Автор: alexxlab

Теперь мы можем сделать интеграция:

Для интегрирования используем метод интегрирования линейного преобразования функции для получения . Подключив его, мы получим:

Использование интегрирования по частям

Переписываем и используем интегрирование по частям в его рекурсивной версии:

Теперь перепишем и получим:

Установив выбор первообразной таким образом, чтобы вышеприведенное выполнялось без каких-либо свободно плавающих констант, мы получаем:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть точно равными, но это не обязательно вообще .
См. Нулевая производная подразумевает локальную постоянную

График функции с первообразной

На рисунке ниже мы изображаем (синий) и функцию (фиолетовый). Это уникальная первообразная, которая принимает значение 0 в 0. Остальные первообразные можно получить, сдвинув фиолетовый график по вертикали:

Черные точки соответствуют локальным экстремумам для , а красные точки соответствуют точкам перегиба первообразной. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится на той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба первообразной соответствуют локальным экстремальным значениям исходной функции. Дальше:

• Первообразная везде возрастает, потому что везде неотрицательна и равна нулю только в изолированных точках.
• Первообразная вогнута на тех интервалах, где является возрастающей, т. е. на интервалах вида as изменяется по целым числам.
• Первообразная вогнута вниз на тех интервалах, где убывающая, т. е. на интервалах вида as меняется по целым числам.

Определенные интегралы

Часть в первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон , а это связано с тем, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду. На самом деле ясно, что функция является синусоидальной функцией относительно .

Итак, имеем:

где целое число.

Среднее значение для интервала длины, равного кратному периоду, равно . Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение очень близко к 1/2, даже если оно не обязательно должно быть ровно 1/2. Конкретно:

Преобразованные версии

На основе интегрирования мы можем также интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду. Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Можно проводить антидифференцировку более одного раза. Первообразная представляет собой сумму многочлена степени и тригонометрической функции с периодом .

Степенной ряд и ряд Тейлора

Расчет степенного ряда

Мы можем использовать идентификатор:

вместе со степенным рядом функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для .

Степенной ряд функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Серия мощности для:

Серия мощности для:

Разделив на 2, получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно:

Полиномы Тейлора как аппроксимации

Обратите внимание, что, поскольку это четная функция, все ее полиномы Тейлора также являются четными полиномами. На рисунке ниже мы рассматриваем графики и его второй, четвертой и шестой тейлоровских аппроксимаций.

• Второй полином Тейлора , равный третьему полиному Тейлора , равен .
• Четвертый полином Тейлора , который равен пятому полиному Тейлора , равен .
• Шестой полином Тейлора , который равен седьмому полиному Тейлора , равен .

Предельные вычисления

Порядок нуля

Из степенного ряда получаем следующий предел:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот лимит можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть предел:

Этот лимит можно вычислить разными способами:

Наименование метода расчета предела	Подробнее
Использование и	У нас есть . Первый предел равен, а второй предел равен 2 из заданных данных. Получаем таким образом.
Использование правила Лопиталя	.
Использование серии Power	У нас есть , значит , значит предел равен 1/3.

Функция синус-квадрат — Исчисление

Эта статья о конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. В статье представлена ​​информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференцированию и интегрированию.
Посмотреть полный список конкретных функций на этой вики

Содержание

• 1 Определение
• 2 Ключевые данные
• 3 личности
• 4 График
• 5 Дифференциация
  • 5.1 Первая производная
  • 5.2 Вторая производная
  • 5.3 График функции с производной
• 6 Точки и интервалы интереса
  • 6. 1 Критические точки
  • 6.2 Интервалы увеличения и уменьшения
  • 6.3 Локальные экстремальные значения
  • 6.4 Интервалы подбарабанья вверх и вниз
  • 6.5 Точки перегиба
• 7 Интеграция
  • 7.1 Первая первообразная
    • 7.1.1 Использование формулы косинуса двойного угла
    • 7.1.2 Использование интегрирования по частям
  • 7.2 График функции с первообразной
  • 7.3 Определенные интегралы
  • 7.4 Модифицированные версии
  • 7.5 Высшие первообразные
• 8 Серия Power и серия Taylor
  • 8.1 Расчет ряда мощностей
  • 8.2 Полиномы Тейлора как аппроксимации
• 9 Предельные вычисления
  • 9.1 Нулевой порядок
  • 9.2 Пределы высшего порядка

Определение

Эта функция, обозначенная , определяется как композиция функции квадрата и функции синуса. В явном виде это карта:

Для краткости пишем как .

Ключевые данные

Элемент	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т. е. все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т. е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при нечетных целых кратных .
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных .
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных , со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, то есть функция синуса двойного угла.
вторая производная
производная	раз выражение, которое равно или , в зависимости от остатка по модулю
первообразная
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из комбинации четной функции с нечетной функцией четной, функция квадрата четной, функция синуса нечетной) в более общем смысле, зеркальная симметрия относительно любой вертикальной линии формы , целое число. Также полуоборотная симметрия относительно всех точек формы .
Описание интервала на основе увеличения/уменьшения и вогнутости вверх/вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : возрастание и вогнутость вверх : возрастание и вогнутость вниз : уменьшение и вогнутость вниз, : уменьшение и вогнутость вверх
Степенной ряд около 0 (который, следовательно, также является рядом Тейлора) равен Это глобально сходящийся степенной ряд.

Личности

У нас есть следующие важные личности с участием:

• , связывая это с функцией квадрата косинуса.
• или эквивалентно .

График

Вот график на интервале , выполненный в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и . Пунктирная горизонтальная линия указывает среднее значение:

Точки с красными точками обозначают точки перегиба, а точки с черными точками обозначают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синяя) и функция квадрата косинуса (фиолетовая) с пунктирной линией. На картинке показано, что:

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного косинуса угла

У нас есть:

Мы можем сделать это двумя способами.

Используя цепное правило для дифференцирования, мы имеем:

По формуле двойного синуса угла это то же самое, что и .

В качестве альтернативы, используя формулу двойного косинуса угла, мы перепишем:

Дифференцируя, получаем:

Вторая производная

Снова продифференцировав производную, получим:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Рассмотрим . Как было подсчитано ранее, имеем:

Это равно нулю именно в точках, где , поэтому . Другими словами, критические точки возникают при целых кратных .

Интервалы возрастания и убывания

Функция положительна при , при и отрицательна при , при . Делим на 2, получаем:

• возрастает на интервалах вида , .
• убывает на интервалах вида , .

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах возрастания и убывания делаем вывод, что:

• достигает своих локальных максимальных значений в точках вида , и все значения равны 1.
• достигает своих локальных минимальных значений в точках вида , , и все значения равны 0.

Интервалы вогнутости вверх и вниз

Вторая производная есть функция . Это положительно для и отрицательно для , где . Таким образом, мы получаем:

• вогнут на промежутках вида , с .
• вогнуто вниз на интервалах вида , с .

Точки перегиба

Из определения интервалов, где вогнутость вверх и вогнутость вниз, мы обнаруживаем, что точками перегиба являются точки с -координатой, нечетно кратной . Значение функции во всех этих точках равно .

• В точках с функция переходит от вогнутости вверх (слева) к вогнутости вниз (справа).
• В точках с функция переходит от вогнутой вниз (слева) к вогнутой вверх (справа).

Интегрирование

Первая первообразная

ЧТО ИСПОЛЬЗУЕМ : формула косинуса двойного угла, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы косинуса двойного угла

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Для интегрирования используем метод интегрирования линейного преобразования функции для получения . Подключив его, мы получим:

Использование интегрирования по частям

Переписываем и используем интегрирование по частям в его рекурсивном варианте:

Теперь перепишем и получим:

Установив выбор первообразной таким образом, чтобы вышеприведенное выполнялось без каких-либо свободно плавающих констант, мы получаем:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть точно равны, но это вообще не надо .
См. Нулевая производная подразумевает локальную постоянную

График функции с первообразной

На рисунке ниже мы изображаем (синий) и функцию (фиолетовый). Это уникальная первообразная, которая принимает значение 0 в 0. Остальные первообразные можно получить, сдвинув фиолетовый график по вертикали:

Черные точки соответствуют локальным экстремумам для , а красные точки соответствуют точкам перегиба первообразной. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится на той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба первообразной соответствуют локальным экстремальным значениям исходной функции. Дальше:

• Первообразная везде возрастает, потому что везде неотрицательна и равна нулю только в изолированных точках.
• Первообразная вогнута на тех интервалах, где является возрастающей, т. е. на интервалах вида as изменяется по целым числам.
• Первообразная вогнута вниз на тех интервалах, где убывающая, т. е. на интервалах вида as меняется по целым числам.

Определенные интегралы

Часть в первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон , и это связано с тем, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду. На самом деле ясно, что функция является синусоидальной функцией относительно .

Итак, имеем:

где целое число.

Среднее значение для интервала длины, равного кратному периоду, равно . Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение очень близко к 1/2, даже если оно не обязательно должно быть ровно 1/2. Конкретно:

Преобразованные версии

На основе интегрирования мы можем также интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду . Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Можно проводить антидифференцировку более одного раза. Первообразная представляет собой сумму многочлена степени и тригонометрической функции с периодом .

Степенной ряд и ряд Тейлора

Расчет степенного ряда

Мы можем использовать тождество:

вместе со степенным рядом функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для .

Степенной ряд функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Серия мощности для:

Серия мощности для:

Разделив на 2, получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно:

Полиномы Тейлора как аппроксимации

Обратите внимание, что, поскольку это четная функция, все ее полиномы Тейлора также являются четными полиномами. На рисунке ниже мы рассматриваем графики и его второй, четвертой и шестой тейлоровских аппроксимаций.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √2 или √3 и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 = √15 − 8 = √7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 = √15 − 8 = √7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.

«Кривые второго порядка». Уравнение окружности. Часть 1

Высшая математика / Практикум по аналитической геометрии

06.02.201525.11.2015

Задача №1. Определить центр и радиус окружности, заданной уравнением х²+у²-2х+4y-20=0.
Решение. Так как в заданном уравнении коэффициенты при х² и у² равны между собой и отсутствует член с произведением координат, го заданное уравнение действительно представляет собой уравнение окружности. Чтобы определить координаты центра и радиус окружности, необходимо уравнение привести к каноническому виду:
(х²-2х)+(y²+4у)=20, (x²-2х+1)+(у²+4х+4)=25, (x-1)²+(y+2)²=25.
Координаты центра и радиус окружности можно найти, не приводя данное уравнение к каноническому виду,

Рис.1

достаточно сравнить данное уравнение с уравнением окружности в общем виде:

Ответ: (1, —2), R = 5.
Задача №2. Составить уравнение окружности, проходя¬щей через точки А (—1;1) и В (1;-3), если центр ее лежит на прямой 2х-у+1=0.
Решение. Каноническое уравнение окружности:

(x-a)²+(y-b)² = r².

Так как окружность проходит через точки А и B, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Имеем два уравнения:
(-1-а)² + (1-b)²=r², (1-а)² + (-3-b)² = r².
Если центр окружности лежит на прямой 2х-у+1=0, то координаты центра также должны удовлетворить уравнению прямой.
Имеем третье уравнение: 2а-b+1=0.

Рис.2

Решим систему уравнений:

Таким образом, координаты центра окружности найдены:

Чтобы определить г², получим: г² = 1+2а+5а²,

Уравнение окружности:

Ответ: 9х² + 9y² + 24x + 30у — 31 =0.

Задача №3. Составить уравнение окружности, если ее центр находится в точке С(5;4) и окружность отсекает от прямой х+2у-3=0 хорду, длина которой равна 8.
Решение. Искомое уравнение будет иметь вид:
(x-5)²+(у-4)²=r².
Определим расстояние центра С от данной прямой:

Так как радиус, перпендикулярный к хорде, делит ее пополам, то половина хорды будет равна 4 единицам.

Рис.3

По теореме Пифагора имеем:
г²=4²+CD²=16+20=36, r² = 36, r = 6.
Уравнение окружности: (х -5)²+(у — 4)² = 36.
Ответ: (х -5)²+(у — 4)² = 36.
Задача №4. Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых 2х+у-5=0 и 2х+y+15=0, причем одной из них — в точке А(2; 1).
Решение. Определим диаметр окружности, для чего используем формулу расстояния точки от прямой

Уравнение прямой 2x+y+15=0, точка А(2; 1)

Воспользовавшись координатами точки A, можем составить такое уравнение:
(2 — а)²+(1 — b)² = 20.
Второе уравнение с неизвестными а и b получим, определив расстояние точки С от первой прямой

Поскольку точка С лежит по одну сторону от прямой

Рис. 4

вместе с началом координат, то расстояние АС
Решая полученную систему уравнений, найдем а=-2; b=-1.
Эту задачу рекомендуем решить самостоятельно другим способом.
Указания. Составить уравнение перпендикуляра А В к данным прямым и найти координаты точки В.
Ответ: (x+2)²+(у + 1)²=20.

Уравнение окружности — Формула, Примеры

Уравнение окружности обеспечивает алгебраический способ описания окружности с учетом центра и длины радиуса окружности. Уравнение окружности отличается от формул, которые используются для вычисления площади или длины окружности. Это уравнение используется во многих задачах окружностей в координатной геометрии.

Чтобы изобразить окружность на декартовой плоскости, нам потребуется уравнение окружности. На листе бумаги можно нарисовать окружность, если известны ее центр и длина радиуса. Точно так же на декартовой плоскости мы можем нарисовать окружность, если знаем координаты центра и его радиус. Круг может быть представлен во многих формах:

• Общая форма
• Типовая форма
• Параметрическая форма
• Полярная форма

В этой статье давайте узнаем об уравнении окружности, его различных формах с графиками и решенными примерами.

1.	Что такое уравнение окружности?
2.	Различные формы уравнения окружности
3.	Уравнение окружности Формула
4.	Вывод уравнения окружности
5.	График уравнения окружности
6.	Как найти уравнение окружности?
7.	Преобразование общей формы в стандартную форму
8.	Преобразование стандартной формы в общую форму
9.	Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности

Что такое уравнение окружности?

Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. Зная координаты центра окружности и длину ее радиуса, мы можем написать уравнение окружности. Уравнение окружности представляет собой все точки, лежащие на окружности окружности. 92\).

Различные формы уравнения окружности

Уравнение окружности представляет положение окружности на декартовой плоскости. На листе бумаги можно нарисовать окружность, зная ее центр и длину радиуса. Используя уравнение окружности, как только мы найдем координаты центра окружности и ее радиус, мы сможем нарисовать окружность на декартовой плоскости. Существуют различные формы представления уравнения окружности,

• Общая форма
• Типовая форма
• Параметрическая форма
• Полярная форма

Давайте рассмотрим здесь две распространенные формы уравнения окружности — общий вид и стандартную форму уравнения окружности, а также полярную и параметрическую формы в деталях.

Общее уравнение окружности

Общая форма уравнения окружности: x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. Эта общая форма используется для определения координат центра окружности и радиуса, где g, f, c — константы. В отличие от стандартной формы, которую легче понять, общая форма уравнения окружности затрудняет поиск каких-либо значимых свойств любой данной окружности. Итак, мы будем использовать формулу заполнения квадрата, чтобы сделать быстрое преобразование из общей формы в стандартную форму. 92\)

Рассмотрим этот пример уравнения окружности (x — 4) ² + (y — 2) ² = 36 — это окружность с центром в точке (4,2) и радиусом 6.

Параметрическое уравнение окружности

Мы знаем, что уравнение окружности в общем виде имеет вид x ² + y ² + 2hx + 2ky + C = 0. Берем общую точку на границе окружности, сказать (х, у). Линия, соединяющая эту общую точку и центр окружности (-h, -k), образует угол \(\theta\). Параметрическое уравнение окружности можно записать в виде x ² + y ² + 2hx + 2ky + C = 0, где x = -h + rcosθ и y = -k + rsinθ.

Полярное уравнение окружности

Полярная форма уравнения окружности почти аналогична параметрической форме уравнения окружности. Обычно мы пишем полярную форму уравнения окружности для окружности с центром в начале координат. Возьмем точку P(rcosθ, rsinθ) на границе круга, где r — расстояние точки от начала координат. Мы знаем, что уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом «p» равно x ² + у ² = р ² .

Подставьте значения x = rcosθ и y = rsinθ в уравнение окружности.

(rcosθ) ² + (rsinθ) ² = p ²
r ² cos ² θ + r ² sin ² θ = p ²
r ² (cos ² θ + sin ² θ) = p ²
г ² (1) = р ²
г = р
где р — радиус окружности.

Пример: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: уравнение окружности в полярной форме, замените значения \(x\) и \(y\) на:

x = rcosθ
у = rsinθ

х = rcosθ
у = rsinθ
х ² + у ² = 9
(rcosθ) ² + (rsinθ) ² = 9
r ² cos ² θ + r ² sin ² θ = 9
r ² (cos ² θ + sin ² θ) = 9
г ² (1) = 9
г = 3

Уравнение окружности Формула

Формула уравнения окружности используется для расчета уравнения окружности. 2\).

• Для этого нам нужно всего лишь изменить константу 9, чтобы она соответствовала r ² как (x -3) ² + (y — 2) ² = 3 ² .
• Здесь мы должны отметить, что одной из распространенных ошибок является рассмотрение \(x_{1}\) как -3, а \(y_{1}\) как -2.
• В уравнении окружности, если знак перед \(x_{1}\) и \(y_{1}\) отрицателен, то \(x_{1}\) и \(y_{1}\) равны положительные значения и наоборот.
• Здесь \(x_{1}\) = 3, \(y_{1}\) = 2 и r = 3

Таким образом, окружность, представленная уравнением (x -3) ² + (y — 2) ² = 3 ² , имеет центр в точке (3, 2) и радиус 3. На приведенном ниже изображении показан график, полученный из этого уравнения окружности.

Как найти уравнение окружности?

Существует множество различных способов представления уравнения окружности в зависимости от положения окружности на декартовой плоскости. Мы изучили формы представления уравнения окружности при заданных координатах центра окружности. Существуют определенные особые случаи, основанные на положении окружности в координатной плоскости. Давайте узнаем о методе нахождения уравнения окружности для общего и этих частных случаев. 92} = г\).

Уравнение окружности с центром в начале координат

В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности.

Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\).

Если центр находится в начале координат, то \(x_1\)= 0 и \(y_1\)= 0.

Ответ: Уравнение окружности, если ее центр находится в начале координат, равно x ² + y ² = г ² .

Уравнение окружности с центром на оси x

Рассмотрим случай, когда центр окружности находится на оси x: (a, 0) — центр окружности с радиусом r. (x, y) — произвольная точка на окружности.

Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)

Уравнение касания окружности с осью x

Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси x в некоторой точке: (a, r) ​​— центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси x, то координата y центра окружности равна радиусу r.

(x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)

Уравнение касания окружности с осью y

Рассмотрим случай, когда длина окружности касается оси y в некоторой точке: (r, b) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается оси y, то координата x центра окружности равна радиусу r.

(x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92\)

Уравнение окружности, касающейся обеих осей

Рассмотрим случай, когда окружность касается обеих осей в некоторой точке: (r, r) — центр окружности с радиусом r. Если окружность касается и оси x, и оси y, то обе координаты центра окружности становятся равными радиусу (r, r).

(x, y) — произвольная точка на окружности. Расстояние между этой точкой и центром равно радиусу окружности. Применим формулу расстояния между этими точками. 92 = 16\
г = 4 \)

Преобразование общей формы в стандартную форму

Это стандартное уравнение окружности с радиусом r и центром в (a,b): (x — a) ² + (y — b) ² = r ² и рассмотрим общую форму как : x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. Вот шаги, которые нужно выполнить, чтобы преобразовать общую форму в стандартную:

Шаг 1: Объединить подобные члены и взять константу на другая сторона как х ² + 2gx + y ² + 2fy = — c -> (1)

Шаг 2: Использование тождества с совершенным квадратом (x + g) ² = x ² + 2gx + g ² найти значения выражения x ² + 2gx и y ² + 2fy как:

(x + g) ² = x ² + 2gx + g ² + 907 x 2 90 2gx = (x + g) ² — g ² -> (2)

(y + f) ² = y ² + 2fy + f ² ⇒ y ² + 2fy = (y + f) ² — f ² -> (3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получаем уравнение в виде:

(x+g) ² — g ² + (y+f) ² — f ² = — c

(x+g) ² + (y+f) ² = g ² + f ² — c

Сравнивая это уравнение со стандартной формой: (x — a) ² + (y — b) ² = r ² получаем,

Центр = (-g,-f) и радиус = \(\sqrt{g^2+f^2 — c}\) 9{2} — 9}\) = \(\sqrt{9 + 16 — 9}\) = \(\sqrt{16}\) = 4. Итак, радиус r = 4,

Преобразование стандартной формы в общую форму

Мы можем использовать алгебраическую формулу тождества (a — b) ² = a ² + b ² — 2ab, чтобы преобразовать стандартную форму уравнения окружности в общую форму. Давайте посмотрим, как сделать это преобразование. Для этого расширьте стандартную форму уравнения окружности, как показано ниже, используя алгебраические тождества для квадратов: 92 + 2gx + 2fy + с = 0\), где g, f, с — константы.

Статьи по теме Уравнение окружности

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными уравнению окружности

• Уравнение окружности Калькулятор
• Длина окружности
• Все формулы круга
• Отношение длины окружности к диаметру

Важные примечания к уравнению окружности

Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении уравнения окружности 92 + axy + C = 0\), то это не уравнение окружности. В уравнении окружности нет члена \(xy\).

Примеры уравнений окружности

1. Пример 1: Найдите уравнение окружности в стандартной форме для окружности с центром (2,-3) и радиусом 3.

   Решение:

   Уравнение окружности в стандартной форме запишется как: (x — x \(_1\)) ² + (у — у\(_1\)) ² = г ² . Здесь (x\(_1\), y\(_1\)) = (2, -3) — центр окружности и радиус r = 3.

   Представим эти значения в стандартной форме уравнения окружности :

   (х — 2) ² + (у — (-3)) ² = (3) ²
   (x — 2) ² + (y + 3) ² = 9 — искомая стандартная форма уравнения данной окружности.

2. Пример 2: Запишите уравнение окружности в стандартной форме для окружности с центром (-1, 2) и радиусом, равным 7.

   Решение:

   Уравнение окружности в стандартной форме записывается как: (х — х\(_1\)) ² + (у — у\(_1\)) ² = г ² . Здесь (x\(_1\), y\(_1\)) = (-1, 2) — центр окружности и радиус r = 7.

   Представим эти значения в стандартной форме уравнения окружности:

   (х — (-1)) ² + (у — 2) ² = 7 ²
   (x + 1) ² + (y — 2) ² = 49 — искомая стандартная форма уравнения данной окружности.

3. Пример 3: Найти уравнение окружности в полярной форме при условии, что уравнение окружности в стандартной форме: x ² + y ² = 16.

   Решение:

   Чтобы найти уравнение окружности в полярной форме, подставьте значения x и y на:

   x = rcosθ
   у = rsinθ

   x ² + y ² = 16

   (rcosθ) ² + (rsinθ) ² = 10 8

   ² θ + r ² sin ² θ = 16

   r ² (1) = 4

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по уравнению окружности

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по уравнению окружности

Что такое уравнение окружности в геометрии? 92\).

Каково уравнение окружности, когда центр находится в начале координат?

В простейшем случае центр окружности находится в начале координат (0, 0), радиус которого равен r. (x, y) — произвольная точка на окружности. Уравнение окружности, когда центр находится в начале координат: x ² + y ² = r ² .

Что такое общее уравнение окружности?

Общая форма уравнения окружности: x ² + y 92 + 2hx + 2ky + C = 0\), где \(x = -h +rcos \theta\) и \(y = -k +rsin \theta\)

Что такое C в общем уравнении окружности?

Общая форма уравнения окружности: x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0. 2 = 2\).

Что такое полярное уравнение окружности?

Полярное уравнение окружности с центром в начале координат: r = p, где p – радиус окружности.

Калькулятор уравнения окружности

  Исследование  Математика  Геометрия

Калькулятор уравнения окружности отображает стандартное уравнение формы окружности, параметрическое уравнение формы окружности и уравнение общей формы окружности по центру и радиусу окружности. Формулы находятся под калькулятором.

Уравнение окружности с учетом центра и радиуса

Центр

Радиус

Уравнение стандартной формы окружности

Уравнение общей формы окружности

  90 2  

Уравнение окружности

Уравнение окружности — это алгебраический способ определения всех точек, лежащих на окружности окружности. То есть, если точка удовлетворяет уравнению окружности, она лежит на окружности окружности. Существуют разные формы уравнения окружности:

• общая форма
• стандартная форма
• параметрическая форма
• полярная форма.

Общая форма Уравнение окружности

Общее уравнение окружности с центром в точке и радиусом:
,
где

При общей форме трудно рассуждать о свойствах окружности, а именно о центре и радиусе. Но его можно легко преобразовать в стандартную форму, в которой гораздо легче разобраться.

Стандартная форма Уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом:

Вы можете преобразовать общую форму в стандартную, используя технику, известную как Завершение квадрата. Из этого уравнения окружности вы можете легко определить координаты центра и радиус окружности.

Параметрическое уравнение формы окружности

Параметрическое уравнение окружности с центром в точке и радиусом

Это уравнение называется параметрическим, потому что угол тета упоминается как «параметр».

Последние вопросы

• Русский язык

  14 минут назад

  Сочинение на тему что такое мужество

• Математика

  19 минут назад

  Знайдіть найдовшу множину унікальних раціональних чисел у вигляді 1/x, сума яких дорівнює 1. x — [2;2023].

• Қазақ тiлi

  19 минут назад

  7. Төл сөз бен төлеу сөздi катыстырып, «Жер-бiздiн ортак уйіміз> тақырыбына сұхбатты жазындар.​

• Литература

  24 минут назад

  философы!!))) Может кто поможет ответить на данные вопросы ??1. Реконструируйте основную фабулу исканий Заратустру. 2. О каких старых и новых скрижалях говорит Ницше? С какими превращениями духа они связаны?​

• Физика

  29 минут назад

  В посудину помістили лід масою 10 кг за температури -20 ºС . Знайдіть масу води в посудині, після того, як їй надали кількість теплоти 2МДж?( λ л = 332400 Дж/кг; с= 2,1кДж/кг ºС).Повна відповідь з розв’язуванням!!!!!!!

• Другие предметы

  39 минут назад

  Помогите пожалуйста, предмет: Захист України

• Физика

  44 минут назад

  Помогите решить задачу по физике

• Другие предметы

  44 минут назад

  Пжл решите дам 10, балов

• Биология

  49 минут назад

  Зачем мозгу кислород из лёгких если есть вода из сосудов?

• Информатика

  54 минут назад

  Все заглавные буквы русского алфавита закодированы неравномерным двоичным кодом

• История

  59 минут назад

  «Які питання були в центрі уваги українського національного руху Наддніпрянської України на поч. ХХ ст.? Як вони вирішувалися?»​

• История

  59 минут назад

  — В чем мы можем видеть большой вклад просветителей в образование молоде- жи

• История

  1 час назад

  История 11 класс помогите ответить на билет сокращенно

• Другие предметы

  1 час назад

  (Даю 20 б) Розведення с-г тварин Ніжна конституція тварин: А. шкіра середньої товщини, волосяний покрив густий, середньої довжини, добре розвинені мускулатура, органи дихання, травлення та кровообігу, задовільно – підшкірно-жирова тканина. В. характеризуються тонкою шкірою, що покрита тонким і густим волоссям, добре розвиненою підшкірною жировою тканиною, легкою мускулатурою, легким, але не дуже міцним кістяком. Г. характеризуються пропорційно розвиненими частинами тіла, міцним здоров’ям, високою продуктивністю і відтворювальною здатністю. Б. характеризуються тонкою шкірою, яка вкрита коротким ніжним волоссям, слаборозвиненою тонковолокнистою мускулатурою, слабким розвитком підшкірної жирової тканини, мають тонкий, але міцний скелет.

• Математика

  1 час назад

  2-(100+y)=400-280помогите пж дом. Задание нужно

Все предметы

Выберите язык и регион

English

United States

Polski

Polska

Português

Brasil

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Bahasa Indonesia

Indonesia

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Округ Уэлд: отчет об арестах Управления шерифа

Поиск будет включать все аресты, произведенные с 14 февраля 2006 г. через все аресты, сделанные вчера.

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: Записи об арестах, доступные через это веб-сайт является общедоступной информацией. Любое указание на арест не означает установленное лицо было осуждено за преступление. Все лица арестованные невиновны, пока их вина не будет доказана в суде. Аресты перечисленные здесь, зарегистрированы только для лиц, зарегистрированных в тюрьме округа Уэлд. Чтобы узнать обо всех арестах конкретного человека в Колорадо, посетите веб-сайт Сайт проверки записей CBI. Чтобы проверить на самом деле время статус судебного дела, включая обвинительные приговоры посетить СО Сайт судов.

СТАТУС ВРЕМЕНИ: Дополнительная информация о статусе задержания приведена в правом нижнем углу записи записи об аресте. Мы связываем VINE с общегосударственной системой, которая будет предоставлять информацию о текущем статусе опеки человека в любой точке Колорадо. Система VINE также позволяет гражданину зарегистрироваться для получения уведомления об освобождении заключенного. Для получения дополнительной информации о системе VINE посетите страницу справки

Для 29 марта 2023 года в тюрьму округа Уэлд поступило 26 приговоров.

Отчеты за предыдущие даты:
||23 марта 2023 г. ||24 марта 2023 г. ||25 марта 2023 г. ||26 марта 2023 г. ||27 марта 2023 г. ||28 марта 2023 г. ||29 марта 2023 г. ||

СТАТУС ПОД ЗАСЛУЖИВАНИЕМ: Дополнительная информация о статусе содержания под стражей приведена в правом нижнем углу записи записи об аресте. Мы связываем VINE с общегосударственной системой, которая будет предоставлять информацию о текущем статусе опеки человека в любой точке Колорадо. система VINE также позволяет гражданину зарегистрироваться для получения уведомления об освобождении заключенного.

Знаешь ответ? Добавь его сюда!

Последние вопросы

• Математика

  47 секунд назад

  Задание на поиск вероятности.

• Русский язык

  6 минут назад

  По химии 8 класс помогите пж быстрей

• Физика

  10 минут назад

  Физика 9 помогите

• Литература

  10 минут назад

  Помогите сделать анализ сказки ,

• Химия

  10 минут назад

  Определите массу (г) осадка, выделившегося при пропускании 56мл (н. у.) углекислого газа в раствор, содержа

• Другие предметы

  20 минут назад

  Кубановедение 8 класс

• Литература

  20 минут назад

  Пожалуйста помогите, ЛИТЕРАТУРА

• Алгебра

  20 минут назад

  Помогите срочно с ВПР по математике (8 класс)

• История

  21 минут назад

  Помогите с Историей пожалуйста!!

• Химия

  40 минут назад

  Закончите уравнение окислительно- восстановительной реакции

• Русский язык

  51 минут назад

  Укажите предложение, в котором есть обособленное дополнение. (По произведениям Дж. Роулинг.)

• Литература

  51 минут назад

  Люди добрые помогите пожалуйста

• Геометрия

  1 час назад

  Математическая задача, помогите решить плиз

• История

  1 час назад

  Работа по истории, русско-японская война 1904-1905

• Химия

  1 час назад

  Срочно химия 7 класс

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	тан(пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найти точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найти точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	загар((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 пи)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан(квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	загар((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	грех(пи/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

Найдите x в sin xtan x + tan x – 2sin x + cos x = 0 для 0 ≤ x ≤2π рад.

Математическая тригонометрия

Каролина П.

Подписаться І 1

Подробнее

Отчет

3 ответа от опытных наставников

Автор: ЛучшиеНовыеСамыеСтарые

Ричард С. ответил 22.07.22

Репетитор

5 (4)

Репетитор по тригонометрии для повышения уверенности в себе с 18-летним стажем

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Раймонд Б. ответил 22.07.22 92 +2y + 1 = 0

sinx = y = -1 или -0,3478

x = 270, 180-22,61 или -22,61 градуса

x = 270, 157,39 или 337,39 градуса

или 3

/2, 0,13pi или 1,87pi радиан

или

x= 4,71, 0,41 или 5,89 радиан

Голосовать за 0 Понизить

Подробнее

Отчет

Роджер Р. ответил 22.07.22

Репетитор

5 (19)

Учебники по экспертному исчислению и линейной алгебре

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Решите уравнение

G(x) = sin(x)·tan(x) +tan(x) -2·sin(x) +cos(x) = 0

в интервале 0 ≤ x < 2π. У нас есть cos(x) ≠ 0, иначе tan(x) не определен.

Обратите внимание, что G(π) = -1 и G(5π/4) = +1. В интервале π < x < 5π/4 есть решение.

Разделив на cos(x) и перестроив уравнение, получим

tan ² (x) -2tan(x) +1 = -tan(x)/cos(x)

(††) [1 -tan(x)] ² = -tan(x)/cos(x) = -sin(x)/cos ² (x)

LHS ≥ 0, поэтому sin(x) ≤ 0. Любое решение уравнения должно находиться в интервале π < x < 2π.

Так как 1/cos ² (x) = 1 +tan ² (x), I квадратное уравнение (††):

[1 -tan(x)] ⁴ = tan ² ( х)·[1 +тангенс ² (x)]

Установка z = tan(x), раскрытие скобок и преобразование уравнения приводит к полиномиальному уравнению

0 = f(z) = 4z ³ -5z ² +4z -1.

Решать это уравнение вручную нецелесообразно.

Поскольку f(0) < 0 < f(1), корень находится в интервале 0 < z < 1.

[Расчеты показывают, что функция f строго возрастает. Ноль ровно один.]

Используя технологию, я нашел

z = tan(x) = 0,3709720637607637483413

x = arctan(z) = 0,3552346610571922025379 +k·π, k = 0,1

1043 х = 3,496827314646985485069 .

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Math Scene — Тригонометрические функции — Более сложные уравнения и неравенства

Пример 1

Решите уравнение sin x = cos x и затем неравенство

грех x > cos x на интервале 0 x < 2,

Из единичного круга мы видим, что sin x и cos x может иметь одинаковое значение только в двух местах, в x = /4 и х = 5/4 (45 и 225 ).

Уравнение sin x = cos x также можно решить путем деления на cos x.

     тангенс х = 1

         x = тангенс ⁻¹ (1)

         х = 45 ∙ /180 + к∙

         x = /4 + k∙        (k — любое целое число, положительное или отрицательное)

Если положить k = 0 и k = 1, получим решения /4 (45 ) и /4 + = 5/4 (45 + 180 = 225 ).

Чтобы решить неравенство  sin x > cos x, нам нужно увидеть, что больше sin x или cos x на интервалах между решениями /4 и 5/4. Решения можно увидеть, если мы нарисуем графики f(x) = sin x и g(x) = cos Икс. График sin x лежит над графиком cos x на интервале /4 x 5x/4 (см. заштрихованную область на диаграмме).

sin x cos x на интервале /4 x 5x/4.

Пример 2

Решить уравнение sin x ∙ cos x = 0 и затем неравенство

sin x ∙ cos x > 0 на интервале 0 x < 2.

Неравенство не имеет решение, когда sin x или cos x принимают значение 0. Это происходит с интервалом 90.

Решения уравнение sin x ∙ cos x = 0 на интервале  0 x < 2, поэтому  0, /2 и 3/2 (0 , 90 , 180 и 270 ).

Решение sin x ∙ cos x > 0 можно найти, взглянув на единичный круг. Нам нужно найти где sin x, умноженный на cos x, является положительным. Другими словами, sin x и cos x имеют иметь один и тот же знак, оба должны быть положительный или оба отрицательные. Это происходит в первом и третьем квадранте. поэтому решения
0 < х < /2 и р < х < 3/2.

Мы также можем увидеть это по построение графика
f(x) = sin x ∙ cos x.

Пример 3

Решите уравнение sin x ∙ cos x − sinx = 0 и тогда неравенство sin x ∙ cos x − sin x > 0 на интервале 0 x < 2,

Уравнение имеет решения когда sin x = 0 или скобка (cos x − 1) = 0,

   sin x = 0

         x = 0 или (180 ).

или

   потому что х — 1 = 0

   потому что х = 1

          х = 0

Единственные решения уравнение поэтому 0 и .

Неравенство sin x ∙ cos x − sin x > 0 можно переписать как sin x (cos x − 1) > 0,

Теперь полезно сделать таблицу знаков и посмотрите на знаки sin x и cos x − 1.

Решение

Мы видим, что оба фактора отрицательно на интервале
< x < 2,

Теперь давайте посмотрим, как это подходит в с графиком
f(x) = sin x ∙ cos x − sin x

Заштрихованная область над крестиком ось показывает, где
sin x (cos x − 1) > 0, что согласуется с нашими расчетами.

Пример 4

Найти все решения уравнения cos ² x − cos x = 0,

       cos ² x − cos х = 0

    потому что х ∙ (кос х — 1) = 0

Решения можно найти, когда cos x = 0 или cos x − 1 = 0

    cos х = 0

           x =/ ₂ или 3/ ₂ (90 или 270 )

           х = / ₂ + к∙

или

   потому что х — 1 = 0

         потому что х = 1

               x = 0 + k∙2 = k∙2

Все решения укладываются в шаблон x = /2 + к∙

Пример 5

Найти все решения уравнения sin ² x − 5 sin x + 4 = 0,

Это квадратное уравнение с sin x в качестве переменная. Поэтому мы можем найти sin x, используя квадратичную формулу. а = 1, б = -5 или с = 4,

Синус мы не можем принять значение 4 поэтому нам не нужно рассматривать sin x = 4. Другая возможность — sin x = 1, решение которой /2 (90 ). Таким образом, полное решение:

   х = / ₂ + к∙2

Пример 6

Решите уравнение sin 5x = грех х .

Возможно, что позиция 5х на единичном круге совпадает с позицией x и поскольку эта позиция повторяется с интервалом в 360, мы получаем следующее уравнение:

1) 5x = x + к∙360

4x = к∙360

   х = к∙90

Мы показываем эту возможность в диаграмма.

Появляется вторая возможность от того что
грех x = грех (180 − х ). Это дает нам следующее решение:

5 х = 180 — х + к∙360

6x = 180 + к∙360

х = 30 + к∙60

Это решение показано на схему справа.

Но мы замечаем, что первое решение содержится в второе решение, поэтому достаточно дать второе решение

х = 30 + к∙60

Пример 7

Решите уравнение cos 2x = cos x на интервале 0 x < 2,

1)   Сначала рассмотрим вероятность того, что x и 2x находятся в одном и том же месте на единичной окружности.

2) Второй вариант. с факта
потому что v = cos (-v). Тогда решение будет следующим:

           2x = −x + к∙2

           3x = k∙2

             x = k∙2/ ₃

Это дает решения 2/3 (120 ) для k = 1 и 4/3 (240 ) для k = 2. поэтому полное решение:
0, 2/3 или 4/3.

Пример 8

Решите уравнение tan 3x = загар 2x.

Уравнения Тана во многих способов самое простое из тригонометрических уравнений, так как есть только возможность учтите, что это повторяется с интервалом 180 .

   3x = x + k∙180

     2x = к∙180

       х = к∙90

или в радианах

     х = к∙/ ₂

Попробуйте викторину 5 по триггерным функциям.
Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.