Автор: alexxlab

Конспект урока «Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники»

Теорема о сумме углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Из теоремы следует, что если в треугольнике один из углов является прямым или тупым, то сумма двух других углов данного треугольника не больше 90 градусов, а следовательно, каждый из них острый.

По величине углов выделяют следующие виды треугольников.

Определение:

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые.

Определение:

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой.

Определение:

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из его углов является прямым.

Нужно знать, что стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия.

Итак, две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Если взять прямоугольный лист бумаги и разрезать его, получим:

Получим две модели прямоугольного треугольника.

Пример.

Доказать, что угол с вершиной на окружности, опирающийся на диаметр, — прямой.

Для начала соединим точку В с точкой О, которая является центром нашей окружности. Так как отрезки ОА, ОВ и ОС равны как радиусы окружности, то треугольники АОВ и ВОС являются равнобедренными. А значит, у них углы при основаниях равны. Обозначим градусные меры этих углов m и n. Тогда ∠АОВ=2n, так как он является внешним углом треугольника ВОС, смежным с ∠ВОС. А нам известно, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

А так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то:

Что и требовалось доказать.

Пример.

Доказать, что если в равнобедренном треугольнике АВС один из углов равен 60 градусов, то он равносторонний.

Если ∠А при основании равнобедренного треугольника АВС равен 60 градусов, то и второй ∠С при основании равен 60 градусам. Получаем:

Следовательно, треугольник АВС равносторонний.

Пусть ∠В при вершине равнобедренного треугольника АВС равен 60 градусам. Тогда получим:

А так как углы А и С- углы при основании равнобедренного треугольника, то они равны между собой и равны 60 градусам. А следовательно, и в этом случае треугольник АВС является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Пример.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике АВС медиана, проведённая к гипотенузе АВ, равна половине гипотенузы.

Отложив ∠2=∠1, получаем:

Треугольник ADC является равнобедренным. А следовательно, отрезок DA=DC.

Так как по условию угол АВС — прямой, то:

Известно, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, то есть:

Тогда из равенств получаем:

Из этого следует, что ВСD равнобедренный треугольник, у которого стороны DB и DC равны.

Следовательно, СD - медиана и СD равняется половине гипотенузы АВ. Что и требовалось доказать.

Предыдущий урок 19 Теорема о сумме углов треугольника

Следующий урок 21 Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Геометрия 7 класс

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Остроугольный треугольник – определение и свойства

4. 5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 316.

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 316.

В школьном курсе геометрии изучают разные виды треугольников. В задачах очень часто рассматривают остроугольный треугольник, поэтому стоит особенно пристально изучить свойства этой фигуры.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Определение понятия

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, и трех отрезков их соединяющих. В зависимости от углов треугольник может быть:

• Прямоугольным, если один из углов равен 90 градусов;
• Тупоугольный, если один из углов тупой, т.е. больше 90 градусов;
• Остроугольным, если все углы треугольника острые.

Для решения задач с остроугольными треугольниками часто приходится использовать теорему синусов или косинусов.

Еще в Древней Греции математики изучали треугольники. Именно греки разработали основы современной геометрии, куда входит и множество теорем о треугольниках. Например, автор теоремы Пифагора родом из Древней Греции.

Характеристики

В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов. Но сумма углов в треугольнике всегда равна 180. В любой фигуре вершины обозначают заглавными латинскими буквами.

Одним из элементов треугольника, вместе со сторонами и углами, является внешний угол. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника.

У любого треугольника 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Любой внешний угол остроугольного треугольника всегда будет тупым.

Линии остроугольного треугольника

Остроугольный треугольник обладает рядом свойств.

Медиана геометрической фигуры будет делить сторону, на которую она опущена, пополам. Причем можно провести этот отрезок с любой вершины. Медианы пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1.

Известно, что если провести три высоты в остроугольном треугольнике, то они будут пересекаться в одной точке, которую называют ортоцентром. Эти отрезки опускают под прямым углом к противоположным сторонам. Высоты в остроугольном треугольнике разделяют эту фигуру на прямоугольные треугольники.

Биссектрисы в остроугольном треугольнике не только делят углы пополам. Эти отрезки пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.

Также биссектриса разделяет сторону остроугольного треугольника на две части, которые пропорциональны соответствующим боковым сторонам. Данное утверждение нужно запомнить, чтобы решать некоторые задачи.

Свойства

Если суммировать числовые значения любых двух сторон остроугольного треугольника, то обязательно получим цифру, которая будет больше третьего отрезка данной геометрической фигуры.

Средняя линия в остроугольном треугольнике параллельна одной из сторон данной фигуры и равна ее половине.

Что мы узнали?

В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90 градусов. Общая сумма углов здесь также равняется 180 градусов. Нельзя забывать о характерных линиях треугольника. Поскольку с их помощью легко вычислить стороны данной треугольной фигуры или центр определенной окружности. А если в условиях задач по геометрии указаны углы, то можно воспользоваться тригонометрическими функциями.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Людмила Рогатина

  10/10

• Алексей Рудых

  10/10

• Константин Никитич

  9/10

• Ярик Бондарев

  10/10

• Глеб Быков

  10/10

Оценка статьи

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 316.

А какая ваша оценка?

4.013 острый угол Стоковые фото, картинки и изображения

угол разные степени. набор векторных иконок, состоящих из углов разных градусовPREMIUM

Угол разных градусов. символ геометрии, математики. набор векторных значков, состоящих из углов разной степени. vector illustrationPREMIUM

Типы треугольников на основе длины стороны, набор математической формы треугольника, линейная иллюстрация, черно-белый цвет — vectorPREMIUM

Векторная плоская иллюстрация линейки, линейки, треугольной линейки, транспортира. школьные принадлежности. измерительный инструмент. значок векторной линии. для Интернета, значок, приложение, пользовательский интерфейс. изолированные на белом.ПРЕМИУМ

Типы треугольников по сторонам, математические базовые фигуры, плоский дизайн иллюстраций — vectorPREMIUM

Типы треугольников: по длинам сторон (равносторонний, равнобедренный, разносторонний) по внутренним углам (прямой, тупой, острый). векторная иллюстрация для образовательных и научных целей. PREMIUM

Типы углов: тупой, прямой, острый, прямой, дополнительный и противоположный. векторный набор изолирован на странице бумажной тетради.ПРЕМИУМ

Типы треугольников на белом фоне векторная иллюстрацияПРЕМИУМ

Типы коллекции векторных иллюстраций треугольников. пример равносторонних 3 равносторонних, равнобедренных 2 равносторонних или одинаковых угловых фигур. изучить набор руководств по геометрии шпаргалки. образовательная информация.PREMIUM

Типы треугольников на белом фоне векторная иллюстрацияPREMIUM

Абстрактный витражный фон, монохромный, коричневый тонPREMIUM

Абстрактный витражный фон, цветные элементы расположены в радужном спектреPREMIUM

Измерительные инструменты. линейки, треугольник и транспортир набор векторной иллюстрацииПРЕМИУМ

Векторные измерительные инструментыPREMIUM

Типы треугольниковPREMIUM

Иллюстрация острого углаPREMIUM

Угол 180, 45,30,90 градусов векторная иллюстрация. символ геометрии, математики. набор векторных значков, состоящих из углов разной степени на белом изолированном фоне. слои сгруппированы для удобства редактирования иллюстрации. для вашего дизайна.PREMIUM

Геометрический ретро-узор с треугольниками. абстрактный мозаичный фон.PREMIUM

Абстрактный витражный фон, цветные элементы расположены в радужном спектреPREMIUM

Угол с разными градусами. значок тупого и острого угла. треугольник с углами 90, 45, 120, 180 и 60 градусов. символ меры и математики. vector.PREMIUM

Светящаяся неоновая линия под острым углом 45 градусов значок изолирован на черном фоне. векторная иллюстрацияPREMIUM

Школьные инструменты, векторный набор линеек. инструментальная линейка для измерения и инструментальная линейка сантиметр и миллиметровая шкала иллюстрацияPREMIUM

Острый угол 45 градусов векторный значок изолирован на прозрачном фоне, острый угол 45 градусов логотип концепцииPREMIUM

Иллюстрация в витражном стиле с абстрактным фоном, коричневой плиткой, сепией, овальной картинкойPREMIUM

Абстрактный геометрический радиальный круговой узор для декоративной круглой рамки. vector art.PREMIUM

Абстрактный геометрический радиальный круг для декоративной круглой рамки. vector art.PREMIUM

Светящаяся неоновая линия под острым углом 45 градусов значок изолирован на фиолетовом и зеленом фоне. векторная иллюстрацияPREMIUM

Набор иконок с поворотом на 45, 90, 180 и 360 градусов. градус вращения 180ПРЕМИУМ

Абстрактный витражный фон, цветные элементы расположены в радужном спектреPREMIUM

Бесшовный узор из прямоугольников или ромбов в модном неоновом цвете лаймаPREMIUM

Три металлические стрелки, указывающие вверх, изолированы на белом. восходящая, взрослая концепция. 3D-рендерингPREMIUM

Черная линия под острым углом 45 градусов на зеленом и белом фоне. случайные динамические формы. векторная иллюстрацияPREMIUM

Светящаяся неоновая линия под острым углом 45 градусов значок изолирован на черном фоне. красочная концепция контура. векторПРЕМИУМ

Поп-арт острый угол 45 градусов значок изолирован на цветном фоне. vector illustrationPREMIUM

Абстрактная форма случайной геометрии. генеративное искусство, геометрический зигзаг, крест-накрест, угловатая, острая иллюстрация. странный, странный красочный элемент дизайнаPREMIUM

Зеленая линия под острым углом 45 градусов значок изолирован бесшовный узор на синем фоне. векторная иллюстрацияPREMIUM

Бесшовный узор из ромбов. пластиковые розовые леденцы плитка RepeatPREMIUM

Линия поп-арта под острым углом 45 градусов значок изолирован на цветном фоне. векторная иллюстрацияПРЕМИУМ

Заполненный контур острого угла значка 45 градусов, выделенного на белом фоне. vectorPREMIUM

Белые бумажные треугольники как энергетический дерзкий абстрактный случайный узор в ярком свете с черными строгими тенями, острыми углами, видом сверху. современный простой абстрактный фон.PREMIUM

Углы разные. набор векторных иконок, состоящих из углов разных градусовPREMIUM

Абстрактный фон витража, цветные элементы расположены в радужном спектреPREMIUM

Абстрактный витражный фон, цветные элементы расположены в радужном спектреPREMIUM

Типы треугольниковPREMIUM

Абстрактный геометрический узор круга для декоративной круглой рамки. вектор арт.PREMIUM

Розетка с гильошированным узором для сертификата или других ценных бумаг.PREMIUM

Значок угла 360 градусов. геометрический символ. векторная иллюстрация на прозрачном фонеPREMIUM

Абстрактный витражный фон, гамма синийPREMIUM

Абстрактный витражный фон, цветные элементы расположены в радужном спектреPREMIUM

Активный яркий динамический абстрактный узор из бумажных треугольников в сияющем свете с резкими тенями, углы насыщенного фиолетового и розового цвета, вид сверху. Воздушный нежный фон будущего в минималистском стиле.PREMIUM

Иллюстрация в стиле витража с абстрактным ярким фоном, радужной плиткой, овальной картинкой.PREMIUM

Набор углов 45, 90, 180 и 360 градусов. набор символов круга вращения стрел. символы математических знаков геометрии. полная стрелка полного вращения.PREMIUM

Школьные инструменты, векторный набор линеекPREMIUM

Абстрактная форма случайной геометрии. генеративное искусство, геометрический зигзаг, крест-накрест, угловатая, острая иллюстрация. странный, странный красочный элемент дизайнаPREMIUM

Заполненный контур острого угла значка 45 градусов на белом фоне. vectorPREMIUM

Значок угла 60 градусов. геометрический символ. векторная иллюстрация на прозрачном фоне. PREMIUM

Значок угла 75 градусов. геометрический символ. векторная иллюстрация на прозрачном фонеPREMIUM

Светящийся неоновый острый угол значка 45 градусов, выделенный на фоне кирпичной стены. векторная иллюстрацияPREMIUM

Значок угла 15 градусов. геометрический символ. векторная иллюстрация на прозрачном фонеPREMIUM

Черная линия под острым углом 45 градусов иконка на белом фоне. набор значков в цветных квадратных кнопках. vector illustration.PREMIUM

Заполненный контур острого угла значка 45 градусов на белом фоне. vectorPREMIUM

Коралловый абстрактный геометрический бесшовный рисунок плитки с остроугольным ромбовидным повторомPREMIUM

Изометрическая линия с острым углом 45 градусов, выделенная на синем и оранжевом фоне. серебряная квадратная пуговица. векторная иллюстрацияPREMIUM

Геометрический узор плитки. абстрактный бесшовный фон с ромбомPREMIUM

Значок тупоугольного треугольника. элементы значка геометрической фигуры для концепции и веб-приложений. значок иллюстрации для дизайна и разработки веб-сайтов, разработки приложений. значок премиум на белом фонеPREMIUM

Красочный фон с имитацией цветного стекла.PREMIUM

Черная линия под острым углом 45 градусов на белом фоне. набор иконок красочные. векторная иллюстрацияPREMIUM

Значок школьной угловой линейки. очертить школьный значок линейки углов для веб-дизайна, изолированных на белом фонеPREMIUM

Иконки линий математики. линейный набор. набор векторных линий качества. PREMIUM

Набор иконок под разными углами. 30, 45, 60, 90, 120, 150 градусов. геометрический символ, математические элементы, изолированные на белом фоне. образовательные школьные учебные материалы по геометрии. векторПРЕМИУМ

Линия острого угла 45 градусов значок изолирован бесшовный узор на синем фоне. vectorPREMIUM

Абстрактная форма случайной геометрии. генеративное искусство, геометрический зигзаг, крест-накрест, угловатая, острая иллюстрация. странный, странный красочный элемент дизайнаPREMIUM

Дорогая белая ручка с синими чернилами на черном фонеPREMIUM

Светящаяся неоновая линия под острым углом 45 градусов значок изолирован на фоне кирпичной стены. векторная иллюстрацияPREMIUM

Набор иконок углов. тупые, прямые, острые, прямые, дополнительные и противоположные углы .ПРЕМИУМ

Абстрактная форма случайной геометрии. генеративное искусство, геометрический зигзаг, крест-накрест, угловатая, острая иллюстрация. странный, странный красочный элемент дизайнаPREMIUM

Квадратная иллюстрация плотникаPREMIUM

Значок школьной угловой линейки. контур школы угол линейка вектор значок цвет плоский изолированный на беломPREMIUM

Цветные треугольники геометрический фон для вашего дизайнаPREMIUM

значок угловой линейки, изометрический стильPREMIUM

типы треугольников на основе сторон, математические основные формы силуэт — vectorPREMIUM

Абстрактная форма случайной геометрии. генеративное искусство, геометрический зигзаг, крест-накрест, угловатая, острая иллюстрация. странный, странный красочный элемент дизайна. PREMIUM

Векторный набор зеленых стрелок. PREMIUM

Абстрактная форма случайной геометрии. генеративное искусство, геометрический зигзаг, крест-накрест, угловатая, острая иллюстрация. странный, странный красочный элемент дизайнаPREMIUM

Виды треугольной неоновой вывески. светящийся значок урока геометрии. векторная иллюстрация для дизайна. школьная концепцияPREMIUM

Розетка с гильошированным узором для сертификатов или других ценных бумаг. ПРЕМИУМ

Бесшовный зеленый ромб. геометрическая плитка лаймового цвета. PREMIUM

Математика. линейный набор. набор векторных линий качества, таких как острый угол, плюс, кругPREMIUM

Коллекция математических углов. Набор иконок 22,5, 30, 45, 60, 90, 120, 150, 180, 270 и 360 градусов. набор иконок под разными углами. vector illustration.PREMIUM

Различные острые углы в углах треугольника — значения от 15 до 90 градусовPREMIUM

Иконки математических линий. линейный набор. качество векторной линии set.PREMIUM

Спальня в Арле (1888) Винсент Ван Гог раскраска для взрослыхPREMIUM

Стеклянные светящиеся яркие треугольники.PREMIUM

Типы равнобедренного треугольника — геометрические фигуры для детейPREMIUM

Типы треугольников с картинками ~ БЗУ НАУКА

Виды треугольников с картинками

В нашей повседневной жизни, мы должны иметь дело с различными видами форм. В этих формах некоторые формы открыты, а некоторые формы закрыты. Чтобы различать эти формы, мы сохранили названия этих форм. Следовательно, замкнутая фигура, имеющая три стороны, которые соединены, называется треугольником. Наряду с тремя сторонами, у треугольника тоже три угла. По этим сторонам и углам треугольники подразделяются на разные виды. Здесь мы обсудим все типы треугольников. с помощью картинок.

На основе стороны, треугольники делятся на три категории. Эти три категории треугольники, основанные на сторонах, объясняются ниже;

1.

разносторонний треугольник — это такой треугольник, у которого длины сторон различны. Это значит что в разностороннем треугольнике нет равных сторон. Вместе с различны длины сторон, меры всех углов этого треугольника равны также разные.

2. Равнобедренный треугольник

Треугольник у которого две равные стороны (одинаковая длина) называется равнобедренным треугольником. Две стороны равнобедренного треугольника, имеющие одинаковую длину, называются стороны и третья сторона этого треугольника, которая имеет другую длину, известна в качестве базы. Угол, образованный двумя равными сторонами равнобедренного треугольник называется углом при вершине, а два других угла называются основанием углы. Важнейшее качество этого треугольника состоит в том, что углы при основании эти треугольники равномерны.

3. Равносторонний треугольник

Это существенный вид треугольника относительно сторон, потому что этот треугольник имеет три стороны одинаковой длины. Другими словами, мы можем сказать, что равносторонний треугольник это треугольник, у которого все три стороны равны. Мы также можем сказать равносторонний треугольник как правильный треугольник, потому что наряду с тремя равными стороны, этот треугольник также имеет три равных угла. В целом измерение всех углов треугольника равно 180°. Поэтому каждый угол равносторонний треугольник равен 60°.

Соответствующие сообщения:

На основе углов, мы можем разделить эти треугольники на пять различных категорий. Эти пять категорий треугольников, основанных на углах, объясняются ниже;

4. Острый треугольник

Как мы знаем что у треугольника три угла. Если все углы треугольника имеют меньше 90°, этот треугольник известен как остроугольный треугольник. Самое важное Особенность этого треугольника в том, что он может быть равнобедренным, разносторонним или равносторонним. треугольник.

5. Прямоугольный треугольник

Треугольник который имеет хотя бы один прямой угол (угол точного измерения 90°) равен известен как прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным или разносторонний треугольник, но он не может быть равносторонним треугольником.

6. Тупоугольный треугольник

Треугольник который имеет хотя бы один угол, размер которого больше 90°, но меньше больше 180° называется тупоугольным треугольником. Рисуя тупоугольный треугольник, вы нельзя нарисовать более одного тупого угла. Тупоугольный треугольник тоже может быть равнобедренный или разносторонний треугольник, но он не может быть равносторонним треугольником.

7. Равносторонний треугольник

Треугольник у которого все три угла равны, называется равноугольным треугольник. Это означает, что все углы треугольника должны быть равны 60°. Все равноугольные треугольники также являются равносторонними.

8. Косой треугольник

Треугольник, который треугольник, не являющийся прямоугольным, называется косоугольным. Это означает, что косоугольный треугольник может быть остроугольным, тупоугольным, равноугольный треугольник, но он не может быть прямоугольным треугольником.

Вместе с понимания различных типов треугольников, нам также необходимо получить представление об основных свойствах треугольников. Эти свойства поясняется ниже;

·

Согласно к свойству суммы углов треугольника, сумме всех углов треугольника должен быть 180°.

·

Если складываем две стороны треугольника, их сумма будет больше третьей стороны треугольника.

·

Сторона, лежащая против наибольшего угла треугольника, называется большая сторона треугольника.

·

Если мы знаем две стороны треугольника, мы можем легко найти третью сторону треугольника треугольник с помощью теоремы Пифагора.

·

Если мы знаем два угла треугольника, мы можем легко найти третий угол треугольника по формуле суммы углов треугольника.

Это факт что если мы хотим научить студентов базовой концепции треугольников, мы учащимся нужно будет привести примеры треугольников из реальной жизни. Некоторый важные и интересные примеры треугольников из жизни приведены ниже;

·

Мост из нас ежедневно видят дорожные знаки. Эти дорожные знаки являются лучшими примерами равнобедренные треугольники, потому что все углы и стороны этих дорожных знаков равны.

·

Бермуды треугольник также известен как еще один реальный пример треугольников. Бермуды треугольник — это слабо очерченная треугольная область в Атлантическом океане. в Бермудский треугольник, более 50 кораблей и 20 самолетов — моя стерически исчезнувший.

·

Пирамиды также являются лучшими реальными примерами треугольников. Это древние горы, построенные египтянами. Формы этих пирамид являются тетраэдрическими, то есть в этих древних горы.

·

Кому поддерживают мосты, строятся треугольные формы. Эти треугольные формы известны как ферменные мосты. Эти поддерживающие формы могут распределять вес мостов.

·

Парусный спорт лодки также являются лучшими реальными примерами треугольных форм. Несколько лет раньше дизайн этих форм был квадратным, но в наши дни почти все парусные формы имеют треугольную форму.

·

крыши домов треугольные. Эти формы крыш не пропускают дождь и снег, чтобы остаться в течение более длительного периода.

·

Пока строя лестницы, конструкторы используют знания о треугольнике. Его причина в том, что они должны строить эти лестницы в треугольной форме. Эти лестницы образуют прямоугольные треугольники. Когда нам нужно разместить лестницу перед стеной мы должны сделать треугольную форму.

·

Кому сделать некоторые здания привлекательными и интересными, эти здания построены в треугольной форме. Наиболее ярким примером таких зданий является Эйфелева башня.

·

Мы должны использовать треугольные формулы, чтобы найти высоту столба или горы. Для по этой причине мы используем понятие прямоугольного треугольника.

· Бутерброды а пицца – самая любимая еда молодого поколения.

Следствие 2

Следствие 2 очень важно, так как говорит о секущей двух параллельных прямых. Свойство гласит: если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую.

Доказательство также ведется методом от противного. Проведем две прямые: а и b. Представим, что прямая с пересекает прямую а, но не пересекает прямую b. Тогда прямые c и b параллельны. При этом с пересекает а, то есть у этих прямых есть общая точка К.

Тогда через точку К проходит прямая а и прямая с, но каждая из них параллельна b. Значит, через одну точку проходит две прямых параллельных прямой b, а это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Значит изначальное предположение было неверным и прямая с пересекает каждую из прямых а и b, что и требовалось доказать.

Следствия из признаков параллельности

Эту группу запомнить проще всего. Свойств параллельности прямых всего 3 и каждому из них соответствует свое следствие.

• Прямые параллельны, если накрест лежащие углы при секущей равны. Следствие вполне логично: Накрест лежащие углы при двух параллельных прямых и секущей равны.
• Прямые параллельны, если соответственные углы равны. Следствие: соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.
• Прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180. Следствие: сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равны 180

Что мы узнали?

Мы дали понятие параллельным прямым, выделили две большие группы свойств параллельных прямых и доказали два свойства. Разобрались с использованием аксиомы параллельных прямых при доказательстве теорем в геометрии.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Девлет Болтаев

  5/5

• Иван Маковецкий

  5/5

• Иришка Чипрягова

  5/5

• Елена Иванова

  5/5

• Константин Никитич

  5/5

• Манижа Гуломджонова

  5/5

• Екатерина Лобычева

  4/5

Оценка статьи

4. 3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 300.

А какая ваша оценка?

Параллельные прямые — определение, свойства

Две или более прямых, лежащих в одной плоскости и никогда не пересекающихся друг с другом, называются параллельными прямыми . Они равноудалены друг от друга и имеют одинаковый наклон. Давайте узнаем больше о параллельных прямых, свойствах параллельных прямых и углах, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей.

Что такое параллельные линии?

Параллельные линии — это прямые линии, которые никогда не пересекаются друг с другом, как бы мы их ни растягивали. Обратите внимание на следующий рисунок, на котором показаны параллельные линии. Линия «а» параллельна линии «b», а линия «p» параллельна линии «q».

Параллельные линии и поперечные

При пересечении любых двух параллельных прямых другой прямой, называемой секущей, образуется множество пар углов. В то время как некоторые углы конгруэнтны (равны), другие являются дополнительными. Обратите внимание на следующий рисунок, чтобы увидеть параллельных прямых, пересекаемых поперечной . Параллельные прямые обозначены как L1 и L2, которые пересекаются секущей. Восемь отдельных углов были образованы двумя параллельными прямыми и секущей. Каждый угол был помечен с помощью алфавита.

Ниже приведены пары углов, образованных двумя параллельными прямыми L1 и L2.

• Соответствующие углы: Следует отметить, что пара соответствующих углов равна по размеру. На данном рисунке четыре пары соответствующих углов, то есть ∠a = ∠e, ∠b = ∠f, ∠c = ∠g и ∠d = ∠h
• Альтернативные внутренние углы: Альтернативные внутренние углы образуются внутри двух параллельных линий, которые пересекаются секущей. Они равны в меру. На этом рисунке ∠c = ∠e, ∠d = ∠f
• Альтернативные внешние углы: Альтернативные внешние углы образованы по обе стороны от поперечной, и они равны по размеру. На этом рисунке ∠a = ∠g, ∠b ​​= ∠h
• Последовательные внутренние углы: Последовательные внутренние углы или ковнутренние углы образуются на внутренней стороне поперечной и являются дополнительными. Здесь ∠c + ∠f = 180°, а ∠d + ∠e = 180°
• Вертикально противоположные углы: Вертикально противоположные углы образуются, когда две прямые пересекают друг друга, и они равны по размеру. Здесь ∠a = ∠c, ∠b = ∠d, ∠e = ∠g, ∠f = ∠h

Свойства параллельных линий

Параллельные линии можно легко идентифицировать по основным свойствам, приведенным ниже.

• Параллельные линии — это прямые линии, которые всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.
• Параллельные линии никогда не пересекаются, независимо от того, насколько они вытянуты в любом направлении.

Как узнать, параллельны ли линии?

Помимо характеристик, приведенных выше, когда любые две параллельные прямые пересекаются секущей, их можно идентифицировать по следующим свойствам.

• Любые две прямые называются параллельными, если соответствующие углы, образованные таким образом, равны.
• Любые две прямые называются параллельными, если образованные таким образом альтернативные внутренние углы равны.
• Любые две прямые называются параллельными, если образованные таким образом альтернативные внешние углы равны.
• Любые две прямые называются параллельными, если смежные внутренние углы по одну сторону от секущей являются дополнительными.

Уравнение параллельных линий

Уравнение прямой линии, как правило, записывается в форме наклона и точки пересечения, представленной уравнением y = mx + b, где «m» — это наклон, а «b» — это точка пересечения с осью y. Значение «m» определяет наклон или градиент и сообщает нам, насколько крута линия.

Следует отметить, что наклон любых двух параллельных линий всегда одинаков. Например, если наклон линии с уравнением y = 4x + 3 равен 4. Следовательно, любая линия, параллельная y = 4x + 3, будет иметь одинаковый наклон, то есть 4. Параллельные прямые имеют разные y- пересекаются и не имеют общих точек.

Параллельные линии Символ

Параллельные линии — это линии, которые никогда не пересекаются, независимо от того, как долго мы их продлеваем. Для обозначения параллельных прямых используется символ || . Например, AB II PQ указывает, что линия AB параллельна линии PQ. Символ, обозначающий непараллельные прямые, равен ∦ .

Примеры параллельных линий в реальной жизни

Ниже приведены несколько примеров параллельных линий в реальной жизни:

• Железнодорожные пути
• Зебра-переход
• Лестница и перила

☛ Ссылки по теме

• Точки и линии
• Пересекающиеся линии
• Линейный сегмент
• Свойства параллельных линий
• Параллельные и перпендикулярные линии
• Уравнение прямой

Часто задаваемые вопросы о параллельных линиях

Что такое параллельные линии в математике?

Параллельные линии — это линии, которые всегда находятся на одном и том же расстоянии друг от друга и никогда не пересекаются. Для обозначения параллельных прямых используется символ || . Например, AB || CD означает, что линия AB параллельна линии CD.

Что такое параллельные линии и перпендикулярные линии?

Параллельные линии — это линии, которые равноудалены друг от друга и никогда не пересекаются, независимо от того, насколько они могут быть продлены в любом направлении. Например, противоположные стороны прямоугольника представляют собой параллельные линии. С другой стороны, если любые две прямые пересекаются друг с другом в точке 90°, они называются перпендикулярными линиями. Например, смежные стороны прямоугольника являются перпендикулярными линиями, поскольку они пересекают друг друга под углом 90°.

Какие бывают типы углов в параллельных линиях?

Когда любые две параллельные прямые пересекаются секущей, они образуют множество пар углов, таких как соответствующие углы, чередующиеся внутренние углы, чередующиеся внешние углы и последовательные внутренние углы.

Что происходит, когда параллельные прямые пересекаются секущей?

При пересечении любых двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы.

• Соответственные углы, равные по размеру.
• Чередующиеся внутренние углы, равные по размеру.
• Альтернативные внешние углы, равные по размеру.
• Последовательные внутренние углы, которые являются дополнительными.

Как выглядят параллельные линии?

Параллельные линии выглядят как железнодорожные пути, которые никогда не пересекаются и всегда равноудалены. Противоположные стороны прямоугольника также представляют собой параллельные линии, находящиеся на равном расстоянии друг от друга.

Каков наклон параллельных линий?

Если две линии параллельны, они имеют одинаковый наклон. Например, если уравнение прямой линии y = 1/2x + 17, ее наклон равен 1/2. Теперь, если линия имеет одинаковый наклон 1/2 в той же плоскости, она будет параллельна данной линии.

Каковы реальные примеры параллельных линий?

Реальные примеры параллельных линий включают железнодорожные пути, края тротуаров, перила лестницы, бесконечные рельсовые пути, противоположные стороны линейки, противоположные края ручки, ластика и т. д.

Каково правило параллельных линий?

Правило для параллельных линий состоит в том, что линии не должны пересекаться друг с другом. Другими словами, если две прямые в одной плоскости находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и никогда не пересекаются, то такие прямые называются параллельными.

Что такое символ параллельных линий?

Для обозначения параллельных линий используется символ ||. Любые две параллельные прямые AB и CD изображаются как AB||CD.

Параллельные прямые пересекаются в бесконечности?

Нет, само определение предполагает, что параллельные линии никогда не пересекаются. Следовательно, параллельные прямые не пересекались бы даже на бесконечности.

Параллельные прямые имеют одно и то же уравнение?

Нет, параллельные прямые не имеют одинакового уравнения, но имеют одинаковый наклон. Например, если уравнение линии представлено как y = 4x + 2, это означает, что наклон этой линии равен 4. Таким образом, другая прямая линия в той же плоскости с таким же наклоном 4 будет параллельна заданная линия.

Параллельные прямые равны по длине?

Нет, параллельные линии могут быть разной длины, но они должны находиться на одинаковом расстоянии друг от друга.

Есть ли в треугольнике параллельные линии?

Нет, в треугольнике нет параллельных прямых. Так как треугольник всегда имеет 3 пересекающиеся стороны; а мы знаем, что параллельные прямые никогда не пересекаются друг с другом, следовательно, в треугольнике не может быть параллельных прямых.

Сколько параллельных линий имеет шестиугольник?

Шестиугольник — это многоугольник с шестью сторонами. В правильном шестиугольнике три пары параллельных прямых.

Какие углы образуются при пересечении параллельных прямых секущей?

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы:

• Соответствующие углы
• Альтернативные внутренние углы
• Альтернативные внешние углы
• Последовательные внутренние углы
• Вертикально противоположные углы

Параллельные прямые и пары углов

Показать рекламу

Скрыть рекламу
О рекламе

Параллельные линии

Линии параллельны, если они всегда находятся на одном и том же расстоянии друг от друга (называемом «эквидистантными») и никогда не пересекутся. Просто помните:

Всегда на одинаковом расстоянии друг от друга и никогда не касаясь

Красная линия параллельна синей линии в каждом из следующих примеров:

Параллельные линии также указывают в одном направлении.

У параллельных линий так много общего. Жаль, что они никогда не встретятся!

Попробуйте сами:

Пары углов

Когда параллельные прямые пересекаются другой прямой (называемой секущей), вы видите, что многие углы совпадают, как в этом примере:

Эти углы можно составить из пар углов , которые имеют специальные названия.

Нажмите на каждое имя, чтобы выделить его:

Теперь поиграйте с ним здесь. Попробуйте перетаскивать точки и выбирать разные типы углов. Вы также можете включить или выключить «Параллельность»:

Проверка параллельных линий

Некоторые из этих специальных пар углов можно использовать для проверки параллельности прямых:

Если Любая пара Из . .. Пример:     Соответствующие углы равны а = е или   Альтернативные внутренние углы равны с = ж или   Альтернативные внешние углы равны б = г или   Последовательные внутренние углы в сумме составляют 180° d + f = 180°     … тогда строки Параллельные

Примеры

Эти прямые параллельны, потому что пара соответствующих углов равна. Уравнение перпендикулярной прямой: Уравнение перпендикулярной прямой онлайн alexxlab / 19.07.202326.04.2023 / Разное 2

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения

Задана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и прямая L:

Построить уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀ и перпендинулярной прямой L.

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q={m, p, l}. Поскольку прямая L и плоскость α перпендикулярны друг другу, следовательно нормальный вектор плоскостти и направляющий вектор прямой должны быть коллинеарны (Рис.1). Тогда вместо координат нормального вектора плоскости нужно подставить координаты направляющего вектора прямой L. Получим следующее уравнение плоскости:

Упростим уравнение (3):

где D=−mx₀−px₀−lx₀.

Таким образом уравнение (4) определяет плоскость, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярной прямой (1).

Ответ. Уравнение плоскости прпоходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид (4).

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой L:

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (2).

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид: :

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т. е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:

Подставляя координаты точки M₀ и направляющего вектора q в (8), получим:

Упростим уравнение (9):

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой (7) имеет вид (10).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой L, заданной параметрическим уравнением:

Решение. Приведем параметрическое уравнение (11) к каноническому виду:

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0.

(12)

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (12) примет следующий вид:

Подставляя координаты точки M₀ и направляющего вектора q в (13), получим:

Упростим уравнение (13):

Ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой (11) имеет вид (14).

Как найти уравнение перпендикулярной прямой

Все ресурсы по алгебре 1

10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

Алгебра 1 Помощь » Функции и линии » Уравнения прямых » Перпендикулярные линии » Как найти уравнение перпендикулярной прямой

Найдите уравнение перпендикулярной прямой в точке .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Наклон должен быть обратным отрицательным, а линия должна проходить через точку (3,2). Таким образом, наклон становится , и он подключается к , чтобы найти -intercept.

Сообщить об ошибке

Какая линия перпендикулярна ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Перпендикулярные линии имеют отрицательные обратные наклоны друг к другу. Поскольку исходное уравнение имеет наклон , перпендикулярная линия должна иметь наклон . Единственным другим уравнением с наклоном  является .

Сообщить об ошибке

Какое уравнение дает прямую, перпендикулярную проходам через ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала преобразуйте данное уравнение в форму пересечения наклона.

В этом формате мы можем сказать, что наклон равен . Наклон перпендикулярной линии будет обратной отрицательной величиной, что составляет .

Затем подставьте наклон в форму пересечения наклона, чтобы получить точку пересечения, используя точку, указанную в вопросе.

Перпендикулярное уравнение становится . Это уравнение можно переписать в формате вариантов ответов.

или

Сообщить об ошибке

Какая из этих прямых перпендикулярна?

Возможные ответы:

Ни один из других ответов

Правильный ответ:

Объяснение:

Перпендикулярные линии имеют наклоны, которые являются отрицательными обратными величинами. Наклон данной линии равен 9, поэтому линия, перпендикулярная ей, должна иметь наклон, эквивалентный ее отрицательной обратной величине, которая равна .

Сообщить об ошибке

Какая из этих прямых перпендикулярна ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Перпендикулярные линии имеют наклоны, которые являются отрицательными обратными величинами. Данная линия имеет наклон . Отрицательная обратная величина равна , поэтому перпендикулярная линия должна иметь наклон . Единственная линия с наклоном .

Сообщить об ошибке

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной  и содержащей точку (5,3).

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти уравнение прямой, нам нужно знать наклон и точку, проходящую через прямую. Зная это, мы можем использовать уравнение, где m — наклон линии, а — точка на линии. Для перпендикулярных линий наклоны являются отрицательными обратными величинами. Наклон равен 5, поэтому наклон перпендикулярной линии будет иметь наклон . Мы знаем, что перпендикулярная линия должна содержать точку (5,3), поэтому у нас есть вся необходимая информация. Теперь мы можем использовать уравнение  

Сообщить об ошибке

Линия проходит через следующие точки:

: (2,3)

: (4,7)

Найдите уравнение прямой , которая перпендикулярна прямой и проходит через точку .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Уравнение прямой записывается в следующем формате: 

1) Итак, первый шаг – найти наклон .

 равно изменению  , деленному на изменение .

Итак,

2) Перпендикулярный наклон линии с наклоном 2 противоположен обратному значению 2, то есть .

3) Следующим шагом будет поиск . Нам не нужно находить уравнение исходной линии; все, что нам нужно от исходной линии, это наклон. Итак, все, что нам нужно, это перпендикулярная линия. Мы можем найти значения для и из одной точки перпендикулярной линии, подставить их и найти .

Наша точка равна (4,7)

Итак, 

Затем мы просто вводим наше значение для , и мы имеем  как функцию .

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Напишите уравнение прямой, перпендикулярной с точкой пересечения .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Эта задача сначала опирается на знание формы пересечения наклона линии, , где m — наклон, а b — пересечение оси y.

Чтобы линия была перпендикулярна другой линии, ее наклон должен быть обратной отрицательной величиной. В этом случае мы ищем прямую, перпендикулярную . Эта линия имеет наклон 2, она же . Это означает, что отрицательный обратный наклон будет . Нам говорят, что точка пересечения по оси Y этой новой строки равна 4,9.0005

Теперь мы можем ввести эти две новые части информации, чтобы получить уравнение

.

Сообщить об ошибке

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярную прямой.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить задачу такого типа, мы должны быть знакомы с формой линии, пересекающей наклон, где m — наклон, а b — точка пересечения с осью y. Линия, к которой наша линия перпендикулярна, имеет уравнение пересечения наклона, что означает, что наклон равен .

Наклон перпендикулярной линии был бы обратной отрицательной величиной, поэтому наш наклон равен .

Мы еще не знаем точку пересечения по оси y нашей линии, поэтому мы можем написать уравнение только так:

.

Мы знаем, что точка находится на этой линии, поэтому, чтобы найти b, мы можем подставить -2 вместо x и 3 вместо y:

Сначала мы можем умножить, чтобы получить .

Получается наше уравнение:

Либо вычитая 3 с обеих сторон, либо просто критически взглянув на это, мы можем увидеть, что b = 0,

Наш оригинал становится , или просто .

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по алгебре 1

10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

4.6: Параллельные и перпендикулярные линии

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Цели обучения

• Определение наклона параллельных и перпендикулярных линий.
• Найти уравнения параллельных и перпендикулярных линий

Определение параллели и перпендикуляра

Параллельные линии — это линии в одной плоскости, которые никогда не пересекаются. Две невертикальные линии в одной плоскости с наклонами \(m_{1}\) и \(m_{2}\) параллельны, если их наклоны одинаковы, \(m_{1}=m_{2}\) . Рассмотрим следующие две линии:

Рассмотрим соответствующие им графики:

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Обе линии имеют наклон \(m=\frac{3}{4} \) и, следовательно, параллельны.

Перпендикулярные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся под прямым углом (\(90\) градусов). Две невертикальные линии в одной плоскости с наклонами \(m_{1}\) и \(m_{2}\) перпендикулярны, если произведение их наклонов равно \(−1: m1⋅m2=−1\) . Мы можем найти \(m_{1}\) и получить \(m_{1}=\frac{−1}{m_{2}}\). В этой форме мы видим, что перпендикулярные линии имеют наклоны, которые являются отрицательными обратными величинами или противоположными обратными величинами. Например, если задан наклон

\(m=-\frac{5}{8}\)

, то наклон перпендикулярной линии обратно пропорционален:

\(m_{\perp}=\frac{8}{5}\)

Математическая запись \(m_{⊥}\) читается как «\(m\) перпендикулярно». Мы можем проверить, что два наклона образуют перпендикулярные линии, если их произведение равно \(−1\).

\(m\cdot m_{\perp}=-\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}=-\frac{40}{40}=-1\quad\color{ Cerulean}{\checkmark}\)

Геометрически мы замечаем, что если линия имеет положительный наклон, то любая перпендикулярная линия будет иметь отрицательный наклон. Кроме того, подъем и разбег между двумя перпендикулярными линиями меняются местами.

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Наклоны перпендикулярных прямых противоположны обратным величинам, поэтому не забудьте найти обратную величину и изменить знак. Другими словами,

Если \(m=\frac{a}{b}\), то \(m_{\perp}=-\frac{b}{a}\)

Определение наклона перпендикуляра линию можно выполнить мысленно. Ниже приведены некоторые примеры

Пример \(\PageIndex{1}\)

Определить наклон прямой, параллельной \(y=−5x+3\).

Решение :

Поскольку данная линия имеет форму пересечения наклона, мы можем видеть, что ее наклон равен \(m=−5\). Таким образом, наклон любой линии, параллельной данной линии, должен быть одинаковым, \(m_{∥}=−5\). Математическая запись \(m_{∥}\) читается как «\(m\) параллельно».

Ответ :

\(m_{∥}=−5\)

Пример \(\PageIndex{2}\)

Определить наклон линии, перпендикулярной \(3x−7y=21\) .

Решение :

Сначала найдите \(y\) и представите прямую в виде точки пересечения.

В этой форме мы можем видеть, что наклон данной линии равен \(m=\frac{3}{7}\), и, таким образом, \(m_{⊥}=−\frac{7}{3} \).

Ответ :

\(m_{⊥}=−\frac{7}{3}\)

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Найдите наклон линии, перпендикулярной \( 15х+5у=20\).

Ответить

\(m_{\perp}=\frac{1}{3}\)

Нахождение уравнений параллельных и перпендикулярных прямых

Мы видели, что график прямой полностью определяется двумя точками или одной точкой и ее наклоном. Часто вас будут просить найти уравнение линии с учетом некоторого геометрического соотношения, например, параллельна ли линия другой линии или перпендикулярна ей.

Пример \(\PageIndex{3}\)

Найдите уравнение прямой, проходящей через \((6, −1)\) и параллельной \(y=\frac{1}{2}x+2 \)

Решение

Здесь заданная линия имеет наклон \(m=\frac{1}{2}\), а наклон параллельной прямой равен \(m_{∥}=\frac{1}{2 }\). Поскольку вам дана точка и наклон, используйте форму точки-наклона линии, чтобы определить уравнение.

\(\begin{array}{cc}{\color{Cerulean}{Point}}&{\color{Cerulean}{Slope}}\\{(6,-1)}&{m_{\parallel} =\frac{1}{2}} \end{array}\)

Ответ :

\(y=\frac{1}{2}x-4\)

Важно иметь геометрическое понимание этого вопроса. Нас попросили найти уравнение прямой, параллельной другой прямой, проходящей через определенную точку.

Рисунок \(\PageIndex{3}\)

Через точку \((6, −1)\) мы нашли параллельную прямую, \(y=\frac{1}{2 }x−4\), показан пунктиром. Обратите внимание, что наклон такой же, как у данной линии, но точка пересечения \(y\) отличается. Если иметь в виду геометрическую интерпретацию, то будет легче запомнить процесс, необходимый для решения задачи.

Пример \(\PageIndex{4}\)

Найдите уравнение прямой, проходящей через \((−1, −5)\) и перпендикулярной \(y=−\frac{1}{4}x +2\).

Решение :

Данная линия имеет наклон \(m=−\frac{1}{4}\), поэтому \(m_{⊥}=+\frac{4}{1}=4\ ). Подставьте этот наклон и данную точку в форму точка-наклон.

\(\begin{array}{cc} {\color{Cerulean}{Point}}&{\color{Cerulean}{Slope}}\\{(-1,-5)}&{m_{\perp }=4}\end{array}\)

Ответ :

\(y=4x-1\)

Геометрически мы видим, что линия \(y=4x−1\), показанная пунктиром ниже , проходит через \((−1, −5)\) и перпендикулярен данной прямой.

Рисунок \(\PageIndex{4}\)

Не всегда данная линия имеет форму пересечения наклона. Часто приходится выполнять дополнительные действия для определения уклона. Общие шаги для нахождения уравнения линии изложены в следующем примере.

Пример \(\PageIndex{5}\)

Найдите уравнение прямой, проходящей через \((8, −2)\) и перпендикулярной \(6x+3y=1\).

Решение :

Шаг 1 : Найдите уклон \(м\). Сначала найдите наклон данной линии. Чтобы сделать это, найдите \(y\), чтобы изменить стандартную форму на форму пересечения наклона, \(y=mx+b\).

\(\begin{align} 6x+3y&=1 \\ 6x+3y\color{Cerulean}{-6x}&=1\color{Cerulean}{-6x} \\ 3y&=-6x+1 \\ \frac{3y}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{-6x+1}{\color{Cerulean}{3}} \\ y&=\frac{-6x}{3}+\ frac{1}{3}\\y&=-2x+\frac{1}{3} \end{aligned}\)

В этой форме вы можете видеть, что наклон равен \(m=−2=−\ frac{2}{1}\), и, таким образом, \(m_{⊥}=\frac{−1}{−2}=+\frac{1}{2}\).

Шаг 2 : Подставьте найденный вами наклон и заданную точку в форму уравнения точки-наклона для прямой. В этом случае наклон равен \(m_{⊥}=\frac{1}{2}\), а заданная точка равна \((8, −2)\).

\(\begin{выровнено} y-y_{1}&=m(x-x_{1}) \\ y-(-2)&=\frac{1}{2}(x-8) \ end{align}\)

Шаг 3 : Найдите \(y\).

Ответ :

\(y=\frac{1}{2}x−6\)

Пример \(\PageIndex{6}\)

Найдите уравнение прямой, проходящей через \(( \frac{7}{2}, 1)\) и параллельно \(2x+14y=7\).

Решение :

Найдите наклон \(m\), найдя \(y\).

\(\begin{align} 2x+14y&=7 \\ 2x+14y\color{Cerulean}{-2x}&=7\color{Cerulean}{-2x} \\ 14y&=-2x+7 \\ \frac{14y}{\color{Cerulean}{14}}&=\frac{-2x+7}{\color{Cerulean}{14}} \\ y&=\frac{-2x}{14}+\ frac{7}{14} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2} \end{aligned}\)

Данная линия имеет наклон \(m=−\ frac{1}{7}\), и поэтому \(m_{∥}=-\frac{1}{7}\). Мы используем это и точку \((\frac{7}{2}, 1)\) в форме точка-наклон.

\(\begin{align} y-y_{1}&=m(x-x_{1}) \\ y-1&=-\frac{1}{7}\left(x-\frac{7) {2} \right) \\ y-1&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2} \\ y-1\color{Cerulean}{+1}&=-\frac {1}{7}x+\frac{1}{2}\color{Cerulean}{+1} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2}+\color{ Cerulean}{\frac{2}{2}} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{3}{2} \end{aligned}\)

Ответ :

\ (y=-\frac{1}{7}x+\frac{3}{2}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Найдите уравнение прямой, перпендикулярной \(x−3y =9\) и проходящей через \((−\frac{1}{2}, 2)\).

Ответить

\(y=-3x+\frac{1}{2}\)

При нахождении уравнения прямой, перпендикулярной горизонтальной или вертикальной линии, лучше всего учитывать геометрическую интерпретацию.

Пример \(\PageIndex{7}\)

Найдите уравнение прямой, проходящей через \((−3, −2)\) и перпендикулярной \(y=4\).

Решение :

Мы знаем, что \(y=4\) является горизонтальной линией, и мы хотим найти перпендикулярную прямую, проходящую через \((−3, −2)\).

Рисунок \(\PageIndex{5}\)

Если провести линию перпендикулярно заданной горизонтальной линии, результатом будет вертикальная линия.

Рисунок \(\PageIndex{6}\)

Уравнения вертикальных прямых имеют вид \(x=k\). Поскольку он должен проходить через \((−3, −2)\), мы заключаем, что \(x=−3\) является уравнением. Все упорядоченные парные решения вертикальной линии должны иметь одну и ту же координату \(x\).

Ответ :

\(x=−3\)

Мы можем переписать уравнение любой горизонтальной линии \(y=k\) в форме пересечения наклона следующим образом:

\(y=0x +k\)

Записав в этой форме, мы видим, что наклон равен \(m=0=\frac{0}{1}\). Если мы попытаемся найти наклон перпендикулярной линии, найдя обратную обратную, мы столкнемся с проблемой: \(m_{⊥}=−\frac{1}{0}\), которая не определена. Вот почему мы позаботились о том, чтобы ограничить определение двумя невертикальными линиями. Помните, что горизонтальные линии перпендикулярны вертикальным линиям.

Ключевые выводы

• Параллельные линии имеют одинаковый наклон.
• Перпендикулярные линии имеют наклоны, противоположные обратным. Другими словами, если \(m=\frac{a}{b}\), то \(m_{⊥}=-\frac{b}{a}\).
• Чтобы найти уравнение прямой, сначала используйте данную информацию для определения наклона. Затем используйте наклон и точку на линии, чтобы найти уравнение, используя форму точка-наклон.
• Горизонтальные и вертикальные линии перпендикулярны друг другу.

Упражнение \(\PageIndex{3}\) Параллельные и перпендикулярные линии

Определение наклона параллельных и перпендикулярных линий.

1. \(y=−\frac{3}{4}x+8\)
2. \(y=\frac{1}{2}x−3\)
3. \(у=4х+4\)
4. \(у=-3x+7\)
5. \(y=−\frac{5}{8}x−12\)
6. \(y=\frac{7}{3}x+\frac{3}{2}\)
7. \(у=9x−25\)
8. \(у=-10x+15\)
9. \(у=5\)
10. \(х=-12\)
11. \(х-у=0\)
12. \(х+у=0\)
13. \(4x+3y=0\)
14. \(3x−5y=10\)
15. \(−2x+7y=14\)
16. \(−x−y=\frac{1}{5}\)
17. \(\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y=-1\)
18. \(−\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}y=8\)
19. \(2x−\frac{1}{5}y=\frac{1}{10}\)
20. \(−\frac{4}{5}x−2y=7\)

Ответить

1. \(m_{∥}=−\frac{3}{4}\) и \(m_{⊥}=\frac{4}{3}\)

3. \(m_{∥}=4\) и \(m_{⊥}=−\frac{1}{4}\)

5. \(m_{∥}=−\frac{5}{8}\) и \(m_{⊥}=\frac{8}{5}\)

7. \(m_{∥}=9\) и \(m_{⊥}=−\frac{1}{9}\)

9. \(m_{∥}=0\) и \(m_{⊥}\) не определены

11. \(m_{∥}=1\) и \(m_{⊥}=−1\)

13. \(m_{∥}=−\frac{4}{3}\) и \(m_{⊥}=\frac{3}{4}\)

15. \(m_{∥}=\frac{2}{7}\) и \(m_{⊥}=−\frac{7}{2}\)

17. \(m_{∥}=\frac{3}{2}\) и \(m_{⊥}=-\frac{2}{3}\)

19. \(m_{∥}=10\) и \(m_{⊥}=−\frac{1}{10}\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\) Параллельные и перпендикулярные линии

Определите, являются ли линии параллельными, перпендикулярными или ни тем, ни другим.

1. \(\left\{\begin{выровнено}y&=\frac{2}{3}x+3\\y&=\frac{2}{3}x−3\end{выровнено}\right. \)
2. \(\left\{\begin{выровнено}y&=\frac{3}{4}x−1\\y&=\frac{4}{3}x+3\end{выровнено}\right.\)
3. \(\left\{\begin{выровнено}y&=−2x+1\\ y&=\frac{1}{2}x+8\end{выровнено}\right.\)
4. \(\left\{\begin{выровнено}y&=3x−\frac{1}{2}\\ y&=3x+2\end{выровнено}\right. \)
5. \(\left\{\begin{выровнено}y&=5\\x&=-2\end{выровнено}\right.\)
6. \(\left\{\begin{выровнено}y&=7\\y&=-\frac{1}{7}\end{выровнено}\right.\)
7. \(\left\{\begin{выровнено}3x−5y&=15\\ 5x+3y&=9\end{выровнено}\right.\)
8. \(\left\{\begin{выровнено}x−y&=7\\3x+3y&=2\end{выровнено}\right.\)
9. \(\left\{\begin{выровнено}2x−6y&=4\\−x+3y&=-2 \end{выровнено}\right.\)
10. \(\left\{\begin{выровнено}−4x+2y&=3\\6x−3y&=-3 \end{выровнено}\right.\)
11. \(\left\{\begin{выровнено}x+3y&=9\\2x+3y&=6 \end{выровнено}\right.\)
12. \(\left\{\begin{выровнено}y−10&=0\\x−10&=0 \end{выровнено}\right.\)
13. \(\left\{\begin{выровнено}y+2&=0\\2y−10&=0 \end{выровнено}\right.\)
14. \(\left\{\begin{выровнено}3x+2y&=6\\2x+3y&=6 \end{выровнено}\right.\)
15. \(\left\{\begin{выровнено}−5x+4y&=20\\10x−8y&=16 \end{выровнено}\right.\)
16. \(\left\{\begin{align}\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y&=1\\\frac{1}{6}x+\frac{1}{ 4}y&=−2\end{выровнено}\вправо. \)

Ответить

1. Параллельный

3. Перпендикуляр

5. Перпендикуляр

7. Перпендикуляр

9. Параллельный

11. Ни

13. Параллельный

15. Параллельный

Упражнение \(\PageIndex{5}\) Уравнения в форме точка-наклон

Найдите уравнение прямой

1. , параллельной \(y=\frac{1}{2}x+2\) и проходящей через \((6, −1)\).
2. Параллельно \(y=−\frac{3}{4}x−3\) и проходит через \((−8, 2)\).
3. Перпендикулярно \(y=3x−1\) и проходит через \((−3, 2)\).
4. Перпендикулярно \(y=−\frac{1}{3}x+2\) и проходит через \((4, −3)\).
5. Перпендикулярно \(y=−2\) и проходит через \((−1, 5)\).
6. Перпендикулярно \(x=\frac{1}{5}\) и проходит через \((5, −3)\).
7. Параллельно \(y=3\) и проходит через \((2, 4)\).
8. Параллельно \(x=2\) и проходящей через (7, −3)\).
9. Перпендикулярно \(y=x\) и проходит через \((7, −13)\).
10. Перпендикулярно \(y=2x+9\) и проходит через \((3, −1)\).
11. Параллельно \(y=\frac{1}{4}x−5\) и проходит через \((−2, 1)\).
12. Параллельно \(y=−\frac{3}{4}x+1\) и проходит через \((4, \frac{1}{4})\).
13. Параллельно \(2x−3y=6\) и проходит через \((6, −2)\).
14. Параллельно \(−x+y=4\) и проходит через \((9, 7)\).
15. Перпендикулярно \(5x−3y=18\) и проходит через \((−9, 10)\).
16. Перпендикулярно \(x−y=11\) и проходит через \((6, −8)\).
17. Параллельно \(\frac{1}{5}x−\frac{1}{3}y=2\) и проходит через \((−15, 6)\).
18. Параллельно \(−10x−\frac{5}{7}y=12\) и проходит через \((−1, \frac{1}{2})\).
19. Перпендикулярно \(\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y=1\) и проходит через \((−10, 3)\).
20. Перпендикулярно \(−5x+y=−1\) и проходит через \((−4, 0)\).
21. Параллельно \(x+4y=8\) и проходит через \((−1, −2)\).
22. Параллельно \(7x−5y=35\) и проходит через \((2, −3)\).
23. Перпендикулярно \(6x+3y=1\) и проходит через \((8, −2)\).
24. Перпендикулярно \(−4x−5y=1\) и проходит через \((−1, −1)\).
25. Параллельно \(−5x−2y=4\) и проходит через \((\frac{1}{5}, −\frac{1}{4})\).
26. Параллельно \(6x−\frac{3}{2}y=9\) и проходит через \((\frac{1}{3}, \frac{2}{3})\).
27. Перпендикулярно \(y−3=0\) и проходит через \((−6, 12)\).
28. Перпендикулярно \(x+7=0\) и проходит через \((5, −10)\).

Ответить

1. \(y=\frac{1}{2}x−4\)

3. \(y=−\frac{1}{3}x+1\)

5. \(х=−1\)

7. \(у=4\)

9. \(у=-х-6\)

11. \(y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\)

13. \(y=\frac{2}{3}x−6\)

15. \(y=−\frac{3}{5}x+\frac{23}{5}\)

17. \(y=\frac{3}{5}x+15\)

19. \(y=-\frac{2}{3}x-\frac{11}{3}\)

21.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . 2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\) , то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\) и \(\sqrt{49}\) , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) при сложении \(\sqrt a+\sqrt b\) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt 2+ \sqrt {49}\) мы можем найти \(\sqrt{49}\) – это \(7\) , а вот \(\sqrt 2\) никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7\) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя \(\bullet\) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8\) ; \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\) ; \(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt{25}\) , то \ Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) . 2\) , поэтому \(\sqrt{16}=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\) .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. 2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3 \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! \(\bullet\) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. 2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\) . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Содержимое:

Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).

Шаги

Часть 1 Постигаем основы

1. 1 (выражение под знаком корня). Для этого разложите подкоренное число на два множителя, один из которых является квадратным числом (число, из которого можно извлечь целый корень, например, 25 или 9). После этого извлеките корень из квадратного числа и запишите найденное значение перед знаком корня (под знаком корня останется второй множитель). Например, 6√50 — 2√8 + 5√12. Числа, стоящее перед знаком корня, являются множителями соответствующих корней, а числа под знаком корня – это подкоренные числа (выражения). Вот как решать данную задачу:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Здесь вы раскладываете 50 на множители 25 и 2; затем из 25 извлекаете корень, равный 5, и 5 выносите из-под корня. Затем 5 умножаете на 6 (множитель у корня) и получаете 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Здесь вы раскладываете 8 на множители 4 и 2; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 2 (множитель у корня) и получаете 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Здесь вы раскладываете 12 на множители 4 и 3; затем из 4 извлекаете корень, равный 2, и 2 выносите из-под корня. Затем 2 умножаете на 5 (множитель у корня) и получаете 10√3.
2. 2 Подчеркните корни, подкоренные выражения которых одинаковы. В нашем примере упрощенное выражение имеет вид: 30√2 — 4√2 + 10√3. В нем вы должны подчеркнуть первый и второй члены (30√2 и 4√2 ), так как у них одинаковое подкоренное число 2. Только такие корни вы можете складывать и вычитать.
3. 3 Если вам дано выражение с большим количеством членов, многие из которых имеют одинаковые подкоренные выражения, используйте одинарное, двойное, тройное подчеркивание для обозначения таких членов, чтобы облегчить решение этого выражения.
4. 4 У корней, подкоренные выражения которых одинаковы, сложите или вычтите множители, стоящие перед знаком корня, а подкоренное выражение оставьте прежним (не складывайте и не вычитайте подкоренные числа! ). Идея в том, чтобы показать, сколько всего корней с определенным подкоренным выражением содержится в данном выражении.
   • 30√2 — 4√2 + 10√3 =
   • (30 — 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Часть 2 Практикуемся на примерах

1. 1 Пример 1: √(45) + 4√5.
   • Упростите √(45). Разложите 45 на множители: √(45) = √(9 x 5).
   • Вынесите 3 из-под корня (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Теперь сложите множители у корней: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Пример 2: 6√(40) — 3√(10) + √5.
   • Упростите 6√(40). Разложите 40 на множители: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Вынесите 2 из-под корня (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Перемножьте множители перед корнем и получите 12√10.
   • Теперь выражение можно записать в виде 12√10 — 3√(10) + √5. Так как у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, вы можете вычесть второй член из первого, а первый оставить без изменений.
   • Вы получите: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Пример 3. 9√5 -2√3 — 4√5. Здесь ни одно из подкоренных выражений нельзя разложить на множители, поэтому упростить это выражение не получится. Вы можете вычесть третий член из первого (так как у них одинаковые подкоренные числа), а второй член оставить без изменений. Вы получите: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 — 2√3.
4. 4 Пример 4. √9 + √4 — 3√2.
   • √9 = √(3 х 3) = 3.
   • √4 = √(2 х 2) = 2.
   • Теперь вы можете просто сложить 3 + 2, чтобы получить 5.
   • Окончательный ответ: 5 — 3√2.
5. 5 Пример 5. Решите выражение, содержащее корни и дроби. Вы можете складывать и вычислять только те дроби, у которых общий (одинаковый) знаменатель. Дано выражение (√2)/4 + (√2)/2.
   • Найдите наименьший общий знаменатель этих дробей. Это число, которое делится нацело на каждый знаменатель. В нашем примере на 4 и на 2 делится число 4.
   • Теперь вторую дробь умножьте на 2/2 (чтобы привести ее к общему знаменателю; первая дробь уже приведена к нему): (√2)/2 х 2/2 = (2√2)/4.
   • Сложите числители дробей, а знаменатель оставьте прежним: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Перед суммированием или вычитанием корней обязательно упростите (если возможно) подкоренные выражения.

Предупреждения

• Никогда не суммируйте и не вычитайте корни с разными подкоренными выражениями.
• Никогда не суммируйте и не вычитайте целое число и корень, например, 3 + (2x) 1/2 .
  • Примечание: «х» в одной второй степени и квадратный корень из «х» – это одно и то же (то есть x 1/2 = √х).

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 6 месяцев назад

Изменено 3 года, 11 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Я знаю, что есть корни, потому что если мы примем уравнение как функцию и зададим -3 и 1 как $x$: 92 — 2(1) + 1 > 0 $$

Должен иметь корень между $[-3,1]$. Тем не менее, корень очень жесткий, и он появился на школьном тесте. Как я могу решить это просто?

Были даны варианты -10, -5, 0 , 5 и 10. Примечание: мы даже не выучили формулу кубического корня. В тесте были только логические задачи, и я не использовал никаких вычислений или сложных вещей. Поэтому должен быть более простой способ без использования концепций или формул кубического корня.

• полиномы
• конкурс-математика 92-3(ab+bc+ca)\right)$$

  Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.

  $\endgroup$

  4

  $\begingroup$

  Подсказка: используйте формулы Ньютона и формулы Виета https://brilliant.org/wiki/newtons-identities/

  $\endgroup$

  2

  алгебраическое предварительное исчисление — сумма кубических корней комплексно-сопряженных чисел

  спросил 5 лет, 1 месяц назад

  Изменено 1 год, 9 месяцев назад

  Просмотрено 3к раз

  $\begingroup$

  При решении следующего кубического уравнения: 93 — 15x — 4 = 0$$

  Я получил одно из решений:

  $$x = \sqrt[3]{2 {\color{red}+} 11i} + \sqrt[3]{2 { \color{red}-} 11i}$$

  Когда я подсчитал на ручном калькуляторе, получилось ровно 4$. И действительно, когда я подставляю $x=4$ в исходное уравнение, получается решение. Итак, это похоже на правду:

  $$\sqrt[3]{2 {\color{red}+} 11i} + \sqrt[3]{2 {\color{red}-} 11i} = 4$$

  Итак, у нас есть сумма кубических корней из комплексных чисел, которая, тем не менее, дает реальный результат . Итак, я предполагаю, что эти два кубических корня должны быть комплексно-сопряженными друг другу, что, по-видимому, так и есть, судя по тому факту, что числа под кубическими корнями также являются комплексно-сопряженными друг другу (обратите внимание на знаки, отмеченные красным ).
  Комплексные конъюгаты являются «зеркальными отражениями» друг друга, поэтому при сложении они дают реальный результат.
  Кубические корни комплексно-сопряженных чисел делят их углы на 3, поэтому результаты должны оставаться комплексно-сопряженными числами, и я полагаю, что именно по этой причине их сумма также дает действительное число. Я прав? 93 — 15x — 4 = 0$$

  Почему я хожу по кругу с этим? И какие еще методы я могу использовать, чтобы взломать это и доказать, что эта сумма кубических корней действительно равна действительному числу $4$?

  Inb4: Я уже установил геометрически, что эта сумма кубов действительно равна $4$, но теперь я хотел бы доказать это алгебраически и изучить общий метод работы с такими суммами кубов комплексно-сопряженных чисел.

  Редактировать: Все ответы до сих пор, кажется, основаны на предположении, что я знаю, что это сложное выражение уже равно 2 (например, путем восстановления исходного кубического уравнения и нахождения его рациональных корней). Что меня больше интересует, так это то, как найти эквивалентные действительные решения, когда восстановление исходного кубического уравнения не работает, потому что оно не может быть решено с помощью теоремы о рациональных корнях. 93-15x-4$ на $x-4$.

  $\endgroup$

  4

  $\begingroup$

  Это не всегда будет работать так хорошо, и, вероятно, есть более короткий или, по крайней мере, более эффективный способ решения геометрических уравнений, но вот один подход, который работает для множества особых случаев, включая $\sqrt [3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$.

  Используя полярную форму комплексных чисел, мы видим, что искомое значение равно $2\sqrt{5}\cos\left(\dfrac{\arctan\frac{11}{2}}{3} \справа)$. Мы можем вычислить этот косинус, нарисовав на комплексной плоскости треугольник с вершинами $0$, $2$ и $2+11i$ и разделив угол на три части при $0$. 92-200000\шляпа{х}+1000000=0$. Проверка рациональных корней говорит нам, что у нас $\hat{x}=-5,1,-\frac{10}{11},\frac{10}{11}$ в качестве корней. Остальные являются корнями полученного квадратного числа: $\hat{x}=4(-2\pm\sqrt{3})$.

  Мы знаем, что $\hat{x}$ должно быть положительным, так что это либо $1$, либо $10/11$, а проверка других уравнений показывает, что $\hat{x}=1$ верно, что приводит к косинусу равно $\dfrac{2}{\sqrt{5}*1}$, а исходное значение равно $2\sqrt{5}*\dfrac{2}{\sqrt{5}*1}=4\checkmark$.

  $\endgroup$

  1

  $\begingroup$

  В качестве альтернативы мы могли бы показать алгебраически, что

  $$x=z+\bar z\имеет x=2Re(z)=2\sqrt 5\cdot \left(\cos \frac{\theta}3\right) =4$$

  с

  $$\theta = \arccos \frac{2}{5\sqrt5}$$

  $\endgroup$

  10

  $\begingroup$

  Цель состоит в том, чтобы показать, что

  $$\sqrt[3]{2 + 11i} + \sqrt[3]{2 — 11i} = 4$$

  Думаю, у вас возникнут проблемы с алгебраическим доказательством этого .

  С точки зрения -неупорядоченного -поля, где доступны только операции $+ — \times\ \div$, это невозможно, так как три корня каждого числа неотличимы друг от друга, и для некоторых пар этих значения, тождество ложно.

  Итак, нам предстоит работать в комплексной плоскости. Суть задачи состоит в том, чтобы найти действительную компоненту $\sqrt[3]{2+11i}$. «Очевидный» способ сделать это — вычислить арктангенс, разделить угол на три, а затем взять косинус. Реальное выполнение этого вычисления в общем случае и без приближения выходит за рамки возможностей нашей современной математики.

  Это задача на три сечения угла, и это означает, что вы всегда будете возвращаться к решению кубического уравнения.

  Я бы предложил подойти к проблеме факторизации иначе, используя алгоритм Кронекера (более старый, но более понятный) или алгоритм Кантора-Цассенхауса (наиболее широко применяемый в системах компьютерной алгебры). См. статью в Википедии о полиномиальной факторизации.

  Идея состоит в том, чтобы разложить полином над полем рациональных чисел, а не над комплексным полем. Если ваш ответ не является рациональным, это не сработает (алгоритм сообщит вам, что полином неприводим), но если один из ваших корней является рациональным числом (например, 4), этот метод найдет его без циклических аргументов. .

  Что делать, если ваш ответ нелогичен? Тогда лучшее, на что вы можете надеяться, — это найти неприводимый многочлен с одним действительным корнем, который и будет вашим решением, и я думаю, что вы упираетесь в фундаментальные теоретические ограничения, чтобы добиться большего.

  $\endgroup$

  $\begingroup$

  Я думаю, что весь ваш путь совершенно неверен, потому что $\sqrt[3]{2+11i}$ — это набор из трех чисел, а $\sqrt[3]{2-11i}$ — это набор из трех чисел.

  $\endgroup$

  2

  $\begingroup$

  Вот странный подход: теорема о рациональном корне.

Соли — это сложные вещества, которые диссоциируют, образуя катионы металла (или Nh5+) и анионы кислотного остатка. Кислые соли при диссоциации дают дополнительно ионы H+, а основные соли — ионы гидроксила OH-. Среди солей выделяют двойные, смешанные и комплексные.

Получение

1. Взаимодействием металлов и металло-неметаллов с неметаллами:

2Na + Cl2 = 2NaCl,

2Al + 3Cl2 = 2AlCl3.

2. Взаимодействием неметаллов с другими солями:

2KI + Br2 = 2KBr + I2Ї, 2KBrO3 + I2 = 2KIO3 + Br2.

3. Вытеснением более активным металлом более поссивного из его соли:

CuSO4 + Fe = FeSO4 + Cu.

4. Взаимодействием основных, амфотерных и кислотных оксидов:

Li2O + ZnO = Li2ZnO2,

CaO + SiO2 = CaSiO3,

Al2O3 + 3SO3 = Al2(SO4)3.

5. Взаимодействием основных, амфотерных и кислотных оксидов с основными, амфотерными и кислотными гидроксидами:

2LiOH + ZnO = Li2ZnO2 + 2h3O,

Ca(OH)2 + CO2 = CaCO3 + h3O,

Al2O3 + 3h3SO4 = Al2(SO4)3 + 3h3O.

6. Взаимодействием основных, амфотерных гидрооксидов с кислотами:

Al(OH)3 + KOH = K[Al(OH)4],

Cu(OH)2 + h3SO4 = CuSO4 + 2h3O,

Zn(OH)2 + 2HBr = ZnBr2 + 2h3O.

7. Путем обменных реакций основных, амфотерных гидрооксидов, кислот и солей с солями:

Ba(OH)2 + Na2SO4 = BaSO4 + 2NaOH,

Ca(OH)2 + Ca(HCO3)2 = 2CaCO3 + 2h3O,

KOH + AlCl3 = Al(OH)Cl2 + KCl,

h3SO4 + Ba(NO3)2 = BaSO4+ 2HNO3,

HCl + Mg(OH)Cl = MgCl2 + h3O,

Ca3(PO4)2 + 4h4PO4 = 3Ca(h3PO4)2,

FeCl3 + 3 KSCN = Fe(SCN)3 + 3KCl.

8. Термическим разложением солей:

2KClO3 = 2KCl + 3O2­,

2NaNO3 = 2NaNO2 + O2­.

Свойства

1. Диссоциируют в растворах или расплавах:

2. Способны подвергаться гидролизу (кроме солей, образованных одновременно сильными одноосновными кислотами и щелочными металлами):

3. Могут взаимодействовать с основными и амфотерными гидроксидами, кислотами и солями, вступая в реакции обмена (смотри выше: пункт 7).

4. Способны вступать в многочисленные окислительно-восстановительные реакции, реакции диспропорционирования:

3KClO = KClO3 + 2KCl,

2FeCl3 + h3S = S + 2FeCl2 + 2HCl.

Как пример реакций получения комплексных солей рассмотрим образование и использование красной и желтой кровяной соли:

FeCl2 + 6KCN = 2KCl + K4[Fe(CN)6] ,

FeCl3 + 6KCN = 3KCl + K3[Fe(CN)6] ,

3 FeCl2 + 2 K3[Fe(CN)6] = 6KCl + Fe3[Fe(CN)6]2,

4 FeCl3 + 3 K4[Fe(CN)6] = 12KCl + Fe4[Fe(CN)6]3.

K4[Fe(CN)6] — гексоцианоферрат (II) калия или желтая кровяная соль,

K3[Fe(CN)6] — гексоцианоферрат (III) калия или красная кровяная соль,

Fe3[Fe(CN)6]2 — гексоцианоферрат (III) железа (II) или турнбулева синь,

Fe4[Fe(CN)6]3 — гексоцианоферрат (II) железа (III) или берлинская лазурь.

Примером двойной соли могут служить алюмокалиевые квасцы KAl(SO4)2 — здесь два разных катиона и один анион:

Примером смешанной соли является хлорная известь Ca(OCl)Cl. При ее диссоциации образуется один катион Ca2+ и два аниона Cl- и OCl-.

Гексацианоферрат(II) калия

 ^[5].

Токсичность

Нейтральное вещество, поскольку анион (см. выше) не разлагается в воде и внутри человеческого организма. Летальная доза (LD50) для крыс при приёме перорально составляет 6400 мг/кг^[6]. 4- -> Cu2[Fe(CN)6]v}}}

Может использоваться для получения синильной кислоты:

K4[Fe(CN)6]+2h3SO4⟶h5[Fe(CN)6]+2K2SO4{\displaystyle {\ce {K4[Fe(CN)6] + 2h3SO4 -> h5[Fe(CN)6] + 2K2SO4}}}

 

3h5[Fe(CN)6]⟶Fe3C+5C+3N2+12HCN{\displaystyle {\ce {3h5[Fe(CN)6] -> Fe3C + 5C + 3N2 + 12HCN}}}

 

Мнемоническое правило

Для того, чтобы запомнить формулу жёлтой кровяной соли K4[Fe(CN)6]{\displaystyle {\ce {K4[Fe(CN)6]}}}

  и не спутать её с красной кровяной сольюK3[Fe(CN)6],{\displaystyle {\ce {K3[Fe(CN)6],}}}

  существуют мнемонические правила:

• Число атомов калия соответствует числу букв в английских названиях солей: «gold» — 4 буквы, то есть 4 атома калия — жёлтая кровяная соль K4[Fe(CN)6]{\displaystyle {\ce {K4[Fe(CN)6]}}}

   . «Red» — 3 буквы, то есть 3 атома калия — красная кровяная соль — K3[Fe(CN)6]{\displaystyle {\ce {K3[Fe(CN)6]}}}

   .

• «Калий три — будет красный». Мнемоника построена на игре слов: «три» (число) и «три» (повелительное наклонение глагола «тереть»). Как известно при потирании, например, кожи, последняя краснеет.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Желтая или кровещелочная соль // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
2. ↑ ^{1 2 3 4 5 6} Некрасов Б.В. Основы общей химии. — М., 1973. — Т. 2. — С. 360.
3. ↑ ^{1 2 3} Тананаев, 1971, с. 38-39.
4. ↑ Тананаев, 1971, с. 5.
5. ↑ Ф. Файгль, В.Ангер. Капельный анализ неорганических веществ. — 1976. — Т. 1. — С. 242.
6. ↑ POTASSIUM FERROCYANIDE (неопр. ). hazard.com. Дата обращения: 16 января 2016.
7. ↑ Аналитические методы определения цинка

Литература

• Тананаев И.В. и др. Химия ферроцианидов. — М., 1971.

Гексацианоферрат, калия, Гексацианоферра, ка, лия, железистосинеро, дистый, ка, лий, ферроциани, ка, лия, гексацианоферроа, ка, лия, жёлтая, кровяная, соль, неорганическое, соединение, из, группы, гексацианоферратов, комплексная, соль, состава, displaystyle, с. Geksacianoferra t II ka liya zhelezistosinero distyj ka lij ferrociani d ka liya geksacianoferroa t ka liya zhyoltaya krovyanaya sol neorganicheskoe soedinenie iz gruppy geksacianoferratov kompleksnaya sol sostava K 4 Fe CN 6 displaystyle ce K4 Fe CN 6 soderzhashaya v anione dvuhvalentnoe zhelezo vydelyayushayasya iz vodnogo rastvora v vide kristallogidrata K 4 Fe CN 6 3 H 2 O displaystyle ce K4 Fe CN 6 3h3O Geksacianoferrat II kaliyaObshieSistematicheskoenaimenovanie Geksacianoferrat II kaliyaHim formula C6N6FeK4Rac formula K4 Fe CN 6 Fizicheskie svojstvaSostoyanie bezvodnyj bescvetnye kristally trigidrat bledno zhyoltye kristallyMolyarnaya massa 368 35 g molPlotnost trigidrata 1 85 g sm Termicheskie svojstvaTemperatura plavleniya 69 71 C razlozheniya 650 CKlassifikaciyaReg nomer CAS 13943 58 3PubChem 9605257Reg nomer EINECS 237 722 2SMILES C N C N C N C N C N C N K K K K Fe 2 C N C N C N C N C N C N Fe 4 K K K K InChI InChI 1S 6CN Fe 4K c6 1 2 q6 1 2 4 1 InChI 1S 6CN Fe 4K c6 1 2 q 4 4 1XOGGUFAVLNCTRS UHFFFAOYSA N OCPOWIWGGAATRP UHFFFAOYSA NKodeks Alimentarius E536ChEBI 30059ChemSpider 20162028BezopasnostKratkie harakter opasnosti H h512 EUH032Mery predostor P P273 P260NFPA 704 010Privedeny dannye dlya standartnyh uslovij 25 C 100 kPa esli ne ukazano inoe Mediafajly na Vikisklade Soderzhanie 1 Istoriya otkrytiya 2 Nazvaniya 3 Poluchenie 4 Fizicheskie i himicheskie svojstva 5 Toksichnost 6 Primenenie 7 Mnemonicheskoe pravilo 8 Primechaniya 9 LiteraturaIstoriya otkrytiya PravitV 1752 godu Maker en obnaruzhil chto pri kipyachenii berlinskoj lazuri s rastvorom shyolochi edkogo kali sinij cvet eyo ischezaet a v rastvor perehodit zheltoe veshestvo Issledovaniya Bertolle 1787 Gej Lyussaka i Berceliusa 1819 pokazali chto veshestvo eto soderzhit kalij zhelezo II i ostatok sinilnoj kisloty snachala ego prinimali za dvojnuyu sol Vposledstvii usiliyami Gmelina Gej Lyussaka i Libiha vyyasnilos chto eto kalievaya sol zhelezistosinerodistoj kisloty 1 Nazvaniya PravitPomimo zhyoltoj krovyanoj soli v ESBE otmecheny takzhe sleduyushie trivialnye nazvaniya 1 zhyoltoe sin kali zhyoltaya sol kroveshelochnaya sol Nazvanie zhyoltaya krovyanaya sol poyavilos iz za togo chto ranshe eyo poluchali prokalivaniem othodov boen soderzhashih krov s potashom i zheleznymi opilkami Eto a takzhe zhyoltyj cvet kristallov obuslovili nazvanie soedineniya 2 Poluchenie PravitV nastoyashee vremya v promyshlennosti poluchayut iz otrabotannoj massy posle ochistki gazov na gazovyh zavodah soderzhit cianistye soedineniya etu massu obrabatyvayut suspenziej Ca OH 2 filtrat soderzhashij Ca2 Fe CN 6 pererabatyvayut putyom posledovatelnogo dobavleniya snachala KCl a zatem K2CO3 On takzhe mozhet byt poluchen putyom vzaimodejstviya suspenzii FeS s vodnym rastvorom KCN Reakciyu mozhno predstavit sleduyushej shemoj 1 cianid kaliya perevodit Fe 2 displaystyle ce Fe 2 v belyj osadok geksacianoferrata II zheleza II 3 Fe 2 6 CN Fe 2 Fe CN 6 displaystyle ce 3Fe 2 6CN gt Fe2 Fe CN 6 v a ne v cianid zheleza II kak schitalos ranee chto vytekaet iz vzaimodejstviya etogo osadka so shyolochyu Fe 2 Fe CN 6 4 KOH 2 Fe OH 2 K 4 Fe CN 6 displaystyle ce Fe2 Fe CN 6 4KOH gt 2Fe OH 2v K4 Fe CN 6 2 2 zatem osadok rastvoryaetsya v izbytke KCN s obrazovaniem zhyoltoj krovyanoj soli Fe 2 Fe CN 6 4 KCN K 4 Fe CN 6 2 Fe CN 2 displaystyle ce Fe2 Fe CN 6 4KCN gt K4 Fe CN 6 2Fe CN 2 Fizicheskie i himicheskie svojstva PravitSvetlo zhyoltye kristally s tetragonalnoj sushestvuyut takzhe rombicheskaya i monoklinnaya modifikacii reshyotkoj sushestvuyushie v vide trigidrata K 4 Fe CN 6 3 H 2 O displaystyle ce K4 Fe CN 6 3h3O 3 Plotnost 1 853 g sm pri 17 C Rastvorimost v vode 35 8 g 100 g pri 25 C ona umenshaetsya v prisutstvii ammiaka ili drugih solej kaliya V absolyutnom spirte nerastvorim no rastvoryaetsya v smesyah spirta s vodoj Malo rastvorim v metanole 0 024 mol l prakticheski ne rastvoryaetsya v efire piridine aniline etilacetate zhidkih hlore i ammiake 3 Geksacianoferrat II kaliya diamagniten pri nizkih temperaturah yavlyaetsya segnetoelektrikom 3 Vyshe 120 C po drugim dannym vyshe 87 3 C istochnik prevrashaetsya v bezvodnuyu sol s plotnostyu 1 935 g sm Vyshe 650 C razlagaetsya 2 3 K 4 Fe CN 6 t Fe 3 C 5 C 3 N 2 12 KCN displaystyle ce 3K4 Fe CN 6 gt t Fe3C 5C 3N2 12KCN V reakcii s koncentrirovannoj solyanoj kislotoj vydelyaetsya belyj osadok zhelezistosinerodistoj kisloty H 4 Fe CN 6 displaystyle ce h5 Fe CN 6 2 S koncentrirovannoj sernoj kislotoj reagiruet po uravneniyu K 4 Fe CN 6 6 H 2 SO 4 6 H 2 O t 2 K 2 SO 4 FeSO 4 3 NH 4 2 SO 4 6 CO displaystyle ce K4 Fe CN 6 6h3SO4 6h3O gt t 2K2SO4 FeSO4 3 Nh5 2SO4 6CO Etim sposobom mozhno polzovatsya v laboratorii dlya polucheniya monooksida ugleroda S solyami metallov v stepeni okisleniya 2 i 3 obrazuet malorastvorimye soedineniya geksacianoferratov II V vodnyh rastvorah okislyaetsya hlorom i drugimi okislitelyami takimi kak peroksid vodoroda do geksacianoferrata III kaliya 2 K 4 Fe CN 6 H 2 O 2 2 HCl 2 K 3 Fe CN 6 2 KCl 2 H 2 O displaystyle ce 2K4 Fe CN 6 h3O2 2HCl gt 2K3 Fe CN 6 2KCl 2h3O Anion Fe CN 6 4 displaystyle ce Fe CN 6 4 ochen prochen ego konstanta nestojkosti po raznym dannym 2 4 ot 4 10 36 do 1 10 35 ne razlagaetsya ni shelochami ni kislotami ustojchiv po otnosheniyu k vozduhu poetomu s tradicionnymi reagentami rastvory geksacianoferratov II ne dayut reakcij ni na Fe 2 displaystyle ce Fe 2 ni na CN displaystyle ce CN 2 Odnako dissociativno razrushit etot kompleks i obnaruzhit v nyom nalichie dvuhvalentnogo zheleza vsyo taki udayotsya odnovremenno svyazav i zhelezo i cianid v otdelnye prochnye kompleksy naprimer obrabotav rastvor geksacianoferrata II smesyu a a dipiridila i hlorida rtuti Pri etom poyavlyaetsya krasnoe okrashivanie vsledstvie obrazovaniya kompleksa Fe 2 displaystyle ce Fe 2 s a a dipiridilom pri odnovremennom svyazyvanii cianida v vide Hg CN 2 displaystyle ce Hg CN 2 5 Toksichnost PravitNejtralnoe veshestvo poskolku anion sm vyshe ne razlagaetsya v vode i vnutri chelovecheskogo organizma Letalnaya doza LD50 dlya krys pri priyome peroralno sostavlyaet 6400 mg kg 6 Primenenie PravitPrimenyayut pri izgotovlenii pigmentov krashenii shyolka v proizvodstve cianistyh soedinenij ferritov cvetnoj bumagi kak komponent ingibiruyushih pokrytij i pri cianirovanii stalej dlya vydeleniya i utilizacii radioaktivnogo ceziya V pishevoj promyshlennosti ferrocianid kaliya zaregistrirovan v kachestve pishevoj dobavki E536 prepyatstvuyushej slyozhivaniyu i komkovaniyu Primenyaetsya kak dobavka k povarennoj soli V Rossijskoj Federacii shiroko primenyayut pri proizvodstve produktov pitaniya soli tvorozhnyh produktov v vinodelii i prochem istochnik ne ukazan 530 dnej Geksacianoferrat II kaliya primenyaetsya v analiticheskoj himii kak reaktiv dlya obnaruzheniya nekotoryh kationov 1 Fe 3 displaystyle ce Fe 3 obrazuetsya malorastvorimyj sinij osadok berlinskoj lazuri Fe III Cl 3 K 4 Fe II CN 6 KFe III Fe II CN 6 3 KCl displaystyle ce Fe III Cl3 K4 Fe II CN 6 gt KFe III Fe II CN 6 3KCl ili v ionnoj forme Fe 3 Fe CN 6 4 Fe Fe CN 6 displaystyle ce Fe 3 Fe CN 6 4 gt Fe Fe CN 6 Poluchayushijsya geksacianoferrat II kaliya zheleza III slabo rastvorim s obrazovaniem kolloidnogo rastvora poetomu nosit nazvanie rastvorimaya berlinskaya lazur 2 Zn 2 displaystyle ce Zn 2 obrazuetsya belyj osadok geksacianoferrata II cinka kaliya 7 3 ZnCl 2 2 K 4 Fe II CN 6 K 2 Zn 3 Fe CN 6 2 6 KCl displaystyle ce 3ZnCl2 2K4 Fe II CN 6 gt K2Zn3 Fe CN 6 2v 6KCl ili v ionnoj forme 3 Zn 2 2 K 2 Fe CN 6 4 K 2 Zn 3 Fe CN 6 2 displaystyle ce 3Zn 2 2K 2 Fe CN 6 4 gt K2Zn3 Fe CN 6 2v 3 Cu 2 displaystyle ce Cu 2 iz nejtralnyh ili slabokislyh rastvorov vypadaet krasno buryj osadok geksacianoferrata II medi II 2 CuCl 2 K 4 Fe II CN 6 Cu 2 Fe CN 6 4 KCl displaystyle ce 2CuCl2 K4 Fe II CN 6 gt Cu2 Fe CN 6 v 4KCl ili v ionnoj forme 2 Cu 2 Fe CN 6 4 Cu 2 Fe CN 6 displaystyle ce 2Cu 2 Fe CN 6 4 gt Cu2 Fe CN 6 v Mozhet ispolzovatsya dlya polucheniya sinilnoj kisloty K 4 Fe CN 6 2 H 2 SO 4 H 4 Fe CN 6 2 K 2 SO 4 displaystyle ce K4 Fe CN 6 2h3SO4 gt h5 Fe CN 6 2K2SO4 3 H 4 Fe CN 6 Fe 3 C 5 C 3 N 2 12 HCN displaystyle ce 3h5 Fe CN 6 gt Fe3C 5C 3N2 12HCN Mnemonicheskoe pravilo PravitDlya togo chtoby zapomnit formulu zhyoltoj krovyanoj soli K 4 Fe CN 6 displaystyle ce K4 Fe CN 6 i ne sputat eyo s krasnoj krovyanoj solyu K 3 Fe CN 6 displaystyle ce K3 Fe CN 6 sushestvuyut mnemonicheskie pravila Chislo atomov kaliya sootvetstvuet chislu bukv v anglijskih nazvaniyah solej gold 4 bukvy to est 4 atoma kaliya zhyoltaya krovyanaya sol K 4 Fe CN 6 displaystyle ce K4 Fe CN 6 Red 3 bukvy to est 3 atoma kaliya krasnaya krovyanaya sol K 3 Fe CN 6 displaystyle ce K3 Fe CN 6 Kalij tri budet krasnyj Mnemonika postroena na igre slov tri chislo i tri povelitelnoe naklonenie glagola teret Kak izvestno pri potiranii naprimer kozhi poslednyaya krasneet Primechaniya Pravit 1 2 Zheltaya ili kroveshelochnaya sol Enciklopedicheskij slovar Brokgauza i Efrona v 86 t 82 t i 4 dop SPb 1890 1907 1 2 3 4 5 6 Nekrasov B V Osnovy obshej himii M 1973 T 2 S 360 1 2 3 Tananaev 1971 s 38 39 Tananaev 1971 s 5 F Fajgl V Anger Kapelnyj analiz neorganicheskih veshestv 1976 T 1 S 242 POTASSIUM FERROCYANIDE neopr hazard com Data obrasheniya 16 yanvarya 2016 Analiticheskie metody opredeleniya cinkaLiteratura PravitTananaev I V i dr Himiya ferrocianidov M 1971 Istochnik https ru wikipedia org w index php title Geksacianoferrat II kaliya amp oldid 113169845, Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите,

истории

, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, секс, порно, скачать, скачать, sex, seks, porn, porno, скачать, бесплатно, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры

Сбалансируйте химическое уравнение: K4Fe(CN)6 + h3SO4 + h3O = K2SO4 + FeSO4 + (Nh5)2SO4 + CO.

Выберите область веб-сайта для поиска

ХимияВсеУчебные пособияПомощь по выполнению домашних заданийПланы уроков

Искать на этом сайте

Начать бесплатную пробную версию

Ссылайтесь на эту страницу следующим образом:

«Сбалансируйте химическое уравнение: K4Fe(CN)6 + h3SO4 + h3O = K2SO4 + FeSO4 + (Nh5)2SO4 + CO». eNotes Editorial , 10 апреля 2011 г., https://www.enotes.com/homework-help/balance-chemical-equation-k4fe-cn-6-h3so4-h3o-253381. По состоянию на 29 апреля 2023 г.

Ответы экспертов

Химическое уравнение, которое необходимо сбалансировать: K4Fe(CN)6 + h3SO4 + h3O = K2SO4 + FeSO4 + (Nh5)2SO4 + CO

Сделайте это следующим образом:

Рассмотрим первое соединение K4Fe(CN)6, K присутствует только в одном из соединений слева. Таким образом, вы можете записать коэффициент K2SO4 как 2. Точно так же, учитывая Fe и N, мы получаем коэффициенты FeSO4 как 1 и (Nh5)2SO4 как 3.

Так как K2SO4, FeSO4 и (Nh5)2SO4 имеют SO4, и мы получаем Всего 6 SO4, мы можем сделать коэффициент h3SO4 равным 6. (Nh5)2SO4 имеет 8 атомов H, а их 3, это дает 24 атома H. Из 6 h3SO4 мы получаем 12 атомов H, остальные или еще 12 приходятся на h30, поэтому h3O можно присвоить коэффициент 6. Наконец, в K4Fe(CN)6 имеется 6 атомов C, чтобы учесть это, присвойте CO коэффициент из 6. В итоге получаем:

K4Fe(CN)6 + 6 h3SO4 + 6 h3O = 2 K2SO4 + FeSO4 + 3 (Nh5)2SO4 + 6 CO

См. eNotes Ad-Free

Начните 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые наши эксперты ответили.

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Задайте вопрос

Похожие вопросы

Химия

Последний ответ опубликован 21 июня 2012 г. в 16:50:16.

Сколько молей h3SO4 вступит в реакцию с 18 моль Al в химической реакции с их участием.

4 Ответы воспитателя

Химия

Последний ответ опубликован 21 июня 2012 г. в 12:56:39.ВЕЧЕРА

Алюминий реагирует с кислородом в следующей химической реакции: Al + O2 → Al2O3. Сколько молей Al2O3 образуется при взаимодействии 6,38 моль O2 и 9,15 моль Al?

2 Ответы воспитателя

Химия

Последний ответ опубликован 02 июня 2013 г. в 20:16:05.

Что удерживает атомы вместе в ионных связях?

2 Ответы воспитателя

Химия

Последний ответ опубликован 19 ноября 2012 г. в 17:41:47.

Оксид ванадия (V) используется в качестве катализатора в приведенной ниже реакции.2 SO2 (г) + O2 (г) —>  2 SO3 (г)Объясните, как оксид ванадия (V) способен снижать энергию активации и повышать скорость…

1 Ответ воспитателя

Химия

Последний ответ опубликован 23 сентября 2012 г. в 3:35:39.

Является ли CO2 + h3O ->h3CO3 окислительно-восстановительной реакцией?

1 Ответ воспитателя

Ферроцианид калия – определение, структура, свойства, использование и применение

Ферроцианид калия K ₄ (Fe(CN) ₆ ) используется в пищевой и фармацевтической промышленности для окрашивания. Ферроцианид калия используется в качестве красителя в сахаре, в пищевых продуктах, таких как выпечка, макаронные изделия, фрукты, желе и начинки для пирогов, молочные продукты, мясные и рыбные продукты, кофе и жевательная резинка; и в качестве компонента в лекарствах и фармацевтических препаратах, таких как вакцины, витамины и антибиотики. Он обычно используется в производстве продуктов, не содержащих сухих веществ, и пищевых красителей, но все чаще используются продукты, содержащие небольшое количество добавленного ферроцианида калия. Этот краситель не является пищевой добавкой и не влияет на безопасность пищевых продуктов. Ферроцианид калия обычно добавляют в сахар для улучшения цвета пищевого продукта. Он одобрен для использования в качестве красителя в пищевых продуктах и ​​в качестве компонента лекарственных средств и пищевых продуктов для контроля цвета.

Преимущества

• Ферроцианид калия не влияет на безопасность пищевых продуктов.

• Ферроцианид калия водорастворим, устойчив к гидролизу и не образует токсичных веществ.

• Высокая стабильность.

• Не окрашивает рот, губы, зубы или пальцы.

• Пятна можно смыть холодной водой.

• Простота в обращении.

• Высокая стабильность и низкая температура плавления.

• Цвет является постоянным и не будет работать.

• Насыщенность цвета можно варьировать, регулируя уровень pH и количество ингредиентов.

• Красители с этим свойством помогают производить яркую и привлекательную выпечку.

• Хорошо впитывает влагу из сахара.

• Не является канцерогеном.

• Не окисляется быстро и может использоваться в больших количествах.

• Безопасен для детей, беременных женщин, пожилых людей и больных.

• Не воспламеняется.

• Низкая стоимость.

• Не вступает в реакцию с большинством других пищевых продуктов.

• Не изменяет вкус пищи, в которую добавляется.

• Ферроцианид калия не наносит вреда окружающей среде.

Области применения

Ферроцианид калия используется в качестве красителя в пищевых продуктах и ​​напитках, таких как варенье, желе, мармелад и разрыхлитель. Его также можно использовать в некоторых лекарствах и препаратах, содержащих кальций или железо. Он также входит в состав некоторых лечебных продуктов. Ферроцианид калия также можно использовать для окрашивания некоторых медицинских продуктов для определенных групп пациентов, например, с проблемами почек или сердца.

История

Соли ферроцианидов были впервые получены в 1840-х годах. Ферроцианид калия был произведен в 1891 году Томасом Грэмом и Альфредом Роузом из Английского фармацевтического общества. Это было первое успешное коммерческое производство ферроцианида калия.

Ферроцианид калия был впервые использован в качестве красителя в пищевой промышленности в 1890-х годах. Затем его использовали для окрашивания желатина в пищевых продуктах, таких как варенье и мармелад, чтобы отличить их от более дешевых продуктов синтетического цвета. Было получено множество патентов для защиты нового красителя.

Использование ферроцианида в качестве пищевого красителя было разрешено в 1930-х годах. Он был одобрен для использования в желе, джеме, мармеладе, конфетах и ​​разрыхлителе.

Есть некоторые споры по поводу названия ферроцианид калия. Ее также называют «зеленой солью».

Преимущества:

• Хороший краситель, так как придает продукту ярко-зеленый цвет. Он не теряет цвет при нагревании или воздействии солнечных лучей.

• Имеет меньше недостатков, чем синтетический краситель.

• Безопасен для использования в пищевых продуктах.

• Может использоваться в широком ассортименте пищевых продуктов.

• Он не летучий, поэтому нет риска обжечь рот.

• Не вызывает рак.

• Недорого.

О калиях ферроцианид -K

Ферроцианид калия -K ₄ (Fe (CN)) ₆ представляет собой феррицианидную соль или калиевую соль. Это бесцветный или желтоватый твердый материал. Как соль, это соль сильной кислоты. Растворим в воде, эфире и других растворителях.

Ферроцианид калия -K ₄ (Fe(CN) ₆ ) используется в качестве катализатора в фотографической, биохимической и аналитической химии. Он в основном используется в качестве калиевой соли для получения ферроцианида калия — K ₄ (Fe(CN)) ₆ . Ферроцианид калия -K ₄ (Fe(CN) ₆ ) также называется феррицианид калия -K ₄ (Fe(CN)) ₆ , феррицианид калия -K ₄ (Fe(CN) ₂ ), феррицианид калия — K ₄ (Fe(CN) ₂ ), феррицианид калия -K ₄ (Fe(CN) ₂ ) и феррицианид калия -K ₄ (Fe(CN) ₃ ). Ферроцианид калия -K ₄ (Fe(CN) ₆ ) также называют дихроматом калия -K ₄ Cr ₂ О ₇ ).

Ферроцианид калия — K ₄ (Fe(CN) ₆ ) используется во многих процессах в аналитической лаборатории для обнаружения и определения металлов. Он используется в аналитической химии для определения следовых количеств меди и железа, для определения железа в стали и для анализа меди и железа. Он используется для обнаружения присутствия меди в железной руде, определения железа и меди в алюминии атомно-абсорбционным методом, а также для идентификации и определения меди в растворе. Применяется в аналитической химии для определения мышьяка, кадмия, свинца и цинка, при определении мышьяка и свинца в руде, свинца в стали и стали всех марок.

Широко известно использование ферроцианида калия — K ₄ (Fe(CN) ₆ ) в качестве индикатора в методике титриметрического осаждения. Реакцию проводят при низких значениях рН в присутствии различных оснований, избыток основания определяют титрованием кислотой. Также проводят осаждение ферроцианидом калия — К ₄ (Fe(CN) ₆ ) в присутствии различных металлов. Осаждение железа (II) ферроцианидом калия — К ₄ (Fe(CN) ₆ ) используется для идентификации и определения железа в железной руде, определения железа в стали и для идентификации меди в алюминиевом сплаве. Осаждение алюминия в присутствии ферроцианида калия -К ₄ (Fe(CN) ₆ ) может быть использовано для идентификации и определения алюминия в алюминиевом сплаве.

Простая процедура экстракции для определения алюминия в диапазоне 5-70 мкг/г с использованием 2-(п-толуолсульфокислоты)-3,6-диамино-9-этилкарбазол — описан DAEC. Результаты, полученные методом экстракции и хелатирования, согласуются с результатами, полученными методом электротермической атомно-абсорбционной спектрометрии.

Ферроцианид калия определяется как неорганическое соединение, имеющее химическую формулу K ₄ (Fe(CN) ₆ ) (формула ферроцианида калия). Ферроцианид калия иначе называют желтым пруссатом калия, который представляет собой желтый кристалл. Он был сделан из роговых или шерстяных обрезков, перемешивающих горячий карбонат калия с помощью железного стержня. Соединение ферроцианида калия можно использовать в некоторых процессах получения железа в качестве проявителя и в качестве добавки для щелочных пиропроявителей.

Гексацианоферрат калия (II), желтая пруссия калия — другие названия ферроцианида калия.

Структура ферроцианида калия –K

Структуру ферроцианида калия можно представить следующим образом:

(Изображение будет добавлено позже)

в важные свойства ферроцианида калия

Свойства ферроцианида калия

Физические свойства ферроцианида калия – K 9008 9 4

Химические свойства ферроцианида калия – K

• Ферроцианид калия дополнительно реагирует с серной кислотой в водной форме сульфата железа ели, сульфат калия, окись углерода и сульфат аммония. Химическую реакцию можно представить следующим образом:

\[ K_{4}(Fe(CN)_{6}) + 6H_{2}SO_{4} + 6h3O \rightarrow  2K_{2}SO_{4} + FeSO_{4} + 3(NH_ {4})_{2}SO_{4} + 6CO \]

\[ K_{4}(Fe(CN)_{6}) + FeCl_{3} \rightarrow KFe[Fe(CN)_{6 }] + 3 KCIC \]

Использование ферроцианида калия – K

• Ферроцианид калия можно использовать в процессах отпуска стали и гравировки. Он также используется в производстве пигментов и в качестве химического реагента.

• Небольшое количество гидрохинона и пиропроявителей способствует уменьшению запотевания и увеличению плотности.

• Он также используется в производстве цианида калия, который может широко использоваться в добыче золота.

• Кроме того, Ferro Cyanogen производит большинство соединений металлов, нерастворимых в воде, некоторые из которых имеют очень характерные цвета. Он служит тестом для соединений железа и меди.

Применение ферроцианида калия

Важные области применения ферроцианида калия можно перечислить следующим образом:

• Ферроцианид калия находит несколько нишевых применений в промышленности. Родственная натриевая соль широко используется в качестве противослеживающего агента как для поваренной соли, так и для дорожной соли. Ферроцианиды натрия и калия также могут быть использованы при выделении меди из молибденовых руд и очистке олова. Соединение ферроцианида калия используется в производстве лимонной кислоты и вина.

• Также используется в кормлении животных.

• Ферроцианид калия используется для определения концентрации перманганата калия в лаборатории, соединения, часто используемого при титровании по окислительно-восстановительным реакциям. Соединение ферроцианида калия используют в смеси с фосфатно-буферным раствором и феррицианидом калия для получения буфера для бета-галактозидазы. Его можно использовать для расщепления X-Gal, создавая ярко-синюю визуализацию, где антитело (иначе другая молекула), конъюгированное с Beta-gal, связано со своей мишенью. Кроме того, при реакции с Fe (3) он дает берлинскую лазурь. Поэтому его можно использовать в качестве реагента для идентификации железа в лабораториях.

• Соединение ферроцианида калия используется в качестве удобрения для растений.

• До 1900 г. н.э., до изобретения процесса Кастнера, соединение ферроцианида калия было важным источником цианидов щелочных металлов. Цианид калия был получен путем разложения ферроцианида калия в этом историческом процессе. Химическая реакция может быть представлена ​​следующим образом:

\[ K_{4}(Fe(CN)_{6}) \rightarrow  4 KCN + FeC_{2} + N_{2} \]

Токсичность ферроцианида калия для соли

Острая пероральная токсичность ферроцианида калия указана как 5000 мг/кг. Это означает 350 г для человека весом 70 кг. Хотя молекулы состоят из ионов цианида, они более прочно связаны с атомом железа и остаются с железом на протяжении всей пищеварительной системы человека.

Количество, добавляемое в поваренную соль для предотвращения слеживания, составляет порядка 20 мг/кг хлорида натрия, а это означает, что нам придется съесть целый грузовик поваренной соли, чтобы достичь уровня токсичности ферроцианида калия. Конечно, соль убьет нас задолго до ферроцианида калия.

Наличие на рынке ферроцианида калия

Соединения ферроцианида калия существуют в виде светло-желтых кристаллов без запаха, растворимых в воде, но нерастворимых в спиртах. Это соединение также называют либо желтым пруссатом гексацианоферрата (II) калия, либо калием. Ферроцианид калия производится из гидроксида калия и ферроцианида водорода. Это соединение не считается токсичным, но оно опасно при смешивании с другими химическими веществами или при нагревании с ними.