Автор: alexxlab

Пропорции как найти: Как решать пропорции — Математика для школьников

alexxlab / / Разное

Математика Пропорции

Материалы к уроку

  • 21. Proporzii.ppt

    745 KBСкачать

Конспект урока

Пропорции

 

16 : 2 = 16/2 = 8
12 :1,5 = 12/1,5 = 8
 

Пропорция — это равенство двух отношений.
 

16/2 = 12/1,5

а, d  —  крайние члены пропорции
b, c  —  средние члены пропорции

1) «Отношение а к b равно отношению с к d».
2) «а относится к b, как с относится к d».
3) «а, деленное на b, равно с, деленному на d».


12 ∙ 6 = 72
4 ∙ 18 = 72
 

Основное свойство пропорции:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.


16 ∙ 1,5 = 24
2 ∙ 12 = 24

 

Проверить верность пропорции можно двумя способами:

1) используя определение;
2) используя основное свойство.

Если в верной пропорции поменять местами крайние или средние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.



18 ∙ x = 23 ∙ 4,5
x = (23 ∙ 4,5) : 18
x = 5,75

 

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член.

 

Вопросы:

 

1. Что такое пропорция?
2. Как называют числа x и y в пропорции                 x : a = b : y?
3. Как называют числа m и n в пропорции               a : m = n : b?
4. Сформулируйте основное свойство пропорции.
5. Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным пропорциям?
6. Останется ли пропорция верной, если поменять местами какой-нибудь средний её член с одним из крайних? Приведите пример.
7. Останется ли пропорция верной, если оба средних члена поменять местами с крайними членами? Проверьте ваш ответ на пропорции     3 : 4 = 9 : 12.

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

  • Повысим успеваемость по школьным предметам

  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать репетитораОставить заявку на подбор

Пропорции: что это, основное свойство пропорции, производные пропорции, упрощение

Что такое пропорция? Члены пропорции

Пропорция – это равенство двух отношений.

Запишем пропорцию в общем виде:

Числа a, b, c и d, образующие пропорцию, принято называть членами пропорции. Первый и последний члены, то есть a и d называют крайними членами пропорции, а члены, содержащиеся внутри пропорции b и c, – средними членами пропорции.

Исходя из определения пропорции, можем привести следующие ее примеры:

6 : 1 = 12 : 2

5/7 = 10/14

24 км : 9 км = 8 ч : 3 ч

Читаются пропорции так: 6 относится к 1 как 12 относится к 2. Отношение 5 к 7 равно отношению 10 к 14

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов.

То есть:

Кроме того, это свойство используют для проверки правильности составленной пропорции.

Пример. Проверить правильность пропорции

Пропорция верна, поскольку произведение крайних членов равно произведению средних:

5/12 = 5/12

Нахождение неизвестного члена пропорции: правила и формулы

Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно решить пропорцию. В зависимости от того, какой член пропорции нужно найти, пользуются следующими правилами:

  1. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов поделить на известный крайний член пропорции
  2. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов поделить на известный средний член пропорции

Формулы нахождения неизвестного члена пропорции:

Пример. Найти неизвестный член такой пропорции:

Поскольку нам нужно найти неизвестный крайний член пропорции, тогда:

Пример. Найти неизвестный член пропорции:

45 : х = 90 : 30

 

Пример. Найти неизвестный член пропорции:

Пример. Найти неизвестный член пропорции:

32 : 40 = х : 10

Задача на пропорцию. Из 12 кг винограда получили 1,8 кг изюма. Сколько изюма получат из 36 кг винограда?

Решение:

Запишем пропорцию:

12 : 1,8 = 36 : х

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно:

Ответ: 5,4 кг изюма получат из 36 кг винограда

Перестановка членов пропорции

В любой пропорции можно переставить местами следующие члены:

  • Крайние
  • Средние
  • Средние и крайние
  • Крайние на место средних и средние на место крайних

То есть для пропорции a : b = c : d будут выполняться следующие равенства:

На примере это выглядит так:

Упрощение и преобразование пропорций

Преобразовывать можно пропорцию, увеличивая или уменьшая в несколько раз двух членов любого отношения; обоих предыдущих или обоих последующих членов; всех членов пропорции.

Выполнив такие действия, значения пропорции не изменятся, но таким образом можно упростить пропорцию, освободиться от дробных членов и т.д.

Пример. Упростить пропорцию

1 : 1/24 = 40 : 5/3

Удобно будет избавиться от дробной части, умножив все члены пропорции на 24. Получим:

24 : 1 = 960 : 40 або 24 : 1 = 96 : 4

Производные пропорции

Если к обеим частям пропорции a/b = c/d, прибавить 1, то получим:

Что равнозначно:

Если 10 : 3 = 40 : 12, то 13 : 3 = 52 : 12

Поскольку все эти пропорции получены из основной пропорции, то их принято называть производными пропорциями.

Как вычислять соотношения и пропорции в математике

Обновлено 12 февраля 2020 г.

Кевин Бек

Понятие пропорции вам, вероятно, знакомо, но вы, возможно, не сможете написать для него строгое математическое определение. Например, вы можете признать, что 10-летний ребенок меньше взрослого человека нормального роста точно так же, как тот же взрослый меньше профессионального баскетболиста, хотя эти три размера различаются.

Точно так же вы, вероятно, знакомы с понятием соотношения . Например, если вы участвуете в спортивном соревновании и знаете, что соотношение фанатов-противников к дружественным болельщикам велико, вы можете быть склонны быть менее демонстративным, когда ваш любимый клуб забивает гол, чем если бы это соотношение было обратным.

В математике и статистике существует множество вопросов о пропорциях, процентах и ​​соотношениях. К счастью, краткого объяснения основных понятий и нескольких примеров должно быть достаточно, чтобы сделать вас пропорционально лучшим учеником по математике.

Соотношения и пропорции

Соотношение — это дробь или два числа, выраженные в виде частного, например 3/4 или 179/2385. Но это особый вид дроби, который используется для сравнения связанных величин. Например, если в комнате 11 мальчиков и 13 девочек, соотношение мальчиков и девочек составляет 11 к 13, что может быть записано как 11/13 или 11:13.

Ratio в переводе с латинского означает «причина». Определение рационального числа — это число, которое может быть выражено в виде дроби; некоторые числа, такие как значение π в геометрии, иррациональны и не могут быть выражены таким образом, вместо этого они представляются бесконечным десятичным числом. Возможно, математики древности находили такое положение «неразумным».

Пропорция — это просто выражение, устанавливающее два равных друг другу отношения, используя разные абсолютные числа в дробях. Пропорции записываются как отношения, например, a/b = c/d или a:b = c:d.

Как решать пропорции

Для решения большинства простых задач на пропорции вам не нужна причудливая функция калькулятора пропорций. Например, предположим, что вы ходите в спортзал 17 раз за 30-дневный месяц. Каково соотношение дней в спортзале и дней без спортзала в этом месяце?

Ответ , а не (тренажерные дни/всего дней), так что не соблазняйтесь, думая, что ответ будет 17:30. Вместо этого вычтите дни в спортзале из общего числа дней, чтобы получить дни без спортзала, требуемую вторую часть вашего соотношения. Таким образом, ответ 17:13 (или 17/13).

Как вычислить пропорцию

Иногда без каких-либо вычислений очевидно, что два отношения пропорциональны друг другу. Если вы и ваша собака — единственные два животных в комнате, и вам говорят, что в соседнем спортзале 457 человек и 457 собак, то вы знаете, что соотношение людей и собак одинаково в обоих помещениях.

Но как быть с коэффициентами, которые не так просто сравнить с первого взгляда? Например, пропорционально ли 17/52 3/9? Если нет, то что больше?

Один из способов сделать это — вычислить десятичные числа каждой дроби и посмотреть, какая из них больше. Но если вы понимаете пропорции, вы можете вместо этого использовать перекрестное умножение, умножая противоположные знаменатели и числители:

(17/52) =?= (3/9)

(17)(9) = 153; (3)(52) = 156

Таким образом, отношения не совсем равны (3/9немного больше), а дроби непропорциональны.

Что такое константа пропорциональности?

Константа пропорциональности представляет собой постоянную разницу между коэффициентами пропорциональности. Если a пропорционально b, то в выражении a = kb k есть константа пропорциональности. Две переменные a и b называются обратно пропорциональными , если их произведение ab является константой для всех a и b, то есть когда a = C/b и b = C/a.

Пример: Количество любителей стрельбы из лука пропорционально количеству любителей бейсбола в данной кофейне. Сначала есть 6 любителей стрельбы из лука и 9 любителей бейсбола. Если число любителей бейсбола увеличится до 24, сколько должно быть любителей стрельбы из лука?

Найдите k, где a = kb, a = 6 и b = 9:
k = 6/9 = 2/3 = 0,667

Теперь решите уравнение a = (0,667)(24), чтобы получить 16 выстрелов из лука фанаты в уже более переполненном кафе.

Процентная доля — Как найти процентную долю?, Значение, Формула, Примеры

LearnPracticeDownload

Процентная доля — это уравнение, в котором процент (%) от целого равен части целого, или можно сказать, что это уравнение, в котором процент равен эквивалентному отношению.

1. Что такое процентная доля?
2. Формула пропорции процентов
3. Примеры процентной доли
4. Практические вопросы
5. Часто задаваемые вопросы о процентной доле 

Что такое процентная доля?

Когда отношение части к целому равно отношению процента к 100, показывает процент, равный эквивалентному отношению, мы называем это процентной пропорцией. Процент – это дробь, выраженная 100 в знаменателе. Когда два отношения равны, говорят, что они пропорциональны. Пропорции обозначаются с помощью символов «=» или «::». Например, 1/5 :: 20/100, и данная пропорция читается как «1 к 5 равно 20 к 100».

Проценты в форме дроби показывают пропорцию

Ниже приведены примеры, которые показывают, как проценты преобразуются в дроби и показывают пропорцию.

  • 25% означает 25 частей из 100 и 25/100 = 1/4 от общего количества частей (целых). Таким образом, данная пропорция читается как «25 к 100 равно 1 к 4».
  • 40% означает 40 частей из 100 и 40/100 = 2/5 всех частей (целых). Итак, данная пропорция читается как «40 к 100 равно 2 к 5».
  • 75% означает 75 частей из 100 и 75/100 = 3/4 всех частей (целых). Таким образом, данная пропорция читается как «75 к 100 равно 3 к 4».

Формула процентной пропорции

Формула процентной пропорции помогает в решении проблем. Он выражается в виде ЧАСТЬ/ЦЕЛОЕ = ПРОЦЕНТ/100 , где

  • ПРОЦЕНТ – число со знаком процента.
  • ЧАСТЬ — это номер со словом IS.
  • ЦЕЛОЕ число со словом OF.

Например, 30 сколько процентов от 60? Здесь IS и OF используются в вопросе, где IS – это ЧАСТЬ, а OF – ЦЕЛОЕ. Теперь с помощью формулы Часть/Целое = Проценты/100 ⇒ 30/60 = Проценты/100 ⇒ Проценты = (30/60) × 100 = 50%
. Возьмем другой пример. Какое число составляет 10 % от 50?
Часть/Целое = Процент/100 ⇒ Часть/50 = 10/100 ⇒ Часть = 5. Следовательно, 10% от 50 равно 5.

Статьи по теме о процентной пропорции процентная доля и связанные с ней темы.

  • Соотношение и пропорция
  • Проценты
  • От дроби до процента
  • Калькулятор процентных пропорций

 

  1. Пример 1. Какое число составляет 15% от 300?

    Решение:

    Используя формулу пропорции процентов, мы имеем: Часть/Целое = Проценты/100. Здесь часть — это недостающее значение, которое нам нужно найти, целое — 300, а процент — 15. Итак, часть/300 = 15/100 = 45 — это число. Следовательно, 15% от 300 равно 45.

  2. Пример 2: Решите следующее, используя формулу пропорции процентов: 50 составляет 40% от какого числа?

    Решение:  

    Используя формулу, часть/целое = процент/100. Здесь часть равна 50, процент равен 40, и нам нужно найти целое.

    50/ЦЕЛОЕ = 40/100

    (50 × 100 )/ 40 = 125

    Следовательно, 40% от 125 равно 50.

  3. Пример 3. Какое число составляет 60% от 500?

    Решение:

    Используя формулу пропорции процентов, мы имеем: Часть/Целое = Проценты/100. Здесь процент равен 60, целое равно 500, и нам нужно найти значение части.

    ЧАСТЬ/500 = 60 /100 = 300 — число. Следовательно, 60% от 500 равно 300.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы о процентных пропорциях

Как найти процентные пропорции?

Мы можем найти процентную долю, используя данную формулу, т. Е. Части / целое = процент / 100. Например, 50% от 100 равно 50 ⇒ Отнятых частей/100 = 50/100 = 50

Равна ли пропорция проценту?

Пропорция — это отношение или равенство между двумя отношениями или дробями, а процент — это отношение или дробь, знаменатель которой всегда равен 100. И пропорцию, и процент можно записать в виде дробей. Процент из 100. Пропорция из любой заданной суммы.

Какая связь между пропорцией и процентом?

Соотношение между пропорцией и процентом заключается в том, что когда пропорция умножается на 100, получается процент взятых частей, т.е. (части /целое) × 100 = процент. Точно так же, когда процент умножается на общее количество, это дает количество взятых частей, т. Е. Части = процент × целое.

Как решить процентную долю?

При решении процентных пропорций найдите недостающую часть целого, когда задан процент (Части = проценты × целое), а если дана часть целого, найдите недостающий процент [(Части /целое) × 100 = проценты] .

3 вычислить: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / / Разное
2

Интерактивный учебник языка Python

Занятие 3. Вычисления

1. Целочисленная арифметика

Для целых чисел определены операции +, -, * и **. Операция деления / для целых чисел возвращает вещественное число (значение типа float). Также функция возведения в степень возвращает значение типа float, если показатель степени — отрицательное число.

Но есть и специальная операция целочисленного деления, выполняющегося с отбрасыванием дробной части, которая обозначается // (она соответствует операции div в Паскале). Она возвращает целое число: целую часть частного. Другая близкая ей операция − это операция взятия остатка от деления, обозначаемая % (она соответствует операции mod в Паскале). Например:

print(17 / 3)   # выведет 5.66666666667
print(17 // 3)  # выведет 5
print(17 % 3)   # выведет 2

2.

Действительные числа

В этом разделе речь пойдет о действительных числах, имеющих тип float.

Обратите внимание, что если вы хотите считать с клавиатуры действительное число, то результат, возращаемый функцией input() необходимо преобразовывать к типу float:

x = float(input())
print(x)

Действительные (вещественные) числа представляются в виде чисел с десятичной точкой (а не запятой, как принято при записи десятичных дробей в русских текстах). Для записи очень больших или очень маленьких по модулю чисел используется так называемая запись «с плавающей точкой» (также называемая «научная» запись). В этом случае число представляется в виде некоторой десятичной дроби, называемой мантиссой, умноженной на целочисленную степень десяти (порядок). Например, расстояние от Земли до Солнца равно 1.496·1011, а масса молекулы воды 2.99·10-23.

Числа с плавающей точкой в программах на языке Питон, а также при вводе и выводе записываются так: сначала пишется мантисса, затем пишется буква e, затем пишется порядок. Пробелы внутри этой записи не ставятся. Например, указанные выше константы можно записать в виде 1.496e11 и 2.99e-23. Перед самим числом также может стоять знак минус.

Напомним, что результатом операции деления / всегда является действительное число (float), в то время как результатом операции // является целое число (int).

Преобразование действительных чисел к целому производится с округлением в сторону нуля, то есть int(1.7) == 1, int(-1.7) == -1.

3. Библиотека math

Для проведения вычислений с действительными числами язык Питон содержит много дополнительных функций, собранных в библиотеку (модуль), которая называется math.

Для использования этих функций в начале программы необходимо подключить математическую библиотеку, что делается командой

import math

Например, пусть мы хотим округлять вещественные числа до ближайшего целого числа вверх. Соответствующая функция ceil от одного аргумента вызывается, например, так: math.ceil(x) (то есть явно указывается, что из модуля math используется функция ceil). Вместо числа x может быть любое число, переменная или выражение. Функция возращает значение, которое можно вывести на экран, присвоить другой переменной или использовать в выражении:

import math
x = math.ceil(4.2)
y = math.ceil(4.8)
print(x)
print(y)

Другой способ использовать функции из библиотеки math, при котором не нужно будет при каждом использовании функции из модуля math указывать название этого модуля, выглядит так:

from math import ceil
 
x = 7 / 2
y = ceil(x)
print(y)

или так:

from math import *
 
x = 7 / 2
y = ceil(x)
print(y)

Ниже приведен список основных функций модуля math. Более подробное описание этих функций можно найти на сайте с документацией языка Питон.

Некоторые из перечисленных функций (int, round, abs) являются стандартными и не требуют подключения модуля math для использования.

ФункцияОписание
Округление
int(x)Округляет число в сторону нуля. Это стандартная функция, для ее использования не нужно подключать модуль math.
round(x)Округляет число до ближайшего целого. Если дробная часть числа равна 0.5, то число округляется до ближайшего четного числа.
round(x, n)Округляет число x до n знаков после точки. Это стандартная функция, для ее использования не нужно подключать модуль math.
floor(x)Округляет число вниз («пол»), при этом floor(1. 5) == 1, floor(-1.5) == -2
ceil(x)Округляет число вверх («потолок»), при этом ceil(1.5) == 2, ceil(-1.5) == -1
abs(x)Модуль (абсолютная величина). Это — стандартная функция.
Корни, логарифмы
sqrt(x)Квадратный корень. Использование: sqrt(x)
log(x)Натуральный логарифм. При вызове в виде log(x, b) возвращает логарифм по основанию b.
eОснование натуральных логарифмов e = 2,71828…
Тригонометрия
sin(x)Синус угла, задаваемого в радианах
cos(x)Косинус угла, задаваемого в радианах
tan(x)Тангенс угла, задаваемого в радианах
asin(x)Арксинус, возвращает значение в радианах
acos(x)Арккосинус, возвращает значение в радианах
atan(x)Арктангенс, возвращает значение в радианах
atan2(y, x)Полярный угол (в радианах) точки с координатами (x, y).
degrees(x)Преобразует угол, заданный в радианах, в градусы.
radians(x)Преобразует угол, заданный в градусах, в радианы.
piКонстанта π = 3.1415…

Ссылки на задачи доступны в меню слева. Эталонные решения теперь доступны на странице самой задачи.

Телеграм-канал создателя Питонтьютора 🌈

Калькуляторы процентов

Калькуляторы процентов
Дом | Учитель | Родители | Глоссарий | О нас
Отправить эту страницу другу по электронной почте
Выбор инструмента
· 
· 
· 
· 
 
Ресурсы
·
·
·
·
·
·
 
Поиск


  

3-ходовой Калькуляторы процентов


Найдите предложение, которое представляет вашу проблему.

Введите значения и нажмите Рассчитать.

  
  

 
Связаться с нами | Реклама и спонсорство | Товарищество | Ссылка на нас

© 2000-2005 Math.com. Все права защищены. Юридический Уведомления. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Конфиденциальностью Политика.

 

 

Факториал Калькулятор n!

Базовый калькулятор

Поделитесь этим калькулятором и страницей

Калькулятор Используйте

Вместо вычисления факториала по одной цифре используйте этот калькулятор для вычисления факториала n! числа н. Введите целое число длиной до 4 цифр. Вы получите длинный целочисленный ответ, а также научную запись для больших факториалов. Вы можете скопировать результат длинного целочисленного ответа и вставить его в другой документ, чтобы просмотреть его.

Формула факториала

Нет! = n × (n — 1) × (n — 2) × (n — 3) × … × 1

Фактор 10
10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 628 800

По определению факториал 0, 0! = 1

Что такое факториал?

Факториал — это функция, которая умножает число на каждое число под ним. Например, 5!= 5*4*3*2*1=120. Функция используется, помимо прочего, для определения количества способов расположения «n» объектов.

Факториал
Есть! способы расположения n различных объектов в упорядоченной последовательности.
п
набор или популяция

В математике их n! способы последовательного расположения n предметов. «Факториал n! дает количество способов перестановки n объектов».[1] Например:

  • 2 факториал равен 2! = 2 х 1 = 2
    — Есть два разных способа расставить числа от 1 до 2. {1,2,} и {2,1}.
  • 4 факториал равен 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24
    — Есть 24 различных способа расставить числа от 1 до 4. {1,2,3,4}, {2,1,3,4}, {2,3,1,4}, {2,3 ,4,1}, {1,3,2,4} и т. д.
  • 5 факториал равен 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120
  • 0 факториал — это определение: 0! = 1. Существует ровно 1 способ расположить 0 объектов.

Факториальная задача 1

Сколькими способами можно расположить буквы в слове «документ»?

Для этой задачи мы просто берем количество букв в слове и находим факториал этого числа. Это работает, потому что каждая буква в слове уникальна, и мы просто находим максимальное количество способов заказать 8 предметов.

У х 1 3 х: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / / Разное
2

Показательные уравнения и неравенства

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и ах1 = ах2, то х1 = х2.

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется, т.е. х1 < х2 или х1 = х2. Пусть, например, х1 < х2. Тогда если а > 1, то показательная функция у = ах возрастает и поэтому должно выполняться неравенство ах1 < ах2; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство ах1 > ах2. В обоих случаях мы получили противоречие условию ах1 = ах2.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.

Решить уравнение 4 ∙ 2х = 1.

Решение.

Запишем уравнение в виде 22 ∙ 2х = 20 – 2х+2 = 20, откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

Ответ. х = -2.

Задача 2.

Решить уравнение 23х ∙ 3х = 576.

Решение.

Так как 23х = (23)х = 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х ∙ 3х = 242 или в виде 24х = 242.

Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 3.

Решить уравнение 3х+1 – 2∙3х — 2 = 25.

Решение.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х — 2, получаем 3х — 2 ∙ (33 – 2) = 25 – 3х — 2∙ 25 = 25,

откуда 3х — 2 = 1, т. е. х – 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 4.

Решить уравнение 3х = 7х.

Решение.

Так как 7х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3х/7х = 1, откуда (3/7)х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Задача 5.

Решить уравнение 9х – 4 ∙ 3х – 45 = 0.

Решение.

Заменой 3х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а2 – 4а – 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а1 = 9, а2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.

Уравнение 3х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > аb или ах < аb. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Рассмотрим некоторые задачи.

Задача 1.

Решить неравенство 3х < 81.

Решение.

Запишем неравенство в виде 3х < 34. Так как 3 > 1, то функция у = 3х является возрастающей.

Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3х < 34, а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3х ≥ 34.

Таким образом, при х < 4 неравенство 3х < 34 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3х < 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Ответ. х < 4.

Задача 2.

Решить неравенство 16х +4х – 2 > 0.

Решение.

Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t < -2 и при t > 1.

Так как t = 4х, то получим два неравенства 4х < -2, 4х > 1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4х > 40, откуда х > 0.

Ответ. х > 0.

Задача 3.

Графически решить уравнение (1/3)х = х – 2/3.

Решение.

1) Построим графики функций у = (1/3)х и у = х – 2/3.

2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

х = 1 – корень данного уравнения:

(1/3)1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3)х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х < 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Ответ. х = 1.

!!! Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3)х > х – 2/3 выполняется при х < 1, а неравенство (1/3)х < х – 2/3 – при х > 1.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Мэтуэй | Популярные задачи

92+5х+6=0 92-9=0
1 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 50
2 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 45
3 Оценка 5+5
4 Оценить 7*7
5 Найти простую факторизацию 24
6 Преобразование в смешанный номер 52/6
7 Преобразование в смешанный номер 93/8
8 Преобразование в смешанный номер 34/5
9 График у=х+1
10 Оценить, используя заданное значение квадратный корень из 128
11 Найдите площадь поверхности сфера (3)
12 Оценить 54-6÷2+6
13 График г=-2x
14 Оценить 8*8
15 Преобразование в десятичное число 5/9
16 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 180
17 График у=2
18 Преобразование в смешанный номер 7/8
19 Оценить 9*9
20 Решите для C С=5/9*(Ф-32)
21 Упростить 1/3+1 1/12
22 График у=х+4
23 График г=-3
24 График х+у=3
25 График х=5
26 Оценить 6*6
27 Оценка 2*2
28 Оценить 4*4
29 Оценить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30 Оценить 1/3+13/12
31 Оценить 5*5
32 Решить для d 2д=5в(о)-вр
33 Преобразование в смешанный номер 3/7
34 График г=-2
35 Найдите склон у=6
36 Преобразование в проценты 9
37 График у=2х+2
41 Преобразование в смешанный номер 1/6
42 Преобразование в десятичное число 9%
43 Найти n 12н-24=14н+28
44 Оценить 16*4
45 Упростить кубический корень из 125
46 Преобразование в упрощенную дробь 43%
47 График х=1
48 График у=6
49 График г=-7
50 График у=4х+2
51 Найдите склон у=7
52 График у=3х+4
53 График у=х+5
54 График
58 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 192
59 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 25/36
60 Найти простую факторизацию 14
61 Преобразование в смешанный номер 7/10
62 Решите для (-5а)/2=75
63 Упростить х
64 Оценить 6*4
65 Оценить 6+6
66 Оценить -3-5
67 Оценить -2-2
68 Упростить квадратный корень из 1
69 Упростить квадратный корень из 4
70 Найди обратное 1/3
71 Преобразование в смешанный номер 20.

Матрицы методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

alexxlab / / Разное

Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 4-ого порядка методом Гаусса, пример № 4

СЛАУ 3-его порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12

Условие

 3x 1 + x 2 — 2x 3 — 2x 4   =   -2
 2x 1 — x 2 + 2x 3 + 2x 4   =   2
 2x 1 + x 2 — x 3 — x 4   =   -1
 x 1 + x 2 — 3x 3 + 2x 4   =   -3

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по математике и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4 × 5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.


Проведём следующие действия:

  • Поменяем местами строку № 1 и строку № 4

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 1)
  • Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 3 — 2 × строка 1)
  • Из строки № 4 вычтем строку № 1 умноженную на 3 (Строка 4 — 3 × строка 1)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Строку № 3 умножим на -1 (Строка 3 = строка 3 * -1)
  • Поменяем местами строку № 2 и строку № 3

Получим:

Проведём следующие действия:

  • К строке № 3 прибавим строку № 2 умноженную на 3 (Строка 3 + 3 × строка 2)
  • К строке № 4 прибавим строку № 2 умноженную на 2 (Строка 4 + 2 × строка 2)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Строку № 4 поделим на -3 (Строка 4 = строка 4 / -3)
  • Поменяем местами строку № 3 и строку № 4

Получим:

Проведём следующие действия:

  • К строке № 4 прибавим строку № 3 умноженную на 7 (Строка 4 + 7 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Строку № 4 поделим на 55 (Строка 4 = строка 4 / 55)
  • Из строки № 3 вычтем строку № 4 умноженную на 6 (Строка 3 — 6 × строка 4)
  • Из строки № 2 вычтем строку № 4 умноженную на 5 (Строка 2 — 5 × строка 4)
  • Из строки № 1 вычтем строку № 4 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 4)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • К строке № 2 прибавим строку № 3 умноженную на 5 (Строка 2 + 5 × строка 3)
  • К строке № 1 прибавим строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 + 3 × строка 3)

Получим:

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 1 вычтем строку № 2 (Строка 1 — строка 2)

Получим:

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х1 = 0
х2 = 0
х3 = 1
х4 = 0


Вы поняли, как решать? Нет?

Другие примеры

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Матрицы

Метод Гаусса
Формулы Крамера

2. Матрица Определение

Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n –
столбцов, вида: a a a a
a 11a 12 a 1i a1n
2j
2n
21 22
a a a a
ij
in
i1 i 2
a a a a
mj
mn
m1 m 2
называется
матрицей размера
m n
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом:
первый i – номер строки;
второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:
A (aij ) ;
i 1, m;
j 1, n

3. Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген)

4. Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы
линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного
исключения переменных, когда с помощью элементарных
преобразований система уравнений приводится к равносильной
системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого
последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных,
находятся все остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a 21 x1 a 22 x2 … a 2 n xn b2
………………………………. ……….
a m1 x1 a m 2 x2 … am n xn bn
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j — коэффициенты при неизвестных.
bi — свободные члены (или правые части)

5. Типы уравнений

Система линейных уравнений называется совместной, если она
имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет
единственное решение и неопределенной, если она имеет
бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными, если они
имеют одно и то же множество решений.

6. Элементарные преобразования

К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
1.
2.
3.
перемена местами двух любых уравнений;
умножение обеих частей любого из уравнений на
произвольное число, отличное от нуля;
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы
соответствующих частей другого уравнения, умноженных на
любое действительное число.

7. Общий случай

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с
тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
(1)
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме
первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое
уравнениеa системы (1) на аb11. Получим уравнение:
где
a1 j
(1)
1j
a11
;
j 1,2,3 ;
b1
(1)
1
a11
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из
них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
x a x a x b
(2)
Система примет вид:
(1)
1
12
(1)
2
13
(1)
3
1
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой
преобразованной системы. x a x a x b
a x a x b
(3)
(1)
1
12
(1)
22
(1)
2
2
13
(1)
23
(1)
3
3
1
(1)
2
a32 x2 a33 x3 b3
(1)
(1)
(1)
2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3).
Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе
уравнение системы (3), получим уравнение: x a x b (4)
( 2)
2
где
a23
( 2)
a23
(1)
a22
(1)
;
b2
( 2)
b2
23
( 2)
3
2
(1)
a22
(1)
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на
Получим уравнение:
Предполагая, что
a33
( 2)
x3
b3
( 2)
находим
a33
( 2)
0,
x3
b3
( 2)
a33
( 2)
b3
3
(1)
a33 .
В результате преобразований система приняла вид:
x1 a12 (1) x 2 a13 (1) x3 b1 (1)
( 2)
( 2)
x 2 a 23 x3 b2
( 3)
x3 b3
(5)
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5)
(шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы
называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе
уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3
подставляют в первое уравнение и находят х1.
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое
уравнение вида 0 = b, где b 0, то это означает, что система несовместна и
решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса,
составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п
неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
Такая система имеет единственное
решение, которое находится в
x1 c12 x 2 . .. a1n x n d1
x 2 … a 2 n x n d 2
…………….
xn d n
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное
множество решений.
x1 c12 x2 … c1n xn d1
x2 … c2 n xn d 2
…………………
xk … ck n xn d k

11. Рассмотрим на примере

1.
Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому
домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3
2.
Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из
третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2)
3.
x3=-42/(-14)=3;
Тогда
x2=8-2×3=2
x1=8-0,5×2-2×3=1

12. Метод Крамера

Метод Крамера—способ решения квадратных
систем линейных алгебраических уравнений с
ненулевым определителем основной матрицы.
Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

13. Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)

14. Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:

Теорема. Cистема
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…
…
an1x1+an2x2+…+annxn=bn

15. Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля:

a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
…
…
an1 an2 … ann
≠0

16. В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

17. Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей

Пример. Решить систему уравнений :

18. Решение.

19. Найдите оставшиеся компоненты решения.

Формулы Крамера не представляют практического значения в
случае систем с числовыми коэффициентами: вычислять по
ним решения конкретных систем линейных уравнений
неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го
определителя порядка n , в то время как метод Гаусса
фактически эквивалентен вычислению одного определителя
порядка n . Тем не менее, теоретическое значение формул
Крамера заключается в том, что они дают явное
представление решения системы через ее коэффициенты.
Например, с их помощью легко может быть доказан результат
Решение системы линейных уравнений с квадратной
матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов
этой системы при условии, что det A не равно 0 .

20. Найдите оставшиеся компоненты решения.

Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной
эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра.
зависящей от параметра
решения:
, определить предел отношения компонент

21. Решение.

В этом примере определитель матрицы
системы равен
. По теореме Крамера
система совместна при
. Для случая
применением метода Гаусса убеждаемся,
что система несовместна. Тем не менее,
указанный предел существует. Формулы
Крамера дают значения компонент решения
в виде
и, хотя при
каждая из них имеет бесконечный предел, их
отношение стремится к пределу конечному.

22. Ответ.

Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных
уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится
несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому
значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя
бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».

23. Использованные источники

1.
В.С. Щипачев, Высшая математика
2.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная
алгебра: Учебник для вузов.
3.
Волков Е.А. Численные методы.
4.
В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс
высшей математики,том I.

English     Русский Правила

Калькулятор исключения Гаусса

Выберите порядок матрицы, заполните необходимые поля ввода и нажмите кнопку расчета с помощью калькулятора исключения Гаусса.

Содержание:

  • Калькулятор исключения Гаусса
  • Как выполнить исключение Гаусса?

Дайте нам отзыв

✎

✉

Калькулятор исключения Гаусса 

Калькулятор исключения Гаусса приводит матрицу, образованную системой уравнений, к ее упрощенной форме. Найдите другую информацию и значения, связанные с матрицей, такие как:

  • Матрица, обратная 
  • Определитель
  • Собственные значения
  • Свойства, трассировка и т. д.

    Что такое исключение Гаусса?

    Этот метод назван в честь Карла Фридриха Гаусса. Он использует метод эшелона строк для достижения желаемой формы матрицы. Затем значения переменных математического уравнения легко вычисляются из результирующей матрицы.

    Используется расширенная матрица.

    Как выполнить исключение Гаусса?

    Операции со строками используются в матрице, чтобы сделать диагональные элементы равными 1 с нулями под ними. Далее он используется, чтобы сделать матрицу диагональной матрицей. Таким образом, значения распознаются из самой сокращенной матрицы.

    Прежде всего, вы должны составить уравнение таким образом, чтобы все одинаковые переменные выровнялись по столбцам. Если одно из уравнений не содержит никакой переменной, то вместо нее в матрице ставится 0.

    Давайте посмотрим на пример использования этого метода.

    Пример:

    Найдите значения переменных, используемых в следующих уравнениях, с помощью метода исключения Гаусса-Жордана.

    1x + 1y + 2z = 9

    2x + 4y — 3z = 1

    3x + 6y — 5z = 0

    Решение:

    Шаг 1: .

    3x + 8y — 7 = 0

    6x + 3y — 3 = 0

    9x + 4y — 4 = 0

    Шаг 2: Создайте расширенную матрицу.

    Шаг 3: Выполнить эшелонирование строк.


     
    Вычесть из строки 2 первую строку, умноженную на 2: R 2 = R 2 — 2R 1

     
    Вычесть первую строку, умноженную на 3 из строки 0: R 90 9 0 9 0 8: 3 — 3R 1

    Разделить 1-й ряд на 2: R 2 = R 2 /2

    Из 3-го ряда вычесть 2-й ряд, умноженный на 3: R 3 = R 3 — 3R 2
     
    Умножьте строку 3 на -2: R 3 = -2 R 3
     
    Это конец метода исключения Гаусса. Значения переменных можно легко вычислить по этой матрице. Первый столбец представляет x, второй — y, а третий — переменную z.
     
    В третьей строке только z. Это означает, что z=3. Поместите это во вторую строку, чтобы вычислить y, а затем в первую строку, чтобы найти x.
    Эту матрицу можно еще больше упростить, используя метод Гаусса-Жордана. Для этого:
     
    Добавить строку 3, умноженную на 7/3, к строке 2: 7/3R 3 + R 2

    Вычесть строку 3, умноженную на -2, из строки 1: R 1 = R 1 -2R 3

    Вычесть строку 2 из строки 1: R 1 = R 1 — R2 

    В этой матрице нахождение значений переменных — это вопрос поиска. г=3, у=2 и х=1.

    Исключение Гаусса для плотных матриц: алгебраическая проблема | Прямые методы для разреженных матриц

    Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicDirect Methods for Sparse Matrices (2nd edn)Численный анализOxford Scholarship OnlineBooksJournals Мобильный телефон Введите поисковый запрос

    Закрыть

    Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicDirect Methods for Sparse Matrices (2nd edn)Численный анализOxford Scholarship OnlineBooksJournals Введите поисковый запрос

    Расширенный поиск

    • Иконка Цитировать Цитировать

    • Разрешения

    • Делиться
      • Твиттер
      • Подробнее

    Укажите

    Дафф, И. С., А. М. Эрисман и Дж. К. Рид, «Исключение Гаусса для плотных матриц: алгебраическая проблема», Direct Methods for Sparse Matrices , 2-е изд. (

    Oxford

    , 2017; онлайн-издание, Oxford Academic, 20 апреля 2017 г. ), https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198508380.003.0003, по состоянию на 22 апреля 2023 г.

    Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)

    Закрыть

    Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicDirect Methods for Sparse Matrices (2nd edn)Численный анализOxford Scholarship OnlineBooksJournals Мобильный телефон Введите поисковый запрос

    Закрыть

    Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicDirect Methods for Sparse Matrices (2nd edn)Численный анализOxford Scholarship OnlineBooksJournals Введите поисковый запрос

    Advanced Search

    Abstract

    Мы рассматриваем основные операции прямого решения линейных уравнений, не обращая внимания на ошибку округления, вызванную компьютерной арифметикой. Мы рассматриваем связь между исключением Гаусса и LU-факторизацией. Мы сравниваем использование различных вычислительных последовательностей, включая левый и правый взгляды. Мы показываем, что преимуществом симметрии можно воспользоваться, и рассматриваем использование блокировки. Наш выбор материала основан на том, что будет полезно в разреженном случае.

    Ключевые слова: Исключение Гаусса, LU-факторизация, левосторонний, правосторонний, симметричный, блокирующий

    Субъект

    Численный анализ

    Коллекция: Оксфордская стипендия онлайн

    В настоящее время у вас нет доступа к этой главе.

    Войти

    Получить помощь с доступом

    Получить помощь с доступом

    Доступ для учреждений

    Доступ к контенту в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту одним из следующих способов:

    Доступ на основе IP

    Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов. Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с IP-аутентификацией.

    Войдите через свое учреждение

    Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения. Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic.

    1. Щелкните Войти через свое учреждение.
    2. Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа.
    3. Находясь на сайте учреждения, используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
    4. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

    Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору.

    Войти с помощью читательского билета

    Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю.

    Члены общества

    Доступ члена общества к журналу достигается одним из следующих способов:

    Войти через сайт сообщества

    Многие общества предлагают единый вход между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Если вы видите «Войти через сайт сообщества» на панели входа в журнале:

    1. Щелкните Войти через сайт сообщества.
    2. При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
    3. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

    Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество.

    Вход через личный кабинет

    Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам. См. ниже.

    Личный кабинет

    Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок.

    Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам.

    Просмотр учетных записей, вошедших в систему

    Щелкните значок учетной записи в правом верхнем углу, чтобы:

    • Просмотр вашей личной учетной записи и доступ к функциям управления учетной записью.

Формула площади боковой поверхности конуса: Площадь поверхности и объём конуса — урок. Геометрия, 11 класс.

alexxlab / / Разное

Площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конуса (или просто поверхность конуса) равна сумме площадей основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: S = πRl, где R — радиус основания конуса, а l — образующая конуса.

Так как площадь основания конуса равна πR2 (как площадь круга), то площадь полной поверхности конуса будет равна: πR2 + πRl = πR (R + l ).

Получение формулы площади боковой поверхности конуса можно пояснить такими рассуждениями. Пусть на чертеже изображена развёртка боковой поверхности конуса. Разделим дугу АВ на возможно большее число равных частей и все точки деления соединим с центром дуги, а соседние — друг с другом хордами.

Получим ряд равных треугольников. Площадь каждого треугольника равна ah/2 , где а — длина основания треугольника, a h — его высота.

Сумма площадей всех треугольников составит: ah/2 • n = anh/2 , где n — число треугольников.

При большом числе делений сумма площадей треугольников становится весьма близкой к площади развёртки, т. е. площади боковой поверхности конуса. Сумма оснований треугольников, т. е. an, становится весьма близкой к длине дуги АВ, т. е. к длине окружности основания конуса. Высота каждого треугольника становится весьма близкой к радиусу дуги, т. е. к образующей конуса.

Пренебрегая незначительными различиями в размерах этих величин, получаем формулу площади боковой поверхности конуса (S):

S = Cl/2, где С — длина окружности основания конуса, l — образующая конуса.

Зная, что С = 2πR, где R — радиус окружности основания конуса, получаем: S = πRl.

Примечание. В формуле S = Cl/2 поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы это равенство считать приближённым. Но в старших классах средней школы доказывается, что равенство

S = Cl/2 точное, а не приближённое.

Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Впишем в конус (рис.) какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность её выразится произведением 1/2р • l .

Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса (так как из ΔSAK следует, что SA — SK

1/2р• l, будет стремиться к пределу 1/2С• L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать:

S = 1/2С • L = С • 1/2L

Следствия.
1) Так как С = 2πR, то боковая поверхность конуса выразится формулой:

S = 1/2• 2πR • L = πRL

2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:

T = πRL + πR2 = πR(L + R)

Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Впишем в усечённый конус (рис.) какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р1 и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна 1/2 (р + р1) • l

При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р1 стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С1 окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному (С + С1) L. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь:

S = 1/2 (С + С1) L

Следствия.
1) Если R и R1 означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет:

S = 1/2 (2πR + 2πR1) L = π (R + R1) L.

2) Если в трапеции OO1А1А (рис.), от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим:

ВС = 1/2(OA + O1A1) = 1/2 • (R + R1),

откуда

R + R1 = 2ВС.

Следовательно,

S = 2πBC• L,

т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую.

3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так:

T = π( R2 + R12 + RL + R1L)

Геометрия Площадь поверхности конуса

Материалы к уроку

Конспект урока

 

 Площадь поверхности конуса

Вспомним, что такое конус.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом радиусом R, называется конусом.

 

 

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом радиусом R, называется конусом.

 

 

Боковую поверхность конуса можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.

Пусть дан конус с радиусом ОА.
Разрежем конус по образующей АВ и развернем его боковую поверхность.

В результате получим круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги АА´ сектора равна длине окружности основания конуса.

AA´ = 2πr.
 

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки (кругового сектора).

 

Площадь сектора вычисляется по формуле: пи эль квадрат на угол фи, деленное на 360 градусов,

где  φ (фи) — градусная мера дуги АА´.

Теперь выразим φ через l и r.

 

Длина дуги АА´ равна с одной стороны длине окружности, а с другой стороны длине кругового сектора в фи градусов, поэтому получаем формулу:
 

Выразим из нее φ: 360 умножить на эр и разделить все на эль.

Подставим это выражение в формулу площади боковой поверхности конуса, получим, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

 

Sбок. = πrl

 

 

Можно эту формулу выразить через радиус и высоту конуса:

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус и  на квадратный корень из суммы квадратов радиуса и высоты.

 

r–радиус основания

h–высота кунуса

 

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.

Основанием конуса является круг.

                                                                      
 

Sполн. = πr (r + l)

где  

r — радиус окружности основания, 
l- длина образующей конуса.

 

Можно эту формулу выразить через радиус и высоту конуса:

 

 


 

Задача.

Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадь основания


равна 8 дм2.

Вспомним, что собой представляет осевое сечение конуса: сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Решение

 

1.Осевое сечение конуса представляет собой треугольник РАВ, который является равнобедренным. Выразим площадь осевого сечения через высоту и радиус основания:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. АВ равно двум радиусам, подставим в формулу и получим:

площадь сечения равна произведению радиуса на высоту конуса.

2. Из этой формулы выразим высоту.

 

Из формулы площади основания выражаем радиус.

Получим, что радиус равен корень квадратный из площади основания деленное на пи.
3. Формулу радиуса подставляем в формулу высоты, после преобразований получаем формулу высоты конуса, и находим её.

Высота равна три корня из пи, деленное на корень из двух дм.

 

 

 

Дано конус, РАВ–осевое сечение,

                       SΔPAB=6дм2, Sосн=8дм2

Найти h.

 

Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

  • Повысим успеваемость по школьным предметам

  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать педагогаОставить заявку на подбор

Площадь поверхности конуса

Горячая математика

общий площадь поверхности из конус есть сумма площадей его основания и боковой (боковой) поверхности.

площадь боковой поверхности конуса – это площадь только боковой или боковой поверхности.

Поскольку конус тесно связан с пирамида , формулы для их площадей связаны.

Помните, формула площади боковой поверхности пирамиды 1 2 п л а общая площадь поверхности 1 2 п л + Б .

Поскольку основанием конуса является круг, подставляем 2 π р для п и π р 2 для Б где р это радиус основания цилиндра.

Итак, формула для площадь боковой поверхности прямого конуса л . С . А «=» π р л , где л — наклонная высота конуса .

Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности прямого конуса, если радиус 4 см, а наклонная высота 5 см.

л . С . А «=» π ( 4 ) ( 5 ) «=» 20 π ≈ 62,82 см 2

Формула для общая площадь поверхности прямого конуса Т . С . А «=» π р л + π р 2 .

Пример 2:

Найдите площадь полной поверхности прямого конуса, если радиус 6 дюймов, а наклонная высота 10 дюймы.

Т . С . А «=» π ( 6 ) ( 10 ) + π ( 6 ) 2 «=» 60 π + 36 π «=» 96 π дюймы 2 ≈ 301,59 дюймы 2

Боковая часть конуса

Боковая площадь конуса определяется как площадь, покрытая криволинейной поверхностью конуса. Его также называют площадью боковой поверхности (LSA) или площадью криволинейной поверхности (CSA) конуса. Конус — это трехмерный объект, который плавно сужается от плоского круглого основания к точке, называемой вершиной. Другими словами, это форма, образованная набором отрезков, исходящих из основания, которые соединяются с общей точкой (вершиной). Эти отрезки начинаются от точек в основании и заканчиваются в вершине.

1. Что такое боковая площадь конуса?
2. Формула площади поперечного сечения конуса
3. Как найти боковую площадь конуса?
4. Часто задаваемые вопросы о боковой части конуса

Что такое боковая площадь конуса?

Площадь боковой поверхности конуса представляет собой площадь, занимаемую площадью криволинейной поверхности конуса. Поскольку конус представляет собой трехмерную форму, площадь боковой поверхности конуса также лежит в трехмерной плоскости. Когда много треугольников складываются и вращаются вокруг оси, мы получаем форму, известную как конус. Поскольку он имеет плоское основание, он имеет общую площадь поверхности, а также площадь изогнутой поверхности. Боковая площадь конуса представлена ​​в квадратных единицах, например, см 2 , м 2 , в 2 и др.

Формула боковой площади конуса

Формула поперечной площади конуса: πrL, где r — радиус основания, а L — наклонная высота. Таким образом, если известны наклонная высота и радиус основания конуса, можно найти площадь его боковой поверхности (или площадь криволинейной поверхности). Мы также можем записать площадь кривизны конуса через высоту конуса, поскольку мы знаем соотношение между высотой и наклонной высотой конуса, используя теорему Пифагора. Связь между высотой и наклонной высотой конуса, заданная как L = √(h 2 + r 2 ), где h — высота конуса. Таким образом, боковая площадь конуса = πrL = πr√(h 2 + r 2 )

Как найти боковую площадь конуса?

Как мы узнали из предыдущего раздела, боковая площадь конуса равна πrL. Таким образом, мы следуем шагам, показанным ниже, чтобы найти боковую площадь конуса:

  • Шаг 1: Определите радиус основания конуса и назовите его r.
  • Шаг 2: Определите его высоту и назовите его h.
  • Шаг 3: Найдите площадь боковой поверхности конуса по формуле πrL.
  • Шаг 4: Представьте окончательный ответ в квадратных единицах.

Пример: Чему равна боковая площадь конуса, имеющего радиус основания = 4 единицы и наклонную высоту = 7 единиц?

Решение: При r = 4 единицах и l = 7 единицах

Как мы знаем, боковая площадь конуса = πrL
⇒ Боковая площадь конуса = (22/7) × 4 × 7 = 88 единиц 2

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса 88 единиц 2 .

 

Решенные примеры на боковой поверхности конуса

  1. Пример 1: Найдите площадь боковой поверхности конуса, имеющего радиус основания 21 единицу и высоту 20 единиц. (Используйте π = 22/7)

    Решение: Учитывая, что r = 21 единица и h = 20 единиц

    Таким образом, наклонная высота конуса, l = √(r 2 + h 2 ) = √(21 2 + 20 2 ) = √(441 + 400) = √841 = 29 ед.

    Мы знаем, площадь боковой поверхности конуса = πrL
    ⇒ Площадь боковой поверхности конуса = (22/7) × 21 × 29 = 22 × 3 × 29 = 1914 единиц 2

    Ответ:

  2. Пример 2: Найдите боковую поверхность конуса высотой 15 единиц и наклонной высотой 17 единиц. (Используйте π = 3,14)

    Решение: Учитывая, что h = 15 единиц и l = 17 единиц

    Радиус конуса (r) = √(L 2 — h 2 ) = √(17 2 — 15 2 ) = √(289 — 225) = √64 = 8 единиц

    Боковая площадь конуса = πrL
    ⇒ Площадь поперечного сечения конуса = 3,14 × 8 × 17 = 427,04 ед.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по боковой поверхности конуса

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о боковой части конуса

Что такое боковая площадь конуса?

Боковая площадь конуса определяется как площадь, покрываемая криволинейной поверхностью конуса. Его также обычно называют площадью боковой поверхности (LSA) или площадью криволинейной поверхности (CSA) конуса. Единица боковой площади конуса выражается в квадратных единицах, например, см 2 , m 2 , in 2 , и т.д.

Какая формула площади боковой поверхности конуса?

Формула площади поперечного сечения конуса определяется как площадь поперечного сечения конуса = πrL, где «r» и «L» — радиус конуса и наклонная высота конуса. Таким образом, можно определить значение боковой площади конуса, если у нас есть значения обоих размеров конуса.

Какова формула площади поперечного сечения конуса через высоту конуса?

Мы знаем, что формула площади поперечного сечения конуса дается как площадь поперечного сечения конуса = πrL. Мы также знаем, что соотношение между наклонной высотой и высотой конуса равно L = √(h 2 + r 2 ). Таким образом, боковая площадь конуса по отношению к высоте конуса определяется как πr√(h 2 + r 2 ).

Как найти боковую площадь конуса?

Боковую площадь конуса можно определить с помощью следующих шагов:

  • Шаг 1: Определите радиус основания и высоту конуса.
  • Шаг 2: Определите боковую площадь конуса по формуле πrL.
  • Шаг 3: После того, как значение боковой площади конуса получено, представьте окончательный ответ в квадратных единицах.

Как найти радиус конуса, если известна боковая площадь конуса?

Мы можем найти радиус конуса, если боковую площадь конуса следующие шаги:

  • Шаг 1: Определите заданные размеры конуса и пусть радиус конуса равен «r»
  • Шаг 2: Подставьте значения в формулу πrL и получите уравнение.
  • Шаг 3: Решите уравнение для «r».
  • Шаг 4: После того, как значение радиуса конуса получено, представьте окончательный ответ в единицах.

Что происходит с боковой поверхностью конуса, когда радиус конуса увеличивается вдвое?

Боковая площадь конуса удваивается, когда радиус конуса удваивается, поскольку мы подставляем «2r» вместо «r» в формулу боковой площади конуса. Таким образом, боковая площадь конуса = πrL = π(2r)L = 2(πrL), что в два раза больше первоначального значения боковой площади конуса.

Что происходит с боковой поверхностью конуса, когда наклонная высота конуса уменьшается вдвое?

Боковая площадь конуса уменьшается пополам, когда радиус конуса уменьшается вдвое, поскольку мы подставляем «(L/2)» вместо «L» в формулу боковой площади конуса. Таким образом, боковая площадь конуса = πrL = πr(L/2) = (1/2) × (πrL), что составляет половину первоначального значения боковой площади конуса.

Метод полной математической индукции: Индукция. Комбинаторика

alexxlab / / Разное

Лекция 06. Метод математической индукции

Лекция 6. Метод математической индукции.

Новые знания в науке и жизни добываются разными способами, но все они (если не углубляться в детали) делятся на два вида – переход от общего к частному и от частного к общему. Первый – это дедукция, второй – индукция. Дедуктивные рассуждения – это то, что в математике обычно называют логическими рассуждениями, и в математической науке дедукция является единственным законным методом исследования. Правила логических рассуждений были сформулированы два с половиной тысячелетия назад древнегреческим учёным Аристотелем. Он создал полный список простейших правильных рассуждений, силлогизмов – «кирпичиков» логики, одновременно указав типичные рассуждения, очень похожие на правильные, однако неправильные (с такими «псевдологическими» рассуждениями мы часто встречаемся в СМИ).

Индукция (induction – по-латыни наведение) наглядно иллюстрируется известной легендой о том, как Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения после того, как ему на голову упало яблоко. Ещё пример из физики: в таком явлении, как электромагнитная индукция, электрическое поле создает, «наводит» магнитное поле. «Ньютоново яблоко» – типичный пример ситуации, когда один или несколько частных случаев, то есть наблюдения, «наводят» на общее утверждение, общий вывод делается на основании частных случаев. Индуктивный метод является основным для получения общих закономерностей и в естественных, и в гуманитарных науках. Но он имеет весьма существенный недостаток: на основании частных примеров может быть сделан неверный вывод. Гипотезы, возникающие при частных наблюдениях, не всегда являются правильными. Рассмотрим пример, принадлежащий Эйлеру.

Будем вычислять значение трехчлена при некоторых первых значениях n:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

43

47

53

61

71

83

97

113

Заметим, что получаемые в результате вычислений числа являются простыми. И непосредственно можно убедиться, что для каждого n от 1 до 39 значение многочлена является простым числом. Однако при n=40 получаем число 1681=412, которое не является простым. Таким образом, гипотеза, которая здесь могла возникнуть, то есть гипотеза о том, что при каждом n число является простым, оказывается неверной.

Лейбниц в 17 веке доказал, что при всяком целом положительном n число делится на 3, число делится на 5 и т.д. На основании этого он предположил, что при всяком нечётном k и любом натуральном n число делится на k, но скоро сам заметил, что не делится на 9.

Рассмотренные примеры позволяют сделать важный вывод: утверждение может быть справедливым в целом ряде частных случаев и в то же время несправедливым вообще. Вопрос о справедливости утверждения в общем случае удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции (полной индукции, совершенной индукции).

6.1. Принцип математической индукции.

♦ В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

1) проверяется справедливость этого утверждения для n=1 (базис индукции),

2) предполагается справедливость этого утверждения для n=k, где k – произвольное натуральное число 1 (предположение индукции), и с учётом этого предположения устанавливается справедливость его для n=k+1.

Доказательство. Предположим противное, то есть предположим, что утверждение справедливо не для всякого натурального n. Тогда существует такое натуральное m, что:

1) утверждение для n=m несправедливо,

2) для всякого n, меньшего m, утверждение справедливо (иными словами, m есть первое натуральное число, для которого утверждение несправедливо).

Очевидно, что m>1, т.к. для n=1 утверждение справедливо (условие 1). Следовательно, – натуральное число. Выходит, что для натурального числа утверждение справедливо, а для следующего натурального числа m оно несправедливо. Это противоречит условию 2. ■

Заметим, что в доказательстве использовалась аксиома о том, что в любой совокупности натуральных чисел содержится наименьшее число.

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется методом полной математической индукции.

Пример 6.1. Доказать, что при любом натуральном n число делится на 3.

Решение. Воспользуемся методом полной математической индукции.

1) При n=1 , поэтому a1 делится на 3 и утверждение справедливо при n=1.

2) Предположим, что утверждение справедливо при n=k, , то есть что число делится на 3, и установим, что при n=k+1 число делится на 3.

В самом деле,

.

Т.к. каждое слагаемое делится на 3, то их сумма также делится на 3. ■

Пример 6.2. Доказать, что сумма первых n натуральных нечётных чисел равна квадрату их числа, то есть .

Решение. Воспользуемся методом полной математической индукции.

1) Проверяем справедливость данного утверждения при n=1: 1=12 – это верно.

2) Предположим, что сумма первых k () нечётных чисел равна квадрату числа этих чисел, то есть . Исходя из этого равенства, установим, что сумма первых k+1 нечётных чисел равна , то есть .

Пользуемся нашим предположением и получаем

. ■

Метод полной математической индукции применяется для доказательства некоторых неравенств. Докажем неравенство Бернулли.

Пример 6.3. Доказать, что при и любом натуральном n справедливо неравенство (неравенство Бернулли).

Решение. 1) При n=1 получаем , что верно.

2) Предполагаем, что при n=k имеет место неравенство (*). Используя это предположение, докажем, что . Отметим, что при это неравенство выполняется и поэтому достаточно рассмотреть случай .

Умножим обе части неравенства (*) на число и получим:

, то есть (1+. ■

Доказательство методом неполной математической индукции некоторого утверждения, зависящего от n, где проводится аналогичным образом, но в начале устанавливается справедливость для наименьшего значения n.

В некоторых задачах явно не сформулировано утверждение, которое можно доказать методом математической индукции. В таких случаях надо самим установить закономерность и высказать гипотезу о справедливости этой закономерности, а затем методом математической индукции проверить предполагаемую гипотезу.

Пример 6.4. Найти сумму .

Решение. Найдём суммы S1, S2, S3. Имеем , , . Высказываем гипотезу, что при любом натуральном n справедлива формула . Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом полной математической индукции.

1) При n=1 гипотеза верна, т.к. .

2) Предположим, что гипотеза верна при n=k, , то есть . Используя эту формулу, установим, что гипотеза верна и при n=k+1, то есть

.

В самом деле,

.

Итак, исходя из предположения, что гипотеза верна при n=k, , доказано, что она верна и при n=k+1, и на основании принципа математической индукции делаем вывод, что формула справедлива при любом натуральном n. ■

Пример 6. 5. В математике доказывается, что сумма двух равномерно непрерывных функций является равномерно непрерывной функцией. Опираясь на это утверждение, нужно доказать, что сумма любого числа равномерно непрерывных функций является равномерно непрерывной функцией. Но поскольку мы ещё не ввели понятие «равномерно непрерывная функция», поставим задачу более абстрактно: пусть известно, что сумма двух функций, обладающих некоторым свойством S, сама обладает свойством S. Докажем, что сумма любого числа функций обладает свойством S.

Решение. Базис индукции здесь содержится в самой формулировке задачи. Сделав предположение индукции, рассмотрим функций f1, f2, …, fn, fn+1, обладающих свойством S. Тогда . В правой части первое слагаемое обладает свойством S по предположению индукции, второе слагаемое обладает свойством S по условию. Следовательно, их сумма обладает свойством S – для двух слагаемых «работает» базис индукции.

Тем самым утверждение доказано и будем использовать его далее. ■

Пример 6.6. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство

.

Решение. Рассмотрим n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Имеем: 21>12, 22=22, 23<32, 24=42, 25>52, 26>62. Таким образом, можно высказать гипотезу: неравенство имеет место для каждого . Для доказательства истинности этой гипотезы воспользуемся принципом неполной математической индукции.

1) Как было установлено выше, данная гипотеза истинна при n=5.

2) Предположим, что она истинна для n=k, , то есть справедливо неравенство . Используя это предположение, докажем, что справедливо неравенство .

Т. к. и при имеет место неравенство

при ,

то получаем, что . Итак, истинность гипотезы при n=k+1 следует из предположения, что она верна при n=k, .

Из пп. 1 и 2 на основании принципа неполной математической индукции следует, что неравенство верно при каждом натуральном . ■

Пример 6.7. Доказать, что для любого натурального числа n справедлива формула дифференцирования .

Решение. При n=1 данная формула имеет вид , или 1=1, то есть она верна. Сделав предположение индукции, будем иметь:

,

что и требовалось доказать. ■

Пример 6.8. Доказать, что множество, состоящее из n элементов, имеет  подмножеств.

Решение. Множество, состоящее из одного элемента а, имеет два подмножества. Это верно, поскольку все его подмножества – пустое множество и само это множество, и 21=2.

Предположим, что всякое множество из n элементов имеет подмножеств. Если множество А состоит из n+1 элементов, то фиксируем в нём один элемент – обозначим его d, и разобьём все подмножества на два класса – не содержащие d и содержащие d. Все подмножества из первого класса являются подмножествами множества В, получающегося из А выбрасыванием элемента d.

Множество В состоит из n элементов, и поэтому, по предположению индукции, у него подмножеств, так что в первом классе подмножеств.

Но во втором классе подмножеств столько же: каждое из них получается ровно из одного подмножества первого класса добавлением элемента d. Следовательно, всего у множества А подмножеств.

Тем самым утверждение доказано. Отметим, что оно справедливо и для множества, состоящего из 0 элементов – пустого множества: оно имеет единственное подмножество – самого себя, и 20=1. ■

29

объяснение принципа, примеры решения задач

Основы метода математической индукции

Определение 1

Математическая индукция является способом математического доказательства, применимым с целью подтверждения справедливости какого-либо утверждения для любых натуральных чисел.

В процессе реализации метода в первую очередь требуется выполнить проверку того, насколько соответствует истине утверждение под номером 1. Данное утверждение носит название базы, или базиса, индукции.

На следующем этапе нужно представить объяснение справедливости утверждения под номером n+1 в том случае, когда верным является утверждение под номером n. Шагом индукции, или индукционным переходом, называют утверждение под номером n+1.

Сформулировать доказательный процесс легко, если вспомнить принцип домино. Предположим, что любое количество фишек домино составлено в ряд так, чтобы каждая из них при падении задевала и опрокидывала фишку, которая за ней следует. В этом состоит смысл индукционного перехода. При опрокидывании первой фишки, которая играет роль базы индукции, все остальные также упадут.

Разберем метод индукции на наглядном примере из данной тематики. Представим, что необходимо доказать то, что верной является неограниченная последовательность утверждений, которые пронумерованы с помощью натуральных чисел:

P1,P2,…,Pn,Pn+1,….

Допустим следующее:

  1. Фактом является справедливость P1. Данное утверждение примем за базис индукции.
  2. В случае какого-либо n доказано, что при справедливости Pn, верно Pn+1. Данное утверждение играет роль шага индукции.

При выполнении заданных условий каждое из утверждений рассматриваемой последовательности является верным.

С точки зрения логики, основой для рассматриваемого способа доказательства служит аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, которая определяет натуральные числа. Утверждение того, что этот метод является верным, эквивалентно тому, что в каком-либо непустом подмножестве натуральных чисел имеется минимальный элемент.

Определение 2

Принцип полной математической индукции. При наличии ряда утверждений P1,P2,P3, … для какого-либо n из множества натуральных из того, что верны все P1,P2,P3,…,Pn-1, следует также справедливость Pn. Тогда каждое из утверждений в ряду является истинным:

(∀n∈ℕ)((∀i∈{1;…;n-1})Pi⇒Pn\Big)⇒(∀n∈ℕ)Pn.

В рассматриваемом случае база индукции не требуется. Это связано с тем, что данная вариация представляет собой тривиальный частный случай индукционного перехода. В действительности, если n=1, то условие (∀i∈{1;…;n-1})Pi⇒Pn точно является эквивалентным P1 (его истинности не из чего следовать).

С другой стороны, индукционный переход для P1 обычно нуждается в отдельном доказательстве. В связи с этим, целесообразно обособить данную его часть, как базу. Принцип полной математической индукции является эквивалентным аксиоме индукции из аксиом Пеано. Кроме того, данный принцип представляет собой прямое использование более сильной трансфинитной индукции.

Примечание 1

Понимание метода математической индукции в роли самостоятельной методики, имеющей большую важность, связано с работами Блеза Паскаля и Герсонида. Стоит отметить, что встречались случаи, когда этот метод применяли в античные времена Прокл и Эвклид. Современный термин сформулировал де Морган в 1838 году.

Применение в разных типах задач

Использование метода математической индукции допустимо при решении следующих видов задач в классе и самостоятельно:

  • поиск доказательств делимости и кратности;
  • доказательство справедливости равенств и тождеств;
  • примеры, содержащие последовательности;
  • доказательство того, что верны неравенства;
  • вычисление суммы и произведения.

Воспользуемся методом математической индукции, чтобы доказать посредством рассуждений неравенство Бернулли. Согласно этому неравенству, при условии, что x>-1, справедливым для всех натуральных n⩾1является:

(1+x)n⩾1+nx.

Здесь целесообразно воспользоваться индукцией по n. В том случае, когда n = 1 неравенство является верным, что очевидно. Предположим, что данное неравенство справедливо для n, докажем его справедливость для n+1:

(1+x)n+1=(1+x)(1+x)n⩾(1+x)(1+nx)⩾(1+nx)+x=1+(n+1)x, что и требовалось доказать.

В общем виде неравенство Бернулли представляет собой утверждение того, что при условии x>-1  и n∈ℝ:

  • когда n∈(-∞;0)∪(1;+∞), имеем, что (1+x)n⩾1+nx;
  • когда n∈(0;1) , имеем, что (1+x)n⩽1+nx;
  • возможно два случая справедливости данного равенства: ∀x≠-1,n=0,n=1∀n≠0,x=0

В качестве доказательства следует разобрать вариант, когда f(x)=(1+x)n-nx . В данном случае x>-1,n≠0,n≠1 . Если x=x0=0 , то производная равна:

f'(x)=n(1+x)n-1-n=0 

Это объясняется тем, что:

n≠0 ˙

Функция f  два раза дифференцируется в проколотой окрестности точки x0 . По этой причине:

f»(x)=n(n-1)(1+x)n-2 ˙

В результате:

f»(x)>0  ⇒f(x)⩾f(x0)  

Это выполняется, когда:

n∈(-∞;0)∪(1;+∞)

Также получим, что:

f»(x)<0  ⇒f(x)⩽f(x0)  

Это выполняется, когда:

n∈(0;1) 

Функция обладает следующим значением:

f(x0)=1 

Таким образом, данные утверждения верны:

  • когда n∈(-∞;0)∪[1;+∞), получим, что (1+x)n⩾1+nx;
  • когда n∈(0;1]   получим, что (1+x)n⩽1+nx.

Когда имеются соответствующие значения x0=0  или n=0,n=1 , функция равна:

f(x)=f(x0) ˙

В данном случае итоговое неравенство избавляется от ограничений на n , которые записаны в начале доказательства. Это связано с тем, что для них исполняется равенство, что и требовалось доказать.

Заметим, что справедливым рассмотренное неравенство является и для x⩾-2 (при n∈ℕ0). При этом требуется исключение ситуации, при которой получается ноль в степени ноль. При доказательстве рассматриваемого случая x∈-2,-1 допустимо применять метод математической индукции:

(1+x)n+1+(1+x)n=(1+x)n(1+x+1)⩾(1+nx)(1+x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x)

При условии, что:

(1+x)n⩽1⩽1+nx(1+x)

получим:

(1+x)n+1⩾1+(n+1)x

С помощью метода математической индукции можно рассмотреть сумму геометрической прогрессии. Попробуем найти доказательства того, что при каких-либо натуральных n и вещественных q≠1, справедливо следующее равенство:

∑i=0nqi≡1+q+q2+⋯+qn=1-qn+11-q.

В данном случае рассматривается индукция по n для произвольного q. Представим доказательство базиса для n=1:

1+q= (1-q)(1+q)1-q= 1-q1+11-q.

Докажем, что переход является справедливым. Для этого представим, что в случае n=k выполняется следующее:

1+q+⋯+qk=1-qk+11-q,

В таком случае, для n=k+1, исходя из предположения, имеем:

1+q+⋯+qk+qk+1=1-qk+11-q+qk+1=

=1-qk+1+(1-q)qk+11-q=1-qk+1+qk+1-q(k+1)+11-q=1-q(k+1)+11-q.

Таким образом, руководствуясь принципом математической индукции, заключим, что равенство является справедливым для любого n, что и требовалось доказать.

Стоит отметить, что справедливость утверждения Pn в рассматриваемом доказательстве аналогична тому, что верно следующее равенство:

1+q+⋯+qn= 1-qn+11-q.

Разберем еще один пример применения метода математической индукции под названием «доказательство одноцветности всех лошадей». Эта задача является математическим софизмом, то есть ошибочным подтверждением того факта, что любые из лошадей имеют одинаковый окрас.

Автором этого софизма является венгерский математик Дьердь Пойа. В процессе доказательства выявляют ошибки, причиной возникновения которых является некорректное применение метода математической индукции.

Проиллюстрируем доказательство одноцветности всех лошадей, где шаг индукции не выполняется для K = 1:

Источник: ru.wikipedia.org

Запишем исходные данные.

Утверждение, которое нуждается в доказательстве: все лошади имеют одинаковый окрас.

База индукции: одна лошадь с одним (идентичным) окрасом.

Рассмотрим шаг индукции. Предположим, что имеются доказательства того факта, что какие-либо лошади в любом случае обладают одинаковым окрасом. Разберем K + 1 неких лошадей. Избавимся от одной лошади. (K) лошадей, которые остались, имеют один окрас, исходя из предположения индукции.

Вернем лошадь обратно и исключим любую другую лошадь. (K) лошадей, которые остались в результате, вновь будут иметь один окрас. Таким образом, все K + 1 лошадей обладают одинаковым окрасом. В результате получим, что все лошади не отличаются по цвету, что и требовалось доказать.

Ошибка в этом примере формируется уже в базе. Здесь можно наблюдать подмену квантора всеобщности («все») на квантор существования («существует»). Таким образом, противоречие появляется вследствие того, что шаг индукции справедлив только в том случае, когда K⩾2. При K=1 получаемые множества лошадей, которые остались, не обладают пересечениями. В результате доказать равенство окрасов всех лошадей не представляется возможным.

Примеры решения задач

Задача 1

Дано равенство, которое требуется доказать:

12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6,n∈ℕ.

Решение:

12=1(1+1)(2+1)6=1.

Предположим, что утверждение является справедливым, если n=k:12+⋯+k2=k(k+1)(2k+1)6.

Запишем доказательство того, что утверждение верно для n=k+1:

12+22+⋯+k2⏞k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)6

k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2k+3)6

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=

(k+1)(k+2)(2k+3)6

k(2k2+k+2k+1)+6(k2+2k+1)=

(k+1)(2k2+3k+4k+6)

2k3+3k2+k+6k2+12k+6=

2k3+7k2+6k+2k2+7k+6

2k3+9k2+13k+6=

2k3+9k2+13k+6.

Ответ: равенство доказано.

Задача 2

Дано следующее неравенство:

n≤2n

Требуется доказать, что данное неравенство верно для любых n из множества натуральных чисел.

Решение

В том случае, когда n=1, неравенство можно записать в таком виде:

1≤2

Заметим, что записанное неравенство является справедливым. Представим, что рассматриваемое неравенство верно, если n=k, а также не обладает противоречиями при n=k+1.

Суммируем предположение индукции k≤2k и неравенство 1≤2≤2k. Выполним вычисления:

k+1≤2k+2k=2k+1, что и требовалось доказать.

Ответ: неравенство доказано.

Задача 3

Дана формула, справедливость которой требуется доказать:

1+2+3+…..+n=n(n+1)2.

Решение

Заметим, что в виде формулы записан некий ряд утверждений:

1=1·22

1+2=2·32

1+2+3=3·42

1+2+3+4=4·52и так далее.

Очевидно, что первое утверждение является справедливым. Достаточно просто выполнить проверку того факта, что каждое верное утверждение предшествует верному. Представим, что утверждение k справедливо. Таким образом, является верным следующее равенство:

1+2+3+4+….+k=k·(k+1)2

Далее сложим обе части равенства и число (k+1):

1+2+3+4+….+k+(k+1)=k·(k+1)2+k+1=(k+1)·(k+2)2.

Заметим, что записанное утверждение является утверждением k+1, которое следует за утверждением k.

В результате представлено доказательство того, что каждое справедливое утверждение предшествует верному. Исходя из принципа математической индукции, начальная формула является справедливой при каком-либо k.

Ответ: формула доказана.

Рассмотренный пример можно решить альтернативным методом без применения принципа математической индукции. Тогда следует ввести обозначение суммы, которую требуется вычислить, в виде un. Запишем пару равенств:

un=1+2+3+….+(n-2)+(n-1)+n,

un=n+(n-1)+(n-2)+…..+3+2+1

Выполним сложение членов строк:

2un=(n+1)+(n+1)+⋯+(n+1)+(n+1)⏟n=n(n+1)

un=n(n+1)2

В результате равенство доказано.

Задача 4

Требуется доказать, что при каком-либо n (из множества натуральных) число n5-n можно поделить на число 5.

Решение

Воспользуемся методом математической индукции. В том случае, когда n=1, выражение n5-n принимает нулевое значение и может быть поделено на число 5.

Предположим, что k является каким-то числом из множества натуральных.  Докажем, что при равенстве n=k число n5-n можно поделить на 5, и выражение (k+1)5-(k+1) аналогично делится на число 5.

Рассмотрим следующее равенство:

(k+1)5=k5+5k4+10k3+10k2+5k+1

Далее запишем число (k+1)5-(k+1) в следующей форме:

(k+1)5-(k+1)=(k5+5k4+10k3+10k2+5k+1)-(k+1)=(k5-k)+5(k4+2k3+2k2+k).

В результате число (k+1)5-(k+1)представляет собой сумму, состоящую из пары слагаемых. Первое слагаемое равно (k5-k) и его можно разделить на число 5, согласно выдвинутому предположению. Второе слагаемое равно 5(k4+2k3+2k2+k) и аналогично может быть поделено на число 5.

В том случае, когда слагаемые можно поделить на число 5, сумма пары этих чисел также делится на 5. В результате:

(k+1)5-(k+1) делится на 5.

Оба утверждения являются верными. Исходя из принципа математической индукции, число n5-n можно поделить на число 5 при каких-либо n из множества натуральных.

Ответ: число n5-n можно поделить на число 5 при каких-либо n из множества натуральных.

Полная индукция – Основы математики

Путешествия не всегда приятны. Это не всегда удобно. Иногда это больно, даже сердце разрывается. Но это нормально. Путешествие меняет вас; это должно изменить вас. Оно оставляет следы в вашей памяти, в вашем сознании, в вашем сердце и в вашем теле. Вы берете что-то с собой. Альравель не всегда красивая. Это не всегда удобно. Иногда это больно, даже сердце разрывается. Но это нормально. Путешествие меняет вас; это должно изменить вас. Оно оставляет следы в вашей памяти, в вашем сознании, в вашем сердце и в вашем теле. Вы берете что-то с собой.

Энтони Бурден, Без оговорок: Вокруг света на пустой желудок

Введение — это как восхождение по лестнице. Но есть и другие способы подняться, кроме лестниц. Скалолазы не просто стоят на одной ступеньке. Чтобы подняться на скалу, скалолаз должен использовать все четыре конечности (а не только, как альпинист по лестнице, предыдущий шаг).

Подобно скалолазам, нам позволено помнить не только то, что мы находимся всего в одном шаге от того, к чему стремимся, но и то, как мы туда попали. Почему бы не оглянуться назад на столько шагов, сколько нам нужно?

Определение . Мы называем открытое предложение полностью индуктивным , если оно обладает тем свойством, что .

Если индуктивные предложения представляют собой наследственные свойства, то полностью индуктивные предложения представляют свойства, которые переходят к следующему поколению , но, возможно, только в том случае, если этим свойством обладает весь род.

Принцип полной индукции. Предположим, является полностью индуктивным и истинным. Затем .

Как можно использовать такое утверждение, как принцип полной индукции? Давайте посмотрим на пример, а затем вернемся к обоснованию того, что PCI работает.

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число больше 1 имеет простую факторизацию; то есть, учитывая любой с , есть простые числа, так что мы можем написать .

Формулировка этой теоремы содержит два новых термина: простое число и простая факторизация . В самом утверждении мы объяснили, что означает простая факторизация ; но нам все еще нужно знать, что такое простое число .

Определение. Натуральное число простое , если делятся только натуральные числа 1 и .

Приведем пример простого числа.

Лемма. 2 — простое число.

Доказательство. Мы пытаемся размножить 2; то есть написать для некоторых натуральных чисел и ; показать, что 2 является простым, означает, что мы покажем или или . Теперь произведение любых двух натуральных чисел не меньше любого множителя, поэтому имеем и . Так как и натуральные числа, и . Итак, у нас есть и . Но единственными натуральными числами между 1 и 2 (включительно) являются 1 и 2. Итак, либо , либо . .

Упражнение. Примените это доказательство, чтобы показать, что 3 — простое число.

Упражнение. Докажите, что 5 — простое число.

Теперь мы готовы доказать основную теорему арифметики.

Доказательство основной теоремы арифметики. Докажем утверждение по полной индукции. Мы будем называть .

(базовый случай: .) — ​​условное предложение с ложным антецедентом; так и есть.

(базовый случай: .) означает «Если 2>1, то 2 имеет простую факторизацию». 2 простое, так что есть простая факторизация.

(индуктивный шаг.) Рассмотрим некоторое натуральное число . Предположим, что все верно; то есть предположим, что любое натуральное число с имеет простую факторизацию. Мы будем использовать это предположение, чтобы показать, что имеет простую факторизацию.

Если простое, то это наша простая факторизация.

Если не простое, то имеет множитель, отличный от самого себя и 1. Назовите этот номер . У нас есть некоторое натуральное число . Потому что у нас есть. Более того, произведение любых двух натуральных чисел не меньше любого множителя, поэтому мы знаем и . Потому что , . В общем, у нас

   

Согласно нашему индуктивному предположению, имеет простую факторизацию, скажем . Индуктивное предположение также применяется, чтобы дать некоторые простые числа с .

Тогда

   

, так что и в этом случае есть простая факторизация.

В любом случае имеет простую факторизацию; это завершает индуктивный шаг.

По принципу полной индукции мы должны иметь для всех , то есть любое натуральное число больше 1 имеет простую факторизацию.

Несколько замечаний по поводу этого доказательства:

  • Такое использование принципа полной индукции делает его более мощным, чем принцип математической индукции. Вместо того, чтобы «оглядываться назад» на один шаг, мы должны «оглядываться назад» настолько далеко, насколько нам нужно. Если мы возьмем, например, то мы могли бы использовать и . Вместо того, чтобы полагаться на предыдущий случай (), мы полагаемся на и , которые довольно далеки от .
  • Это доказательство на самом деле представляет собой что-то вроде алгоритма нахождения простых факторизаций, вероятно, того же самого, которому вас учили в начальной школе.
  • Как и обычные индуктивные доказательства, полные индукционные доказательства имеют базовый случай и индуктивный шаг.

Один большой класс примеров PCI-доказательств предполагает возврат всего на несколько шагов назад. (Если подумать, вот как работают лестницы, лестницы и ходьба на самом деле .) Вот забавное определение.

Определение. Числа Фибоначчи определяются следующим образом: и . Для любого , .

Такие определения мы называем полностью индуктивные определения , потому что они оглядываются более чем на один шаг назад.

Упражнение. Вычислите первые 10 чисел Фибоначчи.

Как правило, доказательства с использованием чисел Фибоначчи требуют доказательства по полной индукции. Например:

Претензия. Для любого , .

Доказательство. Для индуктивного шага предположим, что для всех , . Покажем, что

   

Для этого рассмотрим левую часть.

   

Теперь мы наблюдаем, что и , поэтому мы можем применить индуктивное предположение с и , чтобы продолжить:

   

по определению чисел Фибоначчи. Это завершает индуктивный шаг.

Теперь о базовом варианте. Заметьте, что, поскольку мы должны были сделать на два шагов назад в нашем индуктивном шаге (чтобы доказать утверждение при , мы должны были посмотреть на и ), наш индуктивный шаг начинает работать только тогда, когда у нас есть два шага, на которые можно положиться. Итак, нам нужно

базовый случай : Утверждение для доказательства . Поскольку , , и , имеем базовый случай.

базовый случай : Утверждение для доказательства . Поскольку , , и , имеем базовый случай.

По принципу полной индукции мы установили утверждение.

Вот еще пример:

Претензия. Для любого и любого .

Доказательство. Исправить.

Для индуктивного шага предположим, что для всех , . Мы покажем, что

   

Для этого рассмотрим левую часть.

   

Теперь мы наблюдаем, что и , поэтому мы можем применить индуктивное предположение с и , чтобы продолжить:

   

Это завершает индуктивный шаг.

Теперь о базовом варианте. Опять нам нужны два базовых случая, потому что наш индуктивный шаг оглядывался назад на два шага:

базовый случай : Утверждение . Поскольку , это утверждение , что является определением чисел Фибоначчи.

базовый случай : Претензия . Так как и , нам нужно установить, что . Но мы только что доказали это выше.

По принципу полной индукции мы установили утверждение.

Теперь, когда мы увидели как работает полная индукция , давайте объясним почему работает полная индукция :

Доказательство принципа полной индукции. Нам дано открытое предложение со свойствами: и является полностью индуктивным.

Рассмотрите предложение . Сначала покажем, что всегда верно.

Сначала обратите внимание на то, что по предположению верно.

Теперь я утверждаю , то есть является индуктивным. Допустим, верно. То есть, . Поскольку полностью индуктивный, мы знаем, что это правда. Тогда верно.

Итак, по (обычной) индукции мы доказали, что .

Почему это установлено? Потому что по определению.

Верно и обратное: мы могли бы принять принцип полной индукции как аксиому и использовать его для доказательства принципа математической индукции . На самом деле вы сделаете это в качестве домашнего задания.

Вот еще один пример доказательства по полной индукции, который показывает, что нам, возможно, придется вернуться на несколько шагов назад (следовательно, у нас будет довольно много базовых случаев для построения):

Утверждение. Если , то существуют неотрицательные натуральные числа и поэтому мы можем написать .

Доказательство.

базовый вариант: . Пусть и .

базовый вариант: . Пусть и .

базовый вариант: . Пусть и .

базовый вариант: . Пусть и .

Теперь предположим, что мы установили, что можем записать любое число до включительно в виде суммы 4 и 5. С тем же успехом мы можем предположить, поскольку с остальными мы уже разобрались. Попробуем записать в виде суммы 4 и 5.

, поэтому мы знаем, что можем написать как сумму 4 и 5, скажем . Но тогда , поэтому мы записали как сумму 4 и 5. Это завершает индуктивный шаг, следовательно, доказательство.

 

Математическая индукция предоставляет инструмент для доказательства больших задач путем решения меньших приращений

Обзор

Развитие математической индукции было одним из величайших шагов вперед в математике. Изящный принцип, сыгравший большую роль в продолжающейся эволюции математической логики и повлиявший на развитие других математических дисциплин, включая алгебру и аналитическую геометрию, математическая индукция, связан с нематематическим процессом, называемым индуктивным рассуждением. В отличие от дедуктивного рассуждения, при котором большая общая истина берется за отправную точку, из которой выводятся более мелкие, более частные истины, индукция давала инструмент для перехода от частного к общему, от малых индивидуальных истин к более крупным общим истинам. В процессе индукции истинность всего математического предложения доказывается шаг за шагом, причем каждый шаг используется в качестве строительного блока для доказательства следующего шага с конечной целью доказательства всего предложения. Природа математической индукции такова, что она предлагает эффективные доказательства определенных предложений, в то же время устраняя необходимость доказывать каждый пример предложения. Хотя многие считают, что индукция воспринималась еще в Древней Греции, этот метод не был четко выражен до 1575 г., когда сицилийский математик Франсиско Мавролико (1494-1575) использовал этот метод для доказательства теоремы. У подхода Мауролико не было названия: его ждал английский математик Джон Уоллис (1616-1703), который описал метод как индукцию в своей книге 1655 года Arithmetica Infinitorum (Бесконечно малая арифметика). Почти десять лет спустя, с посмертной публикацией Блеза Паскаля (1623-1662) Traite du Triangle Arithmetique (Трактат об арифметике треугольников), математическая индукция стала широко известна как эффективный и незаменимый математический инструмент.

Предыстория

Дедуктивное мышление было одним из величайших достижений человечества. В процессе дедукции большая истина служит отправной точкой, из которой логически выводятся меньшие и более конкретные истины. Но дедуктивное рассуждение было применимо не ко всем областям знания. В математике, в частности, большие истины — или доказательства — часто были неуловимы, к ним можно было приблизиться лишь отрывочно, постепенно.

Но по мере того, как математика становилась все более и более важным и точным инструментом, много размышлений и исследований было посвящено задаче доказательства больших теорем. Эта мысль, исследования и эксперименты привели к развитию математической индукции, также известной как принцип индукции.

Некоторые ученые видят свидетельство математической индукции в работах греческих математиков, в том числе Паппаса (ок. 260–?), в чьих работах собрана большая часть греческих математических работ, сохранившихся до наших дней. Поскольку Паппас был в первую очередь собирателем математических идей, а не их создателем, вполне вероятно, что его работа с индукцией была заимствована у более ранних мыслителей.

Другие свидетельства ранних индуктивных рассуждений можно найти в трудах как исламских, так и талмудических ученых, в частности Леви бен Герсона (1288?-1344?). Говоря о своем подходе к решению сложных проблем, Леви бен Герсон писал, что он следовал математическому процессу «бесконечного подъема шаг за шагом». Этот пошаговый подход является самой сутью индукции, хотя эта сущность не будет формализована еще 250 лет.

Частично проблема, с которой столкнулся Леви бен Герсон, заключалась в том, что он полагался на слова, а не на символы, когда излагал свои взгляды на алгебру. К 1500-м годам математика находилась в состоянии быстрой эволюции, новые идеи и методологии развивались устойчивыми темпами, а сама наука становилась все более чисто символической деятельностью.

Итальянец (сицилиец) Франсиско Мавролико, монах-бенедиктинец, а также глава сицилийского монетного двора, на протяжении большей части 1500-х годов посвятил себя сбору и переводу мировых математических знаний. Он также написал оригинальные трактаты по математике, в том числе Arithmeticorum Libri Duo (Две книги по математике), в которой он использовал принцип индукции для доказательства теоремы.

Проще говоря, математическая индукция сводит математическое утверждение или теорему к простым утверждениям, которые можно доказать, причем каждое утверждение служит шагом к решению задачи. более крупное предложение. Например, при поиске свойств целых чисел математическая индукция находит простейший пример свойства целого числа, которым, конечно же, является число 1. Следующим шагом является выбор случайного целого числа, представленного как 9.0005 к . Если вы можете доказать, что утверждение, верное для 1, верно и для числа k , вы также доказали, что это верно и для числа k +1.

Доказав эти два утверждения, вы индуцируете , что утверждение верно для всех целых чисел, или n .

Принцип Мауролико привлек некоторое внимание, но оставался безымянным до работы английского математика Джона Уоллиса. Многие считают Уоллиса самым важным английским математиком до Исаака Ньютона (1642–1727), Уоллис внес большой вклад как в математику, так и в науку, в том числе помог основать Английское Королевское общество (наиболее престижное из всех научных обществ) и сформулировал формулировку для первый раз закон сохранения импульса. Он также участвовал во многих ожесточенных научных и математических спорах.

Возможно, Уоллис внес наибольший вклад как писатель по математике. Он был одержим историей математики и посвятил себя сохранению этой истории для современного мира. Среди его многочисленных книг была Arithmetica Infinitorum , опубликованная в 1656 году. В этой книге, среди множества примеров математических свойств, включая бесконечные ряды и предсказания интегрального исчисления, Уоллис резюмировал математическую индукцию, назвав ее per modum inductonis 9.0006 (методом индукции) и дал процедуре название, под которым она известна до сих пор.

Однако для того, чтобы математическая индукция стала хорошо известной, потребовалось бы еще почти десятилетие и публикация в 1665 году еще одной книги, которая, по иронии судьбы, была написана до тома Уоллиса.

Это был « Traite du Triangle Arithmetique » Блеза Паскаля («Трактат о треугольнике»), один из ключевых математических трактатов своего времени. Паскаль был сыном математика, хотя его отец изначально был против раннего интереса ребенка к математике. Гений Паскаля быстро стал очевиден, и его отец уступил; мальчик погрузился в математику. Интерес Паскаля вышел за рамки теоретического: к тому времени было 19он изобрел раннюю версию механического калькулятора. Только чрезмерная стоимость производства его калькулятора помешала машинам стать успешными.

Хотя гениальность Паскаля привела его во многие области исследований и размышлений, включая религиозную философию, наибольший вклад он внес в чистую математику, заложив основу (вместе с Пьером де Ферма [1601-1675]) для современной науки вероятности, а также понимания исчисления и геометрии.

Его «Трактат о треугольнике» посвящен свойствам треугольника, состоящего из чисел, а также другим математическим идеям и понятиям. Среди них был его подход к доказательству утверждений, для которых существует бесконечно много случаев. Он сообщил своим читателям, что, столкнувшись с таким предложением, они должны сначала доказать, что предложение верно для первого случая. После этого они должны доказать предложение для данного (или случайного) случая. С этими двумя доказательствами предложение решается для следующего случая и для бесконечного числа других случаев.

Используя индукцию, Паскаль предложил метод решения биномиальной теоремы, которая была необходима для решения задач, в которых две величины изменяются независимо. Успех книги Паскаля, а также название, которое Уоллис дал этому процессу, обеспечили широкую известность принципа индукции Мауролико и продолжают служить математике по сей день.

Воздействие

Математическая индукция, способность доказать для все случаев числового свойства, была важным шагом вперед в переходе математики от чисто практической — счетной — к более теоретической. Вместо того, чтобы ограничиваться конкретными элементами, математика могла иметь дело с переменными, с неизвестными, с отношениями между переменными и неизвестными, с бесконечным набором свойств. Эти способности значительно расширили возможности математики как в отношении вычислений и уравнений, связанных с реальным миром, так и в отношении более чисто теоретических занятий.

Djvu форматировать в pdf: Конвертировать DJVU в PDF Онлайн Бесплатно

alexxlab / / Разное

Как конвертировать DjVu в PDF: 4 бесплатных инструмента

30 апреля 2020 Ликбез Технологии

Преобразуйте книги и прочие файлы в удобный формат.

DjVu эффективно сжимает изображения, поэтому хорошо подходит для хранения отсканированных документов. Но низкая популярность этого формата может вызывать неудобства. Большинство универсальных читалок его не поддерживает, а специализированных ридеров не так уж и много.

Поэтому DjVu часто конвертируют в PDF — более распространённый альтернативный формат, — даже несмотря на неизбежное увеличение файла. Вот как это сделать просто и качественно.

Перечисленные ниже программы и сервисы не распознают текст, а только изменяют формат документа.

1. С помощью PDFCandy

  • Платформа: веб.

Этот сервис позволяет конвертировать файлы прямо в браузере без регистрации и установки дополнительных программ. Просто перетащите DjVu‑документ в центральную область страницы, дождитесь окончания конвертации и нажмите «Скачать». PDF‑файл загрузится на ваше устройство.

Информация о каких‑либо ограничениях по размеру файлов или количеству конвертаций на сайте PDFCandy отсутствует. Отметим, что у сервиса есть платная версия для Windows, но она предназначена для других форматов и не работает с DjVu.

PDFCandy →

Сейчас читают 🔥

  • Как скачать видео с YouTube на любое устройство

2. С помощью PDF2GO

  • Платформа: веб.

Ещё один онлайн‑сервис для преобразования DjVu в PDF. В отличие от предыдущего, PDF2GO выполняет конвертацию дольше и сильнее увеличивает размер документов. Но сохраняет немного более высокое качество изображений и поддерживает пакетную обработку файлов.

В остальном PDF2GO работает точно так же, как и PDFCandy: перетащите DjVu‑файл в окно браузера и дождитесь, пока система не выполнит преобразование.

Без регистрации вы можете добавлять в сервис до пяти DjVu‑файлов за раз, суммарным объёмом до 50 МБ. Создав учётную запись, вы сдвинете ограничения до 10 файлов и 100 МБ.

PDF2GO →

3. С помощью WinDjView и Foxit Reader

  • Платформа: Windows.

WinDjView — это просмотрщик DjVu‑файлов, а Foxit Reader — аналогичная программа для PDF. Используя эти бесплатные приложения в связке, вы сможете легко конвертировать документы на ПК, причём даже без подключения к интернету.

Установите обе программы. Затем запустите WinDjView и откройте в ней нужный DjVu‑документ. Кликните «Файл» → «Печать» и назначьте в качестве принтера Foxit Reader. Вы можете выбрать весь документ или только некоторые страницы, а также настроить формат, разрешение и соотношение сторон итогового файла.

Укажите место на компьютере и нажмите «Печать»: Foxit Reader выполнит конвертацию и сохранит PDF в выбранную папку.

Скачать WinDjView →
Скачать Foxit Reader →

4.

С помощью DjView
  • Платформа: macOS.

Программа DjView позволяет легко конвертировать DjVu в PDF на компьютерах Apple. Подключение к интернету для этого не требуется.

Установив программу, откройте в ней нужный DjVu‑элемент и нажмите File → Export as → PDF. В следующем окне укажите необходимые страницы или выберите весь документ. Если требуется, нажмите PDF Options и настройте качество преобразования (JPEG quality) и разрешение (Maximum image resolution) итогового файла.

Когда закончите, укажите целевую папку и кликните OK. Программа конвертирует файл и сохранит PDF‑копию.

Скачать DjView →

Читайте также 📄✏️📒

  • 10 лучших бесплатных читалок для компьютера
  • Как сделать сноску в Word для Windows, macOS или веб
  • 13 самых удобных конвертеров PDF
  • 5 удобных онлайн-редакторов PDF-документов
  • 7 бесплатных программ для работы c PDF

DJVU в PDF — online-convert.

com

Перетащите файлы сюда

Основной размер шрифта:

pt

Внедрить шрифт НетSansSerif

Изменить входное кодирование АвтораспознаваниеASCIICP1250CP1251CP1252CP1253CP12514CP1257ISO6659_1ISO6659_2ISO6659_4ISO6659_5ISO6659_7ISO6659_9ISO6659_13ISO6659_15KOI8_RUTF8UTF-16EUC_JPSJISISO2022JPGKBISCII91BIG5TIS620GB2321ISO_2022-KR

Включить ASCII

Включить эвристику

Целевое средство чтения электронной книги По умолчаниюApple iPadApple iPad 3Cybook 3Cybook OpusEctaco jetBookGalaxyGeneric e-inkGeneric HD e-inkGeneric large e-inkHanlin V3Hanlin V5iLiadIrexDR800IrexDR1000jetBookKoboMobipocketMS ReaderNookNook ColorNook HD PlusPocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HDSonySony 300Sony 900Sony LandscapeSony T3TabletKindleKindle DXKindle FireKindle OasisKindle PaperwhiteKindle Paperwhite 3Kindle ScribeKindle VoyageПо умолчаниюCybook 3Cybook OpusEctaco jetBookHanlin V3Hanlin V5Pocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HDMS ReaderHanlin V3Hanlin V5По умолчаниюSonySony 300Sony 900Sony LandscapeSony T3По умолчаниюCybook 3Cybook OpusEctaco jetBookHanlin V3Hanlin V5iLiadKindleKindle DXKindle FireKindle OasisKindle PaperwhiteKindle Paperwhite 3Kindle VoyageKoboPocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HDDefaultIrexDR800IrexDR1000NookNook ColorNook HD PlusПо умолчаниюApple iPadApple iPad 3Cybook 3Cybook OpusEctaco jetBookGalaxyGeneric e-inkGeneric HD e-inkGeneric large e-inkHanlin V3Hanlin V5iLiadIrexDR800IrexDR1000jetBookKindleKindle DXKindle FireKindle OasisKindle PaperwhiteKindle Paperwhite 3Kindle VoyageKoboMobipocketMS ReaderNookNook ColorNook HD PlusPocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HDSonySony 300Sony 900Sony LandscapeSony T3TabletПо умолчаниюPocketbook 900Pocketbook Pro 912Pocketbook InkPad 3Pocketbook InkPad LuxPocketbook InkPad HD

Изменить заголовок:

Изменить автора:

Добавить поле:

cm

Информация: Включите поддержку JavaScript, чтобы обеспечить нормальную работу сайта.

  1. Выберите файл DJVU для преобразования
  2. Изменить качество или размер (опция)
  3. Нажмите «Начать» для преобразования файла DJVU в PDF
  4. Скачайте файл PDF

Конвертировать DJVU в PDF

Одри Гудвин

13.04.2023, 17:06:35 • Подано по адресу: Знание PDF-файлов • Проверенные решения

DJVU полезен для людей, которые хотят хранить отсканированные копии книг в пакетах. Люди также иногда используют формат файла DJVU для обмена большими объемами электронных книг в Интернете из-за размера сжатого файла и высокой скорости преобразования. Однако одним недостатком типа файла DJVU является его негибкий характер. Человек не может открыть документ DJVU на своем компьютере, iPhone, iPod, iPad, Amazon Kindle, смартфонах или других устройствах. Если вы хотите прочитать такой документ на портативном устройстве, часто полезно преобразовать файл в формат PDF.

В Интернете можно выбрать из нескольких программ преобразования. В этой статье мы сосредоточимся на том, как лучше всего конвертировать DJVU в формат PDF. Кроме того, мы порекомендуем лучший PDF-редактор для ваших нужд.

Лучший конвертер DJVU в PDF

AVS Document Converter — многофункциональный инструмент, способный конвертировать файлы из одной файловой системы в другую несколькими простыми щелчками мыши. Дополнительным преимуществом использования этого программного обеспечения является его способность поддерживать файлы Word, EPUB, MOBI, HTML, Text, FB2, PDF и другие расширения. Вот шаги, как выполнить преобразование.

Шаг 1. Загрузите конвертер

Посетите веб-сайт AVS Document Converter, чтобы получить доступ к бесплатной загрузке программного обеспечения. Затем установите и откройте его на своем компьютере.

Шаг 2. Преобразуйте файл DJVU в PDF

Перетащите файлы, которые вы хотите преобразовать, в программу. Укажите выходной формат документа. В этом случае выберите «В PDF». Затем выберите подходящую папку на вашем компьютере, чтобы сохранить его. Когда вы будете готовы, нажмите кнопку «Конвертировать сейчас», чтобы начать преобразование и сохранить выходной файл в выбранной папке.

Лучший редактор PDF для пользователей Windows и Mac

Вместо того, чтобы искать приложения для преобразования определенного формата файла в PDF, как насчет того, чтобы инвестировать в универсальное решение, которое поможет вам конвертировать PDF-файлы в различные форматы файлов и наоборот. наоборот Одним из таких инструментов является Wondershare PDFelement — редактор PDF. Ниже приведены некоторые функции, которые делают PDFelement незаменимым как для профессионалов, так и для обычных пользователей.

Попробуйте бесплатно Попробуйте бесплатно КУПИТЬ СЕЙЧАС КУПИТЬ СЕЙЧАС

  • Редактор — позволяет редактировать текст, изображения, объекты и ссылки
  • OCR — преобразование PDF-файла на основе изображения в документ с возможностью выбора, поиска и редактирования
  • Converter and Creator — универсальный инструмент преобразования, который преобразует PDF-файлы в любой формат файла и любой формат файла в PDF
    • .
  • Формы — Удобный способ заполнения форм

Бесплатная загрузка или Купить PDFelement прямо сейчас!

Бесплатная загрузка или Купить PDFelement прямо сейчас!

Купить PDFelement прямо сейчас!

Купить PDFelement прямо сейчас!

Другие популярные статьи от Wondershare

Преобразование

— Как преобразовать DJVU в распознаваемый символьный файл PDF?

спросил

Изменено 2 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 926 раз

У меня есть файл DJVU, в котором я могу выбирать, копировать, выделять его текст, т. е. DJVU является читаемым текстом или распознаваемым символом. Я хочу преобразовать этот файл в распознаваемый символьный файл PDF. Существует ли бесплатная онлайн-система или бесплатное программное обеспечение для этого?

Спасибо.

  • pdf
  • конвертация
  • pdf-ридер
  • djvu

3

Я использую DjVuLibre : DjVu

В DjVuLibre

Чтобы преобразовать его в pdf: Файл > Экспортировать как… > Формат PDF

Чтобы преобразовать файл PDF в распознаваемый символьный файл PDF:

можно использовать Acrobat Pro/Standard DC 2020 (прямая ссылка Acrobat Pro/Standard DC 2020 (поставляется с пробной версией)

в Acrobat > Инструменты > Сканирование и распознавание текста > Распознать текст > в этом файле

или

вы можете использовать tesseract-ocr : страница загрузки tesseract-ocr.

L римская что означает: Онлайн калькулятор: О римских цифрах

alexxlab / / Разное

Какое число обозначает римская цифра L? — Обсуждай

Какое число обозначает римская цифра L? — Обсуждай

Надежда Авдоньева

Какое число обозначает римская цифра L? цифра число

1676

195

3

Ответы

Io

Ioan

Если Вас вдруг укусил крокодил, то Вам достаточно сильно надавить ему на глаза и он Вас отпустит.
В глазу у бабочки более 1000 линз.
Устрицы меняют пол в зависимости от того, какой пол сейчас лучше подходит для спаривания.
Комнатные мухи, хоть и живут 14 дней, имеют хороший слух. Все они жужжат на тональности фа мажор.
Летучие мыши — единственные млекопитающие, которые могут летать

0

Io

Ioan

кто очень любит, тот не замечает, что он – то уже не любим
2. Нет вернее средства разжечь страсть, чем самому быть холодным-

1

Надежда Авдоньева

а продолжения

1

Io

Ioan

вы голодная на интересную информацию, одобряю

1

Надежда Авдоньева

там продолжения нету

1

Io

Ioan

дам выведенную мною ИНСТРУКЦИЮ : «О том, как стать быстро Порядочным».

Если ты, вдруг понял, что у тебя отрицательные черты характера, но срочно хочешь выглядеть порядочным…, то встань рядом с :

1.Великим Александром Пушкиным,
2. Владимиром Высоцким,
3.
4.Низами Гянджеви,
5.Муслимом Магомаевым,

1

KD

Kostya Dy

если обратиться к энциклопедии, римская система нумерации это и есть запись чисел с помощью латинских букв. Для обозначения чисел применялось 7 букв латинского алфавита: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

0

Надежда Авдоньева

1

АР

Андрей Рачков

интересно в каком часовом поясе вы находитесь. Я ,допустим ,знаю.. а какая вам разница :кто это знает в принципе?

0

Алексей Заславский

НЕСКОЛЬКО ЧАСОВ НАЗАД ЗАДУМАЛСЯ НАД ЭТИМ ВОПРОСОМ. ДУМАЮ -50

0

Надежда Авдоньева

да

1

Александр Федченко

Не помню, но встречалось мне. Находил ответ в гугле.

0

Надежда Авдоньева

50

1

Александр Федченко

Да, спасибо!

1

Дмитрий Левченков

в чесах латинские буквы есть а вот цифру не помню

0

Надежда Авдоньева

50

1

Дмитрий Левченков

каждая буква число означает?

1

Надежда Авдоньева

да

1

Дмитрий Левченков

Не знал раньше ))

1

Надежда Авдоньева

))

1

OS

Oo_*kolya Smirnov*_Oo

Не L, а I, сука ты тупая, ляг с тостером в ванну

0

Надежда Авдоньева

ты что в сосну ударился иди поучись ,а потом других учи неуч

1

Ал

Александр

Полтосик. мой бывший размер одежды)))

0

Надежда Авдоньева

да

1

ВК

Виктор Красивский

50, а по моей системе — это единица

0

Надежда Авдоньева

по какой системе

1

ВК

Виктор Красивский

Если на пальцах, то L — 1, T — 2, G — 3, Г — 4, С- 5, F — 6, E — 7, I — 0, в соответствии с восьмеричной системой . 8 и 9 — по вашему усмотрению, например 8 — Q. 9 — Б. Подробнее писать просто лень))

1

Илдар Аминов

Даже больше скажу сейчас LXVI год:)

0

ВМ

Василь Махьянов

ВАМ КУДА. ..ПРОСТИТЕ НА ЧТО…????)))

0

Надежда Авдоньева

мне не на что

1

ШН

Шульженко Николай

50 … Или по-казахски —-ЕЛЮ .

0

Надежда Авдоньева

)

1

ЖШ

Женя Шилов

у меня мотор на тойоте 2LT

0

Надежда Авдоньева

турбинный что ли?

1

ЖШ

Женя Шилов

был при рождении. бывший владелец снял турбину. умерла. а откуда такие познания в не женском деле??

1

Надежда Авдоньева

кое что слышала больше нахожусь в мужском коллективе

1

ЖШ

Женя Шилов

ясно

1

Надежда Авдоньева

)

1

ВК

Виктор Красивский

50, а для меня это единица

0

Д Пивоваров

нет такой римской цифры

0

Дмитрий Юрьевич

наверное, 50, не помню!

0

Надежда Авдоньева

да

1

Второй Ярус

маленький размер

0

Надежда Авдоньева

какое

1

Вадим Остапович

фифти . ..но это много

0

Надежда Авдоньева

)

1

Владимир Бахмутов

50 если не ошибаюсь

0

Надежда Авдоньева

да

1

Владимир Бахмутов

Во как! Хоть что то помню))))

1

Надежда Авдоньева

))

1

Владимир Бахмутов

))))

1

Дмитрий Чучалин

Такая разве есть ?

0

Надежда Авдоньева

это ты сейчас про латинские

1

Дмитрий Чучалин

Это размер

1

Надежда Авдоньева

число 50

1

Дмитрий Чучалин

XXL ?

1

Надежда Авдоньева

наверно 52-54 я такие размеры не нашу

1

Следующая страница

Как читать объектив: nikonofficial — LiveJournal

Дорогие друзья, сегодня мы рады представить вашему вниманию статью о том, что означают символы, обозначенные на объективе. Об этом рассказал в беседе с редактором блога старший технический менеджер Nikon Линдси Сильверман.

Повод для разговора с Линдси был выбран идеально, на столике рядом уже лежали несколько объективов NIKKOR. Беру AF-S NIKKOR 200mm f/2G ED VR II. «Вы знаете, что меня смущает? – спрашиваю я. — Обозначение VR II. Я вижу римскую цифру II после VR в описании этого объектива, и после G на оправе объектива, и я покупаю его, так как думаю, что этот объектив второго поколения технологии VR».

«Распространённое заблуждение, — отвечает Линдси. — Существует второе поколение технологии стабилизации изображения VR, которое позволяет снимать с рук, но обозначение этого есть в инструкции к объективу. Римская цифра, которую вы видите напечатанной на объективе, обозначает второе поколение этой конкретной линзы».

«Как это?» — говорю я, указывая на надпись на объективе, который держу в руках.


AF-S NIKKOR 200mm f/2G ED VR II.

«Именно. Римская цифра означает, что это второе поколение AF-S 200mm. Позвольте мне познакомить вас с остальными обозначениями, которые вы видите на наших объективах», — говорит Линдси и берёт AF-S NIKKOR 24-120mm f/4G ED VR.

«Прямо над кольцом фокусировки и рядом с именем Nikon расположен индикатор расстояния в футах и метрах, на котором сфокусируется объектив в любой заданной точке. Справа от окна индикатора расстояния есть буква «N», что означает, что объектив имеет нанокристаллическое, невероятно эффективное антибликовое покрытие.

«Там могут быть и другие обозначения», — Линдси берёт AF-S DX NIKKOR 55-300mm f/4.5-5.6G ED VR.

Любой объектив, на котором указаны буквы DX, например, AF-S DX NIKKOR 55-300mm f/4.5-5.6G ED VR, оптимизирован для камер Nikon формата DX.

«Здесь есть буквы DX рядом с именем Nikon, что означает, что этот объектив оптимизирован для камер с форматом датчика DX, такими, к примеру, как Nikon D300s или Nikon D7000. Если вы не видите букв DX, это означает, что объектив оптимизирован для камер FX-формата, таких, как D3x D3s, D700.

«Остальные обозначения касаются типа специализированного стекла, используемого в объективе», — добавляет Линдси, показывая мне AF-S NIKKOR 28-300mm f/3.5-5.6 ED VR.

AF-S NIKKOR 28-300mm f/3.5-5.6 ED VR имеет ED стёкла и переменную диафрагму.
Размер диафрагмы может меняться от f/3,5 при 28 mm до f/5.6 при 300 миллиметровом диапазоне телеобъектива.

«ED означает экстра-низкую дисперсию стекла. Это оптическое стекло Nikon разработано для коррекции хроматических аберраций».

«AF-S – обозначение для бесшумного мотора, используемого в объективах NIKKOR для быстрой, точной и, как и следовало ожидать, супер-тихой работы автофокусировки. Далее, слово NIKKOR — не надо объяснять, зачем оно здесь. Потом идёт фокусное расстояние объектива. Вот у этого конкретно зума диапазон составляет 28-300mm. Затем указаны максимальные значения диафрагмы. На этом объективе указаны две цифры 3.5 и 5.6, что означает, что диафрагма объектива может меняться в зависимости от использования зума. Значения диафрагмы всегда указываются в долях на объективе, поэтому они всегда начинаются с 1, например, как 1: 3.5-5.6».

«Наконец, надпись заканчивается буквой G, которая указывает, что объектив имеет электронный контроль диафрагмы. Это означает, что размер диафрагмы зависит от камеры. На старых NIKKOR вы можете увидеть букву D, и это означает, что информация о расстоянии учитывается в процессе замера».

«Далее, если указано «Микро-Nikkor», то есть обозначено, что объектив предназначен для макросъёмки, то будет добавлен коэффициент масштабирования.

AF-S DX NIKKOR 85mm микро f/3.5G ED VR ориентирована на воспроизводство в натуральную величину.

«Вы увидите 1 и двоеточие и затем другой номер. В натуральную величину вы снимаете при значении один к одному. Если вы повернёте кольцо фокусировки, то соотношение изменится. Вы увидите цифры 1:2, что означает, половину в натуральную величину, 1:4, 1:6 и так далее, и под соотношением есть шкала расстояний, которая показывает вам, насколько близко вы находитесь в футах и метрах от предмета съёмки».

Этот объектив предлагает быстрый переход от авто к ручному фокусу, или наоборот, и включателю/выключателю VR.

«На некоторых объективах переключатель предлагает выбрать MA или M настройку. Это означает, что объектив позволяет переключаться с автофокуса в мануальный режим практически без остановки. Вы можете переключаться без установки каких-либо настроек в самой камере. МА означает, что вам просто надо взяться за кольцо фокусировки, чтобы переключить режимы. На некоторых из новейших телеобъективов есть маркировка AM, это такая же настройка, но надо больше прокрутить кольцо, чтобы изменить эту настройку. Так что исключается элемент случайного переключения между режимами».

«Каждый VR объектив имеет переключатель, чтобы включить VR и выключить его. У некоторых VR объективов также есть дополнительный выключатель для настройки активного режима. Нормальный режим означает, что VR стабилизирует изображение при медленном и широком движении рукой. Такие движения обычно бывают в обычном режиме пользования камерой. Когда вы включаете активный режим, он говорит камере, что сейчас начнётся более сильная тряска, как будто вы сидите в движущемся автобусе и хотите сделать снимок на ходу.

«И, наконец, такие зум-объективы, как 18-200mm и 28-300mm VR II, имеют переключатель на стороне, которая фиксирует объектив, чтобы предотвратить случайное изменение зума, если вы держите камеру на ремешке на плече».

Была ли полезна вам эта статья? Впервые она была опубликована на сайте Nikon. Задавайте свои вопросы в комментариях и не забывайте добавлять наш блог в друзья!

Также читайте:
Выбор объектива для начинающего фотографа
Телеобъективы Zoom-NIKKOR
Широкоугольные объективы
Стандартные объективы Nikon. Часть 1
Стандартные объективы. Часть 2

Мередит Л. Роман: SUNY Brockport

Открытая галерея

Мередит Л Роман , Кандидат наук

Доцент (история), член комитета (Президентский совет по разнообразию и инклюзивности)
(585) 395-2010
mroman@brockport. edu
Офис: Гуманитарные науки 311

Образование

  • Доктор философии, Мичиганский государственный университет — май 2005 г., Российская история
    Диссертация: «Другой вид «свободы»: советский эксперимент с антирасизмом и его образ как «бесрасового» общества».
  • MA, Университет штата Мичиган — май 2000 г., История России
  • BA, Колледж Нью-Джерси (с отличием) — май 1998 г., история

Области специализации

  • История Советского Союза
  • Черный радикализм двадцатого века
  • Гонка в современной Европе

Преподаваемые курсы

  • Раса, национальность и имперское строительство в современной России
  • сталинизм
  • Раса и расизм в современной мировой истории
  • Черный радикализм
  • Сравнительная история афроамериканок и русских женщин
  • Расовое насилие в создании современной Америки
  • История Советского Союза
  • Двадцатый век Европа
  • Советский Союз в холодной войне
  • Миграция, протест и репрессии в двадцатом веке
  • Черные диаспоры в современной Европе
  • Революции и революционеры в двадцатом веке

Текущие проекты

  • Доктор Роман работает над новым исследовательским проектом, посвященным инакомыслию в 1960-х и 1970-х годах.

Рецензии на эссе/рецензии на книги

  • Отзыв об Аманде Брикелл Беллоуз, 9 лет0075 Американское рабство и русское крепостное право в воображении после эмансипации (University of North Carolina Press, 2020) для Journal of American History (март 2022 г.)

    Обзор Анн-Мари Фортье, Неопределенное гражданство: жизнь в зале ожидания (University of Manchester Press, 2021) в ВЫБОР Vol. 59, № 7 (март 2022 г.).

    Обзор Quito Swan, Диаспора Пауулу: черный интернационализм и экологическая справедливость (Университетское издательство Флориды, 2020 г.), H-Diplo, H-Net Reviews. Сентябрь 2021 г. https://www.h-net.org/reviews/showrev.php?id=56392

    Обзор Эрики Хабер, Оз за железным занавесом: Александр Волков и серия Волшебной страны (Университетское издательство Миссисипи, 2017) в Журнале русско-американских исследований 5, вып. 1 (май 2021 г.): 69-71.

    Обзор статьи Дугласа Селвиджа, «Операция «Денвер»: Министерство государственной безопасности Восточной Германии и кампания КГБ по дезинформации о СПИДе», 1985-1986». Journal of Cold War Studies 21:4 (осень 2019 г.): 71-123 для H-Diplomatic History 17 ноября 2020 г. DOI: https://doi.org/10.1162/jcws_a_00907.

    Обзор Питера Фуртадо, Революции : как они изменили историю и что они означают сегодня (Thames & Hudson, 2020) в ВЫБОР Vol. 58, № 7 (март 2021 г.).

    Адриана Н. Хелбиг, Хип-хоп Украина: музыка, раса и африканская миграция в обзоре антропологии Восточной Европы 35, № 1 (2017): 80-81.

  • Обзор Мэри Стэнтон, Красный, черный, белый: Коммунистическая партия Алабамы, 1930–1950 (University of Georgia Press, 2019) в Journal of Southern History 86, вып. 3 (август 2020 г.): 746–747.
  • Обзор Джеффа Сахадео, Голоса с советского края: южные мигранты в Ленинграде и Москве (Cornell University Press, 2019). H-Россия, H-Net Обзоры. Апрель 2020.
  • «Создание расы в Соединенных Штатах двадцатого и двадцать первого веков», Журнал американской этнической истории, 35, вып. 3 (весна 2016 г.): 99-103.
  • «Обзор Линдси Р. Суиндалл, Пола Робсона: активная жизнь и искусство (Lanham, MD: Rowman & Littlefield, 2013) в книге «Эра нэпа: Советская Россия, 1921–1928 гг.», том. 12 (2014).
  • «Обзор книги Джой Глисон Кэрью, «Черные, красные и русские: временщики в поисках советского обещания» (Нью-Брансуик, Нью-Джерси: Rutgers University Press, 2008) в книге «Эра нэпа: Советская Россия, 1921–1928 гг.», том. 3 (осень 2009 г.).

xxl — определение и значение

  • Определить
  • Связать
  • Список
  • Обсудить
  • См.
  • Услышать
  • и Любовь

Определения

Извините, определений не найдено. Проверьте и внесите свой вклад в обсуждение этого слова!

Этимологии

Извините, этимологии не найдено.

Служба поддержки

Помогите поддержать Wordnik (и освободите эту страницу от рекламы), указав слово xxl.

Примеры

  • Я обычно ношу XL Misses, а футболка xxl для юниоров, которую я купила в Walmart, облегает кожу… разве они не понимают, что их взрослые женщины, а не только подростки, хотят эти рубашки?

    Twilight Lexicon » Специальная информация о выпуске новолуния Walmart

  • Привет! мультфильм карикатурист редакция Джоэл Питтс каво atx at биография Тернер художник английский грипп авариа панка массагджио цервикальный отдел здоровье человека ресурсы Луизианы STORIA DEI LED ZEPPELIN taglia xxl corrispondenza Блог Сапоги Каблуки высокие воспаленные области Industriale obiettivo 2

    Промежуточный обзор

  • Почему я должен платить 400 долларов за пару женских вейдерсов xxl ?

    Полевые испытания: женские вейдерсы

  • Ecko Xxl от администратора 08 июля 2009 г. , в разделе «Без категории», сколько стоят ecko, southpole, enyce, girbuad, lrg, mada, avirex за xxl рубашка размер .

    Эко XL | Коллекционные предметы научной фантастики, фэнтези и ужасов

  • Почему я должен платить 400 долларов за пару женских вейдерсов xxl ?

    Полевые испытания: женские вейдерсы

  • Длинная рубашка с v-образным вырезом доступна в размерах xl- xxl за 28 долларов плюс 5 долларов S&H.

    Что, если никто не смотрит?: Архив за февраль 2008 г.

  • 8 января 2008 г. в 6:29 о боже какая красивая картинка! у меня есть оригинал фото в xxl пожалуйста? я хочу сделать гигантский плакат

    OMG, это полная звезда. — Lolcats ‘n’ Funny Pictures of Cats — Я могу есть чизбургер?

  • 30 июня 2005 г. 17:39 следует упомянуть, что рубашка (кстати, хорошего качества) предназначена для коллекционирования, так как это xxl

    Данн Саид

  • Setiutarg, видео зоофилов xxl бесплатно и видео

    Think Progress » Источник Стефанопулос: Президент Буш напрямую замешан в скандале с утечкой

  • Спасибо.

Ответы
01. 05.16

Михаил Александров
Читать ответы

Андрей Андреевич
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan
Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Решено

в первый сосуд с водой добавили 0,36 л, во второй — 0,42 л чистого спирта.

Решение сходимости рядов онлайн: Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

alexxlab / / Разное
2 представлена в краткой записи.. Наряду с определением суммы ряда онлайн последовательности числовой, сайт в онлайн режиме может найти так называемую частичную сумму ряда. Однозначно это поможет для аналитических представлений, когда сумму ряда онлайн нужно выразить и найти как решение лимита числовой последовательности частичных сумм ряда. По свое сути сумма ряда есть не что иное, как обратная операция разложения функции в ряд. Операции практически взаимные по природе. Так уж сложилось, что сходимость ряда изучается после прохождения курса лекции в математическом анализе после пределов. Найденное решение рядов означает результат исследования его на сходимость или расходимость. Этот результат определяется однозначно. В сравнении с аналогами, сайт имеет свои неоспоримые преимущества, потому что умеет найти сумму ряда онлайн как числового, так и функционального ряда, что позволяет однозначно определять область сходимости начального исходного ряда, применяя практически все известные науке методологии. Опираясь на теорию рядов, необходимым во все времена условием сходимости последовательности числовой будет равенство нулю лимита общего члена числового ряда на бесконечности. Но это условие является не достаточным при установлении сходимости числового ряда онлайн. Немного отвлечемся от насущной проблемы и порассуждаем с другой философской позиции по поводу рядов в математике. Для вас это решение рядов онлайн позволит стать наилучшим калькулятором и помощником на каждый день. Совсем не охота просиживать прекрасные зимние деньки за уроками, когда сумма ряда находится в два счета прямо на ваших глазах. Если понадобится кому-то определить ту самую ходимость ряда, то потребуется несколько секунд после предварительного ввода правильных данных. В то время, как аналогичные сайты требуют вознаграждения за свои услуги, мы стараемся быть полезными каждому желающему попробовать научиться самому решать примеры, используя наш простой сервис. На ваше усмотрение мы можем представить решение рядов в онлайн режиме на любом современном устройстве, то есть в любом браузере. 2 сходится и имеет в математике огромное смысловое значение. А вот сумма конечного ряда обычно определяется после использования, например, интегрального признака или признака Раабе, о котором мало кто знает в рядовых вузах. По определению сходимости рядов онлайн учеными выведены разные достаточные признаки сходимости или расходимости ряда. Более известны и часто применяемы из этим методов — это признаки Д»Аламбера, признак сходимости Коши, признак сходимости Раабе, признак сравнения числовых рядов, а также интегральный признак сходимости числового ряда. Заслуживают особого внимания такие числовые ряды, у которых знаки слагаемых обязательно строго чередуются друг за другом с минуса на плюс и обратно, а абсолютные величины этих числовых рядов убывают монотонно, то есть равномерно. На практике изучения рядов оказалось, что для таких числовых рядов необходимый признак сходимости знакопеременного ряда онлайн является достаточным, то есть равенство нулю лимита общего члена числового ряда на бесконечности. Найденная сумма ряда таким способом оказывается равносильно другим применяемым методам. Сходимость ряда занимает колоссальную трату времени, так как сам процесс предполагает полное исследование функции.. Есть много разных сайтов, которые представляют сервисы вычисления суммы ряда онлайн, а также разложения функций в ряд в режиме онлайн в любой точке из области определения исследуемой функции. Разложить функцию в ряд онлайн в этих сервисах можно без труда, так как используется функционал вычисления производной, а вот обратная операция — найти сумму функционального онлайн ряда, членами которого являются не числа, а функции, не редко бывает невозможным на практике в силу трудностей, возникающих на почве отсутствия необходимых вычислительных ресурсов.. Используйте наш ресурс для вычислений суммы рядов онлайн, проверки и закрепления своих знаний. Если же сумма ряда расходится, то мы не получим ожидаемого результата для дальнейших действий в какой-то общей задачей. Этого можно заранее избежать, применяя свои знания как специалиста. 2, потому что прозрачно для учеников такое представление и не путаются студенты. Поскольку имеем выражение для сложного общего члена ряда, то сумма конечного ряда была бы полезна, если будет доказано для мажорирующего ряда (относительно исходного) его сходимость. С другой стороны сходимость ряда будет происходить независимо от начальных условий задачи. Лучшее решение рядов может предложить только наш сервис сайт, потому что только мы гарантируем экономию вашего времени, соотнеся траты на вычисление с полезность и точностью результата. Поскольку искомая сумма ряда представима в большинстве случаев мажорирующим рядом, то как раз целесообразнее исследовать именно его. Отсюда сходимость ряда от мажорирующего общего члена однозначно укажет на сходимость основного выражения, и задача решится сама собой сразу же.. Преподаватели высших учебных заведений также могут использовать наше решение рядов онлайн и проверять работы своих подопечных курсантов. Для некоторого случая сумма ряда может быть вычислена в задаче для физики, химии или прикладной дисциплины, не застревая в рутинных вычислениях, чтобы не сбиться с основного направления при исследовании некоторого природного процесса. 2 можно сказать является классическим пример сходимости гармонического ряда на бесконечности. Что же все-таки означает выражение «сумма конечного ряда»? А это означает как раз, что он сходится и предел его частичных сумм имеет конкретное числовое значение. Если же подтвердится сходимость ряда и это повлияет на конечную устойчивость системы, то тогда возможно изменить входные параметры задачи и попробовать сделать заново. Напоследок хотим вам дать неявный на первый взгляд, но очень полезный на практике совет. Даже если вы имеет достаточный опыт в решении рядов и не нуждаетесь в подобных сервисах по решению рядов онлайн, приступить к нахождению суммы ряда мы предлагаем вам с определения сходимости ряда. Потратьте всего минуту на это действие, используя сайт, чтобы на протяжении всего вычисления суммы ряда просто держать этот факт в голове. Лишним не будет! О сумме ряда онлайн много написано на сайтах по математике, приложено много иллюстраций как в прошлом веке ученые обозначали символами выражения суммы ряда. 2 будет наоборот сходиться и примет конечное числовое выражение. Интересно изучать случаи, когда сумма конечного ряда представляется постепенно в виде промежуточных частичных сумм ряда при пошаговом увеличении переменной на единицу, а может и несколько единиц сразу. Проверку на сходимость ряда в онлайне рекомендуем делать после собственных решений заданий. Это позволит вам детально разобраться в теме и повысить свой уровень знаний. Не забывайте про это никогда, мы стараемся только для вас. Как-то на уроке учитель показал решение рядов онлайн с помощью вычислительной техники. Нужно сказать, что это всем понравилось изрядно. После этого случая калькулятор был востребован на всем курсе изучения математики. Лишним не будет проверить, как сумма ряда вычисляется калькулятором онлайн за несколько секунд после того, как вы запросите показать результат. Сразу станет понятно, в каком направлении стоит держать ход решения задачи. Поскольку о сходимости ряда в некоторых дорогих учебниках написано не много, то лучше скачать из Интернета несколько хороших докладов выдающихся ученых и пройти курс обучения по их методике. 2 будет представлена как знакопеременный ряд, то ничего страшного не случится — ведь абсолютный ряд то сходится! Ну и конечно сумма конечного ряда для вас может представлять особый интерес, когда вы изучаете эту дисциплину самостоятельно. Львиную долю примеров решают с помощью метода Даламбера и решение рядов при этом сводится к вычислению пределов, как отношение его соседних членов, а именно последующего на предыдущий. Поэтому желаем вам удачи в решении математики и пусть вы никогда не будете ошибаться! Возьмем за базовую основу так называемое решение рядов онлайн по направлению исследовательского разногласия причастности основополагающих принципов и научных межотраслевых направлений. Позвольте нам для вас найти ответ и рассказать утвердительно, что сумма ряда решается несколькими принципиально разными методами, но в конце концов результат один и тот же. Подсказка про сходимость ряда не всегда очевидна для студентов, даже если им заранее сказать ответ, хотя конечно это безусловно подталкивает их к правильному ходу решения. {\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$. Для начала определим, является ли этот ряд положительным, т.е. верно ли неравенство $u_n≥ 0$. Сомножитель $\frac{1}{\sqrt{n}}> 0$, это ясно, а вот что насчёт арктангенса? С арктангесом ничего сложного: так как $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}} >0$, то и $\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}>0$. Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования вопроса сходимости этого ряда.

Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}\to 0$. Следовательно, $\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа , то мы увидим формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Заменим в выражении $\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ арктангенс на дробь $\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$. \infty \frac{n}{6n+1} $Решение

Ряд положительный, записываем общий член:

$$ a_n = \frac{n}{6n+1} $$

Вычисляем предел при $ n \to \infty $:

$$ \lim _{n \to \infty} \frac{n}{6n+1} = \frac{\infty}{\infty} = $$

Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение:

$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(6+\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{6} $$

Так как получили, что $ \lim_{n\to \infty} a_n = \frac{1}{6} \neq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

ОтветРяд расходится

2.2 Необходимый признак сходимости рядов

Применение рядов в любой прикладной задаче предполагает исследование этого ряда на сходимости. Решение этого вопроса начинается с применения необходимого признака сходимости ряда, сформулированного в теореме: если данный ряд сходится, то предел общего члена ряда при неограниченном возрастании номераn равен нулю, т. е. .

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из равенства нулю предела общего члена при n→∞ еще не следует сходимость этого ряда. Справедливость этого положения видна на примере гармонического ряда . Для него выполняется необходимый признак сходимости, однако гармонический ряд расходится.

Непосредственно из теоремы вытекает достаточной признак расходимости ряда: если предел общего члена числового ряда при неограниченном увеличении n не равен нулю, то данный ряд расходится.

С помощью этого признака иногда легко установить расходимость ряда. Примеры таких рядов приведены ниже.

Пример 1. Дан ряд: Исследовать его на сходимость.

Решение. Общий член ряда . Предел его приn→∞ не существует. Ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как , то ряд расходится.

2.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Литература: [5], Ч. 3, гл. 15, §§ 15.2, 15.3

Ряд , у которого все члены ─ положительные числа, называется положительным рядом. Рассматрим некоторые достаточные признаки сходимости и расходимости положительных рядов, наиболее часто применяемые на практике.

2.3.1. Признак сравнения

Пусть ряды иположительные, а члены первого ряда, начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов второго ряда, т.е.. Тогда, если сходится рядс большими членами, то сходится и рядс меньшими членами. Если же рядс меньшими членами расходится, то расходится и рядс большими членами.

Для сравнения с исследуемыми рядами часто применяются следующие ряды:

1) ряд геометрической прогрессии , который сходится прии расходится при;

2) гармонический ряд , который расходится;

3) обобщённый гармонический ряд , который сходится прии расходится при.

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Данный ряд сравним с расходящимся гармоническим рядом. Между членами этих рядов очевидно соотношение . Так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Возьмём сходящийся ряд убывающей геометрической прогрессии . Очевидно, что. Поэтому согласно теореме сравнения из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Возьмём ряд … Очевидно, что все члены этого ряда, начиная с третьего удовлетворяют условию. Так как рядсходится (как ряд убывающей геометрической прогрессии), то данный ряд также сходится.

2.3.2. Предельный признак сравнения

Этот признак применяется на практике гораздо чаще, чем рассмотренный выше признак сравнения и формулируется следующим образом: если существует конечный отличный от нуля предел отношения общих членов положительных рядов при n→∞ (), то эти ряды ведут себя одинаково в смысле сходимости (т. е. либо оба сходятся, либо оба расходятся).

Если , то из сходимости рядаследует сходимость ряда(обратное неверно). Если, то из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Предельный признак сравнения положительных рядов особенно удобно применять, когда общий член ряда представляет собой дробно-рациональную функцию от n.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравнение с гармоническим рядом по обычному признаку сравнения вопрос о сходимости не решает, так как при, но ввиду расходимости рядачто-либо сказать о ряденевозможно.

Воспользуемся предельным признаком сравнения.

.

Здесь для раскрытия неопределённости при вычислении предела применено правило Лопиталя.

Так как предел конечен и не равен нулю, то исследуемый ряд ведёт себя так же, как и ряд, т.е. расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с рядом , который, как известно, сходится (как обобщённый гармонический ряд при).

.

Исследуемый ряд так же сходится.

Замечание. Если, как в примере 2, общий член ряда представляет собой дробно-рациональную функцию относительно отn, то общий член ряда для сравнения удобно брать в виде , гдеm − разность между степенями многочленов знаменателя и числителя .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим .

.

Отсюда, так как предел конечен, то исследуемый ряд ведёт себя так же, как и гармонический, т.е. расходится.

Калькулятор сходимости серии

— Обмен файлами

Этот сценарий находит сходимость или расхождение бесконечных рядов, вычисляет сумму, предоставляет график частичной суммы и вычисляет радиус и интервал сходимости степенного ряда. Включены следующие тесты: тест дивергенции (тест n-го члена), интегральный тест (тест Маклорена-Коши), тест сравнения, тест предельного сравнения, тест отношения (тест отношения Даламбера), тест корня (тест корня Коши), тест чередующихся рядов. (критерий Лейбница), критерий абсолютной сходимости, критерий p-серии, критерий геометрического ряда, критерий Раабе, критерий Бертрана, критерий Ермакова, критерий конденсации Коши и критерий степенного ряда. Тест степенных рядов использует тест отношений, тест корня и теорему Коши-Адамара для расчета радиуса и интервала сходимости степенных рядов. Все тесты имеют графики частичной суммы, кроме теста Power Series. Этот сценарий поможет учащимся исчисления (II или III) с главой «Бесконечные ряды», учащимся, изучающим дифференциальные уравнения, с решениями для рядов и учащимся, изучающим реальный анализ, с расширенными тестами сходимости.

В основном списке (упомянутом выше) 15 тестов сходимости. Тест абсолютной сходимости имеет второй список с 3 тестами сходимости: абсолютная сходимость с интегральным тестом, абсолютная сходимость с тестом сравнения и абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. Всего имеется 17 тестов сходимости. Все тесты на сходимость требуют ввода выражения бесконечной последовательности, выбранного номера теста (из 15) и начального k для 12 тестов — это все, что требуется для выполнения этих тестов. Тест абсолютной сходимости имеет дополнительные входные данные из списка Тест абсолютной сходимости (из 3): Абсолютная сходимость с интегральным тестом, Абсолютная сходимость с тестом сравнения и Абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. 2 сравнительных теста и 2 предельных сравнительных теста имеют 2 дополнительных входа: является ли выражение сравнения сходящимся или расходящимся, и, наконец, выражение сравнения. Чтобы ввести входные данные, ответьте на вопросы в нижней части командного окна после запуска скрипта. Слева от заголовка приведен пример снимка экрана с тестом чередующихся серий (описание теоремы и теста чередующихся серий закомментировано, чтобы вместить всю информацию).

Я написал этот скрипт, потому что никто другой этого не делал, и я предположил, что он может получить значительное количество загрузок. Я изучил и протестировал этот сценарий с помощью книг по бесконечным сериям, интернет-исследований и обширно с ~ 22 книгами по математическому анализу. Первоначально я предназначал этот сценарий для студентов, но он стал настолько мощным, точным, простым и надежным, что профессор скачал его. Если у кого-то есть вопросы или комментарии по этому сценарию, включая возможности трудоустройства, не стесняйтесь обращаться ко мне!

[1] Дэниел Д. Бонар, Майкл Дж. Хури. «Настоящая бесконечная серия». Первоначально опубликовано Математической ассоциацией Америки в 2006 г., авторское право (2006 г.) и переиздание (2018 г.) в США принадлежат Американскому математическому обществу. Провиденс, Род-Айленд. ISBN: 9781470447823

[2] TJ IA. Бромвич. «Введение в теорию бесконечных рядов». Alpha Editions, www.alphaedis.com (2020). ISBN: 9789354038747

Цитировать как

Дэвид Казенав (2023). Калькулятор сходимости серий (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/72141-series-convergence-calculator), MATLAB Central File Exchange. «> а б а б эксп 4 90 074 5 6 ×

удалить

( ) |а| ln 7 8 9 — ↑ ↓ 9. ↵ + ← →

Этот калькулятор для расчета суммы ряда взят от ООО «Вольфрам Альфа». Все права принадлежат владельцу!

Сумма ряда

OnSolver.com позволяет найти сумму ряда онлайн. Помимо нахождения суммы числовой последовательности онлайн, сервер находит частичную сумму ряда онлайн. Это полезно для анализа, когда сумма ряда онлайн должна быть представлена ​​и найдена как решение пределов частичных сумм ряда. По сравнению с другими сайтами www.OnSolver.com имеет огромное преимущество, так как можно найти сумму не только числового, но и функционального ряда, которая позволит определить область сходимости исходного ряда, используя самые известные методы. Согласно теории необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела общего члена ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако этого условия недостаточно для определения сходимости числовых рядов в режиме онлайн. Если ряд не сходится, OnSolver.com укажет на это соответствующим сообщением. Для определения сходимости ряда найдено множество достаточных критериев сходимости или расходимости ряда. Наиболее популярными и часто используемыми из них являются критерии Даламбера, Коши, Раабе; сравнение числовых рядов, а также интегральный критерий сходимости числовых рядов. Особое место среди числового ряда занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные значения числового ряда монотонно спадают.

1 … 178 179 180 181 182 … 3 226