Автор: alexxlab

Марганец. Строение атома, степени окисления. Оксиды, гидроксиды, соли. Перманганат калия

φ°(Mn2+/Mn) = –1,18 В.

Mn + 2h3O = Mn(OH)2 + h3↑.

Mn + 4HNO3 = Mn(NO3)2 + 2NO2↑ + 2h3O.

Э + 7HNO3 = HЭO4 + 7NO2↑ + 3h3O, где Э = Tc, Re.

Соединения марганца(II) MnO, Mn(OH)2 и соли катионного типа

При нагревании:

• MnCO3 = MnO + CO2,

• MnO + h3O = Mn(OH)2↓,

• MnSO4 + 2NaOH = Mn(OH)2↓ + Na2SO4,

• 2MnSO4 + 2h3O = (MnOH)2SO4 + h3SO4.

Восстановительные свойства:

• 2Mn(OH)2 + O2 = 2MnO2 + 2h3O,

• 2Mn(NO3)2 + 5NaBiO3 + 16HNO3 = 2HMnO4 + 5Bi(NO3)3 + 5NaNO3 + 7h3O,

• 3MnSO4 + 2KMnO4 + 2h3O = 5MnO2 + K2SO4 + 2h3SO4.

Mn2O3, слабое основание Mn(OH)3 и соли. Соединения марганца(III) легко диспропорционируют:

Соединения марганца(IV)

MnO2 – чёрно-бурый, Mn(SO4)2, Na2MnO3 (манганит натрия).

Окислительные свойства MnO2:

• MnO2 + 4H+ + 2ē = Mn2+ + 2h3O; φ° = 1,23 В.

• MnO2 + 4HCl = MnCl2 + Cl2↑ + 2h3O,

• MnO2 + 2KBr + h3SO4 = MnSO4 + Br2 + K2SO4 + h3O.

Восстановительные свойства MnO2 (при сплавл.):

Гидролиз:

При сплавлении:

Гидролиз:

Соли марганцовистой кислоты (h3MnO4) – манганаты.

Получение.

При сплавлении:

• 2KMnO4 + 2KOH + KNO2 = 2K2MnO4 + KNO3 + h3O,

• MnSO4 + 4KOH + 2KNO3 = K2MnO4 + 2KNO2 + K2SO4 + 2h3O,

• MnSO4 + 2Br2 + 8NaOH = Na2MnO4 + 4NaBr + Na2SO4 + 4h3O.

Диспропорционирование:

Окислительные свойства:

Восстановительные свойства:

Разложение при нагревании (500 °C):

Mn2O7, HMnO4 и её соли перманганаты.

Получение:

• 2MnSO4 + 5NaBiO3 + 16HNO3 = 2HMnO4 + 5Bi(NO3)3 + NaNO3 + 2Na2SO4 + 7h3O.

• 2MnSO4 + 5K2S2O8 + 8h3O = 2HMnO4 + 5K2SO4 + 7h3SO4.

• 2KMnO4 + h3SO4(конц.) = Mn2O7 + K2SO4 + h3O.

Сильные окислители, особенно в кислой среде:

• MnO4 — + 2h3O + 3ē = MnO2 + 4OH– ; φ° = +0,60 В;

• MnO4 — + ē = MnO4 2- ; φ° = +0,56 В;

• MnO4 — + 8H+ + 5 ē = Mn2+ + 4h3O; φ° = +1,51 В.

Окислительные свойства:

• 2KMnO4 + 6KI + 4h3O = 2MnO2 + 3I2 + 8KOH,

• 6KMnO4 + KI + 6KOH = 6K2MnO4 + KIO3 + 3h3O,

• 2KMnO4 + 10KI + 8h3SO4 = 2MnSO4 + 5I2 + 6K2SO4 + 8h3O.

Термическое разложение (выше 250 °C):

Водные растворы неустойчивы:

Разложение Mn2O7:

Mn(OH)2, Mn(OH)3, Mn(OH)4, (h3MnO4), HMnO4.

Основные свойства ослабевают, а кислотные свойства усиливаются в ряду выше.

что, как сбалансировать и часто задаваемые вопросы —

By Лубна Хан

Сульфат марганца (MnSO₄) представляет собой кислую ионную соль, а HCl (соляная кислота) представляет собой бесцветную кислоту с резким запахом. Рассмотрим подробно реакцию HCl-MnSO4.

Соляная кислота реагирует с сульфатом марганца по реакции замещения. MnSO4 — неорганическая гигроскопическая соль, которая поглощает влагу из воздуха с образованием гидратов, а HCl — сильная кислота, которая существует как в жидком, так и в парообразном состоянии.

В этой статье будут рассмотрены энтальпия реакции, продукты, молекулярные силы и другие факторы HCl и MnSO.₄ реакция в деталях.

Что является продуктом HCl и MnSO

MnCl₂ (дихлорид марганца) и H₂SO₄ (Серная кислота) образуются при HCl соединяется с MnSO₄.

MnSO₄ + HCl → MnCl₂ + H₂SO₄

Какой тип реакции HCl + MnSO?

HCl+MnSO₄ реакция является реакцией двойного замещения.

Как сбалансировать HCl + MnSO

Реакция MnSO₄ с HCl уравновешивается с помощью следующих шагов,

MnSO₄ + HCl → MnCl₂ + H₂SO₄

• Первым шагом является определение элементов, участвующих в реакции. Здесь в реагентах и ​​продуктах присутствуют Mn, H, Cl, S и O.

• Перед соединениями добавляются коэффициенты, чтобы сбалансировать количество элементов с обеих сторон. Коэффициент 2 добавляется перед HCl, чтобы сбалансировать H и Cl. Сбалансированное уравнение будет
• MnSO₄ + 2HCl → MnCl₂ + H₂SO₄

HCl + MnSO

HCl нельзя использовать для титрования MnSO.₄ так как оба являются сильными кислотами. Также не наблюдается отчетливого изменения окраски реакции.

HCl + MnSO

Чистое ионное уравнение для MnSO₄ + HCl is

MnSO₄(водн.) + 2HCl (водн.) → MnCl₂(вод) + H₂SO₄(Водно)

Шаги, необходимые для получения чистого ионного уравнения перечислены ниже,

• Уравнение уравновешивается на первом шаге. Используя стехиометрические коэффициенты, мы можем приравнять количество элементов с обеих сторон. Уравнение дано,
• MnSO₄ + 2HCl → MnCl₂ + H₂SO₄

• Указаны физические состояния веществ.
• MnSO₄(водн.) + 2HCl (водн.) → MnCl₂(вод) + H₂SO₄(Водно)

• Расщепление сильных электролиты в их ионы. Все соединения, участвующие в этой реакции, являются сильными электролитами.
• Mn²⁺(водн.) + SO₄^2-(водн.) + 2H⁺(водн.) + 2Cl^–(водн.) → Mn²⁺(водн.) + 2Cl^–(водн.) + 2H⁺(водн.) + SO₄^2-(Водно)

• Все ионы являются ионами-спектаторами, поэтому чистой реакции нет. Итак, результирующее ионное уравнение для HCl+MnSO₄ is счислимый.
• MnSO₄(водн.) + 2HCl (водн.) → MnCl₂(вод) + H₂SO₄(Водно)

HCl + MnSO

Сопряженные кислотно-основные пары образуются из HCl-MnSO₄.

• HCl как кислота выделяет H⁺ и формы Cl^– как его сопряженное основание.
• SO₄^2- ион, действующий как основание, занимает H⁺ образуя сопряженную кислоту ( H₂SO₄).

HCl и MnSO

• Диполь-дипольные взаимодействия. а также Лондон-дисперсионные силы присутствуют как межмолекулярные силы между молекулами HCl .
• MnSO₄ показывает ион-дипольные взаимодействия так как это ионная соль.

HCl + MnSO

MnSO₄+HCl энтальпия реакции составляет -12. 6 кДж/моль. Энтальпия рассчитывается с использованием табличных значений,

∆Н_f^° = ∆Н_f^°(продукты) – ∆H_f^°(реагенты)

= 1464.4 – 1451.8 = -12.6 кДж/моль

HCl + MnSO

₄ буферный раствор

MnSO₄ + HCl не образует буферный раствор поскольку используемая кислота (HCl) является сильной кислотой, и ее комбинация с солью марганца (MnSO₄) не будет сопротивляться изменению pH.

HCl + MnSO

₄ полная реакция

MnSO₄ + HCl является полной реакцией, так как образующиеся продукты достаточно растворимы и в дальнейшую реакцию не вступают.

HCl + MnSO

₄ экзотермическая или эндотермическая реакция

MnSO₄+HCl реакция экзотермический так как в ходе реакции выделяется большое количество тепла.

HCl + MnSO

₄ окислительно-восстановительная реакция

MnSO₄ + Реакция HCl не является окислительно-восстановительной реакцией, поскольку степени окисления элементов не не показывать никаких изменений.

HCl + MnSO

₄ реакция осаждения

HCl+MnSO₄ реакция не дает осадка, так что это не реакция осаждения. Полученные продукты полностью растворимы..

HCl + MnSO

₄ обратимая или необратимая реакция

MnSO₄ + Реакция HCl является необратимой реакцией, поскольку водород, будучи менее реакционноспособным, не может вытеснить Mn из его соли, что делает обратную реакцию менее возможной.

HCl + MnSO

₄ реакция смещения

Реакция MnSO₄ + HCl представляет собой реакция двойного замещения. Поскольку марганец более реакционноспособен, он вытесняет водород из HCl и образует MnCl.₂ а потом Х⁺ далее сочетается с SO₄^2- ион с образованием H₂SO₄.

Заключение

MnSO₄ имеет широкое применение в животноводстве и сельском хозяйстве. Марганцевая соль (MnCl₂) используется в качестве предшественника для синтеза бесчисленного множества марганцевых соединений.

Какова степень окисления Mn в \[\text{KMn}{{\text{O}}_{4}},\text{ }{{\text{K}}_{2}}\text{ Mn}{{\text{O}}_{4}},\text{MnS}{{\text{O}}_{4}},\text{Mn}{{\text{O}}_{ 2}}\text{ и M}{{\text{n}}_{3}}{{\text{O}}_{4}}\] соответственно: A. +7, +6, +2, +4, \[+\dfrac{8}{3}\]В. +4, +6, +2, +4, \[+\dfrac{8}{3}\]С. +7, +6, +2, +3, \[+\dfrac{8}{3}\]D. Ни один из этих

Ответить

Проверено

230. 3k+ просмотров

Подсказка : Число окисления также известно как степень окисления. Это число, которое говорит нам, сколько электронов было потеряно или получено атомом. Отдельные элементы всегда имеют нулевую степень окисления в каждой реакции.

Полное пошаговое решение :
— Чтобы определить степень окисления атома, мы будем рассматривать его как «X».
— Таким образом, чтобы рассчитать степень окисления марганца в \[\text{KMn}{{\text{O}}_{4}}\], мы будем рассматривать степень окисления марганца как «X».
— Мы знаем, что степень окисления калия и кислорода +1 и -2.

-Итак, уравнение примет вид:
$\begin{align}
  & \text{+1 + x — 8 = 0} \\
 & \text{x = +7} \\
\end{align}$
 -Следовательно, степень окисления Mn равна +7.

— Аналогично, степень окисления Mn в ${{\text{K}}_{2}}\text{Mn}{{\text{O}}_{4}}$ будет
$\begin {align}
  & +2\text{ + x — 8 = 0} \\
 & \text{x = +6} \\
\end{align}$
-Значит, степень окисления Mn равна +6

-Теперь степень окисления Mn в $\text{MnS}{{\text{O}}_{4}}$ будет
$\begin{align}
  & \text{x + 6 — 8 = 0} \\
 & \text{x — 2 = 0} \\
 & \text{x = +2} \\
\end{align}$

-Мы знаем, что степень окисления серы в сульфат-ионе равна +6, поэтому мы поставили +6 как степень окисления серы.
-Значит, степень окисления марганца +2.
— Теперь мы рассчитаем степень окисления Mn в $\text{Mn}{{\text{O}}_{2}}$
$\begin{align}
  & \text{x — 4 = 0 } \\
 & \text{x = +4} \\
\end{align}$
-Значит, степень окисления Mn равна +2.
-Теперь мы рассчитаем степень окисления Mn в \[\text{M}{{\text{n}}_{3}}{{\text{O}}_{4}}\]
\[\begin{align}
  & 3\text{x — 8 = 0} \\
 & \text{x = +}\dfrac{8}{3} \\
\end{align}\]
-Значит, степень окисления Mn +8/3.

Следовательно, вариант А. является правильным ответом.

Примечание : Перманганат калия относится к категории сильных окислителей. Сера имеет много степеней окисления, таких как -2, 0, +2, +4, +6, и это зависит от связи серы с другими атомами. Как и в сульфате марганца, сера имеет степень окисления +6.

Дата последнего обновления: 13 мая 2023

•

Всего просмотров: 230.3k

•

Просмотров сегодня: 3.92k

Недавно обновленные страницы

900 02 В Индии по случаю бракосочетания фейерверк 12 класс химия JEE_Main

Щелочноземельные металлы Ba, Sr, Ca и Mg могут быть отнесены к 12 классу химии JEE_Main

Что из следующего имеет самый высокий электродный потенциал 12 класс химии JEE_Main

Что из следующего является истинным пероксидом A rmSrmOrm2 класс 12 химии JEE_Main

Какой элемент обладает наибольшим атомным радиусом А 11 класс химии JEE_Main

Фосфин получают из следующей руды Кальций 12 класс химии JEE_Main

В Индии по случаю браков фейерверки 12 класса химии JEE_Main

Щелочные земляные металлы Ba Sr Ca и Mg могут быть расположены химический класс 12 JEE_Main

Что из следующего имеет самый высокий электродный потенциал химический класс 12 JEE_Main

Что из следующего является истинным пероксидом A rmSrmOrm2 химический класс 12 JEE_Main

Какой элемент обладает наибольшим атомным радиусом А Химический класс 11 JEE_Main

Фосфин получают из следующей руды А Кальций 12 химического класса JEE_Main

Актуальные сомнения

900 00 T3DB: Сульфат марганца 9 0112 Дата обновления 901 07 90 114 InChI=1S/Mn .h3O4S/c;1-5(2,3)4/h;(h3,1,2,3,4)/q+2;/p-2 9011 4 Оксоанионные соединения переходных металлов 901 07 9011 4 Нет в наличии 9010 8 Справочные материалы

Информация о записи
Версия	2. 0
Дата создания	2009-06-19 21:58:20 UTC
24-12-2014 20:23:11 UTC
Регистрационный номер	T3D1131
Идентификационный номер
Общее название	Сульфат марганца
Класс	Малая молекула
Описание	Сульфат марганца представляет собой сульфат марганца. Это предшественник металлического марганца и многих химических соединений, таких как диоксид марганца. Марганец представляет собой встречающийся в природе металл с символом Mn и атомным номером 25. Он не встречается в природе в чистом виде, но встречается во многих типах горных пород в сочетании с другими веществами, такими как кислород, сера или хлор. Марганец содержится в большинстве продуктов питания, и для поддержания здоровья необходимы небольшие количества, так как ионы марганца действуют как кофакторы для ряда ферментов. (3, 4, 5)
Тип соединения	Пищевой токсин Бытовой токсин Неорганическое соединение Соединение марганца Загрязнитель Синтетическое соединение
Химическая структура
Синонимы	Синоним 9 0109 Димарганца трис(сульфат) Димарганца трисульфат Марганца (II) сульфат моногидрат Марганца моносульфат Марганца сульфат (MnSO4) моногидрат Марганец с сульфокислота Сульфат марганца Марганец сульфокислота Марганец сульфат Сульфат марганца Моногидрат сульфата марганца Моногидрат сульфата марганца(II) Серная кислота, соль марганца (3+) (3:2)
Химическая формула	MnO 4 S
Средняя молекулярная масса	151,001 г/моль
Масса моноизотопа	150,890 г/моль
Регистрационный номер CAS	7785-87-7
Название IUPAC 9 0109	сульфат марганца(2+) ион
Традиционное название	сульфат марганца(2+)
SMILES	[Mn++]. [O-]S([O-])(=O)=O
Идентификатор InChI
Ключ ИнЧИ	ИнЧИКей=SQQMAOCOWKFBNP-UHFFFAOYSA -L
Химическая таксономия
Описание	принадлежит к классу неорганических соединений, известных как сульфаты переходных металлов. Это неорганические соединения, в которых самым большим оксоанионом является сульфат, а самым тяжелым атомом, не входящим в оксоанион, является переходный металл.
Королевство	Неорганические соединения
Суперкласс	Смешанные соединения металлов и неметаллов
Класс
Подкласс	Сульфаты переходных металлов
Прямые исходные вещества	Сульфаты переходных металлов
Альтернативные исходные вещества	Неорганические соли Неорганические оксиды
Заместители	Сульфат переходного металла Неорганический оксид Неорганическая соль
Молекулярный каркас	Нет в наличии
Внешние дескрипторы	сульфат металла (CHEBI: 86360 ) молекулярная сущность марганца (CHEBI:86360 )
Биологические свойства 9		Статус	Обнаружено и не определено 14 Цитоплазма Внеклеточный
Биофлюиды	Нет в наличии
Ткани	Нет
Пути	Недоступно
Приложения	Недоступно
Биологические роли	Недоступно
Химические роли	Недоступно
Физические свойства
Состояние	Твердое вещество
Внешний вид	Твердое вещество бледно-красного цвета.
Экспериментальные свойства	Свойства Значение Температура плавления 710°C (безводный) 27°C (тетрагидрат) Температура кипения 850°C Растворимость Нет в наличии 90 115 ЛогП Нет в наличии
Прогнозируемые свойства	Свойство Значение Источник logP -0,84 ChemAxon pKa (сильнейшая кислота) -3 ChemAxon Physiological Charge -2 ChemA xon Подсчет акцепторов водорода 4 ChemAxon Подсчет доноров водорода 0 ChemAxon Площадь полярной поверхности 80,26 Ų ChemAxon Вращающийся счетчик соединений 0 ChemAxon Рефракция 11,53 м³·моль⁻¹ ChemAxon Поляризуемость 0 114 1 ChemAxon Правило пяти Да ChemAxon Ghose Filter Да 901 15 ХимАксон Правило Вебера Да ChemAxon Правило, подобное MDDR Да ChemAxon 9 0115
Spectra
Spectra	90 112 Описание Тип спектра Ключ для брызг Дата осаждения Просмотр Прогнозируемый LC-MS/MS Прогнозированный LC-MS/MS-спектр-10 В, положительный . 0115 splash20-0udi-0 0000-230130d7cb161c0417e2 02.08.2016 Просмотр спектра Прогноз ЖХ-МС/МС Прогнозируемый спектр ЖХ-МС/МС — 20 В, положительный всплеск20-0udi-0 0000 -230130d7cb161c0417e2 02.08.2016 Просмотр спектра Прогноз ЖХ-МС/МС Прогнозируемый спектр ЖХ-МС/МС — 40 В , Положительный всплеск20-0udi-0 0000-230130d7cb161c0417e2 2016-08 -02 Просмотр спектра Расчетный спектр ЖХ-МС/МС Прогнозируемый спектр ЖХ-МС/МС — 10 В, отрицательный 3d3de2afbc7 03.08.2016 Просмотр спектра Расчетный спектр ЖХ-МС/МС Прогнозируемый спектр ЖХ-МС/МС — 20 В, отрицательный результат Просмотр спектра Прогноз ЖХ-МС/МС Спрогнозированный спектр ЖХ-МС/МС — 40 В, отрицательный
Профиль токсичности
Путь воздействия	Оральный (3) ; вдыхание (3)
Механизм токсичности	Марганец является клеточным токсикантом, который может нарушать транспортные системы, активность ферментов и функции рецепторов. Он в первую очередь нацелен на центральную нервную систему, особенно на бледный шар базальных ганглиев. Считается, что ион марганца, Mn(II), усиливает самоокисление или обмен различных внутриклеточных катехоламинов, что приводит к увеличению образования свободных радикалов, активных форм кислорода и других цитотоксических метаболитов, наряду с истощением клеточных механизмов антиоксидантной защиты. что приводит к окислительному повреждению и избирательному разрушению дофаминергических нейронов. Считается, что помимо дофамина марганец воздействует на другие нейротрансмиттеры, такие как ГАМК и глутамат. Чтобы вызвать окислительное повреждение, марганец должен сначала подавить антиоксидантный фермент марганцевую супероксиддисмутазу. Нейротоксичность Mn(II) также связана с его способностью замещать Ca(II) в физиологических условиях. Он может проникать в митохондрии через унипортер кальция и ингибировать митохондриальное окислительное фосфорилирование. Он также может ингибировать отток Ca(II), что может привести к потере целостности митохондриальной мембраны. Было показано, что Mn(II) ингибирует активность митохондриальной аконитазы до значительного уровня, изменяя метаболизм аминокислот и гомеостаз клеточного железа. (3)
Метаболизм	Марганец всасывается главным образом при приеме внутрь, но также может поступать при вдыхании. Он связывается с альфа-2-макроглобулином, альбумином или трансферрином в плазме и распределяется в головном мозге и всех других тканях млекопитающих, хотя имеет тенденцию накапливаться больше в печени, поджелудочной железе и почках. Марганец может существовать в нескольких степенях окисления и, как полагают, претерпевает изменения степени окисления в организме. Степень окисления марганца может влиять на токсикокинетическое поведение тканей и, возможно, на токсичность. Марганец выводится преимущественно с фекалиями. (3)
Значения токсичности	LD50: 305 мг/кг (перорально, мышь) (1) LD50: 64 мг/кг (внутрибрюшинно, мышь) (1) LD50: 146 мг/кг (подкожно, мышь) (1)
Смертельная доза	Недоступно
Канцерогенность (Классификация IARC)	Нет указаний на канцерогенность для человека (не указано) от МАИР).
Использование/Источники	Сульфат марганца является предшественником металлического марганца и многих химических соединений, таких как диоксид марганца. (5)
Минимальный уровень риска	Хроническое вдыхание: 0,0003 мг/м3 (2)
Влияние на здоровье	Манганец в основном влияет на нервную систему и может вызвать поведенческие изменения и другие эффекты нервной системы, которые включают перемещения, которые могут стать, которые могут стать, которые могут стать перемещениями, которые могут стать перемещениями. медленный и неуклюжий. Эта комбинация симптомов, когда она достаточно тяжелая, называется «манганизмом». (3)
Симптомы	Марганец в основном влияет на нервную систему и может вызывать изменения в поведении и другие эффекты нервной системы, включая движения, которые могут стать медленными и неуклюжими. Эта комбинация симптомов, когда она достаточно тяжелая, называется «манганизмом». (3)
Лечение	ГЛАЗА: промывать открытые глаза в течение нескольких минут под проточной водой. ПРОГЛАТЫВАНИЕ: не вызывать рвоту. Прополоскать рот водой (никогда ничего не давать в рот человеку, находящемуся без сознания). Немедленно обратитесь за медицинской помощью. КОЖА: следует немедленно обработать путем промывания пораженных участков холодной проточной водой в течение не менее 15 минут с последующим тщательным мытьем водой с мылом. При необходимости человек должен принять душ и сменить загрязненную одежду и обувь, а затем обратиться за медицинской помощью. ВДЫХАНИЕ: приток свежего воздуха. При необходимости обеспечить искусственное дыхание.
Нормальные концентрации
	Недоступно
Аномальные концентрации
	Недоступно 9 0115
Внешние ссылки
Идентификатор DrugBank	Недоступно
Идентификатор HMDB	Недоступно
Идентификатор соединения PubChem	24580
Идентификатор CheMBL	CHEMBL2103742
ChemSpider ID	22984
KEGG ID	Недоступно
UniProt ID
OMIM ID
ЧЭБИ ID	Нет в наличии
BioCyc ID	Нет в наличии
CTD ID	C039798
ID стежка	Сульфат марганца
Идентификатор PDB	Недоступно
ID АКТОРА	12206
Ссылка на Википедию	Недоступно
Ссылка на синтез	Недоступно
MSDS	T3D1131. Угол 1 10 сколько градусов: Нормальные конусности и углы alexxlab / 16.08.202322.05.2023 / Разное Нормальные конусности и углы Нормальные конусности и углы Главконструктор 3D сканирование и конструкторские услуги ru en Источник: ГОСТ 8593-81  Конусность К есть отношение разности диаметров двух поперечных сечений конуса к расстоянию между ними. Уклон «i» есть отношение разности размеров двух поперечных сечений к расстоянию между ними. Таблица 1. Углы конусности Конусность К Угол конуса 2а Угол уклона а Исходное значение (К или 2а) 1:200 0°7’11» 0°8’36» 1:200 1:100 0°34’23» 0°17’11» 1:100 1:50 1°8’46» 0°34’23» 1:50 1:30 1°54’35» 0°57’17» 1:30 1:20 2°51’51» 1°25’56» 1:20 1:15 3°49’6″ 1°54’33» 1:15 1:12 4°46’19» 2°23’9″ 1:12 1:10 5°43’29» 2°51’45» 1:10 1:8 7°9’10» 3°34’35» 1:8 1:7 8°10’16» 4°5’8″ 1:7 1:5 11°25’16» 5°42’38» 1:5 1:3 18°55’29» 9°27’44» 1:3 1:1,866 30° 15° 30° 1:1,207 45° 22°30′ 45° 1:0,866 60° 30° 60° 1:0,652 75° 37°30′ 75° 1:0,500 90° 45° 90° 1:0,289 120° 60° 120°   К оглавлению   Уклон и Конусность — Определение, обозначение на чертеже, формула расчёта уклона и конусности ChertimVam. Ru Иногда, в задачах по начертательной геометрии или работах по инженерной графике, или при выполнении других чертежей, требуется построить уклон и конус. В этой статье Вы узнаете о том, что такое уклон и конусность, как их построить, как правильно обозначить на чертеже. Что такое уклон? Как определить уклон? Как построить уклон? Обозначение уклона на чертежах по ГОСТ. Уклон. Уклон это отклонение прямой линии от вертикального или горизонтального положения. Определение уклона. Уклон определяется как отношение противолежащего катета угла прямоугольного треугольника к прилежащему катету, то есть он выражается тангенсом угла а. Уклон можно посчитать по формуле i=AC/AB=tga. Построение уклона. На примере (рисунок ) наглядно продемонстрировано построение уклона. Для построения уклона 1:1, например, нужно на сторонах прямого угла отложить произвольные, но равные отрезки. Такой уклон, будет соответствовать углу в 45 градусов. Для того чтобы построить уклон 1:2, нужно по горизонтали отложить отрезок равный по значению двум отрезкам отложенным по вертикали. Как видно из чертежа, уклон есть отношение катета противолежащего к катету прилежащему, т. е. он выражается тангенсом угла а. Обозначение уклона на чертежах. Обозначение уклонов на чертеже выполняется в соответствии с ГОСТ 2.307—68. На чертеже указывают величину уклона с помощью линии-выноски. На полке линии-выноски наносят знак и величину уклона. Знак уклона должен соответствовать уклону определяемой линии, то есть одна из прямых знака уклона должна быть горизонтальна, а другая должна быть наклонена в ту же сторону, что и определяемая линия уклона. Угол уклона линии знака примерно 30°. Что такое конусность? Формула для расчёта конусности. Обозначение конусности на чертежах. Конусность. Конусностью называется отношение диаметра основания конуса к высоте. Конусность рассчитывается по формуле К=D/h, где D – диаметр основания конуса, h – высота. Если конус усеченный, то конусность рассчитывается как отношение разности диаметров усеченного конуса к его высоте. В случае усечённого конуса, формула конусности будет иметь вид: К = (D-d)/h. Обозначение конусности на чертежах. Форму и величину конуса определяют нанесением трех из перечисленных размеров: 1) диаметр большого основания D; 2) диаметр малого основания d; 3) диаметр в заданном поперечном сечении Ds , имеющем заданное осевое положение Ls; 4) длина конуса L; 5) угол конуса а; 6) конусность с . Также на чертеже допускается указывать и дополнительные размеры, как справочные. Размеры стандартизованных конусов не нужно указывать на чертеже. Достаточно на чертеже привести условное обозначение конусности по соответствующему стандарту. Конусность, как и уклон, может быть указана в градусах, дробью (простой, в виде отношения двух чисел или десятичной), в процентах. Например, конусность 1:5 может быть также обозначена как отношение 1:5, 11°25’16», десятичной дробью 0,2 и в процентах 20. Для конусов, которые применяются в машиностроении, OCT/BKC 7652 устанавливает ряд нормальных конусностей. Нормальные конусности — 1:3; 1:5; 1:8; 1:10; 1:15; 1:20; 1:30; 1:50; 1:100; 1:200. Также в могут быть использованы — 30, 45, 60, 75, 90 и 120°. Расчет уклона и общих уклонов в архитектуре Архитекторы постоянно предоставляют информацию об уклоне на своих чертежах, используя градиенты, градусы или проценты в зависимости от приложения. Например, крыши отмечаются с помощью уклонов, а поперечные уклоны тротуаров обычно обозначаются в градусах. Полезно понять, как рассчитать каждый метод. Расчет градиента уклона Расчет уклона в процентах Расчет уклона в градусах Таблица общих уклонов в архитектуре Уклоны крыши Крыши с малым уклоном Крыши с крутым уклоном Откосы водопроводных труб Существует три различных способа указания наклона поверхности относительно горизонтальной плоскости: градусы, градиент и проценты. Расчет градиента уклона Расчет градиента уклона Градиенты уклона записываются в виде Y:X, где Y — единица подъема, а X — протяженность. Оба числа должны использовать одни и те же единицы измерения. Например, если вы путешествуете на 3 дюйма по вертикали и на 3 фута (36 дюймов) по горизонтали, уклон составит 3:36 или 1:12. Это читается как «один из двенадцати наклонов». Расчет процента уклона Расчет процента уклона Процент уклона рассчитывается почти так же, как градиент. Переведите рост и пробег в одни и те же единицы, а затем разделите рост на пробег. Умножьте это число на 100, и вы получите процент наклона. Например, подъем 3 дюйма, разделенный на длину 36 дюймов = 0,083 x 100 = уклон 8,3%. Вычисление уклона в градусах Вычисление уклона в градусах Самый сложный способ вычисления уклона — в градусах, и он требует немного математики средней школы. Тангенс данного угла (в градусах) равен подъему, деленному на пробег. Следовательно, арктангенс подъема, деленный на разбег, даст угол. Таблица общих уклонов в архитектуре В таблице ниже показаны некоторые распространенные уклоны. Полы с уклоном 1:20 не требуют поручней, но все, что круче 1:20, считается пандусом и требует наличия поручней. Пандусы с наклоном 1:12 — это максимальный уклон, разрешенный кодами ADA, и для них требуются поручни. Федеральные коды ADA указывают, что максимальный поперечный уклон доступного маршрута составляет 1:48, что составляет чуть более 2%. Однако мы видели некоторые юрисдикции, которые допускают максимальный поперечный уклон 1:50. В следующей таблице представлены распространенные уклоны по уклону (градусы и проценты рассчитаны): 9 0059 1 : 12 90 055 Градиент Градусы Проценты 4,76° 8,33% 1 : 20 2,86° 5% 1 : 48 1,19° 2,08% 1 : 50 1,15° 2% Далее у нас есть некоторые общие наклоны в градусах (градиент и процент вычисляются): 057
1°	1 : 57,29	1,75%
5°	1 : 11,43	8,75%
10°	1 : 5,67	17,63%
15°	1 : 3,73	26,79%
30°	1 : 1,73	57,74%
45°	1 : 1	10 0%
60°	1 : 0,58	173,21%
90°	1 : 0	инф.

Наконец, вот список некоторых распространенных наклонов в процентах (градусы и градусы рассчитываются):0055 1% 1 : 100 0,57° 2% 1 : 50 1,15° 5% 1 : 20 2,86° 25% 1 : 4 14,04° 50% 1 : 2 26,57° 900 48 100% 1 : 1 45°

Уклоны крыши

Уклоны крыши идентифицируются с использованием описанного выше градиентного метода, где подъем варьируется, но уклон обычно равен 12. На некоторых очень крутых крышах вы можете увидеть инвертированный уклон, так что уклон меняется, но подъем сохраняется равным 12.

Крыши с малым уклоном

Крыши с малым уклоном имеют уклон 3:12 или меньше. Они должны иметь мембранную систему крыши для обеспечения водонепроницаемости.

9 0059 1,19°

НАКЛОН КРЫШИ	ГРАДУСЫ	ПРОЦЕНТЫ
1/4 : 12	2,08%
1/2 : 12	2,39°	4,17%
1 : 12	4,76°	8,3%
2 : 12	9,46°	16,67%
3 : 12	14,04°	25%

Крыши с крутым уклоном

Все, что выше 3:12, считается крутой крышей и может быть покрыто с металлическими панелями, черепицей или черепицей — эти крыши не пропускают воду и не считаются водонепроницаемыми.

900 59 18,43° 90 059 75%

НАКЛОН КРЫШИ	ГРАДУСЫ	ПРОЦЕНТЫ
4 : 12	33,33%
5 : 12	22,62°	41,67%
6 : 12 900 60	26,57°	50%
7 : 12	30,26°	58,33%
8 : 12	33,69°	66,67%
9 : 12	36,87°
10 : 12	39,81°	83,33%
11 : 12	42,51°	91,67%
12 : 12	45°	100%

9 0002 Крыши могут быть круче, чем показано в таблице выше. На самом деле крыша может быть почти вертикальной.

Уклоны водопроводных труб

Как обсуждалось в нашей статье об уклонах труб, уклоны дренажных и канализационных труб, как правило, минимальны. Идея состоит в том, чтобы поддерживать поток воды и твердых частиц. Используются три общих уклона, на которые ссылаются в Международном сантехническом кодексе. 91 /4″ на фут 2,08% 1/4 : 12 2 1/2″ или меньше 1/8 дюйма на фут 1,04% 1/8 : 12 от 3 до 6 дюймов 1/16 дюйма на фут 0,52% 1/16 : 12 8″ или больше

Статья обновлена: 29 ноября 2022 г.

Помогите сделать Archtoolbox лучше для всех. Если вы обнаружили ошибку или устаревшую информацию в этой статье (даже если это всего лишь незначительная опечатка), сообщите нам об этом.

Полезные инструменты для архитекторов и проектировщиков зданий

Калькулятор центрального угла. Найдите длину дуги, радиус, центральный угол

Автор: Jasmine J Mah0003 Содержание:

• Что такое центральный угол?
• Откуда берется формула центрального угла?
• Калькулятор угла окружности в пересчете на пиццу
• Сколько кусочков пиццы с центральным углом в 1 радиан можно отрезать от круглой пиццы?
• Бонусное задание – Как далеко Земля перемещается в каждое время года?
• Часто задаваемые вопросы

Вы когда-нибудь задумывались, как найти центральный угол окружности? Калькулятор центрального угла здесь, чтобы помочь; единственные переменные, которые вам нужны, это длина дуги и радиус.

Читайте дальше, чтобы узнать определение центрального угла и как использовать формулу центрального угла.

Что такое центральный угол?

Центральный угол — это угол с вершиной в центре круга, стороны которого выходят на окружность. Вы можете представить, что центральный угол находится на кончике куска пиццы в большой круглой пицце.

Центральный угол окружности можно найти по формуле:

θ = L / r

, где θ — центральный угол в радианах, L — длина дуги, а r — радиус.

Откуда берется формула центрального угла?

Простота формулы центрального угла проистекает из определения радиана. радиан — это единица углового размера, где 1 радиан определяется как центральный угол ( θ ), длина дуги которого равна радиусу ( L = r ).

Калькулятор угла окружности в терминах пиццы

Поскольку математика может сделать людей голодными, мы могли бы лучше понять центральный угол в терминах пиццы. Хотите верьте, хотите нет, но пицца отлично подходит для объяснения математики круга, как вы можете видеть на нашем калькуляторе размера пиццы Каким был бы центральный угол для куска пиццы, если длина корки (LLL) была равна радиусу ( ррр)?

Поскольку задача определяет L=rL = rL=r, и мы знаем, что 111 радиан определяется как центральный угол, когда L=rL = rL=r, мы можем видеть, что центральный угол равен 111 радианам. Мы также могли бы использовать формулу центрального угла следующим образом:

θ=Lr=LL=1 рад\begin{split} \theta&=\frac{L}{r}\\[1em] &=\frac{L}{L}\\[1em] &=1\ \mathrm{рад} \end{split}θ​=rL​=LL​=1 рад​

Сколько кусочков пиццы с центральным углом в 1 радиан вы могли бы отрезать от круглой пиццы?

Мы знаем, что в полной круглой пицце центральные углы всех ломтиков в сумме составляют 2π радиан = 360°. Поскольку каждый срез имеет центральный угол 111 радиан, нам потребуется 2π/1=2π2\pi / 1 = 2\pi2π/1=2π срезов или 6 286 286,28 срезов, чтобы заполнить полный круг.

Мы приходим к тому же ответу, если рассматривать эту задачу в терминах корочки для пиццы: мы вычисляем длину окружности 2πr2\pi r2πr. Так как длина корочки = радиус, то по периметру пиццы поместится 2πr/r=2π2\pi r / r = 2\pi2πr/r=2π корок.

Теперь, если вы все еще голодны, взгляните на калькулятор площади сектора, чтобы рассчитать площадь каждого кусочка пиццы!

Бонусное задание – Как далеко Земля перемещается в каждое время года?

Попробуйте использовать калькулятор центрального угла в обратном порядке, чтобы решить эту проблему. Земля примерно 1490,6 млн км от Солнца. Если Земля проходит около четверти своей орбиты каждый сезон, сколько километров Земля проходит каждый сезон (например, с весны до лета)?

Давайте подойдем к этой проблеме шаг за шагом:

1. Упростите задачу, предположив, что орбита Земли круговая ( Орбита Земли на самом деле эллиптическая и постоянно меняется ). В этой модели Солнце находится в центре круга, а орбита Земли — это окружность.

2. Радиус — это расстояние от Земли и Солнца: 149,6149,6149,6 млн км.

3. Центральный угол равен четверти окружности: 360°/4=90°360\градус / 4 = 90\градус360°/4=90°.

4. Используйте калькулятор центрального угла, чтобы найти длину дуги .

Вы можете сами попробовать произвести окончательный расчет, изменив формулу следующим образом:

L=θ⋅rL = \theta \cdot rL=θ⋅r 96\ \mathrm{км} \end{split}L​=1,57⋅149,6×106 км=234,9×106 км​

Если предположить, что по идеально круговой орбите Земля проходит примерно 234,9 млн км каждый сезон!

Часто задаваемые вопросы

Как найти центральный угол окружности?

Чтобы найти центральный угол окружности, используйте формулу:

θ = L / r

где:

• θ — центральный угол в радианах;
• L — Длина дуги; и
• r — Радиус окружности.

Число 49

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители…

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел…

Сейчас изучают числа:

1901519033 5883 145 630 630 и 198 180 20210407 7600284419 385793 и 707 1127390 и 8512886 1496 7091 19007 33392 144000 12019 2914 1844 1043 5837 594846 4981289 5000000000 2922

Сорок девять

Описание числа 49

Целое неотрицательное двузначное нечетное число 49 является составным числом. 49 – полупростое число. Произведение всех цифр: 36. У числа 3 делителя: 1, 7, 49. 57 — сумма делителей. Обратное число для 49 — это 0.02040816326530612.
Число 49 представляется произведением: 7 * 7.

Другие системы счисления: двоичная система счисления: 110001, троичная система счисления: 1211, восьмеричная система счисления: 61, шестнадцатеричная система счисления: 31. Число байт 49 – это 49 байтов .

Число 49 азбукой Морзе: ….- —-.

Число 49 — не число Фибоначчи.

Косинус числа 49: 0.3006, синус числа 49: -0.9538, тангенс числа 49: -3.1729. Натуральный логарифм числа: 3.8918. У числа 49 есть десятичный логарифм: 1.6902. 7 — квадратный корень, 3.6593 — кубический корень. Возведение числа в квадрат: 2401.0.

Конвертация из числа секунд это 49 секунд . В нумерологии число 49 означает цифру 4.

• ← 48
• 50 →

делители, простота, двоичный вид, куб, квадрат

Укажите число, чтобы получить всю информацию о нем:

 Случайное число

Четность:	Число 49 является нечетным.
Сумма цифр:	13
Произведение цифр:	36
Количество цифр:	2
Все делители числа	1 7 49
Количество делителей	3
Сумма делителей	57
Простое число	Составное число
Квадратный корень	7
Кубический корень	3,65930571002297
Квадрат	2401
Куб	117649
Обратное число	0,0204081632653061
Предыдущее число: 48	Следующее число: 50

Целое положительное число 49 является двузначным. Оно записывается 2 цифрами. Сумма цифр, из которых состоит число 49, равна 13, а их произведение равно 36. Число 49 является нечетным. Всего число 49 имеет 3 делителей: 1, 7, 49, . Сумма делителей равна 57. Куб числа 49 равен 2401, а квадрат составляет 117649. Квадратный корень рассматриваемого числа равен 7. Кубический корень равен 3,65930571002297. Число, которое является обратным к числу 49, выглядит как 0,0204081632653061.

Является ли 49 простым числом

30-ДНЕВНОЕ ОБЕЩАНИЕ | ПОЛУЧИТЕ 100% ВОЗВРАТ ДЕНЕГ*

*T&C Применить

Является ли 49 простым числом? Числа, имеющие только 2 множителя, то есть 1 и само число, известны как простые числа, а числа с более чем 2 множителями называются составными. Ответ на вопрос, является ли 49 простым или составным, будет — «49 — составное число». Теперь давайте выясним, как и почему 49 является простым или составным числом?

• Является ли 49 простым числом? — №
• Является ли 49 составным числом? — Да
• Коэффициенты 49 — 1, 7, 49
• Является ли число 49 правильным квадратом? — Да
• Простые множители числа 49 — 7

Является ли 49 простым числом?

Нет, 49 не простое число. Число 49 делится на 1, 7, 49. Чтобы число считалось простым, оно должно иметь ровно два делителя. С 49 годаимеет более двух делителей, то есть 1, 7, 49, это не простое число.

Почему 49 не является простым числом?

Чтобы понять, является ли число 49 составным или простым, важно найти его делители.

Факторы числа 49: 1, 7, 49

Поскольку 49 имеет более 2 делителей, мы можем сказать, что 49 не является простым числом.

☛ Калькулятор простых чисел

Является ли 49 составным числом?

Да, так как 49 имеет более двух делителей, т.е. 1, 7, 49. Другими словами, 49 — составное число, потому что 49 имеет более двух делителей.

Условия задачи:

Является ли 49 простым числом?	№
Является ли 49 составным числом?	Да
Является ли 49 четным числом?	№
Является ли число 49 идеальным квадратом?	Да
Площадь 49	2401
Квадратный корень из 49	7
Является ли 49 нечетным числом?	Да
Кубический корень из 49	3. 659301
Кратность 49	49, 98, 147, 196, 245, 294, 343, 392, 441, 490
Является ли число 49 идеальным кубом?	№

Интересные факты:

• 23 — наименьшее простое число, состоящее из последовательных цифр.
• 2 — единственное четное простое число.
• Числа X и Y называются взаимно простыми, если они имеют только один общий делитель, равный 1.

☛ Также проверьте:

• Является ли 54 простым числом? — №
• Является ли 85 простым числом? — №
• Является ли 10 простым числом? — №
• Является ли 83 простым числом? — Да
• Является ли 48 простым числом? — №
• Является ли 299 простым числом? — №
• Является ли 159 простым числом? — №
• Является ли 1321 простым числом? — Да

 

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Коэффициенты 49 — Найти простые факторизации/множители 49

30-DAY PROMIS | ПОЛУЧИТЕ 100% ВОЗВРАТ ДЕНЕГ*

*T&C Apply

LearnPracticeDownload

Факторы 49 — это числа, которые при парном умножении дают произведение равное 49. Он имеет в общей сложности 3 множителя, из которых 49 является самым большим множителем, а положительные множители числа 49 равны 1, 7 и 49. Сумма всех множителей числа 49 равна 57. Его простые множители равны 1, 7, 49 и ( 1, 49) и (7, 7) — парные множители.

• Коэффициенты 49: 1, 7 и 49
• Отрицательные коэффициенты 49: -1, -7 и -49
• Простые множители числа 49: 7
• Факторизация числа 49: 7 × 7 = 7 ²
• Сумма коэффициентов 49: 57

1.	Каковы делители числа 49?
2.	Как рассчитать множители числа 49?
3.	Коэффициенты 49 с помощью простой факторизации
5.	Коэффициенты 49 в парах
6.	Важные примечания
7.	Часто задаваемые вопросы о факторах 49

Какие множители числа 49?

Делители 49 — это числа, которые при делении 49 не оставляют остатка. Поскольку 49 — составное число, оно имеет более двух делителей. Множители 49 = 1, 7 и 49.

Как вычислить множители 49?

• Исходя из нашей идеи о том, что любое число делится на 1 и само на себя, мы имеем 49 ÷ 1 = 49 и 49 ÷ 49 = 1
• Рассматривая числа, которые могут делить 49  без остатка, мы начинаем с 2 и доходим до 24 (примерно половина 49) и проверяем на делимость. Мы находим, что 49÷  7 = 7
• Таким образом, мы получаем делители 49 как 1, 7 и 49.

Исследуйте факторы с помощью иллюстраций и интерактивных примеров.

• Множители 69: Множители 69 равны 1, 3, 23 и 69.
• Множители 33: Множители 33 равны 1, 3, 11 и 33.
• Факторы числа 72: Множители числа 72 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 и 72.
• Факторы 81: множители 81 равны 1, 3, 9, 27 и 81.
• Факторы 48: множители 48 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16 и 48.

Множители числа 49 методом простой факторизации

Множители любого числа можно найти методом деления и методом факторного дерева.

Метод деления

• Найдем простые множители числа 49 методом деления. Разделите число 49 на наименьшее простое число, на которое можно полностью разделить 49 без остатка. 49 ÷ 7 = 7
• Мы не можем использовать метод деления. Таким образом, простая факторизация числа 49 равна 7 × 7,
.

Факторное дерево

Мы сделаем это с помощью факторного дерева:

Факторы 49 в парах

У нас есть только 2 положительные и 2 отрицательные пары множителей из 49. Это (1, 49) (- 1 , -49), (7, 7) (-7, -7).

Важные примечания:

• Есть только два парных коэффициента 49.
• 7 — единственный простой делитель числа 49.

Коэффициенты 49 решенных примеров

1. Пример 1: Рудольф хочет найти произведение всех делителей числа 49. Вы можете помочь ему с этой задачей?

   Решение:

   Множители числа 49 = 1, 7 и 49. Следовательно, произведение всех делителей числа 49 равно 1 × 7 × 49 = 343.

2. Пример 2: В рамках домашнего задания Эмануэль хочет узнать среднее значение всех делителей числа 49. Вы знаете решение этой задачи?

   Решение:

   Коэффициенты  49= 1, 7 и 49. Среднее значение равно сумме всех членов ÷ общее количество членов = (1 + 7 + 49) ÷ (3) = 19

3. Пример 3: Сколько множителей есть для числа 49?

   Решение:

   Делители числа 49 равны 1, 7, 49. Следовательно, число 49 имеет 3 делителя.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

 

Хотите создать прочную основу для изучения математики?

Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

 

Записаться на бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о множителях 49

Что такое множители 49?

Множители числа 49 равны 1, 7, 49, а его отрицательные множители равны -1, -7, -49.

Какие парные множители числа 49?

Парные множители числа 49 равны (1, 49), (7, 7).

Чему равна сумма всех делителей числа 49?

Все делители числа 49 равны 1, 7, 49, поэтому сумма всех этих делителей равна 1 + 7 + 49 = 57

Какой наибольший общий делитель числа 49?а 37?

Делители числа 49 равны 1, 7, 49, а делители числа 37 равны 1, 37. У чисел 49 и 37 есть только один общий делитель, равный 1. Это означает, что числа 49 и 37 взаимно просты.

Следовательно, наибольший общий делитель (НОД) чисел 49 и 37 равен 1.

Сколько делителей числа 49 также являются общими для делителей числа 40?

Так как делители числа 49 равны 1, 7, 49, а делители числа 40 равны 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Обратные функции. Профильный уровень 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Понятие обратной функции

Представьте, что вы гуляете по пляжу. На песке у кромки воды остаются ваши следы, а вокруг еще множество следов (см. рис. 1).

Рис. 1. Множество следов на песке

По их форме вы с легкостью можете определить, кто здесь был до вас: другой человек, чайка или собака. Видя след мы можем установить, что за существо его оставило. И наоборот: зная, кто прошел по песку, мы можем сказать, какой след останется. Мы как бы устанавливаем соответствие между следом и существом (см. рис. 2).

Рис. 2. Соответствие между следом и существом

Однозначное ли это соответствие? Давайте подумаем. Когда человек ступает на песок, он точно знает, какой след после него останется. Тут все однозначно. Представим обратную ситуацию: Шерлок Холмс видит на песке след. Может ли он однозначно определить преступника? Он сможет лишь утверждать, что это человек, а вот какой именно – без других улик это не определить, вариантов очень много. Обратное соответствие не является однозначным.

С неоднозначностью соответствия мы сталкиваемся, даже просто глядя на часы. Такое положение стрелок (см. рис. 3) может означать как полночь, так и полдень.

Рис. 3. Заданное положение стрелок

И если бы мы были в подвале без окон, то не смогли бы однозначно определить время – у нас было бы 2 варианта. Чтобы выбрать правильный вариант, мы пользуемся дополнительной информацией: смотрим, темно или светло на улице.

Но есть и примеры, когда мы можем однозначно установить соответствие. Так, у каждого человека есть ровно один внутренний паспорт и наоборот – внутренний паспорт однозначно определяет конкретного человека. Между внутренним паспортом и человеком можно установить взаимно однозначное соответствие.

Переходя на язык математики, можно сказать, что мы устанавливаем соответствия между множествами: множеством существ и множеством следов; множеством людей и множеством паспортов. Причем в одну сторону соответствие однозначное, а в обратную не всегда.

Таких примеров неоднозначности обратной операции можно привести много. Так, если нам известны два числа, найти их сумму не составит труда, например:

А вот зная сумму, восстановить однозначно два слагаемых не получится – вариантов будет бесконечно много:

С подобными примерами соответствий мы сталкивались, говоря о числовых функциях. Так, линейная функция  является примером взаимооднозначного соответствия (см. рис. 4). Каждому значению  соответствует ровно одно значение . И наоборот: каждому значению  соответствует ровно одно значение . Это похоже на соответствие паспортов и людей.

Рис. 4. График линейной функции

Ситуация с часами похожа на квадратичную функцию  (см. рис. 5). По значению  мы однозначно определим : , тогда . А вот если мы знаем , например , то  однозначно определить нельзя, хотя информации у нас много, возможно всего два варианта: или , или . Однозначно мы можем узнать  только при наличии дополнительных условий. Например, если  – это сторона квадрата, тогда останется лишь один вариант .

Рис. 5. График квадратичной функции

А вот многозначность, как в случае следов на песке, появляется при работе с тригонометрическими функциями (см. рис. 6). По значению аргумента  можно однозначно вычислить значение функций:

Рис. 6. Графики тригонометрических функций

Это мы уже умеем делать. А когда мы попробуем по значению  найти , то столкнемся с многозначностью. Например, возьмем функцию  Если , то , ведь . Но  может быть равен и , и , и  и т. д. Ведь синусы всех этих величин также равны . О том, как в общем случае найти аргумент тригонометрической функции по ее значению, и пойдет речь в данном уроке.

Для начала разберемся с терминологией. Когда мы каждому значению  ставим в соответствие одно значение  – это функция. Можно сделать и обратное: поставить каждому значению  в соответствие значение . Если мы сможем это сделать однозначно, то получим обратную функцию.

Возьмем, например, функцию  (см. рис. 7).

Рис. 7. График функции

Выразив переменную , получаем:

Здесь мы уже значению  ставим в соответствие , то есть это обратная функция. Только у нее аргумент обозначен как , а значение функции – как . Нам же привычнее наоборот. Поэтому переобозначим:  заменим на , а  – на  (см. рис. 8):

Получили, что функция  является обратной функции . Верно и другое: функция  является обратной функции. Поэтому подобные пары функций называют еще взаимно обратными.

Рис. 8. Графики функций  и

Продолжаем разбираться с терминологией. Функцию, для которой можно найти обратную, называют обратимой функцией. Буквально – «ту, которую можно обратить». То есть функции ,  являются обратимыми функциями. Да и в целом любая линейная функция является обратимой, ведь каждому значению  соответствует ровно одно значение .

А вот функция  не является обратимой, ведь значению функции  может соответствовать по два значения переменной . Условие однозначности не выполнено. Чтобы сделать эту функцию обратимой, нужно добавить дополнительные условия. Так, если мы рассмотрим функцию  только для положительных , то каждому значению  будет уже соответствовать только одно значение  (см. рис. 9).

Рис. 9. График функции

Функция , при будет уже обратимой. И обратной к ней будет функция  (см. рис. 10) (см. в уроке тему «Обратная функция»).

Рис. 10. Графики функций  и

Какие особенности у решения обратной задачи для тригонометрических функций?

Тригонометрические функции многозначны: они не являются обратимыми, ведь каждому значению  соответствует множество значений . Это можно увидеть по графикам каждой из тригонометрических функций (см. рис. 11).

Рис. 11. Графики тригонометрических функций

Ранее мы уже сталкивались с обратной задачей. Например, при решении треугольника по значению косинуса мы находили угол:

И там было все однозначно. Почему? Потому что было ограничение – это был острый угол от  до . А когда мы говорим о расширенном понятии угла, как раз и появляется многозначность.

Например, на уроке физкультуры вам нужно пробежать  кругов по стадиону. В терминах углов – это  радиан. Когда учитель видит вас на финише, то он точно не может сказать, пробежали ли вы уже все  кругов, а может,  или , или даже вообще не начинали бежать. То есть по вашему положению нельзя однозначно определить «угол», который вы пробежали.

Решая обратную задачу в общем виде, нужно помнить об этой многозначности и учитывать все возможные варианты. Кроме многозначности, при решении тригонометрических уравнений нам понадобится ввести новые обозначения. 

Новые числа мы получали при решении уравнений – называли (обозначали) решение уравнения новым числом, чтобы не использовать бесконечное количество цифр при записи. Вспомните: мы не могли решить уравнение , записав  в виде обыкновенной дроби. Только приближенно:  (см. в уроке тему  «Иррациональные числа»). Поэтому ввели новое обозначение – квадратный корень: .

С тригонометрическими функциями такая же ситуация. Для некоторых аргументов мы знаем значения функций:

И по значению функций сможем точно вычислить аргумент. А вот для остальных значений сможем вычислить лишь приближенно: с помощью калькулятора или таблиц Брадиса. Но для точной записи ответа потребуется ввести новые обозначения.

Какие именно это будут обозначения и как учесть многозначность, мы поговорим далее.

Арккосинус

Начнем с функции . Наша задача – по известному значению функции  найти все значения . По сути, решить уравнение , где  задано, а  неизвестная. Чтобы не путать с функцией, для уравнения введем другие обозначения. Будем решать уравнение , где  задано, а  неизвестная.

Для начала учтем область значений косинуса: . Значений , при которых  или  не существует. Соответственно, при  и   уравнение не будем иметь решений.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение

Для решения воспользуемся единичной окружностью. Косинус – это абсцисса точки на единичной окружности. Видим две точки, абсциссы которых равны  – точки  и  (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к примеру 1

Из таблицы значений мы знаем, что . То есть точке  соответствует угол . Тогда точке  соответствует угол , ведь , но он отложен по часовой стрелке, то есть это отрицательный угол (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к примеру 1

Значит ли это, что уравнение имеет два решения?

Не совсем. Мы уже говорили, что нужно учесть периодичность тригонометрических функций: каждой точке соответствует бесконечное множество углов, определенных с точностью до периода. Точке  соответствуют углы вида , где , точке  – углы вида , где . Получаем бесконечное множество решений уравнения:

 или . Или сокращенно это записывают так:

Ответ: .

Мы увидели, как описать все множество решений тригонометрического уравнения. Но при решении нам не пришлось вводить новых обозначений, ведь значение функции было табличным. Посмотрим, что же будет в обратном случае.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение

Для решения снова воспользуемся единичной окружностью. Опять видим две точки, абсциссы которых равны  (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к примеру 2

В отличие от предыдущего примера мы не можем сразу определить, какому углу соответствует точка  (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к примеру 2

В таблице точного значения нет, можно найти лишь приближенное. Чтобы точно обозначить величину , ввели специальное обозначение .То есть  – это величина такого , косинус которого равен .

Более подробно о происхождении термина «арккосинус» вы можете узнать ниже.

Происхождение термина «арккосинус»

Первый корень термина «арккосинус», «арк-», происходит от латинского слова arcus, что значит дуга, арка. Какое же отношение имеет дуга к понятию арккосинуса?

Согласно определению: арккосинус  – это величина такого , косинус которого равен . То есть значение арккосинуса мы определяем как величину угла. Из геометрии мы знаем, что длина дуги определяется как , где  – величина центрального угла, на который опирается дуга,  – радиус (см. рис. 16).

Рис. 16. Длина дуги определяется как

 центральный, радиус окружности равен . Значит, численное значение длины дуги и величина  совпадают:

Таким образом, мы можем дать альтернативное определение арккосинуса, оперируя понятием «дуга», а не «угол». Звучать оно будет так: арккосинус  – это такое число, соответствующее длине дуги , что его косинус равен .

---

С учетом периода точке  будут соответствовать углы вида , тогда точке  – углы вида.

Таким образом, корни уравнения  можно записать следующим образом:

 или, или одной формулой:

Ответ: .

В общем случае, решая уравнение , величину  мы будем обозначать как . И будем получать решения уравнения:

Обратим внимание, что понятие арккосинуса мы ввели только для . А значения арккосинуса связаны с , величина которого изменяется от  (крайнее правое положение) до  (крайнее левое положение).

Теперь мы можем строго сформулировать определение арккосинуса: если , то  – это такое число из отрезка , косинус которого равен :

Вернемся к решению уравнения . Общий вид его корней мы можем записать так: . Но в некоторых случаях это можно сделать и в другом виде. Если  (см. рис. 17), то точке  соответствуют углы. Для точки  углы мы можем записать как .

Рис. 17. Расположение точек  и  при

В целом корнями уравнения будут  и т. д. В общем виде это можно записать так:

Если , то точки  и  сходятся в одну (см. рис. 18). Ей соответствует нулевой угол . С учетом периода:

Рис. 18. Расположение точек  и  при

Если , тогда точки также сходятся в одну (см. рис. 19). Решения можно записать так:

Рис. 19. Расположение точек  и  при

По определению арккосинуса числа для каждого  определено одно значение . Таким образом, на отрезке  определена обратимая функция .

Эта функция  является обратной к функции , рассматриваемой на отрезке . Для ее исследования вспомним, что график обратной функции симметричен графику исходной относительной прямой  (см в уроке тему «Обратная функция»).

Поэтому для построения графика функции  берем функцию  на отрезке  и отражаем симметрично относительно прямой  (см. рис. 20).

Рис. 20. График функции

Глядя на график, перечислим основные свойства функции :

1. Область определения .
2. Множество значений .
3. Функция убывающая.
4. Не является ни четной, ни нечетной. Это видно, из того, что график функции не симметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси ординат. При этом для противоположных аргументов функции выполняется соотношение:  

С его доказательством вы можете ознакомиться в ниже.

---

 

Доказательство

Докажем, что для любого  выполняется равенство:

Рассмотрим случай, когда , имея в виду, что противоположный случай для  доказывается аналогично.

Отметим  на числовой окружности – это . Тогда  – это  (см. рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к доказательству

Дуги  и  симметричны относительно оси ординат, значит, длины этих дуг равны (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к доказательству

Тогда равны и центральные углы, на которые они опираются (см. рис. 23):

Рис. 23. Иллюстрация к доказательству

Тогда:

Удобнее полученное соотношение использовать в следующем виде:

---

 

Арксинус

 

 

Рассмотрим решение уравнений вида . Как и для косинусов, область значений синуса: . Поэтому при  и  уравнение не будет иметь решений.

 

Пример 3. Решить уравнение:

Решение

Изобразим единичную окружность. Ординаты точек на окружности – это значения синусов соответствующих углов. Обозначим буквами  и  точки, ординаты которых равны  (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к примеру 3

Им соответствуют решения:

Заметим, что:

При этом (из симметрии):

Поэтому:

По аналогии с косинусами для  введем новое обозначение . То есть арксинус  – это величина такого , что его синус равен . Тогда решения уравнения можно записать так:

Ответ: ; .

В общем случае, решая уравнение , величину  мы также будем называть арксинусом  и будем получать решения  и .

Как и для арккосинуса, понятие арксинуса имеет смысл только для . При этом значения арксинуса связаны с углом , величина которого изменяется от  (нижнее положение прямой) до  (верхнее положение).

Сформулируем строгое определение арксинуса: если , то  – это такое число из отрезка , синус которого равен :

Вернемся к решению уравнения. Мы получили множество корней вида:  и . Их все можно объединить одной формулой:

Подробнее об этом – ниже.

---

 

Решение уравнения в одной формуле

Для начала перепишем корни уравнения в следующем виде:

В первом выражении для наглядности поменяем местами множители, а во втором – сгруппируем последние два слагаемых и вынесем  за скобки. Получим:

Можно заметить, что если перед  стоит знак «+», то множитель возле  – четное число , если же перед  стоит знак «–», то множитель  – нечетное число . Это позволяет записать общее решение уравнения  в общем виде:

Рассмотрим, почему эта более короткая формула включает в себя две предыдущие формы записи решения. Предположим, что  – четное число, то есть . Тогда  будет положительным числом и корень уравнения примет вид , что соответствует первому множеству решений. Если же  – нечетное число, то есть , то  будет отрицательным числом и корень уравнения будет записан так:

А это уже описывает второе множество решений.

---

По определению арксинуса для каждого  определено одно значение . Таким образом, на отрезке  задана обратимая функция .

При этом функция  является обратной к функции , рассматриваемой на отрезке . Тогда свойства функции  можно получить из свойств функции (см. рис. 25):

Рис. 25. График функции

1. График функции  симметричен графику функции , относительно прямой  (см. рис. 26).
   
   Рис. 26. График функции
2. Область определения .
3. Множество значений .
4. Функция возрастающая.
5. Функция нечетная, поскольку ее график симметричен относительно начал координат. Соответственно, выполняется соотношение:
   

 

Арктангенс и арккотангенс

 

 

Для решения уравнений  и  воспользуемся графиками этих функций.

 

Пример 4. Решить уравнение:

Решение

Для решения используем графический метод (см. в уроке тему «Графический метод»). Решения этого уравнения – абсциссы точек пересечения графиков функций  и прямой  (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к примеру 4

Тут мы снова оказываемся в ситуации многозначности, ведь пересечение графиков – это бесконечное множество точек. Выберем одну из них – точку пересечения прямой с главной веткой тангенса. Абсциссу этой точки  обозначим как .Тогда с учетом периодичности тангенса абсциссы всех остальных точек можно представить в виде (см. рис. 28):

Это и будет решением уравнения .

Рис. 28. Иллюстрация к примеру 4

Ответ: .

 

В общем случае, решая уравнение , будем аналогично обозначать абсциссу точки пересечения прямой с главной веткой тангенса как . Обратим внимание, что тут ограничений на значение  не было – аргументом арктангенса может быть любое число. А вот значения лежат лишь на промежутке , ведь именно в этих пределах находится главная ветка тангенса.

Строго арктангенс мы можем определить так:  – это такое число из интервала , тангенс которого равен .

По определению арктангенса числа для каждого действительного  определено одно число . Таким образом, на всей числовой прямой задана функция . Эта функция является обратной к функции , рассматриваемой на интервале .

График функции  получается из графика функции , симметрией относительно прямой  (см. рис. 29).

Рис. 29. График функции

Выпишем свойства функции:

1. Область определения .
2. Множество значений .
3. Функция возрастающая.
4. Функция нечетная, поскольку график симметричен относительно начала координат:   

 

По аналогии с тангенсом решим уравнение . Точки пересечения графиков – это бесконечное множество точек вида , где  – абсцисса точки пересечения прямой  и главной ветви графика котангенса (см. рис. 30). Для этого числа  вводим обозначение . Тогда все корни уравнения можно представить в виде:

Рис. 30. Пересечение графиков  и

При этом арккотангенс может иметь любой аргумент. А вот его значения лежат в интервале , ведь именно на этом интервале строится главная ветвь графика функции .

Строгое определение арккотангенса:  – это такое число из интервала , котангенс которого равен :

Функция  является обратной к функции , рассматриваемой на интервале . График функции  получается из графика функции , симметрией относительно прямой  (см. рис. 31).

Рис. 31. График функции

Свойства функции:

1. Область определения .
2. Множество значений .
3. Функция убывающая.
4. Функция не является ни четной, ни нечетной:  

 

Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

 

 

Мы познакомились с новыми функциями, которые позволяют записать точное решение тригонометрических уравнений. Как и с любым новым введенным инструментом, мы должны научиться с ними работать. В частности – научиться упрощать выражения.

 

Главная идея работы с аркфункциями – использовать их определение. То есть то, что эквивалентные записи:

 

Для упрощения: обозначаем аркфункцию новой переменной и используем определение.

Задание 1. Найти значение выражения:

Решение

Обозначим:

Заменяем в нашем выражении  на . Теперь наша задача – вычислить . По определению арккосинуса:

Таким образом:

Ответ: .

 

Пользуясь этим приемом, аналогично можно доказать и в общем виде подобные равенства:

Задание 2. Найти значение выражения:  

Решение

Обозначим:

Теперь нам нужно найти . По определению арксинуса: , при

Вычислим :

 или

При  косинус принимает положительные значения (см. рис. 32), поэтому выбираем значение .

Рис. 32. Иллюстрация к заданию 2

Таким образом:

Ответ: .

С еще одним заданием на преобразование выражений с аркфунциями вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Пример

Задание. Найтизначение выражения:

Решение

Идея все та же – обозначаем аркфункцию новой переменной:

Теперь наша задача – найти . По определению:

Из этого равенства можно было бы сделать вывод, что . Но он будет неправильным, поскольку . Значения тангенса будут равны в тех случаях, когда их аргументы отличаются на периоды: . Осталось подобрать такое целое значение , для которого . Для этого решим неравенство:  

Вычислив приблизительные значения левой и правой части, получим:

Под это неравенство подпадает единственное целое число . То есть . Тогда:

Таким образом:

Ответ: .

---

 

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10–11класс. Учебник. – М.: АО «Издательство «Просвещение».
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10–11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – М.: АО «Издательство «Просвещение».

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass. ru
2. Интернет-портал cleverstudents.ru
3. Интернет-портал ru.solverbook.com

 

Домашнее задание

1. Найти функцию, обратную данной: 
   
2. Решить уравнения:
   
   
   
3. Найти значения выражений:
   
   
   

 

Решение тригонометрических уравнений. Как решить тригонометрическое уравнение.

Решение тригонометрических уравнений требует знания основных формул тригонометрии — сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью «Основные тригонометрические формулы».
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.

Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.

sinх = а

cos x = a

tg x = a

cot x = a

Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.

Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.

1. Метод замены переменной и подстановки

Пример.

Решить уравнение 2cos² (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Используя формулы приведения получим:

2cos² (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:

2y² – 3y + 1 + 0

Корни которого y₁ = 1, y₂ = 1/2

Теперь идем в обратном порядке

cos(x + /6) = y

Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:

1. cos(x + /6) = 1

   x + /6 = 2 k

   x₁ = — /6 + 2 k

2. cos(x + /6) = ?

   x + /6 = ±arccos 1/2 + 2 k

   x₂ = ± /3 — /6+ 2 k

2. Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители

Пример.

Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?

Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:

sin x + cos x – 1 = 0

Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:

sin x — 2 sin² (x/2) = 0

Делаем разложение на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) — 2 sin² (x/2) = 0

2sin(x/2) * [cos(x/2) — sin(x/2)] = 0

Получаем два уравнения

1. 2sin(x/2) = 0

   Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого

   х/2 = k

   x₁ = 2 k

2. cos(x/2) — sin(x/2) = 0

   Это уравнение является однородным и решается третьим методом, который мы рассмотрим ниже.

   Делим уравнение на cos(x/2) и получаем опять же простейшее тригонометрическое уравнение:

   1 — tg(x/2) = 0

   tg(x/2) = 1

   x/2 = arctg 1 + k

   x/2 = /4+ k

   x₂ = /2+ 2 k

3. Приведение к однородному уравнению

Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:

а) переносят все его члены в левую часть;

б) выносят все общие множители за скобки;

в) приравнивают все множители и скобки к 0;

г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;

д) решают полученное уравнение относительно tg.

Пример.

Решить уравнение 3sin²x + 4 sin x • cos x + 5 cos²x = 2

Воспользуемся формулой sin² x + cos² x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:

3sin²x + 4 sin x • cos x + 5 cos x = 2sin²x + 2cos²x

sin²x + 4 sin x • cos x + 3 cos²x = 0

Делим на cos x:

tg²x + 4 tg x + 3 = 0

Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:

y² + 4y +3 = 0, корни которого y₁=1, y₂ = 3

Отсюда находим два решения исходного уравнения:

1) tg x = –1

x₁ = /4+ k

2) tg x = –3

x₂ = arctg 3 + k

4. Решение уравнений, через переход к половинному углу

Пример.

Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7

Переходим к x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos² (x/2) + 5sin² (x/2) = 7sin² (x/2) + 7cos² (x/2)

Пререносим все влево:

2sin² (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos² (x/2) = 0

Делим на cos(x/2):

tg² (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Ну а дальше уже по отработанной схеме …

5. Введение вспомогательного угла

Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,

где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.

Обе части уравнения разделим на :

Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:

cos * sin x + sin * cos x = С

или sin(x + ) = C

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет

х = (-1) ^k * arcsin С — + k, где

Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.

Пример.

Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1

В этом уравнении коэффициенты:

а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2

(/2) * sin 3x – (1/2)cos 3x = 1/2

cos( /6) * sin 3x – sin( /6) * cos 3x =1/2

sin(3x – /6) = 1/2

Получаем ответ

x = (-1) ^k * /18 + /18 + k/3

6. Преобразование произведения в сумму

Здесь мы будем просто использовать тригонометрические формулы

Пример.

Решить уравнение 2 sin x * sin 3x = cos 4x

Левую часть преобразуем в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x

Получаем простейшее уравнение:

cos 8x = 0

8x = /2 + k

x = /16 + k/8

7. Универсальная подстановка

Пример.

Решить тригонометрическое уравнение 3sin x – 4cos x = 3

Здесь возможны 2 случая:

1. x (2k + 1) ,
   тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами, получим:

   3[(2tg(x/2))/(1 + tg² (x/2)] — 4[(1 – tg² (x/2))/(1 + tg² (x/2)] = 3

   6tg(x/2) – 4 + 4tg² (x/2) = 3 + 3tg² (x/2)

   tg² (x/2) + 6tg(x/2) – 7 = 0

   Делаем замену tg(x/2) на y и получаем квадратное уравнение:

   y² + 6y -7 = 0

   корни которого y₁ = -7, y₂ = 1

   Идем обратно и получаем два простейших уравнения:

   1) tg(x/2) = -7

   х₁ = -2arctg 7 + 2 k

   2) tg(x/2) = 1

   x₂ = /2 + 2k

2. x = (2k + 1) ,

   тогда 3sin[(2k +1) ] – 4cos[(2k + 1) ] = 4 3

   Получаем – решение имеет только первое условие.

Основные методы решения тригонометрических уравнений, мы рассмотрели. Если у вас остались какие либо вопросы о том, как решать тригонометрические уравнения, задавайте их в комментариях ниже.

Будем рады любым ваших вопросам.

Заметка: собираетесь выступать http://prezentacii.com портал готовых презентаций.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Калькулятор и решение тригонометрических уравнений

Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора тригонометрических уравнений

. Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Ознакомьтесь со всеми нашими онлайн-калькуляторами здесь.

1

2

3

4

5

6

7

8

900 06 9



а

б

в

d

f

g

m

n

u

v

w

x 90 007

y

z

.

(◻)

+

—

×

◻/◻

/

÷

◻ 90 073 2

◻ ^◻

√◻

√

^◻ √ ◻

^◻ √

∞

e

π

пер.

журнал

журнал _◻

lim

d/dx

D ^□ _x

9 0006 ∫

∫ ^◻

|◻|

θ

=

>

<

>=

<=

sin

cos

tan

кроватка

sec

csc

asin

acos

atan

acot

асек

акск

шп

щ

танх

кэт

сэч

сч

аш

аш

атанх

акот

асеч

ашч

 Пример

 Решенные проблемы

 Сложные задачи

1

Пример решения тригонометрических уравнений

$8\sin\left(x\right)=2+\frac{4}{\csc\left(x\right)}$

2

Сгруппируйте члены уравнения, переместив члены, содержащие переменную $x$, в левую часть, а те, у которых ее нет, — в правую

$8\sin\left(x\right)-\frac {4}{\csc\влево(х\вправо)}=2$

3

Умножение дроби на $-1$

$8\sin\left(x\right)+\frac{-4}{\csc\left(x\right)}=2$

4

Функция обратного синуса косеканса: $\frac{1}{\csc(x)}=\sin(x)$

$8\sin\left(x\right)-4\sin\left(x\ справа)=2$

5

Объединение одинаковых членов $8\sin\left(x\right)$ и $-4\sin\left(x\right)$

$4\sin\left(x\right)=2$

6

Разделите обе части уравнения на $4$

$\frac{4\sin\left(x\right)}{4}=\frac{2}{4}$ 9{\circ}n$

9

Углы, выраженные в радианах в том же порядке, равны

$x=\frac{1}{6}\pi+2\pi n,\:x=\frac{5}{6}\pi+ 2\pi n\:,\:\:n\in\Z$

 Окончательный ответ

$x=\frac{1}{6}\pi+2\pi n,\:x=\frac{5}{6}\pi+2\pi n\:,\:\:n\in\Z $ 

Проблемы с математикой?

Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!

7.

1: Решение тригонометрических уравнений с тождествами

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

13870

• Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен 9{2} (t)\]

  Отрицательный угол Тождества

  \[\sin (-t)=-\sin (t)\quad \cos (-t)=\cos (t)\quad \tan (-t)=-\tan (t)\]

  \[\csc (-t)=-\csc (t)\quad \sec (-t)=\sec (t)\quad \cot (-t)=-\cot (t)\]

  Обратное Тождества

  \[\sec (t)=\dfrac{1}{\cos (t)}\quad \csc (t) = \ dfrac {1} {\ sin (t)} \ quad \ tan (t) = \ dfrac {\ sin (t)} {\ cos (t)} \ quad \ cot (t) = \ dfrac {1} {\ загар (т)} \]

  Пример \(\PageIndex{1}\) 9{2} (t)+\sin (t)=0\) для всех решений с \(0\le t<2\pi\).

  Решение

  Это уравнение похоже на квадратное уравнение, но с sin( t ) вместо алгебраической переменной (мы часто называем такое уравнение «квадратным по синусу»). Как и со всеми квадратными уравнениями, мы можем использовать методы факторинга или квадратную формулу. Это выражение хорошо умножается, поэтому мы продолжаем выносить на множитель sin(\(t\)):

  \[\sin (t)\left(2\sin (t)+1\right)=0\ не число\]

  Используя теорему о нулевом произведении, мы знаем, что произведение слева будет равно нулю, если любой из множителей равен нулю, что позволяет нам разбить это уравнение на два случая:

  \[\sin (t)=0\text{ или }2\sin (t)+1=0\nonnumber\]

  Мы можем решить каждое из этих уравнений независимо, используя наши знания о специальных углах.

  \[\sin (t)=0\нечисло\]
  \[2\sin (t)+1=0\нечисло\]
  \[t = 0\текст{ или }t = \pi\нечисло\ ]
  \[\sin (t)=-\dfrac{1}{2}\nonumber\]
  \[t=\dfrac{7\pi }{6}\text{ или }t=\dfrac{11\ пи }{6}\номер\] 9{2} -5u-2=(3u+1)(u-2)\номер\]

  Отмена замены,

  \[(3\sec (t)+1)(\sec (t)-2 )=0\nonumber\]

  Так как произведение равно нулю, разобьем его на два случая и решим каждый отдельно.

  \[3\sec (t)+1=0\nonnumber\]Выделить секанс
  \[\sec (t)=-\dfrac{1}{3}\nonnumber\]Переписать как косинус
  \[ \dfrac{1}{\cos (t)} =-\dfrac{1}{3}\nonumber\]Инвертировать обе стороны
  \[\cos (t)=-3\nonumber\]

  Поскольку косинус имеет диапазоне [-1, 1], косинус никогда не примет значение -3. В этом случае нет решений. 9{2} (t)+3\sin (t)+1=0\) для всех решений с \(0\le t<2\pi\).

  Ответить

  Фактор как \[\left(2\sin (t)+1\right)\left(\sin (t)+1\right)=0\nonnumber\]
  \[2\sin (t)+1= 0\text{ at }t=\dfrac{7\pi }{6} ,\dfrac{11\pi }{6}\nonumber\]
  \[\sin (t)+1=0\text{ at } t=\dfrac{3\pi }{2}\nonumber\]
  \[t=\dfrac{7\pi }{6} ,\dfrac{3\pi }{2} ,\dfrac{11\pi } {6}\номер\]

  При решении некоторых тригонометрических уравнений возникает необходимость сначала переписать уравнение с использованием тригонометрических тождеств. Одним из наиболее распространенных является пифагорейское тождество, \(\sin ^{2} (\theta)+\cos ^{2} (\theta)=1\), которое позволяет вам переписать \(\sin ^{2} (\theta)\) через \(\cos ^{2} (\theta)\) или наоборот, 9{2} (t)+\cos (t)-1=0\nonnumber\]Коэффициент
  \[\left(2\cos (t)-1\right)\left(\cos (t)+1\right )=0\nonumber\]

  Этот продукт будет равен нулю, если любой из множителей равен нулю, поэтому мы можем разбить это на два отдельных случая и решить каждый независимо.

  \[2\cos (t)-1=0\text{ или }\cos (t)+1=0\не число\]
  \[\cos (t)=\dfrac{1}{2}\ текст { или } \ cos (t) = -1 \ nonumber \]
  \ [t = \ dfrac {\ pi} {3} \ text { или } t = \ dfrac {5 \ pi} {3} \ text { или }t=\pi\nonumber\]

  Упражнение \(\PageIndex{3}\)

  9{2} (t)+3\cos (t)-2=0\не число\]
  \[\left(2\cos (t)-1\right)\left(\cos (t)+2\right )=0\nonumber\]
  \(\cos (t)+2=0\) не имеет решений \(2\cos (t)-1=0\) в точке \(t=\dfrac{\pi }{ 3} ,\dfrac{5\pi }{3}\)

  В дополнение к тождеству Пифагора часто бывает необходимо переписать тангенс, секанс, косеканс и котангенс как часть решения уравнения.

  Пример \(\PageIndex{4}\)

  Решить \(\tan (x)=3\sin (x)\) для всех решений с \(0\le x<2\pi\).

  Решение

  Используя комбинацию тангенса и синуса, мы можем попробовать переписать тангенс

  \[\tan (x)=3\sin (x)\nonumber\]
  \[\dfrac{\sin (x )}{\cos (x)} =3\sin (x)\nonumber\]Умножение обеих сторон на косинус
  \[\sin (x)=3\sin (x)\cos (x) \nonumber\]

  В этот момент у вас может возникнуть соблазн разделить обе части уравнения на sin(\(x\)).

  Не поддавайтесь желанию . Когда мы делим обе части уравнения на количество, мы предполагаем, что количество никогда не равно нулю. В этом случае, когда sin(\(x\)) = 0, уравнение выполняется, поэтому мы потеряем эти решения, если будем делить на синус.

  Чтобы избежать этой проблемы, мы можем изменить уравнение так, чтобы одна сторона была равна нулю (технически можно разделить на на sin( x ), если вы отдельно рассматриваете случай, когда sin( x ) = 0 , Поскольку этот шаг легко забыть, рекомендуется метод факторинга, использованный в примере.).

  \[\sin (x)-3\sin (x)\cos (x)=0\nonumber\]Разложение sin(\(x\)) из обеих частей
  \[\sin (x)\left (1-3\cos (x)\right)=0 \nonumber\]

  Отсюда видно, что мы получаем решения, когда \(\sin (x)=0\) или \(1-3\cos ( х)=0\). 9{-1} \left(\dfrac{1}{3} \right)\приблизительно 1,231\nonumber\]Использование симметрии для поиска второго решения
  \[x=2\pi -1,231=5,052 \nonumber\]

  У нас есть четыре решения на \(0 \le x<2\pi\):

  \[x = 0, 1. 231, \quad\pi , 5.052\nonumber\]

  Пример \(\PageIndex{3}\)

  Решите \(\sec (\theta )=2\cos (\theta )\), чтобы найти первые четыре положительных решения.

  Ответить

  \[\dfrac{1}{\cos (\theta)} =2\cos (\theta)\nonumber\] 9{-1} \left(0,425\right)=1,131\nonumber\] По симметрии можно найти второе решение
  \[\theta =2\pi -1,131=5,152\nonumber\]

  • Обзор идентификаторов триггеров
  • Решение триггерных уравнений
  • Факторинг
  • Использование квадратичной формулы
  • Использование идентификаторов триггеров для упрощения

  ---

  Эта страница под заголовком 7.1: Решение тригонометрических уравнений с тождествами распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Липпманом и Мелони Расмуссен (OpenTextBookStore) посредством исходного содержимого, которое было отредактировано для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх

  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или страница

     Автор

     Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен

     Лицензия

     CC BY-SA

     Версия лицензии

     4,0

     Показать страницу Содержание

     нет

  2. Теги

     1. Пифагорейские тождества
     2. источник@http://www.

ИО 101-2 Извещатель тревожный ручной с фиксацией (КНФ-1М)

1. Каталог
2. Охранная сигнализация
3. Оборудование для вневедомственной охраны
4. Тревожные кнопки
5. ИО 101-2 (КНФ-1М)

1 год гарантии

• Производитель: Комплектстройсервис
• • Поделиться
  • В избранное
• Код товара: 071-005

Стр. 17 — Математика 3 класс Учебник Моро Часть 2

1. Главная
2. ГДЗ
3. 3 класс
4. Математика
5. Моро учебник
6. Деление суммы на число
7. Страница 17. Часть 2

Вернуться к содержанию учебника

Деление суммы на число

Вопрос

1. Вычисли и проверь решение умножением.

81:3    96:6     51:3     58:2

Ответ

Вопрос

2. Объясни решение уравнения и его проверку.

х : 2 = 14 х = 14 • 2 х = 28

Проверка: 28 : 2 = 14 14 = 14

Ответ

Вопрос

3. В деревне 19 домов, а в посёлке в 4 раза больше. Объясни, что обозначают выражения:

19 • 4, 19 • 4 — 19.

Ответ

Вопрос

4. Один рабочий изготавливал за день 23 детали, а другой — 21 деталь. Сколько деталей изго­товят оба рабочих за 2 дня?

Ответ

Вопрос

5. 1) Запиши числа от 19 до 30 и подчеркни те из них, которые делятся на 4 без остатка.

2) Запиши числа от 20 до 30 и подчеркни те из них, которые делятся на 3 без остатка.

Ответ

Вопрос

6. 

31 • 3 — 56	90 — 65 : 5	78 — 36 — 42 : 6
4 • 17 + 32	84 : 7 + 27	21 + 49 : 7 — 6

Ответ

Вопрос

Вычисли и выполни проверку.

76:4      69:3

Ответ

Вопрос

Лабиринт:

Ответ

Вернуться к содержанию учебника

---

Как легко объяснить ребёнку умножение

• Text Link

Алёна Хромова

Учительница начальных классов, дефектолог

Обычно с умножением знакомятся во втором классе, когда дети уже хорошо справляются с простейшими математическими действиями — сложением и вычитанием. Таблица умножения — достаточно большой объём информации, который самостоятельно может освоить не каждый ребёнок. Поэтому мы собрали несколько советов, которые облегчат жизнь родителям и детям.

<<Перелинковка>>

Совет 1. Подготовиться

Чтобы объяснить ребёнку умножение, нужно запастись терпением, выделить время, место и не ждать результатов после первого занятия. А ещё надо соблюдать несколько правил:

• заниматься в первой половине дня, когда и ребёнок, и родитель выспались, а концентрация внимания высокая;
• подавать информацию небольшими порциями — осваивать в течение дня умножение на одно число, на следующий день повторять;
• хвалить ребёнка за успехи и не ругать, если что-то не получается.

Совет 2. Не заучить, а понять 

Таблицу умножения создали для облегчения задачи. Например, 2 · 6 — это 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2. То есть 2 · 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12. Чтобы шесть раз не складывать число с самим собой, проще умножить.

Совет 3. Освоить таблицу Пифагора

Таблица Пифагора — это упрощённая таблица умножения. Здесь нет множества столбцов, которые путают и совершенно не способствуют запоминанию.

От перестановки мест множителей произведение не меняется.

Как пользоваться таблицей

1. Поставить палец на число горизонтальной полосы.
2. Поставить палец на число вертикальной полосы.
3. Сделать так, чтобы пальцы соединились: это и будет результат умножения.

<<Форма демодоступа>>

Совет 4. Играть

Самый простой способ выучить таблицу умножения — в игре.

Разрезные карточки

Смысл игры — найти произведение двух чисел. Есть три стопки карточек: первый множитель, второй множитель, произведение. Ребёнок вытягивает карточки из первой и второй стопки, называет числа вслух и ищет в третьей стопке правильный ответ.

‍Домино

Задача — перемножить числа с двух сторон кости. Усложнённая версия — доставать кости одновременно и на скорость перемножать числа.

Карточки

Одна карточка — это произведение двух чисел. Можно закрывать один из множителей или произведение, чтобы восстановить их по памяти.

Совет 5. Использовать лайфхаки

Умножение на 1

Число, умноженное на один, остаётся самим собой.

Умножение на 2

Нужно складывать число с самим собой, то есть 2 · 8 = 8 + 8 = 16.

Умножение на 4

Нужно дважды умножить число на 2. Например, 6 · 4 = (6 · 2) · 2 = 12 · 2 = 24.

Умножение на 5

Чётные числа при умножении на 5 дают ноль в конце. Например, 8 · 5 = 40. Нечётные — пять. Например, 3 · 5 = 15.

Умножение на 9

Уникальное число, у которого сразу несколько подсказок:

• Умножить число на 10, а затем вычесть число. Например, 8 ·  9 = (8 · 10) — 8 = 80 — 8 = 72.
• Числа зеркальны, то есть в разряде десятков числа от 1 до 9 по порядку, а в разряде единиц — от 9 до 0.

• Пронумеровать пальцы. Например, 9 · 7. Для этого загнуть седьмой палец. Количество пальцев до согнутого — разряд десятков, после — разряд единиц. Получается 9 · 7 = 63.

‍Умножение на 10

Чтобы умножить число на 10, нужно после знака «равно» переписать само число и добавить один ноль. Например, 15 · 10 = 150. Такая же схема работает для 100, 1000 и далее.

<<Форма аттестации>>

Иллюстрация:  MUTI / Dribbble

Узнайте больше о реальном опыте семейного обучения!

Если у вас остались вопросы о домашнем образовании и вы хотите получить советы опытных хоумскулеров, оставьте заявку. Наши специалисты свяжутся с вами для бесплатной консультации.

Выберите класс1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Принимаю условия соглашения и политики конфиденциальности

Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.

Упс 🙁 Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту [email protected].

Записали!
Скоро с вами свяжется консультант, расскажет об обучении в нашей онлайн-школе.
Проверьте вашу электронную почту — там письмо о том, что стоит сделать перед консультацией.

Упс 🙁 Что-то пошло не так. Попробуйте позвонить нам по телефону +7 (800) 500-17-81 либо написать на почту [email protected].

Как объяснить ребёнку деление

Узнайте несколько способов

Читать

Мэтуэй | Популярные задачи

92-4*-1+2 92

1	Найти том	сфера (5)	
2	Найти площадь	круг (5)	
3	Найдите площадь поверхности	сфера (5)	
4	Найти площадь	круг (7)	
5	Найти площадь	круг (2)	
6	Найти площадь	круг (4)	
7	Найти площадь	круг (6)	
8	Найти том	сфера (4)	
9	Найти площадь	круг (3)	
10 9(1/2)
11	Найти простую факторизацию	741
12	Найти том	сфера (3)	
13	Оценить	3 квадратный корень из 8*3 квадратный корень из 10
14	Найти площадь	круг (10)	
15	Найти площадь	круг (8)	
16	Найдите площадь поверхности	сфера (6)	
17	Найти простую факторизацию	1162
18	Найти площадь	круг (1)	
19	Найдите окружность	круг (5)	
20	Найти том	сфера (2)	
21	Найти том	сфера (6)	
22	Найдите площадь поверхности	сфера (4)	
23	Найти том	сфера (7)	
24	Оценить	квадратный корень из -121
25	Найти простую факторизацию	513
26	Оценка	квадратный корень из 3/16* квадратный корень из 3/9
27	Найти том	коробка (2)(2)(2)	
28	Найдите окружность	круг (6)	
29	Найдите окружность	круг (3)	
30	Найдите площадь поверхности	сфера (2)	
31	Оценить	2 1/2÷22000000
32	Найдите Том	коробка (5)(5)(5)	
33	Найти том	коробка (10)(10)(10)	
34	Найдите окружность	круг (4)	
35	Преобразование в проценты	1,7
36	Оценить	(5/6)÷(4/1)
37	Оценить	3/5+3/5
38	Оценить	ф(-2)	92
40	Найти площадь	круг (12)	
41	Найти том	коробка (3)(3)(3)	
42	Найти том	коробка (4)(4)(4)
45	Найти простую факторизацию	228
46	Оценить	0+0
47	Найти площадь	круг (9)	
48	Найдите окружность	круг (8)	
49	Найдите окружность	круг (7)	
50	Найти том	сфера (10)	
51	Найдите площадь поверхности	сфера (10)	
52	Найдите площадь поверхности	сфера (7)	
53	Определить, является простым или составным	5
60	Преобразование в упрощенную дробь	2 1/4
61	Найдите площадь поверхности	сфера (12)	
62	Найти том	сфера (1)	
63	Найдите окружность	круг (2)	
64	Найти том	коробка (12)(12)(12)	
65	Добавить	2+2=
66	Найдите площадь поверхности	коробка (3)(3)(3)	
67	Оценить	корень пятой степени из 6* корень шестой из 7
68	Оценить	7/40+17/50
69	Найти простую факторизацию	1617
70	Оценить	27-(квадратный корень из 89)/32
71	Оценить	9÷4
72	Оценка 92
74	Оценить	1-(1-15/16)
75	Преобразование в упрощенную дробь	8
76	Оценка	656-521	9-2
79	Оценить	4-(6)/-5
80	Оценить	3-3*6+2
81	Найдите площадь поверхности	коробка (5)(5)(5)	
82	Найдите площадь поверхности	сфера (8)	
83	Найти площадь	круг (14)	
84	Преобразование в десятичное число	5 ноября
85 9-2
88	Оценить	1/2*3*9
89	Оценить	4/4-17/-4
90	Оценить	11. 02+17.19
91	Оценить	3/5+3/10
92	Оценить	4/5*3/8
93	Оценить	6/(2(2+1))
94	Упростить	квадратный корень из 144
95	Преобразование в упрощенную дробь	725%
96	Преобразование в упрощенную дробь	6 1/4
97	Оценить	7/10-2/5
98	Оценить	6÷3
99	Оценить	5+4
100	Оценить	квадратный корень из 12- квадратный корень из 192

Таблица умножения на 17 × Семнадцать

17-кратная таблица умножения от 17 × 1 до 17 × 17.

900 04 7

Число	17 ×	Результат умножения
1	17 × 1	17
2	17 × 2	34
3	17 × 3	51
4	17 × 4	68
5	17 × 5	85
6	17 × 6	102
17 × 7	119
8	17 × 8	136
9	17 × 9	153
10	17 × 10	170
11	17 × 11	187
12	17 × 12	204
13	17 × 13	221
14	17 × 14 9000 5	238
15	17 × 15	255
16	17 × 16	272
17	17 × 17	289

Список семнадцатикратного умножения.

• 1 * 17 = 17
• 2 * 17 = 34
• 3 * 17 = 51
• 4 * 17 = 68
• 5 * 17 = 85
• 6 * 17 = 102
• 7 * 17 = 119
• 8 * 17 = 136
911 05 9 * 17 = 153
• 10 * 17 = 170
• 11 * 17 = 187
• 12 * 17 = 204
• 13 * 17 = 221
• 14 * 17 = 238
• 15 * 17 = 255
9 1105 16 * 17 = 272
• 17 * 17 = 289

» Таблица умножения 17 x 17

17-кратное умножение в словах.

• Семнадцать раз один равно семнадцати.
• Семнадцать умножить на два равно тридцати четырем.
• Семнадцать умножить на три равно пятидесяти одному.
• Семнадцать умножить на четыре равно шестидесяти восьми.
• Семнадцать умножить на пять равно восьмидесяти пяти.
• Семнадцать умножить на шесть равно ста двум.
• Семнадцать умножить на семь равно ста девятнадцати.
• Семнадцать умножить на восемь равно ста тридцати шести.
• Семнадцать раз девять равно ста пятидесяти трем.

Как решаются логарифмические уравнения. Логарифмические уравнения

Психология

Подготовка к итоговому тестированию по математике включает в себя важный раздел — «Логарифмы». Задания из этой темы обязательно содержатся в ЕГЭ. Опыт прошлых лет показывает, что логарифмические уравнения вызвали затруднения у многих школьников. Поэтому понимать, как найти правильный ответ, и оперативно справляться с ними должны учащиеся с различным уровнем подготовки.

Сдайте аттестационное испытание успешно с помощью образовательного портала «Школково»!

При подготовке к единому государственному экзамену выпускникам старших классов требуется достоверный источник, предоставляющий максимально полную и точную информацию для успешного решения тестовых задач. Однако учебник не всегда оказывается под рукой, а поиск необходимых правил и формул в Интернете зачастую требует времени.

Образовательный портал «Школково» позволяет заниматься подготовкой к ЕГЭ в любом месте в любое время. На нашем сайте предлагается наиболее удобный подход к повторению и усвоению большого количества информации по логарифмам, а также по с одним и несколькими неизвестными. Начните с легких уравнений. Если вы справились с ними без труда, переходите к более сложным. Если у вас возникли проблемы с решением определенного неравенства, вы можете добавить его в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже.

Найти необходимые формулы для выполнения задачи, повторить частные случаи и способы вычисления корня стандартного логарифмического уравнения вы можете, заглянув в раздел «Теоретическая справка». Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили все необходимые для успешной сдачи материалы в максимально простой и понятной форме.

Чтобы без затруднений справляться с заданиями любой сложности, на нашем портале вы можете ознакомиться с решением некоторых типовых логарифмических уравнений. Для этого перейдите в раздел «Каталоги». У нас представлено большое количество примеров, в том числе с уравнениями профильного уровня ЕГЭ по математике.

Воспользоваться нашим порталом могут учащиеся из школ по всей России. Для начала занятий просто зарегистрируйтесь в системе и приступайте к решению уравнений. Для закрепления результатов советуем возвращаться на сайт «Школково» ежедневно.

Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях « » , « » . В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение :

Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Например:

Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4

Так как log b a = x b x = a, то

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Проверка:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7

Найдите корень уравнения log 5 (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как log a b = x b x = a, то

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Проверка:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.

Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Если log c a = log c b, то a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени ().

Ответ: – 51

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2

Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Если log c a = log c b, то a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Сделайте проверку.

Ответ: – 21

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Если log c a = log c b, то a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Сделайте проверку.

Ответ: 2,75

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log 2 (……)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log 2 2

log с (ab) = log с a + log с b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Получаем:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Если log c a = log c b, то a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Сделайте проверку.

Ответ: 0,4

Решите самостоятельно: Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,

корни равны 6 и – 4.

Корень «– 4″ не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при » – 4″ оно равно « – 5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.

Ответ: 6.

Решите самостоятельно:

Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с и .
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log a x = b , где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log 2 х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log 2 2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log 2 х = log 2 16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log a x = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

• одинаковые числовые основания у логарифмов
• логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т. е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log 2 х = 2log 2 (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log 2 х+log 2 (1 — х) = log 2 (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log a (…) = log a (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log 3 (2х-5) = log 3 х

Применяем потенцирование, получаем:

log 3 (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т. е. (4х-1), получаем:

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log 3 (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log 3 9, ведь 3 2 =9.

Тогда log 3 (2х-1) = log 3 9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений , даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

Находим корни уравнения:

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т. е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х 1 = 3 и х 2 = -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения , пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.

С уравнениями мы все знакомы с начальных классов. Еще там мы учились решать самые простые примеры, и надо признать, что они находят свое применение даже в высшей математике. С уравнениями все просто, в том числи и с квадратными. Если у вас проблемы с этой темой, настоятельно рекомендуем вам повторить ее.

Логарифмы вы, вероятно, тоже уже прошли. Тем не менее, считаем важным рассказать, что это для тех, кто еще не знает. Логарифм приравнивается к степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось число, стоящее справа от знака логарифма. Приведем пример, исходя из которого, вам все станет ясно.

Если вы возведете 3 в четвертую степень получится 81. Теперь подставьте по аналогии числа, и поймете окончательно, как решаются логарифмы. Теперь осталось лишь совместить два рассмотренных понятия. Изначально ситуация кажется чрезвычайно сложной, но при ближайшем рассмотрении весе становится на свои места. Мы уверены, что после этой короткой статьи у вас не будет проблем в этой части ЕГЭ.

Сегодня выделяют множество способов решения подобных конструкций. Мы расскажем о самых простых, эффективных и наиболее применимых в случае заданий ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений должно начинаться с самого простого примера. Простейшие логарифмические уравнения состоят из функции и одной переменной в ней.

Важно учесть, что x находится внутри аргумента. A и b должны быть числами. В таком случае вы можете попросту выразить функцию через число в степени. Выглядит это следующим образом.

Разумеется, решение логарифмического уравнения таким методом приведет вас к верному ответу. Ног проблема подавляющего большинства учеников в этом случае заключается в том, что они не понимают, что и откуда берется. В результате приходится мириться с ошибками и не получать желаемых баллов. Самой обидной ошибкой будет, если вы перепутаете буквы местами. Чтобы решить уравнение этим способом, нужно зазубрить эту стандартную школьную формулу, потому что понять ее сложно.

Чтобы было проще, можно прибегнуть к другому способу – канонической форме. Идея крайне проста. Снова обратите внимание на задачу. Помните, что буква a – число, а не функция или переменная. A не равно одному и больше нуля. На b никаких ограничений не действует. Теперь из всех формул вспоминаем одну. B можно выразить следующим образом.

Из этого следует, что все исходные уравнения с логарифмами можно представить в виде:

Теперь мы можем отбросить логарифмы. Получится простая конструкция, которую мы уже видели ранее.

Удобство данной формулы заключается в том, что ее можно применять в самых разных случаях, а не только для самых простых конструкций.

Не переживайте насчет ООФ!

Многие опытные математики заметят, что мы не уделили внимание области определения. Сводится правило к тому, что F(x) обязательно больше 0. Нет, мы не упустили этот момент. Сейчас мы говорим об еще одном серьезном преимуществе канонической формы.

Лишних корней здесь не возникнет. Если переменная будет встречаться лишь в одном месте, то область определения не является необходимостью. Она выполняется автоматически. Чтобы убедиться в данном суждении, займитесь решением нескольких простых примеров.

Как решать логарифмические уравнения с разными основаниями

Это уже сложные логарифмические уравнения, и подход к их решению должен быть особым. Здесь редко получается ограничиться пресловутой канонической формой. Начнем наш подробный рассказ. Мы имеем следующую конструкцию.

Обратите внимание на дробь. В ней находится логарифм. Если вы увидите такое в задании, стоит вспомнить один интересный прием.

Что это значит? Каждый логарифм можно представить в виде частного двух логарифмов с удобным основанием. И у данной формулы есть частный случай, который применим с этим примером (имеем ввиду, если c=b).

Именно такую дробь мы и видим в нашем примере. Таким образом.

По сути, перевернули дробь и получили более удобное выражение. Запомните этот алгоритм!

Теперь нужно, что логарифмическое уравнение не содержало разных оснований. Представим основание дробью.

В математике есть правило, исходя из которого, можно вынести степень из основания. Получается следующая конструкция.

Казалось бы, что мешает теперь превратить наше выражение в каноническую форму и элементарно решить ее? Не все так просто. Дробей перед логарифмом быть не должно. Исправляем эту ситуацию! Дробь разрешается выносить в качестве степени.

Соответственно.

Если основания одинаковые, мы можем убрать логарифмы и приравнять сами выражения. Так ситуация станет в разы проще, чем была. Останется элементарное уравнение, которое каждый из нас умел решать еще в 8 или даже в 7 классе. Расчеты вы сможете произвести сами.

Мы получили единственно верный корень этого логарифмического уравнения. Примеры решения логарифмического уравнения достаточно просты, не так ли? Теперь и у вас получится самостоятельно разобраться даже с самыми сложными задачами для подготовки и сдачи ЕГЭ.

Что в итоге?

В случае с любыми логарифмическими уравнениями мы исходим из одного очень важного правила. Необходимо действовать так, чтобы привести выражение к максимально простому виду. В таком случае у вас будет больше шансов не просто решить задание правильно, но еще и сделать это максимально простым и логичным путем. Именно так всегда действуют математики.

Настоятельно не рекомендуем вам искать сложных путей, особенно в этом случае. Запомните несколько простых правил, которые позволят преобразовать любое выражение. К примеру, привести два или три логарифма к одному основанию или вывести степень из основания и выиграть на этом.

Также стоит помнить о том, что в решении логарифмических уравнений необходимо постоянно тренироваться. Постепенно вы будете переходить ко все более сложным конструкциям, а это приведет вас к уверенному решению всех вариантов задач на ЕГЭ. Готовьтесь к экзаменам заблаговременно, и удачи вам!

Как решить логарифмическое уравнение: подробное объяснение

Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.

Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.

Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.

1. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
2. Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
3. Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
4. Как сделать проверку – это важно

Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами

Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.

При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!

Давайте посмотрим, как это работает на примере:

Воспользуемся определением логарифма и получим:

2х + 3 = 3²

Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3² = 9, то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании log_af(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.

Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:

Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.

Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.

Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:

Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:

2х + 3 = 3²

2х + 3 = 9

2х = 6

х = 3

Ответ: х = 3

Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.

Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:

3х – 5 = 4

3х = 9

х = 3

Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно,  х = 3 является корнем уравнения.

Ответ: х = 3

Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:

Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:

Сделаем проверку, подставим х₁ = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х₁ = 1 является корнем уравнения.

Теперь подставим х₂ = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х₂ = -5 – посторонний корень.

Ответ: х = 1

Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями

Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,

Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!

Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:

Мы знаем, что 1/3 = 3^-1. Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:

Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.

Ответ: х = 4.

Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями

Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т. е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, log_x+1(х²+5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:

1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:

2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:

Сведем все требования в систему:

Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х²+5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1)², которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х²+5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.

Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:

Т.к. 3²=9, то  последнее выражение верно.

Ответ: х = 2

Как сделать проверку

Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т. е. больше ноля.

Если наше уравнение имеет вид log_a (f(x)) = log_a (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:

После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!

Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.

Чтение: Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений | Конечная математика |

Модуль 6: Экспоненциальный рост и спад

Мы уже видели, что каждое

логарифмическое уравнение log _b ( x ) = y эквивалентно экспоненциальному уравнению b 90 022 г = х . Мы можем использовать этот факт вместе с правилами логарифмирования для решения логарифмических уравнений, где аргументом является алгебраическое выражение.

Например, рассмотрим уравнение log

₂ (2) + log ₂ (3 x – 5) = 3.

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую стороны в компактной форме, а затем применить определение бревен для решения для

x :

9{{3}}={6}{x}-{10}23=6x−10

	log2(2)+log2(3x−5)=3\displaystyle{{log}_{{2}}{({2})}}+{{log}_{{2}}{({3 {x}-{5})}}={3}log2​(2)+log2​(3x−5)=3
Вычислить 2 3	8=6x−10\displaystyle{8}={6}{x}-{10}8=6x−10
Добавьте по 10 с обеих сторон	18=6x\displaystyle{18}={6}{x}18=6x
Разделить на 6	х=3\displaystyle{х}={3}х=3

Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений

Для любого алгебраического выражения

S и действительные числа b и c , где b > 0, b ≠ 1,

log

90 011 _b ( S ) = c если и только если b ^c = S

Пример 1

Решить логарифмическое уравнение с помощью алгебры 2lnx=4\displaystyle{2}{ln{{x}}}={4}2lnx=4 9{{{(\frac{{7}}{{2}})}}}x=61​e(27​)

Решить

2ln(x+1)=10\displaystyle{2}{ln{{({x}+{1})}}}={10}2ln(x+1)=10

Используя график, чтобы понять решение логарифмического уравнения, решите

lnx=3\displaystyle{ln{{x}}}={3}lnx=3

Графики y = ln x и y = 3 креста в точке ( e ³ ,3), которая приблизительно равна (20,0855, 3).

Используйте графический калькулятор, чтобы оценить приближенное решение логарифмического уравнения 2 ^x = 1000, решить до 2 знаков после запятой.

х ≈ 9,97

Как и в случае экспоненциальных уравнений, мы можем использовать свойство «один к одному» для решения логарифмических уравнений. Свойство взаимно однозначности логарифмических функций говорит нам, что для любых действительных чисел

x > 0, S > 0, T > 0 и любого положительного вещественного числа b , где b ≠ 1,

журнал _б С = log _b T тогда и только тогда, когда S = T

Например,

Если log ₂ ( x − 1) = лог ₂ (8), затем x − 1 = 8.

Итак, если

x – 1 = 8,

, то мы можем найти

x , и мы получаем x = 9. Для проверки можем подставить x = 9 в исходное уравнение: log ₂ (9 – 1) = log ₂ (8) = 3. Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равный. Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Поэтому, когда у нас есть уравнение с логарифмами одинакового основания на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать каждую сторону как один логарифм. Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции являются взаимно однозначными, чтобы установить аргументы равными друг другу и найти неизвестное.

Например, рассмотрим уравнение

log(3x−2)−log(2)=log(x+4)\displaystyle{log{{({3}{x}-{2})}}}- {log{{({2})}}}={log{{({x}+{4})}}}log(3x−2)−log(2)=log(x+4)

. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую часть как одиночный логарифм, а затем применить свойство «один к одному» для решения

log(3x−2)−log(2)=log (x+4)\displaystyle{log{{({3}{x}-{2})}}}-{log{{({2})}}}={log{{({x}+{ 4})}}}log(3x−2)−log(2)=log(x+4)

Применение правила отношения логарифмов	log(3x−22)=log(x+4)\displaystyle{log{{(\frac{{{3}{x}-{2}}}{{2}})}}}={log {{({x}+{4})}}}log(23x−2​)=log(x+4)
Применение свойства один к одному логарифма.	3x−22=x+4\displaystyle\frac{{{3}{x}-{2}}}{{2}}={x}+{4}23x−2​=x+4
Умножьте обе части уравнения на 2	3x−2=3x+8\displaystyle{3}{x}-{2}={3}{x}+{8}3x−2=3x+8
Вычесть 2 x и добавить 2	х=10\displaystyle{х}={10}х=10

Чтобы проверить результат, подставьте

в

log(3(10)−2)−log(2)=log((10)+4)\displaystyle{log{{({3}{({10}) }-{2})}}}-{log{{({2})}}}={log{{({({10})}+{4})}}}log(3(10)- 2)−log(2)=log((10)+4)

log(28)−log(2)=log(14)\displaystyle{log{{({28})}}}-{log{ {({2})}}}={log{{({14})}}}log(28)−log(2)=log(14)

log(282)=log(14)\displaystyle{ log{{(\frac{{28}}{{2}})}}}={log{{({14})}}}log(228​)=log(14)

Проверка решения.

Использование свойства однозначности логарифмов для решения логарифмических уравнений

Для любых алгебраических выражений

S и T и любого положительного действительного числа b , где b ≠ 1, log _b S = log _b T тогда и только тогда, когда S = T

Обратите внимание: при решении уравнения, содержащего логарифмы, всегда проверяйте, является ли ответ правильным или является посторонним решением.

Имея уравнение, содержащее логарифмы, решите его, используя свойство «один к одному».

1. При необходимости используйте правила логарифмирования, чтобы скомбинировать одинаковые члены, чтобы результирующее уравнение имело вид log _b S = log _b T .
2. Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные аргументы.
3. Решите полученное уравнение S = T для неизвестного.

Пример 2

9{{2}}-{2}{x}-{3}={0}x2−2x−3=0

Фактор с использованием FOIL:

(x−3)(x+1)=0\displaystyle{({ x}-{3})}{({x}+{1})}={0}(x−3)(x+1)=0

Если произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю :

x−3=0 или x+1=0\displaystyle{x}-{3}={0}{\text{ или }}{x}+{1}={0}x−3=0 или x+1=0

Решите для x :

x=3 или x=−1\displaystyle{x}={3}{\text{ или }}{x}=-{1}x= 3 или x=−1

Анализ

Есть два решения:

x = 3 или 9{{2}})}}}={ln{{1}}}ln(x2)=ln1

---

OpenStax, Precalculus, «Экспоненциальные и логарифмические уравнения», под лицензией CC BY 3. 0.

Предыдущий

Следующий

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и найдите переменную.

Пример 1: Найдите x в уравнении Ln ( x )=8.

Решение:

Шаг 1: Пусть обе части являются показателями основания e. Уравнение Ln ( x )=8 можно переписать.

Шаг 2: К настоящему времени вы должны знать, что когда основание экспоненты и основание логарифма совпадают, левая часть может быть записана как x. Уравнение теперь можно записать .

Шаг 3: Точный ответ:

и примерный ответ

Проверить: Вы можете проверить свой ответ двумя способами. Вы можете построить график функции Ln ( x )-8 и посмотреть, где она пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересечь ось X в ответе, который вы получили алгебраически.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в начальный уравнения и определить, равна ли левая часть правой части. Для например, если Ln (2980,95798704)=8, вы правы. Так и есть, и вы правы.

Пример 2: Найдите x в уравнении 7 Log (3 x )=15.

Решение:

Шаг 1: Перед преобразованием логарифмического уравнения в показательное уравнение изолируйте логарифмический член. Разделите обе части исходного уравнения на 7:

Шаг 2: Преобразование логарифмического уравнения в показательное уравнение: если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10. Напомним также, что логарифмы являются показателями степени, поэтому показатель степени . Уравнение

теперь можно написать

Шаг 3: Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3:

точный ответ и приблизительный ответ.

Проверить: Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построить график функции

или подставив значение x в исходное уравнение. Если вы выберете график, точка пересечения по оси x должна совпадать с ответом, который вы полученный ( ).
Если выбрать замену, значение левой части исходного уравнение должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы рассчитали значение каждой стороны на основе вашего ответа для x.

Пример 3: Найдите x в уравнении

Решение:

Шаг 1: Обратите внимание, что первый член Ln ( x -3) действителен только тогда, когда x >3; термин Ln ( x -2) действителен только тогда, когда x >2; а термин Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x >-12. Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом, большим 3, все три термина будут действительными. Если все три условия верны, то уравнение верно.

Шаг 2: Упростите левую часть приведенного выше уравнения: По свойствам логарифмов мы знаем, что

Шаг 3: Теперь можно написать уравнение

Шаг 4: Пусть каждая часть приведенного выше уравнения будет показателем степени основания e:

Шаг 5: Упростите приведенное выше уравнение:

Другой способ взглянуть на уравнение шага 3 — понять, что если Ln ( a ) = Ln ( b ), тогда a должно равняться b. В случае этой проблемы, то

Шаг 6: Упростите левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 7: Вычтите 2x + 24 с каждой стороны:

Шаг 8: Фактор левой части приведенного выше уравнения:

Шаг 9: Если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Если . Если . x = 9 — наше единственное решение. Почему 9 единственное решение? Мы определили нашу область определения как все действительные числа больше 3.

Проверка: Вы можете проверить свой ответ, построив график функции

и определение того, равен ли x-перехват также 9. Если это так, вы правильно отработали задачу.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив 9 вместо x слева и правые части исходного уравнения. Если после замены осталось часть уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения, вы правильно проработали задачу.

Если вы хотите просмотреть другой пример, нажмите «Пример».

Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и решение, нажмите Ответ.

Задача 1: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 2: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 3: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 4: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 5: Найдите x в уравнении

Ответ

Задача 6: Найдите x в уравнении

Ответить

[Вернуться к Правилам логарифмов] [Назад к экспоненциальным функциям] [Алгебра] [Тригонометрия] [Сложный Variables] Домашняя страница S.

Четность нечетность функции онлайн калькулятор с решением. Четность функции

Которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.

Определение 1.

Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).

Определение 2.

Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).

Доказать, что у = х 4 — четная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 4 , f(-х) = (-х) 4 . Но (-х) 4 = х 4 . Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.

Аналогично можно доказать, что функции у — х 2 ,у = х 6 ,у — х 8 являются четными.

Доказать, что у = х 3 ~ нечетная функция.

Решение. Имеем: f(х) = х 3 , f(-х) = (-х) 3 . Но (-х) 3 = -х 3 . Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.

Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х 5 , у = х 7 являются нечетными.

Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х 3 , у = х 5 , у = х 7 — нечетные функции, тогда как у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х» (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число , можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х» — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.

Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х). {2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .

Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .

Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .

Возрастающая и убывающая функция

О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .

Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1})

Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).

а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x

б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x

в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x

г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x

Экстремумы функции

Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} — обозначение функции в точке min.

Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)

Необходимое условие

Согласно теореме Ферма: f»(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.

Достаточное условие

1. Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
2. x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке

Шаги вычислений:

1. Ищется производная f»(x) ;
2. Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
3. Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .

Вычисление потока векторного поля

На предыдущем уроке проанализированы более простые примеры на вычисления потока векторного поля. Здесь задания усложняются поверхностью интегрирования, которая ограничена как одним, так и двумя сечениями.
Как следствие, больше расчетов пределов интегрирования, более сложные двойные интегралы и сами вычисления.
Все важные переходы и приемы хорошо расписаны, а примеры отвечают учебным программам большинства ВУЗов Украины.

ЗАДАНИЕ 8.2 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²=z², z=1, z=5 (нормаль внешна).
Решение: Поверхность x²+y²=z² — описывает часть конуса с вершиной в начале координат, которое вытянуто вдоль оси Oz и ограничена плоскостями z=1, z=5.
В этом и следующих примерах для представления приведенны рисунки поверхности интегрирования и их проекции в декартовую плоскость
В сечении получили два круга с радиусами, соответственно R=1, R=5.
В силу симметрии нет необходимости интегрировать по кругу, достаточно найти пределы четверти круга :

Напоследок результирующий интеграл множим на четверку.
В примерах на интегрирование по поверхностям нужно быстро выполнять построение классических тел вращения.
Также необходимо правильно находить пересечения плоскостями, иначе правильного ответа не получите.
Вы должны уметь удачно учитывать симметричность функций, их четность или нечетность.
Вычислим дивергенцию векторного поля :

где функции являются соответствующими множителями при орте векторного поля
P=P(x;y;z)=e^2z+2x, Q=Q(x;y;z)=e^x-y, R=R(x;y;z)=2z-e^2y.
За формулой Остроградського-Гаусса находим поток векторного поля
Из тройного интеграла видим, что кроме того, что нужно хорошо уметь верно расставлять пределы интегрирования, умение пользоватся методом замены переменных тоже важно.
Без этого Вы остановитесь на середине интеграла и не будете знать, как возвести интеграл к конечному ответу.

ЗАДАНИЕ 8.4 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²=6z, z=1 (нормаль внешна).
Решение: Поверхность x²+y²=6z — коловий параболоид с вершиной в начале координат, который вытянут вдоль оси Oz и ограничен плоскостью z=1.
В перерезе получили круг с радиусом равным корню из шести
Как знать, что получим в перерезе плоскостью?
Кто хорошо читал теорию, тот делает это автоматически, а в целом в уравнение поверхности x²+y²=6z подставляем плоскость z=1.
В результате получим уравнение круга x²+y²=6.
Справа имеем квадрат радиуса, вот и весь анализ.
И такая схема справедлива для целого класса рассмотренных задач.
Как видим из рисунку четверть области V ограничена пределами:

Как и в предыдущем задании, здесь учитываем четность всех функций.
Это позволяет упростить само интегрирование и не разбивать доминирующий интеграл на несколько с одинаковым конечным значением.
Учитывая это, результат умножим на 4.
Но к нему еще следует дойти, потому сначала вычисляем дивергенцию векторного поля :

где функции P, Q, R принимают значение
P=P(x;y;z)=e^z+4x, Q=Q(x;y;z)=2xz-y, R=R(x;y;z)=-2z-x²y.
Вычисляем поток векторного поля  по известной формулой:

Для большинства приведенных примеров переход к полярной системе координат под интегралом позволяет упростить дальнейшее их нахождение. Детально останавливаться на этом не будем, в формуле выписаны все этапы интегрирования и замены, поэтому анализируйте самостоятельно.

ЗАДАНИЕ 8.7 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S:
2(x²+y²)=z², z=2, z=6 (нормаль внешна).
Решение: Уравнение 2(x²+y²) =z² описывает конус с вершиной в начале координат (0;0;0) что вытянут вдоль оси Oz и ограничен плоскостями z=2, z=6 по условию.
В сечении получили круги с радиусами, соответственно корень из двух и восемнадцати

В силу симметрии рассматриваем четверть области V, которая ограничена поверхностями:

Результат интегрирования умножим на 4.
Определяем дивергенцию векторного поля :

где функции задаются зависимостями

За формулой Остроградського-Гаусса находим поток поля F:
Формулы не из легких, однако достаточно распространены на практике, потому не спеша хорошо проанализируйте расстановку пределов интегрирования и замену переменных.
Применение перехода к полярной СК позволяет свести корневые функции к показательным.

ЗАДАНИЕ 8.8 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: x²+y²+z²=4x-2y-4 (нормаль внешна).
Решение: Сведем поверхность x²+y²+z²=4x-2y-4 к каноническому виду
x²-4x+4+y²+2y+1+z²=4+1-4, (x-2)²+(y+1)²+z²=1 — сфера с центром (2;-1;0) и радиусом R=1.
Ее график и проекция на плоскость Oxy приведены ниже
Как можно видеть из рисунку, 1/8 поверхности сферы задается пределами:

Здесь учли четность функций, поэтому интеграл будем множить на 8 (верхняя и нижняя полусферы).
Дивергенцию векторного поля находим по формуле:

где P=P(x;y;z)=sin(2y)+x, Q=Q(x;y;z)=y-sin²(x), R=R(x;y;z)=z-cos(x*y).
Дальше интегрированием вычисляем поток векторного поля: где R=1 — радиус сферы.
Так как здесь подинтегральная функция равна постоянной, то тройной интеграл не что иначе, как объем сферы с радиусом 1, разделенный на 8 (согласно упрощений).
На основе выше рассмотренных задач, попробуйте самостоятельно найти тройной интеграл и убедиться в правильности рассуждений.

ЗАДАНИЕ 8.14 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S: , (нормаль внешна).
Решение: Поверхность задает конус с вершиной в (0;0;4), что вытянут вдоль оси Oz вниз и ограничен плоскостью z=1.
Графически поверхность интегрирования можно представить из следующих рисунков
В сечении z=1 получим круг с радиусом R=3.
В силу симметрии четверть области V задается следующими пределами:

Не забываем, что при этом нужно интеграл кмножить на 4.
Находим дивергенцию поля :

функции P, Q, R 

Поток векторного поля находим по формуле Остроградського-Гаусса :
Тройной интеграл не тяжелый в плане вычислений, и схемы применения замены переменных и возведения к простому виду хорошо расписаны в предыдущих примерах.
Потек равен П=27pi.

ЗАДАНИЕ 8.15 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: 2y-x+z=2, x=0, y=0, z=0 (нормаль внешна).
Решение: Уравнение 2y-x+z=2, -x/2+y/1+z/2=1- описывает плоскость, которая является одной из граней треугольной пирамиды.
Чтобы лучше это представить рассмотрите следующие рисунки к задаче.
Из построения видим, что область V ограничена поверхностью:

Такой анализ позволяет коректно расставить пределы интегрирования в тройном интеграле.
Вычисляем дивергенцию векторного поля :

где P=P(x;y;z)=x+4yz, Q=Q(x;y;z)=e^z+x+y, R=R(x;y;z)=-3z-x²y.
Вычисляем поток  векторного поля F:

Интеграл не из легких, поэтому внимательно разберите как расставленные пределы, проанализируйте эффективность замены переменных при упрощении повторного интеграла.

ЗАДАНИЕ 8.25 Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S: z=-1 (нормаль внешна).
Решение: Анализ уравнения — конус со смещенной относительно начала координат вершиной (0;0;- 3), который вытянут вдоль оси Oz вверх и ограничен сверху плоскостью z=-1.
В сечении имеем круг с радиусом R=2.
Четверть области V описываем следующими пределами:

Правильно найденные пределы интегрирования  играют определяющую роль при интегрировании, поэтому помните что это одна из ответственных частей приведенных расчетов.
Результат интегрирования не забывайте множить на 4.
Дивергенцию поля через частичные производные равны:

здесь учтено P=P(x;y;z)=x/2+ln(1-z), Q=Q(x;y;z)=y, R=R(x;y;z)=x²+z/3.
По формуле вычисляем поток векторного поля F:
Переход от повторного к двойному определенному интегралу лучше делать через приведенную замену переменных, остальное интегрирование сводится к простым табличным формулам  и определения значений на пределах.
Будьте внимательные при расчетах, в первую очередь проверяйте правильность расстановки пределов интегрирования.
Хорошо заучите замену переменных, которая здесь приведена и применяйте ее в примерах, что подобные за конструкцией к рассмотренным.
При вычислении интегралов проверяйте себя на каждом шагу, наименьшая ошибка при переходах в начале приведет к неправильному ответу напоследок расчетов.

Калькулятор четных или нечетных функций

Чтобы использовать калькулятор четных или нечетных функций, введите функцию и нажмите «Рассчитать».

Содержание:

• Калькулятор четных и нечетных функций
• Что такое четные и нечетные функции?
• Как определить четные и нечетные функции?

Дайте нам отзыв

✎

✉

Калькулятор четной или нечетной функции 

Калькулятор четной или нечетной функции классифицирует входную функцию как четную, нечетную или никакую. Этот инструмент особенно полезен для сложных функций, включающих тригонометрию, логарифмирование и т. д.

Что такое четные и нечетные функции?

Четные функции — это те, которые удовлетворяют следующему уравнению:

                                       отрицательное значение, ответ будет таким же как исходное значение. Например, когда f(x ² ) и x = -1, ответ равен 1.

Графики таких функций симметричны, как функции параболы и cosx.

                                            Функция косинуса 
        
Нечетные функции противоположны четным. Уравнение, которому удовлетворяет нечетная функция:

                                          F (x) = — F(x)

Таким образом, такие функции дают противоположное значение исходной функции. Такие экспоненты, как x, x ³ , x ⁵ и т. д., составляют нечетную функцию. Но следует отметить, что не каждый четный показатель является четной функцией, и не каждый нечетный показатель является нечетной функцией, такой как (x + 1) ⁴ и (х — 1) ³ .

Некоторые функции ни четные, ни нечетные . Это функции, которые оказываются где-то между одинаковыми и прямо противоположными значениями.

Как определить четные и нечетные функции?

Используйте для этой цели калькулятор нечетных или четных функций. Для идентификации без использования калькулятора поставьте в функции -x.

Примеры:

1. Возьмем функцию -5x ⁴ — 7. Как это выглядит? четным или нечетным? Всегда лучше решать. Подставьте -x в функцию.

= -5x ⁴ — 7x ²
= -5(-x) ⁴ -7(-x) ²
= -5(x) ⁴ -7(х ² )

Мы получили значение, с которого начали. Это означает, что указанная выше функция четная.

2. Следующая функция 6x + 4x ³ . Это даже? Вы никогда не должны говорить, прежде чем решить это должным образом.

Поместите -x вместо x.

= 6х + 4х ³
= 6(-х) + 4(-х) ³
= -6x -4x ³

Как видите, это будет нанесено на противоположную сторону графика. Следовательно, это нечетная функция.

3. Наконец, у нас есть функция 9x ² + x.

Если вы поместите -x в эту функцию, она будет решать как

= 9x ² + x
= 9(-x) ² + (-x)
= 9x ² — x

Одна половина этой функции инвертируется, а другая половина остается неизменной. Это означает, что оно не четное и не нечетное.

Калькулятор четных или нечетных функций

Онлайн-калькулятор четных или нечетных функций поможет вам определить, является ли определенная функция четной, нечетной или ни одной. Обычно знак значений в функции не имеет значения при вычислении значений функции, и будут использоваться только половинные значения в области. В этой статье мы рассмотрим определения, свойства и то, как определить, является ли функция четной или нечетной.

В коробке лежат 14 шаров, из которых 5

Ответы 2

14 шаров — всего  

5 шаров — синие  

1) Какую часть составляют синие шары?  

5 : 14 = 5/14 (ч.)  

Ответ: синие шары составляют 5/14 части.

14-5=9 ответ:синих шаров

• Автор:

  kidhoqm

• Оценить ответ:

  0

Знаешь ответ? Добавь его сюда!

Последние вопросы

• Геометрия

  45 минут назад

  Помогите решить

• Математика

  3 часа назад

  Вычислите площади боковой и полной поверхности конуса, высота которого равна 6 см ,а радиус основания 4 см

• Физика

  4 часа назад

  Конструкция, состоящая из двух невесомых пружин с коэффициентами жёсткости k=10 Н/см и 3k и груза массой m=7 кг, находится в равновесии так, как показано на рисунке. Пружины вертикальны. Верхний конец пружины жёсткостью 3k и нижний конец пружины жёсткостью k закреплены. Известно, что нижняя пружина сжата на a=5 см. Ускорение свободного падения g=10 Н/кг.

  Растянута или сжата верхняя пружина? На сколько см?

  «Растянута на 4 см» НЕ ПОДХОДИТ. Тут другие условия!
• Химия

  9 часов назад

  30 грамм 10 процентного раствора нитрата серебра прореагировала с хлоридом натрия Найдите массу осадка
• Математика

  10 часов назад

  Два мотоциклиста отправляются одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 360 км, и встречаются через 4 часа. Определите скорость каждого мотоциклиста, если у одного она на 10 км/ч больше, чем у другого. В ответ запишите полученные значения скоростей без пробелов и запятых,начиная с меньшей.

• Литература

  10 часов назад

   Написати міні-твір «Якби я був чайкою»

  

• Английский язык

  13 часов назад

  помогите как написать в предложение в настоящем простом времени

  1 Paco/read storis 2 children / watch cartoons 3 Nanny Shine / drive a car 4 Maya/ write emails 5 Larry and Lulu / play games 6 your friends / play tennis 7 your friend / paint pictures 8 your mother and father / play badminton 9 your sister / play the piano 10 you / read a book 11 your brother / play a game.

• Английский язык

  14 часов назад

  помогите пожалуйста, срочно

• Математика

  14 часов назад

  Помогите пожалуйста, срочно

• Физика

  1 день назад

  Конструкция, состоящая из двух невесомых пружин с коэффициентами жёсткости

  k=10 Н/см и 3k и груза массой m=7 кг, находится в равновесии так, как показано на рисунке. Пружины вертикальны. Верхний конец пружины жёсткостью 3k и нижний конец пружины жёсткостью k закреплены. Известно, что нижняя пружина сжата на a=5 см. Ускорение свободного падения g=10 Н/кг.

  «Растянута на 4 см» НЕ ПОДХОДИТ. Тут другие условия!

• Математика

  1 день назад

  Помогите плз!!!

• Математика

  1 день назад

  Помогите пожалуйста решить.

• Физика

  1 день назад

  Для каждого физического понятия из первого столбца подберите соответствующий пример второго

• Музыка

  1 день назад

  9) Распределите определения по жанрам: кантата, марш, концерт, этюд, песня, опера, балет, прелюдия, вокализ, романс, оратория, баркарола, оперетта    

  1. ВОКАЛЬНЫЕ ЖАНРЫ:

  2.ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ЖАНРЫ:

  3.СИНТЕТИЧЕСКИЕ ЖАНРЫ:

  Заранее спасибо если поможете

• Физика

  1 день назад

  Оценить число молекул воздуха в земной атмосфере, если давление воздуха вблизи поверхности Земли на уровне моря равно 760 мм рт.ст., молярная масса воздуха 29 г/моль. Радиус Земли 6400 км. Ускорение свободного падения считать постоянным и равным 9,8 м/с2 .

Номер №183 — ГДЗ по Математике 6 класс: Мерзляк А.Г.

войтирегистрация

1. Ответкин
2. Решебники
3. 6 класс
4. Математика
5. Мерзляк
6. Номер №183

НАЗАД К СОДЕРЖАНИЮ

2014г.ВыбранВыбрать ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Номер №183 по учебнику Математика. 6 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Вентана-Граф. 2014г.

2019г.ВыбранВыбрать ГДЗ (готовое домашние задание из решебника) на Номер №183 по учебнику Математика. 6 класс. Учебник / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир, под редакцией В.Е. Подольского. Вентана-Граф. 4 издание, дополненное. 2019г.

Условие 20142019г.

Cменить на 2014 г.

Cменить на 2019 г.

В коробке лежат шары, 6 из которых белого цвета. Сколько всего шаров в коробке, если белые составляют 3/7 всех шаров?

1) В коробке лежит 14 шаров, из которых 5 − синего цвета. Какую часть всех шаров составляют синие? 2) В коробке лежит 14 шаров, из которых 3/7 составляют шары красного цвета. Сколько красных шаров в коробке? 3) В коробке лежат шары, 6 из которых белого цвета. Сколько всего шаров в коробке, если белые составляют 3/7 всех шаров?

Решение 1

Решение 1

Решение 2

Решение 2

Решение 3

Решение 3

Решение 4

Решение 4

Решение 5

Решение 5

Решение 6

Решение 6

ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин Н.Я.

Издатель: Виленкин Н.Я. Жохов В.И. Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. 2013/2019г.

ГДЗ по Математике 6 класс: Мерзляк А.Г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2014г. / 2019г.

ГДЗ по Математике 6 класс: Никольский С.М.

Издатель: С.М. Никольский, М.К, Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. 2015-2018

ГДЗ по Математике 6 класс: Зубарева, Мордкович

Издатель: И. И. Зубарева, А.Г. Мордкович. 2014-2019г.

ГДЗ по Математике 6 класс: Дорофеев Г.В.

Издатель: Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова. 2016-2019г.

Сообщить об ошибке

Выберите тип ошибки:

Решено неверно

Опечатка

Плохое качество картинки

Опишите подробнее
в каком месте ошибка

Ваше сообщение отправлено
и скоро будет рассмотрено

ОК, СПАСИБО

[email protected]

© OTVETKIN.INFO

Классы

Предметы

Математическая задача: Коробка — вопрос № 47743, комбинаторика, вероятность

В коробке 6 красных, 5 синих и 4 белых шара. Найдите вероятность того, что вытащите а) красный шар и б) небелый шар.

Правильный ответ:

a = 0,4
b = 0,7333

Пошаговое объяснение:

a=6+5+46​=52​=0,4

б=6+5+46+ 5​=1511​=0,7333

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

написать нам . Спасибо!

Советы для связанных онлайн-калькуляторов

Вы хотите подсчитать количество комбинаций?

Для решения этой математической задачи вам необходимо знать следующие знания:

• комбинаторика
• вероятность
• числа
9003 1 натуральные числа

Уровень словесной задачи:

• практика для 14-летние

• Вероятность 3835
  У нас в мешке четыре красных, три синих, шесть желтых и два черных шара. Найдите вероятность того, что вытащите синий или красный шар.
• Вероятность 8280
  У нас в карманах десять белых, десять красных и десять синих шаров. Мы выбрали пять белых, два красных и три синих шара. Какова вероятность того, что следующим ходом мы вытащим белый шар?
• Три цвета
  Найти вероятность того, что судьба вытянет три шара одного цвета из десяти белых, десяти красных и десяти синих шаров.
• Пули вероятности
  В мешочке шесть красных, пять зеленых, голубых и 11 желтых шариков. Какова вероятность того, что мы вытащим зеленую пулю?
• Вероятность 80394
  У нас есть 10 красных и 10 белых шаров. Возьмем 5 белых. Какова вероятность того, что выпадет белый шар?
• Вероятность 41211
  У нас в шляпе пять красных и семь белых шаров. Какова вероятность вытащить: а) красный шар? б) белый шар?
• Шарики 8358
  У нас в мешке пять красных, четыре синих и семь белых шаров. По крайней мере, сколько шаров нам нужно вытащить, чтобы на столе оказался хотя бы один белый шар?
• Вероятность 29163
  В шляпе десять красных, шесть синих и восемь зеленых шаров. Какова вероятность того, что случайно выбранный шар окажется синим или красным?
• Мешок 4
  В мешке 18 мячей, различающихся только цветом, 11 синих и 7 красных. Если два шара вынуты один за другим без замены, найдите вероятность того, что оба они (i) синие, (ii) одного цвета, (iii) разного цвета
• Вероятность 65634
  В лузе семь красных и 13 синих шаров. Сколько синих шаров нужно положить в лузу, чтобы вероятность вынуть красный шар равнялась 0,2?
• Вероятность 7672
  В лузе восемь белых и несколько синих шаров. Вероятность вытащить белый шар равна 2/3. Сколько синих шаров у тебя в мешке?
• Викторина по статистике
  Вставьте пропущенное слово. 1. в наборе данных среднее значение, медиана и мода измеряются ________________ 2. «Манипулирование переменными в контролируемых условиях» — это метод сбора данных, известный как______________ 3. в нормальном распределении область
• Жетоны
  В непрозрачных мешочках находятся красные, белые, желтые и синие жетоны. Мы 3 раза вытягивали один токен и снова возвращали его, записывая все возможности.
• 20 шаров
  20 цветных шаров в мешке: Четыре красных Семь зеленых Девять желтых Какова вероятность того, что выпадет желтый шар?
• Круглая судьба
  В судьбе пять белых и десять красных шаров. Случайным образом вынимаются четыре шара. Какова вероятность события «по крайней мере два шара белые»?
• Белые шары
  У меня в кармане три белых и пять красных шаров. Сколько мячей мне нужно вынуть из мешка, чтобы вытащенный мяч был красным?
• На физкультуре
  На физкультуре учащиеся играют в игру, в которой они выполняют различные упражнения в зависимости от цвета шарика, который рисует тренер Форбс. У тренера Форбса есть банка с 6 красными, 12 синими, 16 фиолетовыми, двумя зелеными и четырьмя желтыми шариками. Что такое

В коробке 12 шаров, из которых x черных. Если из ящика наугад вынуть один шар, какова вероятность того, что это будет черный шар?

Решение:

Мы знаем, что

Вероятность = Количество возможных исходов / Общее количество исходов

Общее количество шаров = 12 вероятность получения черного шара = Количество возможных исходов / Общее количество исходов

= x/12

Если в коробку положить еще 6 черных шаров, вероятность вытащить черный шар теперь удвоится по сравнению с тем, что было раньше,

Общее количество шары = 12 + 6

Количество черных шаров = x + 6

Сейчас,

2 × Вероятность выпадения черного шара до = вероятность вытягивания черного шара

2 × Вероятность выпадения черного шара до = Количество возможных исходов / Общее количество исходов

2(x/12) = (x + 6)/18

3x = x + 6

3x — x = 6

2x = 6

x = 3

Следовательно, ранее число черного шаров было 3.

Таким образом, вероятность выпадения черного шара изначально была x/12 = 3/12 = 1/4.

Узнайте больше о вероятности.

☛ Проверьте: Решения NCERT для 10 класса по математике, глава 15

---

Видеорешение:

В коробке 12 шаров, из которых x черные. Если из ящика наугад вынуть один шар, какова вероятность того, что это будет черный шар? Если в ящик положить еще 6 черных шаров, вероятность вытащить черный шар теперь удвоится по сравнению с тем, что было раньше. Найти x

Решения NCERT для 10 класса по математике Глава 15 Упражнение 15. 2 Вопрос 4

Сводка:

В коробке 12 шаров, из которых x черных. Если из ящика наугад вынуть один шар, то вероятность того, что это будет черный шар, равна 1/4. Если в ящик положить еще 6 черных шаров, вероятность вытащить черный шар теперь удвоится по сравнению с тем, что было раньше. Значение x равно 3.

---

☛ Связанные вопросы:

• Два покупателя Шьям и Экта посещают конкретный магазин на одной неделе (со вторника по субботу). Каждый из них с одинаковой вероятностью посетит магазин в любой день, как и в любой другой день. Какова вероятность того, что оба посетят магазин в (i) один и тот же день? (ii) дней подряд? (iii) разные дни?
• Кубик пронумерован таким образом, что на его гранях изображены числа 1, 2, 2, 3, 3, 6. Его бросают два раза и записывают общее количество очков за два броска. Заполните следующую таблицу, в которой приведены несколько значений общей суммы очков за два броска: Какова вероятность того, что общая сумма очков (i) четна? (ii) 6? (iii) не менее 6?
• В мешке 5 красных и несколько синих шаров.