Автор: alexxlab

Ускорение свободного падения — формулы, примеры и определение

Покажем, как применять знание физики в жизни

Чем отличается яблоко, упавшее в Алматы, от такого же яблока в Осло? Тем, что в этих городах разное ускорение свободного падения! Что это такое и как его вычислить — отвечаем в статье.

Сила тяготения

В 1682 году Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Он звучит так: все тела притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула силы тяготения согласно этому закону выглядит так:

Когда мы встаем на весы, стрелка отклоняется. Это происходит потому, что масса Земли очень большая, и сила тяготения буквально придавливает нас к поверхности. На более легкой Луне человек весит меньше в шесть раз.

Закон всемирного тяготения используют, чтобы вычислить силы взаимодействия между телами любой формы, если размеры тел значительно меньше расстояния между ними.

Если мы возьмем два шара, то для них можно использовать этот закон вне зависимости от расстояния между ними. За расстояние R между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров.

Пятерка по физике у тебя в кармане!

Решай домашку по физике на изи. Подробные решения помогут разобраться в сложной теме и получить пятерку!

Ускорение свободного падения

Чтобы математически верно и красиво прийти к ускорению свободного падения, нам необходимо сначала ввести понятие силы тяжести.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает все тела.

На первый взгляд сила тяжести очень похожа на вес тела. Действительно, в состоянии покоя на поверхности Земли формулы силы тяжести и веса идентичны. Вес тела в состоянии покоя численно равен массе тела, умноженной на ускорение свободного падения, разница состоит лишь в точке приложения силы.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля действует на тело, а вес — сила, с которой тело действует на опору или подвес. Это значит, что у них будут разные точки приложения: у силы тяжести к центру масс тела, а у веса — к опоре.

Также важно понимать, что сила тяжести зависит исключительно от массы и планеты, на которой тело находится. А вес зависит еще и от ускорения, с которым движется тело или опора.

Например, в лифте вес зависит от того, куда и с каким ускорением двигаются его пассажиры. А силе тяжести все равно, куда и что движется — она не зависит от внешних факторов.

На второй взгляд сила тяжести очень похожа на силу тяготения. В обоих случаях мы имеем дело с притяжением — значит, можем сказать, что это одно и то же. Практически.

Мы можем сказать, что это одно и то же, если речь идет о Земле и каком-то предмете, который к этой планете притягивается. Тогда мы можем даже приравнять эти силы и выразить формулу для ускорения свободного падения:

Приравниваем правые части:

Делим на массу тела левую и правую части:

Это и будет формула ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения для каждой планеты уникально.

Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро увеличивается скорость тела при свободном падении.

Свободное падение — это ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести.

Ускорение свободного падения на разных планетах

Выше мы уже вывели формулу ускорения свободного падения. Давайте попробуем рассчитать ускорение свободного падения на планете Земля.

Для этого нам понадобятся следующие величины:

• Гравитационная постоянная
  G = 6,67 · 10⁻¹¹м³ · кг⁻¹ · с⁻²
• Масса Земли
  M = 5,97 × 10²⁴ кг
• Радиус Земли
  R = 6371 км

Подставим значения в формулу:

Есть один нюанс: в значении ускорения свободного падения для Земли очень много знаков после запятой. В школе обычно дают то же значение, что мы указали выше: g = 9,81 м/с². В экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в справочных данных дают g = 10 м/с².

И кому же верить?

Все просто: для кого решается задача, тот и главный. В экзаменах берем g = 10 м/с², в школе при решении задач (если в условии задачи не написано что-то другое) берем g = 9,8 м/с².

Ниже представлена таблица ускорений свободного падения и других характеристик для планет Солнечной системы, карликовых планет и Солнца.

Ускорение свободного падения на Земле в разных местах

Сюрприз-сюрприз! В разных городах ускорения свободного падения тоже различаются. Это происходит из-за того, что Земля имеет форму геоида — приплюснутого шара, и в разных точках у нее различается радиус. Если подставить эти радиусы в формулу ускорения свободного падения, получатся разные значения. Ниже представлены некоторые из них.

Например, ускорение свободного падения в Алматы меньше, чем в Осло. Значит, если два яблока упадут с одинаковой высоты в этих городах, то к концу падения яблоко в Осло наберет большую скорость, чем яблоко в Алматы.

Но разве это не зависит еще и от массы предмета?

Нет, не зависит. На самом деле все тела падают одинаково вне зависимости от массы. Если мы возьмем перо и мяч, то перо, конечно, будет падать медленнее, но не из-за ускорения свободного падения. Просто из-за небольшой массы пера сопротивление воздуха оказывает на него большее воздействие, чем на мяч. А вот если бы мы поместили перо и мяч в вакуум, они бы упали одновременно.

Уроки физики в онлайн-школе Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Карина Хачатурян

К предыдущей статье

Электроемкость конденсатора

К следующей статье

Удельная теплота сгорания

Получите индивидуальный план обучения физике на бесплатном вводном уроке

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Формула ускорения свободного падения в физике

Гравитационное поле и ускорение свободного падения

Гравитационные взаимодействия тел можно описывать, применяя понятие гравитационного поля. Считают, что передача любых взаимодействий между телами реализуется при помощи полей, которые создают рассматриваемые тела. Одно из тел не оказывает непосредственного действия на другое тело, но оно создает в окружающем его пространстве гравитационное поле, особый вид материи, которая и оказывает воздействие на второе тело. Наглядной картины поля дать нельзя, понятие физического поля относят к основным понятиям, которые невозможно определить, используя другие более простые понятия. Можно только определить свойства поля.

Гравитационное поле может создавать силу. Поле зависит только от тела, которое его создает и не зависит от тела, на которое оно действует. Силовой характеристикой гравитационного поля является его напряжённость, которую обозначают $\overline{g}$. Напряженность гравитационного поля измеряется силой, которая действует на материальную точку единичной массы:

Если гравитационное поле создается материальной точкой массы $M$, то оно имеет сферическую симметрию. 2}\left(2\right).\]

Из формулы (2) следует, что $g$ зависит от расстояния ($r$) от источника поля до точки, в которой поле рассматривается. В таком поле движение происходит по законам Кеплера.

Гравитационные поля удовлетворяют принципу суперпозиции. Напряженность поля, которая создается несколькими телами, равна векторной сумме напряженностей полей, которые порождаются каждым телом отдельно. Принцип суперпозиции выполняется, поскольку гравитационное поле, создаваемое какой-либо массой, не зависит от присутствия других масс. Принцип суперпозиции дает возможность рассчитывать гравитационные поля, которые созданы телами, отличающимися от точечных (размеры которых следует учитывать).

Ускорение при свободном падении

Если тело около поверхности Земли движется только под воздействием силы тяжести ($\overline{F}$), говорят, что оно свободно падает. Ускорение свободного падения обозначают буквой $g$. В соответствии со вторым законом Ньютона это ускорение равно:

где $m$ — масса свободно падающего тела. 2}\frac{3}{4\pi }\frac{g_0}{\gamma R}=g_0\frac{R-h}{R}\to h=R\left(1-\frac{g}{g_0}\right)=0,7R.\]

Ответ. $h=R\left(1-\frac{g}{g_0}\right)=0,7R$

Читать дальше: формула центростремительного ускорения.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Значение g

В блоке 2 кабинета физики было дано уравнение для определения силы тяжести ( F _grav ), с которой объект массой м притянулся к земле

Теперь в этой единице введено второе уравнение для расчета силы тяжести, с которой объект притягивается к земле.

где д представляет собой расстояние от центра объекта до центра земли.

В первом уравнении g называется ускорением свободного падения. Его значение составляет 9,8 м/с ² на Земле. То есть ускорение свободного падения на поверхности земли на уровне моря составляет 9,8 м/с ² . При обсуждении ускорения свободного падения было упомянуто, что значение g зависит от местоположения. Существуют небольшие вариации значения g относительно земной поверхности. Эти вариации являются результатом различной плотности геологических структур под каждым конкретным местом на поверхности. Они также являются результатом того факта, что Земля не имеет истинной сферической формы; земная поверхность дальше от центра на экваторе, чем на полюсах. Это привело бы к большим значениям g на полюсах. По мере того, как человек продвигается дальше от земной поверхности — скажем, в положение на орбите вокруг Земли — значение g все еще изменяется.

Чтобы понять, почему значение g так сильно зависит от местоположения, мы воспользуемся двумя приведенными выше уравнениями, чтобы вывести уравнение для значения g. Во-первых, оба выражения для силы тяжести приравниваются друг к другу.

Теперь заметим, что масса объекта — м — присутствует по обе стороны от знака равенства. Таким образом, m можно исключить из уравнения. Это оставляет нам уравнение для ускорения свободного падения.

Приведенное выше уравнение показывает, что ускорение свободного падения зависит от массы Земли (приблизительно 5,98×10 ²⁴ кг) и расстояния ( d ), на котором объект находится от центра Земли. Если для расстояния от центра Земли используется значение 6,38×10 ⁶ м (типичное значение радиуса Земли), то g будет рассчитано как 9,8 м/с ² . И, конечно же, значение g будет меняться по мере удаления объекта от центра Земли. Например, если объект был перемещен в место, которое находится на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли, то есть в два раза больше 6,38×10 ⁶ м — тогда будет найдено существенно другое значение g. Как показано ниже, на удвоенном расстоянии от центра Земли значение g становится равным 2,45 м/с ² .

В таблице ниже показано значение g в различных точках от центра Земли.

Как видно из приведенного выше уравнения и таблицы, значение g изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра Земли. Фактически изменение g с расстоянием следует закону обратных квадратов, где g обратно пропорционально расстоянию от центра Земли. Эта зависимость обратного квадрата означает, что при удвоении расстояния значение g уменьшается в 4 раза. При утроении расстояния значение g уменьшается в 9 раз.. И так далее. Эта обратная квадратичная зависимость изображена на рисунке справа.

То же уравнение, используемое для определения значения g на поверхности Земли, можно также использовать для определения ускорения свободного падения на поверхности других планет. Значение g на любой другой планете можно рассчитать по массе планеты и радиусу планеты. Уравнение принимает следующий вид:

С помощью этого уравнения можно рассчитать следующие значения ускорения силы тяжести для различных планет.

Ускорение свободного падения объекта является измеримой величиной. Тем не менее, из универсального закона всемирного тяготения Ньютона вытекает предсказание, в котором говорится, что его значение зависит от массы Земли и расстояния объекта от центра Земли. Значение g не зависит от массы объекта и зависит только от местоположение — планета, на которой находится объект, и расстояние от центра этой планеты.

Посетите:  Гравитация  | Значение g на других планетах

Ускорение под действием гравитации Учебное пособие

Инструменты для творчества скоро появятся, чтобы вдохновить!

Присоединяйтесь к списку рассылки, чтобы узнать, когда мы запустимся.

Кристалл

HS-PS2-1

Все тела на Земле сталкиваются с постоянной силой и ускорением из-за силы тяжести.

Содержание

Что вы ожидаете, когда одновременно роняете перо и кирпич? Ответ заключается в том, что все они упадут одновременно; хотя некоторые объекты, например перья, кажутся медленнее из-за сопротивления воздуха. Для того, чтобы увидеть истинную природу гравитации, влияющей на перья, нужно удалить из помещения весь воздух. Причина этого в том, что в вакууме оба будут сталкиваться с одинаковым ускорением из-за гравитации!

Источник

УСКОРЕНИЕ И ТЯЖЕСТИ

• Значение ускорение в основном любой процесс, в котором скорость (которая является мерой скорости и направления движения тела) изменяется со временем.

• Математически представленный как dv/dt (изменение скорости/времени), это векторная величина , которая может быть положительной, отрицательной или нулевой в зависимости от скорости и ее направления .

• Значение гравитации , с другой стороны, это сила, которая притягивает объект к центру Земли.

• F= мг — сила тяжести, действующая на тело,

, где f — сила, действующая на тело,

m — его масса,

и g — ускорение свободного падения.

УСКОРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

• Чем дальше объект опускается вперед к низу, тем больше гравитация заставляет его падать все быстрее и быстрее.
• На практике скорость объекта увеличивается на 9,8 м/с2 (значение ускорения из-за силы тяжести на Земле).
• Следовательно, скорость объекта равна 9,8 м/с через 1 секунду после начала падения.
• Его скорость будет продолжать увеличиваться со временем из-за ускорения гравитации .
• Единица СИ для ускорения свободного падения такая же, как и для ускорения, м/с2 .

Источник

Универсальный закон всемирного тяготения гласит, что f = GmM/(r+h)2

Где f обозначает силу между двумя телами

G (6,6710-11 Нм2/кг2) универсальная гравитационная постоянная

м масса объекта

M 9 0006 это масса земли

r — радиус Земли, а

h = расстояние между телом и земной поверхностью.

Поскольку высота будет намного меньше по сравнению с радиусом Земли

f = GmM/r2

Сравнивая оба уравнения, мы получаем

g = GM/r2 , формула для ускорение силы тяжести.

Это позволяет нам понять следующее:

• Гравитация ускоряет все тела с одинаковой скоростью, независимо от их массы.
• Его ценность на Земле определяется массой планеты, а не массой предмета.

• Ускорение — это процесс, при котором скорость тела изменяется со временем.
• Гравитация — это сила, которая притягивает объект к центру Земли.
• Величина ускорения свободного падения на земле составляет 9,8 м/с2.
• g = GM/r2 — уравнение, используемое для расчета ускорения свободного падения.

Часто задаваемые вопросы

1. От чего не зависит ускорение силы тяжести?

Ускорение свободного падения не зависит от массы тела.

2.

Задачи на простые проценты с решениями

Задача 1 :

Человек кладет 5000 долларов на банковский счет, который выплачивает 6% простых процентов в год. Найдите стоимость его вклада через 4 года.

Решение:

Формула простых процентов:

I = Prt

Замените P = 5000, t = 4, r = 6%.

I = 5000 ⋅ 6/100 ⋅ 4

I = 1200

Накопленная стоимость = основная сумма + проценты

= 5000 + 1200

= 6200 долларов

Задача 2 :

Глен получил кредит в размере 2250 долларов в банке. Через шесть месяцев он вернул 2295 долларов и закрыл кредит. Найдите процентную ставку.

Решение:

Проценты = Сумма — Основная сумма

I = 2295 — 2250

I = 45

Дано: период времени составляет 6 месяцев.

В формуле простых процентов мы используем период времени в годах. Но период времени, указанный в вопросе, указан в месяцах.

Итак, изменим заданный период времени в годах.

6 месяцев = 6/12 года = 1/2 года

Таким образом, период времени составляет 1/2 года.

Формула простых процентов:

I = Prt

Замена I = 45, P = 2250, t = 1/2.

45 = 2250 ⋅ r ⋅ 1/2

45 = 1125 ⋅ r

Разделите обе части на 1125.

45/1125 = r

0,04 = r

Чтобы преобразовать десятичную дробь 0,04 в проценты, умножьте на 100. 

0,04 ⋅ 100% = r

4% = r

Задача 3 :

Мужчина инвестирует 16 500 долларов в казначейские облигации двух видов с доходностью 7,5% и 6% годовых. Через два года он зарабатывает 2442 доллара в виде процентов. Сколько он инвестирует при ставке 6%?

Решение:

Пусть x будет суммой, инвестированной по ставке 6%.

Тогда сумма, вложенная в счет 7,5%, равна

= 16500 — x

Дано: через два года общая сумма процентов, заработанных на обоих счетах, составляет 2442 доллара США.

Проценты по ставке 6% + Проценты по ставке 7,5% = 2442

x ⋅ 6/100 ⋅ 2 + (16500 — x) ⋅ 7,5/100 ⋅ 2 = 2442

x ⋅ 0,06 ⋅ 2 + (16500 — x) ⋅ 0,075 ⋅ 2 = 2442

0,12x + (16500 — х) ⋅ 0,15 = 2442

0,12х + 2475 — 0,15х = 2442

2475 — 0,03х = 2442

2475 — 2442 = 0,03х

33 = 0,03x

Разделите обе части на 0,03.

33/0,03 = x

3300/3 = x

1100 = x

Следовательно, сумма инвестиций по ставке 6% составляет 1100 долларов.

Задача 4 :

Человек вложил 25 200 долларов США в два счета, которые выплачивают 5% и 10% годовых. Сумма, инвестированная по ставке 10%, составляет 110% от суммы, инвестированной по ставке 5%. Через три года он зарабатывает 2442 доллара в виде процентов. Сколько он инвестировал при ставке 5%?

Решение:

Пусть x будет суммой, инвестированной по ставке 5%.

Тогда сумма, вложенная в 10-процентный счет, равна

= 110% x

= 1,10 ⋅ x

= 1,1 x

Дано: через три года общий процент, полученный на обоих счетах, составляет 5760 долларов США. .

Проценты по ставке 5% + Проценты по ставке 10% = 5760

x ⋅ 5/100 ⋅ 3 + 1,1x ⋅ 10/100 ⋅ 3 = 5760

x ⋅ 0,05 ⋅ 3 + 1,1 х ⋅ 0,1 ⋅ 3 = 5760

0,15x + 0,33x = 5760

0,48x = 5760

Разделите обе части на 0,48.

x = 5760/0,48

x = 576000/48

x = 12000

Следовательно, сумма инвестиций по ставке 5% составляет 12000 долларов США.

Задача 5 :

В простых процентах сумма денег удваивается за 10 лет. Найдите количество лет, которое потребуется, чтобы увеличить себя втрое.

Решение:

Пусть P будет суммой вложенных денег.

Дано : Сумма денег удваивается за 10 лет.

Тогда P станет 2P через 10 лет.

Теперь мы можем рассчитать проценты за десять лет, как показано ниже.

Исходя из приведенного выше расчета, P представляет собой проценты за первые 10 лет.

При использовании простых процентов проценты будут одинаковыми каждый год.

Таким образом, проценты, полученные в следующие 10 лет, также будут P.

Это было объяснено ниже.

Следовательно, потребуется 20 лет, чтобы сам принципал стал тройным.

Задача 6 :

В простых процентах сумма денег составляет 6200 долларов через 2 года и 7400 долларов через 3 года. Найдите главного.

Решение:

По истечении 2 лет мы получим 6200 долларов

По истечении 3 лет мы получим 7400 долларов

Из этих двух данных мы можем получить проценты, полученные за 3-й год, как показано ниже. .

Простые проценты будут одинаковыми каждый год.

Исходя из этого, мы можем рассчитать основную сумму, как указано ниже.

Следовательно, основная сумма составляет 3800 долларов.

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Задачи на простые проценты: примеры с решениями

Ключевые понятия

• Простые проценты, проценты и основная сумма.
• Найти простые проценты.
• Найдите процентную ставку.
• Найдите директора.

Решение простых процентных задач

Что такое основная сумма?

Когда физическое или юридическое лицо берет взаймы определенную сумму денег в виде кредита, заимствованная сумма называется основной суммой.

Пример: Мэдди хочет построить свой дом; оценка была рассчитана в размере 40000 долларов. Он решает занять 10000 долларов в банке. Эта заемная сумма называется основной суммой.

Что такое простые проценты?

Простые проценты — это метод расчета суммы процентов на некоторую основную сумму денег. Обычно мы занимаем деньги у наших братьев и сестер или друзей, когда наши карманные деньги иссякают, или одалживаем деньги. Мы используем эти деньги для наших целей и возвращаем их, когда получаем им карманные деньги в следующем месяце. Вот как кредитование и заимствование работает дома.

Но в реальном мире деньги нельзя брать взаймы бесплатно. Мы часто занимаем деньги в банках в виде кредита. При возврате, помимо суммы кредита, мы платим дополнительную сумму, которая зависит от суммы кредита и периода времени, на который мы взяли кредит. Эта дополнительная выплачиваемая сумма называется простыми процентами.

Что такое проценты?

Процентная ставка — это процент, используемый для расчета процентов на основную сумму.

Пример:

Мэдди занимает 10000 долларов под 4% годовых на два года.

Здесь мы понимаем, что основная сумма = 10000 долларов США, а процентная ставка = 4%.

Давайте разберемся, что значит 4%?

4% записывается как 4/100

Здесь банкир хочет передать, что если Мэдди занимает 100 долларов, то он должен заплатить дополнительно 4 доллара во время выплаты. Но Мэдди занимает 10000 долларов.

Проценты к уплате   = 10000 × 4%

                                                                                         = 400 долларов.

Таким образом, Мэдди должна заплатить 400 долларов во время окупаемости дополнительно вместе с основной суммой в 10000 долларов.

Найти простые проценты

Пример 1: Анна открывает сберегательный счет с депозитом в размере 670 долларов. Она будет зарабатывать 1,5% годовых на свои деньги. Сколько процентов она заработает за 10 лет? (при условии, что она не добавляет и не берет деньги).

Решение:

Шаг 1:

Используйте уравнение процентов, чтобы найти сумму процентов, заработанных за один год.

Мы знаем, что часть = проценты × целое

Возьмем сумму процентов как I, часть = I, процент = 1,5%, а целое = сумму вклада.

I = 1,5% × 670

I = 0,015 × 670

I = 10,05 долл. США

Шаг 2: Умножьте проценты, полученные за один год, на 10, чтобы рассчитать общую сумму процентов, которую Анна заработает за 10-летний период.

Общая сумма процентов, заработанных Анной за 10 лет = 10,05 × 10 3

Следовательно, через десять лет Анна получит 100,5 долларов.

Пример 2: Дэйв занимает 1500 долларов на ремонт своего дома. Он погасит кредит через 3 года, выплачивая основную сумму плюс 3,5% годовых. Сколько он заплатит процентов, и сколько всего она упакует обратно

Решение:

Шаг 1:

Используйте уравнение процентов, чтобы найти сумму процентов, заработанных за один год.

Мы знаем, что часть = проценты × целое

Возьмем процентную сумму как I, часть = I, процент = 3,5%, а целое = сумма займа.

I = 3,5% × 1500

I = 0,035 × 1500

I = $52,5 платить за 3-летний период.

Общая сумма процентов за 3 года = 52,5 × 3

                                    = 157,5                                                         = 1500 + 157,5

                                                               = 1657,5

Следовательно, проценты, которые должен выплатить Дейв, составляют 157,5 долларов США. , а общая сумма составит $1657,5

Найдите процентную ставку

Пример 1: Банк ссужает 4000 долларов США бизнесмену под простые проценты. Если он обещает платить 20 долларов каждый месяц в течение двух лет. Какая процентная ставка по кредиту в год?

Решение:

Шаг 1:

Умножьте проценты на 12, чтобы получить проценты за 1 год.

20 × 12 = 240 долларов

Проценты, подлежащие выплате через два года = 240 × 2

                                                   = 480 долларов.

Шаг 2: Используйте уравнение процентов, чтобы найти процентную ставку.

Мы знаем, что часть = проценты × целое

Здесь мы понимаем, что часть = проценты, целое = основная сумма и процентная ставка = р.

Возьмем в качестве p процентную ставку, которую мы собираемся найти.

Проценты = процентная ставка × основная сумма.

480 = p × 4000

Разделите уравнение на 4000 в обе стороны.

480/4000 = p

p = 0,12

Выразите десятичную дробь в процентах, умножив ее на 100.

Р = 12%.

Таким образом, процентная ставка, взимаемая банком с кредита, составляет 12%.

Пример 2: Лицо вносит 5000 долларов в банк под простые проценты; он находит 6200 долларов через два года на счету. Какова процентная ставка в год?

Решение:

Шаг 1:

Найдите проценты, выплаченные банком за эти два года

Проценты, выплаченные за два года = 6200 – 5000

900 02                                         = $1200.

Проценты, выплаченные за один год = 1200/2

Проценты, выплаченные за один год = 600

Шаг 2: Используйте уравнение процентов, чтобы найти процентную ставку.

Мы знаем, что часть = проценты × целое

Здесь мы понимаем, что часть = проценты, целое = основная сумма и процентная ставка = р.

Возьмем в качестве p процентную ставку, которую мы собираемся найти.

Проценты = процентная ставка × основная сумма.

600 = p × 5000

Разделите уравнение на 1200 в обе стороны.

600/5000 = p                      

p = 0,12

Выразите десятичную дробь в процентах, умножив ее на 100.

P = 12%.

Таким образом, процентная ставка, взимаемая банком с депозита, составляет 12%

Найдите основную сумму

Пример 1: Британец открыл сберегательный счет, который приносит ему 4% годовых. По оценкам Брит, если он не пополняет и не снимает средства со своего счета, он заработает 300 долларов в виде процентов через 5 лет. Сколько Брит вложил, когда открыл счет?

Решение:

Шаг 1:

Сначала найдите проценты, которые он заработает за 1 год.

300 ÷ 4 = 75

Проценты за год составляют 75 долларов.

Шаг 2: Используйте процентное уравнение, чтобы найти депозит или основную сумму.

Мы знаем, что часть = проценты × целое

Возьмем в качестве p основную сумму, которую мы собираемся найти.

Здесь мы понимаем, что часть = сумма процентов, целое = основная сумма и проценты = процентная ставка.

Сумма процентов в год = процентная ставка × основная сумма.

75 = 4% × P

75 = 0,04 × P

Разделите уравнение на 0,04 в обе стороны.

75/0,04 = 0,04/0,04 = × P

P × 1 = 1875

P = 1875 долларов США

Таким образом, Брит вносит на счет 1875 долларов США под 4% простых процентов, чтобы заработать 300 долларов США в течение 4 лет. .

Пример 2: Алекс занял деньги на учебу. Он взял кредит под 5% простых процентов. В конечном итоге он заплатит 800 долларов в виде процентов через 5 лет. Сколько Алекс занял для школы?

Решение:

Шаг 1:

Сначала найдите проценты, которые он заработает за 1 год.

800 ÷ 5 = 160

Проценты за год составляют 160 долларов.

Шаг 2: Используйте процентное уравнение, чтобы найти депозит или основную сумму.

Мы знаем, что часть = проценты × целое

Возьмем в качестве p основную сумму, которую мы собираемся найти.

Здесь мы понимаем, что часть = сумма процентов, целое = основная сумма и проценты = процентная ставка.

Сумма процентов в год = процентная ставка × основная сумма.

160 = 5% × P

160 = 0,05 × P

Разделите уравнение на 0,05 в обе стороны.

160/0,05 = 0,05/0,05 = × P

P × 1 =3300

P = 3300 долларов США

Таким образом, Алекс занимает 3300 долларов США на школу под 5% простых процентов в течение 5 лет и платит 800 долларов США. интерес.

Упражнение

1. Банк ссужает 1000 долларов под 2,5% простых процентов. Через 5 лет сколько денег нужно вернуть банку?
2. Адам занимает у своего друга 6600 долларов под 1,5% простых процентов; он обещает вернуть его через 3 года. Сколько процентов он платит?
3. Рассчитайте проценты, полученные по кредиту в размере 500 долларов США на два года под 3% годовых в виде простых процентов?
4. Грег платит 100 долларов в год в течение 8 лет за заимствование 12000 долларов в виде простых процентов; какова процентная ставка?
5. Банк требует платить 50 долларов США в год в течение 2 лет при займе 1000 долларов США. Определить процентную ставку.
6. Компания одалживает Майе 4000 долларов. Каждый месяц она будет платить $11,88 процентов в течение 1 года. Какова процентная ставка?
7. Проценты, полученные по ставке 2%, составляют 320 долларов США за 2 года. Что такое главный?
8. Проценты, полученные по ставке 5%, составляют 1000 долларов США сроком на 10 лет.

Системы уравнений с параметром

1. Системы линейных уравнений с параметром

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Пример 1.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

{х + (а² – 3)у = а,
{х + у = 2.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ. Используем свойство: система не имеет решений, если отношение коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а₁ = b/b₁ ≠ c/c₁). Тогда имеем:

1/1 = (а² – 3)/1 ≠ а/2 или систему

{а² – 3 = 1,
{а ≠ 2.

Из первого уравнения а² = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ. Решаем методом подстановки.

{2 – у + (а² – 3)у = а,
{х = 2 – у,

или

{(а² – 3)у – у = а – 2,
{х = 2 – у.

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

{(а² – 4)у = а – 2,
{х = 2 – у.

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

{а² – 4 = 0,
{а – 2 ≠ 0.

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.

Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет бесконечное множество решений.

{8х + ау = 2,
{ах + 2у = 1.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а₁ = b/b₁ = c/c₁). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

2. Системы рациональных уравнений с параметром

Пример 3.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{3|х| + у = 2,
{|х| + 2у = a.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

{6|х| + 2у = 4,
{|х| + 2у = a.

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4.

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

{х + у = а,
{у – х² = 1.

Решение.

Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1). Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

а = 0,75.

Ответ: а = 0,75.

Пример 5.

Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{ах – у = а + 1,
{ах + (а + 2)у = 2.

Решение.

Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

{у = ах – а – 1,
{ах + (а + 2)(ах – а – 1) = 2.

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а²х – а² – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а²х + 3ах = 2 + а² + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а² + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а² + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а² + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а² + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6.

Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

{х² + у² = 9,
{у – |х| = а.

Решение.

Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы

х² + у² = 9. Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать системы уравнений?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Теория параметрических уравнений, задачи

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр . На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений. Мы рассмотрим модуль параметрического уравнения и решение простых параметрических уравнений.

Задача 1 Решите уравнения в отношении к $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x = x + b$
F) $ax = 3a$

Решение:

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, то есть решение к данному уравнению найдено.
Для различных значений параметров, решения есть $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 — 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x \Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$

D) $ax = 5$, когда а отличается от 0 мы можем разделить обе части на a и мы получим $x = 5$
Если $a = 0$, мы получим уравнение, такое как $0.x = 5$, и которое не имеет решения;

E) $a – x = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac{a-b}{2}$

F) Когда a = 0 уравнение ax = 3a равно 0. 2}$ является решением уравнения.

Задача $4$ Для каких значений $x$ следующие выражения имеют равные значения :
A) $5x + a$ и $3ax + 4$
B) $2x — 2$ и $4x + 5a$

Решение:

Чтобы получить одинаковые значения мы должны найти решения уравнений
$5x + a = 3ax + 4$ и $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x — 3ax = 4 – a \Leftrightarrow$
$(5 — 3a)x = 4 – a$
Если $5 — 3a \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{5}{3}$, решения есть $x = \frac{4-a}{5-3a}$
Если $5 — 3a = 0$, т.e. $a = \frac{5}{3}$, уравнение принимает вид $0\cdot x = 4 – \frac{5}{3} \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac{7}{3}$, что не имеет решения

B) $2x — 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 — 5a = 4x — 2x \Leftrightarrow$
$2x = — 2 — 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac{2+5a}{2}$

Задача 5 Решите параметрическое уравнение:
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Решение:

A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ или $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ или $ax = — 6$
Если $a \neq 0$, уравнения примут вид $x = \frac{2}{a}$ or $x = -\frac{6}{a}$
Если $a = 0$, уравнения не имею решения

B) Если $a Если $a > 0$, это эквивалентно $2x + 1 = 3a$
или $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a — 1 \Leftrightarrow x = \frac{3a-1}{2}$ or
$2x = -3a — 1 \Leftrightarrow x = \frac{3a-1}{2} = -\frac{3a-1}{2}$

C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ или $ax + 2a = — 3$,
и мы находим $ax = 3 — 2a$ или $ax = -3 — 2a$
Если a = 0, тогда нет решений, если $a \neq 0$
решениями есть: $x = \frac{3-2a}{a}$ и $x = -\frac{3+2a}{a}$

Задача 6 Решите уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где a и b являются действительными параметрами. Найдите, для каких значениях a уравнение имеет в качестве решения натуральное число, если $b = 7$

Решение:

Представим данное уравнение в следующем виде: $(2a — 1)x = 2(b — 1)$
Возможны следующие варианты:
Если $2a — 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, уравнение имеет единственное решение
$x = \frac{2(b-1)}{2a-1}$
Если $a = \frac{1}{2}$ и $b = 1$, уравнение получает вид $0\cdot x = 0$ и любое $x$ является решением
Если $a = \frac{1}{2}$ и $b \neq 1$, мы получаем $0\cdot x = 2(b — 1)$, где $2(b — 1) \neq 0$
В этом случае уравнение не имеет решения.
Если $b = 7$ и $a \neq \frac{1}{2}$ является единственным решением
$x = \frac{2(7-1)}{2a-1} = \frac{12}{2a-1}$
Если a целое число, тогда $2a — 1$ также есть целым числом и решением есть
$x = \frac{12}{2a-1}$ является натуральным числом когда
$2a — 1$ есть положительным делителем для числа $12$.
Чтобы a было целым числом, делитель числа $12$ должен быть нечетным. Но только $1$ и $3$ являются положительными нечетными числами, на которые делится12
Поэтому $2a — 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ или $2a — 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ или $2a — 1 = 1 \Leftrightarrow a = 1$

Задача 7 Решите уравнение $|ax — 2 – a| = 4$, где a является параметром. Найдите, для каких значениях а корнями уравнения являются целые отрицательные числа.

Решение:

Из определения модуля мы получаем
$|ax — 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax — 2 – x = 4$ или $ax — 2 – x = — 4$
Из первого равенства мы получаем $x(a — 1) — 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a — 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a — 1)x = 6$
Из второго равенства мы получаем $(a — 1)x = -2$
Если $a — 1 = 0$, т.e. $a = 1$, последнее уравнение не имеет решения.
Если $a \neq 1$ мы находим, что $x = \frac{6}{a-1}$ или $x = -\frac{2}{a-1}$
Чтобы эти корни были целыми отрицательными числами, должно выполняться следующее:
Для первого равенство $a — 1$ должно быть отрицательным делителем 6, и для второго — положительным делителям 2
Тогда $a — 1 = -1; -2; -3; — 6$ или $a — 1 = 1; 2$
Мы получаем $a — 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a — 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a — 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a — 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
или $a — 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a — 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
Тогда $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ являются решениями задачи.

Задача 8 Решите уравнение:
A) $3ax – a = 1 – x$, где a это параметр;
B) $2ax + b = 2 + x$, где a и b являются параметрами

Решение:

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Если $3a + 1 \neq 0$, т.e. $a \neq -11 /3 /3$ , решение есть
$x = \frac{1+a}{3a+1}$
Если $a = -\frac{1}{3}$ уравнение принимает вид $0\cdot x = \frac{1.1}{3}$, что не имеет решения.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a — 1)x = 2 – b$
Если $2a — 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}, x = \frac{2-b}{2a-1}$ является решением.
Если $a = \frac{1}{2}$ уравнение принимает вид $0.x = 2 – b$
Тогда, если $b = 2$, любое x является решением, если $b \neq 2$, уравнение не имеет решения.

Задача 9 Дано уравнение $6(kx — 6) + 24 = 5kx$ , где к — целое число. Найдите, для каких значений k уравнение:
A) имеет корень $-\frac{4}{3}$
B) не имеет решения;
C) имеет корень как натуральное число.

Решение:

Перепишем уравнение в виде $6kx — 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Если $x = -\frac{4}{3}$, для k мы получим уравнение $-\frac{4}{3k} = 12 \Leftrightarrow k = — 9$

B) Уравнение $kx = 12$ не имеет решения, когда $k = 0$

C) Когда $k \neq 0$ является корнем $x = \frac{12}{k}$ и это натуральное число, если k есть целым положительным числом, на которое делится 12, т. e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Задача 10 Решите уравнение:
A) $2ax + 1 = x + a$, где a является параметром;
B) $2ax + 1 = x + b$, где a и b являются параметрами.

Решение:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a — 1 \Leftrightarrow$
$(2a — 1)x = a — 1$
Если $2a — 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, единственным решением уравнения является
$x = \frac{a-1}{2a-1}$
Если $2a — 1 = 0$, т.e. $a = \frac{1}{2}$, уравнение принимает вид
$0.x = \frac{1}{2}- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac{1}{2}$, что не имеет решения

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b — 1 \Leftrightarrow$
$(2a — 1)x = b — 1$
Если $2a — 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, решением является
$x = \frac{b-1}{2a-1}$
Если $a = \frac{1}{2}$, уравнения эквивалентно $0.x = b — 1$
Если b = 1 любое x является решением, если $b \neq 1$ тогда нет решения.

Задача 11 Дано уравнение $3(ax — 4) + 4 = 2ax$, где параметром является целым числом. Найдите, для каких значений a уравнение в качестве корней имеет:
А) $\left(-\frac{2}{3}\right)$
B) целое число
C) натуральное число

Решение:

A) Если $x = -\frac{2}{3}$ есть решением уравнения, тогда должно быть истинным
$3\left[a\left(-\frac{2}{3}\right) — 4\right] + 4 = 2a\left(-\frac{2}{3}\right) \Leftrightarrow$
$-2a — 12 + 4 = -\frac{4a}{3} \Leftrightarrow$
$\frac{4a}{3} — 2a = 8 \Leftrightarrow \frac{4a-6a}{3} = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac{2a}{3} = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax — 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax — 2ax = 12 — 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Если $a \neq 0$ решением является $x = \frac{8}{a}$, это целое число, если а является делимым числа $8$.
Поэтому; $±2; ±4; ±8$
Если $a=0$, уравнение не имеет решения

C) Чтобы получить натуральное (целое положительное) число для этого решения $x=\frac{8}{a}$ число должно равняться: $a=1, 2, 4, 8$

Задача 12 Дано уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где $a$ и $b$ — параметры. Найдите, для каких значений a уравнение имеет решения в виде натурального числа, если $b = 7$

Решение:

В уравнение мы подставляем $b = 7$ и получаем $2 – x = 2.7 — 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a — 1)x = 12$
Если $2a -1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, уравнение примет вид
$x = \frac{12}{2a-1}$ и это будет натуральное число, если знаменатель $2a — 1$ есть положительным делимым $12$ и кроме того, чтобы оно было целым числом, необходимо, чтобы $2a — 1$ было нечетным числом.
Поэтому $2a — 1$ может быть $1$ или $3$
Из $2a — 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ и $2a — 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Задача 13 Дана функция $f(x) = (3a — 1)x — 2a + 1$, где a — параметр. Найдите, для каких значений a график функции:
А) пересекает ось абсцисс;
B) пересекает ось абсцисс

Решение:

Чтобы график функции пересёк ось абсцисс, необходимо, чтобы
$(3a — 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ имело решения и не имело решения для непересечения оси абсцисс.
С уравнения мы получаем $(3a — 1)x = 2a — 1$
Если $3a — 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{3}$, уравнение имеет решения
$x = \frac{2a-1}{3a-1}$, поэтому график функции пересекает ось абсцисс.
Если $a = \frac{1}{3}$, мы получаем $0.x = \frac{2}{3} — 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac{1}{3}$, что не имеет решения.
Поэтому, если $a = \frac{1}{3}$, график функций не пересекает ось абсцисс.

Задача 14 Решите параметрическое уравнение:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax — 1| = a — 2$

Решение:

A) Если $a 0$ мы получаем:
$|x — 2| = a \Leftrightarrow x — 2 = a$ или $x — 2 = -a$
Из $x — 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, и из
$x — 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
Если $a = 0$, тогда $x — 2 = 0$ или $x = 2$

B) $|ax — 1| = 3 \Leftrightarrow ax — 1 = 3$ или $ax — 1 = -3$
откуда $ax = 4$ или $ax = — 2$
Если $a \neq 0$ решения: $x = \frac{4}{a}$ or $x = -\frac{2}{a}$
Если $a = 0$, здесь нет решения

C) Если $a — 2 Если $a — 2 > 0$, т. 2 — 4x – 0 \Leftrightarrow x(x — 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ или $x = 4$
С условием, что $х> 3$, поэтому только $x = 4$ есть решением. Для второго уравнения мы получаем
$ax – x = 1 — 2a \Leftrightarrow (a — 1)x = 1 — 2a$
Если $a — 1 = 0$, здесь нет решения (Почему?), если $a — 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, решением есть
$x = \frac{1-2a}{a-1}$ Эти два уравнения будут равны, если $4 = \frac{1-2a}{a-1} \Leftrightarrow$ $4(a — 1) = 1 — 2a \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac{5}{6}$

Калькулятор параметрических уравнений — Mathauditor