Автор: alexxlab

Сумма чисел арифметической прогрессии формула: Арифметическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

alexxlab / / Разное

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 11.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Сегодня мы выведем 2 формулы для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел:

1+2+3+…+98+99+100.

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдёшь к решению ключи.

С этой задачей связана история, которую рассказывают об известном немецком математике Карле Гауссе.

Когда учитель предложил ученикам сложить натуральные числа от 1 до 100, то маленький Карл моментально пришел с ответом. Вероятно, он заметил, что сумма первого и последнего слагаемого равна 101, сумма второго и предпоследнего слагаемого, тоже 101 и ничего странного в этом нет. Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. И Гаусс подсчитал, что сумма равна 5050.

1+2+3+4+…..+97+98+99+100

1+100=101

2+99=101

3+98=101

1+2+3+4+…+97+98+99+100=101∙50=5050

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии:

Обозначим сумму первых n-членов арифметической прогрессии Sn и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором в порядке убывания:

Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)

Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом равна a1 + an, число таких пар равно n, поэтому сложив почленно равенства (1) и (2), получим:

2Sn=a1+an∙n

Разделим обе части этого равенства на 2 и получим формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии:

Sn=(a1+an)2∙n

Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый и последний члены арифметической прогрессии. Но можно вывести еще одну формулу, для этого вместо an подставим формулу n-го члена, которую мы узнали на прошлом занятии. Получим:

Sn=(a1+an)2∙n=a1+a1+dn-12∙n=2a1+dn-12∙n

Для нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии, используя эту формулу, достаточно знать первый член и разность арифметической прогрессии.

Разберем несколько примеров:

Найдем сумму первых 10-ти членов арифметической прогрессии, первый член которой равен минус 23, а десятый член равен 4. Воспользуемся формулой:Sn=(a1+an)2∙n, получим

S10=(-23+4)2∙10=-192∙10=-19∙5=-95

Рассмотрим еще один пример:

Вычислим сумму первых двадцати двух членов арифметической прогрессии:

-15; -11; -7; -3; ….

Итак, a1=-15,d=4, значит, можно воспользоваться второй формулой: Sn=2a1+dn-12∙n, получим:

S22=2∙-15+4∙(22-1)2∙22=-30+842∙22=54∙11=594.

А теперь давай найдем сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3.

Как найти сумму с 15-го по 30-й член включительно, давай подумаем: S30=a1+a2+…+a14+a15+…+a30, если мы найдем сумму тридцати членов и вычтем из нее сумму первых 14-ти членов, то мы получим необходимую сумму с 15-го по 30-й члены.

Итак, S30=2∙10+3∙292∙30=1072∙30=107∙15=1605

S14=2∙10+3∙132∙14=592∙14=59∙7=413

S15-30=S30-S14=1605-413=1192

Ответ: 1192.

Эту же сумму мы могли найти и другим, способом, если бы ввели новую арифметическую последовательность, первый член которой был бы равен пятнадцатому члену нашей прогрессии.

А теперь давай решим уравнение:

x+1+x+5+x+9+…+x+69=684

Можно, конечно, расписать все слагаемые, привести подобные и решить это линейное уравнение, но это займет очень много времени. А если внимательно посмотреть на это уравнение, то можно заметить, что каждое следующее слагаемое отличается от предыдущего на 4. То, есть последовательность:

x + 1; x + 5; x + 9; … ; x + 69 является арифметической, сумма членов которой равна 684.

Итак, имеем: a1=x+1,a2=x+5,an=x+69, Sn=684.

Найдем разность арифметической прогрессии:

d=a2-a1=x+5-x+1=4

Найдем номер последнего члена, для этого воспользуемся формулой n-го члена: an = a1 + d(n — 1)

x + 69 = x + 1 + 4(n — 1)

x + 69 = x + 1 + 4n — 4

4n = 72, n = 18

Подставим все данные в формулу суммы первых n-членов арифметической прогрессии, получим:

684=x+1+x+52∙18

684 = (2x + 70) ∙ 9, отсюда 2x + 70 = 76    2x=6,    x=3

Ответ:3

Калькулятор арифметической прогрессии с формулами и примерами решений

Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22. .. Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.

Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:

  • 1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,   
  • 1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
  • 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.

Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6

А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.

An = 2n.

Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.

An = 2n − 1

Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.

Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:

An = n2 + 2

Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 10002 + 2 = 1000002.

Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.

Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.

Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:

  • An = 2n
  • Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)

Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.

Замечания

Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то ​ что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.

Понятие арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.

Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.

Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…

Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…

Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:

An = a1 + (n − 1)d

Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.

Sn = [(a1 + an) / 2] × n

Примеры задач

Пример 1

В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.

В калькуляторе задаем:

  • Первое число: 3
  • Последнее число: 20
  • Разница (шаг): 3

Получаем:

  • Арифметическая прогрессия: 61
  • Сумма членов прогрессии: 650
  • Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61

Проверяем самостоятельно по формулам с теории:

  • a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61

Пример 2

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9…

В калькуляторе задаем:

  • Первое число: 5
  • Последнее число: 20
  • Разница (шаг): 2

Результаты рассчета:

  • Арифметическая прогрессия: 43
  • Сумма членов прогрессии: 480
  • Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43

Проверяем:

  • Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
  • S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480

Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.

Сумма формулы арифметической прогрессии для n-го и суммы n членов

Сумма формулы арифметической прогрессии \(S_n=a_1+(a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + [a_1 + (n–1)d] \). Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность, в которой каждый член получается прибавлением постоянного числа к предыдущему члену. Пример арифметической прогрессии: дни в месяце следуют определенной последовательности, количество учеников в классе следует арифметической прогрессии и так далее.

Сумма арифметической прогрессии Формула

Первый член равен \(a_1\), второй член равен \(a_1 + d\), третий член равен \(a_1 + 2d\) и т. д. Это приводит к нахождению суммы арифметического ряда , \(S_n\), начиная с первого члена и последовательно добавляя общую разность.

Формула суммы арифметической прогрессии:  \(S_n=a_1+(a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + [a_1 + (n–1)d]\)

Мы могли бы также начать с n-й член и последовательно вычитаем общую разность, так что

\(S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n– 2d) + … + [a_n – (n–1)d]\)

Если сложить оба уравнения, получим,

\(S_n=a_1+ (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + [a_1 + (n–1)d]\)

\(S_n = a_n + (a_n – d) + (a_n– 2d) + … + [a_n – (n–1)d]\)

где,

  • S = сумма n членов AP
  • n = общее количество членов
  • a = первый член
  • d = общая разность
сумма

n членов формулы арифметической прогрессии

\(2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + … + [a_1 + a_n]\)

\(2S_n = n (a_1 + a_n)\)

\ (S_n = {n(a_1 + a_n )\over2}\)

\(S_n = {n\over2}(a_1 + a_n )\)

Подставив \(a_n = a_1 + (n – 1)d\ ) в последнюю формулу имеем

\(S_n = {n\over2}[a_1 + a_1 + (n – 1)d]\)

Сумма n членов формулы арифметической прогрессии: \(S_n = {n\over2}[2 a_1 + (n – 1)d]\)

где,

  • \(S_n\) = сумма n членов AP
  • n = общее количество членов
  • a = первый член
  • d = общая разность

Эти две формулы позволяют нам быстро найти сумму арифметического ряда.

Узнайте о гармонической прогрессии

N-й член формулы арифметической прогрессии

Мы можем найти n-й член арифметической прогрессии, используя следующую формулу.

n-й член формулы арифметической прогрессии:  \(a_n=a_1+(n – 1)d\)

где,

  • a — первое слагаемое
  • d — общая разность
  • n — количество слагаемых
  • \(a_n\) — n-ое слагаемое

Узнать о сумме бесконечной ГП и свойствах Арифметическая прогрессия

Примеры формулы суммы арифметической прогрессии

Пример 1: Найдите сумму первых 35 членов арифметической прогрессии, третий член которой равен 7, а седьмой член в два раза больше третьего члена. .

Решение: Предположим, что «а» — первый член, а «d» — общая разность данной арифметической прогрессии.

Согласно задаче,

3-й член арифметической прогрессии равен 7

т.е. 3-й член = 7

a + (3 – 1)d = 7

a + 2d = 7 ……………… . (i)

, а седьмой член в два раза больше третьего члена.

т. е. 7-й член = 3 × 3-й член + 2

a + (7 – 1)d = 3 × [a + (3 – 1)d] + 2

а + 6d = 3 × [а + 2d] + 2

Подставляем значение а + 2d = 7 получаем,

а + 6d = 3 × 7 + 2

а + 6d = 21 + 2

а + 6d = 23 ………………. (ii)

Теперь вычтите уравнение (i) из (ii), мы получим,

4d = 16

d = 4

Подставим значение d = 4 в уравнение (i), мы получим,

a + 2 × 4 = 7

a + 8 = 7

a = 7 – 8

a = -1

Следовательно, первый член арифметической прогрессии равен -1, а общая разность арифметической прогрессии равна 4.

Теперь сумма первых 35 членов арифметической прогрессии \(S_{35} = {35\over2}[2 × (-1) + (35 – 1) × 4]\),

\(\ begin{массив}
={35\over2}[-2 + 34 × 4] ={35\over2}[-2 + 136] ={35\over2}[134] \end{массив}\)

= 35 × 67

= 2345.

вы также можете прочитать о Матрицах.

Пример 2: Если 5-й и 12-й члены арифметической прогрессии равны 30 и 65 соответственно, найдите сумму 26 ее членов.

A. Предположим, что «а» — первый член, а «d» — общая разность данной арифметической прогрессии.

Согласно задаче,

5-й член арифметической прогрессии равен 30

т.е. 5-й член = 30

a + (5 – 1)d = 30

a + 4d = 30 ……………… . (i)

и 12-й член арифметической прогрессии равен 65

т. е. 12-й член = 65

a + (12 – 1)d = 65

a + 11d = 65 ……………….. ( ii)

Теперь, вычтем уравнение (i) из (ii), мы получим,

7d = 35

d = 357357

d = 5

Подставим значение d = 5 в уравнение (i) мы получить,

а + 4 × 5 = 30

а + 20 = 30

а = 30 – 20

а = 10

Следовательно, первый член арифметической прогрессии равен 10, а общая разность арифметической прогрессии равна 5.

Теперь сумма первых 26 членов арифметической прогрессии \(S_{26} = {26\over}[2 × 10 + (26 – 1) × 5]\),

= 13[20 + 25 × 5]

= 13[20 + 125]

= 13[145]

= 1885

Надеюсь, что эта статья о формуле суммы арифметической прогрессии была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!

Часто задаваемые вопросы о формуле суммы арифметической прогрессии  

В.1 Что такое арифметическая прогрессия?

Ans.1 Арифметическая прогрессия (AP) представляет собой последовательность, в которой каждый член получается путем добавления постоянного числа к предыдущему члену.

Q.2 Что такое формула суммы арифметической прогрессии?

Ans.2 Формула суммы арифметической прогрессии: \(S_n=a_1+(a_1 + d) + (a_1 + 2d) + … + [a_1 + (n–1)d]\)

Q.3 Что такое сумма n членов формулы арифметической прогрессии?

Ответ 3 Сумма n членов формулы арифметической прогрессии: \(S_n = {n\over2}[2 a_1 + (n – 1)d]\)

Термин в формуле арифметической прогрессии?

Ans.4 N-й член формулы арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n – 1)d\)

Q. 5 Приведите несколько примеров арифметической прогрессии.

Ответ 5 Некоторые примеры арифметической прогрессии: дни в месяце следуют определенной последовательности, число учащихся в классе следует арифметической прогрессии.

Скачать публикацию в формате PDF

Read More Posts

Центр масс: твердого тела, тонкого стержня и центра тяжести с условиями равновесия
Столкновения, второй закон Ньютона для системы частиц с примерами Состояние вещества и характеристики твердого тела, жидкости, газа, плазмы
Открытие электрона, протона и нейтрона
Составные функции: символ, домен, диапазон, свойства и примеры

9000 Арифметическая формула | ChiliMath

Слово ряд подразумевает сумму . Мы можем преобразовать данную арифметическую последовательность в арифметическую серию, добавив члены последовательности. Пример ниже подчеркивает разницу между ними.

Последовательность против серии

Арифметическая последовательность (список):

\large{2,4,6,8,10,…}

Арифметическая последовательность (сумма):

\large{2 + 4 + 6 + 8 + 10…}

Обратите внимание, что в последовательности мы перечисляем термины, разделенные запятыми, а в сериях термины добавляются, как указано символами плюса.

Следовательно, арифметическая последовательность — это просто сумма членов арифметической последовательности . В частности, сумма первых \large\color{red}{n} членов арифметической последовательности называется частичная сумма . Частичная сумма обозначается символом \large{{S_n}}.

Ниже приведена общая форма формулы арифметического ряда. Лучше всего это работает, если в задаче заданы первый и последний члены.

Примечания:

▶︎ Формула арифметического ряда также известна как формула частичной суммы.

▶︎ Формула частичной суммы может быть описана словами как произведение среднего значения первого и последнего членов и общее количество членов в сумме.

▶︎ Формула арифметической последовательности включена в формулу частичной суммы. На самом деле это n-й член или последний член \large\color{blue}{a_n} в формуле.

▶︎ Ознакомьтесь с и формулой арифметического ряда и формулой арифметической последовательности (формула n-го члена), потому что они идут рука об руку при решении многих задач.

\Large{{S_n} = n\left( {{{{a_1} + \,{a_n}} \over 2}} \right)}

и

\large{{a_n} = {a_1} + \left( {n — 1} \right)d}

Прежде чем мы начнем работать с примерами, вы можете вспомнить, как я упоминал, что формула арифметической последовательности вписана в формулу арифметического ряда. Если мы заменим и расширим формулу n-го слагаемого в формулу частичной суммы, мы получим новую и полезную форму формулы арифметического ряда.

Ниже приведена альтернативная формула арифметического ряда. Рассмотрим это, если последний член равен , а не .

Формула альтернативного арифметического ряда

где:

\large{{a_1}} — первый член

\large{{d}} — обычная разность

\large{{n}} — число слагаемых в сумме

Примеры применения формулы арифметического ряда

Пример 1: Найдите сумму первых 100 натуральных чисел.

Это простая задача. Цель этой задачи — служить вводным примером. Это должно помочь вам быстро ознакомиться с формулой арифметического ряда. Как только вы поймете, как использовать формулу, вы сможете решать более сложные задачи, как вы увидите позже в этом уроке.

Напомним, что натуральные числа — это счетные числа. Мы можем записать конечную арифметическую последовательность как

1,2,3,4,…,100

и связанную с ней арифметическую последовательность как

1 + 2 + 3 + 4 + … + 100

Очевидно, что первый член 1, последний член равен 100, и количество добавляемых членов также равно 100.

Подставьте значения в формулу, затем упростите, чтобы получить сумму.

Поскольку {a_1} = 1, {a_{100}} = 100 и n = 100, мы имеем

Таким образом, сумма первых 100 натуральных или счетных чисел равна 5050.

Если вы хотите больше попрактиковаться в нахождении суммы первых 200, 300, 400 и 500 натуральных чисел, вы можете использовать список частичных сумм натуральных чисел до 1000, который я создал в качестве ключа к ответу.

Пример 2: Найдите частичную сумму данного арифметического ряда.

\large{7 + 12 + 17 + 22 + … + 187}

Если вы впервые решаете задачу такого типа, это может показаться вам немного сложным. Не то чтобы это сложно, а потому, что нужные вам значения не указаны явно. Это может сбить вас с толку, потому что вы даже не знаете, с чего начать. Однако, если у вас есть стратегия с самого начала, вы поймете, что эта проблема не так уж и плоха.

Нам нужно изучить данную серию. Определите ценности, которые важны и полезны для нас. Иногда, делая это таким образом, нам открывается следующий логический шаг.

Итак, это информация, которую мы собрали из сериала. Первый член равен 7. Так как 12-7=5, 17-12=5 и 22-17=5, то общая разность равна 5. Последний член равен 187. Это означает количество членов \large\color{ red}n, добавляемый в серию, отсутствует.

\большой{a_1} = 7

\large{d=5}

\large{a_n} = 187

\large{n = \,?}

Надеюсь, сейчас вы согласитесь со мной, что у нас нет другого выбора, кроме как использовать формула n-го члена , чтобы найти \large\color{red}n. Как только мы найдем значение для \large{n}, мы подставим его в формулу арифметического ряда вместе с первым и последним членами, чтобы найти сумму данного арифметического ряда.

Теперь давайте найдем \large{n}, используя формулу n-го слагаемого.

Наконец, у нас есть все значения, необходимые для вычисления суммы заданного ряда: \large{n=37}, \large{a_1} = 7 и \large{a_n} = 187,

Пример 3: Найдите сумму первых \больших{51} членов арифметической прогрессии.

\large{12\,\,19\,\,26\,\,33\,…}

Стратегия аналогична примеру 2. Вместо нахождения количества членов \ большой\цвет{красный}n, мы будем использовать формулу n-го члена, чтобы найти 51-й член. Затем мы используем формулу арифметического ряда для вычисления суммы первых 51 членов последовательности.

Итак, какое значение мы можем извлечь из данной задачи?

Ну, количество добавляемых терминов \large\color{red}n явно задано в задаче, которая равна n=51.

Теперь из арифметической последовательности легко определить первый член и общую разность. Первый член, очевидно, равен 12, а общая разность равна 7, поскольку 19 — 12 = 7, 26 — 19 = 7 и 33 — 26 = 7.

Итак, вот информация, которую мы собрали. Это означает, что n-й член — это то, что мы ищем.

\большие{a_1}=12

\большие{n=51}

\large{d=7}

\large{a_n}=\,?

Подставьте значения в формулу n-го члена , затем упростите, чтобы получить 51-й член.

Наконец мы можем найти сумму первых 51 слагаемых, потому что мы знаем количество слагаемых n=51, первое слагаемое {a_1}=7 и последнее слагаемое {a_n}=362.

Пример 4: 10-й член арифметической последовательности равен 17, а 30-й член равен -63. Чему равна 50-я частичная сумма \large{S_{50}} арифметической прогрессии?

Вот общая картина. Чтобы найти 50-ю частичную сумму, нам нужно знать первый член \large{a_1} и последний член \large{a_n}, который совпадает с 50-м членом. Очевидно, что в ряду будет 50 терминов, потому что мы суммируем термины с первого по 50-й член.

Чтобы найти первый член \large{a_1}, мы будем использовать формулу n-го члена вместе с данной информацией в задаче, чтобы создать систему уравнений, где неизвестными являются первый член \large{a_1} и общая разница d.

\large{{a_n} = {a_1} + \left( {n — 1} \right)d}

Следовательно, имеем

  • 10-й член равен 17
  • 30-й член равен -63

  • Вот эту систему уравнений мы и собираемся решить. Мы можем найти значения первого члена \large{a_1} и общей разности \large{d}.

    Мы решим эту систему уравнений, используя метод исключения. Мы вычтем уравнение №2 из уравнения №1, чтобы избавиться от \large{a_1}, тем самым изолировав \large{d}.

    Это дает нам

    Так как мы уже знаем значение общей разности \large{d}, мы можем легко найти первый член \large{a_1}. Выберите любое из двух уравнений, уравнение №1 или уравнение №2, подставьте значение \large{d}, затем решите для \large{a_1}. Мы выберем уравнение № 1, потому что с ним гораздо проще работать.

    Зная первый член и общую разность последовательности, мы можем составить формулу, которая может определить любой член в последовательности.

    Используя формулу, которую мы придумали, теперь мы можем найти 50-й член \large{{a_{50}}} в последовательности.

    Наконец, у нас есть все, что нужно для вычисления 50-й частичной суммы с использованием формулы арифметического ряда.

    Подставьте значения в формулу и упростите.

    Пример 5: 10-й член арифметической прогрессии равен 23, а его 12-я частичная сумма равна 192. Найдите сумму первых 40 членов последовательности.

    Чтобы найти первые 40 членов арифметической прогрессии, воспользуемся формулой основного арифметического ряда. Однако нам нужно указать недостающие значения в формуле, а именно первый член \large{{{a_1}}} и последний член \large{{{a_n}}}. Количество добавляемых членов \large{n} уже задано и равно 40.

    Теперь построим систему уравнений, в которой неизвестными являются первый член \large{a{}_1} и общая разность \ большой {д}.

    Первое уравнение исходит из данной информации, что \large{{a_{10}} = 23}. Подставьте значения в формулу n-го члена.

    Второе уравнение исходит из данной информации, что \large{{S_{12}} = 192}. Подставьте значения в альтернативную формулу арифметического ряда.

    Это система уравнений, которую мы будем решать методом исключения.

Онлайн переводчик пдф в джипег: Конвертировать PDF в JPG — быстрый, онлайн, бесплатный

alexxlab / / Разное

Перевод Пдф В Джипег — Конвертировать Пдф В Джипег онлайн

Зачем Перевод Пдф В Джипег?

Несомненно, файлы PDF широко используются в настоящее время, но для некоторых дел может быть более достаточным JPG (изображение). Фактически, изображения можно легко добавлять в видео и другие документы. Там вы найдете определенные причины конвертация пдф в джипег изображение ,но наиболее распространенная и очевидная — это совместное использование. И даже люди предпочитали JPG из-за их небольшого размера. Итак, сейчас самое время использовать наш онлайн конвертер PDF в JPG, который быстро преобразует файл PDF в изображение JPEG.

Как конвертировать PDF в JPG онлайн?

Следуйте этим шагам, предлагаемым нашим онлайн-перевод пдф в джипег, чтобы конвертация пдф в джипег, а также в JPEG.

Шаг 1:

  • Выберите PDF-файл или перетащите его в указанную зону перетаскивания.

Шаг 2:

  • Нажмите кнопку «Конвертировать», и инструмент предоставит вам качественные конвертировать из пдф в джипег из файла.

Шаг 3:

  • Теперь самое время нажать кнопку «Загрузить» и сохранить PDF-файл в формате JPG.

Кроме того, этот онлайн конвертировать пдф в джипег считается лучшим способом пакетного преобразования, что означает бесплатное преобразование нескольких файлов PDF в файлы изображений JPEG. Помните, что этот перевести пдф в джипег будет создавать изображения для каждой отдельной страницы файлов PDF.

Часто задаваемые вопросы:

Как конвертировать PDF-документы в изображения JPG в Photoshop?
  • Сначала откройте Photoshop. Выберите «Файл» и нажмите «Открыть», затем найдите PDF-файл на панели инструментов и нажмите «Открыть».
  • Выберите страницы, которые вам нужно открыть, если ваш PDF-файл содержит многостраничный документ, щелкнув миниатюры
  • Вы можете отредактировать или настроить размер вашей PDF-страницы по мере необходимости.
  • Затем вы просто нажимаете опцию «Файл» и прямо сейчас нажимаете «Сохранить как», там откроется меню «Формат», выберите «JPG».
  • Сразу после этого нажмите «Параметры изображения» и выберите качество изображения.
  • Теперь вы можете выбрать «Вариант формата», это может быть «Базовый (стандартный)», «Оптимизированный» или «Прогрессивный».

Как Перевод Пдф В Джипег на моем телефоне?

Воспользуйтесь нашим онлайн перевести пдф в джипег, чтобы легко преобразовать PDF в изображение JPG на любом мобильном устройстве (Android, iOS и т. Д.). Наш конвертер поддерживает все современные браузеры, такие как (Opera, Mozilla, Chrome, Safari и т. Д.) Для преобразования из pdf в jpg.

Как конвертировать PDF в JPG на macOS?
  • Прежде всего, вы должны открыть файл PDF-документа в режиме предварительного просмотра.
  • Теперь вам нужно выбрать страницу, которую вам нужно будет конвертировать пдф в джипег, и перейти в Файл> Экспорт.
  • Затем откроется диалоговое окно. В разделе формат все, что вам нужно, выбрать JPG, установить качество и разрешение в соответствии с вашими предпочтениями. Кроме того, вы можете выбрать папку, в которой хотите сохранить файл, а также указать новое имя файла.
  • Наконец, нажмите кнопку «Сохранить».

Что ж, испытайте лучший процесс перевод пдф в джипег с помощью нашего бесплатного онлайн конвертировать пдф в джипег. Вы можете выполнять преобразование из пдф в джипег, а также в JPEG с помощью настольного компьютера или мобильного устройства в любое время и в любом месте!

Other Languages: PDF to JPG Converter, Ubah PDF ke JPG, Převod PDF do JPG, PDF in JPG Umwandeln Kostenlos, Konwerter PDF na JPG, PDF JPG Çevirme, Converter PDF em JPG, PDF JPG 변환, Convertir PDF en JPG, Convertir PDF a JPG, Convertire PDF in JPG, تحويل PDF الى JPG, PDF JPG Muotoon, Konverter PDF til JPG, Konvertere PDF til JPG, Pretvorba PDF v JPG, Konvertera PDF till JPG, Chuyển PDF sang JPG, PDF JPG Konvertáló, แปลงไฟล์ PDF เป็น JPG, המרת PDF לתמונה, PDF JPG 変換, Μετατροπή PDF σε JPG,

Как Выполнить Пакетное Преобразование PDF в JPG 4 Способами

PDF — один из популярных и надежных цифровых форматов. Он применяется в большей части нашей жизни и работы. Но иногда вам может потребоваться преобразовать PDF в JPG, чтобы представить или поделиться контентом в файле PDF с друзьями, семьей или коллегами.

Преобразование PDF в JPG — нелегкий процесс. Итак, в этой статье мы собираемся перечислить наиболее эффективные методы преобразования файлов PDF в файлы изображений JPG с высоким разрешением.

Скачать Бесплатно Скачать Бесплатно КУПИТЬ СЕЙЧАС КУПИТЬ СЕЙЧАС

coдержание

Часть 1 Преобразование Нескольких Файлов PDF в JPG в Windows

Часть 2 Используйте Пакетный Конвертер PDF в JPG

Часть 3 Преобразование Нескольких Файлов PDF в JPG Онлайн Бесплатно

Часть 4 Пакетное Преобразование PDF в JPG на Mac

Часть 1: Преобразование Нескольких Файлов PDF в JPG в Windowss

Когда дело доходит до пакетного преобразования PDF в JPG, вы можете использовать Universal Document Converter. Это виртуальный принтер. Инструмент прост в использовании и может конвертировать несколько файлов PDF в JPG всего за несколько секунд. Чтобы узнать о шагах, продолжайте читать.

Шаг 1 Установите виртуальный принтер для преобразования нескольких PDF в JPG

Загрузите Universal Software на свой ноутбук или настольный компьютер с Windows. Инструмент служит виртуальным принтером. Затем вы должны установить его в качестве принтера по умолчанию в мастере установки.

Шаг 2 Настройте параметры печати для пакетного преобразования

На рабочем столе или ноутбуке нажмите кнопку «Пуск» и перейдите к опции «Устройства и принтеры». Найдите параметр «Принтер Universal Document Converter» и щелкните параметр «Настройки печати», указанный во всплывающем меню.

Перейдите к опции «Формат файла» и выберите изображение JPEG. Теперь перейдите в раздел «Выходное Местоположение» и установите флажок «Использовать предопределенное местоположение и имя файла». Когда вы закончите с ними, нажмите «ОК», чтобы сохранить внесенные изменения.

Шаг 3 Преобразуйте несколько PDF в JPG в Windows

Теперь, поскольку вам придется конвертировать PDF в JPG в пакетном режиме, вам нужно будет выполнить несколько простых шагов, чтобы конвертировать несколько PDF-файлов в JPG. Просто выберите все файлы из Проводника Windows. Щелкните правой кнопкой мыши и выберите пункт «Печать» во всплывающем меню.

Когда вы закончите, Windows запустит программу просмотра PDF, установленную на компьютере, для печати нескольких PDF-файлов, выбранных вами с помощью Universal Document Converter. Инструмент будет сохранять полученные файлы в формате JPG.

Но помните, количество PDF-файлов, которые вы можете конвертировать в пакетном режиме с помощью Universal Document Converter, составляет 15. Поэтому, если вам нужно конвертировать более 15 файлов PDF в JPG в пакетном режиме, воспользуйтесь помощью какого-либо другого инструмента.

Часть 2: Используйте Пакетный Конвертер PDF в JPG

Вы можете конвертировать несколько файлов PDF в JPG с помощью Wondershare PDFelement — Редактор PDF-файлов. Это один из лучших инструментов для конвертации PDF с опцией пакетного преобразования.

Пакетное преобразование PDF в JPG вы можете выполнить за 2 простых шага.

Скачать Бесплатно Скачать Бесплатно КУПИТЬ СЕЙЧАС КУПИТЬ СЕЙЧАС

Шаг 1 Активируйте пакетный процесс

Откройте PDFelement и нажмите кнопку «Пакетный PDF» в главном окне. Это откроет всплывающее окно для пакетных процессов. Выполняйте пакетные действия в окне. Во всплывающем окне вы должны выбрать опцию «Выбрать файл» и выбрать файлы PDF, имеющиеся на вашем ноутбуке или рабочем столе.

Шаг 2 Преобразуйте PDF-файлы в JPG в пакетном режиме

В раскрывающемся меню выберите выходной формат JPG. Если вы хотите, вы можете выбрать значок «Шестеренка» справа для настройки параметров преобразования. Когда все будет сделано, нажмите кнопку «Применить», чтобы начать процесс конвертации. Весь процесс завершится через несколько секунд.

Совет: Преобразование одного файла PDF в JPG

После того, как вы откроете файл PDF в PDFelement, этот инструмент позволит вам отредактировать документ PDF до преобразования его в формат изображения. Для этого вам нужно будет перейти на вкладку «Редактировать».

Чтобы преобразовать PDF в JPG, выберите параметр «В изображение» на вкладке «Преобразовать». Это откроет другое окно программы. Обычно в окне выбирается формат JPEF/JPG. Таким образом, нажмите кнопку «Сохранить», чтобы начать процесс преобразования.

Некоторые из лучших функций, которые вы найдете в Wondershare PDFelement — Редактор PDF-файлов , обсуждаются ниже.

Скачать Бесплатно Скачать Бесплатно КУПИТЬ СЕЙЧАС КУПИТЬ СЕЙЧАС

Легко Редактирует PDF-файлы

Вы можете легко использовать PDFelement для настройки и редактирования документов. При этом вы можете работать с отсканированными документами. Инструмент позволяет добавлять ссылки, водяные знаки, фоновые изображения и дополнительные страницы в PDF-файлы. Используя инструмент, вы также сможете поиграть с местоположением. Это позволит вам выделить и аннотировать текст.

Сравнивайте PDF-файлы в Один Клик

Когда вы ведете бизнес, вы хотели бы убедиться, что документ является точным и безопасным. Это верно, если вы имеете дело с подробными файлами и файлами журналов, такими как контракты, юридические документы или расходы. Опция «Сравнить PDF» помогает сравнить PDF-файлы за несколько минут. Таким образом, вы можете сосредоточиться на более важной работе.

Простые Пакетные Преобразования

С PDFelement вы можете наслаждаться новой производительностью с точки зрения пакетных процессов под крышей. Пакетные процессы помогают сэкономить время. Следовательно, вам не нужно применять водяные знаки к каждому файлу. Инструмент позволяет конвертировать, разрабатывать и оптимизировать файлы одновременно. Это простой и быстрый процесс.

Командное Сотрудничество

Существует умный набор функций, таких как «Общий доступ к файлам», «Комментарии» и «Подпись», которые помогут облегчить совместную работу в команде. Это особенно верно, если файлы в компании должны пройти различные утверждения в разных отделах. С помощью этого инструмента проще добавлять комментарии. Он дает вам множество опций, таких как подчеркивание, выделение и ссылка.

Часть 3: Преобразование Нескольких Файлов PDF в JPG Онлайн Бесплатно

Если вам нужно преобразовать PDF в JPG без загрузки какого-либо программного обеспечения на ваше устройство, вы можете использовать инструмент PDF.online. С помощью этого инструмента вы сможете быстро конвертировать несколько файлов PDF в JPG. Шаги, которые вы должны выполнить для пакетного преобразования файла PDF, приведены ниже.

Шаг 1 Загрузите несколько PDF-файлов

Откройте инструмент в предпочитаемом веб-браузере и нажмите «Загрузить файлы». Выберите файлы PDF, которые вы хотите преобразовать.

Шаг 2 Преобразуйте несколько PDF в JPG онлайн

Когда преобразование будет завершено, вы можете загрузить их один за другим или все сразу. Это настолько просто, насколько это возможно.

Часть 4: Пакетное Преобразование PDF в JPG на Mac

Вы можете конвертировать несколько PDF-файлов в JPG на Mac с помощью одного из самых популярных инструментов, известного как Automator.

Here are the steps you have to follow.

Шаг 1 Настройка пакетного преобразования PDF в JPG на Mac

Откройте Automator на Mac и выберите «Приложение». Теперь вам нужно перетащить действие «Визуализация PDF-страниц в изображения» в рабочем процессе. Действие будет создавать случайные имена файлов. Таким образом, следуйте за ним с помощью «Переименовать элементы Finder». В раскрывающемся меню выберите «Сделать последовательным».

Шаг 2 Преобразование нескольких файлов PDF в JPG на Mac

После этого добавьте «Переместить элементы Finder» для перемещения выходных файлов на рабочий стол. Сохраните новое приложение в другом месте.

Перетащите файлы на него, чтобы завершить процесс.

Подытожим

С помощью этих инструментов вы можете легко конвертировать PDF-файлы в JPG. Но если вы ищете лучшее, вам подойдет PDFelement.

Преобразование PDF в JPG онлайн

Перетащите файл PDF сюда

или

Нажмите, чтобы загрузить файл

Ваши файлы остаются конфиденциальными.
Безопасная загрузка файлов по HTTPS.

Как конвертировать PDF в JPG за 3 простых шага

DocFly позволяет пользователям конвертировать PDF в JPG или JPEG. PDF-файлы гибки, но не идеальны, если вы работаете с файлом изображения. Например, если вы хотите загрузить изображение на страницу веб-сайта и получить PDF-файл, рекомендуется использовать конвертер PDF в JPG. Для формата PDF требуется внешний подключаемый модуль или приложение, например Adobe. Это приводит к тому, что документ загружается дольше. Кроме того, большинство офисных приложений лучше обрабатывают изображения, чем PDF-файлы. С DocFly конвертировать PDF в JPG легко и просто.

Самый простой способ конвертировать PDF в JPG онлайн

Быстрое преобразование PDF-файлов в JPG

Ищете способ быстрого преобразования PDF-файлов в JPEG-изображения? Не ищите ничего, кроме DocFly! С помощью нашего бесплатного онлайн-конвертера вы измените формат изображения PDF в JPG менее чем за минуту.

Простой в использовании онлайн-конвертер PDF в JPG

Хотите быть уверенным, что файл изображения, которым вы делитесь, выглядит великолепно и его легко отправить по электронной почте? Преобразование PDF в JPG для улучшения контроля версий.

Точное преобразование PDF в JPG

Конвертер PDF в JPEG от DocFly является одним из самых точных. Наш конвертер создает изображение, максимально приближенное к исходному PDF-файлу.

Безопасная загрузка и хранение файлов

Все загружаемые файлы шифруются через HTTPS для защиты вашего контента. Файлы хранятся в защищенной базе данных, управляемой облачным хостингом Amazon. Вы можете удалить свои файлы из нашей системы в любое время.

Доступ к файлам из любого места

DocFly — это онлайн-сервис, доступный через любое устройство, подключенное к Интернету. Вы можете получить доступ к своему файлу из дома, офиса или любого другого места.

Всегда в курсе

DocFly находится в облаке, поэтому всякий раз, когда вы заходите на сайт, вы получаете доступ к последней версии программного обеспечения. Никаких длительных обновлений или загрузок программного обеспечения не требуется.

Готовы конвертировать PDF в JPG онлайн?

Совет DocFly Pro: Когда конвертировать PDF в JPG

Файлы JPG используются при совместном использовании изображений. Например, изображения, передаваемые по мобильным телефонам или в маркетинговых брошюрах. Поскольку файлы JPG сжаты, качество изображения немного ниже, чем в других форматах файлов изображений, особенно при просмотре JPG с близкого расстояния. (PNG — еще один популярный формат изображений, в который пользователям часто нужно конвертировать, поэтому мы создали простой инструмент для преобразования PDF в PNG.)
DocFly позволяет быстро преобразовать PDF в JPG. Когда файл находится в формате JPG, вы можете редактировать его с помощью такого инструмента, как Adobe Photoshop.

СОЗДАТЬ PDF

  • СОЗДАТЬ PDF
  • ПЕЧАТЬ PDF
  • ПЕЧАТЬ В PDF
  • ПРОСМОТР PDF-ФАЙЛА

РЕДАКТИРОВАТЬ PDF

  • РЕДАКТИРОВАНИЕ PDF-ФАЙЛА
  • ЗАПОЛНИТЕ ФОРМУ PDF
  • СЖАТИЕ ФАЙЛА PDF
  • СОЗДАТЬ ФОРМУ PDF
  • ВЫДЕРЖАТЬ СТРАНИЦЫ ИЗ PDF
  • ОБЪЕДИНЕНИЕ ФАЙЛОВ PDF
  • ЗАЩИТА ПАРОЛЕМ PDF-ФАЙЛА
  • ПЕРЕПОРЯДОК СТРАНИЦ PDF
  • ПОВЕРНИТЕ PDF-файл
  • ПОДПИСАТЬ PDF-файл
  • РАЗДЕЛИТЬ PDF-ФАЙЛ
  • ЗАПИСАТЬ В ФАЙЛ PDF

КОНВЕРТИРОВАТЬ PDF

  • ПРЕОБРАЗОВАТЬ PDF В СЛОВО
  • КОНВЕРТИРОВАТЬ JPG В PDF
  • ПРЕОБРАЗОВАТЬ PNG В PDF
  • ПРЕОБРАЗОВАТЬ СЛОВО В PDF
  • КОНВЕРТИРОВАТЬ POWERPOINT В PDF
  • ПРЕОБРАЗОВАТЬ EXCEL В PDF
  • КОНВЕРТИРОВАТЬ TIFF В PDF
  • КОНВЕРТИРОВАТЬ PDF В PNG

Онлайн-конвертер PDF в JPG

Вы также можете конвертировать PDF во многие другие форматы файлов.

Несмещенная и смещенная дисперсия: Выборочная несмещенная дисперсия — statanaliz.info

alexxlab / / Разное

Выборочная несмещенная дисперсия — statanaliz.info

Приветствую посетителей блога statanaliz.info. В данной статье рассмотрим, что такое «выборочная несмещенная дисперсия».

Тема не нова, так как с таким показателями как размах значений, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации мы уже знакомы.

Понятие о сплошном и выборочном наблюдении

С точки зрения охвата объекта исследования, статистический анализ можно разделить на два вида: сплошной и выборочный. Сплошной статанализ предполагает изучение генеральной совокупности данных, то есть всего явления во всем его многообразии без распространения выводов на другие элементы, не входящие в анализируемую совокупность. Из названия данного типа явствует, что наблюдению подвергаются тотально все элементы. Результат анализа распространяется на всю генеральную совокупность без каких-либо допущений и поправок на ошибку. Данный тип статистического исследования является наиболее полным и точным, так как дополнительные знания почерпнуть уже неоткуда – информация собрана со всех элементов объекта исследования. Это бесспорный плюс.

Отличным примером сплошного наблюдения является перепись населения. «Всесоюзная перепись населения» — красиво звучало! Кстати, советская статистика, как и наука в целом, была одной из самых лучших в мире. Денег на проведение сплошных обследований не жалели, так как при СССР статистика выполняла свою прямую функцию – исследовала реальность, без чего невозможно было строить «светлое будущее». При этом советские ученые-статистики справедливо критиковали буржуазную статистику за то, что те скрывают от народа реальное положение дел и используют статистику для промывки мозгов. Об этом, кстати, писали и сами буржуи. Более практичный пример сплошного наблюдения – опрос жителей многоэтажного дома на предмет заваривания мусоропровода. Опрашиваются все, результат дает вполне однозначный ответ об отношении жителей к мусоропроводу. Ошибки в выводах маловероятны.

Как бы там ни было, у сплошного наблюдения есть отрицательное качество: на организацию и проведение исследования могут потребоваться значительные ресурсы. Одно дело взять пробу из партии товаров, другое – проверять всю партию. Одно дело опросить тысячу прохожих на улице, совсем другое – организовать перепись населения.

В противовес сплошному придумали выборочное наблюдение. Название метода точно отражает его суть: из генеральной совокупности отбирается и анализируется только часть данных, а выводы распространяют на всю генеральную совокупность. Отбор данных происходит таким образом, чтобы выборка была репрезентативной, то есть, сохранила внутреннюю структуру и закономерности генеральной совокупности. Если это условие не соблюдено, то дальнейший анализ во многом теряет смысл.

Сам анализ выборочных данных происходит так же, как и при сплошном наблюдении (рассчитываются различные показатели, делаются прогнозы и т.д.), только с поправкой на ошибку. Это значит, что рассчитывая тот или иной показатель, мы понимаем, что при повторной выборке его значение будет другим. К примеру, провели опрос общественного мнения. Опрос показал, что за кандидата N желают проголосовать 60% опрошенных. Если провести еще один такой же опрос, даже в том же месте, то результат будет отличаться. То есть, взяв первое значение 60%, следует понимать, что с той или иной вероятностью оно могло быть, скажем, и 58%, и 62%. Точность и разброс выборочных показателей зависят от характера данных и их количества.

У выборочного наблюдения есть один существенный плюс и один минус, однако по сравнению со сплошным наблюдением крайности меняются местами. Плюс заключается в том, что для проведения выборочного обследования требуется гораздо меньше ресурсов. Минус – в том, что выборочное наблюдение всегда ошибочно. Поэтому основная задача проведения выборочного наблюдения – добиться максимальной точности при приемлемых затратах на его проведение.

Выборочная несмещенная дисперсия

И вот, стало быть, дисперсия. Дисперсия, как и доля или средняя арифметическая, также меняет свое значение от выборки к выборке, но здесь есть интересная особенность. Дисперсия ведь рассчитывается от средней величины, а она в свою очередь, тоже рассчитывается по выборке, то есть является ошибочной. Как же это обстоятельство влияет на саму дисперсию?

Если бы мы знали истинную среднюю величину (по генеральной совокупности), то ошибка дисперсии была бы связана только с нерепрезентативностью, то есть с тем, что данные в выборке оказались бы ближе или дальше от средней, чем в целом по генеральной совокупности. При этом при многократном повторении данные стремились бы к своему реальному расположению относительно средней.

Выборочный показатель, который при многократном повторении выборки стремится к своему теоретическому значению, называется несмещенной оценкой. Почему оценкой? Потому что мы не знаем реальное значение показателя (по генеральной совокупности), и с помощью выборочного наблюдения пытаемся его оценить. Оценка показателя – это есть его характеристика, рассчитанная по выборке.

Теперь смотрим внимательно на выборочную среднюю. Выборочная средняя – это несмещенная оценка математического ожидания, так как средняя из выборочных средних стремится к своему теоретическому значению по генеральной совокупности. Где она расположена? Правильно, в центре выборки! Средняя всегда находится в центре значений, по которым рассчитана – на то она и средняя. А раз выборочная средняя находится в центре выборки, то из этого следует, что сумма квадратов расстояний от каждого значения выборки до выборочной средней всегда меньше, чем до любой другой точки, в том числе и до генеральной средней. Это ключевой момент. А раз так, то дисперсия в каждой выборке будет занижена. Средняя из заниженных дисперсий  также даст заниженное значение. То есть при многократном повторении эксперимента выборочная дисперсия не будет стремиться к своему истинному значению (как выборочная средняя), а будет смещена относительно истинного значения по генеральной совокупности.

Отклонение выборочной средней от генеральной показано на рисунке.

Несмещенность оценки – одна из важных характеристик статистического показателя. Смещенная оценка показателя заранее говорит о тенденции к ошибке. Поэтому показатели стараются оценивать таким образом, чтобы их оценки были несмещенными (как у средней арифметической). Чтобы решить проблему смещенности выборочной дисперсии, в ее расчет вносят корректировку – умножают на n/(n-1), либо сразу при расчете в знаменатель ставят не n, а n-1. Получается так.

Выборочная смещенная дисперсия:

Выборочная несмещенная дисперсия:

 

Под выборочной дисперсией понимают, как правило, именно несмещенный вариант.

Теперь посмотрим на практическую сторону отличия смещенной и несмещенной дисперсии. Соотношение между выборочной и генеральной дисперсией составляет n/n-1. Несложно догадаться, что с ростом n (объема выборки) данное выражение стремится к 1, то есть разница между значениями выборочной и генеральной дисперсиями уменьшается.

Так, в выборке из 11 наблюдений относительная разница составляет 11/10 = 10%. При 21 наблюдениях, отличие сокращается до 5%, при 31 наблюдении – до 3,3%, при 51 – до 2%, при 101 – до 1%. Короче, при достаточно большой выборке данных (50 и выше наблюдений) относительная разница между смещенной и несмещенной дисперсией практически исчезает. Оценка параметра, когда с ростом выборки его отклонение от теоретического значения уменьшается, называется асимптотически несмещенной оценкой.

При переходе к среднеквадратичном отклонению по выборке (корень из выборочной дисперсии) разница становится еще меньше.

Таким образом, эффект смещенной дисперсии проявляется в небольших выборках. В больших выборках можно использовать генеральную дисперсию, что как бы не усложняет и не упрощает жизнь. Вручную сейчас никто не считает. Все легко посчитать в Excel. Но понимать различие в терминологии и в сути показателей все же следует.

Из данной статьи неплохо бы усвоить следующее.

1. Формула генеральной дисперсии в выборке дает смещенную оценку.

2. В знаменателе несмещенной оценки n-1 вместо n.

3. При большом объеме выборки (от 100 наблюдений) разница между смещенной и несмещенной дисперсиями практически исчезает.

4. Стандартное отклонение по выборке – это корень из выборочной дисперсии.

До новых встреч на блоге statanaliz.info.

Поделиться в социальных сетях:

Несмещенная оценка дисперсии — исправленная выборочная дисперсия. Решение задач и контрольных работ теории вероятностей и статистике онлайн

Краткая теория

Пусть из генеральной совокупности в результате  независимых наблюдений над количественным признаком  извлечена повторная выборка объема :

Значения признака …
Частоты …

При этом

Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить в систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой , другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно:

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить  на дробь . Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через :

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно:

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию:

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

При достаточно больших значениях  объема выборки выборочная и исправленная дисперсия отличаются мало. На практике используются исправленной дисперсией, если примерно .

Пример решения задачи

Найти несмещенную выборочную дисперсию на основании данного распределения выборки.

16 20 22 30
14 26 17 3

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Сумма частот:

Вычислим среднюю:

Средняя квадратов:

Несмещенная выборочная дисперсия:

Ответ:

Кроме этой задачи на другой странице сайта есть пример расчета исправленной выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения для интервального вариационного ряда

2\) соответственно. Тогда возникает естественный вопрос, являются ли эти оценки «хорошими» в каком-либо смысле. Одним из показателей «хорошего» является «беспристрастность».

Оценщик смещения и несмещения

Если выполняется следующее:

\(E[u(X_1,X_2,\ldots,X_n)]=\тета\)

, то статистика \(u(X_1,X_2,\ldots,X_n)\) является несмещенной оценкой параметра \(\theta\). В противном случае \(u(X_1,X_2,\ldots,X_n)\) равно 9np=\dfrac{1}{n}(np)=p\)

Первое равенство выполняется, потому что мы просто заменили \(\hat{p}\) его определением. Второе равенство выполняется по правилам математических ожиданий для линейной комбинации. Третье равенство выполняется, поскольку \(E(X_i)=p\). Четвертое равенство выполняется, потому что если вы сложите значение \(p\) до \(n\) раз, вы получите \(np\). И, конечно же, последнее равенство — это простая алгебра.

Таким образом, мы показали, что:

\(E(\hat{p})=p\)

Следовательно, оценка максимального правдоподобия является несмещенной оценкой \(p\). 9nE(X_i)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}\mu=\dfrac{1}{n}(n\mu)=\mu\)

Первое равенство выполняется, поскольку мы просто заменили \(\bar{X}\) его определением. Опять же, второе равенство выполняется по правилам математических ожиданий для линейной комбинации. Третье равенство выполняется, поскольку \(E(X_i)=\mu\). Четвертое равенство выполняется, потому что если вы сложите значение \(\mu\) до \(n\) раз, вы получите \(n\mu\). И, конечно же, последнее равенство — это простая алгебра.

Итак, мы показали, что: 92\), \(S\) равно , а не , это несмещенная оценка \(\сигма\). (Вас также попросят показать это в домашнем задании.)

Иногда невозможно найти оценки максимального правдоподобия в удобной закрытой форме. Вместо этого необходимо использовать численные методы для максимизации функции правдоподобия. В таких случаях мы могли бы рассмотреть возможность использования альтернативного метода нахождения оценок, такого как «метод моментов». Давайте посмотрим на этот метод сейчас.

Смещение и дисперсия в линейных моделях | by Nischal M

Взгляд на компромисс смещения и дисперсии для линейных моделей

Я уверен, что все видели эту диаграмму в прошлом:

«Понимание компромисса смещения и дисперсии» очень подробно описывает компромисс и ошибки, и я настоятельно рекомендую его. Приведенный выше рисунок является первым рисунком в сообщении и показывает прогнозы нескольких моделей с разными ошибками смещения и дисперсии. Яблочко — это истинное значение, которое мы хотим предсказать, а синие точки — это то, что на самом деле предсказывает модель. В этом посте я хочу попытаться наглядно показать, как компромисс между смещением и дисперсией обретает форму в линейных моделях.

Почему линейные модели?

Потому что они хорошо понятны и дают очень простой способ контролировать эти ошибки — посредством регуляризации. Известно, что регрессия по методу наименьших квадратов (OLS) дает объективные результаты с низкой дисперсией по сравнению с нелинейными моделями. Ridge (OLS со штрафом L2) и Lasso (OLS со штрафом L1) дают необъективные результаты с гораздо меньшей дисперсией по сравнению с OLS. Степень штрафа контролируется коэффициентом регуляризации λ. Что, в свою очередь, контролирует две ошибки, как мы увидим ниже. Лассо на самом деле является особым случаем из-за его агрессивного характера, сводящего оценки коэффициентов к нулю, но помогает сохранять объективность. Подробнее о регуляризации можно прочитать здесь.

Процедура

Я буду придерживаться того же метода, который использовался для концептуального описания ошибок в посте Скотта. Здесь я произвольно выбираю все фиксированные числа.

  1. Моделирование 500 точек данных из y = α+ βx + ϵ , где ϵ ~ N(0, 8), x ~ U(-2, 2), α = 2 и β = 3.
  2. Выполните первый шаг 1000 раз и соберите все наборы данных.
  3. Для каждого набора подогнать модели OLS, Ridge и Lasso с фиксированным λ, чтобы предсказать y для x = 3, Ожидаемый прогноз должен быть 2 + 3 x 3 = 11

Теперь у нас есть 3000 (1000 OLS + 1000 Ridge + 1000 Lasso) прогнозов, на которые мы можем взглянуть, чтобы увидеть истинную «природу» этих моделей. Вы можете найти весь код для этого на моей странице GitHub здесь.

Заметка о том, как читать графики. Я хочу, чтобы вы обратили внимание на две вещи:
1. Расстояние между истинным значением, показанным черной пунктирной линией, и средним предсказанным значением для модели, показанным пунктирной линией того же цвета. Это расстояние равно смещение (или смещение в квадрате) моделей. Большое отклонение от истинного значения (11) является большим смещением.
2. Ширина гистограмм дисперсия модели. Большая ширина — большая дисперсия.

λ ~ 0

Начиная с очень маленького значения лямбда. Это эквивалентно отсутствию штрафа, поэтому мы ожидаем таких же результатов, как и в МНК для Риджа и Лассо.

Сюжет не преподносит сюрпризов. Все три распределения перекрываются со средними значениями, близкими к истинному значению. Обратите внимание, насколько разбросано распределение. Существует большая дисперсия в прогнозе в диапазоне от 9до 13.

λ = 0,01

С (очень) небольшим штрафом легко увидеть действие регуляризации. Распределения сместились влево (видно по среднему). Небольшой перекос наблюдается у Риджа, а относительно больший у Лассо. Неясно, изменилась ли дисперсия.

λ = 0,05

При λ = 0,05 Лассо уже слишком агрессивен со смещением в 3 единицы. Ридж достаточно близок, но похоже, что у него такая же дисперсия. Так что преимущества Ridge по этим данным пока нет.

λ = 0,1

Почти такой же результат, как и выше. Пока трудно заметить какие-либо изменения в дисперсии.

λ = 0,5

Более высокий штраф дает некоторые (разумно) удовлетворительные подсказки. Погрешность на хребте увеличилась почти на три единицы, но дисперсия меньше. Лассо очень настойчиво настаивал на оценке нулевого коэффициента для β, что привело к очень большому смещению результата, но имеет небольшую дисперсию.

λ = 1 — Хорошие результаты!

Здесь компромисс явно перешел на другую сторону. Дисперсия Ridge невелика за счет более высокого смещения.

λ = 5

Чтобы действительно довести дело до конца, вот очень большой штраф. Дисперсия на хребте невелика за счет гораздо более высокого смещения. Вам, вероятно, никогда не понадобятся такие большие штрафы. Но факты ясны: меньшая дисперсия ценой большей предвзятости.

Смещение и дисперсия для различных значений регуляризации

Повторение вышеизложенного для диапазона значений регуляризации дает ясную картину.

  • Смещение вычисляется как расстояние от среднего прогноза и истинного значения — истинное значение минус среднее (прогнозы)
  • Дисперсия — это среднее отклонение от среднего прогноза — среднее (прогноз минус среднее (прогнозы))

Графики дают одно и то же наблюдение. МНК имеет наименьшее смещение, но наибольшую дисперсию. Гребень выглядит как плавный сдвиг, а Лассо становится постоянным примерно после λ = 0,2 (β становится равным 0, таким образом предсказывая y = α для всех значений x ) .

Идеальные распределения

Лучший выбор данных может дать нам идеальный график выборочных распределений прогнозов.

Преимущество Ridge сразу становится очевидным из-за перекрывающихся распределений. Ridge дает слегка предвзятый прогноз, но гораздо чаще дает более точный прогноз, чем OLS. Это истинная ценность Риджа. Небольшой уклон, но более последовательные прогнозы. OLS дает беспристрастный результат, но не очень последователен. Это ключевой момент, МНК дает объективный результат в среднем, не всегда . И это компромисс между смещением и дисперсией, принимающий форма в линейных моделях.

Вы можете найти весь код, который я использовал для этого поста, здесь. Я рекомендую вам запустить его для разных значений λ, чтобы увидеть изменения для себя. Может быть, даже использовать его в другом наборе данных и посмотреть, сможете ли вы увидеть какое-то совпадение. Если у вас есть какие-либо предложения для этого поста, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться и говорить привет.

Я просто хочу воспользоваться моментом, чтобы поблагодарить всех, кто сделал этот пост возможным.

Онлайн pdf конвертер в текст: Преобразовать PDF в текстовый файл — Конвертируйте PDF в текстовый файл онлайн

alexxlab / / Разное

Преобразовать PDF в текстовый файл — Конвертируйте PDF в текстовый файл онлайн

Как отредактировать текст из PDF-файла? Преобразуйте PDF в текстовый документ при помощи функции оптического распознавания символов (OCR). Если вам надо извлечь текст, студия PDF2Go — идеальное решение.

Перетащите файлы сюда

Преобразовать
Сканы будут сохранены в виде изображений.

Премиум

Преобразовать с помощью OCR
Сканы будут преобразованы в редактируемый текст.

Исходный язык файла

Чтобы получить оптимальный результат, выберите все языки, которые есть в файле.

Применить фильтр: Обратите внимание, что получившийся документ утратит первоначальные цвета»/> Применить фильтр No FilterGray Filter

Информация: Включите поддержку JavaScript, чтобы обеспечить нормальную работу сайта.

Публикация рекламы

300,000+ users

18,000+ users

Оставайтесь на связи:

Как извлечь текст из PDF-документов

  1. Загрузите PDF-документ.
  2. Нажмите «Начать».

Преобразуйте PDF в текст при помощи функции OCR


бесплатно в любом месте