Автор: alexxlab

Что проверяет тест отиса мти: Основы менеджмента [Архив] — Форум студентов МТИ

alexxlab / / Разное

MIT возвращает тестирование для будущих студентов

Общество 404

Поделиться

Массачусетский технологический институт объявил, что абитуриенты должны предоставлять результаты стандартизированных тестов SAT или ACT для поступления в 2023 году.

Фото: Pixabay.

Во время пандемии многие вузы отказались от подобных требований и пока не собираются их возвращать. В 2020 году Совет колледжей заявил, что миллионы студентов не смогли сдать тесты, запланированные на весну 2020 года, из-за карантинных ограничений, и попросил администрации высших учебных заведений проявить «гибкость в процессе приема абитуриентов». Поскольку карантин – и, как следствие, онлайн-образование в школах – во многих штатах продлевали и на следующий учебный год, было решено и в дальнейшем не требовать сдавать тесты для поступления в вузы по крайней мере до 2022 года включительно. Однако многие колледжи обсуждают возможность отказа от результатов тестирований, чтобы снизить стрессовую нагрузку на старшеклассников.

Так, по данным некоммерческой образовательной организации FairTest, около 2 тысяч вузов — почти 80% колледжей и университетов — не будут требовать результатов ACT или SAT от абитуриентов, поступающих осенью этого года. Зачислять будущих студентов будут по принципу «слепого тестирования» или лотереи. Интересно, что этот список включает почти все самые престижные колледжи и университеты страны, и по крайней мере 1400 учебных заведений уже продлили эти правила на осень 2023 года. Среди вузов, которые не будут требовать тестов ACT или SAT от абитуриентов, есть хорошо известные частные учебные заведения, такие как Амхерст, Чикаго, Колумбия, Корнелл, Стэнфорд и Тафтс. Кроме того, такая же система поступления применяется во многих государственных колледжах в штатах Калифорния, Колорадо, Иллинойс, Индиана, Орегон и Вашингтон. Для сравнения, непосредственно перед началом пандемии COVID-19 только в 1070 колледжах результаты тестирования были необязательными для поступления. Исполнительный директор FairTest Боб Шеффер прогнозирует, что количество вузов, отказывающихся от приема по результатам ACT/SAT, будет только расти.

Но декан приемной комиссии и финансового обслуживания студентов Массачусетского технологического института Стюарт Шмилл заявил: «После тщательного рассмотрения мы решили восстановить требование SAT/ACT для будущих абитуриентов. Наше исследование показало, что в большинстве случаев мы не можем достоверно предсказать, будут ли студенты хорошо учиться в Массачусетском технологическом институте, если не учитывать результаты тестов наряду с другими факторами. Некоторые люди считают, что такие стандарты мешают поступлению студентов из малообеспеченных семей. Но это неверно. Стандартизированные тесты помогают выявить академически подготовленных старшеклассников из социально-экономически неблагополучных семей, которые не могли бы иначе продемонстрировать свои знания, потому что они не посещают дорогие школы, платные курсы и вряд ли их учителя напишут им длинные рекомендательные письма. Таким образом, стандартизированные тесты помогают сдерживать образовательное неравенство».

Шмилл также подчеркнул, что выводы руководства Массачусетского технологического института согласуются с крупным исследованием, проведенным Целевой группой по стандартизированному тестированию Калифорнийского университета, которое обнаружило, что включение результатов SAT/ACT предсказывает успеваемость будущих студентов лучше, чем если бы абитуриентов набирали только по результатам их школьных оценок, а также помогает обратить внимание на умных и талантливых студентов из малообеспеченных семей.

Подписаться

Авторы:

Вашингтон

Опубликован в газете «Московский комсомолец» №13 от 1 апреля 2022

Заголовок в газете: MIT возвращает тестирование для будущих студентов

Что еще почитать

  • «Зверь был рядом»: мать 12 лет искала убийцу своей дочери

    Фото 14767

    Екатерина Сажнева

  • Главком ВСУ на замену: названы кандидаты на место Залужного

    17530

    Виктор Жданов

  • Бойцы СВО рассказали о сложностях ротации в Артемовске

    9790

    Лина Корсак

  • Стало известно, до каких столиц «дотянется» ядерное оружие из Белоруссии

    18965

    Ольга Божьева

  • Названа причина смерти легендарной Тины Тернер

    Фото 53034

    Андрей Яшлавский

Что почитать:Ещё материалы

В регионах

  • ЧВК «Вагнер» наведались в евпаторийский клуб, где участник СВО не смог исполнить гимн РФ

    66071

    Крым

    фото: МК в Крыму

  • 22 мая – день Николая Чудотворца, что строго запрещено в большой праздник

    Фото 13736

    Псков

  • К морю на псковскую зарплату: как в Сочи «тянут деньги» из туристов.

    Почём отдых в 2023 году

    Фото 10033

    Псков

    Светлана Пикалёва

  • 20 мая – старинный праздник Купальницы: что нельзя делать, чтобы не навлечь беду

    Фото 3631

    Псков

  • Свердловское ТУ Росимущества после назначения начальником Сергея Зубенко, за спиной которого виден руководитель центрального аппарата Вадим Яковенко, напоминает магазин «для своих»

    Фото 2741

    Екатеринбург

    Максим Бойков

  • «Появится молодая элита»: экс-депутат Владимиров предрёк изменения в Красноярском крае после ареста Егорова

    2107

    Красноярск

    Владислав Пирогов

В регионах:Ещё материалы

Психологический тест, Самостоятельные тесты умственных способностей Отиса.

Высший экзамен: форма B

Применяются условия использования

Загрузки
Описание
В начале двадцатого века французские психологи Альфред Бине и Теодор Симон разработали тест интеллекта, который можно было проводить с отдельными детьми должным образом обученным персоналом. Психолог Льюис Терман из Стэнфордского университета разработал форму этого теста, по-прежнему включающую манипулирование объектами и индивидуальное тестирование, названную тестом интеллекта Стэнфорда-Бине. Аспирант Термана Артур С. Отис (1886-1919 гг.)64) подготовил письменную форму теста, который можно было раздать группам детей. Его опробовали в нескольких школах до того, как Соединенные Штаты вступили в боевые действия в Первой мировой войне. В то время Отис присоединился к усилиям Термана и других американских психологов по использованию психологического тестирования для обследования солдат, поступающих в армию США. Отис работал в армейском санитарном корпусе, а затем в офисе главного хирурга. Некоторые из его письменных тестов использовались в серии тестов под названием Army Alpha.
В конце войны Отис вернулся в Стэнфорд, защитив докторскую диссертацию. в 1920 году. В следующем году он присоединился к издателю World Book Company (не издателям энциклопедии World Book) в Йонкерсе, штат Нью-Йорк, где стал редактором тестов и математики. Он занимал этот пост около двадцати пяти лет, а также снова работал на федеральное правительство во время Второй мировой войны.
World Book опубликовала шкалу интеллекта Otis Group в 1920 году (см. MA.316371.050). Два года спустя он опубликовал «Самостоятельные тесты умственных способностей Отиса». Он был специально разработан для старшеклассников и первокурсников колледжей и выпускался в двух формах.
Сравнить 1989.0710.03 (форма А) и 1979.0710.04 (форма Б). Соответствующую документацию см. в MA.316371.049.
Каталожные номера:
Сигел, Элеонора Джейн, «Артур Синтон Отис и американское движение умственного тестирования», доктор философии. Диссертация, Университет Майами, 1992.
Пол А. Гейд, «Профиль: Артур С. Отис (1886–1964)», Военный психолог , лето 2018 г., том. 33 №2, стр. 25-27.
Местоположение
В настоящее время не просматривается
Имя объекта
Психологический тест
дата изготовления
1922
автор
Отис, Артур С.
издатель
Всемирная книжная компания
место изготовления
США: Нью-Йорк, Йонкерс
Физическое описание
бумага (общий материал)
Измерения
общий: 21,5 см х 28 см; 8 15/32 дюйма x 11 1/32 дюйма
Идентификационный номер
1989.0710.04
регистрационный номер
1989. 0710
каталожный номер
1989.0710.04
Кредитная линия
Дар Давида Голда
предмет
Математика
Психологические тесты
Посмотреть больше товаров в
Медицина и наука: Математика
Наука и математика
Источник данных
Национальный музей американской истории

Номинировать этот объект для фотографирования.

Наша база данных коллекций находится в стадии разработки. Мы можем обновить эту запись на основе дальнейших исследований и обзоров. Узнайте больше о нашем подходе к публикации нашей коллекции в Интернете.

Если вы хотите узнать, как вы можете использовать содержимое этой страницы, ознакомьтесь с Условиями использования Смитсоновского института. Если вам нужно запросить изображение для публикации или другого использования, посетите страницу Права и репродукции.

Примечание. Отправка комментариев временно недоступна, пока мы работаем над улучшением сайта. Приносим извинения за прерывание. Если у вас есть вопрос, касающийся коллекций музея, сначала ознакомьтесь с часто задаваемыми вопросами о коллекциях. Если вам нужен личный ответ, воспользуйтесь нашей контактной страницей.

Онлайн-экзамены вызывают обеспокоенность по поводу расовой предвзятости при распознавании лиц

Когда студент юридического факультета Ариб Хан попытался войти на онлайн-портал, чтобы сдать экзамен на практику, он получил странное сообщение: «Из-за плохого освещения мы не можем идентифицировать твое лицо. »

Дополнительное освещение не решило проблему. Г-н Хан даже пытался войти в систему из самой светлой комнаты своей нью-йоркской квартиры — ванной.

Мистер Хан начал подозревать, что именно его темный тон кожи раздражал Examplify, тестовую платформу для прокторинга, принятую экзаменационной комиссией по правовым вопросам штата Нью-Йорк во время COVID-19.пандемия. Прежде чем он смог войти в систему, ему потребовалось несколько дней, чтобы связаться со службой поддержки клиентов. .

Поскольку ограничения COVID-19 вынуждают студентов сдавать экзамены удаленно, университеты по всему миру полагаются на программное обеспечение для прокторинга, такое как Examplify. Но многие студенты настороженно относятся к этой технологии не только из-за предвзятости в распознавании лиц, но и из-за возможности сбора данных.

Что означает самооборона в США? Убийства в метро показывают разделение.

«Студенты уже испытывают огромное давление из-за глобальной пандемии», — сказала Хе Юнг Хан, научный сотрудник правозащитной группы Human Rights Watch, которая специализируется на технологиях и образовании. «И теперь у нас есть это агрессивное и несправедливое наблюдение, выходящее за рамки, вторгающееся в их частную жизнь».

Лидеры отрасли утверждают, что их платформы являются важной частью инфраструктуры, которая позволяет студентам продолжать обучение.

«Мы считаем, что возможность продолжить образование и карьеру оказала положительное влияние на многие жизни», — сказала Ники Сандберг, представитель ExamSoft, которая создает платформу Examplify.

«ExamSoft поддерживает беспристрастный процесс идентификации и сдачи экзаменов, чтобы гарантировать, что цветные люди не будут непропорционально затронуты».

Глобальное расширение

Согласно августовскому отчету ЮНИСЕФ, с начала пандемии более 90% стран внедрили ту или иную форму дистанционного обучения.

Это, в свою очередь, привело к быстрому развитию бизнеса компаний, занимающихся образовательными технологиями или технологиями обучения, включая фирмы, которые специализируются на удаленных экзаменах без мошенничества.

Одна фирма, Proctorio, сообщила, что в этом году она провела более чем в пять раз больше экзаменов по сравнению с прошлым годом.

Индустрия удаленного прокторинга предлагает ряд услуг, от простых видеосвязей, которые позволяют другому человеку наблюдать за студентами во время сдачи экзаменов, до алгоритмических инструментов, использующих искусственный интеллект (ИИ) для обнаружения мошенничества.

Но, по словам экспертов, просьба к учащимся установить программное обеспечение для наблюдения за ними во время теста поднимает множество вопросов о справедливости.

«Между тем, что обещает эта технология, и тем, что она на самом деле делает, существует большая пропасть», — сказала Одри Уоттерс, исследователь индустрии образовательных технологий, которая ведет веб-сайт Hack Education.

«[Они] предполагают, что все выглядят одинаково, одинаково сдают тесты и одинаково реагируют на стрессовые ситуации».

Системы распознавания лиц, которые некоторые прокторские платформы используют для подтверждения личности испытуемого, менее точны в отношении темнокожих людей, отмечает Ши Сваугер, исследователь, отслеживающий отрасль в Университете Колорадо в Денвере.

А алгоритмы, предназначенные для обнаружения подозрительных движений, неизбежно будут отмечать учащихся с ограниченными возможностями и других лиц, которые не двигаются так, как ожидают платформы, добавил он.

Учащиеся также отказываются разрешать стороннему программному обеспечению доступ к своим устройствам, при этом некоторые службы требуют, чтобы учащиеся давали им разрешение на чтение своих компьютерных файлов, отслеживание нажатий клавиш и анализ их биометрических данных.

«Речь идет не только [о] расовой предвзятости», — сказал Мигель Бишоп, член студенческого сената Калифорнийского государственного университета в Чико, который использует платформу Proctorio для сдачи экзаменов.

«Необъяснимый сбор данных и ущерб отношениям между учениками и учителями», — сказал он.

Генеральный директор Proctorio Майк Олсен сказал в телефонном интервью, что платформа является наиболее удобным способом для школ бороться с мошенничеством в эпоху COVID.

«Сдавать экзамен, не выходя из собственного дома, по собственному расписанию, менее навязчиво», — сказал он.

Критики технологии часто неправильно понимают, как она работает, добавил он, подчеркнув, что инструменты не выявляют мошенников напрямую, а просто сообщают университетам о подозрительном поведении.

Учащиеся бунтуют

Учащиеся в разных странах требуют от своих школ пересмотреть использование программного обеспечения для удаленного прокторинга, но результаты неоднозначны.

В сентябре Верховный суд Индии отменил дистанционный вступительный экзамен в Национальную юридическую школу Индийского университета после того, как родитель абитуриента и бывший сотрудник университета подали иск.

Они утверждали, что экзамен, который должен был использовать ИИ для обнаружения мошенников, был несправедливым по отношению к студентам с «меньшими средствами и из маргинализированных районов», у которых может не быть высокоскоростного Интернета или достаточно быстрых компьютеров для проведения экзамена.

Студенты Университета Квинсленда в Австралии безуспешно обращались к университету с просьбой обуздать то, что они считают наиболее инвазивными и потенциально дискриминационными аспектами ProctorU, американской службы прокторинга, которую использует школа.

«Мы попросили их сделать такие вещи, как внутренняя проверка личности, вместо того, чтобы [платформа] считывала наше удостоверение личности и выполняла биометрический анализ наших лиц», — сказал Роуэн Эванс, представитель учащихся в школе.

Дженнифер Бакли, профессор инженерии в Университете Делавэра, решила не использовать ProctorU после того, как услышала от своих студентов, что прокторы прервали удаленные экзамены и попросили студентов доказать, что они не жульничают.

— Нет, спасибо, — сказала она. «Я бы предпочел, чтобы мои ученики не чувствовали себя в полицейском государстве».

Она и ее помощники используют Zoom для самостоятельного контроля за экзаменами.

Главный исполнительный директор ProctorU Скотт Макфарланд сказал, что «учащиеся должны быть уверены, что все данные тестирования принадлежат их школам, а не поставщику прокторинга».

«Школы устанавливают правила о том, какие данные собираются, как они хранятся и как долго», — сказал он в заявлении, отправленном по электронной почте.

В Соединенных Штатах и ​​​​Канаде студенты десятков университетов отправили петиции с критикой технологии прокторинга экзаменов, согласно подсчету Electronic Frontier Foundation, некоммерческой организации по защите цифровых прав.

Патрик Салливан, второкурсник Массачусетского университета в Лоуэлле, создал одну такую ​​петицию после того, как профессор математики попросил его установить удаленную службу прокторинга Respondus для экзамена в сентябре.

Он сказал, что программное обеспечение, предназначенное для блокировки доступа к определенным функциям на компьютере во время сдачи экзамена студентом, получит доступ к файлам на его личном устройстве. «Предоставление программному обеспечению такого широкого доступа — это игра с огнем, — сказал он.

Джоди Фини, главный операционный директор Respondus, сказала, что «наши приложения также были тщательно проанализированы сотнями клиентов — группами безопасности университетов, ИТ-персоналом, студентами, сторонними компаниями».

Примеры линейных пространств: 09.1. Линейное пространство. Подпространство

alexxlab / / Разное

09.1. Линейное пространство. Подпространство

 

Линейным действительным пространством или векторным действительным пространством называется множество Vэлементов х, у, ж, для которых определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие следующим аксиомам: I. х + у = х + у, II. (х+у)+2=х+(у+-ж), III. Существует нулевой элемент 0 такой, что х+0 = х, IV. Для каждого х еУ существует противоположный элемент — х такой, что х + (-х) = О, V. 1х = х, VI. а(рх)= (ар)х, VII. а(х + у) = =ах+ау, VIII. (а+р)х = ах+рх.

Эти аксиомы выполняются соответственно для всех х, у, г е V, а, р е*К.

Элементы действительного линейного пространства называются векторами. Замечание. Аналогично определяется комплексное линейное пространство: вместо множества К действительных чисел рассматривается множестве С комплексных чисел.

Из определения линейного пространства вытекают следующие утверждения.

1.  В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент.

2.  Для любого элемента х линейного пространства существует единственны элемент — х.

3.  Для элемента — х противоположным будет элемент х.

4.  Для любого элементах произведение Ох = 0, где 0 — нуль, 0 — нулевой элемен

5.  Для любого элемента х (-1) х = — х, где (- х) — элемент, противоположный*

6.  Для любого числа а произведение аО = 0, где 0 — нулевой элемент.

7.  Если ах = 0 и а * 0, то х = 0.

8.  Если ах = 0 и х * 0, то а = 0.

Равенство ах = 0 выполняется тогда и только тогда, когда а = 0 или х = 0. Замечание. Сумму х+(-у) обозначают х — у и называют разноси

Элементов х и у.

Примеры линейных пространств.

1. Множество У3 всех свободных векторов а (о,, а2> а3), для которых оп]

Делены сложение и умножение вектора на число так, как в п. 3.2, является ли» ным пространством. Отметим, что роль нулевого элемента здесь играет ну вектор; для любого вектора а противоположным является — а. Аксиомы I — \ выполняются, о чем свидетельствуют формулы п. 3.2.





































2.  Множество всех матриц размеромДля которых определены сложение матриц и умножение матрицы на число соответственно формулами (S.2), (S.4). Роль нулевого элемента здесь играет нулевая матрица; для матрицыПротивоположной является матрицаАксиомыВыполняются (см. п. 5.2, свойства 1-8 линейных операций над матрицами).

3.  МножествоВсех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числаДля которых операции сложения многочленов и умножения многочлена на действительное число определены обычными правилами. Нулевой элемент — многочлен, все коэффициенты которого равны нулю; для многочленаПротивоположным будет

Замечание. Множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу и, не является линейным пространством, так как сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже(т. е. не принадлежать рассматриваемому множеству).

4.  МножествоЭлементами которого являются упорядоченные совокупности и действительных чиселКаждый элемент этого множества будем обозначать одним символом, напримерИ писать

Действительные числа называют координатами элемента х. Линейные операции над элементамиОпределяются формулами

Отметим, что элементЯвляется нулевым,

Элемент  ___  — противоположным элементу

5.  МножествоВсех функцийОпределенных и непрерывных на отрезкеОперации сложения этих функций и умножения функции на число определяются обычными правилами. Нулевым элементом является функцияДля всех. Элементом, противоположным

Ъ

Элементу, будет

МножествоНазывается подпространством линейного пространства,

Если выполняются следующие условия: 1. В множествеОпределены те же операции, что и в множестве. 2. Если _, то3. Если, то . Очевидно, всякое подпространствоЛинейного пространстваЯвляется линейным пространством, т. е. вВыполняются аксиомыПрежде всего, в

Имеется нулевой элементЕсли,’ тоДля любого элемента

Имеется противоположный элемент: еслиТо

Отметим, что нулевой элементЛинейного пространстваОбразует подпространство этого пространства, которое, называют нулевым подпространством.





















Само линейное пространство V можно рассматривать как подпространство, этого пространства. Эти подпространства называются тривиальными, а все другие, если они имеются, — нетривиальными. Приведем примеры нетривиальных подпространств. 1. Множество У2 всех свободных векторов а (о,, а2), параллельных

Некоторой плоскости, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, представляет подпространство линейного пространства У3. 2. Множество У, всех свободных векторов а (в,), параллельных некоторой прямой, также является подпространством линейного пространства У3. 3. Множество { Р„_,(*)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа и —41, является подпространством линейного пространства {Р„(х) }.

 

< Предыдущая   Следующая >

Учебное пособие по линейной алгебре

Учебное пособие по линейной алгебре
  

А. П. Громов. Учебное пособие по линейной алгебре. Изд-во «Просвещение». М. 1971 г.

Линейные пространства, линейные преобразования, евклидовы пространства, квадратичные формы.

Для студентов заочных отделений физико-математических факультетов педагогических институтов по курсу высшей алгебры.



Оглавление

Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
§ 4. БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА
§ 5. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 6. ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА
§ 8. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 9. ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА ИЛИ ПОДПРОСТРАНСТВО, НАТЯНУТОЕ НА ДАННУЮ СИСТЕМУ ВЕКТОРОВ
§ 10. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 11. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Глава II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 12. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЕЙ
§ 13. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 14. СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ БАЗИСАХ
§ 15. ДЕЙСТВИЯ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ И МАТРИЦАМИ. КОЛЬЦО ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КОЛЬЦО МАТРИЦ
§ 16. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РАНГ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 17. ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ И ИНДУЦИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
§ 18. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 19. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ
§ 20. О ПРИВЕДЕНИИ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ
§ 21. О СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ
Глава III. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 22. ПОНЯТИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ
§ 23. ДЛИНА ВЕКТОРА. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. НЕРАВЕНСТВО КОШИ—БУНЯКОВСКОГО
§ 24. ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
§ 25. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРОВ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ОРТОГОНАЛЬНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО
§ 26. ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
§ 27. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
§ 28. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 29. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
§ 30. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА СИММЕТРИЧЕСКОЕ
§ 31. ТЕОРЕМА О ТРАНСФОРМИРОВАНИИ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ В ДИАГОНАЛЬНУЮ МАТРИЦУ С ПОМОЩЬЮ ОРТОГОНАЛЬНОЙ
Глава IV. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 32. ПОНЯТИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
§ 33. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
§ 34. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 35. НАХОЖДЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИВОДЯЩЕГО ВЕЩЕСТВЕННУЮ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 36. МЕТОД ЛАГРАНЖА ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 37. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
§ 38. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
§ 39. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Линейные пространства

Марко Табога, доктор философии

Линейные пространства (или векторные пространства) — это множества, которые замкнуты относительно линейных комбинаций.

Другими словами, данный набор является линейным пространством, если его элементы можно умножать на скаляры и добавлять вместе, а результаты этих алгебраических операций представляют собой элементы, которые все еще принадлежат .

Содержание

  1. Первое неформальное и несколько ограничительное определение

  2. Поля

  3. Строгое определение

  4. Как неформальное и формальное определение говорят друг с другом

  5. Пример: многочлены 9 0003

  6. Линейное подпространство

  7. Более двух векторов в линейная комбинация

  8. Решенные упражнения

    1. Упражнение 1

    2. Упражнение 2

    3. Упражнение 3

Первое неофициальное и несколько ограничительное определение

Линейные пространства определяются формальным и очень общим способом путем перечисления свойства, которые две алгебраические операции выполняли над элементами пространства (сложение и умножение на скаляры) должны удовлетворять.

Чтобы постепенно развить интуицию, мы начинаем с более узкого подхода, и мы ограничиваем наше внимание множествами, элементы которых матрицы (или векторы-столбцы и строки).

Кроме того, мы формально не перечисляем свойства сложения и умножение на скаляры, потому что они уже были получены в предыдущем лекции (см. Сложение матриц и Умножение матрица скаляром).

После этой неформальной презентации мы сообщаем о полностью общем и строгом определение векторного пространства.

Определение Позволять набор матриц такой, что все матрицы в имеют одинаковую размерность. это линейное пространство тогда и только тогда, когда для любых двух матриц и принадлежащий и любые два скаляра и , линейный комбинациятакже принадлежит .

Другими словами, когда является линейным пространством, если взять любые две матрицы, принадлежащие , вы умножаете каждое из них на скаляр и складываете произведения таким образом получается, то у вас есть линейная комбинация, которая также является матрицей принадлежащей к .

Пример Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами. Рассмотрим два вектора и принадлежащий . Обозначим через и две записи , и по и две записи . Линейная комбинация и два действительных числа и как можно записать коэффициенты какНо и являются действительными числами, потому что произведения и суммы действительных чисел также действительны числа. Таким образом, две записи в вектораре действительные числа, из чего следует, что вектор принадлежит . Поскольку это верно для любой пары коэффициентов и , является линейным пространством.

Поля

Прежде чем дать строгое определение векторного пространства, нам нужно ввести поля, которые представляют собой наборы скаляров, используемых при умножении векторов на скаляры.

Определение Позволять быть набором вместе с двумя бинарными операциями , добавление, обозначаемое и умножение, обозначаемое . Набор называется полем тогда и только тогда, когда для любого , выполняются следующие свойства:

  • Ассоциативность сложения:

  • Коммутативность сложения:

  • Аддитивная идентичность: существует элемент , обозначается , такой, что

  • Аддитивное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что

  • Ассоциативность умножения:

  • Коммутативность умножения:

  • Мультипликативная идентичность: существует элемент , обозначается , такой, что

  • Мультипликативное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что

  • Распределительное свойство:

Как видите, это обычные свойства, которым удовлетворяет добавление и умножение действительных чисел, которое мы изучали, когда учились в школе. Они также удовлетворяются сложением и умножением комплексных чисел.

Другими словами, оба и , оборудованные для их обычных операций, являются полями. Это также единственные два области, с которыми вы столкнетесь на этих лекциях.

Тем не менее, абстрактное определение полезно, поскольку оно позволяет нам вывести результаты, которые действительны для полей в целом и которые могут быть применены, когда нужно, как для и к .

Строгое определение

Теперь мы готовы определить векторные пространства.

Определение Позволять быть полем и пусть быть множеством, оснащенным операцией , называется сложением векторов и обозначается , и еще одна операция , называется скалярным умножением и обозначается . Набор называется линейным пространством (или векторным пространством) над тогда и только тогда, когда для любого и любой , выполняются следующие свойства:

  • Ассоциативность сложения векторов:

  • Коммутативность сложения векторов:

  • Аддитивная идентичность: существует вектор , такой, что

  • Аддитивное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что

  • Совместимость умножений:

  • Мультипликативная идентичность: если является мультипликативным тождеством в , затем

  • Распределительное имущество с. р.т. векторное сложение:

  • Распределительное имущество с.р.т. дополнение поля:

Элементы векторного пространства называются векторами , а те связанного с ним поля называются скалярами .

Обратите внимание, что в приведенном выше определении, когда мы пишем и , мы имеем в виду, что эти две операции определены на всех и и всегда дают результаты в .

Таким образом, мы неявно предполагаем то, что эквивалентно требованию замкнутости относительно линейного комбинации, сделанные в нашем предыдущем неформальном определении векторного пространства.

Также обратите внимание, что мы использовали те же символы ( и ) для операций, определенных на поле и для тех, что обустраивают векторное пространство. Что всегда ясно из контекст.

Как обычно, символ можно опустить как в контексте полей, так и в контексте векторных пространств. Так, имеет то же значение, что и .

Кроме того, знак дополнения может быть опущен, если за ним следует знак минус аддитивной инверсии. Например, имеет то же значение, что и .

Как неформальное и формальное определение говорят о друг друга

Вы можете легко проверить, что любой набор матриц (или векторов-столбцов или строк) с двумя операциями сложения матриц и умножения матрица скаляром удовлетворяет всем вышеперечисленным свойствам при условии, что множество замкнуто относительно линейных комбинаций.

Пример Позволять быть пространством всех векторы-столбцы, имеющие действительные записи. Добавление двух векторов-столбцов определяется обычным образом, и любое действительное число может быть использовано для выполнения умножение векторов на скаляры. Сказано иначе, поле скаляров. На лекциях по сложение матриц и умножение матрицы скаляром, мы доказали, что различные ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства, перечисленные выше, выполняются. Нулевой вектор который удовлетворяет свойству аддитивной идентичности, является вектор, все элементы которого равны нулю. Взяв линейную комбинацию два вектора , со скалярными коэффициентами , мы получаем еще один векторчей -й вход это здесь и обозначить -й записи и . Поскольку произведения и суммы действительных чисел также являются действительными числами, является действительным числом. Это верно для любого . Так, это вектор-столбец, все элементы которого являются действительными числами. Но это означает, что принадлежит . Таким образом, замкнут относительно линейных комбинаций. Следовательно, это линейное пространство.

Другими словами, неформальное и несколько ограничительное определение вектора место, которое мы предоставили в начале этой лекции, идеально совместим с более формальным и более широким определением, данным в этом разделе.

Более того, первое неформальное определение использует термин «скаляры» без указание поля, над которым определено векторное пространство: опущение преднамеренно, так как подавляющее большинство результатов, представленных в этих лекциях, применимы как к линейным пространствам над реальным полем и пробелы на .

Пример До сих пор мы всегда имели дело с вещественными матрицами, т. е. с матрицами и вектора, элементами которых являются действительные числа. Однако все, что мы сказали применяется также к комплексным матрицам, то есть к матрицам, элементы которых являются комплексными числа. Если мы рассмотрим все определения, данные в предыдущих лекциях, мы поймите, что мы нигде не указали, что матрицы должны иметь действительные элементы. Важным отличием является то, что в комплексном случае умножение на скаляры включают в себя сложные скаляры, но все остальное является прямым модификация реального случая. Например, мы можем взять предыдущий пример и заменить 1) векторы-столбцы, имеющие реальные записи с векторы-столбцы, имеющие сложные записи; 2) поле скаляров с полем . Мы можем оставить все остальное без изменений, и у нас есть доказательство того, что космос из всех вектор-столбцы, имеющие комплексные элементы, представляют собой векторное пространство над .

В лекции о координатах векторов, мы также покажем, что неформальное определение гораздо менее ограничительнее, чем кажется: все элементы конечномерного вектора пространство можно записать в виде массивов чисел, так что, в некотором смысле, каждое конечномерное векторное пространство соответствует неформальному определению.

Пример: многочлены

Давайте теперь посмотрим на пример векторного пространства, которое не покрывается напрямую более ограничительное определение, но охватывается общим определением, которое мы имеем только что представил.

Пример Полином третьего порядка – это функциягде коэффициенты и аргумент являются скалярами, принадлежащими полю . Рассмотрите пространство всех многочленов третьего порядка. Рассмотрим сложение двух многочлены, определено выше и определяется следующим образом: естественный способ добавить их есть: кроме того, умножение многочлена скаляром выполняется как следует: это легко убедиться, что векторное пространство над когда он оснащен двумя операциями сложения и умножения на скаляр, который мы только что определили. Важно отметить, что аддитивная идентичность свойству удовлетворяет многочлен, все коэффициенты которого равны нуль.

Линейное подпространство

Важным понятием является понятие линейного подпространства.

Определение Позволять быть линейным пространством и подмножество . является линейным подпространством если и только если само является линейным пространством, то есть тогда и только тогда, когда для любых двух векторов и любые два скаляра и , линейный комбинациятакже принадлежит .

Ниже приведен простой пример линейного подпространства.

Пример Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами. Мы уже знаем, что является линейным пространством. Позволять быть подмножеством состоит из всех элементов первая запись которого равна . Рассмотрим два вектора и принадлежащий к подмножеству . Обозначим через и две записи , и по и две записи . По определению , у нас есть это и . Таким образом, линейная комбинация и два действительных числа и как можно записать коэффициенты какТаким образом, результатом этой линейной комбинации является вектор, первая запись которого равна к и чья вторая запись является действительным числом (поскольку произведения и суммы действительных числа тоже действительные числа). Следовательно вектортакже принадлежит . Поскольку это верно для любой пары коэффициентов и , само является линейным пространством и, следовательно, линейным подпространством .

Более двух векторов в линейной комбинации

Возможно, очевидным фактом является то, что линейные пространства и подпространства замкнуты с относительно линейных комбинаций более чем двух векторов, как показано следующее предложение.

Предложение Если является линейным (под)пространством, то для любого векторы принадлежащий и любой скаляры , линейный комбинациятакже принадлежит .

Доказательство

По предположению, замыкание относительно линейных комбинаций . Нам нужно только доказать, что это верно для общего , учитывая, что он выполняется для . Другими словами, нам нужно доказать, что подразумеваетПозвольте нас определитьМы только что заметил, что . Теперь мы можем написатьНо представляет собой линейную комбинацию и (оба принадлежат ) с коэффициентами и . Поэтому, также принадлежит , что нам и требовалось доказать.

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами.

Позволять быть подмножеством состоит из всех элементов чья первая запись в два раза больше второй записи.

Покажи то является линейным подпространством .

Решение

Из предыдущих примеров мы знаем, что является линейным пространством. Теперь возьмем любые два вектора и принадлежащий к подмножеству . Обозначим через и две записи , и по и две записи . По определению , у нас есть это и А линейная комбинация и с коэффициентами и можно написать какТаким образом, линейная комбинация векторов, принадлежащих дает в результате вектор, вторая запись которого является действительным числом ( является действительным числом, потому что произведения и суммы действительных чисел также действительны чисел) и чья первая запись в два раза больше второй записи. Следовательно вектор, полученный в результате линейной комбинации, также принадлежит . Это верно для любой пары коэффициентов и . Как следствие, само является линейным пространством и, следовательно, линейным подпространством .

Упражнение 2

Позволять быть матрица. Позволять быть совокупностью всех векторы которые удовлетворяют уравнение

Покажи то является линейным пространством.

Решение

Рассмотрим линейную комбинацию двух векторы и принадлежащий с коэффициентами и :К распределительное свойство матрицы умножение, произведение и эту линейную комбинацию можно записать какПотому что и принадлежать , у нас есть это как а следствие, Таким образом, также линейная комбинация принадлежит , потому что он удовлетворяет уравнению, согласно которому все векторы нужно удовлетворить. Это верно для любой пары векторов и и для любой пары коэффициентов и , что подразумевает, что является линейным пространством.

Упражнение 3

Позволять быть совокупностью всех реальные векторы-столбцы.

Позволять быть множеством всех элементов первая запись которого равна и чья вторая запись равна .

Проверьте, является линейным подпространством .

Решение

Рассмотрим два вектора и принадлежащий к подмножеству . Обозначим через , и три записи , и по , и три записи . По определению , у нас есть это , , и . Линейная комбинация и с коэффициентами и можно написать как второй вход линейной комбинации () не обязательно равно . Следовательно векторделает не принадлежат для некоторых коэффициентов и . Поэтому, не является линейным подпространством .

Как цитировать

Пожалуйста, указывайте как:

Taboga, Marco (2021). «Линейные пространства», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/линейные-пространства.

Линейные пространства

Марко Табога, доктор философии

Линейные пространства (или векторные пространства) — это множества, которые замкнуты относительно линейных комбинаций.

Другими словами, данный набор является линейным пространством, если его элементы можно умножать на скаляры и добавлять вместе, а результаты этих алгебраических операций представляют собой элементы, которые все еще принадлежат .

Содержание

  1. Первое неформальное и несколько ограничительное определение

  2. Поля

  3. Строгое определение

    9 0016

  4. Как неформальное и формальное определения соотносятся друг с другом

  5. Пример : многочлены

  6. Линейное подпространство

  7. Более двух векторов в линейной комбинации

  8. Решенные упражнения

    1. Упражнение 1

    2. Упражнение 2

    3. Упражнение 3

Первый неформальный и несколько ограниченный определение

Линейные пространства определяются формальным и очень общим способом путем перечисления свойства, которые две алгебраические операции выполняли над элементами пространства (сложение и умножение на скаляры) должны удовлетворять.

Чтобы постепенно развить интуицию, мы начинаем с более узкого подхода, и мы ограничиваем наше внимание множествами, элементы которых матрицы (или векторы-столбцы и строки).

Кроме того, мы формально не перечисляем свойства сложения и умножение на скаляры, потому что они уже были получены в предыдущем лекции (см. Сложение матриц и Умножение матрица скаляром).

После этой неформальной презентации мы сообщаем о полностью общем и строгом определение векторного пространства.

Определение Позволять набор матриц такой, что все матрицы в имеют одинаковую размерность. это линейное пространство тогда и только тогда, когда для любых двух матриц и принадлежащий и любые два скаляра и , линейный комбинациятакже принадлежит .

Другими словами, когда является линейным пространством, если взять любые две матрицы, принадлежащие , вы умножаете каждое из них на скаляр и складываете произведения таким образом получается, то у вас есть линейная комбинация, которая также является матрицей принадлежащей к .

Пример Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами. Рассмотрим два вектора и принадлежащий . Обозначим через и две записи , и по и две записи . Линейная комбинация и два действительных числа и как можно записать коэффициенты какНо и являются действительными числами, потому что произведения и суммы действительных чисел также действительны числа. Таким образом, две записи в вектораре действительные числа, из чего следует, что вектор принадлежит . Поскольку это верно для любой пары коэффициентов и , является линейным пространством.

Поля

Прежде чем дать строгое определение векторного пространства, нам нужно ввести поля, которые представляют собой наборы скаляров, используемых при умножении векторов на скаляры.

Определение Позволять быть набором вместе с двумя бинарными операциями , добавление, обозначаемое и умножение, обозначаемое . Набор называется полем тогда и только тогда, когда для любого , выполняются следующие свойства:

  • Ассоциативность сложения:

  • Коммутативность сложения:

  • Аддитивная идентичность: существует элемент , обозначается , такой, что

  • Аддитивное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что

  • Ассоциативность умножения:

  • Коммутативность умножения:

  • Мультипликативная идентичность: существует элемент , обозначается , такой, что

  • Мультипликативное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что

  • Распределительное свойство:

Как видите, это обычные свойства, которым удовлетворяет добавление и умножение действительных чисел, которое мы изучали, когда учились в школе. Они также удовлетворяются сложением и умножением комплексных чисел.

Другими словами, оба и , оборудованные для их обычных операций, являются полями. Это также единственные два области, с которыми вы столкнетесь на этих лекциях.

Тем не менее, абстрактное определение полезно, поскольку оно позволяет нам вывести результаты, которые действительны для полей в целом и которые могут быть применены, когда нужно, как для и к .

Строгое определение

Теперь мы готовы определить векторные пространства.

Определение Позволять быть полем и пусть быть множеством, оснащенным операцией , называется сложением векторов и обозначается , и еще одна операция , называется скалярным умножением и обозначается . Набор называется линейным пространством (или векторным пространством) над тогда и только тогда, когда для любого и любой , выполняются следующие свойства:

  • Ассоциативность сложения векторов:

  • Коммутативность сложения векторов:

  • Аддитивная идентичность: существует вектор , такой, что

  • Аддитивное обратное: для каждого , существует элемент , обозначается , такой, что

  • Совместимость умножений:

  • Мультипликативная идентичность: если является мультипликативным тождеством в , затем

  • Распределительное имущество с. р.т. векторное сложение:

  • Распределительное имущество с.р.т. дополнение поля:

Элементы векторного пространства называются векторами , а те связанного с ним поля называются скалярами .

Обратите внимание, что в приведенном выше определении, когда мы пишем и , мы имеем в виду, что эти две операции определены на всех и и всегда дают результаты в .

Таким образом, мы неявно предполагаем то, что эквивалентно требованию замкнутости относительно линейного комбинации, сделанные в нашем предыдущем неформальном определении векторного пространства.

Также обратите внимание, что мы использовали те же символы ( и ) для операций, определенных на поле и для тех, что обустраивают векторное пространство. Что всегда ясно из контекст.

Как обычно, символ можно опустить как в контексте полей, так и в контексте векторных пространств. Так, имеет то же значение, что и .

Кроме того, знак дополнения может быть опущен, если за ним следует знак минус аддитивной инверсии. Например, имеет то же значение, что и .

Как неформальное и формальное определение говорят о друг друга

Вы можете легко проверить, что любой набор матриц (или векторов-столбцов или строк) с двумя операциями сложения матриц и умножения матрица скаляром удовлетворяет всем вышеперечисленным свойствам при условии, что множество замкнуто относительно линейных комбинаций.

Пример Позволять быть пространством всех векторы-столбцы, имеющие действительные записи. Добавление двух векторов-столбцов определяется обычным образом, и любое действительное число может быть использовано для выполнения умножение векторов на скаляры. Сказано иначе, поле скаляров. На лекциях по сложение матриц и умножение матрицы скаляром, мы доказали, что различные ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства, перечисленные выше, выполняются. Нулевой вектор который удовлетворяет свойству аддитивной идентичности, является вектор, все элементы которого равны нулю. Взяв линейную комбинацию два вектора , со скалярными коэффициентами , мы получаем еще один векторчей -й вход это здесь и обозначить -й записи и . Поскольку произведения и суммы действительных чисел также являются действительными числами, является действительным числом. Это верно для любого . Так, это вектор-столбец, все элементы которого являются действительными числами. Но это означает, что принадлежит . Таким образом, замкнут относительно линейных комбинаций. Следовательно, это линейное пространство.

Другими словами, неформальное и несколько ограничительное определение вектора место, которое мы предоставили в начале этой лекции, идеально совместим с более формальным и более широким определением, данным в этом разделе.

Более того, первое неформальное определение использует термин «скаляры» без указание поля, над которым определено векторное пространство: опущение преднамеренно, так как подавляющее большинство результатов, представленных в этих лекциях, применимы как к линейным пространствам над реальным полем и пробелы на .

Пример До сих пор мы всегда имели дело с вещественными матрицами, т. е. с матрицами и вектора, элементами которых являются действительные числа. Однако все, что мы сказали применяется также к комплексным матрицам, то есть к матрицам, элементы которых являются комплексными числа. Если мы рассмотрим все определения, данные в предыдущих лекциях, мы поймите, что мы нигде не указали, что матрицы должны иметь действительные элементы. Важным отличием является то, что в комплексном случае умножение на скаляры включают в себя сложные скаляры, но все остальное является прямым модификация реального случая. Например, мы можем взять предыдущий пример и заменить 1) векторы-столбцы, имеющие реальные записи с векторы-столбцы, имеющие сложные записи; 2) поле скаляров с полем . Мы можем оставить все остальное без изменений, и у нас есть доказательство того, что космос из всех вектор-столбцы, имеющие комплексные элементы, представляют собой векторное пространство над .

В лекции о координатах векторов, мы также покажем, что неформальное определение гораздо менее ограничительнее, чем кажется: все элементы конечномерного вектора пространство можно записать в виде массивов чисел, так что, в некотором смысле, каждое конечномерное векторное пространство соответствует неформальному определению.

Пример: многочлены

Давайте теперь посмотрим на пример векторного пространства, которое не покрывается напрямую более ограничительное определение, но охватывается общим определением, которое мы имеем только что представил.

Пример Полином третьего порядка – это функциягде коэффициенты и аргумент являются скалярами, принадлежащими полю . Рассмотрите пространство всех многочленов третьего порядка. Рассмотрим сложение двух многочлены, определено выше и определяется следующим образом: естественный способ добавить их есть: кроме того, умножение многочлена скаляром выполняется как следует: это легко убедиться, что векторное пространство над когда он оснащен двумя операциями сложения и умножения на скаляр, который мы только что определили. Важно отметить, что аддитивная идентичность свойству удовлетворяет многочлен, все коэффициенты которого равны нуль.

Линейное подпространство

Важным понятием является понятие линейного подпространства.

Определение Позволять быть линейным пространством и подмножество . является линейным подпространством если и только если само является линейным пространством, то есть тогда и только тогда, когда для любых двух векторов и любые два скаляра и , линейный комбинациятакже принадлежит .

Ниже приведен простой пример линейного подпространства.

Пример Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами. Мы уже знаем, что является линейным пространством. Позволять быть подмножеством состоит из всех элементов первая запись которого равна . Рассмотрим два вектора и принадлежащий к подмножеству . Обозначим через и две записи , и по и две записи . По определению , у нас есть это и . Таким образом, линейная комбинация и два действительных числа и как можно записать коэффициенты какТаким образом, результатом этой линейной комбинации является вектор, первая запись которого равна к и чья вторая запись является действительным числом (поскольку произведения и суммы действительных числа тоже действительные числа). Следовательно вектортакже принадлежит . Поскольку это верно для любой пары коэффициентов и , само является линейным пространством и, следовательно, линейным подпространством .

Более двух векторов в линейной комбинации

Возможно, очевидным фактом является то, что линейные пространства и подпространства замкнуты с относительно линейных комбинаций более чем двух векторов, как показано следующее предложение.

Предложение Если является линейным (под)пространством, то для любого векторы принадлежащий и любой скаляры , линейный комбинациятакже принадлежит .

Доказательство

По предположению, замыкание относительно линейных комбинаций . Нам нужно только доказать, что это верно для общего , учитывая, что он выполняется для . Другими словами, нам нужно доказать, что подразумеваетПозвольте нас определитьМы только что заметил, что . Теперь мы можем написатьНо представляет собой линейную комбинацию и (оба принадлежат ) с коэффициентами и . Поэтому, также принадлежит , что нам и требовалось доказать.

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять быть совокупностью всех векторы-столбцы, элементы которых являются действительными числами.

Позволять быть подмножеством состоит из всех элементов чья первая запись в два раза больше второй записи.

Покажи то является линейным подпространством .

Решение

Из предыдущих примеров мы знаем, что является линейным пространством. Теперь возьмем любые два вектора и принадлежащий к подмножеству . Обозначим через и две записи , и по и две записи . По определению , у нас есть это и А линейная комбинация и с коэффициентами и можно написать какТаким образом, линейная комбинация векторов, принадлежащих дает в результате вектор, вторая запись которого является действительным числом ( является действительным числом, потому что произведения и суммы действительных чисел также действительны чисел) и чья первая запись в два раза больше второй записи. Следовательно вектор, полученный в результате линейной комбинации, также принадлежит . Это верно для любой пары коэффициентов и . Как следствие, само является линейным пространством и, следовательно, линейным подпространством .

Упражнение 2

Позволять быть матрица. Позволять быть совокупностью всех векторы которые удовлетворяют уравнение

Покажи то является линейным пространством.

Решение

Рассмотрим линейную комбинацию двух векторы и принадлежащий с коэффициентами и :К распределительное свойство матрицы умножение, произведение и эту линейную комбинацию можно записать какПотому что и принадлежать , у нас есть это как а следствие, Таким образом, также линейная комбинация принадлежит , потому что он удовлетворяет уравнению, согласно которому все векторы нужно удовлетворить. Это верно для любой пары векторов и и для любой пары коэффициентов и , что подразумевает, что является линейным пространством.

Упражнение 3

Позволять быть совокупностью всех реальные векторы-столбцы.

Высота цилиндра: Цилиндр — Умскул Учебник

alexxlab / / Разное

Цилиндр — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете

  • Как вода в кружке иллюстрирует сечение цилиндра?
  • Как лист бумаги превратить в цилиндр?

Что общего у джентльмена 19 века, Вилли Вонка из «Чарли и шоколадная фабрика», Шерлока Холмса в экранизации «Безобразная невеста» и некоторых сценических костюмов? Цилиндр! О нем, вернее о фигуре цилиндра и поговорим в статье.

Понятие цилиндра

Сейчас мы говорим про мужской головной убор, который был популярен в 19 веке и стал достаточно узнаваем в массовой культуре. Оказывается, в математике также существует цилиндр. И они похожи по форме.

Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. 

Возможно, для уточнения некоторых терминов вам захочется заглянуть в статью «Тела вращения». 

Если посмотреть на форму шляпы, то она действительно будет похожа на геометрическую фигуру.  Встретить цилиндр можно и в наше время. Обычная кружка является цилиндром.

Прямая, вокруг которой мы крутили прямоугольник, чтобы получить цилиндр, — это ось цилиндра. 

Также, как у Земли есть ось вращения, она есть и у цилиндра. 

Наша кружка стоит на круглом дне. Это дно, как и самый верх кружки, будут называться основаниями цилиндра. 

Снова посмотрим на стенки кружки. В цилиндре эта поверхность будет называться цилиндрической поверхностью. Ее также могут называть боковой поверхностью цилиндра. 

Представим, что наша кружка раскрашена вертикальными линиями. Эти линии будут лежать на цилиндрической поверхности и перпендикулярны основаниям. У них есть название:

Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований. 

Все образующие, — а в цилиндре их очень-очень много, —лежат только на цилиндрической поверхности. Эта поверхность и состоит из множества образующих.  

Узнаем ширину кружки. Для этого нужно измерить радиус дна. Этот же радиус будет радиусом основания, а в цилиндре он называется радиусом цилиндра. 

Теперь найдем высоту кружки. Для этого нужно измерить расстояние от дна до самого верха кружки. 

В математике это будет расстоянием между плоскостями, а ищется оно как длина перпендикуляра, опущенного из одной плоскости на другую. Подробнее про это можно прочесть в статье «Расстояния между фигурами». 

Высота цилиндра — перпендикуляр, опущенный из плоскости одного основания на плоскость второго основания. 

Свойства цилиндра

Рассмотрим, какими свойствами обладает цилиндр. 

Свойство 1. Основания цилиндра равны и параллельны. 

Это всегда два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях. 

Свойство 2. Образующие цилиндра равны и параллельны. 

Поскольку все образующие перпендикулярны основаниям, то они параллельны между собой по свойству прямой и перпендикулярной ей плоскости. Подробнее про это свойство можно прочесть в статье «Углы в пространстве». 

А равны они потому, что являются перпендикуляром к основаниям, то есть равны высоте цилиндра.

Свойство 3. Сечение цилиндра, проходящее через ось цилиндра, является прямоугольником. Такое сечение в цилиндре будет называться осевым сечением цилиндра. 

Например, если разрезать тортик по диаметру, то место среза как раз будет прямоугольником. 

Подробности про сечения фигур можно найти в статье «Сечения». 

Свойство 4. Сечение цилиндра, проходящее параллельно оси цилиндра и перпендикулярно его основаниям, будет являться прямоугольником. 

Свойство 5. Сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, является кругом с радиусом, равным радиусу цилиндра. Такое сечение в цилиндре называется перпендикулярным сечением цилиндра. 

Как вода в кружке иллюстрирует сечение цилиндра?

Если налить в кружку воду, то ее поверхность примет круглую форму. При этом совершенно без разницы, сколько воды наливать: поверхность останется кругом. 

Поскольку поверхность воды параллельна дну кружки, то есть основаниям цилиндра, то она является перпендикулярным сечением цилиндра. 

Этим опытом можно подтвердить свойство 5. 

Заметим, что все вышеописанные свойства относятся к прямому цилиндру. 

Цилиндр также может быть наклонным. В этом случае ось цилиндра и его образующие не будут перпендикулярны основаниям. 

Если мы разрежем поверхность цилиндра по одной из его образующих и как бы “развернем” ее, у нас получится прямоугольник. 

Это также легко увидеть, если вспомнить художников с тубусами. Тубус имеет форму цилиндра, и свернутый прямоугольный лист принимает такую же форму. 

Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а вторая — длине окружности его основания. 

Здравствуйте! Прошу помощи! Алеша сказал: «У Змея Горыныча больше трех голов». Добрыня сказал: » У Змея больше 4-х голов». Илья сказал:»У Змея больше

Основание пирамиды MABCD — квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основания, AD=DM=a. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решено

основание прямой призмы ромб с острым углом 60градусов.боковое ребро призмы 10см а площадь боковой поверхности 240см в квадрате найдите площадь…

В коробке лежат синие,красные и зеленые карандаши.Всего их 22шт. Синих карандашей в 9 раз больше,чем зеленых,а красных меньше ,чем синих.Сколько в

Задача: На прошлой неделе Саша прочитал3/7 всей книги, а на этой неделе- половину оставшихся страниц, да еще 20 и дочитал книгу до конца. Сколько

Пользуйтесь нашим приложением

Как лист бумаги превратить в цилиндр?

Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник, то любой лист бумаги можно превратить в цилиндр. 2H\)

В этой формуле R — радиус цилиндра, Н — высота. 

Часто формулу объема можно применить для решения жизненных задач. Например, чтобы найти объем детали, погруженной в воду. 

Пример 1. В цилиндрическом сосуде налито 1650 см3 жидкости. В этот сосуд опустили деталь. При этом уровень жидкости увеличился в 1,2 раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3. 

Решение. 

Шаг 1. Выразим высоту жидкости в первый и второй раз. Пусть вначале уровень жидкости был равен х, значит после того, как в нее опустили деталь, он стал равен 1,2х. 

Шаг 2. Вспомним физику и заметим, что объем жидкости в сосуде после того, как в него опустили деталь, будет равен сумме объемов жидкости и детали: V = Vж + Vд. 

Шаг 3. С помощью объема жидкости выразим площадь основания сосуда:

Vж = Sосн.H
1650 = Sосн. x
\(S_{осн} = \frac{1650}{x}\)

Шаг 4. Подставим площадь основания в формулу объема жидкости после того, как в нее опустили деталь:

\(V = S_{осн.}H = \frac{1650}{x} * 1,2x = 1980\)

Шаг 5. Тогда объем детали будет равен:

Vд = V — Vж
Vд = 1980 — 1650 =330 

Ответ: 330 см3

Фактчек
  • Цилиндр — тело вращения, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Цилиндр может быть прямым и наклонным. В наклонном цилиндре ось не перпендикулярна основаниям цилиндра. 
  • Цилиндр состоит из двух оснований и цилиндрической поверхности (боковой поверхности цилиндра). Основания имеют форму кругов, равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Развертка боковой поверхности имеет форму прямоугольника. 
  • Образующая цилиндра — отрезок, соединяющий точки окружностей основания и перпендикулярный плоскостям оснований. В прямом цилиндре образующая равна высоте цилиндра. Образующие равны и параллельны друг другу, а также образуют боковую поверхность цилиндра. 
  • Осевое сечение цилиндра проходит через его ось и является прямоугольником. Любое сечение, параллельное осевому, также будет являться прямоугольником. Перпендикулярное сечение проходит перпендикулярно оси цилиндра и параллельно его основаниям. Перпендикулярное сечение имеет форму круга. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что такое образующая цилиндра?

  1. Ось вращения, с помощью которой получен цилиндр.
  2. Диаметр оснований цилиндра.
  3. Любой перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.
  4. Отрезок, соединяющий точки окружности основания. 

Задание 2. 
Площадь боковой поверхности цилиндра равняется 44. Его радиус равен 8. Найдите высоту цилиндра. 

  1. 2,75
  2. 5,5
  3. \(2,75 \pi\)
  4. 2

Задание 3.  
Площадь основания цилиндра равна 16. Его высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 

  1. 64
  2. \(64 \pi\)
  3. 32
  4. \(32 \pi\)

Задание 4. 
Объем цилиндра равен 28, а его высота равняется 7. Найдите диаметр основания.

  1. 4
  2. 2
  3. 16
  4. 8

Ответы: 1. – 4 2. – 1 3. – 2  4. – 1

Высота цилиндра 19 см. На расстоянии 9 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра, площадь которого равна 456 см2. Найдите — вопрос №4295207 — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора
19. 04.21
Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров
Читать ответы

Андрей Андреевич
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan
Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Калькулятор высоты цилиндра

Этот калькулятор высоты цилиндра быстро находит высоту прямого кругового цилиндра десятью различными способами . Интересно, как найти высоту цилиндра? Просто выберите два известных параметра, введите указанные значения и вычислите высоту.

Продолжайте читать, если хотите узнать, какова возможная высота цилиндра. В большинстве случаев вы можете оценить его, зная только две из следующих величин:

  • Радиус ;
  • Том ;
  • Самая длинная диагональ ;
  • Площадь основания ;
  • Площадь боковой поверхности ; или
  • Общая площадь поверхности .

Наш калькулятор высоты цилиндра представляет собой удобный инструмент, предназначенный для правильного кругового цилиндра . Этот тип цилиндра состоит из двух конгруэнтных окружностей (называемых основаниями ). Они лежат точно одна над другой, и поэтому мы называем это 9.0003 правый цилиндр. С другой стороны, если одно из оснований сдвинуто, то цилиндр косой . Термин круговой более очевиден — основания имеют форму кругов. Вы должны помнить, что слово цилиндр может соответствовать разным формам (обобщенный цилиндр), но обычно мы имеем в виду правильный круговой цилиндр.

Калькулятор отвечает на вопрос как найти высоту цилиндра . Если вы хотите оценить другие параметры, ознакомьтесь с нашим расчетом правильного цилиндра! 92 — \frac{2}{\pi}A_\mathrm{b}}h=d2−π2​Ab​

​

  1. Даны боковая площадь и общая площадь :
h=Al2π(A−Al)\quad h = \frac{A_\mathrm{l}}{\sqrt{2 \pi (A — A_\mathrm{l})}}h=2π(A−Al ​)

​Al​​

Вас интересуют расчеты прямоугольного цилиндра? Вам обязательно нужно проверить калькулятор объема цилиндра и калькулятор площади поверхности цилиндра!

Как найти высоту цилиндра

Калькулятор высоты цилиндра очень удобен для решения самых разных задач. Иногда вы знаете объем и площадь основания цилиндра, но не знаете его высоту. В другой раз у вас будут указаны только площади поверхности. Если вы когда-либо сталкивались с такой проблемой, используйте этот калькулятор, чтобы оценить высоту в три простых шага:

  1. Определите , какие параметры цилиндра вы знаете. Их нужно иметь как минимум два.
  2. Введите значения выбранных переменных.
  3. Считать результат вычислений.

Помните, что с помощью калькулятора высоты цилиндра вы можете выбрать единицы измерения любого параметра. Обязательно ознакомьтесь с конвертером длины и инструментами преобразования объема. Они могут быть очень полезны во многих вычислениях.

Часто задаваемые вопросы

Как найти высоту цилиндра по площади его поверхности?

Чтобы найти высоту цилиндра по его общей площади поверхности и радиусу, выполните следующие действия:

  1. Умножьте квадрат радиуса на 2π и вычтите значение из общей площади поверхности .

  2. Разделите результат шага 1 на значение 2π × радиус .

  3. Поздравляем! Вы вычислили высоту цилиндра.

Как рассчитать высоту цилиндра по объему и радиусу?

Чтобы рассчитать высоту цилиндра по его объему и радиусу, следуйте приведенным инструкциям:

  1. Возьмите квадрат радиуса и умножьте это на π .

  2. Разделить объем цилиндра на результат шага 1 .

  3. Вы получите высоту цилиндра.

Какова высота цилиндра радиусом 5 см и объемом 900 см³?

11,46 см . Формула для расчета высоты цилиндра с учетом его объема и радиуса: высота = объем / (π × радиус²) .

Подставляя значения в формулу получаем, высота = 900 см³ / (π × 5 см × 5 см) = 11,46 см

Чему равна высота цилиндра, имеющего радиус 8 см и боковую поверхность площадь 1005,5 см²?

20 см . Для нахождения высоты цилиндра воспользуемся формулой высота = площадь боковой поверхности / (2π × радиус) .

Следовательно, высота цилиндра будет высоты = 1005,5 см² / (2π × 8 см) = 20 см .

Калькулятор высоты цилиндра

‘ Калькулятор высоты цилиндра ‘ — это бесплатный онлайн-инструмент, который помогает рассчитать высоту цилиндра с заданным радиусом и объемом.

Какова высота цилиндра Калькулятор?

В калькуляторе высоты цилиндра введите значения радиуса и объема, чтобы найти высоту цилиндра за несколько секунд.

Калькулятор высоты цилиндра

ПРИМЕЧАНИЕ: Введите радиус до трех цифр и объем до пяти цифр.

Как пользоваться калькулятором высоты цилиндра?

Выполните шаги, указанные ниже, чтобы использовать калькулятор и найти высоту цилиндра:

  • Шаг 1: Введите радиус и объем цилиндра в соответствующие поля ввода.
  • Шаг 2: Нажмите кнопку  «Рассчитать» , чтобы найти высоту цилиндра.
  • Шаг 3:  Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как найти высоту цилиндра?

Чтобы найти высоту цилиндра, нам нужны входные значения радиуса и объема цилиндра. Объем цилиндра — это вместимость цилиндра или мера занимаемого им пространства. Он рассчитывается по формуле πr 2 h , , где r — радиус круглого основания, h — высота цилиндра, а π(Pi) — математическая константа с приблизительным значением 3.14. Значения радиуса и объема подставляются в формулу для получения объема цилиндра.

Таким образом, высота цилиндра рассчитывается по формуле V/ πr 2 .

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Решенные примеры расчета высоты цилиндра

Пример 1:

Цилиндр имеет радиус 4 единицы и объем 251,33 куб. . Найдите высоту цилиндра и проверьте ее с помощью калькулятора высоты цилиндра.

Решение:

Формула для нахождения объема цилиндра = πr 2 ч. Радиус = 4 единицы, объем = 251,33 куб. Итак, подставим значения:

Объем цилиндра = πr 2 h

высота цилиндра = V/ πr 2 .

= 251,33 / 3,14 × 4 2

= 251,33 / 50,24  

= 5,002 ед.

Следовательно, высота цилиндра = 5,002 единицы.

Пример 2:

Цилиндр имеет радиус 7 единиц и объем 300 кубических единиц. Найдите высоту цилиндра и проверьте ее с помощью калькулятора высоты цилиндра.

Решение:

Формула для нахождения объема цилиндра = πr 2 ч.

Онлайн аргумент комплексного числа: Комплексные числа онлайн

alexxlab / / Разное

Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Комплексные
числа
Множество комплексных чисел обозначается С
C
R
Q
Z
N
I
Термин “мнимые числа” ввел в 1637 году
французский математик и философ Р. Декарт,
а в 1777 году один из крупнейших
математиков XVIII века — Л. Эйлер предложил
использовать первую букву французского
слова imaginaire (мнимый) для обозначения
числа i(мнимой единицы). Этот символ
вошел во всеобщее употребление благодаря
К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так
же был введен Гауссом в 1831 году. Слово
«комплекс» (от латинского complexus)
означает связь, сочетание, совокупность
понятий, предметов, явлений и т. д.
образующих единое целое.
Большой вклад в развитие теории функций комплексного
переменного внесли русские и советские ученые:
Н. И. Мусхелишвили занимался ее
применениями к теории упругости;
М. В. Келдыш и
М. А. Лаврентьев — к
аэро- и гидродинамике;
Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров
— к проблемам квантовой теории
поля.
ОпределениеКомплексным
:
числом
называется число вида a+bi ,
где a, b − некоторые
действительные числа, а i−
мнимая единица, причем:
i 1, i 1 .
2
Обозначение:
z a b i
алгебраическая форма записи
комплексного числа
z a b i
a — действительная часть
b -мнимая часть
комплексного числа z.
Обозначается a=Re z.
комплексного числа z.
Обозначается b=Im z.
Геометрическое изображение
комплексных чисел
Мнимая ось
b
M(a; b)
1
0
Действительная
ось
1
a
2) Запишите комплексные числа, изображенные на координатной
плоскости, в алгебраической форме.
z6
3
z5
1
z4
-4
z1
-2
0
1
2
4
z2
-3
z3
-5
Примеры:
1) Изобразите комплексные числа на плоскости
z1 1 5i;
z 2 7 3i;
z3 1,5 5i;
z 4 3,5 2i
z5 3
z6 6i
z 7 2 i;
3) На какой из координатных плоскостей изображено число
z 2 3i
1.
2.
0
3.
0
4.
0
0
Определени е :Комплексное число z a b i
называется противоположным
комплексному числу z=a+bi
Определени е :Комплексное число z a b i
называется сопряженным комплексному
числу z=a+bi
b
-a
-z
0
-b
z=a+bi
a
z
Примеры:
1. Запишите числа, противоположные и сопряженные
данным:
z1 7 3i
z 2 1 5i
z3 i 1
z 4 5i
z5 6
2. Какие из данных чисел являются сопряженным и
противоположным для числа
z 3 2i
а) z 3 2i
б ) z 3 2i
в) z 3 2i
г ) z 3i 2.
Модуль и аргумент
комплексного
числа
Определени е: Модулем комплексного числа z a b i
называется действительное число
r z a b 0.
2
Примеры:
Найти модуль комплексных чисел:
z1 3 4i r1 z1
z 2 12 5i
z3 1 3i
z 4 3
z5 2i
2
Определени е: Аргументом комплексного числа z
называется угол α, между положительным
направлением действительной оси и
вектором OM
Обозначение:
arg z α
b
tg
a
b
arctg
a
M
b
0
α
a
Частные случаи
z bi
z a
argbi
z a
z bi
,
2
3
arg(-bi)
,
2
arga 0 ,
arg(-a) .
Примеры:
z 3i
z 2
arg3i
2
3
arg(-4i)
2
z 7
z 4i
arg7 0
arg(-2) π

English     Русский Правила

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат . Каждому комплексному числу можно сопоставить точку с координатами , и наоборот, каждой точке с координатами можно сопоставить комплексное число . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплекные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

        Пример 17.3   Изобразим на комплексной плоскости числа , , , , :

Рис.17.1.Изображение комплексных чисел точками плоскости

        

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке , а именно, комплексное число изображается радиус-вектором точки с координатами . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Рис.17.2.Изображение комплексных чисел векторами

Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие (рис. 17.3).

Рис.17.3.Изображение суммы комплексных чисел

Пусть комплексное число изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа и обозначается . Из рисунка 17.4 очевидно, что

(17.6)

Рис.17.4.Модуль и аргумент

Угол, образованный радиус-вектором числа с осью , называется аргументом числа и обозначается . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до или в диапазоне от до . Кроме того у числа аргумент не определен.

На рис. 17.4 равен углу . Из того же рисунка очевидно, что

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

   или(17. 7)

причем первая формула действует, если изображение числа находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если — во второй или третьей. Если , то комплексное число изображается вектором на оси и его аргумент равен или .

Получим еще одну полезную формулу. Пусть . Тогда ,

С учетом формулы (17.6) получим

или

        Пример 17.4   Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: , , , , .

Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:

Тогда по формулам (17.6) и (17.7) находим:


В последнем случае можно вычислить с помощью калькулятора и записать .         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Как найти модуль и аргумент комплексного числа – mathsathome.

com

Видеоурок: Как найти модуль и аргумент комплексного числа

Что такое модуль комплексного числа?

Модуль — это расстояние комплексного числа от начала координат на диаграмме Аргана. Для любого комплексного числа z = a + bi модуль вычисляется по теореме Пифагора по формуле |z| = √ (а 2 + b 2 ).

Комплексное число образует прямоугольный треугольник на комплексной плоскости, как показано ниже.

Модуль равен длине вектора от начала координат до точки комплексного числа. То есть он образует гипотенузу прямоугольного треугольника с ‘a’ и ‘b’ , образующими две более короткие стороны.

Модуль (также известный как величина или абсолютное значение) комплексного числа — это скалярное значение, представляющее расстояние комплексного числа от начала координат на комплексной плоскости. Это неотрицательное действительное число, поскольку оно представляет собой расстояние.

Формула модуля комплексного числа

Как найти модуль комплексного числа

Чтобы вычислить модуль комплексного числа, z = a + bi, используйте формулу |z| = √ (а 2 + b 2 ). Например, модуль z = 3 + 4i равен |z| = √ (3 2 + 4 2 ) . Упрощая это, модуль оказывается |z| = √ 25, что можно вычислить как |z| = 5.  

Пример: Найдите модуль .

  • ‘а’ — размер действительной части числа. Следовательно, a = 3.
  • ‘b’ — это размер мнимой части числа. Поэтому b = 4.

становится .

Оценка этого и т. д. .

Размер модуля .

Чтобы пошагово вычислить модуль комплексного числа:

  1. Возведите в квадрат размер действительной части комплексного числа.
  2. Квадрат размера мнимой части комплексного числа.
  3. Сложите два результата вместе.
  4. Квадратный корень этого результата.

Например: Найдите модуль z = √ 3 + i.

Шаг 1. Возведите в квадрат размер действительной части комплексного числа

Действительная часть   — это часть без i .

То есть действительная часть равна √ 3.

Возведение этого в квадрат, .

Шаг 2. Возведение в квадрат размера мнимой части комплексного числа

Мнимая часть — это часть с i .

То есть мнимая часть — это просто i , что равно 1 i .

 Размер мнимой части равен 1.

Возведение этого в квадрат, .

Шаг 3. Сложите два результата вместе

3 + 1 = 4

Шаг 4. Извлеките квадратный корень из этого результата

и, таким образом, модуль равен .

В следующей таблице приведены некоторые примеры вычисления модуля комплексного числа:

9015 1 z = -1 + 5i
Комплексный номер Расчет модуля Модуль
z = 1 + 3i √ 90 009 (1 2 + 3 2 ) √ 10
z = 1 + i √ (1 2 + 1 2 ) √ 2
√ ( (-1) 2 + 5 2 )  √
z = i √ (1 2 ) √ 1
z = -2i √ ( (-2) 2 ) √ 2

Как используется модуль комплексного числа?

Некоторые из наиболее распространенных применений модуля в математике, физике и технике включают:

  1. Вычисление расстояния от начала координат: Модуль комплексного числа — это расстояние числа от начала координат на комплексной плоскости. Его можно использовать для вычисления расстояния между двумя комплексными числами.
  2. Запись комплексного числа в полярной форме: модуль комплексного числа используется для выражения числа в полярной форме, где модуль представляет собой величину или радиус, а аргумент представляет собой угол, который комплексное число образует с положительной x- ось.
  3. Запись комплексного числа в форме модуль-аргумент: Модуль и аргумент комплексного числа можно использовать для представления комплексного числа в форме модуль-аргумент.
  4. Комплексная амплитуда: В обработке сигналов и физике модуль комплексного числа может использоваться для представления амплитуды сигнала.
  5. Обратные тригонометрические функции: Модуль комплексного числа используется при нахождении обратных тригонометрических функций комплексных чисел, что полезно в физике и технике.
  6. Определение устойчивости системы: В системах управления модуль комплексного числа может использоваться для определения устойчивости системы.

Свойства модуля комплексного числа

Ниже приведены некоторые ключевые свойства модуля комплексного числа:

  1. Модуль комплексного числа представляет собой неотрицательное действительное число. Это означает, что модуль всегда будет больше или равен нулю. То есть, .
  2. Если модуль комплексного числа равен нулю, то комплексное число равно z = 0.
  3. Модуль коммутативен для умножения и деления. То есть и .
  4. Модуль комплексного числа не изменяется относительно вращения комплексной плоскости. Это означает, что модуль не меняется при вращении комплексного числа в комплексной плоскости.
  5. Модуль комплексного числа равен модулю сопряженного ему числа. Это означает, что модуль a + bi такой же, как модуль a – bi. То есть и .
  6. Неравенство треугольника: модуль комплексного числа удовлетворяет неравенству треугольника, которое гласит, что сумма абсолютных значений любых двух комплексных чисел должна быть больше или равна абсолютному значению их суммы. То есть, .
  7. Модуль комплексного числа, возведенного в степень, равен модулю комплексного числа, возведенного в эту степень. То есть, .
  8. Квадрат модуля комплексного числа равен разности между комплексным числом и сопряженным комплексным числом. То есть, .
  9. Если модуль комплексного числа равен 1, то есть |z|=1, то оно называется унимодулярным.

Что такое аргумент комплексного числа?

Аргумент ( также известный как фаза или амплитуда ) комплексного числа представляет собой угол, который вектор, представляющий число, составляет с положительной действительной осью в комплексной плоскости. Обычно его обозначают греческой буквой «фи» (φ), измеряемой в радианах между интервалом – π и π .

Аргумент комплексного числа может быть записан как arg(z) для краткости.

Аргумент всегда отсчитывается от положительной действительной оси, которая является направлением вправо.

Аргумент комплексного числа является периодическим с периодом 2 π . Поэтому общий аргумент комплексного числа представлен как θ + 2 π k.

Главный аргумент комплексного числа определяется как угол, отсчитываемый от положительной действительной оси, принимающий значения в интервале – π ≤ θ ≤ π .

Углы, измеренные от положительной вещественной оси в направлении против часовой стрелки, положительны.

Углы, измеренные от положительной вещественной оси по часовой стрелке, отрицательны.

Положительный угол аргументаОтрицательный угол аргумента

Как найти аргумент комплексного числа

Чтобы вычислить аргумент комплексного числа z=a+bi:

  • Сначала вычислите θ=tan -1 (b /а).
  • Если комплексное число находится в квадранте 1, аргумент равен θ.
  • Если комплексное число находится в квадранте 2, аргумент равен π+θ.
  • Если комплексное число находится в квадранте 3, аргумент равен θ-π.
  • Если комплексное число находится в квадранте 4, аргумент равен θ.

Например, найдите аргумент .

Шаг 1. Сначала вычислите θ=tan -1 ( b / a )

‘a’ — размер действительной части числа, а ‘b ’ — размер мнимой части числа.

В комплексном номере:

Поэтому становится и так, .

Шаг 2. Комплексное число находится в квадранте 1 и аргумент равен θ

Поскольку комплексное число находится в квадранте 1 диаграммы Аргана, аргумент равен θ.

Следовательно, .

Пример вычисления аргумента комплексного числа в третьем квадранте:

Комплексное число находится в третьем квадранте, как показано на диаграмме Аргана ниже.

Аргумент показан углом θ, который является отрицательным углом, измеряемым по часовой стрелке от положительной действительной оси.

Шаг 1. Сначала вычислите θ=tan -1 ( b / a )

‘a’ размер действительная часть числа и ’b ’ — размер мнимой части числа.

В комплексном номере

Поэтому становится и так, .

Шаг 2. Комплексное число находится в квадранте 3, а аргумент равен θ – π

Аргументом является ближайший угол к направлению комплексного числа, отсчитываемый от положительной действительной оси (от верно).

Поскольку комплексное число находится в третьем квадранте, аргумент рассчитывается как θ – № .

и так далее, .

Поэтому аргумент задается .

Аргумент комплексного числа отрицателен, если ближайший угол к направлению комплексного числа от положительной действительной оси равен по часовой стрелке.

Вот еще несколько примеров вычисления аргумента комплексного числа.

Аргумент вычисляется по следующим правилам:

Для комплексного числа угол .

  • Если комплексное число находится в квадранте 1, аргумент равен θ.
  • Если комплексное число находится в квадранте 2, аргумент равен π+θ.
  • Если комплексное число находится в квадранте 3, аргумент равен θ-π.
  • Если комплексное число находится в квадранте 4, аргумент равен θ.
Комплексный номер Квадрант Расчет θ 900 07 Расчет аргумента
-1-i 3 arctan(-1/-1) = π /4 π /4 – π = -3 π /4
1-√3i 4 арктан(-√3/1) = – π /3 – π /3
3-√3i 4 арктан(-√3/3) = – π /6 901 52 – № /6
1+√2i 1 арктангенс (2/1) = 0,955 0,955
-1+i 2 арктангенс (1/-1) = – π /4 -π /4 + π = 3 π /4

Вот несколько примеров комплексных чисел без действительная часть

  • z= i имеет аргумент π /2
  • z=- i имеет аргумент – π /2

Эти аргументы нельзя вычислить с помощью арктангенса, так как их действительная составляющая равна нулю.

Любое комплексное число, не имеющее вещественной части, будет лежать на мнимой оси.

Если это положительное комплексное число, то оно будет располагаться на мнимой оси над действительной осью, поэтому его аргумент будет равен π /2.

Если это отрицательное комплексное число, то оно будет расположено на мнимой оси ниже действительной оси, поэтому его аргумент будет равен -π /2.

Модуль и аргумент комплексного числа, записанного в экспоненциальной форме

Для комплексного числа, записанного в экспоненциальной форме как z = Re i φ , R — модуль, а φ — аргумент. Например, если z = 3e π i , модуль равен 3, а аргумент равен π .

Экспоненциальная форма комплексного числа — это простой способ просмотра модуля и аргумента.

Модуль — это коэффициент экспоненты перед числом Эйлера.

Аргумент рядом с i в экспоненциальной степени.

Калькулятор модуля и аргумента комплексного числа

Этот калькулятор вычисляет модуль и аргумент комплексного числа.

Просто введите действительную и мнимую части комплексного числа в калькулятор ниже.

То есть для любого комплексного числа , где a — действительная часть, а b — мнимая часть.

Например, в комплексном числе действительная часть равна, а мнимая часть равна -1, потому что есть -1 партия из я .

Аргумент комплексных чисел. Решаемые примеры

В математике комплексные плоскости играют чрезвычайно важную роль. Мы также называем это z-плоскостью, состоящей из взаимно перпендикулярных линий, известных как оси. Действительные числа представлены горизонтальной линией и поэтому известны как действительная ось, тогда как мнимые числа представлены вертикальной линией и поэтому известны как мнимая ось. В основном мы используем комплексные плоскости для представления геометрической интерпретации комплексных чисел. Это похоже на декартову плоскость, которая имеет как действительную, так и мнимую части комплексного числа вместе с осями X и Y. Комплексные числа разветвляются на две основные концепции, т. е. величину и аргумент. Но пока мы сосредоточимся только на аргументе комплексных чисел и изучим его определение, формулы и свойства. 9{2}\] = −1. Комплексные числа называются продолжением одномерных числовых линий. На комплексной плоскости комплексное число, обозначаемое a + bi, обычно представляется в виде точки (a, b). Мы должны отметить, что комплексное число, в котором нет абсолютно никакой действительной части, например -i, -5i и т. д., называется чисто мнимым. Кроме того, комплексное число, не имеющее абсолютно никакой мнимой части, называется действительным числом.

Что такое аргумент комплексных чисел?

Аргумент комплексного числа представляет собой угол, который наклонен от действительной оси к направлению комплексного числа, представленного на комплексной плоскости. Мы можем обозначить его как «θ» или «φ» и измерить в стандартных единицах «радиан».

 

На приведенной выше диаграмме комплексное число обозначено точкой P. Длина OP представляет собой величину или модуль числа, а угол, под которым OP наклонен к положительной вещественной оси, известен как аргумент числа точка P.

 

Как найти аргументы комплексного числа?

Есть несколько шагов, которые необходимо выполнить, если мы хотим найти аргумент комплексного числа. Эти шаги приведены ниже: 

Шаг 1) Сначала мы должны найти как действительные, так и мнимые части комплексного числа, которое нам дано, и обозначить их x и y соответственно. 9{-1}\] сам по себе.

Шаг 4) Окончательное значение вместе с единицей «радиан» является требуемым значением комплексного аргумента для данного комплексного числа.

С помощью этого метода вы теперь узнаете, как узнать аргумент комплексного числа.

 

Аргумент комплексных чисел Примеры

1. Найдите аргумент -1+i и 4-6i

Ответ: Сначала нам нужно найти два комплексных числа в комплексной плоскости. Это облегчит нам определение квадрантов, в которых лежат ангелы, и даст приблизительное представление о величине каждого угла.

 

Для, z = —+i

 

Мы можем видеть, что Аргумент z представляет собой второй квадрант угла, а тангенс представляет собой отношение мнимой части к действительной части, в таком случае −1 . Таким образом, тангенс исходного угла будет равен 1. Запишите значение второго квадранта угла так, чтобы его исходный угол мог иметь тангенс, равный 1. Если исходный угол содержит тангенс, равный 1, то значение исходного угла будет π/4, поэтому угол второго квадранта равен π − π/4 или 3π/4. 9{-1}\](tan π/3)

arg (z) = π/3

Следовательно, аргумент комплексного числа равен π/3 радиан.

 

Комплексные числа

Комплексные числа — это те числа, которые используются для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. Комплексные числа были впервые введены греческим математиком по имени Герой Александрийский, который пытался найти квадратный корень из отрицательных чисел, но не смог его решить. Эта проблема была решена итальянским математиком по имени Джероламо Кардано, который нашел отрицательные корни кубических и квадратичных полиномиальных выражений, используя комплексные числа. Комплексные числа широко используются в научных исследованиях, гидродинамике, квантовой механике и обработке сигналов.

Комплексное число можно определить как сумму мнимого числа и действительного числа. Он записывается как + ib, который можно обозначить через z. Здесь a и b — действительные числа. Говорят, что значение a является действительной частью, которая обозначается Re(z), а b называется мнимой частью, записываемой как Im(z).

Синус 90 а: Чему равен синус 90° градусов

alexxlab / / Разное

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Является ли тождеством равенство : 1)sin(90°+a)=-cosa 2)sin(180°+a)=-sina 3)cos(270°-a)=-cosa 4)cos(90°+a)=-sina 5)tg(90°+a)=ctg 6)ctg(180°+a)=ctga. — вопрос №3641040

Лучший ответ по мнению автора

  

18. 02.20
Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров
Читать ответы

Андрей Андреевич
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan
Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна 5√3 см. Напишите решение плиииз

В треугольнике ABC угол A равен 45 градусов, угол B равен 60 градусов, BC= 6√6. Найдите AC.

Решено

Если два художника могут разрисовать 2 комнаты, за 2 часа.. Сколько художников надо, чтобы разрисовать 18 комнат за 6 часов.. И подробно обьснить решение

Решено

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 4√2 найти радиус окружности описанной около этого квадрата

Решено

Найдите сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой an = 3n + 2.

Пользуйтесь нашим приложением

Грех 90 градусов — Найдите значение греха 90 градусов

30-ДНЕВНОЕ ОБЕЩАНИЕ | ПОЛУЧИТЕ 100% ВОЗВРАТ ДЕНЕГ*

*T&C Apply

LearnPracticeDownload

Значение sin 90 градусов равно 1 . Sin 90 градусов в радианах записывается как sin (90° × π/180°), т. е. sin (π/2) или sin (1,570796…). В этой статье мы обсудим способы нахождения значения sin 90 градусов на примерах.

  • Sin 90°: 1
  • Грех (-90 градусов): -1
  • Sin 90° в радианах: sin (π/2) или sin (1,5707963 . . .)

Каково значение греха 90 градусов?

Значение sin 90 градусов равно 1. Sin 90 градусов также можно выразить с помощью эквивалента заданного угла (90 градусов) в радианах (1,57079 . . .).

Используя преобразование градусов в радианы, мы знаем, что θ в радианах = θ в градусах × (pi/180°)
⇒ 90 градусов = 90° × (π/180°) рад = π/2 или 1,5707. . .
∴ sin 90° = sin(1,5707) = 1

Объяснение:

Для sin 90 градусов угол 90° лежит на положительной оси y. Таким образом, значение sin 90° = 1
Поскольку функция синуса является периодической функцией, мы можем представить sin 90° как sin 90 градусов = sin(90° + n × 360°), n ∈ Z.
⇒ sin 90° = sin 450° = sin 810° и так далее.
Примечание: Поскольку синус является нечетной функцией, значение sin(-90°) = -sin(90°).

Методы определения значения Sin 90 градусов

Значение sin 90° равно 1. Мы можем найти значение sin 90 градусов следующим образом:

  • Используя тригонометрические функции
  • Использование единичного круга

Sin 90° в терминах тригонометрических функций

Используя формулы тригонометрии, мы можем представить sin 90 градусов как:

  • ± √(1-cos²(90°))
  • ± тангенс 90°/√(1 + тангенс²(90°))
  • ± 1/√(1 + раскладушка²(90°))
  • ± √(сек²(90°) — 1)/сек 90°
  • 1/косек 90°

Примечание. Поскольку 90° лежит на положительной оси Y, конечное значение sin 90° будет положительным.

Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления sin 90° как

  • sin(180° — 90°) = sin 90°
  • -sin(180° + 90°) = -sin 270°
  • cos(90° — 90°) = cos 0°
  • -cos(90° + 90°) = -cos 180°

Sin 90 градусов с использованием единичного круга

Чтобы найти значение sin 90 градусов, используя единичный круг:

  • Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 90° с положительной осью x.
  • Грех 90 градусов равен координате y(1) точки пересечения (0, 1) единичной окружности и r.

Отсюда значение sin 90° = y = 1.

☛ Также проверьте:

  • sin 120 градусов
  • грех 13 градусов
  • грех 360 градусов
  • грех 933 градуса
  • грех 7 градусов
  • грех 24 градуса

Примеры использования Sin 90 градусов

  1. Пример 1: Используя значение sin 90°, найдите: (1-cos²(90°)).

    Решение:

    Мы знаем, (1-cos²(90°)) = (sin²(90°)) = 1
    ⇒ (1-cos²(90°)) = 1

  2. Пример 2: Упростить: 2 (sin 90°/sin 450°)

    Решение:

    Мы знаем, что sin 90° = sin 450°
    ⇒ 2 sin 90°/sin 450° = 2(sin 90°/sin 90°)
    = 2(1) = 2

  3. Пример 3. Найдите значение sin 90°, если cosec 90° равно 1.

    Решение:

    Так как sin 90° = 1/csc 90°
    ⇒ sin 90° = 1/1 = 1

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

 

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о Sin 90 Degrees

Что такое Sin 90 Degrees?

Sin 90 градусов — значение тригонометрической функции синуса для угла, равного 90 градусам. Значение sin 90° равно 1.

Как найти значение Sin 90 градусов?

Значение sin 90 градусов можно рассчитать, построив угол 90 ° с осью x, а затем найдя координаты соответствующей точки (0, 1) на единичной окружности. Значение sin 90° равно координате y (1). ∴ sin 90° = 1.

Как найти Sin 90° в терминах других тригонометрических функций?

Используя формулу тригонометрии, значение sin 90° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:

  • ± √(1-cos²(90°))
  • ± тангенс 90°/√(1 + тангенс²(9)0°))
  • ± 1/√(1 + раскладушка²(90°))
  • ± √(сек²(90°) — 1)/сек 90°
  • 1/косек 90°

☛ Также проверьте: тригонометрическую таблицу

Каково точное значение sin 90 градусов?

Точное значение sin 90 градусов равно 1.

Каково значение Sin 90 градусов в пересчете на Cos 90°?

Используя тригонометрические тождества, мы можем записать sin 90° через cos 90° как sin(90°) = √(1-cos²(90°)). Здесь значение cos 90° равно 0.

 

Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы

Тригонометрия

Рабочие листы по математике и
наглядный учебный план

Mathway | Популярные проблемы

92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус (-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найдите точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктический(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек (30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение соз(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек (45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найдите точное значение желтовато-коричневый(30)
32 Преобразование градусов в радианы 45
33 Найти точное значение соз(45)
34 Упростить
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктический(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт.

Перевести косинус в синус: Перевести синус в косинус (sin в cos) онлайн калькулятор

alexxlab / / Разное

Как перевести sin в cos?


Как перевести sin в cos?

Перевод синуса в косинус и обратно выполняется посредством решения основного тригонометрического тождества sin2(x) + cos2(x) = 1. Смотрите также: — калькулятор вычисления синуса угла; — калькулятор вычисления косинуса угла.

Чему равен косинус и синус?

Синус, косинус острого угла треугольника Чтобы найти синус и косинус угла в прямоугольном треугольнике, нужно вспомнить определения. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Что такое cos в математике?

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника. Синус угла (sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Косинус угла (cosα ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Как найти косинус какого то числа?

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.

Как найти косинус по 3 сторонам?

Формулировка теоремы косинусов Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Как найти угол треугольника зная его 2 стороны?

Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.

Как найти косинус через стороны?

Формула теоремы косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.

Как найти стороны треугольника если известна одна сторона и угол?

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Если известны одна сторона и два прилежащих угла, то с помощью теоремы синусов можно вычислить остальные две стороны треугольника.

Как в прямоугольном треугольнике найти катет если известна гипотенуза и угол?

Если вам задан один из острых углов, например, A, и гипотенуза, то катеты можно найти из определений основных тригонометрических : a= c*sin(A), b= c*cos(A). Если задан один из острых углов, например, A, и один из катетов, например, a, то гипотенуза и другой катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике через угол?

Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету угла. Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к первому катету угла.

Как найти одну сторону прямоугольного треугольника?

По теореме Пифагора, для того чтобы вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов. Катетами считаются стороны a и b, образующие друг с другом прямой угол, а гипотенузой – сторона, лежащая напротив него.

Как вычислить гипотенузу зная катеты?

Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы. К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см.

Как найти второй катет в прямоугольном треугольнике?

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты.

Как найти катет в прямоугольном треугольнике 8 класс?

Правило нахождения катета через гипотенузу: Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего ему угла.

Как найти катет в прямоугольном треугольнике если известна площадь?

Ответ, проверенный экспертом Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Поэтому ab=2S(a и b — катеты(пусть b — катет с прилежащим к нему углом 30 градусов)).

Как найти площадь прямоугольного треугольника если известна гипотенуза?

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу можно найти по формуле для площади треугольника через 2 стороны и синус угла между ними: S = 1 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ sin ⁡ (1).

Чему равна площадь треугольника?

S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

Как определить площадь треугольника в 4 классе?

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 4.

Можно ли найти площадь треугольника по трем сторонам?

Площадь треугольника по формуле Герона (по трем сторонам) Один из способов расчета площади треугольника — использование формулы Герона. Для того, что бы найти площадь треугольника, необходимо знать три его стороны.

Как найти площадь треугольника 7 класс?

площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота S ABC = a ⋅ h 2 .

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, вычисление тригонометрических функций

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Определение 1

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30°, 45°, 60°. Если угол выходит за пределы 90°, то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α, можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45°, мы сможем определить значение синуса 30°, воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α. Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Разобьем эти углы на четыре группы: 360·z градусов (2π·z рад), 90+360·z градусов (π2+2π·z рад), 180+360·z градусов (π+2π·z рад) и 270+360·z градусов (3π2+2π·z рад), где z- любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке: 

 

Для каждой группы соответствуют свои значения.

Пример 1

При повороте из точки A на 360·z°, она переходит в себя. А1(1, 0). Синус 0°, 360°, 720° равен 0, а косинус равен 1.   Представим это в виде формулы: sin (360°·z)=0 и cos (360°·z)=1 .

Можно определить, что tg (360°·z)=01=0 , а котангенс не определен. 

Пример 2

Если А(1, 0) повернуть на 90+360·z°, то она перейдет в А1 (0, 1).  По определению:  sin (90°+360°·z) =1 и cos (90°+360°·z) =0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: ctg (90°+360°·z) =01=0 . 

Пример 3

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А(1, 0) на любой из углов 180+360·z°, она перейдет в A1(−1, 0). Мы находим значения функций кроме тангенса.

Пример 4

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270+360·z° мы попадем в A1(0, −1). Мы находим значения всех функций кроме тангенса.  

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °…, точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла −52 °.  Выполним построения.  

Согласно рисунку, абсцисса А1 ≈ 0,62, а ордината ≈ −0,78. Соответственно, sin(-52°)≈-0,78 и cos(-52°)≈0,62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом. 

Выполняем вычисления:  tg(-52°)≈-0, 780, 62≈-1,26 и ctg(-52°)≈0,62-0,78≈-0,79. 

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Определение 2

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α, cos α, tg α, ctg α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Пример 5

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1. Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла,  равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 12-122=32 .  Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30°=121=12 и sin 60°=321=32 . 

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30°=321=32 и cos 60°=121=12 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий. 

Вычисляем: tg 30°=1232=13=33 и tg 60°=3212=3 . Находим котангенс по подобной схеме: сtg 30°=3212=3 и сtg 60°=1232=13=33 .  После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45° и гипотенузой, которая равна 1. Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 22 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: ctg 45°=2222=1 . 

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α, cos α, tg α, ctg α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Определение 3

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin2α+cos2α=1 .  

Определение 4

Тангенс по известному косинусу tg2α+1=1cos2α . 

Определение 5

Котангенс по известному синусу или наоборот 1+ctg2α= 1sin2α . 

Определение 6

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: tg α·ctg α=1 . 

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Пример 6

Необходимо найти значение синуса угла π8, если tg π8=2-1 . 

Сначала найдем котангенс угла: ctgπ8=1tgπ8=12-1=2+1(2-1)·(2+1)= 2+1(2)2-12=2+1  Воспользуемся формулой 1+ctg2α=1sin2α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin2π8=11+ctg2π8=11+(2+1)2=14+22=12·(2+2)=2-22·(2+2)·(2-2)==2-22·(22-(2)2)=2-24

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π8=sin2π8=2-24=2-22 .  sin π8=2-22.

Сведение к углу 

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 °. Сведение к углу из интервала от 0 до 90 °. Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Пример 7

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210°. Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения.  Используем формулу для нахождения значения синуса 30°: sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-12 , или косинуса 60 ° sin 210°=sin(270°-60°)=-cos 60°=-12.

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π8, который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Пример 8

Найдите значение tgπ8 . 

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства tg2π8=1-cosπ41+cosπ4 . Значения косинуса угла π4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
tg2π8=1-cosπ41+cosπ4=1-221+22=2-22+2==(2-2)2(2+2)·(2-2)=(2-2)222-(2)2=(2-2)22 

Угол π8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: tgπ8=tg2π8=(2-2)22=2-22=2-1

tgπ8=2-1.

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

python — преобразование значения года в периодическое значение в Pandas DataFrame

спросил

Изменено 11 месяцев назад

Просмотрено 608 раз

У меня есть DataFrame следующим образом:

 закрыть год День Sin День Cos Месяц Sin Месяц Cos Час Sin Час Cos
0 278,00 2015 -0,790776 -0,612106 -0,5 -0,866025 -0,707107 0,707107
1 278,14 2015 -0,790776 -0,612106 -0,5 -0,866025 -0,500000 0,866025
2 280,00 2015 -0,790776 -0,612106 -0,5 -0,866025 -0,258819 0,965926
3 280,89 2015 -0,897805 -0,440394 -0,5 -0,866025 0,000000 1,000000
4 280,36 2015 -0,897805 -0,440394 -0,5 -0,866025 0,258819 0,965926

Я преобразовал дни, месяцы и часы в соответствующие значения Sin и Cosine, поскольку они являются периодическими/циклическими значениями, которые повторяются через определенный интервал. Я сделал это следующим образом:

 импортировать numpy как np
#Месяц
df1['Месяц Sin'] = np.sin(2*np.pi*df1.month/12)
df1['Месяц Cos'] = np.cos(2*np.pi*df1.month/12)
#Час
df1['Час Sin'] = np.sin(2*np.pi*df1.hour/24)
df1['Hour Cos'] = np.cos(2*np.pi*df1.hour/24)

Но я застрял в том, как преобразовать значение года в значимое значение, поскольку год не является периодическим/циклическим значением. Он увеличивается с течением времени. Я хочу дать моей модели машинного обучения все функции, такие как год, дневной грех, дневной косинус, месячный грех, месячный косинус и т. д., чтобы предсказать запас закрыть значение . Можно ли в любом случае извлечь какую-то значимую информацию из значения года , чтобы можно было точно предсказать значение запаса , близкое к , даже в будущем, скажем, в 2023 году, в прошлом и настоящем.

  • python
  • python-3.x
  • pandas
  • dataframe

Преобразование дней и месяцев в значения синуса и косинуса может скорее помешать, чем помочь вам.

  1. Разница между последовательными значениями будет разной. Изменение синуса или косинуса месяцев непостоянно. Например, разница между синусоидальным значением января и февраля составляет ~ 0,36. Такая же разница для февраля и марта составляет ~0,13. В идеале вы бы хотели, чтобы они были одинаковыми, если вы использовали данные за месяц
  2. Для дней разные месяцы имеют разное количество дней, поэтому либо вы используете один и тот же интервал и в итоге получаете отсутствующий раздел, либо у вас разные промежутки между днями

Вместо этого вы можете использовать временную метку unix

 из datetime import datetime
dt = дата и время (год = 2015, месяц = ​​9, день = 2, час = 4, минута = 45)
dt.timestamp ()

datetime docs ( datetime.timestamp docs)

Если акция имеет периодический характер, ИИ должен найти ее

1

Решение @nxe не совсем правильное. Да, разница между последовательными месяцами sin и cos различна, но cos и sin представляют собой основу для времени, следовательно, вместе они эквивалентны с точки зрения информации, и любой алгоритм способен это понять.

Для визуального представления см.:

https://www.ideadrops.info/post/how-to-encode-cyclo-time

Как видите, синусоидальные и косинусные представления предназначены для циклов. В конце концов, что мы действительно хотим зафиксировать с помощью sin/cos, так это то, что понедельники все одинаковы, хотя один понедельник приходится на 15-е, а другой на 22-е. Люди понимают это, но машины не могут, если мы не предоставим информацию в другом формате. Возможно, в ваших данных вы сможете найти несколько значимых циклов (в масштабе лет), чтобы преобразовать год в cos и sin. В противном случае вы не сможете преобразовать годы в cos и sin.

Альтернативой представлению cos/sin является простое масштабирование столбца года по минимуму-максимуму, что сохраняет линейность времени и, вероятно, достаточно для вашей задачи.

Наконец, последний комментарий, вот моя функция для добавления циклических функций в фрейм данных pandas:

 def add_column_cyclecal_features(df, col_name_time, период, start_num=0):
    значения = 2 * np. pi * (df [col_name_time] - start_num) / период
    kwargs = {f'sin_{col_name_time}': лямбда x: np.sin(значения),
              f'cos_{col_name_time}': лямбда x: np.cos(значения)}
    вернуть df.assign(**kwargs).drop(столбцы=[col_name_time])

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания и подтверждаете, что прочитали и поняли нашу политику конфиденциальности и кодекс поведения.

11.8 Законы синусов и косинусов — алгебра среднего уровня (преобразование в MathJax)

Тригонометрия прямого угла обычно ограничивается треугольниками, содержащими прямой угол. Можно использовать тригонометрию с непрямоугольными треугольниками, используя два закона: закон синуса и закон косинуса.

Закон синусов

Закон синусов – это отношение синусов и противоположных сторон. Закон имеет следующий вид:

\[\dfrac{a}{\text{sin}A}\hspace{0,25in} =\hspace{0,25in} \dfrac{b}{\text{sin}B}\hspace{0,25in} =\ hspace{0,25 дюйма} \dfrac{c}{\text{sin}C}\]

Иногда это пишется и используется как противоположность вышесказанному:

\[\dfrac{\text{sin}A}{a}\hspace{0,25in} =\hspace{0,25in} \dfrac{\text{sin}B}{b}\hspace{0,25in} =\ hspace{0,25 дюйма} \dfrac{\text{sin}C}{c}\]

Закон синуса применяют, когда известны либо две стороны и один противолежащий угол одной из сторон, либо когда известны два угла и одна сторона одного из углов. {\ circ}. [ /латекс]

Закон синусов — очень полезный закон с одной оговоркой: иногда можно иметь два треугольника (один больший и один меньший), которые дают одинаковый результат. Это называется неоднозначным случаем и описано далее в этом разделе.

Есть также ошибки учебника, когда данные, приведенные для треугольника, невозможно создать. Например:

Может ли существовать следующий треугольник?

Если такой треугольник может существовать, то отношение синусов углов к противолежащим сторонам должно равняться. 9{\circ}}\]

Сокращение этого дает:

\[\dfrac{6}{0,5} \hspace{0,25 дюйма} = \hspace{0,25 дюйма}\dfrac{6}{0,5} \hspace{0,25 in} = \hspace{0,25in} \dfrac{10}{0,866}\]

Проверяя это, мы находим, что 12 = 12 ≠ 11,55.

Это означает, что этот треугольник не может существовать.

Найдите правильную длину стороны, противоположной 120°, в треугольнике, показанном ниже.

Для этого треугольника соотношение, которое нужно решить, равно: dfrac {6} {\ text {sin} 30 ^ {\ circ}} \ hspace {0,25 дюйма} = \ hspace {0,25 дюйма} \ dfrac {x} {\ text {sin} 120 ^ {\ circ}} \] 9{\circ}
\end{массив}\]

Неоднозначное дело

При наличии правильных данных можно создать два разных треугольника.

Как дробь перевести в число онлайн калькулятор: Перевод дробей — онлайн конвертер

alexxlab / / Разное

Перевести 75(8/10000) в десятичную дробь

Задача: преобразовать

75

8 10000

в десятичную дробь

Решение:

75

8 10000

=

75 ∙ 10000 + 8 10000

=

750008 10000

=

750008 : 10000 = 75.0008

Ответ:

75

8 10000

=

75.0008

    Перевод обыкновенной/неправильной дроби в десятичную, сводится к делению числителя на знаменатель.

  1. Переведем смешанную дробь в неправильную:

    2. Для перевода в неправильную, необходимо целое число умножить на знаменатель и прибавить числитель, т.е.:

    75

    8 10000

    =

    75 ∙ 10000 + 8 10000

    =

    750008 10000

  2. Разделим столбиком числитель на знаменатель:
    3. — 7 5 0 0 0 8 1 0 0 0 0
    7 0 0 0 0 7 5 , 0 0 0 8
    — 5 0 0 0 8
    5 0 0 0 0
    — 8 0
    0
    — 8 0 0
    0
    — 8 0 0 0
    0
    — 8 0 0 0 0
    8 0 0 0 0
    0

    В результате получим: 750008 : 10000 = 75,0008.

Дробь 2 3/5 в виде десятичной дроби

Калькулятор «Конвертер обыкновенных дробей в десятичные»

Как записать 2 целых 3/5 в виде десятичной дроби?

Ответ: Дробь 2 3/5 в десятичном виде это 2,6

Объяснение конвертации дроби 2 3/5 в десятичную

Для того, чтобы перевести дробь 2 3/5 (2⅗) в десятичный формат необходимо разделить числитель 3 на знаменатель 5. Результат деления:

3 ÷ 5 = 2,6

и прибавить целую часть (2):

0.6 + 2 = 2,6

Другой способ перевод дроби 2 целых 3/5 в десятичный формат заключается в том, чтобы перевести эту смешанную дробь в неправильную дробь. Для этого необходимо сперва умножить целую часть (2) на знаменатель (5):

2 × 5 = 10

после чего прибавить результат к числителю (3):

10 + 3 = 13

и в конце разделить результат на числитель (5):

= 13 ÷ 5 =2,6

Похожие расчеты

Поделитесь текущим расчетом

Печать

https://calculat. io/ru/number/fraction-as-a-decimal/2—3—5

<a href=»https://calculat.io/ru/number/fraction-as-a-decimal/2—3—5″>Дробь 2 3/5 в виде десятичной дроби — Calculatio</a>

О калькуляторе «Конвертер обыкновенных дробей в десятичные»

Данный онлайн-конвертер обыкновенных дробей в десятичные является полезным инструментом, предназначенным для легкого преобразовывания любой дроби в ее эквивалентную десятичную форму. Например, он может помочь узнать как записать 2 целых 3/5 в виде десятичной дроби? Независимо от того, являетесь ли вы учеником, студентом или профессионалом, этот конвертер может сэкономить ваше время и усилия при выполнении ручных вычислений.

Чтобы использовать этот конвертер, просто введите дробь, которую вы хотите преобразовать, в соответствующие поля. Вам необходимо ввести целую часть (если есть), числитель и знаменатель дроби. Например, если вы хотите преобразовать 2 3/5 в его десятичный эквивалент, вы введете ‘2’ как целую часть, ‘3’ как числитель и ‘5’ как знаменатель.

После того, как вы ввели дробь, нажмите кнопку ‘Конвертировать’, чтобы получить результаты. Конвертер отобразит десятичный эквивалент дроби, который в нашем случае равен 2,6. Кроме того, он предоставит пошаговое объяснение процесса преобразования, чтобы вы могли понять, как был получен десятичный эквивалент дроби. Если результат является периодической десятичной дробью, конвертер отобразит повторяющийся шаблон, используя скобки для обозначения повторяющихся цифр.

Одной из ключевых особенностей этого конвертера является его способность выводить периодические десятичные дроби. В математике периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, в которой есть повторяющийся шаблон цифр, например, 0,33333… или 0,142857142857… Это отличает такие дроби от непериодических десятичных дробей, которые заканчиваются после определенного числа цифр, например, 0,5 или 0,75.

Использование этого онлайн-конвертера дробей в десятичные является быстрым и простым способом преобразования любой дроби в ее десятичный эквивалент. Он может быть особенно полезен тем, кто испытывает трудности с ручными вычислениями или кто часто выполняет преобразования.

Калькулятор «Конвертер обыкновенных дробей в десятичные»

Таблица конвертации обыкновенных дробей в десятичные

ДробьДесятичная
2 3/15
2 3/23,5
2 3/33
2 3/42,75
2 3/52,6
2 3/62,5
2 3/72,(428571)
2 3/82,375
2 3/92,(3)
2 3/102,3
2 3/112,(27)
2 3/122,25
2 3/132,(230769)
2 3/142,2(142857)
2 3/152,2
2 3/162,1875
2 3/172,(1764705882352941)
2 3/182,1(6)
2 3/192,(157894736842105263)
2 3/202,15
2 3/212,(142857)
2 3/222,1(36)
2 3/232,(1304347826086956521739)
2 3/242,125
2 3/252,12
2 3/262,1(153846)
2 3/272,(1)
2 3/282,10(714285)
2 3/292,(1034482758620689655172413793)
2 3/302,1

Mixed Number to Decimal Calculator

30-DAY PROMIS | ПОЛУЧИТЕ 100% ВОЗВРАТ ДЕНЕГ*

*T&C Apply

Калькулятор Mixed Number to Decimal  – это бесплатный онлайн-инструмент, который преобразует смешанную дробь в десятичное число.

Что такое смешанное число для десятичного калькулятора?

Калькулятор смешанных чисел в десятичные числа – это бесплатный онлайн-инструмент, который преобразует смешанные дроби в десятичные числа. Онлайн-калькулятор поможет вам быстрее считать и преобразует смешанные числа в десятичные числа за несколько секунд.

Калькулятор смешанного числа в десятичную форму

ПРИМЕЧАНИЕ. Вводите числа длиной до 2 цифр.

Как использовать калькулятор смешанных чисел для десятичной дроби?

Чтобы использовать калькулятор, выполните следующие шаги:

  • Шаг 1: Введите смешанную дробь в поле ввода.
  • Шаг 2: Нажмите «Рассчитать» , чтобы получить десятичное число для введенной смешанной дроби.
  • Шаг 3: Нажмите  «Сброс»  , чтобы очистить поля и ввести новую дробь.

Как преобразовать смешанную дробь в десятичное число?

Смешанная дробь или смешанное число — это комбинация целого числа и правильной дроби. Смешанную дробь можно представить в виде десятичного числа следующим образом:

  • Преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь.
  • Теперь преобразуйте неправильную дробь в десятичное число, разделив числитель на знаменатель

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Решенные примеры на калькуляторе смешанных чисел в десятичные числа

Пример 1:

Преобразование  \(6\frac{3}{4}\) 9 0008 до десятичного числа.

Решение:

\(6\frac{3}{4}\)   может быть преобразовано в неправильную дробь как 27/4

Теперь разделите 27 на 4.

Следовательно,  \(6\frac{3} {4}\) , в десятичной форме равно 6,75

Пример 1:

Преобразование  \(7\frac{5}{6}\)  в десятичное число.

Решение:

\(7\frac{5}{6}\)  может быть преобразовано в неправильную дробь как 47/6

Теперь разделите 47 на 6.

6) 47( 7. 83
42
———
50
48
————-
20
18
—————-
2

Таким образом, \(7\frac{5}{6}\) в десятичной форме равно 7,83

Теперь попробуйте использовать этот калькулятор и преобразовать следующие смешанные дроби в десятичные числа:

  • \( 3\frac{2}{5}\)

  • \( 2\frac{4}{5}\)

  •  \(2\frac{1}{6}\)

☛ Статьи по теме:
  • Типы фракций
  • Деление десятичных дробей
  • Преобразование десятичной дроби в дробную

☛ Математические калькуляторы:

Рабочие листы по математике и визуальные учебные программы

Онлайн-калькулятор дроби в десятичную дробь

В математике дробь определяется как отношение двух чисел. Это означает отношение значения числителя к значению знаменателя. Десятичное число — это число, целое число и десятичная часть которого разделены десятичной точкой. Чтобы преобразовать дробь в десятичную, максимально упростите дробь. Когда дробь упрощается, мы получаем десятичное число.

сообщите об этом объявлении

Возможно, вам потребуется преобразовать число в другую форму, чтобы представить число по-разному. Существует несколько способов преобразования дроби в десятичную. Ознакомьтесь с некоторыми из методов, описанных ниже.

Метод длинного деления

Длинное деление позволяет преобразовать дробь в десятичную форму. Сначала вы должны определить делимое и делитель, а затем использовать эти значения в длинном делении. В данной дроби числитель будет делимым, а знаменатель — делителем. Представьте делимое и делитель в виде длинного деления. Вероятно, вам нужно добавить десятичную дробь и нули, если делимое меньше делителя.

Решите длинное деление, чтобы преобразовать дроби в десятичные.

Следовательно, дробь 3/4 в десятичном значении равна 0,75

Упрощение

Альтернативный метод преобразования дробей в десятичные состоит в упрощении дроби. Для этого нужно несколько шагов. Сначала умножьте знаменатель, чтобы получить 100. Прежде чем делать этот шаг, попробуйте разделить 100 на знаменатель, чтобы узнать кратное, и умножьте числитель и знаменатель на кратное.

Последний шаг — переместить десятичный разряд в новом числителе на два разряда влево, чтобы преобразовать дробь в ее десятичное значение.

Пример

Преобразовать 1/4 в десятичную дробь с помощью метода упрощения?

Решение:

Сначала найдите кратное, чтобы умножить знаменатель, чтобы получить 100

100 = 4*25

Кратное равно 25. Умножьте и числитель, и знаменатель на кратно, и результат будет следующим:

1/4 = 25/100

Наконец, переместите десятичный разряд числителя на два разряда влево, чтобы получить десятичное значение.

25,0 -> 0,25

Десятичное значение 1/4 равно 0,25

Процедура использования калькулятора дроби в десятичной системе выглядит следующим образом:

  • Сначала введите значение дроби в поле ввода калькулятора. .
  • Теперь нажмите кнопку ввода сразу после поля ввода или нажмите клавишу ввода на клавиатуре.
  • Наконец, вы получите десятичное значение, отображаемое на экране за долю секунды.

1. Какие существуют способы преобразования дробей в десятичные?

Вы можете преобразовать дроби в десятичные, используя любой из методов, например, длинное деление, упрощение.

2. Где я могу получить рабочие примеры преобразования дробей в десятичные числа?

На нашей странице вы можете получить рабочие примеры преобразования дроби в десятичную.

3. Как легко преобразовать дроби в десятичные?

Воспользуйтесь нашим калькулятором преобразования дроби в десятичную дробь и получите выходной эквивалент в десятичном значении для заданной дроби.

Онлайн калькулятор уравнений с модулем: решение уравнений онлайн

alexxlab / / Разное

Что такое модуль примеры. Калькулятор онлайн.Решение уравнений и неравенств с модулями

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= — f(x), если f(x)

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3

Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3

2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х 1 =0, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.

Б) При x

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

х 1 =2, х 2 =3

Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень х=2.

МБОУ СОШ №17 г. Иванова

«Уравнения с модулем»
Методическая разработка

Составлена

учителем математики

Лебедевой Н.В.

20010 г.

Пояснительная записка

Глава 1. Введение

Раздел 2. Основные свойства Раздел 3. Геометрическая интерпретация понятия модуля числа Раздел 4. График функции у = |х| Раздел 5. Условные обозначения

Глава 2. Решение уравнений, содержащих модуль

Раздел 1.Уравнения вида |F(х)| = m (простейшие) Раздел 2. Уравнения вида F(|х|) = m Раздел 3. Уравнения вида |F(х)| = G(х) Раздел 4. Уравнения вида |F(х)| = ± F(х) (красивейшие) Раздел 5. Уравнения вида |F(х)| = |G(х)| Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений Раздел 7. Уравнения вида |F(х)| + |G(х)| = 0 Раздел 8. Уравнения вида |а 1 х ± в 1 | ± |а 2 х ± в 2 | ± …|а n х ± в n | = m Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулей

Глава 3. Примеры решения различных уравнений с модулем.

Раздел 1. Тригонометрические уравнения Раздел 2. Показательные уравнения Раздел 3. Логарифмические уравнения Раздел 4. Иррациональные уравнения Раздел 5. Задания повышенной сложности Ответы к упражнениям Список литературы

Понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа является одной из существенных его характеристик. Это понятие имеет широкое распространение в различных разделах физико-математических и технических наук. В практике преподавания курса математики в средней школе в соответствии с Программой МО РФ понятие «абсолютная величина числа» встречается неоднократно: в 6 – м классе вводиться определение модуля, его геометрический смысл; в 8 – м классе формируется понятие абсолютной погрешности, рассматривается решение простейших уравнений и неравенств, содержащих модуль, изучаются свойства арифметического квадратного корня; в 11 – м классе понятие встречается в разделе «Корень n -ой степени». Опыт преподавания показывает, что учащиеся часто сталкиваются с трудностями при решении заданий, требующих знания данного материала, а нередко пропускают, не приступая к выполнению. В текстах экзаменационных заданий за курс 9 – ого и 11 – ого классов также включены подобные задания. Кроме того, требования, которые предъявляют к выпускникам школ Вузы отличаются, а именно, более высокого уровня, чем требования школьной программы. Для жизни в современном обществе очень важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулями требуется умение применять такие приёмы, как обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Решение подобных заданий позволяет проверить знание основных разделов школьного курса, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. Данная работа посвящена одному из разделов – решению уравнений, содержащих модуль. Она состоит из трёх глав. В первой главе вводятся основные понятия и наиболее важные теоретические выкладки. Во второй главе предлагаются девять основных типов уравнений, содержащих модуль, рассматриваются методы их решения, разбираются примеры разного уровня сложности. В третьей главе предлагаются более сложные и нестандартные уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические и иррациональные). К каждому типу уравнений есть упражнения для самостоятельного решения (ответы и указания прилагаются). Основное назначение данной работы – это оказание методической помощи преподавателям при подготовке к урокам и при организации факультативных курсов. Материал также может быть использован в качестве учебного пособия для старшеклассников. Задания, предлагаемые в работе, интересны и не всегда просты в решении, что позволяет сделать учебную мотивацию учащихся более осознанной, проверить свои способности, повысить уровень подготовки выпускников школ к поступлению в Вузы. Дифференцированный подбор предлагаемых упражнений предполагает переход от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому, а также возможность научить применять свои знания при решении нестандартных задач.

Определение : Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число: а или –а.

Обозначение: │ а │ Запись читается следующим образом: «модуль числа а» или «абсолютная величина числа а»

│ а, если а > 0

│а│ = │ 0, если а = 0 (1)

│ — а, если а
Примеры: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 — √2│ = √2 – 1
    Раскрыть модуль выражения:
а) │х — 8│, если х > 12 б) │2х + 3│, если х ≤ -2 │х – 8│= х – 8 │ 2х + 3│= — 2х – 3

Раздел 2.

Основные свойства. Рассмотрим основные свойства абсолютной величины. Свойство №1: Противоположные числа имеют равные модули, т.е. │а│=│- а│ Покажем верность равенства. Запишем определение числа – а : │— а│ = (2) Сравним совокупности (1) и (2). Очевидно, что определения абсолютных величин чисел а и – а совпадают. Следовательно, │а│=│- а│
При рассмотрении следующих свойств ограничимся их формулировкой, так как их доказательство приводится в Свойство №2: Абсолютная величина суммы конечного числа действительных чисел не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │+ … + │а n │ Свойство №3: Абсолютная величина разности двух действительных чисел не превосходит суммы их абсолютных величин: │а — в│ ≤│а│+│в│ Свойство №4: Абсолютная величина произведения конечного числа действительных чисел равна произведению абсолютных величин множителей: │а · в│=│а│·│в│ Свойство №5: Абсолютная величина частного действительных чисел равна частному их абсолютных величин:

Раздел 3.

Геометрическая интерпретация понятия модуля числа. Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку на числовой прямой, которая будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке на числовой прямой соответствует её расстояние от начала отсчёта, т.е. длина отрезка от начала отсчёта до данной точки. Это расстояние рассматривается всегда как величина неотрицательная. Поэтому длина соответствующего отрезка и будет геометрической интерпретацией абсолютной величины данного действительного числа

Представленная геометрическая иллюстрация наглядно подтверждает свойство №1, т.е. модули противоположных чисел равны. Отсюда легко понимается справедливость равенства: │х – а│= │а — х│. Также более очевидным становиться решение уравнения │х│= m, где m ≥ 0, а именно х 1,2 = ± m.

Примеры: 1) │х│= 4 х 1,2 = ± 4 2) │х — 3│= 1
х 1,2 = 2; 4

Раздел 4. График функции у = │х│

Область определения данной функции все действительные числа.

Раздел 5. Условные обозначения.

В дальнейшем при рассмотрении примеров решения уравнений будут использованы следующие условные обозначения: { — знак системы [ — знак совокупности При решение системы уравнений (неравенств) находится пересечение решений входящих в систему уравнений (неравенств). При решении совокупности уравнений (неравенств) находится объединение решений входящих в совокупность уравнений (неравенств).

В этой главе мы рассмотрим алгебраические способы решения уравнений, содержащих один или более модуль.

Раздел 1. Уравнения вида │F (х)│= m

Уравнение данного вида называется простейшим. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда m ≥ 0. По определению модуля, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │F (х)│= m

Примеры:
№1. Решите уравнение: │7х — 2│= 9


Ответ: х 1 = — 1; х 2 = 1 4 / 7

№2 │х 2 + 3х + 1│= 1

х 2 + 3х + 2 = 0 х 2 +3х = 0 х 1 = -1; х 2 = -2 х · (х + 3) = 0 х 1 = 0; х 2 = -3 Ответ: сумма корней равна — 2 .

№3 │х 4 -5х 2 + 2│= 2 х 4 – 5х 2 = 0 х 4 – 5х 2 + 4 = 0 х 2 · (х 2 – 5) = 0 обозначим х 2 = m, m ≥ 0 х = 0; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – оба значения удовлетворяют условию m ≥ 0 х 2 = 1 х 2 = 4 х = ± 1 х = ± 2 Ответ: количество корней уравнения 7. Упражнения:

№1. Решите уравнение и укажите сумму корней: │х — 5│= 3

№2 . Решите уравнение и укажите меньший корень: │х 2 + х│= 0

№3 . Решите уравнение и укажите больший корень: │х 2 – 5х + 4│= 4

№4 .Решите уравнение и укажите целый корень: │2х 2 – 7х + 6│= 1

№5 .Решите уравнение и укажите количество корней: │х 4 – 13х 2 + 50│= 14

Раздел 2. Уравнения вида F(│х│) = m

Аргумент функции в левой части находится под знаком модуля, а правая часть не зависит от переменной. Рассмотрим два способа решения уравнений данного вида.

1 способ: По определению абсолютной величины исходное уравнение равносильно совокупности двух систем. В каждой из которых накладывается условие на подмодульное выражение. F (│х│) = m
Так как функция F(│х│) – чётная на всей области определения, то корни уравнений F(х) = m и F(- х) = m – это пары противоположных чисел. Поэтому достаточно решить одну из систем (при рассмотрении примеров указанным способом будет приводиться решение одной системы).

2 способ: Применение метода введения новой переменной. При этом вводиться обозначение │х│= а, где а ≥ 0. Данный способ менее объёмный по оформлению.

Примеры: №1 . Решите уравнение: 3х 2 – 4│х│= — 1 Воспользуемся введением новой переменной. Обозначим │х│= а, где а ≥ 0. Получим уравнение 3а 2 — 4а + 1 = 0 Д = 16 – 12 = 4 а 1 = 1 а 2 = 1 / 3 Возвращаемся к исходной переменной: │х│=1 и │х│= 1 / 3 . Каждое уравнение имеет два корня. Ответ: х 1 = 1; х 2 = — 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = — 1 / 3 .

№2. Решите уравнение: 5х 2 + 3│х│- 1 = 1 / 2 │х│ + 3х 2
Найдём решение первой системы совокупности: 4х 2 + 5х – 2 =0 Д = 57 х 1 = -5+√57 / 8 х 2 = -5-√57 / 8 Заметим, что х 2 не удовлетворяет условию х ≥ 0. Решением второй системы будет число, противоположное значению х 1 . Ответ: х 1 = -5+√57 / 8 ; х 2 = 5-√57 / 8 .

№3 . Решите уравнение: х 4 – │х│= 0 Обозначим │х│= а, где а ≥ 0. Получим уравнение а 4 – а = 0 а · (а 3 – 1) = 0 а 1 = 0 а 2 = 1 Возвращаемся к исходной переменной: │х│=0 и │х│= 1 х = 0; ± 1 Ответ: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = — 1.
Упражнения:

№6. Решите уравнение: 2│х│ — 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│

№7 . Решите уравнение, в ответе укажите количество корней: 3х 2 — 7│х│ + 2 = 0

№8 . Решите уравнение, в ответе укажите целые решения: х 4 + │х│ — 2 = 0

Раздел 3.

Уравнения вида │F(х)│ = G(х) Правая часть уравнения данного вида зависит от переменной и, следовательно, имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть функция G(х) ≥ 0. Исходное уравнение можно решить двумя способами:

1 способ: Стандартный, основан на раскрытии модуля исходя из его определения и заключается в равносильном переходе к совокупности двух систем. │F (х)│ = G (х)

Данный способ рационально использовать в случае сложного выражения для функции G(x) и мене сложного – для функции F(х), так как предполагается решение неравенств с функцией F(х).

2 способ: Состоит в переходе к равносильной системе, в которой накладывается условие на правую часть. │F (x )│= G (x )

Данный способ удобнее применять, если выражение для функции G(х) мене сложное, чем для функции F(х), так как предполагается решение неравенства G(х) ≥ 0. Кроме того, в случае нескольких модулей этот способ рекомендуется применять второй вариант.

Примеры: №1. Решите уравнение: │х + 2│= 6 -2х
(1 способ) Ответ: х = 1 1 / 3

№2. │х 2 – 2х — 1│= 2·(х + 1)
(2 способ) Ответ: Произведение корней – 3.

№3. Решите уравнение,в ответе укажите сумму корней:
│х — 6│= х 2 — 5х + 9

Ответ: сумма корней равна 4.
Упражнения:

№9. │х + 4│= — 3х

№10. Решите уравнение, в ответе укажите число решений:│х 2 + х — 1│= 2х – 1

№11 . Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:│х + 3│= х 2 + х – 6

Раздел 4. Уравнения вида │F(x)│= F(x) и │F(x)│= — F(x)

Уравнения данного вида иногда называют «красивейшими». Так как правая часть уравнений зависит от переменной, решения существуют тогда и только тогда, когда правая часть неотрицательна. Поэтому исходные уравнения равносильны неравенствам:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 и │F(x)│= — F(x) F(x)

Примеры: №1 . Решите уравнение, в ответе укажите меньший целый корень: │5х — 3│= 5х – 3 5х – 3 ≥ 0 5х ≥ 3 х ≥ 0,6 Ответ: х = 1

№2. Решите уравнение, в ответе укажите длину промежутка: │х 2 — 9│= 9 – х 2 х 2 – 9 ≤ 0 (х – 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Ответ: длина промежутка равна 6.

№3 . Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений: │2 + х – х 2 │= 2 + х – х 2 2 + х – х 2 ≥ 0 х 2 – х – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Ответ: 4 целых решения.

№4 . Решите уравнение, в ответе укажите наибольший корень:
│4 – х —
│= 4 – х –
х 2 – 5х + 5 = 0 Д = 5 х 1,2 =
≈ 1,4

Ответ: х = 3.

Упражнения: №12. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8№13. Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений: │13х – х 2 — 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0№14. Решите уравнение, в ответе укажите целое число, не являющееся корнем уравнения:

Раздел 5.

Уравнения вида │F(x)│= │G(x)│ Так как обе части уравнения неотрицательные, то решение предполагает рассмотрение двух случаев: подмодульные выражения равны или противоположны по знаку. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │F (x )│= │ G (x )│
Примеры:

№1. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х + 3│=│2х — 1│
Ответ: целый корень х = 4.

№2. Решите уравнение: │ х – х 2 — 1│=│2х – 3 – х 2 │
Ответ: х = 2.

№3 . Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:




Корниуравнения 4х 2 + 2х – 1 = 0 х 1,2 = — 1±√5 / 4 Ответ: произведение корней равно – 0,25. Упражнения: №15 . Решите уравнение, в ответе укажите целое решение:│х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х — 1│ №16. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:│5х — 3│=│7 — х│ №17 . Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений

В данном разделе мы рассмотрим примеры нестандартных уравнений, при решении которых абсолютная величина выражения раскрывается по определению.

Примеры:

№1. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: х · │х│- 5х – 6 = 0
Ответ: сумма корней равна 1 №2. . Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень: х 2 — 4х ·
— 5 = 0
Ответ: меньший корень х = — 5. №3. Решите уравнение:

Ответ: х = -1. Упражнения: №18. Решите уравнение и укажите сумму корней: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19. Решите уравнение: х 2 – 3х =

№20. Решите уравнение:

Раздел 7. Уравнения вида │F(x)│+│G(x)│=0

Нетрудно заметить, что в левой части уравнения данного вида сумма неотрицательных величин. Следовательно, исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Уравнение равносильно системе уравнений: │F (x )│+│ G (x )│=0

Примеры: №1 . Решите уравнение:
Ответ: х = 2.

№2. Решите уравнение: Ответ: х = 1.

Упражнения: №21. Решите уравнение:

№22 . Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

№23 . Решите уравнение, в ответе укажите количество решений:

Раздел 8. Уравнения вида │а 1 х + в 1 │±│а 2 х + в 2 │± … │а n х +в n │= m

Для решения уравнений данного вида применяется метод интервалов. Если его решать последовательным раскрытием модулей, то получим n совокупностей систем, что очень громоздко и неудобно. Рассмотрим алгоритм метода интервалов: 1). Найти значения переменной х , при которых каждый модуль равен нулю (нули подмодульных выражений):
2). Найденные значения отметить на числовой прямой, которая разбивается на интервалы (количество интервалов соответственно равно n +1 ) 3). Определить, с каким знаком раскрывается каждый модуль на каждом из полученных интервалов (при оформлении решения можно использовать числовую прямую, отметив на ней знаки) 4). Исходное уравнение равносильно совокупности n +1 систем, в каждой из которых указывается принадлежность переменной х одному из интервалов. Примеры:

№1 . Решите уравнение, в ответе укажите наибольший корень:
1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 2; х = -3 2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах:
х – 2 х – 2 х – 2 — — + — 3 2 х 2х + 6 2х + 6 2х + 6 — + + 3)
— нет решений Уравнение имеет два корня. Ответ: наибольший корень х = 2.

№2. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень:
1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 1,5; х = — 1 2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах: х + 1 х + 1 х + 1 — + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 — — +
3).
Последняя система не имеет решений, следовательно, уравнение имеет два корня. В ходе решения уравнения следует обратить внимание на знак « — » перед вторым модулем. Ответ: целый корень х = 7.

№3. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: 1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 5; х = 1; х = — 2 2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах: х – 5 х – 5 х – 5 х – 5 — — — +
-2 1 5 х х – 1 х – 1 х – 1 х – 1 — — + + х + 2 х + 2 х + 2 х + 2 — + + +
3).
Уравнение имеет два корня х = 0 и 2. Ответ: сумма корней равна 2.

№4 . Решите уравнение: 1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 1; х = 2; х = 3. 2). Определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах. 3).
Объединим решения первых трёх систем. Ответ: ; х = 5.
Упражнения:

№24. Решите уравнение:

№25. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:

№26. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:

№27. Решите уравнение, в ответе укажите больший корень:

Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулей

Уравнения, содержащие несколько модулей, предполагают наличие абсолютных величин в подмодульных выражениях. Основной принцип решения уравнений данного вида – это последовательное раскрытие модулей, начиная с «внешнего». В ходе решения используются приёмы, рассмотренные в разделах №1, №3.

Примеры: №1. Решите уравнение:
Ответ: х = 1; — 11. №2. Решите уравнение:
Ответ: х = 0; 4; — 4. №3. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:
Ответ: произведение корней равно – 8. №4. Решите уравнение:
Обозначим уравнения совокупности (1) и (2) и рассмотрим решение каждого из них отдельно для удобства оформления. Так как оба уравнения содержат более одного модуля, то удобнее осуществить равносильный переход к совокупностям систем.(1)

(2)


Ответ:
Упражнения: №36. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: 5 │3х-5│ = 25 х №37. Решите уравнение, если корней более одного, в ответе укажите сумму корней: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38. Решите уравнение: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Решите уравнение, в ответе укажите количество корней на : 2 │ sin х│ = √2 №40 . Решите уравнение, в ответе укажите количество корней:

Раздел 3. Логарифмические уравнения.

Перед решением следующих уравнений необходимо повторить свойства логарифмов и логарифмической функции.

Примеры: №1. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней: log 2 (х+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 О.Д.З. х+1≠0 х≠ — 1

1 случай: если х ≥ — 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – удовлетворяет условию х ≥ — 1 2 случай: если х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = — 5 – удовлетворяет условию х — 1
Ответ: произведение корней равно – 15.
№2. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: lg
О.Д.З.



Ответ: сумма корней равна 0,5.
№3. Решите уравнение: log 5
О.Д.З.

Ответ: х = 9. №4. Решите уравнение: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Воспользуемся формулой перехода к другому основанию. │2 — log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 — log 5 x│- │1 + log 5 x│= — 3 Найдём нули подмодульных выражений: х = 25; х = Эти числа делят область допустимых значений на три интервала, поэтому уравнение равносильно совокупности трёх систем.
Ответ: }

Решение уравнений с модулем — презентация онлайн

1. Решение уравнений с модулем

2. Содержание

1. Определение модуля
2. Виды уравнений:
f x a, a const
f x g x
f x g x
f1 x f 2 x f n x g x
3. Методы решения уравнений
4. Задания для самостоятельного решения
5. Выводы
6. Домашнее задание
Большинство уравнений с модулем можно решить исходя из
определения модуля:
a, если a 0,
a
— a, если a 0
Пример
Содержание
Пример 1
Решить уравнение
2x 5 x
Решение:
x 2,5
2 x 5 0
x 5
x 5
2 x 5 x
x 2,5
5
2x 5 x
x
2 x 5 0
3
5
x
3
2 x 5 x
Ответ:
5
,5
3
Методы решения
Содержание
Пример 2
Решить уравнение
x 2 1 2 x 1
Если решать это уравнение по определению, то
придется трижды использовать определение модуля
и при этом нам необходимо будет решить 8 систем.
Поэтому, чтобы избежать этих сложностей, полезно
знать ряд равносильных преобразований некоторых
типов уравнений и другие способы решения
уравнений.
Уравнение вида:
f x a, a const
Равносильно :
, если a 0
f ( x ) 0, если a 0
f ( x) a
f ( x ) a, если a 0
Пример
Содержание
Пример 3
Решить уравнение
x 2 3x 2 1
Решение:
x 3x 2 1
x 3x 3 0;
x 3x 2 1 2
2
x 3x 2 1 x 3x 1 0
2
2
Ответ:
2
3 21
x
2
3 13
x
2
3 21 3 13
,
2
2
Заметим, что если бы мы решали уравнение по определению,
то у нас возникли бы затруднения при подстановке корней в
соответствующие неравенства.
Следующая
равносильность
Содержание
Рассмотрим уравнения вида
f x g x
Такие уравнения можно решать двумя способами:
I способ:
Если f(x) имеет более простой вид, чем g(x), то
f x 0,
f x g x ,
f x g x
f x 0,
— f x g x .
Пример
Далее
Пример 4
Решить уравнение
x 7 x3 15×2 x 7
Решение:
x 7 0,
3
2
x
7
x
15
x
x 7;
3
2
x 7 x 15x x 7
x 7 0,
x 7 x 3 15 x 2 x 7
x 7,
x 7,
3
3
2
2
2
x
15
x
14
0
;
x
x
14
x
1 0;
x 7,
x 7,
x x 2 15 x 2 0
x 3 15 x 2 2 x 0
Решим уравнение первой системы:
x
3
x 2 14 x 2 1 0
x 2 x 1 14 x 1 x 1 0 x 1 x 2 14 x 14 0
x 1; x 7 63
Решим уравнение второй системы:
x x 15x 2 0
2
15 217
x 0; x
2
Вернемся к совокупности систем:
x 7,
x 1,
x 7 63,
x 7 63,
x 7,
x 0,
15 217
x
,
2
15 217
x
2
Ответ:
x 7 63,
x 0,
x 15 217
2
15 — 217
0; 7 63,
.
2
Следующая
равносильность
Содержание
Далее
II способ: Если g(x) имеет более простой вид, чем f(x).
Если g(x)<0, то уравнение |f(x)|=g(x) не имеет решений
Если g(x)≥0, то
g x 0,
f x g x f x g x ,
f x g x
Пример
Содержание
Пример 5
Решить уравнение
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35
Решение:
10 x 35 0,
6 x 3 2 x 2 4 x 33 0 6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35,
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35
Решим первое уравнение совокупности:
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35 6 x 3 2 x 2 6 x 2 0
6 x x 2 1 2 x 2 1 0 2 x 2 1 3x 1 0
x 1,
1
x .
3
Решим второе уравнение совокупности:
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35 6 x 3 2 x 2 14 x 68 0
6 x 3 48 2 x 2 8 14 x 28 0
6 x 2 x 2 2 x 4 2 x 2 x 2 14 x 2 0
x 2 3x 2 5x 17 0 x 2
Вернемся к системе:
10 x 35 0,
x 1,
1
x 3,
x 2
Система решений не имеет, следовательно, уравнение
Следующая
Содержание
решений не имеет.
равносильность
Рассмотрим уравнения вида
f x g x
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
f x g x f
2
x g x
2
f x g x ,
f x g x f x g x 0
f x g x .
И мы получаем следующую равносильность:
f x g x ,
f x g x
f x g x .
Пример
Содержание
Пример 6
Решить уравнение
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6
Решение:
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6,
5
2
5
3
2
x
6
x
9
x
6
x
2
x
6
x
13x 6.
2 x x 4 x 2 2 0,
2 x 5 2 x 3 4 x 0,
3
3
2
2 x 6 x 2 11x 6 0.
2
x
12
x
22
x
12
0
.
Решим первое уравнение совокупности:
2 x x 4 x 2 2 0 x x 4 1 x 2 1 0
x x 2 1 x 2 1 x 2 1 0 x x 2 1 x 2 2 0
x 0,
x 2.
Решим второе уравнение совокупности:
x 3 6 x 2 11x 6 0 x 1 x 2 5x 6 0
x 1,
x 2,
x 3.
Вернемся к совокупности:
x
x
x
x
x
0,
2,
1,
2,
3.
Ответ: 0, 2 , 1, 2 ,3.
Методы решения
Содержание
Рассмотрим уравнения вида
f1 x f 2 x f n x g x
Для решения уравнений такого вида удобно воспользоваться
следующим алгоритмом:
1)Найти нули подмодульных выражений;
2)Провести столько параллельных прямых, сколько
содержится модулей в данном уравнении;
3)Нанести на каждую прямую знаки, соответствующие
подмодульной функции;
4)Через точки, соответствующие подмодульным нулям,
провести вертикальные прямые, которые разобьют
параллельные прямые на интервалы;
5)Раскрыть модули на каждом интервале и решить на этом
интервале уравнение.
Пример
Содержание
Пример 7
Решить уравнение
x 1 2 x x 3 4
Решение:
1. Нули подмодульных выражений: x1 1, x2 2, x3 3
2. Проведем параллельные прямые, нанесем на них эти
значения и знаки, соответствующие модулям на каждом
из полученных интервалов:
I
II
III
IV
x 3
–
+
+
+
2 x
+
+
+
–
x 1
–
–
+
+
-3
-1
2
x
Раскрывая модули на каждом интервале, получим
совокупность систем:
x 3,
x 3,
x
1
2
x
x
3
4
x 0
3 x 1,
3 x 1,
x 1 2 x x 3 4
x 2
x 1 2 x x 3 4
1 x 2,
1 x 2,
x 1 2 x x 3 4
x 4
x
2
,
x 2,
x 1 2 x x 3 4
x 8
x 2, x 8.
Ответ:
-2; 8
Методы решения
Содержание
В некоторых случаях удобнее использовать метод замены
переменной.
Пример 8
Решить уравнение
x 2 2 2 x 2 8 0
Решение:
Данное уравнение может быть решено несколькими
способами.
Например:
Способ 1. Используя определение модуля.
Способ 2. Свести уравнение к равносильности f x g x
Способ 3. Замена переменной.
Заметим, что x 2 2 x 2 2 Замена: x 2 t, t 0
Уравнение принимает вид: t 2 2t 8 0, t1 4 (п.к.), t 2 2
Обратная замена: x 2 2 x 4, x 0
Ответ: 0; 4
Методы решения
Содержание
Бывает и так , что уравнение нельзя отнести ни к одному из
рассмотренных типов, а так затруднительно решить его исходя
из определения. В этом случае удобно воспользоваться
графическим способом решения.
Пример 9
Решить уравнение
x 2 1 2 x 1
Решение:
Построим в одной системе координат графики функций
y x 2 1 2, y x 1
y x 2
y x 2 1
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
yy x 2 1
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
y x 2 1 2
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
y x 2 1 2
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
Найдем их точки пересечения
10
y x 2 1 2
y x 1
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Содержание
-2
Ответ:
x 1;1

28.

Задания для самостоятельного решения:1) x 2 6x x 4 8 0
Ответ : 3; 4.
2) x 2 x 1 1
Ответ : 0; 1; 2.
3) x 2 x 3 x
Ответ : 1; 3 .
4) x 2 x 3 2x 8 9
Ответ : 1; 5,5.
5) x — x 2 1 2x — 3 — x 2
Ответ : 2.
6) x 1 — 2 x 1 1 0
Ответ : — 2; 0.
7) x 2 2x — 3 x 1 3 0
Ответ : — 3; — 2; 0;1.
2
Содержание

29. Выводы

1. Виды уравнений:
f x a, a const
f x g x
f x g x
f1 x f 2 x f n x g x
2. Методы решения уравнений
Аналитический:
— по определению
— использование равносильностей
— разбиение на промежутки
— замены переменной
Графический
Содержание

30. Домашнее задание

Уровень 1
Уровень 2
1) x — 1 2 x 1 1 0
1) x x 6
2
2
2) x 1 1 x
2
2
2) x 2 x 8 x
3) x 2 x — 6 0
3) x 10 2 x 10 11
4) 2 x 1 x 3
4) 3 — x 2x 2 3
5) x — 1 x 1 4
5) x 2 4x 3 x 2 5x 4 0

31. Уровень 3

1) 2x 1 1 5p
2) 2x — x 3 x 7
2
3) x 2 4 9 x 2 5
4)
9 — x 2 x 2 4x 3
5) x 2 2x 3 x 2 2x 8 4x 5
Содержание

Калькулятор модуля сравнения

Калькулятор модуля сравнения

Как работает калькулятор модуля сравнения?

Учитывая возможное отношение конгруэнтности a ≡ b (mod n), это определяет, верно ли отношение (b конгруэнтно c c по модулю n).
Этот калькулятор имеет 3 входа.

Какая 1 формула используется для расчета модуля сравнения?

  1. если a ≡ b (mod n), то (a — b)/n является целым числом
Дополнительные математические формулы см. в нашем досье по формулам

Какие 4 концепции используются в Калькуляторе модуля сравнения?

сравнение по модулю n
Происходит, когда два числа имеют разность, кратную n.
конгруэнтны
идентичны по форме
≅
модуль
остаток от деления после деления одного числа на другое.
a mod b
остаток
Часть операции деления, оставшаяся после деления двух целых чисел

Пример расчета модуля сравнения

  1. 3 = 4 mod 7
  2. 20 = 5 (mod 2)

Видео калькулятор сравнения модуля