Автор: alexxlab

Виды калькуляторов

В зависимости от возможностей и сферы применения калькуляторы бывают простые, бухгалтерские, финансовые, инженерные.

• Бухгалтерскими калькуляторами пользуются бухгалтера и кассиры для арифметических расчетов с денежными суммами.
• Для финансовых расчетов пользуются финансовыми калькуляторами, у которых к стандартному набору математических функций добавлены операции со сложными процентами и функции, характерные для банковской сферы и финансовых приложений.
• Специализированные — это калькуляторы, применяемые для вычислений в конкретной сфере деятельности (строительные, ипотечные, статистические, медицинские).
• Печатающие — калькуляторы, которые с помощью печатающего устройства выводят полученные результаты, расчеты, графики и вычисления на бумажную ленту.

Отдельно выделяются:

• программируемые калькуляторы, используемые для выполнения сложных вычислений по заранее заложенной программе пользователя;
• графические, выполняющие построение и отображение графиков функций.

Простейший калькулятор предназначен выполнять ординарные арифметические расчеты (сложение, вычитание и т.п.), вычислять процент, извлекать квадратный корень, возводить число в степень. Помимо простых расчетов, строителям и архитекторам, инженерно-техническим и научным работникам, математикам и геодезистам, старшеклассникам и студентам технических специальностей очень часто приходится решать важнейшие инженерные задачи, осуществлять сложные математические расчеты.

Представленный на сайте тригонометрический калькулятор выполняет расчет:

• синусов;
• косинусов;
• тангенсов;
• котангенсов.

А также обратных тригонометрических функций:

• арксинусов;
• арккосинусов;
• арктангенсов;
• арккотангенсов.

Все тригонометрические расчеты с углами выполняются в радианах, градах и градусах.

На нашем сайте вы сможете пользоваться инженерным онлайн калькулятором, предназначенным для инженерных и научных расчетов разного уровня сложности.

Инженерный калькулятор позволяет:

• производить сложные расчеты с дробями;
• возводить любое число в степень, извлекать корень из числа;
• рассчитать онлайн проценты, логарифмы, интегралы любой сложности;
• выполнять необходимые математические операции с одной или несколькими матрицами;
• находить производную онлайн как от элементарной, так и от сложной функции;
• решать алгебраические, линейные, логарифмические, тригонометрические и другие уравнения.

Онлайн калькулятор прост и понятен в обращении, применять его не составит труда тем, кто пользуется настольным инженерным калькулятором, принципы работы функций и программ аналогичны. По своему виду инженерный калькулятор онлайн имитирует настоящий калькулятор, поэтому для ознакомления с ним вам не понадобится много времени.

решение уравнений онлайн со степенями

Наверняка в повседневной жизни вы сталкивались с такой ситуацией, что вам требовалось решить простое уравнение или выполнить несколько иных математических действий, чтобы произвести финансовые расчеты, например, при расчете выгодности вклада в банк или насколько подходит ипотечный кредит по условиям, а под рукой на тот момент не оказалось обыкновенного электронного калькулятора или специальной программы? В таком случае для вас незаменимым станет этот удобный и простой в применении онлайн калькулятор уравнений.

Наверняка в повседневной жизни вы сталкивались с такой ситуацией, что вам требовалось решить простое уравнение или выполнить несколько иных математических действий, чтобы произвести финансовые расчеты, например, при расчете выгодности вклада в банк или насколько подходит ипотечный кредит по условиям, а под рукой на тот момент не оказалось обыкновенного электронного калькулятора или специальной программы? В таком случае для вас незаменимым станет этот удобный и простой в применении онлайн калькулятор уравнений.

С его помощью вы сможете вводить данные, при этом используя интерфейсные визуальные кнопки либо непосредственно клавиатуру. Кроме этого предоставленный калькулятор онлайн позволить осуществить расчеты сложных выражений, к примеру:(21-45)/(1.52)(8+2*2)=-96.

Наверняка в повседневной жизни вы сталкивались с такой ситуацией, что вам требовалось решить простое уравнение или выполнить несколько иных математических действий, чтобы произвести финансовые расчеты, например, при расчете выгодности вклада в банк или насколько подходит ипотечный кредит по условиям, а под рукой на тот момент не оказалось обыкновенного электронного калькулятора или специальной программы. В таком случае для вас незаменимым станет этот удобный и простой в применении онлайн калькулятор уравнений.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

4. Если , то (правило возведения корня в степень).

5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

(правило умножения корней),

(правило деления корней),

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним. Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения.

Калькулятор предназначен для решения показательных уравнений онлайн.
Показательные уравнения – это уравнения, в которых переменная величина входит в аргумент показательной функции. Показательная функция это математическая функция вида f(x) = ax, где a является основанием степени, а x – показателем степени. Показательная функция всегда монотонна и она принимает только положительные значения.

Калькулятор предназначен для решения показательных уравнений онлайн.
Показательные уравнения – это уравнения, в которых переменная величина входит в аргумент показательной функции. Показательная функция это математическая функция вида f(x) = ax, где a является основанием степени, а x – показателем степени. Показательная функция всегда монотонна и она принимает только положительные значения.

Для того чтобы найти решение показательного уравнения, необходимо ввести это уравнение в ячейку. В ответе получаем корни уравнения, а также график показательной функции.
Калькулятор решает любые показательные уравнения онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step и Approximate form.

Решения показательных уравнений. Показательная функция всегда монотонна и она принимает только положительные значения.

https://okcalc.com/ru/equation/

https://www.function-x.ru/powers_and_radicals.html

https://allcalc.ru/node/667

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3. А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.

В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Представьте выражение со степенями 9-b3·π-12 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 32 и применим формулу сокращенного умножения:

9-b3·π-12=32-b3·π-12==3-b3·π-13+b3·π-1

Ответ: 9-b3·π-12=3-b3·π-13+b3·π-1.

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений. 

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2+0,3·7)5−3,7 и (a·(a+1)−a2)2·(x+1). Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2+0,3·7)5−3,7 можно выполнить действия для перехода к степени 4,11,3. Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a·(a+1)−a2)2·(x+1) и получить степенное выражение более простого вида a2·(x+1).

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s — произвольные действительные числа:

• ar·as=ar+s;
• ar:as=ar−s;
• (a·b)r=ar·br;
• (a:b)r=ar:br;
• (ar)s=ar·s.

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство am·an=am+n, где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a, как положительных, так и отрицательных, а также для a=0.

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Представьте выражение a2,5·(a2)−3:a−5,5 в виде степени с основанием a.

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a2)−3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a2,5·a−6:a−5,5= a2,5−6:a−5,5=a−3,5:a−5,5= a−3,5−(−5,5)=a2.

Ответ: a2,5·(a2)−3:a−5,5=a2.

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Найти значение степенного выражения 313·713·2123.

Решение

Если мы применим равенство (a·b)r=ar·br, справа налево, то получим произведение вида 3·713·2123 и дальше 2113·2123. Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 2113·2123=2113+23=211=21.

Есть еще один способ провести преобразования:

313·713·2123=313·713·(3·7)23=313·713·323·723==313·323·713·723=313+23·713+23=31·71=21

Ответ: 313·713·2123=31·71=21

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Дано степенное выражение a1,5−a0,5−6, введите новую переменную t=a0,5.

Решение

Представим степень a1,5 как a0,5·3 . Используем свойство степени в степени (ar)s=ar·s справа налево и получим (a0,5)3: a1,5−a0,5−6=(a0,5)3−a0,5−6. В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t=a0,5: получаем t3−t−6.

Ответ: t3−t−6.

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Упростить степенное выражение 3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2.

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=3·523·513-3·523·5-23-2-x2==3·523+13-3·523+-23-2-x2=3·51-3·50-2-x2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12-2-x2=-122+x2

Ответ:  3·523·513-5-231+2·x2-3-3·x2=-122+x2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a+1a0,7 к знаменателю a, б) 1×23-2·x13·y16+4·y13 к знаменателю x+8·y12.

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a0,7·a0,3=a0,7+0,3=a, следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a0,3. Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a0,3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a0,3:

a+1a0,7=a+1·a0,3a0,7·a0,3=a+1·a0,3a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x23-2·x13·y16+4·y13==x132-x13·2·y16+2·y162

Умножим это выражение на x13+2·y16, получим сумму кубов x13 и 2·y16, т.е. x+8·y12. Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.
 

Так мы нашли дополнительный множитель x13+2·y16. На области допустимых значений переменных x и y выражение x13+2·y16 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1×23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x13+2·y16x23-2·x13·y16+4·y13==x13+2·y16x133+2·y163=x13+2·y16x+8·y12

Ответ: а) a+1a0,7=a+1·a0,3a , б) 1×23-2·x13·y16+4·y13=x13+2·y16x+8·y12.  

Сократите дробь: а) 30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53, б) a14-b14a12-b12.

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15. Также мы можем произвести сокращение на x0,5+1 и на x+2·x113-53.

Получаем:

30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a14-b14a12-b12=a14-b14a142-b122==a14-b14a14+b14·a14-b14=1a14+b14

Ответ:  а)30·x3·(x0,5+1)·x+2·x113-5345·x0,5+12·x+2·x113-53=2·x33·(x0,5+1), б) a14-b14a12-b12=1a14+b14.

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Выполните действия x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12.

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x12-1·x12+1

Вычтем числители:

x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12==x12+1·x12+1×12-1·x12+1-x12-1·x12-1×12+1·x12-1·1×12==x12+12-x12-12×12-1·x12+1·1×12==x122+2·x12+1-x122-2·x12+1×12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·1×12

Теперь умножаем дроби:

4·x12x12-1·x12+1·1×12==4·x12x12-1·x12+1·x12

Произведем сокращение на степень x12, получим 4×12-1·x12+1.

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4×12-1·x12+1=4×122-12=4x-1.

Ответ: x12+1×12-1-x12-1×12+1·1×12=4x-1

Упростите степенное выражение x34·x2,7+12x-58·x2,7+13.
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x2,7+1)2. Получаем дробь x34x-58·x2,7+1.

Продолжим преобразования степеней икса x34x-58·1×2,7+1. Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:  x34x-58·1×2,7+1=x34—58·1×2,7+1=x118·1×2,7+1.

Переходим от последнего произведения к дроби x138x2,7+1.

Ответ: x34·x2,7+12x-58·x2,7+13=x138x2,7+1.

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x+1)-0,23·x-1 можно заменить  на x3·(x+1)0,2.

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Представьте выражение x19·x·x36 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами  x≥0  и x·x3≥0 ,  которые задают множество [0, +∞).

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням: 

x19·x·x36=x19·x·x1316

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x19·x·x1316=x19·x16·x1316=x19·x16·x1·13·6==x19·x16·x118=x19+16+118=x13

Ответ: x19·x·x36=x13.

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 52·x+1−3·5x·7x−14·72·x−1=0.

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

52·x·51−3·5x·7x−14·72·x·7−1=0, 5·52·x−3·5x·7x−2·72·x=0.

Теперь поделим обе части равенства на 72·x. Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5·5-3·5x·7x-2·72·x72·x=072·x,5·52·x72·x-3·5x·7×72·x-2·72·x72·x=0,5·52·x72·x-3·5x·7x7x·7x-2·72·x72·x=0

Сократим дроби со степенями, получим: 5·52·x72·x-3·5x7x-2=0.

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5·572·x-3·57x-2=0 , которое равносильно 5·57×2-3·57x-2=0.

Введем новую переменную t=57x, что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5·t2−3·t−2=0.

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 141-5·log23 или log3279+5(1-log35)·log53. Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Комплексные корни и степени чисел онлайн

Этот онлайн калькулятор  рассчитывает любые степени действительных или комплексных чисел.

Поможет Вам рассчитать корень комплексного числа, возвести в степень действительное или комплексное выражение.

Рассчитывает степень любого числа

Хотелось бы заметить, что возведение любого действительного числа в дробную степень, не так сложно как может показаться на первый взгляд.

то есть, если мы хотим возвести число 3 в степень 

то  решение такое

Итого

Если речь идет о комплексных числах,  то  возведение степень и извлечени корня осуществляется по уравнению Муавра.

Формулы следующие:

Для возведения в степень

— модуль комплексного числа

— аргумент комплексного числа

Для извлечения корня

где p = 0, 1, …, k—1.

Есть еще третий возможный вариант, когда  не только основание является комплексным числом, но и степень этого числа также число комплексное.

Конечно возникает желание использовать формулу Муавра и преобразовать её, для наших нужд, но мы воспользуемся первым вариантом вычисления степеней.

то есть вот этой формулой 

Формула  расчета логарифа комплексного числа известна

здесь k — может принимать любые целые  значения, поэтому говорят, что логарифм комплексного числа многозначен.

Для практических целей используется главное значение(k=0)

Формула расчета экспоненты комплексного числа тоже

Таким образом у нас есть всё, что бы рассчитать на практике комплексную степень комплексного  числа.

Синтаксис 

Если используете XMPP клиент:  step_i <запрос>

Если используете этот сайт:  <запрос>

где запрос  — состоит  из двух чисел. Сначала идет основание потом  в другом окне степень.

Основание может быть как действительным числом так и комплексным, положительным или отрицательным

Комплексное значение пишется как x:y  где х- действительная часть числа, а y- мнимая часть, но можно написать и в нормальном виде через символ i

Степень может  быть быть целым числом,как положительным так и отрицательным.

Степень может быть выражена также степенью двух целых чисел например 1/2 или -5/7. В таком случае альтернативный вывод покажет Вам, все 2 или все 7 корней соответственно.

Степень может быть комплексным числом записанным как в нормальной форме через символ i, так  и через сокращенную запись x:y, где x- действительная часть числа, y — мнимая часть числа

Замечание: В поле можно вводить только числа и никак не выражение, если у Вас есть желание посчитать вот такое выражение 

то эта страница вам не поможет, Вам надо  использовать универсальный калькулятор комплексных чисел

где x- это основание, а y-степень

Примеры

Например: взять степень 2/5 от комплексного числа 1-2.5i

Пишем 1:-2.5 2/5 или если делаете запрос через Jabber  step_i 1:-2.5 2/5

Ответ получим

Комплексное число 1:-2.5 в степени 2/5 равно

Действительная часть: 1.3209 Комплексная часть: -0.6812
Действительная часть: 1.0560 Комплексная часть: 1.0457
Действительная часть: -0.6682 Комплексная часть: 1.3275
Действительная часть: -1.4690 Комплексная часть: -0.2253
Действительная часть: -0.2396 Комплексная часть: -1.4667

Интересно, а чему будет равна мнимая единица в степени мнимой единицы?

пишем i i

и получаем что 

возведем еще одно число в комплексную степень.

число 1+i в комплексную степень 1-i

результат вот такой 

• Конвертер и калькулятор в разные системы счисления онлайн >>

Решить уравнение со степенями онлайн калькулятор. Решение показательных уравнений по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте.{nm}:\]

Прибавляем к исходному уравнению:

Вынесем за скобки \

Выразим \

Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:

Ответ: \

Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1

Ответ: >

Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:

• Складывать, вычитать, умножать и делить дроби онлайн,
• Получать готовое решение дробей картинкой и удобно его переносить.

Результат решения дробей будет тут…

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дроби «/» + — * :
_cтереть Очистить
У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку «Решать дроби «. Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .

Знаки используемые для записи в калькуляторе

Возможности онлайн калькулятора дробей

Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби. Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную.
При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.

Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.

Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Калькулятор Корней — Найдите квадратный корень

калькулятор корней онлайн корня поможет вам найти квадратный корень n-й степени любого положительного числа, которое вы хотите. Кроме того, этот калькулятор sqrt сообщает вам, что введенное вами число является точным квадратом или не является идеальным квадратом. Например; 4, 9 и 16 – это идеальные квадраты 2, 3 и 4 соответственно. Квадратный корень из числа – это число, которое при умножении на себя равно исходному числу. Например, квадрат 9 и 16 равен 3 и 4 соответственно. Если вы беспокоитесь о простом ручном вычислении, продолжайте читать, чтобы узнать формулу квадратного корня, вычисление дроби, отрицательные числа и многое другое!

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн калькулятор корней, который поможет вам вычислить значение любого числа, возведенного в любую степень.

Но давайте перейдем к основам!

Проведите по!

Чтобы подготовиться к вычислению квадратного корня, вам следует запомнить основной идеальный квадратный корень. Поскольку квадрат 1, 4, 9, 16, 25, 100 равен 1, 2, 3, 4, 5 и 10.

Чтобы найти квадрат √25, давайте посмотрим!

√25 = √5 * 5

√25 = √52

√25 = 5

Это простейшие квадратные корни, потому что они всегда дают целое число, но что, если у числа нет точного квадратного корня? Например, вы должны оценить квадрат в 54?

• Как вы знаете, √49 = 7 & √64 = 8. Итак, √54 находится между 8 и 7.
• Число 54 ближе к 49, чем к 64. Итак, вы можете попробовать угадать √54 = 7,45.
• Затем возводя в квадрат 7,45, получаем 7,452 = 55,5, что больше 54. Поэтому вам следует попробовать меньшее число. Возьмем 7,3
• Если взять в квадрат 7,3, получим 53,29, что близко к 54.
• Это означает, что квадратный корень из 54 находится между 7,3 и 7,4. 1/2 = √a / √b = √a / b

  Где a / b – любая дробь. Приведем еще один пример:

  Пример:

  Что такое квадратный корень из 9/25?

  Решение:

  √9 / 25 = √9 / √25

  √9 / √25 = 3/5 = 0,6

  Квадратный корень отрицательного числа:

  В школе нас учили, что квадратный корень из отрицательных чисел не может существовать. Но математики вводят общий набор чисел (Комплексные числа). В виде,

  х = а + би

  Где a – действительное число, а b – мнимая часть. Йота (i) – это комплексное число со значением:

  я = √-1. Приведем несколько примеров:

  Квадрат -4 = √-4 = √-1 * 9 = √ (-1) √9 = 3i

  Чему равен квадратный корень из -17 = √-17 = √-1 * 17 = √ (-1) √17 = 17i

  Как пользоваться калькулятором квадратного корня:

  С помощью этого калькулятор корней онлайн квадратный корень стало очень просто. Для точных расчетов вам просто нужно выполнить указанные шаги.

  Читать дальше!

  Входы:

  • Прежде всего, нажмите вкладку, чтобы выбрать квадратный корень или корень n-й степени для любого числа.
  • Затем введите число, для которого вы хотите произвести расчет в соответствии с выбранной опцией.
  • Наконец, нажмите кнопку «Рассчитать».

  Выходы:

  Как только вы закончите, калькулятор покажет:

  • Корень квадратный из числа.
  • Корень N-й степени числа.
  • Пошаговый расчет.

  Заметка:

  Независимо от того, какой параметр ввода, онлайн-калькулятор с корнями корня покажет вам точные результаты в соответствии с выбранным вводом.

  Часто задаваемые вопросы (FAQ):
  Может ли число иметь более одного квадратного корня?

  Да, положительные числа имеют более одного sqrt, одно положительное, а другое отрицательное.

  Является ли √2 рациональным числом?

  Нет, это иррациональное число.

  Причина:

  Квадратный корень из 2 не может быть выражен как частное двух чисел.

  Рациональны ли квадратные корни?

  Некоторые корни рациональны, а другие иррациональны.

  Конечное примечание:

  Квадратные корни часто встречаются в математических формулах, включая квадратную формулу, дискриминант, а также во многих законах физики. Кроме того, он используется во многих местах повседневной жизни, используется инженерами, плотниками, менеджерами по строительству, фельдшерами и многими другими. Когда дело доходит до вычислений для большого количества, это очень сложно и сложно. Просто попробуйте калькулятор корней онлайн, который поможет вам определить квадратный корень в соответствии с вашими потребностями.

  Other languages: Square Root Calculator, Karekök Hesaplama, Kalkulator Akar Kuadrat, Kalkulator Pierwiastków, Wurzel Ziehen Rechner, 平方根 計算, 제곱근 계산, Kalkulačka Odmocniny, Calculadora De Raiz Quadrada, Calculatrice Racine Carré, Calculadora Raiz Cuadrada, Calcolo Radice Quadrata, حاسبة الجذر التربيعي, Neliöjuuri Laskin, Kvadratrot Kalkulator, Kvadratni Koren Kalkulator.

  Онлайн-калькулятор предалгебры

  Наших пользователей:

  Я чувствую себя прекрасно, что больше не нужно выполнять домашние задания, задания и тесты. Я закончила школу. Наконец-то получил свой B.S. в телекоммуникациях. Ура! Спасибо за помощь и новую версию. Желаю тебе всего наилучшего.
  S.D., Орегон

  Я хочу поблагодарить вас за вашу помощь. Ваша помощь в решении того, как решить проблему, помогла мне понять, как решать проблемы, и на самом деле получить правильный результат.Спасибо.
  до н.э., Флорида

  Это хорошая новость для любой школы, учителя или студента, когда такая фантастическая программа разработана специально для алгебры. Отличная работа!
  Джеймс Мур, Мичиган

  ---

  Студенты, решающие всевозможные алгебры, узнают, что наше программное обеспечение спасает жизнь. Вот поисковые фразы, которые использовали сегодняшние поисковики, чтобы найти наш сайт. Можете ли вы найти среди них свою?

  
  

  Поисковые фразы, использованные в 25.02.2012:

  • Уравнение радиуса для предварительной алгебры
  • дроби стихотворения по математике
  • LCD рабочие листы
  • год Семь по математике {углы}
  • умножение для начинающих
  • ti 83 plus, найти ковариацию
  • полууглов
  • Определение «квадратного корня» четвертой степени
  • сложнейшие задачи факторинга
  • процентов формулы
  • алгебра 2 glencoe Mathematics ответы
  • преобразовать десятичное число в соотношение
  • гипербола x3 + y3 целочисленных кубов
  • Алгебра-умножение и деление выражений
  Руководство по решениям
  • для математического опыта houghton mifflin
  • Распечатки по математике для шестого класса бесплатно
  • Упростить экспоненциальные выражения TI-84
  • Алгебра 2-факторный калькулятор специальных продуктов
  • калькулятор корней второго порядка
  • преобразование смешанных дробей в десятичные
  • статистика элементарных экзаменационных вопросов
  • План урока с доказательством квадратичной формулы
  • рабочие листы с пропорциями
  • как решить линейные дифференциалы
  • методы преобразования десятичной дроби в дробную
  • буквальные уравнения для чайников
  • метод замены на манекены
  • формулы TI84
  • Упростите калькулятор алгебраических дробей
  • колледж + математика 100 бесплатных упражнений
  • Корень квадратный из 7 в 9-й степени
  • Решение задачи по дробям при делении
  • программа для решения научных уравнений
  • даже математика ответы эллипсы mathbook
  • программа по алгебре для 9 класса
  • ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕСС-ЗАЛА
  • процентных уравнений
  • harcourt math georgia edition / практическое домашнее задание
  • Дроби по математике ответы на вопросы
  • Как решить пифагорейские тождества
  • Калькулятор полиномиальных выражений делительной степени
  Код ответа на вопросы по книге прентис-холла
  • Математические коды
  • Калькулятор ТИ-83, корней
  • Решатель полиномов факторинга
  • решение алгебраических уравнений игры
  • Справка по элементарной алгебре
  • ключ ответа для алгебры гленко 1
  • свертка для ti 89
  • онлайн-решатель уравнений линейный
  • Прентис Холл Алгебра 2 онлайн-учебник
  • год 9 вопросов по математике продвинутого уровня
  • вычислить 2 в 4-й степени
  • расчет РАДИКАЛЬНЫЙ
  • графические уравнения Прентиса Холла 89
  • Рабочий лист «Test Of Genius»
  • aptitude решен вопрос
  • Программа факторинга ТИ-84
  • объединяет две 3D-анимации в клене
  • Системные уравнения 9-го класса
  • степень решателя задач
  • сложнейший математический вопрос
  • многослойные листы третьего сорта
  • онлайн-калькулятор экспонентов
  • решение нескольких уравнений одновременно
  • «Рабочий лист расширения»
  • Самый простой способ найти LCM
  • бесплатный калькулятор для решения уравнений с квадратными корнями
  • Калькулятор квадратного уравнения и факторинга
  • как делать множители по математике для детей
  • художественная алгебра
  • Макдугал Литтел Помощь в домашнем задании по структуре и методам алгебры
  Рабочий лист
  • логарифмов
  • бесплатных заданий по математике для девятого класса
  • овладение физикой ключ ответа
  • решить уравнение 3-го порядка
  • Масштабные коэффициенты онлайн по математике
  • Glencoe рабочая тетрадь по алгебре дополнение учителей
  • Алгебра 2 ПО
  • парабол; упрощенный коэффициент разницы
  • предалгебра с pizzazz
  • кубических сурда год 10
  • Калькулятор экспонент и радикалов
  • перевода рабочих листов по математике
  • прентис холл алгебра 1 (издание 2004 г.) учитель том

  Калькулятор дробных показателей | Как упростить рациональные экспоненты?

  При работе с дробными показателями есть несколько условий.Вы можете увидеть их все и узнать, как решать дробные показатели с разными условиями. Они следующие

  • Дробные экспоненты с числителем 1
  • Дробные экспоненты с числителем, отличным от 1 (любые дроби)

  Дробные экспоненты с числителем 1

  Дробные экспоненты — это способ выражения степеней вместе с корнями в одной нотации. Давайте посмотрим на несколько примеров, числитель которых равен 1, и узнаем, как они называются.

  36 ^1/2 = √36

  27 ³ = 27

  Первый показатель степени 1/2 называется квадратным корнем, а следующий показатель степени 1/3 называется кубическим корнем. Если мы продолжим так же. Показатель 1 / k называется k-м корнем.

  x ^{1 / k} = ^k √x

  Дробные экспоненты с числителем, отличным от 1 (любые дроби)

  В случаях, когда числитель не равен 1 (n 1)

  a = x ^{н / д}

  Вам просто нужно возвести число в степень n и вынуть из него корень d.Вам не нужно беспокоиться о порядке, так как вы можете разделить его на две части.

  • Целое число (n)
  • Дробь Часть (1 / d)

  x ^{n / d} = x ( ^{n.1 / d} ) = (x ⁿ ) ^{1 / d} = (x ^{1 / d} ) ⁿ

  x ^{n / d} = d√x ⁿ = (d√x) ⁿ

  Вы можете выбрать любой из удобных для вас методов и провести вычисления.

  Пример: вычислить дробную экспоненту 16 ^3/2 ?

  Раствор:

  Дан дробный показатель степени 16 ^3/2

  16 ^3/2 = 16 ^{(3. 1/2)}

  = (16 ³ ) ^1/2

  = √16 ³

  = √4096

  = 64

  Сделайте все свои математические задачи проще и быстрее с нашим онлайн-калькулятором.Сайт гуру предоставил бесплатные онлайн-калькуляторы для различных математических и статистических концепций.

  Калькулятор дробной степени

  Этот калькулятор дробной степени поможет вам — сюрприз, сюрприз — дробные показатели. Вы боретесь с концепцией дробных показателей? Отрицательные и дробные показатели — это для вас закрытая книга? Что ж, больше не о чем беспокоиться, прокрутите вниз, чтобы найти полезные объяснения.

  Дробные показатели с числителем 1

  Дробные показатели — это способ выражения степеней, а также корней в одном представлении .

  Что именно это означает? Давайте сначала рассмотрим несколько простых примеров, где наш числитель равен 1 :

  .
  • 64 ^(1/2) = √64
  • 27 ^(1/3) = ³√27

  Из приведенных выше уравнений мы можем вывести, что:

  • Показатель степени 1/2 — это квадратный корень
  • Показатель степени 1/3 — это кубический корень
  • Показатель степени 1/4 — корень четвертой степени
  • …
  • Показатель степени 1 / k является корнем k-й степени
  
  Но почему это так? Постараемся это доказать:

  1. Давайте воспользуемся законом экспонент, который гласит, что мы можем складывать показатели при умножении двух степеней с одинаковым основанием:

     x ^{a + b} = x ^a * x ^b

     так, например, если n = 2

     x² = x¹⁺¹ = x¹ * x¹ = x * x

     Попробуйте это с любым числом, которое вам нравится, это всегда правда!

  2. Затем давайте посмотрим на дробные показатели x:

     x = x¹ = x ^{(1/2 + 1/2)} = x ^(1/2) * x ^(1/2)

     Как позвонить по номеру, умножение которого само на себя дает другой номер? Конечно, это квадратный корень из ! Итак, мы выяснили, что:

     x ^(1/2) = √x

  3. Если хотите, вы можете аналогичным образом проверить другие корни, например.г. кубический корень:

     x = x ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} = x ^(1/3) * x ^(1/3) * x ^(1/3) = ³√x * ³√x * ³√x

     т.

     x ^(1/3) = ³√x

     Теперь мы знаем, что x в степени одной трети равен кубическому корню из x.

  Дробные показатели с числителем, отличным от 1 (любая дробь)

  Итак, что произойдет, если наш числитель не равен 1 (n 1)?

  Все, что вам нужно сделать, это возвести это число в степень n и взять корень d-th .Порядок не имеет значения, дробь n / d может быть разделена на две части:

  • целое число (n)
  • дробная часть (1 / d)

  Давайте посмотрим на пример, где дробная экспонента = 3/2 и x = 16:

  • 16 ^3/2 = 16 ^{(3 * 1/2)} = (16 ³ ) ^1/2 = √ (16³) = √4096 = 64

  Или, как вариант, можно написать, что

  • 16 ^3/2 = 16 ^{(1/2) * 3} = (16 ^1/2 ) ³ = (√16) ³ = 4³ = 64

  И результат действительно тот же.Вы можете выбрать тот метод, который дает вам самый простой расчет, или вы можете просто использовать наш калькулятор дробной степени!

  Отрицательный и дробный показатель степени

  Положительные показатели говорят нам, сколько раз мы используем число при умножении:

  Но что произойдет, если наша экспонента будет отрицательным числом, вы можете догадаться? Да, он говорит вам, сколько раз вам нужно разделить на это число:

  Кроме того, вы можете просто вычислить положительную экспоненту (например, x ⁴ ), а затем взять обратную величину (в нашем случае 1 / x ⁴ ).Конечно, аналогично, если у нас есть отрицательная И дробная экспонента.

  Калькулятор степени дроби — как использовать

  Мы считаем, что этот инструмент настолько интуитивно понятен и прост, что никаких дополнительных пояснений не требуется, но для записи мы быстро объясним, как вычислить дробные показатели:

  1. Введите базовое значение . Например, введите 7.
  2. Введите числитель и знаменатель дроби .Если вы хотите использовать этот калькулятор как простой инструмент экспоненты — с целым числом в качестве показателя вместо дроби — введите 1 в качестве знаменателя. Предположим, наша дробь равна -2/5. Введите -2 в числитель и 5 в поле знаменателя (также отметьте обратную работу).
  3. Наслаждайтесь результатом, отображаемым нашим калькулятором дробной степени! Это 0,4592 для нашей примерной задачи.

  Надо ли говорить о гибкости нашего инструмента? Вам не нужно переходить калькулятор сверху вниз — вычислите любое неизвестное, какое захотите! Введите любые три значения, и четвертое появится в мгновение ока.

  Еще одна полезная функция калькулятора — дробью может быть не только показатель степени, но и основание ! Например, если вы хотите вычислить (1/16) ^1/2 , просто введите 1/16 в базовое поле. Отлично!

  Калькулятор дробей с показателями — Онлайн-калькулятор дробей с показателями

  ‘Cuemath’s Fractions with Exponents Calculator’ — это онлайн-инструмент, который помогает найти значение заданного показателя степени.

  Что такое калькулятор дробей с показателями?

  Онлайн-калькулятор дробей с показателями

  Cuemath поможет вам найти значение данного показателя дроби в течение нескольких секунд.

  Как использовать дроби с калькулятором показателей?

  Пожалуйста, выполните следующие шаги, чтобы найти значение заданной дробной экспоненты:

  • Шаг 1: Введите базовое число, числитель экспоненты и знаменатель в данное поле ввода.
  • Шаг 2: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти значение данной дробной экспоненты.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и найти значение другой дробной экспоненты.

  Как найти дроби с показателями?

  Показатель степени определяется как количество раз умножения основного числа на себя. Проще говоря, сколько раз конкретное число умножается само на себя, показано с помощью экспонент.

  Показатель степени выражается в форме: x ^{a / b} , где x — это базовое число, a / b представляет дробь, a — числитель, а b — знаменатель

  Хотите найти сложные математические решения за секунды?

  Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов.С Cuemath находите решения простым и легким способом.

  Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

  Решенный пример:

  Решить 4 ^-1/2 ?

  Решение:

  = 4 ^-1/2

  = 1/4 ^1/2

  = 1 / √4

  = 1/2

  Аналогично, вы можете попробовать калькулятор, чтобы найти дроби с показателями для

  1) 10 ^-3/2

  2) 9 ^3/2

  Калькулятор экспонент

  Попробуйте бесплатную программу для решения математических задач или прокрутите вниз до учебных пособий! Введите выражение, например.2-1 Пример задачи Ничья Количество решаемых уравнений: 23456789 Пример задачи Решить Введите неравенство в график, например.г. y Пример задачи Ничья 908 Количество решаемых неравенств: 23456789 Пример задачи Решить Наших пользователей: Я никогда ничего подобного не видел! Постепенно я изучаю сложную алгебру вместе со своими детьми! Лиза Шустер, Нью-Йорк Пока все отлично! М.Б., Иллинойс Переезжать из города в город сложно, особенно когда нужно понимать, как преподает каждый учитель. С Алгебратором кажется, что есть только один учитель, и тоже хороший. Теперь мне не нужно беспокоиться о том, чтобы справиться с алгеброй. Я ищу помощи и в других областях. Питер Гудман, TN Студенты, решающие всевозможные алгебры, узнают, что наше программное обеспечение спасает жизнь.Вот поисковые фразы, которые использовали сегодняшние поисковики, чтобы найти наш сайт. Можете ли вы найти среди них свою? Поисковые фразы, использованные в 2010-04-15: рабочий лист по математике для ks2 лаплас для чайников прентис холл математика алгебра один Общая викторина для второклассников Советы по алгебре для детей www.math trivia.com как вычесть десятичные дроби powerpoint Семь — это нечетное число, как вы можете сделать это даже без добавления, вычитания, умножения или деления добавление 5 или 6 к числовому листу Упрощение калькулятора абсолютных значений примеры перестановок начальная школа Пример программы операций с квадратной формулой с использованием базового программное обеспечение учебники по компасу для курсов повышения квалификации по математике площадь без математических расчетов сравнение рабочих листов для упорядочивания целых чисел простой способ вычисления дробей делительный и умножающий корень решение дробных показателей добавить отрицательные положительные целые числа для печати бесплатно Клен решить сложное уравнение решить нелинейное уравнение символьный matlab CLEP Calculus бесплатное онлайн-руководство Калькулятор сложения и вычитания радикальных выражений комбинаций упражнений по математике Заданий по алгебре для 6 класса алгебраические уравнения для дробей алгебраические уравнения экспоненциальные Решение квадратных уравнений с отрицательными показателями математические ответы читы загрузить visual ti 84 как взять 2 цифры после десятичной точки + java конвертировать y перехватить javascript Интересные мелочи по математике математическая культура один в майя Макдугал Литтел структура и метод алгебры и тригонометрии ответы Практика решения квадратных квадратичных листов Бухгалтерская книга + pdf саксонская алгебра 1 ответы парабола, изображения как решить дифференциальное уравнение с помощью Matlab поиск в Google / практический тест gre / перестановка бесплатные математические распечатки примеров математических мелочей с ответами за 4 класс как упростить показатели с помощью переменных Алгебра нахождение вершин по квадратичной формуле рабочие листы положительное отрицательное сложение вычитание слово проблема-образец и решения деление квадратного корня на дробь изучайте prealegbra онлайн бесплатно калькулятор трехчленов Алгебра , используемая в сети Калькулятор квадратного уравнения рудок «Глава 6», №7 онлайн-эмулятор калькулятора ти-84 бесплатных экзаменационных работ завершение вычисления квадрата Дискретная математика рабочий лист «уравнения баланса» математика вопросов для практики квадратичных функций 10 класс книга по математике формула 1 экзамен C3 график что такое разложение знаменателя на простые множители квадратных корня с использованием множителя Завершение квадратной конструкции Показатели по математике в шестом классе Калькулятор делителей общие ошибки при сложении и вычитании радикальных выражений помогают квадратные и квадратные корни, кубы и куберы графический калькулятор онлайн гипербола Калькулятор квадратного корня из дроби ks3 запись формулы рабочего листа texas ti-83 программное обеспечение для моделирования Упростить калькулятор квадратного корня решение уравнений 3-й степени преобразование десятичного числа в другое основание Учебник элементарной алгебры Рабочие листы по алгебре KS2 Порядок операций решения логарифмов изменение предмета n алгебраических формул бесплатные рабочие листы Калькулятор алгебры продвинутого уровня решить систему на TI 83 Как понимать алгебру Печатные листы с координатами для 5-го класса математика мелочи с ответами математика упростить вычисление корня как решить квадратные уравнения с использованием двух точек однородный дифференциал вопросов по начальной математике «Экзамены» Пирамиды сложения алгебры вычислить наибольший общий делитель TI-83 ROM скачать алгебра powerpoint по пропорциям контрольных по математике за год седьмой Упрощение алгебры калькулятор деление Образец онлайн-экзамена понятия дробей и квадратных корней решение однородных уравнений г. 8 учеников задачи по математике

  Как оценить корни с помощью научного калькулятора — видео и стенограмма урока

  Квадратный корень

  Чтобы вычислить квадратный корень, воспользуйтесь кнопкой квадратного корня на вашем научном калькуляторе.Чтобы использовать эту кнопку, вам необходимо знать, как работает ваш калькулятор. В некоторых калькуляторах сначала нужно ввести число, а затем нажать кнопку извлечения квадратного корня. В других случаях вы сначала нажимаете кнопку извлечения квадратного корня, а затем свое число. Так, например, чтобы найти квадратный корень из 5, вы нажмете эти кнопки, если в вашем калькуляторе вы сначала вводите число.

  Квадратный корень из 5 должен быть около 2,236.

  Пользовательская кнопка корня

  Чтобы найти другие корни, вы воспользуетесь специальной кнопкой, которая позволит вам выбрать корень.Если вы не видите такой кнопки, возможно, она находится в меню одной из функциональных клавиш.

  Вы можете использовать настраиваемую корневую кнопку , чтобы найти кубический, четвертый и пятый корни или любой положительный целочисленный корень. Чтобы использовать эту кнопку, вам нужно посмотреть руководство к вашему калькулятору. В некоторых калькуляторах вы сначала вводите число, затем кнопку корня, а затем желаемый корень. В других случаях вы выполняете эти операции в обратном порядке, начиная с желаемого корня, затем кнопки корня и числа.

  Чтобы найти кубический корень из 5 с помощью калькулятора, в который вы вводите желаемый корень последним, вы нажимаете следующие кнопки:

  Кубический корень из 5 должен быть около 1,7.

  Кнопка экспоненты

  Если в вашем калькуляторе нет настраиваемой кнопки корня, вы можете использовать кнопку настраиваемой степени, чтобы найти корень.

  Чтобы использовать кнопку настраиваемой экспоненты , преобразуйте желаемый корень в показатель степени, инвертируя его или используя 1 в качестве числителя и корня в качестве знаменателя дроби.Таким образом, кубический корень становится показателем 1/3, квадратный корень становится показателем или степенью 1/2, а корень пятой степени становится 1/5 и так далее.

  После преобразования желаемого корня используйте кнопки в круглых скобках, чтобы сообщить калькулятору, что у вас есть дробная экспонента. Итак, чтобы ввести квадратный корень из 9, нажмите эти кнопки:

  Помните, что в зависимости от вашего калькулятора вам может потребоваться сначала ввести дробную экспоненту, прежде чем нажимать кнопку настраиваемой экспоненты.символ). Если у вас есть, вы можете использовать его вместо кнопки настраиваемой экспоненты. Обе кнопки означают, что базовое число взято в степень.

  Практическая задача

  Давайте попробуем вычислить седьмой корень из 24. Если в вашем калькуляторе вы выбираете корень последним, вы нажимаете на кнопки, как это.

  Вы должны получить ответ около 1,5746.

  Резюме урока

  На этом уроке вы узнали, как использовать научный калькулятор для вычисления корней.Корень в математике относится к этому символу:

  Например, когда вы извлекаете квадратный корень из числа, вы ищете число, которое при умножении само на себя дает заданное число. Например, квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 умножения на себя равно 9.

  Кубический корень числа — это число, которое при трехкратном умножении на себя дает данное число. Кроме того, любое положительное целое число может иметь корень.

  При использовании научного калькулятора для нахождения корня вам необходимо следовать его руководству и посмотреть, вводите ли вы сначала число, а затем нажимаете кнопку корня, или наоборот. Пользовательская кнопка корня может использоваться для вычисления кубического, четвертого и пятого корней или любого положительного целочисленного корня.), которую можно использовать вместо кнопки настраиваемой экспоненты.

  Интернет-научный калькулятор — инструмент

  Скачать научный калькулятор eCalc

  Версия для Windows Версия для Mac OSX Просмотреть больше загрузок

  Онлайн-калькулятор и справка по математике

  Поддержка кнопок и клавиш

  Стек

  Поддон Intro

  Основные функции

  Дополнение

  Вычитание

  Умножение

  Дивизион

  Знак

  Площадь

  Квадратный корень

  Повышение мощности

  Естественная экспонента

  Логарифм

  Натуральный логарифм

  Обратный

  Показатель

  Факториал

  PI

  Тригонометрические функции онлайн

  Синус

  Обратный синус

  Косинус

  Обратный косинус

  Касательная

  Обратный тангенс

  Косеканс

  Обратный косеканс

  Секант

  Обратный секанс

  Котангенс

  Обратный котангенс

  Онлайн-гиперболические тригонометрические функции

  Гиперболический синус

  Гиперболический косинус

  Гиперболический тангенс

  Гиперболический косеканс

  Гиперболический секанс

  Гиперболический котангенс

  Обратный гиперболический синус

  Обратный гиперболический косинус

  Обратный гиперболический тангенс

  Обратный гиперболический косеканс

  Обратный гиперболический секанс

  Обратный гиперболический котангенс

  Меню

  Формат

  Уголок

  Система координат

  Режимы онлайн-калькулятора

  Система координат

  от десятичной дроби к дроби

  Комплексные числа

  Онлайн-конвертер единиц

  Библиотека констант

  Онлайн-решатель

  Базовый преобразователь

  Онлайн-калькулятор и справка по математике

  eCalc — это бесплатный и простой в использовании научный калькулятор, который поддерживает множество расширенных функций, включая преобразование единиц измерения, решение уравнений и даже математику с комплексными числами.eCalc предлагается как бесплатный онлайн-калькулятор, так и в виде калькулятора для загрузки.

  Режим ввода (алгебраический или RPN)

  Онлайн-калькулятор работает либо с алгебраическим вводом (режим по умолчанию), либо с вводом RPN. Режим калькулятора устанавливается щелчком по символу «ALG / RPN» в строке состояния или путем изменения режима в диалоговом окне меню.

  Алгебраический режим

  Алгебраический режим ввода обычно называют «инфиксной записью» и широко используется в большинстве портативных калькуляторов.Выражения, вводимые в режиме алгебраического ввода, выполняются способом, который очень похож на естественную форму выражения, а порядок операций определяется приоритетом операторов и скобками.

  Режим RPN

  RPN, что означает обратную польскую нотацию, представляет собой нотацию на основе стека, в которой операторы должны следовать за своими операндами. Например, чтобы оценить выражение «1 + 2» в RPN, пользователь должен ввести «1 2 +», и выражение вычисляется сразу после оператора.Выражения, содержащие круглые скобки, такие как «(1 + 2) * 3», оцениваются, отмечая порядок приоритета и вводя форму как «1 2 + 3 *».

  Поддержка графических кнопок и клавиатуры

  Онлайн-калькулятор поддерживает ввод данных с помощью графической кнопки или традиционных клавиш компьютерной клавиатуры. Пользователю предоставляется возможность использовать любой метод ввода, и оба они одинаково действительны; тем не менее, существуют некоторые тригонометрические функции (как указано ниже), которые ограничены вводом с клавиатуры компьютера, поскольку для размещения графических кнопок доступно ограниченное пространство.

  Стек

  Стек — это функция калькулятора, которая позволяет просматривать историю результатов. В стеке одновременно отображаются только 4 элемента, но можно прокручивать вверх и вниз по стеку, щелкая стрелки вверх и вниз над стопкой. Значения в стеке также можно «вытолкнуть» вниз в поле ввода калькулятора, щелкнув стрелки вниз слева от строки в стеке.

  Поддон Введение

  Калькулятор разделен на две части: интерфейс научного калькулятора слева и панель калькулятора справа.Поддон обеспечивает область отображения для специальных функций. Некоторые из этих функций включают в себя: преобразователь единиц, библиотеку констант, решатель уравнений, полиномиальный решатель, базовое преобразование и преобразование десятичного числа в дробное.

  Основные функции

  Дополнение

  Сложение (функция суммы) используется при нажатии кнопки «+» или с помощью клавиатуры. Функция дает a + b.

  Вычитание

  Вычитание (функция минуса) используется при нажатии кнопки «-» или с помощью клавиатуры.Функция приводит к a-b.

  Умножение

  Умножение (функция умножения) используется нажатием кнопки «x» или клавишей «*» на клавиатуре. Функция возвращает a * b. -1 или делению 1 на число.Икс. Числа автоматически отображаются в формате, когда число слишком велико или слишком мало для отображения. Чтобы ввести число в этом формате, используйте кнопку экспоненты «EEX». Для этого введите мантиссу (не экспоненциальную часть), затем нажмите «EEX» или введите «e», а затем введите показатель степени.

  Факториал

  Факториальная функция используется при нажатии «!» кнопку или введите «!».

  PI

  PI — математическая константа отношения длины окружности к ее диаметру.

  Тригонометрические функции онлайн

  синус

  Функция Sine (SIN) используется при нажатии кнопки «SIN» или вводе «SIN ()». Результат — отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы прямоугольного треугольника.

  Обратный синус

  Для использования функции обратного синуса (ASIN или ARCSIN) нажмите кнопку «ASIN» или введите «ASIN ()». Результат действителен только от -pi / 2 до pi / 2.

  Косинус

  Функция косинуса (COS) используется при нажатии кнопки «COS» или вводе «COS ()».В результате получается отношение длины соседней стороны к длине гипотенузы прямоугольного треугольника.

  Обратный косинус

  Функция обратного косинуса (ACOS или ARCCOS) используется нажатием кнопки «ACOS» или вводом «ACOS ()». Результат действителен только от 0 до пи.

  Касательная

  Функция тангенса (TAN) используется при нажатии кнопки «TAN» или типа «TAN ()». Результат — отношение длины противоположной стороны к длине смежной стороны прямоугольного треугольника.

  Обратная касательная

  Функция обратной тангенсации (ATAN или ARCTAN) используется при нажатии кнопки «ATAN» или при вводе «ATAN ()». Результат действителен только от -pi / 2 до pi / 2.

  Косеканс

  Функция косеканса (CSC) используется при вводе «CSC ()». Косеканс — это мультипликативная обратная функция синусоиды.

  Обратный косеканс

  Функция обратного косеканса (ACSC) используется при вводе «ACSC ()». Результат действителен только от -pi / 2 до pi / 2, исключая 0.

  Секант

  Функция секанса (SEC) используется при вводе «SEC ()». Секанс — это мультипликативная величина, обратная функции косинуса.

  Обратная секущая

  Функция обратного секанса (ASEC) используется при вводе «ASEC ()». Результат действителен только от 0 до pi, исключая pi / 2.

  Котангенс

  Функция котангенса (COT) используется при вводе «COT ()». Котангенс — это мультипликативная обратная функция касательной.

  Обратный котангенс

  Функция обратного котангенса (ACOT) используется при вводе «ACOT ()». Результат действителен только от 0 до пи.

  Онлайн-гиперболические тригонометрические функции

  Гиперболический синус

  Функция гиперболического синуса (SINH) используется при вводе «SINH ()».

  Гиперболический косинус

  Функция гиперболического косинуса (COSH) используется при вводе «COSH ()».

  Гиперболический тангенс

  Функция гиперболического тангенса (TANH) используется при вводе «TANH ()».

  Гиперболический косеканс

  Функция гиперболического косеканса (CSCH) используется при вводе «CSCH ()».

  Гиперболический секанс

  Функция гиперболического секанса (SECH) используется при вводе «SECH ()».

  Гиперболический котангенс

  Функция гиперболического котангенса (COTH) используется при вводе «COTH ()».

  Обратный гиперболический синус

  Функция обратного гиперболического синуса (ASINH) используется при вводе «ASINH ()».

  Обратный гиперболический косинус

  Функция обратного гиперболического косинуса (ACOSH) используется при вводе «ACOSH ()».

  Обратный гиперболический тангенс

  Функция обратного гиперболического тангенса (ATANH) Используется при вводе «ATANH ()».

  Обратный гиперболический косеканс

  Функция обратного гиперболического косеканса (ACSCH) используется путем ввода «ACSCH ()».

  Обратный гиперболический секанс

  Функция обратного гиперболического секанса (ASECH) используется путем ввода «ASECH ()».

  Обратный гиперболический котангенс

  Функция обратного гиперболического котангенса (ACOTH) используется при вводе «ACOTH ()».

  Меню

  Формат

  Доступно 4 типа числовых форматов, и формат можно изменить, нажав кнопку «Меню». Доступные типы чисел: стандартные, фиксированные, научные и инженерные. В инженерии можно выбрать количество цифр для отображения в поле ввода в строке формата.Используемый числовой формат можно увидеть над стеком, это третий статус меню слева. Это место можно щелкнуть, чтобы изменить числовой формат.

  Угол

  Доступно 3 типа представления углов, и эти типы углов можно изменить, нажав кнопку «Меню». Форматы углов: радианы, градусы и градиенты. Формат угла отображается над стеком и является первым статусом меню. На это место можно щелкнуть, чтобы изменить формат угла.

  Система координат

  Для представления комплексных чисел доступны две системы координат. Системы координат бывают прямоугольными и полярными. Систему координат можно выбрать, нажав кнопку «Меню». Выбранная система координат отображается над стеком и является вторым статусом меню. Чтобы ввести число в прямоугольном формате, его необходимо ввести в формате «(3,4)». Чтобы ввести число в полярном формате, его необходимо ввести в формате «(3 @ 75)».Вместо символа «@» можно использовать символ угла клавиатуры калькулятора.

  Режимы онлайн-калькулятора

  Есть два режима онлайн-калькулятора: Алгебраический и RPN. Режим выбирается нажатием на кнопку «Меню». Режим калькулятора отображается в четвертом индикаторе состояния меню, при нажатии на это место режим изменяется. Нижняя зеленая кнопка «возврат» или «=» изменяется в зависимости от режима.

  от десятичной дроби к дроби

  Функция преобразования десятичной дроби в дробь этого калькулятора позволяет представить десятичное число в дробных оценках, а также в точном эквиваленте дроби.Функция преобразования десятичной дроби в дробь активируется нажатием кнопки «d> f» (десятичная дробь в дробную) на клавиатуре калькулятора. Откроется дисплей в боковом поддоне с полем ввода вверху. Десятичное значение можно ввести непосредственно в поле ввода, или, щелкнув стрелку ввода, будет введено значение из поля ввода калькулятора.

  Комплексные числа

  Онлайн-калькулятор полностью поддерживает комплексные числа. Комплексные числа являются расширением системы действительных чисел и включают второе число, которое является воображаемым, создавая плоскость комплексных чисел.Числовой формат для комплексных чисел — «a + bi», где a — действительное число, а b — мнимое число. Эти числа также могут быть представлены как величина и угол, когда система координат калькулятора находится в полярном режиме.

  Онлайн-конвертер единиц

  Онлайн-конвертер единиц отображается на поддоне, и его можно выбрать, нажав кнопку «Единицы». Конвертер единиц имеет 11 категорий: масса, скорость, время, мощность, объем, площадь, длина, энергия, температура, сила и давление.

  Библиотека констант

  Библиотека констант — это функция поддона, доступ к которой можно получить, щелкнув кнопку «CONST». Чтобы поместить константу в поле ввода калькулятора, просто нажмите на константу. Эта библиотека содержит множество популярных констант, которые используются регулярно. Библиотека констант включает в себя следующее: скорость света, кулоновская постоянная, ускорение гравитации, гравитационная постоянная, постоянная Планка, постоянная Больцмана, постоянная Фарадея, масса покоя электрона, масса покоя нейтрона, масса покоя протона, число Авогадро, заряд электронов, радиус Бора. , Молярная газовая постоянная, постоянная Ридберга, молярный объем, диэлектрическая проницаемость вакуума, постоянная Стефана-Больцмана, квант магнитного потока, проницаемость вакуума, магнетон Бора, постоянная Джозефсона, импеданс вакуума и квант проводимости.

  Онлайн-решатель

  В онлайн-калькуляторе есть два часто используемых решателя. Доступ к этим решателям можно получить, щелкнув кнопку палитры «РЕШИТЬ». Доступные решатели: Линейный решатель и Корневой решатель.

  Линейный решатель

  Линейный решатель выбирается одним из 4 вариантов. Этот решатель позволяет решать для переменных, когда существует равное количество уравнений, уникальных для каждой неизвестной переменной.Решатель требует, чтобы были введены коэффициенты уравнений. При вводе номеров переменных убедитесь, что каждая запись в столбце используется для одной и той же переменной. Коэффициенты комплексных чисел могут быть введены, как только все значения введены, щелкнув по кнопке «Решить». Результаты помечены как x1 … xn. X1 соответствует переменной, используемой в столбце 1 и x2, столбце 2 и так далее.
  

  Решатель полиномов

  Решатель полиномов (решатель корня) выбирается щелчком по соответствующему порядку уравнения.Коэффициенты вводятся в поля ввода ниже. Затем нажмите «Решить», и результаты станут корнями уравнения.
  

  Базовый преобразователь

  Базовый преобразователь — это функция, которая включена в поддон, и к ней можно получить доступ, нажав кнопку «BASE».

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Инструкция. Введите числитель и знаменатель дроби. Нажмите кнопку Решить.

Пусть подынтегральное выражение есть рациональная дробь , где и — полиномы (многочлены) степеней k и n соответственно. Не умаляя общности, можем считать, что k < n, так как в противном случае всегда можно представить числитель в виде P(x) = Q(x)R(x) + S(x), где R(x) и S(x) — полиномы, называемые обычно, как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда
, (1.1)
а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем. Покажем на примере, как можно получить разложение (1.1). Пусть P(x)=x7+3x6+3x5–3x3+4x2+x-2, Q(x)=x3+3x2+x-2. Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа (решение получаем через калькулятор деления столбиком). Имеем

Примеры
1. Найти .
Корни знаменателя – x₁ = -2 кратности 1 и x₂=1 кратности 2. Поэтому x³ – 3x + 2 = (x+2)(x-1)² и подынтегральная функция может быть представлена в виде
Приводя к общему знаменателю, получаем

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Пример. Найти .
Решение. Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет действительные корни, причем корень —1 имеет кратность два. Разложим подынтегральную функцию на простейшие слагаемые

Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,   ,   .

Пример 1

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3) меньше степени многочлена числителя (4). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.

1.   Выделим целую часть дроби. Делим x ⁴ на x ³ – 6x ² + 11x – 6:

Отсюда
.

2.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, 3, 6, –1, –2, –3, –6.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим на x – 1:

Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение   .
.
Корни уравнения: ,   .
Тогда
.

3.   Разложим дробь на простейшие.

.

Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.

Ответ

.

Пример 2

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь в числителе дроби – многочлен нулевой степени (1 = x ⁰). В знаменателе – многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3, то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.

1.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, –1, –3.
Подставим x = 1:
.

Итак, мы нашли один корень x = 1. Делим x ³ + 2x – 3 на x – 1:

Итак,
.

Решаем квадратное уравнение:
x ² + x + 3 = 0.
Находим дискриминант: D = 1 ² – 4·3 = –11. Поскольку D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.   Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x – 1)(x ² + x + 3):
(2.1)   .
Подставим x = 1. Тогда x – 1 = 0,
.

Подставим в (2.1) x = 0:
1 = 3A – C;
.

Приравняем в (2.1) коэффициенты при x ²:
;
0 = A + B;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3.   Интегрируем.
(2.2)   .
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.

;
;
.

Вычисляем I₂.

.
Поскольку уравнение x ² + x + 3 = 0 не имеет действительных корней, то x ² + x + 3 > 0. Поэтому знак модуля можно опустить.

Поставляем в (2.2):
.

Ответ

.

Пример 3

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3. Степень многочлена знаменателя дроби равна 4. Поскольку 3 < 4, то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.

1.   Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли один корень x = –1. Делим на x – (–1) = x + 1:

Итак,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли еще один корень x = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен     на   , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x ² + 2 = 0 не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.   Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) ²(x ² + 2):
(3.1)   .
Подставим x = –1. Тогда x + 1 = 0,
.

Продифференцируем (3.1):

;

.
Подставим x = –1 и учтем, что x + 1 = 0:
;
;   .

Подставим в (3.1) x = 0:
0 = 2A + 2B + D;
.

Приравняем в (3.1) коэффициенты при x ³:
;
1 = B + C;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3.   Интегрируем.

.

Ответ

.

Интегрирование рациональных дробей с примерами решения

Содержание:

1. Интегрирование дробно-рациональных функций

Согласно (2. 2), любую дробно-рациональную функцию — многочлены с действительными коэффициентами степени и соответственно, в общем случае можно представить суммой некоторого

многочлена и правильной рациональной дроби. В свою очередь, в силу (2.25) эту дробь можно разложить на простейшие. Многочлен определен на всей числовой прямой и его интегрирование не представляет трудностей.

Неопределенные интегралы от простейших рациональных дробей, рассмотренные в 2.2, могут быть выражены через дробно-рациональные функции, логарифмическую и обратную тригонометрическую, а именно через арктангенс, т.е. неопределенный интеграл от любой рациональной дроби представим элементарными функциями.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Итак, интегрирование любой дробно-рациональной функции состоит из следующих этапов:

1. выделение из нее целой рациональной функции — многочлена (он может быть нулевым) и правильной рациональной дроби;
2. разложение правильной рациональной дроби на простейшие;
3. нахождение неопределенных интегралов от многочлена и полученных простейших дробей.

Рассмотрим эти этапы подробнее на нескольких характерных примерах.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример с решением 1:

Найдем интеграл от неправильной рациональной дроби Преобразуем ее числитель так, чтобы в нем можно было выделить слагаемое, кратное знаменателю и включающее старшую степень аргумента

Многочлен в знаменателе выделенной правильной рациональной дроби можно представить как разность кубов: Он имеет простой действительный нуль и пару комплексно сопряженных нулей-Поэтому разложение правильной рациональной дроби в (2.31)

простейшие, согласно (2.25), примет вид

После приведения правой части данного равенства к общему знаменателю получим

Это равенство верно при любых значениях Полагая в нем находим т. е. При имеем откуда Наконец, приравнивая коэффициенты при получаем или Итак, вместо (2.31) запишем

Таким образом,

Первые два интеграла в правой части нетрудно найти при помощи табличных интегралов 1 и 2 в знаменателе подынтегральной функции в третьем интеграле выделим полный квадрат: и обозначим Тогда, используя линейность неопределенного интеграла и применяя интегрирование подведением под знак дифференциала, получаем с учетом табличных интегралов 2 и 13

Возвращаясь к исходному переменному находим

или окончательно

Пример с решением 2:

Функция является правильной рациональной дробью. Разложим ее знаменатель на множители:

т.е. знаменатель имеет двукратные действительные нули и и простой действительный нуль Следовательно, согласно (2.25), разложение функции на простейшие рациональные дроби имеет вид

Из этого равенства после приведения его правой части к общему знаменателю следует равенство многочленов

Последовательно полагая в (2. 32) получаем откуда

Продифференцировав (2.32) по выпишем справа лишь те слагаемые, которые не обращаются в нуль при

Отсюда соответственно имеем или с учетом значений получим Таким образом, заданная функция принимает вид

Неопределенный интеграл от этой функции находим при помощи табличных интегралов 1 и 2:

Пример с решением 3:

Функция является неправильной рациональной дробью. Выделив из нее многочлен и правильную рациональную дробь, запишем

Нули многочлена в знаменателе являются корнями биквадратно уравнения Обозначив получим квадратное уравнение имеющее простые корни Следовательно, знаменатель можно представить в виде

Тогда для правильной рациональной дроби, согласно (2.25), имеем разложение

Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю, приходим к равенству многочленов

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему линейных алгебраических уравнений Из первого и третьего уравнений находим а из второго и четвертого — В итоге заданную функцию запишем в виде

Тогда с учетом табличного интеграла 13 получим

Пример с решением 4:

Найдем неопределенный интеграл от функции представив его суммой интегралов

Первый интеграл в правой части (2. 33) подстановкой к табличному интегралу 13, а второй подстановкой — к интегралу

разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

Затем, приводя правую часть к общему знаменателю, получаем

Отсюда, полагая, что находим т.е. При запишем откуда а из равенства нулю коэффициента при следует, что Таким образом,

Подынтегральная функция во втором интеграле справа является простейшей рациональной дробью третьего типа (см. 2.2). Поэтому

Следовательно,

Возвращаясь к аргументу вместо (2.33) в итоге получаем

Замечание 2.5. При интегрировании дробно-рациональной функции этап ее разложения на простейшие рациональные дроби не всегда является обязательным. В некоторых случаях удается найти интеграл более простым путем.

Пример с решением 5:

Ясно, что разложение правильной рациональной дроби на простейшие будет весьма громоздким. В данном случае проще обозначить и вычислить

Возвратившись к переменному получим

Интегрирование рациональных функций

Дробной — рациональной функцией называется функция, равная частному от деления двух многочленов:

R(x) = .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае — неправильной. Отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

,

где r(x) — многочлен, степени меньше степени знаменателя Q(x). Таким образом, интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию правильной рациональной дроби. А интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей типа:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

(x² +рх + q — не имеет действительных корней.)

Интегрирование простейших рациональных дробей:

1. .

2. .

3. Основной способ нахождения интеграла состоит в предварительном выделении полного квадратного трехчлена:

Рассмотрим этот способ на примере.

Пример 53. Вычислить интеграл

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и преобразуем дробь:

х² +2х -1 = х² +2х +1-1-1 = (х+1)² -2.

Тогда = = — =

= — +С.

4. Если введем новую переменную t, положив t = х + и

х² + рх + q = t² + a², где a² = q — , то интеграл =I_n можно вычислить с помощью реккурентной формулы

I_n = .

9.5. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Случай 1.Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

Пример 54. Найти интеграл

Решение. Так как каждый из двухчленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде

Освобождаясь от знаменателей, получим

При х = 1 6 = 3А, А = 2;

при х = 2 11 = -2В, В= — ;

при х = 4 27 = 6С, С = .

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом,

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Пример 55. Найти интеграл

Решение. Множителю соответствует сумма трех простейших дробей , а множителю — простейшая дробь Итак,

Освободимся от знаменателя:

Откуда В = , С = .

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом, получим

=

Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

Пример 56. Найти интеграл

Решение. Разлагаем дробь на простейшие дроби

Освобождаемся от знаменателя:

. Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:

Откуда найдем А = 1, В = -1, С = -1.

Итак,

Следовательно,

= ln|x|-

— — = ln|x| — —

— +C.

Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.

Пример 57. Найти интеграл

Решение. Так как есть двукратный множитель, то

Освобождаясь от знаменателей, получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Следовательно,

=

=

9.5. Интегрирование иррациональных функций

Неопределенный интеграл вида интегрируется

путем введения новой переменной .

Интегралы вида интегрируются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Пример 58. Вычислить интеграл .

Решение:

=

= , где

Пример 59. Вычислить интеграл .

Решение:

=

Интеграл вида , где n Î Z, интегрируются путем введения новой переменной t ⁿ = ax + b.

Пример 60. Вычислить интеграл .

Решение:

=

= -2t-2 = -2 +С.

Интегралы вида , где P_n (x) — многочлен степени n, вычисляются с помощью реккурентной формулы

= , (21)

где Q _{n— 1} (x) — многочлен степени (n — 1) с неопределенными коэффициентами и l — число. Коэффициенты многочлена и число l находятся при помощи дифференцирования тождества (21).

Пример 61. Вычислить интеграл .

Решение. Применяем формулу (21):

= (Ах+В) . Дифференцируем это тождество: . Откуда

х² = А(х² + 4) + х(Ах+В) + l.

Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:

х²: 1 = А +А

х: 0 = Вх

х⁰: 0 = 4A + l.

Итак, А = , В = 0, l = -2. Следовательно,

= = +С.

Интеграл от дифференциального бинома , где m, n, p — рациональные числа:

1) если р — целое число, то делаем замену х = t ^s, где s — общий знаменатель дробей m и n;

2) если — целое число, то делаем замену а+bх ⁿ = t ^s, где s — знаменатель дроби р;

3) если +р — целое число, то делаем замену ах ^{– n}+b = t ^s, где s — знаменатель дроби р.

Пример 62. Вычислить интеграл

Решение:

= =

9.7. Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы вида где R — рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки В результате этой подстановки имеем:

;

Пример 63. Найти интеграл

Решение. Введем новую переменную tg . Тогда = =

= = = arctg +

+C = +C.

Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее применении и выражаются через в виде рациональных дробей, содержащих .

В некоторых частных случаях нахождение интеграла вида может быть упрощено:

1. Если — нечетная функция относительно , т.е., если , то интеграл рационализируется подстановкой

2. Если — нечетная функция относительно , т.е., если , то интеграл рационализируется с помощью подстановки

3. Если — четная функция и относительно и относительно , т.е., если , то к цели приводит подстановка

Пример 64. Найти интеграл

Решение. Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем

=

2. Интегралы вида

Выделим здесь два случая, имеющие особенно важное значение.

Случай 1. По крайней мере один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n – нечетное положительное число, то применяется подстановка Если же m — нечетное положительное число, подстановка

Пример 65. Найти интеграл

Решение. Полагая получим

Случай 2. Оба показателя степени m и n — четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью следующих формул:

(22)

(23)

(24)

Пример 66. Найти интеграл

Решение. Из формулы (22) следует, что

Применив теперь формулу (23), получаем

Итак,

3. Интегралы вида

Тригонометрические формулы

дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 261; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Интегрирование рациональных функций — Интегралы и дифференциальные уравнения (Математика)

Лекция 3. Интегрирование рациональных функций.

Рациональная функция – это отношение двух целых функций – многочленов (полиномов).

Если порядок полинома – числителя ниже порядка полинома – знаменателя, то такая рациональная функция называется рациональной дробью.

Лемма 1. Если рациональная функция не является рациональной дробью, то ее можно привести к сумме целой части – полинома и рациональной дроби.

Доказательство основано на правиле деления многочленов с остатком, например, на алгоритме деления многочленов «уголком » .

Пример. .

Отсюда следует, что  .

Поэтому интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и интегрированию рациональной дроби.

Интеграл от многочлена равен по свойствам линейности интеграла сумме произведений интегралов от степенных функций на постоянные коэффициенты. Интеграл от степенной функции легко вычислить по таблице интегралов.

Разложение рациональной дроби  на элементарные.

Полином – знаменатель рациональной дроби может иметь действительный корень некоторой — ой кратности. Тогда , где многочлен  уже не имеет корня . В этом случае из рациональной дроби можно выделить элементарную рациональную дробь вида .

Лемма 2. Пусть  — действительный корень — ой кратности полинома – знаменателя рациональной дроби. Тогда

=  , где многочлен  уже не имеет корня .

Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю  и приравняем числители полученных дробей.

. Тогда выражение  должно делиться на , т.е. . Этого можно добиться, выбрав .

Следствие 1. В условиях леммы 2 рациональную дробь можно представить в виде

где  не имеет корня .

Доказательство. Применим лемму 2  раз и получим указанное разложение.

Полином – знаменатель рациональной дроби может иметь пару комплексно сопряженных корней — ой кратности. Тогда Причем  уже не являются корнями полинома . В этом случае из рациональной дроби тоже можно выделить некоторую элементарную рациональную дробь вида .

Лемма 3. Пусть – знаменатель рациональной дроби  имеет пару комплексно сопряженных корней — ой кратности. Тогда рациональную дробь можно представить в виде

= , где  уже не являются корнями полинома .

Доказательство. Приведем дроби к общему знаменателю и приравняем числители полученных дробей.

=.  должно делиться как на , так и на . Поэтому

, где =, =

Отсюда имеем систему уравнений для определения констант

.

Определитель этой системы равен , так как корни комплексные и . Поэтому система имеет единственное решение.

Следствие 2. В условиях леммы 2 рациональную дробь можно представить в виде

= ++ …++ ,

где  уже не являются корнями полинома .

Доказательство. Применяем лемму 3 нужное число раз и получаем искомое разложение.

Теорема. Рациональная функция может быть представлена в виде

=++…+ +…+++ …++ …+,

где — простой действительный корень , — действительный корень кратности , — пара комплексно сопряженных корней кратности   (комплексно сопряженные корни ), — простая пара комплексно сопряженных корней  (корни ).

Доказательство. Применяем к рациональной функции лемму 1, выделяем полином – целую часть , затем по лемме 2, выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным действительным корням. Затем по лемме 3 выделяем члены разложения, соответствующие простым и кратным парам комплексно сопряженных корней. Так как многочлен может иметь корни лишь перечисленных типов, то разложение этим и исчерпывается.

Следствие 3. Задача интегрирования рациональной функции сводится к задачам интегрирования элементарных рациональных дробей четырех типов

1) ,  2) ,  3) , 4).

Способы вычисления коэффициентов при разложении рациональной дроби на элементарные.

Пример.

Теперь надо приравнивать многочлены в числителях дробей и определять неизвестные коэффициенты A, B, M, N, P, Q.

Это можно сделать двумя способами.

1 способ – приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях переменной, составлять и решать систему уравнений.

X⁵|  3=A+B+M

X⁴|  1=A-B+N

X³| 7=2A+2B+P

X²| 2=2A-2B+Q              Решение системы A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

X |2=A+B-N-P

1 |1=A-B-N-Q

2 способ – задавать значения неизвестной, вычислять значения числителей и составлять систему уравнений.

X=1  | 16=8A

X= -1| -8=-8B

X=0   | 1=A-B-N-P

X=2   | 181=75A-25B+30M+15N+6P+3Q

X=-2 | -96= -25A-75B-30M+15N-6P+3Q

X=-3 | -824= -200A –400B-240M –80N –24P+8Q

Решая эту систему уравнений, получим то же решение A=2, B=1, M=N=Q=0, P=1.

Какой способ применять – зависит от того, где получается более простая и удобная для решения система уравнений.

В данном примере вторая система сложнее первой.

Интегрирование элементарных рациональных дробей четырех типов.

1) ,

2)

3) =

 (пример рассмотрен во второй лекции). Для того, чтобы вычислить интеграл от дроби в п.3, достаточно в соответствующем примере второй лекции обозначить коэффициенты другими буквами.

4) ==

, где .

Вычислим интеграл .

.=

-=

По этой рекуррентной формуле можно последовательно вычислять интегралы  при различных , предварительно вычислив

.

Таким образом, показано, что все четыре типа элементарных  рациональных дробей интегрируемы. Следовательно, класс рациональных функций представляет собой класс интегрируемых функций.

При интегрировании конкретных рациональных функций выделяют целую часть и раскладывают рациональную дробь на элементарные. Затем интегрируют элементарные рациональные дроби.

Пример.

Составляем и решаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов (первый способ определения коэффициентов)

      Получим

Можно воспользоваться и вторым способом определения коэффициентов.

X=0 | -1 = B-A-C

X=1 | 4 = A+B+2B+C+B-A-C= 4B

X=-1| -2 = A+B-2B-C+B-A-C= -2C. Отсюда C=1, B=1, A=1.

Ещё посмотрите лекцию «Критерии качества интерфейса (продолжение)» по этой теме.

Вторая система проще, чем первая.

Теперь интегрируем сумму элементарных дробей.

Метод Остроградского.

Если знаменатель рациональной дроби содержит пары комплексно сопряженных корней большой кратности, то удобно применять метод Остроградского. Он состоит в следующем: вычисляют . Затем интеграл представляют в виде

, где степень  на единицу меньше степени , а степень  на единицу меньше степени . Коэффициенты полиномов ,  определяются при дифференцировании левой и правой частей и приравнивания коэффициентов при равных степенях x.

Интеграция рациональных функций

Напомним, что рациональная функция представляет собой отношение двух многочленов P ( x )/ Q ( x ).

Будем считать, что у нас есть правильная рациональная функция, в которой степень числителя меньше степени знаменателя.

Чтобы преобразовать неправильную рациональную функцию в правильную, мы можем использовать длинное деление:

\[\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} = F\left( x \right) + \frac{{R\left( x \right) )}}{{Q\влево( x \вправо)}},\]

, где F ( x ) — многочлен, P ( x )/ Q ( x ) — правильная рациональная функция.

Чтобы проинтегрировать правильную рациональную функцию, мы можем применить метод частичных дробей.

Этот метод позволяет превратить интеграл сложной рациональной функции в сумму интегралов более простых функций.

Знаменатели неполных дробей могут содержать неповторяющиеся линейные множители, повторяющиеся линейные множители, неповторяющиеся неприводимые квадратичные множители и повторяющиеся неприводимые квадратичные множители. 92} + 2x + 1}}}.\]

Пример 1.

Найдите интеграл \[\int {\frac{{x + 2}}{{x — 1}} dx}.\]

Раствор.

Поскольку рациональная дробь в подынтегральном выражении неправильная, мы выполняем деление в большую сторону, чтобы получить

\[\frac{{x + 2}}{{x — 1}} = 1 + \frac{3}{{x — 1}}. \]

Теперь мы можем легко вычислить интеграл:

\[\int {\frac{{x + 2}}{{x — 1}}dx} = \int {\left( {1 + \frac{3}{{x — 1}}} \right) dx} = \ int {dx} + 3 \ int {\ frac {{dx}} {{x — 1}}} = x + 3 \ ln \ left | {х — 1} \право| + С.\] 92} — 9}} = \frac{{2x + 3}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{A}{{ х — 3}} + \frac{B}{{х + 3}}.\]

Приравнять коэффициенты:

\[А\влево( {х + 3} \вправо) + В\влево( {х — 3} \вправо) = 2х + 3,\;\; \Стрелка вправо Ax + 3A + Bx — 3B = 2x + 3,\;\; \стрелка вправо \влево( {A + B} \вправо)x + 3A — 3B = 2x + 3.\]

Следовательно,

\[ \left\{ \begin{массив}{l} А + В = 2\\ 3А — 3В = 3 \end{массив} \right.,\;\; \Правая стрелка \left\{ \begin{массив}{l} А = \ гидроразрыва {3} {2} \\ B = \ гидроразрыва {1} {2} \end{массив} \right..\] 92}}}{2} — x — \ln \left| {х + 1} \право| + С.\]

Пример 5.

Найдите интеграл \[\int {\frac{{dx}}{{\left( {2x — 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}}.\ ]

Раствор.

Сначала разложим подынтегральную функцию:

\[\frac{1}{{\left( {2x — 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{A}{{2x — 1}} + \frac {В}{{х + 3}}.\]

Определить коэффициенты \(A\) и \(B:\)

\[1 = A\влево( {x + 3} \вправо) + B\влево( {2x — 1} \вправо),\]

\[1 = Ах + 3А + 2Вх — В,\]

\[1 = \влево( {A + 2B} \вправо)x + \влево( {3A — B} \вправо).\]

Получаем следующую систему:

\[\left\{ \begin{массив}{l} А + 2В = 0\\ 3А — В = 1 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} А + 2\влево({3А — 1}\вправо) = 0\\ В = 3А — 1 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} 7А — 2 = 0\\ В = 3А — 1 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} А = \ гидроразрыва {2} {7} \\ В = — \фракция{1}{7} \end{массив} \right..\]

Таким образом, разложение на неполные дроби имеет вид

\[\frac{1}{{\left( {2x — 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{7\left( {2x — 1 } \right)}} — \frac{1}{{7\left( {x + 3} \right)}}. \]

Исходный интеграл записывается в виде суммы двух более простых интегралов:

\[I = \int {\frac{{dx}}{{\left({2x — 1} \right)\left({x + 3} \right)}}} = \frac{2}{7 }\int {\frac{{dx}}{{2x — 1}}} — \frac{1}{7}\int {\frac{{dx}}{{x + 3}}} .\]

Интеграция выходов: 92} — 9}} = \ frac {x} {{\ left ( {x — 3} \ right) \ left ( {x + 3} \ right)}} = \ frac {A} {{x — 3} } + \frac{B}{{x + 3}}.\]

Рассчитать неизвестные коэффициенты:

\[x = A\left( {x + 3} \right) + B\left( {x — 3} \right),\]

\[х = Ах + 3А + Вх — 3В,\]

\[x = \left( {A + B} \right)x + \left( {3A — 3B} \right).\]

Отсюда

\[\left\{ \begin{массив}{l} А + В = 1\\ 3А — 3В = 0 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} А + В = 1\\ А — В = 0 \end{массив} \right.,\;\; \стрелка вправо \влево\{ \begin{массив}{l} А = \ гидроразрыва {1} {2} \\ B = \ гидроразрыва {1} {2} \end{массив} \right..\] 92}}}} = \ln \left| {х + 1} \право| + \frac{1}{{x + 1}} + C. \]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

7.4: Интегрирование рациональных функций с помощью дробей

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Цели обучения

• Интегрировать рациональную функцию, используя метод частных дробей.
• Распознавать простые линейные множители рациональной функции.
• Распознать повторяющиеся линейные множители в рациональной функции.
• Распознавать квадратичные множители рациональной функции.

Мы рассмотрели несколько методов, позволяющих интегрировать определенные рациональные функции. Например, мы знаем, что 92−x−2}\nonumber \]

в виде выражения, такого как

\[ \dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}. \nonumber \]

Ключом к методу разложения на неполные дроби является возможность предвидеть форму, которую примет разложение рациональной функции. Как мы увидим, эта форма предсказуема и сильно зависит от факторизации знаменателя рациональной функции. Также чрезвычайно важно иметь в виду, что разложение на неполные дроби может быть применено к рациональной функции \( \dfrac{P(x)}{Q(x)}\) только в том случае, если \( deg(P(x))< град(Q(x))\). В случае, когда \( deg(P(x))≥deg(Q(x))\), мы должны сначала выполнить деление в длину, чтобы переписать частное \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) в виде \( A(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}\), где \( deg(R(x))

Посетите этот веб-сайт для ознакомления с делением многочленов в длину.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Оценка

\[ \int \dfrac{x−3}{x+2}\,dx. \номер\]

Подсказка

Используйте длинное деление, чтобы получить \( \dfrac{x−3}{x+2}=1−\dfrac{5}{x+2}. \nonumber \)

Ответить

\[ x−5\ln |x+2|+C \не число \]

Для интегрирования \(\displaystyle \int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx\), где \( deg(P(x))

Неповторяющиеся линейные множители

Если \( Q(x)\) можно разложить на множители как \( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)\), где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы \( A_1,A_2,…A_n\), удовлетворяющие

\[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2 }{a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \label{eq:7.4.1} \] 92−2x=x(x−2)(x+1)\). Таким образом, существуют константы \(A\), \(B\) и \(C\), удовлетворяющие уравнению \ref{eq:7. 4.1} такие, что

\[ \dfrac{3x+2}{x( x−2)(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x+1}. \nonumber \]

Теперь мы должны найти эти константы. Для этого начнем с получения общего знаменателя справа. Таким образом,

\[ \dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx (х-2)}{х(х-2)(х+1)}. \nonumber \]

Теперь приравняем числители друг к другу, получив 92+(-А+В-2С)х+(-2А). \nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает систему уравнений

\[\begin{align*} A+B+C &=0 \\[4pt] −A+B−2C &= 3 \\[4pt] −2А &=2. \end{align*}\]

Чтобы решить эту систему, мы сначала заметим, что \( −2A=2⇒A=−1.\) Подстановка этого значения в первые два уравнения дает нам систему

\( B +C=1\)

\(B−2C=2\).

Умножение второго уравнения на \( −1\) и добавление полученного уравнения к первому дает

\(−3C=1,\)

, что, в свою очередь, означает, что \(C=−\dfrac{1}{3}\). Подстановка этого значения в уравнение \(B+C=1\) дает \(B=\dfrac{4}{3}\). Таким образом, решение этих уравнений дает \(A=-1, B=\dfrac{4}{3}\) и \(C=-\dfrac{1}{3}\).

Важно отметить, что система, полученная этим методом, непротиворечива тогда и только тогда, когда мы правильно установили декомпозицию. Если система противоречива, в нашей декомпозиции есть ошибка.

Вторая стратегия: метод стратегического замещения

Метод стратегической замены основан на предположении, что мы правильно настроили декомпозицию. Если разложение настроено правильно, то должны быть значения \(A, B,\) и \(C\), которые удовлетворяют уравнению \(\ref{Ex2Numerator}\) для всех значений \(x\). То есть это уравнение должно быть истинным для любого значения \(х\), которое мы хотим подставить в него. Следовательно, тщательно выбирая значения \(x\) и подставляя их в уравнение, мы можем легко найти \(A, B\) и \(C\). Например, если мы подставим \(x=0\), уравнение сведется к \(2=A(−2)(1)\). Решение для \(A\) дает \(A=−1\). Затем, подставив \(x=2\), уравнение сводится к \(8=B(2)(3)\) или, что то же самое, \(B=4/3\). 2−2x}\,dx=\int \left(−\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{3}⋅\dfrac{1}{x−2}−\dfrac{1}{3 }⋅\dfrac{1}{x+1}\right)\,dx. \номер\] 92x−\sin x}\,dx=−\ln |u|+\ln |u−1|+C=−\ln |\sin x|+\ln |\sin x−1|+C. \nonumber \]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Вычислить \(\displaystyle \int \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}\,dx.\)

Подсказка

\[ \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x−2} \nonumber \]

Ответить

\[ \dfrac{2}{5}\ln |x+3|+\dfrac{3}{5}\ln |x−2|+C \nonumber \]

92+(-3А+В-4С)х+(А-В+С). \nonumber \]

Приравнивание коэффициентов дает \( 2A+4C=0\), \(−3A+B−4C=1\) и \(A−B+C=−2\). Решение этой системы дает \(A=2, B=3,\) и \(C=−1.\)

В качестве альтернативы мы можем использовать метод стратегической замены. В этом случае подстановка \(x=1\) и \(x=1/2\) в уравнение \(\ref{Ex5Numerator}\) легко дает значения \(B=3\) и \(C=- 1\). На данный момент может показаться, что у нас закончились хорошие варианты для \(x\), однако, поскольку у нас уже есть значения для \(B\) и \(C\), мы можем подставить эти значения и выбрать любое значение для \(x\), которое ранее не использовалось. 2\) или, что то же самое, \(A=2 .\) 92} \номер \]

Общий метод

Теперь, когда мы начинаем понимать, как работает метод разложения на неполные дроби, давайте наметим основной метод в следующей стратегии решения задач.

Стратегия решения задач: разложение дробей

Чтобы разложить рациональную функцию \( P(x)/Q(x)\), выполните следующие действия:

1. Убедитесь, что \( deg(P(x) )
2. Разложить \(Q(x)\) на произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей. Неприводимый квадратик — это квадратик, не имеющий действительных нулей.
3. Предполагая, что \( deg(P(x))
4. Если \(Q(x)\) можно разложить на множители как \( (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)\), где каждый линейный множитель различен, то можно найти константы \( A_1,A_2,…A_n\), удовлетворяющих \[ \dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2 }+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \номер\] 92}\) и оси x на интервале \([0,1]\) относительно оси y .

   Решение

   Начнем с наброска области вращения (см. рисунок \(\PageIndex{1}\)). Из скетча мы видим, что метод оболочки — хороший выбор для решения этой задачи.

   Рисунок \(\PageIndex{1}\): Мы можем использовать метод оболочки, чтобы найти объем вращения, полученный путем вращения показанной области вокруг оси \(y\).

   Объем дается 92} \номер \]

   Ключевые понятия

   • Разложение на неполные дроби — это метод, используемый для разложения рациональной функции на сумму простых рациональных функций, которые можно интегрировать с помощью ранее изученных методов.
   • Применяя разложение на неполные дроби, мы должны следить за тем, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя. Если нет, нам нужно выполнить длинное деление, прежде чем пытаться разложить частичную дробь.
   • Форма разложения зависит от типа множителей в знаменателе. Типы факторов включают неповторяющиеся линейные факторы, повторяющиеся линейные факторы, неповторяющиеся неприводимые квадратичные факторы и повторяющиеся неприводимые квадратичные факторы.

   Глоссарий

   разложение на неполные дроби

   метод, используемый для разложения рациональной функции на сумму простых рациональных функций

   ---

   1. Наверх
   • Была ли эта статья полезной?

   1. Тип изделия

      Раздел или страница

      Показать страницу Содержание

      нет

      Включено

      да

   2. Теги

      На этой странице нет тегов.

   Интеграция рациональных функций | Brilliant Math & Science Wiki

   Содержание

   • Метод частичной дроби
   • Основные примеры
   • Промежуточные примеры
   • uuu-подстановочный подход

   Этот подход предполагает, что вы можете разложить знаменатель на линейные и квадратичные члены с действительными коэффициентами. Следовательно, он не будет работать в случаях, когда факторизация неизвестна. Обратитесь к разделу «Частичные дроби», если вы не знакомы с этим процессом.

   Сначала мы выполняем частичные дроби над f(x)g(x) \frac{f(x)} {g(x)} g(x)f(x)​, чтобы преобразовать его в многочлен остатка, а также линейный и квадратичный знаменатели. У нас есть 9{n_j} } \right). g(x)f(x)​=r(x)+∑((x−ai​)ni​ki​)+∑(((x−bj​)2+cj2​)nj​lj​x+ мж).

   Тип 1: полином остатка r(x) r(x) r(x)

   • Поскольку это полином, мы знаем, как его интегрировать.

   Тип 2a: 1x−a \frac{1}{ x -a } x−a1​, линейный член в первой степени

   • Из производных логарифмических функций мы знаем, что −a\frac{d}{dx} \ln |x — a| = \frac{1}{ x — a }dxd​ln∣x−a∣=x−a1​. Имеем ∫1x−a dx=ln⁡∣x−a∣+C \int \frac{1}{ x-a } \, dx = \ln |x-a| + C ∫x−a1​dx=ln∣x−a∣+C. 9{n-1}} \, дх + С. \end{массив} ∫(x2+bx+c)n1​dx∫(x2+bx+c)nx​dx​=(n−1)(4c−b2)(x2+bx+c)n−12x+ b+(n−1)(4c−b2)(2n−3)2∫(x2+bx+c)n−11​dx+C=−(n−1)(4c−b2)(x2+ bx+c)n−1bx+2c​−(n−1)(4c−b2)b(2n−3)​∫(x2+bx+c)n−11​dx+C.​

     Наилучший способ чтобы понять, как это работает, нужно проработать несколько примеров, чтобы увидеть, как работать с каждым из этих типов.

     Мы начнем с нескольких основных примеров, в которых используется только один тип дробей. Их относительно легко решить.

     92 -1 = (x-1)(x+1) x2-1=(x-1)(x+1) и частичные дроби дают

     2x(x−1)(x+1)=1x+1+1x−1. \frac{2x}{ (x-1)(x+1) } = \frac{ 1}{x+1} + \frac{1}{x-1} . (x−1)(x+1)2x​=x+11​+x−11​.

     Мы интегрируем каждый термин отдельно как тип 2а, чтобы получить

     ∫2x(x−1)(x+1) dx=∫1x+1 dx+∫1x−1 dx=ln⁡∣x+1∣+ln⁡∣x−1∣+C. □ \begin{выровнено} \int \frac{2x}{ (x-1)(x+1) } \, \mathrm dx & = \int \frac{ 1}{x+1} \, \mathrm dx + \int \frac{1}{x-1} \, \mathrm dx \\ & = \ln \влево|x+1\вправо| + \ln \влево|x-1\вправо| + С.\ _\квадрат \end{выровнено} ∫(x−1)(x+1)2x​dx​=∫x+11​dx+∫x-11​dx=ln∣x+1∣+ln∣x-1∣+C. □​​ 93 + 1}x3+11​ непрерывно от 000 до ∞\infty∞, поэтому мы можем использовать основную теорему исчисления. Чтобы вычислить определенный интеграл, мы вычислим неопределенный интеграл при x=0x = 0x=0 и ∞\infty∞.

     При x=0x = 0 x=0 первые два члена становятся ln⁡1,\ln 1,ln1, что равно нулю. Третий член равен 13arctan⁡−13=13⋅−π6=−π63\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\frac{-1}{\sqrt{3}} =\frac{1}{ \sqrt{3}} \cdot \frac{ — \pi} {6} = — \frac{\pi}{6 \sqrt{3}}3​1​arctan3​−1​=3​1​⋅6 −π​=−63​π​.

     93 + 1 } \, dx = \frac{ \pi } { 2\sqrt{3} } — \frac{ -\pi } { 6 \sqrt{3} } = \frac{ 2 \pi } {3 \sqrt {3} } = \frac{ 2 \sqrt{3} \pi } { 9 }.\ _\square ∫0∞​x3+11​dx=23​π​−63​−π​=33​2π​ =923π​. □​

     (А), (В) и (С) (А), (В), (С) и (D) (А), (В) и (Г) (А) и (С) (А), (С) и (D) (А) и (Г) (Б) и (С) (Б), (С) и (Г) 9{ 2 }+2x+2) } } dx Y=∫01​(x+1)(x2+2x+2)2×2+3x+3​dx

     Какие из следующих вариантов равны Y?Y?Y ?

     (A)  π4+2log⁡2−arctan⁡2\ \frac { \pi }{ 4 } +2\log2-\arctan { 2 } 4π​+2log2−arctan2

     (B)  π4+2log⁡2 −arctan⁡13\ \frac { \pi }{4} +2\log2-\arctan {\frac{1}{3}} 4π​+2log2−arctan31​

     (C) 2log⁡2−arccot 3\ 2 \log 2 — \text{arccot ​​3} 2log2−arccot 3

     (D) −π4+log⁡4+arccot 2\ -\frac{\pi}{4}+\log4+\text{arccot ​​2} − 4π​+log4+arccot 2

     Метод частичной дроби сильно зависит от предположения, что мы можем разложить знаменатель на линейные и квадратичные члены. Иногда это нехорошо или не дает хорошего результата. В таких случаях мы должны попробовать uuu-подстановку.

     Напомним, что мы используем uuu-подстановку, когда интеграл имеет следующий вид:

     ∫g(f(x))⋅f′(x) dx,\int g\big(f(x)\big) \ cdot f'(x) \, dx,∫g(f(x))⋅f'(x)dx,

     , где ggg легко интегрируется. Подставим u=f(x)u = f(x)u=f(x) и получим du=f′(x) dx du = f'(x) \, dxdu=f′(x)dx. Интегрирование упрощается до ∫g(u) du\int g(u) \, du∫g(u)du, что легко вычислить. Давайте рассмотрим несколько примеров, которые сложно решить с помощью метода неполных дробей, но которые очень легко решить с помощью uuu-подстановки. 9c}∫(x7+x2+1)37×13+5×15​dx=a1​⋅(x7+x2+1)cxb​

     Учитывая, что приведенный выше неопределенный интеграл верен, каково значение a+b+c, a +b+c, a+b+c, где a,b, и ca,b,\text{ и }ca,b, и c – положительные целые числа?

     Процитировать как: Интеграция рациональных функций. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant. org/wiki/integration-of-rational-functions-easy/

     Интегрирование рациональной функции с квадратичным знаменателем

     Шаблон:Стратегия интеграции конкретного функционального класса

     Содержимое

     • 1 Сокращение
       • 1.1 Сведение к случаю, когда числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель
       • 1.2 Приведение к унитарному знаменателю
     • 2 Неопределенная интеграция для правильной дроби с единым знаменателем
       • 2.1 Краткое изложение дел
       • 2.2 Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители
       • 2.3 Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители
       • 2.4 Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант
     • 3 Определенная интеграция
       • 3.1 Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители
       • 3.2 Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители
       • 3.3 Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант
     • 4 примера
       • 4. 1 Примеры уменьшенного корпуса
     • 5 Частные дроби и интерпретация линейной алгебры
       • 5.1 Чемодан уменьшенной формы
       • 5.2 Общий случай
     • 6 Повторная антидифференцировка
     • 7 Вариационный анализ

     Приведение

     Приведение к случаю, когда числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель

     Для получения дополнительной информации см. Преобразование рациональной функции из неправильной дроби в форму смешанной дроби

     Чтобы получить ситуацию, когда числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель, мы выполняем евклидово деление и, следовательно, переписываем рациональную функцию как сумму многочлена и рациональной функции, которая находится в правильная дробь формы, т. е. числитель имеет меньшую степень, чем знаменатель. Полиномиальное слагаемое интегрируется почленно с использованием правила интегрирования степенных функций. Таким образом, мы вынуждены обращаться с правильной дробью. Но не забудьте добавить первообразную для многочлена к вашему окончательному ответу!

     Приведение к случаю унитарного знаменателя

     Если старший коэффициент (т. е. коэффициент при высшей степени) в знаменателе не равен 1, старший коэффициент может быть вынесен как постоянный множитель из знаменателя и, следовательно, из интеграция. Таким образом, мы можем выполнить интегрирование со старшим коэффициентом 1 для многочлена знаменателя (такой многочлен называется моническим многочленом). Но не забудьте сохранить эту константу снаружи и умножить ее, чтобы получить окончательный ответ!

     Неопределенная интеграция для правильной дроби с единым знаменателем

     Резюме случаев

     Мы предполагаем, что мы выполнили описанные выше сокращения. Таким образом, рассмотрим интегрирование вида:

     Обратите внимание, что это произвольные константы. Они могут быть нулевыми или ненулевыми.

     Знаменатель Знаменатель

     Знак дискриминанта	Качественное описание случая	Первообразная (мы опускаем +C для экономии места)	Функции, линейная комбинация которых дает первообразную (зависит от только в знаменателе)	Описание новых констант в терминах
     положительный	имеет различные корни множителей как
     ноль	повторяет корень множителей как
     отрицательный	знаменатель имеет вид с

     Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители

     UPSHOT : Первообразная в этом случае выражается как линейная комбинация с постоянными коэффициентами натуральных логарифмов абсолютных значений линейных множителей.

     Это относится к общему случаю интегрирования рациональной функции, знаменатель которой имеет различные линейные множители

     Формула интегрирования:

     Обратите внимание, что и можно определить из квадратичной формулы для корней квадратного многочлена. В частности, если многочлен в знаменателе равен , мы имеем:

     Вот подробности получения формулы:

     [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

     Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители

     UPSHOT : Первообразная в этом случае представляет собой константу, деленную на линейный множитель плюс константу, умноженную на натуральный логарифм линейного множителя.

     Формула интегрирования:

     Если знаменатель имеет вид , то этот случай возникает тогда и только тогда, когда мы имеем .

     Вот как получается формула: [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

     Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант

     UPSHOT : Первообразная в этом случае представляет собой константу, умноженную на функцию арктангенса, плюс константу, умноженную на натуральный логарифм абсолютного значения. квадратичного.

     У нас есть:

     Учитывая знаменатель в форме , его можно переписать как где:

     Вот как получается формула: [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

     Определенное интегрирование

     Здесь мы обсуждаем только редуцированный случай неопределенного интегрирования.

     Случай, когда знаменатель имеет различные линейные множители

     Используя те же обозначения, что и для неопределенного интегрирования, мы имеем интегрирование в форме:

     Первообразная:

     где, если квадратное число в знаменателе изначально равно:

     Подынтегральная функция не определена в точках . Фактически область определения функции представляет собой объединение трех отдельных открытых интервалов: , , и .

     Общая первообразная для функции на всех интервалах может иметь разные значения константы на каждом интервале.

     Кроме того, мы можем опустить знаки абсолютного значения и уточнить входные данные для s в каждом интервале:

     Интервал	Первообразная на интервале

     Интеграл может быть вычислен, чтобы дать конечное числовое значение на любом интервале правильно содержал полностью внутри одного из этих интервалов. Обратимся теперь к вопросу, можем ли мы вычислить несобственных интегралов, т. е. интегралов, у которых одним из пределов является одно из значений .

     Ответ следующий:

     • Несобственный интеграл, продолжающийся до, будет конечным только , если . Обратите внимание, что если бы это было так, рациональная функция не была бы приведенной, т. Е. Между числителем и знаменателем был бы общий множитель. На самом деле, в этом случае исходная рациональная функция имела бы устранимых разрывов в точке .
     • Несобственный интеграл, продолжающийся до, будет конечным только , если . Обратите внимание, что если бы это было так, рациональная функция не была бы приведенной, т. Е. Между числителем и знаменателем был бы общий множитель. На самом деле, в этом случае исходная рациональная функция имела бы съемный разрыв в .
     • Несобственный интеграл, продолжающийся до, будет конечным только , если , поэтому числитель постоянный. Это согласуется с тестом разницы градусов. Для приведенной выше первообразной предельное значение at равно 0,
     .
     • Несобственный интеграл, продолжающийся до, будет конечным только , если , поэтому числитель постоянный. Это согласуется с тестом разницы градусов. Для приведенной выше первообразной предельное значение at равно 0,

     Случай, когда знаменатель повторяет линейные множители

     Используя те же обозначения, что и для неопределенного интегрирования, мы пытаемся выполнить интегрирование:

     Первообразная:

     где — произвольная константа. Далее, если знаменатель изначально был , то и .

     Областью определения подынтегральной функции являются все действительные числа, кроме . Таким образом, это объединение открытых интервалов и . На каждом из интервалов можно однозначно определить знак , поэтому первообразную можно записать более однозначно:

     Интервал	Первообразная на интервале

     Таким образом, для любого интервала, полностью содержащегося в одной из двух частей, мы можем вычислить определенный интеграл, используя приведенное выше. Рассмотрим теперь вопрос о несобственных интегралах, т. е. интегралах, у которых один из концов интегрирования входит в число:

     • нельзя использовать в качестве конечной точки ни при каких обстоятельствах, т. е. любой несобственный интеграл, оканчивающийся на, будет бесконечным.
     • в качестве конечной точки дает конечный интеграл тогда и только тогда, когда . Это согласуется с тестом разницы градусов. Предел первообразной выше at равен 0,
     .
     • в качестве конечной точки дает конечный интеграл тогда и только тогда, когда . Это согласуется с тестом разницы градусов. Предел первообразной выше в равен 0.

     Случай, когда знаменатель имеет отрицательный дискриминант

     Мы пытаемся выполнить интегрирование:

     Первообразная:

     Учитывая знаменатель в форме, его можно переписать как где:

     Подынтегральная функция, а также ее первообразная определены для всех действительных чисел. В частности, имеет смысл взять определенный интеграл по любому конечному интервалу и получить конечный ответ. Теперь рассмотрим несобственные интегралы:

     • допустимо в качестве конечной точки для интегрирования тогда и только тогда. Это согласуется с тестом разницы градусов. В этом случае предел первообразной выше .
     • допустимо в качестве конечной точки для интеграции, если и только если. Это согласуется с тестом разницы градусов. В этом случае предел первообразной выше .

     В частности, если , мы можем проинтегрировать функцию по всей прямой и получить конечный ответ. Это ответ.

     Примеры

     Примеры сокращенного случая

     Рассмотрим задачу интегрирования:

     Вот как мы могли бы сделать это непосредственно с точки зрения формулы: [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

     В качестве альтернативы, вместо непосредственного использования формулы, мы можем проследить этапы ее вывода, чтобы получить первообразную: [ПОКАЗАТЬ БОЛЬШЕ]

     Частные дроби и интерпретация линейной алгебры

     Случай сокращенной формы

     Заполните это позже — что-то Здесь речь идет о выборе базисных функций для частичных функций, соответствующих первообразных, имеющих дело с двумерным векторным пространством во всех трех случаях, но выбор базисных функций, которые мы используем, различается в разных случаях.

     Общий случай

     Заполните это позже — что-то о том, что ответ является многочленом + что-то для случая сокращенной формы.

     Повторное антидифференцирование

     Приведенные выше стратегии можно применять для вычисления старших первообразных рациональных функций с квадратичным знаменателем. Ключевая идея, используемая для доказательства более общего наблюдения о том, что рациональные функции могут многократно интегрироваться внутри элементарно выразимых функций, состоит в следующем следствии интегрирования по частям, полученном путем взятия 1 в качестве части для интегрирования в левостороннем внешнем интегрировании:

     Здесь важно отметить, что поскольку имеет квадратичный знаменатель, то и . Особенно:

     Двойное интегрирование Интегрирование обоих и , которые являются рациональными функциями с квадратичным знаменателем.

     Аналогично,

     Время интегрирования Интегрирование рациональных функций

     В частности, это означает, что общее выражение для первообразной представляет собой полином плюс линейную комбинацию двух базисных функций первообразной, которые зависят от только в знаменателе. 2+bx+c$. 93\over (x-2)(x+3)}\,dx=\int x-1\,dx +\int {7x-6\over (х-2)(х+3)}\,дх. $$ Первый интеграл прост, поэтому только второй требует некоторой работы. $\квадрат$

     Теперь рассмотрим следующую простую алгебру дробей: $$ {A\над xr}+{B\над xs}={A(xs)+B(xr)\over (xr)(xs)}= {(A+B)x-As-Br\over (x-r)(x-s)}. $$ То есть сложение двух дробей с постоянными числителем и знаменателем $(x-r)$ и $(x-s)$ дают дробь со знаменателем $(x-r)(x-s)$ и многочлен степени меньше 2 для числителя. Мы хотим обратить этот процесс вспять: начиная с одной дроби, мы хотим запишите его в виде суммы двух простых дробей. Пример должен сделать это понятно как поступить. 93\over (x-2)(x+3)}\,dx$. Мы начинаем с записав $\ds{7x-6\over (x-2)(x+3)}$ как сумму двух дробей. Мы хочу закончить с $${7x-6\over (x-2)(x+3)}={A\over x-2}+{B\over x+3}.$$ Если мы продолжим и добавим дроби в правой части, мы получим $${7x-6\over (x-2)(x+3)}={(A+B)x+3A-2B\over (x-2)(x+3)}.$$ Итак, все, что нам нужно сделать, это найти $A$ и $B$ так, чтобы $7x-6=(A+B)x+3A-2B$, то есть нам нужно $7=A+B$ и $-6=3A-2B$. 2\over 2}-x+{8\over5}\ln |x-2|+{27\over5}\ln|x+3|+C.\cr }$$ $\квадрат$ 92+3x}\,dx$ (отвечать)

     Исчисление II. Частичные дроби

     Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

     Уведомление для мобильных устройств

     Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

     Раздел 1-4: Частичные дроби 92} — x — 6}}\,dx}} & = \int{{\frac{4}{{x — 3}}\, — \frac{1}{{x + 2}}dx}}\ \ & = 4\ln \влево| {х — 3} \право| — \лн\влево| {х + 2} \право| + с\конец{выравнивание*}\]

     Этот процесс взятия рационального выражения и разложения его на более простые рациональные выражения, которые мы можем складывать или вычитать, чтобы получить исходное рациональное выражение, называется разложением на частичные дроби . Многие интегралы, включающие рациональные выражения, могут быть получены, если мы сначала возьмем частичные дроби под интегралом.

     Итак, давайте проведем краткий обзор частичных дробей. Мы начнем с рационального выражения в форме

     . \[f\left( x \right) = \frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\]

     , где оба \(P\left( x \right)\) и \(Q\left( x \right)\) являются полиномами, а степень \(P\left( x \right)\) меньше, чем степень \(Q\left( x \right)\). Напомним, что степень многочлена — это наибольший показатель степени многочлена. Частичные дроби можно делать только в том случае, если степень числителя строго меньше степени знаменателя. Это важно помнить.

     Итак, как только мы определили, что частичные дроби можно делать, мы максимально полно разложим знаменатель. Затем для каждого фактора в знаменателе мы можем использовать следующую таблицу, чтобы определить члены, которые мы выбираем при разложении частичной дроби. 2} — x — 6}}\,dx}}\]

     Показать решение

     Первый шаг — максимально разложить знаменатель на множители и получить форму разложения на неполные дроби. Выполнение этого дает,

     \[\ frac{{3x + 11}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\, = \ frac{A}{{x — 3 }} + \frac{B}{{x + 2}}\]

     Следующим шагом будет добавление правой стороны.

     \[\ frac{{3x + 11}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\, = \ frac{{A\left( {x + 2} \right) + B\left( {x — 3} \right)}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

     Теперь нам нужно выбрать \(A\) и \(B\) так, чтобы числители этих двух были равны для каждого \(x\). Для этого нам нужно установить равные числители.

     \[3x + 11 = A\влево( {x + 2} \вправо) + B\влево({x — 3} \вправо)\]

     Обратите внимание, что в большинстве задач мы сразу переходим от общей формы декомпозиции к этому шагу и не утруждаем себя фактическим добавлением членов обратно. Единственный смысл сложения членов состоит в том, чтобы получить числитель, и мы можем получить его, фактически не записывая результаты сложения.

     На данный момент у нас есть один из двух способов продолжить. Один способ всегда будет работать, но часто больше работы. Другой, хотя и не всегда будет работать, часто работает быстрее, когда работает. В этом случае оба будут работать, поэтому мы будем использовать более быстрый способ для этого примера. Мы рассмотрим другой метод в следующем примере.

     Здесь мы собираемся заметить, что числители должны быть равны для любого x , которое мы решили использовать. В частности, числители должны быть равны для \(x = — 2\) и \(x = 3\). Итак, давайте подключим их и посмотрим, что мы получим.

     \[\begin{align*}x & = — 2 : & \hspace{0.5in}5 & = A\left( 0 \right) + B\left( { — 5} \right) & \hspace{0.25in } & \Rightarrow & \hspace{0.25in}B & = — 1\\ x & = 3 \,\,\,\,: & \hspace{0. 5in}20 & = A\left( 5 \right) + B\left( 0 \right) & \hspace{0.25in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in}A & = 4\end{align*}\]

     Таким образом, тщательно подобрав \(x\), мы получили быстрое выпадение неизвестных констант. Обратите внимание, что это значения, которые, как мы утверждали, будут выше. 92} — x — 6}}\,dx}} & = \int{{\frac{4}{{x — 3}}\, — \frac{1}{{x + 2}}dx}}\ \ & = \int{{\frac{4}{{x — 3}}\,dx}} — \int{{\frac{1}{{x + 2}}dx}}\\ & = 4\ пер \ влево | {х — 3} \право| — \лн\влево| {х + 2} \право| + с\конец{выравнивание*}\]

     Напомним, что для составления этого интеграла мы сначала разбили его на два интеграла, а затем использовали подстановки

     \[u = x — 3\hspace{0.5in}v = x + 2\]

     по интегралам, чтобы получить окончательный ответ. 92} + 4 = A\left( {x + 2} \right)\left( {3x — 2} \ right) + Bx\left( {3x — 2} \ right) + Cx\left( {x + 2 } \Правильно)\]

     Как и в предыдущем примере, похоже, что мы можем просто выбрать несколько значений \(x\) и найти константы, так что давайте сделаем это.

     \[\begin{align*}x & = 0 \,\,\,\,\, : & \hspace{0.5in}4 & = A\left( 2 \right)\left( { — 2} \right ) & \hspace{0.5in} & \Rightarrow & \hspace{0.25in}A & = — 1\\ x & = — 2 : & \hspace{0.5in}8 & = B\left( { — 2} \ вправо)\влево( { — 8} \вправо) & \hspace{0.25in}&\Rightarrow & \hspace{0.25in}B & = \frac{1}{2}\\ x & = \frac{2} {3}\,\, : & \hspace{0,5 дюйма}\frac{{40}}{92} — 4x}}\,dx}} & = \int{{ — \frac{1}{x} + \frac{{\frac{1}{2}}}{{x + 2}} + \ frac{{\frac{5}{2}}}{{3x — 2}}\,dx}}\\ & = — \ln \left| х \ справа | + \frac{1}{2}\ln \left| {х + 2} \право| + \frac{5}{6}\ln \left| {3x — 2} \право| + с\конец{выравнивание*}\]

     Опять же, как отмечалось выше, интегралы, которые генерируют натуральные логарифмы, очень распространены в этих задачах, поэтому убедитесь, что вы можете их решить. Кроме того, вы смогли правильно сделать последний интеграл, верно? Коэффициент при \(\frac{5}{6}\) правильный. Убедитесь, что вы делаете замену, необходимую для термина правильно. 92}\]

     Теперь есть вариант метода, который мы использовали в первых двух примерах, который будет работать здесь. Есть пара значений \(x\), которые позволят нам быстро получить две из трех констант, но нет значения \(x\), которое просто даст нам третью.

     В этом примере мы выберем \(x\), чтобы получить две константы, которые мы можем легко получить, а затем мы просто выберем другое значение \(x\), с которым будет легко работать с ( т.е. он нигде не даст больших/запутанных чисел), а затем мы воспользуемся тем, что мы также знаем две другие константы, чтобы найти третью.

     \[\begin{align*}x & = 0 : & \hspace{0.25in} 18 & = B\left( { — 3} \right) & \hspace{0.15in}\Rightarrow \hspace{0.25in}B & = — 6\\ x & = 3 : & \hspace{0.25in} 18 & = C\left( 9 \right) & \hspace{0.15in} \Rightarrow \hspace{0.25in}C & = 2\\ x & = 1 : & 18 & = A\left( { — 2} \right) + B\left( { — 2} \right) + C = — 2A + 14 & \hspace{0.

Закон Ома представляет собой взаимное соотношение между напряжением, током, сопротивлением и мощностью. Все выводимые формулы для расчета каждой из указанных величин представлены в таблице:

В этой таблице используются следующие общепринятые обозначения физических величин:

U — напряжение (В),

I — ток (А),

Р — мощность (Вт),

R — сопротивление (Ом),

Потренируемся на следующем примере: пусть нужно найти мощность схемы. Известно, что напряжение на ее выводах составляет 100 В, а ток— 10 А. Тогда мощность согласно закону Ома будет равна 100 х 10 = 1000 Вт. Полученное значение можно использовать для расчета, скажем, номинала предохранителя, который нужно ввести в устройство, или, к примеру, для оценки счета за электричество, который вам лично принесет электрик из ЖЭК в конце месяца.

А вот другой пример: пусть нужно узнать номинал резистора в цепи с лампочкой, если известно, какой ток мы хотим пропускать через эту цепь. По закону Ома ток равен:

I = U / R

Схема, состоящая из лампочки, резистора и источника питания (батареи) показана на рисунке. Используя приведенную формулу, вычислить искомое сопротивление сможет даже школьник.

Что же в этой формуле есть что? Рассмотрим переменные подробнее.

> U пит (иногда также обозначается как V или Е): напряжение питания. Вследствие того, что при прохождении тока через лампочку на ней падает какое-то напряжение, величину этого падения (обычно рабочее напряжение лампочки, в нашем случае 3,5 В) нужно вычесть из напряжения источника питания. К примеру, если Uпит = 12 В, то U = 8,5 В при условии, что на лампочке падает 3,5 В.

>  I: ток (измеряется в амперах), который планируется пропустить через лампочку. В нашем случае – 50 мА. Так как в формуле ток указывается в амперах, то 50 миллиампер составляет лишь малую его часть: 0,050 А.

> R: искомое сопротивление токоограничивающего резистора, в омах.

В продолжение, можно проставить в формулу расчета сопротивления реальные цифры вместо U, I и R:

R = U/I = 8,5 В / 0,050 А= 170 Ом

Рассчитать сопротивление одного резистора в простой цепи достаточно просто. Однако с добавлением в нее других резисторов, параллельно или последовательно, общее сопротивление цепи также изменяется. Суммарное сопротивление нескольких соединенных последовательно резисторов равно сумме отдельных сопротивлений каждого из них. Для параллельного же соединения все немного сложнее.

Почему нужно обращать внимание на способ соединения компонентов между собой? На то есть сразу несколько причин.

> Сопротивления резисторов составляют только некоторый фиксированный ряд номиналов. В некоторых схемах значение сопротивления должно быть рассчитано точно, но, поскольку резистор именно такого номинала может и не существовать вообще, то приходится соединять несколько элементов последовательно или параллельно.

> Резисторы — не единственные компоненты, которые имеют сопротивление. К примеру, витки обмотки электромотора также обладают некоторым сопротивлением току. Во многих практических задачах приходится рассчитывать суммарное сопротивление всей цепи.

Формула для вычисления суммарного сопротивления резисторов, соединенных между собой последовательно, проста до неприличия. Нужно просто сложить все сопротивления:

Rобщ = Rl + R2 + R3 + … (столько раз, сколько есть элементов)

В данном случае величины Rl, R2, R3 и так далее — сопротивления отдельных резисторов или других компонентов цепи, а Rобщ — результирующая величина.

Так, к примеру, если имеется цепь из двух соединенных последовательно резисторов с номиналами 1,2 и 2,2 кОм, то суммарное сопротивление этого участка схемы будет равно 3,4 кОм.

Все немного усложняется, если требуется вычислить сопротивление цепи, состоящей из параллельных резисторов. Формула приобретает вид:

R общ = R1 * R2 / (R1 ­­+ R2)

где R1 и R2 — сопротивления отдельных резисторов или других элементов цепи, а Rобщ -результирующая величина. Так, если взять те же самые резисторы с номиналами 1,2 и 2,2 кОм, но соединенные параллельно, получим

776,47 = 2640000 / 3400

Для расчета результирующего сопротивления электрической цепи из трех и более резисторов используется следующая формула:

Здесь снова величины Rl, R2, R3 и так далее — сопротивления отдельных резисторов, a Rобщ — суммарная величина.

Формулы, приведенные выше, справедливы и для расчета емкостей, только с точностью до наоборот. Так же, как и для резисторов, их можно расширить для любого количества компонентов в цепи.

Если нужно вычислить емкость цепи, состоящей из параллельных конденсаторов, необходимо просто сложить их номиналы:

Собщ = CI + С2 + СЗ + …

В этой формуле CI, С2 и СЗ — емкости отдельных конденсаторов, а Собщ суммирующая величина.

Для вычисления общей емкости пары связанных последовательно конденсаторов применяется следующая формула:

Собщ  = С1 * С2 /( С1+С2)

где С1 и С2 — значения емкости каждого из конденсаторов, а Собщ — общая емкость цепи

В схеме имеются конденсаторы? Много? Ничего страшного: даже если все они связаны последовательно, всегда можно найти результирующую емкость этой цепи:

И здесь опять величины C1, С2, СЗ и так далее — емкости отдельных конденсаторов, а Собщ. — суммарная величина.

Так зачем же вязать последовательно сразу несколько конденсаторов, когда могло хватить одного? Одним из логических объяснений этому факту служит необходимость получения конкретного номинала емкости цепи, аналога которому в стандартном ряду номиналов не существует. Иногда приходится идти и по более тернистому пути, особенно в чувствительных схемах, как, например, радиоприемники.

Наиболее широко на практике применяют такую единицу измерения энергии, как киловатт-часы или, если это касается электроники, ватт-часы. Рассчитать затраченную схемой энергию можно, зная длительность времени, на протяжении которого устройство включено. Формула для расчета такова:

ватт-часы = Р х Т

В этой формуле литера Р обозначает мощность потребления, выраженную в ваттах, а Т — время работы в часах. В физике принято выражать количество затраченной энергии в ватт-секундах, или Джоулях. Для расчета энергии в этих единицах ватт-часы делят на 3600.

В электронных схемах часто используются RC-цепочки для обеспечения временных задержек или удлинения импульсных сигналов. Самые простые цепочки состоят всего лишь из резистора и конденсатора (отсюда и происхождение термина RC-цепочка).

Принцип работы RC-цепочки состоит в том, что заряженный конденсатор разряжается через резистор не мгновенно, а на протяжении некоторого интервала времени. Чем больше сопротивление резистора и/или конденсатора, тем дольше будет разряжаться емкость. Разработчики схем очень часто применяют RC-цепочки для создания простых таймеров и осцилляторов или изменения формы сигналов.

Каким же образом можно рассчитать постоянную времени RC-цепочки? Поскольку эта схема состоит из резистора и конденсатора, в уравнении используются значения сопротивления и емкости. Типичные конденсаторы имеют емкость порядка микрофарад и даже меньше, а системными единицами являются фарады, поэтому формула оперирует дробными числами.

T = RC

В этом уравнении литера Т служит для обозначения времени в секундах, R — сопротивления в омах, и С — емкости в фарадах.

Пусть, к примеру, имеется резистор 2000 Ом, подключенный к конденсатору 0,1 мкФ. Постоянная времени этой цепочки будет равна 0,002 с, или 2 мс.

Для того чтобы на первых порах облегчить вам перевод сверхмалых единиц емкостей в фарады, мы составили таблицу:

Частота сигнала является величиной, обратно пропорциональной его длине волны, как будет видно из формул чуть ниже. Эти формулы особенно полезны при работе с радиоэлектроникой, к примеру, для оценки длины куска провода, который планируется использовать в качестве антенны. Во всех следующих формулах длина волны выражается в метрах, а частота — в килогерцах.

Предположим, вы хотите изучать электронику для того, чтобы, собрав свой собственный приемопередатчик, поболтать с такими же энтузиастами из другой части света по аматорской радиосети. Частоты радиоволн и их длина стоят в формулах бок о бок. В радиолюбительских сетях часто можно услышать высказывания о том, что оператор работает на такой-то и такой длине волны. Вот как рассчитать частоту радиосигнала, зная длину волны:

Частота = 300000 / длина волны

Длина волны в данной формуле выражается в миллиметрах, а не в футах, аршинах или попугаях. Частота же дана в мегагерцах.

Ту же самую формулу можно использовать и для вычисления длины волны радиосигнала, если известна его частота:

Длина волны = 300000 / Частота

Результат будет выражен в миллиметрах, а частота сигнала указывается в мегагерцах.

Приведем пример расчета. Пусть радиолюбитель общается со своим другом на частоте 50 МГц (50 миллионов периодов в секунду). Подставив эти цифры в приведенную выше формулу, получим:

6000 миллиметров = 300000 / 50 МГц

Однако чаще пользуются системными единицами длины — метрами, поэтому для завершения расчета нам остается перевести длину волны в более понятную величину. Так как в 1 метре 1000 миллиметров, то в результате получим 6 м. Оказывается, радиолюбитель настроил свою радиостанцию на длину волны 6 метров. Прикольно!

Формула 1 на F1News.ru — все новости Формулы 1 2021

Исполнительный директор и президент Формулы 1 Стефано Доменикали рассказал о развитии спорта и заявил,…

Руководитель McLaren Андреас Зайдль доволен итогами Гран При Великобритании и надеется так же успешно…

Технический директор команды Mercedes Джеймс Эллисон рассказал о стратегии команды в Гран При Великобритании,…

После Гран При Великобритании директор гонок FIA Майкл Маси в основном отвечал на вопросы журналистов,…

Медицинский делегат FIA доктор Иан Робертс рассказал, в каком состоянии был Макс Ферстаппен после столкновения…

Росс Браун, спортивный директор Формулы 1, считает, что первый эксперимент с квалификационным спринтом…

Карлос Сайнс стартовал девятым в спринте Гран При Великобритании и рассчитывал отыграть позиции, но получилось…

Кристиан Хорнер, руководитель Red Bull Racing, рад, что Макс Ферстаппен стал победителем первого в истории…

Субботний спринт помог Кими Райкконену отыграть четыре позиции – и в гонке он надеется закрепить успех…

В этом сезоне Ландо Норрис регулярно проходил в финал квалификации и заработал очки во всех гонках. Он…

Макс Ферстаппен поделился ожиданиями, связанными с британским гоночным уик-эндом, а также напомнил, что…

Перед началом уик-энда в Сильверстоуне мексиканский гонщик Red Bull Racing рассказал о своих ожиданиях…

Формулы по экономике

Формулы спроса и эластичности

В первую очередь необходимо рассмотреть формулы по экономике, которые касаются спроса и предложения. Уравнение функции спроса можно представить в виде следующей формулы:

y= к*x+b

Сама функция спроса выглядит следующим образом:

QD= к*P+b

Функция предложения:

Qs= к*P+b

Если рассмотреть показатели эластичности, то можно выделить формулы по экономике, определяющие эластичность спроса по цене:

EDP= Δ QD (%) : Δ P (%)

EDP= (Q2 –Q1)/(Q2 + Q1) : (P2 –P1)/(P2 + P1)

Вторая формула представляет собой расчет средней точки, здесь значение P1 – цена продукции до изменения, P2 – цена продукции после изменения, Q1 – спрос до изменения цены, Q2 –спрос после изменения цены.

Формула коэффициента эластичности спроса в общем виде:

EDI= (Q2 –Q1)/ Q1 : (Р2 –Р1)/ Р1

Формулы макроэкономики

Формулы по экономике включают в себя формулы по микроэкономике (спрос и предложение, издержки фирмы и др.), а также формулы по макроэкономике. Важной формулой по макро экономике является формула расчета необходимого в обращении количества денег:

КД = ∑ ЦТ – К + СП – ВП / СО

КД — количество денег в обращении,

ЦТ — сумма цен на товары;

К — товары, продаваемые в кредит;

СП — срочные платежи;

ВП — взаимно погашаемые платежи по бартерным сделкам;

СО — годовая скорость оборота денежной единицы.

Для того чтобы определить денежную массу в обращении необходимо воспользоваться следующей формулой:

М = Р * Q / V

Здесь M — денежная масса, которая находится в обращении;

V — скорость обращения денег;

Р — средние цены на продукцию;

Q — количество выпущенной продукции в постоянных ценах.

Уравнение обмена может быть представлено следующим равенством:

M*V = P*Q

Это уравнение отражает, равенство совокупных расходов в денежном выражении и стоимости всех товаров и услуг, которые выпущены в государстве.

Другие формулы макроэкономики

Рассмотрим еще несколько формул по экономике, среди которых важное место занимает формула вычисления реального дохода:

РД = НД / ИПЦ * 100 %

Здесь РД – реальный доход,

НД – номинальный доход,

ИПЦ – показатель индекса потребительских цен.

Формула для вычисления индекса потребительских цен представлена следующим выражением:

ИПЦ = СТТГ / СТБГ

СТТГ – стоимость потребительской корзины в текущем году,

СТБГ – в базовом году.

В соответствии с показателем индексов цен можно определить темп инфляции по соответствующей формуле:

ТИ =(ИПЦ1 – ИПЦ0) / ИПЦ0 * 100 %

В соответствии с темпами инфляции можно выделить несколько видов:

1. Ползучая инфляция с ростом цен до 5 % годовых,

2. Умеренная инфляция до 10 % годовых,

3. Галопирующая инфляция с ростом цен 20-200% годовых,

4. Гиперинфляция с катастрофическим ростом цен более 200 % в год.

Формулы для расчета процентов

Экономические расчеты часто требуют расчета процентов. Формулы по экономике включают расчет, как сложного, так и простого процента. Формула расчета простого процента представлена следующим образом:

С = Р * (1 + in/360)

Здесь P — сумма долга, включая проценты;

С — общая сумма кредита;

n – количество дней;

i — годовой процент в долях.

Формула для вычисления сложного процента выглядит так:

С = Р (1 + in/360)k

K – количество лет.

Формула для расчёта сложного процента, который вычисляется за несколько лет:

С = Р (1+i)k

Формула безработицы, занятости и ВНП

Формулы по экономике также помогают рассчитать уровень безработицы:

УБ = Число безработных/ЧРС * 100%

Здесь ЧРС – численность рабочей силы.

Формула для вычисления уровня занятости выглядит следующим образом:

УЗ = Число занятых / ЧРС * 100 %

Формула для вычисления валового национального продукта вычисляется так:

ВНП = % + ЗП + Тр + КНал – ЧС + Р + Ам + ДС

Здесь Тр – корпорации,

Кнал – косвенные налоги,

ЧС – чистые субсидии,

Р – рента,

Ам – сумма амортизации,

ДС – доходы от собственности.

Формула расчёта ВНП в соответствии с расходами:

ВНП = ЛПР + ГЗ + ВЧВИ – ЧИ

Расчет выручки, прибыли и издержек

Формулы по экономике при расчете выручки и прибыли:

TR = P*Q

Прибыль = TR — TC

Формула для вычисления средних общих издержек выглядит так:

АС = AFC + AVC или

АС = TC / Q

Для того чтобы рассчитать общие издержки необходимо применить следующую формулу:

ТС = TFC + TVC

Формула для вычисления средних постоянных издержек:

AFC = TFC / Q

При расчете средних переменных издержек можно воспользоваться следующей формулой:

AVC = TVC / Q

Примеры решения задач

Мощность электрического тока — Основы электроники

Обычно электрический ток сравнивают с течением жид­кости по трубке, а напряжение или разность потенциалов — с разностью уровней жидкости.

В этом случае поток воды, падающий сверху вниз, несет с собой определенное количество энергии. В усло­виях свободного падения эта энергия растрачивается беспо­лезно для человека. Если же направить падающий поток во­ды на лопасти турбины, то последняя начнет вращаться и сможет производить полезную работу.

Работа, производимая потоком воды в течение определен­ного промежутка времени, например, в течение одной секун­ды, будет тем больше, чем с большей высоты падает поток и чем больше масса падающей воды.

Точно так же и электрический ток, протекая по цепи от высшего потенциала к низшему, совершает работу. В каждую данную секунду времени будет совершаться тем больше рабо­ты, чем больше разность потенциалов и чем большее количе­ство электричества ежесекундно проходит через поперечное сечение цепи.

Мощность электрического тока это количество работы, совершаемой за одну секунду времени, или скорость совершения работы.

Количество электричества, проходящего через поперечное сечение цепи в течение одной секунды, есть не что иное, как сила тока в цепи. Следовательно, мощность электрического тока будет прямо пропорциональна разности потенциалов (на­пряжению) и силе тока в цепи.

Для измерения мощности электрического тока принята еди­ница, называемая ватт (Вт).

Мощностью в 1 Вт обладает ток силой в 1 А при разности потенциалов, равной 1 В.

Для вычисления мощности постоянного тока в ваттах нуж­но силу тока в амперах умножить на напряжение в вольтах.

Если обозначить мощность электрического тока буквой P, то приведенное выше правило можно записать в виде формулы

P = I*U. (1)

Воспользуемся этой формулой для решения числового при­мера. Требуется определить, какая мощность электрического тока необходима для накала нити радиолампы, если напряжение накала равно 4 в, а ток накала 75 мА

Определим мощность электрического тока, поглощаемую нитью лампы:

Р= 0,075 А*4 В = 0,3 Вт.

Мощность электрического тока можно вычислить и другим путем. Предположим, что нам известны сила тока в цепи и сопротивление цепи, а напряжение неизвестно.

В этом случае мы воспользуемся знакомым нам соотноше­нием из закона Ома:

U=IR

и подставим правую часть этого равенства (IR) в формулу (1) вместо напряжения U.

Тогда формула (1) примет вид:

P = I*U =I*IR

или

Р = I²*R. (2)

Например, требуется узнать, какая мощность теряется в реостате сопротивлением в 5 Ом, если через него проходит ток, силой 0,5 А. Пользуясь формулой (2), найдем:

P= I²*R = (0,5)²*5 =0,25*5 = 1,25 Вт.

Наконец, мощность электрического тока может быть вычислена и в том слу­чае, когда известны напряжение и сопротивление, а сила тока неизвестна. Для этого вместо силы тока I в формулу (1) подставляется известное из закона Ома отношение U/R и тогда формула (1) приобретает следующий вид:

Р = I*U=U²/R (3)

Например, при 2,5 В падения напряжения на реостате сопро­тивлением в 5 Ом поглощаемая реостатом мощность будет равна:

Р = U²/R=(2,5)²/5=1,25 Вт

Таким образом, для вычисления мощности требуется знать любые две из величин, входящих в формулу закона Ома.

Мощность электрического тока равна работе электрического тока, производимой в течение одной секунды.

P = A/t

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

P | Пошаговые примеры расчета P-значения

Что такое формула P-Value?

P — это статистическая мера, которая помогает исследователям определить, верна ли их гипотеза. Это помогает определить значимость результатов. Нулевая гипотеза Нулевая гипотеза предполагает, что выборочные данные и данные о совокупности не имеют разницы или, говоря простыми словами, она предполагает, что утверждение, сделанное человеком относительно данных или совокупности, является абсолютной истиной и всегда верно.Таким образом, даже если образец взят из совокупности, результат, полученный при изучении выборки, будет таким же, как и предположение. Читать дальше — это позиция по умолчанию, согласно которой нет никакой связи между двумя измеряемыми явлениями. Она обозначается как H _{0. Альтернативная гипотеза} — это гипотеза, в которую вы поверили бы, если бы пришел к выводу, что нулевая гипотеза неверна. Его символ — H ₁ или H _a.

P-значение в Excel — это число от 0 до 1. Существуют таблицы, программы для работы с электронными таблицами и статистическое программное обеспечение, помогающее рассчитать p-значение.Уровень значимости (α) — это заранее определенный порог, установленный исследователем. Обычно это 0,05. Очень маленькое p-значение, которое меньше уровня значимости, указывает на то, что вы отвергаете нулевую гипотезу. P-значение, превышающее уровень значимости, указывает на то, что мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу.

Объяснение формулы P-Value

Формулу для вычисления p-значения можно получить, выполнив следующие шаги:

Расчет P-значения по статистике Z

Шаг 1: Нам нужно узнать статистику теста z

Z = (p̂ — p0) / √ [p0 (1-p0) / n]

Вы можете свободно использовать это изображение на своем веб-сайте, в шаблонах и т. Д. Пожалуйста, предоставьте нам ссылку с указанием авторства Ссылка на статью, которая будет гиперссылкой
Например:
Источник: Формула значения P (wallstreetmojo.com)

Где

• p̂ — доля выборки
• p0 — предполагаемая доля населения в нулевой гипотезе
• n — размер выборки

Шаг 2: Нам нужно найти соответствующий уровень p из полученного значения z. Для этого нам нужно взглянуть на таблицу z.

Источник: www.dummies.com

Например, найдем значение p, соответствующее z ≥ 2,81. Поскольку нормальное распределение симметрично, отрицательные значения z равны его положительным значениям.2,81 — это сумма 2,80 и 0,01. Посмотрите на 2,8 в столбце z и соответствующее значение 0,01. Получаем p = 0,0025.

Примеры формулы P-значения (с шаблоном Excel)

Давайте рассмотрим несколько простых и сложных примеров уравнения P-Value, чтобы лучше понять его.

Пример # 1

a) Значение P составляет 0,3015. Если уровень значимости составляет 5%, выясните, можем ли мы отклонить нулевую гипотезу.

б) P-значение 0,0129.Если уровень значимости составляет 5%, выясните, можем ли мы отклонить нулевую гипотезу.

Решение:

Используйте следующие данные для расчета P-Value.

P-Value будет —

a) Поскольку p-значение 0,3015 превышает уровень значимости 0,05 (5%), мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу.

б) Поскольку p-значение 0,0129 меньше уровня значимости 0,05, мы отклоняем нулевую гипотезу.

Пример # 2

Согласно исследованию, 27% людей в Индии говорят на хинди. Исследователю интересно, выше ли эта цифра в его деревне. Следовательно, основывается на нулевой и альтернативной гипотезах. Он проверяет H _0: p = 0,27. H _a: p> 0,27. Здесь p — доля жителей деревни, говорящих на хинди. Он заказывает опрос в своей деревне, чтобы выяснить, сколько людей может говорить на хинди. Он обнаружил, что 80 из 240 опрошенных людей могут говорить на хинди.Найдите приблизительное значение p для теста исследователя, если бы мы предположили, что необходимые условия выполняются, а уровень значимости составляет 5%.

Решение:

Используйте следующие данные для расчета P-Value.

Здесь объем выборки n = 240,

p ₀ — доля населения. Нам нужно будет найти образец пропорции