Автор: alexxlab

Объединяйте видео онлайн — объединяйте видео и клипы бесплатно

Убрать рекламу

Объедините два видеоклипа вместе в кратчайшие сроки!

Эта мощная бесплатная платформа для редактирования видео позволяет объединять видео онлайн, редактировать их по своему усмотрению и с легкостью создавать профессионально выглядящее видео. Вам не нужно загружать какое-либо программное обеспечение, кодеки или расширения для браузера. Здесь нет кривой обучения, а в пользовательском интерфейсе есть все необходимые инструменты. Это видео слияние работает в браузере на настольных компьютерах и мобильных устройствах, таких как смартфоны или планшеты. Платформа поддерживает различные форматы видео, кодеки и форматы, такие как MP4, MOV, AVI, WEBM, WMV, M4V, HEVC и другие. Система полностью онлайн, и это абсолютно бесплатно. Начните создавать идеальное видео из отдельных файлов прямо сейчас.

Как объединить видео онлайн?

Вы можете комбинировать два и более видеофайлов с разными входными форматами, соотношениями сторон и размерами кадров. Следуйте этим инструкциям, чтобы создать собственное видео.

1. Загрузить видео

   Откройте «Объединение видео» в браузере на компьютере или мобильном устройстве. Нажмите «Открыть файл» или перетащите первое видео. После загрузки нажмите «Добавить» в нижней части окна редактирования и выберите другой файл.

2. Объединить видео

   Чтобы соединить видео, вы можете обрезать их по длине прямо на временной шкале. Кроме того, вы можете расположить указатель воспроизведения и использовать инструмент «Ножницы» на выбранном видеоклипе, чтобы разделить его. Видео может иметь разное соотношение сторон, поэтому используйте Transform, чтобы избавиться от черных полос.

3. Выберите формат для кодирования

   Нажмите на значок шестеренки рядом с Сохранить, чтобы увидеть настройки кодирования. MP4 будет работать для Интернета, MKV для автономного использования и MOV для устройств Apple. Когда вы закончите, нажмите «Сохранить», и кодирование видео займет несколько минут.

4. Сохраните и продолжите работу

   Теперь вы можете загрузить результат видео на свое устройство или сразу же поделиться им в социальных сетях. Вы можете продолжить работу над другим видео и использовать другие инструменты, такие как «Добавить музыку», «Зациклить видео» или «Добавить текст».

Объединяйте два или более видео вместе и создавайте отличный контент

Используйте этот мощный инструмент для производства видео, чтобы объединять отдельные видеоклипы, которые вы сняли или скачали, в фильм, который передает вашу идею и эмоции миллионам пользователей в Интернете. Например, соберите витрину ваших вещей и разместите ее в Instagram. Создайте видео о своей последней поездке или проекте и станьте видеоблогером без вложений в программное обеспечение и без найма команды по производству видео. Добавьте заголовки и сделайте видеопрезентацию из нескольких клипов, которые помогут вам на вашем основном мероприятии на работе.

Наши преимущества

Безопасность

Мы обеспечиваем все необходимые меры безопасности, чтобы ваши данные, которыми вы делитесь с нами, никогда не попадали куда-либо, кроме как обратно к вам. Все наши услуги соответствуют требованиям США и ЕС по защите данных.

Хороший опыт

Монтаж видео не должен быть сложным. Мы узнали, как это делается в самых популярных инструментах и как люди ожидают, что это будет работать. Эта платформа предлагает все необходимые вам функции, и их использование очевидно.

Мощный

Наши серверы несравнимы с ПК по вычислительной мощности, поэтому все ваши видео будут преобразованы и отредактированы в одно мгновение. Кроме того, настольные инструменты создают видео высокого разрешения во время редактирования, что требует много места на диске.

Онлайн-объединитель видео

Трудно поверить, что в наши дни редактирование видео возможно через Интернет, но этот сервис делает это возможным. Больше никаких загрузок инструментов, пробных периодов, водяных знаков и других сложностей только для редактирования видео.

Интуитивно понятный интерфейс

Пользовательский интерфейс построен на временной шкале и средстве просмотра видео с помощью только необходимых инструментов в виде кнопок. Объединяйте видео, обрезайте и не ищите в интернете, как сделать то и это.

Присоединяйтесь к любому формату видео

Наш инструмент включает в себя коллекцию из более чем 30 популярных кодеков и форматов видеоконтейнеров, которые были созданы и активно используются в течение последних нескольких десятилетий, включая MPEG, MOV, WMV и многие другие.

Инструменты для конкретных форматов

Объединить GIF-файлы Соединить AVI Объединить MKV Соединить WMV Соединитель MOV Объединение MPEG Объединить FLV-файлы Объединить WEBM Соединить MP4

Часто задаваемые вопросы

Какие типы видеофайлов я могу объединить?

С помощью этой платформы вы можете загружать и объединять видеофайлы любого типа. Это связано с форматом файла, соотношением сторон, количеством кадров в секунду, алгоритмами сжатия и многими другими параметрами видео.

Могу ли я объединить видео разных форматов?

Поддерживается более 30 кодеков и типов видеофайлов, поэтому справедливо сказать, что он будет обрабатывать любое видео. Кроме того, вы можете объединить несколько форматов вместе и вывести его как один фильм, который можно воспроизводить в любом месте в Интернете.

Влияет ли качество на качество, когда я объединяю видео онлайн?

Этот онлайн-конвертер включает в себя последние версии наиболее эффективных алгоритмов сжатия мультимедиа, которые уменьшают размер выходного файла, сохраняя при этом качество видео и звука, неотличимое от исходных загруженных вами файлов.

Как соединить видео MP4 вместе?

Загружайте файлы MP4 один за другим, следуя инструкциям на этой странице. Обрежьте видео, если вам нужно, отрегулируйте размер, чтобы удалить черные полосы видео с другим соотношением сторон, и объедините их в одно выходное видео, нажав «Сохранить».

English Português Italiano Español Deutsch Français Русский Polski Türkçe 日本語 한국어 简体中文 繁體中文 tiếng Việt ภาษาไทย Bahasa Indonesia

Войти через Google

Войти через Facebook

или

Забыли пароль?

Нет аккаунта? Зарегистрируйтесь

Разрешите этому приложению работать с вашим Google Диском

PPT to PDF — онлайн-конвертер

Выберите файл для конвертации

Перетащите файлы сюда. Максимальный размер файла 100 МБ или Зарегистрироваться

У вас есть возможность преобразовать файл ppt в pdf, а также во множество других форматов, используя наш бесплатный онлайн-конвертер.

С помощью этих шагов можно легко преобразовать файл PDF в формат ppt.

Шаг 1

Загрузить ppt-файл

Вы можете выбрать ppt-файл, который хотите конвертировать, с компьютера, Google Диска, Dropbox или просто перетащить его на страницу.

Шаг 2

Выберите «в pdf»

Выберите pdf или любой другой из 200+ поддерживаемых форматов, в который вы хотите конвертировать.

Шаг 3

Загрузите файл в формате PDF

Дождитесь завершения преобразования, затем нажмите кнопку загрузки, чтобы получить преобразованный файл в формате PDF.

Преобразование ppt в pdf

Быстро и просто

Просто перетащите файлы ppt на веб-страницу, и вы сможете конвертировать их в pdf или более чем в 250 различных форматов файлов без необходимости регистрации, предоставьте адрес электронной почты или добавить водяной знак.

Вам не нужно беспокоиться о безопасности.

Как только вы загрузите файлы ppt, мы сразу же их удалим. Затем преобразованные файлы удаляются через 24 часа. Кроме того, мы гарантируем, что все передачи файлов безопасны благодаря расширенному шифрованию SSL.

Все хранится в облаке.

Вам не нужно утруждать себя установкой какого-либо программного обеспечения. Мы обрабатываем все преобразования ppt в pdf в облаке, что означает, что никакие ресурсы вашего компьютера не будут использоваться в процессе.

Microsoft PowerPoint

Portable Document Format

ppt converter

ppt to bmpppt to gifppt to jpegppt to pngppt to ppmppt to psdppt to svgppt to tiffppt to htmlppt to pdfppt to docppt to docxppt to pptxppt to odtppt to wpsppt to rtfppt to txtppt в odpppt в odgppt в otpppt в sxippt в stippt в ppsppt в potppt в sdappt в sddppt в epsppt в ppsxppt в jpgppt в epubppt в mobippt в rarppt в mp3ppt в mp4ppt в keyppt в videoppt в psp0013

arw в pdfbmp в pdfcgm в pdfcr2 в pdfdcm в pdfdjvu в pdfdng в pdfemf в pdffax в pdfgif в pdfhdr в pdfhrz в pdfico в pdfjpeg в pdfmng в pdfmtv в pdfnef в pdfpam в pdfpcx в pdfpes в pdfpgm в pdfpict в pdfnpng в pdfnpng pdfppm в pdfpsd в pdfpwp в pdfrla в pdfsfw в pdfsun в pdfsvg в pdftga в pdftiff в pdfwpg в pdfxcf в pdfxwd в pdfepdf в pdfhtml в pdfdoc в pdfdocx в pdfxls в pdfxlsx в pdfpptx в pdfodt в pdfott в pdfsxw в pdfmldocm в pdfmldocm pdfwps в pdfdot в pdfhwp в pdfrtf в pdftxt в pdfwpd в pdfdotm в pdfpages в pdflrf в pdffb2 в pdfsdw в pdfods в pdfots в pdfsxc в pdfstc в pdfxlt в pdfcsv в pdfwks в pdfdbf в pdfwodp в pdfodg в pdf topdf pdfpps в pdfdxf в pdfdxf pdfpptm в pdfppsx в pdfppt в pdfdotx в pdfpdb в pdfjpg в pdfepub в pdfmobi в pdfazw3 в pdflit в pdfsnb в pdftcr в pdfai в pdfmp3 в pdfmp4 в pdfxps в pdfoxps в pdfcbr в pdfcbz в pdftif в pdfhtm в pdfdst в pdfwaznumbers в pdf pdfdwg в ​​pdfraw в pdfprc в pdfwebp в pdfpub в pdfcdr в pdfheic в pdfplt в pdfheif в pdfavif в pdfmidi в pdfcad в pdfiso в pdfpsp в pdffig в pdfpat в pdfone в pdfjnt в pdfexp в pdfcfm в pdfosm в pdfasd в pdfcam в pdfcontact в pdfvss в pdfcal в pdfdps в pdfmac в pdftax в pdfcfa в pdfabc в pdfrtl в pdfolm в pdfmax в pdfind в pdfepf в pdffit в pdfsla в pdfmuse в pdfpez в pdfipynb в pdfaspx в pdfdat в pdfjpe в pdfjp2 в pdfjps в pdfexr в pdfmap в pdfppsm в pdfjif в pdfjbg в pdfabw в pdfpotx в pdfdbk в pdfwmz в pdf

PPT в PDF — конвертировать PPT в PDF онлайн

Перетащите документ PowerPoint (ppt или pptx), чтобы преобразовать его в документ PDF.

максимально допустимый размер: 5 МБ

Выберите файл PPT/PPTX

Преобразование PPT в PDF онлайн

Воспользуйтесь нашим онлайн-инструментом для преобразования презентаций Powerpoint PPT или PPTX в файл PDF.

Лучший конвертер PPT в PDF!

С помощью функции одним щелчком можно перейти от презентации Powerpoint к формату PDF одним нажатием кнопки. нажмите.

Быстрое преобразование PowerPoint в PDF

Просто перетащите или загрузите файлы PPT и получите новый формат PDF в секунды.

Выполните следующие действия, чтобы быстро преобразовать файл PowerPoint PPT в PDF:

• 1. Нажмите «Выбрать файлы PPT» или перетащите файл в зону перетаскивания.
• 2. Выберите файл PPT или PPTX, который вы хотите преобразовать.
• 3. Наш инструмент будет автоматически конвертировать.
• 4. Подождите, пока конвертер завершит преобразование файлов.
• 5. Ваша презентация PPT была преобразована в файл PDF.

Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 3-его порядка методом Крамера, пример № 1

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Систему уравнений можно представить в матричной форме: Ax = B, где А — основная матрица (квадратная матрица), В — матрица свободных членов.

Теперь необходимо найти 4 определителя: определитель основной матрицы (определитель системы) и 3 определителя дополнительных матриц. Перед нахождением определителей советуем ознакомиться с теорией определителей матриц, а для нахождения определителей советуем использовать нашу программу — нахождение определителя матрицы.

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

Найдем определитель основной матрицы:

Определитель основной матрицы не равен нуля, значит система невырожденная.

Найдем определители 3 дополнительных матриц:

Дополнительная матрица получается из основной путем замены элементов одного из трех столбцов основной матрицы элементами матрицы свободных членов.

Найдем решения системы алгебраических уравнений:

х₁ = Δ₁/Δ = 2
х₂ = Δ₂/Δ = 1
х₃ = Δ₃/Δ = -2

Вы поняли, как решать? Нет?

Другие примеры

Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Высшая математика » Системы линейных алгебраических уравнений » Метод Крамера

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $\Delta\neq 0$.
2. Для каждой переменной $x_i$($i=\overline{1,n}$) необходимо составить определитель $\Delta_{x_i}$, полученный из определителя $\Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}$ ($i=\overline{1,n}$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end{aligned}\right. $ методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: $ A=\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right)$. Определитель этой матрицы:

$$\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|=3\cdot 5-2\cdot(-1)=17.$$

Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $\Delta_{x_1}$ и $\Delta_{x_2}$. Определитель $\Delta_{x_1}$ получаем из определителя $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)$:

$$ \Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc}-11&2\\15&5\end{array}\right|=-55-30=-85. $$

Аналогично, заменяя второй столбец в $\Delta=\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&5\end{array}\right|$ столбцом свободных членов, получим:

$$ \Delta_{x_2}=\left|\begin{array} {cc} 3 & -11\\ -1 & 15\end{array}\right|=45-11=34. $$

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

$$x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{-85}{17}=-5;\;x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{34}{17}=2.$$

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

$$\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=3\cdot(-5)+2\cdot{2}=-11;\\ & -x_1+5x_2=-(-5)+5\cdot{2}=15. \end{aligned}\right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end{aligned} \right.$, используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы:

$$\Delta=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right|=4+2+2-3=5.$$

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_1}$:

$$ \Delta_{x_1}=\left| \begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\\ -7 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right|=6-4-4+7=5. $$

Заменяя второй столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_2}$:

$$ \Delta_{x_2}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ 3 & -7 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right|=-14+6+6-7-9+8=-10. $$

Заменяя третий столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_3}$:

$$ \Delta_{x_3}=\left| \begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\\ 3 & 2 & -7 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right|=-8-7-6+6=-15. $$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

$$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{5}{5}=1;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-10}{5}=-2; \; x_3=\frac{\Delta_{x_3}}{\Delta}=\frac{-15}{5}=-3. $$

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

$$\left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=2\cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=3\cdot{1}+2\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-7;\\ & x_1+x_3=1+(-3)=-2. \end{aligned} \right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\right.$ используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы $ \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2=x_3+15;\\ & -9x_1-2x_2=-5x_3-7. \end{aligned} \right. $$

Теперь матрица системы $ \left( \begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) $ стала квадратной, и определитель её $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

$$ \begin{aligned} & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {cc} x_3+15 & 3\\ -5x_3-7 & -2 \end{array}\right| =-2x_3-30-\left(-15x_3-21\right) =13x_3-9;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {cc} 2 & x_3+15\\ -9 & -5x_3-7 \end{array}\right| =-10x_3-14-\left(-9x_3-135\right) =-x_3+121. \end{aligned} $$ $$ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{13x_3-9}{23};\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{-x_3+121}{23}. $$

Ответ можно записать в таком виде: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\ & x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\ & x_3\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\ & -4x_1+10x_2-7x_3=5. \end{aligned}\right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $ \left\{\begin{aligned} &2x_1-5x_2=-10x_3+14;\\ &-4x_1+10x_2=7x_3+5. \end{aligned}\right.$. Определитель данной системы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $ \left\{\begin{aligned} &2x_1+10x_3=5x_2+14;\\ &-4x_1-7x_3=-10x_2+5. \end{aligned}\right.$, определитель которой $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Пример №4

Решить СЛАУ

$$\left\{\begin{aligned} &x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\\ &2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \\ &-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0. \end{aligned}\right.$$

методом Крамера.

Решение

Матрица системы $\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end{array}\right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

$$ \left\{\begin{aligned} & x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\\ & 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \\ & -x_1+4x_2+5x_3=3x_4. \end{aligned}\right.$$ $$ \begin{aligned} & \Delta =\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1\\ 2 & -6 & 1\\-1 & 4 & 5 \end{array}\right| =19;\\ \\ & \Delta_{x_1} =\left| \begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1\\ 4x_4+2x_5 & -6 & 1\\3x_4 & 4 & 5 \end{array}\right| =-17x_4+144x_5;\\ \\ & \Delta_{x_2} =\left| \begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1\\ 2 & 4x_4+2x_5 & 1\\-1 & 3x_4 & 5 \end{array}\right| =-15x_4+41x_5;\\ \\ & \Delta_{x_3} =\left| \begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5\\ 2 & -6 & 4x_4+2x_5\\-1 & 4 & 3x_4 \end{array}\right| =20x_4-4x_5. \end{aligned} $$

Ответ таков: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

9.8: Решение систем с правилом Крамера

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Оценить определители 2 × 2.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
• Оценить 3 × 3 определителя.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку оно имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы, чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

НАЙТИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2,

\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)

равен определяется как

Обратите внимание на изменение обозначения. Есть несколько способов указать определитель, в том числе \(\det(A)\) и замена скобок в матрице прямыми, \(| A |\).

Пример \(\PageIndex{1}\): нахождение определителя матрицы \(2 × 2\)

Найдите определитель данной матрицы.

\(A=\begin{bmatrix}5&2\\−6&3\end{bmatrix}\)

Решение

\[\begin{align*} \det(A)&= \begin{vmatrix} 5&2\\-6&3\end{vmatrix}\\ &= 5(3)-(-6)(2)\\ &= 27 \end{align*}\]

Использование правила Крамера для решения системы двойки Уравнения с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Известен как Правило Крамера , этот метод восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704-1752), который представил его в 1750 году в Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques . Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

\[\begin{align} a_1x+b_1y&= c_1 (1) \label{eq1}\\ a_2x+b_2y&= c_2 (2) \label{eq2}\\ \end{align}\]

Исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решить для другой. Скажем, что мы хотим найти \(x\). Если уравнение \ref{eq2} умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту \(y\) в уравнении \ref{eq1}, уравнение \ref{eq1} умножается на коэффициент \(y\) в уравнении \ref {eq2}, и мы добавим два уравнения, переменная \(y\) будет исключена.

\[\begin{align*} &b_2a_1x+b_2b_1y = b_2c_1 & \text{Умножить }R_1 \text{ на }b_2 \\ -&\underline{b_1a_2x-b_1b_2y=-b_1c_2} & \text{Умножить }R_2 \ text{ by }−b_1 \\ & b_2a_1x−b_1a_2x=b_2c_1−b_1c_2 \end{align*}\]

Теперь найдите \(x\).

\[\begin{align*} b_2a_1x−b_1a_2x &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x(b_2a_1−b_1a_2) &= b_2c_1−b_1c_2 \\ x &= \dfrac{b_2c_1−b_1c_2}{b_2a_1−b_1a_2}=\ dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

Аналогично, чтобы найти \(y\), мы исключим \(x\).

\[\begin{align*} & a_2a_1x+a_2b_1y = a_2c_1 & \text{Multiply }R_1 \text{ by }a_2 \\ -& \underline{a_1a_2x-a_1b_2y=-a_1c_2} & \text{Multiply }R_2 \text{ by }-a_1 \\ & a_2b_1y-a_1b_2y =a_2c_1-a_1c_2 \end{align*}\]

Решение для \(y\) дает

\[ \begin{align*} a_2b_1y-a_1b_2y &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y(a_2b_1−a_1b_2) &= a_2c_1−a_1c_2 \\ y &= \dfrac{a_2c_1−a_1c_2}{a_2b_1−a_1b_2}=\dfrac{a_1c_2−a_2c_1}{a_1b_2−a_2b_1}=\dfrac{ \begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \end{align*}\]

Обратите внимание, что знаменатель для \(x\) и \(y\) является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для нахождения \(x\) и \(y\), но правило Крамера также вводит новые обозначения: детерминанты. Тогда мы можем выразить \(x\) и \(y\) как частное двух определителей.

ПРАВИЛО КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМ \(2×2\)

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

\[\begin{align*} a_1x+b_1y&= c_1\\ a_2x+b_2y&= c_2 \end{align*}\]

Решение с использованием правила Крамера дается как

\[\begin{align} x& = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}\; , D\neq 0\\ y&= \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{\begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix }}\; , D\neq 0 \end{align}\]

Если мы находим \(x\), столбец \(x\) заменяется столбцом констант. Если мы ищем \(y\), столбец \(y\) заменяется постоянным столбцом.

Пример \(\PageIndex{2}\): использование правила Крамера для решения системы \(2 × 2\)

Решите следующую систему \(2 × 2\), используя правило Крамера.

\[\begin{align*} 12x+3y&= 15\\ 2x-3y&= 13 \end{align*}\]

Решение

Найдите \(x\).

\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}15&3\\13&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 12&3\\2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{-45-39}{-36-6}\\ &= \dfrac{-84}{-42}\\ &= 2 \end{align*}\]

Найдите \(y\).

\[\begin{align*} y&= \dfrac{D_y}{D}\\ &= \dfrac{\begin{bmatrix}12&15\\2&13\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}12&3\ \2&-3\end{bmatrix}}\\ &= \dfrac{156-30}{-36-6}\\ &= -\dfrac{126}{42}\\ &= -3 \end{align *}\]

Решение: \((2,−3)\).

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Используйте правило Крамера для решения системы \(2 × 2\) уравнений.

\[\begin{align*} x+2y&= -11\\ -2x+y&= -13 \end{align*}\]

Ответ

\((3,−7)\)

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но определить определитель матрицы 3 × 3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

\(A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}\)

1. Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.

   \(\det(A)=\left| \begin{array}{ccc|cc} a_1&b_1&c_1&a_1&b_1\\a_2&b_2&c_2&a_2&b_2\\a_3&b_3&c_3&a_3&b_3\end{array} \right|\)

2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Алгебра выглядит следующим образом:

\(| A |=a_1b_2c_3+b_1c_2a_3+c_1a_2b_3−a_3b_2c_1−b_3c_2a_1−c_3a_2b_1\)

Пример определения {3} × 3 Matrix

Найдите определитель матрицы \(3 × 3\) по данным

\(A=\begin{bmatrix}0&2&1\\3&−1&1\\4&0&1\end{bmatrix}\)

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами и следуйте формуле. Таким образом,

\[\begin{align*} | А | &= \влево| \begin{массив}{ccc|cc}0&2&1&0&2\\3&-1&1&3&-1\\4&0&1&4&0\end{массив}\right| \\ &= 0(−1)(1)+2(1)(4)+1(3)(0)−4(−1)(1)−0(1)(0)−1(3) (2) \\ &=0+8+0+4−0−6 \\ &= 6 \end{align*}\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Найдите определитель Матрица 3 × 3.

\(\det(A)=\begin{vmatrix}1&−3&7\\1&1&1\\1&−2&3\end{vmatrix}\)

Ответ

\(−10\)

Вопросы и ответы: Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя матрицы большего размера?

Нет, этот метод работает только для матриц 2 × 2 и 3 × 3. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы \(3 × 3\), мы можем применить правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменные. Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц \(2 × 2\). Однако по мере увеличения порядка матрицы до \(3 × 3\) требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем определитель равным нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений \(3 × 3\).

\[\begin{align} a_1x+b_1y+c_1z &= \color{blue}d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z &= \color{blue}d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z &= \color{blue }d_3 \\ \end{align}\]

\(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\), \(z=\dfrac{ D_z}{D}\), \(D≠0\)

где

\[D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_x = \begin{vmatrix} \color{blue}d_1 & b_1 & c_1\\ \color{blue}d_2 & b_2 & c_2\\ \color{blue}d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_y = \begin{vmatrix} a_1 & \color{blue}d_1 & c_1\\ a_2 & \color{blue}d_2 & c_2\\ a_3 & \color{blue}d_3 & c_3 \end{vmatrix}\; ,\; D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & \color{blue}d_1\\ a_2 & b_2 & \color{blue}d_2\\ a_3 & b_3 & \color{blue}d_3 \end{vmatrix}\]

Если мы записываем определитель \(D_x\), мы заменяем столбец \(x\) постоянным столбцом. Если мы записываем определитель \(D_y\), мы заменяем их столбец y на постоянный столбец. Если мы записываем определитель \(D_z\), мы заменяем столбец \(z\) постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример \(\PageIndex{4}\): решение системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера

Найдите решение данной системы \(3 × 3\) с помощью правила Крамера.

\[\begin{align*} x+y-z&= 6\\ 3x-2y+z&= -5\\ x+3y-2z&= 14 \end{align*}\]

Решение

Используйте правило Крамера.

\(D=\begin{vmatrix}1&1&−1\\3&−2&1\\1&3&−2\end{vmatrix}\), \(D_x=\begin{vmatrix}6&1&−1\\−5&−2&1 \\14&3&-2\end{vmatrix}\), \(D_y=\begin{vmatrix}1&6&-1\\3&-5&1\\1&14&-2\end{vmatrix}\), \(D_z=\begin{ vmatrix}1&1&6\\3&-2&-5\\1&3&14\end{vmatrix}\)

Затем

\[\begin{align*} x&= \dfrac{D_x}{D}&= \dfrac{- 3}{-3}&= 1\\ y&= \dfrac{D_y}{D}&= \dfrac{-9}{-3}&= 3\\ z&= \dfrac{D_z}{D}&= \dfrac{6}{-3}&= -2\\ \end{align*}\]

Решение: \((1,3,−2)\).

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Используйте правило Крамера для решения матрицы \(3 × 3\).

\[\begin{align*} x-3y+7z&= 13\\ x+y+z&= 1\\ x-2y+3z&= 4 \end{align*}\]

Ответ

\(\влево(−2,\dfrac{3}{5},\dfrac{12}{5}\вправо)\)

Пример \(\PageIndex{5A}\): использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решите систему уравнений с помощью правила Крамера.

\[\begin{align} 3x-2y&= 4 \label{eq3}\\ 6x-4y&= 0 \label{eq4}\end{align}\]

Решение

Начнем с нахождения определители \(D\), \(D_x\) и \(D_y\).

\(D=\begin{vmatrix}3&-2\\6&-4\end{vmatrix}=3(-4)−6(-2)=0\)

Мы знаем, что определитель нуля означает либо система не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Чтобы увидеть, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножить уравнение \ref{eq3} на \(−2\).
2. Добавьте результат к уравнению \ref{eq4}.

\[\begin{align*} &−6x+4y=−8 \\ &\;\;\;\underline{6x−4y=0} \\ &\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\; 0=−8 \end{align*}\]

Получаем уравнение \(0=−8\), которое неверно. Следовательно, система не имеет решения. График системы показывает две параллельные линии. См. рисунок \(\PageIndex{1}\).

Рисунок \(\PageIndex{1}\)

Пример \(\PageIndex{5B}\): использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

\[\begin{align} x-2y+3z&= 0 \label{eq5}\\ 3x+y-2z&= 0 \label{eq6}\\ 2x-4y+6z&= 0 \label{eq7} \ end{align}\]

Решение

Сначала найдем определитель. Настройте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

\(\left| \begin{array}{ccc|cc}1&−2&3&1&-2\\3&1&−2&3&1\\2&−4&6&2&-4\end{array}\right|\)

Затем

\(1(1)(6)+(−2)(−2)(2)+3(3)(−4)−2(1)(3)−(−4)(−2)( 1)−6(3)(−2)=0\)

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное число решений. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение \ref{eq5} на \(−2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq7}:

\[\begin{align*} &−2x+4y−6x=0 \ \ &\;\;\underline{2x−4y+6z=0} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;0=0 \end{align*}\]

2. Получение ответа \(0=0\), утверждение, которое всегда истинно, означает, что система имеет бесконечное число решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы и обе пересекают третью плоскость по прямой. См. рисунок \(\PageIndex{2}\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\)

Понимание свойств определителей

У определителей много свойств. Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

1. Если матрица имеет верхнетреугольную форму, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
4. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример \(\PageIndex{6}\): Иллюстрация свойств определителей

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Решение

Свойство 1 гласит, что если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов, расположенных вниз по главной диагонали.

\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&2&1\\0&0&-1\end{bmatrix}\)

Дополнить \(A\) первыми двумя столбцами.

\(A=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&3&1&2\\0&2&1&0&2\\0&0&−1&0&0\end{array}\right]\)

Затем

\[\begin{align* } \det(A)&= 1(2)(-1)+2(1)(0)+3(0)(0)-0(2)(3)-0(1)(1)+1 (0)(2)\\ &= -2 \end{align*}\]

Свойство 2 утверждает, что перестановка строк меняет знак. Учитывая

\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}-1&5\\4&-3\end{bmatrix}\\ \det(A)&= (-1)(-3)-(4) (5)\\ &= 3-20\\ &= -17 \end{align*}\]

\[\begin{align*} B&= \begin{bmatrix}4&-3\\-1&5\end {bmatrix}\\ \det(B)&= (4)(5)-(-1)(-3)\\ &= 20-3\\ &= 17 \end{align*}\]

Свойство 3 утверждает, что если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю.

\[\begin{align*} A&=\left[ \begin{array}{ccc|cc}1&2&2&1&2\\2&2&2&2&2\\-1&2&2&-1&2\end{массив}\right]\\ \det(A) &=1(2)(2)+2(2)(-1)+2(2)(2)+1(2)(2)-2(2)(1)-2(2)(2) \\ &=4-4+8+4-4-8\\ &=0 \end{align*}\] 9{-1})&=-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{2}(1)\\ &=-\dfrac{1}{2} \ end{align*}\]

Свойство 6 гласит, что если любая строка или столбец матрицы умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. Таким образом,

\[\begin{align*} A&=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(A)&=1(4)-2(3)\\ &= -2 \end{align*}\]

\[\begin{align*} B&=\begin{bmatrix}2(1)&2(2)\\3&4\end{bmatrix}\\ \det(B) &=2(4)-3(4)\\ &=-4 \end{align*}\]

Пример \(\PageIndex{7}\): использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

Найдите решение заданной системы \(3 × 3\).

\[\begin{align} 2x+4y+4z&=2 \label{eq8}\\ 3x+7y+7z&=-5 \label{eq9}\\ x+2y+2z&=4 \label{eq10} \end{align}\]

Решение

Используя правило Крамера, мы имеем

\(D=\begin{bmatrix}2&4&4\\3&7&7\\1&2&2\end{bmatrix}\)

Обратите внимание, что второй и третий столбцы идентичны. Согласно свойству 3 определитель будет равен нулю, поэтому решения либо нет, либо решений бесконечное множество. Мы должны выполнить исключение, чтобы узнать.

1. Умножьте уравнение \ref{eq10} на \(–2\) и добавьте результат к уравнению \ref{eq8}.

\[\begin{align*} -2x-4y-4x&=-8\\ 2x+4y+4z&=2\\ 0&=-6 \end{align*}\]

Получение оператора, который является Противоречие означает, что система не имеет решений.

Медиа

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практических занятий по правилу Крамера.

• Решение системы двух уравнений с помощью правила Крамера
• Решите систему из трех уравнений, используя правило Крамера

Основные понятия

• Определитель для \(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) равен \(ad-bc\). См. пример \(\PageIndex{1}\).
• Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\). См. пример \(\PageIndex{2}\).
• Чтобы найти определитель матрицы \(3×3\), увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху). См. пример \(\PageIndex{3}\).
• Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого требуемого решения: \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{ D_y}{D}\), \(z=\dfrac{D_z}{D}\). См. пример \(\PageIndex{4}\).
• Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений. См. Пример \(\PageIndex{5}\) и Пример \(\PageIndex{6}\).
• Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например: 9{−1}\) — величина, обратная определителю матрицы \(A\).
• Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент. См. Пример \(\PageIndex{7}\) и Пример \(\PageIndex{8}\).

---

Эта страница под названием 9.8: Решающие системы с правилом Крамера распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать страницу TOC

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   1. Правило Крамера
   2. Детерминанты
   3. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus

Калькулятор правила Крамера — Система уравнений 2 и 3

Сегодня мы поделимся еще одним простым, но мощным методом анализа цепей, известным как « Правило Крамера ».

• Анализ цепи SUPERMESH | Шаг за шагом с решенным примером

Обновление: Мы добавили онлайн-калькулятор правила Крамера, где вы можете решить систему двух уравнений, а также систему трех уравнений. Проверьте оба калькулятора правил Крамера в обоих разделах поста. Спасибо

 

Ниже приведено пошаговое руководство с примерами решения, в котором подробно рассказывается, как решить сложную электрическую цепь и сеть по правилу Крамера.

Калькулятор правила Крамера для 2×2 (система двух уравнений)

Калькулятор правила Крамера 2 x 2 (система 2 уравнений):

х + у =

х + у =

х =

у =

Нахождение двух переменных по правилу Крамера:

Пример 1:

(В нашем случае неизвестными значениями являются два тока: i ₁ и i ₂ ) по правилу Крамера. Теперь давайте начнем.

 

Как показано ниже, это простая электрическая цепь, и мы собираемся решить ее по правилу Крамера.

Правило Крамера для анализа линейных цепей | 2 переменные (2×2) Пример решения.

Решение:

Во-первых, переставьте схему с соответствующими метками (поскольку два резистора по 5 Ом включены последовательно, поэтому мы заменим его на 10 Ом).

Примените анализ сетки и упростите по правилу Крамера, чтобы найти неизвестные значения токов я ₁ и я ₂ .

Теперь напишем уравнения КВЛ неизвестных для данной схемы

Применить KVL на сетке (1).

6 = 14 i ₁ + 10( i ₁ – i ₂ )

               6 = 24 i ₁ – 10 i ₂ ….. → Уравнение (1)

Также примените KVL к сетке (2).

-5 = 10 i ₂ + 10( и ₂ – и ₁ )

                  -5 = – 10 i ₁ + 20 i ₂ …. . → уравнение (2)

Здесь мы получили два уравнения, т.е.

     24 i ₁ – 10 i ₂   =   6

  – 10 и ₁ + 20 и ₂ = -5

 

Теперь решим эти два уравнения по правилу Крамера, чтобы найти неизвестные значения (токов), которые равны i ₁ и i ₂ .

 

Решение по правилу Крамера:

Шаг 1:

Прежде всего, запишите приведенные выше уравнения в матричной форме. то есть

Шаг 2:

Теперь напишите матрицу коэффициентов приведенных выше уравнений и назовите ее ∆. Убедитесь, что он квадратный, т.е. количество строк x количество столбцов. В приведенном выше случае он имеет 2 строки и 2 столбца.

 

Шаг 3:

Теперь найдите определитель |∆| матрицы коэффициентов ∆ следующим методом. (Приведенный ниже рисунок поможет вам в этом.)

Нажмите на картинку, чтобы увеличить

Нахождение матрицы коэффициентов ∆ по правилу Крамера. Простое объяснение.

В соответствии с приведенным выше рис. последний шаг будет таким.

Шаг 4:

Теперь найдите определитель коэффициента Δ ₁ тем же способом, что указан выше, но замените первый столбец Δ на «Столбец ответов» (Если вы не уловили смысл столбца ответов, см. рис. на шаге 2 выше или проверьте инфографику на конец примера просто обратитесь ко второму примеру ниже, где мы сделали то же самое, чтобы найти Δ ₁ ), то есть

Шаг 5:

Теперь найдите определитель коэффициента Δ ₂ , просто замените второй столбец на «Столбец ответов», то есть

.

Шаг 6:

As Cramer’s rule tells that i ₁ = Δ ₁ / Δ and i ₂ = Δ ₂ / Δ .

Сейчас найди i ₁ и i ₂ по правилу Крамера.

i ₁ = 0,184,2 А или 184,2 мА

 

А,

i ₂ = 0,157,9 А или 157,9 мА

 

Ниже представлена ​​сводка инфографики по правилу Крамера для определения двух переменных или неизвестных значений.

Правило Крамера: простые шаги, инфографика, диаграмма

Хорошо, это было легко… Теперь, как насчет 3 переменных…. Попробуем решить линейные уравнения с тремя переменными с помощью правила Крамера.

Нахождение трех переменных по правилу Крамера:

(In our case, these unknown values ​​are three currents which are i ₁ , i ₂ and i ₃ ) by Правило Крамера. Теперь давайте начнем.

Калькулятор правила Крамера для 3×3 (система трех уравнений)

Калькулятор правила Крамера 3 x 3 (3 системы уравнений):

х + у + z =

х + у + z =

х + у + z =

х =

у =

з =

 

Пример 2:

Используйте анализ сетки для определения трех токов сетки в схеме ниже. Используйте правило Крамера для упрощения.

Найдите три неизвестных значения токов по правилу Крамера.

Прежде всего, примените KVL к каждому мешу один за другим и напишите его уравнения.

-7+1 ( I ₁ — I ₂ )+6+2 ( I ₁ — I ₃ ) = 09567 1.

.9007.

7 1.

.

(

7 19567 1.

(

7 1.

7 1.9007 (

7 1.

исследование линейных систем уравнений

Вы искали исследование линейных систем уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и исследование матрицы на совместимость, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «исследование линейных систем уравнений».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как исследование линейных систем уравнений,исследование матрицы на совместимость,исследование на совместимость матрицы,исследование на совместность системы линейных уравнений,исследование систем линейных уравнений,исследование системы линейных уравнений на совместность,исследование системы на совместность онлайн,исследовать на совместность систему линейных уравнений онлайн,исследовать на совместность систему на совместность онлайн,исследовать на совместность систему уравнений,исследовать систему линейных уравнений,исследовать систему линейных уравнений на совместность,исследовать систему линейных уравнений на совместность онлайн,исследовать систему на совместность и определенность не решая ее,исследовать систему на совместность и решить ее если она совместна,исследовать систему на совместность онлайн,исследовать систему уравнений на совместимость и определенность не решая ее,исследовать систему уравнений на совместность,как исследовать систему линейных уравнений на совместность,как определить совместность системы линейных уравнений,как проверить на совместность систему,как проверить систему на совместность,как проверить совместность системы линейных уравнений,как проверить совместность системы уравнений,матрицы исследование на совместимость,проверить на совместность систему,проверить систему на совместность,проверить совместность системы уравнений,проверка на совместность системы,совместность системы линейных уравнений как проверить. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и исследование линейных систем уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, исследование на совместимость матрицы).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же исследование линейных систем уравнений Онлайн?

Решить задачу исследование линейных систем уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Системы линейных алгебраических уравнений | Высшая математика

Вернуться к списку тем

Решить систему уравнений \(\left\{ \begin{aligned}& x_1+x_2-2x_3=4;\\& -5x_1-4x_2+x_3=-11;\\& 2x_1-x_2-3x_3=7. \end{aligned} \right.\) тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса-Жордана, средствами матричного исчисления. Сделать проверку правильности вычисления обратной матрицы.

Открыть решение

Доказать совместность системы линейных уравнений \(\left\{ \begin{aligned}& x_1-2x_2+3x_3=6;\\& 2x_1+3x_2-4x_3=20;\\& 3x_1-2x_2-5x_3=6.\end{aligned} \right.\) и решить её: а) средствами матричного исчисления; б) методом Гаусса; в) по формулам Крамера.

Открыть решение

Исследуйте квадратную систему линейных уравнений \(\left\{\begin{aligned}& x_1-\lambda x_2=3;\\& 2x_1+4x_2=\lambda.\end{aligned} \right.\) при различных значениях вещественного параметра \(\lambda\). Решите, если это возможно, данную систему методом Крамера при \(\lambda=\frac{1}{2}\).

Открыть решение

Проверить систему \(\left\{ \begin{aligned}& 2x_1-x_2+x_3-x_4=2;\\& x_1+x_2+2x_3=1;\\& x_1-x_2+3x_4=1; \\& 3x_1+3x_3-x_4=3. \end{aligned} \right.\) на совместность. В случае, если система совместна, построить решение.

Открыть решение

Доказать совместность системы \(\left\{ \begin{aligned}& -x_1-9x_2-4x_3=-8;\\& 2x_1+7x_2+3x_3+x_4=6;\\& 3x_1+5x_2+2x_3+2x_4=4.\end{aligned} \right.\) и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.

Открыть решение

Дана система \(\left\{ \begin{aligned}& 2x_1+3x_2+x_3+2x_4-x_5=3;\\& -x_1+x_2+2x_3+2x_4-3x_5=3;\\& x_1+4x_2+3x_3+4x_4-4x_5=6.\end{aligned} \right.\). С помощью теоремы Кронекера-Капелли установить совместность системы.

Открыть решение

Исследовать СЛАУ \(\left\{ \begin{aligned}& x_1+2x_2-x_3+x_4=1;\\& 3x_1-x_2+2x_3-x_4=-1;\\& 2x_1+3x_2-2x_3+x_4=-3.\end{aligned} \right.\) на совместность и в случае совместности решить её методом Гаусса. Указать число базисных решений и найти одно из них.

Открыть решение

Используя метод Жордана-Гаусса, исследовать совместность системы уравнений \(\left\{ \begin{aligned}& x_1+2x_2+x_3+5x_4+7x_5=8;\\& 2x_1+2x_2+2x_3+6x_4+12x_5=12;\\& x_1+3x_2+3x_3+5x_4+12x_5=16. \end{aligned} \right.\) и если она совместна, то найти её решение. Если система неопределённая, то найти два общих и соответствующие им базисные решения.

Открыть решение

Исследовать на совместность и несовместность систему \(\left\{ \begin{aligned}& x_1+x_2+x_3=1;\\& x_1+(1+\lambda)x_2+x_3=1;\\& x_1+x_2+(1+\lambda)x_3=1.\end{aligned} \right.\) и найти общее решение в зависимости от значения параметра \(\lambda\).

Открыть решение

Используя теорему Кронекера-Капелли, исследовать на совместность систему линейных уравнений: \(\left\{ \begin{aligned}& 2x_1-x_2+3x_3+5x_4=4;\\& x_1+2x_2+6x_3+3x_4=-2;\\& x_1-8x_2-12x_3+x_4=14; \\& 4x_1+3x_2+15x_3+11x_4=0.\end{aligned} \right.\)

Открыть решение

Исследовать однородную СЛАУ \(\left\{ \begin{aligned}& x_1+2x_2+x_3+4x_4+x_5=0;\\& 2x_1+x_2+3x_3+x_4-5x_5=0;\\& x_1+3x_2-x_3+6x_4-x_5=0.\end{aligned} \right.\) на существование нетривиального решения. В случае существования найти общее решение и выделить из него фундаментальную систему решений.

Открыть решение

Найти фундаментальную систему решений заданной СЛАУ: \(\left\{ \begin{aligned}& 2x_1+2x_3+2x_4+x_5=0;\\& 6x_1+2x_2+4x_3+5x_4+x_5=0;\\& 6x_1+4x_2+2x_3+4x_4-x_5=0\\& 8x_1+8x_2+4x_4-4x_5=0.\end{aligned} \right.\)

Открыть решение

Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность системы уравнений: \(\left\{ \begin{aligned}& 2x_1+3x_2+7x_3+2x_4+x_5=13;\\& 4x_1+2x_2+10x_3+12x_4+14x_5=14;\\& 5x_1+3x_2+13x_3+14x_4+16x_5=20.\end{aligned} \right.\)

Открыть решение

Исследовать на совместность и найти общее решение системы: \(\left\{ \begin{aligned}& 3x_1-5x_2+2x_3+4x_4=2;\\& 7x_1-4x_2+x_3+3x_4=5;\\& 5x_1+7x_2-4x_3-6x_4=3.\end{aligned} \right.\)

Открыть решение

Исследовать на совместность и найти общее решение системы: \(\left\{ \begin{aligned}& 9x_1-3x_2+5x_3+6x_4=4;\\& 6x_1-2x_2+3x_3+4x_4=5;\\& 3x_1-x_2+3x_3+14x_4=-8. \end{aligned} \right.\)

Открыть решение

Система уравнений в питоне символьно

Задавать вопрос

спросил 1 год, 8 месяцев назад

Изменено 1 год, 8 месяцев назад

Просмотрено 87 раз

Я хочу решить эту систему символически, но это не сработало. где я сделал ошибку? и как я могу это решить?

 импортировать numpy как np
из символов импорта sympy, матрица
Y, C, I0, G0, a, b = символы ('Y, C, I_0, G_0, a, b')
npA = np.массив (([1, -1], [-b, 1]))
npd = np.массив ((I0 + G0, а))
х = np.linalg.solve (npA, npd)
Икс
 

Я получаю эту ошибку

 ------------------------------------------------------ --------------------------------------------------
TypeError Traceback (последний последний вызов)
 в <модуле>
      5 npA = np. массив(([1, -1], [-b, 1]))
      6 npd = np.массив((I0 + G0, а))
----> 7 x = np.linalg.solve(npA, npd)
      8 х
<__array_function__internals> в решении (*args, **kwargs)
~\anaconda3\lib\site-packages\numpy\linalg\linalg.py в решении (a, b)
    392 подпись = 'DD->D', если isComplexType(t), иначе 'dd->d'
    393 extobj = get_linalg_error_extobj(_raise_linalgerror_singular)
--> 394 r = gufunc(a, b, подпись=подпись, extobj=extobj)
    395
    396 возвратная обертка (r.astype (result_t, copy = False))
TypeError: для ufuncsolve1 не найден цикл, соответствующий указанной сигнатуре и кастингу.
 

• python
• system
• символы
• решение уравнений

Вы пытаетесь решить такое уравнение: Ax = b. Я не думаю, что вы можете так смешивать команды из разных библиотек, есть некоторая совместимость, но вы должны проверить документацию

Здесь возможность

 из символов импорта sympy, уравнение, решить
a_x, a_y, b_x, b_y = символы ('a_x, a_y, b_x, b_y')
eq_x = Eq(a_x - a_y, b_x)
eq_y = Eq(-b_x * a_x + a_y, b_y)
результат = решить ([eq_x, eq_y], (b_x, b_y))
печать (результат [b_x])
печать (результат [b_y])
 

Выход

 а_х - а_у
-а_х**2 + а_х*а_у + а_у
 

2

Если вам нужна более общая настройка (и более похожая на математический подход), то это может быть полезно

 из символов импорта sympy, Matrix,solve_linear_system
# a: параметр матрицы
# b: член неоднородности
a, x_1, x_2, b_1, b_2 = символы ('b, x_1, x_2, b_1, b_2')
А = Матрица ([[1, -1], [-а, 1]])
х = Матрица ([[x_1, x_2]]). T
б = Матрица ([[b_1, b_2]]).T
A_augmented = A.row_join(b)
результат = Solve_linear_system (A_augmented, * x)
печать (результат)
 

Выход

 {x_1: (-b_1 - b_2)/(b - 1), x_2: (-b*b_1 - b_2)/(b - 1)}
 

Примечание

solve_linear_system принять расширенную матрицу в качестве входных данных [A|b], и вы должны либо расширить неизвестные векторы (как указано выше), либо явно передать все ее координаты 0

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Символьные решения одновременных УЧП первого порядка в одном неизвестном « Журнал Mathematica

dx. doi.org/doi:10.3888/tmj.20-2

Мы предлагаем и реализуем алгоритм решения переопределенной системы дифференциальных уравнений в частных производных в одном неизвестном. Наш подход основан на методе Бура-Майера для определения условий совместимости с помощью скобок Якоби-Майера. Мы рекурсивно решаем совместимые системы, имитируя то, что можно было бы сделать с ручкой и бумагой: решить одно уравнение, подставить его решение в остальные уравнения и повторять процесс, пока не будут исчерпаны уравнения системы. Метод, который мы используем для оценки непротиворечивости базовой системы, отличается от традиционного использования дифференциальных базисов Грёбнера, но кажется более эффективным и простым в реализации.

Введение

Поиск решений многих задач приводит к переопределенным системам дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП). Эти задачи включают вычисление дискретных симметрий дифференциальных уравнений [1], вычисление дифференциальных инвариантов [2] и определение обобщенных операторов Казимира конечномерной алгебры Ли [3]. В этой статье мы сосредоточимся исключительно на интеграции одновременных систем скалярных УЧП первого порядка; то есть наши системы имеют как минимум два уравнения, одну зависимую переменную (неизвестную функцию) и несколько независимых переменных. Нашей конечной целью является автоматизация поиска общих символьных решений этих систем. Принятый нами подход использует метод Бура-Майера [4] для нахождения условий совместимости (т. е. препятствий для интегрируемости) базовой системы УЧП и итеративного добавления этих условий совместимости к системе до тех пор, пока не будет найдена непротиворечивая или несогласованная система. Это отличается от традиционного подхода, который использует дифференциальные базисы Грёбнера [5] для обнаружения условий совместимости. Когда это применимо, он имеет то преимущество, что его легко реализовать и он эффективен. Недавно, используя технику дифференциальной геометрии, Кругликов и Лычагин [6] распространили метод Бура–Майера на системы УЧП от нескольких зависимых и независимых переменных смешанных порядков (т. е. порядки отдельных уравнений в системе могут быть разными). В нашем подходе для ситуации, когда процесс завершения приводит к непротиворечивой системе, мы решаем последнюю, имитируя то, что можно было бы сделать с ручкой и бумагой: решить одно уравнение, подставить его в следующее уравнение и продолжать процесс до тех пор, пока уравнения системы исчерпаны.

Чтобы зафиксировать идеи, рассмотрим систему УЧП

где to – независимые переменные, – частная производная неизвестной функции по , а ранг матрицы Якоби – . В дальнейшем мы будем говорить, что свойство выполняется локально, если оно истинно на открытом шаре своей области действия. Система уравнений (1) интегрируема (т. е. допускает локально гладкое решение), если получаемые из нее выражения локально удовлетворяют условиям

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим решение системы уравнений (1). Затем локально, . Таким образом, последняя дифференциальная форма локально точна. Так, в частности, он локально закрыт. Следовательно, его внешний дифференциал равен нулю; то есть , или, что то же самое, после некоторых вычислений , откуда следует (2). Обратно, если система уравнений (2) локально выполняется, то дифференциальная форма локально замкнута и по лемме Пуанкаре также локально точна. Следовательно, для некоторой локально гладкой функции . Поэтому локально определяется как , где – произвольная постоянная.

Бур и Майер (см., например, [4]) показали, что (1) при условии на матрицу Якоби относительно интегрируема тогда и только тогда, когда

§ 22. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем.

   Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесообразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.

Задача 1. Решите уравнение 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.

Комментарий

Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к одному аргументу х, то получим уравнение (1) (см. решение), в которое входят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента х и их произведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную sin x + cos x = y. Чтобы получить произведение sin x cos x, достаточно возвести в квадрат обе части равенства замены и учесть, что sin2 x + cos2 x = 1. Выполняя обратную замену, удобно также учесть, что

Решение

   Данное уравнение равносильно уравнению

                                  3 (sin x + cos x) = 4 sin х cos x.                                      (1)

Если обозначить sin x + cos x = у, то

Тогда  Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем

Таким образом, sin x + cos x = 2 или sin x+cos x =

Тогда  или  Получаем  (корней нет, поскольку ) или  Отсюда  Тогда

Ответ:

   З а м е ч а н и е. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 7). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием. Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одинаковые знаки, и тогда a = b Если обе части равенства a = b положительны, то для положительных значений t функция y =возрастает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при a > 0, b > 0 из равенства a = b следует равенство и, наоборот, из равенства следует равенство a = b, что и гарантирует равносильность выполненного преобразования для положительных a и b. Аналогично для  используем то, что для не положительных значений t функция y =убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

   Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применяться свойства функций (соответствующие общие подходы к решению были рассмотрены в § 3, пункт 3.2), в частности, оценка левой и правой частей уравнения.

Задача 2. Решите уравнение 

         Оценим область значений функции 

         Поскольку  то есть 

         Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция f (x) может принимать наибольшее значение 2. Если cos 6x будет меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше 1, что невозможно. Аналогично, если допустить, что меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение cos 6x было больше 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда cos 6x и равны 1. Поэтому данное уравнение равносильно системе

         Приравнивая правые части этих равенств, получаем

         Поскольку k и n — целые числа, то для получения всех решений последнего уравнения в целых числах (см. § 9) достаточно подставить в правую часть последнего равенства вместо п все остатки при делении на 5 и найти, для каких значений п по этой формуле k также будет целым числом. Только при n = 1 получаем целое k = 3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной n в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах только вида n = 1 + 5m,. Подставляя значение п в одно из решений системы, получаем х = π + 4πm. Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения.

Ответ: х = π + 4πm,.

Задача 3. Решите уравнение 

Комментарий

         Преобразуем левую часть по формуле  и оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Решая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно несколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.

Решение

         Данное уравнение равносильно уравнению

Обозначим: . Поскольку 

         Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе

         Из первого уравнения системы имеем , откуда 

         Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы. Если , тогда sin 8x=0 и поэтому 

Ответ:

   Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится применять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ данного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким о р и е н т и р о м:

если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или неравенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.

   В таблице 42 указаны тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.

Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу 

ОДЗ левой части: . Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю:, таким образом, . То есть ОДЗ правой части задается системой ограничений  Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение. Таким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны в таблице: Чтобы не потерять корни данного уравнения, при использовании формулы, значение , необходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения).

Приведем пример использования указанного о р и е н т и р а.

Задача 4. Решите уравнение

Комментарий

Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 42, то мы приведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргументу, и к одной функции — tg x. Но при использовании указанных формул происходит сужение ОДЗ на значение ,  и вследствие этого можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разобьем решение на две части.

1. Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в                уравнение (1). При вычислениях учитываем периодичность функций и формулы приведения.
2. При (на ОДЗ уравнения (1)) использование формул и приводит к уравнению (2) (см. решение), которое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где ), потому что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равенства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к равенству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к уравнению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного уравнения).

   Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только тем, что в нее не входят значения , которые входят в ОДЗ уравнения (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.

Решение

1. Если , то из данного уравнения получаем:

– верное равенство.

Таким образом, – корни уравнения (1).

2. Если , получаем:

        Замена tg x = t приводит к уравнению  которое при  и  равносильно уравнению . Тогда 

Обратная замена даёт: tg x= -1 или , то есть:

   Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, исполь­зуя такой ориентир, который условно можно назвать «ищи квадратный трехчлен», то есть:

попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).

Решение тригонометрических уравнений графически

Уравнения, с которыми приходится сталкиваться при решении практических задач, как правило, значительно отличаются от тех, которые мы рассматривали. Для таких уравнений иногда вообще нельзя указать никакого способа, который позволял бы найти корни абсолютно точно. В таком случае приходится ограничиваться нахождением лишь приближенных значений корней. Современная математика располагает эффективными методами приближенного решения уравнений. Рассмотрим графический способ решения.

Пусть, например, нужно решить уравнение

sin х = 1 — х.

На одном и том же рисунке начертим два графика: график функции y = sin х и график функции у = 1 — х

Эти графики пересекаются в одной точке М. Абсцисса этой точки и дает нам единственный корень нашего уравнения:

х ≈ 0,5.

Для уточнения полученного результата полезно использовать тригонометрические таблицы или компьютерные программы. При х = 0,5

sin x ≈ 0,4794,
1 — х = 0,5;

следовательно, sin х < 1 — х. Но тогда, как легко понять из рисунка, корень уравнения sin х = 1 — х будет больше, чем 0,5. Проверим значение х = 0,6. Имеем (при х = 0,6):

sin х ≈ 0,5446,
1 — х = 0,4;

следовательно, sin х > 1 — х. Но тогда, как легко понять из того же рисунка, искомый корень x₀ должен быть меньше, чем 0,6. Теперь уже мы знаем, что x₀ находится в интервале [0,5; 0,6]. Поэтому с точностью до 0,1

x₀ ≈0,5 (с недостатком),
x₀ ≈ 0,6 (с избытком).

С помощью таблиц можно найти приближенное значение x₀ и с точностью до 0,01. Разделим интервал [0,5; 0,6] пополам. В средней точке (x = 0,55) этого интервала

sin х ≈ 0,5227,
1 — х = 0,45.

Опять получаем, что sin х > 1 — х. Следовательно, x₀ < 0,55.

Проверим точку х = 0,52 (она близка к средней точке х = 0,525 интервала [0,50; 0,55], в котором заключен корень x₀). При х = 0,52

sin х ≈ 0,4969,
1 — х = 0,48.

Снова sin x > 1 — х; поэтому x₀ < 0,52. Итак, 0,50 < x₀ < 0,52. Поэтому с точностью до 0,01

x₀ ≈ 0,51.

Для примера рассмотрим уравнение

tg ^x/₂ = 2 — x.

Графики функций у = tg ^x/₂и у = 2 — х пересекаются в бесконечном числе точек. Значит, данное уравнение имеет бесконечное множество корней. Найдем, например, наименьший положительный корень х₀. Этот корень является абсциссой точки пересечения графиков. Примерно он равен 1,2.

Чтобы найти этот корень точнее, воспользуемся таблицами тангенсов В. М. Брадиса (или рассчитаем соответствующие значения в программе «Kалькулятор» или «Excel»). Выпишем значения функций у = tg ^x/₂ и у = 2 — х в окрестности точки х = 1,2.

Как видно из этой таблицы, при переходе от значения х = 1,2 к значению х = 1,3 разность tg ^x/₂ — (2 — х) меняет свой знак на противоположный (с — на +). Значит, в нуль эта разность обращается где-то между значениями 1,2 и 1,3. Следовательно, с точностью до 0,1 х₀ ≈ 1,2 (с недостатком) или х₀ ≈ 1,3 (с избытком). Используя таблицу тангенсов, можно найти и приближенное значение этого корня
с точностью до 0,01. Для этого рассмотрим значение х = 1,25, являющееся средним значением чисел 1,2 и 1,3. При х = 1,25

tg ^x/₂ ≈ 0,7215,

2 — х = 0,7500.

Поскольку tg ^x/₂ < 2- х, то х₀ >1,25. Итак,

1,25< х₀ < 1,30.

Теперь испытаем значение х = 1,28, которое близко к среднему значению чисел 1,25 и 1,30. При х = 1,28

tg ^x/₂ ≈ 0,7445,

2 — х = 0,7200.

Теперь уже tg ^x/₂ >2 — х Значит , х₀ < 1,28.

Аналогично, рассматривая значение х = 1,26, мы получили бы tg ^x/₂ < 2 — х и потому х₀ > 1,26. Значит,

1,26 <х₀< 1,28.

Поэтому с точностью до 0,01

х₀ ≈ 1,27

Если бы нужно было определить, какое это приближенное значение (с недостатком или с избытком), то пришлось бы сравнить значения tg ^x/₂ и 2 — х в точке х = 1,27.

6.1: Решение тригонометрических уравнений — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Майкл Коррал
• Schoolcraft College 9\circ k \quad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \nonumber \]

  Это наиболее общее решение уравнения. Часто часть, которая говорит «for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)» опускается, так как обычно понял, что \(k \) варьируется для всех целых чисел.Общее решение в радианах будет:

  \[ А ~=~ 0,6435 \;+\; \pi k \quad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \nonumber \]

  Пример 6.

  1 92 \;\theta ~=~ \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \cos\;\theta ~=~ \pm\,\frac{1}{\sqrt{2}}
  \quad \Rightarrow\quad \theta ~=~ \frac{\pi}{4}\;,~\frac{3\pi}{4}\;,~\frac{5\pi}{4}\;,~
  \frac{7\pi}{4}~,
  \nonumber \]

  и, поскольку период косинуса равен \(2\pi \), мы должны добавить \(2\pi k \) к каждому из этих углы, чтобы получить общее решение. Но обратите внимание, что приведенные выше углы отличаются кратно \(\frac{\pi}{2} \). Итак, поскольку каждое кратное \(2\pi \) также кратно \(\frac{\pi}{2} \), мы можем объединить эти четыре отдельных ответа в один:

  \[ \boxed{\theta ~=~ \frac{\pi}{4} \;+\; \frac{\pi}{2}\,k}
  \qquad\text{для \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \( …\)}
  \номер \]

  Пример 6.3

  Решите уравнение \(\;2\,\сек\;\тета ~=~ 1 \).

  Решение:

  Изоляция \(\;\sec\;\theta \) дает нам

  \[ \sec\;\theta ~=~ \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \cos\;\theta ~=~ \frac{1}{\sec\;\theta} ~=~ 2~,
  \nonumber \]

  что невозможно. Таким образом, существует \(\fbox{нет решения}\). 92 \;+\; Икс \;-\; 1 ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad x ~=~ \frac{-1 \;\pm\; \sqrt{1 — (4)\,(-1)}}{
  2\,(1)} ~=~ \frac{-1 \;\pm\; \sqrt{5}}{2} ~=~ -1,618\;,~0,618
  \nonumber \]

  по квадратичной формуле элементарной алгебры. Но \(-1,618 < -1 \), поэтому невозможно, чтобы \(\;\sin\theta = x = -1,618 \). Таким образом, мы должны иметь \(\;\sin\;\theta = x = 0,618 \). Следовательно, возможны два решения: \(\theta = 0,666\) рад в QI и его отражение \(\pi - \theta = 2,475\) рад вокруг оси \(y\) в QII. Добавление к ним кратных \(2\pi \) дает нам общее решение:

  \[ \boxed{\theta ~=~ 0,666 \;+\; 2\pi k \quad\text{and}\quad 2,475 \;+\; 2\pi k}
  \qquad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \ nonumber \]

  Пример 6.5

  Решите уравнение \(\;\sin\;\theta ~=~ \tan\;\theta \).

  Решение:

  Попробовав тот же метод, что и в предыдущем примере, мы получим

  \[\nonumber \begin{align*}
  \sin\;\theta ~&=~ \tan\;\theta\ \\nonumber
  \sin\;\theta ~&=~ \frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta}\\ \nonumber
  \sin\;\theta~\cos\;\theta ~&=~ \sin\;\theta\\ \nonumber
  \sin\;\theta~\cos\;\theta \;-\; \sin\;\theta ~&=~ 0\\ \nonumber
  \sin\;\theta~(\cos\;\theta \;-\; 1) ~&=~ 0\\ \nonumber
  &\Rightarrow \quad \sin\;\theta ~=~ 0 \quad\text{or}\quad \cos\;\theta ~=~ 1\\ \nonumber
  &\Стрелка вправо\quad \theta ~=~ 0\;, ~\pi \quad\text{or}\quad \theta ~=~ 0\\ \nonumber
  &\Стрелка вправо\quad \theta ~=~ 0\;,~\pi~,
  \end{align*} \ нечисло \]

  плюс кратные \(2\pi \). Итак, поскольку приведенные выше углы кратны \(\pi \), а каждое кратное \(2\pi \) кратно \(\pi \), мы можем объединить два ответа в один для общего решения: 9{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \), есть два возможных решения для \(3\theta\): \(3\theta = \frac{\pi {3} \) в QI и его отражение \(-3\theta = -\frac{\pi}{3} \) вокруг оси \(x\) в QIV. Добавление к ним кратных \(2\pi \) дает нам:

  \[ 3\theta ~=~ \pm\,\frac{\pi}{3} \;+\; 2\pi k \qquad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \nonumber \ ]

  Итак, разделив все на \(3 \), мы получим общее решение для \(\theta\):

  \[ \boxed{\theta ~=~ \pm\,\frac{\pi}{9} \;+\; \frac{2\pi}{3} k}
  \qquad\text{для \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(. ..\)}
  \nonumber \]

  Пример 6.7

  Решите уравнение \(\;\sin\;2\theta ~=~ \sin\;\theta \).

  Решение:

  Здесь мы используем формулу двойного угла для синуса:

  \[\nonumber \begin{align*}
  \sin\;2\theta ~&=~ \sin\;\theta\ \\nonumber
  2\,\sin\theta~\cos\;\theta ~&=~ \sin\;\theta\\ \nonumber
  \sin\;\theta~(2\,\cos\;\theta \;-\;1) ~&=~ 0\\ \номер
  &\Rightarrow\quad \sin\;\theta ~=~ 0 \quad\text{or}\quad \cos\;\theta ~=~ \frac{1}{2}\\ \nonumber
  &\Rightarrow \quad \theta ~=~ 0\;,~\pi \quad\text{or}\quad \theta ~=~ \pm\,\frac{\pi}{3}\\ \nonumber
  &\Rightarrow\ quad \ boxed {\ theta ~ = ~ \ pi k \ quad \ text {and} \ quad \ pm \, \ frac {\ pi} {3} \; + \; 2\pi k}
  \qquad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(. ..\)}
  \ end{align*}
  \nonumber \]

  Пример 6.8

  Решить уравнение \(\;2\,\sin\;\theta \;-\; 3\,\cos\;\theta ~=~ 1 \).

  Рисунок 6.1.1: Скопируйте и вставьте сюда заголовок. (Авторское право; автор через источник)

  Решение

  Мы будем использовать технику, которую обсуждали в главе 5, для нахождения амплитуды комбинации функций синуса и косинуса. Возьмите коэффициенты \(2\) и \(3\) при \(\;\sin\;\theta\) и \(\;-\cos\;\theta\) соответственно в приведенном выше уравнении и сделайте на них стороны прямоугольного треугольника, как на рис. 6.1.1. Пусть \(\phi \) будет углом, показанным в прямоугольном треугольнике. Участок длины \(3 >0 \) означает, что угол \(\phi \) находится над осью \(x\), а участок длины \(2>0 \) означает, что \(\phi \) находится справа от оси \(y\). Следовательно, \(\phi \) должен быть в QI. Гипотенуза имеет длину \(\sqrt{13} \) по теореме Пифагора, и, следовательно, \(\;\cos\;\phi = \frac{2}{\sqrt{13}} \) и \(\; \sin\;\theta = \frac{3}{\sqrt{13}} \). Мы можем использовать это, чтобы преобразовать уравнение, чтобы решить его следующим образом:

  \[\nonumber \begin{align*}
  2\,\sin\;\theta \;-\; 3\,\cos\;\theta ~&=~ 1\\ \nonumber
  \sqrt{13}\,\left( \tfrac{2}{\sqrt{13}}\,\sin\;\theta \ ;-\; \tfrac{3}{\sqrt{13}}\,\cos\;\theta
  \right) ~&=~ 1\\ \nonumber
  \sqrt{13}\,( \cos\; \phi\;\sin\;\theta \;-\;\sin\;\phi\;\cos\;\theta ) ~&=~ 1\\ \nonumber
  \sqrt{13}\,\sin\ ;(\theta — \phi) ~&=~ 1\quad\text{(по формуле вычитания синусов)}\\ \nonumber
  \sin\;(\theta — \phi) ~&=~ \tfrac{1 }{\sqrt{13}}\\ \номер
  &\Rightarrow\quad \theta — \phi ~=~ 0,281 \quad\text{or}\quad \theta — \phi ~=~ \pi — 0,281 = 2,861\\ \nonumber
  &\Rightarrow\quad \theta ~=~ \фи \;+\; 0,281 \quad\text{or}\quad \theta ~=~ \phi \;+\; 2.861
  \end{align*} \nonumber \]

  Теперь, поскольку \(\;\cos\;\phi = \frac{2}{\sqrt{13}} \) и \(\phi \) равно в QI наиболее общим решением для \(\phi\) является \(\phi = 0,983 + 2\pi k \) для \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\ ч\,2 \), \(. .. \). Итак, поскольку нам нужно было добавить кратные \(2\pi \) к решениям \(0,281 \) и \(2,861 \) в любом случае, наиболее общее решение для \(\theta \):

  \[\begin{align*}
  \тета ~&=~ 0,983 \;+\; 0,281 \;+\; 2\pi k\quad\text{and}\quad 0,983 \;+\; 2,861 \;+\; 2\pi k\\
  &\Стрелка вправо\четверка \boxed{\theta ~=~ 1,264 \;+\; 2\pi k\quad\text{and}\quad 3.844 \;+\; 2\pi k}
  \quad\text{for \(k=0 \), \(\pm\,1 \), \(\pm\,2 \), \(…\)}
  \ end{align*} \nonumber \]

  Примечание: в примере 6.8, если уравнение было \(\;2\,\sin\;\theta \;+\; 3\,\cos\;\theta ~= ~ 1 \), то мы все равно использовали бы прямоугольный треугольник с длинами сторон \(2\) и \(3\), но вместо формулы вычитания использовали бы формулу сложения синусов.

  ---

  Эта страница под названием 6.1: Решение тригонометрических уравнений распространяется в соответствии с лицензией GNU Free Documentation License 1.3 и была создана, изменена и/или курирована Майклом Корралом посредством исходного контента, отредактированного в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     Майкл Коррал

     Лицензия

     ГНУ ФДЛ

     Версия лицензии

     1,3

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. источник@http://www.mecmath.net/trig/index.html
     2. тригонометрическое уравнение

  Решение триггерных уравнений не так уж плохо, как кажется!

  Purplemath

  При решении тригонометрических уравнений используются как опорные углы, так и тригонометрические тождества, которые вы запомнили, а также большая часть изученной вами алгебры. Будьте готовы к необходимости подумай , чтобы решить эти уравнения.

  В дальнейшем предполагается, что вы хорошо разбираетесь в значениях тригонометрического отношения в первом квадранте, как работает единичный круг, взаимосвязь между радианами и градусами и как выглядят кривые различных тригонометрических функций, по крайней мере в первый период. Если вы не уверены в себе, вернитесь и сначала просмотрите эти темы.

  ---

  Содержание продолжается ниже

  MathHelp.com

  Как и в случае с линейными уравнениями, я сначала выделю член, содержащий переменную:

  sin( x ) + 2 = 3

  sin( x ) = 1

  Теперь я воспользуюсь опорными углами, которые запомнил, чтобы получить окончательный ответ.

  Примечание: В инструкции я указал интервал в градусах, а это значит, что я должен дать ответ в градусах. Да, синус на первом периоде принимает значение 1 при π/2 радианах, но это не тот тип угловой меры, который им нужен, и использование этого в качестве моего ответа, вероятно, приведет к тому, что я, по крайней мере, потеряю мало моментов по этому вопросу.

  Итак, в градусах мой ответ таков:

  x = 90°

  ---

  Возникает соблазн быстро вспомнить, что тангенс 60° включает квадратный корень из 3, и дать ответ, но это уравнение не на самом деле нет решения. Я вижу это, когда замедляюсь и делаю шаги. Мой первый шаг:

  тангенс ² (θ) = −3

  Может ли любой квадрат (тангенса или любой другой триггерной функции) быть отрицательным ? Нет! Так что мой ответ:

  нет решения

  ---

  Левая часть этого уравнения делится на множители. Я привык делать простой факторинг, например:

  2 y ² + 3 y = 0

  y (2 y + 3) = 0

  …а затем решить каждый из факторов. Здесь работает то же самое. Чтобы решить уравнение, которое они мне дали, я начну с разложения на множители:

  Я сделал алгебру; то есть я произвел факторинг, а затем решил каждое из двух уравнений, связанных с факторами. Это создало два триггерных уравнения. Так что теперь я могу сделать триггер; а именно, решение этих двух результирующих тригонометрических уравнений, используя то, что я запомнил о волне косинуса. Из первого уравнения я получаю:

  cos( x ) = 0:

  x = 90°, 270°

  Из второго уравнения я получаю:

  2 cos( x 90 033 ) = sqrt[3]:

  x = 30°, 330°

  Объединяя эти два набора решений, я получаю решение исходного уравнения:

  x = 30°, 90°, 270°, 330° 5

  Во-первых, я перенесу все на одну сторону знака «равно»:

  sin ² (θ) − sin(θ) − 2 = 0

  Это уравнение является «квадратичным по синусу»; то есть форма уравнения представляет собой формат квадратного уравнения:

  a X ² + b X + c = 0

  В случае уравнения, которое они хотят, чтобы я решил , X = sin(θ), a  = 1, b  = -1 и c  = -2.

  Так как это квадратичная форма, я могу применить некоторые методы квадратного уравнения. В случае этого уравнения я могу разложить квадратное число на множители:

  sin ² (θ) − sin(θ) − 2 = 0

  (sin(θ) − 2)(sin(θ) + 1) = 0

  Первый множитель дает мне соответствующее уравнение триггера:

  sin(θ) = 2

  Но синус никогда не больше 1, так что это уравнение не разрешимо; у него нет решения.

  Другой фактор дает мне второе родственное уравнение триггера:

  sin(θ) + 1 = 0

  sin(θ) = −1

  θ = (3/2)π

  Тогда мой ответ: :

  θ = (3/2)π

  (Если вы решаете только градусы в своем классе, значение решения выше равно «270 °».)

  ---

  Я могу использовать тождество триггера, чтобы получить квадратное выражение в косинусе:

  cos ² (α) + cos(α) = sin ² (α)

  cos ² (α) + cos(α) = 1 − cos ² (α)

  2cos ^{2 903 41 (α) + cos(α) − 1 = 0}

  (2cos(α) − 1)(cos(α) + 1) = 0

  cos(α) = 1/2, cos(α) = −1

  Первое уравнение триггера, cos(α) = 1/2, дает мне α = 60° и α = 300°. Второе уравнение дает мне α = 180°. Итак, мое полное решение:

  α = 60°, 180°, 300°

  ---

  Я могу использовать тождество двойного угла в правой части, переставить и упростить; тогда я факторизую:

  sin(β) = 2sin(β)cos(β)

  sin(β) − 2sin(β) cos(β) = 0

  sin(β)(1 − 2cos(β) )) = 0

  sin(β) = 0,cos(β) = 1/2

  Синусоида (из первого триггерного уравнения) равна нулю при 0°, 180° и 360°. Но в исходном упражнении 360° не учитываются, так что это последнее значение решения не учитывается в данном конкретном случае.

  Косинус (из второго уравнения триггера) равен 1/2 при 60°, а значит, и при 360° − 60° = 300°. Таким образом, полное решение:

  β = 0°, 60°, 180°, 300°

  ---

  Хм… Я действительно ничего не вижу здесь. Конечно, было бы неплохо, если бы одно из этих триггерных выражений было возведено в квадрат…

  Почему бы мне не возвести в квадрат обе стороны и посмотреть, что получится?

  (sin( x ) + cos( x )) ² = (1) ²

  sin ² ( x ) + 2sin( x )cos( x ) + cos ² ( x ) = 1

  [sin ^{2 90 341 ( x + cos 2 ( x )] + 2sin( x )cos( x ) = 1}

  1 + 2sin( x )cos( x ) = 1

  2s in( x )cos( x ) = 0

  sin( x )cos( x ) = 0

  Ага, поди посчитай: я возвел в квадрат и получил то, что мог работать с. Хороший!

  Из последней строки выше либо синус равен нулю, либо косинус равен нулю, поэтому мое решение выглядит так:

  x = 0°, 90°, 180°, 270° !), я возводил в квадрат, чтобы получить это решение, а возведение в квадрат — это «необратимый» процесс.

  (Почему? Если вы возводите что-то в квадрат, вы не можете просто извлечь квадратный корень, чтобы вернуться к тому, с чего вы начали, потому что возведение в квадрат могло где-то изменить знак.)

  Итак, чтобы быть уверенным в моих результатах , мне нужно проверить свои ответы в оригинальное уравнение , чтобы убедиться, что я случайно не создал решения, которые на самом деле не учитываются. Подключив обратно, я вижу:

  sin(0°) + cos(0°) = 0 + 1 = 1

  … так что решение « x = 0°» работает

  sin(90°) + cos(90°) = 1 + 0 = 1

  …поэтому решение « x = 90°» тоже работает

  sin(180°) + cos(180°) = 0 + (-1 ) = −1

  …о, хорошо, значит, « x = 180°» НЕ работает

  sin(270°) + cos(270°) = (−1) + 0 = −1

  . ..поэтому « x = 270°» тоже не работает

  Хорошо, что я проверил свои решения, потому что два из них на самом деле не работают. Они были созданы в процессе возведения в квадрат.

  Мое фактическое решение :

  x = 0°, 90°

  ---

  033 )потому( х ) = 0

  … и использовал тождество двойного угла для синуса в обратном порядке вместо деления 2 в предпоследней строке в моих вычислениях. Ответ был бы таким же, но мне нужно было бы учитывать интервал решения:

  2sin( x )cos( x ) = sin(2 x ) = 0

  Тогда 2 x = 0°, 180°, 360°, 540°, д., и разделив 2 из x даст мне x = 0°, 90°, 180°, 270°, что почти такое же решение, как и раньше. После выполнения необходимой проверки (из-за возведения в квадрат) и отбрасывания посторонних решений мой окончательный ответ был бы таким же, как и раньше.

  Трюк с возведением в квадрат в последнем приведенном выше примере встречается нечасто, но если ничего не работает, возможно, стоит попробовать.