Автор: alexxlab

Числовая пи окружность: Числовая окружность

alexxlab / / Разное

что это такое, чему равно, история, как округлить

Представляете, мы живем в эпоху технологического прорыва, но до сих пор не можем точно рассчитать площадь съеденного круглого торта? Все потому, что в формуле вычисления площади круга используется число π.

От автомобильного колеса до орбиты спутника, от часового механизма до электромагнитных и звуковых волн. В любой научной области есть расчеты, и практически в любом расчете не обойтись без числа пи. Даже там, где, казалось бы, окружности нет места, например в статистике.

Что такое число пи

Число пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Обозначается оно буквой греческого алфавита π. Если записать это отношение математическими символами, то выглядит оно так: π = C/d, где C — это длина окружности, а d — диаметр окружности. То есть π — это результат деления длины окружности на ее диаметр. Но само по себе число пи не является каким-то параметром окружности. Это математическая постоянная, или константа (то есть неизменная), которая нужна для расчета определенных данных. Например, число пи необходимо, чтобы посчитать площадь круга.

Чему равно число пи

Число пи не имеет точного значения. Это легко проверить. Возьмите круг любого размера, разделите его окружность на диаметр — у вас получится десятичная дробь с множеством цифр после запятой. Математики называют такие числа иррациональными. Результат, который вы увидите, будет равен 3 целых и сколько-то десятых, сотых, тысячных — и далее насколько хватит дисплея калькулятора. У числа пи бесконечное количество знаков после запятой. Но для удобства в расчетах используют округленные значения.

Число π примерно равно 3,14, или, если точнее, 3,1415926535. Именно значение с десятью знаками после запятой принято использовать. Но все дело в округлении. Там, где не нужны максимально точные расчеты, за число пи часто берут 3. А вот для точных расчетов в науке ученые используют число пи с 38-ю знаками десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби).

Итак:
π = 3,14 или π = 3,1415926535

Как посчитать число пи самостоятельно

Возьмите несколько круглых предметов разного размера, например тарелку, блюдце и крышку от кастрюли. Измерьте окружность каждого. Для этого используйте сантиметровую ленту. Или можно обернуть их по окружности ниткой или веревкой, а потом полученную длину нитки или веревки измерить линейкой. С помощью сантиметровой ленты или линейки измерьте и диаметр каждого предмета. Длина окружности и диаметры у каждого будут разные, ведь предметы разные по размеру.

Теперь для каждого предмета разделите его длину окружности на диаметр. Вы увидите, что во всех случаях, какого бы размера ни был круглый предмет, полученное значение будет 3 целых и далее десятые и сотые доли. Оно необязательно соответствует принятому значению в 3,14, но всегда будет около него.

Практическое применение числа пи

В школе нас учат использовать число пи для вычисления площади круга. Рассчитывается она по следующей формуле: S = πr², где S — площадь, π — число пи, r² — радиус в квадрате. Можно использовать эту формулу: S = d²/4*π, где d² — диаметр.

Зная число пи и диаметр, можно посчитать длину окружности. Для этого вспомним школьные уравнения. Если π = C/d, то C (длина окружности) высчитывается по формуле C = π*d.

Но применение числа пи в науке гораздо шире. Оно используется практически для любых расчетов в любой области, будь то архитектура, авиация и даже статистика. Например, число π нужно для расчета времени полета самолета и расстояния, которое он должен преодолеть. А в статистике с помощью числа пи рассчитывают значения ниже так называемой кривой нормального распределения. Это нужно для того чтобы, например, выяснить, как распределялись голоса респондентов при опросе.

S (площадь круга) = πr²

История числа пи

Считается, что первым обозначать число пи буквой греческого алфавита π (pi) стал британский математик Уильям Джонс в 1706 году, а популяризировал обозначение его швейцарский коллега Леонард Эйлер в 1737 году. Есть версия, что эта буква выбрана не случайно, а как начальная в греческом слове perijereia, что означает «окружность», «периферия».

Как и на многие явления, известные науке сегодня, на существование некой постоянной, с помощью которой можно посчитать площадь круга, обратили внимание еще в Древнем мире. Но ученые того времени приходили к разному мнению относительно значения этой постоянной: одни использовали значение 3,125, другие — 3,16, третьи — 3,139. Но всегда это значение было 3 с небольшим.

На точное вычисление числа пи ушли тысячелетия. Первым, кто определил более-менее приблизительное значение π, был древнегреческий ученый Архимед. По его расчетам пи равно 3,142857142857143. Как мы знаем сейчас, верными оказались только первые два десятичных числа.

это интересно

Натуральные числа

Их разряды, классы и свойства

подробнее

Точнее оказались расчеты китайского математика 480-х годов нашей эры — 3,1415927. Именно это значение числа пи считалось самым верным до 1420-х годов, пока ученые не расширили этот ряд до 16 цифр после запятой, затем до 20-ти, 32-х и так далее.

В XX веке с приходом компьютерных систем и вычислительной техники дело пошло быстрее: теперь уже точные десятичные значения высчитывали машины. С помощью специальных алгоритмов математики во всем мире продолжают определять новые, более точные значения числа пи, устанавливая рекорды по количеству цифр десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби).

Популярные вопросы и ответы

Отвечают Вячеслав Смольняков, учитель математики и информатики высшей квалификационной категории, эксперт ОГЭ и ЕГЭ Региональной предметной комиссии по математике и информатике; Ирина Ходакова, учитель математики.

Как округлить число пи?

Чтобы не запоминать число пи с большим количеством десятичных значений, его принято округлять, — говорит Вячеслав Смольняков. — В математике все округления проводятся по строгим правилам. Для округления значения числа пи применяют метод округления к ближайшему целому. Если перед округляемым числом стоит число 5 и большее, то число округляется в большую сторону. Например, 12,513. Другой пример: 12,5812,613.

Если перед округляемым числом стоит число менее 5, то число округляется в меньшую сторону. Например, 12,412. Или: 12,3412,312.

Итак, возьмем π — 3,1415. Округление начинают с последнего значения, в данном случае это 5. Значит, следующая за ним единица округляется до двух: 3,14153,142. Последнее число 2 меньше пяти, значит, последующее 4 остается неизменным: 3,1423,14. Вот мы и пришли к общепринятому значению числа пи.

По тому же принципу давайте продолжим округление до целого числа: 3,143,23. И вот у нас получилось значение числа пи 3.

Как запомнить число пи?

Чтобы запомнить значение числа π, — советует Ирина Ходакова, — используют один из самых популярных способов — запомнить фразу, в которой количество букв в каждом слове совпадает с цифрами числа π.

Например, «Что(3) я(1) знаю(4) о(1) круге(5)?»

Чтобы запомнить больше знаков числа π, пользуются различными приемами мнемотехники (совокупность приемов, облегчающих запоминание информации). Например, существует стихотворение С. Боброва «Волшебный двурог» для запоминания числа π, которое совсем не сложно выучить:

«Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим —
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь»

Где используется число пи?

Изначально число π было необходимо для применения в строительстве. Ведь порой из-за погрешности в значении числа π падали башни и рушились целые дворцы. Сейчас π используется в различных сферах нашей жизни.

Мы уже выяснили, что число π позволяет нам рассчитывать и создавать окружности. Если колеса на вашем автомобиле будут немного отличаться друг от друга, то поездки для вас станут как минимум не очень удобными. Но применение числа π этим не ограничивается. Например, без числа π нельзя было бы обеспечить качественную работу телевизоров, радио и телефонов, так как инженеры используют π для расчета и оптимизации звуковых волн. Также π играет важную роль в расчете времени и расстояния путешествия на самолете, так как на большие расстояния самолеты летят по округлой дуге. Не было бы даже многих игр, таких как футбол, баскетбол, теннис, ведь мячи должны быть абсолютно круглыми.

Графическое доказательство коэффициента «ПИ» = 22/7

Найдено ещё одно ГРАФИЧЕСКОЕ подтверждение того, что «число пи» является количественным соотношением двух натуральных чисел = 22/7 = 3+1/7.
Переводить это число в десятичную систему — НЕ РАЦИОНАЛЬНО!

https://www.math20.com/ru/forum/viewtopic.php?f=26&t=3326

 

Графические построения «с помощью циркуля и линейки» являются критериями ПОДОБИЯ (графическими моделями), а не «натуральными Объектами», которые материально существуют «в окружающем пространстве Вселенной»!
«Критерий подобия — безразмерная величина, составленная из размерных физических параметров, определяющих рассматриваемое физическое явление. Равенство всех однотипных критериев подобия для двух физических явлений и систем — необходимое и достаточное условие их физического подобия. Критерии подобия, представляющие собой отношения одноимённых физических параметров системы (например, отношения длин), называются тривиальными и при установлении определяющих критериев подобия обычно не рассматриваются: равенство их для двух систем является определением физического подобия. Нетривиальные безразмерные комбинации, которые можно составить из определяющих параметров, ипредставляют собой критерии подобия. Всякая новая комбинация из критериев подобия также является критерием подобия, что даёт возможность в каждом конкретном случае выбрать наиболее удобные и характерные критерии. Число определяющих нетривиальных критериев подобия меньше числа определяющих физических параметров с различными размерностями на величину, равную числу определяющих параметров с независимыми размерностями (см. «Пи-теорема»)…. (конец цитаты)…

Из этого СЛЕДУЕТ, что сравнение длины ПОЛУ-окружности (как линии (1D) с длиной диаметра (1D) этой же окружности является именно БЕЗРАЗМЕРНОЙ величиной и ТРИВИАЛЬНЫМ критерием подобия линий (1D). А сравнение ПЕРИМЕТРА многоугольников с диаметром окружности НЕ ЯВЛЯЕТСЯ определяющим физическим параметром. Поэтому НИКТО в реальном «окружающем пространстве» НЕ ИСПОЛЬЗУЕТ в рассчётах такое бесконечное (НЕ тривиальное?) количество цифр в качестве КОЭФФИЦИЕНТА «ПИ».
А в данном случае МЫ наглядно доказываем (с помошью компьютерной графики, разумеется), что более ТОЧНОГО соотношения НАТУРАЛЬНЫХ чисел НИКТО (кроме Архимеда) показать не смог!
pi = 22/7

Чтобы ещё раз в этом убедить сомневающихся граждан, приводим пример РАЗВЁРТКИ одной половины длины окружности с наложением её на горизонтальную ось «Х». Единицы длины в этом случае являются безразмерными величинами, так как ОБЕ половины ЦЕЛОЙ окружности и диаметр этой же окружности представлены ОДИНАКОВЫМИ единицами (штуками) — без указания масштаба и размерности этих единиц…

Для сравнения длины Окружности с длиной радиуса этой же окружности совсем не обязательно вставлять Окружность в декартову систему координат с осями Х, У и Z. Потому что длина каждой дуги (1D) проецируется на числовую ось НЕ одинаково и НЕ равномерно, а шкала деления Окружности задана количеством дуг = 360.  При этом радиус кривизны каждой отдельной дуги всегда точно соответствует радиусу закнутной Окружности, а количество точек деления равно количеству одинаковых дуг, на которые делится заданная Окружностью. 

Для графического построения такой окружности из 22 равных дуг мы использовали аксиому Евклида: «Через Три точки в пространстве, не лежащие на ОДНОЙ прямой, можно провести только ОДНУ окружность«. А для этого нужно использовать ТРИ радиуса этой Окуржности, которые также не лежат на одной линии диаметра, а длина каждого радиуса состоит из 7 равных частей. .. И тогда длина Окружности будет точно соответствовать формуле Коллатца:

L =  3 х 7 + 1 = 22 

На схеме ЦИФРАМИ обозначены именно ТОЧКИ разбиения (соединения), а не их величина, поэтому можно считать их просто «порядковыми номерами — от № 1 до № 22… При этом начальная точка длины окружности № 0 точно совпадает с конечной точкой № 22, а диаметры малых окружностей равны между собой. Диаметр окружности точно так же состоит из 7 таких же диаметров, а радиус кривизы каждой дуги равен половине длины диаметра! 

 

Есть предположения, что таким же методом можно разделить Окружность на любое (заданное?) ЧИСЛО дуг, которое должно соответствовать формуле числа «ПИ», указанной на предыдущей схеме! 

 

==================================================================================================================================

 

Да, такое ГРАФИЧЕСКОЕ построение тоже наглядно показывает, что «ПИ» — это НЕ такое «число», которое можно отметить на числовой оси «нульмерной точкой» (0D) — как это демонстрирует нам Википедия! Если диаметр окружности будет состоять из 10 частей (1d), то длина Большой Окружности будет состоять из 32 дуг, каждая из которых равна 1d.  

На четверти круга таких ЦЕЛЫХ дуг получается семь штук и плюс ещё по две половинки с каждой стороны, что и  составляет  ровно 8 ЦЕЛЫХ дуг длиной по 1d. То есть ЦЕЛАЯ длина полной Окружности будет равна 32d… 

Если в формулу Коллатца подставить вместо «икса» ноль, то получаем в знаменателе ЕДИНИЦУ (полный десяток?), но это будет означать, что d/2 = 0. То есть вместо окружности (1D) мы получим нульмерную точку (0D). А если подставить десятку, то получится коэффициент 31/10. А это тоже НЕ СООТВЕТСТВУЕТ действительности, поэтому необходимы какие-то поправки в вычислении этого коэффициента в десятичной системе счёта… И в  Википедии тоже!  

 

==================================================================================================================================

 

Для сравнения натуральных чисел по модулю НЕОБХОДИМО, чтобы такой модуль был одинаковым для измерения как прямых отрезков, так и криволинейных дуг. Таким модулем можно считать окружность единичного радиуса r = 1.  

Но десятичная метрическая система совпадает с «семиричной» только в том случае, если диаметр Окружности состоит из СЕМИ равных отрезков, что и показано графически на предыдущей схеме! То есть, ЗНАМЕНАТЕЛЬ в коэффициенте «ПИ»  соответствует формуле:

3b + 1 = 7 

А если в знаменателе получается ЧЁТНОЕ число, то в числителе количество дуг будет НЕЧЁТНЫМ. Так для диаметра = 6d длина Окружности L замыкается  19-ю дугами

3 x 6 + 1 = 19 

Соотношение 19/6 = 3 + 1/6…(без перевода в десятичную дробь)! Поэтому необходимо учитывать чётность и НЕчётность количества делений на диаметре. Тогда формула Коллатца для числа «ПИ» будет немного скорректирована «нулём-факториалом»! 

 

Очевидно, что таким же методом можно отобразить ЛЮБЫЕ натуральные числа, которые графически будут точно соответствовать количеству дуг на окружности и количеству отрезков такой же длины на диаметре этой же Окружности, то есть соотношению длины Окружности = L к длине диаметра этой же Окружности = D (без вычисления этого соотношения на калькуляторе) = L/D 

==================================================================================================================================

При D = 8 у. е. длина окружности точно соответствует формуле Коллатца!

3 х 8 у.е + 1 у.е. = 25 у.е.

где «у.е.» — диаметр единичной (малой) окружности

Но «восьмёрку»  нельзя считать ПРОСТЫМ натуральным числом, потому что это уже «двойка в кубе»… 25 : 8 = 3 + 1/8 = 3,125 (в десятичной системе счёта). 

По определению «отношения длины окружности к длине диаметра ЭТОЙ же окружности» это соотношение выполняется точно! И при этом соответствует формуле Коллатца! В ближайшее время мы проверим таким же графическим методом этот коэффициент для числа делений диаметра на все натуральные простые числа от 3 до 13… 

=================================================================

При D = 5  L = 16

График окружности тот же самый, что и для L = 32 при D = 10.

Значит, такая закономерность СУЩЕСТВУЕТ, и можно составить последовательность для всех натуральных чисел (без вычисления на японских Super-компьютерах)!

 

Закономерность «числа ПИ»  в том, что этот ПОСТОЯННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ  ничем не измеряется и не изменяется при выборе единиц измерения, потому что это НЕ пропорциональная (линейная) зависимость, а ЛОГАРИФИЧЕСКАЯ. ..

На следующей схеме представлено 17 вариантов (от 0 до 16) ДЕЛЕНИЯ линии окружности на заданной число ЧАСТЕЙ — в соответствии с числом равных частей, на которые ДЕЛИТСЯ диаметр.
По гипотезе Коллатца число таких частей должно быть 3х + 1.
Ранее нам УЖЕ БЫЛО ИЗВЕСТНО (ещё от Архимеда), что в натуральных числах этот коэффициент = 22/7 = (3х7+1):7
Но БЕЗ «тригонометрии» это можно доказать только ГРАФИЧЕСКИМ методом — делением ЦЕЛОГО диаметра на СЕМЬ равных частей, а не на число единиц измерения, указанных на «школьной» метрической линейке…
Теоретически это тоже «просто и понятно»: диагональ квадрата НИКОГДА не равна диаметру ВПИСАННОЙ Окружности, а В-писанная и О-писанная окружности у квадрата — это ДВЕ КОН-центрические Окружности, радиус кривизны у которых разный: у внутренней окружности диаметр всегда МЕНьШЕ, чем у внешней… Компьютерный «интеллект» этого вообще не понимает, то движения делает ПРАВИЛЬНЫЕ и достаточно ТОЧНЫЕ… Поэтому построить такую графическую «таблицу соотношений» можно для любой Окружности произвольного диаметра!


А вычислять на Super-калькуляторах «значение числа ПИ до бесконечности» — это безсмысленная затея.

==================================================================================================================================

На основании вышеизложенных графических построений (с использованием формулы Коллатца для натуральных чисел) можно утверждать, что отображение «числа ПИ» на числовой оси «икс» является НЕКОРРЕКТНЫМ в топологическом смысле, так как длина окружности и длина диаметра этой же окружности — это взаимосвязанные линейные (одномерные) фигуры, поэтому линия Окружности (как сумма дуг с одинаковым радиусом кривизны) не является «графиком функции», зависящим от начала декартовых осей координат Х и У (в точке пересечения осей координат).

Этот постоянный коэффициент не зависит и от заданного масштаба делений на числовой оси «икс» и от положения диаметра окружности относительно декартовых координат на поверхности сферы, а фактически является ТРАЕКТОРИЕЙ движения одной точки (0D) с переменными координатами — относительно другой (неподвижной) точки на базовой плоскости (2D) с неизменным расстоянием (1D) до этой точки, называемой ЦЕНТРОМ этой окружности! При этом окружность может быть определена всего по ТРЁМ заданным точкам, не лежащим на одной прямой линии, и таким образом сама линия окружности является ЗАМКНУТОЙ (цикличной) числовой осью, то есть (в топологическом смысле) — это уникурсальный граф, в котором начальная и конечная точка совпадают в ЛЮБОЙ системе координат! По эйлеровой характеристике сама Окружность — это и есть НОЛЬ в графическом отображении.  

Для графического построения мы использовали т.н. «египетский» треугольник» с НЕИЗМЕННЫМ соотношением сторон 3 : 4 : 5, в котором гипотенуза «с» всегда является диаметром описанной окружности, а катеты «а» и «b» — хордами этой окружности. При увеличении диаметра на какую-то линейную величину соотношение катетов НЕ МЕНЯЕТСЯ, значит соотношение количества равных дуг на Окружности всегда соответствует количеству равных отрезков на диаметре. При этом конкретные единицы измерения так же не имеют значения, поэтому формула коэффициента ПИ может быть выражен НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ — без деления числителя на знаменатель в десятичной системе счёта! 

=================================================================

… (продолжение следует)… 

Пи

 

Нарисуйте круг диаметром (по всей окружности) 1

Тогда окружность (по всей окружности) будет 3.14159265… число, известное как Пи

 

Пи (произносится как «пирог») часто пишется с использованием греческого символа π

.

Определение π:

Окружность
разделить на Диаметр
Окружности.

Длина окружности, деленная на диаметр круга, всегда равна π, независимо от того, насколько большой или маленький круг!

 

Чтобы помочь вам вспомнить, что такое π… просто нарисуйте эту диаграмму.

В поисках Пи самостоятельно

Нарисуйте круг или используйте что-то круглое, например тарелку.

Измерьте по краю ( окружность ):


У меня 82 см

Мера по окружности ( диаметр ):


У меня 26 см

Разделить:

82 см / 26 см = 3,1538…

Это довольно близко к π. Может быть, если бы я измерил более точно?

Использование Пи

Мы можем использовать π, чтобы найти Окружность, когда мы знаем Диаметр

Длина окружности = π × диаметр

Пример: Вы идете по кругу диаметром 100 м, какое расстояние вы прошли?

Пройденное расстояние = Окружность

 = π × 100 м

  = 314,159. .. м

 = 314 м (с точностью до м) 9000 3

Также мы можем использовать π, чтобы найти Диаметр, когда мы знаем Окружность

Диаметр = Окружность / π

Пример: Сэм измерил 94 мм по внешней стороне трубы… каков ее диаметр?

Диаметр = Окружность / π

 = 94 мм / π

  = 29,92… мм

 = 30 мм (с точностью до миллиметра)

Радиус

Радиус равен половине диаметра, поэтому мы также можем сказать:

 

Для круга с радиусом из 1

Расстояние на полпути вокруг окружность π = 3,14159265…

Цифры

π примерно равно:

3.14159265358979323846…

Цифры идут беспорядочно.

π было рассчитано с точностью до 100 триллионов знаков после запятой, но до сих пор нет шаблона  в цифрах, см. Нормальное число Пи.

Приблизительно

Быстрое и простое приближение числа π равно 22/7

22/7 = 3,1428571. ..

Но, как видите, 22/7 — это не совсем правильно . На самом деле π не равно отношению любых двух чисел, что делает его иррациональным числом.

 

Действительно хорошее приближение, лучше, чем 1 часть на 10 миллионов:

355/113 = 3.1415929…
(представьте «113355», косая черта в середине «113/355», затем переверните «355/113»)

Резюме:

22/7 = 3,14 28571…
355/113 = 3.141592 9…
№ = 3.14159265 …

Запоминание цифр

Обычно я просто запоминаю «3.14159», но вы также можете посчитать буквы:

«Можно мне сегодня большой контейнер масла»
3 1 4 1 5 9 2 6 5

До 100 знаков после запятой

Вот число π с первыми 100 знаками после запятой:

3. 14159265358979323846264338327950288
4197169399375105820974944592307816
4062862089986280348253421170679…

 

Самостоятельное вычисление числа Пи

Существует множество специальных методов, используемых для вычисления числа π, и вот один из них, который вы можете попробовать сами: он называется Серия Нилакантха (в честь индийского математика, жившего в 1444–1544 годах).

Это продолжается вечно и имеет следующую схему:

3 + 4 2×3×4 − 4 4×5×6 + 4 6×7×8 − 4 8×9×10 + …

(Обратите внимание на шаблон + и -, а также на шаблон чисел под строками.)

Это дает следующие результаты:

Срок Результат (до 12 знаков после запятой)
1 3
2 3. 166666666667
3 3.133333333333
4 3.145238095238
… … и т.д.! …

Возьмите калькулятор (или используйте электронную таблицу) и посмотрите, сможете ли вы добиться лучших результатов.

 

День числа Пи

День числа Пи отмечается 14 марта. Март — 3-й месяц, поэтому он выглядит как 14 марта

 

5839,5050,5052,1745,2106,5473,5477,1744,3236,3237

Упражнение: Найдите приблизительное значение числа Пи

Пи | Определение, символ, номер и факты

Ключевые люди:
Архимед аль-Каши Адриан-Мари Лежандр Иоганн Генрих Ламберт Чжао Юцинь
Связанные темы:
теорема Пи круг трансцендентное число

Просмотреть весь связанный контент →

Популярные вопросы

Что такое число пи?

Пи — отношение длины окружности к ее диаметру.

Чему равно число пи?

Значение числа пи приблизительно равно 3,14 или 22/7. До 39 знаков после запятой число пи равно 3,141592653589793238462643383279.502884197. Пи — иррациональное число, а значит, оно не равно отношению любых двух целых чисел. Его цифры не повторяются.

Как обозначается число Пи?

Символ числа пи — π. Он был разработан британским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году для представления отношения и позже популяризирован швейцарским математиком Леонардом Эйлером.

Каково использование числа Пи?

Пи используется для решения задач, связанных с длинами дуг или других кривых, площадями эллипсов, секторов и других искривленных поверхностей, а также объемами многих твердых тел. Он также используется в различных формулах физики и техники для описания движения маятников, вибрации струн и переменных электрических токов.

пи , в математике отношение длины окружности к её диаметру. Символ π был изобретен британским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году для обозначения отношения, а позже популяризирован швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Поскольку число пи иррационально (не равно отношению любых двух целых чисел), его цифры не повторяются, и для повседневных расчетов часто используется такое приближение, как 3,14 или 22/7. До 39 знаков после запятой число пи равно 3,141592653589793238462643383279.502884197.

Вавилоняне (ок. 2000 г. до н.э.) использовали 3,125 для приближения числа пи, значение, которое они получили, вычислив периметр шестиугольника, вписанного в круг, и предположив, что отношение периметра шестиугольника к длине окружности равно 24/25. . Папирус Райнда (ок. 1650 г. до н. э.) указывает на то, что древние египтяне использовали значение 256/81 или около 3,16045. Архимед (ок. 250 г. до н. э.) сделал большой шаг вперед, разработав метод получения числа пи с любой желаемой точностью при наличии достаточного терпения. Вписывая и описывая правильные многоугольники вокруг окружности, чтобы получить верхнюю и нижнюю границы, он получил 223/71 < π < 22/7, или среднее значение около 3,1418. Архимед также доказал, что отношение площади круга к квадрату его радиуса является той же константой.

Викторина «Британника»

Числа и математика

В последующие столетия китайские, индийские и арабские математики расширили число десятичных знаков, известных в результате утомительных вычислений, а не усовершенствований метода Архимеда. Однако к концу 17 века новые методы математического анализа в Европе предоставили улучшенные способы вычисления числа пи с использованием бесконечных рядов. Например, Исаак Ньютон использовал свою биномиальную теорему для быстрого вычисления 16 знаков после запятой. В начале 20 века индийский математик Шриниваса Рамануджан разработал исключительно эффективные способы вычисления числа Пи, которые позже были включены в компьютерные алгоритмы. В начале 21 века компьютеры вычислили число пи до 62 831 853 071,79.6 знаков после запятой, а также его двухквадриллионная цифра при выражении в двоичном виде (0).

Пи встречается в различных математических задачах, касающихся длины дуг или других кривых, площадей эллипсов, секторов и других криволинейных поверхностей, а также объемов многих твердых тел.

Размещения формулы: Перестановки, размещения и сочетания: понятия и формулы

alexxlab / / Разное

Комбинаторика — основные формулы. Перестановки, размещения, сочетания. Теория вероятностей

  • Правило умножения
  • Правило сложения
  • Размещения и перестановки
  • Сочетания
  • Разбиение множества на группы
  • Задачи контрольных и самостоятельных работ

Основные понятия и формулы

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Правило умножения (основная формула комбинаторики)

Общее число  способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно:

Пример 1

Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?

Решение

Первая монета имеет  альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть  альтернативы и т.д., т.е. .

Искомое количество способов:

Правило сложения

Если любые две группы  и  не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из  можно осуществить  способами.

Пример 2

На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов  выбора одной математической или одной экономической книги.

Решение

Математическая книга может быть выбрана    способами, экономическая —  способами.

По правилу суммы существует  способа выбора математической или экономической книги.

Размещения и перестановки

Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Размещения без повторений, когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из  элементов по .

Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения  элементов из генеральной совокупности объема , равно:

Пример 3

Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:

Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из  элементов равно

Пример 4

Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?

Решение

Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:

Размещения с повторениями, когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат  — размещением с повторениями из  элементов по .

Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением  элементов из генеральной совокупности объема , равно

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пример 5

Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?

Решение

Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как  один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6:

 

Сочетания

Сочетаниями  из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора  элементов из генеральной совокупности объема  получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из  элементов по .

Число сочетаний из  элементов по  равно:

Пример 6

В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?

Решение

Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:

Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:

Пусть из генеральной совокупности объема  выбирается  элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из  элементов по .

Число сочетаний с повторениями из  элементов по :

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пример 7

На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?

Решение

Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:

Разбиение множества на группы

Пусть множество из  различных элементов разбивается на  групп так, то в первую группу попадают  элементов, во вторую —  элементов, в -ю группу —  элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.

Число разбиений на  групп, когда в первую попадают  элементов, во вторую —  элементов, в k-ю группу —  элементов, равно:

Пример 8

Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Здесь

Число разбиений на 3 подгруппы:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?

Задача 2

Доступ к файлу открывается, только если введен правильный пароль – определенный трехзначный номер из нечетных цифр. Какова максимальное число возможных попыток угадать пароль?

Задача 3

Группу из 10 человек требуется разбить на две непустые подгруппы  и . Сколькими способами можно это сделать?

Задача 4

Два наборщика должны набрать 16 текстов. Сколькими способами они могут распределить эту работу между собой.

Задача 5

Шесть студентов-переводников нужно распределить по трем группам. Сколькими способами это можно сделать?

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 6

Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?

Задача 7

В ящике 5 красных и 4 зеленых яблока. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?

Задача 8

Из ящика, в котором лежат 10 красных и 5 зеленых яблок, выбирают одно красное и два зеленых яблока. Сколькими способами можно это сделать.

Задача 9

В группе из 25 студентов нужно выбрать старосту и 3 членов студенческого комитета. Сколькими способами можно это сделать.

Задача 10

Акционерное собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета директоров и 10 членов совета директоров. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 11

В телевизионной студии работают 3 режиссера, 4 звукорежиссера, 5 операторов, 7 корреспондентов и 2 музыкальных редактора. Сколькими способами можно составить съемочную группу, состоящую из одного режиссера, двух операторов, одного звукорежиссера и двух корреспондентов.

Задача 12

На группу из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены (не более одного билета в руки).

Задача 13

Имеются 7 билетов: 3 в один театр и 4 – в другой. Сколькими способами они могут быть распределены между студентами группы из 25 человек?

Задача 14

Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

  • Правило умножения
  • Правило сложения
  • Размещения и перестановки
  • Сочетания
  • Разбиение множества на группы
  • Задачи контрольных и самостоятельных работ

определение, формула.

3=125. }\)
Всего 125 паролей.
Результат можно получить непосредственно из правила произведения. Действительно, на первой позиции 5 вариантов символов, на второй – 5 вариантов, и на третьей – 5 вариантов. Итого, по правилу произведения: 5 · 5 · 5 = 53 = 125 паролей.

п.3. Примеры

Пример 1. Исследуйте различие между перестановкой без повторений и размещением без повторений 〈3,2〉-выборок для трёх разноцветных фишек. Изобразите полученные решения.

Рассматриваем фишки:

1) Для перестановок, 〈3,3〉-выборок, получаем:

В каждом ряду – отдельная перестановка.
Видно, как образуется факториал. Для каждой отдельной фишки – одна перестановка. Для каждой пары фишек – две перестановки: 2 · 1. Когда добавляем третью, получаем: 3 · 2 · 1
Итого: P3 = 3 · 2 · 1 = 6 перестановок.

2) Для размещений без повторений, 〈3,2〉-выборок, получаем:

В каждом ряду – отдельное размещение. 3\cdot 9}{2}=8145 } $$ Ответ: 1) 604 800 2) 10 000 000; 3) 10 000; 4) 8145.

Рейтинг пользователей

за неделю

  • за неделю
  • один месяц
  • три месяца

        Помогай другим

        Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю

        См. подробности

        Формула позиции — Изменение формулы позиции и примеры

        • Формула
        • Формула позиции

        Дата последнего обновления: 14 апреля 2023 г.

        •

        Всего просмотров: 4010. 0011

        Просмотров сегодня: 12.22k

        Физика — одна из самых фундаментальных научных дисциплин. Он направлен на изучение той части естествознания, которая имеет дело с движением, поведением, энергией и силой в пространстве и времени.

        В этой конкретной статье мы обсудим одну такую ​​важную тему физики, связанную с положением. Команда экспертов объяснила понятия самым простым языком, чтобы ученики могли их понять без особого труда.

        В этой статье учащиеся смогут изучить следующие понятия: 

        Формулы положения – введение 

        Чтобы узнать движение объекта, важно понять его положение. Чтобы описать позицию, нам нужно взять точку отсчета. Часто мы используем Землю в качестве ориентира для определения положения объекта. Здесь следует отметить, что мы должны взять точку отсчета, которая обычно не находится в стационарном положении и, следовательно, находится в движении. Следуйте полной статье, чтобы хорошо понять концепцию.

        Каково положение объекта?

        Истинное положение объекта – это его местоположение, которое определяется основными размерами. Истинное положение помогает контролировать отклонение конкретной функции от желаемого положения.

        Например, резьбовые отверстия на крышке головки цилиндров должны совпадать с резьбовыми отверстиями на кожухе двигателя по размеру и положению. В противном случае две части не будут сопрягаться, и смазочное масло для узла клапана будет вытекать, нарушая назначение крышки. Крышка цилиндра бесполезна, и необходимо использовать другую деталь.

        Формула положения представлена ​​в виде: 

        Случай 1: 

        \[\Delta x = x_2 — x_1\],

        Где x1 – первое положение тела, 

        x2 – второе положение после подвергается смещению,

        А Δx – скорость изменения смещения.

         

        Случай 2: 

        Если тело меняет свое положение после времени t, скорость изменения положения в любой момент времени t, x(t), формулируется как

          92 + v_0t + X_0\]

         

        Где x(t) — положение тела во времени t,

        x0 — начальное положение тела,

        v0 — начальная скорость тела, а

        α — ускорение, которым обладает тело.

         

        Пример:

        Мальчик с начальной скоростью 2 м/с уже прошел 10 м. Если он имеет постоянное ускорение 2 м/с2, найдите положение мальчика через 5 с.

        Ответ: 92 + v_0t + X_0\]

        = ½ x 2 x 25 + 2 x 5 + 10 = 45 м

        Советы по подготовке к IIT JEE     

        Экзамен является конкурентоспособным, потому что каждый год появляются тысячи студентов, но при правильном руководстве и организованной подготовке даже вы можете сдать этот экзамен. Вот некоторые из советов, которые наши эксперты дают кандидатам:

      • Выбор учебного материала; вы не должны запутывать свой ум, ссылаясь на слишком много источников по одной теме. Определите свой источник и придерживайтесь одного источника для одной темы. Вы можете ознакомиться с учебными материалами, представленными на сайте.

      • Иметь четкое представление о распределении баллов по каждой теме. Мы уже сделали это для вас. Пройдите их, прежде чем начать подготовку.

      • Прочитайте темы из заметок один раз и посмотрите соответствующие видео, чтобы лучше понять концепцию.

      • Одновременно начните практиковаться в ЕГЭ прошлого года и других образцах работ. Сравните и извлеките уроки из решений этих статей, подготовленных нашими профильными экспертами.

      • Продолжайте практиковаться и пересматривать заметки, делайте свои собственные короткие заметки для более быстрого повторения.

      • Общайтесь с наставниками, чтобы получать регулярные отзывы, поддержку и рекомендации, которые помогут вам не сбиться с пути.

      Никто не сможет остановить вас, если вы продолжите следовать процессу искренне и преданно.

      Недавно обновленные страницы. Формула – значение, расчет, решенные примеры и часто задаваемые вопросы

      Формула энергии фотона – уравнение, график, приложения и часто задаваемые вопросы

      Формула цилиндрического конденсатора – определение. Решенный пример и часто задаваемые вопросы

      Формула трансформатора — эффективность, коэффициент трансформации, повышение и понижение

      Формула радиоактивного распада — значение, уравнение, период полураспада и часто задаваемые вопросы

      Электрические формулы — объяснение, примеры решений и часто задаваемые вопросы

      Формула тепловой нагрузки — значение, расчет , Решенные примеры и часто задаваемые вопросы

      Формула энергии фотона — уравнение, график, приложения и часто задаваемые вопросы

      Формула цилиндрического конденсатора — определение. Решенный пример и часто задаваемые вопросы

      Актуальные темы

      Формула положения — GeeksforGeeks

      Движение любого объекта невозможно описать без определения его положения, обозначаемого «x». По сути, необходимо указать положение относительно общепринятой системы отсчета. Система отсчета представляет собой набор значений или правил, с помощью которых можно делать суждения о физике и измерениях. Мы часто рассматриваем землю как систему отсчета и склонны определять положение различных вещей и объектов по отношению к другим неподвижным объектам на земле. Мы также можем использовать объекты, которые находятся в движении, но находятся в относительном движении с землей. Поэтому для описания положения пассажира в поезде мы используем поезд в качестве эталона. Дайте нам больше узнать о позиции и ее формуле.

      Каково положение объекта?

      Истинное положение любого объекта — это его точная координата или положение, определяемое его основными размерами или другими способами. Другими словами, положение означает, насколько далеко местоположение объекта может отклоняться от его «истинного положения».

      Траектория прямолинейного движения является траекторией прямой линии. Это движение также осуществляется с постоянной скоростью ускорения. На прямой начальная точка может быть x 0 , при этом наблюдатель измеряет положение x движущегося объекта в момент времени t. Следовательно,

      Место или точка, где что-то или кто-то расположен или был расположен по отношению к другим объектам, называется позицией . В физике мы говорим о том, где что-то находится по отношению к осям x, y.

       Положение можно указать просто, например, перед компьютером, или, точнее, используя долготу и широту определенного места на Земле. Позиция, в которой находится дом или строение, называется адресом. Ось, по которой задается положение на Земле, представляет собой широту и долготу Земли.

      Формула положения

      Согласно уравнениям движения, когда a ускоряется с ускорением a за время t с начальной скоростью v0 и начальным положением объекта x0, то положение объекта во времени t равно

      x (t) = 1/2 at 2 + v 0 t + x 0

      Вот формула для определения изменения положения объекта, то есть 9001

      Изменение положения = конечное положение – исходное положение

      или

      Δx = x 2 – x 1  

      где:

      • x 9015 конечное положение объекта
      • x 1 — начальная позиция объект и
      • Δx. изменение положения объекта.

      Примеры задач 

      Задача 1. Шар катится с начальной скоростью 3 м/с по пути 20 м и угловым ускорением 2 м/с 2 . Каково будет положение мяча через 5 с?

      Решение:

      Дано, u = 3 м/с, x 0 = 20 м, a = 2 м/с 2 и t = 5 с.

      Поскольку мы хотим знать конечное положение шара, который будем использовать,

      x = x 0 + ut + 0,5at 2  

        = 20 + (3)(5) + 0,5(2)( 5)(5).

        = 20 + 15 + 25.

        = 60 м

      Следовательно, конечное положение мяча будет 60 м .

      Задача 2: Транспортное средство с начальной скоростью 2 м/с проехало расстояние 10 м с постоянным ускорением 2 м/с 2 . Найдите положение автомобиля через 5 с.

      Решение:

      Дано, u = 2 м/с, x 0 = 10 м, a = 2 м/с 2 и t = 5 с.

      х = х 0 + ut + 0,5at 2  

        = 10 + (2)(5) + 0,5(2)(5)(5).

        = 10 + 10 + 25.

        = 45 м

      Следовательно, конечное положение транспортного средства будет 45 м .

      Задача 3. Автомобиль трогается с места и равномерно ускоряется за время 5 с на расстояние 100 м. Определить ускорение автомобиля.

      Решение:

      Дано, t = 5 секунд, x 0 = 0, u = 0 и x = 100 м.

      х = х 0 + ut + 0,5at 2  

      100 = 0 + 0 + 0,5(а)(5)(5)

      100 = 0 + 12,5а

      10051 9001 1

      a = 8 м/с 2

      Следовательно, ускорение автомобиля будет 8 м/с 2 .

      Задача 4. Мяч катится с начальной скоростью 10 м/с на протяжении 20 м и угловым ускорением 0,2 м/с 2 . Каково будет положение мяча через 10 с?

      Решение:  

      Дано, u = 10 м/с, x 0 = 20 м, a = 0,2 м/с 2 и t = 10 с.

      Калькулятор дробей онлайн со степенями с решением: Калькулятор рациональных выражений

      alexxlab / / Разное

      Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

      При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

      Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе

      Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

      Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 12, -2x+3, x+yx-2·x·y+1, 117-5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т. д.), например, 343, 1x+x·y4+y. Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

      Определение 1

      Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

      Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 12  к 22 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием.  Приведем еще один пример: у нас есть дробь xx-y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x·x+yx-y, освободившись от иррациональности в знаменателе.

      После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

      Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби

      Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

      В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9. Вычислив 9, мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.

      Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1x+1  на x+1, мы получим дробь x+1x+1·x+1  и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x+1. Так мы преобразовали 1x+1 в x+1x+1 , избавившись от иррациональности.

      Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.

      Как преобразовать выражение в знаменателе дроби

      Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.

      Пример 1

      Условие: освободите дробь 12·18+50 от иррациональности в знаменателе.

      Решение

      Для начала раскроем скобки и получим выражение 12·18+2·50. Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 12·18+2·50. Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 136+100. Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 16+10, равная 116. На этом преобразования можно закончить.

      Запишем ход всего решения без комментариев:

      12·18+50=12·18+2·50==12·18+2·50=136+100=16+10=116

      Ответ: 12·18+50=116.

      Пример 2

      Условие: дана дробь 7-x(x+1)2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

      Решение

      Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение Ann  на |A| на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7-xx+12=7-xx+1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.

      Ответ: 7-xx+12=7-xx+1.

      Избавление от иррациональности методом умножения на корень

      Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A. Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0. После умножения в знаменателе окажется выражение вида A·A, которое легко избавить от корней: A·A=A2=A. Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.

      Пример 3

      Условие: даны дроби x3 и -1×2+y-4. Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.

      Решение

      Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3. Получим следующее:

      x3=x·33·3=x·332=x·33

      Во втором случае нам надо выполнить умножение на x2+y-4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:

      -1×2+y-4=-1·x2+y-4×2+y-4·x2+y-4==-x2+y-4×2+y-42=-x2+y-4×2+y-4

      Ответ: x3=x·33  и -1×2+y-4=-x2+y-4×2+y-4 .

      Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида Anm или Amn (при условии натуральных m и n), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в Ann·k  или An·kn (при натуральном k). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.

      Пример 4

      Условие: даны дроби 7635 и xx2+1415. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

      Решение

      Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5, нам надо выполнить умножение на 625. Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 625:

      7635=7·625635·625=7·625635·62=7·625655==7·6256=7·3656

      Во втором случае нам потребуется число, большее 15, которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16. Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x2+14. Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:

      xx2+1415=x·x2+14×2+1415·x2+14==x·x2+14×2+1416=x·x2+14×2+1444=x·x2+14×2+14

      Ответ: 7635=7·3656 и xx2+1415=x·x2+14×2+14.

      Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение

      Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a+b, a-b, a+b, a-b, a+b, a-b. В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.

      Для первого выражения a+b сопряженным будет a-b, для второго a-b – a+b . Для a+b  – a-b, для a-b – a+b, для a+b – a-b, а для a-b  – a+b. Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.

      Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a-b·a+b . Оно может быть заменено разностью квадратов a-b·a+b=a2-b2, после чего мы переходим к выражению a−b, лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.

      Пример 5

      Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 37-3 и x-5-2.

      Решение 

      В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7+3. Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:

      37-3=3·7+37-3·7+3=3·7+372-32==3·7+37-9=3·7+3-2=-3·7+32

      Во втором случае нам понадобится выражение -5+2, которое является сопряженным выражению -5-2. Умножим на него числитель и знаменатель и получим:

      x-5-2=x·-5+2-5-2·-5+2==x·-5+2-52-22=x·-5+25-2=x·2-53

      Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:

      x-5-2=-x5+2=-x·5-25+2·5-2==-x·5-252-22=-x·5-25-2=-x·5-23==x·2-53

      Ответ: 37-3=-3·7+32  и x-5-2=x·2-53.

      Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.

      Пример 6

      Условие: дана дробь xx+4. Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.

      Решение

      Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x. Она определена условиями x≥0 и x+4≠0. Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x≥0.

      Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x-4. Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x-4≠0 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:

      xx+4=x·x-4x+4·x-4==x·x-4×2-42=x·x-4x-16

      Если x будет равен 16, то мы получим:

      xx+4=1616+4=164+4=2

      Следовательно, xx+4=x·x-4x-16 при всех значениях x, принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16. При x=16 получим xx+4=2.

      Ответ: xx+4=x·x-4x-16, x∈[0, 16)∪(16, +∞)2, x=16.

      Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов

      В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a3−b3=(a−b)·(a2+a·b+b2). Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A3-B3, A32+A3·B3+B32. и т. д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A32+A3·B3+B32  или разность A3-B3.  Точно также можно применить и формулу суммы a3+b3=(а)·(a2−a·b+b2).

      Пример 7

      Условие: преобразуйте дроби 173-23  и 34-2·x3+x23 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

      Решение

      Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 73 и 23, поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:

      173-23=1·732+73·23+23273-23·732+73·23+232==732+73·23+232733-233=723+7·23+2237-2==493+143+435

      Во второй дроби представим знаменатель как 22-2·x3+x32. В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2+x3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2+x3≠0, равносильное x3≠-2 и x≠−8:

      34-2·x3+x23=322-2·x3+x32==3·2+x322-2·x3+x32·2+x3=6+3·x323+x33==6+3·x38+x

      Подставим в дробь -8 и найдем значение:

      34-2·83+823=34-2·2+4=34

      Подведем итоги. При всех x, входящих в область значений исходной дроби (множество R), за исключением -8, мы получим 34-2·x3+x23=6+3·x38+x. Если x=8, то 34-2·x3+x23=34.

      Ответ: 34-2·x3+x23=6+3·x38+x, x≠834, x=-8.

      Последовательное применение различных способов преобразования

      Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.

      Пример N

      Условие: преобразуйте 574-24, чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.

      Решение

      Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 74+24 с ненулевым значением. Получим следующее:

      574-24=5·74+2474-24·74+24==5·74+24742-242=5·74+247-2

      А теперь применим тот же способ еще раз:

      5·74+247-2=5·74+24·7+27-2·7+2==5·74+24·7+272-22=5·74+74·7+27-2==5·74+24·7+25=74+24·7+2

      Ответ: 574-24=74+24·7+2.

      Калькулятор вариационных уравнений

      Калькулятор вариационных уравнений

      Как работает калькулятор вариационных уравнений?

      Этот калькулятор решает следующие уравнения прямой вариации и уравнения обратной вариации ниже:
      * y изменяется прямо как x
      * y изменяется обратно пропорционально x
      * y изменяется прямо как квадрат x
      * y изменяется прямо как куб x
      * y изменяется прямо как квадратный корень из x
      * y изменяется обратно пропорционально квадрату x 93 Дополнительные математические формулы см. в нашем досье формул

      Какие 3 концепции рассматриваются в Калькуляторе вариационных уравнений?

      константа пропорциональности
      отношение, которое связывает два заданных значения в так называемом пропорциональном отношении
      k
      обратное
      противоположное или противоположное в положении переменная

      Видео калькулятор вариационных уравнений