Автор: alexxlab

Заметно сложнее угадать формулу для суммы четвертых степеней. В отличие от предыдущих случаев, у $S_4(n)$ практически не видно общих делителей с $S_1(n)$ (кроме двойки). Зато можно заметить, что 14 и 98 делятся на 7, 55 и 979 на 11… Посмотрим на отношение $S_4/S_2$.

Видно, что после домножения этого отношения на 5 получится последовательность целых чисел: 5, 17, 35, 59, 89, 125… Тут уже нельзя сказать, что разность соседних чисел неизменна… Все же посмотрим на эти разности: 12, 18, 24, 30… — закономерность сразу видна!

Таким образом, гипотеза состоит в том, что $$ S_4(n)/S_2(n)= \frac{5+6\cdot2+6\cdot3+\ldots+6n}5= \frac{6\frac{n(n+1)}2-1}5= \frac{3n^2+3n-1}5, $$ и соответственно $$ S_4(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}. 2}6$ (т. е. значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии…

Литература

1. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975)
   http://ilib.mccme.ru/djvu/polya/rassuzhdenija.htm
   Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу. Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги.
2. Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, 3–12
   http://kvant.mccme.ru/1989/01/akademik_izrail_moiseevich_gel.htm
   В решении выше сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков 20 века (собственно про это — небольшой фразмент на стр. 8–9, но все интервью интересное).
3. В. С. Абрамович. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // Квант, 1973, № 5, 22–25
   http://kvant. n)?

   06.02.2018, 13:13 

   25/11/08
   449

   Как можно посчитать сумму ряда ? С чего начинать?

      

                     

   pogulyat_vyshel	Re: Как посчитать сумму ряда n/(2^n)? 06. n)? 06.02.2018, 13:26
   Заслуженный участник 27/12/17 1361 Антарктика	Рассмотрите и проинтегрируйте почленно в пределах . Затем — геометрическая прогрессия, дифференцирование и предел при . При этом Вы должны, случись чего, обосновать возможность таких операций, как почленное интегрирование и предельный переход.

   B@R5uk	Re: Как посчитать сумму ряда n/(2^n)? 06. 02.2018, 13:49
   26/05/12 1414 приходит весна?	Ещё есть вариант разложить в двойную сумму. Внутренняя сумма будет обычной геометрической прогрессией, причём после подсчёта внутренней суммы окажется, что каждая следующая прогрессия будет давать результат вдвое меньший. То есть внешняя сумма тоже будет геометрической прогрессией.

   grizzly	Re: Как посчитать сумму ряда n/(2^n)? 06. 02.2018, 14:33
   Заслуженный участник 09/09/14 6328	ellipse в сообщении #1290550 писал(а): С чего начинать? Начните с чего-нибудь простого: А потом просуммируйте эти суммы и, наконец, то что получится. — 06.02.2018, 14:34 — Только отправив это сообщение, я понял, что повторил предыдущее, просто не такими умными словами

   Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

   Страница 1 из 1

   [ Сообщений: 5 ]

   Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

   
   

   Ряды

   Ряды — это просто бесконечные суммы. Мы с ними уже несколько раз сталкивались — например, когда обсуждали, что некоторые функции оказываются равны своим рядам Тейлора (см. замечание 2 из лекции 22). Пришло время поговорить про ряды подробнее.

   28.1Сходящиеся и расходящие ряды

   28.1.1Определения и примеры

   Пусть есть какая-то последовательность {ak}.

   Определение 1. Бесконечным рядом (или просто рядом) называется такая бесконечная сумма:

   ∞∑k=1ak=a1+a2+a3+….

   Если вместо бесконечности взять первые n слагаемых, получится частичная сумма ряда:

   Sn:=n∑k=1ak=a1+a2+…+an.

   По определению, суммой ряда называется предел частичных сумм:

   ∞∑k=1ak:=limn→∞Sn=limn→∞n∑k=1ak.

   Конечно, этот предел может существовать, а может не существовать. В первом случае ряд называется сходящимся, во втором — расходящимся.

   Пример 1. Ряд

   ∞∑k=112k=12+14+18+…

   сходится. Это геометрическая прогрессия со знаменателем, по модулю меньшим 1, но сходимость здесь можно увидеть и непосредственно. Если у вас была одна шоколадка, вы съели от неё половину, потом половину от оставшейся половины (то есть четверть), потом половины от того, что осталось (то есть одну возьмую) и т.д. — в пределе ничего не останется, но и больше, чем целую шоколадку, вы не съедите. Значит, сумма съеденных кусочков стремится к единице.

   Рис. 28.1: Сумма бесконечной геометрической прогрессии «на шоколадках»

   Пример 2. Ряд

   ∞∑k=1k2=1+4+9+16+…

   расходится: поскольку все слагаемые больше или равны 1, частичные суммы неограничены: Sn≥n, и значит расходятся. Можно сказать, что сумма равна плюс бесконечности:

   ∞∑k=1k2=+∞.

   28.1.2Геометрическая прогрессия

   Важным примером рядов являются суммы геометрических прогрессий, то есть последовательностей вида {b0qk}, где q называется знаменателем прогрессии.

   Поскольку я никогда не могу запомнить формулу для суммы членов геометрической прогрессии и каждый раз вывожу её заново, приведу этот вывод и здесь.

   Утверждение 1. Для всяких b0∈R, q≠1 и n∈N справедливо утверждение

   n∑k=1b0qk=b0q1−qn1−q.

   Доказательство. Вынесем b0q за знак суммирования, а потом сделаем замену индекса суммирования m=k−1:

   n∑k=1b0qk=b0qn∑k=1qk−1=b0qn−1∑m=0qm.

   Остаётся найти, чему равна сумма ∑n−1m=0qm. Обозначим её через S. Тогда

   S=1+q+q2+…+qn−1qS=q+q2+…+qn−1+qn

   Вычитая из первого равенства второе, получаем:

   S−qS=1−qn,

   откуда

   S=1−qn1−q.

   ∎

   Следствие 1. При |q|<1,

   ∞∑k=1b0qk=b0q1−q

   поскольку в этом случае qn стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности. При |q|>1 при b0≠0 ряд расходится, поскольку qn стремится к бесконечности. При q=1 последовательность является постоянной и ряд расходится при b0≠0.

   В примере 1, b0=1 и q=1/2, значит сумма равна

   ∞∑k=112k=1⋅121−12=1,

   как и ожидалось.

   28.1.3«Телескопические суммы»

   Вообще есть мало сколь-нибудь универсальных способов нахождения бесконечных сумм в явном виде. Но чтобы вам не казалось, что нет никаких поддающихся анализу рядов, кроме геометрической прогрессии, обсудим ещё один тип.

   Пример 3. Найдём сумму ряда

   ∞∑k=11k(k+1).(28.1)

   Для этого заметим, что

   1k(k+1)=1k−1k+1.

   Дальше хочется сделать такую штуку:

   ∞∑k=11k(k+1)=∞∑k=1(1k−1k+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+…==11+(−12+12)+(−13+13)+…=11+0+0+…=1.

   ∞∑k=11k(k+1)=∞∑k=1(1k−1k+1)==(11−12)+(12−13)++(13−14)+…==11+(−12+12)++(−13+13)+…==11+0+0+…=1.

   Это преобразование выглядит реалистично — в самом деле, нас учили, что при суммировании неважно, как расставлять скобки — однако таит в себе опасность. Рассмотрим, например, такой ряд:

   ∞∑k=1(−1)k=−1+1−1+…(28.2)

   Его частичными суммами Sn будут числа −1 (при нечётных n) и 0 — при чётных. Мы знаем, что предела у такой последовательности нет. Однако, казалось бы, можно записать:

   ∞∑k=1(−1)k=−1+1−1+1−…=(−1+1)+(−1+1)+…=0+0+…=0.

   ∞∑k=1(−1)k=−1+1−1+1−…==(−1+1)+(−1+1)+…==0+0+…=0.

   Впрочем, с тем же успехом мы могли бы получить и −1, если бы сгруппировали слагаемые иначе (первое оставили отдельно, а второе сгруппировали с третьим, четвертой с пятым и т.д.)

   Пример с рядом ∑∞k=1(−1)k показывает, что бесконечные суммы могут быть коварными — привычные нам операции типа группировки слагаемых могут менять результат. Как же всё-таки найти сумму ряда (28. 1)?

   Если мы не уверены, что некоторое преобразование сработает с бесконечным рядом, мы можем вернуться в ту область, где всё просто и понятно — в область конечных сумм. Давайте рассмотрим частичные суммы этого ряда:

   n∑k=11k(k+1)=11−12+12−13+…+1n−1−1n+1n−1n+1.

   n∑k=11k(k+1)=11−12+12−13+…++1n−1−1n+1n−1n+1.

   Тут уже скобки не важны, потому что группировка слагаемых в конечных суммах не меняет их значения. Мы видим, что слагаемые (−1/2) и 1/2 сокращаются, и дальше сократятся все пары слагаемых, заканчивая (−1/n) и 1/n. Останется только первое и последнее слагаемое. (Если вы чувствуете малейшие сомнения в этом месте, подставьте какое-нибудь небольшое конкретное n — например, n=3, и проследите, как это работает.) Итак:

   n∑k=1=11−1n+1

   и значит предел частичных сумм равен 1. То есть наше вычисление дало правильный результат, и теперь мы это аккуратно обосновали. (Проверьте, что будет, если попытаться применить то же самое рассуждение к ряду (28. 2).)

   Суммы такого вида, у которых слагаемые последовательно сокращаются, иногда называют «телескопическими» — в процессе сокращения сумма как бы складывается, как складная подзорная труба или телескоп.

   28.1.4Простейшие свойства

   Как показвает пример с рядом (28.2), не все привычные нам операции с конечными суммами можно применять к рядам. Однако, некоторые всё-таки можно.

   Утверждение 2. Пусть ряды ∑∞k=1ak и ∑∞k=1bk сходятся и c∈R — какая-то константа. Тогда

   1. ∞∑k=1(ak+bk)=∞∑k=1ak+∞∑k=1bk.
   2. ∞∑k=1(cak)=c∞∑k=1ak.

   Доказательство. Это прямое следствие из аналогичных свойств пределов. Докажем, например, первое свойство. Рассмотрим n-ю частичную сумму:

   n∑k=1(ak+bk)=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=…

   n∑k=1(ak+bk)=(a1+b1)+(a2+b2)+…++(an+bn)=…

   Это конечная сумма, в ней можно раскрывать скобки и переставлять слагаемые, как нас учат в школе. Поэтому можно продолжить равенство:

   …=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=n∑k=1ak+n∑k=1bk.

   …=(a1+a2+…+an)++(b1+b2+…+bn)==n∑k=1ak+n∑k=1bk.

   Значит

   ∞∑k=1(ak+bk)=limn→∞n∑k=1(ak+bk)=limn→∞(n∑k=1ak+n∑k=1ak)==limn→∞n∑k=1ak+limn→∞n∑k=1bk=∞∑k=1ak+∞∑k=1bk.

   ∞∑k=1(ak+bk)=limn→∞n∑k=1(ak+bk)==limn→∞(n∑k=1ak+n∑k=1ak)==limn→∞n∑k=1ak+limn→∞n∑k=1bk==∞∑k=1ak+∞∑k=1bk.

   В третьем равенства мы использовали теорему о пределе суммы.

   Второе свойство доказывается аналогично, запишите доказательство самостоятельно.∎

   28.2Признаки сходимости и расходимости

   28.2.1Необходимое условие сходимости: члены стремятся к нулю

   Утверждение 3. Если ряд ∑∞k=1ak сходится, то

   limn→∞an=0.

   Доказательство. Обозначим через Sn частичную сумму нашего ряда:

   Sn:=n∑k=1ak.

   Тогда для всех n>1

   an=Sn−Sn−1.

   Рассмотрим предел последовательности {an}:

   limn→∞an=limn→∞(Sn−Sn−1)=limn→∞Sn−limn→∞Sn−1,

   но пределы Sn и Sn−1 — это фактически один и тот же предел (во втором случае последовательность просто сдвинута на один элемент вправо, но предел от этого не изменился). И оба предела существуют, потому что по определению, предел частичных сумм — это сумма ряда, а ряд сходится. Обозначим сумму ряда за S. Тогда

   limn→∞an=S−S=0.

   ∎

   28.2.2Гармонический ряд

   Условие an→0 является необходимым для сходимости ряда, но является ли оно достаточным? Оказывается, нет. Приведём в качестве примере известный гармонический ряд.

   Утверждение 4. Ряд

   ∞∑k=11k=11+12+13+…(28.3)

   расходится.

   Доказательство. Заметим, что

   12≥1213+14≥2⋅14=1215+16+17+18≥4⋅18=1219+110+111+112+113+114+115+116≥8⋅116=12

   12≥1213+14≥2⋅14=1215+16+17+18≥4⋅18=1219+110+111+112+113+114+115+116≥8⋅116=12

   Каждая из сумм в левой части не меньше, чем своё последнее слагаемое (самое маленькое) умножить на число слагаемых. Понятно, что так можно продолжать и дальше. Для произвольного натурального m возьмём слагаемые с номерами от 2m+1 до 2m+1. Их количество равно разности между этими двумя числами, плюс один. (Потому что и первое и последнее число включатся в подсчёт: например, если бы эти числа совпадали, разность равнялась нулю, но при этом одно слагаемое мы бы взяли.) Значит, общее число слагаемых равно

   2m+1−(2m+1)+1=2m+1−2m=2m(21−1)=2m

   2m+1−(2m+1)+1=2m+1−2m==2m(21−1)=2m

   и каждое слагаемое не меньше последнего, то есть 1/2m+1. Итак:

   2m+1∑k=2m+11k≥2m12m+1=12.(28.4)

   Возьмём первые 2N слагаемых ряда (28.3). В них есть первое слагаемое, равное 1/1, и ещё N «блоков» вида (28.4), каждый из которых не меньше 1/2. Значит, их сумма не меньше, чем N12+1 и стремится к бесконечности. Значит, ряд расходится.∎

   28.2.3Признак сравнения

   Ну хорошо, у нас есть необходимое условие сходимости — может быть, есть и какие-то достаточные? Да, есть.

   Теорема 1. Рассмотрим два ряда:

   ∞∑k=1ak,∞∑k=1bk.

   Если известно, что для всех натуральных k верны неравенства

   0≤ak≤bk(28.5)

   и ряд

   ∞∑k=1bk(28.6)

   сходится, то ряд

   ∞∑k=1ak(28.7)

   тоже сходится.

   Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству похожей теоремы для несобственных интегралов. Попробуйте написать его самостоятельно.

     Узнать ответ

   Верный ответ. Обозначим сумму ряда (28.6) через B, частичные суммы ряда (28.6) через Bn, а частичные суммы ряда (28.7) через An. Поскольку все слагаемые неотрицательны, обе последовательности {An} и {Bn} неубывают. Также в силу (28.5), для всех n, An≤Bn. С другой стороны, в силу неубывания, все элементы Bn не превосходят предела B (если бы какой-то элемент перескочил через предел, все следующие элементы были бы отделены от предела и не могли бы к нему стремиться). Значит, для всех n, An≤Bn≤B и значит последовательность {An} является неубывающей и ограниченной. Значит, по теоремe Вейерштрасса, у неё есть предел.

   ∎

   Пример 4. Докажем, что ряд

   ∞∑k=11kk

   сходится. Действительно, для всех k≥2, kk≥2k и следовательно 1/kk≤1/2k. Никакое конечное число начальных членов на сходимость ряда не влияет и значит в признаке сравнения достаточно выполнения неравенства для всех k, начиная с некоторого. А ряд

   ∞∑k=112k

   сходится. Значит, и наш ряд сходится.

   Пример 5. Докажем, что ряд

   ∞∑k=1lnkk(28.8)

   расходится. Действительно, для всех k≥3, lnk≥1 и следовательно

   1k≤lnkk.

   Но если бы ряд (28.8) сходился, тогда и ограниченный им ряд ∑∞k=11/k тоже сходился бы. Но мы знаем, что последнее неверно. Значит, наш ряд расходится.

   28.2.4Интегральный признак сходимости

   Как мы уже отмечали, между несобственными интегралами и рядами много общего. При этом анализировать интегралы часто проще, чем ряды — есть разнообразные способы преобразования интегралов, которые к рядам применяются плохо. К счастью, есть теорема, которая позволяет переносить результаты о сходимости интегралов на ряды и наоборот.

   Теорема 2. Пусть функция f:[1,+∞)→R невозрастает, неотрицательна и интегрируема на любом отрезке [a,t], t>a. В этих условиях ряд

   n∑k=1f(k)(28.9)

   сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

   ∫∞1f(x)dx.(28.10)

   Доказательство.

   Если интеграл сходится, то и ряд тоже сходится. Построим график функции y=f(x). Мы хотим представить сумму ряда (28.9) в виде некоторой площади, чтобы сравнить её с площадью, которая соответствует интегралу (28. 10). Для этого над каждым отрезком [k−1,k] построим прямоугольник высотой f(k), k=1,2,….

   Рис. 28.3: Интеграл оценивает сумму ряда, начиная со второго слагаемого

   Площадь k-го прямоугольника равна f(k), сумма всех площадей равна сумме ряда. Все прямогольники, кроме первого, находятся не выше графика функции: в силу неубывания на каждом отрезке [k−1,k] значение функции не меньше f(k). Разобьём наш ряд в сумму первого члена и всех остальных:

   ∞∑k=1=f(1)+∞∑k=2f(k).

   Слагаемое f(1) не меняет сходимости ряда, и значит достаточно изучить сходимость ∑∞k=2f(k). Любая частичная сумма этого ряда не превосходит значение интеграла (28.10) и последовательность частичных сумм неубывает в силу неотрицательности f. Значит, последовательность частичных сумм имеет предел и ряд сходится.

   Формально можно записать так. Заметим, что

   ∞∑k=2f(k)=∫+∞1f(⌈x⌉)dx,(28.11)

   где ⌈x⌉ — окугление «вверх» от числа x. Этот интеграл равен площади суммы всех прямоугольников, которую мы обсуждали выше (на каждом полуинтервале (k−1,k] мы интегрируем константу f(k)). С другой стороны, ⌈x⌉≥x и значит f(⌈x⌉)≤f(x). По признаку сравнения для интегралов, если интеграл (28.10) сходится, то и интеграл (28.11) сходится.

   Если ряд сходится, то и интеграл сходится. Доказательство полностью аналогично, только всю картинку с прямоугольниками нужно сдвинуть на одну позицию вправо. То есть на отрезке [k,k+1] нужно построить прямоугольник высотой f(k). Теперь верхние стороны наших прямуогльники будут ограничивать график функции y=f(x) сверху, и из сходимости ряда будет следовать сходимость интеграла.

   Рис. 28.4: Сумма ряда оценивает интеграл сверху

   Формально, можно записать:

   ∞∑k=1f(k)=∫+∞1f(⌊x⌋)dx,(28.12)

   гда ⌊x⌋ — округление вниз числа x, и использовать неравенство f(⌊x⌋)≥f(x). Значит ряд ограничивает интеграл и из сходимости ряда следует сходимость интеграла.∎

   Пример 6. Докажем, что ряд

   ∞∑k=11k2(28.13)

   сходится.

   Действительно, этот ряд можно представить в виде ряда ∑∞k=1f(k), где f(x)=1/x2 — невозрастающая неотрицательная функция. Значит сходимость этого ряда эквивалентна сходимости интеграла

   ∫∞11x2dx.

   Но мы уже доказывали, что этот интеграл сходится. Значит, ряд тоже сходится.

   28.2.5Знакочередующиеся ряды

   Признаки сравнения, обсуждающиеся выше, применимы к рядам с неотрицательными членами. Легко придумать их аналоги для рядов, чьи члены всегда неположительны. Если условие знакопостоянства верно для всех членов, начиная с некоторого, эти признаки тоже работают: никакое конечное число первых членов на сходимость ряда не влияют.

   Можно ли что-то сказать в том случае, когда среди членов ряда есть бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов (такие ряды называют знакопеременными)? В некоторых случаях — можно.

   Определение 2. Пусть ak — некоторая последовательность с положительными членами. Рассмотрим ряд

   ∞∑k=1(−1)k+1ak.(28.14)

   Он называется знакочередующимся. Также можно поставить коэффициент (−1)k, получится тоже знакочередующийся ряд.

   Про знакочередующиеся ряды обычно просто сказать, сходятся они или нет: необходимое условие сходимости в этом случае почти совпадает с достаточным (но не совсем совпадает, нужно дополнительное условие).

   Теорема 3. (Признак Лейбница.) Пусть для знакочередующегося ряда (28.14) модули членов невозрастают, то есть для всех k, ak+1≤ak. Если при этом

   limk→∞ak=0,

   то ряд сходится.

   Доказательство. Обозначим частичные суммы ряда через Sn. Тогда S1=a1, S2=a1−a2, S3=a1−a2+a3 и т.д. Будем откладывать эти точки на числовой прямой, см. рис. 28.5.

   Вот мы отложили точку S1. Затем нужно сдвинуться влево на a2, чтобы получить S2. Отсюда нужно сдвинуться вправо на a3, чтобы получить S3. Может ли оказаться, что мы «перескочим» при этом S1? Нет, потому что последовательность ak невозрастает, и значит a3≤a2, то есть сдвиг от S2 до S3 не превосходит длину отрезка [S2,S1]. Значит точка S3 лежит в отрезке [S2,S1].

   Рис. 28.5: Частичные суммы знакочередующегося ряда с убывающими членами

   Следующий шаг должен быть влево, и поскольку a4≤a3, точка S4 лежит на отрезке [S2,S3]. И так далее.

   Можно построить последовательность вложенных отрезков {Ik}, определяемых следующим образом:

   Ik=[min(Sk,Sk+1),max(Sk,Sk+1)],

   то есть концы k-го отрезка — это просто частичные суммы (k-я и k+1-я), записанные в правильном порядке (та, что больше, справа, а та, что меньше, слева). Тогда I1=[S2,S1],I2=[S2,S3],I3=[S4,S3],I4=[S4,S5], и т.д. По построению, Ik+1⊂Ik и |Ik|=ak+1→0 при k→0. Значит по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка c, принадлежащая всем Ik, и концы отрезков стремятся к c. Но концами являются наши предельные суммы и значит если они стремятся к c, то ряд сходится к c.∎

   Пример 7. Ряд

   ∞∑k=1(−1)k+1k(28.15)

   является сходящимся.

   28.3Абсолютная и условная сходимость

   Определение 3. Рассмотрим ряд

   ∞∑k=1ak.(28.16)

   Если ряд из модулей

   ∞∑k=1|ak|

   сходится, ряд (28.16) называется абсолютно сходящимся.

   Утверждение 5. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. (Звучит забавно, но, действительно, в определении абсолютной сходимости ничего не сказано про то, сходится сам ряд, или нет — сказано только про ряд из модулей.)

   Доказательство. Докажите самостоятельно. Подсказка: пусть bn=an+|an|. Тогда bn≥0 и bn≤2|an|. Но an=bn−|an|.∎

   Определение 4. Если ряд сходится, но не является абсолютно сходящимся, говорят, что он сходится условно.

   Пример 8. Ряд (28.15) сходится условно, потому что соответствующий ему ряд из модулей является гармоническим (см. (28.3)) и расходится.

   Оказывается, что абсолютно и условно сходящиеся ряды ведут себя существенно по-разному — некоторые естественные операции можно безопасно делать с абсолютно сходящимися рядами, но нельзя с условно сходящимися. В частности, для условно сходящихся рядов не действует принцип «от перемены мест слагаемых сумма не меняется».

   Определение 5. Биективное отображение φ:N→N называется перестановкой натурального ряда.

   Если задана какая-то перестановка натурального ряда φ, с её помощью можно из ряда

   ∞∑k=1ak

   изготовить ряд

   ∞∑k=1aφ(k),

   то есть ряд, члены которого совпадают с {ak}, но их порядок изменён с помощью перестновки φ.

   Теорема 4. В результате перестановок членов абсолютно сходящегося ряда его сумма не меняется.

   Набросок доказательства. Если ряд имеет только положительные элементы, легко показать, что частичные суммы переставленного ряда оцениваются частичными суммами исходного, и наоборот. Ряд с положительными и отрицательными членами можно представить как разность двух рядов с положительными членами.∎

   Теорема 5. (Римана) Пусть есть какой-то условно сходящийся ряд ∑∞k=1ak. Тогда выбором подходящей перестановки его членов можно получить ряд с любой заранее заданной суммой. Иными словами, для всякого c найдётся такая перестановка φ, что в результате этой перестановки получается ряд, сумма которого равна c.

   Доказательство.

   Положительные и отрицательные члены. Будем для простоты считать, что в исходном ряду нет нулевых членов — если они есть, на сумму они никак не влияют, и в силу расходимости ряда из модулей, количество ненулевых членов не может быть конечным.

   Ключевой момент доказательства состоит в том, чтобы отдельно рассмотреть положительные и отрицательные члены ряда. Для этого введём такие обозначения:

   a+k:={ak,ak>0,0,ak<0,,a−k:={0,ak>0,ak,ak<0.

   Тогда ряд

   ∞∑k=1a+k(28.17)

   состоит только из его положительных слагаемых исходного ряда, а

   ∞∑k=1a−k(28.18)

   только из отрицательных. Заметим, что

   ak:=a+k+a−k,|ak|=a+k−a−k.

   Докажем, что оба ряда (28.17) и (28.18) расходятся. Действительно, пусть, например, ряд ∑∞k=1a+k сходится (другой случай рассматривается так же). Тогда

   ∞∑k=1a−k=∞∑k=1(ak−a+k)=∞∑k=1ak−∞∑k=1a+k

   тоже сходится, как разность сходящихся рядов (см. утверждение 2). Но в этом случае и ряд

   ∞∑k=1|ak|=∞∑k=1(a+k−a−k)=∞∑k=1a+k−∞∑k=1a−k

   тоже сходится, а это противоречит предположению, что исходный ряд ∑∞k=1ak сходится лишь условно, а не абсолютно.

   Итак, оба ряда (28.18) и (28.17) расходятся. Первый состоит только из неотрицательных слагаемых. Единственный способ, каким он может расходиться, то есть не иметь предела — это стремиться к плюс бесконечности. Действительно, последовательность частичных сумм {S+N} неубывает. Она не может быть ограниченной сверху, поскольку неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел по теореме Вейерштрасса 2. Значит, она не является ограниченной, то есть для всякого C найдётся такое N, что S+N>C. Но в силу неубывания, для всех n>N, S+n≥S+N>C. Значит, S+n→+∞ при n→∞.

   Аналогично доказывается, что ряд (28.18) стремится к минус бесконечности.

   Точная подгонка. Пусть из последовательности {a+k} выкинули все нулевые члены. Подпоследовательность, составленную из оставшихся членов, назовём {b+m}. Порядок следования членов последовательности {b+m} — такой же, как в {a+k}, просто все нулевые пропущены.

   Аналогично определим последовательность {b−l} — последовательность из всех ненулевых членов {a−k}, идущих в том же порядке, в котором они были.

   Иными словами, {b+m} и {b−l} — это последовательности положительных и отрицательных членов исходной последовательности {ak}.

   Эта лекция читается в конце декабря, так что можно представить себе, что {b+m} — это мешок с бесконечным количеством подарков, каждый подарок имеет свой размер, влияющий на то, насколько повышается настроение у человека, которому вы его дарите. Про этот мешок вы знаете, что подарки в нём пронумерованы, и что мешок этот бесконечно большой, подарков в нём достаточно, чтобы поднять настроение на любой уровень.

   Тогда {b−l} — это мешок антиподарков, которые снижают настроение, а не повышают его. Подарки в нём также пронумерованы и имеют в совокупности неограниченный потенциал для снижения настроения.

   Пусть теперь нам задано какое-то число c∈R. Мы будем выписывать элементы последовательностей b+m и b−l таким образом, чтобы сумма выписанных элементов стремилась к c. Каждый элемент будет выписан ровно один раз, и до любого элемента мы рано или поздно доберёмся.

   Алгоритм устроен так. Допустим, c≥0, обратный случай рассматривается аналогично. Мы начинаем из точки 0 и будем выписывать элементы из последовательности {b+m} по порядку, до тех пор, пока сумма выписанных элементов не превзойдёт c. Если в какой-то момент эта сумма попала ровно в c, выпишем ещё один элемент. Визуально это соответствует тому, что мы делаем скачки вправо на величину b+1, b+2 и т.д., до тех пор, пока не «перескочим» через c.

   Как только это произошло, мы меняем направление. Теперь будем выписывать элементы из последовательности {b−l} по порядку. Они отрицательные, поэтому сумма всех выписанных элементов будет каждый раз сдвигаться влево на модуль очередного выписанного элемента. В какой-то момент мы перескочим через c (теперь в обратном направлении, слева направо). Сразу после этого нужно снова сменить направление движения.

   Теперь мы опять должны выписывать элементы из {b+m}, продолжая ровно с того места, где остановились в прошлый раз. Если последний выписанный нами на предыдущем этапе элемент был {b+m1}, то начать надо с элемента {b+m1+1}. И снова мы выписываем элементы из {b+m} до тех пор, пока сумма всех элементов (включая все выписанные ранее) не превзойдёт c. В этот момент мы снова переключимся, и будем так продолжать до бесконечности.

   Почему этот алгоритм работает.

   Я утверждаю, что описанный нами алгоритм реализует искомую перестановку — а именно, что получится последовательность, которая является перестановкой исходной последовательности {ak}, и что предел её частичных сумм равен c.

   Во-первых, этот алгоритм никогда не остановится, и будет делать бесконечное количество переключений между движением вправо и движением влево. Почему так? Потому что сумммы (28.17) и (28.18) расходятся, и значит в наших «мешках с подарками и антиподарками» подарков достаточно, чтобы сделать сколь угодно хорошее и сколь угодно плохое настроение. Более того, поскольку начальные члены ряда не влияют на сумму, эти свойства сохранятся и после того, как какое-то конечное количество слагаемых из последовательностей {b+m} и {b−l} было выписано. Значит мы всегда можем взять достаточно много элементов из «хвостов» этих последовательностей, чтобы сдвинуться как угодно далеко вправо или как угодно далеко влево. Значит, нам всегда удастся перескочить через c и сменить направление движения.

   В ходе каждого этапа движения вправо или влево из соответстующей последовательности берётся по крайней мере один элемент. По построению, мы не пропускаем никакие элементы и не повторяем одни и тот же элемент дважды. Поскольку этапов бесконечно много, это означает, что любой элемент рано или поздно будет выписан, причём ровно один раз. Это означает, что новая последовательность — перестановка старой.

   Наконец, почему предел её частичных сумм стремится к c? Заметим, что в силу необходимого условия сходимости, ak→0 при k→∞ и значит a+k→0 и a−k→0. Это означает, что limm→∞b+m=0 и liml→∞b−l=0. То есть скачки, которые мы совершаем каждый раз, стремятся к нулю. Однако, расстояние от c до очередной частичной суммы не превосходит модуля длины последнего скачка, после которого мы перескочили через c. Этот скачок равен соответствующему элементу последовательности ak, и его номер стремится к бесконечности, поскольку при каждом проходе «вправо» мы берём как минимум один элемент из последовательности положительных членов, а при проходе «влево» берём как минимум один элемент из последовательности отрицательных членов. Значит, k как минимум не меньше, чем число проходов вправо и влево. Поэтому расстояние от c до очередной частичной суммы стремится к нулю.

   Теорема доказана.∎

   28.4Заключение

   Ряды естественным образом возникают в ситуациях, когда есть какая-то величина, меняющаяся дискретно (в отдельные моменты времени), и нас интересует, как это величина накапливается. Сложные проценты в финансах, расчёты платежей в теории игр, математические ожидания дискретных случайных величин в теории вероятностей — во всех этих областях появляются ряды. Особенно важно понимать, какие ряды сходятся, а какие нет — и мы подробно обсудили несколько достаточно универсальных признаков, применимых в широком спектре ситуаций. К сожалению, нахождение значений рядов — задача ещё более сложная, чем нахождение сумм интегралов. Впрочем, если вы хотите углубиться в эту тему, могу рекомендовать книгу «Конкретная математика. Основание информатики» (Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Поташник). Там эта тема обсуждается подробно.

   А мы подходим к концу курса. Осталась буквально одна тема. И это будет что-то новое!

   ---

   ← Предыдущая глава Следующая глава →

   Сумма ряда на практике

   Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

   Пример 1. 4 Вычислить сумму рядов:
   а)
   Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0
   
   то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения
   
   В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов
   
   Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.
   
   На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
   Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
   б)
   Вычисления: Находим границу n-го члена суммы
   
   Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком «плюс» или «минус».
   Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа
   
   Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей
   
   Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.
   
   В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6.

   Пример 1.9 Найти сумму ряда:
   а)
   Вычисления: Вычислениям границы
   
   убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа
   
   Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые
   
   Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда
   
   Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
   б)
   Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю
   
   Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа
   
   Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов
   
   Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях
   
   Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

   Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
   а)

   Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю
   
   данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей
   
   Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов
   
   После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.
   
   Сумма числового ряда равна -1/30.
   б)
   Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,
   
   то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.
   
   При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание
   
   Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся
   
   Сумма ряда равна 4,5.

   Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
   а)
   Вычисления: Находим границу общего члена ряда
   
   Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби
   
   Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.
   
   В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
   б)
   Вычисления: Находим границу общего члена ряда
   
   и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.
   
   Через такие же дроби расписываем сумму ряда
   
   Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых
   
   Сумма ряда равна 1/4.
   На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.

   • Назад
   • Вперёд

   Сумма ряда x в степени n – dj-sensor.ru

   Содержание

   1. Введите данные для подчета суммы ряда
   2. Сходимость ряда
   3. Правила ввода выражений и функций
   4. Лучшие эксперты в этом разделе

   Введите данные для подчета суммы ряда

   Найдем сумму ряда чисел. Если не получается ее найти, то система вычисляет сумму ряда с определенной точностью.

   Сходимость ряда

   Данный калькулятор умеет определять – сходится ли ряд, также показывает – какие признаки сходимости срабатывают, а какие – нет.

   Также умеет определять сходимость степенных рядов.

   Также строится график ряда, где можно увидеть скорость сходимости ряда (или расходимости).

   Правила ввода выражений и функций

   © Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

   Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку

   то ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.

   Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:

   здесь и соответственно n-ый и (n+1)-й члены ряда, а сходимость определяется значением D: Если D 1 – расходится. При D = 1 – данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

   В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:

   Поскольку , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.

   Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

   здесь n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D: Если D 1 – расходится. При D = 1 – данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

   В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для . Теперь найдем соответствующий предел:

   Читайте также:  Что означает три точки в математике

   Поскольку 1′ title=’15625/64>1′ /> , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

   Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

   Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

   Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

   Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

   Лучшие эксперты в этом разделе

   Коцюрбенко Алексей Владимирович Статус: Модератор Рейтинг: 1690

   w3.org/2000/svg’%20viewBox=’0%200%200%200’%3E%3C/svg%3E» data-lazy-src=»https://rfpro.ru/images/nouser0.jpg»/>

   epimkin Статус: Бакалавр Рейтинг: 386

   Roman Chaplinsky / Химик CH Статус: Модератор Рейтинг: 380

   Перейти к консультации №:

   Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:Укажите, чему равна сумма ряда х в степени n:
   1) е в степени x (x-любое)
   2) 1/(x+1) (-1 Последнее редактирование 17.11.2016, 16:03 Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)

   Состояние: Консультация закрыта

   Здравствуйте, Алексей Валентинович!

   По-моему, правильный ответ 5).

   P. S. Как Вы сами правильно заметили в мини-форуме консультации, всё-таки правильный ответ 3), а не 5).

   0

   Отправлять сообщения
   модераторам могут
   только участники портала.
   ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
   регистрация »

   Елена Васильевна
   Бакалавр

   ID: 398750

   Прикрепите фото задания

   Гордиенко Андрей Владимирович
   Специалист

   ID: 17387

   Известны следующие “стандартные” разложения:

   Тимофеев Алексей Валентинович
   Профессионал

   ID: 304951

   Мне не переслать фото.Там написан такой ряд: Сигма от 0 до бесконечности x в степени n. И сумма этого ряда равна одному из четырёх вариантов. Извините, забыл написать пятый вариант
   5) Среди предложенных вариантов ответа нет верного

   Читайте также:  Что значит значок якоря в ворде

   Гордиенко Андрей Владимирович
   Специалист

   ID: 17387

   Тогда, по-моему, правильный ответ 5).

   Гордиенко Андрей Владимирович
   Специалист

   ID: 17387

   Почему-то невозможно отправить ответ и в этой консультации. 3+. при -1 Специалист

   ID: 17387

   Даже стыдно стало. Прошу извинить! Ответ, с Вашего согласия, исправлю. На будущее учту.

   Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
   Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

   • Автор: Мария Сухоруких
   • Распечатать

   Оцените статью:

   (0 голосов, среднее: 0 из 5)

   Поделитесь с друзьями!

   Методы сложения чисел от 1 до 100 – BetterExplained

   Существует популярная история о том, что у Гаусса, выдающегося математика, был ленивый учитель. Так называемый воспитатель хотел занять детей, чтобы он мог вздремнуть; он попросил класс сложить числа от 1 до 100.

   Гаусс подошел со своим ответом: 5050. Так скоро? Учитель заподозрил обман, но нет. Сложение вручную было для лохов, и Гаусс нашел формулу, позволяющую обойти проблему:

   Давайте поделимся несколькими объяснениями этого результата и действительно поймем его интуитивно. Для этих примеров мы добавим 1 к 10, а затем посмотрим, как это применимо к 1 к 100 (или 1 к любому числу).

   Техника 1: Парные номера

   Парные номера — распространенный подход к этой проблеме. Вместо того, чтобы записывать все числа в один столбец, давайте обернем числа так:

    1 2 3 4 5
   10 9 8 7 6
    

   Возникает интересный паттерн: сумма каждого столбца равна 11 . По мере увеличения верхней строки нижняя строка уменьшается, поэтому сумма остается прежней.

   Поскольку 1 находится в паре с 10 (наше n), мы можем сказать, что в каждом столбце есть (n+1). А сколько у нас пар? Итак, у нас есть 2 равных строки, у нас должно быть n/2 пар.

   , что является формулой выше.

   Подождите, а как насчет нечетного количества предметов?

   Ах, я рад, что вы подняли эту тему. Что, если мы сложим числа от 1 до 9? У нас нет четного количества предметов, которые можно соединить. Многие объяснения просто дадут объяснение выше и остановятся на этом. я не буду.

   Складываем числа от 1 до 9, но вместо того, чтобы начинать с 1, давайте считать с 0:

    0 1 2 3 4
   9 8 7 6 5
    

   Считая от 0, мы получаем «дополнительный элемент» (всего 10), поэтому у нас может быть четное количество строк. Однако наша формула будет выглядеть немного иначе.

   Обратите внимание, что сумма каждого столбца равна n (а не n+1, как раньше), поскольку 0 и 9 сгруппированы. И вместо того, чтобы иметь ровно n элементов в 2 строках (всего n/2 пар), у нас есть n + 1 элемент в 2 строках (всего (n + 1)/2 пар). Если вы подставите эти числа, вы получите:

   , что является той же формулой, что и раньше. Меня всегда раздражало, что одна и та же формула работает и для нечетных, и для четных чисел — дробь не получится? Да, вы получаете ту же формулу, но по другим причинам.

   Способ 2: Использование двух рядов

   Описанный выше метод работает, но вы по-разному обрабатываете нечетные и четные числа. Разве нет лучшего способа? Да.

   Вместо того, чтобы зацикливать числа, давайте запишем их в два ряда:

    1 2 3 4 5 6 7 8 910
   10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
    

   Обратите внимание, что у нас есть 10 пар, и каждая пара в сумме дает 10+1.

   Сумма всех приведенных выше чисел равна

   Но нам нужна сумма только одной строки, а не обеих. Итак, мы делим приведенную выше формулу на 2 и получаем:

   Вот это круто (настолько круто, насколько могут быть ряды чисел). Это работает для нечетного или четного количества предметов одинаково!

   Техника 3: Создание прямоугольника

   Недавно я наткнулся на другое объяснение, свежий подход к старому объяснению спаривания. Разные объяснения работают лучше для разных людей, и мне это нравится больше.

   Вместо того, чтобы писать числа, представьте, что у нас есть бобы. Мы хотим добавить 1 боб к 2 бобам, к 3 бобам… вплоть до 5 бобов.

    х
   х х
   х х х
   х х х х
   х х х х х
    

   Конечно, мы могли бы использовать 10 или 100 бобов, но с 5 вы поняли идею. Как нам посчитать количество бобов в нашей пирамиде?

   Ну, сумма явно 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Но давайте посмотрим на это по-другому. Допустим, мы зеркально отразим нашу пирамиду (я буду использовать «о» для отраженных бобов), а затем опрокинем ее:

    х о х о о о о о
   х х о о х х о о о о
   х х х о о о => х х х о о о
   х х х х о о о о х х х х о о
   х х х х х о о о о о х х х х х х о
    

   Круто, да? Если вам интересно, действительно ли это совпадает, то это так. Взгляните на нижний ряд правильной пирамиды с 5′x (и 1°). В следующем ряду пирамиды на 1 x меньше (всего 4) и на 1 больше (всего 2), чтобы заполнить пробел. Так же, как и в паре, одна сторона увеличивается, а другая уменьшается.

   Теперь пояснение: сколько у нас всего бобов? Ну, это просто площадь прямоугольника.

   У нас есть n строк (количество строк в пирамиде мы не меняли), а ширина нашей коллекции (n + 1) единиц, так как 1 «о» стоит в паре со всеми «иксами».

   Обратите внимание, что на этот раз нам все равно, будет ли n нечетным или четным — формула общей площади работает просто отлично. Если n нечетно, у нас будет четное количество элементов (n+1) в каждой строке.

   Но, конечно, нам не нужна общая площадь (количество иксов и ноликов), нам нужно только количество иксов. Поскольку мы удвоили x, чтобы получить o, x сами по себе составляют лишь половину общей площади:

   И мы вернулись к нашей первоначальной формуле. Опять же, количество x в пирамиде = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 или сумма от 1 до n.

   Метод 4. Усреднение

   Все мы знаем, что

   среднее = сумма / количество элементов

   , что мы можем преобразовать в

   сумма = среднее * количество элементов

   9000. сумма. Если у нас есть 100 чисел (1…100), то у нас явно есть 100 элементов. Это было просто.

   Чтобы получить среднее значение, обратите внимание, что все числа распределены поровну. Для каждого большого числа на другом конце есть маленькое число. Давайте посмотрим на небольшой набор:

    1 2 3
    

   Среднее значение равно 2. 2 уже находится посередине, а 1 и 3 «сокращаются», поэтому их среднее значение равно 2.

   Для четного числа предметов

    1 2 3 4
    

   среднее между 2 и 3 — это 2,5. Несмотря на то, что у нас есть дробное среднее, это нормально — поскольку у нас есть даже элементов, когда мы умножаем среднее значение на количество, эта уродливая дробь исчезнет.

   Обратите внимание, что в обоих случаях 1 находится по одну сторону от среднего, а N одинаково далеко по другую. Таким образом, мы можем сказать, что среднее значение всего набора на самом деле является средним значением 1 и n: (1 + n)/2.

   Подставляем это в нашу формулу

   И вуаля! У нас есть четвертый способ думать о нашей формуле.

   Так почему же это полезно?

   Три причины:

   1) Быстрое сложение чисел может быть полезным для оценки. Обратите внимание, что формула расширяется до этого:

   Допустим, вы хотите сложить числа от 1 до 1000: предположим, вы получаете 1 дополнительного посетителя на свой сайт каждый день — сколько всего посетителей будет через 1000 дней? Так как тысяча в квадрате = 1 миллион, мы получаем миллионов / 2 + 1000/2 = 500 500 .

   2) Эта концепция сложения чисел от 1 до N проявляется и в других местах, например, при вычислении вероятности парадокса дня рождения. Твердое понимание этой формулы поможет вашему пониманию во многих областях.

   3) Самое главное, этот пример показывает, что есть много способов понять формулу. Может быть, вам нравится метод сопряжения, может быть, вы предпочитаете технику прямоугольника, или, может быть, есть другое объяснение, которое вам подходит. Не отказывайтесь от , если вы не понимаете — попробуйте найти другое объяснение, которое работает. Счастливая математика.

   Кстати, есть более подробная информация об истории этой истории и возможной технике, которую использовал Гаусс.

   Вариации

   Вместо 1 до n, как насчет 5 до n?

   Начните с обычной формулы (1 + 2 + 3 + … + n = n * (n + 1) / 2) и вычтите ненужную часть (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10).

    Сумма для 5 + 6 + 7 + 8 + … n = [n * (n + 1) / 2] – 10
    

   И для любого начального числа a:

    Сумма от a до n = [n * (n + 1) / 2] – [(a - 1) * a / 2]
    

   Мы хотим избавиться от всех чисел от 1 до — 1.

   Как насчет четных чисел, таких как 2 + 4 + 6 + 8 + … + n?

   Просто удвойте обычную формулу. Чтобы сложить четные числа от 2 до 50, найдите 1 + 2 + 3 + 4 … + 25 и удвойте его:

    Сумма 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/ 2) = 2 * п/2 * (п/2 + 1) / 2 = п/2 * (п/2 + 1)
    

   Итак, чтобы получить четные числа от 2 до 50, нужно сделать 25 * (25 + 1) = 650

   Как насчет нечетных чисел, например 1 + 3 + 5 + 7 + … + n?

   Это то же самое, что и четная формула, за исключением того, что каждое число на 1 меньше своего аналога (у нас есть 1 вместо 2, 3 вместо 4 и т. д.). Получаем следующее по величине четное число (n + 1) и убираем лишнее (n + 1)/2 «-1″ предметов:

    Сумма 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = [(n + 1)/2 * ((n + 1)/2 + 1)] – [(n + 1) / 2]
    

   Чтобы добавить 1 + 3 + 5 + … 13, возьмите следующее наибольшее четное (n + 1 = 14) и выполните

    [14/2 * (14/2 + 1)] – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49
    

   Комбинации: четы и смещения

   Допустим, вам нужны четы из 50 + 52 + 54 + 56 + … 100. Найдите все четы

    2 + 4 + 6 + … + 100 = 50 * 51
    

   и вычесть ненужные

    2 + 4 + 6 + … 48 = 24 * 25
    

   Итак, сумма из 50 + 52 + … 100 = (50 * 51) – (24 * 25) = 1950

   Фу! Надеюсь это поможет.

   Рубиновые умники: вы можете проверить это, используя

    (50..100).select {|x| х % 2 == 0 }.inject(:+)
   1950 г.
    

   Специалисты по Javascript, сделайте это:

    [...Array(51).keys()].map(x => x + 50).filter(x => x % 2 == 0).reduce(( х, у) => х + у)
   1950 г.
   // Примечание: имеется 51 число от 50 до 100 включительно.  Забор!
    

   Другие сообщения из этой серии

   1. Методы сложения чисел от 1 до 100
   2. Переосмысление арифметики: визуальное руководство
   3. Quick Insight: интуитивное значение подразделения
   4. Quick Insight: вычитание отрицательных чисел
   5. Удивительные закономерности в квадратных числах (1, 4, 9, 16…)
   6. Развлечение с модульной арифметикой
   7. Учимся считать (избегая проблемы с ограждением)
   8. Причудливое введение в системы счисления
   9. Еще один взгляд на простые числа
   10. Интуиция для золотого сечения
   11. Различные интерпретации числа ноль

   Как суммировать в Excel Примеры и видео

   Примеры показывают, как суммировать в Microsoft Excel с помощью простой функции СУММ или формул, которые суммируют на основе одного или нескольких критериев.

   Во-первых, для быстрого обзора посмотрите видео: 7 способов суммирования в Excel. Затем прокрутите вниз, чтобы увидеть больше видеороликов о функции Sum, письменных инструкций и бесплатных книг Excel. Кроме того, внизу страницы есть список тем, если вы ищете конкретную тему «Как суммировать».

   Автор: Дебра Далглиш

   Обзор : 7 способов суммирования в экселе Чтобы получить краткий обзор 7 различных способов суммирования чисел с помощью функций Excel, вы можете посмотреть это 9-минутное видео. Под видео есть письменные шаги и снимки экрана для всех примеров. Временная шкала видео (синие ссылки ведут к письменным шагам под видео) 0:00 Введение 0:09 1. Быстрые общие итоги — Общий итог диапазон ячеек   0:45 2. Суммировать определенные ячейки — Суммировать простой диапазон ячеек 1:56 3. Промежуточный итог — Промежуточный итог 3:28 4. Суммирование определенных элементов — суммирование ячеек, соответствующих одному критерию   4:41 5. Частичное совпадение суммы — совпадение с подстановочным знаком 6:21 6. Суммирование по нескольким критериям. Суммируйте ячейки, соответствующие несколько критериев 7:46 7. Сумма в отфильтрованном списке — суммирование отфильтрованного списка с ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ   09:27 Получите образец файла — загрузите 7 способов Сумма образец файла

    

   Суммирование диапазона ячеек — Функция СУММ

   Самый быстрый и простой способ суммирования диапазона ячеек – использовать кнопку Excel AutoSum. Он автоматически вводит функцию СУММ Excel в выбранной ячейке. Функция СУММ суммирует одно или несколько чисел в диапазоне ячеек.

   В первом примере ниже показано, как использовать функцию автосуммы

   1. Выберите пустую ячейку в строке под ячейками, которые вы хотите сумма, ячейка A5 в этом примере.

   2. Щелкните команду AutoSum на вкладке «Главная» ленты,
      или используйте сочетание клавиш: Alt + =

   3. В активной ячейке появится формула СУММ со ссылкой на ячейки выше. На снимке экрана ниже есть формула СУММ в ячейка А5: =СУММ(A1:A4)
      ПРИМЕЧАНИЕ. Если все ячейки не включаются автоматически, можно расширить кадр, чтобы выбрать их.

   4. Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод.

   Настройка функции SUM

   Вместо использования команды AutoSum для вставки функции SUM можно введите функцию вручную.

   Настройка функции СУММ (синтаксис): СУММ(число1 , [число2],…).

   • Имеет один обязательный аргумент: число1
   • Он также имеет необязательные аргументы (заключенные в квадратные скобки): [номер2],..

   Эти аргументы могут быть ссылками на ячейки или могут быть введены в формулу.

   В приведенном выше примере ( =СУММ(A1:A4) ) есть один аргумент — ссылка на ячейки A1:A4.

   Исправить числа, которые не складываются Некоторые значения Excel выглядят как числа, но не складываются, так как Excel думает, что это текст. Иногда вы можете решить проблему с помощью Paste Специальный. Посмотрите этот короткий видеоурок, чтобы увидеть шаги Для получения письменных инструкций и других способов решения проблемы перейдите на страницу «Числа не складываются». Общий итог по диапазону ячеек Одним быстрым шагом вы можете вычислить строку, столбец и общие итоги для диапазон ячейки. Посмотрите этот короткий Excel Видео Grand Totals, чтобы увидеть, как это сделать. Под видео есть письменные инструкции. Быстрый общий итог для диапазона ячеек Выберите диапазон ячеек и пустую строку под диапазоном и пустые ячейки в столбце справа (ячейки A1:D5 в примере ниже) Нажмите кнопку «Автосумма» на вкладке «Главная» ленты. Формула СУММ будет автоматически вводится для каждой суммы.

    

   Итого Чтобы увидеть промежуточный итог в каждой строке списка Excel, вы можете использовать Функция SUM с блокировкой начальной строки как абсолютной ссылки. Ниже приведены немного другие шаги, для промежуточного итога в списке рабочих листов для промежуточного итога в именованной таблице Excel Промежуточный итог в списке рабочих листов Для списка рабочих листов (не именованной таблицы Excel) в этом видео показано, как настроить формулу промежуточного итога и заблокировать начальную строку. Письменные шаги приведены ниже. Чтобы посмотреть расшифровку видео, перейдите на страницу Running Total Video. Промежуточный итог — список рабочих листов Для списка рабочих листов (не именованной таблицы Excel) выполните следующие действия, чтобы создать промежуточный итог. На приведенном ниже снимке экрана суммы вводятся в столбец C, а текущий итог рассчитывается в столбце D. Введите эту формулу в ячейку D2 =СУММ(C$2:C2) Скопируйте формулу в ячейку D6 Как работает формула Формула использует абсолютную ссылку на строку 2 в качестве отправной точки — C$2 — и относительная ссылка на конечную точку — C2 Это гарантирует, что начальная точка не изменится при копировании формулу до строк ниже. Вот формула в ячейке D6 — начальная точка осталась прежней, а конечная точка находится в текущей ряд — C6 =СУММ(C$2:C6) Промежуточный итог в таблице Excel Для именованной таблицы Excel нельзя использовать формулу списка рабочих листов из предыдущего раздела. Сначала я покажу вам задачу с этой формулой, а затем вы увидите формулу, которая работает в именованной таблице. Проблема с промежуточным итогом После того, как вы введете формулу в ячейку D2 указанной таблицы Excel, она автоматически заполнится, и промежуточный итог будет выглядеть правильно. Но, как только вы начинаете новую строку внизу таблицы, формула в последней строке меняется. Перед добавлением строки в ячейке D6 была следующая формула: = СУММ(C$2:C6) Как только в строке 7 была запущена следующая запись, формула в D6 автоматически изменилась. Теперь у него неправильная конечная ссылка на C7 вместо C6: . =СУММ(C$2:C7 ) По мере добавления каждой новой строки формулы в нижних строках продолжают изменяться, чтобы показать номер последней строки. Формула промежуточного итога для именованной таблицы Чтобы избежать этой проблемы, мы будем использовать немного другую формулу для промежуточного итога в именованной таблице Excel. На приведенном ниже снимке экрана суммы вводятся в столбце C, а текущий итог рассчитывается в столбце D. Введите эту формулу в ячейку D2 =СУММ(C$1:[@Amt]) Формула автоматически заполняет ячейку D6 Все ячейки в столбце D содержат одну и ту же формулу Как работает формула Формула использует абсолютную ссылку на ячейку заголовка в качестве отправной точки — 1 канадский доллар Во избежание проблем, если новая строка данных добавляется вверху, начальная ячейка находится в строке заголовка таблицы Поскольку ячейка заголовка содержит текст, ее значение рассматривается как нулевое и не влияет на промежуточный итог Для конечной точки есть ссылка на структурированную таблицу — [@Amt] Это ссылка на ячейку Amt в текущей строке С этой ссылкой на ячейку таблицы нет проблем при добавлении новых строк в таблицу Excel На этом снимке экрана показано, что при запуске новой строки в ячейке C6 по-прежнему отображается исходная формула, а суммы промежуточных сумм в каждой строке верны

    

   Суммирование диапазона ячеек — OFFSET Если вы вставите строку непосредственно над функцией СУММ в предыдущем примере, новая строка не может быть включена в SUM. Он может продолжать суммировать ячейки A1:A4 и игнорировать A5. Чтобы убедиться, что новые строки включены в итог, вы можете использовать функцию OFFSET с функцией SUM. Выберите ячейку A5. Введите следующую формулу:    =СУММ(A1:СМЕЩЕНИЕ(A5,-1,0)) Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод. Вставить строку над строкой 5 Введите число в ячейку A5, и оно будет включено в общую сумму в ячейка A6

    

   Сумма ячеек, соответствующих критериям — СУММЕСЛИ Вот 3 способа суммирования ячеек, соответствующих критериям, с помощью функции СУММЕСЛИ в Excel:     — Точное соответствие критерию       — Критерий совпадения в строка       – Критерий соответствия с использованием оператор   Совет : Для примеров того, как суммировать на основе нескольких критериев, перейдите к ячейкам суммы с сложный раздел множественных критериев , ниже. Настройка функции СУММЕСЛИ Настройка функции СУММЕСЛИ (синтаксис): СУММЕСЛИ(диапазон , критерии , [ диапазон_суммы ]) СУММЕСЛИМН имеет два обязательных аргумента: диапазон — ячейки для проверки по критериям критерий — значение для использования в качестве критерия СУММЕСЛИ также имеет один необязательный аргумент (в квадрате). скобки): [ sum_range ] — ячейки для суммирования — если опущено, значения в диапазоне суммируются Эти аргументы могут быть ссылками на ячейки или могут быть введены в формулу. Точное соответствие критерию Вы можете рассчитать итог для строк, соответствующих определенному критерию. В В этом примере в итоговую сумму будут включены только строки с заказами пера. Выберите ячейку, в которой вы хотите увидеть общее количество Введите знак равенства (=), чтобы начать формулу Тип:   СУММЕСЛИ( Выберите ячейки, содержащие значения для проверки критерия. В этом примере будут проверены ячейки A2:A10 90 218. Введите запятую для разделения аргументов Введите критерий. В этом примере вы проверяете текст, поэтому введите слово в двойных кавычках:   «Pen» Примечание: прописные и строчные буквы обрабатываются одинаково Введите запятую для разделения аргументов Выберите ячейки, содержащие значения для суммирования. В этом примере ячейки B2:B10 будут суммированы Завершенная формула:    =СУММЕСЛИ(A2:A10;»Перо»,B2:B10) Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод Примечание : Вместо того, чтобы вводить критерий в формулу, вы можете указать в ячейку. Например, формулу на шаге 9 выше можно изменить на:     =СУММЕСЛИ(A2:A10, B12, B2:B10) , если ячейка B12 содержит текст ручка . Критерий соответствия в строке Вы можете добавить ячейки, содержащие критерий, как часть содержимого ячейки. В этом примере все заказы Pen, Gel Pen и Pencil будут суммироваться, потому что они содержат строку «ручка». Выберите ячейку, в которой вы хотите увидеть итог (ячейка A12 в этом пример) Введите знак равенства (=), чтобы начать формулу Тип:   СУММЕСЛИ( Выберите ячейки, содержащие значения для проверки критерия. В этом примере будут проверены ячейки A2:A10 90 218. Введите запятую для разделения аргументов Введите критерий. В этом примере вы проверяете текст, поэтому введите слово в двойных кавычках с одной или несколькими звездочками (*) подстановочными знаками символы:   «*Pen*» Примечание: прописные и строчные буквы обрабатываются одинаково Введите запятую для разделения аргументов Выберите ячейки, содержащие значения для суммирования. В этом примере ячейки B2:B10 будут суммированы Введите закрывающую скобку. Завершенная формула: =СУММЕСЛИ(A2:A10,»*Перо*»,B2:B10) Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод Результат будет 53, общее количество строк, содержащих строку, «Ручка» Примечание : Вместо того, чтобы вводить критерий в формулу, вы можете указать в ячейку. Например, формула на шаге 9выше можно изменить на:     =СУММЕСЛИ(A2:A10,»*» & B12 & «*»,B2:B10) , если ячейка B12 содержит текст ручка .

    

   Критерий и оператор Вы можете использовать оператор с условием. В приведенных ниже примерах см. как объединить их в формуле СУММЕСЛИ. Пример 1 Пример 2 Пример 1 — сумма строк больше заданного значения В этом примере только строки, в которых количество торговых представителей больше больше или равно десяти, будут включены в общую сумму. Выберите ячейку, в которой вы хотите увидеть общее количество Введите знак равенства (=), чтобы начать формулу Тип:   СУММЕСЛИ( Выберите ячейки, содержащие значения для проверки критерия. В этом примере будут проверены ячейки B2:B10 Введите запятую для разделения аргументов Введите критерий. В этом примере вы проверяете строки, в которых количество посещений больше или равно 10. Оператор >= используется перед числом, и весь критерий заключен в двойной цитаты. Введите запятую для разделения аргументов Выберите ячейки, содержащие значения для суммирования Введите закрывающую скобку. Завершенная формула:    =СУММЕСЛИ(B2:B10,»>=10″,C2:C10) Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод Результатом будет 183, общее количество строк с десятью или более торговыми представителями. Примечание : Вместо того, чтобы вводить критерий в формулу, вы можете указать в ячейку. Например, формула на шаге 9выше можно изменить на:    =СУММЕСЛИ(B2:B10,»>=» & B12,C2:C10) , если ячейка B12 содержит число 10 . Пример 2 — скользящие итоги за 12 месяцев В этом примере только строки за предыдущие 11 месяцев и текущий месяц, будут включены в общую сумму. Это создает скользящий итог. Даты находятся в столбце A, и список должен быть отсортирован по дате. Ежемесячный суммы указаны в столбце B. Выберите первую ячейку, в которой вы хотите увидеть скользящий итог — ячейка C2 в этом примере Введите следующую формулу и нажмите Enter: =СУММЕСЛИ(A$2:A2,»>=» & ДАТА(ГОД(A2),МЕСЯЦ(A2)-11,ДЕНЬ(A2)),B$2:B2). Скопируйте формулу до последней строки с данными. В каждой строке показан скользящий итог за последние 12 месяцев (если доступно) Как это работает Формула проверяет даты в столбце A, начиная со строки 2 (A$2), и вниз к текущей строке (A2) =СУММЕСЛИ( A$2:A2 Функция ДАТА вычисляет дату на 11 месяцев раньше даты. в текущей строке ДАТА(ГОД(A2),МЕСЯЦ(A2)-11,ДЕНЬ(A2)) Оператор >= проверяет даты, которые больше или равны эта дата, «>=» & ДАТА(ГОД(A2),МЕСЯЦ(A2)-11,ДЕНЬ(A2)) Для строк, соответствующих критерию, формула суммирует суммы в столбце B, начиная со строки 2 (B$2) и заканчивая текущей строкой (B2) B$2:B2

    

   Сумма ячеек, соответствующих нескольким критериям — СУММЕСЛИМН В Excel 2007 и более поздних версиях вы можете использовать функцию СУММЕСЛИМН для вычислить итог для строк, которые соответствуют двум или более критериям. Посмотрите это короткое видео, чтобы увидеть шаги. Под видео есть письменные инструкции. Полную расшифровку видео можно найти на странице суммирования сумм по 2 критериям. СУММЕСЛИМН Настройка функции Настройка функции СУММЕСЛИМН (синтаксис): СУММЕСЛИМН(диапазон , критерии , [ диапазон_суммы ]) СУММЕСЛИМН имеет три обязательных аргумента: sum_range — ячейки для проверки по критериям критерии_диапазона1 — ячейки для проверки первого критерия критерии1 — значение для использования в качестве первого критерия Дополнительные пар из критерии_диапазона и критерии могут быть добавлены для суммирования на основе нескольких критериев Эти аргументы могут быть ссылками на ячейки или могут быть введены в формулу. Соответствие нескольким критериям В этом примере функция СУММЕСЛИМН суммирует суммы в столбце D на основе 2 критериев : статус в колонке B «Отправлено» количество единиц в столбце C больше или равно 10 Эти критерии вводятся в ячейки F6 (Отправлено) и G6 (10) Выполните следующие действия, чтобы создать формулу СУММЕСЛИМН: Выберите ячейку, в которой вы хотите увидеть общее количество Введите знак равенства (=), чтобы начать формулу Тип:   СУММЕСЛИМН( Выберите ячейки, содержащие значения для суммирования. В этом примере ячейки D3:D10 будут суммированы Введите запятую, затем выберите ячейки, содержащие значения для проверки по первому критерию. В этом примере будут проверены ячейки B3:B10 90 218. Введите запятую, а затем введите первый критерий «Отправлено» Введите запятую, затем выберите ячейки, содержащие значения для проверки по второму критерию. В этом примере будут проверены ячейки B2:B6 Введите запятую, а затем введите второй критерий:  » >=» & 10 Завершить закрывающей скобкой: ) Завершенная формула: =СУММЕСЛИМН(D3:D10,B3:B10,»Отправлено»,C3:C10,»>=» & 10) Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод

    

   Формулы со ссылками на таблицы Если вы создаете формулы со ссылками на таблицы, а затем пытаетесь скопировать эти формулы в соседние столбцы, вы можете столкнуться с проблемами. В этом видео показана проблема и два способа ее предотвращения. Под видео есть письменные шаги. Проблемы со ссылками на таблицы В этой сводке продаж есть формула СУММЕСЛИМН в ячейке C5, которая показывает правильную сумму продаж батончиков в Восточном регионе. =СУММЕСЛИМН(Данные_продаж[Количество], Данные_продаж[Регион],$B5, Данные_продаж[Категория],4C$) Однако, если вы наведете указатель на маркер заполнения в ячейке C5 и перетащите вправо, формула покажет неверный итог в ячейке D5. Если вы проверите формулу в ячейке D5, все ссылки на таблицы сместятся на один столбец вправо, потому что формула была перетащена на один столбец вправо. =СУММЕСЛИМН(Данные_продаж[Общая стоимость],Данные_продаж[Категория],$B5, Данные_продаж[Продукт],D$4) Вместо количества в формуле суммируется столбец «Общая стоимость» Вместо того, чтобы искать Восток в столбце «Регион», он ищет в категории . Вместо того, чтобы искать файлы cookie в столбце «Категория», он ищет продукт . Ни один из этих критериев не найден, поэтому результат равен нулю. Чтобы предотвратить эту проблему смещения ссылок на таблицы, не перетаскивайте маркер заполнения для копирования. Вместо этого используйте один из следующих методов: Заполнить справа Копировать и вставить Заполнить справа Выберите ячейку с формулой и ячейки справа, куда вы хотите скопировать формулу Нажмите Ctrl+R, чтобы заполнить формулу справа Копировать и вставить Выберите ячейку с формулой и нажмите Ctrl+C, чтобы скопировать ее Выберите все ячейки, в которые вы хотите скопировать формулу Нажмите Ctrl+V, чтобы вставить формулу .

    

   СУММЕСЛИМН с несколькими критериями И/ИЛИ В приведенном ниже списке можно использовать формулу СУММЕСЛИМН для суммирования строк, где: Город Нью-Йорк И Категория — Бары Формула в ячейке G9 будет: =СУММЕСЛИМН(D4:D15,B4:B15,G4,C4:C15,G6) Формула с несколькими критериями для И/ИЛИ Однако вместо одной категории мы хотели бы рассчитать общее количество для двух и более категорий. В этом примере мы посчитаем общую сумму где: Город Нью-Йорк И Категория Печенье ИЛИ город Нью-Йорк И Категория — Бары Две категории вводятся в ячейки G6:G7 рабочего листа. Массивная формула Чтобы вычислить итог, мы добавим в формулу СУММЕСЛИМН функцию СУММ, и введите формулу в виде массива. Выберите ячейку, в которой вы хотите увидеть итог — G9 в этом примере Чтобы запустить формулу, введите:    =СУММ(СУММЕСЛИМН( Выберите ячейки, содержащие значения для суммирования. В этом примере ячейки D4:D15 будут суммированы Введите запятую , затем выберите ячейки, содержащие значения проверить по первому критерию. В этом примере будут проверены ячейки B4:B15 — они содержат названия городов . Введите запятую , а затем щелкните ячейку с первым критерием — Г4 Введите запятую , затем выберите ячейки, содержащие значения проверить второй критерий. В этом примере будут проверены ячейки C4:C15 — они имеют категорию . Введите запятую , а затем выберите ячейки со списком для второй критерий — G6:G7 Отделка с 2 закрывающими скобами: )) Завершенная формула в ячейке G9: =СУММ(СУММЕСЛИМН(D4:D15,B4:B15,G4,C4:C15,G6:G7)) Нажмите клавиши Ctrl + Shift + Enter для массива — введите формула — результат будет неверным, если вы просто нажмете Enter ключ. Фигурные скобки будут автоматически добавлены в начале и в конце формулы, чтобы показать, что она введена массивом. Не вводите эти скобки самим собой.

    

   Сумма ячеек соответствует нескольким критериям — СУММПРОДУКТ Соответствие нескольким критериям В Excel 2003 и более ранних версиях можно использовать функцию СУММПРОИЗВ для вычисления общее количество строк, соответствующих двум или более критериям. Если вы используете Excel 2007 или более поздней версии следует использовать функцию СУММЕСЛИМН, как описано в предыдущий раздел. В этом примере только строки со статусом «Активно». и количество посещений больше или равно десяти будет включено в сумме. Выберите ячейку, в которой вы хотите увидеть общее количество Введите знак равенства (=), чтобы начать формулу Тип:   СУММПРОИЗВ(—( Выберите ячейки, содержащие значения для проверки первого критерия. В этом примере будут проверены ячейки A2:A6 Введите первый критерий:   =»Активный» Тип ),—( Выберите ячейки, содержащие значения для проверки второго критерия. В этом примере будут проверены ячейки B2:B6 90 218. Введите второй критерий:   >=10 Тип ),—( Выберите ячейки, содержащие значения для суммирования. В этом примере ячейки C2:C6 будут суммированы Завершить закрывающими скобками: )) Завершенная формула: =СУММПРОИЗВ(—(A2:A6=»Активный»), —(B2:B6>=10),—(C2:C6)) Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод

    

   Сумма первых 5 номеров в списке Используйте вместе функцию СУММ и функции НАИБОЛЬШИЙ, чтобы сложить наибольшую номера в списке. Версия 1 — несколько лучших номеров Если нужно просуммировать несколько чисел, напр. топ 3, вы можете ввести цифры в формулу. Например: =СУММ(НАИБОЛЬШИЙ(A1:A7,{1,2,3}))    Результат: 70+60+50 = 180 Примечание : Вторые 50 не включаются в результат, хотя он делит 3-е место. Версия 2 — Много лучших номеров Если необходимо суммировать много верхних чисел, вы можете включить функцию ДВССЫЛ. в формуле с функцией СУММ. В функции ДВССЫЛ используйте строку числа, которые представляют числа, которые вы хотите включить. В этом примере используются строки 1:10, поэтому первые 10 чисел в указанном диапазоне будут суммироваться. Введите формулу:    =СУММ(БОЛЬШОЙ(A1:A50,СТРОКА(ДВССЫЛ(«1:10»))))) Это формула массива, и ее необходимо вводить массивом. Для этого удерживайте клавиши Ctrl и Shift и нажмите Enter Версия 3 — Переменные верхние номера Если необходимо суммировать переменное количество верхних чисел, вы можете включить функция ДВССЫЛ в формуле с функцией СУММ, как показано выше, и обратитесь к ячейке, содержащей переменную. . В ячейке C1 введите количество верхних ячеек, например. 10 Введите формулу:    =СУММ(НАИБОЛЬШИЙ(A1:A7,СТРОКА(ДВССЫЛ(«1:»&C1)))) Это формула массива, и ее необходимо вводить массивом. Для этого удерживайте клавиши Ctrl и Shift и нажмите Enter

    

   Сумма сумм в диапазоне дат Чтобы суммировать суммы на основе диапазона дат, вы можете использовать функцию СУММЕСЛИМН. в Excel 2007 или более поздних версиях. Посмотрите это видео, чтобы увидеть шаги, и письменные инструкции находятся под видео. Сумма сумм в диапазоне дат Чтобы суммировать суммы за определенный диапазон дат, используйте функцию СУММЕСЛИМН. (Excel 2007 и более поздние версии) или функцию СУММЕСЛИ. Ниже приведены два примера:     — Всего с СУММЕСЛИМН     — Всего с SUMIF В этом примере на лист вводятся даты начала и даты окончания. Даты указаны в столбце A, а проданные единицы — в столбце B. Дополнительные примеры диапазона дат см. на странице Сумма или количество для диапазона дат. Использование СУММЕСЛИМН для вычисления итогового значения для диапазона дат В Excel 2007 и более поздних версиях можно использовать функцию СУММЕСЛИМН для рассчитать итог на основе нескольких критериев. Мы будем использовать формулу СУММЕСЛИМН чтобы суммировать все единицы, где дата продажи: не позднее даты начала И не позднее даты окончания. Вот формула, которая вводится в ячейку D5: =СУММЕСЛИМН($B$2:$B$9,$A$2:$A$9,»>=» & $D$2, $A$2:$A$9,»<=" и $Е$2) Первый аргумент, $B$2:$B$9 , это диапазон с числами, которые мы хотим суммировать. Второй аргумент, $A$2:$A$9 , равен диапазон для проверки критериев 1. 3-й аргумент, «>=» & $D$2 , диапазон со значением для критерия 1 (Дата начала), а оператор для использования с этим значением (больше или равно) 4-й аргумент, $А$2:$А$9 , диапазон для проверки критерия 2. 5-й аргумент, «<=" & $E$2 , диапазон со значением критерия 2 (Дата окончания), а оператор использовать с этим значением (меньше или равно) В этом примере результат для выбранного диапазона дат составляет всего Продано 494 единицы. Чтобы проверить, вы можете выбрать ячейки B3: B6 и посмотреть на общее количество отображается в строке состояния Excel. Чтобы получить общее количество единиц для другого диапазона дат, измените дату начала в ячейке D2 и/или Дата окончания в ячейке E2. Использование СУММЕСЛИ для вычисления итогового значения для диапазона дат В Excel 2003 и более ранних версиях можно использовать функцию СУММЕСЛИ для рассчитать итог по одному критерию. Мы будем использовать одну формулу СУММЕСЛИ чтобы суммировать все единицы, где дата продажи: не позднее даты начала Затем мы воспользуемся другой формулой СУММЕСЛИ, чтобы вычесть любые значения, где есть дата после даты окончания. Вот формула, которая вводится в ячейку D5: =СУММЕСЛИ($A$2:$A$9,»>=» &$D$2,$B$2:$B$9) — СУММЕСЛИ($A$2:$A$9,»>» &$E$2,$B$2:$B$9) Диапазон, $A$2:$A$9 , содержит числа, которые мы хотим суммировать. Критерии «>=» & $D$2 , диапазон с датой начала и оператор для использования с этим значением (больше или равно) Диапазон, $B$2:$B$9 , это диапазон проверить дату Критерии «>» и $E$2 , диапазон с конечной датой и оператор для использования с этим значением (больше) В этом примере результат для выбранного диапазона дат составляет всего Продано 494 единицы. Чтобы проверить, вы можете выбрать ячейки B3: B6 и посмотреть на общее количество отображается в строке состояния Excel. Чтобы получить общее количество единиц для другого диапазона дат, измените дату начала. в ячейке D2 и/или Дата окончания в ячейке E2.

    

   Суммируйте отфильтрованный список с промежуточным итогом После того, как вы отфильтруете строки в списке, вы можете использовать функцию ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ, вместо функции СУММ для суммирования чисел в видимых строках. Применить автофильтр к таблице. Здесь есть инструкции — AutoFilter Основы Отфильтровать хотя бы один из столбцов в таблице. В этом примере первый столбец был отфильтрован по связующим. Выберите ячейку непосредственно под столбцом, который вы хотите суммировать. Нажмите кнопку «Автосумма» на вкладке «Главная» ленты. Если вы хотите использовать функцию ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ в ячейке, отличной от той, непосредственно под отфильтрованным списком вы можете ввести формулу вместо использования кнопки Автосумма. Формула ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ИТОГОВ будет автоматически вставлена, суммируя видимые ячейки в столбце Первый аргумент в функции ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ – это номер функции, который указывает, как числа должны быть рассчитаны. есть 9 в этом примере, который сообщает Excel о суммировании чисел. Можно использовать другие номера функций, например, 1 для СРЕДНЕГО и 3. для СЧЕТА. Полный список показан в моем блоге опубликовать Всего отфильтрованный список. Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод формулы. Примечание . В Excel 2003 и более поздних версиях можно использовать формулу:     =ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ(109,B2:B9) для подсчета видимых ячеек в диапазоне, где строки были скрыты вручную, или фильтруется. Промежуточные номера функций Первый аргумент в функции ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ – это номер функции, который указывает, как числа должны быть рассчитаны. Есть 11 функций который вы можете использовать в качестве первого аргумента в функции ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ. Список в алфавитном порядке, так что это может помочь вам запомнить некоторые цифры, без обращения к справке Excel каждый раз. Каждая из функций указана дважды. Первая группа функций под номерами 1-11. Каждая из функций указана дважды. Вторая группа функций номер 101-111.

    

   Суммировать отфильтрованный список с АГРЕГАТОМ Функция АГРЕГАТ, представленная в Excel 2010, аналогична ПРОМЕЖУТОЧНОМУ ИТОГУ. функция, но она имеет больше функций и может игнорировать значения ошибок, а также как скрытые строки в данных. Посмотрите это видео, чтобы узнать, как настроить формулу АГРЕГАТ, и письменные инструкции находятся под видео. Суммирование отфильтрованного списка с AGGREGATE После фильтрации строк в списке можно использовать функцию АГРЕГАТ, вместо функции СУММ для суммирования чисел в видимых строках. Этот функция была представлена ​​в Excel 2010. Аналогично функции ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ, АГРЕГАТ игнорирует скрытые строки и предлагает несколько функций, таких как SUM или AVERAGE, для выбранных данных. Однако у него 19функций по сравнению с ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ИТОГОМИ 11 функций. В отличие от функции ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ, АГРЕГАТ может быть настроен на игнорирование ошибок, а также скрытые строки и вложенные функции ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ.ИТОГИ и АГРЕГАТ. Чтобы суммировать значения в отфильтрованном списке и игнорировать скрытые строки и ошибки: Выберите ячейку, в которую вы хотите ввести сумму Тип = АГРЕГАТ( В списке функций дважды щелкните 9 — СУММ, чтобы добавить 9 в качестве первый аргумент. Введите запятую и в списке параметров дважды щелкните параметр 3. или вариант 7. В этом примере 3 — второй аргумент, а результат будет игнорировать скрытые строки, ошибки и вложенные функции АГРЕГАТ и ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ИТОГОВ. Введите запятую и выберите диапазон ячеек, содержащих данные — D2:D7 в этом примере. Введите квадратную скобку, чтобы завершить формулу, и нажмите клавишу Enter. Завершенная формула: =АГРЕГАТ(9,3,D2:D7)

    

   Сумма конкретных элементов в отфильтрованном списке Пример 1 Лоран Лонгр создал формулу, позволяющую работать с видимыми строками после фильтра. Для получения информации см. Техника формулы мощности в этой статье. на веб-сайте Джона Уокенбаха (больше не доступен). Используя этот метод, СУММПРОИЗВ можно использовать для суммирования видимых элементов. в отфильтрованной таблице. В следующем примере столбец D был отфильтрован для сумм, превышающих 100. Следующая формула суммирует общее количество суммы в строках, содержащих «ручка» в столбце A. Отфильтровать столбец D для сумм, превышающих 100. В ячейке A12 введите Pen В ячейку B12 введите следующую формулу: =СУММПРОИЗВ(ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ(3,СМЕЩЕНИЕ(A1:A10,СТРОКА(A1:A10) -МИН(СТРОКА(A1:A10)),1)), —(A1:A10=A12),D1 :D10) Нажмите клавишу Enter, чтобы завершить ввод формулы. Пример 2 Еще один пример совместного использования СУММПРОИЗВ и ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ см. в моем блоге Промежуточный итог и Суммарное произведение с фильтром. Сэм поделился своим методом выполнения дополнительных сумм или подсчетов на основе видимых данных в отфильтрованной таблице. В рабочей книге Сэма есть список с полями «Продукт», «Регион» и «Количество». Он создал динамические именованные диапазоны для записей в каждом поле, используя ИНДЕКС и СЧЕТЧИК. Вы можете получить рабочую тетрадь Сэма в разделе «Загрузки» ниже.

    

   Получить образцы файлов SUM Примеры : Загрузите заархивированный пример рабочей книги функций суммирования. Рабочая тетрадь содержит примеры для СУММ, СУММЕСЛИ, СУММЕСЛИМН, СУММПРОИЗВ, ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ и функции АГРЕГАТ. Заархивированный файл имеет формат xlsx, и не содержит никаких макросов. СУММЕСЛИМН Заказы : Загрузите образец книги СУММЕСЛИМН заказов, чтобы следовать вместе с видео «Суммирование сумм с 2 критериями». Заархивированный файл имеет формат xlsx и не содержит макросов. 7 способов суммировать: Скачать 7 способов Образец рабочей тетради для суммирования, чтобы следовать вместе с видео «7 способов суммирования». Заархивированный файл имеет формат xlsx и не содержит макросов. Рабочая тетрадь Сэма : чтобы просмотреть рабочую тетрадь Сэма и формулы для выполнения дополнительных сумм или подсчетов на основе видимых данных в отфильтрованной таблице, загрузите образец файла СУММПРОИЗВ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ИТОГОВ . Ссылки на таблицы : Чтобы увидеть проблему с копированием формул со ссылками на таблицы, загрузите книгу Проблема со ссылками на таблицы. Заархивированный файл имеет формат xlsx и не содержит макросов

   Как суммировать в Excel — Список тем

   Вот темы, посвященные суммированию на этой странице

   Обзор: 7 способов суммирования в Excel не суммировать

   Общая сумма диапазон ячеек

   Промежуточный итог

   Сумма диапазона ячеек — СМЕЩЕНИЕ

   Сумма ячеек, соответствующих одному критерию

   0

   Sum -ячейки, которые соответствуют множественным критериям

   Формулы с Ссылками на таблицы

   Сумма с множественными и/или критериями

   Сумма с Комплексными номерами

   Sum TOP 5 номеры в списке

   Sum TOP 5 в списке

   SUM TOP 5 в списке

   SUM TOP 5 в списке

   Sum

   Сумма сумм в диапазоне дат

   Сумма отфильтрованного списка с ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ

   Сумма отфильтрованного списка с АГРЕГАТ

   Сумма конкретных элементов в Отфильтрованный список

   Получить образец рабочей книги

   Дополнительные руководства по функциям

   Список функций

   Опции расчета

   Формулы, Приступая к работе

   Функция ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ

   СРЕДНЕЕ

   СЧЁТ / СЧЁТЕСЛИ

   Сумма sql для данных в нескольких столбцах и по строкам с суммой и процентом

   Мы видели, как функция суммы используется для получения общего значения столбца в таблице MySQL. Теперь мы узнаем, как получить запрос на сумму в нескольких столбцах и для каждой записи таблицы. Для лучшего понимания немного изменим нашу таблицу учеников, добавив оценки по разным предметам для каждой записи. Теперь таблица будет такой.

   id	name	class	social	science	math
   1	John Deo	Four	75	84	78
   2	Max Ruin	Три	54	67	85
   3		Три																6	Krish Star	Four	50	51	53
   5	John Mike	Four	80	78	89
   6	Alex John	Four	78	60	60
   7	My John Rob	Five	77	68	83
   8	Asruid	Five	55	50	55
   9	Tes Qry	Six	68	60	62
   10	Big John	Four	65	66	76

   
   
   
   Мы напишем запрос для отображения суммы всех оценок каждого ученика. Обратите внимание, что здесь мы не будем использовать функцию sum sql внутри нашего запроса. Вот код.

    ВЫБЕРИТЕ идентификатор, имя, класс, (общественное + наука + математика) КАК итого
   ОТ student_sum 

   id	name	class	total
   1	John Deo	Four	237
   2	Max Ruin	Three	206
   3	Арнольд	Три	233
   4	Криш Стар	Четыре	154
   5	John Mike	Four	247
   6	Alex John	Four	198
   7	My John Rob	Five	228
   8	Asruid	Five	160
   9	Tes Qry	Six	190
   10	Big John	Четыре	207

   Несколько столбцов SUM

   Связанный учебник СУММА MySQL MySQL Макс MySQL Мин. Среднее значение MySQL

   Как видите, приведенная выше сумма является суммой оценок каждого ученика. Это горизонтальная сумма в нашей таблице. Теперь попробуем получить сумму оценок всех учеников по всем предметам. Таким образом, сумма должна быть собрана во всех трех столбцах.

    ВЫБЕРИТЕ сумму (социальное + математика + естествознание) как общее
   ОТ student_sum 

   всего

   2060

   Мы можем добавить различные другие команды sql, такие как предложение where и т. д.
   

   Расчет процента оценок

   Предположим, что полная оценка по каждому предмету равна 95. Итак, чтобы получить процентную оценку каждого учащегося, мы должны умножить 95 на 3 (для трех предметов), а затем разделить это от общего числа и умножить на 100. Вот запрос.

    ВЫБЕРИТЕ имя, (( социальные сети + естественные науки + математика)/(95*3) * 100) в процентах
    ОТ `student_sum` 

   Отображение общей оценки в процентах

   И общую оценку, и процент мы можем отобразить следующим образом.

    ВЫБЕРИТЕ идентификатор, имя, класс (социальные науки + математика) как общее количество,
   (( социальные + науки + математика)/(95*3) * 100) AS процент
    ОТ `student_sum` 

   Выход здесь.

   id	имя	класс	Всего	процент
   1	John Deo	Four	237	83.1579
   2	Max Ruin	Three	206	72.2807
   3	Arnold	Three	233	81.7544
   4	Krish Star	Four	154	54.0351
   5	John Mike	Four	247	86.6667
   6	Alex John	Four	198	69.4737
   7	My John Rob	Five	228	80. 0000
   8	Asruid	Five	160	56.1404
   9	Tes Qry	Six	190	66.6667
   10	Big John	Четыре	207	72,6316

   Приведенные выше процентные данные имеют четыре десятичных знака, мы можем отформатировать эти числа с помощью команды ROUND Sql. Запрос для отображения процентного значения с использованием 2 знаков после запятой.

    ВЫБЕРИТЕ идентификатор, имя, класс (социальные науки + математика) как общее количество,
   ФОРМАТ((( социальные + естествознание + математика)/(95*3) * 100),2) в процентах
     ОТ `student_sum` 

   Сумма данных строки каждой записи

   Теперь попробуем отобразить все оценки и их сумму для каждого ученика с помощью группировки. Обратите внимание, что id — уникальный столбец значения в нашей таблице. Вот запрос

    ВЫБЕРИТЕ идентификатор, имя, класс, социальные сети, математика, наука,
    сумма (социальные + математика + наука) как Total
    from student_sum GROUP BY id 

   Выход здесь

   id	name	class	social	math	science	Total
   1	John Deo	Four	75	78	84	237
   2	Max Ruin	Three	54	85	67	206
   3	Arnold	Three	78	90	65	233
   4	Krish Star	Четыре	50	53	51	154
   154
   154
   . 0296	89	78	247
   6	Alex John	Four	78	60	60	198
   7	My John Rob	Five	77	83	68	228
   8	Asruid	Five	55	55	50	160
   9	Tes Qry	Six	68	62	60	190
   10	Big John	Four	65	76	66	207

   Listing all columns along with aggregate functions like sum (), max () с использованием over () с разделом →

   Отображение от наибольшего к наименьшему

   Мы можем перечислить, начиная с самой высокой оценки до самой низкой оценки, используя Order By Query.

    ВЫБЕРИТЕ идентификатор, имя, класс, социальные сети, математика, наука,
    сумма (социальные + математика + наука) как Total
    from student_sum GROUP BY id ORDER BY Total DESC 

   Отображение наивысшей и самой низкой оценки по всем предметам каждого учащегося

    ВЫБЕРИТЕ id,name,GREATEST(социальные,науки,математика) как максимальное,
   НАИМЕНЕЕ(социальные,науки,математика) как min FROM student_sum; 

   id	name	max	min
   1	John Deo	84	75
   2	Max Ruin	85	54
   3	Arnold	90	65
   4	Krish Star	53	50
   5	John Mike	89	78
   6	Alex John	78	60
   7	My John Rob	83	68
   8	Asruid	55	50
   9	Tes Qry	68	60
   10	Big John	76	65

   Displaying sum of all columns at last row

   Как и в MS Excel, мы можем отобразить сумму всех столбцов и сумму всех оценок по предметам, используя UNION. Обратите внимание, что мы должны поддерживать одинаковое количество столбцов при использовании запроса UNION.

    ВЫБЕРИТЕ идентификатор, имя, класс, социальные сети, математика, наука,
    сумма (социальные + математика + наука) как Total
    from student_sum GROUP BY id
   СОЮЗ
   ВЫБЕРИТЕ '','','Всего',сумма(социальные),сумма(математика),сумма(наука),
   сумма(социальная)+сумма(математика)+сумма(наука) от student_sum 

   Вывод (смотрите последнюю строку)

   id	name	class	social	math	science	Total
   1	John Deo	Four	75	78	84	237
   2	Макс Руин	Три	54	85	67	206
   3 6 296	Three	78	90	65	233
   4	Krish Star	Four	50	53	51	154
   5	John Mike	Four	80	89	78	247
   6	Alex John	Four	78	60	60	198
   7	My John Rob	Five	77	83	68	228
   8	Asruid	Five	55	55	50	160
   9	Tes Qry	Six	68	62	60	190
   10	Big John	Four	65	76	66	207
   		Total	680	731	649	2060

   Show Grade based on the total mark ( using CASE statement )

   Мы можем отобразить оценку учащегося, используя оператор CASE в нашем запросе. MySQL Case запрос выполняет оператор на основе условия соответствия. Здесь мы сравним общую оценку с установленными оценками для разных уровней оценки и соответственно присвоим ей оценку.

   Подробнее об операторе CASE WHEN THEN читайте здесь.

   Вот наш запрос.

    ВЫБЕРИТЕ идентификатор, имя, класс, социальные сети, математика, наука,
    сумма (социальные + математика + наука) как Total ,
   СЛУЧАЙ, КОГДА сумма (социальное + математика + наука) >= 225 THEN 'A'
    КОГДА сумма (социальное + математика + наука) >=200 ТО 'B'
   КОГДА сумма (социальное + математика + наука) >=170 ТО 'C'
   ИНАЧЕ "НЕУДАЧА"
   КОНЕЦ КАК
   
   from student_sum GROUP BY id 

   Выход здесь. разн. Мы можем хранить сумму оценок по каждому предмету каждого ученика в отдельной таблице. Это будет полезно для окончательной печати или отображения отчета.

   Сохранение суммы каждой записи в другой таблице

   Код PHP для отображения

   Мы можем выполнить приведенный выше код и отобразить записи с помощью PHP. Сначала в коде мы подключимся к базе данных MySQL.

    
   требуется "config.php"; // Подключение к базе данных
   
   $count="ВЫБЕРИТЕ id,name, social, math, science, sum(social + math + science) как итог из группы student_sum по id";
   
   эхо "<таблица>";
   echo "

   "; } эхо ""; ?> Список всех столбцов вместе с агрегатными функциями, такими как sum (), max () с использованием over () с разделом →
   
   SQL-файл для SUM-запроса
   ← SQL Math References Суммарный запрос → Добавить сумму в другую таблицу →
   

   ▼ Подробнее о математических функциях в SQL

   Агрегирующая функция Oracle SUM() на практических примерах все или отдельные значения в наборе.

   

   Oracle

   SUM() синтаксис функции

   Функция Oracle SUM() представляет собой агрегатную функцию, которая возвращает сумму всех или отдельных значений в наборе значений.

   Ниже показан синтаксис функции Oracle SUM() :

    
     SUM(выражение [ALL | DISTINCT])
     
     Язык кода: SQL (язык структурированных запросов) (sql)  

   Функция Oracle SUM() принимает предложение, которое может быть либо ОТДЕЛЬНЫЕ или ВСЕ .

   • Предложение DISTINCT заставляет функцию SUM() вычислять сумму уникальных значений.
   • Предложение ALL заставляет функцию SUM() вычислять сумму всех значений, включая повторяющиеся.

   Например, сумма DISTINCT 1, 1 и 2 равна 3, а сумма ВСЕ 1, 1 и 3 равна 4.

   Если вы опустите предложение, 9Функция 0099 SUM() будет использовать предложение ALL по умолчанию.

   Обратите внимание, что функция SUM() игнорирует значения NULL.

   Oracle

   SUM() примеры функций

   Для демонстрации мы будем использовать таблицу order_items из примера базы данных.

   A) Простой пример функции Oracle

   SUM()

   Следующий оператор возвращает сумму количества товаров, размещенных клиентами:

    
     ВЫБЕРИТЕ
       СУММА(количество)
   ИЗ
       позиции_заказа;
     
     Язык кода: SQL (язык структурированных запросов) (sql)  

   B) Oracle

   SUM() с GROUP BY пункт

   Чтобы получить сумму количества продуктов в заказе на продажу по продукту, вы используете следующий оператор:

    
     SELECT
       Код товара,
       СУММА(количество)
   ИЗ
       order_items
   ГРУППА ПО
       Код товара
   СОРТИРОВАТЬ ПО
       СУММ( количество ) DESC;
     
     Язык кода: SQL (язык структурированных запросов) (sql)  

   В этом примере

   • Во-первых, предложение GROUP BY группирует строки в order_items в группы по идентификатору продукта ( product_id ).
   • Во-вторых, функция SUM() возвращает сумму количества для каждой группы.

   Точно так же вы можете использовать функцию SUM() с предложением GROUP BY для получения заказов на продажу и их общих значений:

    
     SELECT
       номер заказа,
       СУММА (количество * цена_единицы) сумма_заказа
   ИЗ
       order_items
   ГРУППА ПО
       номер заказа
   СОРТИРОВАТЬ ПО
       Весь заказ;
     
     Язык кода: SQL (язык структурированных запросов) (sql)  

   В этом примере

   • Сначала формула количество * цена_единицы возвращает значение каждой позиции заказа.
   • Во-вторых, предложение GROUP BY делит order_items на группы по заказам ( order_id ).
   • В-третьих, функция SUM() возвращает сумму всех позиций заказа для каждого заказа.

   C) Oracle

   СУММ() с HAVING пример

   Следующий оператор возвращает заказы, общая стоимость которых находится в диапазоне от 1000 до 20 000:

    
     SELECT
       номер заказа,
       СУММА (количество * цена_единицы) сумма_заказа
   ИЗ
       order_items
   ГРУППА ПО
       номер заказа
   НАЛИЧИЕ
       СУММА (количество * цена за единицу) ОТ 1000 ДО 20000
   СОРТИРОВАТЬ ПО
       сумма_заказа DESC;
     
     Язык кода: SQL (язык структурированных запросов) (sql)  

   В этом примере мы добавили Предложение HAVING для запроса в предыдущем примере для выбора только заказов, общая стоимость которых находится в диапазоне от 1000 до 20000.

   D) Oracle

   SUM() с INNER JOIN Пример предложения

   Следующий оператор возвращает продукты и их продажи:

    
     ВЫБЕРИТЕ
       наименование товара,
       СУММ(количество * цена_единицы) продаж
   ИЗ
       order_items
   ВНУТРЕННЕЕ СОЕДИНЕНИЕ продукты
           ИСПОЛЬЗОВАНИЕ(id_продукта)
   ГРУППА ПО
       наименование товара
   СОРТИРОВАТЬ ПО
       DESC продаж;
     
     Язык кода: SQL (язык структурированных запросов) (sql)  

   Поскольку таблица order_items хранит только product_id , мы должны соединить ее с таблицей products , чтобы получить названия продуктов.

   В этом руководстве вы узнали, как использовать функцию Oracle SUM() для вычисления суммы всех или уникальных значений в наборе значений.

   Было ли это руководство полезным?

   СУММЕСЛИ несколько столбцов с одним или несколькими критериями

   Этот учебник научит вас нескольким простым способам суммирования нескольких столбцов в Excel на основе одного или нескольких критериев.

   Вычисление условной суммы в Excel не составляет труда, если все значения, которые нужно суммировать, находятся в одном столбце. Суммирование нескольких столбцов представляет собой проблему, поскольку обе функции СУММЕСЛИ и СУММЕСЛИМН требуют, чтобы диапазон суммы и диапазон критериев были одинакового размера. К счастью, когда нет прямого способа что-то сделать, всегда есть обходной путь 🙂

   • Суммировать несколько столбцов с одним условием
   • Суммировать несколько столбцов с двумя или более критериями

   Сумма Excel Если: несколько столбцов, один критерий

   Прежде всего, давайте узнаем, какую именно проблему мы пытаемся решить. Предположим, у вас есть таблица ежемесячных продаж, как показано ниже. Поскольку он был объединен из нескольких региональных отчетов, для одного и того же продукта есть несколько записей:
   

   Вопрос в том, как получить общее количество продаж для определенного товара?

   Первая идея, которая приходит на ум, это использовать формулу СУММЕСЛИ в чистом виде:

   =СУММЕСЛИ(A2:A10, "яблоки", C2:E10)

   К сожалению, это не сработает. Причина в том, что размерность sum_range определяется Excel автоматически на основе размерности аргумента range . Поскольку диапазон наших критериев включает только один столбец (A2:A10), то же самое относится и к диапазону суммы (C2:C10). Параметр sum_range , определенный в формуле (C2:E10), фактически определяет только верхнюю левую ячейку диапазона, который будет суммироваться. В результате приведенная выше формула суммирует продажи яблок только в столбце C. Не то, что мы ищем, а?

   Самое простое рабочее решение, которое напрашивается само собой, — создать вспомогательный столбец, суммирующий числа для каждой отдельной строки, а затем использовать этот столбец для sum_range .

   Итак, продолжайте и поместите формулу СУММ в F2, затем перетащите ее вниз по необходимому количеству ячеек:

   =СУММ(C2:E2)

   После этого вы можете быстро выполнить работу:

   =СУММЕСЛИ(A2:A10, I1, F2:F10)

   Где I1 — интересующий элемент.

   В приведенной выше формуле диапазон_суммы имеет тот же размер, что и диапазон (1 столбец и 9 строк), поэтому работает без сучка и задоринки:
   

   Если в макете вашего рабочего листа нет места для каких-либо дополнительных столбцов , затем примените одно из следующих решений.

   СУММЕСЛИ несколько столбцов

   Идея состоит в том, чтобы написать отдельную формулу СУММЕСЛИ для каждого столбца, который вы хотите суммировать, а затем сложить результаты:

   СУММ(СУММЕСЛИ(…), СУММЕСЛИ(…), СУММЕСЛИ(…) ))

   Или

   СУММЕСЛИ(…) + СУММЕСЛИ(…) + СУММЕСЛИ(…)

   Практическая реализация выглядит следующим образом:

   =СУММ(СУММЕСЛИ(A2:A10,h2,C2:C10), СУММЕСЛИ(A2: A10,h2,D2:D10), СУММЕСЛИ(A2:A10,h2,E2:E10))

   Или

   =СУММЕСЛИ(A2:A10, h2, C2:C10) + СУММЕСЛИ(A2:A10, h2) , D2:D10) + СУММЕСЛИ(A2:A10, h2, E2:E10)
   

   Это прекрасно работает для разумного количества столбцов, но для большого набора данных формула становится слишком длинной и трудной для чтения. В этом случае нижеприведенные решения являются более подходящими.

   СУММ как формула массива

   Другой способ подсчитать сумму, если в нескольких столбцах на основе одного критерия создать формулу массива: )))

   Для нашего примера набора данных формула принимает следующий вид:

   =СУММ((C2:E10)*(--(A2:A10=h2)))

   В Excel 2019 и более ранних версиях вы следует нажать Ctrl + Shift + Enter, чтобы правильно завершить формулу. В Excel 365 и Excel 2021 это работает как обычная формула благодаря встроенной поддержке динамических массивов.
   

   Как работает эта формула:

   Основная идея заключается в перемножении элементов этих двух массивов:

   • (C2:E10) — все значения в диапазоне суммы. В нашем случае массив содержит 27 элементов (3 столбца и 9 строк: {250,120,210;155,180,210;130,175,125; …}
   • (—(A2:A10=h2)) — сравнивает каждое значение в A2:A10 с целевым элементом в h2. Результатом является массив значений TRUE (условие выполнено) и FALSE (условие не выполнено), который затем преобразуется в массив из 1 и 0 с помощью двойного унарного оператора: {0;1;0 ;0;1;0;0;1;1}

   Обратите внимание, что первый массив двумерный (каждый столбец данных разделен запятой, а каждая строка — точкой с запятой), а второй — одномерный вертикальный массив (1 столбец данных, строки разделены через точку с запятой). Когда два массива перемножаются, все элементы двумерного массива в данной строке умножаются на соответствующий элемент одномерного массива:
   

   Поскольку умножение на ноль дает ноль, выживают только числа, для которых критерий ИСТИНА, и функция СУММ суммирует их:

   =СУММ({0,0,0;155,180,210;0,0,0;0,0,0;160,140,170;0,0,0;0,0,0;…})

   Чтобы сделать Логику формулы проще понять, первый множитель можно записать так:

   =СУММ((C2:C10 + D2:D10 + E2:E10) * (--(A2:A10=h2)))

   Это создаст массив сумм по строкам (как вспомогательный столбец в самом первом примере), который затем умножается на массив из 1 и 0:

   {580;545;430;615;470;750 ;550;620;570}*{0;1;0;0;1;0;0;1;1}

   Результат умножения передается в СУММ:

   =СУММ({0;545;0;0;470;0;0;620;570})

   Не нравится использовать формулы массивов в ваших лист? Я тоже. Что ж, давайте проверим следующее решение 🙂

   формула СУММПРОИЗВ

   Стратегию, описанную в приведенном выше примере, также можно реализовать с помощью функции СУММПРОИЗВ.

   СУММПРОИЗВ(( диапазон_сумм ) * ( диапазон_критериев = критериев ))

   Реальная формула выглядит следующим образом:

   =СУММПРОИЗВ((C2:E10) * (A2:A10=h2))

   Логика формулы такая же, как и в предыдущем примере. Прелесть функции СУММПРОИЗВ заключается в том, что она изначально поддерживает массивы, поэтому она прекрасно работает как обычная формула во всех версиях Excel.
   

   Сумма Excel Если: несколько столбцов, несколько критериев

   Три подхода, которые мы использовали для сложения нескольких столбцов с одним критерием, также будут работать для условной суммы с несколькими критериями. Формулы просто станут немного сложнее.

   СУММЕСЛИМН + СУММЕСЛИМН для суммирования нескольких столбцов

   Для суммирования ячеек, соответствующих нескольким критериям, обычно используется функция СУММЕСЛИМН. Проблема в том, что, как и его аналог с одним критерием, СУММЕСЛИМН не поддерживает диапазон суммы из нескольких столбцов. Чтобы преодолеть это, мы записываем несколько СУММЕСЛИМН, по одному на каждый столбец в диапазоне сумм:

   СУММ(СУММЕСЛИМН(…), СУММЕСЛИМН(…), СУММЕСЛИМН(…))

   Или

   СУММЕСЛИМН(…) + СУММЕСЛИМН( …) + СУММЕСЛИМН(…)

   Например, для суммирования продаж винограда (h2) в Северном регионе (h3) используется формула:

   =СУММЕСЛИМН(C2:C10, A2:A10, h2, B2:B10, h3) + СУММЕСЛИМН(D2:D10, A2:A10, h2, B2:B10, h3) + СУММЕСЛИМН(E2:E10, A2: A10, h2, B2:B10, h3)
   

   Формула массива для условного суммирования нескольких столбцов

   Формула СУММ для нескольких критериев очень похожа на формулу для одного критерия — вы просто включаете дополнительные пары критерии_диапазон=критерий :

   СУММ(( диапазон_суммы ) * (—( диапазон_критериев1 = диапазон_критериев1 )) * (—( диапазон_критериев2 = критерии2 )))

   Например, для суммирования продаж товара в h2 и региона в h3 формула выглядит следующим образом:

   =СУММ((C2:E10) * (--(A2 :A10=h2)) * (--(B2:B10=h3)))

   В Excel 2019 и более ранних версиях не забудьте нажать Ctrl + Shift + Enter, чтобы сделать формулу массива CSE. В динамическом массиве Excel 365 и 2021 обычная формула будет работать нормально, как показано на снимке экрана:
   

   формула СУММПРОИЗВ с несколькими критериями

   Самый простой способ суммировать несколько столбцов на основе нескольких критериев — это формула СУММПРОИЗВ:

   СУММПРОИЗВ(( диапазон_суммы ) * ( диапазон_критериев1 = диапазон_критериев1 ) * ( диапазон_критериев2 = диапазон_критериев2 ))

   Как видите, это очень похоже на формулу СУММ лишние манипуляции с массивами.

   Для суммирования нескольких столбцов с двумя критериями используется следующая формула:

   =СУММПРОИЗВ((C2:E10) * (A2:A10=h2) * (B2:B10=h3))
   

   Это 3 способы суммирования нескольких столбцов на основе одного или нескольких условий в Excel. Я благодарю вас за чтение и надеюсь увидеть вас в нашем блоге на следующей неделе!

   Практическая рабочая тетрадь для скачивания

   Сумма по нескольким столбцам – примеры (файл . xlsx)

   Вас также может заинтересовать:

   Функция СУММ

   Формулы и функции

   Справка по Excel и обучение

   Формулы и функции

   Формулы и функции

   Функция СУММ

   • Обзор формул в Excel
     Статья
   • XLOOKUP
     Статья
   • ВПР
     Статья
   • Функция СУММ
     Статья
   • СЧЁТЕСЛИ функция
     Статья
   • ЕСЛИ функция
     Статья
   • ИФС
     Статья
   • СУММЕСЛИ
     Статья
   • СУММЕСЛИМН
     Статья
   • СООТВЕТСТВИЕ
     Статья

   Следующий: Обычное использование функций

   Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Дополнительно. .. Меньше

   Функция СУММ суммирует значения. Вы можете добавить отдельные значения, ссылки на ячейки или диапазоны или сочетание всех трех.

   Например:

   • =СУММ(A2:A10) Складывает значения в ячейках A2:10.

   • =СУММ(A2:A10, C2:C10) Складывает значения в ячейках A2:10, а также в ячейках C2:C10.

   СУММ(число1,[число2],…)

   id	name	class	social	math	science	Total	grade
   1	John Deo	Four	75	78	84	237	A
   2	Max Ruin	Three	54	85	67	206	B
   3	Arnold	Three	78	90	65	233	A
   4	Krish Star	Four	50	53	51	154	FAIL
   5	John Mike	Четыре	80	89	78	247	A
   6	ALECK JOHLE JOHN
   . 0296	198	C
   7	My John Rob	Five	77	83	68	228	A
   8	Asruid	Five	55	55	50	160	FAIL
   9	Tes Qry	Six	68	62	60	190	C
   10	Большой Джон	Четырехместный	65	76	66	207	B
   id	имя	социальная	математика	наука	всего< /й>"; foreach ($dbo->query($count) as $row) { echo "
   $row[id]	$row[name]	$row[social]	$row[math]< /td>	$row[наука]	$row[total]

   Имя аргумента	Описание
   номер1 Обязательно	Первый номер, который вы хотите добавить. Это может быть число 4, ссылка на ячейку, например B6, или диапазон ячеек, например B2:B8.
   номер2-255 Дополнительно	Это второй номер, который вы хотите добавить. Таким образом можно указать до 255 номеров.

   В этом разделе обсуждаются некоторые рекомендации по работе с функцией СУММ. Многое из этого можно применить и для работы с другими функциями.

   Метод =1+2 или =A+B. Хотя вы можете ввести =1+2+3 или =A1+B1+C2 и получить полностью точные результаты, эти методы подвержены ошибкам по нескольким причинам:

   1. org/ListItem»>

      Опечатка . Представьте, что вы пытаетесь ввести больше и/или гораздо большие значения, например:

      .

      Затем попробуйте проверить правильность введенных данных. Гораздо проще поместить эти значения в отдельные ячейки и использовать формулу СУММ. Кроме того, вы можете форматировать значения, когда они находятся в ячейках, что делает их более читабельными, чем когда они находятся в формуле.

   2. #ЗНАЧ! ошибки от ссылки на текст вместо цифр

      Если вы используете формулу вроде:

      Ваша формула может не работать, если в ячейках, на которые ссылаются, есть какие-либо нечисловые (текстовые) значения, которые вернут #ЗНАЧ! ошибка. SUM будет игнорировать текстовые значения и даст вам сумму только числовых значений.

   3. #ССЫЛКА! ошибка при удалении строк или столбцов

      Если вы удалите строку или столбец, формула не будет обновлена, чтобы исключить удаленную строку, и она вернет #ССЫЛКА! error, когда функция СУММ будет автоматически обновляться.

   4. Формулы не будут обновлять ссылки при вставке строк или столбцов

      Если вы вставите строку или столбец, формула не будет обновляться, чтобы включить добавленную строку, где автоматически обновится функция СУММ (если вы не выходите за диапазон, указанный в формуле). Это особенно важно, если вы ожидаете, что ваша формула обновится, а она не обновится, так как это оставит вас с неполными результатами, которые вы можете не уловить.

   5. СУММ с отдельными ссылками на ячейки в сравнении с диапазонами

      Используя формулу типа:

      • =СУММ(А1,А2,А3,В1,В2,В3)

      В равной степени подвержен ошибкам при вставке или удалении строк в указанном диапазоне по тем же причинам. Гораздо лучше использовать отдельные диапазоны, например:

      • =СУММ(A1:A3;B1:B3)

      Который будет обновляться при добавлении или удалении строк.

   1. Я просто хочу складывать/вычитать/умножать/разделять числа Посмотрите эту серию видео об основах математики в Excel или используйте Excel в качестве калькулятора.

   2. Как показать больше/меньше десятичных разрядов? Вы можете изменить формат номера. Выберите нужную ячейку или диапазон и используйте Ctrl+1 , чтобы вызвать диалоговое окно Формат ячеек , затем щелкните вкладку Число и выберите нужный формат, обязательно указав количество десятичных разрядов, которое вы хотите.

   3. org/ListItem»>

      Как добавить или вычесть время? Вы можете складывать и вычитать время несколькими способами. Например, чтобы получить разницу между 8:00 и 12:00 для целей расчета заработной платы, вы должны использовать: =(«12:00 PM»-«8:00 AM»)*24 , взяв время окончания минус время начала. Обратите внимание, что Excel вычисляет время как часть дня, поэтому вам нужно умножить на 24, чтобы получить общее количество часов. В первом примере мы используем =((B2-A2)+(D2-C2))*24 , чтобы получить сумму часов от начала до конца, за вычетом обеденного перерыва (всего 8,50 часов).

      Если вы просто добавляете часы и минуты и хотите отображать их таким образом, то вы можете суммировать и не нужно умножать на 24, поэтому во втором примере мы используем =СУММ(A6:C6) , поскольку нам просто нужно общее количество часов и минут для поставленных задач (5:36 или 5 часов 36 минут).

      Для получения дополнительной информации см. : Добавление или вычитание времени.

   4. Как получить разницу между датами? Как и в случае со временем, вы можете добавлять и вычитать даты. Вот очень распространенный пример подсчета количества дней между двумя датами. Это так же просто, как =B2-A2 . Ключом к работе как с датами, так и с временем является то, что вы начинаете с даты/времени окончания и вычитаете дату/время начала.

      Дополнительные способы работы с датами см. в разделе Вычисление разницы между двумя датами.

   5. Как суммировать только видимые ячейки? Иногда, когда вы вручную скрываете строки или используете автофильтр для отображения только определенных данных, вы также хотите суммировать только видимые ячейки. Вы можете использовать функцию ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИТОГ. Если вы используете итоговую строку в таблице Excel, любая функция, выбранная вами в раскрывающемся списке «Итого», будет автоматически введена как промежуточный итог. Узнайте больше о том, как суммировать данные в таблице Excel.

   Нужна дополнительная помощь?

   Вы всегда можете обратиться к эксперту в техническом сообществе Excel или получить поддержку в сообществе ответов.

   См. также

   Узнать больше о СУММ

   Функция СУММЕСЛИ складывает только те значения, которые соответствуют одному критерию.

   Функция СУММЕСЛИМН складывает только те значения, которые соответствуют нескольким критериям.

   Функция СЧЁТЕСЛИ подсчитывает только те значения, которые соответствуют одному критерию.

Римская цифра 6 как пишется. Как устроены римские цифры

В современном мире арабские цифры считаются общепризнанным стандартом исчисления. Десятичная система знаков используется для подсчетов и нумерации во всех развитых странах мира. При этом от римских цифр, которые использовались в непозиционной системе счисления древних римлян, полностью не отказались. Часто можно видеть, что с их помощью нумеруются разделы в книгах, отмечаются века в исторической литературе, указывается группа крови и многие другие параметры, для которых обозначение римскими цифрами стало стандартным.

При работе за компьютером с браузером, текстовыми редакторами и другими приложениями может понадобиться ввести некоторые значения римскими цифрами. Отдельный цифровой блок с ними отсутствует на стандартном устройстве ввода, но есть сразу несколько способов, как написать римские цифры на клавиатуре быстро.

Римские цифры на клавиатуре в любом приложении

Лишь малая часть разработчиков приложений предусматривают удобные способы ввода в своих продуктах римских цифр при помощи клавиатуры. Большая часть программ не имеет специальной функциональности для работы с непозиционной системой счисления, что требует проявления смекалки от пользователя для ввода римских цифр в них. Можно выделить два удобных способа, как ввести римские цифры с клавиатуры в любой программе.

Замена римских цифр английскими буквами

На любом компьютере по умолчанию одним из доступных языков является английский. На него можно быстро переключиться за счет комбинации клавиш Alt+Shift или Windows+Пробел (в Windows 10). Английский алфавит полностью закрывает потребность в отдельной цифровой клавиатуре для ввода римских цифр, поскольку все их аналоги могут быть набраны с его помощью заглавными буквами.

Следующие буквы английского алфавита заменяют римские цифры:

• 1 – I;
• 5 – V;
• 10 – X;
• 50 – L;
• 100 – C;
• 500 – D;
• 1000 – M.

Еще в школе обучают, каким образом необходимо использовать римские цифры, чтобы вводить различные цифры. Принцип простой: до нужного числа добираются римские цифры максимально большие подходящие в данной ситуации.

Например:

Чтобы ввести число 33, потребуется использовать 10+10+10+1+1+1.

Соответственно, в римской вариации число 33 будет записано следующим образом: XXXIII.

Также имеются некоторые особые правила ввода римских цифр, позволяющие укоротить написание больших чисел.

Использование ASCII-кодов для ввода римских цифр

В операционной системе Windows поддерживаются ASCII-коды, предназначенные для ввода различных символов. Они могут использоваться, в том числе, для ввода римских цифр.

ASCII – это американская таблица кодирования, в которой приведены самые популярные печатные и непечатные символы в виде цифровых комбинаций. Чтобы использовать символы из данной таблицы на стандартной клавиатуре для ввода римских цифр, необходимо применить цифровой блок NUM – расположенный в правой части клавиатуры.

Активируйте работу дополнительного цифрового блока при помощи кнопки Num Lock. После этого зажмите левый ALT на клавиатуре и вводит комбинации римских цифр на правом цифровом блоке. После ввода каждого символа, нужно отпустить ALT, чтобы символ отобразился в поле для ввода. Далее вновь ALT требуется зажать и можно вводить следующий символ.

Следующие комбинации дополнительного цифрового блока идентичны римским цифрам:

• ALT+73 – I;
• ALT+86 – V;
• ALT+88 – X;
• ALT+76 – L;
• ALT+67 – C;
• ALT+68 – D;
• ALT+77 – M.

Способ ввода римских цифр с использованием ASCII-кодов нельзя назвать удобным, но он может применяться, например, когда по тем или иным причинам отключена английская раскладка на клавиатуре.

Как напечатать римские цифры в Word

Компания Microsoft при разработке офисного пакета и приложения Word учла, что пользователям, которые работают с текстами, может потребоваться ввести римские цифры. Поскольку делать это с помощью английской раскладки или ASCII-кодов не особо удобно, корпорация Microsoft ввела в Word поддержку специальной команды, автоматически переводящей арабские цифры в римские.

Для обозначения цифр в латинском языке приняты комбинации следующих семи знаков: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).

Для запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания придумано мнемоническое правило:

Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх (соответственно M, D, C, L, X, V, I).

Если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее число следует прибавлять к большему, если слева, то вычитать, а именно:

VI — 6, т.е. 5 + 1
IV — 4, т.е. 5 — 1
XI — 11, т.е. 10 + 1
IX — 9, т.е. 10 — 1
LX — 60, т.е. 50 + 10
XL — 40, т.е. 50 — 10
СХ — 110, т.е. 100 + 10
ХС — 90, т.е. 100-10
MDCCCXII — 1812, т.е. 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1.

Возможно различное обозначение одного и того же числа. Например, число 80 можно обозначить как LXXX (50 + 10 + 10 + 10) и как ХХС (100 — 20).

Для записи чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

I (1) — unus (унус)
II (2) — duo (дуо)
III (3) — tres (трэс)
IV (4) — quattuor (кваттуор)
V (5) — quinque (квинквэ)
VI (6) — sex (сэкс)
VII (7) — septera (сэптэм)
VIII (8) — octo (окто)
IX (9) — novem (новэм)
X (10) — decern (дэцем)
XI (11) — undecim (ундецим)
XII (12) — duodecim (дуодэцим)
ХШ (13) — tredecim (трэдэцим)
XIV (14) — quattuordecim (кваттуордэцим)
XV (15) — quindecim (квиндэцим)
XVI (16) — sedecim (сэдэцим)
XVII (17) — septendecim (сэптэндэцим)
XVIII (18) — duodeviginti (дуодэвигинти)
XIX (19) — undeviginti (ундэвигинти)
XX (20) — viginti (вигинти)
XXI (21) — unus et viginti или viginti unus
XXII (22) — duo et viginti или viginti duo и т.д.
XXVIII (28) — duodetriginta (дуодэтригинта)
XXIX (29) — undetriginta (ундэтригинта)
XXX (30) : triginta (тригинта)
XL (40) — quadraginta (квадрагинта)
L (5O) — quinquaginta (квинквагинта)
LX (60) — sexaginta (сэксагинта)
LXX (70) — septuaginta (сзлтуагинта)
LXXX180) — octoginta (октогинта)
КС (90) — nonaginta (нонагинта)
C (100) centum (центум)
CC (200) — ducenti (дуценти)
CCC (300) — trecenti (трэценти)
CD (400) — quadrigenti (квадригэнти)
D (500) — quingenti (квингэнти)
DC (600) — sescenti(сэсценти) или sexonti (сэксцонти)
DCC (700) — septigenti (сэптигэнти)
DCCC (800) — octingenti (октингэнти)
CV (DCCC) (900) — nongenti (нонгэнти)
M (1000) — mille (милле)
ММ (2000) — duo milia (дуо милиа)
V (5000) — quinque milla (квинквэ милиа)
X (10 000) — decem milia (дэцем милиа)
XX (20000) — viginti milia (вигинти милиа)
C (100000) — centum milia (центум милиа)
XI (1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа).

Если вдруг любознательный человек спросит, почему для обозначения цифр 50, 100, 500 и 1000 были выбраны латинские буквы V, L, С, D, М, то сразу скажем, что это вовсе не латинские буквы, а совсем иные знаки.

Дело в том, что основой для латинского алфавита послужил алфавит западногреческий. Именно к нему восходят три знака L, С и М. Здесь они обозначали придыхательные звуки, которых не было в латинском языке. Когда оформлялся латинский алфавит, именно они оказались лишними. Их и приспособили для обозначения чисел в латинской графике. Позднее они по написанию совпали с латинскими буквами. Так, знак С (100) стал похож на первую букву латинского слова centum (сто), а М (1000) — на первую букву слова mille (тысяча). Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000), а потом уж стал похож на латинскую букву. Знак V (5) являлся всего навсего верхней половиной знака X (10).

Мы все пользуемся римскими цифрами – отмечаем ими номера веков или месяцев года. Римские цифры находятся на часовых циферблатах, в том числе на курантах Спасской башни. Мы их используем, но знаем про них не так много.

Как устроены римские цифры

Римская система счета в ее современном варианте состоит из следующих базовых знаков:

I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Чтобы запомнить цифры, непривычные для нас, пользующихся арабской системой, существует несколько специальных мнемонических фраз на русском и английском языках:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх
Mы Dаем Cоветы Lишь Xорошо Vоспитанным Iндивидуумам
I Value Xylophones Like Cows Dig Milk

Система расположения этих цифр друг относительно друга такова: числа до трех включительно образуются при помощи сложения единиц (II, III), — четырехкратное повторение любой цифры запрещено. Чтобы образовать числа больше трех, складываются или вычитаются большая и меньшая цифры, для вычета меньшая цифра ставится перед большей, для прибавления — после, (4 = IV), та же логика действует и с другими цифрами (90 = XC). Порядок расположения тысяч, сотен, десятков и единиц тот же, что и привычный нам.

Важно, что любая цифра не должна повторять больше трех раз, таким образом, самое длинное число до тысячи – 888 = DCCCLXXXVIII (500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1).

Альтернативные варианты

Запрет на четвертое использование одной и той же цифры подряд стал появляться только в XIX веке. Поэтому в старинных текстах можно увидеть варианты IIII и VIIII вместо IV и IX, и даже IIIII или XXXXXX вместо V и LX. Остатки этого написания можно увидеть на часах, где четыре часто отмечается именно с помощью четырех единиц. В старых книгах также нередки случаи двойных вычитаний – XIIX или IIXX вместо стандартных в наши дни XVIII.

Также в Средневековье появилась новая римская цифра – ноль, который обозначался буквой N (от латинского nulla, ноль). Большие числа отмечались специальными знаками: 1000 — ↀ (или C|Ɔ),5000 – ↁ(или |Ɔ),10000 – ↂ (или CC|ƆƆ). Миллионы получаются при двойном подчеркивании стандартных цифр. Дроби римскими цифрами тоже писали: с помощью значков отмечались унции – 1/12, половина отмечалась символом S, а все, что больше 6/12 – прибавлением: S = 10\12. Еще один вариант – S::.

Происхождение

На данный момент не существует единой теории происхождения римских цифр. Одна из самых популярных гипотез гласит, что этрусско-римские цифры произошли от системы счета, которая использует вместо цифры штрихи-зарубки.

Таким образом, цифра «I» — это не латинская или более древняя буква «и», а насечка, напоминающая форму этой буквы. Каждую пятую насечку обозначали скосом – V, а десятую перечеркивали – Х. Число 10 выглядело в этом счете следующим образом: IIIIΛIIIIX.

Именно благодаря такой записи цифр подряд мы обязаны особой системе сложения римских цифр: со временем запись числа 8 (IIIIΛIII) могла сократиться до ΛIII, что убедительно демонстрирует, каким образом римская система счета получила свою специфику. Постепенно зарубки превратились в графические символы I, V и X, и приобрели самостоятельность. Позже они стали идентифицироваться с римскими буквами – так как были на них внешне похожи.

Альтернативная теория принадлежит Альфреду Куперу, который предположил рассмотреть римскую систему счета с точки зрения физиологии. Купер считает, что I, II, III, IIII – это графическое представление количества пальцев правой руки, выкидываемых торговцем при назывании цены. V – это отставленный большой палец, образующий вместе с ладонью подобную букве V фигуру.

Именно поэтому римские цифры суммируют не только единицы, но и складывают их с пятерками – VI, VII и т.п. – это откинутый большой палец и другие выставленные пальцы руки. Число 10 выражали с помощью перекрещивания рук или пальцев, отсюда пошел символ X. Еще один вариант – цифру V попросту удвоили, получив X. Большие числа передавали с помощью левой ладони, которая считала десятки. Так постепенно знаки древнего пальцевого счета стали пиктограммами, которые затем начали отождествлять с буквами латинского алфавита.

Современное применение

Сегодня в России римские цифры нужны, в первую очередь, для записи номера века или тысячелетия. Римские цифры удобно ставить рядом с арабскими – если написать век римскими цифрами, а затем год – арабскими, то в глазах не будет рябить от обилия одинаковых знаков. Римские цифры имеют некоторый оттенок архаичности. С их помощью также традиционно обозначают порядковый номер монарха (Петр I), номер тома многотомного издания, иногда – главы книги. Также римские цифры используются в циферблатах часов под старину. Важные числа, такие, как год олимпиады или номер научного закона, могут также фиксироваться при помощи римских цифр: II мировая, V постулат Евклида.

В разных странах римские цифры употребляются немножко по-разному: в СССР было принято указывать с помощью них месяц года (1.XI.65). На западе римскими цифрами часто пишут номер года в титрах фильмов или на фасадах зданий.

В части Европы, в особенности в Литве, нередко можно встретить обозначение римскими цифрами дней недели (I – понедельник и так далее). В Голландии римскими цифрами иногда обозначают этажи. А в Италии ими отмечают 100-метровые отрезки пути, отмечая, в то же время, арабскими цифрами каждый километр.

В России при письме рукой принято подчеркивать римские числа снизу и сверху одновременно. Однако часто в других странах подчеркивание сверху значило увеличение регистра числа в 1000 раз (или 10000 раз при двойном подчеркивании).

Существует распространенное заблуждение о том, что современные западные размеры одежды имеют некую связь с римскими цифрами. На самом деле обозначения XXL, S, M, L и т.п. не имеют никакой связи с ними: это аббревиатуры английских слов eXtra (очень), Small (маленький), Large (большой).

Римская система нумерации с помощью букв была распространена в Древнем Риме и Европе на протяжении двух тысяч лет. Только в позднем средневековье ее сменила более удобная для вычислений десятичная система цифр, заимствованная у арабов (1,2,3,4,5…).

Но, до сих пор римскими цифрами обозначаются даты на монументах, время на часах и (в англо-американской типографической традиции) страницы книжных предисловий, размеры одежды, главы монографий и учебников. Кроме того, в русском языке римскими цифрами принято обозначать порядковые числительные. Система Римских цифр в настоящее время применяется при обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975), в исторических памятниках права как номера статей (Каролина и др)

Для обозначения чисел применялось 7 букв латинского алфавита (первая буква слов – пять, десять, пятьдесят, сто, пятьсот, тысяча):

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000

С (100) -это первая буква латинского слова centum (сто)

а М — (1000) — на первую букву слова mille (тысяча).

Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000)

Знак V (5) является верхней половиной знака Х (10)

Промежуточные числа образовывались путем прибавления нескольких букв справа или слева. Сначала пишутся тысячи и сотни, затем десятки и единицы. Таким образом, число 24 пишется как XXIV

Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр.

При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания).

Другими словами — если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее прибавляют к большему; если слева — то вычитают: VI — 6, т.е. 5+1 IV — 4, т.е. 5-1 LX — 60, т.е. 50+10 XL — 40, т.е. 50-10 CX — 110, т.е.100+10 XC — 90, т.е. 100-10 MDCCCXII — 1812, т.е. 1000+500+100+100+100+10+1+1

Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Во избежание 4-х кратного повторения число 3999 записывается как MMMIM.

Возможно различное обозначение одного и того же числа. Так, число 80 можно представить как LXXX (50+10+10+10) и как XXC(100-20).

Например, I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.

Например, VI = 5+1 = 6, IV = 5 — 1 = 4 (вместо IIII).

XIX = 10 + 10 — 1 = 19 (вместо XVIIII),

XL = 50 — 10 =40 (вместо XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.

Примечание:

Основные римские цифры: I(1) — unus (унус) II(2) — duo (дуо) III(3) — tres (трэс) IV(4) — quattuor (кваттуор) V(5) — quinque (квинквэ) VI(6) — sex (сэкс) VII (7) — septem (сэптэм) VIII (8) — octo (окто) IX (9) — novem (новэм) X (10) — decem (дэцем) и т. д. XX (20) — viginti (вигинти) XXI (21) — unus et viginti или viginti unus XXII (22) — duo et viginti или viginti duo и т.д. XXVIII (28) — duodetriginta (дуодэтригинта) XXIX (29) — undetriginta (ундэтригинта) XXX (30) — triginta (тригинта) XL (40) — quadraginta (квадрагинта) L (50) — quinquaginta (квинквагинта) LX (60) — sexaginta (сэксагинта) LXX (70) — septuaginta (сэптуагинта) LXXX (80) — octoginta (октогинтна) XC (90) — nonaginta (нонагинта) C (100) — centum (центум) CC (200) — ducenti (дуценти) CCC (300) — trecenti (трэценти) CD (400) — quadrigenti (квадригэнти) D (500) — quingenti (квингэнти) DC (600) — sexcenti (сэксценти) DCC (700) — septigenti (сэптигэнти) DCCC(800) — octingenti (октигенти) CM (DCCCC) (900) — nongenti (нонгэнти) M (1000) — mille (милле) MM (2000) — duo milia (дуо милиа) V (5000) — quinque milia (квинквэ милиа) X (10000) — decem milia (дэцем милиа) XX (20000) — viginti milia (вигинти милиа) C (1000000) — centum milia (центум милиа) XI (1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа)»

Римские цифры от 1 до 1000: список, переводчик и упражнения

В настоящее время большинство людей используют систему арабские цифры за то, что было проще. Хотя в остальное время было иначе. Много лет назад Римская империя он доминировал на больших территориях в течение нескольких столетий. Обладая огромным мастерством, он повсюду распространял свою философию и знания, Римские цифры. 

В этом руководстве мы стремимся научить вас этой системе нумерации, которая все еще используется в некоторых вещах (например, в фильмах: Звездные войны IV, V, VI), и объясните вам, чтобы вы могли легко выучить. Прежде всего, если вы уже знакомы с теорией и хотите использовать конвертер, вы можете использовать его отсюда:

Содержание

• 1 Переводчик римских цифр (конвертер)
• 2 Что такое римские цифры?
• 3 Как пишутся римские цифры?
• 4 Список римских цифр
  • 4.1 1 50 к
  • 4.2 1 100 к
  • 4.3 1 500 к
  • 4.4 1 1000 к
  • 4.5 от 1 и выше
• 5 Правила с римскими цифрами
  • 5. 1 Сума
  • 5.2 вычитание
  • 5.3 умножение
  • 5.4 деление
• 6 Даты римскими цифрами
• 7 Как поставить римские цифры в Word?
• 8 Сверлить

Переводчик римских цифр (конвертер)

Что такое римские цифры?

Сегодня римские цифры — это редко используемая система счисления. Они составлены заглавные буквы для представления чисел. Объединение этих букв добавляется или вычитается, чтобы освободить место для другого числа. Все буквы используются следующие:

• Я = 1
• V = 5
• X = 10
• L = 50
• C = 100
• D = 500
• M = 1000

Например, число 1 представлено буква I «, и два посредством суммы 2 «II». Как только эти эквивалентности будут поняты, ниже мы объясним, как писать римские цифры.

Как пишутся римские цифры?

Чтобы написать римские цифры, вы должны освоить сложение и вычитание. Остальное — простые правила, которые мы вам покажем. Для начала вы должны знать, что подряд может быть не более 3-х одинаковых букв.

Если две буквы равны или первая больше второй, сложить, в противном случае (если первая буква меньше второй), вычитаются. Например:

• Я = 1
• II = 1 + 1 = 2
• III = 1 + 1 + 1 = 3
• VII = 5 + 1 + 1 = 7
• IV = 5 — 1 = 4
• IX = 10 — 1 = 9
• XIX = 10 + 10 — 1 = 19

Если вы хотите использовать число, равное или больше 4, вам нужно будет разместить строку с именем связь; вверху букв. Это будет означать, что число умножается на 1. Например, 4.000 римскими цифрами представлен так:

Число 10.000 представлен так:

И, наконец, тот, который может быть сложным, 50.000 римскими цифрами записывается следующим образом:

Раньше не было необходимости в очень больших количествах, таких как млн. А римлянам было все равно. Тем не менее, их можно написать, поместив линию под и над буквами. В этом смысле, если бы мы хотели сослаться на 5 000 000, мы использовали бы формат:

Число 5 (V) и его кратные, 50 и 500 (L, D), их нельзя использовать для вычитания. Неверно писать «VC» для обозначения Число 95.

Правильная форма: XCV.

Список римских цифр

Поскольку у вас есть представление о том, как писать римские цифры, удобно видеть полный список с числа от 1 до 1000, и еще одна серия с более высокими числами. Так вы познакомитесь с ними ближе и сможете лучше их понять.

1 50 к

1 100 к

1 500 к

1 1000 к