Автор: alexxlab

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}. 2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha). T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. $

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}. {3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394. 2.$

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

4.1.2 Вычисление определителя — го порядка

Определение. Если в определителе -го порядка вычеркнуть строку и столбец, то оставшийся определитель -го порядка называется минором данного элемента и обозначается .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается через . Следовательно, .

Пример 3. Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента (выделен пунктиром).

Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент , получим . Тогда .

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т. е.

, (*)

Где – фиксировано.

Выражение (*) называют разложением определителя по элементам строки с номером .

Вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению одного определителя -го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

Пример 4. Вычислить определитель

Решение.

Наша задача состоит в том, чтобы, пользуясь свойствами определителя, получить максимальное число нулей в какой-нибудь строке или столбце, а затем применить теорему 1. Во второй строке уже имеются два нуля, получим еще нули в этой строке. Для этого прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на 2, а к элементам третьего столбца прибавим соответствующие элементы четвертого, умноженные на . Получим определитель, равный исходному

Применим теорему 1 ко второй строке, т. е. разложим определитель по элементам второй строки. Получим определитель 4-го порядка.

Теперь получим нули во втором столбце. Для этого к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на , а к элементам четвертой – элементы первой, умноженные на .

Получим .

Разлагая его по элементам второго столбца, получим

.

Теперь можно разложить полученный определитель, например, по первому столбцу:

.

Легко вычисляются определители квадратных матриц треугольного или диагонального видов. В этом случае определитель равен произведению элементов, расположенных на диагонали.

Квадратная матрица вида называется диагональной, а квадратные матрицы и называются матрицами треугольного вида.

Пример 5. Вычислить определитель

Решение.

Будем получать нули под главной диагональю.

1-й этап. Берем первую строку и с ее помощью получим нули в первом столбце. Первую строку умножим на и прибавим ко второй, затем первую строку умножим на 2 и прибавим к четвертой. Получим

2-й этап. Работаем со второй строкой и получаем нули во втором столбце. Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей; вторую строку умножаем на 2 и прибавляем к четвертой:

3-й этап. Из четвертой строки вынесем и переставим третью и четвертую строки:

И последний этап.

Третью строку умножим на и прибавим к четвертой:

.

Разлагаем определитель по элементам первого столбца

.

Снова разлагаем определитель D по элементам первого столбца:

.

Действительно, определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.

Для самостоятельного решения.

1. Вычислить определители

А) . Ответ: .

Б) . Ответ 10.

Указание: Чтобы уменьшить числа, вычтите какую-нибудь строку из остальных. Эту операцию можно проделать несколько раз. Цель: сделать на каком-нибудь месте единицу.

2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду.

. Ответ: 52.

Определитель матрицы — 2×2, 3×3, 4×4…

Каталин Дэвид

Определение

Определитель квадратной матрицы A — это целое число, полученное с помощью ряда методов с использованием элементов матрицы.

Обозначение

Пусть $ А = \begin{pmatrix} 1 и 4 и 2 \\ 5 и 3 и 7 \\ 6 и 2 и 1 \end{pmatrix}$

$дет(А) = \влево|А\вправо| «=» \begin{vmatrix} 1 и 4 и 2 \\ 5 и 3 и 7 \\ 6 и 2 и 1 \end{vmatrix}$

Свойства определителя

1. Если в матрице есть строка или столбец со всеми элементами, равными 0 , то определитель равен 0 .

   Пример 12
   $\begin{vmatrix} 1 и 4 и 2\\ 0 и 0 и 0\\ 3 и 9 и 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 и 4 и 0\\ 4 и 2 и 0\\ 3 и 9 и 0 \end{vmatrix}=0$

2. Если матрица имеет две равные строки или два равных столбца , то его определитель равен 0 .

   Пример 13
   $\begin{vmatrix} 1 и 4 и 2\\ 1 и 4 и 2\\ 3 и 9 и 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 и 4 и 1\\ 4 и 2 и 4\\ 3 и 9 и 3 \end{vmatrix}=0$

3. Если матрица имеет две пропорциональные строки или два пропорциональных столбца , то ее определитель равен 0 .

   Пример 14
   $\begin{vmatrix} 1 и 4 и 2\\ 2 и 8 и 4\\ 3 и 9& 5 \end{vmatrix}= 0$ (первые две строки пропорциональны)
   или
   $\begin{vmatrix} 8 и 4 и 7\\ 4 и 2 и 3\\ 18 и 9 и 8 \end{vmatrix}=0$ (первые два столбца пропорциональны)

4. Если строка или столбец есть сумма или разность других строк, соответственно столбцов , то определитель равен 0 .

   Пример 15
   $\begin{vmatrix} 1 и 4 и 2\\ 7 и 2 и 3\\ 8 и 6 и 5 \end{vmatrix}= 0$     $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ или

   $ \begin{vmatrix} 9 и 12 и 3\\ 1 и 8 и 7\\ 5 и 7 и 2 \end{vmatrix}=0$     $C_{1}+C_{3}=C_{2}$

5. В определителе мы можем отдельно выносить целые числа из строк и столбцов.

   Пример 16
   В определителе
   $\begin{vmatrix} 3 и 9 и 12\\ 5 и 1 и 8 \\ 7 и 4 и 2 \end{vmatrix}$, мы умножаем 3 из строки 1 $(R_{1})$ и получаем:
   $3 \cdot \begin{vmatrix} 1 и 3 и 4\\ 5 и 1 и 8\\ 7 и 4 и 2 \end{vmatrix}$, то мы выносим 2 из столбца 3 $(C_{3})$:
   $6\cdot \begin{vmatrix} 1 и 3 и 2\\ 5 и 1 и 4\\ 7 и 4 и 1 \end{vmatrix}$

6. В определителе мы можем прибавлять или вычитать строки или столбцы к другим строкам, соответственно столбцам, и значение определителя остается прежним.

   Пример 17
   $\begin{vmatrix} 1 и 5\\ 3 и 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}+R_{2}} \begin{vmatrix} 4 и 13\\ 3 и 8 \end{vmatrix}$
   Пример 18
   $\begin{vmatrix} 1 и 5\\ 3 и 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}+C_{2}} \begin{vmatrix} 6 и 5\\ 11 и 8 \end{vmatrix}$

7. В определителе мы можем складывать или вычитать несколько строк или столбцов.

   Пример 19
   $\begin{vmatrix} 1 и 5\\ 3 и 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}} \begin{vmatrix} 11 и 34\\ 3 и 8 \end{vmatrix}$

   Пример 20
   $\begin{vmatrix} 1 и 5\\ 3 и 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5C_{1}-C_{2}} \begin{vmatrix} 0 и 5\\ 7 и 8 \end{vmatrix}$

8. Определитель матрицы равен определителю ее транспонирования.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей данных матриц.

Минор матрицы

Определитель, полученный путем удаления некоторых строк и столбцов в квадратной матрице, называется минором этой матрицы.

Пример 21
$A=\begin{pmatrix} 1 и 4 и 2 \\ 5 и 3 и 7 \\ 6 и 2 и 1 \end{pmatrix}$

Один из миноров матрицы A равен $\begin{vmatrix} 1 и 4\\ 5 и 3 \end{vmatrix}$ (получено удалением строки 3 и столбца 3 из матрицы A)

Другой несовершеннолетний $\begin{vmatrix} 1 и 2 \\ 6 и 1 \end{vmatrix}$ (получено удалением строки 2 и столбца 2 из матрицы A)

Пример 22
$B=\begin{pmatrix} 2 и 5 и 1 и 3\\ 4 и 1 и 7 и 9\\ 6 и 8 и 3 и 2\\ 7 и 8 и 1 и 4 \end{pматрица} $

Один из миноров матрицы B равен $ \begin{vmatrix} 1 и 7 и 9\\ 8 и 3 и 2\\ 8 и 1 и 4 \end{vmatrix}$ (получено удалением строки 1 и столбца 1 из матрицы B)

Еще один несовершеннолетний $\begin{vmatrix} 1 и 7 \\ 8 и 3 \end{vmatrix}$ (получено удалением строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)

Позволять $A= \begin{pmatrix} а_{1,1} и а_{1,2} и а_{1,3} и . & . & a_{1,n}\\ а_{2,1} и а_{2,2} и а_{2,3} и . & . & а_{2,n}\\ а_{3,1} и а_{3,2} и а_{3,3} и . & . & а_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & Анна} \end{pmatrix}$

Мы можем связать минор $\Delta_{i,j}$ (полученный удалением строки i и столбца j) с любым элементом $a_{i,j}$ матрицы A.

Пример 23
$ A = \begin{pmatrix} 4 и 7\\ 2 и 9 \end{pmatrix}$

Нам нужно определить минор, связанный с 2. Так как этот элемент находится в строке 2, столбце 1, то 2 равно $a_{2,1}$.

Мы должны исключить строку 2 и столбец 1 из матрицы A, в результате чего получается

Минор числа 2 равен $\Delta_{2,1} = 7$.

Пример 24
$B=\begin{pmatrix} 1 и 4 и 2 \\ 5 и 3 и 7 \\ 6 и 2 и 1 \end{pmatrix}$

Нам нужно определить минор, связанный с 7. Так как этот элемент находится в строке 2, столбце 3, то 7 равен $a_{2,3}$.

Мы должны исключить строку 2 и столбец 3 из матрицы B, в результате чего получится

Минор числа 7 равен $\Delta_{2,3}= \begin{vmatrix} 1 и 4\\ 6 и 2 \end{vmatrix}$

Пример 25
$C=\begin{pmatrix} 2 и 5 и 1 и 3\\ 4 и 1 и 7 и 9\\ 6 и 8 и 3 и 2\\ 7 и 8 и 1 и 4 \end{pmatrix}$

Нам нужно определить минор, связанный с 5. Поскольку этот элемент находится в строке 1 столбца 2, то 5 равно $a_{1,2}$.

Мы должны исключить строку 1 и столбец 2 из матрицы C, в результате чего получится

Минор числа 5 равен $\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} 4 и 7 и 9\\ 6 и 3 и 2\\ 7 и 1 и 4\\ \end{vmatrix}$ 9{7}\cdot\Delta_{2,5}= -\Delta_{2,5} $ соответствует элементу $ a_{2.5}$

Приказ определителя

Порядок определителя равен количеству его строк и столбцов.

Пример 26
$\begin{vmatrix} 1 и 4\\ 6 и 2\\ \end{vmatrix}$ (у него 2 строки и 2 столбца, поэтому его порядок равен 2)

Пример 27
$\begin{vmatrix} 4 и 7 и 9\\ 6 и 3 и 2\\ 7 и 1 и 4\\ \end{vmatrix}$ (у него 3 строки и 3 столбца, поэтому его порядок равен 3)

Вычисление определителя матрицы

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца и их сомножителей.

$\слева| А\право| «=» \begin{vmatrix} а_{1,1} и а_{1,2} и а_{1,3} и . & . & a_{1,n}\\ а_{2,1} и а_{2,2} и а_{2,3} и . & . & а_{2,n}\\ а_{3,1} и а_{3,2} и а_{3,3} и . & . & а_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & Анна}\\ \end{vmatrix}$ 9{3}\cdot\Delta_{1,2}=a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1,2}\cdot\Delta_{1,2}$

Однако $ \Delta_{1,1}= a_{2,2} $ и $ \Delta_{1,2}=a_{2,1}$

$ \ влево | А\право| =a_{1.1} \cdot a_{2,2}- a_{1.2} \cdot a_{2,1}$

$\цвет{красный}{ \begin{vmatrix} а и б\\ CD \end{vmatrix} =a \cdot d — b \cdot c}$

Пример 28
$\begin{vmatrix} 2 и 5\\ 3 и 8 \end{vmatrix} =2 \cdot 8 — 3 \cdot 5 = 16 -15 =1$

Пример 29{4}\cdot\Delta_{1,3}=$ $a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1.2}\cdot\Delta_{1,2}+a_{1.3}\cdot\Delta_{1,3}$

$\Дельта_{1,1}= \begin{vmatrix} а_{2,2} и а_{2,3}\\ а_{3,2} и а_{3,3} \end{vmatrix} = а_{2,2}\cdot а_{3,3}-a_{2,3}\cdot а_{3,2}$

$\Дельта_{1,2}= \begin{vmatrix} а_{2,1} и а_{2,3}\\ а_{3,1} и а_{3,3} \end{vmatrix} = а_{2,1}\cdot а_{3,3}-a_{2,3}\cdot а_{3,1}$

$\Дельта_{1,3}= \begin{vmatrix} а_{2,1} и а_{2,2}\\ а_{3,1} и а_{3,2} \end{vmatrix} = а_{2,1}\cdot а_{3,2}-a_{2,2}\cdot а_{3,1}$

$\влево| А\право| =a_{1,1}\cdot( a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2})-a_{1,2}\cdot( a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1})+$ $a_{1,3}\cdot(a_{2,1}\cdot а_{3,2}-а_{2,2}\cdot а_{3,1})=$ $a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}-a_{1 ,2}\cdot a_{2. 1}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+$ $a_{1,3}\ cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}=$ $\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3, 1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-}$ $\color{red}{(a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}+a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3 ,3}+a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1})}$

Чтобы быстрее достичь последнего отношения, мы можем использовать следующий метод.

Сначала перепишем первые две строки под определителем следующим образом.

$\begin{vmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ \color{red}{a_{2,1}} & \color{red}{a_{2,2}} & a_{2,3}\\ \color{red}{a_{3,1}} & \color{red}{a_{3,2}} & \color{red}{a_{3,3}} \end{vmatrix}$
$\hspace{2мм}\begin{массив}{ccc} a_{1,1} & \color{red}{a_{1,2}} & \color{red}{a_{1,3}}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \color{red}{a_{2,3}}\\ \end{массив}$

Мы умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (главная диагональ и нижние) и суммируем результаты:
$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\ cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2 ,3}}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & \color{red}{a_{1,2}} & \color{blue}{a_{1,3}}\\ \color{red}{a_{2,1}} & \color{blue}{a_{2,2}} & \color{blue}{a_{2,3}}\\ \color{blue}{a_{3,1}} & \color{blue}{a_{3,2}} & \color{blue}{a_{3,3}} \end{vmatrix}$
$\hпробел{2мм} \begin{массив}{ccc} \color{blue}{a_{1,1}} & \color{blue}{a_{1,2}} & \color{red}{a_{1,3}}\\ \color{blue}{a_{2,1}} & \color{red}{a_{2,2}} & \color{red}{a_{2,3}}\\ \end{массив}$

Мы умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (второстепенная диагональ и нижняя) и суммируем результаты:

$\color{синий}{a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1, 1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1}}$

Если мы вычтем два отношения, мы получим формулу определителя:

$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1, 3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}-}$ $\color{red}{(a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1 ,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1})}$

Пример 30
$A=\begin{pmatrix} 1 и 4 и 3 \\ 2 и 1 и 5\\ 3 и 2 и 1\\ \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 и 4 и 3 \\ 2 и 1 и 5\\ 3 и 2 и 1\\ \end{vmatrix}$
$\hspace{2мм}\begin{массив}{ccc} 1 и 4 и 3\\ 2 и 1 и 5\\ \end{массив}$

Окислительно-восстановительные и ионные реакции, уравнения реакций

Ионные уравнения реакций — это уравнения, в которых участвуют ионы. Когда вещество помещают в среду растворителя, происходит процесс распада вещества на ионы, т.е диссоциация. Ионы, имеющие заряд положительный (+) называются катионами, если заряд отрицательный (-), то какой ион называется анионом.

Рассмотрим в качестве растворителя воду, как наиболее изучаемую среду в рамках школьной программы. В водных растворах все электролиты, в той или иной степени ионизированы, поэтому и реакции протекают между ионами. При помещении кристаллов поваренной соли NaCl в воду мы наблюдаем растворение (физический процесс), далее происходит диссоциация соли, распад молекулы NaCl на ионы Na⁺ и Cl^—. Реакция диссоциации записывается так: NaCl = Na⁺ + Cl^—.

Чтобы узнать подвергается ли вещество диссоциации, нужно обратиться к таблице растворимости кислот, солей и оснований в воде. В таблице названия столбцов — это катионы, название строк — анионы, при пересечении ячеек находим окошко с буквой, в ней и скрыт ответ. Вещество нерастворимо, то есть не подвергается диссоциации — Н, вещество растворимо (диссоциирует на ионы) — Р, буква М обозначает, что вещество мало растворимо в воде, значит, если оно образуется в ходе реакции, т.е. находится в продуктах реакции в уравнении, то мы его считаем нерастворимым (осадком), на ионы не распадается, а если находится в исходных веществах, то диссоциации подвергается, смело записываем в виде ионов, что касается знака вопроса в таблице растворимости или прочерка, то это означает, что это вещество не может получиться в продукте реакции, значит реакция не ионного обмена, а окислительно-востановительная и идет с изменением степеней окисления. Если в исходных веществах и продуктах реакции все вещества растворимые, то такая реакция ионного обмена является обратимой.

Обычно уравнения реакций мы записываем в молекулярном виде, опуская тот факт, что в реакции участвуют ионы. Для более подробного описания реакций существует запись в ионном виде (полное ионное уравнение и краткое ионное уравнение).

Нужна помощь репетитора по химии для подготовки к ЕГЭ? Загляните в каталог TutorOnline!

Как в программе Excel ввести формулу мышкой

Формула суммирования – это, самая простая арифметическая операция. Но любая задача усложняется, если нужно быстро выполнить большой объем работы.

На конкретных примерах рассмотрим, как и какую формулу ввести в Excel при суммировании, используя различные методы ввода.

В ячейки A1, A1 и A3 введите соответственно числа 1, 2 и 3. В A4 просуммируйте их.

Как вводить формулы вручную?

Сначала рассмотрим ручной способ ввода:

В ячейку A4 введите следующую формулу: =A1+A2+A3 и нажмите клавишу «Ввод» (Enter).

Как видно на рисунке ячейка отображает значение суммы. А саму формулу можно увидеть в строке формул. Для детального анализа ссылок на ячейки можно переключиться в специальный режим просмотра листов комбинацией клавиш CTRL+`. Повторное нажатие данной комбинации переключает в обычный режим работы.

Обратите внимание, адреса ячеек подсвечены разными цветами.

Такими же самыми цветами выделяются рамки ячеек, на которые ссылается адрес. Это упрощает визуальный анализ в процессе работы.

Внимание. Вычислительная функция формул является динамической. Например, если мы изменим значение ячейки A1 на 3, то сумма автоматически изменится на 8.

Примечание. В настройках Excel можно отключить автоматический пересчет значений. В ручном режиме значения пересчитываются после нажатия клавиши F9. Но чаще всего работать в этом режиме нет необходимости.



Как вводить формулы с помощью мышки?

Рассмотрим теперь, как правильно вводить формулу в Excel. Ввод ссылок можно выполнять значительно быстрее используя мышь:

1. Перейдите в ячейку A4 и введите символ «=». Таким образом, вы указываете, что следующим значением является формула или функция.
2. Щелкните по ячейке A1 и введите знак «+».
3. Сделайте щелчок по ячейке A2 и снова нажмите клавишу «+».
4. Последний щелчок по A3 и нажмите Enter, чтобы ввести формулу и получить результат вычисления при суммировании значений.

Как вводить формулы с помощью клавиатуры?

Вводить адреса ячеек в формулы можно и с помощью клавиш управления курсором клавиатуры (стрелками).

1. Так как любая формула начинается из знака равенства, в A4 введите «=».
2. Нажмите 3 раза клавишу на клавиатуре «стрелка вверх» и курсор сместится на ячейку A1. А ее адрес будет автоматически введен в A4. После чего жмем «+».
3. Соответственно 2 раза нажимаем «стрелку вверх» и получаем ссылку на A2. Затем жнем «+».
4. Теперь нажимаем только один раз клавишу «стрелка вверх», а затем Enter для ввода данных ячейку.

Управление ссылками в формулах стрелками клавиатуры немного напоминает предыдущий способ.

Аналогичным образом можно вводит ссылки на целые диапазоны. Просто после знака «=» нужно выделить требуемый диапазон ячеек. О том, как их выделять с помощью мышки или «стрелок» клавиатуры вы уже знаете из предыдущих уроков.

все уроки

#1. Решаем задачи в Excel

В рубрике «Решаем задачи в Excel» будут рассматриваться конкретные примеры и их реализация с помощью программы Эксель.

При этом будут подробно разбираться стандартные функциии Excel и их применение. Например, сейчас мы рассмотрим функции: МАКС, ПОИСКПОЗ, ИНДЕКС, СЦЕПИТЬ.

Давайте решим вот такую задачку, которую предложили в комментариях:

То есть у нас есть два столбца с данными — в первом находится список имен сотрудников, а во втором указан их возраст.

Требуется определить сотрудника с максимальным возрастом и вывести его имя в отдельной строке, например, в виде: Егор-55.

Давайте разберем решение задачи и заодно рассмотрим функции Экселя, которые могут быть нам полезны.

Сразу хочу отметить, что у любой задачи может быть несколько решений и сейчас я предложу решение, которое первым пришло мне на ум.

Итак, во-первых, нам нужно определить максимальный возраст. Сделать это можно с помощью функции МАКС, которая возвращает максимальное значение из списка аргументов. В данном случае списком аргументов у нас будет являться диапазон значений из столбца «Возраст».

Но нам нужно вывести не только возраст, но и имя сотрудника. Имя сотрудника и его возраст находятся в одной строке, поэтому нам нужно определить номер этой строки.

Поможет нам в этом функция ПОИСКПОЗ, которая возвращает относительную позицию ячейки в массиве данных, соответствующую определенному критерию.

Наш критерий — это наибольший возраст сотрудника, поэтому формула будет выглядеть так:

Указываем искомое значение, то есть нашу ячейку с рассчитанным максимальным возрастом, затем указываем диапазон, в котором это значение нужно найти, и в заключение указываем тип сопоставления.

Всего может быть три типа сопоставления: -1, 0 и 1.

При 1 функция найдет наибольшее значение, которое меньше или равно значению аргумента, при -1 найдет наименьшее значение, которое больше или равно значению аргумента. Мы же укажем 0, так как в этом случае функция ПОИСКПОЗ выведет первое значение найденное в диапазоне, которое равно искомому значению, что нам и нужно сделать.

В итоге получим цифру 5 — это порядковый номер строки в выбранном нами диапазоне:

Итак, осталось лишь вывести имя сотрудника, которому соответствует максимальный возраст. Для этого воспользуемся функцией ИНДЕКС, которая возвращает значение ячейки, заданного номером строки и номером столбца.

Укажем весь диапазон ячеек столбца с именами, а в качестве номера строки укажем полученное нами ранее число. В итоге получаем имя.

Осталось вывести результат в нужном виде, например, в таком — Егор-55

Для этого воспользуемся функцией СЦЕПИТЬ, которая позволяет соединить текстовые значения из нескольких ячеек в одну. Просто перечислим адреса ячеек через точку с запятой. Так как нам нужно разделить имя и возраст тире, то вставим его в функцию в виде текста, то есть в кавычках.

Готово! Остается лишь объединить все проделанные нами расчеты в одну формулу. Для этого поэтапно будем копировать и вставлять ранее нами созданные формулы, чтобы получить одну итоговую. То есть мы заменяем ссылки на ячейки с формулами самими формулами и делаем это последовательно.

Теперь можем удалить промежуточные расчеты.

Задача решена.

• 2022-06-02T20:34:45+00:00

  ну так тебе же надо конкретного человека выбрать из всей таблицы а если таблица отсортирована специально по определённому индексу и по столбцу возраста не вариант смотреть?

• 2

  2022-05-06T16:01:35+00:00

  Это же нужно ТАКОГО понапридумывать! Не проще ли просто отсортировать по убыванию?

Изучение Excel онлайн | Об упражнениях Excel

Добро пожаловать в упражнения Excel! Этот сайт стремится стать самым интересным, простым и эффективным способом изучения Excel в Интернете. Мы стремимся к этому, обучая навыкам работы с Excel, таким как функции и ярлыки, с помощью веселых и простых упражнений. Вероятно, вы находитесь на этой странице, потому что хотите узнать, как повысить эффективность и результативность работы в Excel, поэтому поздравляем вас с первым шагом! Ниже вы найдете ответы на часто задаваемые вопросы об этом сайте и об онлайн-обучении Excel, так что продолжайте читать, чтобы узнать больше!

Об авторе

Прежде всего, немного обо мне. Меня зовут Джейк Шимота. В настоящее время я являюсь кандидатом MBA в NYU Stern School of Business, но до этого несколько лет работал в сфере консалтинга и финансов. Работая в этих отраслях, я узнал не только о важности хороших навыков работы с Excel, но и о том, как сложно развить эти навыки без практической практики. Как и многие другие, я часами смотрел видео в Excel, но часто отключался или отвлекался на что-то другое, поэтому у меня оставалось очень мало этой информации, и мне приходилось смотреть видео снова и снова. Я заметил, что единственный способ разорвать этот цикл — напечатать функции и потренироваться использовать сочетания клавиш на реальной клавиатуре, чтобы зафиксировать их в памяти.

Я решил помочь другим изучить Excel, создав этот сайт. Вам нужно вводить формулы, практиковать сочетания клавиш и отвечать на вопросы, чтобы вы были вовлечены и развивали свои навыки на каждом этапе пути. Я убедился, что при использовании этого сайта невозможно отключиться! Я сделал этот сайт, потому что это сайт, который я хотел бы иметь, когда изучал Excel — в некотором смысле, я сделал сайт для себя!

Зачем вам изучать Excel

Excel — очень мощная и сложная программа. Совершенно нормально чувствовать себя подавленным, когда вы впервые начинаете использовать Excel! Просто напомните себе, что использование Excel — это навык, и, как и любой другой навык, его можно освоить на практике с течением времени. Хитрость заключается в том, чтобы начать медленно, изучая основы и продвигаясь к более сложным практическим упражнениям.

Любой, кто работает с Excel, от новичка до эксперта, может извлечь пользу из дополнительной практики. Изучение новых навыков работы с Excel может помочь вам стать более продуктивным и эффективным в своей работе, что позволит вам выполнять больше работы. Помимо повышения качества работы, более совершенные навыки работы с электронными таблицами могут открыть новые двери, такие как продвижение по службе, бонусы и новые предложения о работе.

Многие рабочие места также все больше зависят от данных и технологий, поэтому, даже если вы сейчас редко пользуетесь Excel, есть большая вероятность, что вы будете использовать его в будущем. Хотя Excel сам по себе является навыком, он также помогает развивать ваши количественные и логические навыки, чтобы помочь вам преуспеть в позиции, ориентированной на данные (и в мире). Навыки, которые вы приобретете при изучении Excel, помогут вам добиться успеха в любой сфере финансов, данных, технологий или STEM.

Независимо от того, где вы находитесь в своем путешествии по Excel, всегда есть чему поучиться, и хорошая новость заключается в том, что в Интернете больше учебных ресурсов, чем когда-либо прежде!

Способы изучения Excel в Интернете

Хотя это здорово, что онлайн-ресурсов больше, чем когда-либо прежде, множество вариантов может оказаться ошеломляющим. Оглянитесь вокруг; у вас под рукой нет недостатка в видеороликах, учебных пособиях, курсах, статьях и электронных книгах. Существуют десятки тысяч, если не миллионы способов изучения Excel онлайн! Вам может быть интересно, какой метод лучше, и ответ таков, что это зависит от! Разные люди учатся по-разному, и то, что хорошо работает у вас, может не работать у других. В то время как живое личное обучение может работать лучше всего для некоторых людей, другие предпочитают самостоятельное индивидуальное обучение. Хитрость заключается в том, чтобы найти способ обучения, который работает для вас и, что более важно, достаточно интересен, чтобы вы возвращались к нему для постоянной практики. Наиболее важным фактором вашего успеха в изучении Excel является постоянная практика, поэтому вам необходимо найти метод обучения, который будет достаточно увлекательным, чтобы у вас была мотивация возвращаться и учиться день за днем. Вот тут-то и пригодится этот сайт.

Чем отличается этот сайт

Как я уже упоминал ранее, я также прошел процесс изучения Excel онлайн. Я перепробовал все разные видео, статьи и курсы, но обнаружил, что для того, чтобы оставаться вовлеченным, мне нужно было запачкать руки и по-настоящему выполнять работу. Например, я обнаружил, что не запомню сочетание клавиш, пока не нажму его на клавиатуре несколько раз. Я не смог найти никаких ресурсов в Интернете, которые позволили бы мне постоянно практиковаться, оставаясь при этом вовлеченным, поэтому я создал этот сайт.

Этот сайт является ресурсом Хотел бы я иметь , когда впервые начал изучать Excel онлайн. Я разработал его для таких людей, как я, которые хотят оставаться вовлеченными, практиковать навыки в режиме реального времени и шаг за шагом осваивать навыки, начиная с основ и переходя к более сложным навыкам. Этот сайт заставляет вас писать формулы, нажимать сочетания клавиш и интерпретировать различные функции на каждом этапе пути, чтобы вы оставались вовлеченными и не могли отключиться! Я также старался сделать это весело, чтобы у вас была мотивация постоянно практиковаться.

Кто должен использовать этот сайт?

Как бы банально это не звучало, но этот сайт для всех. Новички в Excel обнаружат, что сайт начинается с основ и постепенно вводит более сложные концепции. Те, у кого больше опыта, скорее всего, научатся новым приемам, которых раньше не знали. Как я упоминал ранее, с Excel всегда можно узнать больше.

Этот сайт используют самые разные люди. У нас есть несколько студентов колледжа, пытающихся сделать свою курсовую работу более эффективно. У нас также есть люди, которые работают на этом сайте более 10 лет, потому что они пытаются изучить Excel онлайн, чтобы найти новую работу. Люди с самым разным опытом и уровнями навыков учатся и развлекаются с помощью упражнений Excel.

Возможно, вы недавно получили новую работу и пытаетесь не отставать от своих коллег, или, может быть, вы пытаетесь получить новую должность и вам нужно освежить навыки работы с электронными таблицами. Может быть, вы просто хотите научиться выполнять свою работу быстрее, чтобы проводить больше времени с друзьями и семьей. Какими бы ни были ваши рассуждения или уровень навыков, вы обязательно улучшите свои навыки здесь.

Кстати, я реальный человек и буду рад услышать любые ваши вопросы, опасения или предложения. Я всегда стараюсь улучшить сайт и хочу услышать ваши отзывы. Вы всегда можете связаться со мной по адресу [email protected], и я читаю каждое письмо.

Упражнения Excel — Функции Excel

1,2,5)Корень.

Первичное строение:

В зоне растяжения дифференцируются эиблема, первичная кора и цилиндр.

Эпиблема снаружи покрывает молодые корневые окончания, в зоне поглощения образует корневые волоски.

Первичная кора – из периферийного отдела верхушечной меристемы. Образована паренхимными клетками и имеет систему межклетников. Наружные клетки первичной коры, лежащие под эпиблемой, называются экзодермой (может опробковевать). Далее основная масса – мезодерма. Самый внутренний слой – эндодерма (барьер), сначала клетки живые потом появляются утолщения – пояски Каспари, перекрывают движение растворов. У двудольных и голосемянных на этом все заканчивается, а у однодольных откладывается на их внутренней поверхности суберин и далее клетка одревесневает. Также у однодольных есть среди этих клеток живые, только несущие пояски Каспари клетки – пропускные.

Осевой цилиндр – начинается с формирования перицикла – наружного слоя, длительно сохраняющего меристематическую активность. Это корнеродный слой, так как в нем закладываются боковые корни + зачатки придаточных корневых почек. У двудольных участвует во вторичном утолщении. Под ним прокамбий, дающий начало первичной ксилеме и флоэме. Они образуют радиальный проводящий пучок, ксилема растет быстрее, поэтому занимает центральное положение, имеет очертания звезды, а между ее лучами флоэма. У двудольных звезда ксилемы ди, три, тетра и пентархная. У однодольных она многолучевая или полиархная.

Сердцевина нетепична, но иногда заметна в виде механической ткани или тонкостенных клеток.

Вторичное строение:

У однодольных и папоротников первичная структура сохраняется в течении всей жизни (!). У голосемянных и двудольных формируется вторичная структура, при которой радиальное расположение проводящих тканей заменяется коллатеральным. Принимает в образовании камбий, появившийся из паренхимных клеток внутренних тяжей флоэмы, между лучами первичной ксилемы. К центру камбий откладывает клетки вторичной ксилемы, а к периферии клетки вторичной флоэмы. Клетки камбия образуют радиальные лучи паренхимы, между тяжами вторичной проводящей ткани, обеспечивают физиологическую связь центральной части корня с первичной корой. Позднее закладываются вторичные лучи, связывающие вторичную ксилему и флоэму. Первичная кора нередко разрывается вследствие утолщения проводящих элементов. Перицикл делится, образует широкую зону паренхимных клеток, во внешней части их закладывается феллоген, который откладывает наружу пробку, а внутрь феллодерму, которая вместе с паренхимой называется вторичная кора. У древесных форм, вторичная ксилема флоэма (луб, его в корнях больше, чем в стебле), камбий сливаются в сплошные кольца. У много, двулетних растений питательные вещества часто откладываются в корнях, в паренхиме вторичной ксилемы или паренхиме корковой части, изредка в паренхиме, добавочно образованной камбием.

Метаморфозы: микориза, воздушные корни (у орхидей, покрыты веламеном), клубеньки, втягивающие или контрактильные корни (у луковичных и корневищных), укорачиваясь у основания втягивают луковицу при засухе на нужную глубину; пневматофоры – у растений на почвах бедных кислородом (мангровые заросли), у некоторых корни подпорки, запасающие корни (корнеплод моркови, редьки), корнеклубень (георгин).

Вычислить: а) 0,5 корень из 16 + 8 корень из 0,04 б) (4 корня из 5)2 степень делить дробью на 20 + 1 дробь 5 ( корень из 15)2 степень, в) (Корень из 21 + корень из 33) (Корень из 33

Последние вопросы

• Русский язык

  1 минута назад

  Текст русский язык 6 класс

• Математика

  2 минуты назад

  Запиши «соседей» каждого числа 300 599 910 700 789 800 429 560

• Українська література

  2 минуты назад

  Помогите пожалуйста!!!

• Английский язык

  2 минуты назад

  Заполните пропуски предлогами, где необходимо 1. . The receptionist checks … and checks … guests and deals … all problems. 2. It’s difficult to find a good room … the seaside … summer. 3. Unfortunately, it depends … the weather. 4. … my mind, if you are … holiday it’s better to travel … foot or … car…. least you will enjoy nature. 5. My husband works … shifts. When he is … business I like to chat … the phone ** … the evening. 6. We have a baby-sitter … request. 7. When you speak with people try to call them … name.

• Математика

  2 минуты назад

  Допоможіть будласка буду вдячний

• Українська література

  2 минуты назад

  Образ Іванки, з твору «Гаманець» О.Сайко.

• Физика

  2 минуты назад

  Дифракційна решітка має 500 штрихів на 1 мм. Визначте довжину хвилі монохроматичного світла, що падає на цю решітку, якщо максимум першого порядку видно під кутом 20°.

• Геометрия

  2 минуты назад

  Обчисліть об’єм правильної трикутної призми зі стороною основи 3 см і бічним ребром 5 см

• Математика

  2 минуты назад

  Скільки недодатних цілих чисел між -10 і 3? Враховувати -10 та 3.

• Математика

  2 минуты назад

  4 a) Какие выражения решал Арман, если он записал их по действиям? 1) 3 467 589 — 1 000 879 2) 9 087 761-9 087 751 3) 2 466 710:10 6) 1) 346-908 2) 314 168:8 3) 39 271+8 809 347СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА КТО НИБУДЬ ПОМОГИТЕ ! даю 100 балов​

• Химия

  2 минуты назад

  обчисліть обєм чадного газу CO масою 52 г

• География

  7 минут назад

  Помогите по географии пожалуйста!!

• История

  7 минут назад

  Напишите сообщение на тему:,,Материальная культура поселений Среднего Подонцовья в 17-18 веках”

• Алгебра

  7 минут назад

  Помогите пожалуйста с контрольной по математике буду очень благодарен!

• Алгебра

  7 минут назад

  допоможіть будь ласка!​

Все предметы

Выберите язык и регион

English

United States

Polski

Polska

Português

Brasil

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Bahasa Indonesia

Indonesia

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

14. Сочетания с повторениями

Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.

Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

(12.1)

Выведем эту формулу. Прежде всего надо занумеровать возможные типы элементов числами от 1 до n (иначе можно оказаться в положении мужа, который никак не мог вспомнить, что ему поручила купить жена: 5 пакетов молока и 2 банки пива или наоборот 2 пакета молока и 5 банок пива). Теперь можно каждую комбинацию зашифровать с помощью последовательности единиц и палочек: для каждого типа с 1-го до n-го по порядку написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга палочками.

Например, в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:

В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись . Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).

В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.

Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц. А

. Поэтому.

Пример 12.1. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

Пример 12.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,

, .

В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:

.

Пример 12.3. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Упражнения

12.1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

12.2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?

Ответ: .

12.3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?

Ответ: .

12.4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?

Ответ: .

Элементарная алгебра

С. Т. Завало. Элементарная алгебра. Изд-во «Просвещение», М., 1964 г. В основу этой книги положен курс лекций по элементарной алгебре, читавшийся мною на протяжении ряда лет в Черкасском государственном педагогическом институте. Первая глава книги — вступительная. В ней сжато изложены сведения о некоторых математических понятиях, с которыми читателю придется встретиться в последующих главах. В главах II—X изложен учебный материал по элементарной алгебре, предусмотренный программой специального курса элементарной математики для студентов-математиков педагогических институтов. Книга рассчитана на студентов-математиков педагогических институтов. Она может быть также пособием для учителей математики средней школы. Оглавление Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ § 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6. Метод математической индукции Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 3. Равносильность уравнений § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней § 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7. Размещения с повторениями Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных § 4. Тождественность двух многочленов § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ § 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения. § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2. Тождественные неравенства § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными § 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений § 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА

Калькулятор перестановок и комбинаций

Перестановки и комбинации являются частью раздела математики, называемого комбинаторикой, который включает изучение конечных дискретных структур. Перестановки — это определенный выбор элементов в наборе, где важен порядок расположения элементов, тогда как комбинации включают выбор элементов без учета порядка. Например, типичный кодовый замок технически должен называться замком перестановки по математическим стандартам, поскольку важен порядок вводимых чисел; 1-2-9не то же самое, что 2-9-1, тогда как для комбинации любого порядка этих трех чисел будет достаточно. Существуют различные типы перестановок и комбинаций, но приведенный выше калькулятор рассматривает только случай без замены, также называемый без повторения. Это означает, что для приведенного выше примера с кодовым замком этот калькулятор не вычисляет случай, когда кодовый замок может иметь повторяющиеся значения, например, 3-3-3.

Перестановки

Предоставленный калькулятор вычисляет одну из наиболее типичных концепций перестановок, где расположение фиксированного числа элементов r , берутся из заданного набора n . По существу, это можно обозначить как r-перестановок n или частичных перестановок , обозначаемых как _n P _r , ⁿ P _r 9000 7 , P _(н,р) , или P(n,r) среди прочих. В случае перестановок без замены рассматриваются все возможные способы перечисления элементов в наборе в определенном порядке, но количество вариантов выбора уменьшается каждый раз при выборе элемента, а не в таком случае, как «комбинированный» замок. , где значение может встречаться несколько раз, например 3-3-3. Например, при попытке определить количество способов, которыми капитан команды и вратарь футбольной команды могут быть выбраны из команды, состоящей из 11 членов, капитан команды и вратарь не могут быть одним и тем же лицом, и после выбора они должны быть удалены из набора. Буквы A от до K будет представлять 11 различных членов команды:

A B C D E F G H I J K  11 участников; A выбран капитаном

B C D E F G H I J K   10 членов; B выбран в качестве вратаря

Как видно, первый выбор был для A капитаном из 11 первоначальных членов, но поскольку A не может быть капитаном команды, а также вратарем, A был снят со сета перед вторым выбором вратаря B можно изготовить. Общие возможности, если бы была указана позиция каждого отдельного члена команды, были бы 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1, или 11 факториалов, записанных как 11 !. Однако, поскольку в этом случае важны только выбор капитана команды и вратаря, релевантными являются только первые два выбора, 11 × 10 = 110. Таким образом, уравнение для расчета перестановок удаляет остальные элементы, 9 × 8 × 7 × … × 2 × 1 или 9 !. Таким образом, обобщенное уравнение для перестановки можно записать так:

Или в данном случае специально:

Опять же, предоставленный калькулятор не вычисляет перестановки с заменой, но для любопытных ниже приведено уравнение:

Комбинации связаны с перестановками в том, что они по существу являются перестановками, в которых удалены все избыточности (как будет описано ниже), поскольку порядок в комбинации не важен. Комбинации, как и перестановки, обозначаются по-разному, в том числе _n C _r , ⁿ C _r , C _(n,r) , или 900 06 C(n,r) или чаще всего просто

. Как и в случае с перестановками, предоставленный калькулятор рассматривает только случай комбинаций без замены, а случай комбинаций с заменой обсуждаться не будет. Снова используя пример футбольной команды, найдите количество способов выбрать 2 нападающих из команды из 11 человек. В отличие от случая, приведенного в примере с перестановкой, где сначала был выбран капитан, а затем вратарь, порядок, в котором нападающие выбраны не имеет значения, так как они оба будут нападающими. Снова обращаясь к футбольной команде как буквы 9От 0006 A до K , не имеет значения, будут ли A и затем B или B и затем A выбраны страйкерами в этих соответствующих порядках, важно лишь то, что они выбраны. Возможное количество договоренностей для всех n человек равно n! , как описано в разделе перестановок. Чтобы определить количество комбинаций, необходимо удалить избыточности из общего количества перестановок (110 из предыдущего примера в разделе перестановок) путем деления избыточности, которая в данном случае равна 2!. Опять же, это потому, что порядок больше не имеет значения, поэтому уравнение перестановки нужно сократить на количество способов, которыми можно выбрать игроков, A , затем B или B , затем A , 2 или 2!. Это дает обобщенное уравнение для комбинации, как и для перестановки, деленное на количество избыточностей, и обычно известное как биномиальный коэффициент:

Или в данном случае специально:

Логично, что вариантов для комбинации меньше, чем для перестановки, поскольку избыточность убирается. Опять же для любопытных, уравнение для комбинаций с заменой приведено ниже:

Комбинаторный калькулятор, калькулятор комбинаций, вариаций, перестановок

Узнайте, сколькими способами можно выбрать k предметов из n предметов набора. С/без повторения, с/без порядка.

Расчет:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​  n=10 k=4 C4​(10)=(410​)=4!(10−4)!10 !​=4⋅3⋅2⋅110⋅9⋅8⋅7​=210

Количество комбинаций: 210

Вариантов

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, образованная из множества n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов группы (поэтому расположены).

Количество вариаций легко подсчитать с помощью комбинаторного правила произведения. Например, если у нас есть набор n = 5 чисел 1, 2, 3, 4, 5, и мы должны сделать вариации третьего класса, их V ₃ (5) = 5 * 4 * 3 = 60.

Vk​(n)=n(n−1)(n−2)…(n−k+1)=(n−k) !н!​

н! мы называем факториалом числа n, которое является произведением первых n натуральных чисел. Обозначение с факториалом только более ясное и эквивалентное. Для вычислений вполне достаточно использовать процедуру, вытекающую из комбинаторного правила произведения.

Перестановки

Перестановка является синонимом вариации n-го класса n-элементов. Таким образом, это любая упорядоченная группа из n элементов, состоящая из n элементов. Элементы не повторяются и зависят от порядка элементов в группе.

P(n)=n(n−1)(n−2)…1=n!

Типичный пример: у нас есть 4 книги, сколькими способами мы можем расположить их на полке рядом?

Вариации с повторением

Разновидностью k-го класса из n элементов является упорядоченная группа k-элементов, состоящая из множества n элементов, причем элементы могут повторяться и зависят от их порядка. Типичным примером является образование чисел из чисел 2,3,4,5 и нахождение их количества. Рассчитываем их количество по комбинаторному правилу произведения:

Vk′​(n)=n⋅n⋅n⋅n…n=nk

Перестановки с повторением

Повторяющаяся перестановка представляет собой упорядоченную группу k-элементов из n-элементов, при этом некоторые элементы повторяются в группе. Повторение некоторых (или всех в группе) уменьшает количество таких повторяющихся перестановок.

Pk1​k2​k3​…km​′​(n)=k1​!k2​!k3​!…km​!n!​

Типичный пример — выяснить, сколько семизначных чисел образовано из чисел 2,2,2, 6,6,6,6.

Комбинации

Комбинация k-го класса из n элементов представляет собой неупорядоченную группу k-элементов, образованную из множества n элементов. Элементы не повторяются, и порядок элементов группы не имеет значения. В математике неупорядоченные группы называются множествами и подмножествами. Их количество является комбинационным числом и рассчитывается следующим образом:

Ck​(n)=(kn​)=k!(n−k)!n!​

Типичный пример комбинации: у нас 15 учеников, и мы должны выбрать троих. Сколько их будет?

Комбинации с повтором

Здесь мы выбираем k групп элементов из n элементов, независимо от порядка, и элементы могут повторяться. k логически больше n (иначе мы получили бы обычные комбинации). Их счет:

Ck′​(n)=(kn+k−1​)=k!(n−1)!(n+k−1)!​

Пояснение к формуле — количество комбинаций с повторением равно количеству мест расположения n − 1 разделителей на n-1 + k местах. Типичный пример: мы идем в магазин, чтобы купить 6 шоколадок. Предлагают всего 3 вида. Сколько вариантов у нас есть? к = 6, п = 3.

Основы комбинаторики в текстовых задачах

• Расчет CN
  Расчет: (486 выбрать 159) — (486 выбрать 327)
• Раздача 5016
  У вас есть тест с восемью вопросами, где вы можете выбрать один из 3 ответов на каждый вопрос, и один ответ всегда правильный. Вероятность того, что мы ответим правильно на 5 или 6 вопросов при случайном заполнении (то есть мы все угадаем ответы), равна ……. Th
• Тройка 69274
  Учитель хочет создать одну команду из трех человек из четырех девочек и четырех мальчиков, в которой будет одна девочка и два мальчика. Сколько различных вариантов есть для создания команды?
• Карты
  Предположим, что в шляпах три карты. Один красный с обеих сторон, один из которых с обеих сторон черный, а третий с одной стороны красный, а второй черный. Наугад вытаскиваем шляпу на одной карточке и видим, что одна ее сторона красная. Какова вероятность того, что
• Вариантов
  Найдите количество элементов, если количество вариантов четвертого класса без повторения в 42 раза больше, чем количество вариантов третьего класса без повторения.
• Футболки 73074
  У Душана в шкафу 8 футболок и три пары шорт. Сколько способов он может одеться в школу?
• Вероятность 80560
  У меня есть 3 источника, вероятность отказа которых равна 0,1. Вычислите вероятность того, что: а) ни у одного не будет неисправности б) 1 поломка в) по крайней мере 1 неисправность г) все они будут неисправны
• Металлы
  На чемпионате мира по хоккею сыграют восемь команд, и определить, сколькими способами они могут выиграть золотые, серебряные и бронзовые медали.
• Опции 3572
  Бросаем три кости. Запишите все варианты застолья.
• Пароль dalibor
  Камила хочет изменить пароль daliborZ путем а) ​​обмена двумя согласными между собой, б) замены одной малой гласной на такую ​​же большую гласную в) внесения этих двух изменений. Сколько возможностей у вас есть для выбора?
• Сиропы
  В магазине продаются три вида сиропов — яблочный, малиновый и апельсиновый. Сколькими способами можно купить четыре бутылки сиропа?
• Номерные знаки автомобилей
  Сколько различных номерных знаков может быть в стране, если они состоят из 3 букв, за которыми следуют 3 цифры?
• Палаты
  Комитет по принятию решений состоит из трех человек.

Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Навигация по странице:

• Минор матрицы
• Алгебраическое дополнение матрицы
• Свойства алгебраического дополнения матрицы

Определение.

Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n — 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример 1.

Найти миноры матрицы A

A = 571-410203

Решение:

Определение.

Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число

A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

  n
  Σ	aij·Aij = det(A)
  j = 1

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

  n
  Σ	akj·Aij = 0           (i ≠ k)
  j = 1

• Сумма произведений элементов «произвольной» строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана «произвольная» строка.

Пример 2.

Найти алгебраические дополнения матрицы A

A₁₁ = 571-410203

Решение:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1}·M₁₁ = (-1)²·1003 = 1·3 — 0·0 = 3 — 0 = 3

A₁₂ = (-1)^{1 + 2}·M₁₂ = (-1)³·-4023 = -(-4·3 — 0·2) = -(-12 -0) = 12

A₁₃ = (-1)^{1 + 3}·M₁₃ = (-1)⁴·-4120 = -4·0 — 1·2 = 0 — 2 = -2

A₂₁ = (-1)^{2 + 1}·M₂₁ = (-1)³·7103 = -(7·3 — 1·0) = -(21 — 0) = -21

A₂₂ = (-1)^{2 + 2}·M₂₂ = (-1)⁴·5123 = 5·3 — 1·2 = 15 — 2 = 13

A₂₃ = (-1)^{2 + 3}·M₂₃ = (-1)⁵·5720 = -(5·0 — 7·2) = -(0 — 14) = 14

A₃₁ = (-1)^{3 + 1}·M₃₁ = (-1)⁴·7110 = 7·0 — 1·1 = 0 — 1 = -1

A₃₂ = (-1)^{3 + 2}·M₃₂ = (-1)⁵·51-40 = -(5·0 — 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4

A₃₃ = (-1)^{3 + 3}·M₃₃ = (-1)⁶·57-41 = 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

Алгебраические дополнения онлайн

Определение. Алгебраическим дополнением элемента a_i^j определителя D называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j.
Алгебраическое дополнение элемента a_i^j обозначается через A_i^j. Следовательно, A_i^j = (-1)^i+jM_i^j.

• Ввод данных
• Видеоинструкция

Размерность матрицы 2345678910

Пример №1. Дан определитель . Найти минор и алгебраическое дополнение элемента a₂¹ (выделен пунктиром).
Решение. Вычеркивая в определителе первую строку и второй столбец, на пересечении которых находится элемент a₂¹, получим . Тогда A₂¹ = (-1)¹⁺²M₂¹ = -14.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т. е.
D=ai01·Ai01+ai02·Ai02+ ... + ai0n·Ai0n  (*)
где i₀ – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i₀.
Вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению одного определителя (n-1)-го порядка, для чего в какой–либо строке (или столбце) получают (n-1) нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).

Пример №2. Покажем нахождение алгебраических дополнений на примере определения обратной матрицы:

Решение находим с помощью калькулятора. Найдем главный определитель.
∆ = 0.73 ∙(0.72  ∙0.92 -(-0.17 ∙(-0.15  )))-(-0.19  ∙(-0.07  ∙0. 92 -(-0.17 ∙(-0.12  ))))+(-0.12 ∙(-0.07  ∙(-0.15 )-0.72  ∙(-0.12  ))) = 0.437197
Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

∆_1,1 = (0.72  ∙0.92 -(-0.15  ∙(-0.17 ))) = 0.6369

∆_1,2 = -(-0.07  ∙0.92 -(-0.12  ∙(-0.17 ))) = 0.0848

∆_1,3 = (-0.07  ∙(-0.15  )-(-0.12  ∙0.72  )) = 0.0969

∆_2,1 = -(-0.19  ∙0.92 -(-0.15  ∙(-0.12 ))) = 0.1928

∆_2,2 = (0.73 ∙0.92 -(-0.12  ∙(-0.12 ))) = 0.6572

∆_2,3 = -(0.73 ∙(-0.15  )-(-0.12  ∙(-0.19  ))) = 0.1323

∆_3,1 = (-0.19  ∙(-0.17 )-0.72  ∙(-0.12 )) = 0.1187

∆_3,2 = -(0.73 ∙(-0.17 )-(-0.07  ∙(-0.12 ))) = 0.1325

∆_3,3 = (0.73 ∙0.72  -(-0.07  ∙(-0.19  ))) = 0.5123
Обратная матрица

Пример №3. Алгебраическое дополнение также используется при определении количества остовных деревьев в графе.

Что такое миноры и кофакторы? Как они работают?

Примеры

Purplemath

Найти определитель матрицы 2×2 очень просто: вы просто выполняете перекрестное умножение и вычитаете: матриц 3×3, хотя и немного сложнее, но все же довольно просто: вы добавляете повторы первого и второго столбцов в конец определителя, умножаете по всем диагоналям, а также складываете и вычитаете в соответствии с правилом:

Но для детерминантов 4×4 и больших вам придется вернуться к меньшим детерминантам 2×2 и 3×3, используя так называемые «младшие» и «кофакторы».

Что такое минор определителя матрицы?

Минор определителя – это определитель, образованный удалением одной строки и одного столбца из исходного определителя. А поскольку в исходном определителе много строк и столбцов, из него можно составить множество миноров.

Как обозначаются или именуются отдельные несовершеннолетние?

Второстепенные элементы помечаются в соответствии со строкой и столбцом, которые были удалены из исходного определителя. Таким образом, если вы должны были перейти, скажем, к элементу a _2,4 из определителя некоторой матрицы A и вычеркнуть строку и столбец, которые проходят через этот элемент (то есть, если вы удалите второй строку и четвертый столбец от определителя), новый (и меньший) определитель называется младшим M _2,4 .

Ниже приведен пример этого:

определитель А :

вычеркнуть все записи, находящиеся в одной строке или столбце с записью а _2,4 :

меньший 0003

Один раз вы нашли минор M _{i, j} , пришло время найти кофактор.

Что такое кофактор определителя матрицы?

Кофактор соответствует минору для определенного элемента определителя матрицы. Чтобы найти кофактор определенной записи в этом определителе, выполните следующие действия:

1. Возьмите значения i и j из нижнего индекса минора, M _i,j , и сложите их.
2. Возьмите значение i  +  j и возложите его как степень на -1; другими словами, оцените (−1) ^{i + j} .
3. Умножить минор M _{i , j} на результат шага 2.

Результат (−1) ^i+j M _{i , j} является кофактором, C _j .

Но ты еще не закончил. Да, есть еще.

Как найти определитель с помощью миноров и кофакторов?

Чтобы найти определитель матрицы A с помощью миноров и кофакторов, вы должны выбрать строку или столбец матрицы, найти все кофакторы для этой строки или столбца, умножить каждый кофактор на соответствующий элемент матрицы, а затем добавьте все значения, которые вы получили.

Хорошо, да; это, вероятно, не имело особого смысла. Это можно сказать по-другому:

• У вас есть матрица A . Вам нужно найти его определитель.
• Он слишком велик, чтобы его можно было найти более простыми методами, поэтому вам придется найти его, «расширив строку или столбец».
• Первым шагом в этом «расширении» будет выбор строки или столбца. Допустим, вы выбираете третий ряд.
• Для каждой записи в третьей строке вы найдете кофактор этой записи и умножите запись на ее кофактор. То есть для элемента a _3,1 матрицы A вы найдете сомножитель C _3,1 , а затем умножите сомножитель на a _{3 ,1} запись: ( a _3,1 )( C _3,1 ). Для записи a _3,2 вы найдете кофактор C _3,2 и умножить: ( a _3,2 )( A _3,2 ). И так далее.
• Затем вы сложите все эти продукты: ( a _3,1 )( C _3,1 ) + ( a _3,2 )( 3,2 C
• ) + ( а _3,3 )( С _3,3 ) + . …

Полученная сумма есть значение определителя матрицы А .

(Вышеупомянутая запутанная путаница является причиной того, что никто не делает детерминанты вручную, если этого можно избежать: есть только , поэтому требуется много подверженной ошибкам бессмысленной рутинной работы.)

Неважно, какую строку или столбец вы используете. для вашего расширения; вы получите то же значение независимо. Но эта гибкость может быть полезной, потому что она позволяет вам стремиться к нулям.

• Найдите определитель следующей матрицы, разложив (а) по первой строке и (б) по третьему столбцу. (c) Сравните результаты каждого расширения.
  

(a) Чтобы расширить первую строку, мне нужно найти миноры, а затем кофакторы элементов первой строки; то есть мне нужно найти миноры для матричных элементов a _1,1 , a _1,2 , a _1,3 и a 2,009 _{а затем умножьте их на -1 или +1, чтобы получить кофакторы.}

Итак, определитель этой матрицы, найденный путем разложения по первой строке, равен:

(а) дет( А ) = а _1,1 С _1,1 + а _1,2 + и _1,3 С _1,3 + а _1,4 С _1,4

 () += 3 0                 )(3) + 1(0) = −6

(b) Чтобы разложить по третьему столбцу, мне нужно найти миноры, а затем кофакторы элементов третьего столбца: a _1,3 , a _2,3 , a _3,3 и a _4,3 .

Секундочку… a _2,3 — запись исходной матрицы равна нулю. Это означает, что я получу ноль для этого термина, когда я буду расширять столбец вниз, независимо от того, каким окажется значение минора M _2,3 . Так что мне на самом деле все равно, что такое кофактор C _2,3 ; Я могу просто поставить 0 для этой записи, потому что:

a _2,3 C _2,3 = (0)( C _2,3 ) = 0

На самом деле, я могу игнорировать *каждый* из последних трех членов в расширении вниз по третьему столбцу, потому что все записи третьего столбца (кроме первой записи, которую я уже сделал) будут равны нулю.

Таким образом, единственное вычисление, которое меня волнует, это то, которое я уже сделал:

(b) det( A ) = a _1,3 C _1,3

                 = (−2)(3) = −6

В части (c) этого упражнения я должен сравнить два значения определителя.

(c) Сравнение: Каждое расширение дает одно и то же значение.

Смысл этого упражнения в том, чтобы показать, что не имеет значения, по какой строке или по какому столбцу вы выполняете развертывание; полученное значение (при условии отсутствия арифметических ошибок) всегда будет одинаковым. Это означает, что вы можете выбрать строку или столбец, которые считаете самыми простыми, и это не повлияет на ваш окончательный ответ.

URL: https://www.purplemath.com/modules/minors.htm

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в поиске кофакторов. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу. ) Затем нажмите кнопку и выберите «Найти матрицу кофакторов», которая показывает *все* кофакторы, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Возможно, сначала вам придется нажать «Дополнительно…», чтобы увидеть параметр матрицы кофакторов. Матрица кофакторов показывает кофакторы для каждой записи в исходной матрице.)

Пожалуйста, примите файлы cookie «предпочтения», чтобы включить этот виджет.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

Page 2

Как найти миноры матрицы nxn?

Найти минор матрицы \(n \times n\) легко, и шаги почти такие же, как поиск определителя. Это первый шаг, чтобы найти матрицу кофакторов. Мы начнем в этой статье с общей формы нахождения минора, как найти минор матрицы \(2\times 2\), \(3\times 3\) и \(4\times 4\) , где каждый раздел заканчивается примером.

Каковы миноры матрицы

Пусть \(A\) будет \(n \times n\) матрицей. В частности:

Минор \(M_{i,j}\) матрицы \(A\) является определителем \(n-1 \times n-1\) подматрица \(A\), где удаляются \(i\)-я строка и \(j\)-й столбец. В математической записи мы получим

Нахождение всех миноров матрицы \(A\) и объединение их в новую матрицу называется матрицей миноров , которую мы будем обозначать как \(M\):

В конце концов, это почти то же самое, что вычисление определителя. Разница лишь в том, что нам нужно удалить одну строку и один столбец. Мы сделаем несколько примеров в следующих разделах для большей ясности.

Как найти миноры матрицы 2×2?

Мы начнем с поиска миноров матрицы \(2\times 2\). Итак, пусть \(A\) будет матрицей \(2\times 2\). В частности:

Для каждого минора \(M_{1,1}\), \(M_{1,2}\), \(M_{2,1}\) и \ (M_{2,2}\), нам нужно найти его определитель подматрицы \(1\times 1\) матрицы \(A\). Но матрица \(1\times 1\) — это один элемент. Следовательно, мы можем переписать миноры как:

\begin{equation*} M_{1,1} = a_{2,2}, \quad M_{1,2} = a_{2,1}, \quad M_{2,1} = a_{1 ,2}, \quad \text{and} \quad M_{2,2} = a_{1,1} \end{equation*} и это приводит к следующей матрице миноров \(M\)

Пример.

Как найти миноры матрицы 3×3?

Теперь нам нужно произвести дополнительные вычисления, так как у нас есть 9 определителей. А именно, пусть \(A\) будет матрицей

Тогда матрица миноров \(A\) равна

\[ M = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc} M_{1,1} & M_{1, 2} & M_{1,3} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & M_{2,3} \\ M_{3,1} & M_{3,2} & M_{3 ,3} \end{массив} \end{bmatrix} \] \[ \quad = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc} \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3 }\\ a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2}\\ \end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{3,2}& a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{3,1}& a_{3,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1, 1} & a_{1,2}\\ a_{3,1}& a_{3,2}\\ \end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1 ,3}\\ a_{2,2}& a_{2,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{2, 1}& a_{2,3}\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{vmatrix} \end{массив} \end{bmatrix} \]

Пример.

Как найти миноры матрицы 4×4?

В предыдущих разделах мы видели, что найти минор — это довольно простое и прямолинейное вычисление. Чтобы решить матрицу \(4\times 4\), нам нужно вычислить 16 определителей подматриц \(3\times 3\). Это очень много вычислений! Обычно это делают компьютеры, но здесь мы дадим несколько вычислений, как найти миноры матрицы \(4 \times 4\).

\[ A = \begin{bmatrix}\begin{array}{cccc} 3 & -1 & 6 & 2 \\ 2 & 5 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & 1 & 9 \\ 4 & 1 & 3 & 7 \end{array}\end{bmatrix} \] Приведем пример для вычисления миноров \(M_{1,1}\) и \(M_{4,2}\). \[ M_{1,1} = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 4\\ -3 & 1 & 9\\ 1 & 3 & 7 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 9\\ 3 и 7 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 7 и 4\\ 3 и 7 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 7 и 4\\ 1 и 9\end{vmatrix} \] \[= 5 \cdot (-20) + 3 \cdot 37 + 1 \cdot 59 = 70\] \[ M_{4,2} = \begin{vmatrix} 3 & 6 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 1 & 9 \\ \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} – 2 \cdot \ begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 1 & 9 \\ \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 7 & 4 \\ \end{vmatrix} \] \[= 3\ cdot 59 – 2 \cdot 52 + 1 \cdot 14 = 83 \]

Заключение

Нахождение миноров матрицы может быть сделано легко и быстро для матриц \(2 \times 2\) и \(3 \times 3 \), но большее значение увеличит сложность вычислений.