Автор: alexxlab

Аналогично тому, что мы делали для неориентированных графов, мы позволим строкам и столбцам нашей матрицы смежности представлять узлы или вершины. В результате получится квадратная матрица. Однако, в отличие от неориентированных графов, 1 указывает на стрелку, идущую от столбца j до строки i. ПРИМЕЧАНИЕ. Вы можете увидеть это наоборот, со стрелкой, идущей от столбца i к строке j. Убедитесь, что вы знаете, какая версия используется.

Для приведенного выше графика матрица смежности выглядит следующим образом:

Поскольку есть ребро, идущее от узла 1 к узлу 2, мы видим 1 в (строка 2, столбец 1). Эта направленность часто приводит к асимметричной матрице. Кроме того, мы можем видеть, что диагональ полностью состоит из нулей, поскольку нет ребер, идущих от любого узла к самому себе. Теперь давайте рассмотрим пример, в котором у нас есть петли и мультиребра.

В этом примере мы сохраним наш фрейм данных узлов сверху, но укажем новый фрейм данных ребер. Так как нам нужны циклы, у нас будет связь от 2 до 3 и с 3 на 2, что дает нам петлю. Второй тип петли, которую мы создадим, — это самокрай, когда отношения замыкаются на самих себе. Мы установим собственное ребро с узлом 1, установив отношение от 1 до 1. Наконец, мы сохраним все наши новые отношения во фрейме данных с именем edgeMessy .

 # Создать новый фрейм данных Edge для visNetwork.
edgeMessy <- data.frame(from = c(1, 2, 3, 3, 4, 5, 1, 3, 5, 5),
                         к = с (2, 3, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 6, 6),
                         стрелки = «к»)
# Построить сеть, используя visNetwork.
visNetwork(узлы, краяMessy) %>%
  visOptions(highlightNearest = TRUE, nodesIdSelection = TRUE) 

Здесь матрица смежности выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что петля представлена ​​как 1. Для ориентированных графов учитывается каждая направленная связь, а петля представляет собой только одну направленную связь. (Если бы для узла 1 было две петли, запись была бы 2.) Мы также можем видеть, что между узлами 5 и 6 есть три ребра. Таким образом, теперь представлено числом 3.

Памятка для учеников по решению квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений.

Уравнение вида ax² +bx+c=0, где х – переменная, a≠0, b, c – некоторые числа, называется квадратным уравнением.

a≠0, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

D = b² – 4аc – дискриминант квадратного уравнения.

Если D 0, два корня: х₁ = х₂ =

D = 0, один корень х =

D , корней нет.

Пример 1. Назовите коэффициенты уравнения:

а) 2x² +5x+3=0, a=2, b=5, c=3

б) 4x² -5x=0, a=4, b= -5, c=0

в) x² +4x – 2,5=0, a=1, b=4, c=2,5

г) 3x -2x²+4=0, a=-2, b=3, c=4

Помните! Коэффициент a всегда стоит перед х², коэффициент b – перед х, коэффициент c не имеет буквенного множителя!

Пример 2. Сколько корней имеет квадратное уравнение:

а) 2x² +5x+3=0, a=2, b=5, c=3

Решение: D = b² – 4аc = 5²-4*2*3=25-24=10, два корня

б) 4x² -5x+7=0, a=4, b= -5, c=7

Решение: D = b² – 4аc = (-5)²-4*4*7=25-112=-87

в) x² – 4x + 4=0, a=1, b=-4, c=4

Решение: D = b² – 4аc =( -4)²-4*1*4=16-16=0, один корень

Пример 3. Решите уравнение:

а) 2x² +5x+3=0, a=2, b=5, c=3

Решение: D = b² – 4аc = 5²-4*2*3=25-24=10, два корня

х₁ = х₂ =

б) x² – 4x + 4=0, a=1, b=-4, c=4

Решение: D = b² – 4аc =( -4)²-4*1*4=16-16=0, один корень

х =

в) 4x² -5x=0, a=4, b= -5, c=0

Решение: D = b² – 4аc =(- 5)²-4*4*0=250, два корня

х₁ = х₂ =

Алгоритм решения квадратных уравнений:

1. Выписать коэффициенты;

2. Найти дискриминант, подставив значение коэффициентов в формулу;

3. Определить, сколько корней имеет данное уравнение;

4. Выбрать по значению дискриминанта формулу корней, подставить в нее нужные значения и найти корни уравнения;

5. Записать ответ.

Использование дискриминанта для прогнозирования количества решений квадратного уравнения

Сделать 5 мин чтения 4 мин видео

Использование дискриминанта для прогнозирования количества решений квадратного уравнения

Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущем примеры, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда реальных решений не было. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения без фактического решения уравнения? 9{2}-4·3·9=-104\) − 0

Когда дискриминант положительный \((x=\frac{\text{−}b±\sqrt {+}}{2a})\) квадратное уравнение имеет два решения .

Когда дискриминант равен нулю \((x=\frac{\text{−}b±\sqrt{0}}{2a})\) квадратное уравнение имеет одно решение .

Когда дискриминант отрицательный \((x=\frac{\text{−}b±\sqrt{-}}{2a})\) квадратное уравнение имеет 9{2}-4·9·1\\ \text{Упростить. }\hfill & & & \hfill \begin{array}{c}\hfill 36-36\phantom{\rule{1.6em}{0ex}} \\ \hfill 0\phantom{\rule{2.7em}{0ex}}\end{массив}\\ \text{Поскольку дискриминант равен 0, уравнение имеет одно решение.}\hfill & & & \end {массив}\)

Дополнительное видео

Продолжить работу с мобильным приложением | Доступно в Google Play

[Атрибуции и лицензии]

Поделиться мыслями

\(a_{b}\)

\(\sqrt{a}\)

\(\sqrt[b]{a}\)

\(\frac{a}{ б}\)

\(\cfrac{a}{b}\)

\(+\)

\(-\)

\(\times\)

\(\div\)

\(\pm\)

\(\cdot\)

\(\amalg\)

\(\ast\)

\(\barwedge\)

\(\bigcirc\)

\( \bigodot\)

\(\bigoplus\)

\(\bigotimes\)

\(\bigsqcup\)

\(\bigstar\)

\(\bigtriangledown\)

\(\bigtriangleup\)

\(\blacklozenge\)

\(\blacksquare\)

\(\blacktriangle\)

2 \(\

3) \(\bullet\)

\(\cap\)

\(\cup\)

\(\circ\)

\(\circledcirc\)

\(\dagger\)

\( \ddagger\)

\(\diamond\)

\(\dotplus\)

\(\lozenge\)

\(\mp\)

\(\ominus\)

\(\oplus \)

\(\oslash\)

\(\otimes\)

\(\setminus\)

\(\sqcap\)

\(\sqcup\)

\(\square\)

\(\star\)

\(\triangle\)

\(\triangledown\)

\(\triangleleft\)

\(\Cap\)

\(\Cup\)

\( \upplus\)

\(\vee\)

\(\veebar\)

\(\клин\)

\(\wr\)

\(\следовательно\)

\(\left ( a \right )\)

\(\left \| a \right \|\)

\(\влево [ a \вправо ]\)

\(\влево \{ a \вправо \}\)

\(\влево \lceil a \вправо \rceil\)

\(\влево \ lfloor a \right \rfloor\)

\(\left ( a \right )\)

\(\vert a \vert\)

\(\leftarrow\)

\(\leftharpoondown\)

\(\leftharpoonup\)

\(\leftrightarrow\)

\(\leftrightharpoons\)

\(\mapsto\)

\(\rightarrow\)

\(\rightharpoondown\)

\( \правый гарпунвверх\)

\(\rightleftharpoons\)

\(\to\)

\(\Leftarrow\)

\(\Leftrightarrow\)

\(\Rightarrow\)

\(\overset{a}{ \leftarrow}\)

\(\overset{a}{\rightarrow}\)

\(\приблизительно \)

\(\asymp\)

\(\cong \)

\(\dashv \)

\(\doteq \)

\(= \)

\(\equiv \)

\(\frown \)

\(\geq \)

\(\geqslant \)

\(\гг\)

\(\gt \)

\(| \)

\(\leq \)

\(\leqslant \)

\(\ll \)

\(\lt \)

\( \models\)

\(\neq \)

\(\ngeqslant \)

\(\ngtr \)

\(\nleqslant \)

\(\nless \)

\(\not \equiv \)

\(\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \)

\(\parallel \)

\(\perp \)

\(\prec \)

\(\preceq \)

\(\сим\)

\(\simeq\)

\(\smile\)

\(\succ\)

\(\succeq\)

\(\vdash\)

\(\in\)

\ (\ni \)

\(\notin \)

\(\nsubseteq \)

\(\nsupseteq \)

\(\sqsubset \)

\(\sqsubseteq \)

\(\ sqsupset \)

\(\sqsupseteq \)

\(\subset \)

\(\subseteq \)

\(\subseteqq \)

\(\supset \)

\\supseteq )

\(\supseteqq \)

\(\emptyset\)

\(\mathbb{N}\)

\(\mathbb{Z}\)

\(\mathbb{Q}\)

\(\mathbb{R}\)

\(\mathbb{C}\)

\(\alpha\)

\(\beta\)

\(\gamma\)

\(\delta \)

\(\эпсилон\)

\(\дзета\)

\(\эта\)

\(\тета\)

\(\йота\)

\(\каппа\)

\(\lambda\)

\(\mu\)

\(\nu\)

\(\xi\)

\(\pi\)

\(\rho\)

\(\sigma\)

\(\tau\)

\(\upsilon\)

\(\phi\)

\(\chi\)

\(\psi\)

\(\omega\)

\(\Gamma\)

\(\Delta\)

\(\Theta\)

\( \Lambda\)

\(\Xi\)

\(\Pi\)

\(\Sigma\)

\(\Upsilon\)

\(\Phi\)

\(\Psi \)

\(\Омега\)

\((а)\)

\([а]\) 9{} a\)

Редактировать математику с помощью TeX:

Предварительный просмотр математики:

Квадратное уравнение без решения с примерами

Некоторые квадратные уравнения не имеют действительного решения. Существуют различные способы, с помощью которых мы можем определить, может ли квадратное уравнение иметь решение или нет.

По значению дискриминанта

Наиболее широко используемый метод определения того, имеет ли квадратное уравнение решение, — это просмотр значения дискриминанта.

= ${\dfrac{4\pm \sqrt{16-20}}{2}}$

= ${\dfrac{4\pm \sqrt{-4}}{2}}$

Как мы знаем, квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом. Таким образом, это квадратное уравнение не имеет ни действительных корней, ни решений. Однако уравнение имеет два комплексных решения {2 + i, 2 – i}

Решение: 9{2}-4\times 1\times 5}}{2\times 1}}$
= ${\dfrac{-2\pm \sqrt{4-20}}{2}}$
 = ${\ dfrac{-2\pm \sqrt{-16}}{2}}$
Как мы знаем, квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом. Таким образом, это квадратное уравнение не имеет ни действительных корней, ни решений. Однако уравнение имеет два комплексных решения {2i – i, -2i – i}

Глядя на природу графика

Еще один интересный способ определить, имеет ли квадратное уравнение действительное решение, – посмотреть на график. Если график не касается оси абсцисс, то он не будет иметь действительного решения.

Давайте рассмотрим то же квадратное уравнение x ² – 4x + 5 = 0, чтобы сделать вывод. Предположим, мы строим график, используя точки координат, найденные вручную или с помощью графического калькулятора. В этом случае мы действительно можем обнаружить, что парабола не касается оси x.

Итак, концепция действительно работает. Давайте попробуем другой такой пример.

Решение:

Построив данное квадратное уравнение с помощью плоттера, мы получим приведенную ниже параболу:
Поскольку эта парабола не касается оси x, мы можем заключить, что соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных решений. Также обратите внимание, что квадратное уравнение без действительного решения может иметь график ниже оси X.
Если мы решим данное уравнение с помощью квадратичной формулы, мы найдем два комплексных решения {1 + i, 1 – i}

Глядя на коэффициенты

Еще один простой способ определить, имеет ли заданное квадратное уравнение действительные корни или решение, — посмотреть на коэффициенты, если уравнение записано в стандартной форме.

Если среднесрочный коэффициент равен нулю (b = 0) и оба знака «a» и «b» имеют одинаковый знак (положительный или отрицательный), то уравнение не будет иметь действительного решения. После упрощения найдем, что решения представляют собой положительные и отрицательные квадратные корни из ${-\dfrac{c}{a}}$

Возможны два случая:

• Если c и a оба положительны, то ${\dfrac{c}{a}}$ положительно, а ${-\dfrac{c}{a}}$ отрицательно
• Если c и a оба отрицательны, тогда ${\dfrac{c}{a}}$  является положительным, а ${-\dfrac{c}{a}}$ отрицательным

В любом случае нам нужно извлечь квадратный корень из отрицательное число, которое даст нам два комплексных решения.

Логарифмические неравенства — подготовка к ЕГЭ по Математике

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

При этом

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

Ответ:

5. Решите неравенство

ОДЗ:

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Сделаем замену

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ:

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Итак,

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

Ответ:

9. Решите неравенство:

Выражение 5^—x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5⁹ · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)².

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Запишем ОДЗ:

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x — 18)²=(18 — x)². Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Логарифмические неравенства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

калькулятор с основанием 3 | Icalc – онлайн-калькуляторы



Log Base 3 Calculator (Калькулятор логарифма 3) находит результат функции логарифмирования по основанию 3; Вычислить логарифмическое основание 3 числа.

Согласно Log Base 3 Калькулятор:

Список log ₃ таблицы значений функций, log base 3 чисел.

Логарифмическая база 3 из 1 = логарифм ₃ (1) = 0,0000000000
Логарифмическая база 3 из 2 = логарифм ₃ (2) = 0,6309297536
Логарифмическая база 3 из 3 = логарифм ₃ (3) = 0,000000 3 из 4 = логарифм ₃ (4) = 1,2618595071
Основание логарифма 3 из 5 = логарифм ₃ (5) = 1,4649735207
Основание логарифма 3 из 6 = логарифм ₃ (6) = 1,63060903 7 = log ₃ (7) = 1,7712437492
Log Base 3 из 8 = log ₃ (8) = 1,8927892607
База 3 из 9 = ₃ (9) = 2,0000000000
База 3 из 10 = ₃ (10) = 2,09543 386
Основание логарифма 3 из 12 = логарифм ₃ (12) = 2,2618595071
База журналов 3 из 15 = log ₃ (15) = 2,4649735207
Log Base 3 из 16 = log ₃ (16) = 2,52371
База 3 из 17 = ₃ (17) = 2,57832
База 3 из 18 = ₃ (18) = 2,6309297536 38592
Основание логарифма 3 из 20 = log ₃ (20) = 2,7268330279
Основание логарифма 3 из 21 = log ₃ (21) = 2,7712437492
База журналов 3 из 23 = log ₃ (23) = 2,8540498302
Log Base 3 из 24 = log ₃ (24) = 2,8927892607
База 3 из 25 = ₃ (25) = 2,9299470414
База 3 из 26 = ₃ (26) = 2,9656472730 00000
Основание логарифма 3 из 28 = логарифм ₃ (28) = 3,0331032563
Основа логарифма 3 из 29 = log ₃ (29) = 3,0650447521
База журналов 3 из 31 = log ₃ (31) = 3,1257498573
Log Base 3 из 32 = log ₃ (32) = 3,1546487679
Основание журнала 3 из 33 = log ₃ (33) = 3,1826583386
Основание журнала 3 из 34 = log ₃ (34) = 3,2098316767
Журнал Основание 3 из 36 = log ₃ (36) = 3,2618595071
Log Основание 3 из 37 = log ₃ (37) = 3,2867991282
Log База 3 из 38 = log ₃ (3811) = 70 9118 3 (38) 3,60 База 3 из 39 = log ₃ (39) = 3,3347175195
Log Base 3 из 40 = log ₃ (40) = 3,3577627814
Основание 3 из 41 = log ₃ (41) = 3,3802389660
Основание 3 из 42 = log ₃ (42) = 3,4021735027
Журнал Основание 3 из 44 = log ₃ (44) = 3,4445178458
Log Основание 3 из 45 = log ₃ (45) = 3,4649735207
Log База 3 из 46 = log ₃ (484) = 7,50 База 3 из 47 = log ₃ (47) = 3,5045553754
Log Base 3 из 48 = log ₃ (48) = 3,52371
Основание 3 из 49 = log ₃ (49) = 3,5424874983
Основание 3 из 50 = log ₃ (50) = 3,5608767950
Журнал База 3 из 52 = log ₃ (52) = 3,5965770266
Log База 3 из 53 = log ₃ (53) = 3,6139154409
Log База 3 из 54 = log ₃ (6309) Log = 2,9 База 3 из 55 = log ₃ (55) = 3,6476318594
Log Base 3 из 56 = log ₃ (56) = 3,6640330099
База 3 из 57 = ₃ (57) = 3,6801438592
База 3 из 58 = ₃ (58) = 3,6959745057 95
Логарифмическая база 3 из 60 = log ₃ (60) = 3,7268330279
Логарифмическая база 3 из 61 = log ₃ (61) = 3,7418786469
Логарифмическая база 3 из 62 = log ₃ 7969 (62) = 3,7418786469 База журналов 3 из 63 = log ₃ (63) = 3,7712437492
Log Base 3 из 64 = log ₃ (64) = 3,7855785214
Основание логарифма 3 из 65 = log ₃ (65) = 3,79962
Основание логарифма 3 из 66 = log ₃ (66) = 3,8135880922
Журнал Основание 3 из 68 = log ₃ (68) = 3,8407614303
Log Основание 3 из 69 = log ₃ (69) = 3,8540498302
Log База 3 из 70 = log _{3 (70) = 400 База 3 из 71 = log 3 (71) = 3,8800584346
Log Base 3 из 72 = log 3 (72) = 3,8927892607
Основание 3 из 73 = log 3 (73) = 3,44836
Основание 3 из 74 = log 3 (74) = 3,9177288818
Журнал Основание 3 из 76 = log 3 (76) = 3,9420033664
Log Основание 3 из 77 = log 3 (77) = 3,95378
Log База 3 из 78 = log 3 (9656) 720 3,0 База 3 из 79 = log 3 (79) = 3,9772428340
Log Base 3 из 80 = log 3 (80) = 3,9886925350
Основание журнала 3 из 81 = log 3 (81) = 4,0000000000
Основание журнала 3 из 82 = log 3 (82) = 4,0111687196
Журнал Основание 3 из 84 = log 3 (84) = 4,0331032563
Log Основание 3 из 85 = log 3 (85) = 4,0438754439
Log База 3 из 86 = log 3 (854) = 20 6015 База 3 из 87 = log 3 (87) = 4,0650447521
Log Base 3 из 88 = log 3 (88) = 4,0754475994
База 3 из 89 = 3 (89) = 4,0857328978
База 3 из 90 = 3 (90) = 4,09543 86
Основание логарифма 3 из 92 = логарифм 3 (92) = 4,115
73
Основа логарифма 3 из 93 = log 3 (93) = 4,1257498573
База журналов 3 из 95 = log 3 (95) = 4,1451173800
Log Base 3 из 96 = log 3 (96) = 4,1546487679
База 3 из 97 = 3 (97) = 4,1640813831
База 3 из 98 = 3 (98) = 4,1734172519
Журнал База 3 из 100 = log 3 (100) = 4.}

Специальный выпуск новостей в 16:30 22 февраля 2023 года. Новости. Первый канал

Новости

• Выпуски
• Все новости

Хотите получать уведомления от сайта «Первого канала»?

Специальный выпуск новостей в 16:30, 22 февраля 2023 года

Новость 1/4

Время

Главные темы выпуска:

Выпуск программы «Время» в 21:00 от 24.02.2023Все серьезнее предостережения о провокации, которую Киев готовит для ПриднестровьяСостоялся телефонный разговор Владимира Путина с президентом Турции Реджепом Тайипом ЭрдоганомКлючевые события спецоперации происходят сейчас в районе Артемовска

Новости

Главные темы выпуска:

Выпуск новостей в 12:00 от 24.02.2023Минобороны РФ раскрыло детали киевской провокации в ПриднестровьеВ ЛНР российские бойцы остановили попытку боевиков прорвать линию обороныВ МИД Китая представили мирный план по решению украинского кризиса

Новости

Главные темы выпуска:

Выпуск новостей в 10:00 от 24. 02.2023Стали известны новые данные о провокации, которую готовит киевский режимДиверсионная группа вышла прямо на блиндаж российских военныхМИД Китая опубликовал план по урегулированию украинского конфликта

Время

Главные темы выпуска:

Выпуск программы «Время» в 21:00 от 23.02.2023Владимир Путин возложил венок к Могиле Неизвестного Солдата и пообщался с участниками боевПатриарх Кирилл почтил память павших и обратился к каждому, кто готов встать на защиту РодиныРоссийские военные наносят осколочно-фугасные удары по противнику в районе Кременной

Новости

Главные темы выпуска:

Выпуск новостей в 18:00 от 23.02.2023В День защитника Отечества торжественные и памятные мероприятия проходят по всей странеВладимир Путин возложил венок к Могиле Неизвестного Солдата и пообщался с ветеранамиПатриарх Кирилл в День Защитника Отечества возложил венок к Могиле Неизвестного Солдата

Новости

Главные темы выпуска:

Выпуск новостей в 12:00 от 23. 02.2023В России отмечают День защитника ОтечестваБои в окрестностях Кременной идут не одну неделюКрымский мост после ремонта полностью открыт для автомобильного движения

Новости

Главные темы выпуска:

Выпуск новостей в 10:00 от 23.02.2023Владимир Путин поздравил россиян с Днем защитника ОтечестваЗащитники в зоне СВО выполняют боевые задания, последовательно освобождая территории от украинских боевиковВасилий Небензя назвал западный проект резолюции в ООН по Украине антироссийским и вредоносным

Время

Главные темы выпуска:

Выпуск программы «Время» в 21:00 от 22.02.2023Весь российский народ является сегодня защитником Отечества, заявил Владимир Путин на митинге-концерте в «Лужниках»В Минобороны РФ назвали новые имена героев — участников спецоперации по защите ДонбассаВСУ нанесли ракетные удары по городам Донецкой народной республики

Новости

Главные темы выпуска:

Выпуск новостей в 18:00 от 22.

В современном мире производится огромное количество калькуляторов, которые различаются между собой не только размерами, но и выполняемыми функциями. Понятно, что раз производители выпускают на рынок все это разнообразие, то у него есть вполне определенные группы потребителей, которые из всех вариантов выберут калькулятор максимально отвечающий их потребностям.

Сопутствующие разделы:
Калькуляторы с печатью
Инженерные или научные калькуляторы
Калькуляторы Citizen
Калькуляторы Casio
История возникновения калькуляторов

Калькуляторы можно разделить на следующие виды:

• карманные — калькуляторы небольшого размера, которые можно брать с собой,
• настольные — калькуляторы чуть большего размера, которые удобнее использовать, например, на рабочем месте, людям, производящим большое количество расчетов,
• калькуляторы с печатью — настольные калькуляторы со встроенным печатным устройством, которое выводит производимые вычисления, промежуточные итоги, графики на бумажную ленту,
• онлайн калькуляторы.

Ну, а если говорить о функциях, то все выпускаемые модели можно условно отнести к одному из типов калькуляторов, о которых мы расскажем ниже.

Простые калькуляторы:

Простые калькуляторы выполняют обычные арифметические расчеты (сложение, вычитание, деление и умножение) и, как правило, несколько дополнительных функций, таких как расчет процентов и извлечение из квадратного корня. Такие калькуляторы обычно небольшого размера и веса.

Бухгалтерские калькуляторы:

Как следует из названия этого типа калькуляторов, они предназначены для использования бухгалтерами и кассирами. В целом же основная их функция — это профессиональные расчеты с денежными суммами.
Бухгалтерские калькуляторы преимущественно выполнены в настольном варианте, оснащены крупными клавишами, большего размера дисплеем, могут иметь клавиши типа «000», поддерживают большее, чем у других калькуляторов, число знаков. Такие калькуляторы зачастую имеют функции округления, а также дополнительные бухгалтерские функции: «проверка и коррекция» (позволяет не только просмотреть выполненные действия, но и внести в них изменения), «покупка-продажа-прибыль» (вычисление себестоимости, цены или маржи по двум параметрам), вычисление надбавок, расчет и добавление/ вычитание НДС, подсчет итога по всем операциям, конвертация валюты.

Инженерные калькуляторы:

Более сложный тип калькуляторов, разработанный для различных по сложности инженерных и научных расчетов. Такие калькуляторы способны делать расчеты с приоритетами операций и скобками, иногда позволяют делать расчеты с дробями, делают вычисления элементарных функций, а также поддерживают множество других расчетов (статистические, тригонометрические и пр.).
Инженерный калькулятор может поддерживать более сотни функций, из-за чего обычно содержит большее количество клавиш, зачастую двойного или тройного значения.

Финансовые калькуляторы:

В целом, это один из подвидов инженерных калькуляторов, который предназначен для финансовых расчетов, таких как расчет аннуитета, дисконта, размер выплат по кредиту, приведенного потока и подобное. Исходя из данных функций, подходит для банковских сотрудников и финансистов.

Программируемые калькуляторы:

Программируемые калькуляторы по их возможностям можно назвать сложными инженерными калькуляторами. Они способны выполнять те же функции, а также дополнительно делать повторные сложные вычисления, выполнять создаваемые пользователями программы. Такие калькуляторы имеют более 10 регистров памяти, зачастую имеют интерфейсы для подключения к внешним устройствам, таким как компьютер.Также оснащены внешней памятью, исполнительными устройствами и аппаратными датчиками. Наиболее функциональные программируемые калькуляторы можно даже отнести к простым портативным компьютерам, но их основное отличие от последних заключается в узкой специализации выполняемых действий.

Графические калькуляторы:

Все графические калькуляторы относятся к программируемым, но их отличает наличие графического экрана. Такие калькуляторы способны поддерживать команды, отображающие графики функций, а также могут выводить на экран рисунки.

Таким образом, современный рынок калькуляторов богат на устройства с различной формой и функциональностью, среди которых каждый сможет найти для себя наиболее подходящий вариант.

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

Пожалуйста, оцените насколько полезен наш сервис для вас:

Виды и типы калькуляторов

Портативная вычислительная техника вошла в жизнь человека немногим больше, чем полвека назад. Сейчас калькуляторы используются представителями многих профессий. Современная электронная промышленность стремится удовлетворить запросы потребителей. Сегодня рынок наполнен различными видами калькуляторов, отличающимися по набору и роду выполняемых функции. Кроме того, довольно востребованными являются бесплатные калькуляторы – есть они тут url.

На какие виды разделяют калькуляторы?

Калькуляторы разделяют на такие виды:

• карманные — самые маленькие по размеру, удобно помещающиеся в кармане,
• настольные – немного большего размера, для рабочего стола,
• с функцией печати – такие калькуляторы имеют встроенное печатное устройство для вывода результатов на бумажную ленту.

По выполняемым функциям калькуляторы разделяются по группам.

1. Простые калькуляторы. Имеют небольшие габариты, легкие. В наличии минимальный набор выполняемых математических функций. Пользоваться таким калькулятором просто, они популярны среди школьников и студентов, в ходу у пожилых людей и домохозяек.

2. Бухгалтерские калькуляторы. Название говорит само за себя. Они рассчитаны для работы за столом. Имеют необходимые для бухгалтеров дополнительные функции. Функция двойной памяти, округление результатов, дробные части.

3. Более сложные по набору выполняемых функций – финансовые и математические калькуляторы. Эти устройства предназначены для работников банков и других финансовых учреждений. Позволяют осуществлять расчеты в процентных долях.

4. Инженерные калькуляторы – предназначаются для проектировщиков и инженеров. От остальных его отличает буквенно-цифровой дисплей и набор функций, позволяющий выполнять логарифмические, экспоненциальные и тригонометрические вычисления.

5. Программируемые калькуляторы – почти мини компьютер. Выполняет вычисления по заданному алгоритму.

6. Графические калькуляторы – такими пользуются научные сотрудники, архитекторы, инженеры. Позволяет выводить на дисплей цифры, графики и различные чертежи. Встроенная карта памяти минимизирует ввод ручных данных, позволяя извлекать сохраненные данные.

Несколько советов при выборе калькулятора

Цена этого девайса напрямую будет зависеть от того, насколько он хорош в эксплуатации. Один из параметров – разрядность. Чем больше цифр выводится на дисплее, тем калькулятор будет дороже. Обычные калькуляторы – от 8 до 14, бухгалтерские – до 16 цифр. Инженерные или как их еще называют научные калькуляторы имеют дисплей, на котором помещается информация в несколько строк.

Также стоит обратить внимание на то, от чего работает калькулятор. Карманные калькуляторы – от солнечного элемента и маленькой батарейки. Настольные тоже имеют комбинированное питание, но по мощнее. Стоит опасаться подделок при покупке калькулятора с солнечной батарейкой.

Что касается кнопок на калькуляторе, то лучший вариант тисненые или отлитые цифры и знаки на поверхности кнопок. При частом использовании нанесенные краской цифры стираются. При легком касании кнопок, без усилий, данные должны отражаться на дисплее.

Корпус устройства – чаще всего пластиковый, у карманных иногда может быть металлический. Не зависимо от материала, корпус должен быть крепким. На оборотной части объемным шрифтом нанесена информация о производителе.

Дисплей калькулятора. Данные четкие и яркие, не «врезаются» в корпус. Поверхность дисплея жидкокристаллическая, довольно хрупкая. При покупке калькулятора дисплей можно покрыть защитной пленкой.

Какие существуют типы калькуляторов?

Узнайте больше о калькуляторах

В нашей жизни может наступить день, когда дети услышат слово «калькулятор» и подумают «что?!» Из-за изменений в способах преподавания математики и постоянного появления новых технологий скромный калькулятор может просто оказаться в ящике стола и о нем забудут.

И как же это не стыдно?! Эти полезные инструменты упростили уравнения с середины 1600-х годов. Вот исследование различных типов калькуляторов, которые вы можете выбрать. У калькулятора еще может быть свой день!

Какое другое слово для калькулятора?

Слово «калькулятор» впервые было использовано в конце 14 века. Оно происходит от латинского calculatus , что означает «считать или вычислять».

К калькулятору можно обращаться любым из следующих способов:

• Числа
• Счетная машина
• Персональный цифровой помощник
• Процессор данных
• Компьютер уравнений
• Финансовый инструмент
• Карманный бухгалтер
• Оценщик
• Реконер
• Добавление гаджета
• Сумматор

Хотя эти слова и фразы используются не так часто, они дают вам четкое представление о том, почему мы используем калькуляторы. Эти гаджеты помогают нам обрабатывать числа, оценивать ответы и вычислять даже самые, казалось бы, неразрешимые уравнения!

Сколько существует типов калькуляторов?

Существует пять основных типов калькуляторов:

1. Базовый
2. Научный
3. Графики
4. Печать
5. Финансовый

Базовые калькуляторы используются почти всеми для решения обычных уравнений, в то время как научные и графические калькуляторы предназначены для студентов, изучающих математику. Печатные и финансовые калькуляторы просто необходимы тем, кто работает с деньгами.

Какие существуют типы калькуляторов?

Каждый калькулятор может выполнять базовые арифметические действия, но некоторые из них более продвинуты, чем другие. Различные типы калькуляторов разбиты на части и описаны ниже.

Основные калькуляторы

Базовый калькулятор иногда называют калькулятором с 4 функциями. Он может выполнять простые арифметические действия, включая сложение, вычитание, умножение и деление. Используйте простой калькулятор дома, чтобы рассчитать свой месячный бюджет, или когда вы пытаетесь приготовить новый рецепт.

Научные калькуляторы

Невозможно окончить среднюю или старшую школу без научного калькулятора. Эти калькуляторы часто используются студентами, изучающими алгебру, тригонометрию или геометрию. Наиболее часто покупаемым брендом является Texas Instruments (TI).

Графические калькуляторы

Графические калькуляторы — это тип научных калькуляторов, которые также используются студентами, а именно студентами колледжей. Они более продвинуты и способны выполнять множество сложных функций, таких как построение графиков и вычисление логарифмов.

Печать калькуляторов

Если вам нужна запись ваших расчетов, калькулятор печати должен стать вашим новым лучшим другом! Цифры и цифры напечатаны на листе бумаги, который отрывается сверху. Этот олдскульный калькулятор отлично подходит для тех, кто работает с деньгами.

Финансовые калькуляторы

Финансовый калькулятор, как следует из названия, предназначен для расчета финансов. Вы можете использовать его, чтобы выяснить процентные ставки, платежи по ипотеке и денежные потоки. Они не так распространены, как другие типы калькуляторов, но они полезны для риелторов, бухгалтеров и финансовых консультантов.

Онлайн калькуляторы

Google способен на удивительные вещи. Просто введите уравнение, и алгоритм обычно достаточно умен, чтобы дать ответ. Большинство ноутбуков и ПК также имеют калькулятор, который можно использовать прямо на рабочем столе. Если вам нужен более продвинутый онлайн-калькулятор, загляните на такие сайты, как Desmos и GeoGabra.

Телефонные калькуляторы

Наши телефоны умеют все, включая математические задачи! Калькулятор — это встроенное приложение, такое же, как текстовые сообщения и электронная почта, которое запрограммировано во всех типах смартфонов.

Счеты

Можете ли вы представить себе использование бобов или камней для выполнения математических операций? Что ж, это был метод выбора до того, как в древней Вавилонии были изобретены счеты! Сегодня этот инструмент изготавливается из бамбука и бисера и используется во многих начальных и начальных классах.

Механические калькуляторы

Придайте винтажный вид, купив механический калькулятор, который был в моде в 19 веке. Вы можете выглядеть очень странно, выбирая это, чтобы рассчитать чаевые в ресторане, но, по крайней мере, вы будете взаимодействовать с частью истории!

Калькуляторы также можно разделить по тому, как они выглядят или как они работают. В том числе:

Электронные калькуляторы

Электронный калькулятор способен решать сложные задачи. К этой категории относятся научные и графические калькуляторы, в которых для работы используются печатные платы и литиевые батареи.

Калькуляторы на солнечных батареях

Основные, финансовые и печатные калькуляторы обычно работают от солнечной энергии. Это помогает им сохраняться в течение более длительного периода времени. Если кажется, что ваш калькулятор больше не работает, попробуйте оставить его на улице под прямыми солнечными лучами!

Калькуляторы с сенсорным экраном

Калькулятор с сенсорным экраном работает так же, как ваш смартфон. Когда батарея разряжается, ее просто нужно зарядить с помощью зарядного устройства USB. Кажется, мир осваивает этот тип технологий, что может означать появление еще большего числа калькуляторов с сенсорным экраном в будущем!

Карманные калькуляторы

Делайте расчеты на ходу с помощью карманного или переносного калькулятора! Благодаря тонкому и компактному дизайну он легко поместится в кармане или в сумке для карандашей. У некоторых даже есть небольшая дверца с защелкой, которая скрывает кнопки.

Настольные калькуляторы

Ваш офис будет выглядеть еще более профессионально, если рядом с компьютером будет настольный калькулятор. Калькулятор этого типа лежит плоско и имеет всплывающий экран, на котором отображаются ваши расчеты. Печатные и финансовые калькуляторы обычно представляют собой настольные модели.

Новые калькуляторы

Проявите индивидуальность, используя новый калькулятор! Эти калькуляторы бывают всевозможных уникальных форм, таких как животные, сердца и даже контроллеры для видеоигр. Они станут отличным подарком на дни рождения и праздники!

Знаете ли вы?

Первый электронный калькулятор, продаваемый в магазинах, назывался ANITA (Новое вдохновение для арифметики). Он был гигантских размеров и имел полноценную клавиатуру, которую можно было использовать для вычислений.

В чем разница между стандартным и научным калькулятором?

Хотя стандартные калькуляторы портативны и просты в использовании, они не могут выполнять столько сложных уравнений, как научные калькуляторы. Стандартные калькуляторы предназначены только для базовой арифметики.

В этой инфографике показаны все различия между научными и стандартными калькуляторами.

Базовые/стандартные калькуляторы:

• Предназначен для базовой арифметики
• Содержит от 16 до 26 кнопок
• Способен складывать, вычитать, умножать и делить
• Обычно работает от солнечной энергии
• Отлично подходит для дома, офиса, начальной школы

Научные калькуляторы:

• Предназначен для сложных уравнений
• Содержит от 40 до 50+ кнопок
• Способность вычислять числа Пи, показатели степени, логарифмы, тригонометрические символы (sin, cos, tan) и графические данные
• Может поставляться с функцией построения графиков
• Обычно работает от электронной платы и литиевой батареи
• Отлично подходит для инженерного дела, математических занятий от средней школы до колледжа, научных лабораторий

Какие популярные бренды калькуляторов?

Самые популярные марки калькуляторов можно найти в розничных магазинах, таких как Target, Office Depot и Walmart. Большинство из этих брендов предлагают широкий выбор различных стилей!

Магазин самых популярных марок калькуляторов:

• Техасские инструменты (ТИ)
• Касио
• Кэнон
• Острый
• Хьюлетт Паккард (HP)
• Тошиба

Техасские инструменты (TI)

Вы, вероятно, использовали калькулятор Texas Instruments (TI) в старшей школе! Этот бренд ежегодно продает научные и графические калькуляторы на сумму около 6,3 миллиарда долларов и почти всегда присутствует в списках товаров для школьников.

Касио

Casio делает все — простые настольные калькуляторы, научные и графические калькуляторы, калькуляторы для печати и даже математические рабочие тетради, созданные учителями и предназначенные для них. Компания начала свою деятельность в Японии в 1946 году и продолжает развиваться по сей день.

Кэнон

Огонь! Вам предстоит решить много математических задач, поэтому обязательно решите эти задачи с помощью калькулятора Canon. У бренда есть множество основных, научных и печатных калькуляторов, но, возможно, их наиболее заметным достижением является серия Canon Green, в которую входят экокалькуляторы, изготовленные из 100% переработанных материалов .

Острый

Sharp часто входит в список лучших калькуляторов для использования . Японский бренд имеет широкий ассортимент калькуляторов, от научных до финансовых, а также известен тем, что первым начал продавать механические карандаши в 1915 году.

Хьюлетт Паккард (HP)

Возможно, вы знакомы с ноутбуками, принтерами и цифровыми камерами HP, но знаете ли вы, что они также продают калькуляторы? HP заняла 58-е место в списке Fortune Magazine 2020 года 500 компаний из списка Fortune 500 . Они продолжают прокладывать путь вперед в мире электроники.

Тошиба

Как это для влиятельных? Один из портативных калькуляторов Toshiba (BC-8018) был введен в Смитсоновский национальный исторический музей . Вы можете положиться на эту марку бюджетных карманных калькуляторов.

Является ли калькулятор компьютером?

Многие калькуляторы работают через электронные платы и используют обработку данных. По этой причине некоторые считают, что калькулятор следует считать компьютером.

С другой стороны, словарь Merriam-Webster называет калькулятор «электронным устройством», а не компьютером. Techwalla, популярный сайт с обзорами технологий и гаджетов, также опубликовал статью, в которой отмечается, что «калькуляторы — это одноцелевые устройства», в то время как компьютеры «обладают значительно расширенными возможностями».

Думаете ли вы о нем как о компьютере или электронном устройстве, нельзя отрицать мощь калькулятора! Это гаджет, который должен быть в каждом доме, школе или офисе.

Какие слова можно составить с помощью калькулятора?

Когда вы были глупым ребенком, вы могли набирать числа на своем компьютере и переворачивать его вверх ногами. Идея заключалась в том, чтобы написать слово на экране, обычно что-то неуместное, что вызвало бы смех у ваших одноклассников.

Вы все еще можете повеселиться со своим калькулятором! Вот 10 слов, которые можно составить с помощью цифр:

376 006 = Google

Разве вы не ненавидите, когда кто-то задает вам вопросы, на которые легко может найти ответы сам? Наберите на калькуляторе «376006», чтобы расшифровать слово «Google», и оставьте его на столе. Это тонкое напоминание о том, что все, что им нужно знать, находится прямо у них под рукой!

3 781 637 = Разборка

У некоторых людей действительно плохой почерк, но, может быть, будет лучше, если вы напомните им, чтобы они были «разборчивыми» с помощью калькулятора. Это может не иметь значения, когда ваш врач выписывает рецепт, но, по крайней мере, может вызвать улыбку!

461 375 = Сани

Отметьте праздники, написав на калькуляторе слово «сани». Это может быть забавным декором в офисе, если ваша бухгалтерская команда работает над «Тайным Сантой».

0,7734 = привет

Это классика! Если вы наберете «0,7734» на калькуляторе, вы получите слово «привет» на экране дисплея. Если у вас болит горло или вам просто не хочется говорить, это может быть хорошим способом поприветствовать людей!

5,508 = Босс

После пандемии COVID-19 многие рабочие места стали полностью удаленными. Тем не менее, вы все равно можете сделать День босса особенным, попросив свою команду написать «Босс» на калькуляторе. Затем каждый может поднять его во время встречи в Zoom и поделиться личной причиной, почему он считает своего босса особенным.

500 761 = Иглу

Брр! Пусть все знают, что вам немного зябко, написав «иглу» на калькуляторе. Ваш супруг любит спать ночью в холодной комнате? Оставьте это сообщение на их прикроватной тумбочке в качестве шутки!

37 816 173 = соответствует требованиям

Не замужем и хотите пообщаться? Вы можете использовать калькулятор, чтобы написать «соответствует требованиям». Если вы используете приложения для знакомств, это может быть умным способом сообщить кому-то, что вы любите математику и что вы свободны для свидания!

376 616 = Хихиканье

Время от времени мы все умеем смеяться! Отправьте хорошее настроение, написав «хихикать» на калькуляторе. Покажите это сообщение тому, у кого плохой день, и вы можете просто заставить его улыбнуться.

0,607 = Логотип

Вот идея для финансовой фирмы с хорошим чувством юмора! Калькулятор с буквально написанным словом «логотип» может стать забавным настоящим логотипом для вашей компании. Это незабываемо и многое говорит о том, кто вы как бренд!

5 318 804 = Хобби

Когда придет время придумывать новогодние обещания, наберите на калькуляторе слово «хобби» и держите его на столе. Вы можете использовать это как вдохновение, чтобы попробовать что-то новое в наступающем году!

Цифра калькулятора на буквенный ключ

• 0 = O или D
• 1 = я
• 3 = Е
• 4 = Н или А
• 5 = С
• 6 = G или Q
• 7 = L
• 8 = В
• 9 = G или B

Вы учитель и ищете новые занятия в своем классе? Раздайте рабочий лист с числовыми ответами, которые можно переворачивать, чтобы составить слова. Затем учащиеся могут использовать слова, чтобы написать свои собственные предложения. Вы будете совмещать урок математики и письма в одном!

Как калькуляторы изменили нашу жизнь?

Человеческий мозг невероятен, но он не может так многого добиться, когда дело доходит до оценок и числовых ответов. Для всего остального есть калькулятор!

Калькуляторы изменили нашу жизнь, сделав математику быстрее и проще, чем когда-либо прежде. Мы всегда будем благодарны калькулятору за то, что он продвинул нас вперед в области финансов, инженерии, науки, искусства, строительства и образования. Время покажет, как эта технология изменится в будущем!

Итог

У вас может быть интернет и мобильный телефон, который может вычислить за вас, но это не значит, что вы должны забыть о калькуляторе! Базовый калькулятор удобно иметь дома, а научный калькулятор может облегчить жизнь учителя. Купите правильный калькулятор для ваших нужд и приступайте к решению задач!

Каталожные номера

Онлайн-словарь этимологии. Калькулятор (сущ.). Получено с
https://www.etymonline.com/

Вирусные разговоры. (2016, 7 декабря). Вот все существующие типы калькуляторов. Получено с,
https://viraltalks.com/here-s-all-the-different-types-of-calculators-that-exist-1/p/

Моримото, Б. (2021, 14 марта). Счеты. Получено из
https://www.encyclopedia.com/science-and-technology/mathematics/mathematics/abacus.

Индийский учебный канал. (2012, 20 декабря). Различные типы и марки калькуляторов. Получено с
https://www.indiastudychannel.com/resources/157538-Different-types-and-brands-of-Calculators.aspx

Шифман, Дж. (2015, 27 октября). 11 калькуляторов, которые показывают, как далеко продвинулись вычисления за последние 2000 лет. Получено с
https://www.popularmechanics.com/technology/g2248/11-calculators-show-how-far-computing-has-come/

Окой, М. (2020, 20 апреля). 10 лучших онлайн-калькуляторов для решения простых и сложных задач. Получено с
https://www.fossmint.com/best-online-calculators/

Интернет-музей старинных калькуляторов. Некоторые известные компании-калькуляторы. Получено с
http://www.vintagecalculators.com/html/calculator_companies.html

Encyclopedia.com. (2021, 12 марта). Техас Инструментс Инкорпорейтед. Получено из

Фортуна. Fortune 500. Получено с
https://fortune.com/company/hp/fortune500/

Смитсоновский национальный музей американской истории. Портативный электронный калькулятор Toshiba BC-8018. Получено с
https://americanhistory.si.edu/collections/search/object/nmah_334540

Мерриам-Вебстер. Калькулятор (существительное). Получено с
https://www.merriam-webster.com/dictionary/calculator

Бернсайд, К. Различия между компьютерами и калькуляторами. Получено с
https://www.techwalla.com/articles/the-differences-between-computers-and-calculators

wikiHow. (2020, 15 сентября). Как писать слова с помощью калькулятора. Получено с
https://www.wikihow.com/Write-Words-With-a-Calculator

Поделиться этой публикацией:

Вам также может понравиться:

7 различных типов калькуляторов | На основе цели

Калькуляторы, которые мы знаем сегодня, были впервые изобретены в 1960-х годах, а использование смартфонов в качестве калькуляторов началось в 1990-е. Однако это не означает, что математические инструменты не были доступны столетие назад.

Несколько вычислительных машин были созданы задолго до появления цифровых калькуляторов и смартфонов. Счеты, например, использовались на древнем Ближнем Востоке, в Европе, России и Китае задолго до принятия письменной индийско-арабской системы счисления.

Первый «настоящий калькулятор» был изобретен Блезом Паскалем в 1642 году. Его хвалили за попытку выполнения арифметических вычислений, которые ранее считались невозможными.

Механические калькуляторы в 17 веке были сопоставимы по размеру с пишущими машинками и устарели с появлением портативных электронных калькуляторов.

Современные электронные калькуляторы используются для решения различных задач, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложной математикой. Они не только расширили нашу способность выполнять базовые вычисления, но и дали нам возможность понимать математику в большем масштабе, чем когда-либо можно было себе представить.

Сегодня на рынке доступны различные типы калькуляторов с различными источниками питания, конструкциями и функциями. Их можно разделить на три категории в зависимости от источника энергии.

• Электрические калькуляторы: старые, работающие от электричества.
• Аккумуляторные калькуляторы: текущие те, которые используют ячейки для вычислений.
• Солнечные калькуляторы  – это электронные калькуляторы, работающие от солнечных элементов, установленных на устройствах.

Современные калькуляторы используют для выполнения операций как аккумуляторную, так и солнечную энергию. Ниже мы перечислили все различные типы калькуляторов (доступные в настоящее время на рынке) в соответствии с целями их использования.

1. Счеты

Счеты — это простой инструмент, используемый для выполнения быстрых арифметических вычислений. Он был изобретен в древние времена и сейчас широко используется в программах развития мозга. Исследования доказали, что тренировка на счетах может вызвать определенные (положительные) изменения в мозге.

Слово «абак» происходит от греческого слова «abax», что означает «счетный стол». Устройство обычно представляет собой прямоугольную деревянную раму, которая содержит несколько вертикально расположенных стержней, по которым скользят бусины вверх и вниз. Каждый стержень представляет собой уникальное значение разряда, а каждая бусина представляет собой число.

Устройство помогает детям выполнять вычисления в уме, визуализируя движения бусин абакуса. Это также улучшает их уровень концентрации. Это особенно полезно для людей с ослабленным зрением, которые не могут пользоваться цифровыми калькуляторами.

2. Базовые калькуляторы

Базовые портативные калькуляторы используются почти в каждом офисе и дома. Они идеально подходят для выполнения вычислений общего назначения и основных математических задач, таких как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и логарифмирование.

Калькуляторы этого типа обычно имеют 8–12-разрядный дисплей (7-сегментный ЖК-дисплей) и физические клавиши для ввода. Они работают как от батареи, так и от солнечной энергии: батарея используется, когда света недостаточно, а солнечная энергия используется, когда света достаточно для работы устройства.

Некоторые базовые калькуляторы оснащены очень большим дисплеем для чтения, функциями перепроверки для подтверждения ошибок и индикатором активной константы на дисплее для снижения вероятности ручной ошибки. Некоторые также поставляются со специальными клавишами для быстрого вычисления квадратных корней, налогов и процентов.

3. Научные калькуляторы

Научный калькулятор с двухуровневым ЖК-дисплеем, в верхней точечной части которого отображаются вводимые формулы и символы.

Научные калькуляторы специально разработаны для решения задач в области науки, техники и математики. Некоторые из этих калькуляторов включают статистические и тригонометрические расчеты, а некоторые даже имеют возможность выполнять компьютерную алгебру.

Первый научный калькулятор HP-9100A был изготовлен в 1968. С тех пор различными компаниями были изобретены тысячи портативных и карманных научных калькуляторов. В настоящее время Casio является крупным игроком на этом рынке.

Они широко используются для решения определенных математических функций и выполнения вычислений с очень маленькими или очень большими числами, например, в некоторых аспектах химии, физики и астрономии.

Хотя большинство моделей имеют однострочный дисплей, аналогичный обычным калькуляторам, некоторые из них имеют от 10 до 12 цифр с дополнительными цифрами, предназначенными для арифметики с плавающей запятой.

Как правило, высококлассные научные калькуляторы включают булевы математические операции, шестнадцатеричные вычисления, дроби, вычисления вероятностей, комплексные числа, физические константы, преобразование единиц измерения, исчисление и матричные вычисления.

4. Графические калькуляторы

Casio FX-CG50

В некоторых очень специфических областях научные калькуляторы были заменены графическими калькуляторами. Они могут строить графики, решать одновременные уравнения и выполнять задачи с переменными. По сравнению с обычными калькуляторами, они имеют большие дисплеи, на которых одновременно отображается несколько строк текста, цифр и вычислений.

Первый коммерческий графический калькулятор fx-7000G был выпущен компанией Casio в 1985 году. С тех пор было выпущено множество современных калькуляторов с более быстрыми процессорами, большим объемом памяти и USB-подключением. Сегодня Texas Instruments и Casio владеют большей частью рынка калькуляторов.

Большинство графических калькуляторов также являются программируемыми, что означает, что пользователи могут создавать собственные программы для конкретных научных или инженерных приложений.

Некоторые из них могут быть подключены к таким приборам, как электронные акселерометры, рН-метры, электронные термометры и метеорологические устройства, и, таким образом, могут функционировать как регистраторы данных.

Новейшие графические калькуляторы оснащены ЖК-экранами с высоким разрешением и быстрыми процессорами для выполнения самых сложных графиков и вычислений. Пользователи могут писать и хранить программы для автоматизации сложной процедуры. Более того, пользователи могут подключить его к компьютеру, чтобы расширить его функциональные возможности.

Читать: 3 различных типа мониторов

5. Калькуляторы для печати

Casio HR-150RC

Калькуляторы для печати были довольно популярны до того, как персональные компьютеры появились в каждом доме. Это простые калькуляторы, которые печатают результат на бумаге и отображают его на ЖК-экране.

Калькуляторы для печати доступны как в настольных, так и в портативных моделях, работающих от батарей и/или сети переменного тока. Они в основном используются владельцами магазинов и бухгалтерами для печати квитанций, расчета размера прибыли и отслеживания времени для выплаты заработной платы.

Они поставляются с рулоном бумаги внутри принтера, на котором печатаются все записи. Некоторые калькуляторы могут печатать двумя цветами для удобства чтения: черным (показывает положительные значения) и красным (показывает отрицательные значения).

6. Онлайн калькуляторы

В настоящее время в Интернете можно найти различные типы калькуляторов. Они предназначены для выполнения определенных задач. Калькулятор ИМТ, например, принимает в качестве входных данных вес и рост и измеряет индекс массы тела.

Точно так же калькуляторы беременности предназначены для прогнозирования ожидаемого возраста женщины на основе ключевой информации о беременности. Другие онлайн-калькуляторы, такие как калькулятор калорий, могут помочь людям вычислить, сколько калорий они должны потреблять в день, чтобы похудеть или поддерживать вес.

Несколько типов финансовых калькуляторов также доступны бесплатно в Интернете, что упрощает расчет ипотечных кредитов, автокредитов, подоходного налога, инвестиций, инфляции и многого другого.

7. Калькулятор формул

Калькуляторы формул, также известные как оценщики формул или программные калькуляторы, определяют все промежуточные значения перед вычислением окончательного результата.

Требуют от пользователя ввода выражения с клавиатуры. Это выражение может включать инфиксную нотацию для бинарных операций, таких как сложение, вычитание, деление и умножение. Он также может включать символы и некоммутативные операторы, которые должны применяться в соответствующем порядке.

Калькулятор анализирует формулу и разбивает ее на мелкие части, такие как скобки, числа и операторы. Он оценивает каждую часть отдельно, а затем вычисляет окончательное значение.

Многие программы, включая базы данных и электронные таблицы, поставляются с возможностью вычисления формул. Это означает, что пользователи могут просто писать формулы, определяющие, что делать (без выполнения пошаговых вычислений).

Дополнительная информация

Насколько продвинуты современные научные калькуляторы?

Современные научные калькуляторы могут выполнять операции с комплексными числами и константами, такими как e и pi , а также вычислять тригонометрические функции, логарифмические функции, экспоненциальные функции и корни помимо квадратного корня.

Прямой метод вычисления определителя состоит в разложении его по элементам строки или столбца в сумму произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. В свою очередь, алгебраическое дополнение элемента матрицы

есть

при этом

— есть минор элемента (i,j), т. е. определитель, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Такой метод порождает рекурсивный процесс, позволяющий вычислить любой определитель. Но производительность этого алгоритма оставляет желать лучшего — O(n!). Поэтому применяется такое прямое вычисление разве что при символьных выкладках (и с определителями не слишком высокого порядка).

Гораздо производительнее оказывается метод Гаусса. Его суть основывается на следующих положениях:

1. Определитель верхней треугольной матрицы \begin{pmatrix}{a}_{1,1} & {a}_{1,2} &… & {a}_{1,n} \\ 0 & {a}_{2,2} &… & {a}_{2,n} \\ 0 & 0 &… & …\\ 0 & 0 &… & {a}_{n,n} \\\end{pmatrix} равен произведению ее диагональных элементов. Этот факт сразу же следует из разложения определителя по элементам первой строки или первого столбца.

2. Если в матрице к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.

3. Если в матрице поменять местами две строки (или два столбца), то значение определителя изменит знак на противоположный.

Мы можем, подбирая коэффициенты, складывать первую строку матрицы со всеми остальными и получать в первом столбце нули во всех позициях, кроме первой. Для получения нуля во второй строке, нужно прибавить ко второй строке первую, умноженную на

Для получения нуля в третьей строке, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на

и т.д. В конечном итоге, матрица приведется к виду, в котором все элементы

при n>1 будут равны нулю.

Если же в матрице элемент

оказался равным нулю, то можно найти в первом столбце ненулевой элемент (предположим, он оказался на k-м месте) и обменять местами первую и k-ю строки. При этом преобразовании определитель просто поменяет знак, что можно учесть. Если же в первом столбце нет ненулевых элементов, то определитель равен нулю.

Далее, действуя аналогично, можно получить нули во втором столбце, затем в третьем и т.п. Важно, что при сложении строк полученные ранее нули не изменятся. Если для какой-либо строки не удастся найти ненулевой элемент для знаменателя, то определитель равен нулю и процесс можно остановить. Нормальное завершение процесса Гаусса порождает матрицу, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Как говорилось выше, определитель такой матрицы равен произведению диагональных элементов.

Перейдем к программированию.

Мы работаем с данными с плавающей точкой. Матрицы представляем списками строк. Для начала определим два типа:

type Row    = [Double]
type Matrix = [Row]

Простая рекурсия

Ничтоже сумняшеся, мы будем раскладывать определитель по элементам первой (т.е. нулевой) строки. Нам понадобится программа построения минора, получающегося вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

-- Удаление k-го элемента изо всех строк матрицы
deln :: Matrix -> Int -> Matrix
deln matrix k = map (\ r -> (take (k) r)++(drop (k+1) r)) matrix

А вот и минор:

-- Минор k-го элемента нулевой строки
minor :: Matrix -> Int -> Double
minor matrix k = det $ deln (drop 1 matrix) k

Обратите внимание: минор — это определитель. Мы вызываем функцию det, которую еще не реализовали. Для реализации det, нам придется сформировать знакочередующуюся сумму произведений очередного элемента первой строки на определитель очередного минора. Чтобы избежать громоздких выражений, создадим для формирования знака суммы отдельную функцию:

sgn :: Int -> Double
sgn n = if n `rem` 2 == 0 then 1.0 else (-1.0)

Теперь можно вычислить определитель:

-- Определитель квадратной матрицы
det :: Matrix -> Double
det [[a,b],[c,d]] = a*d-b*c
det matrix = sum $ map (\c -> ((matrix !! 0)!!c)*(sgn c)*(minor matrix c))  [0. .n]
             where n = length matrix - 1

Код очень прост и не требует особых комментариев. Чтобы проверить работоспособность наших функций, напишем функцию main:

main = print $ det [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,(-9)]]

Значение этого определителя равно 54, в чем можно убедиться.

Метод Гаусса

Нам понадобится несколько служебных функций (которые можно будет использовать и в других местах). Первая из них — взаимный обмен двух строк в матрице:

-- Обмен двух строк матрицы
swap :: Matrix -> Int -> Int -> Matrix
swap matrix n1 n2 = map row [0..n]
                    where n=length matrix - 1
                          row k | k==n1 = matrix !! n2
                                | k==n2 = matrix !! n1
                                | otherwise = matrix !! k

Как можно понять по приведенному выше коду, функция проходит строку за строкой. При этом, если встретилась строка с номером n1, принудительно подставляется строка n2 (и наоборот). Остальные строки остаются на месте.

Следующая функция вычисляет строку r1 сложенную со строкой r2, умноженной поэлементно на число f:

-- Вычислить строку r1+f*r2
comb :: Row -> Row -> Double -> Row
comb r1 r2 f = zipWith (\ x y -> x+f*y) r1 r2

Здесь все предельно прозрачно: действия выполняются над строками матрицы (т.е. над списками [Double]). А вот следующая функция выполняет это преобразование над матрицей (и, естественно, получает новую матрицу):

-- прибавить к строке r1 строку r2, умноженную на f
trans :: Matrix -> Int -> Int -> Double -> Matrix
trans matrix n1 n2 f = map row [0..n]
                       where n=length matrix - 1
                             row k | k==n1 = comb (matrix !! n1) (matrix !! n2) f
                                   | otherwise = matrix !! k

Функция getNz ищет номер первого ненулевого элемента в списке. Она нужна в случае, когда очередной диагональный элемент оказался равным нулю.

-- Номер первого ненулевого в списке
getNz :: Row -> Int
getNz xs = if length tmp == 0 then (-1) else snd $ head tmp
           where tmp=dropWhile (\ (x,k) -> (abs x) <= 1.0e-10) $ zip xs [0..]

Если все элементы списка равны нулю, функция вернет -1.

Функция search проверяет, подходит ли матрица для очередного преобразования (у нее должен быть ненулевым очередной диагональный элемент). Если это не так, матрица преобразовывается перестановкой строк.

-- Поиск ведущего элемента и перестановка строк при необходимости
search :: Matrix -> Int -> Matrix
search matrix k | (abs ((matrix !! k) !! k)) > 1.0e-10 = matrix
                | nz < 0 = matrix  -- матрица вырождена    
                | otherwise = swap matrix k p 
                           where n   = length matrix
                                 lst = map (\ r -> r !! k) $ drop k matrix
                                 nz  = getNz lst
                                 p   = k + nz

Если ведущий (ненулевой) элемент найти невозможно (матрица вырождена), то функция вернет ее без изменений. Функция mkzero формирует нули в очередном столбце матрицы:

-- получение нулей в нужном столбце
mkzero :: Matrix -> Int -> Int -> Matrix
mkzero matrix k p | p>n-1 = matrix
                  | otherwise = mkzero (trans matrix p k (-f)) k (p+1)
                    where n = length matrix
                          f = ((matrix !! p) !! k)/((matrix !! k) !! k)

Функция triangle формирует верхнюю треугольную форму матрицы:

-- Получение верхней треугольной формы матрицы
triangle :: Matrix -> Int -> Matrix
triangle matrix k | k>=n = matrix
                  | (abs v) <= 1.0e-10 = [[0.0]] -- матрица вырождена
                  | otherwise = triangle (mkzero tmp k k1) k1 
                    where n   = length matrix
                          tmp = search matrix k
                          v   = (tmp !! k) !! k -- диагональный элемент
                          k1  = k+1

Если на очередном этапе не удалось найти ведущий элемент, функция возвращает нулевую матрицу 1-го порядка. Теперь можно составить парадную функцию приведения матрицы к верхней треугольной форме:

-- Парадная функция
gauss :: Matrix -> Matrix
gauss matrix = triangle matrix 0 

Для вычисления определителя нам нужно перемножить диагональные элементы. Для этого составим отдельную функцию:

-- Произведение диагональных элементов
proddiag :: Matrix -> Double
proddiag matrix = product $ map (\ (r,k) -> r !!k) $ zip matrix [0,1..]

Ну, и «бантик» — собственно вычисление определителя:

-- Вычисление определителя
det :: Matrix -> Double
det matrix = proddiag $ triangle matrix 0

Проверим, как работает эта функция:

main = print $ det  [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,-9]]
[1 of 1] Compiling Main             ( main.hs, main.o ) 
Linking a.out ...                                                                                 
54.0     

Спасибо тем, кто дочитал до конца!

Код можно скачать здесь

Mathway | Популярные задачи

Миноры и сомножители детерминантов

Матрица представляет собой массив действительных чисел (или других подходящих объектов), расположенных в строках и столбцах, где объекты относятся к элементам, присутствующим в матрице. На изображении ниже показана матрица, где элементы, разделенные по горизонтали, называются строками матрицы, а элементы, разделенные по вертикали, называются столбцами матрицы.

Как мы знаем, матрица состоит из строк и столбцов, матрица ниже имеет 3 строки и 3 столбца, поэтому Порядок Матрицы равен 3 × 3.

Любые четыре элемента a, b, c и d расположены в две строки и два столбца между двумя вертикальными полосами, как показано ниже, формы, которые называются Определителем определитель второго порядка или определитель второго порядка. Как показано ниже, демонстрирует определитель и расширение определителя.

Определитель матрицы

Определитель полезен для решения линейных уравнений, определения того, как линейное преобразование изменяет площадь или объем, а также для изменения переменных в интегралах. Определитель можно рассматривать как функцию, входом которой является квадратная матрица, а выходом — число. В приведенной ниже статье мы подробно обсуждаем миноры и кофакторы. На простом языке мы можем сказать: каждой малой матрице A можно поставить в соответствие число (действительное или комплексное), которое называется определителем квадратной матрицы A. 

Определитель матрицы может быть легко представлен как det (A) или | А |

Теперь давайте перейдем к нашей теме, а именно к минорным и сопутствующим факторам.

Итак, сначала давайте обсудим несовершеннолетних.

Примечание:

• Вопросы, представленные в этой статье, появлялись в разных опросных листах предыдущего года.
• i представляет строки определителя, тогда как j представляет столбцы определителя.
• Я выделяю термины ij ^th , чтобы вы могли ясно видеть и не путаться.
• В приведенной ниже статье вы увидите вопросы, решение которых показано на изображении.

Маленькая из матрицы

Маленький элемент A _{IJ из определителя является определяемой, полученной путем удаления INTER ^TH ROW и J ^TH , в котором элемент 9003 A 5 IJ . ложь. Незначительный элемент A IJ обозначен M IJ}

Шаг 1: Скрыть I ^TH и J ^{столбец матрицы A, где лежит элемент a _ij .}

Шаг 2: Теперь вычислите определитель матрицы после удаления строки и столбца с помощью шага 1.

Примеры задач на минор матрицы

Задача 1: Если матрица A равна

, то запишите минор числа a _22.

Решение:

Решение: a ₂₂ , элемент, присутствующий в a ₂₂ , равен 0. Как мы узнали из нашего определения минора, мы должны удалить строку i ^th и столбцы j ^th , в которых присутствует наш запрошенный элемент. На изображении ниже показано, как удалить i ^-й -й ряд и j ^-й -й столбец

После удаления мы записываем наш левый элемент как есть и делаем перекрестное умножение.

Теперь, после удаления i ^-й -й строки и j ^-го -го столбца, мы должны расширить определитель, поэтому мы получаем (8 – 15), что при решении дает -7, что и является нашим требуемым ответом.

Примечание: Всегда помните, что после умножения элементов левой диагонали всегда ставьте знак -ve, затем выполните умножение элементов правой диагонали и решите их.

Задача 2: Если матрица A равна

, то найдите минор числа _32.

Решение:

Решение:

Решение:

9000 ₃₂ элемент, который равен 1. Итак, как мы делали в этой задаче выше, мы будем следовать той же процедуре. Итак, сначала мы должны удалить строку i ^th и столбец j ^th , в котором присутствует наш элемент.

Итак, мы отменили i ^-й -й ряд и j ^-й -й столбец, в котором присутствует наш элемент. Поэтому напишите элементы, которые остались как есть.

Затем выполните перекрестное умножение и решите:

Следуя той же процедуре, что и в предыдущем вопросе, мы решили и этот вопрос путем расширения определителя, как мы обсуждали во введении.

Кофакторы матрицы

Кофакторы элемента a _ij определителя, обозначаемого A _IJ или C _IJ , определяется как A _IJ = (-1) ^I+J M _IJ , где M _IJ -Minor An _{44444444444444444444. IJ}

Формула для поиска кофакторов

A _IJ = (-1) ^I+J M _IJ

Проблемы выборки на кофакторах MATRIX

Проблемы с фа-факторами MATRIX

9 Если матрица A равна

, запишите коэффициент элемента a _32.

Решение:

Как задано в вопросе, мы должны найти коэффициент элемента a32, что означает, что наша строка (i) = 3 и столбец (j) = 2, поэтому у нас есть строка и столбец как мы делаем, чтобы найти минор, удаляя строки и столбец, в которых существует заданный элемент, мы делаем то же самое в этом вопросе, а затем помещаем это в нашу формулу -> A _ij = (-1) ^i+j  M _ij

Таким образом, после подстановки формулы нахождения сомножителя и выполнения расширения определителя мы получаем (-1) (5 – 16), что при решении дает ответ 11, это наш требуемый ответ.

Задача 2: Если A _ij элемента a _ij определителя, приведенного ниже, то запишите значение a ₃₂ . A ₃₂

Решение:  

В вопросе у нас есть определитель. Итак, у нас есть строка и столбец, указанные в вопросе.

Здесь a ₃₂ = 3+2 = 5

Дано, A _ij является кофактором элемента a _ij A . Итак, теперь мы можем решить этот вопрос, подставив значения в формулу кофактора, как обсуждалось в предыдущем вопросе.

Итак, 110 — это наш требуемый ответ.

Урок Видео: обратная матрица: метод сопряжения

Стенограмма видео

обратная матрица: сопряженный метод Метод

В этом видео мы собираемся обсудить, как найти обратную любую квадратную матрицу с ненулевым определителем с помощью используя метод сопряжения. Мы рассмотрим метод в подробно, объясняя, как найти миноры матрицы, как построить кофактор матрица, а затем как построить сопряжения нашей матрицы. Затем мы рассмотрим несколько примеров объясняя, как мы можем применить этот метод, чтобы найти инверсию.

Прежде чем мы обсудим этот новый метод Чтобы найти обратную квадратную матрицу, нам нужно пройти через несколько сначала новые концепции. Мы собираемся начать с определения матричный минор. Если у нас есть матрица 𝐴, имеющая порядок 𝑚 умноженный на 𝑛, тогда минор матрицы, которую мы обозначаем с большой буквы 𝐴 𝑖𝑗, это матрица 𝐴, в которой мы удаляем 𝑖-ю строку и 𝑗-й столбец из матрицы 𝐴. Итак, наш матричный минор 𝐴 𝑖𝑗 равен точно так же, как матрица 𝐴. Однако мы удалили 𝑖-й ряд и 𝑗-й столбец. И мы знаем, если мы удалим одну строку и один столбец из матрицы 𝐴, то наш новый порядок будет 𝑚 минус один на 𝑛 минус один. И самый простой способ понять это понятие через пример.

Начнем с матрицы 𝐴, которая представляет собой матрицу три на четыре, заданную следующим образом. Теперь посмотрим, как бы мы построить минор матрицы 𝐴 два три. Из нашего определения матрицы второстепенный, мы видим, что нам нужно удалить 𝑖-ю строку и 𝑗-й столбец из нашей матрицы 𝐴. Во-первых, наше значение 𝑖 равно двум. Итак, нам нужно удалить вторую строку из нашей матрицы 𝐴. Далее мы видим, что значение 𝑗 равно равно трем. Итак, нам нужно удалить третий столбец из матрицы 𝐴. Тогда наш матричный минор 𝐴 два три будут все оставшиеся элементы, которые мы не удалили. 𝐴 два три будут следующими матрица.

Однако это, конечно, не единственный минор матрицы, который мы могли построить. Теперь построим матрицу минор 𝐴 три один. На этот раз мы можем увидеть значение 𝑖 равно трем. Итак, нам нужно удалить третью строку из нашей матрицы 𝐴. И мы видим, что значение 𝑗 равно один. Итак, нам нужно удалить первый столбец из матрицы 𝐴. И тогда мы можем построить нашу матрица 𝐴 три один, используя все оставшиеся элементы, которые мы не удалить из 𝐴. Это дает нам 𝐴 три один следующую матрицу.

Методы, которые мы используем в этом видео поможет нам определить, можем ли мы найти обратную любую матрицу 𝑛-by-𝑛. Однако нам нужно будет найти определитель любой матрицы, к которой мы хотим найти обратную. И мы видели ранее, что это трудно вычислить определитель для больших квадратных матриц. Поэтому мы сосредоточимся в основном на матрицы три на три.

И прежде чем мы это сделаем, мы собираемся чтобы вспомнить, как мы находим определитель матрицы два на два. Пусть 𝐴 равно два на два матрица 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Тогда определитель 𝐴 равен в 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. Теперь мы готовы обсудить ключ часть, которая поможет нам найти обратную любую квадратную матрицу с ненулевым определитель. Нам нужно обсудить, что кофакторная матрица матрицы 𝐴 есть.

Во-первых, потому что мы используем это, чтобы найти обратную матрицу, нам нужно, чтобы наша матрица 𝐴 была квадратной матрицей. Допустим, его порядок 𝑛 на 𝑛. Далее, чтобы построить наш кофактор матрице, нам нужно найти все миноры матрицы 𝐴. Мы будем называть их 𝐴 𝑖𝑗. Теперь мы готовы построить кофакторная матрица 𝐴. Мы назовем эту матрицу 𝐶. И мы определим его элемент с помощью элемент. Запись в строке 𝑖 и столбце 𝑗 нашей матрицы кофакторов будет задана отрицательной единицей, возведенной в степень 𝑖 плюс 𝑗, умноженное на определитель минора матрицы 𝐴 𝑖𝑗. И помните, наша матрица 𝐴 представляет собой квадратная матрица порядка 𝑛 по 𝑛. Таким образом, наши значения 𝑖 будут работать по строкам нашей матрицы 𝐴. И значения 𝑗 будут пробегая по столбцам нашей матрицы 𝐴. Таким образом, наши значения 𝑖 варьируются от единицы до 𝑛, а наши значения 𝑗 варьируются от единицы до 𝑛. Это означает, что наша кофакторная матрица будет быть квадратной матрицей. Это будет порядка 𝑛 к 𝑛.

Также стоит отметить иногда вы увидите, что это записано во всей матричной форме. И если бы мы это сделали, мы бы получите следующее матричное представление нашей матрицы кофакторов. И стоит отметить все здесь мы создали квадратную матрицу 𝑛 на 𝑛, где в строке 𝑖 и столбце 𝑗 мы использовали нашу формулу для построения записи. Но обычно гораздо проще работать с нашим определением для каждой записи в отдельности. Прежде чем мы обсудим, как мы собираемся чтобы использовать матрицу кофакторов, чтобы найти обратную матрицу, давайте рассмотрим некоторые Примеры.

Учитывая, что 𝐴 равно матрица три на три минус пять, восемь, минус семь, шесть, ноль, один, пять, минус четыре, минус восемь, определить значение минус один к степень одного плюс два, умноженная на определитель минора матрицы 𝐴 один два.

Нам дали три на три квадратная матрица. И нас просят определить значение отрицательной единицы в степени один плюс удвоенный определитель минор матрицы 𝐴 один два. И пока не надо отвечая на этот вопрос, стоит отметить, что это будет запись в строке один и второй столбец нашей матрицы кофакторов.

Первый шаг к ответу этот вопрос состоит в том, чтобы вспомнить, что мы подразумеваем под матрицей 𝐴 один два. Мы называем это матрицей незначительный. Минор матрицы 𝐴 𝑖𝑗 означает мы удаляем строку 𝑖 и столбец 𝑗 из нашей матрицы 𝐴. В нашем случае мы можем видеть значение 𝑖 равно единице, а 𝑗 равно двум. Затем мы можем записать это в наш определение минора матрицы. Мы видим, что минор матрицы 𝐴 один два означает, что мы удаляем первую строку и второй столбец из матрицы 𝐴.

Итак, чтобы найти минор нашей матрицы 𝐴 раз два, нам нужно начать с нашей матрицы 𝐴, а затем удалить первую строку. Это означает, что мы удаляем следующие три записи. Затем нам также нужно удалить столбец два. Это означает, что нам нужно удалить весь второй столбец матрицы 𝐴. И мы видим, что это оставляет нас всего с четырьмя элементами. Затем мы можем построить нашу минор матрицы 𝐴 один два путем построения матрицы с четырьмя оставшимися элементы. Это дает нам 𝐴 один два матрица два на два шесть, один, пять, минус восемь.

Но вопрос не только просят нас найти минор матрицы 𝐴 один два. Нам также необходимо найти его определитель. А так как 𝐴 один два матрицу два на два, мы можем сделать это, вспомнив формулу для определителя матрицы два на два. Напомним определитель квадратная матрица 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 равна 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. В нашем случае мы видим, что 𝑎 равно шести, а 𝑑 равно минус восьми. И мы также можем видеть, что наши значение 𝑏 равно единице, а 𝑐 равно пяти. Итак, используя эту формулу, мы иметь определитель 𝐴 один два равно шесть умножить на минус восемь минус один раз пять. И если мы вычислим это выражение, получаем минус 53.

Теперь мы готовы найти значение выражения, данного нам в вопросе. У нас отрицательный степень одного плюс два, умноженная на определитель 𝐴 один два, равна минус один в кубе, так как один плюс два равно трем, и минус 53, так как мы уже нашли значение этого определителя. И мы можем упростить это до дайте нам 53. Таким образом, мы смогли показать для квадратной матрицы 𝐴, данной нам в вопросе, значение отрицательной единицы в степени один плюс два умножить на определитель минора матрицы 𝐴 один два равно 53,

Давайте теперь рассмотрим пример нахождения кофакторной матрицы квадратной матрицы размером три на три. Мы начнем с квадратная матрица три на три 𝐴 равна трем, нулю, отрицательным трем, минус два, минус три, минус шесть, семь, три, минус пять. А теперь вспомним элемент в строке 𝑖 и столбце 𝑗 нашей матрицы кофакторов будет отрицательна единица в степени 𝑖 плюс 𝑗, умноженное на определитель минора матрицы 𝐴 𝑖𝑗.

Итак, чтобы найти нашу матрицу кофакторов, сначала нам нужно найти все миноры нашей матрицы. Начнем с матрицы минор 𝐴 один один. Помните, это означает, что мы потребуется удалить первую строку и первый столбец из матрицы 𝐴. Это дает нам следующее матрица два на два. Это дает нам 𝐴 один из них минус три, минус шесть, три, минус пять. Чтобы найти нашу матрицу кофакторов, нам нужно найти все миноры нашей матрицы.

Теперь найдем минор матрицы 𝐴 раз два. Это означает, что нам нужно удалить первая строка и второй столбец из нашей матрицы 𝐴. И это оставляет нас с следующие четыре элемента. Итак, минор матрицы 𝐴 один два минус два, минус шесть, семь, минус пять. Поскольку наша матрица 𝐴 представляет собой матрица три на три, наши значения 𝑖 и 𝑗 будут варьироваться от одного до трех. Таким образом, у нас будет девять полных матриц. несовершеннолетние для расчета. И мы можем найти все девять из этим же методом. Убираем строку 𝑖 и столбец 𝑗 из нашей матрицы 𝐴. Это дает нам следующее девять матричных миноров.

Теперь мы можем видеть из нашего определение матрицы кофакторов, которое нам теперь понадобится, чтобы найти определитель всех этих матричных миноров. А так как все это матрицы два на два, мы можем сделать это, вспомнив определитель матрица два на два 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 равна 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. Итак, начнем с поиска определитель минора матрицы 𝐴 один единица. Это равно минус три умножить на минус пять минус минус шесть умножить на три. И если мы вычислим это выражение, оно равно 33,

Мы можем сделать то же самое чтобы найти определитель минора нашей матрицы 𝐴 один два. Это равно минус два умножить на минус пять минус минус шесть умножить на семь. И если мы вычислим это выражение, мы видим, что оно равно 52. Используя точно такой же метод, мы можно найти определители всех наших матричных миноров. Мы получили бы следующее ценности.

Теперь, когда мы нашли детерминанты всех наших матричных миноров, мы можем найти все элементы нашего кофакторная матрица. Начнем с записи в первая строка и первый столбец нашей матрицы кофакторов. Он будет равен отрицательному один в степени один плюс один, умноженный на определитель нашей матрицы минор 𝐴 один один. Ну, мы знаем, что отрицательный мощность одного плюс один равна единице. И мы это уже показывали определитель 𝐴 единицы равен 33. Таким образом, 𝐶 единица будет равна 33. Итак, мы показали, что 𝐶 один один равно 33. И действительно, мы можем добавить к этому в нашу матрицу кофакторов в первой строке, первом столбце.

Мы можем сделать то же самое, чтобы найти запись в первой строке, во втором столбце. Он равен отрицательной единице степень одного плюс два, умноженная на определитель числа 𝐴 один два. А так как определитель 𝐴 один два равно 52, это упрощает получение отрицательных 52. Затем мы можем добавить это в наша матрица кофакторов в первой строке, во втором столбце. И тогда мы могли бы сделать точно то же самое, чтобы найти все оставшиеся элементы нашей матрицы кофакторов. Это даст нам следующие значения. И так же, как раньше, мы Затем можно добавить их в нашу матрицу кофакторов 𝐶.

Одна вещь стоит указываю здесь. Когда мы вычисляем 𝐶 𝑖𝑗, мы умножить определитель минора нашей матрицы на минус единицу в степени 𝑖 плюс 𝑗. Это означает, что в первой строке столбец единицу, мы всегда будем умножать на положительную единицу. А затем в первой строке и столбце два, мы всегда будем умножать на минус один. И этот узор будет продолжать. А некоторые люди предпочитают использовать это вместо того, чтобы умножать на минус один в степени 𝑖 плюс 𝑗. Нам просто нужно помнить, чтобы умножить наш определитель на значение.

Теперь, когда мы построили наш матрица кофакторов, мы можем обсудить, как мы можем использовать это, чтобы найти обратную нашу матрица. Во-первых, нам нужен последний определение. Присоединенная матрица матрицы 𝐴, обозначаемый присоединенным 𝐴, равен транспонированию нашей матрицы 𝐶, где 𝐶 есть матрица кофакторов 𝐴. И это тоже стоит помнить когда мы транспонируем матрицу, мы меняем местами строки и столбцы вокруг.

И теперь мы наконец готовы определить, как найти обратную квадратную матрицу. У нас есть, если 𝐴 является квадратом матрица и определитель 𝐴 не равен нулю, то обратный 𝐴 будет равен единице, деленной на определитель 𝐴, умноженный на сопряженный из 𝐴. Таким образом, чтобы найти обратное любому квадратная матрица состоит из двух частей. Во-первых, нам нужно найти определитель 𝐴, а затем нам нужно найти сопряженный 𝐴. И помните, если определитель 𝐴 равен нулю, то матрица не имеет обратный. Обычно мы проверяем это первый.

Давайте теперь рассмотрим несколько примеров использования сопряженного метода для нахождения обратной некоторых матриц.

Рассмотрим матрицу единица, ноль, три, один, ноль, один, три, один, ноль. Определить, имеет ли матрица обратное, найдя, отличен ли определитель от нуля. Если определитель отличен от нуля, найти обратное, используя формулу обратного, которая включает кофактор матрица.

Нам дают три на три матрица. И первое, что нас просят нужно определить, имеет ли эта матрица обратную, сначала найдя определитель нашей матрицы и проверка, равна ли она нулю. Помните, что если определитель матрица равна нулю, то эта матрица не может быть обратимой. А для квадратной матрицы, если ее определитель не равен нулю, то он обратим. Итак, нам нужно начать с поиска определитель нашей матрицы. Мы назовем эту матрицу 𝐴.

Есть много разных способов нахождение определителя матрицы. Самый простой способ — найти, какой строка или столбец содержит наибольшее количество нулей. Для нашей матрицы 𝐴 мы можем видеть это второй столбец. У него два нуля. Тогда нам нужно вспомнить нашу формулу для определителя матрицы три на три, где мы выбираем столбец 𝑗. Это дает нам следующее выражение, где строчная 𝑎 одна 𝑗, строчная 𝑎 две 𝑗 и строчная 𝑎 три 𝑗 — записи в первой строке столбца 𝑗; вторая строка, столбец 𝑗; и третья строка, столбец 𝑗 нашей матрицы 𝐴. И заглавная 𝐴 одна 𝑗, заглавная 𝐴 два 𝑗 и заглавные 𝐴 три 𝑗 — наши матричные миноры.

Поскольку мы выбрали второй столбец, мы установим наше значение 𝑗 равным двум. Таким образом, используя 𝑗 равно двум, мы получить следующее выражение. И мы можем упростить это. Во-первых, отрицательная единица в степени один плюс два равно минус один. Отрицательная единица в степени двойки плюс два равно одному. И отрицательный в степени три плюс два равно минус один. Таким образом, мы можем упростить наше выражение дать нам следующее.

Затем мы можем использовать наше определение матрица 𝐴, чтобы найти некоторые из этих значений. Во-первых, строчная 𝑎 из одной двойки запись в строке один, столбец два нашей матрицы. Мы видим, что это ноль. Далее строчная 𝑎 два два — это запись во второй строке, во втором столбце. Мы видим, что это тоже ноль. Наконец, строчная 𝑎 три два запись в строке три, столбце два. Мы видим, что это равно один. Таким образом, наши первые два термина имеют нулевой множитель и, следовательно, равны нулю. Итак, все это выражение упрощает, чтобы дать нам отрицательное значение, умноженное на определитель минора матрицы 𝑎 три два. И мы можем найти минор нашей матрицы 𝐴 три два из нашего определения 𝐴.

Помните, нам нужно удалить строку три и второй столбец из нашей матрицы 𝐴. И это оставляет нам только четыре элементы: один, три, один, один. Итак, наша присоединенная матрица 𝐴 три два это матрица два на два один, три, один, один. Итак, определитель 𝐴 равен отрицательный, умноженный на определитель матрицы два на два один, три, один, один. И мы знаем, как найти определитель матрицы два на два. Определитель два на два матрица 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 равна 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. И, используя это, мы можем показать определитель матрицы два на два один, три, один, один равен единице, умноженной на единицу минус трижды один. И, конечно же, нам еще нужно умножьте это на минус один. А если упростить это выражение, мы видим, что мы получаем два. И поэтому, поскольку определитель нашей квадратной матрицы не равен нулю, мы можем заключить, что он должен иметь инверсия.

Следующая часть нашего вопроса задана нам найти обратную нашу матрицу, используя формулу, которая включает в себя кофакторная матрица. Итак, давайте очистим немного места, а затем вспомните, как мы это сделали бы для нашей матрицы 𝐴. Напомним, что можно найти обратную матрицы, выполнив пять шагов.

Сначала нам нужно рассчитать определитель нашей матрицы 𝐴. Мы делаем это в первую очередь, потому что если это равно нулю, то мы не можем найти обратное. И мы уже сделали это в первая часть нашего вопроса. Мы обнаружили, что определитель наша матрица 𝐴 была равна двум.

Второе, что нам нужно сделать, это найти все миноры нашей матрицы. Помните, матричный минор 𝐴 𝑖𝑗 это наша матрица 𝐴, в которой мы удаляем строку 𝑖 и столбец 𝑗. Начнем с поиска 𝐴 одного один. Это означает, что нам нужно удалить первая строка и первый столбец нашей матрицы 𝐴. Итак, мы удаляем первую строку и первый столбец из нашей матрицы 𝐴. И, сделав это, мы остаемся с всего четыре элемента. Таким образом, минор матрицы 𝐴 один равен равна матрице два на два ноль, один, один, ноль. Нам нужно найти всю нашу матрицу несовершеннолетние. Теперь нам нужно найти 𝐴 один два. Это означает, что мы удаляем первую строку и второй столбец из нашей матрицы 𝐴. Делая это, мы можем видеть, что мы осталось четыре записи: один, один, три и ноль. Таким образом, минор матрицы 𝐴 один два равен матрица два на два один, один, три, ноль. И мы можем использовать точно такие же метод, чтобы найти все наши матричные миноры. Получаем следующие девять матрицы.

Третье, что нам нужно сделать, это построить нашу матрицу кофакторов. И помните, запись в строке 𝑖, столбец 𝑗 нашей матрицы кофакторов равен отрицательной единице в степени 𝑖 плюс 𝑗 умножается на определитель минора матрицы 𝐴 𝑖𝑗. Это означает, что нам нужно найти определители всех девяти миноров нашей матрицы. И мы знаем, как найти определитель матрицы два на два. Например, определитель 𝐴 одна единица будет равна нулю, умноженной на ноль, минус единица, умноженная на единицу. И мы можем оценить это выражение. Он равен отрицательной единице.

Точно так же мы можем найти определитель нашей второй матрицы кофакторов. Получаем, что это равно единице, умноженной на ноль. минус один умножить на три, который мы можем вычислить, равен минус три. И мы можем сделать то же самое найти определитель всех остальных миноров нашей матрицы. Получаем следующие значения. Но помните, нам нужно умножить это минус один в степени 𝑖 плюс 𝑗. Другими словами, мы умножаем определитель 𝐴 один за другим. Затем умножаем определитель 𝐴 один два на отрицательный один, это дает нам положительное три, и умножить определитель 𝐴 один три на один. Умножаем определитель 𝐴 два один минус один. Это дает нам положительную тройку. И мы можем продолжать это для всех наших матричных миноров. Это дает нам следующее ценности.

И помните, каждое из этих значений является записью в нашей матрице кофакторов. Итак, заполнив строку 𝑖, столбец 𝑗 с каждым из этих значений мы получаем нашу матрицу кофакторов 𝐶: матрица три на три. Итак, давайте очистим нашу работу и перейдем к четвертому шагу. Теперь нам нужно найти наше сопряженное матрица. Это транспонирование нашего кофакторная матрица.

Помните, транспонирование матрицы означает, что нам нужно поменять местами строки со столбцами. Итак, когда мы транспонируем наш кофактор матрица, наша первая строка будет отрицательной один, три, ноль. Так пишем в первой строке минус один, три, ноль. И второго ряда у нас будет три, минус девять, два. И наш третий ряд будет один, отрицательная единица, ноль. А это примыкание к нашему матрица 𝐴. Все, что осталось сделать сейчас, это использовать наша формула, чтобы найти обратную 𝐴.

Используя нашу формулу для обратного 𝐴, мы получаем, что обратное 𝐴 равно следующему выражению. И тогда мы можем упростить это матрица, чтобы найти матрицу три на три, обратную 𝐴.