Arctg что это такое: Арктангенс, арккотангенс — свойства, графики, формулы

Арктангенс, арккотангенс — свойства, графики, формулы

Арктангенс, arctg

Определение и обозначения

Арктангенс ( y = arctg x )
 – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
tg(arctg x) = x     ;
arctg(tg x) = x     .

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс


График функции   y = arctg x.

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арккотангенс ( y = arcctg x )
 – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
ctg(arcctg x) = x     ;
arcctg(ctg x) = x     .

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс


График функции   y = arcctg x.

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x. (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

  y = arctg x y = arcctg x
Область определения и непрерывность – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
Множество значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы, минимумы нет нет
Нули, y = 0 x = 0 нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2
π
0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 x arctg x arcctg x
град. рад. град. рад.
– ∞ – 90° 180° π
– 60° 150°
– 1 – 45° 135°
– 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
1 45° 45°
60° 30°
+ ∞ 90° 0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

См. Вывод формул обратных тригонометрических функций



Формулы суммы и разности


     при

     при

     при


     при

     при

     при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. Вывод формул
,
.

Выражения через гиперболические функции

Производные



См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков:
Пусть  . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть  . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку   x = tg t   и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При   |x| ≤ 1   имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x    
ctg(arcctg x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x     при
arcctg(ctg x) = x     при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное — , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что 

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

, так как ,

, так как ,

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3.

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график — уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

— Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

, значит,

, значит,

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция — общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Внеклассный урок — Арктангенс и арккотангенс

Арктангенс и арккотангенс

 

Арктангенс и арккотангенс, так же как и арксинус и арккосинус, являются обратными тригонометрическими функциями.

Арктангенс.

Арктангенс числа а – это такое число из отрезка от –π/2 до π/2, тангенс которого равен а.

Обозначается так: arctg a.

 

Говоря иначе:

arctg a = x,

следовательно tg x = a.

Условие: x больше –π/2, но меньше π/2

(–π/2 < x < π/2)

 

Формулы.

(1)


x = arctg a + πk

где k – любое целое число (k ∈ Z)

 
(2)


arctg (–a) = –arctg a

 

Пример: Вычислить arctg 1.

Решение.

Решая, следуем буквально по таблице над примером.

Итак, в нашем примере а = 1. Значит:

arctg 1 = х.

Следовательно, tg x = 1. При этом x ∈ [–π/2; π/2].

Находим значение x:

Координату 1 имеет tg π/4. Значит:

x = π/4.

При этом π/4 ∈ [–π/2; π/2].

Ответ: arctg 1 = π/4.

 

Арккотангенс.

Арккотангенс числа а – это такое число в интервале (0; π), котангенс которого равен а.

Обозначается так: arcctg a.

 

Говоря иначе:

arcctg a = x,

следовательно ctg x = a.

Условие: x больше 0, но меньше π

(0 < x < π)

 

Формулы.

(1)


x = arcctg a + πk

(k ∈ Z)

 

(2)


arcctg (a) = π – arcctg а

 

Пример: Вычислить arcctg 1.

Решение.

Опять следуем по таблице над нашим примером.

а = 1.

Следовательно:

ctg x = 1.

Осталось найти значение x (либо вычислить самим, либо посмотреть таблицу котангенсов):

x = π/4.

arcctg 1 = π/4.

Все полученные результаты не выходили из рамок интервала (0; π).

Пример решен.

Значения обратных тригонометрических функций y=arctg(x) и y=arcctg

Значения обратных тригонометрических функций \(arctg(x)\) и \(arcctg(x)\):

 

Вычислим значения \( \text{arcctg}\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \text{ },\text{ } \text{arcctg}\left( -\sqrt{3} \right) \).

  • Вычислить угол \(\alpha\) на промежутке \(\left( 0;\pi \right)\) такой, что​  \(\text{ctg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\). Из таблицы значение котангенса \(\alpha =\frac{\pi }{3}\) значение \(\text{ctg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\) этому значению соответствует угол \(\alpha =\frac{\pi }{3}\). Найденный угол принадлежит промежутку \(\left( 0;\pi \right)\). Следовательно:

\( \text{arcctg}\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=\frac{\pi }{3}\).

  • Для того чтобы найти \(\text{arcctg}\left( -\sqrt{3} \right)\) используем формулу: 

\(\text{arctg}\left( -\sqrt{3} \right)=\pi -\text{arctg}\sqrt{3}\)

 

      Найдем значение \(\text{arcctg}\sqrt{3}\)  из таблицы котангенсов:  \(\alpha =\frac{\pi }{6}\).   Итого имеем:

\(\text{arcctg}\left( -\sqrt{3} \right)=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный педагогический университет им. М. Танка

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-4 классов. Математика — отличный тренажер! Только тренирует он не мышцы, а наш ум! А я могу Вам помочь с тренировками, ведь изучать математику не всегда бывает легко. На занятиях будем развивать память и мышление, используя различные интересные задания и игры!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Люблю математику и стараюсь привить эту любовь учащимся. Учу учащихся искать нестандартные решения, рассуждать, не бояться ошибок, делать выводы. Показываю связь математики с жизнью.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Харьковский государственный университет им. А.М. Горького

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-11 классов. Имею высшую квалификационную категорию и педагогическое звание «Учитель — методист». В работе использую технологии развивающего, личностно-ориентированного обучения, успешно готовлю выпускников к итоговому независимому оцениванию. Я с детства люблю решать задачи. Мне кажется, что любой человек, который делает открытие, испытывает такое сильное чувство, которое хочется повторить. Любая задача, особенно трудная, позволяет испытать это чувство. Люди, которые увлекаются математикой более успешные в жизни. Ведь вся наша жизнь — это решение задач.

Математика 10 класс

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Математика 10 класс

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

Тригонометрия arctg.

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса ».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут (16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.

п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg .

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?


Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс… То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числапомогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos (1 2) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно ). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin (- π 2) = — 1 , sin (- π 3) = — 3 2 , sin (- π 4) = — 2 2 , sin (- π 6) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos (- 1) = π , arccos (- 3 2) = 5 π 6 , arcocos (- 2 2) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

Таблица арккосинусов.

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют т аблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin (- α) = — a r c sin α , a r c cos (- α) = π — a r c cos α , a r c t g (- α) = — a r c t g α , a r c c t g (- α) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул сумм ы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса ).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

(круговые функции, аркфункции) — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям .

Арктангенс — обозначение: arctg x или arctan x .

Арктангенс (y = arctg x ) — обратная функция к tg (x = tg y ), которая имеет область определения и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg .

Функция y = arctg x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arctg x является строго возрастающей.

Свойства функции arctg .

График функции y = arctg x .

График арктангенса получают из графика тангенса, меняя местами оси абсцисс и ординат. Чтоб избавиться от многозначности, множество значений ограничивают интервалом , на нем функция монотонна. Это определение называется главным значением арктангенса.

Получение функции arctg .

Есть функция y = tg x . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arctg x не является функцией. Поэтому рассматриваем отрезок, на котором она только возрастает и принимает все значения лишь 1 раз — . На таком отрезке y = tg x только возрастает монотонно и принимает все значения лишь 1 раз, то есть, на интервале есть обратная y = arctg x , график ее симметричен графику y = tg x на отрезке относительно прямой y = x .

Электронный справочник по математике обратные тригонометрические функции арксинус арккосинус арктангенс арккотангенс определение свойства графики значения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арксинусом числа a и обозначают   x = arcsin a, если выполнены два условия:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арккосинусом числа a и обозначают   x = arccos a, если выполнены два условия:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арктангенсом числа a и обозначают   x = arctg a, если выполнены два условия:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арккотангенсом числа a и обозначают   x = arcctg a, если выполнены два условия:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс удовлетворяют, в частности, следующим соотношениям:

arcsin (– a) = – arcsin a ,
arccos (– a) =
= π – arccos a ,
arctg (– a) = – arctg a ,
arcctg (– a) =
= π – arcctg a .

Обратными тригонометрическими функциями называют функции:

Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.

Рис. 1. График функции   y = arcsin x

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ   y = arcsin x

Рис. 2. График функции   y = arccos x

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ   y = arccos x

Рис. 3. График функции   y = arctg x

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ   y = arctg x

Рис. 4. График функции   y = arcctg x

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ   y = arcctg x

ПРИМЕР. Решить уравнение

2 arcsin 2x = arccos 7x .

РЕШЕНИЕ. Возьмём косинус от обеих частей уравнения. Тогда в левой части уравнения получим:

cos ( 2 arcsin 2x ) = 1 – 2sin2( arcsin 2x ) = 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .

cos ( 2 arcsin 2x ) =
= 1 – 2sin2( arcsin 2x ) =
= 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .

В правой части уравнения получим:

cos ( arccos 7x ) = 7x.

Следовательно, возникает квадратное уравнение:

В силу того, что область определения обратных тригонометрических функций   y = arcsin x и   y = arccos x   имеет вид: , второй корень должен быть отброшен.

ОТВЕТ:

Где на окружности находится arctg 1 3. Арксинус, формула, график функции арксинус, урок и презентация

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.

Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.

Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).

Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:

arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений

Значит — arctg=- tgх= — .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений

Значит arctg1= .

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

  1. Построим тангенсоиду

у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой

у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).

Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) = π — arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса ».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут (16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg .

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?


Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? — слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°. Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс… То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) — это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тригонометрическая функция arctan () — арктангенс — определение математического слова

Тригонометрическая функция arctan () — арктангенс — определение математического слова — Math Open Reference

Функция арктангенса — это функция, обратная касательной.
Возвращает угол, тангенс которого является заданным числом.

Попробуй это Перетащите любой вершине треугольника и посмотрите, как вычисляется угол C с помощью функции arctan ().

Для каждой тригонометрической функции существует обратная функция, которая работает в обратном порядке.Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. (На некоторых калькуляторах кнопка arctan может быть помечена как атан, а иногда загар -1 .) Таким образом, загар — это арктангенс, обратный величине и т. Д. Когда мы видим арктангенс х, мы понимаем его как «угол, тангенс которого равен х».

загар 30 = 0,577 Означает: тангенс 30 градусов равен 0,577
арктан 0,577 = 30 означает: угол, тангенс которого равен 0,577, равен 30 градусам.
Используйте arctan, если вы знаете тангенс угла и хотите узнать фактический угол.
См. Также Обратные функции — тригонометрия

Пример — использование arctan для нахождения угла

На рисунке выше нажмите «Сброс». Нам известны длины сторон, но нам нужно найти величину угла C.
Мы знаем, что поэтому нам нужно знать угол, тангенс которого равен 0,577, или формально: С помощью калькулятора находим arctan 0,577 равным 30 °.

Большие и отрицательные углы

Напомним, что мы можем применить Триггерные функции на любой угол, включая большие и отрицательные углы.Но когда мы Рассмотрим обратную функцию, мы столкнемся с проблемой, потому что существует бесконечное количество углов, имеющих одинаковую касательную. Например, 45 ° и 360 + 45 ° будут иметь одинаковую касательную. Подробнее об этом см. Обратные тригонометрические функции.

Чтобы решить эту проблему, диапазон обратных триггерных функций ограничены таким образом, чтобы обратные функции были взаимно однозначными, то есть для каждого входного значения был только один результат.

Ареал и владение arctan

Напомним, что область определения функции — это набор допустимых входных данных для нее.Диапазон — это набор возможных выходов.

Для y = arctan x:

Диапазон
Домен Все вещественные числа

Условно диапазон arctan ограничен от -90 ° до + 90 ° * .

Итак, если вы используете калькулятор для вычисления, скажем, arctan 0,55, из бесконечного числа возможностей он вернет 28,81 °, тот, который находится в диапазоне функции.

* На самом деле, -90 ° и + 90 ° сами по себе не входят в диапазон.Это потому, что функция tan имеет значение бесконечность при этих значениях. Но значения чуть ниже них находятся в диапазоне, например +89.9999999. Но для простоты объяснения мы говорим, что диапазон составляет ± 90 °.

Что попробовать

  1. На рисунке выше нажмите «Сброс» и «Скрыть детали».
  2. Отрегулируйте треугольник до нового размера
  3. Используя функцию arctan, вычислите значение угла C из длин сторон
  4. Нажмите «Показать подробности», чтобы проверить ответ.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Arctan: определение, функция и формула — видео и стенограмма урока

Когда использовать Arctan

Тригонометрические функции можно использовать для определения значений, относящихся к прямоугольному треугольнику.На практике эти функции можно использовать для определения высоты объектов или расстояний, которые трудно измерить. Эти измерения определяются с использованием меры одного угла (не прямого) и отношения двух сторон треугольника. Тригонометрические функции определяются по сторонам треугольника, которые используются в соотношении этих формул:

  • синус = противоположный / гипотенуза
  • косинус = смежный / гипотенуза
  • касательная = противоположная / смежная

Обратные к этим функциям можно использовать для определения углов, когда известны стороны треугольника.Вы можете использовать arctan для определения меры угла, когда известны противоположная сторона и сторона, прилегающая к углу. Arctan имеет практическое применение в архитектуре, строительстве, ландшафтном дизайне, физике и инженерии, а также в других научных и математических областях.

Лучший метод для определения арктана — научный калькулятор . Кнопка arctan должна находиться над касательной на калькуляторе. Таблица данных также может использоваться для определения арктангенса; однако это может быть утомительным и громоздким методом, но он эффективен, если научный калькулятор недоступен.

Далее мы рассмотрим несколько примеров, в которых арктангенс используется для определения меры угла.

Первый пример

В этом первом примере давайте найдем угловую меру θ:

Помните, что арктангенс — это тригонометрическая функция, которую вы можете использовать для определения меры угла, если вы знаете сторону, противоположную и сторону, примыкающую к измеряемому углу, которое вы пытаетесь найти.

Уравнение будет выглядеть так:

arctanθ = напротив / рядом

arctanθ = 15/23

arctanθ = 0.65

θ = 33 °

Второй пример

В этом втором примере мы найдем меру угла θ:

arctanθ = напротив / рядом

arctanθ = 3/2

arctanθ = 1,5

θ = 56 °

Пример 3

В нашем последнем примере мы будем использовать пандус для инвалидных колясок, который поднимается на 6 футов вертикально. на расстоянии 25 футов. Каков угол наклона пандуса?

arctanθ = напротив / рядом

arctanθ = 6/25

arctanθ = 0.24

θ = 13 °

Резюме урока

arctan — это обратная тригонометрическая функция функции касательной , которая представляет собой отношение стороны, противоположной углу, к стороне, прилегающей к углу. Функция arctan используется для определения углов прямоугольного треугольника, когда известны катеты треугольника. Он имеет практическое применение в архитектуре, инженерии и физике, а также в других науках. Арктангенс рассчитывается с помощью научного калькулятора или таблицы данных.

Arctan

Арктангенс, записанный как arctan или tan -1 (не путать с) — это функция арктангенса. Касательная имеет обратную функцию только в ограниченной области

Область должна быть ограничена, потому что для того, чтобы функция имела инверсию, функция должна быть взаимно однозначной, что означает, что ни одна горизонтальная линия не может пересекать график функции более одного раза.Поскольку касательная является периодической функцией, без ограничения области определения, горизонтальная линия будет периодически пересекать функцию бесконечно много раз.

Одно из свойств обратных функций состоит в том, что если точка (a, b) находится на графике функции f, точка (b, a) находится на графике обратной функции. Это фактически означает, что график обратной функции является отражением графика функции через линию y = x.

График y = arctan (x) показан ниже.

Как видно из рисунка, y = arctan (x) является отражением tan (x) в ограниченной области

Калькулятор Arctan

Ниже приведен калькулятор для определения значения арктангенса числа или значения тангенса угла.

С помощью специальных углов найти arctan

Хотя мы можем найти значение арктангенса для любого значения x в интервале [-∞, ∞], существуют определенные углы, которые часто используются в тригонометрии (0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 ° и их кратные и радианные эквиваленты), значения тангенса и арктангенса которых, возможно, стоит запомнить.Ниже приведена таблица, в которой показаны эти углы (θ) как в радианах, так и в градусах, а также их соответствующие значения тангенса, tan (θ).

θ -90 ° -60 ° -45 ° -30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °
тангенс (θ) undefined -1 0 1 undefined

Чтобы найти tan (θ), нам нужно либо просто запомнить значения, либо запомнить, что tan (θ) = и определите значение tan (θ) на основе значений синуса и косинуса, которые следуют шаблону, который может быть легче запомнить.Обратитесь к соответствующим страницам, чтобы просмотреть метод, который может помочь с запоминанием значений синуса и косинуса.

После того, как мы запомнили значения или если у нас есть какая-то ссылка, становится относительно просто распознать и определить значения тангенса или арктангенса для специальных углов.

Обратные свойства

Как правило, функции и их обратные показывают взаимосвязь

f (f -1 (x)) = x и f -1 (f (x)) = x

При условии, что x находится в области определения функции.То же самое верно для tan (x) и arctan (x) в их соответствующих ограниченных доменах:

tan (arctan (x)) = x, для всех x

и

arctan (tan (x)) = x, для всех x в (,)

Эти свойства позволяют нам оценивать состав тригонометрических функций.

Состав арктангенса и тангенса

Если x находится в пределах домена, оценить композицию arctan и tan относительно просто.

Примеры:

Состав других тригонометрических функций

Мы также можем составлять композиции, используя все другие тригонометрические функции: синус, косинус, косеканс, секанс и котангенс.

Тот же процесс можно использовать с выражением переменной.

Пример:

Найдите грех (arctan (3x)).

Учитывая arctan (3x) = θ, мы можем найти, что tan (θ) =, и построить следующий треугольник:

Чтобы найти синус, нам нужно найти гипотенузу, так как sin (θ) =. Пусть c — длина гипотенузы. Используя теорему Пифагора,

(3x) 2 + 1 2 = с 2

9x 2 + 1 = с 2

с =

и

sin (arctan (3x)) = sin (θ) =

Использование arctan для решения тригонометрических уравнений

Арктангенс также можно использовать для решения тригонометрических уравнений, включающих функцию тангенса.

Примеры:

Решите следующие тригонометрические уравнения относительно x, где 0≤x

1. 3tan (x) =

3tan (x) =

тангенс (x) =

x = arctan ()

Касательная положительна в двух квадрантах, I и III, поэтому есть два решения: x = и x =. Это единственные два угла в пределах 0≤x <2π, значение тангенса которых равно.

2. tan 2 (x) — tan (x) = 0

загар 2 (x) — загар (x) = 0

tan (x) (tan (x) -) = 0

tan (x) = 0 или tan (x) — = 0

tan (x) = 0 или tan (x) =

x = 0, π или x =

математических слов: обратная касательная

Обратный тангенс
tan -1
Tan -1
arctan
Arctan

Функция, обратная касательной.

Основная идея : Найти загар -1 1, мы спрашиваем, «какой угол имеет тангенс, равный 1?» Ответ составляет 45 °. В результате мы говорим, что tan -1 1 = 45 °. В радианах это tan -1 1 = π / 4.

Еще : На самом деле существует много углов, касательная равна 1. Мы действительно спрашиваем, «что самое простое, самый основной угол, тангенс которого равен 1? «Как и прежде, ответ — 45 °.Таким образом, загар -1 1 = 45 ° или tan -1 1 = π / 4.

Подробности : Что такое загар -1 (–1)? Выбираем ли мы 135 °, –45 °, 315 °, или под другим углом? Ответ –45 °. Обратной тангенсой выбираем угол на правой половине единицы круг, имеющий размер как можно ближе к нулю. Таким образом, загар -1 (–1) = –45 ° или тангенциальный угол -1 (–1) = –π / 4.

В другими словами, диапазон tan -1 равен ограничено (–90 °, 90 °) или.

Примечание : arctan относится к «арктангенсу» или радианной мере дуга на окружности, соответствующая заданному значению касательной.

Техническое примечание : Поскольку ни одна из шести триггерных функций синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс не взаимно однозначны, их обратные не являются функциями. Каждая триггерная функция может иметь свой домен ограничен, однако, чтобы сделать его инверсию функцией.Некоторые математики пишут эти ограниченные триггерные функции и их перевернутое с заглавной буквы (например, Tan или Tan -1 ). Однако большинство математиков не следуют этой практике. Этот веб-сайт не делает различий между заглавными и не заглавными буквами триггерные функции.

См. также

обратный тригонометрия, обратная триггерные функции, интервальное обозначение

Формула Arctan — Cuemath

В тригонометрии тангенс определяется как отношение противоположной стороны к смежной стороне определенного угла прямоугольного треугольника, тогда как arctan является обратной функцией касательной и используется для найти угол.{2} \ right) \) + C

Формулы арктангенса для π

  • π / 4 = 4 арктангенс (1/5) — арктангенс (1/239)
  • π / 4 = арктангенс (1/2) + арктангенс (1/3)
  • π / 4 = 2 арктангенс (1/2) — арктангенс (1/7)
  • π / 4 = 2 арктангенса (1/3) + арктангенса (1/7)
  • π / 4 = 8 арктангенс (1/10) — 4 арктангенса (1/515) — арктангенс (1/239)
  • π / 4 = 3 arctan (1/4) + arctan (1/20) + arctan (1/1985)
  • π / 4 = 24 арктангенса (1/8) + 8 арктангенса (1/57) + 4 арктангенса (1/239)

Решенные примеры с использованием формулы арктана

Пример 1

В прямоугольном треугольнике ABC основание 23 и высота 15.Найдите базовый угол.

Решение

Найти: базовый угол

По формуле арктана

θ = arctan (напротив ÷ смежный)

θ = арктангенс (15 ÷ 23) = арктангенс (0,65)

θ = 33 градуса или 33 o .

Ответ: Угол 33 o .

Пример 2

В прямоугольном треугольнике ABC, если основание треугольника равно 2 единицам, а высота треугольника равна 3 единицам.Найдите базовый угол.

Решение

Найти: базовый угол

По формуле арктана

θ = arctan (напротив ÷ смежный)

θ = arctan (3 ÷ 2) = arctan1,5

θ = 56 o

Ответ: Угол 56 o .

Определение арктангенса по Merriam-Webster

дуга · загар · гент | \ (ˌ) ärk-ˈtan-jənt \

варианты: или реже арктангенс

арктангенсы множественного числа также арктангенсы

: функция, обратная касательной если y — тангенс угла θ, то θ — арктангенс угла y — сокращение arctan

Функция арктангенса — исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел.Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена ​​в статье.
Посмотреть полный список определенных функций в этой вики
Для функций, включающих углы (тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и т. Д.), Мы следуем соглашению, согласно которому все углы измеряются в радианах. Так, например, угол измеряется как.

Определение

Функция арктангенса , обозначенная или, является функцией, определяемой следующим образом: for, — это уникальный номер в открытом интервале, такой что.

Эквивалентно, функция арктангенса является функцией, обратной ограничению функции касательной к интервалу.

Основные данные

График

Вот график из уменьшенного положения, где горизонтальные асимптоты четкие.

Вот более крупный вариант с проведенной касательной через начало координат (линия), указывающей, что начало координат является точкой перегиба графика:

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : теорема обратной функции и касательная функция # Первая производная, которая, в свою очередь, зависит от синусоидальной функции # Первая производная, функция косинуса # Первая производная и правило частного для дифференцирования

Мы используем теорему об обратной функции, и тот факт, что производная от равна.

По теореме об обратной функции имеем:

Если, то и получаем:

Подключив это к вышесказанному, мы получим:

Вторая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило дифференцирования и правило дифференцирования для степенных функций

Вторая производная определяется как:

Высшие производные

Для высших производных мы используем правило частного дифференцирования в сочетании с цепным правилом дифференцирования для работы со степенями.

Интеграция

Первая первообразная

Мы можем проинтегрировать это, используя метод интегрирования обратной функции, и получить:

Это становится:

Имеем, и получаем:

Если говорить более подробно, мы можем выполнить интеграцию, используя интеграцию по частям, принимая как часть для дифференциации и как часть для интеграции:

Для второй интеграции мы интегрируем, используя формулировку для получения.

Высшие первообразные

Функция может быть антидифференцирована любое количество раз с помощью интеграции по частям. Причина этого в том, что производная функции является рациональной функцией, а рациональные функции могут многократно интегрироваться в элементарно выражаемые функции.

Все первообразные можно выразить в виде:

где — полиномиальные. Обратите внимание, что это неоднозначно с точностью до сложения многочленов степени, если мы интегрируем времена.

Высшие первообразные

Функция может быть антидифференцирована любое количество раз с помощью интеграции по частям.

Серия

Power и серия Тейлора

Расчет степенного ряда

Степенный ряд для функции около 0 может быть получен следующим образом.

Мы знаем, что для функции у нас есть степенной ряд:

Интегрируя с определенным интегралом, получаем:

Левая часть, поэтому получаем:

По теореме о чередующемся ряду мы отмечаем, что степенной ряд справа сходится для и для, поэтому по теореме Абеля мы заключаем, что он сходится от к соответствующих входных данных.

Решить злп графическим методом: Математическое Бюро. Страница 404

Графический метод решения задач линейного программирования

На этом уроке будем знакомиться с графическим методом решения задач линейного программирования, то есть, таких задач, в которых требуется найти такое решения системы линейных уравнений и (или) неравенств (системы ограничений), при котором функция цели — линейная функция — принимает оптимальное значение.

Ввиду того, что наглядность графического решения достигается лишь на плоскости, мы можем познакомиться с графическим представлением задачи только в двумерном пространстве. Это представление пригодно для системы ограничений-неравенств с двумя переменными или для систем уравнений, в которых число переменных на 2 превышает число уравнений, то есть число свободных переменных равно двум.

Поэтому графический метод имеет такие узкие рамки применения, что о нём как об особом методе решения задач линейного программирования говорить нельзя.

Однако для выработки наглядных представлений о решениях задач линейного программирования графический метод представляет определённый интерес. Кроме того, он позволяет геометрически подтвердить справедливость теорем линейного программирования.

Итак, задача линейного программирования. Требуется найти неотрицательные значения переменных и , удовлетворяющих системе неравенств

при которых линейная форма принимает оптимальное значение.

Из теории и практики решения систем линейных неравенств известно, что множество всех решений данной системы, то есть множество пар чисел и , удовлетворяющих системе, составляет многоугольник этой системы. Допустим, что это пятиугольник ABCDE (рисунок внизу).

Линейная форма графически означает семейство параллельных между собой прямых. При конкретном числовом значении F линейная форма изобразится в виде некоторой прямой. Каждую из прямых этого семейства принято называть линией уровня. На рисунке построена линия уровня (чёрного цвета, проходит через начало координат), соответствующая значению F =0.

Если исходную линию уровня передвигать вправо, то значение F при этом возрастает. Нужное направление движения исходной линии уровня можно установить следующим образом. Коэффициенты при переменных в уравнении прямой служат координатами вектора, перпендикулярного этой прямой. Таким образом, получаем градиент — вектор (на рисунке бордового цвета). Значения функции F возрастают при перемещении исходной линии уровня в направлении вектора .

Среди прямых упомянутого семейства параллельных прямых прямые mn (зелёного цвета) и MN (красного цвета), которые назовём опорными. Опорными обычно называют такие прямые, которые имеют с многоугольником ABCDE хотя бы одну общую точку, и многоугольник ABCDE целиком лежит по одну сторону от этой прямой. Как видно из чертежа, прямая mn является опорной, так как она касается многоугольника в точке A и многоугольник целиком лежит правее (или выше) этой прямой. Прямая MN также является опорной, так как имеет с многоугольником общую точку С и многоугольник целиком лежит левее этой прямой.

Из основных теорем линейного программирования известно, что линейная форма достигает максимального и минимального значений в крайних точках многогранника решений. Это значит, что опорные прямые mn и MN характеризуют экстремальные значения линейной формы (функции цели), то есть в точках А и С линейная форма достигает оптимальных значений. В точке А, находящейся ближе к началу координат, функция цели достигает минимального значения, а в точке С, находящейся дальше от начала координат, — максимального значения.

1. Построить многоугольник решений системы неравенств.

3. Двигать прямую (или линейку) вдоль градиента — вектора параллельно линии равных значений в сторону многоугольника решений до соприкосновения с многоугольником решений. Если первая встреча с многоугольником решений произойдёт в крайней точке с координатами , то в этой точке функция цели достигает минимального значения. Если первая встреча произойдёт со стороной многоугольника, то данная функция цели достигает минимума во всех точках этой стороны.

4. Двигаясь дальше, придём к некоторому опорному положению, когда прямая будет иметь одну общую точку с многоугольником решений. В этой точке функция цели достигает своего максимума.

5. Если первоначально построенная линия равных значений пересекает многоугольник решений, то функция цели достигает минимального значения в вершине многоугольника, расположенной ближе к началу координат, а максимального значения — в вершине, более удалённой от начала координат.

Пример 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях

Построим многоугольник решений. Для этого начертим граничные прямые. Из первого неравенства запишем уравнение . Это уравнение первой граничной прямой. Найдём точки пересечения этой прямой с осями координат. При из уравнения получим , при получим . Это значит, что первая прямая отсекает от осей координат отрезки и .

Аналогично строим остальные граничные прямые. Вторая прямая от осей координат отсекает отрезки, равные 6. Третья прямая проходит параллельно оси , отсекая на оси отрезок, равный 2. Четвёртая прямая имеет уравнение . Она совпадает с осью .

Из рисунка ниже видно, что множество точек четырёхугольника ABDE удовлетворяет всем четырём неравенствам системы.

Следовательно, четырёхугольник ABDE является многоугольником решений системы (заштрихован вовнутрь).

Начертим линию равных значений функции цели. Приняв в равенстве F =1, получим, что эта линия отсекает отрезки 1 и 1/3 соответственно на оси и на оси . Проведём прямую через эти точки (на чертеже она чёрного цвета).

Двигая эту прямую параллельно самой себе в направлении градиента — вектора (бордового цвета), получим опорные прямые. Первая прямая (зелёного цвета) имеет с многоугольником общую точку A. Здесь функция цели достигает минимума. Двигаясь дальше, придём к точке В. Здесь максимум. Координаты точки В: (2, 4). Подставляя в функцию цели координаты точки В, т. е. , , получим максимальное значение функции цели: .

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Пример 3. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях

где .

Правильное решение и ответ.

Пример 4. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти минимум функции при ограничениях

где .

Правильное решение и ответ.

До сих пор полученные выводы были основаны на том, что множество решений задачи линейного программирования сконфигурировано так, что оптимальное решение конечно и единственно. Теперь рассмотрим примеры, когда это условие нарушается. В этих примерах многоугольник решений строится так, как показано в предыдущих примерах, остановимся же на признаках, которые отличают эти исключительные примеры.

Пример 5. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях

Решение. На рисунке изображены: неограниченная многогранная область решений данной системы ограничений, исходная линия уровня (чёрного цвета), вектор (бордового цвета), указывающий направление движения исходной линии уровня для нахождения максимума целевой функции.

Легко заметить, что функция F может неограниченно возрастать при заданной системе ограничений, поэтому можно условно записать, что .

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Пример 6. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях

Решение. Изображённая на рисунке ниже область не содержит ни одной общей точки, которая бы удовлетворяла всем неравенствам системы ограничений. То есть система ограничений противоречива и не может содержать ни одного решения, в том числе и оптимального.

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Пример 8. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти максимум функции при ограничениях

Решение. На рисунке ниже изображены область решений системы ограничений и линия уровня (чёрного цвета). Если передвигать линию уровня параллельно исходной в направлении вектора , то она выйдет из области решений не в одной точке, как это было в предыдущих примерах, а сольётся с прямой CD, которая является граничной линией области решений.

Все точки отрезка CD дают одно и то же значение функции цели, которое и служит её оптимальным значением: . Следовательно, имеется не одно, а бесчисленное множество оптимальных решений, совпадающих с точками отрезка CD, в частности, с двумя угловыми точками C и D. Этот пример показывает, что в некоторых случаях единственность оптимального решения нарушается.

На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом.

Напоследок следует заметить, что строить многогранник решений можно и другим способом, отличающимся о того, который мы рассматривали. А именно: можно не искать точки пересечения прямых с осями координат, а искать точки пересечения прямых. Для этого последовательно решаются системы из двух уравнений, так, чтобы решениями были точки пересечения всех прямых. Полученные точки и будут вершинами многогранника решений. Этот способ иногда бывает удобным в случаях, когда точки пересечения прямых с осями координат — дробные числа и, неправильно отложив точку пересечения, можно получить ошибку и в поиске точек пересечения самих прямых.

Начало темы «Линейное программирование»

Поделиться с друзьями

Графический метод — линейное программирование

Описание метода

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1)   ;
(1.2)  
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)  
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)  
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1)   .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3)   .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида — 10 м, третьего вида — 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В — 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
  и   .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:


Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П1.1)   .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую   (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.

Пример отсутствия решения

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1)   .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Графическое решение задач линейного программирования

1. Графическое решение задач линейного программирования

LOGO
Задача линейного программирования с
двумя неизвестными может быть решена
графически
Замечание:
К такой форме может быть сведена и каноническая задача (с
ограничениями в виде уравнений), когда число переменных n
больше числа уравнений m на 2
Пусть задача линейного программирования
задана в виде:
Алгоритм графического решения ЗЛП
1. Построить область допустимых решений
(ОДР) в системе координат, заданную системой
ограничений
Алгоритм графического решения ЗЛП
2. Построить градиент целевой функции
F = с1х1+с2х2
(вектор нормали к прямой с1х1+с2х2 = F)
Алгоритм графического решения ЗЛП
3. Построить опорную прямую,
перпендикулярную вектору нормали – линию
уровня целевой функции
Алгоритм графического решения ЗЛП
4. Перемещая опорную прямую в направлении вектора
нормали, определить «точку входа» и «точку выхода»
(первая встретившаяся опорной прямой точка из ОДР и
последняя встретившаяся опорной прямой точка из ОДР
соответственно)
В точке входа: F min
В точке выхода: F max
Алгоритм графического решения ЗЛП
5. Определить координаты оптимальной точки
(точки входа или точки выхода) и найти значение
целевой функции в ней
Замечание:
Оптимальная точка
является угловой точкой
выпуклой области
допустимых решений
Частные случаи
Минимальное значение целевая функция
достигает в точке В: Fmin = F(B)
Максимальное значение: Fmax =
Частные случаи
Минимальное значение целевая функция
достигает в точке E: Fmin = F(E)
Максимальное значение целевая функция
достигает во всех точках отрезка ВС :
Fmin = F(B)= F(C)
Решить графически ЗЛП
Решить графически ЗЛП
1. Построим область допустимых решений,
заданную системой неравенств
(см. презентацию Геометрический смысл линейного
неравенства)
Решить графически ЗЛП
2. Построим вектор нормали N(3;4) и
перпендикулярную ему опорную прямую
Решить графически ЗЛП
Файл 04_model_01.ggb
3. Перемещаем опорную прямую в направлении
вектора нормали и определяем «точку выхода»
В – точка выхода
Решить графически ЗЛП
4. Найдем координаты точки В, как точки
пересечения прямых (1) и (3)
Решить графически ЗЛП
4. Найдем координаты точки В, как точки
пересечения прямых (1) и (3):
Решить графически ЗЛП
5. Найдем значение целевой функции в точке В
Решить графически ЗЛП
Ответ:
Литература
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Исследование
операций в экономике. — М.: ЮНИТИ, 2003. 407 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах.
Часть 1. — М.: Высшая школа, 1986. – C.271-274

Лабораторная работа № 1 Решение задачи линейного программирования графическим методом

Цель: научиться решать задачи линейного программирования графическим методом; уметь давать экономическую интерпретацию полученного решения.

Теоретическая часть

Задача

Найти X1 и X2 удовлетворяющие системе неравенств:

(37)

условиям неотрицательности: X1≥0, X2≥0, (38)

для которых функция: R=C1X1+C2X2 (39)

достигает максимума.

Решение.

Построим в системе прямоугольных координат Х1ОХ2 область допустимых решений задачи. Для этого, заменяя каждое из неравенств (37) равенством, строим соответствующую ему граничную прямую ai1x1+ai2x2≤bi (i=1,2,…,r) (рис.17).

рис. 17

Эта прямая делит плоскость Х1ОХ2 на две полуплоскости, для координат X1, X2 любой точки А одной полуплоскости выполняется неравенство: ai1x1+ai2x2≤bi , а для координат X1, X2 любой точки В другой полуплоскости противоположное неравенство: ai1x1+ai2x2≥bi .

Координаты любой точки граничной прямой удовлетворяют уравнению:

ai1x1+ai2x2=bi .

Для определения, по какую сторону от граничной прямой располагается полуплоскость, соответствующая заданному неравенству, достаточно «испытать» одну какую-либо точку (проще всего точку О (0,0 )). Если при подстановке ее координат в левую часть неравенства оно удовлетворяется, то полуплоскость обращена в сторону к испытуемой точке, если же неравенство не удовлетворяется, то соответствующая полуплоскость обращена в противоположную сторону. Направление полуплоскости показывается на чертеже (рис.17) штриховкой.

Неравенствам X1≥0 и X2≥0 также соответствуют полуплоскости, расположенные справа от оси ординат и над осью абсцисс.

На рисунке строим граничные прямые и полуплоскости, соответствующие всем неравенствам.

Общая часть (пересечение) всех этих полуплоскостей будет представлять собой область допустимых решений данной задачи. При построении области допустимых решений в зависимости от конкретного вида системы ограничений (неравенств) на переменные может встретиться один из четырех случаев (рис.18):

Область допустимых решений пустая, что соответствует несовместности системы неравенств; решения нет.

Область допустимых решений изображается одной точкой А, что соответствует единственному решению системы.

Область допустимых решений ограниченная, изображается в виде выпуклого многоугольника. Допустимых решений множество.

Область допустимых решений неограниченная, в виде выпуклой многоугольной области. Допустимых решений множество

Рис.18

Графическое изображение целевой функции R=C1X1+C2X2 при фиксированном значении R определяет прямую, а при изменении R — семейство параллельных прямых с параметром R.

Вектор, перпендикулярный ко всем этим прямым, показывает направление возрастания R .

Для всех точек, лежащих на одной из прямых, функция R принимает одно определенное значение, поэтому указанные прямые называются линиями уровня для функции R (рис.19).

Рис.19.

Задача отыскания оптимального решения системы неравенств (37), для которого целевая функция R (39) достигает максимума, геометрически сводится к определению в области допустимых решений точки, через которую пройдет линия уровня, соответствующая наибольшему значению параметра R.

Если область допустимых решений есть выпуклый многоугольник» то экстремум функции R достигается по крайней мере в одной из вершин этого многоугольника.

Если экстремальное значение R достигается в двух вершинах, то же экстремальное значение достигается в любой точке на отрезке, соединяющем эти две вершины. В этом случае говорят, что задача имеет альтернативный оптимум.

В случае неограниченной области экстремум функции R либо не существует, либо достигается в одной из вершин области, либо имеет альтернативный оптимум.

Пример.

Найти X1 и X2 , удовлетворяющие системе неравенств:

(40)

условиям неотрицательности: X1≥0, X2≥0, для которых функция R=2X1+3X2 достигает максимума.

Решение.

1. Заменим каждое из неравенств равенством и построим граничные прямые (рис.20)

рис.20

2. Определим полуплоскости, соответствующие данным неравенствам (40) путем «испытания» точки (0,0). Покажем направления полуплоскостей штриховкой (рис .21). С учетом неотрицательности X1 и Х2 получим область допустимых решений данной задачи в виде выпуклого многоугольника ОАВДЕ.

рис.21

3. В области допустимых решений находим оптимальное решение, строя вектор который показывает направление возрастания R (рис.21).

Оптимальное решение соответствует точке В, координаты которой можно определить либо графически, либо путем совместного решения двух уравнений, соответствующих граничным прямым АВ и ВД, т.е.

Х1 — Х2 = -4 ,

X1 + Х2 = 8 .

Ответ: X1=2, X2 = 6, Rmax=22.

Практическая часть

Номер варианта заданий соответствует списочному номеру студента

Задание № 1. Решить графически задачу линейного программирования

Вариант 1

Решить графически ЗЛП: Z = 4х1 + 6х2  min (max)

1 + х2  9

х1 +2х2  8

х1 + 6х2  12

х1 0, х2 0

Вариант 2

Решить графически ЗЛП: Z = 3х1 + 3х2  max (min)

х1 + х2  8

1 – х2  1

х1 –2х2  2

х1  0, х2  0

Вариант 3

Решить графически ЗЛП: F(x) = 2x1 – 5x2 → min(max)

х1 + 2х210

х1 + 2х22

1 + х210

х10, х20

Вариант 4

Решить графически ЗЛП: Z = x1 – 10x2 → min(max)

х1 – 0,5х2 ≥ 0

х1 – 5х2 ≥ 0

хi  0, i = 1,2.

Вариант 5

Решить графически ЗЛП: Z= — 2x1 + 5x2 → min(max)

1 + 2х2 ≥ 14

1 +6х2 ≤ 3

1 + 8х2 ≥ 2

хi  0, i = 1,2

Вариант 6

Решить графически ЗЛП: Z = 3х1 + х2  max(min)

х1 + х2  8

1 – х2  1

х1 –2х2  2

х1  0, х2  0

Вариант 7

Решить графически ЗЛП: Z = 2х1 + 3х2  max(min)

1 + 3х2  6

х1 + х2  1

х1  0, х2  0

Вариант 8

Решить графически ЗЛП: Z = 2х1 + 3х2  max(min)

1 + 2х2  6

х1 + 4х2  4

х1  0, х2  0

Вариант 9

Решить графически ЗЛП: Z = х1 + 3х2  max(min)

х1 + 4х2  4

х1 + х2  6

х2  2

х1  0, х2  0

Вариант 10

Решить графически ЗЛП: Z = 3х1 – 4х2  max(min)

х1 – 2х2  6

х1 + 2х2  0

х1  6

х1  0, х2  0

Вариант 11

Решить графически ЗЛП: Z = — 2х1 + 5х2  max(min)

1 + 2х2  14

1 + 8х2  24

1 + 6х2  30

х1  0, х2  0

Вариант 12

Решить графически ЗЛП: Z = 3х1 – 2х2  max(min)

1 + 2х2  14

— х1 + 2х2  2

1 + 10х2  28

х1  0, х2  0

Вариант 13

Решить графически ЗЛП: Z = 2х1 – 10х2  max(min)

х1 – х2  0

х1 – 5х2  — 5

х1  0, х2  0

Вариант 14

Решить графически ЗЛП: Z = х1 – 10х2  max(min)

х1 – х2  0

х1 – 5х2  — 5

х1  0, х2  0

Вариант 15

Решить графически ЗЛП: Z = х1 + х2  max(min)

х1 + 2х2  10

х1 + 2х2  2

1 + х2  10

х1  0, х2  0

Задание № 2. Составить экономико-математическую модель задачи. Решить задачу геометрически. Дать экономический анализ.

Графический метод решения задач линейного программирования – Ещегодник

# Первый график

x1<- (-100:500)/10
old<-par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-10, 50),ylim = c(-10, 50),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
polygon(c(0,0,10,20,22),c(12,33,30,20,12), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-10,10,20,30,40))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-10,10,20,30,40))
arrows(-10.5,0,51,0,angle=15)
arrows(0,-10.5,0,51,angle=15)
lines(x1,(330-3*x1)/10,col="blue")
text(30,30,expression(3*х[1]+10*х[2]==330),cex=0.8,col="blue")
lines(x1,(400-16*x1)/4,col="red")
text(20,45,expression(16*х[1]+4*х[2]==400),cex=0.8,col="red")
lines(x1,(240-6*x1)/6,col="green")
text(8,40,expression(6*х[1]+6*х[2]==240),cex=0.8,col="green")
abline(h=12)
lines(x1,(-25*x1)/35,lty=3,lwd=3)
text(-5,5,expression(2500*х[1]+3500*х[2]==0),cex=0.8)
arrows(0,0,12.5,17.5)
lines(x1,(130000-2500*x1)/3500,lty=2,lwd=3)
text(35,20,expression(2500*х[1]+3500*х[2]==130000),cex=0.8)
points(10,30,cex=1.5,col="red",pch=19)


# Второй график

x1<- (-50:50)/10
old<-par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-5, 5),ylim = c(-5, 5),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
polygon(c(-8,-8,8),c(9,-8,-7), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
arrows(-5.5,0,5.5,angle=15)
arrows(0,-5.5,0,5.5,angle=15)
abline(1,-1)
text(-3,2,expression(х[1]+х[2]<=1),col="black")
text(5,0.5,expression(х[1]),col="black")
text(0.5,5,expression(х[2]),col="black")
# Третий график

x1<- (-50:50)/10
old<-par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-5, 5),ylim = c(-5, 5),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
polygon(c(-8,8,8),c(-7,9,-8), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
arrows(-5.5,0,5.5,angle=15)
arrows(0,-5.5,0,5.5,angle=15)
abline(1,1)
text(2,-3,expression(х[1]+х[2]<=1),col="black")
text(5,0.5,expression(х[1]),col="black")
text(0.5,5,expression(х[2]),col="black")
# Четвертый график
x1<- (-50:50)/10
old<-par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-5, 5),ylim = c(-5, 5),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
polygon(c(-8,-8,8),c(-9,9,7), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
arrows(-5.5,0,5.5,angle=15)
arrows(0,-5.5,0,5.5,angle=15)
abline(-1,1)
text(-2,1,expression(х[1]-х[2]<=1),col="black")
text(5,0.5,expression(х[1]),col="black")
text(0.5,5,expression(х[2]),col="black")
# Первый график

x1<- (-100:500)/10
old<-par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-10, 50),ylim = c(-10, 50),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
polygon(c(0,0,10,20,22),c(12,33,30,20,12), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-10,10,20,30,40))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-10,10,20,30,40))
arrows(-10.5,0,51,0,angle=15)
arrows(0,-10.5,0,51,angle=15)
lines(x1,(330-3*x1)/10,col="blue")
text(30,30,expression(3*х[1]+10*х[2]==330),cex=0.8,col="blue")
lines(x1,(400-16*x1)/4,col="red")
text(20,45,expression(16*х[1]+4*х[2]==400),cex=0.8,col="red")
lines(x1,(240-6*x1)/6,col="green")
text(8,40,expression(6*х[1]+6*х[2]==240),cex=0.8,col="green")
abline(h=12)
lines(x1,(-25*x1)/35,lty=3,lwd=3)
text(-5,5,expression(2500*х[1]+3500*х[2]==0),cex=0.8)
arrows(0,0,12.5,17.5)
lines(x1,(130000-2500*x1)/3500,lty=2,lwd=3)
text(35,20,expression(2500*х[1]+3500*х[2]==130000),cex=0.8)
points(10,30,cex=1.5,col="red",pch=19)


# Второй график

x1<- (-50:50)/10
old<-par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-5, 5),ylim = c(-5, 5),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
polygon(c(-8,-8,8),c(9,-8,-7), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
arrows(-5.5,0,5.5,angle=15)
arrows(0,-5.5,0,5.5,angle=15)
abline(1,-1)
text(-3,2,expression(х[1]+х[2]<=1),col="black")
text(5,0.5,expression(х[1]),col="black")
text(0.5,5,expression(х[2]),col="black")
# Третий график

x1<- (-50:50)/10
old<-par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-5, 5),ylim = c(-5, 5),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
polygon(c(-8,8,8),c(-7,9,-8), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
arrows(-5.5,0,5.5,angle=15)
arrows(0,-5.5,0,5.5,angle=15)
abline(1,1)
text(2,-3,expression(х[1]+х[2]<=1),col="black")
text(5,0.5,expression(х[1]),col="black")
text(0.5,5,expression(х[2]),col="black")
# Четвертый график
x1<- (-50:50)/10
old<-par(mar=c(1,1,1,1))
plot(0,type="n",xlab="",ylab="", xlim=c(-5, 5),ylim = c(-5, 5),bty="n",xaxt="n",yaxt="n")
polygon(c(-8,-8,8),c(-9,9,7), col = "lightblue", border = NA)
axis(1,pos=c(0,0),at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
axis(2,pos=c(0,0),las=2,at=c(-4,-3,-2,-1,1,2,3,4))
arrows(-5.5,0,5.5,angle=15)
arrows(0,-5.5,0,5.5,angle=15)
abline(-1,1)
text(-2,1,expression(х[1]-х[2]<=1),col="black")
text(5,0.5,expression(х[1]),col="black")
text(0.5,5,expression(х[2]),col="black")

1 Найти решение задачи линейного программирования графическим методом

1. Найти решение задачи линейного программирования графическим методом.
2. Провести анализ чувствительности оптимального решения задачи.
.
(1)
1. Определим область допустимых решений задачи, то есть решим графически систему неравенств (1). Штриховкой обозначены полуплоскости, являющиеся решением каждого из неравенств.
Область допустимых значений – это пересечение множеств решений, то есть выпуклый четырехугольник .
Построим линию уровня целевой функции .
Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции , указывает направление возрастания. Двигаем линию уровня параллельно себе до выхода из области допустимых решений.
Из графика видно, что целевая функция достигает максимума, когда линия уровня проходит через точку .
Точка – это пересечение прямых и .
Решая систему

находим ее координаты: .
При этом целевая функция достигает максимума .
при .
352425000
Анализ чувствительности оптимального решения к изменению параметров.
1. Изменение коэффициентов целевой функции.
В общем виде целевую функцию задачи ЛП можно записать следующим образом:
Максимизировать или минимизировать .
Изменение значений коэффициентов  и  приводит к изменению угла наклона прямой . Существует интервалы изменения коэффициентов  и , когда текущее оптимальное решение сохраняется. Необходимо определить интервал оптимальности для отношения (или и ).
В данной задаче оптимальное решение соответствует точке – пересечение прямых и . При изменении коэффициентов и точка останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона линии будет лежать между углами наклона этих двух прямых.
Угловой коэффициент целевой функции :
(при условии ).
Угловой коэффициент прямой .
Угловой коэффициент прямой .
Угловой коэффициент меняет знак, нужно рассмотреть 2 случая.
При получаем интервал оптимальности
или
при .
При получаем интервал оптимальности
или
при .
При целевая функция принимает вид – вертикальная прямая. Условие сохранения оптимальности решения , откуда .
При целевая функция принимает вид – горизонтальная прямая, не является оптимальным решением в точке .
Практический смысл имеет нахождение интервала оптимальности одного из коэффициентов при фиксированном другом.
Зафиксируем значение (исходное значение). Тогда границы интервала оптимальности определим из условия равенства углам наклона прямым и .
и ; ;
и ; ; .
То есть, при оптимальное решение не изменится при .
Аналогично, при фиксированном допустимые значения .
2. Анализ чувствительности решения к изменению правой части ограничений.
Перепишем условие задачи:
.

Данная работа не уникальна. Ее можно использовать, как базу для подготовки к вашему проекту.

Точка оптимального решения – пересечение прямых и , поэтому ограничения (I) и (II) являются связывающими, (III) и (IV) – несвязывающие.
Выясним, насколько можно увеличить запас ресурса М1, чтобы улучшить полученное оптимальное решение.
0-127000
Из рисунка видно, что прямую можно перемещать параллельно себе до точки Е. Треугольник становится областью допустимых решений. При дальнейшем перемещении это ограничение становится избыточным, то есть не влияющим на оптимальное решение.
Точка Е – пересечение прямых и . Найдем ее координаты, решая систему
.
Значение М1 в точке Е: .
При этом значение целевой функции .
Перемещая прямую в другую сторону, находим, что ОДР (область допустимых решений) стягивается в точку D, которая определяет нижнюю границу интервала осуществимости для ресурса М1.
Координаты точки D – решение системы
.
Значение М1 в точке В: .
При этом значение целевой функции .
В условии задачи нет требования неотрицательности целевой функции, поэтому такое решение является допустимым.
Определим влияние ограничения М2 на оптимальное решение.

Из рисунка видно, что прямую можно перемещать в направлении градиента целевой функции до точки F, при этом ОДР – четырехугольник .
F – это точка пересечения прямой с осью , ее координаты .
При этом .
Значение целевой функции .
Найдем значение М2, при котором еще существует

Решение:

.
Для М2: .
И последнее. Определим влияние несвязывающих ограничений (III) и (IV) на оптимальное решение.

Из рисунка находим, что прямую (ограничение (III)) можно перемещать вниз до точки , при этом оптимальное решение не изменится.
Тогда значение (правая часть неравенства III).
Перемещение прямой в другую сторону не влияет на оптимальное решение.
Аналогично, прямую (ограничение (IV)) можно переместить параллельным переносом до точки .
Тогда значение (правая часть неравенства IV).
3. Выводы.
1. Решение ЗЛП
при ограничениях
существует.
при .
2. Существуют интервалы оптимальности коэффициентов целевой функции (не изменяющие полученного оптимального решения)
При оптимальное решение не изменится при .
При фиксированном допустимые значения .
3. При увеличении значения ограничения (I) до М1=12,2 максимальное значение целевой функции увеличится до .
Ценность ресурса М1 выше ценности ресурса М2, то есть изменение количества ресурсов на одну единицу приводит к большему увеличению целевой функции в первом случае.
.

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Ваулина В. А., УрГЭУ Пример решения задачи линейного программирования графическим методом Линейное программирование — это раздел математики, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями. Существуют два наиболее распространенных способа решения задач линейного программирования: графический метод и симплекс-метод. Графический метод существенно нагляднее и обычно проще для понимания решения. Также этот метод позволяет практически одновременно найти решение на минимум и максимум. Основные шаги по решению ЗПЛ графическим методом следующие: построить область допустимых решений задачи (выпуклый многоугольник), который определяется как пересечение полуплоскостей, соответствующих неравенствам задачи, построить линию уровня целевой функции, и, наконец, двигать линию уровня в нужном направлении, пока не достигнем крайней точки области — оптимальной точки (или множества). В отличие от графического метода, симплексный метод практически не имеет ограничений на задачу, может быть любое количество переменных и т.п. При решении задачи симплексным методом вычисления ведутся в таблицах. Решение задачи данным методом дает не только оптимальное решение, но и решение двойственной задачи, остатки ресурсов и т.п. Рассмотрим решение задачи линейного программирования графическим методом. Для производства столов и стульев мебельная фабрика использует три вида древесины. Норма затрат для каждого вида древесины на один стол составляет 1; 2; 5; на один стул – 1; 5; 2. Запасы древесины – 150; 600; 600. Прибыль от реализации одного стола – 200р, одного стула – 100р. Составить оптимальный план производства, обеспечивающий максимальную прибыль. Решение. Составим математическую модель задачи. Пусть Х — столы, У — стулья, I,II,III – виды древесины соответственно. I II III Прибыль X 1 2 5 200 Y 1 5 2 100 150 600 600 Общий запас Составим неравенства по полученной таблице: { x 1+ x2 ≤150, 2 x 1+5 x 2 ≤600, 5 x 1 +2 x 2 ≤600, x1,2 ≥ 0. } F ( x )=200 x 1+100 x 2 → max Применим описанные выше шаги решения. Построим область допустимых решений. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 200×1+100×2 → max и построим вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции. Так как нас интересует максимальное решение, то опорную прямую двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. Получаем оптимальную точку D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x1+x2=150 5×1+2×2=600 Решив систему уравнений, получим: x1 = 100, x2 = 50 Откуда найдем максимальное значение целевой функции: F(X) = 25000. На примере данной задачи мы рассмотрели решение задачи линейного программирования графическим методом. Этот метод наглядно показывает область дополнительных решений и нахождение оптимальной точки. Руководитель: Кныш А.А.

3.2a. Графическое решение задач линейного программирования

Разве не было бы хорошо, если бы мы могли просто производить и продавать бесконечно много единиц продукта и, таким образом, зарабатывать бесконечные деньги? В бизнесе (и в повседневной жизни) мы знаем, что не можем просто сделать что-то, потому что имело бы смысл (необоснованно) достичь нашей цели. Вместо этого мы надеемся максимизировать или минимизировать какое-то количество с учетом набора ограничений.

Подумайте об этом: вы путешествуете из Чендлера, штат Аризона, в Сан-Диего, штат Калифорния.Вы надеетесь добраться туда как можно быстрее, а значит, стремитесь минимизировать время в пути. В то же время на определенных отрезках пути вы столкнетесь с большей или меньшей загруженностью, вам нужно будет остановиться на бензин хотя бы один раз (если вы не управляете гибридным автомобилем), и, если у вас есть дети, вы определенно нужно остановиться на перерыв в туалете. Хотя мы упомянули лишь некоторые из них, это все
ограничений — вещи, которые ограничивают вас в вашей цели добраться до пункта назначения за как можно меньшее время.

Графическое решение задач линейного программирования

Задача линейного программирования включает ограничения, содержащие неравенства. Неравенство
обозначается знакомыми символами <,>, [latex] \ le [/ latex] и [latex] \ ge [/ latex]. Из-за трудностей со строгими неравенствами (<и>) мы сосредоточимся только на [латексе] \ le [/ latex] и [латексе] \ ge [/ latex].

Чтобы иметь задачу линейного программирования, мы должны иметь:

  • Ограничения неравенства
  • Целевая функция , то есть функция, значение которой мы либо хотим быть как можно большим (хотим максимизировать) или как можно меньше (хотим минимизировать).

Пример 1

Авиакомпания предлагает билеты на автобусы и билеты первого класса. Чтобы авиакомпания была прибыльной, она должна продать не менее 25 билетов первого класса и не менее 40 билетов на автобусы. Компания получает прибыль в размере 225 долларов с каждого билета на автобус и 200 долларов с каждого билета в первый класс. Максимум самолет вмещает 150 пассажиров. Сколько билетов нужно продать, чтобы получить максимальную прибыль?

Решение

Первый шаг — определить неизвестные количества.Нас просят найти номер каждого билета, который следует продать. Поскольку есть автобусные билеты и билеты первого класса, мы идентифицируем их как неизвестные. Пусть,

x = количество автобусных билетов

y = количество билетов первого класса

Далее нам нужно определить целевую функцию. Вопрос часто помогает нам определить целевую функцию. Поскольку целью является получение максимальной прибыли, наша цель определена.

Прибыль на автобусные билеты — 225 долларов.Если проданы автобусные билеты
x , общая прибыль по этим билетам составит 225x.

Прибыль на билеты первого класса — 200 долларов. Аналогично, если продано
лет билетов первого класса, общая прибыль по этим билетам составит 200 лет.

Общая прибыль, P , составляет

P = 225 x + 200 y

Мы хотим сделать значение
как можно большим при соблюдении ограничений. В этом случае у нас есть следующие ограничения:

  • Продать не менее 25 билетов первого класса
  • Продать не менее 40 билетов на автобус
  • Продается не более 150 билетов (в самолет может поместиться не более 150 человек)

Нам нужно их количественно оценить.

  • Минимум 25 билетов первого класса означает, что нужно продать 25 и более. То есть y [латекс] \ ge [/ latex] 25
  • Не менее 40 билетов на автобус означает, что нужно продать 40 или более билетов. То есть x [латекс] \ ge [/ latex] 40
  • Сумма билетов первого класса и автобусов должна быть не более 150. То есть x + y [латекс] \ le [/ latex] 150

Таким образом, целевая функция вместе с тремя математическими ограничениями составляет:

Цель Функция: P = 225 x + 200 y

Ограничения: y [латекс] \ ge [/ latex] 25; x [латекс] \ ge [/ латекс] 40; x + y [латекс] \ le [/ латекс] 150

Мы будем работать над графическим представлением этих ограничений, а затем вернемся к целевой функции.Таким образом, мы будем иметь дело со следующим графиком:

Обратите внимание, что нас интересует только первый квадрант, поскольку у нас не может быть отрицательных билетов.

Сначала мы построим каждое из неравенств в виде уравнений, а затем позаботимся о знаках неравенства. То есть первый участок,

x = 25

y = 40

x + y = 150

Первые два уравнения представляют собой горизонтальные и вертикальные линии соответственно.Чтобы построить график x + y = 150, желательно найти горизонтальные и вертикальные пересечения.

Чтобы найти точку пересечения по вертикали, положим
x = 0:
y = 150

Ставим нам точку (0,150)

Чтобы найти точку пересечения по горизонтали, положим
y = 0:
x = 150

Ставить нам точку (150,0)

Построение всех трех уравнений дает:

Наша следующая задача — учесть неравенства.

Сперва мы спрашиваем, когда же y [latex] \ ge [/ latex] 25? Поскольку это горизонтальная линия, проходящая с по , значение y , равное 25, все, что находится выше этой линии, представляет собой значение больше 25. Мы обозначаем это штриховкой над линией:

Это говорит нам о том, что любая точка в области, заштрихованной зеленым цветом, удовлетворяет ограничению
y [latex] \ ge [/ latex] 25.

Далее имеем дело с
х [латекс] \ ge [/ латекс] 40.Мы спрашиваем, когда значение x больше 40? Значения слева меньше 40, поэтому мы должны закрасить вправо, чтобы получить значения больше 40:

Синяя область удовлетворяет второму ограничению, но поскольку мы должны удовлетворить
всем ограничениям , достаточно будет только зеленой и синей области.

У нас есть еще одно ограничение, которое следует учитывать:
x + y [latex] \ ge [/ latex] 150. У нас есть два варианта: оттенок ниже или оттенок сверху.Чтобы помочь нам лучше понять, что на самом деле нам нужно заштриховать ниже линии , давайте рассмотрим упорядоченную пару в обоих регионах. Выбор упорядоченной пары над линией, например (64, 130), дает:

64 + 130 [латекс] \ ge [/ латекс] 150

Это ложное утверждение, поскольку 64 + 130 = 194, значение больше 150.

Согласно графику, точка (64, 65) находится ниже графика. Ввод этой пары дает выписку:

64 + 65 [латекс] \ ge [/ латекс] 150

Это верное утверждение, поскольку 64 + 65 равно 129, то есть меньше 150.

Поэтому ниже линии штрихуем:

Область, в которой пересекаются зеленый, синий и фиолетовый оттенки, удовлетворяет всем трем ограничениям. Эта область известна как возможных областей , поскольку этот набор точек возможен с учетом всех ограничений. Мы можем проверить, что точка, выбранная в этой области, удовлетворяет всем трем ограничениям. Например, выбор (64, 65) дает:

64 [латекс] \ ge [/ латекс] 40 ИСТИНА

65 [латекс] \ ge [/ латекс] 25 ИСТИНА

64 + 65 [латекс] \ ge [/ латекс] 150 ИСТИНА

Это подводит нас к важному моменту, но все еще не дает ответа на вопрос:
какая точка максимизирует прибыль? К счастью, математики открыли теорему, которая позволяет нам ответить на этот вопрос.

Прежде всего, мы определяем новый термин: угловая точка — это точка, которая попадает в угол допустимой области. В нашей ситуации у нас есть три угловые точки, показанные на графике сплошными черными точками:

Целевая функция вместе с тремя угловыми точками выше образует ограниченную задачу линейного программирования . То есть представьте, что вы смотрите на три столба забора, соединенные ограждением (черная точка и линии соответственно). Если бы вы поместили свою собаку посередине, вы могли быть уверены, что она не убежит (при условии, что забор достаточно высокий).Если это так, то перед вами проблема ограниченного линейного программирования. Если бы собака могла бесконечно ходить в любом одном направлении, тогда проблема была бы безграничной.

Основная теорема линейного программирования

  1. Если решение задачи ограниченного линейного программирования существует, то оно возникает в одной из угловых точек.
  2. Если допустимая область неограничена, то максимальное значение целевой функции не существует.
  3. Если допустимая область неограничена, а целевая функция имеет только положительные коэффициенты, то существует минимальное значение

Это означает, что мы должны выбрать одну из трех угловых точек.Чтобы проверить «победителя», мы должны увидеть, какая из этих трех точек максимизирует целевую функцию. Чтобы найти угловые точки в виде упорядоченных пар, мы должны решить три системы, состоящие из двух уравнений в каждой:

Система 1

x = 40

x + y = 150

Система 2

x = 40

y = 25

Система 3

y = 25

x + y = 150

Мы можем решить, используя матричные уравнения, но все эти уравнения достаточно просты, чтобы их можно было решить вручную:

Система 1

(40) + y = 150

y = 110

Пункт: (40,110)

Система 2

Балл уже начислен

Балл: (40,25)

Система 3

x + 25 = 150

x = 125

Балл: (125,25)

Мы тестируем каждую из этих трех точек в целевой функции:

Точка Прибыль
(40,110) 225 (40) + 200 (110) = 31 000 долларов США
(40,25) 225 (40) + 200 (25) = 14 000 долларов США
(125,25) 225 (125) + 200 (25) = 33 125 долл. США

Третья точка (125,25) максимизирует прибыль.Таким образом, мы приходим к выводу, что авиакомпания должна продать 125 автобусных билетов и 25 билетов первого класса, чтобы максимизировать прибыль.

Приведенный выше пример был довольно длинным и требовал выполнения многих шагов. Резюмируем процедуру ниже:

Графическое решение задачи линейного программирования

  1. Определите переменные для оптимизации. Заданный вопрос является хорошим индикатором того, что это будет.
  2. Запишите целевую функцию словами, затем преобразуйте ее в математическое уравнение
  3. Запишите ограничения словами, затем преобразуйте их в математические неравенства
  4. Изобразите зависимости в виде уравнений
  5. Заштриховать возможные области с учетом знака неравенства и его направления.Если,

а) Вертикальная линия

[латекс] \ le [/ latex], затем растушевываем налево

[латекс] \ ge [/ latex], затем заштрихуйте вправо

б) Горизонтальная линия

[латекс] \ le [/ latex], затем оттенок ниже

[латекс] \ ge [/ latex], затем оттенок выше

c) Линия с ненулевым заданным наклоном

[латекс] \ le [/ латекс], оттенок ниже

[латекс] \ ge [/ латекс], оттенок выше

6. Определите угловые точки, решив системы линейных уравнений, пересечение которых представляет собой угловую точку.

7. Проверьте все угловые точки целевой функции. «Выигрышная» точка — это точка, которая оптимизирует целевую функцию (наибольшая, если максимизация, наименьшая, если минимизация)

Есть один случай, в котором мы должны проявлять большую осторожность. Сначала рассмотрим (истинное) неравенство,

5> 3

Предположим, мы должны разделить обе части на –1. Было бы верно сказать следующее?

[латекс] \ displaystyle \ frac {{5}} {{- {1}}} \ gt \ frac {{3}} {{- {1}}} [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle- {5} \ gt- {3} [/ latex]

Понятно, что –5 не больше –3! Чтобы утверждение оставалось верным, мы должны изменить направление знака неравенства так, чтобы,

–5 <–3

По числовой прямой ниже видно, что два набора чисел симметричны относительно 0, за исключением того, что мы описываем размер противоположным образом.Это оправдывает то, что мы также должны использовать противоположный знак, когда мы отражаем значения по другую сторону от 0.

Смена знака неравенства

При умножении / делении любого неравенства на –1 направление неравенства должно измениться.

Пример 2

Компания по производству здорового питания хотела бы создать смесь сухофруктов с высоким содержанием калия в виде коробки из 10 фруктовых батончиков. Он решает использовать сушеные абрикосы, которые содержат 407 мг калия на порцию, и сушеные финики, содержащие 271 мг калия на порцию (ИСТОЧНИК: www.thepotassiumrichfoods.com).

Компания может покупать фрукты через
www.driedfruitbaskets.com оптом по разумной цене. Сушеные абрикосы стоят 9,99 доллара за фунт. (около 3 порций) и сушеные финики стоят 7,99 доллара за фунт. (около 4 порций). Компания хотела бы, чтобы в упаковке батончиков было по крайней мере рекомендованное суточное потребление калия около 4700 мг, но хотелось бы, чтобы оно не превышало рекомендуемого суточного потребления вдвое. Сколько порций каждого сухофрукта должно поместиться в коробку батончиков, чтобы минимизировать затраты?

Решение

Начнем с определения переменных.Пусть,
x = количество порций кураги

y = количество порций сушеных фиников

Теперь мы работаем над целевой функцией.

Для абрикосов один фунт составляет 3 порции. Это означает, что стоимость одной порции составляет 9,99 доллара США / 3 = 3,33 доллара США. Таким образом, стоимость порций
x составит 3,33 x .

Для фиников есть 4 порции на фунт. Это означает, что стоимость одной порции составляет 7,99 доллара США / 4
2 доллара США. Таким образом, стоимость порций и составит 2.00 и .

Общая стоимость абрикосов и фиников составит

.

C = 3,33 x + 2,00 y

У нас есть два основных ограничения (в дополнение к ограничениям, что
x [latex] \ ge [/ latex] 0
и y [latex] \ ge [/ latex] 0, учитывая, что отрицательные порции не могут быть использованы ):

  • Продукт должен содержать не менее 4700 мг калия
  • Продукт должен содержать не более 4700 × 2 = 9400 мг калия

Математически,

  • В порциях абрикосов x содержится 407 x мг калия и 271 y мг калия в y порциях фиников.Сумма должна быть больше или равна 4700 мг калия, или 407 x + 271 y [латекс] \ ge [/ latex] 4700
  • Та же сумма должна быть меньше или равна 9400 мг калия, или 407 x + 271 y [латекс] \ le [/ latex] 9400.

Таким образом,

Цель Функция : C = 3,33 x + 2,00 y

При соблюдении ограничений:

407 x + 271 y [латекс] \ ge [/ латекс] 4700

407 x + 271 y [латекс] \ le [/ латекс] 9400

x [латекс] \ ge [/ латекс] 0
y [латекс] \ ge [/ латекс] 0

Мы изобразим ограничения в виде уравнений:

Так как первое неравенство имеет [латекс] \ ge [/ latex], мы должны заштриховать вверху, а так как второе неравенство имеет [латекс] \ le [/ latex], мы должны заштриховать внизу (Эта идея может быть подтверждена выбором точек выше и ниже каждой строки для проверки.):

Возможная область — это участок, заштрихованный зеленым и синим цветом, между двумя линиями. Мы видим, что есть четыре угловые точки, которые образуют перевернутую трапецию, как показано на графике ниже:

Мы должны решить следующие системы, чтобы найти угловые точки (снизу вверх, слева направо)

Система 1

х = 0

407 x + 271 y = 4700

Решение:

0 + 271
y = 4700

y ≈ 17.3

Балл: (0,17.3)

Система 2

x = 0

407 x + 271 y = 9400

Решение:

0 + 271 y = 9400

y ≈ 34,7

Балл: (0,34.7)

Система 3

y = 0

407 x + 271 y = 4700

Решение:

407 x + 0 = 4700

x ≈ 11.5

Балл: (11.5,0)

Система 4

y = 0

407 x + 271 y = 9400

Решение:

407 x + 0 = 9400

x ≈ 23,1

Балл: (23.1,0)

Опять же, мы могли бы решить, используя матричные уравнения, но системы несложно решить с помощью подстановки. Поскольку проблема ограничена, теперь мы проверяем, какая из них минимизирует затраты:

Точка Стоимость
(0,17.3) 33,3 (0) = 2,00 (17,3) = 34,60 доллара США
(0,34,7) 33,3 (0) = 2,00 (34,7) = 69,40 долл. США
(11,5,0) 33,3 (11,5) = 2,00 (0) = 38,30 долл. США
(23,1,0) 33,3 (23,1) = 2,00 (0) = 76,92 долл. США

Самым дешевым способом для компании будет создание батончиков без кураги и 17,3 порции сушеных фиников.

Интересно отметить, что каждая из угловых точек соответствует либо горизонтальному, либо вертикальному пересечению.

Почему мы видим то, что видим? Это действительно случай создания реального продукта! Конечно, нет смысла увеличивать дневную норму для упаковки, так как это будет означать увеличение количества сухофруктов и, следовательно, увеличение стоимости. Поскольку стоимость сушеных фиников дешевле (2 доллара США за порцию) и поскольку по цене одной порции абрикосов (3,33 доллара США за порцию) мы можем заплатить:

[латекс] \ displaystyle \ frac {{{407} {m} {g}}} {{$ {3.33}}} \ приблизительно {122.2} [/ latex] мг на доллар для абрикосов

и

[латекс] \ displaystyle \ frac {{{271} {m} {g}}} {{$ {2.00}}} \ приблизительно {135,5} [/ латекс] мг на доллар для фиников

Совершенно логично покупать финики, так как при той же сумме в долларах выше содержание калия.

Остается вопрос: желательно ли требовать большее количество фиников по меньшей цене или желательно меньшее количество абрикосов по более высокой цене? Это действительно зависит от ограничений. Компания может захотеть рассмотреть объем упаковки / обработки / и т. Д. требуется в обоих случаях.Возможно, затраты на производство и упаковку могут добавить ограничения, которые повлияют на процесс принятия решений. Подобная проблема будет оставлена ​​читателю в качестве домашнего задания.

В качестве математического примечания: то, что мы видим, происходит в результате наличия параллельных линий ограничений.

Есть два термина, с которыми мы должны знать, имея дело с неравенством: ограниченное и неограниченное . Допустимая область называется ограниченной, если ограничения охватывают допустимую область.

То есть, если штриховка не продолжает покрывать всю плоскость, мы имеем дело с проблемой ограниченного линейного программирования.

Оба примера до сих пор были примерами задач ограниченного линейного программирования, поскольку первая допустимая область имела форму треугольника, а вторая — форму трапеции.

Если допустимая область не может быть заключена между линиями, образованными ограничениями, она называется неограниченной. Пример неограниченной задачи линейного программирования:

Пример 3

Отдел кадров работает над повышением стартовой заработной платы для новых административных секретарей и преподавателей местного колледжа.Административный секретарь начинается с 28 000 долларов, а новые преподаватели получают 40 000 долларов. Колледж хотел бы определить процентное увеличение для каждой группы, учитывая, что в следующем учебном году колледж будет нанимать 8 секретарей и 7 преподавателей. Колледж может потратить не более 5000 долларов на прибавку к зарплате. Какой должен быть процент увеличения для каждой группы?

Решение

Наша цель — определить процентное увеличение для административных секретарей и преподавателей, поэтому пусть

x = процентное увеличение для секретарей

y = процентное увеличение для профессорско-преподавательского состава

Колледж хотел бы минимизировать свои общие расходы, поэтому целевая функция должна включать общую сумму оттока денег.Поскольку для новых секретарей потребуется общий бюджет в размере
долларов США × 8 = 224000 долларов США, а для преподавателей — общий бюджет в размере 40000 долларов США × 7 = 280000 долларов США, общая стоимость будет равна проценту повышения для каждой группы, умноженному на общую зарплату:

C = 224x + 280y

Существует одно ограничение: общая сумма рейзов должна быть не более 5000 долларов. То есть

224 x + 280 y [латекс] \ le [/ латекс] 5

Конечно, в колледже не хотят снижать зарплаты, поэтому
x [латекс] \ ge [/ latex] 0 и y [latex] \ ge [/ latex] 0.

Чтобы визуализировать ситуацию, мы изобразим ограничение в виде уравнения. Чтобы помочь нам найти точки, мы сначала находим точки перехвата:

Горизонтальное пересечение:

224 (0) + 280
y = 5
y ≈ 0,018

Пересечение по вертикали

224 x + 280 (0) = 5
x ≈ 0,022

Затем мы наносим точки и соединяем их прямой линией:

Так как знак неравенства [латекс] \ le [/ latex], заштриховываем под линией:

Это дает нам три угловых точки, как показано выше.Мы тестируем каждую, чтобы проверить, какая из пар процентов дает минимальную стоимость:

долларов США
Точка Стоимость
(0,0) 224 (0) + 280 (0) = 0
(0, 0,018) 224 (0) + 280 (0,018) = 5,04 доллара США
(0,020,0) 224 (0,020) + 280 (0) = 4,48 долл. США

Очевидно, что первый вариант дает наименьшую стоимость; однако эта комбинация говорит нам о повышении 0% для обеих групп, что, конечно, нецелесообразно, поскольку цель компании состояла в том, чтобы повысить прибавку для каждой группы.

Почему это произошло и что нам делать, чтобы это исправить? Что ж, когда мы думаем об ограничении тратить 5000 долларов или меньше и надеяться сделать расходы как можно меньшими, разве не имеет смысла сказать «ничего не трать!»? Этот результат будет происходить каждый раз, когда мы минимизируем, имеем ограничения со знаком неравенства
le и когда начало координат включено в допустимую область. Чтобы решить эту проблему, компания должна сделать дополнительные спецификации, например, каков минимальный процент надбавки для каждой группы? Желательно, чтобы один из рейзов был больше другого? Это вопросы, которые аналитик должен обсудить с отделом кадров и администрацией.

1) Решите каждую из следующих задач линейного программирования.

a) Развернуть R = 2 x + 3 y

Согласно
–2 x y [латекс] \ ge [/ latex] –10
x + 3y [латекс] \ ge [/ латекс] 6

x [латекс] \ ge [/ латекс] 0
y [латекс] \ ge [/ латекс] 0

Решение: R = 30 при (0,10)

B) Минимизировать T = 3 x + y

В соответствии с
x + 2 y [латекс] \ ge [/ латекс] 4
x + 3 y [латекс] \ ge [/ латекс] 6

x [латекс] \ ge [/ латекс] 0
y [латекс] \ ge [/ латекс] 0

Решение: R = 2 при (0,2)

2) Правление местной школы утверждает новую программу обучения математике, которая должна быть реализована в ряде начальных школ округа.Деньги на программу будут поступать из двух разных бюджетов: бюджета государственных расходов и бюджета инициатив начальной школы. Правление готово платить по крайней мере половину того, что поступает из бюджета инициативы из своего бюджета государственных расходов. Поскольку эта программа считается инициативой, правительство требует, чтобы не менее 2000 долларов поступало из бюджета местных инициатив. Оба бюджета частично финансируются за счет чрезвычайного федерального финансирования. Для бюджета государственных расходов процентная доля составляет 55% и 23% для бюджета инициатив начальной школы.Чтобы правильно использовать чрезвычайное финансирование, округ хотел бы свести к минимуму использование федеральных долларов. Сколько должно поступать из каждого бюджета?

Решение: x = сумма расходов на публикацию; y = сумма от инициатив начальной школы

Свернуть: C = 0,55x + 0,23y

(1/2) x≥y или {(1/2) x-y≥0}

года ≥2000

х, y≥0

Решение: C = 2660, x = 4000, y = 2000

3) Директор по связям с общественностью гомеопатического врача стремится рекламировать продукцию своей компании на двух разных веб-сайтах: один является поставщиком медицинских запчастей, а другой — электронным журналом о фитнесе (веб-журналом).Веб-сайт поставщиков медицинских запчастей получает в среднем около 1 200 000 посещений в день на страницу, в то время как электронный журнал о фитнесе получает около 2 000 000 посещений в день на страницу. Ежедневная стоимость рекламы составляет 1100 долларов за рекламу и 1600 долларов за рекламу, соответственно. Режиссер хочет как минимум 15 рекламных роликов и может выделить на рекламу до 50 000 долларов. На каждом сайте должно быть размещено минимум 3 объявления. Сколько объявлений следует разместить на каждом веб-сайте, чтобы увеличить потенциальное количество читателей (даже если некоторые зрители видят добавление на разных страницах сайта)?

x = номер на медицинском сайте; y = номер на фитнес-сайте.

Развернуть: R = 1200000x + 2000000y

При условии:

х + у≥15

1100x + 1600y≤50000

x≥3

года ≥3

х, y≥0

Угловые точки R = 1200000x + 2000000y
(3,12) 27 600 000
(12,3) 20 400 000
(3,29,2) 62 000 000
(41.1,3) 55,320,000

Оптимальное решение

См. Другие примеры в следующем разделе.

Графическое решение задач линейного программирования

Линейное программирование — это простейший способ оптимизации задачи. С помощью этого метода мы можем сформулировать реальную проблему в виде математической модели. С помощью линейного программирования мы можем решить огромное количество задач в различных секторах, но обычно оно используется для решения задач, в которых мы должны максимизировать прибыль, минимизировать затраты или минимизировать использование ресурсов.

Типы задач линейного программирования

Существует три основных типа задач, основанных на линейном программировании.Это следующие:

Производственная проблема: В задачах этого типа некоторые ограничения, такие как рабочая сила, количество единиц продукции в час, машинные часы, задаются в форме линейного уравнения. И мы должны найти оптимальное решение, чтобы получить максимальную прибыль или минимальные затраты.

Проблема диеты: Проблемы такого типа обычно легко понять и имеют меньше переменных. Наша главная цель в этом виде проблемы — минимизировать стоимость диеты и сохранить минимальное количество всех компонентов в диете.

Задача транспортировки: В этих задачах мы должны найти самый дешевый способ транспортировки, выбрав кратчайший маршрут / оптимизированный путь.


Некоторые часто используемые термины в задачах линейного программирования:

Целевая функция: Прямая функция формы Z = ax + by, где a и b являются постоянными, которые уменьшаются или увеличиваются, называется целевой функцией. Например, если Z = 10x + 7y. Переменные x и y называются переменной решения.

Ограничения: Ограничения, применяемые к линейному неравенству, называются ограничениями.

  1. Неотрицательные ограничения: x> 0, y> 0 и т. Д.
  2. Общие ограничения: x + y> 40, 2x + 9y ≥ 40 и т. Д.

Задача оптимизации: Задача, направленная на максимизацию или Минимизация переменных задачи линейного неравенства называется задачами оптимизации.

Возможная область: Общая область, определяемая всеми заданными проблемами, включая неотрицательное (x ≥ 0, y ≥ 0) ограничение, называется допустимой областью (или областью решения) проблемы.Область, отличная от допустимой области, известна как недопустимая область.

Возможные решения: Эти точки внутри или на граничной области представляют собой возможные решения проблемы. Любая точка за пределами сценария называется недопустимым решением.

Оптимальное (наиболее возможное) решение: Любая точка в возникающей области, которая обеспечивает нужное количество (максимум или минимум) целевой функции, называется оптимальным решением.

Теоремы задачи линейного программирования

Теорема 1: Рассмотрим Y допустимую область (выпуклый многоугольник) для задачи линейного программирования, т.е.е. Y = ax + by (целевая функция). Итак, когда Y имеет оптимальное значение (максимальное или минимальное), где x и y подчиняются ограничениям, описываемым линейными неравенствами, тогда это оптимальное значение встречается в угловых точках допустимой области, то есть в вершинах.


Теорема 2: Рассмотрим Y как допустимую область для задачи линейного программирования, то есть Y = ax + by (целевая функция). Если X ограничен, то целевая функция Y имеет как максимальное, так и минимальное значение на X, и каждое из них происходит в угловой точке X.

ПРИМЕЧАНИЕ:

  1. Если нам нужно найти максимальный выход, мы должны рассмотреть самые внутренние точки пересечения всех уравнений.
  2. Если нам нужно найти минимальный объем производства, мы рассматриваем наиболее удаленные точки пересечения всех уравнений.
  3. Если в линейном неравенстве нет общей точки, то допустимого решения нет.

Графическое решение задач линейного программирования

Задачи линейного программирования можно решать двумя разными способами:

  1. Corner Point
  2. Метод изо-стоимости

Corner Point

Для решения задачи с помощью угла точечный метод, вам необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Создайте математическую формулировку данной проблемы.Если не указано.

Шаг 2: Постройте график, используя заданные ограничения, и найдите возможную область.

Шаг 3: Найдите координаты возможной области (вершин), которые мы получаем на шаге 2.

Шаг 4: Теперь оцените целевую функцию в каждой угловой точке допустимой области. Предположим, что N и n обозначают наибольшее и наименьшее значения этих точек.

Шаг 5: Если допустимая область ограничена, тогда N и n являются максимальным и минимальным значением целевой функции.Или, если допустимая область неограничена, тогда:

  • N — максимальное значение целевой функции, если открытый полуплан получен с помощью ax + by> N, не имеет общей точки с допустимой областью. В противном случае целевая функция не имеет решения.
  • n — минимальное значение целевой функции, если открытый полуплан, полученный посредством ax +, по

Примеры:


Вопрос 1. Решите данные задачи линейного программирования графически:

Развернуть: Z = 8x + y

и ограничения:

x + y ≤ 40,

2x + y ≤ 60,

x ≥ 0, y ≥ 0

Решение:

Шаг 1: Ограничения:

x + y ≤ 40,

2x + y ≤ 60,

x ≥ 0, y ≥ 0

Шаг 2: Постройте график, используя эти ограничения.

Здесь оба ограничения меньше или равны, поэтому они удовлетворяют области ниже (по направлению к исходной точке). Вы можете найти вершину допустимой области по графику или вычислить с использованием заданных ограничений:

x + y = 40… (i)

2x + y = 60… (ii)

Теперь умножьте уравнение (i) на 2, а затем вычтите оба уравнения (i) и (ii), мы получим

y = 20

Теперь поместите значение y в любое из уравнений, мы получим

x = 20

Итак, третья точка допустимая область: (20, 20)

Шаг 3: Найти максимальное значение Z = 8x + y.Сравните каждую точку пересечения графика, чтобы найти максимальное значение

Точки Z = 8x + y
(0, 0) 0
(0, 40) 40
(20, 20) 180
(30, 0) 240

Таким образом, максимальное значение Z = 240 в точке x = 30, y = 0.

Вопрос 2. Для одного вида торта требуется 200 г муки и 25 г жира, а для другого вида торта требуется 100 г муки и 50 г жира. Найдите максимальное количество пирожных, которое можно приготовить из 5 кг. муки и 1 кг жира при условии, что нет недостатка в других ингредиентах, используемых при приготовлении тортов.

Решение:

Шаг 1. Создайте такую ​​таблицу для облегчения понимания (необязательно).

Пол (г) Жир (г)
Торт первого вида (x) 200 25
Торт второго сорта ) 100 50
Доступность 5000 1000

Шаг 2: Создайте линейное уравнение с использованием неравенства

  • 200x + 100y ≤ 5000 или 2x + y
  • 25x + 50y ≤ 1000 или x + 2y ≤ 40
  • Кроме того, x> 0 и y> 0

Шаг 3: Создайте график, используя неравенство (не забудьте взять только положительные оси x и y)

Шаг 4: Найти максимальное количество тортов (Z) = x + y.Сравните каждую точку пересечения графика, чтобы найти максимальное количество тортов, которое можно испечь.



Ясно, что Z максимальна в координатах (20, 10). Таким образом, максимальное количество тортов, которое можно выпечь, составляет Z = 20 + 10 = 30.

Метод изо-стоимости

Термин «метод изо-стоимости» или «метод изо-прибыли» представляет собой комбинацию точек, которая дает одинаковые затраты. / прибыль, как и любая другая комбинация на той же линии. Это делается путем нанесения линий, параллельных наклону уравнения.

Для решения проблемы методом изо-стоимости необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Создайте математическую формулировку данной задачи. Если не указано.

Шаг 2: Постройте график, используя заданные ограничения, и найдите возможную область.

Шаг 3: Теперь найдите координаты возможной области, которые мы получили на шаге 2.

Шаг 4: Найдите удобное значение Z (целевой функции) и проведите линию этой целевой функции.

Шаг 5: Если целевая функция максимального типа, то нарисуйте линию, параллельную линии целевой функции, и эта линия находится дальше всего от начала координат и имеет только одну общую точку с допустимой областью.Или, если целевая функция является минимальным типом, нарисуйте линию, параллельную линии целевой функции, и эта линия является ближайшей от начала координат и имеет по крайней мере одну общую точку с допустимой областью.

Шаг 6: Теперь получите координаты общей точки, которую мы находим на шаге 5. Теперь эта точка используется для поиска оптимального решения и значения целевой функции.

Примеры:


Вопрос 1. Решите данные задачи линейного программирования графически:

Максимизировать: Z = 50x + 15y

и ограничения:

5x + y ≤ 100 ,

x + y ≤ 50,

x ≥ 0, y ≥ 0

Решение:

Дано:

5x + y ≤ 100,

x + y ≤ 50,

x ≥ 0, y ≥ 0

Шаг 1: Поиск точек

Мы также можем записать как

5x + y = 100….(i)

x + y = 50…. (ii)

Теперь мы находим точки

, поэтому мы берем уравнение (i), теперь в этом уравнении

Когда x = 0, y = 100

и когда y = 0, x = 20

Итак, точки равны (0, 100) и (20, 0)

Аналогично, в уравнении (ii)

Когда x = 0, y = 50

Когда y = 0, x = 50

Итак, точки равны (0, 50) и (50, 0)

Шаг 2: Теперь нанесите эти точки на график и найдите возможную область.

Шаг 3: Теперь мы находим удобное значение Z (целевая функция)

Итак, чтобы найти удобное значение Z, мы должны взять lcm коэффициента 50x + 15y, т.е.е., 150. Итак, значение Z кратно 150, т.е. 300. Следовательно,

50x + 15y = 300

Теперь находим точки

Положим x = 0, y = 20

Положим y = 0, x = 6

нарисуйте линию этой целевой функции на графике:

Шаг 4. Поскольку мы знаем, что целевая функция максимального типа, мы рисуем линию, параллельную линии целевой функции. и наиболее удален от источника и имеет только одну общую точку с допустимым регионом.

Шаг 5: У нас есть общая точка (12,5, 37,5) с допустимой областью. Итак, теперь находим оптимальное решение целевой функции:

Z = 50x + 15y

Z = 50 (12,5) + 15 (37,5)

Z = 625 + 562,5


Z = 1187

Вопрос 2. Решите данные задачи линейного программирования графически:

Минимизируйте: Z = 20x + 10y

и ограничения:

x + 2y ≤ 40,

3x + y ≥ 30 ,

4x + 3y ≥ 60,

x ≥ 0, y ≥ 0

Решение:

Дано:

x + 2y ≤ 40,

3x + y ≥ 30,

4x + 3y ≥ 60,

x ≥ 0, y ≥ 0

Шаг 1: Поиск точек

Мы также можем записать как

l1 = x + 2y = 40….(i)

l2 = 3x + y = 30…. (ii)

l3 = 4x + 3y = 60…. (iii)

Теперь мы находим точки

Итак, мы берем уравнение (i), теперь в это уравнение

Когда x = 0, y = 20

и когда y = 0, x = 40

Итак, точки равны (0, 20) и (40, 0)

Аналогично, в уравнении (ii)

Когда x = 0, y = 30

Когда y = 0, x = 10

Итак, точки равны (0, 30) и (10, 0)

Аналогично, в уравнении (iii)

Когда x = 0, y = 20

Когда y = 0, x = 15

Итак, точки равны (0, 20) и (15, 0)

Шаг 2. Теперь нанесите эти точки на график и найдите возможную область.

Шаг 3: Теперь мы находим удобное значение Z (целевая функция)

Итак, предположим, что z = 0

20x + 10y = 0

x = -1 / 2y

нарисуйте линию этого целевая функция на графике:

Шаг 4: Поскольку мы знаем, что целевая функция является минимальным типом, мы рисуем линию, которая параллельна линии целевой функции и ближайшая от начала координат и имеет по крайней мере одну общую точку с возможный регион.

Эта параллельная линия касается допустимой области в точке A.Итак, теперь мы находим координаты точки A:

Как вы можете видеть на графике, в точке A пересекаются линии l2 и l3, поэтому мы находим координату точки A, решая следующие уравнения:

l2 = 3x + y = 30… . (iv)

l3 = 4x + 3y = 60…. (v)

Теперь умножим eq (iv) на 4 и eq (v) на 3, мы получим

12x + 4y = 120

12x + 9y = 180

Теперь вычтите оба уравнения, и мы получим координаты (6, 12)

Шаг 5: У нас есть общая точка (6, 12) с допустимой областью.Итак, теперь находим оптимальное решение целевой функции:

Z = 20x + 10y

Z = 20 (6) + 10 (12)

Z = 120 + 120

Z = 240


Графический Метод линейного программирования — проблемы с решениями

Не секрет, что симплекс-метод хорошо изучен и широко используется для решения задач линейного программирования. Но что касается нелинейного программирования, то такого универсального метода не существует.С помощью графических методов можно легко решить любые задачи оптимизационного программирования, состоящие только из двух переменных. Эти переменные могут быть обозначены как x₁ и x, и с помощью этих переменных большая часть анализа может быть выполнена на двумерном графике. Хотя мы не можем обобщить большое количество переменных с помощью графического подхода, можно легко продемонстрировать основные концепции линейного программирования в контексте двух переменных. Мы всегда можем обратиться к двум переменным проблемам, если проблемы кажутся сложными и мы попадаем в группу вопросов.И мы всегда можем искать ответы в случае двух переменных, используя графики, то есть графически решая задачи линейного программирования.

Графический подход имеет еще одно преимущество, а именно его визуальный характер. Это дает нам картину, позволяющую ладить с алгеброй линейного программирования. Эта картина может утолить нашу жажду понимания основных определений и возможностей. Эти причины являются доказательством того, что графический подход гладко работает с концепциями линейного программирования.

Теперь, для решения задач линейного программирования графически, мы должны две вещи:

  1. Ограничения неравенства

  2. И целевая функция.

Графический метод решения задач линейного программирования основан на четко определенном наборе логических шагов. С помощью этих шагов мы можем освоить графическое решение задач линейного программирования.

Графический метод линейного программирования

Чтобы найти графическое решение задач линейного программирования, мы должны выполнить несколько шагов.

Шаг 1) Сформулируйте проблему, используя цель и ограничения.

Шаг 2) Скомпонуйте график, построив линии ограничений.

Шаг 3) На этом шаге определите допустимую сторону каждой линии ограничения.

Шаг 4) Наша следующая задача — определить возможный регион.

Шаг 5) Постройте целевую функцию, чтобы определить направление улучшения.

Шаг 6) Найдите наиболее подходящую оптимальную точку.

Шаг 7) Определите оптимальное решение алгебраически, вычислив координаты оптимальной точки.

Шаг 8) Последним шагом будет определение значения целевой функции.

Эти графические методы задач линейного программирования помогут решить любую проблему.

Графический метод линейного программирования Проблемы с решениями

Пример 1) Давайте рассмотрим производителя мебели, который производит деревянные столы и стулья. Единичная прибыль для столов составляет \ [\ $ \] 6, тогда как для стульев \ [\ $ \] 8, и единственные два ресурса, которые компания использует для производства столов и стульев, — это древесина (ножки для досок) и рабочая сила ( часы).По приблизительным оценкам, для завершения стола требуется 30 фунтов и 5 часов, а для изготовления стула — 20 фунтов и 10 часов. В распоряжении компании 300 бф древесины и 110 часов рабочего времени. Целевая функция компании — максимизация прибыли, а переменные решения — это ресурсы, которые представляют собой лес и рабочие. Набором ограничений могут быть ограничения на доступность ресурсов, которая составляет 300 баррелей древесины и 110 часов труда. Используя графические методы задачи LP, руководство может принять решение о том, как распределить ограниченные ресурсы для максимизации прибыли.

Информация о задаче линейного программирования деревянных столов и стульев

Ресурс

Стол (X₁)

03

03

Дерево (bf)

30

20

300

Трудозатраты (час)

5

10

110

Прибыль единицы \ [\ $ \] 6 \ [\ $ \] 8

Таблица 1 дает нам информацию для задачи линейного программирования.Мы можем шаг за шагом решать задачи линейного программирования графически.

Шаг 1) Вышеупомянутая таблица может помочь нам сформулировать проблему. Нижняя строка будет служить целевой функцией. Целевая функция компании — максимизация удельной прибыли. Лес и рабочие — набор ограничений. Также указаны условия неотрицательности.

Максимизировать Z = \ [6x_ {2} + 8x_ {2} \] (целевая функция)

При условии: \ [30x_ {1} + 20x_ {2} \] ≤ 300 (доступно 300 бф)

\ [5x_ {1} + 10x_ {2} \] ≤ 110 (доступно 110 часов)

\ [x_ {1} + x_ {2} \] ≥ 0 (неотрицательные условия)

Две переменные ( дерево и труд) в данной задаче можно решить графически.

Шаг 2) это шаг построения графика. Используя ось X как количество столов и ось Y как количество стульев, мы можем найти две линии ограничений. Это можно найти, если мы найдем пересечения по осям x и y для двух уравнений связи. Но перед этим мы должны переписать неравенства ограничений как равенства.

Wood Labor

\ [30x_ {1} + 20x_ {2} \] = 300 \ [50x_ {1} + 10x_ {2} \] = 110

Установка x₂ = 0 для решения x₁ Установка x₂ = 0 для решить x₁

30x₁ = 300 5x₁ = 110

x₁ = \ [\ frac {300} {30} \] x₁ = 110/5

= 10 таблиц = 22 таблицы

(Дерево, из которого делали столы) (труды используется для создания таблиц)

Далее:

Установка x₁ = 0 для решения x₂ Установка x₁ = 0 для решения x₂

20x₂ = 300 10x₂ = 110

x₂ = \ [\ frac {300} {20} \] x₂ = 110/10

= 15 стульев = 11 стульев

(Дерево, из которого изготавливают стулья) (труд, используемый для изготовления стульев)

Теперь нарисуйте график линия ограничения древесины \ [(x_ {1} \] = 10 и \ [x_ {2} = 15) \] и линия ограничения рабочей силы \ [(x_ {1} = 22 \] и \ [x_ {2} = 11 ) \]

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Шаг 3) Чтобы проверить допустимую сторону для обеих линий ограничения, используйте начало координат (0,0).

30 (0) + 20 (0) <300 - допустимая сторона линии ограничения древесины. Таким же образом 5 (0) + 10 (0) <110 также является допустимой стороной линии ограничения рабочей силы. теперь нарисуйте стрелки, указывающие допустимую сторону каждой линии ограничения.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Шаг 4) Определите возможную область, которая является областью на допустимой стороне обеих линий ограничения.

Шаг 5) Найдите \ [x_ {1} \] и \ [x_ {2} \], используя Z = 48 и 72.

В первом случае значения будут \ [x_ {1} \] = 8 и \ [x_ {2} \] = 12

Во втором случае значения будут \ [x_ {1} \] = 6 и \ [x_ {2} \] = 9

Постройте целевую функцию линии, когда Z = 48 и Z = 72.

Две линии целевой функции удаляются от начала координат (0,0), Z увеличивается.

(изображение скоро будет загружено)

Шаг 6) Найдите самый привлекательный уголок.

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Шаг 7) Вычислите координаты и найдите значения x и y.

Таким образом, по оптимальному решению компании можно изготовить четыре стола и девять стульев.

Шаг 8) наконец, определите значение целевой функции для оптимального решения, подставив количество столов и стульев, и решите для Z:

Z = \ [\ $ \] 6 (4) + \ [\ $ \] 8 (9) = \ [\ $ \] 96

Таким образом, производя четыре стола и девять стульев, мы можем достичь максимальной прибыли в \ [\ $ \] 96.

Графический метод решения L.P.P

Прочитав эту статью, вы узнаете о графическом методе решения L.P.P на примерах.

Процедура графического решения — это метод решения двух переменных задач линейного программирования для LPP, которые имеют одну две переменные, возможно, что весь набор возможных решений может быть отображен графически, путем нанесения линейных ограничений на миллиметровую бумагу, чтобы найти лучшее решение. Этот метод называется графическим методом решения LPP.

Этот метод состоит из следующих шагов:

(1) Сформулируйте задачу в терминах ряда математических ограничений и целевой функции.

(2) Постройте каждое из ограничений следующим образом:

Каждое неравенство в уравнении ограничений записывается как равенство. Присвойте произвольное значение одной переменной и получите значение другой переменной, решив уравнение. Аналогичным образом присвойте переменной другое произвольное значение и найдите соответствующее значение другой переменной.

Теперь изобразите эти два набора значений. Соедините эти точки прямой линией. Это упражнение необходимо выполнить для каждого уравнения связи. Таким образом, будет столько же прямых, сколько и уравнений; каждая прямая линия представляет одно ограничение.

(3) Определите возможную область [r пространство решений]:

, то есть область, которая одновременно удовлетворяет ограничениям. Для ограничений больше (>) допустимой областью будет область, которая находится над линиями ограничений.Для ограничений меньше (≤) ’эта область обычно находится под этими зубцами.

Для ограничений больше или равно или меньше или равно допустимая область также включает точки на линии ограничений. И заштрихуйте эту посильную область. Окончательная общая заштрихованная область называется допустимой областью данной LPP. Все точки, лежащие в допустимой области, будут удовлетворять всем ограничениям одновременно.

(4) Метод угловой точки:

Этим методом находим графическое решение.

Этот метод включает следующий этап:

(а) Определите каждый из углов (или крайних точек) возможной области либо визуально, либо методом одновременных уравнений.

(b) Завершите значение целевой функции в каждой угловой точке, подставив координаты точки.

(c) Определите оптимальное решение в той угловой точке, которое показывает наибольшую прибыль (в задаче максимизации) и наименьшую стоимость (в задаче минимизации).

Решение графическим методом :

Пример 1:

Решите следующую задачу LP графически.

Развернуть z = 3x 1 + 5x 2

С учетом ограничений x 1 + 2x 2 ≤ 2000

x 1 + x 2 ≤ 1500

x 2 ≤ 600

x 1 ≥ 0; х 2 ≥ 0

Решение:

Шаг 1:

(Изобразите ограничения неравенства) Рассмотрим две взаимно перпендикулярные линии 0x 1 и 0x 2 как оси координат.Очевидно, что любая точка (x 1 , x 2 ) в положительном квадранте обязательно будет удовлетворять ограничениям неотрицательности: x 1 ≥ 0; х 2 ≥ 0

(a) Чтобы построить линию x 1 + 2x 2 = 2000

положим x 1 = 0, тогда x 2 = 1000

и положим x 2 = 0, тогда x 1 = 2000

Отметить точку L так, чтобы OL = 2000, принимая подходящие масштабы, скажем, 100 единиц = 2 см

Аналогичным образом отметьте другую точку M так, чтобы OM = 1000

Теперь соедините точки L и M.Эта линия будет представлять уравнение x 1 + 2x 2 = 2000, как показано на следующем рисунке.

Очевидно, что любая точка P, лежащая на линии x 1 + 2x 2 = 2000, будет удовлетворять неравенству x 1 + 2x 2 ≤ 2000 [если x 1 = 500, x 2 = 500, затем 500 + 2 x 500 <2000, что верно]

(b) Аналогичная процедура применяется для построения двух других линий.

x 1 + x 2 <1500 и x 2 = 600, как показано на рис.(2) и рис (3) соответственно.

Любая точка на линиях x 1 + x 2 = 1500 и x 2 = 600 также будет удовлетворять двум другим неравенствам.

x 1 + x 2 <1500 и x 2 ≤ 600 соответственно.

Шаг 2:

Найдите допустимую область или пространство решений и объедините рис. (1), (2) и (3) вместе, получится общая заштрихованная область OABCD (см. Рис.4), который представляет собой набор точек, удовлетворяющих ограничениям-неравенствам.

x 1 + 2x 2 ≤ 2000; x 1 + x 2 ≤ 1500; х 2 <600

и ограничение неотрицательности как x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

Следовательно, любая точка в заштрихованной области (включая ее границу) является допустимым решением данной LPP.

Шаг 3:

Найдите координату угловой точки допустимой области O, A, B, C и D

Шаг 4:

Составьте следующую таблицу:

Отсюда макс.значение z = 5500, потому что максимальное значение z достигается в угловой точке B (1000,500)

Пример 2:

Решите графически следующую задачу:

Развернуть z = 8x 1 , + 10x 2 =

Итак, по этим условиям мы можем сказать, что решение будет в первом квадранте, поскольку оба x и y положительны.

Шаг 4:

Найдите координату угловой точки допустимой области OABC и составьте следующую таблицу:

Отсюда макс.значение z = 82

Z макс = 82

Требуемое решение: x 1 = 4, x 2 = 5, поскольку максимальное значение z достигается в угловой точке B (4, 5)

Пример 3:

Развернуть z = 5x 1 + 4x 2

С учетом x 1 — 2x 2 ≤ 1

x 1 + 2x 2 ≥ 3

x 1 , x 2 ≥ 0

Решение:

Пространство решений, удовлетворяющее ограничениям

x 1 — 2x 2 ≤ 1

x 1 + 2x 2 ≥ 3 и

Неотрицательное условие x 1 ≥ 0; x 2 > 0 закрашено на рис. (1).Эта заштрихованная выпуклая область неограничена.

Целевая функция, Когда z = 0 дает уравнение 5x 1 + 4x 2 = 0, что показано пунктирной линией, проходящей через начало координат 0. При увеличении z от нуля эта пунктирная линия перемещается в точку правильно, параллельно самому себе.

Поскольку мы заинтересованы в максимальном увеличении z, мы увеличиваем значение z до тех пор, пока пунктирная линия не пройдет через самый дальний угол заштрихованной области от начала координат. Поскольку невозможно получить самый дальний угол для заштрихованной угловой области, максимальное значение z не может быть найдено, поскольку оно встречается только на бесконечности.Таким образом, проблема имеет неограниченное решение.

Пример 4:

Увеличить z = 3x + 2y

при условии — 2x + 3y ≤ 9

3x -2 года ≤ -20

х, у ≥ 0

Решение:

На следующем рисунке показаны две заштрихованные области, одна из которых удовлетворяет ограничениям -2x + 3y ≤, 9, а другая — ограничениям 3x-2y ≤ -20. Эти две заштрихованные области в первом квадранте не перекрываются, в результате чего нет точки (x, y), общей для двух заштрихованных областей.Проблема не может быть решена графически или каким-либо другим способом решения проблем L.P, т.е. решения проблемы не существует.

Пример 5:

Мелкая промышленность производит электрические регуляторы, сборка которых выполняется небольшой группой квалифицированных рабочих, как мужчин, так и женщин. Из-за ограниченного пространства и финансовых возможностей, количество нанятых работников не может превышать, а их счет заработной платы — не более рупий. 60 000 в месяц.

Мужчинам-членам квалифицированных рабочих платят рупий. 6000 в месяц, в то время как работница, выполняющая ту же работу, что и мужчина, получает рупий. 5000. Собранные данные об эффективности этих работников показывают, что член-мужчина вносит 10 000 рупий в месяц в общий доход отрасли, а женщина-работник вносит 8 500 рупий в месяц. Определите, какие мужчины и женщины будут трудоустроены, чтобы максимизировать ежемесячный общий доход.

Решение:

Шаг 1:

Сформулируйте линейное программирование — Задача.

Данная задача имеет надлежащую математическую форму, так как модель LP выглядит следующим образом:

Максимум (общая ежемесячная доходность) z = 10.000x 1 + 8500 x 2

С учетом ограничений,

х 1 + х 2 ≤ 11

6000x 1 , + 5000x 2 ≤ 60,000 или 6x 1 + 5x 2 ≤ 60

x 1 0; х 2 ≥ 0

Где x 1 = нет.трудоустроенных мужчин

x 2 = нет. трудоустроенных женщин

Шаг 2:

Построить график:

Затем мы строим график, рисуя горизонтальную и вертикальную оси, которые представлены осью x 1 и осью x 2 в определенной плоскости X x OX 2 , поскольку любая точка, которая удовлетворяет условия x 1 ≥0 и x 2 ≥0 лежат только в первом квадранте, поэтому наш поиск нужной пары (x 1 , x 2 ) ограничен только точками первого квадранта. .

Теперь неравенства изображаются на графике, принимая их как равенства, например, первое ограничение x 1 + x 2 ≤ 11 будет отображено как x 1 + x 2 = 11, а второе ограничение 6x 1 + 5x 2 ≤ 60, так как 6x 1 + 5x 2 = 60 и третье ограничение x 1 , x 2 ≥ 0, просто ограничивает решение неотрицательными значениями.

Кроме того, поскольку функция, которую нужно построить, является линейной, нам нужно построить только две точки на каждое ограничение.Таким образом, для построения графика каждого ограничения мы произвольно присваиваем значение x 1 и определяем соответствующее значение x 2 . Затем процедура повторяется для другой пары значений для тех же ограничений, затем для первого ограничения у нас есть две такие точки A (0,11) и B (11,0), которые при объединении представляют x 1 + x 2 = 11.

Аналогичным образом, рассматривая набор точек, удовлетворяющих x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 и вторым ограничениям 6x 1 + 5x 2 ≤ 60, мы получаем заштрихованную область на рис.

Шаг 3:

Определите возможный регион:

Возможная область, т.е. пространство решений — это область графа, которая содержит все пары значений, удовлетворяющие всем ограничениям. Другими словами, допустимая область будет ограничена двумя осями и двумя линиями x 1 , x 2 = 11, 6x 1 , + 5x 2 = 60 и будет общей областью, которая попадает в слева от этих уравнений ограничений, так как оба ограничения имеют тип, меньший, чем равный.

Шаг 4:

Найдите крайние (или угловые) точки 2

Для этого мы должны объединить Рис. (1) и (2)

Заштрихованная область OAPD представляет собой набор всех возможных решений.

Координаты крайних точек возможного района:

0 = (0,0), A = (0,11), P = (5,6), D = (10,0)

Шаг 5:

Оцените целевую функцию в крайних точках.Математическая теория, лежащая в основе линейного программирования, утверждает, что оптимальное решение любой проблемы (т.е. значения x 1 , x 2 , которые дают максимальную отдачу) будет лежать в углу крайних точек допустимой области. Следовательно, необходимо только найти значения переменной в каждом углу, максимальная доходность или оптимальное решение будет лежать в одном из них.

Значение целевой функции в каждой из этих крайних точек следующее:

Шаг 6:

Определите оптимальное значение целевой функции.Максимальное значение целевой функции z = 101000 приходится на крайнюю точку P (5,6). Следовательно, оптимальное решение данной проблемы LP: x 1 = 5, x 2 — 6

Макс. Z = 101000

В. Объясните алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом?

Bigg Boss

Оцените это один раз.

Bigg Boss

Линейное программирование (LP) — это математический метод для определение способа достижения наилучшего результата (например, максимальной прибыли или минимальной стоимость) в данной математической модели для некоторого списка требований, представленных как линейные уравнения.

Формально линейное программирование — это метод оптимизация линейной целевой функции при условии линейного равенства и ограничения линейного неравенства. Для многогранника и действительного аффинного функция, определенная на этом многограннике, метод линейного программирования найдет точка на многограннике, где эта функция имеет наименьшее (или наибольшее) значение если такая точка существует, перебором вершин многогранника.

Алгоритм решения задачи линейного программирования по Графический метод:

(Этот алгоритм применим только для задач с двумя переменные).

Шаг — I:

Сформулируйте задачу линейного программирования с двумя переменные (если в данной задаче более двух переменных, то мы не можем решить ее графическим методом).

Шаг — II:

Рассмотрим данный неравенство. Предположим, это в форме

a1x1 + a2x2 <= b (или a1x1 + a2x2> = b). потом рассмотрим соотношение a1x1 + a2x2 = b. Найдите две различные точки (k, l), (c, d) лежащие на прямой a1x1 + a2x2 = b. Это легко найти: если x1 = 0, то x2 = b / a2.

Если x2 = 0, то x1 = b / a1. Следовательно, (k, l) = (0, b / a2) и (c, d) = (b / a1, 0) — две точки на прямой a1x1 + a2x2 = b.

Шаг — III:

Изобразите эти две точки (k, l), (c, d) на графике. который обозначает плоскость оси X – Y. Присоединяйтесь к этим две точки и продлите эту линию, чтобы получить прямую, которая представляет a1x1 + а2х2 = б.

Шаг — IV:

a1x1 + a2x2 = b делит всю плоскость на две полуплоскости: a1x1 + a2x2 <= b (одна сторона) и a1x1 + a2x2> = b (другая сторона).Найдите полуплоскость, которая связанных с данным неравенством.

Шаг — V:

Выполните шаги с II по IV для всех неравенств, указанных в проблема.

Пересечение полуплоскостей, относящихся ко всем неравенства и x1> = 0,

x2> = 0, называется допустимой областью (или допустимой пространство решений). Теперь найдите этот возможный регион.

Шаг — VI:

Возможное регион — многогранная фигура с угловыми точками A, B,

C,… (скажем).Найдите координаты для всех этих углов точки. Эти угловые точки называются крайними точками.

Шаг — VII:

Найдите значения целевая функция во всех этих угловых / крайних точках.

Шаг — VIII:

Если проблема в задача максимизации (минимизации), то максимальное (минимальное) значение z среди значений z в угловых / крайних точках допустимой области есть оптимальное значение z. Если оптимальное значение существует на углу / крайнем точку, скажем A (u, v), тогда мы говорим, что решение x1 = u и x2 = v является оптимальное возможное решение.

Шаг — IX:

Напишите вывод (включающий оптимальное значение z и координаты угловая точка, в которой существует оптимальное значение z).

Графический метод решения задач линейного программирования

Мы ранее обсуждали текстовые задачи, переведенные в математические задачи в форме линейных программ. Графический метод применим для решения LPP с двумя переменными решения x 1 и x 2 , однако большее количество переменных используется трудно оптимизировать с помощью графического представления.Решение представляет собой набор значений для каждой переменной:

  1. соответствуют ограничениям (т.е. выполнимы), а
  2. дает наилучшее возможное значение целевой функции (т. Е. Оптимальное).

Однако не все проблемы LP имеют решение. Есть еще две возможности:

  1. может не быть возможных решений (т.е. нет решений, которые согласуются со всеми ограничениями), или
  2. проблема может быть неограниченной (т.е., оптимальное решение бесконечно велико).

Если возникает первая из этих проблем, необходимо ослабить одно или несколько ограничений. Если проблема неограниченна, то проблема, вероятно, не была хорошо сформулирована, поскольку немногие, если вообще есть, реальные проблемы действительно неограниченны. Графическое представление и решение проблемы LP помогает более интуитивно понять, что такое LP и как это решено.

Графический метод решения:

Нарисуйте график квадрантов st : плоскость x-y, поскольку две решающие переменные x и y неотрицательны

Постройте ограничивающие линии и плоскости модели в наборе координат на плоскости.Первое неравенство ограничений делит первый квадрант на две области, скажем, 1 рандов и 2 рандов, предположим, что (x 1 , 0) — это точка в 1 рандов. Если эта точка удовлетворяет уравнению ax + на ≤ c или (≥ c), заштрихуйте область R 1 . Если точка (x 1 , 0) не удовлетворяет неравенству, заштрихуйте область R 2 .

Теперь определите возможное пространство решений на графике, где все ограничения выполняются в одном и том же экземпляре.

Постройте целевую функцию, чтобы найти точку на границе этого пространства, которая максимизирует (или минимизирует) значение целевой функции

Вычислите оптимальное решение, найдя угловую точку.

Пересечение обеих областей из неравенств показывает возможное решение LPP. Следовательно, каждая точка в заштрихованной области является допустимым решением LPP, поскольку эта точка соответствует всем ограничениям, включая неотрицательные ограничения.

Эти координаты получены из графика или путем решения уравнения линий.

Рассмотрим задачу минимизации:

Свернуть Z = 6 x 1 + 3 x 2

при условии

2 x 1 + 4 x 2 16 фунтов азота

4 x 1 + 3 x 2 24 фунта фосфата

x 1 , x 2 0

Линейное программирование: пример графического метода

Пример (часть 2): Графический метод

Решите графическим методом следующую задачу:

Развернуть Z = f (x, y) = 3x + 2y
при условии: 2x + y ≤ 18
2x + 3y ≤ 42
3x + y ≤ 24
х ≥ 0, у ≥ 0
  1. Сначала рисуется система координат, и каждая переменная связана с осью (обычно «x» связан с горизонтальной осью, а «y» — с вертикальной), как показано на рисунке 1.
  2. На оси нанесена числовая шкала, соответствующая значениям, которые переменные могут принимать в соответствии с ограничениями задачи. Для этого для каждой переменной, соответствующей оси, все переменные устанавливаются в ноль, кроме переменной, связанной с исследуемой осью в каждом ограничении.
  3. Следующий шаг представляет ограничения. Начиная с первого, проводится линия, полученная при рассмотрении ограничения как равенства. В примере эта линия представляет собой сегмент, соединяющий точки A и B, а область, ограничивающая это ограничение, обозначена ЖЕЛТЫМ цветом.Этот процесс повторяется с другими ограничениями, СИНИЙ и КРАСНЫЙ области соответствуют второму и третьему ограничению соответственно.
  4. Возможная область — это пересечение областей, определенных набором ограничений и координатной осью (условия неотрицательности переменных). Эта возможная область представлена ​​многоугольником O-F-H-G-C ПУРПУРНОГО цвета.
  5. Поскольку существует допустимая область, вычисляются экстремальные значения (или вершины многоугольника).Эти вершины являются точками-кандидатами в качестве оптимальных решений. В примере это точки O, F, H, G и C, как показано на рисунке.
  6. Наконец, целевая функция (3x + 2y) оценивается в каждой из этих точек (результаты показаны в таблице ниже). Поскольку G-точка обеспечивает наибольшее значение Z-функции, а цель — максимизировать, эта точка является оптимальным решением: Z = 33 с x = 3 и y = 12.
Крайняя точка Координаты (x, y) Объективное значение (Z)
O (0,0) 0
С (0,14) 28
G (3,12) 33
H (6,6) 30
Ф. (8,0) 24
Сравнение графического и симплексного методов

Последовательные построенные таблицы в симплекс-методе предоставят значение целевой функции в вершинах допустимой области, одновременно регулируя коэффициенты исходной и резервной переменных.

В исходной таблице вычисляется значение целевой функции в O-вершине, координаты (0,0) соответствуют значению, имеющему базовые переменные, являющемуся результатом 0.

Таблица I. 1-я итерация.
3 2 0 0 0
База Cb P0 П1 P2 П3 П4 П5
P3 0 18 2 1 1 0 0
P4 0 42 2 3 0 1 0
P5 0 24 3 1 0 0 1
Z 0 -3-2 0 0 0

Входная базовая переменная в симплексном методе определяет, в сторону какой новой вершины выполняется смещение.В этом примере, когда входит P1 (соответствующий ‘x’), смещение выполняется OF-ребром, чтобы достичь F-вершины, где вычисляется значение Z-функции. Этот шаг происходит во второй итерации симплекс-метода, как показано в таблице II. В нем вычисляется соответствующее значение F-вершине, а Z = 24 — это полученное значение для функции.

Таблица II. 2-я итерация.
3 2 0 0 0
База Cb P0 П1 P2 П3 П4 П5
P3 0 2 0 1/3 1 0 -2/3
P4 0 26 0 7/3 0 1 -2/3
Л1 3 8 1 1/3 0 0 1/3
Z 24 0–1 0 0 1

Произведено новое смещение FH-ребром до H-вершины (данные в Таблице III).На третьей итерации значение функции в H-вершине вычисляется, чтобы получить Z = 30.

Таблица III. 3-я итерация.
3 2 0 0 0
База Cb P0 П1 P2 П3 П4 П5
P2 2 6 0 1 3 0-2
P4 0 12 0 0-7 1 4
Л1 3 6 1 0–1 0 1
Z 30 0 0 3 0–1

Процесс идет от HG-ребра до G-вершины, полученные данные представлены в таблице IV.На этом процесс заканчивается, когда можно проверить, не улучшает ли решение, продвигаясь по GC-ребру до C-вершины (текущее значение Z-функции не увеличивается).

Таблица IV. 4-я итерация.
3 2 0 0 0
База Cb P0 П1 P2 П3 П4 П5
P2 2 12 0 1 -1/2 1/2 0
P5 0 3 0 0 -7/4 1/4 1
Л1 3 3 1 0 3/4 -1/4 0
Z 33 0 0 5/4 1/4 0

Максимальное значение целевой функции составляет 33, и оно соответствует значениям x = 3 и y = 12 (координаты G-вершины).

Калькулятор онлайн решение производных: Производная неявной функции · Калькулятор Онлайн

Kалькулятор производных — найти производную функции онлайн

калькулятор производных онлайн помогает найти производную функции онлайн по заданной переменной и показывает пошаговое дифференцирование. Для лучшего понимания вы можете взглянуть на приведенные примеры, чтобы различать функцию. Вы можете использовать этот калькулятор производной для упрощения первой, второй, третьей или до 5 производных.

Без сомнения, онлайн калькулятор производных – лучший способ получить производные в любой момент и даже поможет вам решить частные производные. Что ж, этот контекст предоставляет вам правила производной, как найти производную онлайн (шаг за шагом) и с онлайн калькулятор.

В математике «производная» измеряет чувствительность к изменению выходного значения по отношению к изменению входного значения, но в расчетах производные являются центральными инструментами.

В случае движущегося объекта по времени производной является изменение скорости за определенное время. Проще говоря, он измеряет, насколько быстро движущийся объект меняет свое положение с течением времени. Следовательно, производная – это «мгновенная скорость изменения» зависимой переменной по отношению к независимой переменной.

Процесс поиска производной известен как дифференциация. Следовательно, калькулятор производных будет большим подспорьем для быстрой идентификации производных.

Многие статистики определяют производные просто по следующей формуле:

производная калькулятор функции f представлена ​​как d / dx * f. «D» обозначает оператор производной, а x – переменную. Калькулятор деривативов позволяет вам находить деривативы без каких-либо затрат и ручных усилий. Однако производная от «производной функции» известна как вторая производная и может быть вычислена с помощью калькулятор производной второй производной. всякий раз, когда вам нужно обрабатывать до 5 деривативов вместе с последствиями правил дифференциации, просто попробуйте поискать деривативы, чтобы избежать риска ошибок.

Есть определенные правила, по которым можно узнать производные. Эти полезные правила помогут вам вычислить деривативы. Следуя им, вы можете добавить вычитание и понять, как брать производную. Посмотрите ниже, чтобы узнать о них:

ПравилаФункцияПроизводная
Умножение на константуcfcf’
Правило властиxnnxn−1
Правило суммыf + gf’ + g’
Правило различияf – gf’ − g’
Правило продуктаfgf g’ + f’ g
Правило частногоf/g(f’ g − g’ f )/g2
Взаимное правило1/f−f’/f2
Правило цепи
(как «Состав функций»)
f º g(f’ º g) × g’
Правило цепи
(с помощью ‘ )
f(g(x))f’(g(x))g’(x)
Правило цепи
(используя \ (\ frac {dy} {dx} \))
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\)

Как найти производную (решенные примеры)?

Здесь мы поможем вам решить производные задачи в соответствии с вышеупомянутыми правилами дифференциации. 3) $$

Как работает онлайн-калькулятор производных финансовых инструментов?

Чтобы вычислить производную, вам необходимо выполнить простую пошаговую процедуру:

Вход:

  • Прежде всего, вы введете уравнение с помощью вспомогательных функций, таких как sqrt, log, sin, cos, tan и т. Д. Вы можете получить помощь при загрузке уравнения, загрузив примеры в раскрывающемся меню. Он также будет предварительно
  • просматривать ваше уравнение.
  • Теперь выберите производную по \ (a, b, c, x, y, z или n \).
  • Выберите количество раз, чтобы различать. Вы можете выбрать до 5 раз
  • Нажмите кнопку “Рассчитать”

Выход:

  • Прежде всего, он покажет ваш ввод
  • Во-вторых, он найдет производную функции
  • В-третьих, это упростит ваш ответ
  • Он также покажет вам все расчеты вместе с применяемыми правилами дифференциации.
  • Калькулятор дифференцирования поможет дифференцировать функцию по первой, второй, третьей, четвертой и пятой производной.

Часто задаваемые вопросы:

Как отличить функцию от двух переменных?

Прежде всего, вы должны взять частную производную z по x. Однако вскоре вы должны снова принять производную по y. x должен оставаться постоянным. Теперь обратите внимание на феномен перекрестного партиала как меры того, каким образом изменяется наклон при изменении переменной y. Для пояснения вы можете воспользоваться помощью калькулятора первой производной, решив задачу о производной.

Что вам говорит вторая производная?

Вторая производная калькулятор измеряет скорость изменения первой производной. Вторая производная покажет увеличение или уменьшение наклона касательной. Следовательно, с помощью калькулятор производных онлайн двойной производной можно отслеживать скорость изменения исходной функции.

Имеет ли значение порядок деривативов?

Порядок дифференцирования или производной совершенно не имеет значения. Вы можете сначала дифференцировать по второй производной, а затем по первой производной или наоборот. Для удобства вы можете использовать бесплатный калькулятор производной второй, который шаг за шагом вычисляет первое, второе или до 5 дифференциалов.

Как узнать, когда использовать логарифмическое дифференцирование?

Логарифмическое дифференцирование может использоваться для выражения формы \ (y = f (x) g (x) \), переменной в степени переменной. В такой ситуации вы не можете применить правило мощности и правило экспоненты. Вы можете попробовать калькулятор логарифмического дифференцирования, который поможет поэтапно решать ваши задачи логарифмического дифференцирования.

Что происходит, когда вы берете производную функции?

Всякий раз, когда будет производная функции, вы получите другую функцию, которая предоставит наклон исходной функции. Для производной функции должен быть такой же предел слева направо, чтобы она могла быть дифференцируемой в этой точке.

Подведение итогов:

Этот калькулятор производных онлайн демонстрирует пошаговую помощь по нахождению производных и производной функции. Он следует различным правилам дифференцирования, и любой может выполнять простые и сложные вычисления производных с помощью этого средства поиска производных. Это отличный помощник в академических и учебных целях и в равной степени поддерживает как студентов, так и профессионалов. Кроме того, этот производная калькулятор может при необходимости оценивать производные в заданной точке.

Other Languages: Derivative Calculator, Türev Hesaplama, Kalkulator Pochodnych, Kalkulator Turunan Online, 微分 計算 方法, 미분계산기, Derivace Kalkulačka, Calculadora De Derivada, Calculateur De Dérivée, Calculadora De Derivadas, Calcolatore Derivate.

Калькулятор производных с шагами — онлайн и бесплатно!

Почему вам может понадобиться рассчитать производную

На первый взгляд производные нужны, чтобы набить головы уже перегруженным школьникам, но это не так. Рассмотрим машину, которая ездит по городу. Иногда стоит, иногда едет, иногда тормозит, иногда ускоряется.

Допустим, он ехал 3 часа и проехал 60 километров. Затем, используя формулу из начальной школы, мы делим 60 на 3 и говорим, что она ехала со скоростью 20 км / ч. Мы правы? Что ж, отчасти верно. Получили «среднюю скорость». Но что от этого толку? На этой скорости машина может ехать 5 минут, а в остальное время ехать медленнее или быстрее. Что я должен делать?

А зачем нам знать скорость на все 3 часа маршрута? Разделим маршрут на 3 части по часу и рассчитаем скорость на каждом участке. Давайте. Допустим, у вас скорость 10, 20 и 30 км/ч. Вот. Ситуация уже более ясная — в последний час машина ехала быстрее, чем в предыдущие.

Но это опять же в среднем. Что, если он просто ехал медленно полчаса за последний час, а затем внезапно ускорился и начал быстро двигаться? Да, может быть так.

Как мы видим, чем больше мы разбиваем наш 3-часовой интервал, тем точнее мы получим результат. Но нам не нужен «более точный» результат — нам нужен совершенно точный результат. Это означает, что время нужно делить на бесконечное количество частей. А сама деталь — значит, будет бесконечно маленькой.

Если мы разделим на это время расстояние, которое машина преодолела за бесконечно малый период времени, мы также получим скорость. Но уже не средний, а «моментальный». И таких мгновенных скоростей тоже будет бесконечно много.

Если вы понимаете все вышеперечисленное, тогда вы понимаете значение производной. Производная — это скорость, с которой что-то меняется. Например, в нашем случае скорость — это скорость, с которой «пройденное расстояние» изменяется во времени. А может быть «скорость изменения температуры при изменении долготы к северу». Или «скорость исчезновения конфет из вазы на кухне». В общем, если есть что-то, определенное значение «Y», которое зависит от некоторого значения «X», то, скорее всего, есть является производной, которая записывается как dy / dx. И это просто показывает, как значение y изменяется при бесконечно малом изменении значения x — как наше расстояние изменилось при бесконечно малом изменении во времени.

Решение производных

Для того чтобы понять определение производной рассмотрим следующий график функции.

Рис.1. Пример функции и ее производной.

Глядя на рисунок можно увидеть места, где функция растет быстрее, а где убывает. Например, с точки a до точки b график поднимается стремительнее, чем с точки b до точки c.

Если перенести точки с графика функции на новую систему координат таким образом, чтобы точки возрастания располагались выше по оси x, а точки убывания ниже оси x (соблюдая масштаб) и соединить эти точки, то получится новый график новой функции (нижний график на рис. 1). Данная функция и есть производная от основной функции. Данный график есть не что иное, как показатель скорости изменения функции. Другими словами, производная – показатель скорости изменения функции. На практике производные применяются для определения скорости изменения каких-нибудь процессов: физических, химических, экономических и т.д.

Если говорить более сложным языком, то производная – это предел, к которому стремится отношение приращения x к приращению y. В общем виде производная функция выглядит и определяется следующим образом:



Процесс вычисления производной функции называется дифференцированием.

Функций на практике встречается великое множество, но есть простые функции (элементарные), такие как, F(x)=sinx, F(x)=C (где С-константа), F(x)=lnx и т.д. Для этих элементарных функций уже определены производные, и достаточно выучить их наизусть. Производные простых (элементарных) функций приведены в таблице ниже.


Рис.2. Таблица производных простых (элементарных) функций.

Решение производных, говоря простым языком, заключается в превращении одной функции в другую, следуя определенным правилам (исключением, является экспоненциальная функция F(x)=e^x, которая не меняется). 2+6x-72

Решение сложных производных

На практике с решением производных сложных функций приходится сталкиваться значительно чаще, чем с простыми.

Правило определения производной сложной функции выглядит следующим образом:
(a(b))’=a’(b)*b’, где a-внешняя функция, b-внутренняя функция.

Рассмотрим пример

Необходимо найти производную функции F(x)=sin(3x-5)

Найти производную данной функции, воспользовавшись таблицей простых (элементарных) функций, не получится, так как под sin находится целое выражение, т.е. функция состоит из двух функций a=sin(x)(внешняя функция) и b=3x-5 (внутренняя функция).

Воспользуемся правилом определения производной сложной функции и получим:
F’(x)=(sin(3x-5))’=cos(3x-5)*(3x-5)’=3cos(3x-5).

заметка: деревянные окна (http://www.woodlan.ru/) и Продвижение товара и услуг в интернете недорого от частного специалиста подробнее на http://seoshnig.ru.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Производная числа e.

Производная суммы и разности

Приложение

Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление — есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое —4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f «(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f «(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)» = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, — это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x — аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастаетточка максимумаубываетточка минимумавозрастает
+00+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Самые модные бикини этого лета — на какие тренды стоит обратить внимание

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Поклонницам ярких решений советуем обратить внимание на бикини с животным принтом. Если «леопард» кажется тебе слишком заезженным и броским, присмотрись к более спокойным вариантам — с рисунком под зебру или питона. 

Бери пример с инстаинфлюенсеров и носи этим летом бикини с тонкими завязками. Переплетения на талии сделают образ более интригующим, а также помогут акцентировать стройный живот. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Бикини в стиле ретро, декорированное принтом в горошек, сделает твой пляжный образ более женственным и романтичным. Благодаря высокой посадке, плавки отлично подчеркивают талию и придают фигуре выразительные изгибы. Оттенок подходит и очень светлым, и смуглым девушкам. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Яркий розовый цвет подчеркивает загар, мягкий материал в рубчик приятно ощущается на теле и быстро высыхает — отличное решение для отдыха на пляже в этом году. 

Лиф на косточках обеспечивает отличную поддержку даже пышной груди, трусики с высокой посадкой зрительно выделяют талию, а цветочный принт делает образ для пляжа нежнее и мягче. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Еще одна альтернатива «леопарду» — тигриный принт. В сочетании с тонкими черными завязками и бретелями он придает образу дерзость и отлично подчеркивает загар. 

Трусики с высокими боковыми вырезами на бедрах зрительно удлиняют ноги, а вырезы в области ребер подчеркивают линию талии. На фоне белоснежного материала загар смотрится еще более насыщенным. 

Как сложились жизни бывших мужей Аллы Пугачёвой: Киркорова, Стефановича и других

Legion-Media, Persona Stars

Миколас Орбакас


(в браке с Пугачёвой с 1969-го по 1973 г.)

Юная Пугачёва познакомилась с цирковым артистом во время его гастролей. 19-летняя Алла очаровала Миколаса. Он был поражен ее талантом и звонким голосом. Молодые люди стали встречаться, а через полгода Орбакас сделал девушке предложение руки и сердца. Свадьба состоялась в московской закусочной, рядом с домом родителей девушки. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Алла Пугачёва и Миколас Орбакас с дочерью Кристиной, Кадр из видео

В 1971 году на свет появилась дочь пары Кристина. Пугачёва много работала, у нее начались гастроли. Находился в разъездах и Миколас. В конце концов супруги приняли решение развестись через четыре года семейной жизни. Через десять лет после разрыва с Аллой артист женился на Марине. Служебный роман перетек в счастливый союз. Возлюбленная Орбакаса родила от него сына Фабиана. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Марина Орбакене родила сына Фабиана от Миколаса, Кадр из видео

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Александр Стефанович


(в браке с Пугачёвой с 1977-го по 1981 г.)

На 70-е пришелся взлет карьеры Аллы Борисовны. В этот период она познакомилась с молодым талантливым режиссером Александром Стефановичем. Сценарист уже был разведен. В первом браке, с актрисой фильма «Большая перемена» Натальей Богуновой, он прожил четыре года. Пугачёва поразила Александра своей энергетикой и харизмой. Влюбленные очень скоро объяснились в чувствах, а в 1977 году узаконили отношения.

Союз Стефановича с певицей оказался плодотворным. Режиссер активно работал над имиджем супруги. При нем вышел на экраны фильм «Женщина, которая поет». Лента обрела статус культовой и закрепила за Аллой Борисовной репутацию сильной волевой артистки. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Алла Пугачева и Александр Стефанович, Кадр из видео

Но совместная работа вскоре начала разрушать брак двух звезд. Говоря о разрыве, Пугачёва указывала на измены бывшего мужа, а сам он упоминал трудный характер актрисы. «»Он надо мной издевался! Он меня худеть заставлял». Судья ухмыльнулась: «Мне бы такого мужа»», — сказал о разводе Александр Борисович.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

После развода с Примадонной ему приписывали роман с топ-моделью Юлией Мочернюк. Стефанович ухаживал за легендой мира моды Юлией Лемиговой. Режиссер познакомился с ней, когда она была школьницей. Он помог девушке начать карьеру модели, завоевать титул «Мисс СССР». Но Юлия вышла замуж за французского банкира и родила от него сына. Мальчик погиб при неизвестных обстоятельствах. С 2014 года Лемигова состоит в браке со знаменитой теннисисткой Мартиной Навратиловой. 

Стефанович не женился после развода с Пугачёвой. Бывшие супруги так и не примирились. 76-летний Александр Борисович умер 13 июля 2021 года от коронавируса. Наследников у писателя не осталось.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Александра не стало в 2021 году, PersonaStars

Евгений Болдин


(в браке с Пугачёвой с 1980-го по 1993 г.)

Музыкальный продюсер стал концертным директором коллектива Аллы Пугачёвой в 1978 году. Евгений был женат первым браком на Людмиле, пара воспитывала дочь Екатерину. В 1979-м Болдин развелся, он стал помогать родителям Аллы Борисовны и еще маленькой Кристине, чтобы певица могла не отвлекаться от работы. Влюбленные могли стать родителями, но в 1981 году оба приняли решение прервать беременность певицы. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Чтобы выехать за рубеж, в 1985-м Болдин и Пугачёва оформили отношения. Но полноценной семьи у влюбленных так и не случилось. Примадонна была погружена в музыку. К тому же в 86-м у нее появился молодой талантливый фаворит – Владимир Кузьмин. Супруги развелись в 1993 году. Лев Лещенко познакомил Болдина с молодой уроженкой Краснодара Мариной Лях. В 2008-м пара сыграла свадьбу, а год спустя на свет появилась вторая дочь Евгения – Мария. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Марина Лях и Евгений Болдин, Legion-Media

Филипп Киркоров


(в браке с Пугачёвой с 1994-го по 2005 г.)

Сын болгарского артиста Бедроса Киркорова с малых лет грезил о встрече с Пугачёвой. В 80-х поэт Илья Резник познакомил юного артиста с Аллой Борисовной, она пригласила Филиппа на свои «Рождественские встречи» и в Театр песни. Киркоров добивался внимания Пугачёвой и смог покорить ее сердце. Влюбленные поженились в 1994 году, прошли обряд венчания. О торжестве не знала даже Кристина Орбакайте. 

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Артисты прожили вместе 11 лет. В нулевых у Киркорова появился соперник – Максим Галкин. Пародист осыпал любимую женщину цветами, шутил, чем завоевал расположение Примадонны. Она ушла от Филиппа и в 2005 году оформила развод.

Исполнитель хита «Цвет настроения синий» больше не женился. В 2011 году у него родилась дочь от суррогатной матери. Певец назвал девочку Аллой-Викторией. Сын Мартин-Кристин появился на свет еще год спустя. 

Филипп Киркоров с дочерью и сыном, instagram.com/fkirkorov

Найти производную функции 3х. Калькулятор онлайн

Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f»(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f»(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y». Отметим, что y» = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f»(a) \)

Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f»(a) = tg(a) \) .2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f»(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f»(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f»(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием . При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями.2} $$

Приложение

Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление — есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров.

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое —4,01 .

Решение.

Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f «(х 0) = 1 .

Решение.

Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f «(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)» = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

Страница 1 из 1 1

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Онлайн-калькулятор производной производной

с шагами

Онлайн-калькулятор рассчитает производную любой функции, используя общие правила дифференцирования (правило произведения, правило частного, правило цепочки и т. Д.), С указанными шагами. Он может обрабатывать полиномиальные, рациональные, иррациональные, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические, гиперболические и обратные гиперболические функции. Кроме того, при необходимости он оценит производную в данной точке. Он также поддерживает вычисление первой, второй и третьей производных до 10.

Связанный калькулятор: Калькулятор неявной дифференциации с шагами

Ваш ввод

Найдите $$$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) $$$. {n — 1} $$$ с $$$ n = 1 $$$, другими словами, $$$ \ frac {d} {dx} \ left ( x \ right) = 1 $$$:

$$ x \ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) + \ sin {\ left (x \ right )} \ color {red} {\ left (\ frac {d} {dx} \ left (x \ right) \ right)} = x \ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) + \ sin {\ left (x \ right)} \ color {red} {\ left (1 \ right)} $$

Производная синуса: $$$ \ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) = \ cos {\ left (x \ right)} $$$ :

$$ x \ color {красный} {\ left (\ frac {d} {dx} \ left (\ sin {\ left (x \ right)} \ right) \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} = x \ color {red} {\ left (\ cos {\ left (x \ right)} \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} $$

Таким образом, $ $$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) = x \ cos {\ left (x \ right)} + \ sin {\ left (x \ справа)} $$$.

Ответ

$$$ \ frac {d} {dx} \ left (x \ sin {\ left (x \ right)} \ right) = x \ cos {\ left (x \ right)} + \ sin {\ left (x \ right)} $$$ A

Калькулятор производной производной

— Примеры, онлайн-калькулятор производной

Калькулятор производной вычисляет скорость изменения функции по отношению к другим переменным. В математике дифференцирование имеет дело с такими переменными, как x и y, функция f (x) и соответствующими изменениями переменных x и y.Дифференциация используется для решения многих реальных задач, таких как вычисление изменений температуры или скорости, охватываемых за период.

Что такое калькулятор производных финансовых инструментов?

Калькулятор производных финансовых инструментов — это онлайн-инструмент, который помогает вычислять значения производных финансовых инструментов. Это помогает рассчитать скорость изменения функции по отношению к другим переменным за несколько секунд. Чтобы использовать этот калькулятор производной , введите значения в поля ввода, приведенные ниже.

Калькулятор производных

Как пользоваться калькулятором производных финансовых инструментов?

Чтобы определить стоимость производных финансовых инструментов с помощью онлайн-калькулятора производных финансовых инструментов, выполните следующие действия:

  • Шаг 1. Откройте онлайн-калькулятор производной Cuemath.
  • Шаг 2: Введите функцию относительно x в указанные поля ввода.
  • Шаг 2: Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти значение производных.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поля и ввести различные функции.

Как работает калькулятор производных финансовых инструментов?

Производная функции представлена ​​как y = f ‘(x). Это означает, что функция является производной y по переменной x. Процесс нахождения производных называется дифференцированием.

Существуют общие функции и правила, которым мы следуем, чтобы найти производные

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов.Cuemath находит решения простым и легким способом.

Решенный пример по деривативам

Пример 1: Найдите значение производной 5x 3 + 2x 2 и проверьте его с помощью калькулятора производных

Решение:

= d / dx (5x 3 + 2x 2 )

= d / dx (5x 3 ) + d / dx (2x 2 )

Используя умножение на константу и правило мощности,

= (5 × 3x 3-1 ) + (2 × 2x 2-1 )

= 15x 2 + 4x

Следовательно, значение производной 5x 3 + 2x 2 равно 15x 2 + 4x

Пример 2: Найдите значение производной 13x 2 + 8

Решение:

= d / dx (13x 2 + 8)

= d / dx (13x 2 ) + d / dx (8)

= 26x 2-1 + 0 = 26x

Точно так же вы можете использовать калькулятор производных, чтобы найти стоимость производных для следующего:

☛ Также проверьте,

Онлайн-калькулятор производных

Упражнение может быть интересным только в одном случае — когда вы знаете все правила и умеете их соблюдать.Если вы хотите проверить свой ответ, этот калькулятор — правильный выбор. Чтобы найти производную от выражения, нужно аккуратно ввести ее и нажать синюю стрелку. После того, как вы увидите список опций, вам нужно выбрать «Найти производную». Правильный ответ волшебным образом появится на вашем экране.

Вычисление производных первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим самые распространенные из них.

  • Экстремум функции одной переменной находится приравниванием производной нулю: f ‘(x) = 0.Это основной этап построения графика функции методом дифференциального исчисления.
  • Значение производной в точке x0 позволяет найти уравнение касательной к графику функции.
  • Отношение производных позволяет нам вычислять пределы по правилу Л’Оспиталя.
  • В математической статистике плотность распределения f (x) определяется как производная функции распределения F (x).
  • При поиске конкретного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислить производную в точке.
  • В методе Ньютона с помощью производной разделяются корни нелинейных уравнений.
  • Производная функции — одно из основных понятий математики. А нахождение производной получило название дифференцирования, которое характеризует скорость изменения функции (на данный момент).

Калькулятор производных финансовых инструментов онлайн

При решении высшей математики часто бывает необходимо вычислить производную математической функции.Для простых математических функций это больше не проблема, поскольку таблицы разработаны и доступны для производных. Однако если вы хотите найти производную сложной математической функции, вам придется потратить много времени и усилий. Как раз в этом случае наш онлайн-калькулятор, который умеет вычислять производные функций любой сложности, станет отличным выходом.

Наш калькулятор производных поможет вам в решении ваших вопросов.


Последнее обновление: четверг, 25 июня 2020 г. — 16:51
Калькулятор производной производной

с шагами — Откройте Omnia

Войдите в функцию.Используйте x в качестве переменной.
См. Примеры

ПОМОЩЬ

Используйте предоставленную клавиатуру для ввода функций. Используйте x в качестве переменной. Нажмите «РЕШИТЬ», чтобы обработать введенную вами функцию.

Вот несколько примеров того, что вы можете ввести.

Вот как вы используете кнопки

РЕШЕНИЕ Обрабатывает введенную функцию.
ПРОЗРАЧНЫЙ Удаляет весь текст в текстовом поле.
DEL Удаляет последний элемент перед курсором.
а-я Показывает алфавит.
триг Показывает тригонометрические функции.
Переместите курсор влево.
Переместите курсор вправо.{□} {□} 90 206 долл. США N-й корень.
(□) Скобка.
журнал База журнала 10.
пер. Натуральное бревно (база e).
| $ □ $ | Абсолютное значение.
Калькулятор производной

| Лучший калькулятор дифференцирования

Определение производного калькулятора

Производная функции — это основное понятие математики.Производная занимает центральное место в исчислении вместе с интегралом. Процесс решения производной называется дифференцированием и вычислением интегралов, называемым интегрированием.

Калькулятор производных

— это последнее дополнение к обучению с помощью технологий. Вы можете найти производную калькулятора обратной функции, чтобы решать свои уравнения онлайн и быстро учиться.

В исчислении концепции и вычисления производных являются техническими. Вычисления не так просты, как вычисление чисел округления или нахождение средних значений.

Триггерные функции и калькулятор производных

Скорость изменения функции в какой-то момент характеризуется как производная триггерной функции. Калькулятор производной обратной функции предсказывает скорость изменения, вычисляя отношение изменения функции Y к изменению независимой переменной X. Производная функции триггера также помогает научиться вычислениям квадратной формулы.

Согласно определению производной, это отношение считается предельным, когда X приближается к 0 Δx → 0.

Изучив концепцию этих вычислений с помощью калькулятора нотации Лейбница, вы сможете дополнительно узнать, как найти стандартное отклонение.

Калькулятор нотаций Лейбница и нотации

В дифференциации значительную роль играют нотации Ларанге и Лейбница. Калькулятор нотации Лейбница вычисляет результаты с учетом этих двух нотаций.

В обозначениях Лагранжа производная f записывается как функция Y = f (x) как f ′ (x) или y ′ (x).

В обозначениях Лейбница производная f записывается как функция Y = f (x) как df / dx или dy / dx.

Это несколько шагов, чтобы найти производную функции f (x) в точке x0, выполняя ручные вычисления:

  • Сформировать разностный коэффициент Δy / Δx = f (x0 + Δx) −f (x0) / Δx
  • Если возможно, упростите частное и отмените Δx
  • Сначала найдите дифференцирование f ′ (x0), применяя предел к частному. Если этот предел существует, то можно сказать, что функция f (x) дифференцируема в точке x0.

Калькулятор производных обратных функций является альтернативой этим вычислениям вручную, поскольку калькулятор производных обратных функций экономит ваше время, которое вы тратите на ручные вычисления. Он используется для повышения продуктивности и эффективности обучения.

Калькулятор производных правил дифференцирования

Ниже приведен список всех производных правил дифференцирования, которые использует калькулятор:

Постоянное правило:

f (x) = C, тогда f ′ (x) равно 0

Правило константы позволяет калькулятору обратной производной определять постоянную функцию производной равной 0.

Постоянное множественное правило:

g (x) = C * f (x), тогда g ′ (x) = c · f ′ (x)

Правило множественности констант позволяет калькулятору производных обратных функций убедиться, что константа производной умножается на константу производной функции.

Правило разницы и суммы:

h (x) = f (x) ± g (x), тогда h ′ (x) = f ′ (x) ± g ′ (x)

Правило разницы и суммы гарантирует, что производная от суммы функции равна сумме их производных, вычисленных с помощью калькулятора дифференцирования.

Правило продукта:

h (x) = f (x) g (x), тогда h ′ (x) = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x)

Правило произведения позволяет производной обратного калькулятора умножать две части функции вместе.

Правило частного:

h (x) = f (x) / g (x), тогда h ′ (x) = f ′ (x) g (x) — f (x) g ′ (x) / g (x) ²

Правило частных позволяет калькулятору дифференцирования разделить одну функцию на другую.

Правило цепочки:

h (x) = f (g (x)), тогда h ′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x)

Цепное правило помогает калькулятору дифференцирования различать составные функции.

Для общих вычислений площади найдите калькулятор площади трапеции, а также калькулятор площади сектора и калькулятор площади прямоугольника.

Тригонометрические производные, используемые калькулятором дифференцирования

  • Производная sinx f (x) = sin (x), тогда f ′ (x) = cos (x)
  • Производная cosx f (x) = cos (x), тогда f ′ (x) = — sin (x)
  • Производная tanx f (x) = tan (x), тогда f ′ (x) = sec2 (x)
  • Производная secx f (x) = sec (x), затем f ′ (x) = sec (x) tan (x)
  • Производная cotx f (x) = cot (x), тогда f ′ (x) = — csc2 (x)
  • Производная cscx f (x) = csc (x), тогда f ′ (x) = — csc (x) cot (x)

Нажмите, чтобы узнать о вычислениях арифметической последовательности и нахождении теоремы Пифагора.

Экспоненциальные производные, используемые калькулятором дифференцирования

  • f (x) = a˟, тогда; f ′ (x) = ln (а) a˟
  • f (x) = e˟, тогда; f ′ (x) = e˟
  • f (x) = aᶢ˟, тогда f ′ (x) = ln (a) aᶢ˟ g′˟
  • f (x) = eᶢ˟, тогда f ′ (x) = eᶢ˟ g ′ (x)

Производная от Sin

Sin (x) — тригонометрическая функция, играющая большую роль в исчислении.

Производная Sin записывается как

$$ \ frac {d} {dx} [Sin (x)] = Cos (x) $$

Производная от Cos

Cos (x) также является тригнометрической функцией, которая так же важна, как и Sin (x).

Производная от Cos записывается как

$$ \ frac {d} {dx} [Cos (x)] = — Sin (x) $$

Расчеты производных основаны на разных формулах, различные формулы производных можно найти на нашем портале.

Производное от Tan

Необходимо найти и другие производные от касательной. В общем случае tan (x), где x — функция касательной, например tan g (x).

Производная от Tan записывается как

Производная tan (x) = sec2x.

Наш инструмент также поможет вам найти производные от функций логарифма. Все, что вам нужно, это иметь значения журнала для начала. Если у вас нет значений логарифма, вычислите логарифм и найдите значение функций антилогарифма.

Как найти калькулятор производной?

Калькулятор производной функции обратной функции — важный инструмент для тех, кто ищет быструю помощь в вычислении производной функции. Найти калькулятор производной нетрудно, так как вы можете легко найти его в Интернете.

Что такое калькулятор производных от Calculatored?

Calculatored — это онлайн-платформа, предлагающая множество онлайн-инструментов и конвертеров для студентов, учителей, исследователей и других. Калькулятор производных — это упрощение уравнений, которое использует правило деления производной и формулу производной для нахождения производной триггерных функций. Калькулятор обратной производной упрощает изучение и решение уравнений.

Как пользоваться калькулятором производных финансовых инструментов?

Калькулятор обратной производной функции прост, бесплатен и удобен в использовании.Это упрощение уравнения также упрощает производную шаг за шагом.

Шаг № 1: Найдите и откройте калькулятор дифференциации на нашем веб-портале.

Шаг № 2: Введите уравнение в поле ввода.

Шаг № 3: Установите переменную дифференцирования как «x» или «y».

Шаг №4: Выберите, сколько раз вы хотите различать.

Шаг № 5: Нажмите кнопку «РАСЧЕТ».

Наш калькулятор обратной функции быстро вычислит производную функции.Вы можете найти производные шаги под результатом.

Вы также можете использовать другие наши математические калькуляторы, такие как калькулятор суммирования или калькулятор gcf.

Мы надеемся, что вам понравился наш калькулятор производных и его теория. Пожалуйста, поделитесь с нами своим мнением. Ваше здоровье!

Производные тригонометрических функций Калькулятор и решатель

1

Решенный пример производных тригонометрических функций

$ \ frac {d} {dx} \ cos \ left (3x ^ 2 + x-5 \ right) $

2

Производная косинуса функции равна минус синусу функции, умноженному на производную функции, другими словами, если $ f (x) = \ cos (x) $, то $ f ‘(x) = — \ sin (x) \ cdot D_x (x)

долл. 2 + x-5 \ вправо) $

Калькулятор неявной дифференциации — Найдите неявную производную

Онлайн-калькулятор неявного дифференцирования помогает определить неявную производную заданных функций по переменной.2 \). Дифференциация — это процесс нахождения производной функции. Другими словами, процесс определения производной зависимой переменной в неявной функции путем дифференцирования каждого элемента отдельно, выражения производной зависимой переменной в виде символа и решения полученного выражения.

Найти dy / dx неявным дифференцированием:

Это метод нахождения неявного дифференцирования функции. Если вы хотите сделать это вручную, выполните следующий пошаговый процесс:

  • Сначала возьмем данное полиномиальное уравнение, которое имеет две разные переменные a и b.
  • Теперь примените дифференциальную функцию к обеим сторонам уравнения и вычислите производные.
  • Затем перенесите dy / dx на одну сторону уравнения и выполните математические операции со значением dy / dx
  • Добавьте заданные значения (a, b) в уравнение для получения неявного решения. 2 — 2 (2) $$

    $$ = 6–12 / 27–4 $$

    Следовательно, результат неявной задачи дифференцирования:

    $$ = — 6/23 $$

    Как работает калькулятор неявной дифференциации ?

    Онлайн-калькулятор неявной производной вычисляет неявное дифференцирование для введенной функции, выполнив следующие действия:

    Ввод:
    • Сначала введите значение функции f (x, y) = g (x, y).
    • Теперь выберите переменную из раскрывающегося списка, чтобы различать по этой конкретной переменной.
    • Если вы хотите оценить производную в определенных точках, замените значения точек x и y. (необязательно)
    • Нажмите кнопку «Рассчитать» для неявного решения.

    Выход:
    • Решатель неявного дифференцирования быстро предоставляет неявную производную заданной функции.
    • Этот калькулятор также находит производную для определенных точек.

    FAQ:

    Почему мы используем неявное дифференцирование?

    Неявное дифференцирование используется для определения производной переменной y по x без вычисления заданных уравнений для y.

    Что такое явная и неявная функция?

    Явная функция — это функция, которая выражается в терминах независимой переменной. В то время как неявная функция — это функция, которую можно записать в терминах как независимых, так и зависимых переменных.

    Что такое неявное дифференцирование ab?

    Неявная производная от ab равна

    .

    dy / dx (ab) = ab ’+ a’b

    = ab ’+ b

    Заключение:

    Используйте этот онлайн-калькулятор неявного дифференцирования для вычисления производной, когда зависимая переменная не изолирована на одной стороне уравнения. Он также может найти неявный вывод в заданных точках.

    Артикул:

    Из источника в Википедии: Неявная функция, неявное уравнение, индикаторная функция, Алгебраические функции, Неявное дифференцирование, Общая формула для производной неявной функции.

Минус делить на плюс будет плюс: Правила знаков

Плюс минус

Плюс минус

      Плюс и минус — это признаки положительных и отрицательных чисел в математике. Какой результат получается при умножении и делении положительных и отрицательных чисел? Эта простая таблица наглядно показывает результаты умножения и деления двух чисел с разными знаками.

      Приведенные в таблице результаты применимы как при умножении и делении целых чисел, так и при умножении и делении дробей. Для определения числовых значений результата умножения или деления воспользуйтесь таблицами умножения и деления, которые можно скачать бесплатно.

      При умножении или делении двух положительных чисел в результате получается положительное число. Плюс умноженный на плюс дает плюс, плюс деленный на плюс будет плюс. Это правило математики. Произведение двух положительных чисел — число положительное, частное двух положительных чисел — положительное число.

      В математике умножение или деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число. Плюс умноженный на минус дает минус. Плюс деленный на минус будет минус. Если положительную дробь умножить или разделить на отрицательную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным. Произведение положительного числа на отрицательное — число отрицательное, частное положительного числа на отрицательное число — отрицательное число. Если числитель дроби положительный, а знаменатель отрицательный — дробь (или целое число) будет отрицательной.

      При делении или умножении отрицательного числа на положительное в результате получается отрицательное число. Минус умноженный на плюс будет минус. Минус деленный на плюс в математике будет минус. Когда числитель дроби отрицательный, а знаменатель положительный — дробь (или целое число) будет отрицательной. Если отрицательную дробь умножить или разделить на положительную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным, что определяется другими правилами математики. Произведение отрицательного числа на положительное — число отрицательное, частное отрицательного числа на положительное число — отрицательное число.

      Когда умножаются или делятся два отрицательных числа, результатом будет положительное число. Минус умноженный на минус дает плюс, минус деленный на минус будет плюс. Произведение двух отрицательного чисел — положительное число, частное двух отрицательного чисел — число положительное. При делении или умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Правила знаков в математике распространяются как на целые, так и на дробные числа. При делении двух отрицательных дробей результат будет положительным. При умножении двух отрицательных дробей результат так же будет положительным, то есть со знаком плюс.

ВОПРОС — ОТВЕТ

«Кто ввел знаки сложения и вычитания в математику?» — первое употребление слов plus (больше) и minus (меньше) как обозначения действия сложения было найдено историком математики Энестремом в итальянской алгебре четырнадцатого века. Вначале действия сложения и вычитания обозначали перввыми буквами слов «p» и «m». Современные знаки плюс «+» и минус «-» появились в Германии в последнее десятилетие пятнадцатого века в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (“Behende und ubsche Rechenung auf allen Kaufmannschaft”, 1498). Существует предположение, что знаки плюс «+» и минус «-» появились из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке черточкой «-«, а при восстановлении запаса их перечеркивали, откуда получился знак «+». Здесь я хочу особо подчеркнуть, что знаком «минус» отмечалась не мера (бочка) с «отрицательным» вином, а пустая мера (бочка), что гораздо больше соответствует понятию «ноль». Когда вам математики будут рассказывать об отрицательных числах, всегда помните о пустой бочке, которая по воле математиков превратилась в бочку со знаком «минус».

«Минус 6 делить на минус 3 как быть?» — сперва отбрасываем знаки минус и делим просто 6 (шесть) на 3 (три) при помощи таблицы деления и получаем в результате 2 (два). Потом по табличке вверху странички делим минус на минус и получаем плюс. Теперь прилепливаем полученный плюс к ранее полученной двойке

(-6) : (-3) = +2

Впрочем, знак «+» перед числами писать не принято, поэтому красивее и правильнее будет так:

(-6) : (-3) = 2

«Если число со знаком минус спереди умножаем на такое же число?» — решение смотри выше.

      13 ноября 2009 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Правила знаков

Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.

Рассмотрим подробней основные правила знаков.

Деление.

Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».

Умножение.

Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».

Вычитание и сложение.

Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.

Правила при умножении (делении) чисел

Множители
(делимое и делитель)
Результат
+++
+
+
+

Умножения и деление отрицательных чисел. Решение примеров.

 

 

В этой статье мы будем изучать умножение и деление отрицательных чисел. Существуют определенные правила умножения отрицательных чисел.
  • \(«—«-\) при умножении минус на минус результат становится положительным;
  • \(«-+»-\) при умножении минуса на плюс результат становится отрицательным;
  •  \(«+-«-\) при умножении плюса на минус результат становится отрицательным;
  • \(«++»-\)  при умножении плюса на плюс результат становится положительным.

Примеры умножения отрицательных чисел. 

Задача 1. Вычислить: \((-4)*(-4)\) и \((-6)*(-5).\)

Решение.

Отрицательное число при умножении на отрицательное станет положительным согласно правилу.

  1. \((-4)*(-4)=16\)
  2. \((-6)*(-5)=30\)

Ответ: \(16;30.\)

Задача 2. Вычислить: \((-10)*12\) и \((-7)*4.\)

Решение.

Отрицательное при умножении на положительное число станет отрицательным согласно правилу.

-10 * 12= -120

(-7)*4=-28

 

Ответ: \(-120; -28\)



Задача 3. Вычислить: \(11*(-11)\) и \(13*(-6).\)

Решение.

Положительное при умножении на отрицательное число станет отрицательным согласно правилу.

  1. \(11*(-11)=-121\)
  2. \(13*(-6)=-78\)

Ответ: \(-121;-78.\)

Деление отрицательных чисел

 

При делении действуют те же правила знаков, что и при умножении. Делить на ноль нельзя.

  • ​\(«—«-\)​ при делении минус на минус результат становится положительным;
  •  ​\(«-+»-\)​при делении минуса на плюс результат становится отрицательным;
  •  \(«+-«-\)при делении плюса на минус результат становится отрицательным;
  • \(«++»-\) при делении плюса на плюс результат становится положительным.

Задача 4. Вычислить: \((-16)*(-4)\) и \((-6)*(-2)\).

Решение.

  1. \(-16:(-4)=4\)
  2. \((-6):-2=3\)

Ответ: \(4;3.\)

Задача 5. Вычислить: \((-10):5\) и \((-12):6\).

Решение.

  1.  \((-10):5=-2\)
  2. \((-12):6=-2\)

Ответ: \(-2;-2.\)

Задача 3. Вычислить:  \(121:(-11)\) и  \(169:(-13)\).

Решение.

  1.  \(121:(-11)=-11\)
  2.  \(169:(-13)=-13\)

Ответ: \(-11;-13.\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

БГПУ им.Максима Танка

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-7 классов. Математика — это чудесный мир логики и точности. Дорога в этот мир лежит через старания, внимательность и весёлые задания. Необычные решения и интерес помогут разобраться и полюбить эту науку!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Национальный исследовательский Томский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Преподаватель в университете — 5 лет, Работа со школьниками 5-9 класса. Математика универсальна и является важнейшим инструментов в изучении всех точных наук. С удовольствием помогу любому ученику разобраться и понять сложные темы. На занятиях разложим все знания по полочкам, будем идти от простого к сложному.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 6-9 классов. Буду рад помочь разобраться с предметом, успешно усвоить материал школьной программы по математике. Устраню пробелы в пройденном материале, подниму текущий уровень знаний по математике. Доношу материал понятно и грамотно, акцентирую внимание на важных и значимых вещах. Не оставляю материал непонятым. В отличии от школы мы никуда не торопимся — будем разбирать тему до тех пор, пока не сформируем компетенцию. Нет ничего сложного ни в каком предмете, если его преподают с любовью.

Векторы

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Почему минус на минус дает плюс?

«Враг моего врага — мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

  • сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
  • умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
  • сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Умножение и деление целых чисел

При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.

При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть какое правило применять. Необходимо также изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволит избежать некоторых досадных ошибок в будущем.

Законы умножения

Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.

Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например, в выражении 3 × 2 = 6, число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.

Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.

Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.

Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.

Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3:

Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6.


Переместительный закон умножения

Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.

3 × 5 = 15

Теперь поменяем местами сомножители:

5 × 3 = 15

В обоих случаях мы получаем ответ 15, поэтому между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:

3 × 5 = 5 × 3

15 = 15

А с помощью  переменных переместительный закон умножения можно записать так:

a × b = b × a

где a и b — сомножители


Сочетательный закон умножения

Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

К примеру, выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

24 = 24

а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.


Распределительный закон умножения

Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.

Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5

Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25.

С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:

(a + b) × c = a × c + b × c

где вместо a, b, c могут стоять любые числа.


Закон умножения на ноль

Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Например, выражение 0 × 2 равно нулю

0 × 2 = 0

В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается так: «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль? Ответ — никак.

Иными словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».

И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:

0 × 2 = 2 × 0

0 = 0

Примеры применения закона умножения на ноль:

5 × 0 = 0

5 × 5 × 5 × 0 = 0

2 × 5  × 0 × 9  × 1 = 0

В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.

Мы рассмотрели основные законы умножения. Теперь рассмотрим самó умножение целых чисел.


Умножение целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2

Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Обычно записывают короче:  −5 × 2 = −10

Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

2 × 3 = 6

Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:

То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы

А выражение (−5) + (−5) равно −10. Мы это знаем из прошлого урока. Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.


Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)

Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Обычно решение записывают покороче:

12 × (−5) = −60


Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2

Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:

Первое действие:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Второе действие:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

Запишем решение покороче:

10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80


Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)

Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:

Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.

Запишем решение покороче (−4) × (−2) = 8

Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.

Сначала запишем следующее выражение:

4 × (−2)

Заключим его в скобки:

( 4 × (−2) )

Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:

( 4 × (−2) ) + ( (−4) × (−2) )

Всё это приравняем к нулю:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.

Итак, первое произведение (4 × (−2)) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие

−8 + … = 0

Теперь внимательно посмотрим на выражение −8 + … = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.

Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8

−8 + 8 = 0


Пример 5. Найти значение выражения  −2 × (6 + 4)

Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число  −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Теперь выполним умножение, и сложим полученные результаты. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

−2 × 6 = −12

Второе действие:

−2 × 4 = −8

Третье действие:

−12 + (−8) = −20

Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

Запишем решение покороче:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20


Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

Первое действие:

(−2) × (−3) = 6

Второе действие:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

Запишем решение покороче:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24


Законы деления

Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Например, в выражении 8 : 2 = 4,  8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.

Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.

Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.

Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

Далее рассмотрим законы деления.


На ноль делить нельзя

Любое число запрещено делить на ноль.

Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10 : 5 = 2.

Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если к примеру, у нас имеется два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то мы запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то мы запишем 10 : 5 = 2

Точно так же можно поступать и с другими выражениями. Если к примеру, 2 × 6 = 12, то мы можем обратно вернуться к изначальному числу 2. Для этого достаточно записать выражение 2 × 6 = 12 в обратном порядке, разделяя 12 на 6

12 : 6 = 2

Теперь рассмотрим выражение 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю

5 × 0 = 0

Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:

0 : 0 = 5

Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно.

В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

0 : 0 = 2

В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.

Например выражение 8 : 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8

… × 2 = 8

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даст ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:

8 : 2 = 4

Получили число 4. Запишем его вместо многоточия:

4 × 2 = 8

Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5 : 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5

… × 0 = 5

Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даст ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.

Выражение … × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

А значит записывать выражение … × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.

С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:

,  при b ≠ 0

Это выражение можно прочитать так:

Число a можно разделить на число b, при условии, что b не равно нулю.


Свойство частного

Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.

Например, рассмотрим выражение 12 : 4. Значение этого выражения равно 3

12 : 4 = 3

Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3

(12 × 4) : (4 × 4)
(12 × 4) : (4 × 4) = 48 : 16 = 3

Получили ответ 3.

Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4

(12 : 4) : (4 : 4)
(12 : 4) : (4 : 4) = 3 : 1 = 3

Получили ответ 3.

Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.

Мы рассмотрели два закона деления. Далее рассмотрим деление целых чисел.


Деление целых чисел

Пример 1. Найти значение выражения 12 : (−2)

Это деление чисел с разными знаками. 12 — положительное число, (−2) – отрицательное. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить минус.

12 : (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12 : 2) = −(6) = −6

Обычно записывают покороче:

12 : (−2) = −6


Пример 2. Найти значение выражения −24 : 6

Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. Опять же модуль делимого делим на модуль делителя, и перед полученным ответом ставим минус.

−24 : 6 = −(|−24| : |6|) = −(24 : 6) = −(4) = −4

Запишем решение покороче:

−24 : 6 = −4


Пример 3. Найти значение выражения −45 : (−5)

Это деление отрицательных чисел. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.

−45 : (−5) = |−45| : |−5| = 45 : 5 = 9

Запишем решение покороче:

−45 : (−5) = 9


Пример 4. Найти значение выражения −36 : (−4) : (−3)

Согласно порядку действий, если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.

Разделим −36 на (−4), и полученное число разделим на −3

Первое действие:

−36 : (−4) = |−36| : |−4| = 36 : 4 = 9

Второе действие:

9 : (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9 : 3) = −(3) = −3

Запишем решение покороче:

−36 : (−4) : (−3) = 9 : (−3) = −3


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Порядок выполнения математических действий | интернет проект BeginnerSchool.ru

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.

Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.

Рассмотрим пример:

38 – (10 + 6) = 22;

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

1) в скобках: 10 + 6 = 16;

2) вычитание: 38 – 16 = 22.

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

10 ÷ 2 × 4 = 20;

Порядок выполнения действий:

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5;

2) умножение: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, т.е.:

1) 10 + 4 = 14;

2) 14 – 3 = 11.

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4) 9 – 6 = 3; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54, т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4;

2) умножение: 6 × 4 = 24;

3) сложение: 30 + 24 = 54;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1)      действия, заключенные в скобках;

2)      умножение и деление;

3)      сложение и вычитание.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта“.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Как правильно умножать отрицательные числа?

Основные определения

Вспомним, как отличить положительное число от отрицательного, что такое умножение и какие у него свойства.

Начнем с того, что проведем прямую и отметим на ней начало отсчета — точку нуль (0). А теперь укажем направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом нам поможет красивая стрелка:


Два главных определения:

Положительные числа — это точки координатной прямой, которые лежат правее начала отсчета (нуля). Иногда рядом с ними ставят знак плюс — «+», но чаще всего положительные числа никак не обозначают. То есть «+1» и «1» — это одно и тоже число.

Запоминаем!

Положительные числа — это те, что больше нуля, а отрицательные — меньшие.

Отрицательные числа — это точки координатной прямой, которые лежат левее начала отсчета (нуля). Их всегда обозначают знаком минус — «-».

Нуль (0) — ни положительное, ни отрицательное число. Вот это ему повезло!

Числовую ось можно расположить как горизонтально (стрелка вверх), так и вертикально (стрелка вправо).

Если стрелка направлена вверх, то в верхней части от начала отсчета всегда расположены положительные числа, а в нижней — отрицательные. Смотрите:


Прямая, на которой отмечена начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называется координатной или числовой осью.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Свойства умножения

  1. От перестановки множителей местами произведение не меняется.
    a * b = b * a
  2. Результат произведения трёх и более множителей не изменится, если любую группу заменить произведением.
    a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

Вычислять можно в уме, при помощи таблицы умножения или в столбик. Продвинутые школьники могут использовать онлайн-калькулятор. 

Правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули. Это значит, что для любых отрицательных чисел -a, -b верно равенство:

А вот как умножить два числа с разными знаками:

  • перемножить модули этих чисел
  • перед полученным числом поставить знак минус

А теперь упростим правила. Сформулируем их в легкой форме с минимумом слов, чтобы проще запомнить:

  • «—» — при умножении минус на минус ответ будет положительным
    или минус на минус дает плюс
  • «-+» — при умножении минуса на плюс ответ будет отрицательным
    или минус на плюс дает минус
  • «+-» — при умножении плюса на минус ответ будет отрицательным
    или плюс на минус дает минус
  • «++» — при умножении плюса на плюс ответ будет положительным
    или плюс на плюс дает плюс.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пример 1. Вычислить: (-2)∗(-2) и (-3)∗(-7)

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на отрицательное — получается ответ со знаком плюс. Считаем:

 
  1. (-2)∗(-2) = 4

  2. (-3)∗(-7) = 21

Ответ: 4; 21.

Пример 2. Вычислить: (-11)∗11 и (-20)∗2

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на положительное — получается ответ со знаком минус. Считаем:

 
  1. -11 * 11 = -121

  2. (-20) * 2 = -40

 Ответ: -121; -40.

Пример 3. Вычислить произведение: 5∗(-5) и 12∗(-8)

Как решаем:

Вспомним правило: умножение положительного на отрицательное число дает отрицательный результат. Считаем:

 
  1. 5 ∗ (-5)= -25

  2. 12 ∗ (-8)= -96

Ответ: -25; -96.

Пример 4. Вычислить произведение: (-0,125 ) * (-6)

Как решаем:

 
  1. Используем правило умножения отрицательных чисел:
    (-0,125 ) * (-6) = 0,125 * 6.

  2. Выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:

Ответ: 0,75.

Умножение и деление отрицательных чисел

Purplemath

Если перейти от сложения и вычитания, как вы производите умножение и деление с отрицательными числами? Собственно, сложную часть мы уже рассмотрели: вы уже знаете правила «знака»:

плюс раз плюс плюс
(добавление большого количества горячих кубиков повышает температуру)

минус раз плюс минус
(удаление большого количества горячих кубиков снижает температуру)

плюс умножить на минус равно минус
(добавление большого количества холодных кубиков снижает температуру)

минус умножить на минус равно плюс
(удаление большого количества холодных кубиков повышает температуру)

MathHelp.com

Правила знаков действуют одинаково для деления; просто замените «раз» на «деленное на». Вот пример правил в разделе:

(Помните, что дроби — это просто еще одна форма деления! «Дроби — это деление»!)


Некоторым людям нравится думать об отрицательных числах в терминах долгов.Так, например, если вы должны 10 долларов шести людям, ваш общий долг составит 6 × 10 долларов = 60 долларов. В этом контексте имеет смысл получить отрицательный ответ. Но в каком контексте может иметь смысл деление отрицательного на отрицательное (и получение положительного)?

Подумайте о том, чтобы перекусить в кафе. Когда вы идете платить, у ребенка возникают проблемы с использованием вашей дебетовой карты. Он проводит по ней шесть раз, прежде чем, наконец, вернуть карту вам. Вернувшись домой, вы проверяете свой банковский счет в Интернете. Вы можете сказать по сумме, что да, он действительно взимал с вас или более одного раза.Некоторая часть этого общего дебета (отрицательная на вашем счете) неверна.

Прежде чем звонить в банк для исправления ситуации, вы хотите подтвердить количество превышенных комиссий. Как в этом разобраться? Вы можете разделить всю сумму (скажем, 76,02 доллара США) на сумму, указанную в квитанции (скажем, 12,67 доллара США), которая является суммой одного платежа. Каждое списание является минусом на вашем счету, поэтому математика составляет:

.

(- 76,02 доллара) ÷ (- 12 долларов.67) = 6

Итак, всего действительно было шесть зарядов. Количество зарядов, 6, при подсчете количества событий, должно быть положительным. В этом реальном контексте деление минуса на минус и получение плюса имеет смысл. И теперь вы знаете, что нужно указать службе поддержки клиентов отменить ровно пять начислений.


Вы можете заметить, что люди отменяют знак минус.Они пользуются тем, что «минус, умноженный на минус, есть плюс». Например, предположим, что у вас есть (–2) (- 3) (- 4). Любые два отрицательных результата при умножении становятся одним положительным. Так что выберите любые два из перемноженных (или разделенных) отрицаний и «отмените» их знаки:

  • Упростить (–2) (- 3) (- 4).

Начну с того, что уберу одну пару знаков «минус».Потом размножу как обычно.

(–2) (- 3) (- 4)

= (–2) (- 3) (–4)

= (+6) (–4)

= –24

Если вам дано длинное умножение с отрицательными числами, просто уберите знаки «минус» в парах:

  • Упростить (–1) (- 2) (- 1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1).

Первое, что я сделаю, это подсчитаю знаки «минус». Один два три четыре пять шесть семь. Итак, есть три пары, которые я могу отменить, оставив одну. В результате мой окончательный ответ должен быть отрицательным. Если я получу положительный результат, я буду знать, что сделал что-то не так.

(–1) (- 2) (- 1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (–1) (- 2) (–1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (+1) (+ 2) (–1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (–1) (- 3) (–4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (+1) (+ 3) (–4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (1) (3) (–4) (- 2) (–1)

= (1) (2) (1) (3) (+4) (+ 2) (–1)

= (1) (2) (1) (3) (4) (2) (- 1)

= (2) (3) (4) (2) (- 1)

= 48 (–1)

= –48

Я получил отрицательный ответ, поэтому знаю, что мой знак правильный.

Вот еще один пример, показывающий тот же процесс отмены в контексте разделения:


Отрицательные скобки

Основная трудность, с которой люди сталкиваются с негативом, заключается в том, чтобы иметь дело со скобками; в частности, в переносе отрицания через круглые скобки. Обычная ситуация примерно такая:

Если бы у вас было «3 ( x + 4)», вы бы знали, что нужно «распределить» 3 «над» круглыми скобками:

3 ( x + 4) = 3 ( x ) + 3 (4) = 3 x + 12

Те же правила применяются, когда вы имеете дело с негативом.Если у вас проблемы с отслеживанием, используйте маленькие стрелки:

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →


Мне нужно взять 3 в скобки:

3 ( x — 5) = 3 ( x ) + 3 (–5) = 3 x — 15

Здесь я возьму «минус» в скобках; Я буду распределять –2 на x и минус 3.

–2 ( x — 3) = –2 ( x ) — 2 (–3) = –2 x + 2 (+3) = –2 x + 6

Обратите внимание, как я внимательно следил за знаками в круглых скобках. «Минус» был сохранен рядом с цифрой 3 за счет использования еще одного набора круглых скобок. Не стесняйтесь использовать символы группировки, чтобы обозначить предполагаемый смысл как для оценщика, так и для вас самих.


Другая проблема, связанная с предыдущей, связана с вычитанием круглых скобок. Вы можете отслеживать знак вычитания, преобразовав вычитание в умножение на минус:

Я начну с написания маленькой цифры «1» перед круглыми скобками. Затем я нарисую стрелки от этой единицы к терминам в круглых скобках, чтобы напомнить себе о том, что мне нужно сделать.

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Не бойтесь написать эту маленькую цифру «1» и нарисовать эти маленькие стрелки.Вы должны делать все, что вам нужно, чтобы ваша работа была прямой и постоянно получала правильный ответ.

  • Упростить 6 — (3
    x — 4 [1 — x ]).

Я буду работать изнутри, упрощая сначала символы внутренней группировки в соответствии с Порядком операций. Итак, первое, что я сделаю, это возьму –4 через скобки.Тогда я упрощу; Я продолжу, поставив 1 перед круглыми скобками и, чтобы помочь мне отслеживать тот -1, который я буду распространять, я нарисую маленькие стрелки.

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →


Филиал


  • Упростить
    1 / 3 ( x -2) / 3 .

Это хитрый. Они заставляют меня вычесть дробь. Мне нужно объединить дроби, что означает объединение числителей. Чтобы не упустить из виду, что именно означает этот «минус» (а именно, что я вычитаю весь числитель второй дроби, а не только x ), я конвертирую минус с плюсом –1:

проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Обратите внимание, что я преобразовал вычитание дроби в добавление отрицательного числа, умноженного на единицу дроби.Очень легко «потерять» минус, когда вы добавляете такие беспорядочные полиномиальные дроби. Самая распространенная ошибка — ставить минус на x и забывать отнести его к –2. Будьте особенно осторожны с дробями!

Для дополнительной практики со скобками попробуйте здесь.


URL: https://www.purplemath.com/modules/negative3.htm

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Числа могут быть положительными или отрицательными

Это числовая строка:

Отрицательные числа (-) Положительные числа (+)

«-» — отрицательный знак. «+» — положительный знак

Отсутствие знака означает положительный результат

Если число имеет без знака , это обычно означает, что это положительное число .

Играй с этим!

Сначала попробуйте ползунки ниже и посмотрите, что произойдет, если числа станут отрицательными:

числа / изображения / номер-строка-add.js

Воздушные шары и гири

Давайте подумаем о числах как о воздушных шарах (положительных) и весах (отрицательных):

К этой корзине привязаны воздушные шары и гирьки:

  • Воздушные шары подтягиваются ( положительный )
  • И грузики тянутся вниз ( минус )

Добавление положительного числа

Сложение положительных чисел — это просто сложение.

Мы можем добавить воздушные шары (мы добавляем положительное значение )

корзина тянется вверх (положительно)

Пример: 2 + 3 = 5

действительно говорит

«Положительное 2 плюс Положительное 3 равно Положительное 5»

Мы могли бы записать это как (+2) + (+3) = (+5)

Вычитание положительного числа

Вычитание положительных чисел — это просто вычитание.

Воздушные шары можно забрать ( вычитаем положительное значение )

корзина тянется вниз (минус)

Пример: 6 — 3 = 3

действительно говорит

«Положительных 6 минус Положительных 3 равно Положительных 3»

Мы могли бы записать это как (+6) — (+3) = (+3)

Добавление отрицательного числа

Теперь посмотрим, как выглядит сложение и вычитание отрицательных чисел :

Мы можем добавлять веса (мы добавляем отрицательные значения )

корзина тянется вниз (минус)

Пример: 6 + (−3) = 3

действительно говорит

«Положительных 6 плюс отрицательных 3 равно положительных 3»

Мы могли бы записать это как (+6) + (−3) = (+3)

Последние два примера показали нам, что удаление воздушных шаров (вычитание положительного числа) или прибавление веса (добавление отрицательного числа) заставляет корзину опускаться.

Итак, имеют тот же результат :

  • (+6) — (+3) = (+3)
  • (+6) + (−3) = (+3)

Другими словами, вычитание положительного аналогично добавлению отрицательного .

Вычитание отрицательного числа

Наконец, мы можем убрать веса (мы вычитаем отрицательные значения )

корзина тянется вверх (положительно)

Пример: Что такое 6 — (−3)?

6 — (- 3) = 6 + 3 = 9

Да, действительно! Вычесть отрицание — это то же самое, что и сложить!

Два отрицания дают положительный результат

Что мы нашли?

Добавление положительного числа — это простое сложение…

Добавление положительного значения Добавление

Положительное и отрицательное вместе …

Вычитание положительного
или
Добавление отрицательного числа
равно
Вычитание

Пример: Что такое 6 — (+3)?

6 — (+ 3) = 6 3 = 3

Пример: Что такое 5 + (−7)?

5 + (- 7) = 5 7 = −2

Вычитание негатива…

Вычитание отрицательного числа аналогично Добавление

Пример: Что такое 14 — (−4)?

14 — (- 4) = 14 + 4 = 18

Правила:

Все это можно поместить в два правила :

Правило Пример
+ (+) Два одинаковых знака превращаются в знак положительный 3 + (+ 2) = 3 + 2 = 5
— (-) 6 — (- 3) = 6 + 3 = 9
+ (-) Два непохожих знака превращаются в знак минуса 7 + (- 2) = 7 2 = 5
— (+) 8 — (+ 2) = 8 2 = 6

Они «подобны знакам», когда они подобны друг другу (другими словами: одинаковы).

Итак, все, что вам нужно запомнить, это:

Два знака типа становятся положительным знаком

Два знака , отличных от , становятся отрицательным знаком

Пример: Что такое 5 + (- 2)?

+ (-) — это , в отличие от знаков (они не совпадают), поэтому они становятся отрицательным знаком .

5 + (- 2) = 5 2 = 3

Пример: Что такое 25 — (- 4)?

— (-) соответствует знакам , поэтому они становятся положительным знаком .

25 — (- 4) = 25 + 4 = 29

Начальный отрицательный

Что, если мы начнем с отрицательного числа?

Использование числовой линии может помочь:

Пример: Что такое −3 + (+ 2)?

+ (+) — это , как и знаки , поэтому они становятся положительным знаком , .

−3 + (+ 2) = −3 + 2


Начните с −3 на числовой прямой,
двигайтесь вперед на 2, и вы получите −1

−3 + (+ 2) = −3 + 2 = −1

Пример: Что такое −3 + (- 2)?

+ (-) — это в отличие от знаков , поэтому они становятся отрицательным знаком .

−3 + (- 2) = −3 2


Начните с −3 на числовой прямой,
переместитесь назад на 2, и вы получите −5

−3 + (- 2) = −3 2 = −5

А теперь поиграйте с ним!

Попробуйте сыграть в Casey Runner, вам нужно знать правила положительного и отрицательного, чтобы добиться успеха!

Объяснение здравого смысла

И есть объяснение «здравого смысла»:

Если я скажу «Ешь!» Я призываю вас поесть (положительный результат)

Если я скажу «Не ешьте!» Я говорю об обратном (отрицательном).

Теперь, если я скажу: « НЕ, не ешь!», Я говорю, что не хочу, чтобы вы умерли с голоду, поэтому я снова говорю: «Ешь!» (положительный).

Итак, два отрицания дают положительный результат, и если это вас устраивает, тогда вы сделали!

Другое объяснение здравого смысла

Друг +, враг —

..
+ + ⇒ + друг друга мой друг
+ — ⇒ — друг врага — мой враг
— + ⇒ — враг друга — мой враг
— — ⇒ + враг врага — мой друг

Пример банка

Пример. В прошлом году банк по ошибке снял с вашего счета 10 долларов, и они хотят это исправить.

Итак, банк должен забрать отрицательные 10 долларов.

Допустим, ваш текущий баланс составляет 80 долларов США, поэтому у вас будет:

80 долларов — (- 10 долларов) = 80 долларов + 10 долларов = 90

долларов

Таким образом, вы получаете $, еще 10 на свой счет.

Длинный пример, который вам может понравиться

Очки союзника

Элли может быть непослушным или милым. Так родители Элли сказали

«Если вы будете любезны, мы добавим 3 балла (+3).
Если непослушный, снимаем 3 балла (−3).
Когда вы набираете 30 очков, вы получаете игрушку ».

Ally начинает день с 9 очками: 9
Мама Элли обнаруживает пролитое молоко: 9 — 3 = 6

Тогда папа признается, что пролил молоко и пишет «отменить».

Как «отменить» минус 3?
Мы добавляем 3 снова!

Итак, мама вычисляет: 6 — (−3) = 6 + 3 = 9

Итак, когда мы вычитаем отрицательное, мы получаем
баллов (т.е.е. так же, как добавление очков).


Таким образом, вычитание отрицательного числа аналогично добавлению

Несколько дней спустя. У Элли 12 очков.



Мама добавляет 3 очка, потому что комната Элли чистая. 12 + 3 = 15



Папа говорит: «Я убрал эту комнату» и пишет «отменить» на диаграмме.Мама считает: 15 — (+3) = 12



Папа видит, как Элли чистит собаку. Пишет на графике «+3». Мама считает: 12 + (+3) = 15



Элли бросает камень в окно. Папа пишет на диаграмме «−3».Мама считает: 15 + (−3) = 12

См. « 15 — (+3) » и « 15 + (−3) » дают 12.

Итак:

Неважно, вычтите ли вы
положительных очков или добавите отрицательные
, вы все равно потеряете очки.

Таким образом, вычитание положительного
или
Добавление отрицательного числа
равно
Вычитание

Попробуйте эти упражнения…

Теперь попробуйте этот лист и посмотрите, как у вас дела.

А еще попробуйте эти вопросы:

11715, 11716, 11717, 11718, 11719, 11720, 11721, 3445, 3446

Умножение и деление на целые числа (предалгебра, изучение и понимание целых чисел) — Mathplanet

Вы также должны обращать внимание на знаки при умножении и делении. Следует помнить два простых правила:

Когда вы умножаете отрицательное число на положительное, произведение всегда отрицательное.

Когда вы умножаете два отрицательных числа или два положительных числа, произведение всегда будет положительным.

Это похоже на правило сложения и вычитания: два знака минус становятся плюсом, а плюс и минус становятся минусом. Однако при умножении и делении вы вычисляете результат так, как если бы не было знаков минус, а затем смотрите на знаки, чтобы определить, положительный или отрицательный результат. Два примера быстрого умножения:

$$ 3 \ cdot (-4) = — 12 $$

3 умножить на 4 равно 12.Поскольку существует одно положительное и одно отрицательное число, произведение отрицательное 12.

$$ (- 3) \ cdot (-4) = 12 $$

Теперь у нас есть два отрицательных числа, поэтому результат положительный.

Переходя к делению, вы можете вспомнить, что вы можете подтвердить полученный ответ, умножив частное на знаменатель. Если вы ответили правильно, то произведение этих двух чисел должно совпадать с числителем. Например,

$$ \ frac {12} {3} = 4 $$

Чтобы проверить, является ли 4 правильным ответом, мы умножаем 3 (знаменатель) на 4 (частное):

$$ 3 \ cdot 4 = 12 $$

Что произойдет, если разделить два отрицательных числа? Например,

$$ \ frac {(- 12)} {(- 3)} = \:? $$

Чтобы знаменатель (-3) стал числителем (-12), вам нужно умножить его на 4, поэтому частное равно 4.

Итак, частное отрицательного и положительного чисел отрицательно, и, соответственно, частное положительного и отрицательного чисел также отрицательно. Можно сделать вывод, что:

Когда вы делите отрицательное число на положительное, то частное отрицательное.

Когда вы делите положительное число на отрицательное, частное также становится отрицательным.

Когда вы делите два отрицательных числа, получается положительное частное.

Те же правила верны и для умножения.

Видеоурок

Вычислить следующие выражения

$$ (- 4) \ cdot (-12), \: \: \: \: \ frac {-12} {3} $$

Как складывать, вычитать, умножать и делить положительные и отрицательные числа


Давайте посмотрим на следующую числовую строку и заметим, что каждая точка (точка) на числовой прямой соответствует одному числу:


В числовой строке выше мы видим три типа чисел или целых чисел: отрицательные числа, ноль и положительные числа.Отрицательные числа находятся слева от нуля, поэтому они меньше нуля. Положительные числа справа от нуля, поэтому они больше нуля. Ноль, разделительная точка, не является ни положительным, ни отрицательным.

Для числовой линии выше «1» соответствует или относится к красной точке, «2» относится к зеленой точке, «3» относится к синей точке и так далее. Когда мы перемещаемся вправо по числовой строке, мы увеличиваем числа. Мы определили это как дополнение. Когда мы движемся влево, мы уменьшаемся.И мы определили это как вычитание. Обычно так работает числовая линия.

Когда мы складываем два положительных числа или умножаем два положительных числа, мы получаем положительное число. Однако мы можем вычесть положительное число из положительного, и внезапно мы не получим положительное число!

Например, если мы вычтем 7 из 4, мы начнем с 4 в числовой строке и переместимся влево на 7 позиций. Это подводит нас к -3. Поскольку -3 находится слева от 0, оно меньше нуля.

Глядя на обратную операцию, мы можем сказать, что если 4-7 = -3, то -3 + 7 = 4. И это правильно. Если мы начнем с -3 и переместим на 7 делений вправо, мы получим 4.

Положительные числа — это не только целые числа справа от нуля, но и все типы чисел, такие как дроби, десятичные дроби и радикалы. Отрицательные числа также включают различные формы и различные типы чисел, которые появляются слева от нуля.

У нас не всегда есть числовая линия, с которой можно работать, поэтому нам нужно изучить несколько правил работы с отрицательными числами.Во-первых, нам нужно определить абсолютное значение. Абсолютное значение числа — это количество единиц, отсчитываемых от нуля. Он всегда выражается положительно, но без знака «плюс».

Абсолютное значение 3 равно 3. Абсолютное значение -3 также равно 3. И 3, и -3 — три единицы от нуля. Абсолютное значение обозначается путем написания числа между двумя вертикальными полосами.

| 3 | = 3 и | -3 | = 3

Добавление отрицательных чисел


Если перед числом вы не видите отрицательный или положительный знак, это положительный знак.

При сложении чисел одного знака (положительного или отрицательного) сложите их абсолютные значения и дайте результату тот же знак.

6 + 5 = 11 (6 и 5 положительные; 6 + 5 равно 11, что положительно)

-7 + -8 = -15

(-7 и -8 оба отрицательны; сложите | 7 | + | 8 |, что равно 7 + 8, чтобы получить 15; ответ -15)

Если все числа в добавляемой группе отрицательные: -2 + -3 + -4 = -9, снова сложите абсолютные значения 2 + 3 + 4, чтобы получить 9 и поставить отрицательный знак.

Сложение положительных и отрицательных чисел

При сложении чисел противоположного знака возьмите их абсолютные значения, вычтите меньшее из большего и присвойте результату знак числа с большим абсолютным значением.

7 + -3 = | 7 | — | 3 | = 4

-8 + 6 = | 8 | что равно 8 и | 6 | что составляет 6. Вычтите меньшее из большего:

8-6, что дает результат 2 и дает ему знак большего числа, равного 8.

Ответ — -2.

Вычитание положительных и отрицательных чисел

При вычитании положительного числа из отрицательного используйте то же правило, что и для сложения двух отрицательных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице отрицательный знак.

-5 — 4 = | 5 | + | 4 | = | 9 | = -9 (это как -5 + -4 = -9)

-2 — 12 = | 2 | + | 12 | = | 14 | = -14

При вычитании отрицательного числа из положительного, двойной отрицательный результат вычитания отрицательного становится положительным, поэтому используйте то же правило, что и для сложения двух положительных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице положительный знак.

5 — -4 = | 5 | + | 4 | = 5 + 4 = 9

Если бы вы использовали числовую строку, вы бы пошли влево для вычитания, а затем перевернули (вправо) для отрицательного числа, так что окончательный ответ будет справа от исходного числа.

16 — -10 = | 16 | + | 10 | = 16 + 10 = 26

Аддитивное обратное число — это число с противоположным знаком, так что при сложении двух результат равен нулю.

а + (-а) = 0

Как видите, это положительные и отрицательные числа одного и того же абсолютного значения.

10 + -10 = 0

-24 + 24 = 0

Умножение положительных и отрицательных чисел

При умножении положительного числа и отрицательного числа (или отрицательного числа на положительное число) умножьте абсолютные значения и дайте ответ отрицательный знак.

8 х -5 = | 8 | х | 5 | = 8 x 5 = 40, но дайте ему отрицательный знак, сделав -40

-13 x 3 = -39

9 х -3 = -27

Чтобы умножить несколько чисел, посчитайте количество отрицательных знаков в числах, которые нужно умножить.Если это четное число, произведение будет положительным, а если нечетное, произведение будет отрицательным.

6 х -2 х -3 х 5 = | 6 | х | 2 | х | 3 | х | 5 |

6 x 2 = 12, 12 x 3 = 36 и 36 x 5 = 180

Имеется два отрицательных знака (четное число), поэтому ответ положительный.

Если бы было -6 x -2 x -3 x 5, ответ был бы -180

Умножение двух отрицательных чисел

При умножении двух отрицательных чисел два отрицательных числа компенсируют друг друга, поэтому умножьте абсолютные значения и дайте ответ положительный знак.

-21 х -3 = | 21 | х | 3 | = 63 (остается положительным)

-7 x -8 = | 7 | х | 8 | = 56

Деление отрицательного числа на отрицательное

Чтобы разделить два числа с одинаковым знаком (два положительных или два отрицательных), используйте абсолютные значения, и результат будет положительным.

16 ¸ 4 = | 16 | ¸ | 4 | = 4

-20 ¸ -10 = | 20 | ¸ | 10 | = 2

Деление положительного числа на отрицательное или отрицательного числа на положительное

Чтобы разделить пару чисел с разными знаками (отрицательное на положительное или положительное на отрицательное), используйте абсолютные значения двух чисел и присвойте результату отрицательный знак.

-12 ¸ 3 = | 12 | ¸ | 3 | = 4, но это -4

18 ¸ -3 = | 18 | ¸ | 3 | = 6, но это -6

Использование отрицательных чисел

Отрицательные числа используются для обозначения низких температур. Цифры ниже 0 ° C отрицательны и ниже точки замерзания. (Помните, что значения ниже 32 ° F ниже точки замерзания, но температура часто опускается ниже 0 ° F.)

Отрицательные числа используются для отображения измерений ниже уровня моря.Уровень моря равен 0.

Отрицательные числа используются с деньгами, чтобы показать задолженность или денежную задолженность. Если человек или домохозяйство тратят больше денег, чем зарабатывают, мы говорим, что они «отрицательные на определенную сумму», или называем это «красным», потому что бухгалтеры используют красные чернила для отображения отрицательных чисел.

Больше и меньше и наборы чисел

Набор чисел — это группа чисел, которая соответствует заданному описанию.Например, набор целых чисел меньше 0 будет выражен как n <0. В этом предложении набор чисел, удовлетворяющий условиям, будет состоять из отрицательных целых чисел.

Все целые числа больше 0 будут выражены как n> 0. Набор чисел, удовлетворяющий этим условиям, будет набором всех положительных целых чисел. Каждое из этих целых чисел будет называться членом или элементом этого набора.

Какие целые числа от 3 до 8? Это будет 4, 5, 6 и 7.Другой способ выразить это — набор чисел больше 3, но меньше 8, которые можно представить в виде математического предложения, которое выглядит так:

3

Прочтите это: n такое, что n больше 3 и меньше 8

Поскольку 3

И n <8 или n меньше 8 или 8 больше n

п = 4, 5, 6, 7

Мы могли бы сказать 3 n <8, и в этом случае в ответ было бы включено 3, поэтому n = 3, 4, 5, 6, 7.Знак означает «меньше или равно», а знак означает «больше или равно».

Часто эти ответы «больше» и «меньше» необходимо выражать с помощью числовой строки, потому что было бы невозможно перечислить все числа для ответа.

Мы делаем пустой кружок на числе, если оно «больше чем» (>) или «меньше чем» (<), и мы делаем закрашенный кружок на числе, если оно «больше или равно» () или 'меньше или равно' ().Затемняем линию от начального круга до конечного круга или точки на линии.

положительных и отрицательных чисел | SkillsYouNeed

Стандартные числа, все, что больше нуля, описываются как «положительные» числа. Мы не ставим перед ними знак плюса (+), потому что в этом нет необходимости, поскольку, по общему мнению, числа без знака положительны.

Числа меньше нуля известны как «отрицательные» числа. Перед ними стоит знак минус (-), чтобы указать, что они меньше нуля (например, -10 или « минус 10 »).


Визуализация отрицательных и положительных чисел

Вероятно, самый простой способ визуализировать отрицательные и положительные числа — использовать числовую линию, инструмент, с которым вы, возможно, хорошо знакомы, особенно если у вас есть дети в начальной школе.

Это выглядит примерно так:

Числовая линия может помочь вам визуализировать как положительные, так и отрицательные числа, а также операции (сложение и вычитание), которые вы можете с ними делать.

Когда вам нужно вычислить сложение или вычитание, вы начинаете с первого числа и перемещаете второе число разрядов вправо (для сложения) или влево (для вычитания).

Эта числовая линия является упрощенной версией, но вы можете нарисовать их с любым числом, если хотите. Большим преимуществом числовой линии является то, что ее очень легко нарисовать самостоятельно на обратной стороне конверта или клочка макулатуры, а также довольно сложно ошибиться в расчетах. Если вы внимательно подсчитываете количество мест, которые вы перемещаете, вы получите правильный ответ.

Рабочие примеры

Что такое 10-25?

Начиная с 10, вы перемещаете 25 чисел влево и сразу видите, что ответ — -15.


Что такое −17 + 23?

На этот раз вы начинаете с -17 и перемещаетесь на 23 позиции вправо. Сразу видно, что ответ — 6.



Вычитание отрицательных чисел

Если вы вычесть отрицательное число, два отрицательных числа объединятся, чтобы получить положительное.

−10 — (- 10) не равно −20. Вместо этого вы можете думать об этом как о том, чтобы повернуть один из отрицательных знаков вертикально, пересечь другой и получить плюс.Тогда сумма будет -10 + 10 = 0.

Краткое примечание по скобкам


Для наглядности, вы никогда не стали бы писать два знака минус рядом без скобок.

Итак, если вас попросят вычесть отрицательное число, оно всегда будет заключено в скобки, чтобы вы могли видеть, что использование двух отрицательных знаков было намеренным.

-10-10 неверно (и сбивает с толку)

-10 — (- 10) правильно (и яснее)


Умножение и деление на положительные и отрицательные числа

При умножении или делении комбинациями положительных и отрицательных чисел вы можете упростить процесс, сначала игнорируя знаки (+/-) и просто умножая или деля числа, как если бы они оба были положительными.Получив числовой ответ, вы можете применить очень простое правило для определения знака ответа:

  • Когда знаки двух чисел совпадают с , ответ будет положительным .
  • Если знаки двух чисел разные , ответ будет отрицательный .

Итак:

(положительное число) × (положительное число) = положительное число
(отрицательное число) × (отрицательное число) = положительное число

Но:

(положительное число) × (отрицательное число) = отрицательное число

В качестве побочного вопроса это каким-то образом объясняет, почему у вас не может быть квадратного корня из отрицательного числа (подробнее об этом читайте на нашей странице в Специальные числа и понятия ).Квадратный корень — это число, которое умножается само на себя, чтобы получить число. Вы не можете умножить число на само по себе, чтобы получить отрицательное число. Чтобы получить отрицательное число, вам нужно одно отрицательное и одно положительное число.

Правило работает точно так же, когда вам нужно умножить или разделить более двух чисел. Четное количество отрицательных чисел даст положительный ответ. Нечетное количество отрицательных чисел даст отрицательный ответ.

Работал примеров

Что такое −5 × 25?

5 x 25 равно 125.Но здесь у вас есть одно отрицательное и одно положительное число, поэтому знак ответа будет отрицательным. Следовательно, ответ будет −125 .

Что такое −40 ÷ 8?

40 ÷ 8 равно 5. Опять же, у вас есть одно положительное и одно отрицательное число, поэтому знак ответа будет отрицательным. Ответ: −5 .

Что такое −50 ÷ −5?

50 ÷ 5 равно 10. На этот раз у вас два отрицательных числа, поэтому знак ответа будет положительным.Ответ: 10 .

Что такое −100 × −2?

100 x 2 равно 200. Опять же, у вас два отрицательных числа, поэтому ответ положительный. Это 200 .

Что такое 10 x −2 × 3?

Для начала рассмотрим первую часть расчета. 10 x 2 = 20. У вас есть одно положительное и одно отрицательное число, поэтому знак ответа будет отрицательным, то есть −20.

Теперь возьмем вторую часть вычисления: −20 × 3.Итак, 20 × 3 = 60, но опять же, у вас есть отрицательное и положительное число, поэтому ответ будет отрицательным: −60 .



Почему умножение двух отрицаний дает положительный ответ?


Тот факт, что отрицательное число, умноженное на другое отрицательное число, дает положительный результат, часто может сбивать с толку и казаться нелогичным.

Чтобы объяснить, почему это так, вспомните числовые линии, использованные ранее в этой статье, поскольку они помогают объяснить это визуально.

  1. Сначала представьте, что вы стоите на числовой прямой в нулевой точке и обращены в положительном направлении, то есть в направлении 1, 2 и так далее. Вы делаете два шага вперед, делаете паузу, затем делаете еще два шага. Вы переместились 2 × 2 шага = 4 шага.
    Следовательно, положительный × положительный = положительный
  2. Теперь вернитесь к нулю и посмотрите в отрицательном направлении, то есть в сторону −1, −2 и т. Д. Сделайте два шага вперед, затем еще два. Теперь вы стоите на −4. Вы переместились на 2 × −2 шага = −4 шага.
    Следовательно, отрицательный × положительный = отрицательный

В обоих этих примерах вы двигались вперед (то есть в том направлении, куда вы смотрели), что является положительным шагом.

  1. Вернитесь к нулю снова, но на этот раз вы собираетесь идти назад (отрицательное движение). Снова поверните голову в положительную сторону и сделайте два шага назад. Теперь вы стоите на -2. Положительное (направление, в котором вы смотрите) и отрицательное (направление, в котором вы движетесь) приводят к отрицательному движению.
    Следовательно, положительный × отрицательный = отрицательный
  2. Наконец, снова вернемся к нулю, повернемся в отрицательном направлении. Теперь сделайте два шага назад, , а затем еще два шага назад. Вы стоите на +4. Повернувшись в отрицательном направлении и идя назад ( два отрицательных ), вы достигли положительного результата.
    Следовательно, отрицательный × отрицательный = положительный

  1. Два негатива компенсируют друг друга. Вы можете увидеть это в речи:
    • «Просто сделай это!» положительный стимул к чему-либо.
    • «Не делай этого!» просит кого-то чего-то не делать. Это отрицательно.
    • «Не делай этого» означает «пожалуйста». Два отрицания компенсируют и дают положительный результат как в математике, так и в речи.
  2. Знаки складываются физически. Когда у вас есть два отрицательных знака, один переворачивается, и они складываются, чтобы получить положительный. Если у вас есть положительный и отрицательный ответ, останется один штрих, и ответ будет отрицательным. Это простая и наглядная памятная записка, хотя она не обязательно удовлетворит тех, кто хочет понять правило.

Заключение

Отрицательные знаки могут выглядеть немного устрашающе, но правила, регулирующие их использование, просты и понятны. Помните об этом, и у вас не будет проблем.

основных математических символов | Словарь

математика (BrE) | математика (AmE) — это краткая форма математика

На этой странице перечислены основные математические символы с их названиями и примерами на английском языке.

+
плюс / дополнительный знак

Знак плюс означает:

а.понятие

положительное

Любое число больше нуля является положительным числом и может быть написано со знаком плюс перед ним или без него.

Таким образом, +5 (плюс пять) и 5 ​​(пять) — это одно и то же число.

г. операция сложения

3 + 5 = 8
три плюс пять равно восемь
пять добавленных к трем составляют восемь
три добавленных к пяти дают восемь
если сложить пять к трем, получится восемь

Сложение дает нам сумму .В 3 + 5 = 8 получается восемь.


знак минус / знак вычитания

Знак минус означает:

а. понятие отрицательного

Любое число меньше нуля является отрицательным числом и записывается со знаком минус перед ним.

-3
минус три

г. операция вычитания

8-5 = 3
восемь минус пять равно трем
пять вычтено из восьми равно трем
если вычесть пять из восьми, вы получите три
если вы вычтете пять из восьми, вы получите три

Вычитание дает нам разницы .В 8-5 = 3 разница в три.

× 9000 7 раз знак / знак умножения

Знак раз представляет:

умножение

5 x 6 = 30
пять умножить на шесть равно тридцать
пять умножить на шесть равно тридцать
пять шестерок равно тридцать
если умножить 5 на 6, получится тридцать

Умножение дает нам произведение . В 5 х 6 = 30 получается тридцать.

÷ OR /


разделительный знак

Знак деления означает:

отдел

15 ÷ 3 = 5
15/3 = 5
пятнадцать делить на три равно пять
пять делится на пятнадцать трижды
если пятнадцать разделить на три, получится пять
если три разделить на пятнадцать, получится пять

Деление

дает нам частное .При 15 ÷ 3 = 5 частное равно пяти.

Давайте резюмируем вышеупомянутые четыре операции как:
операция результат
дополнение «плюс» 2 + 2 = 4 сумма
вычитание «минус» 5–3 = 2 разница
умножение «раз» 3 х 5 = 15 товар
отдел «разделить на» 21/7 = 3 частное

=


равно знак

Знак равно представляет равенство :

3 + 4 = 7
три плюс четыре равно семь

Обратите внимание, что мы обычно говорим, что равно НЕ равно:

  • два плюс два равно четыре
  • два плюс два равны четыре

<
менее

3 <4
три меньше четырех

>


больше

4> 3
четыре больше трех


НЕ равно

x ≠ z
x не равно z


больше или равно

x ≥ z
x больше или равно z


меньше или равно

z ≤ x
z меньше или равно x

¾


дробь

см. Дроби

.


десятичный разделитель | точка

Десятичный разделитель отделяет целое число от дробной части справа:

1,23

В английском языке десятичным разделителем обычно является точка (.). Обратите внимание, что в некоторых языках десятичным разделителем является запятая (,).

см. Десятичные дроби

,


разделитель тысяч

В английском языке разделитель тысяч разделяет целые числа на группы по три справа.

10 987 654 321

В английском языке разделителем тысяч обычно является запятая (,).Обратите внимание, что в некоторых языках разделителем тысяч является точка (.) Или иногда пробел ().

см. Тыс.

%


знак процента

Знак процента указывает число или соотношение в виде доли от 100 ( процента ).

40%
сорок процентов
За нее проголосовало всего сорок процентов людей.
Какой процент проголосовал за нее? Сорок процентов.


корень квадратный

√16 = 4
квадратный корень шестнадцати равен четырем
квадратный корень шестнадцати равен четырем

Правила для положительных и отрицательных чисел

Положительные и отрицательные числа — это два широких класса чисел, которые используются в математике, а также в повседневных транзакциях, таких как управление деньгами или измерение веса.

  • Положительное число имеет значение больше нуля. Его знак положительный, но обычно он пишется без знака плюса перед ним (например, 4, 51, а не +4, +51).
  • Отрицательное число имеет значение меньше нуля. Его знак считается отрицательным и пишется со знаком минус перед ним (например, -2, -23).
  • Сумма положительного числа и равного ему отрицательного числа равна нулю.
  • Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Существуют правила сложения, вычитания, умножения и деления положительных и отрицательных чисел.Как правило, легче выполнять операции с отрицательными числами, если они заключены в квадратные скобки, чтобы разделять их. Числовые линии также упрощают понимание положительных чисел и чисел.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Когда вы складываете или вычитаете положительные и отрицательные числа, знак ответа зависит от того, похожи ли знаки или какое число имеет большее значение.

Сложить положительные и отрицательные числа просто, если оба числа имеют одинаковый знак.Просто найдите сумму чисел и держите знак. Например:

  • 3 + 2 = 5
  • (-4) + (-2) = -6

Найдите сумму положительного и отрицательного числа, вычтя число с меньшим значением из числа с большее значение. Знак — это знак большего числа.

  • (-7) + 2 = -5
  • 4 + (-8) = 4-8 = -4
  • (-3) + 8 = 5
  • 10 + (-2) = 10-2 = 8
  • (-5) + 4 = -1

Правила вычитания аналогичны правилам сложения.Для двух положительных чисел, если первое число больше второго, результатом будет другое положительное число.

Если вы вычтите большое положительное число из меньшего положительного числа, вы получите отрицательное число.

Легкий способ сделать это — вычесть меньшее число из большего числа и изменить знак ответа на минус.

Вычитание положительного числа из отрицательного числа аналогично сложению отрицательного числа. Другими словами, это делает отрицательное число более отрицательным.

  • (-4) — 3 = (-4) + (-3) = -7
  • (-10) — 12 = (-10) + (-12) = -24

Вычитание отрицательного числа из положительного числа отменяет отрицательные знаки и становится простым сложением. Это делает положительное число более положительным.

  • 4 — (-3) = 4 + 3 = 7
  • 5 — (-2) = 5 + 2 = 7

Когда вы вычитаете отрицательное число из другого отрицательного числа, отрицательные знаки снова отменяют каждое другое, чтобы стать знаком плюс.Ответ имеет знак большего числа.

  • (-2) — (-7) = (-2) + 7 = 5
  • (-5) — (-3) = (-5) + 3 = -2

Умножение и деление положительного числа и отрицательные числа

Если вы умножите или разделите одинаковые знаки, вы получите положительное число. Умножение или деление положительных и отрицательных чисел дает отрицательное число.

Правила умножения и деления просты:

  • Если оба числа положительные, результат будет положительным.
  • Если оба числа отрицательны, результат положительный. (По сути, два отрицательных значения компенсируют друг друга).
  • Если одно число положительное, а другое отрицательное, результат будет отрицательным.
  • Если вы умножаете или делите несколько чисел знаками, сложите количество положительных и отрицательных чисел. Знак избытка — знак ответа.
  • Умножение любого числа (положительного или отрицательного) на ноль дает ответ 0.
  • Ноль, разделенный на любые числа, равен 0.
  • Любое число, деленное на ноль, равно бесконечности.

Вот несколько примеров. В этих примерах используются целые числа (целые числа), но те же правила применяются к десятичным и дробным числам.

  • 4 x 5 = 20
  • (-2) x (-3) = 6
  • (-6) x 3 = -18
  • 7 x (-2) = -14
  • 2 x (-3 ) x 4 = -24
  • (-2) x 2 x (-3) = 12
  • 12/2 = 6
  • (-10) / 5 = -2
  • 14 / (-7) = -2
  • (-6) / (-2) = 3

Связанные сообщения

.

Формулы косинусов синусов тангенсов: тригонометрические формулы синус косинус суммы углов разности углов синус косинус двойного тройного углов синус косинус тангенс через тангенс половинного угла

Электронный справочник по математике для школьников тригонометрические функции острого угла синус косинус тангенс котангенс определения значения формулы

Катеты BC и AC прямоугольного треугольника ABC (рис. 1) называют противолежащим катетом угла α и прилежащим катетом угла α соответственно.

Рис.1

Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC (рис. 2) называют противолежащим катетом угла β и прилежащим катетом угла β соответственно.

Рис.2

Синусом угла называют дробь:

Косинусом угла называют дробь:

Тангенсом угла называют дробь:

Котангенсом угла называют дробь:

Синус, косинус, тангенс и котангенс, и их комбинации называют тригонометрическими функциями. В данном разделе справочника тригонометрические функции вводятся для острых углов. В следующем разделе даётся определение тригонометрических функций для произвольных углов.

Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α используют обозначения

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

Рис.3

В соответствии с рисунком 3 справедливы формулы:

    

     

      Следовательно,

   

   

Кроме того, справедливы формулы:

sin α = cos β,      cos α = sin β,       tg α = ctg β,         ctg α = tg β,

которые можно переписать в виде:

sin α = cos (90° – α),      cos α = sin (90° – α),

tg α = ctg (90° – α),      ctg α = tg (90° – α).

ПРИМЕР. Найти тригонометрические функции углов  30°,  45°,  60°.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна 2 (рис. 4), и проведем высоту BD.

Рис.4

Тогда

      Поэтому

Кроме того

Теперь рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, катеты которого равны 1 (рис. 5).

Тогда

Поэтому

Определение тригонометрических функций произвольного угла приводится в разделе справочника «Тригонометрические функции произвольного угла».

Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.


Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.  / / Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.

Основные тригонометрические формулы


Дополнительная информация от TehTab.ru:

  • Основные тригонометрические формулы. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.
  • Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты.
  • Знаки тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс по четвертям в тригонометрическом круге.
  • Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
  • Таблица синусов, она-же косинусов. Углы в угловых градусах и минутах.
  • Таблица синусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
  • Таблица косинусов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
  • Таблица тангенсов, она-же котангенсов. Углы в угловых градусах.
  • Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
  • Таблица котангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
  • Чиcло пи. π, 2π, 1/π, π/2, π/3, π/4, π/180, (π/180)2, π2, π3, π4 и др.
  • Тригонометрические кривые.
  • Практические задачи с использованием тригонометрии.
  • Таблицы Брадиса.


  • TehTab.ru

    Реклама, сотрудничество: [email protected]

    Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

    Тригонометрические формулы

    Тригонометрические формулы и их вывод. Мы знаем, что их много и что их нужно учить, что эту информацию очень сложно запомнить и её периодически требуется повторять. Так, верно! Ниже представлен вывод этих формул, думаю, пригодится. Если запомнить принципы вывода, то когда будет необходимо — вы всегда «вспомните» нужную формулу. В любом случае информация будет полезна — кому-то проще выучить, кому-то вывести.

    Сначала сами формулы, это ещё не все, будет продолжение.

    Основное тригонометрическое тождество, его запомнить нетрудно – формула «красивая»: 

    Откуда взялась? Посмотрите,  здесь всё подробно описано.

    Из неё следуют:

    *Простые алгебраические преобразования.

    Так же из неё получаем две другие необходимые формулы путём деления на квадрат синуса и квадрат косинуса:

    Формулы тангенса и котангенса. Их проще выучить:

    Что дальше? Разберём некоторые группы формул! Рассмотрим эскиз:

    Теорема! Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов сложенному с произведением синусов:

    Доказательство:

    Рассмотрим единичную окружность с углами α и β, которые образованы векторами

    И положительным направлением оси ох. Угол между векторами равен:

    Выразим  скалярное произведение векторов по формуле:

    Следовательно

    Так как векторы имеют длину равную единице, а именно:

    Теперь вычислим это же скалярное произведение по формуле:

    Так как

    Мы получили, что

    Следовательно

    Что и требовалось доказать!

    Косинус суммы >>

    Сумму α + β представляем как разность  α–(–β) и подставляем a формулу для косинуса разности:

    Так функция косинуса чётная а функция синуса нечётная

    Значит

    Синус суммы >>

    Воспользуемся одной из формул приведения:

    Теперь по формуле косинуса разности (1):

    Получили

    Синус разности >>

    *Функция косинуса чётная, функция синуса нечётная

    Следовательно

    Получили группу формул:

     

    Тангенс суммы >>

    Используя формулу тангенса делим формулу (3) на (2):

    Далее разделим числитель и знаменатель на cosα∙cosβ, получим:

    Получили

    Тангенс разности >>

    Используя формулу тангенса делим формулу (4) на (1):

    Также разделим числитель и знаменатель на cosα∙cosβ, получим:

    Получили

    Котангенс суммы >>

    Используя формулу котангенса делим формулу (2) на (3):

    Далее разделим числитель и знаменатель на sinα∙sinβ, получим:

    Получили

    Котангенс разности >>

    Используя формулу котангенса делим формулу (1) на (4):

    Далее разделим числитель и знаменатель на sinα∙sinβ, получим:

    Получили

    Пожалуйста, ещё группа:

     

    Синус двойного угла >>

    Используем формулу (3) — синуса суммы:

    Косинус двойного угла >>

    Используем формулу (2) — косинуса суммы:

    Если из основного тригонометрического тождества выразим:

    И подставим в (10), то получим:

    Если выразим:

    И подставим в (10), то получим:

    Тангенс двойного угла >>

    Используем формулу (5):

    Котангенс двойного угла >>

    Используем формулу (7):

    Можем выделить группу формул:

     

    Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность.

    Возьмём формулы синуса суммы и синуса разности:

    Сложим их почленно, то есть правую и левую части:

    Возьмём формулы косинуса суммы и косинуса разности:

    Сложим их почленно, то есть правую и левую части:

    Теперь из cos (α–β) вычтем  cos (α+β):

    Получим:

    Вот и ещё одна группа формул готова:

    К этой статье будет дополнение-продолжение, разобрали ещё не всё, не пропустите! Успеха вам!

    Скачать материал в формате PDF

    С уважением, Александр Крутицких

    P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

    Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения


    Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac{\pi}{2}+a\), \(\frac{\pi}{2}-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac{3\pi}{2}+a\), \(\frac{3\pi}{2}-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

    Как быстро получить любую формулу приведения

    Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:


    Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинусасинус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

    Функция:                Кофункция:
    \(sin⁡\) \(a\)          \(→\)            \(cos⁡\) \(a\)
    \(cos⁡\) \(a\)          \(→\)             \(sin⁡\) \(a\)
    \(tg⁡\) \(a\)            \(→\)            \(ctg\) \(a\)
    \(ctg⁡\) \(a\)          \(→\)             \(tg\) \(a\)

    Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. °}}=\)

     

    В числителе и знаменателе получились одинаковые косинусы. Сокращаем их.

    \(= 18\)

     

    Записываем ответ

    Ответ:  \(18\)

    Пример. Найдите значение выражения \(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}\)

    Решение:

    \(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

    Рассмотрим первое слагаемое числителя: \(\sin⁡(π-a)\). Воспользуемся формулами приведения, выведя ее самостоятельно:
    • \((π-a)\) это вторая четверть, а синус во второй четверти положителен. Значит, знак будет плюс;
    • \(π\) это точка «горизонтальная», то есть мотаем головой, значит функция остается той же.

    Таким образом, \(\sin⁡(π-a)=\sin⁡a\) 

    \(=\frac{3 \sin{⁡a}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

      Второе слагаемое числителя: \(\cos⁡{(\frac{π}{2} + a)}\):
    • \((\frac{π}{2} + a)\) это опять вторая четверть, а косинус во второй четверти отрицателен. Значит, знак будет минус.
    • \(\frac{π}{2}\) это точка «вертикальная», то есть киваем, значит, функция меняется на кофункцию – синус.

    Таким образом, \(\cos{⁡(\frac{π}{2} + a)}=-\sin⁡a\)

    \(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}=\)

     

    Теперь знаменатель: \(\cos⁡(\frac{3π}{2} — a)\). Его мы разобрали выше, он равен минус синусу. \(\cos⁡(\frac{3π}{2} — a)=-\sin{⁡a}\)

    \(=\frac{3 \sin{⁡a}-(-\sin{a}) }{-\sin⁡ {a}}=\)

     

    Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

    \(=\frac{3 \sin{⁡a}+\sin{a}}{-\sin⁡ {a}}=\frac{4\sin{a}}{-\sin{a}}\)

     

    Сократив на \(\sin⁡{a}\), получаем ответ.

    \(=\frac{4 }{-1}=\)\(-4\)

     

    Ответ:  \(-4\)

    Пример. Вычислить чему равен \(ctg(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg\) \(⁡a=2\)

    Решение:

    \(ctg(-a-\frac{7π}{2}) =\)

    Здесь сразу формулу приведения применять нельзя, так как аргумент нестандартный. Что не так? Прежде всего, \(a\) стоит первой, хотя должна быть после «точки привязки». Поменяем местами слагаемые аргумента, сохраняя знаки.

    \(= ctg(-\frac{7π}{2}-a) =\)

     

    Уже лучше, но все еще есть проблемы – «точка привязки» с минусом, а такого аргумента у нас нет. Избавимся от минуса, вынеся его за скобку внутри аргумента.


    \(= ctg(-(\frac{7π}{2}+a)) =\)

     

    Теперь вспомним о том, что котангенс – функция нечетная, то есть
    \(ctg\) \((-t)=- ctg\) \(t\). Преобразовываем наше выражение.

    \(= — ctg(\frac{7π}{2}+a) =\)

     

    Несмотря на то, что точка привязки \(\frac{7π}{2}\) мы все равно можем использовать формулы приведения, потому что \(\frac{7π}{2}\) лежит на пересечении одной из осей и числовой окружности (смотри пояснение ниже). \((\frac{7π}{2}+a)\) это четвертая четверть, и котангенс там отрицателен. «Точка привязки» — вертикальная, то есть функцию меняем. Окончательно имеем \(ctg(\frac{7π}{2}+a)=-tg a\) .

    \(= — (- tg\) \(a) = tg\) \(a = 2\)

     

    Готов ответ.

    Ответ:  \(2\)

    Еще раз проговорим этот важный момент: с точки зрения формулы приведения \(\frac{7π}{2}\) — это тоже самое, что и \(\frac{3π}{2}\). Почему? Потому что \(\frac{7π}{2}=\frac{3π+4π}{2}=\frac{3π}{2}+\frac{4π}{2}=\frac{3π}{2}+2π\). Иными словами, они отличаются ровно на один оборот \(2π\). А на значения тригонометрических функций количество оборотов никак не влияет:

    \(cos\) \(⁡t=cos ⁡(t+2π)=cos ⁡(t+4π)=cos ⁡(t+6π)= …=cos⁡ (t-2π)=cos ⁡(t-4π)=cos⁡ (t-6π)…\)
    \(sin\) \(t=sin⁡ (t+2π)=sin ⁡(t+4π)=sin ⁡(t+6π)= . ..=sin⁡ (t-2π)=sin ⁡(t-4π)=sin ⁡(t-6π)…\)

    Аналогично с тангенсом и котангенсом (только у них «оборот» равен \(π\)).
    \(tg\) \(t=tg⁡(t+π)=tg⁡(t+2π)=tg⁡(t+3π)= …=tg⁡(t-π)=tg⁡(t-2π)=tg⁡(t-3π)…\)
    \(ctg\) \(t=ctg⁡(t+π)=ctg⁡(t+2π)=ctg⁡(t+3π)= …=ctg⁡(t-π)=ctg⁡(t-2π)=ctg⁡(t-3π)…\)

    Таким образом, \(-ctg(\frac{7π}{2}+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+2π+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+a)\).

    То есть, для определения знака и необходимости смены функции важно лишь местоположение «точки привязки», а не её значение, поэтому так расписывать не обязательно (но можно если вы хотите впечатлить своими знаниями учительницу).

    Ответы на часто задаваемые вопросы

    Вопрос: Есть ли формулы приведения с аргументами \((\frac{π}{3}-a)\),\((\frac{π}{4}+a)\),\((\frac{7π}{6}+a)\) или тому подобное?
    Ответ: К сожалению, нет. В таких ситуациях выгодно использовать формулы разности и суммы аргументов. Например, \(cos⁡(\frac{π}{3}-a)=cos⁡\frac{π}{3} cos⁡a+sin⁡\frac{π}{3} sin⁡a=\frac{1}{2}cos⁡a+\frac{\sqrt{3}}{2} sin⁡a\).

    Смотрите также Как доказать тригонометрическое тождество?

    Скачать статью

    Формулы тригонометрии

    Взаимосвязь основных тригонометрических функций, каких как косинус и синус, тангенс и котангенс — называется формулы тригонометрии. Из-за того что взаимосвязей очень большое количество, соответственно и формул не меньше. Часть формул объединяет тригонометрические функции в зависимости от угла, который может быть либо кратным, либо одинаковым. Так же может выражаться от тангенса половинного угла. Так же через понижение степени.
    Мы разберем самые основные из тригонометрических формул. С помощью которых можно решить большинство тригонометрических заданий. Для большего удобства объединим их по значению, по таблицам.

    Начнем с тригонометрических тождеств.


    Основы в тригонометрических тождествах определяют взаимосвязь косинуса и синуса, тангенса и котангенса в одном угле. И выходят из их определения и единичной окружности. Дают возможность выделить через любую функцию другую.

    Далее рассмотрим тригонометрические формулы приведения.


    Они вытекают из свойств синусов, косинусов, котангенсов и тангенсов. Тем самым выражают такие свойства функции как: периодичность, симметричность и сдвиг к рассматриваемому углу. так же дают возможность работать с углами в радиусе до 90 градусов и произвольные углы.

    Формулы на сложение.


    Из данных формул видно что функции на сумму или разность от 2 углов выводятся из их же тригонометрических функций. Так же являются основой для формул двойных, тройных и других углов.

    Формула для двойных, тройных и других углов.


    Из них видно что тригонометрическая функция двойного, тройного или какого то ни было угла выводится из т.ф. одинарных углов.

    Так же как и одинарные, двойные, тройные и т.д. существуют и половинные углы


    Из формул половинного угла видно, что он выходит из косинуса угла целого.

    Так же существуют методы понижения степени выглядят они как:



    С помощью их использования возможно понизить функцию до первой степени. Взаимодействуя с натуральными степенями функций переводить до синусов и косинусов только кратных углов, в первую степень.

    Сумма и разность в тригонометрической функции.


    Помогают упростить тригонометрическое выражение, и разложить на множители синусы и косинусы.

    Произведение синуса, косинуса, и одно на другое.



    Метод универсальной тригонометрической подстановки.


    Такая подстановка удобна тем, что функции получаются без корней.

    Заметка: Актуальные предложения, участие в тендерах на строительство бесплатное! Перейдите по ссылке строительно монтажные тендеры (http://www.b2bsearch.ru/tenders/stroy) узнайте подробнее.


    Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

    Внеклассный урок — Синус, косинус, тангенс, котангенс

    Синус, косинус, тангенс, котангенс

    Прежде чем перейти к этому разделу, напомним определения синуса и косинуса, изложенные в учебнике геометрии 7-9 классов.

    — Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):

    sin t = b/c.

    — Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):

    cos t = a/c.

    Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.

    Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).

     

    Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).

    Таким образом, наши формулы обретают иной вид.

    Так как b = y, a = x, c = R, то:

                  y                    x
    sin t = —— , cos t = ——.
                 R                    R

    Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.

    Так как tg t = b/a,  ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:

    tg t = y/x,

    ctg = x/y.

    Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:

                  y
    sin t = —— = y,
                  1


                   x
    cos t = —— = x.
                   1

    Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.

    Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).

     

    Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.

    Косинусом числа t числовой окружности называют абсциссу этого числа: 

    cos t = x

    Синус числа t – это его ордината:

    sin t = y

    Тангенс числа t – это отношение синуса к косинусу:

                                                                                         sin t                    π
                                                                            
    tg t = ———,  где t  ≠  —  +  πk
                                                                                         
    cos t                    2

    Котангенс числа t – это отношение косинуса к синусу:

                                                                                          cos t
                                                                             ctg t = ———, 
    где t  ≠  πk
                 
                                                                            sin t

     

    Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:

                                                                                   sin t        cos t                          πk
                                                             
    tg t · ctg t = ——— · ——— = 1, при t ≠ ——
                                                                                   
    cos t        sin t                           2

     

    Уравнения числовой окружности.

    Из предыдущего раздела мы знаем одно уравнение числовой окружности:

    x2 + y2 = 1

    Но поскольку x = cos t, а y = sin t, то получается новое уравнение:

    cos2 t + sin2 t = 1

     

    Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:

     

    1-я четверть

    2-я четверть

    3-я четверть

    4-я четверть

    cos t

    +

    +

    sin t

    +

    +

    tg t, ctg t

    +

    +

     

    Косинус и синус основных точек числовой окружности:

     

    Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.

    Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.

    1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):

          1      √2      √3
    0;  —;  ——; ——;  1.
          2       2        2

    Сделайте для себя это «открытие» — и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.

    2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.

    Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.

    На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0.

    На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0.

    Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса  7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.

    3) Теперь перейдем к дробным значениям.

    — Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.

    — В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.

    — Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).

    — Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).

    Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).

    Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.

    Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.

    Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.

    — Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:

    cos π/3 = 1/2,       sin π/3 = √3/2
    cos 4π/3 = -1/2,    sin 4π/3 = -√3/2

    Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.

    Важно знать:

    Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» — впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).

    В порядке убывания получается такое чередование значений:

           √3      √2      1              1         √2          √3
    1;  ——;  ——; —;  0;   – —;  – ——;  – ——; –1
            2        2       2              2          2             2

    Возрастают они строго в обратном порядке.

    Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.

     

    Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.

    Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус — получаем тангенс. Делим косинус на синус — получаем котангенс. Результаты этого деления — на рисунке.

    ПРИМЕЧАНИЕ: В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю √3/3, указаны как 1/√3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/√3 умножить на √3, то получим √3/3.


    Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.

    Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, √3/3, 1, √3.

    На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.

    Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.

    Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у) тангенс не существует.

    Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х) котангенс не существует.

    В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, √3 и √3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:

    1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.

    2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле √3/3; √3.

    3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле √3; √3/3.

    Не ошибитесь со знаками – и вы большой знаток.

    Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см.числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.

     

    Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.

    Представим, что определенная точка М имеет значение t.

    Свойство 1:

     
    sin (–
    t) = –sin t

     
    cos (–
    t) = cos t

     
    tg (–
    t) = –tg t

     
    ctg (–
    t) = –ctg t

    Пояснение. Пусть t = –60º  и  t = –210º.

    cos –60º равен 1/2. Но cos 60º тоже равен 1/2. То есть косинусы –60º  и 60º  равны как по модулю, так и по знаку: cos –60º = cos 60º.

    cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.

    Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.

    sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.

    sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.

    Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.

    Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.

    Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

    Свойство 2: Так как t = t + 2πk, то:

     
    sin (t + 2π
    k) = sin t

     
    cos (t + 2π
    k) = cos t

    Пояснение: t и t + 2πk – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2πk  мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.

     

    Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.

     
    sin (t + π
    ) = –sin t

     
    cos (t + π
    ) = –cos t

     
    tg (t + π
    ) = tg t

     
    ctg (t + π
    ) = ctg t

    Пояснение: Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся  в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).

    Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:

                         –sin t
    tg (t + π) = ———— = tg t
                        –cos t

     

                          –cos t
    ctg (t + π) = ———— = ctg t
                          –sin t

    Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.

     

    Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.

                                         π
                            sin (t + —) = cos t
                                         2

                                        π
                         
    cos (t + —) = –sin t
                                        2

     

    Полная таблица всех тригонометрических формул приведения

    01)

    Основные тригонометрические тождества

    01. 1)
    Основное тригонометрическое тождество
    формула основного тригонометрического тождества
    01.2)
    Основное тождество через тангенс и косинус
    формула основного тождества через тангенс и косинус
    01.3)
    Основное тождество через котангенс и синус
    формула основного тождества через котангенс и синус
    01.4)
    Соотношение между тангенсом и котангенсом
    формула соотношения между тангенсом и котангенсом
    02)

    Формулы двойного аргумента (угла)

    02.1)
    Синус двойного угла
    формула синуса двойного угла
    02.2)формула синуса двойного угла
    02.3)
    Косинус двойного угла
    формула синуса двойного угла
    02. 4)формула синуса двойного угла
    02.5)
    Тангенс двойного угла
    формула синуса двойного угла
    02.6)
    Котангенс двойного угла
    формула синуса двойного угла
    03)

    Формулы тройного аргумента (угла)

    03.1)
    Синус тройного угла
    формула синуса тройного угла
    03.2)
    Косинус тройного угла
    формула косинуса тройного угла
    03.3)
    Тангенс тройного угла
    формула тангенса тройного угла
    03.4)
    Котангенс тройного угла
    формула котангенса тройного угла
    04)

    Формулы половинного аргумента (угла)

    04.1)
    Синус половинного угла
    формула синуса половинного угла
    04. 2)
    Косинус половинного угла
    формула косинуса половинного угла
    04.3)
    Тангенс половинного угла
    формула тангенса половинного угла
    04.4)
    Котангенс половинного угла
    формула котангенса половинного угла
    04.5)
    Тангенс половинного угла
    формула тангенса половинного угла
    04.6)
    Котангенс половинного угла
    формула котангенса половинного угла
    05)

    Формулы квадратов тригонометрических функций

    05.1)
    Квадрат синуса
    формула квадрата синуса
    05.2)
    Квадрат косинуса
    формула квадрата косинуса
    05.3)
    Квадрат тангенса
    формула квадрата тангенса
    05. 4)
    Квадрат котангенса
    формула квадрата котангенса
    05.5)
    Квадрат синуса половинного угла
    формула квадрата синуса половинного угла
    05.6)
    Квадрат косинуса половинного угла
    формула квадрата косинуса половинного угла
    05.7)
    Квадрат тангенса половинного угла
    формула квадрата тангенса половинного угла
    05.8)
    Формулы кубов тригонометрических функций
    формула квадрата котангенса половинного угла
    06)

    Формулы кубов тригонометрических функций

    06.1)
    Куб синуса
    формула куба синуса
    06.2)
    Куб косинуса
    формула куба косинуса
    06.3)
    Куб тангенса
    формула куба тангенса
    06. 4)
    Куб котангенса
    формула куба котангенса
    07)

    Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

    07.1)
    Четвертая степень синуса
    формула четвертой степени синуса
    07.2)
    Четвертая степень косинуса
    формула четвертой степени косинуса
    08)

    Формулы сложения и вычитания аргументов

    08.1)
    Сложение аргументов синуса
    формула сложения аргументов синуса
    08.2)
    Сложение аргументов косинуса
    формула сложения аргументов косинуса
    08.3)
    Сложение аргументов тангенса
    формула сложения аргументов тангенса
    08.4)
    Сложение аргументов котангенса
    формула сложения аргументов котангенса
    08. 5)
    Вычитание аргументов синуса
    формула вычитания аргументов синуса
    08.6)
    Вычитание аргументов косинуса
    формула вычитания аргументов косинуса
    08.7)
    Вычитание аргументов тангенса
    формула вычитания аргументов тангенса
    08.8)
    Вычитание аргументов котангенса
    формула вычитания аргументов котангенса
    09)

    Формулы суммы тригонометрических функций

    09.1)
    Сумма синусов
    формула суммы синусов
    09.2)
    Сумма косинусов
    формула суммы косинусов
    09.3)
    Сумма тангенсов
    формула суммы тангенсов
    09.4)
    Сумма котангенсов
    формула суммы котангенсов
    09. 5)
    Сумма синуса и косинуса
    формула суммы синуса и косинуса
    10)

    Формулы разности тригонометрических функций

    10.1)
    Разность синусов
    формула разности суммы синусов
    10.2)
    Разность косинусов
    формула разности суммы косинусов
    10.3)
    Разность тангенсов
    формула разности суммы тангенсов
    10.4)
    Разность котангенсов
    формула разности котангенсов
    10.5)
    Разность синуса и косинуса
    формула разности синуса и косинуса
    11)

    Формулы произведения тригонометрических функций

    11.1)
    Произведение синусов
    формула произведения синусов
    11.2)
    Произведение косинусов
    формула произведения косинусов
    11. 3)
    Произведение синуса и косинуса
    формула произведения синуса и косинуса
    11.4)
    Произведение тангенсов
    формула произведения тангенсов
    11.5)
    Произведение котангенсов
    формула произведения котангенсов
    11.6)
    Произведение тангенса и котангенса
    формула произведения тангенса и котангенса
    12)

    Формулы понижения степени

    12.1)
    Понижение степени синуса
    формула понижения степени синуса
    12.2)
    Понижение степени косинуса
    формула понижение степени косинуса
    13)

    Формулы суммы и разности разных тригонометрических функций

    13.1)
    Сумма синуса и косинуса
    формула суммы синуса и косинуса
    13. 2)
    Разность синуса и косинуса
    формула разности синуса и косинуса
    13.3)
    Сумма синуса и косинуса с коэффициентами
    формула суммы синуса и косинуса с коэффициентами
    13.4)
    Разность синуса и косинуса с коэффициентами
    формула разности синуса и косинуса с коэффициентами
    14)

    Формулы общего вида

    14.1)
    Формула понижения n
    й четной степени синуса
    формула формулы формулы понижения n четной степени синуса
    14.2)
    Формула понижения n
    й четной степени косинуса
    формула формулы понижения nй четной степени косинуса
    14.3)
    Формула понижения n
    й нечетной степени синуса
    формула формулы понижения nй нечетной степени синуса
    14. 4)
    Формула понижения n
    й нечетной степени косинуса
    формула формулы понижения nй нечетной степени косинуса

    Доказательство формул сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса — стенограмма видео и урока

    Proof

    Помните, как мы говорили о том, как эти идентичности были доказаны или получены математически, чтобы вы могли использовать их с уверенностью? Итак, вот обзор простого способа доказать эти тождества суммы углов и разностей. Я не ожидаю, что вы полностью поймете эти доказательства, поскольку эти выводы переносят вас в сферу высшей математики, такой как комплексные экспоненты и мнимые числа.ix = cos x + i sin x . Не волнуйтесь, если сейчас это не имеет смысла. Как только вы углубитесь в высшую математику, такую ​​как исчисление и выше, вы поймете, как все это связано с тем, что вы изучаете сейчас. Хорошо, вот доказательство:

    Внимательно изучите это доказательство, и мы увидим, что да, оно использует высшие математические навыки, но оно также использует наши базовые навыки алгебры для умножения вещей. Вы можете спросить, как это влияет на нашу идентичность? Что ж, взгляните на последнюю строку и посмотрите, как у нас есть два набора круглых скобок.Теперь посмотрите на самую первую строку, левая часть уравнения дает нам сумму косинусов и сумму синусов. Если мы установим сумму косинусов равной первому набору круглых скобок в последней строке, мы увидим, что получаем нашу идентичность суммы косинусов. Если мы установим синусоидальную сумму, равную второму набору круглых скобок в четвертой строке, мы увидим, что мы получим тождество синусоидальной суммы.

    Чтобы получить наши различия, мы просто заменяем угол бета на угол минус бета.Чтобы получить наши касательные тождества, мы используем определение тангенса в терминах синуса и косинуса. Мы знаем, что тангенс равен синусу / косинусу, поэтому мы просто записываем тождество суммы касательных как тождество суммы синусов над тождеством суммы косинусов. Затем мы упрощаем, чтобы добраться до нашей касательной идентичности.

    Довольно красиво, не правда ли?

    Использует

    Теперь вы знаете, что эти идентификаторы действительны; что ты можешь с ними делать? Эти идентификаторы очень полезны для решения триггерных проблем.Конечно, с помощью калькуляторов вы можете решить любую проблему, решив ее. Но понимаете, в свое время у людей не было удобных графических калькуляторов, которые могли бы выполнять все виды сложных вычислений. Им приходилось решать все вручную. Итак, эти личности помогли им в этом.

    Там, где они не могли оценить триггерную функцию суммы пары углов, они могли оценить эти углы по отдельности и наоборот. Там, где они не могли оценить триггерные функции для отдельных углов, они могли оценить триггерные функции для суммы углов.То же самое относится и к некоторым тестам и экзаменам, которые вы будете сдавать. Возможно, вы не сможете использовать калькулятор, поэтому вам придется полагаться на эти идентификаторы, чтобы решить триггерные проблемы. Хотите посмотреть, как это работает?

    Пример

    Давайте посмотрим на пример.

    Глядя на эту проблему, мы видим, что это правая часть тождества разности косинусов. Мы также видим, что сами по себе углы непросто оценить без калькулятора.Так что же нам делать? Мы используем тождество разности косинусов, чтобы помочь нам. Используя это тождество, мы обнаруживаем, что вся наша фраза равна косинусу 5 пи на 12 минус пи на 12 . Это упрощается до косинуса 4 пи на 12 . Это еще больше упрощается до косинуса числа пи над 3 . Это мы можем оценить с помощью нашего единичного круга, нашего специального круга с радиусом 1, который включает в себя углы, которые имеют четкие ответы для косинуса и синуса. Мы видим, что косинус числа пи над 3 равен 1/2.И готово!

    Это было круто, правда? Мы перешли от проблемы, которая казалась очень сложной, к проблеме, которую очень легко решить. И помните, если вы видите пи в своем углу, значит, вы имеете дело с радианами. Если вы используете калькулятор, убедитесь, что ваш калькулятор настроен на вычисление в радианах, а не в градусах.

    Резюме урока

    Давайте рассмотрим то, что мы узнали.

    Мы узнали, что тождества суммы углов и разности определяют, как превратить триггерную функцию двух углов, сложенных или вычтенных друг из друга, в триггерную функцию единичных углов.Всего их у нас шесть.

    Доказательство этих тождеств включает использование комплексных экспонент, а также использование формулы Эйлера.

    С помощью этих идентификаторов мы можем брать проблемы, которые мы не можем легко оценить, и превращать их в то, что мы можем. У нас может быть проблема с отдельными углами, которую мы не можем оценить сами по себе, но мы можем оценить ее, если сложим или вычтем углы.И наоборот — у нас может возникнуть проблема, когда мы не сможем оценить два добавленных или вычтенных угла, но можем оценить сами углы. \ circ $.(Для греков это были «два прямых угла», но я перевожу на более современную терминологию.)

  • Если у двух треугольников все три угла имеют тот же размер, что и соответствующие углы на другом треугольнике, то они подобны. То есть соотношения соответствующих сторон все одинаковы.
  • Итак, предположим, что у вас есть два правильных треугольников. Тогда у этих двух треугольников уже есть углы одинакового размера, а именно прямой угол. Теперь предположим, что у них есть другой угол с общей мерой.\ circ $, третьи углы каждого также должны быть одинакового размера. Таким образом, прямоугольные треугольники должны иметь один и тот же угол, чтобы быть похожими.

    Таким образом, соотношения сторон двух вышеуказанных треугольников должны быть одинаковыми: $$ \ frac aA = \ frac bB = \ frac cC $$

    Немного алгебры дает нам $$ \ frac ac = \ frac AC, \ \ \ frac bc = \ frac BC, \ \ \ frac ba = \ frac BA $$

    Обозначьте стороны по отношению к углу $ \ theta $:

    Мы видим, что:

    для любого прямоугольного треугольника с одним из углов, равным $ \ theta $, независимо от размера, отношения $ \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}}, \ frac {\ text {напротив }} {\ text {hypotenuse}}, \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}} $ такие же, как и для всех других таких прямоугольных треугольников.

    Таким образом, $ \ theta $ полностью определяет эти три соотношения. По этой причине мы даем им специальные имена косинус , синус и тангенс .

    $$ \ begin {align} \ cos \ theta & = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}} \\ \ sin \ theta & = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}} \\ \ tan \ theta & = \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}} \ end {align} $$

    (Название «касательная» происходит от того факта, что противоположная сторона касается окружности.Название «синус» произошло от названия «полуаккорда», но оно было сокращено арабскими математиками, а через некоторое время после того, как источник этого сокращения был забыт, было снова расширено до слова, означающего «пещера». Это слово было переведено обратно на латинское «синус», а значит, на «синус». «Косинус» происходит от дополнения к синусу.)

    Итак, в чем смысл? Потому что иногда (на самом деле, очень часто) вы не можете напрямую измерить расстояние, которое хотите узнать. Видите это дерево снаружи? Хотите знать, какой он высокий? Если это большое дерево, то напрямую измерить его высоту очень сложно.

    (Изображение заимствовано с http://www.monumentaltrees.com/en/content/measuringheight)

    Но если вы можете найти точку прямо под ее самой высокой высотой, то измерьте расстояние по горизонтали до некоторой точки достаточно далеко, чтобы увидеть вершину. С этого момента измерьте угол, под которым ваша линия взгляда будет находиться в горизонтальном положении. Это образует прямоугольный треугольник с высотой дерева на противоположной стороне, расстояние, которое вы измерили по земле, как прилегающую сторону, и угол, который вы измерили как $ \ theta $.Итак, найдите тангенс угла и умножьте:

    $$ \ text {противоположный} = \ text {смежный} \ times \ tan \ theta $$

    , и теперь вы знаете высоту, не измеряя ее напрямую. Конечно, это простой пример. В реальных примерах математика немного сложнее, но варианты этого метода позволяют вам измерять всевозможные расстояния, на которых вы не можете попасть «прямо под его наивысшую точку». На этом основана вся геодезическая наука.

    Итак, знание значений синуса, косинуса и тангенса для разных углов — очень и очень полезная вещь.\ circ $, и перечислил эти значения в таблицах. Чтобы найти значение угла, которого нет в таблице, вы нашли ближайшие углы вверху и внизу и линейно интерполировали между ними. Некоторых из нас старшего возраста этому учили, потому что, хотя калькуляторы тогда существовали, они не были универсальными, и нас все еще учили старым методам (я просто скучал по необходимости учиться пользоваться логарифмической линейкой).

    4. Формулы полуугловых

    М. Борна

    Мы разработаем формулы для синуса, косинуса и тангенса половинного угла.

    Формула полуугла — синус

    Начнем с формулы косинуса двойного угла, с которой мы познакомились в предыдущем разделе.

    cos 2 θ = 1− 2sin2 θ

    Сводка формул

    На этой странице мы выводим следующие формулы:

    `sin (альфа / 2) = + — sqrt ((1-cos alpha) / 2`

    `cos (альфа / 2) = + — sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

    `tan (alpha / 2) = (1-cos alpha) / (sin alpha`

    Теперь, если мы допустим

    `тета = альфа / 2`

    , затем 2 θ = α , и наша формула принимает следующий вид:

    `cos α = 1-2 \ sin ^ 2 (α / 2)`

    Теперь решаем

    `грех (альфа / 2)`

    (То есть мы получаем sin (alpha / 2) слева от уравнения, а все остальное справа):

    `2 \ sin ^ 2 (α / 2) = 1 — cos α`

    `sin ^ 2 (α / 2) = (1 — cos α) / 2`

    Решение дает нам следующий синус для тождества полуугла :

    `sin (альфа / 2) = + — sqrt ((1-cos alpha) / 2`

    Знак (положительный или отрицательный) sin (alpha / 2) зависит от квадранта. 2 (альфа / 2) = (1 + cos alpha) / 2`

    Решая относительно cos (α / 2), получаем:

    `cos (альфа / 2) = + — sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

    Как и раньше, нужный нам знак зависит от квадранта.

    Если α / 2 находится в первом или четвертом квадранте , формула использует положительный случай:

    `cos (альфа / 2) = sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

    Если α / 2 находится во втором или третьем квадранте , в формуле используется отрицательный регистр:

    `cos (альфа / 2) = — sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

    Формула полуугла — касательная

    Тангенс половины угла определяется по формуле:

    `tan (alpha / 2) = (1-cos alpha) / (sin alpha)`

    Проба

    Сначала напомним `tan x = (sin x) / (cos x)`.2а)) `

    Затем находим квадратный корень:

    `= (1-cos a) / (sin a)`

    Конечно, нам нужно будет делать поправку на положительные и отрицательные знаки, в зависимости от рассматриваемого квадранта. @`, используя соотношение половинного угла синуса, приведенное выше.(текст (o))) / 2) `

    `= + — sqrt (((1 + 0.866)) / 2)`

    `= 0,9659`

    Первый квадрант, значит положительный.

    2. Найдите значение sin (alpha / 2), если cos alpha = 12/13, где 0 ° < α <90 °.

    Ответ

    `sin (альфа / 2) = + — sqrt ((1-cos alpha) / 2)`

    `= sqrt ((1-12 / 13) / 2)`

    `= sqrt ((1/13) / 2)`

    `= sqrt (1/26)`

    `= 0,1961`

    Мы выбираем позитив, потому что находимся в первом квадранте.2сек \ theta`

    `= (1 + cos theta) sec \ theta`

    `= (1 + cos theta) 1 / (cos theta)`

    `= сек \ тета + 1`

    `=» RHS «`

    {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ tan \ left ({\ frac {\ eta \ pm \ theta} {2}} \ right) & = {\ frac {\ sin \ eta \ pm \ sin \ theta} {\ cos \ eta + \ cos \ theta}} = — {\ frac {\ cos \ eta — \ cos \ theta} {\ sin \ eta \ mp \ sin \ theta}}, \\ [10pt] \ tan \ left (\ pm {\ frac {\ theta} {2}} \ right) & = {\ frac {\ pm \ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {\ pm \ tan \ theta} {\ sec \ theta +1}} = {\ frac {\ pm 1} {\ csc \ theta + \ cot \ theta}}, && (\ eta = 0) \\ [10pt] \ tan \ left ( \ pm {\ frac {\ theta} {2}} \ right) & = {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ pm \ sin \ theta}} = {\ frac {\ sec \ theta -1} {\ pm \ tan \ theta}} = \ pm (\ csc \ theta — \ cot \ theta), && (\ eta = 0) \\ [10pt] \ tan \ left ({\ frac {1} {2} } (\ theta \ pm {\ frac {\ pi} {2}}) \ right) & = {\ frac {1 \ pm \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = \ sec \ theta \ pm \ tan \ theta = {\ frac {\ csc \ theta \ pm 1} {\ cot \ theta}}, && (\ eta = {\ frac {\ pi} {2}}) \\ [10pt] \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (\ theta \ pm {\ frac {\ pi} {2}}) \ right) & = {\ frac {\ cos \ theta} {1 \ mp \ sin \ theta }} = {\ frac {1} {\ sec \ theta \ mp \ tan \ theta}} = {\ frac {\ cot \ theta} {\ csc \ theta \ mp 1}}, && (\ et a = {\ frac {\ pi} {2}}) \\ [10pt] {\ frac {1- \ tan (\ theta / 2)} {1+ \ tan (\ theta / 2)}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ sin \ theta} {1+ \ sin \ theta}}} \\ [10pt] \ tan {\ frac {\ theta} {2}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {1+ \ cos \ theta}}} \ end {align}}}

    {\ displaystyle {\ begin {align} \ tan \ left ({\ frac {\ eta \ pm \ theta} {2}} \ right) & = {\ frac {\ sin \ eta \ pm \ sin \ theta} {\ cos \ eta + \ cos \ theta}} = — {\ frac {\ cos \ eta — \ cos \ theta} {\ sin \ eta \ mp \ sin \ theta}}, \\ [10pt] \ tan \ left (\ pm {\ frac {\ theta} {2}} \ right) & = {\ гидроразрыв {\ pm \ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {\ pm \ tan \ theta} {\ sec \ theta +1}} = {\ frac {\ pm 1} {\ csc \ theta + \ cot \ theta}}, && (\ eta = 0) \\ [10pt] \ tan \ left (\ pm {\ frac {\ theta} {2}} \ right) & = {\ frac { 1- \ cos \ theta} {\ pm \ sin \ theta}} = {\ frac {\ sec \ theta -1} {\ pm \ tan \ theta}} = \ pm (\ csc \ theta — \ cot \ theta ), && (\ eta = 0) \\ [10pt] \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (\ theta \ pm {\ frac {\ pi} {2}}) \ right) & = {\ frac {1 \ pm \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = \ sec \ theta \ pm \ tan \ theta = {\ frac {\ csc \ theta \ pm 1} {\ cot \ theta} } , && (\ eta = {\ frac {\ pi} {2}}) \\ [10pt] \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (\ theta \ pm {\ frac {\ pi} {2}}) \ right) & = {\ frac {\ cos \ theta} {1 \ mp \ sin \ theta}} = {\ frac {1} {\ sec \ theta \ mp \ tan \ theta}} = {\ frac {\ cot \ theta} {\ csc \ theta \ mp 1}}, && (\ eta = {\ frac {\ pi} {2}}) \\ [10pt] {\ frac {1- \ tan (\ theta / 2)} {1+ \ tan (\ theta / 2)}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ sin \ theta} {1+ \ sin \ theta}}} \\ [10pt] \ tan {\ frac {\ theta} {2}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {1+ \ cos \ theta}}} \ end {выровнено}} }

    Как использовать двойные угловые идентификаторы

    Использование двойных угловых идентификаторов в тригонометрии

    Тождества в математике показывают нам уравнения, которые всегда верны. Существует много тригонометрических тождеств (загрузите здесь таблицу тригонометрических тождеств), но сегодня мы сосредоточимся на тождествах с двойным углом, названных из-за того, что они включают тригонометрические функции двойных углов, такие как sinθ \ thetaθ, cos2θ \ thetaθ, и tan2θ \ thetaθ. Без этих формул сложно упростить сложные тригонометрические функции.

    Как использовать тождества с двойным углом Во-первых, что такое тождество с двойным углом? Давайте посмотрим на таблицу идентичности тригонометрии здесь:

    3 основных тригонометрических тождества В некотором смысле, двойные углы синуса и тангенса очень просты, потому что для них есть только одна формула.Косинус 2θ \ thetaθ на самом деле является сложным, потому что, когда вы видите вопрос, вы не знаете, использовать ли первое, второе или третье выражение. Но не беспокойтесь слишком сильно, потому что, поскольку у вас есть три версии косинуса на выбор, вы действительно сможете сделать свой выбор в зависимости от того, какую информацию вам предоставляет проблема и какую из них проще всего применить.

    А пока давайте взглянем на некоторые примеры тождеств с двойным углом. Используя приведенную выше шпаргалку по тригонометрическим идентификаторам, мы можем пройти через это руководство по тригонометрическим идентификаторам:

    Вопрос

    Если вы посмотрите на диаграмму тригонометрических тождеств, вы не найдете числа, за которым следует синус, а затем косинус — ни в частных тождествах, ни во взаимных тождествах, ни в тождествах Пифагора, ни в суммах и различиях тождеств.

    двойная угловая идентичность Однако вы можете найти этот образец в двойных углах для синуса. Идентичность двойного угла синуса имеет номер, за которым следует синус, а затем косинус. Теперь мы знаем, что хотим использовать эту формулу для ответа на этот конкретный вопрос. Мы должны изменить формулу, которая нам дана, на то, что мы хотим.

    Для обеих формул у нас есть синус, косинус, что хорошо. Но число впереди наших проблем — 14, тогда как в тождестве с двойным углом число впереди — 2. Каким должен быть наш следующий шаг? Умножьте все выражение на 7.Это даст нам 7 (sin2θ \ thetaθ). Умножив это на правую часть уравнения, мы получим:

    двойной угол идентичности шаг 2 Теперь мы на шаг ближе к решению проблемы. Следующее, что нам нужно сделать, это заменить тэту на 6х.

    Позволять ? = 6x, что дает нам:

    двойной угол идентичности шаг 2 Разве это не именно то, что был задан в первоначальном вопросе? Оказывается, что Вопрос фактически равно 7sin (2 * 6x). Вы только что завершили проверку идентификаторов триггеров с помощью идентификаторов с двойным углом.Это один из примеров доказательств множества тригонометрических тождеств, которые можно решить с помощью тригонометрических тождеств с двойным углом.

    Калькулятор сумм и разностей

    Добро пожаловать в калькулятор сумм и разностей Omni , где мы изучим формулы суммы и разности для всех шести тригонометрических функций, например, формулы сложения синуса или cos . Они могут оказаться чрезвычайно полезными, когда аргумент функции априори не дает простого результата.В таких случаях мы можем выразить угол (а вместе с ним и функцию) как выражение с более подходящими элементами . В зависимости от выбора мы используем формулу суммы или разности, чтобы получить , что-то более простое для обработки .

    Будем надеяться, что вычитание и сложение чисел для нас не проблема, поэтому формулы разности углов и суммы углов также не должны быть проблемой . Мы готовы встретиться с ними здесь и сейчас!

    Тригонометрические функции

    Хотя тригонометрия — это обширная тема с множеством обобщений, мы должны начать с того места, где все начиналось: в Древней Греции .

    Хорошо, хорошо, это был , немного преувеличение , но мы не зашли слишком далеко. Ведь именно древних греков мы помним по сей день как тех, кто начал детально изучать математику с формулами и доказательствами . В частности, их внимание привлекла геометрия и изучение треугольников. Примером того, куда их привело это увлечение, является знаменитая теорема Пифагора. И вот здесь начинается наша сегодняшняя история.

    Теорема соединяет стороны прямоугольного треугольника простой формулой.Другими словами, он говорит нам, что мир геометрии ни в коем случае не хаотичен: есть правила, которым мы должны следовать . В конце концов, мы легко видим, что если мы возьмем произвольный прямоугольный треугольник и увеличим один из его острых углов, то нам нужно будет соответственно удлинить одну из катетов. Тригонометрия основывается на этом наблюдении.

    Тригонометрические функции описывают отношения между сторонами прямоугольного треугольника. Ниже вы можете найти картинку с формулами, определяющими все шесть из них .(Обратите внимание, как мы упоминаем их все в нашем калькуляторе тождеств сумм и разностей.)

    Обратите внимание, что в формулах не упоминается размер треугольника . Фактически, в этом и заключается ключевое свойство функций: даже если мы масштабируем фигуру в два раза больше ее размера, значения функции останутся такими же , пока мы сохраняем неизменными углы.

    Однако мы начали этот раздел с того, что сказали, что тригонометрия — это обширная тема с множеством обобщений, и здесь, , мы видим существенное препятствие .Действительно, определяя функции в прямоугольном треугольнике, нам требуется аргумент, т. Е. Угол между 0 и 90 градусов (или между 0 и π / 2 в радианы).

    Но не бойтесь! Есть способ исправить это и разрешить все возможные углы, даже отрицательные. Единственное, что нам нужно сделать, это перевести все рассуждения в двумерное евклидово пространство , то есть на плоскость.

    Пусть A = (x, y) — точка на плоскости. Определите α как угол, идущий против часовой стрелки от положительной половины горизонтальной оси к отрезку линии, конечные точки которого равны (0,0) и A . (Обратите внимание, как мы сказали, что α идет на от одной линии к другой, а не то, что это просто угол между ними. Вот почему мы часто называем α направленным углом .)

    Очевидно, что угол α больше 90 градусов.Мы даже можем принять значения больше, чем полный угол 360 градусов — мы просто считаем 360 градусов полным кругом вокруг (0,0) , и с этого момента мы просто начинаем второй. И даже лучше — теперь мы можем понимать отрицательных значений и ! Поскольку мы определили угол α как направленный, мы можем сказать, что отрицательные углы просто меняют направление , то есть идут по часовой стрелке, а не против часовой стрелки.

    Для такого произвольного α и точки A = (x, y) , мы расширяем определения всех шести тригонометрических функций , повторяя формулы из рисунка выше, но с некоторыми изменениями: мы подставляем b для x , a для y и c для √ (x² + y²) , т. е. расстояние от (0,0) до A .

    В общем, вычисление тригонометрических функций — непростая задача .Обычно для этого мы используем внешние инструменты, поэтому позвольте нам воспользоваться этой возможностью, чтобы направить вас к ресурсам Omni , которые, несомненно, сделают задачу легкой задачей:

    Однако, если вы столкнулись с проблемой, связанной с тригонометрическими функциями, и кажется, что поблизости нет Wi-Fi (о, жуткий сценарий , хорошо!), Тогда могут пригодиться некоторые дополнительные формулы . Примером таких тождеств являются тождества половинного угла, формулы уменьшения мощности и, конечно, триггерные тождества суммы и разности .

    Формула сложения синуса, формула сложения cos

    Формулы суммы и разности позволяют вычислить значение тригонометрической функции, описывая ее в терминах аналогичных функций, но с разными аргументами. По сути, мы берем угол, который мы получили изначально, и разлагаем его на сумму или разность двух других углов . Затем мы можем найти начальное значение, используя вместо него новые и применяя, соответственно, формулу суммы или разности.

    Как мы видели в предыдущем разделе, существует шесть тригонометрических функций . Для каждого из них у нас есть одна формула сложения углов и одна формула вычитания углов. В общей сложности это составляет , двенадцать различных (но похожих) сумм и разностных тождеств . Помня об этом, давайте начнем с двух наиболее часто используемых: — формулы сложения синуса и — формулы сложения cos :

    . sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β) , cos (α + β) = cos (α) cos (β) - sin (α) sin (β) .

    Мы видим, что обе приведенные выше формулы суммы углов разлагают функцию α + β (с которым априори может быть сложно работать с углом) в выражение с α и β отдельно . Также обратите внимание, что формулы сложения cos и синуса используют обе функции. В самом деле, обычно триггерные тождества суммы и разности требуют наличия пары совместных функций в разложении.

    В частности, , когда два угла совпадают , т.е.е., когда α = β , формулы сложения cos и синуса дают:

    sin (α + α) = sin (α) cos (α) + cos (α) sin (α) , cos (α + α) = cos (α) cos (α) - sin (α) sin (α) .

    Если упростить обозначения, мы получим то, что часто называют формулами двойного угла:

    sin (2α) = 2sin (α) cos (α) , cos (2α) = cos² (α) - sin² (α) ,

    где в формуле косинуса показатель степени относится к значению функции, т. Е. cos² (α) = (cos (α)) ² .

    Прежде чем мы закончим этот раздел, давайте применим изящный трюк , чтобы превратить приведенные выше формулы суммы углов в формулы разности углов.В конце концов, мы знаем, что вычитание числа — это то же самое, что прибавление этого числа с перевернутым знаком . Другими словами, мы можем использовать формулы сложения углов в своих интересах и написать:

    sin (α - β) = sin (α + (-β)) = sin (α) cos (-β) + cos (α) sin (-β) ,

    cos (α - β) = cos (α + (-β)) = cos (α) cos (-β) - sin (α) sin (-β) .

    Далее мы можем использовать свойства синуса и косинуса. В частности, напомним, что sin — нечетная функция , а cos — четная .Это означает, что у нас есть sin (-β) = -sin (β) и cos (-β) = cos (β) . Следовательно, приведенные выше формулы дают нам тождества разности sin и cos :

    . sin (α - β) = sin (α) cos (β) - cos (α) sin (β) , cos (α - β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) .

    Когда мы смотрим на формулы суммы или разности, мы видим, что меняется только знак в одном из слагаемых . Фактически, трюк, который мы придумали выше, можно применить ко всем формулам сложения углов, чтобы получить их аналоги: тождества вычитания угла .

    Ну, раздел называется «Формула сложения синуса , формула сложения cos », но нам также удалось подкрасться в двух формулах разности . Это означает, что за нами стоит треть триггерных тождеств суммы и разницы. Мы более чем готовы перейти к следующему разделу и узнать о других , не так ли?

    Прочие триггерные тождества суммы и разницы

    Хотя формулы сложения cos и синуса являются наиболее распространенными, другие четыре тригонометрические функции также заслуживают любви .Ниже вы можете найти триггерные тождества суммы и разницы для всех из них. Для полноты картины упомянем также и из предыдущего раздела.

    Обратите внимание, что после двух первых функций, становится немного сложнее . Тождества касательной и котангенса суммы и разности триггеров уже требуют некоторых дробей. И если мы посмотрим на формулу суммы или разности для секанса и косеканса, мы увидим , даже худшие выражения с множеством функций, умноженных вместе.

    Однако основная идея остается актуальной: справа, α и β появляются отдельно . Также обратите внимание, что для какой бы то ни было функции формула сложения углов отличается от разницы только изменением знаков . Это свойство является прямым следствием того же трюка, который мы использовали в предыдущем разделе, и четности соответствующих функций.

    Уф, , кажется, достаточно теории на сегодня , тебе не кажется? Как насчет того, чтобы мы нашли хорошее применение и решили числовой пример для разнообразия?

    Пример: использование калькулятора сумм и разностей тождеств

    Скажем, , что вы учитель между двумя школьными годами и что вам нужно спланировать, как подготовить класс к временам пандемии.Другими словами, вы должны выяснить, как расположить столы так, чтобы соответствовать новым стандартам , связанным с социальным дистанцированием.

    Вы решили придерживаться (примерно) трапециевидной формы с большим количеством учеников в первом ряду и меньшим — в заднем. Однако с вы, кажется, забыли свою измерительную ленту , поэтому придется поступать нестандартно.

    Используя обувь и длину шага, вы можете определить приблизительные расстояния между партами.Вы решаете, что угол, по которому вы их выравниваете, должен быть 75 градусов (вы забыли измерительную ленту, но не транспортир!). Кроме того, чтобы все было точным, где-то по пути вы столкнетесь с проблемой , которая найдет косинус угла .

    Если есть проблема, есть также решение , и калькулятор сумм и разностей Omni кажется правильным инструментом для работы!

    Первая переменная в калькуляторе позволяет нам выбрать функцию, с которой мы имеем дело .Нам нужен косинус, поэтому давайте начнем с выбора косинуса из списка в разделе «, функция ». Затем нам нужны α и β — два угла, используемые в тождествах сумм и разностей триггеров в соответствии с формулой, показанной над полями переменных.

    Наш угол составляет 75 градусов, но у нас нет ограничений на то, как его разложить . Например, мы можем заметить, что 75 = 30 + 45 (ниже мы указываем причину, по которой мы выбрали эти числа).Мы используем это разложение для , применяем формулу сложения углов , поэтому мы вводим в калькулятор сумм и разностей тождеств:

    α = 30`, `β = 45 .

    В тот момент, когда мы введем второе значение , инструмент выдаст ответ . Обратите внимание на то, как калькулятор дает нам пошаговое приложение формулы и автоматически выдает идентичность разницы.

    Тем не менее, для пугающих ситуаций, когда поблизости нет Wi-Fi, давайте посмотрим, как найти решение вручную .

    Прежде всего, давайте вспомним, что мы хотели бы разложить угол как 75 = 30 + 45 . Чтобы объяснить наш выбор, вспомним, что 30 и 45 градусов появляются в двух очень особых прямоугольных треугольниках. Если быть точным, треугольник 90-60-30 на самом деле является половиной равностороннего треугольника, а 90-45-45 — половиной квадрата.

    Это, в частности, сообщает нам точное соотношение между длинами сторон треугольников . И поскольку мы определили тригонометрические функции в первом разделе как отношения между сторонами прямоугольных треугольников, мы можем объединить всю эту информацию и написать:

    sin (30 °) = 1 / 2`, `cos (30 °) = √3 / 2 , sin (45 °) = √2 / 2`, `cos (45 °) = √2 / 2 .

    (Обратите внимание, как точные значения с квадратными корнями также отображаются в калькуляторе тождеств сумм и разностей.)

    Наконец, мы вспоминаем формулу сложения cos и применяем ее к нашему случаю:

    cos (75 °) = cos (30 ° + 45 °) =

    = cos (30 °) cos (45 °) - sin (30 °) sin (45 °) =

    = √3 / 2 * √2 / 2 - 1/2 * √2 / 2 =

    = √6 / 4 - √2 / 4 ≈

    ≈ 0,259 .

    Вуаля! У нас есть косинус; теперь все должно идти гладко.Будем надеяться, что дети будут постоянно носить маски , чтобы ваши усилия не пропали даром .

    далее_тригонометрия

    Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES)

    вернуться к индексу

    Предполагаемые знания

    • Ознакомление с содержанием модуля «Вводная тригонометрия».
    • Знакомство с базовой координатной геометрией.
    • Учреждение с простой алгеброй, формулами и уравнениями.
    • Знакомство с сердами.

    Мотивация

    В модуле «Вводная тригонометрия» мы показали, что, зная углы и одну сторону прямоугольного треугольника, мы можем найти другие стороны, используя тригонометрические отношения синуса, косинуса и тангенса. Точно так же знание любых двух сторон прямоугольного треугольника позволяет нам найти все углы.

    Не все треугольники содержат прямой угол. Мы можем связать стороны и углы в произвольном треугольнике, используя две основные формулы, известные как правило синуса и правило косинуса.

    Вооружившись ими, мы можем решить более широкий круг задач в двух измерениях, а также распространить эти идеи на трехмерные задачи. Это важный инструмент для геодезистов и инженеров-строителей.

    Вскоре становится очевидным, что в некоторых случаях нам нужно уметь определять тригонометрическое соотношение тупого угла. Это позволяет нам решать более широкий круг задач и приложений. Это также предоставит модель для расширения определения тригонометрических соотношений на любой угол.Эта идея будет рассмотрена в модуле Тригонометрические функции.

    Содержимое

    В модуле «Вводная тригонометрия — годы 9–10» мы определили три стандартных тригонометрических отношения: синус, косинус и тангенс угла θ, называемого опорным углом,
    в прямоугольном треугольнике.

    Они определяются по:

    sin θ =, cos θ =, tan θ =, где 0 ° <θ <90 °.

    Студенты должны тщательно изучить эти соотношения.Одна простая мнемоника, которая может им помочь, — это SOH CAH TOA, состоящая из первой буквы каждого отношения и первой буквы сторон, составляющих это соотношение.

    В прямоугольном треугольнике два других угла дополняют друг друга. Как показано на схеме ниже, сторона, противоположная одному из этих углов, примыкает к другому.

    Таким образом, можно увидеть, что,

    sin θ = cos (90 ° — θ) и cos θ = sin (90 ° — θ), если 0 ° <θ <90 °

    Косинус (косинус) назван так, потому что косинус угла является синусом его дополнения.

    Эти отношения можно использовать для определения сторон и углов прямоугольных треугольников.

    ПРИМЕР

    Найдите с точностью до двух десятичных знаков значение местоимения в каждом треугольнике.

    Решение

    а грех 15 ° =
    =
    х = 8 × sin 15 °
    ≈ 2.07 (с точностью до двух десятичных знаков)
    б cos 28 ° =
    =
    a = 12.2 × cos 28 °
    ≈ 10,77 (с точностью до двух десятичных знаков)

    ПРИМЕР

    Вычислить значение θ с точностью до одного десятичного знака.

    Решение

    Обратите внимание, что для 0

    Точные значения

    Тригонометрические отношения для углов 30 °, 45 ° и 60 ° могут быть выражены с помощью сурдов и очень часто встречаются во вводной тригонометрии, в высшей математике и в исчислении.Таким образом, учащимся важно познакомиться с ними.

    Один из способов быстро их найти — это нарисовать следующие треугольники, а затем просто записать соотношения.

    Прямоугольный треугольник, содержащий угол 45 °, будет равнобедренным, поэтому мы выбираем две более короткие стороны равными 1 единице в длину и используем теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу.

    Для углов 30 ° и 60 ° мы начинаем с равностороннего треугольника со стороной 2 единицы длины и опускаем перпендикуляр, как показано.Простая геометрия и теорема Пифагора дают остальную информацию, как показано на диаграмме.

    Таблица значений теперь может быть заполнена по этим диаграммам.

    Индексное обозначение

    В тригонометрии возникает несколько отклонений от обычных индексных обозначений. Студенты могут сначала запутать их.

    Мы запишем, например, (tan θ) 2 как tan2 θ, (sin θ) 3 как sin3 θ и так далее. Это не следует путать с обратной записью, рассмотренной выше.Мы не пишем, например,
    sin-2 θ для (sin θ) -2, так как это могло бы спутать обычное значение индексов с обратными.

    Трехмерные задачи

    Мы можем использовать наши знания тригонометрии для решения задач в трех измерениях.

    УПРАЖНЕНИЕ 2

    Найдите CEG в кубе, показанном ниже.

    Правило синуса

    Во многих приложениях мы сталкиваемся с неправильными треугольниками.Мы можем расширить наши знания тригонометрии, чтобы иметь дело с этими треугольниками. Это делается с помощью двух основных формул, первая из которых называется правилом синуса.

    Предположим, что мы имеем дело с остроугольным треугольником ABC.

    Как показано на схеме, мы опускаем перпендикуляр CP длиной h из C в AB.

    Тогда в APC sin A =, поэтому h = b sin A.

    Аналогично, в CPB sin B =, поэтому h = a sin B.

    Приравнивая эти два выражения для h, мы получаем b sin A = a sin B, который мы можем записать как

    =.

    Тот же результат справедлив для стороны и угла, поэтому мы можем написать

    Это известно как правило синуса. На словах он говорит: любая сторона треугольника над синусом противоположного угла равна любой другой стороне треугольника над синусом его противоположного угла.

    Мы скоро увидим, как распространить этот результат на треугольники с тупыми углами.

    ПРИМЕР

    В ABC, AB = 9 см. ABC = 76 ° и ACB = 58 °.

    Найти с точностью до двух десятичных знаков:

    а AC b BC

    Решение

    Подшипники

    Истинные подшипники были рассмотрены в модуле «Вводная тригонометрия».
    Теперь мы можем использовать правило синуса для решения простых задач геодезии, включающих неправильные треугольники.

    УПРАЖНЕНИЕ 3

    Из точки P, к западу от здания OA, угол подъема вершины A здания OA составляет 28 °. От точки Q на 10 м западнее P угол места составляет 20 °. Нарисуйте диаграмму, а затем используйте правило синуса, чтобы найти расстояние AP и, следовательно, точную высоту здания. Наконец, оцените рост OA с точностью до сантиметра.

    Нахождение углов

    Правило синуса можно использовать для определения углов и сторон треугольника.Однако одна из известных сторон должна быть напротив одного из известных углов.

    ПРИМЕР

    Предполагая, что все углы острые.

    Найдите угол θ в треугольнике FGH с точностью до градуса.

    Решение

    Как видно из приведенного выше примера, при поиске углов проще записать правило синуса как = перед заменой данной информации.

    Работа с тупыми углами

    И правило синуса, и правило косинуса используются для определения углов и сторон треугольников. Что происходит, если один из углов тупой? Чтобы справиться с этим, нам нужно расширить определение основных тригонометрических соотношений от острых до тупых углов. Мы используем координатную геометрию, чтобы мотивировать расширенные определения следующим образом.

    Мы рисуем единичную окружность с центром в декартовой плоскости и отмечаем точку на окружности в первом квадранте.

    На показанной диаграмме, поскольку = cos θ, мы можем
    видеть, что координата x точки P равна cos θ. Аналогично,
    , координата y точки P равна sin θ.

    Следовательно, координаты P равны (cos θ, sin θ).

    Теперь мы можем перевернуть эту идею и сказать, что
    , если θ — это угол между OP и положительной осью x, то:

    • косинус θ определяется как x-координата
      точки P на единичной окружности и
    • синус θ определяется как координата y точки
      P на единичной окружности.

    Это определение может применяться ко всем углам, как положительным, так и отрицательным, но в этом модуле мы ограничим угол от 0 ° до 180 °.

    Согласованность определений

    В модуле Введение в тригонометрию мы определили sin θ = и cos θ =, где 0 ° <θ <90 °. В предыдущем разделе мы определили cos θ = OQ и sin θ = PQ. Мы должны показать, что эти два определения согласуются.

    На схеме ниже показаны прямоугольный треугольник OAB и треугольник OPQ, оба из которых содержат угол θ.Треугольник OPQ имеет вершину P на единичной окружности. Эти треугольники похожи, поэтому отношение = = PQ, которое является координатой y точки P. Аналогично = = 1, которое является координатой x точки P.

    Итак, мы показали, что эти два определения совпадают.

    Углы во втором квадранте

    В качестве примера возьмем θ равным 30 °, поэтому у него есть координаты (cos 30 °, sin 30 °).

    Теперь переместите точку P по окружности к P ′ так, чтобы OP ′ образовал угол 150 ° с положительной осью x.Обратите внимание, что 30 ° и 150 ° — дополнительные углы.

    Координаты P ′: (cos 150 °, sin 150 °).

    Но мы видим, что треугольники OPQ и OP′Q ′ совпадают, поэтому y-координаты
    P и P ′ совпадают. Таким образом, грех 150 ° = грех 30 °.

    Кроме того, координаты x точек P и P ‘имеют одинаковую величину, но противоположный знак,
    , поэтому cos 150 ° = −cos 30 °.

    Из этого типичного примера мы видим, что если θ — любой тупой угол, то его дополнение,
    180 ° — θ является острым, а синус θ равен

    .

    sin θ = sin (180 ° — θ), где 90 ° <θ <180 °.

    Аналогично, если θ — любой тупой угол, то косинус угла θ равен

    .

    cos θ = −cos (180 ° — θ), где 90 ° <θ <180 °.

    На словах это говорит:

    • синус тупого угла равен синусу его дополнения,
    • косинус тупого угла равен минус косинус его дополнения.

    Правило синуса действует также для треугольников с тупым углом.

    УПРАЖНЕНИЕ 4

    Восстановите правило синуса = для треугольника с тупым углом A.

    Углы 0 °, 90 °, 180 °

    Мы можем использовать расширенное определение тригонометрических функций, чтобы найти синус и косинус углов 0 °, 90 °, 180 °.

    УПРАЖНЕНИЕ 5

    Нарисуйте диаграмму, показывающую точки на единичном круге под каждым из указанных выше углов. Используйте координаты для завершения записей в таблице ниже.

    θ 0 ° 90 ° 180 °
    sin θ
    cos θ

    Тангенс тупого угла

    Для θ в диапазоне 0 ° <θ <90 ° или 90 ° <θ <180 ° мы определяем тангенс угла θ как

    .

    tan θ =, для cos θ ≠ 0.

    В случае, когда cos θ = 0, тангенциальное отношение не определено. Это произойдет, когда θ = 90 °.

    Если θ находится в диапазоне 0 ° <θ <90 °, это определение согласуется с обычным определением

    тангенса θ =

    Следовательно, если θ — тупой угол, то

    загар θ

    =

    (из определения)

    =

    (так как θ тупой)

    = −tan (180 ° — θ)

    (из определения).

    Следовательно, тангенс тупого угла является отрицательной величиной тангенса его дополнения.

    Обратите внимание, что tan 0 ° = 0 и tan 180 ° = 0, поскольку синус этих углов равен 0, и что tan 90 ° не определен, поскольку cos 90 ° = 0.

    УПРАЖНЕНИЕ 6

    Найдите точные значения тангенса угла наклона 150 ° и тангенса угла 120 °.

    Неоднозначный случай

    В нашей работе над конгруэнтностью было подчеркнуто, что при применении теста на конгруэнтность SAS рассматриваемый угол должен быть углом между двумя сторонами.Таким образом, на следующей диаграмме показаны два несовпадающих треугольника ABC и ABC ‘с двумя парами совпадающих сторон, имеющих общий (невключенный) угол.

    Предположим, нам говорят, что треугольник PQR имеет PQ = 9, PQR = 45 ° и PR = 7. Тогда угол, противоположный PQ, не определен однозначно. Есть два несовпадающих треугольника, которые удовлетворяют заданным данным.

    Применяя правило синуса к треугольнику, получаем

    =

    и поэтому sin θ = ≈ 0.9091.

    Таким образом, θ ≈ 65 °, если предположить, что θ острый. Но дополнительный угол θ ′ = 115 °. Угол PR′Q также удовлетворяет приведенным данным. Эту ситуацию иногда называют неоднозначным случаем.

    Поскольку сумма углов треугольника равна 180 °, в некоторых случаях только один из двух вычисленных углов является геометрически правильным.

    УПРАЖНЕНИЕ 7

    Найдите значение θ на следующей диаграмме,
    объясняя, почему ответ уникален.

    Правило косинуса

    Мы знаем из теста на соответствие SAS, что треугольник полностью определен, если нам даны две стороны и включенный угол. Однако, если мы знаем две стороны и включенный угол в треугольнике, правило синуса не поможет нам определить оставшуюся сторону.

    Вторая важная формула для обычных треугольников — это правило косинусов.

    Предположим, что ABC — треугольник, а углы A и C острые.Отбросьте перпендикуляр от B к AC и отметьте длины, как показано на схеме.

    В BDA теорема Пифагора дает

    с2 = h3 + (b — x) 2.

    Также в CBD другое применение теоремы Пифагора дает

    h3 = a2 — x2.

    Подставляя это выражение для в первое уравнение и раскладывая,

    c2 = a2 — x2 + (b — x) 2
    = a2 — x2 + b2 — 2bx + x2
    = a2 + b2 — 2bx.

    Наконец, из CBD, мы имеем x = a cos C и, следовательно,

    c2 = a2 + b2 — 2abcos C

    Эта последняя формула известна как правило косинуса. Путем переназначения сторон и угла мы также можем записать a2 = b2 + c2 — 2bc cos A и b2 = a2 + c2 — 2ac cos B.

    Обратите внимание, что если C = 90 °, то, поскольку cos C = 0, мы получаем теорему Пифагора, и поэтому мы можем рассматривать правило косинусов как теорему Пифагора с поправочным членом.

    Правило косинуса также верно, когда C тупой, но учтите, что в этом случае последний член в формуле даст положительное число, потому что косинус тупого угла отрицателен.В этом случае следует проявлять осторожность.

    ПРИМЕР

    Найдите значение x с точностью до одного десятичного знака.

    раствор

    Применяя правило косинуса:

    х 2

    = 72 + 82 — 2 × 7 × 8 cos 110 °

    = 151.30 …

    т.

    х

    = 12,3 (с точностью до одного десятичного знака)

    УПРАЖНЕНИЕ 8

    Докажите, что правило косинуса выполняется и в случае, когда C тупой.

    Нахождение углов

    Из теста на соответствие SSS мы знаем, что если известны три стороны треугольника, то эти три угла определяются однозначно. Опять же, правило синуса не помогает в их поиске, поскольку требует знания (по крайней мере) одного угла, но вместо этого мы можем использовать правило косинуса.

    Мы можем подставить три длины сторон a, b и c в формулу c2 = a2 + b2 — 2ab cos C, где C — угол, противоположный стороне c, а затем перестроить, чтобы найти cos C и, следовательно, C.

    В качестве альтернативы мы можем изменить формулу, чтобы получить

    cos C =

    , а затем замените. Студенты могут изменить правило косинуса или выучить другую формулу. Использование этой формы правила косинуса часто снижает арифметические ошибки.

    Напомним, что в любом треугольнике ABC, если a> b, то A> B.

    ПРИМЕР

    Треугольник имеет длину стороны 6 см, 8 см и 11 см.Найдите наименьший угол в треугольнике.

    Решение

    Наименьший угол в треугольнике противоположен самой маленькой стороне.

    Применяя правило косинуса:

    62 = 82 + 112 — 2 × 8 × 11 × cos θ
    cos θ =
    =
    и т. Д. θ ≈ 32.2 (с точностью до одного десятичного знака)

    Удлинение — самая длинная сторона и наибольший угол треугольника

    В модуле «Конгруэнтность» мы доказали важную взаимосвязь между относительными размерами углов треугольника и относительными длинами его сторон: угол треугольника, противоположный длинной стороне, больше, чем угол, противоположный более короткой стороне.

    Для разносторонних треугольников это можно переформулировать с точки зрения неравенства всех трех сторон следующим образом:

    Если ABC — треугольник, в котором a> b> c, то A> B> C.

    Этот результат можно интересно доказать, используя либо правило синуса, либо правило косинуса.

    Самая длинная сторона и правило синуса

    В следующем упражнении используется тот факт, что sin θ увеличивается от 0 до 1, когда θ увеличивается от
    0 ° до 90 °.

    УПРАЖНЕНИЕ 9

    Пусть ABC — треугольник, в котором a> b> c.

    1. Какой вы можете сделать вывод об относительных размерах sin A, sin B и sin C, используя правило синусов?
    2. Если нет тупого угла, что вы можете сделать об относительных размерах A, B и C?
    3. Если треугольник PQR имеет тупой угол P = 180 ° — θ, где θ является острым, используйте тождество sin (180 ° — θ) = sin θ, чтобы объяснить, почему sin P больше sin Q и sin R.
    4. Следовательно, докажите, что если треугольник ABC имеет тупой угол, то A> B> C.

    Самая длинная сторона и правило косинуса

    В этом упражнении используется тот факт, что cos θ уменьшается от 1 до -1, когда θ увеличивается от 0 ° до 180 °.

    УПРАЖНЕНИЕ 10

    Пусть ABC — треугольник, в котором a> b> c.

    a
    Запишите cos A и cos B через a, b и c и выразите каждое через их общий знаменатель 2abc.

    б
    Покажите, что cos B — cos A =
    =.

    c
    Объясните, почему cos B> cos A.

    д
    Объясните аналогичным образом, почему cos C> cos B, и, следовательно, покажите, что A> B> C.

    УПРАЖНЕНИЕ 11

    a
    Используйте теорему Пифагора, чтобы показать, что гипотенуза — это самая длинная сторона прямоугольного треугольника

    b
    Почему результат части является частным случаем приведенной выше теоремы?

    Площадь треугольника

    В модуле «Вводная тригонометрия» мы видели, что если мы возьмем любой треугольник с двумя заданными сторонами и с заданным (острым) углом θ, то площадь треугольника будет равна

    .

    Площадь = ab sin θ.

    УПРАЖНЕНИЕ 12

    Выведите эту формулу для случая, когда θ тупой.

    УПРАЖНЕНИЕ 13

    Треугольник имеет две стороны длиной 5 и 4 см, содержащие угол θ. Его площадь 5 см2. Найдите два возможных (точных) значения θ и нарисуйте два треугольника, которые удовлетворяют заданной информации
    .

    УПРАЖНЕНИЕ 14

    Запишите два выражения для площади треугольника и выведите из них правило синуса.

    Ссылки вперед

    Правила синуса и косинуса могут использоваться для решения ряда практических задач в области геодезии и навигации.

    Трехмерные задачи

    ПРИМЕР

    Точка M находится прямо через реку от основания B дерева AB. Из точки, расположенной на 7 метров выше по течению от M, угол подъема вершины A дерева составляет 17 °. От точки Q, расположенной в 5 метрах ниже по течению от M, угол подъема вершины дерева составляет 19 °.Предполагая, что PMQ — прямая линия и что дерево находится на берегу реки,
    , мы хотим найти ширину реки w метров.

    Решение

    В подобных задачах необходимо тщательно составить диаграмму.

    Пусть BP = a, BQ = b и AB = h, и затем, применив теорему Пифагора к треугольникам
    BMP и BMQ, получим a =, b =.

    Из треугольников ABP и ABQ имеем h = a sin 17 °, h = b sin 19 °.

    Приравнивая их, подставляя значения a и b и возводя в квадрат, получаем

    (49 + w2) sin2 17 ° = (25 + w2) sin2 19 °

    Теперь мы можем сделать w2 объектом и получить w2 =, так что
    w ≈ 8,66 м с точностью до 2 десятичных знаков.

    Примечание. Не оценивайте до последнего шага, чтобы сохранить полную точность калькулятора.

    Инженеры-строители, анализирующие силы и напряжения в зданиях и других конструкциях, часто используют векторы для представления направления и величины этих сил.Вектор — это стрелка, у которой есть направление и величина. Правила синуса и косинуса используются в векторных диаграммах для нахождения равнодействующих сил и напряжений. Это важное приложение.

    Тригонометрические идентичности

    Помимо практического использования, правила синуса и косинуса могут использоваться для получения теоретических результатов, известных как тригонометрические тождества, которые имеют важные последствия и приложения в более поздних работах. Среди них результаты с двойным углом, которые мы опишем ниже.

    Используя формулу площади A = ab sin C, для треугольника с двумя сторонами a и b, содержащего угол C, мы можем сделать следующее:

    Зафиксируйте острые углы a и β, пусть угол C = a + β. Из точки C проведите CD длины y и постройте треугольник ABC, как показано на схеме, где BA перпендикулярно CD.

    Из диаграммы имеем

    = cos α => y = a cos α (1)
    и = cos β => y = b cos β (2).

    Районы сравнения,

    ab sin (α + β) = ay sin α + через sin β.

    Подставляя значение y из (2) в первое слагаемое, а значение из (1) во второе, мы получаем после некоторого упрощения

    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

    В приведенном выше обсуждении мы предположили, что α, β — острые углы. Это тождество справедливо для всех
    α и β, но чтобы показать это, требуется другой подход.

    Обратите внимание, что sin (α + β) ≠ sin α + sin β. Например, sin (60 ° + 30 °) = sin 90 ° = 1, тогда как
    sin 60 ° + sin 30 ° = ≠ 1.

    УПРАЖНЕНИЕ 15

    Используйте приведенную выше формулу, чтобы показать, что точное значение sin 75 ° равно.

    Полагая α = β = θ в приведенной выше формуле, мы получаем формулу двойного угла
    для синуса, а именно

    sin 2θ = 2sin θ cos θ.

    Существует аналогичная формула двойного угла для косинуса,

    cos 2θ = cos2 θ — sin2 θ.

    Обе формулы чрезвычайно полезны, когда исчисление применяется к тригонометрическим функциям.

    Углы любой величины и тригонометрические функции

    В этом модуле мы увидели, как использовать единичную окружность для придания значения синусу и косинусу тупого угла. Это определение можно расширить, включив в него углы более 180 °, а также отрицательные углы.

    Таким образом, например, если θ находится между 180 ° и 270 °, тогда sin θ = −sin (θ — 180 °) и
    cos θ = −cos (θ — 180 °).

    Как только мы можем найти значения sin θ и cos θ для значений θ, мы можем построить графики функций y = sin θ, y = cos θ.

    Эти идеи будут развиты в модуле «Тригонометрические функции».

    Графики функций синуса и косинуса используются для моделирования волнового движения и электрических сигналов. Они являются неотъемлемой частью современной обработки сигналов и телекоммуникаций. Это прекрасный пример того, как простая идея, связанная с геометрией и соотношением, была абстрагирована и превращена в замечательно мощный инструмент, который изменил мир.

    История

    В модуле «Вводная тригонометрия» мы упоминали, что у греков была версия тригонометрии, включающая аккорды. Это показано на схеме ниже.

    На схеме хорда угла — это длина хорды, которая образует угол α в центре окружности радиуса R.

    Птолемей (85–185 гг. Н. Э.), Который жил и работал в Александрии, написал чрезвычайно влиятельную книгу под названием «Математический синтаксис».Он был переведен на арабский язык и получил арабское название «Альмагест».

    Птолемей рассматривал хорды, проходящие под углом α на окружности. Используя современные обозначения, если мы возьмем диаметр AB длиной 1 единицу, как показано, и хорду AC, образующую угол α на окружности, то длины AC и BC равны соответственно sin α и cos α.

    Поскольку углы на окружности, образуемой одной и той же дугой, равны, если α — это угол, образуемый любой хордой в этой окружности, то длина этой хорды всегда равна sin α.

    Птолемей также показал, что если ABCD — вписанный четырехугольник, то

    AB.CD + BC.DA = AC.BD.

    То есть сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению диагоналей.

    Этот результат известен как теорема Птолемея.

    Применяя теорему Птолемея на диаграмме ниже, где круг имеет диаметр 1, мы получаем результат sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, который мы получили выше.

    Используя эту и другие формулы, Птолемей смог построить подробную таблицу хорд углов. Поскольку аккорды тесно связаны с соотношением синусов, у него, по сути, была таблица синусов.

    Правило синусов в круге

    Дан треугольник ABC, мы можем нарисовать его описанную окружность с диаметром BD, как показано. Пусть 2R — диаметр описанной окружности.

    Тогда для острого α синус угла BDC равен

    sin BDC = sin α =.

    Перестановка дает = 2R.

    Таким образом, в правиле синусов все величины и равны диаметру описанной окружности треугольника ABC.

    Региомонтан (1436–1476), написавший первую современную европейскую книгу по тригонометрии, включил в свою работу правило синуса и его вывод.

    Правильная пентаграмма и правильный пятиугольник

    Правильная пентаграмма и правильный пятиугольник всегда были источником восхищения и часто используются в астрологии.Он основан на треугольнике, свойства которого исследуются в следующем упражнении.

    УПРАЖНЕНИЕ 16

    Начнем с равнобедренного треугольника с углами 72 °, 72 °, 36 °, как показано. Этот треугольник
    естественным образом встречается как внутри правильного пятиугольника, так и внутри правильной пентаграммы.
    Для простоты вычислений мы берем две равные стороны равными 4 единицам в длину.

    Возьмем точку D на AB так, что BDC = 72 °.Наконец, положим BC = 2x.

    a Покажите, что информация, указанная на схеме, верна.

    b Докажите, что треугольники ABC и CDB подобны.

    c Выведите, что =, и решите это уравнение, чтобы получить x = — 1.

    d Опустив перпендикуляр от A к BC, покажите, что cos 72 ° =.

    e Используйте тождество cos2 θ + sin2 θ = 1, чтобы показать, что sin 72 ° =.

    Ответы к упражнениям

    Упражнение 1

    а -1 б 50 (+ 1)

    Упражнение 2

    тан-1 ≈ 35.26 ° с точностью до двух десятичных знаков.

    Упражнение 3

    AP = 24,57… м и OA = 11,54 м с точностью до см.

    Упражнение 4

    Пусть CAM = θ

    Следовательно, CAB = 180 ° — θ

    h = b sin θ (треугольник CAM) и h = a sin B (треугольник CAB)

    Следовательно, a sin B = b sinθ = b sin (180 ° — A)
    = b sin A
    так =

    отсюда и результат.

    Упражнение 5

    sin 0 ° = 0, sin 90 ° = 1, sin 180 ° = 0

    cos 0 ° = 1, cos 90 ° = 0, cos 180 ° = -1

    Упражнение 6

    -, —

    Упражнение 7

    sin − 1 ≈ 22,62 ° (с точностью до двух десятичных знаков). Две стороны и прямой угол образуют уникальный треугольник (правое совпадение).

    Упражнение 8

    В треугольнике BCM h3 = a2 — (c + MA) 2

    В треугольнике CMA, h3 = b2 — MA2

    Следовательно, a2 — (c + MA) 2 = b2 — MA2

    a2 = b2 + c2 + 2c × MA

    Но MA = b cos (180 ° — A) = — b cos A

    Следовательно, a2 = b2 + c2 — 2bc cos A

    Упражнение 9

    a sin A> sin B> sin C (если a> b и a sin B = b sin A, то sin A> sin B

    b Согласно замечанию в начале этого абзаца, A> B> C.

    c Углы P и Q складываются с θ, потому что сумма углов треугольника равна 180 °.
    Следовательно, P и Q меньше θ, поэтому sin P и sin Q меньше sin θ = sin P.

    d Из части c тупой угол равен A, который, следовательно, является наибольшим из трех углов.
    Следовательно, sin B> sin C, где B и C являются острыми, поэтому A> B> C.

    Упражнение 10

    б Условия группировки,
    cos B — cos A =
    =
    =

    c Из a> b> c> 0 следует, что ab> c2 и a3> b3.Следовательно, cos B> cos A.

    d Аналогичный аргумент доказывает, что cos C> cos B, поэтому cos C> cos B> cos A.

    Согласно замечанию в начале этого абзаца, A> B> C.

    Упражнение 11

    a Пусть ABC находится под прямым углом в C. Тогда AB2 = AC2 + BC2. Следовательно, AB2 больше, чем AC2 и BC2, поэтому AB длиннее, чем AC и BC.

    b В прямоугольном треугольнике два других угла острые, потому что сумма углов треугольника равна 180 °.Следовательно, прямой угол — это самый большой угол.

    Упражнение 12

    Мы используем ту же диаграмму, что и для доказательства тупого угла правила синуса и косинуса.

    Площадь = c × h = cb sin θ
    = cb sin A

    Указанный результат получается симметрией аргумента.

    Упражнение 13

    θ = 30 ° или 150 °

    Упражнение 14

    Для данного треугольника ABC cb sin A = ca sin B.Следовательно, bsin A = asin B и =.

    Упражнение 15

    Упражнение 16

    b Треугольник ABC похож на треугольник CDB (AA)

    c = d cos B = e sin2 B = 1 — =

    Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

    Синус х 0: Решите уравнение sin(x)=0 (синус от (х) равно 0)

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение sin(45)
    3 Найти точное значение sin(30 град. )
    4 Найти точное значение sin(60 град. )
    5 Найти точное значение tan(30 град. )
    6 Найти точное значение arcsin(-1)
    7 Найти точное значение sin(pi/6)
    8 Найти точное значение cos(pi/4)
    9 Найти точное значение sin(45 град. )
    10 Найти точное значение sin(pi/3)
    11 Найти точное значение arctan(-1)
    12 Найти точное значение cos(45 град. )
    13 Найти точное значение cos(30 град. )
    14 Найти точное значение tan(60)
    15 Найти точное значение csc(45 град. )
    16 Найти точное значение tan(60 град. )
    17 Найти точное значение sec(30 град. )
    18 Найти точное значение cos(60 град. )
    19 Найти точное значение cos(150)
    20 Найти точное значение sin(60)
    21 Найти точное значение cos(pi/2)
    22 Найти точное значение tan(45 град. )
    23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    24 Найти точное значение csc(60 град. )
    25 Найти точное значение sec(45 град. )
    26 Найти точное значение csc(30 град. )
    27 Найти точное значение sin(0)
    28 Найти точное значение sin(120)
    29 Найти точное значение cos(90)
    30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    31 Найти точное значение tan(30)
    32 Преобразовать из градусов в радианы 45
    33 Найти точное значение cos(45)
    34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
    35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    36 Найти точное значение cot(30 град. )
    37 Найти точное значение arccos(-1)
    38 Найти точное значение arctan(0)
    39 Найти точное значение cot(60 град. )
    40 Преобразовать из градусов в радианы 30
    41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
    42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
    43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    44 Найти точное значение tan(pi/2)
    45 Найти точное значение sin(300)
    46 Найти точное значение cos(30)
    47 Найти точное значение cos(60)
    48 Найти точное значение cos(0)
    49 Найти точное значение cos(135)
    50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
    51 Найти точное значение cos(210)
    52 Найти точное значение sec(60 град. )
    53 Найти точное значение sin(300 град. )
    54 Преобразовать из градусов в радианы 135
    55 Преобразовать из градусов в радианы 150
    56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
    58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
    59 Преобразовать из градусов в радианы 60
    60 Найти точное значение sin(135 град. )
    61 Найти точное значение sin(150)
    62 Найти точное значение sin(240 град. )
    63 Найти точное значение cot(45 град. )
    64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
    65 Найти точное значение sin(225)
    66 Найти точное значение sin(240)
    67 Найти точное значение cos(150 град. )
    68 Найти точное значение tan(45)
    69 Вычислить sin(30 град. )
    70 Найти точное значение sec(0)
    71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
    72 Найти точное значение csc(30)
    73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
    74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
    75 Найти точное значение tan(0)
    76 Вычислить sin(60 град. )
    77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
    78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
    80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
    82 Найти точное значение csc(45)
    83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
    84 Найти точное значение sin(135)
    85 Найти точное значение sin(105)
    86 Найти точное значение sin(150 град. )
    87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
    88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
    89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
    90 Найти точное значение sin(pi/2)
    91 Найти точное значение sec(45)
    92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
    93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
    94 Найти точное значение arcsin(0)
    95 Найти точное значение sin(120 град. )
    96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
    97 Найти точное значение cos(270)
    98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
    99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение sin(45)
    3 Найти точное значение sin(30 град. )
    4 Найти точное значение sin(60 град. )
    5 Найти точное значение tan(30 град. )
    6 Найти точное значение arcsin(-1)
    7 Найти точное значение sin(pi/6)
    8 Найти точное значение cos(pi/4)
    9 Найти точное значение sin(45 град. )
    10 Найти точное значение sin(pi/3)
    11 Найти точное значение arctan(-1)
    12 Найти точное значение cos(45 град. )
    13 Найти точное значение cos(30 град. )
    14 Найти точное значение tan(60)
    15 Найти точное значение csc(45 град. )
    16 Найти точное значение tan(60 град. )
    17 Найти точное значение sec(30 град. )
    18 Найти точное значение cos(60 град. )
    19 Найти точное значение cos(150)
    20 Найти точное значение sin(60)
    21 Найти точное значение cos(pi/2)
    22 Найти точное значение tan(45 град. )
    23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    24 Найти точное значение csc(60 град. )
    25 Найти точное значение sec(45 град. )
    26 Найти точное значение csc(30 град. )
    27 Найти точное значение sin(0)
    28 Найти точное значение sin(120)
    29 Найти точное значение cos(90)
    30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    31 Найти точное значение tan(30)
    32 Преобразовать из градусов в радианы 45
    33 Найти точное значение cos(45)
    34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
    35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    36 Найти точное значение cot(30 град. )
    37 Найти точное значение arccos(-1)
    38 Найти точное значение arctan(0)
    39 Найти точное значение cot(60 град. )
    40 Преобразовать из градусов в радианы 30
    41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
    42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
    43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    44 Найти точное значение tan(pi/2)
    45 Найти точное значение sin(300)
    46 Найти точное значение cos(30)
    47 Найти точное значение cos(60)
    48 Найти точное значение cos(0)
    49 Найти точное значение cos(135)
    50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
    51 Найти точное значение cos(210)
    52 Найти точное значение sec(60 град. )
    53 Найти точное значение sin(300 град. )
    54 Преобразовать из градусов в радианы 135
    55 Преобразовать из градусов в радианы 150
    56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
    58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
    59 Преобразовать из градусов в радианы 60
    60 Найти точное значение sin(135 град. )
    61 Найти точное значение sin(150)
    62 Найти точное значение sin(240 град. )
    63 Найти точное значение cot(45 град. )
    64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
    65 Найти точное значение sin(225)
    66 Найти точное значение sin(240)
    67 Найти точное значение cos(150 град. )
    68 Найти точное значение tan(45)
    69 Вычислить sin(30 град. )
    70 Найти точное значение sec(0)
    71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
    72 Найти точное значение csc(30)
    73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
    74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
    75 Найти точное значение tan(0)
    76 Вычислить sin(60 град. )
    77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
    78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
    80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
    82 Найти точное значение csc(45)
    83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
    84 Найти точное значение sin(135)
    85 Найти точное значение sin(105)
    86 Найти точное значение sin(150 град. )
    87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
    88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
    89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
    90 Найти точное значение sin(pi/2)
    91 Найти точное значение sec(45)
    92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
    93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
    94 Найти точное значение arcsin(0)
    95 Найти точное значение sin(120 град. )
    96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
    97 Найти точное значение cos(270)
    98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
    99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

    Электронный справочник по математике для школьников тригонометрия решение простейших тригонометрических уравнений

    Содержание

    Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

    sin x = a ,     cos x = a ,     
    tg x = a ,     ctgx = a .

    где a – произвольное число.

    Решение уравнения   sin 

    x = a
    Обычная форма записи решения
    Более удобная форма записи решения
    Ограничения на число aВ случае, когда , уравнение решений не имеет

    Обычная форма записи решения:

    Более удобная форма записи решения:

    Ограничения на число a:

    В случае, когда , уравнение решений не имеет.

    Графическое обоснование решения уравнения   sin x = a   представлено на рисунке 1

    Рис. 1

    Частные случаи решения уравнений   sin x = a

    Уравнение:

    sin x = – 1

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    sin x = 0

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    sin x = 1

    Решение:

    Решение уравнения   cos 

    x = a
    Обычная форма записи решения
    Более удобная форма записи решения
    Ограничения на число aВ случае, когда , уравнение решений не имеет

    Обычная форма записи решения:

    Более удобная форма записи решения:

    Ограничения на число a

    В случае, когда , уравнение решений не имеет.

    Графическое обоснование решения уравнения   cos x = a   представлено на рисунке 2

    Рис. 2

    Частные случаи решения уравнений   cos x = a

    Уравнение:

    cos x = – 1

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    cos x = 0

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    cos x = 1

    Решение:

    Решение уравнения   tg 

    x = a
    Обычная форма записи решения:
    Более удобная форма записи решения
    Ограничения на число aОграничений нет

    Обычная форма записи решения:

    Более удобная форма записи решения:

    Ограничения на число a:

    Ограничений нет.

    Графическое обоснование решения уравнения   tg x = a   представлено на рисунке 3.

    Рис. 3

    Частные случаи решения уравнений   tg x = a

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    tg x = – 1

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    tg x = 0

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    tg x = 1

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Решение уравнения   ctg 

    x = a
    Обычная форма записи решения
    Более удобная форма записи решения
    Ограничения на число aОграничений нет

    Обычная форма записи решения:

    Более удобная форма записи решения:

    Ограничения на число a:

    Ограничений нет.

    Графическое обоснование решения уравнения   ctg x = a   представлено на рисунке 4.

    Рис. 4

    Частные случаи решения уравнений   ctg x = a

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    ctg x = – 1

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    Уравнение:

    ctg x = 0

    Решение:

    Решение:

    Уравнение:

    ctg x = 1

    Решение:

    Уравнение:

    Решение:

    cos x sin x 0

    Вы искали cos x sin x 0? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и cos x sin x решите уравнение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «cos x sin x 0».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как cos x sin x 0,cos x sin x решите уравнение,cosx sinx 0 решение,sin x 0 cos x 0,sin x cos x 0,решите уравнение sin x cos x,решить cosx sinx 0. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos x sin x 0. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, cosx sinx 0 решение).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos x sin x 0 Онлайн?

    Решить задачу cos x sin x 0 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Решить уравнение sin х + cos x = 1

    Решить уравнение

    sin х + cos x = 1

    Возведя обе части данного уравнения в квадрат, мы получим:

    sin2х + 2 sin x cos x + cos2x = 1,

    но sin2х + cos2x = 1. Поэтому 2 sin x cos x = 0. Если sin x = 0, то х = nπ; если же
    cos x
    , то х = π/2 + kπ. Эти две группы решений можно записать одной формулой:

    х = π/2 n

    Поскольку обе части данного уравнения мы возводили в квадрат,то не исключена возможность, что среди полученных нами корней имеются посторонние. Вот почему в этом примере, в отличие от всех предыдущих, необходимо сделать проверку. Все значения х = π/2 n можно разбить на 4 группы

    1. х = 2kπ    (n = 4k)
    2. х = π/2 + 2kπ   (n = 4k + 1)
    3. х = π + 2kπ   (n = 4k + 2)
    4. х = /2 + 2kπ   (n = 4k + 3)

    При х = 2kπ sin x + cos x = 0 + 1 = 1. Следовательно, х = 2kπ — корни данного уравнения.

    При х = π/2 + 2kπ. sin x + cos x = 1 + 0 = 1 Значит, х = π/2 + 2kπ — также корни данного уравнения.

    При х = π + 2kπ sin x + cos x = 0 — 1 = — 1. Поэтому значения х = π + 2kπ не являются корнями данного уравнения. Аналогично показывается, что х = /2 + 2kπ. не являются корнями.

    Таким образом, данное уравнение имеет следующие корни: х = 2kπ и х = π/2 + 2mπ., где k и m — любые целые числа.

    Похожие примеры:

    Урок 42. уравнение sin x = a — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

    Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

    Урок №42. Уравнение sin x = a.

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

    1) Понятие арксинус числа;

    2) Тождества, связанные с арксинусом;

    3) Решение тригонометрических уравнений;

    Глоссарий по теме

    Арксинусом числа m называется такое число α, что: и .

    Арксинус числа m обозначают: .

    Заметим, что такой промежуток для α берется потому, что синус на отрезке принимает все свои значения ровно по одному разу.

    Из определения следует, что для

    С другой стороны, если и , то

    Таким образом, получаем два простейших тождества для арксинуса.

    1. для любого m:
    2. для любого α: .

    Основная литература:

    Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, с. 310-314.

    Открытые электронные ресурсы:

    Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    1. Так как является абсциссой точки М(α) координатной окружности, то для решения уравнения нужно сначала найти на этой окружности точки, имеющие абсциссу m, то есть точки пересечения окружности с прямой x=m. Если , то таких точек нет, если , то такая точка одна, если , то таких точек две.

    После отыскания этих точек нужно найти все такие числа α, которые соответствуют этим точкам. Множество таких чисел и будет решением уравнения .

    Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

    Рассмотрим пример на вычисление арксинуса.

    Пример.

    Вычислить

    Решение:

    Так как и то

    Ответ: .

    Задание.

    Вычислить .

    Ответ: .

    На рисунке показано, как связаны друг с другом числа m и

    Из рисунка видно, что

    Запишем теперь с помощью арксинуса решение уравнения

    Одним из решений уравнения является число . Так как , то число также является решением данного уравнения.

    Точка соответствует всем числам вида

    Точка соответствует всем числам вида

    Таким образом, решением уравнения sinα=m являются все числа вида

    (*)

    Пример.

    Решим уравнение

    Решение:

    Так как , то по формуле (*) получаем:

    .

    Задание

    Решите уравнение

    Ответ: .

    Рассмотрим решение более сложных уравнений с синусом.

    1. Рассмотрим решение уравнения .

    Решение:

    , поэтому

    Отсюда , или

    Тогда

    Ответ: .

    1. Рассмотрим решение уравнения

    Решение:

    , поэтому .

    Отсюда получаем:

    Мы получили два квадратных уравнения с параметром k.

    Запишем их решения.

    Для того чтобы число х было действительным, дискриминант должен быть неотрицательным. То есть:

    (1) и (2)

    Неравенство (1) выполняется при , так как k – целое, то .

    Неравенство (2) выполняется при , так как k – целое, то .

    Таким образом, получаем, что при целых значениях исходное уравнение имеет две серии решений:

    При уравнение имеет два решения:

    Ответ: а) при ,

    б) при ,

    в) нет решений при .

    1. Рассмотрим решение уравнения

    Решение:

    Так как синусы равны, то их аргументы связаны соотношением:

    Отсюда:

    Первое уравнение имеет решение при или при .

    Второе уравнение имеет решение при или при .

    Таким образом:

    Ответ:

    а) при ,

    б) , при при ,

    в) нет решений при .

    1. Рассмотрим решение уравнения

    Решение:

    Уравнение равносильно совокупности уравнений:

    или:

    Решение первого уравнения: .

    Решение второго уравнения: .

    Ответ:

    1. Рассмотрим решение уравнения

    Решение:

    Выразим синус:

    Имеем две серии решений:

    .

    Изобразим эти множества на тригонометрической окружности:

    Можно записать эти две серии в виде одного равенства:

    .

    Ответ: .

    Заметим, что для краткости решение тригонометрического уравнения sin x=m можно записать в виде:

    Пример 1.

    Рассмотрим решение уравнения .

    Прямая пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

    M(π/3) и N(2π/3).

    Точка M(π/3) соответствует всем числа вида .

    Точка N(2π/3) соответствует всем числа вида .

    Таким образом, решение уравнения можно записать так:

    .

    Ответ: .

    Пример 2.

    Рассмотрим решение уравнения .

    Прямая y=1 имеет с тригонометрической окружностью одну общую точку: .

    Этой точке соответствуют все числа вида . Поэтому решение уравнения имеет вид .

    Ответ: .

    Пример 3.

    Рассмотрим решение уравнения .

    Прямая y=0 имеет с тригонометрической окружностью две общие точки: С() и К(π).

    Поэтому решение уравнения можно записать так: .

    Ответ: .

    Задание.

    Решите уравнение .

    Ответ: .

    2. Мы можем записать решение уравнение для любых табличных значений m. В тех случаях, когда мы не знаем значения аргумента, соответствующее значению m, чтобы уметь решать уравнение для произвольных значений m, введем понятие арксинуса.

    Внеклассный урок — Простейшие тригонометрические уравнения cos t = a, sin t = a, tg x = a, ctg x = a

    Простейшие тригонометрические уравнения 

    Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

    Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
    sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, где a – действительное число (a R).

     

    Уравнение cos x = a.

    Принцип:

    arccos a = x.

    Следовательно, cos x = a.

    Условия: модуль а не больше 1;  x не меньше 0, но не больше π

    (| a | ≤ 1;  0 ≤ x  ≤ π)

     

    Формулы:

                                            
                                               x = ± arccos a  +  2πk,     где k – любое целое число

                                               arccos (-a) = π – arccos a,    где 0 ≤ a ≤ 1

     

    Пример 1: Решим уравнение

                    √3
    cos x  =  ——.
                     2

    Решение.

    Применим первую формулу:

                          √3
    x = ± arccos —— + 2πk
                          2

    Сначала находим значение арккосинуса:

                 √3       π
    arccos —— = —
                  2        6

    Осталось подставить этот число в нашу формулу:

                π
    x = ± —— + 2πk
                6

    Пример решен.

     

    Пример 2: Решим уравнение

                      √3
    cos x  =  – ——.
                       2

    Решение.

    Сначала применим первую формулу из таблицы:

                            √3
    x = ± arccos (– —) + 2πk
                             2

    Теперь с помощью второго уравнения вычислим значение арккосинуса:

                     √3                         √3                 π        π        π       6π       π         5π
    arccos (– ——) = π – arcos ——  =  π  –  —  =  —  –  —  =  —  –  —  =  ——
                      2                           2                   6        1        6        6        6          6

    Применяя формулу для —а, обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный.

    Осталось подставить значение арккосинуса и решить пример:

               5π
    x = ± —— + 2πk
                6

    Пример решен.

     

    Уравнение sin x = a.

    Принцип:

    arcsin a = x,

    следовательно sin x = a.

    Условия: модуль а не больше 1;  x в отрезке [-π/2; π/2]

    (| a | ≤ 1;  –π/2 ≤ x  ≤ π/2)

     

    Формулы.

    (1 из 3)


    x = arcsin a  +  2πk

    x = π – arcsin a  +  2πk

     

    Эти две формулы можно объединить в одну:
    x = (–1)narcsin a + πn

     

    (k – любое целое число;  n – любое целое число; | a | ≤ 1)

    Значение четного n: n = 2k

    Значение нечетного n: n = 2k + 1

    Если n – четное число, то получается первая формула.

    Если n – нечетное число, то получается вторая формула.

                                                                      √3
    Пример 1: Решить уравнение sin x  =  ——
                                                                      2

    Решение.

    Применяем первые две формулы:

                            √3
    1) x  =  arcsin —— + 2πk
                             2

                                  √3
    2) x  =  π – arcsin —— + 2πk
                                   2

    Находим значение арксинуса:

                 √3        π
    arcsin ——  =  —
                 2          3

    Осталось подставить это значение в наши формулы:

                π
    1) x =  — + 2πk
               3

     

                     π                   2π
    2) x =  π – —  + 2πk = —— + 2πk
                     3                    3

    Пример решен.

     

    Пример 2: Решим это же уравнение с помощью общей формулы.

    Решение.

                   π
    x = (–1)n — + πn
                   3

    Пояснение: если n будет четное число, то решение примет вид № 1; если n будет нечетным числом – то вид №2.

    Пример решен.

     

    (2 из 3)
    Для трех случаев есть и более простые решения:

    Если sin x = 0,  то x = πk

    Если sin x = 1,  то x = π/2 + 2πk

    Если sin x = –1,  то x = –π/2 + 2πk

     

    Пример 1: Вычислим arcsin 0.

    Решение.

    Пусть arcsin 0 = x.

    Тогда sin x = 0, при этом x ∈ [–π/2; π/2].

    Синус 0 тоже равен 0. Значит:

    x = 0.

    Итог:

    arcsin 0 = 0.

    Пример решен.

     

    Пример 2: Вычислим arcsin 1.

    Решение.

    Пусть arcsin 1 = x.

    Тогда sin x = 1.

    Число 1 на оси ординат имеет имя π/2. Значит:

    arcsin 1 = π/2.

    Пример решен.

     

    (3 из 3)


    arcsin (–a) = –arcsin a

     

    Пример: Решить уравнение

                    √3
    sin x = – ——
                    2

    Решение.

    Применяем формулы:

                              √3
    1) x = arcsin (– ——) + 2πk
                               2

                                    √3
    2) x = π – arcsin (– ——) + 2πk
                                     2

    Находим значение арксинуса:

                     √3                        √3           π
    arcsin (– ——) = – arcsin (——) = – —
                      2                          2             3

    Подставляем это значение arcsin в обе формулы:

                  π
    1) x = – — + 2πk
                  3
                         π                         π                    4π
    2) x = π – (– —) + 2πk = π +  —  +  2πk = ——  +  2πk
                         3                         3                     3

    Пример решен.

     

    Уравнение tg x = a.

    Принцип:

    arctg a = x,

    следовательно tg x = a.

    Условие: x больше –π/2, но меньше π/2

    (–π/2 < x < π/2)

     

    Формулы.

    (1)

     x = arctg a + πk

    где k – любое целое число (k ∈ Z)

     

    (2)


    arctg (–a) = –arctg a


    Пример 1: Вычислить arctg 1.

    Решение.

    Пусть arctg 1 = x.

    Тогда tg x = 1,  при этом x ∈ (–π/2; π/2)

    Следовательно:

           π                       π
    x = —    при этом  — ∈ (–π/2; π/2)
           4                       4

                                π
    Ответ: arctg 1 = —
                                4

     

    Пример 2: Решить уравнение tg x = –√3.

    Решение.

    Применяем формулу:

    x = arctg (–√3) + πk

    Решаем:

    arctg (–√3) = –arctg √3 = –π/3.

    Подставляем:

    x = –π/3 + πk.

    Пример решен.

     

    Уравнение ctg x = a.

    Принцип:

    arcctg a = x,

    следовательно ctg x = a.

    Условие: x больше 0, но меньше π

    (0 < x < π)

     

    Формулы.

    (1)

    x = arcctg a + πk

    (k ∈ Z)

     

    (2)


    arcctg (a) = π – arcctg а

                                                     
    Пример 1: Вычислить arcctg √3.

    Решение.

    Следуем принципу:

    arcctg √3 = х

    ctg х = √3.

    х = π/6.

    Ответ: arcctg √3 = π/6

    Пример 2: Вычислить arcctg (–1).

    Решение.

    Применяя формулу (2), обращайте внимание на знак а: он меняется на противоположный. В нашем примере –1 меняется на 1:

    arcctg (–1) = π – arcctg 1 = π – π/4 = 3π/4.

    Пример решен.

     

    Математическая сцена — Функции тригонометрии — Более сложные уравнения и неравенства

    Математическая сцена — Функции тригонометрии — Более сложные уравнения и неравенства — Урок 5

    2008 Rasmus ehf
    и Джанн Сак

    Триггерные функции
    Печать

    Урок 5 Подробнее сложные уравнения и неравенства

    Пример 1

    Решите уравнение sin x = cos x и тогда неравенство

    грех x> cos x на интервале 0 x <2.

    Из единичного круга мы видим, что sin x и cos x может иметь одно и то же значение только в двух местах, в x = / 4 и х = 5/4 (45 и 225 ).

    Уравнение sin x = cos x также может быть решено путем деления на cos x.

    тангенс х = 1

    x = загар −1 (1)

    х = 45 /180 + к ∙

    x = / 4 + k ∙ (k — любое целое число, положительное или отрицательное)

    Если мы положим k = 0 и k = 1, мы получим решения / 4 (45 ) и /4 + = 5/4 (45 + 180 = 225 ).

    Решить неравенство греха x> cos x нам нужно увидеть, что больше sin x или cos x на интервалах между решениями / 4 и 5/4. Решения можно увидеть, если нарисовать графики f (x) = sin x и g (x) = cos Икс. График sin x лежит над графиком cos x на интервале / 4 x 5x / 4 (см. Заштрихованную область на диаграмме).

    sin x cos x на интервале / 4 x 5x / 4.

    Пример 2

    Решить уравнение sin x ∙ cos x = 0 и тогда неравенство

    sin x ∙ cos x> 0 на интервале 0 x <2.

    Неравенство не имеет решение, когда sin x или cos x принимают значение 0. Это происходит с интервалом 90.

    Решения уравнение sin x ∙ cos x = 0 в интервале 0 x <2, следовательно, равны 0, / 2 и 3/2 (0 , 90 , 180 и 270 ).

    Решение sin x ∙ cos x> 0 можно найти, посмотрев на единичный круг. Нам нужно найти где sin x, умноженный на cos x, положителен. Другими словами sin x и cos x имеют иметь один и тот же знак, оба будут положительный или оба отрицательный. Это происходит в первом и третьем квадранте. В решения поэтому
    0

    Мы также можем увидеть это по построение графика
    f (x) = sin x ∙ cos x.

    Пример 3

    Решите уравнение sin x ∙ cos x — sinx = 0 и тогда выполняется неравенство sin x ∙ cos x — sin x> 0 на интервале 0 x <2.

    sin x ∙ cos x — sinx = 0

    sin x (cos x — 1) = 0

    Нам нужно разложить уравнение на множители, взяв sin x за скобки.

    Уравнение имеет решения когда sin x = 0 или когда скобка, (cos x — 1) = 0.

    грех х = 0

    x = 0 или (180 ).

    или

    cos x — 1 = 0

    cos x = 1

    х = 0

    Единственные решения уравнение поэтому 0 и.

    Неравенство греха x ∙ cos x — sin x> 0 можно переписать как sin x (cos x — 1) > 0,

    Теперь полезно сделать таблица знаков и посмотрите знаки sin x и cos x — 1.


    Решение

    Мы видим, что оба фактора отрицательный на интервале

    Теперь давайте посмотрим, как это подходит в с графиком
    f (x) = sin x ∙ cos x — sin x

    Заштрихованная область над x ось показывает где
    sin x (cos x — 1)> 0, что согласуется с нашими расчетами.

    Пример 4

    Найти все решения уравнения cos 2 x — cos x = 0.

    cos 2 x — cos х = 0

    cos x ∙ (cos x — 1) = 0

    Решения можно найти, когда cos x = 0 или cos x — 1 = 0

    cos x = 0

    x = / 2 или 3/ 2 (90 или 270 )

    х = / 2 + к ∙

    или

    cos х — 1 = 0

    cos x = 1

    х = 0 + к ∙ 2 = к ∙ 2

    Все решения укладываются в шаблон x = / 2 + к ∙

    Пример 5

    Найти все решения уравнения sin 2 x — 5 sin x + 4 = 0.

    Это квадратное уравнение с sin x в качестве Переменная. Таким образом, мы можем найти sin x, используя формулу корней квадратного уравнения. a = 1, b = −5 og c = 4.

    Синус мы не можем принять значение 4, поэтому нам не нужно рассматривать sin x = 4. Другая возможность — sin x = 1, которая имеет решение / 2 (90 ). Таким образом, полное решение:

    х = / 2 + к ∙ 2

    Пример 6

    Решите уравнение sin 5x = грех х .

    Одна из возможностей состоит в том, что положение 5x на единичной окружности совпадает с положением x и поскольку эта позиция повторяется с интервалом в 360, мы получаем следующее уравнение:

    1) 5x = x + к ∙ 360

    4x = к ∙ 360

    х = к ∙ 90

    Мы показываем эту возможность в диаграмму.

    Приходит вторая возможность из того, что
    грех x = грех (180 — х ). Это дает нам следующее решение:

    5x = 180 — x + к ∙ 360

    6x = 180 + k ∙ 360

    x = 30 + k ∙ 60

    Это решение показано в диаграмма справа.

    Но мы замечаем, что первое решение содержится в второе решение, поэтому достаточно дать второе решение

    х = 30 + к ∙ 60

    Пример 7

    Решите уравнение cos 2x = cos x на интервале 0 x <2.

    1) Сначала рассмотрим возможность того, что x и 2x находятся в одной позиции на единичной окружности.

    2x = x + k ∙ 2

    х = к ∙ 2

    х = 0

    Вычесть x с обеих сторон уравнения, а затем выберите k = 0 (k = 1 дает 2, что находится за пределами интервала

    2) Приходит вторая возможность по факту
    cos v = cos (−v).Тогда решение будет следующим:

    2x = −x + к ∙ 2

    3x = к ∙ 2

    х = к ∙ 2/ 3

    Это дает решения 2/3 (120 ) для k = 1 и 4 /3 (240 ) для k = 2. итого полное решение:
    0, 2
    /3 и 4/3.

    Пример 8

    Решите уравнение tan 3x = загар 2x.

    уравнений Тана во многих способов самый простой из триггерных уравнений, так как есть только возможность считайте, что повторяется с интервалом 180 .

    3х = х + к ∙ 180

    2x = к ∙ 180

    x = k ∙ 90

    или

    в радианах

    х = к ∙ / 2


    Попробуйте выполнить тест 5 по триггерным функциям.
    Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

    Решите уравнение. (sin (x)) (cos (x)) = 0 на [0, 2π)

    Аарон Т.

    задано • 30.01.18

    2 ответа от опытных преподавателей

    От:

    Марк М. ответил • 30.01.18

    Учитель математики — Высшая квалификация NCLB

    Для какого x есть грех x = 0?

    Для какого x cos x = 0?

    грех х соз х = 0

    => 2 sin x cos x = 0

    => грех 2x = 0

    => 2x = 0, π, 2π

    => х = 0, π / 2, π

    Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ быстро.

    ИЛИ
    Найдите онлайн-репетитора сейчас

    Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.


    ¢ € £ ¥ ‰ µ · • § ¶ SS ‹ › « » < > ≤ ≥ — — ¯ ‾ ¤ ¦ ¨ ¡ ¿ ˆ ˜ ° — ± ÷ ⁄ × ƒ ∫ ∑ ∞ √ ∼ ≅ ≈ ≠ ≡ ∈ ∉ ∋ ∏ ∧ ∨ ¬ ∩ ∪ ∂ ∀ ∃ ∅ ∇ * ∝ ∠ ´ ¸ ª º † ‡ А Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Я Я Я Я Ð Ñ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Œ Š Ù Ú Û Ü Ý Ÿ Þ à á â ã ä å æ ç è é ê ë я я я я ð ñ ò ó ô х ö ø œ š ù ú û ü ý þ ÿ Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω ℵ ϖ ℜ ϒ ℘ ℑ ← ↑ → ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇒ ⇓ ⇔ ∴ ⊂ ⊃ ⊄ ⊆ ⊇ ⊕ ⊗ ⊥ ⋅ ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 〈 〉 ◊

    Калькулятор

    — Equal_solver (sin (x) = 0) — Solumaths

    Резюме:

    Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестной с шагами вычисления: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.

    Equation_solver онлайн
    Описание:

    Уравнение — это алгебраическое равенство, включающее одно или несколько неизвестных. Решение уравнения — это то же самое, что и определение неизвестных или неизвестных. Неизвестное также называют переменной. Этот калькулятор уравнений может решать уравнения с неизвестными, Калькулятор может решать уравнения с переменными с обеих сторон , а также уравнения с круглыми скобками :

    1. Решение линейного уравнения
    2. Решение квадратного уравнения
    3. Решение кубического уравнения
    4. Решение уравнения нулевого произведения
    5. Решение уравнения абсолютного значения (уравнения с функцией абс)
    6. Решение экспоненциального уравнения
    7. Решение логарифмического уравнения (уравнения, включающего логарифмы)
    8. Решение тригонометрического уравнения (уравнения с косинусом или синусом)
    9. Решить онлайн-дифференциальное уравнение первой степени
    10. Решить онлайн дифференциальное уравнение второй степени

    Решение линейного уравнения онлайн

    Уравнение первой степени — это уравнение вида «ax = b».Этот тип уравнения также называется линейным уравнением . Для решения этих уравнений мы используем следующую формулу `x = b / a`.

    линейное решение уравнения вида ax = b s выполняется очень быстро, если переменная не является неоднозначной, просто введите , уравнение от до , решите и затем нажмите «Решить», затем результат возвращается решателем . Также отображаются подробности расчетов, которые привели к разрешению линейного уравнения.Чтобы решить линейное уравнение после 3x + 5 = 0, просто введите выражение 3х + 5 = 0 в области вычислений, затем нажмите кнопку «решить», возвращается результат `[x = -5 / 3]`. также можно решить уравнения в форме `(ax + c) / g (x) = 0` или уравнения, которые могут быть в этой форме , g (x) представляет функцию. Когда вы вводите выражение без знака ‘=’; функция возвращает, когда возможны значения, для которых выражение равно нулю. Например, введите x + 5, вернитесь к x + 5 = 0 и решите.2-4ac`.
    Дискриминант — это число, определяющее количество решений уравнения.

    • При положительном дискриминанте уравнение второй степени допускает два решения, которые даются формулой `(-b-sqrt (Delta)) / (2a)` и `(-b + sqrt (Delta)) / (2a)`;
    • Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение допускает только одно решение, оно называется двойным корнем, который задается формулой `(-b) / (2a)`;
    • Когда дискриминант отрицательный, полиномиальное уравнение степени 2 не допускает решения.2-1) / (x-1) = 0` возвращает -1, все определение принимается во внимание для вычисления числителя допускает два корня 1 и -1, но знаменатель равен нулю для x = 1, 1 не может быть решением уравнения.

    Решение кубического уравнения

    Калькулятор уравнений решает некоторые кубические уравнения . 3 = 0`).

    И снова решения кубического уравнения будут сопровождаться пояснениями, которые позволили найти результат.

    Решите уравнение, используя свойство нулевого произведения

    Свойство нулевого произведения используется для решения уравнений вида A * B = 0, что это уравнение равно нулю, только если A = 0 или B = 0. Для решения этот тип уравнения может быть выполнен, если A и B являются многочленами степени меньше или равной 2. Также отображаются сведения о расчетах, которые привели к разрешению уравнения.2-1) (x + 2) (x-3) = 0` возвращает `[1; -1; -2; 3]`.

    Решите уравнение абсолютного значения

    Решатель позволяет решить уравнение , включающее абсолютное значение он может решать линейные уравнения, используя абсолютные значения, квадратные уравнения, включающие абсолютные значения, а также другие многие типы уравнений с абсолютными значениями.

    Вот два примера использования калькулятора уравнений для решения уравнения с абсолютным значением:

    • `abs (2 * x + 4) = 3`, решатель показывает детали вычисления линейного уравнения с абсолютным значением.2-4) = 4`, решатель показывает шаги расчета для решения квадратного уравнения с абсолютным значением.

    Решите экспоненциальное уравнение

    Калькулятор уравнения позволяет решить уравнение , включающее экспоненту он может решать линейные уравнения с использованием экспоненты, квадратные уравнения, включающие экспоненциальные, но также и другие многие типы уравнений с экспоненциальной.

    Вот два примера использования калькулятора для решения уравнения с экспонентой:

    • `exp (2 * x + 4) = 3`, решатель показывает детали вычисления линейного уравнения с экспонентой.2-4) = 4`, решатель показывает этапы расчета для решения квадратного уравнения с экспонентой.

    Решите логарифмическое уравнение

    Решите логарифмическое уравнение то есть возможно несколько уравнений, включающих логарифмы. Калькулятор не только предоставляет результат, но и предоставляет подробные шаги и расчеты, которые привели к к разрешению логарифмического уравнения. Чтобы решить следующее логарифмическое уравнение ln (x) + ln (2x-1) = 0, просто введите выражение в области расчета и нажмите кнопку «Рассчитать».

    Решение тригонометрического уравнения

    Калькулятор уравнений позволяет решать круговые уравнения , он может решить уравнение с косинусом формы cos (x) = или уравнение с синусом вида sin (x) = a . Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать такие уравнения, как `cos (x) = 1 / 2` или же `2 * sin (x) = sqrt (2)` с шагами расчета.

    Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

    Функция Equation_solver может решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка в режиме онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y ‘+ y = 0, вы должны ввести формул_переход (`y’ + y = 0; x`).

    Решение дифференциального уравнения второго порядка

    Функция Equation_solver может решать дифференциальное уравнение второго порядка в режиме онлайн , решить следующее дифференциальное уравнение: y » — y = 0, вы должны ввести формулу_ползания (`y » — y = 0; x`).

    Игры и викторины по решению уравнений

    Чтобы попрактиковаться в различных методах расчета, предлагается несколько тестов по решению уравнений.


    Решатель уравнений позволяет решать уравнения с неизвестными с шагами вычисления: линейное уравнение, квадратное уравнение, логарифмическое уравнение, дифференциальное уравнение.
    Синтаксис:
    Equation_solver (уравнение; переменная), переменный параметр может быть опущен, если нет неоднозначности.
    Примеры:
    Разрешение уравнения первой степени
    Решение квадратных уравнений
    Решение кубических уравнений
    Решить дифференциальное уравнение
    Рассчитывайте онлайн с помощью equal_solver (решателя уравнений)

    Лучшая математика

    Тригонометрические уравнения — это уравнения, содержащие такие термины, как sin x, cos x и tan x.

    Их можно решить с помощью тригонометрических графиков и, при необходимости, калькулятора. Можно использовать другой метод, использующий общие решения.

    Поскольку тригонометрические функции периодичны и продолжаются бесконечно, эти тригонометрические уравнения часто имеют бесконечное количество решений, если область определения (значения x) не фиксирована. Обычно выдается домен.

    Чтобы проиллюстрировать различные методы, которые можно использовать, будет дано несколько различных типов примеров. Решения даются в тех же единицах, в которых написан вопрос.например Градусы или радианы.

    Углы, используемые в специальных треугольниках, часто встречаются в тригонометрических уравнениях и снова показаны ниже в качестве напоминания.

    Особые треугольники

    Углы, такие как 30 ° (), 45 ° () и 60 ° (), используются часто, и тригонометрические отношения этих углов получаются из двух специальных треугольников (см. Блок 38, год 12). Их краткое содержание приводится ниже:

    грех 30 °

    cos 30 °

    загар 30 °

    грех 45 °

    cos 45 °

    загар 45 °

    грех 60 °

    cos 60 °

    загар 60 °

    1

    √3

    Если ответы могут быть даны с использованием точных значений из специальных треугольников, то они должны быть даны.Калькулятор следует использовать только в том случае, если не используются специальные углы треугольника.

    Тригонометрические уравнения

    Пример 1

    Решите sin x = 0,5 для 0 ° ≤ x ≤ 360 °. Дайте ответы в градусах.

    Рассмотрим функции y = sin x и прямую y = 0,5. Где пересекаются линия и кривая, будут решения. Калькулятор можно использовать, чтобы найти первое значение, найдя sin -1 (0,5)

    Для первого решения можно использовать калькулятор 30 ° и второе решение, найденное из симметрии графика (180 ° 30 ° = 150 °).

    Набор раствора {30 °, 150 °}

    Подобные методы можно использовать для уравнений, включающих косинус и тангенс.


    Пример 2

    Решите 2sin 2 x + sin x = 0 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в радианах.

    Это квадратное уравнение, поэтому, если возможно, разложите его на множители.
    sin x (2sin x + 1) = 0
    Есть два набора решений:
    sin x = 0 и 2sin x + 1 = 0, что дает sin x = -0.5

    Решения sin x = 0 равны 0, 3,14π и 2π
    Решения sin x = -0,5 равны 7π / 6 и 11π / 6

    Набор решений: {0, π, 7π / 6, 11π / 6, 2π}


    Пример 3

    Решите √ 2cos 2x = 1 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в терминах π.

    Косинусная функция выделяется делением обеих частей на √2. Поскольку требуется cos 2 x, необходимо изучить график cos x от 0 до 4π, чтобы найти все корни.

    √ 2 cos 2x = 1

    cos 2x = 1 / √ 2

    Первое решение можно найти с помощью специальных треугольников выше или с помощью калькулятора. Остальные решения находятся из симметрии графика:

    Набор решений: {, ,,}


    Пример 4

    Решите sin 3x + sin x = 0 для 0 ≤ x ≤ 2π. Дайте ответы в терминах π.

    Здесь используется формула суммы к произведению.

    2sin 2x cos x = 0

    Следовательно, sin 2x = 0 или cos x = 0

    2x = {0, π, 2π, 3π, 4π} или x = {,}

    Множество решений: {0,, π,, 2π}

    Решение простых (и средней сложности) триггерных уравнений

    Purplemath

    При решении тригонометрических уравнений используются как исходные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры.Будьте готовы к тому, что для решения этих уравнений потребуется думать .

    Далее предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях триггерного отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, соотношение между радианами и градусами и как выглядят кривые различных триггерных функций, на минимум по первому периоду. Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.


    MathHelp.com

    • Решить sin (
      x ) + 2 = 3 в интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

    грех ( x ) + 2 = 3

    грех ( x ) = 1

    Теперь я буду использовать запомненные углы отсчета, чтобы получить окончательный ответ.

    Примечание. В инструкциях указан интервал в градусах, что означает, что я должен давать свой ответ в градусах. Да, синус в первом периоде принимает значение 1 на

    π / 2 радиан, но это не тот тип угловой меры, который они хотят, и использование этого в качестве моего ответа, вероятно, приведет к моему как минимум проигрышу. несколько моментов по этому вопросу.

    Итак, в градусах мой ответ:


    • Решить tan
      2 (θ) + 3 = 0 на интервале 0 ° & leq; θ <360 ° 90 407

    Есть соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60 ° включает в себя квадратный корень из 3, и отбросить ответ, но это уравнение на самом деле не имеет решения.Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

    Может ли любой квадрат (касательной или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Итак, мой ответ:


    • Решить в интервале 0 ° & leq;
      x <360 °

    Левая часть этого уравнения множится.Я привык делать простой факторинг, например:

    2 y 2 + 3 y = 0

    y (2 y + 3) = 0

    … и затем решить каждый из факторов. Здесь работает то же самое. Чтобы решить уравнение, которое они мне дали, я начну с факторинга:

    Я занимался алгеброй; то есть, я произвел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами.Это создало два триггерных уравнения. Итак, теперь я могу сделать триггер; а именно решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о косинусной волне. Из первого уравнения я получаю:

    Из второго уравнения я получаю:

    Соединяя эти два набора решений вместе, я получаю решение для исходного уравнения как:

    x = 30 °, 90 °, 270 °, 330 °


    • Решить sin
      2 (θ) — sin (θ) = 2 на интервале 0 & leq; θ <2π

    Во-первых, перенесу все по одну сторону от знака «равно»:

    sin 2 (θ) — sin (θ) — 2 = 0

    Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения представляет собой формат квадратного уравнения:

    В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил, X = sin (θ), a = 1, b = –1 и c = –2.

    Поскольку это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить на множители квадратичный:

    sin 2 (θ) — sin (θ) — 2 = 0

    (грех (θ) — 2) (грех (θ) + 1) = 0

    Первый множитель дает мне соответствующее тригонометрическое уравнение:

    Но синус никогда не бывает больше 1, поэтому это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

    Другой фактор дает мне второе связанное тригонометрическое уравнение:

    грех (θ) + 1 = 0

    sin (θ) = –1

    θ = (3/2) π

    Тогда мой ответ:

    (Если в своем классе вы выполняете решения только для степеней, указанное выше значение решения равно «270 °».)


    • Решить cos
      2 (α) + cos (α) = sin 2 (α) на интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Я могу использовать триггерное тождество, чтобы получить квадратичный косинус:

    cos 2 (α) + cos (α) = sin 2 (α)

    cos 2 (α) + cos (α) = 1 — cos 2 (α)

    2cos 2 (α) + cos (α) — 1 = 0

    (2cos (α) — 1) (cos (α) + 1) = 0

    cos (α) = 1/2, cos (α) = –1

    Первое тригонометрическое уравнение, cos (α) = 1/2, дает мне α = 60 ° и α = 300 °.Второе уравнение дает мне α = 180 °. Итак, мое полное решение:


    • Решить sin (β) = sin (2β) на интервале 0 ° & leq; β
      <360 ° 90 407

    Я могу использовать обозначение с двумя углами в правой части, а также переставлять и упрощать; тогда я учитываю:

    sin (β) = 2sin (β) cos (β)

    sin (β) — 2sin (β) cos (β) = 0

    sin (β) (1-2cos (β)) = 0

    sin (β) = 0, cos (β) = 1/2

    Синусоидальная волна (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0 °, 180 ° и 360 °.Но в исходном упражнении 360 ° не включены, поэтому последнее значение решения не учитывается в данном конкретном случае.

    Косинус (из второго тригонометрического уравнения) равен

    1/2 при 60 ° и, следовательно, также при 360 ° — 60 ° = 300 °. Итак, полное решение:

    β = 0 °, 60 °, 180 °, 300 °


    • Решить sin (
      x ) + cos ( x ) = 1 на интервале 0 ° & leq; x <360 °

    Хм… Я действительно ничего здесь не вижу. Было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат …

    Хорошо, почему бы мне не возвести обе стороны в квадрат и посмотреть, что произойдет?

    (sin ( x ) + cos ( x )) 2 = (1) 2

    sin 2 ( x ) + 2sin ( x ) cos ( x ) + cos 2 ( x ) = 1

    [sin 2 ( x + cos 2 ( x )] + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

    1 + 2sin ( x ) cos ( x ) = 1

    2sin ( x ) cos ( x ) = 0

    sin ( x ) cos ( x ) = 0

    Ха; иди и подумай: я возведен в квадрат и получил кое-что, с чем я мог бы работать с .Хороший!

    Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит следующим образом:

    x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °

    Однако (и это важно!), Чтобы получить это решение, я возведен в квадрат, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

    (Почему? Если вы возведете что-то в квадрат, вы не сможете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего начали, потому что возведение в квадрат могло где-то поменять знак.)

    Итак, чтобы быть уверенным в своих результатах, мне нужно проверить свои ответы в исходном уравнении , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключаю обратно, вижу:

    sin (0 °) + cos (0 °) = 0 + 1 = 1

    … поэтому решение « x = 0 °» работает

    sin (90 °) + cos (90 °) = 1 + 0 = 1

    …так что решение « x = 90 °» тоже работает

    sin (180 °) + cos (180 °) = 0 + (–1) = –1

    … ну ладно, значит « x = 180 °» НЕ работает

    sin (270 °) + cos (270 °) = (–1) + 0 = –1

    … так что « x = 270 °» тоже не работает,

    Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают.Они были созданы путем возведения в квадрат.

    Мое фактическое решение :


    Примечание: в приведенном выше примере я мог бы остановиться на этой строке:

    … и использовал тождество двойного угла для синуса, наоборот, вместо разделения 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учесть интервал решения:

    2sin ( x ) cos ( x ) = sin (2 x ) = 0

    Тогда 2 x = 0 °, 180 °, 360 °, 540 ° и т. Д., И разделение 2 из x даст мне x = 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, это то же самое почти решение, что и раньше.После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.

    Трюк с возведением в квадрат в последнем примере, приведенном выше, встречается нечасто, но если все остальное не работает, возможно, стоит попробовать. Имейте это в виду для следующего теста.


    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvtrig.htm

    Sin x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 °

    Презентация на тему: «Sin x = 0,62 Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 °» — стенограмма презентации:

    ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

    1 sin x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 °

    2 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38.3 °

    3 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 °

    4 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393,3 ° и = 501,7 °

    5 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38.3 ° От симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° От периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 °

    6 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 °

    7 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38.3 ° От симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° От периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° От симметрии: 360 — 82,5 = 277,5 °

    8 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° По симметрии: 360 — 82.5 = 277,5 ° Из периода: = 442,5 ° и = 637,5 °

    9 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° Из симметрии: 360 — 82,5 = 277,5 ° Из периода: = 442,5 ° и = 637,5 ° tan x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 °

    10 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38.3 ° От симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° От периода: = 393,3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° От симметрии: 360 — 82,5 = 277,5 ° От периода: = 442,5 ° и = 637,5 ° tan x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: tan-11,8 = 60,9 °

    11 sin x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: sin = 38,3 ° Из симметрии: 180 — 38,3 = 141,7 ° Из периода: = 393.3 ° и = 501,7 ° cos x = Решить для 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: cos = 82,5 ° Из симметрии: 360 — 82,5 = 277,5 ° Из периода: = 442,5 ° и = 637,5 ° tan x = Решить относительно 0 ° ≤ x ≤ 720 ° Из калькулятора: tan-11,8 = 60,9 ° Из периода: = 240,9 °, затем = 420,9 °, затем = 600,9 °

    12

    Тригонометрические отношения — Работа с тригонометрическими отношениями в градусах — Национальная 5 математическая редакция

    Оставить комментарий on Синус х 0: Решите уравнение sin(x)=0 (синус от (х) равно 0)/

    Перевод с jpeg в pdf онлайн: Конвертация JPG в PDF. Изображения JPG в PDF онлайн

    Online PDF to JPEG Converter

    Вы также можете конвертировать PDF во многие другие форматы файлов. Пожалуйста, смотрите полный список ниже.

    PDF TO PDF Converter (Документ PDF) PDF TO EPUB Converter (Digital E-Book File Format) PDF TO XPS Converter (Open XML Paper Specification) PDF TO TEX Converter (LaTeX Source Document) PDF TO PPT Converter (Презентация PowerPoint) PDF TO PPS Converter (Microsoft PowerPoint Slide Show) PDF TO PPTX Converter (Презентация PowerPoint в формате Open XML) PDF TO PPSX Converter (PowerPoint Open XML Slide Show) PDF TO ODP Converter (OpenDocument Presentation File Format) PDF TO OTP Converter (Origin Graph Template) PDF TO POTX Converter (Microsoft PowerPoint Open XML Template) PDF TO POT Converter (PowerPoint Template) PDF TO POTM Converter (Microsoft PowerPoint Template) PDF TO PPTM Converter (Microsoft PowerPoint Presentation) PDF TO PPSM Converter (Microsoft PowerPoint Slide Show) PDF TO FODP Converter (OpenDocument Flat XML Presentation) PDF TO XLS Converter (Книга Microsoft Excel) PDF TO XLSX Converter (Книга Microsoft Excel в формате Open XML) PDF TO XLSM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Spreadsheet) PDF TO XLSB Converter (Microsoft Excel Binary Spreadsheet File) PDF TO ODS Converter (Open Document Spreadsheet) PDF TO XLTX Converter (Microsoft Excel Open XML Template) PDF TO XLT Converter (Microsoft Excel Template) PDF TO XLTM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Template) PDF TO TSV Converter (Tab Separated Values File) PDF TO XLAM Converter (Microsoft Excel Macro-Enabled Add-In) PDF TO CSV Converter (Comma Separated Values File) PDF TO FODS Converter (OpenDocument Flat XML Spreadsheet) PDF TO SXC Converter (StarOffice Calc Spreadsheet) PDF TO DOC Converter (Документ Microsoft Word) PDF TO DOCM Converter (Microsoft Word Macro-Enabled Document) PDF TO DOCX Converter (Документ Microsoft Word в формате Open XML) PDF TO DOT Converter (Microsoft Word Document Template) PDF TO DOTM Converter (Microsoft Word Macro-Enabled Template) PDF TO DOTX Converter (Word Open XML Document Template) PDF TO RTF Converter (Rich Text File Format) PDF TO ODT Converter (Open Document Text) PDF TO OTT Converter (Open Document Template) PDF TO TXT Converter (Plain Text File Format) PDF TO MD Converter (Markdown) PDF TO TIFF Converter (Изображение TIFF) PDF TO TIF Converter (Изображение TIF) PDF TO JPG Converter (Изображение JPEG) PDF TO PNG Converter (Изображение PNG) PDF TO GIF Converter (Graphical Interchange Format File) PDF TO BMP Converter (Bitmap File Format) PDF TO ICO Converter (Microsoft Icon File) PDF TO PSD Converter (Adobe Photoshop Document) PDF TO WMF Converter (Windows Metafile) PDF TO EMF Converter (Enhanced Metafile Format) PDF TO DCM Converter (DICOM Image) PDF TO WEBP Converter (Raster Web Image File Format) PDF TO SVG Converter (Scalable Vector Graphics File) PDF TO JP2 Converter (JPEG 2000 Core Image File) PDF TO EMZ Converter (Enhanced Windows Metafile Compressed) PDF TO WMZ Converter (Windows Metafile Compressed) PDF TO SVGZ Converter (Compressed Scalable Vector Graphics File) PDF TO HTML Converter (Hyper Text Markup Language) PDF TO HTM Converter (Hypertext Markup Language File) PDF TO MHT Converter (MIME Encapsulation of Aggregate HTML) PDF TO MHTML Converter (MIME Encapsulation of Aggregate HTML)

    Онлайн переводчик из джипег в пдф.

    Объединить файлы JPG в один PDF онлайн

    Конвертация изображений JPG в документ PDF — очень простая процедура. В большинстве случаев, все что вам понадобится — это загрузить изображение на специальный сервис.

    Существует множество сайтов, которые предлагают подобную услугу. Обычно в процессе конвертирования не требуется задавать никаких настроек, но некоторые сервисы дополнительно предоставляют возможность распознать текст, если таковой содержится на картинке. В остальном вся процедура протекает в автоматическом режиме. Далее будут описаны несколько бесплатных сервисов, которые способны провести такое преобразование онлайн.

    Способ 1: ConvertOnlineFree

    Данный сайт умеет конвертировать множество файлов, в числе которых имеются и картинки в формате JPG. Чтобы с его помощью провести преобразование, сделайте следующее:


    Способ 2: DOC2PDF

    Данный сайт работает с офисными документами, как это видно из его названия, но он также способен перевести картинки в PDF. Кроме использования файла с ПК, DOC2PDF способен загружать его из популярных облачных хранилищ.

    Процесс конвертации достаточно прост: перейдя на страницу сервиса, нужно нажать кнопку «Обзор» для начала загрузки.

    После этого веб-приложение превратит изображение в PDF и предложит сохранить документ на диск или отослать по почте.

    Способ 3: PDF24

    Этот веб-ресурс предлагает загрузку изображения обычным методом или по URL.


    Способ 4: Online-convert

    Данный сайт поддерживает большое количество форматов, среди которых есть и JPG. Имеется возможность загружать файл с облачных хранилищ. Кроме этого сервис обладает функцией распознавания: при её использовании в обработанном документе появится возможность выбирать и копировать текст.

    Чтобы начать процесс конвертирования, проделайте следующее:


    Способ 5: PDF2Go

    Этот веб-ресурс также обладает функцией распознавания текста и может загружать изображения из облачных сервисов.


    При использовании различных сервисов можно заметить одну особенность. Каждый из них по-своему выставляет отступы от краев листа, при этом данное расстояние не предлагается настроить в установках конвертера, такая функция попросту отсутствует. Можно попробовать различные сервисы и выбрать подходящий вариант. В остальном, все вышеупомянутые веб-ресурсы почти одинаково хорошо выполняют задачу преобразования JPG в формат PDF.

    Доброго всем времени суток. мои дорогие друзья и гости моего блога. Сегодня у меня очень радостное настроение, так как у моей дочки сегодня день рождения. Ей исполняется 7 лет и осенью будет «Здравствуй школа!». Эх, девочка моя, совсем уже выросла…Ну да ладно, несмотря на день рождения, без статьи я вас все равно не оставлю. Статья сегодня будет очень интересная и для многих полезная.

    Я думаю, что многие знают, что такое PDF-файл, и . Так что готовьтесь. Мне по долгу работы периодически приходится работать с пдф-файлами. Иногда возникает задача , а иногда наоборот, т. е. . Но бывают случаи, когда нужно соединить несколько изображений в один такой документ. Что тогда делать?

    А ответ очень просто. И сегодня я вам покажу, как сделать пдф файл из картинок быстро и без установки дополнительных программ, т.е. в режиме онлайн. Готовы? Тогда поехали. Только заранее приготовьте несколько изображений.

    В принципе далеко ходить не надо. Нам может помочь наш офисный друг Microsoft Word. Всё, что вам нужно сделать — это создать документ в ворде и на каждую страницу вставлять изображение, подгоняя его под формат листа.

    После всех манипуляций нам просто достаточно сохранить этот документ в формате PDF. Вот и всё. Далеко ходить не надо. Но все таки здесь нужно заходить в офис, что-то подгонять. Дельце, я вам хочу сказать, муторное. А я вам покажу, как нашу задачку облегчить. Причем для этого нам не понадобится вообще никаких программ.

    Small PDF

    В первом случае нам поможет знакомый нам по прошлым статьям сервис, только в данном случае работа происходит немного по другому.


    Jpg2Pdf


    Проверяем, что получилось. Все настройки по умолчанию, фотки заполняют всю область страницы и в завистимости от ориентации, каждая страница будет вести себя по-разному.

    В целом, все способы довольно удобные и очень быстрые и каждый для себя решает, какой способ ему нравится. Лично вы какой предпочитаете? Или быть может вы пользуетесь специальной программой-обозревателем типа XnView? В любом случае напишите ваш ответ в комментариях.

    С уважением, Дмитрий Костин.

    Формат JPG на данный момент считается самым популярным в интернете. В нем выгружаются практически все фотографии в социальных сетях. PDF же в свою очередь является стандартом для просмотра документации. К примеру, документы Word-форматов могут с ошибками открываться в других текстовых редакторах. С PDF проблем никогда не возникает. Открывая PDF в любом из просмотрщиков, можно быть уверенным, что ошибок форматирования не будет. Иногда возникают случаи, когда нужно сконвертировать картинку в PDF-файл. Попробуем разобраться в том, как перевести JPG в PDF?

    Перевести обычный файл формата.jpg в PDF довольно просто. Стандартные средства Windows не позволяют этого сделать, поэтому придется использовать программы или интернет-сервисы.

    Классика создания PDF

    Для создания PDF-файлов придумано множество утилит, но лучшей среди них является Adobe Professional. Обычный Adobe Reader для просмотра пдф-ок установлен практически на каждой Windows, а вот платная версия Adobe Professional найдется лишь у тех, кто работает с большими объемами документов. Если у вас установлена эта версия, то запускаете программу, кликаете «Создать PDF» и перетаскиваете нужное количество графики прямо в окно программы. По окончании редактирования нужно будет сохранить PDF-файл.

    Онлайн-сервис конвертации JPG >> PDF

    Как перевести файл JPG в формат PDF, если под рукой нет редакторов? Пожалуй, самым лучшим сервисом в плане конвертирования картинок в формат PDF является сервис http://convert-my-image. com/Ru . Бесплатный и русифицированный онлайн-сервис буквально за пару кликов сконвертирует вашу картинку в обычный пдф. Открываем сайт в браузере, кликаем по кнопке «Выбрать файл» и указываем картинку, которую требуется перевести в PDF.

    После выбора картинки жмем зеленую кнопку «Старт» и сохраняем файл в любое удобное место (лучше на рабочий стол).

    Все, конвертация успешно завершена. Как видим, все очень просто и не требует особых умений.

    Офисные редакторы

    Если у вас нет доступа в интернет, то вам поможет самый обычный Word. В офисном редакторе от Microsoft имеется специальная функция, которая позволяет конвертировать документы в PDF-формат. Чтобы получить из картинки пдф-файл, кликаем на рабочем столе правой кнопкой и создаем новый документ.

    Чтобы картинка красиво отображалась в документе PDF, нужно создать максимально узкие поля. Для этого выбираем в Word вкладку «Разметка страницы», кликаем на «Поля» и выбираем «Узкое».

    Теперь перетаскиваем картинку в окно редактора и растягиваем на всю страницу.

    Затем останется лишь дать название файлу и сохранить его в любую папку. Подтверждается сохранение кнопкой «Опубликовать».

    К примеру, вот так выглядит PDF-документ, сконвертированный из обычного doc-файла с картинкой.

    Правда, данный «фокус» работает лишь в MS Office 2007 и выше. Office 2003 не поддерживает конвертирование Doc в PDF. Впрочем, если у вас нет Ворда, то вы можете то же самое повторить с Open Officе.

    Специальные программы

    Существует ряд специальных утилит, которыми можно сконвертировать любую картинку в PDF-файл. Среди бесплатных программ выделяются PDF Architect 2 (официальный сайт – http://download.pdfforge.org/download/pdfarchitect2/) и JPG2PDF (офсайт – http://www.jpgtopdfconverter.com/down/jpg2pdf.exe), а также Image to PDF Converter Free.

    Хотите большего, чем конвертирование? Установите на ПК Adobe Photoshop CS. Мощный графический редактор позволяет сохранять картинки в формате PDF. Заодно и отредактируете картинки на свой лад.

    Какой способ выбрать – решать вам. Главное, чтобы качество исходной картинки было на хорошем уровне.

    JPG to PDF – это программа, конвертирующая изображения в файл PDF. Утилита поддерживает преобразование файлов не только таких распространенных форматов, как JPEG, GIF, PNG, BMP, но и еще больше 80 менее распространенных форматов. Чтобы конвертировать jpeg в pdf, нужно только открыть программу: все остальное она произведет автоматически.

    Конвертер pdf в jpg будет полезен при необходимости преобразования множества отсканированных изображений в единый документ. К примеру, есть возможность самостоятельно преобразовать бумажную книгу в электронный документ. Если же нужно преобразовать всего одно изображение, программа также позволяет это сделать. При желании в приложении указываются метаданные – Author, Title, Subject. Если есть необходимость, полученный в результате преобразования файл защищается паролем.

    Несмотря на то, что конвертер Джпг ту ПДФ не русифицирован, интерфейс его настолько прост, что с задачей конвертирования справится даже новичок. Во время преобразования изображений весь процесс отображается в окне предварительного просмотра. Начинается процесс с импортирования: можно одновременно открыть несколько файлов. Для этого нужно указать папку, в которой они находятся.

    Дальше нужно определить порядок картинок кнопками Sel Up и Sel Down. Затем необходимо указать, сколько картинок нужно преобразовать: одну либо несколько. Эта настройка производится кнопками Single file либо Multiple files. При необходимости можно произвести такие настройки: выбор размера страницы, величина отступа, расположение картинки на странице.

    Основные достоинства JPG to PDF

    • Простота интерфейса.
    • Высокая скорость обработки.
    • Автопросмотр.
    • Сохранение качества изображений.
    • Большое количество поддерживаемых форматов.

    Особенно полезна программа пользователям, которым необходимо преобразовать jpg в pdf большое количество картинок. Конвертер работает довольно быстро: современный компьютер способен за 1 секунду обрабатывать около 15-20 изображений. Во время конвертирования программа автоматически подгоняет размер картинок в соответствии с размером страницы PDF. Для успешного преобразования не требуется установка других приложений.

    Нередко приходится сталкиваться с ситуацией, когда свободное пространство флешки Вашего смартфона или жесткого диска компьютера оказывается переполнено графическими файлами — фотографиями, отсканированными документами, рисунками. Очень удобно объединить два файла или более в один. Особенно актуален вопрос при необходимости отправить файлы по электронной почте. Ведь удобнее прикреплять к сообщению несколько pdf файлов, чем несколько десятков, «разбросанных» по разным папкам jpg.

    Для владельцев смартфонов под управлением ОС Андроид доступна для скачивания в Google Play бесплатное приложение «Быстрый PDF конвертер», позволяющее:

    • объединение jpg файлов в один PDF документ в три касания!
    • получить изображения из PDF файла

    Нажмите на иконку Создать PDF из изображений и в следующем окне выбрать необходимую категорию, хранящую файлы jpg. Например, Галерея. Отметьте в правом верхнем углу галочками выбранные для конвертации миниатюры и нажмите Добавить файлы. Завершите процесс объединения jpg файлов в один нажатием кнопки Создать

    По завершении процесса слияния Вы можете просмотреть получившийся документ, отправить его по почте или переместить в необходимую папку. Приложение предусматривает возможность установки пароля на созданный pdf файл.

    Теперь все отснятые камерой Вашего смартфона уникальные снимки будут упорядочены и систематизированы в одном документе.

    Онлайн конвертация

    Приверженцам бесплатных онлайн программ, для объединения нескольких jpg в pdf будет полезен следующий сервис . Объединим jpeg в pdf в два шага:

    Откройте окно проводника, выделите необходимые для слияния jpg файлы и просто перетяните их мышкой в поле страницы Drop Your Files Here и, по завершении загрузки кликните по кнопке COMBINET. Созданный файл откроется автоматически для просмотра в новом окне.

    Данный вариант совершенно не требователен к скорости Вашего канала и «железу» ПК, так как конвертация происходит на внешнем интернет-ресурсе.

    Также сервис позволяет преобразовать PDF-документ обратно в любой удобный формат (DOC, JPG, PNG, TXT и др.)

    Программная обработка

    Как объединить файлы, используя программное обеспечение для ПК? Наш совет: используйте универсальный русифицированный инструмент — программа PDFTools. Этот удобный и простой в использовании софт предназначен для создания полноценных PDF-документов из документов любого формата!

    Запуск программы

    Открываем PDF-Tools и на главной странице, в разделе «Создать новый PDF документ из:» выбираем опцию «Изображений . Конвертировать изображение в PDF «. Кликаем кнопку Пуск.

    Следующий шаг — добавление необходимых jpeg документов и их сортировка. В данном разделе вы можете выбрать jpg файлы из различных папок, объединить два файла и более, а также рассортировать их в необходимой последовательности. Нажимаем Добавить файлы и, в открывшемся окне проводника, выбираем файлы, подтверждая свой выбор нажатием кнопки Открыть . Нажимаем Далее .

    В очередном разделе вам предстоит настроить изображения, чтобы перевести файлы в pdf. Но можете этого и не делать и воспользоваться значениями по умолчанию. Обычно они корректны. Нажимаем кнопку Далее .

    Теперь настроим выходной PDF документ. Слева вы видите колонку из шести закладок, но установки по умолчанию подойдут в большинстве случаев. Просто нажимаем Далее .

    Создание pdf-файла

    Заключительный раздел Настройка записи. Здесь необходимо выбрать путь, по которому будет произведено сохранение выходного pdf-файла, а также указать его имя. Запустите Процесс , кликнув по одноименной кнопке. Если вы хотите отобразить созданный документ после конвертирования jpg файлов в один, поставьте галочку Запуск программы просмотра.

    По завершении объединения файлов jpeg в pdf нажмите кнопку Завершить или вернитесь на несколько шагов кликая кнопку Назад для изменения каких-либо настроек.

    На этом процедура слияния jpg в pdf окончена и вы можете отправить файл по электронной почте, воспользовавшись встроенным в программу почтовым сервисом.

    Извлечение файлов из PDF

    Обратная процедура извлечения графических файлов из PDF документа с применением программы PDFTools подробно рассмотрена на видео:

    Лучший онлайн конвертер фотографий в PDF

    Если у вас есть подходящий онлайн конвертер фотографий в PDF, то вы можете очень сильно упростить свою жизнь. В этой статье мы поможем выбрать оптимальную программу для конвертации ваших фотографий в PDF. Изображения могут быть сохранены во многих форматах, но профессионалы часто предпочитают конвертировать фотографии в PDF онлайн бесплатно. Основная причина, по которой формат PDF является предпочтительным, заключается в том, что он удобен, безопасен и в него трудно вносить изменения.

    Пять лучших онлайн конвертеров в PDF

    Поскольку эта статья о лучшем онлайн инструменте по конвертации фотографий в PDF, то мы выберем его из пяти популярных онлайн конвертеров фотографий в PDF.

    1. HiPDF

    HiPDF это надежный онлайн-конвертер фотографий в PDF. Есть много онлайн-инструментов, однако лишь немногие работают так же точно, как HiPDF. У этой программы есть полный набор функций по изменению и конвертации PDF файлов. И если вы хотите использовать конвертер в автономном режиме, вы можете загрузить программное обеспечение на свой компьютер. В этой програамме существует пятьдесят различных форматов конвертации. С помощью нее вы также можете объединить и разделить ваш PDF файл.

    Плюсы

    • HiPDF это бесплатный онлайн-конвертер PDF и он имеет огромный набор функций.
    • Программное обеспечение также имеет автономную версию для людей, которые хотели бы использовать не в онлайн режиме.
    • Все файлы после завершения конвертации будут удалены в течение часа.
    • Пользователю не нужно входить в систему и авторизовываться, чтобы выполнить преобразование. Просто загрузите ваш файл, и преобразование будет сделано.

    Минусы

    • Несмотря на то, что инструмент отлично работает на мобильных телефонах, процесс преобразования на этих устройствах идет медленно.

    2. Adobe Acrobat Online

    Так же вы можете попробовать Adobe Acrobat Online, в котором есть все функции по работе с PDF. Вы можете использовать его для просмотра PDF-файлов, отправки, подписи, конвертации и создания на абсолютно любом устройстве. Онлайн-версия бесплатна, и чтобы конвертировать любой JPG в PDF, вам сначала нужно будет посетить сайт. Затем загрузите файл/файлы и просто нажать на опцию конвертировать. Файлы будут сконвертированы.

    Плюсы

    • Adobe Acrobat Online — инструмент, позволяющий легко перетаскивать файлы.
    • Конвертер прост в использовании и обладает понятным интерфейсом.
    • Бестро конвертирует.
    • Adobe Acrobat Online подходит как для личного, так и для профессионального использования.

    Минусы

    • По мнению многих пользователей трудно поменять шрифты в документе.
    • Бесплатная версия программы не дает много вариантов редактирования.

    3. Smallpdf

    Тем, кто хочет конвертировать фотографии и картинки в PDF быстро и без усилий, может попробовать Smallpdf. Есть удобная функция перетаскивания для загрузки файлов, и после конвертации ваш файл будет сохранен в облаке для будущего использования. После того, как вы загрузите один файл, у вас есть возможность загрузить еще файлы. Можете не беспокойться о ваших файлах, они будут зашифрованы с помощью SSL, то есть никто не сможет получить к нему доступ. Инструмент поддерживает все форматы изображений.

    Плюсы

    • Загрузив файл, вы можете настроить ориентацию, размер шрифта и даже поля документа.
    • Программа позволяет быстро конвертировать все файлы.
    • Вы можете использовать не только функцию для конвертации, но и так же редактировать ваш PDF документ.

    Минусы

    • Smallpdf работает только на ноутбуках и компьютерах. Мобильная версия недоступна.
    • Поскольку прогрмма работает только в режиме онлайн, работа с большими файлами становится проблемой.

    4. PDF2GO

    PDF2GO позволяет конвертировать все типы графических форматов в PDF. Если вы хотите конвертировать TIFF, GIF, PNG или JPG, вы можете легко конвертировать его одним щелчком мыши. Посетите официальный сайт онлайн конвертера и нажмите «Выбрать файл», чтобы загрузить файл. Вы можете ввести URL или загрузить свой файл/файлы из Dropbox или Google Drive. Если вы хотите, вы можете конвертировать с помощью OCR.

    Плюсы

    • PDF2GO позволяет пользователям конвертировать с помощью OCR, что является хорошим преимуществом.
    • Поддерживаются все форматы изображений для конвертации в PDF.
    • Инструмент поддерживает облачное хранилище.

    Минусы

    • С точки зрения дизайна инструмент выглядит немного устаревшим. Ожидается выход новой версии дизайна.
    • Бесплатная версия имеет ограничения в использовании.

    5. Image2Go

    Последний инструмент, который у нас есть, это Image2Go. Это простой, легкий и быстрый конвертер изображений в PDF. С помощью него вы можете конвертировать JPEG и SVG в PDF. Вы можете ввести URL или просто перетаскивать файлы с Google Диска и Dropbox.

    Плюсы

    • Image2Go позволяет с легкостью конвертировать форматы изображений JPEG и SVG в PDF.
    • Программа позволяет конвертировать с помощью OCR.
    • Вы можете выбрать качество продукции при конвертации.

    Минусы

    • Сложно конвертировать большие файлы.

    Как конвертировать фотографии в PDF онлайн бесплатно

    Для конвертации онлайн фотографий в PDF, можно выделить один онлайн инструмент среди остальных HiPDF. Этот простой в использовании инструмент может обрабатывать несколько файлов сразу, а так же отличным плюслм является то, что он также поддерживает множество форматов изображений. Вот что вам нужно сделать.

    Шаг 1: Загрузите ваши фотографии

    Первым делом посетите сайт HiPDF. Перейдите в раздел «Изображение в PDF», и вы увидите опцию добавления файлов. Если вы хотите, вы можете работать в автономном режиме также. Вы можете попробовать версию для компьютера для автономной версии.

    Шаг 2: Конвертация изображений в PDF онлайн

    После загрузки файлов изображений нажмите кнопку «КОНВЕРТИРОВАТЬ», после чего файл изображения будет преобразован в файл PDF. Нажмите кнопку «ЗАГРУЗИТЬ», чтобы скачать преобразованный файл.


    Лучший конвертер фотографий в PDF для пользователей компьютеров

    PDFelement надежный конвертер фотографий в PDF. Для работы вам придется загрузить программное обеспечение на свой компьютер. Этот инструмент позволяет вам конвертировать, комментировать, преобразовывать с помощью OCR, редактировать, создавать формы и многое другое. Это очень простой в использовании инструмент, имеющий множество мощных функций. Как только вы начнете использовать его, вы поймете, как легко работать с ним.

    Пошаговое руководство по использованию PDFelement для преобразования фотографий в PDF:

    Шаг 1: Загрузите PDFelement

    Скачайте PDFelement на рабочий стол или ноутбук, запустите его. Нажмите на «Создать PDF», после этого вам нужно будет загрузить фотографии для преобразования. Вы можете выбрать файлы вручную или перетащите их.

    Шаг 2: Конвертация изображений в PDF

    В верхнем меню вы увидите вкладку «Файл», нажмите на нее. В раскрывающемся меню вам нужно будет выбрать опцию «Сохранить как». Выберите «PDF-файлы» в качестве подходящего варианта, и изображение будет преобразовано в PDF.


    Еще один конвертер фотографий в PDF для пользователей компьютеров

    Есть еще один инструмент для конвертации, который позволит вам без проблем преобразовывать изображения в PDF, и этот инструмент Wondershare PDF Converter Pro. Этот инструмент также превосходен и прост в использовании. Вам нужно будет выполнить всего несколько простых шагов, чтобы совершить процесс конвертации. Вот шаги:

    СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

    Шаг 1: Скачайте Wondershare PDF Converter Pro

    После загрузки Wondershare PDF Converter Pro запустите инструмент и перейдите в «Файл в PDF», затем нажмите значок «Добавить». Опция будет в правом верхнем углу.

    Шаг 2: Конвертация изображений в PDF

    После загрузки изображений, нажмите на кнопку «Создать». Это завершит процесс преобразования. После этого вы можете сохранить файл на рабочем столе.

    Конвертировать JPEG в PDF / JPEG в PDF конвертер онлайн и бесплатно

    Конвертируйте ваши JPEG файлы в PDF онлайн и бесплатно

    1. Выберите файлы JPEG с устройства, Google Drive, Dropbox для конвертации

    Или введите URL файла JPEG, который вы хотите конвертировать



    Как конвертировать JPEG в PDF

    шаг 1

    Загрузить JPEG

    Выберите файлы из компьютера, URL, Google Drive, Dropbox или перетащив их на страницу.

    шаг 2

    Выберите в PDF

    Выберите PDF или любой другой формат, который вам нужен в результате (поддерживается более 200 форматов)

    шаг 3

    Загрузите ваш PDF

    Позвольте файлу конвертироваться, и вы сможете сразу же загрузить файл PDF

    JPEG

    Joint Photographic Experts Group

    JPEG― это один из самых популярных графических форматов, используемых для хранения неподвижных и аналогичных изображений.

    JPEG-алгоритм способен сжать изображение, как с большим ухудшением качества, так и без ухудшения качества. JPEG наиболее широко используется в цифровой фотографии, архивировании изображений и передаче данных через Интернет. Компрессия JPEG не подходит для рисунков, текста и портретной графики.

    PDF

    Portable Document Format

    PDF ― это формат электронных документов, разработанный Adobe Systems с использованием некоторых функций языка PostScript. Официальная программа для просмотра документов в этом формате ― это Adobe Reader. Чаще всего PDF-файл представляет собой сочетание текста с растровой и векторной графикой, текстовыми формами, скриптами, написанными на JavaScript, а также иными элементами.

    Конвертировать JPEG в PDF бесплатно

    Конвертер JPEG в PDF легко прост в использовании без каких-либо ограничений и ограничений.

    Вам не нужно регистрироваться или передавать какую-либо личную информацию. Кроме того, вы даже можете использовать эту услугу на любом устройстве, в любое время и в любом месте.

    Безопасность файлов защищена

    Ваша конфиденциальность значит для нас все. Нашим приоритетом является обеспечение его безопасности. Ни один из ваших файлов или их содержимое не будет использовано после конвертации. Вы можете узнать больше о безопасности из нашей Политики конфиденциальности.

    Конверсия в лучшем качестве

    JPEG в PDF не так уж и сложен. Но качество сложно гарантировать. К счастью, с нашими решениями, лучшим поставщиком решений на рынке, наш сервер может предложить вам лучшее качество для преобразования вашего JPEG-файла в PDF.

    Конвертируйте изображения JPG в PDF с помощью онлайн-инструментов AvePDF

    JPEG — это и формат изображения, и схема сжатия.

    JPEG / JPG (.jpg или .jpeg) — это формат файла растрового изображения, разработанный для хранения фотографических изображений. Он был создан Объединенной группой экспертов по фотографии, отсюда и название. Это быстро стало стандартный формат используется цифровыми камерами для хранения и обмена фотографиями в Интернете. Интересен тот факт, что JPEG использует сжатие с потерями. Так почему же это так популярно в фотографии, где изображения должны быть снимками жизни?
    Сила JPEG заключается в том, чтобы предложить компромисс между качеством изображения и размером файла. Техника сжатия способствует детализации с более значительным воздействием на человеческий глаз. Действительно, люди менее восприимчивы к небольшим различиям в цвете, чем в яркости (свет / темнота).
    Очень гибкий, формат JPEG может значительно уменьшить размеры файлов, но может также создавать артефакты, такие как видимые пиксели и ореолы вокруг краев. Однако сжатие со скоростью 10: 1 приводит к почти незаметным различиям и более легким файлам. Алгоритм сжатия, используемый в формате JPEG (сжатие JPEG), настолько полезен, что некоторые другие форматы файлов включают его, например, EPS, PDF и TIFF.
    Стоит отметить, что стандарт JPEG включает в себя режим кодирования без потерь , но это не очень популярно.Если JPEG является лучший формат для захвата изображений Есть много случаев, когда не рекомендуется его использовать.
    JPEG не подходит для большинства небольших изображений размером до нескольких сотен пикселей и не идеален для снимков экрана. Это также не лучший вариант для изображений с текстом или рисунками тонких линий, где контраст между соседними пикселями может вызвать артефакты. Такие изображения лучше сохранять в графическом формате без потерь, таком как TIFF, GIF, PNG или RAW.
    Если изображение JPEG открывается, редактируется и сохраняется снова, это приводит к дополнительному ухудшению качества, особенно если изображение обрезается или изменяются параметры кодирования. Будьте осторожны, некоторые редакторы или приложения автоматически сжимают файлы, не уведомляя вас. Поэтому вы не должны использовать JPEG для использования и хранения изображений в течение многих лет. Для долгосрочного архивирования, вы должны выбрать TIFF или PDF/A.
    И наконец, из-за метода сжатия с потерями снова не выбирайте файлы, сохраненные в формате JPEG, в контексте медицинской визуализации, где точность — буквально — жизненно важна. В этом случае вам нужно будет использовать Формат DICOM.

    Как конвертировать jpg в pdf?

    Конвертировать jpg в pdf в виде единичных фотографий не имеет никакого смысла, так как просматривать отдельные изображения в формате jpeg гораздо удобнее. Конвертировать jpg в pdf имеет смысл при создании многостраничного альбома, тогда все фотографии будут в одном файле pdf. Мы далее рассмотрим несколько способов создания pdf файла из jpeg картинки, которые помогут нам создать как pdf из одной картинки, так и целые альбомы.

    В первую очередь при желании конвертировать jpg в pdf, необходимо пересмотреть все установленные на компьютере графические редакторы, которые смогут помочь в решении данной проблемы. Например, программа Corel PHOTO-PAINT с легкостью может открыть любое изображение и сохранить его в формате pdf. CorelDRAW также сможет помочь, но уже с большими усилиями. Для открытия изображения в формате jpeg необходимо будет создать лист подходящего формата, а затем через команду «Импорт» открыть и вставить изображение. Затем это изображение остается только сохранить в формате pdf. Не стоит забывать также о таких программах, как Adobe Illustrator и Adobe Photoshop, которые также с легкостью справляются с данной задачей.

    У многих на компьютерах сейчас установлена такая программа, как виртуальный pdf принтер, создающий pdf файлы из любых документов, отправленных на печать. Он также нам подходит и поможет конвертировать jpg в pdf. Для этого необходимо открыть картинку в программе для просмотра изображений и отправить ее на печать, выбрав при этом виртуальный принтер. Кстати, многие современные просмотрщики фотографий также могут создавать pdf файлы из картинок.

    Вариантов создания pdf файлов из изображения в jpeg формате можно найти еще много, но далее рассмотрим варианты, которые позволят создать одни pdf файл, содержащий несколько изображений. Тут уже фантазия может немного разгуляться. Например, если необходимо изображения еще как то подписать и красиво оформить, можно воспользоваться даже текстовым редактором, таким, как Word или графическим редактором CorelDRAW. На каждой новой странице необходимо будет вставлять новое изображение, и оформить его, а затем просто сохранить в формате pdf. Если текстовый редактор не позволяет сохранить в формате pdf, можно весь файл отправить на печать через виртуальный принтер. Также можно прибегнуть к помощи специализированного софта для создания pdf файлов с нуля. Например, в таких программах, как Foxit PDF Editor и PDF-XChange Viewer Pro можно создать новый документ и наполнить его содержимым, и сохранить в pdf формате. Недостаток варианта с оформлением в том, что будут сложности с форматами изображений, которые необходимо будет вписать в размер созданного листа.

    Некоторые виртуальные pdf принтеры, например такой, как PDFCreator, поддерживают функцию отложенной печати. Эта функция позволяет отправить на печать множество отдельных файлов, которые в меню виртуального принтера можно объединить в один файл и создать один большой pdf файл.

    Некоторые компании для этих целей разработали даже специализированный софт, позволяющий конвертировать jpg в pdf. При этом такие программы могут, как создавать одностраничные pdf, так и сложные многостраничные файлы. Вот только небольшой перечень таких программ: JPEG to PDF, JPG To PDF Converter.

    Но и это еще далеко не все варианты. Существует множество различных сервисов, которые могут конвертировать jpg в pdf онлайн. Т.е. вам необходимо найти такой сервис, загрузить свое изображение и получить готовый pdf.

    Также интересные статьи на сайте chajnikam.ru:
    Восстановить данные с винчестера
    Как активировать антивирус eset nod32?
    Формат cr2
    Как конвертировать pdf в jpg?

    Как конвертировать и объединить JPG в PDF онлайн

    Во многих ситуациях пользователям ПК требуется преобразовать изображения одного формата в другой. Например, конвертировать фото или картинки из JPG в файл PDF. В сети существует множество специальных сервисов, которые позволяют выполнять данную процедуру за несколько нажатий. Сегодня мы поговорим о том, как в онлайне можно конвертировать и объединить JPG в PDF.

    IlovePDF

    IlovePDF – это многофункциональный сервис для работы с любыми PDF файлами. Сайт позволяет объединять, разделять и сжимать изображения, конвертировать JPG и текстовые файлы в PDF, а также преобразовывать их в обратную сторону. Дополнительно доступен простейший редактор готовых файлов, который позволяет поворачивать или обрезать части документа. Чтобы конвертировать JPG в PDF с помощью данного сервиса, следуйте представленной инструкции:

    1. Перейдите по ссылке на сайт.
    2. Нажмите на центральную кнопку «Выбрать изображения JPG».
    3. После загрузки всех файлов вы увидите редактор. Доступен выбор ориентации страницы, размера, настройка полей. Если вы добавили несколько картинок, то не забудьте поставить галочку в пункте «Объединить все изображения в один PDF-файл».
    4. Для начала процедуры нажмите кнопку конвертации. Длительность процесса зависит от количества и размера материалов.
    5. После этого кликните по «Скачать PDF». Браузер скачает файл в папку со всеми другими загрузками.

    Сервис позволяет загружать материалы и сохранять их в облачные хранилища Google Drive и Dropbox, а также делиться ссылкой на файл.

    JPG2PDF

    JPG2PDF – это специальный сайт для объединения и конвертации материалов. Сервис создан для работы с PDF файлами: поддерживается конвертирование данного формата в изображения и текстовые документы, а также перевод картинок и текстов в PDF. Воспользоваться сайтом вы можете так:

    1. В браузере откройте представленную ссылку на JPG2PDF.
    2. Из вкладок выберите вариант «JPG to PDF».
    3. Кликните на кнопку загрузки и с помощью проводника укажите местоположение изображений.
    4. После этого сервис автоматически конвертирует картинки в PDF. Вы можете загрузить их отдельно друг от друга, кликнув по кнопке «Скачать» под каждым изображением.
    5. Если вам нужно объединить несколько картинок, то нажмите на кнопку «Общий файл».

    Мнение эксперта

    Василий

    Руководитель проекта, эксперт по модерированию комментариев.

    Задать вопрос

    Данный сервис уступает предыдущему по возможностям – здесь нет встроенного редактора и предпросмотра результата.

    Smallpdf

    Smallpdf представляет собой большой сервис для конвертации и редактирования PDF. Помимо описываемого в статье конвертера из JPG, на сайте вы сможете делить, объединять и сжимать материалы, редактировать готовые PDF работы, конвертировать PDF в файлы для Microsoft Office и обратно. А воспользоваться сервисом по нашей теме вы можете с помощью представленного руководства:

    1. Перейдите на страницу сайта.
    2. Перетащите изображения JPG на желтую область страницы или загрузите их с помощью проводника. Также доступна загрузка из Google Drive или
    3. С помощью нижней панели редактора выберите формат листа, расположение картинок и размер полей. Вы можете добавить больше изображений прямо в процессе редактирования и с помощью мышки переместить их на нужную позицию в документе.
    4. Для конвертирования кликните по кнопке «Создать PDF прямо сейчас!».
    5. Остается только скачать готовый документ на компьютер, создать ссылку на файл или загрузить в облако. Также можно сразу перейти к объединению с другим PDF файлом.

    У сервиса Smallpdf имеется собственное расширение для Google Chrome. После установки вы сможете быстро переходить к нужной странице сайта с помощью иконки плагина на верхней панели браузера.

    Видеоинструкция

    Больше подробностей вы сможете узнать, если внимательно посмотрите представленный ролик.

    Заключение

    Мы познакомили вас с рядом сервисов, которые позволяют конвертировать и объединять JPG в PDF. Также большинство из представленных сайтов имеют дополнительный функционал, который обязательно пригодится постоянным пользователям конвертеров.

    Обязательно пишите в комментариях о том, какие трудности и проблемы возникают у вас при использовании описанных сервисов! Мы ознакомимся с каждым отзывом и поможем советом!

    Конвертировать JPG в PDF бесплатно

    У вас есть JPG, когда вам нужен PDF? Конвертируйте JPG в PDF за несколько секунд с помощью этого бесплатного онлайн-сервиса.

    Как конвертировать JPG в PDF

    Это просто. Выберите JPG для преобразования на вашем устройстве. Определите внешний вид вашего PDF-документа: формат страницы и т. Д. Нажмите кнопку «Преобразовать в PDF». Поздравляю, все кончено!

    JPG для преобразования в PDF

    PDF-презентация

    Размер страницы

    LetterLegalA3A4A5B5Fit image

    Ориентация страницы

    ПортретПейзаж

    Размер изображения

    Сохранять исходный размер Масштабировать по размеру страницы

    Учебное пособие по преобразованию JPG в PDF

    Нужна помощь? Это короткое видео объясняет, как конвертировать JPG в PDF.За две минуты освоите сервис на профессиональном уровне 🙂

    Зачем нужен конвертер JPG в PDF

    Легкое преобразование в JPG

    Простой, понятный интерфейс для выбора вашего JPG, выбора параметров преобразования и загрузки сгенерированного PDF-файла.

    Онлайн-конвертер

    Все происходит прямо в вашем любимом браузере. Не нужно устанавливать дополнительное программное обеспечение.

    Управление изображениями

    См. Загруженный вами JPG-файл. Переупорядочить их. Удалить их.

    PDF высокого качества

    Ваш PDF сохраняет качество вашего JPG. Если это то, о чем вы просите.

    Без ограничения JPG

    Поместите в свой PDF столько JPG, сколько хотите. Конвертер просто обработает их.

    Не тот PDF-файл? Повторить попытку

    Вы можете попробовать различные настройки и повторить попытку, если они все-таки оказались не такими хорошими.

    Ваш JPG конвертируется быстро

    Ваши изображения не могут дождаться, когда их превратят в PDF. Никакой регистрации, никаких лишних шагов, просто мгновенное преобразование, которое вы ищете.

    Безопасность

    Ваши изображения передаются через HTTPS, поэтому никто не может шпионить. Мы удаляем ваши JPG и PDF из нашей инфраструктуры через несколько часов.

    Ваш JPG и преобразованный PDF безопасны

    Через несколько часов ваши изображения в формате JPG и преобразованный документ PDF удаляются с нашего сервера для обеспечения конфиденциальности.

    Без водяных знаков

    PDF-файл, преобразованный из вашего JPG, и есть PDF-файл с изображениями в формате JPG. Мы сказали «бесплатно».

    Пользовательский PDF

    Выберите формат страницы PDF, поля, ориентацию страницы …

    Бесплатное обслуживание

    Потому что все лучше, когда это бесплатно.

    Другие инструменты PDF

    Конвертировать PDF в JPG

    У вас уже есть PDF-документ и вам нужны изображения в формате JPG? Вам нужен конвертер PDF в JPG.

    Повернуть PDF

    Ваш PDF-файл перевернут. Не проблема. Вы можете повернуть PDF за секунды.

    Истории преобразования JPG в PDF

    JPG менее подходят для печати, чем PDF

    JPG — предпочтительный формат для фотографий. Это то, что производят большинство смартфонов. Кроме того, JPG — это ожидаемый тип файлов для большинства сервисов и программного обеспечения, ориентированных на изображения. Например, приложение для галереи изображений, естественно, поддерживает его.

    Однако есть случай, когда JPG часто дает сбой: печать. Печать фотографий — это естественно. В конце концов, много лет назад это была почти единственная форма их существования.

    Чтобы разместить фотографию на листе, достаточно нажать кнопку. Однако результат часто неутешительный. Часто изображения не подходят для физического носителя. Они либо слишком велики, либо слишком малы. И каждая попытка тратит драгоценные чернила …

    В этом отношении формат PDF более предсказуем.В конце концов, «P» в «PDF» означает «Версия для печати»! Таким образом, вы можете найти более простой и экономичный способ сначала преобразовать ваши JPG в PDF. Затем вы можете отправить его на принтер с уверенностью в его окончательном виде.

    Convert-JPG-to-PDF.net идеально подходит для этой задачи. Вы можете просто загрузить все свои JPG сразу и преобразовать их в PDF.

    Вместо большого количества JPG, PDF легче обрабатывать

    Как и у всех, у вас должно быть много фотографий.Время от времени вы делитесь некоторыми из них. Есть много способов сделать это.

    Решение — отправить их по электронной почте. В конце концов, у каждого есть адрес электронной почты. Поскольку фотографии представляют собой файлы в формате JPG, их легко отправить в виде вложений по электронной почте.

    Тем не менее, если вам нужно отправить много изображений, это может раздражать. На многих устройствах и в почтовых приложениях отображение изображений неудобно. Некоторым получателям приходится открывать их по очереди, что очень раздражает.

    Вот тут-то и пригодится PDF.Будучи многостраничным форматом, он может включать любое количество JPG-файлов. Все, что вам нужно, это объединить их все в один документ.

    Именно это и делает Convert-JPG-to-PDF.net. Он конвертирует множество изображений JPG в уникальный файл PDF.

    JPG в PDF — конвертируйте изображения JPEG в PDF онлайн бесплатно

    JPG в PDF — конвертируйте изображения JPEG в PDF онлайн бесплатно \ n

    \ n Ежемесячно (выставляется ежегодно) \ n

    \ n

    \ n Ежемесячно (выставляется каждые 2 года) \ n

    \ n

    \ n Ежегодно \ n

    \ n

    \ n 2 года \ n

    «, «cannotSignInWithOldEmail»: «Вы не можете войти в систему с помощью , поскольку это больше не адрес электронной почты, связанный с вашей учетной записью», «labelCity»: «Город», «mergeWithSodaSubPrgh»: «С легкостью объединяйте файлы PDF в Интернете.Soda PDF — это решение для пользователей, которые хотят объединить несколько файлов в один PDF-документ. Наш инструмент прост в использовании и БЕСПЛАТНО * «, «ModulePopupHeadOops»: «Ой!», «FileTypeIsNotSupported»: «Тип файла не поддерживается.», «readLess»: «Читать меньше», «readMore»: «Читать дальше», «noThanks»: «Нет, спасибо», «BuyNow»: «Купить сейчас», «PrivacyTerms»: «Конфиденциальность и условия», «WordToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/word-to-pdf/», «businessAlertText»: «Вы занимаетесь бизнесом?», «EmailPreferencesSubTitle»: «Выберите списки рассылки, на которые вы хотите подписаться.Снимите флажок, чтобы отказаться от подписки. \ NЕсли вы хотите изменить язык получаемых писем, «, «без обслуживания»: «Без обслуживания», «successTitle»: «Назначение выполнено успешно», «tooltip_1»: «План позволяет одному устройству входить в Soda PDF Online в любой момент времени», «contactEmail»: «Контактный адрес электронной почты», «BuyLink»: «https://www.sodapdf.com/buy/», «GifToJpgLink»: «https://www.sodapdf.com/gif-to-jpg/», «PDF_Software»: «Программное обеспечение PDF», «selectProduct»: «Выбрать продукт», «startFreeTrial»: «Начать бесплатную пробную версию», «errorTypeOfProduct»: «Выберите тип продукта», «compressed_copy»: «Загрузите сжатую копию вашего файла.», «contactSales»: «Связаться с отделом продаж», «sellsheets»: «Product Sheets», «PricingLink»: «https://www.sodapdf.com/pricing/», «getSoda»: «Получить газировку», «noCreditCards»: «Нет кредитных карт», «createPdfLink»: «https://online.sodapdf.com/#/home?r=view», «accountManagement»: «Управление аккаунтом», «SixFiles»: «6 файлов», «premiumPhoneSupport»: «Поддержка по телефону премиум-класса», «forLimitLicenses»: «Для 1-4 лицензий», «knowledgeBase»: «База знаний», «passwordRequirements_3»: «Ваш пароль не может содержать \» пароль \ «, \» admin \ «или \» administrator \ «», «passwordRequirements_2»: «Ваш пароль не может содержать 3 или более последовательных символов или иметь один и тот же символ, повторяющийся последовательно (например,123, ABC, AAA, 111) «, «YourFilesSecureServers»: «Ваши файлы хранятся на наших серверах только 24 часа, после чего они уничтожаются безвозвратно.», «errorConfirmEmailPasswordMatch»: «Введенные адрес электронной почты и пароль не совпадают», «PdfToImageLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-to-jpg/», «WhatsNewTitle»: «Что нового в Soda PDF Anywhere», «registerSignUpTitle»: «С подключенной учетной записью», «WordToPdf»: «Word в PDF», «paymentAssociatedCreditCard»: «Продукты, связанные с этой кредитной картой», «createdPasswordSuccessfully»: «Ваш пароль был успешно создан.», «CookiesForAdvertising»: «Этот сайт использует файлы cookie в рекламных и аналитических целях. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой конфиденциальности, чтобы получить дополнительную информацию о файлах cookie и их использовании, а также о возможности изменения настроек файлов cookie.», «PDFReader»: «PDF Reader», «Сбережения»: «СБЕРЕЖЕНИЯ», «YourFilesSecure»: «Ваши файлы в безопасности», «ConvertfromPDF»: «Конвертировать из PDF», «WorkingOffline»: «Работаете в автономном режиме?», «зарегистрироваться»: «Зарегистрироваться», «sodaVersion»: «Сода PDF», «wouldLikeContinue»: «Хотите продолжить?», «productAvaliableProducts»: «Доступные продукты», «one_time_fee»: «единовременная плата», «Privacy_Terms»: «Конфиденциальность и условия», «RegisterLink»: «https: // www.sodapdf.com/account/register/ «, «AboutSodaPdf»: «О Soda Pdf», «PleaseSignInWithAccount»: «Войдите в свою учетную запись», «mergeToolLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-merge/», «активация»: «Активация», «EulaLink»: «https://www.sodapdf.com/terms-of-use/#eula», «formProductInterest»: «Интересующий продукт», «PDF_annual»: «* годовой план», «emailAddress»: «Адрес электронной почты», «Разблокировать»: «Разблокировать», «learnMore»: «Первое в мире онлайн-программное обеспечение для работы с PDF», «sitemap»: «Sitemap», «switchYearly»: «переходить на ежегодный», «MergeLink»: «https: // www.sodapdf.com/pdf-merge/ «, «choose3options»: «Однако вы можете выбрать один из трех вариантов», «PngToJpg»: «PNG в JPG», «PngToPdf»: «PNG в PDF», «fromDevice»: «С устройства», «forLimitLicenses5»: «Для 5-24 лицензий», «cancelRequest»: «Отменить запрос», «resourceCenter»: «Ресурсный центр», «FallDocuments»: «Меня уволили после того, как я заснул по личным документам.», «PlanLinks»: «Планы и цены», «low_quality_text»: «меньшее качество, наименьший размер файла», «fromOpdfs»: «

    Спасибо за создание бесплатной учетной записи.Ваш файл готов!

    \ n

    Вы должны быть перенаправлены через мгновение, чтобы получить доступ к вашему файлу.

    \ n

    Если перенаправление не работает (или занимает слишком много времени), щелкните здесь, чтобы получить доступ к файлу.

    «, «DownloadLink»: «https://www.sodapdf.com/installation-guide/», «PageNumbering»: «Нумерация страниц», «emailWasSentSuccessfully»: «Электронное письмо успешно отправлено», «Водяной знак»: «Водяной знак», «productSoda9lockedMessage»: «Продукты с бессрочной лицензией привязаны к одному компьютеру.Используйте команду «Сбросить лицензию», чтобы переназначить лицензию другому компьютеру. «, «subscribe_success_msg»: «Вы успешно зарегистрировались!», «NoThank»: «Нет, спасибо», «sendFileByEmail»: «Отправить файл по электронной почте», «choosequalitytitle»: «Выбрать качество сжатия», «errorWebsiteUrlRequired»: «Введите URL», «errorCountryRequired»: «Выберите страну», «subscribeToPromotions»: «Акции», «headerSearchPlaceholder»: «Есть вопросы? Введите запрос здесь», «AddAccount»: «Добавить аккаунт», «didYouTitle»: «Знаете ли вы?», «UploadingFile»: «Загрузка», «dl_options_10»: «Разметка и добавление примечаний к PDF-файлам», «dl_options_11»: «Создавать собственные формы», «labelLicensesNeeded»: «Количество необходимых лицензий», «MyProductsLink»: «https: // www.sodapdf.com/account/manage-products/ «, «youtubeTitle»: «Откройте для себя Soda PDF Anywhere», «previewText»: «Предварительный просмотр Soda PDF 12», «TenPack»: «10-PACK», «labelStateProvince»: «Штат / провинция», «formFirstName»: «Имя», «solutionsBusines»: «Решения для бизнеса», «ConnectedAccounts»: «Подключенные учетные записи», «One_file_only»: «ТОЛЬКО ОДИН ФАЙЛ», «PrivacyPolicyLink»: «https://www.sodapdf.com/privacy/», «Выход»: «Выйти», «compressWithSodaSubPrgh»: «Уменьшите размер PDF всего за несколько кликов.Это просто и бесплатно * «, «ConvertPassProtected»: «Загруженный файл защищен паролем и не может быть преобразован.», «JpgToGif»: «JPG в GIF», «JpgToPdf»: «JPG в PDF», «JpgToPng»: «JPG в PNG», «emailPasswordIncorrect»: «Ваш адрес электронной почты или пароль неверны.», «BlogLink»: «https://www.sodapdf.com/blog/», «errorConfirmPasswordMatch»: «Ваши пароли не совпадают», «batchPrgh»: «Загрузите файл, содержащий электронные письма пользователей, которым вы хотите назначить лицензию. Файл должен быть в формате .csv.Электронные письма должны быть в первом поле. Имя и фамилия не обязательны, но могут быть помещены во второе и третье поля. «, «PurchasedDate»: «Дата покупки», «OpenedPassProtect»: «Загруженный файл защищен паролем и не может быть открыт.», «One_file_only2»: «Только один файл», «LinkfFeatures»: «https://www.sodapdf.com/features/», «manualFree»: «Бесплатно и надежно», «ready_1_strong»: «Еще не пробовали наше настольное приложение?», «Повернуть»: «Повернуть», «buyNowFoot»: «Купить сейчас», «SwitcherEnable»: «Включить», «Подмножество»: «Подмножество», «Суффикс»: «Суффикс», «supportText»: « БЕСПЛАТНО Поддержка клиентов
    «, «Строка»: « облачное хранилище … «, «errorContactEmailRequired»: «Введите контактный адрес электронной почты», «SiteMapLink»: «https://www.sodapdf.com/sitemap/», «PDF_mo»: «/ мес», «PDFfee»: «Однако вы можете загрузить объединенную копию файла за единовременную плату в размере 2,99 долларов США.», «OfferEXTENDEDGet60»: «Предложение РАСШИРЕНО Получите скидку 60% на : объединение, сжатие и многое другое!», «FreeUpdates»: «Бесплатные обновления», «FreePdfReader»: «Читатель Soda 3D», «Save50»: «SAVE 50% «, «termsOfUse»: «Условия использования», «WatermarkLink»: «https: //www.sodapdf.com / add-watermark-to-pdf / «, «Префикс»: «Префикс», «ContactSalesLink»: «https://www.sodapdf.com/contact-sales/», «errorEndsWithEmail»: «—«, «ProductOverview»: «Обзор продукта», «stayConnected»: «Оставайтесь на связи», «HtmlPDFLabel»: «Хотите преобразовать веб-страницу в файл PDF? Сделайте это бесплатно на», «moduleOCRReq»: « OCR Требуется модуль «, «ThankyouCTA2notice_bottom»: «на рабочий стол», «Позиция»: «Позиция», «mobile_app_stores»: «Объединяйте и создавайте PDF-файлы бесплатно на своем телефоне», «getVolumePricing»: «Получить оптовые цены», «pagesToInsert»: «Страницы для вставки», «CreateFiles»: «Создавать файлы PDF», «labelIndustry»: «Промышленность», «ready_2_strong»: «Вам нужны PDF-файлы на ходу?», «Премиум»: «ПРЕМИУМ», «Защитить»: «Защитить», «DragFile»: «Перетащите файлы сюда», «ChooseCompressionRatio»: «Выбрать степень сжатия», «errorTimelineRequired»: «Выберите временную шкалу», «PdfToWorldToolLink»: «https: // www.sodapdf.com/pdf-to-word/ «, «Excel2pdf»: «Excel в PDF», «cookieSettings»: «Настройки файлов cookie», «PopularTools»: «Популярные инструменты», «errorRequired»: «Это поле обязательно для заполнения», «sodaPdfAnywhereOverview»: «Обзор Soda PDF Anywhere», «Авторское право»: «Авторское право», «SwitcherDisable»: «Отключить», «Ppt2pdf»: «PPT в PDF», «professionalPackage»: «Профессиональный пакет», «SignFiles»: «Подписать файлы PDF», «selectModule»: «Выбрать другую функцию», «btnDownloadText»: «Просмотреть и загрузить в браузере», «ArticleTitleThree»: «Как объединить документы с помощью Soda PDF 12», «CompressFiles»: «Сжимать файлы PDF», «PdfToExcelLink»: «https: // www.sodapdf.com/pdf-to-excel/ «, «cloudUpload»: «загружено из облака», «RemoveMain maintenance»: «Удалить обслуживание», «PDF_next»: «следующий», «CompressTitle»: «Сжать PDF — БЕСПЛАТНО уменьшить размер файла PDF в Интернете», «OnDesktop»: «На рабочем столе», «expiresDate»: «Срок действия — дата», «PDFBates»: «Нумерация Бейтса PDF», «PdfFormFillerLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-form-filler-creator/», «youShouldCreateAccount»: «Создайте учетную запись с этим адресом электронной почты для доступа к вашему продукту.», «expiredTime»: «Срок действия истекает через», «expiredDate»: «Срок действия истек», «howActivateSoda»: «Как активировать Soda PDF», «FreeOnlineToolsLink»: «https: // www.sodapdf.com/freeonlinetools/ «, «ExceedsSizeLimit»: «Размер файла превышает максимально допустимый», «Подключиться»: «Подключиться», «emailNotValid»: «Пожалуйста, укажите действующий адрес электронной почты», «footerLuluWebsite»: «Сайт компании», «fullPagesRangeError»: «Ваши начальная и конечная страницы охватывают весь загруженный документ. Поэтому разделения не произойдет.», «footerCopyText»: «Soda PDF является товарным знаком LULU Software ™.», «fromOurSalesTeam»: «От нашей команды продаж», «openTicketBackText»: «Отправьте запрос в службу поддержки и получите необходимую помощь.», «montlyPlan»: «Ежемесячный план», «englishOnly»: «Только английский», «ChangePending»: «Ожидается изменение», «SoftwareLink»: «https://www.sodapdf.com/», «thankYouTitle»: «Спасибо за установку Soda PDF», «myProducts»: «Мои продукты», «convert»: «Конвертировать», «CompressPassProtected»: «Загруженный файл защищен паролем и не может быть сжат.», «products»: «Товары», «WinTitle1»: «Полное решение PDF», «обязательный»: «обязательный», «PDFexceed_title»: «Загруженный файл превышает максимально допустимый размер», «fileReadyTitle»: «УРА! Ваш файл готов,
    добро пожаловать!», «SearchTool»: «Поиск инструмента», «one_time_payment»: «Единовременный платеж», «rightWord»: «Верно», «implperTitle»: «Неверное расположение полей», «footerLuluCareers»: «Карьера», «SplitLink»: «https: // www.sodapdf.com/split-pdf/ «, «EsignFiles»: «Файлы PDF для электронной подписи», «PdfToJpg»: «PDF в JPG», «PdfToPpt»: «PDF в PPT», «FREE_PDF_TOOLS»: «БЕСПЛАТНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ PDF», «behindPage»: «За страницей», «ArticleDescriptionOne»: «Итак, вы хотите добавить страницы в этот PDF-файл. Возможно, это документ, который вы уже создали, или тот, который недавно был отправлен вам. Но как вообще вы вставляете страницы в уже существующий PDF-файл, который кажется нежелательным для изменения? «, «ArticleDescriptionTwo»: «Вы повысите свою эффективность только тогда, когда научитесь создавать файлы PDF в пакетном режиме.Любой файл, который можно распечатать на бумаге, также можно преобразовать в формат PDF. С помощью процесса пакетного создания Soda PDF 12 вы можете взять любое количество файлов, независимо от формата, и одновременно преобразовать их все в PDF-файлы. «, «changedCongratulations»: «Поздравляем, вы успешно изменили адрес электронной почты.», «features_text»: «Неограниченно: объединение, преобразование, редактирование, вставка, сжатие, просмотр и многое другое!», «productAction»: «Действие», «enterWaterMarkText»: «Пожалуйста, введите текст водяного знака.», «onlinePdfTools»: «Инструменты для работы с PDF в Интернете», «PdfConverter»: «Конвертер PDF», «productAssign»: «Назначить», «ResourcesLink»: «https://www.sodapdf.com/resources/», «WhatsNewText»: «Испытайте первое в истории полнофункциональное онлайн-решение для работы с PDF. Оно содержит совершенно новые функции, специально разработанные для повышения производительности, включая E-Sign, Soda PDF Online, нумерацию Бейтса и пакетное преобразование.», «DeletePdf»: «Удалить PDF», «abovePage»: «Над страницей», «Спасибо Спасибо», «SodaOverviewLink»: «https: // www.sodapdf.com/products/soda-overview/ «, «low_quality»: «Низкое качество», «findReseller»: «Найти реселлера», «errorProductRequired»: «Выберите продукт», «errorOopsEnterB2BEmail»: «К сожалению, похоже, вы указали личный адрес электронной почты! Чтобы получить доступ к нашей 30-дневной пробной версии для бизнеса, вы можете вернуться к форме и ввести действующий рабочий адрес электронной почты. В противном случае вы можете попробовать нашу личную пробную версию.» , «лицензия»: «лицензия», «Pdf2Word»: «PDF в Word», «PasswordLabel»: «Пароль:», «ProtectTitle»: «Защитить PDF», «enterStreetAddressLine»: «Введите строку почтового адреса», «где угодно2»: «… и продолжайте работать над ним на своем смартфоне или планшете во время поездки на работу. «, «where3 «:» Когда вы вернетесь домой, запустите свой PC и продолжайте с того места, где вы остановились. «, «where1 «:» Готовишь контракт в офисе, но есть поезд, чтобы успеть? «, «PdfDownloadLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-download/», «protect_unlim»: «Защитить неограниченное ЧИСЛО файлов.», «allTools»: «Все инструменты», «EnglishContent»: «Доступно только на английском языке», «TextToPdfLink»: «https: // www.sodapdf.com/txt-to-pdf/ «, «HtmlToPdf»: «HTML в PDF», «yourDownloadShouldBegin»: «Ваша загрузка должна начаться немедленно.», «errorLicensesRequired»: «Введите количество лицензий», «formEmailBusiness»: «Рабочий адрес электронной почты», «securitySign»: «Безопасность и подпись», «BatesNumberingLink»: «https://www.sodapdf.com/bates-numbering/», «BatesNumberingTool»: «Нумерация Бейтса», «BmpToJpg»: «BMP в JPG», «stayInformedOnSoftware»: «Будьте в курсе обновлений программного обеспечения, напоминаний об истечении срока действия, персонализированных советов и получайте эксклюзивные предложения по электронной почте.», «EmailPreferencesMore»: «Для получения дополнительной информации прочтите наши», «createdPasswordLinkExp»: «Срок действия ссылки для создания пароля истек.», «year2Plan»: «План на 2 года», «ResellersFoot»: «Реселлеры», «ResellersLink»: «https://www.sodapdf.com/resellers/», «high_quality»: «Высокое качество», «paymentDetails»: «Детали платежа», «InformationHandled»: «Предоставленная вами информация будет обрабатываться в соответствии с нашей Политикой конфиденциальности.», «orderInvoiceQuestions»: «№ заказа / № счета / Вопросы», «mergeWithSodaTitle»: «Слияние PDF», «End_User»: «Лицензионное соглашение с конечным пользователем», «authenticationError»: «Произошла ошибка аутентификации.Пожалуйста, войдите в свою учетную запись еще раз, чтобы продолжить », «implperPrgh»: «Адреса электронной почты должны быть в первом поле для каждого назначения. Имя и фамилия могут быть указаны во втором и третьем полях.», «send_to_email»: «Отправить по электронной почте», «ProtectLink»: «https://www.pdfprotect.net/», «Pdf2ppt»: «PDF в PPT», «successRegister»: «На ваш адрес электронной почты отправлено письмо для активации.», «ViewFiles»: «Просмотр PDF-файлов», «modifyRenewal»: «Изменить продление», «ForgotPasswordLink»: «https: // www.sodapdf.com/account/recover-password/ «, «InWebBrowser»: «В веб-браузере», «customQuote»: «индивидуальная цитата», «ElectronicSignature»: «Электронная подпись», «rongTitle «:» Неверный тип файла «, «mergeRequest»: «Запрос на объединение был отправлен на [другой адрес электронной почты]. Щелкните ссылку в электронном письме, чтобы завершить объединение ваших учетных записей», «YouIncognito»: «Вы используете режим инкогнито.
    Пожалуйста, войдите или создайте аккаунт», «TotalPrice»: «общая цена», «pdfFormCreator»: «Создатель PDF-форм», «howInstallSodaLink»: «https: // support.sodapdf.com/hc/en/articles/360022498011-How-to-download-and-install-Soda-PDF «, «freeTrial»: «Бесплатная пробная версия», «workOfflineOneLine»: «Работать в автономном режиме?
    Попробуйте настольную версию!», «PDFafterThePayment»: «Загрузка начинается автоматически после оплаты.», «forLegalProfessionals»: «Для юристов», «layoverText2»: «При нажатии откроется новая вкладка», «layoverText1»: «Это объявление помогает сделать наши услуги бесплатными», «selectLanguage»: «Выберите язык», «getStarted»: «Начало работы», «InstantText»: « Instant \ nЛицензия
    \ nАктивация», «freeItem1»: «Имея более 1 миллиона пользователей в месяц, мы постоянно совершенствуем наш инструмент слияния, оставляя его бесплатным для наших пользователей.», «freeItem2»: «Объедините файлы в браузере. Он совместим со всеми операционными системами.», «FilesUsed30days»: «Файлы должны быть использованы в течение 30 дней с момента покупки», «MainPage»: «Главная страница», «congrats_prgh»: «

    Поздравляем!

    \ n
    Вы успешно подтвердили свою учетную запись Soda PDF.
    \ n

    \ n Иногда может потребоваться несколько минут, чтобы показать, что ваша учетная запись была подтверждена в нашем приложении.
    \ n Следуйте следующие шаги, чтобы ускорить процесс, если вы уже вошли в систему.\ n

    «, «PdfCreatorLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-creator/», «UnlockTitle»: «Разблокировать PDF», «EsignPdf»: «Электронная подпись PDF», «SodaNewTitle»: «Присоединяйтесь к революции онлайн-PDF», «AnnualPlan»: «Годовой план», «sloganOnline»: « PDF ONLINE», «CreateCustomForms»: «Создавать собственные формы», «errorEmailPassword»: «К сожалению, Soda PDF не распознает это письмо», «SplitPdf»: «Разделить PDF», «chatSchedule»: «С понедельника по пятницу (с 9:00 до 17:00 по восточноевропейскому времени)», «businessBrochure»: «Деловая брошюра», «GifToPdfLink»: «https: // www.sodapdf.com/gif-to-pdf/ «, «verifySpam»: «Чтобы обеспечить доставку электронной почты, проверьте настройки спама», «JpgToGifLink»: «https://www.sodapdf.com/jpg-to-gif/», «productAddOnTooltip»: «Этот продукт является надстройкой и автоматически добавляется к любому продукту Soda PDF, который использует назначенный пользователь.», «assignBy»: «Назначено», «включает»: «Включает:», «emailSent»: «Электронное письмо отправлено», «emailWord»: «Электронная почта», «secureItem2»: «Все загруженные и обработанные файлы удаляются с наших веб-серверов в течение максимум 24 часов за активный сеанс.», «secureItem1»: «Когда вы загружаете файлы, они преобразуются через безопасное зашифрованное соединение (https), чтобы оставаться на 100% безопасным.», «capsLock»: «Caps Lock включен», «freeOnlineToolsHeader»: «Бесплатные онлайн-инструменты», «reviewingFiles»: «Просмотр файлов», «PptToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/ppt-to-pdf/», «howActivateSodaLink»: «https://support.sodapdf.com/hc/en/articles/360022497971-How-to-Activate-Soda-PDF», «TapAddFile»: «Нажмите, чтобы добавить файлы», «OptInSubmit»: «Я согласен получать сообщения об этой услуге по электронной почте.», «UseinDesktopApp»: «Использовать в настольном приложении», «myAccount»: «Моя учетная запись», «errorUsersRequired»: «Введите количество пользователей», «desktopSolutionLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-download/», «Popular»: «Популярные», «newVersion»: «Доступна новая версия!», «СпасибоCTA1notice_top»: «», «BatchConvert»: «Пакетное преобразование», «labelStreetAddressLine»: «Строка с адресом улицы», «secureSignModule»: «Безопасность и подпись», «sendMeUpdates»: «Да, присылать мне обновления», «СпасибоCTA2notice_top»: «», «cancelPlan»: «Отменить план», «mo»: «Mo», «on»: «on», «или или», «Нет нет», «Ладно ладно», «btnDownloadViewText»: «Загрузить и просмотреть в браузере», «userExists»: «Пользователь с этим адресом электронной почты уже существует», «ResetFormLabel»: «Сбросить форму», «OtherTools»: «Другие инструменты», «manualSecureFile»: «Безопасное объединение и обработка файлов», «Вращение»: «Вращение», «SignaturePackagePart2»: «пакет подписи», «formFileAttachment»: «Вложение файла», «Изменение размера»: «Изменение размера», «PrivacyFeedback»: «Конфиденциальность
    Отзыв», «ConvertFiles»: «Конвертировать файлы PDF», «ConvertImage»: «Конвертировать изображение», «ExcelToPdf»: «Excel в PDF», «ConverttoPDF»: «Преобразовать в PDF», «ExcelToPdfLink»: «https: // www.sodapdf.com/excel-to-pdf/ «, «selectJobRole»: «Выберите должность», «errorPassProtected»: «Файл защищен паролем», «PdfToWordLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-to-word/», «bottomWord»: «Снизу», «videoTutorials»: «Видеоуроки», «btnWorkOfflineLink»: «Загрузить настольную версию!», «AnnualCommitment»: «Годовое обязательство», «registerAgreePart2»: «и наш», «registerAgreePart1»: «Нажимая» Зарегистрироваться «, вы соглашаетесь с», «accountDetailsText»: «Вы можете обновить свою платежную информацию», «clickHere»: «Щелкните здесь», «ProcessConverting»: «Преобразование», «unlimitedSodaESign»: «Электронная подпись безлимитных газированных напитков», «accessSaas»: «Доступ к Soda PDF Online здесь», «ProtectPdfLink»: «https: // www.sodapdf.com/password-protect-pdf/ «, «ResendConfirmationEmail»: «Отправить письмо с подтверждением еще раз», «JpgToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/jpg-to-pdf/», «sendToEmail»: «Отправить по электронной почте», «eSign»: «eSign PDF», «email»: «Электронная почта», «error»: «Произошла ошибка. Повторите попытку или свяжитесь с нами.», «SodaTradeMark»: «Soda ™ является товарным знаком LULU Software ™.», «forms»: «Формы», «logIn»: «Войти», «часы»: «часы», «title»: «Заголовок», «SSLLabelThree»: «безопасное соединение», «Begins_auto»: «(Начинается автоматически после оплаты)», «ErrorChooseMorePDF»: «Выберите два или более файлов PDF», «video»: «Видео», «linkExpired»: «Срок действия вашей ссылки истек», «добавить»: «добавить», «пока пока», «выкл»: «выкл», «ocr»: «OCR», «odd»: «odd», «верх»: «верх», «Все»: «Все», «Новый»: «Новый», «Да»: «Да», «PerpetualLicense»: «Бессрочная лицензия», «year2»: «2 года», «Первый»: «Первый», «Слияние»: «Слияние», «LoginLink»: «https: // www.sodapdf.com/account/login/ «, «no_limitation»: «24/7: без ежедневных ограничений
    Дополнительные возможности: создание, преобразование и просмотр файлов PDF», «PdfEditorLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-editor/», «Юридический»: «ЮРИДИЧЕСКИЙ», «productStatus»: «Статус», «Отключить»: «Отключить», «errorPasswordRequired»: «Введите пароль», «SodaPDFDesktop»: «Рабочий стол Soda PDF», «Голоса»: «Голоса», «Инструменты»: «Инструменты», «Сброс»: «Сброс», «Диапазон»: «Диапазон», «Сплит»: «Сплит», «subscribe_prgh»: «Будьте в курсе всех новостей Soda, включая информационные бюллетени, советы и рекомендации, а также эксклюзивные предложения.», «Планы»: «Планы», «JpgToPngLink»: «https://www.sodapdf.com/jpg-to-png/», «reassignLicense»: «Переназначить лицензию», «Вставка»: «Вставка», «sodaPdfOnline»: «Soda PDF Online», «BEST_VALUE»: «BEST VALUE», «batchTitle»: «Пакетное назначение», «GifToPngLink»: «https://www.sodapdf.com/gif-to-png/», «SplitTitle»: «Разделить PDF», «split_unlim»: «Разделить неограниченное количество файлов.», «contactsSales»: «Связаться с отделом продаж», «BilledAnnualy»: «выставляется ежегодно», «addPageNumbering»: «Добавить номера страниц», «вебинары»: «вебинары», «good_quality»: «Хорошее качество», «EnterUrl»: «Введите URL», «productTypeDesctop»: «Рабочий стол», «FreeOnlineTools»: «Бесплатные онлайн-инструменты», «Pdf2Image»: «PDF в JPG», «AddMain maintenance»: «Добавить обслуживание», «howToSubAlt3»: «Загрузить объединенный PDF», «howToSubAlt2»: «Объединить желаемые файлы PDF», «howToSubAlt1»: «Загрузить PDF», «PdfCreator»: «PDF Creator», «uninstall»: «Удалить», «FreePdfReaderMacOs»: «Читатель для Mac OS X», «WinPdfReader»: «Читатель Магазина Windows», «errorEnterB2BEmail»: «Пожалуйста, введите действующий рабочий адрес электронной почты, чтобы продолжить.», «discoverSodaPDf»: «Откройте для себя Soda PDF», «yourDownloadLinkSent»: «Ссылка для скачивания отправлена ​​на ваш адрес электронной почты.», «Количество»: «КОЛИЧЕСТВО», «createPasswordSubTitle»: «Установите новый пароль для своей учетной записи.», «Download_Desktop»: «Загрузить настольную версию!», «ViewEdit»: «Просмотр и редактирование», «errorPhoneInvalid»: «Введите действительный номер телефона», «errorCompanyRequired»: «Введите название компании», «Особенности»: «Особенности», «EmailConfirmationError»: «OOPS! Срок действия вашей ссылки для активации истек.», «PdfToHtmlLink»: «https: // www.sodapdf.com/pdf-to-html/ «, «bf_freeocrgift1»: «БЕСПЛАТНЫЙ ПОДАРОК ​​OCR («, «bf_freeocrgift2»: «значение)», «RessellerLink»: «https://www.sodapdf.com/business/resellers/», «fontSize»: «Размер шрифта», «productExpiredProducts»: «Товары с истекшим сроком годности», «SupportLink»: «https://support.sodapdf.com/hc/en-us/», «mostPopular»: «САМЫЕ ПОПУЛЯРНЫЕ», «errorPhoneRequired»: «Введите номер телефона», «Сжать»: «Сжать», «aboutTitle»: «О НАШИХ ИНСТРУМЕНТАХ», «howCanWeHelpYou»: «Чем мы можем вам помочь?», «LimitationTextRights»: «все права защищены.», «PrivacyFeedbackImg»: «//privacy-policy.truste.com/privacy-seal/LULU-software/seal?rid=e691fbfb-8de4-4b17-b576-70688b60730d», «rotated_copy»: «Загрузить повернутую копию вашего файла.», «selectIconFile»: «Пожалуйста, выберите файл значка», «proOcrPackage»: «Пакет Pro + OCR», «privacyPolicy»: «Политика конфиденциальности», «BusinessLink»: «https://www.sodapdf.com/business/», «splitted_copy»: «Загрузить разделенные страницы.», «SplitPDFSiteLabel»: «Разделить файлы PDF на», «restorePasswordEnterEmail»: «Вы можете сбросить пароль для своего профиля учетной записи, введя свой адрес электронной почты.», «supportNav»: «Поддержка», «PDFexceed»: «Загруженные файлы превышают максимальный размер», «ArticleDescriptionEditTwo»: «PDF-файлы — очевидный выбор, если вы хотите безопасно обмениваться информацией через Интернет. Компании и правительства в значительной степени полагаются на них, и большинство людей имеют общее представление о том, что такое PDF-файлы.», «ArticleDescriptionEditOne»: «Вы получаете электронное письмо, содержащее этот важный документ, волшебный PDF-файл, который выведет ваш бизнес на новый уровень. Этот PDF-файл содержит предложение, в котором каждая деталь должна быть доведена до совершенства.», «addWatermark»: «Добавить водяной знак», «DetailsLink»: «https://www.sodapdf.com/account/manage-account/», «информационный бюллетень»: «Информационный бюллетень», «newPassword»: «Новый пароль», «ThankyouCTA1»: «ОТКРЫТЬ», «ThankyouCTA2»: «СКАЧАТЬ», «ThankyouBack»: «Вернуться на сайт», «Пример»: «Пример», «options_text_8»: «Оптическое распознавание символов (OCR)», «reassign_prgh2»: «Вы не можете переназначить эту лицензию тому же пользователю в течение этого платежного цикла.», «createAccount»: «Создать учетную запись», «footerCopyTextLight»: «Этот продукт продается компанией Upclick.com в качестве авторизованного реселлера. «, «cmWord»: «Сантиметры», «dailytimer»: «Вы превысили почасовой лимит бесплатных задач. Вы можете повторить попытку через ::», «ArticleTitleEditThree»: «Как редактировать документы PDF», «sodaPdfForYou»: «Газировка PDF для вас», «PdfToHtml»: «PDF в HTML», «PdfToDocx»: «PDF в DOCX», «PdfToWord»: «PDF в Word», «PdfToJpgLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-to-jpg/», «signInTitle»: «Войдите в свою учетную запись Soda PDF с помощью», «enterCity»: «Введите город», «productProductAlert»: «Срок действия вашего плана истекает, и вы потеряете доступ к его функциям по истечении срока его действия.», «errorLastNameInvalid»: «Необходимо ввести действительную фамилию», «Reader3d»: «3D-читатель», «dayliLimitSubTitleB»: «Однако у вас есть другой вариант», «PDFMergeCanonical»: «https://www.pdfmerge.com/», «ErrorUploadOnlyPDF»: «Пожалуйста, загружайте только файлы PDF», «Jpg2pdf»: «JPG в PDF», «businessResourcesPageName»: «Бизнес-ресурсы», «userGuide»: «Руководство пользователя», «resourceCenterBackText»: «Вся информация, необходимая для поиска ответов на ваши вопросы.», «yourWebinarShouldBegin»: «Ваш веб-семинар должен начаться в ближайшее время.», «GoodQualityBest»: «лучшее качество изображения, минимальное сжатие», «withMain maintenance»: «С обслуживанием», «EasyAdoptionPageName»: «Простое принятие», «unassignProduct_prgh2»: «После отмены назначения конкретной лицензии лицензию можно переназначить тому же пользователю только после следующего цикла выставления счетов.», «downloadInstallation»: «Скачать / Установка», «Process_another»: «Обработать другой файл», «accountAssociated»: «С этим адресом электронной почты уже связана учетная запись.», «mustUploadCSV»: «Вы должны загрузить файл CSV», «download»: «Скачать», «Trial30Day»: «30-дневная пробная версия», «sodaAnywherePrgh»: «Полное решение в формате PDF для настольных компьютеров и в Интернете», «MoreOnePage»: «Загруженный документ должен содержать более 1 страницы.», «PaymentInformation»: «Платежная информация», «pdfCreatorConverter»: «Бесплатная программа для создания и преобразования PDF-файлов», «RateTool»: «Оценить этот инструмент», «MergePdfLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-merge/», «ResendAssignInvitationSuccess_prgh2»: «Приглашение было повторно отправлено», «getTheMost»: « Получите максимум из своих денег», «SplitPassProtected»: «Загруженный файл защищен паролем и не может быть разделен», «BackToSoda8»: «Вернуться к Soda PDF», «yourRequestReceived»: «Ваш запрос получен.», «perMonth»: «В месяц», «минуты»: «минуты», «continueBtn»: «Продолжить», «createPasswordTitle»: «Создайте свой пароль», «bf_features»: «Включенные функции:», «ChooseFormat»: «Выбрать формат:», «aboutSubDesc4»: «Вы можете обрабатывать файлы на любом устройстве, в любое время и в любом месте с помощью компьютера, планшета и смартфона.», «aboutSubDesc1»: «Мы используем безопасную технологию для установления зашифрованного соединения между нашим веб-сервером и вашим браузером, чтобы все данные оставались конфиденциальными.», «aboutSubDesc3»: «Доступ к файлам, сохраненным в облачных системах хранения, таких как Google Drive, Box, Dropbox и OneDrive.», «aboutSubDesc2»: «Мы храним каждый файл на нашем сервере только в течение 24 часов, чтобы ограничить любой несанкционированный доступ. Затем он навсегда удаляется с наших серверов. Никто из нашей команды не может получить доступ к этим файлам.», «PngToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/png-to-pdf/», «TiffToPdf»: «TIFF в PDF», «ExtractPdf»: «Извлечь PDF», «errorServer»: «Извините, сервер занят. Повторите попытку позже.», «detailEsignPhone»: «Этот номер используется нашей службой E-Sign для аутентификации по SMS», «StayUpToDate»: «Будьте в курсе событий!», «marginsWord»: «Поля», «offPrice»: «выкл», «errorNewPasswordRequired»: «Введите новый пароль», «insuffTitle»: «Недостаточно лицензий», «errorContactEmailInvalid»: «Вам необходимо ввести действующий контактный адрес электронной почты.», «onlineAccess»: «Доступ в Интернете», «errorCurrentPasswordRequired»: «Введите текущий пароль», «premiumPhoneSupportBackText»: «Прямой доступ к одному из наших специалистов по Soda PDF в любое время.», «productRefreshList»: «Обновить список», «PngToJpgLink»: «https://www.sodapdf.com/png-to-jpg/», «userGuideLink»: «http://userguide.sodapdf.com/», «MacOsUser»: «Пользователь Mac OS? Откройте для себя полнофункциональный Soda PDF Online.», «InsertPageElem»: «Вставить элементы страницы», «IncludedPrgh»: «Включено в следующие планы», «freeTrialLink»: «https: // онлайн.sodapdf.com/ «, «productAssignedLicenses»: «Назначенные лицензии», «Загрузка»: «Загрузка», «noCreditCard»: «Кредитная карта не требуется», «emailHasBeenChanged»: «Ваш адрес электронной почты был изменен», «messageEmailSent»: «Ссылка для подтверждения была отправлена ​​на ваш адрес электронной почты. Если вы не получили это письмо, проверьте папку нежелательной почты / спама.», «chooseEmailToMerge»: «Выберите адрес электронной почты для объединения продуктов из обеих учетных записей. Этот адрес электронной почты и соответствующий пароль будут использоваться для входа в вашу учетную запись после успешного объединения», «formMessage»: «Сообщение», «confirmUsers»: «Подтвердите пользователей, которым вы хотите назначить лицензии», «ChooseFile»: «Выбрать файл», «useOnlineTools»: «Воспользуйтесь нашим онлайн-инструментом», «privacyTitle»: «Конфиденциальность», «errorNotPdf»: «Файл не является PDF-документом», «formLastName»: «Фамилия», «Параметры»: «Параметры», «pageNumber»: «Номер страницы», «numberFormat»: «Формат числа», «settingsUpdated»: «Настройки вашей учетной записи успешно обновлены», «upgradeBuilder»: «Конструктор обновлений», «Непрозрачность»: «Непрозрачность», «статьAReseller»: «Стать реселлером», «formPhone»: «Телефон», «PDFClicking»: «Нажав кнопку« Оплатить сейчас »ниже, вы попадете на защищенный сайт PayPal
    (иметь учетную запись PayPal не обязательно).», «email_terms_begin»: «Отправляя электронное письмо, вы соглашаетесь получить файл и быть связанными условиями», «email_terms_link1»: «Условия использования», «email_terms_link2»: «Политика конфиденциальности», «errorLastNameRequired»: «Введите фамилию», «formSuccessMessage»: «Спасибо за запрос. Служба поддержки свяжется с вами в ближайшие 12-24 часа.», «formEmail»: «Адрес электронной почты», «resetLicense»: «Сбросить лицензию», «currentPassword»: «Текущий пароль», «pdfDownload»: «https://www.sodapdf.com/pdf-download/», «formTimelineJustBrowsing»: «Просто просматриваю», «PlanBusinesPrgh3»: « Soda E-Sign Unlimited включен в бизнес-план Soda PDF Business», «PlanBusinesPrgh2»: «Полное решение PDF, разработанное для профессионалов», «UnlockLink»: «https: // www.pdfunlock.com/ «, «WebDeskApp»: «Веб + настольные приложения», «errorFirstNameRequired»: «Введите имя», «formFailMessage»: «Невозможно отправить сообщение. Повторите попытку позже.», «buyOnline»: «Купить в Интернете», «btnAnotherFile»: «Обработать другой файл», «online_tools»: «ИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ ОНЛАЙН PDF», «SignSecure»: «Подписать и защитить», «smfileSign»: «Неограниченные возможности PDF», «unlock_unlim»: «Разблокировать неограниченное ЧИСЛО файлов.», «реселлеры»: «реселлеры», «sodaOnline»: «https://online.sodapdf.com/», «ManagePdfFilesNav»: «Управление файлами PDF», «searchDeskPlaceholder»: «Найдите здесь, чтобы просмотреть нашу базу знаний», «ViewerLink»: «https: // www.sodapdf.com/products/pdf-reader/ «, «bf_features_text»: «Просмотр, создание, преобразование, редактирование, вставка, проверка, формы, защита и подпись», «EditLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-editor/», «DonationLineTwo»: «Поблагодарите, сделав небольшое пожертвование.», «DonationLineOne»: «Помог ли этот сайт вам сэкономить (или заработать) немного денег?», «validationMsg»: «Ваша учетная запись подтверждена», «email_terms_and»: «и», «EditFiles»: «Редактирование файлов», «ResendEmail»: «Отправить электронное письмо повторно», «ArticleTitleOne»: «Как добавить страницы в PDF-файлы», «ArticleTitleTwo»: «Как пакетно создавать файлы PDF», «footerCopyTextRights»: «Все права защищены.», «resetLicense_prgh2»: «Вы можете сбросить бессрочную лицензию только дважды в течение года.», «good_quality_text»: «Хорошее качество, средний уровень сжатия», «OcrPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/ocr-pdf/», «errorWebsiteUrlInvalid»: «Введите действительный URL», «SignUpWith»: «Зарегистрируйтесь с помощью», «InvalidRange»: «Недопустимый диапазон», «PurchaseFirstTime»: «Вы недавно приобрели продукт Soda PDF и впервые получаете доступ к Soda? Создайте учетную запись с адресом электронной почты, который вы использовали при покупке.», «layoverTitlePart1»: «Ваш файл будет готов к загрузке через», «layoverTitlePart2»: «секунды:», «ThankyouCTA1notice_bottom»: «в веб-браузере», «sendEmail»: «Отправка электронной почты …», «MoreFilesLabel»: «Еще файлы», «Аффилированные лица»: «Аффилированные лица», «ArticleDescriptionEditThree»: «В наши дни получение бумажных документов для просмотра и редактирования — большая редкость, особенно в профессиональной среде. Обмен документами сейчас в основном осуществляется в электронном виде, а безопасный способ отправки файла — преобразование его в PDF. первый.», «affiliateProgram»: «Партнерская программа», «chatBackText»: «Живой чат с одним из наших специалистов по Soda PDF.», «PdfEditor»: «Редактор PDF», «See_also»: «СМОТРИ ТАКЖЕ», «errorNewPasswordMatch»: «Ваши новые пароли не совпадают», «errorCurrentPasswordIncorrect»: «Ваш текущий пароль неверен», «DropFileHereOr»: «Перетащите файл сюда или», «textAndFormat»: «Текст и формат», «NotConnected»: «Не подключен», «updateInformation»: «Обновить информацию», «PdfToPptLink»: «https: //www.sodapdf.com / pdf-to-ppt / «, «CompressFile»: «Сжать файл», «CompressLink»: «https://www.sodapdf.com/compress-pdf/», «download_here»: «Скачайте здесь», «subscribeToProduct»: «Обновления продукта», «AnnualCommitment»: «Годовое обязательство», «GuaranteeText»: « 30-дневная гарантия возврата денег
    «, «finishDisconnecting»: «Чтобы завершить отключение этой учетной записи, установите пароль для своей учетной записи Soda PDF. С этого момента этот пароль будет использоваться с вашей электронной почтой для входа в систему.», «E-SingLink»: «https: // www.sodapdf.com/sign-pdf/ «, «labelZipPostalCode»: «Почтовый индекс», «dayliLimitTitle»: «Вы превысили часовой лимит для PDFMerge», «registerAgreeWith»: «Выполняя вход с подключенной учетной записью, вы соглашаетесь с», «ResizePdfLink»: «https://www.sodapdf.com/resize-pdf/», «Ecx_options»: «Однако вы можете выбрать один из двух вариантов», «clickYouTube»: «Нажмите {0}, чтобы найти Soda PDF Anywhere», «active»: «Активный», «PDFFormFiller»: «Заполнитель PDF-форм», «formGetStarted»: «Начать работу», «noFileChosen»: «Файл не выбран», «errorAccountExists»: «Пользователь уже существует.», «ArticleTitleEditTwo»: «Как профессионально редактировать файлы PDF», «ArticleTitleEditOne»: «Как сделать PDF-файл редактируемым с помощью Soda PDF», «FeedbackLink»: «https://www.sodapdf.com/feedback/», «moduleFormsReq»: « Forms Требуется модуль», «passwordChanged»: «Ваш пароль был успешно изменен», «AnywhereTitle»: «С помощью Soda PDF Anywhere вы можете выполнять работу буквально в любом месте.», «formNo»: «Нет», «PDF_Reviews»: «Обзоры в PDF-формате», «OnlinePricingLink»: «https: //www.sodapdf.ru / pricing / online / «, «productEnterEmail»: «Введите адрес электронной почты для назначения лицензии», «ForgotPassword»: «Забыли пароль?», «productTotalLicenses»: «Всего лицензий», «editPaymentCreditCard»: «Изменить платежную информацию для кредитной карты», «PdfToDocxLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-to-docx/», «BuyNowLink»: «https://www.sodapdf.com/pricing/», «DeletePdfLink»: «https://www.sodapdf.com/delete-pdf-pages/», «bf_title»: «Черная пятница — Киберпонедельник», «ImpressumLink»: «https: //www.sodapdf.ком / де / импрессум / «, «RenewPlan_prgh2»: «Ваш план настроен на продление.», «NoConnectedAccounts»: «Нет подключенных аккаунтов», «tryAgain»: «Чтобы создать учетную запись, повторите попытку и разрешите sodapdf.com доступ к вашему адресу электронной почты», «PricingOnlineLink»: «https://www.sodapdf.com/pricing/online/», «logOut»: «Выйти», «FromComputer»: «С компьютера», «productTitle»: «Мои товары», «productAssignToMe»: «Назначить мне», «DownloadFreeOnlineTools»: «https://www.sodapdf.com/buy/freeonlinetools/dw-success/», «aboutSubTitle4»: «Любое устройство», «aboutSubTitle1»: «Безопасность», «aboutSubTitle2»: «Конфиденциальность», «aboutSubTitle3»: «Доступ к облачному хранилищу», «addLicense»: «добавить лицензию», «insuffPrgh»: «Вы назначили больше лицензий, чем доступно в настоящее время.Измените свой выбор. «, «FullPdfSolution»: «ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ PDF», «formSend»: «Отправить», «receiveSubject»: «Квитанция о транзакции», «formName»: «Имя», «модуль»: «Модуль», «freeDevice»: «Бесплатное устройство», «productTypeOnline»: «Интернет», «RotateLink»: «https://www.pdfrotate.com/», «Безлимитный»: «Безлимитный», «TryDesktopVersion»: «Попробуйте нашу версию для ПК», «SplitCompress»: «Разделить и сжать», «monthCommitment»: «Ежемесячное обязательство», «passwordRequirements»: «Ваш пароль должен содержать не менее 6 символов, содержащих буквы и цифры», «confirmPassword»: «Подтвердите пароль», «errorFirstNameInvalid»: «Необходимо ввести действительное имя», «security»: «Безопасность», «generalUsability»: «Общее удобство использования», «protected_copy»: «Загрузите защищенную копию вашего файла.», «OnlineServices»: «Online Services», «DropFilesHereOr»: «Перетащите файлы сюда или», «AffiliatesLink»: «https://affiliates.lulusoftware.com/?», «создать»: «создать», «formCountry»: «Страна», «CreateAccountWith»: «Создать учетную запись Soda PDF с», «formCompany»: «Компания», «пароль»: «Пароль», «mergeCongratulations»: «Поздравляем, вы успешно объединили свои аккаунты.», «productFeatures»: «Характеристики и преимущества», «PptToPdf»: «PPT в PDF», «FreeFinePrint»: «* Бесплатно для файлов размером до», «footerLuluContactUs»: «Свяжитесь с нами», «fileReadySubTitle»: «Получите файл за 2 простых шага», «addESign10pack»: «Добавить 10 пакетов E-Sign», «RotateTitle»: «Повернуть PDF», «Сжатие»: «Сжатие», «CompressPdf»: «Сжать PDF», «resizeWord»: «Изменить размер», «autoRenewDescription»: «Щелкните здесь, чтобы включить автоматическое продление», «DocxToPdf»: «DOCX в PDF», «вставить»: «Вставить», «RotatePdf»: «Повернуть PDF», «resources»: «Ресурсы», «DragToRange»: «Перетащите, чтобы изменить расположение», «largefile»: «Большой файл», «DonateButtonLabel»: «Пожертвовать», «TermsUse»: «Условия использования», «mediumfile»: «Средний файл», «enterStateProvince»: «Укажите штат / провинцию», «PDF_ANYWHERE»: «PDF ANYWHERE», «typeOfProduct»: «Тип товара», «productInterest»: «Интересующий продукт», «FreeOnlineToolsLinkAnchor»: «https: // www.sodapdf.com/#navOnlineTools «, «compress_unlim»: «Сжать неограниченное ЧИСЛО файлов.», «resetPasswordSuccessfully»: «Ваш пароль был успешно сброшен.», «GoogleExtHtmlLink»: «https://chrome.google.com/webstore/detail/soda-pdf-convert-merge-sp/gfjafjofnehohehighdlkhcpanocobjb?hl=en», «ocrPDF»: «OCR PDF», «PDF2_text»: «Soda PDF 10 теперь поддерживает PDF 2.0 и все его богатые новые функции! PDF 2.0 — первое обновление формата PDF за 10 лет, которое включает в себя улучшения безопасности, доступности и общего удобства работы с PDF.Узнайте больше обо всех удивительных улучшениях, которые предоставляет PDF 2.0! «, «visitBlog»: «Посетить блог», «messageValidateYourAccount»: «Подтвердите его сейчас, щелкнув ссылку для подтверждения, которая была отправлена ​​на ваш адрес электронной почты.», «headerForYou»: «Для вас», «UnlockPdf»: «Разблокировать PDF», «Разблокировка»: «Разблокировка», «subtitleRequestQuote»: «Бизнес-клиенты имеют право на оптовые цены, начиная с 25 лицензий. Заполните форму ниже, и наши специалисты по продажам свяжутся с вами в течение 1 рабочего дня.», «GifToPdf»: «GIF в PDF», «GifToPng»: «GIF в PNG», «GifToJpg»: «GIF в JPG», «WebPDFApp»: «https: // www.sodapdf.com/web-pdf-app/ «, «PDF_Create»: «Создание, преобразование и просмотр файлов PDF», «billingInquiry»: «Billing Inquiry», «language»: «Язык», «customerSupport»: «поддержка клиентов», «formYes»: «Да», «headerForBusiness»: «Для бизнеса», «cancelPlan_prgh2»: «Если вы отмените свой план, вы потеряете доступ к его функциям по истечении срока действия.», «inchWord»: «Дюймы», «ProductsLink»: «https://www.sodapdf.com/account/manage-products/», «UnlimitedSignaturePack»: «Пакет безлимитных подписей», «update»: «Обновить», «knowledgebase_prgh»: «Нужна дополнительная помощь? Ознакомьтесь с нашими», «securingFiles»: «Защита файлов», «labelPhone»: «Телефон», «PassProtected»: «», «account_list»: «
  • Щелкните свое имя в правом верхнем углу приложения.
  • \ n
  • Щелкните кнопку обновления, чтобы убедиться, что все обновлено.
  • «, «MergePdf»: «Объединить PDF», «SecureEdit»: «Защищай и редактируй», «errorAccountAlreadyAssociated»: «Аккаунт уже связан с этим адресом электронной почты», «productTwoDevicesMessage»: «Два устройства могут войти в Soda PDF Desktop в любой момент времени. Используйте X, чтобы удаленно выйти из системы.», «product»: «Товар», «pricing»: «Цена», «конфиденциальность»: «конфиденциальность», «TxtToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/txt-to-pdf/», «choosePassword»: «Выберите пароль», «Downloadh3OLink»: «https: // download11.sodapdf.com/api/get-h3o?configid=54E98DCD-07B7-4F5B-BEC7-ED1A0EC50D8F&bundleid=SO003 «, «TiffToPdfLink»: «https://www.sodapdf.com/tiff-to-pdf/», «packageStandard»: «Стандарт», «emailRequired»: «Пожалуйста, введите свой адрес электронной почты», «requestQuote»: «Запросить цитату», «formLicensesNeeded»: «Необходимые лицензии», «formDoYouOwnPDFsoftware»: «У вас есть программное обеспечение для работы с PDF?», «privacyText»: «При использовании нашего веб-приложения файл, над которым вы работаете, будет храниться не более 24 часов за активный сеанс.После этого он будет удален с нашего сервера. «, «emailAlreadyAssociated»: «\» Этот адрес электронной почты уже связан с учетной записью Soda PDF. Если эта учетная запись принадлежит вам, вы можете объединить свои учетные записи \ «», «ThankyouReadyFile»: «Ваш файл готов», «productPaymentProblem»: «При обработке вашего платежа возникла проблема, обновите платежную информацию», «PdfToExcel»: «PDF в Excel», «SaasAccess»: «SaaS — доступ к Soda PDF Online», «contactUs»: «Свяжитесь с нами», «NeedHelp»: «Нужна помощь?», «Thankyou_de_end»: «», «free30DayTrial»: «Бесплатная 30-дневная пробная версия», «pleaseSignIn»: «Пожалуйста, войдите, используя», «absoluteScale»: «Абсолютный масштаб», «labelJobRole»: «Должностная роль», «recoveryPasswordSentEmail»: «На ваш аккаунт было отправлено электронное письмо для сброса пароля.», «formSubscribe»: «Подписаться», «TheFileIsCorrupted»: «Файл поврежден и не может быть открыт», «Word2pdf»: «Word в PDF», «bf_features_text_2»: «Без ограничений: объединение, преобразование, редактирование, вставка, сжатие, просмотр, формы, защита и подпись и многое другое! \ n», «WhatsNew»: «Что нового», «DownloadNow»: «Загрузить сейчас», «support»: «Поддержка», «AddFiles»: «Добавить файлы», «PDF_Editor»: «Редактор PDF», «formTimelineSoon»: «Скоро», «validateNewEmail»: «Подтвердите свой новый адрес электронной почты, щелкнув ссылку для подтверждения, которая была отправлена ​​на новый адрес электронной почты.После того, как вы подтвердите свой новый адрес электронной почты, изменение адреса электронной почты будет завершено. Обратите внимание, что если вы снова попытаетесь изменить свой адрес электронной почты до подтверждения, этот запрос на изменение будет недействительным. «, «check_product»: «чтобы ознакомиться с нашим обзором продукта
    \ n «, «ConvertLink»: «https://www.sodapdf.com/pdf-converter/», «invalidEmail»: «Недействительный адрес электронной почты — нельзя назначить этому пользователю», «SSLLabelOne»: «В вашем файле есть что-то личное или конфиденциальное?», «SSLLabelTwo»: «Рассмотрите возможность использования», «вебинар»: «Вебинар», «bf_subtitle»: «Самая низкая цена года — гарантировано! «, «Местоположение»: «Местоположение», «HowToEditorPDF»: «Как редактировать файлы PDF», «view3d»: «Вид / 3D», «EditFiles»: «Редактировать файлы PDF», «errorEmailInvalid»: «Введите действующий адрес электронной почты», «MediumQuality»: «Среднее качество», «accountDetails»: «Детали учетной записи», «UnlimitedSignatures»: «Неограниченное количество подписей», «AdobeAlternativeLink»: «https: // www.sodapdf.com/adobe-alternative/ «, «MyAccountLink»: «https://www.sodapdf.com/account/manage-account/», «emailPreferences»: «Настройки электронной почты», «pageSize»: «Размер страницы», «topWord»: «Сверху», «SignaturePackage»: «Пакет подписи», «weWorking»: «

    Меня уволили после того, как я заснул по личным документам.

    \ n

    Похоже вы не можете лгать в своем резюме.

    «, «installationGuide»: «Руководство по установке», «ResizePdf»: «Изменить размер PDF», «GetStarted»: «Начать работу», «UNLIMITED_FILES»: «НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ФАЙЛЫ», «SodaOnlineLink»: «https: // онлайн.sodapdf.com/ «, «productNotSure»: «Не уверен», «ProtectPdf»: «Защитить PDF», «ready_title»: «Готовы начать?», «MoreAbout»: «БОЛЬШЕ О PDF», «errorEmailRequired»: «Введите адрес электронной почты», «days»: «days,», «edit»: «Редактировать», «даже»: «даже», «font»: «Шрифт», «бесплатно»: «бесплатно», «назад назад», «blog»: «Блог», «chat»: «Чат», «Здесь, здесь», «note»: «* Могут применяться ограничения по размеру и ежедневному использованию.», «план»: «План», «view»: «view», «сохранить»: «сохранить», «EULA»: «EULA», «Файл»: «Файл», «Desc»: «PDF Merge позволяет вам объединять свои файлы PDF в Интернете.Никакой установки, никакой регистрации, это бесплатно и просто в использовании. «, «Последний»: «Последний», «Дом»: «Дом», «Текст»: «Текст», «resetPasswordLink»: «Срок действия ссылки для сброса истек.», «winterTitle»: «Ура! Ваш файл готов, и у нас есть для вас отличное предложение», «footerLuluAboutUs»: «О нас», «BmpToJpgLink»: «https://www.sodapdf.com/bmp-to-jpg/», «TermOfUseLink»: «https://www.sodapdf.com/terms-of-use/», «обзор»: «обзор», «redOff»: «Скидка 60%», «BatesNumbering»: «Нумерация Бейтса», «bestValue»: «Лучшее соотношение цены и качества», «useSocial»: «Используйте свою учетную запись Facebook, Google или Microsoft для регистрации или заполните форму ниже, чтобы создать учетную запись Soda PDF.», «jpgToPdfSubPrgh»: «С помощью Soda PDF вы можете мгновенно конвертировать изображения в файлы PDF с помощью простого в использовании конвертера JPG в PDF.», «didYouPrgr»: «Когда вы конвертируете JPG в PDF, любой текст, объединенный в изображение, не будет сразу же редактироваться в вашем PDF-документе. Но не волнуйтесь, мы откопаем этот текст для вас! Как только вы конвертируете в PDF используйте программное обеспечение оптического распознавания символов (OCR), чтобы автоматически распознавать текст на вашем изображении, а также используемый шрифт, чтобы вы могли редактировать свой контент.Где взять эту волшебную технологию? К счастью для вас, в приложениях Soda PDF Online и Desktop эта технология интегрирована и доступна для вашего использования. «, «learnMoreTitle»: «Подробнее о преобразовании JPG в PDF», «learnMoreSubDesc1»: «После использования нашего онлайн-инструмента JPG в PDF уровень сжатия вашего файла JPG, помещенного в конвертер, сохраняется. Когда вы конвертируете изображение в PDF, это гарантирует, что ваше изображение не потеряет качества. Новый сгенерированный файл PDF будет идентичен исходному файлу JPG.», «learnMoreSubDesc3»: «После преобразования в PDF и завершения редактирования PDF конвертируйте обратно в JPG! Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-инструментом преобразования PDF в JPG, чтобы преобразовать файл PDF обратно в файл изображения. Наш бесплатный конвертер PDF * позволит вы можете конвертировать любые файлы PDF в изображения JPG. Наряду с возможностью конвертировать файлы JPG в PDF, наш бесплатный онлайн-инструмент * позволяет конвертировать файлы GIF в PDF, конвертировать файлы PNG в PDF, конвертировать HTML в PDF, а также возможность конвертировать в эти форматы файлы из PDF.», «learnMoreSubDesc2»: «Мы следим за тем, чтобы после преобразования изображения в PDF оно сохраняло то же соотношение сторон и ориентацию, что и загруженное изображение. Наши инструменты PDF гарантируют, что исходный вид ваших изображений JPG не будет нарушен при использовании нашего Конвертер JPG в PDF. Когда вы конвертируете изображения в PDF, в этом PDF не будет лишних границ или резких углов! «, «howToSubTitle2»: «Посмотреть и скачать», «howToSubTitle1»: «Выбрать файл», «learnMoreSubTitle1»: «Сжатие сохраняется», «learnMoreSubTitle2»: «Формат файла PDF», «learnMoreSubTitle3»: «PDF в JPG», «mkey1»: «», «OwnLinkRu»: «/ ru / jpg-в-pdf /», «OwnLinkSv»: «/ sv / jpg-till-pdf /», «OwnLinkVi»: «/ vi / jpg-to-pdf /», «OwnLinkPl»: «/ pl / jpg-to-pdf /», «OwnLinkPt»: «/ pt / jpg-para-pdf /», «OwnLinkTr»: «/ tr / jpg-to-pdf /», «OwnLinkFr»: «/ fr / jpg-en-pdf /», «OwnLinkJa»: «/ ja / jpg-to-pdf /», «OwnLinkKo»: «/ ko / jpg-to-pdf /», «OwnLinkDe»: «/ de / jpg-in-pdf /», «OwnLinkEs»: «/ es / jpg-a-pdf /», «OwnLinkEn»: «/ jpg-to-pdf /», «OwnLinkIt»: «/ it / jpg-in-pdf /», «OwnLinkId»: «/ id / jpg-to-pdf /», «jpgToPdfTitle»: «JPG в PDF», «didYouSubTitle»: «Разблокировать текст в изображении», «HowToConverJpgToPDF»: «Как конвертировать JPG в PDF», «howToSubDesc2»: «Чтобы получить доступ к своим новым файлам PDF, просто загрузите файлы на свой компьютер и просматривайте их в браузере.Вы также можете отправить нам ссылку по электронной почте. Эта ссылка будет содержать доступ к вашему вновь созданному PDF-файлу, который будет действителен в течение 24 часов. «, «howToSubDesc1»: «Выберите файл JPG на своем компьютере или в облачном хранилище, таком как Google Диск или Dropbox, или просто перетащите файл JPG в соответствующее поле, если он у вас есть под рукой. Как только вы перетащите файл, наш инструмент автоматически начнет конвертировать JPG в PDF ». }; вар lang = »; var serviceType = ‘RedesignedJpgToPdf’

    Как конвертировать JPG в PDF — Онлайн-конвертер

    Конвертируйте JPG в PDF с помощью лучшего бесплатного онлайн-конвертера JPG в PDF

    Загрузка….


    Размер загруженного файла (ов) превышает 2 МБ, загрузка может занять больше времени.
    Пожалуйста, проявите терпение.

    ОТМЕНА

    Ваши файлы остаются конфиденциальными. Безопасная загрузка файлов по HTTPS.

    Конвертируйте JPG в PDF онлайн бесплатно за 3 простых шага

    1

    Шаг 1. Загрузите файл JPG

    Перетащите файл JPG на изображение JPG в PDF Converter выше или нажмите «Загрузить», чтобы выбрать файл на своем компьютере.

    2

    Шаг 2. Преобразование JPG в PDF

    3

    Шаг 3. Загрузите файл

    Получите 3 бесплатных загрузки вашего файла PDF. Подпишитесь на ежемесячную или годовую подписку на неограниченное количество скачиваний.

    Хотите конвертировать JPG в PDF онлайн? Наш бесплатный конвертер из JPG в PDF из позволяет быстро, легко и полностью конвертировать JPG в PDF онлайн. Это полезный и бесплатный инструмент для пользователей, которым необходимо конвертировать изображения в формат PDF.Мы поддерживаем формат JPG или JPEG в PDF , наиболее распространенный формат для цифровых изображений. Наш конвертер фотографий JPG в PDF создает четкие изображения, которые легко читать. Попробуйте прямо сейчас и конвертируйте изображения JPG в PDF.

    Самый простой способ конвертировать JPG в PDF онлайн

    Быстро конвертирует JPG в PDF

    Ищете способ быстро конвертировать файлы JPG в PDF? Не смотрите дальше, чем DocFly! Используя наше веб-приложение для преобразования JPG в PDF, вы измените формат JPG в PDF менее чем за минуту.

    Простой в использовании онлайн-конвертер JPG в PDF

    Надоели файлы JPG, которые слишком велики для отправки по электронной почте или слишком размыты при просмотре в высоком разрешении? Превратите JPG в PDF с помощью DocFly. Наши онлайн-инструменты делают преобразование PDF действительно простым.

    Точное преобразование JPG в PDF

    Конвертер JPG в PDF

    DocFly — один из самых точных. Наш конвертер визуализирует файл PDF, который максимально приближен к исходному изображению JPG.

    Безопасная загрузка и хранение файлов

    Все загружаемые файлы зашифрованы через HTTPS для защиты вашего контента.Файлы хранятся в защищенной базе данных, управляемой облачным хостингом Amazon. Вы можете удалить свои файлы из нашей системы в любое время. Получите преобразованные файлы, не ставя под угрозу вашу конфиденциальность или безопасность.

    Доступ к файлам из любого места

    DocFly — это онлайн-сервис, доступный через любое устройство, подключенное к Интернету. Вы можете получить доступ к своему файлу из дома, офиса или в любом другом месте.

    Всегда в курсе

    DocFly находится в облаке, поэтому всякий раз, когда вы заходите на сайт, вы получаете доступ к последней версии программного обеспечения.Никаких длительных обновлений или загрузки программного обеспечения не требуется.

    Зачем конвертировать JPG в PDF?

    Теперь, когда вы знаете, , как преобразовать JPG в PDF , вам может быть интересно, почему это хорошая практика. Файлы JPG — это файлы изображений, которые можно сильно сжать. Это делает их удобными для совместного использования (поскольку они занимают меньше места), но не так хороши, если вам нужны изображения очень высокого качества, которые отлично смотрятся на любом расстоянии. Кроме того, в отличие от JPG, вы можете легко объединить файлы PDF в единый документ.С DocFly вы можете конвертировать несколько JPG в PDF и делать презентацию изображений с полученным файлом. Файлы JPG обычно используются для создания таких объектов, как небольшие логотипы и простая графика. Их также можно использовать для создания более крупных объектов (таких как официальные документы или тематические исследования), которыми необходимо поделиться.

    Вы должны конвертировать из JPG в PDF, чтобы гарантировать, что (1) получатель сможет легко прочитать любой текст и (2) что файлы не будут изменены или изменены без записи. Вот почему, если вы делитесь файлом или другим документом в офисной среде, лучше сначала преобразовать в PDF.

    Ищете другие отличные инструменты для работы с PDF?

    Узнайте, как защитить паролем файлы PDF, сжимать файлы PDF, конвертировать PDF в Word или объединять файлы PDF бесплатно с помощью DocFly.

    СОЗДАТЬ PDF

    ИЗМЕНИТЬ PDF

    ПРЕОБРАЗОВАТЬ PDF

    JPG в PDF Онлайн

    Ниже мы покажем, как

    преобразовать изображения в PDF .

    JPG — самый популярный формат изображений, но мы также поддерживаем все другие форматы изображений: png, gif, tiff или bmp.

    Загрузите файлы

    Файлы безопасно загружаются через зашифрованное соединение. Файлы остаются в безопасности. После обработки они удаляются безвозвратно.

    Лучше не загружать файлы и не работать с ними в автономном режиме?
    Попробуйте Sejda Desktop. Те же функции, что и онлайн-сервис, и файлы никогда не покидают ваш компьютер.

    Нажмите «Загрузить» и выберите файлы на локальном компьютере.

    Также работает перетаскивание файлов на страницу.

    Файлы Dropbox или Google Диска

    Вы также можете выбирать PDF-файлы из Dropbox или Google Drive.

    Разверните раскрывающийся список «Загрузить» и выберите файлы.

    Шаг 2: Выберите параметры

    Размер страницы

    По умолчанию изображения помещаются на страницу PDF размером A4. Вы можете выбрать разные размеры страницы, в том числе вариант, чтобы размер соответствовал размеру изображения .

    Щелкните раскрывающийся список Размер страницы и сделайте выбор.

    Ориентация страницы

    Для большинства пользователей лучше всего подходит размер страницы по умолчанию , автоматически определяемый . В зависимости от размеров изображения выбирается книжная или альбомная ориентация. Если ширина изображения больше его высоты, то альбомная ориентация страницы больше подходит, чем портретная.

    Определенная ориентация страницы может быть выбрана в раскрывающемся списке, если вам нужно изменить ориентацию по умолчанию.

    Поля изображения

    По умолчанию изображение заполняет все доступное пространство на странице, поля изображения не добавляются.

    Хотите добавить вокруг изображения пробел? Его можно настроить как маленькое поле (0,5 дюйма) или как большее поле (1 дюйм) .

    Изменить порядок изображений

    Измените порядок страниц, перетащив эскизы мышью в нужное место.

    Добавьте больше изображений или страниц, перетащив файлы с компьютера на веб-страницу.

    Конвертер

    JPG в PDF онлайн без оптического распознавания символов, Конвертировать JPG в PDF

    Загрузка документа

    Загрузить PDF

    дидид.pdf

    11,2 МБ

    Основная информация

    * Обложка:

    * Заголовок:

    * Классификация:

    Академический

    • Образ жизни
    • Биография
    • Выбор редакции
    • САМОЕ ПОПУЛЯРНОЕ
    • Академия и образование
    • Арт
    • .
    • Биография
    • Бизнес и карьера
    • Дети и молодежь
    • Окружающая среда
    • Художественная литература и литература
    • Здоровье и спорт
    • Образ жизни
    • Личностный рост
    • Политика и законы
    • Религия
    • Наука и исследования
    • Технологии

    * Теги:

    Бесплатно

    * Сводка:

    Немедленно внесите свой вклад

    Загрузка успешна, отправлено на аудит

    Ожидаемый результат проверки - 2-3 дня.Документы, подлежащие проверке, будут опубликованы. отображается

    Спасибо

    Не хватает монет для загрузки

    Для загрузки этого документа требуется 5 монет

    Купить скачать монеты Активировать для скачивания

    Отправить на электронную почту

    Электронная почта

    ОТПРАВИТЬ

    / ru / share / 9 / whats-next-social-media-Trends-2020.html

    КОПИЯ

    Отчетный документ

    Документ отмечен флажком, и пользователи просматриваются сотрудниками Speedpdf 24 часа в сутки, 7 дней в неделю, чтобы определить, нарушают ли они Принципы сообщества. за нарушения Принципов сообщества, а также серьезные или повторяющиеся нарушения могут привести к закрытию аккаунта. канал отчета

    СПАСТИ

    Уменьшите размер вашего PDF-файла онлайн

    Сжать PDF

    Сжать Изображение

    Перетащите файл сюда

    Выбрать файл

    1.Не закрывайте эту страницу до завершения конвертации, иначе конвертация может завершиться неудачно!

    2. Зарегистрированные и вошедшие в систему пользователи, после успешной загрузки файла вы можете проверить статус преобразования и загрузить преобразованный документ через центр пользователей.

    Красивый и простой онлайн-компрессор PDF

    Онлайн-компрессор PDF-файлов для уменьшения размера PDF-файлов и сохранения хорошего качества.

    Простота использования

    Перетащите файл, подождите несколько секунд, пока он уменьшится, и загрузите его одним щелчком мыши. Процесс быстрый и легкий.

    Все поддерживаемые платформы

    Компрессор

    speedpdf основан на браузере и работает на всех платформах. Неважно, используете ли вы Mac, Windows или Linux.

    Идеальное качество

    Уменьшите размер ваших PDF-файлов, что идеально подходит для загрузки файлов в Интернет и по электронной почте.

    Высокая безопасность

    Поддержка множества настроек для защиты ваших файлов, таких как пароль, авторизация и т. Д.

    Как конвертировать JPG в PDF

    Показать больше

    Рейтинг: 4.7 /5 - 822,865 голосов

    Тенденции в страховании 2020: переход от устойчивости к переосмыслению поможет страховщикам

    Больше рекомендуется

    Хорошее питание для хорошего здоровья

    662 просмотра 19 недель назад

    Индекс опыта 2020 Цифровые тенденции

    316 просмотров 19 недель назад

    Тенденции на потребительских рынках им. Генделя 2020

    128 просмотров 19 недель назад

    Индекс устойчивости индустрии напитков - Отчет о тенденциях 2020

    242 просмотра 19 недель назад

    Хорошее здоровье добавляет жизни к годам

    597 просмотров 19 недель назад

    20 Тенденции поиска на 2020 год

    212 просмотров 19 недель назад

    Рекомендуется

    Как FOMO разрушает ваше богатство

    109 просмотров 12 часов назад

    Как заработать на аренде дома, не встречаясь с гостями

    93 просмотров 12 часов назад

    Моментум и стоимость акций

    88 просмотров 12 часов назад

    Мы собираемся стать свидетелями великого сброса криптовалюты

    82 просмотров 12 часов назад

    5 способов максимально увеличить ваши деньги - отношения счастья

    81 просмотр 12 часов назад

    Больше рекомендуется

    Хорошее питание для хорошего здоровья

    662 просмотра 19 недель назад

    Индекс опыта 2020 Цифровые тенденции

    316 просмотров 19 недель назад

    Тенденции на потребительских рынках им. Генделя 2020

    128 просмотров 19 недель назад

    Индекс устойчивости индустрии напитков - Отчет о тенденциях 2020

    242 просмотра 19 недель назад

    Хорошее здоровье добавляет жизни к годам

    597 просмотров 19 недель назад

    20 Тенденции поиска на 2020 год

    212 просмотров 19 недель назад

    Рекомендуется

    Как FOMO разрушает ваше богатство

    109 просмотров 12 часов назад

    Как заработать на аренде дома, не встречаясь с гостями

    93 просмотров 12 часов назад

    Моментум и стоимость акций

    88 просмотров 12 часов назад

    Мы собираемся стать свидетелями великого сброса криптовалюты

    82 просмотров 12 часов назад

    5 способов максимально увеличить ваши деньги - отношения счастья

    81 просмотр 12 часов назад

    Ой... Размер этого файла превышает МБ!

    Получите Speedpdf VIP для загрузки файлов размером до 5 ГБ

    Получите VIP Посмотреть больше предложений

    Получите скидку 50% на первый заказ

    Присоединяйтесь к нашему speedpdf, и вы первыми узнаете о наших предложениях, привилегиях и многом другом.

    Плюс вы получите 50% скидку на первую покупку

    ДА.ХОЧУ СКИДКУ 50%

    Уважаемый VIP скоро истечет

    Сэкономьте 80% на продлении сейчас

    После продления вы продолжите пользоваться преимуществами и привилегиями speedpdf

    Да, продлить сейчас Посмотреть больше предложений

    Сегодняшнее количество израсходовано

    Вы можете открыть VIP, чтобы получить больше

    раз конверсии.Теперь откройте VIP со скидкой 80%

    ДА. ХОЧУ СКИДКУ 80%

    Онлайн-конвертер JPG в PDF

    Вы также можете конвертировать JPG во многие другие форматы файлов. См. Полный список ниже.

    Конвертер JPG в TIFF (формат файлов изображений с тегами) Конвертер JPG в TIF (формат файлов изображений с тегами) Конвертер JPG в JPG (файл изображений совместной группы экспертов по фотографии) Конвертер JPG в JPEG (изображение JPEG) Конвертер JPG в PNG (переносимая сетевая графика) Конвертер JPG в GIF (файл графического формата обмена) Конвертер JPG в BMP (формат файла растрового изображения) Конвертер JPG в ICO (файл значков Microsoft) Конвертер JPG в PSD (документ Adobe Photoshop) Конвертер JPG в WMF (метафайл Windows) Конвертер JPG в EMF (расширенный формат метафайлов) Конвертер JPG в DCM (изображение DICOM) Конвертер JPG в WEBP (формат файлов растровых изображений в Интернете) Конвертер JPG в SVG (файл масштабируемой векторной графики) Конвертер JPG в JP2 (файл основного изображения JPEG 2000) Конвертер JPG в EMZ (сжатый расширенный метафайл Windows) Конвертер JPG в WMZ (сжатый метафайл Windows) Конвертер JPG в SVGZ (сжатый файл масштабируемой векторной графики) Конвертер JPG в HTML (язык гипертекстовой разметки) Конвертер JPG в HTM (файл языка гипертекстовой разметки) Конвертер JPG в MHT (инкапсуляция MIME агрегированного HTML) Конвертер JPG в MHTML (инкапсуляция MIME агрегированного HTML) Конвертер JPG в PPT (презентация PowerPoint) Конвертер JPG в PPS (слайд-шоу Microsoft PowerPoint) Конвертер JPG в PPTX (презентация PowerPoint Open XML) Конвертер JPG в PPSX (слайд-шоу PowerPoint Open XML) Конвертер JPG в ODP (формат файла презентации OpenDocument) Конвертер JPG в OTP (шаблон исходного графика) Конвертер JPG в POTX (шаблон Microsoft PowerPoint Open XML) Конвертер JPG в POT (шаблон PowerPoint) Конвертер JPG в POTM (шаблон Microsoft PowerPoint) Конвертер JPG в PPTM (презентация Microsoft PowerPoint) Конвертер JPG в PPSM (слайд-шоу Microsoft PowerPoint) Конвертер JPG в FODP (представление OpenDocument Flat XML) Конвертер JPG в XLS (формат двоичных файлов Microsoft Excel) Конвертер JPG в XLSX (электронная таблица Microsoft Excel Open XML) Конвертер JPG в XLSM (электронная таблица Microsoft Excel с поддержкой макросов) Конвертер JPG в XLSB (двоичный файл электронной таблицы Microsoft Excel) Конвертер JPG в ODS (таблица открытого документа) Конвертер JPG в XLTX (шаблон Microsoft Excel Open XML) Конвертер JPG в XLT (шаблон Microsoft Excel) Конвертер JPG в XLTM (шаблон Microsoft Excel с поддержкой макросов) Конвертер JPG в XLAM (надстройка Microsoft Excel с поддержкой макросов) Конвертер JPG в FODS (электронная таблица OpenDocument Flat XML) Конвертер JPG в SXC (таблица StarOffice Calc) Конвертер JPG в DOC (документ Microsoft Word) Конвертер JPG в DOCM (документ Microsoft Word с поддержкой макросов) Конвертер JPG в DOCX (документ Microsoft Word Open XML) Конвертер JPG в DOT (шаблон документа Microsoft Word) Конвертер JPG в DOTM (шаблон Microsoft Word с поддержкой макросов) Конвертер JPG в DOTX (шаблон документа Word Open XML) Конвертер JPG в RTF (формат файла RTF) Конвертер JPG в ODT (текст открытого документа) Конвертер JPG в OTT (открытый шаблон документа) Конвертер JPG в TXT (формат обычного текстового файла) Конвертер JPG в MD (уценка) Конвертер JPG в EPUB (формат файлов цифровых электронных книг) Конвертер JPG в XPS (спецификация Open XML Paper) Конвертер JPG в TEX (исходный документ LaTeX)

    Лучший конвертер JPG в PDF в 2021 году

    Лучшие конвертеры JPG в PDF позволяют легко и просто конвертировать изображения в файлы PDF.

    Лучший конвертер JPG в PDF

    JPG и PDF - это широко используемые форматы файлов в Интернете, но иногда вам нужно конвертировать между ними. Существуют сотни онлайн-конвертеров JPG в PDF, и даже можно конвертировать из JPG в PDF с помощью инструментов, включенных в Windows и Mac. Тем не менее, программное обеспечение для преобразования PDF может упростить этот процесс.

    Большинство онлайн-конвертеров PDF позволяют конвертировать только одно изображение за раз. Это может сделать преобразование сотен или тысяч файлов JPG трудоемкой задачей.Лучшие конвертеры JPG в PDF имеют пакетное преобразование, поэтому вы можете объединить несколько файлов JPG в один PDF-файл или создать несколько PDF-файлов из папки с JPG-файлами.

    Еще одна полезная функция - OCR (оптическое распознавание символов). Конвертер с OCR может сканировать ваши JPG-файлы на предмет текста, который затем можно редактировать в преобразованном PDF-файле.

    В этом руководстве мы описываем лучшие конвертеры JPG в PDF, доступные в настоящее время.

    Лучшее программное обеспечение для работы с PDF - Adobe Acrobat Pro DC

    .

    Все, что вам нужно для преобразования в формат PDF, Adobe Acrobat Pro DC - это инструмент для вас.Это дает вам полную свободу создавать PDF-файлы с нуля и без проблем редактировать существующие документы на компьютере или мобильном устройстве. Конечно, он также имеет широкий спектр конвертеров и является лучшим программным обеспечением для работы с PDF, которое вы можете купить в целом.

    (Изображение предоставлено: Soda PDF)

    1. Soda PDF

    Комплексный конвертер JPG в PDF

    Причины для покупки

    + Имеет онлайн и офлайн версии + Преобразование во многие форматы и обратно + Может выполнять распознавание текста на JPG + Сильные инструменты редактирования PDF

    Причины, по которым следует избегать

    -Совершенно дорого-Излишне, если вам нужно только время от времени конвертировать JPG

    Soda PDF имеет как онлайн-версию, так и настольную версию.Soda PDF Online на удивление полнофункциональна и почти полностью отражает настольную версию. Эта версия отлично подходит для преобразования и редактирования PDF-файлов из любого места, а настольную версию можно использовать в автономном режиме без необходимости загружать и скачивать файлы, поэтому вы можете получить лучшее из обоих миров.

    Домашняя версия включает в себя как веб-приложения, так и настольные приложения и имеет 30-дневную гарантию возврата денег. При обновлении до версии Premium вы можете создавать PDF-файлы, защищенные паролем, и настраиваемые PDF-формы, а также устанавливать права доступа к PDF-файлам.

    Преобразование JPG в PDF с помощью Soda PDF простое и включает в себя возможность объединять файлы в один PDF или создавать отдельные PDF-файлы для каждого JPG. При объединении файлов JPG вы можете легко расположить файлы в нужном вам порядке. После объединения файлов в вашем распоряжении множество инструментов для редактирования нового PDF-файла.

    Soda PDF поддерживает широкий спектр других форматов файлов, помимо JPG, поэтому он может работать в качестве программного обеспечения для преобразования всех типов файлов в формат PDF и обратно.

    (Изображение предоставлено Wondershare)

    2. PDFelement

    Отличные инструменты для редактирования PDF

    Причины для покупки

    + Можно конвертировать в несколько файлов или объединять в один PDF + Отличные инструменты для редактирования PDF + Экспорт в DOC , PPT, XLS, EPUB и другие + Преобразование JPG в редактируемый PDF с использованием OCR

    Причины, которых следует избегать

    - Относительно дорого - Нет возможности экспорта в XML

    PDFelement - это редактор и конвертер PDF для Windows и Mac.Помимо возможности конвертировать файлы между множеством форматов, в программе есть отличные инструменты, которые вы можете использовать для редактирования файлов PDF после конвертации. Есть поддержка оптического распознавания текста, редактирования форм, цифровой подписи и обмена в Интернете через Dropbox и Google Диск.

    PDFelement предлагает стандартный план, который предлагает множество функций, включая редактирование, аннотирование, экспорт, формы и преобразование файлов PDF. План Pro добавляет OCR, редактируемые поля формы и пакетную обработку документов, вам понадобится версия Pro.

    (Изображение предоставлено: SmallPDF)

    3. Smallpdf

    Доступный конвертер JPEG в PDF

    Причины для покупки

    + Бесплатная онлайн-служба + 14-дневная бесплатная пробная версия + 256-битное шифрование файлов + Быстрая поддержка клиентов

    Причины, по которым следует избегать

    -Бесплатное обслуживание только онлайн-Нет поддержки OCR для JPG

    Smallpdf - это набор инструментов PDF для преобразования, сжатия, разделения, объединения и редактирования PDF-файлов.

    Smallpdf предоставляет бесплатную услугу, но ограничивает количество файлов, которые вы можете обработать.Для неограниченного количества конверсий, пакетной обработки и доступа к настольному приложению вам понадобится платная версия. Доступна 14-дневная пробная версия, но для ее получения вам необходимо зарегистрироваться с помощью кредитной карты или PayPal.

    Использование Smallpdf для преобразования файлов JPG в PDF очень просто. Вы просто загружаете файлы JPG, изменяете их порядок по своему усмотрению и выбираете «Создать PDF сейчас». Существуют основные параметры для настройки размера страницы и полей, а также редактор, в который вы можете добавлять текст и фигуры, но ничего подобного расширенным инструментам редактирования Soda PDF или Wondershare PDFElement.

    (Изображение предоставлено Foxit)

    4. Foxit PDF Editor

    Мощное преобразование PDF

    Причины для покупки

    + Мощные мастера преобразования + Стабильное программное обеспечение, которое редко дает сбой + Видеоуроки + Простое редактирование созданных PDF-файлов

    Причины, по которым следует избегать

    -Лицензирование предоставляется для каждого устройства-ограничено OCR

    Foxit разрабатывает инструменты PDF с 2001 года, и последняя версия редактора PDF (ранее PhantomPDF) содержит множество инструментов для преобразования и использования файлов JPG в PDF-файлах.Пошаговые мастера программного обеспечения проведут вас через создание одного PDF-файла из нескольких JPG или пакетного создания нескольких PDF-документов из JPG.

    Foxit PDF Editor имеет бесплатную 14-дневную пробную версию. Стандартная версия может оплачиваться ежемесячно, ежегодно или единовременно. Версия Business предлагает поддержку PDF A / E / X, редактирование и редактирование изображений.

    Существует также веб-версия Foxit PDF Editor Online, которую в настоящее время можно использовать бесплатно, но, хотя вы можете конвертировать отдельные JPG-файлы в PDF-файлы и редактировать их впоследствии, это довольно простая версия, в которой отсутствуют расширенные инструменты настольной версии.

    (Изображение предоставлено Gonitro)

    5. Nitro Pro

    Настраиваемый конвертер PDF

    Причины для покупки

    + Расширенные параметры преобразования + Поддержка OCR + Доступная цена

    Причины, по которым следует избегать настольных ПК

    -N приложение для Mac OS - только офлайн

    Для преобразования JPG в PDF приложение Nitro Pro является одним из лучших, так как оно включает в себя длинный список настраиваемых параметров. Например, вы можете точно настроить понижающую дискретизацию и сжатие изображений, а также установить размер страницы и ориентацию сгенерированных PDF-файлов.

    Лицензия Nitro Pro взимается за каждого пользователя и позволяет использовать неограниченное количество электронных подписей. Специальные цены для команд из более чем 20 пользователей доступны по запросу. 14-дневную пробную версию можно использовать прямо с веб-сайта.

    В целом Nitro Pro - отличный инструмент для преобразования, но инструментам редактирования PDF не хватает изящества Soda PDF и Wondershare PDFElement.

    Обзор лучших предложений на сегодня

    .

    5 корень из 2 умножить на 2: Решить 5 корень из 2 умножить на 1/2 деленное на корень из 2/2

    2 корень 5 умножить на 2

    Вы искали 2 корень 5 умножить на 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 корень 5 умножить на корень 5, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «2 корень 5 умножить на 2».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 2 корень 5 умножить на 2,2 корень 5 умножить на корень 5,2 корень из 2 умножить на 5,2 корень из 5 умножить на 2,2 корень из 5 умножить на 5,2 корень из 5 умножить на корень из 5,2 умножить на 2 корень из 5,2 умножить на 5 корень из 5,2 умножить на корень из 5,5 корень из 2 умножить на 2,5 корень из 2 умножить на корень из 2,5 корень из 5 умножить на 2,5 умножить на 2 корень из 2,5 умножить на 5 корень из 2,корень из 2 умножить на 5,корень из 5 умножить на 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2 корень 5 умножить на 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 2 корень из 2 умножить на 5).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 корень 5 умножить на 2 Онлайн?

    Решить задачу 2 корень 5 умножить на 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Алгоритм извлечения квадратного корня

    Квадратный корень легко извлекается с помощью калькулятора. Для этого достаточно набрать на нём исходное число и нажать клавишу корня

    Если калькулятора под рукой нет, то квадратный корень извлекают пользуясь алгоритмом извлечения квадратного корня.

    Применение алгоритма может оказаться весьма полезным на контрольных и экзаменах. Ведь чаще всего на таких мероприятиях использовать калькулятор запрещено.

    Предварительные навыки

    Как пользоваться алгоритмом

    Рассмотрим применение алгоритма извлечения квадратного корня на конкретных примерах. О том, почему алгоритм следует применять именно так, поговорим позже.

    Пример 1. Извлечём квадратный корень из числа 4096 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

    Прежде всего сгруппируем число 4096 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку:

    Сгруппированные цифры исходного числа называют грáнями, а саму группировку по две цифры разделением на грáни. Количество грáней позволяет предположить сколько цифр будет содержаться в извлечённом корне. В нашем примере извлечённый корень будет содержать две цифры, поскольку исходное число содержит две грани.

    Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 40 с точностью до целых, получаем 6. Записываем 6 после знака равенства:

    Далее возвóдим число 6 в квадрат и полученный результат записываем под числом 40

    Далее вычитаем из числа 40 число 36, получаем 4. Записываем это число под 36

    Снóсим оставшиеся цифры из под корня, а именно 96. Получаем остаток 496

    Теперь нужно найти следующую цифру корня. Её находят так. Первую найденную цифру корня, а именно 6 умножаем на 2, получаем 12. К числу 12 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 496 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 12 и умножим образовавшееся число 125 на 5

    Получилось число 625, которое больше остатка 496. Значит цифра 5 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 4. Допишем ее к числу 12 и умножим образовавшееся число 124 на 4

    Получилось число 496, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 12 цифра 4 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 4 в ответе после цифры 6

    А число 496, которое получилось в результате умножения 124 на 4 записываем под остатком 496

    Выполняем вычитание 496 − 496 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

    Для удобства поиска второй цифры, слева от остатка проводят вертикáльную линию и уже за этой линией записывают умножение. В нашем случае умножение 124 на 4. Результат умножение сразу записывают под остатком:

    Итак, квадратный корень из числа 4096 равен 64


    Пример 2. Извлечём квадрáтный корень из числа 441 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

    Прежде всего сгруппируем число 441 по две цифры. Двигаясь с конца влево сделаем небольшую мéтку. В данном случае в числе 441 только три цифры. Поэтому группируем цифры 4 и 1. Крайняя четвёрка слева будет сама по себе:

    Теперь нужно извлечь квадратный корень из числа 4 с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

    Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под числом 4

    Вычитаем из числа 4 число 4, получаем 0. Ноль принято не записывать. Снóсим оставшиеся цифры корня, а именно 41

    Теперь нахóдим следующую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 41 или хотя бы максимально близким ему, но не превосходящим его.

    Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 42 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 41

    Получилось число 84, которое больше остатка 41. Значит цифра 2 не годится в качестве следующей цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 41 на на ту же самую дописанную цифру 1

    Получилось число 41, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 4 цифра 1 является следующей цифрой корня. Записываем цифру 1 после цифры 2

    А число 41, которое получилось в результате умножения 41 на 1, записываем под остатком 41

    Выполняем вычитание 41 − 41 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:


    Пример 3. Извлечём квадратный корень из числа 101761 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

    Разбиваем число 101761 на грани:

    Получилось три грани. Значит корень будет состоять из трёх цифр.

    Извлекáем квадратный корень из первой грани (из числа 10) с точностью до целых, получаем 3. Записываем 3 после знака равенства:

    Далее возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 10)

    Вычитаем из числа 10 число 9, получаем 1. Снóсим следующую грань, а именно число 17. Получаем остаток 117

    Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую найденную цифру корня, а именно 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 117 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 6 и умножим образовавшееся число 62 на ту же самую дописанную цифру 2. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 117

    Получилось число 124, которое больше остатка 117. Значит цифра 2 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 1. Допишем ее к числу 6 и умножим образовавшееся число 61 на на ту же самую дописанную цифру 1

    Получилось число 61, которое не превосходит остатка 117. Значит дописанная к числу 6 цифра 1 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 3

    Теперь выполняем вычитание 117 − 61 = 56.

    Снóсим следующую грань, а именно число 61. Получаем новый остаток 5661

    Теперь нахóдим третью цифру корня. Первые две найденные цифры корня, а именно число 31 умножаем на 2, получаем 62. К числу 62 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 5661 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    Итак, проверим например цифру 9. Допишем её к числу 62 и умножим образовавшееся число 629 на ту же самую дописанную цифру 9. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 5661

    Получилось число 5661, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 62 цифра 9 является третьей цифрой корня. Записываем цифру 9 в ответе после цифры 1

    Выполняем вычитание 5661 − 5661 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:


    Пример 4. Извлечём квадратный корень из числа 30,25 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

    Данное число является десятичной дробью. В данном случае на грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

    Получилось по одной грани в каждой части. Это значит, что корень будет состоять из двух цифр: одна цифра будет в целой части корня и одна цифра в дробной.

    Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 30) с точностью до целых, получаем 5. Записываем 5 после знака равенства:

    Далее возвóдим число 5 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 30)

    Вычитаем из числа 30 число 25, получаем 5.

    Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 30,25 с точностью до целых, получили ответ 5. Последний остаток 5 показывает, что целая часть 30 превосходит квадрат 52 на 5 квадратных единиц.

    Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых), снесём следующую грань, а именно число 25, получим остаток 525. А в ответе после числа 5 следует поставить запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробную часть корня.

    Затем снóсим следующую грань, а именно число 25. Получаем остаток 525

    Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим следующую цифру корня. Для этого уже найденный корень, а именно число 5 умножим на 2 получим 10. К числу 10 в конце нужно дописать ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет следующей цифрой корня) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 525 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    Итак, проверим например цифру 5. Допишем её к числу 10 и умножим получившееся число 105 на ту же самую дописанную цифру 5

    Получилось число 525, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 10 цифра 5 является следующей цифрой корня. Возвращаемся к исходному примеру и записываем цифру 5 после в ответе после запятой:

    Выполняем вычитание 525 − 525 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

    В подкоренном выражении можно было использовать следующий прием: умножить подкоренное число на 100 и получить под корнем число 3025. Далее извлечь из него квадратный корень, как из обычного целого числа. Тогда получился бы ответ 55

    Затем можно обратно разделить 3025 на 100 (или сдвинуть запятую влево на две цифры). В результате под корнем полýчится прежнее число 30,25, а правая часть уменьшится в десять раз и полýчится квадратный корень из числа 30,25.


    Пример 5. Извлечём квадратный корень из числа 632,5225 с помощью алгоритма извлечения квадратного корня.

    Данное число является десятичной дробью. Разбиваем число на грани. На грани следует разбить целую и дробную часть. Целую часть на грани следует разбить, двигаясь влево от запятой. А дробную — двигаясь вправо от запятой:

    Получилось четыре грани. При этом две грани в целой части, и две грани в дробной. Это значит, что корень будет состоять из четырёх цифр: две цифры будет в целой части корня, и две цифры после запятой.

    Извлечём квадратный корень из первой грани (из числа 6) с точностью до целых, получаем 2. Записываем 2 после знака равенства:

    Далее возвóдим число 2 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 6)

     

    Вычитаем из числа 6 число 4, получаем 2. Затем снóсим следующую грань, а именно число 32. Получаем остаток 232

    Теперь нахóдим вторую цифру корня. Первую уже найденную цифру корня, а именно 2 умножаем на 2, получаем 4. К числу 4 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня) и умножить получившееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 232 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 4 и умножим получившееся число 46 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 232

    Получилось число 276, которое больше остатка 232. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 4 и умножим получившееся число 45 на на ту же самую дописанную цифру 5

    Получилось число 225, которое не превосходит остатка 232. Значит дописанная к числу 4 цифра 5 является второй цифрой корня. Записываем её в ответе после цифры 2

    Теперь выполняем вычитание 232 − 225 = 7.

    Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 632,5225 с точностью до целых, получили ответ 25. Последний остаток 7 показывает, что целая часть 632 превосходит квадрат 252 на 7 квадратных единиц.

    Чтобы дальше извлечь корень (с точностью до десятых и сотых), снесём следующую грань, а именно число 52, получим остаток 752. А в ответе после числа 25 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

    Далее работаем по тому же принципу, что и раньше. Нахóдим первую цифру корня после запятой. Для этого уже найденные цифры, а именно 25 умножим на 2 получим 50. К числу 50 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 752 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    Итак, проверим например цифру 2. Допишем её к числу 50 и умножим получившееся число 502 на ту же самую дописанную цифру 2. Можно интуитивно понять, что цифра 2 великá, поскольку 502 × 2 = 1004. А число 1004 больше остатка 752. Тогда очевидно, что первой цифрой после запятой будет цифра 1

    Теперь выполняем вычитание 752 − 501 = 251. Сразу снóсим следующую грань 25. Полýчим остаток 25125

    Теперь нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 502.

    К числу 502 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 25125 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    Итак, проверим например цифру 6. Допишем её к числу 502 и умнóжим образовавшееся число 5026 на ту же самую дописанную цифру 6. Результат умножения будем записывать сразу под остатком 25125

    Получилось число 30156, которое больше остатка 25125. Значит цифра 6 не годится в качестве второй цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 5. Допишем ее к числу 502 и умножим получившееся число 5025 на на ту же самую дописанную цифру 5

    Получилось число 25125, которое в точности является нашим остатком. Значит дописанная к числу 502 цифра 5 является второй цифрой корня после запятой. Записываем цифру 5 в ответе после цифры 1

    Теперь выполняем вычитание 25125 − 25125 = 0. Ноль в остатке говорит о том, что решение окончено:

    В этом примере можно было воспользоваться методом умножения подкоренного выражения на 10000. Тогда подкоренное число приняло бы вид 6325225. Его можно разделить на грани, двигаясь справа налево. В результате получился бы корень 2515

    Затем подкоренное число 6325225 делят на 10000, чтобы вернуться к изначальному числу 632,5225. В результате этого деления ответ умéньшится в 100 раз и обратится в число 25,15.


    Пример 4. Используя алгоритм извлечения квадратного корня, извлечь квадратный корень из числа 11 с точностью до тысячных:

    В данном числе только одна грань 11. Извлечём из неё корень с точностью до целых, получим 3

    Теперь возвóдим число 3 в квадрат и полученный результат записываем под первой гранью (под числом 11)

    Выполним вычитание 11 − 9 = 2

    Извлечение корня из целой части подкоренного выражения завершено. На данный момент мы извлекли корень из числа 11 с точностью до целых, получили ответ 3. Последний остаток 2 показывает, что целая часть 11 превосходит квадрат 32 на две квадратные единицы.

    Наша задача была извлечь корень из числа 11 с точностью до тысячных. Значит нужно снести следующую грань, но её в данном случае нет.

    Если после целого числа поставить запятую и написать сколько угодно нулей, то значение этого числа не измéнится. Так, после 11 можно поставить запятую и написать несколько нулей (несколько граней), которые в последствии можно будет снóсить к остаткам.

    Если корень извлекáется с точностью до тысячных, то в ответе после запятой должно быть три цифры. Поэтому в подкоренном выражении поставим запятую и запишем три грани, состоящие из нулей:

    Теперь можно снести следующую грань, а именно два нуля. Получим остаток 200. А в ответе после числа 3 поставим запятую, поскольку сейчас мы будем искать дробные части корня:

    Теперь нахóдим первую цифру после запятой в ответе. Первую найденную цифру корня, а именно число 3 умножаем на 2, получаем 6. К числу 6 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет первой цифрой после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 200 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    В данном случае подойдёт цифра 3

    Выполним вычитание 200 − 189 и снесём следующую грань 00

    Нахóдим вторую цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умнóжим на 2. Полýчим 66.

    К числу 66 в конце нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет второй цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 1100 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    В данном случае подойдёт цифра 1

    Выполним вычитание 1100−661 и снесём следующую грань 00

    Нахóдим третью цифру корня после запятой. Не обращая внимания на запятую, найденные цифры корня умножим на 2. Получим 662.

    К числу 662 нужно дописáть ещё одну цифру (эта цифра впоследствии и станет третьей цифрой корня после запятой) и умножить образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру. Полученное произведение должно быть равно остатку 43900 или хотя бы максимально близким к нему, но не превосходящим его.

    Проверим цифру 7

    Получилось число 46389, которое больше остатка 43900. Значит цифра 7 не годится в качестве третьей цифры корня после запятой. Проверим тогда цифру 6. Допишем ее к числу 662 и умножим получившееся число 6626 на на ту же самую дописанную цифру 6

    Получилось число 39756, которое не превосходит остатка 43900. Значит дописанная к числу 662 цифра 6 является третьей цифрой корня после запятой. Записываем цифру 6 в ответе после цифры 1

    Выполним вычитание 43900 − 39756 = 4144

    Дальнейшее вычисление не требуется, поскольку корень нужно было извлечь с точностью до тысячных.

    Но в таких примерах как этот, цифры после запятой можно находить бесконечно. Например, так можно продолжить данный пример, найдя значение корня с точностью до десятитысячных:


    Как работает алгоритм

    Алгоритм извлечения квадратного корня основан на формуле квадрата суммы двух выражений:

    (a + b)a+ 2ab b2

    Геометрически эту формулу можно представить так:

    То есть сторона a увеличивается на b. Это приводит к увеличению изначального квадрата. Чтобы вычислить площадь такого квадрата, нужно по отдельности вычислить площади квадратов и прямоугольников, входящих в этот квадрат и сложить полученные результаты. Нужно хорошо понимать данный рисунок. Без его понимания невозможно понять как работает алгоритм извлечения квадратного корня.

    Отметим, что формула квадрата суммы двух выражений позволяет возвести в квадрат любое число. Используя разряды, исходное число представляют в виде суммы чисел и далее эту сумму возвóдят в квадрат.

    Например, так можно возвести число 21 в квадрат: представить данное число в виде суммы двух десятков и одной единицы, и далее эту сумму возвести в квадрат :

    212 = (20 + 1)2 = 202 + 2 × 20 × 1 + 12 = 400 + 40 + 1 = 441

    Геометрически это будет выглядеть так: сторона квадрата равная 21 разбивается на две составляющие: 20 и 1.

    Затем по отдельности вычисляются площади квадратов и прямоугольников, входящих в большой квадрат. А именно: один квадрат со стороной 20 (получается площадь, равная 400), два прямоугольника со сторонами 20 и 1 (получается две площади по 20), один квадрат со стороной 1 (получается площадь, равная 1). Результаты вычисления площадей складываются и получается итоговое значение 441.

    Заметим также, что при возведéнии десятков в квадрат получились сотни. В данном случае при возведéнии числа 20 в квадрат получилось число 400. Это позволяет предположить, что если корень является двузначным числом, то десятки этого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Действительно, . Десятки корня это цифра 2, является корнем числа 4, которое отвечает за сотни числа 441.

    А при возведéнии сóтен в квадрат получаются десятки тысяч. Например, возведём в квадрат число 123, используя формулу квадрата суммы двух выражений. Число 123 это одна сотня, два десятка и три единицы:

    1232 = (100 + 20 + 3)2

    При изучении многочленов мы выяснили, что если многочлен содержит более двух членов и возникла необходимость применить формулу квадрата суммы, то некоторые из членов можно взять в скобки, чтобы получилось выражение вида (a + b)2

    Рассмотрим подробное извлечение квадратного корня из числа 4096. Заодно пройдёмся по основным этапам алгоритма извлечения квадратного корня, рассмотренного в предыдущей теме.

    Допустим, что число 4096 это площадь следующего квадрата:

    Извлечь корень из числа 4096 означает найти длину стороны данного квадрата:

    Для начала узнáем из скольких цифр будет состоять корень. Ближáйшие от 4096 известные нам квадраты это 3600 и 4900. Между ними располагается квадрат 4096. Запишем это в виде неравенства:

    Запишем каждое число под знáком корня:

    Квадратные корни из чисел 3600 и 4900 нам известны. Это корни 60 и 70 соответственно:

    Корни 60 и 70 являются двузначными числами. Если квадратный корень из числа 4096 располагается между числами 60 и 70, то этот корень тоже будет двузначным числом.

    Двузначное число состоит из десятков и единиц. Это значит, что квадратный корень из числа 4096 можно представить в виде суммы a + b, где a — десятки корня, b — единицы корня. Сумма a + b во второй степени будет равна 4096

    (a + b)2 = 4096

    Тогда сторона квадрата будет разбита на две составляющие: a и b

    Перепишем в равенстве (a + b)= 4096 левую часть в виде a+ 2ab b2

    a+ 2ab + b2 = 4096

    Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 4096, можно представить так:

    Если мы узнáем значения переменных a и b, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

    Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет двузначное число. Двузначное число состоит из десятков и единиц. При возведéнии десятков в квадрат, получаются сотни. Тогда десятки искомого корня следует искать в сотнях подкоренного числа. В подкоренном числе 40 сотен. Отделим их небольшой помéткой:

    Извлечём корень из числа 40. Из числа 40 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых.

    Ближáйший мéньший квадрат к числу 40 это 36. Извлечём корень из этого квадрата, получим 6. Тем сáмым полýчим первую цифру корня:

    На самом деле корень извлечён не из числа 40, а из сорокá сотен. Метка, которая постáвлена после числа 40, отделяет разряды числа, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 40 это 4000.

    Из 4000 как и 40 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 4000. Но нужно принимать во внимание следующий момент. Десятки это числа с одним нулем на конце. Примеры:

    10 — один десяток

    30 — три десятка

    120 — двенадцать десятков

    При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа с двумя нулями на конце:

    102 = 100

    302 = 900

    1202 = 14400

    Мы ищем десятки корня в сотнях числá 4096, то есть в числе 4000. Но нет такого числá с нулем на конце, вторая степень которого равна 4000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с двумя нулями на конце. Таковым является квадрат 3600. Корень следует извлекать из этого квадрата.

    Вернемся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 3600. Укажем вместо a2 значение 3600

    Теперь извлечём квадратный корень из квадрата 3600. Ранее мы говорили, что если число содержит уже знакомый нам квадрат и чётное количество нулей, то можно извлечь корень из этого числа. Для этого сначала следует извлечь корень из знакомого нам квадрата, а затем записать половину от количества нулей исходного числа:

    Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 3600. Подпишем сторону a как 60

    Но ранее в ответе мы написали не 60, а 6. Это является сокращённым вариантом. Число 6 в данном случае означает шесть десятков:

    Итак, десятки корня найдены. Их шесть. Теперь нужно найти единицы корня. Единицы корня это длина оставшейся маленькой стороны квадрата, то есть значение переменной b.

    Чтобы найти b, нужно из общего квадрата, площадь которого 4096 вычесть квадрат, площадь которого 3600. В результате останется фигура, площадь которой 4096 − 3600 = 496

    На рисунке видно как из квадрата, площадь которого 4096 отделился квадрат, площадь которого 3600. Осталась фигура, площадь которой 496.

    Именно поэтому в процессе применения алгоритма первая найденная цифра корня возводится в квадрат, чтобы результат возведения вычесть из сотен подкоренного выражения.

    Так, из 40 сотен вычитаются 36 сотен, остаётся 4 сотни плюс сносятся девяносто шесть единиц. Эти четыре сотни и девяносто шесть единиц вместе образуют 496 единиц:

    Оставшаяся фигура есть ни что иное как удвоенное произведение первого выражение a плюс квадрат второго выражения b

    Сумма площадей 2ab + b2 должна вмещаться в число 496. Запишем это в виде следующего равенства:

    2ab b2 = 496

    Значение a уже известно. Оно равно 60. Тогда равенство примет вид:

    2 × 60 × b2 = 496

    120b2 = 496

    Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 496 или хотя близкой к этому числу. Поскольку b является единицами искомого корня, то значение b является однозначным числом. То есть значение b это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. В данном случае очевидно, что числом b является 4

    120 × 4 + 42 = 496

    480 + 16 = 496

    496 = 496

    Но для удобства поиска этой цифры, переменную b выносят за скобки. Вернёмся к выражению 120b= 496 и вынесем b за скобки:

     b(120 + b) = 496

    Теперь правую часть можно понимать так: к 120 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же сáмым b даст в результате 496.

    Именно поэтому при использовании алгоритма, уже найденную цифру умножают на 2. Так, 6 мы умножили на 2 получили 12 и уже к 12 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же дописанную цифру, пытаясь получить остаток 496.

    Но это опять же упрощённый вариант. На самом деле на 2 умножается не просто 6, а найденные десятки (в нашем случае число 60), получается число 120. Затем следует нахождение числá вида b(120 + b). То есть к 120 прибавляется число b, которое при перемножении с b даёт остаток 496.

    Итак, = 4. Тогда:

    4(120 + 4) = 496

    4 × 124 = 496

    496 = 496

    При подстановке числá 4 вместо b получается остаток 496. Это значит, что единицы корня найдены. Квадрат, площадь которого 4096, имеет сторону равную 60 + 4, то есть 64.

    Если из общей площади вычесть 3600, затем 496, полýчим 0. Остаток, равный нулю, говорит о том, что решение завершено:

    4096 − 3600 − 496 = 0


    Пример 2. Извлечь квадратный корень из числа 54756

    Пусть число 54756 это площадь следующего квадрата:

    Извлечь корень из числа 54756 означает найти длину стороны данного квадрата:

    Пока неизвестно является ли квадратный корень из числа 54756 целым либо дробным числом. Узнáем для начала из скольких цифр будет состоять целый корень.

    Число 54756 больше числá 10000, но меньше числá 90000

    10000 < 54756 < 90000

    Корни из 10000 и 90000 являются трёхзначными числами.

    Тогда корень из 54756 тоже будет трёхзначным числом. А трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

    Квадратный корень из числа 54756 можно представить в виде суммы a + b + с, где a — сотни корня, b — десятки корня, с — единицы корня. Сумма a + b + с во второй степени будет равна 54756

    (a + b + c)2 = 54756

    Тогда сторона квадрата будет разбита на три составляющие: a, b и c

    Выполним в левой части равенства (a + b + c)= 54756 возведéние в квадрат:

    Тогда рисунок иллюстрирующий квадрат, площадью 54756 можно представить так:

    Два прямоугольника площадью ab в приведённом ранее равенстве заменены на 2ab, а два прямоугольника площадью (a + b)c заменены на 2ac + 2bc, поскольку (a + b)c = ac + bc. Если повторить выражение ac + bc дважды, то полýчится 2ac + 2bc

    2(ac + bc) = 2ac + 2bc

    Если мы узнáем значения переменных a, b и c, то узнáем длину стороны данного квадрата. Проще говоря, узнáем сам корень.

    Вернёмся к извлечению корня. Мы выяснили, что корнем будет трёхзначное число. Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.

    При возведéнии сотен в квадрат, получаются десятки тысяч. Тогда сотни искомого корня следует искать в десятках тысяч подкоренного числа. В подкоренном числе 5 десятков тысяч. Отделим их мéткой:

    Извлечём корень из числа 5. Из числа 5 корень не извлекается. Поэтому извлечение следует выполнить приближённо с точностью до целых Ближáйший мéньший квадрат к 5 это 4. Извлечём корень из этого квадрата, получим 2. Тем самым полýчим первую цифру корня:

    На самом деле корень извлечён не из числа 5, а из пяти десятков тысяч. Метка, которая поставлена после числá 5, отделяет разряды числá, находящегося под знáком корня. Нужно понимать, что в данном случае 5 это 50000.

    Из 50000 как и 5 корень не извлекается, поэтому его тоже следует извлекать приближённо. Для этого следует найти ближáйший мéньший квадрат к числу 50000. Но нужно принимать во внимание, что сотни это числа с двумя нулями на конце. Примеры:

    100 — одна сотня

    500 — пять сотен

    900 — девять сотен

    При возведéнии таких чисел в квадрат, получаются числа, у которых четыре нуля на конце:

    1002 = 10000

    5002 = 250000

    9002 = 810000

    Мы ищем сотни корня в десятках тысяч числа 54756, то есть в числе 50000. Но нет такого числá с двумя нулями на конце, вторая степень которого равна 50000. Поэтому мы ищем ближáйший мéньший квадрат, но опять же с четырьмя нулями на конце. Таковым является квадрат 40000.

    Вернёмся к нашему рисунку. Большой квадрат со стороной a и площадью a2 это тот самый квадрат 40000. Укажем вместо a2 значение 40000

    Теперь извлечём корень из квадрата 40000

    Итак, мы нашли сторону квадрата, площадь которого 40000. Подпишем сторону a как 200

    Но ранее в ответе мы написали не 200, а 2. Это является сокращённым вариантом. Число 2 в данном случае означает две сотни:

    Теперь вытаскиваем остаток. Из пяти десятков тысяч корень извлечён только из четырёх десятков тысяч. Значит в остатке остался один десяток тысяч. Вытащим его:

    Опять же надо понимать, что 4 это 40000, а 1 это 10000. С помощью рисунка это можно пояснить так: квадрат, площадь которого 40000, вычитается от общего квадрата, площадь которого 54756. Остаётся фигура, площадь которой 54756 − 40000 = 14756

    Теперь нужно найти десятки корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей ab + ab + b2 (или 2ab + b2). В эту сумму будет входить один десяток тысяч, который остался в результате нахождения сóтен корня, удвоенное произведение сотен и десятков корня 2ab, а также десятки корня в квадрате b2.

    Десятки в квадрате составляют сотни. Поэтому десятки корня следует искать в сотнях подкоренного числа. Под корнем сейчас 47 сотен. Снесём их к остатку 1, предварительно отделив их под корнем мéткой:

    Один десяток тысяч это сто сотен, плюс снесено 47 сотен. Итого 100 + 47 = 147 сотен. В эти 147 сотен должна входить сумма 2ab + b2

    2ab + b2 = 14700

    Переменная a уже известна, она равна 200. Подставим это значение в данное равенство:

    2 × 200 × b2 = 14700
     400b + b2 = 14700

    Теперь наша задача найти такое значение b, при котором левая часть станет равна 14700 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку b является десятками искомого корня, то значение b является двузначным числом с одним нулём на конце. Такое число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки b

    b(400 + b) = 14700

    Теперь левую часть можно понимать так: к 400 следует прибавить некоторое число b, которое при умножении с тем же самым b даст в результате 14700 или близкое к 14700 число, не превосходящее его. Подставим например 40

    40(400 + 40) = 14700

    17600 14700

    Получается 17600, которое превосходит число 14700. Значит число 40 не годится в качестве десятков корня. Проверим тогда число 30

    30(400 + 30) = 14700

    12900 ≤ 14700

    Получилось число 12900, которое не превосходит 14700. Значит число 30 подходит в качестве десятков корня. Числа, расположенные между 30 до 40 проверять не нужно, поскольку сейчас нас интересуют только двузначные числа с одним нулем на конце:

    Вернемся к нашему рисунку. Сторона b это десятки корня. Укажем вместо b найденные десятки 30. А квадрат, площадь которого b2 это найденные десятки во второй степени, то есть число 900. Также укажем площади прямоугольников ab. Они равны произведению сотен корня на десятки корня, то есть 200 × 30 = 6000

    Ранее в ответе мы написали не 30, а 3. Это является сокращённым вариантом. Число 3 в данном случае означают три десятка.

    Теперь вытаскиваем остаток. В 147 сотен вместилось только 129 сотен. Значит в остатке осталось 147 − 129 = 18 сотен плюс сносим число 56 из подкоренного выражения. В результате образýется новый остаток 1856

    С помощью рисунка это можно пояснить так: от фигуры, площадь которой 14756, вычитается площадь 12900. Остаётся фигура, площадь которой 14756 − 12900 = 1856

    Теперь нужно найти единицы корня. Рассмотрим на рисунке сумму площадей 2(a + b)c + c2. В эту сумму и должен входить последний остаток 1856

    2(a + b)c + c2 = 1856

    Переменные a и b уже известны, они равны 200 и 30 соответственно. Подставим эти значения в данное равенство:

    2(200 + 30)c + c2 = 1856

     2 × 230c + c= 1856

    460c + c= 1856

    Теперь наша задача найти такое значение c, при котором левая часть станет равна 1856 или хотя близкой к этому числу, но не превосходящей его. Поскольку c является единицами искомого корня, то значение с является однозначным числом. То есть значение с это число от 1 до 9. Это число можно найти методом подбора. Для удобства вынесем в левой части за скобки с

    с(460 + c) = 1856

    Теперь левую часть можно понимать так: к 460 следует прибавить нéкоторое число с, которое при умножении с тем же сáмым с даст в результате 1856 или близкое к 1856 число, не превосходящее его. Подставим, например, число 4

    4(460 + 4) = 1856

    4 × 464 = 1856

    1856 = 1856

    Именно поэтому при использовании алгоритма первые найденные цифры умножают на 2. Так, 23 мы умнóжили на 2, получили 46 и уже к 46 дописывали цифру и умножáли образовавшееся число на ту же самую дописанную цифру, пытаясь получить остаток 1856

    Итак, с = 4. При подстановке вместо с числá 4 получается остаток 1856. Это значит, что единицы корня найдены.

    Квадрат, площадь которого 54756, имеет сторону равную 200 + 30 + 4, то есть 234.


    Если из общей площади 54756 вычесть 40000, 6000, 6000, 900, 920, 920 и 16, то получим 0. Остаток равный нулю говорит о том, что решение завершено:

    54756 − 40000 − 6000 − 6000 − 900 − 920 − 920 − 16 = 0


    Пример 3. Извлечь квадратный корень из числа 3

    Квадратный корень из числа 3 не извлекается. Ранее мы говорили, что квадратные корни из таких чисел можно извлекать только приближённо с определенной точностью.

    Пусть 3 это площадь следующего квадрата:

    Извлечь корень из числа 3 значит найти длину стороны данного квадрата:

    Корень из 3 больше корня из 1, но меньше корня из 4

    √1 < √3 < √4

    Корни из 1 и 4 являются целыми числами.

    √1 < √3 < √4

    1 < √3 < 2

    Между числами 1 и 2 нет целых чисел. Значит корень из числа 3 будет десятичной дробью. Найдём этот корень с точностью до десятых.

    Квадратный корень из числа 3 можно представить в виде суммы a + b, где a — целая часть корня, b — дробная часть. Тогда сторону квадрата можно разбить на две составляющие: a и b

    Сумма a + b во второй степени должна приближённо равняться 3.

    (a + b)2 ≈ 3

    Выполним в левой части данного равенства возведéние в квадрат:

    a2 + 2ab + b2 ≈ 3

    Тогда рисунок, иллюстрирующий квадрат площадью 3, можно представить так:

    Найдём a. Извлечём корень из числа 3 с точностью до целых, получим 1

    Если a2 это 1, а площадь всего квадрата равна 3, то в остатке останется 2. В этот остаток должна вмещаться площадь оставшейся фигуры:

    Найдём b. Для этого рассмотрим сумму площадей 2ab + b2. Эта сумма должна приближённо равняться остатку 2, но не превосходить его

    2ab + b2 ≈ 2

    Значение a уже известно, оно равно единице:

    2b + b2 ≈ 2

    Вынесем за скобки b

    b(2 + b) ≈ 2

    Теперь в левой части к 2 следует прибавить нéкоторое число b, которое при умножении с тем же b будет приближённо равняться 2.

    Значение b является дробным числом, а именно десятой частью. Оно равно какому-нибудь числу из промежутка [0,1; 0,9]. Возьмём любое число из этого промежутка и подставим его в равенство. Подставим к примеру 0,8

    0,8(2 + 0,8) ≈ 2

    2,24 ≈ 2

    Получилось 2,24 которое превосходит 2. Значит 0,8 не годится в качестве значения b. Проверим тогда 0,7

    0,7(2 + 0,7) ≈ 2

    1,89 ≈ 2

    Получилось 1,89 которое приближённо равно 2 и не превосходит его. Значит 0,7 является значением b

    Значит квадратный корень из 3 с точностью до десятых приближённо равен 1 + 0,7

    К сожалению, понять механизм алгоритма извлечения квадратного корня намного сложнее, чем использовать сам алгоритм. Решите несколько примеров на применение алгоритма, и понимание механизма его работы будет даваться вам значительно проще.


    Задания для самостоятельного решения

    Задание 1. Извлечь квадратный корень из числа 169, используя алгоритм извлечения квадратного корня

    Решение:

    Задание 2. Извлечь квадратный корень из числа 289, используя алгоритм извлечения квадратного корня

    Решение:

    Задание 3. Извлечь квадратный корень из числа 1089, используя алгоритм извлечения квадратного корня

    Решение:

    Задание 4. Извлечь квадратный корень из числа 1764, используя алгоритм извлечения квадратного корня

    Решение:

    Задание 5. Извлечь квадратный корень из числа 4761, используя алгоритм извлечения квадратного корня

    Решение:

    Задание 6. Извлечь квадратный корень из числа 132496, используя алгоритм извлечения квадратного корня

    Решение:

    Задание 7. Извлечь квадратный корень из числа 157 с точностью до сотых, используя алгоритм извлечения квадратного корня

    Решение:

    Задание 8. Извлечь квадратный корень из числа 240,25 используя алгоритм извлечения квадратного корня

    Решение:


    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Возникло желание поддержать проект?
    Используй кнопку ниже

    Навигация по записям

    Патриаршая проповедь в Неделю 4-ю по Пятидесятнице, день памяти преподобного Сергия Радонежского / Патриарх / Патриархия.ru

    18 июля 2021 г. 15:58

    18 июля 2021 года, в Неделю 4-ю по Пятидесятнице, праздник обретения честных мощей преподобного Сергия, игумена Радонежского, Святейший Патриарх Московский и всея Руси Кирилл совершил Божественную литургию в храме благоверного князя Александра Невского в одноименном скиту близ Переделкина. По окончании Литургии Предстоятель Русской Православной Церкви произнес проповедь.

    Во имя Отца и Сына и Святого Духа!

    Святителю Иоанну Златоусту принадлежат такие слова: «Терпение — это корень всех благ и мать благочестия». Уместно их вспомнить в связи с празднованием памяти преподобного и богоносного отца нашего Сергия, игумена Радонежского.

    Можно ли себе представить современного человека, который бы ушел жить в дремучий лес, в опасные места? А ведь во времена преподобного Сергия Русь была терзаема разного рода набегами, в том числе людей злой воли, стремившихся через захват чужого имущества, через ограбление путников умножить свое благополучие. Другими словами, еще не было системы правопорядка, системы национальной безопасности, которые сейчас существуют и в нашей стране, и в большинстве стран мира. Человек был совершенно беззащитен; никто бы и не вспомнил о том, что некий святой старец погиб от руки беззаконных. Такова была реальность, которую нам сейчас трудно представить, а святой преподобный Сергий ушел один в дремучий лес, сам построил келью и жил там. И ему не было скучно, не было грустно, он не страдал от стрессов.

    А теперь посмотрим на нашу жизнь. Мы живем в гуще людей, у нас множество возможностей общения друг с другом, мы потребляем огромное количество информации. У современного человека множество возможностей для развлечений и отдыха, приятного времяпровождения; прекрасно развита медицина — по крайней мере, по сравнению с тем, что было в прошлом; есть много средств поднять человеку настроение, избавить от угнетенного душевного состояния, от того, что мы называем стрессом.

    Но что же происходит в реальности? Статистика свидетельствует о том, что все больше и больше людей подвержено стрессам, и ничто не может от них защитить — ни наука, ни продвинутые технологии, ни достаточно комфортный образ жизни; так что многие разрушают свою нервную систему под тяжестью этих стрессов, губят свою жизнь.

    А вот преподобный Сергий, ушедший вглубь леса, живший в одиночестве, не был подвержен стрессам. Конечно, как всякий человек он проходил через искушения, соблазны; ему нужно было бороться с самим собой, преодолевая тяготение природы человеческой. Но, опираясь на помощь Божию, опираясь на молитву, этот угодник Божий победил самого себя и возвысился над всеми трудными, неприспособленными для уединенной жизни условиями. Другими словами, преподобный Сергий обрел огромную силу, о которой можно было только мечтать, используя исключительно духовные средства — молитву, пост, духовные размышления и, конечно, уединение.

    Физическая природа людей того поколения та же, что и наша. То есть преподобный Сергий был обычным человеком, но, прибегая к особым духовным средствам, живя в уединении, он не только обрел полный покой и радость душевную, но и сподобился стать великим светильником земли нашей — настолько, что молва о деяниях Преподобного распространилась по всей Русской земле. И мы знаем, что князь Димитрий Донской, отправляясь на судьбоносное сражение с завоевателями, пришел именно к преподобному Сергию, чтобы получить у него благословение. И Преподобный благословил его и дал двух иноков, Пересвета и Ослябю, дабы они вступили в воинскую рать и приняли участие в сражении, которое имело судьбоносное значение и для страны, и для народа, и для Церкви Русской.

    Мы вспоминаем преподобного Сергия как человека, обретшего огромную духовную силу, силу чудотворения, силу убеждения, силу большого влияния и на князей, и на воинов, и на простых людей. И мы вспоминаем его именно потому, что силу свою Преподобный обрел не какими-то особыми упражнениями, не какими-то особыми интеллектуальными занятиями, а через молитву, воздержание и духовный подвиг. А поскольку человеческая природа с тех пор не изменилась, не означает ли это, что пример Преподобного может быть спасительным и для нас — когда мы проходим через стрессы и сложные жизненные обстоятельства, когда теряем присутствие духа, в том числе в нынешние времена тяжелой, подчас смертельной болезни?

    Мне хорошо известно, как страдают люди, находящиеся сегодня в медицинских учреждениях в очень опасном состоянии — на искусственной вентиляции легких, на грани жизни и смерти. Таких сегодня очень много, и мы не должны проходить мимо их страданий. Давайте молиться о всех, кто сегодня страдает, кто пребывает на больничном ложе буквально перед лицом смерти, за чью жизнь борются врачи в невероятно тяжелых условиях. А ведь все это происходит на фоне достаточно благополучной жизни тех, кто здоров, кто имеет достаток, кто, пользуясь летним временем, уезжает в отпуск. Жизнь течет по своему руслу, по своим порядкам и законам, а рядом — тяжкие страдания и смерть. Понятно, что мы, не будучи врачами, ограничены в своих возможностях, но мы можем и должны помогать нашей молитвой, материальной поддержкой близких и родных, то есть делать все, что в наших силах, чтобы облегчить страдания наших братьев и сестер.

    И вот еще о чем нужно помнить: всякий раз, когда мы что-то отдаем другому человеку, будь то материальные средства, наше время, внимание, заботу, всякий раз, когда мы сдерживаем свои эмоции, не раздражаясь на других, — мы совершаем богоугодное дело. И чем больше таких дел будет совершаться, тем лучше будет нам самим, и тогда будет меняться состояние нашей души, наши трудности будут все меньше влиять на наше сознание, на нашу душу, на нашу нервную систему.

    Жизнь, которую прожил святой преподобный Сергий, конечно, уникальна и сравнить ее с нашей невозможно. А вот ценности его жизни — они ведь общие, единые для всех времен, для всех народов. Значит, ценности духовной жизни, в центре которой — вера в Бога как высочайшая ценность, не должны покидать и нас ни при каких обстоятельствах. Но, опираясь на эти ценности, мы используем и иное, очень важное средство преодоления недугов и болезней — молитву. Когда мы с верой обращаемся к Господу, Он слышит наши молитвы и помогает нам.

    Сегодня нам всем нужно усилить нашу молитву. Может быть, отстраниться от нашей повседневности настолько, насколько это возможно, — конечно, не нарушая нормальный ход жизни, но так, чтобы было меньше суеты, меньше пустоты, меньше всего того, что рассредоточивает человека и отдаляет его от Бога.

    Сегодня особое время для народа нашего. И если мы хотим выйти победителями из этих тяжких обстоятельств, мы должны меняться к лучшему. Потому что изменение к лучшему в духовном смысле означает обретение силы, а в трудных условиях выживает только сильный.

    Дивный пример преподобного Сергия, который обрел великую силу без всякой человеческой поддержки, в полном уединении, только через молитву и реальное общение с Богом, должен и сегодня помочь всем нам понять, что вне зависимости от нашего положения, от состояния нашего здоровья, мы все одинаково близки к Господу, потому что Он нас всех любит и готов ответить на молитвы каждого из нас. И дай Бог, чтобы стесненные обстоятельства современной жизни помогли нам иначе взглянуть на окружающий нас мир, на наши ценности, наши занятия, наше целеполагание, задуматься, так ли мы живем, насколько наша жизнь соответствует Божией правде и может ли эта жизнь вооружить нас той силой, которую обрел через праведную жизнь преподобный и богоносный отец наш Сергий, игумен Радонежский. Его молитвами да хранит Господь землю нашу, народ наш, страну нашу и каждого, каждого, кто с верой и надеждой обращается к Богу, прося Его милости к себе и спасения души и тела.

    Всех вас поздравляю с великим для нас праздником — с днем памяти преподобного и богоносного отца нашего Сергия, игумена Радонежского! Аминь.

    Пресс-служба Патриарха Московского и всея Руси

    «Много ли вы в жизни получили денег просто так? А здесь, видите, раздают». 21.by

    Источник материала: СТВ

    Новости Беларуси. Вся суть общественных организаций – за чей счет они существуют и как осуществляют свою деятельность?

    Андрей Лазуткин в рубрике «Занимательная политология». В программе Новости «24 часа» на СТВ.


    Андрей Лазуткин, политолог:
    На минувшей неделе обыски прошли в организациях с загадочными названиями. Центр правовой трансформации, Хельсинкский комитет, Офис европейской экспертизы, Центр гендерных исследований и прочее.

    Названия звучат солидно – как целый институт. Но реально это два-три человека, включая бухгалтера. Один пишет отчеты, второй – доклады, третий ездит по семинарам. За что жили все эти люди? Ну, за гранты.

    Андрей Лазуткин:
    Чтобы вы понимали, 90 % времени таких организаций занимает чес по спонсорам («по фундатарам» на белорусском), и еще примерно 10 % – написание отчетов.

    Но все это происходит в мирное время. А во время выборов, протестов, кризисов гражданам дают команду доносить позицию до мировой общественности.

    Вот фрагмент сессии Совета по правам человека ООН.


    Слово предоставляется фонду Human Rights House Foundation.


    Наш фонд и белорусский правозащитный центр объединяет 33 другие белорусские организации. Мы рекомендуем […] «спецдокладчик» с достаточными финансовыми ресурсами. По мере углубления правозащитного кризиса в Беларуси мандат спецдокладчика очень важен. Спецдокладчик остается безопасным каналом для белорусского гражданского общества. Предоставлять обновленную информацию о том, что происходит в стране. Тем не менее, такая обновленная информация становится все более и более сложной для предоставления. Недавнее изменение в Уголовном кодексе вызывает глубокую обеспокоенность.


    Андрей Лазуткин:
    Люди, о которых вы ничего не знаете и никогда не слышали, выражают обеспокоенность не просто так. Им за это платят, и более того, платят всем 33 организациям, которые у них под крышей.

    Почему все это работает? Совсем не потому, что весь западный мир наседает на маленькую, но такую ценную Беларусь. Ничего подобного. Это разные схемы отмыва денег, причем не у нас, а в Европе. На каждом этапе грантовой цепочки присваиваются суммы, которые до конечного получателя, то есть в Беларусь, доходят уже в виде налички.

    Вы удивитесь, но финансировать правозащитные исследования в Беларуси гораздо выгоднее, чем в остальной Европе.

    Андрей Лазуткин:
    Возьмем, допустим, братскую Польшу. Общественные организации, которые действуют в польской юрисдикции, должны иметь в открытом доступе всю финансовую отчетность. То есть вы заходите на сайт польского Минюста и сразу получаете сведения о доходах, расходах, заработной плате конкретной организации.

    В нашей диктатуре ничего подобного нет. То есть вы отчитываетесь перед своим спонсором не через белорусский Минюст, а просто пишете расписку на бумаге на основе сметы. Как вы реально потратили эти деньги, проверить невозможно. А значит, их можно тратить как угодно, потому что в стране диктатура. Грантодатели это прекрасно понимают, и откусывают свой кусочек пирога.


    Андрей Лазуткин:
    По-простому это называется откат с выделенных средств. И составляет он не 10 %, как обычно, а минимум 50 на 50.

    К примеру, центр «Весна» имеет примерно 16 сотрудников. Зарплата одного сотрудника – 500 долларов, то есть минимум 8 000 долларов ежемесячно только на заработную плату. Но это то, что доходит на руки исполнителям. А месячный бюджет центра можно смело умножить раз в 10, и чтобы его оценить, надо иметь доступ к иностранным счетам.

    Андрей Лазуткин:
    Эти люди особо не отрицают, что живут на внешние средства. Но полностью легенда звучит так: мы берем деньги у разных фондов и правительств, а не у кого-то одного, и поэтому мы такие независимые.

    А откуда вообще взялись все эти разные фонды? Примерно в 1970-х ЦРУ понимает, что финансировать напрямую политические группировки нельзя, это их сразу скомпрометирует. Поэтому была создана система фондов-прокладок. То есть вы создаете разные фонды в юрисдикции Польши, Литвы, Германии, Чехии, которые получают одни и те же американские деньги. Это вроде бы хорошо. А потом эти деньги распределяются так, как нужно американцам.

    И если вы думаете, что в Беларуси какая-то уникальная ситуация, то как бы ни так. Эти же процессы происходят в России, где сейчас идет точно такая же зачистка.


    Алексей Навальный создал Фонд Борьбы с Коррупцией в 2011 году. И за это время, за эти 10 лет в ФБК прошел большой путь от маленькой активистской НКО с единственным наемным сотрудником до самой значительной независимой политической силы в стране. Такой значительной, что Путин не придумал ничего лучше, как ликвидировать ФБК через абсурдный судебный процесс о признании Фонда экстремистской организацией.

    Андрей Лазуткин:
    Человек на видео – это Волков, руководитель штаба Навального, который сидит в Латвии. Он рассказывает, как их маленький фонд из одного человека за 10 лет работы превратился в сеть, которая пыталась организовать массовые беспорядки. У нас такого единого крупного фонда не было, но те, кого задерживают – это как раз маленькие ячейки общей сети.

    Ну вот и вся схема гражданского общества. Понятие это придумали примерно тогда же, когда ЦРУ придумало систему фондов. Разумеется, внешне это выглядит как независимая раздача денег от хороших дядей. Это как бы и цель, и сам процесс. Кто мы? Гражданское общество. Что мы делаем? Строим гражданское общество. А наши спонсоры просто пухнут от денег, и поэтому финансируют какие-то мутные центры в Беларуси, где никогда сами не были. Много ли вы в жизни получили денег просто так? А здесь, видите, раздают.

    А дальше, когда вы раскрутили какие-то фонды, из них появляются новые фигуры, которые пришли в политику не просто так, потому что их взяли на зарплату, а потому что они много лет успешно занимались какой-то ерундой, о которой остальное население знать не знает.


    Говорит «Радио Свобода». В эфире программа «Лицом к событию». Сегодня это совместный выпуск «Радио Свобода» и «Голоса Америки». Ведет передачу Михаил Соколов и вместе со мной ее будет вести Данила Гальперович, мой коллега, специальный корреспондент «Голоса Америки» в Москве. Задавать свои вопросы в прямом эфире вы будете Алексею Навальному, я бы сказал самому известному на сегодня, самому популярному политику оппозиции, учредителю Фонда Борьбы с Коррупцией и лидеру незарегистрированной «Партии прогресса».

    Андрей Лазуткин:
    А дальше кто-то должен рассказать, что именно Навальный – самый популярный политик в России. Вот это и делают как бы независимые СМИ.

    Надо сказать, что люди со светлыми лицами с американских радиостанций имеют особый авторитет. К нам они пришли в замечательные 1990-е, когда население имело зарплату по 20 долларов. А в фонде Сороса, например, вам сразу предлагали грант в 100 долларов, как пять ваших зарплат. Это позволило быстро скупить нищий, на тот момент, профессорско-преподавательский состав и творческую интеллигенцию, которая потом многие годы составляла ядро оппозиции.


    Андрей Лазуткин:
    Кто-то за эти деньги продавал секреты, а кто-то разрабатывал схемы, как переделать общество под западные интересы. И на фоне того, что родное государство под управлением Шушкевича перестало платить пенсии и выдавало зарплату деталями, их гражданское общество выглядело очень солидно и перспективно.

    Собственно, отсюда и растут корни у нашей оппозиции, которая годами занимается политикой. Хотя многие, кто пришел в протест после августа, искренне не понимают, как и где распределяются деньги.

    Андрей Лазуткин:
    Но если лично вы что-то делаете бесплатно, значит, кто-то в этой схеме получает две зарплаты. За себя и за того парня.

    А с вами был Андрей Лазуткин и выпуск «Занимательной политологии».

    Читайте также:

    Андрей Лазуткин про обыски в белорусских НКО: «Откуда эти фонды появляются конкретно в Восточной Европе?»

    Андрей Лазуткин: нашим литовским и польским братьям придется тяжело. Замаячила контрабанда героина в промышленных масштабах

    Андрей Лазуткин: «Закрытая украинско-белорусская граница США волнует гораздо больше, чем собственная»

     

     

    Чтобы разместить новость на сайте или в блоге скопируйте код:

    На вашем ресурсе это будет выглядеть так

    Новости Беларуси. Вся суть общественных организаций – за чей счет они существуют и как осуществляют свою деятельность? Андрей Лазуткин в рубрике «Занимательная…

     

    квадратный корень из 50 — Как найти квадратный корень из 50?

    Квадратный корень из 50 — это число, которое при умножении само на себя дает 50. Нахождение квадратного корня из числа чрезвычайно важно для определения длины стороны квадрата из его площади. Теперь мы рассмотрим, как найти значение квадратного корня из 50, и решим некоторые проблемы, которые помогут вам лучше понять.

    • Квадратный корень из 50: √ 50 = 7,0710678 …
    • Квадрат 50: 50 2 = 2500

    Что такое квадратный корень из 50?

    Квадратный корень числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число.Например, квадратный корень из 25 равен 5, так как 5 умножить на 5 дает 25. Однако вы также можете получить квадратные корни из некоторых чисел, которые не дают целых чисел, например 50. Мы можем выразить квадратный корень из 50. разными способами:

    • Десятичная форма: 7.071
    • Радикальная форма: √50 = 5√2
    • Показательная форма: 50 1/2

    Является квадратный корень из 50 рациональным или иррациональным?

    • Десятичная часть квадратного корня 50 не ограничивается.Это определение иррационального числа. Это также не может быть выражено как отношение p / q, которое говорит нам, что это иррационально.
    • Глядя на десятичную форму корня 50, мы видим, что он бесконечен: √50 = 7.0710678118 …….
    • Таким образом, мы можем заключить, что квадратный корень из 50 является иррациональным.

    Как найти квадратный корень из 50?

    Есть два основных метода, которые мы используем, чтобы найти квадратный корень 50:

    .

    Основная факторизация

    • Чтобы найти квадратный корень из 50, мы сначала выразим его через простые множители.

    50 = 2 × 5 × 5

    • Далее это может быть уменьшено до 50 = 2 × 5 2
    • Наконец, отсюда очень легко найти корень этого,

    √50 = √ (25 × 2) = 5√2 = 5 × 1,414 = 7,07

    Следовательно, квадратный корень из 50 7,07

    Длинный дивизион

    • Шаг 1: Поместите черту над цифрами 50. Мы также объединяем десятичные нули в пары по 2 слева направо.
    • Шаг 2: Найдите такое число, что при умножении его на само полученное произведение будет меньше или равно 50.Мы знаем, что 7 × 7 = 49, что меньше 50. Разделив 50 на 7, мы получим 7 как частное и 1 как остаток.
    • Шаг 3: Поместите десятичную дробь после частного, поскольку мы теперь делим, используя нули из десятичной части 50. Не забудьте перетащить пару нулей вниз, чтобы получилось делимое 100. Кроме того, добавление 7 само по себе дает нам 14 который становится стартовой цифрой нашего следующего делителя.
    • Шаг 4: Теперь у нас есть 14X в качестве нового делителя. Нам нужно найти такое значение X, чтобы 14X × X давало нам значение меньше 100.Только 0 заполняет позицию X, поэтому дивиденд равен 140, а частное теперь составляет 7,0.
    • Шаг 5: Следующим делителем будет 140 + 0, а делимое — 10000. Мы продолжаем делать те же шаги, пока не получим требуемое количество десятичных знаков.

    Итак, наше длинное деление теперь выглядит так:

    Следовательно, квадратный корень из 50 равен 7,071

    Изучите квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

    • Что такое квадратный корень из 450?
    • Ис-7.071 корень 50? Если да, то почему?
    • Найдите квадратный корень из:

    Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 50

    Что такое квадратный корень из 50?

    Квадратный корень из 50 равен √50 = 7,071.

    Что такое квадрат 50?

    Квадрат 50 равен 50 2 = 2500.

    Что такое упрощенный квадратный корень из 50?

    Квадратный корень из 50 в упрощенной форме равен 5√2.

    Является ли квадратный корень из 50 рациональным числом?

    Квадратный корень из 50 — это иррациональное число, так как оно не заканчивается.Его нельзя выразить в форме p / q, что и составляет рациональное число.

    Какова степень корня 50?

    Показатель степени, если корень 50 равен 50 1/2 .

    Функция квадратного корня Python — настоящий Python