Смежные прямые: Ошибка 403 — доступ запрещён

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма двух смежных углов

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a 1 b) и (a 2 b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a 1 и a 2 являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ. Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a 1 b) и угол (a 2 b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a 1 и a 2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a 1 b) и (a 2 b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2. 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a 1 b) и (c 1 d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a 2 b) и (c 2 d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Отсюда, a 2 b = 180° — a 1 b и c 2 d = 180° — c 1 d. Так как углы (a 1 b) и (c 1 d) равны, то мы получаем, что a 2 b = 180° — a 1 b = c 2 d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a 2 b = c 2 d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство.
Пусть (a 1 b 1) и (a 2 b 2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a 1 b 2) является смежным с углом (a 1 b 1) и с углом (a 2 b 2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a 1 b 1) и (a 2 b 2) дополняет угол (a 1 b 2) до 180°, т.е. углы (a 1 b 1) и (a 2 b 2) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a 1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a 1 угол (a 1 b 1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b 1 , будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 .
Углы (a 1 b 1) и (a 1 c 1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a 1 . Но от полупрямой a 1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2. 3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

В процессе изучения курса геометрии понятия “угол”, “вертикальные углы”, “смежные углы” встречаются достаточно часто. Понимание каждого из терминов поможет разобраться в поставленной задаче и правильно ее решить. Что такое смежные углы и как их определять?

Смежные углы – определение понятия

Термин “смежные углы” характеризует два угла, образованных общим лучом и двумя дополнительными полупрямыми, лежащими на одной прямой. Все три луча выходят из одной точки. Общая полупрямая является одновременно стороной как одного, так и второго угла.

Смежные углы – основные свойства

1. Исходя из формулировки смежных углов, нетрудно заметить, что сумма таких углов всегда образует развернутый угол, градусная мера которого равна 180°:

  • Если μ и η являются смежными углами, то μ + η = 180°.
  • Зная величину одного из смежных углов (например, μ), можно легко вычислить градусную меру второго угла (η), используя выражение η = 180° – μ.

2. Данное свойство углов позволяет сделать следующий вывод: угол, являющийся смежным прямому углу, также будет прямым.

3. Рассматривая тригонометрический функции (sin, cos, tg, ctg), основываясь на формулах приведения для смежных углов μ и η справедливо следующее:

  • sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
  • cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
  • tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
  • ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.


Смежные углы – примеры

Пример 1

Задан треугольник с вершинами M, P, Q – ΔMPQ. Найти углы, смежные углам ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

  • Продлим каждую из сторон треугольника прямой.
  • Зная о том, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла, выясняем, что:

смежным для угла ∠QMP будет ∠LMP,

смежным для угла ∠MPQ будет ∠SPQ,

смежным для угла ∠PQM будет ∠HQP.


Пример 2

Величина одного смежного угла составляет 35°. Чему равна градусная мера второго смежного угла?

  • Два смежных угла в сумме образуют 180°.
  • Если ∠μ = 35°, то смежный ему ∠η = 180° – 35° = 145°.

Пример 3

Определить величины смежных углов, если известно, что градусная мера одного из низ втрое больше градусной меры другого угла.

  • Обозначим величину одного (меньшего) угла через – ∠μ = λ.
  • Тогда, согласно условию задачи, величина второго угла будет равна ∠η = 3λ.
  • Исходя из основного свойства смежных углов, μ + η = 180° следует

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Значит первый один угол ∠μ = λ = 45°, а второй угол ∠η = 3λ = 135°.


Умение апеллировать терминологией, а также знание основных свойств смежных углов поможет справиться с решением многих геометрических задач.

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Как найти смежный угол?

Математика — древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики. Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.

Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.

Определение и свойства смежных углов

Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.

К основным свойствам смежных углов относят

  • Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
  • Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
  • Синусы смежных углов всегда равны;
  • Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.

Как найти смежные углы

Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов

  • Дана величина основного угла;
  • Дано соотношение основного и смежного угла;
  • Дана величина вертикального угла.

Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.

Дана величина основного угла

Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла — сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.

Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Дано соотношение основного и смежного угла

В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:

  1. Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
  2. Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
  3. Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
  4. Общая формула будет выглядеть так — a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
  5. Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
  6. Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.

Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.

Дана величина вертикального угла

Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.

Вертикальный угол — это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.

Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Также вы можете прочесть наши полезные статьи и .

угол до развернутого, то есть равного 180°, поэтому для их нахождения вычтите из этого известную величину основного угла α₁ = α₂ = 180°-α.

Из этого имеются . Если два угла одновременно являются и смежными, и равными, то они прямые. Если один из смежных углов является прямым, то есть составляет 90 градусов, то другой угол тоже прямой. Если один из смежных углов острый, то другой будет тупым. Аналогично, если один из углов тупой, то второй, соответственно, будет острым.

Острый угол – это такой, градусная мера которого меньше 90 градусов, но больше 0. Тупой угол имеет градусную меру больше 90 градусов, но меньше 180.

Другое свойство смежных углов формулируется так: если два угла равны, то углы, смежные с ними, также равны. Это , что если есть два угла, градусная мера для которых совпадает (например, она составляет 50 градусов) и при этом из них имеет смежный угол, то значения этих смежных углов тоже совпадают (в примере их градусная мера будет равна 130 градусам).

Источники:

  • Большой Энциклопедический Словарь — Смежные углы
  • угол 180 градусов

Слово « » имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно геометрические углы.

Как и любые фигуры в геометрии, углы можно сравнивать. Равенство углов определяется с помощью движения. Угол нетрудно разделить на две равные части. Разделить на три части немного сложнее, но все же это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Кстати, эта задача казалась довольно трудной. Описать, что один угол больше или меньше другого, геометрически несложно.

В качестве единицы измерения углов принят – 1/180

Что таоке смежные углы. Смежные и вертикальные углы

Что таоке смежные углы. Смежные и вертикальные углы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Сумма смежных углов равна 180°

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Вертикальные углы равны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

АН — перпендикуляр к прямой

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Чертежный угольник

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

В процессе изучения курса геометрии понятия “угол”, “вертикальные углы”, “смежные углы” встречаются достаточно часто. Понимание каждого из терминов поможет разобраться в поставленной задаче и правильно ее решить. Что такое смежные углы и как их определять?

Смежные углы – определение понятия

Термин “смежные углы” характеризует два угла, образованных общим лучом и двумя дополнительными полупрямыми, лежащими на одной прямой. Все три луча выходят из одной точки. Общая полупрямая является одновременно стороной как одного, так и второго угла.

Смежные углы – основные свойства

1. Исходя из формулировки смежных углов, нетрудно заметить, что сумма таких углов всегда образует развернутый угол, градусная мера которого равна 180°:

  • Если μ и η являются смежными углами, то μ + η = 180°.
  • Зная величину одного из смежных углов (например, μ), можно легко вычислить градусную меру второго угла (η), используя выражение η = 180° – μ.

2. Данное свойство углов позволяет сделать следующий вывод: угол, являющийся смежным прямому углу, также будет прямым.

3. Рассматривая тригонометрический функции (sin, cos, tg, ctg), основываясь на формулах приведения для смежных углов μ и η справедливо следующее:

  • sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
  • cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
  • tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
  • ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.


Смежные углы – примеры

Пример 1

Задан треугольник с вершинами M, P, Q – ΔMPQ. Найти углы, смежные углам ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

  • Продлим каждую из сторон треугольника прямой.
  • Зная о том, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла, выясняем, что:

смежным для угла ∠QMP будет ∠LMP,

смежным для угла ∠MPQ будет ∠SPQ,

смежным для угла ∠PQM будет ∠HQP.


Пример 2

Величина одного смежного угла составляет 35°. Чему равна градусная мера второго смежного угла?

  • Два смежных угла в сумме образуют 180°.
  • Если ∠μ = 35°, то смежный ему ∠η = 180° – 35° = 145°.

Пример 3

Определить величины смежных углов, если известно, что градусная мера одного из низ втрое больше градусной меры другого угла.

  • Обозначим величину одного (меньшего) угла через – ∠μ = λ.
  • Тогда, согласно условию задачи, величина второго угла будет равна ∠η = 3λ.
  • Исходя из основного свойства смежных углов, μ + η = 180° следует

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Значит первый один угол ∠μ = λ = 45°, а второй угол ∠η = 3λ = 135°.


Умение апеллировать терминологией, а также знание основных свойств смежных углов поможет справиться с решением многих геометрических задач.

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a 1 b) и (a 2 b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a 1 и a 2 являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ. Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a 1 b) и угол (a 2 b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a 1 и a 2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a 1 b) и (a 2 b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a 1 b) и (c 1 d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a 2 b) и (c 2 d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Отсюда, a 2 b = 180° — a 1 b и c 2 d = 180° — c 1 d. Так как углы (a 1 b) и (c 1 d) равны, то мы получаем, что a 2 b = 180° — a 1 b = c 2 d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a 2 b = c 2 d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство.
Пусть (a 1 b 1) и (a 2 b 2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a 1 b 2) является смежным с углом (a 1 b 1) и с углом (a 2 b 2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a 1 b 1) и (a 2 b 2) дополняет угол (a 1 b 2) до 180°, т.е. углы (a 1 b 1) и (a 2 b 2) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a 1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a 1 угол (a 1 b 1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b 1 , будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 .
Углы (a 1 b 1) и (a 1 c 1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a 1 . Но от полупрямой a 1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (на рис. углы 1 и 2 смежные). Рис. к ст. Смежные углы … Большая советская энциклопедия

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, а две др. их стороны лежат на одной прямой … Большая политехническая энциклопедия

См. Угол … Большой Энциклопедический словарь

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла … Научно-технический энциклопедический словарь

См. Угол. * * * СМЕЖНЫЕ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь

— (Angles adjacents) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие С. углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через вершину … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

См. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух … Википедия

Пара комплементарных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Комплементарные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два комплементарных угла являются соседними (т.е. имеют общую вершину и разделяются только… … Википедия

Пара дополнительных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Дополнительные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два дополнительных угла являются с … Википедия

Книги

  • О доказательстве в геометрии , Фетисов А.И.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них…
  • Комплексная тетрадь для контроля знаний. Геометрия. 7 класс. ФГОС , Бабенко Светлана Павловна, Маркова Ирина Сергеевна. В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по геометрии для проведения текущего, тематического и итогового контроля качества знаний учащихся 7 класса. Содержание пособия…

Что такое смежный угол

Угол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).


СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

Смежные углы — (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

рис. 2

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

рис. 3

На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

Теорема о смежных углах

Теорема: сумма смежных углов равна 180°

Доказательство:
Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.


Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Определение 1.1. Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:

Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Определение 3. Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.

Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

Определение 5. Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.

Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

Определение 7. Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

рис. 4


Связь математики с музыкой

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»
Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т. е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a: l ,
где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

Геометрия вокруг нас

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились. Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов. Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

Задание 1.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

Задание 2.

Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.


Задание 3.

Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.



Решение задач

1) Даны два угла, относящиеся друг к другу как 1: 2, а смежные с ними — как 7: 5. Нужно найти эти углы.
2) Известно, что один из смежных углов больше другого в 4 раза. Чему равны смежные углы?
3) Необходимо найти смежные углы, при условии, что один из них на 10 градусов больше от второго.


Математический диктант на повторение ранее выученного материала

1) Выполните рисунок: прямые a I b пересекаются в точке А. Отметьте меньший из образованных углов цифрой 1, а остальные углы – последовательно цифрами 2,3,4; дополняющие лучи прямой а — через а1 и а2, а прямой b — через b1 i b2.
2) Пользуясь выполненным рисунком, впишите нужные значения и объяснения в места пропусков в тексте:
а) угол 1 и угол …. смежные, поскольку…
б) угол 1 и угол …. вертикальные, поскольку…
в) если угол 1 = 60°, то угол 2 = …, потому что…
г) если угол 1 = 60°, то угол 3 = …, потому что…

Решите задачи:

1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.



3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

Итог урока

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.



Домашнее задание:

1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

Вопросы:

  1. Что такое угол?
  2. Какие бывают типы углов?
  3. Какая особенность смежных углов?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Что такое смежный?, значение, смежные углы, решенные примеры, часто задаваемые вопросы в геометрии относится к соседним (бок о бок) элементам друг к другу по форме. Обычно применяется к линиям, дугам или углам. В тригонометрии прилежащей стороной прямоугольного треугольника называется сторона, следующая за углом.

1. Значение соседнего
2. Смежные углы
3. Что такое смежный угол, а что нет?
4. Решенные примеры
5. Практические вопросы
6. Часто задаваемые вопросы о соседнем

Значение слова «прилегающий»

Значение слова «прилегающий» означает «рядом» или «рядом с». Примером смежности являются два соседних дома. Мы обычно считаем людей на нашей улице своими соседями. Кто тогда наш ближайший сосед? Человек, который живет в доме или квартире рядом с нами. Соседний может относиться к двум вещам, соприкасающимся друг с другом или разделяющим одну и ту же стену или границу. А как насчет двух линий, которые пересекаются в вершине многоугольника? Можно ли считать их смежными сторонами? В треугольниках и других многоугольниках две стороны, которые встречаются в вершине многоугольника, являются смежными.

Смежные углы

В математике соседними могут быть разные вещи, но смежные в основном применяются к отрезкам прямых и углам. Любые два угла, имеющие общий луч или сторону, общую вершину и внутренние части которых не пересекаются, называются смежными углами. Например, посмотрите на изображение ниже: внутренности ∠ABD и ∠CBD не перекрываются и, следовательно, являются смежными углами.

Что такое смежный угол, а что нет?

Ниже перечислены несколько важных моментов, касающихся того, что можно считать смежным углом, а что нельзя считать смежным углом, даже если у него одна и та же вершина и сторона.

  • Смежные углы имеют общую вершину и сторону, как показано на рисунке ниже
  • Углы не считаются смежными, если они имеют только общую вершину, а не сторону
  • Углы не считаются смежными углами, если они имеют общую сторону, а не вершину
  • Углы не считаются смежными, если углы a и b перекрываются, как показано на рисунке ниже

Статьи по теме на сайте Adjacent

Ознакомьтесь с этими интересными статьями на сайте Adjacent. Нажмите, чтобы узнать больше!

  • Симметрия
  • Уголки
  • Дополнительные углы
  • Вертикальные углы
  • Равные углы
  • Дополнительные уголки

 

  1. Пример 1:  Посмотрите на стрелки часов. Образуют ли они пару смежных углов?

    Решение:

    В данных часах часовая стрелка образует угол с секундной стрелкой, а секундная стрелка образует другой угол с минутной стрелкой. Обе эти пары углов лежат рядом друг с другом и образуют пару смежных углов. Следовательно, стрелки часов образуют пары смежных углов.

  2. Пример 2 : Смежны ли углы, отмеченные цифрами 1 и 2 на следующих рисунках? Обоснуйте свои ответы.

    Решение

    На данном рисунке

    Ясно, что ∠1 и ∠2 имеют общую вершину O и общее плечо OB. У них есть необщие плечи OA и OC по обе стороны от общего плеча OB. Итак, ∠1 и ∠2 – смежные углы.

    Да, ∠1 и ∠2 — смежные углы.

  3.  

    Пример 3. Перечислите 5 пар смежных углов на следующем рисунке.

    Решение:

    Ниже приведены пять пар смежных углов.

    Старший № Пары смежных углов
    1. ∠AOE, ∠EOC
    2. ∠EOC, ∠COB
    3. ∠AOC, ∠COB
    4. ∠COB, ∠BOD
    5. ∠ЕОБ, ∠БПК

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика — это жизненный навык. Помогите своему ребенку усовершенствовать это с помощью реального приложения с Cuemath.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы на соседнем сайте

Что такое определение смежности?

Смежный означает, что две вещи находятся рядом или рядом друг с другом. В классе каждая скамья, на которой сидят 2 ученика, считается смежной. Когда состояния имеют общую границу, мы можем называть их соседними состояниями, поскольку они имеют общую границу и находятся рядом друг с другом. В математике смежный используется для обозначения двух сторон или углов, которые лежат рядом друг с другом, и мы называем их смежными сторонами и смежными углами.

Что такое определение смежных углов?

Углы считаются смежными, если два угла имеют общую сторону и вершину и не пересекаются. Смежные углы не обязательно должны быть равными или дополнительными. Между двумя углами не должно быть зазоров или перекрытий, чтобы их можно было рассматривать как смежные углы.

Что такое смежные стороны?

Смежные стороны — это стороны многоугольника, имеющие общую вершину. Например, в треугольнике PQR соседними сторонами являются PQ и QR, поскольку между обеими сторонами лежит общая вершина (то есть Q).

Смежные углы равны?

Смежные углы не всегда должны быть равны. Два различных угла также могут считаться смежными, если они удовлетворяют всем условиям, относящимся к смежным углам. В случае квадрата или прямоугольника смежные углы равны, так как все углы равны 90º.

Вертикальные углы не являются смежными?

Нет, вертикальные углы всегда несмежные. При пересечении двух прямых образуются вертикальные углы, не являющиеся смежными углами. Эти углы имеют общую вершину, но никогда не имеют общей стороны.

Соседний означает Бок о бок?

Да, смежные означает рядом расположенные, т. е. когда углы расположены рядом друг с другом, имеют одну и ту же вершину и одну и ту же сторону. Прилегающая сторона треугольника — это сторона, ближайшая к углу, а противоположная сторона — это сторона, расположенная напротив угла.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочие листы по углам

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Что такое перпендикулярные линии? Определение, свойства, примеры 9{\circ})$.

Термин «перпендикуляр» произошел от латинского слова «perpendicularis», что означает отвес.

Если две прямые AB и CD перпендикулярны, то их можно записать как AB $\bot$ CD. Символ $\bot$ используется для обозначения того, что линии перпендикулярны.

Некоторые примеры: стороны квадрата, стрелки часов, углы доски, окна и символ Красного Креста.

Перпендикулярные линии представлены символом ‘$\bot$’. Предположим, m и n две прямые, пересекающиеся под углом 90 градусов, тогда они перпендикулярны друг другу и представляются как m $\bot$ n . Точка пересечения перпендикулярных прямых называется основанием перпендикуляра.

Шаг 2: Поместите транспортир на линию м так, чтобы его базовая линия совпадала с м , а его центр приходился на точку A. , Возьмите соответствующий радиус и нарисуйте дугу по обе стороны от данной точки.

Шаг 2: Растяните компас шире. Поместите кончик компаса на новые точки и сделайте небольшую дугу над заданной линией. Две новые дуги пересекутся.

Шаг 3 : Используйте линейку, чтобы соединить заданную точку A и точку B, где пересекаются дуги.

Дайте детям возможность наблюдать перпендикулярные линии в объектах или местах вокруг них, например, высокое дерево на земле, электрический столб на тротуаре, железнодорожный перекресток, угол двух соседних стен и высокие здания.

Пример 2: Напишите отношение между сегментами линии, обозначенными стрелкой в ​​каждой фигуре.

Пример 3: Диагонали ромба перпендикулярны друг другу. Сколько прямых углов образовано при пересечении?

Поскольку прямые AC и BD пересекают друг друга под углом 90 градусов, в точке пересечения имеется 4 прямых угла.

$\angle \text{AED} = \angle \text{DEC} = \angle \text{CEB} = \angle \text{BEA} = 90$ градусов

Пример 5: Если AB $\left|\right|$ CD и CD $\left|\right|$ EF. Что вы можете сказать об AB и EF?

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то эти две прямые параллельны друг другу.

Нет, эти линии не перпендикулярны, потому что они не пересекаются под прямым углом.

Практические задачи на перпендикулярных прямых

1

Определите пару перпендикулярных отрезков заданной формы.

AG и AB

FE и ED

FE и CD

CB и AB

Правильный ответ: FE и ED
FE и ED являются перпендикулярными отрезками.

2

Каждый объект имеет выделенную пару линий. Какой из выделенных парой линий этого объекта не показывает перпендикулярных линий?

A

B

C

D

Правильный ответ: A
Свеча. Его выделенная пара линий показывает параллельные линии.

3

В какое время стрелки часов будут перпендикулярны друг другу?

12 часов

6 часов

3 часа

5 часов

Правильный ответ: 3 часа
В 3 часа стрелки часов находятся под углом 90 градусов к друг друга. Значит, они перпендикулярны друг другу.

4

Сколько прямых перпендикулярно прямой CD на данном рисунке?

1

2

3

4

Правильный ответ: 3
Линия PQ, линия RS и линия TU перпендикулярны CD. Итак, на данном рисунке перпендикулярны прямой CD 3 прямые.

5

В какое время стрелки часов будут перпендикулярны?

15:40

16:00

09:00

10:10

Правильный ответ: 09:00
Стрелки часов пересекаются под прямым углом, когда время 9: 00 утра.

6

Перпендикулярные линии пересекаются друг с другом под углом _____.

9{\circ}$ углы известны как прямые углы.

7

В каком из следующих объектов мы можем найти перпендикулярные линии?

Мяч

Шляпа на день рождения

Банан

Ноутбук

Правильный ответ: Ноутбук
Края ноутбука пересекаются под прямым углом. Все остальные изображения не имеют линий, пересекающихся под прямым углом.

Часто задаваемые вопросы о перпендикулярных линиях

Что такое перпендикулярные линии?

9{\circ}$ угол друг с другом. Перпендикулярные прямые – это те прямые, которые пересекают друг друга под углом 90 градусов.

Должны ли пересекаться перпендикулярные линии?

Эти линии всегда пересекаются под прямым углом.

Что такое перпендикулярный символ?

Символ перпендикуляра $\left|\right|$. Он используется между двумя линиями, чтобы показать, что они перпендикулярны друг другу.

В чем разница между перпендикулярными линиями и параллельными линиями? 9{\circ}$ .

Как строить кпв: Кривая производственных возможностей

1.3. Построение кривой производственных возможностей

Изобразим данные, представленные в таблице, на графике, создав кривую производственных возможностей.

Существует два определения КПВ, в каждом из которых содержатся важные нюансы данной модели:

Определение

Кривая (граница) производственных возможностей (КПВ, production possibilities curve, production possibilities frontier) — линия, показывающая все возможные комбинации двух благ (или типов благ), которые могут быть произведены в экономике при полном и эффективном использовании ресурсов (при условии неизменного количества ресурсов и технологии).

Определение

Кривая (граница) производственных возможностей (КПВ, production possibilities curve, production possibilities frontier) — кривая, ограничивающая все возможные комбинации двух благ (или типов благ), которые могут быть произведены в экономике (при условии неизменного количества ресурсов и технологии).

Обратим внимание на различия в этих определениях: первое определяет КПВ как геометрическое место точек, отражающих эффективное производство в нашей экономике, а второе – как границу всего допустимого производства.

ВАЖНЫЙ ВЫВОД!!!

На кривой производственных возможностей располагаются все максимально возможные комбинации благ A и B, которые одновременно можно произвести в нашей экономике в данный момент.

Иногда кривую производственных возможностей называют кривой трансформации (transformation curve). Причина этого в том, что в процессе перехода от одной альтернативы к другой, скажем, от В к С, мы как будто «превращаем» одно благо в другое, переключая ресурсы с производства блага A на производство блага B.

Обратите внимание!

На самом деле мы не превращаем благо A в благо B, а производство блага A «превращаем» в производство блага B.

Мы уже выяснили, что КПВ непременно является убывающей функцией, вследствие ограниченности ресурсов. Но любая ли убывающая функция может являться КПВ?

1.4.1. КПВ – убывающая функция, график которой является «выпуклым» относительно начала координат

В нашем примере с футбольным матчем тренер располагал игроками разных амплуа, то есть ресурсы для игры в футбол были неоднородны.

Определение

Неоднородные ресурсы – ресурсы, каждая единица которых в разной степени пригодна для производства данного блага.

Посмотрим на график. Первыми в атаку тренер отправил нападающих, лишь немного снизив возможности в обороне, затем – полузащитников, ухудшив оборону уже больше, следующими – защитников, оголив тылы. И только последним забивать отправился наш вратарь, оставив свои ворота вовсе без прикрытия. Если бы наш тренер был нерациональным с экономической точки зрения (и просто плохим тренером – со спортивной), в атаку сначала бы отправился вратарь, а нападающие – в последнюю очередь (конечно, такая ситуация в футбольном матче кажется нам бредом

тяжело больного, и такой тренер провел бы за свою карьеру не больше одного матча). Но аналогично нашему разумному тренеру поступит и любой другой рационально мыслящий экономический агент. Сначала мы включаем в производство самые лучшие ресурсы, затем — лучшие из оставшихся, итд.

Пусть мы хотим последовательно увеличивать производство одного блага на одну и ту же величину. Тогда если ресурсы неоднородны, производство второго блага будет каждый раз снижаться на все большую и большую величину, то есть будет действовать закон возрастания альтернативных издержек. Поэтому КПВ будет выпуклой.

Обратите внимание!

КПВ выпуклая, если:

  1. Ресурсы неоднородны.

  2. Экономические агенты рациональны.

В математике примером уравнения выпуклой КПВ могут быть уравнения окружности или эллипса:

A2 = R2 – B2

nA2 = R2 – mB2

1. 4.2. КПВ – убывающая линейная функция

Представьте себе, что у себя на даче вы решили сделать маленькую (это важно) гряд-

ку, на которой собираетесь посадить укроп или петрушку. Очевидно, что на каждом кусочке этой маленькой грядки (допустим, ее площадь всего 1м2) укроп будет расти совершенно одинаково. Причем нам не важно, сколько на этой грядке может в итоге вырасти петрушки, а сколько – укропа (в конце концов, мы изучаем экономику, а не агрономию), но мы понимаем, что и для петрушки каждый квадратный сантиметр грядки пригоден абсолютно одинаково (по крайней мере, предположим это). В этом случае мы можем сказать, что наши ресурсы (земля на грядке, наш труд, садовый инвентарь, вода для поливки) являются однородными.

Определение

Однородные ресурсы – ресурсы, каждая единица которых одинаково пригодна для производства данного блага.

Поэтому мы можем сажать на грядке укроп и петрушку в любой пропорции, но каждый раз, одинаково увеличивая производство укропа, мы будем пропорционально снижать производство петрушки.

Рассмотрим такую ситуацию на графике:

Еще раз отметим, что совершенно не обязательно, что в результате производства мы максимально можем получить одинаковые количества обоих благ (тем более, что на осях КПВ могут откладываться блага, измеряемые в разных единицах, например, в килограммах и километрах). Но для производства каждой единицы блага B мы всегда будем отказываться от одинакового количества единиц блага A. В этом случае закон возрастания альтернативных издержек действовать не будет. А КПВ будет линейной.

Обратите внимание!

Если ресурсы однородны, КПВ является линейной.

В математике уравнение линейной КПВ имеет вид линейной функции B = Bmax – kA, но график такой функции может располагаться только в I четверти координатной плоскости (поскольку нельзя произвести отрицательное количество блага).

Задача

Задание 3. Вид КПВ

Постройте эскиз КПВ, иллюстрирующей следующие ситуации:

1) Весь дачный участок используется для выращивания клубники и газона;

2) В классе 15 парт. Ученики пишут сочинение по любому из двух произведений: «Отцы и дети» И.С.Тургенева и «Преступлению и наказанию» Ф.М.Достоевского;

3) В классе 20 парт. Во время урока часть учеников решает тест, а часть – пишет эссе. Эссе можно писать, сидя по двое за партой, тест – строго по одному за партой;

4) Приближается футбольный матч. Покажите возможности команды в атаке и защите, если в результате эпидемии бараньей оспы из всех игроков здоровы лишь 11 полузащитников.

1.4.3. Может ли КПВ иметь форму, похожую на гиперболу (быть «вогнутой» к началу координат)?

Представьте себе, что вы и ваши одноклассники сидите и пишете эссе по экономике, и

вдруг узнаете, что за ближайший час вашему классу (всем вместе) предстоит решить некоторое количество олимпиадных задач по математике. Предположим, что в вашем классе 20 человек, каждый ученик класса может решить за час одну сложную математическую задачу, а способности к написанию эссе у всех различны: пятеро коллективно могут написать четыре эссе за час, еще пятеро – три эссе, пятеро следующих напишут два эссе, а оставшаяся пятерка – одно. Итого «производственные» возможности класса составляют 10 эссе за час.

Изобразим ваши возможности при помощи вогнутой КПВ и проанализируем график. На графике видно, что первыми решать задачи (если их надо решить ровно пять) отправятся самые сильные «эко-

номисты» и за час вы не напишете 4 эссе. Если задач нужно будет решить 10, к самым сильным «экономистам» присоединятся те, кто лишь немного послабее, и ваш класс подготовит 3 эссе (и не подготовит 7). Следующие 5 задач будут решать не самые сильные, но и не самые слабые «экономисты», а эссе будут писать те, у кого это получается хуже всех. Вы лишитесь еще двух эссе, коллективно подготовив всего одно. И лишь в последнюю очередь отвлечете от занятия экономикой «ресурс», наиболее непригодный для этого. Нерационально? Естественно. Следовательно – в экономической тео-

рии – невозможно3.

Обратите внимание!

В рамках этой темы КПВ считается линейной или выпуклой вверх.

1.4.4. Вертикальный и горизонтальный участки КПВ

Но вернемся к занятию фермерством (вообще в задачах на КПВ часто приводятся примеры из сельскохозяйственного производства). Предположим, что дачный участок не ваш,

а арендован у вашей знакомой тетушки Марфы. На участке есть 10 небольших грядок, шесть из которых вы можете использовать как под укроп, так и под петрушку (они маленькие, то есть ресурсы однородны). Еще на двух грядках по прихоти тетушки Марфы можно выращивать только укроп, а на двух оставшихся участках – петрушку (вот такая она капризная, ваша тетушка). Предположим, что на каждой грядке может вырасти 1 килограмм укропа или 2 килограмма петрушки. Построим КПВ для всего участка. Обратите внимание, что тетушка Марфа не заставляет вас становиться «счастливым фермером» и засаживать все грядки, а лишь разрешает выращивать урожай, то есть на КПВ мы показываем не результат, а возможности производства на этом участке.

Мы можем максимально засеять восемь из десяти грядок укропом, вырастив его в количестве 8 килограммов. В то же время мы можем максимально вырастить 16 килограммов петрушки, посеяв ее на восьми грядках. Но наша КПВ не будет линейной, поскольку дачный участок состоит из грядок трех типов:

  1. На двух грядках мы можем выращивать лишь укроп. Если мы не будем делать этого, укропа будет меньше, но петрушки от этого

не прибавится. Этот участок КПВ будет параллелен оси, на которой отражается производство укропа (кстати, именно на этих грядках мы будем сажать укроп в первую очередь).

  1. На 6 грядках мы можем сеять как укроп, так и петрушку (отказываясь от укропа). КПВ будет убывающей линией, так как ресурсы ограничены и (в нашей модели) однородны.

  2. Еще на двух грядках мы можем сеять лишь петрушку (или не сеять ничего). КПВ, иллюстрирующая производство, здесь будет параллельна оси, на которой отражается производство петрушки. И сеять петрушку мы начнем с этих двух грядок, ведь здесь мы не будем жертвовать производством укропа.

Обратите внимание!

Участок КПВ параллелен оси блага, если ресурсы полностью непригодны для производства второго блага (то есть являются абсолютно специфичными).

Задача

Задание 3. Уравнение КПВ

Постройте математическую функцию для графика КПВ из приведенного выше примера.

Обратите внимание!

1. Участок КПВ параллелен оси блага, если ресурсы полностью непригодны для производства второго блага (то есть являются абсолютно специфичными).

2. Вертикальный и горизонтальный участок КПВ правильнее обозначать пунктиром, ибо наши возможности позволяют произвести максимальное количество из всех ресурсов, отображенных на этом участке, то есть все точки, лежащие левее (или ниже) будут показывать неполное или неэффективное использование ресурсов, имеющихся в нашем распоряжении (в примере выше мы можем засеять две грядки укропом и две петрушкой).

Задача

Задание 3. Построение КПВ для производства со специфичными ресурсами

Постройте КПВ, иллюстрирующую возможности выполнения контрольной работы в классе, в котором находятся 20 парт, причем сидящие на парте слева могут писать только 1 вариант контрольной, а сидящие справа только 2 вариант.

1.4.5. КПВ – точка

Представим себе, что на следующий год мы вновь арендовали дачу у тетушки Марфы. Но теперь она разрешила 5 грядок засеивать только петрушкой, а оставшиеся пять – только укропом. Если мы по-прежнему можем собирать с грядки по 2 кг петрушки или 1 кг укропа, на графике эта ситуация может быть изображена следующим образом:

Теперь наши ресурсы столь специфичны, что, снижая производство одного блага, мы вовсе не получим приращение другого.

Обратите внимание!

КПВ имеет форму точки (является вырожденной), если все ресурсы полностью специфичны.

ВАЖНЫЙ ВЫВОД!!!

1. Если ресурсы однородны, КПВ – линейная функция.

2. Если ресурсы неоднородны, КПВ – выпуклая функция.

3. Если ресурсы полностью специфичны, КПВ – точка (вырождена).

Си Цзиньпин встретился c членом Политбюро, постоянным секретарем Секретариата Центрального комитета Коммунистической партии Вьетнама, заведующей Организационным отделом ЦК КПВ Чыонг Тхи Май

26 апреля 2023 года Генеральный секретарь ЦК КПК, председатель КНР Си Цзиньпин встретился в Доме народных собраний с членом Политбюро, постоянным секретарем Секретариата Центрального комитета Коммунистической партии Вьетнама, заведующей Организационным отделом ЦК КПВ Чыонг Тхи Май.

Си Цзиньпин попросил Чыонг Тхи Май передать искренние приветствия генеральному секретарю Нгуен Фу Чонгу и президенту Во Ван Тхыонгу. Китайский лидер отметил, что в этом году исполняется 15 лет со дня установления всеобъемлющих отношений стратегического партнерства между КНР и Вьетнамом. После визита генсека Нгуен Фу Чонга в Китай в прошлом году Китай и Вьетнам придают большое значение реализации консенсуса и духа совместного заявления, достигнутого между двумя сторонами, и принимают активные меры для продвижения положительной тенденции обменов и сотрудничества между Китаем и Вьетнамом. Си Цзиньпин выразил готовность поддерживать тесные контакты с генеральным секретарем Нгуен Фу Чонгом для укрепления политического руководства и стратегического направления китайско-вьетнамских отношений.

Си Цзиньпин подчеркнул, что перед лицом изменчивой международной обстановки и задач реформ, развития и стабильности двух стран Китай и Вьетнам должны придерживаться политики «курса 16 иероглифов» и духа «четырех хороших отношений», укреплять политическое взаимное доверие, усиливать сплоченное сотрудничество, надлежащим образом урегулировать разногласия, совместно противостоять угрозам и вызовам и продвигать строительство китайско-вьетнамского сообщества единой судьбы, посвященного делу мира и прогресса человечества. Необходимо следовать вооружению по научной теории марксизма, крепко придерживать этого мощного политического преимущества, углублять обмены и взаимообучение, строить прочную идеологическую защиту и объединить усилия для продвижения дела социализма. Необходимо придерживаться подхода, ориентированного на народ, совершенствовать стратегии развития и объединение проектов, содействовать связыванию объектов инфраструктуры и связи между народами, укреплять традиционное дружественное обучение, чтобы укрепить фундамент общественного мнения для долгосрочного развития отношений между двумя странами. Необходимо сделать все возможное для укрепления безопасности правящей партии, поддержания национальной стабильности и развития, твердо придерживаться благородных идеалов приверженности делу мира и прогресса, укреплять сотрудничество в международных делах, решительно противостоять гегемонизму и лагерной конфронтации, сохранять результаты поддержания регионального мира и развития, объединить усилия для продвижения строительства сообщества единой судьбы человечества.

Чыонг Тхи Май сначала передала сердечные приветствия от генерального секретаря Нгуен Фу Чонга и президента Во Ван Тхыонга генеральному секретарю и председателю КНР Си Цзиньпину, а также искренне поблагодарила за встречу. Чыонг Тхи Май горячо поздравила с успешным проведением 20-го Всекитайского съезда КПК и Всекитайского собрания народных представителей, а также с единогласным избранием генерального секретаря Си Цзиньпина председателем КНР и председателем Центрального военного совета. Она выразила уверенность, что под сильным руководством ЦК КПК с товарищем Си Цзиньпином во главе китайский народ успешно выполнит цели, поставленные 20-м Всекитайским съездом КПК, и всесторонне построит модернизированное социалистическое государство. Генеральный секретарь ЦК КПК Вьетнама Нгуен Фу Чонг совершил успешный визит в Китай сразу после проведения 20-го Всекитайского съезда КПК и достиг важных консенсусов с генеральным секретарем Си Цзиньпином по вопросам развития вьетнамо-китайских отношений в новую эпоху, придав мощный импульс всеобъемлющему стратегическому сотрудничеству между двумя странами. Вьетнам всегда ставит в приоритет развитие дружественного сотрудничества с Китаем, твердо придерживается принципа одного Китая и поддерживает процесс воссоединения Китая. Вьетнамская сторона готова сотрудничать с Китаем для реализации важных консенсусов между высшими руководителями двух партий, придерживаться политики «курса 16 иероглифов» и духа «четырех хороших отношений», тесных контактов на высоком уровне между двумя партиями, продвигать «Два коридора и один круг» и совместное строительство «Одного пояса, одного пути», а также содействовать постоянному развитию отношений между двумя партиями и дела социализма. Вьетнамская сторона решительно поддерживает важные глобальные инициативы, выдвинутые генеральным секретарем Си Цзиньпином, поддерживает проведение в Китае третьего Форума международного сотрудничества в рамках «Одного пояса, одного пути» и надеется на укрепление регионального и международного сотрудничества с Китаем в целях содействия миру и развитию в регионе и во всем мире.

На встрече присутствовали Цай Ци и Ван И.

Новая газовая электростанция CPV будет включать улавливание углерода расширить свою платформу декарбонизации.

Competitive Power Ventures (CPV) 12 декабря заявила, что новый энергетический центр CPV Shay будет расположен в округе Доддридж, Западная Вирджиния. CPV в пресс-релизе в понедельник заявила, что инвестиции в размере 3 миллиардов долларов «будут служить одним из краеугольных камней для платформы декарбонизации CPV, которая будет опираться на два десятилетия предыдущих успехов в разработке высокоэффективных проектов по производству электроэнергии с низким уровнем выбросов».

CPV заявила, что и Комиссия округа Доддридж, и Совет по образованию округа Доддридж единогласно одобрили важный платеж вместо налогов, или ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ соглашение, которое позволит проекту двигаться вперед с получением необходимых разрешений и одобрения регулирующих органов. CPV заявила, что электростанция создаст до 2000 рабочих мест во время строительства и, как ожидается, войдет в коммерческую эксплуатацию «позднее в этом десятилетии».

Low-Carbon Generation

«Компания CPV рада объявить о выборе округа Доддридж и надеется на сотрудничество с его руководителями для продвижения этого монументального проекта в ближайшие годы», — сказал Питер Подургель, исполнительный вице-президент CPV по развитию проектов. Podurgiel возглавляет усилия компании по развитию производства электроэнергии с низким уровнем выбросов углерода и возможностью диспетчеризации. Он сказал, что округ Доддридж, расположенный в северной части Западной Вирджинии, примерно в 140 милях к югу от Питтсбурга, штат Пенсильвания, «был чрезвычайно профессиональным и восприимчивым к проекту CPV Shay, который представляет собой ключевую опору в видении CPV надежного низкоуглеродного будущего».

Компания Competitive Power Ventures располагает парком электростанций, работающих на природном газе, в том числе электростанцией мощностью 725 МВт в Вудбридже в Нью-Джерси. Источник: Competitive Power Ventures

«Это выдающийся день для округа Доддридж, — сказал президент Комиссии Доддриджа Шон Гласпелл. «Мы очень рады, что компания Competitive Power Ventures выбрала округ Доддридж для реализации этого инновационного проекта, и надеемся на продолжение сотрудничества с этой дальновидной компанией».

Федеральная поддержка

CPV заявила, что проект выиграет от федерального закона о снижении инфляции, принятого ранее в этом году, который расширил федеральный налоговый кредит 45Q для улавливания и секвестрации углерода. Законодатели Западной Вирджинии ранее в этом году приняли закон, кодифицирующий, как там будет работать связывание углерода, что сделало Западную Вирджинию одним из немногих штатов, в которых действуют действующие правила улавливания и связывания углерода.

«Компания CPV рада, что достигла этой вехи и объявила округ Доддридж местом реализации нашего проекта по улавливанию углерода в Западной Вирджинии», — сказал Мэтт Литчфилд, директор CPV по внешним и нормативным вопросам.0012 МОЩНОСТЬ . «За последний год руководство Западной Вирджинии предприняло решительные шаги с точки зрения регулирования и законодательства, которые делают это место идеальным для такого инновационного проекта, как этот. Мы ценим тяжелую работу всех участников и с нетерпением ждем продолжения работы с округом Доддридж и штатом, чтобы продвинуть этот монументальный проект в процессы получения разрешений и регулирования».

Энергетический центр Fairview Energy Center компании Competitive Power Ventures получил награду Top Plant Award от POWER в 2020 году. Источник: Competitive Power Ventures

Тезка нового завода

Энергетический центр CPV Shay назван в честь официального государственного паровоза Западной Вирджинии Shay No. 5, который расположен в государственном парке Cass Scenic Railroad в Кассе, Западная Вирджиния. Локомотив Shay, впервые построенный в 1880 году, считался технологическим достижением, поскольку он особенно хорошо подходил для работы в горах и на крутых склонах Западной Вирджинии.

В пресс-релизе CPV говорится: «Подобно тому, как локомотив Shay служил двигателем экономического роста и развития, CPV Shay представляет собой еще одно технологическое достижение, которое послужит важным катализатором перехода к низкоуглеродному будущему».

«Решение CPV разместить этот проект в округе Доддридж меняет правила игры», — сказала Дженнифер Уилт, директор Управления экономического развития округа Доддридж. «Эти инвестиции не только создадут большое количество рабочих мест во время строительства, но и поддержат высокооплачиваемую карьеру для грядущего поколения, поскольку эта область становится ключевым игроком в усилиях страны по декарбонизации».

Компания CPV известна инновационными технологиями своих электростанций, работающих на природном газе, а также использованием возобновляемых источников энергии, включая солнечную и ветровую энергию. Энергетический центр CPV Fairview в Пенсильвании получил награду Top Plant от  POWER  в 2020 году.

Даррелл Проктор — старший заместитель редактора POWER ( @POWERmagazine ).

CPV объявляет о новой газовой электростанции мощностью 1,8 ГВт в Западной Вирджинии

Энергетическая группа из Мэриленда заявила, что построит в Западной Вирджинии электростанцию ​​с комбинированным циклом мощностью 1800 МВт, работающую на природном газе. использовать улавливание и хранение углерода, чтобы воспользоваться государственной налоговой льготой.

Competitive Power Ventures (CPV) 16 сентября заявила, что планирует запустить проект в конце этого десятилетия. Представители компании заявили, что строительство электростанции стало возможным благодаря недавно принятому Закону о снижении инфляции, который расширил федеральную налоговую льготу на 45 квартал для улавливания углерода.

«Компания CPV рада тесному сотрудничеству с Западной Вирджинией, чтобы реализовать этот проект в ближайшие годы. Этот проект и технология представляют собой значительный шаг вперед для нашей страны в развертывании низкоуглеродной управляемой генерации, имеющей решающее значение для поддержания надежности, поскольку мы решаем наши коллективные проблемы, связанные с изменением климата», — сказал Гэри Ламберт, генеральный директор Silver Spring, Мэриленд, Competitive Power Ventures. «Западная Вирджиния чрезвычайно дальновидна на местном, государственном и национальном уровне, и мы не можем отблагодарить сенатора Манчина за его лидерство в создании этой возможности».

Недавно была расширена федеральная налоговая льгота 45Q, чтобы стимулировать улавливание и улавливание углерода для производства электроэнергии. Законодатели Западной Вирджинии ранее в этом году приняли закон, подписанный губернатором-республиканцем Джимом Джастисом, который устанавливает правила штата по секвестрации углерода.

«Закон о снижении инфляции уже оказывает положительное влияние на жителей Западной Вирджинии и усилия по использованию улавливания углерода здесь, в Соединенных Штатах», — сказал сенатор США Джо Манчин, демократ из Западной Вирджинии, председатель Сената по энергетике и природным ресурсам. Комитет. «Я рад, что Competitive Power Ventures инвестирует в горный штат, и с нетерпением жду возможности увидеть преимущества этих инвестиций, включая долгосрочные, хорошо оплачиваемые рабочие места и поддержку экономики наших регионов, на долгие годы».

Поддержка существующего бизнеса

Официальные лица в пятницу, объявляя о проекте, отметили, что несколько крупных технологических и промышленных компаний взяли на себя обязательства снизить свое воздействие на окружающую среду, в том числе увеличить использование низкоуглеродных энергетических ресурсов. Джастис сказал, что электростанция поддержит существующие производственные и промышленные компании штата, а также принесет будущие инвестиции.

— Это выдающийся день для Западной Вирджинии, — сказал Джастис. «Competitive Power Ventures и инновации, которые они привносят в энергетическую отрасль, поражают. Мы приветствуем их в Западной Вирджинии».

Сенатор США Шелли Мур Капито, республиканец и высокопоставленный член сенатского комитета по окружающей среде и общественным работам, сказала: «Многомиллиардные инвестиции компании Competitive Power Ventures в эту электростанцию ​​с комбинированным циклом демонстрируют, что Западная Вирджиния может обеспечить естественную газа на рынки наших соседних штатов, по мере необходимости поставок энергии для наших союзников за границей, в качестве сырья для производства здесь, дома и по всей Америке, а также для производства электроэнергии здесь, в Западной Вирджинии. Я горжусь тем, что моя двухпартийная работа над налоговой льготой на улавливание углерода 45Q — и, в частности, призыв к добавлению варианта прямой оплаты — проложила путь для этого проекта, который, я надеюсь, станет первым из нескольких проектов по улавливанию, утилизации и и инвестиции в хранилища в Западной Вирджинии».

Создание рабочих мест

Официальные лица заявили, что для строительства объекта будет создано более 1000 рабочих мест, а сотни дополнительных рабочих мест будут поддержаны для государственной газовой промышленности.

«В Пенсильвании и Огайо за последние несколько лет построено множество электростанций с комбинированным циклом, работающих на природном газе, — сказал Чак Паркер, президент Совета по строительству и строительству штата Западная Вирджиния. «Теперь наконец настала очередь Западной Вирджинии. Мы готовим наших сотрудников для такого проекта и сможем предоставить необходимую рабочую силу».

Проект электростанции уже находится на рассмотрении регулирующих органов, хотя точные сроки начала работ не объявлены.

Компания CPV известна своими инновационными электростанциями, работающими на природном газе, а также использованием солнечной и ветровой энергии. Энергетический центр CPV Fairview в Пенсильвании получил награду Top Plant от POWER в 2020 году.

Перевод чисел в степени: Возведение в степень | Онлайн калькулятор

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

0000
1111
21022
311103
4100114
51011210
61102011
71112112
810002213
9100110014
10101010120
11101110221
12110011022
13110111123
14111011224
15111112030

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

00
11
22
33
44
55
66
77
88
99
10
11
1210
1311
1412
1513

 

 
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:



Это и есть десятичная запись нашего числа, т. е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.


Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.


4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

00
11
102
113
1004
1015
1106
1117

Т. е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

00
11
102
113
1004
1015
1106
1117
10008
10019
1010A
1011B
1100C
1101D
1110E
1111F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:



Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Системы счисления. Перевод из одной системы в другую.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Перевод чисел между системами счисления, основания которых равно степени числа 2

Перевод чисел между системами счисления, основания которых равны значениям степеней числа 2 (т. е. P = 2 n), можно произвести по более простым алгоритмам. Получим эти правила.

Перевод между двоичной и восьмеричной системами счисления

Определим информационный вес двоичной цифры. Так как алфавит двоичной системы содержит две цифры (0 и 1), то используя формулу Хартли, имеем:
N = 2 i, 2 = 2 i, откуда i = 1 бит

Аналогично для восьмеричной цифры:
N = 2 i, 8 = 2 i, 2 3 = 2 i, откуда i = 3 бит

Нетрудно заметить, что информационный вес восьмеричной цифры в три раза больше двоичного. Поэтому каждой восьмеричной цифре можно поставить в соответствие группу из трех двоичных разрядов (триаду):

0 – 000, 1 – 001, 2 – 010, 3 – 011, 4 – 100, 5 – 101, 6 – 110, 7 – 111

Последнее утверждение позволяет сформулировать алгоритм перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления:

  1. Разбить двоичное число на триады, справа налево.
  2. Если в правой группе меньше трех цифр, то добавить ведущие нули.
  3. Каждую триаду перевести в восьмеричную систему счисления.
  4. Записать полученные цифры в соответствующих разрядах восьмеричного числа.

Пример. Перевести двоичное число 10111011102 в восьмеричную систему счисления.

Для решения задачи воспользуемся выше приведенным алгоритмом:

  1. 1.011.101.110
  2. 001.011.101.110
  3. 1 3 5 6
  4. 10111011102 = 13568

Ответ. 1356

Алгоритм перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления:

  1. Разбить двоичное число на триады, справа налево.
  2. Поставить в соответствие каждой восьмеричной цифре двоичную триаду.
  3. Соединить триады и записать двоичное число.
  4. Удалить (если существуют) незначащие нули.

Пример. Перевести восьмеричное число 2578 в двоичную систему счисления.

Используем алгоритм, приведенный выше:

  1. 010.101.111
  2. 010101111
  3. 10101111

Таким образом, 2578 = 101011112

Ответ. 10101111

Перевод между двоичной и шестнадцатеричной системами счисления

Определим информационный вес шестнадцатеричной цифры:

N = 2 i, 16 = 2 i, 2 4 = 2 i, откуда i = 4 бит

Итак, информационный вес шестнадцатеричной цифры в четыре раза больше двоичного. Значит, каждой цифре шестнадцатеричной системы счисления можно поставить в соответствие группу из четырех двоичных разрядов (тетраду):

0 – 000, 1 – 001, 2 – 010, 3 – 011, 4 – 100, 5 – 101, 6 – 110, 7 – 111
8 – 0111, 9 – 1001, A – 1010, B – 1011, C – 1100, D – 1101, E – 1110, F – 1111

Алгоритм перевода двоичного целого числа в шестнадцатеричную систему счисления:

  1. Разбить двоичное число на тетрады, справа налево.
  2. Если в правой группе меньше четырех цифр, то добавить ведущие нули.
  3. Каждую тетраду перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
  4. Записать полученные цифры в соответствующих разрядах шестнадцатеричного числа.

Пример. Перевести двоичное число 10011011102 в шестнадцатеричную систему счисления.

Воспользуемся выше приведенным алгоритмом:

  1. 10.0110.1110
  2. 0010.0110.1110
  3. 2 6 E
  4. 10011011102 = 26E16

Ответ. 26E

Алгоритм перевода шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления:

  1. Поставить в соответствие каждой шестнадцатеричной цифре двоичную тетраду.
  2. Соединить тетрады и записать двоичное число.
  3. Удалить (если существуют) незначащие нули.

Пример. Перевести шестнадцатеричное число 3AC16 в двоичную систему счисления.

Используем алгоритм, приведенный выше:

  1. 0011.1010.1100
  2. 001110101100
  3. 1110101100

Таким образом, 3AC16 = 11101011002

Ответ. 1110101100

Почему существуют научные обозначения? Как это работает?

Основные правилаNegativeEng. Not’nFractional

Purplemath

Что такое научная запись?

Научное представление — это метод преобразования громоздких чисел, будь то огромных или крошечных, в более удобный формат. Это преобразование выполняется с использованием показателей степени; формат преобразованного значения будет следующим: a.bcdef…×10 n , где a, b, c, d, e, f и т. д. – цифры, а n – положительное или отрицательное целое число.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Научное обозначение

Почему существует научное обозначение?

Ученые часто работают с очень большими и очень маленькими числами. Вместо того, чтобы записывать все число, научная запись позволяет сокращать выражения. Например, вместо того, чтобы говорить, что молекула воды имеет диаметр около 0,00000000000275 метров, мы можем сказать, что ее ширина составляет около 2,75×10 −12 метров.

В повседневной жизни большинство людей не сталкиваются с гигантскими или крошечными числами. Научная нотация была изобретена, чтобы облегчить жизнь ученым, которые часто имеют дело с астрономическими числами (в буквальном смысле измерения расстояний между звездами) и микроскопическими числами (в буквальном смысле нуждаются в каком-то микроскопе, чтобы увидеть, что они измеряют). . Научная нотация упрощает работу.

Как работает научная запись?

Формат записи числа в экспоненциальном представлении довольно прост: (первая [ненулевая] цифра числа), затем (десятичная точка), а затем (все остальные цифры числа), умноженное на ( 10, возведенные в соответствующую степень).

Чтобы преобразовать большое число в экспоненциальное представление, выполните следующие действия:

  1. Возьмите исходное значение и переместите десятичную точку после последней цифры в позицию после первой цифры. Например, возьмем 7 375,49.8 555 и переместите (понятную) десятичную точку после последних 5 до 7, чтобы получить 7,375498555.
  2. Подсчитайте количество позиций, на которые была перемещена десятичная точка. В этом примере точка переместилась на 9 мест.
  3. Умножьте преобразованное число на 10, возведенное в степень, на сколько мест была перемещена точка. В этом примере экспоненциальное представление равно 7,375498555×10 9 .

Процесс преобразования небольшого числа в экспоненциальное представление аналогичен:

  1. Возьмите исходное значение и переместите десятичную точку из исходного положения сразу после первой ненулевой цифры. Например, возьмите 0,00000000000275 и переместите десятичную точку после первого нуля сразу после 2, чтобы получить 2,75.
  2. Подсчитайте количество позиций, на которые была перемещена десятичная точка. В этом примере точка переместилась на 12 мест.
  3. Умножьте преобразованное число на 10, возведенное в отрицательную степень, на сколько мест была перемещена точка. В этом примере экспоненциальное представление равно 2,75×10 −12 .

Независимо от того, преобразуете ли вы большие или маленькие числа в экспоненциальное представление, часть, предшествующая «умножить на 10 в некоторой степени», называется коэффициентом; 10 — основа; а сила есть сила.

Откуда вы знаете, какой знак использовать для степени 10?

Большое число будет состоять из 10 до некоторого положительного значения, например 10 7 , что составляет 1 000 000. Небольшое число будет содержать от 10 до некоторого отрицательного значения, например 10 −7 , что равно 0,0000001. Так что ожидайте положительных степеней, когда вы конвертируете большие числа в экспоненциальную запись, и отрицательных степеней, когда вы конвертируете маленькие числа.

На практике процесс преобразования довольно прост.

  • Запишите 124 в экспоненциальном представлении.

Это не очень большое число, но оно прекрасно подойдет для примера преобразования в экспоненциальное представление.

Чтобы преобразовать это в научное представление, я сначала преобразую «124» в «1,24». Это не то число, которое мне дали, но у меня будет такое же значение, как только я добавлю базу и мощность.

Чтобы преобразовать 1,24 обратно в 124, я умножил бы на 100: (1,24)(100) = 124. И 100 = 10 2 .

Тогда в экспоненциальном представлении 124 записывается как:

1,24 × 10 2

В приведенном выше примере я использовал математические рассуждения, чтобы объяснить, почему степень 10 должна равняться 2. Но преобразование между «обычной» записью и экспоненциальной записью еще проще, чем я только что показал, потому что все, что вам действительно нужно сделать, это посчитать десятичные разряды. Чтобы выполнить преобразование для предыдущего примера, я бы подсчитал количество знаков после запятой, на которые я передвинул десятичную точку. Поскольку я переместил его на два места, я имел бы дело со степенью 2 на 10. Но должна ли она быть положительной или отрицательной степенью 2? Поскольку исходное число (124) было больше преобразованной формы (1,24), то мощность должна быть положительной.

  • Запись в десятичной системе счисления: 3,6 × 10 12

Поскольку показатель степени 10 положительный, я знаю, что они ищут БОЛЬШОЕ число, поэтому мне нужно переместить десятичную точку вправо, чтобы сделать число БОЛЬШЕ. Поскольку показатель степени 10 равен 12, мне нужно переместить десятичную точку на двенадцать разрядов.

Во-первых, я перенесу десятичную точку на двенадцать разрядов. Я делаю маленькие петли, когда считаю места, чтобы отслеживать:

Затем я заполняю циклы нулями:

Итак, мой ответ:

3 600 000 000 000

…или 3,6 триллиона.

Идиоматическое примечание: «Триллион» означает тысячу миллиардов, то есть тысячу тысяч миллионов, на американском языке; британско-английский термин для американского «миллиарда» будет «миллиардом», поэтому американский «триллион» (выше) будет британским «тысяча миллиардов».


  • Запишите 0,000 000 000 043 6 в экспоненциальном представлении.

(Примечание. Пробелы между каждой тройкой цифр после запятой служат для облегчения чтения числа. Они не имеют математического значения, так же как и запятые в больших числах «не означают» что-либо. .)

В экспоненциальном представлении коэффициент (т. е. числовая часть, а не десятичная часть в степени) будет равен «4,36». Итак, я посчитаю, на сколько знаков десятичная точка должна переместиться, чтобы попасть из того места, где она сейчас, туда, где она должна быть:

Тогда степень числа 10 должна быть равна −11: «одиннадцать», потому что именно на столько знаков нужно переместить десятичную точку, и «минус», потому что я имею дело с МАЛЕНЬКИМ числом.

Итак, в экспоненциальном представлении данное число записывается как:

4,36 × 10 −11


  • Преобразовать 4,2 × 10 −7 в десятичную систему счисления.

Поскольку показатель степени 10 отрицателен, я ищу небольшое число. Поскольку показатель степени равен семи, я буду перемещать десятичную точку на семь знаков. Поскольку мне нужно переместить точку, чтобы получить небольшое число, я буду перемещать ее влево.

Тогда мой ответ:

0,000 000 42


  • Преобразовать 0,000 000 005 78 в экспоненциальное представление.

Это небольшое число, поэтому показатель степени 10 будет отрицательным. Первая «интересная» (т. е. ненулевая) цифра в этом числе — 5, так что именно там должна стоять десятичная точка. Чтобы перейти от того места, где оно находится, сразу после 5, десятичная точка должна будет переместиться на девять знаков вправо. (Пересчитайте их, если не уверены!)

Тогда степень числа 10 будет равна отрицательной 9, и мой ответ таков:

5,78 × 10 −9


  • Преобразуйте 93 000 000 в экспоненциальную запись.

Это большое число, поэтому показатель степени 10 будет положительным. Первая «интересная» цифра в этом числе — ведущая 9, так что именно там должна быть десятичная точка. Чтобы перейти от того места, где оно находится, сразу после 9, десятичная точка должна будет переместиться на семь знаков влево.

Тогда степень числа 10 будет положительной 7, и мой ответ:

9,3 × 10 7


Помните: на сколько делений вы переместили десятичную дробь, это степень числа 10. Если у вас небольшой число в десятичной форме (меньше 1 по модулю), тогда степень отрицательна для научной записи; если это большое десятичное число (больше 1 по абсолютной величине), то показатель степени положителен для научного представления.

Предупреждение: Отрицательное значение показателя степени и отрицательное значение числа означает два очень разные вещи ! Например:

−0,00036 = −3,6 × 10 −4
0,00036 = 3,6 × 10 −4
36 000 = 3,6 × 10 4
−36 000 = −3,6 × 10 4

Не путайте!

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в преобразовании обычного числа в экспоненциальное представление. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.

(Нажмите здесь, чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway, если вы хотите проверить их программное обеспечение или получить дополнительную информацию.)

Вас могут попросить умножить и разделить числа в экспоненциальном представлении. Я никогда не видел смысла в этом, так как в «реальной жизни» вы бы имели дело с этими беспорядочными числами, используя калькулятор, но вот процесс, если вам нужно «показать свою работу»:

  • Упростите и выразите в научной записи: (2,6 × 10 5 ) (9,2 × 10 −13 )

Поскольку я умножаю, я могу легко перемещать вещи и упрощать некоторые из них:

(2,6 × 10 5 ) (9,2 × 10 −13 )
= (2.6) (10 5 ) (9.2) (10 −13 )
= (2,6) (9,2) (10 5 ) (10 −13 )
= (2.6) (9.2) (10 5−13 )
= (2,6) (9,2) (10 −8 )

Хорошо; Я упростил десятую часть. Теперь мне нужно иметь дело с 2,6 умножить на 9,2, не забывая перевести произведение в экспоненциальное представление:

2,6 × 9,2 = 23,92 = 2,392 × 10 = 2,392 × 10 1

Собрав все вместе, я получил:

90 002 (2,6 × 10 5 ) (9,2 × 10 −13 )
= (2,6) (9,2) (10 −8 )
= (2,392 × 10 1 ) (10 −8 )
= (2,392)(10 1 ) (10 −8 )
= (2,392) (10 1−8 )
= 2,392 × 10 −7

Тогда (2,6 × 10 5 ) (9,2 × 10 −13 ) = 2,392 × 10 −7

901 06

Деление чисел в экспоненциальном представлении работает примерно так же.

  • Упростите и выразите в экспоненциальном представлении: (1,247 × 10 −3 ) ÷ (2,9 × 10 −2 )

Во-первых, я разберусь со степенями десяти:

(1,247 × 10 −3 ) ÷ (2,9 × 10 −2 )
= (1,247 ÷ 2,9) (10 −3 ÷ 10 −2 )
= (1,247 ÷ 2,9) (10 −3 × 10 2 )
= (1,247 ÷ 2,9) (10 −1 )

Теперь займусь делением:

1,247 ÷ 2,9 = 0,43 = 4,3 × 10 −1

Сложив все вместе, я получаю:

(1,247 × 10 −3 ) ÷ (2,9 × 10 − 2 )
= (1,247 ÷ 2,9) (10 −1 )
= (4,3 × 10−1) (10 −1 )
= (4. 3) (10 −1 ) (10 −1 )
= (4.3) (10 −2 )
= 4,3 × 10 −2

Таким образом, ответ: (1,247 × 10 −3 ) ÷ (2,9 × 10 −2 ) = 4,3 × 10 −2


, если вам нужно решать проблемы, помните, что вы всегда можете проверить свои ответы в калькуляторе. Например, если ввести «1,247 EE −3 ÷ 2,9 EE –2» на моем калькуляторе, получится «0,043», что равно 4,3 × 10  -2  в экспоненциальном представлении.

Если вам приходится решать много таких задач, может оказаться полезным настроить калькулятор на отображение всех значений в экспоненциальном представлении. Инструкции см. в руководстве пользователя.


URL: https://www.purplemath.com/modules/exponent3.htm

Стр. 1 Стр. 2 Стр. 4 Стр. 0033 Определение десятичных и экспоненциальных представлений

  • Преобразование экспоненциального представления в десятичное представление
  • Преобразование десятичной записи в экспоненциальную
  • Определение научного представления

    Помните работу с разрядным значением для целых чисел и десятичных дробей? Наша система счисления основана на степенях [латекс]10[/латекс]. {-3}\hfill \end{array}[/latex]

    Когда число записывается как произведение двух чисел, где первый множитель представляет собой число больше или равное единице, но меньше [латекс]10[/латекс], а второй множитель представляет собой степень [латекс] 10[/latex], записанный в экспоненциальной форме, говорят, что это научных обозначений.

    Прежде чем мы сможем преобразовать экспоненциальную и десятичную систему счисления, нам нужно знать разницу между ними. S научная нотация используется учеными, математиками и инженерами при работе с очень большими или очень маленькими числами. Используя экспоненциальную запись, большие и маленькие числа можно записать так, чтобы их было легче читать.

    Когда число записывается в экспоненциальном представлении, показатель степени говорит вам, является ли член большим или маленьким числом. Положительный показатель степени указывает на большое число, а отрицательный показатель указывает на малое число, которое находится между [латекс]0[/латекс] и [латекс]1[/латекс]. Трудно понять, насколько велики миллиард или триллион. Вот способ, который поможет вам подумать об этом.

    9{n}[/latex], где коэффициент a  равен [latex]1\leq{a}<10[/latex], а n  – целое число.

    В научных обозначениях принято использовать [латекс]\раз [/латекс] в качестве знака умножения, хотя мы избегаем использования этого знака в других местах алгебры.

    Посмотрите на числа ниже. Какое из чисел записывается в экспоненциальном представлении?

    Ворд Сколько тысяч Номер
    Номер Научное обозначение? {3}[/латекс] нет 10 не < 10

    Преобразование из десятичной записи в экспоненциальную

    Теперь давайте сравним некоторые числа, выраженные как в экспоненциальной, так и в стандартной десятичной системе счисления, чтобы понять, как преобразовать из одной формы в другую. Взгляните на таблицы ниже. Обратите особое внимание на показатель степени в экспоненциальном представлении и положение десятичной точки в десятичном представлении.

    9{-10}[/латекс]

    Если мы посмотрим, что происходит с десятичной точкой, мы увидим метод простого преобразования десятичной записи в экспоненциальную.


    В обоих случаях десятичная дробь была перемещена [latex]3[/latex] разряда, чтобы получить первый множитель, [latex]4[/latex], сам по себе.

    Чтобы записать большое число в экспоненциальном представлении, переместите десятичную точку влево, чтобы получить число между [латекс]1[/латекс] и [латекс]10[/латекс]. Поскольку перемещение десятичной точки изменяет значение, вам нужно умножить десятичную дробь на степень [latex]10[/latex], чтобы выражение имело то же значение. 9{5}\end{array}[/latex]

    Обратите внимание, что десятичная точка была перемещена на [latex]5[/latex] позиций влево, а показатель степени равен [latex]5[/latex].

    В примерах, показанных ниже, мы будем следовать этой общей стратегии преобразования десятичных чисел в экспоненциальное представление:

    Преобразование десятичного представления в экспоненциальное представление

    1. Переместите десятичную точку так, чтобы первый множитель был больше или равен [латекс]1[/латекс], но меньше [латекс]10[/латекс]. 9{-n}[/латекс].
    2. Чек.

    В приведенных ниже примерах мы преобразовываем большие десятичные значения в экспоненциальное представление.

    пример

    Напишите [латекс]37,000[/латекс] в экспоненциальном представлении.

    Решение

    Шаг 1 : Переместите десятичную точку так, чтобы первый множитель был больше или равен [латекс]1[/латекс], но меньше [латекс]10[/латекс].
    {4}[/латекс]

    Пример

    Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении.

    1. [латекс]920 000 000[/латекс]
    2. [латекс]10 200 000[/латекс]
    3. [латекс]100 000 000 000[/латекс]
    Показать решение

    попробуйте

     

    Теперь давайте рассмотрим преобразование очень маленького десятичного числа в экспоненциальное представление. Чтобы записать небольшое число (от [latex]0[/latex] до [latex]1[/latex]) в экспоненциальном представлении, вы перемещаете десятичную дробь до 9.{-5}\end{array}[/latex]

    Вы можете заметить, что десятичная точка была перемещена на пять знаков вправо , пока вы не дошли до числа 4, которое находится между [latex]1[/latex] и [латекс]10 [/латекс]. Показатель степени равен [латекс]−5[/латекс].

    пример

    Запишите в экспоненциальном представлении: [латекс]0,0052[/латекс]

    Показать решение

    Пример

    Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении.

    1. [латекс]0,0000000000035[/латекс]
    2. [латекс]0.0000000102[/латекс]
    3. [латекс]0. 000000000000000793[/латекс]
    Показать решение

    попробуй

    В следующем видео представлены примеры преобразования больших и малых чисел из десятичной записи в экспоненциальную.

    Преобразование из экспоненциального представления в десятичное

    Как преобразовать экспоненциальное представление в десятичное? Давайте посмотрим на два числа, записанные в экспоненциальном представлении, и посмотрим. 9{-4}\hfill \\ 9,12\times 10,000\hfill & & & 9,12\times 0,0001\hfill \\ 91,200\hfill & & & 0,000912\hfill \end{array}[/latex]

    Если мы посмотрим на расположение десятичной точки, мы можем увидеть простой способ преобразования числа из экспоненциального представления в десятичную форму.


    В обоих случаях десятичная точка переместилась на 4 разряда. Когда показатель степени был положительным, десятичная дробь сдвигалась вправо. Когда показатель степени был отрицательным, десятичная точка перемещалась влево. 9{-8}=\underset{\longleftarrow}{0.00000005.}=0.00000005\end{массив}[/latex]

    Для каждой степени f[latex]10[/latex] вы перемещаете десятичную точку на одно место. Будьте осторожны и не увлекайтесь нулями — количество нулей после запятой всегда будет [latex]1[/latex] меньше, чем показатель степени на , потому что он занимает одну степень [latex]10[ /latex], чтобы сдвинуть первое число слева от десятичной дроби.

    Практикуя преобразование экспоненциальной системы счисления в десятичную форму, мы будем выполнять следующие шаги:

    Преобразовать экспоненциальное представление в десятичную форму

    1. Определить показатель степени [латекс]n[/латекс] для множителя [латекс]10[/латекс].
    2. Переместите десятичные [латекс]n[/латекс] разрядов, при необходимости добавив нули.
      • Если показатель степени положительный, переместите десятичную точку [latex]n[/latex] знаков вправо.
      • Если показатель степени отрицательный, переместите десятичную точку на [латекс]|n|[/латекс] разрядов влево.
    3. Чек.

    Начнем с преобразования большого числа в экспоненциальном представлении в десятичную форму. 9{6}[/латекс] Показать решение

     

    Подумайте об этом

    Чтобы лучше понять взаимосвязь между знаком экспоненты и относительным размером числа, записанного в экспоненциальном представлении, ответьте на следующие вопросы. Вы можете использовать текстовое поле, чтобы написать свои идеи, прежде чем раскрыть решение.

    1. Вы пишете число, которое больше, чем [latex]1[/latex] в экспоненциальном представлении. Будет ли ваш показатель положительным или отрицательным?

    2. Вы пишете число между [латекс]0[/латекс] и [латекс]1[/латекс] в экспоненциальном представлении. Будет ли ваш показатель положительным или отрицательным?

    3. Какую мощность нужно приложить к [латексу]10[/латексу], чтобы получить результат [латекс]1[/латекс]?

    Показать решение

     

    В следующем видео вы увидите, как преобразовать число, записанное в экспоненциальном представлении, в десятичное представление.

    675 корень: Mathway | Популярные задачи

    2

    делители, простота, двоичный вид, куб, квадрат

    Укажите число, чтобы получить всю информацию о нем:

     Случайное число

    Четность:

    Число 675 является нечетным.

    Сумма цифр: 18
    Произведение цифр: 210
    Количество цифр: 3
    Все делители числа 1 3 5 9 15 25 27 45 75 135 225 675
    Количество делителей 12
    Сумма делителей 1240
    Простое число

    Составное число

    Квадратный корень 25,9807621135332
    Кубический корень 8,7720532146386
    Квадрат 455625
    Куб 307546875
    Обратное число 0,00148148148148148
    Предыдущее число: 674 Следующее число: 676

    Натуральное число 675 является трехзначным. Оно записывается 3 цифрами. Сумма цифр, из которых состоит число 675, равна 18, а их произведение равно 210. Число 675 является нечетным. Всего число 675 имеет 12 делителей: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 135, 225, 675, . Сумма делителей равна 1240. Куб числа 675 равен 455625, а квадрат составляет 307546875. Квадратный корень рассматриваемого числа равен 25,9807621135332. Кубический корень равен 8,7720532146386. Число, которое является обратным к числу 675, выглядит как 0,00148148148148148.

    Квадратный корень из 675 — Как найти квадратный корень из 675? [Решено]

     

    Квадратный корень из 675 выражается как √675 в радикальной форме и как (675) ½ или (675) 0,5 в экспоненциальной форме. Квадратный корень из 675, округленный до 9 знаков после запятой, равен 25,980762114. Это положительное решение уравнения x 2 = 675. Мы можем выразить квадратный корень из 675 в его низшей радикальной форме как 15 √3.

    • Квадратный корень из 675: 25,98076211353316
    • Квадратный корень из 675 в экспоненциальной форме: (675) ½ или (675) 0,5
    • Квадратный корень из 675 в подкоренной форме: √675 или 15 √3

    1. Что такое квадратный корень из 675?
    2. Как найти квадратный корень из 675?
    3. Является ли квадратный корень из 675 иррациональным?
    4. Часто задаваемые вопросы

    Что такое квадратный корень из 675?

    Квадратный корень из 675 (или корень из 675) — это число, которое при умножении само на себя дает произведение 675. Таким образом, квадратный корень из 675 = √675 = 15 √3 = 25,98076211353316.

    ☛ Проверить: Калькулятор квадратного корня

    Как найти квадратный корень из 675?

    Значение √675 методом длинного деления

    Объяснение:

    • Формирование пар: 06 и 75
    • Найдите число Y (2), квадрат которого меньше 6. Теперь разделите 06 на 2 с частным 2.
    • Снизьте следующую пару 75 справа от остатка 2. Новое делимое теперь равно 275.
    • Добавьте последнюю цифру частного (2) к делителю (2), т. е. 2 + 2 = 4. Справа от 4 найдите цифру Z (равную 5) такую, что 4Z × Z <= 275. Найдя Z вместе 4 и Z (5) образуют новый делитель 45 для нового делимого 275.
    • Разделите 275 на 45 с частным равным 5, получив остаток = 275 — 45 × 5 = 275 — 225 = 50.
    • Теперь найдем десятичные разряды после частного 25.
    • Уменьшите 00 справа от этого остатка 50. Новое делимое теперь равно 5000.
    • Добавьте к делителю последнюю цифру частного, т. е. 5 + 45 = 50. Справа от 50 найдите цифру Z (равную 9), такую, что 50Z × Z <= 5000. Вместе они образуют новый делитель (509) для новый дивиденд (5000).
    • Разделите 5000 на 509 с частным как 9, получив остаток = 5000 — 509 × 9 = 5000 — 4581 = 419.
    • Снова наберите 00. Повторите описанные выше шаги, чтобы найти больше знаков после запятой для квадратного корня из 675.

    Таким образом, квадратный корень из 675, полученный методом деления в большую сторону, приблизительно равен 25,9.

    Является ли квадратный корень из 675 иррациональным?

    Фактическое значение √675 не определено. Значение √675 до 25 знаков после запятой равно 25,980762113533159.402. Следовательно, квадратный корень из 675 — иррациональное число.

    ☛ Также проверьте:

    • Квадратный корень из 56 — √56 = 7,48331
    • Квадратный корень из 125 — √125 = 11,18034
    • Квадратный корень из 625 — √625 = 25
    • Квадратный корень из 324 — √324 = 18
    • Квадратный корень из 784 — √784 = 28
    • Квадратный корень из 42 — √42 = 6,48074
    • Квадратный корень из 320 — √320 = 17,88854

     

    Квадратный корень из 675 Решенные примеры

    1. Пример 1: Решите уравнение x 2 − 675 = 0

      Решение:

      x 2 — 675 = 0, т. е. х = ±√675
      Поскольку значение квадратного корня из 675 равно 25,981,
      ⇒ х = +√675 или -√675 = 25,981 или -25,981.

    2. Пример 2: Если площадь круга равна 675π в 2 . Найдите радиус окружности.

      Решение:

      Пусть ‘r’ будет радиусом окружности.
      ⇒ Площадь круга = πr 2 = 675π в 2
      ⇒ r = ±√675 в
      Так как радиус не может быть отрицательным,
      ⇒ г = √675
      Квадратный корень из 675 равен 25,981.
      ⇒ г = 25,981 в

    3. Пример 3: Если площадь равностороннего треугольника равна 675√3 в 2 . Найдите длину одной из сторон треугольника.

      Решение:

      Пусть а будет длиной одной из сторон равностороннего треугольника.
      ⇒ Площадь равностороннего треугольника = (√3/4)a 2 = 675√3 in 2
      ⇒ а = ±√2700 в
      Поскольку длина не может быть отрицательной,
      ⇒ а = √2700 = 2 √675
      Мы знаем, что квадратный корень из 675 равен 25,981.
      ⇒ а = 51,962 в

    перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

     

    Готовы увидеть мир глазами математика?

    Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

    Забронируйте бесплатный пробный урок

    Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 675

    Каково значение квадратного корня из 675?

    Квадратный корень из 675 равен 25,98076.

    Почему квадратный корень из 675 является иррациональным числом?

    При простой факторизации 675 т.е. 3 3 × 5 2 , 3 в нечетной степени. Следовательно, квадратный корень из 675 иррационален.

    Каково значение 11 квадратного корня из 675?

    Квадратный корень из 675 равен 25,981. Следовательно, 11 √675 = 11 × 25,981 = 285,788.

    Вычислить 10 плюс 17 квадратный корень 675

    Данное выражение равно 10 + 17 √675. Мы знаем, что квадратный корень из 675 равен 25,981. Следовательно, 10 + 17 √675 = 10 + 17 × 25,981 = 10 + 441,673 = 451,673

    Если квадратный корень из 675 равен 25,981. Найдите значение квадратного корня из 6,75.

    Представим √6,75 в форме p/q, т.е. √(675/100) = 6,75/10 = 2,598. Следовательно, значение √6,75 = 2,598

    Чему равен квадратный корень из -675?

    Квадратный корень из -675 является мнимым числом. Его можно записать как √-675 = √-1 × √675 = i √675 = 25,98i
    . где i = √-1 и называется мнимой единицей.

    Мэтуэй | Популярные проблемы

    9(1/2) 92-4*-1+22
    1 Найдите Том сфера (5)
    2 Найти площадь круг (5)
    3 Найдите площадь поверхности сфера (5)
    4 Найти площадь круг (7)
    5 Найти площадь круг (2)
    6 Найти площадь круг (4)
    7 Найти площадь круг (6)
    11 Найти простую факторизацию 741
    12 Найти том сфера (3)
    13 Оценить 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
    14 Найти площадь круг (10)
    15 Найти площадь круг (8)
    16 Найдите площадь поверхности сфера (6)
    17 Найти простую факторизацию 1162
    18 Найти площадь круг (1)
    19 Найдите окружность круг (5)
    20 Найти том сфера (2)
    21 Найти том сфера (6)
    22 Найдите площадь поверхности сфера (4)
    23 Найти том сфера (7)
    24 Оценить квадратный корень из -121
    25 Найти простую факторизацию 513
    26 Оценка квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
    27 Найти том коробка (2)(2)(2)
    28 Найдите окружность круг (6)
    29 Найдите окружность круг (3)
    30 Найдите площадь поверхности сфера (2)
    31 Оценить 2 1/2÷22000000
    32 Найдите Том коробка (5)(5)(5)
    33 Найти том коробка (10)(10)(10)
    34 Найдите окружность круг (4)
    35 Преобразование в проценты 1,7
    36 Оценить (5/6)÷(4/1)
    37 Оценить 3/5+3/5
    38 Оценить ф(-2) 92
    40 Найти площадь круг (12)
    41 Найти том коробка (3)(3)(3)
    42 Найти том коробка (4)(4)(4)
    45 Найти простую факторизацию 228
    46 Оценить 0+0
    47 Найти площадь круг (9)
    48 Найдите окружность круг (8)
    49 Найдите окружность круг (7)
    50 Найти том сфера (10)
    51 Найдите площадь поверхности сфера (10)
    52 Найдите площадь поверхности сфера (7)
    53 Определить, является простым или составным 5
    60 Преобразование в упрощенную дробь 2 1/4
    61 Найдите площадь поверхности сфера (12)
    62 Найти том сфера (1)
    63 Найдите окружность круг (2)
    64 Найти том коробка (12)(12)(12)
    65 Добавить 2+2=
    66 Найдите площадь поверхности коробка (3)(3)(3)
    67 Оценить корень пятой степени из 6* корень шестой из 7
    68 Оценить 7/40+17/50
    69 Найти простую факторизацию 1617
    70 Оценить 27-(квадратный корень из 89)/32
    71 Оценить 9÷4
    72 Оценка 92
    74 Оценить 1-(1-15/16)
    75 Преобразование в упрощенную дробь 8
    76 Оценка 656-521 9-2
    79 Оценить 4-(6)/-5
    80 Оценить 3-3*6+2
    81 Найдите площадь поверхности коробка (5)(5)(5)
    82 Найдите площадь поверхности сфера (8)
    83 Найти площадь круг (14)
    84 Преобразование в десятичное число 5 ноября
    85 9-2
    88 Оценить 1/2*3*9
    89 Оценить 12/4-17/-4
    90 Оценить 11.

    Матрицы определения: основные определения, обозначение, формулы и элементы матрицы

    НОУ ИНТУИТ | Лекция | Матрицы. Основные определения и виды матриц. Действия над матрицами. Понятие ранга матрицы. Операции над матрицами. Понятие и нахождение обратной матрицы

    < Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

    Аннотация: В лекции рассказывается о матрицах – как об одном из самых популярных инструментов высшей математики, позволяющем определять возможность получения решения системы линейных уравнений и находить его

    Ключевые слова: таблица, матрица, натуральное число, решение системы линейных уравнений, ранг, детерминант, определитель, вывод, операции, Произведение, умножение, равенство, перемножение матриц, EA, Алгебраическим дополнением, алгоритм, алгебраические

    Матрицы. Основные определения и типы матриц

    Определение 1. Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел aij, которые называют элементами матрицы и обозначается

    ( 2. 1)

    Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица, которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица, это любая прямоугольная таблица, составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.

    Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии

    ( 2. 1*)

    Определение 2. Если в выражении (1) m = n, то говорят о квадратной матрице, а если , то о прямоугольной.

    В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:

    1. Матрица — строка (или строковая матрица), состоящая из одной строки. Это прямоугольная матрица размером 1 x n.
      A=(a11  a12  ...  an).
    2. Матрица — столбец ( столбцевая матрица), состоящая только из одного столбца. Это также прямоугольная матрица размером m x 1
    3. Матрица, состоящая из одного элемента. A=(a11)1×1=a11.
    4. ru/2010/edi»> Нулевая матрица, состоящая из одних нулей, в матричной алгебре играет роль 0, обозначается V.
    5. Единичная матрица, состоящая из нулей, кроме главной диагонали, на которой стоят единицы. Обозначается E и играет роль единицы в матричной алгебре
    6. Диагональная матрица, квадратная порядка n, состоящая из нулей и на главной диагонали стоят не равные нулю элементы (не обязательно единицы)

    Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант, который составляется из элементов матрицы и обозначается

    Очевидно, что DE=1 ; .

    Определение 3. Если , то матрица A называется невырожденной или не особенной.

    Определение 4. Если detA = 0, то матрица A называется вырожденной или особенной.

    Определение 5. Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е.

    Например, матрицы и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы , стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы и равны, согласно определению 5.

    Определение 6. Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n — го порядка, определитель которой называется минором k – го порядка матрицы A.

    Пример. Выписать три минора второго порядка матрицы

    Решение. .

    Дальше >>

    < Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

    Определение матрицы. Перечислите основные виды матриц:

    Матрицей называется прямоугольная таблица размерностью m на n, где m – число строк, n – число столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Обозначается матрица всегда заглавными (прописными) латинскими буквами. Элементы матрицы заключаются в круглые и квадратные скобки, обозначаются они строчными буквами с индексом ij, где i – строка, j – столбец. Элемент матрицы находится на пересечении i-строки и j-столбца.

    Основные виды матриц:

    Прямоугольная – состоит из m строк и n столбцов.

    Строчная (матрица строка, вектор строка) – матрица, состоящая из одной строки.

    Столбцовая (матрица столбец, вектор столбец) – матрица, состоящая из одного столбца.

    Квадратная – матрица, у которой число строк и столбцов одинаковое.

    Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю (главную диагональ образую элементы, у которых i=j).

    Единичная – диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали равны единице.

    Симметричная – матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.

    Нулевая – матрица любой размерности, все элементы которой равны нулю.

    Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная — левой треугольной.

    Если матрица прямоугольная, то мы можем преобразовать её в квази-треугольную, ступенчатую или трапециевидную матрицу

    Произведением матрицы А на число λ называется матрица B, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число λ.

    Делить матрицы нельзя.

    Суммой двух матриц А и В, с одинаковым количеством строк и столбцов, называется матрица С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых.

    Умножение матриц определяется только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрица А и В квадратные, то они всегда взаимно-согласованы.

    Произведением матрицы Аmxk на матрицу Вkxn, называется матрица Сmxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В.

    Свойства умножения матриц:

    1.(А*В)*λ = (А*λ)*В = А*(В*λ), где λ – любое число

    2.(А + В)*С = А*С + В*С

    3.(А*В*С) = (В*С*А) – если матрицы согласованы между собой.

    4.А*Е = Е*А = А, где Е – единичная матрица

    5.А*О = О*А = О, где О – нулевая матрица.

    Транспонирование матрицы осуществляется путём замены каждой её строки столбцом с тем же номером.

    Свойства транспонирования матриц:

    1.(Ат)т = А

    2.(А + В)т = Ат + Вт

    3.( λ*А)т = λ*Ат

    4. (А*В)т = Атт, если матрицы согласованы между собой.

    Matrix Определение и значение — Merriam-Webster

    матрица ˈmā-triks 

    1

    : нечто внутри или из чего возникает, развивается или принимает форму нечто другое

    атмосфера понимания и дружелюбия, которая является матрицей мира

    2

    а

    : форма, из которой изготавливается рельефная (см. рельефную запись 1 смысл 6) поверхность (например, шрифт)

    б

    : смысл матрицы 3a(1)

    с

    : штамп с гравировкой или надписью (см. пункт 2, смысл 3 штампа) или штамп

    г

    : электроформованный оттиск грампластинки, используемый для массового производства дубликатов оригинала

    3

    а

    : природный материал (такой как почва или горная порода), в который что-то встроено (например, ископаемое или кристалл)

    б

    : материал, в который что-то заключено или встроено (для защиты или изучения)

    4

    а

    : внеклеточное вещество, в которое встроены клетки ткани (например, соединительной ткани)

    б

    : утолщенный эпителий в основании ногтя пальца руки или ноги, из которого развивается новое вещество ногтя

    5

    а

    : прямоугольный массив (см. запись массива 2, смысл 5) математических элементов (таких как коэффициенты (см. значение коэффициента 1) одновременных (см. одновременный смысл 2) линейных уравнений), которые можно комбинировать для образования сумм и произведений. с аналогичными массивами, имеющими соответствующее количество строк и столбцов

    б

    : что-то похожее на математическую матрицу, особенно в прямоугольном расположении элементов в строки и столбцы

    с

    : набор элементов схемы (таких как диоды и транзисторы) для выполнения определенной функции ) статья

    Знаете ли вы?

    В Древнем Риме матрица представляла собой самку животного, которую содержали для размножения, или растение (иногда называемое «материнским растением» или «материнским растением»), семена которого использовались для получения других растений. В английском языке это слово приобрело множество связанных значений. Математики используют его для прямоугольной организации чисел или символов, которые можно использовать для выполнения различных вычислений; геологи используют его для обозначения почвы или породы, в которой обнаружены окаменелости, как ребенка в утробе матери. И матрица был хорошим выбором в качестве названия реальности, в которой живут все люди, в известной серии научно-фантастических фильмов.

    Примеры предложений

    сложная социальная матрица , в которой люди живут своей жизнью Все провода пересекались друг с другом и образовывали матрицу 9.0096 . матрица для изготовления ножей

    Недавние примеры в Интернете Майк: Матрица угроз в штатах тоже выглядит совсем по-другому. — Как спасти страну, Новая Республика , 11 мая 2023 г. Чтобы понять почему, рассмотрим конкретный набор из 12 чисел в матрице из трех строк и четырех столбцов. — Джон Маккормик, , Fortune , 9 мая 2023 г. Заставляя лучи света смешиваться и мешать друг другу, чип способен выполнять матричных умножений на и, таким образом, реализовывать фотонную нейронную сеть. — IEEE Spectrum , 5 мая 2023 г. Продолжая традицию обновления решетки радиатора, Flying Spur Speed ​​и S заменяют вертикальную решетку радиатора классической матрицей Bentley . — Джек Фицджеральд, Автомобиль и водитель , 28 апреля 2023 г. Эта задача, известная как прогрессивные матрицы Равена , представляет изображения геометрических объектов, скажем, в сетке 3 на 3. — Анил Анантасвами, 9 лет. 0095 Журнал Quanta , 13 апреля 2023 г. Показатели вербального рассуждения, матричных рассуждений, рассуждений и рядов букв и чисел снизились, но, что интересно, баллы по пространственному мышлению выросли. — Тим Ньюкомб, Popular Mechanics , 9 апреля 2023 г. Лидерство требует установления четкого набора этических норм и стандартов для построения матрицы принятия решений, которой можно следовать на любой ступени корпоративной лестницы. — Крис Кардинал, 9 лет0095 Кварц , 27 марта 2023 г. Сплитерс говорит, что осколочная матрица в Шахед-131 не была сделана по тому же стандарту, что и остальная часть устройства. — Дэвид Хэмблинг, Popular Mechanics , 24 февраля 2023 г. Узнать больше

    Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «матрица». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

    История слов

    Этимология

    Латинское, самка животного, используемого для разведения, родительское растение, из матр-, матерь

    Первое известное использование

    1555, в значении, определенном в смысле 1

    Путешественник во времени

    Первое известное использование матрицы было в 1555 году

    Другие слова того же года

    Словарные статьи Рядом с

    matrix

    матрисиб

    матрица

    матричная алгебра

    Посмотреть другие записи поблизости

    Процитировать эту запись «Матрица».

    Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/matrix. По состоянию на 2 июня 2023 г.

    Ссылка на копию

    Детское определение

    матрица

    существительное

    матрица ˈmā-triks 

    : что-то (как форма), что придает форму, основу или начало чему-то другому, заключенному в нем

    Медицинское определение

    Матрица

    существительное

    матрица ˈmā-triks 

    1

    а

    : внеклеточное вещество, в которое встроены клетки ткани (например, соединительной ткани)

    минерализация костного матрикса

    б

    : утолщенный эпителий в основании ногтя пальца руки или ноги, из которого развивается новое вещество ногтя

    звонили также ногтевое ложе, матрикс ногтя

    2

    : что-то (как окружающая или пронизывающая субстанция или элемент), внутри которого возникает, принимает форму или развивается что-то другое в котором что-то заложено

    мембраносвязанные органеллы, взвешенные в цитоплазматическом матриксе

    хроматиновые волокна прикрепляются к ядерному матриксу

    4

    а

    : полоска или полоска, расположенная так, чтобы служить удерживающей наружной стенкой зуба при заполнении полости

    б

    : металлическая или фарфоровая модель, в которой отлита или сплавлена ​​вставка

    5

    : подложка, на которой или внутри которой растет грибок

    Подробнее от Merriam-Webster на матрице

    9 0096

    Nglish: Перевод matrix для говорящих на испанском языке

    Britannica English: Перевод matrix для говорящих на арабском языке

    Britannica. com: Энциклопедическая статья о матрице

    Последнее обновление: — Обновлены примеры предложений

    Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

    Merriam-Webster без сокращений

    Можете ли вы решить 4 слова сразу?

    Можете ли вы решить 4 слова сразу?

    упрямый

    См. Определения и примеры »

    Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!

    Флюксия | математика | Британика

    • Развлечения и поп-культура
    • География и путешествия
    • Здоровье и медицина
    • Образ жизни и социальные вопросы
    • Литература
    • Философия и религия
    • Политика, право и правительство
    • Наука
    • Спорт и отдых
    • Технология
    • Изобразительное искусство
    • Всемирная история
    • Этот день в истории
    • Викторины
    • Подкасты
    • Словарь
    • Биографии
    • Резюме
    • Популярные вопросы
    • Инфографика
    • Демистификация
    • Списки
    • #WTFact
    • Товарищи
    • Галереи изображений
    • Прожектор
    • Форум
    • Один хороший факт
    • Развлечения и поп-культура
    • География и путешествия
    • Здоровье и медицина
    • Образ жизни и социальные вопросы
    • Литература
    • Философия и религия
    • Политика, право и правительство
    • Наука
    • Спорт и отдых
    • Технология
    • Изобразительное искусство
    • Всемирная история
    • Britannica объясняет
      В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
    • Britannica Classics
      Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
    • #WTFact Видео
      В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
    • Demystified Videos
      В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
    • На этот раз в истории
      В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
    • Студенческий портал
      Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
    • Портал COVID-19
      Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
    • 100 женщин
      Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.

    Вычислить скалярное произведение векторов онлайн: Онлайн калькулятор. Скалярное произведение векторов

    Калькулятор Скалярного Произведения Онлайн — Mathcracker.Com

    Алгебра Решатели


    Инструкции: Используйте этот онлайн-калькулятор скалярного произведения, чтобы вычислить скалярное произведение для двух векторов \(x\) и \(y\). Все, что вам нужно сделать, это ввести данные для ваших векторов \(x\) и \(y\) в формате, разделенном запятыми или пробелами (например: «2, 3, 4, 5» или «3 4 5 6 7»). .



    Подробнее об этом калькуляторе скалярного произведения

    Этот калькулятор позволит вам рассчитать скалярное произведение из двух векторов, показывающих все шаги. Все, что вам нужно сделать, это ввести векторы и нажать «Рассчитать».

    Точечный продукт имеет МНОГО приложений в линейной алгебре для вычисления проекций и оценки перпендикулярности векторов.

    Действительно, с геометрической точки зрения скалярное произведение, равное нулю, означает, что два вектора равны перпендикуляр .

    Формула скалярного произведения

    Итак, как рассчитать скалярный продукт? Скалярное произведение — это операция, выполняемая для двух векторов \(x\) и \(y\), результатом которой является скаляр. t \cdot y \]

    Эту формулу легко запомнить, в отличие от случая перекрестное произведение . Скалярный продукт легко вычислить вручную, так как в случае скалярного продукта вы умножаете соответствующий компонент, а затем складываете их.

    Приложения точечного продукта

    Некоторые варианты использования скалярного произведения очень аккуратны и практичны: Калькулятор скалярного произведения и угол. Действительно, точка или скалярное произведение также имеют сильную геометрическую мотивацию. Конечно, альтернативным выражением для него является

    \[ \langle x, y \rangle = \|x\| \|y\| \cos \theta \]

    где \(\|x\|\) — норма (длина) \(x\), \(\|y\|\) — норма (длина) \(y\), а \(\theta\) — угол между \(x\) и \(y\).

    Скалярный продукт с расчетом угла

    Прямым следствием определения скалярного произведения является то, что его можно использовать для вычисления угла между двумя векторами по следующей формуле:

    \[\cos \theta = \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \]

    и если мы решили для \(\theta\):

    \[ \theta = \arccos\left( \displaystyle \frac{ \langle x, y \rangle}{\|x\| \|y\| } \right) \]

    Скалярный продукт и векторный продукт

    Связанной операцией для двух векторов является перекрестное произведение , хотя теперь он отличается, поскольку его выходной сигнал является вектором, а не скаляром.

    Больше калькуляторов по алгебре

    Вы можете просмотреть и увидеть больше решателей алгебры в нашем алгебраические калькуляторы и решения раздел.

    Калькуляторы скалярное произведение и перекрестное произведение , среди многих других, имеют сильную степень применимости в линейной алгебре и геометрии.

    Хотя некоторые компьютерные системы могут показать вам ответы, наши калькуляторы покажут вам шаги, чтобы вы понимали, откуда берутся вещи.


    Решатель Алгебры Пакет «Базовая Алгебра Калькулятор Скалярного Произведения

    вычислить онлайн скалярное произведение векторов

    Вы искали вычислить онлайн скалярное произведение векторов? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить скалярное произведение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычислить онлайн скалярное произведение векторов».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычислить онлайн скалярное произведение векторов,вычислить скалярное произведение,вычислить скалярное произведение векторов,вычислить скалярное произведение векторов онлайн,калькулятор векторов скалярное произведение,калькулятор скалярного произведения векторов,калькулятор скалярное произведение векторов,найти скалярное произведение векторов онлайн,найти скалярное произведение векторов онлайн калькулятор,онлайн вычислить скалярное произведение векторов,онлайн калькулятор векторов скалярное произведение векторов,онлайн калькулятор найти скалярное произведение векторов,онлайн калькулятор скалярний добуток векторів,скалярний добуток векторів онлайн калькулятор,скалярное произведение векторов калькулятор,скалярное произведение векторов калькулятор онлайн,скалярное произведение векторов онлайн,скалярное произведение векторов онлайн калькулятор,скалярное произведение калькулятор,скалярное произведение онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычислить онлайн скалярное произведение векторов. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычислить скалярное произведение векторов).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычислить онлайн скалярное произведение векторов Онлайн?

    Решить задачу вычислить онлайн скалярное произведение векторов вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

    Калькулятор скалярного произведения — векторный расчет

    Скалярный продукт, онлайн-исчисление

    Резюме :

    Калькулятор скалярного произведения позволяет вычислить скалярное произведение двух векторов онлайн по их координатам.

    dot_product online


    Описание:
    1. Аналитическое определение скалярного произведения
    2. Можно вычислить скалярное произведение двух векторов от их координат. В плане в ортонормированной системе `(O,vec(i),vec(j))` , `vec(u)` представляет собой вектор координат (x,y), а `vec(v)` представляет собой вектор координат (x’,y’), скалярное произведение определяется формулой хх’+уу’.
      Это определение можно распространить на пространство. В прямой ортонормированной системе `(O,vec(i),vec(j),vec(k))`, `vec(u)` представляет собой вектор координат (x,y,z), а `vec(v)` представляет собой вектор координат (x’,y’,z’), скалярный продукт определяется формулой xx’+yy’+zz’.

    3. Свойство
    4. Если `vec(u)` и `vec(v)` ортогональны, то скалярное произведение равно нулю.

    5. Онлайн расчет скалярного произведения.
    6. Калькулятор скалярного произведения позволяет вычислить скалярное произведение двух векторов по их координатам. 2`.

    Синтаксис:

    dot_product(vector;vector)


    Примеры:
  • dot_product(`[1;5];[1;3]`), возвращает 16,
  • dot_product(` [1;5; 3];[1;3;3]`), возвращает 25
  • Расчет онлайн с помощью dot_product (калькулятор скалярного произведения)

    См. также

    Список связанных калькуляторов:

    • Векторный калькулятор : vector_calculator. Векторный калькулятор позволяет производить вычисления с векторами, используя координаты.
    • Вычисление координат вектора по двум точкам. : вектор_координаты. Векторный калькулятор позволяет вычислить координаты вектора по координатам двух точек в режиме онлайн.
    • Калькулятор определителя: определитель. Функция определителя вычисляет онлайн определитель векторов или определитель матрицы.
    • Вычисление разности двух векторов: vector_difference. Функция vector_difference используется для вычисления разницы двух векторов в режиме онлайн.
    • Вычисление нормы вектора : vector_norm. Векторный калькулятор позволяет рассчитать норму вектора онлайн.
    • Исчисление скалярного тройного произведения: scalar_triple_product. Калькулятор скалярного тройного произведения позволяет онлайн рассчитать скалярное тройное произведение.
    • Калькулятор скалярного произведения: dot_product. Калькулятор скалярного произведения позволяет вычислить скалярное произведение двух векторов онлайн по их координатам.
    • Произведение вектора на число: product_vector_number. Векторный калькулятор позволяет вычислить произведение вектора на число онлайн.
    • Калькулятор перекрестного произведения: перекрестное_произведение. Векторный калькулятор позволяет вычислить векторное произведение двух векторов онлайн по их координатам.
    • Вычисление суммы двух векторов: vector_sum. Векторный калькулятор позволяет вычислить сумму двух векторов онлайн.
    Прочие ресурсы

    • Исправленные упражнения на векторах
    • Игры векторного расчета
    • Научитесь считать с векторами

     

    Главная — Калькулятор скалярного произведения

    Введите значения, чтобы найти онлайн-калькулятор скалярного произведения двух векторов с помощью калькулятора скалярного произведения.

    Определение и расчет каждого вектора

    Вектор a:
    i:
    j:
    k:

    Вектор b:
    i:
    j:
    k:


    Калькулятор скалярного произведения вычисляет скалярное произведение двух векторов a 901 31 и б в евклидовом пространстве . Введите i, j, и k для обоих векторов, чтобы получить скалярное число .

    Калькулятор скалярного произведения — это инструмент, который вычисляет скалярное произведение (также известное как скалярное произведение или внутреннее произведение) двух векторов в евклидовом пространстве. Скалярное произведение — это скалярное значение, представляющее степень, в которой два вектора выровнены. Он имеет множество приложений в геометрии, физике и технике.

    Чтобы использовать калькулятор скалярного произведения, вам необходимо ввести компоненты (компоненты) i, j и k для обоих векторов, которые обычно представляются как a = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, б3). Эти компоненты соответствуют измерениям x, y и z в трехмерном евклидовом пространстве (второй вектор).

    Скалярное произведение двух векторов

    Калькулятор скалярного произведения вычисляет для вас это скалярное значение, учитывая компоненты i, j и k для обоих векторов. Затем это скалярное число можно использовать для различных целей, например для определения угла между двумя векторами, проверки ортогональности векторов (скалярное произведение равно нулю) или нахождения проекции одного вектора на другой.

    Таким образом, калькулятор скалярного произведения упрощает процесс нахождения скалярного произведения двух векторов в евклидовом пространстве, требуя только компоненты i, j и k обоих векторов для вычисления скалярного числа

    a . b

    Калькулятор векторного скалярного произведения показывает пошаговое скалярное умножение.

    Изображение предоставлено: «Dot Product» от Math is Fun.

    Что такое скалярное произведение

    ?

    Скалярное произведение — это алгебраическая операция, которая берет две последовательности чисел одинаковой длины, обычно координатные векторы, и возвращает одно число.

    Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними.

    а . b обычно читается как a точка b.

    Скалярное произведение формула (два вектора)

    Используйте это уравнение для вычисления скалярного произведения двух векторов, если задана величина (длина). Вычисление векторного умножения для компонентов вектора

    а ∙ б  = | и | × | б | × cos(θ)

    Где

    | и | длина вектора a

    | б | длина вектора b

    θ  угол между a и b

    направления вектора

    векторы.

    и а к а к ) ∙ (б i  b j  b k ) = (a i  ∙ b i  + a j  ∙ b j  + a к ∙ б к )

    Где

    i, j, и k относится к x, y, и z 901 31 координаты на декартовой плоскости. Калькулятор

    для векторных компонентов/координат и других расчетов, включая скалярную величину, умножение скалярного произведения. Расчет второго вектора

    Как найти

    скалярное произведение двух векторов?

    Скалярное произведение двух векторов можно рассчитать с помощью формулы скалярного произведения.

    Пример метода скалярного произведения 1 — направление вектора

    Вектор a = (2i, 6j, 4k)

    Вектор b = (5i, 3j, 7k)

    Подставьте значения в формулу.

    а ∙ b  = (2, 6, 4) ∙ (5, 3, 7)

    (ai aj ak) ∙ (bi bj bk) = (ai ∙ bi + aj ∙ bj + ak ∙ bk )
    (2   6   4) ∙ (5   3   7) = (2 ∙ 5 + 6 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
    (2   6   4) ∙ (5   3   7) = (10 + 18 + 28)

    Решение – a ∙ b = 56

    Метод скалярного произведения 2 – Величина вектора

    | и | = 15, | б | = 10, θ = 30°

    Подставьте значения в формулу.

    Решение математика онлайн бесплатно: Алгебра, Математика

    Математический портал — образовательные онлайн сервисы по математике, физике, теории вероятности и другим предметам.

    Доверь свою работу кандидату наук!

    Онлайн калькуляторы

    На сайте представлено более 50 онлайн калькуляторов, которые в режиме реального времени помогут Вам решить уравнения, найти интегралы и производные, произвести операции над матрицами и многое другое. Все онлайн калькуляторы абсолютно бесплатные!

    Библиотека и теория

    Для сдачи экзамена, получения зачета и просто для решения задач, всегда надо знать и иметь под рукой теоретический материал. На сайте собрано большое количество теоретического материала для студентов и школьников, у нас есть, как учебники, так и шпаргалки.

    Информация о ЕГЭ

    Мы постарались собрать всю необходимую информацию для подготовки к ЕГЭ. На сайте Вы найдете большой банк заданий ЕГЭ, онлайн тесты и сможете проверить свои силы, пройдя пробный ЕГЭ. Для прохождения тестов, необходимо зарегистрироваться!

    Образовательный форум

    Для понимания материала и решения задач не достаточно статического материала на сайте, нужно общение и обсуждение. На нашем форуме Вы можете попросить помощи в решении задач, Вам всегда помогут наши модераторы и такие же студенты!

    ГДЗ Онлайн

    Мы подберем за вас необходимый материал, выполним теоретическую и практическую части. Вам останется только сдать курсовую и получить свою хорошую оценку! Наши специалисты выполняют работы по юридическим, экономическим и другим наукам.

    Контрольные, курсовые, дипломные Узнать стоимость

    Математические онлайн сервисы

    Мы рады приветствовать всех на нашем студенческом сайте, посвященному решению задач и всему, что с этим связано. Webmath.ru создан для онлайн помощи школьникам и студентам с решением задач по математике, физике, теории вероятности и многим другим предметам. На сайте представлено много математических онлайн калькуляторов, которые в режиме реального времени (онлайн) решают задачи + работает форум, на котором всегда можно задать вопрос. Наша помощь дистанционна и онлайн, то есть ответ на вопрос или помощь в решении задачи Вы получите очень быстро!

    На webmath.ru мы постарались собрать весь необходимый материал, тот материал, который помог нам самим понять математику и до сих пор помогает решать задачи.

    • О проекте
    • Новости
    • Контакты
    • Политика конфиденциальности

    На сайте все бесплатно

    Существует много сайтов, посвещенных таким важным наукам, как математика, алгебра и геометрия. Все они предлагают Вам обширный материал по данным дисциплинам. Но это ли Вам нужно? Зачастую материал, который они Вам предлагают, просто списан с соседнего сайта, никак не помогает Вам в решении задач, и не имеет никакой индивидуальности. На них предложены одни и те же решения уравнений, найдены одинаковые интегралы, производные, рассчитаны похожие треугольники. Зачем нам 15 одинаковых сайтов?

    Быстрый заказ

    Контрольная работаКурсовая работаРешение задачДипломная работаОтчет по практикеРефератОтветы на билетыПереводРепетиторЧертежДиссертацияПрезентацияМонографияЭссеДокладЛабораторная работаКомпьютерный набор текстаРецензияБизнес-планКонспектыПроверка качестваЕдиноразовая консультацияАспирантский рефератДокторская диссертацияМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыТезисный планРечь к дипломуЧасть дипломаОтзыв на диплом

    Принимаю Политику конфиденциальности

    от 7 000 ₽ выполнение 2–3 недели

    Наши авторы имеют большой опыт написания дипломов и ответственно относятся к соблюдению сроков. Работа будет полностью соответствовать требованиям, которые предъявляет ваш институт.

    от 1 500 ₽ выполнение 5–7 дней

    Мы подберем за вас необходимый материал, выполним теоретическую и практическую части, напишем грамотное заключение. Вам останется только сдать курсовую преподавателю и получить свою хорошую оценку!

    от 260 ₽ выполнение 1–4 дня

    Наши специалисты быстро и качественно выполнят контрольные работы, все задания будут сделаны в соответствии с вашими требованиями и каждое решение будет подробно прокомментировано.

    от 650 ₽ выполнение 2–5 дней

    Казалось бы, что может быть проще, чем написать реферат? Но, увы, часто темы рефератов очень сложные. Именно поэтому, наши специалисты готовы помочь вам в написании уникального реферата.

    от 90 ₽ выполнение 1-3 дня

    Если вы не можете разобраться с задачами или у вас просто недостаточно времени, мы готовы помочь. Наши пециалисты помогут вам в решении любого типа задач, качественно и по доступной цене.

    от 19 000 ₽ выполнение 2–3 месяца

    Не нужно рисковать своим будущим, примите единственно верное решение — заказать диссертацию. Сотрудники нашей компании уникально, качественно и профессионально напишут для вас работу.

    Перевод текстов

    Лабораторные работы

    Отчеты по практике

    Семестровые работы

    Чертежи

    Презентации

    Эссе

    Бизнес-планы

    Онлайн-тренажёр «Основы математики для цифровых профессий» от Яндекс Практикум — Яндекс Практикум

    Повторите математику на 1600+ задачах с автоматической проверкой

    Будете легче справляться с рабочими задачами и чувствовать себя увереннее

    Сможете заниматься онлайн в любое удобное время и в своём темпе

    Можете проходить только нужные темы: все уроки открываются сразу

    Получите навыки, которые помогут расширить список доступных вам профессий

    Освоите необходимую базу по математике, которая нужна для обучения новой профессии

    Начинающим аналитикам

    Чтобы закрыть пробелы в базовой математике и подготовиться к изучению более сложных тем из статистики

    Начинающим разработчикам и тестировщикам

    Чтобы знать числовые типы и логические операции, уметь составлять выражения с переменными и решать комбинаторные задачи

    Начинающим маркетологам

    Чтобы правильно рассчитывать конверсию и средний чек, оценивать эффект от рекламных кампаний

    Тем, кто готовится к собеседованиям в IT-компании

    Чтобы подготовиться к любым вопросам по математике, даже если не вспоминали её со школы

    Мы подготовили тест, чтобы вы смогли проверить знания и понять, не будет ли программа курса для вас слишком сложной или наоборот простой

    Пройти тест

    Продуманная программа

    Теория структурирована и дополнена практическими заданиями, чтобы вы лучше усвоили материал. Модули можно изучать по порядку или выбирать только те, что вам нужны.

    Для любого уровня подготовки

    Задания строятся от простого к сложному: можно начать с азов или сразу приступить к задачам со звёздочкой.

    Увлекательные истории с интерактивными иллюстрациями

    Никаких задач про яблоки и поезда, только живые и наглядные объяснения и примеры.

    Быстро считать в уме, работать с пропорциями и процентами

    Находить объединение, пересечение и разность множеств

    Решать задачи с несколькими переменными

    Использовать логические операторы

    Видеть ошибки в расчётах и понимать абстракции, которыми в работе оперируют аналитики и разработчики

    Понимать основы теории вероятностей

    1 модуль

    Множества и логика

    2 модуль

    Комбинаторика

    3 модуль

    Теория вероятностей

    Дополнительный модуль

    Дополнительный курс: Числа

    Дополнительный модуль

    Дополнительный курс: Дроби

    Дополнительный модуль

    Дополнительный курс: Алгебра

    Диана Миронидис

    Преподавательница математики и методистка, Мехмат МГУ.
    Опыт в преподавании — больше 10 лет.

    Евгений Григоренко

    Data Scientist, НИУ ВШЭ. Опыт в Data Science — 3 года.

    Полина Нестеренко

    Преподавательница математики, Мехмат СГУ, НИУ ВШЭ.
    Опыт в преподавании — 5 лет.

    Занимайтесь в своём темпе

    Это тренажёр для самостоятельного изучения, поэтому вы можете учиться когда угодно. В среднем на каждый модуль понадобится 20–30 часов.

    Можно учиться с любых устройств

    Решать задачи можно с телефона, планшета или компьютера в любое удобное время. Поэтому можно заниматься не только дома, но и, например, в транспорте по пути на работу.

    Все материалы в одном месте

    Обучение проходит на нашей платформе, внутри тренажёра — теория в тексте, визуальные интерактивные объяснения и задачи.

    Задачи с моментальной проверкой

    Не нужно ждать обратную связь и оценку от преподавателя: у каждой задачи есть автоматическая проверка и объяснение решения.

    Начала с самого начала, потому что чувствовала, что есть пробелы, математика в школе не нравилась из-за учителя, в универе все было еще сложнее. Но сейчас есть стимул подтянуть знания. Нравится подача материала с историями и элементами игры. Лично у меня сложность в том, что я тороплюсь всегда, хотя никто в шею не гонит, не внимательно читаю условия и потому даю неверные ответы. Буду дополнительно тренировать внимательность.

    Хороший тренажёр и, самое главное, полезный. Вспоминаю школьные уроки. Удачи и успехов разработчикам. Думаю вскоре станет просто отличным и привлечёт ещё больше внимания. Без математики ни в IT-технологиях, ни даже просто в жизни, просто никак.

    Доброго времени суток. Отличный тренажёр, помогает в ненавязчивой и занимательной форме вспомнить, давно забытую, школьную программу. Надеюсь и изучение в нем нового, в последствии, будет столь же интересно и занимательно. Спасибо. 😉

    Мне нравится, здесь основные правила, все вспоминается, множества на кругах Эйлера прекрасно записаны, есть конспекты и основные правила выделены. Тренировки тоже достаточно, но тренажёр ими не перегружен. Все претензии пишу в поддержку, они всегда отвечают. Еще мне очень нравятся задачи на настоящих примерах не только из практики (аналитиков, маркетологов и проч.), но и из жизни, про размеры планет, про разные места и города, очень познавательно! Ценю и этот материал. Часто хожу по ссылкам на доп курсы. Например, прошла тест по английскому (не знала, что у ЯП есть такие курсы…). Присмотрела себе курс Python-разработчика, позже пройду пробный. Сложностей у меня нет. Прохожу курс в своем темпе, мозг доволен! Рекомендовала этот курс знакомым, планирую купить уже платный вариант. В том числе, интересно как пойдёт развиваться история героев. Отличная идея в курсе с этой историей. Спасибо!

    Отличный тренажер! Спасибо большое! Учусь в Италии, из-за сложностей языка не все понятно, скоро экзамен по математике, разобралась в теме и потренировалась благодаря вашем тренажеру. Спасибо огромное!

    Я очень плохо знаю математику. Мне точно подойдёт ваш тренажёр?

    Да! Тренажёр содержит материал по самым основам математики: от сложения и вычитания натуральных чисел до решения простейших уравнений. Модули «Числа», «Дроби» и «Алгебра» построены по нарастанию сложности.

    Я неплохо знаю математику со школы. Стоит ли проходить тренажёр?

    Сперва стоит пройти входной тест. Если решите все задачи из него — проходить тренажёр нет необходимости.

    Я хочу стать аналитиком данных. Подойдёт ли мне тренажёр?

    Да! В тренажёре можно повторить такие важные для аналитика темы, как множества, комбинаторика, теория вероятностей. Но имейте в виду: тренажёр покрывает не всю математику, необходимую аналитику. Если вы хотите глубоко изучить линейную алгебру, математический анализ и статистику, обратите внимание на курс «Математика для анализа данных».

    Я хочу работать в сфере Data Science. Хватит ли мне знаний, полученных в тренажёре?

    Как и в случае с анализом данных, материалов тренажёра не хватит, чтобы покрыть всю необходимую в Data Science математику. В тренажёре есть лишь основы, но после их освоения вам будет легче изучать специализированные темы. Необходимые в Data Science разделы математики изучают на курсе «Математика для анализа данных».

    Мне интересно программирование. Нужно ли заниматься математикой?

    Программировать можно и без глубоких знаний математики. Однако студенты курсов по программированию частенько заглядывают в тренажёр: по их словам, в работе полезен навык решения задач, знание типов чисел и логических операций например, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание.

    Как и когда я буду учиться?

    Учитесь так, как вам удобно. И тогда, когда вам удобно. Тренажёр — это интерактивный учебник. В нём есть теория и задачи с автоматической проверкой. Вы будете читать объяснения, решать примеры и задачи. В тренажёре нет ограничений и дедлайнов, поэтому вы сами выбираете темп занятий.

    Сколько времени займёт прохождение тренажёра?

    На каждый модуль нужно около 20 часов. Если вы решите пройти все модули и будете заниматься по 10 часов в неделю, то понадобится примерно три месяца. Если захотите пройти только один модуль, то справитесь за пару недель. Модули можно проходить не до конца и не по порядку — ориентируйтесь на свои знания.

    Хочу пройти только «Комбинаторику» и «Теорию вероятностей». Можно ли пропустить неинтересные темы?

    Можно! И даже нужно. Если в процессе прохождения этих модулей поймёте, что каких-то знаний не хватает — легко сможете заглянуть в интересующую тему.

    Хорошо, а вы можете помочь с поиском работы?

    Да. По желанию студенты могут попасть на программу трудоустройства, которая длится от 2 недель. С поддержкой карьерного центра Практикума студенты оформляют портфолио, проходят тренировочные собеседования с их последующим разбором и учатся писать сопроводительные письма. Мы сотрудничаем с разными компаниями и регулярно предлагаем студентам партнёрские вакансии. Но важно помнить, что мы не ищем работу за вас, а помогаем её найти.

    Есть ли в тренажёре темы из вузовской математики: линейная алгебра, математический анализ, статистика?

    Есть ли в тренажёре поддержка преподавателя? А чат со студентами?

    Тренажёр бесплатный, поэтому в нём нет поддержки преподавателей. Но есть сообщество студентов, в котором можно задать вопрос по теории или задаче.

    Что я получу, когда пройду тренажёр?

    Вы будете чувствовать себя уверенно при решении любых задач из базовой математики. Не обещаем, что вы справитесь с олимпиадными задачами, но прикинуть в уме вероятность того или иного события точно сможете.

    Узнайте, как решать математические задачи с помощью Math Solver в Microsoft Edge

     

    Мы рады сообщить, что теперь вы можете использовать Math Solver в Microsoft Edge (версия 91 или более элементарные арифметические и квадратные уравнения для исчисления и статистики.

    Math Solver в Microsoft Edge позволяет сфотографировать математическую задачу, написанную от руки или распечатанную, а затем предоставляет мгновенное решение с пошаговыми инструкциями, которые помогут вам научиться решать самостоятельно. Он также поставляется с математической клавиатурой, поэтому вы можете легко набирать математические задачи вместо того, чтобы искать нужные символы на традиционной клавиатуре. Это не все. После решения вашей проблемы Math Solver предлагает множество вариантов продолжения обучения с помощью дополнительных материалов, таких как викторины, рабочие листы и видеоуроки.

    Читайте дальше, чтобы узнать, как Microsoft Math Solver в Edge может помочь вам с домашним заданием и помочь вам обрести уверенность в различных концепциях.

     

    Шаг 1. Откройте Math Solver в Edge

    Используйте меню «Настройки и другое» (…) в правом верхнем углу браузера, откройте More Tools и выберите Math Solver

     

     

    Шаг 2. Выберите уравнение

    После открытия Math Solver вы можете использовать инструмент выбора, чтобы зафиксировать математическое уравнение, которое вы хотите решить. Внесите любые изменения в окно выбора, чтобы убедиться, что ваша математическая задача полностью покрыта и никакой другой текст не захвачен.

     

     

     

    Кроме того, есть раздел для ввода описания проблемы с помощью цифровой клавиатуры, предусмотренной в инструменте.


    Шаг 3. Получите решение и пошаговое руководство

    Выбрав уравнение, нажмите «Решить», чтобы получить решение. предоставляет мгновенные решения и делает шаг вперед, предоставляя пошаговые инструкции с использованием различных методов решения проблем.

    Чтобы просмотреть этапы, выберите метод решения проблемы и нажмите «Показать этапы решения». Прокрутите математическую панель, чтобы просмотреть графики для вашего уравнения.

     

    Шаг 5. Подкрепите обучение дополнительными ресурсами

    Math Solver также предоставляет дополнительные учебные ресурсы, такие как видеоуроки и аналогичные рабочие листы, которые облегчают учащимся углубление в тему и ее освоение.

    Нажмите «Показать больше учебных материалов», чтобы получить эти дополнительные учебные ресурсы. Он откроет Math Solver на новой вкладке.

     

     

    Отправьте нам отзыв

    Мы рады, что вы можете попробовать эту функцию Edge со своими детьми, студентами или всеми, кому нужна помощь в изучении математики. Пожалуйста, отправьте нам отзыв, если что-то работает не так или есть что-то, что вы хотели бы добавить. Мы слушаем! Вы можете оставить нам сообщение в Твиттере, используя #EdgeEDU, #EdgeMathSolver или в Edge, выбрав меню «…» > «Справка и отзывы» > «Отправить отзыв », чтобы оставить отзыв.

     

    Благодарим за участие в предварительном просмотре! Мы с нетерпением ждем ваших отзывов.

     

    — Команда Microsoft Edge Product

     

    ‎Photomath в App Store

    Описание

    Получите математическое приложение, которое поможет вам! Photomath — самая полезная в мире платформа для изучения математики, на которой миллионы учащихся всех уровней ежемесячно проверяют домашние задания, готовятся к тестам и совершают новые математические открытия.

    Основные этапы решения и объяснения абсолютно БЕСПЛАТНЫ, но если вы готовы к совершенно новому миру обучения, Photomath Plus предоставляет вам доступ к:

    ЭКСПЕРТНОЕ ПОНИМАНИЕ
    С доступом к полной библиотеке пояснений к выбранным учебникам, включая текстовые и геометрические задачи! Учитесь в своем собственном темпе с материалами, одобренными одними из лучших учителей математики в мире.

    МУЛЬТИМЕДИЙНОЕ ОБУЧЕНИЕ
    С подробными анимациями искусственного интеллекта и словесными пояснениями, которые помогут вам визуализировать и понять математику в соответствии с вашим стилем обучения.

    MATH INSIGHTS
    Повысьте уровень своего обучения, понимая, «как» и «почему» решаются математические задачи, или получайте напоминания о забытых терминах и понятиях с помощью нашего встроенного глоссария.

    Итак, изучаете ли вы основы арифметики или занимаетесь сложной геометрией, мы поможем вам в этом вместе. Один шаг за раз.

    ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
    • Бесплатные пошаговые объяснения
    • Инструкции по решению задач в формате Word
    • Интерактивные графики
    • Видеообучение
    • Несколько методов решения
    • Расширенный научный калькулятор Вещественные и комплексные числа
    — Сравнение действительных чисел
    — Идентификационные числа
    ФУНКЦИИ
    — Графики функций (линейные, квадратичные, экспоненциальные и т. д. )
    — Свойства функций (область определения, асимптоты и т. д.)
    АЛГЕБРА
    — Упрощение, разложение на множители и вычисление алгебраических выражений Разложение на неполные дроби
    — Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратичных, экспоненциальных и т. д.)
    — Системы уравнений
    — Полиномиальное деление
    — Биномиальная теорема, факториалы
    — Комбинации, перестановки и вариации
    — Матрицы и матричные уравнения
    — Определители
    — Математическая индукция
    ТРИГОНОМЕТРИЯ И УГЛЫ
    — Преобразование углов между градусами и радианами
    — Преобразование углов между десятичной и DMS формой
    — Период тригонометрических функций
    — Проверка тригонометрических тождеств
    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
    — Идентификация последовательностей
    — Серия
    — Рекурсивная и явная форма
    — Тесты на сходимость
    ВЫЧИСЛЕНИЕ
    — Пределы
    — Производные
    — Интегралы
    — Площадь под кривой
    — Идентификация коник
    — Вращение коник
    — Параметризация кривых
    — Идентификация квадратичных поверхностей
    — Дифференциальные уравнения
    — Касательные линии
    — Преобразование между координатами

    Ответ — это еще не все, что вы получите от этого бесплатного приложения. Photomath также предоставляет пошаговое руководство по решению каждой проблемы». — Huffington Post

    «Пошаговое руководство полезно для учащихся, у которых нет доступа к репетитору и у которых возникают проблемы с решением математических задач». — Форбс

    «Вирусное видео о новом приложении похоже на сбывшуюся мечту для всех, у кого проблемы с математикой». — Время
    ___________________________________________

    • Оплата будет снята с вашей учетной записи Apple ID при подтверждении покупки.
    • Подписка продлевается автоматически, если она не будет отменена по крайней мере за 24 часа до окончания текущего расчетного периода.
    • С вашего аккаунта будет взиматься плата за продление в течение 24 часов до окончания текущего периода.
    • Управляйте подпиской или отмените ее в настройках своей учетной записи в App Store после покупки.
    • Предложения и цены могут быть изменены без предварительного уведомления.

    Предложения или вопросы? Напишите нам по адресу support@photomath. com

    Веб-сайт: www.photomath.com
    TikTok: @photomath
    Instagram: @photomath
    Facebook: @Photomathapp
    Twitter: @Photomath

    Условия использования: https://photomath.com /en/termsofuse
    Политика конфиденциальности: https://photomath.com/en/privacypolicy

    Версия 8.21.0

    Мы регулярно обновляем приложение, чтобы сделать учебу максимально удобной. Получите последнюю версию с исправлениями ошибок и общими улучшениями. Выходите из тупика быстрее, учитесь лучше и освободите больше времени для других дел в своей жизни!

    Рейтинги и обзоры

    636,2 тыс. оценок

    Выбор редакции

    Время от времени появляется приложение, которое откинет вам волосы назад и заставит вас поверить, что вы живете в научно-фантастическом будущем. Photomath позволяет навести камеру на проблему, и на экране мгновенно появится пошаговое объяснение (и ответ!) Трехзначное умножение? Фотомат получил это. Линейные и квадратные неравенства? Без проблем.

    ОЧЕНЬ хороший инструмент для математики.

    Хотя есть еще 1 или 2 темы по математике, с которыми это приложение пока не может помочь, это ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЕ приложение, которое может решить около 90% математических задач, будь то общая алгебра или уравнения высшего и самого сложного уровня в колледже. Тем не менее, вы хотите, чтобы это приложение было на вашей стороне, когда вы занимаетесь математикой в ​​значительной степени и всеми видами. Его основная функция позволяет вам фотографировать математические уравнения, и, если на снимке случайно оказались части других уравнений, вы можете обрезать их, как только сделаете снимок, и он решит уравнение за вас, как только вы нажимаете кнопку «ОК». В нем также есть калькулятор, где вы можете вручную вводить уравнения и решать их. Это полезно, если вы поняли, что написали уравнение неправильно, потому что вы можете просто перейти прямо к части калькулятора и исправить его, так как все части уравнения, которые приложение увидело на фотографии, сразу же помещаются в калькулятор. Лучшая часть, на мой взгляд, — это последняя функция, где она точно сообщает вам, как она решила уравнение, и даже позволяет вам просматривать каждый шаг и дает вам краткое, но хорошее объяснение того, что происходит на шаге. Если вы также прокрутите вниз, находясь в той же функции, если вы сфотографировали уравнение, которое нужно изобразить в виде графика, вы действительно сможете увидеть уравнение, построенное для вас. Это очень хорошее приложение, и я НАСТОЯТЕЛЬНО рекомендую.

    Здравствуйте! Большое спасибо за то, что поделились с нами своими отзывами, мы ценим это! В настоящее время мы формируем пул пользователей, которые считают наше приложение особенно полезным, поскольку мы часто получаем запросы на отзывы от СМИ. Хотели бы вы присоединиться к этому пулу и в конечном итоге получить шанс дать показания для прессы? Напишите нам по адресу [email protected], если у вас есть какие-либо вопросы или если вы рады принять участие.

    Лучшее математическое приложение, которое у меня когда-либо было!

    Хорошо, для начала, я хочу сказать, что это лучшее математическое приложение, которое у меня когда-либо было. Я учусь в 8-м классе, и я узнаю много нового и запутанного, чего не понимаю. Фотоматематика решает задачи за вас, и это совершенно бесплатно! Мой учитель математики порекомендовал мне это приложение, потому что он заметил, что я действительно борюсь с домашним заданием по математике. Когда я вернулся домой из школы в тот день, я скачал его, и я был действительно впечатлен этим приложением в целом! Все, что мне нужно было сделать, это сфотографировать мою математическую задачу, и она выдавала ответ. Я мог видеть, правильно или неправильно я понял это, и если я ошибался, Photo Math разложил задачу для меня, чтобы я мог лучше понять ее. Это приложение помогло мне лучше понять математику и помогает выполнять сложные домашние задания. (Это приложение прекрасно, если вы уже решили задачу и не жульничаете.) Не устанавливайте это приложение только для того, чтобы получить ответы на все свои математические задачи. В целом у приложения не так много проблем, оно не глючит и не зависает. В целом, мне нравится это приложение, и я рекомендую его многим ученикам на уроках математики! Они тоже это любят!

    -Софи (8 класс)

    Разработчик, Photomath, Inc., указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

    Данные, не связанные с вами

    Могут быть собраны следующие данные, но они не связаны с вашей личностью:

    • Покупки
    • Расположение
    • Пользовательский контент
    • Идентификаторы
    • Данные об использовании
    • Диагностика
    • Другие данные

    Практика конфиденциальности может различаться, например, в зависимости от используемых вами функций или вашего возраста.

    Как с дробью решать уравнения с: § Как решить уравнение с неизвестным в дроби

    ОДЗ в дробных уравнениях | О математике понятно

            В предыдущем уроке мы с вами освоили основной принцип решения любых дробных уравнений. Это — ликвидация дробей. Кто читал, тот понял, что ничего сложного в этом нет.

            Однако, даже в самых простых (казалось бы!) дробных уравнениях нас может поджидать сюрприз не из приятных. С ним, с сюрпризом, надо разобраться! Разберёмся?)

     

    Основная проблема в решении дробных уравнений.

            Сейчас мы с вами научимся обходить одну из самых коварных ловушек на ЕГЭ и контрольных! Попадаются в неё все — и троечники и отличники. Я специально поставил её в самое примитивное уравнение, чтобы с ней (с ловушкой) хорошенько разобраться. Но для начала посмотрим, попадёте вы в неё или нет.)

            Допустим, надо решить вот такое нехитрое уравнение:

            

            Дело уже привычное и знакомое. Умножаем всё уравнение на знаменатель (х+1) и получаем:   

     

            Напоминаю, что со скобками (х+1) работаем целиком, как будто бы это одно число! Производим умножение:

            

            Сокращаем знаменатель и избавляемся от дроби:

            

            3x2 + 2x — 1 =  5(x+1)

            Раскрываем оставшиеся скобки, переносим всё влево, приводим подобные:

            3x2 + 2x — 1 =  5x + 5

            3x2 — 3x — 6 = 0

            Делим всё уравнение на 3 и получаем:

            х2 — х — 2 = 0

            Отлично. Самое обычное квадратное уравнение. Решаем и получаем два корня:

            х1 = -1

            х2 = 2

            Предположим, в задании на ЕГЭ сказано записать в ответ меньший из корней, если корней более одного. Что писать будем?)

            Если вы решили, что ответ -1, то вы попали в ловушку. И задание вам не засчитают, да. Зря старались. Правильный ответ был 2… Два, а не минус один.

            Так в чём же дело? А вы попробуйте проверку сделать. Подставьте каждый из найденных иксов в исходное уравнение. И, если при х=2 у вас всё славненько срастётся, получится тождество 5=5, то при х=-1 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Нет такой операции ни в природе, ни в математике…

            Что это значит? Это значит, что х=-1 — так называемый посторонний корень. Или лишний корень. Он не является корнем нашего дробного уравнения и в ответе никак не учитывается. Ибо его подстановка даёт бессмыслицу. Его мы просто отбрасываем. Окончательный корень один.

            А именно: х=2.

            Так, стоп, что-то тут не так! Нам же говорили, что всё уравнение можно умножать на одно и то же выражение! Это же тождественное преобразование!

            Да, тождественное. Я не спорю. Но при одном маленьком ограничении, которое многие попросту игнорируют. А именно — выражение, на которое умножаем (делим), отлично от нуля! А скобочка (х+1) при х=-1 обращается в ноль! Так что всё честно.

            И что нам теперь делать? Совсем не умножать? Тогда мы вообще ничего не решим! Каждый раз проверку делать? Это с ума сойдёшь. Особенно, если уравнение навороченное.

            Нет, мы с вами пойдём красивым и элегантным путём. Обратимся за помощью к трём волшебным буквам! Догадались? Да! Это ОДЗ! Область Допустимых Значений.

     

    Что же такое ОДЗ?

            Это такие значения икса, которые могут быть в принципе. Или которые разрешены для данного примера.

            Например, в уравнении

            

            мы ещё пока не знаем, чему равен икс, верно? Мы уравнение пока не решили. Но зато мы железно знаем, что икс не может равняться нулю ни в коем случае! На ноль делить нельзя. На любое другое число — целое, дробное, отрицательное, иррациональное — ради бога. А вот на ноль — никак. Стало быть, в этом примере ОДЗ:

            х — любое число, кроме нуля.

            Зато все остальные иксы — абсолютно безопасны. Хоть 41, хоть -17, хоть -1,3 — весь бесконечный набор чисел.

            Идея ясна?

     

            Как записывать ОДЗ? Как работать с ОДЗ?

            Тоже легко. На первом этапе всегда внимательно осматриваем исходный пример и ищем опасные места. Что значит опасные места?

            Это места, где возможны запретные действия. Действия, которые при каких-то иксах могут оказаться недопустимыми с точки зрения математики. В нашей теме такое действие всего одно — деление. Нельзя делить на ноль. Есть ещё запреты в корнях чётной степени, в логарифмах и в тригонометрии. Их мы тоже рассмотрим в соответствующих уроках.

            Как только опасные места найдены, рядышком с примером выписываем условия, которые не приводят к бессмыслице. После этого, глядя на эти условия, вычисляем запретные иксы. И исключаем их из ОДЗ. Вот и всё.

            Я специально акцентирую внимание на словах «исходный пример». Любое преобразование (сокращение, приведение подобных и т.п.) может изменить ОДЗ, и мы можем получить неверный ответ.

            Важно! Для поиска ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем всего лишь маленькие кусочки примера для нахождения запретных иксов.

            «Многа букаффф», да. Но на практике вся процедура выглядит до ужаса элементарно.

            Итак, берём наше уравнение:

            

            Ничего пока что не трогаем, а внимательно осматриваем исходное уравнение. Осмотрев, мы сразу замечаем операцию деления на х+1.

            Это потенциально опасная операция: при каких-то значениях икса выражение х+1 может оказаться равным нулю. На который делить нельзя. Поэтому обезопасим себя вот такой записью:

            х+1 ≠ 0

            х ≠ -1

            Во-о-т. Минус один категорически не подходит нам в качестве ответа. Это и будет ОДЗ для нашего уравнения. Все иксы, кроме минус единички.

            На практике запись и нахождение ОДЗ обычно оформляют так:

            

            Иногда ОДЗ записывают и в другой форме, через промежутки. Вот так:

            x (-∞; -1) U (-1; +∞)

            Читается эта запись так: «Икс принадлежит интервалу от минус бесконечности до минус единицы (не включая), и от минус единицы (не включая) до плюс бесконечности. «

            Перевод с математического на человеческий: «Икс — любое число, кроме минус единицы.»

            Вот и всё. Как только мы себя обезопасили такой записью, дальше мы имеем полное право делать с уравнением всё что хотим — переносить члены, домножать, сокращать… Вот и домножаем всё уравнение на (х+1). Дробь-то убирать всё равно надо! Это по-прежнему будет не совсем тождественным преобразованием, но все вредные последствия от нарушения тождественности мы исключим по ОДЗ.

            Умножаем:

            3x2 + 2x — 1 =  5(x+1)

            Как вы думаете, в какой же момент мы с вами попали в ловушку элементарного примера? Как раз в момент домножения всего уравнения на знаменатель дроби! Знаменатель исчез, и вместе с ним исчезли и соответствующие ограничения на иксы. Бесследно. И для нового уравнения, без дроби, на икс уже не накладывается никаких запретов! Любым может быть икс…

            В математике это явление называется расширение ОДЗ.

            Но теперь мы уже с вами народ бдительный. Исходные ограничения (х≠-1) мы записали и сохранили.

            Поэтому дальше спокойно решаем уравнение безо всяких дробей и получаем два корня:

            х1 = -1

            х2 = 2

            А вот теперь стыкуем наши результаты и условия ОДЗ. И видим в наших кандидатах на ответ один из иксов в качестве запретного! Минус один. Это означает, что в окончательный ответ его включать нельзя. Это посторонний корень, появившийся в процессе решения без нашего желания.

            Да, это законный корень нашего вспомогательного квадратного уравнения, но никак не корень исходного дробного уравнения!

            Стало быть, минус единицу мы безжалостно вычёркиваем и в ответ не включаем. Вот и всё.)

     

            А в других уравнениях прошлого урока? Там что, нет ОДЗ? Есть, разумеется. Есть деление на икс — есть и ОДЗ.

            В первом уравнении:

            

            Во втором уравнении:

            

            И так далее.

            Я специально в тех примерах ничего не сказал про ОДЗ. Чтобы вас не перегрузить раньше времени.) В всех уравнениях прошлого урока (и домашнего задания к нему) ОДЗ никак не сказывалась на ответе. Так бывает. Но в заданиях ОГЭ и ЕГЭ ОДЗ в 99% случаев влияет на ответ! Так что мы с ОДЗ дружить будем. И во всех темах, где это необходимо, мы будем про ОДЗ вспоминать. Чтобы не упасть лицом в грязь.)

            Итак, про ОДЗ поговорили. Убедились, что работать с ней тоже совсем не сложно. Теперь можно перейти и к общему алгоритму решения любого дробного уравнения.

     

    Решаем дробные уравнения по алгоритму!

           

            Для успешного решения любого дробного уравнения необходимо выполнить (правильно) пять пунктов:

            1. Разложить знаменатели всех дробей на множители (если требуется). До упора. Переписать уравнение с учётом этого факта.

     

            2. Найти ОДЗ, записать рядышком с уравнением и временно (до конца решения) забыть про неё.

     

            3. Сообразить, на что надо умножить обе части уравнения, чтобы все дроби исчезли полностью.

     

            4. Выполнить это самое умножение и решить новое уравнение, уже безо всяких дробей. Найти решения (кандидаты в ответ).

     

            5. Вспомнить про ОДЗ и состыковать найденные решения с условиями ОДЗ. Те решения, которые не входят в ОДЗ, безжалостно выбросить. Записать окончательный ответ.

           

            А теперь, вооружившись таким мощным супероружием, как ОДЗ, и общим алгоритмом, разберём очередной пример. Супердетально разберём!

            Решить уравнение:

            

            Решаем строго по пунктам. Выполняем пункт первый:

            1. Разложить все знаменатели на множители (если требуется). До упора. Переписать пример с учётом этого факта.

            Знаменатели наших дробей НЕ разложены на множители. Вот и приступаем. Вынесение общего множителя за скобки и формула разности квадратов — мощные штуки.)

            2x — x2 = x(2-x)

            2x + x2 = x(2+x)

            4 — x2 = 22 — x2 = (2-x)(2+x)

            Вот так. А теперь переписываем уравнение с учётом наших разложений:

            

            Готово. Все знаменатели разложены до упора.) Можно приступать ко второму пункту.

     

            2. Найти ОДЗ, записать рядышком с примером и временно (до конца решения) забыть про неё.

            Итак, начинаем осматривать исходный пример на наличие опасных операций.

            Внимание! Ничего не трогаем и не решаем! Не складываем дроби, не приводим подобные, не сокращаем!!!

            Подобные преобразования запросто могут изменить ОДЗ, что может привести к неверному ответу! Оно нам надо?! Ещё раз напоминаю: ДО поиска ОДЗ с исходным примером мы не делаем НИЧЕГО! Кроме разложения на множители. Оно — безопасно и даже полезно.)

            Берём и именно осматриваем исходный пример. И замечаем три опасных места: каждая из дробей таит в себе возможное деление на ноль.

            Вот и пишем:

            Знак системы (фигурная скобка) здесь не зря поставлен. Она означает, что все три условия должны выполняться одновременно! Мы ведь ОДЗ записываем не для каждой дроби по отдельности, а для всего примера целиком.)

            Ну и как? Нашли ОДЗ? Не-а…)

            Мы записали кусочек примера, записали три требования, которые должны выполняться железно. Но этого мало. Нужно ещё найти иксы, которые обеспечивают эти железные требования. ОДЗ ведь к иксам относится, а не к кусочкам примера…

            Как же найти значения иксов, которые не превращают знаменатели дробей в ноль? Их же очень много? Очень просто! Мы поступим элегантно. Найдём иксы, которые наоборот, превращают знаменатели дробей в ноль. Это и будут запретные иксы.

            Вот и решаем эти неравенства методом «от противного». То есть, делаем из неравенств уравнения:

            x(2-x) = 0

            x(2+x) = 0

            (2-x)(2+x) = 0

            Именно из этих трёх уравнений мы и будем искать запретные иксы. Уравнения очень простые: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Вот и приравниваем (в уме или на черновике) каждый множитель к нулю.

            Для первого уравнения получаем: x1 = 0;  x2 = 2.

            Вспомнив, что это запретные иксы, получим:

            х ≠ 0;  x ≠ 2.

     

            Точно так же решаем и два оставшихся уравнения.

     

            Для второго уравнения получаем:

            x ≠ 0;  x ≠ -2.

     

            И, наконец, для третьего уравнения получаем:

            x ≠ 2;  x ≠ -2.

     

            Видно, что некоторые запретные значения иксов повторяются. Разумеется, для окончательной записи ОДЗ мы их не будем дублировать. Итого ОДЗ для нашего уравнения будет выглядеть вот так:

            ОДЗ:

            

            Видите, насколько полезно предварительно раскладывать знаменатели на множители! В уме ОДЗ ищется! Поэтому эта процедура и стоит первым пунктом в алгоритме. )

            Можно приступать к третьему пункту.

     

            3. Сообразить, на что надо умножить обе части уравнения, чтобы все дроби исчезли полностью.

            И тут разложение на множители тоже здорово играет на руку!

            Понятно, что для ликвидации первой дроби, надо её домножать на x(2-x), вторую — на x(2+x) и третью — на (2-x)(2+x).

            Но чтобы сразу сократить все дроби, надо скомбинировать такое выражение, которое одинаково хорошо делится и на х(2-х), и на х(2+х), и на (2-х)(2+х).

            Вот оно, это выражение:

            х(2-x)(2+x)

            Как же я до него додумался? Очень просто: составил произведение всех неповторяющихся множителей всех знаменателей. Чтобы ничего не забыть и лишнего не взять.) Приступаем к четвёртому пункту:

     

            4. Выполнить это самое умножение и решить новое уравнение, уже безо всяких дробей. Получить решения (кандидаты в ответ).

            Итак, умножаем:

            

            И снова, чтобы не заплутать в трёх соснах, используем скобки:

            

            Производим умножение. Большие скобки раскрываем, малые — не трогаем!

            

            Сокращаем все дроби:

            

            2 + x + (x-4)(2-x) = 2x

            Всё. От дробей избавились. Как обычно, раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем все члены слева:

            2 + x + 2x — x2 — 8 + 4x — 2x = 0

            –х2 + 5x — 6 = 0

            Помним, что минус впереди крайне неудобен, посему умножаем всё на (-1):

            x2 — 5x + 6 = 0

            Решаем простенькое квадратное уравнение и получаем корни:

            x1 = 2

            x2 = 3

            Нашли кандидатов в ответ. Самое время вспомнить про ОДЗ. Про самый последний пункт:

     

            5. Вспомнить про ОДЗ и состыковать найденные решения с условиями ОДЗ. Те решения, которые не входят в ОДЗ, безжалостно выбросить. Записать окончательный ответ.

     

    Итак, наши решения:

            x1 = 2

            x2 = 3

            Условия ОДЗ:

            

            Сопоставляем и… Оп-па! А ведь двойка — запретное значение! Нас не проведёшь! ОДЗ — штука жёсткая. В отвал двойку!

            Окончательный ответ: х = 3.

           

            Именно так и решаются все дробные уравнения. В пять шагов. Зачем же я распинался, рассказывая целый урок про избавление от дробей, затем ещё пол-урока про ОДЗ? Мог бы сразу дать общий алгоритм и соответствующий пример!

            На этот вопрос отвечу так. Если бы вы знали, сколько народу спотыкается на применении тупо заученного алгоритма! А уж при малейшем отклонении от шаблона простой пример становится вообще нерешаемым… Если понимать смысл, то шанс решить есть всегда. Понимание всегда побеждает механическую память.)

            Вот, собственно, и всё, что я хотел сказать. И напоследок очередная порция примеров для самостоятельного решения.

            Решить уравнения:

            

     

            Ответы (по традиции, в беспорядке):

            x = 3

            x = -1

            x = 4

            x1 = -1;  x2 = -9

            x = -2

           

            Всё совпало! Поздравляю! У вас иксов побольше будет? Хм… Про ОДЗ не забыли, случаем? Кое-какие корни выбрасывать надо! ОДЗ учли, а всё равно не выходит? Да-а-а… Проблемка. Такие уравнения надо уметь решать: слишком уж они популярны во многих темах математики. Особенно — в текстовых задачках! Но не отчаивайтесь!

            Перечитайте этот и предыдущий уроки ещё раз и прогуляйтесь по смежным темам: разложение на множители, квадратные уравнения, линейные уравнения и (особенно!) тождественные преобразования уравнений. И всё получится. Я в вас верю!)

    Уравнения «дробь равна нулю»: метод решения, примеры

    Отдельного внимания заслуживают уравнения «дробь равна нулю», то есть, уравнения f(x)/g(x)=0, где f(x) и g(x) – произвольные выражения с переменной x. В этой статье мы, во-первых, разберем, в чем состоит метод решения таких уравнений, на чем он базируется и как обосновывается. А во-вторых, запишем алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю» и решим несколько характерных примеров.

    В чем состоит метод решения и на чем он базируется?

    Метод решения уравнений «дробь равна нулю», то есть уравнений, имеющих вид f(x)/g(x)=0, состоит в нахождении решения через решение уравнения «числитель равен нулю», то есть, через решение уравнения f(x)=0. Пример для наглядности: решение уравнения можно найти через решения уравнения (x−1)·(x2−4)=0.

    Базируется метод на следующем утверждении:

    Утверждение

    Множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0. В частности, решением уравнения 0/g(x)=0 является любое число из ОДЗ для этого уравнения, а уравнение C/g(x)=0, где С – отличное от нуля число, не имеет решений.

    Докажем это утверждение в следующем пункте.

    К началу страницы

    Обоснование метода

    В основе доказательства утверждения из предыдущего пункта лежит хорошо известный факт: дробь a/b, b≠0 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль. Этот факт вытекает из определения дроби (дробь a/b, b≠0 есть такое число c, что b·c=a) и из того, что произведение двух чисел тогда и только тогда равно нулю, когда одно из чисел есть нуль.

    Начнем с доказательства частных случаев.

    Докажем, что решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для него. В силу того, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, равенство 0/g(x0)=0 является верным для любого числа x0, при котором оно имеет смысл. Очевидно, что равенство 0/g(x0)=0 имеет смысл тогда и только тогда, когда x0 принадлежит ОДЗ для уравнения 0/g(x)=0. Значит, решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для этого уравнения.

    Докажем, что уравнение C/g(x)=0, где С – отличное от нуля число, не имеет решений. Так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, то равенство C/g(x0)=0, C≠0 не может быть верным ни для какого числа x0. Следовательно, уравнение C/g(x)=0, C≠0 не имеет решений.

    Теперь будем считать, что числитель дроби f(x)/g(x) есть выражение с переменной, а не число, и докажем, что множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0. Для этого достаточно доказать два момента: первый — что любой корень уравнения f(x)/g(x)=0 является корнем уравнения f(x)=0, второй — что любой корень уравнения f(x)=0, принадлежащий ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0, является корнем уравнения f(x)/g(x)=0.

    Приступаем к доказательству первой части. Пусть x0 – корень уравнения f(x)/g(x)=0. Тогда f(x0)/g(x0)=0 – верное числовое равенство. Из этого неравенства и из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что f(x0)=0. А это равенство означает, что x0 – корень уравнения f(x)=0.

    Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.

    Пусть x0 принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 и при этом x0 — корень уравнения f(x)=0. Так как x0 принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0, то дробь f(x0)/g(x0) имеет смысл. Так как x0 – корень уравнения f(x)=0, то f(x0)=0 – верное числовое равенство. Из этих результатов, а также из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что дробь f(x0)/g(x0) равна нулю, то есть, f(x0)/g(x0)=0. А это равенство означает, что x0 – корень уравнения f(x)/g(x)=0.

    Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.

    К началу страницы

    Алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»

    Доказанное утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»:

    • Если уравнение имеет вид 0/g(x)=0, то надо найти область допустимых значений для этого уравнения – она и есть искомое решение уравнения.
    • Если уравнение имеет вид C/g(x)=0, C – отличное от нуля число, то сразу записываем ответ – нет решений.
    • Если уравнение имеет вид f(x)/g(x)=0, где f(x) – выражение с переменной, а не число, то
      • приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение f(x)=0,
      • отсеиваем посторонние корни (отбрасываем все корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, как посторонние).

    Заметим, что записанный алгоритм находится в полном согласии с принципами решения дробно-рациональных уравнений, имеющих вид «дробь равна нулю». Принципы решения таких уравнений раскрываются на уроках алгебры в 8 классе. Оттуда нам известно, что для решения дробно-рационального уравнения, имеющего вид f(x)/g(x)=0 нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отбросить те корни, при которых обращается в нуль знаменатель [1, с.26-30]. По сути, отбрасывание значений, при которых обращается в нуль знаменатель решаемого дробно-рационального уравнения f(x)/g(x)=0, есть отсеивание посторонних корней по ОДЗ, так как в этом случае ОДЗ определяется условием g(x)≠0.

    К началу страницы

    Решение примеров

    Рассмотрим решения трех характерных уравнений «дробь равна нулю»: с нулем в числителе, с отличным от нуля числом в числителе, и с выражением с переменной в числителе. Ими мы закроем все три типичные ситуации.

    Сначала решим уравнение с нулем в числителе: .

    Пример

    Решите уравнение

    Смотреть решение

    Теперь решим уравнение , в числителе которого отличное от нуля число.

    Пример

    Решите уравнение

    Смотреть решение

    Осталось рассмотреть решение уравнения «дробь равна нулю» в случае, когда в числителе находится выражение с переменной, а не число. В этом случае, согласно алгоритму, нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни.

    Пример

    Решите уравнение

    Смотреть решение

    Литература

    1. Мордкович А.  Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

    К началу страницы

    1.5 Решение уравнений, содержащих дроби

    РАЗДЕЛ 1.5 Цели обучения

    1.5: Решение уравнений, содержащих дроби

    • Использование свойств равенства для решения одношаговых уравнений, содержащих дроби
    • Очистить дроби в уравнении, а затем решить уравнение
    • Решение многошаговых уравнений, содержащих дроби
    • Решите основное рациональное уравнение

     

    ПОДУМАЙТЕ ОБ ЭТОМ

    Можете ли вы определить что бы вы сделали по-другому, если бы вас попросили решить подобные уравнения?

    Решите [латекс]\фракция{1}{4} + у = 3[/латекс]. Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы решили это уравнение с дробью.

    Показать решение

    Использовать свойства равенства для решения одношаговых уравнений, содержащих дроби

    Вспомнить свойство сложения равенства из предыдущего раздела

    Аддитивное свойство равенства

    Для всех действительных чисел a , b и c : Если [латекс]а=b[/латекс], то [латекс]а+с=b+с[/ латекс].

    Если два выражения равны друг другу, и вы добавляете одно и то же значение к обеим частям уравнения, уравнение останется равным.

    В следующем видео показано, как использовать свойство сложения равенства для решения уравнений с дробями.

     

    Выполняя шаги по решению уравнения, вы пытаетесь изолировать переменную. Переменная — это величина, которую мы еще не знаем. У вас есть решение, когда вы получаете уравнение x = некоторое значение.

    Вызов свойства равенства умножения из предыдущего раздела

    Свойство равенства умножения

    Для всех действительных чисел a , b и c : Если a = 90 036 b , затем [латекс] a\cdot{c}=b\cdot{c}[/latex] (или ab = ac ).

    Если два выражения равны друг другу и вы умножаете обе части на одно и то же число, полученные выражения также будут эквивалентны.

    В следующем примере нас просят решить [латекс]-\frac{7}{2}=\frac{k}{10}[/latex] для k . Мы решим это одношаговое уравнение, используя свойство равенства умножения. Вы увидите, что переменная является частью дроби в данном уравнении, и использование свойства равенства умножения позволяет нам удалить переменную из дроби. Помните, что дроби подразумевают деление, поэтому вы можете думать о [latex]\frac{k}{10}[/latex] как о переменной k делится на 10. Чтобы «отменить» деление, вы можете использовать умножение, чтобы изолировать k . Наконец, обратите внимание, что в уравнении есть отрицательный член, поэтому будет важно подумать о знаке каждого члена, когда вы будете решать задачу. Останавливайтесь после каждого шага, чтобы убедиться, что все термины имеют правильный знак.

    Очистить дроби в уравнении, а затем решить уравнение

    Иногда вы столкнетесь с многошаговым уравнением с дробями. Если вы предпочитаете не работать с дробями, вы можете использовать свойство равенства умножения, чтобы умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей в уравнении. Это удалит все дроби из уравнения.

    Чтобы найти наименьший общий знаменатель , нужно найти «наименьшее общее кратное» (НОК). Если вам нужен обзор того, как найти LCM, посмотрите видео ниже:

    Теперь давайте посмотрим на пример ниже и посмотрим, как мы используем общий знаменатель для очистки дробей перед решением уравнения.

    Конечно, если вам нравится работать с дробями, вы можете просто применить свои знания операций с дробями и решить.

    Решение многошаговых уравнений, содержащих дроби

    В следующем видео мы покажем, как решить многошаговое уравнение с дробями.

    Если уравнение содержит скобки, сначала распределите коэффициент перед скобками, а затем очистите дроби. В следующем видео мы покажем пример.

    Пример 3

    Решите уравнение [латекс]\frac{3}{2}(\frac{5}{9}x + \frac{4}{27})=\frac{32}{9 }[/latex]

    Показать ответ

    Вот несколько шагов, которые необходимо выполнить при решении многошаговых уравнений.

    Этапы решения многошаговых уравнений

    1. Упростите каждую часть, удалив круглые скобки и объединив одинаковые члены.

    2. (Необязательно) Умножьте, чтобы очистить все дроби или десятичные числа.

    3. Добавьте или вычтите, чтобы изолировать переменный термин — возможно, вам придется переместить термин вместе с переменной.

    4. Умножьте или разделите, чтобы изолировать переменную.

    5. Проверьте раствор.

    Решение основного рационального уравнения

    Рациональные уравнения

    Уравнения, содержащие дробные выражения, иногда называются рациональные уравнения . Например, [латекс] \frac{2x+1}{4}=\frac{x}{3}[/latex] является рациональным уравнением. Рациональные уравнения могут быть полезны для представления ситуаций из реальной жизни и для поиска ответов на реальные проблемы. В частности, они неплохо подходят для описания различных пропорциональных отношений.

    Разница между линейным уравнением и рациональным уравнением заключается в том, что рациональные уравнения могут иметь многочлены в числителе и знаменателе дробей. В следующих примерах мы очистим знаменатели рационального уравнения от члена, имеющего полином в числителе. Примечание. Мы обсудим многочлены более подробно в следующем модуле. В следующем примере [латекс]{х+5}[/латекс] — полином, о котором идет речь.

    В следующем примере мы покажем, как решить рациональное уравнение с переменными в обеих частях уравнения.

    Решение уравнений с дробями – шаги, примеры и вопросы

    Введение

    Что такое уравнения с дробями?

    Общие основные государственные стандарты

    Как решать уравнения с дробями

    Учебные советы по решению уравнений с дробями

    Легко совершать ошибки

    Связанные уроки решения уравнений с дробями

    Практика решения уравнений с дробями вопросы

    Решайте уравнения с дробями Часто задаваемые вопросы

    Следующие уроки

    Все еще застряли?

    [БЕСПЛАТНО] Математические экзамены на конец года (4-й и 5-й классы)

    Экзамены охватывают ряд тем, чтобы оценить успеваемость ваших учащихся по математике и помочь подготовить их к государственным экзаменам.

    Скачать бесплатно

    Введение

    Что такое уравнения с дробями?

    Общие основные государственные стандарты

    Как решать уравнения с дробями

    Советы по решению уравнений с дробями

    Легко совершать ошибки

    Связанные уроки решения уравнений с дробями

    Практика решения уравнений с дробями вопросы

    Решайте уравнения с дробями Часто задаваемые вопросы

    Следующие уроки

    Все еще застряли?

    Здесь вы узнаете, как решать уравнения с дробями, в том числе решать уравнения с одним или несколькими действиями. Вы также узнаете о решении уравнений с дробями, где неизвестным является знаменатель дроби.

    Учащиеся впервые научатся решать уравнения с дробями в 7-м классе в рамках работы с выражениями и уравнениями и расширят эти знания в 8-м классе.

    Что такое уравнения с дробями?

    Уравнения с дробями включают решение уравнений, в которых неизвестная переменная является частью числителя и/или знаменателя дроби.

    Числитель (верхнее число) дроби делится на знаменатель (нижнее число).

    Чтобы решить уравнения с дробями, вы будете использовать «метод уравновешивания», чтобы применить обратную операцию к обеим частям уравнения, чтобы определить значение неизвестной переменной.

    Вычитание является обратной операцией сложения.

    Операция, обратная вычитанию, — сложение.

    Операция, обратная умножению, — деление.

    Операция, обратная делению, — умножение.

    Например,

    Что такое уравнения с дробями?

    Как это связано с математикой в ​​7-м и 8-м классах?

    • 7 класс: выражения и уравнения (7.EE.A.1)
      Применение свойств операций в качестве стратегий для сложения, вычитания, факторизации и расширения линейных выражений с рациональными коэффициентами.
    • 8 класс: выражения и уравнения (8.EE.C.7)
      Решение линейных уравнений с одной переменной.
    • 8 класс: Выражения и уравнения (8.EE.C.7b)
      Решение линейных уравнений с коэффициентами рациональных чисел, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием распределительного свойства и сбора одинаковых членов.

    Как решать уравнения с дробями

    Чтобы решать уравнения с дробями:

    1. Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.
    2. Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.
    3. Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    [БЕСПЛАТНО] Контрольные экзамены по математике на конец года (4-й и 5-й классы)

    Оцените успеваемость по математике к концу 4-го и 5-го классов или подготовьтесь к контрольным работам штата с помощью смешанных тем, вопросов с несколькими вариантами ответов и вопросов с расширенными ответами!

    СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

    Икс

    [БЕСПЛАТНО] Оценки по математике на конец года (4-й и 5-й классы)

    Оцените успеваемость по математике к концу 4-го и 5-го классов или подготовьтесь к государственной аттестации с помощью этих смешанных тем, вопросов с несколькими вариантами ответов и вопросов с расширенными ответами!

    СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

    Примеры решения уравнений с дробями

    Пример 1: уравнения с одной операцией

    Решить для x \text{: } \cfrac{x}{5}=4 .

    1. Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

    Неизвестное x.

    Глядя на левую часть уравнения, x делится на 5.

    \cfrac{x}{5}

    2 Примените обратные операции, по одной, к обеим частям уравнения.

    Обратное к «делению на 5» — «умножение на 5».

    Умножьте обе части уравнения на 5.

    3 Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    Окончательный ответ: х=20.

    Вы можете проверить ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.

    \cfrac{20}{5}=20\div5=4

    Пример 2: уравнения с одной операцией

    Решить для x \text{: } \cfrac{x}{3}=8 .

    Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

    Неизвестное x.


    Глядя на левую часть уравнения, x делится на 3.


    \cfrac{x}{3}

    Примените обратные операции, по одной, к обеим частям уравнения.

    Обратное к «делению на 3» — «умножение на 3».


    Умножьте обе части уравнения на 3.

    Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    Окончательный ответ x=24.


    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.


    \cfrac{24}{3}=24\div3=8

    Пример 3: уравнения с двумя операциями

    Решить для x \text{: } \cfrac{x \, + \, 1}{2} =7 .

    Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

    Неизвестное x.


    Глядя на левую часть уравнения, 1 прибавляется к x, а затем делится на 2 (знаменатель дроби).


    \cfrac{x \, + \, 1}{2}

    Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

    Сначала очистите дробь, умножив обе части уравнения на 2.


    Затем вычтите 1 из обеих частей.

    Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    Окончательный ответ x=13.


    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.


    \cfrac{13 \, +1 \, }{2}=\cfrac{14}{2}=14\div2=7

    Пример 4: уравнения с двумя операциями

    Найти x \text{: } \cfrac{x}{4}-2=3 .

    Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

    Неизвестное x.


    Глядя на левую часть уравнения, x делится на 4, а затем вычитается 2.


    \cfrac{x}{4}-2

    Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

    Сначала прибавьте 2 к обеим частям уравнения.


    Затем умножьте обе части уравнения на 4.

    Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    Окончательный ответ: х=20.


    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.


    \cfrac{20}{4}-2=20\div4-2=5-2=3

    Пример 5: уравнения с тремя операциями

    Решить для x \text{: } \cfrac{3x}{ 5}+1=7 .

    Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

    Неизвестное x.


    Глядя на левую часть уравнения, x умножается на 3, затем делится на 5 и затем прибавляется 1.


    \cfrac{3x}{5}+1

    Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

    Сначала вычтите 1 из обеих частей уравнения.


    Затем умножьте обе части уравнения на 5.


    Наконец, разделите обе части на 3.

    Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    Окончательный ответ: х=10.


    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.


    \cfrac{3 \, \times \, 10}{5}+1=\cfrac{30}{5}+1=6+1=7

    Пример 6: уравнения с тремя операциями

    Решить для х \текст{: } \cfrac{2x-1}{7}=3 .

    Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

    Неизвестное x.


    Глядя на левую часть уравнения, x умножается на 2, затем вычитается 1 и последняя операция делится на 7 (знаменатель).


    \cfrac{2x-1}{7}

    Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

    Сначала умножьте обе части уравнения на 7.


    Затем добавьте 1 к обеим частям.


    Наконец, разделите обе части на 3.

    Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    Окончательный ответ: х=11.


    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.


    \cfrac{2 \, \times \, 11-1}{7}=\cfrac{22-1}{7}=\cfrac{21}{7}=3

    Пример 7: уравнения с знаменатель неизвестен

    Найдите x \text{: } \cfrac{24}{x}=6 .

    Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

    Неизвестное x.


    Глядя на левую часть уравнения, x является знаменателем. 24 делится на х.


    \cfrac{24}{x}

    Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

    Вам нужно умножить обе части уравнения на x.


    Тогда обе части можно разделить на 6.

    Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    Окончательный ответ: x=4.


    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.


    \cfrac{24}{4}=24\div4=6

    Пример 8: уравнения с неизвестным в знаменателе

    Решить для x \text{: } \cfrac{18}{x}-6= 3 .

    Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

    Неизвестное x.


    Глядя на левую часть уравнения, x является знаменателем. 18 делится на х, а затем вычитается 6.


    \cfrac{18}{x}-6

    Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

    Сначала прибавьте 6 к обеим частям уравнения.


    Затем умножьте обе части уравнения на x.


    Наконец, разделите обе части на 9.

    Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

    Окончательный ответ: х=2.


    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.


    \cfrac{18}{2}-6=9-6=3

    Советы по решению уравнений с дробями

    • Когда учащиеся впервые приступают к решению практических задач и текстовых задач, предоставьте им пошаговые инструкции. чтобы помочь им с решением линейных уравнений.
    • Введение решения уравнений с дробями с одношаговыми задачами, затем двухшаговыми задачами, прежде чем вводить многошаговые задачи.
    • Учащимся потребуется много практики в решении линейных уравнений. Эти стандарты обеспечивают основу для работы с будущими линейными уравнениями в алгебре I и II.
    • Предоставьте учащимся возможность письменно объяснить свои мысли. Убедитесь, что они используют ключевую лексику, такую ​​как абсолютное значение, коэффициент, уравнение, общие факторы, неравенства, упрощение и т. д.

    Легкие ошибки

    • Решением уравнения могут быть числа любого типа
      Неизвестные не обязательно должны быть целыми числами (целые числа и их противоположные отрицательные значения). Решения могут быть дробями или десятичными числами. Они также могут быть положительными или отрицательными числами.
    • Неизвестное в уравнении может стоять в любой части уравнения
      Неизвестное, представленное буквой, часто находится в левой части уравнения; однако это не обязательно. Это также может быть в правой части уравнения.
    • При умножении обеих частей уравнения умножайте каждый член
      При умножении каждой части уравнения на число часто забывают умножать каждый член.
      Например,
      Решите:
      \cfrac{x}{2}+3=9

      Здесь + 3 не умножается на 2, что приводит к неправильному ответу.

      Этот человек правильно умножил каждый член на знаменатель.

    • Наименьший общий знаменатель (LCD)
      Часто путают решение уравнений с дробями и сложение и вычитание дробей. При сложении и вычитании вам необходимо найти наименьший/наименьший общий знаменатель (иногда называемый наименьшим общим кратным или НОК). При решении уравнений с дробями умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби.

    Потренируйтесь решать уравнения с дробями. Вопросы

    Вы умножите обе части уравнения на 6, потому что обратное «деление на 6» равно «умножение на 6».

     

     

    Окончательный ответ x = 18.

     

    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

     

    \cfrac{18}{6}=18 \div 6=3

    Сначала очистите дробь, умножив обе части уравнения на 2.

     

    Затем вычтите 4 с обеих сторон.

     

     

    Окончательный ответ x = 10.

     

    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

     

    \cfrac{10 \, + \, 4}{2}=\cfrac{14}{2}=14 \div 2=7

    Сначала прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

     

    Затем умножьте обе части уравнения на 8.

     

     

    Окончательный ответ: x = 48.

     

    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

     

    \cfrac{48}{8}-5=48 \div 8-5=1

    Сначала умножьте обе части уравнения на 4.

     

    Затем вычтите 2 из обеих частей.

     

    Наконец, разделите обе части на 3.

     

     

    Окончательный ответ x = 2,

     

    Вы можете проверить ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.

     

    \cfrac{3 \, \times \, 2+2}{4}=\cfrac{6 \, + \, 2}{4}=\cfrac{8}{4}=8 \div 4 =2

    Сначала прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

     

    Затем умножьте обе части уравнения на 7.

     

    Наконец, разделите обе части на 4.

     

     

    900 04 Окончательный ответ: х = 14,

     

    Вы можете проверить ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.

     

    \cfrac{4 \, \times \, 14}{7}-2=\cfrac{56}{7}-2=56 \div 7-2=6

    Вам нужно умножить обе части уравнение через х.

     

    Затем вы делите обе части на 7.

     

     

    Окончательный ответ x = 6.

     

    Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

     

    \cfrac{42}{6}=42 \div 6=7

    Часто задаваемые вопросы о решении уравнений с дробями

    Соблюдаю ли я порядок операций при решении уравнений с дробями?

    Да, вы все равно соблюдаете порядок действий при решении уравнений с дробями. Вы начнете с любых операций в числителе и последуете за PEMDAS (круглые скобки, показатели степени, умножение/деление, сложение/вычитание), за которыми следуют любые операции в знаменателе. Затем вы решите остальную часть уравнения, как обычно.

    Все еще зависает?

    Компания Third Space Learning специализируется на оказании помощи учителям и школьным руководителям в оказании персонализированной помощи по математике большему количеству своих учеников с помощью высококачественных индивидуальных онлайн-репетиторских занятий по математике, проводимых экспертами-предметниками.

    Примеры на сложение дробей: Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — урок. Математика, 5 класс.

    Сложение дробей, формулы и примеры решений

    Содержание:

    • Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
    • Сложение дробей с разными знаменателями
    • Сложение смешанных дробей

    Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

    Определение

    Суммой двух дробей с одинаковыми знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель — знаменателю дробей, то есть

    $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

    Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, надо сложить их числители и результат записать в числитель, а знаменатель оставить без изменения.

    Пример

    Задание. Найти сумму дробей  $\frac{3}{11}$  и  $\frac{7}{11}$ 

    Решение.   $\frac{3}{11}+\frac{7}{11}=\frac{3+7}{11}=\frac{10}{11}$

    Ответ.   $\frac{3}{11}+\frac{7}{11}=\frac{10}{11}$

    Если в результате сложения получается дробь, числитель и знаменатель которой можно сократить, то для конечного результата выполняем и сокращение дроби.

    236

    проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

    Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

    Пример

    Задание. Найти сумму дробей  $\frac{3}{14}$  и  $\frac{11}{14}$ 

    Решение. Складываются дроби с одинаковым знаменателем, поэтому просто складываем числитель, а знаменатель оставляем исходный:

    $\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=\frac{14}{14}$

    Полученная дробь $\frac{14}{14}$ является неправильной, у которой числитель равен знаменателю, и такая дробь равна единице, то есть

    $\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=\frac{14}{14}=1$

    Ответ.   $\frac{3}{14}+\frac{11}{14}=1$

    Сложение дробей с разными знаменателями

    Определение

    Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, вначале надо привести их к общему знаменателю, а далее складывать как дроби с общим знаменателем. {3}}{8}=\frac{2 \cdot 8+1 \cdot 3}{24}=\frac{16+3}{24}=\frac{19}{24}$

    Ответ.   $\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=\frac{19}{24}$

    Замечание. После первого знака равенства справа вверху у каждой дроби указан дополнительный множитель к ней.

    Сложение смешанных дробей

    Определение

    Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно найти сумму целых частей и отдельно сумму дробных частей.

    Пример

    Задание. Вычислить сумму дробей  3$\frac{2}{5}$  и  4$\frac{7}{10}$ 

    Решение. В данном случае складываем отдельно целые и дробные части:

    $3 \frac{2}{5}+4 \frac{7}{10}=(3+4)+\left(\frac{2}{5}+\frac{7}{10}\right)$

    Так как знаменатели дробных частей разные, то приводим дроби к общему знаменателю, который равен 10, так как НОК знаменателей 5 и 10. Соответственно дополнительные множители, как частные общего знаменателя и знаменателей дробей, равны 2 и 1:

    $3 \frac{2}{5}+4 \frac{7}{10}=7+\frac{2^{2}}{5}+\frac{7^{1}}{10}=7+\frac{2 \cdot 2+7 \cdot 1}{10}=7+\frac{11}{10}=7 \frac{11}{10}$

    Так как дробная часть представляет собой неправильную дробь, то выделяем целую часть:

    $3 \frac{2}{5}+4 \frac{7}{10}=7 \frac{11}{10}=7\left(1+\frac{1}{10}\right)=8 \frac{1}{10}$

    Ответ.   $3 \frac{2}{5}+4 \frac{7}{10}=8 \frac{1}{10}$

    Читать следующую тему: вычитание дробей.

    Задачи на сложение и вычитание дробей


    Лёгкий

    Задача 1

    Вычислите сумму дробей: [tex]\frac{1}{5}+\frac{2}{5}[/tex]

    [tex]\frac{2}{5}[/tex]

    [tex]\frac{1}{5}[/tex]

    [tex]\frac{3}{10}[/tex]

    [tex]\frac{3}{5}[/tex]

    Задача 2

    Найдите значение [tex]\frac{3}{7}+\frac{2}{7}[/tex]

    [tex]\frac{5}{14}[/tex]

    [tex]\frac{5}{7}[/tex]

    [tex]\frac{1}{7}[/tex]

    [tex]\frac{6}{7}[/tex]

    Задача 3

    Вычислите [tex]\frac{1}{3}+\frac{2}{3}[/tex]

    $\frac{4}{3}$

    $\frac{2}{3}$

    $1$

    $3$

    Задача 4

    Посчитайте значение: [tex]\frac{2}{15}+\frac{5}{15}[/tex]

    $\frac{7}{30}$

    $\frac{7}{15}$

    $\frac{10}{15}$

    $\frac{1}{3}$

    Задача 5

    Найдите сумму дробей: [tex]\frac{8}{11}+\frac{4}{11}[/tex]

    [tex]\frac{12}{22}[/tex]

    [tex]\frac{13}{11}[/tex]

    [tex]\frac{10}{11}[/tex]

    [tex]\frac{12}{11}[/tex]

    Задача 6

    Вычислите [tex]\frac{2}{187}-\frac{2}{187}[/tex]

    $0$

    $1$

    $2$

    $\frac{1}{187}$

    Задача 7

    Вычислите [tex]\frac{13}{39}-\frac{8}{39}[/tex]

    $\frac{5}{39}$

    $5$

    $\frac{4}{39}$

    $\frac{21}{39}$

    Задача 8

    Найдите значение [tex]\frac{18}{19}-\frac{11}{19}[/tex]

    $\frac{7}{9}$

    $\frac{29}{19}$

    $\frac{6}{19}$

    $\frac{7}{19}$

    Задача 9

    Найдите значение [tex]\frac{15}{8}-\frac{14}{8}[/tex]

    [tex]\frac{1}{8}[/tex]

    [tex]8[/tex]

    [tex]\frac{2}{8}[/tex]

    [tex]\frac{13}{8}[/tex]

    Задача 10

    Найдите значение [tex]\frac{19}{27}-\frac{6}{27}[/tex]

    [tex]\frac{1}{3}[/tex]

    [tex]\frac{12}{27}[/tex]

    [tex]\frac{14}{27}[/tex]

    [tex]\frac{13}{27}[/tex]


    Задача 11

    Найдите сумму дробей [tex]\frac{2}{5}[/tex] и [tex]\frac{1}{5}[/tex]

    [tex]\frac{1}{5}[/tex]

    [tex]\frac{2}{5}[/tex]

    [tex]\frac{3}{5}[/tex]

    [tex]\frac{4}{5}[/tex]

    Задача 12

    Вычислите [tex]\frac{5}{6}+\frac{10}{6}[/tex]

    $\frac{15}{3}$

    $\frac{50}{36}$

    $\frac{5}{3}$

    $\frac{5}{2}$

    Задача 13

    Определите значение [tex]\frac{6}{7}-\frac{4}{7}[/tex]

    [tex]\frac{1}{7}[/tex]

    [tex]\frac{2}{7}[/tex]

    [tex]\frac{3}{7}[/tex]

    [tex]2[/tex]

    Задача 14

    Вычтите [tex]\frac{5}{13}[/tex] из [tex]\frac{14}{13}[/tex]

    [tex]\frac{19}{13}[/tex]

    [tex]\frac{9}{13}[/tex]

    [tex]1\frac{9}{13}[/tex]

    [tex]\frac{8}{13}[/tex]

    Задача 15

    Вычислите [tex]\frac{3}{18}+\frac{15}{18}[/tex]

    [tex]1[/tex]

    [tex]\frac{1}{18}[/tex]

    [tex]\frac{17}{18}[/tex]

    [tex]\frac{19}{18}[/tex]

    Задача 16

    Найдите значение [tex]\frac{2}{7}+\frac{3}{7}-\frac{5}{7}[/tex]

    [tex]\frac{1}{7}[/tex]

    [tex]1[/tex]

    [tex]\frac{6}{7}[/tex]

    [tex]0[/tex]

    Задача 17

    Выполните сложение дробей: [tex]\frac{8}{91}+\frac{13}{91}[/tex]

    [tex]\frac{20}{91}[/tex]

    [tex]\frac{21}{91}[/tex]

    [tex]\frac{22}{91}[/tex]

    [tex]\frac{23}{91}[/tex]

    Задача 18

    Вычтите дроби: [tex]\frac{15}{45}-\frac{5}{45}[/tex]

    [tex]\frac{3}{5}[/tex]

    [tex]\frac{3}{9}[/tex]

    [tex]\frac{20}{45}[/tex]

    [tex]\frac{2}{9}[/tex]

    Задача 19

    Сложите дроби: [tex]\frac{5}{6}+\frac{4}{6}[/tex]

    [tex]\frac{4}{3}[/tex]

    [tex]1\frac{1}{2}[/tex]

    [tex]\frac{9}{12}[/tex]

    [tex]\frac{5}{3}[/tex]

    Задача 20

    Сложите дроби: [tex]\frac{43}{56}+\frac{13}{56}[/tex]

    [tex]\frac{54}{56}[/tex]

    [tex]\frac{55}{56}[/tex]

    $1$

    $2$

    Задача 21

    Найдите сумму дробей: [tex]\frac{1}{10}+\frac{7}{10}[/tex]

    [tex]\frac{4}{5}[/tex]

    [tex]\frac{3}{5}[/tex]

    [tex]\frac{7}{10}[/tex]

    [tex]\frac{9}{10}[/tex]

    Задача 22

    Выполните вычитание дробей: [tex]\frac{5}{18}-\frac{1}{18}[/tex]

    [tex]\frac{1}{9}[/tex]

    [tex]\frac{1}{4}[/tex]

    [tex]\frac{3}{9}[/tex]

    [tex]\frac{2}{9}[/tex]

    Задача 23

    Сложите дроби: [tex]\frac{5}{18}[/tex] и [tex]\frac{16}{18}[/tex]

    [tex]1\frac{5}{6}[/tex]

    [tex]\frac{8}{6}[/tex]

    [tex]1\frac{1}{6}[/tex]

    [tex]\frac{5}{6}[/tex]

    Задача 24

    Вычтите дроби: [tex]\frac{6}{10}-\frac{1}{10}[/tex]

    [tex]\frac{1}{5}[/tex]

    [tex]\frac{1}{2}[/tex]

    [tex]\frac{2}{5}[/tex]

    [tex]\frac{7}{10}[/tex]

    Лёгкий

    Прислать задачу

    Правильный:

    Неверный:

    Неразрешенные задачи:


    Добавление дробей | Как складывать дроби + примеры

    Сегодня мы рассмотрим несколько примеров сложения дробей .

    Прежде чем читать этот пост, вы можете просмотреть предыдущий пост, в котором мы шаг за шагом объясняем, как складывать дроби.

    Начнем с простейших примеров:

    Сложение дробей с одинаковым знаменателем

    Например:

    Единственное, что нам нужно сделать, это добавьте числители и оставьте знаменатель в покое . Ответ: :

    Сложение чисел и дроби

    Например:

    Первое, что нам нужно сделать в этом случае, это преобразовать 2 в дробь. Как вы уже знаете, мы можем просто поставить 1 в знаменателе любого числа, не меняя его значения:

    Когда у нас есть две дроби, мы можем начать искать общий знаменатель . В этом примере это довольно просто, потому что это число является наименьшим общим кратным 1 и любого числа. Итак:

    Теперь нам нужно только умножить 2 x 4, и мы получим:

    … и теперь мы подставляем это в нашу задачу на сложение:

    Сложение дробей с взаимно простыми знаменателями

    Помните, что два числа взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен 1 . Например, в задаче:

    Знаменатели взаимно просты, потому что:

    Задачи такого рода решить просто, потому что единственное, что нам нужно сделать, чтобы найти новые числители, — это умножить каждый числитель на знаменатель другой дроби, как показано ниже:

    И мы просто умножаем знаменатели вместе. Итак, получаем:

    и

    И осталось только сложить две дроби вместе:

    Сложение дробей в целом

    Например:

    Нам нужно вычислить наименьшее общее кратное знаменателя :

    Что нам делать дальше? Давайте сломаем это. Сначала рассмотрим дробь:

    Чтобы найти числитель , нам нужно разделить НОК на знаменатель дроби:

    Нам нужно умножить числитель дроби на 2. Итак:

    И мы видим, что новый числитель равен 6.

    Для знаменателя нам просто нужно использовать GCM (18):

    Теперь мы просто делаем то же самое с другой дробью. Чтобы найти числитель, нам нужно разделить:

    И умножить на числитель:

    Затем мы подставляем в GCM в качестве знаменателя, что дает нам:

    Теперь все это осталось нужно сложить дроби вместе

    И все!

    На самом деле мы складываем все дроби таким образом, первые примеры были проще благодаря GCM, с которым было легче работать. Однако способ решения проблем всегда оставался одним и тем же.

    Подводя итог, шагов для сложения дробей :

    • Найдите GCM двух знаменателей.
    • Разделите GCM на знаменатель и умножьте его на числитель, чтобы преобразовать каждую дробь в дробь, в которой GCM является новым знаменателем.
    • Когда мы сделали два предыдущих шага со всеми дробями, расставим их по порядку и добавим их числители.

    Если вы хотите продолжить изучение математики, зарегистрируйтесь на Smartick сегодня!

    Удачи в сложении дробей — немного потренировавшись, вы увидите, что это совсем несложно, и у вас все получится!

    Подробнее:

    • Автор
    • Последние сообщения

    Smartick

    Команда создания контента.
    Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
    Они стремятся создать наилучший математический контент.

    Последние сообщения Smartick (посмотреть все)

    Дроби: сложение и вычитание дробей

    Урок 3: сложение и вычитание дробей

    /en/фракции/сравнение-и-сокращение-фракций/содержание/

    Сложение и вычитание дробей

    На предыдущих уроках вы узнали, что дробь является частью целого. Дроби показывают, сколько у вас есть чего-то, например, 1/2 бака бензина или 1/3 стакана воды.

    В реальной жизни вам может понадобиться складывать или вычитать дроби. Например, вы когда-нибудь проходили 1/2 мили на работу, а затем шли еще 1/2 мили обратно? Или слить 1/4 литра бензина из бензобака, в котором было 3/4 литра? Вы, вероятно, не думали об этом в то время, но это примеры , складывающего и , вычитающего дроби.

    Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как решать задачи на сложение и вычитание с дробями.

    • Представим, что в рецепте торта сказано добавить в тесто 3/5 стакана масла.

    • Вам также понадобится 1/5 стакана масла, чтобы смазать сковороду. Чтобы узнать, сколько всего масла вам понадобится, вы можете сложить вместе этих дробей.

    • Когда вы складываете дроби, вы просто добавляете первых чисел или числителей .

    • Это потому, что нижние числа или знаменателя показывают, сколько частей составит целое.

    • Мы не хотим менять количество частей, составляющих целую чашку (5). Мы просто хотим выяснить, сколько частей нам нужно всего.

    • Итак, нам нужно только сложить числители наших дробей.

    • Мы можем сложить дроби так, чтобы числители выстроились. Это облегчит их добавление.

    • И это все, что нам нужно сделать, чтобы настроить пример сложения с дробями. Теперь наши фракции готовы к добавлению.

    • Мы сделаем то же самое, чтобы настроить пример вычитания. Допустим, у вас было 3/4 бака бензина, когда вы приступили к работе.

    • Если вы используете 1/4 бака, чтобы добраться до дома, сколько у вас останется? Мы можем вычесть этих дробей, чтобы узнать.

    • Точно так же, как при сложении, мы будем складывать наши дроби, чтобы числители выровнялись.

    • Это потому, что мы хотим вычесть 1 часть из 3 частей.

    • Теперь, когда наш пример настроен, мы готовы к вычитанию!

    Попробуйте!

    Попробуйте решить эти задачи на сложение и вычитание с дробями. Не пытайтесь их решить!

    Утром вы пробегаете 4/10 мили. Позже вы бежите 3/10 мили.

    У вас было 7/8 пачки масла, и вы использовали 2/8 пачки во время приготовления обеда.

    Ваш бензобак заполнен на 2/5, и вы заправляете еще 2/5 бака.

    Решение задач на сложение с дробями

    Теперь, когда мы знаем, как писать задачи на сложение с дробями, давайте попрактикуемся в решении некоторых из них. Если вы можете складывать целые числа, вы готовы складывать дроби.

    Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как складывать дроби.

    • Давайте продолжим наш предыдущий пример и добавим следующие части: 3/5 стакана масла и 1/5 стакана масла.

    • Помните, что когда мы складываем дроби, мы не складываем знаменатели.

    • Это потому, что мы находим, сколько всего частей нам нужно. Числители показывают, какие части нам нужны, поэтому мы добавим 3 и 1.

    • 3 плюс 1 равно 4. Убедитесь, что 4 выровнены с числами, которые вы только что добавили.

    • Знаменатели останутся прежними, поэтому мы напишем 5 внизу нашей новой дроби.

    • 3/5 плюс 1/5 равно 4/5. Итак, вам понадобится 4/5 стакана масла всего , чтобы приготовить торт.

    • Возьмем другой пример: 7/10 плюс 2/10.

    • Как и прежде, мы будем добавлять только числители. В этом примере числители 7 и 2.

    • 7 плюс 2 равно 9, поэтому мы напишем это справа от числителей.

    • Как и в нашем предыдущем примере, знаменатель остается прежним.

    • Итак, 7/10 плюс 2/10 равно 9/10.

    Попробуйте!

    Попробуйте решить некоторые из приведенных ниже задач на сложение.

    Решение задач на вычитание с дробями

    Вычитание дробей очень похоже на обычное вычитание. Если вы можете вычитать целые числа, вы можете вычитать и дроби!

    Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как вычитать дроби.

    • Давайте воспользуемся нашим предыдущим примером и вычтем 1/4 бака бензина из 3/4 бака.

    • Как и в дополнение, мы не собираемся менять знаменатели.

    • Мы не хотим менять количество деталей, из которых состоит целый бак бензина. Мы просто хотим знать, сколько деталей у нас останется.

    • Начнем с вычитания числителей. 3 минус 1 равно 2, поэтому мы напишем 2 справа от числителя.

    • Как и при сложении, знаменатель нашего ответа будет таким же, как и другие знаменатели.

    • Итак, 3/4 минус 1/4 равно 2/4. Когда вы вернетесь домой, у вас останется 2/4 бака бензина.

    • Попробуем решить другую задачу: 5/6 минус 3/6.

    • Начнем с вычитания числителей.

    • 5 минус 3 равно 2. Итак, мы поставим 2 справа от числителя.

    • Как обычно, знаменатель остается прежним.

    • Итак, 5/6 минус 3/6 равно 2/6.

    Попробуйте!

    Попробуйте решить некоторые из приведенных ниже задач на вычитание.

    После сложения или вычитания дробей иногда может получиться дробь, равная сократил до более простой дроби. Как вы узнали из раздела «Сравнение и сокращение дробей», всегда лучше сократить дробь до ее простейшей формы , когда это возможно. Например, 1/4 плюс 1/4 равно 2/4. Поскольку 2 и 4 можно разделить на 2, мы можем уменьшить 2/4 до 1/2.

    Сложение дробей с разными знаменателями

    На прошлой странице мы узнали, как складывать дроби с одинаковыми знаменателями, например 1/4 и 3/4. Но что, если вам нужно сложить дроби с разных знаменателя ? Например, в нашем рецепте торта можно сказать, что нужно медленно смешать 1/4 стакана молока, а затем добавить еще 1/3 стакана.

    В разделе «Сравнение и сокращение дробей» мы сравнили дроби с другим нижним числом или знаменателем. Нам пришлось изменить дроби, чтобы их знаменатели были одинаковыми. Для этого мы нашли наименьший общий знаменатель или LCD .

    Мы можем складывать или вычитать дроби, только если у них одинаковые знаменатели. Поэтому нам нужно найти наименьший общий знаменатель, прежде чем складывать или вычитать эти дроби. Когда дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем складывать или вычитать, как обычно.

    Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как складывать дроби с разными знаменателями.

    • Добавим 1/4 и 1/3.

    • Прежде чем мы сможем сложить эти дроби, нам нужно изменить их так, чтобы они имели одинаковый знаменатель .

    • Для этого нам нужно найти LCD , или наименьший общий знаменатель чисел 4 и 3. и 4, значит 12 это наша ЖК-дисплей .

    • Поскольку 12 — это LCD, это будет новый знаменатель наших дробей.

    • Теперь изменим числители дробей так же, как мы изменили знаменатели.

    • Во-первых, давайте посмотрим на дробь слева: 1/4.

    • Чтобы преобразовать 4 в 12, мы умножаем его на 3.

    • Поскольку знаменатель умножался на 3, мы также умножаем числитель на 3.

    • 1 умножить на 3 равно 3.

    • 1/4 равно 3/12.

    • Теперь посмотрим на дробь справа: 1/3. Мы также изменили его знаменатель на 12.

    • Наш старый знаменатель был 3. Мы умножили его на 4, чтобы получить 12.

    • Мы также умножим числитель на 4. 1 умножить на 4 равно 4.

    • Итак, 1 /3 равно 4/12.

    • Теперь, когда наши дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сложить их, как обычно.

    • 3 плюс 4 равно 7. Как обычно, знаменатель остается прежним. Таким образом, 3/12 плюс 4/12 равно 7/12.

    Попробуйте!

    Попробуйте решить приведенные ниже задачи на сложение.

    Вычитание дробей с разными знаменателями

    Мы только что видели, что дроби можно складывать только тогда, когда у них один и тот же знаменатель. То же самое верно, когда мы вычитаем дроби. Прежде чем мы сможем вычитать, нам нужно изменить наши дроби, чтобы у них был один и тот же знаменатель.

    Просмотрите слайд-шоу, чтобы узнать, как вычитать дроби с разными знаменателями.

    • Попробуем вычесть 1/3 из 3/5.

    • Во-первых, мы изменим знаменатели обеих дробей, чтобы они были одинаковыми, найдя наименьший общий знаменатель .

    • Похоже, 15 — это наименьшее число, которое можно разделить без остатка на 3 и 5, поэтому 15 — это наш ЖК-дисплей.

    • Теперь изменим нашу первую дробь. Чтобы изменить знаменатель на 15, мы умножим знаменатель и числитель на 3.

    • 5 умножить на 3 равно 15. Итак, наша дробь теперь равна 9/15.

    • Теперь изменим вторую дробь. Чтобы изменить знаменатель на 15, мы умножим оба числа на 5, чтобы получить 5/15.

    • Теперь, когда наши дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем вычитать, как обычно.

    • 9 минус 5 равно 4. Как всегда, знаменатель остается прежним. Итак, 9/15 минус 5/15 равно 4/15.

    Попробуйте!

    Попробуйте решить приведенные ниже задачи на вычитание.

    Сложение и вычитание смешанных чисел

    На последних нескольких страницах вы практиковались в сложении и вычитании различных дробей. Но для некоторых проблем потребуется один дополнительный шаг. Например, можете ли вы сложить приведенные ниже дроби?

    В разделе «Введение в дроби» вы узнали о смешанных числах . Смешанное число имеет как дробь , так и целое число . Например, 2 1/2 или 9.0003 два с половиной . Другой способ записать это будет 5/2, или пять половин . Эти два числа выглядят по-разному, но на самом деле они одинаковы.

    5/2 — это неправильная дробь . Это просто означает, что верхнее число на больше, чем нижнее число на . Несмотря на то, что неправильные дроби выглядят странно, их можно складывать и вычитать так же, как обычные дроби. Смешанные числа складывать непросто, поэтому сначала вам придется преобразовать их в неправильные дроби.

    • Сложим эти два смешанных числа: 2 3/5 и 1 3/5.

    • Нам нужно преобразовать эти смешанные числа в неправильные дроби. Начнем с 2 3/5.

    • Как вы узнали из Урока 2, мы умножаем целое число 2 на нижнее число 5.

    • 2 умножить на 5 равно 10. числитель , 3.

    • 10 + 3 равно 13.

    • Так же, как когда вы добавить дроби, знаменатель останется прежним. Наша неправильная дробь 13/5.

    • Теперь нам нужно преобразовать наше второе смешанное число: 1 3/5.

    • Сначала умножим целое число на знаменатель. 1 x 5 = 5.

    • Далее мы добавим 5 к числителям. 5 + 3 = 8.

    • Как и в прошлый раз, знаменатель остался прежним. Итак, мы изменили 1 3/5 на 8/5.

    • Теперь, когда у нас изменил наши смешанные числа на неправильные дроби, мы можем складывать, как обычно.

    • 13 плюс 8 равно 21.

    Велосипедист ехал из поселка в город 4 ч со скоростью 12 км ч: Велосипедист ехал из поселка в город 4 ч со скоростью 12 км/ч. На обратном пути он ехал со скоростью 16 км/ч. На каком расстоянии находится поселок от города?

    Задачи на движение

    Из двух посёлков выехали одновременно навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Мотоциклист ехал со скоростью 40 км в час, а автомобилист 80 км в час. Через 2 часа они встретились. Найдите расстояние между посёлками.

    Два школьных автобуса вышли одновременно из двух станиц навстречу друг другу и встретились через 5 часов. Найдите расстояние между станицами, если известно, что скорость одного автобуса 60 км в час, а скорость другого автобуса 55 км в час.

    Из двух городов, расстояние между которыми 290 км, выехали в одно и то же время навстречу друг другу автобус и машина. Скорость автобуса 60 км в час, а скорость машины 85 км в час. Через сколько часов они встретятся?

    Из двух туристических баз, расстояние между которыми 45 км, одновременно навстречу друг другу вышли две туристические группы. Через сколько часов они встретятся, если туристы первой группы шли со скоростью 5 км/ч, а туристы второй группы – на 1 км/ч меньше?

    Из станицы в деревню одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста 45 км/ч, а скорость велосипедиста 14 км/ч. На сколько километров мотоциклист обгонит велосипедиста через 2 часа?

    Из города одновременно в одном направлении выехали два поезда. Первый поезд движется со скоростью 75 км/ч. Определите скорость второго поезда, если за 4 часа первый поезд проехал на 20 км больше второго поезда.

    Из станицы выехали одновременно в одном направлении два школьных автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 50 км/ч, а второй двигался на 10 км/ч быстрее. На сколько километров отстанет первый автобус через 3 часа пути, если их скорость будет постоянной?

    Первую часть пути велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч, вторую часть пути ехал 3 часа со скоростью 12 км/ч. За какое время велосипедист проехал весь путь, равный 66 км?

    По просёлочной дороге велосипедист ехал 2 часа со скоростью 8 км/ч, затем по шоссе со скоростью 11 км/ч. На весь путь велосипедист затратил 5 часов. Какое расстояние он проехал?

    Отряд туристов прошёл 42 км. Первые 3 часа они шли по лесу со скоростью 6 км/ч. Остальную часть пути отряд туристов прошел по горам за 6 часов. С какой скоростью отряд туристов прошёл остальную часть пути?

    В первый день автомобилист ехал 5 часов со скоростью 78 км/ч, во второй день он проехал такое же расстояние за 6 часов. С какой скоростью ехал автомобилист во второй день?

    С туристической базы одновременно в противоположных направлениях вышли два лыжника. Через 4 часа расстояние между ними было 80 км. Чему равна скорость второго лыжника, если скорость первого 11 км/ч?

    Из посёлка одновременно в противоположных направлениях вышел пешеход и выехал велосипедист. Когда велосипедист проехал 24 км со скоростью 12 км/ч, расстояние между ними стало 32 км. С какой скоростью шёл пешеход?

    От автостанции одновременно в противоположных направлениях отошли две автомашины. Когда первая автомашина прошла 180 км, вторая прошла 300 км. Скорость первой автомашины – 90 км/ч. Найдите скорость второй автомашины.

    Из одного посёлка одновременно в противоположных направлениях в одно и то же время, вышли две группы туристов со скоростями 5 км/ч и 3 км/ч. Какое расстояние будет между ними, когда первая группа туристов пройдёт 10 км?

    По просёлочной дороге велосипедист ехал 3ч со скоростью 7км/ч, затем по шоссе со скоростью 10км/ч. На весь путь он затратил 5ч. Какое расстояние он проехал?

    Турист проехал на машине 16 часов со скоростью 92 км/ч, а остальную часть пути на поезде со скоростью 56 км/ч. Весь путь равен 2424 км. Сколько всего часов турист был в пути?

    Контрольная работа по теме «Решение задач на движение»

    1  вариант

    1.Решите задачу.

    Туристы ехали на автобусе 4 часа со скоростью 60 км/ч и шли пешком 4 часов со скоростью 6 км/ч. На сколько больше их путь на автобусе, чем пешком?

    2. Решите задачу.

    Поезд прошёл 250км со скоростью 50км/ч. За то же время автомобиль проехал 300км. Какова скорость автомобиля?

    3. Решите задачу.

    Из двух городов, расстояние между которыми 290 км, выехали в одно и то же время навстречу друг другу автобус и машина. Скорость автобуса 60 км в час, а скорость машины 85 км в час. Через сколько часов они встретятся?

    4. Решите примеры столбиком.

    7 312 · 24          904 · 18         1607 · 43        

     1 263 : 3 1 635 : 5 5 910 : 3

    2  вариант

    1. Решите задачу.

    Теплоход шёл по озеру 3 часа со скоростью 43км/ч, затем 2 часа вверх по реке со скоростью 40км/ч. Какой путь прошёл теплоход?

    2. Решите задачу.

    Велосипедист проехал 40 км со скоростью 10 км/ч. За это же время пешеход прошёл 12 км. С какой скоростью шёл пешеход?

    3. Решите задачу.

    Из двух туристических баз, расстояние между которыми 45 км, одновременно навстречу друг другу вышли две туристические группы. Через сколько часов они встретятся, если туристы первой группы шли со скоростью 5 км/ч, а туристы второй группы – на 1 км/ч меньше?

    4. Решите примеры столбиком.

    1 236 ·24          708 · 19          3 607 · 53

    2 448 : 3 7 528 : 2 8 910 : 9

    Решение №3112 Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 12 км/ч.

    Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа после этого догнал первого.

    Источник: ОГЭ Ященко 2023 (36 вар)

    Решение:

        До выезда третьего велосипедиста первый уже ехал 1+1=2 часа и проехал 2·12=24 км, а второй ехал 1 час и проехал 10 км.
        Пусть x км/ч скорость третьего велосипедиста. Скорость сближения третьего со вторым равна x–10 км/ч. {2}–22x+120}=\frac{2}{1}
    2·(x2 – 22x + 120) = 14x – 120
    2x2 – 44x + 240 = 14x – 120
    2x2 – 44x + 240 – 14x + 120 = 0
    2x2 – 58x + 360 = 0  |:2
    x2 – 29x + 180 = 0

    D = (–29)2 – 4·1·180 = 121 = 112 
    x_{1}=\frac{29–11}{2\cdot 1}=\frac{18}{2}=9\:{\color{Blue} <12\:\notin }\\x_{2}=\frac{29+11}{2\cdot 1}=\frac{40}{2}=20

        Скорость третьего велосипедиста не может быть меньше 12 км/ч (иначе он не обгонит первого велосипедиста), значит его скорость равна 20 км/ч.

    Ответ: 20.

    Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

    Насколько понятно решение?

    Средняя оценка: 4.5 / 5. Количество оценок: 122

    Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

    Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

    В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.