alexxlab — Страница 163 — Таловская средняя школа

Перемножение трех матриц: Умножение матриц онлайн

alexxlab / 02.07.202320.05.2023 / Разное

7.1.3. Умножение MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

1740 0

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

Главная
База знаний
CAD / CAM
org/Breadcrumb»>MathCAD 12

Линейная алгебра
7.1. Простейшие матричные операции
- 7.1.1. Транспонирование
- 7.1.2. Сложение и вычитание
- 7.1.3. Умножение
7.2. Векторная алгебра
- 7.2.1. Модуль вектора
- 7.2.2. Скалярное произведение
- 7.2.3. Векторное произведение
- 7.2.4. Векторизация массива
7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
- 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
- 7.3.2. Ранг матрицы
- 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
- 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
- 7.3.5. Матричные нормы
- 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
7.4. Вспомогательные матричные функции
- 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
- 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
- 7. 4.3. Сортировка элементов матриц
- 7.4.4. Вывод размера матрицы

При умножении следует помнить, что матрицу размерности MxN допустимо умножать только на матрицу размерности NxP (р может быть любым). В результате получается матрица размерности MхP.

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*> или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в листинге 7.5.

Листинг 7.5. Перемножение матриц

Обратите внимание (нижняя строка листинга 7.5), что попытка перемножить матрицы А и В несоответствующего (одинакового 2х3) размера оказалась безрезультатной: после введенного знака равенства находится пустой местозаполнитель, а само выражение в редакторе Mathcad выделяется красным цветом. При установке курсора на это выражение появляется сообщение о несовпадении числа строк первой матрицы с числом столбцов второй матрицы.

Еще один пример, относящийся к умножению вектора на матрицу-строку и, наоборот, строки на вектор, приведен в листинге 7.6.

ВНИМАНИЕ!

Тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому (см. разд. 7.2.2).

Листинг 7.6. Умножение вектора и строки

Аналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение и деление матрицы на скалярную величину (листинг 7.7). Символ умножения вводится так же, как и в случае умножения двух матриц. На скаляр можно умножать матрицу любой размерности.

Листинг 7.7. Умножение матрицы на скалярную величину

Нравится

Твитнуть

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

10102 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

7088 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12833 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster. ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2357 s

Ассемблер ARM64 | Умножение матриц

Последнее обновление: 17.01.2023

Рассмотрим расспространенную задачу — умножение матриц. Например, у нас есть следующие матрицы

матрица A

a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

матрица B

b11	b12	b13
b21	b22	b23
b31	b32	b33

То результат перемножения матриц будет равен

a11b11 + a12b21 + a13*b31	a11b12 + a12b22 + a13*b32	a11b13 + a12b23 + a13*b33
a21b11 + a22b21 + a23*b31	a21b12 + a22b22 + a23*b32	a21b13 + a22b23 + a23*b33
a31b11 + a32b21 + a33*b31	a31b12 + a32b22 + a33*b32	a31b13 + a32b23 + a33*b33

То есть для получения элемента результирующей матрицы, элементы строки первой матрицы последовательно перемножаются на элементы столбцов второй матрицы, и результаты умножений складываются.

С точки зрения псевдокода это выглядело бы так:


FOR row = 1 to 3
	FOR col = 1 to 3
		acum = 0  
		FOR i = 1 to 3
			acum = acum + A[row, i]*B[i, col]
		NEXT I
		C[row, col] = acum
	NEXT col
NEXT row

Напишем программу для перемножения двух матриц размером 3×3. Для упрощения вывода результатов на консоль воспользуемся функции printf языка С.

Итак, определим файл main.s со следующим кодом:


// Умножение двух матриц 3x3
//
// Используемые регистры:
// W1 - Индекс строки
// W2 - Индекс столбца
// X4 - Адрес строки
// X5 - Адрес столбца
// X7 - накопленная сумма для элемент результирующей матрицы
// W9 - элемент матрицы A
// W10 - элемент матрицы B
// X19 - элемент матрицы C
// X20 - счетчик цикла для печати
// X12 - номер стороки в цикле dotloop
// X6 - номер столбца в цикле dotloop
.global main    // точка входа в  программу
	. equ N, 3      // Размер матрицы
	.equ WDSIZE, 4 // размер элемента в байтах
main:
    STR LR, [SP, #-16]!         // сохраняем значение регистра LR
    STP X19, X20, [SP, #-16]!   // сохраняем значения регистров X19 и X20
    MOV W1, #N                  // помещаем в W1 индекс строки
    LDR X4, =A                  // В X4 адрес текущей строки матрицы А
    LDR X19, =C                 // В X19 адрес материцы С
rowloop:
    LDR X5, =B                  // первый столбец матрицы B
    MOV W2, #N                  // индекс столбца (считаем в обратном порядке до 0)
colloop:
    MOV X7, #0                  // регистр для накопления результата - по умолчанию равен 0
    MOV W0, #N                  // счетчик цикла
    MOV X12, X4                 // в X12 помещаем адрес строки для перемножения элементов
    MOV X6, X5                  // в X6 помещаем адрес столбца для перемножения элементов
dotloop:    // Цикл для умножения элементов текущей строки матрицы A на элементы текущего столбца матрицы B
    LDR W9, [X12], #WDSIZE      // загружаем A[row, i] и увеличиваем адрес в X12 на #WDSIZE байт
    LDR W10, [X6], #(N*WDSIZE)  // загружаем в W10 данные из B[i, col]
    SMADDL X7, W9, W10, X7      // умножаем и сохраняем результат в X7
    SUBS W0, W0, #1             // уменьшаем счетчик на 1
    B. NE dotloop                // если W0 не равно 0, то переходим к dotloop для перемножения новых элементов матриц
    STR W7, [X19], #4           // сохраняем результат из W7 в X19 - C[row, col] = W7, увеличиваем адрес в X19 на 4 байта
    ADD X5, X5, #WDSIZE         // Переходим к следующему столбцу в матрице B - увеличиваем адрес в X5 на #WDSIZE байт
    SUBS W2, W2, #1             // увеличиваем счетчик столбцов
    B.NE colloop                // если не все столбцы прошли, то переходим обратно к colloop
    ADD X4, X4, #(N*WDSIZE)     // к адресу в X4 прибавляем #(N*WDSIZE) байт для перехода к адресу новой строки
    SUBS W1, W1, #1             // уменьшаем счетчик строк
    B.NE rowloop                // если еще есть строки, переходим обратно к rowloop

    MOV W20, #3                 // проходим по трем строкам
    LDR X19, =C                 // адрес результирующей матрицы C
    // выводим матрицу с помощью функции printf языка C
printloop:
    LDR X0, =prtstr             // загружаем строку форматирования для функции printf
    LDR W1, [X19], #WDSIZE      // первый элемент текущей строки матрицы
    LDR W2, [X19], #WDSIZE      // второй элемент текущей строки матрицы   
    LDR W3, [X19], #WDSIZE      // третий элемент текущей строки матрицы
    BL printf                   // Вызыв функции printf
    SUBS W20, W20, #1           // уменьшаем счетчик строк
    B. NE printloop              // если есть еще строки, переходим обратно к printloop

    MOV X0, #0                  // код возврата из функции
    LDP X19, X20, [SP], #16     // восстанавливаем значение регистров
    LDR LR, [SP], #16           // восстанавливаем регистр LR
    RET                         // выход из функции
.data
    // первая матрица
    A:  .word 1, 2, 3
        .word 4, 5, 6
        .word 7, 8, 9
    // вторая матрица
    B:  .word 9, 8, 7
        .word 6, 5, 4
        .word 3, 2, 1
// результирующая матрица
    C: .fill 9, 4, 0
    prtstr: .asciz "%3d %3d %3d\n"

Вкратце рассмотрим данный код. Прежде всего в секции .data определены три матрицы. Матрицы A и B состоят из 9 элементов типа .word, то есть чисел размером 4 байта. Матрица C определена с помощью директивы .fill, которая определяет набор из 9 элементов размеров 4 байта, каждый из которых по умолчанию равен 0.

Для упрощения работы определяем две дополнительные константы:


.equ N, 3      // Размер матрицы
.equ WDSIZE, 4 // размер элемента в байтах

Вначале определяем значения для прохода по строкам:


MOV W1, #N                  // помещаем в W1 индекс строки
LDR X4, =A                  // В X4 адрес текущей строки матрицы А
LDR X19, =C                 // В X19 адрес материцы С

В W1 помещаем счетчик строк, то есть число 3 (надо пройти по трем строкам матрицы А). В регистр X4 загружается адрес матрицы A (адрес первого ее элемента) и в X19 помещается адрес матрицы С, в которую будем сохранять результат.

Дальше начинаем цикл для прохода по строкам и определяем значения для прохода по столбцам матрицы B:


rowloop:
    LDR X5, =B                  // первый столбец матрицы B
    MOV W2, #N                  // индекс столбца (считаем в обратном порядке до 0)

В регистр X5 помещается адрес матрицы В, а в W2 — счетчик столбцов (то есть надо пройтись по 3 столбцам матрицы В).

Затем начинаем цикл по столбцам


colloop:
    MOV X7, #0                  // регистр для накопления результата - по умолчанию равен 0
    MOV W0, #N                  // счетчик цикла
    MOV X12, X4                 // в X12 помещаем адрес строки для перемножения элементов
    MOV X6, X5                  // в X6 помещаем адрес столбца для перемножения элементов

В регистр Х7 помещаем число 0 — этот регистр будет накапливать значения для одного элемента матрицы С. Кроме того, в W0 помещается счетчик цикла — надо перемножить 3 элемента из строки матрицы А и столбца марицы B. Регистр Х12 будет указывать на адрес текущего элемента строки матрицы А, а Х6 — на адрес текущего элемента столбца матрицы В.

Далее перемножаем все элементы текущей строки матрицы А и текущего столбца матрицы В:


dotloop:    // Цикл для умножения элементов текущей строки матрицы A на элементы текущего столбца матрицы B
    LDR W9, [X12], #WDSIZE      // загружаем A[row, i] и увеличиваем адрес в X12 на #WDSIZE байт
    LDR W10, [X6], #(N*WDSIZE)  // загружаем в W10 данные из B[i, col]
    SMADDL X7, W9, W10, X7      // умножаем и сохраняем результат в X7
    SUBS W0, W0, #1             // уменьшаем счетчик на 1
    B. NE dotloop                // если W0 не равно 0, то переходим к dotloop для перемножения новых элементов матриц

Для перемножения в W9 загружаем элемент по адресу X12, при этом увеличиваем данный адрес на #WDSIZE (4) байт, то есть адрес будет указываать на следующий элемент текущей строки матрицы А. Аналогично в W10 загружаем элемент по адресу X6, при этом увеличиваем данный адрес на #(N*WDSIZE) (12) байт, то есть адрес будет указываать на следующий элемент текущего столба матрицы В. Инструкция SMADDL перемножает значения W9 и W10 и прибавляет к содержимому в регистре X7. И пока не пройдем по всем 3 элементам текущих строки и столбца, продолжаем данные действия.

Таким образом, в цикле dotloop пройдем по 3 ячейкам текущих строки и столбца, получим результ и сохраним его в регистр X12.

Далее для вычисления элемента матрицы C в следующем столбце переходим к следующему столбцу матрицы B:


STR W7, [X19], #4           // сохраняем результат из W7 в X19 - C[row, col] = W7, увеличиваем адрес в X19 на 4 байта
ADD X5, X5, #WDSIZE         // Переходим к следующему столбцу в матрице B - увеличиваем адрес в X5 на #WDSIZE байт
SUBS W2, W2, #1             // увеличиваем счетчик столбцов
B. NE colloop                // если не все столбцы прошли, то переходим обратно к colloop

При этом полученный результат из X7 сохраняем в текущей элемент матрицы С, адрес которого хранится в Х19. При этом данный адрес увеличиваем на 4 байта, чтобы в следующий раз сохранить значение для следующего элемента матрицы С. Также увеличиваем адрес в X5 на #WDSIZE байт, то есть переходим к новому столбцу матрицы В и уменьшаем счетчик столбцов в регистре W2.

Если все столбцы матрицы В пройдены, то переходим к новой строке матрицы А:


ADD X4, X4, #(N*WDSIZE)     // к адресу в X4 прибавляем #(N*WDSIZE) байт для перехода к адресу новой строки
SUBS W1, W1, #1             // уменьшаем счетчик строк
B.NE rowloop                // если еще есть строки, переходим обратно к rowloop

Для этого изменяем адрес в Х4 на #(N*WDSIZE) байт (по сути на 12 байт — размер строки), уменьшаем счетчик строк в W1 и переходим к следующей строке.

Если все строки перебраны, то переходим к печати на консоль — проходим по трем строкам матрицы С и единосременно с помощью строки форматирования prtstr выводим значения трех столбцов текущей строки матрицы C.

Поскольку в данном случае используется функция языка С, скомпилируем приложение с помощью следующей команды:


aarch64-none-linux-gnu-gcc main.s -o main -static

После запуска программа отобразит нам результирующую матрицу:


 30  24  18
 84  69  54
138 114  90

НазадСодержаниеВперед

3 способа умножения матриц в Python

Бала Прия С в Разработка | Последнее обновление: 1 июля 2022 г.

Поделись на:

Сканер безопасности веб-приложений Invicti — единственное решение, обеспечивающее автоматическую проверку уязвимостей с помощью Proof-Based Scanning™.

В этом уроке вы узнаете, как умножить две матрицы на Питоне.

Вы начнете с изучения условия правильного умножения матриц и напишете пользовательскую функцию Python для умножения матриц. Далее вы увидите, как можно добиться того же результата, используя вложенные генераторы списков.

Наконец, вы приступите к использованию NumPy и его встроенных функций для более эффективного выполнения матричного умножения.

Как проверить правильность умножения матриц

Прежде чем писать код Python для умножения матриц, давайте вернемся к основам умножения матриц.

Матрица Умножение двух матриц A и B допустимо, только если количество столбцов в матрице A равно , равному количеству строк в матрице B .

Вероятно, вы уже сталкивались с этим условием умножения матриц раньше. Однако задумывались ли вы когда-нибудь, почему это так?

Ну, это из-за того, как работает умножение матриц. Взгляните на изображение ниже.

В нашем общем примере матрица A имеет м рядов и n столбцов. А матрица B имеет n строк и p столбцов.

Какова форма матрицы продуктов?

Элемент с индексом (i, j) результирующей матрицы C является скалярным произведением строки i матрицы A и столбца j матрицы B.

Итак, чтобы получить элемент с определенным индексом в результирующей матрице C вам нужно будет вычислить скалярное произведение соответствующей строки и столбца в матрицах A и B соответственно.

Повторяя вышеописанный процесс, вы получите матрицу произведения C формы m x p — с m строками и p столбцами, как показано ниже.

А скалярное произведение или скалярное произведение между двумя векторами a и b задается следующим уравнением.

Подведем итоги:

Очевидно, что скалярное произведение определяется только между векторами одинаковой длины.
Таким образом, чтобы скалярное произведение между строкой и столбцом было действительным — при умножении двух матриц — вам нужно, чтобы они обе имели одинаковое количество элементов.
В приведенном выше общем примере каждая строка в матрице A содержит n элементов. И каждый столбец в матрице B также имеет n элементов.

Если присмотреться, то n — это количество столбцов в матрице A, а также количество строк в матрице B. И именно поэтому вам нужно количество столбцов в матрице A должно быть равным числу строк в матрице B .

Надеюсь, вы понимаете условие выполнения матричного умножения и то, как получить каждый элемент в матрице произведения.

Давайте продолжим писать код Python для умножения двух матриц.

Напишите пользовательскую функцию Python для умножения матриц

В качестве первого шага давайте напишем пользовательскую функцию для умножения матриц.

Эта функция должна выполнять следующие действия:

Принимать две матрицы, A и B, в качестве входных данных.
Проверить правильность умножения матриц между A и B.
Если верно, перемножьте две матрицы A и B и верните матрицу произведения C.
В противном случае верните сообщение об ошибке, что матрицы A и B нельзя перемножить.

Шаг 1 : Создайте две матрицы целых чисел, используя функцию NumPy random.randint() . Вы также можете объявить матрицы как вложенные списки Python.

 импортировать numpy как np
np.random.seed (27)
A = np.random.randint (1,10, размер = (3,3))
B = np.random.randint (1,10, размер = (3,2))
print(f"Матрица A:\n {A}\n")
print(f"Матрица B:\n {B}\n")
# Выход
Матрица А:
 [[4 99]
 [9 1 6]
 [9 2 3]]
Матрица Б:
 [[2 2]
 [5 7]
 [4 4]]

Шаг 2: Идем дальше и определяем функцию multiple_matrix(A,B) . Эта функция принимает две матрицы A и B в качестве входных данных и возвращает матрицу произведения C , если умножение матриц допустимо.

 по умножению_матрицы (A, B):
  глобальный C
  если A.shape[1] == B.shape[0]:
    C = np.zeros((A.shape[0],B.shape[1]),dtype = int)
    для строки в диапазоне (строки):
        для столбца в диапазоне (столбцы):
            для elt в диапазоне (len (B)):
              C[строка, столбец] += A[строка, элт] * B[элт, колонка]
    вернуть С
  еще:
    return "Извините, я не могу умножить A и B. "

Разбор определения функции

Перейдем к разбору определения функции.

Объявить C как глобальную переменную : По умолчанию все переменные внутри функции Python имеют локальную область видимости. И вы не можете получить к ним доступ извне функции. Чтобы сделать матрицу продукта C доступной извне, нам придется объявить ее как глобальную переменную. Просто добавьте глобальный квалификатор перед именем переменной.

Проверка правильности умножения матриц: Используйте атрибут формы , чтобы проверить, можно ли умножить A и B. Для любого массива arr , arr.shape[0] и arr.shape[1] укажите количество строк, и столбцов, соответственно. Таким образом, if A.shape[1] == B.shape[0] проверяет правильность умножения матриц. Только если это условие равно True , будет вычислена матрица произведения. В противном случае функция возвращает сообщение об ошибке.

Использовать вложенные циклы для вычисления значений: Чтобы вычислить элементы результирующей матрицы, мы должны перебрать строки матрицы A, и внешний цикл for делает это. Внутренний цикл for помогает нам пройти через столбец матрицы B. А самый внутренний цикл for помогает получить доступ к каждому элементу в выбранном столбце.

▶️ Теперь, когда мы узнали, как работает функция Python для умножения матриц, давайте вызовем функцию с матрицами A и B, которые мы сгенерировали ранее.

 умножить_матрицу (А, В)
# Выход
массив([[ 89, 107],
       [47, 49],
       [ 40, 44]])

Поскольку умножение матриц между A и B допустимо, функция multi_matrix() возвращает матрицу произведения C.

Использование понимания вложенных списков Python для умножения матриц написал функцию Python для умножения матриц. Теперь вы увидите, как можно использовать вложенные списки, чтобы сделать то же самое.

Вот понимание вложенного списка для умножения матриц.

Сначала это может показаться сложным. Но мы будем шаг за шагом разбирать понимание вложенного списка.

Давайте сосредоточимся на анализе одного списка и определим, что он делает.

Мы будем использовать следующий общий шаблон для понимания списка:

 [ для  в ]
где,
: что вы хотите сделать — выражение или операцию
: каждый элемент, над которым вы хотите выполнить операцию.
: итерируемый объект (список, кортеж и т. д.), который вы просматриваете в цикле

▶️ Ознакомьтесь с нашим руководством «Понимание списков в Python — с примерами», чтобы получить более глубокое понимание.

Прежде чем продолжить, обратите внимание, что мы хотели бы построить результирующую матрицу C по одной строке за раз.

Объяснение понимания вложенного списка

Шаг 1: Вычисление одного значения в матрице C

Для заданной строки i матрицы A и столбца j матрицы B приведенное ниже выражение дает запись с индексом (i, j) в матрице C.

 сумма(a*b для a,b в zip(A_row, B_col)
# zip(A_row, B_col) возвращает итератор кортежей
# Если A_row = [a1, a2, a3] и B_col = [b1, b2, b3]
# zip(A_row, B_col) возвращает (a1, b1), (a2, b2) и т. д.

Если i = j = 1 , выражение вернет запись c_11 матрицы C. Таким образом, вы можете получить один элемент в одной строке таким образом.

Шаг 2: Построить одну строку в матрице C

Наша следующая цель — построить всю строку.

Для строки 1 в матрице A вам нужно перебрать все столбцы в матрице B, чтобы получить одну полную строку в матрице C.

Вернуться к шаблону понимания списка.

Заменить <сделать это> с выражением из шага 1, потому что это то, что вы хотите сделать.
Затем замените на B_col — каждый столбец в матрице B.
Наконец, замените на zip(*B) — список, содержащий все столбцы в матрице B.

А вот и первое понимание списка.

 [сумма (a * b для a, b в zip (A_row, B_col)) для B_col в zip (* B)]
# zip(*B): * оператор распаковки
# zip(*B) возвращает список столбцов матрицы B

Шаг 3: Постройте все строки и получите матрицу C

Далее вам нужно будет заполнить матрицу произведения C, вычислив остальные строки.

А для этого нужно перебрать все строки в матрице A.

Еще раз вернуться к пониманию списка и сделать следующее.

Замените на понимание списка из шага 2. Вспомните, что мы вычислили целую строку на предыдущем шаге.
Теперь замените with A_row — каждая строка в матрице A.
И ваш — это сама матрица A, когда вы перебираете ее строки.

И вот наше окончательное понимание вложенного списка. for A_row in A]

Пришло время проверить результат! ✔

 # преобразование в  com/numpy-reshape-arrays-in-python/">массив NumPy с помощью np.array()
C = np.array([[sum(a*b для a,b в zip(A_row, B_col)) для B_col в zip(*B)]
    для A_row в A])
# Выход:
[[ 89107]
 [ 47 49]
 [ 40 44]]

Если вы присмотритесь, это эквивалентно вложенным циклам for, которые мы использовали ранее, только более лаконично.

Вы также можете сделать это более эффективно, используя некоторые встроенные функции. Давайте узнаем о них в следующем разделе.

Использование NumPy matmul() для умножения матриц в Python

np.matmul() принимает две матрицы в качестве входных данных и возвращает произведение, если умножение матриц между входными матрицами равно действительный .

 C = np.matmul(A,B)
печать(С)
# Выход:
[[ 89 107]
 [ 47 49]
 [ 40 44]]

Обратите внимание, насколько этот метод проще, чем два метода, которые мы изучали ранее. На самом деле вместо np.matmul() можно использовать эквивалентный оператор @, и мы сразу это увидим.

Как использовать оператор @ в Python для умножения матриц

В Python @ — это бинарный оператор, используемый для умножения матриц.

Он работает с двумя матрицами и, как правило, с N-мерными массивами NumPy и возвращает матрицу произведения.

Примечание: Для использования оператора @ у вас должен быть Python 3.5 или более поздней версии.

Вот как вы можете его использовать.

 С = А@В
печать(С)
# Выход
массив([[ 89, 107],
       [47, 49],
       [ 40, 44]])

Обратите внимание, что матрица произведения C такая же, как та, которую мы получили ранее.

Можно ли использовать np.dot() для умножения матриц?

Если вы когда-либо сталкивались с кодом, который использует np.dot() для умножения двух матриц, вот как это работает.

 C = np.dot(A,B)
печать(С)
# Выход:
[[ 89 107]
 [ 47 49]
 [ 40 44]]

Вы увидите, что np. dot(A, B) также возвращает ожидаемую матрицу продукта.

Однако, согласно документам NumPy, вы должны использовать np.dot() только для вычисления скалярного произведения двух одномерных векторов, а не для умножения матриц.

Напомним из предыдущего раздела, что элемент с индексом (i, j) матрицы произведения C является скалярным произведением строки i матрицы A и столбца j матрицы B.

Поскольку NumPy неявно передает эту операцию скалярного произведения всем строкам и всем столбцам, вы получаете результирующую матрицу произведения. Но чтобы ваш код был читабельным и чтобы избежать двусмысленности, используйте вместо этого np.matmul() или оператор @ .

Заключение

🎯 В этом уроке вы узнали следующее.

Условие правильности умножения матриц: количество столбцов в матрице A = количество строк в матрице B .
Как написать пользовательскую функцию Python, которая проверяет правильность умножения матриц и возвращает матрицу произведения. В теле функции используются вложенные циклы for.
Далее вы узнали, как использовать вложенные списки для умножения матриц. Они более лаконичны, чем циклы for, но подвержены проблемам с читабельностью.
Наконец, вы узнали, как использовать встроенную функцию NumPy np.matmul() для умножения матриц и как это наиболее эффективно с точки зрения скорости.
Вы также узнали об операторе @ для умножения двух матриц в Python.

На этом мы завершаем обсуждение умножения матриц в Python. В качестве следующего шага узнайте, как проверить, является ли число простым в Python. Или решить интересные задачи на строки Python.

Приятного обучения!🎉

Спасибо нашим спонсорам

Более 20 примеров для умножения матриц NumPy

В этом уроке мы рассмотрим различные способы выполнения умножения матриц с использованием массивов NumPy. Мы научимся перемножать матрицы разных размеров вместе.

Также мы узнаем, как ускорить процесс умножения с помощью графического процессора и другие горячие темы, так что давайте начнем!

Прежде чем мы двинемся дальше, лучше рассмотреть некоторые основные термины матричной алгебры.

Основные термины

Вектор: Алгебраически вектор представляет собой набор координат точки в пространстве.
Таким образом, вектор с двумя значениями представляет собой точку в двумерном пространстве. В информатике вектор — это расположение чисел в одном измерении. Он также широко известен как массив, список или кортеж.
Напр. [1,2,3,4]

Матрица: Матрица (множественное число матриц) представляет собой двумерное расположение чисел или набор векторов.
Пример:

 [[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]]

Скалярное произведение: Скалярное произведение – это математическая операция между 2 векторами одинаковой длины .
Равен сумме произведений соответствующих элементов векторов.

С четким пониманием этих терминов мы готовы к работе.

Умножение матриц на вектор

Начнем с простой формы умножения матриц — между матрицей и вектором.

Прежде чем мы продолжим, давайте сначала поймем, как создать матрицу с помощью NumPy.

Метод array() NumPy используется для представления векторов, матриц и многомерных тензоров. Давайте определим 5-мерный вектор и матрицу 3 × 3, используя NumPy.

 импортировать numpy как np
а = np.массив ([1, 3, 5, 7, 9])
б = np.массив([[1, 2, 3],
             [4, 5, 6],
             [7, 8, 9]])
print("Вектор a:\n", a)
Распечатать()
print("Matrix b:\n", b)

Вывод:

Давайте теперь посмотрим, как происходит умножение между матрицей и вектором.

При умножении матрицы на вектор следует помнить о следующих моментах:

Результатом умножения матрицы на вектор является вектор.
Каждый элемент этого вектора получается путем скалярного произведения между каждой строкой матрицы и умножаемым вектором.
Количество столбцов в матрице должно быть равно количеству элементов в векторе.

Мы будем использовать метод NumPy matmul() для большинства наших операций умножения матриц.
Давайте определим матрицу 3×3 и умножим ее на вектор длины 3.

 импортировать numpy как np
а = np.массив([[1, 2, 3],
             [4, 5, 6],
             [7, 8, 9]])
б = np.массив ([10, 20, 30])
печать("А=", а)
печать("б =", б)
печать ("Ab =", np.matmul (а, б))

Вывод:

Обратите внимание, что результатом является вектор длины, равной строкам матрицы множителей.

Умножение на другую матрицу

Теперь мы поняли умножение матрицы на вектор; было бы легко вычислить умножение двух матриц.
Но перед этим повторим самые важные правила умножения матриц:

Количество столбцов в первой матрице должно быть равно количеству строк во второй матрице.
Если мы умножаем матрицу размеров m x n на другую матрицу размеров n x p, то результатом будет матрица размеров m x p.

Рассмотрим умножение m x n матрицы A на n x p матрицу B:
Произведение двух матриц C = AB будет иметь m строк и p столбцов.
Каждый элемент в матрице произведения C является результатом скалярного произведения между вектором-строкой в A и вектором-столбцом в B.

Теперь давайте выполним матричное умножение двух матриц в Python, используя NumPy.
Мы случайным образом сгенерируем две матрицы размеров 3 x 2 и 2 x 4.
Мы будем использовать метод np.random.randint() для генерации чисел.

 импортировать numpy как np
np.random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 15, размер = (3,2))
B = np.random.randint (0, 15, размер = (2,4))
print("Матрица А:\n", А)
print("форма A =", A.shape)
Распечатать()
print("Матрица B:\n", B)
print("shape of B =", B.shape)

Вывод:

Примечание: мы устанавливаем случайное начальное число, используя ‘np. random.seed()’, чтобы сделать генератор случайных чисел детерминированным.
При каждом запуске этого фрагмента кода будут генерироваться одни и те же случайные числа. Этот шаг необходим, если вы хотите воспроизвести результат позже.

Вы можете установить любое другое целое число в качестве начального числа, но я предлагаю установить его на 42 для этого урока, чтобы ваши выходные данные соответствовали показанным на выходных снимках экрана.

Теперь умножим две матрицы, используя Метод np.matmul() . Результирующая матрица должна иметь форму 3 x 4.

 C = np.matmul(A, B)
print("произведение A и B:\n", C)
print("shape of product =", C.shape)

Вывод:

Умножение между 3 матрицами

Умножение трех матриц будет состоять из двух операций умножения 2 матриц, и каждая из двух операций будут следовать тем же правилам, которые обсуждались в предыдущем разделе.

Допустим, мы перемножаем три матрицы A, B и C, и произведение равно D = ABC.
Здесь количество столбцов в A должно быть равно количеству строк в B, а количество строк в C должно быть равно количеству столбцов в B.

Полученная матрица будет иметь строк, равных количеству строк в A и столбцов равно количеству столбцов в C.

Важным свойством операции умножения матриц является то, что является ассоциативным .
При мультиматричном умножении порядок отдельных операций умножения не имеет значения и, следовательно, не дает разных результатов.

Например, в нашем примере умножения трех матриц D = ABC не имеет значения, выполняем ли мы сначала AB или BC.

Оба порядка дадут один и тот же результат. Давайте сделаем пример на Python.

 импортировать numpy как np
np.random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 10, размер = (2,2))
B = np.random.randint (0, 10, размер = (2,3))
C = np.random.randint (0, 10, размер = (3,3))
print("Матрица A:\n{}, shape={}\n".format(A, A.shape))
print("Матрица B:\n{}, shape={}\n". format(B, B.shape))
print("Матрица C:\n{}, shape={}\n".format(C, C.shape))

Результат:

На основании правил, которые мы обсуждали выше, умножение этих трех матриц должно дать результирующую матрицу формы (2, 3).
Обратите внимание, что метод np.matmul() принимает только две матрицы в качестве входных данных для умножения, поэтому мы будем вызывать метод дважды в том порядке, в котором мы хотим умножать, и передавать результат первого вызова в качестве параметра в второй.
(Мы найдем лучший способ решения этой проблемы в следующем разделе, когда мы введем оператор @)

Выполним умножение в обоих порядках и проверим свойство ассоциативности.

 D = np.matmul(np.matmul(A,B),C)
print("Результат умножения в порядке (AB)C:\n\n{},shape={}\n".format(D, D.shape))
D = np.matmul(A, np.matmul(B,C))
print("Результат умножения в порядке A(BC):\n\n{},shape={}".format(D, D.shape))

Вывод:

Как мы видим, Результат умножения трех матриц остается тем же, независимо от того, умножаем ли мы сначала А и В или сначала В и С.
Таким образом, свойство ассоциативности подтверждается.
Кроме того, результирующий массив имеет форму (2, 3), что соответствует ожидаемым строкам.

NumPy Умножение трехмерных матриц

Трехмерная матрица — это не что иное, как набор (или стек) множества двумерных матриц, точно так же, как двумерная матрица представляет собой набор/стек множества одномерных векторов.

Таким образом, матричное умножение трехмерных матриц включает в себя многократное умножение двумерных матриц, что в конечном итоге сводится к скалярному произведению между их векторами строк и столбцов.

Рассмотрим пример матрицы A формы (3,3,2), умноженной на другую трехмерную матрицу B формы (3,2,4).

 импортировать numpy как np
np.random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 10, размер = (3,3,2))
B = np.random.randint (0, 10, размер = (3,2,4))
print("A:\n{}, shape={}\nB:\n{}, shape={}".format(A, A.shape,B, B.shape))

Вывод:

Первая матрица представляет собой стопку из трех двумерных матриц, каждая из которых имеет форму (3,2), а вторая матрица представляет собой стопку из трех двумерных матриц, каждая из которых имеет форму (2,4).

Умножение матриц между этими двумя включает три умножения между соответствующими двумерными матрицами A и B, имеющими формы (3,2) и (2,4) соответственно.

В частности, первое умножение будет между A[0] и B[0], второе умножение будет между A[1] и B[1] и, наконец, третье умножение будет между A[2] и БИ 2].

Результат каждого отдельного умножения двумерных матриц будет иметь форму (3,4). Следовательно, конечным продуктом двух трехмерных матриц будет матрица формы (3,3,4).

Давайте реализуем это с помощью кода.

 C = np.matmul(A,B)
print("Product C:\n{}, shape={}".format(C, C.shape))

Вывод:

Альтернативы np.matmul()

Кроме ‘np.matmul ()’ существует два других способа выполнения матричного умножения — метод np.dot() и оператор ‘@’ , каждый из которых предлагает некоторые различия/гибкость в операциях матричного умножения.

Метод ‘np.dot()’

Вы можете использовать этот метод для нахождения скалярного произведения векторов, но если мы передадим две двумерные матрицы, то он будет вести себя аналогично методу ‘np. matmul()’ и будет возвращать результат матричного умножения две матрицы.

Давайте рассмотрим пример:

 импортировать numpy как np
# матрица 3x2
A = np.массив([[8, 2, 2],
             [1, 0, 3]])
# матрица 2x3
B = np.массив([[1, 3],
             [5, 0],
             [9, 6]])
# точечный продукт должен возвращать продукт 2x2
С = np.точка (А, В)
print("произведение A и B:\n{} shape={}".format(C, C.shape))

Вывод:

Здесь мы определили матрицу 3×2, а матрицу 2×3 и их скалярное произведение дает результат 2×2, который представляет собой матричное умножение двух матриц,
то же самое, что и ‘ np.matmul()’ вернется.

Разница между np.dot() и np.matmul() заключается в их работе с трехмерными матрицами.
В то время как np.matmul() работает с двумя трехмерными матрицами путем вычисления матричного умножения соответствующих пар двумерных матриц (как обсуждалось в последнем разделе), np.dot(), с другой стороны, вычисляет скалярные произведения различных пар векторы-строки и векторы-столбцы из первой и второй матрицы соответственно.

np.dot() для двух трехмерных матриц A и B возвращает произведение суммы по последней оси A и предпоследней оси B.
Это неинтуитивно и нелегко понять .

Итак, если A имеет форму (a, b, c), а B имеет форму (d, c, e), то результат np.dot(A, B) будет иметь форму (a, d, b,e), отдельный элемент которого в позиции (i,j,k,m) определяется как:

 dot(A, B)[i,j,k,m] = sum(A[i,j,: ] * B[k,:,m])

Проверим на примере:

 импортировать numpy как np
np.random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 10, размер = (2,3,2))
B = np.random.randint (0, 10, размер = (3,2,4))
print("A:\n{}, shape={}\nB:\n{}, shape={}".format(A, A.shape,B, B.shape))

Вывод:

Если теперь мы передадим эти матрицы методу ‘np.dot()’, он вернет матрицу формы (2,3,3,4), отдельные элементы которой вычисляются по приведенной выше формуле.

 C = np.dot(A,B)
print("np.dot(A,B) =\n{}, shape={}".format(C, C.shape))

Вывод:

Другое важное различие между ‘np. matmul()’ и ‘np.dot()’ состоит в том, что ‘np.matmul()’ не допускает умножения на скаляр (мы обсудим это в следующий раздел), в то время как ‘np.dot()’ разрешает это.

Оператор «@»

Оператор @, представленный в Python 3.5, выполняет ту же операцию, что и «np.matmul()».

Давайте рассмотрим более ранний пример np.matmul() с использованием оператора @ и увидим тот же результат, что и ранее:

 импортировать numpy как np
np.random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 15, размер = (3,2))
B = np.random.randint (0, 15, размер = (2,4))
print("Матрица A:\n{}, shape={}".format(A, A.shape))
print("Матрица B:\n{}, shape={}".format(B, B.shape))
С = А @ В
print("произведение A и B:\n{}, shape={}".format(C, C.shape))

Вывод:

Оператор ‘@’ становится удобным, когда мы выполняем матричное умножение из более чем двух матриц.

Раньше нам приходилось вызывать np.matmul() несколько раз и передавать их результаты в качестве параметра следующему вызову.
Теперь мы можем выполнить ту же операцию более простым (и более интуитивным) способом:

 import numpy as np
np.random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 10, размер = (2,2))
B = np.random.randint (0, 10, размер = (2,3))
C = np.random.randint (0, 10, размер = (3,3))
print("Матрица A:\n{}, shape={}\n".format(A, A.shape))
print("Матрица B:\n{}, shape={}\n".format(B, B.shape))
print("Матрица C:\n{}, shape={}\n".format(C, C.shape))
D = A @ B @ C # раньше np.matmul(np.matmul(A,B),C)
print("Продукт ABC:\n\n{}, shape={}\n".format(D, D.shape))

Вывод:

Умножение на скаляр (одно значение)

До сих пор мы выполняли умножение матрицы на вектор или другую матрицу. Но что происходит, когда мы выполняем умножение матриц на скалярное или одно числовое значение?

Результат такой операции получается путем умножения каждого элемента матрицы на скалярное значение. Таким образом, выходная матрица имеет ту же размерность, что и входная матрица.

Обратите внимание, что ‘np.matmul()’ не позволяет умножать матрицу на скаляр. Вы можете добиться этого, используя np.dot() или с помощью оператора ‘*’.

Давайте посмотрим на это на примере кода.

 импортировать numpy как np
A = np.массив([[1,2,3],
             [4,5, 6],
             [7, 8, 9]])
В = А * 10
print("Матрица A:\n{}, shape={}\n".format(A, A.shape))
print("Умножение A на 10:\n{}, shape={}".format(B, B.shape))

Вывод:

Поэлементное матричное умножение

Иногда нам нужно сделать умножение соответствующих элементов двух матриц, имеющих одинаковую форму.

Эта операция также называется продуктом Адамара . Он принимает две матрицы одинакового размера и создает третью матрицу того же размера.

Этого можно добиться, вызвав функцию Multi() NumPy или используя оператор ‘*’ .

 импортировать numpy как np
np. random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 10, размер = (3,3))
B = np.random.randint (0, 10, размер = (3,3))
print("Матрица A:\n{}\n".format(A))
печать ("Матрица B:\n{}\n".format(B))
C = np.multiply(A,B) # или A * B
print("Поэлементное умножение A и B:\n{}".format(C))

Вывод:

Единственное правило, которое нужно помнить при поэлементном умножении, заключается в том, что две матрицы должны иметь одинаковую форму .
Однако, если одно измерение матрицы отсутствует, NumPy будет транслировать его, чтобы оно соответствовало форме другой матрицы.

На самом деле умножение матриц на скаляр также включает передачу скалярного значения в матрицу формы, равной матричному операнду при умножении.

Это означает, что когда мы умножаем матрицу формы (3,3) на скалярное значение 10, NumPy создаст другую матрицу формы (3,3) с постоянными значениями десять во всех позициях в матрице и выполнит поэлементно умножение двух матриц.

Давайте разберемся с этим на примере:

 импортировать numpy как np
np.random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 10, размер = (3,4))
B = np.массив ([[1,2,3,4]])
print("Матрица A:\n{}, shape={}\n".format(A, A.shape))
print("Матрица B:\n{}, shape={}\n".format(B, B.shape))
С = А * В
print("Поэлементное умножение A и B:\n{}".format(C))

Вывод:

Обратите внимание, как вторая матрица, имевшая форму (1,4), была преобразована в ( 3,4) матрица через трансляцию, причем поэлементное умножение между двумя матрицами имело место.

Матрица, возведенная в степень (возведение матрицы в степень)

Подобно тому, как мы можем возвести скалярное значение в степень, мы можем проделать ту же операцию с матрицами.
Точно так же, как возведение скалярного значения (основания) в степень n равносильно многократному умножению n оснований, та же закономерность наблюдается при возведении матрицы в степень, которая включает в себя повторяющиеся матричные умножения.

Например, если мы возведем матрицу A в степень n, она будет равна матричному умножению n матриц, каждая из которых будет матрицей A.

Обратите внимание: чтобы эта операция была возможной, базовая матрица должна быть квадратной .
Это делается для того, чтобы количество столбцов в предыдущей матрице было равно количеству строк в следующей матрице.

Эта операция обеспечивается в Python методом linalg.matrix_power() NumPy, который принимает базовую матрицу и целочисленную степень в качестве параметров.

Давайте посмотрим на пример в Python:

 импортировать numpy как np
np.random.seed (10)
A = np.random.randint (0, 10, размер = (3,3))
A_to_power_3 = np.linalg.matrix_power(A, 3)
print("Матрица A:\n{}, shape={}\n".format(A, A.shape))
print("A в степени 3:\n{}, shape={}".format(A_to_power_3,A_to_power_3.shape))

Вывод:

Мы можем проверить этот результат, выполнив обычное умножение матриц с тремя операндами (все они A), используя оператор @:

 B = A @ A @ A
print("B = A @ A @ A :\n{}, shape={}". format(B, B.shape))

Вывод:

Как видите, результаты обеих операций соответствие.

В связи с этой операцией возникает важный вопрос: Что происходит, когда мощность равна 0?
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим, что происходит, когда мы возводим скалярную базу в степень 0,9.0423 Получаем значение 1, верно? Теперь, что эквивалентно 1 в матричной алгебре? Вы правильно угадали!

Это матрица идентичности.

Таким образом, возведение матрицы n x n в степень 0 приводит к единичной матрице I формы n x n.

Давайте быстро проверим это на Python, используя нашу предыдущую матрицу A.

 C = np.linalg.matrix_power(A, 0)
print("A в степени 0:\n{}, shape={}".format(C, C.shape))

Вывод:

Поэлементное возведение в степень

Точно так же, как мы могли бы выполнять поэлементное умножение матриц, мы также можем выполнять поэлементное возведение в степень, т. е. возводить каждый отдельный элемент матрицы в некоторую степень.

Этого можно добиться в Python с помощью стандартного оператора экспоненты ‘ ** ’ — пример оператора, перегружающего .

Опять же, мы можем предоставить одну постоянную степень для всех элементов в матрице или матрицу степеней для каждого элемента в базовой матрице.

Давайте посмотрим на примеры того и другого в Python: 9полномочия:\n{}, shape={}\n».format(C, C.shape))

Вывод:

Умножение определенного индекса

Предположим, у нас есть матрица 5 x 6 A и другую матрицу 3 x 3 B. Очевидно, мы не можем перемножить эти две вместе из-за несоответствия размеров

Но что, если мы хотим умножить подматрицу 3×3 в матрице A на матрицу B, сохраняя при этом другие элементы в A неизменными?
Для лучшего понимания обратитесь к следующему изображению:

Вы можете выполнить эту операцию в Python, используя нарезку матрицы для извлечения подматрицы из A, выполняя умножение на B, а затем записывая результат по соответствующему индексу в A.

Давайте посмотрим это в действии.

 импортировать numpy как np
np.random.seed (42)
A = np.random.randint (0, 10, размер = (5,6))
B = np.random.randint (0, 10, размер = (3,3))
print("Матрица A:\n{}, shape={}\n".format(A, A.shape))
print("Матрица B:\n{}, shape={}\n".format(B, B.shape))
С = А[1:4,2:5] @ В
А[1:4,2:5] = С
print("Матрица A после умножения подматриц:\n{}, shape={}\n".format(A, A.shape))

Вывод:

Как видите, только элементы с индексами строк с 1 по 3 и индексами столбцов со 2 по 4 были умножены на B, и то же самое было записано обратно в A, в то время как остальные элементы A имеют остался неизменным.

Также нет необходимости перезаписывать исходную матрицу. Мы также можем записать результат в новую матрицу, сначала скопировав исходную матрицу в новую матрицу, а затем записав произведение в позиции подматрицы.

Умножение матриц с использованием графического процессора

Мы знаем, что NumPy ускоряет матричные операции, распараллелив множество вычислений и используя возможности параллельных вычислений нашего ЦП.

Однако современным приложениям нужно нечто большее. ЦП предлагают ограниченные вычислительные возможности, и этого недостаточно для большого количества необходимых нам вычислений, как правило, в таких приложениях, как глубокое обучение.

Именно здесь на сцену выходят графические процессоры. Они предлагают большие вычислительные возможности и превосходную инфраструктуру параллельных вычислений, которая помогает нам сэкономить значительное количество времени, выполняя сотни тысяч операций за доли секунды.

В этом разделе мы рассмотрим, как можно выполнять умножение матриц на графическом процессоре вместо центрального процессора и сэкономить при этом много времени.

NumPy не предлагает функции для умножения матриц на графическом процессоре. Поэтому мы должны установить некоторые дополнительные библиотеки, которые помогут нам достичь нашей цели.

Сначала мы установим библиотеки « scikit-cuda » и « PyCUDA », используя установку pip. Эти библиотеки помогают нам выполнять вычисления на графических процессорах на базе CUDA. Чтобы установить эти библиотеки с вашего терминала, если на вашем компьютере установлен графический процессор.

 pip установить pycuda
pip install scikit-cuda

Если на вашем компьютере нет графического процессора, вы можете попробовать ноутбуки Google Colab и включить доступ к графическому процессору; это бесплатно для использования. Теперь мы напишем код для генерации двух матриц 1000×1000 и выполнения матричного умножения между ними двумя методами:

Использование метода scikit-cuda ‘ linalg.mdot() ’ на графическом процессоре

Во втором методе мы будем генерировать матрицы на процессоре; затем мы будем хранить их на графическом процессоре (используя PyCUDA’s ‘ gpuarray.to_gpu() ‘метод) перед выполнением умножения между ними. Мы будем использовать модуль « time » для вычисления времени вычислений в обоих случаях.

Использование ЦП

 импортировать numpy как np
время импорта
# генерация матриц 1000 x 1000
np.random.seed (42)
x = np.random.randint(0,256, размер=(1000,1000)).astype("float64")
y = np.random.randint(0,256, размер=(1000,1000)).astype("float64")
# вычисление времени умножения на CPU
тик = время.время()
г = np.matmul (х, у)
ток = время.время()
time_taken = toc - тик #время в секундах
print("Время, затрачиваемое ЦП (в мс) = {}".format(time_taken*1000))

Вывод:

На некоторых старых аппаратных системах вы можете получить ошибку памяти, но если вам повезет, это будет работать в течение длительного времени (зависит от вашей системы).

Теперь давайте выполним то же самое умножение на графическом процессоре и посмотрим, как отличается время вычислений между ними.

Использование графического процессора

 #вычисление времени умножения на графическом процессоре
linalg.init()
# хранение массивов на GPU
x_gpu = gpuarray. to_gpu(x)
y_gpu = gpuarray.to_gpu(y)
тик = время.время()
#выполнение умножения
z_gpu = linalg.mdot(x_gpu, y_gpu)
ток = время.время()
time_taken = toc - тик #время в секундах
print("Время, затраченное на GPU (в мс) = {}".format(time_taken*1000))

Вывод:

Как мы видим, выполнение той же операции на GPU дает нам ускорение в 70 раз по сравнению с CPU.
Это все еще было небольшое вычисление. Для крупномасштабных вычислений графические процессоры дают нам ускорение на несколько порядков.

Заключение

В этом уроке мы рассмотрели, как происходит умножение двух матриц, управляющие им правила и как их реализовать в Python.
Мы также рассмотрели различные варианты стандартного умножения матриц (и их реализацию в NumPy), такие как умножение более двух матриц, умножение только на определенный индекс или степень матрицы.

Мы также рассмотрели поэлементные вычисления в матрицах, такие как поэлементное матричное умножение или поэлементное возведение в степень.

X в квадрате чему равен: x в квадрате равно x

alexxlab / 02.07.202308.05.2023 / Разное

2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь
Другие функции:
asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. {2}+2 x-3}
что такое 1/2 х квадрат
Пересечение уклона
Деллисия С.
спросил 18/12/12
решение для y-перехвата?

Подписаться І 3
Подробнее
Отчет
2 ответа от опытных наставников
Лучший Новейшие Самый старый
Автор: Лучшие новыеСамые старые
Грейди К. ответил 18/12/12
Репетитор
Новое в Византе
Молодой, целеустремленный инженер со страстью к физике и математике.
Смотрите таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Чтобы найти точку пересечения уравнения по оси y, нам нужно установить значение x равным 0 и найти значение y. Результирующее значение y — это значение, при котором функция пересекает ось y. 2 равен 0,9.0003
Это был твой вопрос?
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Тамара Дж. ответил 18/12/12
Репетитор
4.9 (51)
Репетиторство по математике — алгебра и исчисление (все уровни)
См. таких репетиторов
Смотрите таких репетиторов
Насколько я понимаю, у вас есть квадратичная функция — ƒ(x) = (1/2)x ²    или y = (1/2)x ² — и вы ищете найдите точку пересечения этой функции с осью y, которая является точкой, в которой функция пересекает ось y (или, другими словами, это точка, в которой x=0).
Чтобы найти точку пересечения y, мы просто подставляем 0 вместо x в уравнение функции и находим y. Это значение для y является точкой пересечения с осью y. то есть
ƒ(x) = (1/2)x ² , x = 0

   = (1/2)(0)
   = 0
Таким образом, поскольку ƒ(0)=0, отрезок y находится в точке (0, 0).
Голосовать за 0 голос против
Подробнее
Отчет
Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.
Задайте вопрос бесплатно
Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.
ИЛИ
Найдите онлайн-репетитора сейчас
Выберите эксперта и встретьтесь онлайн.

Чудесенко сборник заданий по специальным курсам высшей математики решебник: Решения по Чудесенко

alexxlab / 02.07.202330.05.2023 / Разное

Решения по Чудесенко

Контрольная работа
формат image, maple, mathcad, txt
размер 14,95 МБ
добавлен 01 ноября 2015 г.
Приводится подробное решение 19 варианта, включающее решения задач по теории вероятности под номерами: 5-10, 12, 13, 15-17, 19, 20. Фотографии.
Контрольная работа
формат doc
размер 997,42 КБ
добавлен 08 ноября 2011 г.
МЭИ, 2 курс, Высшая математика. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Чудесенко В. Ф. Решение задач из сборника Чудесенко по теории вероятностей, 14 вариант. Задания 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 15, 19, 20.
Контрольная работа
формат pdf
размер 319.05 КБ
добавлен 02 декабря 2010 г.
Решение примеров из задачника Чудесенко номера заданий — 8,13 13,13 8,11 13,11 8,22 13,22 8,12 13,12 8,10 13,10 8,2 13,2 8,15 13,15 8,17 13,17 8,3 13,3 8,4 13,4 8,8 13,8 3,13 3,11 3,22 3,12 3,10 3,2 3,15 3,17 3,3 3,4 3,8 3,5 3,24 8,5 13,5 8,24 13,24
Контрольная работа
формат doc
размер 282,83 КБ
добавлен 24 апреля 2016 г.
Все задачи
Контрольная работа
формат archive, pdf
размер 25. 81 МБ
добавлен 07 апреля 2011 г.
Решенные варианты по задачнику Чудесенко. 3 вариант. 8 вариант. 9 вариант. 10 вариант. 12 вариант. 17 вариант. 18 вариант. 25 вариант.
Контрольная работа
формат archive
размер 25,81 МБ
добавлен 21 мая 2009 г.
Решенные варианты по задачнику Чудесенко. 3 вариант. Решены номера 1-15. 8 вариант. Решены номера 7, 12, 19, 21-23, 25, 30-33. 9 вариант. Все номера решены. 10 вариант. Решены номера 1, 3, 12, 16, 21, 23, 34. 12 вариант. Решены номера 1-16. 17 вариант. Все номера решены. 18 вариант. Решены номера 1, 3, 4, 7-9, 12, 15, 17, 19-21, 27, 33, 34, 36. 25 вариант. Решены номера 1-37.
Контрольная работа
формат image
размер 2,41 МБ
добавлен 24 января 2016 г.
Полностью решены задачи: 16, 18, 20, 21, 22, 25, 27, 28 Отсканированная тетрадь.
Контрольная работа
формат image
размер 16,74 МБ
добавлен 30 апреля 2016 г.
Решены полностью правильно без сомнений! Самостоятельно. Задания 1-4, 8-9, 12-15, 17, 19 (двумя способами), 21, 22. Отсканированная тетрадь. Все очень ясно и понятно. На записи преподавателя можно не обращать внимания.
Контрольная работа
формат pdf
размер 1,01 МБ
добавлен 28 марта 2011 г.
Арзамасский политехнический институт, ст. преподаватель Калиничев Р. А. Специальность 230401.5 «Прикладная математика», 5 семестр. Теория вероятностей. Вариант № 25. Страниц 39, решенные задания с 1 по 37 включительно.
Контрольная работа
формат archive, pdf
размер 47.69 МБ
добавлен 14 февраля 2011 г.
Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление Имя файла соответствует варианту ТР типового расчета Решено 30 вариантов не со всеми примерами.
формат jpg
размер 2.46 МБ
добавлен 12 июля 2011 г.
Решение задач для РГР по предмету Теория вероятностей и Матстатистика по задачнику Чудесенко В.Ф. 17 вариант. для студентов 3 курса.

Правило признаки делимости на 4: Признак делимости на 4, Делимость на 4

alexxlab / 02.07.202318.05.2023 / Разное

§ Признак делимости на 2, 4 и 8

Признаки делимости
на 2, 4 и 8 Признаки делимости
на 3, 6 и 9 Признаки делимости
на 5, 25 и 10 Признак делимости на 11

Чтобы понять делится ли одно число на другое не обязательно проводить сложные вычисления или иметь при себе калькулятор.

Математики придумали специальные правила, который помогут вам узнать делятся ли числа нацело друг на друга. Эти правила называются признаками делимости.

Признак делимости на 2

Запомните!
Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.
Примеры:
52 делится на 2. Последняя цифра 2 делится на 2 нацело 2 : 2 = 1.
300 делится на 2. Последняя цифра 0.
11 не делится на 2. Последняя цифра 1 не делится на 2.
Признак делимости на 4
Запомните!
Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
Примеры:
548 делится на 4. Две последние цифры 48 делятся на 4 нацело (48 : 4 = 12).
600 делится на 4. Две последние цифры нули.
755 не делится на 4. Две последние цифры 55 не делятся на 4.
Признак делимости на 8
Запомните!
Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
Примеры:
1128 делится на 8. Три последние цифры 128 делятся на 8 нацело (128 : 8 = 16).
7000 делится на 8. Три последние цифры нули.
6755 не делится на 4. Три последние цифры 755 не делятся на 4.

Признаки делимости
на 2, 4 и 8 Признаки делимости
на 3, 6 и 9 Признаки делимости
на 5, 25 и 10 Признак делимости на 11
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Отправить
31 мая 2018 в 11:03
Зураб Валиев Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Ребята! У Вас ошибка в статье про признак делимости.
math-prosto.ru/ru/pages/delimost/delimost/
Суммы там должны отличаться не ровно на 11, а число, кратное 11 (в том числе и ноль, кстати говоря :D).
Проблема в том, что по Вашему признаку число 90904 не будет делиться на 11. Не верите? А Вы проверьте! 😉
0 СпасибоОтветить
31 мая 2018 в 14:13
Ответ для Зураб Валиев
Борис Гуров Профиль Благодарили: 1
Сообщений: 27
Здравствуйте, Зураб.
Благодарим за ваше наблюдение. Вы правы, число будет делиться на 11, если разница между суммами цифр на нечетных местах кратно 11.
Случай, когда разница между суммами равна нулю, в уроке описан:
«когда сумма цифр, которые стоят на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных».
Изменения в урок будут внесены в ближайшее время.
0 СпасибоОтветить
8 сентября 2015 в 0:09
Елена Шурыгина Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Спасибо! Приходится «обновлять» знания… Вроде знаю, а пояснить грамотно уже не получается… Спасибо, за «возрождение» моего математического языка.
0 СпасибоОтветить
2 сентября 2016 в 14:58
Ответ для Елена Шурыгина
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
0 СпасибоОтветить
Признак делимости на 4: правила
Оглавление
Время чтения: 5 минут
252
Разберемся как определить, что число может делиться на 4, рассмотрим формулировку признака. Рассмотрим признак делимости на 4, правило и примеры использования признака при вычислении.
Для начала, чтобы узнать делится ли однозначное натуральное число на 4 без остатка, можно разделить его прямым путем на 4. Среди этих чисел только 4 и 8. Так же можно поступить с двузначными числами, трехзначными и т.п. Но по мере увеличения разрядов в числе проводить деление для проверки делимости на 4 становится все сложнее.
Тогда на помощь приходит Признак делимости на 4, с которым более подробно ознакомимся. Его суть заключается в проверке делимости на 4 одной или двух последних цифр многозначного натурального числа.
Рассмотрим, что это значит более подробно. Некоторое значение a может быть поделено на 4 только если одна или две крайние правые цифры в записи числа a могут быть поделены на 4 без остатка. Если же в записи некоторого числа a 2 цифры с правого края не могут быть поделены на 4 без остатка, то и все число a невозможно поделить на 4.
Примеры 1 — 2
Какие из натуральных чисел 484 788, 89 336, 53 869 делятся на 4?
Решение:У числа 484 788 две крайние правые цифры 88 делятся на 4 без остатка, значит и 484 788 может быть поделено на 4 без остатка.
89 336 имеет 2 крайние правые цифры 36, а 36 делится на 4, значит и 89 336 можно поделить на 4.
53 869 имея две крайние цифры 69, не делится на 4, так как 69 не делимо без остатка на 4.
Ответ: числа 484 788 и 89 336 делятся на 4.
В случае если в исходном числе предпоследняя цифра ноль, то необходимо отбросить его из рассмотрения и ориентироваться на последнюю цифру в числе.

Делится ли на 4 натуральные числа 888 709 и 79 508?
Решение: У числа 888 709 две крайние правые цифры 09, поэтому ноль отбрасываем и ориентируемся на цифру 9, которая на 4 не делится.
79 508 имеет две крайние цифры 08, поэтому ноль отбрасываем, рассматриваем только цифру 8, которая на 4 делится без остатка.
Ответ: 888 709 на 4 не делится, а 79 508 может быть поделено на 4.
Если рассматривать числа, в конце записи которых находятся сразу два ноля, то они делятся на 4. Это доказывается тем, что 100 делится без остатка на 4, получается 25. Это утверждение можно доказать с помощью правила умножения числа на сто.
Если а — это произвольное многозначное число, в записи которого справа находятся два ноля.
То есть оно равно а₁*100, где а₁ — это сумма а, если отбросить два ноля, расположенные справа в записи.
Например, 777 800= 7 778*100.
Полученное произведение а₁*100 имеет один из множителей цифру 100, она без остатка может быть поделена на 4, то есть 100:4=25. Это значит, что все произведение а₁*100 можно поделить на 4.
Доказательство и правило делимости на 4
Правило
Правило признака делимости на 4, можно сформулировать таким образом:
Натуральное число может быть разделено без остатка на 4, если:
две правые цифры в числе могут быть поделены на 4;
оканчивается на 00.
Рассмотрим такой момент, придумаем любое натуральное число а и представим его в виде суммы а=а₁*100+а₀, где а₁ — это сумма а, из записи которого откинуты две цифры с правой стороны, а₀ — это 2 цифры с правого края из записи числа а.
Если рассматривать одно или двузначные числа, то в данном случае а=а₀.
Свойства делимости
Вспомним и сформулируем свойства делимости:
При делении модуля числа a на модуль числа b достаточно и необходимо, чтобы само значние a возможно было разделить на b без остатка.
В равенстве a=s+t, при делении всех членов кроме одного на некоторое значение b, доказывает тот факт, что и последний член тоже можно поделить на некоторое значение b.
На основании данных свойств постараемся сформулировать теорему делимости на 4 и докажем ее правоту.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Теорема и доказательства
Доказательство
Поясним доказательство признака делимости на 4 в виде достаточного и необходимого условия делимости на 4.
Сформулируем теорему:
Необходимым и достаточным условием для делимости целого натурального числа а на 4 является факт делимости 2 цифр числа а, расположенных в конце записи, на 4.
Доказательство теоремы:
Предположим, что а равно 0, тогда теорема не нуждается в доказательстве. Для всех остальных натуральных чисел а, будем применять модуль числа а, которое является положительным:
\[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\]
Учитывая тот факт, что произведение a1*100 всегда делится на 4, при этом опираясь на свойства делимости можно сделать вывод о том, что если а делится на 4, то и модуль а можно поделить на 4.
Из равенства \[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\] следует, что а₀ делится на 4. Этим мы доказали необходимость.
Из равенства \[|a|=a_{1} * 100+a_{0}\] можно сделать вывод, что модуль числа а делится на 4, а это означает, что и само а можно поделить на 4. Этим мы докажем достаточность.
Другие случаи делимости на 4
Иногда возникает необходимость проверить делится ли число на 4, если оно представлено в виде некоторого выражения, значение которого сначала надо вычислить. В этом случае необходимо:
Исходное выражение постараемся изменить, чтобы получилось произведение, один из множителей которого будет делиться на 4.
На основании полученных данных и свойств делимости необходимо сделать заключение о делимости всего исходного выражения на 4.
Формула бинома Ньютона поможет в решении таких задач.
Примеры 3 — 5
Необходимо вычислить делится ли на 4 выражение 9ⁿ−12n+7, если n – это некоторое натуральное число?
Решение: Для начала необходимо представить 9 в виде суммы 8+1, далее мы сможем применить формулу бинома Ньютона:
\[\begin{aligned}
&9^{n}-12 n+7=(8+1)^{n}-12 n+7= \\
&\left(C \stackrel{0}{n} * 8^{n}+C \stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C \stackrel{n-2}{n} * 8^{2} * 1^{n-2}+C\stackrel{n-1}{n} * 8 * 1^{n-1}+C \stackrel{n}{n} * 1^{n}\right)-12 n+7= \\
&\left(8^{n}+C \stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C \stackrel{n-2}{n} * 8^{2}+n * 8+1\right)-12 n+7= \\
&8^{n}+C\stackrel{1}{n} * 8^{n-1} * 1+\ldots+C^{n-2} * 8^{2}-4 n+8= \\
&4 *\left(2 * 8^{n-1}+2 * C\stackrel{1}{n} * 8^{n-2}+\ldots+2 * C\stackrel{n-2}{n} * 8^{1}-n+2\right)
\end{aligned}\]
Произведение, которое получилось в результате преобразований, имеет один из множителей 4, а выражение в скобках — это натуральное число. Поэтому можно сделать вывод о том, что это произведение без остатка можно поделить на 4.
Итак, мы сможем утверждать, что исходное выражение 9ⁿ+12n+7 можно поделить на 4, при условии, что n – это любое натуральное значение.
Ответ: исходное выражение может быть поделено на 4 без остатка.
К решению данного выражения можно применить метод математической индукции.
Необходимо доказать, что выражение 9ⁿ+12n−7 можно без остатка поделить на 4, при соблюдении условия, что n – это любое натуральное.
Решение: Предположим, что n=1, тогда мы сможем решить выражение таким образом
9¹+12∗1−7=4, а это означает, что 4 делится на 4 без остатка.
Далее предположим, что n=k, и при этом значении выражение 9ⁿ+12n−7, будет делиться без остатка на 4.
Получаем выражение 9^k+12k−7 и оно без остатка делится на 4.
Далее докажем, что выражение 9ⁿ+12n+7 можно поделить на 4, при условии, что n=k+1, но с учетом того, что выражение 9^k+12k−7 делится на 4.
9^k+1−12(k+1)+7=9∗9^k−12k−5=9∗(9^k−12k+7)+96k−68=9∗(9^k−12k+7)+4∗(24k−17)
В итоге преобразований получаем сумму, где первое слагаемое 9∗(9^k−12k+7) может быть поделено на 4 без остатка, имея ввиду наше предположение о том, что 9^k−12k+7 делится на 4, а второе слагаемое в выражении имеет вид 4∗(24k−17) и содержит множитель 4, исходя из этого можно сделать вывод, что оно тоже делимо на 4. Соответственно и вся исходная сумма может быть поделена на 4.
Ответ: с помощью математической индукции мы доказали, что 9ⁿ−12n+7 можно поделить на 4, если n – это любое натуральное число.
Мы можем использовать еще один вариант для того, чтобы доказать делимость без остатка некоторого выражения на 4. Этот подход предполагает следующее:
докажем, что значение выражения с переменной nможно поделить на 4, если n=4*m, n=4*m+1, n=4*m+2, n=4*m+3, с учетом того, что m – это целое значение;
сделаем вывод о доказательстве делимости выражение на 4, при условии, что n – это целое.
Необходимо доказать, что значение выражения n*(n²+1)*(n+3)*(n²+4) при условии, что n это целое, делится на 4.
Решение: Предположим, что n=4*m, тогда получаем выражение:
4m*((4m)²+1)*(4m+3)*((4m)²+4)=4m*(16m²+1)*(4m+3)*4*(4m²+1)
Произведение, которое получилось в результате преобразований, содержит множитель 4, а все остальные множители – это целые числа, исходя из этого можно утверждать, что все выражение делится на 4.
Предположим, что n=4*m+1, тогда получаем выражение:
(4m+1)*((4m+1)²+1)*(4m+1+3)*((4m+1)²+4)=(4m*1)+((4m+1)²+1)*4(m+1)*((4m+1)²+4)
В полученном произведении есть множитель 4, что свидетельствует о том, что исходное выражение делится на 4.
Если же предположить, что n=4*m+2, то получаем:
(4m+2)*((4m+2)²+1)+(4m+2+3)*((4m+2)²+4)=2*(2m+1)+(16m²+16m+5)*(4m+5)*8*(2m²+2m+1)
В данном произведении получаем один из множителей 8, а 8 делится на 4, значит и все выражение делится на 4.
Рассмотрим вариант, если что n=4*m+3, то получаем следующее выражение:
(4m+3)*((4m+3)²+1)*(4m+3+3)*((4m+3)²+4)=(4m+3)*2*(8m²+12m+5)*2*(2m+3)*(16m²+24m+13)=4*(4m+3)*(8m²+12m+5)*(16m²+24m+13)
Оценить статью (59 оценок):
Поделиться
Делимость
— Есть ли способ определить, делится ли число на 4, если цифра состоит из 2 цифр
спросил 3 года 10 месяцев назад
Изменено 2 года, 2 месяца назад
Просмотрено 2к раз
$\begingroup$
Я пытаюсь помочь своей дочери выучить математику. Она борется с множителями, которая заключается в том, чтобы выяснить, какие числа входят в большее число (деление).
Я уже узнал, что при суммировании чисел, если они составляют 3, оно может делиться на 3. Я также знаю правила для 2, 5, 6, 9 и 10.
Я пытаюсь выяснить, есть ли правило для 4. Я думаю, что нет.
https://www.quora.com/Why-does-the-divisibility-rule-for-the-number-4-work показывает следующее
Правило делимости на 4 в любом большом числе, если разряды десятков и единиц делятся на, то все число делится на 4.
Это не имеет смысла. 56 делится на 4. Однако 2 числа в сумме дают 11, поэтому их нельзя разделить на 4.
На это вполне может быть получен ответ «нет», но есть ли какая-либо закономерность/метод, который я могу использовать для определения того, число делится на 4, если оно меньше 100 (и больше 4)
делимость
образование
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Как понять это правило делимости на $4$: это не говорит к добавить последние две цифры; это просто говорит посмотреть на последние две цифры. Поскольку $4$ делит $100$, число делится на $4$ тогда и только тогда, когда его последние две цифры (десятки и единицы) делятся на $4$. Ответ Роберта Исраэля дает метод определения того, делится ли двузначное число на 4 доллара, и правило гласит, что это практически все, что вам нужно.
Например, если вы хотите узнать, делится ли $2389080349$ на $4$, вам просто нужно определить, делится ли $49$ на $4$. (Это не так.)
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Десятки четные и единицы $0$, $4$ или $8$ (т.е. делятся на $4$) или десятки нечетные и единицы $2$ или $6$ (четные, но не делятся на $4$).
$\endgroup$
$\begingroup$
Признак делимости на $4$ задано любое целое число $n$, учитывая две последние цифры; если это двузначное число делится на $4$, то делится и $n$.
Пример.
Рассмотрим 96. Так как 96$ делится на 4$, то и 196$ делится на
Причина: 196$ = 100 + 96$. Число слева (которое всегда будет иметь место, даже если оно равно $0$) делится на $4$; следовательно, достаточно рассмотреть только число, представленное двумя последними цифрами целого числа $n$.
Наконец, что касается вашего последнего вопроса, предположим, что у вас есть число 8. Описывая $8$ как $08$, тест применим и к однозначным числам.
$\endgroup$
$\begingroup$
Суть в том, что 100 делится на 4. Итак, имеем:
$12345678956 = (123456789)(100) + 56 = (123456789)(25)(4) + (14)(4) = ( (123456789)(25)+14)(4)$$
Следовательно, если первые две цифры делятся на четыре, то и все число делится на четыре. На самом деле остаток при делении на четыре равен остатку при делении только двух последних цифр, потому что 3 цифры и далее имеют нулевой остаток.
$\endgroup$
$\begingroup$
Здесь есть правило делимости числа $4$. Вот оно:
Чтобы выяснить, делится ли число на четыре, вам сначала нужно посмотреть на две последние цифры, и если они делятся на четыре вместе, вы можете предположить, что все число делится на $4$ .
Почему это работает? Что ж, 100 долларов делятся на четыре, любое числовое значение разряда, превышающее разряд сотен, кратно 100 долларам. Например, в числе $2375$ 2$ в тысячном разряде означает $2000$, а 100\умножить на 20=2000$, поэтому $2000$ кратно $100$. Если мы затем добавим две цифры ниже разряда сотен, мы можем сказать, что если все цифры над разрядом единиц и разрядом десятков делятся на четыре, если две оставшиеся цифры также делятся на четыре, это не изменится. что-либо!
Надеюсь, это помогло вам ответить на ваш вопрос.
$\endgroup$
Искусство решения проблем
Эти правила делимости помогают определить, когда положительные целые числа делятся на определенные другие целые числа. Все эти правила применимы только для базы 10 — для других баз есть свои, разные версии этих правил.
Содержание
1 Делимость Видео
2 Основы
2.1 Правило делимости на 2 и степени 2
2. 2 Правило делимости на 3 и 9
2.3 Правило делимости на 5 и степени числа 5
2.4 Правило делимости для 7
2.5 Правило делимости на 10 и степени 10
2.6 Правило делимости для 11
2.7 Общие правила для композитов
2.7.1 Пример
3 Расширенный
3.1 Общее правило для простых чисел
3.2 Правило делимости для 13
3.3 Правило делимости для 17
3.4 Правило делимости для 19
3.5 Правило делимости для 29
3.6 Правило делимости для 49
4 Проблемы
5 ресурсов
5.1 Книги
5.2 Классы
6 См. также
Видео о делимости
https://youtu.be/bIipw2XSMgU
Основы
Правило делимости на 2 и степени 2
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры числа делятся на . Так, в частности, число делится на 2 тогда и только тогда, когда его разряд единиц делится на 2, т. е. если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Доказательство
Правило делимости на 3 и 9
Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или 9 соответственно. Обратите внимание, что это , а не работает для более высоких степеней 3. Например, сумма цифр 1899 делится на 27, но 1899 не делится на 27.
Доказательство
Правило делимости на 5 и степени числа 5
Число делится на тогда и только тогда, когда последние цифры делятся на эту степень числа 5.
Доказательство
Правило делимости для 7
Правило 1: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 7 тогда и только тогда, когда она делится на 7.
Доказательство
Правило 2: Обрежьте последнюю цифру , удвойте эту цифру и вычтите ее из остального числа (или наоборот). делится на 7 тогда и только тогда, когда результат делится на 7.
Доказательство
Правило 3: «Хвостовая делимость». Примечание. Это говорит вам только о том, делится ли оно, а НЕ остаток. Возьмите число, скажем, 12345. Посмотрите на последнюю цифру и добавьте или вычтите число, кратное 7, чтобы получить ноль. В этом случае мы получаем 12380 или 12310 (оба допустимы, я использую первое). Отрежьте конечные 0 и повторите. 1238 — 28 ==> 1210 ==> 121 — 21 ==> 100 ==> 1 НЕТ. Обычно работает с числами, относительно простыми по основанию (и ОТЛИЧНО работает с двоичными числами). Вот тот, который работает. 12348 — 28 ==> 12320 ==> 1232 +28 ==> 1260 ==> 126 + 14 ==> 14 УРА!
Правило делимости на 10 и степени 10
Если число представляет собой степень 10, определите его как степень 10. Показатель степени — это количество нулей, которое должно быть в конце числа, чтобы оно делилось на эта сила 10.
Пример: Число должно иметь 6 нулей в конце, чтобы оно делилось на 1 000 000, потому что .
Правило делимости для 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма переменных цифр делится на 11.
Доказательство
Общее правило для составных чисел
Число делится на , где простая факторизация , если число делится на каждое из .
Пример
Например, мы проверим, делится ли 55682168544 на 36.
Первичная факторизация 36 должна быть . Таким образом, мы должны проверить делимость на 4 и 9, чтобы узнать, делится ли оно на 36.
Поскольку две последние цифры числа, 44, делятся на 4, то и все число делится на 4.
Чтобы проверить делимость на 9, мы смотрим, делится ли сумма цифр на 9. Сумма цифр равна 54, что делится на 9.
Таким образом, число делится и на 4, и на 9 и должно делиться на 36.
Расширенный
Общее правило для простых чисел
Для каждого простого числа, отличного от 2 и 5, существует правило, аналогичное правилу 2 делимости на 7. Для общего простого числа существует такое число, что целое число делится на тогда и только тогда, когда усечение последней цифры, умножение ее на и вычитание из оставшегося числа дает нам результат, кратный . Правило делимости 2 для 7 говорит, что для , . Правило делимости для 11 эквивалентно выбору . Правило делимости на 3 эквивалентно выбору . Эти правила также можно найти при соответствующих условиях в системах счисления, отличных от 10. Также обратите внимание, что эти правила существуют в двух формах: если заменяется, то вычитание может быть заменено сложением. Мы видим один пример этого в правиле делимости для 13: мы могли бы умножить на 9и вычитать, а не умножать на 4 и добавлять.
Правило делимости на 13
Правило 1: Обрежьте последнюю цифру, умножьте ее на 4 и прибавьте к остальной части числа. Результат делится на 13 тогда и только тогда, когда исходное число делилось на 13. Этот процесс можно повторить для больших чисел, как и со вторым правилом делимости для 7.
Доказательство
Правило 2: Разбиение на 3-значные числа справа (). Переменная сумма () делится на 13 тогда и только тогда, когда она делится на 13.
Доказательство
Правило делимости для 17
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 5 и вычтите из оставшегося старшего числа. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Процесс можно повторить для любого числа.
Доказательство
Правило делимости для 19
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 2 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 29
Усеките последнюю цифру, умножьте ее на 3 и прибавьте к оставшемуся старшему числу. Число делится тогда и только тогда, когда делится результат. Это можно повторить и для больших чисел.
Доказательство
Правило делимости для 49
Почему 49? Для извлечения надоедливого из корня.
Полезно до 2300. Округлите до ближайших 50, назовите это, и вычтите исходное число, назовите это. Если , то делится на 49.
Примеры:
49. Округлить: . Разница: . ? Да!
1501. Округлить: . Разница: . ? Нет!
1470. Округлить: .

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y x 2: Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2-4x+4 и y=4-xОбязательно нужен график

alexxlab / 02.07.202330.04.2023 / Разное

2 и y=2x — вопрос №2708990 — Учеба и наука
Ответы

25. 12.17

Михаил Александров

Читать ответы

Андрей Андреевич

Читать ответы

Eleonora Gabrielyan

Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Похожие вопросы
1. 2
Area
Площадь области, ограниченной графиком функции, осью x и двумя вертикальными границами, может быть определена непосредственно путем вычисления определенного интеграла. Если f(x ) ≥ 0 на [ a, b ], то площадь ( A ) области, лежащей ниже графика f(x ), выше оси x , и между строками x = a и x = b

Рисунок 1 Нахождение площади под неотрицательной функцией.
Если f(x ) ≤ 0 на [ a, b ], то площадь ( A ) области, лежащей над графиком f(x ), ниже оси x , а между строками x = a и x = b равно

Рисунок 2 Нахождение площади над отрицательной функцией.
Если f(x ) ≥ 0 на [ a, c ] и f(x ) ≤ 0 на [ c, b ], то площадь ( A ) области, ограниченной графом f(x ), ось x и линии x = a и x = b будут определяться следующими определенными интегралами:
Рисунок 3 Область, ограниченная функцией, знак которой меняется.
Обратите внимание, что в этой ситуации необходимо было бы определить все точки, в которых график f(x ) пересекает ось x и знак f(x ) на каждом соответствующем интервале.
Для некоторых задач, требующих площади областей, ограниченных графиками двух или более функций, необходимо определить положение каждого графика относительно графиков других функций области. Возможно, потребуется найти точки пересечения графиков, чтобы определить пределы интегрирования. Например, если f(x ) ≥ g ( x ) на [ a, b ], затем площадь ( A ) области между графиками f(x ) и g ( x ) и линии x = a и x = b равно
Рисунок 4 Область между двумя функциями.
Обратите внимание, что аналогичное обсуждение может быть проведено для площадей, определяемых графиками функций y , y — ось, а линии y = a и y = b .
Пример 1: Найдите площадь области, ограниченной y = x ² , осью x , x = -2 и x = 3.
Поскольку f(x ) ≥ 0 на [–2,3], площадь ( A ) равна
Пример 2: Найдите площадь области, ограниченной y = x ³ + x ² – 6 x и ось x .
Установив y = 0, чтобы определить, где график пересекает ось x , вы обнаружите, что

Поскольку f ( x ) ≥ 0 на [–3,0] и f ( x ) ≤ 0 на [0,2] (см. рис. 5), площадь ( A ) регион
Рисунок 5 Диаграмма для примера 2.
Пример 3: Найдите площадь, ограниченную y = x ² и y = 8 – x ² .
Поскольку y = x ² и y = 8 – x ², вы находите, что

, следовательно, кривые пересекаются в точках (–2,4) и (2,4). Потому что 8 – x ² ≥ x ^{2 92 + 2x + 4, x ∈ [0, 2]. — Sarthaks eConnect}
← Предыдущий вопрос Следующий вопрос →
спросил 12 декабря 2019 г. в исчислении интегралов к Абхилаша01 (37,7 тыс. баллов)
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной y = √x, x ∈ [0, 1], y = x ² , x ∈ [1, 2] и y = –x ² + 2x + 4, х ∈ [0, 2].
площадь, ограниченная кривыми
джи
электросеть
1 ответ
+1 голос
← Предыдущий вопрос Следующий вопрос →
Похожие вопросы
Площадь, ограниченная кривыми y = √x, 2y + 3 = x и осью x в первом квадранте, равна (a) 9 (b) 27/4 (c) 36 (d) 18
спросил 14 декабря 2019 г. в исчислении интегралов к Джей01 (39,7 тыс. баллов)
площадь, ограниченная кривыми
джи
электросеть
Область, ограниченная кривой y = f(x) и линиями x = 0, y = 0 и x = t, лежит в интервале
спросил 14 декабря 2019 г. в исчислении интегралов к Абхилаша01 (37,7 тыс. баллов) 9х и х = 0 и х = е
спросил 14 декабря 2019 г. в исчислении интегралов к Абхилаша01 (37,7 тыс. баллов)
площадь, ограниченная кривыми
джи
электросеть
Площадь области, ограниченной кривой y = f(x), осью x и линиями x = a и x = b, где – < ∞ < a < b < –2, равна
спросил 14 декабря 2019 г. в исчислении интегралов к Абхилаша01 (37,7 тыс. баллов)
площадь, ограниченная кривыми
джи
электросеть
Площадь области между кривыми y = √((1 + sin x)/cos x) и y = √((1 – sin x)/cos x), ограниченной линиями x = 0 и x = π /4 это
спросил 14 декабря 2019 г. в исчислении интегралов к Абхилаша01 (37,7 тыс. баллов)
площадь, ограниченная кривыми
джи
электросеть
Категории
Все категории
JEE (31,1к)
Физика (8. 6к)
Химия (8,5к)
Математика (12,9к)
Множества, отношения и функции (970)
Комплексное число и квадратные уравнения (389)
Матрицы и определители (113)
Перестановки и комбинации (145)
Математическая индукция (9)
Биномиальная теорема (332)
Последовательности и серии (34)
Предел, непрерывность и дифференцируемость (2,3к)
исчисление интегралов (2,1к)
Дифференциальные уравнения (710)
Координатная геометрия (393)
Трехмерная геометрия (415)
Векторная алгебра (674)
Статистика и вероятность (243)
Тригонометрия (673)
Математические рассуждения (6)
NEET (8.6к)
Наука (761к)
Математика (247к)
Статистика (2,9к)
Наука об окружающей среде (5,2к)
Биотехнология (660)
коммерция (71,7к)
Электроника (3,8к)
Компьютер (19,5к)
Искусственный интеллект (ИИ) (1,4к)
Информационные технологии (14,2к)
Программирование (10,4к)
Политическая наука (8.

Формулы вычитания и сложения: Вычитание чисел — Служба поддержки Майкрософт

alexxlab / 02.07.202322.05.2023 / Разное

Вычитание чисел — Служба поддержки Майкрософт

Excel

Формулы и функции

Формулы

Вычитание чисел

Excel для Microsoft 365 Excel 2021 Excel 2019 Excel 2016 Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Еще…Меньше

Важно: Вычисляемые результаты формул и некоторые функции листа Excel могут несколько отличаться на компьютерах под управлением Windows с архитектурой x86 или x86-64 и компьютерах под управлением Windows RT с архитектурой ARM. Подробнее об этих различиях.

Предположим, вы хотите узнать, сколько складских запасов невыгодно (вычитайте прибыльные позиции из общего запаса). Или, возможно, вам нужно узнать, сколько сотрудников приближаются к возрасту выхода на пенсию (вычесть из общего числа сотрудников количество сотрудников в возрасте до 55 лет).

Что необходимо сделать

Существует несколько способов вычитания чисел, в том числе:

org/ListItem»>
Вычитание чисел в ячейке

Вычитание чисел в диапазоне

Вычитание чисел в ячейке

Для простого вычитания используйте арифметические операторы — (минус).

Например, если ввести в ячейку формулу =10-5, в результате в ячейке отобразится 5.

Вычитание чисел в диапазоне

При добавлении отрицательного числа все равно, что вычитать одно число из другого. С помощью функции СУММ можно складывать отрицательные числа в диапазоне.

Примечание: В Excel не существует функции ВЫЧЕСТЬ. Используйте функцию СУММ, преобразуя все числа, которые необходимо вычесть, в их отрицательные значения. Например, функция СУММ(100,-32,15,-6) возвращает результат 77.

Пример

Чтобы вычесть числа различными способами, выполните указанные здесь действия.

Выберите все строки в приведенной ниже таблице, а затем нажмите клавиши CTRL+C.

Данные

15000

9000

-8000

Формула

=A2-A3

Вычитает 9000 из 15000 (что равно 6000).

-СУММ(A2:A4)

Добавляет все число в списке, включая отрицательные (чистый результат — 16 000).

Выделите на листе ячейку A1 и нажмите клавиши CTRL+V.

Чтобы переключиться между просмотром результатов и просмотром формул, нажмите клавиши CTRL+’ (ударение) на клавиатуре. Можно также нажать кнопку Показать формулы (на вкладке Формулы).

Использование функции СУММ

Функция СУММ суммирует все числа, которые вы указали в качестве аргументов. Каждый аргумент может быть диапазон, ссылка на ячейку, массив, константа или формулалибо результатом выполнения другой функции. Например, СУММ(A1:A5) суммирует все числа в диапазоне ячеек A1–A5. Другим примером является сумм(A1, A3, A5), которая суммирует числа, содержащиеся в ячейках A1, A3 и A5 (аргументы — A1, A3 и A5).

Сложение, вычитание, умножение и деление в Excel
Редактор таблиц Microsoft Excel имеет очень широкий набор возможностей для решения задач самой разной сложности в различных сферах деятельности. Именно благодаря этому Эксель стал таким популярным среди пользователей по всему миру. Одним из базовых навыков работы с программой является проведение простейших вычислений и математических операций. В этой статье подробно разберём, как выполнять сложение, вычитание, умножение и деление в Excel. Давайте же начнём! Поехали!
Математические операции выполняются без использования калькулятора
Все расчёты в Экселе основаны на построении простых формул, с помощью которых программа и будет производить вычисления. Для начала необходимо создать таблицу со значениями. Обратите внимание на то, что каждая ячейка таблицы имеет свой адрес, который определяется буквой и цифрой. Каждая буква соответствует столбцу, а каждая цифра — строке.
Начнём с самых простых операций — сложения и вычитания. Для сложения чисел можно использовать, так называемую функцию «Автосумма». Ей удобно пользоваться в случаях, когда необходимо посчитать сумму чисел, которые стоят подряд в одной строке, столбце либо в выделенной вами области. Чтобы воспользоваться этим инструментом, перейдите во вкладку «Формулы». Там вы обнаружите кнопку «Автосумма». Выделив участок таблицы со значениями, которые нужно сложить, кликните по кнопке «Автосумма». После этого появится отдельная ячейка, содержащая результат вычисления. Это был первый подход.
Второй подход заключается в том, что формула для расчёта вводится вручную. Допустим, перед вами стоит задача вычислить сумму чисел, разбросанных по таблице. Для этого сделайте активной (кликните по ней левой кнопкой мыши) ячейку, в которую желаете поместить результат вычисления. Затем поставьте знак «=» и по очереди вводите адрес каждой ячейки, содержимое которой нужно просуммировать, не забывая ставить знак «+» между ними. К примеру, у вас должно получиться: «=A1+B7+C2+B3+E5». После того как будет введён адрес последней ячейки, нажмите на клавиатуре «Enter» и вы получите сумму всех отмеченных чисел. Необязательно вводить каждый адрес вручную. Достаточно кликнуть по определённой ячейке и в поле для формул сразу отобразится её адрес, ставьте после него «+» и переходите к следующей.
Существует ещё один подход — использование функции «Специальная вставка». Этот способ удобен тем, что позволяет суммировать данные из нескольких отдельных таблиц, при условии, что все их графы одинаковые. Для начала создайте сводную таблицу, в которую вы будете вставлять скопированные данные. Выделите числа одной таблицы и вставьте их в сводную, далее поступите так же со значениями второй таблицы, только в этот раз кликните по ячейке правой кнопкой мыши и выберите пункт «Специальная вставка». В открывшемся окне в разделе «Вставить» отметьте «Значения», а в разделе «Операция» выберите сложить. В результате все данные просуммируются.
Вычитание в Excel выполняется таким же способом, как и сложение. Вам понадобится ввести формулу, указав необходимые ячейки, только вместо знака «+» между адресами ставится «–».
Чтобы умножить числа в Экселе, напишите формулу, отмечая нужные данные и ставя между ними знак «*». Формула будет иметь следующий вид: «=A3*A7*B2».
Деление производится аналогичным образом, только используется знак «/». Также вы можете выполнять несколько арифметический операций сразу. Формулы строятся по математическим правилам. Например: «=(B2-B4)*E8/(A1+D1)*D4». Построенная вами формула может быть любой сложности, главное, не забывать основные математические правила, чтобы расчёт был выполнен верно.
Владея навыками простых арифметических вычислений в программе Microsoft Excel, вы уже сможете упростить себе процесс решения некоторых задач и сэкономить время. Эксель позволяет решать сложные уравнения, выполнять инженерный и статистический анализ. Постепенно овладевая базовыми функциями и инструментами программы, вы научитесь выполнять всё больше операций в редакторе Excel. Пишите в комментариях помогла ли вам статья разобраться с возникшими вопросами и делитесь своим опытом с другими пользователями.
7.2: Идентичности сложения и вычитания
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
13871
Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен
The OpenTextBookStore
Раздел 7.2 Тождества сложения и вычитания
В этом разделе мы начинаем расширять наш репертуар тригонометрических тождеств.
Тождества суммы и разности
\[\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )\]
\[\cos (\alpha +\beta)=\cos (\alpha)\cos (\beta)-\sin (\alpha)\sin (\beta)\]
\[\sin (\alpha +\ бета)=\sin (\alpha)\cos (\beta)+\cos (\alpha)\sin (\beta)\]
\[\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )\]
Докажем тождество разности углов для косинуса. Остальные тождества могут быть получены из этого.
Доказательство тождества разности углов для косинуса
Рассмотрим две точки на единичной окружности:
$P$ под углом $\alpha$ от положительной оси $x$ с координаты $\left(\cos (\alpha ),\sin (\alpha )\right)$ и $Q$ под углом $\beta$ с координатами $\left(\cos (\beta),\sin (\beta)\right)$.
Обратите внимание, что мера угла $POQ$ равна $\alpha$ – $\beta$. Обозначьте еще две точки:
$C$ под углом $\alpha$ – $\beta$, с координатами $\left(\cos (\alpha -\beta ),\sin ( \alpha -\beta )\right)$,
$D$ в точке (1, 0).
Обратите внимание, что расстояние от $C$ до $D$ такое же, как расстояние от $P$ до $Q$, потому что треугольник $COD$ является вращением треугольника $ ПОК$.
Использование формулы расстояния для нахождения расстояния от $P$ до $Q$ дает 9{2} (\alpha -\beta )}\nonumber\]
Применение тождества Пифагора и упрощение
\[\sqrt{-2\cos (\alpha -\beta )+2}\nonumber\]
Поскольку два расстояния одинаковы, мы устанавливаем эти две формулы равными друг другу и упрощаем
\[\sqrt{2-2\cos (\alpha)\cos (\beta)-2\sin (\alpha)\sin (\beta)} =\sqrt{-2\cos (\alpha -\beta)+2}\nonumber\]
\[2-2\cos (\alpha)\cos (\beta)-2\sin ( \alpha )\sin (\beta )=-2\cos (\alpha -\beta )+2\nonumber\]
\[\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\ sin (\beta)=\cos (\alpha -\beta)\nonumber\]
Это позволяет установить личность.
Упражнение $\PageIndex{1}$
Записав $\cos (\alpha +\beta )$ как $\cos \left(\alpha -\left(-\beta \right)\ справа)$, тождество суммы углов для косинуса следует из доказанного выше тождества разности углов.
Ответить
\[\ begin {array}{l} {\ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos (\ alpha — (- \ beta))} \\ {\ cos (\ alpha) \ cos (- \ beta ) + \ грех (\ альфа) \ грех (- \ бета)} \\ {\ соз (\ альфа) \ соз (\ бета) + \ грех (\ альфа) (- \ грех (\ бета))} \\ {\ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) — \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta)} \ end {array} \ nonumber \] 9\circ )\nonumber\] Вычислить
\[=\dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} -\dfrac{1}{2} \cdot \ dfrac{\sqrt{2} }{2}\nonumber\] Просто
\[=\dfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}\nonumber\]
Упражнение $\PageIndex{ 2}$
Найдите точное значение $\sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right)$.
Ответить
\[\ sin \left(\dfrac{\pi }{12} \right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\dfrac{\pi }{4} \right)=\ sin \left(\dfrac{\pi} {3} \right)\cos \left(\dfrac{\pi} {4} \right)-\cos \left(\dfrac{\pi} {3} \right )\sin\left(\dfrac{\pi }{4} \right)\nonumber\]
\[=\dfrac{\sqrt{3} }{2} \dfrac{\sqrt{2} }{2} -\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2}} {2}\ четырехъядерный \dfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}\номер\]
Пример $\PageIndex{2}$
Переписать $\sin \left(x-\dfrac{\pi }{4} \right)$ через sin($x$) и потому что (\ (х \)).
Решение
\[\sin \left(x-\dfrac{\pi }{4} \right)\nonumber\]Использовать тождество разности углов для синуса
\[=\sin \left(x \right)\cos \left(\dfrac{\pi} {4} \right)-\cos \left(x\right)\sin \left(\dfrac{\pi} }{4} \right)\nonumber\ ] Оцените косинус и синус и переставьте
\[=\dfrac{\sqrt{2}} {2} \sin\left(x\right)-\dfrac{\sqrt{2}} {2} \cos \left(x\right)\nonumber\ ]
Кроме того, эти тождества можно использовать для упрощения выражений или доказательства новых тождеств.
Пример $\PageIndex{3}$
Докажите )} = \ dfrac {\ tan (a) + \ tan (b)} {\ tan (a) — \ tan (b)} \).
Решение
Как и с любой личностью, нам нужно сначала решить, с какой стороны начать. Поскольку левая часть включает сумму и разность углов, мы могли бы начать с нее.0034
\[\dfrac{\sin (a+b)}{\sin (a-b)}\nonumber\] Применить сумму и разность тождеств углов
\[=\dfrac{\sin (a)\cos (b )+\cos (a)\sin (b)}{\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)}\nonumber\]
Поскольку сразу не очевидно, как продолжайте, мы могли бы начать с другой стороны и посмотреть, будет ли путь более очевидным.
\[\dfrac{\tan (a)+\tan (b)}{\tan (a)-\tan (b)}\nonumber\] Переписывание касательных с использованием тождества касательных
\[=\dfrac{ \ dfrac {\ sin (a)} {\ cos (a)} + \ dfrac {\ sin (b)} {\ cos (b)}} {\ dfrac {\ sin (a)} {\ cos (a) } -\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} }\nonumber\]Умножение вершины и низа на cos($a$)cos($b$)
\[=\dfrac{\left(\dfrac{\sin (a)}{\cos (a)} +\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} \right)\cos (a )\cos (b)}{\left(\dfrac{\sin (a)}{\cos (a)} -\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} \right)\cos ( a)\cos (b)}\nonumber\]Распределение и упрощение
\[=\dfrac{\sin (a)\cos (b)+\sin (b)\cos (a)}{\sin (a) \cos (b)-\sin (b)\cos (a)}\nonumber\]Из приведенного выше мы узнаем это
\[=\dfrac{\sin (a+b)}{\sin (ab)}\ nonumber\]Установление тождества
Эти тождества также можно использовать для решения уравнений.
Пример $\PageIndex{4}$
Решить $\sin (x)\sin (2x)+\cos (x)\cos (2x)=\dfrac{\sqrt{3}} {2} $.
Решение
Признав левую часть уравнения результатом тождества разности углов для косинуса, мы можем упростить уравнение
\[\sin (x)\sin (2x)+\cos ( x)\cos (2x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]Применить разность углов тождества
\[\cos (x-2x)=\dfrac{\sqrt{3} } {2}\nonumber\]
\[\cos (-x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]Используйте тождество отрицательного угла
\[\cos (x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]
Поскольку это особое значение косинуса, которое мы узнаем из единичного круга, мы можем быстро записать ответы:
\[\begin{array}{l} {x=\dfrac{\pi }{6} +2\pi k} \\ {x=\dfrac{11\pi }{6} +2\pi k} \ end{array}\nonumber\], где $k$ — целое число
Объединение волн одинакового периода
Синусоидальная функция вида $f(x)=A\sin (Bx+C)$ можно переписать, используя тождество суммы углов.
Пример $\PageIndex{5}$
Перепишите $f(x)=4\sin\left(3x+\dfrac{\pi }{3}\right)$ как сумму синуса и косинуса.
Решение
\[4\sin \left(3x+\dfrac{\pi }{3} \right)\nonumber\]Использование суммы углов тождества
\[=4\left(\sin \left (3x\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos\left(3x\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\ right)\nonumber\]Вычисление синуса и косинуса
\[=4\left(\sin \left(3x\right)\cdot \dfrac{1}{2} +\cos \left(3x\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)\nonumber\]Распределите и упростите
\[=2\sin \left(3x\right)+2\sqrt{3} \cos \left(3x\right)\nonumber\]
Обратите внимание, что результат представляет собой удлинение синуса, добавленное к другому растяжение косинуса, но оба имеют одинаковое горизонтальное сжатие, что приводит к одному и тому же периоду.
Теперь мы можем спросить, можно ли обратить этот процесс вспять – может ли комбинация синуса и косинуса одного периода быть записана как одна синусоидальная функция? Чтобы изучить это, мы рассмотрим в целом процедуру, использованную в приведенном выше примере.
\[f(x)=A\sin (Bx+C)\nonumber\]Использовать тождество суммы углов
\[=A\left(\sin (Bx)\cos (C)+\cos (Bx )\sin (C)\right)\nonumber\]Распределите $A$
\[=A\sin (Bx)\cos (C)+A\cos (Bx)\sin (C)\nonumber\ ] Немного переставьте термины
\[=A\cos (C)\sin (Bx)+A\sin (C)\cos (Bx)\nonumber\]
На основе этого результата, если у нас есть выражение форму $m\sin (Bx)+n\cos (Bx)$, мы могли бы переписать ее как единую синусоидальную функцию, если бы мы могли найти значения A и C 9{2}\quad \cos (C)=\dfrac{m}{A}\text{ и }\sin (C)=\dfrac{n}{A}\]
Вы можете использовать любой из двух последних уравнения для возможных значений C . Поскольку обычно будет два возможных решения, нам нужно будет рассмотреть оба, чтобы определить, в каком квадранте находится C , и определить, какое решение для C удовлетворяет обоим уравнениям.
Пример $\PageIndex{6}$
Перепишите $4\sqrt{3} \sin (2x)-4\cos (2x)$ как одну синусоидальную функцию. 9{2} =16\cdot 3+16=64\), поэтому $A = 8$.
Решение для $C$,
\[\cos (C)=\dfrac{4\sqrt{3} }{8} =\dfrac{\sqrt{3} }{2}\text{ так }C=\dfrac{\pi }{6}\text{ или }C=\dfrac{11\pi }{6}\nonumber\]
Однако обратите внимание $\sin (C)=\dfrac{- 4}{8} =-\dfrac{1}{2}$. Синус отрицательный в третьем и четвертом квадранте, поэтому угол, который работает для обоих, равен $C=\dfrac{11\pi }{6}$.
Объединение этих результатов дает нам выражение
\[8\sin \left(2x+\dfrac{11\pi }{6} \right)\nonumber\] 9{2} =36\quad A=6\nonnumber\]
\[\cos (C)=\dfrac{-3\sqrt{2} }{6} =\dfrac{-\sqrt{2} }{2 } \ quad \ sin (C) = \ dfrac {3 \ sqrt {2}} {6} = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ quad C = \ dfrac {3 \ pi} {4} \ нечисло\]
\[6\sin \left(5x+\dfrac{3\pi }{4} \right)\нечисло\]
Преобразование комбинации синуса и косинуса с равными периодами в виде одной синусоидальной функции обеспечивает подход к решению некоторых уравнений.
Пример $\PageIndex{7}$
Решите $3\sin (2x)+4\cos (2x)=1$, чтобы найти два положительных решения. 9{-1} \left(\dfrac{3}{5} \right)\приблизительно 0,927\text{ или }C=2\pi -0,927=5,356\nonnumber\]
Так как $\sin (C)= \dfrac{4}{5}$, положительное значение, нам нужен угол в первом квадранте, $C = 0,927$.
Используя это, наше уравнение принимает вид
\[5\sin \left(2x+0,927\right)=1\nonnumber\] Разделить на 5
\[\sin \left(2x+0,927\right)=\dfrac {1}{5}\nonumber\] Сделайте замену $u = 2x + 0,927$
\[\sin \left(u\right)=\dfrac{1}{5}\nonumber\] Обратное дает первое решение 9{-1} \left(\dfrac{1}{5} \right)\приблизительно 0,201\nonumber\] По симметрии второе решение равно
\[u=\pi -0,201=2,940\nonumber\] Третье решение будет
\[u=2\pi +0.201=6.485\nonnumber\]
Отменив подстановку, мы можем найти два положительных решения для $x$.
\[\begin{array}{ccccc}{2x+0,927=0,201}&{\text{или}}&{2x+0,927=2,940}&{\text{или}}&{2x+0,927=6,485 }\\{2x=-0,726}&{}&{2x=2,013}&{}&{2x=5,558}\\{x=-0,363}&{}&{x=1,007}&{}&{x =2,779}\end{array}\nonumber\]
Поскольку первое из них отрицательное, мы исключаем его и сохраняем два положительных решения, $x=1,007$ и $x=2,779$.
Тождества произведения на сумму и суммы на произведение
Тождества произведения на сумму
\[\begin{array}{l} {\sin (\alpha )\cos (\beta ) = \ dfrac {1} {2} \ влево (\ грех (\ альфа + \ бета) + \ грех (\ альфа — \ бета) \ вправо)} \\ {\ грех (\ альфа) \ грех (\ бета ) = \ dfrac {1} {2} \ влево (\ соз (\ альфа — \ бета) — \ соз (\ альфа + \ бета) \ справа)} \\ {\ соз (\ альфа) \ соз (\ бета )=\dfrac{1}{2} \left(\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right)} \end{array}\]
Докажем первое из них, используя тождества суммы и разности углов из начала раздела. Доказательства двух других тождеств аналогичны и оставлены в качестве упражнения.
Доказательство идентичности произведения на сумму для sin($\alpha$)cos($\beta$)
Вспомнить тождества суммы и разности углов из предыдущих
\[\sin (\alpha +\beta)=\sin (\alpha)\cos (\beta)+\cos (\alpha)\sin (\beta)\nonumber\]
\[\sin (\alpha -\beta)= \sin (\alpha)\cos (\beta)-\cos (\alpha)\sin (\beta)\nonumber\]
Складывая эти два уравнения, мы получаем
\[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin (\alpha )\cos (\beta )\nonumber\]
Разделив на 2, получаем тождество
\[\sin (\alpha )\cos (\beta )=\dfrac{1}{2} \left(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right)\nonumber\]
Пример $\PageIndex{8}$
Запишите $\sin (2t)\sin (4t)$ в виде суммы или разности.
Решение
Использование тождества произведения синусов
\[\sin (2t)\sin (4t)=\dfrac{1}{2} \left(\cos (2t-4t)-\cos (2t+4t)\right)\nonumber\]
\ [=\dfrac{1}{2} \left(\cos (-2t)-\cos (6t)\right)\nonumber\]При желании примените тождество отрицательного угла
\[=\dfrac{1}{ 2} \left(\cos (2t)-\cos (6t)\right)\nonumber\]Распределить
\[=\dfrac{1}{2} \cos (2t)-\dfrac{1}{2} \cos (6t)\nonumber\]
Упражнение $\PageIndex{4}$
Вычислить $\cos \left(\dfrac{11\pi }{12} \right)\cos \left(\ dfrac{\pi }{12} \right)$.
Ответить
\[\cos \left(\dfrac{11\pi }{12} \right)\cos \left(\dfrac{\pi }{12} \right)=\dfrac{1}{2} \left( \cos \left(\dfrac{11\pi} }{12} +\dfrac{\pi }{12} \right)+\cos \left(\dfrac{11\pi} }{12} -\dfrac{\pi }{12} \right)\right)\nonumber\]
\[=\dfrac{1}{2} \left(\cos \left(\pi \right)+\cos \left(\dfrac{5\) pi }{6} \right)\right)=\dfrac{1}{2} \left(-1-\dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)\nonumber\]
\[=\ dfrac{-2-\sqrt{3} }{4}\номер\]
Тождества суммы и произведения
\[\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)=2\sin \left(\dfrac{u+v}{2} \ right)\cos\left(\dfrac{u-v}{2} \right)\]
\[\sin\left(u\right)-\sin\left(v\right)=2\sin\left(\ dfrac{u-v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\]
\[\cos \left(u\right)+\cos \left(v\ справа) = 2\cos \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)\]
\[\cos \left(u\ вправо)-\cos\влево(v\вправо)=-2\sin\влево(\dfrac{u+v}{2}\вправо)\sin\влево(\dfrac{u-v}{2}\вправо)\ ]
Мы снова докажем одно из них, а остальное оставим в качестве упражнения.
Доказательство идентичности суммы и произведения для функции синуса
Мы определяем две новые переменные:
\[\begin{array}{l} {u=\alpha +\beta } \\ {v= \alpha -\beta } \end{array}\nonumber\]
Сложение этих уравнений дает $u+v=2\alpha$, что дает $\alpha =\dfrac{u+v}{2}\ )
Вычитание уравнений дает \(u-v=2\beta$ или $\beta =\dfrac{u-v}{2}$
Подстановка этих выражений в тождество произведения на сумму
\[\sin (\alpha)\cos (\beta)=\dfrac{1}{2} \left(\sin (\alpha +\beta)+\sin (\alpha -\beta)\right) \nonumber\] дает
\[\sin \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)=\dfrac{1}{ 2} \left(\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)\right)\nonumber\]Умножить на 2 с обеих сторон
\[2\sin \left(\dfrac{ u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)=\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)\nonumber\] Установление личности
Упражнение $\PageIndex{5}$
Обратите внимание, что при использовании тождества отрицательного угла $\sin \left(u\right)-\sin \left(v\right)=\sin (u)+\sin (-v)$. Используйте это вместе с идентичностью суммы синусов, чтобы доказать идентичность суммы и произведения для $\sin\left(u\right)-\sin\left(v\right)$.
Ответить
\[\sin (u)-\sin (v)\nonumber\]Использовать тождество отрицательного угла для синуса
\[\sin (u) + \sin (-v)\nonumber\]Использовать тождество суммы к произведению для синуса
\[2\text{sin} (\dfrac{u + (-v)}{2}) \text{cos} (\dfrac{u — (-v)}{2})\nonumber\] Удалить скобки 9\circ \right)\nonumber\]Вычислить
\[=-2\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} \cdot \dfrac{-1}{2} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}\nonumber\]
Пример $\PageIndex{10}$
Докажите тождество $\dfrac{\cos (4t)-\cos (2t)}{\sin (4t)+\ sin (2t)} =-\tan (t)$.
Решение
Поскольку левая часть кажется более сложной, мы можем начать с нее и упростить.
\[\dfrac{\cos (4t)-\cos (2t)}{\sin (4t)+\sin (2t)}\nonumber\]Используйте тождества суммы-произведения
\[=\dfrac {-2\sin\left(\dfrac{4t+2t}{2}\right)\sin\left(\dfrac{4t-2t}{2}\right)}{2\sin\left(\dfrac{ 4t+2t}{2} \right)\cos \left(\dfrac{4t-2t}{2} \right)}\nonumber\]Упростить
\[=\dfrac{-2\sin\left(3t\right)\sin\left(t\right)}{2\sin\left(3t\right)\cos\left(t\right)}\ nonumber\]Упростить еще
\[=\dfrac{-\sin \left(t\right)}{\cos \left(t\right)}\nonumber\]Переписать как касательную
\[=-\tan ( t)\nonumber\]Установление идентичности
Пример $\PageIndex{11}$
Решить $\sin \left(\pi {\kern 1pt} t\right)+\sin \left(3\ pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)$ для всех решений с $0\le t<2$.
Решение
В таком уравнении не сразу понятно, как действовать. Одним из вариантов было бы объединить две синусоидальные функции в левой части уравнения. Другим было бы переместить косинус в левую часть уравнения и объединить его с одним из синусов. Без особой веской причины мы начнем с объединения синусов в левой части уравнения и посмотрим, как все получится.
\[\sin \left(\pi {\kern 1pt} t\right)+\sin \left(3\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t )\nonumber\]Применить сумму к идентификатору продукта слева
\[2\sin \left(\dfrac{\pi {\kern 1pt} t+3\pi {\kern 1pt} t}{2} \right)\cos \left(\dfrac{\pi {\kern 1pt} t-3\pi {\kern 1pt} t}{2} \right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber\]Упростить
\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(-\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber\] Применить тождество отрицательного угла
\ [2\sin\left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber \] Измените уравнение так, чтобы оно равнялось 0 с одной стороны
\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)-\ cos (\pi {\kern 1pt} t)=0\nonumber\]Вычтем косинус
\[\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)\left(2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1\right)=0\nonnumber\ ]
Используя теорему о нулевом произведении, мы знаем, что по крайней мере один из двух множителей должен быть равен нулю. Первый фактор, $\cos\left(\pi {\kern 1pt} t\right)$, имеет период $P=\dfrac{2\pi}{\pi} =2$, поэтому решение интервал $0\le t<2$ представляет собой один полный цикл этой функции.
\[\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)=0\nonnumber\]Подстановка $u=\pi {\kern 1pt} t$
\[\cos \left(u\right)=0\nonumber\]За один цикл это имеет решения
\[u=\dfrac{\pi }{2}\text{ или }u=\dfrac{3 \pi }{2}\nonumber\]Отмените замену
\[\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{\pi} {2}\text{, так что }t=\dfrac{1}{2} \nonumber\]
\[\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{3\pi}{2}\text{, поэтому }t=\dfrac{3}{2}\nonumber\]
Второй фактор, $2\sin\left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1$, имеет период $P=\dfrac{2\pi}{2\pi} =1$ , поэтому интервал решения $0\le t<2$ содержит два полных цикла этой функции.
\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1=0\nonnumber\] Изолировать синус
\[\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t \right)=\dfrac{1}{2}\nonumber\] Замените $u=2\pi {\kern 1pt} t$
\[\sin (u)=\dfrac{1}{2}\ nonumber\] На одном цикле это имеет решения
\[u=\dfrac{\pi }{6}\text{или}u=\dfrac{5\pi}{6}\nonumber\] На втором цикле решения:
\[u=2\pi +\dfrac{\pi }{6} =\dfrac{13\pi }{6}\text{или}u=2\pi +\dfrac{5\pi} {6} =\dfrac{17\pi }{6}\nonumber\] Отменить замену
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{\pi} {6}\text{, поэтому} t=\dfrac{1}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\ kern 1pt} t=\dfrac{5\pi }{6}\text{, поэтому }t=\dfrac{5}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac {13\pi} {6}\text{, поэтому} t=\dfrac{13}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{17\pi} {6 }\text{, поэтому }t=\dfrac{17}{12}\nonumber\]
Всего мы нашли шесть решений для $0\le t<2$, что можно подтвердить, посмотрев на график .
\[t=\dfrac{1}{12},\dfrac{5}{12},\dfrac{1}{2},\dfrac{13}{12},\dfrac{3}{2} ,\dfrac{17}{12}\номер\]
Важные темы этого раздела
Тождества суммы и разности
Объединение волн равных периодов
Тождества произведение-сумма
Тождества суммы и произведения
Завершение корректуры
Эта страница под названием 7.2: Сложение и вычитание идентификаторов распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Липпманом и Мелони Расмуссен (The OpenTextBookStore) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Дэвид Липпман и Мелони Расмуссен
Лицензия
СС BY-SA
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет
Теги
источник@http://www. opentextbookstore.com/details.php?id=30
Доказательство формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций: CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.9- Common Core: High School
All Common Core: High School — Functions Resources
6 диагностических тестов 82 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Common Core: High School — Помощь по функциям » Тригонометрические функции » Докажите формулу сложения и вычитания для тригонометрических функций: CCSS.Math.Content.HSF-TF.C.9
Используя формулу сложения для вычисления синуса и специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.MATH. СОДЕРЖАНИЕ.HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для синуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для синуса.
Чтобы рационализировать знаменатель, умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень из двух.

Сообщить об ошибке
Используя формулу сложения для вычисления синуса и специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.MATH. СОДЕРЖАНИЕ.HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для синуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для синуса.
Сообщить об ошибке
Используя формулу сложения для вычисления синуса и специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.MATH. СОДЕРЖАНИЕ.HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для синуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для синуса.
Сообщить об ошибке
Используя формулу сложения для синуса и вычисления специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.MATH. СОДЕРЖАНИЕ.HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для синуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для синуса.
Сообщить об ошибке
Используя формулу сложения для вычисления синуса и специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS. MATH. СОДЕРЖАНИЕ.HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для синуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для синуса.
Сообщить об ошибке
Используя формулу вычитания для синуса и вычисления специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.MATH. СОДЕРЖАНИЕ.HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для синуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для синуса.
Теперь, чтобы рационализировать знаменатель, умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень из двух.
Сообщить об ошибке
Используя формулу вычитания для косинуса и вычисления специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.MATH. СОДЕРЖАНИЕ.HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для косинуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для косинуса.
Чтобы рационализировать знаменатель, умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень из двух.
Сообщить об ошибке
Используя формулу сложения для косинуса и вычисления специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.MATH. СОДЕРЖАНИЕ.HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для косинуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для косинуса.
Чтобы рационализировать знаменатель, умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень из двух.

Сообщить об ошибке
Используя формулу сложения для косинуса и вычисления специальных опорных углов,
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.MATH. СОДЕРЖАНИЕ. HSF.TF.C).
Зная стандарт и концепцию, к которой он относится, теперь мы можем выполнить пошаговый процесс решения рассматриваемой проблемы.
Шаг 1: Разбейте угол на два угла, которые соответствуют специальным опорным углам.
Шаг 2: Напишите общую формулу сложения для косинуса.
Шаг 3: Подставьте опорные углы в общую формулу сложения для косинуса.
Сообщить об ошибке
Используя формулу сложения для косинуса и вычисления специальных опорных углов,
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Этот тип вопросов проверяет глубокое понимание геометрии, прямоугольных треугольников, тригонометрии и работы с доказательствами. Такие вопросы не предназначены для проверки, а вместо этого используются для получения знаний, которые помогут в курсах математики более высокого уровня.
В соответствии с Общими базовыми стандартами «доказать формулы сложения и вычитания для синуса, косинуса и тангенса и использовать их для решения задач» относится к кластеру C «доказать и применить тригонометрические тождества» (CCSS.

Корень из x корень из y в квадрате: Найдите область определения функции: y=корень из x в квадрате -x-12 2) y=x+7/4-5x

alexxlab / 02.07.202309.05.2023 / Разное

01Математика — 9 класс. Алгебра — Построение графика корня $\small y=k\sqrt{x}, k>0$

Заполним таблицу значений функции $\displaystyle y=2\sqrt{x}{\small :}$

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 6$
$\displaystyle y=2\sqrt{x}$	$\displaystyle 2\sqrt{0}$	$\displaystyle 2\sqrt{1}$	$\displaystyle 2\sqrt{2}$	$\displaystyle 2\sqrt{3}$	$\displaystyle 2\sqrt{4}$	$\displaystyle 2\sqrt{5}$	$\displaystyle 2\sqrt{6}$

Вычислим значения $\displaystyle y{\small .} $

Поскольку $\displaystyle 2\sqrt{0}=0{ \small ,}\,2\sqrt{1}=2$ и $\displaystyle 2\sqrt{4}=4{ \small ,} $ то нужно лишь приближенно вычислить значения

$\displaystyle 2\sqrt{2}{ \small ,}\, 2\sqrt{3}{ \small ,}\,2\sqrt{5} $ и $\displaystyle 2\sqrt{6}{\small . 2+\color{blue}{ 1}} \approx \color{green}{ 1}+\frac{\color{blue}{ 1}}{2\cdot \color{green}{ 1}}=1{,}5{\small .}$

Значит,

$\displaystyle 2\sqrt{ 2}\approx 2\cdot 1{,}5=3{\small .}$

Таким образом, $\displaystyle 2\sqrt{2}\approx 3{\small .} $

$\displaystyle 2\sqrt{3} $ равно примерно $\displaystyle 3{,}5$

$\displaystyle 2\sqrt{5} $ равно примерно $\displaystyle 4{,}5$

$\displaystyle 2\sqrt{6} $ равно примерно $\displaystyle 5$

Заполним таблицу значений функции:

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 6$
$\displaystyle y=2\sqrt{x}$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 3{,}5$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle 4{,}5$	$\displaystyle 5$

Построим точки на плоскости:

Построим примерный график функции $\displaystyle y=2\sqrt{x}$ по полученным точкам, добавляя еще точки, если это необходимо:

Вычисление целочисленного квадратного корня / Хабр

paluke
000Z» title=»2019-09-30, 20:16″>30 сен 2019 в 20:16
Время на прочтение 2 мин
Количество просмотров
12K
Математика *
Возникла нужда проверить, является ли целое число квадратом, и если да, то вычислить корень. Причем хочется сделать это в целочисленной арифметике. Понятно, что можно реализовать метод Ньютона в целых числах, но он требует деления на каждом шаге. А нельзя ли по другому? Найти квадратный корень по модулю степени двойки, и проверить, а не будет ли он обычным квадратным корнем.

Можно ограничиться нечетными числами: для четного числа, если количество нулевых младших разрядов нечетно, то корня нет, а если четно, то можно сдвинуть число вправо, посчитать корень от нечетного, и сдвинуть обратно влево на половину от первоначального количества нулевых бит.
Для нечетного N и 2^k, k > 3, если N ≡ 1 mod 8, то есть 4 разных корня по модулю 2^k, а иначе корней нет. Нам нужен наименьший из этих четырех корней x. При этом другие три корня это 2^k — x, 2^k-1 + x и 2^k — 2^k-1 — x
Хочется что-то подобное вычислению обратного по модулю 2^k — удваивая количество верных бит за итерацию.
Пусть у нас уже есть корень x₀ из N по модулю 2^k: N — x₀² = 2^ka
И мы хотим найти x₁ = x₀ + 2^k-1y, такое чтобы в N — x₁² было больше младших нулевых бит.
N — (x₀ + 2^k-1y)² = 2^ka — 2^kx₀ * y — 2^2k-2y²
Поделим на 2^k: a — x₀ * y — 2^k-2y²
И приравняем к 0 по модулю 2^k-2: y = a * x₀^-1 mod 2^k-2
Получилии x₁ = x₀ + 2^k-1a * (x₀^-1 mod 2^k-2)
И окончательно x₁ = x₀ + (N — x₀²)/2 * (x₀^-1 mod 2^k-2)
Из k бит на следующей итерации получится 2(k-1) бит.

Конвертация из джипег в пдф онлайн: Конвертировать JPG в PDF — быстрый, онлайн, бесплатный

alexxlab / 02.07.202302.05.2023 / Разное

Конвертировать JPG В PDF Бесплатно

Джипег в ПДФ

Разработано на базе программных решений от aspose.com а также aspose.cloud

Выберите JPG файлы или перетащите JPG файлы мышью

Google Drive Dropbox

Использовать пароль

Этот пароль будет применяться ко всем документам

Использовать распознавание текста Использовать распознавание текста

АнглийскийАрабскийИспанскийИтальянскийКитайский упрощенныйНемецкийПерсидскийПольскийПортугальскийРусскийФранцузский «/>

Если вам нужно преобразовать несколько Джипег в один ПДФ, используйте Merger

Загружая свои файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности.

Сохранить как

PDFDOCXMDPPTXPPTHTMLTXTDOCDOTDOTXRTFMHTMLXHTMLODTOTTEPUBXLSXXLSCSVTEXMOBIWPSWPT

КОНВЕРТИРОВАТЬ

Ваши файлы были успешно сконвертированы

СКАЧАТЬ

Загрузить в Google Загрузить в Dropbox

Конвертация других документов Отправить на электронную почту
Пройдите наш опрос

Хотите сообщить об этой ошибке на форуме Aspose, чтобы мы могли изучить и решить проблему? Когда ошибка будет исправлена, вы получите уведомление на email. Форма отчета

Google Sheets
Mail Merge Облачный API

Джипег в ПДФ онлайн

Конвертируйте Джипег в ПДФ онлайн с помощью OCR (распознавания текста в изображении). В процессе конвертации Джипег в ПДФ каждое изображение будет конвертировано в отдельный ПДФ документ. Этот онлайн сервис бесплатен.

Конвертировать Джипег в ПДФ онлайн

Форматы документов Джипег и ПДФ являются одними из наиболее распространенных файловых форматов. Джипег широко используется в фотографии и веб-дизайне, тогда как ПДФ формат является стандартом де-факто в офисной работе. Из-за высокой востребованности обоих файловых форматов, нам часто требуется конвертировать Джипег в ПДФ и в обратную сторону.

Конвертер Джипег в ПДФ онлайн

Офисные пакеты обычно не предоставляют простой способ преобразования Джипег в ПДФ, но у нас есть эффективное решение. Этот онлайн сервис конвертирует Джипег в ПДФ с помощью OCR — распознавания текста в изображении. Используйте наш ‘Конвертер Джипег в ПДФ’, чтобы сохранить каждое Джипег изображение в виде ПДФ документа. Это самый быстрый способ конвертировать фотографии и сканы Джипег в ПДФ онлайн.

Как преобразовать JPG в PDF

Загрузите JPG файлы, чтобы преобразовать их в PDF формат онлайн.

Укажите параметры преобразования JPG в PDF.

Нажмите кнопку, чтобы конвертировать JPG в PDF онлайн.

Загрузите результат в PDF формате для просмотра.

Вы можете отправить ссылку для скачивания по электронной почте, если хотите получить результаты позже.

Вопросы-Ответы

Как конвертировать Джипег в ПДФ бесплатно?

Просто используйте наш Джипег в ПДФ Converter. Вы получите выходные файлы ПДФ одним кликом мыши.

Сколько Джипег файлов я могу конвертировать в ПДФ формат за раз?

Вы можете конвертировать до 10 Джипег файлов за раз.

Каков максимально допустимый размер Джипег файла?

Размер каждого Джипег файла не должен превышать 10 МБ.

Какие есть способы получить результат в ПДФ формате?

После завершения преобразования Джипег в ПДФ вы получите ссылку для скачивания. Вы можете скачать результат сразу или отправить ссылку на скачивание ПДФ на свой e-mail позже.

Как долго мои файлы будут храниться на ваших серверах?

Все пользовательские файлы хранятся на серверах Aspose в течение 24 часов. По истечении этого времени они автоматически удаляются.

Можете ли вы гарантировать сохранность моих файлов? Все безопасно?

Aspose уделяет первостепенное внимание безопасности и защите пользовательских данных. Будьте уверены, что ваши файлы хранятся на надежных серверах и защищены от любого несанкционированного доступа.

Почему конвертация Джипег в ПДФ занимает немного больше времени, чем я ожидал?

Конвертация больших Джипег файлов в ПДФ формат может занять некоторое время, поскольку эта операция включает перекодирование и повторное сжатие данных.

JPG в PDF | Zamzar

Конвертировать JPG в PDF — онлайн и бесплатно

Шаг 1.

Выберите файлы для конвертации.
Перетащите сюда файлы
Максимальный размер файла 50МБ (хотите больше?) Как мои файлы защищены?
Шаг 2. Преобразуйте файлы в
Convert To
Или выберите новый формат
Шаг 3 — Начать преобразование
И согласиться с нашими Условиями
Эл. адрес?
You are attempting to upload a file that exceeds our 50MB free limit.
You will need to create a paid Zamzar account to be able to download your converted file. Would you like to continue to upload your file for conversion?
* Links must be prefixed with http or https, e.g. http://48ers.com/magnacarta.pdf
Ваши файлы. Ваши данные. Вы в контроле.
Бесплатные преобразованные файлы надежно хранятся не более 24 часов.
Файлы платных пользователей хранятся до тех пор, пока они не решат их удалить.
Все пользователи могут удалять файлы раньше, чем истечет срок их действия.
Вы в хорошей компании:

Zamzar конвертировал около 510 миллионов файлов начиная с 2006 года
JPG (Image)
Расширение файла .jpg
Категория Image File
Описание Формат JPG часто используется для веб-сайтов и электронной почты, поскольку они, как правило, малых размеров, но они являются файлами «с потерей качества», потому что некоторые качества изображения теряется, когда JPG сжимается и сохраняется. Полученный файл ‘с потерями’ означает, что качество уже не может быть восстановлено. Этот формат часто используется в цифровых картах памяти камер. Файл JPG – отличный формат, так как нередко удается сжимать файлы до 1/10 размера исходного файла, что особенно хорошо для экономии трафика.
Действия
JPG Converter
View other image file formats
Технические детали JPG представляет собой графический формат файла для редактирования фотоснимков, он предлагает симметричный метод сжатия, который загружает процессор и занимает время и во компрессии, и во время декомпрессии. JPEG является совместным стандартом Международного союза электросвязи (МСЭ-Т T.81) и Международной организации по стандартизации (ISO 10918-1). JPEG включает в себя механизм сжатия «с потерями» и использует дискретное косинусное преобразование (DCT). Может быть достигнута пропорция сжатия 100:1, хотя на этом уровне потери качества становятся заметны. Пропорции сжатия 10:1 или 20:01 дают незначительное ухудшение качества изображения.
Ассоциированные программы
Apple Preview
Adobe Photoshop
Corel Paint Shop Pro
Microsoft Windows Photo Gallery Viewer
Разработано The JPEG Committee
Тип MIME
image/jpeg
Полезные ссылки
Более подробная информация о файлах JPG
Выбрать лучший способ сжать файл JPG
PDF (Document)
Расширение файла . pdf
Категория Document File
Описание PDF — это формат файла, разработанный компанией Adobe Systems для представления документов так, чтобы они существовали обособленно от операционной системы, программы или аппаратных компонентов, при помощи которых они были первоначально созданы. PDF файл может быть любой длины, содержать любое количество шрифтов и изображений и предназначен для того, чтобы обеспечить создание и передачу продукции, готовой к печати.
Действия
PDF Converter
View other document file formats
Технические детали Каждый PDF файл инкапсулирует полное описание документа 2D (и, с появлением Acrobat 3D, встроенных 3D документов), что включает в себя текст, шрифты, изображения и векторную графику 2D, которые составляют документ. Он не кодирует информацию, относящуюся к программному обеспечению, аппаратному обеспечению или операционной системе, используемой для создания или просмотра документа.
Ассоциированные программы
Adobe Viewer
gPDF
Xpdf
Ghostview
Ghostscript
Разработано Adobe Systems
Тип MIME
application/pdf
Полезные ссылки
Adobe Reader (для просмотра)
Adobe Acrobat (редактировать)
Преобразование файлов JPG
Используя Zamzar можно конвертировать файлы JPG во множество других форматов
jpg в bmp (Windows bitmap)
jpg в doc (Microsoft Word Document)
jpg в docx (Microsoft Word 2007 Document)
jpg в gif (Compuserve graphics interchange)
jpg в ico (Windows Icon)
jpg в pcx (Paintbrush Bitmap Image)
jpg в pdf (Portable Document Format)
jpg в png (Portable Network Graphic)
jpg в ps (PostScript)
jpg в tga (Truevision Targa Graphic)
jpg в thumbnail (Thumbnail image)
jpg в tiff (Tagged image file format)
jpg в wbmp (Wireless Bitmap File Format)
jpg в webp (Lossily compressed image file)
JPG to PDF — Convert file now
Available Translations: English | Français | Español | Italiano | Pyccĸий | Deutsch
Преобразование JPG в PDF | Онлайн и бесплатно
Преобразование документов JPG в PDF
Работает на aspose. com и aspose.cloud
Перетащите или загрузите свои файлы*
Выбрать файл
Выбрать с Google Диска Выбрать из Dropbox
Введите URL
*Загружая файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности0007
Ваши файлы успешно обработаны
СКАЧАТЬ
Отправить результат по адресу:
ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ
ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ
Лучший бесплатный онлайн-конвертер JPG в PDF
Чтобы преобразовать один тип файла в другой, вы можете использовать функцию этого приложения бесплатно. Без регистрации и капчи. Здесь вы можете конвертировать документы онлайн и сохранять их в нужном вам формате на свой компьютер или любое другое устройство.
Конвертер JPG в PDF — это многоцелевой инструмент для преобразования практически всех популярных форматов файлов. Вы можете сделать это онлайн за считанные секунды бесплатно.
Вы можете использовать наш онлайн-инструмент бесплатно и без загрузки программного обеспечения. Просто используйте свой браузер.
Несмотря на то, что инструмент бесплатный, никто не ограничивает вас в количестве и размере. Это существенно отличает Конвертер JPG в PDF от конкурентов.
Забудьте о вредоносных программах, вирусах и дисковом пространстве. С нашим приложением вы загружаете только отредактированный файл и ничего больше.
Быстро и просто
Конвертер JPG в PDF — это онлайн-сервис для преобразования файлов из одного типа в другой. Мы поддерживаем множество популярных форматов для работы, все возможные форматы изображений, форматы мультимедийных файлов и т. д. Наш инструмент преобразования JPG в PDF прост в использовании: выберите нужный тип файла, затем определите выходной формат вашего документа, загрузите файл и нажмите ‘Загрузить’.
Безопасность гарантирована
Мы гарантируем безопасность и конфиденциальность. Мы не получаем права на ваш файл и ручной проверки не будет. Мы заботимся о вашей конфиденциальности и ваших файлах. В связи с этим мы также не будем передавать ваши данные другим сторонам. Крайне важно, чтобы у вас была возможность немедленно удалить загруженные вами файлы с нашего сервера. Если вы забудете это сделать, они будут автоматически удалены с нашего сервера через 24 часа. Мы полностью защищаем вашу информацию.
Универсальное преобразование
Вы можете конвертировать файлы из JPG в PDF из любой ОС или устройства с подключением к Интернету. Наш сервис работает на любой ОС, включая Windows, Mac и Linux.
Самые популярные варианты конвертации
Мы поддерживаем самые распространенные варианты конвертации для работы и учебы. Используйте наше бесплатное приложение, чтобы уменьшить нагрузку при работе как с документами, так и с файлами изображений.
Книги о том, как конвертировать JPG в PDF
Конвертировать JPG
Конвертировать JPG в HTML
Преобразование JPG в PDF
Преобразование JPG в PowerPoint
Конвертировать JPG в Word
Как конвертировать JPG в PDF
1
Откройте бесплатный веб-сайт JPG и выберите приложение Convert.
2
Щелкните внутри области перетаскивания файлов, чтобы загрузить или перетащить файлы.
3
Вы можете загрузить максимум 10 файлов для операции.
4
Нажмите кнопку Преобразовать. Файлы будут загружены и преобразованы.
5
Ссылка для скачивания файлов результатов будет доступна сразу после конвертации.
6
Вы также можете отправить ссылку на файл на свой адрес электронной почты.
7
Обратите внимание, что файл будет удален с наших серверов через 24 часа, а ссылки для скачивания перестанут работать по истечении этого периода времени.
Часто задаваемые вопросы
1
❓ Как преобразовать JPG в PDF?
Во-первых, вам нужно добавить файл для преобразования: перетащите или щелкните внутри белой области. Затем нажмите кнопку «Конвертировать». Когда преобразование завершено, вы можете загрузить свой результат.
2
⏱️ Сколько времени нужно, чтобы конвертировать JPG в PDF?
Это приложение работает быстро. Вы можете получить результат в течение нескольких секунд.
3
🛡️ Безопасно ли конвертировать JPG в PDF с помощью бесплатного конвертера?
Конечно! Ссылка для скачивания файлов результатов будет доступна сразу после конвертации. Мы удаляем загруженные файлы через 24 часа, и ссылки для скачивания перестают работать по истечении этого периода времени. Никто не имеет доступа к вашим документам. Приложение абсолютно безопасно.
4
💻 Могу ли я конвертировать JPG в PDF на Linux, Mac OS или Android?
Да, вы можете использовать бесплатное приложение Converter в любой операционной системе с веб-браузером. Наше приложение работает онлайн и не требует установки какого-либо программного обеспечения.
5
🌐 Какой браузер мне использовать для преобразования JPG в PDF?
Вы можете использовать любой современный браузер для преобразования. Например, Google Chrome, Firefox, Opera, Safari.
Быстрое и простое преобразование
Загрузите документ, выберите формат сохранения и нажмите кнопку «Конвертировать». Вы получите ссылку для скачивания, как только файл будет конвертирован.
Преобразование откуда угодно
Работает на всех платформах, включая Windows, Mac, Android и iOS. Все файлы обрабатываются на наших серверах. Для вас не требуется установка плагинов или программного обеспечения.
Качество преобразования
. Все файлы обрабатываются с помощью API-интерфейсов Aspose, которые используются многими компаниями из списка Fortune 100 в 114 странах.
9 лучших онлайн конвертеров JPEG в PDF
Элиза Уильямс
24. 03.2023, 14:23:23 • Подано по адресу: Онлайн PDF-инструменты • Проверенные решения
Информация, которую может содержать PDF-документ, может включать изображения, графику, текст и любые другие данные, которые пользователь хочет включить в документ. По сути, многие люди ищут простые решения, такие как поиск надежного онлайн-конвертера JPEG в PDF. Статья в основном посвящена 6 лучшим онлайн-конвертерам JPEG в PDF, доступным на рынке, на случай, если вы не знаете, как выбрать идеальный для себя.
Однако, если вы хотите выполнить пакетное преобразование JPG в PDF или преобразовать большие файлы в формат PDF, онлайн-конвертер JPG в PDF — не лучший вариант, поскольку большинство из них имеют ограничения на размер или количество файлов, которые они могут конвертировать в день. В этом случае вам следует обратиться к автономному конвертеру JPG в PDF, например, Wondershare PDFelement — PDF Editor. Будучи полнофункциональным редактором PDF, он может одновременно конвертировать несколько JPG в PDF, преобразовывать JPG в PDF и редактировать или сжимать, использовать OCR для распознавания текста в JPG и многое другое. Бесплатно скачайте его, чтобы попробовать.
Попробуйте бесплатно Попробуйте бесплатно КУПИТЬ СЕЙЧАС КУПИТЬ СЕЙЧАС
# 1: HiPDF — Конвертер JPG в PDF онлайн с лучшим качеством
# 2: JPG в PDF онлайн (абсолютно бесплатно, без ограничений)
# 3: PDF.online — отличный онлайн-конвертер JPG в PDF на мобильных устройствах
# 4: Jpg2pdf.com — Конвертер JPG в PDF онлайн бесплатно без электронной почты
# 5: Smallpdf — редактируемый конвертер JPG в PDF онлайн
# 6: JPG в PDF — Online2pdf
# 7: Конвертер JPG в PDF онлайн — iLovePDF
# 8: Freepdfconvert — онлайн-конвертер JPG в PDF до 300/200/100 КБ
# 9: Adobe Acrobat — Конвертируйте JPG в PDF онлайн бесплатно
# 10: Ограничения онлайн-конвертера JPEG в PDF
HiPDF — один из самых популярных веб-сайтов, который можно использовать для преобразования самых разных документов через Интернет без фактической установки какого-либо программного обеспечения. С помощью этого бесплатного онлайн-конвертера JPEG в PDF вы можете легко конвертировать JPEG в PDF онлайн и сохранять результат на своем компьютере, чтобы использовать его в любое время. Нажмите кнопку «Изображение в PDF» и просто загрузите изображение в формате JPEG из любой области хранения, а затем преобразуйте его в PDF, и это так просто. Важно отметить, что качество PDF после преобразования является первоклассным и стандартным и может быть прочитано любой программой для чтения PDF. HiPDF — очень эффективный инструмент, доступный на всех платформах.
Это один из наиболее часто используемых конвертеров, доступных в Интернете. Приложение может конвертировать ваш JPEG в PDF за считанные секунды, и это абсолютно бесплатно. Если у вас есть изображение в формате JPEG на вашем компьютере, просто загрузите его на сайт и нажмите на преобразованный файл, и он сделает это быстро и эффективно. Кроме того, он имеет возможность изменять размер изображений JPEG перед преобразованием по своему вкусу в зависимости от поля, размера страницы, ориентации страницы и размера изображения. Основное преимущество заключается в том, что вам не нужно устанавливать какое-либо программное обеспечение на свой компьютер, чтобы он выполнял преобразование в высококачественный PDF.
Это программное обеспечение предназначено для эффективной работы с PDF-решениями. Он имеет возможность быстро конвертировать JPEG в PDF онлайн, используя простой, надежный и эффективный конвертер PDF. Сайт в основном просит вас загрузить файл JPEG, а затем выбрать изображение и подождать, пока оно сотворит свое волшебство.
Сайт может легко конвертировать ваши файлы JPEG в PDF. Он также имеет возможность объединения нескольких изображений JPEG в один PDF-файл. Его главное преимущество в том, что он не имеет ограничений на размер файлов изображений, не требует регистрации и не добавляет водяные знаки к вашим файлам. Услуга, которую он предлагает, фокусируется на вашем изображении в формате JPEG и поворачивает его, оптимизирует и уменьшает изображения, но гарантирует сохранение исходного качества изображения.
Smallpdf — редактируемый конвертер JPG в PDF онлайн
Сайт преобразует все ваши изображения JPEG в PDF, даже если они хранятся в вашем Dropbox или Google Drive. Любой пользователь обычно перетаскивает изображения в поле на сайте, а затем сортирует их в соответствии с тем, как они хотят, чтобы они отображались в PDF-файле. Сайт поддерживает множество форматов изображений и легко их конвертирует. Что отличает его, так это то, что он поддерживает многочисленные доступные платформы ОС и удаляет файлы со своих серверов через час. Преобразование документов происходит в облаке, поэтому оно не расходует ресурсы процессора.
Он также является фаворитом, так как позволяет легко и эффективно конвертировать изображения JPEG в PDF. Конвертер имеет множество функций, таких как слияние, редактирование, разблокировка и преобразование. После загрузки файла JPEG вы должны нажать на преобразованный файл, чтобы превратить его в PDF. Теперь файл будет преобразован, и его размер не должен превышать 100 МБ.
Это универсальная и простая платформа для преобразования файлов JPG в файлы PDF. Это расширение, которое вы можете установить в браузере Google Chrome. Он открывается как веб-страница и позволяет выполнить преобразование, выполнив следующие простые действия:
Шаг 1. На главном интерфейсе веб-страницы есть возможность выбрать изображения JPG; вы можете получить доступ к Dropbox или Google Drive или вашим локальным папкам, чтобы получить изображения, которые вы хотите преобразовать.
Шаг 2. После загрузки файлов вы можете преобразовать файлы JPG в отдельные файлы PDF или объединить их в один документ.
После преобразования JPG PDF-файл остается доступным для загрузки в течение некоторого времени. После этого сервер удаляет преобразованные файлы. Можно даже поделиться преобразованным файлом с предоставленной ссылкой.
У этого инструмента есть и другие полезные функции. К ним относятся слияние, разделение и сжатие PDF-файлов. Он даже может помочь конвертировать PDF-файлы в Word, PowerPoint или Excel и наоборот.
Эта бесплатная онлайн-платформа полезна не только для преобразования файлов JPG в файлы PDF, но и для сжатия файлов PDF до файлов небольшого размера. Это может помочь переформатировать файлы изображений, такие как PNG или JPG, и преобразовать их в PDF за считанные секунды.
Можно преобразовать несколько изображений JPG в файлы PDF или объединить их все в один файл PDF. Платформа также позволяет пользователям выбирать размер файла для преобразования; они также могут сжимать файлы до 300, 200 или 100 КБ.
Когда файл доступен для загрузки, его можно сохранить в своих локальных папках или на облачных дисках. Эта конверсионная платформа предлагает несколько полезных функций.
Можно конвертировать другие форматы файлов, такие как Excel, PowerPoint и OpenOffice, электронные книги в PDF или наоборот. Можно также оформить подписку, чтобы разблокировать дополнительные функции на этой платформе.
Adobe также предлагает аналогичный инструмент преобразования на своем официальном сайте. Веб-страница преобразования JPG в PDF имеет простой в использовании интерфейс, который позволяет конвертировать JPG за считанные секунды.
После загрузки файла JPG он будет преобразован в PDF; также можно конвертировать PDF в JPG на той же веб-странице.
Можно скачать и сохранить конвертированный документ бесплатно; чтобы поделиться преобразованным файлом, необходимо зарегистрировать бесплатную учетную запись.
Многие предпочитают этот надежный онлайн-инструмент Adobe по нескольким причинам. Например, процесс конвертации на этой платформе быстрый. Он легко открывается в любой ОС и веб-браузере. Кроме того, вы получаете доступ к инструменту Adobe Acrobat Pro DC на семидневную пробную версию.
Ограничения онлайн-конвертера JPEG в PDF
Безопасность файлов. Это не всегда гарантируется, так как файлы остаются на серверах около часа, и любой хакер может получить доступ к файлам.
Предел файла. Большинство сайтов имеют ограничение на размер файлов изображений JPEG, которое составляет 50 МБ. Если ваши файлы превышают это значение, они не будут преобразованы в PDF.
Редактирование запрещено. Файлы PDF, которые вы конвертируете через их серверы, нельзя редактировать и исправлять ошибки.
Лучший настольный конвертер JPEG в PDF
Использование Wondershare PDFelement — PDF Editor дает множество преимуществ для ваших решений JPEG в PDF. Создано командой ведущих программистов, которые интересовались общим пользовательским интерфейсом и его возможностями. Программное обеспечение спроектировано таким образом, чтобы избежать сбоев и предлагать решения для PDF легко и по доступной цене. На веб-сайте также есть специальная команда по обслуживанию клиентов, которая расскажет вам, как эффективно использовать программное обеспечение и как оплачивать программное обеспечение, используя их безопасные способы оплаты.
Попробуйте бесплатно Попробуйте бесплатно КУПИТЬ СЕЙЧАС КУПИТЬ СЕЙЧАС
Плюсы:
Защита: это означает, что вы можете добавить пароль, который не позволит посторонним лицам просматривать ваш PDF-документ.

Конвектор word в excel онлайн: Конвертировать DOC (WORD) в XLS (EXCEL) онлайн — Convertio

alexxlab / 02.07.202324.04.2023 / Разное

WORD в EXCEL онлайн конвертер

WORD в EXCEL онлайн конвертер — Конвертируй WORD в EXCEL бесплатно
Конвертер WORD в EXCEL онлайн бесплатно, также посмотрите описание форматов WORD и EXCEL и видеоинструкцию как работает конвертер
Powered by aspose.com and aspose.cloud
Перетащите или выберите файлы*
Выбрать файл
Выбрать из Google Drive Выбрать из Dropbox
Введите Url
* Загружая свои файлы или используя нашу службу, вы соглашаетесь с Условиями использования и Политикой конфиденциальности
Сохранить как XLSXPDFJPGZIPPNGPPTXDOCTEXTIFFTXTHTMLSVGCSVEPUBXPSLATEX7ZBMPGZMOBITARPSBZ2BASE64MP4AVIMOVWEBMFLVWMVMKVMPGMPEG
Ваши файлы обработаны успешно
СКАЧАТЬ
Отправить результат в:
ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТ
ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТ
Отправить результат в:
1000 символов максимум
Обратная связь
Или оставьте, пожалуйста, отзыв в наших социальных сетях 👍
Facebook
Instagram
Reddit
Попробуйте другие наши конвертеры:
PDFDOCWordXLSExcelEPUBMOBILaTeXPostScriptEPSXPSOXPSMHTMLMHTPCLMarkdownTextSVGSRTXMLBMPPNGTIFFJPGEMFDICOMPSDCDRDJVUWEBPZIPRAR7zipTARGZBZ2PPTPowerPointBase64MP4MOVMP3WAVIMAGESPHOTOGIFHEIC
Other apps
Конвертируйте Word в Excel файлы онлайн бесплатно. Мощный бесплатный онлайн Word в Excel конвертер документов легко. Установка программного обеспечения для настольных ПК, таких как Microsoft Word, OpenOffice или Adobe Acrobat, не требуется. Все конверсии вы можете сделать онлайн с любой платформы: Windows, Linux, macOS и Android. Мы не требуем регистрации. Этот инструмент абсолютно бесплатный.
С точки зрения доступности вы можете использовать наши онлайн-инструменты преобразования Word в Excel для обработки различных форматов файлов и размеров файлов в любой операционной системе. Независимо от того, находитесь ли вы на MacBook, компьютере с Windows или даже на карманном мобильном устройстве, конвертер Word в Excel всегда доступен в Интернете для вашего удобства.
Как конвертировать Word в Excel
1
Откройте вебстраницу Word и выберите приложение Конвертер.
2
Кликните в области FileDrop для выбора Word файлов или drag & drop Word файлы.
3
Вы можете одновременно отправить максимум 10 файлов.
4
Нажмите кнопку КОНВЕРТИРОВАТЬ. Ваши Word файлы будут отправлены и преобразованы в нужный формат.
5
Ссылка для скачивания результирующих файлов будет доступна сразу после конвертации.
6
Вы так же можете отправить ссылку на скачивание полученных файлов на email себе или Вашим коллегам.
7
Примечание: результирующие файлы будут удалены с нашего сервера через 24 часа и ссылка на скачивание будет не рабочей.

ЧаВо
org/Question»>
1
❓ Как я могу преобразовать WORD в EXCEL?
Сначала Вам нужно добавить файл для преобразования: перетащите файл WORD или щелкните внутри белой области, чтобы выбрать файл. Затем нажмите кнопку «Конвертировать». Когда преобразование WORD в EXCEL завершено, вы можете загрузить файл EXCEL.
2
⏱️ Сколько времени занимает преобразование WORD в EXCEL?
Этот конвертер работает быстро. Вы можете преобразовать WORD в EXCEL в течении нескольких секунд.
3
🛡️ Безопасно ли конвертировать WORD в EXCEL с помощью WORD конвертера?
Конечно! Ссылка для скачивания файлов EXCEL будет доступна сразу после конвертации. Мы удаляем загруженные файлы через 24 часа, и ссылки для скачивания перестают работать. Никто не имеет доступа к вашим файлам. Преобразование файлов (включая WORD в EXCEL) абсолютно безопасно.
4
💻 Могу ли я преобразовать WORD в EXCEL в Linux, Mac OS или Android?
Да, вы можете использовать WORD конвертер в любой операционной системе через веб-браузер. Наш конвертер WORD в EXCEL работает в режиме онлайн и не требует установки программного обеспечения.
5
🌐 Какой веб браузер я должен использовать для преобразования WORD в EXCEL?
Вы можете использовать любой современный браузер для преобразования WORD в EXCEL, например, Google Chrome, Firefox, Opera, Safari.
Быстрый и простой способ конвертации
Загрузите документ, выберите тип сохраненного формата и нажмите кнопку «Конвертировать». Вы получите ссылку для скачивания, как только файл будет конвертирован.
Конвертируй из любого места
Он работает со всех платформ, включая Windows, Mac, Android и iOS. Все файлы обрабатываются на наших серверах. Вам не требуется установка плагинов или программного обеспечения.
Качество конвертера
. Все файлы обрабатываются с использованием Aspose APIs, которое используются многими компаниями из списка Fortune 100 в 114 странах мира.
Другие поддерживаемые Конвертеры
Вы можете также преобразовывать WORD во множество других форматов. Посмотрите список, приведенный ниже.
WORD в PDF
WORD в DOC
WORD в Excel
WORD в CSV
WORD в PowerPoint
WORD в PostScript
WORD в XPS
WORD в EPUB
WORD в MOBI
WORD в LaTeX
WORD в HTML
WORD в BMP
WORD в PNG
WORD в SVG
WORD в TIFF
WORD в JPG
WORD в Text
WORD в ZIP
WORD в 7zip
WORD в TAR
WORD в GZ
WORD в BZ2
WORD в Base64
WORD в MP4
WORD в AVI
WORD в FLV
WORD в MKV
WORD в MOV
WORD в WMV
WORD в WEBM
WORD в MPG
WORD в MPEG
Конвертировать DOCX В ЭКСЕЛЬ Бесплатно
DOCX в Эксель
Разработано на базе программных решений от aspose. com а также aspose.cloud
Выберите Word файлы или перетащите Word файлы мышью
Google Drive Dropbox
Минимизировать количество рабочих листов в выходной рабочей книге
Использовать пароль
Этот пароль будет применяться ко всем документам
Использовать распознавание текста Использовать распознавание текста
АнглийскийАрабскийИспанскийИтальянскийКитайский упрощенныйНемецкийПерсидскийПольскийПортугальскийРусскийФранцузский
Загружая свои файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности.
Сохранить как
XLSXXLSCSVXLSMXLTXXLTMODSXLSB
КОНВЕРТИРОВАТЬ
Ваши файлы были успешно сконвертированы
СКАЧАТЬ
Загрузить в Google Загрузить в Dropbox
Конвертация других документов Отправить на электронную почту
Пройдите наш опрос
Хотите сообщить об этой ошибке на форуме Aspose, чтобы мы могли изучить и решить проблему? Когда ошибка будет исправлена, вы получите уведомление на email. Форма отчета
Google Sheets
Mail Merge Облачный API
Конвертировать DOCX в Эксель онлайн
Используйте конвертер DOCX в Эксель для быстрого экспорта табличных данных из DOCX документа в электронную таблицу Эксель. Наш конвертер DOCX в Эксель совершенно бесплатен.
Электронные таблицы Microsoft Excel и текстовый процессор DOCX — мощный дуэт для современной офисной работы. Поскольку не существует прямого способа конвертировать файл DOCX в Эксель формат, вы можете воспользоваться нашим бесплатным онлайн сервисом для быстрого переноса таблицы данных из DOCX документа в электронную таблицу Эксель для выполнения там сложных расчетов.
Конвертер DOCX в Эксель онлайн
Экспорт табличных данных из DOCX в Эксель — одна из самых востребованных операций с офисными документами. Форматы документов Эксель и DOCX во многих случаях дополняют друг друга и тесно связываются в современной офисной работе.
Конвертировать файл DOCX в Эксель
Чтобы конвертировать документ DOCX в Эксель формат, просто перетащите DOCX файл в поле загрузки данных, укажите параметры преобразования, нажмите кнопку ‘Конвертировать’ и получите выходной Эксель файл за считанные секунды.
Бесплатный конвертер DOCX в Эксель основан на программных продуктах компании Aspose, которые широко используются во всем мире для обработки файлов DOCX и Эксель с высокой скоростью и профессиональным качеством результата.
Как преобразовать DOCX в Эксель
Загрузите DOCX файлы, чтобы преобразовать их в Эксель формат онлайн.

Укажите параметры преобразования DOCX в Эксель.

Нажмите кнопку, чтобы конвертировать DOCX в Эксель онлайн.

Загрузите результат в Эксель формате для просмотра.

Вы можете отправить ссылку для скачивания по электронной почте, если хотите получить результаты позже.

Вопросы-Ответы
Как конвертировать DOCX в Эксель бесплатно?
Просто используйте наш DOCX в Эксель Converter. Вы получите выходные файлы Эксель одним кликом мыши.
Сколько DOCX файлов я могу конвертировать в Эксель формат за раз?
Вы можете конвертировать до 10 DOCX файлов за раз.
Каков максимально допустимый размер DOCX файла?
Размер каждого DOCX файла не должен превышать 10 МБ.
Какие есть способы получить результат в Эксель формате?
После завершения преобразования DOCX в Эксель вы получите ссылку для скачивания. Вы можете скачать результат сразу или отправить ссылку на скачивание Эксель на свой e-mail позже.
Как долго мои файлы будут храниться на ваших серверах?
Все пользовательские файлы хранятся на серверах Aspose в течение 24 часов. По истечении этого времени они автоматически удаляются.
Можете ли вы гарантировать сохранность моих файлов? Все безопасно?
Aspose уделяет первостепенное внимание безопасности и защите пользовательских данных. Будьте уверены, что ваши файлы хранятся на надежных серверах и защищены от любого несанкционированного доступа.
Почему конвертация DOCX в Эксель занимает немного больше времени, чем я ожидал?
Конвертация больших DOCX файлов в Эксель формат может занять некоторое время, поскольку эта операция включает перекодирование и повторное сжатие данных.
Конвертер
WORD в EXCEL бесплатно. СЛОВО в EXCEL онлайн.
Слово в Excel
Питаться от aspose.com и aspose.cloud
Выберите файлы Word или перетащите файлы Word
Google Диск Дропбокс
Минимизируйте количество рабочих листов в выходной рабочей книге
Использовать пароль
Этот пароль будет применяться ко всем документам
Использовать распознавание текста Использовать распознавание текста
АрабскийКитайский упрощенныйАнглийскийФранцузскийНемецкийИтальянскийПерсидскийПольскийПортугальскийРусскийИспанский For the OCR algorithm to work correctly, text and tables must not be rotated down or sideways.»/>
Если вам нужно преобразовать несколько Word в один Excel, используйте Merger
Загружая свои файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности
Сохранить как
XLSXXLSCSVXLSMXLTXXLTMODSXLSB
КОНВЕРТИРОВАТЬ
Ваши файлы были успешно преобразованы
СКАЧАТЬ
Загрузить в Google Загрузить в Dropbox
Преобразование других документов Отправить по электронной почте
Ответьте на наш опрос
Вы хотите сообщить об этой ошибке на форум Aspose, чтобы мы могли изучить и решить проблему? Вы получите уведомление по электронной почте, когда ошибка будет исправлена. Форма отчета
Google Таблицы
Слияние почты Облачный API
Преобразование Word в Excel онлайн
Используйте конвертер Word в Excel для быстрого экспорта табличных данных из документа Word в электронную таблицу Excel. Наш конвертер Word в Excel совершенно бесплатен.
Электронные таблицы Microsoft Excel и текстовый процессор Word — мощный дуэт для современной офисной работы. Поскольку не существует прямого способа конвертировать файл Word в формат Excel, вы можете воспользоваться нашим бесплатным онлайн-сервисом для быстрого переноса таблицы данных из документа Word в электронную таблицу Excel для выполнения там сложных расчетов.
Конвертер Word в Excel онлайн
Экспорт табличных данных из Word в Excel — одна из самых востребованных операций с офисными документами. Форматы документов Excel и Word во многих случаях дополняют друг друга и поэтому тесно связаны в современной офисной работе.
Преобразование файла Word в Excel
Чтобы преобразовать файл Word в формат Excel, просто перетащите файл Word в поле загрузки данных, укажите параметры преобразования, нажмите кнопку «Преобразовать» и получите выходной файл Excel за считанные секунды.
Бесплатный конвертер Word в Excel основан на программных продуктах Aspose, которые широко используются во всем мире для программной обработки файлов Word и Excel с высокой скоростью и профессиональным качеством результата.
Как преобразовать Word в Excel
Загрузите файлы Word, чтобы преобразовать их в формат Excel онлайн.
Укажите параметры преобразования Word в Excel.
Нажмите кнопку, чтобы преобразовать Word в Excel онлайн.
Загрузите результат в формате Excel для просмотра.
Вы можете отправить ссылку на скачивание по электронной почте, если хотите получить результаты позже.
FAQ
Как бесплатно конвертировать Word в Excel?
Просто воспользуйтесь нашим конвертером Word в Excel. Вы получите выходные файлы Excel одним щелчком мыши.
Сколько файлов Word я могу преобразовать в формат Excel одновременно?
Вы можете конвертировать до 10 файлов Word одновременно.
Каков максимально допустимый размер файла Word?
Размер каждого файла Word не должен превышать 10 МБ.
Какими способами можно получить результат в формате Excel?
После завершения преобразования Word в Excel вы получите ссылку для скачивания. Вы можете скачать результат сразу, или отправить ссылку на свой e-mail для скачивания Excel позже.
Как долго мои файлы будут храниться на ваших серверах?
Все пользовательские файлы хранятся на серверах Aspose в течение 24 часов. По истечении этого времени они автоматически удаляются.
Можете ли вы гарантировать сохранность моих файлов? Все безопасно?
Aspose уделяет первостепенное внимание безопасности и защите пользовательских данных. Будьте уверены, что ваши файлы хранятся на надежных серверах и защищены от любого несанкционированного доступа.
Почему преобразование Word в Excel занимает немного больше времени, чем я ожидал?
Преобразование больших файлов Word в формат Excel может занять некоторое время, поскольку операция включает перекодирование и повторное сжатие данных.
Преобразование WORD в EXCEL | Онлайн и бесплатно
Преобразование документов WORD в документы EXCEL
Работает на aspose.com и aspose.cloud
Перетащите или загрузите ваши файлы*
Выбрать файл
Выбрать с Google Диска 000016 Выбрать с Google Диска Enter from Dropbox 90
*Загружая свои файлы или используя наш сервис, вы соглашаетесь с нашими Условиями обслуживания и Политикой конфиденциальности
Сохранить как XLSXPDFJPGZIPPNGPPTXDOCTEXTIFFTXTHTMLSVGCSVEPUBXPSLATEX7ZBMPGZMOBITARPSBZ2BASE64MP4AVIMOVWEBMLFLVWMVMKVMPGMPEG
Ваши файлы успешно обработаны
ЗАГРУЗИТЬ
Отправить результат по адресу:
ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ
ПОСМОТРЕТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ
Лучший бесплатный онлайн-конвертер Word в Excel
Чтобы преобразовать один тип файла в другой, вы можете использовать функцию этого приложения бесплатно. Без регистрации и капчи. Здесь вы можете конвертировать документы онлайн и сохранять их в нужном вам формате на свой компьютер или любое другое устройство.
Конвертер Word в Excel — это многоцелевой инструмент для преобразования практически всех популярных форматов файлов. Вы можете сделать это онлайн за считанные секунды бесплатно.
Вы можете использовать наш онлайн-инструмент бесплатно и без загрузки какого-либо программного обеспечения. Просто используйте свой браузер.
Несмотря на то, что инструмент бесплатный, никто не ограничивает вас в количестве и размере. Это существенно отличает конвертер Word в Excel от конкурентов.
Забудьте о вредоносных программах, вирусах и дисковом пространстве. С нашим приложением вы загружаете только отредактированный файл и ничего больше.
Быстро и просто
Конвертер Word в Excel — это онлайн-сервис для преобразования файлов из одного типа в другой. Мы поддерживаем множество популярных форматов для работы, все возможные форматы изображений, форматы мультимедийных файлов и т. д. Наш инструмент преобразования Word в Excel прост в использовании: выберите нужный тип файла, затем определите выходной формат вашего документа, загрузите файл и нажмите ‘Загрузить’.
Безопасность гарантирована
Мы гарантируем безопасность и конфиденциальность. Мы не получаем права на ваш файл и ручной проверки не будет. Мы заботимся о вашей конфиденциальности и ваших файлах. В связи с этим мы также не будем передавать ваши данные другим сторонам. Крайне важно, чтобы у вас была возможность немедленно удалить загруженные вами файлы с нашего сервера. Если вы забудете это сделать, они будут автоматически удалены с нашего сервера через 24 часа. Мы полностью защищаем вашу информацию.
Универсальное преобразование
Вы можете конвертировать файлы Word в Excel из любой ОС или устройства с подключением к Интернету. Наш сервис работает на любой ОС, включая Windows, Mac и Linux.
Самые популярные варианты конвертации
Мы поддерживаем самые распространенные варианты конвертации для работы и учебы. Используйте наше бесплатное приложение, чтобы уменьшить нагрузку при работе как с документами, так и с файлами изображений.
Книги о том, как преобразовать Word в Excel
Объединение Word в Word
Как преобразовать Word в Excel
1
Откройте бесплатный веб-сайт Word и выберите приложение Convert.
2
Щелкните внутри области перетаскивания файлов, чтобы загрузить или перетащить файлы.
3
Вы можете загрузить максимум 10 файлов для операции.
4
Нажмите кнопку Преобразовать. Файлы будут загружены и преобразованы.
5
Ссылка для скачивания файлов результатов будет доступна сразу после конвертации.
6
Вы также можете отправить ссылку на файл на свой адрес электронной почты.
7
Обратите внимание, что файл будет удален с наших серверов через 24 часа, а ссылки для скачивания перестанут работать по истечении этого периода времени.
Часто задаваемые вопросы
1
❓ Как преобразовать WORD в EXCEL?
Во-первых, вам нужно добавить файл для преобразования: перетащите или щелкните внутри белой области. Затем нажмите кнопку «Конвертировать». Когда преобразование завершено, вы можете загрузить свой результат.
2
⏱️ Сколько времени нужно, чтобы преобразовать WORD в EXCEL?
Это приложение работает быстро. Вы можете получить результат в течение нескольких секунд.
3
🛡️ Безопасно ли конвертировать WORD в EXCEL с помощью бесплатного конвертера?
Конечно! Ссылка для скачивания файлов результатов будет доступна сразу после конвертации. Мы удаляем загруженные файлы через 24 часа, и ссылки для скачивания перестают работать по истечении этого периода времени. Никто не имеет доступа к вашим документам. Приложение абсолютно безопасно.
4
💻 Могу ли я конвертировать WORD в EXCEL на Linux, Mac OS или Android?
Да, вы можете использовать бесплатное приложение Converter в любой операционной системе с веб-браузером. Наше приложение работает онлайн и не требует установки какого-либо программного обеспечения.

Умножение целых чисел на дроби: Как умножить число на дробь — Математика для школьников

alexxlab / 02.07.202325.04.2023 / Разное

Умножение дробей: простая инструкция — Лайфхакер

15 января 2021 Ликбез Образование

Простая шпаргалка для тех, кто подзабыл школьную программу по математике.

Умножение дробей друг на друга

Обыкновенные дроби

Всё просто: числитель умножьте на числитель, а знаменатель на знаменатель. Потом проверьте, можно ли сократить дробь. Например:

Правило работает для дробей и с разными, и с одинаковыми знаменателями. Если дробь большая, допустим ²⁴/₃₅, постарайтесь сразу сократить её — так будет легче вести подсчёты.

Если в примере есть смешанное число, сначала преобразуйте его в неправильную дробь, а потом умножайте способом, описанным выше. Полученный результат переведите обратно в смешанное число.

Вспомните основы 💡

Какие бывают дроби и как их складывать

Десятичные дроби

Процесс умножения происходит в три шага:

Запишите дроби в столбик и умножьте как натуральные числа, пока не думая о запятых.
Посмотрите, сколько знаков после запятой было в каждой дроби, и сложите их количество.
Двигаясь справа налево, отсчитайте в результате умножения столько же цифр, сколько получилось в предыдущем шаге. Поставьте там запятую. Это и есть ответ. Например:

Если умножаете на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, то переместите запятую влево на столько знаков, сколько их после запятой в множителе: 0,18 × 0,1 = 0,018; 0,5 × 0,001 = 0,0005.

Освежите знания 👈

Как перевести обычную дробь в десятичную

Умножение дробей на натуральные числа

Обыкновенные дроби

Нужно умножить только числитель, а знаменатель оставить без изменений. Если результат — неправильная дробь, выделите из неё целую часть, чтобы получить смешанное число. Например:

Если нужно умножить смешанное число, переведите его в неправильную дробь и умножайте по тому же принципу. То есть:

Есть и второй способ: разделить знаменатель на данное вам натуральное число, а числитель не трогать. Этот способ удобнее применять, когда знаменатель делится на это натуральное число без остатка. Например:

Сравните этот метод с первым — результат одинаковый.

Десятичные дроби

В этом случае используйте такой же способ, как для умножения дроби на дробь. Перемножьте числа столбиком, потом отсчитайте столько цифр, сколько их было после запятой в десятичной дроби, и там поставьте запятую. То есть:

Если нужно умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и так далее, просто переместите запятую вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы. Например: 0,045 × 10 = 0,45; 0,045 × 100 = 4,5.

Читайте также 🧮👌🤓

Умножать, делить, складывать как Шелдон Купер? Математические хаки…
Как научить ребёнка считать играючи
6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
Как выучить таблицу умножения легко и быстро
Как освоить устный счёт школьникам и взрослым

Умножение дробей, формулы и примеры решений

Содержание:

Умножение дроби на число
Умножение дробей
Умножение смешанных дробей

Умножение дроби на число

Умножение дроби $\frac{a}{b}$ на число $n$ равносильно сложению одинаковых слагаемых:

Итак, можно сделать вывод, что чтобы умножить дробь на число, надо числитель этой дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Пример

Задание. Найти произведение $\frac{1}{3} \cdot 4$

Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу

$\frac{1}{3} \cdot 4=\frac{1 \cdot 4}{3}=\frac{4}{3}=1 \frac{1}{3}$

Ответ. $\frac{1}{3} \cdot 4=1 \frac{1}{3}$

Аналогично выполняется умножения числа на дробь.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти произведение 3$\cdot \frac{1}{4}$

Решение. Выполним умножение по описанному выше правилу

$3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3 \cdot 1}{4}=\frac{3}{4}$

Ответ. $3 \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Умножение дробей

Определение

Произведением дробей называется такая дробь, числитель которой равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Таким образом, чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй и результат записать в числитель; а также перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель.

Замечание. При выполнении умножения по возможности следует сокращать. Сокращать можно только числа стоящие в числителе с числами, стоящими в знаменателе. Числитель с числителем и знаменатель со знаменателем сокращать нельзя.

Пример

Задание. Найти произведение дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{5}$

Решение. Выполним умножение дробей по описанному выше правилу

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 5}=\frac{4}{15}$

Ответ. $\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{4}{15}$

Пример

Задание. Умножить $\frac{13}{14}$ на $\frac{14}{39}$

Решение. Необходимо найти произведение $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{39}$ . Как видим, числа 13 и 39 можно сократить на общее число 13. Для этого сами указанные величины зачеркиваем, а над ними пишем число, которое получается после деления. Аналогично поступает со знаменателем первой дроби и числителем второй:

Ответ. $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{39}=\frac{1}{3}$

Умножение смешанных дробей

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужно представить их в виде неправильных дробей, а затем уже выполнить умножение как обыкновенных дробей.

Пример

Задание. Найти произведение дробей 3$\frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}$

Решение. Выполним умножение смешанных дробей по описанному выше правилу

$3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}=\frac{3 \cdot 3+1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 5+2}{5}=\frac{10}{3} \cdot \frac{22}{5}=$

Ответ. $3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{2}{5}=14 \frac{2}{3}$

Для умножения смешанной дроби на целое число поступают либо аналогично и далее умножают дробь на число, либо на целое число отдельно умножают целую часть, и отдельно дробную часть смешанного числа.

Пример

Задание. Умножить смешанную дробь 3$\frac{3}{4}$ на 2

Решение. Выполним умножение смешанной дроби на число по описанному выше правилу

Либо

$=(6+1)+\frac{1}{2}=7+\frac{1}{2}=7 \frac{1}{2}$

Ответ. $3 \frac{3}{4} \cdot 2=7 \frac{1}{2}$

Читать следующую тему: деление дробей.

Умножение дроби на целые числа? Определение, примеры

Что такое целые числа?

Целые числа — это набор чисел, включающий все натуральные числа, а также 0. Например, 10, 18, 200 и т. д.

Связанные игры

Что такое дробь?

Дроби часто называют числом между числами. Дроби — это числовые значения, которые представляют собой часть или часть целого. Например, посмотрите на пиццу ниже.

Эта пицца разрезана на 4 равные части. Таким образом, каждый кусок пиццы представляет собой 1 из 4 равных частей. Таким образом, математически мы можем представить каждую часть как $\frac{1}{4}$. Это число называется дробью.

В общем, когда целое разделено на равные части, каждая часть представляет собой часть целого, и мы записываем дроби как $\frac{a}{b}$, где a и b — действительные числа, а b не может быть равно нулю .

Число под чертой, представляющее общее количество равных частей, на которые делится целое, называется знаменателем. А число сверху, которое представляет количество рассматриваемых нами равных частей, называется числителем.

Связанные рабочие листы

Умножение дробей на целые числа

Умножение двух чисел аналогично многократному сложению. Например,

2 раза по 4 или $2 \times 4$ равносильно добавлению числа «4» 2 раза.

Итак, умножение дробей на целые числа — это то же самое, что многократное сложение, когда мы складываем дробь столько же раз, сколько и целое число.

Например: попробуем перемножить 3 и $\frac{1}{4}$.

3 раза $\frac{1}{4}$ означает сложение дроби $\frac{1}{4}3$ раза.

Алгебраически это означает,

Мы можем решить это выражение визуально,

Источник

И наш ответ будет:

Но теперь давайте посмотрим, как мы можем обобщить это, не создавая модель каждый раз, когда мы хотим умножить целое число и дробь.

Умножение дробей с целыми числами

Сделаем это с помощью примера,

Умножим 5 и $\frac{3}{4}$.

Шаг 1: Преобразуйте 5 в дробную форму, применив 1 к знаменателю.

Шаг 2: Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

И вуаля, у нас есть ответ.
В качестве дополнительного шага, если вы получили неправильную дробь, вы можете преобразовать ее в смешанное число.

Умножение смешанных дробей на целые числа

Умножение смешанных чисел на целые числа следует той же процедуре, только с дополнительным шагом.
Сделаем это на примере.
Как умножить 3 на $2\frac{1}{5}$?
Шаг 1: Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
Шаг 2: Преобразуйте 3 в дробную форму, применив 1 к знаменателю.
Шаг 2: Умножьте числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.
И после преобразования в неправильную дробь
Получим ответ:
Решенные примеры
Пример 1: Кэтрин готовит торт, для которого ей нужно три четверти чашки масла . Если она решит испечь три лепешки, сколько потребуется масла?
Решение :
Количество пирожных $= 3$
Масло, необходимое для 1 пирожного $= \frac{3}{4}$ чашек
Общее количество требуемого масла $= 3 \times { 3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ чашек
Пример 2. Найдите произведение целого числа 10 и смешанной дроби 523. Решение : $10\times 5\frac{2}{3} = 10\times \frac{17}{3} = \frac{170}{3} = 56\frac{2}{3}$
Практические задачи
1
На вечеринке каждый человек выпивает $\frac{3}{5}$$l$ сока. Если вы пригласите на свою вечеринку 15 человек, сколько сока вам понадобится?
$8$$l$
$10$$l$
$9$$l$
$15$$l$
Правильный ответ: $9$$l$
Необходимое количество сока $= 15 \times \ frac{3}{5} = \frac{45}{5} = $$9$$l$
2
Clove ежедневно проезжает $\frac{1}{4}$ миль.
Сколько она проедет за 10 дней?
$2\frac{2}{4}$ миль
$\frac{2}{5}$ миль
$2$ миль
$1\frac{1}{4}$ миль
Правильный ответ: $2\frac{2}{4}$ миль
Пройденное расстояние за 10 дней $= 10 \times$ расстояние, пройденное за один день
$= 10 \times \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = 2\frac{2}{4}$ миль
3
Джейн купила в магазине 20 яблок, из которых $\frac{1}{5}$ яблок были гнилыми. Сколько яблок было гнилым?
5
10
2
4
Правильный ответ: 4
Общее количество яблок $= 20$
Доля гнилых яблок $= \frac{1}{5}$
Количество гнилых яблок $= 20 \times \frac{1}{5} = \frac{20}{ 5} = 4 яблока
Часто задаваемые вопросы
Как умножить дробь на целое число, используя числовую прямую?
Сначала мы отмечаем дробь на числовой прямой, а затем, чтобы умножить ее на целое число, прибавляем к той же дроби столько раз, сколько этого требует умножение.
Чему равно произведение умножения целого числа на смешанную дробь?
Произведением целого числа и смешанной дроби может быть смешанная дробь, неправильная дробь, правильная дробь или целое число.
Какое целое число дает тот же продукт, что и исходная дробь?
Число «1» при умножении на любую дробь дает ту же дробь, что и ответ. Например, $1 \times \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$.
Как умножить дробь на целое число
Как умножить дробь на целое число
Чтобы умножить дробь на целое число:
Умножьте числитель дроби на целое число.
Оставьте знаменатель прежним.
Упростите дробь, если это возможно.
Например, умножьте 5 × ² / ₇ .
Числитель дроби — число сверху, равное 2.
Мы умножаем 2 на 5, но сохраняем знаменатель 7 равным 7.
5 × ² / ₇ = ¹⁰ / ₇ .
Упрощаем, если это возможно. Поскольку дробь неправильная, мы можем преобразовать ее в смешанное число.
¹⁰ / ₇ означает 10 ÷ 7, что составляет 1 остаток 3. Следовательно, дробь может быть записана как 1 ³ / ₇ .
Альтернативный метод умножения дроби на целое число
Чтобы умножить дробь на целое число:
Запишите целое число как дробь от 1.
Умножьте числители.
Умножить знаменатели..
Упростите, если возможно.
Например, умножьте 4 × ¹ / ₂ .
Первый шаг — записать 4 как ⁴ / ₁ .
Второй шаг — умножить числители: 4 × 1 = 4. Числитель ответа равен 4.
Третий шаг — умножить знаменатели: 1 × 2 = 2. Знаменатель ответа равен 2.
Следовательно, 4 × ¹ / ₂ = ⁴ / ₂ .
Наконец, упростите дробь, разделив и числитель, и знаменатель на одно и то же значение. Мы можем разделить 4 и 2 на 2, поэтому ⁴ / ₂ упрощается до ² / ₁ . ² / ₁ то же, что и 2.
Следовательно, 4 × ¹ / ₂ = 2.
Мы также знаем, что половина 4 равна 2.
Как умножить дробь на целое число в простейшей форме
Чтобы умножить дробь на целое число, умножьте числитель на целое число. Чтобы записать этот ответ в простейшей форме, разделите числитель и знаменатель на наибольшее число, которое точно делится на оба.
Например, вычислите 2 × ³ / ₁₀ в простейшей форме.
Первый шаг — умножить числитель дроби на целое число. 2 × 3 = 6 и, следовательно, 2 × ³ / ₁₀ = ⁶ / ₁₀ .
Второй шаг — упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на наибольшее число, которое делится на оба.
И 6, и 10 можно разделить на 2. ⁶ / ₁₀ упрощается до ³ / ₅ .
Следовательно, 2 × ³ / ₁₀ в простейшей форме равно ³ / ₅ .
Умножение дроби на целое число можно также рассчитать, разделив знаменатель на целое число.
10 — знаменатель, а 10 ÷ 2 = 5 — новый знаменатель. Это работает только в том случае, если знаменатель дроби можно разделить на целое число.
Как умножить смешанное число на целое
Чтобы умножить смешанное число на целое число:
Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
Умножить числитель неправильной дроби на целое число.
Упростите, если возможно, и преобразуйте обратно в смешанное число.
Например, умножьте 2 × 1 ² / ₃ .
Шаг 1. Превратите смешанное число в неправильную дробь.
Оставьте знаменатель прежним.
Чтобы найти новый числитель, умножьте целое число смешанного числа на знаменатель, а затем добавьте числитель.
Знаменатель равен 3. Числитель находится путем умножения 1 и 3, чтобы получить 3, а затем прибавления 2, чтобы получить 5.
1 ² / ₃ = ⁵ / ₃ .
Шаг 2. Умножьте числитель неправильной дроби на целое число.
Мы умножаем 2 × 5 = 10 и, таким образом, 2 × ⁵ / ₃ = ¹⁰ / ₃ .
Последний шаг — упростить и снова записать смешанное число.
¹⁰ / ₃ = 3 ¹ / ₃ .
Следовательно, 2 × 1 ² / ₃ = 3 ¹ / ₃
Умножение дроби на целое число с помощью числовой строки
Отметьте дробь на числовой прямой. Чтобы умножить его на целое число, прибавьте к той же дроби столько раз, сколько требуется для умножения.
Например, вот 5 × ¹ / ₈ на числовой прямой.
Разбиваем каждое целое число на восьмые и считаем пять из них.
5 × ¹ / ₈ = ⁵ / ₈ .
Вот еще один пример с неправильной дробью или смешанным числом.
Вычислите 5 × ¹ / ₃ , используя числовую прямую.
Разобьем каждое целое число на трети. Затем мы отсчитываем пять таких прыжков на нашей числовой прямой.
5 × ¹ / ₃ = ⁵ / ₃ .
В качестве смешанного числа это 1 ² / ₃ .
Умножение дроби на целое число с использованием моделей
Модели можно использовать для обучения процессу умножения дробей на целые числа.
Вот модель дроби ¹ / ₃ . Чтобы умножить его на 2, мы имеем в два раза больше частей.
Мы видим, что теперь у нас есть заштрихованные ² / ₃ .

« Предыдущая 1 … 161 162 163 164 165 … 3 226 Следующая »

a11b11 + a12b21 + a13*b31	a11b12 + a12b22 + a13*b32	a11b13 + a12b23 + a13*b33
a21b11 + a22b21 + a23*b31	a21b12 + a22b22 + a23*b32	a21b13 + a22b23 + a23*b33
a31b11 + a32b21 + a33*b31	a31b12 + a32b22 + a33*b32	a31b13 + a32b23 + a33*b33

\(\displaystyle x\)	\(\displaystyle 0\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle y=2\sqrt{x}\)	\(\displaystyle 2\sqrt{0}\)	\(\displaystyle 2\sqrt{1}\)	\(\displaystyle 2\sqrt{2}\)	\(\displaystyle 2\sqrt{3}\)	\(\displaystyle 2\sqrt{4}\)	\(\displaystyle 2\sqrt{5}\)	\(\displaystyle 2\sqrt{6}\)

\(\displaystyle x\)	\(\displaystyle 0\)	\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 6\)
\(\displaystyle y=2\sqrt{x}\)	\(\displaystyle 0\)	\(\displaystyle 2\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 3{,}5\)	\(\displaystyle 4\)	\(\displaystyle 4{,}5\)	\(\displaystyle 5\)