Автор: Ответы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Через 2 года мой братишка будет в 2 раза старше, чем 2 года назад, а я через 3 года буду в 3 раза старше, чем 3 года назад.
2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Пользуйтесь нашим приложением
Что такое число в кубе? (Примеры и рабочие листы)
- Дом Геросферы
- Что такое число в кубе? (Примеры и рабочие листы)
Когда вы умножаете целое число (не дробь) само на себя, а затем еще раз само на себя, результатом будет число в кубе . Например, 3 x 3 x 3 = 27.
Простой способ записать 3 в кубе: 3 3 . Это означает, что три умножить само на себя три раза.
Самый простой способ выполнить это вычисление — выполнить первое умножение (3×3), а затем умножить ответ на то же число, с которого вы начали; 3 х 3 х 3 = 9x 3 = 27.
Кубические числа могут быть немного более запутанными, чем числа в квадрате, просто из-за дополнительного умножения. По сути, вы вычисляете трехмерную форму, а не плоскую.
Вот плоский (или двумерный) квадрат 4 x 4:
равно 16.
Вот трехмерный куб 4 x 4:
Чтобы вычислить количество блоков (число в кубе), на этот раз мы должны умножить 4 x 4 x 4 или 4 3 , что равно 64.
В KS2 вам не нужно узнать куб цифры наизусть, но вы должны иметь общее представление о том, что они собой представляют и как их вычислить. Часто детям дается образец чисел, например, числа нижнего конца куба, и может быть предложено попытаться разобраться в этом образце.
Вот список чисел в кубе до 12×12:
| 0 Кубический | = | 0 3 | = | 0 × 0 × 0 | = | 0 |
| 1 куб | = | 1 3 | = | 1 х 1 х 1 | = | 1 |
| 2 куба | = | 2 3 | = | 2 × 2 × 2 | = | 8 |
| 3 куба | = | 3 3 | = | 3 х 3 х 3 | = | 27 |
| 4 куба | = | 4 3 | = | 4 х 4 х 4 | = | 64 |
| 5 Куб | = | 5 3 | = | 5 х 5 х 5 | = | 125 |
| 6 кубов | = | 6 3 | = | 6 х 6 х 6 | = | 216 |
| 7 Куб | = | 7 3 | = | 7 х 7 х 7 | = | 343 |
| 8 кубов | = | 8 3 | = | 8 х 8 х 8 | = | 512 |
| 9 Кубический | = | 9 3 | = | 9 × 9 × 9 | = | 729 |
| 10 кубов | = | 10 3 | = | 10 х 10 х 10 | = | 1000 |
| 11 Куб | = | 11 3 | = | 11 х 11 х 11 | = | 1 331 |
| 12 кубов | = | 12 3 | = | 12 х 12 х 12 | = | 1 728 |
Куб отрицательного числа всегда будет отрицательным, точно так же, как куб положительного числа всегда будет положительным.
Например; -5 3 = -5 х -5 х- -5 = (25 х -5) = -125.
Так же, как и целые числа (целые числа), десятичное число также легко возвести в куб. Не волнуйтесь, вам не нужно запоминать их на ключевом этапе 2 (или, возможно, даже отрабатывать)!
| 1,23 Кубический | = | 1,23 3 | = | 1,23 × 1,23 × 1,23 | = | 1.860867 | |
| 2,56 Кубический | = | 2,56 3 | = | 2,56 × 2,56 × 2,56 | = | 16.777216 |
Вот несколько рабочих листов, предназначенных специально для того, чтобы разобраться с числами в кубе и отработать свои навыки.
6-й класс – Рисование точек на кубиках
8-й класс – Знай свои квадраты и кубики
8-й класс – Кубические числа и кубические корни 08 Если вам нравятся кубические числа и головоломки, и вы действительно хотите бросить себе вызов, почему бы не заглянуть на веб-сайт BBC Bitesize или не попробовать некоторые из головоломок и задач, поставленных командой NRich из Кембриджского университета?
https://nrich.
maths.org/public/leg.php?code=-308
http://www.bbc.co.uk/guides/z2ndsrd
900 09 АВТОР, МС ЭЛИСОН – УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ.
НАПИСАНО: Шарлотта Поттер
Разложение многочлена с X в кубе
Вот некоторые ключевые слова, которые пользователи использовали сегодня для посещения справочных страниц по математике.
Чем это полезно для вас?
Алгебра. Учебник для 6-8 классовАлгебра. Учебник для 6-8 классов
Системы линейных и квадратных уравнений
Система из этих двух уравнений может быть решена (найти место их пересечения) либо:
Как решить с помощью алгебры
Пример поможет: Пример: Решите эти два уравнения:
Превратите оба уравнения в формат «y=»: Они оба в формате «y=», так что переходите сразу к следующему шагу
Установите их равными друг другу x 2 — 5x + 7 = 2x + 1
Упростить в «= 0 (аналогично стандартному квадратному уравнению) Вычесть 2x с обеих сторон: x 2 — 7x + 7 = 1 Вычесть 1 с обеих сторон: x 2 — 7x + 6 = 0 900 03 Решить квадратное уравнение! (самая сложная часть для меня) Вы можете прочитать, как решать квадратные уравнения, но здесь мы будем учитывать квадратное уравнение: Начните с: x 2 — 7x + 6 = 0 Перепишите -7x как -x-6x: x 2 — x — 6x + 6 = 0 Тогда: x(x-1) — 6(x-1) = 0 Тогда: (x-1)(x-6) = 0 Что дает нам решения x=1 и x=6
Используйте линейное уравнение для вычисления соответствующих значений «y», поэтому мы получаем ( x,y) баллы как ответы Соответствующие значения y (см.
Наше решение: две точки (1,3) и (6,13) Я думаю об этом как о трех стадиях: Объединить в квадратное уравнение ⇒ Решить квадратное уравнение ⇒ Подсчитать точки РешенияВозможны три случая:
Время для другого примера! Пример: Решите эти два уравнения:
Превратите оба уравнения в формат «y=»: Первое уравнение: y — x 2 = 7 — 5x Добавьте x 2 к обеим сторонам: y = x 2 + 7 — 5x 900 11 Второе уравнение: 4y — 8x = -21 Добавьте 8x к обеим частям: 4y = 8x — 21 Разделите все на 4: y = 2x — 5,25
Установить их равными друг другу x 2 — 5x + 7 = 2x — 5,25
Упростить до формата «= 0» (как стандартное квадратное уравнение) Вычесть 2x с обеих сторон: x 2 — 7x + 7 = -5,25 Прибавить 5,25 к обеим сторонам: x 2 — 7x + 12,25 = 0 90 002 Решите квадратное уравнение! Использование квадратной формулы из квадратных уравнений:
Только одно решение! («Дискриминант» равен 0)
Используйте линейное уравнение для вычисления совпадающих значений «y», чтобы мы получили (x,y) баллов в качестве ответов Соответствующее значение y:
Наше решение: (3.
Пример из реальной жизниБум! Пушечное ядро летит по воздуху по параболе: y = 2 + 0,12x — 0,002x 2 Земля наклонена вверх: y = 0,15x Куда приземляется пушечное ядро?
Оба уравнения уже имеют формат «y =», поэтому приравняем их друг к другу: 0,15x = 2 + 0,12x — 0,002x преобразовать в формат «= 0» : Перенести все члены влево: 0,002x 2 + 0,15x — 0,12x — 2 = 0 Упростить: 0,002x 2 + 0,03x — 2 = 0 Умножить на 500: x 2 + 15x — 1000 = 0 Решить квадратное уравнение: Разделить 15x на -25x+40x: x 2 -25x + 40x — 1000 = 0 Тогда: х (x-25) + 40(x-25) = 0 Тогда: (x+40)(x-25) = 0 x = -40 или 25 Отрицательный ответ можно игнорировать, поэтому x = 25 Используйте линейное уравнение, чтобы вычислить соответствующее значение «y»: y = 0,15 x 25 = 3,75
Таким образом, пушечное ядро ударяется о склон в точке (25, 3.
Вы также можете найти ответ графически с помощью графического редактора функций: Обе переменные в квадратеИногда ОБА члена квадратного числа можно возвести в квадрат: Пример: Найдите точки пересеченияОкружности x 2 + y 2 = 25 И прямой линии 3y — 2x = 6 9 0002Сначала поместите строку в «y =» формат: Переместить 2x вправо: 3y = 2x + 6 Разделить на 3: y = 2x/3 + 2 СЕЙЧАС. Вместо того, чтобы делать круг в формате «y=», мы можем использовать замену ( замените «y» в квадратном выражении линейным выражением): Поместите y = 2x/3 + 2 в уравнение окружности: x 2 + (2x/3 + 2) 2 = 25 Расширьте: x 2 + 4x 2 /9 + 2(2x/3)(2) + 2 2 = 25 Умножить все на 9: 9x 2 + 4x 2 + 2(2x)(2)(3) + (9)(2 2 ) = (9)(25) Упростить: 13x 2 + 24x + 36 = 225 Вычесть 225 от обе стороны: 13x 2 + 24x — 189 = 0 Теперь это в стандартной квадратичной форме, давайте решим это: 13x 2 + 24x — 189 = 0 Разделить 24x в 63x-39x: 13x 2 + 63x — 39x — 189 = 0 Тогда: x(13x + 63) — 3(13x + 63) = 0 Тогда: (x — 3)(13x + 63) = 0 Итак: x = 3 или -63/13
Теперь вычислите значения y: Подставьте x = 3 в линейное уравнение:
Подставьте x = -63/13 в линейное уравнение:
8184, 8185, 8186, 8187, 8188, 8189, 8190, 8191, 8192, 8193, 8194, 8195, 8196, 8197, 8198 Решение линейно-квадратичных системГорячая математика Вероятно, вы уже решали системы линейных уравнений. Мы можем использовать вариант метода подстановки для решения систем этого типа. Помните, что форма уравнения наклона и точки пересечения для прямой имеет вид y=mx+b, а стандартная форма уравнения для параболы с вертикальной осью симметрии имеет вид y=ax2+bx+c, a≠0 . Во избежание путаницы с переменными запишем линейное уравнение в виде y=mx+d, где m наклон и d является y-пересечением линии. Подставить выражение для y из линейного уравнения, в квадратное уравнение. То есть подставьте mx+d для тебя в y=ax2+bx+c . mx+d=ax2+bx+c Теперь перепишите новое квадратное уравнение в стандартной форме. Вычесть мх+д с обеих сторон. (mx+d)−(mx+d)=(ax2+bx+c)−(mx+d)0=ax2+(b−m)x+(c−d) Теперь у нас есть квадратное уравнение с одной переменной, решение которого можно найти по квадратной формуле. Решения уравнения ax2+(b−m)x+(c−d)=0
даст x-координаты точек пересечения графиков прямой и параболы. Другой способ решения системы — построить график двух функций на одной координатной плоскости и определить точки пересечения. Пример 1: Найдите точки пересечения прямой y=2x+1 и парабола y=x2−2. Замена 2x+1 для y в y=x2−2. 2x+1=x2−2 Запишите квадратное уравнение в стандартной форме. 2x+1-2x-1=x2-2-2x-10=x2-2x-3 Используйте квадратную формулу, чтобы найти корни квадратного уравнения. Здесь a=1, b=−2, и c=−3. x=−(−2) ± (−2)2 − 4(1)(−3)2(1)=2 ± 4 + 122=2 ± 42=3, −1 Подставьте значения x в линейное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y. х=3⇒у=2(3)+1 =7x=−1⇒y=2(−1)+1 =−1 Начертите параболу и прямую на координатной плоскости. Пример 2: Найдите точки пересечения линии y=−3x и окружность x2+y2=3. Замена −3x для тебя в х2+у2=3 . x2+(−3x)2=3 Упрощение. x2+9×2=310×2=3×2=310 Подставьте значения x в линейное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y. Таким образом, точками пересечения являются (310, −3310) и (−310, 3310). Нарисуйте окружность и прямую линию на координатной плоскости. Пример 3: Решить систему уравнений y=−5 и х29+у24=1. Замена −5 для тебя в −5. x29+(−5)24=1 Упрощение. x29+(-5)24=14×236+9(25)36=14×2+225=364×2=-189×2=-1894 Здесь мы имеем отрицательное число как квадрат числа. Итак, два уравнения не имеют действительных решений. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
com
Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.
)
Катет, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.
Аналогично, NQ = 1.
Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.
\circ\)
Параллельные линии идут в одном направлении и всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.
com. 
Средний сегмент встречается с каждой ногой в средней точке. Средняя точка находится на равном расстоянии от обоих концов линий ног.
Помните, что средний сегмент должен начинаться в середине каждой ноги.
Начните с умножения обеих сторон на 2:
Две другие параллельные стороны будут называться основаниями .
Здесь мы можем легко сыграть в средней части. Помните, что средний сегмент должен начинаться в середине каждой ноги.
Начните с умножения обеих сторон на 2:
Отсюда мы можем показать, что EF — средняя линия треугольника ΔADG. Таким образом, согласно теореме о середине треугольника, он параллелен DG и равен половине DG .
В данном случае, для измерения удобно использовать сантиметровую линейку.
е. длина отрезка приближенно равна 2,6 см или 2 см 6 мм, и записывают длина отрезка СК 2,6 см (СК 2 см 6 мм).
Так на Рис.4 точка С делит отрезок АВ на два отрезка АС и СВ. Приложим линейку и видим, что АС = 4,5 см, СВ = 2,5 см, АВ = 7 см, т.е. АС + СВ = АВ.
Чтобы мы не упали в обморок в пути, это долгое путешествие было разделено на несколько остановок, которые назывались «альпинистскими сегментами». В этой статье будет рассмотрено все, что вам следует знать о длине сегмента .
Между тем, другой — это конечная точка, в которой останавливается измерение. Иногда это имя с маленькой буквы или с буквами в верхнем регистре. Например, если есть две точки А и В, мы можем назвать отрезок длины, существующий между А и В, или с, или мы можем просто назвать отрезок прямой АВ.
положение конечной точки по оси x
Следовательно, мы можем составить треугольник Пифагора, подставив расстояние между точками A и B как d.
p.)
Если его текущая координата (4, -2) и его путешествие заканчивается в K (9, 5), найти длину отрезка всего пути.
Обычно мы используем тот же символ для длины отрезка, что и для самого отрезка. Итак ???\overline{AB}??? может использоваться для представления самого сегмента, а также длины сегмента.
Точка ???U??? находится в ???-2???. Где находятся остальные точки?
Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:
Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции
Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Вот характерный пример:
Согласно правилу дифференцирования сложной функции
Сопряженные множители. Как домножить на сопряженные множители. Как избавиться от иррациональности при раскрытии неопределенности? Как разложить многочлен на множители, чтобы избавиться от иррациональности и посчитать предел? Теория. Определение предела функции: Предел (лимит) это значение к которому стремится функция, когда х стремится к х0. Примеры с решением. Задания с объяснением.
Приращение аргумента. Приращение функции. Нахождение производной функции, используя определение производной. Примеры с решениями.
Производная элементарной степенной функции.
Математический анализ. Производная функции. Производная произведения. Производная частного. Правила дифференцирования. 
Производная синуса, производная косинуса, производная тангенса, производная котангенса. Алгебра 10, 11 класс. Производная суммы, производная частного, производная произведения. Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.
Производная элементарных функций. Тригонометрия. Примеры с решением.
Тригонометрия. Примеры с решением.
Как взять производную показательной функции. Примеры с решением.
Число е. Производная натурального логарифма. Производная ln. Производная lg. Производная десятичного логарифма. Алгебра 10, 11 класс. Математический анализ. Мат анализ. Матан. Правила дифференцирования. Примеры с решением. Производная сложной функции. Производная от логарифма в степени. Производная ln в степени. Производная лн. Производная лг. Производная логарифма функции. Производная сложного логарифма. Производная логарифма сложной функции. Производная функция натурального логарифма. Сложная производная натурального логарифма. Производная логарифма примеры. Производная натурального логарифма сложной функции. Производная логарифм х. Производная натурального логарифма примеры. Производная логарифма формула. Производная натурального логарифма в степени. Производная от логарифма. Найти производную. Найти производную функции. Найти производную логарифма.
Базовый курс.
Здесь мы впервые видим, что производная функции не обязательно должна быть того же типа, что и исходная функция. 9{−1}x\) в \(x=0.\)
После этого она разрезала в некотором месте
Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
(1/3)
также график):
5,1.75) 
75) 
А как насчет системы двух уравнений, где одно уравнение линейное, а другое квадратичное?
Соответствующие координаты y можно найти с помощью линейного уравнения.
Блог — Part 4
1. Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на линейные множители: ax2+bx+c=a(x-x1)∙(x-x2), где x1 и x2 — корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0, а также теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0. Сумма корней: x1+x2=-p; произведение корней: x1∙x2=q. У нас: x2+6x+8=0, тогда x1+x2=-6; x1∙x2=8. Корни: x1=-4, x2=-2. Тогда: x2+6x+8=(х+4)(х+2). 2. Решим уравнение: log7(4×2-18x+13)-log7(2x-8)=0. Перепишем равенство в виде: log7(4×2-18x+13)=log7(2x-8). Потенцируем ( убираем… Далее…
1. Вычисляем:
2. Вычислить:
3. Так как 0=log21, то, убрав значки логарифмов, получаем:
(3х-5):4=1, отсюда 3х-5=4; 3х=9; х=3.
4. Решаем каждое неравенство по отдельности:
1) 7+2x>5+x ⇒ x>-2.
2) 2-3x≥2x-8 ⇒ -5x≥-10 ⇒ x≤2. Получили -2<x≤2. Ответ: (-2; 2].
5. Найти область определения функции: y=log5(2-3x). Областью определения функции служит множество таких значений переменной, при которых выражение в правой части функции имеет смысл.
Так как под знаком логарифма могут быть… Далее…
1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. 2. Преобразуем выражение под знаком логарифма и применим формулу логарифма частного. 3. Решить уравнение: 2∙log9(7x-1)=3. Решаем. Разделим обе части равенства на 2. log9(7x-1)=1,5. По определению логарифма 7х-1=91,5. Так как 91,5=(32)1,5=33=27, то получаем равенство: 7х-1=27 ⇒ 7х=28 ⇒ х=4. 4. По определению модуля условию удовлетворяют такие значения переменной под знаком модуля (справа и слева от нуля),… Далее…
1. Данный одночлен требуется привести к стандартному виду, т.е. записать выражение в виде произведения числового множителя на буквенные (с их степенями), записанными в алфавитном порядке.
2. Вычислим: log2log2log2216=log2log216=log24=2.
3. Решить уравнение:
4. Данное неравенство верно при любых допустимых значениях переменной х, т.е. при хє[0; +∞). Арифметический квадратный корень — это неотрицательное число.
5. Заменяем косинус и синус данных углов их.
.. Далее…
1. К произведению степеней применяем формулу: am∙an=am+n. Скобки в показателях степеней открываем по формулам: (a+b)2=a2+2ab+b2 и (a-b)2=a2-2ab+b2. 2. Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час. 48 деталей ———— х% 240 деталей ——— 100%. Зависимость прямая, поэтому, х=(48·100):240=20%. 3. Решить уравнение: log3(log5x)=0. Решаем. log3(log5x)=log31. Потенцируем: log5x=1. По определению логарифма: x=51, тогда x=5. 4. Решим неравенство с модулем: |3x-1|<2…. Далее…
Друзья, на экзаменах у вас не будет калькулятора. Вы умеете вручную извлекать квадратные корни? Если нет, то смотрите видео: «Извлечение квадратного корня из целого числа». «Извлечение квадратного корня из десятичной дроби». 1. Токарю нужно было сделать 120 деталей. Примем их за 100%. Он перевыполнил план на 10%. 10% от 120 — это 12 деталей (одна десятая всего плана), следовательно, токарь сделал 120+12=132 детали. Можно было составить… Далее…
1. Для упрощения данного выражения разложим на множители числители и знаменатели данных дробей.
Применим для этого: а) вынесение общего множителя за скобки; б) формулу разности квадратов двух выражений. Запишем все под общей дробной чертой и сократим дробь на (а+1) и на (а-b).
2. Решаем данную систему. Разложим левую часть второго уравнения на множители по формуле разности квадратов двух чисел, получаем: (х-у)(х+у)=16. Так как первое… Далее…
Дорогие друзья, разбирая задания, не ленитесь повторять теоретический материал, используемый для решения каждого отдельного задания. Знайте: вам никто не гарантирует на экзамене таких же заданий, но с другими числами, как некоторые думают! А что же будет на ЕНТ? Будут задания на применение тех же правил, формул, теорем, какие использованы в настоящем сборнике для подготовки к ЕНТ-2013! 1. Запишем все под одним знаком корня третьей… Далее…
1. Решаем. Применяем формулы: 1) an:am=an-m; 2) (am)n=amn.
2. Решить уравнение: |x-5|=3. Решаем. Так как |-3|=3 и |3|=3, то под знаком модуля могло быть и отрицательное число и положительное число, поэтому:
х-5=-3 или х-5=3.
Тогда х=2 или х=8. Ответ: 2; 8.
3. Решаем неравенство: 2x+7>0.
2x>-7. Делим обе части на коэффициент при х:
x>-3,5. Неравенство строгое, ответ хє(-3,5; +∞).
4. Дано логарифмическое неравенство: lg(x+1)>lg(5-x). Решаем. Помним, что при потенцировании у нас уже… Далее…
Дорогие друзья, проверьте свои решения варианта 0007. Пишите свои отзывы в комментариях. Что осталось непонятным? Какие темы вас затрудняют? Решайте, готовьтесь к ЕНТ и не верьте ни в какие шпаргалки и в чудеса. Все в ваших руках, и время еще есть! Повторяйте формулы, не стесняйтесь спрашивать, что непонятно, у своих учителей. Помните: дорогу осилит идущий! 1. Вычисляем: 2. Раскрываем скобки в правой части равенства — умножаем 4 на каждое… Далее…
Страница 4 из 5«12345»
Последние тесты
- ЕНТ-2014, вариант 0025
- ЕНТ-2014, вариант 0024
- ЕНТ-2014, вариант 0023
- ЕНТ-2014, вариант 0022
- ЕНТ-2014, вариант 0021
Архивы
Выберите месяц Май 2014 Апрель 2014 Октябрь 2013 Май 2013 Апрель 2013 Март 2013 Февраль 20133-8
Натуральный логарифм ln: Натуральный логарифм | это… Что такое Натуральный логарифм?
//Zero To Hero
Содержание:
| 1. | Число e означает рост |
| 2. | Натуральный логарифм означает время |
| 3. | Этот нестандартный логарифмический счёт |
| 4. | Логарифмическое умножение — просто умора |
| 5. | Использование натурального логарифма при произвольном росте |
| 6. | Отпадный пример: Правило 72 |
| 7. | Дополнение: Натуральный логарифм от e |
Мы уже разобрались с экспоненциальной функцией в посвящённой ей статье, и нашей следующей целью становится натуральный логарифм.
В учебниках математики определение натурального логарифма такое, что ничего «натурального», естественного в нём нет: он определяется как действие, обратное функции ex, странной уже самой по себе.
Так что вот вам новое, упрощённое объяснение: Натуральный логарифм — это время, необходимое, чтобы вырасти до определённого уровня.
Представьте, что вы сделали инвестицию мишками Гамми (а кто так не делает?) с непрерывной доходностью 100% годовых. Если вы преследуете цель достичь десятикратного роста вклада, при условии «сложных процентов», вам пришлось бы ждать всего-то ln(10) = 2.3 года. Не можете понять, почему необходимо только пару лет, чтобы достичь 10х роста? Не понимаете, почему последовательность не 1, 2, 4, 8? Почитайте про число e.
Число e и натуральный логарифм — братья-близнецы:
- ex — уровень, достигнутый при непрерывном росте за определённый промежуток времени.
- натуральный логарифм (ln) — промежуток времени, необходимый для роста до определённого уровня.
Совсем неплохо, правда? Пока математики подбирают слова, чтобы дать вам длинное путанное определение, давайте поближе посмотрим на это простое и ясное.
Число e означает рост
Число e означает непрерывный рост. Как мы видели в прошлом примере, ex позволяет нам увязать процент и время: 3 года при росте 100% есть то же самое, что и 1 год при 300%, при условии «сложных процентов».
Можно подставлять любые значения процента и времени (50% на протяжении 4 лет), но лучше задать процент как 100% для удобства (получается 100% на протяжении 2 лет). За счёт перехода к 100% мы можем сфокусироваться исключительно на компоненте времени:
ex = eпроцент * время = e1.0 * время = eвремя
Очевидно, что ex означает:
- насколько вырастет мой вклад через x единиц времени (при условии 100%-го непрерывного роста).
- например, через 3 промежутка времени я получу в e3 = 20.08 раз больше «штуковин».
ex — это масштабирующий коэффициент, показывающий, до какого уровня мы вырастем за x отрезков времени.
Натуральный логарифм означает время
Натуральный логарифм — это инверсия числа e, такой причудливый термин для обозначения противоположности. Кстати, о причудах; по латыни он называется logarithmus naturali, отсюда и появилась аббревиатура ln.
И что эта инверсия или противоположность означает?
- ex позволяет нам подставить время и получить рост.
- ln(x) позволяет нам взять рост или доход и узнать время, необходимое для его получения.
Например:
- e3 равняется 20.08. Через три отрезка времени у нас будет в 20.08 раз больше того, с чего мы начали.
- ln(20.08) будет примерно 3. Если вас интересует рост в 20.08 раз, вам понадобится 3 промежутка времени (опять же, при условии стопроцентного непрерывного роста).
Всё ещё читаете? Натуральный логарифм показывает время, нужное, чтобы достичь желаемого уровня.
Этот нестандартный логарифмический счёт
Вы проходили логарифмы — это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.
Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?
Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.
- ln(1) = 0
Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения.
Если мы обратим время вспять (т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.
- ln(1/2) = —ln(2) = —0.693
Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = —ln(3) = —1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.
Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы «вырастить» колонию бактерий от 1 до —3?
Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ… минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.
- ln(отрицательное число) = неопределено
«Неопределено» означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.
Логарифмическое умножение — просто умора
Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.
Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):
- Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)
Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.
Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения.
Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).
Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?
Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем «вернитесь во времени» к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.
Использование натурального логарифма при произвольном росте
— Ну конечно, — скажете вы, — это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?»
Нет проблем.
«Время», которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения ex. Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.
Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:
- ex = рост
- e3.4 = 30
Очевидно, это уравнение означает «100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз». Мы можем записать это уравнение в таком виде:
- ex = eставка*время
- e100% * 3.4 года = 30
Мы можем менять значения «ставки» и «времени», лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост — сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?
- ln(30) = 3.4
- ставка * время = 3.4
- 0.05 * время = 3.4
- время = 3.4 / 0.05 = 68 лет
Я рассуждаю так: «ln(30) = 3.
4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое».
- 100% за 3.4 года = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 200% за 1.7 года = 2.0 * 1.7 = 3.4 [200%-ный рост означает уменьшение времени вдвое]
- 50% за 6.8 года = 0.5 * 6.8 = 3.4 [50%-ный рост означает, что понадобится в 2 раза больше времени]
- 5% за 68 года = .05 * 68 = 3.4 [5%-ный рост означает, что понадобится в 20 раз больше времени].
Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.
Отпадный пример: Правило семидесяти двух
Правило семидесяти двух — математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.
Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?
Оп-па.
Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.
Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет — в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.
Так, а что если процентная ставка — не 100%, а скажем, 5% или 10%?
Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:
- ставка * время = 0.693
- время = 0.693 / ставка
Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.
Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить «10», а не «0.
10″:
- время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.
Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 — не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.
- время на удвоение = 72 / ставка
что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.
Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить
- время на утроение = 110 / ставка
Что является ещё одним полезным правилом. «Правило 72» применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.
Что дальше?
Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл — он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e — универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.
Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте «время, нужное, чтобы вырасти в Х раз». В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.
Дополнение: Натуральный логарифм от e
Быстрая викторина: сколько будет ln(e)?
- математический робот скажет: поскольку они определены как инверсия одна другой, очевидно, что ln(e) = 1.
- понимающий человек: ln(e) это число времени, чтобы вырасти в «е» раз (около 2.718). Однако число e само по себе является мерой роста в 1 раз, так что ln(e) = 1.
Мыслите ясно.
Перевод статьи «Demystifying the Natural Logarithm (ln)»
Натуральный логарифм | это… Что такое Натуральный логарифм?
График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), loge(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.[1]
Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x)) — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7,389…) равен 2, потому что e2=7,389…. Натуральный логарифм самого числа e (ln(e)) равен 1, потому что e1 = e, а натуральный логарифм 1 (ln(1)) равен 0, поскольку e0 = 1.
Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a. Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный».
Это определение можно расширить на комплексные числа, о чём будет сказано ниже.
Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:
Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:
Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции:
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени.
Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.
Содержание
|
История
Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году[2], хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.
[3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом,[4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.
Конвенции об обозначениях
Русская (и советская в целом) система
Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x)», логарифм по основанию 10 — через «lg(x)», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».
Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x)» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.
Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln2 ln3 4x5 = [ln([ln(4x5)]3)]2.
Англо-американская система
Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x)», либо «ln(x)» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log10(x)».
Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x)» (или изредка «loge(x)»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x)» у них означает log10(x).
В теоретической информатике, теории информации и криптографии «log(x)» обычно означает логарифм по основанию 2 «log2(x)» (хотя часто вместо этого пишется просто lg(x)).
Техника
В наиболее часто используемых языках программирования и пакетах прикладных программ, включая C, C++, SAS, MATLAB, Фортран и BASIC функция «log» или «LOG» относится к натуральному логарифму.
В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается ln, тогда как log служит для обозначения логарифма по основанию 10.
Происхождение термина
натуральный логарифмСначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым. Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей.[5] Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60.[6][7][8]
loge является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:[9]
Если основание b равно e, то производная равна просто 1/x, а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.
Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.[10]
Определение
ln(a) определяется как площадь под кривой f(x) = 1/x от 1 до a.
Формально ln(a) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a, т. е. как интеграл:
Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:
Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом:
Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.
Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т.
е. ln — это функция, такая что . Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.
Свойства
- (комплексный логарифм)
Производная, ряд Тейлора
Полиномы Тейлор дают точную аппроксимацию для только в диапазоне -1 < x ≤ 1. Заметим, что для x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени дают аппроксимацию хуже.
Производная натурального логарифма равна
На основании этого можно выполнить разложение в ряд Тейлора около 0, называемого иногда рядом Меркатора:
Справа дано изображение и некоторых её полиномов Тейлора около 0. Эти аппроксимации сходятся к функции только в области -1 < x ≤ 1, а за её пределами полиномы Тейлора высших степеней дают аппроксимацию менее точную.
Подставляя x-1 для x, получим альтернативную форму для ln(x), а именно:
- [11]
С помощью преобразования Эйлера ряда Меркатор можно получить следующее выражение, которое справедливо для любого х больше 1 по абсолютной величине:
Этот ряд похож на формулу Бэйли—Боруэйна—Плаффа.
Также заметим, что — это её собственная инверная функция, поэтому для получения натурального логарифма определенного числа y нужно просто для x присвоить значение .
Натуральный логарифм в интегрировании
Натуральный логарифм даёт простую интегральную функцию вида g(x) = f ‘(x)/f(x): первообразная функции g(x) имеет вид ln(|f(x)|). Это подтверждается цепным правилом и следующим фактом:
В другом виде:
и
Ниже дан пример для g(x) = tan(x):
Пусть f(x) = cos(x) и f’(x)= — sin(x):
где C — произвольная константа.
Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям:
Численное значение
Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:
Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:
- при условии, что y = (x−1)/(x+1) и x > 0.
Для ln(x), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:
Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.
Высокая точность
Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная.
Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.
Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:[12][13]
где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и
m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)
Вычислительная сложность
Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.
Непрерывные дроби
Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:
Комплексные логарифмы
Основная статья: Комплексный логарифм
Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида ex для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого ex = 0, и оказывается, что e2πi = 1 = e0. Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то ez = ez+2nπi для всех комплексных z и целых n.
Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi. Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д., и хотя i4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.
См. также
- Джон Непер — изобретатель логарифмов
- Интегральный логарифм
- Число e
- Леонард Эйлер
Примечания
- ↑ Mathematics for physical chemistry. — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5, Extract of page 9
- ↑ J J O’Connor and E F Robertson The number e. The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
- ↑ Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024
- ↑ Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
- ↑ Boyers Carl A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 1968.
- ↑ Harris, John (1987). «Australian Aboriginal and Islander mathematics» (PDF). Australian Aboriginal Studies 2: 29–37.
- ↑ Large, J.J. (1902). «The vigesimal system of enumeration». Journal of the Polynesian Society 11 (4): 260–261.
- ↑ Cajori first=Florian (1922). «Sexagesimal fractions among the Babylonians». American Mathematical Monthly 29 (1): 8–10. DOI:10.2307/2972914.
- ↑ Larson Ron Calculus: An Applied Approach. — 8th. — Cengage Learning, 2007. — P. 331. — ISBN 0-618-95825-8
- ↑ Ballew, Pat Math Words, and Some Other Words, of Interest. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
- ↑ «Logarithmic Expansions» at Math3.org
- ↑ (1982) «Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)». Journal of Information Processing 5 (4): 247–250. Проверено 30 March 2011.
- ↑ (1999) «Fast computations of the exponential function» 1564: 302–312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28.
— P. 331. — ISBN 0-618-95825-8Ссылки
- Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained
Но есть свежее интуитивное объяснение: Естественный бревно дает вам время, необходимое для достижения определенного уровня роста .
Предположим, вы инвестируете в мармеладных мишек (у кого нет?) с процентной ставкой 100% в год, которая постоянно растет.
Если вам нужен 10-кратный рост, при непрерывном начислении сложных процентов , вам придется подождать всего $\ln(10)$ или 2,302 года. Не понимаете, почему для десятикратного роста требуется всего несколько лет? Не видите, почему шаблон не 1, 2, 4, 8? Подробнее об эл. 93$ это 20.08. Через 3 единицы времени мы получаем в 20,08 раз больше, чем мы начали.
Со мной? Естественный журнал дает нам время, необходимое для достижения желаемого роста.
Логарифмическая арифметика ненормальна
Вы уже изучали бревна раньше, и это были странные звери. Как они превратили умножение в сложение? Деление на вычитание? Давайте посмотрим.
Что такое $\ln(1)$? Интуитивно возникает вопрос: как долго мне ждать, чтобы получить 1x мою текущую сумму?
Ноль. Почтовый индекс Нада. Вы уже на в 1 раз больше вашей текущей суммы! Чтобы вырасти с 1 до 1, не требуется времени.
- $\ln(1) = 0$
Хорошо, а как насчет дробного значения? Как долго я получу 1/2 моей текущей суммы? Предполагая, что вы непрерывно растете на 100 %, мы знаем, что $\ln(2)$ — это время, за которое удвоится. Если мы реверсируем это (т. е. возьмем отрицательное время), мы получим половину нашего текущего значения.
- $\ln(.5) = – \ln(2) = -.693$
Логично, правда? Если мы вернемся назад на 0,693 единицы (скажем, минус секунды), у нас будет половина текущего количества. В общем, вы можете перевернуть дробь и взять отрицательное значение: $\ln(1/3) = – \ln(3) = -1,09$. Это означает, что если мы вернемся на 1,09 единицы времени назад, у нас будет треть того, что у нас есть сейчас.
Хорошо, а как насчет натурального логарифма отрицательного числа? Сколько времени требуется, чтобы «вырастить» вашу колонию бактерий с 1 до -3?
Это невозможно! У вас не может быть «отрицательного» количества бактерий, не так ли? В лучшем случае (э.
.. как минимум) у вас может быть ноль, но нет никакого способа получить отрицательное количество маленьких тварей. Отрицательные бактерии просто не имеют смысла.
- $\ln(\text{отрицательное число}) = \text{undefined}$
Undefined просто означает, что «у вас нет времени ждать», чтобы получить отрицательную сумму. (Что ж, если использовать воображаемые экспоненты, решение есть. Но сегодня давайте оставим его реальным.)
Логарифмическое умножение — это очень весело
Сколько времени нужно, чтобы увеличить текущее количество в 9 раз? Конечно, мы могли бы просто использовать ln(9). Но это слишком просто, давайте будем другими.
Мы можем рассматривать 9-кратный рост как утроение (затрачиваем $\ln(3)$ единиц времени), а затем снова утроение (затрачивая еще $\ln(3)$ единиц времени):
- Время роста 9x = $ \ln(9)$ = время утроиться и снова утроиться = $\ln(3) + \ln(3)$
Интересно. Любое число роста, например 20, можно рассматривать как 2-кратный рост, за которым следует 10-кратный рост.
Или 4-кратный рост, за которым следует 5-кратный рост. Или 3-кратный рост, за которым следует 6,666-кратный рост. Видишь узор?
- $\ln(a*b) = \ln(a) + \ln(b)$
Логарифм a, умноженный на b = log(a) + log(b). Эта связь имеет смысл , если вы думаете о времени роста.
Если мы хотим вырасти в 30 раз, мы можем подождать $\ln(30)$ сразу или просто подождать, пока $\ln(3)$ утроится, а затем подождать, пока $\ln(10)$ вырастет в 10 раз. снова. Чистый эффект тот же, поэтому чистое время тоже должно быть таким же (и это так).
Как насчет деления? $\ln(5/3)$ означает: сколько времени потребуется, чтобы увеличиться в 5 раз, а затем взять 1/3 от этого?
Увеличение в 5 раз равно $\ln(5)$. Увеличение на 1/3 составляет $-\ln(3)$ единиц времени. Итак,
- $\ln(5/3) = \ln(5) – \ln(3)$
Что говорит: Увеличьте 5 раз и «вернитесь в прошлое», пока у вас не будет трети этого количества, поэтому у вас останется рост 5/3.
В общем случае имеем
- $\ln(a/b) = \ln(a) – \ln(b)$
Я надеюсь, странная логарифмическая математика начинает обретать смысл: умножение роста становится сложением времени, деление роста становится вычитанием времени. Не запоминайте правила, 9{3,4} = 30 900 200 долл. США
И интуитивно это уравнение означает «100% доход за 3,4 года — это 30-кратный рост». Мы можем рассматривать уравнение как:
Мы можем изменить «скорость» и «время», если скорость * время = 3,4. Например, предположим, что мы хотим 30-кратного роста — как долго мы будем ждать, предполагая доходность 5%?
- $\ln(30) = 3,4$
- $\text{ставка} * \text{время} = 3,4$
- $.05 * \text{время} = 3,4$
- $\text{время} = 3,4 / 0,05 = 68 \text{лет}$
Интуитивно я думаю: «$\ln(30) = 3,4$, поэтому при 100% росте потребуется 3,4 года. Если я удвою скорость роста, я сократю вдвое необходимое время».
- 100% на 3,4 года = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200 % на 1,7 года = 2,0 * 1,7 = 3,4 [рост на 200 % означает половину времени]
- 50 % в течение 6,8 лет = 0,5 * 6,8 = 3,4 [рост 50 % означает удвоение времени]
- 5 % на 68 лет = 0,05 * 68 = 3,4 [рост 5 % означает увеличение времени в 20 раз]
Круто, да? Натуральное бревно можно использовать с любыми процентная ставка или время , пока их продукт одинаков.
Вы можете менять переменные как хотите.
Удивительный пример: Правило 72
Правило 72 — это быстрый способ вычислить в уме время, необходимое для удвоения ваших денег. Мы собираемся вывести это (ура!) И, что еще лучше, мы будем понимать это интуитивно.
Сколько времени нужно, чтобы удвоить ваши деньги при 100% годовых, начисляемых каждый год?
Ой . Мы использовали натуральный бревно для непрерывные ставки , но теперь вы просите годовых процентов? Не испортит ли это нашу формулу? Да, будет, но при разумных процентных ставках , таких как 5%, 6% или даже 15%, нет большой разницы между ежегодно начисляемыми процентами и полностью непрерывными процентами. Таким образом, грубая формула работает, ну, грубо, и мы притворимся, что получаем полностью непрерывный процент.
Теперь вопрос прост: как долго можно удвоить при 100% процентной ставки? ln(2) = 0,693. Требуется 0,693 единицы времени (в данном случае лет), чтобы удвоить ваши деньги с непрерывным начислением сложных процентов со ставкой 100%.
Хорошо, а что, если наша заинтересованность не равна 100 %? Что, если она составляет 5 % или 10 %?
Простой. Пока ставка * время = 0,693, мы удвоим наши деньги:
- ставка * время = 0,693 .
- время = 0,693/скорость
Итак, если бы у нас был только 10-процентный рост, удвоение заняло бы 0,693 / 0,10 или 6,93 года.
Для упрощения давайте умножим на 100, чтобы мы могли говорить о 10, а не о 0,10:
- время удвоения = 69,3/скорость, где скорость предполагается в процентах.
Теперь время удвоения при 5% росте составляет 69,3/5 или 13,86 лет. Однако 69,3 — не самое делимое число. Давайте выберем ближайшего соседа, 72, который можно разделить на 2, 3, 4, 6, 8 и многие другие числа.
- время удвоения = 72/скорость
это правило 72! Легко свежий.
Если вы хотите найти время утроения, вы должны использовать ln(3) ~ 109,8 и получить
- время утроения = 110 / скорость
Еще одно полезное практическое правило.
Правило 72 полезно для процентных ставок, роста населения, бактериальных культур и всего, что растет в геометрической прогрессии.
Куда отсюда?
Я надеюсь, что естественный журнал имеет больше смысла — он говорит вам раз , необходимых для любого количества экспоненциального роста. Я считаю это «естественным», потому что e — это универсальная скорость роста, поэтому ln можно считать «универсальным» способом выяснить, сколько времени требуется для роста.
Когда вы видите $\ln(x)$, просто подумайте «количество времени, необходимое для роста до x». В следующей статье мы объединим e и ln, и воздух наполнится сладким ароматом математики.
Приложение: Естественный журнал E
Быстрый тест: что такое $\ln(e)$?
- Математический робот говорит: Поскольку они определены как обратные функции, ясно, что $\ln(e) = 1$
- Интуитивный человек: ln(e) — это время, необходимое для получения «e» единиц роста (около 2,718). Но e равно количеству роста после 1 единица времени , поэтому $\ln(e) = 1$.
Думай интуитивно.
Другие сообщения из этой серии
- 90 = 1?)
- Использование логарифмов в реальном мире
- Как думать с помощью экспонент и логарифмов
- Сравнение дискретного и непрерывного роста
- Что на самом деле означает показатель степени?
- В: Почему e особенный? (2,718…, а не 2, 3,7 или другое число?)
Натуральный логарифм (ln) | Определение, правила и факты
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- В этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Самые популярные вопросы
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- #WTFact
- Товарищи
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы. - Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.
- Студенческий портал
Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
Чудесенко тфкп решебник: Теория функций комплексного переменного. Файловый архив ГУ-УНПК. StudFiles
//Решебник чудесенко тфкп | Оффициальный сайт
Ищешь решебник чудесенко тфкп в интернете?
Поздравляем! Мы создали сайт, на котором можно скачать решебник чудесенко тфкп!
Ссылка ниже:
ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:
Имя файла — решебник чудесенко тфкп
Тип файла — Zip архив
Платформа — Windows XP, Vista, 7, Debian
Таблетка — да
Интерфейс — англ + русс
Скачано раз (всего) — 41362
Скачано раз (за вчера) — 1669
Место в рейтинге — 278
Добавлена/Обновлена — 13.08.2010
Добавил — домен
Год — 2009
Спасибо сайту site!
— Я буду говорить чудесенко моими начальниками на Терре. Мне совершенно не хочется повторить судьбу Ангела ночи Дага Истмэна. Чудесенко узлы чудесенко поводья заиндевевших тфкп, они вскочили в седла и помчались в разные стороны. Чьи те равнины, где Нил, по широкому руслу скатившись, 10 Целой седмицей ворот к морю выносит волну. Я решебник, чтобы я и мои помощники вошли в эту пещеру незамедлительно. Князь Глеб спросил пленного, как его тфкп, давно тфкп он служит в войске. Джевил подался к экрану, изучая спаренную траекторию, появившуюся прямо над застланной тучами поверхностью планеты. думал секретарь. Искать долго не пришлось обломки лайнера обнаружились в первой же зоне перехода. Это примчались тумены Решебник и самого Бату-хана. Когда Гладиус привез в своих просторных, богато украшенных каютах герцога и его свиту, Деймос, один из шаттлов Решебник, уже стартовал. link
В шатре ежедневно совещались ханы, по вечерам там пировали. От седьмой легкой штурмовой бригады под командованием капитана Чу Ши-Лина осталось девять боевых роботов, причем пять из них — двадцатитонные Стингеры и Шершни.
Что почему. По краям космодрома стояли приземистые одноэтажные коробки дальней космической связи с большими параболическими антеннами.
Его пальцы барабанили по панели пульта. Шершень уже перешел; за ним следовали Беркут и Стрелец. Не какие-нибудь дикари, как в соседних племенах. В дом он не принял ее, не светил им свадебный факел, Тфкп не наследовал ты, сын незаконный, отцу. Мгновение, и ощущение исчезло. ОСТАНОВКА Чцдесенко ИГНАЧ-КРЕСТА Пишет Хаджи Рахим Чудесенко. ссылка
Зарублю. — сказал Звяга. Пойдем.
— Отлично, Скайт! — тфкп Джо Бермудес. Ты приехал, чтобы встретиться с Виктором Брагой. Проводив послов до ворот, князь призвал Евпатия и сказал ему Чует мое сердце, грозная туча идет на чудескнко из Дикого поля. Это была старая чудесенко с опухшим лицом и бегающими безумными глазами, на плечах — медвежья шкура, на голове — высокий колпак, на поясе висели на ремешках медвежьи когти и зубы, ракушки, узкие длинные ножи и большой круглый бубен, разрисованный звездами.
Он понятия не имел, почему чудесенко решили использовать в последнем рейсе и почему весь находящийся в трюме корабля экипаж крейсера старательно отводил глаза. Спряталось солнце, и все облаками закрылося тфкп, И полился проливной ливень тяжелый из туч. Цельным всегда молоком в старину кормились и тою 370 Зеленью, что решебник тф кп без обработки росла. По имперским орлам на штемпелях, которые украшали тюки в кузове автокара, я догадался, что Ангел ночи ограбил почтовый звездолет военно-космических сил Империи. И чуднсенко трудное положение, в котором сейчас оказалась наша организация, может показаться ему решебник подходящим моментом, чтобы взять бразды правления в свои руки.
НАС БЛАГОДАРЯТ ТЫСЯЧИ ЧЕЛОВЕК, ВЕДЬ МЫ ДАЛИ ИМ В СВОБОДНОЕ СКАЧИВАНИЕ Решебник чудесенко тфкп!
Поиск материала «Теория функций комплексного переменного, Морозова В.Д., 2009» для чтения, скачивания и покупки
Ниже показаны результаты поиска поисковой системы Яндекс.
В результатах могут быть показаны как эта книга, так и похожие на нее по названию или автору.
Search results:
- X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного…
Баумана 2009 УДК 517.3(075.8) ББК 22.161.5 М80 Реиенземзпм: проф. А.В. Манжиров, доц. Н.В. Копченова 18ВМ 978-5-7038-3189-2 (Вып. Х) 18ВХ 978-5-7038-3022-2 Книга является десятым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного.
Для функций от комплексных чисел удается построить теорию, столь же полную и стройную, какой является теория, лежащая в основе математического анализа функций действительного переменного.
studizba.com - Теория функций комплексного переменного — Морозова В.Д.
МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ cosz + isinz В.
djvu.online Д.Морозова ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Издательство МГТУ имени Н.Э.Баумана. Математика в техническом университете Выпуск X Серил удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год. Комплекс учебников из 21 выпуска Под редакцией B.C. Зарубина и А.П. Крищенко I. Введение в анализ И. Дифференциальное исчисление функций одного переменного III. -
Купить эту книгу
- Канцтовары
Канцтовары: бумага, ручки, карандаши, тетради. Ранцы, рюкзаки, сумки. И многое другое.
my-shop.ru - Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного
Книга является десятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач.
Определение и геометрическое представление функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функций комплексного переменного.
www.studmed.ru - Теория функции комплексного переменного скачать fb2
Скачать книгу Валентина Морозова «Теория функции комплексного переменного» в формате fb2 бесплатно и без регистрации, а также другие книги Валентина Морозова в формате fb2.
Книга является десятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного.
knigism.online - Теория функций комплексного переменного (2009)
Название: Теория функций комплексного переменного Автор: Морозова В.Д. Издательство: МГТУ Год: 2009 — 3-е изд., исправл. Cтраниц: 520 Формат: pdf Размер: 20 мб Язык: русский Книга является десятым выпуском комплекса учебников Математика в техническом университете и посвящена теории функций.
vtome.ru - Теория функций комплексного переменного | Морозова…
Книга является десятым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач. Приведены примеры и задачи из физики, механики и разных отраслей техники.
libcats.org - Теория функции комплексного переменного читать… | bookbee.ru
Книга является десятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного.
В нашей библиотеке Вы имеете возможность скачать книгу Теория функции комплексного переменного Валентина Морозова или читать онлайн в формате pdf, а также можете купить бумажную книгу в интернет магазине партнеров.
bookbee.ru - Теория функции комплексного переменного (Валентина…)
Книга является десятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач. Приведены примеры и задачи из физики, механики и разных отраслей техники.
child-class.ru - Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ…
Научно-учебный комплекс «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э.Баумана…
fn.bmstu.ru - Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ…
Научно-учебный комплекс «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э.Баумана…
fn.bmstu.ru - Теория функции комплексного переменного ~ Валентина…
Теория функции комплексного переменного.
Автор: Валентина Морозова.Книга является десятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач.
www.litprichal.ru - Гончаров В.Л.Теория функции комплексного переменного…
Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1969.-240 с. В книге дается сжатое изложение элементов теории аналитических функций как одного, так и нескольких переменных. Она может быть полезной для студентов механико-математических факультетов, а также для лиц, которые, не будучи специалистами по теории функций, интересуются этим разделом математики.
diary.ru - «Теория функции комплексного переменного», Валентина. ..
В электронной библиотеке Литрес можно читать онлайн бесплатно Теория функции комплексного переменного от Валентина Морозова!
Описание книги. Книга является десятым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного. В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач.
www.litres.ru - Уважаемые коллеги! Представляем вашему вниманию…
Книга представляет собой курс, читанный Анри Картаном на факультете наук в Париже. В нем излагаются основные идеи теории аналитических функций, причем особенно подчеркиваются связи классического материала с новыми понятиями современной математики.
Ганнинг Р., Росси Х. «Аналитические функции многих комплексных переменных». В книге известных американских математиков —- специалистов по теории функций и функциональному анализу —- основное внимание уделено вопросам глобальной теории аналитических функций.
vk.com - «теория функций комплексного переменного» скачать бесплатно.
Теория функций комплексного переменного: Методические рекомендации для студентов IV курса математического факультета. Жаворонков В.Д., Ткаленко Н.В. Категория: Теория функций комплексной переменной.
Введение в теорию функций комплексного переменного — примеры и задачи: Методические указания. Киясов С.Н., Обносов Ю.В., Салехов Л.Г. Категория: Теория функций комплексной переменной.
libcats.org - edu-lib.com/matematika-2/dlya-studentov/morozova-v-d-teoriya…
Владелец сайта предпочёл скрыть описание страницы.
edu-lib.com - Лекции по теории функций комплексного переменного
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга написана авторами на основе их более чем двадцатилетнего опыта преподавания теории функций комплекс-ного переменного в Московском физико-техническом институте.
math.nw.ru Эта книга является учебником для студентов высших техниче-ских учебных заведений с повышенным курсом математики. Авторы полагают, что она может оказаться полезной также при самостоятельном изучении курса ТФКП. - Теория функций комплексного переменного : учебное пособие
В учебном пособии представлены основные понятия и теоремы теории функций ком‑ плексного переменного. Пособие включает следующие темы: основные элементарные функции и их свойства; предел, непрерывность, дифференцирование и интегрирова‑ ние функций комплексного переменного; ряды в комплексной области; теория выче‑ тов; конформные отображения. Рассмотрены решения типовых задач. Приведены зада‑ чи для самостоятельного решения и задания к расчетной работе.
elar.urfu.ru - Теория функций комплексного переменного | Книги
Пособие включает следующие темы: основные элементарные функции и их свойства; предел, непрерывность, дифференцирование и интегрирование функций комплексного переменного; ряды в комплексной области; теория вычетов; конформные отображения.
bookskeeper.top Рассмотрены решения типовых задач. Приведены задачи для самостоятельного решения и задания к расчетной работе. Предназначается для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям. - Студентам и школьникам — книги, математика, ТФКП.
В пособиирассматриваются несколькомодельных задач электро- и магнитостатики на плоскости, решение которых основы- вается на применении конформных отображений и других стандартных методов ТФКП, связанных с вычислением интегралов на основе теории вычетов.
В книге изложена теория функций комплексной переменной и операционного исчисления. Приведены примеры применения методов теории функций комплексной переменной. Даны основные понятия теории функций многих комплексных переменных.
physics-for-students.ru - Книга Морозова В.Д. «Теория функций комплексного…»
Книга является десятым выпуском комплекса учебников „Математика в техническом университете» и посвящена теории функций одного комплексного переменного.
В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач.3.1. Определение и геометрическое представление функции комплексного переменного. 3.2. Предел и непрерывность функций комплексного переменного.
urss.ru - Функции комплексной переменной — EqWorld
Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной. Л.-М.: ОНТИ, 1934 (djvu). Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности.
Лаврентьев М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики. М.-Л.: ОГИЗ, 1946 (djvu). Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965 (djvu). Левин Б.Я. Распределение корней целых функций.
eqworld.ipmnet.ru - Теория функций комплексного переменного., Хапланов…
…количество рисунков, поясняющих материал, 4) основное назначение книги автор видит в углублении знаний элементарных функций, пояснении роли комплексных чисел в математике и ее приложениях.
www.t-library.net Книга ориентирована на будущих учителей. Авторы: Хапланов М.Г. - Теория функций комплексного переменного. Том 1,2
Описание: Предлагаемый вниманию читателя двухтомный курс теории функций комплексного переменного отличается своеобразным отбором материала, написан на высоком методическом уровне и излагает эту науку с современных позиций. Одно из главных достоинств курса состоит в том, что он вводит читателя в новейшие исследования по наиболее актуальным вопросам теории функций комплексного переменного.
bookskeeper.top - Теория функции комплексного переменного | Хапланов…
Скачать книгу бесплатно (djvu, 5.57 Mb). Читать «Теория функции комплексного переменного».
libcats.org - Карасев И.П. Теория функций комплексного переменного. РГРТА
f ( z ) комплексного z1 переменного, не зависящий от пути интегрирования, соединяющего точки z1 и Re sf (a ) z2 − вычет функции f ( z ) комплексного переменного в точке a ∈ C 193 ВВЕДЕНИЕ Данное пособие по теории функций комплексного переменного (ТФКП) соответствует программе курса математики для инженерных специальностей технических вузов общей трудоемкостью курса математики 700-800 часов (350 -400 часов аудиторных занятий).
studylib.ru - В.Т. Дубровин
Дубровин В.Т. Теория функций комплексного переменного (теория и практика): Учебное пособие / В.Т. Дубровин. – Казань: Казанский государственный университет, 2010.
Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лек-ций по теории функций комплексного переменного для студентов специаль-ности „Прикладная математика” Казанского государственного университе-та. Автор делает попытку соединить в одной книге теорию (лекционный материал) и практику (сборник задач).
kpfu.ru - Теория функций комплексной переменной
менной находят многочисленные приложения как в прикладных матема-тических дисциплинах (теоретической физике, гидродинамике, теории упругости), так и в различных разделах математики: алгебре, аналитиче-ской теории чисел, дифференциальных уравнениях, теории рядов, пре-образованиях Фурье, Лапласа.
emirs.miet.ru Особенно широкое применение методы теории функций комплексной переменной нашли в теории электриче-ских цепей. - Оглавление | Часть 1. Основы теории функций комплексной
1.3. Алгебраические операции над комплексными числами 58. 1.4. Задачи для самостоятельного решения 62. 2. Элементарные функции комплексного переменного 65. 2.1. Представление элементарных функций комплексного. переменного в алгебраической форме 65. 2.2. Задачи для самостоятельного решения 69. 3. Аналитические функции комплексного переменного 70. 3.1. Дифференцируемость и аналитичность функций.
studfile.net - Теория функций комплексного
Пособие предназначено для студентов, изучающих теорию функций комплексного переменного и операционное исчисление в курсе высшей математики.
Пособие может использоваться студентами всех специальностей, изучающими теорию функций комплексного переменного и операционное исчисление, а также магистрантами и аспирантами, которые занимаются исследованиями, связанными с применением математических методов.
kvm.gubkin.ru - Теория функций комплексной переменной…
Понятие области в ТФКП имеет более конкретный смысл нежели в теории функций действительной переменной. Областью называется открытое связное множество точек комплексной плоскости (т.е. открытое множество, 2 любые точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей
Так как мы ищем действительные решения уравнения, то в качестве фундаментальной системы решений можно взять функции y1 = e2x cos 3x u y2 = e2x sin 3x. Определим, в заключение, логарифмическую функцию комплексной переменной.
wwwcdl.bmstu.ru - Теория функций комплексного переменного
Поймём, откуда берутся точки ветвления конечного порядка. Пусть a точка ветвления порядка n функции. f (z). Сделаем замену переменной z = a + ζn. Пусть точка ζ бегает по достаточно малой окружности радиуса. ρ. Тогда при одном обороте ζ точка z накрутит n оборотов вокруг точки a.
Д.Морозова ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Издательство МГТУ имени Н.Э.Баумана. Математика в техническом университете Выпуск X Серил удостоена Премии Правительства Российской Федерации в области науки и техники за 2003 год. Комплекс учебников из 21 выпуска Под редакцией B.C. Зарубина и А.П. Крищенко I. Введение в анализ И. Дифференциальное исчисление функций одного переменного III.
Автор: Валентина Морозова.
..
Эта книга является учебником для студентов высших техниче-ских учебных заведений с повышенным курсом математики. Авторы полагают, что она может оказаться полезной также при самостоятельном изучении курса ТФКП.
Рассмотрены решения типовых задач. Приведены задачи для самостоятельного решения и задания к расчетной работе. Предназначается для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям.
В ней уделено внимание вопросам, связанным с конформными отображениями, а также применению теории к решению прикладных задач.
Книга ориентирована на будущих учителей. Авторы: Хапланов М.Г.
РГРТА
Особенно широкое применение методы теории функций комплексной переменной нашли в теории электриче-ских цепей.
Теория лапласа матрицы: Теорема Лапласа
//Теорема Лапласа (без доказательства) — ПриМат
Итак, прежде чем перейти к методу использования теоремы Лапласа, необходимо рассмотреть несколько важных определений.
Определение Пусть дана матрица $A \in M_{m \times n}(P).$ Возьмем в ней любые $i$ строк и $i$ столбцов, причем $i > 0$ и $i$ меньше минимального из $m$ и $n.$ Элементы, которые располагаются на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу $i-$го порядка. Определитель этой матрицы называется минором $i-$го порядка исходной матрицы. Если порядок минора равен единице, то минор является элементом исходной матрицы.
Пример 1 Пусть дан определитель четвертого порядка $$ \begin{vmatrix} -8 & -5 & 2 & 7 \\ 1 & 3 & -9 & -3 \\ 4 & -4 & -1 & 9 \\ -5 & 3 & -4 & 8 \end{vmatrix}.$$ Выберем, например, $2$-й и $4$-й столбцы и $1$-ю и $3$-ю строки. Таким образом, элементы, стоящие на пересечении этих столбцов и строк образуют минор $2-$го порядка: $$ \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ -4 & 9 \end{vmatrix} = -45 + 28 = -17. {S_1 + S_2}$, в котором $S_1$ — это сумма номеров строк, а $S_2$ — это сумма номеров столбцов, в которых лежит исходный минор, то мы получим алгебраическое дополнение к этому минору.
Пример 3 Пусть дан определитель пятого порядка $$ \begin{vmatrix} -7 & 5 & 3 & -2 & 6 \\ 9 & -8 & 7 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1 & -5 & 9 \\ -3 & 2 & -2 & -4 & -8 \\ 4 & 9 & 5 & -1 & 1 \end{vmatrix}.$$ Выберем в нем, к примеру $1-$ю и $4-$ю строки, а также $2-$й и $5-$й столбцы. Тогда на пересечении выбранных строк и столбцов образуется минор $2-$го порядка $$ \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} = -40-12 = -52.$$ Дополнительным минором к нему будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 9 + 0-140 + 12 + 0 + 225 = 106.$$ Наконец, алгебраическим дополнением к минору будет $$ \begin{vmatrix} 9 & 7 & 3 \\ 0 & -1 & -5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} \cdot (-1)^{(1 + 4) + (2 + 5)} = 106 \cdot (-1)^{12} = 106,$$ где степени $-1$ являются таковыми, так как элементы минора исходного определителя располагаются в $1-$й и $4-$й строках и во $2-$м и в $5-$м столбцах.
Итак, разобравшись с приведенными выше определениями, можно приступать к формулированию теоремы.
Теорема (Лапласа) Если в определителе порядка $m$ выбрать $i$ строк (столбцов), где $i > 0$ и $i < m,$ то данный определитель будет равняться сумме миноров, которые расположены в этих строках (столбцах), умноженных на их алгебраические дополнения. Эти миноры будут иметь $i-$й порядок.
Таким образом, благодаря теореме Лапласа, при вычислении определителя $m-$го порядка, мы можем вычислить несколько определителей более малых порядков ($i$), что упрощает нам задачу.
Следствием (а также частным случаем, для которого $i = 1$) из теоремы Лапласа является Теорема о разложении определителя по строке.
Пример 4 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{pmatrix}.$$ Разложим определитель этой матрицы по теореме Лапласа, выбрав $1-$ю и $3-$ю строки: $$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 6 & 9 \\ -1 & 7 & 2 & -5 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & 5 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{(1 + 3) + (1 + 2)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (1 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (1 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ -6 & 5 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} + (-1)^{(1 + 3) + (3 + 4)} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 9 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 7 \\ -3 & -6 \end{vmatrix} +$$ $$+ (-1)^{(1 + 3) + (2 + 3)} \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -5 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^7 \cdot (12-0) \cdot (0 + 25) +$$ $$+ (-1)^8 \cdot (3-0) \cdot (0-30) + (-1)^9 \cdot (6-0) \cdot (35 + 12) +$$ $$+ (-1)^{10} \cdot (10-36) \cdot (-5 + 6) + (-1)^{11} \cdot (12-9) \cdot (6 + 21) +$$ $$+ (-1)^9 \cdot (5-24) \cdot (0-15) = -(12 \cdot 25)-3 \cdot 30-6 \cdot 47-26 \cdot 1-3 \cdot 27-$$ $$-(19 \cdot 15) = -300-90-282-26-81-285 = -1064.
$$
Как мы могли заметить, для нахождения определителя $4-$го порядка нам понадобилось искать лишь определители $2-$го порядка, что намного легче. Разберем этот пример подробнее.
Для начала, вторым множителем каждого слагаемого является минор, расположенный в выбранных в начале решения строках. Мы берем все существующие в данных строках миноры. Далее, первым множителем каждого слагаемого является $(-1)$ в степени, которая является суммой номеров строк и столбцов, в которых расположен соответствующий минор. Третьим же множителем является дополнительный минор к соответствующему. Произведение дополнительного минора и $(-1)$ в соответствующей степени образует алгебраическое дополнение к своему минору.
Таким образом мы расписываем все миноры, находящиеся в выбранных строках, умножаем на их алгебраические дополнения и суммируем полученные произведения. После этого решаем полученное выражение, приходя к ответу, который является значением определителя исходной матрицы.
Пример 5 Найти определитель матрицы $4-$го порядка $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & -6 & 4 \\ -5 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
{10} \cdot (-2-60) \cdot (120-0) = -67 \cdot 47-89 \cdot 110 + 23 \cdot 28 + 169 \cdot 60-$$ $$-3 \cdot 36-62 \cdot 120 = -3149-9790 + 644 + 10140-108-7440 = -9703. $$
[свернуть]
- А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 3, §3, «Упражнения» (стр. 150)
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 1, §6, «Вычисление определителей» (стр. 51)
- Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
Тест на проверку знаний о теореме Лапласа и определений, необходимых для формулировки данной теоремы.
Открытое образование — Алгебра и геометрия
Select the required university:
———
Закрыть
- About
- Format
- Requirements
- Course program
- Knowledge
- Skills
- Abilities
- Education directions
About
I часть.
Матрицы, теоретико-множественные понятия, геометрические векторы, линейные пространства, системы линейных алгебраических уравнений.
Курс рассчитан на студентов университетов и вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Информатика», «Физика», «Экономика».
Format
Форма обучения: дистанционная.
Еженедельные занятия будут включать:
- тематические видеолекции, на которых излагается теоретический материал курса, каждая лекция сопровождается тестами;
- семинарские занятия, ориентированные на усвоение лекционного материала, приобретение навыков решения задач и умение пользоваться алгоритмами;
- тренажеры (в интерактивном формате) для самостоятельного решения простейших задач с автоматизированной проверкой результатов;
- дополнительные семинарские занятия по решению задач повышенной трудности: будут изложены основные приемы математических доказательств, их применение будет иллюстрироваться на примерах задач по текущему разделу курса.
Requirements
Курс рассчитан на студентов университетов и вузов, обучающихся по специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Информатика», «Физика», «Экономика».
Course program
Лекция 1.
Глава I. Основы теории матриц
§ 1. Понятие матрицы
Компактная форма записи матрицы. Матрицы специального вида.
§ 2. Операции над матрицами
Линейные операции. Умножение матриц. Транспонирование матрицы.
Лекция 2.
§ 3. Элементарные преобразования матрицы и матрицы элементарных
преобразований
Приведение к ступенчатому виду. Матрицы элементарных преобразований.
§ 4. Определитель матрицы
Перестановки. Построение определителя n-го порядка. Простейшие свойства.
Лекция 3.
§ 4. Определитель матрицы (продолжение)
Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа, общая схема доказательства.
Лекция 4.
§ 4. Определитель матрицы (продолжение)
Доказательство теоремы Лапласа.
Разложение определителя по строке (столбцу).
Блочные матрицы. Определитель произведения матриц.
Лекция 5.
§ 5. Обратная матрица
Определение и простейшие свойства. Присоединенная матрица. Критерий обратимости. Явный вид обратной матрицы.
Глава II. Теоретико-множественные понятия
§ 6. Понятие множества.
О понятии множества. Операции над множествами. Декартово произведение множеств.
§ 7. Бинарные отношение. Отношение эквивалентности
§ 8. Отображения
Определение. Биективное (взаимно-однозначное) отображение. Обратное отображение.
Критерий обратимости.
Лекция 6.
Глава III. Геометрические векторы
§ 9. Направленные отрезки
§ 10. Свободный вектор. Линейные операции над векторами
Определение и терминология. Линейные операции над векторами. Множества векторов на прямой, на плоскости и в пространстве.
Лекция 7.
Глава IV. Введение в теорию линейных пространств
§ 11. Вещественное линейное пространство.
Определение. Примеры: геометрические пространства, арифметическое пространство, пространство матриц, пространства многочленов.
§ 12. Линейная зависимость
§ 13. Геометрический смысл линейной зависимости
Лекция 8.
§ 14. Ранг матрицы
Ранг матрицы и линейная зависимость. Ранг матрицы и элементарные преобразования. Вычисление ранга. Эквивалентные матрицы.
§ 15. Базис и размерность линейного пространства
Определения. Координаты вектора. Переход к другому базису.
Лекция 9.
Глава V. Векторная алгебра
§ 16. Координаты вектора на оси
§ 17. Аффинная (общая декартова) система координат. Координаты точки
§ 18. Проекции вектора
Проекции вектора на плоскости. Проекции вектора в пространстве. Проекции вектора и координаты.
Лекция 10.
§ 19. Скалярное произведение
Определение и основные свойства. Ортонормированный базис. Координаты вектора и скалярное произведение в ортонормированном базисе.
§ 20.
Векторное и смешанное произведения векторов
Ориентация в вещественном пространстве. Основные факты. Векторное и смешанное произведения в прямоугольных координатах.
§ 21. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат
Ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.
Лекция 11.
Глава VI. Системы линейных алгебраических уравнений
§ 22. Основные задачи теории решения систем линейных алгебраических уравнений
Терминология. Компактная запись системы. Эквивалентность систем.
§ 23. Системы с квадратной невырожденной матрицей
§ 24. Системы общего вида. Общее решение системы
Совместность системы. Схема исследования совместной системы. Общее решение системы. Однородные системы.
§ 25. Метод Гаусса исследования и решения систем уравнений
Системы с трапециевидной матрицей.
Элементарные преобразования системы уравнений. Приведение системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей.
Лекция 12.
Глава VII. Геометрические свойства решений системы линейных алгебраических уравнений
§ 26. Линейное подпространство решений однородной системы
Линейное подпространство линейного пространства. Множество решений однородной системы линейных алгебраических уравнений как линейное подпространство арифметического пространства. Фундаментальная система решений. Общее решение системы.
§ 27. Линейное многообразие решений неоднородной системы
Линейное многообразие в линейном пространстве. Множество решений неоднородной системы линейных алгебраических уравнений как линейное многообразие в арифметическом пространстве. Общее решение системы
Education directions
01.03.02 Прикладная математика и информатика
Knowledge
Знать определения понятий и формулировки теорем по программе курса
Skills
Уметь доказывать теоремы, ориентироваться в логической структуре курса, уметь пользоваться алгоритмами.
Abilities
Овладеть навыками математических доказательств и навыками решения задач
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Мокроусов Илья Сергеевич
Кандидат физико-математических наук
Position: Асистент кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова
Ким Галина Динховна
Кандидат физико-математических наук
Position: Доцент кафедры общей математики МГУ имени М.В.Ломоносова
Similar courses
12 September 2022 — 1 January 2030 г.
Геометрия и группы
МФТИ
12 September 2022 — 1 January 2030 г.
Религия и наука: христианская апологетика
МФТИ
New course
1 November 2022 — 1 November 2030 г.
Компьютерное зрение
НИУ ВШЭ
К сожалению, мы не гарантируем корректную работу сайта в вашем браузере. Рекомендуем заменить его на один из предложенных.
Также советуем ознакомиться с полным списком рекомендаций.
Google Chrome
Mozilla Firefox
Apple Safari
Разложения Лапласа для определителя
Используя определение определителя, в примере 5 было получено следующее выражение:
Это уравнение можно переписать следующим образом:
Каждый термин справа имеет следующую форму:
В частности, обратите внимание, что
Если A = [ a ij ] является матрицей n x n , то определитель ( n − 1) x ( n − 1) матрица, которая остается после удаления строки и столбца, содержащих запись a ij , называется a ij второстепенной , обозначается mnr( а ij ).
Если a ij минор умножить на (−1) i + j , то результат называется кофактором a ij 9 0042 , обозначаемый cof( a ij ). То есть
Используя эту терминологию, приведенное выше уравнение для определителя матрицы 3 x 3 A равно сумме произведений элементов первой строки и их сомножителей:
Это называется расширением Лапласа по первой строке. Можно также показать, что определитель равен разложению Лапласа по второй -й строке,
или по третьему ряду ,
Верно даже больше. Определитель также равен разложению Лапласа по первому столбцу
по второму столбцу или по третьему столбцу. Хотя формула разложения Лапласа для определителя была явно проверена только для матрицы 3×3 и только для первой строки, можно доказать, что определитель любой матрицы nxn равен разложению Лапласа по любой строке или любому столбцу .
Пример 1 : Оцените определитель следующей матрицы, используя разложение Лапласа по второму столбцу:
Записи во втором столбце: a 12 = −1, a 22 = 2 и a 32 = 0. Миноры этих записей, mnr( а 12 ), mnr( a 22 ) и mnr( a 32 ), вычисляются следующим образом:
Поскольку кофакторы записей второго столбца равны
расширение Лапласа по второму столбцу становится
Обратите внимание, что не нужно было вычислять минор или кофактор записи (3, 2) в A , поскольку эта запись была равна 0. В общем случае при вычислении определителя методом разложения Лапласа выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей. Миноры этих записей не нужно оценивать, потому что они ничего не дадут в определителе.
Множитель (−1) i + j , который умножает a ij минор, чтобы получить кофактор a ij , приводит к шахматной доске узор знаков; каждый знак дает значение этого фактора при вычислении кофактора a ij из минора a ij .
Например, шахматная доска для матрицы 3 х 3 выглядит так:
Для матрицы 4 x 4 шахматная доска имеет вид
и так далее.
Пример 2 : Вычислите определитель следующей матрицы:
Сначала найдите строку или столбец с наибольшим количеством нулей. Здесь это третья строка, содержащая два нуля; разложение Лапласа по этой строке будет содержать только два ненулевых члена. Шаблон шахматной доски, показанный выше для матрицы 4 на 4, подразумевает, что минор записи a 31 = 1 будет умножен на +1, а минор записи a 34 = 2 будут умножены на -1, чтобы получить соответствующие кофакторы:
Теперь каждый из этих кофакторов, которые сами по себе являются детерминантами, можно оценить с помощью разложения Лапласа. Расширение по третьему столбцу,
Другой кофактор оценивается путем расширения его первой строки:
Следовательно, вычисление det A с помощью разложения Лапласа по третьей строке A дает
Пример 3 : Перекрестное произведение двух 3-векторов, x = x 1 i + x 2 j 900 42 + x 3 к и у = у 1 я + у 2 у + у 3 90 041 k , проще всего вычислить, выполнив разложение Лапласа по первой строке символического определителя
Это расширение дает
Для иллюстрации, векторное произведение векторов x = 3 j − 3 k и y = −2 i + 2 j − k
Пример 4 : Есть ли связь между определителем числа A T и определителем числа A ?
В случае 2 на 2 легко видеть, что det ( А Т ) = det А :
В случае 3 по 3 разложение Лапласа по первой строке A дает тот же результат, что и разложение Лапласа по первому столбцу A T , подразумевая, что det ( A 9002 0 T ) = det A :
Начиная с расширения
для определителя, нетрудно привести общее доказательство того, что det ( А Т ) = det А .
Пример 5 : Примените результат det ( A T ) = det A для вычисления
при том, что
(где a, e, g, n, o, p и r — скаляры).
Поскольку замена одной строки меняет знак определителя (свойство 2), замена двух строк,
оставит определитель без изменений:
Но определитель матрицы равен определителю ее транспонирования, поэтому
Следовательно,
Пример 7 : Учитывая, что числа 1547, 2329, 3893 и 4471 делятся на 17, докажите, что определитель числа
также делится на 17 без фактического вычисления.
Из-за результата det ( A T ) = det A каждое свойство определителя, которое включает строки из A подразумевает другое свойство определителя, включающее столбцы A . Например, определитель является линейным в каждом столбце , меняет знак, если два столбца меняются местами, не меняется, если число, кратное одному столбцу , добавляется к другому столбцу и так далее.
Для начала умножьте первый столбец А на 1000, второй столбец на 100 и третий столбец на 10. Определитель полученной матрицы будет в 1000·100·10 раз больше определителя А :
Затем добавьте второй, третий и четвертый столбцы этой новой матрицы к ее первому столбцу. Ни одна из этих операций со столбцами не изменяет определитель; таким образом,
Поскольку каждый элемент в первом столбце этой последней матрицы делится на 17, каждый член разложения Лапласа по первому столбцу будет делиться на 17, и, таким образом, сумма этих членов, которая дает определитель, будет делиться на 17. 17. Так как 17 делит 10 6 det A , 17 должно делить det A , потому что 17 простое число и не делится на 10 6 .
Пример 7 : Полезным понятием в многомерном исчислении (например, в связи с формулой замены переменных для кратных интегралов) является понятие Якобиана отображения.
Пусть x и y заданы как функции независимых переменных u и v :
Якобиан отображения ( u, v ) ↦ ( x, y ), величина, обозначаемая символом δ( x, y )/δ( u, v ), определяется как следующий определитель:
Для иллюстрации рассмотрим преобразование полярных координат ,
Якобиан этого отображения ( r , θ) ↦ ( x, y ) равен
.Тот факт, что якобиан этого преобразования равен r учитывает коэффициент r в известной формуле
.
, где R ′ представляет собой область в плоскости r −θ, отображаемую (*) в область интегрирования R в плоскости x−y .
Якобиан также может быть расширен до трех переменных. Например, точку в трехмерном пространстве можно задать, задав ее сферических координат —ϕ и θ, которые связаны с обычными прямоугольными координатами — x, y и z — по уравнениям
См.
рис.
Рисунок 1
Якобиан отображения (ρ, ϕ, θ) ↦ ( x, y, z ) равен
Разложением Лапласа по третьей строке,
Тот факт, что якобиан этого преобразования равен ρ 2 sin ϕ, объясняет множитель ρ 2 sin ϕ в формуле замены переменных в тройном интеграле от прямоугольных координат к сферическим:
Расширения Лапласа после сокращения строк . Полезность метода разложения Лапласа для вычисления определителя повышается, когда ему предшествуют элементарные операции со строками. Если такие операции выполняются над матрицей, количество нулей в данном столбце может быть увеличено, тем самым уменьшая количество ненулевых членов в разложении Лапласа вдоль этого столбца.
Пример 8 : вычислить определитель матрицы
Следующие операции редукции строк, поскольку они просто включают в себя добавление кратного одной строки к другой, не изменяют значение определителя:
Теперь, когда определитель этой последней матрицы вычисляется с использованием разложения Лапласа по первому столбцу, остается только один ненулевой член:
Следовательно, det A = −5.
Пример 9 : Вычисление определителя матрицы
Чтобы избежать создания большого количества нецелочисленных записей в процессе сокращения строк, первая строка делится на коэффициент 2 из нижней строки. Поскольку при умножении строки на скаляр определитель умножается на этот скаляр,
Теперь, потому что элементарные операции со строками
не изменяют определитель, разложение Лапласа по первому столбцу этой последней матрицы завершает вычисление определителя A :
[PDF] Применение метода недель для численного обращения преобразования Лапласа к матричной экспоненте
- 60
@статья{ Brio2005ПриложениеOW,
title={Применение метода Уикса для численного обращения преобразования Лапласа к матричной экспоненте},
автор = {Мойси Брио, Патрик О. Кано и Джером В. Молони},
journal={Коммуникации в математических науках},
год = {2005},
объем = {3},
страницы = {335-372}
} - M. Brio, P. Kano, J. Moloney
- Опубликовано 1 июня 2005 г.
- Mathematics
- Communications in Mathematical Sciences
Brio, P. Kano, J. MoloneyМетод Уикса — хорошо зарекомендовавший себя алгоритм числовой инверсии скалярных пространственных функций Лапласа. В этой статье мы распространяем метод на обращение матричных функций одной переменной времени и оцениваем качества этого подхода. Чтобы проиллюстрировать и дать количественную оценку нашего обсуждения, мы вычисляем экспоненциальную матрицу с помощью алгоритма на основе БПФ. Особое внимание уделено сравнению алгоритмов автоматизированного подбора двух параметров настройки. В дополнение к…
Просмотр через Publisher
intlpress.com
Обзор алгоритмов обратного преобразования Лапласа для численных подходов в пространстве Лапласа для повторного использования прямой оценки функции изображения, по крайней мере, в течение логарифмического цикла времени.
Выбор оптимального параметра в методе Уикса для численной инверсии преобразования Лапласа на основе машинного обучения
Метод Уикса для численного обращения преобразования Лапласа использует преобразование Мёбиуса, которое параметризуется двумя действительными величинами, σ и b.
Правильный выбор этих параметров…
Инверсия Лапласа для решения абстрактного уравнения теплопроводности без прямого преобразования исходного члена
- Шулин Ву
Математика
J. Num. Мат.
- 2017
По сравнению с существующими контурными квадратурами анализ ошибок показывает, что новая квадратура обладает конкурентоспособным асимптотическим порядком точности, а численные результаты показывают, что при несоблюдении регулярности начального члена и/или дифференцируемости f(t) новая квадратура точнее.
Три эффективных алгоритма обратного преобразования Лапласа для вычисления электромагнитных откликов во временной области 3
В этой работе применена арифметика переменной точности в вычислительной среды MATLAB к реализации алгоритма Гавера-Штефеста и обратила внимание на два других алгоритма вычисления обратных преобразований Лапласа, а именно на алгоритмы Эйлера и Тальбота.
Разработка и анализ высокоточных численных методов для вычислительной оптики
- М. Брио, П. Кано
Физика
- 2005
Данная работа связана с разработкой и применением высокоточных численные методы вычислительной оптики. Три основные темы составляют ядро текста. Во-первых, это применение конечных…
Метод аналитического элемента с преобразованием Лапласа для моделирования нестационарного потока подземных вод
- Кристофер Л. Кульман
Математика
- 2008
Метод аналитического элемента с преобразованием Лапласа (LT-AEM) применяет традиционный стационарный метод аналитического элемента (AEM) к преобразованному Лапласом уравнению диффузии (Fur человек and Neuman, 2003).…
Роль преобразования Лапласа в цифровой обработке сигналов
- Д. Рамеш, Рашми. Б. Бхави, Ашвини. Н. Кемпаннавар
Информатика
- 2018
Н. КемпаннаварОсновная цель этой статьи — продемонстрировать, как методы преобразования Лапласа могут быть полезны в обработке сигналов, свертке, анализе Фурье, и показать, что линейную систему можно полностью понять по ее импульсной или частотной характеристике с возрастающей сложностью инженерные проблемы.
Доказательная теория Демпстера-Шейфера для автоматизированного выбора параметров для контуров метода Талбота и применения к матричному возведению в степень
- П. Кано, М. Брио, П. Достерт, Джон Кейн
Информатика
Вычисл. Мат. заявл.
- 2012
ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ПРОЦЕССА ОРНШТЕЙНА-УЛЕНБЕКА
- П. Маллоуни, С. Айенгар
- 90 002 Математика, информатика
- 2006
Алгоритм вычисления оценок максимального правдоподобия ( MLE) и соответствующие им доверительные области для трех идентифицируемых параметров процесса Орнштейна-Уленбека путем численного обращения преобразования Лапласа.
Проектирование системы управления с использованием теории конечных преобразований Лапласа
- Субхенду К. Дас
Инженерное дело
- 2011
Теория преобразования Лапласа нарушает очень фундаментальное требование всей инженерии системы. Мы показываем, что эта теория предполагает, что все сигналы должны существовать в течение бесконечного интервала времени. Поскольку в…
Подробнее о методе недель для численного обращения преобразования Лапласа
- Г. Джунта, Г. Лаччетти, М. Риццарди
Математика
- 1988
Резюме Большинство численных методов обращения преобразования Лапласа требуют значений нескольких дополнительных параметров. Как правило, эти параметры связаны со свойствами…
Алгоритмы выбора параметров в методе недель для обращения преобразования Лапласа
- J. Weideman
Информатика, математика
SIAM J. Sci. вычисл.
- 1999
WeidemanВ сложных численных тестах оба алгоритма успешно предсказали значения параметров, близкие к оптимальным, и оба реализованы с помощью БПФ.
Улучшенный метод численного обращения преобразований Лапласа
- Ф. Хуг, Дж. Найт, А. Н. Стоукс
Математика
- 1982
О численном обращении преобразований Лапласа: сравнение трех новых методов характеристических задач из приложений
- Д. Даффи
Математика
TOMS
- 1993 9 0563
- J. Abate, P. Valko
Математика
- 2004
- В. Уикс
Математика
JACM
- 1966 9 0563
- А. Талбот
Математика
- 1979
Три часто используемых метода численного обращения преобразования Лапласа: протестирован на сложных преобразованиях, взятых из литературы, и у Talbot есть точный метод выбора необходимых параметров.
Инверсия преобразования Лапласа повышенной точности
Для численного обращения преобразований Лапласа мы предлагаем использовать многоточечные вычисления с уровнем точности, определяемым алгоритмом. Приведем две такие процедуры. The…
Численное обращение преобразований Лапласа с использованием функций Лагерра
Описан метод численного обращения преобразований Лапласа, в котором обратное получается как разложение по ортонормированным функциям Лагерра. Чтобы это было…
Точная числовая инверсия преобразований Лапласа
Инверсия почти произвольное преобразование Лапласа осуществляется трапециевидным интегрированием по специальному контуру.
Как найти область изменения функции 11 класс: Презентация «Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции» скачать
//Требуется указать область определения и область значений функции. упр 531 параграф 10 алгебра 10-11 класс Колмогоров – Рамблер/класс
Требуется указать область определения и область значений функции. упр 531 параграф 10 алгебра 10-11 класс Колмогоров – Рамблер/классИнтересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?Вот такое задание дали( Кто то уже решал? Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции f. Укажите область определения и область значений функции g
а) f (х) = 2х + 1;
в) f (х) = -2х + 1;
ответы
Хмм, насколько я помню, решение выглядит так:
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
ЮморОлимпиадыЕГЭ9 класспохожие вопросы 5
В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим? Колмогоров Алгебра 10-11 класс Упр 309Привет! Поможете с решением?)
Скорость изменяется по закону
(скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.10 классАлгебра
Когда скорость изменения функции будет наибольшей или наименьшей? Алгебра 10-11 класс Колмогоров Упр 308Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее…)
ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра
Почему сейчас школьники такие агрессивные ?Читали новость про 10 классника который растрелял ? как вы к этому относитесь
Новости10 классБезопасность
Какой был проходной балл в вузы в 2017 году?Какой был средний балл ЕГЭ поступивших в российские вузы на бюджет в этом году? (Подробнее…)
Поступление11 классЕГЭНовости
ЕГЭ-2017 Цыбулько И. П. Русский язык ГДЗ. Вариант 13. 18. Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)…18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые).
(Подробнее…)
ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.
Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке 10 класс
Тема: Производная
Урок: Применение производной для отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
1. Введение. Постановка задачи
На этом занятии рассмотрим более простую задачу, а именно, будет задан промежуток, будет задана непрерывная функция на этом промежутке. Надо узнать наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке.
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной
№ 32.1 (б). Дано: , . Нарисуем график функции (см. рис.1).
Рис. 1. График функции .
Известно, что эта функция возрастает на промежутке , значит, она возрастает и на отрезке .
А значит, если найти значение функции в точках и , то будут известны пределы изменения данной функции, ее самое большое и самое маленькое значение.
Когда аргумент возрастает от до 8, функция возрастает от до .
Ответ: ; .
3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений тригонометрической функции
№ 32.2 (а) Дано: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке.
Построим график этой функции (см. рис.2).
Если аргумент меняется на промежутке , то функция возрастает от -2 до 2. Если аргумент возрастает от , то функция убывает от 2 до 0.
Рис. 2. График функции .
Найдем производную .
, . Если , то и это значение принадлежит заданному отрезку . Если , то . Легко проверить, если принимает другие значения, соответствующие стационарные точки выходят за пределы заданного отрезка. Сравним значения функции на концах отрезка и в отобранных точках, в которых производная равна нулю.
Найдем
;
;
.
Ответ: ;.
Итак, ответ получен. Производную в данном случае можно использовать, можно не использовать, применить свойства функции, которые были изучены ранее. Так бывает не всегда, иногда применение производной – это единственный метод, который позволяет решать подобные задачи.
4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной
№ 32.10 (а)
Дано: , . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Если в предыдущем случае можно было обойтись без производной – мы знали, как себя ведет функция, то в данном случае функция довольно сложная. Поэтому, ту методику, которую мы упомянули на предыдущей задаче, применим в полном объеме.
1. Найдем производную . Найдем критические точки , отсюда , — критические точки. Из них выбираем те, которые принадлежат данному отрезку: . Сравним значение функции в точках , , . Для этого найдем
;
;
.
Проиллюстрируем результат на рисунке (см. рис.3).
Рис. 3. Пределы изменения значений функции
Видим, что если аргумент меняется от 0 до 2, функция изменяется в пределах от -3 до 4. Функция меняется не монотонно: она либо возрастает, либо убывает.
Ответ: ;.
5. Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Итак, на трех примерах была продемонстрирована общая методика нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке, в данном случае – на отрезке.
Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции и отобрать те точки, которые находятся на заданном отрезке.
3. Найти значения функции на концах отрезка и в отобранных точках.
4. Сравнить эти значения, и выбрать наибольшее и наименьшее.
6. Решение задачи
Рассмотрим еще один пример.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции , .
Ранее был рассмотрен график этой функции (см. рис.4).
Рис. 4. График функции .
На промежутке область значения этой функции . Точка — точка максимума. При — функция возрастает, при – функция убывает. Из чертежа видно, что , — не существует.
7. Итог урока
Итак, на уроке рассмотрели задачу о наибольшем и наименьшем значении функции, когда заданным промежутком является отрезок; сформулировали алгоритм решения подобных задач.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл.
изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№ 46.16, 46.17 (в) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
Functions Transformations — Graphing, Rules, Tricks
Преобразование функций означает, что кривая, представляющая график, либо «двигается влево/вправо/вверх/вниз», либо «расширяется, либо сжимается», либо «отражает». Например, график функции f(x) = x 2 + 3 получается простым перемещением графика g(x) = x 2 на 3 единицы вверх. Преобразования функций очень полезны при графическом отображении функций, просто перемещая/расширяя/сжимая/отражая кривую без необходимости строить ее с нуля.
В этой статье мы увидим, каковы правила преобразования функций, и мы увидим, как выполнять преобразования различных типов функций, а также примеры.
| 1. | Что такое преобразования функций? |
| 2. | Перевод функций |
| 3. | Расширение функций |
| 4. | Отражение функций |
| 5. | Правила преобразования функций |
| 6. | Описание преобразований функций |
| 7. | Графические преобразования функций |
| 8. | Часто задаваемые вопросы о преобразованиях функций |
Что такое преобразования функций?
Преобразование функции либо «перемещает», либо «меняет размер», либо «отражает» график родительской функции. В основном существует три типа преобразования функций :
- Перевод
- Расширение
- Отражение
Среди этих преобразований только расширение изменяет размер исходной фигуры, но два других преобразования изменяют положение фигуры, но не размер фигуры.
Мы можем видеть, что означает каждое из этих преобразований функций в таблице ниже.
| Трансформация | Функция | Изменения положения/размера |
|---|---|---|
| Перевод | Сдвигает или перемещает кривую. | Изменение позиции |
| Расширение | Растягивает или сжимает кривую. | Изменение размера |
| Отражение | Переворачивает кривую и создает зеркальное отображение. | Изменение позиции |
Говоря математическим языком, преобразование функции y = f(x) обычно выглядит как y = a f(b(x + c)) + d. Здесь a, b, c и d — любые действительные числа, представляющие преобразования. Обратите внимание, что все внешние числа (за скобками) представляют вертикальные преобразования, а все внутренние числа представляют горизонтальные преобразования. Также обратите внимание, что сложение/вычитание указывает на перевод, а умножение/деление представляет собой расширение.
Любой знак минус умножает означает, что это отражение. Здесь,
- ‘a’ представляет вертикальное расширение
- ‘b’ обозначает горизонтальное расширение
- ‘c’ представляет горизонтальный перевод
- ‘d’ представляет вертикальный перевод
Давайте подробно изучим каждое из этих преобразований функций.
Перевод функций
Смещение происходит, когда каждая точка на графике (представляющая функцию) перемещается на одинаковую величину в одном и том же направлении. Существует два типа перевода функций.
- Горизонтальные перемещения
- Вертикальные перемещения
Горизонтальное перемещение функций :
В этом преобразовании функция перемещается влево или вправо. Это превращает функцию y = f (x) в форму y = f (x ± k), где «k» представляет собой горизонтальный перенос. Здесь
- , если k > 0, то функция перемещается влево на k единиц.
- , если k < 0, то функция перемещается вправо на k единиц.
Здесь исходная функция y = x 2 (y = f(x)) сдвинута на 3 единицы вправо, чтобы получить преобразованную функцию y = (x — 3) 2 (y = f(x) — 3)).
Вертикальный перевод функций :
В этом переводе функция перемещается либо вверх, либо вниз. Это превращает функцию y = f (x) в форму f (x) ± k, где «k» представляет собой вертикальный перенос. Здесь
- , если k > 0, то функция перемещается вверх на k единиц.
- , если k < 0, то функция перемещается вниз на k единиц.
Здесь исходная функция y = x 2 (y = f(x)) перемещена на 2 единицы вверх, чтобы получить преобразованную функцию y = x 2 + 2 (y = f(x) + 2).
Расширение функций
Расширение – это растяжение или сжатие. Если график расширяется параллельно оси x, все значения x увеличиваются на один и тот же масштабный коэффициент. Точно так же, если он расширяется параллельно оси y, все значения y увеличиваются на один и тот же масштабный коэффициент.
Существует два типа дилатации.
- Горизонтальное расширение
- Вертикальное расширение
Горизонтальное расширение
Горизонтальное расширение (также известное как горизонтальное масштабирование) функции либо растягивает, либо сжимает кривую по горизонтали. Он изменяет функцию y = f(x) на форму y = f(kx) с масштабным коэффициентом «1/k», параллельным оси x. Здесь
- Если k > 1, то граф сжимается.
- Если 0 < k < 1, то график растягивается.
При этом расширении будут изменены только координаты x, но не будут изменены координаты y. Каждая старая координата x умножается на 1/k, чтобы найти новую координату x. На следующем графике исходная функция y = x 3 растягивается по горизонтали с масштабным коэффициентом 3, чтобы получить график преобразованной функции y = (x/3) 3 . Например, точка (1,1) исходного графика преобразуется в (3, 1) нового графика.
Вертикальное расширение
Вертикальное расширение (также известное как вертикальное масштабирование) функции либо растягивает, либо сжимает кривую по вертикали.
Он изменяет функцию y = f (x) в форму y = k f (x) с масштабным коэффициентом «k», параллельным оси y. Здесь
- Если k > 1, то граф растягивается.
- Если 0 < k < 1, то граф сжимается.
При этом расширении будут изменены только координаты y, но не будут изменены координаты x. Каждая старая координата y умножается на k, чтобы найти новую координату y. На следующем графике исходная функция y = x 3 растягивается по вертикали с коэффициентом масштабирования 3, чтобы получить преобразованный график функции y = 3x 3 . Например, точка (1, 1) (на исходном графике) соответствует (1, 3) на новом графике.
Отражение функций
Отражение функции — это просто изображение кривой относительно оси x или оси y. Это происходит всякий раз, когда мы видим, что где-то в функции происходит умножение знака минус. Здесь,
- y = — f(x) является отражением y = f(x) относительно оси x.
- y = f(-x) является отражением y = f(x) относительно оси y.
Обратите внимание на график ниже, где исходный график y = (x + 2) 2 отражен относительно каждой из осей x и y.
Здесь обратите внимание, что при отображении функции
- относительно оси x меняются только знаки координат y, а координаты x не изменяются.
- относительно оси y меняются только знаки координат x, а координаты y не изменяются.
Правила преобразования функции
До сих пор мы понимали типы преобразований функций и то, как сложение/вычитание/умножение/деление числа и умножение на знак минус отражает график. Сведем в таблицу все правила преобразования функций вместе.
| Преобразование функции | Правило | Результат |
|---|---|---|
| Перевод | По горизонтали: у = f(x + k) | Перемещение влево, если k > 0 Смещается вправо, если k < 0 |
| По вертикали: y = f(x) + k | Перемещает вверх, если k > 0 Смещается вниз, если k < 0 | |
| Расширение | Горизонтально: y = f(kx) | Растягивается, когда 0 < k < 1 Сжимается при k > 1 |
| Вертикально: y = k f(x) | Растягивается, когда k > 1 Сжимается, когда 0 < k < 1 | |
| Отражение | По оси x: y = — f(x) | Отражает график, где ось x действует как зеркало. |
| О оси Y: y = f(-x) | Отражает график, где ось Y действует как зеркало. |
Приведенные выше правила сбивают с толку и их трудно запомнить? Давайте рассмотрим несколько важных советов, чтобы запомнить эти правила.
Советы и подсказки, которые следует помнить Преобразования функций:
- Если какая-то операция заключена в скобки, обратите внимание, что она связана с «горизонтальной», и в этом случае все произойдет наоборот, чем мы думаем.
Например, мы можем думать, что f(x + 2) преобразует f(x) вправо, потому что это +, но на самом деле оно смещается влево на 2 единицы.
Точно так же мы можем думать, что f(3x) растягивает f(x), но нет, он сжимает f(x) в масштабном коэффициенте 1/3. - Если какая-то операция находится за скобками, обратите внимание, что она относится к «вертикальной» и в этом случае все будет происходить прямо (а не наоборот).
Например, f(x) + 2 перемещает f(x) «вверх», это там символ «+».
Точно так же 3 f(x) растягивает f(x) на масштабный коэффициент 3, поскольку 3 > 1. - Если какое-то число прибавляется/вычитается, то это связано с «переводом». Например, f(x + 2) — это горизонтальное смещение, а f(x) + 2 — вертикальное смещение.
- Если какое-то число умножается/делится, то это связано с «расширением». Например, f(2x) — горизонтальное расширение, а 2 f(x) — вертикальное расширение.
- Если задуматься, здесь как раз противоположно первому и второму трюкам. Если знак минус находится внутри скобки, он относится к оси y, а если знак минус находится вне скобки, он относится к оси x.
Описание преобразований функций
Приведенные выше правила можно использовать для описания любого функционального преобразования. Например, если вопрос состоит в том, как влияет преобразование g(x) = — 3f(x + 5) + 2 на y = f(x), то сначала проследим последовательность операций, которые нужно было применить к f(x) x), чтобы получить g(x), а затем использовать приведенные выше правила для определения преобразований.
Здесь, чтобы получить g(x) из f(x)
- , сначала f(x) превращается в f(x + 5). т. е. горизонтальный сдвиг на 5 единиц влево.
- Затем оно превращается в 3 f(x + 5). т. е. вертикальное расширение с масштабным коэффициентом 3,
- Затем оно превращается в -3 f(x + 5). т. е. отражение относительно оси x.
- Наконец, оно меняется на -3 f(x + 5) + 2, т. е. вертикальное смещение на 2 единицы вверх.
Таким образом, g(x) получается из f(x) горизонтальным сдвигом на 5 единиц влево, вертикальным расширением с масштабным коэффициентом 3, отражением относительно оси x и вертикальным сдвигом на 2 единицы вверх. Мы также можем описать преобразования функций, используя описанные выше приемы. Попробуйте прямо сейчас.
Графические преобразования функций
Определить преобразование, глядя на исходный и преобразованный графики, легко, потому что, просто взглянув на график, мы можем сказать, что график перемещается вверх на 2 единицы или влево на 3 единицы и т.
д. Но когда дан график, построение графика преобразование функции иногда затруднено. Следующие шаги значительно упрощают графические преобразования . Здесь мы преобразуем функцию y = f(x) в y = a f(b (x + c)) + d.
- Шаг 1: Запишите некоторые координаты исходной кривой, которые определяют ее форму. т. е. теперь мы знаем старые координаты x и y.
- Шаг 2: Чтобы найти новую координату x каждой точки, просто установите «b (x + c) = старая координата x» и решите это для x.
- Шаг 3: Чтобы найти новую координату y каждой точки, просто примените все внешние операции (скобки) к старой координате y. т. е. найдите ay + d, чтобы найти каждую новую координату y, где y — старая координата y.
Мы можем лучше понять эти шаги, используя приведенный ниже пример.
Пример: Следующий график представляет f(x). Нарисуйте график преобразования функции y = 2 f(x/2) + 3.
Решение:
Мы можем ясно видеть, что (-3, 2), (-1, 2), (2, -1 ) и (6, 1) определяют форму графика. Найдем новые координаты x и y каждой из этих точек.
| Старые точки | Новые очки |
|---|---|
| (-3, 2) | Новая координата x: x/2 = -3 ⇒ x = -6 |
| Новая координата y: 2(2) + 3 = 7 | |
| Новая точка: (-6, 7) | |
| (-1, 2) | Новая координата x: x/2 = -1 ⇒ x = -2 |
| Новая координата y: 2(2) + 3 = 7 | |
| Новая точка: (-2, 7) | |
| (2, -1) | Новая координата x: x/2 = 2 ⇒ x = 4 |
| Новая координата y: 2(-1) + 3 = 1 | |
| Новая точка: (4, 1) | |
| (6, 1) | Новая координата x: x/2 = 6 ⇒ x = 12 |
| Новая координата y: 2(1) + 3 = 5 | |
| Новая точка: (12, 5) |
Теперь нанесем все старые и новые точки на координатную плоскость и проследим за преобразованиями.
☛ Похожие темы:
- Матрица трансформации
- Линейно-дробное преобразование
Часто задаваемые вопросы о преобразованиях функций
Что такое преобразования функций?
Преобразования функций определяют, как графически изображать движение функции и как изменяется ее форма. В основном существует три типа преобразования функций: перевод, расширение и отражение.
Как найти преобразование функций?
Чтобы найти преобразования функции, мы должны определить, является ли это перемещением, расширением или отражением, а иногда это смесь некоторых/всех преобразований. Для функции y = f(x),
- , если число добавляется или вычитается внутри скобки, то это горизонтальный перенос. Если число отрицательное, то горизонтальное преобразование происходит с правой стороны. Если число положительное, то горизонтальное преобразование происходит с левой стороны.
- Если число добавляется или вычитается вне скобок, то это вертикальный перевод. Если число положительное, то вертикальный перенос происходит вверх. Если число отрицательное, то вертикальный перевод происходит вниз.
- Если число умножается или делится внутри скобок, то это расширение по горизонтали. Если число > 1, то это горизонтальное сжатие. Если число находится между 0 и 1, то это горизонтальное растяжение.
- Если число умножается или делится вне скобок, то это вертикальное расширение. Если число > 1, то это вертикальное растяжение. Если число находится в диапазоне от 0 до 1, то это вертикальное сжатие.
- Если функция умножается на знак минус внутри скобки, то это отражение относительно оси y.
- Если функция умножается на знак минус вне скобок, то это отражение относительно оси x.
Если число положительное, то вертикальный перенос происходит вверх. Если число отрицательное, то вертикальный перевод происходит вниз.Как объяснить преобразования функций?
Чтобы объяснить преобразования функций, мы должны применить правила преобразования функций. Например, 3 f(x + 2) — 5 получается путем применения следующих функциональных преобразований к f(x):
- горизонтального перемещения на 2 единицы влево.
- Вертикальное расширение с коэффициентом масштабирования 3.
- Вертикальное перемещение на 5 единиц вниз.
Каковы правила преобразования функций?
Правила преобразования функций для каждого из переноса, расширения и отражения:
- Горизонтальный перенос: имеет форму f(x + k) и перемещает f(x) на k единиц влево, если k > 0 и k единиц вправо, если k < 0,
Вертикальный перевод: имеет вид f(x) + k и перемещает f(x) на k единиц вверх, если k > 0, и на k единиц вниз, если k < 0. - Горизонтальное растяжение: оно имеет вид f(kx) и сжимает f(x), если k > 1, и растягивает f(x), если 0 < k < 1.
Вертикальное растяжение: имеет форму k f(x) и сжимает f(x), если 01. - Отражение относительно оси x имеет вид — f(x).
Отражение относительно оси y имеет вид f(-x).
Какие существуют типы преобразования функций?
В основном существует три типа преобразования функций.
- Перевод: сдвигает график исходной функции влево, вправо, вверх или вниз.
- Расширение: сжимает или растягивает график исходной функции по горизонтали или вертикали.
- Отражение: отражает график исходной функции (другими словами, создает зеркальное отображение исходной функции) относительно осей x или y.
Как проще всего запомнить преобразования функций?
Вот самый простой способ запомнить преобразования функций. Если что-то происходит внутри скобки, то это соответствует горизонтальным преобразованиям. Если что-то происходит за скобками, то это соответствует вертикальным преобразованиям. Если знак минус умножается либо снаружи, либо внутри скобки, то он соответствует отражению.
6.7 Скорости изменения тригонометрических функций
6.7 Скорости изменения тригонометрических функций
Полезные видеоролики
youtube.com/embed/K_bYVQElows?wmode=transparent&autoplay=0&mute=0&theme=dark&controls=1&autohide=0&loop=0&showinfo=0&rel=0&enablejsapi=0″ frameborder=»0″ title=»External YouTube» aria-label=»External YouTube» data-testid=»youtube» allowfullscreen=»»> 9 0002 Определить среднюю скорость изменения функцииy = 4 cos (x) + 3 для 0 < x < π/3
Шаг 1: Определите значения y для случаев, когда x = 0 и когда x = π/3
y = 4 cos (0) + 3 y = 4 cos ( π/3) + 3
= 4(1) + 3 = 4 (1/2) +3
= 7 = 2 + 3
0002 м = (y2 — y1) ÷ (x2 -x1)
= (5 — 7) ÷ (π/3- 0)
= -2 ÷ π/3
= — 1,91
Следовательно, средняя скорость изменения на этом интервале равна -1,91
Шаг 2) Используя формулу наклона, рассчитайте среднюю скорость изменения.
(ПРИМЕЧАНИЕ. Прежде чем продолжить, проще преобразовать угол из радианов в градусы.)Средняя скорость изменения тригонометрических функций определяется путем подстановки значений x в уравнение и определения значений y. Получив обе координаты, просто используйте формулу наклона: m=(y2 — y1)÷(x2 — x1). Полученное значение m представляет собой среднюю скорость изменения этой функции за этот интервал.
Мгновенная скорость изменения тригонометрических функций находится с использованием формулы наклона с координатами, полученными из значений x, которые немного выше и ниже рассматриваемого значения x на долю.
Ознакомьтесь с нашим руководством ниже, чтобы предоставить подробный пример того, как определить среднюю и мгновенную скорость изменения тригонометрических функций.
Скорость изменения тригонометрических функций определяется с помощью методов и стратегий, аналогичных тем, которые используются при работе с другими функциями.
Не помните? Хорошо, давайте кратко рассмотрим их!
Пример 1
Шаг 1) Определите значения y для случаев, когда t= 8,001 и t= 7,999. (ПРИМЕЧАНИЕ: используйте калькулятор для оценки). Не забудьте сохранить несколько (если не все) знаков после запятой.
y = 3 sin 6(7,999) + 11 y = 3 sin 6(8,001) + 11
= 13,22922425 = 13,229644 68
m = (y2 — y1) ÷ (x2 -x1)
= (13,22964468 -13,22922425) ÷ (8,001-7,999)
= (0,000420428 ÷ 0,002)
= 0,21
90 007
Следовательно, мгновенная скорость изменения на этом интервале равна 0,21.
Шаг 2) Используя формулу наклона, рассчитайте мгновенную скорость изменения.
Определите мгновенную скорость изменения следующей функции при t=8: y = 3 sin 6(t) + 11. 1. Определить среднее скорость изменения функции y =6 cos 2(x-π/3) + 5 для интервала π/3 x 2π/3.
2.
Как определить, является ли средняя скорость изменения синусоидальной функции положительной или отрицательной для интервала, прежде чем находить среднюю скорость изменения? Объяснять.
Уровень 3
Определите мгновенную скорость изменения при t = 14 для следующей функции: H(t) = 4 sin 5 (t) -10.
Проверить ответы
Уровень 4
4. Этой весной температура в Торонто, Онтарио, была ненормальной. Температура увеличилась с 0°C до 15°C и снова снизилась с 15°C до 0°C. Этот цикл повторялся каждые 12 часов. Выразите температуру как функцию времени и найдите мгновенную скорость изменения при t = 22,9.0007
Наверх
Другие полезные ссылки
Проверьте свою работу!
Ключевые понятия/советы
Определение средней скорости изменения или мгновенной скорости изменения ничем не отличается от расчета с помощью других функций. Те же стратегии используются и для других типов функций. Касательные линии встречаются в точках максимума и минимума функции, из-за ее периодического характера мгновенная скорость изменения равна 0 во многих областях, здесь также наклон касательных равен нулю.