Автор: alexxlab

Расчет значения экспоненциальной функции: онлайн калькулятор

Экспонента (число e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828. Число e играет большую роль в дифференциальном и интегральном исчислениях и используется практически во всех научных сферах. Столь сухое математическое определение совершенно не раскрывает сути о физическом смысле экспоненты. Рассмотрим подробнее.

Смысл числа e

Число Пи представляет собой не просто иррациональное число, равное 3,1415, а одинаковое для всех случаев соотношение длины окружности к диаметру. Точно так же и число e имеет свой собственный смысл.

Экспонента — это базовое соотношение роста для всех растущих процессов. Любое число можно рассматривать как увеличенную единицу, любой квадрат — как масштабированный единичный квадрат, любой равносторонний треугольник — как увеличенный или уменьшенный правильный треугольник, ну а любой коэффициент роста можно представить в виде масштабированного коэффициента е.

Именно операции с числом e дадут вам возможность определить темпы роста в таких ситуациях, как прирост населения, начисление процентов по депозиту или объем полураспада радиоактивного вещества.

Дискретный рост

В качестве базового примера системы непрерывного удвоения можно привести размножение бактерий, которые удваиваются каждые сутки. Если удвоение происходит один раз, то математически мы получаем 2 в первой степени, то есть просто 2. Если удвоений x раз, то в итоге мы получаем 2 в степени x бактерий, денег или любого другого добра.

Однако система может изменяться не в 2 раза, а например на 20% или 120%. В этом случае мы можем представить удвоение не как двойку, а как 1+1 или 1+100%. В такой записи мы можем подставить любой коэффициент прироста и получить формулу роста как:

Рост = (1 + прирост)^x,

где x — это количество циклов прироста.

Благодаря этой формуле мы можем узнать, сколько бактерий мы получим из одной клетки через 30 дней. Однако бактерии делятся дискретно, то есть пока новая клетка не сформируется в течение суток, она не сможет производить новые организмы. Применяя эту формулу к деньгам, мы получим совсем другой результат.

Непрерывный рост

При начислении процентов на деньги происходит не дискретный, а непрерывный рост. Как только по депозиту начисляется прибыль в размере пары пенни, эти деньги начинают приносить уже свою прибыль. Нет нужды ждать, пока «родится» целый доллар, который начнет делиться по подобию бактерий. Достаточно сформироваться центу, который начнет генерировать свою микроприбыль.

Представим, что мы вложили $1 в бизнес, который обещает нам 100% прибыли через год. Это значит, что мы получим прирост:

Доход = (1 + 1)¹ = 2

Всего $2 — негусто. Однако если мы разобьем год на два полугодия, то мы получим по 50 центов за каждые полгода. Полученные центы уже могут самостоятельно генерировать прибыль, и тогда формула изменится.

Доход = (1 + 0,5)² = 2,25

Так как у нас теперь два периода удвоения, мы возвели прирост в квадрат и получили дополнительные 25 центов дохода. Если разбить нашу прибыль на 5 частей по 20 центов, то получится еще привлекательнее:

Доход = (1 + 0,2)⁵ = 2,4883

Может быть, мы сможем разделить прибыль на бесконечно большое количество мелких частей и получим бесконечную прибыль? Увы, нет. Даже если мы разделим наш доллар на 100 000 частей, доход составит:

Доход= (1 + 0,00001)^{100 000} = 2,71826

При бесконечном дроблении доллара прибыль будет увеличиваться на стотысячные знаки после запятой. Наши 2,71826 доллара прибыли будут стремиться к значению 2,718281828, что есть ничто иное как число Е.

И что все это значит

Экспонента — это наибольший возможный результат стопроцентного непрерывного роста за конкретный период времени. Да, изначально нам обещают 100% прибыли, то есть всего $2, но каждый цент приносит свои дивиденды и по итогам у нас оказывается ровно $2,71828 прибыли. Число е – это максимум, который мы можем получить при разбиении прибыли на суммы бесконечно малых величин.

Это означает, что если при потенциальной стопроцентной прибыли мы вложим в бизнес $1, то получим $2,718 чистой прибыли. Если $2, то мы получим 2е чистой прибыли, а если $100, то наш профит составит 100е. Таким образом, e — это предельная константа, которая ограничивает процессы роста точно так же, как скорость света ограничивает передвижение информации в пространстве. Число е – это максимально возможный результат, труднодостижимый на практике, поэтому в реальности многие процессы описываются с использованием частей экспоненты.

Использование экспоненты на практике

На первый взгляд рост изображается в виде прибавления 1%, однако, математически такая прибавка выражается как умножение на 1,01. Таким образом, при операциях с числом e мы используем степени или корни. Или натуральные логарифмы, если нам необходима обратная операция. Какой бы коэффициент прироста мы не взяли, он будет означать степень для числа е. К примеру, если мы знаем, что в течение 3 лет получим прибыль в размере 200%, то мы просто умножаем прирост (e 2) на 3 периода и получаем:

Рост = (е³)² = e⁶

Для лучшего понимания рассмотрим примеры.

Депозит в банке

Допустим, мы положили на депозит в банке $100 под годовую ставку в размере 8%. Выбранный банк предлагает нам полную капитализацию процентов, какую же прибыль мы получим через 5 лет? Так как банк обеспечивает нам непрерывный рост денег, через 5 лет на нашем счету уже будет:

Прибыль = 100 × е^{(0,08 × 5)} = 149,1

Потрясающе, правда? К сожалению, реальные банки редко используют сложные проценты, а если и рассчитывают капитализацию, то по своим формулам, которые несколько отличаются от классической экспоненты.

Период полураспада

Представьте, что у вас есть 5 кг радиоактивного урана, который распадается со скоростью 100% в год. Сколько урана у вас останется через 2 года? По идее, весь уран должен распасться за первый же год, однако это не так. Через 6 месяцев у вас останется только 2,5 кг урана, который в свою очередь начнет распадаться со скоростью всего 2,5 кг в год. Еще через пару месяцев в вашем хранилище останется 1 кг урана, но и он будет распадаться с еще меньшей скоростью на уровне 1 кг в год. С течением времени вы теряете радиоактивное топливо, при этом снижается и скорость распада. Таким образом, через 2 года у вас останется:

Радиоактивный остаток = 5 × e⁻² = 0,676

Заключение

Экспонента находит широкое применение в ситуациях, где что-либо непрерывно или дискретно растет. Вы можете использовать калькулятор возведения числа e в степень для подсчета результатов роста любых непрерывных процессов.

Экспонента на калькуляторе

Автор Admin На чтение 5 мин Просмотров 2 Опубликовано 19. 01.2012

Что такое экспонента и с чем её едят, мы разберемся в следующий раз. Сейчас мы разберемся, как где находится экспонента на калькуляторе и как её на калькуляторе считать. Нажимайте на ссылку, калькулятор откроется в новом окне. Приступим к практическим занятиям. Нажимайте на те же кнопочки, что нажимал я и смотрите на результат.

Для начала возведем число е в степень 4. В начале нужно набрать показатель степени. Нажимаем на кнопочку 4. Результат нашего вмешательства в беззаботную жизнь калькулятора можете посмотреть на картинке.

После этого нажимаем на специальную кнопочку экспоненты, обозначенную на калькуляторе е в степени х. Как видно из рисунка, калькулятор нас правильно понял и отреагировал именно так, как нам нужно.

Для вычисления заданного нами примера экспоненты необходимо нажать кнопочку равно.

Всё, мы получили требуемое значение.

е⁴=54,598

Общий порядок нахождения экспоненты на калькуляторе такой: набираете показатель степени, потом нажимаете специальную кнопку е^х и кнопку =, результат готов. Можно поступить наоборот — сперва нажать кнопочку экспоненты е^х, после этого ввести значение показателя степени и нажать кнопку равно. Для показателей степени в виде целях чисел или десятичных дробей оба варианта одинаковы. Если же показатель степени задан обыкновенной дробью, то лучше пользоваться вторым способом. Сперва нажимаете кнопку экспоненты, потом вводите числитель дроби, нажимаете кнопку деления, вводите знаменатель дроби и нажимаете кнопку равно. На этой странице мы рассмотрим первый способ.

Для начала вычислим е в первой степени. Собственно, это и будет значение числа е. Напомню, что любое число в первой степени равно самому себе. Порядок нажимания кнопочек пронумерован на картинке красными цифрами.

Мы получили округленное до 14 знаков после запятой значение числа е:

е¹=е=2,71828182845905≈2,718

Число е подчиняется всем свойствам степени, как и любое другое число. Результаты возведения его в степень такие же, как у чисел больших единицы. При возведении в степень больше единицы результат будет больше первоначального. Для примера, возведем число е в не целую степень 9,876. Порядок нажимания кнопочек показан красными цифрами, результат виден на картинке.

Если показатель степени меньше единицы но больше нуля, то результат получится меньше первоначального но больше единицы. Это соответствует извлечению корня из числа е. Если на калькуляторе ввести показатель степени 0,5 (что равнозначно 1/2) то мы найдем квадратный корень числа е. Мы для примера возьмем экспоненту в степени 0,123 

По логике, дальше следует показатель степени 0. Число е, как и любое другое число в нулевой степени, равняется единице. Это мы знаем и без калькулятора.

е⁰=1

Теперь переходим к отрицательным показателям степени экспоненты. Знак минус возле степени означает обратное число, то есть единицу, деленную на число е в указанной степени, но уже без знака минус. Умный калькулятор это понимает и без наших подсказок — он отлично справляется с отрицательной степенью. Для начала вычислим е в минус первой степени. Смотрим на картинку.

Мы получили число, обратное числу е:

е^-1=1/е¹=1/e=0,36787944117144≈0,368

Дальше пробуем добыть экспоненту со степенью меньше минус единицы.

Здесь полученный результат нужно преобразовать в удобоваримый для математиков вид. Делается это так:

е^-9,876=1/е^9,876=1/e=0,00005139344103≈5,139*10^-5

Если после полученного на калькуляторе результата нажать ещё раз на знак равенства, десятичная дробь преобразуется в обычную дробь. Результат этой хитрой операции виден на картинке.

Но этот результат мне не нравится. Одна тысячная почти в два раза больше пяти десятитысячных. Если бы программа с калькулятором была русской, я бы подумал, что эту функцию писал бывший госслужащий, привыкший всё увеличивать в два раза (нужно же откуда-то себе воровать). Остается только предупредить, что и калькулятору полностью доверять нельзя, нужно самому анализировать результат, который он выдает.

В заключение найдем экспоненту с показателем степени больше минус единицы, но меньше нуля.

Теперь попробуем преобразовать результат в обычную дробь.

На этот раз калькулятор выдал более красивый результат. Но я уже ему не верю. Проверим результат преобразования, разделив на калькуляторе числитель на знаменатель. Результат деления записан ниже экспоненты.

Вот теперь можно поверить калькулятору, поскольку погрешность преобразования совсем незначительная. Округление даже до пяти знаков после запятой дает одинаковый результат.

Что делать, если вы пользуетесь виндосовским калькулятором и даже в инженерном варианте нет заветной кнопочки «е в степени икс»? Найдите кнопочку «Inv», рядом с ней есть кнопочка натурального логарифма «ln». Смело нажимайте кнопочку «Inv».

После нажатия этой кнопочки, расположенная рядом кнопочка натурального логарифма волшебным образом превратится в кнопочку «число е в степени икс».

По замыслу создателей калькулятора, такие превращения натурального логарифма и ежу понятны. Но…

Во-первых. Ёжик должен быть трезвым.

Во-вторых. Ёжик должен быть сообразительным.

В третьих. В памяти ежа на первом месте должны бить свойства натуральных логарифмов, а не какая-то ерунда типа любви, смысла жизни или завтрашнего урока по математике.

Что касается меня. Я редко бываю трезвым — это раз. Иногда я ужасно туплю — это два. Для меня смысл математики гораздо важнее свойств каких-то там логарифмов — это три.

e Калькулятор (e в степени x)

Введите число или выражение (базовое)

Введите число или выражение (степень)

Оглавление:

• Что такое экспоненты?
• Типы показателей степени
• Как решать показатели степени вручную?
• Правила экспоненты:
• Ссылки:

Этот потрясающий электронный калькулятор поможет вам найти решение экспоненциальной формы выражения. Вы можете найти как положительные, так и отрицательные показатели степени, используя наш калькулятор, возведенный в степень. Ниже мы обсудим, что такое экспоненты и калькуляторы экспонент? Как вы рассчитываете показатели степени/мощности основания вручную, а также с помощью нашего экспоненциального калькулятора?

Что такое экспоненты?

Показатель степени — это степень, возводимая в верхнем углу справа от основания показателя степени. Они представляют количество операций умножения или деления, необходимых для упрощения выражения. Экспоненты бывают разных типов. Они могут быть дробными, комплексными, иррациональными или целыми положительными числами.

Типы экспонентов

Экспоненты делятся на два типа в зависимости от их природы.

Положительный:

Когда степень выражения — положительные числа, говорят, что это положительный показатель степени. Он говорит, сколько раз основание должно быть умножено само на себя.

например   2 ⁴ = 2 x 2 x 2 x 2

Отрицательное число:

Когда степень выражения имеет отрицательный характер, его часто называют отрицательным показателем степени. Он указывает количество обратных оснований, которые необходимо умножить на себя. Упростите такие дроби с помощью нашего калькулятора степени.

например   2 ^-4 = 12 x 12 x 12 x 12

Как решить Экспоненты вручную?

Когда показатели степени представляют собой небольшие целые числа, их можно легко вычислить вручную.

Пример:1

Вычислите значение выражения 5 в степени 4. (5 в степени 4)

Решение:

Это означает 5 ⁴ .
5 * 5 * 5 * 5 = 625
5 в степени 4 = 625
Следовательно, показатель степени равен 625.

Пример:2

Найдите решенное значение экспоненциального выражения 3 ^-3 .

Решение:

Это показывает 13 х 13 х 13.

13 х 13 х 13 = 127.

127 = 0,037037037.

Следовательно, показатель степени равен 0,037037037

Ниже приведены некоторые решения часто используемых экспоненциальных выражений.

0,5 в степени 2	0,25
1,05 в степени 10	1,628894
0,4 в степени 2	0,160000
0,5 в степени 4	0,0625
1,05 в степени 5	1,276281
1,5 в степени 1	0,5
1,4 в степени 2	1,959999
0,2 ​​в степени 2	0,040000
0,5 в степени 1	0,5 9 0093
0,6 в степени 10	0,006046
0,2 ​​в степени 3	0,008000
2 в степени 4	16
16384
0,5 в степени 3	0,125
1,4 в степени 10	28,92546
1,5 в степени -10	0,017341
-2,5 в степени -2	0,16
22 в степени 15	13688006
1,03 в степени 10	1,343916
0,4 в степени 4	0,025600
1,06 в степени 10	0,006046
-11 в степени 7	-1948717
-2,5 в степени -2	0,16 90 093
0,2 ​​в степени 5	0,000320
1,5 в степени 2	2,25
0,5 в степени -16	65536
0,4 в степени 10	0,000104
1,06 в степени 5	1,338225
-200 в степени -200	0
21 в степени 2	441 9 0093
2,5 в степени 3	15,625
0,4 в степени -8	1525,878
11 в степени 2	121
1,5 в степени -10	0,017341
1,05 в степени 4	1. 215506
5 в степени 8	390625

Правила показателей: есть некоторые правила, применимые к экспонентам.

• Отрицательное свойство:

  b ^-n = 1b

  Пример:
  Решить  24 ^-2 .

  Решение:
  24 ^-2  =  2 x 14 ^-2

  = 2 x 4 ⁴
  = 2 x 16
  = 32

Ссылки:

• https://www.mathsisfun.com/exponent.html, что такое показатели степени?
• https://www.rapidtables.com/math/number/exponent.html, Законы показателей.

Online e power x Calculator

Создано : Bhagya
Отзыв от : Rajashekhar Valipishetty
Последнее обновление в : 15 апреля 2023 г.

Используете ли вы число Эйлера для решения уравнения? Наш онлайн-калькулятор вам в помощь! Вы можете использовать наш инструмент для вычисления e в степени любого числа. Если вы все еще не уверены, что такое число Эйлера, что означает e на калькулятор, или как вычислить е в х, продолжайте читать.

Введите x

Одна из самых важных констант в математике — это e в степени x. Мы не можем записать e в виде дроби, и это как и его знаменитый двоюродный брат пи (π), имеет бесконечное количество десятичных знаков. В математике буква е известны под разными именами. Оно также известно как натуральное число или число Эйлера. Его значение 2,7182818284590452353602… и это еще продолжается! (Округление и аппроксимация имеют решающее значение в этом пункт.)

Применение числа Эйлера e?

Теперь, когда мы знаем, что такое e и каково его приблизительное значение, мы можем приступить к рассмотрению его приложений.

• Шаг 1: Основание натурального логарифма равно e.
• Шаг 2: В естественной экспоненциальной функции мы используем e (eˣ = e степень x),
• Шаг 3: Наклон касательной к любой точке на графике равен ее координате Y в этой точке в экс функции. (1 + 1/н)
• Шаг 4: Последовательность, которую мы используем для оценки значения e, называется n. Чем больше n, тем ближе последовательность доходит до е; однако, даже если n = бесконечность, значение последовательности не равно числу Эйлера. В соединении расчет процентов, мы используем это уравнение.
• Шаг 5: Результат следующего уравнения факториала равен e:
• 1/0! + 1/1! 1/2!+ 1/3! + 1/4! + 1/5!………
• {iπ} + 1 = 0

Соберите коллекцию арифметических калькуляторов в одном месте на Arithmeticcalculator.com и избавьтесь от сомнений в кратчайшие сроки.

Как ввести число e в калькулятор?

Мы можем просто ввести значение e в любой калькулятор, потому что мы вынуждены использовать приблизительное значение e. Если Ваш калькулятор не поддерживает символы, просто введите 2,718281828 (или любую округленную версию этого числа) в поле поле значения выбора.

Метод Жордана-Гаусса — 📙 Математика

1. Общие понятия
2. История появления метода Жордана-Гаусса
3. Использование метода Жордана-Гаусса на практике
4. Суть метода Жордана-Гаусса
5. Получение обратных матриц с применением метода Жордана-Гаусса

Методом Жордана-Гаусса является такой метод решения линейных уравнений, при котором полностью исключаются неизвестные. Этот метод есть производным от метода Гаусса, но в данной модификации элементарные преобразования производят дальше.

Возникновение метода Гаусса своими корнями уходит в далекие годя до нашей эры. Он описан еще в древней китайской книге, которая называется «Математика в девяти книгах», написанной примерно в 150 году до нашей эры. В этом трактате собраны различные математические задачи и методы их решения.

В Европе первым, кто занялся исследованием данного метода, стал Исаак Ньютон. Он изучал множество древних математических книг, но при этом не обнаружил ни одного способа решения систем уравнений с большим числом переменных, и предложил способ такого решения в своей работе, которая была обнародована в 1707 году. Его метод распространился на протяжении века в различных пособиях и справочниках по арифметике.

Немецким ученым К.Ф. Гауссом в 1810 году был усовершенствован данный метод и опубликован на ряду с другими его работами, после чего метод преобразования в треугольную матрицу нашел массовое распространение и был назван его именем.

Затем во второй половине ХІХ столетия ученый Жордан доработал метод Гаусса, трансформировав его в более совершенный метод приведения к диагональной матрице. Интересно, что на ряду с ним точно то же совершил еще один ученый, но все же название метода на сегодняшний день получило имена Гаусса и Жордана.

Метод Жордана-Гаусса имеет широкое применение для расчета систем линейных уравнений, создания обратных матриц, изучения рангов матриц. Зачастую именно с его помощью решаются инженерные задачи с большим количеством неизвестных.

При расчете полученных из инженерно-технических задач систем уравнений, сначала выбирают самые большие за модулем переменные для минимизации погрешности, далее поочередно удаляют не нужные переменные из матрицы.

Также при расчетах инженерно-технологических задач этим методом, пользуются различными алгоритмами программирования, что дает возможность получения результатов с меньшей погрешностью.

Применяя метода Жордана-Гаусса, мы получаем матрицу, диагональ которой состоит из единиц, а все остальные коэффициенты – нули, к примеру:

\(A = \begin{array}{ccc|c} 1& 0 &0 &a_1 \\ 0& 1 &0 &a_2 \\ 0 & 0 & 1 &a_3 \end{array}\)

Отличается данный метод от метода Гаусса тем, что в последнем к нулям приводится лишь нижняя часть матрицы, в то время, как при использовании метода Жордана-Гаусса к нулям приводится также и верхняя часть матрицы.

Оба метода применяют для определения базисного и общего решений системы уравнений.
Базисное решение являет собой такое решение системы уравнений, когда все свободные переменные равняются нулю.

Общее решение системы уравнений являет собой такое решение, когда основные переменные выражают через свободные.

Еще одним вариантом применения метода Жордана-Гаусса есть получение обратных матриц.

Обратной называют такую матрицу, результатом перемножения которой с заданной матрицей будет единичная матрица. Данная матрица может существовать исключительно для квадратных и невырожденных матриц.

Суть метода определения обратной матрицы состоит вот в чем: заданную и единичную матрицы одновременно преобразовывают элементарными действиями с использованием метода Жордана-Гаусса. В итоге получают две матрицы – единичную диагональную и обратную.

Рассмотрим последовательность действий для получения обратной матрицы с применением метода Жордана-

Гаусса на примере заданной квадратной матрицы:
\(\begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\)
1) Записываем заданную и единичную матрицы:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end{array}\)
2) К последней строке плюсуем первую, перемноженную на -3:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}\)
3) После этого к первой строчке добавляем последнюю:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}\)
4) Поделим вторую строчку на -2:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end{array}\)
5) В итоге обратная матрица преобразуется в следующий вид:
\(\begin{array}{cc} -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{array}\)

Для расчета систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса матрицу преобразуют при помощи тех же элементарных преобразований, как и при методе Гаусса, таких как:

• перемножение любой строчки на число, не равное нулю;
• прибавление или отнимание любых строк;
• перестановка строк местами;
• удаление строк, что состоят из одних нулей;
• удаление пропорциональных строчек, которые можно считать лишними.

Таким образом, для расчета системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, требуется провести череду элементарных преобразований матрицы, полученной после использования метода Гаусса.

Порядок действий во время расчета системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

1. Находят строку, у которой первый коэффициент не равняется нулю и максимально приближается по значению к единице. Эту строчку ставят в верхний ряд. Этот элемент имеет название «разрешающий».
2. Разрешающий элемент преобразуют до единицы делением или умножением всей первой строчки.
3. Из всех остальных строчек отнимают первую, перемноженную на коэффициент, что стоит вначале строки, которую изменяют.
4. Все то же проделывают до получения треугольной матрицы, иными словами, до тех пор, пока все элементы слева от главной диагонали станут равняться нулю. Эти все действия называют прямым ходом преобразования матрицы.
5. Затем отнимают нижнюю строчку от предпоследней, умножив нижнюю на последний коэффициент предпоследней строчки. Все то же повторяют снизу-вверх, получая диагональную матрицу. Эти действия называются обратным ходом преобразования матрицы.

Рассмотрим несколько задач по расчету системы линейных уравнений.

Задача 1. Задана система линейных уравнений:

\(\begin{cases} 3x_1 + 2x_2 – 5x_3 = -1 \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 13 \\ x_1 + 2x_2 – x_3 = 9 \end{cases}\)

Найти переменные.
Преобразуем систему в расширенную матрицу:

\(\begin{array}{ccc|c} 3& 2 & -5 & -1\\ 2 & -1& 3 & 13 \\ 1 & 2 & -1 & 9 \\ \end{array}\)

Применяя метод Гаусса, получаем матрицу следующего вида:

\(\begin{array}{ccc|c} 1& 2 & -1 & 9\\ 0 & 1& -1 & 1 \\ 0 & 0& 1 & 4 \\ \end{array}\)

Далее применяем обратный ход преобразования матрицы и получаем диагональную матрицу. Сперва к первой и средней строкам прибавим нижнюю:

\(\begin{array}{ccc|c} 1& 2 & 0 & 13\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}\)

Затем среднюю строку перемножим на -2 и приплюсуем ее к верхней:

\(\begin{array}{ccc|c} 1& 0 & 0 & 3\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}\)

В итоге получим такую систему:

\(\begin{cases} x_1 = 3 \\ x_2 = 5 \\ x_3 = 4 \end{cases}\)

Эта система и будет являться решением.

Задача 2. Задана система линейных уравнений:

\(\begin{cases} x_1 – 8x_2 + x_3 — 9x_4 = 6 \\ x_1 – 4x_2 – x_3 — 5x_4 = 2 \\ -3x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 5x_4 = 4 \\ 5x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 12 \end{cases}\)

Найти ее решение.

Записываем систему в форме матрицы:

\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ -1 & -4& -1 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 8 & 5 & 4 \\ 5& 2 & 2 & 3 & 12 \\ \end{array}\)

Преобразовываем матрицу прямым ходом до треугольной:

Ко второй строке добавляем первую, перемноженную на -1. К третьей строке добавляем первую, перемноженную на 3, а к нижней строке добавляем верхнюю, перемноженную на -5:

\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 4& -2 & 4 & -4 \\ 0 & -22 & 11 & -22 & 22 \\ 0& 42 & -3 & 48 & -18 \\ \end{array}\)

Разделим вторую строку на 2, третью – на 11, четвертую – на 3. Получаем следующее:

\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 2 \\ 0& 14 & -1 & 16 & -6 \\ \end{array}\)

Убираем третью строку, так как она является пропорциональной ко второй, к нижней строке добавляем вторую, умноженную на -7:

\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 6 & 2 & 8 \\ \end{array}\)

Разделим на два нижнюю строку:

\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end{array}\)

В преобразованной матрице не равное число строк и переменных, это означает, что для нее существует бесконечное множество решений.

Игра-соревнование для 1 класса «Весёлая математика» | Классный час по математике (1 класс) на тему:

Игра – соревнование

«Весёлая математика»

Цель: способствовать развитию  познавательной и творческой активности учащихся;

воспитывать интерес к предмету математики, чувство юмора и смекалки.

Задачи:

создать  условия  для проявления каждым учеником своих способностей, интеллектуальных умений;

развивать скорость мышления;

воспитывать  такие  качества у учащихся, как умение слушать другого человека, работать в группе.

Оборудование: Интерактивная доска с ребусами, скороговорками, примерами, геометрические фигуры (из картона), компьютер, проектор

Организационный момент: Музыка.

Учитель: Ребята, сегодня вы познакомитесь с загадочной и интересной страной. Вы увидите, как разнообразна и увлекательна эта страна.

А что это за страна вы узнаете, если разгадаете кроссворд.

1. КРОССВОРД

1. Сколько ног у осьминога?

2. Вставь в пословицу слово: Ум хорошо, а … лучше.

3. Какое число входит в название сказки о Нуф-Нуф, Ниф-Ниф, Наф-Наф?

4. Какая получится цифра, если перевернуть 6?

5. Сколько дней в неделе?

6. Слова записываются буквами, а число?

7. Сколько пальцев на руке?

8. Вставь в пословицу слово: Семь раз отмерь, — …раз отрежь?

9. Как называется то, что ставит учитель ученику за работу на уроке?

10. Сколько месяцев в году?

восемь два три девять семь цифра пять один отметка двенадцать

Учитель: Итак, ребята, что же это за страна?

Ответы детей.

Учитель: Правильно, это страна — математика.

Я предлагаю вам разделиться на две команды и отправиться в путешествие, на пути нам будут встречаться различные интересные вопросы и задания. А чтобы преодолеть трудности, вы должны быть активными, стремиться быстрее других, подумав, ответить на вопрос или выполнить задание. За каждый правильный ответ команда получает один балл. По количеству баллов в конце игры мы с вами узнаем, какая команда победила.

Классы делится на две команды. Команды выбирают название и капитанов. Представление жюри Учитель: Сегодня у нас необычное занятие и поэтому нас будут сопровождать необычные люди, а великие математики. И первый наш спутник немецкий учёный, «король математики» Карл Фридрих Гаусс. Именно он называл математику «Царицей всех наук».

А начать наше путешествие мне хотелось бы со сказки об очень умном юноше, которого полюбила прекрасная принцесса. Чтобы принцесса не вышла за него замуж, король решил казнить юношу. Но, вняв мольбам принцессы, он объявил юноше: «Ты будешь тащить жребий. Я положу перед тобой два листа бумаги; на одном будет написано «жизнь», а на другом «смерть». Какой лист ты возьмёшь, так и решится твоя судьба». Однако в душе король задумал коварство: он велел своему министру написать на обоих листах одно и то же слово «смерть». Принцесса подслушала их разговор и сумела предупредить юношу. Учитель: Как вы думаете, ребята, что должен сделать юноша?

Ответы детей

Учитель: Но я ведь вам сказала, что это был очень умный юноша! Он сказал: «Я беру вот этот лист!» — и с этими словами взял один лист. .. — и съел! Тогда все закричали: «Но как же мы теперь узнаем, что было написано на той бумажке, которую ты съел?». А юноша улыбнулся и ответил: «Но ведь осталась вторая бумажка! Можно посмотреть, что написано на ней!» Посмотрели — а на ней написано «смерть». Значит, на той, что вытащил юноша, должно было быть написано «жизнь». Королю было стыдно признаваться в своём коварстве — и юноша был спасён!

Учитель: Как вы думаете, что помогло герою сказки сохранить себе жизнь?

Ответы детей

Учитель: Следующий наш спутник — великий русский математик Николай Иванович Лобачевский. Он говорил о математике так: «Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни».

Учитель:I Конкурс «Занимательные ребусы».

Командам предлагается расшифровать ребусы:

7я 40а ме100 с3жи 3тон сви100к

(семья) (сорока) (место) (стрижи) (тритон) (свисток)

Ребёнок:

Чтоб водить корабли, чтобы в небо взлететь,

Надо многое знать, надо много уметь!
И при этом, и при этом вы заметьте-ка, друзья,
Очень важная наука — математика!

Учитель: «Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели». В этом был убеждён известный советский математик, профессор Алексей Иванович Маркушевич.

II .Конкурс «Угадай фигуру».

Командам даются геометрические фигуры, вырезанные из картона. Затем учитель читает стихотворение о какой-то геометрической фигуре. Игроки должны догадаться о какой фигуре идёт речь и показать эту фигуру.

1. На меня ты посмотри

И меня ты назови.

Что за линия я –

Без начала и конца? (Прямая)

2. Есть начало у меня

Не видать лишь конца. (Луч)

3. Я – фигура, есть центр у меня.

И каждая точка моя

От центра одинаково удалена. (Окружность)

4. Он давно знакомый мой:

Каждый угол в нём прямой,

Все четыре стороны –

Одинаковой длины.

Вам его представить рад,

А зовут его…..(квадрат)

5. Ты на меня, ты на меня –

На всех на нас смотри.

У нас всего, у нас всего,

У нас всего — по три. (Треугольник)

6. Четыре вершины, четыре угла,

У каждой есть своя сторона.

Противоположные стороны могут быть равны,

А могут быть и разной длины. ( Четырёхугольник)

Треугольник и квадрат

 Жили-были два брата: Треугольник с Квадратом.

Старший — квадратный, добродушный, приятный.

Младший — треугольный, вечно недовольный.

Стал расспрашивать Квадрат.

 Почему ты злишься, брат?

 Тот кричит ему…

 Смотри: ты полней меня и шире. У меня углов лишь 3, у тебя же их 4.

 Но квадрат ответил…

 Брат! Я же старше, я — квадрат.

 И сказал еще нежней.

 Неизвестно, кто нужней!

 Но настала ночь, и к брату, натыкаясь на столы,

Младший лезет воровато срезать старшему углы.

Уходя, сказал…

 Приятных я тебе желаю снов!

Спать ложился — был квадратным, а проснешься без углов!

 Но наутро младший брат страшной мести был не рад.

Поглядел он — нет квадрата! Онемел. .. Стоял без слов…

Вот так месть! Теперь у брата восемь новеньких углов!

 В какую фигуру надо было превратить квадрат, чтобы не было углов?

Ответы детей

Учитель: Рассмотрите фигуры на слайде. По каким признакам можно разбить эти фигуры на группы.

Учитель: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!», говорил известный венгерский математик Дьёрдь Пойа.

III .Конкурс «Весёлые задачки».

5 котят песок копают,

3 на суше загорают,

2 капаются в золе,

Сколько всех, скажите мне?                                                 5+3+2=10

Повезло опять Егорке,

У реки сидит не зря!

5 карасиков в ведерке

И 4 пескаря.

Посчитайте-ка улов,

У кого ответ готов?                                                               5+4=9

Группа малышей-утят

Плавать и нырять хотят.

6 уплыли далеко,

2 нырнули глубоко.

Сколько же утят в пруду,

Сосчитать я не могу?                                                            6+2=8

Ёж спросил ежа – соседа:

-Ты откуда, непоседа?

— Запасаюсь я к зиме,

Видишь яблоки на мне.

Собираю их в лесу

6 принес, да 3 несу.

Призадумался сосед:

-Это много или нет?                                                             6+3=9

В гнезде у синичек

Лежат 7 яичек.               

Мама – синичка

Положила еще два яичка.

Сколько яичек в гнезде у синичек?                                      7+2=9

5 мышат в траве шуршат,

3 забрались под ушат,

2 мышонка спят под ёлкой.

Сосчитать мышей недолго!                                                   5+3+2=10

Тишка – кот такой глупышка,

Очень рыбу любит Тишка.

На рыбалке побывал-

6 пескариков поймал,

Щуки 2и 2 ерша.

Жизнь у Тишки хороша!

Кто быстрее сосчитал,

Сколько рыбок кот поймал?                                                  6+2+2=10

7 пуночек сели в одну кормушку,

8- в другую: сытно их брюшкам.

Вот и спрошу я, ребята, у вас,

Сколько рыбок мы кормим сейчас?                                       7+8=15

Учитель: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» — это слова первого русского учёного-естествоиспытателя мирового значения Михаила Васильевича Ломоносова

IV. Конкурс «Найди свое место».

Для конкурса раздаются два комплекта карточек с примерами (в зависимости от числа играющих). Даётся команда построиться в шеренгу по порядку. Свой порядковый номер учащиеся узнают, выполнив вычисления. Побеждает команда, сумевшая построиться первой.

Учитель: Известный польский математик Гуго Штейнгауз шутливо утверждал, что «Существует закон, который формулируется так: математик сделает это лучше. А именно, если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше»

V. Конкурс «Бой скороговорок».

Учитель:

Дальше «Бой скороговорок»

Разрешите мне начать.

Кто-то пусть скороговорит,

Остальных прошу молчать!

Кто три раза без ошибки

Фразу вслух произнесёт,

Тот очко своей команде

Непременно принесёт!

Пусть жюри весь ход сраженья

Без промашки проследит,

Тот, кто меньше ошибётся,

Тот в бою и победит!

От каждой команды выходят по три игрока. Они получают карточки со скороговорками. Для обеих команд скороговорки одинаковые.

1. Раз дрова, два дрова, три дрова.

2. Как у горки на пригорке жили тридцать три Егорки.

3. Под горой у сосновой опушки

Жили-были четыре старушки.

Жили-были четыре старушки,

Все четыре – большие болтушки.

VI. Конкурс «Математические» пословицы и фразеологизмы

Учитель:

Вместо пропусков вставьте числа. Назовите сумму этих чисел.

Наврал с … короба.

У него … пятниц на неделе.

… раз отмерь, … раз отрежь.

Обещанного … года ждут.

… сапога – пара.

7 ЗАДАНИЕ: Назовите пословицы, поговорки в которых используются цифры. (по 1 баллу)

8ЗАДАНИЕ: «Думаем вместе» (команда, ответившая 1-й,получает 3 балла)

А)Как поставить 2 стула у стен комнаты, чтобы у каждой из её стен стояло по одному стулу?

Б)лестница состоит из 15 ступеней. На какую ступень надо встать, чтобы быть посередине лестницы?( на 8)

В)Мама пришила на пальто 5 пуговиц. Каково расстояние между 1-й и 5-й пуговицей, если все пуговицы пришиты на расстоянии 10 см друг от друга?(40 см)

9 ЗАДАНИЕ:

Каждой команде по 4 вопроса. За каждый правильный ответ-1 балл.

1)Тройка лошадей пробежала 30 км. Сколько км пробежала каждая лошадь?(по 30 км)

2)Догадайся какая цифра заменена буквой А: «9А:1А=А»

3)Если курица стоит на одной ноге, она весит 2 кг. Сколько кг она весит , когда стоит на 2-х ногах?

4)Если ночью шёл дождь, то возможна ли через трое суток солнечная погода?(нет, т.к.через трое суток будет ночь)

5)Два мальчика играли в шахматы 40 минут. Сколько минут играл каждый мальчик?

6)Догадайся какая цифра заменена буквой А: «8А:1А=8»

7)Что тяжелее 1 кг пуха или 1 кг железа?

8)Через 8 лет Вове будет столько же,с колько Серёже сейчас. Кто старше?(Серёжа)

10 ЗАДАНИЕ:Назовите сказки, в названии которых используются цифры.(за правильный ответ-1 балл)

VII. Подведение итогов.

Учитель:

Вот и подходит к концу наше соревнование. Было приятно видеть, как дружно вы трудились, какими были внимательными и сообразительными. Понравилось ли вам занятие? Что заинтересовало? Что нового узнали? Какую науку принято считать царицей всех наук?

Ответы детей. 

Учитель:

Пока жюри подсчитывает баллы, девочки споют частушки.

1. Мы весёлые девчата

вам частушки пропоём,

мы в своей любимой школе

замечательно живём.
2. Каждый день у нас уроки,

лепим, красим, мастерим.

Изучаем цифры, буквы

и красиво говорим.
3. Любим мы решать задачи,

кто быстрей и кто вперёд,

а задачи-то какие

сам профессор не поймёт.
4. Дала я списать задачки

на уроке Олечке,

а теперь у нас в тетрадях

уобеих двоечки.
5. Ксения пример решала,

а Марина ей мешала.

Вот ребята вам пример,

как нельзя решать пример.
6. Мы частушки вам пропели,

а теперь хотим сказать:

если цифры полюбили

всё пойдёт у вас на пять.

Учитель: Слово предоставляется жюри

Учитель: Ребята, какое у вас настроение? Чтобы ваше настроение было ещё лучше, я покажу вам Фокус с числами

Учитель: Закройте любые 4 рядом находящихся числа, а я вам назову их сумму. Хотите узнать, в чём секрет? Разгадка в том, что сумма чисел в пяти соседних клетках всегда равна 20. Убедитесь. Видя, что в пятой клетке стоит 3, мы находим

20 – 3 = 17. В качестве приза, все участники получают такой квадрат. Теперь вы можете показывать фокус близким вам Математику, друзья, людям и упражняться в счёте.

Не любить никак нельзя.

Очень строгая наука, Пускай кому-то сказки нравятся,

Очень точная наука, Кому-то музыка важна,

Интересная наука- Без математики же всем нам

Это математика! И ни туда и ни сюда.

Учитель: Закончить наше занятие я хочу словами французского математика, физика, литератора и философа Блеза Паскаля «Величие человека — в его способности мыслить».

Математика для детей 1,2 класс

Описание

Математика может быть веселой! Веселая математика — это смешная и интересная игра, которая помогает отработать навыки решения примеров (сложение, вычитание, умножение, деление) для учеников 1, 2, 3 и 4 классов.

Одним из самых важных умений в математике начальной школы является устный счет (решение математических примеров в уме). Отработка этого навыка требует много времени, сил и ежедневной практики. Наша игра создана, чтобы сделать этот процесс более интересным и увлекательным для детей.

В нашей игре Вы сами можете выбрать примеры и арифметические действия, которые хотите потренировать. При этом у нас есть опции, которые подходят детям разного возраста:
• Дошкольники: сложение и вычитание до 10
• 1 класс: сложение и вычитание до 20
• 2 класс: сложение и вычитание двузначных чисел, таблица умножения
• 3 класс: умножение и деление, сложение и вычитание до 100
• 4 класс: отработка навыков всех арифметических действий в пределах 100 и 1000

В игре Вы сами можете выбрать примеры и арифметические действия, которые хотите потренировать, а также настроить скорость монстров и способ ввода ответа (выбрать число или ввести самому).
Разнообразные уровни, монстры, новое оружие при победе над Боссом, возможность покупки одежды для героя не дадут ребенку заскучать и будут мотивировать его делать успехи в обучении.

Игра прекрасно подходит для тренировки решения примеров для 1, 2, 3 и 4 классов начальной школы.

Мы будем рады получить Ваши отзывы. Если у Вас возникли вопросы или комментарии, пожалуйста, напишите нам по адресу: [email protected]

21 апр. 2023 г.

Версия 8.9.0

Bug fixes

Оценки и отзывы

Оценок: 1,6 тыс.

Супер😃👍

Загрузили игру и не можем оторваться. Как раз нам нужно учить таблицу умножения. А С такой игрой это делать удобно, интересно! Спасибо Большое❤️

Спасибо большое за добрые слова!😇
Мы очень рады, что Вы наслаждайтесь нашим приложением!
Такие отзывы вдохновляют нас на новые проекты!😊

По-моему эта игра не думает

Я писала 12 а игра написала 2. А у моего братика был маленький монстрик с короткими ручками, монстрик почти дополз, он едва-едва косался его рукой но братику показала игра что он проиграл

Спасибо,что сообщили нам о данной ситуации.Мы можем предложить, что произошла небольшая ошибка работы сенсора экрана и из-за близости кнопок ввелся неправильный ответ. Мы все равно уверены, что Вы, Ваш маленький брат и милая коала одолеете всех слизнемонстров!🐨

Математика

Очень интересная игра! Здесь можно отработать вычитание,сложение,деление и умножение!
Егор 9 лет.

Спасибо за Ваш отзыв!🐨
Нам особенно приятно получать обратную связь от наших юных пользователей!
Мы очень рады, что Вы оценили нашу игру!🥰

События

Встроенные покупки

Математика (Полная версия)

Разблокировать все уровни и функционал

449,00 ₽

Разработчик SpeedyMind LLC указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.

Связанные с пользова­телем данные

Может вестись сбор следующих данных, которые связаны с личностью пользователя:

• Контактные данные
• Идентифика­торы
• Данные об использова­нии
• Диагностика

Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов. Подробнее

Информация

Провайдер

SpeedyMind LLC

Размер

183,5 МБ

Категория

Образование

Возраст

4+, для детей 6–8 лет

Copyright

© 2020 SpeedyMind

Цена

Бесплатно

• Поддержка приложения
• Политика конфиденциальности

Поддерживается

Другие приложения этого разработчика

Вам может понравиться

20 интерактивных математических упражнений для учащихся начальных классов

Вовлечение и активизация математических понятий является ключевым моментом для самых первых учащихся. Список ниже, от самодельных манипуляторов до веселых игр, поможет вашим ученикам практиковать эти основные математические навыки в игровой и увлекательной форме! Большинство занятий легко настраиваются в соответствии с потребностями вашего класса.

Поднимите свою старую охоту за мусором на новый уровень, добавив дорожки на земле! Когда учащиеся принесут свои предметы в зону сортировки, попросите их наступить на эту конкретную фигуру на полу, чтобы попасть туда. Этот дополнительный шаг поможет укрепить понимание детьми каждой формы!

Подробнее: Pinterest

Для учащихся младших классов и тех, кто поступает в среднюю школу, пластилин Play-Doh всегда будет хитом! Используйте его вместе с палочками от эскимо, чтобы создавать 2D- и 3D-фигуры! Начните с шаблонов или усложните задачу, предложив учащимся создавать фигуры по памяти.

Подробнее: В игровой комнате

Помогите учащимся узнать о концепции симметрии, создавая из кубиков LEGO! Разделите базовую пластину пополам с помощью скотча, затем создайте изображение на одной стороне, чтобы ребенок мог отразить его на другой. Чтобы усложнить задачу, предложите учащемуся создать обе совпадающие стороны!

Подробнее: Веселое обучение для детей

Природные предметы полны отражательной (зеркальные изображения) и вращательной симметрии (то же самое относительно центральной точки). Предложите детям найти примеры симметрии на открытом воздухе! Используйте предметы, которые вы найдете, чтобы получить больше удовольствия от математики, например, сортировать упражнения, создавать узоры или добавлять в коллекции счетов!

Подробнее: Багги и Бадди

5. Домино Tally Mark

Это увлекательная математическая игра, которую можно адаптировать к потребностям каждой небольшой группы! Учащиеся играют в традиционную игру в домино с изюминкой: вместо узоров из точек на каждой стороне, на одной стороне каждого домино есть цифра, а на другой — число, представленное подсчетами.

Подробнее: нет времени на карточки

С помощью этого задания, вдохновленного Реджо-Эмилией, учащиеся могут по-разному представлять числа. Дети будут использовать незакрепленные детали и природные материалы, чтобы считать или строить числа. Оставьте это круглогодично, чтобы учащиеся могли пересматривать их по мере того, как они изучают большие числа и новые способы представления!

Подробнее: Wild Flower Ramblings

Развивайте распознавание чисел и практикуйте навыки счета посредством активного обучения! Вместо обычной сетки в классики предложите учащимся прыгать по числам, написанным на «лужах». Адаптируйте это к потребностям ваших учеников начальной школы, используя их для практики пропущенного счета!

Узнайте больше: Nurture Store

Эта игра с палочками от мороженого — идеальный способ познакомить детей с числовыми рядами в начальных классах. Напишите на палочке набор цифр, но одну пропустите! Напишите недостающие числа на прищепках, чтобы учащиеся могли использовать их для завершения ряда.

Подробнее: 123 Homeschool 4 Me

Помогите своим учащимся освоить основы упорядочивания чисел и простого сложения, выполнив это упражнение «на одно больше, на одно меньше». Учащиеся выберут число, а затем представят на одно больше или на одно меньше этого числа, используя такие предметы, как кнопки, ластики или что-то, что у вас есть под рукой!

Узнайте больше: фантастическое развлечение и обучение

10. Домино Дополнение

Учащиеся начальных классов математики узнают о сложении из этого веселого занятия с домино! Учащиеся рисуют одну костяшку домино и складывают каждую сторону вместе, затем записывают свое уравнение на листе бумаги.

Подробнее: Просто Kinder

Оттачивайте навыки составления (часть+часть=целое) и разложения (целое=часть+часть) чисел в этой игре, используя карты Uno и домино! Дети выбирают число из колоды карт, а затем находят домино, две стороны которого в сумме дают это число!

Узнайте больше: Планирование игрового времени

Включите математику во время перемены, охотясь за природными сокровищами и используя их для творчества! Создание узоров — это всего лишь один из важнейших математических навыков, который можно практиковать, используя естественные предметы. Используйте их снова и снова, чтобы сортировать, создавать фигуры, строить числа и многое другое!

Подробнее: кофейные чашки и мелки

Исследуйте концепцию узоров через движение! Используйте это видео в качестве отправной точки, а затем попробуйте придумать свои собственные шаблоны для повторения или завершения. Это отличный способ заставить ваших детей активно учиться!

Подробнее: Детский музыкальный канал Джека Хартманна

Простое занятие по созданию узоров своими руками! Ваш ученик может использовать любые имеющиеся у вас красочные материалы для создания узоров на карточках. Отверстия в картонной упаковке для яиц способствуют взаимно однозначному соответствию. Усложняйте задачу, рисуя более сложные узоры, чтобы попробовать!

Подробнее: Дерево воображения

Grab Это забавное математическое задание, которое вы можете использовать снова и снова в своем начальном классе! Просто попросите учащихся взять несколько предметов, оценить их количество, а затем сосчитать их. Попросите их записать результаты, чтобы увидеть, насколько близко они могут подобраться!

Узнать больше: Класс Мисс Жирафа

Исследуйте концепцию объема с помощью оценочных банок! Имея несколько предварительно измеренных банок, попросите учащихся оценить объем таинственной банки. Попробуйте изобразить ответы всем классом в виде графика, чтобы увидеть, кто ближе всего к истинному объему!

Подробнее: Pre-Kinders

Работайте над навыками предварительного умножения в старших классах, используя формочки для кексов для создания массивов! Дайте учащимся карточки с определенными массивами для создания или позвольте учащимся создать свои собственные и написать уравнение того, что они сделали.

Узнать больше: Класс Мисс Жирафа

Объедините математику и искусство, создав город-массив! Учащиеся продемонстрируют свои знания о массивах, создав их из окон городских зданий. Эта совместная математическая деятельность идеально подходит для отображения на доске объявлений!

Подробнее: Яркие концепции для 4 учителей

Используйте кубики LEGO или Duplo разных размеров, чтобы изучить концепцию дробей! Это отличный способ продолжать развлекать элементарную математику даже в самых старших классах!

Узнайте больше: Планирование игрового времени

Это занятие с лапшой для бассейна — еще один способ превратить математические понятия в практическое развлечение! Ваши ученики будут исследовать и сравнивать дроби, складывая лапшу друг на друга или располагая их бок о бок. Они создают полезную визуализацию для учащихся, которые только начинают понимать дроби!

Узнайте больше: Несколько ярлыков

Использование игры для обучения математике

Концепция игры часто ограничивается младшими учащимися и менее академическими усилиями, но игра может быть полезной стратегией в маловероятной дисциплине: математике.

Математика известна как холодная, логичная и строгая, но этот предмет не получает должного внимания за ее истинный озорной дух, который хорошо скрыт от мира. Учебные программы по математике для K–12 могут занять время и пространство, чтобы поиграть с концепциями и идеями, даже в спешке по обязательным темам.

В своем исследовании для выступления на TEDxKitchenerEd в 2017 году под названием «Математика — это игра» я нашел несколько материалов о радости от математики в старших классах. Большая часть литературы об игре как подходе к обучению основана на ранних годах, особенно в детском саду, где она является общепринятым педагогическим методом.

Маленькие дети во время игры часто достигают состояния, которое психолог Михай Чиксентмихайи называет «потоком», неуловимого состояния ума, когда кажется, что время исчезает, когда они глубоко сосредотачиваются на том, что делают. Чтобы достичь этого идеального состояния в классе, требуется нечто большее, чем свобода играть — учителя также должны реагировать на идеи учащихся и направлять их через такие понятия, как счет и числа. Этот тип управляемой игры требует принятия решения о том, как и когда давать прямые инструкции. Создавая свободу и в то же время предлагая направление, можно продуктивно играть, открывая учащимся умы для лучшего понимания сложных математических концепций.

Количество игр на «серьезные» академические темы, такие как математика, похоже, обратно пропорционально возрасту учащихся, но это не обязательно так. Игровую педагогику математики можно систематизировать и сделать реальной, строгой и аутентичной.

Примите и включите игру

В своей книге Преподавание математики посредством решения задач в классах K–12 я писал о необходимости признать, что люди рождены для игры. Игра неудержимо человечна, и мы можем играть, чтобы учиться. Игра и мышление не противоречат друг другу. Хотя игра обычно связана с отключением мышления и отдачей себя приятной деятельности, работа над интересными задачами может стать триггером потока. Есть благоприятный момент, часто около 30 минут работы над интересной проблемой, когда идеи начинают становиться решениями.

Создайте культуру, в которой математические идеи — это не просто формулы на странице , а концепции, которые нужно обсуждать и обдумывать. Игра продвигает обучение математике от механического заучивания к более широкому пониманию математики. Поощряйте студентов говорить, думать, рассуждать и задаваться вопросом, когда они решают проблемы. Создание чувства любопытства, даже для простых понятий, вовлекает учащихся в игровой форме.

Простые стратегии, такие как «покажи и поговори», могут создать возможности для совместного обучения в игровой форме. Использование подсказок в повседневной работе в классе может сделать математические концепции увлекательными. Такие сайты, как Visual Patterns, Fraction Talks или Estimation180, предлагают простые и быстрые способы сделать математические концепции интересными.

Погрузитесь в неизвестное

Математика полна сюрпризов, которые могут быть интересными и забавными. Для решения многих проблем нет единого пути или стратегии. Будьте восприимчивы к сюрпризам в том, как ваши ученики думают о проблемах и решают их. Открытость к неожиданностям может способствовать формированию культуры игривого любопытства в классе. Игривый ученик математики полон надежд и оптимистичен — элементы мышления, которые помогают учащимся лучше понимать сложные концепции.

Примите беспорядок процесса решения проблем. Мышление беспорядочно. У нас не всегда все получается с первого раза. Нужны корректировки курса, исправления и даже полная трансформация работы.

Наблюдайте за своими учениками во время их работы. Где блокпосты? Как они адаптируются к конкретным вызовам? Прислушивайтесь к своему собственному разговору с самим собой во время работы и используйте свои проблемы, чтобы продумать, как ваши ученики могут столкнуться с трудностями. Решения важны, но не менее важен и процесс. Слушая и разговаривая со своими учениками во время их работы, вы можете давать хорошие отзывы и получать данные об оценках.

Игра создает открытые пространства для размышлений, где учителя могут помочь учащимся разобраться с большими и интересными идеями математики.

Использование конкретных методов

Физические или цифровые манипулятивные средства, такие как кубы привязки, блоки шаблонов и реляционные стержни, — все это инструменты, которые могут помочь учащимся воплотить математику в жизнь — процесс, называемый представлением. Учителя могут использовать колоды карт, игральные кости или предметы для счета, чтобы помочь учащимся отработать свои основные навыки.

Например, младшие школьники могут практиковаться в умножении фактов до 6 раз 6, бросая два кубика и умножая результаты. Учащиеся старшего возраста могут использовать колоды карт, чтобы практиковать операции с целыми числами, где красные масти являются отрицательными, а черные — положительными.

• Возник вопрос: сколько комбинаций из 5 цифр от 1 до 5?
• Первое заблуждение, что это 5 в степени 10, но на самом деле это 10 в степени 5, что даёт 100 000 комбинаций.
• Общая формула для нахождения числа сочетаний из n объектов по k имеет вид Ckn=n!(n−k)!⋅k!.
• Если нужны комбинации из 5 цифр с повторениями, то это 5 в степени 10, что даёт 9 765 625 вариантов.
• В случае комбинаций из цифр 12345, количество всевозможных комбинаций равно 120, но нужно учитывать и такие варианты, как 11234, 11123, 11112, 12234, 12333, 12222, 12344 и др.
• Если нужны комбинации из 4 цифр от 1 до 5, то это всего 10 000 вариантов.
• Если нужны комбинации из 6 цифр от 0 до 9, то это 720 вариантов.
• Если нужно посчитать количество комбинаций из 10 цифр по 4, то это 10 000 вариантов.
• Чтобы посчитать количество вариантов комбинаций без повторений, можно использовать альтернативную формулу ФАКТР(6)/ФАКТР(6-4)/ФАКТР(4).
• Если нужно узнать количество вариантов для 6-значного кода, то это 1 миллион комбинаций.

1. Как посчитать количество комбинаций цифр
2. Сколько комбинаций из 5 цифр с повторениями
3. Сколько комбинаций из цифр 12345
4. Сколько комбинаций из 4 цифр от 1 до 5
5. Сколько комбинаций из 6 цифр от 0 до 9
6. Сколько комбинаций из 10 цифр по 4
7. Как посчитать количество вариантов комбинаций без повторений
8. Сколько вариантов у 6 значного кода
9. Сколько комбинаций из 6 вариантов
10. Сколько вариантов комбинаций из 24 цифр
11. Сколько получится комбинаций из 3 цифр
12. Сколько нужно комбинаций из 3 цифр
13. Сколько комбинаций может быть из 999 цифр

Как посчитать количество комбинаций цифр

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из n объектов по k имеет вид: Ckn=n!(n−k)!⋅k!. 10 = 9,765,625 (это будет кол-во комбинаций для строки из 10 символов с пятью вариациями).

Сколько комбинаций из цифр 12345

Комбинаторика. Сколько всего возможных комбинаций из пяти чисел 12345, да 120, надо лишь эти числа между собой перемножить 12345=120, но есть одно «но» нужно подсчитать еще и такие варианты как например 11234, 11123, 11112, 12234, 12333, 12222, 12344 и т.

Сколько комбинаций из 4 цифр от 1 до 5

Ответ: 10 000 комбинаций.

Сколько комбинаций из 6 цифр от 0 до 9

То есть N=6, и число возможных комбинации N!, 6!= 720 вариантов.

Сколько комбинаций из 10 цифр по 4

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000. Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно.

Как посчитать количество вариантов комбинаций без повторений

Альтернативная формула для подсчета сочетаний =ФАКТР(6)/ФАКТР(6-4)/ФАКТР(4). Очевидно, что k меньше или равно n, т. к. нельзя выбрать из множества элементов n больше элементов, чем в нем содержится (предполагается, что элементы после выбора обратно не возвращаются).

Сколько вариантов у 6 значного кода

6 цифр — это 1 миллион комбинаций.

Сколько комбинаций из 6 вариантов

= 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 =720. При условии, что числа могут повторяться, на каждом месте могут быть все 6 чисел и количество таких комбинаций равно: 6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6 = 66 = 46 656.

Сколько вариантов комбинаций из 24 цифр

Вы немного ошиблись, комбинаций не 12, а из 24 чисел по 12 есть почти 3 млн. комбинаций, точнее 2 704 156 комбинаций.

Сколько получится комбинаций из 3 цифр

3 = 60 способов расстановки цифр, т. е. искомое количество трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, )

Сколько нужно комбинаций из 3 цифр

При условии, что цифры в одной комбинации не должны повторяться, из трех цифр можно составить трехзначных комбинаций всего: 3! = 1 * 2 * 3 = 6. Ответ: из трех цифр можно составить всего 6 трехзначных чисел.

Сколько комбинаций может быть из 999 цифр

Комбинаций цифр 999. 12*999)12*12 = 1 726 272 вариантов номеров.

• Сколько комбинаций из 4 цифр от 1 до 5
• Сколько комбинаций можно составить из 5 цифр

строки — Подсчитать количество комбинаций

Вопрос задан 5 лет 5 месяцев назад

Изменён 5 лет 5 месяцев назад

Просмотрен 53k раза

Как посчитать количество комбинаций строки состоящей из 10 символов, где используются только латинские буквы в нижнем регистре и цифры.

Очень бы хотелось узнать формулу.

• строки
• математика
• комбинаторика

2

Всего символов — 36.

Если повторы могут быть — на первое место сколькими способами можно выбрать символ? 36. Для каждого первого сколькими можно выбрать второй? 36. Итого — 36*36. Для каждых первых двух… — ну, и так далее.

Всего — 36¹⁰.

Для алфавита из N символов и длины строки m —

Если повторов быть не может — то на второе место — уже только 35 (один уже выбран), на третье — 34 (выбраны уже два)… И так далее. Итого — 36*35*34*33*32*31*30*29*28*27 = 36!/26!.

Для алфавита из N символов и длины строки m — число размещений

2

Могут быть использованы две формулы.

Если символы могут повторяться, то любой из 10-ти символов может принимать одно 36 значений (26 латинских букв плюс 10 цифр). Можно сказать, что это 10-тизначное число в 36-ричной системе счисления. Количество комбинаций будет равно 36¹⁰ или 3,6561584×10¹⁵.

Если символы не могут повторяться, то мы имеем дело с размещениями. Есть ещё сочетания, но в данном случае они не подходят, потому что размещения 123abc и abc123 будут разными, а вот сочетание это будет одно и то же.

Количество размещений из n по k считается по формуле A^k_n = n!/(n — k)!, то есть в вашем случае это будет 36!/26! или 9,2239326×10¹⁴

0

Используемый алфавит содержит 36 символов: 26 букв и 10 цифр.

Число размещений без повторов = n!/(n-k)! = 36!/26!
Число размещений с повторами = n^k = 36¹⁰

0

кол-во комбинаций = С!

Т.е. в вашем случае 10! комбинаций…

2

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Комбинаторный калькулятор, калькулятор комбинаций, вариаций, перестановок

Узнайте, сколькими способами можно выбрать k предметов из n предметов набора. С/без повторения, с/без порядка.

Расчет:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​  n=10 k=4 C4​(10)=(410​)=4!(10 −4)!10!​=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7​=210

Количество комбинаций: 210

Вариантов

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, образованная из множества n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов группы (поэтому расположены).

Количество вариаций можно легко подсчитать, используя комбинаторное правило произведения. Например, если у нас есть набор n = 5 чисел 1,2,3,4,5, и мы должны сделать вариации третьего класса, их V ₃ (5) = 5 * 4 * 3 = 60.

Vk​(n)=n(n−1)(n−2)…(n−k+1)=(n−k)!n!​

н! мы называем факториалом числа n, которое является произведением первых n натуральных чисел. Обозначение с факториалом только более ясное и эквивалентное. Для вычислений вполне достаточно использовать процедуру, вытекающую из комбинаторного правила произведения.

Перестановки

Перестановка является синонимом вариации n-го класса n-элементов. Таким образом, это любая упорядоченная группа из n элементов, состоящая из n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов в группе.

P(n)=n(n−1)(n−2)…1=n!

Типичный пример: у нас есть 4 книги, сколькими способами мы можем расположить их рядом на полке?

Вариации с повторением

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, состоящая из множества n элементов, причем элементы могут повторяться и зависят от их порядка. Типичным примером является образование чисел из чисел 2,3,4,5 и нахождение их числа. Рассчитываем их количество по комбинаторному правилу произведения:

Vk′​(n)=n⋅n⋅n⋅n…n=nk

Перестановки с повторением

Повторяющаяся перестановка представляет собой упорядоченную группу k-элементов из n-элементов, при этом некоторые элементы повторяются в группе. Повторение некоторых (или всех в группе) уменьшает количество таких повторяющихся перестановок.

Pk1​k2​k3​…km​′​(n)=k1​!k2​!k3​!…km​!n!​

Типичный пример — выяснить, сколько семизначных чисел образовано из чисел 2,2,2, 6,6,6,6.

Комбинации

Комбинация k-го класса из n элементов представляет собой неупорядоченную группу k-элементов, образованную из множества n элементов. Элементы не повторяются, и порядок элементов группы не имеет значения. В математике неупорядоченные группы называются множествами и подмножествами. Их количество является комбинационным числом и рассчитывается следующим образом:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​

Типичный пример комбинаций: у нас 15 учеников, и мы должны выбрать троих. Сколько их будет?

Комбинации с повтором

Здесь мы выбираем k групп элементов из n элементов, независимо от порядка, и элементы могут повторяться. k логически больше n (иначе мы получили бы обычные комбинации). Их счет:

Ck′​(n)=(kn+k−1​)=k!(n−1)!(n+k−1)!​

Пояснение к формуле — количество комбинаций с повторением равно количеству мест расположения n − 1 разделителей на n-1 + k местах. Типичный пример: мы идем в магазин, чтобы купить 6 шоколадок. Предлагают всего 3 вида. Сколько вариантов у нас есть? к = 6, п = 3.

Фонд комбинаторики в текстовых задачах

• Представитель 81580
  В шахматном клубе 5 членов, в том числе две девушки. Лидер кружка хочет определить по жребию, кто из участников будет представлять кружок на представительном турнире. Какова вероятность того, что будет нарисована девочка?
• Одновременно 80530
  Товар имеет 10% вероятность дефекта внешнего вида, 6% вероятность функционального дефекта и 3% вероятность обоих дефектов одновременно. Являются ли случайными события А — товар имеет дефект внешнего вида и В — товар имеет функциональные свойства?
• Вероятность 2
  Вероятность того, что у взрослого есть кредитная карта, равна 0,71. Исследователь случайным образом выбирает двух взрослых. Вероятность (округленная до трех знаков после запятой) того, что у первого взрослого есть кредитная карта, а у второго взрослого нет кредитной карты, равна
• Вероятность 1775
  На данный момент компания произвела 500 000 автомобилей, из которых 5 000 были бракованными. Какова вероятность того, что не более чем один автомобиль из ежедневно выпускаемых 50 автомобилей будет бракованным?
• Меню
  В меню 12 видов блюд. Сколькими способами мы можем выбрать четыре разных блюда для ежедневного меню?
• Медали
  Сколькими способами можно разделить золотые, серебряные и бронзовые медали между 21 участником?
• Вероятность 3080
  В словацком языке существует восемь стилей выпускных тем. Министр образования рисует 4 из них. Какова вероятность того, что он выберет хотя бы одну из пар?
• Первый мужчина
  Какова вероятность случайного события, когда пять мужчин и семь женщин первыми оставят мужчину?
• Жетоны
  В непрозрачных мешочках находятся красные, белые, желтые и синие жетоны.

Mathway | Популярные задачи

Физики синтезировали три новых сверхтяжелых изотопа: Наука и техника: Lenta.

Физики синтезировали три новых сверхтяжелых изотопа. Магний-40, алюминий-43 и особенно алюминий-42 заставляют пересмотреть гипотезы о максимальном количестве нейтронов, которое может содержать атомное ядро, сообщает Национальная лаборатория сверхпроводящего циклотрона (NSCL) США.

Атомное ядро состоит из протонов и нейтронов, которые удерживаются вместе сильным ядерным взаимодействием, одним из четырех фундаментальных взаимодействий в природе. Ядро только из протонов (за исключением простейшего ядра водорода, состоящего из единственного протона) или только из нейтронов не могло бы существовать.

Химический элемент определяет количество протонов в ядре. Практически все элементы существуют в виде нескольких изотопов: ядер с одинаковым количеством протонов, но разным количеством нейтронов. От соотношения протонов и нейтронов зависит стабильность ядра: некоторые изотопы стабильны, некоторые имеют ограниченный срок жизни, некоторые и вовсе существуют несколько секунд. Кроме того, соотношение не может быть любым: для каждого ядра предположительно существует минимальное и максимальное количество нейтронов, которое оно может присоединить. Верхний «нейтронный предел» установлен только для первых восьми элементов: от водорода до кислорода.

Многие изотопы не встречаются в природе и могут быть синтезированы только искусственно, особенно сверхтяжелые нестабильные ядра. Физики из NSCL бомбардировали лист вольфрама высокоскоростными ядрами кальция-48. Возникающие после бомбардировки ядра подвергались высокоточному анализу, который позволяет обнаружить даже самые редкие изотопы: те, ядра которых встречались реже, чем один раз на квадриллион (10¹⁵).

В итоге были обнаружены три новых изотопа. Магний-40 содержит 12 протонов и 28 нейтронов, тогда как обычный изотоп (магний-24) — 12 нейтронов, а самый тяжелый из синтезированных ранее (магний-38) — 26 нейтронов. Магний-39 с 27 нейтронами не был обнаружен, что согласуется с теорией: более стабильными считаются изотопы с четным количеством нейтронов, и протонов (четность нейтронов важнее).

Тем удивительнее было обнаружить алюминий-42, содержащий 13 протонов и 29 нейтронов: такие тяжелые ядра, явно находящиеся близко к верхнему нейтронному пределу, не должны были бы существовать с нечетным числом обоих типов частиц. Детекторы, однако, зафиксировали более 20 ядер странного изотопа, практически не оставляя сомнений в его существовании.

Наконец, было обнаружено одно ядро алюминия-43 (13 протонов, 30 нейтронов). Как правило, считается, что одного свидетельства недостаточно для нового изотопа, однако существование значительно менее стабильного алюминия-42 дает основания считать, что алюминий-43 тем более мог встретиться и детекторам можно доверять.

«Если сравнить обычный изотоп алюминий-27 со среднестатистическим взрослым мужчиной массой 75 килограммов, то алюминий-43 — это 120-килограммовый тяжелоатлет», — говорят ядерщики.

Новые измерения экзотического магния предполагают неожиданное изменение формы – Центр новостей лаборатории Беркли

Это оборудование на японском заводе по производству пучков радиоактивных изотопов в Вако, Япония, использовалось в эксперименте по созданию экзотического изотопа магния. (Источник: Хизер Кроуфорд/Лаборатория Беркли) )

Чуть более десяти лет назад ученые довели атомы магния до новых пределов, запихивая в их ядра дополнительные нейтроны, приближаясь и, возможно, достигнув максимального предела для этого элемента.

Теперь международная группа под руководством ученых из Национальной лаборатории Лоуренса в Беркли Министерства энергетики (Berkeley Lab) воспроизвела эту экзотическую систему, известную как магний-40, и получила новые и удивительные сведения о ее ядерной структуре.

«Магний-40 находится на перекрестке, где возникает много вопросов о том, как он выглядит на самом деле», — сказала Хизер Кроуфорд, штатный научный сотрудник отдела ядерных наук в лаборатории Беркли и ведущий автор этого исследования, опубликованного в Интернете 15 февраля. 7 в журнале Physical Review Letters. «Это чрезвычайно экзотический вид».

В то время как количество протонов (имеющих положительный электрический заряд) в его атомном ядре определяет атомный номер элемента – место в периодической таблице – количество нейтронов (не имеющих электрического заряда) может различаться. Самый распространенный и стабильный тип атома магния, встречающийся в природе, имеет 12 протонов, 12 нейтронов и 12 электронов (имеющих отрицательный заряд).

Изображение «коктейля» вторичного пучка, полученного в циклотронном центре в Японии для исследования Mg-40, экзотического изотопа магния. Ось X показывает отношение массы к заряду, а ось Y показывает атомный номер. Это изображение было размещено на обложке журнала Physical Review Letters. (Источник: Х. Л. Кроуфорд и др., Phys. Rev. Lett. 122, 052501, 2019 г.)

Атомы одного и того же элемента с разным числом нейтронов известны как изотопы. Изотоп магния-40 (Mg-40), который изучали исследователи, имеет 28 нейтронов, что может быть максимумом для атомов магния. Для данного элемента максимальное количество нейтронов в ядре называется «линией нейтронного капельного полива» — если вы попытаетесь добавить еще один нейтрон, когда он уже заполнен, лишний нейтрон немедленно «стечет» из ядра. .

«Он чрезвычайно богат нейтронами, — сказал Кроуфорд. «Неизвестно, находится ли Mg-40 на линии капельного полива, но наверняка очень близко. Это один из самых тяжелых изотопов, который в настоящее время можно экспериментально получить вблизи капельной линии».

Форма и структура ядер вблизи границы стока особенно интересны физикам-ядерщикам, потому что они могут научить их фундаментальным вещам о том, как ядра ведут себя в экстремальных условиях существования.

«Интересный вопрос, который постоянно возникает у нас в голове, когда вы подходите так близко к линии капельного полива, звучит так: «Изменяется ли способ расположения нейтронов и протонов?», — сказал Пол Фэллон, старший научный сотрудник отдела ядерных наук лаборатории Беркли. Отдел и соавтор исследования. «Одной из основных целей в области ядерной физики является понимание структуры от ядра элемента до линии капельного полива».

Такое фундаментальное понимание может дать информацию о теориях взрывных процессов, таких как создание тяжелых элементов при слиянии звезд и взрывах, сказал он.

Исследование основано на экспериментах на заводе по производству пучков радиоактивных изотопов (RIBF), расположенном в Центре ускорительных исследований RIKEN Nishina в Вако, Япония. Исследователи объединили мощность трех циклотронов — типа ускорителя частиц, впервые разработанного основателем лаборатории Беркли Эрнестом Лоуренсом в 19 году.31 — для создания пучков частиц очень высокой энергии, движущихся со скоростью около 60 процентов от скорости света.

Исследовательская группа использовала мощный пучок кальция-48, стабильного изотопа кальция с магическим числом протонов (20) и нейтронов (28), чтобы поразить вращающийся диск из углерода толщиной в несколько миллиметров.

Некоторые ядра кальция-48 столкнулись с ядрами углерода, в некоторых случаях образовав изотоп алюминия, известный как алюминий-41. Ядерно-физический эксперимент отделил эти атомы алюминия-41, которые затем были направлены на удары по пластику толщиной в несколько сантиметров (CH ₂ ) цель. Удар этой вторичной мишенью выбил протон из некоторых ядер алюминия-41, создав ядра Mg-40.

Эта вторая мишень была окружена детектором гамма-излучения, и исследователи смогли исследовать возбужденные состояния Mg-40 на основе измерений гамма-лучей, испускаемых при взаимодействии луча с мишенью.

В дополнение к Mg-40 измерения также зафиксировали энергии возбужденных состояний в других изотопах магния, включая Mg-36 и Mg-38.

«Большинство моделей говорили, что Mg-40 должен быть очень похож на более легкие изотопы, — сказал Кроуфорд. «Но это не так. Когда мы видим что-то, что выглядит совсем по-другому, задача новых теорий состоит в том, чтобы зафиксировать все это».

Поскольку теперь теории расходятся с тем, что было замечено в экспериментах, необходимы новые расчеты, чтобы объяснить, что меняется в структуре ядер Mg-40 по сравнению с Mg-38 и другими изотопами.

Исследование, проведенное лабораторией Беркли, опубликовано на обложке журнала Physical Review Letters. (Источник: Physical Review Letters)

Фэллон сказал, что многие расчеты предполагают, что ядра Mg-40 сильно деформированы и, возможно, имеют форму футбольного мяча, поэтому два добавленных нейтрона в Mg-40 могут жужжать вокруг ядра, формируя так называемое ядро ​​гало, а не встраиваясь в него. форма, которую демонстрируют соседние изотопы магния.

«Мы размышляем о некоторых физических явлениях, но это должно быть подтверждено более подробными расчетами», — сказал он.

Кроуфорд сказал, что дополнительные измерения и теоретическая работа над Mg-40 и соседними изотопами могут помочь точно определить форму ядра Mg-40 и объяснить, что вызывает изменение в ядерной структуре.

Исследователи отметили, что Центр ядерной физики для пучков редких изотопов, новый Центр науки Министерства энергетики США, который строится в Мичиганском государственном университете, в сочетании с массивом отслеживания энергии гамма-излучения (GRETA), строящимся в лаборатории Беркли, позволит дальнейшие исследования других элементов вблизи ядерной границы.

Исследователи Центра Нисина RIKEN и кампуса RIKEN в Сайтаме, Осакского университета, Токийского университета и Токийского технологического института в Японии; Университет Святой Марии и ТРИУМФ в Канаде; Институт ядерной физики во Франции; Йоркский университет в Великобритании; и Центр исследований тяжелых ионов им. Гельмгольца GSI в Германии также участвовали в исследовании.

Эта работа была поддержана Управлением науки Министерства энергетики США, Королевским обществом и Советом по научно-техническим средствам Великобритании.

###

Национальная лаборатория Лоуренса в Беркли, основанная в 1931 году на убеждении, что самые большие научные проблемы лучше всего решаются командами, и ее ученые были отмечены 13 Нобелевскими премиями. Сегодня исследователи из лаборатории Беркли разрабатывают устойчивые энергетические и экологические решения, создают новые полезные материалы, расширяют границы вычислительной техники и исследуют тайны жизни, материи и Вселенной. Ученые со всего мира полагаются на оборудование лаборатории для своих собственных научных открытий. Лаборатория Беркли — это многопрофильная национальная лаборатория, управляемая Калифорнийским университетом для Управления науки Министерства энергетики США.

Управление науки Министерства энергетики США является крупнейшим сторонником фундаментальных исследований в области физических наук в Соединенных Штатах и ​​работает над решением некоторых из самых насущных проблем нашего времени. Для получения дополнительной информации посетите веб-сайт science.energy.gov .

Структура ядра, богатого нейтронами, бросает вызов существующим теориям — ScienceDaily

Чуть более десяти лет назад ученые довели атомы магния до новых пределов, запихивая дополнительные нейтроны в их ядра в направлении — и, возможно, достигнув — максимального предела для этого элемента.

Теперь международная группа под руководством ученых из Национальной лаборатории Лоуренса Беркли Министерства энергетики (Berkeley Lab) воспроизвела эту экзотическую систему, известную как магний-40, и получила новые и неожиданные сведения о ее ядерной структуре.

«Магний-40 находится на перекрестке, где возникает много вопросов о том, как он выглядит на самом деле», — сказала Хизер Кроуфорд, научный сотрудник отдела ядерных исследований в лаборатории Беркли и ведущий автор этого исследования, опубликованного в Интернете 15 февраля. 7 в журнал Physical Review Letters . «Это чрезвычайно экзотический вид».

В то время как количество протонов (имеющих положительный электрический заряд) в его атомном ядре определяет атомный номер элемента — его положение в периодической таблице — количество нейтронов (не имеющих электрического заряда) может различаться. Самый распространенный и стабильный тип атома магния, встречающийся в природе, имеет 12 протонов, 12 нейтронов и 12 электронов (имеющих отрицательный заряд).

Атомы одного и того же элемента с разным числом нейтронов называются изотопами. Изотоп магния-40 (Mg-40), который изучали исследователи, имеет 28 нейтронов, что может быть максимумом для атомов магния. Для данного элемента максимальное количество нейтронов в ядре называется «линии нейтронного капельного полива» — если вы попытаетесь добавить еще один нейтрон, когда он уже заполнен, лишний нейтрон немедленно «стечет» из ядро.

«Он чрезвычайно богат нейтронами, — сказал Кроуфорд. «Неизвестно, находится ли Mg-40 на линии капельного полива, но он определенно очень близок. Это один из самых тяжелых изотопов, который в настоящее время можно экспериментально получить вблизи линии капельного полива».

Форма и структура ядер вблизи границы стока особенно интересны физикам-ядерщикам, потому что они могут научить их фундаментальным вещам о том, как ядра ведут себя в экстремальных условиях существования.

«Все время, когда вы подходите так близко к линии капельного полива, в наших головах возникает интересный вопрос: «Изменяется ли способ расположения нейтронов и протонов?», — сказал Пол Фэллон, старший научный сотрудник отдела ядерных исследований лаборатории Беркли. Отдел науки и соавтор исследования. «Одной из основных целей в области ядерной физики является понимание структуры от ядра элемента до линии капельного полива».

Такое фундаментальное понимание может дать информацию о теориях взрывных процессов, таких как создание тяжелых элементов при слиянии звезд и взрывах, сказал он.

Исследование основано на экспериментах на японском заводе по производству пучков радиоактивных изотопов (RIBF), расположенном в Центре ускорительных исследований RIKEN Nishina в Вако, Япония. Исследователи объединили мощность трех циклотронов — типа ускорителя частиц, впервые разработанного основателем лаборатории Беркли Эрнестом Лоуренсом в 1919 году.31 — для создания пучков частиц очень высокой энергии, движущихся со скоростью около 60 процентов от скорости света.

Исследовательская группа использовала мощный пучок кальция-48, стабильного изотопа кальция с магическим числом протонов (20) и нейтронов (28), чтобы поразить вращающийся диск из углерода толщиной в несколько миллиметров.

Некоторые ядра кальция-48 столкнулись с ядрами углерода, в некоторых случаях образовав изотоп алюминия, известный как алюминий-41. Ядерно-физический эксперимент отделил эти атомы алюминия-41, которые затем были направлены на попадание в пластиковую мишень толщиной в несколько сантиметров (Ch3). Удар этой вторичной мишенью выбил протон из некоторых ядер алюминия-41, создав ядра Mg-40.

Эта вторая мишень была окружена детектором гамма-излучения, и исследователи смогли исследовать возбужденные состояния Mg-40 на основе измерений гамма-лучей, испускаемых при взаимодействии луча с мишенью.

В дополнение к Mg-40 измерения также зафиксировали энергии возбужденных состояний в других изотопах магния, включая Mg-36 и Mg-38.

«Большинство моделей говорят, что Mg-40 должен быть очень похож на более легкие изотопы, — сказал Кроуфорд. «Но это не так. Когда мы видим что-то, что выглядит совсем по-другому, задача состоит в том, чтобы новые теории зафиксировали все это».

Поскольку теперь теории расходятся с тем, что было замечено в экспериментах, необходимы новые расчеты, чтобы объяснить, что меняется в структуре ядер Mg-40 по сравнению с Mg-38 и другими изотопами.

Фэллон сказал, что многие расчеты предполагают, что ядра Mg-40 очень деформированы и, возможно, имеют форму футбольного мяча, поэтому два добавленных нейтрона в Mg-40 могут жужжать вокруг ядра, образуя так называемое ядро ​​гало, а не объединяясь. в форму, проявляемую соседними изотопами магния.

«Мы размышляем о некоторых физических явлениях, но это должно быть подтверждено более подробными расчетами», — сказал он.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Сумма и разность синусов и косинусов, вывод формул, примеры. Урок по математике на тему «Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов» (11 класс) Основные соотношения между элементами косоугольных треугольников

). Эти формулы позволяют от суммы или разности синусов и косинусов углов и перейти к произведению синусов и/или косинусов углов и . В этой статье мы сначала перечислим эти формулы, дальше покажем их вывод, а в заключение рассмотрим несколько примеров их применения.

Навигация по странице.

Список формул

Запишем формулы суммы и разности синусов и косинусов. Как Вы понимаете, их четыре штуки: две для синусов и две для косинусов.

Теперь дадим их формулировки. При формулировании формул суммы и разности синусов и косинусов угол называют полусуммой углов и , а угол — полуразностью. Итак,

Стоит отметить, что формулы суммы и разности синусов и косинусов справедливы для любых углов и .

Вывод формул

Для вывода формул суммы и разности синусов можно использовать формулы сложения , в частности, формулы
синуса суммы ,
синуса разности ,
косинуса суммы и
косинуса разности .

Также нам потребуется представление углов и в виде и . Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .

Теперь подробно разберем вывод формулы суммы синусов двух углов вида .

Сначала в сумме заменяем на , а на , при этом получаем . Теперь к применяем формулу синуса суммы, а к — формулу синуса разности:

После приведения подобных слагаемых получаем . В итоге имеем формулу суммы синусов вида .

Для вывода остальных формул нужно лишь проделать аналогичные действия. Приведем вывод формул разности синусов, а также суммы и разности косинусов:

Для разности косинусов мы привели формулы двух видов или . Они эквивалентны, так как , что следует из свойств синусов противоположных углов .

Итак, мы разобрали доказательство всех формул суммы и разности синусов и косинусов.

Примеры использования

Разберем несколько примеров использования формул суммы синусов и косинусов, а также разности синусов и косинусов.

Для примера проверим справедливость формулы суммы синусов вида , взяв и . Чтобы это сделать, вычислим значения левой и правой частей формулы для данных углов. Так как и (при необходимости смотрите таблицу основных значений синусов и косинусов), то . При и имеем и , тогда . Таким образом, значения левой и правой частей формулы суммы синусов для и совпадают, что подтверждает справедливость этой формулы.

В некоторых случаях использование формул суммы и разности синусов и косинусов позволяет вычислять значения тригонометрических выражений, когда углы отличны от основных углов (). Приведем решение примера, подтверждающего эту мысль.

Пример.

Вычислите точное значение разности синусов 165 и 75 градусов.

Решение.

Точных значений синусов 165 и 75 градусов мы не знаем, поэтому непосредственно вычислить значение заданной разности мы не можем. Но ответить на вопрос задачи нам позволяет формула разности синусов . Действительно, полусумма углов 165 и 75 градусов равна 120 , а полуразность равна 45 , а точные значения синуса 45 градусов и косинуса 120 градусов известны.

Таким образом, имеем

Ответ:

.

Несомненно, главная ценность формул суммы и разности синусов и косинусов заключается в том, что они позволяют перейти от суммы и разности к произведению тригонометрических функций (по этой причине эти формулы часто называют формулами перехода от суммы к произведению тригонометрических функций). А это в свою очередь может быть полезно, например, при преобразовании тригонометрических выражений или при решении тригонометрический уравнений . Но эти темы требуют отдельного разговора.

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Тема урока. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.

(Урок усвоения новых знаний.)

Цели урока.

Дидактические :

вывести формулы суммы синусов и суммы косинусов и способствовать их усвоению в ходе решения задач;

продолжить формирование умений и навыков по применению тригонометрических формул;

проконтролировать степень усвоения материала по теме.

Развивающие:

способствовать развитию навыка самостоятельного применения знаний;

развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;

продолжить работу по развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы.

Воспитательные:

приучать к умению общаться и выслушивать других;

воспитывать внимательность и наблюдательность;

стимулировать мотивацию и интерес к изучению тригонометрии.

Оборудование: презентация, интерактивная доска, формулы.

Ход урока:

Организационный момент. — 2 мин.

Актуализация опорных знаний. Повторение. – 12 мин.

Целеполагание. – 1 мин.

Восприятие и осмысливание новых знаний. – 3 мин.

Применение приобретённых знаний. – 20 мин.

Анализ достижений и коррекция деятельности. – 5 мин.

Рефлексия. — 1мин.

Домашнее задание. – 1 мин.

1. Организационный момент. (слайд 1)

– Здравствуйте! Тригонометрия – один из интереснейших разделов математики, но почему-то большинство учащихся считают его самым трудным. Объяснить это, скорее всего можно тем, что в этом разделе формул больше, чем в любом другом. Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Многие формулы уже изучены, но оказывается, не все. Поэтому девизом этого урока станет изречение Пифагора «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий». Давайте мыслить!

2. Актуализация опорных знаний. Повторение.

1) математический диктант с взаимопроверкой (слайды 2-5)

Первое задание. Используя изученные формулы вычислить:

1 вариант

2 вариант

sin 390 0

cos 420 0

1 – cos 2 30 0

1 – sin 2 60 0

сos 120 0 ∙cos 30 0 + sin 120 0 ∙sin 30 0

sin 30 0 ∙cos 150 0 + cos 30 0 ∙sin 150 0

Ответы: ; 1 ; -; ; — ; — 1 ; 1 ; ; ; 0 ; ; 3 . – взаимопроверка.

Критерии оценок: (работы сдаются учителю)

«4» — 10 – 11

2) задача проблемного характера (слайд 6) – доклад учащегося.

Упростить выражение, используя тригонометрические формулы:

А можно ли эту задачу решить иначе? (Да, с помощью новых формул.)

3. Целеполагание (слайд 7)

Тема урока:
Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов. – запись в тетради

Цели урока:

вывести формулы суммы и разности синусов, суммы и разность косинусов;

4. Восприятие и осмысливание новых знаний. (слайд 8-9)

Выведем формулу суммы синусов: — учитель

Аналогично доказываются остальные формулы: (формулы преобразования суммы в произведение)

Правила запоминания!

В доказательстве каких ещё тригонометрических формул использовались формулы сложения?

5. Применение приобретённых знаний. (слайды 10-11)

С помощью новых формул:

1)Вычислить: (у доски) – Что будет ответом? (число)

Под диктовку с учителем

6. Анализ достижений и коррекция деятельности. (слайд 13)

Дифференцированная самостоятельная работа с самопроверкой

Вычислить:

7. Рефлексия. (слайд 14)

Удовлетворены ли вы своей работой на уроке?

Какую оценку вы поставили бы себе за весь урок?

Какой момент наиболее интересен был на уроке?

Где вам пришлось больше всего сконцентрироваться?

8. Домашнее задание: выучить формулы, индивидуальные задания на карточках.

Формулы приведения

Формулы приведения дают возможность находить значения тригонометрических функций для любых углов (а не только острых). С их помощью можно совершать преобразования, упрощающие вид тригонометрических выражений.

Рисунок 1.

Кроме формул приведения при решении задач используются следующие основные формулы.

1) Формулы одного угла:

2) Выражение одних тригонометрических функций через другие:

Замечание

В этих формулах перед знаком радикала должен быть поставлен знак $»+»$ или $»-«$ в зависимости от того, в какой четверти находится угол.

Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов

Формулы суммы и разности функций:

Кроме формул суммы и разности функций, при решении задач бывают полезны формулы произведения функций:

Основные соотношения между элементами косоугольных треугольников

Обозначения:

$a$, $b$, $c$ — стороны треугольника;

$A$, $B$, $C$ — противолежащие перечисленным сторонам углы;

$p=\frac{a+b+c}{2} $ — полупериметр;

$S$ — площадь;

$R$ — радиус описанной окружности;

$r$ — радиус вписанной окружности. \circ -\left(A+B\right)$.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α — β 2 . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

Формулы суммы и разности для косинусов

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 cos α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · β — α 2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β . Углы α + β 2 и α — β 2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α — β) = sin α · cos β — cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α = α + β 2 + α — β 2 = α 2 + β 2 + α 2 — β 2 β = α + β 2 — α — β 2 = α 2 + β 2 — α 2 + β 2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sin α + sin β = sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sin α + β 2 + α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α — β 2

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

sin α — sin β = sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 — sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

Вывод формулы суммы косинусов

cos α + cos β = cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 + cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α — β 2

Вывод формулы разности косинусов

cos α — cos β = cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 — cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = — 2 sin α + β 2 sin α — β 2

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 — π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α = 165 ° , β = 75 ° . Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

α = 165 ° , β = 75 ° sin α — sin β = sin 165 ° — sin 75 ° sin 165 — sin 75 = 2 · sin 165 ° — 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · — 1 2 = 2 2

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Преобразование суммы (разности) косинусов двух углов в произведение

Для суммы и разности косинусов двух углов верны следующие формулы:

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна минус удвоенному произведению синуса полусуммы на синус полуразности этих углов.

Примеры

Формулы (1) и (2) могут быть получены многими способами. Докажем, например, формулу (1).

cos α cos β = 1 / 2 .

Полагая в ней (α + β) = х , (α — β) = у , мы и приходим к формуле (1). Этот способ аналогичен тому, с помощью которого в предыдущем параграфе была получена формула для суммы синусов двух углов.

2-й способ. В предыдущем параграфе была доказана формула

Полагая в ней α = х + π / 2 , β = у + π / 2 , получаем:

Но по формулам приведения sin (х + π / 2) == cos x , sin (у + π / 2) = cos у ;

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Формулу (2) мы предлагаем учащимся доказать самостоятельно. Попробуйте найти не менее двух различных способов доказательства!

Упражнения

1. Вычислить без таблиц, используя формулы для суммы и разности косинусов двух углов:

а). cos 105° + cos 75°. г). cos 11π / 12 — cos 5π / 12 ..

б). cos 105° — cos 75°. д). cos 15° -sin 15°.

в). cos 11π / 12 + cos 5π / 12 .. е). sin π / 12 + cos 11π / 12 .

2 . Упростить данные выражения:

а). cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 — α ).

б). cos ( π / 3 + α ) — cos ( π / 3 — α ).

3. Каждое из тождеств

sin α + cos α = \/ 2 sin (α + π / 4 )

sin α — cos α = \/ 2 sin (α — π / 4 )

доказать не менее чем двумя различными способами.

4. Данные выражения представить в виде произведений:

а). \/ 2 + 2cos α . в). sin x + cos y.

б). \/ 3 — 2 cos α . г). sin x — cos y .

5 . Упростить выражение sin 2 (α — π / 8 ) — cos 2 (α + π / 8 ) .

6 .Разложить на множители данные выражения (№ 1156-1159):

а). 1 + sin α — cos α

б). sin α + sin (α + β) + sin β .

в). cos α + cos 2α + cos 3α

г). 1 + sin α + cos α

7. Доказать данные тождества

8. Доказать, что косинусы углов α и β равны тогда и только тогда, когда

α = ± β + 2 nπ,

где n — некоторое целое число.

Sin 75 градусов — Найдите значение Sin 75 градусов

LearnPracticeDownload

Значение sin 75 градусов равно 0,9659258. . . . Sin 75 градусов в радианах записывается как sin (75° × π/180°), то есть sin (5π/12) или sin (1,308996…). В этой статье мы обсудим способы нахождения значения sin 75 градусов на примерах.

• Sin 75°: 0,9659258. . .
• Sin 75° в дробях: (√6 + √2)/4
• Sin (-75 градусов): -0,9659258. . .
• Sin 75° в радианах: sin (5π/12) или sin (1,3089969 . . .)

Каково значение греха 75 градусов?

Значение sin 75 градусов в десятичной системе равно 0,965925826. . .. Sin 75 градусов также можно выразить с помощью эквивалента заданного угла (75 градусов) в радианах (1,30899 . . .).

Используя преобразование градусов в радианы, мы знаем, что θ в радианах = θ в градусах × (pi/180°)
⇒ 75 градусов = 75° × (π/180°) рад = 5π/12 или 1,3089. . .
∴ sin 75° = sin(1,3089) = (√6 + √2)/4 или 0,9659258. . .

Объяснение:

Для sin 75 градусов угол 75° лежит между 0° и 90° (первый квадрант). Поскольку функция синуса положительна в первом квадранте, значение sin 75° = (√6 + √2)/4 или 0,9659258. . .
Поскольку функция синуса является периодической функцией, мы можем представить sin 75° как sin 75 градусов = sin(75° + n × 360°), n ∈ Z.
⇒ sin 75° = sin 435° = sin 795° и так далее.
Примечание: Поскольку синус является нечетной функцией, значение sin(-75°) = -sin(75°).

Методы нахождения значения Sin 75 градусов

Функция синуса положительна в 1-м квадранте. Значение sin 75° равно 0,96592. . .. Мы можем найти значение sin 75 градусов по:

• Используя тригонометрические функции
• Использование единичного круга

Sin 75° в терминах тригонометрических функций

Используя формулы тригонометрии, мы можем представить sin 75° как:

• ± √(1-cos²(75°))
• ± тангенс 75°/√(1 + тангенс²(75°))
• ± 1/√(1 + раскладушка²(75°))
• ± √(сек²(75°) — 1)/сек 75°
• 1/косек 75°

Примечание. Поскольку 75° лежит в 1-м квадранте, конечное значение sin 75° будет положительным.

Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления sin 75° как

• sin(180° — 75°) = sin 105°
• -sin(180° + 75°) = -sin 255°
• cos(90° — 75°) = cos 15°
• -cos(90° + 75°) = -cos 165°

Sin 75 градусов с помощью единичной окружности

Чтобы найти значение sin 75 градусов с помощью единичной окружности:

• Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 75° с положительной осью x.
• Грех в 75 градусов равен координате y (0,9659) точки пересечения (0,2588, 0,9659) единичной окружности и r.

Отсюда значение sin 75° = y = 0,9659 (приблизительно)

☛ Также проверьте:

• sin 10 градусов
• грех 11 градусов
• грех 50 градусов
• грех 903 градуса
• грех 9 градусов
• грех 240 градусов

Примеры использования Sin 75 градусов

1. Пример 1: Найдите значение sin 75°, если cosec 75° равно 1,0352.

   Решение:

   Поскольку sin 75° = 1/csc 75°
   ⇒ sin 75° = 1/1,0352 = 0,9659

2. Пример 2: Упростить: 2 (sin 75°/sin 435°)

   Решение:

   Мы знаем sin 75° = sin 435°
   ⇒ 2 sin 75°/sin 435° = 2(sin 75°/sin 75°)
   = 2(1) = 2

3. Пример 3: Используя значение sin 75°, найдите: (1-cos²(75°)).

   Решение:

   Мы знаем, (1-cos²(75°)) = (sin²(75°)) = 0,933
   ⇒ (1-cos²(75°)) = 0,933

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о Sin 75 Degrees

Что такое Sin 75 Degrees?

Sin 75 градусов — значение тригонометрической функции синуса для угла, равного 75 градусам. Значение sin 75° равно (√6 + √2)/4 или 0,9659 (приблизительно).

Как найти значение греха 75 градусов?

Значение sin 75 градусов можно рассчитать, построив угол 75° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (0,2588, 0,9659) на единичной окружности. Значение sin 75° равно координате y (0,9659). ∴ sin 75° = 0,9659.

Каково значение Sin 75 градусов в пересчете на Tan 75°?

Мы знаем, что, используя тригонометрические тождества, мы можем записать sin 75° как tan 75°/√(1 + tan²(75°)). Здесь значение тангенса 75° равно 3,732050.

Каково значение Sin 75° в терминах Sec 75°?

Поскольку функцию синуса можно представить с помощью функции секанса, мы можем записать sin 75° как √(sec²(75°) — 1)/sec 75°. Значение sec 75° равно 3,863703.

Как найти Sin 75° с точки зрения других тригонометрических функций?

Используя формулу тригонометрии, значение sin 75° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:

• ± √(1-cos²(75°))
• ± тангенс 75°/√(1 + тангенс²(75°))
• ± 1/√(1 + раскладушка²(75°))
• ± √(сек²(75°) — 1)/сек 75°
• 1/косек 75°

☛ Также проверьте: Тригонометрическая таблица

Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы

Тригонометрия

Рабочие листы по математике и
наглядный курс

Mathway | Популярные проблемы

1	Найдите точное значение	грех(30)
2	Найдите точное значение	грех(45)
3	Найдите точное значение	грех(30 градусов)
4	Найдите точное значение	грех(60 градусов)
5	Найдите точное значение	загар (30 градусов)
6	Найдите точное значение	угловой синус(-1)
7	Найдите точное значение	грех(пи/6)
8	Найдите точное значение	cos(pi/4)
9	Найдите точное значение	грех(45 градусов)
10	Найдите точное значение	грех(пи/3)
11	Найдите точное значение	арктический(-1)
12	Найдите точное значение	cos(45 градусов)
13	Найдите точное значение	cos(30 градусов)
14	Найдите точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найдите точное значение	csc(45 градусов)
16	Найдите точное значение	загар (60 градусов)
17	Найдите точное значение	сек (30 градусов)
18	Найдите точное значение	cos(60 градусов)
19	Найдите точное значение	соз(150)
20	Найдите точное значение	грех(60)
21	Найдите точное значение	cos(pi/2)
22	Найдите точное значение	загар (45 градусов)
23	Найдите точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найдите точное значение	csc(60 градусов)
25	Найдите точное значение	сек (45 градусов)
26	Найдите точное значение	csc(30 градусов)
27	Найдите точное значение	грех(0)
28	Найдите точное значение	грех(120)
29	Найдите точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найдите точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найдите точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найдите точное значение	арккос(-1)
38	Найдите точное значение	арктический(0)
39	Найдите точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найдите точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найдите точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найдите точное значение	желтовато-коричневый (пи/2)
45	Найдите точное значение	грех(300)
46	Найдите точное значение	соз(30)
47	Найдите точное значение	соз(60)
48	Найдите точное значение	соз(0)
49	Найдите точное значение	соз(135)
50	Найдите точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найдите точное значение	соз(210)
52	Найдите точное значение	сек (60 градусов)
53	Найдите точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найдите точное значение	грех(135 градусов)
61	Найдите точное значение	грех(150)
62	Найдите точное значение	грех(240 градусов)
63	Найдите точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найдите точное значение	грех(225)
66	Найдите точное значение	грех(240)
67	Найдите точное значение	cos(150 градусов)
68	Найдите точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найдите точное значение	сек(0)
71	Найдите точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найдите точное значение	КСК(30)
73	Найдите точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найдите точное значение	желтовато-коричневый ((5pi)/3)
75	Найдите точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найдите точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 шт. 48 разделить на 8: Mathway | Популярные задачи alexxlab / 20.07.202321.04.2023 / Разное Mathway | Популярные задачи 1 Найти объем сфера (5)  2 Найти площадь окружность (5)  3 Найти площадь поверхности сфера (5)  4 Найти площадь окружность (7)  5 Найти площадь окружность (2)  6 Найти площадь окружность (4)  7 Найти площадь окружность (6)  8 Найти объем сфера (4)  9 Найти площадь окружность (3)  10 Вычислить (5/4(424333-10220^2))^(1/2) 11 Разложить на простые множители 741 12 Найти объем сфера (3)  13 Вычислить 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10 14 Найти площадь окружность (10)  15 Найти площадь окружность (8)  16 Найти площадь поверхности сфера (6)  17 Разложить на простые множители 1162 18 Найти площадь окружность (1)  19 Найти длину окружности окружность (5)  20 Найти объем сфера (2)  21 Найти объем сфера (6)  22 Найти площадь поверхности сфера (4)  23 Найти объем сфера (7)  24 Вычислить квадратный корень из -121 25 Разложить на простые множители 513 26 Вычислить квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9 27 Найти объем прямоугольный параллелепипед (2)(2)(2)  28 Найти длину окружности окружность (6)  29 Найти длину окружности окружность (3)  30 Найти площадь поверхности сфера (2)  31 Вычислить 2 1/2÷22000000 32 Найти объем прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)  33 Найти объем прямоугольный параллелепипед (10)(10)(10)  34 Найти длину окружности окружность (4)  35 Перевести в процентное соотношение 1. 2-4*-1+2 45 Разложить на простые множители 228 46 Вычислить 0+0 47 Найти площадь окружность (9)  48 Найти длину окружности окружность (8)  49 Найти длину окружности окружность (7)  50 Найти объем сфера (10)  51 Найти площадь поверхности сфера (10)  52 Найти площадь поверхности сфера (7)  53 Определить, простое число или составное 5 54 Перевести в процентное соотношение 3/9 55 Найти возможные множители 8 56 Вычислить (-2)^3*(-2)^9 57 Вычислить 35÷0. 2 60 Преобразовать в упрощенную дробь 2 1/4 61 Найти площадь поверхности сфера (12)  62 Найти объем сфера (1)  63 Найти длину окружности окружность (2)  64 Найти объем прямоугольный параллелепипед (12)(12)(12)  65 Сложение 2+2= 66 Найти площадь поверхности прямоугольный параллелепипед (3)(3)(3)  67 Вычислить корень пятой степени из 6* корень шестой степени из 7 68 Вычислить 7/40+17/50 69 Разложить на простые множители 1617 70 Вычислить 27-( квадратный корень из 89)/32 71 Вычислить 9÷4 72 Вычислить 2+ квадратный корень из 21 73 Вычислить -2^2-9^2 74 Вычислить 1-(1-15/16) 75 Преобразовать в упрощенную дробь 8 76 Оценка 656-521 77 Вычислить 3 1/2 78 Вычислить -5^-2 79 Вычислить 4-(6)/-5 80 Вычислить 3-3*6+2 81 Найти площадь поверхности прямоугольный параллелепипед (5)(5)(5)  82 Найти площадь поверхности сфера (8)  83 Найти площадь окружность (14)  84 Преобразовать в десятичную форму 11/5 85 Вычислить 3 квадратный корень из 12*3 квадратный корень из 6 86 Вычислить (11/-7)^4 87 Вычислить (4/3)^-2 88 Вычислить 1/2*3*9 89 Вычислить 12/4-17/-4 90 Вычислить 2/11+17/19 91 Вычислить 3/5+3/10 92 Вычислить 4/5*3/8 93 Вычислить 6/(2(2+1)) 94 Упростить квадратный корень из 144 95 Преобразовать в упрощенную дробь 725% 96 Преобразовать в упрощенную дробь 6 1/4 97 Вычислить 7/10-2/5 98 Вычислить 6÷3 99 Вычислить 5+4 100 Вычислить квадратный корень из 12- квадратный корень из 192 Статья 48. Особенности владения, пользования и распоряжения объектом культурного наследия, включенным в реестр, и выявленным объектом культурного наследия \ КонсультантПлюс Статья 48. Особенности владения, пользования и распоряжения объектом культурного наследия, включенным в реестр, и выявленным объектом культурного наследия 1. Объекты культурного наследия независимо от категории их историко-культурного значения могут находиться в федеральной собственности, собственности субъектов Российской Федерации, муниципальной собственности, частной собственности, а также в иных формах собственности, если иной порядок не установлен федеральным законом. 2. Особенности владения, пользования и распоряжения объектом культурного наследия, включенным в реестр, и выявленным объектом культурного наследия определяются настоящим Федеральным законом, гражданским законодательством Российской Федерации, градостроительным законодательством Российской Федерации, земельным законодательством Российской Федерации. 3 — 4. Утратили силу. — Федеральный закон от 22.10.2014 N 315-ФЗ. (см. текст в предыдущей редакции) 5. Распоряжение объектом культурного наследия, включенным в реестр, выявленным объектом культурного наследия, в том числе их отчуждение или передача прав владения и (или) пользования такими объектами, осуществляется в соответствии с законодательством Российской Федерации при условии выполнения требований настоящего Федерального закона. (п. 5 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 6. Установленные в соответствии с настоящим Федеральным законом ограничения (обременения) прав на объект культурного наследия, включенный в реестр, выявленный объект культурного наследия, земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия, сохраняются при переходе права собственности или иных вещных прав на указанные объекты к другому лицу, в том числе при обращении взыскания на объект культурного наследия, земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия, по обязательствам собственника или иного законного владельца такого объекта культурного наследия или соответствующего земельного участка, при реализации объекта культурного наследия или соответствующего земельного участка в процедурах банкротства должника — собственника или иного законного владельца такого объекта культурного наследия или соответствующего земельного участка, а также в иных предусмотренных федеральными законами случаях перехода права собственности или иных вещных прав на объект культурного наследия, земельный участок в границах территории объекта культурного наследия либо земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия. (п. 6 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 7. В случае, если к моменту заключения договора, предусматривающего передачу права собственности на объект культурного наследия, включенный в реестр, земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия, либо права владения и (или) пользования таким имуществом, в отношении указанного объекта, земельного участка действует охранное обязательство, предусмотренное статьей 47.6 настоящего Федерального закона, такой договор должен содержать в качестве существенного условия обязательство лица, у которого на основании такого договора возникает право собственности на указанное имущество или право владения и (или) пользования этим имуществом, по выполнению требований, предусмотренных соответствующим охранным обязательством, порядок и условия их выполнения. В случае отсутствия в договоре предусмотренного настоящим пунктом существенного условия сделка является ничтожной. Копия охранного обязательства является неотъемлемой частью договора, указанного в абзаце первом настоящего пункта. (п. 7 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 8. До утверждения в порядке, установленном статьей 47.6 настоящего Федерального закона, охранного обязательства на объект культурного наследия, включенный в реестр, земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия, к договорам, указанным в пункте 7 настоящей статьи, прилагаются иные действующие охранные документы: охранно-арендный договор, охранный договор или охранное обязательство в отношении памятника истории и культуры, охранное обязательство собственника объекта культурного наследия или охранное обязательство пользователя объектом культурного наследия, а также паспорт объекта культурного наследия (при его наличии). (п. 8 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 9. В случае, если к моменту заключения указанных в пункте 7 настоящей статьи договоров в отношении объекта культурного наследия, включенного в реестр, земельного участка, в границах которого располагается объект археологического наследия, являющихся объектами сделки, не оформлены охранные документы, предусмотренные статьей 47. 6 настоящего Федерального закона или пунктом 8 настоящей статьи, лицо, у которого на основании указанных договоров возникает право собственности на объект культурного наследия, включенный в реестр, земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия, либо права владения и (или) пользования таким имуществом, обязано выполнять требования в отношении объекта культурного наследия, включенного в реестр, предусмотренные пунктами 1 — 3 статьи 47.3 настоящего Федерального закона, соблюдать установленный статьей 5.1 настоящего Федерального закона особый режим использования земельного участка, в границах которого располагается объект археологического наследия, до момента вручения такому лицу охранного обязательства, предусмотренного статьей 47.6 настоящего Федерального закона. После получения указанного охранного обязательства лицом, которому объект культурного наследия, включенный в реестр, земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия, принадлежат на праве собственности или ином вещном праве, указанное лицо обязано обеспечить внесение в договоры, предусматривающие передачу третьим лицам права владения и (или) пользования таким объектом, изменений, предусматривающих в качестве существенного условия обязательство лица, во владении и (или) в пользовании которого находится указанное имущество, по выполнению требований, предусмотренных охранным обязательством, а также порядок и условия их выполнения. Действие настоящего пункта распространяется на случаи заключения договоров, предусматривающих передачу прав владения и (или) пользования объектом культурного наследия, включенным в реестр, земельным участком, в границах которого располагается объект археологического наследия, между лицами, которые приобрели указанное право на основании договоров, и третьими лицами (договор субаренды и другие договоры). (п. 9 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 10. Договор, предусматривающий передачу права собственности на выявленный объект культурного наследия, прав владения и (или) пользования таким объектом, должен содержать в качестве существенного условия обязательство лица, у которого на основании такого договора возникают право собственности на такое имущество или права владения и (или) пользования таким имуществом, по выполнению требований, установленных пунктами 1 — 3 статьи 47.3 настоящего Федерального закона в отношении такого объекта. В случае отсутствия в таком договоре указанного существенного условия сделка является ничтожной. (п. 10 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 11. Лицо, которому объект культурного наследия, включенный в реестр, выявленный объект культурного наследия, земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия, переданы во владение или в пользование на основании договора, обязано выполнять требования в отношении таких объектов, установленные пунктами 1 — 3 статьи 47.3 настоящего Федерального закона. Распределение обязанностей по выполнению требований, предусмотренных статьей 47.2 настоящего Федерального закона, между сторонами договора устанавливается указанным договором, если иное не предусмотрено статьей 47.6 настоящего Федерального закона. (п. 11 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 12. При передаче третьим лицам прав владения и (или) пользования объектом культурного наследия, включенным в реестр, выявленным объектом культурного наследия, земельным участком, в границах которого располагается объект археологического наследия, в том числе находящимися в государственной или муниципальной собственности, собственник или иной законный владелец объекта культурного наследия, включенного в реестр, выявленного объекта культурного наследия, земельного участка, в границах которого располагается объект археологического наследия, не освобождается от ответственности за выполнение установленных в соответствии с настоящим Федеральным законом требований в отношении объекта культурного наследия, включенного в реестр, выявленного объекта культурного наследия, объекта археологического наследия. (п. 12 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 13. Положения пунктов 5 — 12 настоящей статьи распространяются на случаи перехода права собственности, прав владения и (или) пользования в отношении части объекта культурного наследия, включенного в реестр, если такая часть относится к предмету охраны указанного объекта, выявленного объекта культурного наследия. (п. 13 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) 14. Памятники и ансамбли, находящиеся в общей собственности, включая памятники и ансамбли, относящиеся к жилищному фонду, а также земельные участки в границах территорий памятников и ансамблей разделу не подлежат. Выдел собственникам их доли в натуре не осуществляется. (п. 14 введен Федеральным законом от 22.10.2014 N 315-ФЗ) Сколько 48 разделить на 8 с использованием длинного деления? Запутались в длинном делении? К концу этой статьи вы сможете разделить 48 на 8, используя деление в длинную сторону, и сможете применить ту же технику к любой другой задаче на деление в длинную сторону! Давайте взглянем. Хотите быстро научиться или показать учащимся, как решить деление 48 на 8 с помощью деления в длинную сторону? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас! Итак, первое, что нам нужно сделать, это уточнить термины, чтобы вы знали, что представляет собой каждая часть деления: Первое число, 48, называется делимым. Второе число 8 называется делителем. Здесь мы разберем каждый шаг процесса длинного деления на 48, разделенного на 8, и объясним каждый из них, чтобы вы точно поняли, что происходит. 48 разделить на 8 пошаговое руководство Шаг 1 Первый шаг — поставить задачу деления с делителем слева и делимым справа, как показано ниже: Шаг 2 Мы можем выяснить, что делитель (8) входит в первую цифру делимого (4), 0 раз. Теперь мы это знаем, мы можем положить 0 вверху: Шаг 3 Если мы умножим делитель на результат на предыдущем шаге (8 x 0 = 0), мы теперь можем добавить этот ответ под делимым: Шаг 4 Далее из второй цифры делимого (4 — 0 = 4) вычтем результат предыдущего шага и запишем этот ответ ниже: 9 0 0 0 8 4 8 —5 39 0 4 Шаг 5 Переместите вторую цифру делимого (8) вниз следующим образом: 002 Делитель (8) входит в нижнее число (48) 6 раз, поэтому мы можем положить 6 сверху: 0 8 8 3 8 4 — 0 4 8 0 6 8 3 3 9 90 — 0 4 8 Шаг 7 Если мы умножим делитель на результат предыдущего шага (8 x 6 = 48), то теперь мы можем добавить этот ответ под делимым: 6 8 4 8 — 4 8 4 8 Шаг 8 Далее вычтем результат предыдущего шага из третьей цифры делимого (48 — 48 = 0) и запишем этот ответ ниже: — 0 2 8? Если вы дочитали до этого урока, молодец! Больше не осталось цифр, чтобы двигаться вниз от делимого, а это значит, что мы решили задачу деления в длинную сторону. Ваш ответ — это верхнее число, а любой остаток будет нижним числом. Итак, для 48, разделенного на 8, окончательное решение: 6 Остаток 0 Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы ни использовали это. Мы очень ценим вашу поддержку! Чем 48 делится на 8 с помощью Длинный дивизион? «Сколько 48 разделить на 8 с использованием длинного деления?». VisualFractions.com . По состоянию на 21 апреля 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-48-divided-by-8-using-long-division/. «Сколько 48 разделить на 8 с использованием длинного деления?». VisualFractions. com , http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-48-divided-by-8-using-long-division/. По состоянию на 21 апреля 2023 г. Сколько 48 разделить на 8 с использованием длинного деления?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-48-divided-by-8-using-long-division/. Дополнительные вычисления для вас Теперь вы изучили метод деления 48 на 8, вот несколько других способов, которыми вы можете выполнить вычисление: С помощью калькулятора, если вы набрали 48 разделить на 8 , вы получите 6. Вы также можете представить 48/8 в виде смешанной дроби: 6 0/8 Если вы посмотрите на смешанную дробь 6 0/8, вы увидите, что числитель совпадает с остатком (0), знаменатель — это наш первоначальный делитель (8), а целое число — это наш окончательный ответ (6 ). Калькулятор деления на длинное деление Введите еще одну задачу на деление на длинное деление Следующая задача на деление на длинное деление Хотите еще больше деления на длинное деление, но не хотите вводить два числа в калькулятор выше? Не беспокойся. Вот следующая задача, которую вам нужно решить: Сколько будет 48, разделенное на 9 с помощью деления в длинное число? Случайные задачи на длинное деление Если вы добрались до этого конца страницы, значит, вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО любите задачи на длинное деление, а? Ниже приведена куча случайно сгенерированных вычислений для вашего долгого деления удовольствия: Чему равно 222, разделенное на 891 с использованием длинного деления? Чему равно 509, разделенное на 645 с использованием длинного деления? Чему равно 860, разделенное на 938 с использованием длинного деления? Чему равно 894, разделенное на 911 с использованием длинного деления? Чему равно 951, разделенное на 985 с использованием длинного деления? Чему равно 398, разделенное на 654 в длинное деление? Чему равно 636, разделенное на 654 с использованием длинного деления? Чему равно 958, разделенное на 960 в длинное деление? Сколько будет 487 разделить на 794 с использованием длинного деления? Чему равно 94, разделенное на 399 в длинное деление? Чему равно 939, разделенное на 959 с использованием длинного деления? Что такое 807, разделенное на 818 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 722, разделенное на 860 с использованием длинного деления? Чему равно 915, разделенное на 981 с использованием длинного деления? Что такое 907, разделенное на 908 с использованием длинного деления? Чему равно 396, разделенное на 560 с использованием длинного деления? Чему равно 723, разделенное на 917 с использованием длинного деления? Чему равно 41, разделенное на 45 с использованием длинного деления? Чему равно 78, разделенное на 834 в длинное деление? Чему равно 932, разделенное на 956 в длинное деление? Чему равно 672, разделенное на 841 с использованием длинного деления? Чему равно 771, разделенное на 973 в длинное деление? Чему равно 739, разделенное на 885 с использованием длинного деления? Чему равно 733, разделенное на 982 с использованием длинного деления? Чему равно 215, разделенное на 780 с использованием длинного деления? Чему равно 428, разделенное на 605 в длинное деление? Чему равно 571, разделенное на 624 с использованием длинного деления? Чему равно 717, разделенное на 861 с использованием длинного деления? Чему равно 951, разделенное на 963 в длинное деление? Чему равно 322, разделенное на 473 в длинное деление? Чему равно 867, разделенное на 889 в длинное деление? Чему равно 274, разделенное на 306 в длинное деление? Сколько 902 разделить на 911 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 950, разделенное на 965 с использованием длинного деления? Чему равно 748, разделенное на 837 в длинное деление? Чему равно 724, разделенное на 909 с использованием длинного деления? Чему равно 225, разделенное на 429 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 74, разделенное на 548 в длинное деление? Чему равно 805, разделенное на 823 с использованием длинного деления? Сколько 381 разделить на 877 в длинное деление? Чему равно 861, разделенное на 954 с использованием длинного деления? Сколько 101 разделить на 182 в длинное деление? Чему равно 713, разделенное на 999 с использованием длинного деления? Чему равно 570, разделенное на 886 в длинное деление? Чему равно 542, разделенное на 731 с использованием длинного деления? Сколько 142 разделить на 802 в длинное деление? Чему равно 496, разделенное на 772 в длинное деление? Чему равно 555, разделенное на 570 в длинное деление? Чему равно 22, разделенное на 789 в длинное деление? Чему равно 932, разделенное на 969 в длинное деление? Чему равно 738, разделенное на 975 с использованием длинного деления? Чему равно 800, разделенное на 840 с использованием длинного деления? Чему равно 715, разделенное на 778 с использованием длинного деления? Чему равно 340, разделенное на 619 с использованием длинного деления? Чему равно 246, разделенное на 893 в длинное деление? Чему равно 178, разделенное на 338 в длинное деление? Чему равно 481, разделенное на 535 в длинное деление? Сколько 301 разделить на 917 с помощью деления в большую сторону? Чему равно 262, разделенное на 766 в длинном делении? Чему равно 300, разделенное на 488 в прямом делении? Чему равно 611, разделенное на 925 с использованием длинного деления? Что такое 967 разделить на 994 с использованием длинного деления? Чему равно 592, разделенное на 837 в длинное деление? Сколько 873 разделить на 925 в длинное деление? Чему равно 638, разделенное на 643 с использованием длинного деления? Чему равно 655, разделенное на 841 с использованием длинного деления? Чему равно 638, разделенное на 991 в длинное деление? Чему равно 535, разделенное на 577 с использованием длинного деления? Чему равно 434, разделенное на 869 в длинное деление? Сколько 477 разделить на 727 в длинное деление? Чему равно 126, разделенное на 466 в длинном делении? Чему равно 788, разделенное на 895 в длинное деление? Чему равно 383, разделенное на 459 с использованием длинного деления? Чему равно 432, разделенное на 743 с использованием длинного деления? Чему равно 839, разделенное на 860 в длинное деление? Чему равно 822, разделенное на 823 в длинное деление? Чему равно 804, разделенное на 984 с использованием длинного деления? Чему равно 544, разделенное на 837 в длинное деление? Что такое 798 разделить на 1000 с использованием длинного деления? Чему равно 591, разделенное на 888 в длинное деление? Чему равно 408, разделенное на 480 в длинное деление? Сколько 196 разделить на 330 в длинное деление? Чему равно 264, разделенное на 965 в длинное деление? Чему равно 539, разделенное на 933 в длинное деление? Чему равно 938, разделенное на 1000 с использованием длинного деления? Чему равно 945, разделенное на 986 с использованием длинного деления? Чему равно 256, разделенное на 658 в длинное деление? Чему равно 831, разделенное на 861 с использованием длинного деления? Сколько 11 разделить на 41 в длинное деление? Чему равно 792, разделенное на 957 с использованием длинного деления? Чему равно 766, разделенное на 775 с использованием длинного деления? Чему равно 511, разделенное на 614 с использованием длинного деления? Сколько 142 разделить на 801 в длинное деление? Чему равно 670, разделенное на 757 с использованием длинного деления? Чему равно 743, разделенное на 770 с использованием длинного деления? Сколько будет 65 разделить на 419используя длинное деление? Чему равно 359, разделенное на 776 в длинном делении? Чему равно 702, разделенное на 965 с использованием длинного деления? Чему равно 652, разделенное на 675 с использованием длинного деления? Чему равно 510, разделенное на 595 с использованием длинного деления? Чему равно 471, разделенное на 937 в длинное деление? 0 6 8 4 8 — 9 9 4 8 — 4 8 0 Мэтуэй | Популярные проблемы (1/2) 92 92-4*-1+2 92 1 Найти том сфера (5)  2 Найти площадь круг (5)  3 Найдите площадь поверхности сфера (5)  4 Найти площадь круг (7)  5 Найти площадь круг (2)  6 Найти площадь круг (4)  7 Найти площадь круг (6)  8 11 Найти простую факторизацию 741 12 Найти том сфера (3)  13 Оценка 3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10 14 Найти площадь круг (10)  15 Найти площадь круг (8)  16 Найдите площадь поверхности сфера (6)  17 Найти простую факторизацию 1162 18 Найти площадь круг (1)  19 Найдите окружность круг (5)  20 Найти том сфера (2)  21 Найти том сфера (6)  22 Найдите площадь поверхности сфера (4)  23 Найти том сфера (7)  24 Оценка квадратный корень из -121 25 Найти простую факторизацию 513 26 Оценка квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9 27 Найти том коробка (2)(2)(2)  28 Найдите окружность круг (6)  29 Найдите окружность круг (3)  30 Найдите площадь поверхности сфера (2)  31 Оценка 2 1/2÷22000000 32 Найти том коробка (5)(5)(5)  33 Найти том коробка (10)(10)(10)  34 Найдите окружность круг (4)  35 Преобразовать в проценты 1,7 36 Оценка (5/6)÷(4/1) 37 Оценка 3/5+3/5 38 Оценка 40 Найти площадь круг (12)  41 Найти том коробка (3)(3)(3)  42 Найти том коробка (4)(4)(4) 45 Найти простую факторизацию 228 46 Оценка 0+0 47 Найти площадь круг (9)  48 Найдите окружность круг (8)  49 Найдите окружность круг (7)  50 Найти том сфера (10)  51 Найдите площадь поверхности сфера (10)  52 Найдите площадь поверхности сфера (7)  53 Определить, является простым или составным 5 60 Преобразование в упрощенную дробь 2 1/4 61 Найдите площадь поверхности сфера (12)  62 Найти том сфера (1)  63 Найдите окружность круг (2)  64 Найти том коробка (12)(12)(12)  65 Добавить 2+2= 66 Найдите площадь поверхности коробка (3)(3)(3)  67 Оценка корень пятой степени из 6* корень шестой из 7 68 Оценка 7/40+17/50 69 Найти простую факторизацию 1617 70 Оценка 27-(квадратный корень из 89)/32 71 Оценка 9÷4 72 Оценка 92 74 Оценка 1-(1-15/16) 75 Преобразование в упрощенную дробь 8 76 Оценка 656-521 9-2 79 Оценка 4-(6)/-5 80 Оценка 3-3*6+2 81 Найдите площадь поверхности коробка (5)(5)(5)  82 Найдите площадь поверхности сфера (8)  83 Найти площадь круг (14)  84 Преобразование в десятичное число 5/11 85 9-2 88 Оценка 1/2*3*9 89 Оценка 4/4-17/-4 90 Оценка 11. Формула сложения котангенса: доказательство, примеры, формулы сложения синусов и косинусов, tg суммы и разности alexxlab / 20.07.202305.05.2023 / Разное Формулы суммы и разности двух углов – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД Запомнить Восстановить пароль Регистрация Конспект Формулы сложения выражают синус, косинус, тангенс и котангенс суммы и разности двух углов поворота \(\alpha \ и\ \beta\) через тригонометрические функции этих углов. Синус суммы: \(sin \left( {\alpha + \beta } \right) = sin \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sin \beta\). Синус разности: \(sin \left( {\alpha — \beta } \right) = sin \alpha \cdot cos \beta — cos \alpha \cdot sin \beta\). Косинус суммы: \(cos(α+β)=cosα \cdot cosβ−sinα \cdot sinβ\). Косинус разности: \(cos(α−β)=cosα \cdot cosβ+sinα \cdot sinβ\). Тангенс суммы: \(tg \left( {\alpha + \beta } \right) = \large\frac{{tg \alpha + tg \beta }}{{1 — tg \alpha \cdot tg \beta }}\normalsize\). \circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4\). Вопросы Найдите значение \(ctg15°\). Упро­сти­те вы­ра­же­ние. \(\sqrt3cos\alpha-2cos(\alpha-\frac{\pi}6)\) Вычислите. \(cos15° + sin15° · ctg30°\) Найдите значение \(sin15°\). Упростите. \(\frac{sin(\alpha-\beta)+2cos\alpha\cdot sin\beta}{2cos\alpha\cdot cos\beta-cos(\alpha-\beta)}\) Найдите \(ctg\alpha, \ если \ tg(\alpha+\frac{\pi}4)=0,2\). {\circ}\) Сообщить об ошибке Обязательные Математическая грамотность Грамотность чтения История Казахстана Предметы по профилю Биология Химия Английский язык Французский язык География Немецкий язык Информатика Основы права Русская литература Математика Физика Русский язык Всемирная история Укажите предмет * Скопируйте и вставьте вопрос задания * Опишите подробнее найденную ошибку в задании * Прикрепите скриншот Объем файла не должен превышать 1МБ Казахский Русский Обратите внимание! По выбранным Вами предметам ГРАНТЫ не предоставлены. В AlmaU, Университете Нархоз и Каспийском Университете представлены специальности, где профильными предметами являются математика, физика, география, иностранный язык, Человек. Общество. Право, всемирная история, биология, химия и творческий экзамен. 1. Скачайте приложение iTest, используя QR-код или строку поиска в AppStore или Play Market 2. Авторизуйтесь в приложении и готовьтесь к экзаменам вместе с нами Формула — Котангенс суммы и разности Формула Котангенс суммы и разности Входящие величины \(\alpha\) — произвольный угол \((рад)\) \(\beta\) — произвольный угол \((рад)\) \[\mathrm{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha} \mathrm{ctg}{\beta} — 1}{\mathrm{ctg}{\beta} + \mathrm{ctg}{\alpha}}\] \[\mathrm{ctg}(\alpha — \beta) = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha} \mathrm{ctg}{\beta} + 1}{\mathrm{ctg}{\beta} — \mathrm{ctg}{\alpha}}\] Доказательство Докажем сначала контангес суммы. По определению контангенса: \[\mathrm{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)}\] Из формул косинуса и синуса суммы: \[\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{\cos{\alpha} \cos{\beta} — \sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}}\]   \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\sin\beta \ne 0\) т.к. при \(\sin\alpha =0\) не определен \(\mathrm{ctg}{\alpha}\) (ввиду деления на ноль), аналогично для \(\sin\beta\). Следовательно, можно разделить числитель и знаменатель дроби на \(\sin\alpha \sin\beta\).  \[\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta} — \sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}} = \frac{\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}} — \frac{\sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}}{\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}} + \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}} = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha}\mathrm{ctg}{\beta} — 1}{\mathrm{ctg}{\beta} + \mathrm{ctg}{\alpha}}\] Доказательство контангенса разности аналогично.  По определению контангенса: \[\mathrm{ctg}(\alpha — \beta) = \frac{\cos(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha — \beta)}\] Из формул косинуса и синуса суммы: \[\frac{\cos(\alpha — \beta)}{\sin(\alpha — \beta)} = \frac{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha} \cos{\beta} — \cos{\alpha} \sin{\beta}}\]   \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\sin\beta \ne 0\) т.к. при \(\sin\alpha =0\) не определен \(\mathrm{ctg}{\alpha}\) (ввиду деления на ноль), аналогично для \(\sin\beta\). Следовательно, можно разделить числитель и знаменатель дроби на \(\sin\alpha \sin\beta\).  \[\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha} \cos{\beta} — \cos{\alpha} \sin{\beta}} = \frac{\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}} + \frac{\sin{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}}{\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}} — \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}} = \frac{\mathrm{ctg}{\alpha}\mathrm{ctg}{\beta} + 1}{\mathrm{ctg}{\beta} — \mathrm{ctg}{\alpha}}\]     изменить / сообщить об ошибке связанные материалы Формула Синус суммы и разности Входящие величины \(\alpha\) — произвольный угол \((рад)\) \(\beta\) — произвольный угол \((рад)\) \[\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}\] \(\sin(\alpha — \beta) = \sin{\alpha} \cos{\beta} — \cos{\alpha} \sin{\beta}\) изменить / сообщить об ошибке Формула Косинус суммы и разности Входящие величины \(\alpha\) — произвольный угол \((рад)\) \(\beta\) — произвольный угол \((рад)\) \[\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha} \cos{\beta} — \sin{\alpha} \sin{\beta}\] \[\cos(\alpha — \beta) = \cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}\] изменить / сообщить об ошибке Формула Тангенс суммы и разности Входящие величины \(\alpha\) — произвольный угол \((рад)\) \(\beta\) — произвольный угол \((рад)\) \[\mathrm{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\mathrm{tg}{\alpha} + \mathrm{tg}{\beta}}{1 — \mathrm{tg}{\alpha} \mathrm{tg}{\beta}}\] \[\mathrm{tg}(\alpha — \beta) = \frac{\mathrm{tg}{\alpha}- \mathrm{tg}{\beta}}{1 + \mathrm{tg}{\alpha} \mathrm{tg}{\beta}}\] Доказательство Докажем сначала тангенс суммы.  По определению тангенса: \[\mathrm{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}\] Из формул косинуса и синуса суммы: \[\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} — \sin{\alpha} \sin{\beta}}\]   \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos\beta \ne 0\) т.к. при \(\cos\alpha =0\) не определен \(\mathrm{tg}{\alpha}\) (ввиду деления на ноль), аналогично для \(\cos\beta\). Следовательно, можно разделить числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha \cos\beta\).  \[\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} — \sin{\alpha} \sin{\beta}} = \frac{\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} + \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}}{\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} — \frac{\sin{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}} = \frac{\mathrm{tg}{\alpha} + \mathrm{tg}{\beta}}{1 — \mathrm{tg}{\alpha}\mathrm{tg}{\beta} }\] Доказательство тангенса разности аналогично.  По определению тангенса: \[\mathrm{tg}(\alpha — \beta) = \frac{\sin(\alpha — \beta)}{\cos(\alpha — \beta)}\] Из формул косинуса и синуса суммы: \[\frac{\sin(\alpha — \beta)}{\cos(\alpha — \beta)} = \frac{\sin{\alpha} \cos{\beta} — \cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}}\]   \(\cos\alpha \ne 0\) и \(\cos\beta \ne 0\) т.к. при \(\cos\alpha =0\) не определен \(\mathrm{tg}{\alpha}\) (ввиду деления на ноль), аналогично для \(\cos\beta\). Следовательно, можно разделить числитель и знаменатель дроби на \(\cos\alpha \cos\beta\).  \[\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta} — \cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \sin{\alpha} \sin{\beta}} = \frac{\frac{\sin{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} — \frac{\cos{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}}{\frac{\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}} + \frac{\sin{\alpha} \sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}}} = \frac{\mathrm{tg}{\alpha} — \mathrm{tg}{\beta}}{1 + \mathrm{tg}{\alpha}\mathrm{tg}{\beta} }\]     изменить / сообщить об ошибке Формулы сложения и вычитания для тангенса и котангенса Формула сложения касательной На предыдущей странице мы получили тождества сложения для синуса и косинуса: \[\ грех \ влево ( {\ альфа + \ бета } \ вправо) = \ грех \ альфа \ соз \ бета + \ соз \ альфа \ грех \ бета , \] \[\cos \left( {\alpha + \beta} \right) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta . \] Предположим теперь, что \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0,\) или \(\alpha + \beta \ne \frac{\pi }{2} + \pi n ,\) \(n \in \mathbb{Z}.\) Кроме того, пусть также \(\cos \alpha \ne 0\) и \(\cos \beta \ne 0,\), т. е. \(\ alpha, \beta \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\) \(n \in \mathbb{Z},\), так что мы можем разделить на \(\cos\alpha\cos\ бета.\) Тогда формула сложения тангенсов будет равна \[\require{cancel} \tan \left({\alpha + \beta} \right) = \frac{{\sin \left({\alpha + \beta} \right)}}{{\cos\ слева ( {\ альфа + \ бета } \ справа)}} = \ гидроразрыва {{\ грех \ альфа \ соз \ бета + \ соз \ альфа \ грех \ бета}} {{\ соз \ альфа \ соз \ бета — \ грех \ альфа \ грех \ бета}} = \ гидроразрыва {{\ гидроразрыва {{\ грех \ альфа \ соз \ бета + \ соз \ альфа \ грех \ бета}} {{\ соз \ альфа \ соз \ бета}}} }{{\ frac {{\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta}} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}}}} = \ frac {{\ frac {{\ sin \alpha \cancel{\cos\beta}}}{{\cos\alpha\cancel{\cos\beta}}} + \frac{{\cancel{\cos\alpha}\sin\beta}}{{ \cancel{\cos\alpha}\cos\beta}}}}{{\frac{\cancel{\cos\alpha\cos\beta}}}{\cancel{\cos\alpha\cos\beta}} — \ frac {{\ sin \ alpha \ sin \ beta}} {{\ cos \ alpha \ cos \ beta}}}} = \ frac {{\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} {{1 — \ tan \ альфа\тангенс\бета}}. \] Следовательно, \[\tan\left( {\alpha + \beta} \right) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 — \tan\alpha\tan\beta}\] Формула вычитания касательной Функция тангенса нечетная: \[\ тан \ влево ( { — \ бета } \ вправо) = \ гидроразрыва {{\ грех \ влево ( { — \ бета } \ вправо)}} {{\ соз \ влево ( { — \ бета } \ вправо )}} = \ frac {{ — \ sin \ beta }} {{\ cos \ beta }} = — \ tan \ beta .\] Заменяя \(\beta \to -\beta\) в формуле сложения тангенсов, получаем формулу вычитания тангенсов: \[\ tan \left( {\alpha — \beta} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \left({ — \beta} \right)}}{{1 — \tan \ alpha \tan \left( { — \beta } \right)}} = \frac{{\tan \alpha — \tan \beta}}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }}.\] Таким образом, \[\tan\left( {\alpha — \beta} \right) = \frac{\tan\alpha — \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\] Формула сложения котангенса Аналогичным образом мы можем установить тождество сложения для котангенса. Пусть \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) \ne 0,\), то есть \(\alpha + \beta \ne \pi n,\) \(n \in \mathbb {Z}.\) Мы также предполагаем, что \(\sin\alpha \ne 0\) и \(\sin\beta \ne 0,\) или \(\alpha ,\beta \ne \pi n,\) \(n \in \mathbb{Z},\), так что мы можем разделить на \(\sin\alpha\sin\beta.\) Тогда у нас есть \[\ кроватка \ влево ( {\ альфа + \ бета} \ вправо) = \ гидроразрыва {{\ соз \ влево ( {\ альфа + \ бета} \ вправо)}}} {{\ грех \ влево ( {\ альфа + \ beta } \ right)}} = \ frac {{\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta}} {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ бета}} = \ гидроразрыва {{\ гидроразрыва {{\ соз \ альфа \ соз \ бета — \ грех \ альфа \ грех \ бета}} {{\ грех \ альфа \ грех \ бета}}}} {{\ гидроразрыва {{\ грех \ альфа \ соз \ бета + \ соз \ альфа \ грех \ бета}} {{\ грех \ альфа \ грех \ бета}}}} = \ гидроразрыва {{\ гидроразрыва {{\ соз \ альфа \ соз \beta}}{{\sin\alpha\sin\beta}} — \frac{\cancel{\sin\alpha\sin\beta}}{\cancel{\sin\alpha\sin\beta}}}}{ {\ гидроразрыва {{\ отмена {\ грех \ альфа} \ соз \ бета}} {{\ отмена {\ грех \ альфа} \ грех \ бета}} + \ гидроразрыва {{\ соз \ альфа \ отмена {\ грех \ бета} }}{{\sin \alpha \cancel{\sin\beta} }}}} = \frac{{\cot \alpha \cot \beta — 1}}{{\cot \beta + \cot\alpha }}. \] Мы получили следующий результат: \[\cot\left( {\alpha + \beta} \right) = \frac{\cot\alpha\cot\beta — 1}{\cot\alpha + \cot\beta}\] Котангенс суммы двух углов также может быть выражен через тангенсы: \[\cot\left( {\alpha + \beta} \right) = \frac{1 — \tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha + \tan\beta}\] Формула вычитания котангенса Сначала заметим, что функция котангенса нечетна: \[\ кроватка \ влево ( { — \ альфа } \ вправо) = \ гидроразрыва {{\ соз \ влево ( { — \ альфа } \ вправо)}} {{\ грех \ влево ( { — \ альфа} \ вправо )}} = \frac{{\cos \alpha}}{{ — \sin \alpha}} = — \cot \alpha .\] Теперь мы можем легко вывести формулу вычитания котангенса. Получается заменой \(\beta\to-\beta\) в формуле сложения котангенсов: \[\ раскладушка \ влево ({\ альфа — \ бета} \ справа) = \ гидроразрыва {{\ раскладушка \ альфа \ раскладушка \ влево ( { — \ бета} \ справа) — 1}} {{\ раскладушка \ альфа + \cot \left( { — \beta } \right)}} = \frac{{ — \cot \alpha \cot \beta — 1}}{{\cot \alpha — \cot \beta}} = \frac {{\cot \alpha \cot \beta + 1}}{{\cot \beta — \cot \alpha}}. \] Итак, у нас есть \[\cot\left( {\alpha — \beta} \right) = \frac{\cot\alpha\cot\beta + 1}{\cot\beta — \cot\alpha}\] В терминах тангенсов формула вычитания котангенса имеет вид \[\cot\left( {\alpha — \beta} \right) = \frac{1 + \tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha — \tan\beta}\] См. решенные проблемы на стр. 2. Тождества суммы и разности углов Тождество суммы и разности углов Мы используем MathJax Встречаются тригонометрические функции суммы или разности двух углов часто в приложениях. Есть несколько способов подтверждения эти результаты. Теорема о сумме и разности углов Следующие тождества верны для всех значений, для которых они определено: $\sin(A\pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ $\cos(A\pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ $\tan(A\pm B) = \dfrac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ $\cot(A\pm B) = \dfrac{\cot A \cot B \mp 1}{\cot B \pm \cot A}$ $\sec(A\pm B) = \dfrac{\sec A \sec B \csc A \csc B}{\csc A \csc B \mp \sec A \sec B}$ $\csc(A\pm B) = \dfrac{\sec A \sec B \csc A \csc B}{\sec A \csc B \pm \csc A \sec B}$ Доказательство: Пусть $P$ будет точкой с координаты   $(1,0)$. Отсчитываем против часовой стрелки от точки $P$, пусть $Q$ — точка, длина дуги которой равна $A$, пусть $R$ — точка, длина дуги которой равна  $A+B$,  и пусть $S$ будет точкой, длина дуги которой равна $-B$. Тогда   $(\cos A,\sin A)$ — координаты точки $Q$, $(\cos(A+B),\sin(A+B))$ — координаты точки $R$, $(\cos(-B),\sin( -B))$   — координаты точки $S$. 92 \end{уравнение*} Используя симметричное и пифагорейское тождества, это упрощается, чтобы стать формулой суммы углов для косинуса. Доказательство формулы разности углов для косинус выглядит следующим образом: \начать{выравнивать} \cos(A-B) &= \cos(A+(-B)) \\ &= \cos A \cos(-B)-\sin A \sin(-B) \\ &= \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{выравнивание} Тогда, используя теорему о кофункциях, мы можем получить формулы для синуса: \начать{выравнивать} \sin(A \pm B) &= \cos\left( \dfrac{\pi}{2}-(A\pm B)\right) \\ &= \cos\left( \left(\dfrac{\pi}{2}-A\right) \mp B\right) \\ &= \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-A\right)\cos B \pm \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-A\right)\sin B \\ &= \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \end{выравнивание} По результатам формул синуса и косинуса можно вывести еще четыре формулы. ♦ Формулы также можно вывести с помощью треугольников. Хотя мы ссылаемся на следующий вывод как на доказательство, на самом деле значения углов $A$ и $B$, допускаемые выводом, весьма ограничены, и на самом деле требуется более общее доказательство. Альтернативное доказательство: Пусть положительный даны углы $A$ и $B$, сумма которых меньше 90 градусов. Построить отрезок $PU$ длины 1. Построить треугольник $TPU$ так, чтобы угол $TPU$ был равен угол $A$, а угол $TUP$ равен дополнению к $A$. Построить описанный прямоугольник $PQRS$ так, что угол $QPT$ равен углу $B$, угол $QPU$ равен сумме углов $A$ и $B$, точка $T$ лежит на сегмент $QR$ и $U$ находятся на сегменте $RS$. Обратите внимание, что угол $RTU$ также равен углу $B$. Треугольник Соотношения Теорема, имеем: \начать{выравнивать} \sin(A+B) &= УФ \\ &= RT+QT \\ &= ТУ \cos B + PT \sin B \\ &= \sin A \cos B + \cos A \sin B \end{выравнивание} Доказательство идентичности суммы углов для косинуса похожий. Тождества разности углов могут быть получены непосредственно с того же рисунка, отождествив угол $A$ с углом $TPS$, и угол $B$ с углом $TPU$.♦ Существует несколько классов удостоверений, которые непосредственные следствия суммы углов и Теорема о разнице. 92 т}$ $\csc 2t = \dfrac{\sec t \csc t}{2}$ Доказательство: Доказательство двойного формула угла для синуса выглядит следующим образом: \начать{выравнивать} \sin 2t &= \sin (t+t) \\ &= \sin t \cos t + \cos t \sin t \\ &= 2 \sin t \cos t \end{выравнивание} Доказательства формул двойного угла для других пять функций похожи.♦ Теорема о снижении мощности Следующие тождества верны для всех значений, для которых они определено: 92 t = \dfrac{2}{1-\cos 2t}$

Доказательство: формула синуса, начнем с косинуса двойного угол формулу и заменить квадрат косинуса, используя тождество Пифагора. Полученное уравнение можно решить относительно синусоидального квадрата. Доказательства степенных формул для остальных пяти функций похожи.♦

Теорема о половинном угле

Следующие тождества верны для всех значений, для которых они определено:

Доказательство: 92 t}{2\sin t\cos t} = \dfrac{\sin t}{\cos t} = \tan t \end{выравнивание}

Подстановка в этот результат дает тангенс Формула половинного угла. Доказательство формулы котангенса аналог.♦

Теорема о произведении суммы

Следующие тождества верны для всех вещественных значений.

Доказательство: Расширение и упрощение правая часть каждой формулы с использованием угла Сумма и Теорема о разностях даст левую часть.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Error

Skip to main content

Sorry, the requested file could not be found

More information about this error

Jump to… Jump to. ..МАТЕМАТИКА Выпуск 1, 2ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 1. Тождественные преобразованияСодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 3,4ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 2. Алгебраические уравнения и неравенстваСодержание МАТЕМАТИКА Выпуск 5, 6Задачи и упражнения Выпуск 4 Пропорции, проценты, задачи на составление уравнений. ПрогрессииСодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 7ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 3 Логарифмы Показательные и логарифмические уравнения и неравенстваСодержаниеЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 5 Тригонометрия СодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 9ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 6 ПланиметрияСодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 10, 11Задачи и упражнения Выпуск 7 Стереометрия. ВекторыСодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 12Задачи и упражнения Выпуск 8 Элементы математического анализаСодерханиеМатематика контрольные работы для абитуриентов целевого набора.Вариант тестирования 1Вариант тестирования 2Вариант тестирования 3

Drop the block here to make it dock

Решение уравнений (подготовка к экзамену). 9 класс

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Добро пожаловать! МБОУ СОШ №1 с. НОГИР

2. Урок повторения в 9 классе. Тема урока: «Решение уравнений» ( подготовка к экзамену).

Учитель математики
МОУ-СОШ №1
С.Ногир
Качмазова Ира Даниловна

3. Устная работа

Решите уравнение:
2 х 6 10
14 х 7
х 2 16 0
х 3 5 2х
х 2 25 0
х2 0

5.

Найдите корни уравнения (х -2)(х+3)=0. (Выбрать один из вариантов ответа.)А)
Б)
В)
Г)
5
7
5 и -7
-5 и 7
Решение:
(х-5)(х+7)=0
х-5=0 или х+7=0
х=5
х=-7
Ответ: В) 5 и -7.

6. Решить уравнения.

1) 4х2=16
2) 19х2=0
3) х2+16=0
4) х2-36=0
5) 9х2-9=0
6) х2-4х-5=0
7) х2+8х+7=0
Ответы:
1) 2 и -2
2) 0
3) нет корней
4)6 и -6
5) 1 и -1
6) 5 и -1
7) -1 и -7

7. Из истории математики (уравнения первой степени)

В древних математических задачах Междуречья,
Индии, Китая, Греции неизвестные величины
выражали число павлинов в саду, количество быков в
стаде и т.д. Хорошо обученные науке счёта писцы,
чиновники и посвященные в тайные знания жрецы
довольно успешно справлялись с такими задачами.

8. Из истории математики

Новый великий прорыв в алгебре связан с именем
французского ученого XVI в Франсуа Виета. Он
первым из математиков ввел буквенные обозначения
для коэффициентов уравнения и неизвестных
величин.
А традицией обозначать неизвестные величины
последними буквами латинского алфавита (x, y или z)
мы обязаны его соотечественнику – Рене Декарту.

9. Из истории математики (уравнения второй степени)

Впервые квадратное
уравнение сумели
решить математики
Древнего Египта.
Зависимость
между корнями
квадратного
уравнения и его
коэффициентами
называют формулой
Виета

10. Из истории математики (уравнения третьей степени)

Если квадратные
уравнения умели решать
еще математики Вавилонии
и Древнего Египта, то
кубические уравнения
оказались «крепким
орешком».
И всё же усилиями
итальянских
алгебраистов метод их
решения был найден, а
формула для их
решения носит имя
Кардано.

11. Решить уравнение 0,5(5х+2)=3,5(х-6)

А) 22
Б) -22
В) 20
Г) -20
Решение:
0,5(5х+2)=3,5(х-6)
2,5х+1=3,5х-21
2,5х-3,5х=-21-1
-х=-22
х=22
Ответ: А) 22.

12.

Найдите корень уравнения (7-х)(х+7) + х(х-14)=49. (Выбрать один из вариантов ответа.)А) 0
Б) 7
В) -14
Г) -7
Решение:
(7-х)(х+7)+х (х-14)=49
(7-х)(7+х)+х²-14х=49
49-х²+х²-14х=49
-14х=49-49
-14х=0
х=0
Ответ: А) 0.

13. Сколько корней имеет уравнение | x | = a?

1) | x | = 5;
2) | x | = 0;
1) 2 корня:
х = 5 и х = -5.
2) 1 корень: х = 0.
3) | x | = -7.
3) Нет корней.

14. Сколько корней имеет уравнение?

1) 5х2-6х+1=0
2) х2-3х+5=0
3) х2-4х+4=0.
Ответы:
1) D>0, значит,
2 корня.
2)D<0,значит,
нет корней.
3)D=0,значит,
1 корень.

15. Найдите сумму и произведение корней уравнения.

х2-5х+6=0
Ответ:
По формулам
Виета:
x1+x2= 5,
x1x2= 6.

16. Решить уравнение x3-10×2+24x=0 (Выбрать один из вариантов ответа.)

А) 0; 4; 6
Б) 0; 4
В) 0;6
Г) -4; 0
Ответ:
А) 0; 4; 6.

17. Решите биквадратное уравнение.

Решение:
х4-5х2+4=0
Пусть х2 = t, t>0.
t2-5t+4=0
D=25-16=9
t1= 4
t2= 1
Значит,
х2 = 4 или х2 = 1
x=±2
x=±1
Ответ: -2; 2; -1; 1.

18. Решить уравнение (x2+4x)(x2+4x-17)+60=0  

Решить уравнение
(x2+4x)(x2+4x-17)+60=0
Решение: (x2+4x)(x2+4x-17)+60=0
Пусть x2+4x=t, тогда
t(t-17)+60=0,
t2-17t+60=0,
D=289-240=49,
t1= 12, t2 = 5,
Значит, x2+4x=12 или x2+4x=5
x1=-6, x2=2, x3=1, x4=-5.
Ответ: -6; 2; 1; -5.

19. Решить уравнения.

1) (x+6)(2×2-8)=0
2) (3x-1)(x2-9)=0
3) x3-2×2=0
Ответы.
1) -6; 2;-2
2) 1/3; 3; -3
3) 0; 2

English     Русский Правила

Онлайн тест по Математике по теме Решение уравнений

Вашему вниманию предлагается тест по математике «Решение уравнений» за 2 класс общеобразовательной школы. Чтобы успешно его пройти необходимо понимать, в чем состоит смысл самого понятия «уравнение». Например, должны ли быть обе части равны друг другу, или нет и почему. Прививая понятие смыла, мы учим ребенка думать и совершать простые логические действия самостоятельно, ограждая его тем самым от «тупого» тестового ответа. Важно, чтобы дети с первых лет в школе научились этому и далее получали бы радость не только от результата, но и от процесса обучения. Ученик должен быть знаком с правилами нахождения неизвестного, знать и понимать, что такое слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, разность и сумма. Также, для самоконтроля он может и должен уметь проверить правильность решения своего уравнения. Кроме того, в тесте неизвестное представлено не только в классическом виде «х», но есть и вариант «b», что позволяет ученику привыкнуть к многообразию данной позиции. Сам тест – это своего рода проверочная, итоговая работа, поэтому необходимо обладать определенными навыками решения такого рода уравнений. Время в тесте неограниченно, но тестируемый не должен засыпать над заданием или долго вспоминать, как это делается. В процессе прохождения теста необходимо следить за психологическим состоянием ребенка, объясняя ему, что ошибки – это не всегда так уж и плохо, Приступая к заданию можно предложить тестируемому ручку и бумагу для более успешного прохождения теста, но выбор, по-прежнему, остается за учеником.

Сами примеры просты, понятны и разнообразны. Безусловно, для достижения наилучшего результата, можно попробовать пройти его еще раз, предварительно потренировавшись над неудачными вариантами.

---

---

Пройти тест онлайн

1. Найдите верное определение понятия «уравнение».

Уравнение – это равенство


Уравнение – это неравенство


Уравнение – это неравенство, которое содержит неизвестное число


Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число

2. Найдите среди данных записей уравнение

а + в


5 + в


3 + х = 5


3 + 6 = 9

3. Решите уравнение 6 + а = 12

а = 4


а = 5


а = 6


а = 7

4. Решите уравнение х – 4 = 8

х = 10


х = 11


х = 4


х = 12

5. В каком уравнении х = 5?

х + 4 = 9


х – 7 = 5


8 – х = 4


12 — х = 8

6. Решить уравнение – значит найти такое число. При котором получается верное …

неравенство


выражение


равенство

7. Какое уравнение имеет наибольшее значение х?

20 – х = 19


х + 5 = 10


х – 8 = 10


19 – х = 12

8. Какое уравнение имеет наименьшее значение х?

13 + х = 14


17 – х = 9


х – 5 = 10


х + 9 = 9

9. Где уравнение решено не верно?

х + 2 = 10, х = 8


х – 5 = 8, х = 13


14 – х = 4, х = 9


7 + х = 10, х = 3

10. В каком уравнение в = 8?

в + 7 = 12


в – 4 = 6


7 + в = 15


12 – в = 0

---

---

Ещё никто не оставил комментария, вы будете первым.

Написать комментарий

Другие тесты

Алгебра 2 (Решение уравнений, глава 4) (Математические классы миссис Бенке)

U3D0 – Схема решения уравнений            БЛОК 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ):

В этом блоке мы будем решать уравнения первой степени, а текстовые задачи можно моделировать с помощью уравнений первой степени.

Критерии успеха (Я могу…):

• Решить простые уравнения
• Решение многошаговых уравнений
• Решение уравнений с дробями
• Преобразование формул с переменными первой степени
• Решение текстовых задач, которые можно смоделировать с помощью уравнения с одной переменной
• Решение задач с применением процентов, соотношений, норм и пропорций

День	Урок	Текст Арт.	Задать. / Домашнее задание
1	Диагностический тест U3D1 Решение простых уравнений U3D1_T_Решение простых уравнений	4.1	Стр. 193-195 №3, 5, 6, 8-13, 16, 18, 20
2	U3D2_S_Решение многошаговых уравнений U3D2_T_Решение многошаговых уравнений	4,2	Стр. 200-202 #2, 4 («корень» просто означает «решение»), 5а, 6а, 8, 9, 10, 13 Задача Страница 203 #18-21 Дополнительный рабочий лист по решению уравнений Викторина #1 ПРАКТИКА Практика для решения викторины #1
3	ВИКТОРИНА №1 U3D3_S – Решение уравнений с дробями, часть 1 U3D3_T – Решение уравнений с дробями I (Перекрестное умножение)	4,3	Стр. 208-209 #1, 3ас, 4ас, 5-8
4	U3D4_S – Решение уравнений с дробями, часть 2 U3D4_T – Решение уравнений с дробями II	4,3	Стр. 208-210  #3бд, 4бд, 11, 12, Рабочий лист 3.3 Решение уравнений с дробями Рабочий лист 3.3 Решения  Страница вызова 210 #13 U3D4 Тест №2 ПРАКТИКА U3D4_Quiz#2 ПРАКТИЧЕСКИЕ Решения
5	ВИКТОРИНА №2 U3D5_S — Моделирование с помощью формул (Перестановка уравнений) U3D5_T – Моделирование с помощью формул	4,4	Стр. 215-219 №1-3, 6-8, 10-12, 15, 16а Вызов Страница 219 #18, 19 U3D5_W — Рабочий лист — Дополнительная практика с уравнениями
6	U3D6_S Вопросы по истории номеров U3D6_T Вопросы по истории номеров	4,5	Стр. 226-227 № 1-11 Дополнительная практика: Рабочий лист 3.4 Вопросы по номерам Дополнительная практика Рабочий лист 3. 4 Решения
7	U3D7_S Вопросы по тарифам на единицу измерения U3D7_T Вопросы по тарифам на единицу измерения	4,5	Рабочий лист 3.5. Вопросы по расценкам за единицу Рабочий лист 3.5 Решения
8	Блок 3 Обзор U3D8_S Обзор информации См. старый тест Google Classroom, чтобы понять, чего ожидать.		стр. 230-231 #2, 5, 7, 8, 9, 11, 12-16, Готово U3D5_W — Рабочий лист — Дополнительная практика с уравнениями для большей практики Дополнительная практика: Стр. 232-233 #1-10 U3D8_W_Extra Вопросы по истории обзора U3D8_W_Extra Обзор РЕШЕНИЯ Вопросы истории
9	ТЕСТ

 

Решение уравнений для 9 класса. Обзор задач и ответов для викторин и рабочих листов

Поиск среди миллионов викторин

ВИКТОРИНА

Математика

69%

точность

16

играет

Стефани РАМСИ

3 года

Математика

Стефани РАМСИ

16

играет

16 вопросов

Устройства учащихся не требуются. Узнать больше

16 вопросы

Показать ответы

См. предварительную версию

• 1. Множественный выбор

  5 минут

  1 балл

  Какой первый шаг в решении этого уравнения:
  5x + 7 = 12 9000 3

  Разделить на 5

  Вычесть 5

  Умножить на 7

  Вычесть 7

• 2. Множественный выбор

  5 минут

  1 pt

  Решить для x:
  8x — 10 = -34

  4

  3

  -3

  -24

• 3. Множественный выбор

  5 минут

  1 точка

  Решите:
  3(x — 2) = 18

  6,7

  4

  8

  -4

• 4. Множественный выбор

  5 минут

  1 pt

  Найдите ошибку в задаче ниже

  19 — 2к = 3к — 1

  19+ 1k = -1

  k = -20

  Они должны были разделить на 1 для последнего шага

  Они должны добавить 19 вместо вычитания 19

  Я не могу найти ошибку

  Вместо добавления 3k они должны вычесть 3k

• 5. Множественный выбор

  5 минут

  1 балл

  Шаги решения 5b — 6 = 24:

  900 02 Прибавьте 6 к обеим сторонам и разделите обе стороны на 5

  Прибавьте 6 в обе стороны и умножьте обе стороны на 5

  Вычесть 6 с обеих сторон, затем умножить обе стороны на 5

  Вычесть 6 с обеих сторон, затем разделить обе стороны на 5

• 1 точка

  Решить. n — (-2) = -14

  -16

  16

  12

  -12

• 7. Множественный выбор

  9 0377 15 минут

  1 часть

  7x = 3x + 24

  6

  10

  14

  4

• 8. Несколько вариантов 9000 3

  15 минут

  1 точка

  2x = x + 3

  6

  3

  2

  x

• 9. Множественный выбор

  15 мин.

  5 — 2т = 3т

  1

  5

  3

  2

• 10. Множественный выбор

  15 минут

  1 точка 9000 3

  17 = х + 3

  х = 20

  х = 14

  х = 13

  x = 19

• 11. Множественный выбор

  15 минут

  1 балл

  x + 12 = 20 9 0003

  х = 32

  х = -32

  x = 8

  x = -8

• 12. Множественный выбор

  15 минут

  1 точка

  x — 32 = 49

  х = 17

  х = 71

  х = 81

  x = 49

• 13. Множественный выбор

  5 минут

  1 точка

  x — 62 = 1 23
  Как вам следует показать свою работу, чтобы изолировать переменную и решить уравнение?

  Добавьте 62 с каждой стороны.

  Вычтите 62 с каждой стороны.

  Умножьте каждую сторону на 62.

  Добавьте 123 к каждой стороне.

• 14.