Калькулятор с буквами и степенями: Калькулятор с буквами · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

буквенный калькулятор

Вы искали буквенный калькулятор? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и выражение онлайн посчитать, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «буквенный калькулятор».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как буквенный калькулятор,выражение онлайн посчитать,выражение переменной из формулы онлайн,выражение посчитать онлайн,выражение формул онлайн,выражений со степенями калькулятор,выражений со степенями калькулятор онлайн,вычисление выражений онлайн,вычислить выражение онлайн,дроби онлайн калькулятор со степенями,дробный калькулятор онлайн со степенями и буквами,дробный калькулятор со степенями и буквами,дробный калькулятор со степенями и буквами онлайн,дробный калькулятор со степенями онлайн,значение выражения калькулятор,значение выражения калькулятор онлайн,значение выражения онлайн калькулятор,инженерный калькулятор онлайн с дробями,инженерный калькулятор с дробями онлайн,калькулятор алгебраических дробей с буквами,калькулятор алгебраических дробей с буквами и степенями,калькулятор алгебраических дробей с буквами и степенями онлайн,калькулятор алгебраических дробей с буквами онлайн,калькулятор выражений онлайн,калькулятор выражений с дробями и степенями,калькулятор для выражений,калькулятор дробей и степеней с буквами,калькулятор дробей онлайн со степенями и буквами,калькулятор дробей с буквами и степеней,калькулятор дробей с буквами и степенями,калькулятор дробей с буквами и степенями онлайн,калькулятор дробей с иксами онлайн,калькулятор дробей с степенями и буквами,калькулятор дробей с степенями и буквами онлайн,калькулятор дробей со степенями и буквами,калькулятор дробей со степенями и буквами онлайн,калькулятор дробей со степенями и скобками и буквами,калькулятор дробей со степенями онлайн и буквами,калькулятор дробей со степенями с решением,калькулятор дробный со степенями онлайн,калькулятор значение выражений онлайн калькулятор,калькулятор значение выражения,калькулятор значений выражений,калькулятор значения выражений,калькулятор иксов,калькулятор корней онлайн с решением,калькулятор найти значение выражения,калькулятор онлайн выражений,калькулятор онлайн дробей со степенями,калькулятор онлайн значение выражения,калькулятор онлайн иксов,калькулятор онлайн инженерный с дробями,калькулятор онлайн найдите значения выражения,калькулятор онлайн найти значение выражения,калькулятор онлайн найти значения выражения,калькулятор онлайн продвинутый,калькулятор онлайн с буквами и степенями,калькулятор онлайн с буквами и степенями и дробями онлайн,калькулятор онлайн с дробями и буквами и степенями,калькулятор онлайн с дробями и буквами и степенями онлайн,калькулятор онлайн с дробями и степенями,калькулятор онлайн с дробями и степенями и буквами,калькулятор онлайн с иксом,калькулятор онлайн с переменной x,калькулятор онлайн с переменными,калькулятор онлайн с степенями и буквами,калькулятор онлайн сложных выражений,калькулятор онлайн со степенями и буквами,калькулятор онлайн со степенями и дробями,калькулятор онлайн со степенями и дробями онлайн,калькулятор онлайн со степенями и дробями онлайн калькулятор,калькулятор переменных,калькулятор подобных слагаемых онлайн калькулятор,калькулятор продвинутый,калькулятор рациональных дробей со степенями,калькулятор с буквами,калькулятор с буквами и степенями,калькулятор с буквами и цифрами,калькулятор с буквами и цифрами онлайн,калькулятор с буквами онлайн,калькулятор с дробями и буквами и степенями,калькулятор с дробями и буквами и степенями онлайн,калькулятор с дробями и с степенями,калькулятор с дробями и степенями,калькулятор с дробями и степенями и буквами,калькулятор с дробями и степенями онлайн,калькулятор с дробями и степенями онлайн и буквами,калькулятор с дробями с буквами и с степенями,калькулятор с дробями с буквами и с степенями онлайн,калькулятор с дробями с буквами и с степенями онлайн калькулятор,калькулятор с иксами,калькулятор с иксами онлайн,калькулятор с иксом,калькулятор с иксом онлайн,калькулятор с переменными,калькулятор с переменными онлайн,калькулятор с степенями и буквами,калькулятор с степенями и буквами онлайн,калькулятор с степенями и дробями,калькулятор с степенями и дробями и буквами,калькулятор с степенями онлайн с дробями и буквами калькулятор,калькулятор с цифрами и буквами,калькулятор сложение корней,калькулятор сложных выражений,калькулятор сложных выражений онлайн,калькулятор со скобками,калькулятор со степенями и буквами,калькулятор со степенями и буквами онлайн,калькулятор со степенями онлайн и буквами,калькулятор со степенями онлайн и дробями,калькулятор сокращение дробей онлайн с буквами и степенями онлайн калькулятор,калькулятор сокращение дробей онлайн со степенями и буквами калькулятор,калькулятор степеней онлайн с дробями с решением,калькулятор степеней онлайн с решением с дробями,калькулятор степеней с буквами,калькулятор степеней с дробями и буквами,калькулятор уравнений с дробями и буквами,калькулятор цифр и букв,математический калькулятор с дробями и степенями онлайн,найдите значение выражения калькулятор,найдите значение выражения калькулятор онлайн,найдите значение выражения калькулятор онлайн с решением,найдите значение выражения онлайн,найдите значение выражения онлайн калькулятор,найдите значение выражения онлайн калькулятор с решением,найдите значения выражения калькулятор онлайн,найдите значения выражения онлайн калькулятор,найти значение выражений калькулятор онлайн,найти значение выражений онлайн калькулятор,найти значение выражения калькулятор,найти значение выражения калькулятор онлайн,найти значение выражения онлайн,найти значение выражения онлайн калькулятор,найти значение выражения онлайн калькулятор с решением,найти значение выражения онлайн калькулятор с решением дроби со степенями,найти значение выражения онлайн калькулятор с решением со степенями,найти значение выражения со степенями онлайн калькулятор с решением,найти значения выражения калькулятор онлайн,найти значения выражения онлайн калькулятор,найти значения выражения онлайн калькулятор с решением,онлайн вычисление выражений,онлайн калькулятор алгебраических дробей с буквами,онлайн калькулятор алгебраических дробей с буквами и степенями,онлайн калькулятор выражений,онлайн калькулятор выражений со степенями,онлайн калькулятор дробей с иксами,онлайн калькулятор дробей со степенями и буквами,онлайн калькулятор знайти значення виразу,онлайн калькулятор значение выражения,онлайн калькулятор инженерный с дробями,онлайн калькулятор найдите значение выражения,онлайн калькулятор найдите значения выражения,онлайн калькулятор найти значение выражений,онлайн калькулятор найти значения выражения,онлайн калькулятор с переменной x,онлайн калькулятор с переменными,онлайн калькулятор с степенями и буквами,онлайн калькулятор сложных выражений,онлайн калькулятор со всеми действиями,онлайн калькулятор со степенями и буквами,онлайн калькулятор степеней с дробями,онлайн решение выражений со степенями,онлайн со степенями и буквами калькулятор,продвинутый калькулятор,продвинутый калькулятор онлайн,рассчитать выражение онлайн,решение выражений онлайн со степенями,решение выражений со степенями онлайн,решение выражений со степенями онлайн калькулятор,решение дробей с буквами и степенями онлайн,решение дробей со степенями онлайн,решение примеров онлайн с дробями и степенями,решение примеров с дробями онлайн калькулятор со скобками и степенями,решение примеров с корнями онлайн калькулятор,решить пример онлайн калькулятор с решением со степенями,решить пример с дробями и степенями онлайн калькулятор,со степенями и буквами онлайн калькулятор,сократите дробь онлайн со степенями и буквами калькулятор,сократить дробь онлайн калькулятор с буквами и степенями,сократить дробь со степенями и буквами онлайн калькулятор,сокращение дробей онлайн калькулятор с буквами и степенями,сокращение дробей онлайн калькулятор с буквами и степенями онлайн калькулятор,сокращение дробей онлайн со степенями и буквами калькулятор,супер калькулятор онлайн,умный калькулятор онлайн с дробями и степенями. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и буквенный калькулятор. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, выражение переменной из формулы онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же буквенный калькулятор Онлайн?

Решить задачу буквенный калькулятор вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Как Сократить Дробь Со Степенями И Буквами Калькулятор

Значение алгебраической дроби. Алгебраическая дробь – это выражение вида a / b, где a и b могут быть числом,,. Как и в арифметике, a называется числителем, b – знаменателем.

Калькулятор дробей предназначен для быстрого расчета операций с дробями, поможет легко дроби сложить, умножить, поделить или вычесть. Онлайн калькулятор для сокращения дробей. Как Сократить Дробь Со Степенями И Буквами 8 Класс.

Арифметическая дробь является частным случаем алгебраической. Spider Man Ultimate Save. Многочлен — это частный случай алгебраической дроби. Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями.

Сложение и вычитание алгебраических дробей c одинаковыми знаменателями выполняется по тому же правилу, что и с:, Т.e. Составляют соответствующую алгебраическую числителей, а знаменатель оставляют без изменений, по сути, мы выносим за скобку. Для сложения или вычитания двух или нескольких дробей любого вида (, с разными знаменателями ), необходимо выполнить те же самые действия, что и в арифметике. Основное свойство алгебраической дроби. Дробь не имеет смысла, если ее знаменатель равен нулю. Алгебраические дроби, примеры.,,.

Найти значение выражения Расчет сложных математических выражений в одну строку. Калькулятор дробей Калькулятор дробей — сложение, вычитание, умножение, деление дробей в том числе с целыми числами. Калькуляторы по алгебре Решения, подсказки и учебник линейной алгебры онлайн (все калькуляторы по алгебре). Математические калькуляторы Математические калькуляторы: корни, дроби, степени, уравнения, фигуры, системы счисления и другие калькуляторы.

Обыкновенные дроби Правильные, неправильные, смешанные, составные, десятичные дроби, сокращение, деление дробей Алгебра 6,7,8,9,10,11 класс, ЕГЭ, ГИА Основная информация по курсу алгебры для обучения и подготовки в экзаменам, ГВЭ, ЕГЭ, ОГЭ, ГИА Дроби. Сложение дробей.

Определения, правила и примеры сложения дробей. Сравнение дробей. Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателей (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей.(-2) +1. Самостоятельная работа по алгебре в 8 классе с решениями и ОТВЕТАМИ по учебнику Макарычева. Алгебра 8 Макарычев Самостоятельная С «Сокращение дробей (продолжение)». Цитаты из пособия для учащихся «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы / Жохов, Макарычев, Миндюк — М.: Просвещение». Ознакомительная версия перед покупкой. Цитаты из пособия указаны в учебных целях.

При постоянном использовании данных самостоятельных работ по алгебре в 8 классе необходимо купить книгу. Самостоятельная работа № 5 Алгебра 8 класс (УМК Макарычев). Алгебра 8 Макарычев Самостоятельная работа № 5. Возведение отрицательной дроби почти ничем не отличается от возведения в степень положительной дроби. Для подсчета, также возводим и числитель и знаменатель в степень, и смотрим, если степень четная, например 4, то минус перед дробью исчезает, если нечетная, например 5, то минус остается.

Алгебра, 7 клас, Степінь з натуральним показником. Множення дробів. Піднесення дробів до степеня. Алгебра 8 Істер Вольвач С. Д. Aylar önce. Дякую тобі за Like та за підписку на мій канал! Множення дробів.  Множення раціональних дробів. Алгебра 8 клас Скоречення дробів. 6 yıl önce. Відео урок, в якому надано пояснення скорочення дробів для учнів 8 класу. Зміст уроку відповідає діючій СКОРОЧЕННЯ ДРОБІВ.

Рішення задач. Відеоурок | МАТЕМАТИКА 6 клас. Aylar önce. На основі методів скорочення звичайних дробів і основної властивості дробів наводиться рішення декількох. Узнаем какими свойствами обладает степень с целым показателем, научимся применять их на практике.  Вспомним свойства степени с натуральным показателем на простом примере. При произведении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.. А если показатели – отрицательные целые числа?

Например,. Преобразуем второй множитель по определению степени с отрицательным показателем, сократим дробь и снова применим то же определение в обратную сторону.. Но с другой стороны, 3 + (–5) =, то есть свойство степени для натуральных показателей сработало и для отрицательных показателей.

Калькулятор сокращения дробей. Можно сокращать смешанные, неправильные и обычные дроби. Подробное решение.  Как сокращать дроби. 1) Если дробь смешанная то нужно преобразовать её в неправильную.

2) Найти НОД числителя и знаменателя обыкновенной дроби. 3) Сократить числитель и знаменатель на НОД. 4) Если получилась неправильная дробь то выделяем целую часть.

fb2, djvu, txt, fb2

Похожее:

  • Українська мова 5 клас заболотний 2013 русские школы
  • Фізика 10 клас коршак ляшенко савченко підручник скачать
  • Лабораторні роботи з біології 11 клас відповіді упатова
  • Алла несвіт англійська мова 5 класс 2013 гдз
  • Контроль знань з англійської мови 4 клас скачать
  • Геометрія 9 клас мерзляк збірник задач гдз
  • Сходинки з геометрії 8 клас
  • Перевести число с Е в десятичное. Онлайн калькулятор

    , чтобы перевести выражение или число в экспоненциальную запись и обратно.

    Компьютерный способ экспоненциальной записи

    Очень большие и очень маленькие числа более удобно представить в виде экспоненциальной записи. Экспоненциальной записью называется представление действительных чисел в виде мантиссы и порядка. На компьютере такая запись может быть представлена как MEp, где

    M – мантисса

    Е – буква, означающая 10n

    p – показатель степени (может быть как положительный, так и отрицательный)

    Примеры

    14e+6 = 14 ∙ 106 = 14 ∙ 1000000 = 14000000

    16e-4 = 16 ∙ 10-4 = 16 ∙ 0.0001 = 0.0016

    3.96e+3 = 3.96 ∙ 103 = 3.96 ∙ 1000 = 3960

    17.356e-4 = 17.356 ∙ 10-4 = 17.356 ∙ 0.0001 = 0.0017356

    0.23e+5 = 0.23 ∙ 105 = 0.23 ∙ 100000 = 23000

    Вам могут также быть полезны следующие сервисы
    Калькуляторы (Теория чисел)
    Калькулятор выражений
    Калькулятор со скобками
    Калькулятор разложения числа на простые множители
    Калькулятор НОД и НОК
    Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
    Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
    Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
    Калькулятор деления числа в данном отношении
    Калькулятор процентов
    Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
    Калькулятор экспоненциальной записи чисел
    Калькулятор нахождения факториала числа
    Калькулятор нахождения логарифма числа
    Калькулятор квадратных уравнений
    Калькулятор остатка от деления
    Калькулятор корней с решением
    Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
    Калькулятор больших чисел
    Калькулятор округления числа
    Дроби
    Калькулятор интервальных повторений
    Учим дроби наглядно
    Калькулятор сокращения дробей
    Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
    Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
    Калькулятор возведения дроби в степень
    Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
    Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
    Калькулятор сравнения дробей
    Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
    Калькуляторы (тригонометрия)
    Калькулятор синуса угла
    Калькулятор косинуса угла
    Калькулятор тангенса угла
    Калькулятор котангенса угла
    Калькулятор секанса угла
    Калькулятор косеканса угла
    Калькулятор арксинуса угла
    Калькулятор арккосинуса угла
    Калькулятор арктангенса угла
    Калькулятор арккотангенса угла
    Калькулятор арксеканса угла
    Калькулятор арккосеканса угла
    Калькуляторы систем счисления
    Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
    Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
    Системы счисления теория
    N2 | Двоичная система счисления
    N3 | Троичная система счисления
    N4 | Четырехичная система счисления
    N5 | Пятеричная система счисления
    N6 | Шестеричная система счисления
    N7 | Семеричная система счисления
    N8 | Восьмеричная система счисления
    N9 | Девятеричная система счисления
    N11 | Одиннадцатиричная система счисления
    N12 | Двенадцатеричная система счисления
    N13 | Тринадцатеричная система счисления
    N14 | Четырнадцатеричная система счисления
    N15 | Пятнадцатеричная система счисления
    N16 | Шестнадцатеричная система счисления
    N17 | Семнадцатеричная система счисления
    N18 | Восемнадцатеричная система счисления
    N19 | Девятнадцатеричная система счисления
    N20 | Двадцатеричная система счисления
    N21 | Двадцатиодноричная система счисления
    N22 | Двадцатидвухричная система счисления
    N23 | Двадцатитрехричная система счисления
    N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
    N25 | Двадцатипятеричная система счисления
    N26 | Двадцатишестеричная система счисления
    N27 | Двадцатисемеричная система счисления
    N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
    N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
    N30 | Тридцатиричная система счисления
    N31 | Тридцатиодноричная система счисления
    N32 | Тридцатидвухричная система счисления
    N33 | Тридцатитрехричная система счисления
    N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
    N35 | Тридцатипятиричная система счисления
    N36 | Тридцатишестиричная система счисления
    Калькуляторы площади геометрических фигур
    Площадь квадрата
    Площадь прямоугольника
    Калькуляторы (Комбинаторика)
    Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
    Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
    Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
    Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
    Калькулятор сложения и вычитания матриц
    Калькулятор умножения матриц
    Калькулятор транспонирование матрицы
    Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
    Калькулятор нахождения обратной матрицы
    Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
    Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
    Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
    Калькулятор сложения и вычитания векторов
    Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
    Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
    Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
    Калькулятор смешанного произведения векторов
    Калькулятор умножения вектора на число
    Калькулятор нахождения угла между векторами
    Калькулятор проверки коллинеарности векторов
    Калькулятор проверки компланарности векторов
    Генератор Pdf с примерами
    Тренажёры решения примеров
    Тренажер сложения
    Тренажёр вычитания
    Тренажёр умножения
    Тренажёр деления
    Тренажёр таблицы умножения
    Тренажер счета для дошкольников
    Тренажер счета на внимательность для дошкольников
    Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
    Тренажер решения примеров с разными действиями
    Тренажёры решения столбиком
    Тренажёр сложения столбиком
    Тренажёр вычитания столбиком
    Тренажёр умножения столбиком
    Тренажёр деления столбиком с остатком
    Калькуляторы решения столбиком
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
    Калькулятор деления столбиком с остатком
    Конвертеры величин
    Конвертер единиц длины
    Конвертер единиц скорости
    Конвертер единиц ускорения
    Калькуляторы (физика)

    Механика

    Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
    Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
    Калькулятор вычисления времени движения
    Калькулятор времени
    Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
    Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
    Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
    Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
    Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

    Оптика

    Калькулятор отражения и преломления света

    Электричество и магнетизм

    Калькулятор Закона Ома
    Калькулятор Закона Кулона
    Калькулятор напряженности E электрического поля
    Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
    Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
    Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
    Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
    Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
    Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

    Конденсаторы

    Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
    Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
    Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
    Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькуляторы по астрономии
    Вес тела на других планетах
    Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
    Генераторы
    Генератор примеров по математике
    Генератор случайных чисел
    Генератор паролей

    Калькулятор алгебры | Пошаговый калькулятор

    Математика считается чудовищем, которое преследует мечты бесчисленных студентов со всего мира. Учитесь ли вы в средней школе, в старшей школе, в колледже или даже начинаете работать, есть вероятность, что идея решения математических задач каждый раз вызывает дрожь по спине.

    Одна из областей, которая особенно известна (и часто опасается) школьниками-математиками, — это алгебра. Огромное разочарование, которое распространяется на эту тему, в основном связано с тем, что в уравнениях и формулах смешиваются числа, буквы и символы, что делает их более сложными, чем они есть на самом деле.

    Если у вас есть домашнее задание по алгебре, которое вам нужно решить или вам нужно помочь своему ребенку решить сложную задачу или уравнение, вы можете использовать наш математический калькулятор по алгебре, приложение, предназначенное для того, чтобы помочь учащимся понять свои ошибки и преодолеть их. непрерывная практика.

    Вместо того, чтобы перечислять аргументы в пользу изучения алгебры, мы собираемся развенчать аргументы, противоречащие этой удивительной математической области.

    Зачем изучать алгебру, если я не собираюсь учиться в колледже?

    В прошлом учителя направляли учеников на «удобные» культурные маршруты, тем самым сводя к минимуму шансы многих детей поступить в колледж еще до того, как они пойдут в среднюю школу.

    Вы азиатский студент? Вы должны изучать математику.

    Вы афроамериканский студент? Тебе лучше освоить баскетбол.

    Вы белый американский студент? Может быть, попробуем с историей или искусством.

    По сути, любой, кто не считался достаточно умным, был назначен на то, что вы назвали бы «потребительской математикой» — математику низкого уровня, которая часто считается подходящей для средних учеников.

    К счастью, те времена прошли, и образование стало бесплатным для всех.Было бы ужасно увидеть второй рост числа дней, когда роль человека в жизни решалась на основании его имени, цвета кожи или социального статуса.

    Даже если вы не собираетесь учиться в колледже, не ограничивайте свой потенциал, считая себя «недостаточно умным» и, следовательно, предполагая, что вы не найдете применения алгебре.

    Изучать алгебру — это глупо

    Вы когда-нибудь спрашивали себя, почему люди всегда жалуются на математику и естественные науки? Это потому, что они требуют большой дисциплины и преданности делу? Или потому, что их трудно понять?

    Вы когда-нибудь замечали, что никто не спрашивает, зачем вам заниматься физкультурой или английской литературой, хотя математика, физика и естественные науки гораздо важнее для основания современного общества, чем Шекспир или техника стрельбы из трех винтовок. указатель?

    Для того, чтобы образование было приемлемым, образование должно быть веселым, легким и интересным, по крайней мере, так гласит философия современного американского педагога.

    Современные студенты считают, что если предмет требует определенных усилий, им не нужно его изучать. Они мало знают, что самые полезные вещи в жизни требуют определенных усилий.

    Если вы хотите отличную работу, заманчивую карьеру, безграничное будущее, вам определенно понадобятся некоторые математические навыки, и когда вы говорите математику, вы говорите алгебра.

    Вы когда-нибудь задумывались, почему вы регулярно ходите в спортзал? Это потому, что поднятие тяжестей не требует усилий? Или потому, что вы хотите поправиться, бросить вызов себе, укрепить свои силы и подготовить свое тело ко всему, с чем вы можете столкнуться в жизни?

    Почему люди ездят на велосипеде или бегают трусцой? Не потому ли, что потеть и заболеть коленом — это весело? Если бы я угадал, я бы сказал, что они делают это, потому что хотят быть здоровыми и сильными, чтобы противостоять болезням и быть готовыми к любым жизненным препятствиям, которые могут им навредить.

    Если вы хотите, чтобы ваш ум и мозг тоже были острыми, вы должны тренировать их и готовить к реальным проблемам.

    Итак, наш единственный совет — практиковаться, практиковаться и практиковаться, и если вы когда-нибудь окажетесь в затруднительном положении, помните, что наш калькулятор для алгебры поможет вам преодолеть любые препятствия во время изучения математики.

    Я занимаюсь алгеброй только потому, что меня вынудили унифицировать

    Давайте на мгновение прояснимся; декан не приставил нож к горлу, чтобы заставить записаться.И только вы решили присоединиться, чтобы получить свой диплом.

    Возможно, вы хотели получить отличную работу, и чтобы получить ее, вам потребовались некоторые математические навыки, включая алгебру.

    Может быть, вам не придется до конца жизни учитывать какой-либо квадратичный коэффициент, но вам действительно нужен ваш диплом, и вы должны сделать все возможное, чтобы его получить.

    Урок алгебры необходимо сдать, если вы хотите достичь этой цели. Если вы решите пропустить его, все в порядке, но вы не получите такой степени.В конце концов, это ваше решение.

    Моя карьера не требует алгебры

    Одно из многих различий между выпускником колледжа и обученным сотрудником — это способность студента глубже понимать ситуацию и лучшая способность налаживать связи и связи и приобретать новые навыки.

    Вам определенно не понадобится все, что вы изучили по алгебре, но означает ли это, что вы должны бросить колледж и получить только ту подготовку, которая требуется для работы, которую вы собираетесь получить?

    Я уверен, что ваш ответ звучит примерно так: «Я не могу позволить себе бросить учебу, я не могу претендовать на эту работу без диплома о высшем образовании или степени».

    Итак, чтобы получить работу своей мечты, вам необходимо проявить себя и свои способности с помощью определенного набора навыков, но для того, чтобы действительно продемонстрировать это мастерство, вам потребуется высшее образование. Чтобы получить эту степень, вам понадобится алгебра. Другими словами, алгебра необходима, если вы хотите получить эту работу.

    У математиков есть общая поговорка, которая звучит примерно так: «Человек действительно изучает арифметику и предалгебру в алгебре и алгебру и тригонометрию в исчислении». Смысл всего этого в том, что человек действительно лучше понимает конкретный материал, когда ему приходится использовать его в разных ситуациях.

    Итак, даже если вы правы, даже если после тридцатилетней или сорокалетней карьеры вы никогда не прибегали к навыкам решения задач по алгебре, все равно было бы блестящей идеей пройти этот курс, прежде чем начать свою карьеру . Почему? Поскольку алгебра необходима для решения реальных задач, будь то выполнение основных арифметических операций, понимание отрицательных чисел или работа с процентами.

    Возьмите уроки алгебры, попрактикуйтесь в использовании нашего калькулятора «алгебра-упрощение», и вы обязательно овладеете этими навыками.

    Будет ли мне нужна алгебра в реальной жизни?

    К сожалению, мы не можем ответить вам на этот вопрос. Это непростая ситуация с ответами «да» или «нет».

    Подумайте о том, как часто «нетрадиционные» студенты пересекают уроки математики, и обо всех пожилых людях, возвращающихся в университет после многих лет отчисления, даже если им не нужна алгебра для работы.

    Сам факт того, что они изучают алгебру все эти годы после окончания школы, свидетельствует о том, что они мало использовали алгебру с тех пор, как закончили учебу.Они дошли до этого, не нуждаясь в алгебре, но здесь они возвращаются на те самые места в колледже, которые они покинули много лет назад, потому что они чувствовали необходимость в таком предмете.

    Учтите, что вы не выучили алфавит еще в детском саду, потому что знали, что в этом году будете изучать пьесы Шекспира. То же самое и с алгеброй; вы не изучаете его, потому что знаете, что через несколько лет вы будете интерпретировать графики и работать с квадратиками, вы изучаете его, чтобы построить краеугольный камень для больших достижений и помочь создать лучшие возможности для себя в будущем.

    Алгебра — ключ к различным областям, независимо от того, насколько они велики или малы.

    Например, предположим, что ваша работа требует работы с таблицами, заполненными формулами. Для этого вам нужно базовое понимание и достаточные знания переменных и уравнений.

    Кроме того, если вы окажетесь на встрече, которая включает в себя работу с графиками, диаграммами и таблицами, вам нужно будет интерпретировать их разумно, если вы хотите отстоять свою позицию во время обсуждения.Единственный способ сделать это — иметь наименьшие познания в алгебре.

    Насколько актуальной будет алгебра в ближайшие годы?

    Нельзя отрицать, что рабочие места потребуют других навыков через двадцать или тридцать лет, но единственное, что останется неизменным, — это математика. Один плюс один всегда будет два.

    Конечно, вы пройдете необходимую подготовку для любой работы, которую вы получите, но вам все равно нужны приличные знания и навыки, чтобы получить эту работу.Чтобы идти в ногу с прогрессом, оставаться на вершине лестницы и открываться для лучших будущих возможностей, вам нужен прочный фундамент, который дает математика.

    Уроки и схемы, преподанные математикой, жизненно важны. Изучение формул и переменных, интерпретация графиков и таблиц и логическое мышление для поиска решений — важные навыки, которые окажутся полезными на всю оставшуюся жизнь. Это не вещи, которые вы изучаете в школе только для того, чтобы пройти тест; они представляют собой арсенал способностей, освоение которых принесет отличные результаты как в профессиональной, так и в личной жизни.

    Итак, вот и все; это причины, по которым изучение и изучение алгебры важно независимо от того, где вы находитесь в своей образовательной (или профессиональной) лестнице.

    Хотя это можно сделать с помощью стандартного научного калькулятора, использование нашего калькулятора алгебры может быть лучшим выбором, если:

    • Вам нужен калькулятор алгебры с шагами

    Хотел бы я найти калькулятор алгебры, который показывает работу, когда я был моложе. Это сделало бы мое математическое путешествие намного проще.

    Пытаетесь ли вы решить домашнее задание, проверить свой ответ или помочь своему ребенку с его / ее оценкой, получить в руки калькулятор, который может показать работу, необходимую для достижения результата, может быть очень полезным, так как это отличный способ выявлять свои ошибки и работать над их исправлением.

    Просто не забудьте поработать самостоятельно, прежде чем проверять решение. В противном случае вы обманываете только себя (или своего ребенка).

    • Вам нужен онлайн-калькулятор алгебры

    Несмотря на то, что в Интернете можно найти множество загружаемых приложений-калькуляторов, все же есть большая вероятность, что они несовместимы с вашим устройством.

    Будучи онлайн-приложением, наш калькулятор матричной алгебры может работать на любом смартфоне, планшете или компьютере, если у него есть приличное подключение к Интернету.

    • Вам нужен бесплатный калькулятор алгебры

    Мы все знаем, насколько дорогим может быть репетитор, и, хотя научный калькулятор не так уж и дорог, он не может помочь вам определить ваши ошибки, поскольку он запрограммирован только на отображение результата.

    Наш инструмент, с другой стороны, дает вам лучшее из обоих миров, бесплатную альтернативу как преподавателям, так и научным калькуляторам, которые могут решить любое уравнение, которое вы ему задали, одновременно показывая вам пошаговый процесс, который привел к результату. чтобы помочь вам лучше понять свои ошибки.

    • Вам нужен функционально-ориентированный калькулятор

    Попытка разобраться в научном калькуляторе может оказаться настоящей головной болью, поэтому возникла потребность в функционально-ориентированном приложении, ориентированном на конкретные приложения.

    Итак, если вам нужен калькулятор квадратного корня из алгебры, калькулятор факторов алгебры или калькулятор упрощенной логической алгебры, инструмент Mathway поможет вам.

    Я считаю, что это не требует пояснений. Прошли те времена, когда люди находили автономные решения своих проблем.Эра Интернета началась несколько лет назад, и скоро она закончится.

    Являясь онлайн-инструментом, к нашему калькулятору дробной алгебры можно получить доступ из любого места, если у вас есть подключение к Интернету, и вам не нужно ничего загружать или устанавливать для его работы, что делает его совместимым с любым устройством.

    В поезде и хотите попрактиковаться в решении проблем? Вытащите телефон и сделайте это.

    Смотрели фильм на ноутбуке и вспомнили домашнее задание? Откройте вкладку браузера, войдите в наше приложение и работайте над своей оценкой.

    Хотите, чтобы ваши дети делали с планшетами что-нибудь полезное? Добавьте страницу нашего приложения в закладки и вознаграждайте их, когда они решат проблему правильно.

    Как видите, для нашего инструмента вполне естественно быть онлайн.

    Были ли у вас проблемы с математикой, которые мешали вам спать по ночам? Что ж, если вы это сделаете, вы, надеюсь, нашли место, которое даст вам решение не только для одной проблемы. Здесь мы представляем вам инструмент, который избавит вас от волнений по алгебре.

    Мы не могли не заметить разочарование всех студентов по поводу их домашних заданий по математике. Это не только делает учебу в школе скучной и неинтересной, но и удерживает молодежь от стремления к знаниям с той страстью, которая им необходима. Итак, для всех уставших математиков со всего мира мы предлагаем услугу, которая, надеюсь, повысит ваш уровень и улучшит ваши навыки во всех предметах алгебры. Вот бесплатный онлайн-калькулятор алгебры, которого вы так долго ждали.

    Что ж, на самом деле нет другого выхода, кроме как сказать как есть: это приложение даст вам возможность делать практически все, что вы можете вообразить, когда дело доходит до алгебры.В первую очередь, он может работать как:

    • Калькулятор линейной алгебры
    • Калькулятор алгебры 1
    • Калькулятор алгебры 2
    • Калькулятор алгебры колледжа
    • Пошаговый калькулятор алгебры
    • Графический калькулятор алгебры
    • Калькулятор ответов по алгебре
    • Калькулятор булевой алгебры
    • Калькулятор факторинга алгебры
    • Калькулятор алгебраических уравнений

    Поскольку он содержит множество универсальных инструментов и показывает, насколько он подходит для разных уровней образования, этот калькулятор не только хорош для алгебры; это, наверное, лучший калькулятор алгебры.Он даже может использоваться как калькулятор предварительной алгебры, вы можете в это поверить?

    Откройте приложение и взгляните на дисплей этой штуки. Вы увидите, что он снабжен множеством кнопок и символов. Конечно, их можно найти на любом обычном калькуляторе, который попадется вам в руки, но вы также заметите ряд других инструментов, специально созданных для этого конкретного приложения.

    Список слишком длинный, чтобы его можно было включить полностью, но будьте уверены, зная, что это приложение предоставляет такие вещи, как квадратные корни, показатели степени, дроби, абсолютное значение, круглые скобки, знак деления, прямоугольные пирамиды, цилиндры, трапеции, треугольники, равные или меньшие , так далее.Думаю, этого достаточно, чтобы показать, насколько универсально это приложение.

    Это великолепный инструмент для математических вычислений, связанных с предварительным вычислением и алгеброй 2, а также лучший графический калькулятор для алгебры.

    Он может быть очень полезен для проверки ответов, тестирования и выполнения домашних заданий из-за его невероятной многофункциональности. Он предлагает пользователю возможность проверить свои способности и знания в математических областях.

    Где бы вы ни находились и когда чувствуете необходимость бросить себе вызов, возьмите телефон и откройте приложение, чтобы оценить себя.Вам даже не нужно приносить свои проблемы, их список включен в приложение.

    Найти книгу о том, как пользоваться калькулятором для начинающих, маловероятно. Просматривать бесконечные результаты поиска по этому вопросу было бы так же утомительно, как пытаться решить математическую задачу. Поэтому мы постараемся помочь вам, предоставив вам быстрое и простое пошаговое руководство по использованию приложения, чтобы сэкономить вам время. Приложение очень простое в использовании, если вы знаете следующее:

    • Вы найдете существующие примеры, которые можно использовать при вводе математических выражений.Или, если хотите, вы можете сделать это вручную с помощью символов.
    • Конечно, вы захотите увидеть выражение в обычном математическом формате. Для этого вам нужно будет нажать кнопку «показать». Если вы столкнетесь с какими-либо проблемами, нажмите «?» для помощи.
    • Приложение запрограммировано так, чтобы определить, какая у вас проблема, с помощью введенного вами выражения. Но в случае, если оно не соответствует типу, вы можете выбрать его самостоятельно.
    • При нажатии кнопки «Ответить» приложение выполнит решение проблемы.Просто сиди и жди.

    И вуаля, у тебя есть ответ. Все, что вам нужно сделать сейчас, это проверить ответ, чтобы проверить свою попытку решить проблему, и сравнить его с результатом, полученным приложением. Это полезный метод выявления ваших ошибок и предотвращения их в будущем. Если вам нужно увидеть полные инструкции, вам нужно будет зарегистрироваться в Mathway.

    Помните, не проверяйте результат, пока не попытаетесь решить проблему самостоятельно. Это приложение было разработано, чтобы помочь вам понять свои ошибки и преодолеть препятствия, которые могут встретиться на вашем пути, а не делать вашу работу за вас.

    Это новаторское творение сотрудников Mathway. Причина, по которой он находится здесь, на нашей странице, чтобы сделать его легко доступным для всех. Для разблокировки всех утилит приложения требуется простая регистрация, но это не имеет большого значения. Процесс довольно простой и короткий. Если вам меньше 18 лет, не забудьте получить одобрение родителей, прежде чем подписываться на калькулятор алгебры Mathway.

    Больше похвалы не надо. Приложение говорит само за себя. Пришло время всем учащимся преодолеть препятствия, с которыми они сталкиваются ежедневно из-за утомительных задач по алгебре, и это приложение может помочь в этом.В любое время заходите на наш сайт, запускайте приложение и тренируйтесь, чтобы лучше решать проблемы. Этот калькулятор построения графиков алгебры обязательно в этом убедится.

    Добро пожаловать в калькулятор алгебры, невероятный инструмент, который поможет перепроверить вашу работу или даст дополнительную практику для подготовки к тестам или викторинам.

    Проверка домашнего задания: Наш калькулятор алгебры поможет вам проверить домашнее задание. Просто введите свою проблему и нажмите Ответить , чтобы узнать, правильно ли вы решили проблему.Теперь, я надеюсь, вы понимаете, что если вы просто поместите свои домашние задания в калькулятор и скопируете ответ, в конечном итоге вы обманываете себя, потому что на самом деле ничему не научились. Чтобы успешно пройти предстоящие тесты и викторины, вам нужно понимать, откуда пришел ответ. Так вы сможете найти свои ошибки и научиться правильно решать задачи. Вот почему мы рекомендуем вам подписаться на Mathway, вспомогательный инструмент, который предоставляет вам полные шаги, используемые для решения каждой проблемы.Спросите об этом своих родителей — это намного дешевле, чем репетиторство, и будет хорошей инвестицией в ваше будущее. Просто нажмите View Steps на странице ответов, чтобы зарегистрироваться.

    Подготовьтесь к тестам и викторинам, выполняя дополнительные задачи. Просто найдите тему, которую хотите просмотреть, в разделе калькулятора Примеры . В калькуляторе появится пример задачи. (Если вас смущает обозначение в поле, нажмите кнопку Показать . Это показывает проблему в стандартном математическом формате.) Решите задачу на отдельном листе бумаги и запишите свой ответ. Затем проверьте свой ответ с помощью калькулятора — просто убедитесь, что раздел Select Topic соответствует тому, что вы практикуете. Если вы ответили правильно — отлично! Если нет, просмотрите шаги, чтобы найти свою ошибку. Зарегистрируйтесь в Mathway (или попросите родителей подписать вас), и вы сможете найти свои ошибки и увидеть, как правильно решить проблему. Это определенно стоит вложенных средств, так как вы можете использовать этот калькулятор для подготовки к тестам на оставшуюся часть года.

    1. Задайте проблему, используя символы или начав с примера.

    2. Чтобы убедиться, что вы правильно ввели задачу, нажмите кнопку Показать рядом с Math Format . Это покажет вашу проблему в том формате, который вы привыкли видеть. Если это выглядит неправильно и вам нужна дополнительная помощь, нажмите ? Поле рядом с полем Введите проблему .

    3. Выпадающий список Select Topic автоматически заполнится наиболее распространенным типом проблемы, но если вы хотите, чтобы калькулятор делал что-то другое, просто выберите правильный вариант из раскрывающегося списка.

    4. Нажмите Ответ , чтобы просмотреть ответ.

    5. Чтобы увидеть шаги, зарегистрируйтесь в Mathway.

    На примере:

    Прокрутите темы, чтобы найти тип задач, которые вы хотите проверить или отработать. Это предоставит пример в калькуляторе, чтобы вы могли видеть, как он отформатирован. Затем вы можете изменить числа или переменные в соответствии с проблемой, которую вы пытаетесь проверить.

    Круглые скобки — Они указывают на умножение или на то, что операция внутри должна быть выполнена первой.

    Скобки — Используйте скобки, если вам нужна скобка внутри скобок — Скобки выходят наружу, как показано в этом примере: [3 + 2 (10 -1)] ÷ 7.

    [frame align = ”left”] Абсолютное значение — Абсолютное значение показывает, насколько далеко число от нуля. Это всегда одно и то же число, но положительное. Например, | 3 | равно 3 и | -3 | также 3.

    Дроби — Введите числитель и знаменатель в скобках, которые появятся.(2) для 5 2 . Помните, что показатель степени показывает, сколько раз основание умножается само на себя.

    [выравнивание рамки = «влево»]

    Нижние индексы Ваша переменная выходит за пределы скобок, а нижний индекс — внутри. Например, x 1 будет x [1]. Помните, что индексы используются для указания, какую переменную вы используете.

    Квадратные корни — Введите подкоренное выражение (число внутри символа квадратного корня) в скобках.Квадратные корни найдите, какое число, умноженное на , на равно подкоренному выражению. Например, квадратный корень из 49 равен 7, потому что 7 * 7 = 49.

    Другие корни Введите индекс после символа √ и подкоренного выражения в скобках. Например, используйте √3: (8) для. Помните, что другой индекс означает, что ответ нужно умножить на себя столько раз, чтобы получить значение подкоренного выражения. В нашем примере 2 * 2 * 2 = 8, поэтому 2 будет ответом, потому что 2 раза сам 3 (индекс) умножает на 8.

    Примечание. Если индекс не указан, предполагается, что он равен двум, и это просто называется квадратным корнем.

    Матрицы — Разделите записи в каждой строке запятыми и вставьте _ между строками. Например, матрица должна быть введена как матрица [1, -2_5,7].

    Координаты — Введите координату, как обычно, например (1,5).

    Функциональная нотация Введите функциональную нотацию, как обычно.Помните, что f ( x ) произносится как «f of x» и обычно заменяет y в уравнении.

    Натуральный логарифм Введите число в скобках. Помните, что натуральный логарифм отвечает на следующий вопрос: e , в какой степени равно данному числу. Константа e примерно равна 2,718.

    Логарифм

    Введите число в скобках.Логарифм без нижнего индекса (например, тот, что показан здесь) отвечает на вопрос «10 в какой степени равно данному числу». Например, ответ на log 100 будет 2, потому что 10 в степени 2 и равно 100.

    Логарифм с другим основанием — Введите основание (маленькое число) внутри скобок и аргумент (число обычного размера) внутри скобок. Например, будет записано как log [2] 8. Когда вы меняете индекс логарифма, вы меняете основание.В этом примере задается следующий вопрос: в какой степени 2 равно 8? Ответ: 3.

    Примечание. Если нижний индекс (основание) не указан, предполагается, что основание равно 10.

    Больше или равно — Если вам нужно использовать только знак «больше» (>), просто введите его с клавиатуры. (Нажмите, затем смените точку.)

    Меньше или равно — Если вам нужно использовать только знак «меньше» (<), просто введите его с клавиатуры. (Нажмите Shift, затем запятую.)

    Знак деления — Для умножения используйте кнопку со звездочкой на клавиатуре. (Нажмите Shift, затем 8.)

    Pi — Pi — это уникальное число, которое описывает соотношение между длиной окружности и диаметром каждой окружности. Пи примерно равно 3,14.

    Union — Union указывает все значения вместе. Например, возьмем объединение следующих двух наборов чисел. Первый набор — это числа от 1 до 10, а второй набор — это числа от 5 до 20.Объединением двух наборов будут все числа, соединенные вместе, поэтому ответом будут числа от 1 до 20. Только числа должны быть в , по крайней мере, в одном из наборов, чтобы быть частью решения.

    Пересечение Пересечение указывает значения, которые являются частью обоих наборов . Например, возьмем пересечение следующих двух наборов чисел. Набор один — это числа от 1 до 10, а набор два — это числа от 5 до 20. На пересечении двух наборов будут все числа, которые есть в наборах и обоих наборах , поэтому ответом будут числа 5-10.Номера должны быть в и наборах, чтобы быть частью решения.

    Практикуйтесь каждый день понемногу

    Не ждите, чтобы провести ночь перед большим испытанием — вы будете потрясены и не так много вспомните. Вместо этого практикуйтесь немного каждую ночь. Вы обнаружите, что когда наступит время тестирования, вы уже знаете большую часть материала, и вам просто нужно просмотреть. Поговорим о снятии стресса!

    Запишите вопросы учителю

    По мере практики запишите все вопросы, на которые вы не можете найти ответ, и спросите об этом своего учителя на следующий день в классе.Записанный вопрос поможет вам точно запомнить, что вы хотели задать, а также поможет учителю быстро ответить на ваш вопрос.

    Работаем с другом

    Попрактикуйтесь с другом, чтобы помочь исправить ошибки друг друга. Кроме того, когда вы работаете вместе, обучение становится намного интереснее — просто убедитесь, что вы не отвлекаетесь.

    Найди свои ошибки

    Когда вы определились с проблемой, не говорите «хорошо» и попробуйте другую.Ключ к знанию математики — находить свои ошибки и учиться на них. Если вы не поймете, что сделали не так, скорее всего, вы и дальше будете повторять ту же ошибку. Если вы не можете найти свою ошибку самостоятельно, обратитесь за помощью к другу, учителю или родителю. Или зарегистрируйтесь в Mathway — это покажет вам шаг за шагом, как правильно решить проблему, чтобы вы могли выяснить, где вы ошиблись.

    Руководство пользователя калькулятора

    для Mac

    Используйте калькулятор для выполнения базовых, расширенных вычислений или вычислений программиста.Если на вашем Mac есть Touch Bar, вы можете легко выполнять быстрые вычисления, даже не перемещая указатель.

    Открыть калькулятор для меня

    Совет: Чтобы узнать функцию клавиши, удерживайте указатель над клавишей, чтобы увидеть ее справочный тег.

    Преобразование значений

    • В приложении «Калькулятор» на Mac введите исходное значение, выберите «Преобразовать» в строке меню, затем выберите категорию, например «Температура» или «Валюта».

      Примечание: Вы должны быть подключены к Интернету, чтобы узнать последний курс конвертации валюты.

    Округлить результаты

    • В приложении «Калькулятор» на Mac выберите «Просмотр»> «Десятичные разряды», затем выберите количество отображаемых десятичных разрядов. Калькулятор сохраняет полное значение и отображает округленное значение. Если отображаемое значение показывает меньше десятичных знаков, чем вы указали, не отображаемые десятичные разряды являются нулями.

    Вводите сложные уравнения в обратной польской нотации (RPN)

    1. В приложении «Калькулятор» на Mac выберите «Просмотр»> «Режим RPN».

      Стек отображается на дисплее калькулятора, клавиша знака равенства (=) становится клавишей ввода, а четыре клавиши появляются для управления числами в стеке.

    2. Выполните любое из следующих действий:

      • Поменяйте местами два нижних числа в стеке: Нажмите кнопку «Регистры обмена».

      • Перемещение последнего введенного числа вверх или вниз по стеку: Нажмите кнопку Roll Up или Roll Down.

      • Удалите нижний номер из стека: Нажмите кнопку Drop.

    Исправьте неожиданные результаты

    В приложении «Калькулятор» на Mac выполните одно из следующих действий:

    • Повторите вычисление, помня, что Калькулятор использует основной порядок операций для оценки выражений. Например, операции умножения завершаются перед сложением и вычитанием.

    • Если калькулятор программиста отображает числа в неожиданном формате, измените его на восьмеричный, десятичный или шестнадцатеричный формат: нажмите кнопку 8, 10 или 16, соответственно, под дисплеем калькулятора.Или воспользуйтесь обычным или научным калькулятором.

    • Если результат не содержит десятичных знаков:

      • Выберите «Просмотр»> «Базовый» или «Просмотр»> «Научный», поскольку калькулятор программиста обрезает все цифры после десятичной точки. Например, если вы введете 99/10 =, результат будет 9. Используйте базовый или научный калькулятор, чтобы получить более точные результаты.

      • Выберите «Просмотр»> «Десятичные разряды» (в любом калькуляторе), поскольку количество десятичных разрядов может быть установлено неправильно и калькулятор округляет результат.Например, если десятичные разряды установлены на ноль и вы вводите 99/10 =, результат будет 10.

    • Если вы не уверены, что правильно ввели расчет, используйте бумажную ленту (выберите «Окно»> «Показать». Paper Tape), чтобы проверить, что вы ввели.

    • Если вы предпочитаете отображать разделитель запятых, выберите «Просмотр»> «Показать разделители тысяч», чтобы отобразить запятую в больших числах.

    Используйте сочетания клавиш

    В приложении «Калькулятор» на Mac используйте сочетания клавиш для быстрого ввода вычислений; быстрые клавиши различаются в зависимости от типа используемого калькулятора.

    Все типы калькуляторов

    Очистить

    0

    9055

    0

    0 9 0551

    Действие

    Ярлык

    Очистить

    Esc

    Клавиша C

    0

    Отменить отображаемое значение

    Опция — знак минус (-)

    Процент

    Знак процента (%)

    (/)

    Умножение

    Звездочка (*)

    Вычесть

    Знак минуса (-)

    Равно

    Знак равенства (=)

    Удалить последнюю введенную цифру или букву

    Клавиша удаления

    Научный калькулятор

    Отображаемое значение Raise

    60 905 степень следующего введенного значения

    для отображаемого значения Восклицательный знак (!) Поменяйте местами два нижних числа на стойке ck

    Действие

    Ярлык

    Карет (^)

    Вычислить натуральный логарифм отображаемого значения

    Клавиша E

    Вычислить факториал

    Command-E

    Перемещение последнего введенного числа вверх по стеку

    Стрелка вверх, Command-Up

    Перемещение последнего введенного числа вниз по стеку

    Command-стрелка вниз

    Удалить нижнее число из стека

    Command-Delete

    Чтобы показать текущий список ваших вычислений, выберите Window> Show Paper Tape.

    Для выполнения сложных вычислений с использованием уравнений и графиков используйте приложение Grapher. См. Руководство пользователя Grapher.

    Калькулятор прямоугольного треугольника

    Укажите 2 значения ниже, чтобы рассчитать другие значения прямоугольного треугольника. Если в качестве единицы измерения угла выбраны радианы, он может принимать такие значения, как пи / 3, пи / 4 и т. Д.


    Калькулятор связанного треугольника | Калькулятор по теореме Пифагора

    Прямой треугольник

    Прямоугольный треугольник — это тип треугольника, угол которого составляет 90 °.Правые треугольники и отношения между их сторонами и углами являются основой тригонометрии.

    В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная углу 90 °, является самой длинной стороной треугольника и называется гипотенузой. Стороны прямоугольного треугольника обычно называют переменными a, b и c, где c — гипотенуза, а a и b — длины более коротких сторон. Их углы также обычно обозначаются с использованием заглавной буквы, соответствующей длине стороны: угол A для стороны a, угол B для стороны b и угол C (для прямоугольного треугольника это будет 90 °) для стороны c, как показано ниже. .В этом калькуляторе для обозначения неизвестных угловых величин используются греческие символы α (альфа) и β (бета). h относится к высоте треугольника, которая представляет собой длину от вершины прямого угла треугольника до гипотенузы треугольника. Высота делит исходный треугольник на два меньших, похожих треугольника, которые также похожи на исходный треугольник.

    Если все три стороны прямоугольного треугольника имеют целые числа, он известен как треугольник Пифагора.В треугольнике этого типа длины трех сторон в совокупности известны как тройка Пифагора. Примеры включают: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 и т. Д.

    Площадь и периметр прямоугольного треугольника рассчитываются так же, как и любого другого треугольника. Периметр — это сумма трех сторон треугольника, а площадь можно определить с помощью следующего уравнения:

    Особые прямоугольные треугольники

    30 ° -60 ° -90 ° треугольник:

    30 ° -60 ° -90 ° относится к угловым измерениям в градусах этого типа специального прямоугольного треугольника.В этом типе прямоугольного треугольника стороны, соответствующие углам 30 ° -60 ° -90 °, имеют соотношение 1: √3: 2. Таким образом, в этом типе треугольника, если длина одной стороны и соответствующий угол стороны известны, длина других сторон может быть определена с использованием указанного выше соотношения. Например, учитывая, что сторона, соответствующая углу 60 °, равна 5, пусть a — длина стороны, соответствующей углу 30 °, b — длина стороны 60 °, а c — длина стороны 90 °. сб .:

    Углы: 30 °: 60 °: 90 °

    Соотношение сторон: 1: √3: 2

    Длина сторон: a: 5: c

    Тогда, используя известные отношения сторон этого особого типа треугольника:

    Как видно из вышеизложенного, знание только одной стороны треугольника 30 ° -60 ° -90 ° позволяет относительно легко определить длину любой другой стороны.Этот тип треугольника можно использовать для вычисления тригонометрических функций, кратных π / 6.

    45 ° -45 ° -90 ° треугольник:

    Треугольник 45 ° -45 ° -90 °, также называемый равнобедренным прямоугольным треугольником, поскольку он имеет две стороны равной длины, представляет собой прямоугольный треугольник, в котором стороны, соответствующие углам, составляют 45 ° -45 ° -90 °, соблюдайте соотношение 1: 1: √2. Подобно треугольнику 30 ° -60 ° -90 °, знание длины одной стороны позволяет определить длины других сторон треугольника 45 ° -45 ° -90 °.

    Углы: 45 °: 45 °: 90 °

    Соотношение сторон: 1: 1: √2

    Длина сторон: a: a: c

    Учитывая c = 5:

    Треугольники 45 ° -45 ° -90 ° можно использовать для вычисления тригонометрических функций, кратных π / 4.

    Рассчитайте свой средний балл | Офис регистратора университета (OUR)

    Средний балл (GPA) — это числовая мера средней успеваемости студента на всех завершенных курсах с буквенной оценкой. UC GPA — это числовая мера средней успеваемости студента на всех завершенных курсах с буквенной оценкой в ​​Калифорнийском университете.

    Шаг первый: Определите критерии и курсы, которые будут использоваться для расчета среднего балла.

    Определите, какой тип среднего балла вам нужен, например, основной, общий UC, ежеквартально. Просмотрите всю курсовую работу, чтобы определить, какие курсы следует использовать для расчета среднего балла.

    Включите курсы, которые:

    • буквенного обозначения, и
    • Попадают в установленные параметры для желаемого типа GPA, например, все курсы высшего образования, используемые для выполнения основной или всей работы, выполненной в любом UC, и
    • — это единицы, которые учитываются при получении степени.

    Не включать следующее:

    • Курсы с градациями P, NP, S, U, IP, NG или I.
    • Исключенные повторяющиеся единицы.
    • единиц уменьшено с курса.
    • Единицы, не соответствующие установленным критериям.
    • Недопустимые повторяющиеся единицы.
    • Курсы, не дающие степени, например, курсы с рабочей нагрузкой.
    • Курсы с отметкой «Зачислен — работа не отправлена» (ENWS).

    Шаг второй: Подсчитайте оценки за каждый курс, используемый в GPA.

    Официальный средний балл UC рассчитывается путем деления общего количества оценочных баллов на общее количество попыток сдачи баллов UC. Эти цифры можно найти в официальной расшифровке стенограммы. Испытанные единицы находятся в столбце ATTM ; Оценочные баллы указаны в столбце GPTS .

    Пример:

    • Учащийся имеет 116,40 баллов успеваемости и 59,00 баллов за попытку UC.
    • 116,40 Grade Points / 59,00 Единицы UC = 1,973 GPA.

    Шаг третий: Рассчитайте средний балл

    Рассчитайте средний балл, сложив все значения, указанные на втором шаге, и разделив это число на общее количество единиц, полученных на этих курсах.

    GPA = общее количество баллов / общее количество попыток заработанных единиц UC

    Пример — Если мы хотим найти квартальный средний балл, когда курсы и оценки за определенный семестр составляют:

    • Студент выполнил 20 единиц; однако 4 из этих единиц были P / NP.Поскольку они не учитываются при расчете среднего балла, этот курс ничего не добавляет к общим значениям.
    • Ежеквартальный средний балл = 55,6 балла / 16 попыток обучения UC = 3,475.

    Об оценках

    баллов, также называемых «качественными», — это баллы, которые присваиваются каждому блоку UC, за который студент получает буквенную оценку. Баллы успеваемости — это показатель того, насколько ученик превышает или ниже минимального стандарта успеваемости — средний балл 2.000. Оценочные баллы обычно используются в академическом консультировании, чтобы установить конкретные цели, чтобы достичь 2.000 GPA.

    Баланс баллов особенно полезен, если средний балл студента ниже 2.000, поскольку он дает представление о том, что необходимо для достижения хорошей академической успеваемости.

    Каждая буквенная оценка, кроме C , влияет на баланс баллов. Каждая оценка ниже C снижает баланс баллов, как указано ниже; и каждая оценка выше C повышает баланс баллов, как указано ниже.

    Оценочные баллы присваиваются следующим образом:

    ПРИМЕЧАНИЕ: Единицы нагрузки и курсы, которым присвоены оценки, такие как P, NP, S, U, NS, NG, I и H, являются , а не присвоенными оценочными баллами.

    Пример:

    • Учащийся получает пятёрку в классе из 4 блоков, поэтому курс будет давать 3,700 баллов за каждый блок.
    • 3,700 баллов оценок x 4,00 балла = 14,8 общих баллов оценок за курс.

    О балансовых точках

    баллов баланса — это отрицательные или положительные баллы, которые присваиваются каждому модулю UC, за который студент получает буквенную оценку. Баллы баллов рассчитаны таким образом, чтобы студент со средним баллом UC 2.000 будет иметь 0 баллов (общий средний балл 2.000 — это минимальный средний балл, позволяющий студенту оставаться в хорошей академической успеваемости). Чем выше средний академический балл студента UC выше 2.000, тем выше положительный баланс баллов у студента; чем ниже средний балл студента UC ниже 2.000, тем выше отрицательный баланс баллов.

    Значения баллов назначаются следующим образом:

    • А + +2,000
    • А +2,000
    • А- +1.700
    • В + +1.300
    • В +1,000
    • B- +0.700
    • С + +0.300
    • С 0,000
    • С- -0,300
    • Д + -0,700
    • Д -1,000
    • Д- -1,300
    • Факс -2,000

    Пример:

    • Студент получает B + за курс из 4 единиц.
    • +1 300 баллов баланса x 4,00 единицы = +5.200 баллов.

    Пример:

    • Студент получает D + за курс из 3 частей.
    • -0,700 очков баланса x 3,00 единицы = -2,100 очков баланса.

    Калькулятор GPA | Регистратор | Университет Небраски – Линкольн

    A + = 4,00
    A = 4,00
    A- = 3,67
    В + = 3.33
    B = 3,00
    B- = 2,67
    C + = 2,33
    C = 2,00
    C- = 1,67
    D + = 1,33
    D = 1,00
    D- = 0,67

    Символы оценки, не имеющие веса GPA:

    I неполный P прошел N нет прохода NR нет отчет W отозван

    Обратите внимание: GPA усечены до тысячных десятичных знаков.

    ГПа Калькулятор

    1

    Ваши оценки за семестр

    Кредиты

    Оценка

    Заменяет Это значение используется только в том случае, если в поле «Ваш совокупный средний балл» было поступил Новая оценка +

    Рассчитать

    Используйте этот калькулятор для вычисления средних значений за семестр и накопительных баллов.Оценки «P», «N», «I», «W» и «NR» не используются при вычислении средних баллов.

    1. Средний академический балл за семестр: Введите свои оценочные баллы и кредитные часы.
    2. Накопительное GPA: Введите ваши общие кредитные часы и средний балл.
    3. Желаемый средний балл: Введите желаемый GPA, чтобы узнать, сколько часов работы 4.0 потребуется для достижения желаемого GPA.

    Этот калькулятор предназначен только для оценочных оценок. Официальные отчеты GPA будут опубликованы на MyRED.Средний балл усечено до тысячных десятичных знаков.

    Незавершенное

    Курсу будет присвоена оценка «Неполный» или «I», если студент не может завершить курс из-за болезни. военная служба, лишения или смерть ближайших родственников. Незавершенные задания выдаются только в том случае, если учащийся уже в значительной степени выполнил основные требования курса.

    Бакалавриат — Удаление неполной оценки:

    Преподаватель может заполнить форму I, указав следующую информацию при присвоении степени «I»:

    1. Условия, которые необходимо выполнить для завершения курса.
    2. Дата: курс должен быть завершен, но не позднее, чем через два года.
    3. Оценка за выполненную работу и процент выполненных курсовых работ.
    4. Оценка выставляется, если «I» не удалено к дате, указанной преподавателем.

    Академические отделы несут ответственность за соблюдение крайнего срока завершения, указанного в I-форме и для инициирования формы изменения записи учащегося, чтобы удалить оценку «I».Однако, если форма изменения оценки не получено Офисом Регистратора Университета к указанной дате, Офис Регистратора Университета выставит оценку, указанную преподавателем.

    В случаях, когда I-Form не полученный, I оценка будет считаться просроченной через год после окончания семестра, а неудовлетворительная оценка будет опубликовано в записи студента по курсу.

    Выпускник — Удаление неполной оценки:

    Применяются условия, указанные в выпускном бюллетене.

    1. Если преподаватель покидает университет до даты, указанной в I-Form для завершения курса, то I- Форма должна использоваться студентом и академическим отделом, чтобы позволить студенту заполнить курс.
    2. «I» присваивается на усмотрение инструктора по согласованию со студентом и в соответствии с Руководящие принципы академического сената.
    3. Оценка «I» не может быть изменена на оценку «W».

    Успешно / Нет

    Вариант Pass / No Pass предназначен для использования аспирантами или студентами бакалавриата, стремящимися расширить свои или ее интеллектуальный кругозор, пройдя курсы в областях, в которых студент имеет минимальную подготовку без отрицательно сказывается на средней успеваемости учащегося.

    Как это работает?

    1. Ни оценки «P», ни «N» не влияют на средний балл студента.
    2. «P» интерпретируется как «C» или выше.
    3. Переход на регистрацию «прошел / не прошел» или обратно может быть произведен до середины курса.
    4. Успешно / невыгодно или регистрация оценок не могут противоречить политике профессора, кафедры, колледж или университет, регулирующие варианты выставления оценок.
    5. Для перехода на «Пройден / Не прошел» и обратно требуется обработка изменения в MyRED и не требуется одобрение инструктора.
    6. После середины курса студент, зарегистрированный для сдачи / не сдачи, не может перейти на регистрацию оценки если регистрация Pass / No Pass не противоречит политике профессора, колледжа или университета. управляющий пропуск / без прохода.
    7. Вариант оценки «прошел / не прошел» недоступен для студентов, проходящих академический стажировку, если курс не предлагается только по принципу «прошел / не прошел».
    8. Для студентов бакалавриата должны применяться 24 кредитных часа, а также лимиты колледжа и факультета. Эти ограничения делают не включать курсы, предлагаемые только по принципу «прошел / нет».
    9. Параметр оценки «сдан / не сдан» НЕ МОЖЕТ использоваться в повторном курсе для удаления «C-«, «D +», «D», «D-» или Оценка «F» из среднего балла.

    Оценочная шкала — студенты | Студенты

    Бакалавриат

    Выпускник

    Y — Год или более длительный курс обучения (для клинических / практических курсов по программам наук о здоровье или независимых / почетных курсов). Оценки «Y» меняются через Формы смены оценок после завершения годичного курса.

    INC — Incomplete Студент по уважительной причине не выполняет порученную работу (включая выпускные экзамены, контрольные работы и т. Д.)) и, по мнению профессора, имеет неплохие шансы пройти курс.

    FIN — Ошибка из-за неполного незавершенного.

    W — Официальное исключение Если учащийся из вашего курса официально отказался, в столбце оценок появится оценка «W».

    WA — Административное исключение Студент не выполнил требования по иммунизации. Учащийся должен соответствовать требованиям вакцинации, иначе оценка «WA» будет постоянной.Смена оценок не допускается.

    WU — Неофициальный отказ Если студент прекратил посещать курс и в столбце оценок не отображается предварительно отмеченная буква «W», ему присваивается оценка «WU». Эту оценку не следует ставить вместо F.

    .

    WD — Отказ от участия Когда студент прекращает обучение в течение второй или третьей недели семестра, это не отображается в его стенограмме.

    PEN — Ожидается Эта оценка используется, если учащийся находится под следствием на предмет академической нечестности, и будет опубликована в записи учащегося в CUNYFirst.

    CR / NC Кредит / нет кредита Эти оценки должны использоваться только в соответствии с Политикой оценки кредитов / отсутствия кредитов и должны быть запрошены учащимся.

    WN — Эта оценка должна быть выставлена, если студент НИКОГДА не посещал курс.

    Калькулятор среднего балла

    — Academic Advising Center

    Чтобы рассчитать свой средний балл, вам необходимо предоставить две части информации, содержащейся в вашем Академическая справка в странах СНГ: единиц сдали для получения баллов GPA (попытки / оцененные кредитные часы в Университете Юты) и GPA (совокупный средний балл от Университета Юты).

    Узнайте, как найти свое академическое резюме

    Term

    Калькулятор GPA

    Для определения вашего прогнозируемого среднего балла на текущий семестр:

    1. Введите единицы GPA для каждого курса, который вы сейчас проходите.
    2. Выберите ожидаемые оценки для каждого курса и нажмите Рассчитать .

    Прогнозируемый срок GPA будет отображаться на основе предоставленных входных данных.

    Калькулятор накопительного среднего балла

    Чтобы определить ваш прогнозируемый совокупный средний балл:

    1. Введите свой совокупный средний балл и общие баллы в полях ниже.
    2. Введите единицы GPA для каждого курса, который вы сейчас проходите.
    3. Если курс утвержден для повторного использования, установите флажок и выберите получена предыдущая оценка.
    4. Выберите ожидаемые оценки для каждого курса и нажмите Рассчитать .

    Прогнозируемый срок GPA и Прогнозируемый совокупный GPA будут отображаться на основе предоставленных входных данных.

    Этот инструмент был разработан, чтобы помочь студентам вычислить средний балл и не привязан к официальному академическому отчету.Результаты основаны исключительно на предоставленных вами данных. и не являются официальными. Мы рекомендуем вам рассчитать свой средний балл с помощью калькулятора и вручную, чтобы убедиться, что вы точны в своих расчетах.

    Узнайте, как рассчитать свой средний балл вручную


    Чтобы найти информацию о своем среднем балле в СНГ
    1. Войдите в меню СНГ в СНГ.utah.edu, щелкните плитку «Академические записи».
    2. Затем нажмите «Просмотреть оценки».
    3. Пожалуйста, нажмите на недавно завершенный термин, а затем нажмите на «Совокупный средний балл» строка. Вам нужно будет принять к сведению «Общее количество взятых единиц» и «Средний балл».


    Калькулятор баллов среднего балла

    Для расчета цели GPA:

    1. Если вы повторяете какие-либо курсы за этот семестр, то необходимо заполнить калькулятор выше, чтобы найти прогнозируемый совокупный средний балл для этих повторных курсов.Установите флажок Повторить ниже и перейдите к шагу 5.
    2. Если вы не повторяете ни одного курса за этот семестр, введите свой совокупный средний балл.
    3. Введите ваш общий средний балл, не включая текущий термин.
    4. Введите количество единиц GPA, взятых за этот термин.
    5. Введите целевой средний балл, которого вы хотите достичь.
    6. Нажмите кнопку Рассчитать .Отобразится прогнозируемый средний балл, необходимый для достижения вашей цели.

    Политика повторных курсов: Студенты могут повторять любой курс, который они ранее посещали в университете, пока как до сих пор предлагается. Тем не менее, студенты могут заработать кредитные часы для данного курса. для выпуска только один раз, если курс не был признан повторяемым для получения кредита.Последняя полученная оценка используется для вычисления среднего балла учащегося (и оценки за предыдущие экземпляры того же курса не учитываются при вычислении средний балл, но указаны в протоколе за семестр). Оценки I, NC, W, V или T не могут быть удалены повторением курса, и они не могут использоваться для замены оценки в предыдущем курсе, который был повторен.Все повторяется курсы помечаются как таковые в академической успеваемости студента. (Политика 6-100 — Инструкция и оценка)

    Этот инструмент был создан по образцу калькулятора GPA Университета Южного Мэна.

    Чтобы найти информацию о своем среднем балле в СНГ
    1. Войдите в CIS и найдите поле «Оценки».
    2. Щелкните «Просмотр академической сводки» и найдите свои «Единицы GPA» и «GPA».

    .

    Равен 3: Костюм летний Равен 3 NEW хаки ХСН 97702

    Костюм летний Равен 3 NEW хаки ХСН 97702

    • Одежда
    • Обувь
    • Головные уборы
    • Перчатки и рукавицы

    Таблица размеров — Верхняя одежда

    Международный размер S M L XL XXL XXXL
    Российский размер 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64
    Рост см 170, 176, 182 170, 176, 182 170, 176, 182, 188 170, 176, 182, 188 170, 176, 182, 188 170, 176, 182, 188 170, 176, 182, 188 170, 176, 182, 188 182, 188 182, 188
    Обхват груди см 92 96 100 104 108 112 116 120 124 128
    Обхват талии см 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116

    Таблица размеров — Верхняя одежда

    Международный размер S M L
    Российский размер 46 48 50
    Рост 170, 176, 182 170, 176, 182 170, 176, 182, 188
    Обхват груди 92 96 100
    Обхват талии 80 84 88
    Международный размер XL XXL XXXL
    Российский размер 52 54 56
    Рост 170, 176, 182, 188 170, 176, 182, 188 170, 176, 182, 188
    Обхват груди 104 108 112
    Обхват талии 92 96 100
    Международный размер
    Российский размер 58 60 62
    Рост 170, 176, 182, 188 170, 176, 182, 188 182, 188
    Обхват груди 116 120 124
    Обхват талии 104 108 112
    Международный размер
    Российский размер 64
    Рост 182, 188
    Обхват груди 128
    Обхват талии 116

    Таблица размеров — Обуви

    Размер 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
    Длина стопы см 24,5 25 25,5 26,5 27 27,5 28,5 29 29,5 30,5
    Размер 38 39 40 41 42
    Длина стопы 24,5 25 25,5 26,5 27
    Размер 43 44 45 46 47
    Длина стопы 27,5 28,5 29 29,5 30,5

    Таблица размеров — Головные уборы

    Международный размер S M L XL XXL XXXL
    Российский размер 57 58 59 60 61 62
    Обхват головы, см 57 58 59 60 61 62

    Таблица размеров — Перчатки и рукавицы

    Международный размер S M L XL XXL
    Российский размер 20 22 24 26 28
    Обхват кисти, см 20 22 24 26 28

    Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

    Здравствуйте!

    Я, Людмила Анатольевна Фирмаль, бывший преподаватель математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института со стажем работы более 17 лет. На данный момент занимаюсь онлайн обучением и помощью по любыми предметам. У меня своя команда грамотных, сильных бывших преподавателей ВУЗов. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно: она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

    Срок выполнения разный: возможно онлайн (сразу пишите и сразу помогаю), а если у Вас что-то сложное – то от двух до пяти дней.

    Для качественного оформления работы обязательно нужны методические указания и, желательно, лекции. Также я провожу онлайн-занятия и занятия в аудитории для студентов, чтобы дать им более качественные знания.


    Моё видео:



    Вам нужно написать сообщение в Telegram . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.

    Сколько может стоить заказ?

    Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

    Какой срок выполнения заказа?

    Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

    Как оплатить заказ?

    Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

    Какие гарантии и вы исправляете ошибки?

    В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.


    Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.

    Теперь напишите мне в Telegram или почту и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения. Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.

    Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

    Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.

    После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

















    Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.

    В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!

    Жду ваших заказов!

    С уважением

    Пользовательское соглашение

    Политика конфиденциальности


    Why does Oneplus equal 3? – Reviews Wiki

    1=2 или наоборот 1 может быть замаскирован под 2 или 2 может быть замаскирован под 1. помните, что это может быть применено только к числу, существующему перед оператором. Следовательно 1+1=3 верно.

    Аналогично, кто изобрел математику? Архимед считается отцом математики из-за его заметных изобретений в области математики и естественных наук. Он состоял на службе у короля Сиракуз Иеро II. В то время он разработал множество изобретений.

    Оглавление.

    1. Кто отец математики?
    6. Заключение
    7. Часто задаваемые вопросы
    8. Внешние ссылки

    Oneplus one равен единице? Теоретически один плюс один не равен одному. Альберт Эйнштейн предположил, что вся материя не может быть ни создана, ни уничтожена. Если перед нами единица или х, она никогда не станет истинным нулем (0). То же самое можно сказать и о добавлении другого (x) к текущему (x).

    1/4 это четверть? Доля одной четверти, одна четверть, 25% золото 0.25; см. Квартал (значения)

    Кто изобрел ноль?

    Первый современный эквивалент цифры ноль происходит от индуистский астроном и математик Брахмагупта в 628 году. Его символом для изображения числа была точка под числом.

    тогда как Эйнштейн использовал математику? В то время, когда он задумывал общую теорию относительности, ему нужно было знание более современной математики: тензорное исчисление и риманова геометрия, последний разработан математическим гением Бернхардом Риманом, профессором в Геттингене. Это были важные инструменты для формирования мысли Эйнштейна.

    Кто крестный отец математики? Архимед известен как отец математики. Он жил между 287 г. до н.э. — 212 г. до н.э. Сиракузы, греческий остров Сицилия, были его родиной.

    Кватер — это слово?

    Quater — латинский термин, используемый в медицинских рецептах для значит четыре раза, как правило, в латинской фразе quater in die, что означает «четыре раза в день».

    Сколько стоит 6-й? Единицы количества

    одна шестая или .1(6) → единица, пункт (1) 0.1667
    одна шестая или 1 (6) до вложения, хет-трик 0.05556
    одна шестая или от 1(6) до полдюжины 0.02778
    одна шестая или 1(6) до декады, дикер 0.01667
    одна шестая или 1(6) до дюжины 0.01389

    Что такое третья часть чего-либо?

    Одна треть одна часть из трех равных частей. Когда вы разделяете объект или число на три части, вы делите их на три.

    Кто придумал Индию? Португальский исследователь Васко да Гама становится первым европейцем, достигшим Индии через Атлантический океан, когда он прибывает в Каликут на Малабарском побережье. Да Гама отплыл из Лиссабона, Португалия, в июле 1497 года, обогнул мыс Доброй Надежды и бросил якорь в Малинди на восточном побережье Африки.

    Кто изобрел пи?

    Пи, в математике, отношение длины окружности к ее диаметру. Символ π был изобретен Британский математик Уильям Джонс в 1706 году для представления отношения, а позже популяризировал швейцарский математик Леонард Эйлер.

    Кто изобрел Интернет?

    Компьютерные ученые Винтон Серф и Боб Кан им приписывают изобретение протоколов Интернет-связи, которые мы используем сегодня, и системы, называемой Интернетом.

    Сколько IQ у Альберта Эйнштейна? Результат 135 и выше ставит человека в 99-й процентиль населения. В новостных статьях IQ Эйнштейна часто оценивается как 160, хотя неясно, на чем основана эта оценка.

    Использовал ли Эйнштейн матрицы? Фундаментальные уравнения специальной и общей теории относительности Эйнштейна таковы: получено с использованием матричного исчисления, без помощи тензоров.

    Что Эйнштейн сделал для мира?

    Помимо своей работы по теории относительности, физик заложил научные основы бумажных полотенец, лазеров и других распространенных продуктов. Альберт Эйнштейн по праву известен тем, что разработал свою теорию относительности, которая произвела революцию в нашем понимании пространства, времени, гравитации и Вселенной.

    Кто такой бог математики? Хотя можно считать соперниками Аполлона и Гермеса, Афина кажется, имеет больше всего доказательств того, что он бог математики. В одной версии истории о рождении Афины изо лба Зевса Прометей держит голову Зевса, а Гефест рассек ее, чтобы освободить Афину.

    Кто мать математики?

    Нётер математическая работа была разделена на три «эпохи».

    Эмми Нетер
    Заслуги Премия Мемориала Аккермана – Тойбнера (1932 г. )
    Научная карьера
    Поля Математика и физика
    Учреждения Колледж Брин-Маура Геттингенского университета

    Каково полное имя Архимеда? Архимед Сиракузский (/ˌɑːrkɪˈmiːdiːz/; древнегреческий: Ἀρχιμήδης; дорический греческий: [ar.kʰi.mɛː.dɛ̂ːs]; ок. 287 — ок. 212 до н. э.) был греческим математиком, физиком, инженером, астрономом и изобретателем из древнего города Сиракузы на Сицилии.

    Является ли Quter словом Scrabble?

    Нет, катар отсутствует в словаре scrabble.

    Что такое четверти в математике? Главная > Математическая лексика > Четверть. Это то же самое, что одна четвертая или каждая из четырех равных или соответствующих частей, на которые что-то делится или может быть разделено.

    Что такое квартальный дом?

    Место для жизни людей, особенно если они военные, можно назвать кварталами. Если вы пойдете в армию, ваша квартира может быть похожей на общежитие, которую вы делите со многими другими людьми. Вы можете использовать это слово для общего обозначения «жилого помещения», хотя солдаты и слуги чаще всего живут в помещениях.

    Как найти длину окружности? Ответ на webmath.ru

    Содержание:

    • Формула
    • Примеры вычисления длины окружности

    Формула

    Чтобы найти длину окружности, нужно либо диаметр окружности умножить на $\pi \approx 3,1415926535 \dots$, либо найти удвоенное произведение радиуса и числа $\pi$.

    То есть нужно воспользоваться одной из формул:

    $l=2 \pi r \text { или } l=\pi d$

    Здесь $r$ — это радиус заданной окружности, а $d$ — диаметр, $\pi \approx 3,1415926535 \dots$. Радиусом окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой окружности. Диаметром называют отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Число $\pi$ — математическая константа , выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.

    Примеры вычисления длины окружности

    Пример

    Задание. Найти длину окружности, диаметр которой равен 3 см.

    Решение. Для вычисления длины заданной окружности воспользуемся формулой

    $$l=\pi d$$

    Подставляя в неё исходные данные, получим:

    $l=3 \pi \approx 3.14 \cdot 3=9.42$ (см)

    Ответ. $l=3 \pi \approx 9.42$ (см)

    Все формулы периметров Калькулятор длины окружности

    236

    проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

    Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

    Пример

    Задание. Найти длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороною $a=4 \sqrt{3}$ дм.

    Решение. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$. В нашем случае он будет равен

    $R=\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4$ (дм)

    Для нахождения длины рассматриваемой окружности воспользуемся формулой

    $l=2 \pi r$

    Подставляя в нее найденное значение радиуса и значение $\pi \approx 3. 14 \ldots$, окончательно получим

    $l=2 \cdot \pi \cdot 4 \approx 8 \cdot 3,14=25,12$ (дм)

    Ответ. $l=8 \pi \approx 25,12$ (дм)

    Остались вопросы?

    Здесь вы найдете ответы.

    Каким образом можно вычислить длину окружности при условии, что площадь круга (S) является известной величиной?

    Площадь круга (S) рассчитывается путем умножения числа Пи на длину его радиуса (R), возведенную в квадратную степень (S = ПR²). Из указанного равенства можно выразить радиус:

    R² = S/ П

    Если избавиться от квадратной степени, то получится:

    R = √(S/П)

    Длина окружности (L) рассчитывается путем умножения числа Пи на длину радиуса, и последующего умножения на два полученного в результате числа:

    L = 2ПR

    Если R = √(S/П), то L = 2П*√(S/П)

    Каким образом можно найти длину окружности, диаметр которой составляет 2 см?

    Длина окружности (L) представляет собой число, которое получено в результате умножения числа Пи на диаметр данной окружности:

    L = П*D

    В конкретном случае:

    L = 3,14*2 = 6,28 см.

    Ответ: Длина окружности с диаметром 2 см составляет 6,28 см.

    Дан квадрат, вокруг которого описана окружность. Ее длина составляет 12 Пи см. Как можно найти длину окружности, вписанной в этот же квадрат?

    Известно, что длина окружности (L) рассчитывается путем умножения на два произведения числа Пи и длины ее радиуса (R). Формула выглядит так:

    2ПиR

    Из данной формулы можно выразить радиус

    R = 12пи/2пи = 6 см

    Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 6 см.

    Теперь можно вычислить сторону квадрата, вокруг которого описана данная окружность. Ее длина составляет R корней из 2:

    а = 6 корней из 2.

    Рассчитываем длину малого радиуса (r), который равен половине длины стороны квадрата:

    r = а/2 = 6 корней из 2/2 = 3 корней из 2.

    Длина окружности, вписанной в квадрат, рассчитывается по той же формуле:

    L = 6 корней из 2 Пи.

    Каким образом можно вычислить длину окружности, а также найти ее площадь, при условии, что радиус этой окружности равен 30 см?

    Радиус окружности, равный 30 см, обозначается как R. 2 * √3 ÷ 4

    Зная площадь, мы получаем возможность вычислить длину стороны а. Она будет равна ± √48. Учитывая то, что сторона не может быть отрицательной величиной, можно говорить о том, что сторона а равна √48.

    После того как длина стороны стала известна, можно приступить к вычислению площади описанной и вписанной окружности. Для этого не достает еще одного элемента – длины радиуса.

    Радиус описанной окружности (R) равен длине стороны треугольника, разделенной на √3:

    R = √48 ÷ √3 = 4 см.

    Радиус вписанной окружности (r) можно получить, разделив на 2 радиус описанной окружности:

    r = 4/2 = 2 см.

    Вычисленные длины радиусов вписанной и описанной окружностей позволяют определить ее длину ℓ, которая равна произведению числа Пи и радиуса окружности, умноженному на 2:

    ℓ = 2πR

    В нашем случае длина описанной окружности рассчитывается как:

    ℓ= 2πR = 2π4 = 8π

    Длина вписанной окружности будет составлять:

    ℓ= 2πR = 2π2 = 4π

    Известно, что радиус окружности равен 12 см. Как вычислить ее площадь и длину при Пи=3,14?

    В условии задачи говорится о том, что радиус окружности R равен 12 см. Ее длина может быть вычислена посредством умножения на 2 произведения длины радиуса и числа Пи:

    C=2πR

    Известно, что число Пи – это константа, равная 3,14. Тогда длина окружности (С)высчитывается следующим образом:

    C=2*3*12=72 см

    Площадь окружности можно найти, умножив число Пи на длину ее радиуса, возведенную в квадратную степень:

    S=πR²=3,14*12²=3,14*144=452,16 см кв.

    Как можно вычислить радиус окружности и ее диаметр, если известно, что ее длина составляет 20 Пи см?

    По условию задачи длина окружности равна 20 Пи см. Зная формулу, по которой вычисляется длина окружности, можно записать следующее равенство:

    2Пи = 2ПиR

    Можно сократить Пи в обеих частях записанного равенства, в результате чего получится, что:

    2R = 20

    Теперь высчитаем, чему равна длина радиуса окружности:

    R = 20/2 = 10 см.

    Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2:

    D = R*2 = 10*2 = 20 cм.

    Длина дуги окружности составляет 6Пи см, при этом ее градусная мера равна 120 градусов. Каким образом можно вычислить радиус окружности?

    Полная градусная мера любой окружности равна 360 градусов. В случае, описанном в задании, градусная мера окружности составляет 120 градусов, что равно 1/3 части 360 градусов. Это позволяет сделать вывод о том, что длина окружности (L) может быть рассчитана следующим образом:

    L = 6Пи * 3 = 18Пи

    Формула, по которой вычисляется длина окружности, выглядит так:

    L =2пR

    Из данной формулы можно выразить радиус (R):

    R = L/2Пи

    В заданном случае длина радиуса будет равна:

    18Пи/2Пи = 9 см.

    Как на радиус окружности повлияет увеличение ее длины на 9,42 см?

    Обозначим прежнюю длину окружности как L, а новую – как L₁. Тогда можно записать следующее равенство:

    L₁ — L = 9,42 см

    Прежний радиус окружности примем за R, а новый ее радиус, который получится в результате увеличения длины, обозначим как R₁. Для того чтобы вычислить ее значение, следует сначала записать формулу, по которой вычисляется прежняя длина данной окружности:

    L = 2πR

    Тогда формула для вычисления новой длины окружности будет иметь такой вид:

    L + 9,42 = 2πR₁

    Отнимем от новой длины старую, и в итоге получим:

    2πR₁ — 2πR = 9,42 см.

    Перенесем 2Пи из левой части равенства в правую:

    R₁ — R = 9,42 : 2π = 1,5 см.

    Ответ: В результате увеличения длины окружности на 9,42 см ее радиус станет больше на 1,5 см.

    Как можно вычислить радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, зная то, что площадь данного треугольника превышает площадь окружности на 27√3-9π?

    Радиус окружности, которая вписана в правильный треугольник, обозначим r. Ее площадь (S) является произведением числа Пи и квадрата ее радиуса:

    S = πr²

    В случае треугольника, все стороны которого одинаковы, радиус вписанной в него окружности равен третьей части высоты, являющейся также и медианой.

    Площадь правильного треугольника рассчитывается так:

    Sтр = (1/2)*(2r/tg30)*3r = (1/2)*(2r√3)*3r = 3√3r².

    Согласно условию задачи 3√3r² = πr² + 27√3 — 9π.

    Перенесем πr² из левой части равенства в правую, изменив его знак на противоположный:

    3√3r² — πr² = 27√3 — 9π

    Вынесем в правой части равенства r² за скобки. То же самое сделаем с числом 9 в левой части равенства:

    r²(3√3 — π) = 9(3√3 — π)

    Сокращаем в обеих частях одинаковый множитель (3√3 — π) и получаем:

    r² = 9

    Таким образом, радиус окружности равен корню квадратному из 9:

    r =3 см.

    Дано две окружности, радиус одной из которых пятикратно превышает радиус другой. Каким образом вычислить радиус каждой из этих окружностей, если известно, что диаметр второй из окружностей на 240 мм меньше, чем диаметр первой?

    Обозначим радиус второй окружности буквой х. В данном случае радиус первой окружности нужно обозначить как 5х. Известно, что разница между длинами диаметров двух окружностей равна 240 мм. На основании этого можно составить следующее равенство:

    5х-х=240:2, что равно 4х=120

    Теперь можно найти значение х:

    х=120:4=30 мм.

    Таким образом, радиус второй окружности равен 30 мм. Это позволяет вычислить радиус первой окружности, который в 5 раз больше радиуса второй из них:

    30*5=150 мм.

    Как можно высчитать радиус окружности, когда известна ее градусная мера и длина дуги?

    Длина дуги обозначена как L. В качестве обозначения ее градусной меры используется α. Через R обозначена длина радиуса данной окружности. Формула расчета длины дуги выглядит так:

    L = πR · α / 180°

    Это же равенство может быть переписано следующим образом:

    πR · α = L · 180°

    Отсюда выведем радиус:

    R = L · 180° / (π·α).

    Как высчитать радиус окружности, длина дуги которой составляет 3,14 см, а ее градусная мера равна 18 градусам?

    Длина окружности (L) равна произведению числа Пи и радиуса, которое умножено на 2:

    L = 2Пиr

    Согласно заданию, длина дуги равна 3,14, что равно значению константы Пи.

    Дуга способна поместиться в длине окружности 2 пи r/пи =2 r раз

    Подставив в равенство значения, которые известны, мы получим:

    360:18=20 раз

    Длина окружности будет равна:

    3,14*20=20Пи

    2Пиr = 20Пи

    Сократим 2Пи в каждой из частей равенства и получим, что:

    r=10 см.

    Площадь круга составляет 169Пи см. Чему равна длина окружности в данном случае?

    Для решения поставленной задачи следует записать формулу расчета площади круга:

    S=πr2

    Эта величина указана в задании, и составляет 169Пи. Это значит, что:

    πr2 = 169π

    Можно сократить одинаковый множитель Пи в обеих частях равенства:

    r2= 169

    r = √169 = 13 см.

    Длина окружности обозначена С. Она считается по следующей формуле:

    С = 2πr

    Длина радиуса уже известна, и ее можно подставить в формулу расчета длины окружности:

    С = 2* π*13 = 26π см.

    В окружность вписан квадрат площадью 36 дм кв. Чему в этом случае будет равна площадь круга и длина окружности?

    Известно, что площадь круга представляет собой величину, равную длине стороны этого квадрата, возведенной во вторую степень Sкв = а². Это значит, что в данном случае а² = 36 дм. Для того чтобы найти значение а, нужно извлечь квадратный корень из 36:

    а = √36 = 6 дм.

    Длина диагонали (d) квадрата считается по приведенной ниже формуле:

    d = a√2 = 6√2 дм.

    Радиус (R)окружности, которая описана около квадрата, равен половине длины ее диагонали:

    R = d/2 = 3√2 дм.

    Площадь круга можно посчитать, умножив число Пи на квадрат его радиуса:

    S = πR² = π · (3√2)² = 18π дм. кв.

    Длина окружности рассчитывается посредством умножения на два числа Пи, после чего полученное число умножается на длину радиуса окружности:

    C = 2πR = 2π · 3√2 = 6√2π дм.

    Длина окружности составляет 3,5 дм. Диаметр второй окружности равен 5/7 ее диаметра. Как вычислить длину второй окружности?

    Ниже записана формула, которая используется для того, чтобы рассчитать длину окружности:

    С = Пи*d,

    где Пи – это константа, равная 3,14, а d – это диаметр окружности.

    Отношение длины первой окружности к длине второй окружности равно отношению их диаметров:

    C/C1 = d/d1

    d1 = 5/7 d

    В условии сказано, что длина первой окружности С = 3,5 дм. Таким образом:

    C1 = 5/7 *C = 5/7 * 3,5 = 2,5 дм.

    Длина радиуса окружности составляет 14 см. Какова будет ее длина при условии, что П=22/7?

    Для того чтобы узнать длину окружности (C), следует воспользоваться формулой, предназначенной для ее расчета. Она выглядит так:

    C = П*R*2

    Если подставить в эту формулу величины, которые даны по условию задачи, то получим:

    22/7*14*2=22/7*28/1=88 см.

    Ответ: Длина окружности равна 88 см.

    Какой будет длина окружности при условии, что ее половина составляет 25,5 см?

    Длина окружности равна длине ее половины, умноженной на 2. Это значит, что в данном случае нужно умножить число 25,5, обозначающее половину длины окружности, на 2:

    25,5*2 = 51 см.

    Круг имеет площадь Пи м кв. Какова будет длина окружности данного круга?

    Для вычисления длины окружности необходимо число Пи умножить на два и умножить на длину его радиуса (2πR). Для данной задачи это будет выглядеть следующим образом:

    2π · 3√2 = 6√2π дм.

    Для того чтобы посчитать площадь круга, необходимо умножить число Пи на радиус, взятый в квадрат (S = πR²). По условию задачи площадь круга равна Пи м кв. Это значит, что:

    πR² = π

    Из данного равенства можно выразить R

    R — √π/π = 1

    Зная длину радиуса, можно переходить к вычислению длины окружности (С):

    C = 2πR = 2π x 1 = 2π

    Ответ: Длина окружности равна 2π.

    Какова формула длины окружности, при условии, что длина ее радиуса составляет R?

    С целью вычисления длины окружности (С) используется приведенная ниже формула:

    C=2πR

    Ее составляющими является постоянное число Пи и радиус окружности (R), длину которой необходимо вычислить.

    Какова формула расчета длины окружности, диаметр которой составляет 15 см?

    Если длина диаметра окружности является известной величиной, то его нужно умножить на постоянное число Пи, равное 3,14, для того чтобы найти длину этой окружности. Формула выглядит так:

    С = πD

    В условии говорится, что диаметр окружности равен 15 см:

    С = 3,14 * 15 = 47,1 cм.

    Ответ: Длина окружности равна 47,1 см.

    В результате деления длины окружности на величину ее диаметра получается число, приблизительно равное 22/7. Каким образом можно высчитать длину окружности с диаметром 10 см?

    Для расчета длины окружности (С) нужно знать длину ее радиуса (R) или диаметра (d). Тогда могут быть использованы следующие формулы:

    C = 2πR или C = πd

    По условию задания d = 10 см, а π = 22/7. Тогда длина окружности будет равна:

    C = πd = (22/7) * 10 = 220/7 ≈ 31,4 см.

    В каком виде представлены формулы, которые используются для вычисления площади круга и длины окружности (через диаметр и через радиус)?

    В случае, если длина диаметра (d) или длина радиуса (R) окружности известны, то эти величины можно использовать для нахождения длины окружности. При этом следует воспользоваться одной из формул:

    С=πd или С=2πR.

    Эти величины также помогут вычислить площадь круга. Формулы выглядят следующим образом:

    S=πr² или S=π(d\2)².

    Можно ли вычислить длину диаметра окружности, если известна только ее длина?

    Нужно записать формулу расчета длины окружности, для того чтобы понять, существует ли взаимосвязь между этой величиной и диаметром окружности:

    L = π·d

    Очевидно, что длина окружности является результатом умножения числа Пи на длину ее диаметра.

    Если длина окружности известна, то ее можно использовать для определения диаметра (d). Это можно сделать следующим образом:

    d = L/π.

    Во сколько раз длина окружности превышает ее диаметр, и в каком виде представлена формула ее расчета через диаметр?

    Длину окружности (С) можно рассчитать через диаметр (d), если воспользоваться нижеприведенной формулой:

    С = π*d

    Это формула демонстрирует, что длина окружности больше длины ее диаметра в π раз. Именно отношение длины окружности к величине ее диаметра и является числом π.

    Какова формула вычисления отношения длины окружности к величине, означающей ее диаметр?

    Число π представляет собой константу, которая получается в результате деления длины окружности (С) на ее диаметр (d). В виде формулы это выглядит так:

    π = С/d

    Площадь круга составляет 185 см кв. Как вычислить 30% от длины окружности при заданных исходных?

    Располагая информацией о том, что площадь круга равна произведению числа Пи и квадрата ее радиуса (S=πr²), можно через нее выразить радиус:

    r² = S/π = 185/π

    Избавляемся от квадратной степени:

    r = √(185/π) см.

    Следующим шагом в решении задачи станет вычисление длины окружности, которая находится путем умножения на 2 числа Пи и радиуса окружности:

    С=2πr= C=2π√(185/π) = 2√(185π) см.

    На последнем этапе находим 30%. Принимаем всю длину окружности за 100%:

    2√(185π) — 100%

    х — 30%

    Тогда х можно найти следующим образом:

    х=(30*2√(185π))/100 = 0,6√(185π) см.

    Как выглядят формулы определения длины окружности через радиус и через диаметр? В какое количество раз длина диаметра окружности меньше ее длины?

    Существует две формулы, которые предназначены для расчета длины окружности (С). Они отличаются друг от друга тем, что элементом одной из них является радиус (r), а другой – диаметр (D):

    C=2Пr и C=ПD.

    Для того чтобы понять, во сколько раз длина окружности превышает длину ее диаметра, нужно произвести деление этих величин:

    С/D

    В результате получается число Пи, которое является постоянным и имеет значение примерно 3,14.

    Длина окружности, обозначаемая как L, может быть вычислена при условии, что известен ее диаметр (D). При этом следует воспользоваться формулой L = Пи*D. Можно ли использовать данную формулу с целью вычисления длины диаметра окружности, длина которой составляет 126 м. (число Пи считать равным 3)?

    Формула расчета длины окружности (С) через диаметр (D) выглядит так:

    С = Пи*D

    Исходя из условий задания, это равенство может быть записано в следующем виде:

    126=3*D

    Отсюда можно выразить диаметр:

    D=126:3=42 м.

    Читать дальше: как найти периметр квадрата.

    Adidas Adistar Raven 3 кроссовки, обзор, плюсы и минусы

    Adidas Adistar Raven 3 кроссовки, обзор, плюсы и минусы | SneakerWiki
    1. Каталог
    2.  /  
    3. Adidas
    4.  /  
    5. Adidas Adistar Raven 3

    Adidas Adistar Raven 3 купить со скидкой

    Открыть больше предложений


    5 причин купить

    • Легко закрепить ногу, потому что Raven 3 обладает прочной функцией на шнурке.
    • Обеспечивает большой комфорт для стопы благодаря толстой стельке, языку с мягкой подкладкой и секциям с мягкой подкладкой на лодыжке, благодаря наблюдению за горсткой бегунов.
    • Доступный в ярких цветах, которые заставляют обувь выглядеть более стильной.
    • По словам нескольких тестеров, меньше шансов соскользнуть с поверхности из-за хорошей тяги.
    • Использует высокоабразивную резину для превосходной долговечности, что также делает Raven 3 хорошей инвестицией.

    3 причины не покупать

    • Бегунам, которые хотят бегать на длинные дистанции, может не понравиться третье издание Adidas Adistar Raven.
    • Не совсем водостойкий по сравнению с обещанным.
    • Этот кроссовок не очень хорошо работает с глубокой грязью и может вызвать проблемы с вашей устойчивостью во время трейлинга.

    Обновление Adidas Adistar Raven 3

    • 3-я версия Adidas Adistar Raven дает бегуну превосходную производительность на трассах. Даже с его фасада можно однозначно увидеть, что эта обувь представляет собой высококачественную беговую дорожку, предназначенную для надежного обслуживания тех, кто ее носит. Прочные и эффективные технологии гарантируют, что шероховатость дорожек не соответствует их конструкции и назначению.
    • Верхний блок выполнен из текстиля и синтетических материалов, которые прочны и очень эффективны для защиты и надежного обтекания стопы. Бегун определенно чувствует себя полностью покрытым и обнимаемым верхом, всеобъемлющей системой наложения и воздухопроницаемой сеткой. По сути, верхняя часть этой обуви действительно создана для того, чтобы идти по следам.
    • Середина подошвы использует запатентованные технологии Adidas для создания надежной и гибкой платформы, на которой можно опираться ногой. Движение и эффективный подъем передней части стопы обеспечиваются пружинящей пеной для передней части стопы, в то время как амортизация осуществляется блоком в задней части обуви.
    • Подошва этой кроссовки использует некоторые из самых агрессивных технологий, характерных для следа, которые облегчают прохождение непредсказуемых путей. Благодаря очень универсальному внешнему слою обеспечивается сцепление со всеми видами поверхностей. Это также защищает обувь от повреждения или износа.
    МодельAdidas Adistar Raven 3
    Теги
    КомфортNAN% (0 оценок)
    КачествоNAN% (0 оценок)
    Размер40% (2 оценок)
    ШиринаNAN% (0 оценок)

    Adidas Adistar Ворон 3 размера и подходят

    Adidas Adistar Raven 3 имеет стандартную длину кроссовок. Мужские и женские версии выпускаются в размерах, которые соответствуют обычным измерениям. Доступная ширина средняя, ​​поэтому она подходит для бегунов, у которых ноги среднего размера. Его полукруглая форма также позволяет ноге хорошо адаптироваться к ней.

    подошва

    Подошва Adidas Adistar Raven 3 использует технологию ADIWEAR ™, которая является долговечным материалом, способным защитить обувь от износа и абразивного характера в непредсказуемой местности. Он не шелушится легко, поэтому он остается эффективным даже после многих применений. Этот материал подошвы также используется в Duramo 9 . Continental ™ Rubber — технология, которая в основном используется для гоночных шин. Он создан для обеспечения надежного сцепления на сухих и влажных поверхностях, поэтому предотвращается случайное проскальзывание. Его значительное использование в этом кроссовке очень помогает в управлении поверхностями. Adaptive TRAXION — это конструкция подошвы, специально предназначенная для трассы, которая позволяет бегуну лучше контролировать различные типы поверхностей. Это дает бегуну возможность уверенно преодолевать подъемы и спуски.

    Подошвы

    В технологии ADIPRENE® используется вспененный материал, обеспечивающий надежную защиту от ударных ударов при посадке ноги на землю. Это прежде всего помещено в область пятки, делая каждый удар пятки более приятным. ADIPRENE® + находится в области передней части стопы. Этот пенный блок действительно стимулирует движение бегуна, поэтому каждый шаг становится более отзывчивым и мощным. Слева становится взрывоопасной, ускоряя каждый опыт бега.

    верхний

    Прочный текстиль и синтетические материалы используются в верхней части Adidas Adistar Raven 3. В сочетании они обеспечивают надежное и всеобъемлющее покрытие, которое не теряет структуру легко. Система наложения соединяется непосредственно с шнурками, поэтому, когда они отрегулированы, вся верхняя часть следует за костюмом. Воздушная сетка является частью того, что делает эту нейтральную кроссовку дышащей и свободной от раздражающих теплых пятен. Он стимулирует попадание воздуха в обувь, чтобы нога всегда оставалась холодной и сухой. Верхняя часть techfit ™ создана для того, чтобы следовать естественной форме и движениям ног пользователя. Это делает внутреннюю секцию бесшовной и гибкой, предлагая подобие носка в процессе. Бегун может даже носить эту обувь без носков, и это не будет раздражать ногу. Анатомическая поддержка под ногами обеспечивается формованным вкладышем носка EVA, который придает контурам под ногами дополнительную амортизацию.

    • Снятые
    • местность тропинка Дорога Обувь лучше всего подходит для дорожной, легкой и гравийной дорожки. Смотрите лучшие дорожные ботинки . тропинка Обувь лучше всего подходит для трасс, бездорожья, гор и других неустойчивых поверхностей. Смотрите лучшие след обувь . Хорошо знать Пока вы придерживаетесь дороги или дорожки, и если вам нужна только одна кроссовка, купите дорожную кроссовку.
    • Поддержка арки нейтральный Нейтральный / подушка / высокая арка Обувь для бегунов, которые не нуждаются в дополнительной поддержке арки (около 50% бегунов). Лучше всего подходит для людей с нормальными, высокими или средне-высокими арками. Смотрите лучшие нейтральные ботинки . Стабильность / перенапряжение / нормальная арка Обувь для бегунов, которым нужна легкая или умеренная арочная поддержка (около 45% бегунов). Лучше всего для бегунов с низкой аркой. Смотрите лучшую стабильность обуви . Контроль движения / сильное перпронация / плоскостопие Обувь для бегунов, которым нужна большая поддержка арки. Лучше всего подходит для бегунов с плоскостопием. Посмотрите лучшие ботинки управления движением . Хорошо знать — Правило большого пальца: если вы сомневаетесь, покупайте нейтральную обувь, чтобы избежать травм.
      — Подробнее об арочной поддержке в этом видео .
      — Найдите свой тип арки, следуя инструкциям из этого видео .
    • использование Ежедневный бег Ежедневный бег Мягкая обувь для ежедневного легкого бега. Отличный комфорт. Смотрите лучшие ботинки для ежедневного бега. Соревнование Легкие кроссовки хороши для гонок, интервальных тренировок, бега на темпы и фартлек. Вот лучшие соревнования по кроссовкам. Хорошо знать Если вам нужна только одна пара обуви, купите обувь для ежедневного бега.
    • Цена 13000 руб
    • Вес Мужчины: 340 г Женщины: 289 г
    • Пятка к носку Мужчины: 10 мм Женщины: 10 мм Разница в высоте от пятки до передней части стопы, также известная как падение пятки, пружина пальца, пружина пятки или просто падение. Есть много мнений о том, что такое хорошая капля пятки. Мы не рекомендуем ничего конкретного. Узнайте больше в этом видео .
    • Высота каблука Мужчины: 33 мм Женщины: 33 мм
    • Высота передней части стопы Мужчины: 23 мм Женщины: 23 мм
    • ширина Мужчины: Стандарт Женщины: Стандарт
    • Дата выхода неизвестный

    Показать больше меньше фактов

    Как вам кроссовки Adidas Adistar Raven 3?

    Зарегистрируйтесь, чтоб редактировать описание

    Вход/Регистрация

    Самые популярные Adidas на этой неделе

    Adidas Yeezy 350 Boost Adidas

    Adidas Forum Low Adidas

    Adidas Superstar Adidas

    Adidas ZX 750 Adidas

    Шеврон Nike Air Jordan 1 x Off-White Фирменный мерч

    Ваше имя

    Ваш email

    Ваш email

    ЕГЭ по выбору: главные изменения и нюансы в 2023 году

    Учебный год только стартовал, но выпускники (а вместе с ними и родители с учителями) уже погрузились в удивительный мир КИМов, баллов и тестов. Наш постоянный блогер Михаил Ланцман продолжает рассказывать, к чему готовиться тем, кто планирует сдавать ЕГЭ следующим летом.

    На прошлой неделе мы уже сравнивали задания ЕГЭ прошлого и текущего годов по обязательным предметам. Теперь давайте внимательно пройдёмся по тем изменениям, которые произошли в свежих демоверсиях ЕГЭ по выбору. Пока это только проекты новых контрольно-измерительных вариантов (КИМов), окончательно их утвердят в ноябре. Без изменений в 2023 году ФИПИ оставил только ЕГЭ по географии.

    Спойлер: никаких критических усложнений и мин замедленного действия в свежих заданиях мы не увидели. В прошлом году неожиданных сюрпризов было значительно больше, и выпускникам 2022 года, «пролетевшим» в 2020 году из-за ковида мимо ОГЭ (его просто отменили), пришлось грызть гранит наук с двойным рвением, чтобы получить хорошие баллы на экзаменах. Следующий, 2023 год пока обещает быть спокойнее.

    Обществознание

    Увеличен максимальный первичный балл за выполнение экзаменационной работы — было 57, стало 58 баллов.

    В задании № 3 формулировка не изменилась, но уменьшен максимальный балл за выполнение задания — с 2 до 1 балла.

    Изменена формулировка задания № 18. Теперь не надо заучивать термины. Но это не значит, что задание упростилось — сформулировать сразу 3 признака тоже задача не из простых.

    Было:

    Стало:

    Детализирована формулировка задания № 25, а также увеличен максимальный балл — с 4 до 6. Как мы видим, задание стало больше «весить» и обросло довольно сложными формулировками. Преподаватели обществознания уже отметили, что с большой вероятностью у некоторых выпускников будут проблемы с тем, чтобы написать более развёрнутые обоснования с причинно-следственными и (или) функциональными связями, а в пункте 3 надо будет стараться попасть в заранее сформулированные для проверяющих экспертов ключи.

    Было:

    Стало:

    Федеральная сеть курсов ЕГЭ Lancman School («Ланцман скул») приглашает выпускников на очные курсы (занятия проходят в мини-группах по 4 человека), и на онлайн-занятия — для тех, кто хочет заниматься удалённо. Мы гарантируем каждому выпускнику поступление на бюджет в любой вуз России. В противном случае вернём всю сумму (условия прозрачно и чётко прописаны в договоре).

    Физика

    Количество заданий, время выполнения работы и максимальное количество первичных баллов — здесь без изменений. Есть небольшие косметические корректировки в 1-й части КИМа: интегрированные задания № 1 и № 2, включающие в себя элементы содержания не менее чем из трёх разделов курса физики, теперь стали заданиями № 20 и № 21 соответственно.

    Во 2-1 части ЕГЭ по физике расширена тематика задания № 30 (расчетных задач высокого уровня по механике). Кроме задач на применение законов Ньютона (связанные тела) и задач на применение законов сохранения в механике добавлены задачи по статике.

    Было:

    Стало:

    Химия

    Здесь тоже незначительные изменения: изменён порядок следования заданий № 33 и № 34 — задание на неорганическую химию теперь заключительное (формулировка осталась прежней).

    Задания № 9, 12 и 16 стали заданиями повышенного уровня сложности (формулировки и разбалловка — те же).

    Изменён формат предъявления условия задания № 23, ориентированного на проверку умения проводить расчёты концентраций веществ в равновесной системе: вместо табличной формы предъявления количественных данных все элементы будут представлены в форме текста. Таблицу теперь придётся рисовать самим, но в этом ничего сложного нет.

    Было:

    Стало:

    В задании № 32 немного по-другому представили формулу органического вещества.

    Было:

    Стало:

    Биология

    Заданий стало больше (29 вместо 28). Продолжительность осталась прежней. Максимальное количество первичных баллов теперь 58.

    В первой части проекта демоверсии изменено задание № 3.

    Было:

    Стало:

    Задания с кратким ответом, проверяющие знания на тему бактерий и вирусов, будут представлены в заданиях блока «Клетка и организм — биологические системы» (задания 5–8).

    Изменения в заданиях № 5 и № 6:

    Задания содержательного блока «Система и многообразие органического мира» первой части экзаменационной работы представлены единым вариативным модулем (задания 9–12), состоящим из комбинации двух тематических разделов: «Многообразие растений и грибов» (два задания) и «Многообразие животных» (два задания).

    Задания № 9 и № 10 теперь относятся к одной и той же картинке.

    Задания содержательного блока «Организм человека и его здоровье» в первой части экзаменационной работы собраны в единый модуль, состоящий из 4-х заданий (задания 13–16).

    Задания № 13 и № 14 теперь тоже по одной иллюстрации. По теме «Анатомия» теперь в КИМе четыре задания.

    Из второй части работы исключено задание № 24 на анализ биологической информации. Собран мини-модуль из двух линий заданий (задания № 23 и № 24), направленных на проверку сформированности методологических умений и навыков.

    История

    Добавили два задания — теперь 21 вместо 19. Время на выполнение работы прибавили — со 180 до 210 минут. Максимальный первичный балл тоже увеличен — с 38 до 42.

    В работу включено задание № 8 на проверку знаний фактов истории Великой Отечественной войны.

    Ещё одно новое задание № 20 — на проверку умения сравнивать исторические события, процессы, явления.

    При формировании экзаменационных вариантов история Великой Отечественной войны будет проверяться не только заданиями № 8 и № 17 (по нумерации 2023 года), но и будет широко представлена в других заданиях. Не менее 20% заданий экзаменационной работы будут включать в себя факты истории ВОВ.

    Уточнены критерии оценивания ответов на задания № 18 и № 19 (по нумерации 2023 года).

    Английский язык

    Сокращено с 20 до 18 количество заданий в разделе 3 «Грамматика и лексика». Уменьшено максимальное количество баллов за выполнение заданий № 1, 2, 10 и 11. Максимальный балл за верное выполнение заданий № 1 и № 11 теперь равен 3-м, за верное выполнение заданий № 2 и № 10 — 4-м баллам. Максимальный первичный балл за выполнение экзаменационной работы уменьшен со 100 до 86 баллов.

    Уточнены формулировки задания № 38 письменной части:

    Есть изменения в задании № 4 устной части.

    Было:

    Стало:

    В текущем году откорректированы также критерии оценивания задания № 37 письменной части и задания № 3 устной части.

    Литература

    Изменена формулировка задания № 9: снято указание точного количества правильных ответов, которое теперь в зависимости от анализируемого произведения (фрагмента произведения) может варьироваться от 2 до 4 (ранее в задании требовалось выбрать 3 правильных ответа из 5 предложенных).

    Скандал, который случился на ЕГЭ по литературе в 2022 году как раз из-за этого задания, всё-таки заставил разработчиков ФИПИ поработать над формулировкой. Жаль, что балл тем выпускникам, кто на экзамене в прошлом году анализировал стихотворение Беллы Ахмадулиной и столкнулся с некорректным заданием, так и не прибавили. Выпускникам 2023-го года, надеюсь, повезёт больше.

    Было:

    Стало:

    Информатика и ИКТ

    В свежей демоверсии ЕГЭ по информатике появились два совершенно новых задания. Все остальные корректировки не так важны.

    Задание № 6 теперь будет посвящено анализу алгоритма для конкретного исполнителя, определению возможных результатов работы простейших алгоритмов управления исполнителями и вычислительных алгоритмов.

    Было:

    Стало:

    Новое задание № 22 призвано привлечь внимание к параллельному программированию, технологиям организации многопроцессорных / многопоточных вычислений. Это задание будет выполняться с использованием файла, содержащего информацию, необходимую для решения задачи.

    Было:

    Стало:

    В следующий раз опубликую список самых типичных ошибок, на которые обратили внимание эксперты на ЕГЭ в прошлом году. Ознакомившись с этим анализом, вы будете точно знать, на какие грабли точно не надо наступать летом 2023 года. Подписывайтесь на мой блог, чтобы не пропустить все самое важное и полезное.

    Вы находитесь в разделе «Блоги». Мнение автора может не совпадать с позицией редакции.

    Иллюстрация: Vectorium / shutterstock / fotodom

    Иосиф Сталин 3 (ИС-3)

    Советский Союз (1944 г.)


    Тяжелый танк – 2311 построено

    Вершина линейки советских тяжелых танков

    ИС-3 лишь внешне отличался от предыдущих тяжелых танков, с родословная, включающая КВ-1 (1939 г.), КВ-1С, КВ-85, ИС-1 и ИС-2. ИС-3 имел новую переднюю часть корпуса и новую форму башни, которая на сегодняшний день стала визитной карточкой всех послевоенных советских танков. Из-за множества проблем производство было прекращено, и за ним последовали тяжеловесный ИС-4, прототипы ИС-6, ИС-7 и, наконец, ИС-10 (переименованный Т-10 после смерти Сталина). Из-за плохой подвижности русские пришли к тем же выводам, что и их западные коллеги, в отношении тяжелых танков. От этого класса машин отказались и на Западе после 1953 после того, как первые ОБТ крейсерского типа показали новый путь.

    Привет, дорогой читатель! Эта статья требует некоторого внимания и внимания и может содержать ошибки или неточности. Если вы заметили что-то не на своем месте, пожалуйста, сообщите нам!

    «Щука»

    Как только с конвейера завода сошел первый ИС-2, постановлением № 5583 от 8 апреля 1944 г. была запрошена замена, получившая обозначение Иосиф Сталин 3. Ответственность поначалу несла та же конструкторская группа ЧТЗ на проектирование опытного образца (Объект 703) в Челябинске. В качестве примечания другая машина также получила обозначение ИС-3 (Объект 244), обычный ИС-2, оснащенный длинноствольной 85-мм (3,35 дюйма) пушкой Д-5Т-85-БМ, которая имела гораздо большую скорость, чем 122. мм (4,8 дюйма). Позже проект был закрыт. Новый ИС-3 сохранил то же орудие, что и ИС-2, но полностью переработал защиту. Проект в итоге был выполнен на конкурсной основе между заводом № 100 под руководством Ж.Я. Котиным и А. С.Ермолаевым, и конструкторское бюро Челябинского Кировского завода, возглавляемое Н.Л.Духовым и М.Ф.Бальжи. В результате получилось два дизайна.
    г. Г.Н.Москвин и В.И.Таротко с завода № 100 решили не сильно отступать от типовой конструкции ИС-2, но верхняя лобовая часть корпуса была выполнена из двух соединенных и сильно наклоненных наклонных бронелистов, сходящихся под большим углом . Поверх плит шла крыша треугольной формы, наклоненная под углом 7°. Непосредственно над водителем имелся аварийно-спасательный люк. Впоследствии такая конструкция носа получила прозвище «щучий нос», а позже и сам танк экипажи стали называть «щукой».
    С другой стороны, главный инженер ЧКЗ Ж.Я.Котин, используя опыт экспериментальных «Объекта 244», «Объекта 245» и «Объекта 248», переделал башню в более простом виде, в основном полусферическую, более низкую, но с значительный уклон под любым углом. Но в обоих случаях корпусной пулемет был исключен, высвободив пространство, позволив более разумно управлять внутренним пространством и улучшив компоновку лобового броневого листа.

    Прототипы

    Первый прототип начал первые ходовые испытания 28 октября 1944 на Калмакском полигоне, но выявил серьезные недостатки и был возвращен на завод для доработок. Испытания были возобновлены в ноябре с обычным пробегом в 1000 км (620 миль), но снова выявили серьезные проблемы, в частности с трансмиссией и двигателем. Второй прототип заменил дизель В-11 на В-2-ИС, но шасси осталось без изменений, хотя и немного удлинилось. Ходовые испытания проводились с 18 по 24 декабря 1944 г., но также выявили некоторые недостатки, которые необходимо было исправить.
    Тем временем специалисты ЦНИИ-48 изучили обе конструкции и предложили совместить их особые преимущества, а именно «щучью» лобовую броню завода 100 и новую конструкцию куполообразной башни ЧКЗ. Окончательный проект получил название «Кировец-1», и директор ЧКЗ И.М.Зальцман рассчитывал сдать эту новую модель до финальной Победы. Приказом № 729 от 16 декабря 1944 г. завод должен был поставить десять предсерийных машин, из которых 10 должны были быть поставлены до 25 января 1945 г.

    Конструкция

    Ходовая часть практически не изменилась, хотя в конструкцию были заложены сварные двухкомпонентные конструкции, усиления под 6 цельнометаллических обычных двойных катков с индивидуальной торсионной подвеской, 2 направляющих колеса, выполняющих роль передних направляющих, и задние ведущие колеса со съемными венцами. из 14 зубов. Однако, как показывают наложенные планы, разрыв между отдельными тележками был немного больше. Также было по три двойных возвратных ролика с каждой стороны. Гусеницы также не изменились, их ширина по-прежнему составляла 160 мм (6,3 дюйма). Однако большое изменение коснулось компоновки передней части корпуса: «щучий нос» состоял из двух наклонных листов под большим углом к ​​вертикали. Верх придавался наклону назад, широкие погоны соответствовали башне.
    Боковые стороны корпуса также были в значительной степени наклонены и хорошо наклонены, что позволило отказаться от использования ранее хранения оборудования на больших брызговиках, хотя их все еще можно было хранить внутри. В задней части агрегат силовой передачи сделали более доступным, а механика-водителя перенесли на центральную ось танка. Его верхний люк был оборудован приборами обзора, и у него также был доступ к дополнительному аварийному люку на нижнем этаже.

    Чехословацкий ИС-3, 1956 г.
    Другим отличием от предыдущих моделей была башня. Он был полусферическим, чашеобразным, больше ширины самого резервуара и представлял собой ярко выраженную неуклюжую форму. Эта форма, позже упрощенная, стала торговой маркой всех советских танков времен холодной войны, и ее до сих пор можно узнать в новейших российских ОБТ. Лобовая часть башни была более узкой, а маска орудия была цельной (а не приваренной, как в предыдущих башнях). В задней части помещался двухсекционный люк овальной крыши. Командирская башенка исчезла, но для лучшего угла обстрела была разработана новая кольцевая установка крупнокалиберного зенитного пулемета ДШК.
    Справа были установлены смотровые перископы МК-4, а люк командира получил смотровой прибор ТПК-1. Еще один МК-4 разместили слева вверху башни, для наводчика. Башня имела электрическое перемещение с максимальной скоростью поворота 12 градусов в секунду. Были приварены десять поручней, две горизонтальные посередине и четыре вертикальные к задней части башни, для перевозки солдат. У этого конкретного дизайна было два фона. Во-первых, это значительно уменьшило рабочую высоту, особенно для заряжающего, а низкий профиль также уменьшил максимальное склонение основного орудия.
    Вооружение состояло из той же 122-мм (4,8 дюйма) пушки Д-25Т обр. 1943 г., 48 калибров, с двухкамерным дульным тормозом и горизонтальным полуавтоматическим затвором. Прицельная дальность (с оптическим прицелом ТС-17) составляла 5000 м (5450 ярдов). Однако скорострельность составляла 2-3 выстрела в минуту, все же во многом уступая немецким и вообще западным танкам. При этом раздельный боекомплект состоял всего из 28 выстрелов, 18 осколочно-фугасных и 10 бронебойных снарядов. Рядом с пушкой в ​​неподвижном литом кожухе располагался один вспомогательный пулемет ДТ, стрелявший трассерами (954 патрона в 15 магазинах типа «сырница»), а ДШК 300 патронов лентами по 50.
    12-цилиндровый 4-тактный V-образный дизель В-2 ИС-3 выдавал 520 л.с. при 2200 об/мин. Он питался от двух внутренних 450-литровых баков с системой безопасности, активируемой изнутри в случае пожара, и обычных внешних четырех боковых баков, а также двух небольших баков на заднем склоне. Обычно там же проходил стальной трос. Старая трансмиссия имела сухой многодисковый фрикцион, 8-ступенчатую коробку передач с двухступенчатым и двухступенчатым планетарным механизмами поворота. Плавающие тормоза имели чугунные стальные ремни. Бортовые передачи имели простые понижающие передачи и планетарные передачи. Внутренняя связь обеспечивалась переговорным устройством ТПУ 4бис, а внешняя — радиостанцией F10 RC-26.

    Действующая служба

    От последних дней Второй мировой войны до начала холодной войны

    Поскольку ИС-3 во многом отличался от предыдущих моделей, впервые потребовалось серьезное переоснащение. На это потребовалось время, и только в мае 1945 года первые три предсерийные машины сошли с завода, чтобы немедленно отправиться в бой в Германии, в руки отдельного гвардейского батальона. Однако, когда они прибыли, мир уже был подписан. Слухи о бое в пути с изолированным подразделением Jadgpanthers после капитуляции остаются неподтвержденными большинством источников.
    К моменту августовского вторжения в Маньчжурию было готово гораздо больше ИС-3, но мало свидетельств их участия в этих событиях. ИС-3 был танком времен холодной войны того же поколения, что и британский «Центурион» и американский «Першинг». Все три были задуманы для борьбы с новейшими немецкими танками, но оказались на противоположных фронтах и ​​имели долгую карьеру в период холодной войны.
    У Сталина, однако, были другие планы на эти танки, гордо продемонстрированные 7 сентября 1945 года во время военного парада в Берлине. Все они входили в состав 71-го гвардейского тяжелого танкового полка 2-й гвардейской танковой армии. Они также впервые прошли парадом в Советском Союзе 7 ноября 19 года.46, а на Красной площади в следующем году. Экспертная оценка ИС-3 была значительно выше реальных возможностей танка, т. к. третьего Сталина преследовали дефекты и неустраненные проблемы, оставшиеся от устаревшей и проблемной трансмиссии, доставшейся в наследство от КВ-1, новые проблемы, вызванные принятие плохо приспособленного тяжелого орудия (со слишком маленьким боезапасом и очень низкой скорострельностью). Сборка
    также была проблематичной, боковые элементы задней части корпуса, приваренные вокруг моторного отсека, имели тенденцию к растрескиванию. В результате производство было прекращено летом 1946 и в итоге остановился на 2311-й машине.

    ИС-3М

    Первый шаг к модернизации (ИС-3М) был сделан в 1948 году, с усиленными кронштейнами двигателя, измененной опорой коробки передач, усиленной подбашенной плитой, улучшенной конструкцией главного фрикциона, улучшенной герметизацией и ролики главной передачи. Радио также было модернизировано, но вес в итоге вырос до 49 тонн. Вторая волна модернизаций пришлась на пятидесятые годы, когда была повышена жесткость кузова за счет введения стержней жесткости в кормовой части корпуса и раскосов в днище и днище коробки передач. Пулеметы были заменены на ДШКМ и ДТМ.
    Установлена ​​новая крышка поворотного люка командира, установлен прибор ночного видения ТВН-2 для механика-водителя. Двигатель также был заменен на B-54K-IC мощностью 520 л.с., обслуживающий воздухоочиститель двойного назначения 2-VTI. Другие модификации включали модифицированную систему смазки, систему охлаждения и обогреватель НИКС-1 с электроприводом, усиленную опору катков и направляющих роликов, а также двухпроводную схему аварийного освещения электросистемы. Была полностью модернизирована система управления выстрелами, установлены радиостанция Р-113 и переговорное устройство Р-120. В течение семидесятых-восьмидесятых годов ИС-3М постепенно переводились в действующий резерв, затем на склады.

    Карьера времен холодной войны

    ИС-3М участвовал в Венгерской революции 1956 года (несколько потерян в Будапеште). Другие страны Варшавского договора получили ИС-3, такие как поляки (два для испытаний), чехи (один для военного училища) и «аффилированные страны» на Ближнем Востоке, такие как египтяне. Египетские ИС-3М (около 100 ИС-3 плюс около 60 ИС-3М) принимали участие в войне 1967 года, некоторые из них были уничтожены в пути истребителями-бомбардировщиками ЦАХАЛа, сбросившими напалм.
    Они входили в состав 7-й пехотной дивизии, занимавшей позиции на линии Хан-Юнис-Рафах, и еще 60 танков действовали в составе 125-й бронетанковой бригады, дислоцированной возле Эль-Кунтилли. Многие были просто захвачены в относительно хорошем состоянии и подкрепляли молодые силы ЦАХАЛа после войны, превращаясь в тракторы, БРЭМ или бетонные доты на «линии Бар-Лев» вдоль Суэцкого канала или возле Порт-Саида до 19-го века.73 Война. Многие из них были возвращены их бывшим владельцам после войны.

    Галерея



    WW2 Советские танки. Советские танки. )185 км (115 миль)

    ИС-3 обр.1944 г. техн.

    Размеры (Д-Ш-В) 90,85 x 3,09 x 2,45 м (32,32 x 10,14 x 8,04 фута)
    Общий вес в боевой готовности 45,7 т
    Экипаж 4 (командир, заряжающий, наводчик, водитель)
    Г В-2-1С дизель V12 600 л. с. (450 кВт)
    Скорость 40 км/ч (25 миль/ч)
    Подвески Поперечные торсионные рычаги
    Вооружение Основная: 122-мм (4,8 дюйма) пушка Д25Т
    Дополнительно: 12,7-мм (0,5 дюйма) зенитный пулемет ДШК
    1 или 2 × 7,62-мм (0,3 дюйма) пулемета
    Толщина брони 60–175 мм (2,36–6,89 дюйма)
    Производство 2311


    Иосиф Сталин 3 обр. 1944 г., из отдельного гвардейского тяжелого танкового полка прямо с завода и направляется в Берлин, май 1945 г.

    ИС-3 из 71-го гвардейского тяжелого танкового полка, парад в Берлине, 19 сентября.45.

    ИС-3М в Одессе, 1948 г.

    ИС-3 с лишней, груболитой башней, 1948 г.

    ИС-3М на границе с Китаем, 1972 г.

    Один из двух польских ИС-3, испытанных после войны. Оба сохраняются в статическом отображении.

    Египетский ИС-3М из состава XX стрелковой дивизии, Война 1967 года.

    ИС-3: обзор, характеристики, сравнение

    Добавить к сравнению Автомобиль добавлен к сравнению Добавить конфигурацию автомобиля к сравнению В сравнение добавлена ​​конфигурация автомобиля

    Добавить автомобиль в базовой комплектации к сравнению Удалить автомобиль из сравнения Добавьте автомобиль в его текущей комплектации к сравнению Убрать машину из сравнения

    Серийное производство машины началось в мае 1945 года. 7 сентября 1945 года танки ИС-3 приняли участие в Параде Победы союзников в Берлине. Всего к концу 1946 года, когда производство было свернуто, было изготовлено 1170 машин. С 1948 по конец 1950-х годов танки прошли ряд модернизационных переоборудований.

    Показан в

    Линия фронта: лучшие танки для атаки Веселые танки (VIII–X уровни)

    Командир

    Командир

    Радист

    стрелок

    Водитель

    Погрузчик

    Огневая мощь

    HP Урон

    мм Пробивание брони

    0}»> л. с./мин Урон в минуту

    0, «спецификация_дельта-хорошо»: $данные с Время сведения

    0, «спецификация_дельта-хорошо»: $данные м Разброс на 100 м

    0}»> шт Боезапас

    Мобильность

    0}»> / 0}»> / т Ограничение веса/нагрузки

    0}»> л.с. Мощность двигателя

    0}»> л. с./т Удельная мощность

    км/ч Максимальная скорость

    0}»> град/с Скорость перемещения

    0}»> град/с Скорость поворота башни Скорость поворота орудия

    Живучесть

    0}»> HP Очки жизни

    / / мм Броня корпуса

    0}»> / 0}»> / 0}»> // мм Броня башни

    0, «спецификация_дельта-хорошо»: $данные с Время ремонта подвески

    Зрение

    0}»> м Диапазон просмотра

    0}»> м Диапазон сигналов

    Характеристики указаны для машин со 100% обученным экипажем.

    ИС-3 | Оружейные системы.net



    Обзор


    ИС-3

    Восстановленный ИС-3 выставлен на всеобщее обозрение в 2010 году.
    Источник: Adamicz — © Attribution Attribution Attike Alike Лицензия

    Origin

    Советский Союз

    Тип

    Тяжелый резервуар

    Внедренный сервис

    1945

    astlete

    Development

    9000

    9000 9000

    .0007 Советский Союз

    Производство

    Апрель 1945 г. — июль 1946 г.

    Производитель

    Советский Союз — ЧТЗ (Челябинский тракторный завод)

    Номер выпуска

    2. 305

    Обозначения

    Объект 703 (индекс ГАБТУ)
    Кировец-1 (Дизайн-проект)
    Щука (псевдоним)
    Русский «щука»
    ИС-3 обр 1960 г. (ИС-3М)

    Известные пользователи

    Советский Союз
    Египет
    Северная Корея

    Описание


    Введение

    ИС-3 — советский тяжелый танк времен холодной войны. Он был разработан на более поздних этапах Второй мировой войны, но было слишком поздно для использования в бою. Впервые его увидели во время советских парадов Победы в Берлине. ИС-3 — это то, что в советской доктрине называют танком прорыва. Идея состоит в том, чтобы использовать дальнобойный артиллерийский огонь, будучи невосприимчивым к ответному огню из-за тяжелой лобовой брони. В отличие от других советских танков ИС-3 не предназначен для использования против пехоты.

    Компоновка

    ИС-3 является дальнейшим развитием ИС-2. Шасси, автокомпоненты и основное вооружение идентичны ИС-2 поздних серий. Пакет брони был значительно переработан. ИС-3 выглядит очень грозно с куполообразной башней и V-образным лобовым стеклом. На ИС-3 не хватало стабилизатора, ночного видения и качественной системы управления огнем. В более позднем Т-10 эти недостатки были устранены.

    Огневая мощь

    ИС-3 вооружен мощной 122-мм нарезной танковой пушкой Д-25Т. Всего перевозится 28 снарядов. Снаряды и заряды заряжаются отдельно. Обычная смесь — 18 бронебойных и 10 осколочно-фугасных снарядов. Стабилизатора нет. В качестве спаренного орудия установлен 7,62-мм пулемет ДТМ. На крыше башни установлен крупнокалиберный 12,7-мм пулемет ДШК.

    Защита

    При появлении ИС-3 был почти непроницаем для танков союзников/НАТО и противотанковых орудий по лобовой дуге. У ИС-3 очень толстая броня, лобовая часть маски и башни составляет 250 мм. Кроме того, пакет брони сформирован таким образом, чтобы обеспечить максимальную защиту брони. С появлением основных боевых танков НАТО со 105-мм пушкой L7 и более мощным противотанковым управляемым вооружением основное преимущество ИС-3 было сведено на нет.

    Мобильность

    ИС-3 не хватает мобильности. Максимальная скорость довольно низкая и составляет 40 км/ч по дороге, но практическая скорость в поле составляет около 15 км/ч. Расход топлива высокий. В умеренном климате дизель В-2 вполне надежен, но в условиях пустыни оказался склонным к перегреву.

    Пользователи

    ИС-3 использовался Советским Союзом. В 1950-х и 1960-х годах находился на передовой. Он служил в роли резерва до 1980-х годов. Египет был основным потребителем экспорта. 100 ИС-3М без модернизации двигателя, но с пылезащитными юбками использовались во время Шестидневной войны 1967 года. Некоторые были захвачены Израилем.

    Детали


    ИС-3М

    Вид спереди бывшего советского ИС-3М на всеобщее обозрение в России.
    Источник: Кузьмин Виталий Владимирович — © GNU Attribution Share Alike license

    Список модификаций ИС-3

    ИС-3

    Базовая серийная модель тяжелого танка ИС-3.

    ИС-3К

    Командирский вариант тяжелого танка ИС-3 с дополнительной радиостанцией Р-112 с дальностью действия 100 км.

    ИС-3М

    Модернизация существующего парка ИС-3 с 1950-х по 1960-е годы. Особенности конструкции, пассивный ИК для водителя, крупнокалиберный пулемет ДШКМ и радиостанция ближнего действия Р-113. Обновление 1960 года добавляет двигатель В-54К-ИС, заимствованный у Т-54.

    ИС-3МК

    Командирский вариант ИС-3М.

    Факты ИС-3

    Общий

    Происхождение

    Советский Союз

    Тип

    Тяжелый танк

    Crew

    4 (Commander, Driver, Gunner, Loader)

    Demensence

    9000 9000

    . -3

    49 T Combat Load для IS-3M

    Длина

    9,85 м. В целом

    6,90 м корпус

    Ширина

    3,15 м

    Высота

    2,45 м.

    122 мм D-25T OBR 1943 48 Caliber Rifled Cannon

    Mount

    Основной пистолет

    боеприпасы

    28 Оболочки

    Возвышение

    -3 ° до +20 °

    Traverse

    360 ° 9000 7 ° до +20 °

    0008

    Stabilizer

    No

    Coaxial armament

    Type

    7. 62mm DTM machine gun

    Mount

    Coaxial

    Ammunition

    756 rounds, 63 ready to fire

    Traverse

    Elevation and traverse as main Вооружение

    Стабилизатор

    Промежуточное вооружение

    Тип

    12,7-мм крупнокалиберный пулемет ДШК

    Установка на крыше

    Башня 9 на башне0008

    боеприпасы

    250 раундов, 50 готово к огню

    Traverse

    Руководство Traverse and Leartation

    Стабилизатор

    NO

    Chassis

    . и ведущей звездочки сзади

    Давление на грунт

    0,85–0,87 кг/см²

    Подвеска

    Торсион

    Автомобили

    Двигатель

    Дизельный двигатель В-2-ИС на ИС-3

    Дизельный двигатель В-54К-ИС на ИС-3М

    Выходная мощность

    520 л.с. при 2200 об/мин

    Fuel

    425 L + 360 L Внешний

    Мобильность

    Скорость

    40 км/ч на дороге

    16 км/ч Cross Country

    Диапазон

    315 ​​км на дороге

    1507 Cross Country

    315 ​​км на дороге

    1507.

    Соотношение мощности и веса

    11 л.с./T

    Преобразование препятствий

    Заземляющий просмотр

    0,45 M

    1,0 M

    2,5 M

    Gradient

    32 DEGREES

    2,5 M

    . Защита

    Тип брони

    Сталь литая и прокатная

    Гласис

    110 мм под углом от 55° до 72°

    Борта корпуса

    90 мм Верх корпуса 90 90 8 0

    0007 20 mm

    Hull bottom

    20 mm

    Mantlet

    250 mm

    Turret front

    250 mm

    Turret sides

    110 mm

    Turret roof

    20 mm

    NBC system

    None

    Дымовая система

    Нет

    Оборудование

    Ночное видение

    Пассивная ИК для водителя в ИС-3М

    Радио

    Нет в ИС-3

    008М

    91307 913070007 Р-112 в ИС-3К/КМ

    Носитель


    ИС-3М


    ИС-3М на выставке в бельгийском музее.
    Обратите внимание на куполообразную башню и заостренную V-образную лобовую плиту.

    Источник: Paul Hermans

    Авторское право: GNU Attribution Share Alike license

    ИС-3М


    Бывший египетский ИС-3М на выставке в музее в Израиле

    Источник: Буквоед

    Share Alike license

    ИС-3М


    Восстановленный ИС-3М выставлен на всеобщее обозрение в 2018 г.

    Источник: Кузьмин Виталий В. в 2018 г.

    Источник: Кузьмин Виталий В.

    Авторское право: GNU Attribution Share Alike license

    ИС-3М


    Восстановленный ИС-3М выставлен на всеобщее обозрение в 2018 г.

    Источник: Кузьмин Виталий В. 90 Лицензия GNU Attribution Share Alike

    ИС-3М


    Бывший советский ИС-3М, вид справа, выставленный на всеобщее обозрение в России.

    Источник: Кузьмин Виталий В.

    Авторское право: GNU Attribution Share Alike license

    ИС-3М


    Восстановленный ИС-3М выставлен на всеобщее обозрение в 2018 году.

    Источник: Кузьмин Виталий В. Аналогичная лицензия

    < Предыдущий > Следующий

    Танк ИС-3 | Оружие и боевые действия

    «И для чисто визуального воздействия я бы рекомендовал всем встать перед ИС-3 в Абердине и подумать, что бы это значило, если бы на вас налетела голова этой щуки. ИС-3, кстати, был не очень хорошим танком, но выглядит мощно», — Роберт Слейтон. ИС-3 с той же 122-мм пушкой, но полностью переработанным бронированием корпуса и башни. Питер Гадджин в своей книге Armoured Firepower (Саттон, 19 лет).97) комментирует, что «его появление на параде Победы в Берлине в сентябре 1945 года, однако, вызвало значительный шок у западных наблюдателей, которые знали, что в арсеналах их собственных армий не было ничего столь же мощно вооруженного или хорошо бронированного».

    По мнению большинства, ИС-3 не был особенно удачным проектом. Несмотря на то, что он представлял собой революционную конструкцию по конфигурации брони, он страдал, даже по советским меркам, плохим размещением экипажа и «боевостью», а его двигатель и трансмиссия были явно ненадежными. Он никогда не заменял ИС-2 на вооружении и, в свою очередь, был заменен ИС-5 / Т-10.

    Несколько стран получили ИС-3, в первую очередь египтяне, которые использовали их в 1956 и 1967 годах, но без особого успеха. ИС-3 были выпущены на экспорт, когда ИС-5/Т-10 заняли свое место в советском арсенале, но поскольку их было произведено относительно немного, мало кто из других стран получил их.

    В начале октября 1956 года у берегов Мальты было перехвачено польское сухогрузное судно, на борту которого оказалось пятьдесят ИС-3, которым разрешили следовать. 29 декабря ни одно из подразделений египетской армии не имело боевой готовности с этими ББМ.Октябрь, когда начались боевые действия. Вероятно, 11 египетских дивизионов ИС-3 (по 22 ББМ в каждом) участвовали в войне 1967 года, небольшое количество боевых танков Т10 также участвовало в этой войне (по крайней мере, три экземпляра были переданы американским и британским властям для испытаний). ) сообщения отличаются тем, что они были египетскими или сирийскими. В 1970-х годах небольшое количество T10 присутствовало на парадах в честь Дня революции, в то время как в справочной документации ООН за период 1970-80-х годов упоминалось небольшое количество танков на вооружении Сирии.

    ИС-3 в бою Второй Мировой?!

    Согласно Стиву Залоге и Питеру Сарсону в книге «Тяжелый танк ИС-2 1944-1973» (New Vanguard Issue 7) «к концу войны в Европе не было готово значительного количества ИС-3». (стр. 17) и Стив далее заявляет, что «Хотя в российских публикациях были сообщения о том, что ИС-3 использовались во время Берлинской кампании 1945 года, недавние исследования показывают, что это не так». (Military Ordnance Special Number 20, Darlington Productions, Inc.) Однако, с другой стороны, Джордж Сороковой описывает действия 12-13 апреля 1945 в немецкой обороне Флоридсдорфского моста в Вене. В этом бою оберштурмфюреру СС Арнольду Фризену приписывают подбитый ИС-3 из своей «Пантеры». (Джордж Сорок, «Танковые бои, от Великой войны до Персидского залива», Alan Sutton Publishing Ltd, 1995, стр. 183-190). Я полагаю, что ссылка г-на Сорока зависит главным образом от статьи майора Питера Р. Мансура в Armor за январь-февраль 1986 года. Предположительно, Фриссен опознал ИС-3, прежде чем подбить его с помощью немецкого руководства по опознаванию ББМ (танк был подбит из засады с близкого расстояния. Засада была заложена после того, как танк был обнаружен и отступил Фриссеном пешком .)

    До окончания войны было построено всего несколько ИС-3. Первая испытательная группа ИС-3 выехала за ворота завода в середине мая 1945 года. Вопреки мнению Запада (обычно я слышу об ИС-3, увиденных на улицах Вены), танки ИС-3 не участвовали в боях на Восточном Фронт. Участие ИС-3 в боях на Дальневосточном фронте (в августе 1945 г.) до сих пор не подтверждено: был отправлен один танковый полк танков ИС-3, но советский боевой учет этого не подтверждает.

    #

    Непрерывный анализ боевых характеристик танков, в частности расположения и характера наносимых им повреждений, привел к созданию танка ИС-3. Это должен был быть последний советский тяжелый танк, произведенный во время войны. Дизайн автомобиля был основан на идеях, которые разрабатывались двумя отдельными командами.

    Один под Котином разработал необычную лобовую броню гласиса. Он состоял из двух пластин, сваренных вместе под углом и спускавшихся вниз к передней части автомобиля, что его создатели назвали «щучьим носом». Конструкция уменьшила вес танка, но, как надеялись, повысила прочность корпуса и его устойчивость к огню противника. Другая группа под руководством Н. Л. Духова разработала башню радикальной формы с закругленной чашей, в которой размещалась 122-мм (4,8 дюйма) пушка. Эта радикальная форма повысила защиту за счет отражения кинетической энергии летящих снарядов, а также улучшила внутреннюю компоновку башни и, следовательно, боевую эффективность танка.

    Решение об объединении новаторских идей двух бригад в единую модель принял министр танковой промышленности В. А. Малышев. Первый опытный образец был показан маршалам Г. К. Жукову и А. М. Василевскому в октябре 1944 г. и получил настоятельную рекомендацию к производству. Производство машины продолжалось до середины 1946 года, всего к этому времени было выпущено 2311 танков.

    Модели

    ИС-3

    1944 г. Модернизация брони, новая округлая башня, угловая передняя отливка корпуса, встроенные ящики для хранения над гусеницами. Внутренне аналогичен ИС-2 модель 19.44, и производились одновременно. Около 350 построено во время войны.

    ИС-3М

    (1952 г.) Модернизированный вариант ИС-3. Оснащен дополнительными сбрасываемыми внешними топливными баками.

    ИС-4

    Образца 1944 года, в соревновании с ИС-3. Более длинный корпус и более толстая броня, чем у ИС-2. Около 250 были построены после войны.

    Спецификация

    Производитель: Киров, Челябинск

    Экипаж: 4

    Вооружение: 122-мм пушка Д-25; 1 х 12,7-мм пулемет ДШК; 2 х 7,62-мм пулемета ДТ

    Вес: 102 486 фунтов.

    Длина: 22 фута 4 дюйма

    Ширина: 10 футов 6 дюймов

    Высота: 8 футов 11 дюймов

    Броня: максимум 132 мм; минимум 60 мм

    Хранение и тип боеприпасов: 28 x 122 мм; 945 х 12,7 мм; 1000 x 7,62 мм

    Силовая установка: В-2-ИС (В2-К) Дизельный двигатель В-12 мощностью 600 л.с.

    Вертикальное препятствие: 3 фута 2 дюйма

    Пересечение траншеи: 8 футов 2 дюйма

    Вот так:

    Нравится Загрузка…

    Тяжелый танк ИС-3

    Тяжелый танк «Иосиф Сталин — 3» (сокращенно ИС — 3) — последний советский танк, принятый на вооружение в годы Великой Отечественной войны, но в боевых действиях практически не участвовавший. Первая опытная партия тяжелых танков ИС-3 покинула заводские цеха в мае 1945 года. До прекращения производства в середине 1946 года было изготовлено 2311 единиц. Из них до конца Великой Отечественной войны — 29. Эту боевую машину часто считают одним из первых послевоенных советских танков. Аббревиатура ИС расшифровывается как «Иосиф Сталин» — официальное название серии советских тяжелых танков, выпускавшихся в 1943-1953. Индекс 3 соответствует третьей серийной модели танка этого семейства. Конструктивные решения, заложенные в ИС-3, оказали огромное влияние на дальнейшее развитие тяжелых танков, которые будут использованы в конструкции последнего советского серийного тяжелого танка ИС-8.

    После окончания Великой Отечественной войны Красная Армия завершила свои бои со значительным количеством тяжелых ИС-2; кроме того, в 1945 г. на ее вооружение был принят новый тяжелый танк ИС-3. 7 сентября 1945 года в Берлине состоялся парад войск союзников в честь окончания Второй мировой войны. Тогда же впервые был продемонстрирован ИС-3, который произвел настоящий фурор. Танк имел весьма необычные для своего времени формы корпуса и башни. Литая башня имела уплощенную сферическую форму, стенки башни изготавливались переменной толщины — от 75 до 230 мм. На крыше башни устанавливался зенитный пулемет, что позволяло вести огонь по самолету как заряжающему, так и командиру. В литой маске устанавливались 122-мм танковая пушка и спаренный с ней пулемет ДТ (танковый Дегтярева, 7,62 мм). Носовая часть корпуса выглядела необычно, она имела корабельную форму, которую конструкторы в шутку назвали «щучьим носом».

    ИС-3 изменил правила игры. Советы разработали танк, который был намного более совершенным, чем что-либо в американском и британском арсеналах. Сообщение было громким и ясным: новый советский ИС-3 стал первым залпом в цикле разработки танков «действие-реакция», который стал определяющей характеристикой холодной войны. В более поздних оценках этого популярного танка утверждается, что ИС-3 исторически был переоценен. При разработке проекта танка ИС-3 учитывались выводы комиссии, изучавшей боевые повреждения, полученные танками в ходе Курской битвы во фронтовых условиях. Обращало на себя внимание массовое поражение лобовых элементов корпуса и башни. Поэтому было решено разработать на базе танка ИС-2 новую конструкцию башни и корпуса, придать им обтекаемую форму и резко дифференцировать бронезащиту. В результате конструкторских работ наклон сварных листов, особенно в передней части корпуса, был доведен до максимально возможного.

    К сожалению, вскоре выяснилось, что ИС-3 непригоден для службы в мирное время — их надежность и ресурс механизмов оказались крайне низкими, тогда как в мирное время танк приходилось эксплуатировать годами, а не несколькими неделями ( вплоть до его уничтожения в бою) как это было во время войны. В результате уже в 1946 году производство ИС-3 было завершено, так и не успев развернуться в полную силу, а все уже выпущенные танки прошли модернизацию по программе устранения конструктивных недостатков.

    В течение оставшейся части 1940-х и 1950-х годов Советы как можно чаще фотографировали и демонстрировали ИС-3, а для общественности публиковались отчеты, в которых подчеркивалось участие танков в различных советско-армейских учениях. Однако со временем все это внимание привело к тому, что разведывательные организации США и НАТО узнали больше информации. Эта информация включала сообщения о том, что передовой советский танк страдал от серьезных механических и конструктивных проблем. Эти проблемы варьировались от производственных сварных швов корпуса, нагруженных до отказа, и проблем с надежностью двигателя до ряда проблем, возникающих из-за установки такого большого и тяжелого основного орудия в такой маленькой башне.

    Производство танков ИС-3 с усовершенствованным электроприводом поворота башни было организовано в соответствии с постановлением СНК СССР № 3217-985 от 30 декабря 1945 г. (приказ НКТП № 8 от 17 января 1946 г. ). Конструкция электропривода разработана ЧКЗ совместно с заводом № 255 Нарком-Трансмаш по концепции Леонардо в сочетании с командирским устройством управления башней, предложенным Опытным заводом № 100. Установка загона первых 50 танков ИС-3 Челябинский судостроительный завод осуществил в марте 1946. ​​С 1 апреля того же года на всех выпускаемых машинах устанавливался электропривод башни с командирским целеуказанием.

    Работы по повышению защищенности танка на поле боя проводились в направлении усиления его защиты от кумулятивных снарядов (гранат) и противоминной стойкости, а также создания установки пожаротушения (системы ППО). С целью повышения подвижности машины начаты исследования по совершенствованию силовой установки (повышение надежности работы двигателя, эффективности системы охлаждения, испытания и испытания воздухоочистителей с автоматическим пылеудалением, пародинамического подогревателя). Начали создавать электромеханическую трансмиссию (Объект 707) и гусеницы повышенной живучести не менее 3000 км. За время эксплуатации танков ИС-3 выпуска 1945 двигатель перегревался в условиях, при которых двигатели танков ИС-2 работали нормально. Сравнительные полигонные испытания танков ИС-2 и ИС-3, проведенные в конце 1945 г., подтвердили этот факт.

    Система охлаждения двигателя ИС-3 отличалась от системы охлаждения ИС-2, в основном, конструкцией и размерами воздуховода (особенно входа и выхода охлаждающего воздуха), а также конструкцией воздуховодов. масляные радиаторы, а КБ ЧКЗ внесло ряд изменений в конструкцию системы охлаждения двигателя. танка ИС-3 и внедрил их в серийное производство на танках выпуска 1946. ​​Сравнительные полигонные испытания автомобиля с пробегом, состоявшиеся в том же году, подтвердили эффективность принятых мер.

    В 1945 году за создание конструкции танка ИС-1 и коренное усовершенствование существующего танка Сталинская премия 1-й степени была присуждена группе конструкторов Кировского и Опытного заводов: Н.Л. Духов, Л.С. Троянов, М.Ф. Бальжи, Г.В. Крученых, В.И. Торотко несколько сотен танкостроителей были награждены орденами и медалями. ИС-3 поступили на вооружение тяжелых самоходных танковых полков Советской Армии, где эксплуатировались до 1970-е годы. В танках ИС-3 последнего года выпуска, в отличие от машин первых серий, вместо четырех воздушно-масляных радиаторов, установленных за вентиляторами, устанавливались два воздушно-масляных радиатора перед вентиляторами. Это позволило получить большие внутренние сечения воздушного тракта системы охлаждения двигателя за счет уменьшения высоты внутренних топливных и масляных баков. Выхлопные патрубки доработали обтекаемой формой и улучшили конфигурацию коллекторов воздушных вентиляторов. Кроме того, были даны рекомендации по размещению десанта на машине в летний период (при температуре окружающего воздуха +20 — 30 С), так как его расположение на крыше МТО (жалюзи воздухозаборника) при больших нагрузках двигателя могло привести к его быстрый перегрев.

    Одним из серьезных недостатков машины была недостаточная жесткость корпуса в районе МТО, что приводило к нарушению центровки его агрегатов. Так, например, ни один танк выпуска 1946 года не прошел гарантийные испытания на 300 и 1000 км пробега. В том же году из войск на ЧКЗ последовал поток жалоб на выход из строя двигателей. На испытаниях шести танков ИС-3 была выявлена ​​неисправность привода вертикального ролика топливного насоса двигателя В-11 из-за разрушения обоймы шаровой опоры этого ролика. В результате ЧКЗ провел соответствующие мероприятия по повышению надежности его работы (на двигателях последующего выпуска шариковый подшипник был заменен на подшипник скольжения).

    Кроме того, при длительной эксплуатации машин стали появляться трещины не только в сварных швах корпуса, но и в кожухах литых башен (в районе установки орудия, а также в скуловых и другие части). Низкая прочность сварных соединений корпуса ИС-3 была подтверждена и результатами испытаний обстрелом в 1946 г. на НИИБТ полигоне пяти корпусов, изготовленных Челябинским заводом № 200 и заводом «Уралмаш». Для более детального изучения недостатков танков ИС-3 завод направил в воинские части бригады квалифицированные подразделения и операторов.

    Модернизация танков ИС-3, поступающих из воинских частей, проводилась на ЧКЗ (с 1950 по 1953 г.) и ЛКЗ (с 1950 по 1954 г.) в соответствии с Постановлением Совета Министров СССР № 4871-2121 от 12 декабря. 1950 г. Модернизация машин в этот период производителями проводилась без изменения марки машины.

    По результатам испытаний шести ИС-3 весной 1952 г. комиссия пришла к выводу о возможности возобновления приемки танков этого типа ЛКЗ и ЧКЗ и необходимости замены на всех ранее выпущенных машинах жестких серийных муфт сцепления топливный насос двигателя к эластичной муфте ЧКЗ-45. В результате приемка танков на заводах (а также дизеля В-11М на ЧКЗ) возобновлена ​​с 30 мая 19 г. 52.

    В декабре 1952 г. на НИИБТ полигоне проводились испытания трех танков ИС-3 с двигателями большой мощности (419 кВт (570 л.с.)). Однако эти испытания были остановлены из-за выхода из строя трансмиссий. Одна коробка передач была восстановлена ​​путем полигона, а две коробки потребовали замены с доставкой с ЛКЗ к 10 января 1953 года. Однако вопрос об установке танков ИС-3 в танки УКВ повышенной мощности оставался открытым.

    Советская танковая дивизия в полном составе насчитывала около 8000 человек и 2300 единиц крупной техники, в том числе 310 средних танков, 80 БТР и 60 артиллерийских орудий. Советские воздушно-десантные дивизии насчитывали около 6000 человек и 1000 единиц основной техники. Несколько танковых дивизий, носившихся как «тяжелые танковые дивизии», были меньше (без мотострелкового полка) и состояли из тяжелых танков (Т-10 и ИС-3). В некоторых танковых дивизиях еще наблюдались тяжелые танки, но к 1970 не было уверенности, существует ли «тяжелая танковая дивизия» как отдельный тип.

    В июне 2014 года антиправительственные сепаратисты в Украине решили включить в свою борьбу против федеральных сил тяжелый танк ИС-3 «Сталин» постройки 1946 года, который устанавливал украинский памятник Великой Отечественной войне. После некоторых уговоров местных механиков и выброса большого количества дыма из двигателя установленный на постаменте танк завелся. ИС-3 отогнали от площадки памятника и где-то на полгода взяли на себя новые обязанности у сепаратистов. По данным сепаратистов, ИС-3 использовался в бою 30 июня 2014 г. В итоге украинские федеральные силы восстановили контроль над местностью и отбили танк. Этот печально известный ИС-3 сейчас выставлен под Киевом в Национальном военно-историческом музее Украины.

    НОВОСТИ ПИСЬМО

    Присоединяйтесь к списку рассылки GlobalSecurity.org
    Введите свой адрес электронной почты

    Средний процент повышения: надбавки, оклады и коэффициенты

    Качество зарплаты находится в глазах получателя, независимо от того, сколько вы имеете право или когда вы должны спросить. Тот же скачок в зарплате может вызвать у одних широкую ухмылку на лице, а других заставить задуматься, почему они не получают больше.

    Итак, если вы набрались смелости попросить начальника о повышении, что вам делать дальше? Это поднимает еще один очень важный вопрос: что такое хороший рейз? Продолжайте читать, чтобы узнать больше о повышении заработной платы и о том, какие факторы влияют на компенсацию.

    Key Takeaways

    • Убедитесь, что вы готовы, если вы собираетесь попросить вашего босса о повышении.
    • Увеличение заработной платы, как правило, зависит от инфляции, местоположения, сектора и производительности труда.
    • Большинство работодателей выплачивают своим работникам в среднем надбавку на 3% в год.
    • Постоянная смена работы может повлиять на скорость роста вашей зарплаты.
    • Ваша заработная плата не должна быть единственным предметом вашего внимания, поэтому не забывайте учитывать льготы и другие формы вознаграждения.

    Повышение средней заработной платы

    Пандемия COVID-19 вызвала огромные сбои в глобальных социальных и экономических системах. Корпорации изменили методы ведения бизнеса, люди начали работать и ходить в школу из дома, количество рабочих мест росло, и правительству пришлось вмешаться, чтобы восполнить пробел. Итак, давайте взглянем на вещи в перспективе, по крайней мере, когда речь идет о зарплатах и ​​надбавках.

    CNBC сообщила, что повышение заработной платы не соответствовало росту стоимости жизни в 2021 году. Но ожидается, что это изменится в 2022 году. Conference Board ожидает, что компенсационные расходы (которые обычно включают заработную плату, надбавки и льготы) подскочат на 3,9%. Это самый высокий уровень, зарегистрированный с 2008 года. Организация обновила свою более раннюю цифру в 3%, о которой она сообщила ранее в 2021 году. Это повышение обусловлено более высокой инфляцией и увеличением числа работающих.

    Отдельный опрос, проведенный Willis Towers Watson, показал, что многие компании планировали предложить своим сотрудникам более высокие надбавки в 2022 году, в то время как только 3% планировали полностью прекратить повышение на год. В ходе исследования было опрошено 1220 различных работодателей в период с апреля по июнь 2021 года, и было обнаружено, что повышение зарплаты достигнет допандемического уровня.

    По данным WTW, руководители корпораций, менеджмент, профессиональные сотрудники и другие вспомогательные работники могут рассчитывать на повышение до 3%, в то время как заработная плата для производственных и рабочих вырастет на 2,8%. Наибольшее повышение заработной платы было запланировано для фармацевтических работников, составившее 3,1%. Розничные компании оценили наименьшую сумму повышения, при этом прогнозируется рост заработной платы на 2,9%.

    Если увеличение вашей месячной зарплаты невозможно, вы можете договориться о других формах компенсации, таких как оплачиваемый отпуск, оплачиваемое медицинское обслуживание и другие.

    Факторы, влияющие на процент повышения

    Пандемии и особые обстоятельства — не единственные факторы, которые могут снизить ваши шансы на повышение. Вот еще несколько факторов, которые часто мешают компаниям повышать зарплату своим сотрудникам.

    Инфляция

    Инфляция является одним из самых больших факторов, влияющих на компенсацию людей. Проще говоря, это рост цен внутри экономики в целом. Хотя это кажется негативным, умеренная инфляция является нормальной частью функционирования экономики. Но это может быть вредно для людей, когда он поднимается слишком быстро.

    Рассмотрим ситуацию в декабре 2021 года, когда индекс потребительских цен (ИПЦ), который измеряет общий рост затрат в экономике, вырос на 0,5% по сравнению с предыдущим месяцем и на 7% по сравнению с декабрем 2020 года. Если исключить цены на продукты питания и энергоносители, индекс вырос. 0,6% по сравнению с предыдущим месяцем и 5,5% по сравнению с предыдущим годом.

    Когда цены растут в таких масштабах, один доллар не идет так далеко. Люди обычно ожидают, что им будут платить больше, чтобы не отставать от растущих цен, поэтому они часто полагаются на повышение заработной платы. Но это может происходить не всегда, поскольку затраты корпораций также растут. Важно, чтобы вы пересмотрели свой компенсационный пакет и обсудили вашу ситуацию с вашим работодателем.

    Продолжительность вашего рабочего времени может повлиять на вашу возможность получить повышение. Большинство работодателей повышают зарплату своим сотрудникам после первого года работы и каждый последующий год. Согласно сообщению CNBC. повышение заработной платы увеличилось на 2–3% с 2010 г.

    Местонахождение

    Вы, наверное, знаете поговорку «место, место, место». Это относится не только к тому, где вы должны установить свои цели в сфере недвижимости. Это также влияет на вашу начальную компенсацию, а также на то, насколько увеличится ваша зарплата.

    По данным Бюро трудовой статистики (BLS), ставки заработной платы выросли на 4,6% в период с сентября 2020 года по сентябрь 2021 года. Эта категория выросла на 6,5% в Лос-Анджелесе. Но заработная плата в Сан-Хосе за этот период увеличилась всего на 3,3%.

    Но что, если мы вообще покинем Калифорнию? Вот изменения в окладах и заработной плате за тот же период в следующих муниципалитетах:

    • Детройт: 2,7%
    • Бостон: 4,2%
    • Сиэтл: 2,5%

    Сектор труда

    Средние надбавки за производительность существенно не меняются в разных секторах или типах работы, но они немного различаются. BLS регулярно обновляет данные о затратах на трудоустройство гражданских служащих, представителей частного сектора и государственных служащих на уровне штата и на местном уровне. Эти затраты включают общую компенсацию, заработную плату и пособия.

    BLS сообщила, что за 12-месячный период с сентября 2020 г. по сентябрь 2021 г. расходы на заработную плату увеличились:

    • 4,2% для гражданских служащих
    • 4,6% для работников частного сектора
    • 2,4% для государственных и муниципальных служащих

    Производительность труда

    Ваше вознаграждение зависит от того, насколько хорошо вы выполняете свои должностные обязанности и обязанности. Поэтому, если вы достигнете или превзойдете свои цели, вы можете иметь право на повышение. Постепенное увеличение заработной платы, которое обычно производится ежегодно, стимулирует сотрудников усердно работать и оставаться со своими работодателями. Повышение заработной платы, основанное на результатах вашей работы, называется повышением заслуг.

    Сотрудники, которые достигают своих целей и соответствуют ожиданиям компании, как правило, имеют право на повышение на 3%, что является средним показателем по стране. Некоторые работодатели могут предложить некоторым работникам только номинальную надбавку на 2%, в то время как другие могут получить скачок на 5% и более.

    Если вы хотите убедиться, что вы боретесь за повышение заслуг, спросите своего нынешнего или будущего работодателя и прочитайте о своем компенсационном пакете в справочнике сотрудника или трудовом договоре. Когда придет время просить о повышении, ваш работодатель может потребовать, чтобы вы подтвердили свои аргументы, поэтому убедитесь, что вы документируете все свои достижения и следите за тем, как конкурирующие компании платят работникам на той же должности.

    Люди, которые зависят от бонусов как части своего компенсационного пакета, могут быть не в состоянии идти в ногу с инфляцией.

    Эффект переключения работы

    Максимизация вашего заработка в течение длительного периода времени обычно означает смену работы, а не сохранение ее на месте. Раньше считалось, что спрыгнуть с корабля означало получить зарплату на 10-20% выше, чем ваша предыдущая. Хотя значительное повышение не так широко распространено, как раньше, смена работы по-прежнему является наиболее распространенным путем к лучшему повышению заработной платы.

    Если вы остаетесь в той же организации, ваше ежегодное повышение может быть ограничено вашей текущей базовой заработной платой, поскольку компании имеют узкий процентный диапазон, в пределах которого они могут увеличить вашу заработную плату. Но если вы ведете переговоры с другой фирмой, вы не будете связаны этими ограничениями. Главное — доказать, что вы достойны той зарплаты, которую хотите.

    Другие формы компенсации

    Подсчитывая свою заработную плату, имейте в виду, что повышение базовой заработной платы — не единственный способ, которым компании вознаграждают своих сотрудников. В некоторых случаях вы можете добиться большего успеха, если получите щедрый бонус, а не большой рейз.

    Рассмотрим кого-то с годовой зарплатой в 80 000 долларов и скромной прибавкой к зарплате на 1%. Это означает, что их базовая заработная плата увеличивается всего на 800 долларов, чего, вероятно, недостаточно, чтобы не отставать от инфляции. Но если этот сотрудник также получает домой бонус в размере 4000 долларов, его общая компенсация подскакивает на 6% (повышение базовой заработной платы на 1% плюс бонус на 5%). Судя по общенациональным данным, это вознаграждение было бы лучше, чем то, что получали бы самые результативные сотрудники.

    Имейте в виду, что значительное число компаний в настоящее время делают упор на нефинансовые вознаграждения, такие как программы развития карьеры. Хотя эти возможности могут не увеличить ваш банковский счет в краткосрочной перспективе, они могут быть важными способами максимизировать ваш потенциальный доход в будущем.

    Какую прибавку я должен просить?

    Сумма, которую вы просите, зависит от того, как долго вы проработали у своего работодателя и от вашей роли в компании. Всегда полезно попросить на 10-20% больше, чем вы делаете прямо сейчас. Вы можете запросить больше в зависимости от вашей производительности, продолжительности работы в компании и других факторов. Убедитесь, что вы подготовились, когда будете договариваться о повышении, и будьте уверены в себе. Если ваш работодатель отклонит вашу просьбу, вы всегда можете снизить свою цель.

    Когда лучше всего просить о повышении?

    Обычно лучше всего просить о прибавке во время аттестации. Большинство компаний проводят встречи со своими сотрудниками, чтобы обсудить их работу в конце года, так что это всегда хорошее время, чтобы посмотреть, сможете ли вы договориться о повышении.

    Тангенс равен 4: Таблица ТАНГЕНСОВ для углов от 0° до 360° градусов

    Таблица ТАНГЕНСОВ для углов от 0° до 360° градусов



    ТАНГЕНС (Tg α) острого угла в прямоугольном треугольнике равняется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

    Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)
    α (радианы)0π/6π/4π/3π/2π3π/2
    α (градусы)30°45°60°90°180°270°360°
    tg α (Тангенс)01/31300

    Полная таблица тангенсов для углов от 0° до  360° 
    Угол в градусахtg (Тангенс)
    0
    0.0175
    0.0349
    0. 0524
    0.0699
    0.0875
    0.1051
    0.1228
    0.1405
    0.1584
    10°0.1763
    11°0.1944
    12°0.2126
    13°0.2309
    14°0.2493
    15°0.2679
    16°0.2867
    17°0.3057
    18°0.3249
    19°0.3443
    20°0.364
    21°0.3839
    22°0.404
    23°0.4245
    24°0.4452
    25°0.4663
    26°0.4877
    27°0.5095
    28°0.5317
    29°0.5543
    30°0.5774
    31°0.6009
    32°0.6249
    33°0.6494
    34°0.6745
    35°0.7002
    36°0.7265
    37°0.7536
    38°0.7813
    39°0.8098
    40°0.8391
    41°0.8693
    42°0.9004
    43°0.9325
    44°0.9657
    45°1
    46°1.0355
    47°1.0724
    48°1.1106
    49°1.1504
    50°1.1918
    51°1.2349
    52°1.2799
    53°1.327
    54°1.3764
    55°1.4281
    56°1.4826
    57°1.5399
    58°1.6003
    59°1.6643
    60°1.7321
    61°1.804
    62°1.8807
    63°1.9626
    64°2.0503
    65°2.1445
    66°2.246
    67°2.3559
    68°2.4751
    69°2.6051
    70°2.7475
    71°2.9042
    72°3.0777
    73°3.2709
    74°3.4874
    75°3.7321
    76°4.0108
    77°4.3315
    78°4.7046
    79°5.1446
    80°5.6713
    81°6.3138
    82°7.1154
    83°8.1443
    84°9.5144
    85°11.4301
    86°14.3007
    87°19.0811
    88°28.6363
    89°57.29
    90°

    Таблица тангенсов для углов от 91° до  180° 
    Уголtg (Тангенс)
    91°-57.29
    92°-28.6363
    93°-19.0811
    94°-14.3007
    95°-11.4301
    96°-9.5144
    97°-8.1443
    98°-7.1154
    99°-6.3138
    100°-5.6713
    101°-5.1446
    102°-4.7046
    103°-4.3315
    104°-4.0108
    105°-3.7321
    106°-3.4874
    107°-3.2709
    108°-3.0777
    109°-2.9042
    110°-2.7475
    111°-2.6051
    112°-2.4751
    113°-2.3559
    114°-2.246
    115°-2.1445
    116°-2.0503
    117°-1.9626
    118°-1.8807
    119°-1.804
    120°-1.7321
    121°-1.6643
    122°-1.6003
    123°-1.5399
    124°-1.4826
    125°-1.4281
    126°-1.3764
    127°-1.327
    128°-1.2799
    129°-1.2349
    130°-1.1918
    131°-1.1504
    132°-1.1106
    133°-1.0724
    134°-1.0355
    135°-1
    136°-0.9657
    137°-0.9325
    138°-0.9004
    139°-0.8693
    140°-0.8391
    141°-0.8098
    142°-0.7813
    143°-0.7536
    144°-0.7265
    145°-0.7002
    146°-0.6745
    147°-0.6494
    148°-0.6249
    149°-0.6009
    150°-0.5774
    151°-0.5543
    152°-0.5317
    153°-0.5095
    154°-0.4877
    155°-0.4663
    156°-0.4452
    157°-0.4245
    158°-0.404
    159°-0.3839
    160°-0.364
    161°-0.3443
    162°-0.3249
    163°-0.3057
    164°-0.2867
    165°-0.2679
    166°-0.2493
    167°-0.2309
    168°-0.2126
    169°-0.1944
    170°-0.1763
    171°-0.1584
    172°-0.1405
    173°-0.1228
    174°-0.1051
    175°-0.0875
    176°-0.0699
    177°-0.0524
    178°-0.0349
    179°-0.0175
    180°0

    Таблица тангенсов для углов от 181° до  270° 
    Уголtg (Тангенс)
    181°0.0175
    182°0.0349
    183°0.0524
    184°0.0699
    185°0.0875
    186°0.1051
    187°0.1228
    188°0.1405
    189°0.1584
    190°0.1763
    191°0.1944
    192°0.2126
    193°0.2309
    194°0.2493
    195°0.2679
    196°0.2867
    197°0.3057
    198°0.3249
    199°0.3443
    200°0.364
    201°0.3839
    202°0.404
    203°0.4245
    204°0.4452
    205°0.4663
    206°0.4877
    207°0.5095
    208°0.5317
    209°0.5543
    210°0.5774
    211°0.6009
    212°0.6249
    213°0.6494
    214°0.6745
    215°0.7002
    216°0.7265
    217°0.7536
    218°0.7813
    219°0.8098
    220°0.8391
    221°0.8693
    222°0.9004
    223°0.9325
    224°0.9657
    225°1
    226°1.0355
    227°1.0724
    228°1.1106
    229°1.1504
    230°1.1918
    231°1.2349
    232°1.2799
    233°1.327
    234°1.3764
    235°1.4281
    236°1.4826
    237°1.5399
    238°1.6003
    239°1.6643
    240°1.7321
    241°1.804
    242°1.8807
    243°1.9626
    244°2.0503
    245°2.1445
    246°2.246
    247°2.3559
    248°2.4751
    249°2.6051
    250°2.7475
    251°2.9042
    252°3.0777
    253°3.2709
    254°3.4874
    255°3.7321
    256°4.0108
    257°4.3315
    258°4.7046
    259°5.1446
    260°5.6713
    261°6.3138
    262°7.1154
    263°8.1443
    264°9.5144
    265°11.4301
    266°14.3007
    267°19.0811
    268°28.6363
    269°57.29
    270°

    Таблица тангенсов для углов от 271° до 360° 
    Уголtg (Тангенс)
    271°-57.29
    272°-28.6363
    273°-19.0811
    274°-14.3007
    275°-11.4301
    276°-9.5144
    277°-8.1443
    278°-7.1154
    279°-6.3138
    280°-5.6713
    281°-5.1446
    282°-4.7046
    283°-4.3315
    284°-4.0108
    285°-3.7321
    286°-3.4874
    287°-3.2709
    288°-3.0777
    289°-2.9042
    290°-2.7475
    291°-2.6051
    292°-2.4751
    293°-2.3559
    294°-2.246
    295°-2.1445
    296°-2.0503
    297°-1.9626
    298°-1.8807
    299°-1.804
    300°-1.7321
    301°-1.6643
    302°-1.6003
    303°-1.5399
    304°-1.4826
    305°-1.4281
    306°-1.3764
    307°-1.327
    308°-1.2799
    309°-1.2349
    310°-1.1918
    311°-1.1504
    312°-1.1106
    313°-1.0724
    314°-1.0355
    315°-1
    316°-0.9657
    317°-0.9325
    318°-0.9004
    319°-0.8693
    320°-0.8391
    321°-0.8098
    322°-0.7813
    323°-0.7536
    324°-0.7265
    325°-0.7002
    326°-0.6745
    327°-0.6494
    328°-0.6249
    329°-0.6009
    330°-0.5774
    331°-0.5543
    332°-0.5317
    333°-0.5095
    334°-0.4877
    335°-0.4663
    336°-0.4452
    337°-0.4245
    338°-0.404
    339°-0.3839
    340°-0.364
    341°-0.3443
    342°-0.3249
    343°-0.3057
    344°-0.2867
    345°-0.2679
    346°-0.2493
    347°-0.2309
    348°-0.2126
    349°-0.1944
    350°-0.1763
    351°-0.1584
    352°-0.1405
    353°-0.1228
    354°-0.1051
    355°-0.0875
    356°-0.0699
    357°-0.0524
    358°-0.0349
    359°-0.0175
    360°0

    Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

    Пример

    Чему равен тангенс 30? …

    — Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ:  0.5774


    Автор: Bill4iam


    Таблица тангенсов углов (углы, значения)

    В таблице значения тангенсов от 0° до 360°. Таблица тангенсов нужна, когда у вас под рукой нет калькулятора. Чтобы узнать, чему равен тангенс угла, просто найдите его в таблице. Для начала короткая версия таблицы:

    https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov — uchim.org

    Таблица тангенсов для 0°-180°

    tg(1°)0.0175
    tg(2°)0.0349
    tg(3°)0.0524
    tg(4°)0.0699
    tg(5°)0.0875
    tg(6°)0.1051
    tg(7°)0.1228
    tg(8°)0.1405
    tg(9°)0.1584
    tg(10°)0.1763
    tg(11°)0.1944
    tg(12°)0.2126
    tg(13°)0.2309
    tg(14°)0.2493
    tg(15°)0.2679
    tg(16°)0.2867
    tg(17°)0.3057
    tg(18°)0.3249
    tg(19°)0.3443
    tg(20°)0.364
    tg(21°)0.3839
    tg(22°)0.404
    tg(23°)0.4245
    tg(24°)0.4452
    tg(25°)0.4663
    tg(26°)0.4877
    tg(27°)0.5095
    tg(28°)0.5317
    tg(29°)0.5543
    tg(30°)0.5774
    tg(31°)0.6009
    tg(32°)0.6249
    tg(33°)0.6494
    tg(34°)0.6745
    tg(35°)0.7002
    tg(36°)0.7265
    tg(37°)0.7536
    tg(38°)0.7813
    tg(39°)0.8098
    tg(40°)0.8391
    tg(41°)0.8693
    tg(42°)0.9004
    tg(43°)0.9325
    tg(44°)0.9657
    tg(45°)1
    tg(46°)1.0355
    tg(47°)1.0724
    tg(48°)1.1106
    tg(49°)1.1504
    tg(50°)1.1918
    tg(51°)1.2349
    tg(52°)1.2799
    tg(53°)1.327
    tg(54°)1.3764
    tg(55°)1.4281
    tg(56°)1.4826
    tg(57°)1.5399
    tg(58°)1.6003
    tg(59°)1.6643
    tg(60°)1.7321
    tg(61°)1.804
    tg(62°)1.8807
    tg(63°)1.9626
    tg(64°)2.0503
    tg(65°)2.1445
    tg(66°)2.246
    tg(67°)2.3559
    tg(68°)2.4751
    tg(69°)2.6051
    tg(70°)2.7475
    tg(71°)2.9042
    tg(72°)3.0777
    tg(73°)3.2709
    tg(74°)3.4874
    tg(75°)3.7321
    tg(76°)4.0108
    tg(77°)4.3315
    tg(78°)4.7046
    tg(79°)5.1446
    tg(80°)5.6713
    tg(81°)6.3138
    tg(82°)7.1154
    tg(83°)8.1443
    tg(84°)9.5144
    tg(85°)11.4301
    tg(86°)14.3007
    tg(87°)19.0811
    tg(88°)28.6363
    tg(89°)57.29
    tg(90°)
    tg(91°)-57.29
    tg(92°)-28.6363
    tg(93°)-19.0811
    tg(94°)-14.3007
    tg(95°)-11.4301
    tg(96°)-9.5144
    tg(97°)-8.1443
    tg(98°)-7.1154
    tg(99°)-6.3138
    tg(100°)-5.6713
    tg(101°)-5.1446
    tg(102°)-4.7046
    tg(103°)-4.3315
    tg(104°)-4.0108
    tg(105°)-3.7321
    tg(106°)-3.4874
    tg(107°)-3.2709
    tg(108°)-3.0777
    tg(109°)-2.9042
    tg(110°)-2.7475
    tg(111°)-2.6051
    tg(112°)-2.4751
    tg(113°)-2.3559
    tg(114°)-2.246
    tg(115°)-2.1445
    tg(116°)-2.0503
    tg(117°)-1.9626
    tg(118°)-1.8807
    tg(119°)-1.804
    tg(120°)-1.7321
    tg(121°)-1.6643
    tg(122°)-1.6003
    tg(123°)-1.5399
    tg(124°)-1.4826
    tg(125°)-1.4281
    tg(126°)-1.3764
    tg(127°)-1.327
    tg(128°)-1.2799
    tg(129°)-1.2349
    tg(130°)-1.1918
    tg(131°)-1.1504
    tg(132°)-1.1106
    tg(133°)-1.0724
    tg(134°)-1.0355
    tg(135°)-1
    tg(136°)-0.9657
    tg(137°)-0.9325
    tg(138°)-0.9004
    tg(139°)-0.8693
    tg(140°)-0.8391
    tg(141°)-0.8098
    tg(142°)-0.7813
    tg(143°)-0.7536
    tg(144°)-0.7265
    tg(145°)-0.7002
    tg(146°)-0.6745
    tg(147°)-0.6494
    tg(148°)-0.6249
    tg(149°)-0.6009
    tg(150°)-0.5774
    tg(151°)-0.5543
    tg(152°)-0.5317
    tg(153°)-0.5095
    tg(154°)-0.4877
    tg(155°)-0.4663
    tg(156°)-0.4452
    tg(157°)-0.4245
    tg(158°)-0.404
    tg(159°)-0.3839
    tg(160°)-0.364
    tg(161°)-0.3443
    tg(162°)-0.3249
    tg(163°)-0.3057
    tg(164°)-0.2867
    tg(165°)-0.2679
    tg(166°)-0.2493
    tg(167°)-0.2309
    tg(168°)-0.2126
    tg(169°)-0.1944
    tg(170°)-0.1763
    tg(171°)-0.1584
    tg(172°)-0.1405
    tg(173°)-0.1228
    tg(174°)-0.1051
    tg(175°)-0.0875
    tg(176°)-0.0699
    tg(177°)-0.0524
    tg(178°)-0.0349
    tg(179°)-0.0175
    tg(180°)-0

    Таблица тангенсов для 180° — 360°

    tg(181°)0.0175
    tg(182°)0.0349
    tg(183°)0.0524
    tg(184°)0.0699
    tg(185°)0.0875
    tg(186°)0.1051
    tg(187°)0.1228
    tg(188°)0.1405
    tg(189°)0.1584
    tg(190°)0.1763
    tg(191°)0.1944
    tg(192°)0.2126
    tg(193°)0.2309
    tg(194°)0.2493
    tg(195°)0.2679
    tg(196°)0.2867
    tg(197°)0.3057
    tg(198°)0.3249
    tg(199°)0.3443
    tg(200°)0.364
    tg(201°)0.3839
    tg(202°)0.404
    tg(203°)0.4245
    tg(204°)0.4452
    tg(205°)0.4663
    tg(206°)0.4877
    tg(207°)0.5095
    tg(208°)0.5317
    tg(209°)0.5543
    tg(210°)0.5774
    tg(211°)0.6009
    tg(212°)0.6249
    tg(213°)0.6494
    tg(214°)0.6745
    tg(215°)0.7002
    tg(216°)0.7265
    tg(217°)0.7536
    tg(218°)0.7813
    tg(219°)0.8098
    tg(220°)0.8391
    tg(221°)0.8693
    tg(222°)0.9004
    tg(223°)0.9325
    tg(224°)0.9657
    tg(225°)1
    tg(226°)1.0355
    tg(227°)1.0724
    tg(228°)1.1106
    tg(229°)1.1504
    tg(230°)1.1918
    tg(231°)1.2349
    tg(232°)1.2799
    tg(233°)1.327
    tg(234°)1.3764
    tg(235°)1.4281
    tg(236°)1.4826
    tg(237°)1.5399
    tg(238°)1.6003
    tg(239°)1.6643
    tg(240°)1.7321
    tg(241°)1.804
    tg(242°)1.8807
    tg(243°)1.9626
    tg(244°)2.0503
    tg(245°)2.1445
    tg(246°)2.246
    tg(247°)2.3559
    tg(248°)2.4751
    tg(249°)2.6051
    tg(250°)2.7475
    tg(251°)2.9042
    tg(252°)3.0777
    tg(253°)3.2709
    tg(254°)3.4874
    tg(255°)3.7321
    tg(256°)4.0108
    tg(257°)4.3315
    tg(258°)4.7046
    tg(259°)5.1446
    tg(260°)5.6713
    tg(261°)6.3138
    tg(262°)7.1154
    tg(263°)8.1443
    tg(264°)9.5144
    tg(265°)11.4301
    tg(266°)14.3007
    tg(267°)19.0811
    tg(268°)28.6363
    tg(269°)57.29
    tg(270°)— ∞
    tg(271°)-57.29
    tg(272°)-28.6363
    tg(273°)-19.0811
    tg(274°)-14.3007
    tg(275°)-11.4301
    tg(276°)-9.5144
    tg(277°)-8.1443
    tg(278°)-7.1154
    tg(279°)-6.3138
    tg(280°)-5.6713
    tg(281°)-5.1446
    tg(282°)-4.7046
    tg(283°)-4.3315
    tg(284°)-4.0108
    tg(285°)-3.7321
    tg(286°)-3.4874
    tg(287°)-3.2709
    tg(288°)-3.0777
    tg(289°)-2.9042
    tg(290°)-2.7475
    tg(291°)-2.6051
    tg(292°)-2.4751
    tg(293°)-2.3559
    tg(294°)-2.246
    tg(295°)-2.1445
    tg(296°)-2.0503
    tg(297°)-1.9626
    tg(298°)-1.8807
    tg(299°)-1.804
    tg(300°)-1.7321
    tg(301°)-1.6643
    tg(302°)-1.6003
    tg(303°)-1.5399
    tg(304°)-1.4826
    tg(305°)-1.4281
    tg(306°)-1.3764
    tg(307°)-1.327
    tg(308°)-1.2799
    tg(309°)-1.2349
    tg(310°)-1.1918
    tg(311°)-1.1504
    tg(312°)-1.1106
    tg(313°)-1.0724
    tg(314°)-1.0355
    tg(315°)-1
    tg(316°)-0.9657
    tg(317°)-0.9325
    tg(318°)-0.9004
    tg(319°)-0.8693
    tg(320°)-0.8391
    tg(321°)-0.8098
    tg(322°)-0.7813
    tg(323°)-0.7536
    tg(324°)-0.7265
    tg(325°)-0.7002
    tg(326°)-0.6745
    tg(327°)-0.6494
    tg(328°)-0.6249
    tg(329°)-0.6009
    tg(330°)-0.5774
    tg(331°)-0.5543
    tg(332°)-0.5317
    tg(333°)-0.5095
    tg(334°)-0.4877
    tg(335°)-0.4663
    tg(336°)-0.4452
    tg(337°)-0.4245
    tg(338°)-0.404
    tg(339°)-0.3839
    tg(340°)-0.364
    tg(341°)-0.3443
    tg(342°)-0.3249
    tg(343°)-0.3057
    tg(344°)-0.2867
    tg(345°)-0.2679
    tg(346°)-0.2493
    tg(347°)-0.2309
    tg(348°)-0.2126
    tg(349°)-0.1944
    tg(350°)-0.1763
    tg(351°)-0.1584
    tg(352°)-0.1405
    tg(353°)-0.1228
    tg(354°)-0.1051
    tg(355°)-0.0875
    tg(356°)-0.0699
    tg(357°)-0.0524
    tg(358°)-0.0349
    tg(359°)-0.0175
    tg(360°)-0

    Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций по геометрии: таблица синусов, таблица косинусов и таблица котангенсов.

    Всё для учебы » Математика в школе » Таблица тангенсов углов (углы, значения)

    Новости за 7 дней.

    Декоративная антисептическая пропитка на водной основе обеспечивает долговременную защиту и тонирование древесины в различные цвета внутри помещений. Инновационный состав позволяет за один приём обезопасить поверхность от биопоражений и древоточцев, и придать ей декоративные свойства. Передовое со….

    Масло для террас PREMIUM NEOMID предназначено для долговременной защиты деревянных поверхностей, эксплуатируемых на открытом воздухе, от атмосферных осадков, биопоражений (грибка, плесени), УФ-излучения. Масло глубоко проникает и заполняет поры древесины, тем самым увеличивает ее срок службы. Нату….

    Предлагаем электромонтажникам готовое решение – шаблоны для подрозетников EKF Expert. В комплекте 5 рамок (от 1 до 5 отверстий) диаметром 68 или 72 мм. Шаблоны используются, чтобы высверлить отверстия для подрозетников в стенах из бетона, кирпича, гипсокартона, плитки, дерева и других материалов….

    Крупные группы из пионов и небольших садовых цветов расположены вертикальными рядами. Однако эта линейность не считывается из-за свободной формы букета, в котором отсутствует сфокусированный центр, а обрамляющие веточки плавно соединяют элементы. Этот эффект размеренного перетекания и единства соз….

    Тяжелые гроздья сирени, усеянные множеством миниатюрных цветов, украшают тонкие ветки и составляют цветовой и композиционный акцент дизайна. Листья лишь дополняют движение линий, внося в них легкую асимметрию и пластичность живой формы. Образ кирпичной, монолитной стены передан со всеми нюансами….

    Эффектная композиция из хризантем, пышных ирисов и крупных лилий, перемежающихся с небольшими садовыми цветами и сочной зеленью. Богатый рельеф, живые цвета и искусная детализация. Дизайн не только насыщен различными элементами, но и пронизан динамикой. Все цветы расположены восходящими диагона….

    Гладкие упругие завитки сплетаются в фестончатые медальоны. Центр каждого украшен веточкой-цветком, составленным из растительных элементов. Вершина увенчана маленькой короной, вытягивающей вектор движения узора по вертикали. Второй план полностью повторяет основной рисунок в уменьшенном масштаб….

    Крупные цветы чередуются с небольшим изменением угла поворота и наклона чашечки. Их распределение по восходящей диагонали усиливает яркость узора, дополняет экспрессию эффектного образа. Цветы первого плана переданы в мельчайших деталях рельефа и тонких нюансах тоновых переходов. Второй план выпо….

    Светодиодные рамки ЭРА — стильное и функциональное решение вопроса освещения офисов, общественных пространств, муниципальных объектов — школ, университетов, поликлиник. Эффектно смотрятся на потолке, быстро и просто монтируются, обеспечивают отличное качество света. Мы расширили ассортимент LED-ра….

    Новые умные сенсорные выключатели способны изменить взгляд на привычные вещи в доме. Они созданы для ценителей повышенного комфорта в управлении освещением. Wi-Fi модуль позволяет включать и выключать освещение со смартфона или планшета дистанционно при помощи бесплатного мобильного приложения Mini….

    Клуб обновляет дизайн и корпоративный имидж с помощью премиум-коллекций керамической плитки и аксессуаров для ванных комнат производства испанской международной группы. Королевский навигационный клуб Валенсии начинает новый этап в своей деятельности, наделяя интерьер функциональным, доступным и на….

    Компания из группы PORCELANOSA Grupo включила в свой ассортимент натуральных камней новую модель серых и кремовых оттенков с отделкой, усиливающей яркость интерьеров. Природная красота и цветовые контрасты Африки воспроизводятся в мраморе Nairobi от L ac, дизайн которого отличается потрясающей изы….

    Компактная, яркая модель VITEK VT-8190 станет незаменимым помощником для поддержания чистоты и порядка в доме. Убраться в доме не просто чисто, а идеально поможет паровая швабра VT-8190 с максимальной мощностью 1500 Вт. Паровая швабра, конструктивный принцип работы которой способствует не только….

    Приготовить в любое время года мясо, рыбу или овощи с румяной корочкой в домашних условиях поможет электрический гриль-пресс VT-2631 с максимальной мощностью 1800 Вт. Корпус гриля выполнен из высококачественного термостойкого пластика черного цвета. Благодаря высокопрочному антипригарному покрыт….

    Функция ATAN — Служба поддержки Office

    В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ATAN в Microsoft Excel.

    Описание

    Возвращает арктангенс числа. Арктангенс числа — это угол, тангенс которого равен числу. Угол определяется в радианах в диапазоне от -пи/2 до пи/2.

    Синтаксис

    ATAN(число)

    Аргументы функции ATAN описаны ниже.

    Замечания

    Чтобы выразить арктангенс в градусах, умножьте результат на 180/ПИ( ) или используйте функцию ГРАДУСЫ.

    Пример

    Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

    Формула

    Описание

    Результат

    =ATAN(1)

    Арктангенс числа 1 в радианах, пи/4 (0,785398)

    0,785398163

    =ATAN(1)*180/ПИ()

    Арктангенс числа 1 в градусах

    45

    =ГРАДУСЫ(ATAN(1))

    Арктангенс числа 1 в градусах

    45

    Тангенс 1

    Когда требуется найти тангенс 1,  tg 2, tg 3, tg 4, tg 6, помогут единичная окружность и линия тангенсов.

    Для начала отметим на единичной окружности углы в 1, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан. Это можно сделать тремя способами.

    1) 1 радиан — это приблизительно 57 градусов. Соответственно, через каждые 57 градусов отмечаем: 1 радиан, 2, 3…

    2) 1 радиан — это угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. В этом случае каждую следующую отметку ставим, откладывая  приблизительно дугу длиной в радиус.

    3) если вспомнить, что п — это приближенно 3,14, и рассчитать п/2, 3п/2, 2п, а 1,2, 3,4,5 и 6 радиан — ориентируясь на эти значения.

    Получаем приблизительно такой чертеж:

    Если нужно сравнить, например, tg1 и tg2, этого чертежа вполне достаточно. 1 радиан — угол 1й четверти, где тангенс положителен, а 2 радиана — угол 2й четверти, где тангенс отрицателен (см. как запомнить знаки тангенса). Поэтому tg1 > tg2.

    Когда требуется сравнить тангенсы одного знака, например, tg 5 и tg 6, единичной окружности недостаточно. Найти значения tg1,  tg2, tg3, tg4, tg6 можно также с помощью линии тангенсов.

    Линия тангенсов — это касательная к единичной окружности в точке (1;0). То есть линия тангенсов — это прямая x=1.

    Если через точку О — начало отсчета- и отмеченный на единичной окружности угол в 1 радиан провести луч, то он пересечет линию тангенсов в точке, которая показывает значения tg 1. Поскольку окружность единичная, то значения 2,3,4 и  т.д. получаем, откладывая на линии тангенсов длину радиуса. Соответственно, tg 1 получаем где-то посредине между 1 и 2, чуть ближе к 2. Аналогично на линии тангенсов определяем, чему равен тангенс 2, тангенс 3, тангенс 4, тангенс 5 и тангенс 6. Отсюда делаем вывод: tg5 < tg6, tg2>tg5, tg4<tg1.

    Конечно, все эти значения можно получить с помощью калькулятора. Но в тех случаях, когда воспользоваться калькулятором нельзя, этот способ работает.

    Получать значения тангенса и сравнивать их можно также с помощью графика функции y=tg x. Но это уже другая история.

    Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg


    Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса  / / Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
    Подробная таблица тангенсов. Шаг — 1 градус.

    Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. tg(0°)=tg(360°)=0 точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1″) здесь.

    Углы
    1° — 90°

    Углы
    91 ° — 180°

    Углы
    181° — 270°

    Углы
    271 ° — 360°

    Угол

    tg

    tg= 0.0174
    tg= 0.0349
    tg= 0.0524
    tg= 0.0699
    tg= 0.0874
    tg= 0.1051
    tg= 0.1227
    tg= 0.1405
    tg= 0.1583
    10° tg= 0.1763
    11° tg= 0.1943
    12° tg= 0.2125
    13° tg= 0.2308
    14° tg= 0.2493
    15° tg= 0.2679
    16° tg= 0.2867
    17° tg= 0.3057
    18° tg= 0.3249
    19° tg= 0.3443
    20° tg= 0.364
    21° tg= 0.3839
    22° tg= 0.404
    23° tg= 0.4245
    24° tg= 0.4452
    25° tg= 0.4663
    26° tg= 0.4877
    27° tg= 0.5095
    28° tg= 0.5317
    29° tg= 0.5543
    30° tg= 0.5774
    31° tg= 0.6009
    32° tg= 0.6249
    33° tg= 0.6494
    34° tg= 0.6745
    35° tg= 0.7002
    36° tg= 0.7265
    37° tg= 0.7535
    38° tg= 0.7813
    39° tg= 0.8098
    40° tg= 0.8390
    41° tg= 0.8693
    42° tg= 0.9004
    43° tg= 0.9325
    44° tg= 0.9657
    45° tg= 1
    46° tg= 1.0355
    47° tg= 1.0724
    48° tg= 1.1106
    49° tg= 1.1504
    50° tg= 1.1918
    51° tg= 1.2349
    52° tg= 1.2799
    53° tg= 1.327
    54° tg= 1.3764
    55° tg= 1.4281
    56° tg= 1.4826
    57° tg= 1.5399
    58° tg= 1.6003
    59° tg= 1.6643
    60° tg= 1.7321
    61° tg= 1.804
    62° tg= 1.8807
    63° tg= 1.9626
    64° tg= 2.0503
    65° tg= 2.1445
    66° tg= 2.2460
    67° tg= 2.3559
    68° tg= 2.475
    69° tg= 2.605
    70° tg= 2.7475
    71° tg= 2.9042
    72° tg= 3.0777
    73° tg= 3.2709
    74° tg= 3.4874
    75° tg= 3.732
    76° tg= 4.0108
    77° tg= 4.3315
    78° tg= 4.7046
    79° tg= 5.1446
    80° tg= 5.6713
    81° tg= 6.3138
    82° tg= 7.1154
    83° tg= 8.1443
    84° tg= 9.5144
    85° tg= 11.4301
    86° tg= 14.3007
    87° tg= 19.0811
    88° tg= 28.6363
    89° tg= 57.29
    90° tg не определен

    Угол

    tg

    91° tg= -57.29
    92° tg= -28.6363
    93° tg= -19.0811
    94° tg= -14.3007
    95° tg= -11.4301
    96° tg= -9.5144
    97° tg= -8.1443
    98° tg= -7.1154
    99° tg= -6.3138
    100° tg= -5.6713
    101° tg= -5.1446
    102° tg= -4.7046
    103° tg= -4.3315
    104° tg= -4.0108
    105° tg= -3.732
    106° tg= -3.4874
    107° tg= -3.2709
    108° tg= -3.0777
    109° tg= -2.9042
    110° tg= -2.7475
    111° tg= -2.605
    112° tg= -2.475
    113° tg= -2.3559
    114° tg= -2.2460
    115° tg= -2.1445
    116° tg= -2.0503
    117° tg= -1.9626
    118° tg= -1.8807
    119° tg= -1.804
    120° tg= -1.7321
    121° tg= -1.6643
    122° tg= -1.6003
    123° tg= -1.5399
    124° tg= -1.4826
    125° tg= -1.4281
    126° tg= -1.3764
    127° tg= -1.327
    128° tg= -1.2799
    129° tg= -1.2349
    130° tg= -1.1918
    131° tg= -1.1504
    132° tg= -1.1106
    133° tg= -1.0724
    134° tg= -1.0355
    135° tg= -1
    136° tg= -0.9657
    137° tg= -0.9325
    138° tg= -0.9004
    139° tg= -0.8693
    140° tg= -0.8390
    141° tg= -0.8098
    142° tg= -0.7813
    143° tg= -0.7535
    144° tg= -0.7265
    145° tg= -0.7002
    146° tg= -0.6745
    147° tg= -0.6494
    148° tg= -0.6249
    149° tg= -0.6009
    150° tg= -0.5774
    151° tg= -0.5543
    152° tg= -0.5317
    153° tg= -0.5095
    154° tg= -0.4877
    155° tg= -0.4663
    156° tg= -0.4452
    157° tg= -0.4245
    158° tg= -0.404
    159° tg= -0.3839
    160° tg= -0.364
    161° tg= -0.3443
    162° tg= -0.3249
    163° tg= -0.3057
    164° tg= -0.2867
    165° tg= -0.2679
    166° tg= -0.2493
    167° tg= -0.2308
    168° tg= -0.2125
    169° tg= -0.1943
    170° tg= -0.1763
    171° tg= -0.1583
    172° tg= -0.1405
    173° tg= -0.1227
    174° tg= -0.1051
    175° tg= -0.0874
    176° tg= -0.0699
    177° tg= -0.0524
    178° tg= -0.0349
    179° tg= -0.0174
    180° tg= 0

    Угол

    tg

    181° tg= 0.0174
    182° tg= 0.0349
    183° tg= 0.0524
    184° tg= 0.0699
    185° tg= 0.0874
    186° tg= 0.1051
    187° tg= 0.1227
    188° tg= 0.1405
    189° tg= 0.1583
    190° tg= 0.1763
    191° tg= 0.1943
    192° tg= 0.2125
    193° tg= 0.2308
    194° tg= 0.2493
    195° tg= 0.2679
    196° tg= 0.2867
    197° tg= 0.3057
    198° tg= 0.3249
    199° tg= 0.3443
    200° tg= 0.364
    201° tg= 0.3839
    202° tg= 0.404
    203° tg= 0.4245
    204° tg= 0.4452
    205° tg= 0.4663
    206° tg= 0.4877
    207° tg= 0.5095
    208° tg= 0.5317
    209° tg= 0.5543
    210° tg= 0.5774
    211° tg= 0.6009
    212° tg= 0.6249
    213° tg= 0.6494
    214° tg= 0.6745
    215° tg= 0.7002
    216° tg= 0.7265
    217° tg= 0.7535
    218° tg= 0.7813
    219° tg= 0.8098
    220° tg= 0.8390
    221° tg= 0.8693
    222° tg= 0.9004
    223° tg= 0.9325
    224° tg= 0.9657
    225° tg= 1
    226° tg= 1.0355
    227° tg= 1.0724
    228° tg= 1.1106
    229° tg= 1.1504
    230° tg= 1.1918
    231° tg= 1.2349
    232° tg= 1.2799
    233° tg= 1.327
    234° tg= 1.3764
    235° tg= 1.4281
    236° tg= 1.4826
    237° tg= 1.5399
    238° tg= 1.6003
    239° tg= 1.6643
    240° tg= 1.7321
    241° tg= 1.804
    242° tg= 1.8807
    243° tg= 1.9626
    244° tg= 2.0503
    245° tg= 2.1445
    246° tg= 2.2460
    247° tg= 2.3559
    248° tg= 2.475
    249° tg= 2.605
    250° tg= 2.7475
    251° tg= 2.9042
    252° tg= 3.0777
    253° tg= 3.2709
    254° tg= 3.4874
    255° tg= 3.732
    256° tg= 4.0108
    257° tg= 4.3315
    258° tg= 4.7046
    259° tg= 5.1446
    260° tg= 5.6713
    261° tg= 6.3138
    262° tg= 7.1154
    263° tg= 8.1443
    264° tg= 9.5144
    265° tg= 11.4301
    266° tg= 14.3007
    267° tg= 19.0811
    268° tg= 28.6363
    269° tg= 57.29
    270° tg не определен

    Угол

    tg

    271° tg= -57.29
    272° tg= -28.6363
    273° tg= -19.0811
    274° tg= -14.3007
    275° tg= -11.4301
    276° tg= -9.5144
    277° tg= -8.1443
    278° tg= -7.1154
    279° tg= -6.3138
    280° tg= -5.6713
    281° tg= -5.1446
    282° tg= -4.7046
    283° tg= -4.3315
    284° tg= -4.0108
    285° tg= -3.732
    286° tg= -3.4874
    287° tg= -3.2709
    288° tg= -3.0777
    289° tg= -2.9042
    290° tg= -2.7475
    291° tg= -2.605
    292° tg= -2.475
    293° tg= -2.3559
    294° tg= -2.2460
    295° tg= -2.1445
    296° tg= -2.0503
    297° tg= -1.9626
    298° tg= -1.8807
    299° tg= -1.804
    300° tg= -1.7321
    301° tg= -1.6643
    302° tg= -1.6003
    303° tg= -1.5399
    304° tg= -1.4826
    305° tg= -1.4281
    306° tg= -1.3764
    307° tg= -1.327
    308° tg= -1.2799
    309° tg= -1.2349
    310° tg= -1.1918
    311° tg= -1.1504
    312° tg= -1.1106
    313° tg= -1.0724
    314° tg= -1.0355
    315° tg= -1
    316° tg= -0.9657
    317° tg= -0.9325
    318° tg= -0.9004
    319° tg= -0.8693
    320° tg= -0.8390
    321° tg= -0.8098
    322° tg= -0.7813
    323° tg= -0.7535
    324° tg= -0.7265
    325° tg= -0.7002
    326° tg= -0.6745
    327° tg= -0.6494
    328° tg= -0.6249
    329° tg= -0.6009
    330° tg= -0.5774
    331° tg= -0.5543
    332° tg= -0.5317
    333° tg= -0.5095
    334° tg= -0.4877
    335° tg= -0.4663
    336° tg= -0.4452
    337° tg= -0.4245
    338° tg= -0.404
    339° tg= -0.3839
    340° tg= -0.364
    341° tg= -0.3443
    342° tg= -0.3249
    343° tg= -0.3057
    344° tg= -0.2867
    345° tg= -0.2679
    346° tg= -0.2493
    347° tg= -0.2308
    348° tg= -0.2125
    349° tg= -0.1943
    350° tg= -0.1763
    351° tg= -0.1583
    352° tg= -0.1405
    353° tg= -0.1227
    354° tg= -0.1051
    355° tg= -0.0874
    356° tg= -0.0699
    357° tg= -0.0524
    358° tg= -0.0349
    359° tg= -0.0174
    360° tg= 0
    таблица тангенсов, таблица тангенсов и синусов, таблица тангенсов косинусов, таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов



    Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.
    TehTab.ru

    Реклама, сотрудничество: [email protected]

    Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

    Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)

    Примечание: см. также таблицу значений тригонометрических функций других углов.

    Табличные значения синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов указаны ниже. Далее по тексту следует пояснение метода и правильности вычисления этих значений для произвольного прямоугольного треугольника.

    45 градусов — это π/4 радиан. Формулы для значений косинуса, синуса и тангенса пи/4 радиан указаны ниже (хотя они и тождественны). 
    То есть, например, tg π/4 = tg 45 градусов

    ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ α=45°

    Как самостоятельно вычислить значения sin cos tg 45 градусов?

    Построим и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС у которого угол В = 45°. На основании соотношения его сторон, вычислим значения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике для угла 45 градусов. Поскольку треугольник прямоугольный, то значения функций синуса, косинуса и тангенса будут равны соотношению его соответствующих сторон.

    Поскольку значение функций синуса, косинуса и тангенса зависят исключительно от градусной меры угла (или значения, выраженного в радианах), то найденные нами соотношения и будут значениями функции синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов.

    Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С — прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

    А + В + С = 180° 
    Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
    А = 180° —С — В = 180° — 90° — 45° = 45° 

    Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС – прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный, в котором оба катета равны между собой: AC = BC.

    Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.

    По теореме Пифагора: АВ2=АС2+ВС2
    Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим: 

    АВ= а+ а= 2а2

    тогда АВ=а2.

    В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.

    Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике соотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций. Таким образом для угла α = 45 градусов:

    sin α = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC — катет, AB — гипотенуза)

    cos α = AC / AB (согласно определению косинуса — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC — катет, AB — гипотенуза)

    tg α = BC / AC (аналогично, тангенс для угла α будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)

    Вместо обозначений сторон подставим значения их длин через переменную а.

    Исходя из этого (см. таблицу значений sin 45, cos 45, tg 45) получаем:

    Табличные значения sin 45, cos 45, tg 45  (то есть значение синуса 45, косинуса 45 и тангенса 45 градусов можно вычислить как соотношение соответствующих сторон данного треугольника), подставим вычисленные выше значения длин сторон в формулы и получим результат на картинке ниже.

    Табличные значения: синус 45, косинус 45 и тангенс 45 градусов

    Таким образом:
    • тангенс 45 градусов равен единице
    • синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов и равен корню из двух пополам (то же самое, что и единица, деленная на корень из двух)

    Как видно из вычислений, приведенных выше, для вычисления значений соответствующей тригонометрической функции важны не длины сторон треугольника, а их соотношение, которое всегда одно и то же для одинаковых углов, независимо от размеров конкретного треугольника.

    Синус, косинус и тангенс угла π/4 радиан

    В задачах, предлагаемых для решения в старших классах и на ЗНО/ЕГЭ вместо градусной меры угла часто встречается указание на его величину, измеренную в радианах. Мера угла, выраженная в радианах, базируется на числе пи, которое выражает зависимость длины окружности от ее диаметра.

    Для простоты понимания, рекомендую запомнить простой принцип перевода градусов в радианы. Диаметр окружности охватывает дугу, равную 180 градусам. Таким образом, пи радиан будет равно 180 градусам. Откуда легко пересчитать любую градусную меру угла в радианы и обратно.

    Учтем, что угол 45 градусов, выраженный в радианах, равен (180 / 45 = 4) π/4 ( пи на четыре). Поэтому найденные нами значения верны для той же самой градусной меры угла, выраженной в радианах:

    • тангенс π/4 ( пи на четыре) равен единице
    • синус π/4 ( пи на четыре) градусов равен косинусу π/4 градусов и равен корню из двух пополам

    Для удобства зрительного восприятия эти значения приведены на рисунке ниже.

    Примечание. В поисковых запросах часто встречается нечто типа «тангенс р/4 или p/4». Это неграмотно. Используйте запрос, например «тангенс пи/4».

    Примечание: см. также таблицу значений тригонометрических функций остальных углов.

     Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) — таблица значений | Описание курса | Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60) 

       

    Таблицы касательных Диаграмма угла от 0 ° до 90 °

    Таблицы касательных Диаграмма угла от 0 ° до 90 °

    Тригонометрические таблицы онлайн

    от 0 ° до 15 ° от 16 ° до 31 ° от 32 ° до 45 °
    касательная (0 °) = 0 касательная (16 °) = 0,28675 касательная (32 °) = 0,62487
    касательная (1 °) = 0,01746 касательная (17 °) = 0,30573 касательная (33 °) = 0.64941
    касательная (2 °) = 0,03492 касательная (18 °) = 0,32492 касательная (34 °) = 0,67451
    касательная (3 °) = 0,05241 касательная (19 °) = 0,34433 касательная (35 °) = 0,70021
    касательная (4 °) = 0,06993 касательная (20 °) = 0,36397 касательная (36 °) = 0,72654
    касательная (5 °) = 0,08749 касательная (21 °) = 0,38386 касательная (37 °) = 0,75355
    касательная (6 °) = 0.1051 касательная (22 °) = 0,40403 касательная (38 °) = 0,78129
    касательная (7 °) = 0,12278 касательная (23 °) = 0,42447 касательная (39 °) = 0,80978
    касательная (8 °) = 0,14054 касательная (24 °) = 0,44523 касательная (40 °) = 0,8391
    касательная (9 °) = 0,15838 касательная (25 °) = 0,46631 касательная (41 °) = 0,86929
    касательная (10 °) = 0,17633 касательная (26 °) = 0.48773 касательная (42 °) = 0,9004
    касательная (11 °) = 0,19438 касательная (27 °) = 0,50953 касательная (43 °) = 0,93252
    касательная (12 °) = 0,21256 касательная (28 °) = 0,53171 касательная (44 °) = 0,96569
    касательная (13 °) = 0,23087 касательная (29 °) = 0,55431 касательная (45 °) = 1
    касательная (14 °) = 0,24933 касательная (30 °) = 0,57735
    касательная (15 °) = 0.26795 касательная (31 °) = 0,60086
    от 46 ° до 60 ° от 61 ° до 75 ° от 76 ° до 90 °
    касательная (46 °) = 1,03553 касательная (61 °) = 1.80405 касательная (76 °) = 4,0 1078
    касательная (47 °) = 1,07237 касательная (62 °) = 1,88073 касательная (77 °) = 4,33148
    касательная (48 °) = 1,11061 касательная (63 °) = 1.96261 касательная (78 °) = 4,70463
    касательная (49 °) = 1,15037 касательная (64 °) = 2,0503 касательная (79 °) = 5,14455
    касательная (50 °) = 1,19175 касательная (65 °) = 2,14451 касательная (80 °) = 5,67128
    касательная (51 °) = 1,2349 касательная (66 °) = 2,24604 касательная (81 °) = 6,31375
    касательная (52 °) = 1,27994 касательная (67 °) = 2,35585 касательная (82 °) = 7.11537
    касательная (53 °) = 1,32704 касательная (68 °) = 2,47509 касательная (83 °) = 8,14435
    касательная (54 °) = 1,37638 касательная (69 °) = 2,60509 касательная (84 °) = 9,51436
    касательная (55 °) = 1,42815 касательная (70 °) = 2,74748 касательная (85 °) = 11,43005
    касательная (56 °) = 1,48256 касательная (71 °) = 2, касательная (86 °) = 14.30067
    касательная (57 °) = 1,53986 касательная (72 °) = 3,07768 касательная (87 °) = 19,08114
    касательная (58 °) = 1.60033 касательная (73 °) = 3,27085 касательная (88 °) = 28,63625
    касательная (59 °) = 1,66428 касательная (74 °) = 3,48741 касательная (89 °) = 57,28996
    касательная (60 °) = 1,73205 касательная (75 °) = 3,73205 касательная (90 °) = 8

    Работает на mymathtables.com

    Другие тригонометрические страницы

    Таблица котангенса от 0 ° до 90 °

    Таблица котангенса от 91 ° до 180 °

    Таблица котангенса от 181 ° до 270 °

    Таблица котангенса от 271 ° до 360 °

    Таблица касательных от 0 ° до 90 °

    Таблица касательной от 91 ° до 180 °

    Таблица касательных от 181 ° до 270 °

    Таблица касательных от 271 ° до 360 °

    Определение тангенса

    Тангенс угла — это отношение длины противоположной стороны к длине соседней стороны: так называется потому, что его можно представить как отрезок прямой, касающийся окружности, то есть линии, которая касается окружности, от Латинская linea tangens или касательная линия.

    Тригонометрические углы:

    Ниже таблицы Значения синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса и котангенса при различных углах наклона (0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °).

    Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах

    Синус, косинус и тангенс

    Три основных функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс.

    Их легко посчитать:

    Разделите длину одной стороны прямоугольного треугольника
    на другую сторону


    … но надо знать с какой стороны!

    Для угла θ функции рассчитываются следующим образом:

    Функция синуса:

    sin ( θ ) = Противоположно / Гипотенуза

    Функция косинуса:

    cos ( θ ) = Соседний / Гипотенуза

    Касательная функция:

    tan ( θ ) = противоположный / смежный

    Пример: Что такое синус 35 °?

    Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):

    sin (35 °) = Противоположно / Гипотенуза = 2.8 / 4,9 = 0,57 …

    Декартовы координаты

    Используя декартовы координаты, мы отмечаем точку на графике с помощью , насколько далеко вдоль и , насколько она выше :


    Точка (12,5) проходит на 12 единиц вдоль и на 5 единиц вверх.

    Четыре квадранта

    Когда мы включаем отрицательных значений , оси x и y делят пространство на 4 части:

    Квадранты I, II, III и IV

    (пронумерованы против часовой стрелки)

    • В квадранте I и x, и y положительны,
    • в квадранте II x отрицательно (y все еще положительно),
    • в квадранте III и x, и y отрицательны, а
    • в квадранте IV x снова положительно, а y отрицательно.

    Как это:

    Квадрант X
    (горизонтально)
    Y
    (вертикально)
    Пример
    I Положительно Положительно (3,2)
    II Отрицательный Положительно
    III Отрицательный Отрицательный (-2, -1)
    IV Положительно Отрицательный

    Пример: точка «C» (−2, −1) проходит на 2 единицы в отрицательном направлении и на 1 единицу вниз (т.е.е. отрицательное направление).

    И x, и y отрицательны, поэтому эта точка находится в «Квадранте III»

    Синус, косинус и тангенс в Четыре квадранта

    Теперь давайте посмотрим, что происходит, когда мы помещаем треугольник 30 ° в каждый из 4-х квадрантов.

    В квадранте I все нормально, синус, косинус и тангенс положительны:

    Пример: синус, косинус и тангенс 30 °

    Синус

    sin (30 °) = 1/2 = 0.5

    Косинус

    cos (30 °) = 1,732 / 2 = 0,866

    Касательная

    тангенс (30 °) = 1 / 1,732 = 0,577

    Но в квадранте II направление x отрицательно , а косинус и тангенс становятся отрицательными:

    Пример: синус, косинус и тангенс 150 °

    Синус

    sin (150 °) = 1/2 = 0.5

    Косинус

    cos (150 °) = -1,732 / 2 = -0,866

    Касательная

    тангенс угла (150 °) = 1 / -1,732 = -0,577

    В квадранте III синус и косинус отрицательны:

    Пример: синус, косинус и тангенс 210 °

    Синус

    sin (210 °) = -1/2 = -0.5

    Косинус

    cos (210 °) = -1,732 / 2 = -0,866

    Касательная

    тангенс угла (210 °) = -1 / -1,732 = 0,577

    Примечание. Касательная положительная , потому что деление отрицательного на отрицательное дает положительный результат.

    В квадранте IV синус и тангенс отрицательны:

    Пример: синус, косинус и тангенс 330 °

    Синус

    sin (330 °) = -1/2 = -0.5

    Косинус

    cos (330 °) = 1,732 / 2 = 0,866

    Касательная

    тангенс угла (330 °) = -1 / 1,732 = -0,577

    Есть выкройка! Посмотрите, когда синус-косинус и касательная положительны

    • Все три положительные в квадранте I
    • Только синус положительный в квадранте II
    • Только касательная положительна в квадранте III
    • Только косинус положителен в квадранте IV

    Это можно показать еще проще:


    На этом графике также отображается ASTC.

    Некоторым людям нравится запоминать четыре буквы ASTC одной из этих:

    • Все студенты изучают химию
    • Все учащиеся проходят исчисление
    • Все глупые коты Тома
    • Все станции до центра
    • A dd S угар T o C оферта

    Вы можете вспомнить один из них или, возможно, составить
    своих собственных. Или просто помните ASTC.

    Два значения

    Посмотрите на этот график синусоидальной функции:


    Есть двух углов (в пределах первых 360 °), которые имеют одинаковое значение!

    И это также верно для Cosine и Tangent .

    Проблема: Ваш калькулятор выдаст вам только одно из этих значений

    … но вы можете использовать эти правила, чтобы найти другое значение:

    Первое значение Второе значение
    Синус θ 180º — θ
    Косинус θ 360º — θ
    Касательная θ θ — 180º

    И если какой-либо угол меньше 0º, добавьте 360º.

    Теперь мы можем решить уравнения для углы от 0 ° до 360 ° (с использованием обратного синуса, косинуса и тангенса)

    Пример: Решить sin θ = 0,5

    Получаем первое решение из калькулятора = sin -1 (0,5) = 30º (находится в квадранте I)

    Другое решение: 180º — 30º = 150º (Квадрант II)

    Пример: Решить tan θ = −1,3

    Мы получаем первое решение из калькулятора = tan -1 (−1.3) = −52,4º

    Это меньше 0º, поэтому мы прибавляем 360º: −52,4º + 360º = 307,6º (квадрант IV)

    Другое решение: 307,6º — 180º = 127,6º (Квадрант II)

    Пример: Решить cos θ = -0,85

    Получаем первое решение из калькулятора = cos -1 (-0,85) = 148,2º (Квадрант II)

    Другое решение: 360º — 148,2º = 211,8º (Квадрант III)

    Касательная (угла)

    В касательная угла — это тригонометрическое соотношение между соседней стороной и противоположной стороной прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.

    касательная знак равно длина из в нога противоположный к в угол длина из в нога соседний к в угол сокращенно «загар»

    Пример:

    В показанном треугольнике

    загар ( А ) знак равно 6 8 или 3 4 и загар ( B ) знак равно 8 6 или 4 3 .

    Коэффициент касательной остается неизменным независимо от размера прямоугольного треугольника. Итак, часто проще всего рассмотреть прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 .

    Отношение тангенса также можно рассматривать как функцию, которая принимает разные значения в зависимости от меры угла. Вы можете измерять угол в градусах или радианы .

    Величина, обратная отношению тангенса, известна как коэффициент котангенса угла, сокращенно «раскладушка».

    Это,

    котангенс знак равно длина из в нога соседний к в угол длина из в нога противоположный к в угол

    В приведенном выше примере детская кроватка ( А ) знак равно 7 4 и детская кроватка ( B ) знак равно 4 7 .

    Смотрите также: синус и косинус .

    Функция касания — Концепция

    В тригонометрии прямоугольного треугольника (только для острых углов) касательная определяется как отношение противоположной стороны к смежной стороне. Определение единичного круга: tan (theta) = y / x или tan (theta) = sin (theta) / cos (theta). Функция тангенса отрицательна, если синус или косинус, но не оба, отрицательны: второй и четвертый квадранты.Касательная также равна наклону конечной стороны.

    Мы говорили о функциях синуса и косинуса. Теперь мы хотим поговорить о касательной функции. Так была определена функция касания в тригонометрии прямоугольного треугольника. Касательная тэта равна стороне, противоположной тэте, деленной на сторону, прилегающую к тэте. Итак, это тэта. Касательная тета — это длина, деленная на эту длину или y по x.Но это определение работает только для острых углов, углов от 0 до 90 градусов, потому что оно определено таким образом только для прямоугольных треугольников. Итак, нам нужно найти расширение этого определения, которое работает для всех углов. Как у синуса и косинуса.
    И это подводит нас к единичному кругу. Это определение касательной к единичной окружности. Помните, если у меня есть угол тета, который нарисован в стандартном положении, так что его начальная сторона нарисована положительно оси x, а его конечная сторона пересекает круг в точке p.Тангенс теты определяется как y над x, где y и x — эти координаты. Итак, вторая координата, деленная на первую координату, это тангенс теты.
    Давайте попрактикуемся с этим. В этой задаче меня просят найти тангенс теты для каждого из них. Ну, тангенс теты здесь будет координатой y, деленной на координату x. Итак, отрицательные три пятых по сравнению с отрицательными четырьмя пятыми. {2} + 2x — 8 & = 0 \\ (х — 2) (х + 4) & = 0 \\ \ поэтому x = 2 & \ text {или} x = -4 \\ \ text {If} x = 2 \ quad y & = 2 + 2 = 4 \\ \ text {If} x = -4 \ quad y & = -4 + 2 = -2 \ end {выровнять *}

    Это дает баллы \ (P (-4; -2) \) и \ (Q (2; 4) \).2} \\ & = \ sqrt {36 + 36} \\ & = \ sqrt {36 \ cdot 2} \\ & = 6 \ sqrt {2} \ end {выровнять *}

    Определите координаты \ (M \), средней точки хорды \ (PQ \).

    \ begin {align *} M (x; y) & = \ left (\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}; \ frac {y_ {1} + y_ {2}} {2} \ right) \\ & = \ left (\ frac {-4 + 2} {2}; \ frac {-2 + 4} {2} \ right) \\ & = \ left (\ frac {-2} {2}; \ frac {2} {2} \ right) \\ & = \ влево (-1; 1 \ вправо) \ end {выровнять *}

    Если \ (O \) — центр круга, покажите, что \ (PQ \ perp OM \).

    \ begin {align *} m_ {PQ} & = \ frac {4 — (-2)} {2 — (-4)} \\ & = \ frac {6} {6} \\ & = 1 \\ & \\ m_ {OM} & = \ frac {1 — 0} {- 1 — 0} \\ & = — 1 \\ m_ {PQ} \ times m_ {OM} & = — 1 \\ & \\ \ поэтому PQ & \ perp OM \ end {выровнять *}

    Определите уравнения касательных к окружности в точках \ (P \) и \ (Q \).

    Касательная в точке \ (P \):

    Определите градиент радиуса \ (OP \):

    \ begin {align *} m_ {OP} & = \ frac {y_ {2} — y_ {1}} {x_ {2} — x_ {1}} \\ & = \ frac {-2 — 0} {- 4 — 0} \\ & = \ frac {1} {2} \ end {выровнять *}

    Пусть градиент касательной в точке \ (P \) равен \ (m_ {P} \).Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, поэтому можно написать:

    \ begin {align *} m_ {OP} \ times m_ {P} & = -1 \\ \ frac {1} {2} \ times m_ {P} & = -1 \\ \ поэтому m_ {P} & = — 2 \ end {выровнять *}

    Подставьте \ (m_ {P} = — 2 \) и \ (P (-4; -2) \) в уравнение прямой.

    \ begin {align *} y — y_ {1} & = m (x — x_ {1}) \\ y — y_ {1} & = — 2 (x — x_ {1}) \\ \ text {Substitute} P (-4; -2): \ quad y + 2 & = — 2 (x + 4) \\ у & = -2х — 8-2 \\ & = -2x — 10 \ end {выровнять *}

    Касательная в точке \ (Q \):

    Определите градиент радиуса \ (OQ \):

    \ begin {align *} m_ {OQ} & = \ frac {y_ {2} — y_ {1}} {x_ {2} — x_ {1}} \\ & = \ frac {4 — 0} {2 — 0} \\ & = 2 \ end {выровнять *}

    Пусть градиент касательной в точке \ (Q \) равен \ (m_ {Q} \).Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, поэтому можно написать:

    \ begin {align *} m_ {OQ} \ times m_ {Q} & = -1 \\ 2 \ times m_ {Q} & = -1 \\ \ поэтому m_ {Q} & = — \ frac {1} {2} \ end {выровнять *}

    Подставьте \ (m_ {Q} = — \ frac {1} {2} \) и \ (Q (2; 4) \) в уравнение прямой.

    \ begin {align *} y — y_ {1} & = m (x — x_ {1}) \\ y — y_ {1} & = — \ frac {1} {2} (x — x_ {1}) \\ \ text {Substitute} Q (2; 4): \ quad y — 4 & = — \ frac {1} {2} (x — 2) \\ y & = — \ frac {1} {2} x + 1 + 4 \\ & = — \ frac {1} {2} x + 5 \ end {выровнять *}

    Следовательно, уравнения касательных к окружности равны \ (y = -2x — 10 \) и \ (y = — \ frac {1} {2} x + 5 \).

    Определите координаты \ (S \), точки пересечения двух касательных.

    Приравняйте два линейных уравнения и решите относительно \ (x \):

    \ begin {align *} -2x — 10 & = — \ frac {1} {2} x + 5 \\ -4x — 20 & = — х + 10 \\ -3x & = 30 \\ х & = — 10 \\ \ text {If} x = — 10 \ quad y & = — 2 \ left (- 10 \ right) — 10 \\ & = 10 \ end {выровнять *}

    Это дает точку \ (S \ left (- 10; 10 \ right) \).2} \\ & = \ sqrt {144 + 36} \\ & = \ sqrt {180} \ end {выровнять *}

    Определите уравнения двух касательных к окружности, параллельных прямой \ (y + 2x = 4 \).

    Касательная в точке \ (P \), \ (y = -2x — 10 \), параллельна \ (y = — 2x + 4 \). Чтобы найти уравнение второй параллельной касательной:

    \ begin {align *} у & = -2x + 4 \\ \ поэтому m & = -2 \\ \ поэтому m _ {\ text {radius}} & = \ frac {1} {2} \\ \ text {Ур.{2} & = 16 \\ х & = \ pm 4 \\ \ text {If} x = 4, y & = 2 \\ \ text {Substitute} (4; 2): \ quad y & = -2x + c \\ 2 & = — 2 (4) + с \\ 10 & = с \\ y & = -2x + 10 \ end {выровнять *} Калькулятор

    — tan (4) — Solumaths

    Резюме:

    Тригонометрическая функция tan для вычисления тангенса угла в радианах, градусы или градианы.

    загар
    Описание:

    Калькулятор позволяет использовать большинство тригонометрических функций , есть возможность вычислить загар , синус и косинус угла через одноименные функции..

    Тангенс тригонометрической функции отмечен tan , позволяет вычислить тангенс угла онлайн , можно использовать разные угловые единицы:

    • радиан — угловая единица по умолчанию,
    • градус или
    • град.

    1. Расчет тангенса
    2. Касательная для вычисления угла в радианах

      Калькулятор тангенса позволяет с помощью функции загара рассчитать онлайн касательная угла в радианах, сначала необходимо выберите желаемую единицу измерения, нажав кнопку параметров модуля расчета.После этого можно приступать к расчетам.

      Чтобы вычислить касательную в режиме онлайн числа «пи / 6», введите tan (`pi / 6`), после вычисления результат sqrt (3) / 3 возвращается.

      Обратите внимание, что функция тангенса может распознавать некоторые особые углы и расчеты со специальными связанными значениями в точной форме.

      Вычислить тангенс угла в градусах

      Чтобы вычислить тангенс угла в градусах, необходимо сначала выбрать нужную единицу нажав на кнопку опций модуля расчета.После этого вы можете приступить к расчету.

      Чтобы вычислить тангенс 60, введите tan (60), после расчета restults возвращается `sqrt (3)`.

      Вычислить тангенс угла в градусах

      Для вычисления тангенса угла в градусах необходимо сначала выбрать желаемую единицу измерения. нажав на кнопку опций модуля расчета. После этого вы можете приступить к расчету.

      Чтобы вычислить тангенс 50, введите tan (50), после вычисления возвращается результат «1».

      Обратите внимание, что функция тангенса способна распознавать некоторые особые углы и выполнять исчисление со специальными связанными точными значениями.

    3. Особые значения тангенса
    4. Касательная допускает некоторые особые значения, которые калькулятор может определять в точной форме.2`.

    5. Первообразная касательной
    6. Первообразная касательной равна `-ln (cos (x))`.

    7. Свойства касательной функции
    8. Касательная функция является нечетной функцией для каждого действительного x, «tan (-x) = — tan (x)». Следствием для кривой, представляющей касательную функцию, является то, что она допускает начало отсчета как точку симметрии.


      Тригонометрическая функция tan для вычисления тангенса угла в радианах, градусы или градианы. 2`


      Касательная к первообразным:

      Калькулятор первообразной позволяет вычислить первообразную касательной функции.

      Первообразное для tan (x) — это первообразное_производное (`tan (x)`) = `-ln (cos (x))`


      Предел тангенса:

      Калькулятор пределов позволяет вычислять пределы касательной функции.

      Предел для tan (x) — limit_calculator (`tan (x)`)


      Тангенс обратной функции:

      Функция , обратная касательной , является функцией арктангенса, отмеченной как arctan.



      Тангенс графика:

      Графический калькулятор может строить касательную функцию в интервале ее определения.



      Свойство тангенса функции:
      Касательная функция — нечетная функция.
      Рассчитать онлайн с тангенсом тангенса (тангенс)

      Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах

      Помните эту картинку? Мы использовали его, чтобы запомнить знаки трех основных тригонометрических соотношений — синуса, косинуса и тангенса в четырех квадрантах.Каждая буква (из ASTC или CAST ) представляет тригонометрическую функцию, которая положительна в каждом квадранте, например Осин C положителен в 4-м квадранте и т.д., а A 11 3 положителен в первом квадранте.

      Студенты иногда использовали мнемонические приемы, чтобы запомнить порядок:

      • A ll S cience T eachers C are
      • A ll S thudents T ake
      • и т. Д.

      но почему эти базовые тригонометрические отношения принимают разные знаки в разных квадрантах в первую очередь?

      Стороны прямоугольного треугольника

      Сначала нам нужно определить эти отношения (или тригонометрические функции), и для этого будет проще, если мы назовем стороны треугольника.

      Треугольник (с ненулевой площадью) может иметь не более одного прямого (90 °) угла. Для таких прямоугольных треугольников трем сторонам даны специальные имена по отношению к одному из углов, отличных от 90 ° (назовем его углом a ):

      • Гипотенуза — сторона напротив прямого угла
      • Смежный — сторона, прилегающая к углу a , которая не является гипотенузой
      • Противоположный — сторона поперек угла a

      Для одного определенного угла a , e.г. a = 30 °, три основные тригонометрические функции — синус, косинус и тангенс — это отношения между длинами двух из трех сторон:

      • Синус: sin (a) = Противоположность / Гипотенуза
      • Косинус: cos ( a) = Соседний / Гипотенуза
      • Касательная: tan (a) = Противоположный / Соседний

      Это все хорошо, когда угол и находится между 0 ° и 90 °. Что произойдет, если угол и не острый?

      Синус, косинус и тангенс в квадранте 1

      Давайте поместим прямоугольный треугольник на стандартные декартовы оси для угла a , который находится между 0 ° и 90 ° (мы говорим, что угол a находится в квадранте-1 ).На всех рисунках ниже длины нормированы на гипотенузу, то есть длина гипотенузы всегда равна 1,0 и показана как радиус единичной окружности.

      Для угла a , который находится в квадранте 1, мы видим, что смежная сторона лежит на «оси x» и находится в направлении положительного x. Между тем, сторона , противоположная стороне , также находится в направлении положительного y. Следовательно, все три стороны — смежная, противоположная и гипотенуза — все положительны. Таким образом, все ( A ) три отношения положительны.

      Синус, косинус и тангенс в квадранте 2

      Однако, когда угол a находится в квадранте 2 (между 90 ° и 180 °), смежная сторона расположена вдоль отрицательного направления x, а противоположная сторона все еще находится в положительном направлении оси y. Следовательно, косинус и тангенс отрицательны, и только синус ( S ) положителен.

      Синус, косинус и тангенс в квадранте 3

      Когда угол a находится в квадранте 3 (между 180 ° и 270 °), обе стороны , соседние и , противоположные , являются отрицательными.Следовательно, синус и косинус отрицательны, и поскольку тангенс ( T ) представляет собой деление между двумя отрицательными числами, это единственная тригонометрическая функция, которая является положительной.

      Синус, косинус и тангенс в квадранте 4

      Наконец, когда угол a находится в квадранте 4 (между 270 ° и 360 °), смежная сторона возвращается в положительном направлении x, а Сторона напротив все еще находится в положительном направлении оси y. Следовательно, синус и тангенс отрицательны, и только косинус ( C ) положителен.

    Калькулятор с буквами и дробями: Калькулятор с буквами · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

    Программа для решения дробей с буквами. Бесплатный калькулятор дробей

    Это приложение может стать «палочкой-выручалочкой» как школьнику, так и студенту и взрослому человек, которому приходиться работать с дробями. Преимущество данного приложения в том, что в настоящий момент на рынке приложений Андроид не так много таких калькуляторов, которые бы обладали настолько удобным вводом и возможностью вывода решения на экран. Если вы устали от бесконечной работы с дробями или просто желаете себя перепроверить, смело устанавливайте FractionsCalc+.

    Про приложение

    Сейчас некоторые пользователи, которые в свое время мучались с дробями, начнут кусать себе локти, так как на рынок вышла новая программа, которая поможет вам в решении подобных задач. Новая система ввода позволит пользователям в считанные секунды ввести нужное выражение и получить ответ. Плюсом программы будет то, что мы получаем не просто готовый ответ, а подробное решение. Это значит, что мы можем отследить каждый этап вычислений. В итоге у нас получается развернутое решение и ответ в десятичной форме и в обычной. Если ответ не помещается на экране, вам нужно прокрутить в сторону изображение.

    Управление

    Так как данное приложение это не вполне себе обычный калькулятор, разработчики позаботились о том, чтобы сделать управление максимально удобным. И им это вполне себе удалось. После установки вы увидите краткую инструкцию, которая покажет нам, какие области калькулятора за что отвечают. Далее все дело привычное, вы вводите нужный вам пример и получаете результат. В настройках приложения можете изменить язык и сменить тему оформления.

    Оформление

    Каждый разработчик пытается внести в приложение какую-нибудь свою «изюминку», чтобы привлечь внимание пользователей. Даже такому простому приложению как калькулятор разработчики решили придать немного цвета, создав различные темы оформления, чтобы каждый пользователь смог подобрать свой любимый цвет. Подобная модель работы играет на руку создателям, так как любое внимание к пользователю можем считать плюсом.

    Плюсы

    • Новая удобная концепция управления
    • Возможность изменить язык
    • Несколько цветовых тем
    • 4 вида вычислений
    • Две формы ответа
    • Развернутое решение

    Минусы

    • Реклама
    • Отсутствие скобок и степеней для сложных примеров

    Лучший калькулятор дробей ✌, с десятичными, процентами и скобками, который показывает подробное и пошаговое решение .

    Незаменим на занятиях по математике в школе и дома.

    Нужно решить простые или сложные задачи с дробями, преобразовать дроби в десятичные числа, или наоборот? — умный калькулятор дробей поможет решить, и покажет полное решение

    Решение дробей — легко и просто

    ➕ ➖ ❌ ➗ математика 6 класс, гдз решебник для любопытных

    Особенности калькулятора дробей с решением

    Показывает целые числа и дроби в ясной и понятной форме, очень легко читается.

    Преобразовывает дроби в десятичные и десятичные в дроби.

    Поддержка скобок и вычислений с процентами.

    Результат автоматически уменьшается до своей простейшей формы.

    Тройная клавиатура для быстрого набора.

    Работает с очень большими числами + неограниченное количество дробей в выражении.

    Автоматическая прокрутка до конца при вводе длинных выражений. Идеально подходит для телефонов и планшетов.

    Калькулятор дробей будет очень полезен при проверке домашних заданий, гдз, в школе (математика 5 и 6 класс), подготовке рецептов или на работе в строительных проектах.

    Если появился вопрос или предложение как сделать дробный калькулятор ещё лучше, пишите нам на.

    Простой, удобный калькулятор для расчета уравнений с применением простых дробей.

    Введение:

    Дроби — одна из самых сложных тем для большинства школьников и даже для некоторых студентов, которые не усвоили эту тему еще в школе. Приложение под простым названием “” станет верным помощником для каждого школьника или студента, поскольку, приложение дает вам не только готовый ответ, но и показывает подробное решение. Приложение умеет работать как с двумя, так и с тремя дробями сразу, так что даже особые сложные примеры вы сможете посчитать на данном калькуляторе.

    Функционал:

    Интерфейс приложения продуман достаточно неплохо. Сверху находится два переключателя для выбора количества дробей, которые вы хотите посчитать. Чуть ниже находятся поля для ввода дробей (вы можете вводить как положительные, так и отрицательные числа). Между дробями вы может выбрать одну из 4 математических действий: сложение, вычитание, умножение и деление. После того, как вы ввели данные, можете смело нажимать кнопку “Вычислить”. Расчет происходит моментально и все результаты вычислений сразу же показываются в поле внизу. Зеленой строкой выделен окончательный ответ, а под ним происходит подробное описание всех действий, а также показывается значение дроби обычной в десятичном варианте. После этого, вы можете скопировать результат вычислений, нажав на кнопку “Копировать” или очистить поле, нажав на кнопку “Очистить”.

    Итоги:

    В настройках вы можете изменить формат написания дробей, а также язык интерфейса. Подведем итоги: “” — это прекрасный помощник для школьника или студента, который поможет им уменьшить порог вхождения в эту трудную, на первый взгляд, тему. Приятного пользования!

    – это образовательная программа, которая разработана для современных андроид устройств. Учится на отлично – легко. Благодаря нашему сайту вы сможете решать сложнейшие примеры с дробями совершенно бесплатно.

    Название мобильного приложения говорит само за себя. Перед пользователями продвинутый калькулятор, который отлично работает без подключения к интернету.

    Все что требуется сделать – ввести числовые значения, а через несколько секунд получить готовый ответ. Разработчики проекта приготовили для студентов и школьников множество приятных сюрпризов, среди которых:

    Четыре математических операции: деление, умножение, вычитание, сложение дробей выполняются по базовым правилам математики.
    — Выполнение примеров с несколькими действиями и возможность решать примеры со скобками.
    — Возможность регулировать дополнительные настройки для получения более точных расчетов.
    — Удобный пользовательский интерфейс, осваиваемый на интуитивном уровне.
    — Проработанное управление, позволяющее быстро вводить информацию.
    — Возможность просматривать алгоритм решения поставленной задачи.
    — Наличие русскоязычного меню и различных тем оформления.

    Немного подробнее об интерфейсе приложения. Главное меню выполнено похоже на стандартные мобильные калькуляторы, что позволяет освоить программу намного быстрее. Оперативность достигнута и в управлении. Экран устройства условно делится на три части, где располагаются цифры.

    Все эти цифра позволяют быстро вводить целые и дробные числовые значения без перехода в дополнительные пункты меню. Подобное решение поможет сэкономить время на экзамене. Учитесь на одни пятерки вместе с мобильным приложением для ОС android.

    Калькулятор сокращения дробей

    0
    AC +/- ÷
    7 8 9 ×
    4 5 6
    1 2 3 +
    0 00 , =

    При помощи калькулятор сокращения дробей вы можете привести дробь к несократимому виду, а так же получить подробное решение. Введите целые неотрицательные числа в числитель и знаменатель, если у дроби нет целой части оставьте это поле пустым

    Как сократить дробь

    Первый способ сокращения дроби:

    1. Найти наибольший общий делитель НОД числителя и знаменателя.
    2. Разделить числитель и знаменатель на НОД.

    Приведем пример, сократим дробь 1

    Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя
        НОД (6, 30) = 6

    Разделим числитель и знаменатель на их НОД
       6 : 6 = 1
       30 : 6 = 5

    Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь


    Второй способ сокращения дроби:

    1. Числитель и знаменатель дроби разложить на простые множители.
    2. Сократить повторяющиеся множители и перемножить оставшиеся.

    Приведем пример, сократим дробь

    Разложим числитель и знаменатель на простые множители
       12 = 2·2·3
       124 = 2·2·31

    Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
       

    =

    2·2·3

    2·2·31

    Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
       

    =

    2·2·3

    2·2·31

    =

    2·2·3

    2·2·31

    Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой.
       

    =

    2·2·3

    2·2·31

    =

    2·2·3

    2·2·31

    =

    Вам могут также быть полезны следующие сервисы
    Дроби
    Калькулятор интервальных повторений
    Учим дроби наглядно
    Калькулятор сокращения дробей
    Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную
    Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей
    Калькулятор возведения дроби в степень
    Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную
    Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную
    Калькулятор сравнения дробей
    Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю
    Калькуляторы (тригонометрия)
    Калькулятор синуса угла
    Калькулятор косинуса угла
    Калькулятор тангенса угла
    Калькулятор котангенса угла
    Калькулятор секанса угла
    Калькулятор косеканса угла
    Калькулятор арксинуса угла
    Калькулятор арккосинуса угла
    Калькулятор арктангенса угла
    Калькулятор арккотангенса угла
    Калькулятор арксеканса угла
    Калькулятор арккосеканса угла
    Калькулятор нахождения наименьшего угла
    Калькулятор определения вида угла
    Калькулятор смежных углов
    Калькуляторы систем счисления
    Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские
    Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел
    Системы счисления теория
    N2 | Двоичная система счисления
    N3 | Троичная система счисления
    N4 | Четырехичная система счисления
    N5 | Пятеричная система счисления
    N6 | Шестеричная система счисления
    N7 | Семеричная система счисления
    N8 | Восьмеричная система счисления
    N9 | Девятеричная система счисления
    N11 | Одиннадцатиричная система счисления
    N12 | Двенадцатеричная система счисления
    N13 | Тринадцатеричная система счисления
    N14 | Четырнадцатеричная система счисления
    N15 | Пятнадцатеричная система счисления
    N16 | Шестнадцатеричная система счисления
    N17 | Семнадцатеричная система счисления
    N18 | Восемнадцатеричная система счисления
    N19 | Девятнадцатеричная система счисления
    N20 | Двадцатеричная система счисления
    N21 | Двадцатиодноричная система счисления
    N22 | Двадцатидвухричная система счисления
    N23 | Двадцатитрехричная система счисления
    N24 | Двадцатичетырехричная система счисления
    N25 | Двадцатипятеричная система счисления
    N26 | Двадцатишестеричная система счисления
    N27 | Двадцатисемеричная система счисления
    N28 | Двадцативосьмеричная система счисления
    N29 | Двадцатидевятиричная система счисления
    N30 | Тридцатиричная система счисления
    N31 | Тридцатиодноричная система счисления
    N32 | Тридцатидвухричная система счисления
    N33 | Тридцатитрехричная система счисления
    N34 | Тридцатичетырехричная система счисления
    N35 | Тридцатипятиричная система счисления
    N36 | Тридцатишестиричная система счисления
    Калькуляторы (Теория чисел)
    Калькулятор выражений
    Калькулятор со скобками
    Калькулятор разложения числа на простые множители
    Калькулятор НОД и НОК
    Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида
    Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел
    Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых
    Калькулятор деления числа в данном отношении
    Калькулятор процентов
    Калькулятор перевода числа с Е в десятичное
    Калькулятор экспоненциальной записи чисел
    Калькулятор нахождения факториала числа
    Калькулятор нахождения логарифма числа
    Калькулятор квадратных уравнений
    Калькулятор остатка от деления
    Калькулятор корней с решением
    Калькулятор нахождения периода десятичной дроби
    Калькулятор больших чисел
    Калькулятор округления числа
    Калькулятор свойств корней и степеней
    Калькулятор комплексных чисел
    Калькулятор среднего арифметического
    Калькулятор арифметической прогрессии
    Калькулятор геометрической прогрессии
    Калькулятор модуля числа
    Калькулятор абсолютной погрешности приближения
    Калькулятор абсолютной погрешности
    Калькулятор относительной погрешности
    Калькуляторы площади геометрических фигур
    Площадь квадрата
    Площадь прямоугольника
    КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
    Калькуляторы (Комбинаторика)
    Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов
    Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов
    Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов
    Генератор Pdf с примерами
    Тренажёры решения примеров
    Тренажёр таблицы умножения
    Тренажер счета для дошкольников
    Тренажер счета на внимательность для дошкольников
    Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.
    Тренажер решения примеров с разными действиями
    Тренажёры решения столбиком
    Тренажёр сложения столбиком
    Тренажёр вычитания столбиком
    Тренажёр умножения столбиком
    Тренажёр деления столбиком с остатком
    Калькуляторы решения столбиком
    Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком
    Калькулятор деления столбиком с остатком
    Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия
    Калькулятор сложения и вычитания матриц
    Калькулятор умножения матриц
    Калькулятор транспонирование матрицы
    Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы
    Калькулятор нахождения обратной матрицы
    Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками
    Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам
    Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора
    Калькулятор сложения и вычитания векторов
    Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами
    Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты
    Калькулятор векторного произведения векторов через координаты
    Калькулятор смешанного произведения векторов
    Калькулятор умножения вектора на число
    Калькулятор нахождения угла между векторами
    Калькулятор проверки коллинеарности векторов
    Калькулятор проверки компланарности векторов
    Конвертеры величин
    Конвертер единиц длины
    Конвертер единиц скорости
    Конвертер единиц ускорения
    Цифры в текст
    Калькуляторы (физика)

    Механика

    Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния
    Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения
    Калькулятор вычисления времени движения
    Калькулятор времени
    Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.
    Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.
    Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости
    Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.
    Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

    Оптика

    Калькулятор отражения и преломления света

    Электричество и магнетизм

    Калькулятор Закона Ома
    Калькулятор Закона Кулона
    Калькулятор напряженности E электрического поля
    Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q
    Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q
    Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q
    Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q
    Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля
    Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

    Конденсаторы

    Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе
    Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе
    Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора
    Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов
    Калькуляторы по астрономии
    Вес тела на других планетах
    Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках
    Генераторы
    Генератор примеров по математике
    Генератор случайных чисел
    Генератор паролей

    Умножение и деление алгебраических дробей

    В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

    Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

    Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

    Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после  чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

    23·47=2·43·7=821

    А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

    23:711=23·117=227=1121

    Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

    Определение 1

    Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.  

    В буквенном виде правило можно записать как ab·cd=a·cb·d . Здесь a, b, c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

    Определение 2

    Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

    Это правило можно также записать как ab:cd=ab·dc=a·db·c . Буквы a, b, c и d здесь означают многочлены, из которых a, b, c и d не могут быть нулевыми.

    Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a·b+1a3  дробь a3a·b+1  будет обратной.

    Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

    В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

    Пример 1

    Условие: умножьте дробь 1x+y  на 3·x·yx2+5 , а потом разделите одну дробь на другую.

    Решение

    Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

    1x+y·3·x·yx2+5=1·3·x·y(x+y)·(x2+5)

    Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

    1·3·x·y(x+y)·(x2+5)=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y

    Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x2+53·x·y :

    1x+y:3·x·yx2+5=1x+y·x2+53·x·y

    Приведем полученную дробь к стандартному виду:

    1x+y·x2+53·x·y=1·x2+5(x+y)·3·x·y=x2+53·x2·y+3·x·y2

    Ответ: 1x+y·3·x·yx2+5=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y ; 1x+y:3·x·yx2+5=x2+53·x2·y+3·x·y2 .

    Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 29·38=672=112 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

    Пример 2

    Условие: перемножьте дроби x2+2·x+118·x3 и 6·xx2-1 .

    Решение

    Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

    x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1

    У нас получилась дробь, которую можно сократить:

    x+12·6·x18·x3·x-1·x+1=x+13·x2·(x-1)

    О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

    Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

    x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2

    Вот запись всего решения без пояснений:

    x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1==x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2

    Ответ: x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+13·x3-3·x2 .

    В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

    Пример 3

    Условие: разделите 217·x-1  на 12·x7-x .

    Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 217·x-1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

    217·x-1=7·27·17·x-1=14x-7

    Видим, что знаменатель дроби 12·x7-x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12·x7-x , получим 12·x7-x=-12·xx-7 .

    После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

    217·x-1:12·x7-x=14x-7:-12·xx-7=14x-7·x-7-12·x=14·x-7x-7·-12·x==14-12·x=2·7-2·2·3·x=7-6·x=-76·x

    Ответ: 217·x-1:12·x7-x=-76·x .

    Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

    Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x2+x−4  на x2+x−41 . Полученные выражения будут тождественно равны.

    Пример 4

    Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x+45·x·y:x2-16 .

    Решение

    Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.

    x+45·x·y:x2-16=x+45·x·y:x2-161=x+45·x·y·1×2-16==x+45·x·y·1(x-4)·x+4=(x+4)·15·x·y·(x-4)·(x+4)=15·x·y·x-4==15·x2·y-20·x·y

    Ответ: x+45·x·y:x2-16=15·x2·y-20·x·y.

    Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

    Автор: Ирина Мальцевская

    Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

    Калькулятор наименьшего общего знаменателя (НОЗ)

    В реальной жизни нам необходимо оперировать обыкновенными дробями. Однако чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, например, 2/3 и 5/7, нам потребуется найти общий знаменатель. Приведя дроби к общему знаменателю, мы сможем легко осуществить операции сложения или вычитания.

    Определение

    Дроби — одна из самых сложных тем в начальной арифметике, и рациональные числа пугают школьников, которые встречаются с ними впервые. Мы привыкли оперировать с числами, записанными в десятичном формате. Куда проще сходу сложить 0,71 и 0,44, чем суммировать 5/7 и 4/9. Ведь для суммирования дробей их необходимо привести к общему знаменателю. Однако дроби куда точнее представляют значение величин, чем их десятичные эквиваленты, а в математике представление рядов или иррациональных чисел в виде дроби становится приоритетной задачей. Такая задача носит название «приведение выражения к замкнутому виду».

    Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же коэффициент, то значение дроби не изменится. Это одно из самых важных свойств дробных чисел. К примеру, дробь 3/4 в десятичной форме записывается как 0,75. Если умножить числитель и знаменатель на 3, то получим дробь 9/12, что точно также равняется 0,75. Благодаря этому свойству мы можем умножать разные дроби таким образом, чтобы они все имели одинаковые знаменатели. Как это сделать?

    Поиск общего знаменателя

    Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее общее кратное для всех знаменателей выражения. Найти такое число мы можем тремя способами.

    Использование максимального знаменателя

    Это один из самых простых, но трудоемких методов поиска НОЗ. Вначале из знаменателей всех дробей выписываем самое большое число и проверяем его делимость на меньшие числа. Если делится, то наибольший знаменатель и есть НОЗ.

    Если в предыдущей операции числа делятся с остатком, то необходимо самое большое из них умножить на 2 и повторить проверку на делимость. Если оно делится без остатка, то новый коэффициент становится НОЗ.

    Если нет, то самый большой знаменатель умножается на 3, 4 , 5 и так далее, пока не будет найдено наименьшее общее кратное для нижних частей всех дробей. На практике это выглядит так.

    Пусть у нас есть дроби 1/5, 1/8 и 1/20. Проверяем 20 на делимость 5 и 8. 20 не делится на 8. Умножаем 20 на 2. Проверяем 40 на делимость 5 и 8. Числа делятся без остатка, следовательно, НОЗ (1/5, 1/8 и 1/20) = 40, а дроби превращаются в 8/40, 5/40 и 2/40.

    Последовательный перебор кратных

    Второй способ — это простой перебор кратных и выбор из них наименьшего. Для поиска кратных мы умножаем число на 2, 3, 4 и так далее, поэтому количество кратных устремляется в бесконечность. Ограничить эту последовательность можно пределом, которое представляет собой произведение заданных чисел. К примеру, для чисел 12 и 20 НОК находится следующим образом:

    • выписываем числа, кратные 12 — 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
    • выписываем числа, кратные 20 — 40, 60, 80, 100, 120;
    • определяем общие кратные — 60, 120;
    • выбираем наименьшее из них — 60.

    Таким образом, для 1/12 и 1/20 общим знаменателем будет 60, а дроби преобразуются в 5/60 и 3/60.

    Разложение на простые множители

    Этот способ нахождения НОК наиболее актуален. Данный метод подразумевает разложение всех чисел из нижних частей дробей на неделимые множители. После этого составляется число, которое содержит множители всех знаменателей. На практике это работает так. Найдем НОК для той же пары 12 и 20:

    • раскладываем на множители 12 — 2 × 2 × 3;
    • раскладываем 20 — 2 × 2 × 5;
    • объединяем множители таким образом, чтобы они содержали в себе числа и 12, и 20 — 2 × 2 × 3 × 5;
    • перемножаем неделимые и получаем результат — 60.

    В третьем пункте мы объединяем множители без повторов, то есть двух двоек достаточно для формирования 12 в комбинации с тройкой и 20 — с пятеркой.

    Наш калькулятор позволяет определить НОЗ для произвольного количества дробей, записанных как в обыкновенной, так и в десятичной форме. Для поиска НОЗ вам достаточно ввести значения через табуляцию или запятую, после чего программа вычислит общий знаменатель и выведет на экран преобразованные дроби.

    Пример из реальной жизни

    Сложение дробей

    Пусть в задаче по арифметике нам необходимо сложить пять дробей:

    0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20

    Решение вручную производилось бы следующим способом. Для начала нам необходимо представить числа в одной форме записи:

    • 0,75 = 75/100 = 3/4;
    • 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.

    Теперь у нас есть ряд обыкновенных дробей, которые необходимо привести к одинаковому знаменателю:

    3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20

    Так как у нас 5 слагаемых, проще всего использовать способ поиска НОЗ по наибольшему числу. Проверяем 20 на делимость остальными числами. 20 не делится на 8 без остатка. Умножаем 20 на 2, проверим 40 на делимость — все числа делят 40 нацело. Это и есть наш общий знаменатель. Теперь для суммирования рациональных чисел нам необходимо определить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Дополнительные множители буду выглядеть так:

    • 40/4 = 10;
    • 40/5 = 8;
    • 40/8 = 5;
    • 40/4 = 10;
    • 40/20 = 2.

    Теперь умножим числитель и знаменатель дробей на соответствующие дополнительные множители:

    30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40

    Для такого выражения мы можем легко определить сумму, равную 85/40 или 2 целых и 1/8. Это громоздкие вычисления, поэтому вы можете просто ввести данные задачи в форму калькулятора и сразу получить ответ.

    Заключение

    Арифметические операции с дробями — не слишком удобная вещь, ведь для поиска ответа приходится осуществлять множество промежуточных вычислений. Используйте наш онлайн-калькулятор для приведения дробей к общему знаменателю и быстрого решения школьных задач.

    Сложные выражения с дробями. Порядок действий

    Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

    В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

    1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
    2. Затем — деление и умножение;
    3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

    Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

    Задача. Найдите значения выражений:

    Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

    Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

    Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

    Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

    Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

    Многоэтажные дроби

    До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

    Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

    Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

    Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

    Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

    Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

    В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

    В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

    Специфика работы с многоэтажными дробями

    В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

    Это выражение можно прочитать по-разному:

    1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
    2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

    Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

    Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

    Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

    Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

    Задача. Найдите значения выражений:

    Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

    Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

    Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

    Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

    Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

    Смотрите также:

    1. Умножение и деление дробей
    2. Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
    3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
    4. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
    5. Формула простого процента: как найти исходное значение
    6. Сложная задача B14 на смеси и сплавы

    Калькулятор матриц с решением онлайн | Действия с матрицами

    С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.

    Матричный калькулятор

    Матрица А3×3

    1234567891011121314151617181920 × 1234567891011121314151617181920

    Матрица B3×3

    1234567891011121314151617181920 × 1234567891011121314151617181920

    Матрица A Матрица B

    ОпределительТранспонироватьРангСледВозвести в степеньУмножить на числоОбратнаяТреугольный видСтупенчатый видLU разложениеЭлементарные преобразованияВычислить выражение

    Показатель степени:

    Число:

    Выражение:

    Метод поиска обратной матрицы
    Метод Гауса-Жордана
    Метод союзной матрицы

    Метод решения СЛАУ AX=B
    Метод Гауса
    Матричный метод
    Метод Крамера

    Элементарное преобразование
    Переставить строкиУмножить строкуПрибавить к строкеПереставить столбцыУмножить столбецПрибавить к столбцу и

    Выводить числа в виде неправильных дробейправильных дробейдесятичных дробей с знаками после запятой

    Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji

    Выполнено действий:

    Также может быть интересно:

    • Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина
    • Калькулятор комплексных чисел

    Как пользоваться калькулятором матриц

    1. Выберите матрицу (или матрицы) с помощью переключателей ()
    2. Укажите размер с помощью выпадающих списков под матрицей (3 × 3)
    3. Заполните элементы (нулевые элементы можно не заполнять.)
    4. Выберите в выпадающем списке требуемую функцию и, если требуется, введите дополнительные параметры.
    5. Нажмите кнопку .
    6. Если вывод чисел не устраивает, просто поменяйте его — доступны три варианта представления: правильные дроби (2), неправильные дроби () и десятичные дроби (2.4) с указанием числа знаков после запятой.

    Ввод данных и функционал

    • В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (1/2, 29/7, -1/125), десятичные дроби (12, -0.01, 3.14), а также числа в экспоненциальной форме (2. 5e3, 1e-2).
    • Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
    • Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
    • Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
    • Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
    • Используйте стрелки (, , , ) для перемещения по элементам

    Что умеет наш калькулятор матриц?

    С одной матрицей (только Матрица A или Матрица B)

    • Транспонировать;
    • Вычислять определитель;
    • Находить ранг и след;
    • Возводить в степень;
    • Умножать на число;
    • Вычислять обратную матрицу;
    • Приводить к треугольному и ступенчатому вид;
    • Находить LU-разложение;
    • Выполнять элементарные преобразования;
    • Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы. -2

    Что такое матрица?

    Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m.

    Примеры матриц

    Элементы матрицы

    Элементы A обозначаются aij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

    Некоторые теоретические сведения

    Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji

    Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii

    Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

    Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)

    След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)

    Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

    Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: An

    Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A-1×A = A×A-1 = E

    Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.

    LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U

    Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij

    Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij

    Умножение матриц An×k и Bk×m — матрица Cn×m, у которой элемент (cij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1·b1j + ai2·b2j + . .. + aik·bkj

    Калькулятор дробей с переменными

    Посетители Google перешли сегодня на эту страницу, введя следующие ключевые фразы:

    Калькулятор упрощения алгебры, Оцените тему теста для 8 класса/математика, Решение систем сложением или вычитанием, калькуляторы, факторизующие трехчлены?, корни полиномиальных уравнений с калькулятором TI-83 plus, Рабочие листы по уклону для 8 класса, Математика для чайников.

    Математическая практика 9 лет, Решатель математических задач, уравнение спроса и предложения алгебры колледжа, Калькулятор полиномиального факторинга, решение уравнений с квадратным корнем, решатель дифференциальных уравнений второго порядка, решатель корней и радикалов.

    Если вы умножаете более двух целых чисел, как узнать, будет ли окончательный ответ положительным или отрицательным?, +дифференциальные уравнения, банк вопросов о способностях, рабочие листы с уравнениями для 8 класса, калькулятор квадратных уравнений, онлайн решатель, Проверка способностей 7 класса.

    Онлайн-калькулятор Rational Expressions, решать задачи по алгебре бесплатно, Печатные документы прошлых KS3 Sats, калькулятор подкоренных выражений, как преподавать алгебру в 9 классе, алгебра суммирует легко, 10-е руководство по математике в Тамилнаду.

    Бесплатная бумага для распечатки kumon math, математическое стихотворение, квадратный корень помогите, как мне поставить индекс в радикал на калькуляторе.

    БЕСПЛАТНО PDFHIGH SCHOOL оценка по математике PDF, решение полиномиальных уравнений в Maple, манипулирование дробными показателями, факторизация сложных уравнений, кумон материалы скачать бесплатно, квадратный корень из -1.

    Ответы на практические страницы концептуальной физики, учет затрат для чайников, формула нахождения наибольшего общего знаменателя, прошлые работы, биология, 10 класс, Как рассчитать уровень pH на калькуляторе Ti 83.

    Тригонометрия для чайников скачать бесплатно, калькулятор рациональных выражений, шпаргалка по науке ged, окружность эллипса.

    Рабочие листы по соотношению, процентному соотношению для средней школы, рациональные функции, радикалы, шпаргалка по алгебре в колледже, Программа Ti 83 разность площадей.

    Бесплатная алгебра для чайников, программа биномиального расширения, читы на тригонометрию, как найти наклон квадратного уравнения, решение уравнений, содержащих рациональные выражения, решатель задач.

    Онлайн полином crc, краткий.справочник.по.алгебре., примеры математической поэмы, как решить биномиальный ряд, линейное уравнение, уравнения алгебры дробей.

    Бесплатное программное обеспечение для решения математических задач, множество методов решения математических задач, распечатка практики по математике в шестом классе, бесплатные рабочие листы кумон, как вычислить НОД двух чисел.

    Проблемы с математикой.com, y=x во 2-й степени — 11x +28 с множителем, решить нелинейное уравнение C++, показатель квадратного корня, упрощение корневых радикалов, ЗАГАДКА УРАВНЕНИЯ И КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ.

    Образец для сравнения абсолютного значения в программе c, математика для начальной школы уравнение с одной переменной, многочлены под радикалом, Алгебра II 10 класс, преобразовать десятичные дроби в дроби, ответы на рабочие листы по геометрии Glencoe, сценарий оболочки для НОД двух чисел.

    Предварительная алгебра дроби в десятичной диаграмме, Факторинг квадратичных образцов, калькулятор ti 83 примеры по физике pdf, о вопросе о приспособлении, решатель уравнений с несколькими переменными, распечатки по математике для первого класса, выражения в упрощенной подкоренной форме.

    Алгебра для чайников + онлайн, математическая индукция BASIC, онлайн калькулятор символ квадратного корня, решение систем линейных уравнений калькулятором метода сложения, ответы параболы.

    Алгебра помощь для средней школы, переменные в алгебре знаменателя, фракционная мощность, бесплатный онлайн урок математики в средней школе, моделирование нелинейных дифференциальных уравнений, сложение, вычитание, умножение и деление дробей + бесплатные рабочие листы, бесплатная электронная книга для промежуточного бухгалтерского учета.

    Бесплатные печатные тесты по алгебре, Колчестерская средняя школа по алгебре 1 тест, решение сложного уравнения Bisection Method, формула линейной экстраполяции, метод линейной комбинации систем уравнений, решение математических задач со смешанной дробью.

    Калькулятор нахождения общего знаменателя, этапы построения графика параболы, Скачать бесплатно на языке C Вопросы и ответы, бесплатные печатные рабочие листы для третьеклассников, «формула деления рациональных выражений».

    Фактор трехчленного калькулятора, решатель задач по алгебре с примерами, упрощенная радикальная форма, матлаб одновременные дифференциальные уравнения, математика 10 класс, десятичная формула отношения, войти на ti 89.

    Преобразовать десятичную дробь в excel, учебник алгебры 2 .pdf, специальные книги по тригонометрии.

    Решение рабочего листа рационального выражения, несовершенные квадратные корни, рабочие листы по математике 8 лет, Алгебра линейных уравнений.

    Как вы рисуете уравнения в алгебре, GRE + задачи перестановки/комбинации, взяв примеры уравнений LCM, сайт репетитора по алгебре в Висконсине, урок алгебры 11 класс, логарифмическая алгебра 2 задачи.

    Сравнивая целые числа и дроби, как найти gcd двух чисел в скрипте оболочки, Бумажная модель количественного вопроса о способностях.

    Квадратный корень переменных, скачать тест на пригодность с ответами, бесплатный пробный тест cpt mdc, Прикладная гидромеханика в единицах СИ, 8-е издание, как решать радикальные уравнения с несколькими квадратными корнями, что такое три различных способа решения линейных систем с двумя переменными.

    Решатель факторов, выучить девятый год математику, тетради по математике за 3 класс, правила с квадратным корнем неравенства, рационализировать определение дроби квадратного корня.

    Ti-89 ограничить домен, изучение функций в алгебре, расчеты, приблизительный квадратный корень выразить в виде дроби, численное решение уравнения в Matlab, алгебра я пересматриваю т, Работа в девятом классе.

    Ti 89 решить абсолютно, бесплатные вопросы о способностях и ответы, java найти наименьший общий знаменатель.

    Как рассчитать периметр, предалгебра, факторинговый полиномиальный решатель, калькулятор факторизации радикалов с переменными, быстрые ответы по алгебре 2, бесплатная книга формул для 8-го стандарта, вычисление переменной bash.

    Пример алгебры проблем возраста, рабочие листы по элементарной алгебре, алгебра.

    Предварительный алгебраический тест, преобразовать .0625 с основанием 10 в основание 16, матлаб решает систему кубических уравнений, Бесплатные распечатанные образцы тестов Bank Reasoning.

    Сложная математическая задачка, формула окружности, упрощенная радикальная форма для 18, бесплатные рабочие листы по функциям комплексных переменных в pdf, как рассчитать 1 мод 10?, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ.

    Алгебра Холта 1, игры с квадратными уравнениями, Распечатки Скотта Форесмана для первого класса, одновременные квадратичные уравнения в матлабе, решение сложных дробей с трехчленом, кс3 калькулятор математические упражнения, Метод квадратного корня.

    Тестовые листы способностей с ответами, Готовые рабочие листы по математике для 7-го класса, Заполнение квадратного калькулятора, бесплатные электронные книги по aptitude, UOP Элементарная и промежуточная алгебра.

    Бесплатная базовая математика ppt, ответы на шестое издание современной абстрактной алгебры, упростить калькулятор показателей, решение корней уравнений, решение алгебраических уравнений с корнями.

    Учи алгебру бесплатно, ответы в рабочей тетради по концептуальной физике прентис холл, узнать gcd в сценарии оболочки, ЖК полиномиальный, показывать только 2 десятичных цифры java, aptitude вопросы и ответы скачать.

    ВЕРОЯТНОСТЬ, АЛГЕБРА 2, вычисление кубического корня — ТИ 83, умножение 5 класса, преуспеть в решении дифференциального уравнения, формула в кубе для ti-83.

    Решатель нелинейных уравнений, бесплатные рабочие листы по математике для девятого класса, добавление рабочих листов с положительными и отрицательными целыми числами, рабочие листы стандартной формы.

    Изучите предварительное исчисление, быстро скачайте онлайн, Колледж алгебры, 9-е издание, сайт-компаньон для студентов Lial, Программное обеспечение для колледжей по алгебре, Контрольные работы по математике в британской учебной программе, дополнение к 3 классу, бесплатные рабочие листы по математике (пи), решение алгебраических уравнений с несколькими переменными и дробями, как вычитать уравнения с дробями.

    Стихи, связанные с математикой, бесплатные рабочие листы квадратных уравнений для чайников, бесплатный онлайн калькулятор алгебраических выражений, Бесплатная распечатка домашнего задания для 3 класса.

    «средняя школа» + «теплообмен» + физика + рабочие листы, Эксперимент с балансирующими уравнениями, перевести 0,5 мм в расчет радиуса, Банки вопросов о способностях, решатель уравнений упростить, что такое замена переменных в теореме пифагора.

    калькулятор алегбры, факторинговые кубы, построение гипербол, парабол методом наименьших квадратов, векторная механика для инженеров Руководство по решению динамических задач ppt, бесплатный предварительный тест по алгебре, Вопрос о способностях и ответ.

    Калькулятор полиномиального коэффициента, скачать бесплатно + документы о способностях, решить нелинейное совместное уравнение, +способности +тест +образец +математика, сложение и вычитание рациональных выражений.

    Обратный алгебра, 8 класс предварительная алгебра, алгебраические обзоры, заметки о том, как решать десятичные дроби.

    Как написать уравнение по его графику, бесплатное решение задач по алгебре, примерный экзамен по алгебре, двоичная десятичная дробь, 10 класс sepedi прошлые экзаменационные работы.

    Бумаги с вопросами о способностях, упростить третьи корни, Рабочие листы для печати эквивалентных дробей 3-й класс, бесплатные онлайн уроки алгебры для 8-х классов, Элементарные математические мелочи.

    Самая сложная полиномиальная задача, решать уравнения онлайн степень, нужны ответы на домашнее задание по математике.

    Веб-сайт понимания алгебры Джеймса У. Бреннан, Базовая алгебра (учебник) Макдугал-Литтел, тригонометрическая таблица, онлайн-решатель математических факторингов, умножение и деление рациональных выражений, Холт, Рабочие листы по геометрии, тестирование в девятом классе.

    Основные правила построения графика неравенства, смешанные номера в ti 83, распечатки по алгебре, как решить специальный факторинг, Задачи на умножение и деление, Заполнение квадратного калькулятора.

    Сложение дробей с разными знаменателями с переменными, как термины, рабочий лист, предварительный алгебраический долгосрочный проект, 12% в виде десятичной дроби, бесплатные вопросы о способностях + pdf.

    Рабочие листы по алгебре для 7 класса, бесплатно + тест способностей + вопросы + pdf + скачать, примеры двухшаговых задач с уравнением деления, решение уравнений алгебры дробей с несколькими переменными, факторинг квадратичных действий, примеры тестов по биологии в 5 классе.

    Руководство для идиотов по уравнению спроса и предложения, словесные задачи на сложение и вычитание целых чисел, Как получить радикал из числителя, математическая формула женщины = зло.

    тест на знание Java с ответом, вычислить НОД двух входных чисел. \, калькулятор дробей рациональных выражений, обучение факторингу, Бесплатная онлайн алгебра 2 класс, пошаговые инструкции по решению уравнений и дробей, нахождение произведения, задачи и разницы в математике.

    Как решить суровую проблему, тестовые упражнения ti 84 plus, тест по математике распечатать за гр.2.

    Добавление и вычитание целого рабочего листа, нахождение наименьшего общего знаменателя на калькуляторе, свободная практика в предалгебраических методах, бесплатные образцы математики перестановок и комбинаций GRE, рабочие листы, которые можно распечатать для изучения.

    Maple 8 решает систему уравнений, уравнения, РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПЕЧАТИ НА LCD И GCD, бесплатные инструменты помощи по алгебре, номер журнала графа ti, алгебра 2 примечания к пересмотру.

    Формула процента, программа репетитор по математике, простые алгебраические выражения.

    Ответы на задачи по прикладной математике, бесплатные загрузки вопросов и ответов \aptitude, Бесплатные печатные листы по естественным наукам для 7-го класса, матлаб Квадратное уравнение, квадратичная формула, завершение квадрата и разложение на множители, алгебра 2 листа.

    Рабочие листы по математике на умножение и деление, листы распечатки для девятого класса, Руководство по сдаче экзамена по алгебре CLEP® в колледже pdf, Дискретная математика и ее приложения, решение упражнения к гл. № 10 — Дерево, сложение и вычитание алгебраических выражений, онлайн-решатель корней для многочленов, Калькулятор выражения факторинга.

    Классные формулы excel, решатель рациональных дробей сложения и вычитания, gre перестановки и комбинации.

    8 класс математика как решать задачи на уклон, документы модели способностей, книги способностей для процентов и соотношений, логический код lcm в java, Алгебра 2 предварительный тест, сила деятельности и радикалы в математике.

    Мгновенное решение математического метода подстановки, бесплатные листы домашних заданий для 8-летних, как получить квадратный корень, сложный математический десятичный лист, vb6 образцы кодов бухгалтерского учета скачать, Рабочие листы с дробями для четвертого класса.

    Правила радикалов в дробях, Номер GCD с использованием сценария оболочки, лестничный метод деления, преобразовывать числа в квадратный корень, алгебра fx 2.0 плюс cas bool, бесплатные онлайн-таблицы Excel для чайников.

    Альгибра, рабочие листы полиномиальных алгебраических уравнений, Ответы из школьного учебника математики, второе дифференциальное уравнение «1/y», График гиперболы, Применение геометрических последовательностей в повседневной жизни.

    Калькулятор для решения вершины, самый простой способ решения перехватов в графическом виде, обыкновенное дифференциальное уравнение, связанное с Matlab, программа для вычисления НОД двух входных чисел, как решить многомерное неравенство, математические игры 11 класс, как решить y-перехват.

    Как извлекать корень на ти-83, как решать комплексные числа на калькуляторе, онлайн-тест по математике (с 6 по 7 класс 0, таблицы дробей 3 класс, бесплатно скачать тест на пригодность.

    Бесплатные документы ks2 sat, шпаргалка по алгебре в колледже, распечатать листы с домашним заданием для первого класса.

    ЖК калькулятор дроби, процентные листы пятого класса, Дифференциальные геометрические кривые и поверхности с кленом, упрощенная математика, смешанные дроби в десятичные, Бесплатные учебники по химии (Chemical Equation) для девятого стандарта.

    Сумма комбинаций, скачать бесплатно прошлый год вопросы и ответы gce o уровни, как решить LCM для детей, Рабочий лист проблем с чувствами, Рабочие листы 9 класса, теория частичных дробей.

    Как вычислить длину параболы, алгебра2 начинающий студент, задание по математике для 5 класса, триггерная диаграмма, простые алгебраические выражения для распечатки.

    Какое наименьшее общее кратно числам 3, 5 и 8, вопросы из учебника математики по заполнению квадрата, решить линейное дифференциальное уравнение, преобразование нелинейного дифференциального уравнения в линейное дифференциальное уравнение, бухгалтерская книга скачать бесплатно, рабочий лист алгебра десятичных знаков, МНОЖИТЕЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ИГРЫ.

    Бесплатная загрузка электронной книги вопросов и ответов по способностям, бесплатный бухгалтерский учет, Сложение вычитания разных дробей отрицательных и положительных, упростить калькулятор рациональных выражений, айова тест по алгебре, рабочие листы по биологии с ответами для детей, что такое LCF 4 и 6.

    Рабочие листы для предварительных задач по алгебре для 9-х классов, алгебраические выражения сложение вычитание умножение, полет, бесплатная помощь с домашним заданием по логарифмам, математические мелочи о показателях, образец работы за 11+математика, образцы тестов по математике для 9й классники.

    Java преобразует число в 2 десятичную точность, математика/алгебра, бесплатные тригонометрические мелочи, используйте бесплатный онлайн-калькулятор.

    Домен абсолютного значения, мономы онлайн калькулятор, как скобки влияют на экспоненциальное выражение, квадратичная формула для чайников.

    Программа для нахождения площади и окружности по формуле с использованием java программы, изучение элементарной алгебры, основные понятия вероятности, калькулятор свойства квадратного корня, бесплатные учебники по математике для CAT.

    6-я математическая практика, софтверные компании с вопросами о тестах на способности, решатель задач по алгебре, ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ ТРЕХНОМЫ, как сделать кубический корень на т1-84, дробь на числовой строке калькулятора линейки.

    Сдать бесплатные экзамены 9 класс, Начальная/промежуточная алгебра Университета Феникса с руководством пользователя ALEKS, Тесты онлайн-игр на пересмотр для восьмого года, планы уроков алгебры 1 glencoe, ступенчатая функция ti89.

    Кумон пример, тригонометрические члены одновременных нелинейных уравнений, алгебра гард 8, пример плана урока в квадратном уравнении, упрощение алгебраических выражений.

    Калькулятор линейных неравенств, БЕСПЛАТНЫЕ ОНЛАЙН МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ ДЛЯ 9-ГО КЛАССА, бесплатные решения задач по тригонометрии, самый сложный математический тест в мире, несколько отрицательных дробей.

    Сценарий оболочки для вычисления gcd, ключ к ответу по концептуальной физике, Математический ответ на викторину, бесплатные рабочие листы по предварительной алгебре.

    Уровень биология химия физика английский mcqs бесплатно, справочник по учету затрат бесплатная электронная книга, ПЕЧАТИ GED.

    Преобразовать десятичную дробь в сокращенную\, презентация с использованием Power Point учащимися начальных классов по алгебре, 9повторение алгебры в четвертом классе, символ маршрута куба.

    Калькулятор упрощения рациональных выражений, проверить, сколько раз символ встречается в строке java, бережливое программирование, Решатель задач на линейное равенство, проблема практики формулы вероятности.

    Алгебра Гленко 2 ответы, ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ДЛЯ ТРЕТЬЕГО КЛАССА, математика для 7 класса викторина по алгебре, шрифт означает статистику, какое число можно прибавить к числителю и знаменателю числа 16/37, чтобы получить дробь, равную 5/8?, Воспользуйтесь графическим онлайн-калькулятором ti 83.

    Бесплатные печатные листы по математике для 7-х классов, онлайн учебник по говорящей алгебре, бесплатные тестовые листы для кошек test year 7, Листы с домашним заданием для печати Для игровых школ.

    Ответ на вопрос Aptitde, воспользоваться графическим калькулятором онлайн, Рабочие листы двухшаговых уравнений, решение одновременных нелинейных уравнений, начинающая алгебра, поставьте x в уравнении ti 83.

    Колледжская алгебра для чайников, квадратные корни для алгебры II, экзамены за прошлый год, Концепции и приложения по алгебре для учителя в продаже, какова алгебраическая формула безубыточности, листы домашнего задания по алгебре, учить алгебру онлайн.

    Линейное уравнение по графику, бесплатно+для печати+рабочий лист+перевод+слов+в+алгебраические+уравнения, +таблица факторов, упрощение калькуляторов, трехчленный калькулятор, как факторизовать уравнения в кубе.

    Шаг за шагом рассчитать растворы смесей, распечатки практики GED, ЭКЗАМЕН GCEскачать.

    уравнения алгебры, бесплатная координатная плоскость рабочего листа, определить наклон на ti 89.

    бесплатный калькулятор алгебры колледжа, «ТИ-83 Плюс Ром», формула процента числа от второго числа, вопросы о способностях и решения.

    Решите систему линейных уравнений с помощью графического калькулятора, Биномиальный символ Matlab, Целочисленный рабочий лист, ЖК калькулятор дроби онлайн.

    Вводные рабочие листы по алгебре, экзамен по математике за прошлый год расширение Тейлора, как решать уравнения в частных производных уравнение Лапласа, Элементарные «математические стихи» для печати, научный, Наименее общий фактор.

    Помощь с домашним заданием по учету затрат, умножать и делить рациональные выражения, онлайн полиномиальный фактор, ФОРМУЛА ДЛЯ ОБУЧЕНИЯ ВЫЧИТАНИЯ ДРОБЕЙ, книги учета затрат, вопросы о способностях с решениями.

    Исследовательская алгебра проект, Бесплатный онлайн-тест PLATO, решить обыкновенные дифференциальные уравнения с помощью Matlab, Калькулятор десятичных уравнений, Калькулятор наименьших общих факторов.

    Калькулятор дробей, ti 85 калькулятор ПЗУ, Примеры математических мелочей, матлаб квадратичный, Пример математических викторин, бесплатные печатные рабочие листы по дням, неделям для начальной школы.

    «решить логическое уравнение», сложение дробей с калькулятором переменных, электронные книги по предварительному исчислению, 6-я корневая функция excel, Скачать бухгалтерскую книгу.

    Калькулятор Casio + список программ, суммировать числа с java, бесплатные рабочие листы по математике, комбинация и перестановка в программировании на Java, решение переменных с дробями в качестве показателей, решение дробей для бухгалтерии, Уроки математики по перестановке и комбинации.

    Упрощенный калькулятор радикалов, решатель биномиальных выражений, алгебра восьмой класс дроби рабочие задачи и отрицательные целые числа, перевести дробь в децимель.

    Тестовые документы Apptitude бесплатно, частичная дифференциация для идиотов, GMAT APTITUDE ВОПРОСЫ.

    Решение функций и линейных уравнений, Как извлечь корень на TI-83, помогите с промежуточной алгеброй четвертое издание, деления, как алгебраические термины, размещение «Экзамен по математике в 4 классе», бесплатный калькулятор рациональных уравнений, факторизовать онлайн.

    Решение калькулятора a+bi, Основные элементарные математические мелочи, «механика материалов»+»пример главы», если вы смотрите на график квадратного уравнения, как вы узнаете, где находятся решения?

    Бесплатный решатель задач по алгебре, математический символ Лапласа, математические мелочи, Листы с бесплатными заданиями для 7 класса.

    Сумма n чисел + java, скачать бесплатно книги по бухгалтерскому учету в формате pdf, преобразование смешанных чисел в калькулятор отношений.

    Помогите решить логарифмические задачи на замену основания, факторинг комплексных чисел на ti 83 plus, общий знаменатель для нескольких чисел, интерактивная балансировка химических уравнений, +окружность, вопрос о способностях + java.

    Можете ли вы уменьшить десятичные дроби в корнях, распечатанный тест iq с ключом ответа, Проверка Double для ненулевого десятичного числа, нахождение другой концевой хорды параболы?, математический радикал.

    решатель булевой алгебры, «Основы гидромеханики, 5-е издание» «скачать», онлайн калькулятор наименьшего общего знаменателя, Скотт Форман — Аддисон Уэсли Практика мастеров 6 класс рабочие листы, онлайн факторинг, математические функции фактор роста практические задачи.

    Алгебра калькулятор для области дробей, изучать алгебру онлайн, решатель задач по алгебре в колледже, Рабочий лист по математике за 9 класс.

    Покажите хорошие примеры кубических корней, решать многочлены онлайн, построение параболы + калькулятор, Вопросы по языку Си.

    Дробь в десятичный калькулятор, Интересные математические мелочи, бесплатные программы TI-84, макдугал литтел американцы отвечают на оценку секции, бесплатные уроки альгербы среднего уровня, калькулятор умножения рациональных выражений.

    Скачать TI-84 plus бесплатно, факторинговая программа онлайн, как вы решаете матрицы рабочих листов?, ти-84 плюс элементарная алгебра, научите меня базовой свободной алгебре.

    Интегрированный буклет для практических тестов по алгебре, преобразовать в дробь числа смеси, пример кода секретного ключа javascript, 9занятие по геометрии в 1 классе, тест по линейной алгебре для десятого класса, алгебра пдф.

    Как рассчитать радикальную функцию в exel, проблема с радикальным выражением, калькулятор лимитов онлайн, как рассчитать графический калькулятор квадратного уравнения, вычисление основания логарифма 2.

    Квадратный моном калькулятор, Словарь элементарной алгебры, веб-сайты, которые рисуют параболы.

    Линейные равенства, решатель уравнений с работами, комплексная алгебра квадратичная, предварительная алгебраическая практика соль, экзаменационные вопросы и решения по математике в 8 классе, Рабочий лист со сложной фигурой по математике 216.

    Алекс подготовительные тесты, ответы по алгебре плато 2 б, десятичное, площадь и процентное мошенничество онлайн для треугольника.

    калькулятор Цельсия, выучить математическую викторину 6-го класса, www. maths практический тест, вопросы по математике 8 класс, Важность базовой алгебры.

    РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ, ЗАДАЧИ АЛГЕБРЫ СО СТОИМОСТЬЮ, практика сложения и вычитания рациональных чисел, Задачи по алгебре 2 с отличием.

    Рабочие листы по возрастанию и убыванию чисел, бесплатное обучение в 8 классе, «алмазный решатель проблем, бесплатные печатные листы по математике для детей в стандарте 6 от алгебры.

    Бесплатный решатель алгебры, рабочие листы по механике сольного языка 6 класс, калькулятор деления мономов, экзаменационная работа за 8 класс по математике, простые способы заниматься математикой онлайн бесплатно, радикальная форма, программирование TI 89 для условной вероятности.

    Алгебра 2 ответы, математика — уравнения помогают 8 классу, кружки алгебры колледжа, Холт алгебра ответы, рабочий лист последовательных целочисленных задач.

    ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ РЕШЕНИЯ, алгебра квадратный корень решить, умножение с научной функцией, бесплатный решатель уравнений с рациональными показателями, программное обеспечение для обучения алгебре в колледже.

    Упрощение калькулятора радикальных выражений, онлайн калькулятор лимитов, калькулятор вычитания отрицательных чисел, смысл чисел и операции системы счисления решенные примеры и задачи 8 класс математика, онлайн калькулятор т-83.

    Уравнение обратной гиперболы, упростить решатель радикалов, упрощенная радикальная форма, статистика за 10 год, арифметика с использованием вопросов типа блок-схемы в тесте способностей, руководство по решениям алгебры холла, решения домашних заданий по ПРИНЦИПАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА by rudin.

    Комбинации вероятностных перестановок Powerpoint, два реальных примера, где линейные уравнения используются дома или на работе, уравнение наименьших квадратов powerpoint, www.frations.com, проблема обозначения суммирования в алгебре в бесконечности.

    Как запрограммировать перестановки с помощью функции, как преобразовать показатели в дроби, преобразования Лапласа для идиотов +гид+бесплатно, искатель уравнения параболы, стандартная форма в вершинную форму, куб эквивалентен квадрату.

    Продвинутые презентации по алгебре, как получить наибольший общий знаменатель, Репетитор по алгебре, Ланкастер, Калифорния, викторина по линейным дифференциальным уравнениям 2-го порядка, факторинг в кубе, чисомбоп.

    Преобразовать большое основание в малое основание, бесплатные рабочие листы по математике для детей в стандарте 6 от алгебры, таблица пропорций, 10 советов, как сдать среднюю школу, «план урока перехвата склона», Рабочие листы по математике Австралия бесплатно, Решатель задач по алгебре бесплатно онлайн.

    Ответы на главу 4 Концептуальная физика — 9-е издание Ответы R, упрощение алгебраических уравнений с помощью TI-84 plus, НАУКА ПРОШЛЫЙ ГОД ВОПРОС ФОРМА2, 7-й корень ти89, HBJ-алгебра 2 с триггером, решатель уравнения с рациональным показателем.

    Системы линейных уравнений третьего порядка, калькулятор кубического корня, обзоры алгебра Гленко 2, функция логарифма по основанию 2 на калькуляторе, логарифмы повседневной жизни, вероятностная распечатанная викторина для 3-го класса, бесплатное решение задач по алгебре в колледже.

    Создатель графика неравенства, бесплатные математические тесты на многочлены, глава 7 алгебра 2 коники ответы, Алгебра 1 + отличие + обзор +pdf, алгебра 2 решатель.

    Повторение 9 класс математические вопросы геометрия, Предварительный выпускной экзамен по алгебре, линейная комбинация=замещение, Алгебра 1 + с отличием + обзор, экзамен по английскому 11 класс.

    Растворитель свободных радикалов, алгебра1 стихи, математика в колледже для чайников.

    Преобразование строки во время в java, от вершины к стандартной форме, нахождение у из дробей.

    Факторинг полинома 3-го порядка, рабочие листы 9 класса, калькулятор первообразных онлайн.

    Алгабра помогите 10 класс, практические вопросы к выпускным экзаменам в колледже по химии за 11 класс, разница между факторингом и решением, распечатки решения математических задач, Таблица формул математики 11-го класса, Перестановки и комбинации плана урока.

    Калькулятор факторинговых трехчленов, помощь Решение линейных уравнений, содержащих дроби, бесплатный онлайн научный калькулятор для подготовки к колледжу по алгебре, наводящие вопросы, бесплатный самый простой способ выучить алгебру, математический обман на площади.

    Команды Maple 11 для средней точки и склонов, онлайн факториал-упроститель, генератор листа упражнений по математике, нелинейные дифференциальные уравнения, бесплатный онлайн-симулятор калькулятора ti 80.

    Bash-скрипты сложения и вычитания чисел, программное обеспечение для сложных процентов, используемое банками в Индии для бесплатного скачивания, калькулятор рациональных выражений, MCGRAW-HILL физика swf.

    Стоимость пирога, книга решений по учету затрат, Как программировать перестановки и комбинации, программное обеспечение преалгебры, решение для y в отрицательной дроби, бесплатные рабочие листы для 5 класса, 11 лет экзамен по английскому языку.

    Листы 9 класс алгебра, Учебник по алгебре Холта 1, техасское издание, Научный калькулятор TI-84 онлайн.

    Формула квадратичной регрессии Ti-89, интегрированные экзамены по математике 1 mcdougal litell, северная каролина практика eoc тесты девятый класс, бесплатный калькулятор относительного частотного распределения, шаг за шагом решать логарифмические уравнения.

    Квадратичные функции реальных приложений, рабочие листы для практики геометрической вероятности, умножение и деление дробей и десятичных дробей для 6-х классов, КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ УПРОЩЕННЫЙ КАЛЬКУЛЯТОР УРАВНЕНИЙ, что такое разложение сложных трехчленов.

    Шаг единицы измерения Ti 89, Калькулятор квадратного корня, ответы по биологии за 9 класс, алгебраический решатель задач.

    Как обмануть с помощью ti 83, бесплатный онлайн калькулятор ti 83, как умножать дроби в калькуляторе ти-83, ГГмейн, Что такое квадратный корень из 80 в радикальной форме?, «дискретная математика для чайников»+pdf, советы по алгебре в колледже.

    Научите меня основам алгебры, ответы на вопросы по булевой алгебре, Перестановки и комбинации плана урока, как подготовиться к экзамену по алгебре 1 с отличием, веб-сайты, которые рисуют круги, матрица вычитания матлаб, радикальное выражение в реальной жизни.

    Практические экзамены EOC в Северной Каролине, ответы на рабочие листы glencoe, Рабочие листы упражнений по алгебре с отличием.

    Бесплатные рабочие листы с задачами на диаграммы Венна, бесплатные листы практики группировки чисел по математике для второго класса, сложные математические вопросы по периметру, эмулятор ти-84, творческие публикации, алгебра без риска.

    Программирование TI 89 для условной вероятности, бесплатный онлайн калькулятор ТИ-84, уравнения электронной алгебры.

    тригонометрия 7 класс, бесплатное решение задач Word, упрощенный калькулятор радикальных форм, T1 83 Графический онлайн-калькулятор, распечатки из Флориды, радикальный решатель.

    Математические игры для шестиклассников, рабочий лист задач по дискретной математике, изучение математических листов 6 класса.

    матлаб дифференциальных уравнений второго порядка, студенческая алгебра для чайников онлайн, как упростить кубические корни.

    SAT тесты 6 класс, Основы математического анализа, руководство по решениям rudin, базовая математика калькулятора, тригонометрическая таблица, алгебра, Бухгалтерская книга скачать.

    скачать тест по химии Sat2, современная химия ответ ключ глава 11 обзор Холт Райнхарт и Уинстон, алгебра Холта 1, калькулятор исключения алгебры, самый простой способ выучить алгебру.

    рабочие листы по алгебре с отличием 2, энный семестр 9 класс, 6 класс длинная дистанция, gmat ​​с использованием шрифта.

    Бесплатный практический тест GED по арабскому языку, математика бэрронса, как решить отрицательную дробь вычитанием отрицательной дроби, решения кубической алгебры.

    Как решить умножение целых чисел, Математическая помощь интегрирована 2 в доказательства, проблема радикалов, листы наименьшего общего знаменателя, объяснения по алгебре, рабочий лист добавления вычитания однозначных чисел.

    Алгебра для начинающих, бесплатный практический тест по алгебре в девятом классе, алгебра 2 тригонометрия онлайн обучение, Онлайн математические тесты по теореме Пифагора.

    Множественный выбор на линейных дифференциальных уравнениях 2-го порядка, решить квадратное уравнение, заполнив квадратный калькулятор, Практика вопросов факторинга 9 класса.

    Начальная/промежуточная алгебра Университета Феникса с руководством пользователя ALEKS, калькулятор подкоренных выражений, бесплатные ответы на книги по математике Холта, алгебра помощь, математика гиперболы идентичности, Бесплатная программа факторинга онлайн.

    Алгебра средней школы 1 предварительные вопросы, эмулятор и прошивка ti 83 plus, планы уроков статистики в 6 классе, бухгалтерское задание скачать, бесплатные вопросы о способностях C, последовательности и рабочие листы и алгебра 2, скачать Помощник по алгебре.

    Интегрированные экзамены по математике 1 mcdougal littell, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ПРОЕКТЫ, онлайн-книги Макдугала Литтела, Предалгебраические термины и определения, онлайн-калькулятор расширенных обозначений.

    Поворотная точка гиперболы excel, алгебра анекдоты, глава 4 Концептуальная физика-9й выпуск Ответы R, рабочий лист рекурсивной функции алгебры, эллипс ти 83, алгебра11, Калькулятор деления многочленов.

    Упростите радикал, переписав его с рациональным показателем, обман десятичной дроби, площади и процента онлайн, целочисленные рабочие листы, квадратные скобки фольга тип файла ppt, как создать квадратную формулу «функции квадратного корня», Ответы на книгу Холта по физике, методы решения многомерных одновременных нелинейных уравнений.

    Решать задачи algerba, изучение алгебры онлайн, рабочий лист с положительными и отрицательными целыми числами, способ найти квадратный корень, решить четвертую корневую задачу, бесплатный онлайн-график, неоднородное волновое уравнение 1 размерности.

    Бесплатные рабочие листы с пиктограммами, ti 83 плюс найти натуральный логарифм по основанию e, Упрощение переменных.

    Решение уравнения Ван дер Поля Matlab для начального значения, рабочие листы ассоциативных свойств, рабочий лист «Сложение и вычитание дробей», как решать задачи на квадратный корень, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ . PPT, СООТНОШЕНИЕ/ПРОЦЕНТ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ ДЛЯ 5-ГО КЛАССА.

    ЗАПОЛНЯЯ КВАДРАТ ПОД РАДИКАЛОМ, калькулятор наклона квадратного уравнения, скачать уравнения рациональных выражений ti 83, mathematica решает уравнение несколькими функциями, Как я могу преподавать экспоненты семиклассникам по Power Point, как получить квадратные корни из несовершенных квадратов, Калькулятор трехчленного факторинга.

    Детский онлайн-тест по алгебре, добавление рабочих листов с положительными и отрицательными целыми числами, макдугал литтел рабочий лист алгебра 1 ответы, бесплатная предварительная алгебра стала проще, алгебра для чайников, Словарь предварительной алгебры Glencoe 8-го класса, Макдугал Литтел Алгебра 1 Ответы.

    Математические задачи для 10 класса — интегрированная помощь 1?, справочники по учету затрат, от меньшего к большему, Matlab возвращает дифференциальное решение, требующее переменной первого порядка, листы с дробями умножают и делят, экзаменационный вопрос по математике за 10 лет.

    Балансирующее алгебраическое уравнение java, печатные кросс-числовые алгебраические головоломки, онлайн-калькуляторы, решающие рациональные выражения, математические исследовательские проекты, Домашнее задание по геометрии для распечатки.

    Квадратичный с рациональными показателями, экзаменационные работы для детей 11+ сдавать онлайн, почему работает метод линейной комбинации, замена десятичной дроби на ti-84 plus, добавление правил вычитания целых чисел, как сравнить 3 или более дроби от наименьшей к наибольшей.

    Дифференциальный калькулятор линейных уравнений первого порядка ти-89, печатный порядок работы с рабочими листами показателей, решение уравнений вычитания калькулятор, построение графиков линейных программ и определение переменных, парабула синтетическое деление, конвертировать базу ти-89.

    Рабочий лист системы трех уравнений, распечатанный тест для пятого класса по показателям, объединение подобных терминов.

    Проблемы с перестановкой в ​​powerpoint, Элементарная и промежуточная алгебра, комбинированный подход, 5-е издание, Калькулятор квадратного корня.

    алгебра с делением «распределительной собственности», рабочие листы по основанию 2, метод калькулятора дробей тоже, разные правила при добавлении. вычитание, умножение и деление целых чисел.

    Преобразование базовой формулы журнала, бесплатный рабочий лист Разделение одночлена, шаги калькулятора, Область математических листов 3 класса.

    Преобразовать объявить bigdecimal, ключи ответов по алгебре 2, метрические единицы на листе 87 по математике.

    Программа, которая факторизирует уравнения, простой способ найти LCM, упрощенная форма для радикалов, перевести погонные метры в м2, рациональный решатель квадратного корня.

    Смешайте числа, бесплатное решение математических задач в колледже, процентные формулы, дифференциал второго порядка в Matlab, упрощение экспоненциальных выражений.

    Эмулировать ти 84 плюс, калькулятор подкоренных выражений онлайн, простые алгебраические суммы.

    Десятичная дробь в простейшей форме, научи меня отношениям, математическая + комбинированная функция, + квадратное уравнение с использованием T1-83.

    Умножение и деление одночленов на листах, математический исследовательский проект, algerba для рабочих листов средней школы, калькулятор метода подстановки алгебры.

    Калькулятор умножения рациональных выражений, погонный метр → квадратный метр, Практическая викторина SATS для 6 класса, Примеры тестов по математике для 8 класса.

    Скачать рабочий лист Kumon, Решатель алгебраических уравнений, алгебра онлайн-решатель задач с формулой, лкм шаг за шагом, решить, заполнив квадратный калькулятор, вопрос о способностях с ответами, базовая программа по алгебре.

    Отработаны вопросы и ответы по неравенствам функции и графикам, рабочий лист алгебраических выражений целых чисел, скобки со сложением и вычитанием, Решение радикалов, онлайн-решатель тригонометрии, калькулятор скачать Ти-84.

    Наименее распространенные задачи с несколькими + словами, решение продвинутой алгебры Голдфорда, бесплатный решатель рациональных выражений, упражнения с животными для детей от 5 лет.

    самопроверка «сумма двух кубов», математические уравнения 1 класса, десятичный калькулятор, решение полинома третьей степени, упростить индекс радикалов 5.

    полином 3-го порядка, примеры математических мелочей, рабочий лист деления целых чисел с остатками, преобразовать в обозначение дроби, java apptidude вопрос, нелинейное уравнение матлаб, наибольший общий фактор, включая показатели и переменные планы уроков.

    Бесплатное решение многоступенчатых уравнений, рабочие листы расчета плотности, средняя школа, презентации, упрощающие алгебраические выражения, стихи правила для вычитания целых чисел.

    Ti86 неправильная дробь в смешанное число, радикальный калькулятор онлайн, Графики линейных функций, рабочие листы, умножение, вычитание и деление целых чисел, полиномы — лист предварительной алгебры, Решатели графов уравнений экспоненциальных уравнений.

    Образец плана урока в рациональном выражении, алгебраический калькулятор онлайн деление в большую сторону, найти алгебру cpm, выражение калькулятора в самых низких условиях.

    Бесплатные рабочие листы по сокращению дробей для 6 класса, определение делителя 6 класса, трехчленные квадраты в реальной жизни.

    Получить переменную из экспоненты, процентные уравнения, как умножать радикальные дроби, формула средней точки бесплатных рабочих листов.

    Журнал решения задач физики по механикетип файла: pdf, алгебра 1 глава 3 справочник ответы, бесплатные рабочие листы для 9 класса, ти-89 решатель квадратных уравнений, БЕСПЛАТНАЯ базовая математика для чайников, Решатель математических задач, статистика Y пересекает наклон.

    Рефераты по математике 10 класс, найти все значения, для которых рациональное выражение не определено TI-89, онлайн-калькулятор, упрощающий соотношения, неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, калькулятор деления и умножения дробей.

    Расстановка десятичных знаков в порядке возрастания и убывания листа, линейное программирование на TI 84, Разложить на множители 5×2 + 7x + 2, рабочий лист частных совместимых чисел, используя диаграмму, чтобы найти квадратные корни.

    Онлайн калькулятор степени радикалов, разница между дробями и рациональными выражениями, закрытый, ограничения на переменный решатель, системный решатель клен символический, печатные листы для разминки по алгебре 9й класс.

    Добавление с листом переменных, кубический корень с TI-83 plus, задача нелинейных дифференциальных уравнений, как найти корень n-й степени, объяснить десятичные дроби онлайн-учебнику 5-го класса, формулы по алгебре для 9 класса.

    Бесплатный вопрос о способностях и ответ, ааамат числа в кубе, аналогичные цифры находят длину X уравнений средней школы pizazz, алгебраические формулы для идиотов, бесплатные математические листы по отношениям.

    Распечатка рабочих листов дробей, бесплатные рабочие листы по математике gcse, алгебра Холта 2 листа, печатные листы кс3 по математике, бесплатный английский объективный вопрос о способностях.

    Графический калькулятор для гипербол, решатель уравнений для двойных корней, бесплатный решатель полиномиального факторинга, онлайн-калькулятор переменных степени радикалов.

    Бухгалтерские книги Cxc бесплатно, как преобразовать смешанное число в десятичную и дробную?, как научить моего сына предварительной алгебре?.

    «упрощение подкоренных выражений ти-84», полезные онлайн-калькуляторы TI-84, В чем разница между квадратным полиномом и квадратным уравнением?, java цикл while — добавить целые числа.

    Образец презентации в Powerpoint по линейным уравнениям с двумя переменными, работает над квадратными уравнениями с помощью программ c, калькулятор неявного дифференцирования, алгебра 1 ключ ответа бесплатно, тригономические радикалы.

    Нахождение наклона уравнения примеры, печатные рабочие листы для математических упорядоченных пар, www.деление дробей и смешанных чисел calactor/.com.

    контрольная по геометрии для 8 класса, онлайн графический калькулятор тригонометрия, Бесплатная алгебраическая онлайн-решатель формул Math.

    Вычитание минусов, как факторизовать алгебраические выражения с несколькими выражениями, рабочий лист по алгебре обозначений функций, бесплатное обучение по предварительному исчислению для чайников, 3 класс сложение и вычитание десятков рабочих листов, Физика: принципы с приложениями (5-е) пошаговые решения: глава 3.

    Бухгалтерская книга + pdf, ти-84 плюс загрузки, калькулятор математических коэффициентов, бесплатная программа полиномиального множителя, Калькулятор факторинговых трехчленов, изучите промежуточную задачу по алгебре.

    бесплатные рабочие листы по алгебре, распечатанные рабочие листы для 1 класса, дробь десятичный процент лист 9 класса по математике.

    Машина наибольшего общего фактора, викторина по информатике за 8 класс, окружность окружности окружности рабочего листа по математике 8 года бесплатно, бесплатные задачи в паспорт к учебнику по алгебре и геометрии, алгебра 2 саксонская математика ответы.

    Решатель синтетического деления, Вопросы с несколькими вариантами ответов по 9-й стандартной математике, как использовать excel, чтобы ответить на одно уравнение, бесплатные рабочие листы, преобразовать смешанное число в проценты.

    Квадратное уравнение на ТИ-84 плюс, как извлечь квадратный корень на калькуляторе, калькулятор метода фактора переменного тока, добавление калькуляторов наименьшего общего знаменателя, сложение дробей, калькулятор радикального умножения, калькулятор коэффициентных уравнений.

    Начало оценки рабочего листа показателей, примеры биномиального куба, рабочие листы уравнений, формула математики для изображения онлайн, завершение планов уроков в Power Point Square, Загружаемый экзаменационный лист по математике для 10 класса 1.

    Практические работы по стандартному экзамену онлайн, задачи на собственные значения для неоднородных уравнений, рабочий лист решения неравенств, скачать бесплатные электронные книги по бухгалтерскому учету, стандартная форма парабол + использование переменных, решение с помощью рабочих листов сложения/вычитания целых чисел.

    Как определить дробь от наименьшего к наибольшему, калькулятор кубического корня дроби, PowerPoint о графическом изображении целых чисел, Решите уравнения алгебры.

    Как объяснить, как вы решили проблему, попрактиковаться в онлайн-тесте способностей, логике, математике, алгебре, 60 минут, как получить скорость, процент и базу математических словесных задач, учителя помогают координировать самолет, простые алгебраические уравнения для детей, рабочий лист процентной скидки, действия с квадратным корнем.

    Рабочие листы целых чисел 6 класса, записать дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, Квадратные уравнения дробления AS, решатель трехчленных квадратичных формул, мягкая алгебра, рабочий лист квадратного корня.

    Активность формулы наклона, заполнение квадратных вопросов, Как превратить фракцию в десятичную, ответы на домашние задания по математике, части суммы рабочие листы год 7, умножение и деление целых чисел, кратные каждому знаменателю 240.

    Калькулятор однородных уравнений, как использовать плитки алгебры для расширения кубического уравнения, решение сложных уравнений с помощью Matlab, Версия для печати Ez Grader, Преподавание уравнений до 5 класса.

    Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, калькулятор умножения и деления подкоренных выражений, комбинации преобразований ппт кс4 математика, расставить дроби в порядке от наименьшего к наибольшему, модульная рабочая тетрадь по математике, Задачи и пошаговое решение (Физика).

    Напишите уравнение описанной прямой. Запишите уравнение в указанном виде., рабочий лист сложения и вычитания целых чисел, java-код для функции tan-1, Решение уравнения 3-й степени в excel.

    Решение проблемы доходов с введением квадратных уравнений, решить одновременное уравнение Matlab, бесплатный онлайн тест, 6 класс, программа перекрестное произведение на т1-84, Алгебра Холта 2 рабочих листа линейное программирование урок 3-4.

    Как обмануть Геда, Гленко Макгроу-Хилл алгебра 1 7-7 ответы, бесплатное задание по математике для 5 класса, ПЗУ калькулятора Ти-83, Виртуальная книга «Алгебра 1» в Прентис Холл ответы.

    Проблема, рабочий лист по применению линейного уравнения, калькулятор наименьшего общего кратного 3 целых чисел, нелинейные уравнения и матлаб, упростить радикальный калькулятор.

    Алгебра стихов, как называется черта над десятичной дробью графическое искусство с использованием пар координат, гипербола ти 89, как сделать рут более 3 на ти-83 плюс.

    Упрощение калькулятора переменных выражений, бесплатные печатные рабочие листы для упорядоченных пар на графике, целые числа умножать и делить игры и вопросы, макдугал литтел алгебра 2 ответы.

    Полиномиальный калькулятор, алгебра онлайн калькулятор переменные, матлаб одновременное дифференциальное уравнение, комбинации в математике.

    Visual Basic в гидромеханике, уроки алгебры склон, отрицательные дроби.

    Преобразование времени Java, решить для х онлайн, ответы на рабочие листы по концептуальной физике.

    Научные упражнения для 6-го класса, рабочий лист квадратного корня бесплатно, как понять уравнение таблицы истинности, решение нелинейного дифференциального уравнения.

    Сложение и вычитание положительных и отрицательных целых чисел, предварительный расчет журналов инвестиционной проблемы, упрощение корневых выражений на калькуляторе ТИ-83.

    Бумага с вопросами о способностях модели pdf, упроститель полиномиальной дроби, как мы можем умножить последнюю цифру n в номере программы, кратном 5, алгебра математика мелочи.

    репетитор по алгебре, Бесплатная помощь по наименьшему общему знаменателю, Макгроу Хилл учебники по математике для 6 класса, разложение квадратных уравнений на множители, ged словесные задачи для пифагорейской теории.

    Диаграмма наибольшего общего делителя, веб-сайты, обучающие комбинациям и перестановкам, Масштабная математика, решение квадратного уравнения по свойству квадратного корня, заметки по тригонометрии 10-го года для SC, решить калькулятор радикальных показателей, онлайн пошаговый калькулятор алгебры факториза.

    Умножение квадратных корней с показателями, сравнивать, преобразовывать и упорядочивать дроби и десятичные числа, матлаб нелинейных уравнений, Скачать калькулятор свободной алгебры.

    Пошаговое решение двух переменных уравнений входит в задачу, рабочий лист умножает десятичные числа на однозначное целое число, математические основные законы индексов ppt.

    Решить алгебраические уравнения, как получить кубический корень на ti 83 plus, Решение одношаговых уравнений.

    Бухгалтерские листы 8 класс, практические экзамены по бухгалтерскому учету 1 и 2, калькулятор уравнения факторинга, формула алгебры — что такое скорость, если идти против ветра.

    Программного обеспечения, решение двухэтапного рабочего листа уравнений, формула корня, алгебра 2 книга ответы, калькулятор алгебра радикальные выражения.

    Упражнения для средней школы с двухшаговыми уравнениями, перестановка логарифмических уравнений, упрощение уравнения абсолютного значения, рабочие листы экспоненциальных функций бесплатно, экзаменационные работы для 10 лет онлайн.

    Бесплатные элементарные переменные рабочего листа, план урока рациональных выражений, как мы можем бесплатно онлайн помочь выучить алгебру в средней школе, квадратные корни с переменными.

    бесплатные уроки начальной алгебры, бесплатные примеры задач по алгебре, Примеры экзаменов на ауровень по английскому языку.

    Как решить функции x, урок 2-5 написание функционального правила yahoo answer, бревенчатая база ти-89, вычислить делитель, скачать эмулятор т 89.

    Триггерная диаграмма для печати, решение нелинейного второго порядка, типовые вопросы о наклонностях, бесплатный лист оценки выражений, рабочие листы по решению уравнений с переменными с обеих сторон, рациональные показатели; Экспоненциальные и логарифмические функции бесплатные онлайн / загружаемые калькуляторы, БЛОК-ДИАГРАММЫ ДЛЯ ЧЕТВЕРТОГО КЛАССА. РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ.

    Ответы по алгебре 1 для христианской школы, www.экзаменационная работа 10 класс, бесплатно скачать maple7 для математических.

    Алгебра 1. Техасская домашняя и практическая рабочая тетрадь, дробь в уравнении, математика — уравнения гипербол, простые способы нахождения квадратных корней, линейные уравнения PowerPoint.

    программа алгебра, изменение процентов на правильные дроби или смешанные числа, тренировочный лист холла для учеников, скачать бесплатно для калькулятора алгебры колледжа, тригонометрические стихи.

    Печатные рабочие листы для переменных, Предварительные алгебраические переменные 4-го класса, пример переменной sqrt, шпаргалка по математике за 11 лет, простой рабочий лист выражения степени, умножение и деление дробей с переменными, простой способ определить наименьший общий знаменатель.

    Решение уравнений это посторонний калькулятор, умножить, разделить, добавить, вычесть дроби, рабочий лист, алгебра с пиццей стр. 106 ответ, Полиномиальный решатель.

    Сложение и вычитание положительных и отрицательных дробей, факторизовать многочлен в кубе, рабочие листы glencoe/mcgraw-hill, решать нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, техасский бар учебное пособие .excel бесплатно, используя Matlab для решения оды второго порядка, Ти-89полярный.

    Бесплатный онлайн-решатель задач по формулам алгебры, число в степени дроби, алгебра калькулятор онлайн рациональные выражения, рабочий лист по перестановке и комбинации, тетради по алгебре для 9 класса, формула уравнения для вычитания дробей с целыми числами, координатная плоскость арт.

    Учебник по алгебре для 8 класса онлайн prentice hall, умножать и делить рациональные выражения, как решать вариационные функции, выражение калькулятора факторинговых трехчленов, что такое балансовая корректировка себестоимости и как она учитывается.

    Учебники по математике Скотта Формана по тригонометрии, третье издание, алгебра 2 рабочих листа — решение квадратных уравнений, решатель нелинейных уравнений, рабочий лист кумон, как:лаплас ти-89, десятичные дроби в рабочие листы, Ответы в рабочей тетради по концептуальной физике Прентис Холла.

    «калькулятор сложных рациональных выражений», ответы на INT 2 Домашнее задание: алгебра, помощь в выполнении домашних заданий по неравенству для 7-х классов.

    Алгебра Меррилла 1, студенческое издание онлайн, ответы по алгебре 1 книга, Учебник биологии Glencoe wksht отвечает, в java с помощью цикла для получения суммы квадратов введенных чисел.

    Рабочая тетрадь 8 класс в распечатанном виде, показатели и переменные, рабочий лист распределительного имущества, решение линейных факторов, максимизировать линейное уравнение при условии, бесплатная алгебра 2-обучение, онлайн калькулятор квадратных уравнений.

    Рабочие листы тренируют сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, калькулятор упорядочивания дробей от наибольшей к наименьшей, конвертировать цену кубического фута в цену линейного фута, algerbra 1 glencoe workbook авторское право 1998, формула основных математических комбинаций, план среднего урока алгебры, gcse математика-сложные проценты.

    экзаменационная работа по математике за 8 лет, упражнения или рабочий лист по умножению бинома на бином методом фольги, Калькулятор алгебраического факторинга.

    Как рассчитать уклон на графическом калькуляторе, mcqs диаграммы венна для 9 класса, саксонская математическая алгебра 1 книга ответов онлайн, прентис холл алгебра 1 книга ответы, навыки сложения и вычитания отрицательных чисел на всю жизнь.

    Экспоненциальные уравнения ти-83, пример поверхности клена с частными производными, TI-83 плюс комплексные числа, решение квадратных уравнений на квадратный корень.

    Решающая система Ti 89, неравенства словесные задачи, печатный лист с координатами для детей 2 класса, калькулятор у.е. радикал, метод java для вычисления факториала n, наименьшее общее кратное 14,44, Замена алгебры ks3 бесплатные рабочие листы.

    метод сложения частичной суммы, калькулятор умножения квадратных корней, Рассчитать пересечения X Y, просматривать радикальные выражения и уравнения, образцы работ по математике для десятого стандарта, Задача о положительных и отрицательных целых числах.

    Упрощение примеров радикальных уравнений, наибольший общий делитель большие числа, двухшаговые текстовые задачи для рабочих листов 2-го класса, нахождение НОК мономов, решение нелинейных дифференциальных уравнений.

    Как решать рациональные выражения, построение рабочего листа по алгебре головоломок, как записать квадратичную функцию в вершинной форме, формула разложения кубического корня полинома, дроби с мономами планы уроков, powerpoints на lcm.

    ВЫРАЖЕНИЯ ДРОБЕЙ, рабочие листы по математике кумон, интерактивные предалгебраические игры с распределительной собственностью, калькулятор уравнений факторинга, алгебраические наклоны для дебилов, Matlab дифференциальное уравнение 2-го порядка.

    Рабочий лист «Упрощение алгебраических выражений», формулы отношений/математика, как найти переменные показатели, «Применение линейных уравнений» «5 класс».

    формулы процентов, найти номер символа или букву java, TI-89 хранит формулы, контрольные по алгебре для 9 класса, ключ перестановки на калькуляторе ТИ-84, рабочие листы линейных графиков.

    Бесплатные экзаменационные работы GCS, помогите решить задачки по алгебре уравнение абсолютных мощностей и их графики.

    Решайте одновременные уравнения онлайн, повторная математика для yr8, бесплатные рабочие листы, упорядоченные пары на линейном графике, примеры по физике с ответами, рабочие листы по математическим задачам добавить вычесть умножить, примеры уравнений с квадратным корнем, корень квадратный корень третьей степени.

    Рабочий лист обзора радикалов, кнопка журнала на калькуляторах TI 83, алгебра укуса шестого BBC, стихи-о-фракциях.

    Как обмануть в алгебре, учебник по балансировке химических уравнений, INT 2 Домашнее задание: ответы по алгебре.

    Презентация Powerpoint по линейным уравнениям с двумя переменными, Математика, Онлайн-сочинения по математике за 10 класс.

    Как решать квадратные уравнения с помощью факторизации, пример треугольника теоремы Грина, викторина по математической алгебре 2 (коренное выражение), решение комплексных чисел в радикалах.

    Программа для одновременного решения уравнений, решение трех переменных полиномиальных уравнений, рабочие листы неравенств, алгебра процент для дебилов шаг за шагом.

    Факторинг квадратичный с 5-шаговым методом, решатель задач на деление многочленов, квадрат 5 знаков после запятой, формула расчета квадратичной регрессии, техасский тест по алгебре, учить ЛКМ.

    Примеры плана домашнего обучения для 9-го класса, штат Нью-Йорк, добавление теста на вычитание многочленов, решение квадратичного метода алмаза, как решить задачу по алгебре, калькулятор наименьшего общего знаменателя, бесплатные рабочие листы GED.

    Онлайн интерактивный графический калькулятор, бесплатные рабочие листы по умножению распределительных свойств 4 класс, калькулятор приведения рациональных выражений к наименьшим терминам, что такое математическая фраза, состоящая из переменных, чисел и операций, преобразовать 1 половину в десятичную, калькулятор двух факторов, как найти квадратный корень из несовершенного числа.

    Предварительно алгебраическое сложение, вычитание, умножение и деление с положительными и отрицательными целыми числами, Полиномиальная прикладная задача третьего порядка по объему, Графические рабочие листы линейных уравнений, бухгалтерские книги pdf, онлайн калькулятор идеального квадрата, онлайн-графический калькулятор ti89.

    Добавление полярной формы в TI 89, Рабочие листы графических пар координат, калькулятор переменных/целых/степеней, решить дифференциальное уравнение в Matlab, как решить дифференциальные уравнения с несколькими переменными в Maple, нелинейные дифференциальные уравнения.

    Бесплатная помощь по алгебре в колледже онлайн, программа для упрощения математических задач, Создавайте математические листы с целыми числами, clep тест для чайников по алгебре колледжа, рабочий лист теста iq.

    Калькулятор перевода в десятичный градус ТИ-84+серебро, бесплатный онлайн решатель дробей, калькуляторы трехчленного факторинга, экзаменационные работы по алгебре для детей 8 класса, рабочие листы положительные отрицательные.

    Бесплатный рабочий лист десятичного порядка, корень квадратного уравнения численным методом, тесты по математике и листы ответов — вступительные экзамены в колледж.

    Задача по алгебре какой телефон, единичный круг Т1-84 плюс техасский инструмент, общий знаменатель больше меньше чем, математическое упражнение 10 класс онлайн, Получив число, напишите программу, используя цикл while, чтобы поменять местами цифры числа в java.

    Математика 9 г., решатель уравнений с квадратными корнями, фольгированная кубическая алгебра, Холт: Алгебра 1 — Ключ решения. 93, упрощение дробного показателя, бесплатное вычитание решить и раскрасить рабочие листы.

    Решение систем уравнений с 3-мя переменными с помощью ТИ-83, программа факторинга полиномов для ti-89, как решить алгебру дробей, Учебная программа Чикагского университета по первичной факторизации.

    Как рассчитать линейное программирование с помощью графического калькулятора, словесные задачи с использованием уравнений двухступенчатой ​​алгебры, Рабочий лист уравнений с дробями, рабочие листы в один шаг бесплатно, as3 предельное десятичное число, многоступенчатые уравнения + рабочий лист.

    Математические игры скачать бесплатно для моего ребенка пятого и шестого класса, рабочий лист абсолютного значения 6 класс, конвертер смешанных чисел в десятичные числа.

    Алгебра силы, бесплатные печатные примеры для работы ученика с круговыми диаграммами, упростить сложные рациональные выражения, Алгебра: «Сложные рациональные выражения», уравнения с рациональными выражениями и графики, решить задачу по алгебре 93=2/3*+17.

    Сложение, вычитание, деление, умножение целых чисел викторины, рабочий лист многократно разделить дроби, рабочая тетрадь для учителя по динамике жизни (рабочая тетрадь по теории эволюции), аутентичная предварительная алгебра оценки.

    Бесплатный калькулятор Rational Expression, скачать электронную книгу по бухгалтерскому учету затрат, Лист порядковых номеров первого класса.

    Мерриль математика, интерпретация линейных графиков, рабочие листы 9 лет, математика, страницы рабочего листа 6, решатель символьных дифференциальных уравнений.

    Калькулятор десятичных дробей, какой-то математический сайт, объясняющий неравенства в пятом классе, упростить выражения с нулевой и отрицательной экспонентой рабочего листа.

    Общие уравнения алгебры, `бесплатные десятичные дроби для начинающих, ответы на мою математическую лабораторную элементарную статистику, рабочий лист наибольшего общего множителя 2-й класс, преобразование десятичного числа в квадратный корень, бесплатный образец рабочего листа GCSE по естественным наукам 4 класс, какой корень четвертой степени из 3.

    Учет затрат: метод наименьших квадратов, глава 5, урок 6 умножение и деление дробей, как GCF и LCM применяются в нашей повседневной жизни.

    Колледж алгебры Марк Дугопольски 4-е издание отвечает, Рабочие листы по алгебре для 9 класса, как квадратичное математическое неравенство уровня, помощник по алгебре, неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

    Квадрат разности корней, алгебра Гленко Макгроу-Хилла 1, «онлайн вопрос по факторизации», разделить алгебру с вычитанием.

    Преобразование дроби в десятичную и обратную выборку, практическая рабочая тетрадь McDougal Littell курс математики 2 ответа, www.square и кубический корень, образцы задач по налоговой математике, «выражения простыми словами», формулы для общих графиков, преподавать бесплатно алгебру онлайн.

    Калькулятор уравнений балансировки, формула, факторизатор квадратного уравнения, ti 85 + матрицы вектор + новичок.

    Найти уравнение, связанные дифференциальные уравнения в Matlab, алгебра 1 макдугал литтел генератор тестов онлайн, бесплатные тестовые листы способностей, ti калькулятор для карманного компьютера.

    Решение для дробных показателей, преобразование десятичного числа в большое целое число, оценочные листы по алгебре.

    Разложение многочленов с 2 переменными с коэффициентами, калькулятор умножения матрицы на градусы, Maple символическая демонстрация, бесплатные печатные тестовые листы.

    Добавление вычитания умножения и деления десятичных дробей, квадратное уравнение для точек пересечения кривых, Восьмое издание тригонометрии Пирсон Аддисон Уэсли «Руководство по решениям для инструкторов», Решить уравнение по математике 5 класс, уравнения со свойством дистрибутивности дробей, Бесплатная эмуляция TI-84.

    X в степени дроби, решить и построить график, Образец контрольной по биологии за 9 класс, сложение/вычитание целой дроби, рабочий лист «Расположение дробей» бесплатно, Холт Алгебра 1 онлайн, декартова плоскость, формула расстояния, деление отрезка, формула середины.

    Упростить sqrt 160, вычисление наибольшего общего делителя, комплексные числа стандартной формы квадратный корень.

    Рабочие листы для пятого класса, математика для начинающих bbc рассчитать радиус, печатное линейное уравнение путем подстановки рабочего листа, что такое двухшаговые задачи.

    Уровень математики пересмотр квадратного неравенства, бесплатный онлайн алгебраизатор, принцип загрузки бухгалтерских книг, java преобразование десятичных символов, Ключ к ответу на руководство по современной биологии, Предварительная алгебра 2.2 Практика Ответы в справочнике по главе 2.

    Преобразование дробей в десятичные на калькуляторе техасских инструментов, домашнее задание по алгебре 1 наклон, калькулятор общего решения уравнения, как перевести смешанные дроби в проценты.

    Правила умножения квадратных корней, решить систему ti 89, дополнительная предварительная алгебраическая работа.

    Калькуляторы радикальных чисел, дифференциальное алгебраическое уравнение в Matlab второго порядка, уравнения степени умножения, наименьшее общее кратное с переменными, одношаговые алгебраические уравнения для печати, бесплатно скачать трюки по алгебре для 8-х классов.

    начальный курс алгебры 3 класса, онлайн задачки на гиперболы по математике 10 класс, рабочий лист положительных показателей, форма викторины по математике, начальная, Скачать электронную книгу по бухгалтерскому учету.

    Рабочий лист умножения целых чисел, алгебра отношений, решения алгебры гленко 1, метод квадратного корня, ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЙ калькулятор.

    распечатки уроков Etutor для детей, начальная школа решает рабочие листы с переменными выражениями, бесплатный печатный тест по математике KS3 уровня 6, экзамен по математике за 8 лет, Наименее распространенный множественный калькулятор для 3 значений, умножение делящих сил, пример экспонента для детей.

    Способы изучения алгебры, триггер калькулятор функций, листы сложения и вычитания отрицательных чисел, рациональные уравнения в линейные уравнения, калькулятор радикалов, правила дробей и решение для х.

    Факторинг многочлена в кубе, добавление радикалов решение, графическое изображение неравенства в двух переменных на рабочем листе.

    Преобразование номера метода java-кода, интро решения голодфорда, решения для реального анализа rudin, упрощение алгебраических выражений с помощью рабочего листа gcf.

    Решение уравнений на сложение и вычитание, какие хорошие программы помогут вам в колледже, вычитание целых положительных чисел, Алгебра для чайников бесплатно, таблица математических формул для 6 класса, список алгебры корневых чисел.

    рабочие листы линейных уравнений 8-го класса, решение двучлена, кеширование алг 2 ответов.

    Powerpoint на графических линиях, Онлайн-симулятор графического калькулятора TI-84, Рабочие листы по разделению десятичных дробей для 6-го класса бесплатно, ответы на вводные задачи по алгебре, Рабочие листы с пиктограммами для учащихся начальной школы, алгебра Холта И.

    Решатель одновременных уравнений Excel, Как преобразовать дробь или смешанное число в десятичное, алгебра в колледже метод длинного деления, Прентис Холл Алгебра 2 ответы.

    Кубические корни на калькуляторе, Графики одаренности, практика альгерба, Масштабная модель деятельности для средней школы.

    Добавление дробей с рабочим листом переменных, программа ti-89 для пошагового решения примитивов, рядов Фурье, интегралов, системы линейных уравнений с двумя переменными с дробями, как мы можем учить алгебру, используя картинки для седьмого стандарта, Вычитание отрицательных дробей.

    Домен решателя функции, GED прошлые документы, как ты делаешь базовую алгебру, (512) 788-5675, читы по алгебре, квадратичная помощь в кубе, 9 годБесплатные шаблоны для печати по математике для 10 класса.

    Сложение и вычитание целых чисел бесплатно, простые рабочие листы по интересам, Национальные топографические карты масштаба 1: 1 000 000 имеют 1 градус северной широты и 4 градуса восточной долготы.

    Математика в средней школе с ответами на книгу «Пицца», сложение, вычитание, умножение и деление дробей, рудин «решения домашних заданий», функция градиента Maple, бесплатный онлайн калькулятор квадратного маршрута, показательные трюки, примеры математических задач и решений парабол.

    Упрощение корневых выражений, бесплатный калькулятор сложения и вычитания радикалов, заполнение квадратного калькулятора.

    Посетители Bing нашли нас вчера, введя эти математические термины:

    модель вопроса теста способностей

    печатный лист решетки умножения

    оценка выражений пятый класс

    преобразовать квадратный корень в десятичный

    бесплатный рабочий лист для печати для девятиклассников

    Уроки Алебра для 6-х классов

    Ti83 + журнал графика

    Бумага для пробных тестов ks3 для печати

    Математика четвертого класса с десятичными дробями

    сат бесплатно вопрос

    рабочих листа с отрицательными и положительными целыми числами

    комбинации на ти-84 плюс

    онлайн калькулятор бесплатно с показателями

    линейные уравнения загадки

    Книга учета затрат

    Алгебра 8 класс с многочленами

    алгебра 1 практика

    www. math woksheets.com

    Алмазный метод факторинга

    бесплатная онлайн-помощь по математическому соотношению гр.6

    бесплатная печатная алгебра 1 занятие

    Рабочие листы для 1 класса Сол Тесты

    рабочих листа со свободным делением для четвертого класса

    скачать код прошивки ti 92 plus

    онлайн-тесты по алгебре по математике 10 год

    рабочий лист алгебры линейные уравнения из графика

    упрощение путем вынесения на множители наименьших степеней

    2 листа пересмотра химии скачать

    онлайн калькулятор решения радикалов

    листа для печати по алгебре для 8-го класса, такие как термины

    уравнения сложения и вычитания

    рабочих листа для сложения и вычитания десятичных знаков и размещения десятичных знаков

    бесплатных теста на математические способности

    подсчет пунктуации в java

    шага до написания химических уравнений

    сделаешь ли ты сначала квадрат в уравнениях

    уравнения срыва

    калькулятор для сложения и вычитания целых чисел

    решение математических задач

    как вычислить инверсию логарифма по основанию 2

    современная абстрактная алгебра ч. 11 ответы

    Рабочие листы для первого класса

    Решатель полиномиальных уравнений для ti-83

    Калькулятор десятичных дробей

    бесплатных математических листа от ged

    читы на алгебру

    ти-89 pdf

    рабочий лист сложения и вычитания нескольких чисел

    java найти, сколько раз символ повторяется в строке

    программа факторинга квадратных уравнений для ti 83

    как писать уравнения на ti83plus

    иррационаl доказательство корня квадрата числа

    рациональный решатель нуля

    новый метод нахождения наименьшего общего кратного

    тригонометрические формулы вычитания

    бесплатный научный калькулятор Т 84 в интернете

    двухшаговый калькулятор уравнений для дробей

    РАБОЧИЙ ТАБЛИЦ КОЭФФИЦИЕНТ КОЭФФИЦИЕНТА СТАВКИ ЕДИНИЧНОЙ СТАВКИ, ПРЕОБРАЗОВАЮЩЕЙ ПРОПОРЦИИ

    учебники по алгебре для распечатки

    решатель задач по алгебре

    НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ = 479

    Айова тест способностей к алгебре

    график у = 3 + 5х – 2х в квадрате

    ляпунов excel

    объединяя похожие термины игровые идеи

    Решатель дифференциальных уравнений 2-го порядка

    самая сложная математическая задача для шестиклассника

    правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей

    график гиперболы

    калькулятор исключения системы уравнений

    онлайн-калькулятор суммирования

    www. game читы для первого на math.com

    кубический корень из 16

    заполнение квадратных вопросов и ответов

    Алгебра: структуры и методы Книга 1 Макдугал Литтел Глава 3 помощь

    Решатель рациональных выражений

    Рабочий лист по алгебре для 4 класса

    мелочи об обратной вариации

    тригонометрический факторинг

    бесплатных рабочих листа по алгебре для 8-го класса

    Математические тесты для детей 11 лет

    бесплатных рабочих листа по английскому для 9 класса

    Средние школы, использующие логотипы колледжа

    викторины для второ- и третьеклассников

    Калькулятор рациональных выражений деления

    Калькулятор абсолютного значения

    ti83 гиперболический

    бесплатный рабочий лист квадратные комплексные корни

    стихи по математике

    шпаргалка по алгебре на 8 класс

    бесплатных печатных рабочих листа для решения уравнений

    область алгебры колледжа

    • В. Рудин: «Основы математического анализа» (2-е изд.). скачать бесплатно

    решения домашних заданий по алгебраическим структурам

    Сложение и вычитание десятичных дробей 6-й класс

    Математика 5-й класс — ОБЪЯСНЕНИЕ ПОРЯДКА ДЕЙСТВИЙ

    Калькулятор математических коэффициентов

    факторинг с решателем рациональных показателей

    образцы работ по математике

    изучение алгебры

    кубических корня на ti-83 плюс

    поиск наклонов в листах текстовых задач по алгебре

    вычитатель дроби

    Программа калькулятора факторинга

    программа, преобразующая число в указанной системе счисления в число в другой системе счисления

    формула для вычисления НОД двух чисел

    пример линейного уравнения сожжено калорий

    решение с квадратным корнем

    математика mcqs

    скачать бесплатно аудиокниги для 4 класса

    вычислить комплексное число упростить

    решать задачи по алгебре

    онлайн-алгебра

    бесплатный рабочий лист по алгебре для шестого класса

    бесплатных онлайн рабочих листа по иррациональным и рациональным для средней школы

    помогите решить уравнения квадратного корня промежуточной алгебры без переменных

    алгебра 1 рабочая тетрадь ответы

    добавить печатные листы с положительными и отрицательными числами

    рабочие листы по алгебре для четвертого класса

    Алгебра решателя шаг за шагом

    техасская алгебра 1 книги онлайн

    Рабочие листы по промежуточной алгебре Рациональные уравнения

    vhdl вычислить среднее значение

    как решить квадратные уравнения факторингом и представить его в форме x-перехвата?

    найти вершину квадратного уравнения, используя формулу вершины

    онлайн калькулятор упрощающий сложные дроби

    стоимость бухгалтерская книга бесплатно

    Yr 7 Математика онлайн бесплатно

    уравнения с участием алгебры дробей 7 класс

    бесплатная онлайн-практика по математике с процентами словесных задач

    рациональных выражения с кубиками

    9 класс переход на алгебру

    рабочие листы линейных уравнений

    использовал начальную алгебру Weltman

    дифференциальные уравнения неоднородными методами

    Java алгебра комбинаций

    Бесплатные рабочие листы + линейное программирование

    Алгебра по Гленко 1 глава 3 урок 1 навыки практика ответы

    алгебра текстовые задачи Диаграмма Венна рабочий лист

    упрощение, радикал, абсолютное значение

    как преобразовать смешанное число в десятичное

    как делить целые числа

    триггер калькулятор

    50 определений алгебры

    Как пройти тест COMPASS

    как сделать стандартное отклонение на ти-83 плюс

    сингапурский лист с заданиями по математике для младших классов средней школы

    рациональные калькуляторы онлайн бесплатно

    печатные формы g. e.d математические листы

    рабочие листы по алгебраическим выражениям

    математический коэффициент масштабирования

    ti векторные программы

    упростить калькулятор радикалов

    квадратный квадратный корень отрицательное число

    химическое уравнение образования озона

    Тесты по алгебре для 6 класса

    упрощение с использованием тождеств Пифагора рабочий лист

    Лотос Факторинг

    решение уравнений на сложение вычитание и умножение

    onestepequations.ppt

    калькулятор факторинга

    как поделить

    Пемутационная деятельность + 3 класс

    Калькулятор факторизации

    как делать термы, такие как термы, коэффициенты и постоянные члены в предварительной алгебре

    Математический курс средней школы McDougal Littell 1, справочник

    текстовая раскладка связей здоровья и математики

    наименьшее общее кратное 34 и 19

    как решить соотношение

    как своими словами перевести десятичную дробь в дробь

    glencoe texas математика, курс 3 ответы

    решить одновременные уравнения

    практика алгебры

    решение трехчленов

    линейных уравнения с двумя переменными (ppt)

    построение графика абсолютного значения рациональной функции

    дроби с положительными и отрицательными дробями

    правила квадратных корней

    Изучайте алгебру

    математические процентные формулы

    скобки со сложением и вычитанием

    задачи по алгебре

    формула дробей

    808515

    конвертация десятичных дробей и калькулятор процентов

    Простые математические решения

    бесплатные рабочие листы по алгебре для 9-го класса

    занимательных упражнения по гексагональной алгебре

    как решить методом исключения на калькуляторе ТИ-89

    делит целое число

    Бесплатные математические листы для 3-х классов

    базовая алебра

    холт продвинутая алгебра глава 3 проект

    график в форме пересечения уклона рабочий лист

    полином, который можно использовать в жизни

    Ключи ответов по прикладным линейным отношениям для 9 класса

    разложение сложных квадратичных уравнений на множители

    рабочие листы сложения, вычитания и умножения дробей

    АЛГЕБРАДОР

    решить одновременное уравнение excel

    Листы по математике для 3-го класса

    mcdougal littell Taks обзор целей и практическая рабочая тетрадь для 11 класса

    решение уравнений, для «x» и калькулятор пропорций

    Листы практики письма для 6-го класса

    упростить калькулятор квадратного корня

    что такое квадратные корни и экспоненты

    упрощение квадратных корней для печати

    Сложение и вычитание смешанных чисел с помощью онлайн-игры как демонинаторы

    Дроби индикаторная бумага шестой сорт 2007

    объективный наибольший общий делитель TI-89

    как вы оцениваете выражения

    СТАТЬЯ ПО МАТЕМАТИКЕ+KS3+АЛГЕБРА

    10 класс Компьютерная инженерия — ответы на рабочие листы

    алгебра 1 — тест глава 7 ответы

    Дифференциальные свойства preAlgebra

    Рабочий лист по алгебре для 9 класса

    при решении одновременных уравнений как умножить С++

    примера математических мелочей

    TI-84 Плюс недостающий угол треугольника

    Решающая система TI-89

    Листы с домашним заданием по математике для 3-го класса

    вопроса и ответа по концептуальной физике

    AJосновной

    Онлайн-решатель задач Word для алгебры

    упрощение выражений упрощает умножение

    Конспект лекций Power Point по концептуальной физике

    распечатать рабочие листы по математике

    бесплатная математическая программа ks2

    решение функций абсолютного значения

    образец задачи по алгебре 6 класс

    Формула

    для расчета перестановок и комбинаций и как распечатать все комбинации с помощью языка C

    корни кубического уравнения от Matlab

    добавление вычитания умножить деление десятичных рабочих листов

    элементарные математические комбинации перестановки игры

    как решать трехчлены

    как найти квадратный корень без калькулятора

    как сделать дробь радикальной формы

    Факторизация рабочего листа алгебраических выражений, класс 9

    алгебра решить

    как рассчитать обратный журнал TI-83

    бесплатных рабочих листа по алгебраическим выражениям для 7-х классов

    выучить бесплатно онлайн алгебру бесплатно 9 класс

    алгебраические проекты базовый 7-й

    Инструмент SIMPLIFYING RADICAL expressions

    рабочий лист с добавлением вычитания отрицательных чисел

    корень в кубе в знаменателе, упрости

    неравенства рабочих листов бесплатно

    бесплатный автоматический факторизатор

    калькулятор упрощения методом разложения квадратных корней

    строка команды умножить окна

    упрощение радикалов с переменными

    Рабочий лист

    для практики построения графика с использованием точки пересечения x и y

    бесплатный калькулятор для решения функций

    научный калькулятор кубический корень

    решить квадратное уравнение третьего порядка

    как решить систему нелинейных уравнений в MATLAB

    Алгебра 1 Решатель домашних заданий

    справка по упрощению вероятностей

    рабочие листы уклона

    практика сдает экзамены в колледж Флориды

    Как преобразовать десятичные дроби в радикалы

    как найти номера палиндрома

    рунге кутта матлаб второй заказ

    решатель одновременных уравнений

    «Физические науки EOC»»Южная Каролина»»практические задачи»

    уклон 9 класс математика

    Гленко МакГроу Хилл Алгебра 1

    радикала в дробь

    программы для решения задач по алгебре

    Рабочий лист умножения и деления целых чисел

    Рабочий лист умножения десятичных дробей

    алгебра как тест терминов

    HOLT 8 КЛАСС PRE-ALGEBRA VIRGINIA EDITION

    Расчет комбинаций перестановок

    сложные задачи расчета площади

    задачи по алгебре для 8 класса

    Конус решения буквенных уравнений

    преобразование из десятичных дробей в радикалы

    математические свойства бесплатный рабочий лист

    калькулятор для метода сложения

    алгебраические уравнения и ответы

    glencoe практика упрощения корневых выражений 13

    выучить кубический корень

    рабочие листы по алгебре gcse

    Калькулятор булевой алгебры

    налоги на работу по математике, алгебра/седьмой класс с ответами

    переменные ppt 5 класс

    Упрощение вычисления рациональных дробей

    математические листы pizazz

    решение формулы для переменной

    yr8 математические листы

    наименьшее общее кратное чисел 13 и 22

    Как найти корень в степени по математике

    бесплатные печатные тестовые листы по показателям

    примечания о перестановках и сочетаниях

    рабочий лист алгебраических выражений

    легкая алгебра

    как решить дифференциальное уравнение второго порядка в Matlab неявно

    симулятор ти-84

    + рабочий лист по упрощению алгебры

    квадратных уравнения в порядке убывания

    mathcad + шрифты + скачать

    последовательности gcse

    обзор современных решений домашних заданий по алгебре

    дополнительный бесплатный рабочий лист

    бесплатных рабочих листа по математике для 8-го класса

    онлайн-калькулятор для печати

    калькулятор упрощенных подкоренных выражений

    проверить ответы на систему уравнений методом сложения

    решатель рациональных показателей

    Найти количество положительных целых чисел и сумму этих положительных целых чисел (т. е. игнорировать отрицательные целые числа) в списке из 10 целых чисел, введенных пользователем.

    сложение вычитание умножение деление десятичных знаков рабочие листы

    Головоломка на сложение и вычитание целых чисел

    факторинг решатель квадратного уравнения

    курса предварительной алгебры в Мэдисоне, Висконсин

    бесплатный триггерный решатель задач

    примеры задач по оценке специальных треугольников

    квадратное уравнение TI-89

    онлайн триномиальный факторер

    Калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка

    Написание рациональных уравнений в «java»

    упрощение квадратных корней

    Математические задачи для детей 5-го класса

    учебник по математике ответы

    программная алгебра

    калькуляторы дробей/целых чисел

    калькулятор с дробями десятичные целые числа

    калькулятор рациональных выражений

    Пользователи Bing нашли нас сегодня, введя следующие алгебраические термины:

    Решение с использованием бесплатных рабочих листов сложения/вычитания, умножение дробей на ти-83, умножение научных обозначений, калькулятор умножения и упрощения квадратных корней, как рассчитать НОД?.

    Система линейных уравнений с решателем excel, найти наибольший общий делитель калькулятора переменного выражения, калькулятор преобразования смешанных чисел в десятичные дроби, гленко математические ответы, алгебра в колледже, прентис холл математика алгебра 1 рабочая тетрадь ключ к ответам, программа. 92, рабочий лист наименьшего общего знаменателя, распечатки по алгебре для третьего класса, как сделать кубический корень на т1-84 плюс, математика алгебра ключевые понятия основные дети индия, калькулятор квадратичного факторинга, Рабочие листы по алгебре, отношения и проценты.

    Решить уравнения с переменными 4 класс, примеры математических уравнений для 10 класса, решение нелинейных дифференциальных уравнений с помощью Maple, рабочий лист без вращения.

    Математические читы, решение многошаговых уравнений с дробями и скобками, упрощение экспоненциального выражения.

    Определение мультиметра тестера, бесплатный рабочий лист для детей в сингапуре, квадратный корень из 85.

    Обратная функция квадратного уравнения, как рабочие листы терминов, полиномиальный фитинг VBA, сб рабочие листы словарного запаса 8 класс сб, Кубические метры математический лист.

    Правила преобразования десятичного числа в двоичное, в восьмеричное в шестнадцатеричное, обучение как термины, комбинируя похожие термины для детей, алгебраические выражения и как решить, Уравнение спящей параболы, сила алгебры 3.

    рабочие листы общего знаменателя, преобразование десятичных знаков в рабочие листы дробей, рабочий лист добавить вычесть дроби, найти неявную процентную ставку с помощью алгебры, графы объединения и пересечения, бесплатная алгебра для чайников.

    Корень десятичный, решение уравнений с несколькими переменными порядка, единичный круг на приборе T1-84 plus texas, числа и решения по общей способности, решать логарифмические задачи на ti 86.

    Предварительно алгебраический рабочий лист Свойства деления показателей, бесплатные математические задачи, Практическая работа по тригонометрии 10 класс, жесткий триггерный экзамен, образцы математических выражений для 5-классников, решатель разностных коэффициентов, Алгебра (как решать функции).

    Упражнения по алгебре решены, как зациклить сумму четных чисел java, бесплатное решение математических задач., тест на знание алгебры в колледже, бревенчатая база ти-89, гедворк книги.

    программное обеспечение для алгебры колледжа, решение нелинейных дифференциальных уравнений с помощью Matlab, думмит фут решения домашних заданий глава 7, кто изобрел +таблицу умножения, Ti 89 Titanium Howto Complex Real().

    Таблицы квадратного корня для печати, распечатки математических уравнений, уравнение наименьшего общего знаменателя, элемент обходит рабочий лист, решить для переменной с несколькими переменными и фракциями.

    Задачи на квадратный корень для 4-х классов. решатель линейных уравнений второго порядка, упражнения по алгебре шаблон для первого класса, задачи с экспоненциальными выражениями, решатель задач на длинное деление полиномов, электронная книга по учету затрат, Книга предварительных алгебраических уравнений.

    Рабочие листы по математике для третьего класса, Макдугал Литтел Инк., ответы на рабочий лист по математике ЧАСТИЧНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ № 7, обратная квадратичная формула.

    Рабочие листы по налогу с продаж, текстовые задачи, алгебра, Алгебратор, Шаг, эмулятор физики делает изучение физики веселым и легким, решение лимитов онлайн, Квадратные уравнения с помощью калькулятора, учебник отвечает геометрия, факторный полиномиальный обман.

    Калькуляторы уравнений, бесплатные рабочие листы, написание уравнения линий, математика глава 2-1 обогащение ответы на предварительную алгебру гленко, специальное разложение квадратных корней.

    Найдите преобразователь наименьшего общего знаменателя, онлайн калькулятор квадратного корня, введение в рабочий лист алгебры склонов, как делать логарифмические уравнения ti 89, Рабочие листы по базовой химии, факторинг полинома высшего порядка, факторинговый квадратичный проект.

    Калькулятор сложения и вычитания рациональных выражений, калькулятор умножения алгебраических выражений, коды программирования java для нахождения LCM двух чисел, Рабочий лист McDougal Littell Inc отвечает, матлаб решает уравнения, онлайн-решатель рациональных выражений, решить, заполнив квадрат TI- 89.

    Формула среднего отношения, решение линейного уравнения третьего порядка, учебник по общему знаменателю, свободное решение уравнений сложения, бесплатные математические рабочие листы, объединяющие похожие термины, Наименее распространенный множественный рабочий лист, самая большая в мире математическая задача.

    Графический калькулятор лимитов онлайн, бесплатные контрольные работы по математике 7 класс, график дробей и процентов, сложение квадратного корня, бесплатные распечатки по алгебре, лучшие книги по учету затрат, калькулятор факторизации.

    Сочетая подобные термины деятельность, игры квадратный корень, вопрос математических способностей, алгебраический калькулятор, решить корневые радикалы, Математический теневой метод 7 класса, выражение квадратного корня из 108.

    Как мы решаем уравнения с рациональными числами?, распечатанное упражнение по математике для 5-го класса, квадратное уравнение факторизовано.

    Упрощая переменное выражение, сложение, вычитание, умножение и деление смешанных чисел, совершенные радикалы, решать уравнения с радикалами в числителе и знаменателе, Уроки математики в 7 классе перед алгеброй.

    стихи о математике, макдугал литтел алгебра 1 ключ ответов, скачать бухгалтерскую книгу, Решаем уравнения по математике 5 класса на вычитание и умножение.

    ти т83 + игры, ти-89 решают несколько уравнений, бухгалтерские бесплатные книги онлайн, процентное уравнение.

    Ответы на освоение физики, как вычислить наименьшее общее кратное, перестановки и комбинации powerpoint.

    Калькулятор рациональных уравнений, решение квадратных уравнений в кубе, учить алгебру 1 и 2 дома.

    Найдите наибольшее и наименьшее возможные решения уравнения, бесплатная помощь с домашним заданием, купертино, ca, калькулятор параболы, чтобы найти уравнение для двух заданных двух точек.

    Решение для показателей, сравнение основных положительных и отрицательных целых чисел, бесплатное обучение по учету затрат, онлайн калькулятор неравенства, ответы в учебном пособии glencoe, Ответы на вопросы по математике в Прентис Холл.

    алгебра Холта, бесплатное решение задач по математике онлайн, вопросы по тригономатрии алгебре, Законы показателей словарного запаса шестиклассников.

    Как взять кубический корень на ти 83, алгебра онлайн, матрица, факторинг разница кубов калькулятор, построен онлайн график функции |y|.

    Системы уравнений в клен, рабочие листы алгебраических многочленов 2-й степени, бесплатные рабочие листы и ответы по алгебре, нахождение вершин при решении систем неравенств графическим методом.

    Нахождение наклона по таблице, вычитание с нулями, лист 5 класс, бесплатный онлайн калькулятор подкоренных выражений, найти домен и диапазон на ti84.

    Загрузка рабочих листов по алгебре с пиццей, Работа с радикалами — калькулятор алгебры, наименьшее общее кратное + переменные, рабочий лист соотношения бесплатно, вершинная алгебра.

    Разложение полиномов третьей степени, бесплатный ppt по линейным уравнениям с двумя переменными, графический калькулятор гипербол.

    Рабочий лист для построения математических графиков KS3, метод сложения частичных сумм, квадратный корень упрощает практику, калькулятор упрощения подкоренных выражений, как решить одновременные уравнения с 3 неизвестными.

    Алгебра Гленко 1 отвечает, преобразовать вещественное число в дробное матлаб, упростить экспоненциальное выражение, Простые математические десятичные дроби умножают делят, графическое изображение на координатной плоскости + рабочий лист, ВОПРОСЫ НА СПОСОБНОСТИ ДЛЯ ПИСЬМЕННОГО ТЕСТА В АУТСОРСИНГОВОЙ КОМПАНИИ, умножение и деление дробей с разными знаменателями.

    Образцы концепций и тестов на пригодность к применению, тетради по алгебре для начинающих, умножение десятичных знаков, система уравнений где одни нелинейные уравнения онлайн калькулятор, решить неоднородное уравнение.

    Онлайн-тест по математике с несколькими вариантами ответов, 8 класс, рабочий лист Prentice-hall Inc., рабочий лист наибольшего общего множителя, «Нелинейные уравнения» матлаб.

    Рабочий лист проблем преобразования Ks2, алгебра онлайн словер, задания на умножение и деление десятичных дробей на 10.

    рабочий лист шестого класса по алгебре, c десятичная по основанию 8, калькулятор правила умножения радикалов, бесплатные рабочие листы Taks Math для 10 класса, смешанные числа до десятичных, как найти у на графическом калькуляторе, скачать бесплатно электронную книгу Бухгалтерский учет.

    Как использовать матричную функцию в калькуляторе, чтобы найти 3 неизвестных, множители и кратные рабочие листы для печати, ти-83 «исходник» stemplot, практические занятия по обучению квадратным уравнениям с помощью факторинга.

    Как преобразовать десятичные дроби в научный калькулятор TI 30xA, Л.К.М. рабочие листы для 6 класса, как на калькуляторе десятичную дробь превратить в дробь, тестовые вопросы для 5-го класса, которые используют применение и анализ, дифференциальный матлаб второго порядка, Холт математика.

    Нахождение квадратного корня уравнения с двумя неизвестными переменными, как разложить трехчленный многочлен на два трехчленных многочлена, сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

    Как вычесть два раза и преобразовать в целое число в excel, десятичные квадраты, «базовая алгебра».

    Упрощая экспоненту, как учить коэффициенты суммы и произведения кубических корней, изменение смешанных чисел на проценты, трехчленный калькулятор, 3 или 4 права методом частичных сумм, решение уравнений десятичной дроби, неправильные интегралы на калькуляторе ti 83.

    Математические ответы бесплатно, рабочий лист по алгебре для 7 класса, вероятностные формулы, «перестановка и комбинация»ppt, длинная форма квадратного корня, Формула расстояний по математике для 8-го класса, если у вас есть две точки на линии, вы можете найти наклон путем вычисления.

    Бесплатное сложение и вычитание целых чисел для 7-го класса, рабочий лист по сложению и вычитанию, умножению и делению уравнений с десятичными дробями, полином калькулятора коэффициентов, учить алгебру, [PPT] нелинейный УЧП первого порядка, факторный полиномиальный решатель.

    Найдите корни уравнений факторингом, Квадратные дроби, преобразовать десятичное число в смешанное, добавление промежуточных рабочих листов, математика разложение на множители трехчленов алмазные задачи, онлайн бесплатно Решатель математических задач.

    Показать сумму в java, Образцы алгебры колледжа «Репетитор по математике», уравнение рациональных выражений скачать бесплатно ti 83 plus, правила решения задач по алгебре, Word Lproblem для третьего класса с рабочими листами бесплатно, калькулятор радикальных дробей.

    Преобразовать в десятичную 8, калькулятор делителей, решение уравнений функциональной записи с помощью неравенств, функция абсолютного значения в вершинной форме, шпаргалка по задачам со словами, умножить разделить термины с показателями рабочих листов.

    Разделение рабочих листов, WWW.ALGRABRA СДЕЛАНО ЛЕГКО, решение задач на склонах по алгебре.

    Комбинированные правила +алгебра, упрощение дробей с квадратным корнем, нахождение точек пересечения алгебраически абсолютных функций.

    Найдите калькулятор помойки, бесплатные рабочие листы по английскому языку для 7 класса, бесплатные распечатки для учителей по математике, онлайн рациональный калькулятор, онлайн калькулятор факторных полиномов, ТИ 84 ромы.

    Рабочий лист по математике, работающий с фракцией, разложить на множители степени два полинома от двух переменных, кто изобрел двухшаговые уравнения, упрощение показательных дробей, тождество полиномов, упрощающих факторинг.

    Добавление рабочего листа вычитания целых чисел pdf, TI 83, решить две переменные в двух уравнениях, раскрывающиеся квадратные скобки фольги тип файла ppt, программы калькулятор факторинг, примеры колец в математике, Алгебра Макдугала Литтелла 2.

    Решатель нескольких уравнений, пример статистики рабочего листа, Рациональные и радикальные упражнения.

    математические мелочи 5 класс, скачать книги по бухгалтерскому учету бесплатно, читы на умножение целых чисел.

    Бесплатный полиномиальный решатель, Вершина в алгебре, английские игры на 9первоклассники, онлайн калькулятор с минусами.

    Математические мелочи, задачи по алгебре вычитания, как найти пересечение линий на ti 84 plus, цикл для решения дифференциального уравнения matlab, Google . ком. уроки математики по отношениям и функциям, уроки экспонентов, алгебра добавить метод вычитания.

    Кто разработал линейное уравнение, предварительный алгебраический тест штата Айова по математике, репетитор по алгебре, раскрывающиеся скобки в algerba, java получить целое число без дроби.

    программа Алгебра 2, пошаговые инструкции по построению кривой производственных возможностей, сравнение положительных и отрицательных десятичных дробей, Алгебра 1 Комплексный подход, макдугал литтел мир химии ответы, инструмент дроби от большего к меньшему.

    Рабочий лист оценки показателей, бесплатная рабочая тетрадь для 6 класса, от десятичных до радикалов, алгебра дробей бесплатных рациональных выражений.

    Решение 3-е издание вводная и промежуточная алгебра биттингера бичера, метод факторинга, использовавшийся в 1800 г. , сделать отрицательное целое число положительным, ТИ 89радикальные уравнения, Рабочие листы оценивания выражений для 4-го класса.

    Справка по свойству квадратного корня, копия книги Хьюстонской алгебры 2, действия с использованием кубического корня и Excel, Каков наибольший общий делитель чисел 76 и 86?

    Мне нужна помощь с домашним заданием по алгебре 2 бесплатно, саксонская алгебра 1 ответы, дети помогают математике (шкала), КОМПЬЮТЕРНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ TRIG PLUS 2, вопросы о способностях с ответом, полиномиальные правила онлайн практика, Формула наклона Excel игнорирует логическое значение.

    Оконный экран графического калькулятора ТИ-83, калькулятор переменной дроби, онлайн графический калькулятор гиперболы, примеры математических мелочей.

    Рабочий лист по алгебре для 6 класса, как решать дроби на ти-83 плюс, бесплатные ответы на математические задачи, калькулятор длинного деления трехчленов, мой сын не справляется с математикой в ​​3 классе, у = 3 квадратных корня из х, стандартные математические записи для 6-х классов.

    Анализ решений Рудина, интерактивные кубики с основанием десять, печатные листы вероятностей по математике Онтарио для 12 класса, Уравнения факторингового калькулятора онлайн.

    Бесплатные рабочие листы линейных уравнений седьмого класса, Способность+вопрос+бумага+с+ответом+лист, кубический корень ти-89, выражения деления, начальная и средняя алгебра, колледж, системы уравнений ти 89.

    Ответы в учебнике по химии Холта, суммы по алгебре, математическая алгебра, заполнение квадратных рабочих листов, где число эйлера на ТИ-84, графические картинки для 6 класса, свойства рабочих листов целых чисел, скачать бесплатно стоимость +курсы бухгалтерского учета.

    Создайте число 24, используя (все) 1, 3, 4 и 6. Вы можете складывать, вычитать, умножать и делить. Скобки свободны. Вы можете (и должны) использовать каждую цифру только один раз, решение уравнений + рабочий лист, тест mcqs по физике pdf, решение квадратных уравнений — алгебра десятого класса уровень, исследовательские игры по геометрии.

    ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ РАБОТЫ ДЛЯ 11 КЛАССОВ 2007, наибольший общий делитель (gcd) двух целых чисел — это наибольшее целое число в c, обманный множитель трехчлена, Сложение/вычитание и умножение/деление дробей с переменными, бесплатные контрольные работы по математике для 8 класса.

    С++ решает полином второго порядка, онлайн факторер, факторинг квадратных уравнений на ti-83.

    Десятичный квадратный корень, бесплатная загрузка научных статей по ks3, вычислить корни комплексных чисел ti-83, план урока по нечетным или четным числам в первом классе, лист симметрии 8 класс, скачать бесплатные книги по гмат, линейная алгебра с применением решения Отто Бретчера.

    Вычисление выражений с помощью рабочих листов чисел со знаком, факторы и показатели для детей, что такое предалгебра алгоритма, Частичное разложение калькулятора дроби.

    Математика легкая 11 класс, как подставить кубический корень в научный калькулятор, область задач по алгебре, решать уравнения.

    Квадратный корень из рационального калькулятора совершенных квадратов, тесты по математике +векторы, вычитая десятичную формулу, вы делаете число, которое вы вычитали отрицательным?.

    Алгебра Хилла Гленко Макгроу решает многошаговые уравнения, примеры математических мелочей с ответами, квадратичный решатель для TI-83, бесплатный калькулятор упрощенных выражений, некоторые бесплатные математические сайты в Интернете, которые объясняют неравенства, концепция основных уравнений математической алгебры, онлайн объяснение компьютерной алгебры.

    {поисковые термины}, калькулятор коэффициента полинома, функции «продвинутой алгебры», как найти кубический корень на калькуляторе ти83, тест по математике для G.C.S.E, решение систем уравнений методом замены рабочего листа, Рабочие листы одночленных дробей.

    Математические приемы радикальных выражений, рабочие листы уравнений алгебры 8-го класса, бумажная алгебра онлайн, бесплатная викторина по математике/9 класс, ti 84 краткая справочная шпаргалка, бесплатный онлайн репетитор по математике и алгебре 1, ти 89Квадратное уравнение.

    Может ли кто-нибудь решить мои задачи по алгебре 2 бесплатно, можно использовать калькулятор ti 84 plus, план урока коммутативного свойства первый класс, калькулятор умножения радикалов, решить бином, РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПЕРВОГО КЛАССА, решить дифференциальные уравнения в матлаб.

    Решение продвинутой алгебры Голдфордом, добавить рабочий лист отрицательных дробей, предварительная алгебра, как использовать рабочие листы, учебное пособие, Рабочие листы координатной плоскости, квадратичная формула в vb6, сложение, вычитание и умножение многочленов.

    Расчет квадратных уравнений на калькуляторе на Ti-83 plus, бесплатные листы сложения и вычитания целых чисел, найти ЖК-калькулятор дробей, математические исследования n-го семестра, Матлаб Дифференциальные уравнения.

    Умножить разделить дроби, решить метод Рунгекутты по программе + третий порядок, Страница 302, книга по математике по алгебре 1, ответ на вопрос 20, математика в средней школе с блеском! книга с с-78, программа для сложения, вычитания, умножения, деления и сравнения дробей, Учебник решений по геометрии Макдугала Литтела.

    Рабочие листы с целыми числами седьмой степени, упростить калькулятор полиномов, листы с пропорциями, 4-я частичная сумма, калькулятор с графиками, mcq для средней математики — cpt, онлайн-решатель задач математической индукции.

    Лист сложения, вычитания, умножения, деления, положительных и отрицательных чисел, как разложить трехчлены с комплексными числами, презентация ppt по линейным неравенствам, лист научной проверки yr.9, решение квадратичных уравнений на ti 89, решать одновременные уравнения нелинейно.

    Разделение решателя дробей, производная полиномиального уравнения в java-коде, онлайн-практика с умножением и делением десятичных дробей, Наибольший общий делитель Java.

    Примеры разности квадратов, ода второго порядка матлаб, алгебра рабочих листов gcse, рабочий лист ответов на множители и кратные игры, решить алгебру с калькулятором, математика для чайников.

    Как использовать кнопку Log на калькуляторе TI-83 plus при выполнении логарифмов, калькулятор, который делает длинное деление с переменными, документ рабочего листа конусов, точка наибольшего общего делителя, Калькулятор коэффициентов квадратных выражений, деление дробей с показателями, математический калькулятор на линии, квадратный корень.

    Примечания о функциях учета затрат, график сложных уравнений ти-89, Решение рабочего листа показателя.

    Логарифм решения квадратных корней и показателей, упростить в экспоненциальной форме, пре альграбра, добавление калькулятора рациональных выражений, мера подгонки многочлена третьего порядка.

    Предварительный тест по алгебре для печати, банк вопросов для государственной программы AP 10-го класса, 2007 10 класс Математика работа 11, рабочие листы вычисления квадратных корней, трюк, чтобы пройти тест математический компас.

    правило Крамера для 3×5, Алгебра Помощь мономы, калькулятор рациональных нулей.

    Преподаватель математики онлайн, лкм калькулятор, java конвертировать во время, Mathd печатные листы gcse.

    Полином Ньютона Фортран, ти-89 система дифференциальных уравнений, Рабочие листы графических уравнений, тетради по математике третьего класса, архитектура математика мелочи, калькулятор выражений сложения и вычитания.

    Графики линейных равенств с двумя переменными, Повышение квалификации по предварительному рабочему листу по алгебре PDF, помогите рациональными выражениями, секретные коды и линейные уравнения, калькулятор умножения подкоренных выражений, Документы о способностях для кошек онлайн.

    Решатель уравнений excel, уравнение ax+by=c, примеры дружественных чисел в 5 классе, как написать квадратное уравнение с корнями и вершинами.

    репетитор по алгебре в колледже, разложение на множители калькулятора трехчленов с совершенными квадратами, ограничения онлайн графического калькулятора.

    Задача по математике, как получить 99 в калькуляторе, не прибавляя и не вычитая, как записать квадратное число в вершинной форме, наименьшие общие кратные от 32 до 28, дифференциальное уравнение легко скачать, алгебра с делением с использованием графического калькулятора.

    Сократите рациональное выражение до калькулятора с наименьшим термином, рабочие листы вычитания падения, Почему важно упрощать подкоренные выражения перед сложением или вычитанием?, как использовать TI-83 plus для расчета электрохимического потенциала, журнал +ti 83, Упрощенный калькулятор показателей, почему мы находим lcm и gcm.

    Как умножать ступенчатые уравнения, выучить алгебру бесплатно, рабочий лист квадратного корня.

    Калькулятор факторинга X²+bx+c=0, калькулятор упрощения рациональных выражений, как упростить квадратный корень в ti 83, вопросы по математике на сложение и вычитание.

    Калькулятор одновременных уравнений, бесплатно онлайн Упражнения факторного анализа, бесплатное использование онлайн ti 83, калькулятор умножения подкоренных выражений, юзабельный калькулятор т-83.

    Бесплатный предварительный расчет онлайн, удобный для начинающих, факторинговый калькулятор трехчленов, Нанесение точек для создания изображений.

    Бесплатное математическое упражнение по алгебраическому определению деления для уровня седьмого класса, калькулятор простого метода, рабочий лист порядка работы 4 класса, бесплатные рабочие листы по математике для старшеклассников, Рабочие листы iq по математике, английскому языку, начальным классам.

    Формула дробей в десятичные, триггер для чайников онлайн, калькулятор умножения рациональных выражений, ответы из учебника химии Merrill, математика+сложение и вычитание положительных и отрицательных дробей, ресурсы колледжа по алгебре.

    Элементарные сайты, порядок операций, печатные листы, тест для девятого класса алгебраических выражений, Примеры тестов на аффективность в Австралии.

    Решение переменной в экспоненте с помощью калькулятора, логи на ти-89, переход от вершины к стандартной форме.

    Алгоритм «наибольшего общего знаменателя», вычислитель правила множественности радикалов, AJweb, + забавный рабочий лист с распределительной собственностью, графический калькулятор y перехват, система уравнений ti89 самоучитель, холт математический рабочий лист ответы.

    Урок математического коэффициента масштабирования, бесплатные онлайн ответы на вопросы по алгебре, нахождение наклона линии с помощью уравнения в алгебре, поиск наибольшего общего делителя, бесплатный онлайн тестовый лист модуль 1 по математике.

    математический решатель корней и рациональных показателей, методы алгебры 7 класса, тетради по алгебре за 10 класс.

    Рабочие листы по математике на квадратных корнях, доказательство по индукции для чайников, область линейного графа, 11 плюс практическая бумага скачать бесплатно, Калькулятор радикальных выражений.

    Читы на практической рабочей тетради McDougal Littell курс математики 2, кроссовые изделия для 6-х классов, дельта-функция дифференциального уравнения второго порядка, стандартный графический калькулятор Т-83 бесплатно онлайн, дроби ввода java, концептуальная физика, ответы прентиса холла, дробь и десятичные дроби от меньшего к большему.

    Калькулятор рациональных выражений, связанные дифференциальные уравнения matlab, математические полиномы стихи, головоломки для первоклассников, ответы на рабочие листы Холта по математике.

    Рабочий лист поиска целочисленных шаблонов, уравнения с дробями (перекрестное умножение), рабочий лист, онлайн-решатель факторов, математический факторинг калькулятор, Ключ ответа в факторинге полиномов, Рудин Решения для домашних заданий, онлайн научный калькулятор с расширенными квадратными корнями.

    Самый сложный вопрос по алгебре, Рабочий лист «Упрощение алгебраических выражений» для средней школы, программное обеспечение матрицы алгебры, • Решение и построение графиков уравнений с участием радикалов, включая задачи реального мира, бесплатные листы курсовых работ gcse, Чему равен квадратный корень из 108 в упрощенной рациальной форме, графическая координатная плоскость 3 класс.

    Предварительные алгебраические мелочи и трюки, Вопросы о способностях решены, алгебра предтест 6 класс, онлайн алгебраический калькулятор для рациональных выражений, какой ответ на алгебраический вопрос, смешанные числа 6-й класс текстовые задачи.

    Определение предалгебры, формула полярных уравнений, решение квадратных корней с переменной.

    Алгебра факторизовать, вид математических задач, в которых используются факторы, называется, калькулятор حمل ti 89, факторизация многочлена третьего порядка.

    Решите матлаб нелинейного ОДУ второго порядка, математические исследовательские проектные игры по геометрии, математические многочлены третьего порядка.

    «бесплатная электронная книга»+»английский грамматик», как вычислить наибольший общий делитель, упрощение алгебраических выражений с использованием дистрибутивного свойства, делитель javascript, 8 лет работа по математике, полиномиальные уравнения.

    Еще одно правило сложения, вычитания, умножения, деления целых чисел, экзамен по математике, упростить решатель уравнений, Рабочие листы по упрощению радикалов, математика символы алгебра программное обеспечение excel, помогите с моими задачами по алгебре бесплатно.

    Рабочие листы по л.к.м. для третьеклассников, рабочие листы модульного теста 5 класса по построению шаблонов, решатель нелинейных уравнений, списывание по алгебре онлайн, вычитание переменных с показателями деления, Метод сложения частичных сумм 5 класс.

    Рабочие листы комбинаций и перестановок в средней школе, вычисляет рациональный класс, добавляет домашнюю работу по С#, бесплатные 11+ экзаменационных работ для печати, «базовые советы по алгебре»»GRE», решение радикальных уравнений, простой способ узнать проценты, БЕСПЛАТНАЯ ПЕЧАТЬ 8-ГО КЛАССА ДОМАШНЯЯ ШКОЛА.

    алгебра колледжа Клепа, лист вычитания отрицательных чисел, решения уравнений, контрольно-пропускные пункты по математике, Алгебра с делением в длину с помощью графического калькулятора Casio.

    Как решить дробь от целого числа к десятичному преобразованию, активность масштабного фактора, решение неоднородного дифференциального уравнения.

    Алгебра, сочетающая в себе термины, как листы головоломок, бесплатные вопросы алгебры. com, используйте excel, чтобы ответить на одновременное уравнение, рабочий лист для начинающих по математике, решить уравнение шутки 1=2.

    Деление дробей и показателей, рабочий лист Индии, гаусс джордан элиминация техас инструменты т 84, как складывать и вычитать смешанные дроби для 6 класса, линейное уравнение.

    Glencoe math gcf словесные задачи, упрощение несовершенных квадратных корней на TI-84, рабочие листы по алгебре, лист чтения десятичных дробей, рабочие листы добавляют и вычитают время.

    Решите уравнения онлайн доменной функцией, Прентис Холл отвечает на предварительную алгебру, алгебра структура и метод книга 1 ответы, математические мелочи.

    TI-83 плюс обучающие вероятности, листы сложения и вычитания целых чисел, наибольший общий делитель 140 и 96, как умножать отрицательные дроби, базовая алгебра.

    Простые дроби уравнений алгебры, как поменять базу на ти-84, алгебра (мелочи), алгебра 2 книги онлайн, Алгебра Мерриля 1.

    Как пользоваться калькулятором casio, алгебра 2 чикаго, бесплатные печатные вопросы по алгебре 9 класс, преподавание экспонатов детям, Напишите функцию Matlab для численного решения этого уравнения с использованием прямого метода Эйлера, коррелированные элементы варимакс или косое вращение, писать линейные уравнения по графикам.

    Полиматическая регрессия десятичная, 11 класс алгебраические выражения, бесплатный онлайн калькулятор квадратного корня, 5-й класс упрощает математические задания и ответы в скобках, Онлайн калькулятор факторинговых полиномов.

    Сложение, вычитание и деление квадратных корней с помощью бесплатного онлайн-калькулятора, математическое уравнение масштабирования, математические способности ФОРМУЛЫ PDF, решение однородного дифференциального уравнения второго порядка, Начисление процентов с использованием TI-84 plus с использованием клавиши y=.

    QuDRatic, электронная книга по базовой математике в колледже, предварительная алгебра для чайников, «где бы вы использовали делящие многочлены в жизненных приложениях», на базе TI89, одновременный решатель квадратных уравнений.

    Ti 83 скачать эмулятор, Техасский инструментальный калькулятор Т1-86 годный к употреблению, формула преобразования чисел в проценты, квадратичная форма линейного уравнения, как преобразовать квадратные корни в степени, рабочие листы ответы по физике.

    Сложение отрицательных показателей, добавление листа целых чисел, 7-й класс системы счисления в PowerPoint, подстановочная алгебра, упростить выражения, включающие кубические корни или абсолютные значения, Формула преобразования десятичной дроби в дробь.

    Простой способ найти факторы уравнения мнимых корней, рабочий лист степени элементарный, квадрат десятичной дроби меньше 1.

    Решите квадратное уравнение с помощью Matlab, формула параболы+ppt, объединяя как термины математика 6 класс, «онлайн радикальный решатель», решатель неравенств, java дробь шестнадцатеричная, Калькулятор минимальных условий.

    «решения абстрактной алгебры Хангерфорда», комбинированная пропорция алгебры колледжа, дробь в смешанный десятичный калькулятор, План урока математики интегрирован для 6-го класса по дроби, как решить вход на ti 86.

    Уроки сложения и вычитания в первом классе, «читы калькулятор феникс», бесплатный математический чит, абсолютные значения и радикалы, c вопросы о способностях.pdf.

    Химические реакции нахождения корней с помощью матлаба, как решать уравнения дробей, нужен репетитор по алгебре, КОЛЛЕДЖ решатели задач по алгебре, учебник математики для 11 лет пятое издание, тест 9 класса по алгебре II ответы, vb решение упражнения «Генератор телефонных слов».

    Полезный калютор Т-83, саксонская алгебра 1 ответы, умножение, сложение, вычитание десятичных дробей, РАБОЧИЕ ЛИСТЫ ПЕРЕВОДА ВРАЩЕНИЯ KS3.

    Упорядочивает дробь от наименьшего к наибольшему, график моей гиперболы, Лист факторизации.

    Математические мелочи, разделить полиномы на бином ti 84, добавление оценки рабочего листа десятичных знаков, «алгебра 2 пошаговое развитие».

    Самый сложный вопрос по истории для четвероклассника. как построить график комплексных чисел на TI-83 Plus, скачать эмулятор ti 83, Как вычислить мод двух чисел, Балансирующий калькулятор химических уравнений, бесплатный тригонометрический калькулятор.

    Преобразование Лапласа TI-89, онлайн калькулятор ПЕРЕМЕННЫХ И РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ, алгебра и функция дроби 5/7, бесплатный рабочий лист с задачами на проценты.

    рабочие листы Gcse по статистике, листы сложения, вычитания и умножения многочленов, KS3 математика, 4 квадранта, рабочий лист для построения графика, решать системы линейных уравнений ти-84.

    Рабочие листы числовых шаблонов, как найти логи с помощью TI 84, полином, возведенный в 3.

    Вопрос по математической алгебре онлайн бесплатно, онлайн калькулятор полиномиального длинного деления, как преобразовать дробь в рациональную математику, 9 классрабочие листы триггерных соотношений, «абстрактная алгебра» отвечает, подкоренной калькулятор, Рабочий лист GCSE Балансирующие уравнения.

    Сочетая подобные термины деятельность, решатель общего знаменателя, онлайн печатный графический калькулятор, «Бесплатные рабочие листы + заказ отрицательных чисел», можно ли упорядочить какое-то число от меньшего к большему?, викторина по математике/9 класс, калькулятор неполных дробей.

    Алгебра для девятого класса, интерактивные квадратичные графики, Комбинируя как Рабочий лист терминов, Учебный материал по учету затрат; ppt, преобразовать десятичную систему в основание 8, единичный круг, упрощающий радикалы.

    Концепция математической алгебры, практика положительных отрицательных чисел, Использование таблицы функций для решения уравнений в 8-м классе.

    Овладение ключом ответов по физике, вывод суммы java, бесплатные онлайн-книги по основам бухгалтерского учета, алгебра парабол, рабочий лист сложения/вычитания десятичных знаков.

    Общая форма в стандартную форму квадратичного рабочего листа, Решатель задач по алгебре, забавный рабочий лист с распределительной собственностью, «Как преобразовать десятичное число в смешанное», Онлайн-калькулятор факторизации многочленов.

    Программы по химии для ti 84 plus, викторина по алгебраической математике, экзамен по арабскому языку GCSE, масштабный математический термин.

    С++ КОРЕНЬ ПОЛИНОМА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА НЬЮТОНА, тест по математике в 8 лет, рабочие листы факторов ks2, электронная книга по блиц-решениям по алгебре в колледже, План занятий по факторингу в 5 классе.

    Дельта-функция ти-89, Нелинейное ОДУ второго порядка решается численно в Matlab, Алгебра от UCSMP.

    Калькулятор рациональных выражений и функций, математические квадратные корни в колледже и радикальные выражения, калькулятор упрощения радикалов, Калькулятор квадратных уравнений.

    Калькулятор факторных трехчленов, мне нужна помощь с проблемами рационального выражения, уравнение графика мощности, что такое зависимые и независимые переменные в алгебре с алгебраическим выражением, уравнения наибольшего общего фактора, решение нелинейных уравнений в excel.

    Ti-83 находит корни уравнения, как пользоваться ti 83 lcm, Решение задач с квадратными уравнениями и параболой(вопрос), линейные уравнения, используемые в карьере, бесплатные онлайн книги по математике для детей.

    План урока математики по множителям и наивысшему общему множителю, решение задач с логарифмами, преобразовать десятичную дробь в радикал, алгебра творческих публикаций с pizzazz 42, математика.

    Рабочий лист линейных уравнений по алгебре, apititude загрузка вопросов и ответов, решатель задач неявного дифференцирования онлайн, проверка теста 9 класса по статистике, оценка по алгебре в 3 классе, факторизация уравнений третьего порядка.

    Калькулятор наибольшего общего делителя, задачка по математике для 5 класса, калькулятор неявной производной, бесплатная помощь по тригонометрии, викторина по математической алгебре 2, Калькулятор делящихся многочленов.

    Бесплатное скачивание вопросов по бухгалтерскому учету, умножать и делить алгебраические выражения, биномиальная программа ti-83.

    Бесплатные таблицы математических функций для 7-го класса, распределительное свойство и дроби, переписывание квадратных корней с показателями, факторинг полиномов 3-го порядка, нахождение переменных в показателях, бесплатные печатные листы по математике для седьмого класса, Словарь прикладной математики glencoe 07 глава 4.

    Калькулятор знаменателя, разложение биномиального куба на множители, как преобразовать дроби в десятичные без калькулятора, бесплатные уроки алгебры для печати, скачать электронную книгу по бухгалтерскому учету, clep test алгебра примеры, Сложение и вычитание дробей с переменной.

    ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБЕЙ В ДЕСЯТИЧНЫЕ КАЛЬКУЛЯТОР, бесплатное решение математических задач онлайн, Игры на умножение целых чисел.

    Решение для переменных рабочих листов бесплатно, калькулятор факторинга трехчленный, листы с умножением и делением дробей, решать квадратные корни онлайн, Учебник по математике 1 для 9-х классов бесплатно, Рабочие листы таблицы функций алгебры 8-го класса.

    склон алгебры 8 класса, как программировать трехэтапные математические задачи в Visual Basic, листы умножения распределительного свойства 4 класс, программа ти-83 скачать лаплас, 11+ математических вопросов.

    Таблицы десятичного умножения онлайн с множественным выбором, калькулятор девятиклассников, рабочие листы по теореме пифагора по физике, бесплатный рабочий лист по математике для начальной школы, Рабочий лист оценки выражений.

    Бесплатное программное обеспечение Вводный и средний курс алгебры, загрузка рабочих листов по алгебре, примеры задач по алгебре для 9 класса.

    факторная программа Ti 83, вычислять математику для начальных классов, решение уравнений путем сложения и вычитания рабочих листов, упрощение радикалов с помощью графического калькулятора, рабочий лист координатной плоскости начального уровня, как решить линейную функцию домена и диапазона.

    Макдугал Литтел и Учебник, как получить одинаковый ответ при упрощении выражений при использовании разных чисел, как сделать перестановку и комбинацию в TI-83 plus, пройти викторину по практическим наукам для 8-го, рабочие листы правила алгебры дети, симулятор дифференциального уравнения второго порядка, умножать и делить десятичные знаки + бесплатный рабочий лист.

    Одновременный решатель уравнений с квадратичными уравнениями, Квадратичная математика, Трюк с факторингом квадратичных трехчленов.

    Рациональное выражение деления, калькулятор замены, 9учебники по математике за й класс.

    решатель рациональных выражений, рассчитать остаток bash, поиск рута на ti83, калькулятор с visual studio.net, калькулятор факторизации квадратных уравнений.

    Математические ответы, шпаргалки по алгебре, печатные пакеты для изучения математики, решить для наклона, делить и умножать листы.

    Логарифмы для чайников, обратный порядок интегрирования ti 89, бесплатные домашние задания.

    Java диапазон чисел одна переменная, вершинная форма формы квадратного уравнения, бесплатные ппц по математике для третьего класса, домашнее задание по механике жидкости с решениями, решение уравнений с множественным выбором, как упростить сложные радикалы, с помощью решателя линейных уравнений Excel.

    Онлайн; квадратичный графический калькулятор; касио, ти 84 джава калькулятор, кросс продукт ти-84, примеры вопросов о способностях, решить не квадратные уравнения онлайн.

    Онлайн-решатели уравнений алгебры с квадратными корнями, СОВМЕСТНЫЙ РЕШИТЕЛЬ УРАВНЕНИЙ, Образцы вопросов о способностях, отрицательное вычитание положительного.

    Преподавание способностей скачать, упростить рабочий лист показателей, дифференциальное уравнение второго порядка со сферическим в Matlab, рабочие листы по английскому языку для 4 класса, Онтарио, решение уравнений сложения и вычитания, правила квадратного корня.

    Перестановочные и комбинированные упражнения, рабочие листы на сложение и вычитание разных знаменателей, алгебра с ключом ответа на пиццу, холт онлайн учебники код ключа, рабочий лист с двухшаговыми уравнениями.

    Алгебра пирог, вычисление знаменателя, dsolve 2-го порядка ODE matlab, бесплатный рабочий лист для правил функции.

    Галахад, Матлаб, Бесплатная книга по алгебре для колледжа, факторизация уравнений параболы с 2 переменными, концептуальная физика, тест по алгебре Макдугала Литтела, глава 3, чем сложение, вычитание, деление и умножение с рациональными выражениями похоже или отличается от выполнения операций с дробями?.

    Заметки о перестановках и сочетаниях, Рабочие листы по математике решетки, линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, Решение «Современная абстрактная алгебра», ДЕЛАТЬ ДОМАШНЮЮ ЗАДАНИЕ ПО АЛГЕБРЕ, Glencoe алгебра 2 глава 2 промежуточный тест, рабочий лист головоломки умножение дроби.

    Формула, использующая квадратный корень, бесплатные учебники по алгебре, калькулятор факторизации суммы или разности двух кубов, бесплатная онлайн-книга по геометрии с ответами, онлайн калькулятор т 89.

    Каково наименьшее общее кратное чисел 3 и 21, разложение на множители мнимых квадратичных уравнений, количественный тест способностей+примеры+скачать бесплатно, квадратные корни дробей.

    Найдите периметр рабочих листов сложной формы ks2, калькулятор выражений коэффициентов, добавление и вычитание рабочих листов, решение нелинейных дифференциальных уравнений в Maple, Решаем листы уравнения сложения.

    Расчет множественного выбора, как решить уравнение с основанием е, как составлять уравнения и неравенства с дробями.

    Математические упражнения 4 класс, решение многоэтапного рабочего листа уравнений, glencoe pre алгебра msters, решения абстрактной алгебры, Решите уравнения с несколькими переменными, бесплатное решение задач по геометрии онлайн, фракционный решатель задач для решения проблем.

    Процентная формула, составлять системы уравнений и решать их, Наименее распространенный кратный + калькулятор, факторы до 24 рабочих листов, решение проблем с формулой колледжа.

    Клеп алгебра, сокращение радикальных рабочих листов, Glencoe Pre-Algebra Answer Key Maker с компакт-диском с руководством по решениям, Математика 2 класса, сложение множителей 9, 10 и 11, бесплатные задания по математике для 11 класса, скачать вопросы CAT 1998 с решениями.

    Онлайн калькулятор «алгебраическое выражение», решение одновременных уравнений в excel, учебник по математике pdf радикальные выражения, формула добавления дробей, эрб тестовый образец, манипулирование показателями.

    Как определить домен графа, Чем операции с рациональными выражениями (сложение, вычитание, умножение и деление) похожи или отличаются от операций с дробями?, решить мою задачу по фактору алгебры, Бесплатное решение математических вопросов, бесплатные экзаменационные документы.

    эмулятор Ti 84 plus, корни показателей, ответы на тест анализа уравнений.

    9 лет математика, бесплатная онлайн запись интервалов, построение графиков линейных уравнений в презентациях, Гленко геометрия глава 13 PowerPoint, задачи радикальной алгебры, онлайн-калькулятор алгебраических выражений.

    Рабочий лист уравнений умножения и деления, показатели в бесплатных рабочих листах по математике 5-е, преобразовать нелинейное дифференциальное уравнение в линейное уравнение, Знакомство с комбинацией и перестановкой.

    Добавление нескольких слагаемых десятичных знаков для печати, бесплатный решатель алгебры колледжа, преобразовать десятичную дробь во время, онлайн книги учета затрат, рабочие листы с пиктограммами, алегбра 1.

    Сгенерируйте gr car полиномиальный матлаб, задача по тригонометрии для колледжа с ответом, преобразование квадратного корня в десятичное в ti 89, действие дробей со знаками, квадратное уравнение ти-89, Скачать тестовые документы на управленческие способности в формате pdf.

    Как сделать кубический корень на т83, +рабочие листы по дробям для КС3, целые числа добавляют и вычитают рабочие листы.

    Нахождение обратного уравнения с ti 83 плюс, В 7-м классе математический словарь и определения, интегрировать математику и естествознание план урока 6-го класса по умножению дробей, многочлен с калькулятором, перевод десятичных дробей в дроби онлайн калькулятор, дроби методом подстановки.

    Алгебра 2 математические ответы для логарифмических, руководство по современной биологии ответ ключ 10-1 холт райнхарт уинстон, сложение и вычитание смешанных чисел 6 класс, Примеры для Hand.java.

    Добавление нескольких целых чисел, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДОБЕЙ В ПРОСТЕЙШИЕ ФОРМЫ, 11 прошлых экзаменационных работ.

    Рабочие листы по биологии Макгроу 2007 г., решатель выражений с квадратным корнем, сравнение целых чисел + упорядочивание рабочих листов с целыми числами, графические уравнения линий powerpoint, НАЧАЛЬНЫЕ АЛГЕБРОВЫЕ ТРЮКИ.

    Бесплатные рабочие листы по тригонометрии, бесплатный калькулятор онлайн Сложение или вычитание рациональных выражений, умножение рабочих листов с отрицательными уравнениями, бесплатные рабочие листы по соотношению и пропорциям глав математики, уравнения факторинга, включая дроби, дополнительная математика глава 3 руководство по логарифмам ppt, как преобразовать процент в дробь в простейшей форме.

    Превращаясь в радикалы, решения рудин глава 3 упражнение 14, решение рациональных выражений.

    Калькулятор квадратичного коэффициента, Ti 84 Plus онлайн, факторизовать онлайн, тест по алгебре для 8 класса, бесплатные видеолекции по учету затрат, бесплатно онлайн 9 класс по математике.

    онлайн калькулятор рациональных выражений, Нахождение уклона из рабочих листов таблицы, упростить с помощью факторинга, Java необходимо определить, является ли число целым числом, корни радикалы как решить, практика алгебра 2, бесплатный онлайн-тест 10-го класса.

    Решение уравнения с калькулятором радикалов, САМАЯ БОЛЬШАЯ ОБЩАЯ ОШИБКА, простая предварительная алгебра.

    На что в первую очередь обращаешь внимание при разложении любого полинома на множители? Экспоненты с квадратными корнями, руководство по решению структуры алгебры и методическая книга 1 Дольчиани, математическая работа в 3 классе, решения Алгебра Макдугала Литтелла 2.

    Рабочий лист по мнимым числам, как решать многочлены с переменными, северные холмы 9-й класс обзор главы 3, пример сюжетной задачи на вычисление специального треугольника.

    Правило решения квадратных уравнений, Координатные плоскости для печати, выбросы в предварительной алгебре, стандартная, перехватная и вершинная формы, «бесплатные планы уроков математики» с добавлением дробей, квадратный ти-89.

    КАКОЙ ВЕБ-САЙТ ЛУЧШЕ ИДТИ, ЕСЛИ ВАМ НУЖНА ПОМОЩЬ ПО АЛГЕБРЕ 1, ЧАСТЬ 2, РЕШЕНИЕ ЗАМЕНЫ?, радикалы решателя математики, Задачи на сложение и вычитание, Домашнее задание McGraw Hill по математике в седьмом классе, log x квадратные уравнения фиолетовая математика, Исключение Гаусса Джордана НА TI-84 PLUS.

    Построение гиперболы, параболы, эллипса, рабочий лист для 3-го промежуточного уровня, задачи по реальному анализу рабочая тетрадь с решением+бесплатная книга+рудин, примерный план урока по закону экспоненты.

    ПДФ на ти-89, найти наклон параболы, умножение на двузначные тренировочные листы.

    Преобразовать половину в целое число, скачать ti rom код, решение нелинейного для ненулевого значения в клен.

    листы с наименьшими общими факторами, Упростите радикалы в дробной форме, положительный и отрицательный калькулятор, +физические формулы с радикалами, калькулятор онлайн у.е. радикал, примеры холмов на математической диаграмме, Онлайн-калькулятор трехчленного факторинга.

    Рабочие листы математических функций 5 класс алгебра, как проходит аттестационная шкала clep test по алгебре колледжа, сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел.

    Добавление рабочих листов смешанных фракций, решатель задач по математике 11 класс, зачем придумали алгебру, сумма чисел java, 10-клавишная викторина с десятичными знаками.

    Мне нужен шаг для построения графика на графическом калькуляторе, решение нелинейного дифференциального уравнения, как найти кубический корень ti 83, листы сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел, Бесплатный онлайн-тест на математические способности.

    Генератор упрощенных экспоненциальных выражений, вопрос о способностях и ответы, математика для начинающих, рассчитать лкм.

    Преобразовать десятичную дробь в простейшую радикальную форму, покажите мне, как преобразовать дробь в десятичную на TI-83 Texas Instruments, решение с использованием сложения/вычитания рабочих листов.

    Математические онлайн-игры для 9-го класса, машина с печатными функциями для алгебры, скачать задания по математике для 1 класса талсы, одновременное решение нелинейных дифференциальных уравнений с помощью Matlab.

    Калькулятор суммирования онлайн, алгебра игра,скачать java, шпаргалка по схеме excel для техасского экзамена на адвоката, Эмулятор ТИ-84.

    Деление на одночлен С ОНЛАЙН КАЛЬКУЛЯТОРОМ, вопросы по алгебре, упростить радикальные выражения, уравнения и функции, pdf в путешествии, алгебра, чтение, интерпретация графиков, рабочие листы.

    Тест деления экспонент, факторинг комплексных чисел, вычисление радикальных показателей, в чем разница между однородными и неоднородными растворами.

    Образец интеграции Ti-89, калькулятор формы вершины, операции над смешанными числами, почему алгебра сложна, есть ли простой способ ее выучить, Онлайн-тесты по математике для 8 класса.

    Калькулятор рациональных уравнений в линейные уравнения, «ответы тупицам и футам», «решёточное математическое деление», бесплатные печатные рабочие листы о том, как решить линейную систему с помощью винограда, Упростите радикальные выражения с помощью калькулятора дробей, пример решения задач по параболе.

    Калькулятор TI образа ПЗУ, математический рабочий лист с движущимися словами Алгебра с Pizzazz, Макдугал Литтел Алгебра 1 Глава 3 Практическая викторина, задача нелинейных дифференциальных уравнений для решения в simulink, бесплатная книга по математике; факториал.

    Бесплатная загрузка электронной книги по бухгалтерскому учету, ответы на математику с пиццей! книга д-53, бесплатные печатные рабочие листы с квадратными числами, таблица статистики 6 класса, экзамен по общей математике, часть 2, редакция, «эллипс.м» матлаб.

    Электронная книга по учету затрат B com, кубический корень на ti83, факторинговые калькуляторы, скачать бесплатно электронную книгу по бухгалтерскому учету.

    Калькулятор наклона и точки пересечения, рабочие листы математических выражений, Тест по математике для печати в 1 классе.

    Интеграция алгебры, приложение, соединения, руководство по решению Paul Foerster, другой тип графического калькулятора, Калькулятор уравнения коэффициента.

    Рабочий лист по математике с квадратными корнями, как сделать вход на ти-89, математический решатель, powerpoint+tw0+переменная+неравенства.

    Базовая шпаргалка по вероятности, образцы викторин по алгебре, рабочие листы, решить пример дифференциального уравнения второго порядка, Заметки о трехчленах факторинга 8-го класса, калькулятор порядка дробей, Гиды ответов Glencoe, Таблица наибольших общих факторов.

    Индиана Прентис Холл математика алгебра 1 ответы, ДЕВЯТЫЙ КЛАСС МАТЕМАТИКА ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ, предварительные алгебраические выражения+символы+бесплатные печатные формы, рабочие листы по целым числам и показателям, упростить алгебраические выражения со скобками, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби, история размышлений по алгебре.

    Решая сокращающие рациональные выражения, конспекты к экзамену по математике, разложение на множители трехчленов в кубе, нужно найти программу для генерации 200-значного простого числа.

    Практические задачи и решения по булевой алгебре, использование формул для решения задач на листах, оценка для предварительной алгебры, примеры задач на упрощение рациональных выражений с ответами, способы обмана на тесте геда в Луизиане, практика мастеров Хоутон Миффлин Алгебра и Тригонометрия, Примеры вопросов по алгебре для 7 класса.

    Бесплатная загрузка .ppt архитектуры компьютерной системы, третье издание, проценты, умноженные на целые числа, рабочие листы, ти89 полярный, ти-86 ошибка 13, как сделать десятичную установку на калькуляторе TI-84 Plus, конвертировать 24 2/3 в процентную единицу, калькулятор булевой алгебры.

    Используя алгоритм Евклида, чтобы найти GCF и LCM, многочлены, задачник, базовая алгебра 2 понятия, деление дробей ks3.

    алгебра из мулы, наклон квадратичной формулы, калькулятор сравнения и упорядочивания дробей, калькулятор плюс и минус тригонометрических формул, нахождение коэффициента разности для квадрата, решить нелинейное уравнение с двумя переменными онлайн.

    книги учета затрат, расчет ляпунова вба, Алгебра 3 класса.

    Решатель уравнений Ti-83, формулы вероятности, рудин принципы математического анализа решений, добавление рабочих листов с отрицательными числами, рабочий лист, находящий общий делитель выражения, решение дробных задач.

    рабочие листы «линейные уравнения», дискриминант для полиномиальных уравнений третьей степени, интерактивные целочисленные игры онлайн, квадратное уравнение найти наклон, калькулятор коэффициента уравнения, общая шпаргалка по математике для 11 класса, уравнение статистики для оценки плохого тестового вопроса.

    Решатель химических уравнений с шагами, тетради по математике для начальной школы 6 класс, бесплатная алгебра с рабочим листом пиццы, решать совместные уравнения в excel, решение рабочих листов уравнений сложения, калькулятор радикального упрощения.

    Формула перевода метра в бар, Сравните греческие числа с нашей сегодняшней системой счисления, расчет уравнения в матлабе.

    Бесплатные печатные рабочие листы с целыми числами, бесплатный онлайн факторинг по алгебре + упражнение, повторение биологии за 9 класс, Калькулятор факторинга квадратичный.

    Вывод квадратных уравнений из таблицы значений, наибольший общий делитель 7, смешанные числа [десятичные], как упростить радикалы, помогает с +алгеброй аудио.

    Решатель дробей, решение неоднородного линейного уравнения второго порядка равно константе, калькулятор логарифмических выражений.

    Решение многошаговых уравнений без листа решения, наивысший общий множитель в MATLAB, примеры наклонов алгебры в реальной жизни, замена смешанных чисел на десятичные получить ответы онлайн, Рабочий лист с формулами gcse.

    Рациональные показатели и корни, ти 83программы, формула решения задач соотношения, Целочисленный лист пиццы, обзор линейных уравнений в PowerPoint.

    Калькулятор с ключом кубического корня, калькулятор упрощения экспоненциальных выражений, Рабочие листы 8-го класса, бесплатные онлайн-рабочие листы pizzazz, решение квадратных уравнений путем факторизации и графического бесплатного рабочего листа.

    Как решить уравнение с помощью квадратичных графиков, www.больше общий многофакторный калькулятор, помощь по математике в третьем классе.

    Как преобразовать десятичную дробь в дробь измерения, Word и Excel бесплатный тестовый онлайн-экзамен, мгновенная онлайн-помощь по математике в колледже, Умножить радикальные выражения, «упростить подкоренные дроби», какой знак алгебры для сложения.

    Продвинутая алгебра Скотт Форесман Аддисон Уэсли Чикагский университет, стр. 16, чит-код к тесту по математическому компасу, калькулятор умножения и деления рациональных выражений, формулы GED, учебник, Рациональный показатель бесплатных рабочих листов по алгебре, Бесплатный калькулятор алгебры.

    Квадратичные уравнения, задачи на сочетания слов шестой класс, распечатка листа по математике для 3-го класса.

    Калькуляторы одновременных уравнений, рабочий лист рациональных уравнений, РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ РАЦИОНАМ И ПРОПОРЦИЯМ ДЛЯ 7-ГО КЛАССА, наибольшее общее кратное 34 и 24, Лист сложения и вычитания рациональных чисел.

    алгебраические свойства, ГРАФИК Диапазон областей квадратного уравнения, Деление многочленов простым способом.

    Разница площади, книга способностей агарвала скачать бесплатно, практические занятия по обучению решению квадратных уравнений методом факторизации, скачать алгебра софтмата, Решите тригонометрические уравнения, включающие кончики радикалов, рабочий лист упорядоченных пар, свойство квадратного корня.

    Разделите листы с десятичными знаками, бесплатные электронные книги по базовой математике, математика онлайн, создание координатной плоскости в powerpoint, Калькуляторы с наименьшим общим знаменателем.

    Рабочие листы на деление дроби 5 класса, TI 83 рациональные выражения скачать бесплатно, полиномы множителей в кубе, ответы на практические задачи, добавление/вычитание целых рабочих листов, несколько нелинейных уравнений с двумя переменными, макдугал литтел алгебра 2 техасское издание ответы, квадратичный в кубе.

    Полиномиальное зерно, Прошлые экзаменационные работы в школе бухгалтерского учета doc, решатель квадратных уравнений для ti-83 с комплексными корнями.

    Комбинированные уроки вероятности в PowerPoint, калькулятор упрощения радикалов с переменными, fraleigh Solutions торрент, таблица факторов, стихи по математике (тригонометрия).

    Как решить дробный квадратный корень, как перевести дроби смешанных чисел в десятичные, ответы на Прентис Холл Математика АЛГЕБРА 1, применение гиперболы с решением, Найдите калькулятор наименьшего общего знаменателя, решение неизвестного в формуле с квадратом.

    Бесплатный онлайн репетитор по факторингу полиномов, калькулятор, завершающий квадрат, как вычислить вершину без формулы в квадратных уравнениях, математические упражнения для 8 и 9 класса.

    Как сделать множители, умноженные на вычитание, сложение и деление, план урока строки сложения и вычитания целых чисел, лист статистики и формулы вероятности Макгроу, алгебра + артин + глава 11 + решения.

    Математический инструмент для решения математических выражений, «наклон квадратного уравнения», как рассчитать диамоанд, умножение рабочих листов научных обозначений, добавление алгебры, буквенные уравнения в алгебре.

    АЛГЕБРА СУММЫ, как сделать факторизацию для детей в 4 классе, журнал оп ТИ, преобразовать целое число в 2 десятичных знака в коде Java, рабочий лист умножить научное обозначение.

    Как найти x в алгебраическом выражении? (практические рабочие листы), алгебра 2 квадратичная вершинная форма, как решить дифференциальное уравнение с помощью MATLAB.

    Нахождение медианного рабочего листа, решить для указанной переменной, дроби и графические линейные уравнения, учебные пособия для 6-го класса, рабочие листы по половинным уравнениям по химии GCSE, ti-83 plus калькулятор скачать ром, алгебраическое решение для 2 переменных.

    Упрощение калькулятора алгебраических уравнений, графический калькулятор техасский эмулятор TI-84, Введите задачи Rational Expressions и получите ответы, решить мое неравенство, зачем вычислять lcm и gcm.

    Стратегии решения проблем, третье издание рабочей тетради, ответы, научный калькулятор кубический корень, вычитание процента из целого числа, МЕТОД КВАДРАТНОГО КОРНЯ, тест по математике онлайн 8 класс.

    Алгбрик термины, учебник по математике для 10 класса, бесплатные печатные листы для 9 класса, прентис холл математика алгебра 1 урок 3-5 ключ ответа, какой наибольший общий делитель числа 441, ГГмейн, выразить дробь или смешанное число в виде десятичной дроби.

    Бесплатные документы ks2 sat, бесплатная помощь по предварительной алгебре с дробями, полиномиальный и экспоненциальный бесплатный онлайн-тест, бесплатная помощь по алгебре, факторизация, Бесплатные рабочие листы для решения основных проблем, график гиперболы, журнал 2 калькулятор ти-83.

    Anser ключи к математическим задачам glencoe, решатели задач по алгебре в колледже, рабочий лист заказа целых чисел, Бесплатные рабочие листы для печати 2-10 классы.

    Алгебра на практике, макдугал литтел глава 7, добавление научной нотации.

    шестнадцатеричный калькулятор Ti-83+, игры умножение целых чисел, формула наибольшего общего знаменателя, упрощение сложных рациональных выражений, помогите смешать числовые дроби, сухие корни, балансирующие алгебраические уравнения.

    Интеграция калькулятором замены, техасский бар excel наброски шпаргалки, бесплатный рабочий лист по сложению целых чисел, как найти линейную регрессию на графическом калькуляторе ti 84, шпаргалка по математике для нахождения совершенных степеней, как факторизовать многочлен 3-го порядка, рабочая тетрадь для ответов студентов на Tussy & gustafson’s — Elementary and Intermediate Algebra, 4-е издание.

    Шаблоны и правила математических рабочих листов с использованием переменных 6 класс, таблицы сложных процентов KS4, помощь по алгебре 2 с бесплатным онлайн-репетитором, Таблица преобразования длины окружности в диаметр, ответ на практический тест по алгебре 1 глава 4, от меньшего к большему калькулятор.

    Ks3 математика понимает выражение алгебры, java код преобразования числовой базы, как вычитать и складывать целые числа, заказ десятичной контрольной таблицы, Бумага с вопросами о способностях к аккретивному здоровью.

    Ответы на рабочем листе Макдугала Литтелла, показатели степени квадратного корня, Комбинация — математика, конвертер калькулятор из минут в десятичные дроби.

    Вычисление целых чисел и дробей в листах, решатель одновременных уравнений Matlab, TI-89 конвертер пдф, бесплатные показатели рабочего листа с дробями, пицца, математика, алгебра, Алгебра Макдугала Литтелла 1 бесплатная копия в формате PDF.

    Разделите полиномиальный решатель, решатель уравнений пятого порядка, OMRON-MY4 РАЗМЕР, как преобразовать смешанное число в дробную запись, предварительные расчеты, Решение переменной в формулах, вычисление определенных интегралов в графическом калькуляторе.

    Десятичное в смешанное число, переставить уравнение с помощью Matlab, практика географии 5 класса, решение уравнений с наименьшим общим знаменателем.

    Рациональные выражения отвечают, упростить выражения квадратного корня, алгебратор, бесплатно онлайн естествознание 8 класс, помогите с алгеброй в колледже.

    Прошлые работы 10 класса, прыгающий мяч t-i 83 вершина, под., тест на сложение, деление и умножение смешанных чисел «Практические тесты», Упрощая и оперируя подкоренными выражениями, кто изобрел трехмерную алгебру, как найти формулы для заданных значений с дробями.

    Ti 89 решить квадратично, факторизующий калькулятор квадратичных вычислений, ти 84 обучающих урока, в 4 раза больше квадратного корня из 2, рабочие листы по математике холла, Линейное уравнение Java.

    Квадратные корни и экспоненты, разница между перестановкой и комбинацией, графики конверсии бесплатные рабочие листы, алгебраическое выражение вычитания, калькулятор наименьшего общего знаменателя, Вопрос на surds o-level, печатные листы с оценками для второго класса.

    C вопросы о способностях pdf, листы вычитания действительных чисел, бесплатный калькулятор lcm и gcf, учебник по алгебре для колледжа, Т-83 онлайн.

    Онлайн факторинг, бесплатный тест на длинное деление за 7 год, Топор+Ву=С.

    Написание уравнений в стандартной форме калькулятора, Собирая подобные термины игры, найти диапазон с помощью графика, нелинейные дифференциальные уравнения+matlab.

    Расширяющие логарифмические задачи, письменные распечатки 6 класса, рабочий лист числовых баз начальной школы, рабочий лист с наивысшим общим множителем, правописание пятого класса 2 неделя 5, дифференциальное уравнение второго порядка в Matlab, экзамен по математике гр 11.

    Мой калькулятор алгебры, excel vba для перестановок и комбинаций, Учебник математики для 9 класса.

    Предварительная алгебра Холта: ключ к ответам на домашнее задание и практическую тетрадь, рабочий лист для квадратных корней кубических, уравнение с общим знаменателем.

    Анимация отклонения реальных газов, «бесплатный образец сат», смешанный обзор целое число добавить умножить, график дифференциального общего решения второго порядка, рабочие листы на вычитание 2 уровень, популярное программное обеспечение по алгебре для студентов, мэт лаб сан антонио.

    Почему мы используем алгебру для решения задач, страницы рабочей тетради, чтобы помочь с умножением, булева логика на ти-89, преобразование формул дробей, факторизатор квадратного уравнения, 8-й класс анализирует и решает задачи, связанные с уравнениями, математический лист третьего класса.

    Факторизация 2 переменных, одновременные уравнения в excel, деление кубических корней, калькулятор факторинга рациональных выражений, интерактивный тест на сложение и вычитание дробей, калькулятор погонных метров.

    рабочий лист целых чисел 7 класс, Как превратить смешанную дробь в десятичную, Математические работы 7 класса в SA 2008, программа помощи по алгебре, решатель математических задач на квадратные корни, алгебра И решение для x И рабочих листов, как сделать алгебру?.

    Легкий рабочий лист практики устранения, интерактивный порядок десятичных знаков от меньшего к большему, мне нужна копия учебника по алгебре 2 для учителя, работа 3 класса, решить обыкновенное дифференциальное уравнение в Matlab, свойство нуля квадратного уравнения расч.

    Matlab решает квадратное уравнение, сложить все числа вверх и разделить на них, программы калькуляторы casio.

    Калькулятор для преобразования десятичных дробей в дроби, разложение алгебраических выражений на практические вопросы и ответы, для переменной в показателе степени?, описать квадратный корень словами и символами, Алгебра первокурсника.

    Пример уравнений денежной математики, бесплатные алгебраические калькуляторы, решение переменных в матлабе, упростить уравнение ti-83, перестановка и комбинация, наименее распространенные товары для продажи.

    Макдугал Литтел отвечает по математике, экзаменационные работы 11 класс, калькулятор неявного дифференцирования, тесты по математике кс3.

    Факторинг чисел в java, пример запуска цикла суммирования в java, Программа умножения и упрощения радикалов ТИ-83′, лист викторины mathpower 8, завершение квадратной игры, найти максимальное или минимальное значение для уравнений.

    Решайте уравнения одновременно PowerPoint, онлайн-калькулятор степеней произведений и частных, определители 4-го порядка, область ромба, ключ ответа edhelper, параболы и лаги.

    Выразительные шрифты, множественное дифференциальное уравнение + MATLAB, Предалгебра Гленко/Макгроу-Хилла Wb 5-4 отвечает, бесплатный лист сложения и вычитания дробей, печатный лист математики по умножению целых чисел, Добавление рабочих листов целых чисел, Рабочие листы по математике для 3-го класса перед алгеброй.

    Учебный план Kumon онлайн, формула добавления дробей, склон ТИ-83, комплекс неполных фракций с ti 89, как писать экспоненциальные алгебраические выражения.

    Решения для думмитов и стоп, калькулятор с квадратным корнем, показателем степени, дробью, Онлайн-книга Техасская алгебра 1 Холт.

    Решение линейных систем с подстановочным рабочим листом, Matlab выполняет обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с использованием метода Рунге-Кутты второго порядка, Бесплатный печатный рабочий лист комбинировать подобные термины, ТИ т83 + программы, используя ti-89 для решения преобразований Лапласа, математический проект класса x по триго, тримониальный калькулятор.

    Алгебра для чайников онлайн, записать смешанное число как десятичный калькулятор, экспонента терминов упрощения выражения, начинающий алгебра.com, ответы на элементарную и промежуточную алгебру 3-е издание Марк Дугопольски.

    Алгебра 1 рабочий лист ответы, ТРИГОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ, алгебраические и графические методы решения, онлайн-калькуляторы, Полиномиальные программы длинного деления ti 83, рабочий лист графических переводов, факторизация 7 класс, Упражнение на умножение дробей.

    Самые сложные математические уравнения, добавить координатную плоскость в мою презентацию, шпаргалка по алгебре в колледже, формулы для преобразования десятичных чисел в дроби, примеры решения рационального выражения с разными знаменателями.

    Паспорт Макдугала Литтела к книге по математике 1, практическому тесту, глава 3, распределительное свойство дроби, решение дифференциального уравнения однородного частного.

    Gcf и lcm Java информатика, бесплатный учебник по алгебре для колледжа, интерактивный репетитор по алгебре парабол 2, Справочник по математике GRE, Алгебра Макдугала Литтела 2 отвечает, тригинометрия, Решение задач на умножение для 3 класса.

    Как узнать, представляет ли линейное неравенство площадь над линией?, добавлять вычитать, умножать, делить, целые листы, конвертер смешанной дроби в десятичную, повторение умножения и деления целых чисел, решать алгебраические выражения java, задачи на перестановку и комбинацию историй, квадратичная программа для калькуляторов.

    Простой рабочий лист с интересными задачами бесплатно, Калькулятор экспоненциального представления и порядка операций, листы порядка операций Y8, сравнение порядка дробей от наименьшего к наибольшему калькулятор, примеры гиперболы из реальной жизни, Математический калькулятор Casio онлайн.

    Математика 11, bbc phonix — бесплатно, год2, уроки, ответы на задачу A из рабочей тетради по физике Холта, Вычитание отрицательных целых чисел, рабочие листы уравнений неравенства, По какому правилу группировать сети куба, бесплатные факторинговые полиномиальные листы.

    Свободный наклон рабочих листов, калькулятор выражений переменных lcm, решить нелинейное дифференциальное уравнение в линейное уравнение, научи меня тригу, Прентис Холл, Флорида, онлайн-учебник по алгебре 2, подгонка данных к рабочему листу линейных уравнений.

    Как найти вершину?, Базовый алгебраический график, эмулятор ти-84+.

    В поисках ЖК, алгебра, формула наибольшего общего делителя, калькулятор факторов с переменной, ответы на навыки алгебры year7, одновременные уравнения в силовой точке, бесплатные онлайн комбинированные математические игры, Промежуточные 2 книги по математике, которые можно скачать бесплатно в формате pdf.

    Помощь в алгебре 1/процесс исключения, как построить график полярного ти-89, решатель квадратных уравнений ti84, обучение практике трансформации для yr8, практика алгебры для начинающих.

    Калькулятор квадратичного факторинга, решение ОДУ с использованием MATLAB, производных более высокого порядка, +matlab +решить +клен +медленно, glencoe алгебра 1 издание для учителей, вероятность решения на ti 89, обучение по математике в средней школе.

    Сб математических листов на диаграмме венна, применение алгебры, физика прентис холл онлайн, 19179 Blanco Rd, Сан-Антонио, Техас.

    Уравнение алгебры математической поэмы, Рабочие листы соотношения для средней школы, Бесплатный печатный пустой график наклона, Уравнения алгебры для печати бесплатно.

    книги учета затрат, тригонометрические пайки на Калькуляторе, преобразовать экспоненциальное значение в десятичное число java, Самая твердая стандартная формула класса, общие вопросы о способностях, фракционные решатели задач.

    тест на дробь 6 класс, какие задачи по преобразованию слов по математике решают для шестого класса, алгебра 2 концепция помощь, решить алгебру уравнения шутки 1 = 2, калькулятор одновременных квадратных уравнений, Квазилинейная частичная первого порядка, одновременные уравнения и физический мир.

    Квадратичный факторер, 3-й оценочный лист по математике для вероятности, триггерный тест проблем с приложением, умножить на 50 рабочий лист, Прентис Холл, математика, алгебра, тесты 1 главы, решить нелинейные одновременные уравнения в Matlab.

    Рабочий лист целых чисел, как решать алгебраические уравнения 9 класс, помогите решить задачи по алгебре.

    142 математических стихотворения, скачать бесплатно книгу логарифмов, Как преобразовать десятичные дроби в радикалы на калькуляторе TI-83.

    Калькулятор алгебраических дробей

      Учебники по алгебре!
       
     
    года.
     
    Вторник, 13 сентября
     
       
    Дом
    Вычисления с отрицательными числами
    Решение линейных уравнений
    Системы линейных уравнений
    Решение линейных уравнений графически
    Выражения алгебры
    Вычисление выражений и решение уравнений
    Правила дробей
    Факторинг квадратных трехчленов
    Умножение и деление дробей
    Деление десятичных дробей на целые числа
    Сложение и вычитание радикалов
    Вычитание дробей
    Факторинг полиномов по группировке
    Наклоны перпендикулярных линий
    Линейные уравнения
    Корни — Радикалы 1
    График линии
    Сумма корней квадратного числа
    Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки
    Факторинг трехчленов со старшим коэффициентом 1
    Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки
    Упрощение выражений с отрицательными показателями
    Решение уравнений 3
    Решение квадратных уравнений
    Графики родителей и семьи
    Сбор похожих терминов
    -й Корень
    Степень частного свойства показателей
    Сложение и вычитание дробей
    Проценты
    Решение линейных систем уравнений методом исключения
    Квадратичная формула
    Дроби и смешанные числа
    Решение рациональных уравнений
    Умножение специальных биномов
    Округление чисел
    Факторинг по группировке
    Полярная форма комплексного числа
    Решение квадратных уравнений
    Упрощение сложных дробей
    Алгебра
    Общие журналы
    Операции с числами со знаком
    Умножение дробей в общем
    Деление многочленов
    Многочлены
    Старшие степени и переменные показатели
    Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков
    Написание рационального выражения в минимальных терминах
    Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков
    Решение линейных уравнений
    Квадрат бинома
    Свойства отрицательных показателей
    Обратные функции
    дроби
    Вращение эллипса
    Умножение чисел
    Линейные уравнения
    Решение уравнений с одним логарифмическим членом
    Объединение операций
    Эллипс
    Прямые линии
    Графическое отображение неравенств с двумя переменными
    Решение тригонометрических уравнений
    Сложение и вычитание дробей
    Простые трехчлены как произведения двучленов
    Соотношения и пропорции
    Решение уравнений
    Умножение и деление дробей 2
    Рациональные числа
    Разность двух квадратов
    Разложение полиномов на множители по группам
    Решение уравнений, содержащих рациональные выражения
    Решение квадратных уравнений
    Деление и вычитание рациональных выражений
    Квадратные корни и действительные числа
    Порядок действий
    Решение нелинейных уравнений путем замены
    Формулы расстояния и средней точки
    Линейные уравнения
    Графики с использованием точек пересечения x и y
    Свойства показателей степени
    Решение квадратных уравнений
    Решение одношаговых уравнений с использованием алгебры
    Относительно простые числа
    Решение квадратного неравенства с двумя решениями
    Квадратика
    Операции над радикалами
    Факторизация разности двух квадратов
    Прямые линии
    Решение квадратных уравнений методом факторинга
    Графики логарифмических функций
    Упрощение выражений, включающих переменные
    Сложение целых чисел
    Десятичные числа
    Разложение на множители полностью общих квадратных трехчленов
    Использование шаблонов для умножения двух двучленов
    Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями
    Рациональные показатели
    Горизонтальные и вертикальные линии
       

    калькулятор алгебраических дробей
    Связанные темы:
    алгебра две формулы диаграммы | простые дроби для детей | комплекс вычислений системных уравнений | экспоненциальные выражения | написание алгебраических выражений бесплатные рабочие листы | квадратичный лист факторинга | деление квадратных уравнений | как построить точки на графическом калькуляторе для 4 наборов данных | не может решить с помощью ode45 в Matlab | алгебра 2 выражения и формулы шпаргалка рабочие листы

    Автор Сообщение
    sdokerbellir

    Зарегистрирован: 28. 02.2007
    Откуда: Оденсе, Дания

    Размещено: Четверг, 28 декабря, 13:19

    У меня проблема с математикой, которая требует срочного решения. Проблема в калькуляторе алгебраических дробей. Я искал кого-нибудь, кто мог бы меня обучать сразу же, как приближается мой экзамен. Но трудно найти кого-то достаточно быстро, кроме того, что это дорого. Может ли кто-нибудь направить меня? Это будет огромная помощь.
    Наверх
    амеич

    Зарегистрирован: 21. 03.2005
    Откуда: Прага, Чехия

    Размещено: Пятница, 29 декабря, 18:56

    Не могли бы вы указать, с какой трудностью вы столкнулись в калькуляторе алгебраических дробей? Некоторая дополнительная информация об этом может помочь определить пути их решения. Да. Конечно, может быть трудно найти тренера, когда времени мало, а стоимость высока. Но тогда вы также можете заняться программой на свой вкус, которая подходит именно вам. Таких программ несколько. Результаты можно получить на кончиках пальцев. Он также систематически разъясняет способ получения решения. Это не только дает вам правильные ответы, но и обучает вас прийти к правильному ответу.
    Наверх
    cufBlui

    Зарегистрирован: 26.07.2001
    Откуда: Шотландия

    Размещено: Суббота, 30 декабря, 10:13

    Привет, даже я использовал Algebrator, чтобы узнать больше о калькуляторе алгебраических дробей. Это был просто замечательный инструмент, который помог мне со всеми основными принципами. Я бы посоветовал вам попробовать это, прежде чем прибегать к помощи частного инструктора, что зачастую очень дорого.
    Наверх
    Эдхерваст

    Зарегистрирован: 22.05.2006
    Откуда: Бухарест, RO

    Размещено: Суббота, 30 декабря, 12:35

    Вы меня заинтересовали. Я не знал, что такое программное обеспечение существует. Так где я могу купить его? Заранее благодарю за ссылку
    Наверх
    ЗалевиЛ

    Зарегистрирован: 14.07.2002
    Откуда: плавающие в свете, никогда не забываемые

    Размещено: Суббота, 30 декабря, 19:02

    Я предлагаю попробовать Алгебратор. Он не только поможет вам решить математические задачи, но и подробно расскажет обо всех необходимых шагах, чтобы вы могли лучше понять предмет.
    Наверх
    Бет

    Зарегистрирован: 13.10.2001
    Откуда: kµlt øƒ Ø™

    Размещено: Воскресенье, 31 декабря, 14:16.

    Его можно заказать прямо здесь — https://polymathlove.com/алгебра.html. Друг сказал мне, что они даже предлагают безусловную гарантию возврата денег, так что вперед и заказать копию, я уверен, вам понравится.
    Наверх
    Авторские права © 2005-2022

    Алгебраическая фракция калькулятор

    • Экспрессия
    • Уравнение
    • L неравенство
    • Contact US
    • Dishify
    • 777 27780
      • Dishify
      • 777

        0
        • Dishify
        • 7772
        • .3773
        • Решить
        • График
        • Система
        • Решить
        • График
        • Система

        Наших пользователей:

        Я действительно боролся с уравнениями алгебры. Стыдно признаться, но дело в том, что я не силен в математике. Поэтому мне постоянно нужна помощь. Затем я наткнулся на эту программу «Алгебратор». И, клятва!! Это изменило мою жизнь. Я больше не завишу ни от кого, кроме этой маленькой программки.
        Мерв Хасс, Пенсильвания

        Я никогда не жалею о том дне, когда купил Algebrator и был поражен. Пошаговый метод решения задач отличается от любой другой программы алгебры, которую я видел.
        Барбара Фергюсон, Лос-Анджелес

        Эта версия в 1000 раз лучше предыдущей. Это проще в использовании и понимании. Я люблю это! Отличная работа!
        Боб Альберт, Калифорния

        Алгебратор был очень полезен, он помог мне вернуться в нужное русло и вернуть свои навыки к следующему учебному сезону. Программа показывает пошаговые решения, облегчающие обучение. Я думаю, что это было бы очень полезно для всех, кто только начинает изучать алгебру, или даже если они уже знают ее, это оттачивает их навыки.
        Оуэн Паттон, Юта.

        Я использовал вашу программу для подготовки к экзамену по алгебре. Мне очень нравится пошаговый процесс решения и пояснения.
        Алексис Стрэттон, Флорида


        Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?


        Поисковые фразы, использованные 31 мая 2011 г.:
        • упрощение выражений шестой класс .edhelper
        • квадратная формула дробей
        • подкоренное выражение с помощью редукционного индекса
        • онлайн-калькулятор с круговой кнопкой
        • вычисление алгебраических выражений, листы сложения и вычитания
        • множители и кратные рабочие листы
        • заметки по алгебре для девятого класса
        • апплет полиномиального факторинга
        • онлайн 8 год экзамен по математике алгебра
        • помощь в сложении и вычитании десятичных рациональных целых чисел
        • Калькулятор умножения и деления квадратных корней
        • решать алгебраические уравнения с квадратным корнем
        • бесплатных домашних задания по таблицам функций
        • одномерное волновое уравнение неоднородное
        • «Рабочий лист порядковых номеров»
        • приложения алгебры
        • печатные заметки по алгебре
        • практика алгебры в средней школе
        • Алгебра Холта 1 ответы
        • первокурсников по вербальному и невербальному английскому, вопросы и ответы
        • Увлекательные способы обучения факторингу, GCF и LCM
        • самый простой способ выучить алгебру
        • мат;лаборатория решения нелинейной системы
        • математические формулы бесплатные рабочие листы KS2
        • дроби от наименьшей до наибольшей рабочий лист
        • решение квадратного уравнения третьего порядка
        • факторинг на калькуляторе casio
        • лист сложения и вычитания одинаковых дробей для 2 класса
        • рабочие листы дерева факторов
        • 10 класс + практические вопросы по тригонометрии
        • Объясните деление квадратного корня из 5 на квадратный корень из 8.
        • делящие одночлены
        • бесплатных ответов математические задачи
        • преобразование квадратного уравнения в десятичное (двоичное)
        • онлайн-факторинг
        • помощь с домашним заданием по алгебре
        • правила квадратов чисел
        • формула триг лист средней школы
        • как преобразовать десятичное число в смешанное
        • запись уравнения графа в вершинной форме
        • калькулятор рациональных выражений
        • как сделать дроби на ти-83 плюс
        • пример математических мелочей
        • решить задачи по алгебре показать работу
        • алгебра 1а бесплатные вопросы
        • aptitude английский вопрос и ответ
        • математические формулы процентов
        • Ответы на саксонские математические онлайн-задачи
        • квадратичный метод из Индии
        • рабочие листы графических неравенств
        • aptitude вопрос и ответ
        • как извлечь квадратный корень из дроби с помощью калькулятора
        • aptitude вопрос и ответы с объяснением
        • решения дугопольского, м (2009) элементарная и промежуточная алгебра
        • решения нелинейных дифференциальных уравнений
        • триг онлайн калькулятор
        • кубический корень и 8-я степень
        • саксонская математическая алгебра II ответы
        • инструмент поиска наименьшего общего знаменателя
        • решение уравнения типа 3 рабочий лист
        • Шпаргалка по TI-83 Plus
        • как построить боковые параболы на графическом калькуляторе
        • суммы по перестановкам
        • уравнение прямых из упорядоченных пар
        • печатных промежуточных задач по алгебре
        • калькулятор онлайн для решения уравнения
        • онлайн кумон ответы
        • рабочий лист по алгебре для 7 класса для выполнения дома
        • «наибольшие общие делители»
        • решать корневые многочлены с помощью ti-83
        • примеры решения дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка
        • вступительный тест по алгебре
        • смешанное целое число сложение
        • квадратный корень из 54 умноженный на p до третьего
        • математическое уравнение женщины=зло
        • Калькулятор алгебраических операций
        • решение задач деления
        • решатели конических чисел
        • nc edition алгебра 1 ответы
        • квадратный корень из смешанных чисел
        Предыдущая Далее

        Сокращение простых и сложных дробей с помощью пошагового решения математических задач

        ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ

        Произведение двух дробей определяется следующим образом.

        Произведением двух дробей называется дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей данных дробей.

        В символах

        Любой общий множитель, встречающийся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, может быть разделен до или после умножения.

        Пример 1 Найдите произведение

        Решение

        Те же процедуры применимы к дробям, содержащим переменные.

        Пример 2 Найдите произведение числа

        Решение Сначала разделим числитель и знаменатель на общие множители, чтобы получить

        Теперь, умножая оставшиеся множители числителей и знаменателей, получаем

        Если отрицательный знак при любом из факторов целесообразно действовать так, как если бы все факторы были положительными, а затем присвоить результату соответствующий знак. Положительный знак ставится, если отрицательных знаков нет или четное число отрицательных знаков у факторов; знак минус ставится, если у факторов нечетное число знаков минус.

        Пример 3

        Когда дроби содержат алгебраические выражения, перед умножением необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители.

        Пример 4 Найдите произведение .

        Решение Сначала мы должны разложить числители и знаменатели, чтобы получить

        Теперь, разделив общие множители, мы получим

        Теперь мы умножим оставшиеся множители числителей и знаменателей, чтобы получить

        Обратите внимание, что при записи дробных ответов мы будем умножать числитель и оставлять знаменатель в разложенном виде. Очень часто дроби более полезны в этой форме.

        В алгебре мы часто переписываем выражение, например, как эквивалентное выражение. Используйте любую форму, наиболее удобную для конкретной задачи.

        Пример 5

        Распространенные ошибки: Помните, что мы можем разделить только общие факторы, но не общие термины! Например,

        , потому что x — это терм, который нельзя разделить. Точно так же

        , потому что 3 не является множителем всего числителя 3y + 2. . Это точно такое же понятие, как деление одного целого числа на другое; a ÷ b — это число q, частное, такое, что bq = a.

        Чтобы найти , ищем такое число q, что . Чтобы решить это уравнение относительно q, мы умножаем каждый член уравнения на . Таким образом,

        В приведенном выше примере мы называем число, обратное числу . В общем случае обратная дробь — это дробь. То есть мы получаем обратную дробь, «переворачивая» дробь. В общем,

        Частное двух дробей равно произведению делимого и обратной величины делителя.

        То есть, чтобы разделить одну дробь на другую, инвертируем делитель и умножаем. Символами

        Пример 1

        Как и при умножении, когда дроби в частном имеют присоединенные знаки, рекомендуется решить задачу так, как если бы все множители были положительными, а затем присвоить решению соответствующий знак.

        Пример 2

        Некоторые частные встречаются так часто, что полезно сразу распознавать эквивалентные формы. Один случай:

        В общем случае

        Пример 3

        Когда дроби в частном включают алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением. 9Пример 4 знаменатель одинаковый, а числитель равен сумме числителей исходных дробей.

        В общем,

        Пример 1

        Когда используется вычитание, перед сложением полезно перейти к стандартной форме.

        Пример 2

        Мы должны быть особенно осторожны с биномиальными числителями. Например, мы должны переписать

        , где весь числитель заключен в круглые скобки.

        СУММЫ ДРОБЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

        В разделе 6.3 мы сложили дроби с одинаковыми знаменателями. В этом разделе мы будем складывать дроби с разными знаменателями.

        НАИМЕНЬШИЙ ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

        В общем случае наименьшим общим знаменателем (НОД) набора дробей называется наименьшее натуральное число, кратное каждому из знаменателей набора дробей. Иногда мы можем получить ЖК-дисплей путем осмотра. Если ЖК-дисплей не виден сразу, мы можем использовать специальную процедуру, чтобы найти его.

        Чтобы найти ЖК-дисплей:

        1. Полностью разложите каждый знаменатель, по возможности выравнивая общие множители.
        2. Включите в LCD каждый из этих множителей наибольшее количество раз, когда он встречается в любом отдельном знаменателе.

        Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель дробей

        Решение Наименьший общий знаменатель содержит среди своих множителей множители 12, 10 и 6.

        Таким образом, LCD равно 60. (Это число равно наименьшее натуральное число, которое делится на 12, 10 и 6.)

        ЖК набора алгебраических дробей — простейшее алгебраическое выражение, кратное каждому из знаменателей набора. Таким образом, ЖК дробей

        потому что это простейшее выражение, кратное каждому из знаменателей.

        Пример 2 Найти ЛП дробей

        Решение Следуя методике примера 1, получаем

        Таким образом, ЛП равно х 2 (х + 1)(х — 1).

        Мы можем складывать дроби с разными знаменателями, сначала составив дроби до эквивалентных дробей с одинаковыми знаменателями, а затем сложив.

        Чтобы сложить дроби с разными знаменателями:

        1. Найдите на ЖК-дисплее набор дробей.
        2. Приведите каждую дробь к эквивалентной дроби, используя ЖК-дисплей в качестве знаменателя.
        3. Сложите дроби, используя свойство

        Пример 3 Запишите суммы и в виде отдельных членов.

        Решение В каждом случае LCD равно 10. Мы преобразуем каждую дробь в дробь с 10 в знаменателе. Таким образом,

        эквивалентны

        , из которых мы получаем

        Иногда дроби имеют знаменатели, которые являются биномами.

        Пример 4 Запишите сумму в виде одного слагаемого.

        Решение ЖК-дисплей равен (x + 2)(x — 1). Мы превращаем каждую дробь в дробь со знаменателем (x + 2)(x — 1), расставляя скобки по мере необходимости, и получаем

        Теперь, когда у нас одинаковые знаменатели, мы можем сложить числители, упростить и получить

        Пример 5 Запишите сумму как один член.

        Решение Сначала мы факторизуем знаменатели, чтобы получить LCD.

        Теперь мы преобразуем каждую дробь в дроби с этим знаменателем и получаем

        Теперь мы можем сложить числители, упростить и получить

        Общие ошибки Обратите внимание, что мы можем складывать дроби только с одинаковыми знаменателями. Таким образом,

        Кроме того, мы складываем только числители дробей с одинаковыми знаменателями. Таким образом,

        РАЗНОСТИ ДРОБЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

        Мы вычитаем дроби с разными знаменателями так же, как складываем такие дроби. Однако сначала запишем каждую дробь в стандартной форме. Таким образом, любая дробь в форме

        сначала записывается как

        Теперь мы можем сложить дроби.

        Пример 1 Запишите разницу в виде одного термина.

        Решение Начнем с записи в стандартной форме как . ЖК-дисплей 12x. Мы приводим каждую дробь к эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

        Теперь сложение числителей дает

        Опять же, с биномиальными числителями следует соблюдать особую осторожность.

        Пример 2 Запишите разницу в виде одного термина.

        Сначала решение должно быть записано как

        , где весь числитель заключен в круглые скобки. Затем мы получаем LCD 6 и превращаем каждую дробь в дроби со знаменателем 6, добавляем числители и упрощаем.

        В следующих примерах используются биномиальные знаменатели.

        Пример 3 Запишите разницу в виде одного термина.

        Решение Начнем с записи в стандартной форме как . LCD равно (x — l)(x + 2), и мы преобразуем каждую дробь в эквивалентную дробь с этим знаменателем, чтобы получить

        Теперь складываем числители и упрощаем выходы

        Пример 4 Запишем разницу

        в виде одного члена

        Решение Мы сначала разложим знаменатели и запишем дроби в стандартной форме, чтобы получить

        Находим LCD (x + 7)(x — 3)(x + 3) и приводим каждую дробь к эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

        Теперь складываем числители и упрощаем выход

        СЛОЖНЫЕ Дроби

        Дробь, которая содержит одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих случаях, называется сложной дробью. Например,

        — сложные дроби. Как и простые дроби, сложные дроби представляют собой частные. Например,

        В случаях, подобных уравнению (1), в котором числитель и знаменатель сложной дроби не содержат суммы или разности, мы можем просто инвертировать делитель и умножить. То есть

        В случаях, подобных уравнению (2), в котором числитель или знаменатель сложной дроби содержит суммы или разности, мы не можем просто инвертировать делитель и умножить. Однако мы можем использовать фундаментальный принцип дробей для упрощения сложных дробей. Фактически, мы также можем использовать фундаментальный принцип для упрощения сложных дробей формы (1) выше.

        Пример 1 Упростите, используя фундаментальный принцип дробей.

        Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе; в этом случае LCD равно 4. Результатом является простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби.

        Упрощение уравнения (2) на стр. 255 показано в следующем примере.

        Пример 2 Упростить

        Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе; в данном случае ЖК равно 6. Получаем

        УРАВНЕНИЯ Дробей

        Чтобы решить уравнение, содержащее дроби, обычно проще всего сначала найти эквивалентное уравнение, не содержащее дробей. Мы делаем это, умножая каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель дробей.

        Хотя мы можем применять изученные алгебраические свойства в любом порядке, следующие шаги показывают порядок, наиболее полезный для решения уравнения, когда решение не очевидно. Конечно, не всегда все шаги необходимы.

        Чтобы решить уравнение:

        1. Очистить дроби, если они есть, путем умножения каждого члена уравнения на ЖК-дисплей.
        2. Запишите любое выражение, содержащее скобки, как выражение без скобок.
        3. Объедините любые похожие термины в любой элемент.
        4. Получить все термины, содержащие переменную в одном элементе, и все термины, не содержащие переменную, в другом члене.
        5. Разделить каждый член на коэффициент переменной, если он отличен от 1.
        6. Проверьте ответ, если каждый член уравнения был умножен на выражение, содержащее переменную.

        Пример 1 Решить .

        Решение Умножим каждый член на LCD 15, чтобы получить эквивалентное уравнение, не содержащее дробей.

        Свойство равенства умножения (раздел 3.4) позволяет нам умножать каждый член уравнения на ненулевое значение, чтобы получить эквивалентное уравнение. Таким образом, для решения уравнения

        мы умножаем каждый элемент на LCD 4(x — 5). Заметим, что x не может равняться 5, так как 4(x — 5) равно 0, если x = 5. Все решение показано в следующем примере.

        Пример 2 Решить .

        Решение. Умножаем каждый элемент на LCD 4(x — 5), чтобы получить

        . x = 9

        Обратите внимание, что 4(x — 5) не равно нулю для a = 9. Таким образом, a = 9 является допустимым решением уравнения.

        Когда уравнения содержат более одной переменной, иногда желательно решить для одной переменной через другие переменные.

        Пример 3 Найдите a через a, b и c.

        Решение Мы умножаем каждый член на LDC 3xc, чтобы получить

        Теперь, разделив каждый член на 2x, мы получим

        ПРИЛОЖЕНИЯ

        Словесные задачи в следующих упражнениях приводят к уравнениям с дробями. В это время вы можете просмотреть шаги, предлагаемые для решения текстовых задач, и шаги, предложенные на странице 260, для решения уравнений, содержащих дроби.

        Пример 1 Если определенное число прибавить к числу, получится 11. Найдите число.

        Решение

        Шаги 1-2 Сначала мы записываем то, что хотим найти (число), в виде словосочетания. Затем мы представляем число в терминах переменной.
        Номер: x

        Шаг 3 Эскиз не применим.

        Шаг 4 Теперь мы можем написать уравнение. Помните, что «из» указывает на умножение.

        Шаг 5 Решение уравнения дает

        Шаг 6 Число равно 12.

        Уравнения для задач, связанных с движением, иногда включают дроби. Основная идея задач движения состоит в том, что пройденное расстояние d равно произведению скорости перемещения r и времени перемещения t. Таким образом, d = rt. Мы можем решить эту формулу для r или t, чтобы получить:

        Таблица, показанная в следующем примере, полезна при решении задач движения.

        Пример 2 Экспресс-поезд проходит 180 миль за то же время, что и товарный поезд — 120 миль. Если экспресс идет на 20 миль в час быстрее грузового, найдите скорость каждого из них.

        Шаги решения 1-2 Мы представляем две неизвестные величины, которые мы хотим найти, в виде словосочетаний. Затем мы представляем словосочетания в терминах одной переменной.

        Скорость грузового поезда: r

        Скорость экспресса: r + 20

        Шаг 3 Далее мы составляем таблицу, в которой указаны расстояния, скорости и время.

        Шаг 4 Поскольку время обоих поездов одинаковое, мы можем приравнять выражения для времени, чтобы получить

        Шаг 5 Теперь мы можем найти r, сначала умножив каждый элемент на LCD r(r + 120) и мы получаем

        Шаг 6 Скорость грузового поезда составляет 40 миль в час, а скорость экспресса — 40 + 20, или 60 миль в час.

        ОТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ

        Частное двух чисел, a ÷ b или , иногда называют отношением и читается как «отношение a к b». Это удобный способ сравнить два числа.

        Пример 1 Выразите в виде соотношения.

        а. от 3 до 5 дюймов
        б. от 8 м до 12 м
        c. От 6 до 10

        Решения

        Утверждение, что два отношения равны, например,

        называется пропорцией и читается как «2 к 3, как 4 к 6» и «a к b, как c к d». Числа a, b, c и d называются соответственно первым, вторым, третьим и четвертым членами пропорции. Первый и четвертый члены называются экстремумами пропорции, а второй и третий члены называются средними.

        Пример 2 Выразите в пропорции.

        Если каждое отношение в пропорции

        умножить на bd, то получится

        Таким образом,

        Произведение крайних значений в любой пропорции равно произведению средних.

        Пропорция — это особый тип дробного уравнения. Приведенное выше правило получения эквивалентного уравнения без знаменателей является частным случаем нашего общего подхода.

        Пример 3 Решите пропорцию .

        Решение Применяя свойство (1) выше, мы получаем

        ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

        Мы можем использовать пропорции для преобразования английских единиц измерения в метрические единицы и наоборот. Следующие базовые соотношения помогут установить соответствующие пропорции конверсий.

        1 метр (м) = 39,37 дюйма (дюйм)

        1 килограмм (кг) = 2,2 фунта (фунт)

        1 километр (км) = 0,62 мили (миля)

        1 литр (1) = 1,06 кварты (qt)

        1 фунт (lb) = 454 грамма (g)

        1 дюйм (in.) = 2,54 сантиметра (cm)

        При преобразовании единиц проще всего выполнить шесть описанных шагов.

        Пример 4 Замените 8 дюймов на сантиметры.

        Решение

        Шаги 1-2 Представьте, что нужно найти (в сантиметрах), в терминах словесной фразы и в терминах переменной.
        Сантиметров: x

        Шаг 3 Составьте таблицу, показывающую базовое соотношение между дюймами и сантиметрами.

        Шаг 4. Используя таблицу из шага 3, напишите соотношение дюймов к сантиметрам.

        Шаг 5 Найдите x, приравняв произведение средних к произведению крайних значений.

        8(2,54) = 1 · х
        20,32 = х

        Шаг 6 Восемь дюймов равняются 20,32 сантиметра.

        РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

        1. Следующие свойства используются для перезаписи произведений и частных дробей.

        2. Наименьшее натуральное число, кратное каждому из знаменателей набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (НОД) дробей. Следующие свойства используются для перезаписи сумм и разностей дробей.

        3. Дробь, которая содержит одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется сложной дробью . Мы можем упростить сложную дробь, умножив числитель и знаменатель на ЖК всех дробей в числителе и знаменателе.

        4. Мы можем решить уравнение, содержащее дроби, получив эквивалентное уравнение, решение которого очевидно при проверке. Как правило, лучше всего получить эквивалентное уравнение, свободное от дробей, путем умножения каждого члена уравнения на LCD дробей.

        5. Частное двух чисел называется отношением ; утверждение о равенстве двух отношений называется пропорцией . В пропорции

          a и d называются крайними пропорциями, а b и c называются средними . В любой пропорции этой формы

          ad = bc

        Сложение и вычитание дробей с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

        С самого начала изучения математики вы много раз сталкивались с дробями. Они встречаются в формулах и во многих повседневных практических задачах. Однако арифметические дроби состоят строго из чисел. Теперь мы изучим действия над дробями, компоненты которых являются алгебраическими выражениями.

        РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ЗНАКОВЫЕ ЧИСЛА

        ЦЕЛИ

        По завершении этого раздела вы должны уметь:

        1. Разложите числитель и знаменатель дроби на множители.
        2. Упростите алгебраические дроби.

        Алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.

        При изучении арифметики вам сказали, что дробные ответы всегда следует оставлять в сокращенной или упрощенной форме. Для дроби, до которой вы «уменьшили», разделив числитель и знаменатель на 4. Дробь нельзя уменьшить, потому что никакое число (кроме 1) не будет делить и числитель, и знаменатель. Упрощая дроби таким образом, вы использовали следующее определение.

        Дробь в представляет собой упрощенную (или сокращенную) форму , если числитель и знаменатель не содержат общего множителя (кроме 1).

        Дробь, представленная в упрощенной форме, поскольку числитель 2 и знаменатель 3 не имеют общего делителя, кроме единицы.

        Для получения упрощенной формы дроби применяется следующее правило.

        Чтобы упростить дробь полностью разложите числитель и знаменатель, а затем разделите числитель и знаменатель на все общие множители.

        Дробь , однако, не в упрощенной форме, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 2.

        Затем разделите на общие делители, давая

        9 Запомните разделенный делитель, 9 само по себе равно 1.

        Теперь разделите на общий множитель (x + 2) как в числителе, так и в знаменателе, чтобы получить

        Мы можем делить только общие множители, а не общие члены.

        В таком выражении, как у некоторых студентов, возникает соблазн разделить тройки. Обратите внимание, что это неправильное , поскольку они являются терминами , а не факторами.

        Обратите внимание, что даже если мы смогли разложить на множители числитель и знаменатель, мы все равно не можем разделить, поскольку у них нет общих множителей. Данная дробь уже в упрощенном виде.

        Тот факт, что для данной дроби может потребоваться любой из изученных вами методов факторинга, еще раз подчеркивает важность владения факторингом.

        Решение Здесь вы можете использовать «пробы и ошибки» для числителя и «группировку» для знаменателя.

        Здесь (x + 2) — общий множитель, поэтому можно разделить и числитель, и знаменатель.

        Обратите внимание, что числитель 2x + 5 можно записать как (2x 4-5) * 1. Таким образом, при делении множителя (2x + 5) остается множитель 1.

        Решение Этот тип проблемы требует особого внимания, так как это частая причина ошибки. На первый взгляд множители могут быть ошибочно приняты за общие, или дробь может быть ошибочно принята за уже упрощенную. Обратите внимание, что факторы нельзя разделить, поскольку знаки не позволяют им быть идентичными. Если, однако, минус 1 факторизуется от одного из множителей, то есть подобные множители, и деление может быть выполнено.

        Любые множители в виде a — b и b — a являются отрицательными значениями друг друга, таким образом, 2x — 3 и 3 — 2x являются отрицательными значениями друг друга.

        Все это эквивалентные формы одного и того же выражения. Предпочтительной формой будет та, в которой используется наименьшее количество письменных знаков.
        Всегда проверяйте свой ответ, чтобы убедиться, что он эквивалентен форме, указанной в разделе ответов.

        УМНОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

        ЦЕЛИ

        По завершении этого раздела вы должны уметь:

        1. Числители и знаменатели всех умножаемых дробей.
        2. Определить и разделить на все общие множители.
        3. Запишите произведение в простейшей форме.

        Алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.

        — это определение произведения двух дробей. На словах это означает «умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель». Вы использовали это правило много раз в арифметике, когда умножали дроби.

        Однако помните, что все дробные ответы должны быть в упрощенной форме. Мы могли бы следовать приведенному выше определению, а затем упростить ответ, как в предыдущем разделе. Но с алгебраическими дробями это может привести к очень сложным выражениям. Следующее правило позволяет нам упрощать по мере умножения, поэтому ответ будет в упрощенной форме.

        При умножении алгебраических дробей полностью разложите все числители и знаменатели, затем перед умножением разделите на все множители, общие для числителя и знаменателя.

        Произведение остальных множителей числителя будет числителем ответа, а произведение остальных множителей знаменателя будет знаменателем ответа.

        Опять же, помните, что общие факторы должны быть совершенно одинаковыми.

        Мы будем использовать точку * для обозначения умножения, поскольку использование X можно спутать с переменной x.

        Обратите внимание, что (x + 2) и (2 + x) одинаковы, но (x — 4) и (4 — x) являются отрицательными значениями друг друга.
        Опять же, есть много возможных форм для окончательных ответов. Приведенная здесь форма предпочтительнее, поскольку она содержит наименьшее количество знаков.

        В этой проблеме много факторов. Будь осторожен!

        ДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

        ЦЕЛИ

        По завершении этого раздела вы должны уметь:

        1. Замените задачу на деление связанной с ней задачей на умножение.
        2. Деление алгебраических дробей.

        Деление дробей определяется с помощью умножения.

        Чтобы разделить, умножить на величину, обратную делителю.

        Чтобы разделить одно алгебраическое выражение на другое инвертировать делитель и изменить операцию на умножение.

        Делитель следует за знаком. Не инвертируйте неправильную дробь.

        Если знаменатель не указан, считается, что он равен 1.

        Опять же, обратите внимание, что инвертируется только дробь после знака.

        ПОИСК НАИМЕНЬШЕГО ОБЩЕГО ЗНАМЕНАТЕЛЯ

        ЦЕЛИ

        По завершении этого раздела вы должны уметь:

        1. Полностью разложить знаменатель дроби на множители.
        2. Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.

        Правило сложения и вычитания дробей требует, чтобы объединяемые дроби имели одинаковый знаменатель. В качестве подготовки к выполнению этих операций мы теперь исследуем метод нахождения наименьшего общего знаменателя для любой группы дробей.

        Общий знаменатель лот две или более дроби представляет собой выражение, которое содержит все множители знаменателя каждой дроби. Наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество множителей, чтобы быть общим знаменателем.

        Наименьший общий знаменатель набора дробей иногда называют наименьшим общим кратным знаменателей.

        Ментальная арифметика позволит вам найти наименьший общий знаменатель для небольших чисел. Если попросить прибавить , то легко получить наименьший общий знаменатель 12. Если спросить, как мы получили 12, мы просто знаем, что 12 — это наименьшее число, которое делится и на 4, и на 6. Однако необходим более сложный метод. если числа больше или если дроби являются алгебраическими дробями.

        Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель для

        Решение Если бы у нас не было общего метода, эта задача потребовала бы значительного количества предположений или возможностей тестирования.

        Мы могли бы получить общий знаменатель этих дробей, найдя произведение
        12 х 14 х 15 х 18 = 45 360.
        Хотя это число является общим знаменателем, оно не является наименьшим общим знаменателем.

        Рассмотрим определение. Из него мы знаем, что общий знаменатель этих чисел должен содержать все множители каждого из них. Другими словами, мы ищем наименьшее число, которое делится на 12, 14, 15 и 18.
        : Сначала полностью разложите каждое число.

        Искомое число должно содержать (2)(2)(3), чтобы оно делилось на 12. Оно должно содержать (2)(7), чтобы делиться на 14, и так далее. Действуйте следующим образом:
        Запишите множители первого числа, 12.
        (2)(2)(3)
        Теперь посмотрите на множители следующего числа, 14, и убедитесь, что нам нужно (2)(7). Но так как у нас уже есть 2, нам нужен только множитель (7). Это дает
        (2)(2)(3)(7).
        Теперь это число делится и на 12, и на 14. Делители следующего числа, 15, равны (3) и (5). Поскольку у нас уже есть 3, нам нужен только множитель 5, что дает
        (2)(2)(3)(7)(5).
        Теперь это число делится на 12, 14 и 15. Делители следующего числа, 18, равны (2)(3)(3). У нас уже есть 2 и одна 3. Следовательно, нам нужно еще 3.
        (2)(2)(3)(7)(5)(3) = 1,260
        Это число, 1,260, является общим знаменателем 12, 14 , 15 и 18, потому что он содержит все множители каждого и, следовательно, делится на каждый. Это наименьший общий знаменатель, потому что он содержит только те множители, которые необходимы для того, чтобы он делился на 12, 14, 15 и 18.

        Обратите внимание, что 1260 значительно меньше, чем число, полученное простым нахождением произведения всех знаменателей.

        Предыдущее обсуждение приводит к правилу получения наименьшего общего знаменателя для любого количества дробей, будь то числа или алгебраические выражения.

        Чтобы найти наименьший общий знаменатель для двух или более дробей:
        1. Полностью разложить каждый знаменатель на множители.
        2. Запишите знаменатель первой дроби в разложенном виде как предложенный общий знаменатель.
        3. Путем проверки определить, какие факторы второго знаменателя еще не входят в предлагаемый общий знаменатель, и включить их.
        4. Повторите третий шаг для каждой фракции.

        После освоения эта пошаговая процедура значительно упростит вашу работу.

        Обратите внимание, что при нахождении наименьшего общего знаменателя мы не обращаем внимания на числитель.
        Это всего лишь знаменатель первой дроби.

        При проверке второго знаменателя нам нужен дополнительный множитель (x — 2). Наименьший общий знаменатель равен (3x — 4)(2x + l)(x — 2).

        Опять же, числители не влияют на то, каким будет наименьший общий знаменатель.
        Иногда наименьший общий знаменатель обозначается аббревиатурой LCD.

        Обратите внимание, что x 2 является множителем в знаменателе первой дроби, но не во второй дроби.

        Здесь у нас три знаменателя.

        Решение
        Первый знаменатель: 3(x + 2)
        Второй знаменатель: 2(2)(3)
        Третий знаменатель: 2(x + 3)(x + 2)
        Предлагаемый общий знаменатель: 3( x + 2)
        Изучив второй знаменатель, мы видим, что нам нужно включить множители (2) и (2). Теперь у нас есть 2(2)(3)(x + 2). Изучив третий знаменатель, мы видим, что нам нужен множитель (x + 3). Наименьший общий знаменатель равен 2(2)(3)(x + 2)(x + 3) или 12(x + 2)(x + 3).

        ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ Дроби

        ЗАДАЧИ

        По завершении этого раздела вы должны уметь:

        1. Понять фундаментальный принцип дробей.
        2. Заменить дробь эквивалентной дробью.

        При дальнейшей подготовке к сложению и вычитанию дробей мы должны иметь возможность заменить заданную дробь дробью с новым знаменателем, не изменяя значение исходной дроби.

        называется фундаментальным принципом дробей .

        Анализируя это утверждение, мы видим две эквивалентные дроби и отмечаем, что числитель и знаменатель умножаются на одно и то же ненулевое число a.

        Чтобы заменить дробь эквивалентной дробью , умножьте числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.

        Почему выражение должно быть ненулевым?

        Этот процесс можно рассматривать как процесс, обратный сокращению дробей.

        Решение Поскольку новый знаменатель находится в факторизованной форме, при проверке мы видим, что первоначальный знаменатель (2x + 3) был умножен на множитель (x — 4). Следовательно, исходный числитель (x + 1) также необходимо умножить на множитель (x — 4), что даст

        Обратите внимание, что в окончательной форме дроби мы умножили множители в числителе, но оставили знаменатель в факторизованной форме. Это предпочтительный способ написания ответа.

        Решение Поскольку исходный знаменатель (x — 3) был умножен на (2) и (x + 1), исходный числитель (2x + 1) также необходимо умножить на (2) и ( х + 1).

        Еще раз обратите внимание на форму ответа.

        СЛОЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

        ЦЕЛИ

        По завершении этого раздела вы должны уметь:

        1. Сложите дроби с одинаковыми знаменателями.
        2. Найдите наименьший общий знаменатель двух или более дробей.
        3. Применение правила сложения дробей.

        Теперь мы готовы складывать алгебраические дроби, используя методы, описанные в двух предыдущих разделах. Следует вспомнить следующее правило из арифметики.

        Сумма двух или более дробей, имеющих одинаковый знаменатель, равна сумме числителей над их общим знаменателем.

        Обратите внимание, что это правило допускает только сумму дробей с одинаковым знаменателем. Другими словами, две или более дроби могут быть сложены только в том случае, если они имеют общий знаменатель. Правило сложения любых двух или более дробей потребует навыков, полученных в двух последних разделах, в дополнение к знанию комбинирования одинаковых терминов.

        Чтобы сложить две или более дроби, выполните следующие действия:
        Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель (НОД) для всех дробей, используя метод, описанный в разделе 9-4.
        Шаг 2 Замените каждую дробь эквивалентной дробью с наименьшим общим знаменателем (раздел 9-5).
        Шаг 3 Найдите сумму числителей и поместите эту сумму на наименьший общий знаменатель.
        Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.

        Эти четыре шага следует использовать при сложении дробей.

        Не забудьте умножить числитель и знаменатель на одно и то же выражение.

        Этот ответ в сокращенной форме.

        Опять же, не забудьте умножить числитель на то же выражение, на которое вы умножили знаменатель.

        Всякий раз, когда знаменатели не имеют общих множителей, LCD является произведением знаменателей.

        Здесь только первую дробь нужно изменить по форме.

        Сумма равна

        Обратите внимание, что числитель 3x — 15 можно разложить как 3(x — 5), а множитель (x — 5) соответствует множителю в знаменателе.

        Мы можем использовать меньше письменных шагов, если заметим, что «общий знаменатель» означает, что все дроби имеют один и тот же знаменатель, а если у всех один и тот же знаменатель, то знаменатель необходимо написать только один раз. Чтобы проиллюстрировать это, мы переработаем предыдущий пример.

        Этот ярлык подходит, если вы не забываете умножать числители на необходимые коэффициенты.

        Опять же, знаменатели не имеют общих множителей, поэтому LCD является произведением всех трех знаменателей.

        ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ

        ЦЕЛИ

        По завершении этого раздела вы должны уметь:

        1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
        2. Применить правило вычитания дробей с разными знаменателями.

        Вычитание определяется в терминах сложения, поэтому метод вычитания алгебраических дробей будет таким же, как сложение алгебраических дробей, описанный в предыдущем разделе. Вы скоро поймете, почему мы представили их отдельно.

        Разность любых двух дробей, имеющих один и тот же знаменатель, равна разнице их числителей над их общим знаменателем.

        Обратите внимание, что это правило совпадает с правилом сложения двух дробей с одинаковым знаменателем.

        Таким образом, шаги для вычитания дробей такие же, как и для сложения дробей.

        Чтобы вычесть дроби:
        Шаг 1 Найдите наименьший общий знаменатель двух дробей.
        Шаг 2 Замените каждую дробь эквивалентной дробью с наименьшим общим знаменателем.
        Шаг 3 Найдите разность числителей и поместите этот результат над наименьшим общим знаменателем.
        Шаг 4 Упростите (или уменьшите) дробь, полученную на шаге 3.

        Очевидный вопрос: «Если эти две операции одинаковы, зачем изучать их по отдельности?» Ответ заключается в том, что вычитание порождает очень распространенную ошибку, которой ученик должен быть готов избежать.

        Обратите внимание, что мы вычитаем весь числитель второй дроби. Поэтому будет хорошей практикой заключать весь числитель в круглые скобки со знаком вычитания перед ним.

        Упомянутая ошибка часто возникает из-за того, что знак минус влияет на весь числитель второй дроби, а НЕ только на первый член.

        Это произойдет, если вы не используете круглые скобки.

        Стрелка указывает на ошибку, наиболее часто допускаемую при вычитании дробей. Лучший способ избежать этого — всегда использовать круглые скобки

        , и вы вряд ли не сможете правильно изменить знак.

        Обратите внимание, что мы заключили в скобки числитель второй дроби.
        Заметьте, сначала мы умножили (x — 4) (2x — 1), а затем умножили (2×2 — 9x + 4) на -l. Одновременно умножать и менять знаки значит вызывать ошибку.

        СЛОЖНЫЕ Дроби

        ЦЕЛИ

        По завершении этого раздела вы должны уметь:

        1. Распознавание сложной дроби.
        2. Упростите сложную дробь.

        Дроби определяются как указанное частное двух выражений. В этом разделе мы представим метод упрощения дробей, в которых числитель, знаменатель или оба они сами состоят из дробей. Такие дроби называются сложными фракциями .

        Таким образом, если числитель и знаменатель сложной дроби составлены из простых дробей, ее можно упростить, разделив числитель на знаменатель.

        Как правило, более эффективный метод упрощения сложной дроби включает использование фундаментального принципа дробей. Умножаем и числитель, и знаменатель на общий знаменатель всех отдельных дробей сложной дроби.

        Вспомним, что фундаментальный принцип дробей гласит

        Мы будем использовать фундаментальный принцип, чтобы еще раз упростить

        LCD 3 и 4 равно 12. Таким образом,

        Отдельные дроби:

        Этот ответ можно записать в виде смешанного числа

        Нужен ЖКИ отдельных дробей, y не дробь.

        УРАВНЕНИЯ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ

        ЗАДАЧИ

        По завершении этого раздела вы сможете:

        1. Применить метод решения дробных уравнений.
        2. Определите, когда дробное уравнение не имеет решения.

        В главе 2 мы столкнулись с уравнениями, в которых есть дроби. Однако все эти дроби имели числовые знаменатели. Теперь обсудим уравнения, в знаменателях которых есть дроби с переменными.

        Метод решения этих уравнений будет таким же, как и в главе 2, но есть некоторые дополнительные предостережения, к которым вы должны быть готовы.

        Вы можете вернуться к некоторым примерам в главе 3, чтобы освежить свою память.

        Чтобы освежить вашу память, здесь повторяются шаги решения таких уравнений.
        Во-первых: исключить дроби путем умножения каждого члена уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
        Второй: упростите, объединив одинаковые члены с каждой стороны уравнения.
        Третье: Сложите или вычтите необходимые количества, чтобы получить неизвестное количество с одной стороны и числа арифметики с другой.
        Четвертый: Разделить на коэффициент неизвестной величины.
        Пятое: проверьте свой ответ.

        Основное отличие решения уравнений с арифметическими дробями от уравнений с алгебраическими дробями заключается в проверке. Процесс проверки будет заключаться не только в том, чтобы найти возможную ошибку, но и в том, чтобы определить, есть ли у уравнения ответ.

        Последняя возможность возникает потому, что алгебраические дроби умножаются на неизвестную величину. Эта неизвестная величина может быть на самом деле равна нулю, что сделает всю работу недействительной.

        Помните, мы можем умножать каждую часть уравнения только на ненулевую величину.

        Это означает, что ни (x — 1), ни (x + 1) не могут быть равны нулю.
        Если x = 1, то множитель (x — 1) равен нулю и у нас проблемы!

        Поскольку деление на ноль невозможно, мы должны заключить, что x = 1 не является решением. А так как мы не ошиблись в вычислениях, то должны заключить, что это уравнение не имеет решения.
        Правильный ответ: «нет решения».

        Проверка необходима в алгебраических уравнениях. В противном случае вы могли бы проделать большую работу — не ошибитесь — и все равно упустить проблемы.
        Другими словами, x = 1 не является решением, поскольку дает утверждение, не имеющее смысла.

        Помните, что проверка является чрезвычайно важным шагом, так как она определит, есть решение или нет.

        Обратите внимание, что в этих примерах, когда у нас есть члены x 2 , они сокращаются, и мы остаемся с линейным уравнением. Если бы они не сокращались, в уравнении было бы член x 2 . Уравнение этого типа (квадратное) будет рассмотрено в главе 11.

        Таким образом, x = -5 является решением.

        Следовательно, 11 — это сумма, на которую был увеличен числитель.

        РЕЗЮМЕ

        Ключевые слова

        • алгебраическая дробь — это указанное отношение двух алгебраических выражений.
        • Дробь представляет собой упрощенную форму числа , если числитель и знаменатель не имеют общего делителя, отличного от 1.
        • Общий знаменатель для двух или более дробей — это выражение, содержащее все множители знаменателей каждой дроби.
        • наименьший общий знаменатель содержит минимальное количество множителей, чтобы быть общим знаменателем.
        • Фундаментальный принцип дробей есть
        • Сложные дроби — это дроби, в которых числитель или знаменатель (или оба) содержат дробь.

        Процедуры

        • Для упрощения или приведения дробей к наименьшему члену необходимо разложить числитель и знаменатель и разделить на все одинаковые множители.
        • Чтобы умножить дроби, умножьте все числители и знаменатели на множители и разделите на все одинаковые множители перед умножением.
        • Чтобы разделить на дробь, переверните делитель, а затем умножьте.
        • Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НКО), сначала факторизуйте все знаменатели, а затем найдите знаменатель, который содержит все множители каждого знаменателя, но не содержит ненужных множителей.
        • Чтобы преобразовать дробь в эквивалентную дробь, умножьте числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение.
        • Чтобы сложить дроби, выполните следующие действия:
          1. Найдите наименьший общий знаменатель.
          2. Замените каждую дробь эквивалентной дробью, в знаменателе которой будет ЖК-дисплей.
          3. Добавьте числители и поместите над ЖК-дисплеем.
          4. Упростите или сократите ответ.
        • Чтобы вычесть дроби, действуйте так же, как сложение, но объединяйте числители путем вычитания.
        • Сложные дроби можно упростить, умножив числитель и знаменатель сложной дроби на ЖКД всех дробей в выражении.
        • Чтобы решить уравнения, содержащие дроби, сначала исключите все дроби, умножив все уравнение на LCD участвующих дробей. Полученное уравнение затем решается, и решение должно быть проверено в исходном уравнении.

        Калькулятор буквенной алгебры

        УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ:

        • Expression
        • Equation
        • Inequality
        • Contact us
        • Simplify
        • Factor
        • Expand
        • GCF
        • LCM
        • Solve
        • Graph
        • System
        • Решение
        • График
        • Система
        • Математический решатель на вашем сайте

        Наших пользователей:

        Отличное программное обеспечение, объясняет не только, какое правило использовать, но и как его использовать.
        Том Сэнди, NE

        Я только что получил ваше обновление, я так счастлив, что связался с вами, это было лучше всего для меня и моего обучения. Мне нравится ваша программа, спасибо!
        Дэвид Агилар, Калифорния

        Большое спасибо за Вашу помощь. Это отличное программное обеспечение, и я благодарю вас.
        Монтгомери Гросс, Вирджиния


        Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?


        Поисковые фразы, использованные 05.08.2011:
        • Matlab решает одновременные уравнения
        • как найти домен и диапазон на графике функции
        • Бесплатные математические листы по последовательностям
        • как решить оды второго порядка Matlab Heuns
        • Рабочая тетрадь Prentice Hall Algebra 1
        • бесплатный графический калькулятор с логарифмической базой
        • Программа наибольшего общего делителя
        • для c
        • Алгебра 5 класс
        • ответ на викторину по математике ключ решение простых неравенств
        • paul foerster алгебра тригонометрический решатель
        • бесплатных рабочих листа с абсолютными значениями
        • промежуточная алгебра с использованием TI 89
        • формулы геометрии gre скачать бесплатно
        • бесплатных рабочих листа по алгебре для 9-го класса
        • TI-83+ 3 корня
        • упростить показатель степени дроби
        • Графический лист для 3 класса бесплатно онлайн
        • сложение вычитание умножение деление степени
        • Многоэтапный рабочий лист алгебраических уравнений
        • удвоитель напряжения filetype. ppt
        • Программное обеспечение для алгебры Glencoe
        • Порядок действий 5 класс
        • casio fx 2.0 функция репетитора для читерства
        • учебники по учету затрат
        • как найти квадратный корень из дробей
        • вычисление корней функции второго порядка
        • математика + учебник + факторинг 3 степень
        • Рабочие листы скорости изменения наклона
        • .объясните все шаги простой математической блок-схемы
        • сложение и вычитание отрицательных положительных дробей
        • распечатать стандартный тест по математике для шестого класса
        • Преобразование дробей в десятичные числа
        • комбинации и упражнения на перестановки
        • Онлайн калькулятор доли неравенства
        • одношаговые уравнения с рациональными числами
        • рабочих листа для переменных в выражениях
        • Умножение и деление одночлена (рациональное выражение)
        • решить бином
        • лист сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел
        • Рабочий лист с наибольшим общим делителем
        • Индийская формула квадратного выражения
        • уравнение комбинации перестановок
        • сложение, вычитание, умножение, деление положительных и отрицательных чисел
        • алгебра для начинающих для чайников
        • факторизация трехчленов в кубе
        • решение неоднородных уравнений второй разности
        • Концептуальная физика, 10-е издание, «Ключ ответов»
        • математическая деятельность по объединению одинаковых терминов
        • Рабочие листы по алгебре для 8-го класса
        • Преобразование вершины в стандартную форму
        • упражнения на деление многочленов
        • Учебник «study links» для третьего класса для печати
        • Дифференциал Лапласа первого порядка
        • Книга Макдугала Глава 38
        • онлайн калькулятор с плюсами и минусами
        • помощь по уравнениям квадратного корня
        • Графический онлайн-калькулятор Polar
        • Современная алгебра .

          Произвольный четырехугольник выпуклый: Выпуклый четырехугольник

          \circ=(\angle DAC+\angle D+\angle ACD) + (\angle CAB+\angle B+\angle ACB)=\\ =\angle D+\angle B +(\angle DAC+\angle CAB)+(\angle ACD+\angle ACB)=\angle D+\angle B+\angle A+\angle C \end{multline*}\]

          Теорема Вариньона

          Выпуклый четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом.

           

          Доказательство*
          С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Средняя линия треугольника”.


           

          Проведем диагонали четырехугольника \(ABCD\). Рассмотрим \(\triangle ABC\): \(MN\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(MN\parallel AC\).

           

          Рассмотрим \(\triangle ADC\): \(PK\) – средняя линия этого треугольника, следовательно, \(PK\parallel AC\).

           

          Таким образом, \(MN\parallel AC\parallel PK\).

           

          Аналогичным образом доказывается, что \(MP\parallel BD\parallel NK\).2\)

           

          Замечание

          Все известные четырехугольники, изучаемые в школьной программе, подчиняются следующей схеме:


           

          Таким образом, любой четырехугольник из этой схемы обладает свойствами всех предыдущих четырехугольников, из которых он следует.

           

          Например, прямоугольник обладает свойствами параллелограмма и произвольного выпуклого четырехугольника; квадрат обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, выпуклого четырехугольника.

          Четырёхугольники, виды и свойства / math5school.ru

          Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

          Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

          Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

          ∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

          Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

          Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

          ∠A < ∠B+∠C+∠D,   ∠B < ∠A+∠C+∠D,

          ∠C < ∠A+∠B+∠D,   ∠D < ∠A+∠B+∠D.

          Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

          a < b+c+d,   b < a+c+d,

          c < a+b+d,   d < a+b+c.

          Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

          Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

          Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

          Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

          Если M, N, P, Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а  R, S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ, MRPS, NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

          Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD. Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны;  MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны;  MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

          SABCD = 2SMNPQ .

          Отрезки  MP, NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

          В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

          Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

          MG=GP,   NG=GQ,   RG=GS .

          Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

          MP2+ NQ2+ RS = ¼(AB2+BC2+CD2+AD2+AC2+BD2).

          Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

          SABCD = MP·NQ·sinβ.

           

          Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости. 

          Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

          Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

          a+c = b+d.

          Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

          a+c ≥ 4r,   b+d ≥ 4r.

          Площадь описанного четырёхугольника:

          = pr,

          где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

          Площадь описанного четырёхугольника:

          Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

          Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

          AK=AN,   BK=BL,   CL=CM,   DM=DN.

          Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

          ∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD=180°.

          Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB=a, BC=b, CD=c и AD=d верны соотношения:

          Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

          Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

          ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

          Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

          Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

          Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

          Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

          Площадь вписанного четырёхугольника:

           

          Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

          Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

          У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

          Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

          Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

          Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

          AB||CD,   BC||AD.

          У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

          AB=CD,   BC=AD;

          ∠A=∠C,   ∠B=∠D.

          Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

          ∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°.

          Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

          AO=OC;   BO=OD.

          Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

          ∠ABC=∠CDA;   ∠ABD=∠CDB.

          Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

          SΔABO=SΔBCO=SΔCDO=SΔADO.

          Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

          e2+f= a2+b2+a2+b= 2(a2+b2). 

          Признаки параллелограмма:

          • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
          • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
          • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
          • Если  у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

          Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

          h= b·sin γ;   h= a·sin γ.

          Площадь параллелограмма можно определить:

          • через его сторону и высоту, проведённую к ней:

          S = ahbhb;

          • через две его стороны и угол между ними:

          S = ab·sin γ.

          Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

          AB=BC=CD=AD.

          Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

          AC⊥BD;

          ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB;   ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.

          В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

          Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

          • через высоту ромба:

          • через диагонали ромба и сторону:

          • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

          Площадь ромба можно определить:

          • через диагонали:

          • через сторону и угол ромба:

          • через сторону и высоту:

          • через сторону и радиус вписанной окружности:

           

          Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

          ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

          Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

          AC=BD;

          AO=BO=CO=DO.

          Площадь прямоугольника можно определить:

          • через его стороны:

          ab;

          • через диагонали и угол между ними:

          = ½d²·sin γ.

           

          Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

          BD = 2R.

           

          Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

          ∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

          AB=BC=CD=AD.

          Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

          Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

          Площадь квадрата:

          У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

          Радиус описанной окружности:

          Радиус вписанной окружности:

          Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

          AD||BC.

          Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

          Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.  

          Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

          AK=KB;   CL=LD.

          Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

          KL||AD;   KL||BC;

          KL = ½(AD+BC).

          При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

          ΔAED∼ΔBEC,   k=AD/BC.

          Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

          ΔAОD∼ΔCОВ,   k=AD/BC.

          Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

          SΔABO = SΔCDO.

          Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

          O∈KL;   E∈KL.

          Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

          RS||AD;   RS||BC;

          RS = ½(AD–BC).

          В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

          AD+BC=AB+CD.

          Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

          В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

          Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

          ∠AOB=∠COD=90°.

          Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

          • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

          Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

          AB=CD. 

          У равнобокой трапеции:

          • диагонали равны:

          AC=BD;

          • углы при основании равны:

          ∠A=∠D,   ∠B=∠C;

          • сумма противолежащих углов равна 180?:

          ∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

          Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

          Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

          d² = ab+c².

           

          Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

          Площадь трапеции можно определить:

          • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

          • через диагонали и угол между ними:

           

                                   

          Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

          Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

          Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

          В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

          Площадь любого дельтоида можно определить:

          • через его диагонали:

          • через две соседние неравные стороны и угол между ними:

          ab·sin α .

          В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

          Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

          Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.   

           

          Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

          Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

           

          Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

          Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

          • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d²;
          • для площади четырёхугольника верно: = ½ef;
          • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.

           

           

          Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

          a²+c² = b²+d² = 4.

          Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

          ac bd.

          Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О, то верны соотношения:

          Что такое выпуклый четырехугольник и как определить сумму его углов


          Если на плоскости имеются четыре точки, из которых никакие три не принадлежит одной прямой, то их можно попарно соединить отрезками. В результате получится фигура с четырьмя углами, содержащая две диагонали, при пересечении которых получится выпуклый четырехугольник.

          Виды

          Существует несколько видов фигур с четырьмя углами, но не все они являются выпуклыми. Слева рисунок отображает выпуклый четырехугольник, все его внутренние точки находятся в одной полуплоскости относительно прямой l, на которой лежит сторона AD. Для среднего данное условие выполняется, но его нельзя считать выпуклым, потому что его стороны пересекаются. Такие четырехугольники называются самопересекающимися. Правый тоже не является выпуклым, так как две его точки B и C лежат в разных полуплоскостях относительно разбиения прямой l.

          На основании вышесказанного дадим определение. Выпуклым четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые последовательно их соединяют. Главное условие: никакие три точки не должны одновременно лежать на одной прямой, а соединяющие отрезки пересекаться.

          Виды выпуклых четырехугольников:

          • прямоугольник;
          • параллелограмм;
          • трапеция;
          • ромб;
          • квадрат.

          Перечисленные отношения между множествами фигур упрощают доказательства теорем (предложений, выражающих свойства). Например, если теорема доказана для параллелограмма (будет ли параллелограмм выпуклым? и т.д.), то она будет верна и для любого соответствующего подмножества фигур. Если же доказана более общая теорема для выпуклого четырехугольника, то она будет верна и для параллелограмма, и для трапеции.

          Свойства

          Главные признаки:

          • сумма углов — 360 градусов;
          • диагонали могут пересекаться в одной точке.

          Если сумма углов равна 360, это следствие более общего случая – четырехугольника, не имеющего пересекающихся отрезков. Но для выпуклого обычно проводят отдельное и очень простое доказательство. Если внутри выпуклого четырехугольника провести диагональ, то она разобьет его на два треугольника. Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180. Сложив все получившиеся углы, получаем величину 360.

          Если взять средние точки всех сторон произвольного выпуклого четырехугольника и построить на них новый, то он окажется параллелограммом (Теорема Вариньона).

          Доказательство на следующем фото. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет на каждой из сторон точку, делящую эту сторону пополам. Рассмотрим отрезок FG. Это средняя линия треугольника DAB, параллельная диагонали DB. Это следует из подобия треугольников DAB и FAG.

          Аналогично проводятся рассуждения для треугольников DBC и EHC. Из чего следует параллельность DB и EH. Поскольку отрезки FG и EH параллельны диагонали DB, то и сами параллельны.

          Аналогично доказывается, что отрезки FE и GH параллельны. Так как противолежащие стороны EFGH попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

          Обратите внимание! Теорема Вариньона справедлива для всех четырехугольников, невыпуклых и самопересекающихся. Если взять середины диагоналей, то можно построить еще два параллелограмма. Центры всех трех параллелограммов окажутся на одной прямой.

          Если выпуклый четырёхугольник имеет свойство взаимной перпендикулярности своих диагоналей, то суммы квадратов его противоположных сторон у него равны. Это доказывается при помощи теоремы Пифагора, как показано на следующем чертеже:

          Квадрат каждой из сторон выражается через сумму квадратов отрезков диагоналей, ограниченных вершинами и точкой пересечения. Для удобства мы обозначаем их малыми буквами латинского алфавита, совпадающими с названием вершин. Затем выписываем выражения для сумм квадратов противолежащих сторон:

          В правой части каждого из выражений стоит одна и та же сумма слагаемых. Следовательно, равны и правые части между собой, что доказывает теорема.

          Вписанные и описанные

          Часто требуется проверить, не лежат ли вершины четырехугольника на окружности, или существует ли окружность, вписанная в 4-угольник. Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной – на пересечении биссектрис внутренних углов.

          Если сумма противоположных углов составляет 180, то рядом с ними можно описать окружность, другими словами, существует окружность, на которой лежат все вершины четырехугольника. Его называют вписанным (подразумевается, что в окружность). Верно и обратное утверждение, то есть выраженное в теореме условие необходимое и достаточное.

          Расчет площади

          Площадь, которую имеет любой выпуклый четырёхугольник, равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Докажем это правило.


          Здесь опять поможет теорема Вариньона (мы имеем “большой” параллелограмм, о котором сразу не было сказано). Проведем прямые, параллельные диагоналям, через вершины A, B, C, D исходного прямоугольника. Мы получим параллелограмм EFGH. Его площадь равна сумме площадей параллелограммов AFBO, BGCO, CHDO, DEAO. Но каждый из перечисленных делится своей диагональю на пару треугольников с равными площадями. С другой стороны, в силу параллельности диагоналей ADCD сторонам внешнего параллелограмма, мы можем применить формулу площади:

          Полезное видео

          Подведем итоги

          Фигуру, состоящую из четырех углов, можно часто увидеть в обычной жизни, такую форму обычно имеют земельные участки, здания, параллелограммы служат для построения векторных базисов на плоскости. Не случайно 4-угольники хорошо изучены и установлено большое число свойств, связанных с ними.

          Вконтакте

          Одноклассники

          Facebook

          Мой мир

          Twitter

          Четырехугольник


          Определение четырехугольника

          Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

          Четырехугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, последовательно соединенная отрезками.

          Свойства четырехугольников

          Четырехугольник может быть:
          • Самопересекающимся
          • Невыпуклым
          • Выпуклым

          Самопересекающийся четырехугольник — это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).
          Невыпуклый четырехугольник — это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен красным цветом)

          Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

          Особые виды четырехугольников


          Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

          Подробнее о каждом из особых видов четырехугольника можно узнать, перейдя по ссылкам выше.
          Как видно из рисунка, особые виды четырехугольников наследуют свойства своих «предков». Например, прямоугольник  (на рисунке показан темно-синим цветом) является особым случаем параллелограмма (на рисунке показан голубым цветом). Таким образом, у него сохраняются все его свойства и добавляются свои, особенные. Поэтому при решении задач про прямоугольники можно применять все свойства и теоремы параллелограмма.
          Квадрат  (на рисунке показан оранжевым цветом) — частный случай прямоугольника. То есть квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника, а также и свои, особенные. Но, самое интересное, квадрат также является частным случаем ромба (на рисунке показан красным цветом), то есть, кроме указанных (параллелограмм, прямоугольник), он обладает еще и всеми свойствами ромба.

          Также, интересными особыми случаями четырехугольника являются трапеция и дельтоид.


          Четырехугольник и окружность


          Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

          Главное свойство описанного четырехугольника:

          Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

          Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

          Главное свойство вписанного четырехугольника:

          Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

          Свойства длин сторон четырехугольника


          Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

          |a -b| ≤ c + d

          |a -c| ≤ b + d

          |a -d| ≤ b + c

          |b -c| ≤ a + d

          |b -d| ≤ a + b

          |c -d| ≤ a + b

          Важно.  Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

          В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

          a ≤ b + c + d

          b ≤ a + c + d

          c ≤ a + b + d

          d ≤ a + b + c

          Важно. При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является «вырожденным», то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.


          Соотношение сторон и диагоналей может быть выражено формулой


          Неравенство Птолемея


          Произведение длин диагоналей четырехугольника меньше или равно сумме произведений противоположных сторон четырехугольника.

          Теорема Гаусса

          Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения диагоналей и точку пересечения этих двух пар противоположных сторон.

          Соотношение Бретшнайдера


          Произведение квадратов диагоналей произвольного несамопересекающегося четырехугольника равно сумме произведений квадратов его противоположных сторон минус удвоенное произведение всех его сторон, которое умножено на косинус суммы двух противоположных углов.


          Формула Эйлера


          Квадрат двойного расстояния между серединами диагоналей произвольного несамопересекающегося четырехугольника равен сумме квадратов его сторон минус сумма квадратов его диагоналей

          Средние линии четырехугольника


          У каждого четырехугольника есть три средние линии.

          Средними линиями несамопересекающегося четырехугольника называются отрезки, соединяющие середины его противолежащих сторон (первая и вторая) и отрезок, соединяющий середины его диагоналей.
          На рисунке средние линии четырехугольника отмечены пунктирными линиями.

          Центроид четырехугольника

          Центроидом четырехугольника называется точка пересечения всех его средних линий.

          Обобщенная теорема Ньютона

          Средние линии несамопересекающегося четырехугольника, образуемые серединами противолежащих сторон (первая и вторая средняя линия) и отрезком, соединяющим середины диагоналей (третья средняя линия) пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

          Прямая, проходящая через середины диагоналей четырехугольника и его центроид также называется прямой Ньютона.
          (см. рисунок выше)

          Теорема Вариньона


          Четырёхугольники, которые образуются отрезками, соединяющими середины противолежащих сторон (GIHJ), а также середины диагоналей четырехугольника и середины противолежащих сторон (EHFG, JEIF) являются параллелограммами.

          Эти параллелограммы называются параллелограммами Вариньона.

          Четырехугольник, образованный серединами противолежащих сторон (на рисунке обозначен пунктирной линией GIHJ) называется большим параллелограммом Вариньона.

          • Центры всех трёх параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
          • Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
          • Площадь большого параллелограмма Вариньона  равна половине площади исходного четырёхугольника
          • Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними
          • Сумма квадратов трёх средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей
          Содержание главы:
           Вписанная в треугольник окружность | Описание курса | Существование четырехугольника 

             

          Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)

          Доказательство 2

          Пусть оказалось так, что у четырехугольника \( \displaystyle ABCD\) сумма каких – то двух противоположных углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \).\circ\quad \Rightarrow \) должно выполняться \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \), но \( \displaystyle \angle \beta \) – внешний угол для \( \displaystyle \Delta DEC\) и значит, \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma +\angle \delta \).

          То есть опять никак не может быть так, что \( \displaystyle \angle \beta =\angle \gamma \).

          То есть точка \( \displaystyle D\) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

          Доказали всю-всю теорему!

          Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

          Что означает произвольный четырехугольник. Произвольный четырехугольник

          Cтраница 2

          Доказать, что в произвольном четырехугольнике отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходит через точку пересечения средних линий и делится в этой точке пополам.  

          Для определения центра тяжести площади произвольного четырехугольника поступают следующим образом. Разбивают данный четырехугольник ABCD (фиг. ABD и DBC диагональю DB и отыскивают их центры тяжести по известным правилам. Значит, общий центр тяжести должен лежать одновременно на линиях О О и OWOIV; следовательно, он лежит в точке их пересечения О.  

          Это не рассматривается автором как ограничение аналитических определений смысла, поскольку они были разработаны в других контекстах, помимо математики или дидактики математики. Они понимаются скорее как приближение к понятию смысла, которое предполагается здесь. На самом деле будет следовать идея косвенной связи между символом и объектом и его взаимосвязь через концепции.

          Мы скорее согласны с оперативным или прагматичным характером в определениях смысла, особенно с идеями Витгенштейна в его синих и коричневых Ноутбуках и в Философских исследованиях. Что мы представляем в качестве аргумента для этого? Мы отвечаем на вопрос: студентам и преподавателям хорошо известно, что математическое знание может быть организовано путем представления его структурного представления, представляя определения для математических объектов и предложений, которые имеют к ним отношение; опять же, при необходимости, вводятся новые определения и новые предложения; но если математический объект задан его определением, является ли значение, данное определением?

          Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  

          Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  

          Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника ABCD являются вершинами параллелограмма.  

          Известно, что если в произвольном четырехугольнике соединить последовательно середины сторон отрезками прямых, то получится параллелограмм, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника.  

          Принятая здесь позиция заключается в том, что это значение не зависит только от определения. Если определение математического объекта связывает «его значение», тогда необходимо только читать или слышать его, чтобы «получить» его значение. Неважно, не было ли это раньше, не важно манипулировать объектом, указанным в определении, и не использовать его. Утверждение Сэмпа, с нашей точки зрения, контрастирует с идеей смысла, опосредованной или даваемой использованием. С другой стороны, объекты, которые назывались «ассоциированными», также имеют смысл в классе.

          Воспользуйтесь тем, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  

          Специализация проявляется также в понижении размерности: ведь произвольный четырехугольник, вообще говоря, имеет размерность 3, в то время как параллелограмм самое большее двумерен.  

          Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон.  

          В них сильно влияют учитель и учебники. Студент приобретает представление о том, что значит «очистить», например, термины, используемые учителем для описания этого процесса, использование его учителем и, в основном, его использование учеником. Эти идеи — это те, которые позволяют охарактеризовать смысл следующим образом.

          Как мы видели, эта идея смысла не полностью противоречит аналитическим определениям, поскольку объяснение объекта может вызывать или выражать понятие данного объекта. Это заслуживает другого комментария: можно утверждать, что использование объекта подразумевается в понятии объекта, но это не так, особенно с математическими объектами. Объясняя, например, идею ограничения функции не означает, что ее можно успешно использовать этим человеком для вычисления предела определенных функций или определить, существует ли их предел при определенных условиях.

          Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.  

          Если вы раньше эту задачу (о последовательном соединении середин сторон произвольного четырехугольника) не решали, то легко сейчас доказать, что полученная фигура есть параллелограмм. Для этого проведем (мысленно) диагональ А А, она разбивает четырехугольник на два треугольника. Точно так же В С есть средняя линия & AiA2A4, и поэтому В С параллельна той же диагонали и равна ее половине. Следовательно, противоположные стороны 62 3 и Bi С рассматриваемого четырехугольника параллельны и равны. Поэтому четырехугольник В В % ВъС есть параллелограмм.  

          Мы не находим противоречий между этой идеей смысла и настоящего в работе Алсона. Элементы теории значимости в дидактике математики: «любое слово вызывает его смысл». Когда слово захватывается, смысл его обычно не строится в процессе, в котором индивид осознает точку восприятия своих разных шагов. Не зная, как ему удается связать слово с соответствующим смыслом.

          Как подойти к проблеме смысла из дидактики математики? Годино и Батанеро учитывают то, что они называют субъективным измерением смысла, и различают институциональный и личный смысл математических объектов. Правильный смысл объекта определяет его как пересечение двух систем практики; дополнение этого пересечения в системе практик человека считается составленным «ошибочными» практиками с точки зрения учреждения. Алсон, как видно, действительно использует термин «правильный смысл», хотя он его не описывает.

          Доказать, что площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям произвольного четырехугольника, равна удвоенной площади этого четырехугольника.  

          Определить вид четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон данного: 1) произвольного четырехугольника; 2) параллелограмма; 3) прямоугольника; ромба 5) двадрата 6) траиеции.  

          Затем мы видим определенную связь между этим понятием и теми, которые придуманы Годино и Батанеро. Соответствующее значение будет соответствовать тому, которое соответствует как построенной учеником, так и принятой конвенцией в классе, например, или сообществом учителей математики, среди прочих.

          Ортон говорит, что «целью обучения является передача смысла ученикам». Мы также находим связь между «смыслом», к которому относится Ортон, и понятиями «правильного значения» и «знания или понимания объекта» Алсона, а также Годино и Батанеро соответственно.

          Так как параллелограмм — это четырехугольник со специальными свойствами, то он обладает всеми свойствами произвольного четырехугольника.  

          Площадь выпуклого четырехугольника определяется по формуле , где и — диагонали четырехугольника, — угол между диагоналями.

          Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин противоположных сторон были равны друг другу.

          В этом разделе мы подчеркиваем производственные ситуации, которые Алсон типично иллюстрирует некоторые из их последствий для действий ученика и построения значений. Давайте посмотрим на некоторые примеры; все они связаны с геометрическими темами 7-го класса.

          Для каждой ситуации мы описываем некоторые аспекты контекста, в котором они встречаются, и связанная с ними стрелка знания. Эта характеристика ситуаций производства в классе позволяет, например, видеть типы ситуаций, с которыми сталкиваются студенты на определенном образовательном уровне. Тип ситуаций, с которыми сталкиваются студенты, имеет особый акцент на построении значений в классе для математических объектов и связанных с математической деятельностью.

          Для того чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны .

          Параллелограмм

          Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. У параллелограмма равны противолежащие стороны и углы. Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам.

          То есть объекты, такие как «аргумент», «доказательство», «подставить» и т.д. Как сказано ранее, построены по производственным ситуациям. Этот раздел посвящен представлению и анализу некоторых результатов о значении, приписываемом группой учащихся базового образования 7-го класса, геометрическим объектам: точка, линия, сегмент, круг, треугольник и четырехугольник. Метод, который руководил исследованием, — это тематическое исследование, относящееся к группе. Описание и анализ составляют основу для иллюстрации теоретических предположений, которые обсуждались в предыдущих разделах.

          Точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром симметрии параллелограмма.

          Около параллелограмма можно описать окружность в том и только в том случае, если он является прямоугольником.

          В параллелограмм можно вписать окружность в том и только в том случае, если он является ромбом.

          Пусть , — длины смежных сторон параллелограмма, — величина угла между этими сторонами, — высота, опущенная на сторону , и — дины диагоналей. Справедливы следующие соотношения.

          Мы видим важность исследования в отчете о разнообразии значений, которые создают студенты, в теоретическом разграничении между математическими объектами и объектами, связанными с математической деятельностью в классе, а также в характеристике значения в образовании математика. Некоторые характеристики курса, учащиеся и математический контент, а также сбор данных описаны в следующем разделе.

          Собранные данные также представлены, и этот раздел заканчивается анализом результатов. Всего было 73 студента; 38 девочек и 35 мальчиков. Только восемь учеников повторили учебный год. Программа 7-го класса предусматривает изучение геометрических идей, таких как сегмент, спрямление, угол, мера углов; элементы окружности; соотношение между длинами окружности и диаметром; плоские фигуры и их элементы и свойства; геометрические тела, а также изучение представлений о площади и объеме. Во время сбора данных эти ученики не начали тему геометрии.

          ,

          ,

          Прямоугольник

          Если один из углов параллелограмма – прямой, то и все остальные углы – прямые. Такой параллелограмм называется прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны. Площадь прямоугольника определяется по формуле .

          Фактически, первые цели курса относятся к операциям и свойствам с натуральными числами, целыми числами и рациональными. На первом и втором этапах базового образования студенты начинают изучать геометрические идеи. Во-первых, студентов попросили сообщить в письменной форме идею, которую они имели о уже упомянутых геометрических объектах. Для этого письменного отчета было поручено: «Напишите то, что вы думаете, это точка, линия, сегмент, круг, треугольник и четырехугольник; и строит представления этих геометрических объектов».

          Сразу после этого отчета началось обсуждение понятий, указанных в каждом из разделов, с целью продвижения эволюции, упомянутой выше. Предоставленные ответы были связаны друг с другом; Кроме того, было запрошено участие тех студентов, которые молчали. Второй этап сбора данных состоял в видеозаписи многоугольных конструкций с правилом и компасом, сделанными некоторыми учениками каждого раздела. На этом втором этапе была цель изучить использование и объяснение, которые сделали или дали ученикам некоторые геометрические объекты.

          Ромб

          Если в параллелограмме все стороны равны, но называется ромбом. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Площадь ромба равняется .

          Квадрат

          Квадратом называется параллелограмм с равными сторонами и прямыми углами. Квадрат является частным случаем прямоугольника (это прямоугольник с равными сторонами) и ромба (это ромб с прямыми углами). Поэтому квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Площадь квадрата равняется .

          Запись видео была выполнена на трех сеансах, на которых изучалось построение полигонов с линейкой и компасом, в частности, построение треугольников и четырехугольников. Эти записи были источником для обогащения и обзора наблюдений автора в классе. Конструкции с правилом и компасом изучались в течение трех сеансов, и в них учащимся приходилось участвовать в создании треугольников и четырехглавых страниц на доске или в их блокнотах, выражая свои сомнения или комментарии. Вопросы, которые они задавали, были «независимо от того, как это выглядит», «это был искривленный профессор, не имеет значения?».

          Трапеция

          Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие непараллельны.

          Средней линией трапеции называется отрезок прямой, соединяющей середины непараллельных (боковых) сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна ее основанию. Длина средней линии равна полусумме длин ее оснований .

          Другие избегали этого, рисуя первый из сегментов, чтобы он совпал с воображаемой горизонталью. В письменном отчете студентов показано разнообразие значений, которые они имеют в геометрических объектах: точка, линия, сегмент, окружность, круг, треугольник и четырехугольник. Факт, который может оставаться скрытым для учителя, если ученические концепции не изучаются, как это отметили Корну и Серрано. Чтобы охарактеризовать смысл объекта посредством его использования, сделанное и объяснение дает возможность объяснить некоторые из ответов.

          Например, в отношении этого пункта несколько ответов согласились с тем, что оно должно быть размещено в конце абзаца; посредством интервью с этими учениками можно было убедиться, что в испанском курсе и литературе они просто рассматривали «знаки препинания», идею, которую они перенесли в геометрию. Использование точечной идеи в контексте класса кастильцев и литературы повлияло на смысл точки в контексте геометрии.

          Около трапеции можно описать окружность в том и только в том случае, если она равнобокая, т.е. если ее боковые стороны равны.

          Высота равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим ее оснований, т.е. .

          Отрезок, параллельный основанию, и делящий трапецию на две равновеликие трапеции равен .

          Кроме того, размеры использования и объяснения, содержащиеся в определении, данном значения в математическом образовании, могут приводить к несогласованности в значении определенного объекта. Здесь, как мы отметили, несколько студентов из трех курсов выразили сомнения относительно того, сохранился ли сконструированный треугольник в этом положении. Перед этим автор снова спросил их, что они понимают по треугольнику, все они определили его как трехстороннюю геометрическую фигуру, и к таким вопросам, как ¿, является позиция, являющаяся свойством треугольников?, Ученики поняли, что независимо от положения, в котором они находятся они будут рисовать треугольники.

          Отрезок, параллельный основанию, и делящий трапецию на две подобные трапеции равен .

          Отрезок, параллельный основанию, и проходящий через точку пересечения диагоналей равен .

          Площадь трапеции определяется по формуле ,

          где , — длины оснований трапеции, — ее высота, — длина средней линии.

          Затем наблюдается, что даже когда они дали правильное определение треугольника, использование этого объекта не соответствовало этому. Одна гипотеза в этом отношении, с которой связаны эмпирические ответы, заключается в том, что это несоответствие или несогласованность возникает для многих других математических объектов, даже на более высоких уровнях образования. Использование, о котором говорилось выше, связано с тем, как многие учителя предыдущих классов рисуют треугольники: они делают так, что одна сторона треугольника совпадает с воображаемой горизонталью; об этом говорится в Бейере.

          Подписаться на еженедельную рассылку eduction.ru

          Выпуклый четырехугольник признаки. Какой четырёхугольник называется прямоугольником. Список использованных источников

          Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

          Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

          Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

          1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

          2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

          3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

          Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.

          Трапеция называется равнобедренной (равнобочной) , если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

          прямоугольной .

          средней линией трапеции . Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

          Прямоугольник

          Определение.

          Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

          Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

          Определение.

          Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

          Определение.

          Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.

          Свойства:
          1. Все углы квадрата прямые

          Четырехугольники все правила

          Ключевые слова:
          четырехугольник, выпуклый, сумма углов, площадь четырехугольника

          Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

          • Вершины четырехугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон.
          • Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположними .
          • Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .
          • Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
          • Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
          • Четырехугольник называется выпуклым , если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

          Виды четырехугольников

          1. Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
            • Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые
            • Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны
            • Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны
          2. Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны
          3. Дельтоид — четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны

          Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

          противоположными. противоположными.

          Виды четырёхугольников

          Параллелограмм

          Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

          Свойства параллелограмма
          • противолежащие стороны равны;
          • противоположные углы равны;
          • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
          Признаки параллелограмма

          Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

          Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

          Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.

          Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

          Свойства трапеции
          Признаки трапеции

          Прямоугольник

          Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

          Свойства прямоугольника

          Признаки прямоугольника

          Параллелограмм является прямоугольником, если:

          1. Один из его углов прямой.
          2. Его диагонали равны.

          Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

          Свойства ромба
          • все свойства параллелограмма;
          • диагонали перпендикулярны;
          Признаки ромба

          Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

          Свойства квадрата
          • все углы квадрата прямые;
          • диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
          Признаки квадрата

          Основные формулы

          S =d 1 d 2 sin

          Параллелограмм
          a и b — смежные стороны; угол между ними; h a — высота, проведенная к стороне a .

          S = ab sin

          S =d 1 d 2 sin

          Трапеция
          a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

          Прямоугольник

          S =d 1 d 2 sin

          S = a 2 sin

          S =d 1 d 2

          Квадрат
          d — диагональ.

          www.univer.omsk.su

          Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)


          Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.


          Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

          Виды четырехугольников:

          • Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны

          • Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

          • Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

          • Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

          Свойства произвольных четырехугольников:

          Свойства параллелограмма:

          Свойства ромба:

          Свойства прямоугольника:

          Свойства квадрата:

          Свойства трапеции:

          Консультации и техническая
          поддержка сайта: Zavarka Team

          Четырехугольники все правила

          Неевклидова геометрия, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов (1825) явилось значительным событием в истории мысли, ибо послужило первым шагом на пути ктеории относительности.

          Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить . Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Однако в «эллиптической» геометрии любая прямая конечна и, подобно окружности, замкнута.

          Пятый постулат утверждает, что если прямая пересекает две данные прямые так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если продолжить их неограниченно, пересекутся с той стороны, где сумма этих углов меньше суммы двух прямых. Но в «гиперболической» геометрии может существовать прямая CB (см. рис.), перпендикулярная в точке С к заданной прямой r и пересекающая другую прямую s под острым углом в точке B, но, тем не менее бесконечные прямые r и s никогда не пересекутся.

          Из этих пересмотренных постулатов следовало, что сумма углов треугольника, равная 180° в евклидовой геометрии, больше 180° в эллиптической геометрии и меньше 180° в гиперболической геометрии.

          Четырёхугольник

          Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны.

          Четырёхугольник , геометрическая фигура — многоугольник с четырьмя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы.

          Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

          Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
          невыпуклые (A 1 B 1 C 1 D 1).

          Виды четырёхугольников

          • Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны;
          • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
          • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
          • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
          • Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
          • Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.
          Параллелограмм

          Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

          Параллелогра́мм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

          • противолежащие стороны равны;
          • противоположные углы равны;
          • диагонали точкой пересечения делятся пополам;
          • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
          • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

          Четырехугольник является параллелограммом, если:

          1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
          2. Противоположные стороны попарно равны.
          3. Противоположные углы попарно равны.
          4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
          Прямоугольник

          Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

          • противолежащие стороны равны;
          • противоположные углы равны;
          • диагонали точкой пересечения делятся пополам;
          • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
          • диагонали равны.

          Параллелограмм является прямоугольником, если:

          1. Один из его углов прямой.
          2. Его диагонали равны.

          Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

          • противолежащие стороны равны;
          • противоположные углы равны;
          • диагонали точкой пересечения делятся пополам;
          • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
          • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
          • диагонали перпендикулярны;
          • диагонали являются биссектрисами его углов.

          Параллелограмм является ромбом, если:

          1. Две его смежные стороны равны.
          2. Его диагонали перпендикулярны.
          3. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

          Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

          • все углы квадрата прямые;
          • диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
          1. Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

          Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

          Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

          Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

          Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

          • ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
          • если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
          • если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
          • если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

          1. Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

          Дельтоид — четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.

          • Углы между сторонами неравной длины равны.
          • Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом.
          • В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность, кроме этого, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон. Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.
          • Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то в него можно вписать окружность (описанный дельтоид).
          • Если пара противоположных сторон дельтоида равны, то такой дельтоид является ромбом.
          • Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

          Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т. д.).

          Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.

          С VII века до н. э. по I век н. э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида «Начала».

          В этой книге впервые была сделана попытка дать систематическое построение планиметрии на базе основных неопределяемых геометрических понятий и аксиом (постулатов).

          Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского, Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

          «Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень многих математических исследований, в результате которых возникли новые самостоятельные разделы математики.

          Систематическое построение геометрии обычно производится по следующему плану:

          I. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений.

          II. Дается формулировка аксиом геометрии.

          III. На основе аксиом и основных геометрических понятий формулируются остальные геометрические понятия и теоремы.

          1. Происхождение названия Неевклидовой геометрии?
          2. Какаие фигуры называются четырёхугольниками?
          3. Свойства паралелограмма?
          4. Виды четырехугольников?

          Список использованных источников

          1. А.Г. Цыпкин. Справочник по математике
          2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
          3. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

          Над уроком работали

          Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

          Популярное:

          • Статья 282. Возбуждение ненависти либо вражды, а равно унижение человеческого достоинства (в редакции Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ) ч 1. Действия, направленные на возбуждение ненависти либо вражды, а также на […]
          • Калькулятор налога на имущество организаций Как рассчитать налог на имущество организаций Форма расчета по авансовым платежам изменилась. Начиная с отчетности за первое полугодие 2017, расчет налога на имущество организаций […]
          • Законы экологии За более чем 100-летний период разностороннего изучения популяций и сообществ накоплено огромное количество фактов. Среди них — большое число, отражающих случайные или нерегулярные явления и процессы. Но не […]
          • Варианты пенсионного обеспечения в системе обязательного пенсионного страхования До конца 2015 года граждане 1967 года рождения и моложе могли выбрать: продолжить формировать пенсионные накопления или отказаться от накопительной […]
          • Приказ минсельхоза 549 Зарегистрировано в Минюсте РФ 5 марта 2009 г. N 13476 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ от 16 декабря 2008 г. N 532 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ КЛАССИФИКАЦИИ ПРИРОДНОЙ ПОЖАРНОЙ ОПАСНОСТИ ЛЕСОВ И […]
          • Повышение пенсии детям инвалидам с 1 января 2018 года Пенсионное обеспечение граждан является обязанностью, возложенной на государство. Так указано в своде законов страны – в Конституции. Среди инвалидов, которым необходима […]
          • Правило внутреннего распорядка оао ржд ОАО «РОССИЙСКИЕ ЖЕЛЕЗНЫЕ ДОРОГИ» ПРИКАЗ от 26 июля 2012 г. N 87 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПРАВИЛ ВНУТРЕННЕГО ТРУДОВОГО РАСПОРЯДКА РЕГИОНАЛЬНЫХ СЛУЖБ (ОТДЕЛА) РАЗВИТИЯ ПАССАЖИРСКИХ СООБЩЕНИЙ И […]
          • Закон 3 стадий конта Позитивизм как философское течение исходит из представлений о том, что основной массив знаний о мире, человеке и обществе получается в специальных науках, что «позитивная» наука должна отказаться от попыток […]

          Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру — четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.

          Что такое четырех угольник

          Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

          Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

          Виды четырехугольников

          • Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
          • Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
          • Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
          • Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
          • Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.
          Четырехугольник может быть:


          Самопересекающимся


          Невыпуклым


          Выпуклым

          Самопересекающийся четырехугольник — это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).

          Невыпуклый четырехугольник — это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).

          Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

          Особые виды четырехугольников

          Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

          • Параллелограмм
          • Прямоугольник
          • Квадрат
          • Трапеция
          • Дельтоид
          • Контрпараллелограмм

          Четырехугольник и окружность

          Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

          Главное свойство описанного четырехугольника:

          Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

          Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

          Главное свойство вписанного четырехугольника:

          Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

          Свойства длин сторон четырехугольника

          Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

          |a — b| ≤ c + d

          |a — c| ≤ b + d

          |a — d| ≤ b + c

          |b — c| ≤ a + d

          |b — d| ≤ a + b

          |c — d| ≤ a + b

          Важно . Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

          В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .

          Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (


          В вашем браузере отключен Javascript.
          Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

          Выпуклый четырехугольник — это фигура, состоящая из четырех сторон, соединенных между собой в вершинах, образующих вместе со сторонами четыре угла, при этом сам четырехугольник всегда находится в одной плоскости относительно прямой, на которой лежит одна из его сторон. Другими словами, вся фигура находится по одну сторону от любой из ее сторон.

          Вконтакте

          Как видно, определение довольно легко запоминающееся.

          Основные свойства и виды

          К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

          1. параллелограмм;
          2. квадрат;
          3. прямоугольник;
          4. трапеция;
          5. ромб.

          Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

          На рисунке изображена выпуклая трапеция . Тут видно, что трапеция находится на одной плоскости или по одну сторону от отрезка . Если провести аналогичные действия, можно выяснить, что и в случае со всеми остальными сторонами трапеция является выпуклой.

          Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

          Выше показано изображение параллелограмма. Как видно из рисунка, параллелограмм также является выпуклым . Если посмотреть на фигуру относительно прямых, на которых лежат отрезки AB, BC, CD и AD, то становится понятно, что она всегда находится на одной плоскости от этих прямых. Основными же признаками параллелограмма является то, что его стороны попарно параллельны и равны так же, как и противоположные углы равны между собой.

          Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.

          В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам . Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.

          Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

          Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются . Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

          На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

          Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника

          Конкретно по этому термину очень сложно назвать какие-то определенные свойства и признаки. Легче обособить по различным видам четырехугольников такого типа. Начать можно с параллелограмма. Мы уже знаем, что это четырехугольная фигура, стороны которой попарно параллельны и равны. При этом, сюда же включается свойство диагоналей параллелограмма пересекаться между собой, а также сам по себе признак выпуклости фигуры: параллелограмм находится всегда в одной плоскости и по одну сторону относительно любой из своих сторон.

          Итак, известны основные признаки и свойства:

          1. сумма углов четырехугольника равна 360 градусам;
          2. диагонали фигур пересекаются в одной точке.

          Прямоугольник . Эта фигура имеет все те же свойства и признаки, что и параллелограмм, но при этом все углы его равны 90 градусам. Отсюда и название — прямоугольник.

          Квадрат, тот же параллелограмм , но углы его прямые как у прямоугольника. Из-за этого квадрат в редких случаях называют прямоугольником. Но главным отличительным признаком квадрата помимо уже перечисленных выше, является то, что все четыре его стороны равны.

          Трапеция — очень интересная фигура . Это тоже четырехугольник и тоже выпуклый. В этой статье трапеция уже рассматривалась на примере рисунка. Понятно, что она тоже выпуклая. Главным отличием, а соответственно признаком трапеции является то, что ее стороны могут быть абсолютно не равны друг другу по длине, а также ее углы по значению. При этом фигура всегда остается на одной плоскости относительно любой из прямых, которая соединяет любые две ее вершины по образующим фигуру отрезкам.

          Ромб — не менее интересная фигура . Отчасти ромбом можно считать квадрат. Признаком ромба является тот факт, что его диагонали не только пересекаются, но и делят углы ромба пополам, а сами диагонали пересекаются под прямым углом, то есть, они перпендикулярны. В случае, если длины сторон ромба равны, то диагонали тоже делятся пополам при пересечении.

          Дельтоиды или выпуклые ромбоиды (ромбы) могут иметь разную длину сторон. Но при этом все равно сохраняются как основные свойства и признаки самого ромба, так и признаки и свойства выпуклости. То есть, мы можем наблюдать, что диагонали делят углы пополам и пересекаются под прямым углом.

          Сегодняшней задачей было рассмотреть и понять, что такое выпуклые четырехугольники, какие они бывают и их основные признаки и свойства. Внимание! Стоит напомнить еще раз, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Периметр фигур, например, равен сумме длин всех образующих фигуру отрезков. Формулы расчета периметра и площади четырехугольников будут рассмотрены в следующих статьях.

          Виды выпуклых четырехугольников




          Одна из наиболее интересных тем по геометрии из школьного курса — это «Четырехугольники» (8 класс). Какие виды таких фигур существуют, какими особыми свойствами они обладают? В чем уникальность четырехугольников с углами по девяносто градусов? Давайте разберемся во всем этом.

          Какая геометрическая фигура называется четырехугольником

          Многоугольники, которые состоят из четырех сторон и, соответственно, из четырех вершин (углов), называются в евклидовой геометрии четырехугольниками.

          Интересна история названия этого вида фигур. В российском языке существительное «четырехугольник» образовано от словосочетания «четыре угла» (точно так же, как «треугольник» — три угла, «пятиугольник» — пять углов и т. п.).

          Однако на латыни (через посредничество которой пришли многие геометрические термины в большинство языков мира) он называется quadrilateral. Это слово образовано из числительного quadri (четыре) и существительного latus (сторона). Так что можно сделать вывод, что у древних этот многоугольник именовался не иначе как «четырехсторонник».

          Кстати, такое название (с упором на наличие у фигур этого вида четырех сторон, а не углов) сохранилось в некоторых современных языках. Например, в английском — quadrilateral и в французском — quadrilatère.

          При этом в большинстве славянских языков рассматриваемый вид фигур идентифицируют все так же по количеству углов, а не сторон. Например, в словацком (štvoruholník), в болгарском («четириъгълник»), в белорусском («чатырохкутнік»), в украинском («чотирикутник»), в чешском (čtyřúhelník), но в польском четырехугольник именуют по количеству сторон — czworoboczny.

          Какие виды четырехугольников изучаются в школьной программе

          В современной геометрии выделяются 4 вида многоугольников с четырьмя сторонами.

          Однако из-за слишком сложных свойств некоторых из них на уроках геометрии школьников знакомят только с двумя видами.

          • Параллелограмм (parallelogram). Противолежащие стороны четырехугольника такого попарно параллельны между собой и, соответственно, равны также попарно.
          • Трапеция (trapezium или trapezoid). Этот четырехугольник состоит из двух противолежащих сторон, параллельных между собой. Однако другая пара сторон не имеет такой особенности.

          Не изучаемые в школьном курсе геометрии виды четырехугольников

          Помимо вышеперечисленных, существуют еще два вида четырехугольников, с которыми школьников не знакомят на уроках геометрии, из-за их особой сложности.

          • Дельтоид (kite) — фигура, в которой каждая из двух пар смежных сторон равна по длине между собою. Свое название такой четырехугольник получил из-за того, что по внешнему виду он довольно сильно напоминает букву греческого алфавита — «дельта».
          • Антипараллелограмм (antiparallelogram) — эта фигура так же сложна, как и ее название. В ней две противоположные стороны равны, но при этом они не параллельны между собою. Кроме того, длинные противоположные стороны этого четырехугольника пересекаются между собой, как и продолжения двух других, более коротких сторон.

          Виды параллелограмма

          Разобравшись с основными видами четырехугольников, стоит обратить внимание на его подвиды. Так, все параллелограммы, в свою очередь, тоже делятся на четыре группы.

          • Классический параллелограмм.
          • Ромб (rhombus) — четырехугольная фигура с равными сторонами. Ее диагонали пересекаются под прямым углом, деля ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
          • Прямоугольник (rectangle). Название это говорит само за себя. Так как это четырехугольник с прямыми углами (каждый из них равен девяноста градусам). Противоположные стороны его не только параллельны между собою, но и равны.
          • Квадрат (square). Как и прямоугольник, это четырехугольник с прямыми углами, но у него все стороны равны между собой. Этим данная фигура близка к ромбу. Так что можно утверждать, что квадрат — это нечто среднее между ромбом и прямоугольником.

          Особые свойства прямоугольника

          Рассматривая фигуры, в которых каждый из углов между сторонами, равен девяноста градусам, стоит более внимательно остановиться на прямоугольнике. Итак, какими особенными он обладает признаками, отличающими его от других параллелограммов?

          Чтобы утверждать, что рассматриваемый параллелограмм — прямоугольник, его диагонали должны быть равны между собою, а каждый из углов — прямыми. Кроме того, квадрат его диагоналей должен соответствовать сумме квадратов двух смежных сторон этой фигуры. Иными словами, классический прямоугольник состоит из двух прямоугольных треугольников, а в них, как известно, В роли гипотенузы выступает диагональ рассматриваемого четырехугольника.

          Последний из перечисленных признаков этой фигуры является также ее особенным свойством. Помимо этого, есть и другие. Например, то, что все стороны изучаемого четырехугольника с прямыми углами — это одновременно и его высоты.

          Кроме того, если вокруг любого прямоугольника начертить круг, его диаметр будет равен диагонали вписанной фигуры.

          Среди других свойств четырехугольника этого, то, что он является плоским и в неевклидовой геометрии не существует. Это связано с тем, что в такой системе отсутствуют четырехугольные фигуры, сумма углов которых равна трехстах шестидесяти градусам.

          Квадрат и его особенности

          Разобравшись с признаками и свойствами прямоугольника, стоит обратить внимание на второй известный науке четырехугольник с прямыми углами (это квадрат).

          Являясь по факту тем же прямоугольником, но с равными сторонами, эта фигура обладает всеми его свойствами. Но в отличие от него, квадрат присутствует в неевклидовой геометрии.

          Кроме этого, у данной фигуры, есть и другие собственные отличительные черты. Например, то, что диагонали квадрата не просто равны между собою, но и пересекаются под прямым углом. Таким образом, как и ромб, квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников, на которые ее делят диагонали.

          Помимо этого, данная фигура является самой симметричным среди всех четырехугольников.

          Чему равна сумма углов четырехугольника

          Рассматривая особенности четырехугольников евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на их углы.

          Так, в каждой из вышеперечисленных фигур, независимо от того, есть у нее прямые углы или нет, общая сумма их всегда одинакова — триста шестьдесят градусов. Это уникальная отличительная черта этого вида фигур.

          Периметр четырехугольников

          Разобравшись с тем, чему равна сумма углов четырехугольника и другими особенными свойствами фигур этого вида, стоит узнать, какими формулами лучше всего пользоваться, чтобы вычислить их периметр и площадь.

          Чтобы определить периметр любого четырехугольника, нужно лишь сложить между собою длину всех его сторон.

          Например, в фигуре KLMN ее периметр можно вычислить по формуле: Р = KL + LM + MN + KN. Если подставить сюда числа, получится: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

          В случае когда рассматриваемая фигура — это ромб или квадрат, для нахождения периметра можно упростить формулу, просто помножив длину одной из его сторон на четыре: Р = KL х 4. Например: 6 х 4=24 (см).

          Формулы четырехугольников площади

          Разобравшись с тем, как найти периметр любого фигуры с четырьмя углами и сторонами, стоит рассмотреть наиболее популярные и простые способы нахождения ее площади.


          Другие свойства четырехугольников: вписанные и описанные окружности

          Рассмотрев особенности и свойства четырехугольника как фигуры евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на возможность описывать вокруг или вписывать внутри него круги:

          • Если суммы противолежащих углов фигуры составляют по сто восемьдесят градусов и попарно равны между собою, то вокруг такого четырехугольника можно свободно описать окружность.
          • Согласно теореме Птолемея, если снаружи многоугольника с четырьмя сторонами описан круг, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон данной фигуры. Таким образом, формула будет выглядеть так: КМ х LN = KL х MN + LM х KN.
          • Если построить четырехугольник, в котором суммы противоположных сторон равны между собою, то в него можно вписать круг.

          Разобравшись с тем, что такое четырехугольник, что за виды его существуют, какие из них имеют только прямые углы между сторонами и какими свойствами они обладают, стоит запомнить весь этот материал. В особенности формулы нахождения периметра и площади рассмотренных многоугольников. Ведь фигуры такой формы — одни из самых распространенных, и эти знания могут пригодиться для вычислений в реальной жизни.

          Параллелограмм из соединенных средних точек четырехугольника

          Если вы соедините середины сторон любого четырехугольника, полученный четырехугольник всегда будет параллелограммом.

          Удивительно, но это верно, будь то четырехугольник особого вида, такой как параллелограмм, воздушный змей или трапеция, или просто произвольный простой выпуклый четырехугольник без параллельных или равных сторон.

          Задача

          В четырехугольнике ABCD точки P, Q, R и S являются серединами сторон AB, BC, CD и DA соответственно.Докажите, что PQRS — это параллелограмм.

          Стратегия

          Тот факт, что нам говорят, что P, Q, R и S являются средними точками , должен напоминать нам теорему о срединном сегменте треугольника — средний сегмент параллелен третьей стороне, а его длина равна половине длина третьей стороны.

          У нас здесь нет треугольников, поэтому давайте построим их так, чтобы середины четырехугольника стали серединами треугольников, нарисовав диагональ AC:

          Теперь у нас есть два треугольника, ΔBAC и ΔDAC, где PQ и SR — средние сегменты.Итак, используя теорему о треугольнике среднего сегмента, мы находим, что PQ || AC и PQ = ½AC, а также что SR || AC и SR = ½AC.

          Поскольку PQ и SR параллельны третьей линии (AC), они параллельны друг другу, и у нас есть четырехугольник (PQRS) с двумя противоположными сторонами, которые параллельны и равны, так что это параллелограмм.

          Мы также могли бы сделать это, нарисовав вторую диагональную DB, и вместо этого использовать два треугольника ΔADB и ΔCDB.

          Доказательство

          Вот как вы показываете, что соединение средних точек четырехугольника создает параллелограмм:

          (1) AP = PB // Дано
          (2) BQ = QC // Дано
          (3) PQ || AC / / (1), (2), Теорема о среднем сегменте треугольника
          (4) PQ = ½AC // (1), (2), Теорема о среднем сегменте треугольника
          (5) AS = SD // Дано
          (6) CR = RD / / Учитывая
          (7) SR || AC // (5), (6), Теорема о среднем сегменте треугольника
          (8) SR = ½AC // (5), (6), Теорема о среднем сегменте треугольника
          (9) SR = PQ // (4), (8), Транзитивное свойство равенства
          (10) SR || PQ // (3), (7), две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу
          (11) PQRS является Параллелограмм // Четырехугольник с двумя противоположными сторонами, которые параллельны и равны

          2 февраля 2012 г.

          Возьмем любой четырехугольник, например этот

          затем отметьте средние точки и соедините их.

          Похоже, мы построили параллелограмм, не так ли? Удивительный факт здесь заключается в том, что , независимо от того, с какого четырехугольника вы начинаете, вы всегда получаете параллелограмм, когда соединяете средние точки .

          Это результат, который кажется случайным и удивительным. Вам нужно нарисовать несколько четырехугольников, чтобы убедить себя, что это даже кажется правильным. Как вы в целом собираетесь это доказать?

          На днях некоторые студенты спросили меня, почему это так.Я совершенно забыл, как подойти к проблеме, поэтому у меня появился шанс поиграть с ней по-новому. У меня было две идеи, как начать. Во-первых, провести еще одну линию на чертеже и посмотреть, поможет ли это.

          Разве синяя линия не параллельна оранжевым линиям над и под ней? Если бы это было правдой, это дало бы нам мощный путь вперед. Это также предвещает мою вторую идею: попробуйте соединить середины треугольника, а не четырехугольника.

          Вот как выглядит произвольный треугольник.

          Похоже, что соединение этих средних точек создает четыре конгруэнтных треугольника, не так ли? На самом деле это не так уж сложно доказать. Узнав это, мы увидим, что любая пара соприкасающихся треугольников образует параллелограмм. Это означает, что две синие линии ниже параллельны.

          Итак, мы можем заключить:
          Лемма. Синие линии выше параллельны.

          Теорема. Оранжевая фигура выше представляет собой параллелограмм.
          Доказательство.Снова нарисуйте эту синюю линию.

          У нас такая же ситуация, как на картинке треугольника сверху! Ты это видишь?
          Сотрем нижнюю половину рисунка и нарисуем параллельные линии одного цвета:

          Видите, что синие линии параллельны? Верхняя линия соединяет середины треугольника, поэтому мы можем применить нашу лемму!

          Но то же самое верно и для нижней, и для средней линии! Таким образом, все синие линии внизу должны быть параллельны.

          То же самое верно и для оранжевых линий по тому же аргументу.

          Значит, четырехугольник в конце концов — параллелограмм!

          Я нашел это довольно привлекательным аргументом: рисование линий из противоположных углов превращает непостижимое в (надеюсь) очевидное. Переход от путаницы к ясности для меня — одна из величайших радостей математических вычислений.

          Следующий вопрос заключается в том, можем ли мы изменить результат, отказавшись от первоначальной настройки.Верен ли наш результат, например, когда четырехугольник не выпуклый?

          Похоже, еще будет держаться. Я оставлю это вам.

          Вот еще несколько вопросов, которые следует рассмотреть:

          1. Как площадь параллелограмма, полученная при соединении середин четырехугольника, соотносится с исходным четырехугольником?
          2. Есть шестиугольник, в котором, когда вы соединяете середины его сторон, вы получаете шестиугольник с большей площадью, чем вы начали.Сможете ли вы найти шестиугольник с этим свойством?
          3. Сможете ли вы найти такой шестиугольник, что, соединив середины его сторон, получится четырехугольник?

          Урок Середины четырехугольника — это вершины параллелограмма

          Урок Середины четырехугольника — это вершины параллелограмма



          Этот урок (Середины четырехугольника являются вершинами параллелограмма) был создан пользователем ikleyn (40177) : View Source, Show
          About ikleyn :

          Середины четырехугольника — вершины параллелограмма


          Теорема
          В произвольном выпуклом четырехугольнике середины его сторон являются вершинами параллелограмма.Доказывать.

          Проба
          Пусть ABCD будет произвольным выпуклым четырехугольником ( Рисунок 1 ),
          и пусть точки E , F , G и H будут серединами его
          сторон AB , BC , CD и AD соответственно.
          Нам нужно доказать, что четырехугольник EFGH является параллелограммом.

          Нарисуйте диагонали AC и BD в четырехугольнике ABCD ( Рисунок 2 ).
          Сегмент HG — это сегмент средней точки в треугольнике ACD .
          Следовательно, отрезок HG параллелен стороне AC треугольника
          ACD в соответствии с уроком Отрезок прямой, соединяющий середины
          двух сторон треугольника (в теме Треугольники раздел
          Геометрия на этом сайте).



          Рисунок 1 .К теореме


          Рисунок 2 . К доказательству теоремы
          Сегмент EF — это сегмент средней точки в треугольнике ABC . Следовательно, отрезок EF параллелен стороне AC треугольника ABC .
          Поскольку сегменты HG и EF параллельны диагонали AC , они параллельны друг другу.

          Точно так же сегмент GF является сегментом средней точки в треугольнике DCB . Следовательно, сегмент GF параллелен стороне DB треугольника DCB .
          Отрезок HE — это сегмент средней точки в треугольнике ABD . Следовательно, отрезок HE параллелен стороне DB треугольника ABD .
          Поскольку сегменты GF и HE оба параллельны диагонали DB , они параллельны друг другу.

          Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике EFGH противоположные стороны HG и EF , HE и GF попарно параллельны.
          Следовательно, четырехугольник EFGH является параллелограммом. Теорема доказана.

          Другие мои уроки по параллелограммам на этом сайте:
          — В параллелограмме каждая диагональ делит его на два равных треугольника.
          — Свойства сторон параллелограмма
          — Свойства сторон параллелограммов
          — Свойства диагоналей параллелограммов
          — Противоположные углы параллелограмма
          — Последовательные углы параллелограмма
          — Длина диагоналей параллелограмма
          — Замечательные сложные задачи на параллелограммах
          — КАК решать задачи о мерах сторон параллелограмма — Примеры
          — КАК решать задачи об углах параллелограммов — Примеры
          — СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

          Для навигации по всем темам / урокам Онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку ГЕОМЕТРИЯ — ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК.


          К этому уроку обращались 24051 раз.

          Центр масс выпуклого четырехугольника

          Используя Geometer’s Sketch Pad (GSP), можно построить центр тяжести треугольник с легкостью. Мы продемонстрируем это в свое время. Что может быть не сразу очевидно, так это то, что мы можем расширить эта конструкция для определения центра масс выпуклой четырехугольник. Стоит только отметить, что при использовании любой диагонали выпуклого четырехугольника можно разделить четырехугольник на два различные треугольники, которые, как правило, не имеют одинаковой площади или массы как бы для этого задания.После получения треугольников и определения центра масс каждого, вполне разумно подозреваю, что центр масс четырехугольника по координате линия, определяемая диагональю, является серединой отрезка соединяя центры масс соответствующих треугольников. Начнем с построения центра масс одиночный треугольник. Для этого нам нужно будет определить центроид произвольного треугольника. Без дальнейшего прощания; ан произвольный треугольник, построенный в GSP:
          В общем треугольнике выше мы уже построили середины каждой стороны треугольника, используя инструмент выбора на каждый сегмент затем с помощью команды построения для определения середина.Далее мы хотим построить медианы, которые соединяют каждый середина вершины, противоположной стороне, на которой она находится.
          Наконец, в качестве последнего шага мы помечаем общие пересечения медиан как центроид, который мы ищем (хотя на самом деле необходимы только две медианы).
          Один может спросить, почему это дает центр масс данного треугольника. Сначала мы должны обратиться к важному техническому предположению, которое необходимо для того, чтобы наше утверждение было правдой. Предположим, что все полигоны имеют одинаковую толщину и плотность, иначе наше требование могло бы быть ложный.Теперь, согласно предыдущему предположению, каждая медиана делит треугольник на две части, и это главное, равного размера. Это можно увидеть, рассматривая любую из трех сторон как основу треугольник. Когда мы делим сегмент пополам и строим медиану мы фактически создаем два треугольника одинаковой длины основания и одинаковая высота; в конечном итоге каждый треугольник имеет одинаковые площадь. Теперь рассмотрим один из двух оставшихся сегментов и треугольник из тех, что только что построили со стороной.Когда мы разрезать эту сторону пополам и построить медиану мы, затем повторить то же самое В процессе последнего отрезка мы создаем два треугольника с равным основанием длина на сегменте, при этом медиана прикреплена к сегменту как общая высота и исключенные срединные значения, действующие как соответствующие стороны, так что эти два треугольника равны. Мы можем сделать это для каждого пара треугольников с основанием, равным половине одного из исходных стороны треугольников, из транзитивности следует, что шесть треугольников все содержащиеся в данном треугольнике имеют равную площадь или массу.Используя каждый медиана как ось баланса, мы видим, что треугольник сбалансирован вдоль каждой оси в центре тяжести во всех трех осях, и, таким образом, центроид — это центр масс данного треугольника. Мы будем сейчас распространить это понятие на выпуклые четырехугольники.

          Ниже представлен выпуклый четырехугольник общего положения.


          Для такого четырехугольника, если поочередно нарисовать одну из двух диагоналей, образуются два треугольника:

          Теперь нам нужно построить центры масс для каждого из четырех треугольников и указать их в нашем исходном четырехугольнике.Работая сначала с ранее обозначенной диагональю, мы копируем построение центроида для нашего исходного треугольника. Аналогичным образом мы строим центроиды для треугольников на последнем изображении.
          Давайте взглянем на наш четырехугольник с четырьмя указанными вместе центроидами после построения отрезка, соединяющего те, которые связаны с каждой из указанных диагоналей.
          Теперь, если построить среднюю точку для сегмента между центроидами A и Centroid B, то средняя точка будет центром масс четырехугольника в направлении сегмента, пересекающего среднюю точку.Точно так же средняя точка сегмента между центроидом C и центроидом D будет центром масс четырехугольника в направлении сегмента через среднюю точку. Это показано на следующем изображении.
          То, что я сказал вам, что это два центра масс для данного четырехугольника, все в порядке, но почему вы должны мне доверять? Любой центр масс четырехугольника должен отражать то, что поперек линии в направлении баланса четырехугольник должен иметь одинаковую массу с обеих сторон.Следует отметить, что это требует предположения, что четырехугольник имеет одинаковую плотность и толщину, иначе это, вероятно, неверно. Давайте посмотрим, что это правда. Ниже я удалил все точки, относящиеся к центру масс центроида A и центроида B.

          Калькулятор неправильного выпуклого четырехугольника

          Четыре стороны неправильного четырехугольника могут иметь выпуклую, вогнутую или перекрестную форму.

          (Мы предполагаем, что вершины соединены последовательностью от A к B, затем к C и к D и, наконец, обратно к A) Поскольку любые 4 стороны могут образовывать выпуклый, вогнутый или скрещенный четырехугольник, необходимо определить точную форму.

          Чтобы нарисовать четырехугольник замкнутой формы, должны быть выполнены следующие неравенства:

          a + b + c> d
          b + c + d> a
          c + d + a> b
          d + a + b> c

          Любую форму четырехугольника можно разделить на 2 треугольника.

          Площадь выпуклого четырехугольника можно выразить одной из следующих формул:


          Из рис. 3 видно, что складывающийся треугольник BCD по оси q образует вогнутый четырехугольник.
          Вопрос теперь в том, как мы можем оценить, образует ли сложенный треугольник вогнутую или перекрещенную форму.Из рис. 2 видно, что если
          β 1 > β 2 и δ 1 > δ 2 истинны, то новая форма будет вогнутой, иначе, если один из критериев неверен, новая форма будет пересеченной четырехугольник. Если оба критерия неверны, значит, это вогнутая форма, но вместо этого треугольник ABD складывается в треугольник BCD.

          Четырехугольник — Википедия | WordDisk

          Четырехугольник — это многоугольник в геометрии евклидовой плоскости с четырьмя ребрами (сторонами) и четырьмя вершинами (углами). Другие названия четырехугольника включают четырехугольник (по аналогии с треугольником) и четырехугольник (по аналогии, например, пятиугольник или шестиугольник) [ необходима ссылка ] .Четырехугольник с вершинами A {\ displaystyle A}, B {\ displaystyle B}, C {\ displaystyle C} и D {\ displaystyle D} иногда обозначается как ◻ABCD {\ displaystyle \ square ABCD}. [1] [2] ]

          Многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами

          Слово «четырехугольник» происходит от латинских слов quadri , вариант четырех, и latus , что означает «сторона».

          Четырехугольники бывают простыми (не самопересекающимися) или сложными (самопересекающимися или скрещенными).{\ circ}.}

          Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: ( n — 2) × 180 °.

          Все несамопересекающиеся четырехугольники накладывают мозаику на плоскость путем многократного вращения вокруг середин своих краев. [3]

          Простые четырехугольники


          Любой четырехугольник, который не является самопересекающимся, является простым четырехугольником.

          Четырехугольники выпуклые
          Диаграмма Эйлера некоторых типов простых четырехугольников. (UK) обозначает британский английский, а (US) обозначает американский английский.Выпуклые четырехугольники по симметрии, представленные диаграммой Хассе.

          В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

          • Неправильный четырехугольник (британский английский) или трапеция (североамериканский английский): никакие стороны не параллельны. (В британском английском это когда-то называлось трапеция . Подробнее см. Трапеция § Трапеция против трапеции)
          • Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): как минимум одна пара противоположных сторон параллельна.Трапеции (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
          • Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельна, а углы основания равны в меру. Альтернативные определения: четырехугольник с осью симметрии, разделяющей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
          • Параллелограмм: четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия состоят в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам.Параллелограммы включают ромбы (включая те прямоугольники, которые называются квадратами) и ромбовидные формы (включая те прямоугольники, которые называются продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбы, а значит, также включают все прямоугольники.
          • Ромб, ромб: [2] все четыре стороны равной длины (равносторонние). Эквивалентным условием является то, что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неформально: «сдвинутый квадрат» (но строго с квадратом).
          • Ромбовидный: параллелограмм, у которого смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы наклонены (экв., не имеющий прямых углов). Неформально: «вытянутый продолговатый». Не все ссылки согласны, некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом. [4]
          • Прямоугольник: все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентное условие — диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и продолговатые формы. Неформально: «прямоугольная или продолговатая» (включая квадрат).
          • Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны равной длины (равносторонние), и все четыре угла являются прямыми углами.Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат — параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (то есть с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами).
          • Продолговатый: длина больше ширины или больше длины (т. Е. Прямоугольник, который не является квадратом). [5]
          • Воздушный змей: две пары смежных сторон равной длины. Это означает, что одна диагональ делит змей на равные треугольники, и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере.Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбики.

          • Тангенциальный четырехугольник: четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда противоположные стороны имеют равные суммы.
          • Тангенциальная трапеция: трапеция, четыре стороны которой касаются вписанной окружности.
          • Циклический четырехугольник: четыре вершины лежат на описанной окружности. Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 °.
          • Правый кайт: кайт с двумя противоположными прямыми углами. Это разновидность вписанного четырехугольника.
          • Гармонический четырехугольник: произведения длин противоположных сторон равны. Это разновидность вписанного четырехугольника.
          • Двухцентровый четырехугольник: он тангенциальный и циклический.
          • Четырехугольник ортодиагональный: диагонали пересекаются под прямым углом.
          • Равноугольный четырехугольник: диагонали одинаковой длины.
          • Вне касательный четырехугольник: четыре продолжения сторон касаются вневписанной окружности.
          • Равновесный четырехугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в расширении пересекаются под углом 60 °.
          • Четырехугольник Вт — четырехугольник с парой противоположных сторон равной длины. [6]
          • Четырехугольник — это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата. [7]
          • Диаметральный четырехугольник — это вписанный четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности.[8]
          • A Четырехугольник Ельмслева — четырехугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах. [9]
          Вогнутые четырехугольники

          В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180 °, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.

          • Строка (или наконечник стрелы) представляет собой вогнутый четырехугольник с двусторонней симметрией, как у воздушного змея, но где один внутренний угол является отражающим. См. Кайт.

          Сложные четырехугольники


          Антипараллелограмм

          Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному: перекрестный четырехугольник , перекрещенный четырехугольник , четырехугольник-бабочка или четырехугольник-бабочка .В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от перекрестка (два острых и два рефлекторных, все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720 ° [10].

          • Скрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): [11] скрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как трапеция)
          • Антипараллелограмм: скрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как параллелограмм)
          • Перекрещенный прямоугольник: антипараллелограмм, стороны которого являются двумя противоположными сторонами и двумя диагоналями прямоугольника, следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон
          • Перекрещенный квадрат: особый случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом.

          Специальные отрезки линии


          Две диагонали выпуклого четырехугольника — это отрезки линии, соединяющие противоположные вершины.

          Два бимедиана выпуклого четырехугольника — это отрезки прямых, которые соединяют середины противоположных сторон. [12] Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

          Четыре солодки выпуклого четырехугольника являются перпендикулярами к одной стороне — через середину противоположной стороны. [13]

          Площадь выпуклого четырехугольника


          Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .

          Тригонометрические формулы

          Площадь может быть выражена тригонометрическими терминами как [14]

          K = pq2sin⁡θ, {\ displaystyle K = {\ tfrac {pq} {2}} \ sin \ theta,}

          , где длины диагоналей равны p и q , а угол между их составляет θ . {2} \ left ({\ tfrac {A + C} {2}} \ right) \ right]}} \ end {align}}}

          , где стороны в последовательности a , b , c , d , где s — полупериметр, а A и C — два (фактически любые два) противоположных угла.Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника — когда A + C = 180 °.

          Другая формула площади с точки зрения сторон и углов, с углом C между сторонами b и c , и A между сторонами a и d , составляет

          К = ad2sin⁡A + bc2sin⁡C. {\ Displaystyle K = {\ tfrac {ad} {2}} \ sin {A} + {\ tfrac {bc} {2}} \ sin {C}.}

          В случае циклического четырехугольника последняя формула принимает вид K = ad + bc2sin⁡A.{2})}} {4}} \ sin {\ varphi}}

          , где x — расстояние между серединами диагоналей, а φ — угол между бимедианами.

          Последняя формула тригонометрической площади, включая стороны a , b , c , d и угол α (между a и b ): [ цитата необходима ]

          К = ab2sin⁡α + 4c2d2- (c2 + d2 − a2 − b2 + 2ab⋅cos⁡α) 24, {\ displaystyle K = {\ tfrac {ab} {2}} \ sin {\ alpha} + { \ tfrac {\ sqrt {4c ^ {2} d ^ {2} — (c ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + 2ab \ cdot \ cos {\ alpha }) ^ {2}}} {4}},}

          , который также можно использовать для площади вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу α ), просто изменив первый знак + на -. {2}}} {2}}.{2}]}} {4}},}

          , если даны длины двух диагоналей и одной бимедианы.

          Векторные формулы

          Площадь четырехугольника ABCD может быть вычислена с помощью векторов. Пусть векторы AC и BD образуют диагонали от A до C и от B до D . Тогда площадь четырехугольника равна

          .
          K = | AC × BD | 2, {\ displaystyle K = {\ tfrac {| \ mathbf {AC} \ times \ mathbf {BD} |} {2}},}

          , что составляет половину величины кросс-произведение векторов AC и BD .В двумерном евклидовом пространстве вектор AC выражается как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x 1 , y 1 ) и BD как ( x 2 , y 2 ), это можно переписать как:

          K = | x1y2 − x2y1 | 2. {\ Displaystyle K = {\ tfrac {| x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} |} {2}}.}

          Диагонали


          Свойства диагоналей в четырехугольниках

          В следующей таблице указано, пересекают ли диагонали некоторых основных четырехугольников пополам, перпендикулярны ли их диагонали и равны ли их диагонали.[25] Список применяется к наиболее общим случаям и исключает названные подмножества.

          Примечание 1: У наиболее распространенных трапеций и равнобедренных трапеций нет перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (не похожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названий четырехугольников.

          Примечание 2: У воздушного змея одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (не похожих) воздушных змеев, в которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются никакими другими названными четырехугольниками).{2} -2bc \ cos {C}}}.}

          Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: [26]

          п знак равно (ac + bd) (ad + bc) −2abcd (cos⁡B + cos⁡D) ab + cd {\ displaystyle p = {\ sqrt {\ frac {(ac + bd) (ad + bc) -2abcd (\ cos {B} + \ cos {D})} {ab + cd}}}}

          и

          q знак равно (ab + cd) (ac + bd) −2abcd (cos⁡A + cos⁡C) ad + bc. {2 } -2abcd \ cos {(A + C)}.}

          Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов для четырехугольника. В циклическом четырехугольнике, где A + C = 180 °, он уменьшается до pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

          Другие метрические соотношения

          Если X и Y являются опорами нормалей от B и D до диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , затем [28] : p.{2} |} {2p}}.}

          В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , и где диагонали пересекаются в E ,

          efgh (a + c + b + d) (a + c − b − d) = (agh + cef + beh + dfg) (agh + cef − beh − dfg) {\ displaystyle efgh (a + c + b + d) (a + cbd) = (agh + cef + beh + dfg) (agh + cef-beh-dfg)}

          , где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE .{2} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ end {bmatrix}} = 0.}

          Биссектрисы угла


          Биссектрисы внутреннего угла выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник [23] : p.127 (т.е. , четыре точки пересечения смежных биссектрис угла совпадают) или они совпадают. В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником.

          В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы углов A и C пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы углов B и D пересекаются на диагонали AC .[30]

          Бимедианс


          Вариньон параллелограмм EFGH

          Бимедианы четырехугольника — это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон. Пересечение бимедианов — это центр тяжести вершин четырехугольника. [14]

          Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона. Он имеет следующие свойства:

          • Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
          • Сторона параллелограмма Вариньона в два раза короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
          • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. [31]
          • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.
          • Диагонали параллелограмма Вариньона — это бимедианы исходного четырехугольника.

          Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, параллельны и все делятся пополам своей точкой пересечения. [23] : p.125

          В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c , равна

          . {2}}}}

          , где p и q — длина диагоналей.{2}}}.}

          Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах — это не те две, которые соединяет бимедиана.

          В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойная связь между бимедианами и диагоналями: [28]

          • Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны.
          • Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

          Тригонометрические тождества


          Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам: [33]

          sin⁡A + sin⁡B + sin⁡C + sin⁡D = 4sin⁡A + B2sin⁡A + C2sin⁡A + D2 {\ displaystyle \ sin {A} + \ sin {B} + \ sin {C } + \ sin {D} = 4 \ sin {\ frac {A + B} {2}} \ sin {\ frac {A + C} {2}} \ sin {\ frac {A + D} {2} }}
          ,
          ,

          и

          tanAtan⁡B − tan⁡Ctan⁡Dtan⁡Atan⁡C − tan⁡Btan⁡D = tan⁡ (A + C) tan⁡ (A + B).{\ displaystyle {\ frac {\ tan {A} \ tan {B} — \ tan {C} \ tan {D}} {\ tan {A} \ tan {C} — \ tan {B} \ tan {D }}} = {\ frac {\ tan {(A + C)}} {\ tan {(A + B)}}}.}

          Также, [34]

          tan⁡A + tan⁡B + tan⁡C + tan⁡Dcot⁡A + cot⁡B + cot⁡C + cot⁡D = tan⁡Atan⁡Btan⁡Ctan⁡D. {\ Displaystyle {\ frac {\ tan {A} + \ tan {B} + \ tan {C} + \ tan {D}} {\ cot {A} + \ cot {B} + \ cot {C} + \ cot {D}}} = \ tan {A} \ tan {B} \ tan {C} \ tan {D}.}

          В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым, поскольку tan 90 ° не определен.{2})}}} с равенством только для прямоугольника. [16]

          Из формулы Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет

          K≤ (s − a) (s − b) (s − c) (s − d) {\ displaystyle K \ leq {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}

          с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный или вырожденный, так что одна сторона равна сумме трех других (он свернулся в отрезок прямой, поэтому площадь равна нулю).

          Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству [36]

          K≤12 (ab + cd) (ac + bd) (ad + bc) 3.{2},}

          с равенством только в случае квадрата.

          Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

          K≤12pq {\ displaystyle K \ leq {\ tfrac {1} {2}} pq}

          для диагоналей p и q , с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

          Пусть a , b , c , d будут длинами сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K и диагоналями AC = p , BD = q .{2}}

          где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом.

          Эйлер также обобщил теорему Птолемея, которая является равенством в вписанном четырехугольнике, в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

          pq≤ac + bd {\ displaystyle pq \ leq ac + bd}

          где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является циклическим. {2},}

          с равенством, выполняемым тогда и только тогда, когда диагонали равны.{2}}

          где К — площадь выпуклого четырехугольника с периметром L . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Двойственная теорема утверждает, что из всех четырехугольников с заданной площадью квадрат имеет самый короткий периметр.

          Четырехугольник с заданной длиной сторон и максимальной площадью является вписанным четырехугольником. [41]

          Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь.[36] : p.119 Это прямое следствие того факта, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет

          K = 12pqsin⁡θ≤12pq, {\ displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} pq \ sin {\ theta} \ leq {\ tfrac {1} {2}} pq,}

          где θ — угол между диагоналями p и q . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда θ = 90 °.

          Если P — внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

          AP + BP + CP + DP≥AC + BD.{\ displaystyle AP + BP + CP + DP \ geq AC + BD.}

          Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, которая минимизирует сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. [42] : p.120

          Замечательные точки и линии в выпуклом четырехугольнике


          Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» получается из рассмотрения четырехугольника как пустого, но с равными массами в вершинах.«Боковой центроид» исходит из рассмотрения сторон, имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), происходит от рассмотрения поверхности четырехугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, как правило, не одно и то же. [43]

          «Центроид вершины» — это пересечение двух бимедианов. [44] Как и в случае любого многоугольника, координаты x и y центроида вершины являются средним арифметическим для координат вершин x и y .

          «Центроид площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G a , G b , G c , G d центроиды треугольников BCD , ACD , ABD , соответственно. Тогда «центр тяжести площади» — это пересечение линий G a G c и G b G d .[45]

          В общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогий с центром описанной окружности и ортоцентром треугольника. Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O a , O b , O c , O d будут центрами окружности треугольников BCD , ACD , ABD , соответственно. и обозначим как H a , H b , H c , H d ортоцентры в тех же треугольниках.Тогда пересечение линий O a O c и O b O d называется квазиокружным центром, а пересечение линий H a H c и H b H d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. [45] Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O коллинеарны в этом порядке, и HG = 2 GO .[45]

          Также можно определить центр квазининной точки E как пересечение линий E a E c и E b E d , где E a , E b , E c , E d — центры девяти точек треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда E — это середина OH .[45]

          Еще одна замечательная линия в выпуклом четырехугольнике без параллелограмма — это линия Ньютона, которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центром тяжести вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона) — это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центром тяжести вершины. Эта линия примечательна тем, что содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центр тяжести (площади) в соотношении 3: 1.[46]

          Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q точки пересечения AD и BC и AB и CD , соответственно, окружности (PAB), (PCD), (QAD ), и (QBC) проходят через общую точку M , называемую точкой Микеля. [47]

          Для выпуклого четырехугольника ABCD , в котором E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω будет окружностью, проходящей через E и F , который соответствует CB внутри на M и DA внутри на N .Пусть CA снова встретится с ω на L и пусть DB снова встретится с ω на K . Тогда имеет место: прямые NK и ML пересекаются в точке P , которая находится на стороне AB ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , которая находится на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD .[48] [49] [50]

          Другие свойства выпуклых четырехугольников


          • Пусть внешние квадраты нарисованы со всех сторон четырехугольника. Сегменты, соединяющие центры противоположных квадратов, (а) равны по длине и (б) перпендикулярны. Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника. Это называется теоремой Ван Обеля.
          • Для любого простого четырехугольника с заданной длиной ребра существует вписанный четырехугольник с такой же длиной ребра. [41]
          • Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.[51]

          Таксономия


          Таксономия четырехугольников с использованием диаграммы Хассе.

          Иерархическая таксономия четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы являются частными случаями более высоких классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент — трапеция). Повсюду используются инклюзивные определения.

          Косые четырехугольники


          (Красные) боковые края четырехугольного дисфеноида представляют собой правильный зигзагообразный скошенный четырехугольник

          Непланарный четырехугольник называется косым четырехугольником .Формулы для вычисления его двугранных углов из длин ребер и угла между двумя соседними ребрами были выведены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан, которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. [52] Исторически термин грубый четырехугольник также использовался для обозначения скошенного четырехугольника [53]. Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образуют (возможно, нерегулярный) тетраэдр, и, наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, где пара противоположных ребер удалена.

          См. Также


          Список литературы


          1. «Список геометрических и тригонометрических символов». Математическое хранилище . 2020-04-17. Проверено 2 сентября 2020.
          2. «Четырехугольники — квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм». www.mathsisfun.com . Проверено 2 сентября 2020.
          3. Мартин, Джордж Эдвард (1982), Геометрия преобразований , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Теорема 12.1, стр. 120, DOI: 10.1007 / 978-1-4612-5680-9, ISBN 0-387--3 , MR 0718119
          4. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинального (PDF) 14 мая 2014 года. Проверено 20 июня 2013 года. CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка)
          5. http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calrect.htm
          6. Keady, G .; Весы, П .; Немет, С. З. (2004). «Ваттные связи и четырехугольники». Математический вестник . 88 (513): 475–492. DOI: 10.1017 / S0025557200176107.
          7. Джоббингс, А. К. (1997). «Четырехугольники». Математический вестник . 81 (491): 220–224. DOI: 10.2307 / 3619199. JSTOR 3619199.
          8. Борегар Р. А. (2009). «Диаметральные четырехугольники с двумя равными сторонами». Математический журнал колледжа . 40 (1): 17–21. DOI: 10.1080 / 07468342.2009.111. S2CID 122206817. ,
          9. ,
          10. , , Хартсхорн, Р. (2005). Геометрия: Евклид и за его пределами .Springer. С. 429–430. ISBN 978-1-4419-3145-0 .
          11. Звезды: второй взгляд
          12. Батлер, Дэвид (2016-04-06). «Скрещенная трапеция». Разбирайся в своих мыслях . Проверено 13 сентября 2017.
          13. E.W. Weisstein. «Бимедиан». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram.
          14. E.W. Weisstein. «Мальтитуд». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram.
          15. Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». мир математики.wolfram.com . Проверено 2 сентября 2020.
          16. Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 86, июль 2002 г., 310–311.
          17. Джозефссон, Мартин (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF), Forum Geometricorum , 13 : 17–21 .
          18. Р. А. Джонсон, Advanced Euclidean Geometry , 2007, Dover Publ., P. 82.
          19. Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.
          20. Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула для определения площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347.
          21. E.W. Weisstein. «Формула Бретшнейдера». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram.
          22. Арчибальд, Р. К., «Площадь четырехугольника», American Mathematical Monthly , 29 (1922) стр. 29–36.
          23. Джозефссон, Мартин (2011), «Площадь двухцентрового четырехугольника» (PDF), Forum Geometricorum , 11 : 155–164 .
          24. Altshiller-Court, Натан, College Geometry , Dover Publ., 2007.
          25. Josefsson, Martin (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), С. 505–508.
          26. Кале, Дженнифер, Геометрия: основные идеи, по состоянию на 28 декабря 2012 г.
          27. Рашид, М. А. и Аджибаде, А. О., «Два условия, при которых четырехугольник является циклическим, выраженным в терминах длин его сторон», Int. Дж.Математика. Educ. Sci. Technol. , т. 34 (2003) нет. 5. С. 739–799.
          28. Андрееску, Титу и Андрица, Дориан, Комплексные числа от A до … Z , Биркхойзер, 2006, стр. 207–209.
          29. Джозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF), Forum Geometricorum , 12 : 13–25 .
          30. Хоэн, Ларри (2011), «Новая формула для диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF), Forum Geometricorum , 11 : 211–212 .
          31. Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.
          32. Х. С. М. Кокстер и С. Л. Грейцер, Возвращение к геометрии, МАА, 1967, стр. 52–53.
          33. Матееску Константин, Ответ на Неравенство диагонали
          34. К. В. Дурелл и А. Робсон, Расширенная тригонометрия , Довер, 2003 г., стр. 267.
          35. MathPro Press , «Оригинальные задачи, предложенные Стэнли Рабиновичем 1963–2005», стр.23,
          36. O. Bottema, Geometric Inequalities , Wolters – Noordhoff Publishing, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.
          37. Alsina, Claudi; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Математическая ассоциация Америки, стр. 68 .
          38. Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
          39. Леонард Михай Джуджук, Дао Тхань Оай и Кадир Алтинтас, Неравенство, связанное с длиной и площадью выпуклого четырехугольника , International Journal of Geometry, Vol.7 (2018), No. 1, pp. 81-86,
          40. Josefsson, Martin (2014). «Свойства равдиагональных четырехугольников». Форум Geometricorum . 14 : 129–144.
          41. Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum» ,.
          42. Питер, Томас, «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , Vol. 34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
          43. Alsina, Claudi; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику .Математическая ассоциация Америки. С. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1 .
          44. Кинг, Джеймс, Два центра масс четырехугольника « Проверено 15 апреля 2012 г.
          45. Хонсбергер, Росс, Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. Доц. Америк., 1995, с. 35–41.
          46. Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных линиях, связанных с четырехугольником» (PDF), Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .
          47. https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf
          48. Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 198. ISBN 9780883858394 .
          49. Дэвид, Фрайвер (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные в циклический четырехугольник», The Mathematical Gazette , 103 (557): 233–239, DOI: 10.1017 / mag.2019.54 .
          50. Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определенных кругами точек Паскаля», Journal for Geometry and Graphics , 23 : 5–27 .
          51. Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства круга точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF), Forum Geometricorum , 17 : 509–526 .
          52. Йозефссон, Мартин, «Характеристики трапеций», Forum Geometricorum 13 (2013) 23–35.
          53. Barnett, M. P .; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии . 106 (1): 215–227. DOI: 10.1002 / qua.20807.
          54. Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). «О некоторых результатах, полученных кватернионным анализом в отношении надписи» гошей «многоугольников на поверхностях второго порядка» (PDF). Труды Королевской ирландской академии . 4 : 380–387.

          Четырехугольник — HandWiki

          Многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами

          Четырехугольник — это многоугольник в геометрии евклидовой плоскости с четырьмя ребрами (сторонами) и четырьмя вершинами (углами). Другие названия четырехугольника включают четырехугольник (по аналогии с треугольником), четырехугольник (по аналогии с пятиугольником и шестиугольником) и 4-угольник (по аналогии с n -угольник для произвольных значений n ) . {\ circ}.} [/ math]

          Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: ( n — 2) × 180 °.

          Все несамопересекающиеся четырехугольники накладывают мозаику на плоскость путем многократного вращения вокруг середин своих краев.

          Четырехугольники простые

          Любой четырехугольник, который не является самопересекающимся, является простым четырехугольником.

          Четырехугольники выпуклые

          Диаграмма Эйлера некоторых типов простых четырехугольников. (UK) обозначает британский английский, а (US) обозначает американский английский.Выпуклые четырехугольники по симметрии, представленные диаграммой Хассе.

          В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

          • Неправильный четырехугольник (британский английский) или трапеция (североамериканский английский): никакие стороны не параллельны. (В британском английском это когда-то называлось трапеция . Подробнее см. Трапеция § Трапеция против трапеции)
          • Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): как минимум одна пара противоположных сторон параллельна.Трапеции (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
          • Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельна, а углы основания равны в меру. Альтернативные определения: четырехугольник с осью симметрии, разделяющей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
          • Параллелограмм: четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия состоят в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам.Параллелограммы включают ромбы (включая те прямоугольники, которые называются квадратами) и ромбовидные формы (включая те прямоугольники, которые называются продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбы, а значит, также включают все прямоугольники.
          • Ромб, ромб: [2] все четыре стороны равной длины (равносторонние). Эквивалентным условием является то, что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неформально: «сдвинутый квадрат» (но строго с квадратом).
          • Ромбовидный: параллелограмм, у которого смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы наклонены (экв., не имеющий прямых углов). Неформально: «вытянутый продолговатый». Не все ссылки согласны, некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом. [3]
          • Прямоугольник: все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентное условие — диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и продолговатые формы. Неформально: «прямоугольная или продолговатая» (включая квадрат).
          • Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны равной длины (равносторонние), и все четыре угла являются прямыми углами.Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат — параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (то есть с четырьмя равными сторонами и четырьмя равными углами).
          • Продолговатый: длиннее ширины или шире длины (т. Е. Прямоугольник, который не является квадратом). [4]
          • Воздушный змей: две пары смежных сторон равной длины. Это означает, что одна диагональ делит змей на равные треугольники, и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере.Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбики.

          • Тангенциальный четырехугольник: четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда противоположные стороны имеют равные суммы.
          • Тангенциальная трапеция: трапеция, четыре стороны которой касаются вписанной окружности.
          • Циклический четырехугольник: четыре вершины лежат на описанной окружности. Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 °.
          • Правый кайт: кайт с двумя противоположными прямыми углами. Это разновидность вписанного четырехугольника.
          • Гармонический четырехугольник: произведения длин противоположных сторон равны. Это разновидность вписанного четырехугольника.
          • Двухцентровый четырехугольник: он тангенциальный и циклический.
          • Четырехугольник ортодиагональный: диагонали пересекаются под прямым углом.
          • Равноугольный четырехугольник: диагонали одинаковой длины.
          • Вне касательный четырехугольник: четыре продолжения сторон касаются вневписанной окружности.
          • Равновесный четырехугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в расширении пересекаются под углом 60 °.
          • Четырехугольник Вт — четырехугольник с парой противоположных сторон равной длины. [5]
          • Четырехугольник — это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата. [6]
          • Диаметральный четырехугольник — это вписанный четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности. [7]
          • A Четырехугольник Ельмслева — четырехугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах. [8]

          Вогнутые четырехугольники

          В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180 °, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.

          • Строка (или наконечник стрелы) представляет собой вогнутый четырехугольник с двусторонней симметрией, как у воздушного змея, но где один внутренний угол является отражающим. См. Кайт.

          Сложные четырехугольники

          Самопересекающийся четырехугольник называется по-разному: перекрестный четырехугольник , перекрещенный четырехугольник , четырехугольник-бабочка или четырехугольник-бабочка . В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от перекрестка (два острых и два рефлекторных, все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720 °. [9]

          • Скрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): [10] скрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как трапеция)
          • Антипараллелограмм: скрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как параллелограмм)
          • Перекрещенный прямоугольник: антипараллелограмм, стороны которого являются двумя противоположными сторонами и двумя диагоналями прямоугольника, следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон
          • Перекрещенный квадрат: особый случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом

          Специальные отрезки линии

          Две диагонали выпуклого четырехугольника — это отрезки прямых, соединяющих противоположные вершины.

          Два бимедиана выпуклого четырехугольника — это отрезки прямых, которые соединяют середины противоположных сторон. [11] Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

          Четыре солоды выпуклого четырехугольника являются перпендикулярами к одной стороне — через середину противоположной стороны. [12]

          Площадь выпуклого четырехугольника

          Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .

          Тригонометрические формулы

          Площадь можно выразить тригонометрическими терминами как [13]

          [math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} pq \ cdot \ sin \ theta,} [/ math]

          , где длины диагоналей равны p и q и угол между ними составляет θ . [14] В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к [math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} pq} [/ math] с θ составляет 90 °. 2 \ left (\ tfrac {A + C} {2} \ right) \ right]} \ end {align}} [/ math]

          , где стороны в последовательности a , b , c , d , где s — полупериметр, а A и C — это два (фактически любые два) противоположных угла.Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника — когда A + C = 180 °.

          Другая формула площади с точки зрения сторон и углов, с углом C между сторонами b и c , и A между сторонами a и d , имеет вид

          [математика] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} ad \ cdot \ sin {A} + \ tfrac {1} {2} bc \ cdot \ sin {C}. } [/ math]

          В случае циклического четырехугольника последняя формула становится [math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} (ad + bc) \ sin {A}.2)} \ sin {\ varphi}} [/ math]

          , где x — это расстояние между серединами диагоналей, а φ — угол между бимедианами. 2}.2]},} [/ math]

          , если заданы длины двух диагоналей и одного бимедиана.

          Векторные формулы

          Площадь четырехугольника ABCD может быть вычислена с помощью векторов. Пусть векторы AC и BD образуют диагонали от A до C и от B до D . Тогда площадь четырехугольника равна

          [math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} | \ mathbf {AC} \ times \ mathbf {BD} |,} [/ math]

          , что составляет половину величины перекрестного произведения векторов AC и BD .В двумерном евклидовом пространстве вектор AC выражается как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x 1 , y 1 ) и BD как ( x 2 , y 2 ), это можно переписать как:

          [математика] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} | x_1 y_2 — x_2 y_1 |. } [/ math]

          Диагонали

          Свойства диагоналей некоторых четырехугольников

          В следующей таблице указано, пересекают ли диагонали некоторых основных четырехугольников пополам, перпендикулярны ли их диагонали и равны ли их диагонали. [24] Список применяется к наиболее общим случаям и исключает названные подмножества.

          Примечание 1: У наиболее распространенных трапеций и равнобедренных трапеций нет перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (не похожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не имеют других названий четырехугольников.

          Примечание 2: У воздушного змея одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (не похожих) воздушных змеев, в которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются никакими другими названными четырехугольниками).2-2bc \ cos {C}}. } [/ math]

          Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: [25]

          [математика] \ displaystyle {p = \ sqrt {\ frac {(ac + bd) (ad + bc) -2abcd (\ cos {B} + \ cos {D})} {ab + cd}}} [ / math]

          и

          [математика] \ displaystyle {q = \ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ac + bd) -2abcd (\ cos {A} + \ cos {C})} {ad + bc}}. 2-2abcd \ cos {(A + C)}.} [/ math]

          Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов для четырехугольника. В циклическом четырехугольнике, где A + C = 180 °, он уменьшается до pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

          Прочие метрические соотношения

          Если X и Y являются опорами нормалей от B и D до диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , затем [27] : p.2 |} {2p}. } [/ math]

          В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , и где диагонали пересекаются в точке E ,

          [математика] \ displaystyle {efgh (a + c + b + d) (a + cbd) = (agh + cef + beh + dfg) (agh + cef-beh-dfg)} [/ math]

          где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE .2 & 0 & 1 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 0 \ end {bmatrix} = 0.} [/ math]

          Биссектриса угла

          Биссектрисы внутреннего угла выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник [22] : p.127 (то есть четыре точки пересечения биссектрис смежных углов параллельны), либо они совпадают. В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником.

          В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы углов A и C пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы B и D пересекаются на диагонали AC . [29]

          Бимедианс

          Параллелограмм Varignon EFGH

          Бимедианы четырехугольника — это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон. Пересечение бимедианов — это центр тяжести вершин четырехугольника. [13]

          Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона. Обладает следующими свойствами:

          • Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
          • Сторона параллелограмма Вариньона в два раза короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
          • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. [30]
          • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.
          • Диагонали параллелограмма Вариньона — это бимедианы исходного четырехугольника.

          Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, параллельны и делятся пополам своей точкой пересечения. [22] : p.125

          В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d , длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c — это

          [математика] \ displaystyle {m = \ tfrac {1} {2} \ sqrt {-a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2 + d ^ 2 + p ^ 2 + q ^ 2}} [/ math ]

          , где p и q — длина диагоналей.2}. } [/ math]

          Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах — это не те две, которые соединяет бимедиана.

          В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойная связь между бимедианами и диагоналями: [27]

          • Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны.
          • Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

          Тригонометрические идентификаторы

          Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам: [32]

          [математика] \ displaystyle {\ sin {A} + \ sin {B} + \ sin {C} + \ sin {D} = 4 \ sin {\ frac {A + B} {2}} \ sin { \ frac {A + C} {2}} \ sin {\ frac {A + D} {2}}} [/ math]

          и

          [математика] \ displaystyle {\ frac {\ tan {A} \ tan {B} — \ tan {C} \ tan {D}} {\ tan {A} \ tan {C} — \ tan {B} \ tan {D}} = \ frac {\ tan {(A + C)}} {\ tan {(A + B)}}.} [/ math]

          Также, [33]

          [математика] \ displaystyle {\ frac {\ tan {A} + \ tan {B} + \ tan {C} + \ tan {D}} {\ cot {A} + \ cot {B} + \ cot {C} + \ cot {D}} = \ tan {A} \ tan {B} \ tan {C} \ tan {D}. } [/ math]

          В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым, так как tan 90 ° не определен.

          Неравенства

          Площадь

          Если выпуклый четырехугольник имеет следующие друг за другом стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет [34]

          [математика] \ displaystyle {K \ le \ tfrac {1} {4} (a + c) (b + d)} [/ math] с равенством только для прямоугольника.2)}} [/ math] с равенством только для прямоугольника. [15]

          Из формулы Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет

          [math] \ displaystyle {K \ le \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}} [/ math]

          с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является циклическим или вырожденным таким, что сторона равна сумме трех других (она свернулась в отрезок линии, поэтому площадь равна нулю).

          Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству [35]

          [математика] \ displaystyle {\ displaystyle K \ le \ tfrac {1} {2} \ sqrt [3] {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}.2,} [/ math]

          с равенством только в случае квадрата.

          Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

          [math] \ displaystyle {K \ le \ tfrac {1} {2} pq} [/ math]

          для диагоналей p и q , с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

          Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K и диагоналями AC = p , BD = q .2} [/ math]

          где равенство выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом.

          Эйлер также обобщил теорему Птолемея, которая является равенством в вписанном четырехугольнике, в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

          [math] \ displaystyle {pq \ le ac + bd} [/ math]

          где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является циклическим. [22] : p.128–129 Это часто называют неравенством Птолемея.2} [/ math]

          где K — площадь выпуклого четырехугольника с периметром L . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Двойственная теорема утверждает, что из всех четырехугольников с заданной площадью квадрат имеет самый короткий периметр.

          Четырехугольник с заданной длиной сторон и максимальной площадью является вписанным четырехугольником. [40]

          Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь. [35] : p.119 Это прямое следствие того факта, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет

          [math] \ displaystyle {K = \ tfrac {1} {2} pq \ sin {\ theta} \ le \ tfrac {1} {2} pq,} [/ math]

          где θ — угол между диагоналями p и q . Равенство выполняется тогда и только тогда, когда θ = 90 °.

          Если P — внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

          [математика] \ displaystyle {AP + BP + CP + DP \ ge AC + BD.} [/ math]

          Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. [41] : p.120

          Замечательные точки и линии в выпуклом четырехугольнике

          Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» получается из рассмотрения четырехугольника как пустого, но с равными массами в вершинах.«Боковой центроид» исходит из рассмотрения сторон, имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), происходит от рассмотрения поверхности четырехугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки, как правило, не одно и то же. [42]

          «Центроид вершины» — это пересечение двух бимедианов. [43] Как и в случае любого многоугольника, координаты x и y центроида вершины являются средним арифметическим для координат вершин x и y .

          «Центр тяжести площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G a , G b , G c , G d центроиды треугольников BCD , ACD , ABD , соответственно. Тогда «центр тяжести площади» — это пересечение линий G a G c и G b G d . [44]

          В общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогий с центром описанной окружности и ортоцентром треугольника. Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O a , O b , O c , O d будут центрами окружности треугольников BCD , ACD , ABD , соответственно. и обозначим как H a , H b , H c , H d ортоцентры в тех же треугольниках.Тогда пересечение линий O a O c и O b O d называется квазиокружным центром, а пересечение линий H a H c и H b H d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. [44] Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O коллинеарны в этом порядке, и HG = 2 GO . [44]

          Также может быть определен центр квазининной точки E как пересечение линий E a E c и E b E d , где E a , E b , E c , E d — центры девяти точек треугольников BCD , ACD , ABD соответственно.Тогда E — это середина OH . [44]

          Еще одна замечательная линия в выпуклом четырехугольнике без параллелограмма — это линия Ньютона, которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центром тяжести вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона) — это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центром тяжести вершины. Эта линия примечательна тем, что содержит центр тяжести (площади).Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центр тяжести (площади) в соотношении 3: 1. [45]

          Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и BC и AB и CD , соответственно, окружности (PAB), (PCD), (QAD), и (QBC) проходят через общую точку M , называемую точкой Микеля. [46]

          Для выпуклого четырехугольника ABCD , в котором E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω — окружность, проходящая через E и F , которая соответствует CB внутри на M и DA внутри на N .Пусть CA снова встретится с ω на L и пусть DB снова встретится с ω на K . Тогда имеет место: прямые NK и ML пересекаются в точке P , которая находится на стороне AB ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , которая находится на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD . [47] [48] [49]

          Прочие свойства выпуклых четырехугольников

          • Нарисуйте внешние квадраты со всех сторон четырехугольника. Сегменты, соединяющие центры противоположных квадратов, (а) равны по длине и (б) перпендикулярны. Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника. Это называется теоремой Ван Обеля.
          • Для любого простого четырехугольника с заданной длиной ребра существует вписанный четырехугольник с такой же длиной ребра. [40]
          • Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. [50]

          Таксономия

          Иерархическая таксономия четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы являются частными случаями более высоких классов, с которыми они связаны.Обратите внимание, что «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент — трапеция). Повсюду используются инклюзивные определения.

          Косые четырехугольники

          (Красные) боковые грани тетрагонального дисфеноида представляют собой правильный зигзагообразный косой четырехугольник.

          Непланарный четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для вычисления его двугранных углов из длин ребер и угла между двумя соседними ребрами были получены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан, которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. [51] Исторически термин грубый четырехугольник также использовался для обозначения скошенного четырехугольника. [52] Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образуют (возможно, нерегулярный) тетраэдр, и, наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, в котором удалена пара противоположных ребер.

          См. Также

          Список литературы

          1. ↑ «Список символов геометрии и тригонометрии» (на английском языке). 2020-04-17. https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/geometry-trigonometry-symbols/.
          2. 2,0 2,1 2,2 «Четырехугольники — квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм». https://www.mathsisfun.com/quadraterals.html.
          3. ↑ «Архивная копия». http://www.cimt.plymouth.ac.uk/resources/topics/art002.pdf.
          4. ↑ http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calrect.htm
          5. ↑ Keady, G .; Весы, П .; Немет, С. З. (2004). «Ваттные связи и четырехугольники». The Mathematical Gazette 88 (513): 475–492.DOI: 10.1017 / S0025557200176107. http://www.m-a.org.uk/jsp/index.jsp?lnk=620.
          6. ↑ Джоббингс, А. К. (1997). «Четырехугольники». The Mathematical Gazette 81 (491): 220–224. DOI: 10.2307 / 3619199.
          7. ↑ Борегар Р. А. (2009). «Диаметральные четырехугольники с двумя равными сторонами». College Mathematics Journal 40 (1): 17–21. DOI: 10.1080 / 07468342.2009.111.
          8. ↑ Хартсхорн Р. (2005). Геометрия: Евклид и за его пределами .Springer. С. 429–430. ISBN 978-1-4419-3145-0.
          9. ↑ Звезды: Второй взгляд
          10. ↑ Батлер, Дэвид (2016-04-06). «Скрещенная трапеция». https://blogs.adelaide.edu.au/maths-learning/2016/04/06/the-crossed-trapezium/.
          11. ↑ E.W. Weisstein. «Бимедиан». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Bimedian.html.
          12. ↑ E.W. Weisstein. «Мальтитуд». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Maltitude.html.
          13. 13.0 13,1 13,2 13,3 Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник» (на английском языке). https://mathworld.wolfram.com/Quadrateral.html.
          14. ↑ Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 86, июль 2002 г., 310–311.
          15. 15,0 15,1 15,2 Йозефссон, Мартин (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников», Forum Geometricorum 13 : 17–21, http: // forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf.
          16. ↑ Р. А. Джонсон, Advanced Euclidean Geometry , 2007, Dover Publ., Стр. 82.
          17. ↑ Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.
          18. ↑ Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула для определения площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347.
          19. ↑ E.W. Weisstein. «Формула Бретшнейдера». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram.http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html.
          20. ↑ Арчибальд, Р. К., «Площадь четырехугольника», American Mathematical Monthly , 29 (1922) стр. 29–36.
          21. 21,0 21,1 Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь двухцентрового четырехугольника», Forum Geometricorum 11 : 155–164, http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116. pdf.
          22. 22,0 22,1 22,2 22.3 22,4 22,5 Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publ., 2007.
          23. 23.0 23.1 Josefsson, Martin (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), стр. 505–508.
          24. ↑ Кале, Дженнифер, Геометрия: основные идеи, [1], по состоянию на 28 декабря 2012 г.
          25. ↑ Rashid, M. A. & Ajibade, A. O., «Два условия для того, чтобы четырехугольник был вписанным, выраженный в терминах длин его сторон», Int.J. Math. Educ. Sci. Technol. , т. 34 (2003) нет. 5. С. 739–799.
          26. ↑ Андрееску, Титу и Андрица, Дориан, Комплексные числа от A до … Z , Birkhäuser, 2006, стр. 207–209.
          27. 27,0 27,1 Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников», Forum Geometricorum 12 : 13–25, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf.
          28. ↑ Хоэн, Ларри (2011), «Новая формула относительно диагоналей и сторон четырехугольника», Forum Geometricorum 11 : 211–212, http: // forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201122.pdf.
          29. ↑ Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.
          30. ↑ Х. С. М. Кокстер и С. Л. Грейцер, Возвращение к геометрии, МАА, 1967, стр. 52–53.
          31. ↑ Матееску Константин, Ответ на Неравенство диагонали
          32. ↑ C.V.Durell & A. Robson, Advanced Trigonometry , Dover, 2003, p. 267.
          33. MathPro Press , «Оригинальные задачи, предложенные Стэнли Рабиновичем 1963–2005», стр.23, [2]
          34. ↑ O. Bottema, Geometric Inequalities , Wolters – Noordhoff Publishing, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.
          35. 35,0 35,1 35,2 35,3 Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств , Математическая ассоциация Америки, стр. 68.
          36. ↑ Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
          37. ↑ Леонард Михай Джуджук, Дао Тхань Оай и Кадир Алтинтас, Неравенство, связанное с длиной и площадью выпуклого четырехугольника , Международный журнал геометрии, Vol.7 (2018), № 1, стр. 81 — 86, [3]
          38. ↑ Йозефссон, Мартин (2014). «Свойства равдиагональных четырехугольников». Forum Geometricorum 14 : 129–144. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html.
          39. 39,0 39,1 Неравенства, предложенные в «Crux Mathematicorum» , [4].
          40. 40,0 40,1 Питер Томас, «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , Vol.34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
          41. ↑ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки. С. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1.
          42. ↑ King, James, Два центра масс четырехугольника , [5], доступ 2012-04-15.
          43. ↑ Хонсбергер, Росс, Эпизоды Евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. Доц. Америк., 1995, с.35–41.
          44. 44,0 44,1 44,2 44,3 Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных линиях, связанных с четырехугольником», Forum Geometricorum 6 : 289–295, http: // forumgeom. fau.edu/FG2006volume6/FG200634.pdf.
          45. ↑ https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf
          46. ↑ Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки.С. 198. ISBN 9780883858394.
          47. ↑ Дэвид, Фрайверт (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные в круговой четырехугольник», The Mathematical Gazette 103 (557): 233–239, DOI: 10.1017 / mag.2019.54.
          48. ↑ Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определенных кругами точек Паскаля», Journal for Geometry and Graphics 23 : 5–27, http: //www.heldermann .de / JGG / JGG23 / JGG231 / jgg23002.htm.
          49. ↑ Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства круга точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями», Forum Geometricorum 17 : 509–526, http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748. pdf.
          50. ↑ Йозефссон, Мартин, «Характеристики трапеций», Forum Geometricorum 13 (2013) 23–35.
          51. ↑ Barnett, M. P .; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии 106 (1): 215–227.DOI: 10.1002 / qua.20807.
          52. ↑ Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). «О некоторых результатах кватернионного анализа надписи» гошей «многоугольников на поверхностях второго порядка». Proceedings of the Royal Irish Academy 4 : 380–387. http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Gauche/Gauche1.pdf.

          Внешние ссылки

          .

          Полярная система координат построение графиков: Построить график в полярных координатах на плоскости

          Построение графиков функций в полярной системе координат — МегаЛекции

              
            
           
           

           

          Рисунок 19

          Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом, и полупрямой , называемой полярной осью.

          Положение точки M в полярной системе координат определяется расстоянием r (полярным радиусом) от точки M до полюса и углом j (полярным углом) между полярной осью и вектором . (рисунок 19).

          Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки M , что записывается в виде M(r,j). Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

          — в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

           

          — в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

          Связь между декартовыми и полярными координатами

          Пару полярных координат r и j можно перевести в Декартовы координаты x и y по следующим фомулам:

          Обратно, полярный радиус r можно найти, зная декартовы координаты x и y , по теореме Пифагора (см. Рис. ??):

          ,

          а полярный угол j в диапазоне [0, 2p), находится при помощи обратной (к тангенсу) тригонометрической функции арктангенс:

           

          Пример № 2. Построить график функции r(j) = 2.

          1. Задаём значения j в градусах в диапазоне [0, 2p] с шагом в 5 градусов с использованием автозаполнения (см. Приложение 1).

          2. Перевести j из градусов в радианы с использованием функции РАДИАНЫ (см. Приложение 2).

          3. Рассчитать значения r(jрад).

          4. По значениям jрад и r(jрад) рассчитать декартовы координаты x и y.

          5. По рассчитанным значениям x и y построить график, выбрав тип диаграммы Точечная.

           

           

          Рисунок 20. Результаты расчёта

           

          Рисунок 21. График функции r(j) = 2

          Задание № 4

          С помощью пакета Microsoft Excel построить график функций, приведенные в Приложении 5 соответственно варианту. Порядок расчета и результат оформить в виде отчета, содержащего следующие пункты:

          a. Первый лист: Титульный лист – пример оформления см в приложении 6,

          b. Привести текст задания,

          c. Привести расчётные формулы и результаты расчёта,

          d. График построенной функции,

          e. Указать полярные координаты точки графика, заданной преподавателем.

           

          Построение графиков функций с использованием логарифмической шкалы.

          расстояния

          Шкала называетсялогарифмической,если метками шкалы являются числа, а расстояния между метками –пропорциональны логарифму отношения величин отмеченных на концах этого отрезка (в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах ). Ни нуль, ни отрицательные числа не могут быть показаны на логарифмической шкале (см. рисунок 22)

          Рисунок 22

          Логарифмическая шкала исключительно удобна для отображения очень больших диапазонов значений величин.

          Пример № 3. Построить график функции . в диапазоне значений [-5, 5] и определить по графику значение функции для х = -3.6 и х = 4.

          1. Задаём значения х в диапазоне [-5, 5] с шагом 0.5 с использованием автозаполнения (см. Приложение 1).

          2. По заданным х рассчитываем значения функции у.

          3. Строим график функции, используя тип диаграммы «точечная» и замечаем, например,что значение функции при отрицательных х очень близко к 0, так что определить его из графика не представляется возможным

          Рисунок 23

          4. Выделяем ось у.

          5. Делаем щелчок правой кнопкой мыши и в раскрывшемся контекстном меню выбираем «формат оси» (см. рисунок 12)

          6. В окне «формат оси» помечаем галочкой логарифмическую шкалу.

          7. Добавить основные и промежуточные линии сетки.

          Результаты представлены на Рисунке 24

          Рисунок 24

          Из рисунка определяем, что для х = -3.6 значение примерно равно 0.02, а для х = 4 .

           

          6.1.Задание № 5.Построить график функций в диапазоне значений [-10, 10] с шагом 0.5 . Уметь из графика определять значение функции для указанного (преподавателем) аргумента. Порядок расчета и результат оформить в виде отчета, содержащего следующие пункты:

          a. Первый лист: Титульный лист – пример оформления см в приложении 6,

          b. Привести текст задания,

          c. Привести графики без использования логарифмической шкалы,

          d. Привести графики с использованием логарифмической шкалы,

          e. Сравнить результаты.

           


          Воспользуйтесь поиском по сайту:

          Построение графиков полярных кривых в Visual Basic

          Образовательные цели урока.

          Сформировать понятие полярной системы координат

        • Закрепить на практике навыки использования графических методов Visual Basic
        • Изучение данной темы рекомендуется проводить после знакомства с графическими возможностями Visual Basic, изучения построения графиков функций в прямоугольной системе координат. Изложение материала сопровождается показом презентации (Презентация).

          1. Понятие полярной системы координат. (Слайд 1)

          Суть задания какой-либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. Например, в декартовой прямоугольной системе это координаты точки (x, y).

          Любая точка на плоскости может быть однозначно определена в различных системах координат. Выбор системы координат зависит от нескольких факторов, например, от способа задания начальных значений при решении задачи, от наглядности представления результата. В некоторых случаях вычисления удобнее проводить в системе координат, отличной от декартовой прямоугольной системы. Существует множество различных систем координат: косоугольная, цилиндрическая, сферическая, биполярная, полярная, прямоугольная и др.

          Одной из наиболее часто используемых наряду с декартовой является полярная система координат.

          Полярная система координат образуется полярным полюсом О и полярной осью, которая представляет луч, проведённый из полюса в направлении слева направо (Рис. 1).

          В полярной системе координат любой точке (например, т. А) соответствует единственная пара полярных координат А(r, f), где r – полярный радиус, f – полярный угол. Таким образом, по заданной паре полярных координат можно однозначно определить положение точки на плоскости.

          Полярный радиус r – отрезок, соединяющий полюс с заданной точкой А.

          Полярный угол f — угол между полярной осью и полярным радиусом. За положительное направление полярного угла f примем направление против часовой стрелки.

          Для перехода от полярных координат к декартовым (слайд 2) нужно совместить полярную и декартову прямоугольную сиcтемы таким образом, чтобы начала их координат совпадали, а полярная ось совпадала с положительным направлением оси абсцисс прямоугольной системы координат. (Рис. 2).

          Тогда получим формулы перехода от полярных координат (r, а) к декартовым (х, у):

          x = r*cos f

          у = r*sin f

          Эти уравнения называются параметрическими.

          Формулы обратного перехода от декартовых координат к полярным:

          r =

          f = arctg (y/x)

          2. Практическая работа. Построение графиков полярных кривых по параметрическим уравнениям

          Задание. 3)

          x = r * Cos(f)

          y = r * Sin(f)

          f I [0, 2*p ]

          4) Фигура Лиссажу

          r = 5

          x = r * Cos(3 * f)

          y = r * Sin(2 * f)

          f I [-p , p ]

          5) k-лепестковая роза

          При чётных значениях k получается 2*k-лепестковая роза, а при нечётных значениях – k-лепестковая роза.

          r = Sin(k * f)

          x = 10 * r * Cos(f)

          y = 10 * r * Sin(f)

          f I [-p ,p ]

          6) Эпициклоида

          x = (a + b) * Cos(f) — a * Cos((a + b) * f / a)

          y = (a + b) * Sin(f) — a * Sin((a + b) * f / a)

          f I [0, 2*p ]

          Значение b вводится с клавиатуры. Значение a примем равным a = b / 3.

          Решение.

          1. Разработка интерфейса проекта (Рис. 3). (Слайд 4)

          Для выбора типа полярной кривой создадим массив переключателей Option1, который разместим в контейнере Frame1. Для построения графика разместим на форме графическое окно Picture1. Для вывода названия графика и параметрических уравнений создадим метку Label2 и текстовое поле Text1. Для управления проектом создадим 3 командные кнопки Command1, Command2, Command3 (Пуск, Сброс, Выход).

          Интерфейс проекта представлен на рис. 3.

          Рис.3. Интерфейс проекта

          2. Для созданных элементов управления установим свойства, приведенные в таблице. (Слайды 5, 6)

          Свойства элементов управления

          Элемент управления Свойство Значение
          Frame1 Caption Выбор типа полярной кривой
          Option1(0) Caption кардиоида
          Option1(1) Caption логарифмическая спираль
          Option1(2) Caption декартов лист
          Option1(3) Caption k-лепестковая роза
          Option1(4) Caption фигура Лиссажу
          Option1(5) Caption эпициклоида
          Label3 Caption Построение полярных кривых
          Label1 Caption График
          Label2 Caption  
          Label1, Label2, Label3 Alignment 2 — center
          Text1 Text  
          Text1 Alignment 0 — left
          Picture1 FillStyle 0 — solid
          Command1 Caption Пуск
          Command2 Caption Выход
          Command3 Caption Сброс

          3. Описание переменных. (Слайд 7)

          x, y – координаты точки, f — угол, r – радиус, a, b, k, q — коэффициенты уравнений, z — переменная для хранения индекса выбранного переключателя, i – параметр цикла для задержки изображения, pi – число Пи.

          В разделе описаний опишем типы выбранных переменных.

          Dim z, k As Integer, f, pi, a, r, b, q As Single, i As Long, x, y As Single

          4. Разработка программного кода. (Слайды 8-13)

          Программный код проекта полностью приведён в Приложении 1.

          Создадим процедуру переключателя Option1_Click для выбора типа полярной кривой. Для этого нужно проанализировать значение свойства Value. У включенного переключателя Value=True. В переменной z запоминаем индекс выбранного переключателя.

          Фрагмент 1

          По кнопке Пуск в зависимости от значения z строим графики полярных кривых. Рассмотрим построение графиков на примере кардиоиды, фигуры Лиссажу и эпициклоиды. Графики остальных кривых вы построите самостоятельно.

          Фрагмент 2

          Графики полярных кривых и параметрические уравнения приведены на слайдах 14-18.

          Задания для самостоятельной работы. (Слайды 19-22)

          Фрагмент 3

          Литература

          1. Глушаков С.В., Мельников В.В., Сурядный А.С. Программирование в среде Windows. Visual Basic 6.0. М.: ООО “Издательство АСТ”, 2001.
          2. Браун С. Visual Basic. Учебный курс. – Спб.: Питер, 2002.
          3. Есипов А.С., Паныгина Н.Н., Громада М.И. Информатика. Задачник. – СПб: Наука и техника, 2001.
          4. Журнал “Информатика и образование”, № 2/2005.

          Построение графика функции, заданной в полярной системе координат. — Информатика, информационные технологии

          Создайте в новом проекте форму «График функции в полярной системе координат»

          1.Условие:

          Построить график функции, заданной в полярной системе координат.

          R=10*(1+cos(t)), где t € [0; 2?] шаг изменения t h=0.01

          2.Программа:

          Результат;

          Сохранитепроект в папкеЛабораторная работа 11/Задание 3.

          Задание 4

          Построение графиков функций

          Создайте в новом проекте форму «Построение графиков функций»

          Создаваемое приложение должно состоять из таблицы для задания списка точек графика функции и графического поля для рисования графика. При этом любое изменение данных в таблице должно вызывать обновление графика.

          Описание работы

          Программа будет состоять из одной формы, на которой необходимо разместить:

          ЭлементCaptionNameДругие свойства
          ФормаПостроение графика функцииChartForm
          Таблица для ввода координат точекStringGridOptions – qoEditing – True ColCount.RowCount – 3
          Панель для расположения диаграммыотсутствуетPanelChart
          Компонент TPaintBox для отображенияграфика функцииPaintBox
          МеткаГрафик функцииLabel1
          МеткаИсходные точкиLabel2
          Панель для отображения ошибок ввода данныхотсутствуетPanelStatus
          КнопкаВыходButtonExitМожно добавить свойство ModalResult — mrOk

          Таблица для ввода координат точек должна автоматически изменять размер в соответствии с количеством уже введенных точек функции. Как это сделать, описано в предыдущих лабораторных работах.

          После ввода данных необходимо сформировать два массива введенных координат X и Y, отсортировать их по оси X, после чего необходимо перерисовать окно с графиком.

          Замечание

          При необходимости перерисовки компонента в ответ на какое-то событие, например, нажатие кнопки, сразу не рисуйте, а вызовите метод Invalidate и создайте обработчик события OnPaint визуального компонента, например, формы или TPaintBox.

          Рассмотрим, как Windows отображает все свои окна.

          Окнами в общем случае являются кнопки, строки ввода, списки и т.д. Они могут находиться друг в друге, например, кнопки в диалоговом окне или окна внутри многодокументного интерфейса. Каждое окно при этом имеет специальную главную управляющую процедуру, которая обрабатывает поступающие от системы сообщения. Некоторые из этих сообщений Delphi преобразует в события, которые можно затем обрабатывать в программе.

          Windows сама никогда не хранит изображения окон, поэтому одним из сообщений является команда о необходимости отображения содержимого окна на экране.

          В нашей программе сразу же после ввода координат точек мы не должны вызывать процедуру рисования. При этом мы должны указать Windows, что как только появится свободное процессорное время, система должна послать сообщение о необходимости реального отображения окна. При таком подходе, если окно приложения будет временно закрыто другим окном и опять станет видимым, система автоматически пошлет сообщение о необходимости восстановления графического изображения в окне.

          В Delphi для указания, что необходимо перерисовать любой элемент управления, нужно вызвать его метод Invalidate.

          Для изображения произвольной графики в Delphi обычно используется компонент TPaintBox, находящийся на закладке System палитры компонентов. Этот компонент имеет событие OnPaint, для которого мы и должны создать обработчик для рисования графика.

          Для прорисовки произвольных изображения используется класс TCanvas(холст), а также методы, позволяющие рисовать графические примитивы (краткое описание свойств и методов объектов для рисования графики приведено выше).

          Для упрощения алгоритма рисования графика будем считать, что обе координаты всех точек попадают в интервал
          [-10, 10]’. Процедура рисования графика при этом распадается на две части:

          -рисование осей координат с засечками и подписями

          -и собственно изображение графика.

          Теперь рассмотрим вопрос автоматического изменения положения и размеров визуальных компонентов при изменении формы. Для этого у компонентов имеются такие свойства, как Align и Anchors. Собственно, свойство Align является подмножеством возможностей свойства Anchors. Свойство Anchors имеет 4 логических подсвойства:

          -akLefn,

          -akTop,

          -akRight,

          -akBotton

          Например, если свойство akRight установлено в True, то правая сторона элемента будет находиться на одинаковом расстоянии от правой стороны содержащей его формы при изменении пользователем ее размера, иначе правая сторона элемента будет находиться на одинаковом расстоянии от левой стороны. При изменении свойства Align на самом деле изменяется свойство Anchors, которое впоследствии и учитывается при изменении размеров.

          Замечание
          По возможности делайте любое окно растягиваемым, но при этом не забывайте отслеживать, чтобы внутренности окна изменялись при изменении его размеров. Для этого используйте свойства Аlign и Anchors.

          Поэкспериментируйте приведенными свойствами и добейтесь, чтобы в нашем приложении график растягивался в размерах при увеличении размеров формы, но в то же время таблица оставалась с правой стороны формы, a кнопка выхода в правом нижнем.Обратите внимание, что процедура рисования графика должна учитывать изменяющийся размер элемента TPaintBox.

          Программа:

          Результат

          На рис. приведен внешний вид запущенного приложения после того, как окно растянуто.

          Сохранитепроект в папкеЛабораторная работа 11/Задание 4.

          Вопросы и задания для самостоятельной работы

          1. Как Windows перерисовывает свои окна?

          2. Как заставить Windows перерисовать какое-то окно?

          3. Для чего используются свойства визуальных компонентов Align и Anchors?

          4. Поместите на форму компоненты для выбора стиля изображения на графике введенных точек (кружочки, квадратики или «не изображать»), толщины и цвета линий. При этом график должен автоматически перерисовываться при изменении этих параметров.

          5. Добавьте кнопку для генерации случайного набора точек.

          Статьи к прочтению:
          • Построение графиков и диаграмм
          • Построение и работа импульсного кольца.

          14 вопросов которые нужно задать до свадьбы? Сатья дас. Карпаты. 3.08.2017


          Похожие статьи:
          • Построение графика функции с двумя и более условиями. 3 страница

            2. Найти с помощью инструмента Подбор параметра корни кубического уравнения с одной переменной согласно своему варианту. Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3….

          • Построение графика функции с двумя и более условиями. 4 страница

            б) Дважды щелкнув имя поля в верхней части окна. в) Щелкнув в столбце в конце строки Поле и из раскрывающегося списка выберать нужное поле. В строке…

          ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАВИСИМОСТЬ КРИВЫХ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ

          ПОСТРОЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАВИСИМОСТЬ КРИВЫХ ОТ КОЭФФИЦИЕНТОВ

          • Авторы
          • Руководители
          • Файлы работы
          • Наградные документы

          Сучков Р.В. 1


          1

          Веретенникова А.Л. 1


          1

          Автор работы награжден дипломом победителя II степени

          Диплом школьникаСвидетельство руководителя

          Текст работы размещён без изображений и формул.
          Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

          Введение

          Конечно же, каждый из нас слышал о таких понятиях как график функции, система координат, гипербола и т. п. Всё это является составляющими темы «Функции», с которой знакомимся мы в школе ещё в среднем звене.

          Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. Этот закон определяется уравнением , и на основе него строится график в плоской системе координат, задаваемой двумя осями X и Y. Двигаясь от 6 до 10 класса, мы усложняли уравнения и графики, вводили новые понятия, но никогда не выходили за рамки основного определения функции и принципа построения графиков. То есть нами не рассматривалась возможность построения, например, такой кривой как трехлепестковая полярная роза. Единственным, наверное, примером кривой (не функции) была окружность, которая встречалась нам как тригонометрии, так и при решении задания №18 с параметром в ЕГЭ. В 10-м классе на уроке информатики в рамках работы в табличном процессоре я столкнулся с построением графиков функций, и чтобы расширить область преподаваемого нам материала, заглянул за рамки заданных ограничений. В этом и заключается одна из целей, поставленных в данной работе — расширить знания по теме графики, попрактиковаться в области их построения. Таким образом, объектом моего исследования стали кривые II порядка — графики, в уравнениях которых нет такой строгой зависимости Y от X, как в функциях. Другим предметом моего исследования являются системы координат прямоугольная и полярная, а именно связь между декартовыми и полярными координатами.

          Вот главная цель работы: построить графики кривых II порядка в полярной системе координат, а также выяснить, как различаются их графики в зависимости от варьирования коэффициентов и параметров функций. Для достижения целей работы было поставлено несколько задач:

          • пополнить знания о стандартных (невырожденных) кривых II порядка: эллипс, параболу, гиперболу;

          • рассмотреть нестандартные кривые II порядка;

          • познакомиться с полярной системой координат и сопоставить с декартовой, уже изучавшейся в школе.

          Процесс решения каждой из задач был разбит на 2 этапа:

          • изучение и разбор теоретического материала, знакомство с новыми понятиями;

          • применение полученных знаний на практике, построение графиков.

          1.Исследование кривых второго порядка 1.1. Стандартные кривые II порядка

          Историческая справка: впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур. Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а при достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

          Алгебраической кривой второго порядка называется кривая , уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид , где не все коэффициенты А, В и С равны одновременно нулю (иначе — прямая, т.е. алгебраическая кривая первого порядка). Кривые второго порядка делятся на вырожденные и невырожденные. Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Если же кривая невырожденная, то для неё найдётся такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих трёх видов:

          Эллипс, гипербола, парабола

          Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Фокусы эллипса обозначают буквами и , расстояние между ними — через . По определению эллипса .

          Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусам, одинаково и равно

          Параболой называется множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны. С гиперболой мы часто сталкиваемся в повседневной жизни. По параболистической траектории летит брошенный вверх камень, отскакивает мяч от пола, движутся планеты вокруг Солнца.

          1.2. Системы координат

          Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Знания обычного человека в большинстве случаев ограничиваются одной-двумя системами координат. На самом же деле их существует великое множество: прямоугольная, полярная, аффинная, сферическая, цилиндрическая и т.д. На одном из уроков алгебры мы затрагивали кое-какие из них, а в этом исследовании я решил сопоставить две: прямоугольную (ёще называющуюся декартовой) и полярную (как хорошо знакомую и в корне отличающуюся).

          1.2.1. Декартова система координат

          Прямоугольная, или Декартова, система координат — прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям. Названа по имени Р Декарта. Это наиболее простая и поэтому часто используемая система координат как на плоскости, так и в пространстве.

          Историческая справка: Декарт впервые ввел координатную систему в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Она существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.

          Данная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX и OY. Эти оси пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для обеих осей. Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY. Четыре угла — четверти (I, II, III, IV) — образованные осями координат OX и OY, называются координатными углами.

          1.2.2. Полярная система координат

          Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

          Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

          Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

          1.2.3. Связь между декартовыми и полярными координатами

          Пару полярных координат и можно перевести в Декартовы координаты x и y путём применения тригонометрических функций синуса и косинуса:

          в то время как две декартовы координаты x и y могут быть переведены в полярную координату :

          (по теореме Пифагора).

          1.3. Нестандартные кривые второго порядка

          Просмотрев этот раздел, неосведомлённый человек может подумать, что часть нестандартных кривых второго порядка можно спокойно отнести к стандартным, другая же часть не имеет с ними ничего общего. Некоторые из них действительно представляют собой красивые витиеватые узоры, но некоторые выглядят как-то слишком просто, без изысков. Конечно, такое мнение имеет место существовать. Но ведь дело в степени и области применения кривых: одни встречаются постоянно, другие — только в узких специализированных целях — и в сложности уравнения. Хотелось бы в этом разделе рассмотреть наиболее интересные кривые: спираль Архимеда, улитка Паскаля, Розы Гранди. В разделе «Кривые II порядка в полярной системе координат» я перевел графики в другую полярную систему координат и построил их с помощью табличного процессора.

          Кривые второго порядка в полярной системе координат

          Эта часть является самой главной в моей работе, так как в ней описывается построение графиков в полярной системе координат в табличном процессоре MSExcel 2007. Выполняя построения мы старались акцентировать внимание на красоте математики, на том насколько все гениальное просто, ведь математика это предметная область, в которой все для жизни.

          Полярная роза (Розы Гранди)

          Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах: ,

          для произвольной постоянной (включая 0). Если — целое число, то это уравнение будет определять розу с лепестками для нечётных, либо с лепестками для чётных . Если — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная определяет длину лепестков.

          Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном мы будем иметь — лепестковую розу. Таким образом, уравнение будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

          — трехлепестковая роза

          — клевер

           
               

          — космея

           

          Два графика в одной системе

               

          Улитка Паскаля

          Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

          Уравнение в полярных координатах:

          Здесь — диаметр исходной окружности, а — расстояние, на которое смещается точка вдоль радиус-вектора.

          В зависимости от диапазона получаются следующие графики

               

          Спираль Архимеда

          Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

          Изменения параметра приводят к повороту спирали, а параметра — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для >0, а другую для

          Просмотров работы: 635

          Построение графиков и эпюр в MathCad 13, 14, 15 на примерах. Декартовая и полярная системма координат

          В статье рассмотрены основные возможности построения графиков в программе mathcad. Для инженерных и студенческих расчетов, как правило, достаточно знать следующие методы построения графиков:

          • График по заданным точкам
          • График функции
          • Построение эпюры (распределение физической величины)
          • График функции в полярных координатах

          Построение графика по точкам

          Чтобы построить график по точкам в декартовой системе координат необходимо задаться исходными данными. Создадим две матрицы-столбца, назовем их X и Y соответственно и заполним их значениями. Для создания матриц-столбцов воспользйтесь панелью Matrix. В панели matrix нажмите на кнопку под названием Matrix and vector. В появившемся окне введите количество строк и столбцов. Для матрицы-столбца количество столбцов будет очевидно ровно одному. Количество строк зависит от количества точек. В нашем случае это 9 точек. После внесения данных нажмите ОК (см. рис. 1)

          Рис. 1. Создание матриц-столбцов

          В свободном поле mathcad появится пустая матрица-столбец. Поместите курсор в матрицу и с использованием клавиш «стрелка» и «пробел» добейтесь положения курсора, как показано на рисунке 2а ниже. После чего введите с клавитуры символ двоеточия «:«. У вас должна получиться маска как на рисунке 2b. Теперь вы можете присводить содержимое матрицы какой то переменной. Например переменной X (см. рис. 2c). Заполните матрицу в соответсвии с рисунком 2 и затем повторите те же самые действия для создания матрицы-столбца Y.

          Рис. 2. Заполнение матриц-столбцов для графика

          На панели Graph найдите кнопку X-Y plot и щелкните по ней левой кнопкой мыши. У вас появится маска для построения графика. В черных прямоугольниках можно вводить имена осей абсцисс и ординат, а так же область отображения кривой графика (см. рис. 3)

          Рис. 3. Создание заготовки для графика

          Введите под осью абсцисс имя матрицы-столбца X, а слева от оси ординат имя матрицы-столбца Y. В окне графика вы увидите ломаную линию, соединящие координаты, указанные в матрицах столбцах (см. рис. 4)

          Рис. 4. График по точкам

          Оформление кривой графика по умолчанию, как правило, лишено наглядности и читабельности. Средства mathcad позволяют настраивать отображение графиков. Для этого щелкните 2 раза левой кнопкой мыши по изображению графика и в появившемся окне настройте внешний вид кривой, координатных осей и прочих элементов. Возможности mathcad позволяют: изменять цвет линий, их толщину и тип; нанести сетку на поле графика; подписывать оси координат; изменять формат числовых данных; вводить дополнительную (вторичную, второстепенную) ось ординат. После настройки всех элементов нажмите ОК и вы заметите, что ваш график приобрел более привлекательный вид (см. рис. 5)

          Рис. 5. Настройка отображения графика

          Построение графика функции f(x)

          Возможно самой распространенной задачей в студенческой и инженерной практике является построение графика функции f(x). В mathcad это делается в следующем порядке. С помощью клавиатуры и панели calculator вводится функция f(x), как показано на рис. 6. Для создания функции необходимо использовать равно с двоеточием «:=» (опертор присваивания). Далее в панели Graph найдите иконку X-Y Plot, щелкните по ней и создайте заготовку для графика. В черных прямоугольниках-маркерах введите имя функции и название аргумента. После отображения кривой зайдите в свойства графика и настройте отображение вашей кривой

          Рис. 6. Построение графика функции f(x)

          Чтобы построить два графика и более на одном поле (в тех же осях координат) сделайте следующее: введите вторую функцию, например y(x):=., поместите курсор мыши в маркер поля графика, где уже указана первая функция f(x) и введите запятую. Таким образом mathcad зоздаст второй маркер для ввода очередной функции. Введите вашу вторую функцию и нажмите enter. Если имя аргумента обеих функций совпадает, то вторая кривая отобразится в поле графика, в противном случае, под осью абсцисс введите через запятую имя аргумента второй функции. Образец можно посмотреть ниже на рис. 7



          Рис. 7. Построение двух графиков функции

          Построение эпюры в mathcad

          Чтобы построить классическую эпюру в mathcad нужно выполнить следующие действия:

          — ввести функцию в виде y = f(x), как это показано в примерах выше;
          — ввести такназываемую ранжинрованную переменную в виде i = a, a-dt..b с определенным шагом dt;
          — создать поле графика и ввести туда функции f(x) и f(i) с соответствующими аргументами
          — настроить визуализацию функции f(i) в соответствии с требованиями к оформлению эпюр в вашем ВУЗе или компании

          Ранжированная переменная по сути является матрицей-столбцом, разница лишь в том, что значение элементов в нее входящих представляют из себя определенную закономерность или последовательность чисел. 2. Затем создайте ранжированную переменную с шагом 0.5 как указано в примере ниже

          Рис. 9. Ввод ранжированной переменной

          Далее создайте поле для графика и около оси ординат введите две функции: f(x) и f(i). Под осью абсцисс также введите соответсвующие аргументы: x и i. Вы должны увидет обычную параболу как на рисунке ниже

          Рис. 10. Построение эпюры. Шаг 1

          Для получения эпюры нужно настроить отображение функции f(i) в свойствах графика. Щелкните 2 раза по графику чтобы вызвать меню настройки отображения графика. Перейдите во вкладку traces. В списке Legend Label найдите имя trace 2. В столбце Type для trace 2 из выпадающего списка выберете тип графика stem. В столбце Symbol уберите отображение элементов. Во вкладке X-Y Axes выберете для Axis Style тип Crossed. Нажмите ОК и вы увидете эпюру. Вы можете настроить ее внешний вид по желанию.


          Рис. 11. Построение эпюры. Шаг 2

          В итоге вы увидите, что на графике появились вертикальные линии, которые распределены по оси абсцисс с шагом, который вы указали в ранжированной переменной. Изменяя параметры этой переменной можно настроить отображение эпюры. Эпюра готова (см. рис. 12)

          Рис. 12. Построение эпюры. Шаг 3

          Построение графика в полярных координатах в mathcad

          Введите функцию, которую необходимо построить в полярных координатах. Для примера возьмем y(x):=2*sin(3*x+0.5)

          Для построения графика в полярных координатах нажмите кнопку Polar Plot из панели Graph

          Рис. 13. Создание загатовки для графика в полярных координатах

          Вы увидете пустое поле графика. В черном маркере слева введите имя введенной функции y(x). В маркере снизу введите аргумент x и нажмите enter. Вы увидете «трилистник». Внешний вид графика можно настроить щелкнув два раза по графику левой кнопкой мыши. В появившемся окне представлен широкий набор инструментов для настройки отображения.

          Рис. 14. Построение графика в полярной системе координат

          Построение графиков функций онлайн

          Этот сервис создан в помощь школьникам и студентам в изучении математики (алгебры и геометрии) и физики и предназначен для онлайн построения графиков функций (обычных и параметрических) и графиков по точкам (графиков по значениям), а также графиков функций в полярной системе координат.

          Просто введите формулу функции в поле «Графики:» и нажмите кнопку «Построить».

          Почитайте в cправкe, как правильно вводить формулы функций.

          Загляните в раздел примеров, наверняка, там есть графики функций, похожие на то, что нужно Вам, останется только слегка откорректировать готовые формулы функций.

          Дополнительно на нашем сайте вы можете воспользоваться калькулятором матриц, с помощью которого можно производить различные преобразования и действия с матрицами онлайн.

          Оператор Значение
          - вычитание
          * умножение
          / деление
          ^n возведение в степень: x^n — x в степени n
          ^(1/n) корень степени n: x^(1/n)
          () скобки
          |  | скобки модуля: |x|
          Список функций
          Имя Описание
          log2(x) логарифм по основанию 2 от x
          lg(x) или log10(x) логарифм по основанию 10 от x
          log(x;b) логарифм x по основанию b log(x;3)
          ln(x) натуральный логарифм (логарифм по основанию e (2. x экспонента от х (e в степени x)
          sqrt(x) квадратный корень из x
          sign(x) функция знака: -1 если x<0, 1 если x>0 и 0 если x=0
          Тригонометрические функции
          sin(x) синус х
          cos(x) косинус х
          tg(x) или tan(x) тангенс х
          ctg(x) или cot(x) котангенс х
          arcsin(x) или asin(x) арксинус х
          arccos(x) или acos(x) арккосинус х
          arctg(x) или atan(x) арктангенс х
          arcctg(x) или acot(x) арккотангенс х
          sinh(x) или sh(x) гиперболический синус х
          cosh(x) или ch(x) гиперболический косинус х
          tanh(x) или th(x) гиперболический тангенс х
          coth(x) или cth(x) гиперболический котангенс х
          asinh(x) гиперболический арксинус х
          acosh(x) гиперболический арккосинус х
          atanh(x) гиперболический арктангенс х
          acoth(x) гиперболический арккотангенс х
          Встроенные константы
          Имя Описание
          pi Пи = 3,14. ..
          e e = 2,71828… число Эйлера

          Полярные координаты | Алгебра и тригонометрия

          Цели обучения

          В этом разделе вы будете:

          • Наносить точки с помощью полярных координат.
          • Преобразовать полярные координаты в прямоугольные.
          • Преобразовать прямоугольные координаты в полярные.
          • Преобразование уравнений между полярной и прямоугольной формами.
          • Определите и начертите полярные уравнения, преобразовав их в прямоугольные уравнения.

          На расстоянии более 12 км от порта парусник попадает в непогоду и сбивается с курса ветром силой 16 узлов (см. (рисунок)). Как моряк может указать свое местонахождение береговой охране? В этом разделе мы исследуем метод представления местоположения, отличный от стандартной сетки координат.

          Рисунок 1.

          Построение точек с использованием полярных координат

          Когда мы думаем о построении точек на плоскости, мы обычно думаем о прямоугольных координатах[латекс]\,\влево(х,у\вправо)\,[/ латекс] в декартовой плоскости координат. Однако существуют и другие способы записи координатной пары и другие типы сеточных систем. В этом разделе мы познакомимся с полярными координатами, которые представляют собой точки, обозначенные [латекс]\,\левый(r,\тета\правый)\,[/латекс] и нанесенные на полярную сетку. Полярная сетка представлена ​​в виде серии концентрических кругов, исходящих из полюса или начала координатной плоскости.

          Полярная сетка масштабируется как единичный круг с положительной осью x-, которая теперь рассматривается как полярная ось, а начало координат — как полюс. Первая координата[latex]\,r\,[/latex] — это радиус или длина направленного отрезка прямой от полюса. Угол[латекс]\,\тета,[/латекс], измеренный в радианах, указывает направление[латекс]\,r. \,[/латекс]Мы двигаемся против часовой стрелки от полярной оси на угол[латекс]\ ,\theta ,[/latex]и измерьте направленный отрезок длины[latex]\,r\,[/latex]в направлении[latex]\,\theta .\,[/latex]Хотя мы сначала измерьте [латекс]\,\тета \,[/латекс], а затем [латекс]\,r,[/латекс] полярная точка записывается с помощью r -координата первая. Например, чтобы построить точку [латекс]\,\влево(2,\фракция{\пи} {4}\вправо),[/латекс] мы должны переместить[латекс]\,\фракция{\пи} {4 }\,[/latex]единицы в направлении против часовой стрелки, а затем длину 2 от полюса. Эта точка нанесена на сетку (рисунок).

          Рис. 2.

          Построение точки на полярной сетке полярная сетка.

          Показать решение

          Попробуй

          Нанесите точку[латекс]\,\влево(2,\,\frac{\pi }{3}\вправо)\,[/латекс]в полярную сетку.

          Показать решение

          Нанесение точки в полярной системе координат с отрицательной составляющей на полярной сетке.

          Показать решение

          Попробуйте

          Нанесите точки [латекс]\,\влево(3,-\frac{\pi }{6}\right)[/латекс]и[латекс]\,\влево(2,\frac{ 9\pi }{4}\right)\,[/latex]на той же полярной сетке.

          Показать решение

          Преобразование полярных координат в прямоугольные

          Когда задан набор полярных координат, нам может понадобиться преобразовать их в прямоугольные координаты. Для этого мы можем вспомнить отношения, существующие между переменными [latex]\,x,\,y,\,r,\,[/latex] и [latex]\,\theta .[/latex]

          [латекс]\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ \mathrm{cos}\,\theta =\frac{x}{r}\to x=r\mathrm{cos}\ ,\theta \end{массив}\hfill \\ \mathrm{sin}\,\theta =\frac{y}{r}\to y=r\mathrm{sin}\,\theta \hfill \end{массив }[/латекс]

          При опускании перпендикуляра из точки плоскости на ось x- образуется прямоугольный треугольник, как показано на (Рисунок). Простой способ запомнить приведенные выше уравнения — представить [латекс]\,\mathrm{cos}\,\тета \,[/латекс] как примыкающую сторону к гипотенузе и [латекс]\,\mathrm{sin} \,\theta\,[/latex] как противоположная сторона гипотенузы.

          Рисунок 5.

          Преобразование полярных координат в прямоугольные

          Преобразование полярных координат [латекс]\,\left(r,\,\theta \right)\,[/latex]в прямоугольные координаты[латекс ]\,\left(x,\,y\right),[/latex] пусть

          [латекс]\mathrm{cos}\,\theta =\frac{x}{r}\to x=r\mathrm{cos}\,\theta [/latex]

          [латекс]\mathrm{sin }\,\theta =\frac{y}{r}\to y=r\mathrm{sin}\,\theta [/latex]

          How To

          Учитывая полярные координаты, преобразовать в прямоугольные координаты.

          1. Учитывая полярную координату [латекс]\,\влево(г,\тета \вправо),[/латекс] напишите[латекс]\,х=г\mathrm{cos}\,\тета \,[ /латекс] и [латекс]\,y=r\mathrm{sin}\,\тета .[/латекс]
          2. Оценить [латекс]\,\mathrm{cos}\,\theta \,[/latex]и[латекс]\,\mathrm{sin}\,\theta .[/latex]
          3. Умножьте [латекс]\,\mathrm{cos}\,\theta \,[/латекс] на [латекс]\,r\,[/латекс], чтобы найти координату x- прямоугольной формы.
          4. Умножьте [латекс]\,\mathrm{sin}\,\theta \,[/латекс] на [латекс]\,r\,[/латекс], чтобы найти координату y- прямоугольной формы.

          Запись полярных координат в виде прямоугольных координат

          Запись полярных координат [латекс]\,\left(3,\frac{\pi }{2}\right)\,[/latex] в виде прямоугольных координат.

          Показать решение

          Запись полярных координат в виде прямоугольных координат

          Запись полярных координат[латекс]\,\влево(-2,0\вправо)\,[/латекс]в виде прямоугольных координат.

          Показать решение

          Попробуйте

          Запишите полярные координаты[латекс]\,\влево(-1,\фракция{2\пи }{3}\вправо)\,[/латекс]в виде прямоугольных координат.

          Показать решение

          Преобразование прямоугольных координат в полярные координаты

          Для преобразования прямоугольных координат в полярные координаты мы будем использовать два других знакомых соотношения. Однако при таком преобразовании мы должны знать, что набор прямоугольных координат даст более одной полярной точки. 9{2}\hfill \\ \mathrm{tan}\,\theta =\frac{y}{x}\,\hfill \end{array}[/latex]

          Рис. 8.

          Запись прямоугольных координат as Полярные координаты

          Преобразовать прямоугольные координаты[латекс]\,\влево(3,3\вправо)\,[/латекс]в полярные координаты.

          Показать решение

          Анализ

          Существуют и другие наборы полярных координат, которые будут такими же, как наше первое решение. Например, точки[латекс]\,\влево(-3\sqrt{2},\,\frac{5\pi }{4}\right)\,[/latex]и[латекс]\,\влево (3\sqrt{2},-\frac{7\pi }{4}\right)\,[/latex] совпадет с исходным решением [latex]\,\left(3\sqrt{2}, \,\frac{\pi }{4}\right).\,[/latex]Точка[латекс]\,\left(-3\sqrt{2},\,\frac{5\pi }{4 }\right)\,[/latex]обозначает движение против часовой стрелки на [latex]\,\pi ,\,[/latex], которое прямо противоположно [latex]\,\frac{\pi }{4}. \ ,[/latex]Радиус выражается как [латекс]\,-3\sqrt{2}.\,[/latex]Однако угол[латекс]\,\frac{5\pi }{4}\, [/latex] находится в третьем квадранте, и, поскольку [latex]\,r\,[/latex]отрицательно, мы продолжаем направленный отрезок в противоположном направлении, в первый квадрант. Это та же точка, что и [латекс]\,\left(3\sqrt{2},\,\,\frac{\pi }{4}\right).\,[/latex]Точка [латекс]\ ,\left(3\sqrt{2},\,-\frac{7\pi }{4}\right)\,[/latex] — ход дальше по часовой стрелке на [latex]\,-\frac{7\ pi }{4},\,[/latex]из [латекса]\,\frac{\pi }{4}.\,[/latex]Радиус,[латекс]\,3\sqrt{2},\ ,[/латекс]то же самое.

          Преобразование уравнений между полярной и прямоугольной формами

          Теперь мы можем преобразовать координаты между полярной и прямоугольной формой. Преобразование уравнений может быть более сложным, но может быть полезно иметь возможность преобразования между двумя формами. Поскольку существует ряд полярных уравнений, которые не могут быть четко выражены в декартовой форме, и наоборот, мы можем использовать те же процедуры, которые мы использовали для преобразования точек между системами координат. Затем мы можем использовать графический калькулятор для построения графика прямоугольной или полярной формы уравнения.

          How To

          Имея уравнение в полярной форме, постройте его график с помощью графического калькулятора.

          1. Измените MODE на POL , представляя полярную форму.
          2. Нажмите кнопку Y= , чтобы открыть экран, позволяющий ввести шесть уравнений: [латекс]\,{r}_{1},\,\,{r}_{2},\,\,. \,\,.\,\,.\,\,\,\,{r}_{6}.[/латекс]
          3. Введите полярное уравнение, установите его равным [латекс]\,r.[/латекс]
          4. Пресс ДИАГРАММА 9{2}\,[/latex] в полярной форме.

            Показать решение

            Идентификация и построение полярных уравнений путем преобразования в прямоугольные уравнения

            Мы узнали, как преобразовывать прямоугольные координаты в полярные координаты, и мы увидели, что точки действительно совпадают. Мы также преобразовали полярные уравнения в уравнения прямоугольной формы и наоборот. Теперь мы продемонстрируем, что их графики, хотя и построенные на разных сетках, идентичны.

            Построение графика полярного уравнения путем преобразования в прямоугольное уравнение

            Преобразуйте полярное уравнение[латекс]\,r=2\mathrm{sec}\,\theta \,[/латекс] в прямоугольное уравнение и нарисуйте соответствующий график.

            Показать решение

            Переписать полярное уравнение в декартовой форме

            Переписать полярное уравнение[latex]\,r=\frac{3}{1-2\mathrm{cos}\,\theta }\,[/latex]в виде декартова уравнение.

            Показать решение

            Анализ

            В этом примере правая часть уравнения может быть расширена, а уравнение еще больше упрощено, как показано выше. Однако уравнение нельзя записать в виде одной функции в декартовой форме. Мы можем захотеть записать прямоугольное уравнение в стандартной форме гиперболы. Для этого мы можем начать с исходного уравнения. 9{2}}{3}=1\hfill & \hfill \end{array}[/latex]

            Попробуйте

            Перепишите полярное уравнение[latex]\,r=2\mathrm{sin}\,\theta \,[/latex] в декартовой форме.

            Показать решение

            Переписать полярное уравнение в декартовой форме

            Переписать полярное уравнение[латекс]\,r=\mathrm{sin}\left(2\theta \right)\,[/latex]в декартовой форме.

            Показать решение

            Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики работы с полярными координатами. 9{2}\hfill \\ \hfill & \mathrm{tan}\,\theta =\frac{y}{x}\hfill \end{массив}[/latex]

        Ключевые понятия

        • Полярная сетка представлена ​​в виде ряда концентрических кругов, исходящих из полюса или исходной точки.
        • Чтобы нанести точку в виде [латекс]\,\влево(r,\тета\вправо),\,\тета >0,\,[/латекс] переместите против часовой стрелки от полярной оси на угол [латекс]\,\theta ,\,[/латекс], а затем продлите направленный отрезок от полюса на длину [латекс]\,r\,[/латекс] в направлении [латекс]\,\тета . {2}}.\,[/latex] См. (рисунок).
        • Преобразование уравнений между полярной и прямоугольной формой означает выполнение соответствующих замен на основе доступных формул вместе с алгебраическими манипуляциями. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
        • Использование соответствующих замен позволяет переписать полярное уравнение как уравнение прямоугольной формы, а затем изобразить его на прямоугольной плоскости. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).

        Упражнения по разделам

        Вербальные

        Чем полярные координаты отличаются от прямоугольных координат?

        Показать решение

        Чем полярные оси отличаются от осей x и y декартовой плоскости?

        Объясните, как изображаются полярные координаты.

        Показать решение

        Как расположены точки [латекс]\,\left(3,\frac{\pi }{2}\right)\,[/latex] и [латекс]\,\left(-3,\frac{\ pi }{2}\right)\,[/latex]связаны?

        Объясните, почему точки [латекс]\,\left(-3,\frac{\pi }{2}\right)\,[/latex] и [латекс]\,\left(3,-\frac{ \pi }{2}\right)\,[/latex] одинаковы.

        Показать решение

        Алгебраический

        Для следующих упражнений преобразуйте заданные полярные координаты в декартовы координаты с помощью [латекс]\,r>0\,[/латекс]и[латекс]\,0\le \theta \le 2\pi . \,[/latex]Не забывайте учитывать квадрант, в котором находится данная точка, при определении[latex]\,\theta \,[/latex]для точки.

        [латекс]\влево(7,\фракция{7\пи }{6}\вправо)[/латекс]

        [латекс]\влево(5,\пи \вправо)[/латекс]

        Показать решение

        [латекс]\влево(6,-\frac{\pi }{4}\вправо)[/латекс]

        [латекс]\влево(-3,\frac{\pi }{6}\вправо)[/латекс]

        Показать решение

        [латекс]\left(4,\frac{7\pi }{4}\right)[/latex]

        В следующих упражнениях преобразуйте заданные декартовы координаты в полярные координаты с помощью [латекс]\,r> 0,\,\,0\le \theta <2\pi .\,[/latex]Не забудьте рассмотреть квадрант, в котором находится данная точка.

        [латекс]\влево(4,2\вправо)[/латекс]

        Показать решение

        [латекс]\влево(-4,6\вправо)[/латекс]

        9{2}=9x[/latex]

        [latex]9xy=1[/latex]

        Показать решение

        Для следующих упражнений преобразуйте данное полярное уравнение в декартово уравнение. Если возможно, напишите в стандартной форме коники и определите представленное коническое сечение.

        [латекс]r=3\mathrm{sin}\,\theta [/latex]

        [латекс]r=4\mathrm{cos}\,\theta [/latex]

        Показать решение

        [латекс]r=\frac{4}{\mathrm{sin}\,\theta +7\mathrm{cos}\,\theta}[/latex]

        [латекс]r=\frac{6} {\ mathrm {cos} \, \ theta +3 \ mathrm {sin} \, \ theta} [/ латекс] 9{2}=4[/latex]

        Показать решение

        [латекс]r=\frac{1}{4\mathrm{cos}\,\theta -3\mathrm{sin}\,\theta}[/latex]

        [латекс]r=\frac{3 }{\mathrm{cos}\,\theta -5\mathrm{sin}\,\theta }[/latex]

        Показать решение

        Графический

        Для следующих упражнений найдите полярные координаты точки.

        Показать решение

        Показать решение

        Для следующих упражнений отметьте точки.

        [латекс]\влево(-2,\frac{\pi }{3}\вправо)[/латекс]

        Показать решение

        [латекс]\влево(-1,-\frac{\pi }{2}\right)[/latex]

        [латекс]\left(3.5,\frac{7\pi }{4}\right )[/latex]

        Показать решение

        [латекс]\влево(-4,\frac{\pi} {3}\вправо)[/латекс]

        [латекс]\влево(5,\frac{\pi} {2}\вправо)[ /латекс]

        Показать решение

        [латекс]\left(4,\frac{-5\pi }{4}\right)[/latex]

        [латекс]\left(3,\frac{5\pi }{6}\right )[/latex]

        Показать решение

        [латекс]\влево(-1,5,\фракция{7\пи }{6}\вправо)[/латекс] 9{2}=3x[/latex]

        Показать решение

        Для следующих упражнений преобразуйте уравнение из полярной формы в прямоугольную и постройте график на прямоугольной плоскости.

        [латекс]r=6[/латекс]

        [латекс]r=-4[/латекс]

        Показать решение

        [латекс]\theta =-\frac{2\pi }{3}[/latex]

        [латекс]\theta =\frac{\pi }{4}[/latex]

        Показать решение

        [латекс]r=\mathrm{sec}\,\theta [/latex]

        [латекс]r=-10\mathrm{sin}\,\theta [/latex]

        Показать решение

        [латекс]r=3\mathrm{cos}\,\theta [/латекс]

        Технология

        С помощью графического калькулятора найдите прямоугольные координаты [латекса]\,\left(2,-\frac{ \pi }{5}\right).\,[/latex]Округлите до тысячных.

        Показать решение

        С помощью графического калькулятора найдите прямоугольные координаты [латекса]\,\left(-3,\frac{3\pi }{7}\right).\,[/latex]Округлите до тысячных.

        Используйте графический калькулятор, чтобы найти полярные координаты [латекс]\,\влево(-7,8\вправо)\,[/латекс]в градусах. Округлить до тысячных.

        Показать решение

        Используйте графический калькулятор, чтобы найти полярные координаты [латекс]\,\влево(3,-4\вправо)\,[/латекс]в градусах. Округлить до сотых.

        Используйте графический калькулятор, чтобы найти полярные координаты [латекс]\,\левый(-2,0\правый)\,[/латекс]в радианах. Округлить до сотых.

        Показать решение

        Расширения

        Описать график [латекс]\,r=a\mathrm{sec}\,\theta ;a>0.[/latex]

        Описать график [латекс]\,r=a\ mathrm{sec}\,\theta ;a<0.[/latex]

        Показать решение

        Описать график [латекс]\,r=a\mathrm{csc}\,\theta ;a>0.[/latex]

        Описать график [латекс]\,r=a\mathrm{csc }\,\theta ;a<0.[/latex]

        Показать решение

        Какие полярные уравнения дадут косую линию?

        Для следующего упражнения постройте график полярного неравенства.

        [латекс]r<4[/латекс]

        Показать решение

        [латекс]0\le \theta \le \frac{\pi }{4}[/latex]

        [латекс]\theta =\frac{\pi }{4},\,r\,\ge \,2[/латекс]

        Показать решение

        [латекс]\theta =\frac{\pi }{4},\,r\,\ge -3[/latex]

        [латекс]0\le \theta \le \frac{\pi }{ 3},\,r\,<\,2[/latex]

        Показать решение

        [латекс]\frac{-\pi }{6}<\theta \le \frac{\pi }{3},-3

        Глоссарий

        полярная ось
        на полярной сетке, эквивалент положительной оси x- на прямоугольной сетке
        полярные координаты
        на полярной сетке координаты точки, помеченной угол поворота от полярной оси и [латекс]\,r\,[/латекс] представляет собой радиус или расстояние точки от полюса в направлении [латекс]\,\тета [/латекс]
        полюс
        происхождение полярной сетки

        10.

        3: Полярные координаты — Математика LibreTexts
        1. Последнее обновление
        2. Сохранить как PDF
      • Идентификатор страницы
        50235
        • ОпенСтакс
        • ОпенСтакс
        Цели обучения
        • Нанесение точек с использованием полярных координат.
        • Преобразовать полярные координаты в прямоугольные.
        • Преобразовать прямоугольные координаты в полярные.
        • Преобразование уравнений между полярной и прямоугольной формами.
        • Определите и начертите полярные уравнения, преобразовав их в прямоугольные уравнения.

        На расстоянии более \(12\) километров от порта парусник попадает в непогоду и сбивается с курса ветром силой \(16\) узлов (см. рисунок \(\PageIndex{1}\)). Как моряк может указать свое местонахождение береговой охране? В этом разделе мы исследуем метод представления местоположения, отличный от стандартной сетки координат.

        Рисунок \(\PageIndex{1}\)

        Нанесение точек с использованием полярных координат

        Когда мы думаем о построении точек на плоскости, мы обычно думаем о прямоугольные координаты \((x,y)\) в декартовой координатной плоскости . Однако существуют и другие способы записи координатной пары и другие типы сеточных систем. В этом разделе мы познакомимся с полярными координатами, которые представляют собой точки, обозначенные \((r,\theta)\) и нанесенные на полярную сетку. Полярная сетка представлена ​​в виде серии концентрических кругов, исходящих из полюса или начала координатной плоскости.

        Полярная сетка масштабируется как единичный круг с положительным \(x\) 9Ось 0029 — теперь рассматривается как полярная ось, а начало координат — как полюс. Первая координата \(r\) — это радиус или длина направленного отрезка прямой от полюса. Угол \(\theta\), измеренный в радианах, указывает направление \(r\). Мы перемещаемся против часовой стрелки от полярной оси на угол \(\theta\) и измеряем направленный отрезок длиной \(r\) в направлении \(\theta\). Несмотря на то, что мы сначала измеряем \(\theta\), а затем \(r\), полярная точка сначала записывается с координатой \(r\). Например, чтобы нанести точку \(\left(2,\dfrac{\pi}{4}\right)\), мы должны переместить \(\dfrac{\pi}{4}\) единиц против часовой стрелки. а затем длину \(2\) от полюса. Эта точка нанесена на сетку на рисунке \(\PageIndex{2}\).

        Рисунок \(\PageIndex{2}\)

        Пример \(\PageIndex{1}\): Нанесение точки на полярную сетку

        Нанесение точки \(\left(3, \dfrac{\pi}{2}\right)\) на полярной сетке.

        Решение

        Угол \(\dfrac{\pi}{2}\) находится путем протягивания против часовой стрелки \(90°\) от полярной оси. Точка расположена на расстоянии \(3\) единиц от полюса в направлении \(\dfrac{\pi}{2}\), как показано на рисунке \(\PageIndex{3}\).

        Рисунок \(\PageIndex{3}\)

        Упражнение \(\PageIndex{1}\)

        Постройте точку \(\left(2, \dfrac{\pi}{3 }\right)\) в полярной сетке.

        Ответить

        Рисунок \(\PageIndex{4}\)

        Пример \(\PageIndex{2}\): построение точки в полярной системе координат с отрицательной составляющей

        Нанесение точки \(\left(−2, \dfrac{\pi}{6}\right) \) на полярной сетке.

        Решение

        Мы знаем, что \(\dfrac{\pi}{6}\) находится в первом квадранте. Однако \(r=−2\). Мы можем построить точку с отрицательным значением \(r\) двумя способами:

        1. dfrac{\pi}{6}\) в направлении против часовой стрелки и продолжение направленного отрезка \(2\) единиц в первый квадрант. Затем проследите направленный отрезок обратно через полюс и продолжайте движение на \(2\) единиц в третий квадрант;
        2. Переместите \(\dfrac{\pi}{6}\) в направлении против часовой стрелки и нарисуйте направленный отрезок от полюса \(2\) единиц в отрицательном направлении в третий квадрант.

        См. рисунок \(\PageIndex{5a}\). Сравните это с графиком полярной координаты \((2,π6)\), показанным на рисунке \(\PageIndex{5b}\).

        Рисунок \(\PageIndex{5}\)

        Упражнение \(\PageIndex{2}\)

        Постройте точки \(\left(3,−\dfrac{\pi}{ 6}\справа)\) и \(\слева(2,\dfrac{9\pi}{4}\right)\) на той же полярной сетке.

        Ответить

        Рисунок \(\PageIndex{6}\)

        Преобразование полярных координат в прямоугольные

        Когда задан набор полярных координат , нам может потребоваться преобразовать их в прямоугольные координаты. Для этого мы можем вспомнить отношения, существующие между переменными \(x\), \(y\), \(r\) и \(\theta\).

        \(\cos \theta=\dfrac{x}{r}\rightarrow x=r \cos \theta\)

        \(\sin \theta=\dfrac{y}{r}\rightarrow y=r \ sin \theta\)

        Если опустить перпендикуляр из точки плоскости на ось x-, получится прямоугольный треугольник, как показано на рисунке \(\PageIndex{7}\). Простой способ запомнить приведенные выше уравнения — представить \(\cos\theta\) как примыкающую сторону к гипотенузе и \(\sin\theta\) как противоположную сторону к гипотенузе.

        Рисунок \(\PageIndex{7}\)

        ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ В ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ

        Преобразование полярных координат \((r, \theta)\) в прямоугольные координаты \((x, y)\) , пусть

        \[\cos \theta=\dfrac{x}{r}\rightarrow x=r \cos \theta\]

        \[\sin \theta=\dfrac{y}{r}\rightarrow y =r \sin\тета\]

        Как выполнить преобразование заданных полярных координат в прямоугольные.
        1. Учитывая полярную координату \((r,\theta)\, запишите \(x=r \cos \theta\) и \(y=r \sin \theta\).
        2. Оценить \(\cos\theta\) и \(\sin\theta\).
        3. Умножьте \(\cos \theta\) на \(r\), чтобы найти \(x\) координату прямоугольной формы.
        4. Умножьте \(\sin\theta\) на \(r\), чтобы найти координату \(y\) прямоугольной формы.
        Пример \(\PageIndex{3A}\): запись полярных координат в виде прямоугольных координат

        Запись полярных координат \(\left(3,\dfrac{\pi}{2}\right)\) в виде прямоугольных координат.

        Решение

        Используйте эквивалентные соотношения.

        \[\begin{align*} x&= r \cos \theta\\ x&= 3 \cos \dfrac{\pi}{2}\\ &= 0\\ y&= r \sin \theta\\ y& = 3 \sin \dfrac{\pi}{2}\\ &= 3 \end{align*}\]

        Прямоугольные координаты \((0,3)\). См. рисунок \(\PageIndex{8}\).

        Рисунок \(\PageIndex{8}\)

        Пример \(\PageIndex{3B}\): запись полярных координат в виде прямоугольных координат

        Запишите полярные координаты \((−2,0)\) в виде прямоугольных координат.

        Решение

        См. рисунок \(\PageIndex{9}\). Записав полярные координаты в виде прямоугольника, мы имеем

        \[\begin{align*} x&= r \cos \theta\\ x&= -2 \cos(0)\\ &= -2\\ y&= r \sin \theta\\ y&= -2 \sin(0)\\ &= 0 \end{align*}\]

        Прямоугольные координаты также равны \((−2,0)\).

        Рисунок \(\PageIndex{9}\)

        Упражнение \(\PageIndex{3}\)

        Запишите полярные координаты \(\left(−1,\dfrac{2\pi}{3}\right)\) в виде прямоугольных координат.

        Ответить

        \((x,y)=\left(\dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

        Преобразование прямоугольных координат в полярные координаты

        Для преобразования прямоугольных координат в полярные координаты мы будем использовать два других знакомых соотношения. Однако при таком преобразовании мы должны знать, что набор прямоугольных координат даст более одной полярной точки. 92\)

        \(\tan \theta=\dfrac{y}{x}\)

        Рисунок \(\PageIndex{10}\)

        Пример \(\PageIndex{4} \): запись прямоугольных координат в виде полярных координат

        Преобразование прямоугольных координат \((3,3)\) в полярные координаты.

        Решение

        Мы видим, что исходная точка \((3,3)\) находится в первом квадранте. Чтобы найти \(\theta\), используйте формулу \(\tan \theta=\dfrac{y}{x}\). Это дает

        92}\\ r&= \sqrt{9+9}\\ r&= \sqrt{18}\\ &= 3\sqrt{2} \end{align*}\]

        Итак, \(r=3\ sqrt{2}\) и \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\), что дает нам полярную точку \((3\sqrt{2},\dfrac{\pi}{4})\ ). См. рисунок \(\PageIndex{11}\).

        Рисунок \(\PageIndex{11}\)

        Анализ

        Существуют и другие наборы полярных координат, которые будут такими же, как и наше первое решение. Например, точки \(\left(−3\sqrt{2}, \dfrac{5\pi}{4}\right)\) и \(\left(3\sqrt{2},−\dfrac{ 7\pi}{4}\right)\) будет совпадать с исходным решением \(\left(3\sqrt{2}, \dfrac{\pi}{4}\right)\). Точка \(\left(−3\sqrt{2}, \dfrac{5\pi}{4}\right)\) указывает на движение против часовой стрелки на \(\pi\), что прямо противоположно \(\ dfrac{\pi}{4}\). Радиус выражается как \(−3\sqrt{2}\). Однако угол \(\dfrac{5\pi}{4}\) расположен в третьем квадранте, и, поскольку \(r\) отрицательно, мы продолжаем направленный отрезок в противоположном направлении, в первый квадрант . Это та же точка, что и \(\left(3\sqrt{2}, \dfrac{\pi}{4}\right)\). Точка \(\left(3\sqrt{2}, −\dfrac{7\pi}{4}\right)\) – это перемещение по часовой стрелке на \(−\dfrac{7\pi}{4}\ ), из \(\dfrac{\pi}{4}\). Радиус, \(3\sqrt{2}\), такой же.

        Преобразование уравнений между полярной и прямоугольной формами

        Теперь мы можем преобразовать координаты между полярной и прямоугольной формой. Преобразование уравнений может быть более сложным, но может быть полезно иметь возможность преобразования между двумя формами. Поскольку существует ряд полярных уравнений, которые не могут быть четко выражены в декартовой форме, и наоборот, мы можем использовать те же процедуры, которые мы использовали для преобразования точек между системами координат. Затем мы можем использовать графический калькулятор для построения графика прямоугольной или полярной формы уравнения.

        Как: Имея уравнение в полярной форме, начертите его с помощью графического калькулятора
        1. Измените MODE на POL , представляя полярную форму.
        2. Нажмите кнопку Y= , чтобы вызвать экран, позволяющий ввести шесть уравнений: \(r_1\), \(r_2\),…, \(r_6\).
        3. Введите полярное уравнение, установите его равным \(r\).
        4. Нажмите ГРАФИК .
        Пример \(\PageIndex{5A}\): запись декартова уравнения в полярной форме 92=6y\) (b) полярная форма \(r=6 \sin \theta\)

        Декартово или прямоугольное уравнение наносится на прямоугольную сетку, а полярное уравнение наносится на полярную сетку. Ясно, что графики идентичны.

        Упражнение \(\PageIndex{4A}\):

        Переписывание декартова уравнения в полярной форме

        Перепишите декартово уравнение \(y=3x+2\) как полярное уравнение.

        Ответить

        Мы будем использовать соотношения \(x=r \cos \theta\) и \(y=r \sin \theta\). 92\) в полярной форме.

        Ответить

        \(r=\sqrt{3}\)

        Определение и построение полярных уравнений путем преобразования в уравнения прямоугольной формы

        Мы научились преобразовывать прямоугольные координаты в полярные координаты и увидели, что точки действительно совпадают. Мы также преобразовали полярные уравнения в уравнения прямоугольной формы и наоборот. Теперь мы продемонстрируем, что их графики, хотя и построенные на разных сетках, идентичны.

        Пример \(\PageIndex{6A}\): построение графика полярного уравнения путем преобразования в прямоугольное уравнение

        Преобразование полярного уравнения \(r=2 \sec \theta\) в прямоугольное уравнение и построение соответствующего ему графика .

        Решение

        Преобразование

        \[\begin{align*} r &=2 \sec \theta \\ r &= \dfrac{2}{\cos \theta} \\ r \cos \ theta &=2 \\ x &=2 \end{align*}\]

        Обратите внимание, что уравнение \(r=2 \sec \theta\), нарисованное на полярной сетке, явно совпадает с вертикальной линией \( x=2\), нарисованный на прямоугольной сетке (см. рисунок \(\PageIndex{14}\)). Точно так же, как \(x=c\) является стандартной формой для вертикальной линии в прямоугольной форме, \(r=c \sec \theta\) является стандартной формой для вертикальной линии в полярной форме.

        Рисунок \(\PageIndex{14}\): (a) Полярная сетка (b) Прямоугольная система координат

        Аналогичное обсуждение показало бы, что график функции \(r=2 \csc \theta\) будет горизонтальной линией \(y=2\). На самом деле \(r=c\csc\theta\) является стандартной формой горизонтальной линии в полярной форме, соответствующей прямоугольной форме \(y=c\).

        Пример \(\PageIndex{6B}\): переписывание полярного уравнения в декартовой форме 92 \end{align*}\]

        Когда все наше уравнение было изменено с \(r\) и \(\theta\) на \(x\) и \(y\), мы можем остановиться, если нас не попросят решить для \(y\) или упростить. См. рисунок \(\PageIndex{15}\).

        Рисунок \(\PageIndex{15}\)

        График в форме песочных часов называется гиперболой . Гиперболы имеют много интересных геометрических свойств и приложений, которые мы будем исследовать далее в разделе «Аналитическая геометрия». 2}. \конец{массив}\) 9{\frac{2}{3}}\)

        СМИ

        Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с полярными координатами.

        • Введение в полярные координаты
        • Сравнение полярных и прямоугольных координат

        Ключевые уравнения

        Формулы преобразования

        \(\cos\theta=\dfrac{x}{r} \rightarrow x=r \cos\theta\)

        \(\sin\theta=\dfrac{y}{r} \rightarrow y=r \sin\theta\) 92\)

        \(\тангенс\тета=\dfrac{y}{x}\)

        Основные понятия

        • Полярная сетка представлена ​​в виде ряда концентрических кругов, исходящих из полюса или источника.
        • Чтобы нанести точку в виде \((r,\theta)\), \(\theta>0\), переместитесь против часовой стрелки от полярной оси на угол \(\theta\), а затем продлите направленный отрезок от полюса на длину \(r\) в направлении \(\theta\). 2}\). См. пример \(\PageIndex{5}\).
        • Преобразование уравнений между полярной и прямоугольной формой означает выполнение соответствующих замен на основе доступных формул вместе с алгебраическими манипуляциями. См. Пример \(\PageIndex{6}\), Пример \(\PageIndex{7}\) и Пример \(\PageIndex{8}\).
        • Использование соответствующих замен позволяет переписать полярное уравнение как уравнение прямоугольной формы, а затем изобразить его на прямоугольной плоскости. См. Пример \(\PageIndex{9}\), Пример \(\PageIndex{10}\) и Пример \(\PageIndex{11}\).

        Эта страница под названием 10.3: Polar Coordinates распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

        1. Наверх
          • Была ли эта статья полезной?
          1. Тип изделия
            Раздел или Страница
            Автор
            ОпенСтакс
            Лицензия
            СС BY
            Версия лицензии
            4,0
            Программа OER или Publisher
            ОпенСтакс
            Показать страницу TOC
            нет
            Включено
            да
          2. Теги
            1. полярные координаты
            2. полярная сетка
            3. прямоугольные координаты
            4. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus
            5. источник[1]-math-2682

          Интерактивировать: Полярные координаты

          Наставник: Вы, вероятно, знакомы с декартовой системой координат, которая позволяет вам строить графики. точки и функции на координатной плоскости. Если вам дан набор точек в виде (x, y), вы сможете отобразить их на осях x и y графика.

          Студент: Да. Если бы мне дали точку (2,3), я бы начал с начала координат и прошел две единицы до прямо по оси x, а затем переместитесь вверх на 3 единицы в направлении y.

          Наставник: Это верно. И если бы вам дали функцию, скажем, y=2x+3, вы, вероятно, могли бы построить ее график. слишком.

          Ученик: Конечно, я бы выбрал значения x, которые я бы ввел в функцию, чтобы получить значения у для этой функции. Затем я нарисовал точки на графике.

          Наставник: Да! Знаете ли вы, что вы также можете наносить точки на график другого типа на основе полярной диаграммы? Система координат.

          Ученик: Что такое полярная система координат?

          Наставник: Полярная система координат — это круговая, а не прямоугольная система координат. Ты точки графика, заданные значением r, которое представляет собой расстояние от центра; и угол мера, которая дается в градусах или, чаще, в радианах. Вы помните, что такое радианы?

          Ученик: Конечно, это еще одна единица измерения углов. Круг содержит 360 градусов что совпадает с 2π радиан. Но для чего бы вы использовали эту систему?

          Ментор: Ну, иногда правильнее описать локацию круговым движением. а не по прямой. Эта система хорошо подходит для тригонометрических функций и используется в навигации, потому что значения могут быть нанесены на график с точки зрения расстояния (r) и направления (угол, также упоминается как греческая буква тета, показанная как символ θ).

          Ученик: Как бы вы нанесли точки на полярный график?

          Наставник: Полярная система координат имеет оси, подобные декартовой системе, и точку, подобную происхождения, за исключением того, что он называется столб. Он также имеет луч, который проходит горизонтально через полюс, называемый полярная ось. Вместо квадратной сетки есть концентрические круги с центром на полюсе, которые получают равномерно больше и расходятся от полюса. Полярная координатная плоскость выглядит так:

          Наставник: Как и прямоугольные координаты, полярные координаты также называются упорядоченной парой, но значение каждого из чисел разное. Первое число в паре координат, r, представляет собой расстояние от полюса и походит на измерение радиуса круга. Секунда номер пары, θ, представляет угол, измеренный от горизонтальной оси. Полярная ось представляет угловую меру 0 радиан или 0 градусов. Движение против часовой стрелки от этой оси представляет собой положительную меру угла, а по часовой стрелке — отрицательную.

          Ученик: Думаю, я понял. Углы определяются в полярной системе координат так, как они единичный круг, обычно в радианах. Итак, если вам дана полярная координата (3, π/4), точка находится в трех единицах от центра под углом π/4 радиан, измеренным против часовой стрелки от полярной оси:

          Ученик: Получается, что заданные координаты тоже могут быть отрицательными?

          Ментор: Это отличный вопрос, и ответ положительный. Как и на единичном круге, отрицательное углы идут по часовой стрелке от полярной оси. Вы помните -3π/4 это то же самое как 5π/4?

          Ученик: Да, а -4π/3 — это то же самое, что 2π/3?

          Наставник: Это верно. И, поскольку вы можете добавить столько вращений в виде кратных 2Ï, сколько вам нужно хотите, любой угол может иметь бесконечное количество отрицательных и положительных значений. Кроме того, р может быть отрицательным. Отрицательный r указывает, что точка находится в противоположном квадрант от угла, заданного в паре координат. Например, π/4 находится в 1-м квадрант, поэтому положительные значения r нанесены на r единиц от полюса в 1-м квадранте и отрицательные значения нанесены в противоположном квадранте, 3-м квадранте, на угол идентифицируется как 5π/4. Как вы думаете, где находится точка (-2, π/3)?

          Ученик: Ну, так как (2, π/4) было измерено на 2 единицы вправо вдоль полярной оси, то -2 будет указывают, что точка измеряется на 2 единицы левее вдоль полярной оси, а затем на π/4 градусов против часовой стрелки. Поскольку угол π/3 лежит в первой четверти, затем, чтобы нанести точку (-2, π/3), вы должны нанести точку в двух единицах от полюса вдоль угол 4π/3. Верно?

          Наставник: Это верно. Это будет выглядеть так:

          Ученик: Значит, одна точка может иметь много разных значений?

          Наставник: Правильно! Значения для r могут быть заданы как положительные и отрицательные значения, а θ может быть не только в положительных и отрицательных значениях, но и в виде любого значения θ + любого кратного из 2π. Таким образом, в отличие от декартовой системы, где каждая точка имеет уникальный набор координат, в В полярной системе любая точка может иметь бесконечное количество координат!

          Ученик: Это означает, что точка, заданная как (2,π/4), также может быть задана как (2,-7π/4) или (2, 9π/4) или (-2,5π/4)!

          Ментор: Точно. Попробуйте нанести эти точки на график с помощью действия «Полярные координаты» и убедитесь, что они тот самый момент!

          исчисление — Пытаюсь изобразить эти точки в полярной системе координат

          Я не решаюсь написать хотя бы частичный ответ, так как без картинок он будет безнадежно неадекватным. Возможно, кто-то с навыками рисования даст ответ и сделает этот устаревшим.

          Вам действительно нужен живой человек, чтобы показать вам, что происходит. Или как слабое второе место, погуглите «Полярные координаты». Несколькими записями ниже есть пара видео. Не слишком впечатляюще, но лучше, чем ничего.

          Но вот частичный ответ на ваш вопрос.

          Знакомая вам прямоугольная система координат представляет собой «схему адресации» для точек на плоскости. Полярная система координат — это совершенно другая схема адресации.

          Пусть $O$ будет источником. Нарисуйте обычные оси, но сконцентрируйтесь на 9.0021 положительный $x$-ось. Адрес точки $P$ в полярной системе координат представляет собой упорядоченную пару $(r,\theta)$, где $r$ — расстояние от $O$ до $P$, а $\theta$ — угол через который нужно повернуть положительную ось $x$ против часовой стрелки так, чтобы она падала на прямую $OP$.

          Пример: Пусть $P$ имеет полярные координаты $(4, \pi/6)$. Итак, нам нужно повернуть положительную ось $x$ на $30$ градусов и выйти наружу на расстояние $4$ от начала координат. Я надеюсь, что вы сможете вычислить, используя базовые элементы прямоугольного треугольника, и увидите, что $P$ имеет прямоугольные координаты $(2\sqrt{3},2)$.

          Вам следует немного потренироваться, переходя от полярных координат к прямоугольным и наоборот. В вашем тексте будет много упражнений.

          Рисунок $r=2+\sin\theta$: Точками на этой кривой являются все точки с полярным адресом $(r,\theta)$ и такие, что $r=2+\sin\theta$ .

          Читая далее, рисуйте.

          Начнем с $\theta=0$. Таким образом, мы вообще не отвернулись от положительной оси $x$. И мы хотим, чтобы расстояние от начала координат было $2+\sin(0)$. Таким образом, мы получаем точку с прямоугольными координатами $(2,0)$.

          Теперь возьмите $\theta=\pi/6$. Итак, $2+\sin\theta=2,5$. Теперь наша точка $P$ находится на расстоянии $2,5$ от начала координат, а $PO$ составляет угол $30$ градусов с положительной осью $x$.

          Продолжайте в том же духе, нанося точки. Но это , а не , как мне кажется. Я бы представил, что $\theta$ растет, то есть угол с положительной осью $x$ растет, поэтому мой карандаш движется против часовой стрелки. Тогда $2+\sin\theta$, расстояние от начала координат, по крайней мере, некоторое время увеличивается. Он растет до тех пор, пока $\theta$ не достигнет $\pi/2$, когда $r=3$. Таким образом, точка с прямоугольными координатами $(0,3)$ находится на кривой. Чтобы перейти от $\theta=0$ к $\theta=\pi/2$, нарисуйте кривую, которая начинается на расстоянии $2$ от начала координат и, двигаясь против часовой стрелки, продвигается все дальше и дальше от начала координат, пока расстояние достигает $3$, когда вы достигаете положительной оси $y$.

          Продолжим за $\pi/2$. Теперь $\sin\theta$ уменьшается и достигает $0$ при $\theta=pi$. Таким образом, по мере того, как вы продолжаете движение против часовой стрелки, $r$ уменьшается, пока не достигнет $2$ в точке $\theta=\pi$. Мы оказываемся в точке с прямоугольными координатами (-2,0)$.

          Продолжить после $\pi$. Теперь $\sin\theta$ отрицательное и становится еще более отрицательным. Таким образом, $r$ падает ниже $2$ и достигает $1$ при $\theta=3\pi/2$. Мы достигли точки с прямоугольными координатами $(0,-1)$.

          Теперь продолжайте от $\theta=3\pi/2$ до $\theta=2\pi$. Вы должны быть в состоянии соединиться с первой точкой, которую мы нарисовали на кривой.

          После всего этого у нас получается что-то похожее на перевернутое валентиночное сердце или, для менее романтичных настроений, на сидящего толстого остроголового мужчину.

          Рисунок $r=5\sin\theta$: К сожалению, здесь есть одна сложность. Есть два соглашения о том, как обращаться с отрицательным значением $r$. Соглашение $1$ гласит, что отрицательное значение $r$ не имеет смысла. Соглашение $2$ гласит, что, например, чтобы нанести точку с полярными координатами $(-8,\theta)$, вы представляете построение $(8,\theta)$ и отражаете результат через начало координат или, что то же самое, поворачиваете на $180 $ градусов. Я не знаю, какое соглашение использует ваш курс/книга.

          Представьте, что вы рисуете $r=5\sin\theta$, используя соглашение $1$. Начните с $\тета=0$. Тогда $r=0$, значит, мы в начале координат. Теперь пусть $\theta$ растет в сторону $\theta=\pi/2$. По мере роста $\theta$ растет $\sin\theta$, поэтому по мере увеличения нашего угла с положительной осью $x$ наше расстояние от начала координат увеличивается, пока при $\theta=\pi/2$ расстояние не достигнет $5 $, и мы получаем $(0,5)$. Теперь пусть $\theta$ увеличивается от $\pi/2$ до $\pi$. Наше расстояние от начала координат уменьшается и достигает $0$ при $\theta=\pi$, поэтому мы соединяемся с нашей начальной точкой. По мере того, как мы идем дальше $\pi$, $\sin\theta$ становится отрицательным, и по соглашению $1$ мы не получаем никакой кривой.

          Если вместо этого мы воспользуемся соглашением $2$, то по мере перехода от $\pi$ к $2\pi$ мы снова проведем кривую (вспомните про отражение через начало координат). Таким образом, визуально два разных соглашения дают кривые, которые выглядят одинаково. Что , а не всегда будет правдой.

          Район: Я не буду этого делать. Но при тщательном рисовании вы сможете определить область, о которой идет речь. И вы были правы, считая точки пересечения важными. Вы правильно нашли соответствующий $\theta$.

          Как создать полярный график в Excel

          В этом руководстве показано, как создать полярный график во всех версиях Excel: 2007, 2010, 2013, 2016 и 2019.

          Полярный график — скачать бесплатный шаблон

          Загрузите наш бесплатный шаблон полярного графика для Excel.

          Загрузить сейчас

          В этой статье

          • Полярный график — загрузка бесплатного шаблона
          • Начало работы
          • Шаг № 1: Настройте вспомогательную таблицу.
          • Шаг № 2. Вычислите значения угла (тета).
          • Шаг №3: Вычислите значения радиуса.
          • Шаг №4: Скопируйте последние значения радиуса во вспомогательную строку.
          • Шаг №5: Рассчитайте значения по осям x и y для каждой компании.
          • Шаг № 6: Настройте вторую вспомогательную таблицу для сетки полярного графика.
          • Шаг № 7: Создайте набор кольцевых диаграмм.
          • Шаг №8: Уменьшите размер отверстия бублика.
          • Шаг №9: Настройте сетку диаграммы.
          • Шаг 10. Добавьте данные диаграммы.
          • Шаг №11: Измените тип диаграммы для вставленного ряда данных.
          • Шаг №12: Измените масштаб горизонтальной и вертикальной осей.
          • Шаг №13: Удалите линии сетки, оси и ненужные элементы легенды.
          • Шаг 14: Добавьте метки данных.
          • Шаг 15. Настройте метки данных.
          • Шаг №16: Переместите этикетки.
          • Загрузить шаблон графика в полярных координатах

          График в полярных координатах используется для определения точки в пространстве в так называемой полярной системе координат, где вместо использования стандартных координат x и y выражается каждая точка на полярной плоскости. используя эти два значения:

          • Радиус ( r ) – Расстояние от центра участка
          • Тета (θ) – Угол от опорного угла

          Сама плоскость состоит из концентрических окружностей, расширяющихся наружу от начала координат или полюса — отсюда и название. Полярный график пригодится, когда анализируемые данные имеют циклический характер.

          В качестве примера на приведенной ниже диаграмме сравниваются оценки удовлетворенности клиентов (CSAT), показатель, который иллюстрирует удовлетворенность клиентов брендом или продуктом, двух организаций за 2019 год.: Simpson Ltd и Griffin Ltd.

          График позволяет быстро оценить хорошие и плохие месяцы для каждой компании, что облегчает принятие более эффективных решений.

          Однако вот в чем загвоздка:

          Excel не поддерживает этот тип диаграммы — фактически, он даже не может считывать полярные координаты — это означает, что вам придется создавать его с нуля. Кроме того, не забудьте проверить надстройку Chart Creator, мощный инструмент для создания умопомрачительных расширенных диаграмм и графиков Excel всего за несколько кликов.

          В этом подробном пошаговом руководстве вы узнаете, как преобразовать необработанные данные в полярный график в Excel с нуля. Напомним, что эта статья основана на руководстве, созданном Джоном Пельтье.

          Приступая к работе

          Поскольку баллы CSAT обычно выражаются в виде процентной шкалы, рассмотрите следующую таблицу:

          Шаг № 1: Настройте вспомогательную таблицу.

          Сразу набросайте вспомогательную таблицу, в которой будут выполняться все расчеты для вашей диаграммы. Чтобы построить график, вам нужно сначала вычислить полярные координаты, а затем преобразовать их в значения осей x и y, используемые Excel для создания диаграммы.

          Настройте отдельную фиктивную таблицу следующим образом:


          Обратите внимание, что вспомогательная таблица начинается с фиктивной строки ( E2:h3 ) — она определяет опорный угол. Давайте поговорим о каждом элементе таблицы немного подробнее:

          • Месяц — этот столбец содержит качественные категории, полученные из ваших исходных данных. Введите «Начало» в первой ячейке ( E2 ) и скопируйте категории (в нашем случае месяцы) прямо под ней ( E3:E14 9).0022).
          • Угол (тета) — этот столбец содержит тета-значения, отвечающие за рисование спиц, где будут размещены фактические значения. Вы всегда должны вводить «0» в первую ячейку ( F2 ) этого столбца.
          • CSAT Simpson LTD (Radius) и CSAT Griffin LTD (Radius) — эти столбцы содержат значения радиуса, иллюстрирующие производительность каждой компании в течение года.

          Шаг 2. Вычислите значения угла (тета).

          Если вы уже вычислили значения r и тета, пропустите эту часть и прокрутите вниз до . Шаг #4 .

          На этом этапе наша цель состоит в том, чтобы равномерно наметить спицы на основе количества категорий в наборе данных. Поскольку один полный круговой оборот равен 360 градусам, чтобы выполнить задачу, вам нужно разделить 360 на количество категорий в вашем наборе данных (в нашем случае двенадцать месяцев).

          Затем сложите это число по мере продвижения от нуля до 360. И здесь в игру вступает функция СЧЕТЧИК. По сути, он подсчитывает количество непустых ячеек в указанном диапазоне.

          Скопируйте эту формулу в ячейку F3 :

           =360/COUNTA($A$3:$A$14) 

          С этой формулой в ячейке F3 используйте эту другую формулу в ячейке F4 , чтобы добавить до заданного значения угла до суммы всех тета-значений, которые идут перед ним в столбце:

           =F3+360/COUNTA($A$3:$A$14) 

          Важно заблокировать диапазон ячеек ( A3:A14 ), чтобы легко скопировать формулу в оставшиеся ячейки.

          Теперь выполните формулу для остальных ячеек в столбце ( F5:F14 ), выбрав F4 и перетащив маркер заполнения вниз.

          Шаг №3: Вычислите значения радиуса.

          Полярный график будет состоять из 10 колец данных, каждая радиальная точка (расстояние между внутренним и внешним краями кольца) представляет собой десятипроцентное приращение по шкале от 0 до 100.

          Поскольку баллы CSAT также измеряется по процентной шкале, просто разделите каждую таблицу баллов CSAT на 10.

          Вот как это сделать быстро и легко. Чтобы найти значения радиуса для первой компании ( Simpson Ltd ), введите эту крошечную формулу в ячейку G3 и скопируйте ее в остальные ячейки ( G4:G14 ):

           =B3/10 

          Теперь по тому же принципу рассчитайте радиусы для второй компании ( Griffin Ltd ):

           =C3/10 

          В этот момент вы можете подумать про себя: «А что, если мой тип данных отличается? Как вы корректируете, сравнивая, например, доход, полученный компаниями, с показателями CSAT?»

          Проще говоря, вы должны проанализировать свои фактические данные, определить эквивалент одной радиальной точки (скажем, 50 000 долларов США) и разделить все значения в вашем наборе данных на это число. Предположим, что какая-то компания заработала 250 000 долларов в мае. Чтобы найти свой радиус, разделите 250 000 долларов на 50 000. Так просто, как, что.

          Шаг №4: Скопируйте последние значения радиуса во вспомогательную строку.

          Заполните таблицу, скопировав значения r в самом низу ( G14:h24 ) каждого столбца в соответствующие пустые ячейки ( G2:h3 ).

          Шаг № 5: Рассчитайте значения по осям x и y для каждой компании.

          Пришло время перейти к преобразованию полярных координат в соответствующие значения осей X и Y. Благодаря тригонометрии вы можете осуществить переход, используя две специальные формулы, которые вы собираетесь выучить за несколько секунд.

          Сначала начнем со значений по оси X. В ячейку рядом с вспомогательной таблицей ( I2 ) введите следующую формулу:

           =G2*SIN(F2/180*PI()) 

          Скопируйте эту формулу в остальные ячейки под ней ( I3:I14 ).

          Таким же образом вставьте эту формулу в ячейку J2 , чтобы найти значения по оси Y, и выполните ее также для остальных ячеек ( J3:J14 ):

           =G2*COS (F2/180*PI()) 

          Важное примечание . Имейте в виду, что ячейка строки заголовка (J1) столбца со значениями по оси Y (столбец J) будет действовать как имя ряда, то есть значение в эта ячейка перейдет в легенду диаграммы.

          Повторите точно такой же процесс для вычисления значений X и Y для второй компании, изменив формулу для использования данных в столбце Griffin Ltd:

           =h3*SIN(F2/180*PI() ) 
           =h3*COS(F2/180*PI()) 

          Шаг № 6: Настройте вторую вспомогательную таблицу для сетки полярного графика.

          Да, вы не ослышались. Вам нужна еще одна вспомогательная таблица. К счастью, худшее уже позади, так как для составления таблицы не требуется единой формулы.

          Взгляните на нее:

          По сути, таблица состоит из трех элементов:

          • Качественная шкала (желтая область или N2:N11) данные. Заполните ячейки процентами, как показано на скриншоте. В качестве примера альтернативных данных, если бы мы анализировали доход, упомянутый ранее, этот столбец увеличился бы с 50 000 до 500 000 долларов.
          • Строка заголовка (красная область или O1:Z1) — содержит все имена категорий, полученные из исходной таблицы данных, просто расположенные вертикально.
          • Значения сетки (зеленая область или O2:Z11) — Эти значения разделят будущие кольца данных на равные части, очерчивая сетку графика. Просто выберите число из воздуха и скопируйте его во все ячейки в пределах диапазона.

          Шаг 7. Создайте набор кольцевых диаграмм.

          Наконец-то вы собрали все необходимые графические данные — это было довольно напряженно. Попрощайтесь с функциями и формулами, потому что теперь вы можете начать строить сам полярный график.

          Начните с настройки полярной плоскости, создав 10 кольцевых диаграмм, расположенных друг над другом:

          1. Выделите все значения сетки из второй вспомогательной таблицы ( O2:Z11 ).
          2. Перейдите на вкладку Вставка .
          3. Нажмите кнопку « Вставить круговую или кольцевую диаграмму ».
          4. Выберите « Пончик ».

          В результате Excel должен выдать набор из 10 колец.

          Иногда Excel не может правильно прочитать ваши данные. Чтобы обойти проблему, если это произойдет с вами, следуйте нескольким простым инструкциям, чтобы сложить диаграммы вручную. Для наглядности предположим, что вместо этого вы решили проанализировать данные за восемь месяцев.

          Сначала выберите любую пустую ячейку и постройте пустую кольцевую диаграмму, следуя описанным выше шагам.

          Затем щелкните правой кнопкой мыши график и выберите « Select Data. »

          После этого в диалоговом окне Select Data Source нажмите кнопку « Add ».

          В поле Edit Series выберите все значения сетки в первой строке ( O2:V2 ) и нажмите « OK ».

          Как вы уже догадались, промойте и повторите для каждого ряда, чтобы получить те же самые 10 колец, нанесенных на график.

          Шаг 8: Уменьшите размер отверстия бублика.

          Как видите, все кольца сжаты вместе вдали от центра. Давайте изменим это, уменьшив размер отверстия для пончика.

          1. Щелкните правой кнопкой мыши любое кольцо данных.
          2. Выберите « Формат серии данных. »

          В появившейся панели задач измените значение размера отверстия пончика по умолчанию, чтобы произошло волшебство:

          1. Перейдите на вкладку Опции серии .
          2. Установите размер отверстия пончика на « 10%. »

          Шаг 9: Настройте сетку диаграммы.

          В той же панели задач преобразуйте кольца в сетку, выполнив следующие простые шаги:

          1. Перейдите на вкладку Заливка и линия .
          2. В разделе « Заполнить, » выберите « Без заполнения». »
          3. В разделе «Граница , » выберите « Сплошная линия. »
          4. Щелкните значок « Цвет контура », чтобы открыть цветовую палитру и выбрать светло-серый.
          5. Установите ширину на « 5 pt. »

          Промойте и повторите для остальных колец.

          Шаг 10: Добавьте данные диаграммы.

          Теперь, когда основа заложена, добавьте на диаграмму значения x и y из первой вспомогательной таблицы.

          1. Выделите все значения по осям X и Y, иллюстрирующие баллы CSAT первой компании (Simpson Ltd), а также ячейки строки заголовка ( I1:J14 ) и скопируйте данные (щелкните правой кнопкой мыши и выберите Копировать ).
          2. Выберите область диаграммы.
          3. Перейдите на вкладку Главная .
          4. Нажмите кнопку « Вставить ».
          5. Выберите « Специальная вставка. »

          В появившемся крошечном диалоговом окне Специальная вставка выполните следующие действия:

          1. В разделе « Добавить ячейки как, » выберите « Новая серия». »
          2. Под « Значения (Y) в, ” выберите “ Столбцы. »
          3. Установите флажки «Названия серий в первой строке » и «Категории (метки X) в первом столбце ».
          4. Нажмите « ОК. »

          Повторите процесс, чтобы добавить данные диаграммы, связанные со второй компанией (Griffin Ltd).

          Шаг № 11: Измените тип диаграммы для вставленного ряда данных.

          Теперь измените тип диаграммы обоих недавно добавленных рядов, представляющих фактические значения.

          1. Щелкните правой кнопкой мыши любой ряд, представляющий фактические значения (либо Series «Simpson Ltd» , либо Series «Griffin Ltd» ).
          2. Выберите « Изменить тип диаграммы серии. »

          После этого измените тип диаграммы для серии «Simpson Ltd» и серии «Griffin Ltd» на «Scatter with Smooth Lines and Markers».

          Шаг 12: Измените масштаб горизонтальной и вертикальной осей.

          Когда оси диаграммы отобразятся, измените диапазоны шкал горизонтальной и вертикальной осей для диаграммы, чтобы точно отражать нанесенные на нее данные.

          1. Щелкните правой кнопкой мыши по вертикальной оси.
          2. Выберите « Формат оси. »

          Когда появится панель задач, определите новые диапазоны масштаба оси:

          1. Перейдите на вкладку Параметры оси.
          2. Установите для параметра Минимальные границы значение «-10».
          3. Измените значение параметра Максимальные границы на «10».

          После этого прыгайте на горизонтальную ось и делайте то же самое.

          Шаг 13: Удалите линии сетки, оси и ненужные элементы легенды.

          Очистите график, удалив элементы диаграммы, которые не имеют никакого практического значения: линии сетки, оси, а также все элементы легенды — за исключением двух, которые вам действительно нужны (отметка информации о компании).

          Для этого дважды щелкните каждый элемент, затем снова щелкните его правой кнопкой мыши и выберите « Удалить».

          Шаг 14: Добавьте метки данных.

          По мере того, как мы постепенно приближаемся к концу нашего грандиозного приключения с Excel, пришло время добавить метки данных, представляющие каждую качественную категорию в вашем наборе данных.

          Щелкните правой кнопкой мыши внешнее кольцо ( Серия «10» ) и выберите « Добавить метки данных».

          Шаг 15: Настройте метки данных.

          По сути, все, что вам нужно сделать здесь, это заменить метки данных по умолчанию именами категорий из таблицы, содержащей ваши фактические данные.

          Щелкните правой кнопкой мыши любую метку данных и выберите « Формат меток данных». »

          Когда откроется панель задач, замените значения, выполнив следующие действия:

          1. Перейдите на вкладку Параметры метки .
          2. Установите флажок « Значение из ячеек ».
          3. Выделите значения категории из исходной таблицы данных ( А3:А14 ).
          4. Нажмите « ОК. »
          5. Снимите флажок « Значение ».
          6. Снимите флажок « Показать линии выноски ».

          Шаг 16: Переместите этикетки.

          Теперь немного сдвиньте метки, разместив их вдоль края внешнего кольца в порядке, показанном на скриншоте ниже. Это нужно будет сделать вручную, перетащив каждый заголовок в нужное положение.

          Наконец, измените название диаграммы, и все готово!

          Загрузить шаблон полярного графика

          Загрузите наш бесплатный шаблон полярного графика для Excel.

          Загрузить сейчас

          Система построения полярных графиков ценна, но имеет недостатки

          Столбцы

          Полярные координаты должны записывать входные данные перед выходными

          , где точки изображаются на основе их координат «x» и «y», но есть еще одна важная система построения графиков для изучения математики: полярная система координат. Декартова система координат была создана в 1637 году математиком Рене Декартом, а полярная система координат была изобретена несколько десятилетий спустя физиком Исааком Ньютоном, которую затем использовал математик Якоб Бернулли для решения математических задач.

          Для тех, кто не знаком с полярной системой координат, первый шаг в построении графика — нарисовать ось, которая представляет собой любую точку — теперь начало координат — а затем луч, проведенный вправо. Похоже на правую половину оси x. Затем точки наносятся на график на основе значения r, которое представляет расстояние от начала координат до этой точки, и значения θ, или тета, которое представляет собой меру в градусах или радианах угла, образованного исходным полюсом и линией, соединяющей сказал указать на происхождение. Как и в декартовой системе, точки записываются как упорядоченные пары, но на этот раз в виде (r, θ), а не (x, y).

          Примером полярной системы координат в действии является точка (2, π). В этом случае, поскольку r равно двум, точка будет находиться на расстоянии двух от начала координат, а угол между этой точкой и осью будет равен π радианам, или 180 градусам. При построении этого графика вы должны поместить точку, которая находится на две единицы непосредственно слева от начала координат, потому что это образует прямую линию между осью и точкой, которая имеет угол 180 градусов.

          Полярная система координат полезна не только для построения графиков точек, но и для графических функций. 2, которая принимает входные данные x и производит выходные данные y. Точно так же существуют полярные координаты, которые обычно записываются как r, равное некоторому действию с θ, например, r = sin(θ). График этой функции в полярной системе координат представляет собой круг, а полярная система построения графиков ценна тем, что позволяет математикам отображать важные кривые, такие как кардиоиды и розы, которые не могут быть легко построены с помощью функций в декартовой системе.

          Однако есть проблема с полярной системой координат — принято записывать точки как (r, θ). Я считаю, что было бы более разумно записывать полярные точки как (θ, r), потому что это более логично согласуется с декартовыми точками (x, y). Суть моего аргумента заключается в том, что θ больше похоже на x, а r больше похоже на y. Следовательно, полярные точки следует записывать как (θ, r), чтобы они естественным образом сливались с декартовыми точками (x, y), что делало их менее запутанными.

          92. Координата x — это вход, потому что с ней что-то делается путем возведения в квадрат, а y — это выход. С другой стороны, полярная функция, которую я дал, была r = sin(θ), которая помещает θ в качестве входа и r в качестве выхода. Поскольку x и θ обычно являются входными данными функций соответствующего типа, а y и r обычно являются выходными данными, логично, что они должны находиться в одних и тех же местах своих упорядоченных пар.

          Кроме того, чтобы построить сходство ввода и вывода между декартовыми и полярными координатами, имеет смысл записать ввод перед выводом в упорядоченных парах. Допустим, перед вами стоит задача найти точку, лежащую на функции r = sin(θ). Чтобы решить эту проблему, вы можете выбрать значение r, а затем решить для θ, но было бы намного проще сначала выбрать значение θ, потому что вам не нужно брать арксинус обеих частей уравнения, что делает проблема намного сложнее, чем она должна быть. Поскольку значение θ определяется первым, оно должно быть записано первым, потому что оно использовалось для нахождения значения r, а не наоборот.

          Наконец, мое последнее замечание состоит в том, что использование условного обозначения (θ, r) более полезно при графическом отображении полярных точек, чем условное обозначение (r, θ).

          Производная сложной функции как решать: Производные сложных функций, основные формулы и примеры решений

          Производная сложной функции — примеры решений

          Основные формулы

          Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
          ;   ;   ;   ;   .

          Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
          ,
          то ее производная определяется по формуле:
          .
          В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
          .
          где .
          Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

          Обычно, в таблицах производных, приводятся производные функций от переменной x. Однако x – это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u.

          Простые примеры

          Пример 1

          Найти производную сложной функции
          .

          Решение

          Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
          .
          В таблице производных находим:
          ;
          .

          По формуле производной сложной функции имеем:
          .
          Здесь .

          Ответ

          .

          Пример 2

          Найти производную
          .

          Решение

          Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
          .

          Применяем формулу производной сложной функции:
          .
          Здесь .

          Ответ

          .

          Пример 3

          Найдите производную
          .

          Решение

          Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
          ;
          Из таблицы производных находим:
          .

          Применяем формулу производной сложной функции:
          .
          Здесь .

          Ответ

          .

          Более сложные примеры

          В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных. Также мы применяем правила дифференцирования суммы, произведения и дроби. Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

          Пример 4

          Найдите производную
          .

          Решение

          Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

          Применяем правило дифференцирования сложной функции.

          .
          Здесь мы использовали обозначение
          .

          Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
          .

          Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

          .
          Здесь .

          Ответ

          .

          Пример 5

          Найдите производную функции
          .

          Решение

          Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

          Применяем правило дифференцирования сложной функции.
          .
          Здесь
          .

          Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
          .
          Здесь
          .

          Дифференцируем следующую часть.

          .
          Здесь
          .

          Теперь находим производную искомой функции.

          .
          Здесь
          .

          Ответ

          .

          Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

          как найти, вычислить и понять с нуля

           

          Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

          Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

          Геометрический и физический смысл производной

          Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

          Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

          Иначе это можно записать так:

          Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

          Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

           

          Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

          Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

          Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

          Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

          Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

          Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

          Правила нахождения производных

          Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

          Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

           

          Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

          Правило первое: выносим константу

          Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

          Пример. Вычислим производную:

          Правило второе: производная суммы функций

          Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

          Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

          Найти производную функции:

          Решение:

          Правило третье: производная произведения функций

          Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

          Пример: найти производную функции:

          Решение:

          Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

          В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

          В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

          Правило четвертое: производная частного двух функций

          Формула для определения производной от частного двух функций:

          Пример:

          Решение:

          Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

          С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

          Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

                Пример 1. Найти производную функции

          y = cos 2x

                Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = cos (kx + b)   в случае, когда   = 2,   = 0,   получим

          (cos 2x)’ = – 2sin 2x .

                Замечание. Очень часто школьники, а также и студенты, при решении примера 1 пишут:

          (cos 2x)’ = – sin 2x .

                Это ошибка !!!

                Перепишем верный ответ еще раз:

          (cos 2x)’ = – 2sin 2x .

                Приведем также верные ответы в похожих примерах:

                Пример 2. Найти производную функции

          y = sin3x

                Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда   (x) = sin x ,   а   = 3,   получим

          Ответ:

                Пример 3. Найти производную функции

          y = (3x – 7)5 .

                Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   = 3,   = – 7,   а   = 5,   получим

          y’ = 15(3x – 7)4 .

          Ответ:

                Пример 4 . Найти производную функции

                Решение. Поскольку

          ,

          то исходную функцию можно переписать в виде

                Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = f (x)) c   в случае, когда

          ,

          а   = 8,   получим

          Ответ:

                Пример 5 . Найти производную функции

                Решение. Воcпользовавшись правилом 5 для вычисления производной частного двух функций и формулой для производной сложной функции   y = arccos (kx + b)   в случае, когда   = 3,   = 0,   получим

          Ответ:

          .

                Пример 6. Найти производную функции

                Решение. Воcпользовавшись правилом 4 для вычисления производной произведения двух функций, формулой для производной сложной функции   y = arctg (kx + b)   в случае, когда   = 5,   = 0, и формулой для производной сложной функции   y = akx + b   в случае, когда   = 3,   = 2,   = 0,   получим

          Ответ:

                Пример 7 . Найти производную функции

                Решение. Поскольку

          то, воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = e f (x)   в случае, когда   , и формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   с = – 1,   = 7,   = – 1,  получим

          Ответ:

                На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

          Производная сложной функции.

          Инструкционная карта № 19

          Тақырыбы/ Тема: «Производная сложной функции».

          Мақсаты/ Цель:

          1.Обеспечить усвоение учащимися умения применять формулы дифференцирования сложной функции и вычисления этой производной при решении упражнений и заданий.

          2. При решении упражнений, развивать у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обучить умению рационально находить правильное решение изучаемого вопроса.

          3. Создать условие для развития коммутативно-творческих умений: не шаблонно подходить решению разнообразных задач.

          Теоретический материал:

          На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

          Смотрим на правило дифференцирования сложной функции: 

          Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции –  и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

          Функцию   будем называть внешней функцией, а функцию  – внутренней (или вложенной) функцией.

          ! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Эти неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

          Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

          Пример 1. Найти производную функции: 

          Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: 

          В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция  – это сложная функция, причем многочлен  является внутренней функцией (вложением), а  – внешней функцией.

          Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

          В случае простых примеров вроде  понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого будем использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

          Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения  при  (вместо единицы может быть любое число).

          Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен  и будет внутренней функцией :
           
          Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

          После того, как  мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

          Начинаем решать. Из предыдущего урока  мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

          Сначала находим производную внешней функции  (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

          Обратите внимание, что внутренняя функция  не изменилась, её мы не трогаем.

          Ну и совершенно очевидно, что 

          Результат применения формулы  в чистовом оформлении выглядит так:

          Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

          Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
          Готово.

          Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

          Пример 2. Найти производную функции:  у’=(cos2x)’=-sin2x(2x)’=-2sin2x.

          Пример 3. Найти производную функции:  Как всегда записываем:

          Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения  при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен  – и есть внутренняя функция:


          И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

          Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции   следующий:

          Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция  у нас не меняется:

          Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

          Готово.

          Пример 4. Найти производную функции:  у’= -(х2-1)’= — = — .

          Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

          Пример 5 а) Найти производную функции: 

          б) Найти производную функции: 

          Пример 6. Найти производную функции: 

          Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

          Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

          Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

          Готово.

          Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

          Пример 7. Найти производную функции:

          y’=(1+ = — .

          Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

          Пример 8. Найти производную функции:

          Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

          Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

          Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. 
          Используем наше правило :

          Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

          Готово.

          Пример 9. Найти производную функции: 

          y’= — (arcos x)’ = — =.

          До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую,  вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

          Пример 10. Найти производную функции: 

          Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение  с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

          Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

          Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

          И, наконец, семерку возводим в степень :

          То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

          Начинаем решать

          Согласно правилу  сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции:  Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение  , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции   следующий:

          Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

          Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

          Готово.

          Пример 11. Найти производную функции: 

          y’=2ln(2x-1)(ln(2x-1)’=2ln(2x-1)(2x-1)’ =2ln(2x-1)2=

          На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

          Пример 12. Найти производную функции: 

          Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

          В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

          Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
          А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

          Готово.

          ! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

          Пример 13 Найти производную функции: 

          y’=( =

          = + ctgx.

          Практическая часть:

          1 вариант

          Найти производную сложной функции:

          2 вариант

          Найти производную сложной функции:

          3 вариант

          Найти производную сложной функции:

          4 вариант

          Найти производную сложной функции:

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          .

          y=(x2-5x+8)6.

          y= .

          у = lg(5x2+1) .

          y= .

          3(e) .

          y=ln .

          y=tg(2x2+1) .

          y=ln .

          y=ln2(x2-1).

          y=cos.

          y=sin3mx .

          y=arccos .

          y=e, найти: y’().

          y=sin, найти: y’().

          y=3, найти: у’(1) .

          у = (7-6х)12, найти: у'(1).

          Контрольные вопросы:

          1. Дайте определение сложной функции.

          2. Как находится производная сложной функции? Пояснить ответ на примере.

          Производная сложной функции. Примеры решений

          На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь  изложить его просто и доступно.

          На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

          Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

           

          Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись  . Здесь у нас две функции –   и  , причем функция  , образно говоря, вложена в функцию  . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

          Функцию   я буду называть внешней функцией, а функцию   – внутренней (или вложенной) функцией.

          ! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

          Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

          Пример 1

          Найти производную функции 

          Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение  , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: 

          В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция   – это сложная функция, причем многочлен   является внутренней функцией (вложением), а   – внешней функцией.

          Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

          В случае простых примеров вроде   понятно, что под синус вложен многочлен  . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

          Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения   при   (вместо единицы может быть любое число).

          Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие:  , поэтому многочлен   и будет внутренней функцией  :   Во вторую очередь нужно будет найти  , поэтому синус – будет внешней функцией: После того, как  мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции  .

          Начинаем решать. С урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

          Сначала находим производную внешней функции   (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что  . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

          Обратите внимание, что внутренняя функция   не изменилась, её мы не трогаем.

          Ну и совершенно очевидно, что 

          Результат применения формулы   в чистовом оформлении выглядит так:

          Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

          Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

          Готово

          Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

          Пример 2

          Найти производную функции 

          Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

          Пример 3

          Найти производную функции 

          Как всегда записываем:

          Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения   при  . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание:  , значит, многочлен   – и есть внутренняя функция: И, только потом выполняется возведение в степень  , следовательно, степенная функция – это внешняя функция: Согласно формуле  , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу:  . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции    следующий:

          Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции  , внутренняя функция   у нас не меняется: Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

          Готово.

          Пример 4

          Найти производную функции 

          Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

          Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

          Пример 5

          а) Найти производную функции 

          б) Найти производную функции 

          Пример 6

          Найти производную функции 

          Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени  . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

          Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции  :

          Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

          Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

          Пример 7

          Найти производную функции 

          Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

          Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного  , но такое решение будет выглядеть как извращение забавно. Вот характерный пример:

          Пример 8

          Найти производную функции 

          Здесь можно использовать правило дифференцирования частного  , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

          Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

          Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.  Используем наше правило  :

          Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

          Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила  , ответы должны совпасть.

          Пример 9

          Найти производную функции 

          Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

          До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую,  вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

          Пример 10

          Найти производную функции 

          Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение   с помощью подопытного значения  . Как бы мы считали на калькуляторе?

          Сначала нужно найти  , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

          Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат  :

          И, наконец, семерку возводим в степень  : То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

          Начинаем решать

          Согласно правилу   сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции:  Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение   , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции    следующий:

          Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

          Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

          Готово.

          Пример 11

          Найти производную функции 

          Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

          На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

          Пример 12

          Найти производную функции 

          Сначала используем правило дифференцирования суммы  , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу  :

          В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило  :

          Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции  ,  . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно. А пока запишем подробно, согласно правилу  , получаем:

          Готово.

          ! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

          Пример 13

          Найти производную функции 

          Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

          Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие – вместо правила   применяем правило  .

          Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

          Желаю успехов!

          Ответы:

          Пример 2: 

          Пример 4:  Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

          Пример 7: 

          Пример 9: 

          Пример 11: 

          Пример 13: 

          Производная сложной функции — алгебра, уроки

          Урок № 19 Дата:

          ТЕМА: Производная сложной функции

          Цели урока:

          образовательная:

          • формирование понятия сложной функции;

          • формирование умения находить по правилу производную сложной функции;

          • отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции при решении задач.

          развивающая:

          • развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

          • развивать наглядно-действенное творческое воображение;

          • развивать познавательный интерес.

          • способствовать формированию умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

          воспитательная:

          • воспитывать ответственное отношение к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

          Обучающийся должен знать:

          • правила и формулы дифференцирования;

          • понятие сложной функции;

          • правило нахождения производной сложной функции.

          Обучающийся должен уметь:

          • вычислять производные сложных функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования;

          • применять полученные знания к решению задач.

          Тип урока: урок рефлексия.

          Обеспечение урока:

          • презентация; таблица производных; таблица Правила дифференцирования;

          • карточки – задания для индивидуальной работы; карточки – задания для проверочной работы.

          Оборудование:

          ХОД УРОКА:

          1. Организационный момент (1 мин).

          Вступление

          Готовность класса к работе.

          Общий настрой.

          2. Мотивационный этап (2-3 мин).

          (Покажем сами себе, что мы готовы с уверенностью постигать знания, которые нам могут пригодиться!)

          — Ответьте мне, какое домашнее задание вы выполнили на этот урок? (на прошлом уроке было задано изучить материал по теме «Производная сложной функции» и как результат составить конспект).

          — Какими источниками вы пользовались при изучении данной темы? (видеофильм, учебник, дополнительная литература).

          — Какой дополнительной литературой вы воспользовались? (литература из библиотеки).

          Таким образом темой урока является …? («Производная сложной функции»)

          Открываем тетради и записываем: число, классная работа, и тему урока. (Слайд 1)

          Исходя из темы, давайте обозначим цели и задачи урока (формирование понятия сложной функции; формирование умения находить по правилу производную сложной функции; отработать алгоритм применения правила нахождения производной сложной функции при решении задач).

          3. Актуализация знаний и осуществление первичного действия (7-8 мин)

          Переходим непосредственно к достижению целей урока.

          Сформулируем понятие сложной функции (функция вида y = f (g (x)) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f и g, где f – внешняя функция и g — внутренняя) (Слайд 2)

          Рассмотрим Задание 1: Найти производную функции у = (х2 +sin x)3 (запись на доске)

          Данная функция является элементарной или сложной? (сложной)

          Почему? (т.к. аргументом служит не независимая переменная х, а функция х2+sinx этой переменной).

          Как прочитать эту функцию? (функция суммы тригонометрической и степенной функций в кубе).

          Для нахождения производной данной функции необходимо знание основных формул производной элементарных функций и знание правил дифференцирования. Вспомним их, проведя диктант: (Слайд 3)

          1) С=0; 2) (xn) = nxn-1; ; 4) ax = ax ln a; 5)

          6) 7)

          8)

          Результат диктанта проверяется (Слайд 4)

          Выберем из таблицы производных и правил дифференцирования те, которые нужны для решения данного задания и запишем их в виде схемы на доске.

          4. Выявление индивидуальных затруднений в реализации нового знания и умения (4 мин)

          Решим пример 1 и найдем производную функции y = ((х2 +sin x)3)

          Какие же формулы нужны для решения задания? ((xn) = nxn-1;

          )

          Работа у доски:

          (х2 +sin x)3 = U;

          y = (U3) = 3 U2 U`=3(х2 +sin x)2(+cos x)

          Можно заметить, что без знания формул и правил невозможно взять производную сложной функции, но для правильного расчета нужно видеть в дифференцировании основную функцию.

          5. Построение плана по разрешению возникших затруднений и его реализация (8 — 9 мин)

          Выявив затруднения, давайте построим алгоритм нахождения производной сложной функции: (Слайд 5)

          Алгоритм:

          1. Определить внешнюю и внутреннюю функции;

          2. Производную находим по ходу чтения функции.

          А теперь разберем это на примере

          Задание 2: Найти производную функции:

          1. Определяем внешнюю и внутреннюю функции:

          При упрощении получаем: (5-4х) = U,

          т.е. ;

          2. Находим производную по ходу чтения функции:

          у = =

          Задание 3: Найти производную функции:

          1. Определяем внешнюю и внутреннюю функции:

          у = 4U – показательная функция

          2. Находим производную по ходу чтения функции:

          у= =

          6. Обобщение выявленных затруднений (4 мин)

          Н.И. Лобачевский “… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…”

          Поэтому обобщая наши знания, решение следующего задания посвятим связи с физическими явлениями (у доски по желанию)

          Задание 4:

          При электромагнитных колебаниях, возникающих в колебательном контуре, заряд на обкладках конденсатора изменяется по закону q = q0 cos ωt, где q0-амплитуда колебаний заряда на конденсаторе. Найти мгновенное значение силы переменного тока I.

          Решение:

          = — . Если добавить начальную фазу, то по формулам приведения получим — .

          7. Осуществление самостоятельной работы (6 мин)

          Ученики выполняют тестирование по индивидуальным карточкам в тетради. Одного ответа не достаточно, должно быть и решение. (Слайд 6)

          Карточки «Самостоятельная работа к уроку № 19»

          Критерии оценки: “3 ответа” — 3 балла; “2 ответа” — 2 балла; “1 ответ” — 1 балл

          Ключи ответов (Слайд 7)

          задания

          1 вариант

          2 вариант

          3 вариант

          4 вариант

          ответ

          ответ

          ответ

          ответ

          1

          Б

          Б

          В

          А

          2

          Б

          В

          В

          Б

          3

          А

          Б

          В

          В

          После проверки (Слайд 8)

          8. Реализация плана по разрешению возникших затруднений (6 — 7 мин)

          Ответы на вопросы учеников по затруднениям, возникшим в ходе самостоятельной работы, обсуждение типичных ошибок.

          Примеры — задания для ответа на возникшие вопросы***:

          1) ;

          2) ;

          3) ;

          4) ;

          9. Домашнее задание (2 мин) (Слайд 9)

          Решить индивидуальное задание по карточкам-заданиям.

          Выставление оценок по итогам работы.

          10. Рефлексия (2 мин)

          «Хочу спросить»

          Учащийся задает вопрос, начиная со слов «Хочу спросить…». На полученный ответ сообщает свое эмоциональное отношение: «Я удовлетворен….» или «Я не удовлетворен, потому что …».

          По ответам учеников подвести итоги, выяснив при этом, достигнуты ли были цели урока.

          Урок 11. правила дифференцирования — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

          Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

          Урок №11. Правила дифференцирования.

          Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

          • разбор основных правил дифференцирования функций;
          • примеры вычисления производной линейной функции;
          • правила вычисления производных произведения и частного.

          Глоссарий по теме

          Производная суммы равна сумме производных.

          Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции.

          Производная разности равна разности производных.

          Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго.

          Производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

          Основная литература:

          Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

          Дополнительная литература:

          Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

          Теоретический материал для самостоятельного изучения

          При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

          Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g'(x).

          Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

          Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

          (f(x) +…+ g(x))’ = f ‘(x) +…+ g'(x).

          Производная разности равна разности производных: (f(x) — g(x))’ = f ‘(x) — g'(x).

          А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

          Рассмотрим второе правило дифференцирования:

          Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

          (cf(x))’=cf ‘ (x)

          Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) ‘=f’ (x)·g(x)+f(x)·g’ (x)

          Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

          Сложная функция

          Производная сложной функции находится по формуле:

          (f(g(x))) ‘=f ‘(g(x))·g’ (x)

          Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

          Пример 1.

          Найдем производную функции:

          Решение:

          производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

          Ответ:

          Пример 2.

          Найти производную функции f(x)=8x3+3x2-x.

          Решение:

          f(x)=8x3+3x2-x

          f’(x)=(8x3)’+(3x2)’-x’

          Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

          (8x3) ‘=8(x3) ‘=8·3x2=24x2

          (3x2) ‘=3(x2) ‘=3·x=6x

          (-x) ‘=-(x) = -1

          f’ (x)=(8x3) ‘+(3x2) ‘-x’=24x2+6x-1.

          Ответ: f’ (x)=24x2+6x-1.

          Пример 3.

          Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

          Решение:

          Воспользуемся формулой производной произведения:

          f’ (x)=(3х-4) ‘ (4-5х) + (3х-4)(4-5х) ‘=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

          Ответ: f’ (x)=32

          Пример 4.

          Найти производную функции

          Решение:

          Воспользуемся формулой производной частного:

          Ответ:

          Пример 5.

          Найти производную функции F(x)=(2x-1)2

          Решение:

          По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

          F’ (x)=((2x-1)²) ‘·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

          Ответ: F’ (x)=8x-4.

          {\, ​​# 1}} \ newcommand {\ u} {\ Big (\! \ sin x \ cos \ l \ e {3z} \ r + \ cos x \ sin \ l \ e {3z} \ r \! \ Big) \ cosh y} \ newcommand {\ v} {\ Big (\! \ cos x \ cosh \ l \ e {3z} \ r- \ sin x \ sinh \ l \ e {3z} \ r \! \ Big) \ sinh y} $ ПОДСКАЗКА : Представьте свою комплексную функцию $ f $ как действительную и мнимую составляющие.


          Напомним, что комплексные производные по $ z = x + \ i y $ и $ \ z = x — \ i y $ определяются как: $$ \ frac {\ partial} {\ partial z} = \ frac {1} {2} \ left ( \ frac {\ partial} {\ partial x} — \ i \ frac {\ partial} {\ partial y} \верно), \ quad \ frac {\ partial} {\ partial \ z} = \ frac {1} {2} \ left ( \ frac {\ partial} {\ partial x} + \ i \ frac {\ partial} {\ partial y} \верно).

          $

          Действительно,
          $$ \ begin {case} г = х + \ я у, \\ \ z = х — \ я у \ end {case} \ подразумевает \ begin {case} х = \ гидроразрыва {1} {2} \ l z + \ z \ r, \\ у = \ гидроразрыва {1} {2i} \ l z — \ z \ r \ end {case} \ подразумевает \ begin {case} \ frac {\ partial {x}} {\ partial {z}} = \ frac {1} {2}, & \ frac {\ partial {x}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2}, \\ \ frac {\ partial {y}} {\ partial {z}} = \ frac {1} {2i}, & \ frac {\ partial {y}} {\ partial {\ z}} = — \ frac {1} {2i}. \\ \ end {case} $$ Следовательно $$ \ frac {\ partial {f}} {\ partial {\ z}} = \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} \ frac {\ partial {x}} {\ partial {\ z}} + \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ frac {\ partial {y}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2} \ bigg ( \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} + \ i \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ bigg)

          $

          Любую сложную функцию $ \ f: \ Bbb Z \ to \ Bbb Z $ можно записать как $$ е \ влево (г \ вправо) = е \ влево (х, у \ вправо) = и \ влево (х, у \ вправо) + \ я v \ влево (х, у \ вправо), $$ где $ u = \ Re \ left (f \ right) $ и $ v = \ Im \ left (f \ right) $ — действительные функции, которые являются действительной и мнимой составляющими $ f $ соответственно.{3z} \ right) \, $ действительная и мнимая компоненты $ u $ и $ v $ могут быть вычислены следующим образом: $$ \ begin {выровнено} \ sin z & = \ sin \ l \ xy \ r = \ sin \ l x \ r \ cos \ l \ y \ r + \ cos \ l x \ r \ sin \ l \ y \ r = \\ & = \ sin x \ cosh y + \ i \ cos x \ sinh y, \\ \ e {z} & = \ e {\ xy} = \ e x \ big (\ cos y + \ i \ sin y \ big), \\ z + \ e {3z} & = \ xy + \ e {3x} \ big (\ cos y + \ i \ sin y \ big) = х \ е {3х} \ соз у + \ я \ л у + \ е {3х} \ грех у \ г. \ end {выровнен} $$ Обозначая $ \ \ R: = x \ e {3x} \ cos y $ и $ \ I: = y + \ e {3x} \ sin y, \, $, мы пишем $$ \ begin {выровнено} f \ l z \ r & = f \ big (\ R + \ i \ I \ big) = \ sin \ big (\ R + \ i \ I \ big) = \ underbrace {\ sin \ R \ cosh \ I} _ {: = u} + \ i \ underbrace {\ cos \ R \ sinh \ I} _ {: = v} \ end {выровнен} $$ Следовательно $$ f \ l z \ r = f \ l \ xy \ r = u \ l x, y \ r + \ i v \ l x, y \ r, \ \ \ text {где} \ \ \ \ begin {case} u \ l x, y \ r = \ sin \ l x \ e {3x} \ cos y \ r \ cosh \ l y + \ e {3x} \ sin y \ r \\ v \ l x, y \ r = \ cos \ l x \ e {3x} \ cos y \ r \ sinh \ l y + \ e {3x} \ sin y \ r \ end {case} $$ Напоследок пишем $$ \ bbox [5pt, граница: 2pt, сплошной # FF0000] {\ е \ л х, у \ г = \ sin \ l x \ e {3x} \! \ cos y \ r \ ch \ l y + \! \ e {3x} \! \ sin y \ r + \ i \ cos \ l x \ e {3x} \! \ cos y \ r \ sinh \ l y + \! \ e {3x} \! \ sin y \ r \ }

          $

          Надеюсь, вы сможете выбрать его отсюда и вычислить производную $$ \ frac {\ partial {f}} {\ partial {\ z}} = \ frac {1} {2} \ bigg ( \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} + \ i \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} \ bigg)

          $

          10.1 Производные комплексных функций

          10.1 Производные комплексных функций
          Далее: 10.2 Дифференцируемые функции на Up: 10. Производная Предыдущая: 10. Производная & nbsp Индекс

          Вы знакомы с производными функций от к , и с Мотивация определения производной как наклона касательной к кривой. Для сложных функций геометрическая мотивация отсутствует, но определение формально то же, что и определение производных действительных функций.

          По определению предела можно сказать, что дифференцируемо в если , и является предельной точкой и существует функция такой которая непрерывна при, и такой, что

          (10.2)

          и в этом случае равно.

          Иногда полезно перефразировать условие (10.2) следующим образом: является дифференцируемый в если , является предельной точкой , и есть функция такая, что непрерывна в точке, и

          (10.3)

          В таком случае, . 10,4 Замечание. Непосредственно из (10.3) следует, что если дифференцируема в точке, тогда непрерывна при.

          Доказательство. Поскольку в точке дифференцируемы, существуют функции , такой, что, непрерывны при, а




          Это следует из того

          и непрерывна при.

          Мы можем позволить и мы видим дифференцируемо при и

          Доказательство: доказательство предоставляется вам.

          Доказательство: согласно нашим предположениям, существуют функции


          такая, что непрерывна в точке, непрерывна в точке и

          Если , потом , поэтому мы можем заменить в (10.15) с помощью, чтобы получить

          Используя (10.14) для переписывания, получаем

          Следовательно, мы имеем

          и непрерывна при. Следовательно, дифференцируемо в и

          Доказательство: если , мы видели выше, что это дифференцируемый и . Позвольте быть комплексной функцией, и позволять .Предположим, дифференцируем в, и. Затем . По цепному правилу дифференцируем в, и




          Далее: 10.2 Дифференцируемые функции на Up: 10. Производная Предыдущая: 10. Производная & nbsp Индекс

          Дифференцирующие комплексные экспоненты

          Теперь напишем e zt = u ( t ) + iv ( t ), где u и v равны реальные функции.
          Тогда имеем:

          u ‘+ iv ‘ = ze zt = ( a + ib ) ( u + iv ) = au bv i + av + bu ).


          Получаем пару реальных уравнений:

          u » — au ‘= au ‘ — bv ‘- a ( au bv )


          = au ‘- b ( av + bu ) — a ( au bv ) = au ‘- ( a 2 + b 2 ) ( u ),


          u » — 2 au ‘+ ( a 2 + b 2 ) u = 0.


          Аналогично у нас есть:

          v » — 2 av ‘+ ( a 2 + b 2 ) v = av ‘ + bu ‘- 2 av ‘ + ( a 2 + b 2 ) v


          = b ( au bv ) — a ( av + bu ) + ( a 2 + b 2 ) v = 0.


          Таким образом, как действительная, так и мнимая части e zt являются решениями вещественное дифференциальное уравнение второй степени:

          y » — 2 ay ‘+ ( a 2 + b 2 ) y = 0.


          В формате z это:

          Мы можем напрямую проверить, что y = Ae zt подчиняется этому уравнению, для A любая комплексная константа.
          Если y = Ae zt , тогда y ‘= Aze zt и y » = Az 2 e zt , получаем:



          Этому же уравнению подчиняется комплексное сопряжение Ae zt и затем складывая решение и его комплексное сопряжение, получаем действительное решение уравнения:

          И наоборот, мы можем показать, что это общее решение при условии z не реально.
          Предположим, что y удовлетворяет: .
          Положить y ‘- zy = w .
          Тогда:

          Так и , для некоторых постоянный В .
          Так .
          Положить y = e zt x , для некоторой функции x .
          Тогда .
          Так .
          Теперь два случая: Наконец, чтобы y были реальными, нам нужно .
          Мы показали, что общее действительное решение уравнения y ‘- 2 ay ‘ + ( a 2 + b 2 ) y = 0 является , куда z = a + ib .

          Использование правила цепочки для различения сложных функций — видео и стенограмма урока

          Понимание правила цепочки

          Чтобы вычислить эту и другие более сложные производные, вам необходимо знать правило цепочки . Цепное правило используется для связывания частей уравнений вместе или для дифференцирования сложных уравнений, таких как вложенные уравнения . Итак, если у вас есть f (x) , а эта функция действительно g (h (x)) , у вас есть функция внутри другой функции.2.

          Правило цепочки на самом деле довольно простое: используйте его всякий раз, когда вы видите круглые скобки. Иногда вы будете использовать его, когда скобок нет, но они подразумеваются. Но практическое правило состоит в том, что когда вы видите круглые скобки, вы собираетесь использовать правило цепочки. Чтобы применить это, возьмите производные извне внутрь. Итак, если у вас есть f (x) = g (h (x)) , то вы собираетесь дифференцировать внешнюю функцию. Затем вы умножите его на производную внутренней функции.2 — тогда у нас действительно две функции. Наша первая функция — это квадратные скобки, а наша вторая функция — это то, что внутри, 2 x — 4.

          Во-первых, я на секунду проигнорирую внутреннюю часть и назову ее просто «круглые скобки в квадрате». Я возьму производную от скобок в квадрате, которая будет в 2 раза больше, чем указано в скобках. Затем мне нужно умножить это на производную от того, что указано в скобках. Итак, если я вставлю то, что указано в скобках, 2 x -4, у меня будет 2 (2 x -4) * d / dx (2 x -4).2) равно (2 ( x + 2) * d / dx ( x + 2)). Производная от x + 2 равна 1, и затем я могу упростить, когда отработаю все скобки. Это также относится к таким примерам, как f (x) = cos (3 x ). f` (x) равно производной внешней, -sin (3 x ), умноженной на производную внутренней (производная 3 x равна всего 3).

          Используя стратегию работы извне внутри
          f` (x) x f (x) e x f` (x) e x

          Резюме урока

          Уловка с правилом цепочки — пробраться внутрь.Обычно используется, когда у вас есть круглые скобки. Итак, если вы хотите найти f` (x) , когда f (x) = g (h (x)) , вы сначала собираетесь найти производную внешнего вида — производную g , g` (h (x)) — и вы собираетесь умножить его на внутреннюю производную, h` (x) .

          Производная со сложным шагом — Graduate Descent

          Оцените производные, просто передав комплексное число в вашу функцию!

          $$ f ‘(x) \ приблизительно \ frac {1} {\ varepsilon} \ text {Im} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

          $


          Напомним, приближение центрированной разности — довольно точный метод для аппроксимирующих производных функции одной переменной \ (f \), что требует только двух оценки функций. 3} {3!} f » ‘(x) + \ cdots

          $


          Возьмите мнимую часть обеих частей и решите относительно \ (f ‘(x) \).2} {3!} F » ‘(x) + \ cdots

          $


          Как обычно, с помощью маленького \ (\ varepsilon \) выбросим старшие условия. И мы приходим к следующему приближению:

          $$ f ‘(x) \ приблизительно \ frac {1} {\ varepsilon} \ text {Im} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

          $


          Если вместо этого мы возьмем действительную часть и решим для \ (f (x) \), мы получим приближение к значению функции в \ (x \):

          $$ f (x) \ приблизительно \ text {Re} \ Big [f (x + i \ cdot \ varepsilon) \ Big]

          $


          Другими словами, вычисление одной (сложной) функции вычисляет как значение функции и производная.

          Код :

            def complex_step (f, eps = 1e-10):
              "" "
              Функция высшего порядка принимает одномерную функцию, которая вычисляет значение и
              возвращает функцию, которая возвращает приближение пары значение-производная.
              "" "
              def f1 (x):
                  y = f (complex (x, eps)) # преобразовать ввод в комплексное число
                  return (y.real, y.imag / eps) # возвращаем значение функции и градиент
              вернуть f1
            

          Простой тест:

            f = лямбда x: exp (x) + cos (x) +10 # функция
          g = лямбда x: exp (x) -sin (x) # градиент
          х = 1.0
          печать (f (x), g (x))
          печать complex_step (f) (x)
            

          Прочие комментарии

          • Использование комплексно-пошагового метода для оценки градиентов многомерного функции требует независимых приближений для каждого измерения Вход.

          • Хотя комплексно-ступенчатое приближение требует только одной функции оценка, вряд ли это быстрее, чем выполнение двух оценок функций потому что операции над комплексными числами обычно намного медленнее, чем над числами с плавающей запятой или удваивается.

          Код : Проверьте суть для этого сообщения.

          Исчисление I — Неявное дифференцирование

          Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

          Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, то есть , вероятно, вы используете мобильный телефон).Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

          Раздел 3-10: Неявная дифференциация

          К этому моменту мы сделали довольно много производных, но все они были производными функций вида \ (y = f \ left (x \ right) \).К сожалению, не все функции, которые мы собираемся рассмотреть, попадут в эту форму.

          Давайте взглянем на пример такой функции.

          Пример 1 Найдите \ (y ‘\) для \ (xy = 1 \). Показать решение

          На самом деле есть два метода решения этой проблемы.

          Решение 1:

          Это простой способ решить проблему. Просто решите для \ (y \), чтобы получить функцию в форме, с которой мы привыкли иметь дело, а затем дифференцируйте.2}}} \]

          Итак, это сделать достаточно просто. Однако есть некоторые функции, для которых это невозможно. Вот где в игру вступает второй метод решения.

          Решение 2:

          В этом случае мы собираемся оставить функцию в той форме, которую нам дали, и работать с ней в этой форме. Однако давайте вспомним из первой части этого решения, что если бы мы могли решить для \ (y \), то мы получили бы \ (y \) как функцию от \ (x \).Другими словами, если бы мы могли решить для \ (y \) (как мы могли бы в этом случае, но не всегда сможем это сделать), мы получим \ (y = y \ left (x \ right) \). Давайте перепишем уравнение, чтобы это отметить.

          \ [xy = x \, y \ left (x \ right) = 1 \]

          Будьте осторожны и заметьте, что когда мы пишем \ (y \ left (x \ right) \), мы не имеем в виду \ (y \) раз \ (x \). Здесь мы отмечаем, что \ (y \) является некоторой (возможно, неизвестной) функцией от \ (x \). Об этом важно помнить при выполнении этой техники решения проблем.

          Следующим шагом в этом решении является дифференцирование обеих сторон относительно \ (x \) следующим образом:

          \ [\ frac {d} {{dx}} \ left ({x \, y \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ left (1 \ right) \ ]

          Правая сторона легкая. Это просто производная от константы. Левая сторона также проста, но мы должны признать, что на самом деле у нас есть продукт, \ (x \) и \ (y \ left (x \ right) \). Итак, чтобы произвести производную от левой части, нам нужно выполнить правило продукта.Это дает

          \ [\ left (1 \ right) y \ left (x \ right) + x \ frac {d} {{dx}} \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) = 0 \]

          Теперь напомним, что у нас есть следующий способ записи производной.

          \ [\ frac {d} {{dx}} \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {{dy}} {{dx}} = y ‘\]

          Используя это, мы получаем следующее:

          \ [у + ху ‘= 0 \]

          Обратите внимание, что мы уронили \ (\ left (x \ right) \) на \ (y \), поскольку он был там только для того, чтобы напомнить нам, что \ (y \) был функцией \ (x \), и теперь что мы взяли производную, она больше не нужна.Мы просто хотели, чтобы в уравнении распознавалось правило продукта, когда мы берем производную.

          Итак, давайте теперь вспомним, что нам было нужно. Мы искали производную \ (y ‘\) и заметили, что теперь в уравнении есть \ (y’ \). Итак, чтобы получить производную, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение для \ (y ‘\).

          \ [y ‘= — \ frac {y} {x} \]

          Вот оно. Это наш ответ, используя второй метод решения.{2}}} \]

          , что мы и получили от первого решения. Независимо от используемой техники решения, мы должны получить одну и ту же производную.

          Процесс, который мы использовали во втором решении предыдущего примера, называется неявным дифференцированием и является предметом данного раздела. В предыдущем примере мы смогли просто решить для \ (y \) и избежать неявного дифференцирования. Однако в остальных примерах этого раздела мы либо не сможем решить для \ (y \), либо, как мы увидим в одном из примеров ниже, ответ не будет в той форме, в которой мы могу разобраться.

          Во втором решении выше мы заменили \ (y \) на \ (y \ left (x \ right) \), а затем сделали производную. Напомним, мы сделали это, чтобы напомнить нам, что \ (y \) на самом деле является функцией \ (x \). Мы будем делать это довольно часто в этих задачах, хотя на самом деле мы редко пишем \ (y \ left (x \ right) \). Итак, прежде чем мы фактически займемся проблемами неявного дифференцирования, давайте сделаем быстрый набор «простых» производных, которые, мы надеемся, помогут нам в создании производных функций, которые также содержат \ (y \ left (x \ right) \).{у \ влево (х \ вправо)}} \) Показать все решения Скрыть все решения

          Они написаны немного иначе, чем мы привыкли здесь видеть. Это потому, что мы хотим сопоставить эти проблемы с тем, что мы будем делать в этом разделе. Кроме того, каждая из этих частей имеет несколько функций, которые нужно различать, начиная с конкретной функции, за которой следует общая функция. Это опять же, чтобы помочь нам с некоторыми конкретными частями процесса неявной дифференциации, который мы будем делать.2} — 7} \ right) \]

          и это всего лишь цепное правило. Мы дифференцировали внешнюю функцию (показатель степени 5), а затем умножили это на производную внутренней функции (материал внутри скобок).

          Для второй функции мы сделаем в основном то же самое. Нам нужно будет использовать цепное правило. Внешняя функция по-прежнему имеет показатель степени 5, а внутренняя функция на этот раз просто \ (f \ left (x \ right) \). У нас здесь нет конкретной функции, но это не значит, что мы не можем по крайней мере записать цепное правило для этой функции.4} е ‘\ влево (х \ вправо) \]

          На самом деле мы не знаем, что такое \ (f \ left (x \ right) \), поэтому, когда мы делаем производную внутренней функции, все, что мы можем сделать, это записать обозначение для производной, , т.е. \ (f ‘ \ влево (х \ вправо) \).

          В последней функции мы просто заменили \ (f \) во второй функции на \ (y \), поскольку большая часть нашей работы в этом разделе будет включать \ (y \) вместо \ (f \). с. В остальном эта функция идентична второй.4} у ‘\ влево (х \ вправо) \]
          b \ (\ sin \ left ({3 — 6x} \ right) \), \ (\ sin \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) \) Показать решение

          Первая функция, которую нужно дифференцировать здесь, — это снова проблема с правилом быстрой цепочки, так что вот ее производная,

          \ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{\ sin \ left ({3 — 6x} \ right)} \ right] = — 6 \ cos \ left ({3 — 6x} \ right) \ ]

          Для второй функции на этот раз мы не стали использовать \ (f \ left (x \ right) \) и просто перешли прямо к \ (y \ left (x \ right) \) для общей версии.Это пока всего лишь общая версия того, что мы сделали для первой функции. Внешняя функция по-прежнему является синусом, а внутренняя задается как \ (y \ left (x \ right) \), и хотя у нас нет формулы для \ (y \ left (x \ right) \), поэтому мы на самом деле не может взять его производную, у нас есть обозначение для ее производной. Вот производная для этой функции,

          \ [\ frac {d} {{dx}} \ left [{\ sin \ left ({y \ left (x \ right)} \ right)} \ right] = y ‘\ left (x \ right) \ cos \ left ({y \ left (x \ right)} \ right) \]
          c \ ({{\ bf {e}} ^ {{x ^ 2} — 9x}} \), \ ({{\ bf {e}} ^ {y \ left (x \ right)}} \) Показать решение

          В этой части мы просто дадим ответы по каждому из них и опустим объяснение, которое у нас было в первых двух частях.{у \ влево (х \ вправо)}} \]

          Итак, в этом наборе примеров мы просто решали некоторые задачи с цепными правилами, в которых внутренняя функция была \ (y \ left (x \ right) \) вместо конкретной функции. Такая производная постоянно проявляется при неявном дифференцировании, поэтому нам нужно убедиться, что мы можем их выполнять. Также обратите внимание, что мы сделали это только для трех типов функций, но есть гораздо больше видов функций, которые мы могли бы использовать здесь.

          Итак, пришло время решить нашу первую задачу, где требуется неявное дифференцирование, в отличие от первого примера, где мы могли бы фактически избежать неявного дифференцирования, решая для \ (y \).2}} \]

          Перед тем, как приступить к этой задаче, мы заявили, что здесь нам нужно выполнить неявное дифференцирование, потому что мы не можем просто решить для \ (y \), и тем не менее это то, что мы только что сделали. Итак, почему мы не можем использовать здесь «нормальную» дифференциацию? Проблема в «\ (\ pm \)». Имея это в «решении» для \ (y \), мы видим, что \ (y \) на самом деле две разные функции. Что мы должны использовать? Стоит ли использовать оба? Нам нужна только одна функция для производной, и в лучшем случае у нас есть две функции.1} y ‘\ left (x \ right) = 0 \]

          На этом этапе мы можем отбросить часть \ (\ left (x \ right) \), поскольку это было только в задаче, чтобы помочь с процессом дифференцирования. Последний шаг — просто решить полученное уравнение для \ (y ‘\).

          \ [\ begin {align *} 2x + 2yy ‘& = 0 \\ y’ & = — \ frac {x} {y} \ end {align *} \]

          В отличие от первого примера, мы не можем просто вставить \ (y \), так как мы не знаем, какую из двух функций использовать.2} = 9 \]

          в точке \ (\ left ({2, \, \, \ sqrt 5} \ right) \).

          Показать решение

          Во-первых, обратите внимание, что в отличие от всех других задач касательной, которые мы решали в предыдущих разделах, нам нужно задавать значения как \ (x \), так и \ (y \) точки. Также обратите внимание, что эта точка действительно лежит на графике окружности (вы можете проверить, подставив точки в уравнение), поэтому в этой точке можно говорить о касательной.

          Напомним, что для записи касательной все, что нам нужно, — это наклон касательной, и это не что иное, как производная, вычисленная в данной точке.У нас есть производная от предыдущего примера, поэтому все, что нам нужно сделать, это подключить данную точку.

          \ [m = {\ left. {y ‘} \ right | _ {x = 2, \, y = \ sqrt 5}} = — \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \]

          Тогда касательная прямая.

          \ [y = \ sqrt 5 — \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \ left ({x — 2} \ right) \]

          А теперь давайте поработаем еще несколько примеров. В остальных примерах мы больше не будем писать \ (y \ left (x \ right) \) вместо \ (y \).Это просто то, что мы делали, чтобы напомнить себе, что \ (y \) на самом деле является функцией \ (x \), чтобы помочь с производными. Увидев \ (y \ left (x \ right) \), мы напомнили, что нам нужно применить цепное правило для этой части проблемы. С этого момента мы оставим \ (y \) записанными как \ (y \), и в нашей голове нам нужно будет помнить, что они на самом деле \ (y \ left (x \ right) \ ) и что нам нужно выполнить цепное правило.

          Есть простой способ запомнить, как применять цепное правило в этих задачах.Цепное правило действительно говорит нам дифференцировать функцию, как обычно, за исключением того, что нам нужно добавить производную внутренней функции. При неявном дифференцировании это означает, что каждый раз, когда мы дифференцируем терм с \ (y \) в нем, внутренняя функция — это \ (y \), и нам нужно будет добавить \ (y ‘\) к члену, поскольку это будет — производная внутренней функции.

          Давайте посмотрим на пару примеров.

          Пример 5 Найдите \ (y ‘\) для каждого из следующих значений.3} + 1 \) Показать решение

          Сначала дифференцируйте обе стороны относительно \ (x \) и помните, что каждый \ (y \) на самом деле \ (y \ left (x \ right) \), мы просто больше не собираемся писать его таким образом. Это означает, что первый член слева будет правилом продукта.

          Мы разграничили эти виды функций, включающих \ (y \) ’, в степень с помощью цепного правила в Примере 2 выше. Также вспомните обсуждение этой проблемы до начала. При решении такой задачи цепного правила все, что нам нужно сделать, это дифференцировать \ (y \) как нормальные, а затем добавить \ (y ‘\), который является не чем иным, как производной от «внутренней функции ».2} г ‘\]

          Теперь все, что нам нужно сделать, это найти производную \ (y ‘\). Это просто базовая решающая алгебра, которую вы можете делать. Основная проблема в том, что это может быть более беспорядочно, чем то, к чему вы привыкли. Все, что нам нужно сделать, это получить все члены с \ (y ‘\) в них с одной стороны и все термины без \ (y’ \) с другой. Затем вычлените \ (y ‘\) из всех членов, содержащих его, и разделите обе части на «коэффициент» \ (y’ \). Вот решение для этого,

          \ [\ begin {align *} 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3 & = 24 {y ^ 2} y ‘- 5 {x ^ 3} {y ^ 4} y’ \\ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3 & = \ left ({24 {y ^ 2} — 5 {x ^ 3} {y ^ 4}} \ right) y ‘\\ y’ & = \ frac {{ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3}} {{24 {y ^ 2} — 5 {x ^ 3} {y ^ 4}}} \ end {align *} \]

          Алгебра в этих задачах может быть довольно запутанной, так что будьте осторожны.3}} \ right) \) Показать решение

          Нам нужно быть осторожными с этой проблемой. У нас есть пара правил цепочки, с которыми нам придется иметь дело здесь, которые немного отличаются от тех, с которыми мы имели дело до этой проблемы.

          И в экспоненте, и в логарифме у нас есть «стандартное» правило цепочки, заключающееся в том, что внутри экспоненты и логарифма есть нечто иное, чем просто \ (x \) или \ (y \). Итак, это означает, что здесь мы будем использовать правило цепочки, как обычно, а затем, когда мы будем выполнять производную внутренней функции для каждого члена, нам придется иметь дело с дифференцированием \ (y \) ‘s.{- 1}}}} \ end {align *} \]

          Обратите внимание, что для того, чтобы производная хотя бы выглядела немного лучше, мы преобразовали все дроби в отрицательные показатели.

          Хорошо, мы видели одно применение неявного дифференцирования в приведенном выше примере касательной. Однако есть еще одно приложение, которое мы увидим в каждой проблеме в следующем разделе.

          В некоторых случаях у нас будет две (или более) функции, каждая из которых является функциями третьей переменной.Итак, у нас могут быть \ (x \ left (t \ right) \) и \ (y \ left (t \ right) \), например, и в этих случаях мы будем дифференцировать по \ (t \) . Это просто неявное дифференцирование, как мы делали в предыдущих примерах, но есть разница.

          В предыдущих примерах у нас есть функции, включающие \ (x \) ’s и \ (y \)’ s, и считающие \ (y \) как \ (y \ left (x \ right) \). В этих задачах мы дифференцировали по \ (x \), и поэтому, когда мы столкнулись с \ (x \) в функции, которую мы дифференцировали как нормальную, и когда столкнулись с \ (y \), мы дифференцировались как нормальные, за исключением добавил \ (y ‘\) к этому термину, потому что мы действительно применяли цепное правило.

          В новом примере, который мы хотим рассмотреть, мы предполагаем, что \ (x = x \ left (t \ right) \) и что \ (y = y \ left (t \ right) \) и дифференцируем по \ (т \). Это означает, что каждый раз, когда мы сталкиваемся с \ (x \) или \ (y \), мы будем выполнять цепное правило. Это, в свою очередь, означает, что когда мы дифференцируем \ (x \), нам нужно будет добавить \ (x ‘\), и всякий раз, когда мы дифференцируем \ (y \), мы будем добавлять \ (y’ \).

          Эти новые типы проблем на самом деле аналогичны задачам, которые мы обсуждали в этом разделе.{1 — x}} + 5y ‘\ sin \ left ({5y} \ right) = 2yy’ \]

          В этой проблеме действительно не так уж и много. Поскольку в задаче есть две производные, мы не будем пытаться решить одну из них. Когда мы решаем такую ​​задачу в следующем разделе, проблема будет подразумевать, какую из них нам нужно решить.

          На данный момент, похоже, нет реальной причины для решения такого рода задач, но, как мы увидим в следующем разделе, каждая задача, которую мы будем там решать, будет включать в себя такого рода неявную дифференциацию.

          2.6: Уравнения Коши-Римана — Математика LibreTexts

          Уравнения Коши-Римана являются нашим первым следствием того факта, что предел, определяющий \ (f (z) \), должен быть одинаковым независимо от того, в каком направлении вы приближаетесь к \ (z \ ) из. Уравнения Коши-Римана станут одним из самых важных инструментов в нашем наборе инструментов.

          2.7.1 Частные производные как лимиты

          Прежде чем перейти к уравнениям Коши-Римана, напомним о частных производных.Если \ (u (x, y) \) является функцией двух переменных, то частные производные от \ (u \) определяются как

          \ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial x} (x, y) = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {u (x + \ Delta, y) — u (x, y) } {\ Delta x}, \]

          , т. Е. Производная от \ (u \) с постоянной \ (y \).

          \ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y) = \ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {u (x, y + \ Delta y) — u (x, y )} {\ Delta y}, \]

          , т. Е. Производная от \ (u \), сохраняющая постоянную \ (x \).

          2.7.2 Уравнения Коши-Римана

          Уравнения Коши-Римана используют частные производные от \ (u \) и \ (v \), чтобы позволить нам делать две вещи: во-первых, проверять, имеет ли \ (f \) комплексную производную, и, во-вторых, вычислять, что производная. Начнем с формулировки уравнений в виде теоремы.

          Теорема \ (\ PageIndex {1} \): уравнения Коши-Римана

          Если \ (f (z) = u (x, y) + iv (x, y) \) аналитический (комплексно дифференцируемый), то

          \ [f ‘(z) = \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} — i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} \]

          В частности,

          \ [\ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} \ text {и} \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = — \ dfrac { \ partial v} {\ partial x}.\]

          Эту последнюю систему дифференциальных уравнений в частных производных обычно понимают под уравнениями Коши-Римана.

          Вот краткая форма уравнений Коши-Римана:

          \ [u_x = v_y \]

          \ [u_y = -v_x \]

          Доказательство

          Предположим, что \ (f (z) \) дифференцируема в некоторой области \ (A \) и

          \ [f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y). \]

          Мы вычислим \ (f ‘(z) \), приближаясь к \ (z \) сначала в горизонтальном направлении, а затем в вертикальном направлении.Мы будем использовать формулу

          \ [f ‘(z) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) — f (z)} {\ Delta z}, \]

          , где \ (\ Delta z = \ Delta x + i \ Delta y \).

          Горизонтальное направление: \ (\ Delta y = 0, \ Delta z = \ Delta x \)

          \ [\ begin {array} {rcl} {f ‘(z)} & = & {\ lim _ {\ Delta z \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) — f (z)} { \ Delta z}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {f (x + \ Delta x + iy) — f (x + iy)} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {(u (x + \ Delta, y) + iv (x + \ Delta x, y)) — (u (x, y ) + iv (x, y))} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ dfrac {u (x + \ Delta x, y) — u ( x, y)} {\ Delta x} + i \ dfrac {v (x + \ Delta x, y) — v (x, y)} {\ Delta x}} \\ {} & = & {\ dfrac { \ partial u} {\ partial x} (x, y) + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} (x, y)} \ end {array} \]

          Вертикальное направление: \ (\ Delta x = 0 \), \ (\ Delta z = i \ Delta y \) (Мы сделаем это немного быстрее.)

          \ [\ begin {array} {rcl} {f ‘(z)} & = & {\ lim _ {\ Delta z \ to 0} \ dfrac {f (z + \ Delta z) — f (z)} { \ Delta z}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {(u (x, y + \ Delta y) + iv (x, y + \ Delta y)) — (u (x, y) + iv (x, y))} {i \ Delta y}} \\ {} & = & {\ lim _ {\ Delta y \ to 0} \ dfrac {u (x, y + \ Дельта y) — u (x, y)} {i \ Delta y} + i \ dfrac {v (x, y + \ Delta y) — v (x, y)} {i \ Delta y}} \\ { } & = & {\ dfrac {1} {i} \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y) + \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} (x, y)} \ \ {} & = & {\ dfrac {\ partial v} {\ partial y} (x, y) — i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} (x, y)} \ end {array} \ ]

          Мы нашли два разных представления \ (f ‘(z) \) в терминах частичных \ (u \) и \ (v \).Если сложить их вместе, мы получим уравнения Коши-Римана:

          \ [f ‘(z) = \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} — i \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} \ \ \ Rightarrow \ \ \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y}, \ text {и} — \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial x}. \]

          Оказывается, обратное верно и будет нам очень полезно.

          Теорема \ (\ PageIndex {2} \)

          Рассмотрим функцию \ (f (z) = u (x, y) + iv (x, y) \), определенную в области \ (A \).Если \ (u \) и \ (v \) удовлетворяют уравнениям Коши-Римана и имеют непрерывные частичные, то \ (f (z) \) дифференцируема на \ (A \).

          Доказательство

          Доказательство этого — сложное упражнение в анализе. Это несколько выходит за рамки этого класса, поэтому мы его пропустим. Если вам интересно, приложив немного усилий, вы сможете понять это.

          2.7.3 Использование уравнений Коши-Римана

          Уравнения Коши-Римана предоставляют нам прямой способ проверки дифференцируемости функции и вычисления ее производной.z. \ nonumber \]

          Пример \ (\ PageIndex {2} \)

          Используйте уравнения Коши-Римана, чтобы показать, что \ (f (z) = \ overline {z} \) не дифференцируемо.

          Решение

          \ (f (x + iy) = x — iy \), поэтому \ (u (x, y) = x, v (x, y) = -y \). Принятие частных производных

          \ (u_x = 1 \), \ (u_y = 0 \), \ (v_x = 0 \), \ (v_y = -1 \)

          Поскольку \ (u_x \ ne v_y \), уравнения Коши-Римана не выполняются и, следовательно, \ (f \) не дифференцируемо.

          Теорема \ (\ PageIndex {3} \)

          Если \ (f (z) \) дифференцируемо на диске и \ (f ‘(z) = 0 \) на диске, то \ (f (z) \) постоянно.

          Доказательство

          Поскольку \ (f \) дифференцируема и \ (f ‘(z) \ Equiv 0 \), уравнения Коши-Римана показывают, что

          \ [u_x (x, y) = u_y (x, y) = v_x (x, y) = v_y (x, y) = 0 \ nonumber \]

          Мы знаем из многомерного исчисления, что функция от \ ((x, y) \) с обеими частями, равными тождественному нулю, является константой.Таким образом, \ (u \) и \ (v \) постоянны, а значит, и \ (f \).

          2.7.4 \ (f ‘(z) \) как матрица \ (2 \ times 2 \)

          Напомним, что мы могли бы представить комплексное число \ (a + ib \) как матрицу \ (2 \ times 2 \)

          \ [a + ib \ \ leftrightarrow \ \ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix}. \]

          Теперь, если мы запишем \ (f (z \) через \ ((x, y) \), мы получим

          \ [f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) \ \ leftrightarrow \ f (x, y) = (u (x, y), v (x , у)).\]

          У нас

          \ [f ‘(z) = u_x + iv_x, \]

          , поэтому мы можем представить \ (f ‘(z) \) как

          \ [\ begin {bmatrix} u_x & -v_x \\ v_x & u_x \ end {bmatrix}. \]

          Используя уравнения Коши-Римана, мы можем заменить \ (- v_x \) на \ (u_y \) и \ (u_x \) на \ (v_y \), что дает нам представление

          \ [f ‘(z) \ \ leftrightarrow \ \ begin {bmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \ end {bmatrix}, \]

          т.е. \ (f ‘(z) \) — это просто якобиан \ (f (x, y) \).

          Мне легче запомнить якобиан, чем уравнения Коши-Римана. Поскольку \ (f ‘(z) \) — комплексное число, я могу использовать матричное представление в уравнении 1, чтобы запомнить уравнения Коши-Римана!

          .

          Шуруп самонарезающий Knauf LN прокалывающий 3.5х9.5 мм полуцилиндрическая головка Ph3, 1000 шт., 0.9 кг

          Артикул:

          82506883

          Что пишут клиенты?

          5

          5 Отзывы (2)

          Увеличить

          Шуруп самонарезающий Knauf LN прокалывающий 3.5х9.5 мм полуцилиндрическая головка Ph3, 1000 шт., 0.9 кг

          Артикул:

          82506883

          Длина, мм: 9,5

          9,5

          11

          product is out of stock

          • Назначение Для кровли Для профиля

          • Наконечник Острый

          • Длина, мм 9,5

          • Применение Металл

          • Наружный диаметр резьбы, мм 3. 5

          • Вид резьбы Стандартная

          • Вид шлица Philips (крест)

          • Форма головки Полуцилиндрическая

          • Наименование модели LN

          • Тип шлица Ph3

          • Тип упаковки Контейнер

          • Количество в упаковке, шт. 1000

          • Материал Сталь

          • Цвет Черный

          • Диаметр, мм 3,5

          • Тип товара Шуруп

          О бренде

          официальный дилер Knauf в России

          Посмотреть сертификаты

          Шуруп самонарезающий Knauf LN прокалывающий 3. 5×9.5 мм полуцилиндрическая головка Ph3, 1000 шт., 0.9 кг– крепежное изделие, которое используется при соединении металлопрофиля и гипсокартонного листа. Состоит из острого стержня, крестообразного шлица и полуцилиндрической головки. Изделие выполнено из прочной легированной стали, устойчивой к повышенным нагрузкам и механическим повреждениям.

            Отличительные особенности:
          • износостойкость, прочность, виброустойчивость материала;
          • используется без предварительного засверливания;
          • шлиц центрирует саморез в процессе закрутки;
          • черный цвет покрытия;
          • надежное соединение деталей;
          • длительный срок службы крепежного элемента.

          Основное применение

          Шуруп этого типа используется для соединения деталей металлического профиля, кровельной системы.

          • Обязательная сертификация не требуется.

          Мы принимаем к оплате

          Наличные или карту на месте

          Оплату онлайн

          Безналичный перевод по счету

          Оплату бонусами МаксиПРО

          Достоинства: Цена Качество Knauf

          Недостатки: Отсутствуют

          Комментарий: Отличные саморезы, вкручиваются как по маслу, головка не прокручивает!! Качество на высоте!!! Рекомендую

          Комментарий: Хорошие саморезы, брендовые Кнауф, в отличие от обычных клопов, намного удобнее в работе, не прокручиваются при полной докрутке.

          Elitech LN 3 в Самаре: 117-товаров: бесплатная доставка, скидка-14% [перейти]

          Партнерская программаПомощь

          Самара

          Каталог

          Каталог Товаров

          Одежда и обувь

          Одежда и обувь

          Стройматериалы

          Стройматериалы

          Текстиль и кожа

          Текстиль и кожа

          Здоровье и красота

          Здоровье и красота

          Детские товары

          Детские товары

          Продукты и напитки

          Продукты и напитки

          Электротехника

          Электротехника

          Дом и сад

          Дом и сад

          Промышленность

          Промышленность

          Мебель и интерьер

          Мебель и интерьер

          Вода, газ и тепло

          Вода, газ и тепло

          Все категории

          ВходИзбранное

          Elitech LN 3

          regmarkets.ru/listpreview/idata2/cc/98/cc98fc276c6990ad22979e034005f26b.jpg»>

          206

          242

          LN PRO Подводка для глаз жидкая с твердой кисточкой Liquid eyeliner 01, 3,5 мл Тип: Подводка для

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          1 394

          1880

          Краскопульт пневматический ELITECH 85-226л/мин 3.5бар сопло 1.5мм бак 0.75л Тип: Пневматический

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          jpeg/6hq»>

          1 834

          1834

          Дальномер Elitech 60 м ±3 мм Тип: Дальномер, Размер: Длина 18.000 Ширина 10.000 Высота 5.000, Вес:

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          976

          1028

          Кабель сварочный (3 м; DX50; 25 кв мм; электрододержатель) Elitech 0606.000200 Тип: Сварочный

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          jpeg/6hq»>

          1 990

          3876

          Рейка нивелирная (3 м) Elitech 2210.000400 Тип: Рейка нивелирная, Размер: Длина 120.000 Ширина

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          yandex.net/get-mpic/7150287/img_id2587972653440154777.jpeg/6hq»> jpg»>

          790

          790

          Кабель сварочный (3 м; DX25; 16 кв мм; зажим на массу) 0606.000300 Elitech Тип: Сварочный кабель,

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          1 738

          1738

          Дальномер Elitech Лазерный ЛД 40М 40 м ±3 мм Тип: Дальномер, Размер: Длина 14.000 Ширина 9.500

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          4 144

          4363

          Вал гибкий с вибронаконечником ELITECH 35мм, 3.0м для ВРЭ 1335 Тип: Гибкий вал/булава для

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Глиттер для макияжа LN Professional Микс тон 01-02-03 жидкий 3,3 мл

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          67 205

          Компрессор ременной Elitech КПР 200/550/3.0 арт. 198652

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          12 699

          Лазерный нивелир Elitech ЛН 360/3 193009

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Корректор для лица LN Professional Play Stick маскирующий, бежевый, 3,5 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          47 230

          Компрессор ELITECH КПР 100/550/3. 0 E0504.003.00

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Наушники LuazON LN3, вакуумные, красные

          ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

          20 380

          Бензиновый культиватор Elitech КБ 4 3 л.с.

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Блеск для губ лаковый LN Professional Lip Lacquer т.05 3,5 мл

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Помада для губ матовая LN Professional Matte Velvet т.201 3,6 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Адаптер к садовым насосам Elitech 181166 1005. 003600 разборный, резьба 1 ,шланг 3/4

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Электроды Elitech 0606.016600 2шт для сварочных клещей АТС 3

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Сверло 3.5х70 HSS-G 2шт Elitech 1820.050300

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Помада для губ матовая LN Professional Matte Velvet т.203 3,6 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Сверло 3.0х61 HSS-G 3шт Elitech 1820.050000

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Помада для губ увлажняющая LN Professional Creamy Lips т.05 3,6 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Карандаш для бровей LN Professional Brow Contour, тон 302 Шоколад, 0,3 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Помада для губ увлажняющая LN Professional Creamy Lips 02 3,6 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Леска 3,0 мм, 15 м, круг, Elitech 0809. 003200

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          15 788

          Мотобур, 71см3, 3, 3л.с., 7500об\мин, диаметр вала 20мм, бак-1.4л, 11кг, elitech, ( бм 70н )

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Помада для губ LN Professional Magic Lips Lipstick т.311 3,5 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Наушники LuazON LN3, вакуумные, красные

          ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

          Сверло 3. 2х65 HSS-G 2шт Elitech 1820.050100

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Помада для губ LN Professional Magic Lips Lipstick т.312 3,5 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          18 940

          ELITECH Пуско-зарядное устройство УПЗ 30/120, 230В 12/24В 0.8/3.6кВт 12/20А 13.5кг 172548e Бренд:

          ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

          Помада для губ увлажняющая LN Professional Creamy Lips т.06 3,6 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Карандаш для бровей LN Professional Brow Contour, тон 301 Тауп, 0,3 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Помада для губ матовая LN Professional Matte Velvet т.202 3,6 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Нивелир лазерный Elitech ЛН 3-ЗЕЛ Максимальная рабочая температура: 40, Тип компенсатора:

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Леска, 3. 0мм, 15м, круг, блистер, elitech, ( 0809.003200 )

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Накладка декоративная для панели LN-500, черная (ARL, IP20 Пластик, 3 года)

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Лазерный уровень AMO LN 3D-360-3 с зеленым лучом

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Карандаш для бровей LN Professional Brow Contour, тон 304 Брюнет, 0,3 г

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Нивелир лазерный Elitech ЛН 3 Промо

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          11 630

          Мотобур Elitech БМ 70В 3,3 л. с. без шнека

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Блеск для губ лаковый LN Professional Lip Lacquer т.06 3,5 мл

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          12 493

          Мотобур, 71см3, 3, 3л.с., 7500об\мин, диаметр вала 20мм, бак-1.4л, 10кг, elitech, ( бм 70в )

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Лазерный нивелир Elitech ЛН 3 182092

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          10 243

          Мотобур Elitech БМ 64В ПРО 3 л.с. без шнека

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Блеск для губ лаковый LN Professional Lip Lacquer т. 04 3,5 мл

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          16 740

          Мотобур Elitech БМ 70Н 3,3 л.с. без шнека

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          Кран регулирующий прямой 3/4″ Valtec VT.008.LN.05

          В МАГАЗИНЕще цены и похожие товары

          2 страница из 14

          Комбинированный бойлер Gorenje GBK 150 LN 3/4V9

          Комбинированный бойлер Gorenje GBK 150 LN 3/4V9

          Каталог товаров

          • Главная
          • Комбинированые бойлеры
          • Комбинированный бойлер Gorenje GBK 150 LN 3/4V9

          Описание Комбинированный бойлер Gorenje GBK 150 LN 3/4V9

          Установка вертикальная. Нагревательный элемент закрытого типа-сухой тен. Кол-во/мощность ТЭНов 2х1000 Вт. Тип управления-механическое с открытым регулятором на корпусе, термометр. Встроенный теплообменник. Помимо нагрева воды с помощью электрического ТЭНа от электросети, водонагреватель подходит для использования в комбинации с центральным отоплением в отопительный сезон или с подключением к солнечным коллекторам в летний период. Площадь теплообменника баки 80л.S=0,7м2 баки 100-200л.S=0,9м2

          Характеристики Комбинированный бойлер Gorenje GBK 150 LN 3/4V9

          org/PropertyValue»> org/PropertyValue»> org/PropertyValue»> org/PropertyValue»>
          БрендGorenje
          Тип водонагревателяКомбинированный
          Форма водонагревателяЦилиндрический
          Способ установкиНастенный
          УстановкаВертикальная
          МонтажНавесной
          Тип управленияМеханическое
          Регулятор температурыОткрытый (на корпусе)
          Материал бакасталь с эмалевым покрытием
          Объем150 л
          Вид нагревательного элемента (ТЭНа)Сухой
          Количество ТЭНов2
          Мощность (Вт)2000 Вт
          Мощность нагревательного элемента (ТЭНа)2000 Вт
          Класс защищенности бойлераIP24
          ПодводкаНижняя, Слева
          Максимальная температура нагрева85 °С
          Рабочее давление6 бар
          Напряжение сети220 В
          Гарантия на бак5 лет
          Гарантия на ТЭН24 мес.
          Ширина500 мм
          Высота1510 мм
          Глубина507 мм
          Вес75 кг
          Модель бойлераGBK RN 3/4V9
          ЦветБелый
          Страна производительСербия

          0 Отзывы о Комбинированный бойлер Gorenje GBK 150 LN 3/4V9