Автор: alexxlab

Множества. Решение задач с помощью кругов Эйлера. 5, 6, 7 класс

Братунова Вера Дмитриевкна, преподаватель математики и информатики, Гимназия-детсад им. С. Демиреля, мун. Комрат, АТО Гагауз Ери, Республика Молдова

Множества. Решение задач с помощью кругов Эйлера

Классы: 5, 6, 7

Ключевые слова: круги Эйлера

Пояснительная записка

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение простым и наглядным.

В данной разработке приведены примеры решения задач с помощью кругов Эйлера. Это не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Они помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

С данным способом решения задач учащихся можно познакомить как на уроках, так и на кружковых занятиях.

Главной целью этой работы является помощь учителям математики для подготовки учащихся к олимпиадам, а также к экзаменам.

Основные понятия

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т.д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников.

Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

2. Решение задач с помощью кругов Эйлера

2.1. «Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек — фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

1. 15 — 6 = 9 — человек, которые смотрели только «Обитаемый остров»,

2. 11- 6 = 5 — человек, которые смотрели только «Стиляги».

Получаем:

Ответ: 5 человек.

2.2. Задача про библиотеки

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 — в районной.

Сколько шестиклассников:

1.     Являются читателями обеих библиотек;

2.     Не являются читателями районной библиотеки;

3.     Не являются читателями школьной библиотеки;

4.      Являются читателями только районной библиотеки;

5.     Являются читателями только школьной библиотеки?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

1) 20+ 25 — 35 = 10 (человек) — являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2) 35 — 20 = 15 (человек) — не являются читателями районной библиотеки,

3) 35 — 25 = 10 (человек) — не являются читателями школьной библиотеки,

4) 35- 20 = 10 (человек) — являются читателями только районной библиотеки,

5) 35- 20 = 15 (человек) — являются читателями только школьной библиотеки.

Очевидно, что вопросы 2 и 5, а также 3 и 4 — равнозначны и ответы на них совпадают.

Ответ: 10 человек; 15 человек; 10 человек; 10 человек; 15 человек.

2.3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги — Гермиона, то 11 — 4 — 2 = 5 — книг прочитал только Гарри.

Следовательно, 26 — 7 — 2 — 5 — 4 = 8 — книг прочитал только Рон.

Ответ: 8 книг.

2.4. Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Чертим три круга, таким образом:

Из условия знаем, что трем ученикам нравиться и «Белоснежка и семь гномов», и «Волк и теленок», шестерым — «Белоснежка и семь гномов» и «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма.

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу, т.е. 5 — 3 = 2 — ученика выбрали «Волк и теленок» и «Губка Боб Квадратные Штаны».

1) 21 — 3 — 1 — 6 = 11 — учеников выбрали только «Белоснежка и семь гномов»,

2) 13 — 3 — 1 — 2 = 7 — учеников выбрали — «Волк и теленок»,

3) 38 — (11 + 3 + 1 + 2 + 6 + 7) = 8 — ребят выбрали «Губка Боб Квадратные Штаны».

4) 8 + 2 + 1 + 6 = 17 — человек выбрали мультик «Губка Боб Квадратные Штаны».

Ответ: 17 учеников.

2.5. Задача про Крейсер и Линкор

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер и Линкор? (Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. )

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи.

1) 4800 + 4500 — 7000 = 2300 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер и Линкор,

2) 4800 — 2300 = 2500 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер,

3) 4500 — 2300 = 2200 (тыс. страниц) — найдено по запросу Линкор.

Ответ: 2300 тыс. страниц.

2.6. Задача про блондинок

Каждый ученик класса — либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, но одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика — блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

Решение:

Изобразим с помощью кругов Эйлера данные из задачи:

1) 12 — 1 = 11 (учеников) — девочек блондинок,

2) 12 — 1 = 11 (учеников) — блондины и любят математику,

3) 6 — 1 = 5 (учеников) — девочек, которые любят математику,

4) 20 — 11 — 1 — 5 = 3 (ученика) — девочки,

5) 24 — 11 — 1 — 11 = 1 (ученик) — блондин,

6) 17- 5 — 1 — 11 = 0 (учеников) — любят математику,

7) 3 + 1 + 0 + 5 + 11 + 11 + 1 = 32 (ученика) — всего в классе.

Ответ: 32 ученика.

2.7. Задача про кружки

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

1) 10 — 3 = 7 (ребят) — посещают драмкружок и хор,

2) 6 — 3 = 3 (ребят) — поют в хоре и занимаются спортом,

3) 8 — 3 = 5 (ребят) — занимаются спортом и посещают драмкружок,

4) 27 — 7 — 3 — 5 = 12 (ребят) — посещают драмкружок,

5) 32 — 7 3 — 3 = 19 (ребят) — поют в хоре,

6) 22 — 5 — 3 — 3 = 11 (ребят) — увлекаются спортом,

7) 70 — (12 + 19 + 11 + 5+ 7 + 3 + 3) = 10 (ребят) — не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задачи для самостоятельного решения

1.     На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий язык, а 23 — оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?

2.     Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 — лимонад, а 15 — и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

3.     12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 — фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

4.     Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?

5.      Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом — 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?

6.     В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 — черешню. Двое любят груши и черешню; 6 — груши и яблоки; 5 — яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

7.     В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 — умных и 9 — добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

8.     В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике — 12; по истории — 23. По русскому и математике — 4; по математике и истории — 9; по русскому языку и истории — 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

9.     Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

10. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 — в Италии, 6 — в Англии; в Англии и Италии — 5; в Англии и Франции — 6; во всех трех странах — 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Список использованных источников

1. Баженов И.И, Порошкин А.Г., Тимофеев А.Ю., Яковлев В.Д. Задачи для школьных математических кружков: учеб. пособие / Сыктывкар: Сыктывкарский университет, 2006.

2. Марков И.С. Новые олимпиады по математике — Ростов н/Д: Феникс, 2005.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/

4. http://logika.vobrazovanie.ru

5. http://www.otvet-prost.ru/load/diskretnaja_matematika/na_krugi_ehjlera/zadacha_na_krugi_ehjlera/18-1-0-22

6. http://urok.1sept.ru/articles/550092/

7. http://www.tutoronline.ru/blog/reshit-zadachu-pomogut-krugi-jejlera

Презентация по теме «Круги Эйлера»

Соотношения между множествами принято

иллюстрировать с помощью кругов.

Эти круги называют кругами Эйлера

по имени ученого, который придумал

метод решения задач с их помощью.

Леонардо Эйлер (1707 – 1783)

Знаменитый математик, механик, физик и астроном, Л.Эйлер родился в 1707 году, он вырос в Швейцарии, а работал в основном в России и Германии. За свою жизнь Л. Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги, которые, по его словам, «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Рассмотрим, действительно ли это так ?

Запишем на символическом языке соотношения между множествами.

А и В

А и С

С и В

А, В и С

А B

С

A C

А

B C

В

A B C

A является подмножеством множества В, а В является подмножеством множества С

Пересечение множеств.

Пересечение множеств А и В — это множество, состоящее из элементов, входящих одновременно в А и В.

Пересечение А и В –

записывают с помощью символа

А В

В

А

А В

Пересечение множеств.

Пусть А = { 2, 4, 6} , a B = { 2, 4, 6, 8, 10}

Пересечение множеств А и В

А В = А

В

А

Объединение множеств.

Объединением множеств А и B называют множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В.

Объединение множеств А и В обозначают символом

В

А

Объединение множеств.

Пусть А = { 2, 4, 6} , a B = { 2, 4, 6, 8, 10}

Объединение множеств А и В

А В = В

В

А

Рассмотрим, как можно решить задачу с помощью кругов Эйлера

Задача: По результатам опроса 52 шестиклассников было установлено, что 23 из них собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько человек не увлекаются коллекционированием?

Решение:

З

?

Собирают значки

М

Собирают марки

Собирают и значки и марки

Не увлекаются

коллекционированием

Решение задачи ( продолжение)

1) Значки и марки собирают 16 человек. Впишем число 16 в пересечение кругов З и М.

2) Значки собирают 23 человека. Тогда только значки собирают: 23-16 = 7 человек. Впишем число 7 в свободную часть круга З

3) Только марки собирают: 35-16 = 19 человек. Занесем число 19 в схему.

4) Теперь мы можем узнать, сколько человек занимаются коллекционированием: 16+7+19 = _______ человека

5) Не занимаются коллекционированием:

52 — __ = __________ человек.

Ответ: _____ человек.

З

7

М

16

19

№ 227,стр.87 ПРТ

Результаты опроса жильцов дома о том, смотрели ли они в новогоднюю ночь основные телеканалы — Первый канал и Россию — 1.

Используя данные на схеме, ответьте на вопросы:

25

Р-1

П

46

43

31

№ 227,стр.87 ПРТ

1.Сколько человек не смотрело ни тот, ни другой канал?

2. Сколько человек включало то один, то другой канал?

3. Сколько человек смотрело только Первый канал?

4. Сколько человек смотрело канал Россия-1?

5. Сколько человек смотрело хотя бы один из этих каналов?

25

(25)

Р-1

П

(46)

46

(43)

43

31

(31+46)

(120)

Задание . На полке стояло 25 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны Гермионой, Гарри Поттером или Роном.

При этом не было не одной книги, которую бы прочитали все.

4 книги прочитали и Гарри Поттер, и Рон.

Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер.

Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитали только Гарри Поттер и только Рон?

1. Обозначим: P- множество книг, прочитанных Гарри Поттером;

R-множество книг, прочитанных Роном;

G- множество книг, прочитанных Гермионой

2. Расставим известные данные в круги Эйлера.

3. Найдем количество книг, которые прочитал только Гарри Поттер: 11 — 4 — 2 = 5 книг. 6. А теперь, чтобы узнать количество прочитанных книг только Роном, нужно из всего количества книг вычесть известное количество прочитанных книг: 25 ― (11+7)= 7 книг прочел только Рон.

R

P

G

4

7

2

7

5

Мы работаем отлично, Отдохнуть не прочь сейчас. И зарядка к нам привычно На урок приходит в класс. Выше руки, выше пятки Улыбнитесь веселей! Мы попрыгаем как зайки Сразу станем всех бодрей! Потянулись и вздохнули. Отдохнули? Отдохнули!

Встали и потянулись

Стряхнули руки

Подняли руки вверх

Работа по карточкам

Вариант 1

Из 40 учащихся шестых классов 32 любят молоко, 21 — лимонад, а 15 и молоко и лимонад. Сколько ребят не любят ни лимонад, ни молоко?

Вариант 2

12 шестиклассников любят читать детективы, 18-фантастику, трое с удовольствием читают и то и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в шестом классе?

Ответ: 2 ученика

Ответ: 28 учеников.

№ 231,стр.90 ПРТ

В математической олимпиаде для 6-кл. участвовали 50 человек. Из них арифметическую задачу решили 40 человек, а геометрическую — 20.

Покажите на схеме решение задачи.

Г

А

10

30

10

Давайте обсудим

• Что называют объединением множеств?

Приведите пример.

2. Что называют пересечением множеств?

Приведите пример.

3. Пусть С-множество чисел, кратных 9, и D-множество чисел, кратных 3. Какое соотношение связывает эти множества?

4. Понравилось вам использовать метод кругов Эйлера для решения задач?

Как анализировать аргументы с помощью диаграмм Эйлера

Аргумент может быть классифицирован как допустимый или недопустимый. Действительный аргумент возникает в ситуациях, когда, если посылки верны, то и заключение должно быть верным. И аргумент может быть верным, даже если вывод ложный.

Эти аргументы обычно имеют следующий формат с предпосылками, перечисленными первыми, и выводом, подчеркнутым горизонтальной линией:

Используя диаграмму Эйлера для анализа этого аргумента, нарисуйте круг, содержащий все объекты, на которых есть блохи. Внутри круга поместите еще один круг, чтобы содержать всех собак. А внутри круга собак посади Хэнка. Рисунок иллюстрирует этот подход.

У бедного Хэнка блохи.

Этот аргумент не обязательно верен, потому что вы знаете, что не у всех собак есть блохи. Все это показывает, что аргумент равен действительный . Если обе посылки верны, то и заключение должно быть верным.

Теперь рассмотрим аргумент, включающий прямоугольники и треугольники. Многоугольник — это фигура, состоящая из отрезков, соединенных концами.

При анализе правильности этого аргумента диаграмма Эйлера начинается с круга, содержащего все многоугольники, как показано здесь.

Два типа полигонов.

Два круга нарисованы внутри большего круга — один содержит прямоугольники, а другой — треугольники. Два круга не пересекаются, потому что у прямоугольников четыре стороны, а у треугольников три стороны.

Аргумент недействителен . Прямоугольники — это не треугольники, даже иногда.

Аргументы могут иметь более двух посылок. Например:

Одна диаграмма Эйлера, которая может представить эту ситуацию, имеет три пересекающихся круга, как показано здесь.

Президент Авраам Линкольн и другие юристы штата Иллинойс.

Как видно из диаграммы, могут быть президенты, родившиеся в Кентукки, которые не были юристами в Иллинойсе, и могут быть президенты, которые были юристами в Иллинойсе, но не родились в Кентукки. Аргумент равен неверный . Чтобы быть действительным, оно всегда должно быть истинным.

Эта статья из книги:

• Конечная математика для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг является автором Алгебра I для чайников, учебник по алгебре для чайников, и многие другие Для чайников книг. Она преподавала в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, более 30 лет, преподавая алгебру, бизнес-расчеты, геометрию и конечную математику.

Эту статью можно найти в категории:

• Расчет и анализ,

17.9: Оценка дедуктивных аргументов с помощью диаграмм Эйлера

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Дэвид Липпман
• Колледж Пирса через OpenTextBookStore

Мы можем визуально интерпретировать дедуктивный аргумент с помощью диаграммы Эйлера, которая по сути является тем же самым, что и диаграмма Венна. Это может облегчить определение того, является ли аргумент действительным или недействительным.

Пример 31

Рассмотрим дедуктивный аргумент «Все кошки — млекопитающие, а тигр — кошка, поэтому тигр — млекопитающее». Является ли этот аргумент действительным?

Решение

Помещения:

Все кошки млекопитающие.

Тигр — это кошка.

Вывод:

Тигр — млекопитающее.

Обе посылки верны. Чтобы увидеть, что посылки должны логически вести к заключению, мы можем использовать диаграмму Венна. Исходя из первой посылки, мы рисуем множество кошек как подмножество множества млекопитающих. Из второй посылки нам говорят, что тигр содержится в множестве кошек. Из этого мы видим на диаграмме Венна, что тигр также должен быть внутри множества млекопитающих, так что вывод верен.

Анализ аргументов с помощью диаграмм Эйлера

Чтобы проанализировать аргумент с помощью диаграммы Эйлера:

1) Нарисуйте диаграмму Эйлера на основе предпосылок аргумента

2) Аргумент недействителен, если есть способ нарисовать диаграмму что делает вывод ложным

3) Аргумент действителен, если нельзя построить диаграмму, чтобы сделать вывод ложным

4) Если посылок недостаточно для определения местоположения элемента или множества, упомянутых в заключении, то аргумент неверный.

Попробуйте сейчас 9

Определите правильность этого аргумента:

\(\begin{array} {ll} \text{Предпосылка:} & \text{Все кошки боятся пылесосов.} \\ \text {Предпосылка:} & \text{Макс — кошка.} \\ \text{Вывод:} & \text{Макс боится пылесосов.} \end{array}\)

Ответ

Действителен. Кошки — это подмножество существ, которых пугают пылесосы. Макс входит в набор котов, значит, он тоже должен быть в наборе существ, которых пугают пылесосы.

Пример 32

\(\begin{array} {ll} \text{Предпосылка:} & \text{Все пожарные знают СЛР.} \\ \text{Посылка:} & \text{Джилл знает СЛР.} \ \ \text{Вывод:} & \text{Джилл — пожарный.} \end{array}\)

Решение

Из первой посылки мы знаем, что все пожарные находятся внутри набора тех, кто знает СЛР. (Пожарные — это подмножество людей, знающих СЛР.) Из второй посылки мы знаем, что Джилл является членом этой большей группы, но у нас недостаточно информации, чтобы узнать, является ли она также членом меньшей подгруппы, т. е. пожарные.

Поскольку вывод не обязательно следует из посылок, это неверный аргумент. Возможно, что Джилл — пожарный, но структура аргумента не позволяет сделать вывод, что это определенно так.

Важно отметить, что действительно ли Джилл пожарный или нет, не имеет значения для оценки обоснованности аргумента; нас интересует, достаточно ли посылок для доказательства вывода.

Попробуйте сейчас 10

Определите правильность этого аргумента:

\(\begin{array} {ll} \text{Посылка:} & \text{Все велосипеды имеют два колеса.} \\ \text{Посылка:} & \text{Это У Harley-Davidson два колеса.} \\ \text{Вывод:} & \text{Этот Harley-Davidson — велосипед.} \end{array}\)

Ответ

Недействительно. Множество велосипедов является подмножеством множества транспортных средств с двумя колесами; Harley-Davidson входит в число двухколесных транспортных средств, но не обязательно в меньший круг.

Попробуйте сейчас 11

Определите правильность этого аргумента:

\(\begin{array} {ll} \text{Предпосылка:} & \text{Нет фиолетовых коров. } \\ \text{Предпосылка: } & \text{Фидо не корова.} \\ \text{Вывод:} & \text{Фидо фиолетовый.} \end{массив}\)

Ответ

Недействительно. Поскольку фиолетовых коров нет, мы знаем, что набор коров и набор фиолетовых вещей не пересекаются. Мы знаем, что Фидо не находится в наборе коров, но этого недостаточно, чтобы сделать вывод, что Фидо находится в наборе фиолетовых вещей.

Помимо этих категориальных стилевых посылок вида «все ___», «некоторые ____» и «нет ____», также часто встречаются условные посылки.

Пример 33

\(\begin{array} {ll} \text{Предпосылка:} & \text{Если вы живете в Сиэтле, вы живете в Вашингтоне.} \\ \text{Предпосылка:} & \text{Маркус не живет в Сиэтле.} \\ \text{Вывод:} & \text{Маркус не живет в Вашингтоне.} \end{array}\)

Решение

Из первой посылки мы знаем, что множество людей, живущих в Сиэтле, находится внутри множества тех, кто живет в Вашингтоне. Из второй посылки мы знаем, что Маркус не входит в набор Сиэтла, но у нас недостаточно информации, чтобы узнать, живет ли Маркус в Вашингтоне или нет. Это неверный аргумент.

Попробуй сейчас 12

Определите правильность этого аргумента:

\(\begin{array} {ll} \text{Предпосылка:} & \text{Если у вас есть помада на воротнике, то вы изменяешь мне.} \\ \text{Предпосылка:} & \text{Если ты мне изменяешь, я разведусь с тобой.} \\ \text{Предпосылка:} & \text{ У тебя нет помады на губах воротник.} \\ \text{Вывод:} & \text{Я с вами не разведусь.} \end{array}\)

Ответить

Недействительно. Помада на твоем воротнике — это подмножество сценариев, в которых ты изменяешь, а обман — это подмножество сценариев, в которых я разведусь с тобой. Хотя прекрасно, что у тебя на воротнике нет помады, ты все равно можешь мне изменять, и я разведусь с тобой. На самом деле, даже если ты мне не изменяешь, я могу развестись с тобой по другой причине. Тебе лучше привести себя в форму.

Эта страница называется 17.9: Оценка дедуктивных аргументов с помощью диаграмм Эйлера распространяется под лицензией CC BY-SA 3.

километр [км] в миллиметр [мм] • Конвертер длины и расстояния • Популярные конвертеры единиц • Компактный калькулятор • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Популярные конвертеры единиц

Конвертер длины и расстояния

Длина — физическая величина, характеризующая протяженность линий. В узком смысле под длиной понимают линейный размер предмета в продольном направлении (в направлении наибольшего размера). Иногда термин «длина» относится только к определенному размеру объекта. Например, можно отрезать кусок каната, длина которого будет меньше его толщины. В физике термин «длина» обычно используется как синоним «расстояния».

В международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр. По определению, метр равен расстоянию, которое проходит свет в вакууме за 1/299 792 458 долю секунды. Существует множество внесистемных единиц длины, таких как дюйм, фут, ярд, миля.

Использование конвертера «Конвертер длины и расстояния»

На этих страницах размещены конвертеры единиц измерения, позволяющие быстро и точно перевести значения из одних единиц в другие, а также из одной системы единиц в другую. Конвертеры пригодятся инженерам, переводчикам и всем, кто работает с разными единицами измерения.

Изучайте технический английский язык и технический русский язык с нашими видео! — Learn technical English and technical Russian with our videos!

Пользуйтесь конвертером для преобразования нескольких сотен единиц в 76 категориях или несколько тысяч пар единиц, включая метрические, британские и американские единицы. », то есть «…умножить на десять в степени…». Компьютерная экспоненциальная запись широко используется в научных, математических и инженерных расчетах.

• Выберите единицу, с которой выполняется преобразование, из левого списка единиц измерения.
• Выберите единицу, в которую выполняется преобразование, из правого списка единиц измерения.
• Введите число (например, «15») в поле «Исходная величина».
• Результат сразу появится в поле «Результат» и в поле «Преобразованная величина».
• Можно также ввести число в правое поле «Преобразованная величина» и считать результат преобразования в полях «Исходная величина» и «Результат».

Мы работаем над обеспечением точности конвертеров и калькуляторов TranslatorsCafe.com, однако мы не можем гарантировать, что они не содержат ошибок и неточностей. Вся информация предоставляется «как есть», без каких-либо гарантий. Условия.

Если вы заметили неточность в расчётах или ошибку в тексте, или вам необходим другой конвертер для перевода из одной единицы измерения в другую, которого нет на нашем сайте — напишите нам!

Канал Конвертера единиц TranslatorsCafe. com на YouTube

километр [км] в миллиметр [мм] • Конвертер длины и расстояния • Популярные конвертеры единиц • Компактный калькулятор • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Популярные конвертеры единиц

Конвертер длины и расстояния

Длина — физическая величина, характеризующая протяженность линий. В узком смысле под длиной понимают линейный размер предмета в продольном направлении (в направлении наибольшего размера). Иногда термин «длина» относится только к определенному размеру объекта. Например, можно отрезать кусок каната, длина которого будет меньше его толщины. В физике термин «длина» обычно используется как синоним «расстояния».

В международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр. По определению, метр равен расстоянию, которое проходит свет в вакууме за 1/299 792 458 долю секунды. Существует множество внесистемных единиц длины, таких как дюйм, фут, ярд, миля.

Использование конвертера «Конвертер длины и расстояния»

На этих страницах размещены конвертеры единиц измерения, позволяющие быстро и точно перевести значения из одних единиц в другие, а также из одной системы единиц в другую. Конвертеры пригодятся инженерам, переводчикам и всем, кто работает с разными единицами измерения.

Изучайте технический английский язык и технический русский язык с нашими видео! — Learn technical English and technical Russian with our videos!

Пользуйтесь конвертером для преобразования нескольких сотен единиц в 76 категориях или несколько тысяч пар единиц, включая метрические, британские и американские единицы. », то есть «…умножить на десять в степени…». Компьютерная экспоненциальная запись широко используется в научных, математических и инженерных расчетах.

• Выберите единицу, с которой выполняется преобразование, из левого списка единиц измерения.
• Выберите единицу, в которую выполняется преобразование, из правого списка единиц измерения.
• Введите число (например, «15») в поле «Исходная величина».
• Результат сразу появится в поле «Результат» и в поле «Преобразованная величина».
• Можно также ввести число в правое поле «Преобразованная величина» и считать результат преобразования в полях «Исходная величина» и «Результат».

Мы работаем над обеспечением точности конвертеров и калькуляторов TranslatorsCafe.com, однако мы не можем гарантировать, что они не содержат ошибок и неточностей. Вся информация предоставляется «как есть», без каких-либо гарантий. Условия.

Если вы заметили неточность в расчётах или ошибку в тексте, или вам необходим другой конвертер для перевода из одной единицы измерения в другую, которого нет на нашем сайте — напишите нам!

Канал Конвертера единиц TranslatorsCafe. com на YouTube

Сколько км в 1 мм?

Свяжитесь с нами!

Пожалуйста, свяжитесь с нами, если вы:

1. Есть предложения
2. Есть вопросы
3. Нашли ошибку/ошибку
4. Что-нибудь еще…

Чтобы связаться с нами, нажмите ЗДЕСЬ.

1 миллиметр равен 1,0E-6 километру, поскольку 1 умножить на 1,0E-6 (коэффициент пересчета) = 1,0E-6

Универсальный конвертер

Определение миллиметра

единица длины, равная 1/1000 метра и равная 0,03937 дюйма. Аббревиатура: mm

Насколько велик миллиметр?

Вот примеры вещей размером около 1 мм:

• Толщина кредитной карты
• Типичный наконечник механического карандаша имеет размеры, например, 0,5, 0,7 или 0,9 мм
• Средний размер наконечника ручки обеспечивает линию шириной около 1,0 мм для шариковой ручки.

Вот еще примеры вещей размером около одного миллиметра (порядка величины):

Определение километра

Километр (км) — единица длины в Международной системе единиц (СИ), которая представляет собой десятичную кратную метра . Километр, обычная мера расстояний, равна 1000 метрам и эквивалентна 3280,8 футам или 0,621 мили. Аббревиатура: км

Вот еще примеры вещей размером около одного километра (порядок величины):

Как преобразовать 1 миллиметр в километры

Чтобы рассчитать значение в километрах, вам просто нужно использовать следующую формулу :

Значение в километрах = значение в миллиметрах × ¹ / _1000000

Другими словами, вам нужно умножить значение емкости в миллиметрах на ¹ / _{1000000 9010 2, чтобы получить эквивалентное значение в километрах.}

Например, чтобы преобразовать миллиметры в километры, вы можете подставить значение 1 в приведенную выше формулу, чтобы получить

километров = 1 × ¹ / _1000000 = ¹ / _1000000

Следовательно, емкость конденсатора равна ^{1 901 00/ _1000000 километр. Обратите внимание, что полученное значение, возможно, придется округлить до практического или стандартного значения, в зависимости от приложения.}

С помощью этого конвертера вы можете получить ответы на такие вопросы, как:

• Сколько 1 миллиметр в километрах;
• Как перевести миллиметры в километры и
• Какая формула для перевода миллиметров в километры?

Миллиметры в Километры.

Примечание: значения округлены до 4 значащих цифр. Дроби округляются до ближайшей восьмой дроби.

Преобразование образцов

Отказ от ответственности

Несмотря на усилия по предоставлению точной информации на этом веб-сайте, мы не гарантируем ее точность. Поэтому контент не должен использоваться для принятия решений, касающихся здоровья, финансов или имущества.

Перевести мм в км | миллиметры в километры

Преобразование миллиметра в километров в шкале единиц длины.

ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕ : из километров в миллиметры наоборот.

ПРЕОБРАЗОВАТЬ: между другими единицами измерения длины — полный список.

Сколько километров в 1 миллиметре? Ответ: 1 мм равен 0,0000010 км

0,0000010 км конвертируется в 1 из чего?

Число километров 0,0000010 км преобразуется в 1 мм, один миллиметр. Это РАВНОЕ значение длины, равное 1 миллиметру, но в альтернативной единице длины в километрах.

Таблица преобразования —

1 миллиметр в километр = 0,0000010 км

2 миллиметра в километр = 0,0000020 км

3 миллиметра в километр = 0,0000030 км

4 миллиметра в километр = 0,0000040 км

5 миллиметров в километры = 0,0000050 км

6 миллиметров в километры = 0,0000060 km

7 миллиметров в километры = 0,0000070 km

8 миллиметров в километры = 0,0000080 km

9 миллиметров в километры = 0,0000090 km

10 миллиметров в километры = 0,000010 км

11 миллиметров в километры = 0,000011 км

12 миллиметров в километры = 0,000012 км

13 миллиметров в километры = 0,000013 км 9000 5

14 миллиметров в километры = 0. 000014 km

15 миллиметров в километры = 0,000015 км

Категория : главное меню • меню длины • Миллиметры

Преобразование длины миллиметра (мм) и километров (км) единиц в обратном порядке из километров в миллиметры.

Единицы длины, расстояния, высоты и глубины

Расстояние в метрическом смысле — это мера между любыми двумя точками от А до Z. Применяется к физическим длинам, глубинам, высотам или просто дальности. Инструмент с несколькими единицами измерения расстояния, глубины и длины.

Первая единица: миллиметр (мм) используется для измерения длины.
Секунда: километр (км) является единицей длины.

ВОПРОС :
15 мм = ? км

ОТВЕТ :
15 мм = 0,000015 км

Сокращение или префикс для миллиметра:
мм
Сокращение для километра:
км

Другие приложения для этого калькулятора длины .

Филиппов § 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

§ 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

511. Решить уравнение: y» + y’ — 2y = 0.

512. Решить уравнение: y» + 4y’ + 3y = 0.

513. Решить уравнение: y» — 2y’ = 0.

514. Решить уравнение: 2y» — 5y’ + 2y = 0.

515. Решить уравнение: y» — 4y’ + 5y = 0.

516. Решить уравнение: y» + 2y’ + 10y = 0.

517. Решить уравнение: y» + 4y = 0.

518. Решить уравнение: y»’ — 8y = 0.

519. Решить уравнение: yIV — y = 0.

520. Решить уравнение: yIV + 4y = 0.

521. Решить уравнение: yVI + 64y = 0.

522. Решить уравнение: y» — 2y’ + y = 0.

523. Решить уравнение: 4y» + 4y’ + y = 0.

524. Решить уравнение: yV — 6yIV + 9y»’ = 0.

525. Решить уравнение: yV — 10y»’ + 9y’ = 0.

526. Решить уравнение: yIV + 2y» + y = 0.

527. Решить уравнение: y»’ — 3y» + 3y’ — y = 0.

528. Решить уравнение: y»’ — y» — y’ + y = 0.

529. Решить уравнение: yIV — 5y» + 4y = 0.

530. Решить уравнение: yV + 8y»’ + 16y’ = 0.

531. Решить уравнение: y»’ — 3y’ + 2y = 0.

532. Решить уравнение: yIV + 4y» + 3y = 0.

533. Решить уравнение: y» — 2y’ — 3y = e4x.

534. Решить уравнение: y» + y = 4xex.

535. Решить уравнение: y» — y = 2ex — x2.

536. Решить уравнение: y» + y’ — 2y = 3xex.

537. Решить уравнение: y» — 3y’ + 2y = six x.

538. Решить уравнение: y» + y = 4 sin x.

539. Решить уравнение: y» — 5y’ + 4y = 4x2e2x.

540. Решить уравнение: y» — 3y’ + 2y = x cos x.

541. Решить уравнение: y» + 3y’ — 4y = e-4x + xe-x.

542. Решить уравнение: y» + 2y’ — 3y = x2ex.

543. Решить уравнение: y» — 4y’ + 8y = e2x + sin 2x.

544. Решить уравнение: y» — 9y = e3x cos x.

545. Решить уравнение: y» — 2y’ + y = 6xex.

546. Решить уравнение: y» + y = x sin x.

547. Решить уравнение: y» + 4y’ + 4y = xe2x.

548. Решить уравнение: y» — 5y’ = 3×2 + sin 5x.

549. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 2y’ + 2y = ex + x cos x.

550. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» + 6y’ + 10y = 3xe-3x — 2e3x cos x.

552. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» + 7y’ + 10y = xe-2x cos 5x.

553. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 2y’ + 5y = 2xex + ex sin 2x.

554. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 2y’ + y = 2xex + ex sin 2x.

555. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 8y’ + 17y = e4x(x2 — 3x sin x).

556. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y»’ + y’ = sin x + x cos x.

557. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y»’ — 2y» + 4y’ — 8y = e2x sin 2x + 2×2.

558. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 6y’ + 8y = 5xe2x + 2e4x sin x.

559. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» + 2y’ + y = x(e-x — cos x).

560. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y»’ — y» — y’ + y = 3ex + 5x sin x.

562. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 9y = e-3x(x2 + sin 3x).

563. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): yIV + y» = 7x — 3 cos x.

564. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» + 4y = cos x * cos 3x.

566. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 4y’ + 5y = e2x sin2 x.

568. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 2y’ + 2y = (x + ex)sin x.

569. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): yIV + 5y» + 4y = sin x * cos 2x.

570. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» — 3y’ + 2y = 2x.

572. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» + 4y’ + 3y = ch x.

573. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y» + 4y = sh x * sin 2x.

575. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y» — 2y’ + y = ex/x.

576. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y» + 3y’ + 2y = 1/(ex + 1).

577. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y» + y = 1/sin x.

578. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y» + 4y = 2 tg x.

579. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y» + 2y’ + y = 3e-x sqrt(x + 1).

580. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y» + y = 2 sec3 x.

581. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: x3(y» — y) = x2 — 2.

582. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y» — 2y’ + y = 0; y(2) = 1, y'(2) = -2.

583. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y» + y = 4ex; y(0) = 4, y'(0) = -3.

584. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y» — 2y’ = 2ex; y(1) = -1, y'(1) = 0.

585. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y» + 2y’ + 2y = xe-x; y(0) = y'(0) = 0.

586. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y»’ — y’ = 0; y(0) = 3, y'(0) = -1, y»(0) = 1.

587. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y»’ — 3y’ — 2y = 9e2x; y(0) = 0, y'(0) = -3, y»(0) = 3.

588. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: yIV + y» = 2 cos x; y(0) = -2, y'(0) = 1, y»(0) = y»'(0) = 0.

589. Решить уравнение Эйлера: x2y» — 4xy’ + 6y = 0.

590. Решить уравнение Эйлера: x2y» — xy’ — 3y = 0.

591. Решить уравнение Эйлера: x3y»’ + xy’ — y = 0.

592. Решить уравнение Эйлера: x2y»’ = 2y’.

593. Решить уравнение Эйлера: x2y» — xy’ + y = 8×3.

594. Решить уравнение Эйлера: x2y» + xy’ + 4y = 10x.

595. Решить уравнение Эйлера: x3y» — 2xy = 6 ln x.

597. Решить уравнение Эйлера: x2y» — 6y = 5×3 + 8×2.

598. Решить уравнение Эйлера: x2y» — 2y = sin ln x.

599. Решить уравнение Эйлера: (x — 2)2y» — 3(x — 2)y’ + 4y = x.

600. Решить уравнение Эйлера: (2x + 3)3y»’ + 3(2x + 3)y’ — 6y = 0.

601. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y» + 2y’ + y = cos ix.

602. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y» — 2y’ + y = xex sin2 ix.

603. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y» + 2iy = 8ex sin x.

604. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y» + 2iy’ — y = 8 cos x.

610.  Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: x2y» — xy’ + y = ln x/x + x/ln x.

612. Какие условия достаточно наложить на функцию f(x), чтобы все решения уравнения задачи 611 (y» + y = f(x)) оставались ограниченными при x → +∞?

613. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = x2ex…

615. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = x sin x.

616. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = xex…

617. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: y1 = xex,. ..

618. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: y1 = x, y2…

619. При каких a и b все решения уравнения y» + ay’ + by = 0 ограничены на всей числовой оси -∞ < x < +∞?

620. При каких a и b все решения уравнения y» + ay’ + by = 0 стремятся к нулю при x → +∞?

623. При каких a и b каждое решение уравнения y» + ay’ + by = 0 обращается в нуль на бесконечном множестве точек x?

624. При каких a и b все решения уравнения y» + ay’ + by = 0 удовлетворяют соотношению y = o(e-x) при x → +∞?

625. Для заданного b > 0 подобрать такое a, при котором решение уравнения y» + ay’ + by = 0 с начальными условиями y(0) = 1, y'(0) = 0 возможно быстрее стремится к нулю при x →…

628. Найти периодическое решение уравнения x» + x’ + 4x = eiωt и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решения при изменении. ..

629. Дано уравнение y» + ay’ + by = f(x), причем |f(x)| ≤ m (-∞ < x < ∞), а корни характеристического уравнения λ2 < λ1 <…

634. Частица массы m движется по оси Ox, отталкиваясь от точки x = 0 с силой 3mr0 и притягиваясь к точке x = 1 с силой 4mr1, где r0 и r1 –…

635. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянного тока, дающего напряжение V, сопротивления R, самоиндукции L и выключателя, который включается при t =…

639. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону E = V sin ωt, сопротивление R и самоиндукция L. Найти силу тока в цепи (установившийся режим).

обыкновенных дифференциальных уравнений — как решить $y»+2y’-3y=0$?

Итак, мы видим, что у нас есть Линейное дифференциальное уравнение второго порядка . Существует несколько разновидностей

методов для решения этого типа уравнений, некоторые из которых перечислены, но я думаю, что этот метод является наиболее прямым и не требует особых хитростей или сообразительности, это довольно

шаг пошаговый процесс.

ПОДСКАЗКА: $~~$ Мы знаем, что для этого типа уравнений должно выполняться следующее: 9{2}+2r-3$$

ПРИМЕЧАНИЕ: Всю работу, которую мы проделали для получения нашего характеристического многочлена , можно сохранить в будущем всякий раз, когда у нас есть ОДУ с постоянным коэффициентом, потому что начальное предположение всегда будет делиться в конце. Вот в чем хитрость.

1.) Соблюдайте порядок ОДУ (а именно, старшую производную в уравнении).

2.) Начните с наибольшей производной и двигайтесь вниз к наименьшему члену (а именно, к постоянным терминам). 92-4ac}}{2a}.$$

3) Если оба вышеперечисленных варианта невозможны (обычно для кубических или более высоких степеней), то используется деление в длинное/синтетическое деление и обычно помогает сначала построить уравнение в виде графика и найти хотя бы одно ноль и используйте этот коэффициент, возьмите исходный полином и попробуйте деление в длину/синтетическое деление. Так, например, если вы нашли $2$ в качестве нуля полинома, то вы должны использовать $(r-2)$, чтобы попытаться уменьшить полином до квадратного, если это возможно, или до чего-то, что можно разложить на множители. 9{nd}$ Порядок линейных уравнений с постоянными коэффициентами однородных обыкновенных дифференциальных уравнений, и то же самое относится к более высокому порядку.

Есть и другие случаи помимо этого одного из реальных различных корней . Теперь мы рассмотрим, что представляют собой эти другие случаи.

Другая ситуация, с которой вы можете столкнуться, — это когда у вас есть действительных неразличимых корней (т. е. кратность двух и более). Теперь для слова множественность все, что это означает, просто следующее: если вы получаете некоторые числа, которые появляются более одного раза (это означает, что они точно такие же). 9{2}+6r+9=0$, наши корни к этому многочлену будут следующими: $r=-3,~r=-3$. Это яркий пример того, что означает множественность. Наши корни будут $r=-3$ (с кратностью 2), потому что один и тот же корень встречается дважды, это означает необходимость умножения линейной комбинации решения на соответствующее количество степеней $’x’$ или $’t ‘$ в зависимости от вашей независимой переменной в ODE. Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

$\underline{Пример~2:}$ Если бы у нас был этот характеристический полином 9{3}=0$, наши корни для этого конкретного полинома будут следующими: $r=0,~r=0,~r=0,~r=-\dfrac{3}{5}$ Это еще один отличный пример того, когда мы делаем вывод, что у нас снова есть повторяющиеся корни, равные $r=0$ (теперь с кратностью 3). Опять же, вам придется умножить независимые однородные решения на соответствующую степень вашей независимой переменной, которую в нашем случае мы используем $’x’$. Давайте рассмотрим еще один пример упражнений, чтобы лучше понять эту идею. Кроме того, во что бы то ни стало, пожалуйста, найдите время, если можете, и проверьте эти 9{2}+4r=0$, наши корни для этого конкретного полинома будут следующими: $r=0,~r=-\dfrac{2}{3},~r=-\dfrac{2}{3} $.

Найдите значения выражения 3 косинус в квадрате минус 1,6 Если синус в квадрате равен 0,2 — Знания.site

Ответы 1

ОТТ:



Ответ 0,8

Знаешь ответ? Добавь его сюда!

Последние вопросы

• Физика

  2 часа назад

  Помоги, пожалуйста, прорешать оба варианта. Нужно к среде (3 мая) ЗАДАНИЯ ВНИЗУ!!!!

• Математика

  3 часа назад

  4,8у+3,7у=11,9 Ачимы помогити🥰🥰🥰🥰 Решить уравнение

• Математика

  3 часа назад

  5.8*(4.5-x) решите уравнение пожайлуста!

• Математика

  5 часов назад

  Вычислите удобный способом

  15/29*(19/25*7/9)*5/7

• История

  6 часов назад

  Помогите пожалуйста

• История

  6 часов назад

  Рассмотрите репродукцию картины художника В. В Верещагина «Апофеоз войны». таким оставалось поле сражения после победы тимура

  1.Используя сюжет картины и пункт 1 &26, составьте перечень качеств, которыми обладал Тимур.

  2.Как объясняют спасение русской земли от тимура современные учёные?

  3.Как объясняли это современники событий?

• История

  6 часов назад

  рассказ от имени путешественника или первопроходца (цель, участники, маршрут). по теме Русские путешественники и первопроходцы XVII

• Другие предметы

  7 часов назад

  можно ли на др маме подарить отчима?

• Математика

  8 часов назад

  помогите якласс

• Математика

  8 часов назад

  помогите якласс

• Математика

  9 часов назад

  ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО !!!

  В магазине продавалось w книг русских писателей и на d книг больше зарубежных писателей. Сколько всего книг было в магазине?

  Мальвина и Пьеро вместе собирали голубику и собрали v штук. А Артемон собрал в k раз больше. Сколько всего голубики собрали Мальвина, Пьеро и Артемон?

  В x группах занимается по w девочек, а в одной группе — p мальчиков.

  Во сколько раз больше занимается мальчиков, чем девочек?

  В у группах занимается по х мальчиков, а в одной группе — r девочек.

  Во сколько раз меньше занимается мальчиков, чем девочек

• Русский язык

  14 часов назад

  Произведите синтаксический разбор предложений, и составте схемы.

  1) Гвардия уже вышла из Петербурга 10-го августа, и сын, оставшийся для обмундирования вМоскве, должен был догнать ее по дороге в Радзивилов.

  2) У Ростовых были именинницы Натальи, мать и меньшая дочь.

  3) Графиня с красивой старшею дочерью и гостями, не перестававшими сменять один другого, сидели в гостиной.

  4) Граф встречал и провожал гостей, приглашая всех к обеду.

  5) Проводив одного гостя, граф возвращался к тому или той, которые еще были в гостиной.

• Математика

  1 день назад

  ужас мне так лень сюда заходить

• Химия

  1 день назад

  Визначте масу калій гідроксиду ,що реагує з 5,6 л сульфур(IV) оксиду (н.у.).

• Алгебра

  1 день назад

  Найди первые пять членов геометрической прогрессии bn

   = 256•(1/2).n

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Функция синус-квадрата — исчисление

Эта статья о конкретной функции из подмножества действительных чисел в действительные числа. В статье представлена ​​информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференцированию и интегрированию.
Посмотреть полный список конкретных функций на этой вики

Содержание

• 1 Определение
• 2 Ключевые данные
• 3 личности
• 4 График
• 5 Дифференциация
  • 5.1 Первая производная
  • 5.2 Вторая производная
  • 5.3 График функции с производной
• 6 Точки и интервалы интереса
  • 6.1 Критические точки
  • 6.2 Интервалы увеличения и уменьшения
  • 6.3 Локальные экстремальные значения
  • 6.4 Интервалы подбарабанья вверх и вниз
  • 6.5 Точки перегиба
• 7 Интеграция
  • 7.1 Первая первообразная
    • 7.1.1 Использование формулы косинуса двойного угла
    • 7.1.2 Использование интегрирования по частям
  • 7. 2 График функции с первообразной
  • 7.3 Определенные интегралы
  • 7.4 Модифицированные версии
  • 7.5 Высшие производные
• 8 Серия Power и серия Taylor
  • 8.1 Расчет ряда мощностей
  • 8.2 Полиномы Тейлора как аппроксимации
• 9 Предельные вычисления
  • 9.1 Нулевой порядок
  • 9.2 Пределы высшего порядка

Определение

Эта функция, обозначенная , определяется как композиция функции квадрата и функции синуса. В явном виде это карта:

Для краткости пишем как .

Ключевые данные

Элемент	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т. е. все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т. е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при нечетных целых кратных .
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных .
точки перегиба (обе координаты)	нечетных кратных , со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, то есть функция синуса двойного угла.
вторая производная
производная	раз выражение, которое равно или , в зависимости от остатка по модулю
первообразная
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из комбинации четной функции с нечетной функцией четной, функция квадрата четная, а функция синуса нечетная) в более общем смысле, зеркальная симметрия относительно любой вертикальной линии формы , целое число. Также полуоборотная симметрия относительно всех точек формы .
Описание интервала на основе увеличения/уменьшения и вогнутости вверх/вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : возрастание и вогнутость вверх : возрастание и вогнутость вниз : уменьшение и вогнутость вниз, : уменьшение и вогнутость вверх
серия Power и серия Taylor	Степенной ряд около 0 (который, следовательно, также является рядом Тейлора) равен Это глобально сходящийся степенной ряд.

Личности

У нас есть следующие важные личности с участием:

• , связывая это с функцией квадрата косинуса.
• или эквивалентно .

График

Вот график на интервале , выполненный в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и . Пунктирная горизонтальная линия указывает среднее значение:

Точки с красными точками обозначают точки перегиба, а точки с черными точками обозначают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синяя) и функция квадрата косинуса (фиолетовая) с пунктирной линией. На картинке показано, что:

Дифференцирование

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного косинуса угла

У нас есть:

Мы можем сделать это двумя способами.

Используя цепное правило для дифференцирования, мы имеем:

По формуле двойного синуса угла это то же самое, что и .

В качестве альтернативы, используя формулу двойного косинуса угла, мы перепишем:

Дифференцируя, получаем:

Вторая производная

Снова продифференцировав производную, получим:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Рассмотрим . Как было подсчитано ранее, имеем:

Это равно нулю именно в точках, где , поэтому . Другими словами, критические точки возникают при целых кратных .

Интервалы возрастания и убывания

Функция положительна при , при и отрицательна при , при . Делим на 2, получаем:

• возрастает на интервалах вида , .
• убывает на интервалах вида , .

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах возрастания и убывания делаем вывод, что:

• достигает своих локальных максимальных значений в точках вида , и все значения равны 1.
• достигает своих локальных минимальных значений в точках вида , , и все значения равны 0.

Интервалы вогнутости вверх и вниз

Вторая производная есть функция . Это положительно для и отрицательно для , где . Таким образом, мы получаем:

• вогнут на промежутках вида , с .
• вогнуто вниз на интервалах вида , с .

Точки перегиба

Из определения интервалов, где вогнутость вверх и вогнутость вниз, мы обнаруживаем, что точками перегиба являются точки с -координатой, нечетно кратной . Значение функции во всех этих точках равно .

• В точках с функция переходит от вогнутости вверх (слева) к вогнутости вниз (справа).
• В точках с функция переходит от вогнутой вниз (слева) к вогнутой вверх (справа).

Интегрирование

Первая первообразная

ЧТО ИСПОЛЬЗУЕМ : формула косинуса двойного угла, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы косинуса двойного угла

900 05

Теперь мы можем сделать интеграция:

Для интегрирования используем метод интегрирования линейного преобразования функции для получения . Подключив его, мы получим:

Использование интегрирования по частям

Переписываем и используем интегрирование по частям в его рекурсивной версии:

Теперь перепишем и получим:

Установив выбор первообразной таким образом, чтобы вышеприведенное выполнялось без каких-либо свободно плавающих констант, мы получаем:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть точно равными, но это не обязательно вообще .
См. Нулевая производная подразумевает локальную постоянную

График функции с первообразной

На рисунке ниже мы изображаем (синий) и функцию (фиолетовый). Это уникальная первообразная, которая принимает значение 0 в 0. Остальные первообразные можно получить, сдвинув фиолетовый график по вертикали:

Черные точки соответствуют локальным экстремумам для , а красные точки соответствуют точкам перегиба первообразной. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится на той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба первообразной соответствуют локальным экстремальным значениям исходной функции. Дальше:

• Первообразная везде возрастает, потому что везде неотрицательна и равна нулю только в изолированных точках.
• Первообразная вогнута на тех интервалах, где является возрастающей, т. е. на интервалах вида as изменяется по целым числам.
• Первообразная вогнута вниз на тех интервалах, где убывающая, т. е. на интервалах вида as меняется по целым числам.

Определенные интегралы

Часть в первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон , а это связано с тем, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду. На самом деле ясно, что функция является синусоидальной функцией относительно .

Итак, имеем:

где целое число.

Среднее значение для интервала длины, равного кратному периоду, равно . Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение очень близко к 1/2, даже если оно не обязательно должно быть ровно 1/2. Конкретно:

Преобразованные версии

На основе интегрирования мы можем также интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду. Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Можно проводить антидифференцировку более одного раза. Первообразная представляет собой сумму многочлена степени и тригонометрической функции с периодом .

Степенной ряд и ряд Тейлора

Расчет степенного ряда

Мы можем использовать идентификатор:

вместе со степенным рядом функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для .

Степенной ряд функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Серия мощности для:

Серия мощности для:

Разделив на 2, получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно:

Полиномы Тейлора как аппроксимации

Обратите внимание, что, поскольку это четная функция, все ее полиномы Тейлора также являются четными полиномами. На рисунке ниже мы рассматриваем графики и его второй, четвертой и шестой тейлоровских аппроксимаций.

• Второй полином Тейлора , равный третьему полиному Тейлора , равен .
• Четвертый полином Тейлора , который равен пятому полиному Тейлора , равен .
• Шестой полином Тейлора , который равен седьмому полиному Тейлора , равен .

Предельные вычисления

Порядок нуля

Из степенного ряда получаем следующий предел:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот лимит можно вычислить разными способами:

Наименование метода расчета предела	Подробнее
Простая манипуляция с использованием
Использование правила Лопиталя
Использование серии Power	Имеем , значит получаем . Принимая предел как дает 1.

Пределы высшего порядка

У нас есть предел:

Этот лимит можно вычислить разными способами:

Наименование метода расчета предела	Подробнее
Использование и	У нас есть . Первый предел равен, а второй предел равен 2 из заданных данных. Получаем таким образом.
Использование правила Лопиталя	.
Использование серии Power	У нас есть , значит , значит предел равен 1/3.

Функция синус-квадрат — Исчисление

Эта статья о конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. В статье представлена ​​информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференцированию и интегрированию.
Посмотреть полный список конкретных функций на этой вики

Содержание

• 1 Определение
• 2 Ключевые данные
• 3 личности
• 4 График
• 5 Дифференциация
  • 5.1 Первая производная
  • 5.2 Вторая производная
  • 5.3 График функции с производной
• 6 Точки и интервалы интереса
  • 6. 1 Критические точки
  • 6.2 Интервалы увеличения и уменьшения
  • 6.3 Локальные экстремальные значения
  • 6.4 Интервалы подбарабанья вверх и вниз
  • 6.5 Точки перегиба
• 7 Интеграция
  • 7.1 Первая первообразная
    • 7.1.1 Использование формулы косинуса двойного угла
    • 7.1.2 Использование интегрирования по частям
  • 7.2 График функции с первообразной
  • 7.3 Определенные интегралы
  • 7.4 Модифицированные версии
  • 7.5 Высшие первообразные
• 8 Серия Power и серия Taylor
  • 8.1 Расчет ряда мощностей
  • 8.2 Полиномы Тейлора как аппроксимации
• 9 Предельные вычисления
  • 9.1 Нулевой порядок
  • 9.2 Пределы высшего порядка

Определение

Эта функция, обозначенная , определяется как композиция функции квадрата и функции синуса. В явном виде это карта:

Для краткости пишем как .

Ключевые данные

9Серия Power 0097 и серия Taylor

Элемент	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т. е. все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т. е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при нечетных целых кратных .
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных .
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных , со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, то есть функция синуса двойного угла.
вторая производная
производная	раз выражение, которое равно или , в зависимости от остатка по модулю
первообразная
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из комбинации четной функции с нечетной функцией четной, функция квадрата четной, функция синуса нечетной) в более общем смысле, зеркальная симметрия относительно любой вертикальной линии формы , целое число. Также полуоборотная симметрия относительно всех точек формы .
Описание интервала на основе увеличения/уменьшения и вогнутости вверх/вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : возрастание и вогнутость вверх : возрастание и вогнутость вниз : уменьшение и вогнутость вниз, : уменьшение и вогнутость вверх
Степенной ряд около 0 (который, следовательно, также является рядом Тейлора) равен Это глобально сходящийся степенной ряд.

Личности

У нас есть следующие важные личности с участием:

• , связывая это с функцией квадрата косинуса.
• или эквивалентно .

График

Вот график на интервале , выполненный в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и . Пунктирная горизонтальная линия указывает среднее значение:

Точки с красными точками обозначают точки перегиба, а точки с черными точками обозначают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синяя) и функция квадрата косинуса (фиолетовая) с пунктирной линией. На картинке показано, что:

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного косинуса угла

У нас есть:

Мы можем сделать это двумя способами.

Используя цепное правило для дифференцирования, мы имеем:

По формуле двойного синуса угла это то же самое, что и .

В качестве альтернативы, используя формулу двойного косинуса угла, мы перепишем:

Дифференцируя, получаем:

Вторая производная

Снова продифференцировав производную, получим:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Рассмотрим . Как было подсчитано ранее, имеем:

Это равно нулю именно в точках, где , поэтому . Другими словами, критические точки возникают при целых кратных .

Интервалы возрастания и убывания

Функция положительна при , при и отрицательна при , при . Делим на 2, получаем:

• возрастает на интервалах вида , .
• убывает на интервалах вида , .

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах возрастания и убывания делаем вывод, что:

• достигает своих локальных максимальных значений в точках вида , и все значения равны 1.
• достигает своих локальных минимальных значений в точках вида , , и все значения равны 0.

Интервалы вогнутости вверх и вниз

Вторая производная есть функция . Это положительно для и отрицательно для , где . Таким образом, мы получаем:

• вогнут на промежутках вида , с .
• вогнуто вниз на интервалах вида , с .

Точки перегиба

Из определения интервалов, где вогнутость вверх и вогнутость вниз, мы обнаруживаем, что точками перегиба являются точки с -координатой, нечетно кратной . Значение функции во всех этих точках равно .

• В точках с функция переходит от вогнутости вверх (слева) к вогнутости вниз (справа).
• В точках с функция переходит от вогнутой вниз (слева) к вогнутой вверх (справа).

Интегрирование

Первая первообразная

ЧТО ИСПОЛЬЗУЕМ : формула косинуса двойного угла, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы косинуса двойного угла

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Для интегрирования используем метод интегрирования линейного преобразования функции для получения . Подключив его, мы получим:

Использование интегрирования по частям

Переписываем и используем интегрирование по частям в его рекурсивном варианте:

Теперь перепишем и получим:

Установив выбор первообразной таким образом, чтобы вышеприведенное выполнялось без каких-либо свободно плавающих констант, мы получаем:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть точно равны, но это вообще не надо .
См. Нулевая производная подразумевает локальную постоянную

График функции с первообразной

На рисунке ниже мы изображаем (синий) и функцию (фиолетовый). Это уникальная первообразная, которая принимает значение 0 в 0. Остальные первообразные можно получить, сдвинув фиолетовый график по вертикали:

Черные точки соответствуют локальным экстремумам для , а красные точки соответствуют точкам перегиба первообразной. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится на той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба первообразной соответствуют локальным экстремальным значениям исходной функции. Дальше:

• Первообразная везде возрастает, потому что везде неотрицательна и равна нулю только в изолированных точках.
• Первообразная вогнута на тех интервалах, где является возрастающей, т. е. на интервалах вида as изменяется по целым числам.
• Первообразная вогнута вниз на тех интервалах, где убывающая, т. е. на интервалах вида as меняется по целым числам.

Определенные интегралы

Часть в первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон , и это связано с тем, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду. На самом деле ясно, что функция является синусоидальной функцией относительно .

Итак, имеем:

где целое число.

Среднее значение для интервала длины, равного кратному периоду, равно . Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение очень близко к 1/2, даже если оно не обязательно должно быть ровно 1/2. Конкретно:

Преобразованные версии

На основе интегрирования мы можем также интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду . Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Можно проводить антидифференцировку более одного раза. Первообразная представляет собой сумму многочлена степени и тригонометрической функции с периодом .

Степенной ряд и ряд Тейлора

Расчет степенного ряда

Мы можем использовать тождество:

вместе со степенным рядом функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для .

Степенной ряд функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Серия мощности для:

Серия мощности для:

Разделив на 2, получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно:

Полиномы Тейлора как аппроксимации

Обратите внимание, что, поскольку это четная функция, все ее полиномы Тейлора также являются четными полиномами. На рисунке ниже мы рассматриваем графики и его второй, четвертой и шестой тейлоровских аппроксимаций.

Квадратный корень из 2 | это… Что такое Квадратный корень из 2?

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: Приведём значение корня из 2 с 65 знаками после запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Квадратный корень из 2.

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта.

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416…
• 577/408 = 1.414215…
• 665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Шигеру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3. 6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора,образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

.Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

и

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π:

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пусть , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

См. также

• Иррациональность
• Теорема Виета

§ Что такое квадратный корень

Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 3² = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

Запомните!

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9», это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

√9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

Запомните!

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

• √−9 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
• √64 = 8
• √−1,44 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
• √256 = 16

Квадратный корень из нуля

Запомните!

Квадратный корень из нуля равен нулю.

√0 = 0

Квадратный корень из единицы

Запомните!

Квадратный корень из единицы равен единице.

√1 = 1

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от 1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

• √81 = 9
• √64 = 8
• √100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Важно!

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

1. забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
2. вычислить для целого числа квадратный корень;
3. полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

√0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число «4».

√16 = 4
√0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на «0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня √0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

√0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби «0,4²» дает «0,16». Умножим в столбик «0,4» на «0,4».

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

√1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число «144». Какое число в квадрате даст «144»? Ответ — число «12».

12² = 144

√144 = 12

√1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

√1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,2²» дает в квадрате «1,44».

1,2² = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел √2, √3, √5, √6, и т.

п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √2 или √3 и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 = √15 − 8 = √7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 = √15 − 8 = √7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

кубических, тригонометрических, логарифмических и др. уравнений · Калькулятор Онлайн для чайников 🫖🤓

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Введите уравнение с неизвестным, для которого требуется найти корни.

2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

gamma(x)

Гамма-функция

LambertW(x)

Функция Ламберта

x! или factorial(x)

Факториал от x

DiracDelta(x)

Дельта-функция Дирака

Heaviside(x)

Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Math Scene — Тригонометрические функции — Более сложные уравнения и неравенства

Math Scene — Тригонометрические функции — Более сложные уравнения и неравенства — Урок 5

2008 Расмус Эхф и Джанн Сак

Печать

Урок 5   Подробнее сложные уравнения и неравенства

---

Пример 1

Решите уравнение sin x = cos x и затем неравенство

грех x > cos x на интервале 0 x < 2,

Из единичного круга мы видим, что sin x и cos x может иметь одинаковое значение только в двух местах, в x = /4 и х = 5/4 (45 и 225 ).

Уравнение sin x = cos x также можно решить путем деления на cos x.

     тангенс х = 1

         x = тангенс ⁻¹ (1)

         х = 45 ∙ /180 + к∙

         x = /4 + k∙        (k — любое целое число, положительное или отрицательное)

Если положить k = 0 и k = 1, получим решения /4 (45 ) и /4 + = 5/4 (45 + 180 = 225 ).

Чтобы решить неравенство  sin x > cos x, нам нужно увидеть, что больше sin x или cos x на интервалах между решениями /4 и 5/4. Решения можно увидеть, если мы нарисуем графики f(x) = sin x и g(x) = cos Икс. График sin x лежит над графиком cos x на интервале /4 x 5x/4 (см. заштрихованную область на диаграмме).

sin x cos x на интервале /4 x 5x/4.

Пример 2

Решить уравнение sin x ∙ cos x = 0 и затем неравенство

sin x ∙ cos x > 0 на интервале 0 x < 2.

Неравенство не имеет решение, когда sin x или cos x принимают значение 0. Это происходит с интервалом 90.

Решения уравнение sin x ∙ cos x = 0 на интервале  0 x < 2, поэтому  0, /2 и 3/2 (0 , 90 , 180 и 270 ).

Решение sin x ∙ cos x > 0 можно найти, взглянув на единичный круг. Нам нужно найти где sin x, умноженный на cos x, является положительным. Другими словами, sin x и cos x имеют иметь один и тот же знак, оба должны быть положительный или оба отрицательные. Это происходит в первом и третьем квадранте. поэтому решения
0 < х < /2 и р < х < 3/2.

Мы также можем увидеть это по построение графика
f(x) = sin x ∙ cos x.

Пример 3

Решите уравнение sin x ∙ cos x − sinx = 0 и тогда неравенство sin x ∙ cos x − sin x > 0 на интервале 0 x < 2,

sin x ∙ cos x − sinx = 0     sin x (cos x − 1) = 0

Нам нужно чтобы разложить уравнение на множители, взяв sin x за скобки.

Уравнение имеет решения когда sin x = 0 или скобка (cos x − 1) = 0,

   sin x = 0

         x = 0 или (180 ).

или

   потому что х — 1 = 0

   потому что х = 1

          х = 0

Единственные решения уравнение поэтому 0 и .

Неравенство sin x ∙ cos x − sin x > 0 можно переписать как sin x (cos x − 1) > 0,

Теперь полезно сделать таблицу знаков и посмотрите на знаки sin x и cos x − 1.

Решение

Мы видим, что оба фактора отрицательно на интервале
< x < 2,

Теперь давайте посмотрим, как это подходит в с графиком
f(x) = sin x ∙ cos x − sin x

Заштрихованная область над крестиком ось показывает, где
sin x (cos x − 1) > 0, что согласуется с нашими расчетами.

Пример 4

Найти все решения уравнения cos ² x − cos x = 0,

       cos ² x − cos х = 0

    потому что х ∙ (кос х — 1) = 0

Решения можно найти, когда cos x = 0 или cos x − 1 = 0

    cos х = 0

           x =/ ₂ или 3/ ₂ (90 или 270 )

           х = / ₂ + к∙

или

   потому что х — 1 = 0

         потому что х = 1

               x = 0 + k∙2 = k∙2

Все решения укладываются в шаблон x = /2 + к∙

Пример 5

Найти все решения уравнения sin ² x − 5 sin x + 4 = 0,

Это квадратное уравнение с sin x в качестве переменная. Поэтому мы можем найти sin x, используя квадратичную формулу. а = 1, б = -5 или с = 4,

Синус мы не можем принять значение 4 поэтому нам не нужно рассматривать sin x = 4. Другая возможность — sin x = 1, решение которой /2 (90 ). Таким образом, полное решение:

   х = / ₂ + к∙2

Пример 6

Решите уравнение sin 5x = грех х .

Возможно, что позиция 5х на единичном круге совпадает с позицией x и поскольку эта позиция повторяется с интервалом в 360, мы получаем следующее уравнение:

1) 5x = x + к∙360

4x = к∙360

   х = к∙90

Мы показываем эту возможность в диаграмма.

Появляется вторая возможность от того что
грех x = грех (180 − х ). Это дает нам следующее решение:

5 х = 180 — х + к∙360

6x = 180 + к∙360

х = 30 + к∙60

Это решение показано на схему справа.

Но мы замечаем, что первое решение содержится в второе решение, поэтому достаточно дать второе решение

х = 30 + к∙60

Пример 7

Решите уравнение cos 2x = cos x на интервале 0 x < 2,

1)   Сначала рассмотрим вероятность того, что x и 2x находятся в одном и том же месте на единичной окружности.

2x = x + k∙2            x = k∙2               х = 0

Вычесть x из обеих частей уравнения, а затем выберите k = 0 (k = 1 дает 2, которое находится вне интервала

2) Второй вариант. с факта
потому что v = cos (-v). Тогда решение будет следующим:

           2x = −x + к∙2

           3x = k∙2

             x = k∙2/ ₃

Это дает решения 2/3 (120 ) для k = 1 и 4/3 (240 ) для k = 2. поэтому полное решение:
0, 2/3 или 4/3.

Пример 8

Решите уравнение tan 3x = загар 2x.

Уравнения Тана во многих способов самое простое из тригонометрических уравнений, так как есть только возможность учтите, что это повторяется с интервалом 180 .

   3x = x + k∙180

     2x = к∙180

       х = к∙90

или в радианах

     х = к∙/ ₂

---

Попробуйте викторину 5 по триггерным функциям.
Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Предварительное исчисление алгебры

— Есть ли способ решить $\sin(x)=x$?

спросил 7 лет, 3 месяца назад

Изменено 10 месяцев назад

Просмотрено 34к раз

$\begingroup$

Примечание. Изначально вопрос должен был решаться алгебраически, но я решил изменить его на аналитический из-за комментариев и ответов.

---

При попытке решить $\sin(x)=x$ первым очевидным решением является $x=0$. Однако существует бесконечное количество комплексных значений $x$, которые мы можем попытаться найти. Однако мы собираемся игнорировать их.

Мне интересно, есть ли способ аналитического решения для $x$ в $\sin(x)=x$. Это кажется невозможным, точно так же, как мы не можем решить $\cos(x)=x$ аналитически или легко, но поскольку $\sin(x)=x$ имеет такой простой точный ответ, я подумал, есть ли это способ, которым вы могли бы это сделать.

Итак, существует ли аналитический способ решить эту проблему? Если да, то как? Если нет, то как еще мы могли бы решить это, кроме как графически?

• алгебра-предварительное исчисление
• анализ
• тригонометрия
• трансцендентальные уравнения

$\endgroup$

19

$\begingroup$

Если бы задачу можно было решить чисто алгебраическими средствами (с конечным числом шагов), это означало бы, что $\sin(x)$ можно было бы задать полиномиальным представлением, из которого вы могли бы перейти к своей обычной процедуре факторизации к найти нули многочлена. 7}{7!} + \cdots $$ 94}{7!} + \cdots) = 0 $$

Итак, теперь у нас есть наше «алгебраическое решение», состоящее в том, что $x = 0$.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Поскольку вы рассматриваете только действительные числа, я думаю, что самый простой способ решить эту проблему — разделить случаи и использовать неравенства в каждом случае:

$x=0$ — явное решение, поскольку $\sin 0=0 $.

Если $x\in]0,1[$, то из МВТ следует, что $\exists c\in]0,1[: \cos c=\frac{\sin x-\sin 0}{x-0 }$.
Так как $x,c\in]0,1[$, то $1>\frac{\sin x}{x} \Leftrightarrow x>\sin x$.

Если $x=1$, то $\sin 1 \neq 1$.

Если $x>1$, то очевидно $x>\sin x$.

Теперь ясно, что если $a$ является решением, то $-a$ также является решением (поскольку $\sin(-x) = -\sin x$). Следовательно, нет решений с $x<0$

$\endgroup$

$\begingroup$

Подсказка: покажите, что если $x\neq 0$ ($x$ действительное), $\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|<1.