alexxlab — Страница 179 — Таловская средняя школа

Определитель матрицы 3 на 3: Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы

alexxlab / 29.06.202301.05.2023 / Разное

Вычисляем определитель матрицы на Хаскелле / Хабр

Решил выложить код вычисления определителей. Код рабочий, хотя и не претендует на виртуозность. Просто было интересно решить эту задачу именно на Хаскелле. Рассмотрены два подхода к решению задачи: простая рекурсия и метод Гаусса.

Немного теории

Как известно, определитель квадратной матрицы n*n — это сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение, содержащее ровно по одному элементу матрицы из каждого столбца и ровно по одному из каждой строки. Знак очередного произведения:

определяется чётностью подстановки:

Прямой метод вычисления определителя состоит в разложении его по элементам строки или столбца в сумму произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. В свою очередь, алгебраическое дополнение элемента матрицы

есть

при этом

— есть минор элемента (i,j), т. е. определитель, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Такой метод порождает рекурсивный процесс, позволяющий вычислить любой определитель. Но производительность этого алгоритма оставляет желать лучшего — O(n!). Поэтому применяется такое прямое вычисление разве что при символьных выкладках (и с определителями не слишком высокого порядка).

Гораздо производительнее оказывается метод Гаусса. Его суть основывается на следующих положениях:

1. Определитель верхней треугольной матрицы \begin{pmatrix}{a}_{1,1} & {a}_{1,2} &… & {a}_{1,n} \\ 0 & {a}_{2,2} &… & {a}_{2,n} \\ 0 & 0 &… & …\\ 0 & 0 &… & {a}_{n,n} \\\end{pmatrix} равен произведению ее диагональных элементов. Этот факт сразу же следует из разложения определителя по элементам первой строки или первого столбца.

2. Если в матрице к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то значение определителя не изменится.

3. Если в матрице поменять местами две строки (или два столбца), то значение определителя изменит знак на противоположный.

Мы можем, подбирая коэффициенты, складывать первую строку матрицы со всеми остальными и получать в первом столбце нули во всех позициях, кроме первой. Для получения нуля во второй строке, нужно прибавить ко второй строке первую, умноженную на

Для получения нуля в третьей строке, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на

и т.д. В конечном итоге, матрица приведется к виду, в котором все элементы

при n>1 будут равны нулю.

Если же в матрице элемент

оказался равным нулю, то можно найти в первом столбце ненулевой элемент (предположим, он оказался на k-м месте) и обменять местами первую и k-ю строки. При этом преобразовании определитель просто поменяет знак, что можно учесть. Если же в первом столбце нет ненулевых элементов, то определитель равен нулю.

Далее, действуя аналогично, можно получить нули во втором столбце, затем в третьем и т.п. Важно, что при сложении строк полученные ранее нули не изменятся. Если для какой-либо строки не удастся найти ненулевой элемент для знаменателя, то определитель равен нулю и процесс можно остановить. Нормальное завершение процесса Гаусса порождает матрицу, у которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Как говорилось выше, определитель такой матрицы равен произведению диагональных элементов.

Перейдем к программированию.

Мы работаем с данными с плавающей точкой. Матрицы представляем списками строк. Для начала определим два типа:

type Row    = [Double]
type Matrix = [Row]

Простая рекурсия

Ничтоже сумняшеся, мы будем раскладывать определитель по элементам первой (т.е. нулевой) строки. Нам понадобится программа построения минора, получающегося вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

-- Удаление k-го элемента изо всех строк матрицы
deln :: Matrix -> Int -> Matrix
deln matrix k = map (\ r -> (take (k) r)++(drop (k+1) r)) matrix

А вот и минор:

-- Минор k-го элемента нулевой строки
minor :: Matrix -> Int -> Double
minor matrix k = det $ deln (drop 1 matrix) k

Обратите внимание: минор — это определитель. Мы вызываем функцию det, которую еще не реализовали. Для реализации det, нам придется сформировать знакочередующуюся сумму произведений очередного элемента первой строки на определитель очередного минора. Чтобы избежать громоздких выражений, создадим для формирования знака суммы отдельную функцию:

sgn :: Int -> Double
sgn n = if n `rem` 2 == 0 then 1.0 else (-1.0)

Теперь можно вычислить определитель:

-- Определитель квадратной матрицы
det :: Matrix -> Double
det [[a,b],[c,d]] = a*d-b*c
det matrix = sum $ map (\c -> ((matrix !! 0)!!c)*(sgn c)*(minor matrix c))  [0. .n]
             where n = length matrix - 1

Код очень прост и не требует особых комментариев. Чтобы проверить работоспособность наших функций, напишем функцию main:

main = print $ det [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,(-9)]]

Значение этого определителя равно 54, в чем можно убедиться.

Метод Гаусса

Нам понадобится несколько служебных функций (которые можно будет использовать и в других местах). Первая из них — взаимный обмен двух строк в матрице:

-- Обмен двух строк матрицы
swap :: Matrix -> Int -> Int -> Matrix
swap matrix n1 n2 = map row [0..n]
                    where n=length matrix - 1
                          row k | k==n1 = matrix !! n2
                                | k==n2 = matrix !! n1
                                | otherwise = matrix !! k

Как можно понять по приведенному выше коду, функция проходит строку за строкой. При этом, если встретилась строка с номером n1, принудительно подставляется строка n2 (и наоборот). Остальные строки остаются на месте.

Следующая функция вычисляет строку r1 сложенную со строкой r2, умноженной поэлементно на число f:

-- Вычислить строку r1+f*r2
comb :: Row -> Row -> Double -> Row
comb r1 r2 f = zipWith (\ x y -> x+f*y) r1 r2

Здесь все предельно прозрачно: действия выполняются над строками матрицы (т.е. над списками [Double]). А вот следующая функция выполняет это преобразование над матрицей (и, естественно, получает новую матрицу):

-- прибавить к строке r1 строку r2, умноженную на f
trans :: Matrix -> Int -> Int -> Double -> Matrix
trans matrix n1 n2 f = map row [0..n]
                       where n=length matrix - 1
                             row k | k==n1 = comb (matrix !! n1) (matrix !! n2) f
                                   | otherwise = matrix !! k

Функция getNz ищет номер первого ненулевого элемента в списке. Она нужна в случае, когда очередной диагональный элемент оказался равным нулю.

-- Номер первого ненулевого в списке
getNz :: Row -> Int
getNz xs = if length tmp == 0 then (-1) else snd $ head tmp
           where tmp=dropWhile (\ (x,k) -> (abs x) <= 1.0e-10) $ zip xs [0..]

Если все элементы списка равны нулю, функция вернет -1.

Функция search проверяет, подходит ли матрица для очередного преобразования (у нее должен быть ненулевым очередной диагональный элемент). Если это не так, матрица преобразовывается перестановкой строк.

-- Поиск ведущего элемента и перестановка строк при необходимости
search :: Matrix -> Int -> Matrix
search matrix k | (abs ((matrix !! k) !! k)) > 1.0e-10 = matrix
                | nz < 0 = matrix  -- матрица вырождена    
                | otherwise = swap matrix k p 
                           where n   = length matrix
                                 lst = map (\ r -> r !! k) $ drop k matrix
                                 nz  = getNz lst
                                 p   = k + nz

Если ведущий (ненулевой) элемент найти невозможно (матрица вырождена), то функция вернет ее без изменений. Функция mkzero формирует нули в очередном столбце матрицы:

-- получение нулей в нужном столбце
mkzero :: Matrix -> Int -> Int -> Matrix
mkzero matrix k p | p>n-1 = matrix
                  | otherwise = mkzero (trans matrix p k (-f)) k (p+1)
                    where n = length matrix
                          f = ((matrix !! p) !! k)/((matrix !! k) !! k)

Функция triangle формирует верхнюю треугольную форму матрицы:

-- Получение верхней треугольной формы матрицы
triangle :: Matrix -> Int -> Matrix
triangle matrix k | k>=n = matrix
                  | (abs v) <= 1.0e-10 = [[0.0]] -- матрица вырождена
                  | otherwise = triangle (mkzero tmp k k1) k1 
                    where n   = length matrix
                          tmp = search matrix k
                          v   = (tmp !! k) !! k -- диагональный элемент
                          k1  = k+1

Если на очередном этапе не удалось найти ведущий элемент, функция возвращает нулевую матрицу 1-го порядка. Теперь можно составить парадную функцию приведения матрицы к верхней треугольной форме:

-- Парадная функция
gauss :: Matrix -> Matrix
gauss matrix = triangle matrix 0

Для вычисления определителя нам нужно перемножить диагональные элементы. Для этого составим отдельную функцию:

-- Произведение диагональных элементов
proddiag :: Matrix -> Double
proddiag matrix = product $ map (\ (r,k) -> r !!k) $ zip matrix [0,1..]

Ну, и «бантик» — собственно вычисление определителя:

-- Вычисление определителя
det :: Matrix -> Double
det matrix = proddiag $ triangle matrix 0

Проверим, как работает эта функция:

main = print $ det  [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,-9]]
[1 of 1] Compiling Main             ( main.hs, main.o ) 
Linking a.out ...                                                                                 
54.0

Спасибо тем, кто дочитал до конца!

Код можно скачать здесь

Определители квадратных матриц

Определители квадратных матриц
Math Task

Определители квадратных матриц.
2.Свойства определителей.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.Определители квадратных матриц.

Как известно из раздела матричной алгебры, матрицы получили широкое распрастранение в экономике. Для того, чтобы как-то характеризовать матрицу, а также решать различные задачи с использованием матриц, в математике введено понятие определитель матрицы. Т.е. определитель матрицы — это число, характеризующее матрицу (параметр). Для каждой квадратной матрицы можно рассчитать число по ее элементам по определенной формуле, которое будет ее характеризовать.

Для матрицы первого порядка определитель равен элементу а11.

Для матрицы второго порядка определитель равен разности произведений элементов матрицы, рассчитанный по формуле:

Для матрицы третьего порядка определитель равен числу, рассчитанному по формуле:

Определители квадратных матриц можно вычислить и другим способом: с помощью разложения элементов матрицы по строке. Для того, чтобы использовать такой способ, предварительно рассчитывают миноры и алгебраические дополнения. Минором Mij элемента аij называется определитель n-1 порядка, а алгебраическое дополнение это произведение Аij = (-1)^i+j Mij

Таким образом, определитель третьего порядка можно разложить по элементам первой строки так:

2.Свойства определителей.

1. При транспонировании определитель не меняется.

2. Если поменять местами любые две строки (столбца) матрицы, то определитель поменяет знак на противоположный.

3. Для любой матрицы, определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

4. Определитель равен нулю, если матрица содержит две одинаковые строки (столбца).

5. Определитель равен нулю, если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю.

6. Если суммировать произведения элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов любой другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

7. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.


			Репетитор: Васильев Алексей Александрович
			Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование. 2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Пример.

1 2 3 4 5 6 7 8 9





	www. mathtask.ru

Определитель формулы матрицы 3×3

Математические сомнения
Матрицы
Детерминанты
Матрица 3 × 3

${\begin{vmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \\ \end{vmatrix}}$ $\,=\,$ $e_{11} \times {\begin{vmatrix} e_{22} & e_{23} \\ e_{32} & e_{33} \\ \end{vmatrix}}$ $\,-\,$ $e_{12} \times {\begin{vmatrix} e_{21} & e_{23} \\ e_{31} & e_ {33} \\ \end{vmatrix}}$ $\,+\,$ $e_{13} \times {\begin{vmatrix} e_{21} & e_{22} \\ e_{31} & e_{ 23} \\ \end{vmatrix}}$

Согласно определению определителя матрицы, формула определителя матрицы 3 на 3 может быть получена в алгебраической форме, выполнив четыре основных шага. {1+3}$. 9{4} \times {\begin{vmatrix} e_{21} & e_{22} \\ e_{31} & e_{32} \\ \end{vmatrix}}$

$=\,\,\, $ $e_{11} \times 1 \times {\begin{vmatrix} e_{22} & e_{23} \\ e_{32} & e_{33} \\ \end{vmatrix}}$ $\,+ \,$ $e_{12} \times (-1) \times {\begin{vmatrix} e_{21} & e_{23} \\ e_{31} & e_{33} \\ \end{vmatrix}} $ $\,+\,$ $e_{13} \times 1 \times {\begin{vmatrix} e_{21} & e_{22} \\ e_{31} & e_{32} \\ \end{vmatrix }}$

$\следовательно\,\,\,$ ${\begin{vmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{ 23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \\ \end{vmatrix}}$ $\,=\,$ $e_{11} \times {\begin{vmatrix} e_{22 } & e_{23} \\ e_{32} & e_{33} \\ \end{vmatrix}}$ $\,-\,$ $e_{12} \times {\begin{vmatrix} e_{21} & e_{23} \\ e_{31} & e_{33} \\ \end{vmatrix}}$ $\,+\,$ $e_{13} \times {\begin{vmatrix} e_{21} & e_{22} \\ e_{31} & e_{32} \\ \end{vmatrix}}$

Может использоваться как формула для вычисления определителя квадратной матрицы третьего порядка. Его также можно упростить с помощью определителя матрицы второго порядка.

$=\,\,\,$ $e_{11} \times \Big(e_{22} \times e_{33}-e_{23} \times e_{32}\Big)$ $\,- \,$ $e_{12} \times \Big(e_{21} \times e_{33}-e_{23} \times e_{31}\Big)$ $\,+\,$ $e_{13} \times \Big(e_{21} \times e_{32}-e_{22} \times e_{31}\Big)$

$=\,\,\,$ $e_{11} \times \Big (e_{22}e_{33}-e_{23}e_{32}\Big)$ $\,-\,$ $e_{12} \times \Big(e_{21}e_{33}-e_{ 23}e_{31}\Big)$ $\,+\,$ $e_{13} \times \Big(e_{21}e_{32}-e_{22}e_{31}\Big)$

Каждый коэффициент умножения может быть распределен на разность членов выражения с помощью распределительного свойства умножения над вычитанием.

$=\,\,\,$ $e_{11} \times e_{22}e_{33}$ $\,-\,$ $e_{11} \times e_{23}e_{32}$ $\,-\,$ $e_{12} \times e_{21}e_{33}$ $\,+\,$ $e_{12} \times e_{23}e_{31}$ $\,+ \,$ $e_{13} \times e_{21}e_{32}$ $\,-\,$ $e_{13} \times e_{22}e_{31}$

$=\,\, \,$ $e_{11}e_{22}e_{33}$ $\,-\,$ $e_{11}e_{23}e_{32}$ $\,-\,$ $e_{12} e_{21}e_{33}$ $\,+\,$ $e_{12}e_{23}e_{31}$ $\,+\,$ $e_{13}e_{21}e_{32} $ $\,-\,$ $e_{13}e_{22}e_{31}$

$\следовательно\,\,\,$ ${\begin{vmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \ \ e_{31} & e_{32} & e_{33} \\ \end{vmatrix}}$ $\,=\,$ $e_{11}e_{22}e_{33}$ $\,+\ ,$ $e_{12}e_{23}e_{31}$ $\,+\,$ $e_{13}e_{21}e_{32}$ $\,-\,$ $e_{11}e_ {23}e_{32}$ $\,-\,$ $e_{12}e_{21}e_{33}$ $\,-\,$ $e_{13}e_{22}e_{31}$

Определитель матрицы 3×3 и пример

	目次
—	$3\times 3$ определитель
—	Пример
—	Калькулятор
—	Правило Сарруса 90 107

определитель $3 \times 3$

Найдите определитель матрицы 3×3,

, с помощью расширения кофактора.

Доказательство
Кофакторное разложение $A$ по первому столбцу равно

Вычисляя определитель 2×2 в каждом члене,

Мы получаем

Примеры

Найдите определители следующих матриц.

Пример ответа
По формуле определителя $3 \times 3$,

Калькулятор
Введите матрицу 3×3 и нажмите кнопку «Выполнить». Затем выводится определитель.

	1	2	3
1
2
3

$|А|$ «=»

Правило Сарруса

Определитель $3 \times 3$ равен немного сложнее, чем определитель $2 \times 2$, так что есть визуальная формула для запоминания.
Проведем пять линий из левого верхнего угла в правый нижний на матрице $3\times 3$.

Произведение всех элементов, проходящих через 3-ю прямую, равно $A_{11}A_{22}A_{33}$. Произведение всех элементов через 2-ю и 5-ю строки равно $A_{12}A_{23}A_{31}$. Произведение всех элементов через 1-ю и 4-ю строки равно $A_{13}A_{21}A_{32}$. Сумма произведений выше равна

$$ \тег{4.1} $$ Далее нарисуем пять линий из правого верхнего угла в левый нижний угол матрицы.

Произведение всех элементов, проходящих через третью прямую, равно $A_{13}A_{22}A_{31}$. Произведение всех элементов через 2-ю и 5-ю строки равно $A_{12}A_{21}A_{33}$. Произведение всех элементов через 1-ю и 4-ю строки равно $А_{11}А_{23}А_{32}$ Умножение вышеуказанных продуктов на $-1$ и их сложение дает Сумма произведений выше, умноженная на $-1$, равна

$$ \тег{4.

Ca no3 2 молярная масса: Молярная масса of ca(no3)2

alexxlab / 29.06.202325.04.2023 / Разное

Ионная сила раствора электролита | Задачи 532

Задача 532.
Вычислить ионную силу и активность ионов в растворе содержащем 0,01 моль/л Сa(NO₃)₂ и 0,01 моль/л CaCl₂.
Решение:
В водных растворах электролитов коэффициент активности зависит от концентрации и заряда всех
присутствующих в растворе ионов. Для количественного выражения этой зависимости введено понятие об ионной силе раствора I, которая численно равна полусумме произведений концентрации (C_M) каждого иона на квадрат его заряда Z:

Активность концентрации иона в растворе электролита пропорциональна его концентрации C_M, моль/л:

(ион) = fC_M,

где f — коэффициент активности иона.

Значение коэффициента активности иона рассчитаем по формуле:

получим:

Определяем активность ионов Ca²⁺, NO₃^— и Cl^—, учитывая, что концентрации ионов одинаковы и равны 0,02моль/л:

(Ca²⁺) = f(Ca²⁺) ^.CM(Ca²⁺) = 0,32^. 0,02 = 6,4 ^.10^-3 моль/л;
(NO₃^—) = (Cl^—) = f(Cl^—) ^. C_M(Cl^—) = 0,75 ^. 0,02 = 1,5 ^. 10^-2 моль/л.

Ответ: (Ca²⁺) = 6,4^.10^-3 моль/л; (NO₃^—) = (Cl^-) = 1,5 ^.10^-2 моль/л.

Задача 533.
Вычислить ионную силу и активность ионов в 0,1%-ном (по массе) растворе BaCl₂. Плотность раствора принять равной единице.
Решение:
Находим массу соли в 1л раствора из пропорции:

Рассчитаем молярную концентрацию раствора BaCl₂:

В водных растворах электролитов коэффициент активности зависит от концентрации и заряда всех присутствующих в растворе ионов. Для количественного выражения этой зависимости введено понятие об ионной силе раствора I, которая численно равна полусумме произведений концентрации C_M каждого иона на квадрат его заряда Z:

Активность концентрации иона в растворе электролита пропорциональна его концентрации C_M, моль/л:
(ион) = fC_M, где f — коэффициент активности иона.

Значение коэффициента активности иона рассчитаем по формуле:

Определяем активность ионов Ba²⁺ и Cl^— из соотношения (ион) = fC_M:

(Ba²⁺) = f(Ba²⁺) . C_M(Ba²⁺) = 0,575 ^. 0,0048 = 2,76 ^.10^-3 моль/л;
(Cl-) = f(Cl^—) . C_M(Cl-) = 0,871 ^. 2(0,0048) = 8,36 ^.10^-3 моль/л.

Ответ: (Ba²⁺) = 2,76 ^.10^-3 моль/л; (Cl^—) = 8,36 ^.10^-3 моль/л.

Задача 534.
Рассчитать активность иона водорода в 0,005 н. раствора НСI, содержащем, кроме того, 0,15 моль/л NaС1.
Решение:
В водных растворах электролитов коэффициент активности зависит от концентрации и заряда всех присутствующих в растворе ионов. Для количественного выражения этой зависимости введено понятие об ионной силе раствора I, которая численно равна полусумме произведений концентрации C_M каждого иона на квадрат его заряда Z:

Отсюда

I = 0,5[CM(H⁺) ^. 1² + C^M(Na⁺) . 1² + C_M(Cl^—) . 1²] =
= 0,5[(0,005 ^. 1²) + (0,015 ^.1²) + (0,005 + 0,015) ^. 1²] = 0,155.

Здесь концентрация ионов хлора складывается из суммы концентраций HCl и NaCl, получим:
Активность концентрации иона в растворе электролита пропорциональна его концентрации C_M, моль/л:

C(Cl^—) = С(HCl) + C(NaCl) = 0,005 + 0,015 = 0,0155 моль/л.

Значение коэффициента активности иона водорода рассчитаем по формуле:

Теперь, пользуясь уравнением (ион) = fC_M, рассчитаем активность иона водорода, получим:

(H⁺) = 0,005 ^. 0,64 = 3,2 ^.10^-3 моль/л.

Ответ: (H⁺) = 3,2^. 10^-3 моль/л.

8.03: Молярная масса — Химия LibreTexts

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 178153

Цели обучения

Определение молярной массы соединения или молекулы.
Преобразование молей в граммы и граммов в моли.

В предыдущем разделе мы определили молярную массу как массу одного моля чего-либо или массу 6,022 x 10 ²³ этого предмета. В этом разделе мы рассмотрим, как это применимо к молекулам или соединениям.

Молярная масса

Молярная масса определяется как масса одного моля репрезентативных частиц вещества. Глядя на периодическую таблицу, мы можем сделать вывод, что молярная масса лития равна $6,9{23}$ атомов этого конкретного элемента. Единицами молярной массы являются граммы на моль или $\text{г/моль}$.

Молярные массы соединений

Молекулярная формула соединения двуокиси углерода: $\ce{CO_2}$. Одна молекула углекислого газа состоит из 1 атома углерода и 2 атомов кислорода. Мы можем рассчитать массу одной молекулы углекислого газа, сложив вместе массы 1 атома углерода и 2 атомов кислорода.

\[12.01 \: \text{аму} + 2 \влево( 16. {23}\) репрезентативных частиц. Репрезентативной частицей $\ce{CO_2}$ является молекула, а для $\ce{Na_2S}$ это формульная единица.

Пример $\PageIndex{1}$

Нитрат кальция, $\ce{Ca(NO_3)_2}$, используется в качестве компонента удобрений. Определите молярную массу нитрата кальция.

Решение:

Шаг 1: Перечислите известные и неизвестные величины и спланируйте задачу .

Известен

Формула $= \ce{Ca(NO_3)_2}$
Молярная масса $\ce{Ca} = 40,08 \: \text{г/моль}$
Молярная масса $\ce{N} = 14,01 \: \text{г/моль}$
Молярная масса $\ce{O} = 16.00 \: \text{г/моль}$

Неизвестно

Молярная масса $\ce{Ca(NO_3)_2}$

Сначала нужно проанализировать формулу. Поскольку у $\ce{Ca}$ нет нижнего индекса, на формульную единицу приходится один атом $\ce{Ca}$. Цифра 2 за скобками означает, что на формульную единицу приходится два нитрат-иона, и каждый нитрат-ион состоит из одного атома азота и трех атомов кислорода на формульную единицу. Таким образом, $1 \: \text{моль}$ нитрата кальция содержит $1 \: \text{моль}$ из $\се{Са}$ атомов, $2 \: \text{ моль}$ из $\ce{N}$ атомов и $6 \: \text{mol}$ из $\ce{O}$ атомов.

Шаг 2: Рассчитайте

Используйте молярные массы каждого атома вместе с количеством атомов в формуле и сложите вместе.

\[1 \: \text{mol} \: \ce{Ca} \times \frac{40.08 \: \text{g} \: \ce{Ca}}{1 \: \text{mol} \ : \ce{Ca}} = 40,08 \: \text{g} \: \ce{Ca}\]

\[2 \: \text{моль} \: \ce{N} \times \frac{14,01 \: \text{g} \: \ce{N}}{1 \: \text{mol} \: \ce{N}} = 28,02 \: \text{g} \: \ce{N}\]

\[6 \: \text{mol} \: \ce{O} \times \frac{16.00 \: \text{g} \: \ce{O}}{1 \: \text{mol} \ : \се{О}} = 96,00 \: \text{g} \: \ce{O}\]

Молярная масса $\ce{Ca(NO_3)_2} = 40,08 \: \text{g} + 28,02 \: \text{g } + 96,00 \: \text{g} = 164,10 \: \text{г/моль}$

Вот еще несколько примеров:

Масса атома водорода равна 1,0079 а.е.м.; масса 1 моля атомов водорода равна 1,0079 г.
Элементарный водород существует в виде двухатомной молекулы H ₂ . Одна молекула имеет массу 1,0079 + 1,0079 = 2,0158 а.е.м., а 1 моль H ₂ имеет массу 2,0158 г.
Молекула H ₂ O имеет массу около 18,01 а.е.м.; 1 моль H ₂ O имеет массу 18,01 г.
Одна единица NaCl имеет массу 58,45 а.е.м.; NaCl имеет молярную массу 58,45 г.

В каждом из этих молей вещества содержится 6,022 × 10 ²³ единиц:

6,022 × 10 ²³ атомов H
6,022 × 10 ²³ молекулы H ₂ и H ₂ O,
6,022 × 10 ²³ ед. ионов NaCl.

Эти отношения дают нам массу возможностей для создания коэффициентов пересчета для простых расчетов.

Пример $\PageIndex{2}$

Какова молярная масса C ₆ H ₁₂ O ₆ ?

Решение

Чтобы определить молярную массу, мы просто добавляем атомные массы атомов в молекулярную формулу, но выражаем общее количество в граммах на моль, а не в единицах атомной массы. Массы атомов можно взять из периодической таблицы.

6 С = 6 × 12,011	= 72,066
12 Н = 12 × 1,0079	= 12,0948
6 О = 6 × 15,999	= 95,994
ВСЕГО	= 180,155 г/моль

По соглашению единица измерения грамма на моль записывается в виде дроби.

Упражнение $\PageIndex{2}$

Какова молярная масса AgNO ₃ ?

Ответ

169,87 г/моль

Зная молярную массу вещества, мы можем вычислить количество молей в определенной массе вещества и наоборот, как показывают эти примеры. В качестве коэффициента пересчета используется молярная масса.

Пример $\PageIndex{3}$

Какова масса 3,56 моля HgCl ₂ ? Молярная масса HgCl ₂ составляет 271,49 г/моль.

Раствор

Используйте молярную массу в качестве коэффициента преобразования молей в граммы. Поскольку мы хотим отказаться от единицы моль и ввести единицу грамма, мы можем использовать молярную массу как заданную:

\[3,56\, \отменить{моль\, HgCl_{2}}\times \frac{271,49\, г \, HgCl_{2}}{\cancel{mol\, HgCl_{2}}}=967\, g\, HgCl_{2}\]

Упражнение $\PageIndex{3}$

Что такое масса 33,7 моль H ₂ O?

Ответ

607 г

Пример $\PageIndex{4}$

Сколько молей H ₂ O содержится в 240,0 г воды (около массы чашки воды)?

Раствор

Используйте молярную массу H ₂ O в качестве коэффициента преобразования массы в моли. Молярная масса воды (1,0079 + 1,0079 + 15,999) = 18,015 г/моль. Однако, поскольку мы хотим отказаться от единицы грамм и ввести моли, нам нужно взять обратную величину этого количества, или 1 моль/18,015 г:

\[240,0\, \отменить{g\, H_{2}O}\times \frac{1\, моль\, H_{2}O}{18,015\отменить{g\, H_{2}O} }=13,32\, моль\, H_{2}O\]

Упражнение $\PageIndex{4}$

Сколько молей содержится в 35,6 г H ₂ SO ₄ (молярная масса = 98,08 г/моль)?

Ответ

0,363 моль

Другие коэффициенты преобразования могут быть объединены, например, с определением молярной плотности.

Пример $\PageIndex{5}$

Плотность этанола 0,789 г/мл. Сколько молей в 100,0 мл этанола? Молярная масса этанола 46,08 г/моль.

Решение

Здесь мы используем плотность для преобразования объема в массу, а затем используем молярную массу для определения количества молей.

\[100\cancel{мл}\: этанол\times \frac{0,789\, g}{\cancel{ml}}\times \frac{1\, mol}{46,08\, \cancel{g}} =1,71\, моль\, этанол\]

Упражнение $\PageIndex{5}$

Если плотность бензола, C ₆ H ₆ , равно 0,879 г/мл, сколько молей содержится в 17,9 мл бензола?

Ответ

0,201 моль

Перевод массы, молей или атомов соединения в массу, моли или атомы его элементов

Теперь, когда мы знаем, как преобразовать из атомов в молекулы, из молекул в моли и из молей в граммы мы можем объединить эти коэффициенты преобразования для решения более сложных задач.

Пример $\PageIndex{6}$: Преобразование между граммами и атомами

Сколько атомов водорода содержится в 4,6 г CH ₃ OH?

Раствор

Сначала нам нужно определить массу одного моля метана (CH ₃ OH).

Используя периодическую таблицу, чтобы найти массу каждого моля наших элементов, мы имеем:

\[1\, моль\, C \,= 1\, \cancel{mol\, C}\,\times \left (\frac{12.011\, g\, C}{1\,\cancel{моль\,C}} \right)\, = 12.011 \, g\, C\]

\[4\, моль\, H \,= 4\, \cancel{моль\,H}\,\times\left(\frac{1.008\,g\,H}{1\,\cancel{моль\,H}}\right)\ , = 4,032 \,g\, Н\]

\[1\, моль\, O \,= 1\, \cancel{моль\, O}\,\times \left(\frac{15.999\, g\, O}{1\,\cancel{ моль\,O}} \right)\, = 15,999 \, г\,O\]

Добавление масс наших отдельных элементов имеет:

\[12,011\, g \,+ \,4,032\,g\, +\, 15,999\, g\, =\,32,042\, g\, CH_{3}OH\]

Как мы вычисляли молярная масса CH ₃ OH имеем

\[32,042\, г\, CH_{3}OH\, = \,1\, моль \,CH_{3}OH\]

Что мы можем использовать в качестве коэффициента пересчета

\[\frac{32,042\, г\, CH_{3}OH}{1\, моль\, CH_{3}OH}\, или\, \frac{1\, моль\, СН_{3}ОН}{32,042\, г\, СН_{3}ОН}\] 9{23}\, атомы\, H\]

Упражнение $\PageIndex{6}$

Сколько атомов H содержится в 2,06 граммах $\ce{H_{2}O}$?

Ответ

1,38 x 10 ²³ атомов H

Пример $\PageIndex{7}$: Преобразование граммов в граммы H

3 901 г кислорода содержится в PO ₄

Раствор

Сначала нужно определить массу одного моля фосфорной кислоты $\ce{H_{3}PO_{4}}$

Имеем:

\[3\, моль\, H \,= 3\, \cancel{моль\, H}\,\times \left(\frac{1. 008\, g\, H}{1 \,\отмена{моль\,Н}} \справа)\, = 3,024\,г\, Н\]

\[1\, моль\, Р \,= 1\, \отменить{моль\, Р }\,\times \left(\frac{30,974\, g\, P}{1\,\cancel{mol\,P}} \right)\, = 30,974 \,g\, P\]

\ [4\, моль\, O \,= 4\, \cancel{моль\, O}\,\times \left(\frac{15,999\, г\, O}{1\,\cancel{моль\, O}} \right)\, = 63,996 \,g\, O\]

Добавление масс наших отдельных элементов имеет:

\[3.024\, g \,+ \,30.974\,g\, +\, 63.996\, g\, =\,97.994\, g\, H_{3}PO_{4}\]

As мы вычисляли молярную массу CH ₃ OH имеем

\[97,994\, г\, H_{3}PO_{4}\, = \,1\, моль \,H_{3}PO_{4 }\]

Которые мы можем использовать в качестве коэффициента преобразования

\[\frac{97,994\, g\, H_{3}PO_{4}}{1\, моль\, H_{3}PO_{4} }\, или\, \frac{1\, моль\, H_{3}PO_{4}}{97,994\, г\, H_{3}PO_{4}}\]

Для расчета молярной массы \(\ce{H_{3}PO_{4}})\ мы использовали идею о том, что у нас есть 3 моля H, 1 моль P и 4 моля O на каждый моль \(\ce{H_{3 }PO_{4}}). Напоминаем, что мы можем сделать свои собственные коэффициенты пересчета, пока верх и низ равны друг другу. Точно так же я могу дать вам четыре четверти или 1 доллар, если я дам вам моль \(\ce{H_{3}PO_{4}}) Я дал вам 3 моля H, 1 моль P и 4 моля O. Поскольку это правда, существует дополнительный набор коэффициентов преобразования, которые мы можем использовать:

\[\left(\frac{3\, моли\, H}{1\, моль\, H_{3}PO_{4}}\right)\, и \, \left(\frac{1\ , моль\, P}{1\, моль\, H_{3}PO_{4}}\right)\, и\, \left(\frac{4\,moles\, O}{1\, моль\ , H_{3}PO_{4}}\right)\]

Теперь мы можем вернуться к начальному значению, указанному в вопросе:

\[3.45\,\cancel{g\,H_{3}PO_{ 4}}\,\times\,\left(\frac{1\,\cancel{mol\,H_{3}PO_{4}}}{97,994\,\cancel{g\,H_{3}PO_{ 4}}}\right)\times\left(\frac{4\,\cancel{mol\,O}}{1\,\cancel{\,mol\, H_{3}PO_{4}}}\ вправо)\раз\влево(\frac{15.999\, g\, O}{1 \cancel{mol \,O}}\right) = 2,25\, g\, O\]

Упражнение $\PageIndex{6}$

Сколько граммов H есть в 3,45 граммах $\ce{H_{3}PO_{4}}$?

Ответ

0,106 г H

Резюме

Молекулярная масса (в а. е.м.) – это масса одной молекулы соединения
Молярная масса (в граммах) – это масса одного моля соединения или элемента.
Молярная масса является полезным коэффициентом преобразования, который можно использовать для преобразования граммов в моли или молей в граммы.

Авторы

8.03: Молярная масса распространяется по лицензии CC BY-NC, автор, ремикс и/или куратор LibreTexts.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или страница
Лицензия
CC BY-NC
Показать страницу TOC
№ на стр.
Теги
1. источник-хим-177918
2. источник-хим-53767

Нитрат кальция, формула, молярная масса и свойства

byBANTI SINGH • 30.3.23

Нитрат кальция является химическим соединением. Его молекулярная формула Ca(NO3)2. И это кристаллическое твердое вещество белого цвета, растворимое в воде и спирте. Он обычно используется в качестве удобрения, так как содержит кальций и азот, необходимые для роста растений.

Он также используется в производстве взрывчатых веществ, в качестве ингредиента для очистки сточных вод и в качестве консерванта пищевых продуктов. При нагревании нитрат кальция разлагается с выделением диоксида азота.

{tocify} $title={Table of Contents}

Молярная масса нитрата кальция

Молярная масса нитрата кальция (Ca(NO3)2) рассчитывается путем сложения атомных масс составляющих его атомов.

Атомная масса кальция (Ca) составляет 40,08 г/моль.

Атомная масса азота (N) составляет 14,01 г/моль.

Атомная масса кислорода (O) составляет 16,00 г/моль.

Следовательно, рассчитайте молярную массу нитрата кальция следующим образом:

(1 × 40,08) + (2 × 14,01) + (6 × 16,00) = 164,09 г/моль

Таким образом, молярная масса нитрата кальция равна 164,09 г/моль.

Свойства нитрата кальция

Нитрат кальция представляет собой бесцветное кристаллическое соединение без запаха, обладающее следующими свойствами.

1. Хорошо растворим в воде. И это также soluble в метаноле и этаноле.

2. Может нагреваться до температуры кипения 132 °C без разложения. И он распадается до того, как растает.

3. Он гигроскопичен, то есть легко впитывает влагу из воздуха.

4. Плотность 2,504 г/см3.

5. Это окислитель, который может вызвать возгорание или увеличить интенсивность пожара.

6. Используется как удобрение.

7. Он также используется в производстве средств для очистки сточных вод, добавок в бетон и других химикатов.

Удобрение с нитратом кальция

Нитрат кальция — это удобрение, которое обеспечивает растения питательными веществами, содержащими как кальций, так и азот. Он используется для улучшения качества и урожайности культур, склонных к дефициту кальция, таких как помидоры, перец и клубника.

Растворяется в воде, что делает его легкодоступным для растений. Они вносятся в почву в виде сухих гранулированных удобрений или в виде жидких удобрений путем фертигации, то есть внесения удобрений через ирригационные системы. Нитрат кальция также можно использовать в качестве опрыскивания листьев, нанося его непосредственно на листья растений.

Одним из преимуществ его использования в качестве удобрения является то, что оно с меньшей вероятностью вызовет ожоги растений или повреждение корней растений, чем другие азотные удобрения, такие как нитрат аммония. Нитрат кальция также имеет нейтральный рН, что помогает поддерживать баланс рН почвы.

Процентный состав кальция в нитрате кальция

Химическая формула нитрата кальция Ca(NO3)2, молярная масса 164,09 г/моль.

Атомная масса кальция 40,08 г/моль, а одна молекула нитрата кальция содержит один атом кальция.

Определите процентный состав кальция в нитрате кальция, рассчитав отношение атомной массы кальция к молярной массе нитрата кальция.

Кальций % = (Атомная масса/Молярная масса) x 100

=(40,08 / 164,09) x 100% = 24,4%

Процентное содержание кальция в нитрате кальция составляет около 24,4%.

Нитрат кальция добавляют к раствору гидроксида натрия

Когда нитрат кальция добавляют к раствору гидроксида натрия, происходит двойная реакция замещения с образованием гидроксида кальция [Ca(OH)2] и нитрата натрия (NaNO3).

Ca(NO3)2 + 2 NaOH → Ca(OH)2 + 2 NaNO3

В этой реакции катион кальция (Ca2+) из нитрата кальция (Ca(NO3)2) заменяет катион натрия (Na+) из натрия гидроксида (NaOH), что приводит к образованию гидроксида кальция и нитрата натрия.

X 4 y 4 17: Решите систему x^4+y^4=17(x+y)^2 xy=2*(x+y) (х в степени 4 плюс у в степени 4 равно 17 умножить на (х плюс у) в квадрате х умножить на у равно 2 умножить на (х плюс у)) нескольких уравнений [Есть ответ!]

alexxlab / 29.06.202328.04.2023 / Разное

Мэтуэй | Популярные задачи

92+5х+6=0 92-9=0

1 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 50

2 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 45

3 Оценить 5+5

4 Оценить 7*7

5 Найти простую факторизацию 24

6 Преобразование в смешанный номер 52/6

7 Преобразование в смешанный номер 93/8

8 Преобразование в смешанный номер 34/5

9 График у=х+1

10 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 128

11 Найдите площадь поверхности сфера (3) 

12 Оценить 54-6÷2+6

13 График г=-2x

14 Оценить 8*8

15 Преобразование в десятичное число 5/9

16 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 180

17 График у=2

18 Преобразование в смешанный номер 7/8

19 Оценить 9*9

20 Решите для C С=5/9*(Ф-32)

21 Упростить 1/3+1 1/12

22 График у=х+4

23 График г=-3

24 График х+у=3

25 График х=5

26 Оценить 6*6

27 Оценить 2*2

28 Оценить 4*4

29 Оценить 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)

30 Оценить 1/3+13/12

31 Оценка 5*5

32 Решить для d 2д=5в(о)-вр

33 Преобразование в смешанный номер 3/7

34 График г=-2

35 Найдите склон у=6

36 Преобразование в проценты 9

37 График у=2х+2

41 Преобразование в смешанный номер 1/6

42 Преобразование в десятичное число 9%

43 Найти n 12н-24=14н+28

44 Оценить 16*4

45 Упростить кубический корень из 125

46 Преобразование в упрощенную дробь 43%

47 График х=1

48 График у=6

49 График г=-7

50 График у=4х+2

51 Найдите склон у=7

52 График у=3х+4

53 График у=х+5

54 График

58 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 192

59 Оценка с использованием заданного значения квадратный корень из 25/36

60 Найти простую факторизацию 14

61 Преобразование в смешанный номер 7/10

62 Решите для (-5а)/2=75

63 Упростить х

64 Оценить 6*4

65 Оценить 6+6

66 Оценить -3-5

67 Оценить -2-2

68 Упростить квадратный корень из 1

69 Упростить квадратный корень из 4

70 Найди обратное 1/3

Преобразование в смешанный номер

20.

Y x 3 3x 2 x 3: Вопросы»построить график y=x^3-3x^2-x+3|Поступи в ВУЗ

alexxlab / 29.06.202305.04.2023 / Разное

Серия YX3 Высокоэффективные двигатели IE2 для насосов, конвейеров, вентиляторов, дробилок, компрессоров, смесителей

Документация по серии YX3

Красивый профиль
Высокая эффективность и энергосбережение ( IE2 IEC60034-30 и уровень 3 GB18613-2012)
Изоляция VPI класса F
Низкий уровень шума
Маленькая вибрация
Надежная работа
Гибкость применения
Номинальные характеристики инвертора: 2:1CT и 10:1VT при 380 В, 50 Гц
Высокий крутящий момент блокировки ротора
Соединительная коробка с сальниками
Монтажное положение F2, также доступны F1, F3
Двунаправленный вентилятор
Увеличенные шарикоподшипники с обеих сторон для прямого соединения
Более крупные метрические двигатели WANNAN мощностью до 2000 кВт также доступны по запросу.

Разработаны в соответствии с международными стандартами в качестве замены двигателей для зарубежного оборудования и оборудования, такого как насосы, конвейеры, вентиляторы, дробилки, компрессоры, смесители и многое другое.

Общий размер кадра, соответствующий мощности:

Типоразмер 80 90 100 112 132 160 180 200 225 250 280 315 355

Диапазон мощности кВт 0,18~1,1 0,37~2,2 0,75~3 1,5~4 2,2~7,5 4~18,5 11~22 15~37 18,5~45 30~55 37~90 45~220 55~375

Столбы

Треугольник паскаля до 100: Треугольник Паскаля | Онлайн калькулятор

alexxlab / 29.06.202309.05.2023 / Разное

Построение, создание треугольника Паскаля онлайн

Треугольник Паскаля — элегантный математический треугольник, представляющий собой бесконечную таблицу биноминальных коэффициентов. Таблица иллюстрирует скрытые соотношения между числами, которые естественным образом возникают в теории чисел, комбинаторике, теории вероятностей и алгебре.

Суть треугольной последовательности

Число 1 — важное число, а 11? Любопытно, что 11 × 11 = 121, 11 × 11 × 11 = 1331, а 11 × 11 × 11 × 11 = 14641. Если выстроить эти числа сверху вниз и представить их в виде отдельных цифр, то получится интересная формация:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Эти цифры — первые строки знаменитого треугольника Паскаля. Далее таблица строится по следующему принципу: по краям записываются единицы, а внутри ряда числа формируются путем суммы цифр, расположенных рядом выше слева и справа от искомых. Данная таблица знаменита в математике своей элегантностью, симметрией и неожиданными связями между числами. Связи таблицы с другими математическими сферами превратили треугольник Паскаля в Священный Грааль математики.

История открытия

Считается, что таблица была открыта Блезом Паскалем в 1653 году, однако происхождение формации гораздо древнее. Первое упоминание о бесконечной треугольной таблице встречается в трудах индийских математиков 10-го века, а наиболее полная информация о треугольнике представлена в работе китайского математика Шицзе, опубликованной в 1303 году. Однако и Шизце лишь упомянул о формации, создателем же треугольника Паскаля считается китайский ученый Ян Хуэй, поэтому в Китае таблица биноминальных коэффициентов носит название «треугольник Хуэя».

Удивительные свойства

Симметрия — очевидное свойство треугольника Паскаля. Если из верхней единицы провести вертикальную прямую, то числа справа и слева будут симметричны. Диагонали треугольника также симметричны. Диагонали вообще обладают рядом уникальных свойств. Если первая диагональ, как восточная, так и западная, представляет собой ряд сплошных единиц, то вторая — ряд натуральных чисел, третья — ряд треугольных чисел, а четвертая — тетраэдрических.

Треугольные числа (1, 3, 6, 10…) — это числа, при помощи которых строятся плоские треугольники. Простыми словами, если в двухмерной игре вы захотите составить треугольник из круглых элементов, то вам понадобится выстроить элементы в количестве, советующему треугольным числам: сначала 6 кругов, потом 3, потом 1.
Тетраэдрические числа (1, 4, 10, 20…) используются для построения объемных тетраэдров. Проще говоря, если вам понадобится сложить пушечные ядра аккуратной пирамидой, то в основании вам потребуется уложить 20 ядер, на них еще 10, сверху 4 и увенчать пирамиду одним верхним ядром.

Кроме того, если в треугольнике Паскаля четные числа заменить единицами, а нечетные — нулями, то получится треугольник Серпинского — известный фрактал, построенный польским математиком в начале 20 века.

Треугольник Паскаля также имеет удивительную связь с алгеброй. Если мы разложим бином Ньютона вида (1 + x)², то получим 1 + 2x + x². Если же это будет (1 + x)³, то в результате мы получим 1 + 3x + 3x² + x³. Если присмотреться, то биноминальные коэффициенты — это ни что иное как числа из соответствующего ряда треугольника Паскаля.

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — это бесконечная таблица элементов. При помощи нашего калькулятора вы можете построить таблицу любой размерности, однако не рекомендуется использовать слишком большие числа (n>100), так как столь огромные таблицы не имеют практического применения, а онлайн-калькулятор строит их слишком долго. Помимо элегантных свойств, используемых для решения биноминальных уравнений или построения тетраэдрических последовательностей, таблица Паскаля находит применение в комбинаторике.

Примеры из реальной жизни

Подсчет количества способов

Если на кафедре работают 7 математиков, и троих из них нужно отправить на городскую олимпиаду, то сколькими способами можно это сделать? Это стандартная задача на комбинаторику, в котором важен порядок элементов, то есть вариант «Сидоров, Иванов и Петров» отличается от варианта «Иванов, Петров, Сидоров», хотя выбранная группа математиков одна и та же. Такая ситуация возникает в случае, если преподаватели должны участвовать в разных конкурсах. При «ручном» решении нам пришлось бы использовать стандартные формулы для комбинаторики, однако проще воспользоваться свойствами треугольника Паскаля.

Для ответа на вопрос нам достаточно построить треугольник с n = 10, найти седьмой ряд и третье число в нем. Таким образом, существует 35 способов объединить математиков для поездки на олимпиаду.

Определение вероятности

В корзине лежит 20 шаров, пронумерованных от 1 до 20. Наугад мы берем 3 шара. Какова вероятность, что мы вытащим шары с номерами 5, 12 и 13? Для решения этой задачи нам потребуется построить треугольник Паскаля с n = 20, после чего найти двадцатый ряд и третье число в нем. Вытащить три шара можно 1140 способами. Вероятность наступления нашего события составит 3 из 1140.

Заключение

Треугольник Паскаля — простая таблица, которая таит в себе огромное количество математических тайн. Члены рядов связаны с биноминальными коэффициентами, совершенными числами, числами Фибоначчи, тетраэдрическими и треугольными числами. Используйте наш калькулятор для построения сетки необходимой вам размерности для решения самых разных математических задач.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Формулы сокращенного умножения

Для того, чтобы получить треугольник Паскаля, перепишем Таблицу 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности» в следующем виде (Таблица П.):

Таблица П. – Натуральные степени бинома x + y

№	Степень	Разложение в сумму одночленов
0	(x + y)⁰ =	1
1	(x + y)¹ =	1x + 1y
2	(x + y)² =	1x² + 2xy + 1y²
3	(x + y)³ =	1x³ + 3x²y + 3xy² + 1y³
4	(x + y)⁴ =	1x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + 1y⁴
5	(x + y)⁵ =	1x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + 1y⁵
6	(x + y)⁶ =	1x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + + 15x²y⁴ + 6xy⁵ + 1y⁶
…	…	…

Теперь, воспользовавшись третьим столбцом Таблицы П. , составим следующую Таблицу — Треугольник Паскаля: