб, в котором файл отображается.

На этом все, из этой статьи вы узнали о самых простых и доступных методах, с помощью которых можно конвертировать документ Word в файл JPG. На случай, если вам понадобится выполнить диаметрально противоположную задачу — преобразовать изображение в текст — рекомендуем ознакомиться с нашим материалом на эту тему.

Урок: Как перевести текст с фото в документ Ворд Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы. Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ

Как документ из Word перевести в JPG: пошаговая инструкция

В этой статье я вам расскажу о том, как документ из Word перевести в JPG или в любой другой формат изображений. Показывать буду не на банальном способе со скриншотом, а на ещё более банальном методе, который, однако, удобнее, практичнее и проще. Вы сейчас сами убедитесь в простоте метода.

Этот способ будет удобен, когда необходимо, например, сделать текстовые файлы не редактируемыми.

Как перевести вордовский документ в формат фотографии JPG и сохранить?

Статья расскажет, как документ «Word» конвертировать в JPEG.

Пользователи спрашивают, как перевести документ «Word» в формат JPG изображения и сохранить? Делается это довольно просто. В принципе, мы в данной ситуации можем использовать несколько методов, но сначала скажем пару слов о том, для чего оно вообще вам нужно.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

Конвертировать документ «Word» в JPG понадобится в разных случаях. Например, вам нужно вставить фотографию с изображением текста в какой-либо другой документ. Некоторым пользователям часто нужно выкладывать фото с текстом на сайт, так как они не желают, чтобы кто-либо смог такой текст скопировать.

Иногда людям необходимо изображение с текстом размещать на Рабочем столе компьютера. Во всех приведенных случаях текст должен быть отображен на фотографии, и сделать это можно с помощью перевода «Word» документа в JPG файл, о чем речь пойдет ниже.

Как документ «Word» перевести в формат JPG и сохранить?

Итак, приведем несколько способов для осуществления такой операции.

Используем утилиту «Ножницы»

Тот, кто использует операционную систему “Windows 7” и выше, наверняка знает, что в нее встроена такая программа по умолчанию, как «Ножницы».

При помощи нее вы можете осуществлять скриншот экрана и сохранять изображение на компьютере в формате JPEG и не только. Вы также имеете возможность фотографировать лишь необходимую часть экрана, что будет полезно нам для своего рода транспортировки изображения из документа «Word» в файл JPG. Для этого сделаем следующее:

  • Откройте «Word» документ, который вам нужно перевести в изображение JPG, и масштабируйте в нем текст так, чтобы он полностью уместился на экране.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Далее в меню «Пуск» в поисковой строке наберите «ножницы», после чего поиск выдаст соответствующую программу.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • После этого запустите программу «Ножницы». В ее окне возле кнопки «Создать» нажмите на черную стрелочку, и в раскрывшемся меню нажмите на пункт «Прямоугольник».

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Теперь вы сможете выделить область с текстом в документе «Word», которую вам нужно сфотографировать.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • После выделения скриншот документа отобразится в окне программы

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • В левом верхнем углу нажмите на «Файл», затем кликните на «Сохранить как», выберите формат «JPG» и назначьте место, куда будете сохранять изображение. Придумайте имя файлу и нажмите на «Сохранить».

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Вот и все. Таким хитрым способом мы смогли перенести информацию из документа «Word» в файл JPG.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

Используем утилиту «Paint»

Если у вас более старая версия операционной системы, нежели “Windows 7”, тогда предыдущая инструкция вам не подойдет. В вашем случае можно будет использовать программу «Paint». Сделайте следующее:

  • Запустите «Word» документ, текст из которого вы хотите перенести на изображение JPG. Масштабируйте текст, чтобы он полностью умещался на экране.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Далее нажмите на клавишу «PrintScreen» (делаем скриншот экрана – он сохранится в буфере обмена) и запустите программу «Paint» — в меню «Пуск» в поисковой строке введите «paint», и значок программы отобразится вверху.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • После открытия программы нам в нее нужно скопировать скриншот, который мы только что сделали. Перенести изображение в программу можно одновременным нажатием клавиш «Ctrl» и «V».

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Изображение можно отредактировать, обрезав лишние края

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Далее в левом верхнем углу нажмите на «Файл», затем на «Сохранить как» и выберите формат файла – JPG. Теперь можно сохранить изображение в указанное место.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

Используем «Microsoft Office»

Если у вас установлен полный пакет «Microsoft Office» со всеми его функциями, тогда вы сможете перенести содержимое документа «Word» в изображение формата JPG. Для этого мы будем использовать соответствующую программу и сделаем следующее:

  • Откройте документ, который вы хотите преобразовать в JPG и нажмите на панели инструментов на «Файл».

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Далее нажмите на пункты, которые указаны на скриншоте в красных рамках

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Теперь содержимое нашего документа будет перенесено в программу «OneNote»

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Затем слева наверху нажмите на «Файл», далее пройдите в «Экспорт», выделите «Документ Word», внизу нажмите на «Экспорт» и выберите место сохранение файла.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • Откройте сохраненный файл в текстовом редакторе «Word» — вы увидите в нем изображение текста (а не напечатанный символами текст).

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

  • В итоге, кликните по данному изображению правой кнопкой мышки и нажмите на «Сохранить рисунок как», после чего вам будет предложено выбрать формат изображения и путь его сохранения.

Переносим содержимое документа «Word» в файл JPG

Видео: Конвертация документа Word в изображение (.doc в .jpg)

Конвертация документа Word в jpeg несколькими способами

При использовании текстового редактора может возникнуть необходимость в преобразовании файлов Word в jpg. Часто это необходимо для публикации отдельных элементов на сайте без дальнейшего форматирования, или в случае совместного расположения текста и таблицы в одном файле. При вёрстке макетов этот функционал также востребован, поэтому важно знать, как из Ворда сделать jpg.

Лёгкое решение

В интернете представлено множество программ и онлайн-сервисов, которые обеспечивают работу с документами для перевода их в вид изображения. Большинство из них предоставляют бесплатный доступ к функциям. Для их использования достаточно загрузить документ Word. После этого указывается желаемое количество страниц для перевода. Самые популярные сервисы:

  • Convertio;
  • Wordtojpeg;
  • Zamzar и другие.

Они имеют разный функционал работы с jpeg, позволяя создать заметки, выделять особые фрагменты, а также конвертировать их в другие форматы. Среди множества методов одним из самых распространённых является снимок экрана. Для его использования не нужно устанавливать дополнительное программное обеспечение, ведь это стандартная функция операционной системы. Это существенно экономит время пользователя.

Самый простой способ

Для использования этого функционала достаточно открыть текстовый файл и расположить необходимую страницу в оптимальной видимости на экране. После этого нужно нажать клавишу PrtScr на клавиатуре. Изображение будет направлено в буфер обмена и станет доступным для дальнейших манипуляций уже в формате jpeg.

После этого нужно открыт растровый редактор Paint, который также находится среди набора стандартных программ операционной системы. В окне нового документа вставляется готовое изображение jpeg из Word. Дальше можно менять его размер в соответствии с требованиями. При сохранении файла пользователь получает картинку jpg с изображённым текстом.

Воспользуйтесь программой Paint для работы со скриншотом

Важно учитывать, что от выбранного масштаба документа Word напрямую зависит итоговое качество jpeg файла. Если на странице размещается много текста малого шрифта, изображение может получиться смазанным, или же будет непригодным для масштабирования. Также команда PrtScr захватывает весь рабочий стол, поэтому обязательная к обрезке границ.

Альтернативный вариант

Среди встроенных возможностей Windows для преобразования текста Word в jpg выделяется инструмент «Ножницы». Он позволяет делать скриншоты с непосредственным масштабированием границ. Находится инструмент в папке «Стандартные» (меню «Пуск»). Чтобы перевести документ Word в jpeg, его также нужно расположить на полную рабочую область экрана.

«Ножницы» будут обрезать непосредственно саму область текста, не захватывая соседние участки панели задач и зоны управления программой. Это положительно повлияет на качество. В дальнейших своих действиях пользователь аналогично сохраняет файл Ворда в формате jpg.

Вот таким образом можно перевести фрагмент теста Ворд в изображение jpeg. Это полезная функция, при которой пользователь получает файл, в котором при любых обстоятельствах будет фиксированная разметка. Эта возможность решает проблему размещения текста и таблиц, которые имеют различное положение в разной среде или при печати.

В процессе форматирования многостраничного документа Ворд в изображение необходимо учитывать используемый масштаб. Если текст слишком плотный, его следует разбавить абзацами, добавить сноски и списки, а также сделать большим шрифт. Это увеличит количество страниц, но поможет сохранить читаемость букв.

Как сохранить текстовый документ «Microsoft Word» в формате «JPEG»?

Корпорация «Microsoft», являющаяся создателем наиболее массового, представленного на подавляющем большинстве компьютерных устройств в мире, программного обеспечения, ответственного за полноценный контроль и управление компьютером и всеми запущенными процессами, под названием «Операционная система Windows», разрабатывает и выпускает ряд других популярных и востребованных продуктов.

Содержание

Введение

Одним из таких программных решений, максимально применяемым пользователями регулярно в своей профессиональной деятельности и часто задействующемся для удовлетворения конкретных личных потребностей, является пакет офисных приложений «Microsoft Office».

Входящие в состав пакета прикладные программы позволяют создавать, обрабатывать и распространять разнообразные виды деловой офисной документации, включающей такие популярный образцы, как текстовые документы, различные таблицы, презентации, базы данных, публикации, бизнес-диаграммы и т. д., поддерживает удаленное совместное управление общими проектами и обеспечивает ряд других востребованных процедур.

Самой применяемой, из доступного списка предлагаемых вложенных приложений «Microsoft Office», безусловно стоит назвать программу для обработки текста «Microsoft Word». Данное приложение, благодаря простоте использования и наличию множества разнообразных функциональных возможностей, является наиболее популярным, из используемых в данный момент, текстовых программных обработчиков. Всеобщая востребованность послужила основанием для принятия формата документа, используемого в приложении «Microsoft Word», в качестве текстового стандарта, который имеет поддержку совместимости во многих других конкурирующих программах.

Но несмотря на массовость, повсеместную распространенность и универсальность реализуемых исходящих форматов документов, может возникнуть неотложная необходимость поделиться документом «Microsoft Word», представленным в виде изображения, которое может открыть каждый пользователь на любом компьютерном устройстве, независимо от формы и конфигурации исполнения. К сожалению, нет возможности экспортировать текстовый документ «Microsoft Word» сразу напрямую в виде готового изображения в формате «JPEG», используя встроенные возможности офисного приложения, но есть несколько других простых решений. И далее в данной статье мы подробнее на них остановимся.

Перейти к просмотру

Как восстановить несохраненный или поврежденный документ Microsoft Word, Excel или PowerPoint ⚕️📖💥

Конвертировать одну страницу в снимок формата

«JPEG»

Если у пользователей присутствует в наличии документ «Microsoft Word», состоящий из единственной страницы, или существует потребность захватить только одну конкретную страницу более длинного текстового документа, то можно воспользоваться программным обеспечением для создания снимков экрана, например «Набросок на фрагменте экрана», являющимся встроенным стандартным, изначально предустановленным, приложением в операционной системе «Windows», или соответствующей программой «Снимок экрана» в системе «Mac OS».

Первое, что потребуется сделать, так это уменьшить масштаб документа «Microsoft Word», чтобы вся страница была полностью видна на экране. Привести соотношение размера страницы с граничными габаритами экрана можно путем регулирования ползунка масштабирования, расположенного в строке состояния в правом нижнем углу окна приложения, в направлении символа «минус». Нет точных рекомендаций по числовому значению количества процентов, гарантированно достаточного для полного отображения документа – просто убедитесь, что вся страница документа полностью представлена на экране.

Когда страница полностью видна, откройте программный инструмент для создания снимков экрана. Нажмите сочетание клавиш «Command + Shift + 4» на компьютерном устройстве «Mac», чтобы открыть приложение «Снимок экрана» (также можно использовать другие сочетания клавиш, например, «Command + Shift + 3» или «Command + Shift + 5», в зависимости от версии операционной системы «Mac OS»).

В операционной системе «Windows» пользователям предстоит воспользоваться возможностями главного пользовательского меню, открыть которое можно простым нажатием на кнопку «Пуск», расположенную в нижнем левом углу рабочего стола на «Панели задач». В представленном списке установленных на компьютерном устройстве системных приложений и сторонних программ, посредством ползунка полосы прокрутки или колеса перемещения компьютерной мыши, отыщите и выберите раздел «Набросок на фрагменте экрана».

В открывшемся окне искомого приложения нажмите в верхнем левом углу окна на панели управления кнопку «Создать» (или используйте для исполнения данной операции комбинацию горячих клавиш «Ctrl + N»).

Примечание. В операционной системе «Windows» пользователи могут сразу напрямую, без дополнительного запуска приложения «Набросок на фрагменте экрана», перейти к созданию снимка выделенной области, воспользовавшись совместным нажатием комбинации клавиш «Windows + Shift + S».

На экране пользовательского компьютера появится перекрестие, управляя которым пользователи смогут выделить нужную для сохранения в графическом формате «JPEG» область. Используя компьютерную мышь, расположите перекрестие в нужном месте экрана. Затем щелкните левой кнопкой мыши и, удерживая клавишу ручного манипулятора в зажатом положении, переместите перекрестие в необходимую точку экрана, чтобы захватить всю страницу документа «Microsoft Word».

На компьютерном устройстве под управлением операционной системы «Mac OS» в окне приложения «Снимок экрана» нажмите на панели экранных элементов управления на кнопку «Снимок выбранной области», представленную в виде пунктирного прямоугольника, выделите курсором область для снимка, а затем нажмите на кнопку «Снимок». В правом нижнем углу экрана появиться миниатюра готового снимка, взаимодействуя с которой пользователи смогут произвести операции редактирования, перемещения или другие востребованные действия. Через короткий промежуток времени, если обращения к миниатюре пользователи не совершали, готовый снимок будет автоматически сохранен на рабочем столе.

Если пользователи используют приложение «Набросок на фрагменте экрана» в операционной системе «Windows», то во всплывающем окне указанной программы, в которой будет отображен выделенный фрагмент, нажмите на панели управления в правом верхнем углу окна на кнопку «Сохранить как», представленную в виде схематического изображения «дискеты», чтобы сохранить отмеченную область в виде готового изображения.

Во всплывающем окне проводника файлов «Сохранение» укажите место, куда необходимо поместить снимок, присвойте готовому изображению имя и, в раскрывающемся меню ячейки «Тип файла», выберите из списка доступных вариантов формат «JPG (*.jpg; *.jpeg; *.jpe; *.jfif)», а затем нажмите на кнопку «Сохранить», чтобы исполнить данную процедуру.

Конвертировать документ в

«PDF», а затем готовый результат в «JPEG» в операционной системе «Windows»

Как мы уже упоминали ранее, пользователи не могут сразу напрямую из офисного приложения «Microsoft Word» конвертировать исходный файл документа непосредственно в изображение в графическом формате «JPEG». Однако можно несколько удлинить путь и сначала конвертировать документ «Microsoft Word» в межплатформенный формат «PDF», а затем перевести полученный промежуточный файл в снимок с разрешением «JPEG».

Процесс преобразования документа «Microsoft Word» в файл формата «PDF» в операционной системе «Windows» довольно прост, и не требует от пользователей выполнения сложных операций. Откройте исходный документ в приложении «Microsoft Word» и нажмите на панели управления на вкладку «Файл».

На открывшейся странице «Сведения» нажмите в левой боковой панели меню на кнопку «Сохранить как», а затем в центральной связанной панели, содержащей экранные элементы управления, выберите раздел «Обзор», ответственный за определение местоположения для сохранения документа и выбор предпочитаемого формата.

В открывшемся проводнике файлов «Сохранение документа» выберите папку, в которую необходимо сохранить файл, и присвойте документу имя. В ячейке «Тип файла» откройте раскрывающееся меню и выберите, из выпадающего списка доступных вариантов файловых разрешений готового документа, формат «PDF», а потом нажмите на кнопку «Сохранить» для принятия установленных изменений.

Теперь пользовательский файл сохранен в заданной папке в формате «PDF».

Следующим шагом необходимо конвертировать файл «PDF» в изображение с расширением «JPEG». Для выполнения процедуры преобразования файла пользователям необходимо воспользоваться возможностями бесплатного программного обеспечения, разработанного специалистами корпорации «Microsoft». Откройте стандартное приложение «Microsoft Store», нажав на кнопку с изображением «сумки» на «Панели задач» в левом нижнем углу рабочего стола.

В открывшемся окне приложения в ячейке поиска введите фразу «PDF to JPEG». Затем во всплывающей панели поисковых результатов выберите первый предложенный вариант, щелкнув по названию левой кнопкой мыши.

Будет открыта страница выбранного приложения, содержащая информацию о данном программном обеспечении. Ознакомьтесь с предлагаемым описанием и нажмите на кнопку «Get» («Получить») для запуска процедуры скачивания и последующей установки приложения на компьютерное устройство.

Процесс будет завершен автоматически. Теперь откройте главное пользовательское меню «Windows», нажав на «Панели задач» в нижнем левом углу рабочего стола на кнопку «Пуск», и задействуя колесо перемещения компьютерной мыши или ползунок полосы прокрутки, отыщите, в списке доступных на компьютере служебных программ и сторонних приложений, и выберите раздел «PDF Converter», позволяющий произвести запуск данного одноименного приложения.

В открывшемся окне нажмите на кнопку «Select File» («Выбрать файл»), расположенную в верхней части приложения на панели экранных элементов управления.

Во всплывающем окне проводника файлов «Открытие» перейдите к местоположению ранее сохраненного файла «PDF», преобразованного из документа «Microsoft Word», отметьте его и нажмите на кнопку «Открыть». Файл будет мгновенно отображен в программе конвертации «PDF Converter». Теперь нажмите на, ставшую активной, кнопку «Select Folder» («Выбрать папку»).

Повторно будет запущено окно проводника файлов, в котором необходимо указать местоположение для хранения готового, прошедшего конвертацию, изображения, а затем нажать на кнопку «Выбор папки», подтвердив установленные параметры.

Теперь станет активна и кнопка, ответственная за смену формата выбранного файла. Нажмите на панели экранных элементов управления на кнопку «Convert» для запуска процедуры преобразования.

По завершению, о чем сообщит соответствующее уведомление в приложении «PDF Converter», указанный пользователями документ формата «PDF» будет переведен в изображение с разрешением «JPEG» и расположен согласно установленным параметрам сохранения.

Конвертировать документ в файл формата

«PDF», а затем в «JPEG» в операционной системе «Mac OS»

Шаги для преобразования итогового документа «Microsoft Word» в файл формата «PDF» на компьютерном устройстве, использующем для управления операционную систему «Mac OS», в точности совпадают с шагами, упомянутыми в предыдущем разделе. Тем не менее, «Mac OS» поставляется с предустановленной программой «Просмотр», которая способна выполнять преобразование документа «PDF» в изображение с расширением «JPEG». Поэтому пользователям не потребуется дополнительного программного обеспечения, и можно выполнить востребованную конвертацию посредством возможностей встроенной в систему программы.

Повторите шаги предыдущего раздела, чтобы преобразовать требуемый документ «Microsoft Word» в «PDF». Когда файл «PDF» готов, щелкните его правой кнопкой мыши, и во всплывающем контекстном меню выберите вариант открытия файла с помощью программы «Просмотр», или дважды щелкните левой кнопкой мыши преобразованный в «PDF» файл, и он будет открыт в указанном приложении «Просмотр», которое в операционной системе «Mac OS» задано по умолчанию.

В левом верхнем углу окна запущенного приложения нажмите на кнопку «Файл», и в раскрывающемся меню выберите раздел «Экспортировать».

Теперь в открывшемся новом окне выберите в соответствующей ячейке, из выпадающего списка параметров, формат файла «JPEG» и сохраните установленные изменения. Исходный файл «PDF» незамедлительно будет преобразован в изображение формата «JPEG».

Заключение

Пользователи регулярно используют персональные компьютерные устройства для исполнения множества разнообразных операций, как для профессиональных, так и для личных целей, во многом благодаря совокупному объединению высоких вычислительных возможностей устройств и применению продвинутого программного обеспечения, представленного не только в виде универсальной программной среды управления компьютерным устройством, но и располагающим множественными приложениями для решения узконаправленных задач.

Так, например, пользователи регулярно используют пакет офисных приложений «Microsoft Office» (выступающий признанным стандартом текстовых, табличных и других видов файлов) для ведения документооборота, создания и распространения деловой и личной документации различных форматов и форм исполнения (текстовые файлы, таблицы, базы данных, презентации и т. д.).

Но не всегда существует возможность просмотреть или изучить текстовый документ офисного пакета приложений, воссозданный при помощи программы «Microsoft Word». И в таком случае пользователи могут представить исходный документ в формате «JPEG», чтобы, при соответствующей необходимости, каждый заинтересованный пользователь мог с ним ознакомиться. Представленные в данной статье способы помогут пользователям перевести любые документы «Microsoft Word» в изображение с графическим расширением «JPEG» посредством стандартных системных приложений быстро и без особых затрат.

Если у пользователей нет желания задействовать родные прикладные приложения разработчиков операционных систем, то всегда можно воспользоваться сторонними программами для конвертации, которые также хорошо справляются с задачами по изменению формата, и в достаточном количестве представлены в сети «Интернет».

Перевести документ из ворда в jpg онлайн. Конвертер из Ворд в jpeg (Word)

При работе с текстовыми документами не редко возникает необходимость сохранить картинку из Word в JPG формат. Если вы также столкнулись с этой задачей, то эта статья должна вам помочь. Сейчас мы опишем несколько способов сохранения картинок из Ворда.

Способ № 1. Сохраняем картинку через контекстное меню.

После этого откроется окно, в котором нужно выбрать папку для сохранения картинки, тип файла JPG и ввести ее название картинки. После этого нужно нажать на кнопку «Сохранить».

В результате в выбранной вами папке появится сохраненная вами картинка в формате JPG.

Способ № 2. Копируем картинку.

Если вам нужно перенести картинку из документа Word в графический редактор, например в . То, проще всего просто скопировать картинку и вставить ее в нужной программе. Для этого кликните правой кнопкой мышки по нужной картинке и выберите пункт «Копировать». Также вы можете просто выделить картинку и воспользоваться комбинацией клавиш CTRL-C.

После того как картинка скопирована нужно перейти в графический редактор и вставить ее с помощью команды «Вставить» или комбинации клавиш CTRL-V. После вставки картинки вы сможете сохранить ее в формате JPG или в любом другом формате.

Способ № 3. Извлекаем картинки из файла DOCX.

Если вам нужно сохранить большое количество картинок из одного файла Word, то предыдущие способы не будут очень удобны, поскольку они требуют большое количество ручной работы. Но, есть и другой вариант. Вы можете сохранить ваш документ в формате DOCX и . Это возможно благодаря тому, что формат DOC X это ZIP архив в котором текст сохранен как XML, а картинки, как обычные JPG файлы.

Для того чтобы открыть DOCX как архив, вам понадобится . Например, можно использовать бесплатный архиватор 7zip. После его установки нужно кликнуть правой кнопкой мышки по DOCX файлу и выбрать пункт меню «7-zip — Открыть архив».

Обратите внимание, если у вас нет пункта меню «Открыть архив» или вы не можете установить архиватор, то вы можете изменить расширение файла с DOCX на ZIP и открыть файл вручную. В этом случае файл откроется даже без архиватора, поскольку операционная система Windows умеет открыть ZIP файлы как обычные папки.

После этого программа 7zip откроет DOCX файл как архив. В этом архиве вам нужно перейти в папку /word/media/ .

В этой папке будут находиться все файлы из вашего документа. При этом они будут сохранены в формате JPG.

Для того чтобы извлечь файлы из архива нужно просто перетащить их из программы 7zip в любую папку. Например, на рабочий стол. Также вы можете воспользоваться функцией «Извлечь». Для этого нужно нажать на кнопку «Извлечь» и указать папку, в которую вы хотите перенести JPG файлы.

После выбора папки и нажатия на кнопку «Ok» нужные вам JPG файлы будут распакованы.

Конвертировать Word в jpeg (Ворд). Формат.jpg является популярнейшим форматом картинок, который применяется в современном обществе. Достоинством формата выступает сохранение фотографий с высоким качеством, при этом имея небольшой размер. Этот факт достигается сжатием. Цель сжатия – это сохранение высокого качества тех частей фотографии, которые являются наиболее заметными людям и сжатие частей, не имеющих особого значения.


Процесс конвертирование формата.doc в.jpg

Наиболее простым вариантом решения данной проблемы является конвертация посредством специальной программы. Для такой цели отлично подходит «Фотоконвертер». За счет его простоты, эффективности и быстрой работе, возможно конвертирование большого объема документов в формате DOC одновременно. Это позволит оптимизировать процесс конвертации файлов, сильно превосходя ручную конвертацию данного формата.

Произведите скачивание и установку программы

Для того, чтобы найти, сказать и затем поставить «Фотоконвертер» нет необходимости в наличии специальных навыков в компьютерных технологиях. Также прост и процесс работы с ним.

Добавляем нужные документы в программу

После запуска программы нужно выполнить загрузку нужных файлов для конвертации в формат JPG. Эта процедура выполняется посредством открытия ссылки «Файлы», затем переход во вкладку «Добавить файлы». Процедуру можно произвести также посредством перекидывания выбранных DOC-файлов прямо в «Фотоконвертер».

После этого шага нужно выбрать диск или папку для хранения конвертированных файлов. Нажимаем на вкладку «Сохранить», выбираем диск или папки, где будут храниться новые файлы JPG.

Затем выбираем формат.jpg для того, чтобы сохранить файлы именно в этом формате. Чтобы выполнить эту операцию необходимо нажать на кнопку «JPG», находящуюся в низу окна «Фотоконвертера». Также можно использовать иконку «+», дабы произвести добавления записей в формат JPG.

Следующим и последним шагом в конвертации формата.doc в.jpg является нажатие кнопки «Старт». Далее происходит конвертация и готовые файлы с новым расширением уже находятся в месте, которое мы указали ранее для хранения полученных документов в формате JPG.

Ищите другие интересные статьи на нашем портале.

Сервис позволяет произвести преобразование(конвертировать) из формата DOC в формат JPG

DOC – это самый популярный формат текстовых файлов. Его полное название – Microsoft Word Document, но короткий вариант удобнее и практичнее. Этот формат был создан для работы с текстовыми документами в платном текстовом редакторе Microsoft Word офисного пакета Microsoft Office. В файле такого формата содержатся не только непосредственно текстовый документ, но и полный набор данные об его форматировании – абзацы, отступы, шрифты, списки, выравнивание текста и многое другое. Кроме того, формат DOC дает возможность включать в текстовый документ таблицы, диаграммы, изображения. Работа с такими файлами доступна и во многих бесплатных программах или онлайн-сервисах.

JPEG – это наиболее распространенный и популярный формат растрового изображения. Свое название форма получил по аббревиатуре от названия организации-разработчика Joint Photographic Experts Group. Файлы такого формата используются сегодня во всех цифровых фотоаппаратах и камерах. Они имеют хорошую степень сжатия и поддерживают глубину цвета в 24 бит. Поскольку такое сжатие существенно уменьшают размер изображения практически без потери качества, формат JPEG широко распространен в Интернете. Однако чем сильнее сжатие, тем хуже качество. К тому же формат JPEG не поддерживает опцию прозрачности.

Отзывы

супер просто. спаасииибооо
Отлично! Все точно! спасибо
Все изображения с чёрным фоном получаются(

Порой во время работы с текстовым редактором возникает желание завладеть картинкой, установить её на рабочий стол или использовать в другом документе. Для этого нужно сохранить картинку из Ворда в jpg формате. Сделать сохранение рисунка помогут нижеприведённые способы.

Сохранение посредством контекстного меню

Вытащить фото из Ворда можно следующими шагами:

После выполненных действий, открыв папку, которая ранее была выбрана для сохранения фото, найдёте сохранённую картинку в формате jpg.

Сохраняем с помощью копирования

Если необходимо вставить картинку из Ворда, например, в графический редактор, будь это Photoshop или Paint, поможет давний метод копирования.


Извлекаем из архивированного файла

Когда в обычном документе Ворд есть много картинок, то сохранять отдельно каждую вручную займёт огромное количество минут. Чтобы упростить сохранение рисунков, нужно документ Ворда сохранить на компьютер в формате «Docx». Ведь данный формат Ворда считается как Zip файл, любой рисунок будет сохранён как обычный объект в формате «jpg», а текст сохраняется в виде «XML». Чтобы открыть файл Ворда в формате «Docx» понадобится программа архиватора под названием «WinRAR». Рассмотрим этот способ подробнее по шагам.


Благодаря вышеперечисленным способам, достать и сохранить рисунки из Ворда не будет занимать много времени.

Как преобразовать документ Word в изображение JPG или GIF

Хотя документы Microsoft Word совместимы с другими текстовыми редакторами, иногда вам может потребоваться сохранить их как изображения JPG или GIF. Хотя вы не можете экспортировать документ как файл изображения, тем не менее есть несколько способов сделать это. Все они бесплатны и просты, поэтому вы можете использовать любые, которые наиболее удобны для вас.

Преобразование документов в изображения с помощью специальной вставки

Начиная с выпуска Office 2007 в Word добавлена ​​функция специальной вставки, которую можно использовать для преобразования документов в png, jpg, gif и другие форматы изображений.Вот шаги:

  1. Откройте документ, который вы хотите сохранить как JPG или GIF. Чтобы выделить все содержимое, нажмите CTRL + A в Windows (или Command-A на Mac). Либо перейдите в меню «Правка» и выберите «Выбрать все». Имейте в виду, что этот метод сохранит только одну страницу. Вам нужно будет выполнить эти шаги для каждой страницы отдельно.
  2. Скопируйте ваш выбор. На ПК используйте CTRL + C (или Command-C на Mac). Вы также можете щелкнуть правой кнопкой мыши выбранное содержимое и выбрать «Копировать» или щелкнуть значок «Копировать» рядом с верхним левым углом в Word.
  3. Откройте новый документ и выберите «Специальная вставка» в меню «Вставить». Вы также можете найти «Специальная вставка» в меню «Правка».
  4. Выберите изображение (расширенный метафайл) и нажмите OK. Изображение отдельной страницы, которую вы выбрали, будет вставлено в документ.
  5. Щелкните содержимое правой кнопкой мыши и выберите «Сохранить как изображение». Выберите желаемый формат изображения, включая JPG, GIF, PNG и некоторые другие. Окончательный результат должен выглядеть так, как этот отрывок из «Ворона» Эдгара Аллана По.

Если вы получаете изображение с черным фоном, вы можете попробовать следующие решения:

  1. Сохраните изображение еще раз, но на этот раз в другом формате.
  2. Если у вас есть дополнительные дисплеи, отключите их перед преобразованием документов.

Преобразование документов Word в файлы PDF

Последние версии Microsoft Word позволяют сохранять документы в виде файлов PDF, которые легче преобразовать в файлы изображений.

Преобразование в Windows

  1. Откройте документ, который вы хотите преобразовать в jpg.
  2. Щелкните Файл> Сохранить как и сохраните как PDF.
  3. Откройте Microsoft Store и загрузите приложение PDF в JPEG.
  4. Откройте программу и нажмите «Выбрать файл».
  5. Найдите свой PDF-файл и выберите его.
  6. Выберите, где сохранить новый файл.
  7. Нажмите «Преобразовать».

Обратите внимание, что приложение PDF в JPEG преобразует несколько страниц, что должно работать лучше, если вам нужно преобразовать длинный документ в изображения.Ограничение состоит в том, что нет поддержки сохранения в GIF или другие форматы изображений. Кроме того, вы не можете настроить качество изображений.

Преобразование на Mac

  1. Откройте документ, который вы хотите преобразовать в jpg или gif.
  2. Выберите «Файл»> «Сохранить как» и сохраните в Word как PDF. Закройте приложение.
  3. Щелкните файл PDF, выберите в меню «Открыть с помощью» и выберите «Предварительный просмотр».
  4. Щелкните «Файл» и выберите «Экспорт» в раскрывающемся меню.
  5. Щелкните формат и выберите, чтобы сохранить документ как файл JPEG.
  6. Используйте ползунок для выбора качества JPEG.
  7. Нажмите «Сохранить», чтобы подтвердить преобразование.

Использование программ просмотра / редактирования изображений

Вы можете использовать Microsoft Paint или другие средства просмотра и редакторы изображений для сохранения документов Word в формате JPG или GIF.

  1. Откройте документ, который вы хотите преобразовать.
  2. С помощью инструмента масштабирования измените размер документа так, чтобы он полностью отображался на экране.
  3. Нажмите Print Screen.
  4. Откройте Microsoft Paint или аналогичное приложение, например IrfanView или FastStone Image Viewer.
  5. Нажмите CTRL + V. Скопированное изображение появится на экране.
  6. Используйте инструмент кадрирования, чтобы удалить ненужные части снимка экрана.
  7. Нажмите «Сохранить как» и присвойте файлу имя.
  8. Выберите формат JPG или GIF.

Использование онлайн-конвертеров

Основным преимуществом онлайн-конвертеров является то, что они просты в использовании и работают на любой платформе, если у вас есть современный браузер.

  1. Перейдите на веб-сайт Word в JPEG.
  2. Щелкните «Загрузить файлы». Вы можете выбрать до 20 документов Word для преобразования. Общий размер файла не может превышать 50 МБ.
  3. После завершения преобразования загрузите файлы JPG один за другим или в виде архива ZIP.

Преобразование документов Word в изображения по вашему усмотрению

Каждый из описанных подходов имеет свои преимущества и недостатки. Если вам нужно преобразовать одну страницу в JPG или GIF, используйте Print Screen и Microsoft Paint или Paste Special — самый быстрый способ сделать это.

Однако, если вы работаете с несколькими страницами, есть лучшие решения. Рекомендуется сохранять документы в формате PDF перед их преобразованием с помощью стороннего приложения в Windows или инструмента предварительного просмотра. Как вариант, вы можете обратиться к онлайн-конвертерам.

Какой из этих методов преобразования лучше всего соответствует вашим потребностям? Как часто нужно преобразовывать документы Word в изображения? Поделитесь своими мыслями в комментариях.

WORD в JPG — конвертировать WORD в JPG онлайн бесплатно

Только варианты преобразования документа:

Опции только для преобразования изображений:

Размер изображения: Сохранить исходный размер изображения Изменить ширину и высоту Изменить только ширину Изменить только высоту Изменить процент от исходного

Опции только для конвертации видео:

Размер видео: Храните оригинал видео sizeCustomize видео size160x112176x144220x176320x240352x240352x288368x208480x272480x320480x480480x576512x384640x480 (480p) 720x480720x5761080x720 (720p) 1440x10801920x1080 (1080p) 1920x12002048x15362560x14402560x16003840x2160

Битрейт видео: Сохранять исходный битрейт видео Настроить битрейт видео 64k96k112k128k160k192k256k384k512k768k1024k2000k4000k5000k6000k8000k10000k12000k

Частота кадров: Сохранить исходную частоту кадров Настроить частоту кадров 81012152023.976242529.97305060

Видео аспект: Сохранить исходный формат видео 4: 316: 9

Опции только для преобразования аудио:

Битрейт аудио: Сохранить исходный битрейт аудио Настроить битрейт аудио 32k64k96k128k160k192k224k256k320k

Частота дискретизации: Сохранить исходную частоту дискретизации Настроить частоту дискретизации 11025220504410048000

Как сохранить документ Word как файл изображения JPEG

Сохранение документов Word в формате JPEG позволяет по-разному манипулировать содержимым и повторно использовать его.Вот как.

Открыть документ Word очень просто, если у вас установлен Microsoft Word. Однако, если вы этого не сделаете или хотите преобразовать документ Word в другие форматы, процесс может оказаться непростым. Чтобы обойти эту проблему, вы можете преобразовать документы Word в изображения JPEG.

Это не только сделает ваше содержимое Word доступным для всех, но и позволит вам редактировать его для использования в другом месте. Чтобы сохранить документ Word в виде файла изображения JPEG, необходимо использовать несколько обходных путей. Вот как это сделать.

Извлечение страниц документа Word как изображений JPEG

Нет встроенной опции для сохранения документа Word как файла изображения. Чтобы сохранить его в формате JPEG, вам понадобится инструмент для создания снимков экрана. Это позволит вам скопировать одну страницу Word и сохранить ее как изображение.

Хорошим сторонним вариантом является Snagit, но если вы используете Windows 10, проще использовать встроенный инструмент Snip & Sketch , заменяющий старый инструмент Windows Snipping Tool. Это позволит вам сделать снимок экрана страницы документа, игнорируя остальную часть экрана.

Чтобы использовать Snip & Sketch, нажмите кнопку меню «Пуск» Windows , затем найдите и щелкните запись Snip & Sketch в категории S .

Чтобы сделать снимок экрана страницы документа Word, убедитесь, что ваша страница видна на экране. Затем вернитесь к инструменту Snip & Sketch, затем нажмите кнопку New , чтобы сделать снимок экрана.

Если вам нужна задержка до начала процесса создания снимка экрана, нажмите кнопку со стрелкой вниз рядом с кнопкой Новый и выберите вместо этого одну из записей.

Появится меню наложения снимков экрана. При желании вы можете нажать клавиши Windows + Shift + S , чтобы перейти прямо в это меню, не открывая предварительно приложение Snip & Sketch.

Чтобы сделать снимок экрана вашей единственной страницы Word, вам нужно выбрать область экрана, содержащую его. Удерживайте левую кнопку мыши, чтобы начать выбор, затем перетащите курсор, чтобы выбрать область.

Отпустите кнопку мыши, как только вы выбрали свою область — инструмент Snip & Sketch после этого отобразит снимок экрана.Вы можете редактировать изображение в Snip & Sketch напрямую, используя инструменты, показанные в строке меню, хотя они довольно простые.

Чтобы сохранить изображение, нажмите кнопку Сохранить как в верхнем левом углу или нажмите Ctrl + S на клавиатуре.

Выберите JPG или другой формат изображения в диалоговом окне « Сохранить как» в раскрывающемся меню «Сохранить как ». По умолчанию Snip & Sketch сохраняет в формате PNG.

Дайте вашему изображению имя в поле Имя файла , затем нажмите Сохранить , чтобы сохранить изображение.

После сохранения вы можете редактировать изображение дальше или экспортировать его в другую программу, например PowerPoint.

Преобразование всего документа Word в изображения

Чтобы сохранить весь документ Word в виде файлов изображений JPEG, необходимо время, выполнив описанные выше действия. К счастью, есть более простой способ. Вы можете сначала сохранить весь документ Word в формате PDF, а затем преобразовать из этого формата в JPEG.

Word позволяет сохранять напрямую в формате PDF. Для этого откройте документ Word, нажмите Файл> Сохранить как , выберите PDF из раскрывающегося меню Сохранить как тип , затем нажмите Сохранить для завершения.

После сохранения вы можете преобразовать свой PDF в JPG с помощью Foxit PhantomPDF, для которого предоставляется 14-дневная пробная версия.

В качестве альтернативы вы можете использовать Adobe Acrobat Reader, но для этого требуется платная подписка Adobe для преобразования файлов. Вы также можете использовать онлайн-сервис, но мы не рекомендуем этого делать для конфиденциальных файлов.

Откройте преобразованный файл Word в PDF с помощью PhantomPDF после его установки. Оттуда нажмите Конвертировать> В изображение> JPEG или другой формат изображения, например PNG .

В диалоговом окне Сохранить как подтвердите страницы, которые вы хотите преобразовать, нажав Настройки , а затем нажмите ОК > Сохранить , чтобы начать процесс преобразования.

PhantomPDF на этом этапе преобразует весь документ PDF в отдельные изображения для каждой страницы. Каждое изображение будет последовательно пронумеровано, начиная с имени файла, указанного в диалоговом окне Сохранить как .

После завершения процесса вы можете редактировать, манипулировать и повторно использовать изображения.

Переработка содержимого документа Word

Вам не нужно сохранять документ Word в формате JPEG, но это позволяет легко переработать содержимое. Вы можете, например, вставить свои изображения в презентацию PowerPoint.

Сохраненные изображения в формате JPEG можно обрезать, изменять и редактировать так, как это невозможно в обычном документе Word. Конечно, Photoshop — хороший вариант, но вы даже можете редактировать изображения с помощью Word в новом документе, если у вас не установлено программное обеспечение для редактирования фотографий.

Как сохранить документы Word как файлы JPEG | Малый бизнес

Кимберли Леонард Обновлено 13 августа 2018 г.

Компьютерные программы, такие как Microsoft Word, являются мощными инструментами для владельцев бизнеса для создания и редактирования документов. Документы Word имеют расширение файла .docx, представляющее программу обработки текста. Хотя программа может хранить в файле различные изображения, вы не можете напрямую сохранить файл Word как файл .jpeg, который является форматом файлов для изображений. В зависимости от того, что именно вам нужно записать в цифровом виде в формате JPEG, вам может потребоваться выполнить несколько шагов, чтобы преобразовать файл.doc в файл .jpg.

Использование Microsoft Paint

Многие компьютерные системы с установленным Microsoft Word также имеют Microsoft Paint. Paint — это удобная программа для редактирования графики и изображений. Чтобы преобразовать Word в JPEG, вам необходимо выполнить преобразование «текст как изображение» или «документ как изображение», в котором используются как Word, так и Paint.

Начните с открытия файла Word. Измените размер документа так, чтобы весь документ был виден на экране с помощью функций масштабирования в Word.Вы можете преобразовать только то, что видно на экране, поэтому обязательно установите его соответствующий размер. Имейте в виду, что другие видимые части экрана также будут захвачены, но вы можете удалить лишнее в редакторе изображений. Нажмите кнопку «Печать экрана» на клавиатуре, чтобы скопировать видимую часть документа Word.

Перейдите в меню «Пуск» и откройте Microsoft Paint. В меню «Правка» выберите «Вставить». Скопированная часть документа Word появится в файле Paint. Используйте инструмент «Обрезка», чтобы удалить ненужные части документа.Выберите «Сохранить как» в меню «Файл» и присвойте файлу имя. Убедитесь, что под именем файла расширение документа .jpeg или .jpg, чтобы убедиться, что у вас есть файл JPEG. Повторите этот процесс для дополнительных страниц в документе Word.

Использование PowerPoint

PowerPoint — это программа Microsoft Office, используемая для создания статических и динамических слайдов презентации. Стандартное расширение файла PowerPoint — .ppt, но вы можете сохранять файлы в формате .jpeg, если измените тип расширения файла в процессе сохранения.

Откройте документ Word и новую пустую презентацию PowerPoint. Выберите пустой шаблон в PowerPoint, чтобы в окончательном документе не отображались дополнительные фоны. Скопируйте документ Word, используя «Выбрать все» и «Копировать» в меню редактирования Word. После копирования перейдите к слайду PowerPoint. Откройте текстовое поле и вставьте в него информацию из Word. Удалите все остальные текстовые и графические поля, если они есть в шаблоне слайда. Выберите «Сохранить как» в меню «Файл» и присвойте файлу имя.Выберите расширение файла .jpeg в раскрывающемся меню под именем, чтобы сохранить файл в формате JPEG.

Стороннее преобразование файлов

Существует множество сторонних программ для преобразования файлов из одного формата в другой. Zamzar или Neevia Technologies — две такие программы, которые вы можете использовать. Большинство этих инструментов требуют от вас поиска и открытия файла в сторонней программе. После того, как файл выбран, вы затем выбираете новое расширение файла, желаемое для документа. В этом случае вы должны использовать файл.jpeg расширение. Файл обычно конвертируется с возможностью либо загрузить по завершении, либо отправить файл себе по электронной почте.

Предупреждение

Использование сторонних программ подвергает пользователя риску распространения спама или компьютерных вирусов. Будьте осторожны при работе со сторонними решениями, найденными в Интернете, которые конвертируют файлы Word в файлы JPEG.

Сохранить картинку или другой графический объект в отдельный файл

Сохранить изображение как отдельный файл

В PowerPoint, Word и Excel следующая процедура работает с фотографиями, фигурами, диаграммами, графическими элементами SmartArt, цифровыми чернилами и текстовыми полями.

В Outlook следующая процедура работает только для фотографий.

  1. Щелкните правой кнопкой мыши рисунок, который вы хотите сохранить как отдельный файл изображения, а затем нажмите Сохранить как рисунок .

  2. В списке Сохранить как тип выберите нужный формат файла.

  3. В поле Имя файла введите новое имя для изображения или просто примите предложенное имя файла.

  4. Выберите папку, в которой вы хотите сохранить изображение.

  5. Нажмите Сохранить .

Форматы файлов изображений

Формат файла

Описание

GIF

(формат обмена графикой)

Поддерживает 256 цветов, и данные изображения не теряются при сжатии файла.

JPEG
(Формат обмена файлами)

Лучше всего использовать для изображений с большим количеством цветов, например для отсканированных фотографий.

PNG
(Формат переносимой сетевой графики)

Повышает качество графики на веб-сайте, поскольку части изображения могут быть прозрачными, а яркость можно регулировать.

TIFF

Формат «без потерь», который не теряет качества каждый раз, когда файл изменяется и сохраняется.

Растровое изображение, независимое от устройства

Графика, созданная в одной программе, отображается в другой программе точно так же, как и в исходной программе.

Метафайл Windows

16-битный «векторный» графический формат

Расширенный метафайл Windows

32-битный «векторный» графический формат

SVG
(Масштабируемая векторная графика)
(Требуется версия 1909 или более поздняя)

Размер изображений можно изменять без потери качества.Файлы поддерживают сжатие данных без потерь.

Эта функция доступна в Word, PowerPoint и Excel. Он работает с фотографиями, фигурами, диаграммами, графикой SmartArt, цифровыми чернилами и текстовыми полями.

Сохранить картинку или другое изображение в отдельный файл

  1. Удерживая нажатой клавишу Control, щелкните иллюстрацию, которую нужно сохранить как отдельный файл изображения, а затем щелкните Сохранить как изображение .

  2. В списке Сохранить как тип выберите нужный формат файла.

  3. В поле Сохранить как введите новое имя для изображения или просто примите предложенное имя файла.

  4. В поле Где перейдите к папке, в которой вы хотите сохранить изображение.

  5. Нажмите Сохранить .

Форматы файлов изображений

Формат файла

Описание

PNG
(Формат переносимой сетевой графики

Повышает качество графики на веб-сайте, поскольку части изображения могут быть прозрачными, а яркость можно регулировать.

JPEG
(Объединенная группа экспертов по фотографии)

Лучше всего использовать для изображений с большим количеством цветов, например для отсканированных фотографий.

PDF
(Формат переносимого документа)

Переносимый формат, который может включать текст и изображения.

GIF
(Формат обмена графикой)

Поддерживает 256 цветов, и данные изображения не теряются при сжатии файла.

БМП
(Независимое от устройства растровое изображение)

Графика, созданная в одной программе, отображается в другой программе точно так же, как и в исходной программе.

Загрузка пакетного конвертера WORD в JPG (последняя версия 2021) для Windows 10, 8, 7

Каждое программное обеспечение выпускается под лицензией, которую можно найти на страницах программ, а также на страницах поиска или категорий. Вот наиболее распространенные типы лицензий:

Freeware

Freeware можно загрузить, использовать бесплатно и без каких-либо ограничений по времени . Бесплатные продукты можно использовать бесплатно как в личных, так и в профессиональных (коммерческих) целях.

Открытый исходный код

Программное обеспечение с открытым исходным кодом — это программное обеспечение с исходным кодом, которое каждый может проверить, изменить или улучшить. Программы, выпущенные под этой лицензией, могут использоваться бесплатно как в личных, так и в коммерческих целях. Существует множество различных лицензий с открытым исходным кодом, но все они должны соответствовать определению открытого исходного кода — вкратце: программное обеспечение можно свободно использовать, изменять и совместно использовать .

Бесплатная игра

Эта лицензия обычно используется для видеоигр, и она позволяет пользователям загружать и играть в игру бесплатно .По сути, продукт предлагается Free to Play (Freemium), и пользователь может решить, хочет ли он платить деньги (Premium) за дополнительные функции, услуги, виртуальные или физические товары, которые расширяют функциональность игры. В некоторых случаях пользователям может быть показана реклама.

Демо

Демо-программы имеют ограниченную функциональность бесплатно, но взимают плату за расширенный набор функций или за удаление рекламы из интерфейсов программы. В некоторых случаях все функции отключены до покупки лицензии.Демоверсии обычно не ограничены по времени (например, пробное программное обеспечение), но их функциональность ограничена.

Пробная

Пробная программа позволяет пользователю оценить программное обеспечение в течение ограниченного периода времени . После этого пробного периода (обычно от 15 до 90 дней) пользователь может решить, покупать программное обеспечение или нет. Несмотря на то, что большинство пробных программных продуктов ограничены по времени, некоторые также имеют ограничения по функциям.

Платный

Обычно коммерческое программное обеспечение или игры производятся для продажи или для коммерческих целей .

Конвертировать Word в JPEG

Универсальный конвертер документов — это полезный и мощный инструмент преобразования, который может преобразовывать изображения Word в формат .JPEG с использованием исходного форматирования документа. Этот простой конвертер представляет собой виртуальный принтер, а это значит, что вы можете конвертировать файлы так же просто, как если бы вы их распечатывали.

Microsoft Word позволяет сохранять документы в нескольких форматах, но формат JPEG не является одним из этих форматов. Есть много способов сохранить документ Word в формате JPEG, и Universal Document Converter — один из самых простых конвертеров Word в JPG.

Содержание

Как сохранить документ Word в формате JPEG за 5 шагов

  1. Загрузите и установите Универсальный конвертер документов.
  2. Откройте документ в Microsoft Word и нажмите Файл> Печать .
  3. Выберите Universal Document Converter в списке принтеров и щелкните Свойства принтера .
  4. Перейдите в формат файла и выберите JPEG
  5. Нажмите OK и Печать.

После завершения преобразования в файл JPEG выходные файлы будут сохранены в папке Documents \ UDC Output Files (по умолчанию).

Экспорт Word DOCX в JPG с различными настройками

Это программное обеспечение для Windows делает преобразование документов из формата Word в формат JPEG очень гибким, позволяя настроить процесс преобразования так, как вам нужно. Вы можете установить:

  • Формат страницы (A4, US Legal и многие другие)
  • Ориентация страницы (книжная / альбомная)
  • Разрешение
  • точек на дюйм (96-600 точек на дюйм или более)
  • Глубина цвета (1-24 бит)
  • Качественное сглаживание (для режима оттенков серого)
  • Качество JPEG (1-100)
  • Прогрессивный JPEG (оптимизирован для Интернета)

Дополнительно можно установить:

  • Обрезка и изменение размера страницы
  • Подгонка страницы под прямоугольник
  • Добавление водяного знака текста или изображения
  • Именование выходных файлов
  • Перезапись существующих файлов
  • Постобработка и др.

Преобразование Word в JPEG непосредственно из MS Word

Конвертируйте документы Word в форматы JPG, PDF или TIFF одним щелчком мыши! Просто используйте кнопки быстрого доступа на панели инструментов Microsoft Word.Эти кнопки мгновенно запускают преобразование файлов в JPG, PDF, TIFF или другие форматы с предварительно определенными настройками: исходный размер страницы, True Color (24 бит) и разрешение 300 DPI. Если вы пропустили включение этой функции во время установки — установите флажок рядом с Добавить панель инструментов в MS Office на вкладке Advanced .

Объединение нескольких страниц Word в один файл JPEG

Универсальный конвертер документов также позволяет объединять несколько файлов DOCX (DOC) в один многостраничный JPEG.Чтобы расположить несколько страниц на одном листе, проверьте параметры настройки страницы в меню печати Microsoft Word. Здесь вы можете выбрать, сколько страниц на листе вам понадобится:

Чтобы сохранить несколько страниц Word в виде одного файла JPG, выполните следующие действия:

  1. Откройте документ Word, который вы хотите преобразовать в JPG.
  2. Щелкните Печать и найдите параметр 1 страница на листе в разделе «Настройки».
  3. Выберите необходимое количество страниц на листе (2-16)
  4. Выберите Universal Document Converter в списке принтеров и щелкните Свойства принтера .
  5. Перейдите к формату файла и выберите JPEG.
  6. Щелкните Ok и Print.

Преобразование DOC в JPG в пакетном режиме

УДК с ПО для пакетной печати

Универсальный конвертер документов может работать с программой Print Conductor, позволяя конвертировать множество файлов одновременно. Просто запустите Print Conductor, выберите Universal Document Converter в списке принтеров и добавьте все необходимые файлы Word в Print Conductor.Нажмите кнопку Начать печать , чтобы начать пакетное преобразование файлов. Программа сообщит вам, когда все файлы будут успешно преобразованы. Вот краткое пошаговое руководство:

  1. Кондуктор для открытой печати
  2. Добавить документы в список программы
  3. Выберите универсальный конвертер документов в качестве принтера
  4. Нажмите Свойства принтера
  5. Перейдите в формат File Format , выберите JPEG Image и нажмите OK
  6. Нажмите Начать печать в главном окне Print Conductor
  7. Получить преобразованные файлы в папке UDC Output Files

DocuFreezer — простой конвертер пакетов

DocuFreezer — удобная легкая программа для преобразования документов в форматы PDF, JPG, TIFF или PNG в пакетном режиме.Программа очень проста — вы можете просто перетащить все файлы Word, выбрать JPEG в качестве выходного формата, нажать Start и пойти быстро выпить кофе (или чай?), Пока файлы конвертируются. Также поддерживаются многие типы файлов, помимо Word. Но скорее возвращайтесь, потому что программа работает довольно быстро благодаря мощному процессору.

Часто задаваемые вопросы

Q: Как сохранить цвет фона или фоновое изображение при преобразовании документа из Word в JPEG?

Если фон документа не печатается должным образом, откройте документ, нажмите Печать> Параметры страницы> Бумага> Параметры печати…> Отобразить и включить Печать цветов фона и изображений .

Q: Мне нужно ежедневно конвертировать около 150 документов из Word в формат JPEG. Как мне автоматизировать эту задачу?

Программа Print Conductor может печатать документы Word в пакетном режиме. Если вы выберете Универсальный конвертер документов из списка принтеров, PrintConductor будет использовать его для преобразования документов из Word в JPEG вместо их печати на настольном принтере.Вы также можете использовать DocuFreezer для той же задачи.

Q: Могу ли я конвертировать Word в JPEG без установленного Microsoft Word на моем компьютере?

Универсальный конвертер документов использует общедоступный API Microsoft Office для преобразования документов. Программное обеспечение Microsoft Office обычно используется для открытия файлов .doc и .docx, но наличие Microsoft Word не обязательно. Вы можете использовать бесплатные альтернативы Microsoft Word, такие как OpenOffice или Libre Office, чтобы преобразовать их в формат JPG с помощью Универсального конвертера документов, как описано на этой странице.

Q: Мне нужно самому автоматизировать преобразование документов из Word в JPEG с помощью VB.NET. У вас есть примеры?

Да, вы можете найти примеры исходного кода для Visual Basic и Visual C ++ в разделе «Решения для разработчиков» на веб-сайте Universal Document Converter.

Какой конвертер Word в JPEG лучше?

В целом, Universal Document Converter — это простое в использовании решение с широким спектром функций, которое поддерживает различные форматы преобразования.DocuFreezer также поможет вам конвертировать файлы и может конвертировать несколько файлов в три клика, но без множества гибких настроек.

Масштаб 1 к 6: Калькулятор масштабов

СОЛДАТИКИ | Масштаб 1/6 | Запчасти для action figures солдатиков миниатюры.

Модели солдатиков в масштабе 1/6, или как их принято еще называть – коллекционные фигуры, а так же Military action figures 1/6 , у нас, в России в силу ряда причин пока незаслуженно обойдены широким вниманием и являются в основном уделом небольшого числа любителей-коллекционеров.

Хотя на Западе, в США а также ряде других стран купить модели в шестом масштабе не составляет проблем и они  пользуются там огромной популярностью. Преимущественно в среде увлекающихся военно-исторической миниатюрой. Это и не удивительно, ведь по сравнению с тем же 35-м, фигуры в шестом масштабе гораздо более детализированы и при определенных навыках открывают большие возможности для моделирования.

Использование новых технологий росписи, позволило некоторым производителям (таким как например Hot Toys и Did) добиться удивительного эффекта — с расстояния полуметра 30-ти сантиметровая фигурка выглядит как живой человек. Кроме того,такая фигурка обладает артикуляцией(может принимать различные позы) в отличие от традиционных склеиваемых моделей.

Нередко проводятся масштабные тактические варгеймы на открытом воздухе в которых принимают участие десятки а нередко и сотни фигур солдатиков и моделей бронетехники. Подобные мероприятия со стороны очень зрелищны и мало кого оставляют равнодушными.

Конечно, найдутся наверное и злые языки которые, как это часто сплошь и рядом бывает, в своих категоричны, поверхностных и неумных «мнениях» нарекут это занятие «игрою в куклы» . Ну так и что с того? Многие великие люди играли в солдатиков- Суворов, Наполеон, Черчиль…Каждому – свое, как говорится.

С нашей стороны нам бы тоже очень хотелось внести свой скромный посильный вклад в дело популяризации шестого масштаба.

Данный сайт создавался и существует абсолютно вне сферы политики. Он ни коим образом не пропагандирует и не разделяет идей фашизма, национал-социализма, коммунизма, сионизма и еще чего бы то там ни было. Сайт ориентирован исключительно на помощь тем кто увлечен военной историей, реконструкцией,  коллекционированием и военной миниатюрой в масштабе 1/6.

Если Вы коллекционируете или самостоятельно создаете фигурки солдат или военные миниатюры 1/6,

Если при этом ВЫ хотели бы:

— оптимизировать свои расходы и купить только то, что на 100% будет востребовано в Вашей личной коллекции;

— не покупать в нагрузку в комплекте то что Вам непосредственно не нужно;

— чтобы ваши фигуры 1/6 внешне максимально соответствовали своим историческим прототипам — имели бы правильную для данного периода времени униформу, камуфляж, знаки отличия и т.д;

— самостоятельно создавать военные миниатюры с учетом Ваших личных пожеланий имея возможность купить  специализированные товары со всего мира;

— экспериментировать, не опасаясь при этом что если что-то будет испорчено или сломано то Вам трудно будет найти этому замену;

-оперативно заказывать и получать новинки 1/6 scale тематики сразу же по мере их выхода а не ждать несколько месяцев;

При этом Вам совершенно не нужно:

— владеть иностранными языками;

— тратить свое время на то чтобы вникнуть во все премудрости международных электронных систем оплаты и тонкости таможенного законодательства;

Если вы устали от безуспешных поисков каких-нибудь редких и нужных вам аксессуаров,

Если вы просто хотите заниматься своим ЛЮБИМЫМ ХОББИ

независимо от всего вышеперечисленного —

Мы готовы во всем этом вам помочь.

Мы дорожим своей деловой репутацией и всегда стараемся ориентироваться на потребности покупателей. В основе нашего бизнеса — порядочность, ответственность, здравый смысл и строгое следование достигнутым договоренностям. Наша цель не состоит в том чтобы объять необъятное.
На этом основании мы никогда не станем браться за то находится за пределами
наших возможностей.

Каждый клиент для нас – это, безусловно, друг и коллега по увлечению.

Мы всегда вежливы и корректны по отношению к нашим коллегам-конкурентам: «Живи и не мешай жить другим»

Мы свободны от закостенелых догм и предрассудков и всегда открыты для конструктивных замечаний и предложений делового характера.

С уважением ко всем,

Администрация сайта

 

Радиоуправляемый трюковый вездеход Zegan Твистер масштаб 1:6

Радиоуправляемый вездеход Zegan 1:6 — это  интересная машина нового поколения. Она бросает вызов всем препятствиям, даже неровным и скалистым местностям. Трюковой внедорожник с уникальным внешним видом, оснащен системой полного привода. Меняет высоту, положение шасси путем нажатия кнопки на пульте для преодоления препятствий. Эффектный дизайн, яркая расцветка и, конечно же, мощные колеса, делают его очень привлекательным в глазах ребенка. А когда он возьмет в руки пульт, то сможет убедиться и в отличных качествах джипа, играя преодолеет бездорожья.

Особенности модели:

  • Размер модели: 560 x 310 x 130 мм
  • Основные функции: движение вперед, назад, повороты налево и направо, перевертыш, вращение на 360 °, максимальный подъем 45 °, трансформация
  • Аккумулятор: Li-Po 7,4 В / 1200 мАч
  • Время зарядки: около 4-5 часов
  • Продолжительность: около 25 минут
  • Максимальная дальность управления: около 45 метров
Характеристики
Масштаб модели1:8
Тип аппаратуры2.4 Гц
Тип аккумулятораLi-Po
Тип двигателяКоллекторный
Привод4WD
ВлагозащитаНет
Максимальная скорость км/ч10
Габариты (д,ш,в)560x310x130
Время работы (мин)25
Тип управленияПропорционально
ТрансформацияЕсть
КлассВездеход

Меркель: масштаб трагедии на западе ФРГ станет ясен в следующие дни

https://ria.ru/20210716/navodneniya-1741466516.html

Меркель: масштаб трагедии на западе ФРГ станет ясен в следующие дни

Меркель: масштаб трагедии на западе ФРГ станет ясен в следующие дни — РИА Новости, 16.07.2021

Меркель: масштаб трагедии на западе ФРГ станет ясен в следующие дни

Окончательный масштаб трагедии на западе Германии станет ясен только в следующие дни, заявила канцлер ФРГ Ангела Меркель на совместной пресс-конференции с… РИА Новости, 16.07.2021

2021-07-16T01:36

2021-07-16T01:36

2021-07-16T01:36

наводнение в германии

ангела меркель

германия

в мире

/html/head/meta[@name=’og:title’]/@content

/html/head/meta[@name=’og:description’]/@content

https://cdn22.img.ria.ru/images/07e5/07/0f/1741418332_0:170:3072:1898_1920x0_80_0_0_2082af58650590194c43f685aba4d7c6.jpg

БЕРЛИН, 16 июл — РИА Новости. Окончательный масштаб трагедии на западе Германии станет ясен только в следующие дни, заявила канцлер ФРГ Ангела Меркель на совместной пресс-конференции с президентом США Джо Байденом в Вашингтоне.»Опасаюсь, что весь масштаб трагедии мы увидим только в следующие дни. Мои глубокие соболезнования — всем, кто потерял в этой катастрофе близких и друзей или кто еще боится за пропавших без вести», — заявила Меркель, мероприятие транслируется на сайте правительства Германии.Она добавила, что «спасательные службы совершают невероятное в самых тяжелых и опасных условиях», оказывая помощь пострадавшим в затронутых бедствием районах.По последним данным, жертвами наводнений на западе ФРГ стали 58 человек, около 1,3 тысячи считаются пропавшими без вести.

https://ria.ru/20210716/navodneniya-1741463206.html

германия

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

2021

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

Новости

ru-RU

https://ria.ru/docs/about/copyright.html

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

https://cdn25.img.ria.ru/images/07e5/07/0f/1741418332_329:0:3060:2048_1920x0_80_0_0_9eb1b4e23efd3ca14a3bffd33fcfa28b.jpg

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

РИА Новости

[email protected]

7 495 645-6601

ФГУП МИА «Россия сегодня»

https://xn--c1acbl2abdlkab1og.xn--p1ai/awards/

наводнение в германии, ангела меркель, германия, в мире

Меркель: масштаб трагедии на западе ФРГ станет ясен в следующие дни

БЕРЛИН, 16 июл — РИА Новости. Окончательный масштаб трагедии на западе Германии станет ясен только в следующие дни, заявила канцлер ФРГ Ангела Меркель на совместной пресс-конференции с президентом США Джо Байденом в Вашингтоне.

«Опасаюсь, что весь масштаб трагедии мы увидим только в следующие дни. Мои глубокие соболезнования — всем, кто потерял в этой катастрофе близких и друзей или кто еще боится за пропавших без вести», — заявила Меркель, мероприятие транслируется на сайте правительства Германии.

16 июля, 00:26

В Германии из-за наводнений пропали без вести более тысячи человек

Она добавила, что «спасательные службы совершают невероятное в самых тяжелых и опасных условиях», оказывая помощь пострадавшим в затронутых бедствием районах.

По последним данным, жертвами наводнений на западе ФРГ стали 58 человек, около 1,3 тысячи считаются пропавшими без вести.

В 1 см 10 метров какой масштаб. Поперечный масштаб. Масштабы топографических карт

Бетуганов Астемир

Руководитель проекта:

Шопагова Алла Сергеевна

Учреждение:

МКОУ «СОШ №27» г. Нальчика

В представленной исследовательской работе по математике на тему «Масштаб и его применение» я постараюсь выяснить при каком масштабе будет удобно располагать объекты на листе А4. Работа над исследовательским проектом о масштабе поможет закрепить мне полученные знания по математике.

В моем исследовательском проекте по математике «Масштаб и его применение» мне необходимо будет уточнить и сопоставить математические расчёты с полученными данными.


В ходе исследовательской работы по математике о масштабе и его применении я надеюсь, что масштабы которые я задам, позволят расположить мне объекты на альбомном листе А4.

Также, в практической части своей работы я рассмотрю и математически решу интересные задачи на расстояние и масштаб.

Введение
Основная часть
1. Определение масштаба.
2. Решение интересных задач на масштаб.
Выводы
Приложения.

Введение

На уроках математики в 6 классе мы проходили эту интересную тему, из которой узнали, как, используя масштаб, можно найти расстояние на местности, зная длину отрезка на карте, соответствующего этому расстоянию на местности , и наоборот.


Рисуя на бумаге изображение предметов, мы чаще всего вынуждены изменять их настоящие размеры: большие предметы приходится изображать в уменьшенном виде, а маленькие – увеличивать.

Участки земной поверхности изображают на бумаге в уменьшенном виде. Примером такого изображения служит любая карта, план. А маленькие детали изображают на чертежах в увеличенном виде.

Но чертеж, карта или план должны давать представление о настоящих размерах предметов. Поэтому на чертежах и картах делают специальную запись, показывающую отношение длины отрезка на карте или чертеже к его настоящей длине.

Тема моего исследовательского проекта по математике «Масштаб и его применение ».

Цель проекта: выяснить при каком масштабе будет удобно располагать объекты на листе А4.

Задачи проекта:

  1. закрепить школьные знания по математике;
  2. уточнить, сопоставимы ли математические расчёты с полученными данными.

Гипотеза: выкройки наиболее эффективно чертить 1:10, планировку квартиры 1:100; паспорт дома 1:1000; карту города 1:10000; карту района 1:100000.

Ожидаемый результат: заданные мною масштабы, позволят расположить объекты на альбомном листе.

Оборудование:
линейка, карандаш, циркуль, калькулятор, карта.
лист А 4, линейка, карандаш.

Определение масштаба


Масштаб – это дробь, где в числителе единица, а в знаменателе то число, которое показывает во сколько раз уменьшено расстояние на плане местности, чем на местности.

Например: 1:1000 (одна тысячная) значит, все расстояния на местности уменьшены в тысячу раз. Чем больше число в знаменателе дроби, тем больше уменьшение и тем больше охват территории.

  • численный , выражается в числах 1:1000;
  • именованный , выражается словами, то есть см переводим в м: в 1см 10м, 10м – это величина масштаба;
  • линейный , зная величину масштаба, мы можем определить расстояния.

Посмотрим на карту. Вверху указан масштаб (1: 500 000). Говорят, что карта сделана в масштабе одна пятисоттысячная. Это значит, что 1 см на карте соответствует 500 000 см на местности. Значит, отрезок на карте в 1 см соответствует отрезку на местности в 5 км.

А если я возьму на карте отрезок длиной в 3 см, то на местности это будет отрезок длиной в 15 км.

Я скачал с интернета карту Кабардино-Балкарской Республики. Карта республики с масштабом 1:10000, то есть в 1 см 100 метров, а масштаб окрестностей 1:100000 в 1 см 1 километр. Я сразу нашёл по ней мое родное село.

Итак, масштаб (нем. Maßstab , букв. «мерная палка »: Maß «мера », Stab «палка ») — в общем, отношение двух линейных размеров.

Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта .

Понятие масштаба наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании — отношение натуральной величины объекта к величине его изображения.

Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину, и поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже, макете и так далее, человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысяча и так далее раз. Число показывающее, во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб.

Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому увеличивает величину ее изображения в несколько раз.

Число, показывающее во сколько раз, произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб.

Некоторые фотографы измеряют масштаб как отношение размеров объекта к размерам его изображения на бумаге, экране или ином носителе.

Правильная методика определения масштаба зависит от контекста, в котором используется изображение.

Выводы

Сравнил свои предположения, выдвинутые в моей гипотезе с надписями на выкройках, картах и технических планах дома и квартиры. Оказалось , что кое-где я ошибся в 10 и даже в 100 раз.

  • выкройки наиболее эффективно чертить 1:10;
  • планировку квартиры 1:100;
  • паспорт дома 1:1000;
  • карту города 1:10000;
  • карту района 1:100000.

На самом деле, план квартиры обычно берут в масштабе 1:200; масштабы карт оказались точно такими же, как и в оригинале, но располагаются они аж на 6 альбомных листах!

Так что в который раз, я убеждаюсь, что прежде чем предполагать, нужно несколько раз пересчитать.

Таким образом , мы сформировали понятие масштаба, карты, чертежа, отрабатывали решение задач на вычисление длины отрезка на местности и на карте.

Решение задач на масштаб

Задача 1. Расстояние между двумя городами равно 400 км. Найдите длину отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе 1:5000000.

Решение:
400км = 400000м = 40000000см
40000000: 5000000 = 40: 5 = 8 (см)

Задача 2. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по прямой составляет примерно 635 км от центра до центра. По автотрассе протяженность маршрута 700 км.
Во сколько раз надо уменьшить это расстояние, чтобы его можно было изобразить на слайде в виде отрезка длиной в 14 см?

Решение:
700км = 700000м = 70000000см
70000000см: 14см = 5000000(раз)

Масштаб карты — это отношение длины отрезка на карте к его действительной длине на местности.

Масштаб (от немецкого — мера и Stab — палка) — это отношение длины отрезка на карте, плане, аэро- или космическом снимке к его действительной длине на местности.

Рассмотрим виды масштабов.

Численный масштаб

Это масштаб, выраженный в виде дроби, где числитель — единица, а знаменатель — число, показывающее во сколько раз уменьшено изображение.

Численный масштаб — масштаб, выраженный дробью, в которой:

  • числитель равен единице,
  • знаменатель равен числу, показывающему во сколько раз уменьшены линейные размеры на карте.

Именованный (словесный) масштаб

Это вид масштаба, словесное указание того, какое расстояние на местности соответствует 1 см на карте, плане, снимке.

Именованный масштаб выражается именованными числами, обозначающими длины взаимно соответствующих отрезков на карте и в натуре.

Например, в 1 сантиметре 5 километров (в 1 см 5 км).

Линейный масштаб

Это вспомогательная мерная линейка, наносимая на карты для облегчения измерения расстояний.

Масштаб плана и масштаб карты

Масштаб плана одинаков во всех его точках.

Масштаб карты в каждой точке имеет свое частное значение, зависящее от широты и долготы данной точки. Поэтому его строгой числовой характеристикой является численный масштаб — отношение длины бесконечно малого отрезка Д на карте к длине соответствующего бесконечно малого отрезка на поверхности эллипсоида земного шара.

Однако, при практических измерениях на карте используют её главный масштаб.

Формы выражения масштаба

Обозначение масштаба на картах и планах имеет три формы — численный, именованный и линейный масштабы.

Численный масштаб выражают дробью, в которой:

  • числитель — единица,
  • знаменатель М — число, показывающее, во сколько раз уменьшены размеры на карте или плане (1:М)

В России для топографических карт приняты стандартные численные масштабы

  • 1:1 000 000
  • 1:500 000
  • 1:300 000
  • 1:200 000
  • 1:100 000
  • 1:50 000
  • 1:25 000
  • 1:10 000
  • для специальных целей создают также топографические карты в масштабах 1:5 000 и 1:2 000

Основными масштабами топографических планов в России являются

  • 1:5000
  • 1:2000
  • 1:1000
  • 1:500

В землеустроительной практике планы землепользований чаще всего составляют в масштабах 1:10 000 и 1:25 000 , а иногда — 1:50 000.

При сравнении различных численных масштабов более мелким является тот, у которого больше знаменатель М , и, наоборот, чем меньше знаменатель М , тем крупнее масштаб плана или карты.

Так, масштаб 1:10000 крупнее, чем масштаб 1:100000 , а масштаб 1:50000 мельче масштаба 1:10000 .

Примечание

Применяемые в топографических картах масштабы установлены Приказом Министерства экономического развития РФ «Об утверждении требований к государственным топографическим картам и государственным топографическим планам, включая требования к составу сведений, отображаемых на них, к условным обозначениям указанных сведений, требования к точности государственных топографических карт и государственных топографических планов, к формату их представления в электронной форме, требований к содержанию топографических карт, в том числе рельефных карт» (№ 271 от 6 июня 2017 года с изменениями на 11 декабря 2017 года).

Именованный масштаб

Так как длины линий на местности принято измерять в метрах, а на картах и планах в сантиметрах, то масштабы удобно выражать в словесной форме, например:

В одном сантиметре 50 м. Это соответствует численному масштабу 1:5000. Поскольку 1 метр равен 100 сантиметрам, то число метров местности, содержащееся в 1 см карты или плана, легко определяют путём деления знаменателя численного масштаба на 100.

Линейный масштаб

Представляет собой график в виде отрезка прямой, разделенного на равные части с подписанными значениями соразмерных им длин линий местности. Линейный масштаб позволяет без вычислений измерять или строить расстояния на картах и планах.

Точность масштаба

Предельная возможность измерения и построения отрезков на картах и планах ограничена величиной 0,01 см. Соответствующее ей число метров местности в масштабе карты или плана представляет собой предельную графическую точность данного масштаба.

Поскольку точность масштаба выражает длину горизонтального проложения линии местности в метрах, то для ее определения следует знаменатель численного масштаба разделить на 10 000 (1 м содержит 10 000 отрезков по 0.01 см). Так, для карты масштаба 1:25 000 точность масштаба равна 2.5 м; для карты 1:100 000 — 10 м и т. п.

Масштабы топографических карт

численный масштаб

карты

название карты

1 см на карте

соответствует

на местности расстоянию

1 см 2 на карте

соответствует

на местности площади

пятитысячная

1:10 000

десятитысячная

1:25 000

двадцатипятитысячная

1:50 000

пятидесятитысячная

1:1100 000

стотысячная

1:200 000

двухсоттысячная

1:500 000

пятисоттысячная, или полумиллионная

1:1000000

мииллионная

Ниже приведены численые маштабы карт и соответствующие им именованые масштабы:

Масштаб 1:100 000

  • 1 мм на карте — 100 м (0.1 км) на местности
  • 1 см на карте — 1000 м (1 км) на местности
  • 10 см на карте — 10000 м (10 км) на местности

Масштаб 1:10000

  • 1 мм на карте — 10 м (0.01 км) на местности
  • 1 см на карте — 100 м (0.1 км) на местности
  • 10 см на карте — 1000м (1 км) на местности

Масштаб 1:5000

  • 1 мм на карте — 5 м (0.005 км) на местности
  • 1 см на карте — 50 м (0.05 км) на местности
  • 10 см на карте — 500 м (0.5 км) на местности

Масштаб 1:2000

  • 1 мм на карте — 2 м (0.002 км) на местности
  • 1 см на карте — 20 м (0.02 км) на местности
  • 10 см на карте — 200 м (0.2 км) на местности

Масштаб 1:1000

  • 1 мм на карте — 100 см (1 м) на местности
  • 1 см на карте — 1000см (10 м) на местности
  • 10 см на карте — 100 м на местности

Масштаб 1:500

  • 1 мм на карте — 50 см (0.5 метра) на местности
  • 1 см на карте — 5 м на местности
  • 10 см на карте — 50 м на местности

Масштаб 1:200

  • 1 мм на карте — 0,2 м (20 см) на местности
  • 1 см на карте — 2 м (200 см) на местности
  • 10 см на карте — 20 м (0.2 км) на местности

Масштаб 1:100

  • 1 мм на карте — 0,1 м (10 см) на местности
  • 1 см на карте — 1 м (100 см) на местности
  • 10 см на карте — 10м (0.01 км) на местности

Пример 1

Переведите численный масштаб карты в именованный:

  1. 1:200 000
  2. 1:10 000 000
  3. 1:25 000

Решение:

Для более легкого перевода численного масштаба в именованный нужно посчитать, на сколько нулей кончается число в знаменателе.

Например, в масштабе 1:500 000 в знаменателе после цифры 5 находится пять нулей.


Если после цифры в знаменателе пятьи более нулей, то, закрыв (пальцем, авторучкой или просто зачеркнув) пять нулей, получим число километров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.

Пример для масштаба 1:500 000

В знаменателе после цифры — пять нулей. Закрыв их, получим для именованного масштаба: в 1 см на карте 5 километров на местности.

Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей, то, закрыв два нуля, получим число метров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте.

Если, например, в знаменателе масштаба 1:10 000 закроем два нуля, получим:

в 1 см — 100 м.

Ответы:

  1. в 1 см — 2 км
  2. в 1 см — 100 км
  3. в 1 см — 250 м

Используйте линейку, накладывайте на карты для облегчения измерения расстояний.

Пример 2


Переведите именованный масштаб в численный:

  1. в 1 см — 500 м
  2. в 1 см — 10 км
  3. в 1 см — 250 км

Решение:

Для более легкого перевода именованного масштаба в численный нужно перевести расстояние на местности, указанное в именованном масштабе, в сантиметры.

Если расстояние на местности выражено в метрах, тогда чтобы получить знаменатель численного масштаба, нужно приписать два нуля, если в километрах, то пять нулей.


Например, для именованного масштаба в 1 см — 100 м расстояние на местности выражено в метрах, поэтому для численного масштаба приписываем два нуля и получаем: 1:10 000 .

Для масштаба в 1 см — 5 км приписываем к пятерке пять нулей и получаем: 1:500 000 .

Ответы:

  1. 1:50 000;
  2. 1:1 000 000;
  3. 1:25 000 000.

Типы карт в зависимости от масштабов

Карты в зависимости от масштабов условно подразделяют на следующие типы:

  • топографические планы — 1:400 — 1:5 000;
  • крупномасштабные топографические карты — 1:10 000 — 1:100 000;
  • среднемасштабные топографические карты — от 1:200 000 — 1:1 000 000;
  • мелкомасштабные топографические карты — менее 1:1 000 000.

Топографическая карта

Топографическими называются такие карты, содержание которых позволяет решать по ним разнообразные технические задачи.

Карты либо являются результатом непосредственной топографической cъемки местности, либо составляются по имеющимся картографическим материалам.

Местность на карте изображается в определенном масштабе.

Чем меньше знаменатель численного масштаба, тем крупнее масштаб. Планы составляют в крупных масштабах, а карты — в мелких.

В картах учитывается «шарообразность» земли, а в планах — нет. Из-за этого планы не составляются для территорий площадью свыше 400 км² (то есть участков земли примерно 20 км × 20 км).

  • Стандартные масштабы топографических карт

В нашей стране приняты следующие масштабы топографических карт:

  1. 1:1 000 000
  2. 1:500 000
  3. 1:200 000
  4. 1:100 000
  5. 1:50 000
  6. 1:25 000
  7. 1:10 000.

Этот ряд масштабов называется стандартным. Раньше этот ряд включал масштабы 1:300 000, 1:5000 и 1:2000.

  • Крупномасштабные топографические карты

Карты масштабов:

  1. 1:10 000 (1см =100м)
  2. 1:25 000 (1см = 100м)
  3. 1:50 000 (1см = 500м)
  4. 1:100 000 (1см =1000м)

называются крупномасштабными.

  • Другие масштабы и карты

Топографические карты территории России до масштаба 1:50 000 включительно являются секретными, топографические карты масштаба 1:100 000 — ДСП (для служебного пользования), а мельче — несекретными.

В настоящее время существует методика создания топографических карт и планов любых масштабов, не имеющих грифа секретности и предназначенных для открытого пользования.

Сказка про карту в масштабе 1:1

Жил-был Капризный Король. Однажды он объехал своё королевство и увидел, как велика и прекрасна его земля. Он увидел извилистые реки, огромные озёра, высокие горы и чудесные города. Он возгордился своими владениями и захотел, чтобы весь мир узнал о них.

И вот, Капризный Король приказал картографам создать карту королевства. Картографы трудились целый год и, наконец, преподнесли Королю замечательную карту, на которой были обозначены все горные гряды, крупные города и большие озёра и реки.

Однако, Капризный Король остался недоволен. Он хотел видеть на карте не только очертания горных цепей, но и изображение каждой горной вершины. Не только крупные города, но и мелкие, и селения. Он хотел видеть небольшие речки, впадающие в реки.

Картографы вновь принялись за работу, трудились много лет и нарисовали другую карту, размером в два раза больше предыдущей. Но теперь Король пожелал, чтобы на карте были видны перевалы между горными вершинами, маленькие озерца в лесах, ручейки, крестьянские домики на окраине селений. Картографы рисовали все новые и новые карты.

Капризный Король умер, так и не дождавшись окончания работы. Наследники один за другим вступали на трон и умирали в свою очередь, а карта все составлялась и составлялась. Каждый король нанимал новых картографов для составления карты королевства, но всякий раз оставался недовольным плодами труда, находя карту недостаточно подробной.

Наконец картографы нарисовали Невероятную карту! Она изображала всё королевство в мельчайших подробностях — и была точно такого же размера, как само королевство. Теперь уже никто не мог найти различия между картой и королевством.

Где же собирались хранить Капризные Короли свою замечательную карту? Ларца для такой карты не хватит. Понадобится огромное помещение вроде ангара, и в нем карта будет лежать во много слоев. Только нужна ли такая карта? Ведь карта в натуральную величину может быть с успехом заменена самой местностью))))

Полезно ознакомиться и с этим

  • Ознакомиться с используемыми в России единицами измерения площадей земельных участков можно .
  • Для тех, кого интересует возможность увеличения площади земельных участков для ИЖС, ЛПХ, садоводства, огродничества, находящихся в собственности, полезно ознакомиться с порядком оформления прирезок .
  • С 1 января 2018 года в кадастровом паспорте должны быть зафиксированы точные границы участка, поскольку купить, продать, заложить или подарить землю без точного описания границ будет попросту невозможно. Так регламентировано поправками к Земельному кодексу. А тотальная ревизия границ по инициативе муниципалитетов началась с 1 июня 2015 г.
  • С 1 марта 2015 года вступил в силу новый Федеральный закон «О внесении изменений в Земельный кодекс РФ и отдельные законодательные акты РФ» (N 171-ФЗ от 23.06.2014 г.), в соответствии с которым, частности, упрощена процедура выкупа земельных участков у муниципалитетов. Ознакомиться с основными положениями закона можно .
  • В отношении регистрации домов, бань, гаражей и других построек на земельных участках, находящихся в собственности граждан, улучшит ситуацию новая дачная амнистия .

Поперечный масштаб , в отличие от линейного масштаба, позволяет измерять и переносить линии на карту или план с большей точностью.

Обычно поперечный масштаб наносят на металлическую пластину, но его также можно построить на бумаге.

Начало построения поперечного масштаба аналогично построению линейного масштаба .

Два крайних перпендикуляра делят на 10 равных частей и через полученные точки проводят линии, параллельные основанию масштаба.

Верхнее левое основание, также как и нижнее левое основание, делят на 10 равных частей.

Точки деления левого верхнего основания и нижнего левого основания соединяют наклонными линиями как показано на рисунке. Эти наклонные линии называют трансверсалями .

Возле трансверсалей подписывают деления, которые равны сотой доле основания масштаба (100 м / 100 = 1 м).

На рисунке изображен поперечный масштаб с основанием 2 см соответствующие численному масштабу 1:5000 (2 см * 5000 = 10000 см = 100 м).

Таким образом, поперечный масштаб позволяет измерять и откладывать линии на карте или плане с точностью до сотой доли основания масштаба (1 м для численного масштаба 1:5000).

Поперечный масштаб используют следующим образом:

1). в раствор циркуля-измерителя с карты или плана берут отрезок, длину которого необходимо определить;

2). прикладывают циркуль к поперечному масштабу таким образом, чтобы его правая иголка находилась на нулевом или другом находящимся справа от нуля перпендикуляре, а левая иголка была на одной горизонтальной линии с правой иголкой;

3). суммируют отсчеты по перпендикулярам на правой и левой иголках циркуля справа и слева от нулевого перпендикуляра.

На рисунке длины измеренных отрезков по плану масштаба 1:5000 равны 252 метра и 477 метров.

Каждая карта имеет масштаб – число, которое показывает, сколько сантиметров на местности соответствует одному сантиметру на карте.

Масштаб карты обычно указан на ней. Запись 1: 100 000 000 означает, что если расстояние между двумя точками на карте равно 1 см, то расстояние между соответствующими точками её местности равно 100 000 000 см.

Может быть указан в численной форме в виде дроби – численный масштаб (например, 1: 200 000). А может быть обозначен в линейной форме: в виде простой линии или полосы, разделенной на единицы длины (обычно на километры или мили).

Чем крупнее масштаб карты, тем с более детально могут быть изображены на ней элементы ее содержания, и наоборот, чем мельче масштаб, тем более обширное пространство может быть показано на листе карты, но местность на ней изображается с меньшими подробностями.

Масштаб представляет собой дробь, в числителе которой единица. Чтобы определить, какой из масштабов крупнее и во сколько раз, вспомним правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель.

Отношение расстояния на карте (в сантиметрах) к соответствующему расстоянию на местности (в сантиметрах) равно масштабу карты.

Как же эти знания помогут нам при решении задач по математике?

Пример 1.

Рассмотрим две карты. Расстоянию в 900 км между пунктами А и В соответствует на одной карте расстояние в 3 см. Расстоянию в 1 500 км между пунктами С и D соответствует на другой карте расстояние в 5 см. Докажем, что масштабы карт одинаковы.

Решение.

Найдём масштаб каждой карты.

900 км = 90 000 000 см;

масштаб первой карты равен: 3: 90 000 000 = 1: 30 000 000.

1500 км = 150 000 000 см;

масштаб второй карты равен: 5: 150 000 000 = 1: 30 000 000.

Ответ. Масштабы карт одинаковы, т.е. равны 1: 30 000 000.

Пример 2.

Масштаб карты – 1: 1 000 000. Найдём расстояние между точками А и В на местности, если на карте
АВ = 3,42
см ?

Решение.

Составим уравнение: отношение АВ = 3,42 см на карте к неизвестному нам расстоянию х (в сантиметрах) равно отношению между теми же пунктами А и В на местности к масштабу карты:

3,42: х = 1: 1 000 000;

х · 1 = 3,42 · 1 000 000;

х = 3 420 000 см = 34,2 км.

Ответ: расстояние между пунктами А и В на местности равно 34,2 км.

Пример 3

Масштаб карты – 1: 1 000 000. Расстояние между пунктами на местности 38,4 км. Каково расстояние между этими пунктами на карте?

Решение.

Отношение неизвестного нам расстояния х между пунктами А и В на карте к расстоянию в сантиметрах между теми же пунктами А и В на местности равно масштабу карты.

38,4 км = 3 840 000 см;

х: 3 840 000 = 1: 1 000 000;

х = 3 840 000 · 1: 1 000 000 = 3,84.

Ответ: расстояние между пунктами А и В на карте равно 3,84 см.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Инструкция

Внимательно рассмотрите карту и найдите километровую сетку, которая должна быть на ней проставлена. Стороны квадратов сетки соответствуют определенному количеству , узнать это количество вы можете по подписям на выходах линии стеки у края рамки карты. К примеру, расстояние между двумя соседними линиями сетки равно 1 км. Измерьте это расстояние линейкой. Допустим, вы получили 2 см. Таким образом, масштаб карты: в 1 см 500 м или 1:50000.

Второй способ определения масштаба – по номенклатуре карты. Внимательно рассмотрите реквизиты карты. Номенклатура представляет собой буквенно-числовое листа карты. Любой масштабный ряд имеет свое конкретное , по которому специалист легко определит масштаб карты. Например, номенклатурное обозначение М-35 масштаб 1:1000000; М-35-XI обозначает масштаб 1:200000; М-35-18-А-6-1 – масштаб 1:10000 и т.д. Разумеется, для определения масштаба таким способом необходимо иметь представление о номенклатурных обозначениях и определенный опыт обращения с топографическими картами.

Третий способ определения масштаба карты – по известным расстояниям. Найдите изображения километровых столбов на шоссейных дорогах. Измерьте по карте расстояние от одного столба до другого. Вы сразу узнаете масштаб карты (число сантиметров карты будет соответствовать одному километру местности).

На картах масштаба 1:200000 на дорогах обозначены расстояния между населенными пунктами в километрах. В таком случае измерьте по карте при помощи линейки расстояние в сантиметрах от одного населенного пункта до другого, а подписанное количество километров разделите на расстояние, выраженное в сантиметрах. Таким образом, вы получили величину масштаба карты, то есть число километров в одном сантиметре.

Если вы находитесь на местности, которая изображена на карте, определите ее масштаб по измеренным расстояниям. Для этого измерьте расстояние между нанесенными на карту объектами.

Используйте также знание длины дуги меридиана. Одна минута по меридиану равна примерно 2 км, а более точно – 1,85 км. На боковой стороне рамки карты даны подписи градусов и минут, каждая минута выделена шашечкой. Если, допустим, длина одной минуты равна 3,7 см, то масштаб карты будет 1:50000 (один сантиметр на карте равен 0,5 км на местности).

Источники:

  • Как определить масштаб
  • Точность масштаба Длины линий на местности, соответствующие

В практическом применении масштаб, как правило, устанавливает отношение размера графического изображения объекта к натуральному размеру самого объекта. Любое вычерчиваемое изделие должно составляться в точном соответствии с масштабом. Определение масштаба на заданной карте или чертеже является важной задачей. Причем масштаб может быть представлен на изображении в числовом виде или графическом. В последнем случае говорят о линейном масштабе.

Вам понадобится

  • Измерительная линейка

Инструкция

Если задана определенная местность, найти масштаб можно, используя ориентиры с известными расстояниями. Вдоль дорог обычно располагаются километровые столбы. Найдите их на и с помощью линейки или сантиметровых делений измерьте расстояние между ближайшими изображенными столбами .

Переведите натуральное значение . Запишите отношение получившихся значений в виде 2:100000, где 2 – в вашем случае будет равняться числу измеренных сантиметров на карте, а 100000 – количеству сантиметров в 1 километре между столбами на местности.

Приведите полученное соотношение к виду масштаба. Для этого нужно получить отношение того, сколько сантиметров на местности соответствует одному сантиметру на карте. Для этого поделите выражение 2:100000 на первое число. Получите 1:50000 – это и есть масштаб вашей карты. Он означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 0,5 километров на местности.

При отсутствии на карте ориентиров с заранее известным расстоянием самостоятельно измерьте непосредственно на изображенной местности расстояние между нанесенными на карту объектами. Далее произведите измерения на карте в сантиметрах. Затем выполните подсчет масштаба, как описано выше.

Полезный совет

При записи масштаба на увеличение, единица выражается уже для величины натурального объекта. Но первое число все также соответствует расстоянию на чертеже или карте. В этом случае масштаб будет выглядеть так: 20:1.

Изображение крупных обьектов можно получить на бумажном или любом другом носителе только в уменьшенном виде. Это, в первую очередь, касается различных карт местности. Масштабом карты называется отношение длины линии, нанесенной между двумя точками на плане или карте к тому же расстоянию на местности. Знать масштаб необходимо для того, чтобы измерять расстояния по карте.

Инструкция

Обычно, любой карты или указан в ее легенде – сопровождающем пояснительном тексте. Масштаб может быть изображен в виде шкалы или текста, в котором указывается, сколько метров или километров на местности равен 1 см расстояния, отложенного по данной . Масштаб 1: 50000 , что 1 см, отложенный на данной карте, равен 500 метрам или 0,5 км в натуре. Чем крупнее масштаб, тем меньшее число указывается в его числителе. Топографические карты масштаба 1:10000 и крупнее относятся к сведениям, гриф «секретно».

О фиксированном масштабе можно говорить только в случае, когда имеется отпечаток карты на бумажной основе. В том случае, если карта дана в электронном виде, ее масштаб зависит от коэффициента увеличения изображения.

Если по какой-то причине масштаб карты не указан, отсутствует зарамочное оформление или легенда, то определить его можно с помощью геоинформационных картографических серверов GoogleEarth или YandexMap, включив их в режиме «Гибрид», который позволяет одновременно со спутниковой фотографической основой видеть оцифрованное изображение местности – дороги, границы городов, отдельно стоящие здания.

Определите по карте географическое положение изображенной на ней местности. Выберите на ней две характерные точки, которые можно будет легко идентифицировать по спутниковому снимку данной местности. Обычно, удобно использовать для этого перекрестки магистралей или усовершенствованных шоссе, автодорог.

Найдите эти две точки по спутниковому снимку местности. Инструментом «Линейка» измерьте расстояние между ними. При активации инструмента появляется табличка, где автоматически будет высвечиваться расстояние между двумя указанными вами точками на космическом спутниковом снимке. Задайте удобные для вас единицы измерения – метры, километры.

Разделите полученное по спутниковым снимкам расстояние на количество сантиметров, измеренных по карте. Вы получите значение масштаба данной карты.

Видео по теме

Масштаб показывает, во сколько раз карта уменьшает реальную местность, которая на ней изображена. Только зная эту величину, можно откладывать на карте или схеме местности реальные расстояния. Узнать масштаб можно по маркировке на карте. Если таковой не имеется, рассчитайте его по линиям параллелей.

Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Facebook

Twitter

Мой мир

Вконтакте

Google+

15.01.2020

Разные игры

Самое интересное:

Масштаб

Расстояние на местности измеряют рулеткой или специальными приборами. При изображении местности на листе бумаги приходится расстояние уменьшать. Для этого надо выбрать масштаб. Масштаб — это дробь, у которой в числителе единица, а знаменатель — число, указывающее, во сколько раз расстояние на плане или карте меньше, чем сама местность. С помощью масштаба по карте легко прочитать, во сколько раз уменьшено картографическое изображение, сколько сантиметров на местности содержится в одном сантиметре плана или карты. Это важнейшая характеристика карты или плана, так как от нее зависит полнота и подробность изображения местности, она дает возможность выполнить измерения по карте или плану, определить общий размер изображаемой территории.

Существует несколько видов записи масштаба:

численный масштаб 1:1 000 именованный масштаб (в 1 см — 10 м). Расстояние на местности, соответствующее 1 см плана или карты, называется величиной масштаба. В данном случае величина масштаба — 10 м.

линейный масштаб. Это прямая линия, разделенная на равные части (обычно сантиметры). У каждого деления линии подписывают соответствующее ему расстояние на местности. С помощью линейного масштаба можно определить не только размеры объектов, но и расстояние между ними. В данной работе используют циркуль-измеритель.

На любой карте, как правило, можно увидеть все три вида записи масштаба в углу карты или на ее легенде.

Все географические карты по своему масштабу подразделяются на крупномасштабные, среднемасштабные и мелкомасштабные. К крупномасштабным относятся карты масштабов от 1:10000 до 1:200000 включительно. К среднемасштабным — от 1:200 000 до 1:1 000 000 включительно. К мелкомасштабным — менее 1:1 000 000.

Наиболее подробно географические объекты и их очертания изображаются на крупномасштабных картах. При уменьшении масштаба карты подробности приходится исключать и обобщать (генерализовать). Отдельные объекты заменяются их собирательными значениями. Отбор и обобщение становятся очевидными при сравнении разномасштабных карт населенного пункта. В масштабе 1:10 000 он дается в виде отдельных строений. На такой карте четко прослеживаются улицы, различные объекты. В масштабе же 1:1 000 000 этот населенный пункт изображен в виде условного знака. В зависимости от назначения необходимы и те, и другие карты.

Точными и подробными являются топографические карты и планы, составляемые в масштабах 1:1000000  (в 1 см — 10 км) и крупнее.

масштаб стихийного бедствия в Европе

На Европу обрушились самые мощные за последнее столетие дожди и привели к сильнейшему наводнению, которое сейчас захватывает все новые территории. Самый тяжелый удар приняла на себя Германия. Там уже более полутора сотен погибших. В наиболее пострадавших районах побывала канцлер Ангела Меркель. Затоплены огромные территории в Бельгии и Нидерландах, под воду ушли улицы нескольких городов Австрии. С некоторыми областями нет ни транспортной, ни телефонной связи.

Вода уже отступает, но добраться до пострадавших районов еще очень трудно. Тракторы расчищают завалы: где-то дорогу смыло, а где-то снесло мосты. Глубина реки Ар в этих местах обычно сантиметров 30, но когда начались ливни, на деревню Шульд обрушилось цунами.

Судя по всему, этот дом стоял на пути потока первым, он полностью сложился. Каждая такая история – это чья-то разрушенная жизнь. Судя по всему, здесь жила семья с детьми – вокруг лежат детские учебники. Местные жители говорят, что во всем районе пропали около 1300 человек.

В списке жертв по всей стране – больше полутора сотен человек. О судьбе еще сотен ничего не известно – сейчас нигде нет связи, света. Местные жители настроены пессимистично.

«На восстановление уйдет много труда, не меньше 8-10 лет строительных работ. Вся инфраструктура пострадала: ни домов, ни магазинов, ни пекарни, ни рабочего цеха, ни продуктового магазина – все разрушено. Вода была очень высоко – 2-3 метра, унесла все с собой, у нас ничего не осталось», – говорят местные жители.

Внутри домов все перевернуто вверх дном, комнаты похожи на мусорные свалки, кое-где они до потолка набиты досками и сломанными деревьями. Михаэль ведет нас по гаражу, ноги утопают в грязи и иле. Железные двери вышибло водой, машина утонула, ее только что вытащили и отправили на свалку.

«Вода хлынула через дверь, сейчас здесь огромные кучи мусора. Внутри все выглядит просто ужасающе. Кухня и все помещения разрушены. Я сам не могу попасть внутрь. Для нас все это очень печально. Мы недавно сделали ремонт. Но сейчас на первом этаже все разрушено. Автомобиль вообще не подлежит ремонту», – вздыхает мужчина.

О том, насколько высоко была вода, можно судить по следам, которые остались под потолком. На трубе так и висит принесенная водой цапля. Соседям повезло чуть больше – дом стоит на несколько ступенек выше.

«Наводнение накрыло нас, все смыло. Это самая настоящая катастрофа. Но я верю, что нам удастся все отстроить заново. Я сам здесь живу с 2007 года, но я знаю людей, которые проживают здесь по 85 лет, и они не видели ничего подобного за всю свою жизнь», – говорит один из местных жителей.

Шесть домов в этой деревушке разрушены полностью, но и многие из тех, что устояли, тоже восстановлению не подлежат.

На фотографиях, конечно, – одно, но когда видишь все эти разрушения вживую, то масштаб впечатляет. Люди разбирают завалы. Делают это самостоятельно и вручную – своя техника уничтожена водой, бульдозеры перебрасывают из соседних районов.

«Мы были в шоковом состоянии. Наводнение началось очень внезапно, вода пришла буквально из ниоткуда Мы занимаемся устранением завалов и расчисткой дорог. Помощь, помощь и еще раз помощь. Мы рады каждому, кто может приехать и оказать ее», – говорят местные жители.

Мощный циклон несколько суток висел над юго-восточной частью Бельгии, югом Нидерландов, затронул Люксембург, северные департаменты Франции и обширные территории в Германии: Северную Рейн-Вестфалию и Рейнланд-Пфальц. В этих краях, испещренных реками, наводнения не редкость, но таких разрушительных еще не бывало. В Арвейлере вода затопила дом инвалидов, 12 человек работники не успели спасти.

Власти опасаются, что восстановление районов едва ли завершится до осени, а уже в сентябре в Германии пройдут выборы, так что стихия может иметь далеко идущие политические последствия. Тем более что о надвигающейся катастрофе знали, но предотвратить ее не смогли.

«Мы, метеорологи, за три дня до наводнений по специальному каналу предупредили о смертельной опасности. Последовали комментарии, что мы наводим панику. Следовало выпустить предупреждение по радио, через полицейских, пожарных и сотрудников МЧС, которые объяснили бы людям, как следует себя вести в подобной экстремальной ситуации», – заявил Доминик Юнг, эксперт в области метеорологии и климата.

Крик, паника и ужас в глазах людей при виде мощных потоков воды, которые очень скоро перельют через край набережных и затопят все вокруг. Все до последнего ждали и надеялись, что обойдется. А когда улицы городков превратились в бурлящие реки, включать сирену и эвакуировать людей было уже поздно.

Бессилие спасателей, когда дом рушится на глазах, а в нем остаются люди. Добраться до них возможности нет – течение слишком сильное, сбивает с ног. Этому пожарному крупно повезло – его выловили сами жители.

Многие вынуждены были оставаться на крыше больше суток без еды, воды и связи с миром. Спасти не хватало рук и средств, технику просили у волонтеров. Вертолеты были задействованы на эвакуации пожилых людей из дома престарелых. В других районах на свой страх и риск их вытаскивали соседи, проламывая стены. Сами же спасали и домашних животных от верной гибели.

Из 6 станций аналога местного МЧС в 2017-м на все королевство осталось лишь две, тогда же сократили и финансирование пожарных частей.

На помощь людям в пострадавшие районы отправилась королевская чета.

Ущерб (не только экономический) может составить миллиарды евро, экологический только предстоит оценить. Во всех районах стоит едкий запах мазута, урожай уничтожен, специалисты предупреждают, что из-за разливов топлива сельскохозяйственные земли могут быть отравлены как минимум на несколько лет.

Наводнение в Германии местные власти назвали «катастрофой исторического масштаба»

На западе Германии объявлен режим военной катастрофы. Последствия разгула стихии местные власти называют «катастрофой исторического масштаба». По последним данным, погибли больше 100 человек, пропавших без вести почти 1,5 тысячи. И это только в Германии. Тяжелая ситуация также складывается в Нидерландах и Бельгии, где также десятки погибших.

Беда на многие километры вокруг. Германия, бассейн рек Рейн и Мозель, точка их слияния. Сверху виден масштаб того, что произошло. Целый город в воде. Нет электричества, связи. В соседних населенных пунктах покосившиеся дома как после бомбежки, разрушены дороги. Судьба сотен человек неизвестна.

«Ужасней всего то, что людям было не помочь. Они махали нам из окон. Дома слева и справа от них уже обрушились, а они еще стояли и просили о помощи», — рассказывает Франк Тель.

Дожди не прекращались здесь с начала недели. Вода прибывала, казалось, постепенно. Но потом словно открыли невидимую дамбу.

«Такой мощный поток был! Мы были дома. Вдруг дверь распахнулась и все хлынуло внутрь. Меня даже к печке отбросило, такой силы была волна», — вспоминает мужчина.

Самая сложная ситуация в землях северный Рейн-Вестфалия и Рейнланд-Пфальц. В городке Эрфштат недалеко от Кельна утром сошел гигантский оползень. Он накрыл сотни домов, несколько зданий просто унесены потоком. Местные власти заявляют, что есть жертвы, но дать даже приблизительные цифры пока не в состоянии.

«Ничего не уцелело. Полдеревни просто смело», — говорит очевидец.

Сейчас из других немецких городов, которые стихия обошла стороной, идут предложения помощи. В соцсетях сотни сообщений, пользователи готовы дать ночлег, отправить теплую одежду, продукты питания и даже позаботиться о домашних животных.

Бедствие затронуло соседние Люксембург и Нидерланды; в Маастрихте эвакуированы тысячи человек. Во Франции в 11 департаментах объявлена тревога. В Бельгии самые тяжелые потери в столице франкоговорящий Валлонии — городе Льеже, в котором проживают 200 тысяч человек. Местные показывают, где еще вчера стояла вода.

«Часа в четыре утра вода была уже здесь. Я говорю мужу, что надо переставить машину и вещи перенести наверх. Но уже надо было уезжать, потому что вода хлынула в дом. И когда мы уезжали, воды было уже вот столько в доме», — рассказывает Летиция Колин.

«Я никогда не видел ничего подобного. Страшно. Никогда не видел. Я вчера тут был, и заграждение еще было видно, а сегодня уже все под водой. И она прибывает все больше и больше. Очень страшно», — признается Тьерри Буржуа.

Льеж пришлось эвакуировать почти полностью. Дороги в город сейчас закрыты. Власти опасаются мародеров. В некоторых районах из-за короткого замыкания загорелись дома. Но тушить их пока некому. В общей сложности в Бельгии более 20 погибших, список жертв уточняется.

«Хорошо, что сестра со мной. Нам сейчас сказали, что дом может рухнуть, и мы должны были эвакуироваться», — рассказывает девочка.

Дожди в регионе сегодня прекратились. Вода в реках начинает понемногу спадать.

Метеорологи называют этот природный феномен «холодная капля». Это огромная масса холодного воздуха, которая резко падает вниз и зависает в определенном районе на продолжительное время, усугубляя все происходящие внизу процессы. Сам по себе этот феномен не редкость, но то, что он происходит с такой интенсивностью и в это время года — вот что исключительно.

Масштаб бедствия огромный: десятки тысяч человек в самом центре Европы остались без крова. Канцлер Германии Ангела Меркель, которая находится сейчас с рабочим визитом в США, заявила, что полная картина разрушений будет видна только через несколько дней.

Однако, кроме экономических последствий, следует ждать и политических. На предстоящих в сентябре выборах в Германии наверняка встанет вопрос, можно ли было избежать такого количества жертв.

И самое главное: природные аномалии, которые потрясают планету в последнее время, это неизбежное глобальное изменение климата или все-таки результат деятельности человека?

Что означает масштаб для миниатюр? Масштаб 1 «, масштаб 1/2», масштаб 1/4 «, масштаб 1/44», масштаб Барби, игровой масштаб, 1-дюймовый масштаб, половинный масштаб и другие объяснения, характерные для хобби миниатюр или кукольного домика.

Что означает «Масштаб»?


Масштаб:

Двумя самыми популярными масштабами для миниатюр кукольных домиков являются Масштаб 1 дюйм (или масштаб 1/12) и масштаб 1/2 (или масштаб 1/24 дюйма).

Масштаб 1 дюйм означает, что один дюйм равен одному футу.

1/2 дюйма Масштаб означает что ½ дюйма равняется одному футу.

Миниатюрная дама, которая будет около 5 ½ дюймов в высоту, будет сравнимо с реальными женщинами, которые около 5 футов 6 дюймов в высоту.

Если типовая комната в реальной жизнь составляет 8 футов от пола до потолка, на миниатюрах в масштабе 1 дюйм эта комната будет 8 дюймов высокая.Однако в доме размером ½ дюйма миниатюрная комната будет всего 4 дюйма в высоту.

Есть и другие весы, о которых следует помнить:

Масштаб 1/4 дюйма (1/4 дюйма = 1 фут)

1/6 дюйма игровая или модная кукла (1 1/2 дюйма = 1 фут)

Масштаб 1/18 дюйма (1 дюйм = 18 дюймов)

, а самый маленький масштаб — 1/144 дюйма. (1/12 дюйма = 1 фут)

Модные куклы или куклы Барби примерно 11 дюймов в высоту и не считаются миниатюрными.Это «игровая шкала» (масштаб 1/6). что составляет от 1 ½ дюйма до одного фута. Таким образом, кукла высотой 11 дюймов по сравнению с натуральной быть сравнимым с миниатюрной куклой 5 1/2 дюймов в масштабе 1 дюйм против жизни размер. Поскольку в Playscale не так много аксессуаров, Барби коллекционеры часто используют миниатюры в масштабе 1 дюйм для своих сцен, хотя они действительно не созданы для такого масштаба.

Коллекционные автомобили есть обычно в масштабе 1/18 дюйма и выглядят слишком маленькими для дисплеев с масштабом 1 дюйм но опять же из-за ограниченной доступности в соответствующем масштабе 1/18 дюйма автомобили часто используются несмотря ни на что.

Масштаб в миниатюре найдет на этом веб-сайте масштаб 1 «, масштаб 1/2» и В масштабе 1/44 дюйма, хотя большинство из них будет в масштабе 1 дюйм.

Калькулятор преобразования масштаба — Хорошие калькуляторы

Вы можете использовать этот онлайн-калькулятор преобразования масштаба, чтобы преобразовать размер реального объекта в масштабированный размер и наоборот.

Как использовать калькулятор преобразования шкалы

  • 1. Выберите, какой подход преобразования вы хотите использовать:
  • a.Преобразование реального (реального) размера в масштаб.
  • г. Преобразование масштаба в реальный (реальный) размер.
  • 2. Введите масштабный коэффициент; например, если вы хотите работать со шкалой 1/6, введите 6.
  • 3. Введите размеры фактического объекта (или измерения масштабируемого объекта, если вы планируете преобразовать масштаб в реальный размер)
  • 4. Выберите единицу измерения из раскрывающегося списка.
  • 5. Нажмите кнопку «Преобразовать», чтобы сгенерировать результаты.

Вспомогательная информация

Масштабный коэффициент — это число, которое используется в качестве множителя при масштабировании размера объекта. Его можно использовать для масштабирования объектов в 1, 2 или 3 измерениях, а также в виде дробей, соотношений, процентов или десятичных знаков. Когда применяется масштабный коэффициент, размер объекта увеличивается или уменьшается в соответствии с желаемым масштабом. Несмотря на то, что размер изображения был изменен, соотношения каждого измерения должны отражать соотношения оригинала.

Чтобы масштабировать объект до большего размера, вы просто умножаете каждое измерение на требуемый масштабный коэффициент.Например, если вы хотите применить масштабный коэффициент 1: 6, а длина предмета равна 5 см, вы просто умножаете 5 × 6 = 30 см, чтобы получить новое измерение.

Чтобы масштабировать объект до меньшего размера, вы просто делите каждое измерение на требуемый коэффициент масштабирования. Например, если вы хотите применить масштабный коэффициент 1: 6, а длина предмета составляет 60 см, вы просто разделите 60/6 = 10 см, чтобы получить новое измерение.

Методы масштабирования, описанные выше, работают в предположении, что коэффициент масштабирования принимает форму 1 / n или 1: n (где n — коэффициент).Однако, если это не так, может потребоваться дополнительная работа. Например, у нас соотношение 2: 5. Чтобы преобразовать соотношение в форму 1: n, вам нужно будет разделить каждую сторону на число, которое появляется слева. Например, если соотношение составляет 2: 5, вы разделите обе стороны на 2, что приведет к эквивалентному соотношению 1: 2,5. Кроме того, вы можете использовать наш онлайн-расчетчик соотношений.

Образцы весов Лайкерта // Отдел по работе со студентами // Marquette University

Уровень приемлемости

1 — Совершенно неприемлемо

2 — неприемлемо

3 — В некоторой степени неприемлемо

4 — нейтральный

5 — Скорее приемлемо

6 — приемлемо

7 — Совершенно приемлемо

Отражай меня

1 — Совершенно не соответствует действительности

2 — Не соответствует действительности

3 — Немного не соответствует действительности

4 — нейтральный

5 — Немного верно для меня

6 — Верно мне

7 — Совершенно верно для меня

Уровень рассмотрения

1 — Не стал бы рассматривать

2 — Можно или не рассматривать

3 — Обязательно подумайте о

Уровень соответствия

1 — Совершенно неприемлемо

2 — неприемлемо

3 — Немного неприемлемо

4 — нейтральный

5 — Скорее подходит

6 — Соответствующий

7 — Абсолютно подходит

Мои убеждения

1 — Совершенно не соответствует действительности

2 — Не соответствует действительности

3 — Несколько не соответствует действительности

4 — нейтральный

5 — В некоторой степени верно в отношении того, во что я верю

6 — Верно тому, во что я верю

7 — Совершенно верно в отношении того, во что я верю

Уровень поддержки / противодействия

1 — категорически против

2 — Скорее против

3 — нейтральный

4 — Скорее всего

5 — Большое спасибо

Уровень важности

1 — Совсем не важно

2 — Низкая важность

3 — Незначительно важная

4 — нейтральный

5 — Умеренно важная

6 — Очень важно

7 — Чрезвычайно важно

Приоритет:

1 — Не в приоритете

2 — Низкий приоритет

3 — Скорее приоритет

4 — нейтральный

5 — средний приоритет

6 — высокий приоритет

7 — Основной приоритет

Уровень вероятности

1 — Не вероятно

2 — Довольно маловероятно

3 — нейтральный

4 — Скорее всего

5 — Очень вероятно

Уровень соглашения

1 — Совершенно не согласен

2 — Не согласен

3 — Скорее не согласен

4 — Ни согласен, ни не согласен

5 — Скорее согласен

6 — Согласен

7 — Полностью согласен

Уровень озабоченности

1 — совершенно не касается

2 — Незначительно обеспокоен

3 — Скорее обеспокоены

4 — Скорее обеспокоены

5 — Крайне обеспокоен

Уровень соглашения

1 — Совершенно не согласен

2 — Не согласен

3 — Ни согласен, ни не согласен

4 — Согласен

5 — Полностью согласен

Знание действий

1 — Никогда

2 — Редко верно

3 — Иногда, но редко

4 — нейтральный

5 — Иногда верно

6 — Обычно верно

7 — Всегда верно

Уровень приоритета

1 — Не в приоритете

2 — Низкий приоритет

3 — средний приоритет

4 — высокий приоритет

5 — Essential

Уровень желательности

1 — Очень нежелательно

2 — Нежелательно

3 — нейтраль

4 — Желательно

5 — Очень желательно

Частота — 7 баллов

1 — Никогда

2 — Редко, менее чем в 10% случаев, когда у меня могло быть

3 — Иногда примерно в 30% от

шансов, когда у меня будет

4 — Иногда примерно в 50% случаев, когда я мог бы иметь

5 — Часто примерно в 70% от

шансов, когда я мог бы иметь

6 — Обычно примерно в 90% шансов, которые у меня были.

7 — Каждый раз

Уровень проблемы

1 — Совсем не проблема

2 — Незначительная проблема

3 — Средняя проблема

4 — Серьезная проблема

Уровень участия

1 — Нет, не считается

2 — Нет, но считается

3 — Есть

Объем использования

1 — Никогда не используйте

2 — почти никогда

3 — Иногда / Иногда

4 — Почти каждый раз

5 — Часто используют

Влияние на X

1 — не влияет

2 — Незначительный эффект

3 — нейтральный

4 — Умеренное влияние

5 — Существенный эффект

Частота — 5 баллов

1 — Никогда

2 — редко

3 — Иногда

4 — часто

5 — Всегда

Уровень знакомства

1 — совсем не знаком

2 — Немного знакомый

3 — Немного знакомо

4 — В меру знакомый

5 — Чрезвычайно знакомый

Вероятность

1 — Крайне маловероятно

2 — маловероятно

3 — нейтральный

4 — вероятно

5 — Очень вероятно

Частота

1 — Никогда

2 — Редко

3 — Иногда

4 — Средняя сумма

5 — Отличная сделка

Уровень осведомленности

1 — совсем не в курсе

2 — Незначительно

3 — В некоторой степени осведомлен

4 — В среднем

5 — Чрезвычайно внимательный

Уровень недовольства

1 — очень мало отняли

2–

3 — нейтральный

4–

5 — Сильно отвлекся

Частота использования

1 — Никогда

2 — почти никогда

3 — Иногда / Иногда

4 — Почти каждый раз

5 — Каждый раз

Уровень сложности

1 — очень сложно

2 — Сложный

3 — нейтральный

4 — Легко

5 — Очень просто

Хорошо / Плохо

1 — Очень отрицательно

2–

3 — нейтральный

4–

5 — Очень положительно

Уровень удовлетворенности — 7 баллов

1 — Совершенно не удовлетворен

2 — В основном неудовлетворен

3 — Скорее не устраивает

4 — ни доволен, ни недоволен

5 — Скорее доволен

6 — В основном доволен

7 — Полностью доволен

Заграждения

1 — Не преграда

2 — Что-то вроде барьера

3 — Умеренный барьер

4 — Экстремальный барьер

Уровень удовлетворенности — 5 баллов

1 — Очень плохо

2 — недоволен

3 — не уверен

4 — доволен

5 — Очень доволен

Уровень качества — 5 баллов

1 — Плохо

2 — Удовлетворительно

3 — Хорошо

4 — Очень хорошо

5 — Отлично

Уровень удовлетворенности — 5 баллов

1 — Совершенно не устраивает

2 — немного доволен

3 — удовлетворительно

4 — Очень доволен

5 — Полностью удовлетворен

Сравнение двух продуктов

1 — намного хуже

2 — несколько хуже

3 — примерно то же

4 — несколько лучше

5 — намного лучше

Уровень ответственности

1 — Совершенно не отвечает

2 — несколько ответственный

3 — основная ответственность

4 — полностью ответственный

Уровень влияния

1 — совершенно не влияет

2 — незначительное влияние

3 — несколько влиятельный

4 — очень влиятельный

5 — чрезвычайно влиятельный

Калькулятор преобразования масштаба

— преобразование измерений в масштабированный размер

Масштабируйте измерение до большего или меньшего размера, что полезно для архитектуры, моделирования и других проектов.Вы также можете добавить реальный размер и масштабированный размер, чтобы найти масштабный коэффициент.

Результаты масштабирования:

Масштабированные результаты
Масштабный коэффициент

1: 8

Масштабированный размер

4 футов

Масштабированные результаты
Масштабный коэффициент

1: 8

Масштабированный размер

4 футов



Как увеличить или уменьшить измерение

Для уменьшения или увеличения измерения, известного как преобразование масштаба, требуется общий масштабный коэффициент, который можно использовать для умножения или деления всех измерений на.

Чтобы масштабировать измерение до меньшего размера, например, при создании чертежа, просто разделите реальное измерение на масштабный коэффициент. Масштабный коэффициент обычно выражается как 1: n или 1 / n , где n — коэффициент.

Например, если коэффициент масштабирования составляет 1: 8, а действительное значение равно 32, разделите 32 ÷ 8 = 4 для преобразования.

Чтобы преобразовать измерение в более крупное измерение, просто умножьте реальное измерение на масштабный коэффициент.Например, если масштабный коэффициент равен 1: 8, а измеренная длина равна 4, умножьте 4 × 8 = 32 для преобразования.

Уменьшение масштабного коэффициента

Вышеупомянутые методы преобразования измерения предполагают, что масштабный коэффициент имеет вид 1: n или 1 / n , что означает, что требуется дополнительная работа, например, если соотношение составляет 2: 3. Если коэффициент масштабирования не находится в четном соотношении 1: n, вам необходимо уменьшить его до 1: n.

Воспользуйтесь нашим калькулятором соотношений, чтобы уменьшить соотношение.Вы также можете уменьшить соотношение, разделив числитель и знаменатель на числитель.

Например: уменьшите 2/3, разделив оба числа на 2, что будет 1 / 1,5 или 1: 1,5.

2 ÷ 2 = 1
3 ÷ 2 = 1,5
масштабный коэффициент = 1: 1,5

Общеупотребительные архитектурные весы

Масштабные коэффициенты для общих архитектурных масштабов
Архитектурный масштаб Масштабный коэффициент
1/16 ″ = 1 ′ 1: 192
3/32 ″ = 1 ′ 1: 128
1/8 ″ = 1 ′ 1:96
3/16 ″ = 1 ′ 1:64
1/4 ″ = 1 ′ 1:48
3/8 ″ = 1 ′ 1:32
1/2 ″ = 1 ′ 1:24
3/4 ″ = 1 ′ 1:16
1 ″ = 1 ′ 1:12
1 1/2 ″ = 1 ′ 1: 8
3 ″ = 1 ′ 1: 4

Стандартные модельные весы

Общие масштабные коэффициенты, используемые для моделей и хобби
Масштабный коэффициент Тип модели
1: 4 паровозов, РУ
1: 8 паровозов, вагонов
1:10 фигур
1:12 автомобили, мотоциклы, кукольные домики
1:16 паровозов, автомобилей, мотоциклов, военной техники, фигурки
1:18 литых машин
1:20 автомобилей формулы 1
1:22.5 Поезда с шириной колеи
1:24 автомобили, грузовики, самолеты, кукольные домики
1:25 легковых, грузовых
1:32 Поезда 1 колеи, вагоны, самолеты, фигурки
1:35 военных машин
1:43 Поезда с уплотнением колеи легковые, грузовые
1:48 О-образные поезда, кукольные домики, минифигурка Lego
1:64 Поезда S-образной колеи, литые вагоны, Hotwheels: Matchbox
1:72 самолеты, военная техника, лодки, автомобили
1:76 самолеты, военная техника
1:87 Поезда с габаритами HO, военная техника
1:96 кораблей, космических кораблей
1: 100 самолет, космический корабль
1: 120 Поезда с шириной колеи
1: 144 корабли, ракеты, космические аппараты
1: 160 Поезда N колеи, wargaming
1: 200 самолеты, корабли
1: 220 Поезда Z-ширины
1: 285 варгейминг
1: 350 судов
1: 700 судов
1: 720 судов

Белая фигурка LUDENS в масштабе 1/6 — Kojima Productions

Белая фигурка LUDENS в масштабе 1/6 — Kojima Productions Дом / 1/6 масштабная белая фигурка LUDENS

Обычная цена 375 долларов.00

ПОДРОБНОСТИ

Ludens Значок компании Kojima Productions получает собственную фигурку в масштабе 1/6!

Костюм для творчества EVA (внетранспортная деятельность) воссоздан с использованием АБС, ПВХ и настоящей ткани. Фигурка имеет такие функции, как встроенные функции подсветки и движущиеся глаза в сочетании с детальной росписью, чтобы сформировать высококачественную фигурку в масштабе 1/6!


Внутренняя рама была разработана специально для этого продукта, чтобы иметь 46 точек сочленения, включая защелкивающиеся соединения, которые обеспечивают широкий диапазон движений и различные позы действия.

Производитель: Sen-Ti-Nel

Характеристики:

  • 46 точек сочленения.
  • Подвижные глаза и встроенные функции подсветки
  • Включает в себя дополнительные детали для рук, копье, луч и козырек от дыма.


Спецификация
Материал: FABS / ATBC-PVC / PA / POM / CLOTH

Размер в упаковке: 220 мм x 180 мм x 400 мм
Вес: 600 г

{{название}} {{#if вариант}} {{вариант}} {{/если}} {{#характеристики}} {{#each this}} {{#если это}} {{@key}}: {{this}} {{/если}} {{/каждый}} {{/характеристики}}

{{#if DiscountApplied}} {{{originalLinePrice}}}
{{{linePrice}}} {{еще}} {{{linePrice}}} {{/если}}

{{#if DiscountApplied}}

{{#each скидки}} {{this.title}}
{{/ each}}

{{/если}} {{/Предметы}}

Особые инструкции для продавца {{note}}

Ваша голова в масштабе 1: 6

Ваша голова в масштабе 1: 6

Мы лепим вашу голову по этому масштабу.Загрузите нам 5 изображений вашего лица (спереди, слева, справа и слева по диагонали и справа по диагонали). Кроме того, нам понадобится картинка, на которой вы вводите шесть биометрических показателей.


Голова с шеей изготовлена ​​из специального пластика телесного цвета. Голова полая, легко красится акриловыми красками.

Вы также можете указать, хотите ли вы иметь глазные яблоки скульптора или гладкие глазные яблоки. Последние можно покрасить лучше.

Загрузка 6 изображений проста и удобна:
После того, как вы добавили бюст в корзину, вам будет предложено указать 6 изображений.Затем загрузка будет произведена автоматически.

Краткое описание материала и способа окраски

Головки сделаны из специального пластика телесного цвета и являются полыми. Поверхность гладкая, ее можно даже шлифовать.
Многие из наших клиентов заполняют головку эпоксидной смолой или полиуретановым компаундом (также называемым смолой) для повышения устойчивости.

Для покраски можно использовать акриловую краску на водной основе и акриловую краску с растворителем.

Как сделать голову пилота b>

После того, как мы вылепим вашу голову и найдем ваше одобрение, она будет напечатана на принтере SLA.В этом процессе печати жидкая смола подвергается воздействию УФ-излучения. Мы используем смолу телесного цвета на основе акрилата. Толщина каждого слоя всего 0,05 мм.

Фигурка

в масштабе одной шестой — магазин threezero

График отгрузки
июль-2021
  • Ходячие мертвецы — 1/6 Морган Джонс (7 сезон)
  • ROBO-DOU Shin Getter 1 (дизайн с тремя нулями) Metallic Edition
  • 1/6 Core Rangers и Green Ranger Six ‐ Pack — Mighty Morphin Power Rangers
  • 1/6 Черный Рейнджер — Могучий Морфин Могучие Рейнджеры
  • 1/6 Синий Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Зеленый Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Pink Ranger — Могучие рейнджеры Mighty Morphin
  • 1/6 Красный Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Желтый Рейнджер — Могучий Морфин Могучие Рейнджеры
Август-2021
  • DLX Железный человек Марк 43 — Бесконечная сага
  • 1/6 Штормовая тень — G.И. Джо
  • ROBO-DOU Shin Getter 1 (конструкция с тремя нулями)
  • 1/6 Core Rangers и Green Ranger Six ‐ Pack — Mighty Morphin Power Rangers
  • 1/6 Черный Рейнджер — Могучий Морфин Могучие Рейнджеры
  • 1/6 Синий Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Зеленый Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Pink Ranger — Могучие рейнджеры Mighty Morphin
  • 1/6 Красный Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Желтый Рейнджер — Могучий Морфин Могучие Рейнджеры
сен-2021
  • Эбису — Дорохедоро
  • Фигурка с шарнирно-сочлененной рамой FigZero 1/6: Garou — ONE-PUNCH MAN
  • PREMIUM Blitzwing — Трансформеры: Шмель
  • DLX Bumblebee — Трансформеры: Последний рыцарь
  • 1/6 Core Rangers и Green Ranger Six ‐ Pack — Mighty Morphin Power Rangers
  • 1/6 Черный Рейнджер — Могучий Морфин Могучие Рейнджеры
  • 1/6 Синий Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Зеленый Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Pink Ranger — Могучие рейнджеры Mighty Morphin
  • 1/6 Красный Рейнджер — Могучие Рейнджеры Морфин
  • 1/6 Желтый Рейнджер — Могучий Морфин Могучие Рейнджеры
График доставки может быть изменен без предварительного уведомления.

Таблица умножения тренажер на 4: Тренажер таблицы умножения. Онлайн

Игры Таблица Умножения — играть онлайн бесплатно

Онлайн игры «Таблица умножения» — серия развивалок, которые бесплатно знакомят малышей с основой основ арифметики. С ними просто выучиться считать, умножать, вычитать и складывать. По сути, это адаптированные для компьютеров и смартфонов тренажеры математики. Чем дольше играть, тем больше чисел и примеров можно выучить.

Таблица умножения, она же — таблица Пифагора, появилась 4000 лет назад. И вот уже пятое тысячелетие подряд дети всего мира запоминают ее одним и тем же способом – учат на память. Только в зазубренном до автоматизма виде этот материал имеет смысл.

И тут малышей подстерегает сложность. Кто учился в школе, хорошо помнит, насколько зубрить – нудное занятие. Как с первых секунд начинает хотеться спать, трудно сосредоточиться, все вокруг бесит, а окружающих ненавидишь (особенно, учительницу математики).

Родители (а таблицу умножения большинство учит в начальных классах под присмотром родителей) видя, что ребенок отвлекся, начинают сердиться, дети в ответ капризничают и разорвать этот порочный круг бывает непросто. Онлайн игры «Таблица умножения» сделают это за вас. Многочисленные исследования показали, что игровая форма обучения – самый эффективный способ усвоить новый материал. Причем, не только для детей, но и для взрослых. Для малышей же, чей мозг не способен сосредотачиваться на чем-то дольше 30-40 минут, они — просто находка. Веселые сюжеты, герои, яркая графика – ни одного шанса заскучать.

Хотя по факту, онлайн игры про таблицу умножения – та же зубрежка, но приведенная в единственно удобоваримую для восприятия форму.

Как играть

Начинать советуем с игрушек, посвященных умножению одного или двух чисел. Самые простые примеры с двойками и тройками. Их, если вдруг ребенок не знает ответ, может быстро решить в уме. Процесс запоминания состоит из двух этапов:

  • повторения таблички в учебнике или тетрадке,
  • закрепления знаний в игре.

Во время зубрежки важно не дать малышу заскучать. Не стоит повторять примеры больше 5-10 минут. Достаточно один раз разобрать табличку, скажем, умножения на 3, повторить раз-другой, и поскорее переходить к играм. И тут взрослых, помогающих ребенку с арифметикой, ждет удивительный феномен.

Почему-то, когда ответа на 3*2 требует мама или учительница в школе, ничего решать не хочется. А когда мультяшный зайка трижды сходил в такой же мультяшный магазин и каждый раз покупал там по две морковки, невозможно удержаться, что бы не помочь ему их пересчитать. Чудеса, правда?

6 Секретов Как легко Выучить Таблицу Умножения Знай все Хитрости

Таблицы умножения проще, чем вы думаете.

Многим людям всех возрастов сложно выучить таблицу умножения. Но, детям же выучить гораздо легче, особенно когда к изучению подходят правильно.

Да, таблица умножения дается некоторым детям не сразу легко, особенно если у ребёнка плохая память. Порой бывает недостаточно применять простое заучивание надоевших, и никак не укладывающихся в голове, столбцов. Можно облегчить ребёнку процесс запоминания, если знать несколько несложных, но очень действенных приёмов.

Как быстро и легко выучить таблицу умножения с ребёнком?

Рассмотрим несколько, проверенных личным опытом, практических советов, которые, при применении на практике, дают очень хороший результат.

Совет в запоминании №1

Большую роль в усвоении таблицы умножения играет понимание смысла умножения. Объясните ребёнку смысл действия умножения и научите этим пользоваться при вычислениях.

Умножение – это сумма одинаковых слагаемых.

8 x 3 – это значит, что число 8 мы должны взять 3 раза: 8 х 3 = 8 + 8 + 8

Понимая смысл множителя, ребёнок сможет найти результат даже в ситуации, когда он забыл какой-то случай из таблицы.

Например, забыв результат умножения числа 4 на 8, можно заменить умножение сложением и найти произведение: 4 х 8 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32.

Важно знать переместительное свойство умножения (от перестановки множителей произведение не меняется), тогда результат можно найти ещё быстрее: 4 х 8 = 8 х 4 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32.

Совет № 2

Умножать можно с помощью рук Умножение на 9

Для этого положите руки ладонями вверх, пальцы разогните. Мысленно пронумеруйте пальцы слева направо от 1 до 10. Загните тот палец, на какое число нужно умножить 9. Например, нужно 9х3. Загибаете 3 палец. Все пальцы слева (их 2 — это десятки), пальцы справа (их 7) — единицы. Соединяем десятки и единицы, получаем — 27.

Вычисление произведения любых однозначных чисел больше, чем 5

Способ 1

Пронумеруйте мысленно пальцы на обеих руках. Мизинец — 6, безымянный — 7, средний — 8, указательный — 9, большой — 10 (на то он и БОЛЬШОЙ, чтобы выражать самое БОЛЬШОЕ число).

Допустим, вы хотите узнать, сколько будет 8 х 7. Соедините вместе средний палец левой руки (8) с безымянным правой (7), как показано на рисунке. А теперь считайте. Два соединённых пальца плюс те, что под ними, указывают на количество десятков в произведении. В данном случае — 5. Число пальцев, оказавшихся над одним из сомкнутых пальцев, умножьте другим сомкнутым пальцем. В нашем случае 2 х 3 = 6. Это — число единиц в искомом произведении. Десятки складываем с единицами, и ответ готов — 56.

Способ 2

Например, нужно выяснить сколько будет при счете 7х7. Загнём на левой руке столько пальцев, на сколько первый множитель больше 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй множитель больше 5.

В данном случае будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количество загнутых пальцев и перемножить количество не загнутых, то получится соответственно число десятков и единиц искомого произведения, т.е. 49. Если этим способом вычислять произведение 6х7, то получится 3 десятка и 12 единиц, т.е. 30+12=42

Проверьте и убедитесь, что эти способы действительно работают.

Нестандартные методы запоминания 

Понимая смысл умножения, можно использовать для вычислений предыдущие или последующие табличные случаи. При этом случае нужно лишь вычесть или прибавить нужное число.

Если вы выучили до своей пятикратной таблице умножение, вы сможете выучить ее до десятикратной таблицы умножения в кратчайшие сроки. На самом деле нужно усвоить всего 6 ключевых фактов:

    • 6 х 6 = 36
    • 7 х 6 = 42
    • 8 х 6 = 48
    • 7 х 7 = 49

Еще хорошие новости: если вы просмотрите нижнюю часть этой статьи, вы увидите, что есть несколько уловок, стишков и видео, которые помогут вам запомнить эти ключевые факты.

Учим умножение

Совет №1

Большую роль в усвоении таблицы умножения играет понимание смысла умножения. Объясните ребёнку смысл действия умножения и научите этим пользоваться при вычислениях.

Умножение – это сумма одинаковых слагаемых.

8 умножить на 3 – это значит, что число 8 мы должны взять 3 раза: 8 х 3 = 8 + 8 + 8

Понимая смысл умножения, ребёнок сможет найти результат даже в ситуации, когда он забыл какой-то случай из таблицы.

Например, забыв результат умножения числа 4 на 8, можно заменить умножение сложением и найти произведение: 4 х 8 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32.

Важно знать переместительное свойство умножения (от перестановки множителей произведение не меняется), тогда результат можно найти ещё быстрее: 4 х 8 = 8 х 4 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32.

Совет № 2

Умножать можно с помощью рук

Умножение на 9
Для этого положите руки ладонями вверх, пальцы разогните. Мысленно пронумеруйте пальцы слева направо от 1 до 10. Загните тот палец, на какое число нужно умножить 9. Например, нужно 9х3. Загибаете 3 палец. Все пальцы слева (их 2 — это десятки), пальцы справа (их 7) — единицы. Соединяем десятки и единицы, получаем — 27.

Вычисление произведения любых однозначных чисел больше, чем 5

Способ 1

Пронумеруйте мысленно пальцы на обеих руках. Мизинец — 6, безымянный — 7, средний — 8, указательный — 9, большой — 10 (на то он и БОЛЬШОЙ, чтобы выражать самое БОЛЬШОЕ число).

Допустим, вы хотите узнать, сколько будет 8 х 7. Соедините вместе средний палец левой руки (8) с безымянным правой (7), как показано на рисунке. А теперь считайте. Два соединённых пальца плюс те, что под ними, указывают на количество десятков в произведении. В данном случае — 5. Число пальцев, оказавшихся над одним из сомкнутых пальцев, умножьте другим сомкнутым пальцем. В нашем случае 2 х 3 = 6. Это — число единиц в искомом произведении. Десятки складываем с единицами, и ответ готов — 56.

Способ 2

Например, нужно умножить 7х7. Загнём на левой руке столько пальцев, на сколько первый множитель больше 5, а на правой руке столько пальцев, на сколько второй множитель больше 5.

В данном случае будет загнуто по 2 пальца. Если сложить количество загнутых пальцев и перемножить количество не загнутых, то получится соответственно число десятков и единиц искомого произведения, т.е. 49. Если этим способом вычислять произведение 6х7, то получится 3 десятка и 12 единиц, т.е. 30+12=42

Проверьте и убедитесь, что эти способы действительно работают.

Совет № 3

Знание правил умножения упростит запоминание таблицы умножения:

При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.
Все результаты умножения на 10 начинаются с числа, которое мы умножаем, а заканчиваются на 0.
Все результаты умножения на 5 заканчиваются на 5 или 0: если умножали нечётное число – на 5, если чётное – на 0.
Чтобы умножать на 4, можно просто дважды удваивать число. Например, чтобы умножить 6 на 4, нужно удвоить 6 два раза: 6 + 6 = 12, 12 + 12 = 24.
При умножении на 9, запишите ряд ответов в столбик: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Запомнить нужно первое и последнее число. Все остальные можно воспроизвести по правилу: первая цифра в двузначном числе увеличивается на 1, а вторая уменьшается на 1.
Как быстро и легко выучить таблицу умножения

Совет №4

Научиться пользоваться таблицей Пифагора

Необходимо показать ребёнку, что числа из левого столбика умножаются на числа из верхней строки. Найти результат очень просто: нужно только провести рукой по таблице вниз и вправо от множителей до места пересечения, где и будет расположен результат умножения.

Возьмите пустую распечатанную или нарисованную таблицу и заполните её вместе с ребёнком. Причем в цвете, закрашивая одинаковый результат одним цветом. Сразу будет видна закономерность. Ребёнок увидит, что запоминать нужно только половину таблицы (согласно переместительному закону умножения). таблица умножение и деление тренажер

Понимая смысл умножения, можно использовать для вычислений предыдущие или последующие табличные случаи. При этом случае нужно лишь вычесть или прибавить нужное число.

Совет №5

Использовать шифровки, раскраски, лабиринты…

Подобные задания увлекают ребёнка и облегчают запоминание таблицы умножения.

Математические Шифровки

Использовать шифровки, раскраски, лабиринты

Подобные задания увлекают ребёнка и облегчают запоминание таблицы умножения.

Шифровки

Раскраски

Раскраски скачать

Лабиринты

Но так же очень полезно детям проходить и обычные лабиринты, соответствующие возрасту.

скачать лабиринты для ребенка

Тренажер по таблице умножения и деления

Бесценный богатый тренажер!
В книге вы найдете:

  •  страницы интересных результативных упражнений;
  • разнообразные задания;
  • творческий подход;
  • нестандартные приемы;
  • задания разного уровня сложности;
  • различные шифровки;
  • игры и раскраски.
  • Ваш ребенок получит:

легкое и без нервов запоминание таблицы умножения;
развитие внимания и мышления;
улучшение в целом математических способностей;
огромное количество интересных и полезных заданий.
Книга может быть использована как для индивидуальной работы, так и работы в классе.
Скучно точно не будет!

Тренажер удобен для распечатывания!

ИССЛЕДОВАТЬ ТРЕНАЖЕР УЧИМ ТАБЛИЦУ УМНОЖЕНИЯ

Совет №6

Можно ли выучить таблицу умножения быстро и легко наизусть в игровой форме? Оказывается да!
Нужно просто играть с ребёнком в игры, где необходимо знание таблицы умножения. И сейчас мы такие игры разберем.

Игра 1

Можно приготовить карточки со случаями умножения без ответов. Ребёнок должен вытягивать по одной. Если он даёт правильный ответ, то откладывает карточку в сторону, неправильный — возвращает в стопку. Можно устроить соревнования: кто больше даст правильных ответов.

Игру можно разнообразить. Например, давать ответы на время. И каждый день подсчитывать количество правильных ответов, чтобы у ребёнка появилось желание улучшить свой вчерашний рекорд. Можно вместо карточек с выражениями подготовить карточки с ответами. Например, на карточке написано число 24. Ребёнок должен назвать несколько случаев, в которых результатом умножения будет это число.

Игра 2

На игровом поле 100 квадратов с результатами умножения двух чисел, которые есть на игральных кубиках (от 1 до 6). Числа на поле повторяются!
Первый игрок бросает кубики и умножает выпавшие числа. Получившийся результат ищет на поле и рисует линию, соединяя любые две точки квадрата, внутри которого находится это число.
Второй игрок делает то же самое, и далее по очереди.
Когда игрок рисует линию, полностью закрывающую квадрат, он его закрашивает. Грани у квадрата могут быть нарисованы и соперником, главное — быть последним. После этого игрок, закрасивший квадрат, бросает кубики снова.
Побеждает игрок с наибольшим количеством закрашенных квадратов.

Игра 3

Игра для быстрого запоминания таблицы умножения «Семечки и орешки».

как быстро и легко выучить таблицу умножения

Скачать игру «Семечки и орешки»
Как быстро и легко выучить таблицу умножения

Совет №7

Для быстрого и легкого запоминания таблицы умножения можно сделать с ребёнком специальные браслеты.

Если поочередно носить такие браслеты на руке, то запоминание автоматически происходит быстрее, т.к. подключается зрительная память.

Совет №8 Математические фокусы

Чтобы выполнять математические фокусы, знание таблицы умножения просто необходимо. Поэтому, если вашего ребёнка увлечёт этот процесс и он захочет покорить сверстников своими тайными математическими знаниями, то таблицу умножения ребёнок точно выучит.

Как быстро и легко выучить таблицу умножения

Совет №9

Стихи на умножение

Не нужно запоминать все стихотворные строчки. Достаточно выбрать только те моменты, которые ребёнку даются с трудом.

2 × 2 = 4
Два атлета взяли гири.
Это: дважды два — четыре.

2 × 3 = 6
Сел петух до зари
На высокий шест:
— Кукареку!.. Дважды три,
Дважды три — шесть!

2 × 4 = 8
В пирог вонзилась пара вилок:
Два на четыре — восемь дырок.

2 × 5 = 10
Двух слонов решили взвесить:
Дважды пять — получим десять.
То есть весит каждый слон
Приблизительно пять тонн.

2 × 6 = 12
Повстречался с раком краб:
Дважды шесть — двенадцать лап.

2 × 7 = 14
Дважды семь мышей —
Четырнадцать ушей!

2 × 8 = 16
Осьминоги шли купаться:
Дважды восемь ног — шестнадцать.

2 × 9 = 18
Вы видали подобное чудо?
Два горба на спине у верблюда!
Стали девять верблюдов считаться:
Дважды девять горбов — восемнадцать.

3 × 3 = 9
Кофе пили три букашки
И разбили по три чашки.
Что разбито, то не склеить…
Трижды три — выходит девять.

3 × 4 = 12
Целый день твердит в квартире
Говорящий какаду:
— Тррри умножить на четыррре,
Тррри умножить на четыррре —
Двенадцать месяцев в году.

3 × 5 = 15
Школьник стал писать в тетрадь:
Сколько будет «трижды пять»?
Был он страшно аккуратен:
Трижды пять — пятнадцать пятен!

3 × 6 = 18
Стал Фома оладьи есть:
Восемнадцать — трижды шесть.

3 × 7 = 21
Трижды семь — двадцать один:
На носу горячий блин.

3 × 8 = 24
Прогрызли мыши дыры в сыре:
Трижды восемь — двадцать четыре.

3 × 9 = 27
Трижды девять — двадцать семь.
Это нужно помнить всем.

4 × 4 = 16
Четыре милых свинки
Плясали без сапог:
Четырежды четыре — шестнадцать голых ног.

4 × 5 = 20
Четыре учёных мартышки
Ногами листали книжки.
На каждой ноге — пять пальцев:
Четырежды пять — двадцать.

4 × 6 = 24
Шла на парад
Картошка-в-мундире:
Четырежды шесть — двадцать четыре!

4 × 7 = 28
Цыплят считают под осень:
Четырежды семь — двадцать восемь!

4 × 9 = 36
У Бабы-яги сломалась ступа.
Четырежды восемь — тридцать два зуба!
Беж жубов ей нечем есть:
Четырежды девять — «тридцать шешть»!

5 × 5 = 25
Вышли зайцы погулять:
Пятью пять — двадцать пять.

5 × 6 = 30
Забежала в лес лисица:
Пятью шесть — выходит тридцать.

5 × 7 = 35
Пять медведей из берлоги
Шли по лесу без дороги —
За семь вёрст кисель хлебать:
Пятью семь — тридцать пять!

5 × 8 = 40
Влезть сороконожке
Трудно на пригорок:
Утомились ножки —
Пятью восемь — сорок.

Встали пушки на пригорок:
Пятью восемь — вышло сорок.

5 × 9 = 45
Пушки начали стрелять:
Пятью девять — сорок пять.

Если лаптем щи хлебать:
Пятью девять — сорок пять.
Будет этот лапоть
Всем на брюки капать!

6 × 6 = 36
Шесть старушек пряли шерсть:
Шестью шесть — тридцать шесть.

6 × 7 = 42
Шесть сетей по шесть ершей —
Это тоже тридцать шесть.
А попалась в сеть плотва:
Шестью семь — сорок два.

6 × 8 = 48
Бегемоты булок просят:
Шестью восемь — сорок восемь.

6 × 9 = 54
Нам не жалко булок —
Рот откройте шире:
Шестью девять будет
Пятьдесят четыре.

7 × 7 = 49
Дураков не жнут, не сеют,
Сами нарождаются:
Семью семь — сорок девять…
Пусть не обижаются!

7 × 8 = 56
Раз олень спросил у лося:
«Сколько будет семью восемь?»
Лось не стал в учебник лезть:
«Пятьдесят, конечно, шесть!»

7 × 9 = 63
У семи матрёшек
Вся семья внутри:
Семью девять крошек —
Шестьдесят три.

8 × 8 = 64
Пылесосит носом
Слон ковры в квартире:
Восемь на восемь —
Шестьдесят четыре.

8 × 9 = 72
Восемь медведей рубили дрова:
Восемью девять — семьдесят два.

8 × 10 = 80
Самый лучший в мире счёт:
Наступает Новый год!
В восемь рядов игрушки висят:
Восемью десять — восемьдесят!

9 × 9 = 81
Свинка свинёнка решила проверить:
— Сколько получится «девять на девять»?
— Восемьдесят — хрю — один! —
Так ответил юный свин.

Тренируйся играя Обучающий тренажер по умножению

Еще одни факты в обучении

Умножение ( х )- это коммутативная операция. Это означает, что вы можете изменить порядок чисел, и ответ будет таким же. Так например:

8 х 6 = 48 и
6 х 8 = 48

Итак, когда вы изучаете таблицу (х ), вы получаете две по цене одной. Когда вы изучаете таблицу умножения, это поможет вам быстрее выучить  от одного до пяти. Вдобавок, когда вы выучите таблицу умножения на пять, вы будете знать половину таблицы умножения на шесть, семь, восемь, девять и десять умножений.

Знание таблиц умножения до 5 дает вам половину от 6-10 знаний в таблицах умножения.

 

 

Хитрости в обучении таблицы умножения на 9

Все знают таблицу умножения на 10, но есть хитрость как узнать таблицу умножения на 9

Продолжая тему «разделяй и властвуй», мы можем покорить таблицу (х ) на девять и десять. Я полагаю, что каждый знает свою таблицу (х ) на девять, и большинство людей знают трюк, чтобы выучить таблицу умножения на девять.

Если вы не знаете трюка с таблицей (х ) на девять, вы можете выбрать из числа. Некоторые включают в себя очень простые вычисления в уме, другие заставляют вас использовать пальцы. Лучше всего выбрать трюк, который вам подходит. Просто погуглите «девятикратный трюк» и выберите свой любимый. Если вы потратите время, чтобы просмотреть один или два примера и сделать выбор, этот опят останется неизменным.

9 и 10 таблиц умножения – это всего лишь 9 фактов!

На самом деле вам нужно только знать таблицу на 6

Умножение коммутативно. Если вы знаете 7 x 6 = 42, знайте, что 6 x 7 = 42, если 8 x 6 = 48, то  6 x 8 = 48, и если вы знаете 8 x 7 = 56, вы знаете, что 7 x 8 = 56, и вы будете уметь сократить количество фактов, оставшихся для изучения, до последних шести, упомянутых в начале. Вы можете даже обнаружить, что уже выучили некоторые из этих последних шести, просто прочитав эту статью.

6 х 6 = 36
7 х 6 = 42
8 х 6 = 48
7 х 7 = 49
8 х 7 = 56
8 х 8 = 64

Если вы прочитаете эту статью 2 или 3 раза, вы удивитесь, сколько вы сохраните.  Вот и финальная сетка, по-настоящему разделенная и завоеванная!

Я разработал этот метод, когда писал свой блог по математике на GCSE, и мои дети обнаружили, что он им помог. Как вы думаете? Знаете ли вы какие-нибудь другие приемы, которые я должен включить в свой математический блог?

Последняя сетка, которую нужно выучить только на шесть

Как легко Выучить Таблицу Умножения или Дополнительные Хитрости для запоминания

Несмотря на то, что мы сузили задачу до 6 фактов, хотим поделиться, некоторыми изящными уловками или стишками, которые помогут:

7 х 8 = 56

Мы также нашли небольшой трюк для 7 x 8 (или 8 x7), просто переверните его, чтобы вместо 7 x 8 = 56  т. е

56 = 7 x 8 – Вы видите? Это всего 5,6,7 и 8

Ниже также есть комментарий, который поможет с таблицей (х ) на 6. Лучше всего это объяснить, пройдя по каждому факту:

6 х 6 = 36

Хитрость заключается в том, чтобы сначала вычесть 5 из умножаемого числа:

6–5 = 1

Затем умножьте это число на 6:

1 х 6 = 6

Затем просто добавьте 30: –

6 + 30 = 36, и вот ваш ответ 6 x 6 = 36

Этот метод можно использовать для любой части таблицы умножения на 6 умножений от 6 х 6 и выше.

Давайте сделаем это для 7 x 6 и 8 x 6: –

7 х 6

7–5 = 2

2 х 6 = 12

12 + 30 = 42

8 х 6

8–5 = 3

3 х 6 = 18

18 + 30 = 48

Итак, теперь для последних шести фактов у нас есть уловки или высказывания по поводу:

  • 6 х 6 = 36
  • 7 х 6 = 42
  • 8 х 6 = 48
  • 7 х 8 = 56
  • 8 х 8 = 64

Остается 7 x 7 = 49

Таблица умножения дается некоторым детям нелегко, особенно если у ребёнка плохая память. Порой бывает недостаточно применять простое заучивание надоевших, и никак не укладывающихся в голове, столбцов. Можно облегчить ребёнку процесс запоминания таблицы умножения, если знать несколько несложных, но очень действенных приёмов.

Рассмотрим несколько, проверенных личным опытом, практических советов, которые, при применении на практике, дают очень хороший результат.

Наберитесь терпения

Обычно в процессе некоторые родители забываются и совершают одни и те же ошибки.
Если ребёнок будет выполнять задания с интересом, понимать то, что он делает, то результат по запоминанию таблицы умножения будет достигнут гораздо быстрее. Желаю удачи и очень рекомендую дать ребенку возможность выучить таблицу умножения быстро и с интересом.

Обучающее видео или учимся играя

Но хорошие новости! Мы наткнулись на  обучающее игровую закономерность в обучении, в котором показано, как пальцами можно выполнять любое умножение. Мы думаем, что большинству детей действительно понравилось бы использовать свои пальцы  в начальном этапе обучения.:)

Мы очень рады, что нашли эти маленькие хитрости (и спасибо всем, кто указал мне в правильном направлении). Некоторые люди могут сказать: «Зачем все это? Просто выучите таблицу умножения!» Я думаю, что просто работа над этими трюками (возможно, их следует называть техниками) и высказываниями насаждает факты в вашей памяти в Запоминании Таблицы Умножения. Чем смешнее или абсурднее трюк, тем больше у вас шансов запомнить.:)

Как выучить таблицу умножения — Развитие и обучение для детей Мама7я

Таблица умножения (таблица Пифагора) — таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение.

Множитель и произведение в умножении

Сложение одинаковых слагаемых можно заменить новым действием умножением. Например, взять по два четыре раза и запишем 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4 = 8. На начальном этапе изучения иаблицы умножения детям важно показывать все действия на предметах или картинках для визуального восприятия таблицы умножения.

Таблица умножения легко и быстро

Таблица умножения Карточки

Карточки таблицы умножения можнл распечатать из нашего шаблона или сделать самостоятельно. Визуализация таблицы умножения с помощью карточек помогает быстро и легко выучить таблицу умножения.

  • Таблица умножения Карточки распечатать
  • Таблица умножения Карточки самим

Как быстро выучить таблицу умножения

Быстро и легко таблицу умножения поможет выучить запоминание основных правил таблицы умножения.

Таблица умножения на 2

1 × 2 = 2
2 × 2 = 4
3 × 2 = 6
4 × 2 = 8
5 × 2 = 10
6 × 2 = 12
7 × 2 = 14
8 × 2 = 16
9 × 2 = 18
10 × 2 = 20
11 × 2 = 22
12 × 2 = 24

Таблица умножения на 3

1 × 3 = 3
3 × 3 = 9
4 × 3 = 12
5 × 3 = 15
6 × 3 = 18
7 × 3 = 21
8 × 3 = 24
9 × 3 = 27
10 × 3 = 30
11 × 3 = 33
12 × 3 = 36

Таблица умножения на 4

1 × 4 = 4
4 × 4 = 16
5 × 4 = 20
6 × 4 = 24
7 × 4 = 28
8 × 4 = 32
9 × 4 = 36
10 × 4 = 40
11 × 4 = 44
12 × 4 = 48

Таблица умножения на 5

1 × 5 = 5
5 × 5 = 25
6 × 5 = 30
7 × 5 = 35
8 × 5 = 40
9 × 5 = 45
10 × 5 = 50
11 × 5 = 55
12 × 5 = 60

Таблица умножения на 6

1 × 6 = 6
6 × 6 = 36
7 × 6 = 42
8 × 6 = 48
9 × 6 = 54
10 × 6 = 60
11 × 6 = 66
12 × 6 = 72

Таблица умножения на 7

7 × 1 = 7
7 × 7 = 49
8 × 7 = 56
9 × 7 = 63
10 × 7 = 70
11 × 7 = 77
12 × 7 = 84

Таблица умножения на 8

1 × 8 = 8
8 × 8 = 64
9 × 8 = 72
10 × 8 = 80
11 × 8 = 88
12 × 8 = 96

Таблица умножения на 9

1 × 9 = 9
9 × 9 = 81
10 × 9 = 90
11 × 9 = 99
12 × 9 = 108

Таблица умножения на 10

1 × 10 = 10
10 × 10 = 100
11 × 10 = 110
12 × 10 = 120

Таблица умножния на 11

1 × 11 = 11
11 × 11 = 121
12 × 11 = 132

Таблица умножения на 12

1 × 12 = 12
12 × 12 = 144

Таблица Пифагора умножение

Умножение легко и быстро выучить по таблице Пифагора, которая представлена ниже.

Таблица Пифагора

Таблица умножения на пальцах

Таблица умножения на пальцах

Умножение на 9 на пальцах

Поставьте перед собой все 10 пальцев веером и выберете число на которое нужно умножить на 9. Выберем число 4. Отсчитаем от левого мизинца в направлении правого и согнем четвертый палец: слева от четвертого пальца будут три пальца (обозначаются как десятки), а справа от него будут 6 пальцев (обозначаются как единицы). Ответ: 4 х 9= 36.

Таблица умножения на 9 на пальцах

Таблица умножения Тренажер

Тренажер таблица умножения и деления

Умножение на 2 тренажер

2 × 12 × 22 × 32 × 42 × 52 × 32 × 62 × 22 × 72 × 8
2 × 72 × 32 × 42 × 92 × 22 × 82 × 52 × 32 × 62 × 4
2 × 52 × 42 × 62 × 82 × 42 × 72 × 32 × 82 × 92 × 3
2 × 32 × 22 × 32 × 22 × 12 × 22 × 32 × 22 × 32 × 1
2 × 42 × 62 × 42 × 62 × 52 × 62 × 52 × 42 × 52 × 4
2 × 72 × 82 × 72 × 92 × 72 × 82 × 92 × 82 × 92 × 7
2 × 52 × 42 × 62 × 32 × 5
2 × 92 × 52 × 82 × 72 × 6
2 × 42 × 42 × 32 × 32 × 2

Деление на 2 тренажер

2 ÷ 24 ÷ 26 ÷ 28 ÷ 210812161418
18 ÷ 210 ÷ 28 ÷ 214 ÷ 212101681014
4 ÷ 216 ÷ 214 ÷ 28 ÷ 214181610182
6 ÷ 210 ÷ 24 ÷ 214 ÷ 28 ÷ 21218 ÷ 216 ÷ 2108
12 ÷ 28 ÷ 22 ÷ 210 ÷ 26 ÷ 218 ÷ 212 ÷ 214 ÷ 216 ÷ 218 ÷ 2

9 тренажеров для изучения таблицы умножения

Таблица умножения является основой для расчетов, которые ребенок будет делать в последующие годы обучения и на протяжении всей свой жизни. Может, вы этого не замечаете, но вы тоже ее используете, например, при покупке овощей на рынке или вычислении площади пола в новой квартире.

Мы подобрали несколько тренажеров для смартфона, которые упрощают запоминание таблицы умножения. Ребенок может тренироваться по 5-15 минут за раз. Постарайтесь проводить такие тренировки хотя бы два раза в течение дня. Исследования мозга доказали, что новая информация запоминается намного лучше, если повторят ее после 4-6 часов после первого заучивания.

Главная цель — запомнить, а не получить ответ счетом или каким-либо другим способом. Вы можете легко заметить, когда ребенок пытается считать, потому что в этом случае на получение ответа уходит гораздо больше времени.

Multiplication Table for Children

Название, быть может, и не самое примечательное, но в этом приложении собрано немало полезных упражнений, которые помогут вашему ребенку улучшить навыки умножения на практике.

В «Классной комнате» ребенок может посоревноваться с самим собой, решая широкий круг арифметических задач, покрывающих повторяющееся сложение, нахождение произведения двух чисел и обратные операции (например, деление, где обратной операцией для 4х3=12 будет 12/3=4).

В «Игровой комнате» две игры, в каждой из которых проверяется знание таблицы умножения. Как только ребенок почувствует, что он уже хорошо научился умножать определенное число, он может проверить свои навыки в разделе «Тест».

Доступно для Android и iPhone.

Maths Loops Multiply

Это простое приложение — отличный способ попрактиковаться в умножении в столбик и навыке переноса. По мере проставления правильных ответов будет открываться очередной элемент на скрытом изображении. После успешного завершения игры картинка откроется полностью. На простых уровнях игроку придется иметь дело с однозначными и двузначными числами. На сложных уровнях разрядность чисел может доходить до шести знаков.

Перед началом игры нужно выбрать уровень сложности. Затем перед ребенком появляется сетка 3х4, в каждой клеточке которой находится выражение, значение которого нужно вычислить. Правильные ответы нужно либо набрать на экранной клавиатуре, либо нарисовать пальцем начиная с единиц, затем переходя к десяткам, сотням и так далее.

Доступно для Android и iPhone.

SplashLearn

SplashLearn – очень популярное приложение, позволяющее самостоятельно совершенствовать арифметические навыки, соответствующие учебному плану младших классов начальной школы.

При этом обучение проходит в увлекательной игровой форме. Например, на уровне Kindergarten («Детский сад») ребенок получает базовые представления о формах и счете. К уровню сложности, соответствующему 5 классу общеобразовательной школы, ученик осваивает умножение, деление, основы алгебры, обычные и десятичные дроби.

В приложении есть и особенности, которые стоит упомянуть отдельно: виртуальные награды, панель прогресса обучения, пояснения по неправильным ответам. Программа обучения от подготовительной группы детского сада до пятого класса средней школы.

Доступно для Android и iPhone.

Multiple Wipeout

Приложение Multiple Wipeout призвано помочь детям улучшить знание таблицы умножения. Оно оперирует выражениями, значения которых ребенок должен знать наизусть. Школьники начинают учить таблицу ко второму году обучения, а классу к четвертому практический навык умножения натуральных чисел до десяти должен быть доведен до автоматизма.

Сначала ребенок выбирает число от двух до двенадцати. После этого ему нужно лопнуть все шарики, числа которых кратны выбранному. И чем быстрее он это сделает, тем больше наберет баллов. Если же лопнет воздушный шарик с числом, не кратным выбранному, сокращается общее время на решение задачи.

В игре три уровня сложности: Easy, Hard и Challenge. Легкий уровень фокусируется на однозначных и двузначных числах. На уровне Hard используются трехзначные числа. Уровень Challenge включает все вышеперечисленное.

Приложение доступно для Android.

Montessori Maths Multiplication

Приложение Montessori Maths Multiplication есть три игры на умножение: Missing Digits (нужно вставить недостающие цифры, чтобы получить правильный ответ), Wiz Quiz (помогает справиться с проблемами, возникающими при умножении в столбик) и Bubble Game, в которой игроку задается вопрос, а ему нужно выбрать шарик с правильным ответом.

Ребенку нужно осваивать умножение начиная с единиц, переходя на десятки, сотни, а затем и на тысячи. За правильные ответы игроки получают дополнительные очки, которые можно потратить на улучшение своего игрового персонажа. Есть также три вспомогательных инструмента, которые помогут малышу научиться умножать: игру в марки, арифметические счеты с бусинками и доску умножения.

Вы можете подстроить приложение под потребности вашего ребенка, зайдя в раздел настроек. Здесь вы можете указать самые маленькие и самые большие множители, с которыми нужно попрактиковаться малышу, и при необходимости изменить другие параметры игры.

Доступно для Android и iPhone.

Squeebles Maths Race

Maths Race особенно понравится детям, у которых высок дух соревнования. Играя против компьютера или другого игрока, ребенок должен решать арифметические задачи. И чем точнее и быстрее он их будет решать, тем быстрее его игровой персонаж Squeeble придет к финишу и победит в гонке.

Поначалу нужно выбрать, с каким арифметическим действием нужно практиковаться (сложение, вычитание, умножение или деление). Если выберете, например, умножение, приложение попросит указать наибольший множитель, от 2 до 12. Также перед игрой выбирается уровень сложности. На сложных уровнях не только сложнее задачи, но и дается меньше времени на их решение.

Maths Race прекрасно мотивирует. За правильные ответы дети зарабатывают звездочки, неплохим стимулом является и стремление выиграть в гонке, что, в свою очередь, дает большие возможности в выборе игровых персонажей. Соревноваться можно даже с самим собой, пытаясь улучшить предыдущие результаты.

Доступно для Android и iPhone.

Multiplication with Ibbleobble

Это приложение поможет ребенку научиться быстрее перемножать числа, навык, который пригодится не только на уроках и экзаменах, но и за стенами школы. Вопросы базируются на таблице умножения, которую дети осваивают в младших классах.

В самом начале нужно выбрать из нескольких симпатичных животных виртуального друга, с которым он будет играть. После этого указывается уровень сложности. На легком уровне нет никаких ограничений по времени. На среднем и тяжелом уровне время на решение задач ограничено.

В каждом задании представлена задача на умножение, а игроку нужно выбрать правильный ответ из трех вариантов. В процессе игры дети собирают «вкусняшки» для своего персонажа. Например, для мистера Мыши это будут кусочки сыра.

Главный недостаток приложения заключается в том, что оно не помогает учить таблицу умножения. Оно рассчитано на детей, которые ее уже знают. Приложение же помогает только научиться умножать быстрее.

Доступно только для iPhone.

Multiplication Table AR

В приложении Multiplication Table AR App изучение умножения в игровой форме происходит с помощью технологий дополненной реальности (AR). Включите на мобильном устройстве камеру, выберите нужную таблицу, и она предстанет перед вами в трехмерном виде.

В нижней части экрана появляется число (например, 6), а по центру дисплея в оранжевом кольце показываются выражения (в нашем случае, например, подходящим выражением будет 2х3).

Ребенку нужно перемещать устройство и наводить видоискатель на цель, содержащую выражение, результат которого соответствует заданному числу. Сделав выбор, ребенок «стреляет» в цель. Если ответ правильный, цель окрашивается в зеленый цвет.

Учтите, что в игре рассматривается только таблица Пифагора с умножением до десяти. Этого может быть недостаточно для детей.

Доступно только для iPhone.

Visual Multiplication Table

Приложение Visual Multiplication Table, разработанное специально под iPad, предоставляет малышам игровую площадку, на которой они учат таблицу умножения. Приложение состоит из четырех секций, каждой из которых соответствует свой способ изучения умножения в игровой форме: Solve, Groups, Multiples и Table.

В магазине iTunes Store приложение стоит 4 доллара. Приложение настоятельно рекомендуется для детей, изучающих таблицу умножения и нуждающихся в более наглядном подходе к предмету.

Доступно только для iPad.

Тренажер таблица умножения печать. Детские игры

Выучить таблицу умножения легко, если использовать игровую методику обучения.

Ученику младших классов сложно сразу освоить такое математическое действие, как умножение. Упорные занятия обязательно принесут свои плоды, но необходимо для начала разобраться в причинах трудностей малыша.

Часто бывает так, что ребенок, успешно осваивающий программу младшей школы, испытывает трудности при прохождении темы «Умножение». Родителям не нужно впадать в панику и не стоит ругать малыша.

Совет: Проведите дополнительные занятия и помогите сыну или дочери запомнить эти несложные действия.

Как научить ребенка умножению, как объяснить?



Ученики вторых классов испытывают трудности с заучиванием таблицы умножения, так как дети не понимают суть математического действия «умножение». Как научить ребенка умножению, как объяснить:

  • Возьмите счетные палочки и разложите на столе попарно. Например, 4 пары. Ребенок должен посчитать, сколько палочек лежит на столе
  • Пусть малыш запишет сложение в виде примера: 2+2+2+2=8. Объясните ребенку особенности этого действия: складываются одинаковые цифры
  • Продолжите ряд слагаемых и положите на стол еще две или три пары палочек. Запишите пример на бумаге: 2+2+2+2+2+2= 12
  • Объясните ребенку, что это действие можно записать в виде умножения: 2х6= 12
  • Теперь предложите ребенку выполнить еще одно действие. Разложите на столе, например, 8, 9 или 10 пар счетных палочек. Пусть малыш самостоятельно составить действие на умножение. Вы увидите, с каким интересом он будет это делать

Важно: Когда умножение «на 2» освоено, можно переходить к более сложным действиям.

Таблица умножения тренажер



Важно: Для детской памяти хорошо, когда ребенок видит наглядно математическое действие. Купите плакаты с таблицей умножения или нарисуйте ее самостоятельно на листе бумаги форматом А1.

Объясните ребенку, что ему необходимо запомнить только 36 комбинаций. Другие действия повторяются или они очень простые.

Когда малыш поймет особенность этих действий, для него покажется легкой вся таблица умножения. Тренажер поможет памяти запомнить сложные действия и заучить простые действия, не тратя на них много времени.

Видео: Таблица умножения

Видео: Учить ребёнка таблицу умножения очень легко и просто

Видео: Наглядная таблица умножения. Видеоклип-считалочка.

На «2» умножать легко любое число, так как это сложение этого числа два раза.

2х1=2 (2 повторяется 1 раз — получается 2)

2х2=4 (2 повторяется 2 раза — получается 4)

2х3=6 (2 повторяется 3 раза — получается 6)

2х4=8 (2 повторяется 4 раза — получается 8)

2х5=10 (2 повторяется 5 раз — получается 10)

2х6=12 (2 повторяется 6 раз — получается 12)

2х7=14 (2 повторяется 7 раз — получается 14)

2х8=16 (2 повторяется 8 раз — получается 16)

2х9=18 (2 повторяется 9 раз — получается 18)

2х10=20 (2 повторяется 10 раз — получается 20)



Объясните ребенку на наглядном примере, как происходит умножение на «3», чтобы он понял. Тогда у него получится быстро запомнить это действие.

3х1=3 (3 повторяется 1 раз — получается 3)

3х2=6 (3 повторяется 2 раза — получается 6)

3х3=9 (3 повторяется 3 раза — получается 9)

3х4=12 (3 повторяется 4 раза — получается 12)

3х5=15 (3 повторяется 5 раз — получается 15)

3х6=18 (3 повторяется 6 раз — получается 18)

3х7=21 (3 повторяется 7 раз — получается 21)

3х8=24 (3 повторяется 8 раз — получается 24)

3х9=27 (3 повторяется 9 раз — получается 27)

3х10=30 (3 повторяется 10 раз — получается 30)



Четвертый столбик таблицы умножения еще легкий и ребенок без труда запомнит его. Помогите малышу своими подсказками и поддержкой в виде слов подбадривания и похвалы, и он обязательно все сможет.

4х1=4 (4 повторяется 1 раз — получается 4)

4х2=8 (4 повторяется 2 раза — получается 8)

4х3=12 (4 повторяется 3 раза — получается 12)

4х4=16 (4 повторяется 4 раза — получается 16)

4х5=20 (4 повторяется 5 раз — получается 20)

4х6=24 (4 повторяется 6 раз — получается 24)

4х7=28 (4 повторяется 7 раз — получается 28)

4х8=32 (4 повторяется 8 раз — получается 32)

4х9=36 (4 повторяется 9 раз — получается 36)

4х10=40 (4 повторяется 10 раз — получается 40)



Пятый столбик таблицы умножения — это легкие математические действия. Чтобы получить результат, нужно число на которое умножается «5», умножить сначала на «10», а потом разделить пополам.

Важно: Когда ребенок поймет, как числа умножаются на «5», у него в голове со временем появится логическая цепочка каждого действия из этого столбика. Благодаря этому он уже сможет умножать на «5» моментально.

5х1=5 (5 повторяется 1 раз — получается 5)

5х2=10 (5 повторяется 2 раза — получается 10)

5х3=15 (5 повторяется 3 раза — получается 15)

5х4=20 (5 повторяется 4 раза — получается 20)

5х5=25 (5 повторяется 5 раз — получается 25)

5х6=30 (5 повторяется 6 раз — получается 30)

5х7=35 (5 повторяется 7 раз — получается 35)

5х8=40 (5 повторяется 8 раз — получается 40)

5х9=45 (5 повторяется 9 раз — получается 45)

5х10=50 (5 повторяется 10 раз — получается 50)



С умножением на «6» появляются первые трудности: действия запоминаются сложно, а цифры получаются большими.

Важно: Объясните ребенку, что строки «6х6» идет повторение произведений из предыдущих столбцов, которые уже выучены. Останется выучить только четыре сложных действия.

6х1=6 (6 повторяется 1 раз — получается 6)

6х2=12 (6 повторяется 2 раза — получается 12)

6х3=18 (6 повторяется 3 раза — получается 18)

6х4=24 (6 повторяется 4 раза — получается 24)

6х5=30 (6 повторяется 5 раз — получается 30)

6х6=36 (6 повторяется 6 раз — получается 36)

6х7=42 (6 повторяется 7 раз — получается 42)

6х8=48 (6 повторяется 8 раз — получается 48)

6х9=54 (6 повторяется 9 раз — получается 54)

6х10=60 (6 повторяется 10 раз — получается 60)



Седьмой столбец таблицы умножения обычно запоминается легче, чем последующие. В нем есть пару сложных действий, которые нужно заучить.

7х1=7 (7 повторяется 1 раз — получается 7)

7х2=14 (7 повторяется 2 раза — получается 14)

7х3=21 (7 повторяется 3 раза — получается 21)

7х4=28 (7 повторяется 4 раза — получается 28)

7х5=35 (7 повторяется 5 раз — получается 35)

7х6=42 (7 повторяется 6 раз — получается 42)

7х7=49 (7 повторяется 7 раз — получается 49)

7х8=56 (7 повторяется 8 раз — получается 56)

7х9=63 (7 повторяется 9 раз — получается 63)

7х10=70 (7 повторяется 10 раз — получается 70)



Последний сложный столбец таблицы умножения. Если ребенок хорошо запомнил предыдущие столбцы, тогда ему не составит труда выучиться умножение на «8». В нем только два новых действия: 8х8 и 8х9

8х1=8 (8 повторяется 1 раз — получается 8)

8х2=16 (8 повторяется 2 раза — получается 16)

8х3=24 (8 повторяется 3 раза — получается 24)

8х4=32 (8 повторяется 4 раза — получается 32)

8х5=40 (8 повторяется 5 раз — получается 40)

8х6=48 (8 повторяется 6 раз — получается 48)

8х7=56 (8 повторяется 7 раз — получается 56)

8х8=64 (8 повторяется 8 раз — получается 64)

8х9=72 (8 повторяется 9 раз — получается 72)

8х10=80 (8 повторяется 10 раз — получается 80)



Девятый столбец является одним из самых легких. На «9» мы умножали уже все числа. Поэтому малышу придется выучить только одно действие: 9х9

9х1=9 (9 повторяется 1 раз — получается 9)

9х2=18 (9 повторяется 2 раза — получается 18)

9х3=27 (9 повторяется 3 раза — получается 27)

9х4=36 (9 повторяется 4 раза — получается 36)

9х5=45 (9 повторяется 5 раз — получается 45)

9х6=54 (9 повторяется 6 раз — получается 54)

9х7=63 (9 повторяется 7 раз — получается 63)

9х8=72 (9 повторяется 8 раз — получается 72)

9х9=81 (9 повторяется 9 раз — получается 81)

9х10=90 (9 повторяется 10 раз — получается 90)

Таблица умножения — игра для детей

Таблица умножения — игра для детей

На сегодняшний день можно найти много разных методик по заучиванию таблицы умножения. Математика — это сложная наука, но для ребенка она не должна быть такой. Если с малышом правильно проводить занятия, то он с легкостью будет воспринимать и запоминать любую информацию.

Самый легкий способ выучить таблицу умножения — это игра для детей. Если малыш будет охотно идти на занятия, то он сможет запомнить все, что ему будет предлагаться на этих занятиях.

Важно: Если вы видите, что ребенок не настроен заниматься, например, он капризничает. Отложите проведение урока до более подходящего момента.

Игры для детей, чтобы быстро выучить таблицу умножения:

Видео: Развивающая онлайн игра для детей по быстрому обучению таблицы умножения

Видео: ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ. РАЗВИВАЮЩИЙ МУЛЬТИК!

Видео: Развивающие уроки и мультфильмы для детей. Арифметика. Таблица умножения



Как говорилось выше, главное правило для обучения ребенка таблице умножения — это игровая форма уроков. Можно применять умножение в стихах для детей.

Важно: Стихи хорошо запоминаются из-за рифмы, а значит, и таблица умножения также будет прекрасно откладываться у малыша в уме.

Родители могут придумывать стихи самостоятельно или вместе с ребенком. Это интересно и увлекательно. Вот несколько стихов на действия таблицы умножения:


Умножение на 5 — стихи

Умножение на 8 — стихи

Видео: Стих Таблица умножения в стихах

Чтобы занятия были нескучными, купите ребенку книжки с таблицей умножения. Прочитайте их вместе с ним, а позитивные эмоции помогут быстро запомнить сложные для малыша математические действия.

Видео: Повышаем успеваемость ребенка по математике — Все буде добре — Выпуск 481 -20.10.14-Все будет хорошо

Для начала нужно сделать две вещи: распечатать саму таблицу умножения и объяснить принцип умножения.

Для работы нам понадобится таблица Пифагора. Раньше её публиковали на обороте тетрадей. Выглядит она так:

Также вы можете увидеть таблицу умножения в таком формате:

Так вот, это не таблица. Это просто столбики из примеров, в которых невозможно найти логические связи и закономерности, поэтому ребёнку приходится учить всё наизусть. Чтобы облегчить ему работу, найдите или распечатайте настоящую таблицу.

2. Объясните принцип работы

Когда ребёнок самостоятельно находит закономерность (например, видит симметрию в таблице умножения), он запоминает её навсегда, в отличие от того, что он вызубрил или что ему сказал кто-то другой. Поэтому постарайтесь превратить изучение таблицы в интересную игру.

Приступая к изучению умножения, дети уже знакомы с простыми математическими действиями: сложением и умножением. Вы сможете объяснить ребёнку принцип умножения на простом примере: 2 × 3 — то же самое, что 2 + 2 + 2, то есть 3 раза по 2.

Объясните, что умножение — это короткий и быстрый путь провести вычисления.

Дальше нужно разобраться с устройством самой таблицы. Покажите, что числа из левого столбика умножаются на числа из верхней строки, а правильный ответ — на месте их пересечения. Найти результат очень просто: нужно только провести рукой по таблице.

3. Учите небольшими порциями

Не нужно пытаться за один присест выучить всё. Начните с колонок 1, 2 и 3. Так вы постепенно подготовите ребёнка к усвоению более сложной информации.

Хорошая методика: взять пустую распечатанную или нарисованную таблицу и самостоятельно её заполнить. На этом этапе ребёнок будет не запоминать, а считать.

Когда он разобрался и достаточно хорошо усвоил самые простые столбцы, переходите к числам посложнее: сначала к умножению на 4–7, а затем на 8–10.

4. Объясните свойство коммутативности

То самое известное правило: от перестановки множителей произведение не меняется.

Ребёнку станет понятно, что на деле ему нужно выучить не всю, а только половину таблицы, и некоторые примеры он уже знает. Например, 4 × 7 — то же самое, что 7 × 4.

5. Находите закономерности в таблице

Как мы уже говорили ранее, в таблице умножения можно обнаружить множество закономерностей, которые упростят её запоминание. Вот некоторые из них:

  1. При умножении на 1 любое число остаётся тем же.
  2. Все примеры на 5 оканчиваются на 5 или 0: если число чётное, приписываем 0 к половине числа, если нечётное — 5.
  3. Все примеры на 10 оканчиваются на 0, а начинаются с числа, на которое мы умножаем.
  4. Примеры на 5 вполовину меньше, чем примеры на 10 (10 × 5 = 50, а 5 × 5 = 25).
  5. Чтобы умножать на 4, можно просто дважды удваивать число. Например, чтобы умножить 6 × 4, нужно удвоить 6 два раза: 6 + 6 = 12, 12 + 12 = 24.
  6. Чтобы запомнить умножение на 9, запишите ряд ответов в столбик: 09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Запомнить нужно первое и последнее число. Все остальные можно воспроизвести по правилу: первая цифра в двузначном числе увеличивается на 1, а вторая уменьшается на 1.

6. Повторяйте

Чаще занимайтесь повторением. Сначала спрашивайте по порядку. Когда заметите, что ответы стали уверенными, начинайте спрашивать вразброс. Следите и за темпом: сначала давайте побольше времени на размышление, но постепенно увеличивайте темп.

7. Играйте

Пользуйтесь не только стандартными методами . Обучение должно увлекать, интересовать ребёнка. Поэтому используйте наглядные средства, играйте, применяйте разные методики.

Карточки

Игра проста: подготовьте карточки с примерами умножения без ответов. Перемешайте их, а ребёнок должен вытягивать по одной. Если он даёт правильный ответ, откладываем карточку в сторону, неправильный — возвращаем в стопку.

Игру можно разнообразить. Например, давать ответы на время. И каждый день подсчитывать количество правильных ответов, чтобы у ребёнка появилось желание побить свой вчерашний рекорд.

Играть можно не только на время, но и до тех пор, пока не кончится вся стопка примеров. Тогда за каждый неправильный ответ можно поручать ребёнку задание: рассказать стихотворение или прибрать вещи на столе. Когда же все карточки разгаданы, вручить небольшой подарок.

От обратного

Игра похожа на предыдущую, только вместо карточек с примерами вы готовите карточки с ответами. Например, на карточке написано число 30. Ребёнок должен назвать несколько примеров, которые в результате дадут 30 (например, 3 × 10 и 6 × 5).

Примеры из жизни

Обучение становится интереснее, если обсуждать с ребёнком вещи, которые ему нравятся. Так, у мальчика можно спрашивать, сколько колёс нужно четырём машинам.

Также можно использовать наглядные средства: палочки для счёта, карандаши, кубики. Например, возьмите два стакана, в каждом из которых по четыре карандаша. И наглядно покажите, что количество карандашей равно количеству карандашей в одном стакане, помноженному на количество стаканов.

Стихи

Рифма поможет запомнить даже сложные примеры, которые никак не даются ребёнку. Самостоятельно придумывайте незамысловатые стихи. Подбирайте самые простые слова, ведь ваша цель — упростить процесс запоминания. Например: «Восемь медведей рубили дрова. Восемью девять — семьдесят два».

8. Не нервничайте

Обычно в процессе некоторые родители забываются и совершают одни и те же ошибки. Вот список вещей, которые нельзя делать ни в коем случае:

  1. Заставлять ребёнка , если он не хочет. Вместо этого пытайтесь его мотивировать.
  2. Ругать за ошибки и пугать плохими оценками.
  3. Ставить в пример одноклассников. Когда тебя с кем-то сравнивают, это неприятно. К тому же нужно помнить, что все дети разные, поэтому к каждому нужно найти правильный подход.
  4. Учить сразу всё. Ребёнка легко напугать и утомить большим объёмом материала. Учитесь постепенно.
  5. Игнорировать успехи. Хвалите ребёнка, когда он справляется с заданиями. В такие моменты у него появляется желание учиться дальше.

В наше время многие родители считают, что ребенок еще до поступления в первый класс должен научиться не только писать и считать, но и знать основные приемы алгебры: сложение, вычитание, умножение и деление. Именно поэтому перед мамами и папами встает серьезный вопрос: “как научить ребенка выучить таблицу умножения”?

Основные правила для получения оптимального результата

Безусловно, можно учить ребенка с помощью базовых методов (они описаны ниже). Однако, родители, настроенные на то, как легко выучить таблицу умножения ребенку, должны не только выучить специальные приемы (с помощью которых можно научить ребенка таблице умножения гораздо проще и быстрее), но и подобрать для своего малыша самый оптимальный метод.

Несмотря на то, какой метод Вы изберете, необходимо тщательное соблюдение следующих правил:

  1. Чтобы учеба легко давалась ребенку, необходимы частые перерывы;
  2. Необходимо объективное оценивание способностей малыша: дошкольник просто физически не сможет выучить всю таблицу умножения за три часа;
  3. Обязательно хвалите ребенка за каждый, пусть и небольшой успех;
  4. Категорически запрещено ругать ребенка, если он не может что-то выучить. Лучше всего в таком случае сделать небольшой перерыв, а затем снова вернуться к камню преткновения;
  5. Старайтесь превратить изучение таблицы умножения в игру: если ребенку будет интересно и весело, то все знания будут усваиваться намного быстрее, чем в том случае, если родители будут заставлять непоседу сидеть за скучными книжками.

Базовый способ изучения таблицы умножения

Родитель, всерьез задумавшийся над тем, как выучить таблицу умножения с ребенком, может в порыве вдохновения вспомнить собственное детство: счетные палочки, школьная доска, строгая учительница и огромная таблица, полностью заполненная цифрами. Именно такую таблицу чаще всего используют в школах, поэтому рекомендуется хотя бы первое занятие провести именно с ней.

Для начала следует распечатать (или нарисовать) два варианта таблиц: первая – полностью заполненная, а вторая – лишь с числами по краям. Желательно, чтобы вторая таблица была крупной, поскольку ребенок будет самостоятельно вписывать числа.

На первом занятии постарайтесь объяснить ребенку основной смысл умножения: это такое же сложение, только многократное. В качестве примера возьмите небольшие числа, чтобы с их помощью показать, как происходит умножение. Примерный вариант может выглядеть так:

“Вот числа два и три. Для того, чтобы умножить три на два, нам понадобится сложить три и три. Сколько получится? Правильно, шесть!”

Что следует делать после первого “пробного” занятия с таблицей?

Если все прошло хорошо, попробуйте снова поработать с таблицей: объясните ребенку своеобразную “зеркальность” умножения:
“А теперь посмотрим, сколько будет два умножить на три. Для того, чтобы это посчитать, нам понадобится к двойке прибавить двойку, а потом еще раз прибавить двойку. Давай запишем их в столбик. Сколько получится? Умница, шесть! Видишь, три умножить на два – это шесть, и два умножить на три равно шесть. Вот ты выучил первое правило умножения: от перемены множителей (это числа, которые ты перемножал) произведение (это число, которое ты получил в ответе) не изменится!”
Обязательно хвалите ребенка.
“Видишь, как быстро ты посчитал! Выучить таблицу умножения проще, чем кажется на первый взгляд!”

Будьте терпеливы.

Если ребенок не может быстро произвести операцию сложения, не нужно ему подсказывать: он обязательно сосчитает сам, просто ему нужно больше времени, чем взрослому.

Если на объяснение этого правила ушло небольшое количество времени, то можно начать заполнять часть таблицы умножения с числом 1 (обычно дети быстро понимают смысл умножения на 1). Как только внимание малыша начнет рассеиваться, следует прекратить занятие – больше материала дошкольник не усвоит.


При клике у вас будет большая таблица пригодная для печати

Последующие занятия

Сделайте большое количество карточек с примерами из таблицы умножения. Перед каждым занятием обязательно давайте малышу решать знакомые примеры, иначе знания просто забудутся.
Небольшие хитрости помогут легче запоминать результаты
После того, как малыш выучит умножение с участием единицы, можно попробовать умножение числа на десятку, либо десятки на число. Научить ребенка приписывать дополнительный нолик к каждому числу будет значительно легче, чем, скажем, научить его умножать числа на шестерку.

Умножение на двойку, тройку и четверку. Обычно эти действия не составляют особого труда, поскольку их можно с легкостью посчитать на пальцах.

Как научить ребенка умножению на пятерку? Очень просто: любое четное число закончится на 0, а нечетное – на 5. Посчитать их – дело техники.

Вот практически выучена вся таблица умножения. Но как выучить легко и быстро умножения на самые сложные числа: шестерка, семерка и восьмерка?

Скорее всего, их придется просто заучивать: в умножении этих чисел зачастую путаются даже взрослые люди.

Есть ли альтернатива таблице?

Если во время первых занятий Вы видите, что ребенку явно тяжело запоминать даже простейшие примеры, ни в коем случае не ругайтесь на него, а начинайте пробовать альтернативные методы.

Интересной кажется методика изучения таблицы умножения с помощью стихов: сейчас имеются целые книги, позволяющие не только легко подтянуть “западающие” числа, но и выучить таблицу умножения с нуля. Также интересны сказки про числа: они в шуточной форме могут рассказать об одном из самых сложных для понимания действий математики: умножении.

Однако, изучение с помощью одних лишь стихов или сказок может быть бесконечно долгим без использования такой дополнительной методики, как карточки с примерами. Помните, что мозг ребенка нуждается в неустанном повторении – только тогда информация будет не только механически выучена, но и осознана. А это является гарантией того, что таблицу умножения малыш не забудет до самой старости.

Как заранее понять, проще выучить таблицу умножения путем простой таблицы или же добавления стихотворных игр с ребенком? Вспомните характер малыша: если он ярко выраженный гуманитарий, то игры определенно придутся ему по вкусу, тем самым делая процесс обучения увлекательнее.

Игрушки всегда помогут

Если у Вас совершенно нет идей, как можно быстро помочь своему чаду выучить эту сложную таблицу умножения, то воспользуйтесь беспроигрышным вариантом: любимые игрушки малыша.

Единственный критерий к игрушкам – любой посторонний должен легко понять, что они иллюстрируют именно умножение. Например, при умножении трех колес от машинки на два должно получиться именно шесть колесиков, а не четыре колеса, бампер и фара (в таком случае научить ребенка будет крайне трудно!). Также, если Вы выбрали обучение с помощью игрушек, то не надо вместо этого пытаться научить ребенка считать на пальцах – это два совершенно разных метода!

Одной из самых интересных идей являлась мысль одного отца пустить в дело огромное количество деталей от ЛЕГО, которые в огромных количествах были разбросаны по всей квартире. Взяв самую маленькую деталь за единичку, отец стал показывать своему сыну основы умножения на два, на три и на четыре (ведь ЛЕГО было крайне много, поэтому недостатка в кусочках они не испытывали). В итоге все занятия прошли в форме игры, а отец даже и подумать не мог, что научить сына умножению будет так легко и быстро!

Многие родители помогли используют в обучении интерактивные звуковые плакаты. В этом случае запоминание происходит лучше, чем в процессе обычного урока или зубрежки наизусть.

Пальцы и умножение

Как ни странно, но можно быстро выучить таблицу умножения даже на собственных пальцах!

Многие родители не одобряют привычку детей проверять все результаты вычислений на пальцах, аргументируя это тем, что на пальцах легко считать лишь небольшие числа.

На самом деле, это не совсем правдиво: можно легко выучить таблицу умножения (причем, довольно быстро!), используя лишь собственные пальцы и знания интересных математических закономерностей (однако, это не будет избавлять малыша от решения примеров на повторение материала).


Умножение на ДЕВЯТЬ с помощью пальцев — результат моментальный

Безусловно, с простейшими примерами все понятно: десяти пальцев вполне достаточно для вычисления. Но как быть с умножением на девять?

На самом деле, можно: например, умножение на девять выполняется безумно быстро: всего лишь в одно действие. Необходимо посчитать (начиная с левого большого пальца) до числа, которое мы умножаем на девять (или на которое мы умножаем девять). Числа, находящиеся левее его, будут давать десятки, а числа правее – единицы. Это поистине фантастический способ. Значительно облегчающий умножение на девять.

Конечно же, без повторения выучить таким способом таблицу крайне сложно, поэтому при выборе данного подхода требуется большое количество практических заданий.

Переменки необходимы

Вне зависимости от возраста малыша, ему требуется большое количество перерывов (желательно каждый 10-15 минут), иначе легко выучить основные законы умножения не получится: после 10 минут непрерывных занятий дитятко будет то и дело отвлекаться на кота, лучик Солнца, заглянувший в окно, раздавшийся на улице звон и так далее.

Как же максимально повысить уровень эффективности занятий? Во-первых, стоит начертить таблицу с четким планом занятий (в ней должны присутствовать небольшие перерывы) и все время следовать ей.

Во-вторых, необходимо проявлять фантазию: выучить материал можно и в игровой форме. Например, можно создать собственную карточную игру.

Пример игры: создаются карточки (их количество может варьироваться, возможны повторы и бонусные карты). Главное, чтобы ребенок знал все примеры на карточках, участвующих в игре. Основное правило игры – игрок, не глядя, вытягивает карту и за определенное время решает пример. Победит тот, кто наберет больше всего баллов. Бонусные карты могут добавлять количество времени, давать возможность выбора примера и так далее.

В-третьих, не стесняйтесь делить на части: выучить одну большую таблицу сложнее, чем много маленьких табличек.

В дополнение

  • Хорошей идеей будет повесить таблицу над кроватью малыша, а также в его игровой комнате: даже не занимаясь, он будет машинально скользить по ней взглядом, тем самым понемногу запоминая числа;
  • Почаще тренируйте все навыки ребенка: вместо произведения семерки на восьмерку предложите ребенку назвать числа, которые при умножении друг на друга дадут 56;
  • Если малыш уже ходит в школу, спросите учительницу про ее методы преподавания. Может быть, стоит использовать похожий метод, чтобы выучить материал быстрее;
  • Набирайтесь терпения: малышу проще выучить материал, когда его не ограничивают во времени хотя бы на первых порах.

Похожие материалы

Взрослые должны подходить к организации детского досуга максимально ответственно, а ученики с особым интересом использовать свободные минутки, чтобы не терять время впустую. Большинство детишек, которые только постигают азы арифметических действий, называют таблицу умножения настоящим орудием пыток. Это полезный инструмент, который закладывает прочный фундамент в развитии интеллектуальных способностей ребенка.

Бестолковое заучивание – это скучно и неинтересно

Нудные примеры легче запоминать, когда обучение проходит в игровой форме. Проверьте этот действенный метод на себе и очень быстро получите положительный результат.

Основные отличия математических игрушек для малышей:

  • Простенький геймплей. Для совершения игровых манипуляций достаточно кликнуть мышкой и получить верный ответ;
  • Для повышения уровня сложности предусмотрен временной лимит и предел количества ошибок, превышая который нужно начинать все сначала;
  • Прикольный игровой формат позволяет существенно облегчить запоминание правильных ответов в столбцах и основных принципов умножения и деления, необходимых для решения простеньких примеров.

Учитесь – играя, вместе с клевыми обучалками от Quicksave


Несколько упорных онлайн занятий обязательно принесут желаемый результат. Не упустите возможность бесплатно протестировать качественные и информативные игры для малышей на понимание элементарных математических действий. Родителям следует лояльно отнестись к возможным трудностям при освоении непонятного на первый взгляд материала собственным чадом.

Заучивание алгоритма умножения чисел и запоминание ребенком особенностей и закономерностей без стороннего вмешательства – это грамотный подход, который превращает мало зрелищную забаву в захватывающий интеллектуальный квест.

Здравствуйте, уважаемые родственники и близкие учеников начальной школы! Первый класс уже позади, и сложность школьных заданий неуклонно растёт, не так ли? Вот и пришло время узнать, как выучить таблицу умножения с ребёнком без долгой и скучной зубрёжки. «Эврика» знает несколько способов!

Игра с карточками

В игровой форме ребёнок учится гораздо быстрее. Ещё бы, ведь так он чувствует себя спокойно и расслабленно, а также увлечён процессом. Особенно здорово играть, если победителя ждёт небольшой приз.

Чтобы изучение таблицы умножения превратить в весёлую игру, нужно купить или сделать самому картонные карточки с примерами на умножение однозначных чисел. В начале игры их нужно разложить перед ребёнком лицевой стороной вниз.

Все игроки по очереди тянут карточки и называют ответ. За каждый правильный ответ игроку присваивается 1 балл. У всех участников должно быть равное число попыток. Выиграл тот, кто набрал самое большое количество баллов. Думать долго — например, дольше 15 секунд — нельзя, иначе балл не засчитывается.

В этой игре можно пойти на маленькую хитрость и позволить ребёнку выиграть. Для этого нужно договориться с ним, что за исправление ошибки другого игрока ему будет засчитан дополнительный балл. В ходе игры время от времени стоит давать неправильные ответы, которые малыш должен заметить и исправить.

В эту игру нужно играть регулярно — тогда таблицу умножения ученик выучит быстро и будет давать правильные ответы не задумываясь.

Таблица умножения через сложение

При изучении таблицы умножения важно, чтобы ребёнок понимал логику этого действия. Поэтому каждый пример таблицы умножения стоит расписать через сложение одинаковых цифр.

2 × 2 = 2 + 2 + 4;

2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6;

2 × 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8;

Расширенный вариант таблицы умножения можно повесить на видном месте перед столом, за которым ребёнок учит уроки. В таком случае большинство примеров ему не придётся запоминать, он будет просто вычислять их в уме, пока ответ не отложится в памяти окончательно.

Умножение на пальцах

Стоит познакомить ребёнка с умножением при помощи пальчиков. Это хорошо работает на первых этапах знакомства с таблицей умножения. Рассмотрим пример: 4 × 5. Представим, что каждый пальчик равен 5. Оставляем прямыми 4 пальчика, а остальные загибаем. Теперь просто пересчитываем прямые пальчики, суммируя пятёрки: 5, 10, 15, 20.

Таблица умножения в музыкальных клипах и мультфильмах

Мультфильмы любят все дети, поэтому возьмите парочку «математических» мультиков себе на вооружение и время от времени показывайте ребёнку. Этот способ хорош тем, что вы в это время будете свободны.

Также эффективны клипы, в которых вместо обычных слов звучат примеры на умножение с правильными ответами. Такие клипы — просто находка для музыкальных детей. Пусть ребёнок спокойно занимается своим любимым делом: рисует или складывает конструктор, а вы тем временем просто включите ему «математическую» песенку для фона.

Вскоре вы с удивлением заметите, что малыш напевает слова из песни, без труда вспоминая примеры на умножение.

Увлекательные способы умножения с цифрой 9

Цифра 9 — особенная, даже магическая. Расскажите об этом ребёнку и легко умножайте на 9 любое другое число.

Умножаем на 9 с пальчиками

Пусть малыш положит ладони на стол и выпрямит все пальцы. Теперь нужно каждому пальчику присвоить порядковый номер слева направо. Демонстрируем чудеса математики: например, найдём ответ для примера «9 × 3»:

  • находим палец номер 3;
  • считаем, сколько пальцев слева от третьего. Это десятки нашего ответа;
  • считаем, сколько пальцев справа от третьего. Это единицы ответа.

Ставим 2 цифры рядом и получаем правильный ответ — 27.

Смотрим на второй множитель при умножении на 9

Есть ещё один интересный способ умножить любое однозначное число на 9. Рассмотрим пример «9 × 3». Проделаем с цифрой 3 следующие метаморфозы:

  • возьмём 3 десятка;
  • отнимем от них 3 единицы;
  • получим 30 − 3;
  • ответ: 27.

Таблица умножения в стихах

Многие учителя используют стихи для запоминания таблицы умножения. Когда нужно дать правильный ответ, то строки стихотворения сами всплывают в памяти. Помните песенку «Дважды два — четыре»? Вот по такому же принципу и происходит запоминание примеров на умножение.

Что такое «умножение»?
Это умное сложение.
Ведь умней умножить раз,
Чем слагать всё целый час.

1 × 1 = 1
Один пингвин гулял средь льдин.
Одиножды один — один.

1 × 2 = 2
Один в поле не воин.
Одиножды два — двое.

2 × 2 = 4
Два атлета взяли гири.
Это: дважды два — четыре.

2 × 3 = 6
Сел петух до зари
На высокий шест:
— Кукареку!.. Дважды три,
Дважды три — шесть!

2 × 4 = 8
В пирог вонзилась пара вилок:
Два на четыре — восемь дырок.

2 × 5 = 10
Двух слонов решили взвесить:
Дважды пять — получим десять.
То есть весит каждый слон
Приблизительно пять тонн.

2 × 6 = 12
Повстречался с раком краб:
Дважды шесть — двенадцать лап.

2 × 7 = 14
Дважды семь мышей —
Четырнадцать ушей!

2 × 8 = 16
Осьминоги шли купаться:
Дважды восемь ног — шестнадцать.

2 × 9 = 18
Вы видали подобное чудо?
Два горба на спине у верблюда!
Стали девять верблюдов считаться:
Дважды девять горбов — восемнадцать.

2 × 10 = 20
Дважды десять — два десятка!
Двадцать, если скажем кратко.

3 × 3 = 9
Кофе пили три букашки
И разбили по три чашки.
Что разбито, то не склеить…
Трижды три — выходит девять.

3 × 4 = 12
Целый день твердит в квартире
Говорящий какаду:
— Тррри умножить на четыррре,
Тррри умножить на четыррре —
Двенадцать месяцев в году.

3 × 5 = 15
Школьник стал писать в тетрадь:
Сколько будет «трижды пять»?
Был он страшно аккуратен:
Трижды пять — пятнадцать пятен!

3 × 6 = 18
Стал Фома оладьи есть:
Восемнадцать — трижды шесть.

3 × 7 = 21
Трижды семь — двадцать один:
На носу горячий блин.

3 × 8 = 24
Прогрызли мыши дыры в сыре:
Трижды восемь — двадцать четыре.

3 × 9 = 27
Трижды девять — двадцать семь.
Это нужно помнить всем.

3 × 10 = 30
Три девицы под окном
Наряжались вечерком.
Перстни мерили девицы:
Трижды десять будет тридцать.

4 × 4 = 16
Четыре милых свинки
Плясали без сапог:
Четырежды четыре — шестнадцать голых ног.

4 × 5 = 20
Четыре учёных мартышки
Ногами листали книжки.
На каждой ноге — пять пальцев:
Четырежды пять — двадцать.

4 × 6 = 24
Шла на парад
Картошка-в-мундире:
Четырежды шесть — двадцать четыре!

4 × 7 = 28
Цыплят считают под осень:
Четырежды семь — двадцать восемь!

4 × 9 = 36
У Бабы-яги сломалась ступа.
Четырежды восемь — тридцать два зуба!
Беж жубов ей нечем есть:
Четырежды девять — «тридцать шешть»!

4 × 10 = 40
Гуляли сорок сорок,
Нашли творожный сырок.
И делят на части творог:
Четырежды десять — сорок.

5 × 5 = 25
Вышли зайцы погулять:
Пятью пять — двадцать пять.

5 × 6 = 30
Забежала в лес лисица:
Пятью шесть — выходит тридцать.

5 × 7 = 35
Пять медведей из берлоги
Шли по лесу без дороги —
За семь вёрст кисель хлебать:
Пятью семь — тридцать пять!

5 × 8 = 40
Влезть сороконожке
Трудно на пригорок:
Утомились ножки —
Пятью восемь — сорок.

Встали пушки на пригорок:
Пятью восемь — вышло сорок.

5 × 9 = 45
Пушки начали стрелять:
Пятью девять — сорок пять.

Если лаптем щи хлебать:
Пятью девять — сорок пять.
Будет этот лапоть
Всем на брюки капать!

5 × 10 = 50
Рыли грядку кабачков
Пять десятков пятачков.
И хвостов у поросят:
Пятью десять — пятьдесят!

6 × 6 = 36
Шесть старушек пряли шерсть:
Шестью шесть — тридцать шесть.

6 × 7 = 42
Шесть сетей по шесть ершей —
Это тоже тридцать шесть.
А попалась в сеть плотва:
Шестью семь — сорок два.

6 × 8 = 48
Бегемоты булок просят:
Шестью восемь — сорок восемь.

6 × 9 = 54
Нам не жалко булок —
Рот откройте шире:
Шестью девять будет
Пятьдесят четыре.

6 × 10 = 60
Шесть гусей ведут гусят:
Шестью десять — шестьдесят.

7 × 7 = 49
Дураков не жнут, не сеют,
Сами нарождаются:
Семью семь — сорок девять…
Пусть не обижаются!

7 × 8 = 56
Раз олень спросил у лося:
«Сколько будет семью восемь?»
Лось не стал в учебник лезть:
«Пятьдесят, конечно, шесть!»

7 × 9 = 63
У семи матрёшек
Вся семья внутри:
Семью девять крошек —
Шестьдесят три.

7 × 10 = 70
Учат в школе семь лисят:
Семью десять — семьдесят!

8 × 8 = 64
Пылесосит носом
Слон ковры в квартире:
Восемь на восемь —
Шестьдесят четыре.

8 × 9 = 72
Восемь медведей рубили дрова:
Восемью девять — семьдесят два.

8 × 10 = 80
Самый лучший в мире счёт:
Наступает Новый год!
В восемь рядов игрушки висят:
Восемью десять — восемьдесят!

9 × 9 = 81
Свинка свинёнка решила проверить:
— Сколько получится «девять на девять»?
— Восемьдесят — хрю — один! —
Так ответил юный свин.

9 × 10 = 90
Невелик кулик, а нос-то!
Девятью десять — девяносто.

10 × 10 = 100
На лугу кротов десяток —
Каждый роет десять грядок.
А на десять десять — сто:
Вся земля как решето!

Вовсе не обязательно заучивать все куплеты. Можно выбрать только те примеры, которые ребёнку сложно запомнить.

Только без фанатизма: компьютерные игры

Даже дети, которые не любят математику, с удовольствием поиграют в компьютерную игру. Если ваши педагогические способности не на высоте, то пускай за дело возьмётся Баба-яга или какой-нибудь другой персонаж.

Выполняя нехитрые задания и постепенно повышая сложность игры, ребёнок и сам не заметит, как быстро выучит таблицу умножения назубок.

Подойдите к учебному процессу креативно — тогда он принесёт только положительные эмоции вам и вашему ребёнку. Эти простые советы от «Эврики» упростят изучение таблицы умножения:

  • Повесьте примеры на видном месте.
  • Учите умножать и делить сразу.
  • Когда выучите умножение на 2, переходите к умножению на 4, а затем на 8.
  • После умножения на 3 переходите к умножению на 6 и 9.
  • Одновременно с умножением на 5 удобно изучать циферблат часов.
  • Хвалите и будьте терпеливы.
  • Ваши помощники — мультфильмы, музыкальные клипы, обучающие видео и игры с математическим уклоном.

Ну что, теперь таблица умножения не кажется вам наказанием? Мы верим, что ваш положительный настрой передастся и ребёнку. «Эврика» желает вам лёгкой учёбы! До новых встреч в широком кругу наших читателей!

Как выучить таблицу умножения на 3. Тренажер.

На главную

Изучая таблицу умножения на 3 ребенок может столкнуться с некоторыми трудностями. Количество цифр увеличивается, часто возникают ситуации перехода через десяток, и посчитать результат заменой умножения сложением (как это было с таблицей умножения на 2) не всегда лучшее решение.

Тем не менее, в этой статье будут показаны некоторые хитрости, которые вы можете применять для изучения этой таблицы. Сочетая это с игровой формой, стихами и тренажером, который вы найдете на этой странице, ваш ребенок безусловно справиться с этим этапом.

Тренажер, который поможет в освоении таблицы умножения на 3:

Советы и рекомендации, которые помогут в изучении таблицы умножения на 3.

Стандартные комбинации, которые встречаются в каждой таблице.

3×1 — говорим ребенку, что умножение любого числа на 1 дает то же самое число.

3×10 — говорим, что умножение числа на 10 добавляет к нему ноль.

Замена сложением на малых числах.

При работе с малыми числами, ребенку может быть легче заменить умножение на сложение. Нужно напоминать ребенку, что таблица умножения на 3 — это всего лишь 3 раза по какому-то числу.

Например, 3*2 можно заменить на 2+2+2.

3*3 можно заменить на 3+3+3.

Сюда же можно отнести операцию 3*5 заменив ее на сложение (5+5+5). Считать пятерками достаточно просто.

От изменения множителей местами произведение не меняется.

Иногда, чтобы вспомнить значение какого-либо действия, достаточно просто поменять множители местами. Ребенок мог запомнить одну таблицу умножения и просто меняя множители местами может помочь ребенку вспомнить результат.

Например, когда вы уже изучили таблицу умножения на 2. Можно 3×2, заменить на 2×3.

Универсальный метод для изучения таблицы умножения на 9.

Чтобы, запомнить значение выражения 3×9, можно воспользоваться помощью пальцев рук.

Посмотрите на ладони двух своих рук. Представьте, что каждый палец пронумерован слева направо от 1 до 10.

Чтобы умножить 3 на 9, просто загибаем палец под номером 3.

И складываем результат из пальцев, которые остались по бокам. Получаем число 27.

Таким способом можно легко запомнить всю таблицу умножения на 9.

Остается выучить только следующие выражения:

3*4 = 12

3*6 = 18

3*7 = 21

3*8 = 24

Эти выражения нужно просто запомнить. В помощь для этого можно использовать таблицу Пифагора и каждый раз предлагать ребенку самостоятельно найти результат по этой таблице.

Каждый раз обращаясь к этой таблице на помощь ребенку приходит визуальная память.

Ну, и конечно, на помощь могут прийти стихи для лучшего усвоения.

3×3
Кофе пили две букашки
И разбили по три чашки.
Что разбито, то не склеить…
трижды три — выходит девять.
3×4
Целый день твердит в квартире
Говорящий какаду:
— Трри умножить на четырре,
Трри умножить на четырре…
Двенадцать месяцев в году.
3×5
Школьник стал писать в тетрадь:
Сколько будет «трижды пять»?..
Был он страшно аккуратен:
Трижды пять — пятнадцать пятен!
3×6
Стал Фома оладьи есть:
Восемнадцать — трижды шесть.
3×7
Трижды семь — двадцать один:
На носу горячий блин.
3×8
Прогрызли мыши дыры в сыре:
Трижды восемь — двадцать четыре.
3×9
Трижды девять — двадцать семь.
Это нужно помнить всем.

Карточки для изучения таблицы умножения

Зачем детям учить таблицу умножения

По значимости ее можно сравнить с алфавитом. Не зная букв, невозможно научиться читать и писать, а, не владея азами умножения простых чисел, нельзя осуществлять другие более сложные математические вычисления. Люди, надеющиеся на калькулятор, становятся беспомощными и безоружными, не имея под рукой смартфон.

Карточки с таблицей умножения на 2

Описание для Таблица умножения

Таблицу умножения тренажер сделал для своего сына, игра полностью бесплатная. Разные режимы игры: экзамен, мини тест, выборочное изучение цифр, прохождения по уровням. Подойдет для маленьких детей, а также школьникам поможет быстро выучить таблицу умножения!
Учим таблица умножения для детей и взрослых. Примеры простые от 1 до 9 и сложные от 10 до 15. Проверка. Статистика. На русском языке + со звуком. Математика теперь станет легкой для Вас!
Таблица умножения – изучить в нашей игре очень просто, вначале пройдите по уровням, потом выборочно прокачайте нужные и цифры и бейте рекорды мира!
+ Простой интерфейс
+ Разные уровни сложности от 1 до 10, 2 до 9, 1 до 15
+ Режим в разброс
Таблица умножения для 3 класса, поможет закрепить новые цифры.Есть режим обучения, а также прохождения по уровням от 1 до 15. Так же подходит для учеников 2 класса и и 4 класса.
Есть режим учить определенные цифры. Допустим выбрать 2 и 4, подучить слабые цифры.
Благодаря таблицу умножения игра легко выучить, некоторые дети даже выучили за 5 минут.
Есть режим на двоих, дуэль где Вы играете друг против друга, интересно и весело.

 

Картинки с тренажером таблицы умножения, примеры для распечатывания.

Картинки представлены в нескольких вариантах оформления: с заданиями вразброс, с заданиями по порядку (этот вариант значительно легче, он подходит для того, чтобы потренироваться считать двойками (2,4,6,8), тройками (3,6,9,12 ) и т.д.).

Для того же, чтобы проверить знание всей таблицы, больше подойдет вариант, в котором задания идут вразброс (иногда такой вид расположения примеров в упражнении называют “вразнобой”).

Как быстро выучить таблицу умножения

Прежде всего, объясните ребенку, насколько важно уметь умножать числа в уме. Приведите простые примеры из жизни, вместе подсчитайте подручные предметы, с которыми ребенок ежедневно имеет дело.

В ее изучении помогают различные интерактивные игры, представленные в большом разнообразии. Но существуют и простые методы разучивания и закрепления полученных знаний. Так, для тренировки в вычислениях рекомендуется распечатать таблицу умножения без ответов. Скачайте всю таблицу целиком, либо столбцы с примерами на отдельные цифры. Для распечатки подойдет обычный лист бумаги – вы можете сделать много копий и использовать примеры много раз, пока материал не будет окончательно усвоен.

Далее, задачу можно усложнить – распечатать таблицу без ответов с примерами, расположенными вразброс. Такой простой и одновременно эффективный способ тренировки подойдет для 2 класса, а также для детей постарше. К примеру, можно потренироваться на летних каникулах перед началом учебного года, либо непосредственно перед контрольной работой по математике.

Простая таблица умножения в PDF

Этот вариант таблицы умножения подойдет тем, кто бы хотел иметь возможность самому завершить дизайн. Например, можно сделать умножение на каждую цифру своим цветом. А можно поменять расположение столбиков, чтобы получился нестандартный размер листа.

К сожалению, шрифт в этот таблице поменять не получится, так как все цифры были переведены в кривые, зато ваша распечатанная таблица будет иметь точно такой вид, как на уменьшенной копии выше.

Превращаем 100 примеров в 36

Таблица умножения на обратной стороне большинства тетрадок выглядит так:

На то, чтобы её выучить, может уйти целое лето. Понятно, что механическое заучивание правильных ответов к сотне примеров — самый трудоёмкий способ запомнить результаты умножения чисел до 10 друг на друга.

Процесс в разы ускоряется, когда мы показываем, как все эти 100 сочетаний можно сократить до 36. В этом деле куда более удачным наглядным пособием служит таблица Пифагора:

На её примере уже можно показать принципы умножения через площади небольших прямоугольников:

• 3 * 5 = 15, потому что в прямоугольник со сторонами длиной 3 и 5 клеточек помещается 15 маленьких квадратиков (считаем их вместе, чтобы убедиться).

• 5 * 3 = 15 по той же причине (считаем вместе).

Здесь же наглядно демонстрируем свойство коммутативности: от перестановки мест множителей произведение не меняется. Разумеется, название этого свойства лучше придержать до Хеллоуина, чтобы не пугать никого раньше времени

Из-за этого таблица Пифагора симметрична относительно своей диагонали, поэтому из 100 примеров для запоминания остаётся уже 55: сама диагональ с значениями 1, 4, 9, …, 100 и всё, что находится выше или ниже.

Это открытие можно сделать самостоятельно, заполнив часть пустой таблицы Пифагора, в которой изначально отмечены только множители:

 

Ребёнок может начать заполнять её, даже если ещё не знает правил умножения — складывать ведь он уже умеет, поэтому без труда посчитает сначала 2 + 2, потом 4 + 2, потом 6 + 2, и так, вплоть до 20. Потом ряд с тройками, и так далее.

Заполнив только часть таблицы (например, квадрат 6 * 6 клеток), уже можно увидеть одинаковые числа и понять, что зубрить её целиком совсем не нужно.

После этого на той же таблице Пифагора демонстрируем два принципа, позволяющие «автоматизировать» ещё 19 операций на умножение: умножение на 1 и умножение на 10:

• Если число умножить на единицу, оно никак не меняется.

• Если число умножить на 10, у него появляется ноль на конце.

Отнимаем от оставшихся ранее 55 примеров на умножение ещё 19 «автоматизированных» и получаем всего 36 сочетаний, которые нужно запомнить. Почти втрое меньше, чем предлагают нам на обложках тетрадок!

Уже легче, не так ли?

Учить таблицу умножения – игра

Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.

Таблица умножения – таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями (1, 2, 3, 4, 5…), а ячейки таблицы содержат их произведение. Применяется таблица для обучения умножению. Здесь есть игра и картинка для печати.

Источники


  • https://calcon.ru/raspechatat-tablitsu-umnozheniya/
  • https://PrintFiles.ru/raspechatat/kartochki-tablitsa-umnozheniya/
  • https://apkpure.com/ru/multiplication-table-for-kids-free-math-game/com.AntonBergov.Matematica
  • https://tablica-umnozheniya.ru/raspechatat-trenazher-tablicy-umnozheniya
  • http://3mu.ru/?p=12576
  • https://tromentano.livejournal.com/62762.html
  • https://uchim.org/matematika/tablica-umnozheniya
Проверка таблиц умножения

— Mathsframe

Это задание в точности повторяет «Проверку таблиц умножения», которая будет предложена детям в конце 4-го класса. Их проверяют на своих таблицах умножения до 12 x 12. Есть двадцать пять вопросов, и у детей есть шесть секунд, чтобы ответить. на каждый вопрос и три секунды между вопросами. Вопросы генерируются случайным образом с использованием тех же правил, что и «Проверка таблиц умножения» (см. Ниже).

Результаты можно загрузить и распечатать в конце теста.

Аналогичное упражнение, которое проверяет запоминание числовых связей, можно найти здесь.

Чтобы увидеть больше игр на умножение, нажмите здесь.

Умножение

Стол

Минимальный номер

шт. В каждом

форма

Максимальное количество

шт. В каждом

форма

1

Не применимо

Не применимо

2

0

2

3

1

3

4

1

3

5

1

3

6

2

4

7

2

4

8

2

4

9

2

4

10

0

2

11

1

3

12

2

4

Некоторые таблицы группового умножения

Некоторые таблицы группового умножения

Таблица умножения для малых групп

Группы15 Демо

Профессор Джон Ваврик из Калифорнийского университета в Сан-Диего написал апплет JAVA что позволяет экспериментировать с таблицами группового умножения, для групп до 15.

Таблицы умножения для групп от 2 до 10

Раздел 7.10 очерчивает классификацию всех групп порядка менее 16.

Приведенные ниже таблицы умножения покрывают группы порядка 10 или меньше. То есть любая группа со 2-го по 10-й является изоморфный в одну из групп, представленных на этой странице. Читателю необходимо знать эти определения: группа, циклическая группа, симметрическая группа, диэдральная группа, прямое произведение групп, подгруппа, нормальная подгруппа. Группа кватернионов обсуждается в Примере 3.3.7. Есть более групповые таблицы в конце раздела 7.10.


C
2 , циклическая группа порядка 2 Описывается с помощью генератора a
с соотношением a 2 = 1:

Элементы:
порядок 2:

Подгруппы:
порядок 2: {1, a}
порядок 1: {1}


C
3 , циклическая группа порядка 3 Описывается с помощью генератора a
с соотношением a 3 = 1:
1 а a 2
1 1 а а 2
а а a 2 1
a 2 a 2 1 а

Элементы:
порядок 3: а, а 2

Подгруппы:
порядок 3: {1, a, a 2 }
порядок 1: {1}


C
4 , циклическая группа порядка 4 Описывается с помощью генератора a
с соотношением a 4 = 1:
1 а a 2 a 3
1 1 а a 2 a 3
a а a 2 a 3 1
a 2 a 2 a 3 1 а
a 3 a 3 1 а a 2

Элементы:
порядок 4: a, 3
порядок 2: a 2

Подгруппы:
порядок 4: {1, a, a 2 , a 3 }
порядок 2: {1, a 2 }
порядок 1: {1}


V, группа четырех Клейна
Описывается с помощью генераторов a, b
с соотношениями a 2 = 1, b 2 = 1, ba = ab:
1 a b ab
1 1 a b ab
a a 1 ab b
b b ab 1 a
ab ab b a 1

Элементы:
порядок 2: a, b, ab

Подгруппы:
порядок 4: {1, а, б, аб}
заказ 2: {1, а}, {1, б}, {1, ab}
заказ 1: {1}


С
5 , циклическая группа порядка 5 Описывается с помощью генератора a
с соотношением a 5 = 1:
1 а a 2 a 3 a 4
1 1 а a 2 a 3 a 4
a а a 2 a 3 a 4 1
a 2 a 2 a 3 a 4 1 а
a 3 a 3 a 4 1 а a 2
a 4 a 4 1 а a 2 a 3

Элементы:
порядок 5: а, а 2 , а 3 , а 4

Подгруппы:
порядок 5: {1, a, a 2 , a 3 , a 4 }
порядок 1: {1}


C
6 , циклическая группа порядка 6 Описывается с помощью генератора a
с соотношением a 6 = 1:
1 а a 2 a 3 a 4 a 5
1 1 а a 2 a 3 a 4 a 5
a а a 2 a 3 a 4 a 5 1
a 2 a 2 a 3 a 4 a 5 1 а
a 3 a 3 a 4 a 5 1 а a 2
a 4 a 4 a 5 1 а a 2 a 3
a 5 a 5 1 а a 2 a 3 a 4

Элементы:
порядок 6: a, a 5
порядок 3: a 2 , a 4
порядок 2: a 3

Подгруппы:
порядок 6: {1, a, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 }
порядок 3: {1, a 2 , a 4 }
порядок 2: {1, a 3 }
заказ 1: {1}


S
3 , симметричная группа на трех элементах Описывается с помощью генераторов a, b
с соотношениями a 3 = 1, б 2 = 1, ba = a -1 b:
1 а a 2 б ab а 2 б
1 1 а a 2 б ab a 2 b
а а a 2 1 ab а 2 б б
a 2 a 2 1 а а 2 б б ab
б б а 2 б ab 1 а 2 а
ab ab б а 2 б а 1 a 2
а 2 б а 2 б ab б а 2 а 1

Элементы:
порядок 3: a, a 2
порядок 2: b, ab, a 2 b

Подгруппы:
порядок 6: {1, a, a 2 , b, ab, a 2 b}
порядок 3: {1, a, a 2 }
порядок 2: {1, b}, {1, ab}, {1, a 2 b}
заказ 1: {1}

Нормальные подгруппы:
порядок 6: {1, a, a 2 , b, ab, a 2 b}
порядок 3: {1, a, a 2 }
порядок 1: {1}


C
7 , циклическая группа порядка 7 Описывается с помощью генератора a
с соотношением a 7 = 1:
1 а a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
1 1 а a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
a а a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 1
a 2 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 1 а
a 3 a 3 a 4 a 5 a 6 1 а a 2
a 4 a 4 a 5 a 6 1 а a 2 a 3
a 5 a 5 a 6 1 а a 2 a 3 a 4
a 6 a 6 1 а a 2 a 3 a 4 a 5

Элементы:
порядок 7: а, а 2 , а 3 , а 4 , а 5 , а 6

Подгруппы:
порядок 7: {1, а, а 2 , а 3 , а 4 , a 5 , a 6 }
порядок 1: {1}


C
8 , циклическая группа порядка 8 Описывается с помощью генератора a
с соотношением a 8 = 1:
1 а a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7
1 1 а a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7
a а a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 1
a 2 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 900 а
a 3 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 1 а a 2
a 4 a 4 a 5 a 6 a 7 1 а a 2 a 3
a 5 a 5 a 6 a 7 1 а a 2 a 3 a 4
a 6 a 6 a 7 1 а a 2 a 3 a 4 a 5
a 7 a 7 1 а a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

Элементы:
порядок 8: a, a 3 , a 5 , a 7
порядок 4: a 2 , a 6
порядок 2: a 4

Подгруппы:
порядок 8: {1, а, а 2 , а 3 , а 4 , a 5 , a 6 , a 7 }
порядок 4: {1, a 2 , a 4 , a 6 }
порядок 2: {1, a 4 }
заказ 1: {1}


C
4 x C 2 , прямое произведение циклической группы порядка 4 и циклическая группа порядка 2 Описывается через генераторы a, b
с соотношениями а 4 = 1, б 2 = 1, ba = ab:
1 а a 2 a 3 б ab а 2 б a 3 b
1 1 а a 2 a 3 б ab a 2 b a 3 b
а а a 2 a 3 1 ab a 2 b a 3 b б
a 2 a 2 a 3 1 а a 2 b a 3 b б ab
a 3 a 3 1 а a 2 a 3 b б ab а 2 б
б б ab а 2 б a 3 b 1 а a 2 a 3
ab ab а 2 б a 3 b б а a 2 a 3 1
а 2 б а 2 б a 3 b б ab a 2 a 3 1 а
a 3 b a 3 b б ab а 2 б a 3 1 а a 2

Элементы:
порядок 4: a, a 3 , ab, a 3 b
порядок 2: a 2 , b, a 2 b
порядок 1: 1

Подгруппы:
порядок 8: {1, а, а 2 , а 3 , b, ab, a 2 b, a 3 b}
порядок 4: {1, а, а 2 , а 3 } {1, ab, a 2 , a 3 b} {1, а 2 , б, а 2 б}
заказ 2: {1, а 2 }, {1, б}, {1, а 2 б}
заказ 1: {1}


C
2 x C 2 x C 2 , прямое произведение 3 циклических групп порядка 2 Описывается с помощью генераторов a, b, c
с соотношениями a 2 = 1, б 2 = 1, с 2 = 1, ba = ab, ca = ac, cb = bc:
1 а б ab c ac до н.э. abc
1 1 а б ab c ac до н.э. abc
а а 1 ab б ac c abc до н.э.
б б ab 1 а до н.э. abc c ac
ab ab б а 1 abc до н.э. ac c
c c ac до н.э. abc 1 а б ab
ac ac c abc до н.э. а 1 ab б
до н.э. до н.э. abc c ac б ab 1 а
abc abc до н.э. ac c ab б а 1

Элементы:
порядок 2: a, b, ab, c, ac, bc, abc

Подгруппы:
порядок 8: {1, a, b, ab, c, ac, bc, abc}
порядок 4: {1, a, b, ab}, {1, a, c, ac}, {1, a, bc, abc}, {1, b, c, bc}, {1, b, ac, abc}, {1, ab, c, abc}, {1, ab, ac, bc}
порядок 2: {1, a}, {1, b}, {1, ab}, {1, c}, {1, ac}, {1, bc}, { 1, abc}
порядок 1: {1}


D
4 , двугранная группа восьмого порядка Описывается с помощью генераторов a, b
с соотношениями a 4 = 1, б 2 = 1, ba = a -1 b:
1 а a 2 a 3 б ab а 2 б a 3 b
1 1 а a 2 a 3 б ab а 2 б a 3 b
а а a 2 a 3 1 ab а 2 б a 3 b б
a 2 a 2 a 3 1 а а 2 б a 3 b б ab
a 3 a 3 1 а a 2 a 3 b б ab а 2 б
б б a 3 b а 2 б ab 1 a 3 a 2 a
ab ab б a 3 b а 2 б а 1 a 3 a 2
а 2 б а 2 б ab б a 3 b а 2 а 1 a 3
a 3 b a 3 b а 2 б ab б a 3 a 2 a 1

Элементы:
порядок 4: a, a 3
порядок 2: a 2 , b, ab, a 2 b, a 3 b

Подгруппы:
порядок 8: {1, а, а 2 , а 3 , b, ab, a 2 b, a 3 b}
порядок 4: {1, a 2 , b, a 2 b}, {1, а, а 2 , а 3 }, {1, a 2 , ab, a 3 b}
порядок 2: {1, b}, {1, а 2 б}, {1, а 2 }, {1, ab}, {1, а 3 б}
заказ 1: {1}

Нормальные подгруппы:
порядок 8: {1, а, а 2 , а 3 , b, ab, a 2 b, a 3 b}
порядок 4: {1, a 2 , b, a 2 b}, {1, а, а 2 , а 3 }, {1, а 2 , ab, а 3 б}
заказ 2: {1, a 2 }
порядок 1: {1}


Q, кватернионная группа (восьмой порядок)
Описывается через генераторы a, b
с соотношениями a 4 = 1, б 2 = а 2 , ba = a -1 b:
1 а a 2 a 3 б ab а 2 б a 3 b
1 1 а a 2 a 3 б ab а 2 б a 3 b
а а a 2 a 3 1 ab а 2 б a 3 b б
a 2 a 2 a 3 1 а а 2 б a 3 b б ab
a 3 a 3 1 а a 2 a 3 b б ab а 2 б
б б a 3 b a 2 b ab а 2 а 1 a 3
ab ab б a 3 b а 2 б a 3 a 2 a 1
a 2 b а 2 б ab б a 3 b 1 a 3 a 2 a
a 3 b a 3 b a 2 b ab б а 1 a 3 a 2

Элементы:
порядок 4: a, a 3 , b, ab, a 2 b, a 3 b
порядок 2: a 2

Подгруппы:
порядок 8: {1, a, a 2 , a 3 , b, ab, a 2 b, a 3 }
порядок 4: {1, a, a 2 , а 3 }, {1, б, а 2 , а 2 б}, {1, ab, a 2 , a 3 b}
порядок 2: {1, a 2 }
порядок 1: {1}

Нормальные подгруппы:
порядок 8: {1, a, a 2 , a 3 , b, ab, a 2 b, a 3 }
порядок 4: {1, a, a 2 , а 3 }, {1, б, а 2 , а 2 б}, {1, ab, a 2 , a 3 b}
порядок 2: {1, a 2 }
порядок 1: {1}

Вот несколько разных паттернов для таблицы умножения группы кватернионов, используя векторное произведение единичных векторов i , j , k :

x +1 -1 + я -i + я -j + к
+1 +1 -1 + я -i + я -j + к
-1 -1 +1 -i + я -j + я + к
+ я + я -i -1 +1 + к -j + я
-i -i + я +1 -1 + к + я -j
+ я + я -j + к -1 +1 + я -i
-j -j + я + к +1 -1 -i + я
+ к + к + я -j -i + я -1 +1
+ к -j + я + я -i +1 -1

Элементы:
порядок 4: i, -i, j, -j, k, -k
порядок 2: -1

Подгруппы:
порядок 8: {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}
порядок 4: {1, i, -1, -i}, {1, j, -1, -j}, {1, k, -1, -k}
заказ 2: {1, -1}
заказ 1: {1}

Нормальные подгруппы:
порядок 8: {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}
порядок 4: {1, i, -1, -i}, {1, j, -1, -j}, {1, k, -1, -k}
заказ 2: {1, -1}
заказ 1: {1}

x +1 + я -1 -i + я + к -j
+1 +1 + я -1 -i + я + к -j
+ я + я -1 -i +1 + к -j + я
-1 -1 -i +1 + я -j + я + к
-i -i +1 + я -1 + я + к -j
+ я + я -j + к -1 + я +1 -i
+ к + к + я -j -i -1 + я +1
-j -j + к + я +1 -i -1 + я
-k -k -j +k +j +i +1 -i -1

C
9 , the cyclic group of order 9 Described via the generator a
with relation a 9 = 1:
1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8
1 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8
a a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 1
a 2 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 1 a
a 3 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 1 a a 2
a 4 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 1 a a 2 a 3
a 5 a 5 a 6 a 7 a 8 1 a a 2 a 3 a 4
a 6 a 6 a 7 a 8 1 a a 2 a 3 a 4 a 5
a 7 a 7 a 8 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
a 8 a 8 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7

Elements:
order 9: a, a 2 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7
order 3: a 3 , a 6

Subgroups:
order 9: {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 }
order 3: {1,a 3 ,a 6 }
order 1: {1}


C
3 x C 3 , the direct product of two cyclic groups of order 3 Described via the generators a,b
with relations a 3 = 1, b 3 = 1, ba=ab:
1 a a 2 b ab a 2 b b 2 ab 2 a 2 b 2
1 1 a a 2 b ab a 2 b b 2 ab 2 a 2 b 2
a a a 2 1 ab a 2 b b ab 2 a 2 b 2 b 2
a 2 a 2 1 a a 2 b b ab a 2 b 2 b 2 ab 2
b b ab a 2 b b 2 ab 2 a 2 b 2 1 a a 2
ab ab a 2 b b ab 2 a 2 b 2 b 2 a a 2 1
a 2 b a 2 b b ab a 2 b 2 b 2 ab 2 a 2 1 a
b 2 b 2 ab 2 a 2 b 2 1 a a 2 b ab a 2 b
ab 2 ab 2 a 2 b 2 b 2 a a 2 1 ab a 2 b b
a 2 b 2 a 2 b 2 b 2 ab 2 a 2 1 a a 2 b b ab

Elements:
order 3: a, a 2 , b, ab, a 2 b, b 2 , ab 2 , a 2 b 2

Subgroups:
order 3: {1,a,a 2 }, {1,b,b 2 }, {1,ab,a 2 b 2 }, {1,a 2 b,ab 2 }
order 1: {1}


C
10 , the cyclic group of order 10 Described via the generator a
with relation a 10 = 1:
1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
1 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
a a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 1
a 2 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 1 a
a 3 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 1 a a 2
a 4 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 1 a a 2 a 3
a 5 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 1 a a 2 a 3 a 4
a 6 a 6 a 7 a 8 a 9 1 a a 2 a 3 a 4 a 5
a 7 a 7 a 8 a 9 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
a 8 a 8 a 9 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7
a 9 a 9 1 a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8

Elements:
order 10: a, a 3 , a 7 , a 9
order 5: a 2 , a 4 , a 6 , a 8
order 2: a 5

Subgroups:
order 10: {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 }
order 5: {1,a 2 ,a 4 , a 6 ,a 8 }
order 2: {1,a 5 }
order 1: {1}


D
5 , the dihedral group of order ten Described via generators a,b
with relations a 5 = 1, b 2 = 1, ba = a -1 b:
1 a a 2 a 3 a 4 b ab a 2 b a 3 b a 4 b
1 1 a a 2 a 3 a 4 b ab a 2 b a 3 b a 4 b
a a a 2 a 3 a 4 1 ab a 2 b a 3 b a 4 b b
a 2 a 2 a 3 a 4 1 a a 2 b a 3 b a 4 b b ab
a 3 a 3 a 4 1 a a 2 a 3 b a 4 b b ab a 2 b
a 4 a 4 1 a a 2 a 3 a 4 b b ab a 2 b a 3 b
b b a 4 b a 3 b a 2 b ab 1 a 4 a 3 a 2 a
ab ab b a 4 b a 3 b a 2 b a 1 a 4 a 3 a 2
a 2 b a 2 b ab b a 4 b a 3 b a 2 a 1 a 4 a 3
a 3 b a 3 b a 2 b ab b a 4 b a 3 a 2 a 1 a 4
a 4 b a 4 b a 3 b a 2 b ab b a 4 a 3 a 2 a 1

Elements:
order 5: a, a 2 , a 3 , a 4
order 2: b, ab, a 2 b, a 3 b, a 4 b

Subgroups:
order 10: {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4 , b,ab,a 2 b,a 3 b,a 4 b}
order 5: {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4 }
order 2: {1,b}, {1,ab} {1,a 2 b}, {1,a 3 b}, {1,a 4 b}
order 1: {1}

Normal subgroups:
order 10: {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4 , b,ab,a 2 b,a 3 b,a 4 b}
order 5: {1,a,a 2 ,a 3 ,a 4 }
order 1: {1}


Есть additional group tables at the end of Chapter 7.

Вперед | Назад | Оглавление


Создать таблицу умножения в Excel и Google Таблицах

В этом руководстве мы узнаем, как создать умножение в Excel и Google Таблицах.

Настройка данных

Чтобы настроить данные, введите числа от 1 до 10 в ячейки с A2 по A11 и снова в ячейки с B1 по K1.

Существует также интересный способ вставки чисел в ячейки с помощью функции ТРАНСПОРТИРОВКА:

  1. Введите числа от 1 до 10 в ячейки с A2 по A11.
  2. Выберите диапазон B1: K1 и введите следующую формулу в строке формул.
  3. Нажмите Ctrl + Shift + Enter, , потому что это формула массива (необязательно в Excel 365 или версиях Excel после 2019 года).
 = ТРАНСПОРТ (A2: A11) 

Теперь у нас есть настройки для нашей таблицы умножения. Ниже мы продемонстрируем два способа заполнения таблицы умножения.

Таблица умножения со смешанными ссылками

Таблица умножения может быть создана с использованием смешанных ссылок на ячейки, где одна ссылка на строку или столбец заблокирована, а другая — нет.

Используйте эту формулу в ячейке B2:

 = A2 * B $ 1 

Это заблокирует строку заголовка для числа и умножит строку столбца заголовка и вернет результат.

Затем мы скопируем и вставим эту формулу во весь диапазон:

  • Скопируйте ячейку B2 ( Ctrl + C ).
  • Выберите диапазон B2: K11

  • Нажмите Ctrl + V , чтобы вставить формулу

AutoMacro — Генератор кода VBA

Таблица умножения с использованием формулы массива

Метод формулы массива также очень прост.

Вам просто нужно выбрать диапазон B1: K1, вставить формулу в строку формул и нажать Ctrl + Shift + Enter (Excel 2019 и более ранние версии) :

 = A2: A11 * B1: K1 

Таким образом будет создана вся таблица умножения.

Создайте таблицу умножения в Google Таблицах

Формула для создания таблицы умножения в Google Таблицах работает точно так же, как и в Excel:

python — правильно отформатированная таблица умножения

Подход Гнибблера довольно элегантен.Я выбрал подход, состоящий в том, чтобы сначала создать список целых чисел, используя функцию диапазона и аргумент шага.

для n = 12

  импортная печать
п = 12
m = list (list (range (1 * i, (n + 1) * i, i)) для i в диапазоне (1, n + 1))
pprint.pprint (м)
[[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12],
 [2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24],
 [3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36],
 [4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48],
 [5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60],
 [6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72],
 [7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84],
 [8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96],
 [9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108],
 [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120],
 [11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132],
 [12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144]]
  

Теперь, когда у нас есть список целых чисел в той форме, которая нам нужна, мы должны преобразовать их в строки, которые выровнены по правому краю с шириной на единицу больше, чем наибольшее целое число в списке списков (последнее целое число), используя аргумент по умолчанию '' для fillchar.

  max_width = len (str (m [-1] [- 1])) + 1
для я в м:
    i = [str (j) .rjust (max_width) для j в i]
    печать (''. join (я))

   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
   2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
   3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
   4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
   5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
   6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
   7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
   8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
   9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
  10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
  11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132
  12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144
  

и продемонстрировать эластичность интервала с другим размером, т.е.грамм. п = 9

  п = 9
m = list (list (range (1 * i, (n + 1) * i, i)) для i в диапазоне (1, n + 1))
для я в м:
    i = [str (j) .rjust (len (str (m [-1] [- 1])) + 1) для j в i]
    печать (''. join (я))

  1 2 3 4 5 6 7 8 9
  2 4 6 8 10 12 14 16 18
  3 6 9 12 15 18 21 24 27
  4 8 12 16 20 24 28 32 36
  5 10 15 20 25 30 35 40 45
  6 12 18 24 30 36 42 48 54
  7 14 21 28 35 42 49 56 63
  8 16 24 32 40 48 56 64 72
  9 18 27 36 45 54 63 72 81
  

Умножение по горизонтали — Рабочие листы по математике

Эти основные рабочие листы умножения состоят из вопросов горизонтального умножения, где математические вопросы написаны слева направо.Рабочие листы можно распечатать, а вопросы на заданиях по математике меняются каждый раз, когда вы посещаете.

С помощью нашего генератора математических листов вы можете легко создавать рабочие листы умножения, которые никогда не будут одинаковыми и всегда разными, предоставляя вам неограниченный запас листов по математике для использования в классе или дома.

На каждом математическом листе также есть дополнительный флажок для ключа ответа , который вы можете установить, если хотите распечатать ключ для ответа вместе с вашим математическим листом.

Щелкните одну из ссылок ниже, чтобы просмотреть рабочий лист для печати.

ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ УМНОЖЕНИЕ

Ниже приведены рабочие листы по математике для умножения с вопросами, написанными по горизонтали (т.е. слева направо).

Умножение чисел — один вариант

Пример горизонтального умножения

Умножение чисел — несколько вариантов

  • Умножить на 1, 2
  • Умножить на 1, 2, 3
  • Умножить на 1, 2, 3, 4
  • Умножить на 1, 2, 3, 4, 5
  • Умножить на 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • Умножить на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
  • Умножить на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
  • Умножить на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
  • Умножить на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Умножить на 2, 3
  • Умножить на 2, 3, 4
  • Умножить на 2, 3, 4, 5
  • Умножить на 2, 3, 4, 5, 6
  • Умножить на 2, 3, 4, 5, 6, 7
  • Умножить на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
  • Умножить на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
  • Умножить на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Умножить на 3, 4
  • Умножить на 3, 4, 5
  • Умножить на 3, 4, 5, 6
  • Умножить на 3, 4, 5, 6, 7
  • Умножить на 3, 4, 5, 6, 7, 8
  • Умножить на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
  • Умножить на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Умножить на 4, 5
  • Умножить на 4, 5, 6
  • Умножить на 4, 5, 6, 7
  • Умножить на 4, 5, 6, 7, 8
  • Умножить на 4, 5, 6, 7, 8, 9
  • Умножить на 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Умножить на 5, 6
  • Умножить на 5, 6, 7
  • Умножить на 5, 6, 7, 8
  • Умножить на 5, 6, 7, 8, 9
  • Умножить на 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Умножить на 6, 7
  • Умножить на 6, 7, 8
  • Умножить на 6, 7, 8, 9
  • Умножить на 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Умножить на 7, 8
  • Умножить на 7, 8, 9
  • Умножить на 7, 8, 9, 10, 11, 12
  • Умножить на 8, 9
  • Умножить на 8, 9, 10, 11, 12
  • Умножить на 9, 10, 11, 12

Умножение двузначного числа на однозначное число


Недостающие факторы — таблицы

По горизонтали

Пример отсутствующих коэффициентов

Недостающие факторы — несколько вариантов


Таблицы умножения

Пример таблицы умножения
«Больше листов по математике

35 забавных практических способов научить умножению

Как лучше всего научить умножению? На этот вопрос есть столько ответов, сколько детей в вашем классе.Но одно можно сказать наверняка. Занятия умножением — отличное место для мотивации ваших учеников. Вот 35 наших любимых игр и практических способов научить ваших учеников начальной школы умножению. Примечание. Первые идеи из этого списка особенно хороши для преподавания прямо сейчас, так как вы можете играть вместе всем классом в Интернете или назначать задания для работы на дому!

1. Нарисуйте вальдорфские цветы умножения.

Источник: Многокультурное материнство

Это творческий способ преподать факты умножения.Начните с рисования центра цветка и напишите любое число 1–9 в середине. Затем нарисуйте 12 лепестков вокруг центра, обозначив их 1–12. Наконец, нарисуйте еще 12 лепестков и напишите произведение числа в центре и лепестка, примыкающего к новому лепестку. Чтобы облегчить выполнение домашнего задания, сделайте пустой шаблон, который ваши ученики смогут скачать дома.

2. Сыграйте в войну умножения.

Источник: мама для двух шикарных маленьких див

Это задание можно использовать как для одного человека, так и для пары.Надеюсь, у большинства ваших учеников дома есть обычная колода игральных карт. В противном случае они могут сделать свои собственные карточки с номерами, используя учетные карточки или макулатуру. Для начала ученики переворачивают две карты лицом вверх. Затем они умножают два числа на карточках вместе. Затем они пишут математическое предложение на листе бумаги и решают задачу. Вы можете назначить ограничение по времени, например десять минут, или количество задач, например, шесть. Если учащиеся играют с партнером, оба учащихся переворачивают две карты, умножают числа, и тот, у кого продукт наивысшего качества, сохраняет карты.В конце игры побеждает игрок с наибольшим количеством карт.

3. Играть в Бинго!

Попробуй традиционную игру. Попросите учащихся сделать свои собственные карточки, используя обратную сторону любой бумаги, чтобы нарисовать сетку 5 × 5 и заполнив поля номерами продуктов, такими как 16, 8, 48, 56 и т. Д. Учитель называет задачи умножения, например, 7 × 9. Учащиеся решают продукт и, если это число есть на их сетке, накройте это число фасолью или плиткой. Карточка каждого ученика уникальна, и они могут гордиться созданием собственной игры.В эту игру можно играть лично или виртуально.

4. Измените математическую формулировку старого фаворита.

Это быстрое и простое занятие, которое заставляет детей двигаться во время обучения. Это похоже на игру Рошамбо (она же камень, ножницы, бумага), но ученики поднимают пальцы вместо камня, бумаги или ножниц. Если учащиеся играют парами, первый партнер, который умножит два набора пальцев вместе и назовет продукт, получает балл. Если вы играете все вместе виртуально, выберите ученика в качестве партнера и стреляйте.Выберите двух других учеников, которые будут «гадать». Меняйте стрелков и угадывающих.

5. Используйте коробку для яиц как генератор задачи умножения.

Используя картон для яиц, попросите учащихся написать цифры 1–12 в нижней части каждого углубления. Поместите два шарика внутрь коробки для яиц и закройте крышку. Встряхните коробку с яйцами, откройте верхнюю часть и умножьте два числа, на которые упали шарики. Напишите математическое предложение и ответьте на листе бумаги. Повторить.Если у учащихся есть дома пустая упаковка для яиц, это также может быть домашняя практика.

6. Пусть дети сделают свои собственные карточки с фактами умножения.

Учитель Джен В. рекомендует это занятие. «Попросите учащихся приложить художественный рисунок к ответам на карточках. поэтому мозг устанавливает связь между ответом и рисунком », — говорит она. «Я преподаю в четвертом классе, и дети очень хотят делать открытки дома. Они хранят их в своих папках, чтобы они могли практиковаться в любое время, когда у нас есть пять свободных минут.Они очень гордятся собой, потому что карточки — это не просто набор карточек ».

7. Обучайте фактам умножения с помощью простого колеса.

Источник: Creative Family Fun

Все, что вам нужно, — это бумажные тарелки, клей и маркер, чтобы помочь вашим ученикам выучить свои таблицы умножения. Это также может удваиваться как ремесленная деятельность, позволяя учащимся проявлять столько творчества, сколько они хотят, когда они украшают свои тарелки. Если учащиеся выполняют это задание дома и у них нет бумажных тарелок, они могут делать круги из обычной бумаги.

8. Составьте колоду семейных треугольников.

Еще один проект для детей, который помогает им персонализировать обучение. Дети могут сделать свои собственные, сосредоточив внимание на фактах умножения, которые по-прежнему остаются для них трудными. Попробуйте эту версию от Primary Flourish.

9. Используйте кубики LEGO.

Источник: Math Geek Mama / Lego Multiplication Division

Используйте кубики LEGO для создания равных групп (например, «Покажи мне 4 группы по 4») или используйте их для создания массивов (Покажите мне 5 рядов по 3 штуки в каждом).Кирпичи LEGO также являются отличным способом моделирования местности, если вы используете каждую выпуклость на вершине кирпича как единое целое. Узнайте больше о способах использования кубиков LEGO для обучения математике.

10. Используйте пальцы.

Источник: Создание учебной среды

Научите своих учеников «хитрому» способу умножения на девять, используя эту забавную модель. Вот как: попросите учащихся поднять все десять пальцев. Затем предположите, что задача — 9 x 6. Начиная с левой стороны, ученики пересчитывают шесть пальцев и опускают этот палец.Ответ показан на их пальцах! Количество пальцев слева от опущенного пальца — это количество десятков, а количество пальцев справа от опущенного пальца — это количество единиц. Итак, ответ — 54. Отлично подходит для урока в классе, лично или виртуально.

11. Используйте силу.

Источник: Royal Baloo

Иногда изучение фактов умножения требует практики. Рабочие листы могут быть не очень увлекательными, но добавление темы, которая интересует детей, может заинтересовать ваших учеников.Эта бесплатная загрузка с Royal Baloo включает в себя домашние задания и практические задания с графиками, головоломками-лабиринтами и многим другим, все на тему «Звездных войн».

12. Практикуйте умножение онлайн.

Вот огромный список наших любимых математических сайтов. Вам это понравится!

13. Пойте, чтобы учиться.

Посмотрите классические эпизоды School House Rock или эти видеоролики о умножении, и пусть ваши ученики споют свой путь к мастерству умножения.

14.Сделайте эти забавные инструменты для практики.

Попробуйте эти забавные инструменты в центрах для самостоятельной практики или в небольших группах.

15. Поиграйте в шашки умножения.

Источник: Научи рядом со мной

Используя съемные наклейки, пометьте белые квадраты (показанные выше, красные или черные, если у вас традиционная шахматная доска) с задачей умножения. Затем поместите игровые фишки на квадраты с математической задачей. Игра начинается как обычно, когда игроки перемещают свои фигуры по диагонали, пытаясь перейти на другую сторону.Суть в том, что вы должны решить задачу умножения, на которую попали. Если вы ответите правильно, вам начисляется столько баллов. Например, если вы приземлитесь на 8 × 8 и ответите правильно, вы получите 64 очка. Побеждает игрок, набравший наибольшее количество очков в конце игры.

16. Подбросьте футбольный мяч умножения.

Источник: Создание учебной среды

Отправляйтесь на улицу в эту веселую игру. Перед началом игры напишите случайные числа в белых точках футбольного мяча.Чтобы играть, подбросьте футбольный мяч в воздух и поймайте его двумя руками. Посмотрите, каких чисел соприкасаются ваши большие пальцы, и умножьте их вместе. Если вы получили правильный ответ, стреляйте по мячу на 2 ярда от стойки ворот. Если мяч попадает в ворота, отойдите еще на 2 ярда и подбросьте мяч для новой задачи. Цель игры — отойти как можно дальше от цели. Если вы ответили неверно или не попали в цель, пройдите 2 ярда вперед и начните заново.

17. Играть в «Змеи и лестницы».

Источник: Живое дыхание и любящее учение

Добавьте образовательный поворот к старому фавориту с этой версией умножения игры «Змеи и лестницы». Все, что вам нужно для игры, — это недорогая настольная игра (всего за 1,50 доллара на загрузку), игровые элементы и кубик. Чтобы сыграть, первый игрок бросает кубик, а затем перемещает свой игровой элемент на такое количество делений. Затем они должны правильно ответить на задачу умножения. Если они сделают это правильно, они останутся на месте. В противном случае они возвращаются на один шаг назад и пробуют решить эту проблему, двигаясь назад, пока не ответят правильно.Побеждает тот, кто первым достигнет головы змеи.

18. Откидные крышки от бутылок.

Источник: Croft’s Classroom

Начните с крышек бутылок и наклеек с цветными точками. Напишите предложение умножения на одной точке и положите его на крышку бутылки. Напишите ответ на второй точке и поместите его на дно крышки бутылки. Затем попросите учащихся разделиться на группы и выложить все вершины с предложением умножения. Они по очереди произносят предложение вслух и должны ответить, прежде чем переворачивать верхнюю часть для проверки.Если они сделают это правильно, они сохранят верх. Если они ошибаются, они кладут обратно. Выигрывает тот, у кого больше всего в конце!

19. Примите вызовы подряд.

Два ученика стоят спиной к спине и каждый записывает коэффициент на доске (вы можете установить ограничение на количество, обычно 1–9). «Звонящий» умножает два фактора и называет продукт. Двое студентов должны попытаться решить фактор другого, зная только свой фактор и продукт. Учащийся, который правильно угадает первым, остается, а новый ученик занимает место другого.Тот, кто выиграет три раунда подряд, становится новым участником. Обычно это игра для всего класса.

20. Сыграйте раунд умножения бейсбола.

Источник: Построчное обучение

Используйте один набор карточек умножения, чтобы поиграть в бейсбол по математике в классе. Положите карточку на пол на пути. Дети по очереди прыгают по карточкам, говорят ответ и смотрят, как далеко они могут продвинуться. Остановитесь, когда они сделают ошибку, и посмотрите, кто окажется дальше всех.

21. Выстраивайте домино.

Домино — отличный инструмент для создания задач многозначного умножения. Возьмите два домино и выровняйте их по горизонтали. Это становится проблемой студентов. Например, предположим, что у одного домино есть 4 и 2, а у второго домино есть 1 и 6. Задача будет 42 × 16. Идеально подходит для сольной практики или работы на станции.

22. Бросьте кости в стиле Вегаса.

Используйте две пары игральных костей и бланк для умножения. Бросьте их! В то же время два ученика бросают по два кубика, а затем умножают свои числа.Игрок с наибольшим произведением получает очко. Игра продолжается до тех пор, пока вы не достигнете определенного числа или ограничения по времени.

23. Играйте в Top It.

Вашим детям понравится играть в Multiplication Top-It. Используя колоду обычных карт, два ученика берут по две карты каждый. Это их факторные карты. Каждый учащийся умножает свои два числа вместе, и результат выигрывает раздача. Побеждает игрок с наибольшим количеством карт в конце.

24. Создавайте массивы!

Источник: Miss Giraffe’s Class

Массивы

идеально подходят для помощи студентам в визуализации задач умножения.Массив — это систематическое расположение похожих объектов, обычно в строках и столбцах. Использование необычных предметов помогает закрепить концепцию. Интересные идеи, которые стоит попробовать: скрепки, крендели, M & M, мелки, плитки, блоки, пуговицы, ядра попкорна, рис, стиральные машины, шоколадные чипсы, помпоны, сырные шарики, драгоценности, Smarties, пенни, изюм, фисташки, чечевица, прилавки , или кубики LEGO.

25. Играть в квадраты умножения.

Источник: Games4Gains

Дети любят играть в игру Squares! Все, что вам нужно для этой версии, — это два кубика, загружаемое игровое поле и две ручки разных цветов.Один игрок бросает оба кубика, умножает два числа, затем ищет продукт на доске. Затем ученик рисует линию, соединяющую любые две точки, составляющие часть квадрата вокруг этого продукта. Игра продолжается до тех пор, пока доска не заполнится квадратами.

26. Постройте массив городов.

Источник BrightConcepts4Teachers

Чтобы помочь студентам понять массивы в реальном мире, создайте города-массивы (указания здесь). Попросите студентов построить по крайней мере три здания, использовать линейки, чтобы нарисовать прямые линии, и записать факты умножения.Вы сможете четко увидеть, какие ученики понимают эту концепцию, и им понравится, как они получатся.

27. Постройте математические башни силы.

Источник: Fabulous in Fifth

Все, что вам нужно, — это банки Pringles для хранения, пластиковые чашки Дикси и шарпи для обучения умножению с помощью башен. Сначала напишите задачу умножения на внешней стороне чашки, затем напишите ответ внутри на дне. Если ученик получит правильный ответ, он может начать строить башню.Каждый раз, когда дается правильный ответ, они добавляются в стек. Это может быть сделано с партнерами или индивидуально для тех, кто досрочно завершил работу.

28. Измените имена учащихся (временно).

Источник: Mr. Elementary Math

Возьмите несколько именных бирок и напишите на каждом уравнение умножения. Дайте ярлык каждому из ваших учеников. В оставшуюся часть дня все будут ссылаться друг на друга, отвечая на уравнение на своей метке (например, ученик с именной меткой, на которой написано 7 × 6, будет называться «42»).

29. Взять умножение на сетку.

Источник: Экономные развлечения для мальчиков и девочек

Все, что вам нужно, это доска для плакатов, 12-гранные игральные кости и пара игровых фишек. Учащиеся перемещают свои игровые фишки вверх по полю, бросая кости и умножая два числа, которые лежат наверху. У них есть четыре шанса забить тачдаун. Прочтите подробности этой веселой игры от Frugal Fun for Boys and Girls.

30. Играть в умножение и удар

Источник: This Reading Mama

Загрузите бесплатные игровые доски, каждое из которых имеет множитель в заголовке (например, x 4).Бросьте два кубика, сложите их и умножьте на множитель. Затем поместите свою игровую фишку на ответ. Если другой игрок также предложит тот же продукт, он может «вышибить» ваш игровой элемент и заменить его своим. Побеждает игрок с наибольшим количеством маркеров на доске в конце игры.

31. Сделайте блесны.

Источник: Super Fun Printables

Показанные выше спиннеры умножения можно приобрести, но ваши ученики также могут сделать свои собственные.Все, что вам понадобится, это картон, ножницы, латунные застежки и метка. Вырежьте два одинаковых круга из картона и еще один круг размером примерно четверть. Вырежьте две выемки, по одной с каждой стороны, из одного из больших кругов. Напишите в маленьком кружке число, которое вы умножаете (например, x11). На круге без зазубрин напишите числа от 1 до 12, а прямо напротив каждого числа — произведение, которое вы получите, умножив это число на множитель (например, 2 и прямо напротив 22).Студенты практикуются, вращая верхний круг над нижним.

32. Сделайте узорчатые круги.

Источник: Lemon Lime Adventures

Для младших школьников используйте эти кружки, чтобы попрактиковаться в счете пропусков, как способ научить умножать на двоек, троек или пятерок.

33. Играть в Умножение Дженга!

Источник: Цветущие умы

Используйте маркер, чтобы написать задачи умножения на каждом из 54 блоков в стандартной игре Jenga.(Или, как вариант, загрузите этот бесплатный шаблон и прикрепите проблему к каждому блоку). Студенты играют в игру, сначала складывая все блоки в башню, а затем по очереди вытаскивая по одному блоку. Цель игры — убирать блоки без разрушения всей башни. Особенность этой версии в том, что каждый ученик должен успешно решить задачу умножения на своем блоке, чтобы сохранить ее. Когда башня в конечном итоге падает, побеждает игрок с наибольшим количеством блоков.

34.Играть в Twister!

Источник: Math Geek Mama / Twister

Вашим ученикам понравится эта извращенная версия старого фаворита! Напишите задачи умножения на каждой точке прядильщика и напишите соответствующие произведения в кружках на циновке. Затем предложите учащимся по очереди играть. Например, первый ученик может повернуться и приземлиться на 4 × 5. Затем они должны найти и положить руку или ногу на число 20.

Источник: Итоги обучения

Эти недорогие инструменты помогут вашим ученикам практиковать умножение и развивать мелкую моторику.Чтобы играть, просто оберните строку от задачи слева до ответа справа. Переверните ключ, чтобы проверить свой ответ. Охватывает «факты от 1 × 1 до 10 × 12 и все, что между ними».

Какие ваши любимые практические способы обучения умножению? Поделитесь своими идеями в группе WeAreTeachers HELPLINE на Facebook.

Plus, ознакомьтесь с нашим руководством по умножению лапши в бассейне.

Генератор таблицы умножения

с использованием Python

import sys

из tkinter import *

def

печать ( "\ n: таблица умножения: \ n" )

печать ( "\ nTimes-Table of Number" .get ()), '\ n' )

для x в диапазоне ( 1 , 13136 1 , , , 1 ,

номер = int (EnterTable.get ())

печать ( '\ t \ t' , (номер) x ' , (x), ' = ' , (x * число),)

Таблица = =

Таблица.геометрия ( '250x250 + 700 + 200' )

Table.title ( 'Таблица умножения' )

EnterTable 35 =

label1 = Label (Таблица, текст = 'Введите номер вашей таблицы времени:' ,

шрифт = = fg = 'Черный' ).сетка (строка = 1 , столбец = 6 )

label1 = Label (Таблица, текст = '' строка = 2 , столбец = 6 )

запись = Запись (таблица, текстовая переменная 9136 9135 = по ширине = «по центру» ).сетка (строка = 3 , столбец = 6 )

label1 = Label (Таблица, текст = '' строка = 4 , столбец = 6 )

button1 = Кнопка (Таблица, текст = = Таблица = , fg = "Синий" ,

команда = MultiTable).

Х 2 11: Решите уравнение x^2+11=0 (х в квадрате плюс 11 равно 0)

Шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Венге Аруба

Характеристики шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Венге Аруба

Описание шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Венге Аруба

Этот шкаф доступен в различных вариантах размеров:

  • высота: 220 см, 230 см или 240 см;
  • ширина: 120 см, 136.2 см, 168.2 см, 177 см, 201.4 см, 236 см;
  • глубина шкафа 62 см.

Шкаф 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Венге Аруба сделан из ДСП.

Особенности шкафа 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Венге Аруба

  • Уникальная запатентованная алюминиевая система раздвижных дверей FUTURUM. Цвет серебра отлично вписывается практически в любой современный интерьер. Эргономика профиля продумана до мелочей и, поэтому, удобна для ежедневного использования. Ну и сам материал будет служить практически вечно.
  • Фотопечать производится на японском оборудовании, что обеспечивает высокое качество и четкость изображения. Вариантов рисунков огромное количество и можно с легкостью подобрать шкаф для мальчика или девочки

Шкаф цвета «Венге» выглядит благородно, стильно, привлекательно, он хорошо впишется в любой интерьер. Цвет «Венге» хорошо сочетается и с другими тонами, но наиболее выигрышно будет выглядеть с аналогичным покрытием. Поэтому, желательно подбирать мебель целым комплектом, чтобы жилище выглядело наиболее стильно.

Ширина 120 сантиметров позволяет разместить шкаф компактно в комнате. При этом, глубина 62 сантиметра позволит разместить значительный объем вещей.

Дополнительная информация

  • К шкафу можно добавить тумбу с ящиками (крепления тумбы к шкафу включены в комплект тумбы). Тумбу можно крепить в любой отсек с полками, кроме верхнего и нижнего.
  • Амортизационные щетки является дополнительной опцией для данного шкафа.
  • К шкафу можно добавить боковую консоль с нужной стороны, либо с обеих сторон. Таким образом, вместе со шкафом реализовать стеллаж.

Мы доставляем мебель в Благовещенске и в другие населенные пункты в Амурской области. Также, доставка возможна практически по всей территории России и странам ЕАЭС:

  • Казахстан
  • Беларусь
  • Киргизия
  • Армения

Руководство по сборке шкаф-купе

Информация о доставке шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Венге Аруба

Способ доставкиОписание
СамовывозБесплатно — самостоятельный вывоз с пункта выдачи.

Пункт выдачи расположен по адресу г. Благовещенск, ул. Чайковского, 209 В. Режим работы: пн — пт, c 09:00 по 18:00.

Всего пунктов: 3 получения готовой мебели (посмотреть)

Доставка до подъезда дома из пункта выдачиВремя доставки согласуется дополнительно. Выгрузка из машины и подъём на нужный этаж осуществляется Вами лично, либо за дополнительную плату после согласования с менеджером.
Доставка по РФРассчитывается индивидуально после оформлении заказа на сайте
*Дополнительную информацию о том, как купить шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Венге Аруба в Благовещенске уточняйте у нашего менеджера по телефону 8800-333-58-61

Шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

Характеристики шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

Описание шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

Шкаф 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень выполнен из ДСП.

Шкафы с цветом белой шагрени могут подойти к интерьеру в любом стиле: от классического до современного, при этом, возможно их применение в качестве одного из элементов эклектики. Светлые тона позволяют расширить и «разгрузить» пространство комнаты, поэтому, белая шагрень — это частый выбор в небольшие по площади помещения.

Данный шкаф доступен в различных вариантах размеров:

  • высота: 220 см, 230 см или 240 см;
  • ширина: 120 см, 136.2 см, 168.2 см, 177 см, 201.4 см, 236 см;
  • глубина шкафа 62 см.

Ширина 120 сантиметров позволяет разместить шкаф компактно в комнате. При этом, глубина 62 сантиметра позволит разместить значительный объем вещей.

Дополнительная информация

  • К шкафу можно добавить тумбу с ящиками (крепления тумбы к шкафу включены в комплект тумбы). Тумбу можно крепить в любой отсек с полками, кроме верхнего и нижнего.
  • К шкафу можно добавить боковую консоль с нужной стороны, либо с обеих сторон. Таким образом, вместе со шкафом реализовать стеллаж.
  • Амортизационные щетки является дополнительной опцией для данного шкафа.

Особенности шкафа 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

  • Уникальная запатентованная алюминиевая система раздвижных дверей FUTURUM. Цвет серебра отлично вписывается практически в любой современный интерьер. Эргономика профиля продумана до мелочей и, поэтому, удобна для ежедневного использования. Ну и сам материал будет служить практически вечно.
  • Фотопечать производится на японском оборудовании, что обеспечивает высокое качество и четкость изображения. Вариантов рисунков огромное количество и можно с легкостью подобрать шкаф для мальчика или девочки

Мы доставляем мебель в Красноярске и в другие населенные пункты в Красноярском крае. Также, доставка возможна практически по всей территории России и странам ЕАЭС:

  • Казахстан
  • Армения
  • Киргизия
  • Беларусь

Схема сборки шкаф-купе

Информация о доставке шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

Способ доставкиОписание
СамовывозБесплатно — самостоятельный вывоз с пункта выдачи.

Пункт выдачи расположен по адресу г. Красноярск, ул. Калинина, 73. Режим работы: пн — пт, c 09:00 по 18:00.

Всего пунктов: 9 получения готовой мебели (посмотреть)

Доставка до подъезда дома из пункта выдачиВремя доставки согласуется дополнительно. Выгрузка из машины и подъём на нужный этаж осуществляется Вами лично, либо за дополнительную плату после согласования с менеджером.
Доставка по РФРассчитывается индивидуально после оформлении заказа на сайте
*Дополнительную информацию о том, как купить шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень в Красноярске уточняйте у нашего менеджера по телефону +7 391 219-02-79

Шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

Характеристики шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

Описание шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

Шкаф 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень выполнен из ДСП.

Шкафы с цветом белой шагрени могут подойти к интерьеру в любом стиле: от классического до современного, при этом, возможно их применение в качестве одного из элементов эклектики. Светлые тона позволяют расширить и «разгрузить» пространство комнаты, поэтому, белая шагрень — это частый выбор в небольшие по площади помещения.

Данный шкаф доступен в различных вариантах размеров:

  • высота: 220 см, 230 см или 240 см;
  • ширина: 120 см, 136.2 см, 168.2 см, 177 см, 201.4 см, 236 см;
  • глубина шкафа 62 см.

Ширина 120 сантиметров позволяет разместить шкаф компактно в комнате. При этом, глубина 62 сантиметра позволит разместить значительный объем вещей.

Дополнительная информация

  • К шкафу можно добавить тумбу с ящиками (крепления тумбы к шкафу включены в комплект тумбы). Тумбу можно крепить в любой отсек с полками, кроме верхнего и нижнего.
  • К шкафу можно добавить боковую консоль с нужной стороны, либо с обеих сторон. Таким образом, вместе со шкафом реализовать стеллаж.
  • Амортизационные щетки является дополнительной опцией для данного шкафа.

Особенности шкафа 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

  • Уникальная запатентованная алюминиевая система раздвижных дверей FUTURUM. Цвет серебра отлично вписывается практически в любой современный интерьер. Эргономика профиля продумана до мелочей и, поэтому, удобна для ежедневного использования. Ну и сам материал будет служить практически вечно.
  • Фотопечать производится на японском оборудовании, что обеспечивает высокое качество и четкость изображения. Вариантов рисунков огромное количество и можно с легкостью подобрать шкаф для мальчика или девочки

Мы доставляем мебель в Саратове и в другие населенные пункты в Саратовской области. Также, доставка возможна практически по всей территории России и странам ЕАЭС:

  • Казахстан
  • Армения
  • Киргизия
  • Беларусь

Информация по сборке шкаф-купе

Информация о доставке шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень

Способ доставкиОписание
СамовывозБесплатно — самостоятельный вывоз с пункта выдачи.

Пункт выдачи расположен по адресу г. Саратов, ул. Крайняя, 127. Режим работы: пн — пт, c 09:00 по 18:00, сб, c 09:00 по 13:00.

Всего пунктов: 4 получения готовой мебели (посмотреть)

Доставка до подъезда дома из пункта выдачиВремя доставки согласуется дополнительно. Выгрузка из машины и подъём на нужный этаж осуществляется Вами лично, либо за дополнительную плату после согласования с менеджером.
Доставка по РФРассчитывается индивидуально после оформлении заказа на сайте
*Дополнительную информацию о том, как купить шкаф-купе 2-х дверный 2300х1200х620 ХИТ 23-12/2-11 Белая Шагрень в Саратове уточняйте у нашего менеджера по телефону 8800-333-58-61

Дисковая пилорама ПТ-06 «КРОНА» (11 кВт х 2)

Пилорама обеспечивает производительность в зависимости от твердости древесины, сортамента пиломатериалов, от опыта оператора станка до 12…20м3 в смену. Дисковая пилорама ПТ-06 «КРОНА» позволяет получить высокую точность изделия за счет того, что пильные диски находятся на шпиндельном узле, который в отличии от вала двигателя не имеет хода в вертикальной плоскости. В отличии от ленточной, дисковая пилорама гарантирует отсутствие волнообразного эффекта. На практике дисковую пилораму часто используют в паре с ленточной. С помощью ленточной пилорамы делают лафет, а затем при помощи дисковой получают обрезную доску с высокой геометрией.

Наименование параметровЕд. изм.ПТ-06

Напряжение

 В380

Электродвигатель привода пилы дисковой (2шт.),

— номинальная мощность

— число оборотов

 

кВт

об/мин

 

11

3000

Электродвигатель подъема/опускания каретки:

— номинальная мощность

— число оборотов

 

кВт

об/мин

 

0,55

950

Режущий инструмент — пила дисковая (2шт.),

— диаметр пил

— толщина


мм
мм


500 
5

Максимальные размеры бревна:

— диаметр в комле

— высота бруса

 

мм

мм

 

300 

150

Расстояние от диска пилы до горизонтальной

базы основания,

— наибольший

— наименьший

 
мм
мм


600
25

Длина бревна,

— наибольшая

— наименьшая

 

мм

мм

 

6500

1000

Масса станка

 кг800

Масса дороги направляющей

кг534

Шкаф-купе 2-х дверный 2400х1200х620 ХИТ 24-12/2-11 Дуб Сонома во Владикавказе заказать по низкой цене

Характеристики шкаф-купе 2-х дверный 2400х1200х620 ХИТ 24-12/2-11 Дуб Сонома

Описание шкаф-купе 2-х дверный 2400х1200х620 ХИТ 24-12/2-11 Дуб Сонома

Этот шкаф доступен в различных вариантах размеров:

  • высота: 220 см, 230 см или 240 см;
  • ширина: 120 см, 136.2 см, 168.2 см, 177 см, 201.4 см, 236 см;
  • глубина шкафа 62 см.

Светлый корпус цвета «Дуб сонома» выглядит изящно и визуально увеличивает пространство вокруг. Он сочетает характерную для дерева тяжеловесность крупных переплетающихся линий с нежностью молочных, кремовых, розоватых оттенков. За счет этого мебель цвета дуб сонома придает комнате или коридору вид респектабельный и современный. Дуб сонома хорошо вписывается в интерьер, выполненный в классическом, скандинавском стиле, стилях прованс и шале, а также гармонирует с близкими по оттенку бежевым, сиреневым, серым, золотистым цветами. Оригинально смотрится контрастная комбинация с синим, коричневым, рыжим, изумрудным цветами.

Ширина 120 сантиметров позволяет разместить шкаф компактно в комнате. При этом, глубина 62 сантиметра позволит разместить приличный объем вещей.

Опциональные возможности

  • К шкафу можно добавить тумбу с ящиками (крепления тумбы к шкафу включены в комплект тумбы). Тумбу можно крепить в любой отсек с полками, кроме верхнего и нижнего.
  • К шкафу можно добавить боковую консоль с нужной стороны, либо с обеих сторон. Таким образом, вместе со шкафом реализовать стеллаж.
  • Амортизационные щетки является дополнительной опцией для данного шкафа.

Особенности шкафа 2-х дверный 2400х1200х620 ХИТ 24-12/2-11 Дуб Сонома

  • Эксклюзивная запатентованная алюминиевая система раздвижных дверей FUTURUM. Цвет серебра отлично вписывается практически в любой современный интерьер квартиры. Эргономика профиля продумана до мелочей и, поэтому, удобна для ежедневного использования. Ну и сам материал будет служить практически вечно.
  • Фотопечать производится на японском оборудовании, что обеспечивает высокое качество и четкость изображения. Вариантов рисунков огромное количество и можно с легкостью подобрать шкаф для мальчика или девочки

Шкаф 2-х дверный 2400х1200х620 ХИТ 24-12/2-11 Дуб Сонома сделан из ДСП.

Наш интернет-магазин domdivanov15.ru производит доставку мебели во Владикавказе и в другие населенные пункты в Осетии. Также, доставка возможна практически по всей территории России и странам ЕАЭС:

  • Беларусь
  • Киргизия
  • Армения
  • Казахстан

Инструкция по сборке шкаф-купе

Информация о доставке шкаф-купе 2-х дверный 2400х1200х620 ХИТ 24-12/2-11 Дуб Сонома

Способ доставкиОписание
СамовывозБесплатно — самостоятельный вывоз с пункта выдачи.

Пункт выдачи расположен по адресу г. Владикавказ, ул. Ставропольская, 2Б. Режим работы: пн — пт, c 09:00 по 17:59, сб, c 10:00 по 15:59.

Всего пунктов: 3 получения готовой мебели (посмотреть)

Доставка до подъезда дома из пункта выдачиВремя доставки согласуется дополнительно. Выгрузка из машины и подъём на нужный этаж осуществляется Вами лично, либо за дополнительную плату после согласования с менеджером.
Доставка по РФРассчитывается индивидуально после оформлении заказа на сайте
*Дополнительную информацию о том, как купить шкаф-купе 2-х дверный 2400х1200х620 ХИТ 24-12/2-11 Дуб Сонома во Владикавказе уточняйте у нашего менеджера по телефону 8800-333-58-61

Косынка 2-11-07 р .70 х 70 см

Цена

Название:

Артикул:

Текст:

Выберите категорию: Все ШТУЧНЫЕ ИЗДЕЛИЯ (Шторы, комплекты штор, покрывала) » Жаккардовые » Вышитые » Модельные шитые » Арки СКАТЕРТИ, САЛФЕТКИ,ФАРТУКИ » Скатерти жаккардовые » Салфетки жаккардовые » Фартуки СЕТЧАТЫЕ ПОЛОТНА » Театральные сетки » Технического назначения » Для широкого пользования » Полиэфирные москитные сетки ПОЛОТНА » Жаккардовые » Вышитые » Гардинные » Гладкий Тюль РИТУАЛЬНЫЕ ИЗДЕЛИЯ » Покрывала в гроб в широком ассортименте, накидки на подушки » Шарфы, косынки, траурные ленты » Салфетки и накидки религиозной тематики » Полотна, кресты Предлагаемая цветовая палитра

Производитель: ВсеDreamLineGreen LineVerossaComfort LineSPAtexTIFFANY’SЭдинбургHobbyHoodedMerzukaDo and CoTACRoseMeteorHobby home collectionPhilippusJuannaСова и ЖаворонокValteryВолшебная ночьLove meГармонияРоссияОАО «МОЗДОКСКИЕ УЗОРЫ»

Новинка: Вседанет

Спецпредложение: Вседанет

Результатов на странице: 5203550658095

Найти

Схема Горнера.2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.

Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.

2 — (- 11) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Калькулятор полиномиальных корней:

1.1 Найдите корни (нули): F (x) = x 2 +11
Полиномиальные корни Калькулятор — это набор методов, направленных на поиск значений x, для которых F (x) = 0

Rational Roots Test является одним из вышеупомянутых инструментов. Он мог бы найти только рациональные корни, то есть числа x, которые можно выразить как частное двух целых чисел

Теорема рационального корня утверждает, что если полином обнуляется для рационального числа P / Q, то P является множителем конечной постоянной и Q является множителем ведущего коэффициента

В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а конечная константа — 11.

Фактор (ы):

ведущего коэффициента: 1
конечной постоянной: 1, 11

Давайте проверим ….

P Q P / Q F (P / Q) Делитель
-1 1 -1,00 12.00
-11 1 -11,00 132,00
1 1 1.00 12,00
11 1 11.00 132,00


Калькулятор полиномиальных корней не обнаружил рациональных корней

Уравнение в конце шага 1:
 x  2  + 11 = 0
 

Шаг 2:

 
Решение уравнения с одной переменной:

2.1 Решите: x 2 +11 = 0

Вычтем 11 из обеих частей уравнения:
x 2 = -11

Когда два вещи равны, их квадратные корни равны.Извлекая квадратный корень из двух частей уравнения, мы получаем:
x = ± √ -11

В математике i называется мнимой единицей. Он удовлетворяет i 2 = -1. Оба i и -i являются квадратными корнями из -1

Соответственно, √ -11 =
√ -1 • 11 =
√ -1 • √ 11 =
i • √ 11

Уравнение не имеет реальных решений. У него есть 2 воображаемых или сложных решения.

x = 0,0000 + 3,3166 i
x = 0,0000 — 3,3166 i

Было найдено два решения:

  1. x = 0,0000 — 3,3166 i
  2. x = 0,0000 + 3,3166 i

Решите квадратичные уравнения с помощью Квадратичная формула — Элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите квадратные уравнения, используя квадратную формулу
  • Используйте дискриминант, чтобы предсказать количество решений квадратного уравнения
  • Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Упростить:.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Упростить:.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  3. Упростить:.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз предпринимали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ — «да». В этом разделе мы выведем и воспользуемся формулой, чтобы найти решение проблемы. квадратное уровненеие.

Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в целом», чтобы мы выполняли алгебраические шаги только один раз, а затем использовали новую формулу для нахождения значения конкретной переменной. Теперь мы рассмотрим этапы завершения квадрата в целом, чтобы решить квадратное уравнение для x . Возможно, будет полезно взглянуть на один из примеров в конце последнего раздела, где мы решали уравнение формы, когда вы читаете алгебраические шаги ниже, поэтому вы видите их как с числами, так и со словом «в целом».’

Это последнее уравнение — квадратичная формула.

Квадратичная формула

Решения квадратного уравнения вида даются формулой:

Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения в выражение в правой части формулы. Затем мы делаем все математические вычисления, чтобы упростить выражение. Результат дает решение (я) квадратного уравнения.

Как решить квадратное уравнение с помощью квадратной формулы

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Если вы произносите формулу во время написания каждой задачи, вы быстро запомните ее. И помните, квадратная формула — это уравнение. Обязательно начинайте с «».

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Когда мы решали квадратные уравнения с помощью свойства квадратного корня, мы иногда получали ответы с радикалами. То же самое может случиться и при использовании квадратичной формулы. Если в качестве решения мы получаем радикал, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.

Решите, используя дискриминант.

Решение

Мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти переменную в квадратном уравнении, независимо от того, называется ли оно « x ».

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Итак, когда мы подставляем, и в квадратную формулу, если величина внутри радикала отрицательна, квадратное уравнение не имеет реального решения.Мы увидим это в следующем примере.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Все квадратные уравнения, которые мы решили до сих пор в этом разделе, были записаны в стандартной форме,. Иногда нам нужно сделать некоторую алгебру, чтобы привести уравнение в стандартную форму, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы «очищали дроби», умножая обе части уравнения на ЖК-дисплей. Это дало нам возможность решить эквивалентное уравнение — без дробей. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Подумайте об уравнении. Мы знаем из принципа нулевого произведения, что это уравнение имеет только одно решение:.

В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения с полным квадратом также дает только одно решение.

Решите, используя дискриминант.

Решение

Вы узнали, что это идеальный квадрат?

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения

Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда нет реальных решений. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения, не решая его на самом деле?

Да, количество внутри корня квадратной формулы позволяет нам легко определить количество решений.Эта величина называется дискриминантом.

Дискриминант

В квадратичной формуле величина называется дискриминантом.

Давайте посмотрим на дискриминант уравнений на (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), а также на количество решений этих квадратных уравнений.

Когда дискриминант положителен , квадратное уравнение имеет два решения .

Когда дискриминант равен нулю , квадратное уравнение имеет одно решение .

Когда дискриминант отрицательный , квадратное уравнение не имеет реальных решений .

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒⓓ

ⓐ нет реальных решений ⓑ 2 ⓒ 1 ⓓ нет реальных решений

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒⓓ

ⓐ 2 ⓑ нет реальных решений ⓒ 1 ⓓ 2

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

Мы использовали четыре метода для решения квадратных уравнений:

  • Факторинг
  • Свойство квадратного корня
  • Завершение квадрата
  • Квадратичная формула

Вы можете решить любое квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы, но это не всегда самый простой метод.

Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения.

  1. Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные множители легко, этот метод очень быстрый.
  2. Далее попробуйте применить свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме или, его можно легко решить с помощью свойства квадратного корня.
  3. Используйте квадратичную формулу . Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы.

А как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают не использовать его.Нам нужно было включить его в эту главу, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы получить квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс завершения квадрата в других областях алгебры.

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

Решение

Так как уравнение находится в, наиболее подходящим методом является использование свойства квадратного корня.

Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен полного квадрата, поэтому факторинг будет наиболее подходящим методом.

Приведите уравнение в стандартную форму.

В то время как наша первая мысль может заключаться в том, чтобы попробовать факторинг, размышления обо всех возможностях проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

коэффициент ⓑ Свойство квадратного корня ⓒ Квадратичная формула

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

ⓐ Квадратичная формула ⓑ факторинг ⓒ Свойство квадратного корня

Практика ведет к совершенству

Решите квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы

В следующих упражнениях решите, используя квадратичную формулу.

Использование дискриминанта для прогнозирования числа решений квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите количество решений каждого квадратного уравнения.

ⓐ нет реальных решений ⓑ 1
ⓒ 2 ⓓ нет реальных решений

ⓐ 1 ⓑ нет реальных решений
ⓒ 1 ⓓ 2

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (разложение на множители, квадратный корень или квадратная формула) для решения каждого квадратного уравнения. Не решай.

коэффициент ⓑ квадратный корень
ⓒ Квадратичная формула

коэффициент ⓑ квадратный корень
ⓒ коэффициент

Повседневная математика

Ракета запускается прямо с корабля в море.Решите уравнение для количества секунд, в течение которых ракета будет находиться на высоте 640 футов.

Архитектор проектирует холл гостиницы. Она хочет иметь треугольное окно, выходящее в атриум, с шириной окна на 6 футов больше высоты. Из-за ограничений по энергопотреблению площадь окна должна составлять 140 квадратных футов. Решите уравнение для высоты окна.

Письменные упражнения

Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

ⓐⓑ
ⓒ ответы будут отличаться

Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Глоссарий

дискриминант
В квадратной формуле величина называется дискриминантом.

ПРИМЕР 1 Решите двухэтапное уравнение Решите + 5 = 11. x 2 Напишите исходное уравнение. + 5 = x — 5 = x 2 11-5 Вычтите по 5 с каждой стороны. = x 2 6 Упростить.

Презентация на тему: «ПРИМЕР 1 Решите двухэтапное уравнение Решите + 5 = 11.x 2 Напишите исходное уравнение. + 5 = x 2 11 + 5-5 = x 2 11-5 Вычтите по 5 с каждой стороны. = x 2 6 Упростить »- стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1 ПРИМЕР 1 Решите двухэтапное уравнение Решите + 5 = 11.x 2 Напишите исходное уравнение. + 5 = x 2 11 + 5-5 = x 2 11-5 Вычтите по 5 с каждой стороны. = x 2 6 Упростить. 2 = x 2 2 6 Умножаем каждую сторону на 2. x = 12 Упростим. ОТВЕТ Решение — 12. Проверьте, подставив 12 вместо x в исходном уравнении.

2 ПРИМЕР 1 Решите двухэтапное уравнение CHECK + 5 = x 2 11 Напишите исходное уравнение. 11 + 5 = 12 2? Заменим 12 на x. Упрощать. Решение проверяет. 11 = 11 

3 РЕКОМЕНДАЦИИ для примера 1 Решите уравнение.Проверьте свое решение. 1. 5x + 9 = 24 РЕШЕНИЕ 5x + 9 = 24 Напишите исходное уравнение. 5x + 9-9 = 24-9 Вычтите 9 с каждой стороны. 5x = 15 Упростить. 5x5x 3 = 15 3 Разделите каждую сторону на 5 x = 3 Упростите.

4 РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ПРАКТИКИ для примера 1 ПРОВЕРИТЬ Упростить. Проверка решения. Заменим 3 на x. ОТВЕТ Решение: 3. Проверьте, подставив 3 вместо x в исходном уравнении. 5x + 9 = 24 Напишите исходное уравнение.24 5 3 + 9 =? 24 = 24

5 РЕКОМЕНДАЦИИ для примера 1 Решите уравнение. Проверьте свое решение. 2. 4y — 4 = 16 РЕШЕНИЕ 4y — 4 = 16 Напишите исходное уравнение. 4y — 4 + 4 = 16 + 4 Добавьте 4 в каждую сторону 4y = 20 Упростите. 4y4y 4 20 4 = Разделите каждую сторону на 4. y = 5 Упростите.

6 РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРИМЕРА 1 ОТВЕТ Решение — 5.Проверьте, подставив 5 вместо y в исходном уравнении. ПРОВЕРИТЬ Упростить. Решение проверяет. Замените 5 на y. 4y — 4 = 16 Напишите исходное уравнение. 16 4 (5) — 4 =? 16 = 16

7 РЕКОМЕНДАЦИИ для примера 1 Решите уравнение. Проверьте свое решение. РЕШЕНИЕ Напишите исходное уравнение. Добавьте по 7 с каждой стороны. Упрощать. Умножьте каждую сторону на 3. Упростите. 3. — 1 = –7 z 3 — 1 = z 3 — 7– 1 + 7 = z 3 — 7 + 7 6 = z 3 3 z 3 3 18 = z

8 РЕКОМЕНДАЦИИ для примера 1 ОТВЕТ Решение — 18.Проверьте, заменив 18 вместо z в исходном уравнении. ПРОВЕРИТЬ Упростить. Решение проверяет. Замените 18 на z. Напишите исходное уравнение. — 1 = z 3 — 7 18 3 — 7– 1 =? — 1

9 Урок 3.2, Для использования со страницами 141–146 Решите уравнение. 3. Упростите выражение 3 (x + 2) — 4x + 1. ОТВЕТ –x + 7 4. В контактном зоопарке коз в три раза больше, чем овец. Найдите количество овец, если общее количество коз и овец 28.ОТВЕТЬТЕ 7 НАПРАВЛЯЕМЫЕ ПРАКТИКИ овец для примера 1


Факторинговые квадратные уравнения — методы и примеры

Вы знаете, что такое факторизация многочленов ? Поскольку теперь у вас есть базовая информация о многочленах, мы узнаем, как решать квадратичные многочлены с помощью факторизации.

Прежде всего, давайте быстро рассмотрим квадратное уравнение . Квадратное уравнение — это многочлен второй степени, обычно в форме f (x) = ax 2 + bx + c, где a, b, c, ∈ R, и a 0.Термин «а» называется старшим коэффициентом, а «с» — абсолютным членом f (x).

Каждое квадратное уравнение имеет два значения неизвестной переменной, обычно известных как корни уравнения (α, β). Мы можем получить корни квадратного уравнения, разложив уравнение на множители.

По этой причине факторизация является фундаментальным шагом на пути к решению любого уравнения в математике. Давай выясним.

Как разложить квадратное уравнение на множители?

Факторинг квадратного уравнения можно определить как процесс разбиения уравнения на произведение его факторов.Другими словами, мы также можем сказать, что факторизация — это обратное умножению.

Чтобы решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 путем факторизации, используются следующие шаги :

  • Разверните выражение и при необходимости очистите все дроби.
  • Переместите все члены в левую часть знака равенства.
  • Факторизуйте уравнение, разбив средний член.
  • Приравняйте каждый коэффициент к нулю и решите линейные уравнения

Пример 1

Решите: 2 (x 2 + 1) = 5x

Решение

Разверните уравнение и переместите все члены слева от знака равенства.

⟹ 2x 2 — 5x + 2 = 0

⟹ 2x 2 — 4x — x + 2 = 0

⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0

⟹ ( x — 2) (2x — 1) = 0

Приравняем каждый множитель к нулю и решим

⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ x = 2 или x = 1212

Следовательно, решения x = 2, 1/2.

Пример 2

Решить 3x 2 — 8x — 3 = 0

Решение

3x 2 — 9x + x — 3 = 0

⟹ 3x (x — 3) + 1 (x — 3) = 0

⟹ (x — 3) (3x + 1) = 0

⟹ x = 3 или x = -13

Пример 3

Решите следующее квадратное уравнение ( 2x — 3) 2 = 25

Решение

Разверните уравнение (2x — 3) 2 = 25, чтобы получить;

⟹ 4x 2 — 12x + 9-25 = 0

⟹ 4x 2 — 12x — 16 = 0

Разделите каждый член на 4, чтобы получить;

⟹ x 2 — 3x — 4 = 0

⟹ (x — 4) (x + 1) = 0

⟹ x = 4 или x = -1

Существует множество методов факторизации квадратных уравнений.В этой статье мы сделаем акцент на том, как разложить квадратные уравнения на множители, в которых коэффициент при x 2 равен 1 или больше 1.

Таким образом, мы будем использовать метод проб и ошибок, чтобы получить правильные множители. для данного квадратного уравнения.

Факторинг, когда коэффициент x

2 равен 1

Чтобы разложить квадратное уравнение вида x 2 + bx + c, старший коэффициент равен 1. Вам необходимо определить два числа, произведение и сумма которых равны c и b соответственно.

СЛУЧАЙ 1: Когда b и c положительны

Пример 4

Решите квадратное уравнение: x 2 + 7x + 10 = 0

Перечислите множители 10:

1 × 10, 2 × 5

Определите два множителя с произведением 10 и суммой 7:

1 + 10 ≠ 7
2 + 5 = 7.

Проверьте множители, используя свойство распределения умножения.

(x + 2) (x + 5) = x 2 + 5x + 2x + 10 = x 2 + 7x + 10

Факторы квадратного уравнения: (x + 2) (x + 5)

Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

x + 2 = 0 ⟹x = -2

x + 5 = 0 ⟹ x = -5

Следовательно, решением будет x = — 2, x = — 5

Пример 5

х 2 + 10х + 25.

Решение

Определите два фактора с произведением 25 и суммой 10.

5 × 5 = 25 и 5 + 5 = 10

Проверьте факторы.

x 2 + 10x + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25

= x (x + 5) + 5x + 25

= x (x + 5) + 5 (x + 5)

= (x + 5) (x + 5)

Следовательно, x = -5 — это ответ.

СЛУЧАЙ 2: Когда b положительно, а c отрицательно

Пример 6

Решите x 2 + 4x — 5 = 0

Решение

Запишите множители -5.

1 × –5, –1 × 5

Определите факторы, произведение которых равно — 5, а сумма равна 4.

1 — 5 ≠ 4
–1 + 5 = 4

Проверьте факторы, используя свойство распределения.

(x — 1) (x + 5) = x 2 + 5x — x — 5 = x 2 + 4x — 5
(x — 1) (x + 5) = 0

x — 1 = 0 ⇒ x = 1 или
x + 5 = 0 ⇒ x = -5

Следовательно, x = 1, x = -5 — решения.

ВАРИАНТ 3: Когда b и c отрицательны

Пример 7

x 2 — 5x — 6

Решение

Запишите множители — 6:

1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3

Теперь определите факторы, произведение которых равно -6, а сумма равна –5:

1 + (–6) = –5

Проверьте коэффициенты используя распределительное свойство.

(x + 1) (x — 6) = x 2 — 6 x + x — 6 = x 2 — 5x — 6

Приравнять каждый множитель к нулю и решить, чтобы получить;
(x + 1) (x — 6) = 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1, или
x — 6 = 0 ⇒ x = 6

Следовательно, решение x = 6, x = -1

СЛУЧАЙ 4: Когда b отрицательно, а c положительно

Пример 8

x 2 — 6x + 8 = 0

Решение

Запишите все множители 8 .

–1 × — 8, –2 × –4

Определите факторы, произведение которых равно 8, а сумма равна -6
–1 + (–8) ≠ –6
–2 + (–4) = –6

Проверьте коэффициенты с помощью распределительного свойства.

(x — 2) (x — 4) = x 2 — 4 x — 2x + 8 = x 2 — 6x + 8

Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите выражение, чтобы получить;

(x — 2) (x — 4) = 0

x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 4 = 0 ⇒ x = 4

Пример 9

Разложить на множители x 2 + 8x + 12.

Решение

Запишите множители 12;

12 = 2 × 6 или = 4 × 3
Найдите множители, сумма которых равна 8:

2 + 6 = 8
2 × 6 ≠ 8

Используйте свойство распределения для проверки множителей;

= x 2 + 6x + 2x + 12 = (x 2 + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)

= x (x + 6 ) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить;

(x + 6) (x + 2)

x = -6, -2

Факторинг, когда коэффициент x

2 больше 1

Иногда старший коэффициент квадратного уравнения может быть больше чем 1.В этом случае мы не можем решить квадратное уравнение, используя общие множители.

Следовательно, нам нужно рассмотреть коэффициент при x 2 и множители при c, чтобы найти числа, сумма которых равна b.

Пример 10

Решите 2x 2 — 14x + 20 = 0

Решение

Определите общие множители уравнения.

2x 2 — 14x + 20 ⇒ 2 (x 2 — 7x + 10)

Теперь мы можем найти множители (x 2 — 7x + 10).Поэтому запишите коэффициенты 10:

–1 × –10, –2 × –5

Определите коэффициенты, сумма которых равна — 7:

1 + (–10) ≠ –7
–2 + (–5) = –7

Проверьте коэффициенты, применив свойство распределения.

2 (x — 2) (x — 5) = 2 (x 2 — 5 x — 2x + 10)
= 2 (x 2 — 7x + 10) = 2x 2 — 14x + 20

Приравняйте каждый множитель к нулю и решите;
2 (x — 2) (x — 5) = 0

x — 2 = 0 ⇒ x = 2 или
x — 5 = 0 ⇒ x = 5

Пример 11

Решить 7x 2 + 18x + 11 = 0

Решение

Запишите множители 7 и 11.

7 = 1 × 7

11 = 1 × 11

Примените свойство распределения для проверки факторов, как показано ниже:

(7x + 1) (x + 11) ≠ 7x 2 + 18x + 11

(7x + 11) (x + 1) = 7x 2 + 7x + 11x + 11 = 7x 2 + 18x + 11

Теперь приравняйте каждый множитель к нулю и решите, чтобы получить;

7x 2 + 18x + 11 = 0
(7x + 11) (x + 1) = 0

x = -1, -11/7

Пример 12

Решить 2x 2 — 7x + 6 = 3

Решение

2x 2 — 7x + 3 = 0

(2x — 1) (x — 3) = 0

x = 1/2 или x = 3

Пример 13

Решить 9x 2 + 6x + 1 = 0

Решение

Разложить на множители, чтобы получить:

(3x + 1) (3x + 1) = 0

(3x + 1) = 0,

Следовательно, x = −1 / 3

Пример 14

Разложить на множители 6x 2 — 7x + 2 = 0

Решение

6x 2 — 4x — 3x + 2 = 0

Разложите выражение на множители;

⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0

⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0

⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ 3x = 2 или 2x = 1

⟹ x = 2/3 или x = ½

Пример 15

Факторизация x 2 + (4 — 3y) x — 12y = 0

Решение

Разверните уравнение;

x 2 + 4x — 3xy — 12y = 0

Разложить на множители;

⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0

x + 4) (x — 3y) = 0

⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0

⟹ x = -4 или x = 3y

Таким образом, x = -4 или x = 3y

Практические вопросы

Решите следующие квадратные уравнения путем факторизации:

  1. 3x 2 — 20 = 160 — 2x 2
  2. (2x — 3) 2 = 49
  3. 16x 2 = 25
  4. (2x + 1) 2 + (x + 1) 2 = 6x + 47
  5. 2x 2 + x — 6 = 0
  6. 3x 2 = x + 4
  7. (x — 7) (x — 9) = 195
  8. x 2 — (a + b) x + ab = 0
  9. x 2 + 5 x + 6 = 0
  10. x 2 -2 x — 15 = 0

Ответы

  1. 6, -6
  2. -2, 5
  3. — 5/4, 5/4
  4. -3, 3
  5. -2, 3/2
  6. -1 , 4/3
  7. -6, 22
  8. a, b
  9. –3, –2
  10. 5, — 3
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Купите стальную квадратную трубу онлайн!

Т11218 1/2 X 1/2 X 18 GA (.049 стена)
A513 Квадратная стальная труба

Т11218

1/2 X 1/2 X 18 GA (стена 0,049)
A513 Квадратная стальная труба

0,31 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 0.31 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11216 1/2 X 1/2 X 16 GA (стена 0,065)
A513 Квадратная стальная труба

Т11216

1/2 X 1/2 X 16 GA (.065 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

0,39 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 0,39 фунта / фут

Добавить в корзину

T15816 5/8 x 5/8 x 16GA (.065 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

T15816

5/8 x 5/8 x 16GA (стена 0,065)
A513 Квадратная стальная труба

0,50 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 0.50 фунтов / фут

Добавить в корзину

Т13416 3/4 X 3/4 X 16 GA (стена 0,065)
A513 Квадратная стальная труба

Т13416

3/4 X 3/4 X 16 GA (.065 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

0,60 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 0,60 фунт / фут

Добавить в корзину

Т13414 3/4 X 3/4 X 14 GA (.083 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

Т13414

3/4 X 3/4 X 14 GA (стена 0,083)
A513 Квадратная стальная труба

0,75 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 0.75 фунтов / фут

Добавить в корзину

Т13411 3/4 X 3/4 X 11 GA (стенка 0,120)
A513 Квадратная стальная труба

T13411

3/4 X 3/4 X 11 GA (.120 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

1,03 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1,03 фунт / фут

Добавить в корзину

T17816 7/8 X 7/8 X 16GA (.065 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

T17816

7/8 X 7/8 X 16GA (стена 0,065)
A513 Квадратная стальная труба

0,72 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 0.72 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11116 1 X 1 X 16GA (стена 0,065)
A513 Квадратная стальная труба

Т11116

1 X 1 X 16GA (.065 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

0,82 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 0,82 фунта / фут

Добавить в корзину

Т11114 1 X 1 X 14 GA (.083 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

Т11114

1 X 1 X 14 GA (стена 0,083)
A513 Квадратная стальная труба

1,04 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1.04 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11112 1 X 1 X 12 GA (стенка .105)
A513 Квадратная стальная труба

Т11112

1 X 1 X 12 GA (.105 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

1,32 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 1,32 фунта / фут

Добавить в корзину

Т11111 1 X 1 X 11 GA (.120 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

Т11111

1 X 1 X 11 GA (стенка 0,120)
A513 Квадратная стальная труба

1,44 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1.44 фунт / фут

Добавить в корзину

Т111416 1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 16GA (стена 0,065)
A513 Квадратная стальная труба

T111416

1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 16GA (.065 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

1,04 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1,04 фунт / фут

Добавить в корзину

Т111414 1-1 / 4 x 1-1 / 4 x 14 GA (.083 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

Т111414

1-1 / 4 x 1-1 / 4 x 14 GA (стена 0,083)
A513 Квадратная стальная труба

1,32 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1.32 фунт / фут

Добавить в корзину

Т111412 1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 12 GA (стенка .109)
A513 Квадратная стальная труба

Т111412

1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 12 GA (.109 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

1,70 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера

Вес: 1,70 фунт / фут

Добавить в корзину

Т111411 1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 11 GA (.120 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

Т111411

1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 11 GA (стена 0,120)
A513 Квадратная стальная труба

1,80 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1.80 фунтов / фут

Добавить в корзину

Т1114316 1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 3/16 стенка
A500 Квадратная стальная труба

Т1114316

1-1 / 4 X 1-1 / 4 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

2.40 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 2,40 фунт / фут

Добавить в корзину

Т111216 1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 16GA (.065 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

Т111216

1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 16GA (стена 0,065)
A513 Квадратная стальная труба

1,26 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1.26 фунтов / фут

Добавить в корзину

Т111214 1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 14 GA (стена 0,083)
A513 Квадратная стальная труба

Т111214

1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 14 GA (.083 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

1,67 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1,67 фунт / фут

Добавить в корзину

Т111212 1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 12 GA (.109 стена)
A513 Квадратная стальная труба

Т111212

1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 12 GA (стенка .109)
A513 Квадратная стальная труба

2,07 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера

Вес: 2.07 фунт / фут

Добавить в корзину

Т111211 1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 11 GA (стена 0,120)
A513 Квадратная стальная труба

Т111211

1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 11 GA (.120 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

2,22 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 2,22 фунта / фут

Добавить в корзину

Т1112316 1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 3/16 стенка
A500 Квадратная стальная труба

Т1112316

1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

3.04 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 3,04 фунта / фут

Добавить в корзину

Т1112250 1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

Т1112250

1-1 / 2 X 1-1 / 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

4.07 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 4,07 фунт / фут

Добавить в корзину

Т113414 1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 14 GA (.083 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

T113414

1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 14 GA (стена 0,083)
A513 Квадратная стальная труба

1,88 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 1.88 фунтов / фут

Добавить в корзину

Т113411 1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 11 GA (стенка 0,120)
A513 Квадратная стальная труба

T113411

1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 11 GA (.120 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

2,58 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 2,58 фунт / фут

Добавить в корзину

Т1134316 1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

Т1134316

1-3 / 4 X 1-3 / 4 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

3.68 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 3,68 фунта / фут

Добавить в корзину

Т12216 2 X 2 X 16GA (.065 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

T12216

2 X 2 X 16GA (стена 0,065)
A513 Квадратная стальная труба

1,71 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 1.71 фунт / фут

Добавить в корзину

Т12214 2 X 2 X 14 GA (стена 0,083)
A513 Квадратная стальная труба

Т12214

2 X 2 X 14 GA (.083 стенка)
A513 Квадратная стальная труба

2,14 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 2,14 фунта / фут

Добавить в корзину

Т12212 2 X 2 X 12 GA (.109 стена)
A513 Квадратная стальная труба

Т12212

2 X 2 X 12 GA (стенка .109)
A513 Квадратная стальная труба

2,81 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 2.81 фунт / фут

Добавить в корзину

Т12211 2 X 2 X 11 GA (стенка 0,120)
A500 Квадратная стальная труба

T12211

2 X 2 X 11 GA (.120 стенка)
A500 Квадратная стальная труба

2,94 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 2,94 фунта / фут

Добавить в корзину

T122316 2 X 2 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T122316

2 X 2 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

4.32 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 4,32 фунта / фут

Добавить в корзину

Т122250 2 X 2 X 1/4 стены
A500 Квадратная стальная труба

Т122250

2 X 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

5.41 фунт

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 5,41 фунт / фут

Добавить в корзину

Т121414 2-1 / 4 X 2-1 / 4 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T121414

2-1 / 4 X 2-1 / 4 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

6.26 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера

Вес: 6,26 фунт / фут

Добавить в корзину

Т121214 2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 14 GA (.083 стенка)
A500 Квадратная стальная труба

Т121214

2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 14 GA (стена 0,083)
A500 Стальная квадратная труба

2,73 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 2.73 фунт / фут

Добавить в корзину

Т121211 2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 11 GA (стена 0,120)
A500 Квадратная стальная труба

Т121211

2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 11 GA (.120 стенка)
A500 Квадратная стальная труба

3,90 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 3,90 фунта / фут

Добавить в корзину

Т1212316 2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 3/16 стенка
A500 Стальная квадратная труба

Т1212316

2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

5.59 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера

Вес: 5,59 фунт / фут

Добавить в корзину

Т1212238 2-1 / 2 х 2-1 / 2 х.238 стенка (2,024 дюйма внутри)
Квадратная телескопическая труба A500 — гладкая внутри

Т1212238

Стенка 2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 0,238 (2,024 дюйма внутри)
Квадратная телескопическая труба A500 — гладкая внутри

6,83 фунта

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера

Вес: 6.83 фунт / фут

Добавить в корзину

Т1212250 2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

Т1212250

2-1 / 2 X 2-1 / 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

7.50 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 7,50 фунт / фут

Добавить в корзину

Т133083 3 X 3 X 14 GA (.083) стенка
A500 Квадратная стальная труба

Т133083

Стенка 3 X 3 X 14 GA (0,083)
Стальная квадратная труба A500

3,24 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера

Вес: 3,24 фунта / фут

Добавить в корзину

Т13318 3 X 3 X 11GA (.120 стенка)
A500 Квадратная стальная труба

T13318

3 X 3 X 11GA (стена 0,120)
Стальная квадратная труба A500

4,58 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 4.58 фунтов / фут

Добавить в корзину

Т133316 3 X 3 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T133316

3 X 3 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

6.87 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера

Вес: 6,87 фунт / фут

Добавить в корзину

Т13314 3 X 3 X 1/4 стены
A500 Квадратная стальная труба

T13314

3 X 3 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

8.81 фунт

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 8,81 фунт / фут

Добавить в корзину

Т13338 3 X 3 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

T13338

3 X 3 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

12.17 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 12,17 фунт / фут

Добавить в корзину

Т131218 3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 11GA (.120 стенка)
A500 Квадратная стальная труба

T131218

3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 11GA (стена 0,120)
A500 Квадратная стальная труба

5,68 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 5.68 фунтов / фут

Добавить в корзину

Т1312316 3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 3/16 стенка
A500 Стальная квадратная труба

Т1312316

3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

8.15 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 10 фут 20 фут или Отрезать до размера

Вес: 8,15 фунт / фут

Добавить в корзину

Т131214 3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T131214

3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

10.51 фунт

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера

Вес: 10,51 фунт / фут

Добавить в корзину

Т131238 3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 3/8 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T131238

3-1 / 2 X 3-1 / 2 X 3/8 стенки
A500 Квадратная стальная труба

14.72 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 14,72 фунт / фут

Добавить в корзину

T144083 4 X 4 X 14 GA (.083) стенка
A500 Квадратная стальная труба

T144083

Стенка 4 X 4 X 14 GA (0,083)
Стальная квадратная труба A500

4,32 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера

Вес: 4,32 фунта / фут

Добавить в корзину

Т14418 4 X 4 X 11GA (.120 стенка)
A500 Квадратная стальная труба

T14418

4 X 4 X 11GA (стена 0,120)
Стальная квадратная труба A500

6,22 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 6.22 фунт / фут

Добавить в корзину

T144316 4 X 4 X 3/16 стены
A500 Квадратная стальная труба

T144316

4 X 4 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

9.42 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера

Вес: 9,42 фунт / фут

Добавить в корзину

Т14414 4 X 4 X 1/4 стены
A500 Квадратная стальная труба

T14414

4 X 4 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

12.21 фунт

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера

Вес: 12,21 фунт / фут

Добавить в корзину

T14438 4 X 4 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

T14438

4 X 4 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

17.27 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 17,27 фунт / фут

Добавить в корзину

Т14412 4 X 4 X 1/2 стены
A500 Квадратная стальная труба

Т14412

4 X 4 X 1/2 стенки
A500 Квадратная стальная труба

21.63 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 21,63 фунт / фут

Добавить в корзину

Т1412316 4-1 / 2 X 4-1 / 2 X 3/16 стенка
Стальная квадратная труба A500

Т1412316

4-1 / 2 X 4-1 / 2 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

10.70 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 10,70 фунт / фут

Добавить в корзину

T141214 4-1 / 2 X 4-1 / 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T141214

4-1 / 2 X 4-1 / 2 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

14.00 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 фута 8 фута 12 фута 24 фута или Вырезать до размера

Вес: 14,00 фунт / фут

Добавить в корзину

T15511 5 X 5 X 11GA (.120) стенка
A500 Квадратная стальная труба

T15511

Стенка 5 X 5 X 11GA (.120)
Стальная квадратная труба A500

8,16 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 12 футов 24 фута или обрезать до размера

Вес: 8,16 фунт / фут

Добавить в корзину

T155316 5 X 5 X 3/16 стенка
A500 Квадратная стальная труба

T155316

5 X 5 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

11.97 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 11,97 фунт / фут

Добавить в корзину

T15514 5 X 5 X 1/4 стены
A500 Квадратная стальная труба

T15514

5 X 5 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

15.62 фунта

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 10 фут 20 фут или Отрезать до размера

Вес: 15,62 фунта / фут

Добавить в корзину

T15538 5 X 5 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

T15538

5 X 5 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

23.12 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 23,12 фунт / фут

Добавить в корзину

T15512 5 X 5 X 1/2 стены
A500 Квадратная стальная труба

T15512

5 X 5 X 1/2 стены
A500 Квадратная стальная труба

28.43 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 28,43 фунт / фут

Добавить в корзину

T16611 6 X 6 X 11ga (1/8 «) стена
A500 Стальная квадратная труба

T16611

Стенка 6 X 6 X 11ga (1/8 «)
Стальная квадратная труба A500

9.85 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 9,85 фунт / фут

Добавить в корзину

T166316 6 X 6 X 3/16 стены
A500 Квадратная стальная труба

T166316

6 X 6 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

14.65 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 10 фут 20 фут или Отрезать до размера

Вес: 14,65 фунт / фут

Добавить в корзину

T16614 6 X 6 X 1/4 стены
A500 Квадратная стальная труба

T16614

6 X 6 X 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

19.02 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 12 фут 24 фут или Отрезать до размера

Вес: 19,02 фунт / фут

Добавить в корзину

T16638 6 X 6 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

T16638

6 X 6 X 3/8 стенки
A500 Квадратная стальная труба

27.48 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 27,48 фунт / фут

Добавить в корзину

T16612 6 X 6 X 1/2 стены
A500 Квадратная стальная труба

T16612

6 X 6 X 1/2 стенки
A500 Квадратная стальная труба

35.24 фунта

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 35,24 фунта / фут

Добавить в корзину

Т17714 7 x 7 x 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T17714

7 x 7 x 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

22.42 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 22,42 фунта / фут

Добавить в корзину

T17738 7 X 7 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

T17738

7 X 7 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

32.58 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 32,58 фунт / фут

Добавить в корзину

Т17712 7 X 7 X 1/2 стены
Стальная квадратная труба A500

Т17712

7 X 7 X 1/2 стенки
A500 Квадратная стальная труба

42.05 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 42,05 фунт / фут

Добавить в корзину

Т188316 8 X 8 X 3/16 стены
A500 Квадратная стальная труба

T188316

8 X 8 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

19.63 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 19,63 фунт / фут

Добавить в корзину

Т18814 8 x 8 x 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T18814

8 x 8 x 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

26.00 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 26,00 фунт / фут

Добавить в корзину

T18838 8 x 8 x 3/8 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T18838

8 x 8 x 3/8 стенки
A500 Квадратная стальная труба

37.70 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 10 фут 20 фут или Отрезать до размера

Вес: 37,70 фунт / фут

Добавить в корзину

Т18812 8 x 8 x 1/2 стенки
Стальная квадратная труба A500

T18812

8 x 8 x 1/2 стенки
A500 Квадратная стальная труба

49.00 фунтов

Выберите … 2 фута 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 49,00 фунт / фут

Добавить в корзину

Т18858 8 X 8 X 5/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

T18858

8 X 8 X 5/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

59.32 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 59,32 фунт / фут

Добавить в корзину

Т110316 10 X 10 X 3/16 стены
A500 Квадратная стальная труба

T110316

10 X 10 X 3/16 стенки
A500 Квадратная стальная труба

24.73 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 24,73 фунта / фут

Добавить в корзину

Т11014 10 x 10 x 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

T11014

10 x 10 x 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

32.63 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 10 фут 20 фут или Отрезать до размера

Вес: 32,63 фунта / фут

Добавить в корзину

Т11038 10 X 10 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

T11038

10 X 10 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

47.90 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 47,90 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11012 10 X 10 X 1/2 стены
Стальная квадратная труба A500

Т11012

10 X 10 X 1/2 стенки
A500 Квадратная стальная труба

62.46 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 62,46 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11058 10 X 10 X 5/8 стенка
A500 Квадратная стальная труба

T11058

10 X 10 X 5/8 стенка
A500 Квадратная стальная труба

76.33 фунтов

Выберите … 10 Ft.20 Ft.

Вес: 76,33 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11214 12 x 12 x 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

Т11214

12 x 12 x 1/4 стенки
A500 Квадратная стальная труба

39.45 фунтов

Выберите … 1 фут 2 фут 4 фут 6 фут 8 фут 10 фут 20 фут или Отрезать до размера

Вес: 39,45 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11238 12 X 12 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

Т11238

12 X 12 X 3/8 стены
A500 Квадратная стальная труба

58.10 фунтов

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 58,10 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11212 12 X 12 X 1/2 стены
Стальная квадратная труба A500

Т11212

12 X 12 X 1/2 стенки
A500 Квадратная стальная труба

76.07 фунтов

Выберите … 10 Ft.20 Ft.

Вес: 76,07 фунт / фут

Добавить в корзину

Т11258 12 X 12 X 5/8 стенок
A500 Квадратная стальная труба

T11258

12 X 12 X 5/8 стенка
A500 Квадратная стальная труба

93.34 фунта

Выберите … 4 фута 6 футов 8 футов 10 футов 20 футов или Отрезать до размера

Вес: 93,34 фунта / фут

Добавить в корзину

Решите квадратное уравнение с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Решение уравнений — центральная тема алгебры. Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к способности решать уравнения и упрощать решения.В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратных уравнений .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите квадратное уравнение.
  2. Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
  3. Решите квадратное уравнение факторизацией.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть преобразовано в стандартную форму, является квадратным уравнением. Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения.

Эта теорема доказана в большинстве учебных пособий по алгебре.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что два решения равны.

Квадратное уравнение будет иметь два решения, потому что оно имеет степень два.

Самый простой метод решения квадратичных вычислений — факторинг.Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется всякий раз, когда факторизация возможна.

Метод решения с помощью факторизации основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Другими словами, если произведение двух факторов равно нулю, то по крайней мере один из факторов равен нулю.

Мы не будем пытаться доказывать эту теорему, но внимательно отметим, что в ней говорится. Мы никогда не сможем перемножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю.Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Мы должны вычесть 6 с обеих сторон.

Шаг 2 Полностью разложите на множители.

Вспомните, как разложить на множители трехчлены.

Шаг 3 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x. Поскольку у нас есть (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Здесь применяется приведенная выше теорема, согласно которой хотя бы один из факторов должен иметь нулевое значение.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении. Если x = 6, то x 2 — 5x = 6 становится

Проверка ваших решений — верный способ узнать, правильно ли вы решили уравнение.

Следовательно, x = 6 — решение. Если x = — 1, то x 2 — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 — решение.

Решения могут быть обозначены либо записью x = 6 и x = — 1, либо использованием обозначения набора и записи {6, — 1}, что мы читаем «набор решений для x равен 6 и — 1». В этом тексте мы будем использовать обозначения набора.

В этом примере 6 и -1 называются элементами набора.

Обратите внимание, что в этом примере уравнение уже имеет стандартную форму.

Опять же, проверка решений убедит вас, что вы не допустили ошибки при решении уравнения.
также называют корнями уравнения.

(x + 1) — наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
Помните, что каждый член уравнения нужно умножить на (x + 1).

Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверьте исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю.

Обратите внимание, что здесь два решения равны.Это происходит только тогда, когда трехчлен является полным квадратом.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите неполное квадратное уравнение.
  2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если, когда уравнение помещено в стандартную форму ax 2 + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение будет неполным квадратичным .

Пример 1

5x 2 — 10 = 0 является неполным квадратичным, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы сталкиваетесь с неполной квадратичной с c — 0 (отсутствует третий член), ее все же можно решить с помощью факторизации.

x — общий множитель. Произведение двух факторов равно нулю. Поэтому мы используем теорему из предыдущего раздела.
Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете множить x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях нуль будет одним из решений.
Неполная квадратичная система с отсутствующим членом b должна быть решена другим методом, поскольку факторизация возможна только в особых случаях.

Пример 3 Решите относительно x, если x 2 — 12 = 0.

Решение Поскольку x 2 -12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Обратите внимание, что есть два значения, которые в квадрате будут равны A.

Используя эту теорему, имеем


Проверьте эти решения.

Добавьте 10 с каждой стороны. Проверьте эти решения.

Здесь 7x — общий множитель. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере у нас есть квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите трехчлен полного квадрата.
  2. Завершите третий член, чтобы получился полный квадрат трехчлена.
  3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта факторизации вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения квадратичных вычислений, которые не подлежат факторизации.Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «трехчлена полного квадрата». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем полный квадрат трехчлена. Общая форма: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Помните, возведение бинома в квадрат означает его умножение на само себя.

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена полного квадрата.

  1. Два из трех членов — полные квадраты. 4x 2 и 9 в первом примере, 25x 2 и 16 во втором примере, а также 2 и b 2 в общем виде.
    Другими словами, первый и третий члены — это полные квадраты.
  2. Другой член — это произведение квадратных корней из двух других членов, умноженное на два плюс или минус.

Термин -7 сразу говорит, что это не может быть трехчлен полного квадрата.Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, которое заменит -7 таким образом, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим эту задачу: заполните пробел так, чтобы «x 2 + 6x + _______» было трехчленом в виде полного квадрата. Из двух условий для трехчлена полного квадрата мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня x 2 и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и представляет собой квадратный корень из x 2 , то 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел.Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для бланка.

Следовательно, x 2 + 6x + 9 — это трехчлен полного квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x 2 + 6x — 7 = 0, завершив квадрат.

Напомним, что вместо -7, +9 сделает выражение идеальным квадратом.

Решение Сначала мы замечаем, что член -7 необходимо заменить, если мы хотим получить трехчлен в виде полного квадрата, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пустое поле для нужного числа.

Здесь будьте осторожны, чтобы не нарушить никаких правил алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма появилась в результате добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-то с одной стороны, не добавляя то же самое с другой стороны.

Теперь мы находим половину 6 = 3 и 3 2 = 9, чтобы получить число для пробела.Опять же, если мы поместим 9 в пустое поле, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Помните, что если 9 добавляется в левую часть уравнения, ее также необходимо добавлять в правую часть.

Теперь разложите на множители трехчлена полного квадрата, что дает

Теперь x 2 + 6x + 9 можно записать как (x + 3) 2 .

Таким образом, 1 и -7 являются решениями или корнями уравнения.

Пример 6 Решите 2x 2 + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема порождает еще одну трудность. Первый член, 2x 2 , не является полным квадратом.
Исправим это, разделив все члены уравнения на 2 и получим

Другими словами, получите коэффициент 1 для члена x 2 .

Теперь прибавляем 2 к обеим сторонам, получая


Опять же, это более лаконично.

Пример 7 Решите 3x 2 + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все члены на 3.

Опять же, получите коэффициент 1 для x 2 , разделив на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для члена, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте к обеим сторонам.

Это выглядит сложным, но мы следуем тем же правилам, что и раньше.

Шаг 4 Разложите квадрат на множители.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, поскольку мы знаем, что у нас есть полный квадратный трехчлен, что означает, что мы находим квадратные корни из первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут какие-либо трудности, вам следует еще раз повторить арифметику, связанную с сложением чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Решите относительно x (два значения).

нельзя упростить. Мы могли бы также записать решение этой проблемы в более сжатой форме как

Выполните шаги, описанные в предыдущем вычислении, а затем обратите особое внимание на последнее значение. Каков вывод, когда квадрат количества равен отрицательному числу? «Реального решения нет.«

Какое действительное число мы можем возвести в квадрат и получить -7?

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение путем заполнения квадрата, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент при x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и добавьте эту величину к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, уравнение не имеет реального решения.

Эти шаги помогут решить уравнения в следующем упражнении.

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
  2. Решите любое квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
  3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax 2 + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В некотором смысле ax 2 + bx + c = 0 представляет все квадратичные. Если вы сможете решить это уравнение, у вас будет решение всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом завершения квадрата.

Это необходимо для получения члена x 2 с коэффициентом 1.
Это мы проделывали в предыдущем разделе много раз.

Надо прибавить с каждой стороны.

Эта форма называется квадратной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Запомните это выражение.

Чтобы использовать формулу корней квадратного уравнения, вы должны указать a, b и c.Для этого данное уравнение всегда необходимо оформлять в стандартном виде.

Осторожно подставьте значения a, b и c в формулу.

Не каждое квадратное уравнение имеет реальное решение.

Это уравнение уже имеет стандартную форму.

Реального решения нет, так как -47 не имеет действительного квадратного корня.

Опять же, это уравнение в стандартной форме.

Теперь это решение следует упростить.

ПРОБЛЕМЫ СЛОВА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

  1. Определите текстовые задачи, для решения которых требуется квадратное уравнение.
  2. Решайте текстовые задачи, связанные с квадратными уравнениями.

Некоторые типы задач со словами можно решить с помощью квадратных уравнений. Процесс обрисовки и постановки проблемы такой же, как описано в главе 5, но с проблемами, решаемыми квадратичными методами, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой проблеме.Физические ограничения внутри проблемы могут устранить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше ширины более чем в два раза, а его площадь составляет 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина X Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

Если x представляет ширину, то 2x представляет удвоенную ширину, а 2x + 1 представляет единицу более чем удвоенную ширину.

Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
Эта квадратичная величина может быть решена путем факторизации.

На этом этапе вы можете видеть, что решение x = -11/2 недействительно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений. Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Измерение не может быть отрицательным.

Величина, обратная x.
Помните, что ЖК-дисплей означает наименьший общий знаменатель.
Каждый член необходимо умножить в 10 раз.
Опять же, эту квадратичную величину можно разложить на множители.

Оба решения проверяют. Следовательно, набор решений есть.

Есть два решения этой проблемы.

Пример 3 Если определенное целое число вычитается из его квадрата, умноженного на 6, получается 15.Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, проблема не имеет решения.

У вас может возникнуть соблазн дать эти значения в качестве решения, если вы не обратили пристальное внимание на тот факт, что проблема запрашивала целое число.

Пример 4 Управляющий фермой имеет под рукой 200-метровую ограду и хочет ограждать прямоугольное поле так, чтобы его площадь составляла 2400 квадратных метров.Какими должны быть размеры поля?

Решение Здесь задействованы две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, получаем

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, получив

Поле должно быть шириной 40 метров и длиной 60 метров.

Мы могли бы точно так же решить для l, получив l = 100 — w. Тогда

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
A = l w.

Как правило, система уравнений, в которой участвует квадратичная функция, будет решаться методом подстановки. (См. Главу 6.)

СВОДКА

Ключевые слова

  • Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение от одной неизвестной, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
  • Стандартная форма квадратного уравнения : ax 2 + bx + c = 0, когда a 0.
  • Неполное квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
  • Квадратичная формула равна

Процедуры

  • Самым прямым и, как правило, самым простым методом поиска решений квадратного уравнения является факторизация. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы приводим уравнение в стандартную форму, коэффициент и устанавливаем каждый коэффициент равным нулю.
  • Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, выполните следующие действия:
    Шаг 1 Если коэффициент при x 2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
    Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x 2 + bx + _____ = c + _____
    Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и прибавьте эту величину к обеим сторонам. уравнения.
    Шаг 4 Разложите квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
    Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
    Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
  • Метод завершения квадрата используется для вывода формулы корней квадратного уравнения.
  • Чтобы использовать квадратную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, укажите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения следует упростить.

Wolfram | Примеры альфа: пошаговые решения


Другие примеры

Арифметика

Посмотрите, как выполнять основную арифметику:

Проверьте свою работу с помощью пошаговой арифметики:

Выполните следующие действия, чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число:

Другие примеры


Другие примеры

Алгебра

Решайте уравнения поэтапно:

Факторные полиномы шаг за шагом:

Разложите многочлены с помощью FOIL, биномиальной теоремы и других методов:

Научитесь переписывать рациональную функцию, используя наше пошаговое разложение на частичную дробь:

Другие примеры


Другие примеры

Геометрия

Пошаговое вычисление свойств геометрических объектов:

Узнайте подробности некоторых геометрических вычислений:

Определите уравнение линии с определенными свойствами, используя выбранную форму:

Другие примеры


Другие примеры

Статистика

Выполните базовый статистический анализ набора данных, наблюдая за этапами на этом пути:

режим {1, 5, 4, 2, 3, 4, 5, 11, 4, 11, 20}

Другие примеры


Другие примеры

Исчисление

Найдите производную, используя правило продукта, правило цепочки и другие методы:

Вычислить интеграл подстановкой, интегрированием по частям и другими методами:

Узнайте, как установить лимит:

Найдите локальные и глобальные экстремумы с помощью различных тестов:

Другие примеры


Другие примеры

Дискретная математика

Найдите пошаговые решения для простой факторизации, проверки простоты, GCD и многого другого:

Следуйте инструкциям для преобразования между базами:

Другие примеры


Другие примеры

Линейная алгебра

Пошагово вычислить свойства матрицы:

Найдите определитель шаг за шагом различными методами:

Вычислите собственные значения и собственные векторы шаг за шагом:

Пошагово вычислите перекрестное произведение:

Другие примеры


Другие примеры

Доказательства

См. Шаги по подтверждению тригонометрической идентичности:

Докажите тождество суммы по индукции:

Докажите делимость по индукции:

Докажите неравенство по индукции:

Другие примеры


Другие примеры

Химия

Получите пошаговую процедуру рисования структур Льюиса молекул:

Следуйте инструкциям по преобразованию единиц измерения:

Узнайте, как сбалансировать химическую реакцию:

Вычислить степени окисления химических веществ:

Другие примеры


Физические формулы

Пошагово выполняйте физические расчеты:

Другие примеры

.

Медиана треугольника чему равна: Свойства медианы треугольника (ЕГЭ 2022)

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

      Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Рис.1

      Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

      На рисунке 1 медианой является отрезок BD.

      Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).

      Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Рис.2

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

      Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Рис.3

      Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Рис.4

      Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Рис.5

      Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,

      Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,

откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).

Рис.6

      Таким образом,

| FO | = | OD | ,       | GO | = | OE | .

      Следовательно,

| AF | = | FO | = | OD | ,       | CG | = | GO | = | OE | .

      Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении   2 : 1, считая от вершины треугольника.

      Доказательство завершено.

      Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении   2 : 1, считая от вершины A (рис.7).

Рис.7

      Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

      Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

      Утверждение 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Рис.8

      Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна  площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Рис. 9

      Тогда

      В силу утверждения 1,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:

Рис.10

      Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:

      Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой

      Доказательство. В силу утверждения 4 справедливы равенства:

      Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. В параллелограммепараллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Рис.11

      Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силу утверждения 4, справедливы равенства:

      Следовательно,

d12 = 2a2 + 2b2d22,

d22 = 2a2 + 2b2d12.

      Складывая эти равенства, получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).

Рис.12

      Доказательство. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).

Рис.13

      Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольникпрямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).

Рис.14

      Утверждение 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис. 15), то будет справедливо равенство

Рис.15

      Доказательство. По свойствам векторов

      Далее получаем

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

проведенной к основанию, боковым сторонам

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медиан, проведенных к основанию и боковым сторонам равнобедренного треугольника, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение медианы

Медианой называется отрезок в треугольнике, который соединяет вершину и середину противоположной стороны.

  • BD – медиана △ABC;
  • AD = DC.

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны (боковые), а третья сторона – это основание фигуры.

  • AB = BC – боковые стороны;
  • AC – основание.

Свойства медианы в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, одновременно является высотой, опущенной на основание, и биссектрисой угла, из которого она проведена.

  • BD – медиана и высота, опущенная на основание AC, а также биссектриса угла ABC.
  • ∠ABD = ∠CBD

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике медианы пресекаются в одной точке (центр тяжести) и делятся в этой точке в отношении 2:1.

  • O – центр тяжести или центроид треугольника;
  • AO = 2OF;
  • BO = 2OD;
  • CO = 2OE.

Свойство 3

Медиана делит равнобедренный треугольник на 2 равных по площади (равновеликих) треугольника. Следовательно, S1 = S2.

Свойство 4

Если провести три медианы в равнобедренном треугольнике, образуются 6 равновеликих треугольников (S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6).

Свойство 5

Длину медианы в равнобедренном треугольнике, проведенную к основанию, можно найти по следующей формуле:

  • a – основание;
  • b – боковая сторона.

Свойство 6

Данной свойство, в отличие от перечисленных выше, не относится к медиане, опущенной на основание фигуры. Оно гласит:

Медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

AF = CE, следовательно, AE = EB = BF = FC.

Пример задачи

Основание равнобедренного треугольника равняется 7 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину медианы, проведенной к основанию фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, представленной в Свойстве 5, подставив в нее известные нам по условиям задачи значения:

Microsoft Word — геометрия-1.doc

%PDF-1.6 % 955 0 obj > endobj 952 0 obj >stream 2009-08-03T12:57:02ZMicrosoft Word — геометрия-1. doc2009-08-12T12:51:21+04:002009-08-12T12:51:21+04:00application/pdf

  • Елена
  • Microsoft Word — геометрия-1.doc
  • doPDF Ver 6.1 Build 276 (Windows XP x32)uuid:d60141d8-4b2c-4d57-bdfd-e4ad6bbf2afbuuid:e17ab538-6e84-4259-9962-f18eb34ac9fa endstream endobj 956 0 obj >/Encoding>>>>> endobj 919 0 obj > endobj 920 0 obj > endobj 926 0 obj > endobj 932 0 obj > endobj 938 0 obj > endobj 944 0 obj > endobj 945 0 obj > endobj 946 0 obj > endobj 947 0 obj > endobj 948 0 obj > endobj 949 0 obj > endobj 950 0 obj > endobj 951 0 obj > endobj 706 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 709 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 711 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 713 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 715 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 717 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 719 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 721 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 723 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]>>/Type/Page>> endobj 725 0 obj >/ProcSet[/PDF/Text]/ExtGState>>>/QITE_pageid>/Type/Page>> endobj 1051 0 obj >stream HWM ϯ24z00M t-hIɲ-{fnǑCo>?/dNhͧNYpG79(NG_iiߦtoIxj

    Медиана — что это такое, свойства медианы треугольника

    Обновлено 18 января 2021
    1. Медиана — это. ..
    2. Пересечение медиан треугольника
    3. В равностороннем треугольнике
    4. Медиана прямоугольного треугольника
    5. Вместо заключения

    Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком понятии в математике, как МЕДИАНА.

    У этого слова несколько значений, и обо всех мы упомянем. Но в первую очередь нас интересует то, с которым знакомят школьников на уроках геометрии ближе к старшим классам.

    И в этом случае МЕДИАНА имеет непосредственное отношение к такой геометрической фигуре, как треугольник.

    Медиана — это…

    Медиана – это отрезок или часть прямой линии, которая проведена из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Точно так же называется и длина этого отрезка.

    Вот обратите внимание на этот простой, но очень наглядный рисунок. На нем изображен треугольник со сторонами АВ, АС и ВС, или как принято писать в математике — треугольник АВС.

    Точка М – это середина стороны ВС. И соответственно линия АМ, проведенная из вершины А до середины стороны ВС, и есть МЕДИАНА.

    Еще раз повторим! Медиана – понятие, которое имеет отношение только к треугольникам. У других похожие линии называются по-другому. Например, у прямоугольников и квадратов – это диагональ. А у окружности – это диаметр.

    Стоит отметить, что сам термин имеет латинский корень. И в переводе дословно означает «средний». А чтобы еще проще было запомнить, что такое медиана, есть прекрасный стишок:

    Есть в треугольнике обычном
    Отрезок очень непростой
    Соединяет он обычно с серединой стороны любой
    И каждый должен знать отлично,
    Зовется медианой он.

    Кстати, если внимательно прочитать это стихотворение, то в нем можно выделить ключевые слова – «с серединой стороны ЛЮБОЙ». То есть в нашем примере медиана может выходить не только из вершины А, но также из В и С. И делить пополам не только сторону ВС, но и АС и АВ соответственно.

    И из этого можно сделать логический вывод, что медиан у любого треугольника может быть несколько. А точнее, три!

    И выглядят они вот так.

    На этом рисунке мы отчетливо видим все три медианы. Они обозначаются отрезками CA, PL и KM.

    Пересечение медиан треугольника

    Точка О, в которой пересекаются все медианы треугольника, также имеет свое особое название. И даже несколько – центр тяжести, центроид, геометрический центр, барицентр, центр инерции. Ну а неформально эту точку называют точкой равновесия.

    Чтобы лучше понять, что это такое, представьте себе треугольник, вырезанный из бумаги или картона. Если вы на нем проведете все три медианы и найдете точку их пересечения, то подставив под нее палец, вы сможете удерживать ваш картонный треугольник в равновесии, не давая ему упасть.

    Важно! С точкой пересечения медиан связан один математический факт. Она делит каждую медиану на два отрезка, соотношение которых составляет 2 к 1, если считать от вершины.

    Если для примера взять указанный выше треугольник, то тогда это правило можно расписать следующим образом:

    1. Отрезок СО вдвое больше, чем отрезок АО;
    2. Отрезок РО вдвое больше, чем отрезок LO;
    3. Отрезок МО вдвое больше, чем КО.

    Это правило не требует доказательств. Но если хотите, можете провести в домашних условиях опыт и убедиться в правдивости расчетов.

    Медиана равностороннего треугольника

    Равносторонний треугольник сам по себе уникален, так как все его три стороны имеют одинаковую длину. Логично предположить, что и медиана в нем какая-то особенная?! Да, так оно и есть.

    Медиана в равностороннем треугольнике является одновременно и высотой, и биссектрисой.

    Если кто не знает, высотой в треугольнике называют отрезок, который опускается из вершины перпендикулярно, то есть под прямым углом к основанию. А биссектриса – это линия, которая выходит из вершины треугольника и делит ее угол ровно пополам.

    И наконец, еще одна «фишка» равностороннего треугольника. У него все три медианы равны по длине.

    Кстати, присмотритесь к рисунку. С помощью медиан в любом треугольнике образуются внутренние маленькие треугольники. Так вот, в равносторонней фигуре они равны между собой как по длине сторон, так и по площади.

    Медиана прямоугольного треугольника

    Прямоугольный треугольник, если кто забыл, это треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. И в такой фигуре медиана тоже обладает уникальными свойствами.

    Но речь идет только о той медиане, которая выходит из прямого угла. Так вот, ее длина равна половине длины гипотенузы. Так называют самую длинную сторону прямоугольного треугольника.

    Соответственно, при решении задач правдиво будет и обратное условие. Так, если указано, что отрезок СМ в нашем примере равен АВ/2, или равен отдельно АМ и ВМ, то можно смело делать вывод, что перед нами прямоугольный треугольник.

    Вместо заключения

    А теперь вернемся к тому, о чем мы говорили в самом начале статьи. Термин МЕДИАНА имеет несколько значений.

    Например, а в статистике медианой называют уровень показателей, который делит все данные на две равные половины.

    Слово «медиана» используется и в дорожном строительстве, обозначая середину асфальтного полотна. Правда, этот термин можно найти только в технических документациях, а в обычной жизни мы говорим просто «разделительная полоса».

    И наконец, в Сербии есть археологический памятник, который называется Медиана. Так назвалась древнеримская вилла, руины которой находятся в городе Неш. Она уникальна тем, что была построена при императоре Константине в 300 году и была его резиденцией, в которой он принимал почетных гостей.

    Вот и все, что мы хотели рассказать о МЕДИАНЕ. До новых встреч на страницах нашего блога.

    Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

    Урок 12. медианы треугольника. биссектрисы треугольника. высоты треугольника — Геометрия — 7 класс

    Геометрия

    7 класс

    Урок № 12

    Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника

    Перечень рассматриваемых вопросов:

    • Понятие медианы, биссектрисы, высоты треугольника.
    • Построение медианы, высоты, биссектрисы.
    • Точки пересечения медианы, высоты и биссектрисы в треугольнике.
    • Создание представления о замечательных точках в треугольнике.

    Тезаурус:

    Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

    Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

    Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

    Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

    Основная литература:

    1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

    Дополнительная литература:

    1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
    2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
    3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
    4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
    5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения.

    Вы уже знакомы с такими понятиями как треугольник, угол, биссектриса угла.

    Разберем, как построить биссектрису треугольника, а также узнаем, что такое медиана и высота треугольника.

    Начнём с понятия биссектриса угла треугольника. Это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. AF – биссектриса ∠A треугольника ABC.

    AA1, BB1, CC1 биссектрисы ∆АВС

    В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

    Введём понятие медианы треугольника.

    Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

    BM – медиана треугольника ABC.

    AA1, BB1, CC1– медианы ∆АВС.

    В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке.

    Введём понятие высоты треугольника.

    Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

    AH – высота треугольника ABC.

    AH1, BH2, CH3– высоты ∆АВС.

    В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

    Итак, сегодня мы узнали, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника, и научились их изображать с помощью чертёжных инструментов.

    Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие «медиана треугольника».

    На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AD – медиана ∆ABC продолжена за сторону BC, так что AD = DE.

    Докажем, что треугольники ABD и CED равны.

    Дано:

    АD – медиана ∆ABC.

    AD = DE.

    Доказать:

    ∆ABD = ∆CED.

    Доказательство:

    По условию в треугольниках ABD и CED: сторона AD равна стороне DE. Т. к. АD – медиана ∆ABC, то, по определению медианы, BD = DC.

    ∠ADB = ∠CDE (по свойству вертикальных углов).

    Следовательно, ∆ABD = ∆CED (по первому признаку равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

    Что и требовалось доказать.

    Разбор решения заданий тренировочного модуля.

    Задача 1.

    В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BM, которые пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника ABO, если ∠BAC = 50°, ∠ABC = 80°, а сумма углов треугольника ABO равна 180°.

    Решение:

    1.Нарисуем рисунок по условию задачи.

    2.По условию AD и BM – биссектрисы ∆ABC.

    ∠BAC = 50°, ∠BAC = 2∠BAO =50° → ∠BAO = 25°

    ∠ABC = 80°, ∠ABC= 2∠ABO = 80°→∠ABO = 40°

    3.Т. к. сумма углов треугольника ABO равна 180°, то ∠ABO + ∠BAO + ∠AOB = 180°.

    4.25° + 40° + ∠AOB = 180°.

    5.∠AOB = 180° – (25° + 40°) = 115°.

    Ответ: ∠BAO = 25°, ∠ABO = 40°, ∠AOB = 115°.

    Задача 2.

    В треугольнике COD: ∠O = 90°. Найдите ∠МОВ, если ОА – биссектриса угла ∠СОM, при этом ∠COА = 20°, а ВО– биссектриса ∠МОD.

    Решение:

    1.По условию ∠СОD = 90°.

    Кроме того, ОА – биссектриса угла ∠СОM → ∠МОА = ∠СОА = 20°.

    2.ВО – биссектриса ∠МОD→∠ВОD = ∠МОВ.

    3. ∠СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 20° + 20° + 2∠МОВ = 40° + 2∠МОВ = 90°.

    4. 40° + 2∠МОВ = 90°.

    ∠МОВ = (90° – 40°):2 = 25°.

    Ответ: ∠МОВ = 25°.

    Задачи по школьной математике. Высота, медиана и биссектриса треугольника

    Высота, медиана и биссектриса треугольника

    1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 6,5. Найдите катеты треугольника, если сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 18.
    2. В треугольнике стороны равны 4, 6 и 8. Найдите длину медианы, проведенной к большей стороне.
    3. Биссектриса прямоугольного треугольника делит катет на отрезки, равные 25 и 24. Найдите гипотенузу треугольника.
    4. В прямоугольном треугольнике с катетами, равными 18 и 24, из вершины большего острого угла проведена биссектриса. Найдите проекцию биссектрисы на больший катет.
    5. В равнобедренном треугольнике основание равно 1, а высота, опущенная на основание, равна . Найдите расстояние от середины основания до боковой стороны.
    6. В равнобедренном треугольнике основание равно 4, медианы боковых сторон взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.
    7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медиана AD перпендикулярна биссектрисе СЕ. Найдите косинус угла АСВ.
    8. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
    9. Найдите отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон.
    10. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, равная 3. Найдите сторону АС, если известно, что угол ABD прямой.
    11. В треугольнике стороны равны 3, 5 и 6. Найдите биссектрису наименьшего угла треугольника.
    12. В треугольнике ABC известно, что АВ = 3, АС = 5 и угол ВАС равен 120о. Найдите биссектрису BD.
    13. Биссектриса угла В треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите AB, если AD = 12, DC = 27 и BD = 24.
    14. Дан треугольник ABC, в котором AC = 5, AB = 6, BC = 7. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Определите площадь треугольника ADC.
    15. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD и AE. Найдите отношение площадей треугольников BDE и ABC, если AB = 5, BC = 8 и AC = 7.
    16. В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от прямой, содержащей одну из сторон, на 1,5. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 16.
    17. В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса ВЕ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если AD перпендикулярно ВЕ и площадь треугольника АОЕ равна 2.
    18. В треугольнике АВС проведена высота АН. Прямые, одна из которых содержит медиану ВК, а вторая — биссектрису ВЕ, делят высоту на три равных отрезка. Найдите АС, если АВ равно 4.
    19. Даны стороны треугольника ВС = 15, АС = 14 и АВ = 13. Найдите площадь треугольника, ограниченного высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.
    20. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
    21. На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  AB2 — AC2 = MB2 — MC2.

     

    Метки задачи, треугольник. Смотреть запись.

    Медианы треугольника и задачи на площадь | Шевкин.Ru

    Поводом для заметки послужила следующая задача, встреченная в Интернете.

    1. Какую часть площади прямоугольника ABCD составляет сумма площадей закрашенных треугольников, если M и N — середины сторон AB и AD соответственно?

    Эту задачу мы решим чуть позже для общего случая — для параллелограмма. А пока повторим основные факты, которые потребуются в решении.

    Свойство медиан треугольника

    1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

    Этот факт доказан в одном учебнике для 8 класса с помощью теоремы Фалеса, в другом с помощью подобия треугольников. Оба раза сначала доказывают, что две медианы делятся точкой их пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, а потом, что третья медиана проходит через точку пересечения двух первых медиан.

    Свойства площади треугольника

    2) Медиана треугольника делит его площадь пополам.

    3) Прямая, выходящая из вершины треугольника и делящая его сторону в отношении
    m : n, делит его площадь в том же отношении.

    Поупражняемся в применении приведённых свойств.

    2. Докажите свойство медиан треугольника, используя свойства площади.

    Пусть медианы CE и BD треугольника ABC пересекаются в точке M, а луч AM пересекает сторону BC в точке F.

    Из свойства 2) следует, что площади треугольников AEM и BEM равны — обозначим их c. Аналогично площади треугольников ADM и CDM равны — обозначим их b. Из того же свойства площади следует, что площади треугольников ABD и ACE равны — они составляют половину площади S треугольника ABC. Тогда из равенства b + 2c = 2b + c следует, что b = c = S/6.

    Из утверждения, обратного свойству 3) (оно доказывается от противного), следует, что BM : MD = CM : ME = 2c : c = 2 : 1. То есть две медианы делятся точкой их пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины.

    Медиана CE делит медиану BD в отношении 2 : 1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что медиана, проведённая из вершины A, делит медиану BD в отношении
    2 : 1, считая от вершины, то есть эта медиана проходит через точку F, а значит, совпадает с отрезком AF. Так же доказывается, что медиана CE делит медиану AF в отношении 2 : 1, считая от вершины, что и требовалось доказать.

    3. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет сумма площадей закрашенных треугольников, если M и N — середины сторон AB иAD соответственно?

    Пусть O — точка пересечения параллелограмма. Так как F — точка пересечения медиан треугольника ABC, то площади треугольников MBF и OFC равны — они составляют 1/6 площади треугольников ABC и 1/12 площади параллелограммаABCD. Аналогично площади треугольников NED и OEC равны и составляют 1/12 площади параллелограммаABCD. Тогда сумма площадей закрашенных фигур равна 4/12 = 1/3 площади параллелограммаABCD.  

    Ответ. 1/3.

    4. Какую часть площади закрашенной фигуры составляет площадь параллелограмма ABCD, если M и N — середины сторон AB иAD соответственно?

    Медиана треугольника — Определения, Свойства, Уравнение, Формула, Примеры

    В геометрии медиана треугольника относится к отрезку линии, соединяющему вершину треугольника с серединой противоположной стороны, таким образом разделяя эту сторону пополам. Для любого треугольника есть ровно три медианы, по одной от каждой вершины. Они пересекаются друг с другом в центре тяжести треугольника.

    Медиана теоремы о треугольнике

    Медиана теоремы о треугольнике утверждает, что медианы треугольника пересекаются в точке, называемой центроидом треугольника, которая составляет две трети расстояния от вершин до середины противоположных сторон.Центроид треугольника — это точка пересечения всех трех медиан этого треугольника с тем фактом, что треугольник имеет ровно три медианы.

    Высота треугольника определяется как отрезок прямой, соединяющий вершину с противоположной стороной треугольника под прямым углом. Все треугольники имеют 3 высоты (по одной от каждой вершины) и встречаются в одной точке треугольника. Три высоты встречаются в точке, которая может лежать внутри или вне треугольника, известной как ортоцентр треугольника.{2}} {4}} \)

    a, b и c = три стороны треугольника.

    Медиана треугольника

    Для треугольника, координаты трех вершин которого даны, мы можем выполнить шаги, указанные ниже, чтобы найти медиану данного треугольника.

    • Шаг 1: Найдите координаты вершин треугольника.
    • Шаг 2: Найдите координаты средних точек отрезков.
    • Шаг 3: Присоедините вершину к середине противоположной стороны треугольника.Вы получите медианы.
    • Шаг 4: Найдите уравнение медианы треугольника, используя формулу, использованную для нахождения уравнения прямой линии (двухточечная форма). Здесь уравнение медианы AD треугольника ABC = \ (\ left (\ mathbf {y} — \ mathbf {y} _ {1} \ right) = \ left (\ frac {\ mathrm {y} _ {2} — \ mathrm {y} _ {1}} {\ mathrm {x} _ {2} — \ mathrm {x} _ {1}} \ right) _ {\ mathrm {AD}} \ left (\ mathrm {x } — \ mathrm {x} _ {1} \ right) \)

    Следовательно, уравнения медиан треугольника ABC будут: (y − y1) = (y2 − y1 / x2 − x1) (x − x1)

    • н.э .: 7x + 12 = 4 года
    • Аналогично BF: x + 2y = 12
    • и CE: x + 36 = 7y

    Важные примечания

    • Каждая медиана делит треугольник на два меньших треугольника одинаковой площади
    • Центроид (точка, где они встречаются) — это центр тяжести треугольника
    • Сумма медиан треугольника: сумма квадратов медиан треугольника равна трем четвертям суммы квадратов сторон треугольника.
    • Периметр треугольника больше суммы трех его медиан.
    • Соответствующие стороны, периметры, медианы и высоты будут иметь одинаковое соотношение для двух одинаковых треугольников.
    • Середина сегмента делит его на два конгруэнтных сегмента, а середина треугольника делит его на два конгруэнтных треугольника.
    • Также, если два треугольника совпадают. Медианы конгруэнтных треугольников равны, поскольку соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.

    Мыслить нестандартно!

    Скульптура планирует создать новую скульптуру, состоящую из треугольника, сбалансированного на другом треугольнике. Какая точка может быть точкой баланса? Поможет ли поиск центроида?

    Статьи, относящиеся к медиане треугольника

    Часто задаваемые вопросы о медиане треугольника

    Делит ли медиана треугольника на два конгруэнтных треугольника?

    Для данного треугольника его медиана дополнительно делит треугольник на два конгруэнтных треугольника, а затем медиана становится общей стороной обоих треугольников.

    В чем разница между высотой и средним углом треугольника?

    Медиана треугольника — это отрезок прямой, который соединяет вершину со средней точкой противоположной стороны, разделяя ее на два равных треугольника. Высота треугольника — это отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной так, что отрезок перпендикулярен противоположной стороне. Это высота треугольника.

    Каковы свойства медианы треугольника?

    Медиана треугольника — это отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой его противоположной стороны.Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам, разделяя ее на две равные половины, и делит пополам угол, из которого он возникает, на два угла равной меры.

    Всегда ли медиана 90 градусов?

    Нет, Медиана не всегда образует прямой угол со стороной, на которую она падает. Только в случае равностороннего или равнобедренного треугольника одна медиана приходится на неравную сторону равнобедренного треугольника.

    В чем разница между медианой и биссектрисой?

    Медиана треугольника относится к линейному сегменту, соединяющему вершину со средней точкой противоположной стороны, тогда как биссектриса упоминается как линейный сегмент, который проходит через среднюю точку сегмента, который также перпендикулярен сегмент.{2}} {4}} \) где,

    • a, b, c — стороны треугольника
    • ма — длина медианы от вершины A.

    Как найти уравнение медианы треугольника?

    Чтобы найти уравнение медианы треугольника, мы можем использовать формулу, уравнение двухточечной формы прямой линии, соединяющей вершину и середину противоположной вершины, мы получаем \ (\ left (\ mathbf {y} — \ mathbf {y} _ {1} \ right) = \ left (\ frac {\ mathrm {y} _ {2} — \ mathrm {y} _ {1}} {\ mathrm {x} _ {2} — \ mathrm {x} _ {1}} \ right) _ {\ mathrm {AD}} \ left (\ mathrm {x} — \ mathrm {x} _ {1} \ right) \)

    Медиана треугольника: определение и основные свойства

    Вычисление медианы треугольника — одна из фундаментальных задач геометрии.В этом руководстве вы узнаете, что такое медиана, как ее вычислять и как решать проблемы, связанные с ней.

    Если вы изучаете геометрию для подготовки к SAT, этот курс по математике SAT — хорошее место для начала.

    Различные типы треугольников

    Прежде чем мы сможем определить медиану треугольника, мы должны сначала узнать о различных типах треугольников. Это пригодится, когда мы будем работать с медианами.

    В зависимости от количества равных сторон треугольники могут быть классифицированы как:

    • Scalene: Треугольник без равных сторон или углов, т.е.е. все три стороны треугольника разные. В приведенном ниже треугольнике ABC все три стороны имеют разную длину.
    • Равнобедренный: Треугольник с двумя равными сторонами. В приведенном ниже треугольнике ABC стороны AB и AC равны.
    • Равносторонний: Треугольник, все стороны которого равны. В треугольнике ABC, показанном ниже, стороны AB = BC = CA.

    Помните, что если стороны треугольника равны, равны и углы, противоположные сторонам.Например, в равностороннем треугольнике ABC, показанном выше, поскольку AB = BC = CA, ACB = ∠BAC = ∠ABC.

    Теперь мы можем узнать больше о медианах в треугольнике.

    Что такое медиана треугольника?

    Медиана треугольника — это отрезок прямой, соединяющий любую вершину треугольника с серединой его противоположной стороны. На рисунке, показанном ниже, медиана из точки A пересекает середину противоположной стороны, BC, в точке D.

    Следовательно, AD является медианой ∆ABC и делит сторону BC на две половины, где BD = BC.

    Готовы глубже погрузиться в сложные геометрические концепции? Этот курс продвинутых математических навыков поможет дать толчок вашему математическому образованию!

    Свойства медианы треугольника

    Медиана имеет некоторые специфические характеристики, например:

    1. В равнобедренном и равностороннем треугольниках медиана делит пополам угол в вершине, две смежные стороны которой равны.

    Медиана не только делит пополам сторону, противоположную вершине, но также делит пополам угол при вершине в случае равностороннего и равнобедренного треугольников, при условии, что смежные стороны также равны (что всегда верно в случае равносторонних треугольников).В равностороннем треугольнике ABC, показанном ниже, медиана AD делит BAC пополам, так что ∠BAD = ∠CAD.

    2. Треугольник может иметь только три медианы, каждая из которых пересекается в точке, называемой «центроидом».

    Поскольку треугольник имеет три вершины, значит, у него может быть только три медианы. Интересно, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом . Не имеет значения, какой формы или размера треугольник, медианы всегда будут пересекаться в центроиде.

    В ∆ABC, показанном ниже, медианы AD, BE и CF пересекаются в точке G, которая образует центроид.

    3. Медиана делит площадь треугольника пополам.

    В любом треугольнике ABC медиана AD делит треугольник на два треугольника равной площади.

    Здесь общая площадь ∆ADB = площадь ∆ADC.

    4. Центроид делит длину каждой медианы в соотношении 2: 1.

    Длина части между вершиной и центроидом в два раза больше длины между центроидом и средней точкой противоположной стороны.

    Например, в треугольнике, показанном ниже, длина AG в два раза больше длины GD, а длина BG в два раза больше длины GE.

    5. Центроид делит треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

    Это еще одно очень интересное свойство центроида. Как видно на рисунке выше, центр тяжести в основном делит треугольник на шесть меньших треугольников, а именно на треугольники AGE, CEG, CGD, DGB, CGF и FGA.

    Интересно, что все эти треугольники равны по площади.Таким образом, центроид не только делит медианы в соотношении 2: 1, но также делит треугольник на шесть равных по площади треугольников.

    6. Медианы равностороннего треугольника всегда равны.

    Поскольку длины всех сторон в равностороннем треугольнике равны, отсюда следует, что длина медиан, разделяющих эти стороны пополам, также равна.

    Таким образом, в равностороннем треугольнике ABC, где AD, BE и CF — медианы, происходящие из A, B и C соответственно, мы имеем:

    AD = BE = CF

    Подготовка к GMAT, но геометрия кажется вам слишком сложной? Тогда ознакомьтесь с этими курсами по математике для GMAT.

    7. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные из вершин с равными углами, имеют одинаковую длину.

    Из вышесказанного следует, что длины медиан, исходящих из вершин с равными углами, должны быть равны.

    Таким образом, в равнобедренном треугольнике ABC, где AB = AC, медианы BE и CF, исходящие из B и C соответственно, равны по длине.

    8. В разностороннем треугольнике все медианы разной длины.

    Основываясь на двух вышеупомянутых свойствах, мы можем легко сделать вывод, что, поскольку в разностороннем треугольнике все стороны неравны по длине, медианы также должны быть неравными.Таким образом, независимо от формы разностороннего треугольника все его медианы будут иметь разную длину.

    9. Длину медианы можно вычислить с помощью теоремы Аполлония.

    Названная в честь греческого астронома Аполлония Пергского, теорема Аполлония используется для вычисления длины медианы треугольника при условии, что нам известны длины его сторон.

    Здесь в треугольнике ABC:

    • a = Длина стороны, противоположной вершине A.
    • b = Длина стороны, противоположной вершине B.
    • c = длина противоположной стороны вершины C.
    • м a = длина медианы, исходящей из вершины A.
    • mb = длина медианы от вершины B.
    • mc = длина медианы от вершины C.

    Это можно проиллюстрировать следующим образом:

    Например, если у нас есть треугольник со следующими размерами сторон:

    Здесь длина медианы м a может быть рассчитана как:

    √ [2 (42) + 2 (62) — 82] / 4

    = √40 / 4

    = √10

    = 3.162

    На этом мы завершаем наше руководство по медианам треугольника. Мы узнали ряд интересных свойств медиан, в том числе то, как они делят треугольник на две равные половины, пересекаются в центроиде и делят пополам противоположную сторону. Чтобы изучить более сложные концепции геометрии, попробуйте свои силы на этих курсах по геометрии.

    Последнее обновление страницы: июль 2021 г.

    Медиана треугольника — определение математического слова

    Медиана треугольника — определение математического слова — Math Open Reference Медиана треугольника — это отрезок присоединение к вершина до середины противоположной стороны.
    Следовательно, у треугольника три медианы. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину чтобы изменить форму треугольника. Обратите внимание, что все три медианы встречаются в одной точке.

    Медиана треугольника — это отрезок от вершины треугольника к середина стороны, противоположной этой вершине. Поскольку существует три вершины, конечно, возможны три возможных медианы. Один из увлекательных в них есть то, что независимо от формы треугольника, все три всегда пересекаются в единственная точка.Эта точка называется центром тяжести треугольника.

    Недвижимость

    Медианы треугольника обладают некоторыми удивительными свойствами:
    1. Тот факт, что три медианы всегда встречаются в одной точке, интересен сам по себе
    2. Каждая медиана делит треугольник на два меньших треугольника , которые имеют одинаковую площадь
    3. Центроид (точка, где они встречаются) — это центр тяжести треугольника
    4. Три медианы делят треугольник на 6 меньших треугольников одинаковой площади, даже если они могут иметь разную форму.

    Отрегулируйте треугольник выше, перетащив любую вершину. Убедите себя, что три медианы (серые линии) всегда пересекаются в одной точке. Вы также можете визуально оценить, что приведенные выше факты о местности соответствуют действительности.

    Попробуйте это

    1. Сделайте из картона любой треугольник шириной около 12–24 дюймов. Сделайте его как можно более кривым и неправильным.
    2. Нарисуйте медиану на картонном треугольнике. Подойдет любой.
    3. В точке, где медиана пересекает сторону треугольника, проделайте небольшое отверстие рядом с краем.Обвяжите его веревкой.
    4. Когда вы держите треугольник за веревку, средняя линия должна быть вертикальной — точно на одной линии с веревкой (см. Рисунок ниже).
    5. Почему?

    Другие темы треугольника

    Общие

    Периметр / Площадь

    Типы треугольников

    Центры треугольника

    Соответствие и сходство

    Решение треугольников

    Тесты и упражнения «Треугольник»

    (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
    Все права защищены.

    Медиана прямоугольного треугольника до гипотенузы

    На сегодняшнем уроке геометрии мы докажем, что в прямоугольном треугольнике медиана гипотенузы равна половине гипотенузы.

    Медиана треугольника — это линия, проведенная от одной из вершин до середины противоположной стороны. В случае прямоугольного треугольника медиана гипотенузы обладает тем свойством, что ее длина равна половине длины гипотенузы.

    Задача

    В прямоугольном треугольнике ΔABC отрезок CD является медианой гипотенузы AB. Покажите, что AD = DC; BD = DC

    Стратегия

    Поскольку нам нужно показать, что пара отрезков линии равны (AD = DC; BD = DC), мы будем использовать инструмент, который мы будем использовать, это конгруэнтность треугольников.

    Может возникнуть соблазн попробовать использовать существующие треугольники, созданные с помощью медианы (ΔACD, ΔDCB), но беглый взгляд на рисунок показывает, что это не может быть правильным. И хотя никогда не стоит полагаться на рисунок, чтобы делать выводы, мы можем вообразить прямоугольный треугольник, который выглядит так:

    , в котором два треугольника не могут совпадать.

    Таким образом, нам нужно будет построить новые треугольники, в которых отрезки, которые мы хотим доказать, равны и являются соответствующими сторонами.

    Построим такие треугольники, соединив точку D (середину гипотенузы) со средней точкой CB. Это будет иметь преимущество создания двух треугольников, в которых сегменты, которые мы хотим доказать, равны, это соответствующие стороны и , имеющие две стороны, которые, как мы знаем, равны (CE и EB, поскольку E является средней точкой).

    Итак, D — это середина гипотенузы, а E — середина катета CB, поэтому DE — это средний сегмент, и, используя теорему треугольника о среднем сегменте, мы знаем DE || AC.Отсюда мы знаем ∠DEB ≅ ACE (как соответствующие углы), и оба они являются прямыми углами. Таким образом, m∠DEC = 90 °, так как он образует линейную пару с ∠DEB.

    И теперь мы можем доказать, что треугольники ΔDCE и ΔDBE конгруэнтны, используя постулат Side-Angle-Side, в результате чего CD = DB как соответствующие стороны, как нам и нужно показать.

    В результате мы также видим, что медиана гипотенузы создает два равнобедренных треугольника, ΔDCB и ΔDAC, где DA = DC = DB.

    Доказательство

    (1) AD = DB // задано, CD — это медиана гипотенузы
    (2) CE = EB // конструкция
    (3) DE — средний сегмент // (1), (2), Определение среднего сегмента
    (4) DE || AC // Теорема треугольника среднего сегмента
    (5) ∠DEB ≅ ∠ACE // соответствующие углы в двух параллельных прямых, пересекаемых поперечной линией (CE)
    (6) m∠ACE = 90 ° // задано, ΔABC — прямоугольный треугольник
    (7) m∠DEB = 90 ° // (5), (6), определение конгруэнтных углов
    (8) m∠DEC = 180 ° — 90 ° = 90 ° // линейная пара
    (9) ∠DEB ≅ ∠DEC // (7), (8), определение конгруэнтных углов
    (10) DE = DE // общая сторона, рефлексивное свойство равенства
    (11) ΔDCE ≅ ΔDBE // (2), (9), (10) Боковой угол-боковой постулат
    (12) CD = DB // Соответствующие стороны в конгруэнтных треугольниках (CPCTC)
    (13) DB = ½AB // Дано, CD есть медиана гипотенузы
    (14) CD = ½AB // (12), (13), подстановка

    Другой способ доказать это

    Одна из забавных вещей о Эти проблемы с доказательством состоят в том, что часто существует несколько способов подойти и доказать теорему.И действительно, один из моих постоянных читателей прислал мне следующее решение, которое довольно элегантно и совсем не полагается на теорему о промежуточном сегменте. Вместо этого он использует построение угла и некоторую простую математику углов, чтобы показать, что медиана создает два равнобедренных треугольника.

    В прямоугольном треугольнике ΔABC построим линию CD, которая разделяет прямой угол ∠ACB на 2 угла, ∠ACD и ∠DCB, так что ∠DCB≅∠DBC, и назовем этот угол α. Поскольку мы построили ∠DCB≅∠DBC, по обратной теореме об основных углах ΔDCB равнобедренный и | DC | = | DB |.

    Теперь займемся математикой углов. Если ∠DBC = α и m∠ACB = 90 °, то по сумме углов в теореме треугольника m∠BAC = 90 ° -α. А поскольку m∠ACB = 90 ° и мы построили ∠DCB≅∠DBC = α, то m∠ACD = 90 ° -α. Таким образом, m∠ACD = m∠BAC = 90 ° -α, и ΔDCB также является равнобедренным треугольником и | DC | = | DA |. Используя транзитивное свойство равенства, если | DC | = | DB | и | DC | = | DA |, то | DB | = | DA |.

    Но если | DB | = | DA |, то по определению CD является медианой гипотенузы. И | CD | он равен половине | AB | это одна из равных ног в обоих созданных нами равнобедренных треугольниках!

    Красиво и просто — спасибо, Бен!

    Обратная теорема

    Теперь, когда мы доказали, что в прямоугольном треугольнике медиана гипотенузы равна половине гипотенузы, давайте докажем обратную теорему: если медиана стороны равна половине этой стороны, то треугольник — прямоугольный треугольник.Как всегда в случае с обратными теоремами, мы будем использовать стратегию, очень похожую на ту, что использовалась при доказательстве теоремы, меняя то, что дано, и то, что необходимо для доказательства.

    Если медиана стороны равна половине стороны, то CD = DB = DA. Мы проведем перпендикулярную линию от D к основанию BC. Теперь у нас m∠DEB = m∠DEC = 90 °, поскольку мы построили DE перпендикулярно BC, а ∠DEB и ECDEC — линейная пара. DE = DE как общая сторона, поэтому треугольники ΔDCE и ΔDBE конгруэнтны с использованием постулата гипотенуза-катет, в результате чего CE = EB как соответствующие стороны.

    Но если CE = EB и DB = DA, то DE по определению является средним сегментом в треугольнике ΔABC. И сформируем теорему о среднем сегменте треугольника DE || AC. Тогда ∠DEB ≅ ∠ACE как соответствующие углы на двух параллельных прямых, пересекаемых поперечной линией (CE). И поскольку m∠DEB = 90 °, m∠ACB = 90 °, а треугольник ΔABC является прямоугольным.

    Медиана треугольника — математический путь

    Медиана треугольника — это отрезок прямой, соединяющий одну из его вершин с центром противоположной стороны.

    В каждом треугольнике есть три медианы (m a , m b и m c ), по одной от каждой вершины. Длины медиан могут быть получены из теоремы Аполлония как:

    Где a , b и c — стороны треугольника с соответствующими медианами m a , m b и m c от их середин.

    Три медианы треугольника всегда совпадают. Точка пересечения медиан — это центр масс или центр тяжести ( G ).

    В любой медиане треугольника расстояние между центром тяжести (или центроидом) G и центром его соответствующей стороны составляет одну треть (1/3) длины этой медианы, т. Е. Центроида. составляет две трети (2/3) расстояния от каждой вершины до середины противоположной стороны.

    Каждая медиана делит треугольник на два равных по площади.

    Действительно, два треугольника Δ ABP и Δ PBC имеют одинаковое основание. AP = PC , по тому же определению медианы и той же высоте h относится к этой линии двух оснований от вершины B .

    В физике центр тяжести или центроид ( G ) будет центром тяжести треугольника.

    Загрузите этот калькулятор , чтобы получить результаты формул на этой странице. Выберите исходные данные и введите их в верхнем левом поле. Для получения результатов нажмите ENTER.

    Общий треугольник.rar или Triangle-total.exe

    Примечание. Предоставлено автором: Хосе Мария Пареха Маркано . Химик. Севилья, испания.

    Теорема Аполлония

    Верно, что сумма квадратов двух сторон треугольника равна сумме половины квадрата третьей стороны и удвоенного квадрата медианы, соответствующей этой третьей стороне.

    Теперь в треугольнике Δ ABC имеем:

    Где a , b и c — опоры, а m b — медиана, соответствующая стороне b .

    Упражнение

    Найдите длину медианы треугольника Δ ABC , если длина сторон равна a = 2 см, b = 4 см и c = 3 см.

    Используя уравнение теоремы Аполлония, мы можем найти длину всех трех медиан:

    Таким образом, медианы равны м a = 3,39 см , м b = 1,58 см и м c = 2.78 см .

    Центроид треугольника (или центра тяжести треугольника ) G — это точка, где встречаются три медианы треугольника.

    Медианы треугольника — это отрезки линии, полученные путем соединения одной вершины с серединой противоположной стороны. Поскольку каждый треугольник имеет три стороны и три угла, он имеет три медианы (m a , m b и m c ).

    Теорема о центроиде : расстояние между центроидом и соответствующей ему вершиной в два раза больше расстояния между центром тяжести и средней точкой противоположной стороны.То есть расстояние от центроида до каждой вершины составляет 2/3 длины каждой медианы. Это верно для любого треугольника.

    Центроид всегда находится внутри треугольника.

    Связь между средней и стороной треугольника

    Математическое слово «медиана» имеет разные значения. В статистике это значение, лежащее в центре набора данных. Итак, для набора данных {3, 5, 7, 9, 11} 7 — это медиана. В геометрии медиана — это отрезок прямой от угла треугольника до середины противоположной стороны треугольника.Медиана может быть перпендикулярна стороне треугольника, а может и не быть. Пересечение трех медиан называется центроидом.

    В случае некоторых треугольников, таких как равносторонний треугольник, медиана и высота совпадают.

    У треугольника 3 медианы. Медиана также может быть определена как линия от середины стороны до противоположного внутреннего угла треугольника. Медианы совпадают в центроиде. Точка, которая является общей для всех трех медиан на их пересечении, называется точкой параллелизма, центроидом треугольника.

    Например, если существует треугольник ABC, отрезок от A пересекает середину противоположной стороны BC в точке D. Следовательно, AD является медианой ∆ABC и делит сторону BC пополам на две части. половинки, где BD = BC.

    Соотношение между медианой и сторонами треугольника таково, что «3-кратная сумма квадратов длины сторон = 4-кратная сумма квадратов медианы треугольника».

    3 (AB2 + BC2 + CA2) = 4 (AD2 + BE2 + CF2)

    Свойства медианы треугольника

    Медиана имеет некоторые уникальные свойства, и эти свойства обсуждаются ниже.

    1. В равнобедренном и равностороннем треугольниках медиана, проведенная из вершины, делит пополам угол, две смежные стороны которого равны.

    Медиана не только делит пополам сторону, противоположную вершине, но также делит пополам угол при вершине в случае равностороннего и равнобедренного треугольников. В равностороннем треугольнике ABC, показанном ниже, медиана AD делит пополам BAC, так что ∠BAD = ∠CAD.

    [Изображение будет добавлено в ближайшее время]

    2. Треугольник может иметь только три медианы, которые пересекаются в точке, называемой «центроид».

    Треугольник имеет три вершины, поэтому он может иметь только три медианы. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом. Форма или размер треугольника не имеет значения, и медианы всегда будут пересекаться в центроиде.

    В ∆ABC медианы AD, BE и CF пересекаются в точке G, которая называется центроидом треугольника.

    [Изображение будет добавлено в ближайшее время]

    3. Медиана делит площадь треугольника на две равные половины.

    В треугольнике ABC медиана AD делит треугольник на два равных треугольника с равными площадями.

    Площадь ∆ADB = Площадь ∆ADC.

    [Изображение будет добавлено в ближайшее время]

    4. Центроид делит длину каждой медианы в соотношении 2: 1.

    Длина части между вершиной и центроидом в два раза больше длины между центроидом и серединой противоположной стороны.

    Например, в треугольнике, показанном ниже, длина AG в два раза больше длины GD, а длина CG в два раза больше длины GF.

    [Изображение будет добавлено в ближайшее время]

    5.Центроид делит треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

    На рисунке выше центроид делит треугольник на шесть меньших треугольников, а именно на треугольники AGE, CEG, CGD, DGB, BGF и FGA. Площади всех этих треугольников равны. Таким образом, центроид делит медианы в соотношении 2: 1, а также делит треугольник на шесть меньших треугольников равной площади.

    6. Длина середины равностороннего треугольника всегда равна.

    Поскольку мы знаем, что длины всех сторон равностороннего треугольника равны, отсюда следует, что длина медианы равностороннего треугольника, делящего эти стороны пополам, также равна.

    Таким образом, в равностороннем треугольнике ABC, где AD, BE и CF — медианы, исходящие из вершин A, B и C соответственно, мы имеем:

    AD = BE = CF

    [Изображение будет добавлено в ближайшее время]

    7. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные под равными углами, равны по длине.

    Длина медиан, построенных из вершин с равными углами, должна быть одинаковой.

    Таким образом, в равнобедренном треугольнике ABC, если AB = AC, медианы BE и CF, исходящие из вершины B и C, соответственно, равны по длине.

    [Изображение будет добавлено в ближайшее время]

    8. Медиана и стороны треугольника связаны таким образом, что «3-кратная сумма квадратов длины сторон = 4-кратная квадратура медианы треугольника. . »

    3 (AB2 + BC2 + CA2) = 4 (AD2 + BE2 + CF2)

    Как найти медиану треугольника

    Теорема, называемая теоремой Аполлония, Кан поможет вам найти середину треугольника.{2}} {4}} \]

    где a, b и c — длины сторон, а m — медиана от внутреннего угла, проведенного от вершины A к стороне a.

    Решенные примеры

    Пример 1: На приведенном рядом рисунке ∠PQR = 90∘, а QL — медиана, PQ = 12 см и QR = 14 см. Найдите QL.

    [Изображение будет добавлено в ближайшее время]

    Решение:

    У нас PQ = 5 см, QR = 12 см, а QL — это медиана.

    ∴ PL = LR = PR2 ……. (I)

    In ΔPQR,

    (PR) 2 = (PQ) 2 + (QR) 2 ………… (По теореме Пифагора)

    = 144 + 256

    = 400

    ⇒ PR = 20

    Теперь, по теореме, если L — середина гипотенузы PR прямоугольного ΔPQR, то

    QL = 1/2 [PR] = [1/2] * (20) = 10 см.

    Пример 2: В треугольнике ABC координаты A равны (1, 2), а уравнения медианы через B и C: x + y = 5 и x = 4 соответственно, тогда какова площадь ΔABC ( в кв. единицах)?

    Решение:

    Медиана через точку C равна x = 4

    Итак, ясно, что координата x точки C равна 4

    Пусть C = (4, y), затем середина точек A (1, 2) и C ( 2, y), который является D, по определению лежит на медиане, проходящей через B.

    Ясно, что D = ([1 + 4] / 2, [2 + y] / 2).

    Теперь у нас есть [3 + 4 + y] / 2 = 5 ⇒ y = 3. Итак, C = (4, 3).

    Центроид треугольника определяется пересечением медиан.

    Легко видеть, что медианы x = 4 и x + y = 5 пересекаются в точке G = (4, 1).

    Площадь треугольника ΔABC

    = 3 × ΔAGC

    = 3 × 1/2 × 3 × 2

    = 9.

    4.23: Медианы — K12 LibreTexts

    Отрезок линии, соединяющий вершину и середину противоположной стороны треугольника.

    В треугольнике сегмент линии, соединяющий вершину и середину противоположной стороны, называется медианой .

    Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)

    \ overline {LO} \) — это медиана от L \) до середины \ overline {NM} \).

    Если вы нарисуете все три медианы, они пересекутся в одной точке, называемой центроидом .

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)

    Центроид — это «точка равновесия» треугольника. Это означает, что если бы вы вырезали треугольник, центр тяжести был бы его центром тяжести, так что вы могли бы сбалансировать его там.

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \)

    Теорема о медиане утверждает, что медианы треугольника пересекаются в точке, называемой центроидом, которая составляет две трети расстояния от вершин до середины противоположных сторон.

    Итак, если \ (G \) — центроид, то:

    \ (AG = \ dfrac {2} {3} AD, CG = \ dfrac {2} {3} CF, \: EG = \ dfrac {2} {3} BE \)

    \ (DG = \ dfrac {1} {3} AD, FG = \ dfrac {1} {3} CF, \: BG = \ dfrac {1} {3} BE \)

    \ (И \: by \: подстановка: DG = \ dfrac {1} {2} AG, \: FG = \ dfrac {1} {2} CG, \: BG = \ dfrac {1} {2} EG \)

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

    Пример \ (\ PageIndex {1} \)

    \ (B \), \ (D \) и \ (F \) — середины каждой стороны, а \ (G \) — центроид.Если \ (CG = 16 \), найдите \ (GF \) и \ (CF \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \)

    Решение

    Используйте теорему о медиане.

    \ (\ begin {align *} CG & = \ dfrac {2} {3} CF \\ 16 & = \ dfrac {2} {3} CF \\ CF & = 24. \ End {align *} \)

    Следовательно, \ (GF = 8 \).

    Пример \ (\ PageIndex {2} \)

    Верно или неверно: медиана делит пополам ту сторону, которую она пересекает.

    Решение

    Это утверждение верно. По определению, медиана пересекает сторону треугольника в его средней точке.Средние точки делят сегменты на две равные части.

    Пример \ (\ PageIndex {3} \)

    \ (I \), \ (K \) и \ (M \) — середины сторон \ (\ Delta HJL \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

    Решение

    Если \ (JM = 18 \), найти \ (JN \) и \ (NM \). Если \ (HN = 14 \), найдите \ (NK \) и \ (HK \).

    Используйте теорему о медиане.

    \ (JN = \ dfrac {2} {3} \ cdot 18 = 12. NM = JM − JN = 18−12 \). \ (НМ = 6 \).

    \ (14 = \ dfrac {2} {3} \ cdot HK \)

    \ (14 \ cdot \ dfrac {3} {2} = HK = 21 \).\ (NK \) составляет треть от 21, \ (NK = 7 \).

    Пример \ (\ PageIndex {4} \)

    H — центр тяжести \ (\ Delta ABC \) и \ (DC = 5y − 16 \). Найдите \ (x \) и \ (y \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

    Решение

    Для решения используйте теорему о медиане. Составьте и решите уравнения.

    \ (\ begin {align *} \ dfrac {1} {2} BH = HF & \ rightarrow BH = 2HF & \ qquad HC = \ dfrac {2} {3} DC & \ rightarrow \ dfrac {3} {2 } HC = DC \\ 3x + 6 & = 2 (2x − 1) & \ qquad \ dfrac {3} {2} (2y + 8) & = 5y − 16 \\ 3x + 6 & = 4x − 2 & \ qquad 3y +12 & = 5y − 16 \\ 8 & = x & \ qquad 28 & = 2y \ rightarrow 14 = y \ end {align *} \)

    Пример \ (\ PageIndex {5} \)

    \ (B \), \ (D \) и \ (F \) — середины каждой стороны, а G — центроид.Если \ (BG = 5 \), найдите \ (GE \) и \ (BE \)

    Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

    Решение

    Используйте теорему о медиане.

    \ (\ begin {align *} BG & = \ dfrac {1} {3} BE \\ 5 & = \ dfrac {1} {3} BE \\ BE & = 15. \ End {align *} \)

    Следовательно, \ (GE = 10 \).

    Обзор

    Для вопросов 1-4, \ (B \), \ (D \) и \ (F \) — середины каждой стороны, а \ (G \) — центроид. Найдите следующие длины.

    Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)
    1. Если \ (CG = 16 \), найдите \ (GF \) и \ (CF \)
    2. Если \ (AD = 30 \), найти \ (AG \) и \ (GD \)
    3. Если \ (GF = x \), найти \ (GC \) и \ (CF \)
    4. Если \ (AG = 9x \) и \ (GD = 5x − 1 \), найдите \ (x \) и \ (AD \).

    Многоступенчатые задачи Найдите уравнение медианы в плоскости x − y \).

    1. График \ (\ Delta ABC: \: A (−6,4) \), \: B (−2,4) \) \: и \: C (6, −4) \)
    2. Найдите середину \ (\ overline {AC} \). Обозначьте это \ (D \).
    3. Найдите наклон \ (\ overline {BD} \).
    4. Найдите уравнение \ (\ overline {BD} \).
    5. График \ (\ Delta DEF: \: D (−1,5), \: E (1,0), \: F (6,3) \)
    6. Найдите середину \ (\ overline {EF} \).Обозначьте это \ (G \).
    7. Найдите наклон \ (\ overline {DG} \).
    8. Найдите уравнение \\ (overline {DG} \).

    Определите, является ли следующее утверждение истинным или ложным.

    1. Центроид — это точка равновесия треугольника.

    Обзор (ответы)

    Чтобы увидеть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 5.4.

    Словарь

    Срок Определение
    центроид Центроид — это точка пересечения медиан в треугольнике.
    Медиана Медиана треугольника — это отрезок прямой, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

    Дополнительные ресурсы

    Видео: средние значения треугольника

    Действия: Вопросы для обсуждения по медианам

    Учебные пособия: биссектрисы, медианы, высоты.

    X 2 x 3 решение: Калькулятор онлайн — Решение уравнений и неравенств с модулями

    3-2x+1 приведёт выражение к (x – 1)(x2 +x +1).

    Оператор expand раскроет скобки и разложит выражение, например expand (x – 1)(x2+x+1) приведёт выражение к x3 -2x +1.

    Оператор partial fractions разложит отношение многочленов в сумму простейших дробей.

    minimize минимизирует функцию, а maximize максимизирует

    Число «Пи» записывается, как pi

    Тригонометрические функции: sin, cos, tan, ctan, arcsin, arccos, arctan, arcctan

    Команда series раскладывает функцию в ряд, например: taylor series sinx at x=0 даст нам разложение функции sin(x) в ряд Тейлора в точке x=0

    Производные и интегралы

    Чтобы найти предел, необходимо в начале функции подставить lim, а после записать саму функцию, в конце указать к чему стремится предел: as-> далее число (бесконечность записывается infinity).8

    Оператор factor раскладывает число на множители

    ! выводит факториал, например 123!

    Оператор gcd выводит наибольший общий делитель, например gcd 164, 88 выводит наибольший общий делитель чисел 164 и 88

    Модуль в модуле

    Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
    ||a*x-b|-c|=k*x+m.
    Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

    Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
    Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
    |x|=0 <-> x=0.
    В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
    При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
    |-3x-5|=-2x-2.
    При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
    |3x-5|=-2x-2.
    Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

    Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

    Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

    и найдем решение


    Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
    Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
    |3x-5|=-2x-2.
    Раскрывая модуль получим две системы уравнений

    Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

    которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
    x=-3; x=-1,4.

     

    Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
    Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
    |x-1|=0 <=> x=1.
    Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
    x |-(x-1)-2|=3x-4;
    x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
    Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
    3x-4>=0 -> x>=4/3.
    Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
    |x-3|=3x-4 ->
    x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
    4-3=3x-x или x+3x=4+3;
    2x=1 или 4x=7;
    x=1/2 или x=7/4.
    Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

     

    Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
    Решение: Раскроем внутренний модуль
    |2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
    Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
    x+3>=0 -> x>=-3.
    Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
    |-(2x-5)-1|=x+3;
    |-2x+4|=x+3.
    Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
    -2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
    2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
    3x=1; x=1/3 или x=7.
    Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
    |2x-5-1|=x+3;
    |2x-6|=x+3.
    При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
    -2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
    2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
    3x=3; x=1 или x=9.
    Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
    Ответ: x=1/3; x=9.

     

    Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
    Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
    |3x-1|=0 <=> x=1/3.
    Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
    2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
    Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
    [1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
    Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
    |-(3x-1)-5|=2x-3;
    |-3x-4|=2x-3.
    Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
    -3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
    2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
    5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
    Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
    |3x-1-5|=2x-3;
    |3x-6|=2x-3.
    Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
    3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
    3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
    x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
    Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
    Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
    Выполняем проверку
    ||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
    Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
    Ответ: x=1/3; x=9.

    Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

    Равнение на модуль в модуле:

    • ||3x-3|-2|=5-2x;
    • ||5x-3|-3|=3x-1;
    • ||2x-7|-4|=x-2;
    • ||5x-4|-8|=x+4;
    • ||2x-2|-3|=1;
    • ||x-2|-3|=4-x.

    Похожие материалы:

    Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения) / math5school.ru

     

     

    Немного теории

    Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

    Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

    xn + yn = zn

    не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

    Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

    В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

    При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

    • способ перебора вариантов;

    • применение алгоритма Евклида;

    • представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

    • разложения на множители;

    • решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

    • метод остатков;

    • метод бесконечного спуска.

     

    Задачи с решениями

    1. Решить в целых числах уравнение x2 – xy – 2y2 = 7.

    Решение

    Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

    Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

    1) x – 2y = 7, x + y = 1;

    2) x – 2y = 1, x + y = 7;

    3) x – 2y = –7, x + y = –1;

    4) x – 2y = –1, x + y = –7.

    Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

    Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

     

    2. Решить в целых числах уравнение:

    а) 20х + 12у = 2013;

    б) 5х + 7у = 19;

    в) 201х – 1999у = 12.

    Решение

    а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

    Ответ: решений нет.

     

    б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

    x0 = 1, y0 = 2.

    Тогда

    5x0 + 7y0 = 19,

    откуда

    5(х – x0) + 7(у – y0) = 0,

    5(х – x0) = –7(у – y0).

    Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

    х – x0 = 7k, у – y0 = –5k.

    Значит, общее решение:

    х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

    где k – произвольное целое число.

    Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

     

    в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

    НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

    Запишем этот процесс в обратном порядке:

    1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

    = 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

    = 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

    Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

    x0 = 1273·12 = 15276, y0 = 128·12 = 1536

    является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

    Общее решение этого уравнения запишется в виде

    х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

    или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

    х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

    Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

     

    3. Решить в целых числах уравнение:

    а) x3 + y3 = 3333333;

    б) x3 + y3 = 4(x2y + xy2 + 1).

    Решение

    а) Так как x3 и y3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x3 + y3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

    Ответ: целочисленных решений нет.

     

    б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y)3 = 7(x2y + xy2) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

    Ответ: целочисленных решений нет.

     

    4. Решить

    а) в простых числах уравнение х2 – 7х – 144 = у2 – 25у;

    б) в целых числах уравнение x + y = x2 – xy + y2.

    Решение

    а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

    у = х + 9 или у = 16 – х.

    Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

    Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

    2 х 16, 2 у 16.

    С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

    Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

     

    б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

    x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0. 

    Дискриминант этого уравнения равен –3y2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

    Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

     

    5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 ?

    Решение

    Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y3 и z3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

    x2 + 2y2 = x3

    или, иначе,

    x2(x–1) = 2y2.

    Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n2+1. Подставляя в x2(x–1) = 2y2 такое число, после несложных преобразований получаем:

    y = xn = n(2n2+1) = 2n3+n.

    Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n2+1; 2n3+n; –2n3– n).

    Ответ: существует.

     

    6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu.

    Решение

    Число x2 + y2 + z2 + u2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

    Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x2 + y2 + z2 + u2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

    Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x2 + y2 + z2 + u2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

    Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

    x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, u = 2u1,

    и исходное уравнение примет вид

    x12 + y12 + z12 + u12 = 8x1y1z1u1.

    Теперь заметим, что (2k + 1)2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x1, y1, z1, u1 нечётны, то x12 + y12 + z12 + u12 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x12 + y12 + z12 + u12 не делится даже на 4. Значит,

    x1 = 2x2, y1 = 2y2, z1 = 2z2, u1 = 2u2,

    и мы получаем уравнение

    x22 + y22 + z22 + u22 = 32x2y2z2u2.

    Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

    Ответ: (0; 0; 0; 0).

     

    7. Докажите, что уравнение

    (х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30

    не имеет решений в целых числах.

    Решение

    Воспользуемся следующим тождеством:

    (х – у)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

    Тогда исходное уравнение можно записать в виде

    (х – у)(y – z)(z – x) = 10.

    Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

    abc = 10.

    Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

     

    8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у2.

    Решение

    Очевидно, что

    если х = 1, то у2 = 1,

    если х = 3, то у2 = 9.

    Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

    х1 = 1, у1 = 1;

    х2 = 1, у2 = –1;

    х3 = 3, у3 = 3;

    х4 = 3, у4 = –3.

    Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

    5! + 6! + . . . + х! = 10n,

    можем записать, что

    1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

    Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

    Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

     

    9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

    a3 – b3 – c3 = 3abc,  a2 = 2(b + c).

    Решение

    Так как

    3abc > 0, то a3 > b3 + c3;

    таким образом имеем

    b

    Складывая эти неравенства, получим, что

    b + c

    С учётом последнего неравенства, из второго уравнения системы получаем, что

    a2

    Но второе уравнение системы также показывает, что а – чётное число. Таким образом, а = 2, b = c = 1.

    Ответ: (2; 1; 1)

     

    10. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих уравнению х2 + х = у4 + у3 + у2 + у.

    Решение

    Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

    х(х + 1) = у(у + 1)(у2 + 1),

    или

    х(х + 1) = (у2 + у)(у2 + 1)

    Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

    х1 = 0, у1 = 0;

    х2 = 0, у2 = –1;

    х3 = –1, у3 = 0;

    х4 = –1, у4 = –1.

    Произведение (у2 + у)(у2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х5 = 5, х6 = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

    х5 = 5, у5 = 2;

    х6 = –6, у6 = 2.

    Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

     

    Задачи без решений

    1. Решить в целых числах уравнение:

    а) ху = х + у + 3;

    б) х2 + у2 = х + у + 2.

     

    2. Решить в целых числах уравнение:

    а) х3 + 21у2 + 5 = 0;

    б) 15х2 – 7у2 = 9.

     

    3. Решить в натуральных числах уравнение:

    а) 2х + 1 = у2;

    б) 3·2х + 1 = у2.

     

    4. Доказать, что уравнение х3 + 3у3 + 9z3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

    x = y = z = 0.

     

    5. Доказать, что уравнение х2 + 5 = у3 в целых числах не имеет решений.

     

    О теореме Абеля-Руффини без групп и теории Галуа / Хабр

    Историческая справка

    Поиск решения алгебраических уравнений оказал колоссальное влияние на развитие математики. Формула решения общего кубического уравнения впервые была получена итальянскими математиками 16-го века. Это событие ставшее первопричиной рассмотрения комплексных чисел, считается одним из поворотных моментов в истории математики. Судьбы Джероламо Кардано, Никколо Тартальи, Сципиона дель Ферро и их поисков решения кубического уравнения заслуживают отдельного романа со своими интригами, скандалами и расследованиями. Столь яркие истории достаточно редки в математике.

    Начиная с 19-го века поиск формул для решения уравнений произвольных степеней положил начало теории групп и абстрактной алгебре, которые преобразили практически все разделы современной математики. Думаю, многие, кто интересовался историей и развитием алгебры, знают, что формулы для решения общего алгебраического уравнения степени выше четвертой не существует. Как сообщается, первое доказательство этого факта было дано итальянским математиком Паоло Руффини в самом конце восемнадцатого века, оно составляло около 500 страниц и все же содержало некоторые пробелы. Хотя отдельные математики, как Огюстен Коши, и признавали данное доказательство, но ввиду столь большого объема и сложности изложения, оно так и не было принято математическим сообществом. Считается, что первое полное доказательство дано норвежским математиком Нильсом Абелем и содержалось в двух работах, изданных в 1824 и 1826 годах. С тех пор оно носит название теоремы Абеля или теоремы Абеля-Руффини.

    Если вы попытаетесь изучить это доказательство в его современном изложении, то окажется, что оно практически полность опирается на Теорию Галуа. Эварист Галуа был французским математиком 19-го века и современником Нильса Абеля. Помимо занятий математикой он вел активную политическую жизнь из-за чего несколько раз попадал в тюрьму. В возрасте всего двадцати лет был застрелен на дуэли, поводом для которой послужила любовная интрига, хотя есть предположения, что дуэль была подстроена его политическими противниками. Об этой истории написано достаточно много, кроме того, имеется перевод на русский язык его мемуаров и писем. Последнее письмо его другу Огюсту Шевалье было написано в ночь накануне дуэли, в нем он наспех излагает свои последние идеи. Несмотря на столь короткую жизнь, Эварист Галуа считается одним из родоначальников современной алгебры. Хотел бы заметить, что в популярном изложении создается некий романтический образ Галуа, как подростка-гения, который в одиночку, с нуля создал теорию групп и преобразил всю алгебру. Несомненно его идеи сыграли огромную роль, но если почитать его сочинения, то мы увидим, что он хорошо знал и опирался на знаменитые работы Лагранжа, Эйлера, Гаусса, Абеля, Якоби. Зачатки теории групп и перестановок появляются еще в работах Жозефа Луи Лагранжа по теории алгебраических уравнений, а также Карла Фридриха Гаусса в его знаменитых «Арифметических исследованиях». К тому же, теория Галуа в современном изложении была оформлена многими последующими математиками — Дедекиндом, Кронекером, Гильбертом, Артином и другими.

    Мотивация данной статьи

    Чуть менее года назад меня сильно увлекла статья об истории решения кубического уравнения и последующих безуспешных поисков формулы уравнения 5-й степени, длившихся почти триста лет. Сразу хочу отметить, что специального математического образования у меня нет и поэтому, попробовав прочесть современную версию доказательства теоремы Абеля-Руффини, я естественно ничего не понял. В моем сознании термины группа, кольцо и поле никак не ассоциировались с алгебраическими структурами. Но желание разобраться было столь велико, что я принялся за изучение курса высшей алгебры.

    На первых этапах абстрактная алгебра была наверное самым сложным из того, что мне приходилось изучать ранее. Объем новых терминов и определений просто зашкаливал: группы, факторгруппы, моноиды, поля, кольца, тела, модули, идеалы, ядра, векторные пространства, биекции, сюръекции, инъекции, изоморфизмы, автоморфизмы, гомоморфизмы, эндоморфизмы и тд. Спустя несколько месяцев упорных занятий, я начал понимать формальную часть, но, к сожалению, интуитивного понимания, которое и являлось моей изначальной целью, я так и не достиг.

    Дело в том, что практически все современные доказательства неразрешимости уравнений 5-й степени в радикалах сводятся к следующему. Рассматривается некоторое неприводимое уравнение, например x5-10x+2, после чего методами мат анализа определяется, что оно имеет три действительных и два комплексно-сопряженных корня. После чего заключается, что группой Галуа данного уравнения есть группа S5, которая не является разрешимой, и следовательно данное уравнение неразрешимо в радикалах. Доказательство теоремы Абеля-Руффини о неразрешимости общего уравнения также сводится к неразрешимости группы Sn. Для меня данные доказательства были слишком абстрактными и оторванными от конкретных уравнений. Когда я пытался представить их в терминах элементарных алгебраических операций, чтобы понять в чем заключается главная причина неразрешимости уравнений, у меня ничего не получалось. Возможно для тех, кто занимается этим достаточно долго, эти вещи могут казаться интуитивно понятными.

    Немного иной подход описан в книге Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях», основанной на лекциях Владимира Арнольда, но в изложенном там доказательстве помимо теории групп используются элементы комплексного анализа и Римановых поверхностей. Я также находил похожие статьи, использующие топологические аргументы в виде комбинаций петель и коммутаторов, но мне хотелось найти что-то чисто алгебраическое.

    Параллельно изучая историю математики и понимая, что современная формулировка и доказательство сильно отличаются от того, как излагали свои идеи Лагранж, Руффини, Абель и Галуа, я решил прочесть первоисточники. К сожалению, на русский или английский по этой теме переведены лишь сочинения Галуа и одна из работ Абеля.

    После некоторых поисков я наткнулся на статью 1845 года французского математика Пьера Лорана Ванцеля, в которой он переработал и сильно упростил доказательство Абеля-Руффини, о чем он пишет во введении. В этой работе, он так же упоминает мемуары Галуа и отмечает, что они будут опубликованы в скором времени. Для заметки — работы Галуа были опубликованы лишь в 1846 году Жозефом Лиувиллем, спустя почти 15 лет после смерти Галуа. Кстати, Пьер Лоран Ванцель, также был первым, кто доказал неразрешимость трисекции угла и удвоения куба с помощью циркуля и линейки — знаменитых задач стоявших еще со времен античности. Доказательства Ванцеля были изложены без использования абстрактной алгебры и теории Галуа, поскольку на тот момент они еще не были разработаны. Хотя работа и была доступна лишь на французском, которого я до этого практически не знал, но ввиду специфической темы, небольшого размера (всего 7 страниц) и наличия гугл переводчика, я справился достаточно быстро. По моему субъективному мнению, его доказательство теоремы Абеля-Руффини является наиболее простым для понимания.

    Уже позже я нашел пример подобного доказательства основанного на работе Руффини в книге Чеботарёва “Основы Теории Галуа”. Далее я постараюсь кратко изложить принцип решения уравнений в радикалах и идею доказательства неразрешимости уравнения 5-й степени.

    Решения уравнений в радикалах

    Для дальнейшего понимания, потребуются минимальные пререквизиты:

    Формулы Виета — напомню, что коэффициенты произвольного уравнения являются элементарными симметрическими функциями от его корней, то есть функциями, которые не меняют своего значения при любых перестановках корней. Примеры: x1 + x2 + x3, x1x2x3, x1x2 + x1x3 + x2x3.

    Теорема о симметрических многочленах — каждую симметрическую функцию от корней, можно выразить с помощью элементарных симметрических функций (коэффициентов уравнения).

    Первообразные корни n-й степени из единицы — комплексные величины не равные единице, но n-я степень которых, равна единице. Примеры: (-1)2 = 1, (-1/2 + sqrt(-3)/2)3 = 1, i4 = 1 соответственно квадратный, кубический и биквадратный корни из единицы.

    Основная теорема алгебры — гласит о том, что уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней с учетом кратности (корни могут быть одинаковые).

    Первоначальная идея восходит к работе Жозефа Луи Лагранжа “Размышления о решении уравнений” 1770-1771 годов. Это достаточно объемное сочинение и я не нашел его перевода на русский или английский язык. Как указывается в разных источниках, в попытке найти формулу для уравнения 5-й степени, Лагранж проанализировал все имеющиеся к тому времени способы решения уравнений и выделил общий принцип, позволяющий решить уравнения 4-й и низших степеней. В этой же работе, изучая перестановки корней, он пришел к теореме, которая сейчас носит его имя. Принцип, открытый Лагранжем, заключался в том, чтобы найти выражения от корней заданного уравнения n-й степени, которые при всех возможных перестановках этих корней принимали n-1 значений, но в тоже время через них выражались первоначальные корни. На эти значения, можно составить уравнение n-1 степени и повторить операцию, тем самым сводя изначальное уравнение к цепочке уравнений меньших степеней, решив которые, можно получить корни первоначального уравнения. Рассмотрим один из примеров:

    Пусть f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d общее уравнение 4-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d и x1, x2, x3, x4 его корни.

    Напомним, что его коэффициенты — это элементарные симметрические функции от корней, в чем можно убедиться просто раскрыв скобки в выражении (x — x1)(x -x2)(x — x3)(x — x4):

    x1 + x2 + x3 + x4 = a

    x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = b

    x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = c

    x1x2x3x4 = d

    Так как корни являются произвольными, то существует 4! = 24 различных вариантов их расположения, но можно составить выражение x1x2 + x3x4, которое принимает всего три разных значения при всех 24-х перестановках корней:

    x1x2 + x3x4 = y1

    x1x3 + x2x4 = y2

    x1x4 + x2x3 = y3

    На эти три значения мы можем составить уже кубическое уравнение, корнями которого они и будут являться. Таким образом, мы сводим решение уравнения 4-й степени к уравнению 3-й степени. Для решения кубического уравнения мы можем воспользоваться резольвентой Лагранжа (y1 + wy2 + w2y3)3, где w — это кубический корень из единицы. Данное выражение принимает всего два разных значения при всех возможных 3! = 6 перестановках. Оно будет сохранять значение при циклических перестановках и менять знак при любой транспозиции. Получим:

    (y1 + wy2 + w2y3)3 = z1

    (y1 + w2y2 + wy3)3 = z2

    Теперь составим квадратное уравнение на z1 и z2:

    (t — z1)(t — z2) = t2 — t(z1+z2) + z1z2

    z1+z2 и z1z2 — будут симметрическими функциями от корней нашего изначально уравнения f(x), следовательно, по теореме о симметрических многочленах, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d. Решив квадратное уравнение мы получим значения z1, z2. После чего, извлекая кубические корни из z1, z2, и складывая с коэффициентом b, сможем выразить y1. Далее, c помощью y1 и коэффициентов a, b, d, решив два квадратных уравнения, мы доберемся до корней x1, x2, x3, x4 изначального уравнения.

    Данный пример показывает, что произвольное уравнение 4-й степени решается путем составления вспомогательных кубического и квадратных уравнений. Далее я приведу рассуждение, почему подобный прием невозможен для общего уравнения 5-й степени.

    Неразрешимость уравнения 5-й степени

    Итак, мы хотим показать, что ни один корень общего уравнения 5-й степени не может быть выражен через его коэффициенты путем решения цепочки вспомогательных двучленных уравнений низших степеней.

    Пусть f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + xd + e общее уравнение 5-й степени с произвольными коэффициентами a, b, c, d, e и x1, x2, x3, x4, x5 его корни. Обозначим за y1 первый радикал входящий в значение x1 в порядке вычисления. Пусть y1n = p, где p будет какой-то симметрической функцией от корней и, следовательно, напрямую выражаться через коэффициенты a, b, c, d, e. Заметим, что y1 уже не будет симметрической, а лишь рациональной функцией g от корней — g(x1, x2, x3, x4, x5). Следовательно, g должно менять значение при перестановке любых двух корней. Тогда эти значения будут являться корнями уравнения y1n = p, которые имеют вид g, zg, z2g, z3g … zn-1g, где z — первообразный корень n-й степени из единицы (zn=1). Рассмотрим произвольную транспозицию, например (x1, x2), тогда

    g(x2, x1, x3, x4, x5) = zg(x1, x2, x3, x4, x5)

    если мы применим ее еще раз, то получим:

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x2, x1, x3, x4, x5)

    что равносильно g(x1, x2, x3, x4, x5) = z2g(x1, x2, x3, x4, x5)

    Из этого следует, что z2 = 1, то есть z должен быть квадратным корнем из единицы (z = -1) и соответственно первый радикал y1 будет квадратным. Поясним: так как корни являются произвольными, то g должно сохранять значение при любых четных перестановках корней и менять знак при нечетных. Теперь покажем, что значение функции g не будет меняться при циклической перестановке трех корней (x1, x2, x3). Здесь стоит пояснить, что циклическая перестановка (x1, x2, x3) четная и может быть представлена, как произведение транспозиций (x1, x2)(x2, x3). То есть, функция g не поменяет своего значения при данной перестановке. Еще заметим, что функция g не изменится при циклической перестановке пяти корней, так как она так же раскладывается в произведение четного количества транспозиций. Присоединяя радикал y1 к выражениям от коэффициентов с помощью базовых арифметических операций, мы будем получать симметрические функции относительно всех циклов на трех и пяти корнях и вообще любых четных перестановок, но при перестановке содержащей нечетное количество транспозиций, y1 будет менять знак. Дальнейшее присоединение квадратных радикалов не даст нам ничего нового. Теперь предположим, что мы пришли к радикалу, который меняет свое значение лишь при тройных циклах. Обозначим его y2, тогда y2n = q, где q — это рациональная функция от коэффициентов a, b, c, d, e и радикала y1.

    g(x2, x3, x1, x4, x5) = zg(x1, x2, x3, x4, x5)

    g(x3, x1, x2, x4, x5) = zg(x2, x3, x1, x4, x5)

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x3, x1, x2, x4, x5)

    что равносильно g(x1, x2, x3, x4, x5) = z3g(x1, x2, x3, x4, x5)

    В данном случае z3 = 1, то есть z здесь будет кубическим корнем из единицы.

    Теперь произведем циклическую перестановку 5-и корней

    g(x2, x3, x4, x5, x1) = zg(x1, x2, x3, x4, x5)

    g(x3, x4, x5, x1, x2) = zg(x2, x3, x4, x5, x1)

    g(x4, x5, x1, x2, x3) = zg(x3, x4, x5, x1, x2)

    g(x5, x1, x2, x3, x4) = zg(x4, x5, x1, x2, x3)

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = zg(x5, x1, x2, x3, x4)

    Так как z должен быть кубическим корнем из единицы, как мы выяснили ранее, то единственным вариантом будет z = 1 и g должна быть инвариантна при любой из этих циклических перестановок. Но тогда она должна быть инвариантна и при циклической перестановке x3,x2,x5,x1,x4 -> x2,x5,x1,x4,x3. Отсюда, одной транспозицией мы можем получить, что

    g(x3, x4, x5, x1, x2) = g(x2, x3, x1, x4, x5)

    но, выше мы уже видели, что

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = g(x3, x4, x5, x1, x2)

    а из этого следует

    g(x1, x2, x3, x4, x5) = g(x2, x3, x1, x4, x5)

    что приводит нас к противоречию, так как мы предполагали, что g меняет значение при циклической перестановке трех корней (x1, x2, x3).

    Еще одним вариантом, было бы показать что все четные перестановки на пяти корнях порождаются тройными циклами, то есть, если есть тройные циклы, то никаких выражений от корней, которые бы сохраняли значения при всех четных перестановках, не существует. Если теперь перевести это на теоретико-групповой язык, то получается, что группа общего уравнения пятой степени есть симметрическая группа S5, в которой существует 5! = 120 различных перестановок пяти корней. Далее, путем присоединения квадратного корня из дискриминанта, мы можем понизить ее до знакопеременной группы четных перестановок A5, которая содержит 120/2 = 60 перестановок. Но A5 является простой группой, в которой нет никаких нетривиальных нормальных подгрупп, которым бы соответствовали выражения от корней сохраняющие значения при определенных перестановках, из чего следует, что присоединение любых дополнительных радикалов не приблизит нас к решению.

    Заключение

    Поводом для написания данной статьи послужило желание структурировать свои мысли по этой теме и представить идеи о неразрешимости уравнений в радикалах без привлечения абстрактной алгебры и теории Галуа. По моему мнению, в подавляющем большинстве современных изложений теряется связь между областью, в которой происходит доказательство и конкретными уравнениями. Если у кого-то есть замечания, дополнения или ссылки на подобные элементарные изложения, буду рад услышать.

    2 «.

    Пошаговое решение:

    Шаг 1:

    Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

    1.1 Факторинг x 2 -x-3

    Первый член x 2 его коэффициент равно 1.
    Средний член, -x, его коэффициент равен -1.
    Последний член, «константа», равен -3

    Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -3 = -3

    Шаг-2: Найдите два множителя -3, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, равному -1.

    -3 + 1 = -2
    -1 + 3 = 2


    Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !!
    Заключение: Трехчлен не может быть разложен на множители

    Уравнение в конце шага 1:
     x  2  - x - 3 = 0
     

    Шаг 2:

     
    Парабола, поиск вершины:

    2.1 Найдите вершину y = x 2 -x-3

    Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).

    Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

    Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

    Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 0,5000

    Подставив в формулу параболы 0,5000 для x, мы можем вычислить координату y:
    y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 3,0
    или y = -3,250

    Парабола, Графическое изображение вершины и пересечения по оси X:

    Корневой график для: y = x 2 -x-3
    Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,50}
    Вершина в точке {x, y} = {0,50, — 3.25}
    x -Перехват (корни):
    Корень 1 при {x, y} = {-1.30, 0.00}
    Корень 2 при {x, y} = {2.30, 0.00}

    Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

    2.2 Решение x 2 -x-3 = 0, заполнив квадрат.

    Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения:
    x 2 -x = 3

    Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1, разделите его на два, получив 1/2, и возведите его в квадрат. давая 1/4

    Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения:
    В правой части имеем:
    3 + 1/4 или, (3/1) + (1/4)
    Общий знаменатель две дроби равны 4. Сложение (12/4) + (1/4) дает 13/4
    Таким образом, сложив обе стороны, мы, наконец, получаем:
    x 2 -x + (1/4) = 13/4

    Сложение 1/4 превратила левую часть в полный квадрат:
    x 2 -x + (1/4) =
    (x- (1/2)) • (x- (1/2)) =
    ( x- (1/2)) 2
    Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Так как
    x 2 -x + (1/4) = 13/4 и
    x 2 -x + (1/4) = (x- (1/2)) 2
    то по закону транзитивности,
    (x- (1/2)) 2 = 13/4

    Мы будем называть это уравнение уравнением. # 2.2.1

    Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

    Обратите внимание, что квадратный корень из
    (x- (1/2)) 2 равен
    (x- (1/2)) 2/2 =
    (x- (1/2)) 1 =
    x- (1/2)

    Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 2.2.1 получаем:
    x- (1/2) = √ 13/4

    Добавляем 1/2 к обеим сторонам, чтобы получить:
    x = 1/2 + √ 13/4

    Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
    x 2 — x — 3 = 0
    имеет два решения:
    x = 1/2 + √ 13/4
    или
    x = 1/2 — √ 13/4

    Обратите внимание, что √ 13/4 можно записать как
    √ 13 / √ 4, что равно √ 13/2

    Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

    2.3 Решение x 2 -x-3 = 0 по квадратичной формуле.

    Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

    — B ± √ B 2 -4AC
    x = ————————
    2A

    В нашем случае A = 1
    B = -1
    C = -3

    Соответственно B 2 — 4AC =
    1 — (-12) =
    13

    Применяя квадратную формулу:

    1 ± √ 13
    x = —————
    2

    √ 13, округленное до 4 десятичных цифр, равно 3.6056
    Итак, теперь мы смотрим на:
    x = (1 ± 3.606) / 2

    Два реальных решения:

    x = (1 + √13) / 2 = 2.303

    или:

    x = (1- √13) /2=-1.303

    Было найдено два решения:

    1. x = (1-√13) /2=-1.303
    2. x = (1 + √13) / 2 = 2.303

    Абсолютное значение Уравнения

    Уравнения абсолютных значений Уравнения абсолютных значений

    Выполните следующие действия, чтобы найти равенство по абсолютной величине. который содержит одно абсолютное значение:

    1. Выделите абсолютное значение на одной стороне уравнения.
    2. Число на другой стороне уравнения отрицательное? Если вы ответили утвердительно, то уравнение не имеет решения. Если вы ответили нет, переходите к шагу 3.
    3. Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое уравнение установит количество внутри столбцов, равное количеству на другом сторона знака равенства; второе уравнение установит количество внутри столбцы равны противоположному числу на другой стороне.
    4. Решите два уравнения.


    Выполните следующие действия, чтобы найти равенство абсолютного значения. который содержит два абсолютных значения (по одному с каждой стороны уравнения):

    1. Напишите два уравнения без абсолютных значений. Первое уравнение установит количество внутри столбцов с левой стороны равным количество внутри полос с правой стороны. Второе уравнение установит количество внутри столбцов с левой стороны равным противоположному количества внутри полос с правой стороны.
    2. Решите два уравнения.

    Давайте рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1: Решить | 2x — 1 | + 3 = 6

    Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | 2x — 1 | + 3 = 6

    | 2x — 1 | = 3

    Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? Нет, это положительное число, 3, так что продолжайте шаг 3
    Шаг 3: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений 2x — 1 = 3 2х — 1 = -3
    Шаг 4: Решить оба уравнения 2x — 1 = 3

    2x = 4

    х = 2

    2х — 1 = -3

    2x = -2

    х = -1


    Пример 2: Решить | 3x — 6 | — 9 = -3

    Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | 3х — 6 | — 9 = -3

    | 3x — 6 | = 6

    Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? Нет, это положительное число, 6, так что продолжайте шаг 3
    Шаг 3: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений 3х — 6 = 6 3х — 6 = -6
    Шаг 4: Решить оба уравнения 3x — 6 = 6

    3x = 12

    х = 4

    3х — 6 = -6

    3x = 0

    х = 0


    Пример 3: Решить | 5x + 4 | + 10 = 2

    Шаг 1: Изолировать абсолютное значение | 5x + 4 | + 10 = 2

    | 5x + 4 | = -8

    Шаг 2: Is число на другой стороне уравнения отрицательное? Да, это отрицательное число, -8.Нет решения к этой проблеме.

    Пример 4: Решить | x — 7 | = | 2x — 2 |

    Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений х — 7 = 2х — 2 х — 7 = — (2х — 2)
    Шаг 4: Решить оба уравнения х — 7 = 2х — 2

    -x — 7 = -2

    -x = 5

    х = -5

    х — 7 = -2x + 2

    3x — 7 = 2

    3x = 9

    х = 3


    Пример 5: Решить | x — 3 | = | x + 2 |

    Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений х — 3 = х + 2 х — 3 = — (х + 2)
    Шаг 4: Решить оба уравнения х — 3 = х + 2

    — 3 = -2

    ложное заявление

    Нет решения из этого уравнения

    х — 3 = -x — 2

    2x — 3 = -2

    2x = 1

    х = 1/2

    Итак, единственное решение этой проблемы — x = 1/2

    Пример 6: Решить | x — 3 | = | 3 — x |

    Шаг 1: Запись два уравнения без столбцов абсолютных значений х — 3 = 3 — х х — 3 = — (3 — х)
    Шаг 4: Решить оба уравнения х — 3 = 3 — х

    2x — 3 = 3

    2x = 6

    х = 3

    х — 3 = — (3 — х)

    х — 3 = -3 + х

    -3 = -3

    Все действительные числа являются решениями этого уравнения

    Так как 3 входит в набор действительных чисел, мы просто скажем, что решение этого уравнения — все действительные числа

    Решение квадратных уравнений с факторингом

    Purplemath

    Этот урок охватывает множество способов решения квадратичных вычислений, таких как извлечение квадратного корня, вычисление квадрата и использование квадратичной формулы.Но начнем с решения по факторингу.

    (Прежде чем перейти к решению квадратных уравнений, вы уже должны знать, как разложить квадратные выражения на множители. Если нет, сначала просмотрите, как разложить квадратичные уравнения на множители.)

    Вы уже разложили квадратные выражения на множители. Новым здесь является то, что квадратное выражение является частью уравнения, и вам предлагается найти значения переменной, которые делают уравнение истинным. Вот как это работает:

    MathHelp.com

    • Решите (
      x ​​ — 3) ( x ​​ — 4) = 0 путем факторизации.

    Хорошо, эта квадратичная для меня уже учтена.Но как мне использовать эту факторизацию для решения уравнения?

    Для решения квадратичных вычислений путем факторинга мы используем нечто, называемое «Свойство нулевого произведения». Это свойство говорит о том, что кажется довольно очевидным, но только после того, как нам на это указали; а именно:

    Свойство нулевого произведения: если мы умножаем две (или более) вещи вместе и результат равен нулю, то мы знаем, что по крайней мере одна из тех вещей, которые мы умножили, также должны быть равны нулю.Другими словами, единственный способ получить ноль при умножении двух (или более) множителей состоит в том, чтобы один из множителей был равен нулю.

    Итак, если мы умножаем два (или более) множителя и получаем нулевой результат, то мы знаем, что по крайней мере один из множителей сам был равен нулю. В частности, мы можем установить каждый из факторов равным нулю и решить полученное уравнение для одного решения исходного уравнения.

    Мы можем сделать полезный вывод о факторах (а именно, что один из этих факторов должен был быть равен нулю, поэтому мы можем установить факторы равными нулю), только если сам продукт равен нулю.Если произведение факторов равно на все , отличное от нуля, то мы не можем сделать какое-либо утверждение о значениях факторов.

    Следовательно, при решении квадратных уравнений путем факторизации мы, , должны всегда иметь уравнение в форме «(квадратное выражение) равно (нулю)», прежде чем мы попытаемся решить квадратное уравнение путем факторизации.

    Возвращение к упражнению:

    Принцип нулевого фактора говорит мне, что хотя бы один из факторов должен быть равен нулю.Поскольку хотя бы один из коэффициентов должен быть равен нулю, я могу установить , каждые коэффициентов равны нулю:

    x ​​ — 3 = 0 или x ​​ — 4 = 0

    Это дает мне простые линейные уравнения, которые легко решить:

    И эти два значения — то решение, которое они ищут:

    Обратите внимание, что « x ​​ = 3, 4» означает то же самое, что и « x ​​ = 3 или x ​​ = 4»; единственное отличие — это форматирование.Формат « x ​​ = 3, 4» является более распространенным.


    • Решите
      x ​​ 2 + 5 x ​​ + 6 = 0 и проверьте.

    Это уравнение уже имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», но, в отличие от предыдущего примера, оно еще не учтено. Я ДОЛЖЕН сначала разложить квадратичный фактор на множители, потому что только когда я УМНОЖДАЮ и получаю ноль, я могу что-либо сказать о факторах и решениях.Я не могу сделать никаких выводов об отдельных членах квадратичной без факторизации (например, 5 x ​​ или 6), потому что я могу добавить много всего, что в сумме равно нулю.

    Итак, первое, что мне нужно сделать, это фактор:

    x ​​ 2 + 5 x ​​ + 6 = ( x ​​ + 2) ( x ​​ + 3)

    Теперь я могу переформулировать исходное уравнение в терминах произведения факторов, при этом произведение равно нулю:

    Теперь я могу решить каждый фактор, установив каждый из них равным нулю и решив получившиеся линейные уравнения:

    x ​​ + 2 = 0 или x ​​ + 3 = 0

    x ​​ = –2 или x ​​ = — 3

    Эти два значения являются решением исходного квадратного уравнения.Итак, мой ответ:

    Однако я еще не закончил, потому что в исходном упражнении мне предлагалось «проверить», что означает, что мне нужно вставить свои ответы обратно в исходное уравнение и убедиться, что оно верное. В этом случае я буду вставлять выражение в левой части исходного уравнения и проверять, что я получаю правую часть; а именно, с 0:

    проверка x ​​ = –3:

    [–3] 2 + 5 [–3] + 6

    9–15 + 6

    9 + 6–15

    15–15

    0

    проверка x ​​ = –2:

    [–2] 2 + 5 [–2] + 6

    4–10 + 6

    4 + 6 — 10

    10–10

    0


    Когда в упражнении указано, что вы должны решить «и проверить» вышеуказанное «plug-n-chug», они ищут вас, чтобы показать, что вы включили свой ответ в исходное упражнение и получили что-то, что сработало правильно.Выше, где я показал свои чеки, все, что им нужно. Но делайте свою работу аккуратно!

    Между прочим, вы можете использовать эту технику «проверки», чтобы проверить свои ответы на любое «решающее» упражнение. Так, например, если вы не уверены в своем ответе на вопрос «фактор и решение» в следующем тесте, попробуйте включить свои ответы в исходное уравнение и убедиться, что ваши решения приводят к истинным утверждениям.


    Это уравнение не в форме «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я пока не могу его решить.Первое, что мне нужно сделать, это перебрать все термины с одной стороны, а с другой стороны — ноль. Только тогда я могу разложить на множители и решить:

    x ​​ 2 — 3 = 2 x ​​

    x ​​ 2 -2 x ​​-3 = 0

    ( x ​​-3) ( x ​​ + 1) = 0

    x ​​ — 3 = 0, x ​​ + 1 = 0

    x ​​ = 3, x ​​ = –1

    Тогда мое решение:


    • Решите (
      x ​​ + 2) ( x ​​ + 3) = 12.

    Студенты часто видят уравнения такого типа и говорят:

    «Круто! Это уже учтено! Я установлю множители равными 12 и решу, чтобы получить x = 10 и x = 9. Это было легко!»

    Да, это было легко; это тоже было неправильно. Очень-очень неправильно.

    Помимо того факта, что ни (10 + 2) (10 + 3), ни (9 + 2) (9 + 3) не равно 12, мы никогда не должны забывать, что мы должны иметь «(квадратичное) равно (нулю)», прежде чем мы сможем решить по факторингу.

    Возвращение к упражнению:

    Каким бы заманчивым это ни казалось, я не могу приравнять каждый из множителей в левой части уравнения к другой части уравнения и решить. В противном случае я бы получил совершенно неправильную путаницу.

    Вместо этого мне сначала нужно умножить и упростить левую часть, затем вычесть 12 из левой и повторно разложить на множители. Только тогда я смогу решить.

    ( x ​​ + 2) ( x ​​ + 3) = 12

    x ​​ 2 + 5 x ​​ + 6 = 12

    x ​​ 2 + 5 x ​​ — 6 = 0

    ( x ​​ + 6) ( x ​​ — 1) = 0

    x ​​ + 6 = 0, x ​​ — 1 = 0

    x ​​ = –6, x ​​ = 1

    Тогда мое решение:


    Эту двухчленную квадратичную легче разложить на множители, чем предыдущие квадратичные: я сразу вижу, что могу вынести за скобки x ​​ из обоих членов, взяв x ​​ вперед.Это дает мне:

    Очень распространенная ошибка, которую делают ученики на этом этапе, — это «решить» уравнение для « x ​​ + 5 = 0» путем деления на x ​​. Но это неверный шаг. Почему? Потому что мы не можем делить на ноль. Как это здесь играет роль?

    При делении на коэффициент x ​​ делается неявное предположение, что x ​​ не равно нулю.Для такого предположения нет абсолютно никаких оснований! И такое предположение привело бы к потере половины нашего решения этого уравнения.

    Возвращение к упражнению:

    Мне нужно помнить, что фактор может содержать только переменную без добавления к другим терминам; в частности, « x ​​» — вполне допустимый коэффициент. Мне нужно установить и коэффициентов равными нулю, а затем решить два результирующих линейных уравнения:

    x ​​ ( x ​​ + 5) = 0

    x ​​ = 0, x ​​ + 5 = 0

    x ​​ = 0, x ​​ = –5

    Тогда мое решение:


    В предыдущем примере было два члена, и его легко разложить на множители.Есть еще один случай двухчленной квадратичной системы, который мы можем разложить на множители. Это только немного сложнее:

    Это уравнение имеет форму «(квадратичное) равно (нулю)», поэтому я могу решить его с помощью факторизации. Но как это учесть? Заметив, что это разница квадратов. Применим формулу разности квадратов, которую выучил:

    x ​​ 2 — 4 = 0

    ( x ​​-2) ( x ​​ + 2) = 0

    x ​​ — 2 = 0, x ​​ + 2 = 0

    x ​​ = 2, x ​​ = –2

    Тогда мое решение:


    Примечание. Приведенное выше решение также можно отформатировать как « x ​​ = ± 2».Это произносится как « x ​​ равно плюс-минус 2».

    В последнем примере, приведенном выше, на следующей странице мы расскажем, как вычислить квадратный корень.


    Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений путем факторизации. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить с факторингом», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или перейдите к следующей странице.)

    (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad.htm

    Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2

    Математическая сцена — Уравнения III — Урок 2 — Квадратные уравнения
    2008 Rasmus ehf и Jhann sak Ptursson

    Уравнения III

    Урок 2 Уравнения кубической и четвертой степени


    Как мы можем решить такие уравнения, как кубическое уравнение показано здесь?

    x 3 — x 2 4x + 4 = 0

    Существует чрезвычайно сложная формула решения кубические уравнения.Некоторые калькуляторы имеют встроенную формулу и поэтому могут использоваться для решения кубических уравнений.

    Мы собираемся узнать, как эти уравнения могут быть решены с помощью факторизация. Если уравнение имеет решения, которые являются целыми числами a, b и c, то мы можем разложить уравнение на множители следующим образом:

    x 3 — x 2 4x + 4 = (x — а) (х — б) (х — в) = 0

    Умножая скобки, видим, что константа член 4 должен быть числом, которое мы получаем, когда мы умножаем a, b и c вместе.

    abc = 4

    Все решения a, b и c должны быть множителями 4, поэтому не так много целых чисел, которые нам нужно учитывать.

    У нас есть только следующие возможности:

    1, 2 и 4

    Хорошо изучите каждое из этих чисел, чтобы найти, какие из них являются решениями уравнения.

    f (1) = 1 3 — 1 2 4 × 1 + 4 = 0 1 — решение

    f (-1) = (-1) 3 — (-1) 2 4 × (-1) + 4 = 6

    f (2) = 2 3 — 2 2 4 × 2 + 4 = 0 2 — решение

    f (−2) = (−2) 3 — (−2) 2 4 × (−2) + 4 = 0 −2 — решение

    Мы нашли три решения, поэтому нам не нужно попробуйте 4 и −4 как кубический уравнение имеет максимум три решения.

    Эти три числа дают нам значения a, b и c и мы можем факторизовать уравнение.

    x 3 — x 2 4x + 4 = (x — 1) (х — 2) (х + 2) = 0

    Этот метод включает поиск целых чисел, которые являются множителями (можно разделить на) постоянный член, а затем проверить, действительно ли эти целые числа являются решениями уравнения.
    К сожалению, мы не можем предполагать, что решения уравнения третьей степени являются все целые числа.
    Однако, если мы можем найти одно целочисленное решение, допустим, что это x = a, тогда Теорема остатка, мы знаем, что (x — a) является фактором уравнения. Мы можно найти другой множитель, квадратичный множитель, путем деления. Затем мы можем решить квадратное уравнение, используя формула для решения квадратиков.

    Пример 1

    Решите уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 = 0

    Ставим числа, кратные 4 в уравнение, чтобы проверить, верны ли какие-либо из них.

    f (1) = 1 3 — 3 × 1 2 2 × 1 + 4 = 0 1 — решение

    f (−1) = (−1) 3 — 3 × (−1) 2 2 × (-1) + 4 = 2

    f (2) = 2 3 — 3 × 2 2 2 × 2 + 4 = −4

    f (−2) = (−2) 3 — 3 × (−2) 2 2 × (−2) + 4 = −12

    f (4) = 4 3 — 3 × 4 2 2 × 4 + 4 = 12

    f (−4) = (−4) 3 — 3 × (−4) 2 2 × (−4) + 4 = −100

    Единственное целочисленное решение — x = 1.Когда мы нашли одно решение, нам действительно не нужно проверять другие числа, потому что теперь мы можем решить уравнение, разделив на (x — 1) и попытавшись решить квадратичный получаем из деления.

    Теперь мы можем разложить наши выражение следующим образом:

    x 3 — 3x 2 2x + 4 = (х — 1) (х 2 — 2х — 4) = 0

    Теперь нам остается решить квадратичную уравнение.

    x 2 — 2x — 4 = 0

    Воспользуемся формулой квадратичных с a = 1, b = −2 и c = −4.

    Мы нашли все три решения уравнение x 3 — 3x 2 2x + 4 = 0. Это: эфтирфаранди:

    .

    х = 1

    х = 1 + 5

    x = 1- 5

    Пример 2

    Мы можем легко использовать тот же метод для решения уравнение четвертой степени или уравнения еще более высокой степени.Решите уравнение f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 = 0.

    Сначала мы находим целые множители постоянный член, 2. Целочисленные множители 2 равны 1 и 2.

    f (1) = 1 4 — 1 3 — 5 × 1 2 + 3 × 1 + 2 = 0 1 — решение

    f (−1) = (−1) 4 — (−1) 3 — 5 × (−1) 2 + 3 × (−1) + 2 = −4

    f (2) = 2 4 — 2 3 — 5 × 2 2 + 3 × 2 + 2 = −4

    f (−2) = (−2) 4 — (−2) 3 — 5 × (−2) 2 + 3 × (−2) + 2 = 0 ср. нашли вторую решение.

    Два найденных нами решения 1 и −2 означают, что мы можем разделить на x — 1 и x + 2 и остатка не будет. Сделайте это в два этапа.
    Сначала разделим на x + 2

    Теперь разделите полученное кубический коэффициент по x — 1.

    Теперь мы разложили
    f (x) = x 4 — x 3 — 5x 2 + 3x + 2 на
    f (x) = (x + 2) (x — 1) (x 2 — 2x — 1) и только Осталось решить квадратное уравнение

    x 2 — 2x — 1 = 0.Мы используем формула с a = 1, b = −2 и c = −1.

    Всего мы нашли четыре решения. Их:

    х = 1

    х = −2

    х = 1 +

    х = 1 —

    Иногда мы можем решить уравнение третьей степени, заключив в скобки члены два на два и найдя множитель что у них общего.Давайте посмотрим на это на примере.

    Пример 3.

    Решите уравнение x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0

    x 3 — 2x 2 — 4x + 8 = 0

    (x 3 — 2x 2 ) — (4x — 8) = 0

    [x 2 (x — 2) — 4 (x — 2)] = 0

    (x — 2) [x 2 — 4] = 0

    (х — 2) (х — 2) (х + 2) = 0

    Здесь скобка (x — 2) является общим множителем и может быть вынесена за пределы общая скобка.

    Обратите внимание, что скоба (x — 2) происходит дважды, когда мы закончили факторизацию. x = 2 — это поэтому двойное решение, и у нас есть только два разных. Это:

    х = 2 и х = -2 .

    Лауснир: x = 2 og x = −2 .

    Примеры, которые мы рассмотрели до сих пор, являются уравнения, в которых член с наибольшей степенью имеет коэффициент 1.

    Как мы иметь дело с уравнениями, где этот коэффициент — какое-то другое число?

    Общая форма — f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c и d — целые числа.

    Мы можем искать целочисленные решения в том же как и раньше, проверяя множители постоянного члена d. Если мы найдем целочисленное решение, тогда мы можем разделить и найти другие решения, как и раньше.

    Если ни один из факторов d не дает нам решения затем мы ищем решения, которые являются дробями.
    Предположим, есть дробное решение, и назовем его решение x = t / n.

    Это означает, что x — t / n является фактором f (x), или, если мы умножаем на n, то xn — t является множителем.

    Теперь предположим, что мы разделили f (x) на xn. — t и нашли квадратичный множитель, мы можем назвать его
    Ax 2 + Bx + C.

    Теперь у нас есть результат

    ax 3 + bx 2 + cx + d = (xn — t) (Ax 2 + Bx + C)

    сравнивая коэффициенты х 3 на обе стороны уравнения мы видим, что a = nA и, следовательно, n должно быть множителем а.
    Аналогично, сравнивая постоянные члены, мы видим, что d = −tC и, следовательно, t является множителем d.

    Мы заключаем, что любая дробь является решением кубическое уравнение ax 3 + bx 2 + cx + d должен иметь вид t / n, где t — множитель числа d, а n — фактор числа a.

    Обобщение для функции степени n:

    ф (х) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + × × × × + а 1 х + 0

    с коэффициентами a 0 , а 1 , а 2 , × × × × × а n − 2 , n − 1 и n .

    Если эта функция имеет рациональное решение, скажем, t / n, тогда t — коэффициент 0 , а n — коэффициент n .

    Пример 4

    Решите уравнение f (x) = 2x 3 — 7x 2 + 4x + 3 = 0.

    Возможные целые корни f (x) — это делители 3, это 1 и 3. Дроби, которые могут быть корнями, — это эти четыре числа, разделенные на множители 2.Итак, полный список рациональных чисел, которые нам нужно рассмотреть, — это , 1, 3 / 2 и 3.

    Сразу видно, что нам не нужно рассмотрите любые отрицательные значения, поскольку все они будут давать отрицательные значения для f (x), а не 0.

    Теперь попробуем другие возможности

    f () = 2 () 3 — 7 () 2 + 4 × + 3 = 3

    f (1) = 2 × 1 3 — 7 × 2 + 4 × 1 + 3 = 2

    ф ( 3 / 2 ) = 2 ( 3 / 2 ) 3 — 7 ( 3 / 2 ) 2 + 4 × 3 / 2 + 3 = 0, поэтому мы нашли решение.

    x = 3 / 2 — это решение, поэтому (x — 3 / 2 ) является множителем. Разделить на (x — 3 / 2 ) может быть сложно. Поэтому мы умножаем на 2 и вместо этого делим на (2x — 3). Если (x — 3 / 2 ) является фактор

    , значит, (2x — 3).

    Теперь нам нужно решить уравнение x 2 — 2x — 1 = 0.Мы уже решили это уравнение в примере 2. Решениями были: 1 + 2 og 1 — 2.

    Итак, мы нашли три решения. Их:

    х = 3 / 2 = 1

    х = 1 + 2

    х = 1 — 2


    Попробуйте пройти тест 2 по уравнениям III.

    Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.

    Решение кубических уравнений — методы и примеры

    Решение полиномиальных уравнений высшего порядка — важный навык для любого, кто изучает естественные науки и математику.Однако понять, как решать такие уравнения, довольно сложно.

    В этой статье будет обсуждаться, как решать кубические уравнения, используя различные методы, такие как метод деления, теорема о множителях и факторизация по группировке.

    Но прежде чем перейти к этой теме, давайте обсудим , что такое полиномиальное и кубическое уравнение.

    Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

    Общая форма многочлена: ax n + bx n-1 + cx n-2 +…. + kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены. Примеры полиномов: 3x + 1, x 2 + 5xy — ax — 2ay, 6x 2 + 3x + 2x + 1 и т. Д.

    Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение третьей степени.
    Общий вид кубической функции: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx 1 + d.Кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — постоянная.

    Как решать кубические уравнения?

    Традиционный способ решения кубического уравнения — свести его к квадратному уравнению, а затем решить его с помощью факторизации или квадратной формулы.

    Как квадратное уравнение имеет два действительных корня , так и кубическое уравнение может иметь три действительных корня. Но в отличие от квадратного уравнения, которое может не иметь реального решения, кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

    Два других корня могут быть действительными или мнимыми.

    Всякий раз, когда вам задают кубическое уравнение или какое-либо уравнение, вы всегда должны сначала преобразовать его в стандартную форму.

    Например, если вам дано что-то вроде этого, 3x 2 + x — 3 = 2 / x, вы перегруппируете в стандартную форму и запишете это как, 3x 3 + x 2 — 3x — 2 = 0. Тогда вы можете решить это любым подходящим методом.

    Давайте рассмотрим несколько примеров ниже для лучшего понимания:

    Пример 1

    Определите корни кубического уравнения 2x 3 + 3x 2 — 11x — 6 = 0

    Решение

    Так как d = 6, то возможными множителями являются 1, 2, 3 и 6.

    Теперь примените теорему о факторах, чтобы проверить возможные значения методом проб и ошибок.

    f (1) = 2 + 3 — 11 — 6 ≠ 0
    f (–1) = –2 + 3 + 11 — 6 ≠ 0
    f (2) = 16 + 12 — 22 — 6 = 0

    Следовательно, x = 2 — первый корень.

    Мы можем получить другие корни уравнения, используя метод синтетического деления.
    = (x — 2) (ax 2 + bx + c)
    = (x — 2) (2x 2 + bx + 3)
    = (x — 2) (2x 2 + 7x + 3 )
    = (x — 2) (2x + 1) (x +3)

    Следовательно, решения следующие: x = 2, x = -1/2 и x = -3.

    Пример 2

    Найдите корни кубического уравнения x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0

    Решение

    x 3 — 6x 2 + 11x — 6

    (x — 1) — один из факторов.

    Разделив x 3 — 6x 2 + 11x — 6 на (x — 1),

    ⟹ (x — 1) (x 2 — 5x + 6) = 0

    ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

    Это решение кубического уравнения: x = 1, x = 2 и x = 3.

    Пример 3

    Решить x 3 — 2x 2 — x + 2

    Решение

    Факторизуйте уравнение.

    x 3 — 2x 2 — x + 2 = x 2 (x — 2) — (x — 2)

    = (x 2 — 1) (x — 2)

    = (x + 1) (x — 1) (x — 2)

    x = 1, -1 и 2.

    Пример 4

    Решите кубическое уравнение x 3 — 23x 2 + 142x — 120

    Решение

    Сначала разложите многочлен на множители.

    x 3 — 23x 2 + 142x — 120 = (x — 1) (x 2 — 22x + 120)

    Но x 2 — 22x + 120 = x 2 — 12x — 10x + 120

    = x (x — 12) — 10 (x — 12)
    = (x — 12) (x — 10)

    Следовательно, x 3 — 23x 2 + 142x — 120 = ( x — 1) (x — 10) (x — 12)

    Приравняйте каждый множитель к нулю.

    x — 1 = 0

    x = 1

    x — 10 = 10

    x — 12 = 0

    x = 12

    Корни уравнения — x = 1, 10 и 12.

    Пример 5

    Решите кубическое уравнение x 3 — 6 x 2 + 11x — 6 = 0.

    Решение

    Чтобы решить эту задачу методом деления, возьмите любой множитель постоянная 6;

    let x = 2

    Разделите многочлен на x-2 до

    (x 2 — 4x + 3) = 0.

    Теперь решите квадратное уравнение (x 2 — 4x + 3) = 0 чтобы получить x = 1 или x = 3

    Следовательно, решения следующие: x = 2, x = 1 и x = 3.

    Пример 6

    Решите кубическое уравнение x 3 — 7x 2 + 4x + 12 = 0

    Решение

    Пусть f (x) = x 3 — 7x 2 + 4x + 12

    Поскольку d = 12, возможные значения — 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

    Методом проб и ошибок мы находим, что f (–1) = –1 — 7 — 4 + 12 = 0

    Итак, (x + 1) является множителем функции.

    x 3 — 7x 2 + 4x + 12
    = (x + 1) (x 2 — 8x + 12)
    = (x + 1) (x — 2) (x — 6)

    Следовательно, x = –1, 2, 6

    Пример 7

    Решите следующее кубическое уравнение:

    x 3 + 3x 2 + x + 3 = 0.

    Решение

    x 3 + 3x 2 + x + 3
    = (x 3 + 3x 2 ) + (x + 3)
    = x 2 (x + 3) + 1 (x + 3)
    = (x + 3) (x 2 + 1)

    Следовательно, x = -1, 1-3.

    Пример 8

    Решить x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0

    Решение

    Разложить на множители

    x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0 ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

    Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

    x = 1, x = 2 и x = 3

    Пример 9

    Решить x 3 — 4x 2 — 9x + 36 = 0

    Решение

    Разложить каждый набор два срока.

    x 2 (x — 4) — 9 (x — 4) = 0

    Извлеките общий множитель (x — 4), чтобы получить

    (x 2 — 9) (x — 4) = 0

    Теперь разность двух квадратов разложите на множители

    (x + 3) (x — 3) (x — 4) = 0

    Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем;

    x = −3, 3 или 4

    Пример 10

    Решите уравнение 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 = 0

    Решение

    Divide 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 на x -2, чтобы получить 3x 2 — 1x — 9x + 3

    = x (3x — 1) — 3 (3x — 1)

    = (x — 3) ( 3x — 1)

    Следовательно, 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 = (x- 2) (x — 3) (3x — 1)

    Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить,

    x = 2, 3 и 1/3

    Пример 11

    Найдите корни 3x 3 — 3x 2 — 90x = 0

    Решение

    множитель 3x

    3x 3 — 3x 2 — 90x ⟹3x (x 2 — x — 30)

    Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

    ⟹- 6 * 5 = -30

    ⟹ −6 + 5 = -1

    Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители.

    ⟹ 3x [(x 2 — 6x) + (5x — 30)]

    Разложите уравнение на множители;

    ⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)]

    = 3x (x — 6) (x + 5)

    Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем:

    x = 0, 6, -5

    Решение кубических уравнений с использованием графического метода

    Если вы не можете решить кубическое уравнение ни одним из вышеперечисленных методов, вы можете решить его графическим способом.Для этого вам необходимо иметь точный набросок данного кубического уравнения.

    Точка (точки), где его график пересекает ось x, является решением уравнения. Количество реальных решений кубических уравнений равно количеству пересечений его графиком оси абсцисс.

    Пример 12

    Найдите корни x 3 + 5x 2 + 2x — 8 = 0 графически.

    Решение

    Просто нарисуйте график следующей функции, подставив случайные значения x:

    f (x) = x 3 + 5x 2 + 2x — 8

    . График отсекает ось абсцисс в 3 точках, следовательно, существует 3 реальных решения.

    На графике решения следующие:

    x = 1, x = -2 & x = -4.

    Практические вопросы

    Решите следующие кубические уравнения:

    1. x 3 — 4x 2 — 6x + 5 = 0
    2. 2x 3 — 3x 2 — 4x — 35 = 0
    3. x 3 — 3x 2 — x + 1 = 0
    4. x 3 + 3x 2 — 6x — 8 = 0
    5. x 3 + 4x 2 + 7x + 6 = 0
    6. 2x 3 + 9x 2 + 3x — 4 = 0
    7. x 3 + 9x 2 + 26x + 24 = 0
    8. x 3 — 6x 2 — 6x — 7 = 0
    9. x 3 — 7x — 6 = 0
    10. x 3 — 5x 2 — 2x + 24 = 0
    11. 2x 3 + 3x 2 + 8x + 12 = 0
    12. 5x 3 — 2x 2 + 5x — 2 = 0
    13. 4x 3 + x 2 — 4x — 1 = 0
    14. 5x 3 — 2x 2 + 5x — 2 = 0
    15. 4x 3 900 16 — 3x 2 + 20x — 15 = 0
    16. 3x 3 + 2x 2 — 12x — 8 = 0
    17. x 3 + 8 = 0
    18. 2x 3 — x 2 + 2x — 1 = 0
    19. 3x 3 — 6x 2 + 2x — 4 = 0
    20. 3x 3 + 5x 2 — 3x — 5 = 0
    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Решение квадратичных вычислений на множители

    Решение квадратичных вычислений на множители Вот шаги, необходимые для решения квадратичных расчетов по факторингу:
    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.Чтобы получить правильную форму, вы должны удалить все круглые скобки с каждой стороны уравнения путем распределения, объединить все одинаковые члены и, наконец, установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы учесть проблему.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равным нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Пример 1 — Решить: x 2 + 16 = 10x

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Пример 2 — Решить: 18x 2 — 3x = 6

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 3 — Решить: 50x 2 = 72

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 4 — Решить: x (2x — 1) = 3

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки путем распределения и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 5 — Решить: (x + 3) (x — 5) = –7

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме.В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки, распределив, объединить одинаковые термины и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 6 — Решить: 3x (x + 1) = (2x + 3) (x + 1)

    Шаг 1 : Напишите уравнение в правильной форме. В этом случае нам нужно удалить все круглые скобки, распределив, объединить одинаковые термины и установить уравнение равным нулю с членами, записанными в порядке убывания.
    Шаг 2 : Используйте стратегии факторинга, чтобы разложить проблему.
    Шаг 3 : Используйте свойство нулевого произведения и установите каждый коэффициент, содержащий переменную, равной нулю.
    Шаг 4 : Решите каждый коэффициент, который был установлен равным нулю, получая x с одной стороны и ответ с другой стороны.

    Щелкните здесь для практических задач

    Решение уравнения абсолютных значений

    Далее мы узнаем, как решить уравнение абсолютного значения .Чтобы решить такое уравнение, как [latex] | 2x — 6 | = 8 [/ latex], мы замечаем, что абсолютное значение будет равно 8, если количество внутри столбцов абсолютного значения равно [latex] 8 [/ latex] или [латекс] -8 [/ латекс]. Это приводит к двум различным уравнениям, которые мы можем решить независимо.

    [латекс] \ begin {array} {lll} 2x — 6 = 8 \ hfill & \ text {или} \ hfill & 2x — 6 = -8 \ hfill \\ 2x = 14 \ hfill & \ hfill & 2x = — 2 \ hfill \\ x = 7 \ hfill & \ hfill & x = -1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Полезно знать, как решать проблемы, связанные с функциями абсолютного значения.Например, нам может потребоваться определить числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

    Общее примечание: уравнения абсолютных значений

    Абсолютное значение x ​​ записывается как [latex] | x | [/ latex]. Он имеет следующие свойства:

    [латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} x \ ge 0, \ text {then} | x | = x. \ Hfill \\ \ text {If} x <0, \ text {тогда } | x | = -x. \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Для действительных чисел [латекс] A [/ латекс] и [латекс] B [/ латекс], уравнение вида [латекс] | A | = B [/ латекс] с [латексом] B \ ge 0 [/ latex], будут решения, когда [latex] A = B [/ latex] или [latex] A = -B [/ latex].Если [latex] B <0 [/ latex], уравнение [latex] | A | = B [/ latex] не имеет решения.

    Уравнение абсолютного значения в форме [latex] | ax + b | = c [/ latex] имеет следующие свойства:

    [латекс] \ begin {array} {l} \ text {If} c <0, | ax + b | = c \ text {не имеет решения}. \ Hfill \\ \ text {If} c = 0, | ax + b | = c \ text {имеет одно решение}. \ hfill \\ \ text {If} c> 0, | ax + b | = c \ text {имеет два решения}. \ hfill \ end {array} [ / латекс]

    Как: решить уравнение абсолютного значения.

    1. Изолировать выражение абсолютного значения по одну сторону от знака равенства.
    2. Если [latex] c> 0 [/ latex], запишите и решите два уравнения: [latex] ax + b = c [/ latex] и [latex] ax + b = -c [/ latex].

    Пример 8: Решение уравнений абсолютных значений

    Решите следующие уравнения абсолютных значений:

    а. [латекс] | 6x + 4 | = 8 [/ латекс]
    б. [латекс] | 3x + 4 | = -9 [/ латекс]
    c. [латекс] | 3x — 5 | -4 = 6 [/ латекс]
    d. [латекс] | -5x + 10 | = 0 [/ латекс]

    Решение

    а. [латекс] | 6x + 4 | = 8 [/ латекс]

    Напишите два уравнения и решите каждое:

    [латекс] \ begin {array} {ll} 6x + 4 \ hfill & = 8 \ hfill & 6x + 4 \ hfill & = — 8 \ hfill \\ 6x \ hfill & = 4 \ hfill & 6x \ hfill & = — 12 \ hfill \\ x \ hfill & = \ frac {2} {3} \ hfill & x \ hfill & = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Два решения: [латекс] x = \ frac {2} {3} [/ latex], [latex] x = -2 [/ latex].

    г. [латекс] | 3x + 4 | = -9 [/ латекс]

    Нет решения, так как абсолютное значение не может быть отрицательным.

    г. [латекс] | 3x — 5 | -4 = 6 [/ латекс]

    Выделите выражение абсолютного значения и запишите два уравнения.

    [латекс] \ begin {array} {lll} \ hfill & | 3x — 5 | -4 = 6 \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & | 3x — 5 | = 10 \ hfill & \ hfill \\ \ hfill & \ hfill & \ hfill \\ 3x — 5 = 10 \ hfill & \ hfill & 3x — 5 = -10 \ hfill \\ 3x = 15 \ hfill & \ hfill & 3x = -5 \ hfill \\ x = 5 \ hfill & \ hfill & x = — \ frac {5} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Есть два решения: [латекс] x = 5 [/ latex], [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].

    г. [латекс] | -5x + 10 | = 0 [/ латекс]

    Уравнение установлено равным нулю, поэтому нам нужно написать только одно уравнение.

    [латекс] \ begin {array} {l} -5x + 10 \ hfill & = 0 \ hfill \\ -5x \ hfill & = — 10 \ hfill \\ x \ hfill & = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex ]

    Есть одно решение: [латекс] х = 2 [/ латекс].

    Решить уравнение программа: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

    Решение уравнений по фотографии — приложения для математиков

    Даже если задания легкие, но их слишком много, хочется, чтобы их сделал кто-то другой. Решение существует — решение уравнений по фотографии.

    Принцип их работы прост: фотографируете пример, загружаете фото в программу (чаще всего в подобных приложениях уже есть встроенная камера), и она выдает пошаговое решение. Читайте до конца и узнавайте об этих программах, которые не только найдут правильное решение для всех примеров, но и научат вас делать то же самое!

    Решение уравнений по фотографии: Photomath

    Пожалуй, самым популярным и распространенным математическим приложением является Photomath. Приведем небольшую инструкцию по работе с этой программой:

    • Photomath уже имеет встроенную камеру. Вы наводите ее на пример, и приложение начинает его анализ;
    • если схемы решения данного задания уже заложены в «мозг» приложения, то оно выдает решение;
    • решение разделено на несколько этапов, есть промежуточные результаты. Каждый шаг можно отдельно изучить;
    • немаловажный плюс — с построением графиков программа также справляется.

    MalMath

    Данное приложение, как и Photomath, способно выполнять построения графиков разной сложности. В MalMath заложены новейшие схемы решения уравнений, неравенств и прочих математических заданий.

    Хотите потренироваться? Приложение выдаст случайные примеры любой сложности. При этом все решения можно сохранить в программе и продолжить работу позже.

    Решение уравнений по фотографии: Automath

    Данное приложение, как и предыдущие, использует встроенную камеру и фокусируется на изображении примера. После непродолжительного анализа программа выдает поэтапно выстроенное решение. Удобный и качественный сервис помогает быстро сориентироваться на первоначальном этапе и вникнуть в принцип работы Automath.

    Разработчик: S2dio

    Подобных приложений, которые решают математические примеры по фотографиям, существует довольно много. Но сервис и качество работы большинства из них крайне неудобны и малоэффективны.

    Мы предлагаем вам воспользоваться тремя самыми способными программами, представленными выше. Пользуйтесь, решайте на отлично и учитесь на своих ошибках!

    Если вы нашли опечатку — выделите ее и нажмите Ctrl + Enter! Для связи с нами вы можете использовать info@apptractor. ru.

    Как решить уравнение по математике (с помощью искусственного интеллекта). В помощь учащимся: иксы, косинусы и пр.

    Доброго времени!

    Да… ребята! Мы сейчас входим в такую эру, когда типовые задачки, уже ранее решенные другими людьми — будут щелкаться искусственным интеллектом на раз-два… 👌

    Например, возникли у вас трудности с решением мат. уравнения (с иксами, косинусами, логарифмами и прочими производными) — достаточно установить спец. приложение и сфотографировать данное уравнение.

    Далее искусственный интеллект его проанализирует и выдаст вам правильное решение (да еще и построит график, если нужно)! Это просто мечта любого учащегося (и 10-20 лет назад это себе и представить нельзя было…).

    Собственно, в этой заметке покажу вам как это все можно реализовать… ✌

     

    *

    Содержание статьи

    Решение уравнений по математике, постройка графиков

    ШАГ 1: приготовления или установка спец.

    приложения

    Для работы в первую очередь нам понадобиться относительно современный смартфон и приложение Math Solver (от Microsoft!). Не перепутайте, схожих по названию приложений достаточно много!

    👉 Math Solver (Ссылка на Google Play)

    Это приложение от Microsoft, призванное помочь в решении математических уравнений. Важно сразу отметить: что оно рассчитано на новичков (и людей ничего не понимающих в математике).

    Всё, что от вас потребуется — это сфотографировать на телефон непонятную для вас формулу. Дальше приложение рассчитает ее автоматически.

    Впрочем, есть возможность ручного ввода уравнения…

    Внешний вид окна Math Solver

    Обратите внимание, что Math Solver может решать как самые простейшие арифметические действия, так и довольно сложные системы уравнений (с синусами, косинусами, логарифмами, производными, интегралами и т.д.). 👇

    Какие уравнения может решать Math Solver

    Примечание: для фотографирования формул у вас на смартфоне должна быть достаточно качественная камера (не менее 10 Мегапикселей!). Иначе, есть риск, что приложение просто не сможет разобрать, что у вас там на снимке…

     

    *

    ШАГ 2: вводим данные и получаем решение

    Способ 1: с помощью фотографирования

    И так, для первого теста я взял самое простое уравнение, написанное на клочке бумаге. После запуска программы — появился небольшой «прямоугольник», в который нужно сфотографировать наш пример.

    Фотографируем бумажку с уравнением

     

    Далее приложение автоматически распознает с фотографии написанное и сразу же предлагает решение (см. пример ниже 👇).

    Ответ найден

     

    Кстати, что еще более подкупает — можно посмотреть не только ответ, а подробное пошаговое решение! 👇

    Подробное решение

    Добавлю, что такие простые задачки — Math Solver щелкает как орешки. Как правило, никаких проблем не возникает!

     

    Способ 2: вручную рисуем (пишем) формулу

    Решил я для теста несколько усложнить задачу и «нарисовал» на экране отличную от вышеприведенной формулу. .. (это Match Solver также допускает — т.е. приложение хорошо распознает даже рукописный текст!).

    Нарисовал формулу пальцем! Math Solver

     

    После, Math Solver представил вариант решения (действий уже несколько больше, но всё-таки…).

    Комплексное решение найдено!

    Подробное пошаговое решение уравнения

     

    Кстати, график уравнения также представлен (строится автоматически).

    Построен автоматически график функции

     

    *

    Полевые условия: учебник математики

    После всего вышеприведенного, решил я пробежаться по старым учебникам математики. Как приложение справится с ними…?

    На удивление, больше 90% уравнение легко решаются практически в лёт! Достаточно выделить в прямоугольник нужную формулу и сфотографировать ее.

    Пример из учебника

     

    После в авто-режиме и решение и график.

    Ответ программы

     

    Если сравнить с ответом в учебнике — как правило всё совпадает! 👌

    Ответ из учебника (для сравнения)

    *

    Единственное: иногда приложение неправильно читает дроби, знаки плюса, минуса, равно (прим. : когда бумага поистирается, некоторые символы становятся трудно-читаемыми). В этом случае уравнение нужно аккуратно переписать вручную на листок бумаги и уже с него фотографировать… 👌

     

    *

    Дополнение (20.04.2021): в браузер Edge была встроена функция Math Solver

    Относительно недавно в браузер Edge (он встроен в Windows 10) была добавлена функция Math Solver! Теперь можно, не выходя из браузера, решать любые* уравнения, которые вам попадаются (в том числе и на картинках).

    Покажу на примере, как ее включить, и как пользоваться…👇

    *

    1) Итак, сначала запускаем браузер Edge. У кого его нет — можно скачать отсюда (ссылка на офиц. сайт).

    Windows 10 — Edge

     

    2) Далее в адресной строке набираем edge://flags/ — с помощью поиска нужно найти функцию «Math Solver in…», перевести ее в режим «Enabled» (т.е. включена) и перезагрузить браузер.

    Включаем функцию для решения уравнений

     

    3) После необходимо набрать в адресной строке edge://settings/appearance — и разрешить отображение кнопки для решения уравнений. 👇

    Отображать кнопку решения математических задач

     

    4) Всё! Теперь находим уравнение, которое нужно решить, и:

    • нажимаем по кнопке «Решение…» на панели задач браузера;
    • выделяем нужное уравнение;
    • нажимаем на кнопку «Решить»;
    • Ждем… (5-10 сек. в среднем).

    Выбираем задачку

     

    5) На выходе получаем и ответ, и пошаговые действия (для его нахождения), и графики и пр. штуки. Удобно?! 😉

    Решение (пример)

     

    *

    Дополнения по теме приветствуются…

    Удачи!

    👋

    Первая публикация: 15.02.2020

    Корректировка: 20.04.2021

    Полезный софт:

    • Видео-Монтаж

    • Отличное ПО для создания своих первых видеороликов (все действия идут по шагам!).
      Видео сделает даже новичок!
    • Ускоритель компьютера

    • Программа для очистки Windows от «мусора» (удаляет временные файлы, ускоряет систему, оптимизирует реестр).

    Другие записи:

    Как написать программу для решения уравнений 🚩 Программное обеспечение

    Изучите теоретические основы решения линейных уравнений, прежде чем разрабатывать свою интерактивную программу. Это поможет вам более рационально реализовать код будущего приложения.

    Создайте основу для программы. Первым шагом является определение классов. Работа с большими группами чисел в виде классов представляет собой более легкую задачу, если ресурсы компьютера ограничены. Это поможет увеличить практичность вашего кода.

    Создайте правила работы программы. Типичным примером является область значения вводимых данных. Чем меньше свободной оперативной памяти имеется на компьютере, тем меньше должны быть вводимые числа.

    Откройте сеанс терминала и вызовите интерпретатор Python с помощью следующей команды:

    My-iMac:~ me$ python –v

    Это покажет длинный список всех модулей Python, доступных в данной версии программы. В конце компилятор сообщит, какая версия Python используется на компьютере.

    Создайте новое определение функции в Python, введя следующий код в окне компилятора. Многие источники называют эту функцию «isolve»:

    >>> def isolve(a,b,c):

    Двоеточие не даст компилятору сразу интерпретировать код, когда вы нажмете клавишу ввода, и позволит закончить работу.

    Создайте две переменные, q и r, принимающие значения частного и остатка от уравнения с переменными a и b, а затем вызовите функцию divmod, которая найдет и разделит два этих числа. После чего на экране появятся делитель и остаток от операции, если таковые имеются. Код должен выглядеть следующим образом:

    … q, r = divmod divmod(a,b)

    Создайте условие с помощью if, которое будет быстро выводить решение уравнения, при отсутствии остатка. Введите следующее:

    … if r == 0:
    … return( [0,c/b] )

    Создайте еще одно условие для случая, когда есть остаток:

    … else:

    … sol = isolve(b,r,c)

    … u = sol[0]

    … v = sol[1]

    … return( [v, u — q*v ] )

    Это позволит поставить b и r внутрь оператора «divmod», вернет их как переменные u и v, а затем возвратит в виде множества решений. Полный код этой программы выглядит следующим образом:

    >>> def isolve(a,b,c):
    … q, r = divmod(a,b)
    … if r == 0:
    … return( [0,c/b] )
    … else:

    … sol = isolve(b,r,c)

    … u = sol[0]

    … v = sol[1]

    … return( [v, u — q*v ] )

    Обратите особое внимание на уточнение после условий else и if. Python не будет выполнять этот код без соответствующего определения.

    Нажмите кнопку возврата еще раз, чтобы вернуть предыдущую строку. Введите функцию «isolve» и три значения для z, y и с и нажмите «Return». Вы должны увидеть следующее:

    >>> isolve(5, 17, 103)
    [721, -206]

    Это означает, что программа работает правильно и в коде нет ошибок. Попробуйте ввести другие начальные значения, чтобы проверить правильность вычислений.

    ▶▷▶▷ гдз решить уравнение к

    ▶▷▶▷ гдз решить уравнение к
    ИнтерфейсРусский/Английский
    Тип лицензияFree
    Кол-во просмотров257
    Кол-во загрузок132 раз
    Обновление:05-10-2019

    гдз решить уравнение к — Гдз Решить Уравнение К — Image Results More Гдз Решить Уравнение К images Калькулятор онлайн — Решение показательных уравнений wwwmath-solutionrumath-taskexponential-equality Cached Решить уравнение 9 х — 4 3 х — 45 0 Заменой 3 х t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 0 Решая это уравнение , находим его корни: t 1 9, t 2 -5, откуда 3 х 9, 3 х -5 Решить уравнение — pocketteacherru pocketteacherru Cached Pocket Teacher: здесь вы можете решить уравнение и математические задачи любой сложности за секунды совершенно бесплатно 5 Решите уравнение 7 класс — YouTube wwwyoutubecom watch?vLWKXlsudNuI Cached Решенные примеры по алгебре 7 класс https: wwwyoutubecom playlist?listPLCrA1G_tvIUtZe5f-wgB7xxvH-C0OgdYJ по учебнику Решите уравнение ОГЭ по математике Задание 21 вариант 3 wwwyoutubecom watch?vO1_A27gO45c Cached Решите уравнение огэ задание 21 вариант 3 Подготовка к огэ по математике под редакцией Ященко 2018 Как решить Решение уравнений Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания wwwyaklassrupmatematika6-klass Cached Теоретические уроки, тесты и задания по предмету Решение уравнений, Преобразование буквенных выражений, 6 класс, Математика ГДЗ: готовые домашние задания за 1-11 класс — GDZRU gdzru Cached Вы выбрали отличный сайт с гдз , где собрана вся информация по решению домашнего задания Давно не секрет, что школьники постоянно пользуются решебниками к школьным учебникам Решение уравнений Учебник по математике 6 класс (Виленкин) urokitvreshenie-uravnenij-uchebnik-po Cached Зная правила нахождения неизвестного слагаемого, Вы уже можете решать уравнения вида х35 Вы знаете, что х35, х5-32 Легко! А если есть такое уравнение 3х520, как его решить ? ГДЗ — готовые домашние задания и решебники megareshebaru Cached ГДЗ (готовые домашние задания) за 1-11 классы, онлайн решебники по всем школьным предметам, ответы к рабочим и лабораторным тетрадям Уравнения 5 класса Математика wwwfor6cluznatesheruuravneniya-5-klassa Cached Как решить вот это уравнение ? (54у 83) 21 231 Я считаю что там где стоит вычитание должно быть умножение Задание на печатала сама учительница, поэтому всё должно быть правильно 10 Уравнение — ГДЗ учебник — matem-gdzru matem-gdzru5-klassotvety-gdz-k-uchebniku-po Cached Главная 5 класс Ответы ( ГДЗ ) к учебнику по математике 5 класс Решить уравнение (у 64) — 38 Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 27,300

    • . ..469; в) 2у 7у 78 1581; г) 256m — 147m — 1871 — 63 747; д) 88 880: 110 х 809; е) 6871 р: 121
    • 7000; ж) 3810 1206: у 3877; з)… Готовые домашние задания ГДЗ по Математике автор Зубарева, Мордкович за 6 класс. Решать уравнения. Поэтому вам не составит труда быстро найти и решить определённ
    • рдкович за 6 класс. Решать уравнения. Поэтому вам не составит труда быстро найти и решить определённый номер. Данный сайт можно использовать для получения ГДЗ по алгебре за 7 класс, как решебник для решения задач по алгебре онлайн. Не надо ничего списывать, всё здесь. Подготовка к ЕГЭ по математике, варианты, тесты, конспекты по математике, алгебре, геометрии. Степенное алгебраическое уравнение. ax 2 n bx n c 0 (a ne 0) Заменой y x n приведем к уравнению… Практическая польза от ГДЗ по алгебре 7 класс Специальное пособие, которое можно просмотреть онлайн и скачать, ГДЗ по алгебре 7 класс Iстер (Истер) позволит не просто освоить данный предмет, но также и решить все проблемы, возникшие в ходе образовательного процесса. Практически, при определенных навыках и умениях, все решается … ГДЗ по математике за 5 класс Виленкин Н.Я. ГДЗ Виленкин В.Я. Материал удален по требованию издательства quot;Экзаменquot; Где скачать ГДЗ по английскому 5-6 класс Биболетова рабочая тетрадь??? Если также будет просить кого-либо решить за тебя такие элементарные задачи, то к концу года забудешь 22. Контрольные Олимпиады ЕГЭ ГДЗ. Любое уравнение можно привести к виду f(x) 0 и считать уравнением частный случай функции у f(x), когда она равна нулю. ГДЗ Алгебра 7 Колягин, Ткачева, Федорова 510. Задачи для ОГЭ с ответами и решениями Линейные уравнения перейти к содержанию задачника Решите уравнение.

    Ткачева

    как решебник для решения задач по алгебре онлайн. Не надо ничего списывать

    • 3 х -5 Решить уравнение — pocketteacherru pocketteacherru Cached Pocket Teacher: здесь вы можете решить уравнение и математические задачи любой сложности за секунды совершенно бесплатно 5 Решите уравнение 7 класс — YouTube wwwyoutubecom watch?vLWKXlsudNuI Cached Решенные примеры по алгебре 7 класс https: wwwyoutubecom playlist?listPLCrA1G_tvIUtZe5f-wgB7xxvH-C0OgdYJ по учебнику Решите уравнение ОГЭ по математике Задание 21 вариант 3 wwwyoutubecom watch?vO1_A27gO45c Cached Решите уравнение огэ задание 21 вариант 3 Подготовка к огэ по математике под редакцией Ященко 2018 Как решить Решение уравнений Математика
    • поэтому всё должно быть правильно 10 Уравнение — ГДЗ учебник — matem-gdzru matem-gdzru5-klassotvety-gdz-k-uchebniku-po Cached Главная 5 класс Ответы ( ГДЗ ) к учебнику по математике 5 класс Решить уравнение (у 64) — 38 Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
    • тесты

    Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд гдз решить уравнение к Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Решение уравнений бесплатно Калькулятор Онлайн kontrolnayarabotaruequ Решение уравнений бесплатно Онлайн калькулятор для решения любых уравнений , неравенств, интегралов Обычные уравнения Дифференциальные Квадратные уравнения Решите уравнение Решебник ГДЗ по математике ЕГЭ и egegiablogspotcomxxhtml?m Ярлыки Разложите многочлен на множители, Разложите на множителе, Решите уравнение Приложения в Play Photomath Рейтинг , голосов Бесплатно Android Обучение Научитесь решать математические задачи, проверять домашние задания и готовиться к предстоящим Задача ГДЗ решебник Математика класс Мерзляк mathcomua gdz merzlyak ГДЗ по математике класс Мерзляк Задача Решите уравнение ,x ,x , ,; a a Подскажите решение уравнения Поделитесь гдз gdz podskazhite Ответы на вопрос Подскажите решение уравнения Поделитесь гдз алгебра класс Мордкович? Как решить уравнение в Помогите с гдз по алгебре gdz kakreshit Ответы на вопрос Как решить уравнение в Помогите с гдз по алгебре класс Мордкович? читайте на ГДЗ Математика класс Тарасенкова Уравнения reshebnikiuchebnikiru uravneniya ph ГДЗ , решебник Математика класс Тарасенкова Уравнения Задание Можно ли решить уравнение Задача Математика класс решебник гдз Vcevceru vcevcerumvn Решите уравнение а х ; в а ; б х ; г b Решение уравнений класс Школьный помощник Математика класс Решение уравнений Правила Задания с проверкой ответов Математика класс Решение задач на составление июл Решение задач на составление уравнений Образование Обучение Znaika TV Знайкару myoutubecom ГДЗ к Задачнику по Алгебре за класс АГ Мордкович и др gdz algebraag Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения x x х , Решите уравнение Страница ГДЗ класс, Математика, Моро, Волкова gdz taskview Зная это, можно решать уравнения , в которых неизвестным является уменьшаемое Объясни решение Номер ГДЗ по Математике класс Виленкин НЯ https gdz putinainfonomer Условие Решите уравнение а х х ,; в а а , ; б y у ,; г k k , , РешеноУпр ГДЗ Алимов класс по алгебре Решить уравнение sinx ; cosx; xinx sinx; cosxcos Решение уравнений Учебник по математике класс gdz netreshenieuravnenij Решебник Математика класс Виленкин Легко! А если есть такое уравнение х, как его решить ? Решите уравнение ГДЗ и решебники от VIPGDZcom gdz comuprazhnenie Подробный ответ из решебника ГДЗ на Упражнение по учебнику АГ Мерзляк, ВБ Полонский, МС Якир класс уравнения Как решить уравнение , примеры uravneni Задачи во классе уравнения , как решить уравнение Задания по математике Задача по математике класс Виленкин wwwkakkaknet?viewsolve_vil Решить уравнения а х , , ,; в ,х , ,; б , х , ; г , х , , Задача по математике класс Виленкин kakkaknet kakkaknet?viewsolve_vilnumb Решите уравнение а ,x ,x , ,; в , , ,; б ,у , у , ,; г , m , Уравнение Ответы ГДЗ рабочая тетрадь Мерзляк gdz ru gdz Решить уравнение значит найти все его корни или показать, что их нет Чтобы найти неизвестное Уравнения класса Математика wwwforcluznatesheru uravneniya Привет помоги пожалуйста решить уравнение ,x, Добрый день, Марианна! Да, ответы с остатком ГДЗ по , Готовое домашнее задание mygdzcom wwwmy gdz comalgebraklass Наш робот распознал Решите уравнение а Зхх ; д у у I ; б хх Э ; е хх ; Решите уравнение gdz foxru gdz foxrureshiteuravneni ГДЗ к учебнику по алгебре для класса Макарычев ЮН и др Упражнение Ответ Уравнения с модулем Подготовка к ЕГЭ по математике uravneniya s Необходимо решить уравнение вида Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем все Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу! Помогите пожалуйста решить гдз по Алгебре Решите апр Помогите пожалуйста решить гдз по Алгебре Решите уравнение хy xy График Решение задач онлайн Math mathcomreshenie Решить ваши задачи онлайн с нашей программой Бесплатная версия программы предоставляет Вам только ответы раздела математики а также координатных задач, простых уравнений , неравенств, упрощать выражения Решебник по математике, решение примеров и задач mateshkaru Что решебник может решить Данная программа Системы дифференциальных уравнений , xy, xy ЛовиОтвет Решебник и калькулятор с решениями loviotvetru Калькулятор ЛовиОтвет решает математические примеры и уравнения с отображением этапов решения, Решение уравнений с модулем Математика, которая мне hijosrureshenieuravnenijs Решение уравнений с модулем Решить уравнение мои ответы ; и в учебнике другие Калькулятор онлайн Решение показательных уравнений mathsolutionru Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение Программа для Тема Уравнения и системы уравнений Материалы для Решите уравнение х х Решите уравнение х х х х Ответы ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; математика Решим всё Решите уравнение просмотры математика класс Решите дифференциальное уравнение yyxxex Тригонометрические уравнения , исследование Решу ЕГЭ Задание а Решите уравнение б Найдите все корни этого уравнения , принадлежащие отрезку Линейные уравнения Решение, примеры egesdamrupagephp авг Что такое линейные уравнения ? Как они Пусть нам нужно решить вот такое уравнение х х В математике такие ответы частенько встречаются Вот так Сейчас ГДЗ по математике для класса НЯ Виленкин номер gdz matematika Решите уравнение а у , , Решебник номер Решите уравнение а у , , Картинки по запросу гдз решить уравнение к App Store Photomath Apple Рейтинг , отзывов Бесплатно iOS Обучение Научитесь решать математические задачи, проверять домашние задания и готовиться к предстоящим задачи или введите и отредактируйте уравнения в нашем научном калькуляторе Математика класс Мерзляк, Полонский, Якир Номер Решите уравнение x ; x , ; y ; y , ,; m ; Гдз Знатоки гдз вопросов по теме Гдз Составим уравнение хх, Почему решение задач на ГДЗ стало платным? А вообще лучше решать задачи самому, так впоследствии легче учиться Решение уравнений Социальная сеть работников апр Самостоятельная работа содержит четыре варианта Первый и второй варианты Решение уравнений онлайн Онлайнкалькулятор Решение квадратных, кубических, тригонометрических, логарифмических уравнений онлайн Нахождение лучших приложений для безупречной учебы в школе admeruluchshih Калькулятор может решить все типы уравнений кроме дифференциальных , исправляет ошибки в выражениях и Операции с дробями, онлайн калькулятор для решения webmathruprog_ph ввода данных, ответы на часто задаваемые вопросы и оставить свой комментарий Вы поняли, как решать ? С Решение уравнений Еуроки eurokiorg gdz Решебник по алгебре за класс авторы Звавич, Кузнецова издательство Просвещение Задание С Решение Номер гдз по математике класс Муравин, Муравина https gdz plusmeklasszadacha Задача , ГДЗ по математике за класс к учебнику Муравина Бесплатные ответы Решение уравнений Решите уравнение а х х х ; б х https gdz expertmordcovich ГДЗ по алгебре за класс Мордковича Упражнения решение задания Решите уравнение а х х х Решение дифференциальных уравнений из сборника решурфматематикаФилиппов Бесплатный решебник для задачника АФ Филиппова Самая полная база решений, свободный доступ без Дискриминант Решение квадратных уравнений через mathprostoru?pagepagesof По одной из версий термин Дискриминант произошел от латинского discriminantis, что означает Линейное уравнение с одной переменной й класс открытыйурокрфarticles Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению мин Коллективная работа с Решение простейших линейных уравнений Павел Бердов berdovcomprosteyshie окт В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений , которые решаются по одному Запросы, похожие на гдз решить уравнение к пошаговое решение уравнений онлайн решение уравнений класс решение уравнений со степенями решение уравнений класс решить уравнение с дробями решение уравнений онлайн по фото как решить уравнение класс решение уравнений класс След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

    . ..469; в) 2у 7у 78 1581; г) 256m — 147m — 1871 — 63 747; д) 88 880: 110 х 809; е) 6871 р: 121 7000; ж) 3810 1206: у 3877; з)… Готовые домашние задания ГДЗ по Математике автор Зубарева, Мордкович за 6 класс. Решать уравнения. Поэтому вам не составит труда быстро найти и решить определённый номер. Данный сайт можно использовать для получения ГДЗ по алгебре за 7 класс, как решебник для решения задач по алгебре онлайн. Не надо ничего списывать, всё здесь. Подготовка к ЕГЭ по математике, варианты, тесты, конспекты по математике, алгебре, геометрии. Степенное алгебраическое уравнение. ax 2 n bx n c 0 (a ne 0) Заменой y x n приведем к уравнению… Практическая польза от ГДЗ по алгебре 7 класс Специальное пособие, которое можно просмотреть онлайн и скачать, ГДЗ по алгебре 7 класс Iстер (Истер) позволит не просто освоить данный предмет, но также и решить все проблемы, возникшие в ходе образовательного процесса. Практически, при определенных навыках и умениях, все решается . .. ГДЗ по математике за 5 класс Виленкин Н.Я. ГДЗ Виленкин В.Я. Материал удален по требованию издательства quot;Экзаменquot; Где скачать ГДЗ по английскому 5-6 класс Биболетова рабочая тетрадь??? Если также будет просить кого-либо решить за тебя такие элементарные задачи, то к концу года забудешь 22. Контрольные Олимпиады ЕГЭ ГДЗ. Любое уравнение можно привести к виду f(x) 0 и считать уравнением частный случай функции у f(x), когда она равна нулю. ГДЗ Алгебра 7 Колягин, Ткачева, Федорова 510. Задачи для ОГЭ с ответами и решениями Линейные уравнения перейти к содержанию задачника Решите уравнение.

    Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

    Понятие уравнения

    Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

    В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

    Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

    Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

    Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

    Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

    Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

    Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

    Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.


    Какие бывают виды уравнений

    Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

    Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

    Линейное уравнение выглядит так ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

    Что поможет в решении:

    • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
    • если а равно нулю — у уравнения нет корней;
    • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
    Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

    Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

    Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

    Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

    Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

    • кубические
    • уравнение четвёртой степени
    • иррациональные и рациональные
    • системы линейных алгебраических уравнений

    Как решать простые уравнения

    Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

    1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

    Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

    Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

    Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

    Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

    Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

    Как решаем:

    1. Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.

      6x −5x = 10

    2. Приведем подобные и завершим решение.

      x = 10

    Ответ: x = 10.

    2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

    Применим правило при решении примера: 4x=8.

    При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

    Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

    Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

    Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

    Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

    Как решаем:

    1. Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

      −4x = 12 | :(−4)
      x = −3

    Ответ: x = −3.

    Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

    Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

    Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

    Алгоритм решения простого линейного уравнения
    1. Раскрываем скобки, если они есть.
    2. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
    3. Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
    4. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

    Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

    А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

    Примеры линейных уравнений

    Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

    Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

    Решаем так:

    1. Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

      6х = 19 — 1

    2. Выполнить вычитание.

      6х = 18

    3. Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.

      х = 2

    Ответ: х = 2.

    Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

    Решаем так:

    1. Раскрыть скобки

      5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

    2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.

      5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2

    3. Приведем подобные члены.

      0х = 0

    Ответ: х — любое число.

    Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

    Решаем так:

    1. Найти неизвестную переменную.

      х = 1/8 : 4

      х = 1/12

    Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.

    Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

    Решаем так:

    1. 4х + 8 = 6 — 7х
    2. 4х + 7х = 6 — 8
    3. 11х = −2
    4. х = −2 : 11
    5. х = — 0, 18

    Ответ: — 0,18.

    Пример 5. Решить:

    Решаем так:

    1. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
    2. 9х — 12 = 28х + 24
    3. 9х — 28х = 24 + 12
    4. -19х = 36
    5. х = 36 : (-19)
    6. х = — 36/19

    Ответ: 1 17/19. + 6x-1 = 0

    Как я могу достичь этого, написав код C++?

    Edit: разместил код, который я пытался использовать

    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main()
    {
        int sq, sixq, single, sum
        sq = 5 * 5;
        sixq = 6;
        single = -1 ;
        sum = sq + sixq - single;
    
        return sum;
    }
    
    c++ math equations
    Поделиться Источник iZodiac     14 декабря 2015 в 15:26

    2 ответа


    • Решение систем уравнений в R

      Решение уравнения символически может быть достигнуто в R с помощью библиотеки Ryacas. Например library(Ryacas) yacas(Solve(x/(1+x) == a, x)) дает expression(list(x == a/(1 — a))) Кто-нибудь знает, как (символически) решить систему уравнений? Спасибо.

    • Решение системы уравнений программно?

      Возможный Дубликат : Система линейных уравнений в C++? У меня есть следующие 2 системы уравнений: Для a,b, c, d: 0 = a * r1_x + b * r1_x * r1_y + c * r1_y + d 1 = a * r2_x + b * r2_x * r2_y + c * r2_y + d 0 = a * r3_x + b * r3_x * r3_y + c * r3_y + d 1 = a * r4_x + b * r4_x * r4_y + c * r4_y + d. ..



    4

    Учитывая axx + bx + c = 0 , первое задание — вычислить b * b - 4 * a * c . Если это меньше нуля, то для квадратичного нет реальных корней. На этом этапе ваша программа должна возвращать ошибку, если только она не оборудована для работы с комплексными числами.

    В противном случае вы можете вычислить sqrt(b * b - 4 * a * c) , который мы будем называть D .

    Тогда корни (то есть решения) равны -(b + D) / (2 * a) и -(b - D) / (2 * a) .

    Обратите внимание, что вы должны использовать double для вычислений D и корней. Маловероятно, что они будут оцениваться в целые числа.

    Поделиться Bathsheba     14 декабря 2015 в 15:34



    3

    Если вы говорите об оценке выражения, вы можете сделать что-то вроде этого:

    int main(void)
    {
      int x;
      std::cout << "Enter value for x: ";
      std::cin >> x;
      const int x_squared = x * x;
    
      const int y = 5 * x_squared + 6 * x - 1;
      cout << "\nResult: " << y << std::endl;
      return EXIT_SUCCESS;
    }
    

    См. Ответ @Bathsheba’s для поиска корней выражения.

    Поделиться Thomas Matthews     14 декабря 2015 в 15:54


    Похожие вопросы:


    одновременное решение уравнений

    У меня есть следующий набор уравнений, и я хочу решить их одновременно для X и Y. Мне посоветовали использовать numpy для решения этих задач в виде системы линейных уравнений. Это лучший вариант или…


    Решение дифференциальных уравнений в частных производных с использованием C#

    Я работаю над проектом (C# и .NET Framework), который требует от меня решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Есть ли какие-то конкретные библиотеки, основанные на…


    Решение системы нормальных уравнений в C++

    Я хотел бы решить систему линейных уравнений: Ax = b A-это матрица n x m (не квадрат), b и x-оба вектора n x 1 . Где A и b известны, n находится в порядке 50-100, а m-около 2 (другими словами, A. ..


    Решение систем уравнений в R

    Решение уравнения символически может быть достигнуто в R с помощью библиотеки Ryacas. Например library(Ryacas) yacas(Solve(x/(1+x) == a, x)) дает expression(list(x == a/(1 — a))) Кто-нибудь знает,…


    Решение системы уравнений программно?

    Возможный Дубликат : Система линейных уравнений в C++? У меня есть следующие 2 системы уравнений: Для a,b, c, d: 0 = a * r1_x + b * r1_x * r1_y + c * r1_y + d 1 = a * r2_x + b * r2_x * r2_y + c *…


    Решение одновременных уравнений 1-й степени с использованием вложенных циклов в c++

    У меня есть проблема, которая требует от меня написать программу, которая находит решение для пары одновременных уравнений 1-й степени. Я должен исчерпывающе проверить все значения x и y, чтобы…


    Решение трансцендентных уравнений в R

    Существует ли функция для решения трансцендентных уравнений в R? Например, я хочу решить следующее уравнение x = 1/tan(x) Есть предложения? Я знаю, что решение имеет несколько корней, поэтому я. ..


    Решение уравнений в C#

    Есть ли в c# какая-нибудь библиотека с открытым исходным кодом для решения математических уравнений? Пример: 5*x= 10: После разбора этой строки я получу число 2.


    Решение системы нелинейных уравнений

    Я пытаюсь решить систему нелинейных уравнений вида ниже, используя numpy: a(y-2.7)(1-exp(-a*z)) = (x-2.7)(1-exp(-z)) b(w-2.7)(1-exp(-b*z)) = (x-2.7)(1-exp(-z)) c(w-2.7)(1-exp(-b*z)) =…


    Решение уравнений с использованием C# (Windows форм)

    Я создал решение для решения кубических и квадратных уравнений. Он работал хорошо, но после внесения некоторых изменений он не дает результата, и я чувствую, что он идет в бесконечном цикле. Мне…

    Компьютерная программа Photomath — «☜♡☞ Не можете решить уравнение? Или же надо построить график? В этом поможет Photomath — чудный фотокалькулятор☜♡☞ »

    Здравствуйте, мои дорогие читатели!

     

    Признаюсь честно, что с алгеброй я не на «ты» и даже не на «вы», вот мне и приходиться как-то выкручиваться. Специальные книжки, калькуляторы, зазубривание. Увы, ничего из этого мне не помогает. И вот, в очередной раз вздыхая я шерстила просторы PlayMarket и наткнулась на лаконичный и простой значок приложения. Да-да, это оказался Photomath.

    Хм, а что же нам обещает разработчик? Давайте-ка глянем. Интересно же, не так ли?

    Просто наведите камеру на математическую задачу, и Photomath магическим образом сразу же выдаст ответ и подробное пошаговое решение.

    Особенности Photomath:
    ∙ Калькулятор с камерой
    ∙ Распознавание рукописного текста
    ∙ Пошаговые инструкции
    ∙ Смарт-калькулятор
    ∙ Графики (новинка)

    Photomath поддерживает арифметические операции, целые числа, дроби, десятичные числа, корни, алгебраические выражения, линейные уравнения / неравенства, квадратные уравнения / неравенства, уравнения /неравенства с модулем, системы уравнений, логарифмы, тригонометрию, экспоненциальные и логарифмические функции, производные и интегралы.

    Вот это да, вот это набор. Итак давайте разберем первый пункт: «Калькулятор с камерой». Достаем учебник с алгебры, выбираем уравнение и…наводим камеру. О боже, чудо! Это сработало! Итак, первый пункт есть.

    Испытав первый пункт я решила не медлить и испробовать второй. Говорите, он может распознавать и рукописный текст? А давайте проверим! Для этого я взяла ручку, обычный листок и свои мозги и написала ну о-очень легкое уравнений. Калькулятор распознал мой куриный почерк и высветил мне ответ.

    Пошаговые инструкции.

    Все калькуляторы пусть и умножат/поделят/отнимут, но решения не покажут. А ведь это нам надо, особенно когда списываем домашнее задание из интернета. Но и с этим чудо-калькулятор справился. Он подробно все мне объяснил.

    Смарт-калькулятор? Легко

    Если нет возможности сфотографировать то просто напишите уравнение как в обычном калькуляторе и получите мгновенный ответ!

    Многие сталкивались с такой проблемой как график. Его боятся, его не могут решить и тогда спасет нас супермен, по имени Фотоматематика. Наверное, эта функция будет очень полезна для учеников 7-8 классов.

    Что я могу сказать о этом калькуляторе? Он занимает мало памяти, объсняет, доступный и бесплатный.Вещь это очень полезная. Довольно проста в управлении. На мой взгляд: это того стоит. Универсальный ведь калькулятор! В итоге: рекомендую, не пожалеете, и да, псс(рекламы нет).

     

    До свидания, мои дорогие!

    Wolfram | Примеры альфа: упрощение


    Упрощение

    Упростите радикалы, многочлены или любое другое математическое выражение.

    Упростите полиномиальное выражение:

    Упростите рациональное выражение:

    Упростите тригонометрическое выражение:

    Другие примеры


    Факторизация

    Факторизуйте квадратные выражения и выражения более высокой степени.

    Другие примеры


    Расширение

    Расширяйте математические выражения, используя FOIL и другие методы.

    Другие примеры


    Завершение площади

    Упростите многочлен, завершив квадрат.

    Другие примеры


    Неполные дроби

    Преобразуйте рациональные выражения, разбивая их на частичные дроби.

    Вычислить частичное разложение дроби:

    Другие примеры


    Логическое упрощение

    Найдите упрощенные формы логических операторов.

    Выполните упрощение булевой алгебры:

    Другие примеры

    Самый эффективный способ решить любое линейное уравнение в трех строках кода | автор: Andre Ye

    Фоновое изображение: Pixabay.Изображение бесплатно для совместного использования

    Уловка Python с комплексными числами и вычислением строк

    Все изображения были созданы автором, если не указано иное.

    Эта функция может решить любое линейное уравнение в трех строках кода — ее даже можно переписать в двух строках. Насколько мне известно, это наиболее эффективный метод решения линейного уравнения в Python.

     def resolve_linear (формула, var = 'x'): 
    выражение = уравнение.replace ("=", "- (") + ")"
    grouped = eval (выражение.replace (var, '1j'))
    return -grouped.real / grouped.imag
    Пример и стандартные алгебраические процессы для получения ответа.

    Как это работает?

    Во-первых, давайте определим, что такое линейное уравнение — оно должно быть разрешимо в чистом виде. Это означает, что он может иметь только одну переменную, обычно записываемую как x . Уравнение с двумя переменными потребует решения нескольких линейных уравнений (системы уравнений).

    Линейное уравнение состоит из трех основных компонентов — констант, переменных и множителей.

    Допустимо любое количество или комбинация операций — сложение, вычитание, умножение и деление, с любой областью действия скобок. Пока оно подчиняется этим определениям линейного уравнения, оно разрешимо нашей функцией.

    Давайте разберем эту функцию шаг за шагом. В качестве примера мы будем использовать следующее линейное уравнение в качестве демонстрации.

    Первая строка преобразует уравнение в выражение, которое нужно вычислить, перемещая все выражение из правой части уравнения в левую.

     выражение = уравнение.replace ("=", "- (") + ")" 

    Демонстрация в среде IDE:

    Вся «информация» в уравнении смещена в одну сторону, а значение равно знак был отброшен, помните, что это выражение равно 0.

    Вторая строка кода вычисляет новое выражение в форме ax + b = 0 . При этом используется встроенная в Python обработка комплексных чисел, где j используется для обозначения математической константы i = √-1.

     grouped = eval (expression.replace (var, '1j') 

    Обратите внимание, что var было указано равным 'x' при инициализации функции.

    Функция eval принимает выражение. неизвестная переменная x с исходным кодом j ( i ), Python обрабатывает две категории элементов выражения — переменные и константы — как отдельные. Когда выражение оценивается, ответ оказывается a * j + b , которое Python считает комплексным числом.Поскольку j использовалось вместо x, , результатом является упрощенное и легко решаемое линейное уравнение.

    Во-первых, в качестве демонстрации того, как работает eval () , в том смысле, что он может оценивать любую команду Python, заданную в строке:

    Следовательно, математические выражения выражаются так, как если бы обрабатывались любые выражения Python. Гениальность использования функции eval () заключается в том, что вместо того, чтобы выполнять тяжелую работу вручную, мы используем методы обработки строк Python.

    Строка оценивается автоматически, обманывая Python, полагая, что x на самом деле i .

    Обратите внимание, что это то же самое, что…

    Наконец, мы получили упрощенную форму ax + b = 0 . Путем стандартных и простых манипуляций с алгеброй мы обнаруживаем, что x равно -b / a , или, по отношению к созданному нами комплексному числу, отрицательному значению действительного компонента (9 в приведенном выше примере), деленному на множитель мнимой составляющей (1 в приведенном выше примере).

     return -grouped.real / grouped.imag 

    Последняя строка кода просто возвращает этот алгебраический шаг, возвращая отрицательное значение действительной составляющей комплексного числа, деленной на мнимую составляющую.

    Эта трехстрочная функция работает с любым линейным уравнением, независимо от длины и сложности, манипулируя и используя возможности встроенной математической оценки Python.

    Если вам понравилось, не стесняйтесь голосовать!

    C Программа для решения любого линейного уравнения с одной переменной

    Это программа на языке C для решения любого линейного уравнения с одной переменной.

    Описание проблемы

    Для линейного уравнения вида aY + b + c = 0 нам нужно ввести значение a, b, c. Получив значения всех констант, нам нужно решить для Y и создать функцию, которая вернет вычисленное значение Y.

    Ожидаемый ввод и вывод

    Случай 1. Когда коэффициент при Y равен нулю.

     Если a = 0, то мы не можем предсказать значение Y
    потому что произведение "a * Y" в уравнении станет 0. 

    Корпус 2.Когда все константы положительны:
    Например:

     Если значение a = 1, b = 1 и c = 1
    тогда Y = -2. 

    Случай 3. Когда константы и отрицательные, и положительные:
    Например:

     Если значение a = 1, b = -2 и c = -1
    тогда Y = 3. 

    Решение проблемы

    1. Введите значения a, b, c.
    2. Подставьте их в данное уравнение и приравняйте полученное уравнение к 0.
    3. Решите относительно Y.

    Программа / исходный код

    Вот исходный код решения любого линейного уравнения с одной переменной.Программа успешно скомпилирована и протестирована с использованием компилятора Codeblocks gnu / gcc в Windows 10. Выходные данные программы также показаны ниже.

    1.  #include  
    2.  #include  
    3.  float resolve_for_y (float a, float b, float c) 
    4.  {
    5.  float Y; 
    6.  if (a == 0) 
    7.  {
    8.  printf («Значение Y невозможно предсказать \ n»); 
    9. } 
    10.  еще 
    11.  {
    12.  Y = - (b + c) / a; 
    13. } 
    14.  возврат Y; 
    15. } 
    16.  int main () 
    17.  {
    18.  float a, b, c, Y; 
    19.  printf ("\ nВведите линейное уравнение с одной переменной в форме aY + b + c = 0"); 
    20.  printf ("\ nВведите значения a, b, c соответственно:"); 
    21.  scanf ("% f% f% f", & a, & b, & c); 
    22.  Y = решить_for_y (a, b, c); 
    23.  printf ("\ nРешение: Y =% f", Y); 
    24.  возврат 0; 
    25. } 

    Описание программы

    1.Здесь, в этой программе, мы взяли 3 переменные a, b и c, где a — коэффициент Y.
    2. Мы должны решить для Y. Его можно просто вычислить как — (b + c) / a.
    3. Поскольку значение Y может иметь дробные значения, поэтому мы приняли его тип данных как float.

    Случаи тестирования

     1. Введите линейное уравнение в одну переменную в виде aY + b + c = 0.
       Введите значение a, b, c соответственно: 0 1 1
       Значение Y невозможно предсказать.
    2. Введите линейное уравнение с одной переменной в виде aY + b + c = 0.
       Введите значения a, b, c соответственно: 1 1 1
    
       Решение Y = -2.000000
    3. Введите линейное уравнение с одной переменной в виде aY + b + c = 0.
       Введите значение a, b, c соответственно: 1-2-1.
    
       Решение: Y = 3.000000 
    .

    Sanfoundry Global Education & Learning Series — 1000 программ C.

    Вот список лучших справочников по программированию, структурам данных и алгоритмам на языке C.

    Примите участие в конкурсе сертификации Sanfoundry, чтобы получить бесплатную Почетную грамоту. Присоединяйтесь к нашим социальным сетям ниже и будьте в курсе последних конкурсов, видео, стажировок и вакансий!

    Программа Java для решения любых линейных уравнений

  •  // Это пример программы для решения линейных уравнений.
  •  импорт java.util.Scanner; 
  •  
  •  открытый класс Solve_Linear_Equation 
  •  {
  •  public static void main (String args []) 
  •  {
  •  char [] var = {'x', y ',' z ',' w '}; 
  •  System.out.println («Введите количество переменных в уравнениях:»); 
  •  Вход сканера = новый сканер (System.в); 
  •  int n = input.nextInt (); 
  •  System.out.println («Введите коэффициенты каждой переменной для каждого уравнения»); 
  •  System.out.println ("ax + by + cz + ... = d"); 
  •  двойной [] [] мат = новый двойной [n] [n]; 
  •  double [] [] константы = new double [n] [1]; 
  •  // ввод 
  •  for (int i = 0; i 
  •  {
  •  for (int j = 0; j 
  •  {
  •  мат [i] [j] = ввод.nextDouble (); 
  • } 
  •  константы [i] [0] = input.nextDouble (); 
  • } 
  •  // Матричное представление 
  •  for (int i = 0; i 
  •  {
  •  for (int j = 0; j 
  •  {
  •  System.out.print ("" + mat [i] [j]); 
  • } 
  •  Система.out.print ("" + var [i]); 
  •  System.out.print ("=" + константы [i] [0]); 
  •  System.out.println (); 
  • } 
  •  // инверсия матрицы mat [] [] 
  •  double инвертированный_мат [] [] = инвертировать (мат); 
  •  System.out.println («Обратное:»); 
  •  для (int i = 0; i 
  •  {
  •  для (int j = 0; j 
  •  {
  •  Система.out.print (инвертированный мат [i] [j] + ""); 
  • } 
  •  System.out.println (); 
  • } 
  •  // Умножение инверсии мата и констант 
  •  double result [] [] = new double [n] [1]; 
  •  для (int i = 0; i 
  •  {
  •  для (int j = 0; j <1; j ++) 
  •  {
  •  для ( int k = 0; k 
  •  {
  •  результат [i] [j] = результат [i] [j] + инвертированный_мат [i] [k] * константы [k] [j ]; 
  • } 
  • } 
  • } 
  •  Система.out.println ("Товар:"); 
  •  для (int i = 0; i 
  •  {
  •  System.out.println (результат [i] [0] + ""); 
  • } 
  •  input.close (); 
  •  
  • } 
  •  
  •  public static double [] [] инвертировать (double a [] []) 
  •  {
  •  int n = a.длина; 
  •  двойной x [] [] = новый двойной [n] [n]; 
  •  двойной b [] [] = новый двойной [n] [n]; 
  •  int index [] = новый int [n]; 
  •  для (int i = 0; i 
  •  b [i] [i] = 1; 
  •  
  •  // Преобразуйте матрицу в верхний треугольник 
  •  gaussian (a, index); 
  •  
  •  // Обновляем матрицу b [i] [j] с сохраненными отношениями 
  •  для (int i = 0; i 
  •  для (int j = i + 1; j 
  •  для (int k = 0; k 
  •  b [индекс [j]] [k] 
  •  - = a [индекс [j]] [i] * b [индекс [i]] [k]; 
  •  
  •  // Выполните обратные замены 
  •  для (int i = 0; i 
  •  {
  •  x [n-1] [i] = b [индекс [n-1]] [i] / a [индекс [n-1]] [n-1]; 
  •  для (int j = n-2; j> = 0; --j) 
  •  {
  •  x [j] [i] = b [index [j]] [i]; 
  •  для (int k = j + 1; k 
  •  {
  •  x [j] [i] - = a [index [j]] [k] * х [к] [я]; 
  • } 
  •  x [j] [i] / = a [индекс [j]] [j]; 
  • } 
  • } 
  •  возврат x; 
  • } 
  •  
  •  // Способ выполнения частичного поворота по Гауссу 
  •  // исключение.Здесь index [] хранит порядок поворота. 
  •  
  •  public static void gaussian (double a [] [], int index []) 
  •  {
  •  int n = index.length; 
  •  двойной c [] = новый двойной [n]; 
  •  
  •  // Инициализировать индекс 
  •  для (int i = 0; i 
  •  index [i] = i; 
  •  
  •  // Найдите коэффициенты изменения масштаба, по одному из каждой строки 
  •  для (int i = 0; i 
  •  {
  •  double c1 = 0; 
  •  для (int j = 0; j 
  •  {
  •  double c0 = Math.абс (а [я] [j]); 
  • , если (c0> c1) c1 = c0; 
  • } 
  •  c [i] = c1; 
  • } 
  •  
  •  // Поиск поворотного элемента из каждого столбца 
  •  int k = 0; 
  •  для (int j = 0; j 
  •  {
  •  double pi1 = 0; 
  •  для (int i = j; i 
  •  {
  •  double pi0 = Math.абс (а [индекс [я]] [j]); 
  •  pi0 / = c [индекс [i]]; 
  • , если (pi0> pi1) 
  •  {
  •  pi1 = pi0; 
  •  k = i; 
  • } 
  • } 
  •  
  •  // Обмен строками в соответствии с порядком поворота 
  •  int itmp = index [j]; 
  •  индекс [j] = индекс [k]; 
  •  индекс [k] = itmp; 
  •  для (int i = j + 1; i 
  •  {
  •  double pj = a [index [i]] [j] / a [index [j] ] [j]; 
  •  
  •  // Запись коэффициентов поворота ниже диагонали 
  •  a [index [i]] [j] = pj; 
  •  
  •  // Измените другие элементы соответственно 
  •  для (int l = j + 1; l 
  •  a [index [i]] [l] - = pj * a [индекс [j]] [l]; 
  • } 
  • } 
  • } 
  • } 
  • Напишите программу для решения квадратного уравнения с использованием Python

    Каждая программа на паскале должна начинаться с ключевого слова program, предшествующего имени программа, она ничего не добавляет к реализации алгоритма.-3 - 15: Мы объявляем и определяем линейную процедуру, реализующую алгоритм решения линейного уравнения. 4: 17: Мы объявляем все переменные, используемые в основной программе. Затем мы воспользуемся циклом for, чтобы распечатать таблицу умножения соответствующего числа. Программа 2: Мы напишем программу, используя функции. Программа 3: Мы создадим таблицу умножения 10x10, используя решение, представленное здесь: Переполнение стека. Программа 4: Создание таблицы умножения 10x10 с использованием вложенных циклов for. Здесь мы узнаем, как найти корень квадратного уравнения в C #? Отправлено Nidhi 9 октября 2020 г. Здесь мы найдем корень квадратного уравнения.Программа: Исходный код для поиска корня квадратного уравнения приведен ниже. Данная программа скомпилирована и успешно выполняется в Microsoft Visual Studio. 23 марта 2020 г. · Во многих математических выражениях используется 2π, а использование тау может помочь упростить ваши уравнения. Например, вместо вычисления длины окружности с 2πr мы можем подставить tau и использовать более простое уравнение τr. Однако использование тау в качестве постоянной круга все еще обсуждается. Вы можете свободно использовать 2π или τ в качестве... 16 сентября 2017 г. · Введите a: 1 Введите b: 5 Введите c: 6 Решения (-3 + 0j) и (-2 + 0j) Здесь мы импортировали модуль cmath для вычисления комплексного квадратного корня. Сначала мы вычисляем дискриминант, а затем находим два решения квадратного уравнения. Вы можете изменить значение a, b и c в приведенной выше программе и протестировать эту программу. Напишите программу, которая находит корни квадратного уравнения с помощью квадратной формулы. Напишите функцию с именем дискриминант в файле Disc.py для вычисления и возврата дискриминанта формулы и главной функции для вызова дискриминантной функции и вычисления решения (решений) уравнения.Не используйте глобальные переменные. 20 марта 2020 г. · Напишите программу на c для квадратного уравнения. В этом примере мы покажем вам, как использовать Python для решения одного из наиболее известных математических уравнений: квадратного уравнения (ax 2 + bx + c = 0). Как решить квадратное уравнение Ax2 Bx C 0 - Tessshebaylo How Чтобы решить квадратное уравнение в программе C напишите программу переменного тока для квадратного уравнения - Tessshebaylo Solved: Write the System of Linear ... Он решает квадратные уравнения как для действительных, так и для комплексных корней.Пожалуйста, ответьте на опрос, чтобы сообщить мне, как у меня дела. Этой функции просто нужна среда python 3.x, никаких модулей не требуется. 27 августа 2019 г. · Вот квадратное уравнение, в котором y равно двум x в квадрате плюс x минус три. Теперь, если мы построим линию для этого уравнения, она образует параболу, характерную для квадратных уравнений. Программа на Python для решения квадратного уравнения. В этом примере мы увидим, как решить квадратное уравнение на языке Python. Слово квадратного уравнения образовано от латинского термина «квадраты», что означает квадрат.Это особый тип уравнения, который имеет вид: ax2 + bx + c = 0 Пример: в элементарной алгебре квадратная формула - это формула, которая дает решение (я) квадратного уравнения. Существуют и другие способы решения. решение квадратного уравнения вместо использования квадратной формулы, например, факторинг (прямое разложение, группировка, метод AC), завершение квадрата, построение графиков и другие. Рабочая тетрадь Python Краткое введение с упражнениями и решениями. Сакет Чауразия. PDF. Скачать бесплатно PDF. Бесплатный PDF.Скачать с Google Скачать с Facebook. или же. Научитесь решать линейные уравнения, уравнения абсолютных значений и системы линейных уравнений; Научитесь складывать, вычитать и умножать многочлены; Научитесь факторизовать и решать квадратные уравнения; Научитесь складывать, вычитать и умножать матрицы; Исследуйте последовательности и закономерности; Найдите вероятность событий; Изучите некоторые важные доказательства алгебры Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так: ax2 + bx + c = 0 Член b2-4ac известен как дискриминант квадратного уравнения.Дискриминант сообщает природу корней. Если ... 0 = ax2 + bx + c. а =. b =. c =. Вышеупомянутая программа вычислит решения квадратного уравнения. Введите значения коэффициентов a, b и c. Нажмите кнопку «Рассчитать». Появятся корни квадратного уравнения. 10 лучших услуг по написанию резюме 2011 Квадратное уравнение Домашнее задание Помощь диссертация по франчайзингу купить эссе онлайн безопасно Найдите экспоненциальное значение числа с помощью Math.exp: 5. Найдите минимальное значение числа с помощью Math.floor: 6.Найдите минимум двух чисел с помощью Math.min: 7. Найдите мощность с помощью Math.pow: 8. Найдите квадратный корень из числа с помощью Math.sqrt: 9. Найдите значение натурального логарифма числа с помощью Math.log: 10. Найдите максимум двух чисел с помощью Math.max: 11. Получите ... решение уравнения теплопроводности, которое зависит (разумным образом) от параметра, затем для любой (разумной) функции f () функция U (x; t ) = 2 1 f () u (x; t) d также является решением. D. DeTurck Math 241 002 2012C: Решение уравнения теплопроводности 3/21 26 мая 2018 г. · В этом посте я расскажу, как написать программу Python для поиска наибольшего или наибольшего среди трех чисел.Я буду обсуждать три способа написания программы на Python. (i) Использование оператора if-else (1) Метод 1 (2) Метод 2 (ii) Использование списка и встроенной функции. Калькулятор квадратного уравнения Калькулятор решит квадратное уравнение шаг за шагом, заполнив квадрат или используя квадратную формулу. Он найдет как действительные, так и мнимые (комплексные) корни.

    Калькулятор, позволяющий вычислить дискриминант квадратного уравнения в режиме онлайн. дискриминант онлайн. Описание: дискриминант квадратного уравнения.2-4ac`.

    Наш калькулятор квадратного уравнения позволяет вам решить квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения и завершая квадратный метод. Введите значения: если вы выбрали форму Ax 2 + Bx + C = 0, тогда вам нужно ввести значения A, B и C. Если вы выбрали форму A (x - H) 2 + K = 0, то у вас есть для ввода значений A, H и K

    Когда вы разбираетесь в основах решения квадратного уравнения путем факторизации, решение этого уравнения будет самым простым в алгебраической математике.На начальном этапе отработайте задачи с помощью пошагового процесса, который я объяснил выше. После соответствующей практики вы сможете решить любое квадратное уравнение в кратчайшие сроки.

    Учебник Python по решению линейных и нелинейных уравнений с помощью матричных операций (linear) или fsolve Следующие учебные пособия являются введением в решение линейных и нелинейных уравнений с помощью Python. Он сочетается с крупномасштабными решателями для линейного, квадратичного, нелинейного и смешанного целочисленного программирования...

    Математика. Сначала нам нужно понять, как мы собираемся решать квадратное уравнение. Я использовал квадратное уравнение. Я также заставил свой код не печатать реальных решений, когда дискриминант меньше 0.

    Используя SciPy. SciPy на Python предлагает базовые возможности линейного программирования. Чтобы реализовать вышеуказанную программу с использованием SciPy, нам необходимо соответствующим образом определить все матрицы. Ниже приведен рабочий пример приведенных выше уравнений, которые я реализовал с помощью библиотеки оптимизации SciPy.

    Для группировки мы используем круглые скобки, к которым вы привыкли из математики.Добавление комментариев. Как только программа вырастет за пределы нескольких строк, вы можете захотеть вставить в нее комментарии, чтобы помочь объяснить, что делают различные части программы. Чтобы ввести комментарий в Python, введите символ решетки #, а затем текст комментария.

    Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 3.3 Решение 2x 2 -4x-15 = 0 по квадратичной формуле. В соответствии с квадратной формулой x решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C - числа, часто называемые коэффициентами, определяется по формуле:

    Корни или решения квадратного уравнения являются его множителями. установить равным нулю, а затем решить относительно x.Когда даны корни и ищется квадратное уравнение, запишите корни с правильным знаком, чтобы получить тот корень, когда он будет равен нулю и решен. Например, квадратное уравнение имеет корень от -5 до +3.

    Разложите уравнение на множители. (x + 1) 2 = 0 Решите уравнение, чтобы получить повторяющееся решение. x = -1 Решение вопроса 2. Данное уравнение является квадратичным x 2 + 2 = x + 5 Запишите уравнение с правой частью, равной 0. x 2 - x - 3 = 0 Найдите дискриминант D квадратного уравнения .D = b 2 - 4 ac = 13 Решите указанное выше уравнение, чтобы получить 2 ...

    В этой книге вы научитесь программировать с непосредственной целью: написание моделирования физических систем. И мы продолжаем "сверху вниз", под этим я подразумеваю, что мы сразу используем профессиональные структуры данных и языковые функции. В частности, мы используем следующие библиотеки Python: NumPy для базовых численных вычислений (см. Https: //www.numpy. ..

    7 мая 2019 г. · Python используется для оптимизации параметров модели для наилучшего соответствия данным, повышения прибыльности возможного инженерного стиля или достижения другой формы цели, которая будет описана математически с помощью переменных и уравнений.pyOpt - это пакет на основе Python для формулирования и решения задач нелинейной оптимизации с ограничениями в эффективном ...

    Решение квадратного уравнения 1 ax2 + bx + c = 0 abb ac 2 - ± 2 −4 Конечно, мы знаем, что решения уравнения можно найти с помощью формулы And, мы также можем определить, что реальных решений уравнения не существует, если значение дискриминанта отрицательное: b2 −4ac Рассмотрите возможность реализации программы MIPS для решения квадратичного ...

    Языки программирования, такие как C ++, Python, C #, Java и т. Д.Мы собираемся решить любую головоломку, квадратное уравнение, задачу удовлетворения ограничений или любую другую задачу. Наша служба использует новые технологии, чтобы предлагать лучшие решения для всех ваших задач.

    7 мая 2019 г. · Python используется для оптимизации параметров модели для наилучшего соответствия данным, повышения прибыльности возможного инженерного стиля или достижения другой формы цели, которая будет описана математически с помощью переменных и уравнений. pyOpt - это пакет на основе Python для формулирования и решения задач нелинейной оптимизации с ограничениями в эффективном...

    Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 3.3 Решение 2x 2 -4x-15 = 0 по квадратичной формуле. Согласно квадратичной формуле x решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C - числа, часто называемые коэффициентами, дается следующим образом:

    Источник: Программа Python для решения квадратного уравнения. однострочный питон решает квадратные уравнения видео. Неблокирующий SoftwareSerial.Write. Разрешено ли запретить определенному лицу использовать программное обеспечение по лицензии AGPL?

    Dec 06, 2019 · Новый способ упростить квадратные уравнения.Многие бывшие студенты-алгебры имеют болезненные воспоминания о том, как изо всех сил пытались запомнить квадратную формулу. Новый способ вывести его, о котором забывают в течение 4000 лет ...

    Квадратное уравнение выглядит так: Поэтому мы попросим пользователя ввести коэффициенты (). Дискриминант задается следующим образом: если тогда уравнение имеет действительные и равные корни, если тогда уравнение имеет действительные и неравные корни, и если тогда уравнение имеет комплексные корни. Итак, в нашей программе мы сначала проведем проверку, чтобы выяснить, есть ли файлы root...

    1. Как и в случае с ракетой, напишите уравнение, которое можно решить, чтобы найти, когда мяч упадет на землю. В отличие от уравнений ракеты, вышеприведенное уравнение нельзя разложить на множители. Следовательно, вы собираетесь решить его, используя формулу корней квадратного уравнения. Напоминание: для квадратного уравнения в стандартной форме ax2 + bx + c = 0, 2a bb 4ac x - ± 2 - = 2.

    Ваша программа должна принимать два числа с плавающей запятой x и y из командной строки и записывать полярные координаты r и θ. Используйте математическую функцию Python.atan2 (y, x), который вычисляет значение арктангенса y / x, которое находится в диапазоне от -π до π. Решение: см. Polar.py. Гауссовские случайные числа.

    В этой строке начнутся математические вычисления с использованием переменных a, b и c, которые были определены в начале программы. Math.sqrt () - это команда Java, которая извлекает квадратный корень из всего, что указано в скобках. Выполненные операции производят первую часть формулы квадратов: b в квадрате минус 4 раза умножить на c.

    Python 3 Программа для вычисления площади треугольника.Программа Python 3 для решения квадратного уравнения. Программа Python 3 для поиска факториала числа. Программа Python 3 для поиска наибольшего из трех чисел. Программа Python 3 для проверки високосного года. Программа Python 3 для проверки положительного или отрицательного числа.

    Символический Python¶. В стандартной математике мы обычно записываем абстрактные переменные или понятия, и примером может служить квадратное уравнение. и его корни: мы можем записать решения. На стандартном языке программирования мы можем писать функции, которые инкапсулируют...

    Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 3.3 Решение 2x 2 -4x-15 = 0 по квадратичной формуле. Согласно квадратичной формуле x решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C - числа, часто называемые коэффициентами, дается следующим образом: Показывает вам пошаговые решения с использованием квадратной формулы ! Этот калькулятор решит ваши проблемы. ... Решите уравнение вида a x 2 + b x + c = 0 с помощью ...

    Программа Python для решения квадратного уравнения

    сообщить об этом объявлении

    Мы разработаем программу на языке Python для решения квадратного уравнения.Он найдет корни данного квадратного уравнения.

    Квадратное уравнение - это уравнение второй степени, то есть оно содержит по крайней мере один член, возведенный в квадрат. Стандартная форма квадратного уравнения - ax² + bx + c = 0, где a, b и c действительны, а a! = 0, x - неизвестная переменная. Характер корней определяется дискриминантом.

    Квадратичная формула

    Дискриминант квадратного уравнения вычисляется как b²-4ac.

     дискриминант (d) = b² - 4 * a * c 

    Природа корней определяется как,

    • Если дискриминант> 1, то корни действительные и разные
    • Если дискриминант = 0, то корни действительные и равны
    • Если дискриминант <1, то корни комплексные и разные

    Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 , если обозначить дискриминант как d, то их корни

    Если d> 1 , то корни действительные и разные
    root1 = (-b + √d) / 2a
    root2 = (-b - √d) / 2a

    Если d = 0 , то оба корня равны -b / 2a

    Если d <1 , то корни сложные и разные
    root1 = -b / 2a + i (√d / 2a)
    root2 = -b / 2a - i (√d / 2a)

    Запишите Программа для решения квадратного уравнения с использованием Python

    Это нормальный метод поиска корней квадратного уравнения в Python.При объявлении переменных мы возьмем три числа. Программа Python для поиска корней квадратного уравнения с помощью математического модуля и оператора if-else.

      # Программа на Python для поиска корней квадратного уравнения
    
    импорт математики # импорт математического модуля
    
    # принять входные данные
    a = int (input ('Введите значение a:'))
    b = int (input ('Введите значение b:'))
    c = int (input ('Введите значение c:'))
    
    # вычислить дискриминант
    dis = (b ** 2) - (4 * a * c)
    
    # проверка условия дискриминанта
    если (dis> 0):
        корень1 = (-b + math.sqrt (дис) / (2 * а))
        root2 = (-b - math.sqrt (дис) / (2 * а))
        print ("Два разных настоящих корня:% .2f и% .2f"% (root1, root2))
    
    elif (dis == 0):
        корень1 = корень2 = -b / (2 * а)
        print ("Два равных и действительных корня:% .2f и% .2f"% (root1, root2))
    
    Элиф (dis <0):
        корень1 = корень2 = -b / (2 * а)
        воображаемое = math.sqrt (-dis) / (2 * a)
        print ("Два различных комплексных корня:% .2f +%. 2f и% .2f -%. 2f"
                              % (корень1, мнимый, корень2, мнимый))  

    Вывод для различных входных значений: -

    Введите значение a: 5
    Введите значение b: 8
    Введите значение c: 3
    Два различных настоящие корни -7.80 и -8,20

    Введите значение a: 1
    Введите значение b: 2
    Введите значение c: 1
    Два равных и действительных корня: -1,00 и -1,00

    Введите значение a: 2
    Введите значение b: 5
    Введите значение c: 4
    Два различных комплексных корня: -1,25 + 0,66 и -1,25-0,66

    Примечание. ZeroDivisionError

    Найдите корни квадратного уравнения с помощью функции

    Мы также можем воспользоваться помощью функции, чтобы найти корни квадратного уравнения в Python.Функция - это блок кода, который выполняет определенную задачу.

      # Программа на Python для решения квадратного уравнения
    
    импорт математики # импорт математического модуля
    
    def edu_roots (a, b, c): # пользовательская функция
        # вычислить дискриминант
        dis = (b ** 2) - (4 * a * c)
    
        # проверка условия дискриминанта
        если (dis> 0):
            корень1 = (-b + math.sqrt (дис) / (2 * а))
            root2 = (-b - math.sqrt (дис) / (2 * а))
            print ("Два разных настоящих корня:% .2f и% .2f"% (root1, root2))
    
        elif (dis == 0):
            корень1 = корень2 = -b / (2 * а)
            print ("Два равных и действительных корня%.2f и% .2f "% (root1, root2))
    
        Элиф (dis <0):
            корень1 = корень2 = -b / (2 * а)
            воображаемое = math.sqrt (-dis) / (2 * a)
            print ("Два различных комплексных корня:% .2f +%. 2f и% .2f -%. 2f"
                             % (корень1, мнимый, корень2, мнимый))
    
    # принять входные данные
    a = int (input ('Введите значение a:'))
    b = int (input ('Введите значение b:'))
    c = int (input ('Введите значение c:'))
    
    # вызывающая функция
    edu_roots (a, b, c)  

    Вывод: -

    Введите значение a: 5
    Введите значение b: 10
    Введите значение c: 15
    Два различных комплексных корня равны -1.00 + 1.41 и -1.00-1.41

    Программа Python для решения квадратного уравнения с использованием cmath

      # Программа Python для поиска корней квадратного уравнения
    
    import cmath # импорт сложного математического модуля
    
    # принять входные данные
    a = float (input ('Введите значение a:'))
    b = float (input ('Введите значение b:'))
    c = float (input ('Введите значение c:'))
    
    # вычислить дискриминант
    dis = (b ** 2) - (4 * a * c)
    
    # найти корни квадратного уравнения
    корень1 = (-b-cmath.sqrt (дис)) / (2 * а)
    корень2 = (-b + cmath.sqrt (дис)) / (2 * а)
    
    # отобразить результат
    print ('Корни - это {0} и {1}'.format (root1, root2))  

    Вывод: -

    Введите значение x: 2
    Введите значение y: 3
    Введите значение z: 7
    Корни (-0,75-1,713913650100261j) и (-0.75 + 1.7139136
    50100261j)

    См. Также: - HCF или GCD двух чисел в Python

    Если вам понравился этот пост, поделитесь им с друзьями. Вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсужденной выше, или вы нашли что-то неправильное? Дайте нам знать об этом в комментариях. Спасибо!

    Решение (Команда - TI-Basic Developer

    Сводка команд

    Пытается вернуть реальное решение уравнения. Выражение = 0 для указанной единственной переменной (другие переменные будут рассматриваться как константы), с учетом предположения и, возможно, с ограничениями значений переменной.

    Синтаксис команды

    решение ( выражение , переменная , предположение , [{ нижний , верхний }])

    Расположение меню

    При редактировании программы нажмите:

    1. MATH, чтобы перейти в меню MATH.
    2. 0, чтобы выбрать решение (или используйте стрелки.

    (вне редактора программы вместо него появится интерактивный решатель; используйте Каталог для прямого доступа к функции)

    Калькулятор Совместимость

    ТИ-83/84 / + / SE

    Размер токена

    1 байт

    Команда решения (пытается итеративно найти действительный корень заданного уравнения, учитывая переменную, которую нужно найти, и начальное предположение; i.д., учитывая f ( x ), решите (попытается найти значение x , такое, что f ( x ) = 0. решить (можно взять список { ниже , верхний } в качестве необязательного четвертого аргумента, и в этом случае он пытается найти корень между нижним и верхним включительно (по умолчанию нижний и верхний принимаются равными -E99 и E99 соответственно). используется метод нахождения корня.

    К сожалению, команда решения (как и в большинстве итерационных методов) не идеальна для решения уравнений. n = 0 для n больше 1). решить (вернет только один из многих возможных корней для вашего уравнения, если ваше уравнение имеет много корней для начала. Возвращаемый корень, как правило, зависит от значения данного предположения. Возвращаемый корень обычно является корнем, ближайшим к предположению задано для уравнений с хорошим поведением; неправильный выбор предположения может привести к решению (либо вернуть удаленный корень, либо вообще не сходиться к корню.

    Если возможно, уравнение сначала следует решить вручную - если есть относительно простая формула для корня, она (обычно) будет более эффективной, чем использование решения (.В противном случае убедитесь, что вызов решения (вызов действительно работает во всех ожидаемых случаях во время использования.

    Утилита Solver… (расположенная в том же меню в том же месте) обычно намного проще и интуитивно понятна в использовании, и ее рекомендуется использовать вместо прямого использования решения (когда это возможно (например, на главном экране). Те же ограничения применяются к ее Если вы не можете найти корни с помощью Решателя, попробуйте построить график функции и сканировать корни вручную, а затем используйте 2: ноль в меню 2nd: CALC, чтобы уточнить ваше предположение.((X + 1) 2 ) -1, X, 0 возвращает -1,000000616 (довольно близко к корню -1). Иногда может помочь изменение уравнения.

    Определение границ обычно помогает решить (для более эффективного поиска корней. Если границы доступны, их следует предоставить для решения (.

    Условие ошибки "Плохое предположение" произойдет, если вы используете строку для уравнения. Однако есть выход. Если вы сохраните строку в функции и используете функцию вместо уравнения, она будет работать.

    • ОШИБКА: ПЛОХОЕ УКАЗАНИЕ будет выдано, если предположение не находится в пределах нижней и верхней границы, или в противном случае функция не определена в этой точке, или если строка используется для уравнения.
    .